ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΙ 1ο Φύλλο

Transcript

1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΙ 1ο Φύλλο 1. Δίνονταιτασημεία A = ( 1,2), = (3, 1)και Γ = (5,1)στο R 2. Να ευρεθούν οι συντεταγμένες της τέταρτης κορυφής του παραλληλογράμμου AΓ μεπλευρές Aκαι AΓ. 2.Νααποδειχθείοτιταμη-μηδενικάδιανύσματα u 1 = (x 1,y 1 ), u 2 = (x 2,y 2 ) R 2 είναισυγγραμμικάτότεκαιμόνοτότεόταν x 1 y 2 = x 2 y 1. 3.Γιαποιέςτιμέςτου a Rείναιταδιανύσματα (a,4), (3,a 1) R 2 συγγραμμικά; 4. Νααποδειχθείοτιτατρίαδιακεκριμένασημεία (x 1,y 1 ), (x 2,y 2 )και (x 3,y 3 )στο επίπεδο R 2 είναισυνευθειακάτότεκαιμόνοτότεόταν x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 = (x 2y 3 x 3 y 2 ) (x 1 y 3 x 3 y 1 )+(x 1 y 2 x 2 y 1 ) = Νααποδειχθείοτιτρείςευθείεςστο R 2,πουδενταυτίζονταιήείναιπαράλληλες ανάδύομεταξύτους,μεεξισώσεις A 1 x+ 1 y + C 1 = 0, A 2 x+ 2 y + C 2 = 0και A 3 x+ 3 y +C 3 = 0συντρέχουνσεένακοινόσημείοτότεκαιμόνοτότεόταν A 1 1 C 1 A 2 2 C 2 A 3 3 C 3 = 0. 6.Νααποδειχθείοτιόλεςοιευθείεςστοεπίπεδο R 2 μεεξίσωση Ax+y +C = 0, όπου A,, C Rμε A+ +C = 0,συντρέχουνστοσημείο (1,1) R Να ευρεθούν οι εξισώσεις των διχοτόμων δύο διαφορετικών τεμνόμενων ευθειών τουεπιπέδου R 2 μεεξισώσεις A 1 x+ 1 y +Γ 1 = 0και A 2 x+ 2 y +Γ 2 = 0. 8.Ναευρεθείηεξίσωσητουεπιπέδουστον R 3 πουπεριέχειτοσημείο (3, 1,1)και τηνπαραμετρισμένηευθεία E = {(t, 2t+4,0) : t R}. 9. Να υπολογισθεί η γωνία 0 < θ < π που σχηματίζουν τα διανύσματα u = ( 1,2, 2)και v = ( 1,1,0)στον R Ναευρεθείη(οξεία)γωνία Γ = ( 2,2,3). ÂΓ,όπου A = (4,2, 3), = ( 2,8, 3)και 1

2 11. Ναευρεθείέναδιάνυσμα u R 3 μήκους 1πουσχηματίζειγωνία π 6 μετο βασικόδιάνυσμα e 1 = (1,0,0)καιίσεςγωνίεςμεταάλλαδύοβασικάδιανύσματα e2 = (0,1,0)και e 3 = (0,0,1). 12.Εστω u R 3 έναμη-μηδενικόδιάνυσμα.αν θ j είναιηγωνίαπουσχηματίζειτο u μετοβασικόδιάνυσμα ej, j = 1,2,3,νααποδειχθείοτι cos 2 θ 1 +cos 2 θ 2 +cos 2 θ 3 = Τασημεία A = (1,1, 1), = (3,3,2)και Γ = (3, 1, 2)ορίζουνέναεπίπεδο Eστον R 3. (α)ναευρεθείέναμη-μηδενικόδιάνυσμα N R 3 πουείναικάθετοστο E. (β)ναευρεθείηεξίσωσητου E. (γ)ναυπολογιστείηαπόστασητου (0,0,0)απότο E. 14. Ναευρεθείηεξίσωσητουεπιπέδουστον R 3 πουπεριέχειτοσημείο (2,3, 7) καιείναικάθετοστηνευθείαπουορίζουντασημεία (1,2,3)και (2,4,12). 15. Ναευρεθείηπαραμετρισμένηευθείαπουδιέρχεταιαπότοσημείο (2,1, 3)και είναικάθετηστοεπίπεδομεεξίσωση 4x 3y +z = Εστω N 1, N 2 R 3 δύο μη-μηδενικά και μη-συγγραμμικά διανύσματα και P R 3. Να αποδειχθεί οτι η τομή των δύο επιπέδων που διέρχονται από το P και είναι κάθετα στα N1 και N 2, αντίστοιχα, είναι η παραμετρισμένη ευθεία { P +t( N 1 N 2 ) : t R}. 17. Εστω u, v R 3 δύομη-μεδενικάκαιμη-συγγραμμικάδιανύσματακαι a, b R 3. Ανοιευθείες E = { a + t u : t R}και S = { b + t v : t R}είναι ασύμβατες(δηλαδή E S = ),νααποδειχθείοτιηαπόστασήτουςείναιίσημε ( u v ) ( b a) u. v 18. Δίνονταιτασημεία A = ( 2,0, 3), = (1, 2,1), Γ = ( 2, 13 5, 22 5 )και = ( 12 5, 13 5,0)στον R3. (α)ναευρεθείηεξίσωσητουεπιπέδουπουπεριέχειτηνευθεία Aκαιείναιπαράλληλοπροςτηνευθεία Γ. (β)ναυπολογιστείηαπόστασητηςευθείας Aαπότηνευθεία Γ. 2

3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΙ 2ο Φύλλο 1. Νααποδειχθείοτιηεξίσωση r = 2a(1 cosφ)σεπολικέςσυντεταγμένες,όπου a > 0,είναιισοδύναμημετηνεξίσωση x 2 +y 2 +2ax = 2a x 2 +y 2 σεκαρτεσιανές συντεταγμένες. 2. Ναπεριγραφούνγεωμετρικάταπαρακάτωυποσύνολατου R 3,πουδίνονταισε σφαιρικές συντεταγμένες. (α) {(ρ,φ,θ) : ρ = R},όπου R > 0. (β) {(ρ,φ,θ) : φ = φ 0 },όπου 0 φ 0 < 2π. (γ) {(ρ,φ,θ) : θ = θ 0 },όπου 0 < θ 0 < π Ναπεριγραφούνγεωμετρικάταπαρακάτωυποσύνολατου R 3,πουδίνονταισε κυλινδρικές συντεταγμένες. (α) {(r,φ,z) : r = a},όπου a > 0. (β) {(r,φ,z) : φ = φ 0 },όπου 0 φ 0 < 2π. (γ) {(r,φ,z) : z = c},όπου c R. 4. Ναευρεθείπαραμέτρισητηςτομήςτουεπιπέδουστον R 3 μεεξίσωση x+z = 1 μετησφαίρακέντρου (0,0,0)καιακτίνας Εστω γ : I R 3 μίακανονική C 1 παραμετρισμένηκαμπύληώστε γ(t) 0για κάθε t I.Ανυπάρχει t 0 I,εσωτερικόσημείουτουδιαστήματος I,τέτοιοώστε γ(t 0 ) γ(t) γιακάθε t I, νααποδειχθείοτιταδιανύσματα γ(t 0 )και γ(t 0 )είναικάθετα. 6. Εστω Iέναανοιχτόδιάστημακαι γ : I R 3 μίακανονική C 1 παραμετρισμένη καμπύληώστε γ(s) = Rγιακάθε s I,όπου R > 0. Νααποδειχθείοτιτο διανυσμα θέσης γ(s) και το διάνυσμα της στιγμιαίας ταχύτητας γ(s) είναι κάθετα γιακάθε s I. 7. Εναυλικόσημείοκινείταιστον R 3 διαγράφονταςτοίχνοςμίαςλείαςπαραμετρισμένης καμπύλης. Αν το μήκος της στιγμιαίας ταχύτητας είναι σταθερό, να αποδειχθεί οτι τα διανύσματα της στιγμιαίας ταχύτητας και επιτάχυνσης είναι κάθετα. 8. Εστω γ : I R 3 μία C 1 παραμετρισμένηκαμπύληκαι v R 3 μη-μηδενικό. Αν ταδιανύσματα γ(t)και vείναικάθεταγιακάθε tστοδιάστημα Iκαιυπάρχει t 0 I ώστετα γ(t 0 )και vναείναικάθετα,νααποδειχθείοτιτα γ(t)και vείναικάθεταγια κάθε t I. 3

4 9.Νααποδειχθείοτιτομήκοςτηςπαραβολής x 2 = 2py,όπου p > 0,απότοσημείο (0,0)μέχριτοσημείο (a, a2 ),όπου a > 0,είναιίσομε 2p ( 1 a a 2p 2 +p 2 +p 2 log a+ ) a 2 +p 2. p 10.Εστω γ : I R 2 μία C 1 παραμετρισμένηκαμπύληκαι (r(t),φ(t)), t I,ημορφή τηςσεπολικέςσυντεταγμένες.αν a, b I, a < b,νααποδειχθείοτι L(γ [a,b] ) = b a (r (t)) 2 +(r(t)) 2 (φ (t)) 2 dt. 11.Νααποδειχθείοτιτομήκοςτουλιμνίσκουτου ernoulli,δηλαδήτης C 1 παραμετρισμένης καμπύλης, της οποίας οι πολικές συντεταγμένες ικανοποιούν την εξίσωση r 2 = 2a 2 cos2φ,όπου φ π,καιοa > 0είναισταθερά,ισούταιμε 4 2a π cos2φ dφ. 12.Εστω b < 0 < aκαι γ : R R 2 η C 1 παραμετρισμένηκαμπύλημε που λέγεται λογαριθμική σπείρα. (α) Να αποδειχθεί οτι lim t + γ(t) = (ae bt cost,ae bt sint), γ(t) = (0,0)και lim t + γ(t) = (0,0). (β)αν T R,νααποδειχθείοτιτο lim t + L(γ [T,t])υπάρχει.Ποιάείναιητιμήτου; 13. Ναυπολογιστείτομήκοςτηςτομήςτηςσφαίραςστον R 3 κέντρου (0,0,0)και ακτίνας 1μετηνκυλινδρικήεπιφάνειαμεεξίσωση x 2 +y 2 = x. 4

5 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΙ 3ο Φύλλο 1. Να εξεταστεί αν υπάρχουν τα παρακάτω όρια: 2xy (α) lim (x,y) (0,0) x 2 +y 2 e x y (β) lim (x,y) (0,0) x+y cosx 1+ x2 2 (γ) lim (x,y) (0,0) x 4 +y 4 (δ) lim (x,y) (0,0) sin2x 2x+y x 3 +y 2.Εστω f : R 2 Rησυνάρτησημετύπο y +xsin 1, για y 0, f(x,y) = y 0, για y = 0. (α) Να αποδειχθεί οτι lim f(x,y) = 0. (x,y) (0,0) (β)νααποδειχθείοτιτο lim(limf(x,y))δενυπάρχει. x 0 y 0 3.Εστω f : R 2 Rησυνάρτησημετύπο 2x 2 y f(x,y) = x 4 +y2, όταν (x,y) (0,0), 0, όταν (x,y) = (0,0). (α)γιακάθε (u,v) R 2 με (u,v) (0,0)ναυπολογιστείτοόριο lim t 0 f(tu,tv). (β)είναιηfσυνεχήςστοσημείο (0,0); 4.Εστω f : R 2 Rησυνάρτησημετύπο xy f(x,y) = x 2 +y2, όταν (x,y) (0,0), 0, όταν (x,y) = (0,0). (α)νααποδειχθείοτιηfδενείναισυνεχήςστοσημείο (0,0). (β)υπάρχουνοιμερικέςπαράγωγοι f f (0,0)και x y (0,0); 5.Ναυπολογιστείηπαράγωγος f (0)τηςσυνάρτησης f : R Rμετύπο (α) f(x) = 2 0 [x 2 y +xy 3 ]dy, (β) f(x) = e xy2 dy.

6 6. Να υπολογιστούν οι μερικές παράγωγοι f : R 2 Rμετύπο f(x,y) = 1 0 f x (0,0)και f y (0,0)τηςσυνάρτησης [e xt2 +sin(y 2 t 2 )]dt. 7. Ναυπολογιστείηπαράγωγοςτηςσυνάρτησης f : R 2 Rστοσημείο (0,0),αν υπάρχει, που δίνεται από τον τύπο { x 2 y 2 log(x 2 +y 2 ), όταν (x,y) (0,0), f(x,y) = 0, όταν (x,y) = (0,0). 8. Είναιησυνάρτηση f : R 2 Rμετύπο f(x,y) = xy παραγωγίσιμηστο σημείο (0, 0); 9.Εστω f : R 3 Rμίασυνάρτησημετηνιδιότητα f(x,y,z) x 2 +y 2 +z 2 γιακάθε (x,y,z) R 3. Νααποδειχθείοτιηfείναιπαραγωγίσιμηστοσημείο (0,0,0). 10. Να υπολογιστούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων xy (α) f(x,y) = (x,y) (0,0). x2 +y2,σεκάθεσημείο (β) f(x,y,z) = sin(xy)+cos(yz),σεκάθεσημείο (x,y,z) R Να υπολογιστεί ο ιακωβιανός πίνακας της συνάρτησης (α) f : R 2 R 2 μετύπο f(x,y) = (xy,x+y)στοσημείο (1,2), (β) f : R 2 R 3 μετύπο f(x,y) = (x+y,x y,xy)στοσημείο (1,0), (γ) f : R 3 R 3 μετύπο f(x,y,z) = (y 2 +z 2,z 2 +x 2,x 2 +y 2 )στοσημείο (0,1,1). 12. Να ευρεθεί η εξίσωση του εφαπτόμενου επιπέδου του γραφήματος της συνάρτησης f : R 2 Rόταν (α) f(x,y) = 2x 2 +y 2,στοσημείο (0,0,0), (β) f(x,y) = x 2 3y 2 +x,στοσημείο (1,1, 1), (γ) f(x,y) = x 2 +y 2 +x 2 +y 2,στοσημείο (1,0,2), (δ) f(x,y) = sin(xy),στοσημείο (1, π 2,1). 13. Ποιά είναι η εξίσωση του εφαπτόμενου επιπέδου, αν υπάρχει, του γραφήματος τηςσυνάρτησης f : R 2 Rμετύπο (x y) 2 1 sin, όταν x y, f(x,y) = x y 0, όταν x = y. στοσημείο (0,0,0); 6

7 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΙ 4ο Φύλλο 1.Αν f : R 3 Rκαι φ : R 2 Rείναιδύοπαραγωγίσιμεςσυνρτήσεις,ναυπολογιστείηπαράγωγοςτηςσυνάρτησης h : R 2 Rμετύπο h(x,y) = (x,y,φ(x,y)). 2. Εστω f : R 3 Rμίαπαραγωγίσιμησυνάρτησημε Df(0,π,1) = (2,1,7). Αν h : R Rείναιησυνάρτησημε h(t) = f(cost,2t,sint),ναυπολογιστείη παράγωγος h ( π 2 ). 3. Εστωοτι f : R 2 \ {(0,0)} Rείναιμιαπαραγωγίσιμησυνάρτησηκαιέστω h : (0,+ ) R Rησυνάρτησημετύπο Να αποδειχθεί οτι h(r,φ) = f(rcosφ,rsinφ). ( ) 2 h r (r,φ) + 1 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 h f f r 2 φ (r,φ) = x (x,y) + y (x,y) γιακάθε r > 0, φ R,όπου x = rcosφκαι y = rsinφ. 4. Εστω οτι f : R 3 R είναι μια παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία Df(0,0,0) = ( 1,1,1).Αν h : R 3 Rείναιησυνάρτησημετύπο h(x,y,z) = f(x+2y z, x+3y +z,x y +z), ναυπολογιστούνοιμερικέςπαράγωγοιτης hστοσημείο (0,0,0). 5.Εστω f : R 3 Rμιαπαραγωγίσιμησυνάρτησηκαι h : R 3 Rησυνάρτησημε τύπο h(ρ,φ,θ) = f(ρcosφsinθ,ρsinφsinθ,ρcosθ). Να υπολογιστούν οι μερικές παράγωγοι συναρτήσει των μερικών παραγώγων της f. h ρ, h φ, h θ της h (σε κάθε σημείο) 6.Εστω f : R 3 Rμιαπαραγωγίσιμησυνάρτησηκαι h : R 3 Rησυνάρτησημε τύπο h(r,φ,z) = f(rcosφ,rsinφ,z). Να υπολογιστούν οι μερικές παράγωγοι συναρτήσει των μερικών παραγώγων της f. h r, h φ, h z της h (σε κάθε σημείο) 7

8 7. Εστω f : R 2 Rμιαλείασυνάρτησηκαι γ : R R 2 μίαλείαπαραμετρισμένη καμπύλη.ναυπολογιστείηδεύτερηπαράγωγος (f γ) (t)γιακάθε t R. 8.Εστω f, g : R Rδύολείεςσυναρτήσειςκαι φ : R 2 Rησυνάρτησημετύπο φ(x,y) = f(x y)+g(x+y).νααποδειχθείοτι 2 φ x = 2 φ 2 y 2. 9.Εστω f, g : R Rδύολείεςσυναρτήσειςκαι φ : R 2 Rησυνάρτησημετύπο φ(x,y) = f(x+g(y)).νααποδειχθείοτι φ x 2 φ x y = φ y 2 φ x Εστω V : R 3 \{(0,0,0)} Rτοδυναμικότηςβαρύτητας,δηλαδή 1 V(x,y,z) = x2 +y 2 +z 2. Νααποδειχθείοτι 2 V x V y V z 2 = Νααποδειχθείοτιαν c R,τότεοποιαδήποτε C 2 συνάρτηση u : R 2 Rτης μορφής u(x,t) = g(x+ct),όπου g : R Rείναικάποια C 2 συνάρτηση,ικανοποιεί την κυματική διαφορική εξίσωση c 2 2 u x 2 = 2 u t Εστω f : R 2 Rησυνάρτησημετύπο xy(x 2 y 2 ), όταν (x,y) (0,0), f(x,y) = x 2 +y 2 0, όταν (x,y) = (0,0). (α) Να υπολογιστούν οι μερικές παράγωγοι της f σε κάθε σημείο διαφορετικό από το (0,0). (β)νααποδειχθείοτι f f (0,0) = (0,0) = 0. x y 2 f (γ) Να αποδειχθεί οτι x y (0,0) = 1και 2 f (0,0) = 1.Πώςεξηγείταιαυτό; y x 8

9 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΙ 5ο Φύλλο 1. Ναευρεθούντατοπικάακρότατα,ανυπάρχουν,τηςσυνάρτησης f : R 2 R, όταν (α) f(x,y) = x 4 +x 2 y +y 2, (β) f(x,y) = x 2 +y 2 +xy +x+y (γ) f(x,y) = y 2 x 3, (δ) f(x,y) = (x 1) 4 +(x y) 4. 2.Ναευρεθούντατοπικάακρότατατηςσυνάρτησης f : R 3 Rμετύπο f(x,y,z) = x 2 +y 2 +z 2 +xy. 3. Να ευρεθούν τα σημεία του γραφήματος της συνάρτησης f(x,y) = 1 xy, για xy 0,πουβρίσκονταιπλησιέστεραστοσημείο (0,0,0). 4. Εστω R > 0. Ναευρεθούνπραγματικοίαριθμοί x, y, z 0μεάθροισμα R, τέτοιοι ώστε το γινόμενο xyz είναι το μέγιστο δυνατό. 5.Εστω a 0και b 0.Αν f : R 2 Rείναιησυνάρτησημετύπο f(x,y) = e ax2 +by 2, να ευρεθούν τα κρίσιμα σημεία της f και τα σημεία στα οποία παρουσιάζει τοπικό ακρότατο. 6. Να ευρεθούν τα κρίσιμα σημεία, τα σημεία τοπικών ακροτάτων και τα σαγματικά σημείατηςσυνάρτησης f : R 2 Rόταν (α) f(x,y) = 2y 2 x(x 1) 2, (β) f(x,y) = x(y +1) x 2 y. 7.Εστω f : R 3 Rησυνάρτησημετύπο f(x,y,z) = x 2 +y 2 z 2.Νααποδειχθεί οτιτο (0,0,0)είναιτομοναδικόκρίσιμοσημείοτης f,αλλάηf δενπαρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε αυτό. 8.Νααποδειχθείοτισεκάθετρίγωνομεγωνίες A, και Γισχύειοτι Για ποιά τρίγωνα ισχύει η ισότητα; sin A 2 sin 2 sin Γ Να ευρεθούν τα κρίσιμα σημεία, τα σημεία τοπικών ακροτάτων και τα σαγματικά σημείατηςσυνάρτησης f : R 2 Rμε f(x,y) = xye 1 2 (x2 +y 2 ) 9

10 καινααποδειχθείοτι f(x,y) 1 e γιακάθε (x,y) R2. 10.Ναευρεθούνημέγιστηκαιηελάχιστητιμήπουπαίρνειησυνάρτηση f : R 2 R με f(x,y) = x 2 ye (x+y) στο κλειστό και φραγμένο σύνολο K = {(x,y) R 2 : x+y 4 και x 0, y 0}. 11. Νααποδειχθείοτιηεξίσωση 2xe y + y + 1 = 0ορίζειμίαλείασυνάρτηση g : I R,όπουτο Iείναικάποιοανοιχτόδιάστημαπουπεριέχειτο 0,τέτοιαώστε g(0) = 1και 2xe g(x) +g(x)+1 = 0γιακάθε x I.Ναυπολογιστείηπαράγωγος g (0). 12. Να εξεταστεί ποιές από τις παρακάτω εξισώσεις ορίζουν λείες καμπύλες στο επίπεδο R 2. (α) y 2 +3x+y +1 = 0, (β) 2x 2 +4xy y 2 = 1 (γ) x 3 +y 3 = 3xy, (δ) x 2 3 +y 2 3 = Να εξεταστεί ποιές από τις παρακάτω εξισώσεις ορίζουν λείες επιφάνειες στον R 3. (α) 2xe y +y +z = 0, (β) x 2 +y 2 +z 2 xyz = 0 3 (γ) a ij x i x j = 1,όπουοA=(a ij ) 1 i,j 3 R 3 3 είναιέναςσυμμετρικόςκαι i,j=1 αντιστρέψιμος πίνακας. 14.Ναευρεθούνημέγιστηκαιηελάχιστητιμήτηςσυνάρτησης f : R 3 Rμετύπο f(x,y,z) = x y +2z πάνωστοελλειψοειδές S = {(x,y,z) R 3 : x 2 +y 2 +2z 2 = 2}. 15.Ναευρεθούνημέγιστηκαιηελάχιστητιμήπουπαίρνειητετραγωνικήμορφή f(x,y,z) = x 2 +y 2 +2z 2 2xy +4xz +4yz πάνωστησφαίρα S 2 = {(x,y,z) R 3 : x 2 +y 2 +z 2 = 1}. 10

11 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΙ 6ο Φύλλο 1. Το κόστος κατασκευής κιβωτίων σε σχήμα ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου είναι ανάλογο της επιφάνειας τους. Να ευρεθούν οι διαστάσεις του κιβωτίου με δεδομενο σταθερό όγκο V > 0 ώστε το κόστος κατασκευής να ελαχιστοποιείται. 2.Ναευρεθούνοιμέγιστηκαιηελάχιστητιμήπουπαίρνειησυνάρτησηf(x,y) = xy στονμοναδιαίοκλειστόδίσκο D = {(x,y) R 2 : x 2 +y 2 1}. 3. Να ευρεθεί η ελάχιστη απόσταση των σημείων του μοναδιαίου κύκλου S 1 = {(x,y) R 2 : x 2 +y 2 = 1} απότασημείατηςυπερβολής Y = {(x,y) R 2 : xy = 1, x > 0}. 4.Ναυπολογιστείημέγιστητιμήτηςσυνάρτησης F(x,y,z) = logx+logy+3logz, πάνω στο σφαιρικό χωρίο S = {(x,y,z) R 3 : x 2 +y 2 +z 2 = 5R 2,x > 0,y > 0,z > 0}, όπου R > 0. Χρησιμοποιώντας το αποτέλεσμα του υπολογισμού αυτού, να αποδειχθεί οτιγιακάθε a > 0, b > 0και c > 0ισχύει ( ) abc 3 a2 +b c Να ευρεθούν οι διαστάσεις του ορθογωνίου παραλληλογράμου με πλευρές παράλληλες στους άξονες που είναι εγγεγραμμένο στην έλλειψη με εξίσωση όπου a > b > 0και (α) έχει το μέγιστο δυνατό εμβαδόν, (β) έχει τη μέγιστη δυνατή περίμετρο. x 2 a 2 + y2 b 2 = 1, 6.Δίνεταιηέλλειψη S = {(x,y) R 2 : x2 a + y2 = 1},όπου a > b > 0. 2 b2 (α)ναευρεθείηεξίσωσητηςεφαπτόμενηςευθείαςστο (x 0,y 0 ) S. (β)ναευρεθούντασημείατου Sσταοποίαηεφαπτόμενηκαιοιάξονεςσχηματίζουν ορθογώνιο τρίγωνο με το ελάχιστο δυνατό εμβαδόν. 7.Ναευρεθούνημέγιστηκαιηελάχιστητιμήπουπαίρνειηλείασυνάρτηση f(x,y,z) = x 2 y 2 +z 2 11

12 στο κλειστό και φραγμένο σύνολο K = {(x,y,z) R 3 : x 2 +y 2 +2z 2 1}, καθώςκαιτασημείατου Kσταοποίαηfπαίρνειαυτέςτιςτιμές. 8. Εστω R > 0. Ναευρεθούνπραγματικοίαριθμοί x 0, y 0και z 0με σταθερόάθροισματετραγώνων x 2 + y 2 + z 2 = R 2 τέτοιοιώστετογινόμενότους xyz να είναι το μέγιστο δυνατό. 9.Ναευρεθούνημέγιστηκαιηελάχιστητιμήπουπαίρνειησυνάρτηση στο στερεό ελλειψοειδές f(x,y,z) = x+2y 3z K = {(x,y,z) R 3 : x 2 +4y 2 +9z 2 1}. 10. Εστω A = (a ij ) 1 i,j 3 R 3 3 έναςσυμμετρικόςπίνακαςκαι f : R 3 Rη τετραγωνική μορφή 3 f(x 1,x 2,x 3 ) = a ij x i x j. i,j=1 Να αποδειχθεί οτι η μέγιστη(ελάχιστη) τιμή της f πάνω στην μοναδιαία σφαίρα S 2 = {(x 1,x 2,x 3 ) R 3 : x 2 1 +x2 2 +x2 3 = 1} είναι η μεγαλύτερη(μικρότερη) ιδιοτιμή του πίνακα A. 12

13 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΙ 7ο Φύλλο 1. Να υπολογιστούν τα παρακάτω ολοκληρώματα: ye xy dxdy, π π 0 0 sin 2 x sin 2 ydxdy, ( ) 2 z dxdydz. 1 x y 2. Ναυπολογιστείοόγκοςτουστερεούστον R 3 πουπερικλείεταιαπόταεπίπεδα πουορίζουνοιάξονες,ταεπίπεδαμεεξισώσεις x = 1και y = 1καιτογράφηματης συνάρτησης f(x,y) = x 2 +y 2, (x,y) R Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα (x 2 xy)dxdy,όπου είναιτοτρίγωνομε κορυφέςτασημεία (0,0), ( 1 2, 1 )και (1,0) Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα f(x,y)dxdy,όπου (α) f(x,y) = x+yκαι = {(x,y) R 2 : x 2 +y 2 4, y 0}, (β) f(x,y) = x 2 xyκαι = {(x,y) R 2 : y 2 4x, x 4}, (γ) f(x,y) = x 2 +yκαι = {(x,y) R 2 : y x 2, x y 2 }. 5. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα x 3 ydxdy, όπου είναιτο σύνολο που φράσσεταιαπότονάξονατων yκαιτηνπαραβολήμεεξίσωση x = 4y ΝαυπολογιστείοόγκοςτουστερεούK = {(x,y,z) R 3 : x 2 +3y 2 z 4 y 2 }. 7. Αν K = {(x,y) R 2 : x 2 y 1και 1 x 1},ναυπολογιστείτο ολοκλήρωμα (x 2 +y)dxdy. 8. Να υπολογιστεί ο όγκος του συνόλου K K = {(x,y,z) R 3 : 0 y 4 x 2 z 2, x 0και z 0}. 9.Αν = {(x,y) R 2 : 1 x 1, 0 y x },ναυπολογιστείτοολοκλήρωμα (x+y)dxdy. 10. Να υπολογιστεί το εμβαδόν του επίπεδου χωρίου K = {(x,y) R 2 : x 2 +1 y 9 x 2, 2 x 2}. 11. Να υπολογιστεί ο όγκος του συνόλου K = {(x,y,z) R 3 : x 0 y 0και 0 z 4 4x 2 4y 2 }. 13

14 12. Να υπολογιστεί ολοκλήρωμα xydxdy, όπου είναι το τετράγωνο με κορυφέςτασημεία (0,0), (1,1), (2,0)και (1, 1). 13. Να υπολογιστεί ολοκλήρωμα xdxdy, όπου είναι το τετράγωνο με κορυφές τασημεία (1/2,0), (1,1/2), (1/2,1)και (0,1/2). 14.Αν = {(x,y) R 2 : x + y 1},ναυπολογιστείτοολοκλήρωμα e x+y dxdy. 15.Αν = {(x,y) R 2 : 0 x y, 0 y 1},ναυπολογιστείτοολοκλήρωμα e (x 1)2 dxdy. 16. Να υπολογιστεί ολοκλήρωμα yzdxdydz, όπου = {(x,y,z) R 3 : z 2 x z, 0 y xκαι 0 z 1}. 14

15 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΙ 8ο Φύλλο 1. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα f(x,y)dxdy,όπου (α) f(x,y) = xκαι = {(x,y) R 2 : 1 x 2 +y 2 4}, (β) f(x,y) = e x2 y 2 και = {(x,y) R 2 : x 2 +y 2 1}, (γ) f(x,y) = x 2 +y 2 και = {(x,y) R 2 : 1 x 2 +y 2 4, 0 x y x 3}. 2.Ναυπολογιστείοόγκοςτουστερεούστον R 3 πουπερικλείεταιαπότοοριζόντιο επίπεδο, τονκύλινδρομεελλειπτικήβάση x2 a + y2 = 1,όπου a > b > 0καιτο 2 b2 γράφηματηςσυνάρτησης f(x,y) = x2 p + y2 2 q2,όπου p, q > 0. 3.Αν a > 0, b > 0και = {(x,y) R 2 : a x 2 +y 2 b, y 0},ναυπολογιστεί το ολοκλήρωμα e (x2 +y 2 ) 2 (x 2 +y 2 )dxdy. 4. Αν = {(x,y) R 2 : 4x 2 + 9y 2 36,x > 0,y > 0},ναυπολογιστείτο ολοκλήρωμα (3x + y)dxdy. 5.Αν = {(x,y) R 2 : x 2 +2y 2 2x 8y+5 0},ναυπολογιστείτοολοκλήρωμα (x+y +y 2 )dxdy. 6.Εστωοτι K = {(x,y) R 2 : x 2 xy +2y 2 1}. (α)ναυπολογιστείτοεμβαδόντου K. (β) Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα xydxdy. 7.Θέτουμε D a = {(x,y) R 2 : x 2 +y 2 a 2 },γιακάθε a > 0. (α) Να αποδειχθεί οτι (β) Να αποδειχθεί οτι a lim a + a a a x2 y2 e D a K dxdy = π(1 e a2 ). e x2 y 2 x2 y2 dxdy = lim e dxdy = π. a + D a 15

16 Συνεπώς, + a e x2 dx = lim e x2 dx = π. a + a 8. Να υπολογιστεί ο όγκος του στερεού K = {(x,y,z) R 3 : x 2 +y 2 z 6 x 2 y 2 }. 9.Αν f : [ 1,1] Rείναιμίασυνεχήςσυνάρτησηκαι να αποδειχθεί οτι = {(x,y) R 2 : x + y 1}, f(x+y)dxdy = 1 1 f(t)dt. (Υπόδειξη:Θεωρείστετονμετασχηματισμό g : R 2 R 2 με g(x,y) = (x+y,y x) και βρείτε το χωρίο g().) 16

17 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΙ 9ο Φύλλο 1. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα xyzdxdydz, όταν (α) = {(x,y,z) R 3 : x 2 +y 2 a 2,x 0,y 0και 0 z b},όπου a, b > 0, (β) = {(x,y,z) R 3 : x 2 +y 2 +z 2 R 2,x 0,y 0,z 0},όπου R > Αν = {(x,y,z) R 3 : x 2 +y 2 +z 2 2και x 2 + y 2 z},ναυπολογιστείτο ολοκλήρωμα zdxdydz. 3.Αν a > b > 0,ναυπολογιστείοόγκοςτουστερεού K = {(x,y,z) R 3 : x 2 +y 2 +z 2 a 2 και x 2 +y 2 b 2 }. 4.Αν R > 0και K = {(x,y,z) R 3 : x 2 +y 2 +z 2 R 2,0 x yκαι z 0},να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα 5. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα K 4zdxdydz. K zsin(x 2 +y 2 )dxdydz,όπου K είναιτο στερεόστον R 3 πουπερικλείεταιαπότησφαίραακτίνας R > 0μεκέντροτο (0,0,0) καιτοεπίπεδομεεξίσωση z = b,όπου 0 < b < R. (Υπόδειξη: Μετασχηματίζοντας σε κυλινδρικές συντεταγμένες βρίσκουμε π 2 [R2 b 2 sin(r 2 b 2 )].) 6.Αν K = {(x,y,z) R 3 : x 2 +y 2 +z 2 1,x 0,y 0,z 0},ναυπολογιστεί τοολοκήρωμα yz 1+x dxdydz. K 7.Εστω a > 0, b > 0και c > 0.Αν f : [0,1] Rείναιμιασυνεχήςσυνάρτησηκαι να αποδειχθεί οτι K K = {(x,y,z) R 3 : x2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 1}, ( ) x 2 f a + y2 2 b + z2 dxdydz = 4πabc 2 c 2 Ειδικά,οόγκοςτουστερεούελλειψοειδούς Kείναι 4 3 πabc. 1 0 t 2 f(t)dt. 17

18 8. Αν = {(x,y,z) R 3 : x 2 +y 2 +z 2 4και x 2 +y 2 1},ναυπολογιστείτο ολοκλήρωμα 1 x 2 +y 2 +z 2dxdydz. 9. Αν = {(x,y,z) R 3 : 1 x 2 + y 2 4,0 x yκαι 0 z 1},να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα (x 2 +y 2 )dxdydz. 18

19 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΙ 10ο Φύλλο 1. Να υπολογιστεί το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα γ F d s,όταν (α) F (x,y) = (x,y)και γ(t) = (cos 3 t,sin 3 t), 0 t 2π. (β) F (x,y,z) = (x 2, xy,1)και γ(t) = (t,0,t 2 ), 1 t 1. (γ) F (x,y,z) = ( x,y, z)και γ(t) = (cost,sint, t ), 0 t 2π. π 2.Εστω F τοδιανυσματικόπεδίοστο R 2 μετύπο F (x,y) = (xy 2, y). Ναυπολογιστείτοεπικαμπύλιοολοκλήρωματου F κατάμήκοςτηςπεριμέτρουτου τριγώνουμεκορυφέςτασημεία (0,0), (1,0)και (0,1).Είναιτο F συντηρητικό; 3.Δίνεταιτοδιανυσματικόπεδίο F στοεπίπεδο R 2 μετύπο F (x,y) = (ycosx xysinx,xcosx 2y). (α)είναιτο F συντηρητικό;ανείναι,ναευρεθείμίασυνάρτησηδυναμικού. (β) Να επιλυθεί η διαφορική εξίσωση tcost 2x(t)+(x(t)cost tx(t)sint)x (t) = 0. 4.Δίνεταιτοδιανυσματικόπεδίο F στον R 3 μετύπο F (x,y,z) = (3x 2 yz +y+5,x 3 z +x z,x 3 y y +7). (α)νααποδειχθείοτιτο Fείναισυντηρητικόκαιναευρεθείμίασυνάρτησηδυναμικού του F. (β)εστω γ : [0,1] R 3 μίαοποιαδήποτεπαραμετρισμένηκατάτμήματα C 1 καμπύλη μεαρχικόσημείοτο γ(0) = (0,0,0)καιτελικότο γ(1) = (1,1,1). Ναυπολογιστεί το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα F d s. 5.Αν F είναιτοδιανυσματικόπεδίοστον R 3 μετύπο γ F (x,y,z) = (z 3 +2xy,x 2,3xz 2 ), να αποδειχθεί οτι γ F d s = 0 19

20 γιακάθεκλειστήπαραμετρισμένηκατάτμήματα C 1 καμπύλη γ. 6.Νααποδειχθείοτιτοδιανυσματικόπεδίο F στοεπίπεδο R 2 μετύπο δεν είναι συντηρητικό. F (x,y) = (xy 2,x 3 y) 7.Εστω F τοδιανυσματικόπεδίοστο R 2 \{(0,0)}μετύπο ). F (x,y) = ( y x 2 +y 2, (α)νααποδειχθείοτιτο F είναιαστρόβιλο. (β) Να υπολογιστεί το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα x x 2 +y 2 γ F d s,όπου γ(t) = (cost,sint), 0 t 2π,είναιπαραμέτρισητουμοναδιαίουκύκλουμεφοράαντίθετηαπότηφορά των δεικτών του ρολογιού. (γ)είναιτο F συντηρητικό; (δ)εστω σ : [0,1] R 2 \ {(0,0)}μίαοποιαδήποτεπαραμετρισμένηκατάτμήματα C 1 απλήκλειστήκαμπύλη,πουείναιτοσύνοροενόςκανονικούτόπουπουπεριέχει το (0,0).Νααποδειχθείοτι F d s = ±2π. 8.Εστω F τοδιανυσματικόπεδίοστο R 2 μετύπο σ F (x,y) = ( 2 3 y, 1 3 x) και C a = {(x,y) R 2 : y = ax 2 }και C b = {(x,y) R 2 : y = bx 2 },όπου 0 < a < b. Εστωεπίσης γ : [0,1] R 2 μίαοποιαδήποτεαπλήπαραμετρισμένηκατάτμήματα C 1 καμπύλημε γ(0) C a και γ(1) C b,πουδενέχειάλλακοινάσημείαμετιςδύο παραβαολές. Νααποδειχθείοτιτοεμβαδόντουτόπουπουπερικλείεταιαπότις C a, γκαι C b είναιίσομε F d s. γ (Υπόδειξη: Εφαρμόστε το Θεώρημα του Green.) 9.Εστω A, R 2 και γ : [0,1] R 2 μίαοποιαδήποτεαπλήπαραμετρισμένηκατά τμήματαc 1 καμπύλημε γ(0) = Aκαι γ(1) =,πουδενέχειάλλακοινάσημείαμετα ευθύγραμματμήματαoaκαιo,όπουo = (0,0).Ανγ(t) = (x(t),y(t)),0 t 1, να αποδειχθεί οτι το εμβαδόν του τόπου που περικλείεται από τα ευθύγραμμα τμήματα OA, Oκαιτη γείναιίσομε [x (x)y(t) x(t)y (t)]dt. 0 20

21 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΙ 11ο Φύλλο 1.Εστω C = {(x,y,z) R 3 : x 2 +y 2 = 1,z = 0}και F τολείοδιανυσματικόπεδίο στο R 3 \Cμετύπο ( ) 2xz 2yz x 2 +y 2 1 F (x,y,z) = (x 2 +y 2 1) 2 +z 2, (x 2 +y 2 1) 2 +z 2,. (x 2 +y 2 1) 2 +z 2 (α)νααποδειχθείοτιτο F είναιαστρόβιλο. (β)ναυπολογιστείτοεπικαμπύλιοολοκλήρωματου F κατάμήκοςτηςπεριμέτρου τουορθογωνίουπαραλληλογράμμουμεκορυφέςτασημεία (0,0, 1), (0, 2, 1), (0, 2,1)και (0,0,1). (γ)είναιτο F συντηρητικό; 2. Αν f, g είναι δύο λείες πραγματικές συναρτήσεις ορισμένες σε κάποιο ανοιχτό υποσύνολο του R 3, να αποδειχθεί οτι το διανυσματικό πεδίο g f + f g είναι συντηρητικό. 3. Αν F είναιέναλείοδιανυσματικόπεδίοορισμένοσεέναανοιχτόυποσύνολο A του R 3 και f : A Rείναιμίαλείασυνάρτηση,νααποδειχθείοτι curl(f F ) = f curl F + f F. 4. Να υπολογιστεί το εμβαδόν της επιφάνειας φ(w), όταν (α) W = [0,2π] [0,1]και φ(u,v) = (cosu,sinu,v), (β) W = [0,2π] [0,2π]και φ(u,v) = ((1+cosv)cosu,(1+cosv)sinu,sinv). 5.Αν a, b > 0,ναυπολογιστείτοεμβαδόντηςεπιφάνειας Σ = {(x,y,z) R 3 : z = x2 +y 2,x 2 +y 2 b }. 2 2a 6.Εστω a, b Rμε a < bκαι h, z : [a,b] Rδύολείεςσυναρτήσειςμε h(t) > 0για κάθε a t b. Αν Σείναιηεπιφάνειαεκπεριστροφήςτηςπαραμετρισμένηςλείας καμπύλης γ(t) = (h(t),0,z(t)), a t b,περίτονκάθετοάξονα,νααποδειχθείοτι τοεμβαδόντης Σείναιίσομε 2π b a h(t) (h (t)) 2 +(z (t)) 2 dt. 7. Εστω Σμίασυμπαγήςπροσανατολισμένηεπιφάνειαστον R 3 μεπροσανατολισμό Nκαι f, g : R 3 Rδύολείεςσυναρτήσεις.Νααποδειχθείοτι Σ f g d s = Σ 21 ( f g) N.

22 8. Εστω f : R 3 Rμίαλείασυνάρτησηκαι Gέναλείοδιανυσματικόπεδίοστον R 3.Εστω F τολείοδιανυσματικόπεδίοστον R 3 μετύπο F (x,y,z) = (1 x 2 y 2 ) G(x,y,z). Αν Σ = {(x,y,f(x,y)) : x 2 +y 2 1},νααποδειχθείοτι curl F N = 0. 9.Εστω F τοπεδίοβαρύτηταςμετύπο Σ 1 F (x,y,z) = (x,y,z) (x 2 +y 2 +z 2 ) 3/2 στο R 3 \ {(0,0,0)}. Εστω Σμίαοποιαδήποτεκλειστήπροσανατολισμένηεπιφάνεια στο R 3 \{(0,0,0)}πουείναιτοσύνοροενόςκανονικούτόπου Aστον R 3.Αντο A περιέχειτοσημείο (0,0,0),νααποδειχθείοτι F N = 4π, όπου Nείναιοπροςταέξω(του A)προσανατολισμόςτης Σ. Σ 22