ϑανασησ ΚΕΧΑΓΙΑΣ Λογισµος Συναρτησεων Πολλων Μεταβλητων και ιανυσµατικων Συναρτησεων Σηµειωσεις : Θ. Κεχαγιας

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ϑανασησ ΚΕΧΑΓΙΑΣ Λογισµος Συναρτησεων Πολλων Μεταβλητων και ιανυσµατικων Συναρτησεων Σηµειωσεις : Θ. Κεχαγιας"

Transcript

1 Σηµειωσεις : Λογισµος Συναρτησεων Πολλων Μεταβλητων και ιανυσµατικων Συναρτησεων Θ. Κεχαγιας Μαρτης 2009

2 Περιεχόµενα 1 Επιφανειες Θεωρια Αλυτα Προβληµατα Οριο, Συνεχεια, Παραγωγιση Θεωρια Αλυτα Προβληµατα Πεπλεγµενη και Αλυσωτη Παραγωγιση Θεωρια Αλυτα Προβληµατα Συστηµατα Συντεταγµενων Θεωρια Αλυτα Προβληµατα Σειρες T aylor και Ακροτατα Συναρτησεων Θεωρια Αλυτα Προβληµατα ιπλα Ολοκληρωµατα Θεωρια Αλυτα Προβληµατα Τριπλα Ολοκληρωµατα Θεωρια Αλυτα Προβληµατα Καµπυλες και ιανυσµατικες Συναρτησεις Θεωρια Αλυτα Προβληµατα Επικαµπυλια Ολοκληρωµατα Θεωρια Αλυτα Προβληµατα i

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ii 10 Βαθµωτα και ανυσµατικα Πεδια Θεωρια Αλυτα Προβληµατα Επιφανειες σε Παραµετρικη Αναπαρασταση Θεωρια Αλυτα Προβληµατα Επιφανειακα Ολοκληρωµατα Θεωρια Αλυτα Προβληµατα

4 Προλογος Το παρον τευχος περιεχει µια συνοψη του λογισµου συναρτησεων πολλων µεταβλητων και διανυσµατικων συναρτησεων, για χρηση των ϕοιτητων της Πολυτεχνικης Σχολης του ΑΠΘ. Το τευχος προοριζεται να χρησιµοποιηθει σε συνδυασµο µε ενα πιο εκτενες διδακτικο ϐιβλιο. Ασχολουµαστε κυριως µε συναρτησεις ορισµενες στους χωρους R 2 (επιπεδο) και R 3 (χωρος). Οι γενικευσεις για χωρους R N µε N > 3 συνηθως παραλειπονται σε πολλες περιπτωσεις ειναι ουτως η αλλως προφανεις. Στο παρον τευχος ασχολουµαστε µε συναρτησεις δυο η περισσοτερων µεταβλητων, π.χ. φ (x, y), φ (x, y, z), φ (x 1, x 2,..., x N ) κτλ. Η εµφαση δινεται στις συναρτησεις δυο και τριων µεταβλητων. Επισης εξεταζουµε διανυσµατικες συναρτησεις, π.χ. F (t) = ix (t) + jy (t) + kz (t) (διαν. συναρτηση µιας ανεξαρτητης µεταβλητης), F (x, y, z) = ip (x, y, z) + jq (x, y, z) + kr (x, y, z) (διαν. συναρτηση τριων ανεξαρτητων µεταβλητων) κτλ. Υπενθυµιζουµε στον αναγνωστη µερικους ϐασικους συµβολισµους της αλγεβρας των διανυσµατων. 1. Τα διανυσµατα συµβολιζονται µε εντονα γραµµατα : u =ai+bj+ck η και u = (a, b,c). 2. Τα i, j, k ειναι τα µοναδιαια διανυσµατα κατα τις κατευθυνσεις των αξονων x, y, z αντιστοιχα. 3. Παντοτε ο ορος διανυσµα σηµαινει ελευθερο διανυσµα, δηλ. u = (a, b,c) σηµαινει το διανυσµα µε συνιστωσες a, b, c αλλα χωρις να προσδιοριζεται το αρχικο και το τελικο σηµειο του διανυσµατος. Ετσι, π.χ., το διανυσµα M 1 M 2 µε αρχη το σηµειο M 1 (0, 0, 0) και τελος το M 2 (1, 2, 3) ειναι ισοδυναµο µε το διανυσµα N 1 N 2 µε αρχη το N 1 (1, 1, 1) και τελος το N 2 (2, 1, 4) και τα δυο ειναι το ιδιο ακριβως διανυσµα, το u = (1, 1, 1). 4. Το εσωτερικο γινοµενο των u =ai + bj + ck, v =di + ej + fk ειναι u v = (ai + bj + ck) (di + ej + fk) = ad + be + cf. 5. Το εξωτερικο γινοµενο των u =ai + bj + ck, v =di + ej + fk ειναι u v= (ai + bj + ck) (di + ej + fk) i j k = a b c = (bf ce) i + (dc af) j + (ae db) k. d e f iii

5 iv 6. Το µετρο του u =ai + bj + ck ειναι u = a 2 + b 2 + c Γενικοτερα, ενα N-διαστατο διανυσµα ειναι µια N-αδα αριθµων : a = (a 1, a 2,...,a N ). Το συνολο των N-διαστατων διανυσµατων ειναι εφοδιασµενο µε τις παρξεις προσ- ϑεσης (διανυσµατων) και πολλαπλασιασµου (αριθµου επι διανυσµα). 8. Το µετρο N-διαστατου διανυσµατος a = (a 1, a 2,...,a N ) ειναι a = a a 2 N και το εσωτερικο γινοµενο των a και b ειναι a b = N n=1 a nb n. Χρησιµοποιουµε τον ορο χωριο στον R 2 για να δηλωσουµε ενα συνολο σηµειων. Π.χ. ενα χωριο ειναι το = { (x, y) : x 2 + y 2 1 } δηλ. ο δισκος µε κεντρο το (0, 0) και ακτινα 1. Παροµοια ο ορος χωριο στον R 3 δηλωνει ενα συνολο σηµειων. Π.χ. ενα χωριο ειναι το = { (x, y, z) : x 2 + y 2 + z 2 1 } δηλ. η µπαλα µε κεντρο το (0, 0, 0) και ακτινα 1. Συµβουλευω τον αναγνωστη να λυσει οσο µπορει περισσοτερες απο τις αλυτες ασκησεις του παροντος τευχους. Η ϑεωρια παρουσιαζεται εντελως συνοπτικα, µε µονο σκοπο την υποστηριξη της διαδικασιας επιλυσης. Για τους περισσοτερους απο εµας ο µονος τροπος εκµαθησης των µαθηµατικων ειναι µεσω της επιλυσης ασκησεων. Καλη δουλεια λοιπον! Θανασης Κεχαγιας Θεσσαλονικη, Μαρτης 2009

6 Κεφάλαιο 1 Επιφανειες 1.1 Θεωρια Εστω τρια σηµεια M 1, M 2, M 3 που δεν ανηκουν σε µια ευθεια και εχουν συντεταγµενες (x 1, y 1, z 1 ), (x 2, y 2, z 2 ), (x 3, y 3, z 3 ) και αντιστοιχα διανυσµατα r 1, r 2, r 3. Το επιπεδο E που καθοριζεται απο τα σηµεια M 1, M 2, M 3 οριζεται να ειναι το συνολο των διανυσµατων r / σηµειων (x, y, z) που ικανοποιουν την διανυσµατικη εξισωση r (u, v) = r 1 + u (r 2 r 1 ) + v (r 3 r 1 ) οπου u, v R. (1.1) Η (1.1) ειναι ισοδυναµη µε την εξισωση x x 1 y y 1 z z 1 x 2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 1 = 0. (1.2) x 3 x 1 y 3 y 1 z 3 z 1 ηλ. ενα σηµειο M (x, y, z) ικανοποιει την (1.2) ανν ανηκει στο επιπεδο E που οριζουν τα σηµεια (x 1, y 1, z 1 ), (x 2, y 2, z 2 ), (x 3, y 3, z 3 ) Επισης η (1.1) ειναι ισοδυναµη µε την παραµετρικη εξισωση x (u, v) = x 1 + u (x 2 x 1 ) + v (x 3 x 1 ), (1.3) y (u, v) = y 1 + u (y 2 y 1 ) + v (y 3 y 1 ), z (u, v) = z 1 + u (z 2 z 1 ) + v (z 3 z 1 ) Τελος, καθε επιπεδο E στον τριδιαστατο χωρο µπορει να περιγραφει απο µια εξισωση της µορφης x + By + z + = 0 (1.4) οπου, B,, πραγµατικοι αριθµοι. Επισης, σε καθε εξισωση της µορφης (1.4) αντιστοιχει ενα επιπεδο. Η εξισωση της µορφης (1.4) λεγεται κανονικη εξισωση του επιπεδου Η εξισωση επιπεδου που διερχεται απο δυο σηµεια (x 1, y 1, z 1 ), (x 2, y 2, z 2 ) και ειναι παραλληλο στο διανυσµα p = (a, b, c) ειναι x x 1 y y 1 z z 1 x 2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 1 = 0. (1.5) a b c 1

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ 2 Η διανυσµατικη εξισωση του ιδιου επιπεδου ειναι r (u, v) = r 1 + u (r 2 r 1 ) + v p Η εξισωση επιπεδου που διερχεται απο σηµειο (x 1, y 1, z 1 ) και ειναι παραλληλο στα (µη συγγραµικα) διανυσµατα p = (a, b, c), q = (d, e, f) ειναι x x 1 y y 1 z z 1 a b c = 0. (1.6) d e f Η διανυσµατικη εξισωση του ιδιου επιπεδου ειναι r (u, v) = r 1 + u p + v q Ενα διανυσµα p = (a, b, c) ειναι καθετο στο επιπεδο x + By + z + = 0 ανν a = b B = c. (1.7) Εχουµε δει οτι καθε εξισωση της µορφης x+by+z+ = 0 οριζει ενα επιπεδο. Με αντιστοιχο τροπο, ορριζουµε µια επιφανεια να ειναι το συνολο των σηµειων (x, y, z) τα οποια ικανοποιουν µια εξισωση F (x, y, z) = c (1.8) (οπου c µια σταθερα). Η (1.8) λεγεται πεπλεγµενη αναπαρασταση της επιφανειας Π.χ. µια σφαιρα ειναι το συνολο των σηµειων τα οποια απεχουν σταθερη αποσταση R απο ενα δοθεν σηµειο (x 0, y 0, z 0 ). Αυτη η ιδιοτητα περιγραφεται απο την εξισωση της σφαιρας µε κεντρο (x 0, y 0, z 0 ) και ακτινα R, η οποια ειναι (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2 (δηλ. σε αυτη την περιπτωση F (x, y, z) = (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2, c = R 2 ) Στο παρον κεφαλαιο ϑα ασχοληθουµε µε τις δευτεροβαθµιες επιφανειες, δηλ. αυτες για τις οποιες οι F (x, y, z) εχει την µορφη x 2 + B y 2 + z 2 + xy + E yz + F zx + G x + H y + J z + K = 0 δηλ. ειναι πολυωνυµο το πολυ δευτερου ϐαθµου ως προς τις µεταβλητες x, y, z Καθε δευτεροβαθµια επιφανεια, µε καταλληλη µετατοπιση της αρχης των αξονων και αντιµεταθεση των µεταβλητων x, y, z µπορει να αναχθει σε µια απο τις εξης δυο ϐασικες µορφες x 2 + By 2 + z 2 =, (1.9) x 2 + By 2 + z = 0. (1.10)

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ Αν η επιφανεια ειναι της µορφης (1.9) µπορει να αναχθει περαιτερω σε µια απο τις παρακατω µορφες Επιφανεια x Ελλειψοειδες a 2 + y2 b 2 + z2 = 1 c 2 x Μονοχωνο Υπερβολοειδες a 2 + y2 b 2 z2 = 1 c 2 z ιχωνο Υπερβολοειδες y2 a 2 b 2 x2 = 1 c 2 x Κωνος a 2 + z2 b 2 = y2 c 2 x Ελλειπτικος Κυλινδρος a 2 + y2 = 1 b 2 x Υπερβολικος Κυλινδρος y2 = 1 a 2 b 2 µε καταλληλη επιλογη των a, b, c (εξαρτωµενη απο τις τιµες των, B,, ) Αν η επιφανεια ειναι της µορφης (1.10) µπορει να αναχθει σε µια απο τις παρακατω µορφες Ελλειπτικο Παραβολοειδες z = x2 a 2 + y2 b 2 Υπερβολικο Παραβολοειδες z = x2 a 2 y2 b 2 x Ελλειπτικος Κυλινδρος + y2 = 1 a 2 b 2 µε καταλληλη επιλογη των a, b (εξαρτωµενη απο τις τιµες των, B, ).

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ Αλυτα Προβληµατα Βρειτε την εξισωση του επιπεδου που διερχεται απο τα σηµεια (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Σχεδιαστε το επιπεδο. Απ. x + y + z 1 = Βρειτε την εξισωση του επιπεδου που διερχεται απο τα σηµεια (1, 2, 3), (3, 1, 1), (1, 1, 1). Σχεδιαστε το επιπεδο. Απ. 4y 2x 2z = Βρειτε την εξισωση του επιπεδου που διερχεται απο τα σηµεια (1, 1, 1), ( 2, 2, 2), (1, 1, 2). Σχεδιαστε το επιπεδο. Απ. 9y 3x + 6z = Να ϐρεθει η εξισωση του επιπεδου που διερχεται απο τα σηµεια (2, 4, 8), ( 3, 1, 5), (6, 2, 7). Σχεδιαστε το επιπεδο. Απ. 42z 17y 15x 238 = Σχεδιαστε τα επιπεδα και ϐρειτε το σηµειο τοµης αυτων. Απ. x = 2 3, y = 4 7, z = x + 2y + z 1 = 0 4x + 2y + z + 1 = 0 x + y + 4z 2 = Σχεδιαστε τα επιπεδα και ϐρειτε το σηµειο τοµης αυτων. Απ. x = 1, y = 2, z = 3 2. x + 2y + 2z 2 = 0 3x + 2y + 4z 1 = 0 x + 2y + 4z + 1 = Σχεδιαστε τα επιπεδα και ϐρειτε το σηµειο τοµης αυτων. Απ. Τα επιπεδα δεν τεµνονται. x + 2y + 2z 2 = 0 3x + 2y + 4z 1 = 0 4x + 4y + 6z 5 = ειξτε οτι το επιπεδο 2x 2y + z + 1 = 0 ειναι καθετο στο διανυσµα (2, 2, 1) ειξτε οτι το επιπεδο x+y+3z+10 = 0 ειναι καθετο στο διανυσµα (1, 1, 3).Υπαρχει αλλο διανυσµα καθετο στο ιδιο επιπεδο ; ειξτε οτι το επιπεδο x + y + z 3 = 0 ειναι παραλληλο στο διανυσµα (1, 1, 2). Σχεδιαστε το επιπεδο.

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ειξτε οτι το επιπεδο x + y + z 3 = 0 ειναι παραλληλο στο διανυσµα (2, 1, 3). Σχεδιαστε το επιπεδο ειξτε οτι το επιπεδο 2x y+z+1 = 0 ειναι παραλληλο στο διανυσµα (2, 1, 5).Βρειτε ενα αλλο διανυσµα παραλληλο στο ιδιο επιπεδο Βρειτε την εξισωση του επιπεδου που διερχεται απο το σηµειο (4, 2, 1) και ειναι καθετο στο διανυσµα p = (7, 2, 3). Σχεδιαστε το επιπεδο. Απ. 7x + 2y 3z 21 = Να ϐρεθει η εξισωση του επιπεδου που διερχεται απο το σηµειο (3, 2, 4) και ειναι καθετο στο διανυσµα p = (2, 2, 3). Σχεδιαστε το επιπεδο. Απ. 2x + 2y 3z + 10 = Βρειτε την εξισωση του επιπεδου που διερχεται απο το σηµειο (2, 3, 5) και ειναι καθετο στο διανυσµα (4, 6, 0). Σχεδιαστε το επιπεδο. Απ. 2x + 4y 13 = Βρειτε την εξισωση του επιπεδου που διερχεται απο το σηµειο (3, 5, 2) και ειναι καθετο στο διανυσµα (4, 6, 1). Σχεδιαστε το επιπεδο. Απ. 4x 6y + z 40 = Βρειτε την εξισωση του επιπεδου που διερχεται απο το σηµειο (2, 3, 6) και ειναι παραλληλο στο επιπεδο 2x 5y + 7 = 0. Σχεδιαστε το επιπεδο. Απ. 2x 5y 19 = Βρειτε την εξισωση της σφαιρας µε κεντρο ( 2, 3, 1) και ακτινα 4. Απ. (x + 2) 2 + (y 3) 2 + (z 1) 2 = Βρειτε την εξισωση της σφαιρας µε κεντρο (1, 0, 4) και ακτινα 1. Απ. (x 1) 2 + y 2 + (z 4) 2 = Βρειτε την εξισωση της σφαιρας µε κεντρο (1, 1, 1) και διερχοµενης απο το σηµειο (1, 1, 2). Απ. (x 1) 2 + (y 1) 2 + (z 1) 2 = Βρειτε το κεντρο και την ακτινα της σφαιρας x 2 +6x+y 2 4y +z 2 10z 11 = 0. Απ. ( 3, 2, 5) και Βρειτε το κεντρο και την ακτινα της σφαιρας x 2 + 2x + y 2 + 8y + z 2 6z + 22 = 0. Απ. ( 1, 4, 3) και Βρειτε την εξισωση της σφαιρας µε κεντρο το (3, 6, 4) και εφαπτοµενης στο επιπεδο 2x 2y z 10 = 0. Απ. (x 3) 2 + (y 6) 2 + (z + 4) 2 = Βρειτε την εξισωση της σφαιρας που µια διαµετρος της εχει ακρα τα σηµεια (3, 5, 6) και (5, 7, 1). Απ. (x 3) 2 + (y 6) 2 + (z + 4) 2 = 16.

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ Βρειτε την εξισωση της σφαιρας που διερχεται απο τα σηµεια (7, 9, 1), ( 2, 3, 2), (1, 5, 5) και ( 6, 2, 5). Απ. x 2 + y 2 + z 2 + 8x 14y + 18z 79 = Βρειτε την εξισωση της σφαιρας που διερχεται απο τα σηµεια (1, 1, 1), (1, 2, 1), (1, 1, 2), (2, 1, 1) Απ. x 2 + y 2 + z 2 3x 3y 3z + 6 = Βρειτε την εξισωση της σφαιρας που διερχεται απο τα σηµεια (2, 1, 3), (3, 2, 1), ( 4, 1, 1), (1, 1, 3). Απ. 51x y z x + 37y 33z 742 = Βρειτε την εξισωση της σφαιρας που διερχεται απο τα σηµεια (2, 5, 8), (8, 2, 5), (5, 8, 2) και ( 2, 8, 5). Απ. x 2 + y 2 + z 2 = Βρειτε την εξισωση της σφαιρας µε κεντρο ( 4, 2, 3) και εφαπτοµενης στο επιπεδο 2x y 2z + 7 = 0. Απ. x 2 + y 2 + z 2 + 8x 4y 6z Βρειτε την εξισωση της σφαιρας µε κεντρο (2, 3, 4) και εφαπτοµενης στην σ- ϕαιρα (x 2) 2 + (y 3) 2 + (z 5) 2 = 6. Απ. (x 2) 2 + (y 3) 2 + (z + 4) 2 = 9 ± Βρειτε την εξισωση της σφαιρας S εφαπτοµενης στις σφαιρες S 1 : (x 5) 2 + (y + 2) 2 + (z 6) 2 = 16, S 2 : (x 5) 2 + (y + 2) 2 + (z + 4) 2 = 9, αν ειναι γνωστο οτι το κεντρο της S ϐρισκεται επι του ευθυγραµµου τµηµατος που οριζουν τα κεντρα των S 1 και S 2. Απ. Υπαρχουν τεσσερις λυσεις : (x 5) 2 + (y + 2) 2 + (z 4.5) 2 = R 2 οπου R 2 {2.25, 72.25, 30.25, 20.25} Βρειτε την εξισωση της σφαιρας µε κεντρο (6, 3, 4) και εφαπτοµενης στον αξονα των x. Απ. x 2 + y 2 + z 2 12x 6y + 8z + 36 = Βρειτε την εξισωση της σφαιρας µε κεντρο ( 4, 2, 3) και εφαπτοµενης στο επιπεδο yz. Απ. x 2 + y 2 + z 2 + 8x + 4y 6z + 13 = Βρειτε την εξισωση της σφαιρας µε κεντρο (2, 3, 2) και εφαπτοµενης στο επιπεδο 6x 3 + 2z 8 = 0. Απ. 49x y z 2 196x + 294y 196z = Βρειτε την εξισωση της σφαιρας µε κεντρο (1, 2, 4) και εφαπτοµενης στο επιπεδο 3x 2y + 4z 7 = 0. Απ. 29x y z 2 58x 118y 232z = 0.

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ Βρειτε την εξισωση της σφαιρας µε κεντρο (0, 0, 0) και εφαπτοµενης στο επιπεδο 9x 2y + 6z + 11 = 0. Απ. x 2 + y 2 + z 2 = Τα σηµεια (7, 2, 4) και (9, 8, 6) ϐρισκονται στην επιφανεια µιας σφαιρας S και ανηκουν σε µια ευθεια που περναει απο το κεντρο της S. Βρειτε την εξισωση της S. Απ. (x 8) 2 + (y + 5) 2 + (z 5) 2 = Βρειτε την εξισωση της σφαιρας που εφαπτεται στα επιπεδα x 2z 8 = 0, 2x z + 5 = 0 και εχει κεντρο επι της ευθειας x = 2, y = 0. Απ. υο σφαιρες : x 2 +y 2 +z 2 +4x+6z+49/5 = 0 και x 2 +y 2 +z 2 +4x+22z+481/5 = Βρειτε την εξισωση της σφαιρας που διερχεται απο τα σηµεια (1, 3, 4), (1, 5, 2), (1, 3, 0) και εχει το κεντρο στο επιπεδο x + y + z = 0. Απ. x 2 + y 2 + z 2 2x + 6y 4z + 10 = Εφαπτεται η ευθεια που οριζουν τα σηµεια (11, 6, 5) και ( 16, 3, 8) στην σφαιρα x 2 + y 2 + z 2 = 49; Απ. Ναι, στο σηµειο (2, 3, 6) Να ϐρεθει η εξισωση της σφαιρας που διερχεται απο το (8, 15, 10) και τεµνει το επιπεδο xy σε κυκλο κεντρου 0 και ακτινας 7. Απ. x 2 + y 2 + (z 17) 2 = Σχεδιαστε και αναγνωριστε την επιφανεια Απ. Ειναι ελλειψοειδες Σχεδιαστε την επιφανεια και δειξτε οτι ειναι ενα ελλειψοειδες Σχεδιαστε την επιφανεια και δειξτε οτι ειναι ενα ελλειψοειδες. x y2 9 + z2 4 = 1 2x 2 + 3y 2 + z 2 8x + 6y 4z 3 = 0 2x 2 + 3y 2 + z 2 8x + 6y 4z 3 = Να ϐρεθει η εξισωση του επιπεδου το οποιο ειναι παραλληλο στο 2x 3y +5z = 0 και εφαπτεται στο ελλειψοειδες x 2 + y2 4 + z2 9 = 1. Απ. υο λυσεις : 2x 3y + 5z ± 265 = 0.

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ Σχεδιαστε την επιφανεια x 2 y 2 + 2y + z 2 6z + 7 = 0 και δειξτε οτι ειναι ενα µονοχωνο υπερβολοειδες Σχεδιαστε την επιφανεια x 2 2x y 2 + 2y + z 2 1 = 0 και δειξτε οτι ειναι ενα µονοχωνο υπερβολοειδες Σχεδιαστε την επιφανεια x 2 + y 2 8y z 2 + 6z + 6 = 0 και δειξτε οτι ειναι ενα µονοχωνο υπερβολοειδες Σχεδιαστε την επιφανεια x 2 y 2 + 2y z 2 + 6z 11 = 0 και δειξτε οτι ειναι ενα διχωνο υπερβολοειδες Σχεδιαστε την επιφανεια x 2 y 2 + 2y + z 2 6z + 7 = 0 και δειξτε οτι ειναι ενα διχωνο υπερβολοειδες Σχεδιαστε την επιφανεια x 2 y 2 + 2y z 2 + 6z 10 = 0 και δειξτε οτι ειναι ενας κωνος Σχεδιαστε την επιφανεια x 2 + y 2 2y z 2 + 6z 8 = 0 και δειξτε οτι ειναι ενας κωνος Σχεδιαστε την επιφανεια y 2 2y + z 2 6z + 6 = 0 και δειξτε οτι ειναι ενας ελλειπτικος κυλινδρος Σχεδιαστε την επιφανεια y 2 + 2y + z 2 6z + 12 = 0 και δειξτε οτι ειναι ενας υπερβολικος κυλινδρος Σχεδιαστε την επιφανεια y 2 2y + z 2 6z x + 10 = 0 και δειξτε οτι ειναι ενα ελλειπτικο παραβολοειδες Σχεδιαστε την επιφανεια y 2 + 2y + z 2 6z + x + 8 = 0 και δειξτε οτι ειναι ενα υπερβολικο παραβολοειδες Σχεδιαστε την επιφανεια x 2 + 8x z 2 2z + y 17 = 0 και δειξτε οτι ειναι ενα ελλειπτικο παραβολοειδες Βρειτε την εξισωση του παραβολοειδους µε κορυφη το (0, 0, 0), αξονα αυτο τον z, και διερχοµενο απο τα σηµεια (3, 0, 1) και (3, 2, 2). Απ. z = x2 9 + y Βρειτε την εξισωση του παραβολοειδους µε κορυφη στο (0, 0, 0), κυριο αξονα τον Oz και διερχοµενο απο τα (2, 0, 3) και (1, 2, 3). Απ. 12x 2 + 9y 2 16z = Βρειτε την εξισωση του παραβολοειδους µε κορυφη στο (0, 0, 0), κυριο αξονα τον Oz και διερχοµενο απο τα (1, 0, 1) και (0, 2, 1). Απ. 4x 2 + y 2 = 4z Βρειτε την εξισωση του παραβολοειδους µε κορυφη στο (0, 0, 0), κυριο αξονα τον Ox και διερχοµενο απο τα (1, 2, 2) και (2, 6, 8). Απ. z 2 2y 2 + 4x = 0.

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ Σχεδιαστε την επιφανεια x 2 +2x+y 2 = 0 και δειξτε οτι ειναι ενας παραβολικος κυλινδρος Σχεδιαστε την επιφανεια z 2 +6z+x 7 = 0 και δειξτε οτι ειναι ενας παραβολικος κυλινδρος.

15 Κεφάλαιο 2 Οριο, Συνεχεια, Παραγωγιση 2.1 Θεωρια Εστω οτι µας δινεται µια συναρτηση δυο µεταβλητων φ (x, y). Λεµε οτι το ο- ϱιο της φ (x, y), οταν το σηµειο (x, y) τεινει στο (x 0, y 0 ), ειναι το φ o " (και γραφουµε \lim (x,y) (x0,y 0 ) φ (x, y) = φ 0 " ) ανν ε > 0 δ > 0 : 0 < (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 < δ φ (x, y) φ 0 < ε. (2.1) Το νοηµα της (2.1) ειναι το εξης : µπορουµε να εξασφαλισουµε οτι η διαφορα της µεταβλητης ποσοτητας φ (x, y) και τη σταθερης ποσοτητας φ 0 δεν ϑα ειναι µεγαλυτερη (κατ απολυτη τιµη) απο ε, αρκει να χρησιµοποιησουµε σηµεια (x, y) τα οποια δεν δεν εχουν αποσταση απο την (x 0, y 0 ) µεγαλυτερη απο δ για καθε ε > 0 υπαρχει δ > 0 που εξασφαλιζει αυτη την απαιτηση Προσοχη : µπορει να ισχυει οτι lim φ (x, y) lim (x,y) (x 0,y 0 ) x, x 0 και µαλιστα υπαρχουν παραδειγµατα οπου ( ) lim φ (x, y) lim y y 0 lim x, x 0 y, y 0 ( ) lim φ (x, y) y y 0 ( ) lim φ (x, y). x, x Λεµε οτι η φ (x, y) ειναι συνεχης στο σηµειο (x 0, y 0 ) αν ισχυει lim φ (x, y) = φ (x 0, y 0 ). (x,y) (x 0,y 0 ) Αντιστοιχα πραγµατα ισχυουν και για συναρτησεις τριων η περισσοτερων µεταβλητων. Π.χ. lim (x,y,z) (x0,y 0,z 0 ) φ (x, y, z) = φ 0 ανν ε > 0 δ > 0 : 0 < (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 < δ φ (x, y, z) φ 0 < ε και λεµε οτι η φ (x, y, z) ειναι συνεχης στο σηµειο (x 0, y 0, z 0 ) ανν lim φ (x, y, z) = φ (x 0, y 0, z 0 ). (x,y,z) (x 0,y 0,z 0 ) 10

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΟΡΙΟ, ΣΥΝΕΧΕΙΑ, ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ Οριζουµε τις µερικες παραγωγους της φ (x, y) ως προς τις x, y ως εξης φ x = lim φ y = lim x 0 y 0 φ (x + x, y, z) φ (x, y, z) x φ (x, y + y, z) φ (x, y, z).. y Χρησιµοποιουµε και τον συµβολισµο φ x (x, y) = φ x, φ y (x, y) = φ y Οριζουµε τις µερικες παραγωγους ανωτερης ταξης µε αντιστοιχο τροπο. Π.χ. φ xx = 2 φ x = ( ) φ, φ 2 yx = 2 φ x x y x = ( ) φ x y φ yy = 2 φ y = ( ) φ, φ 2 xy = 2 φ y y x y = ( ) φ. y x Αντιστοιχα πραγµατα ισχυουν και για συναρτησεις τριων η περισσοτερων µεταβλητων. Π.χ. η φ (x, y, z) εχει µερικες παραγωγους πρωτης ταξης φ x, φ y, φ z η φ (x 1, x 2,..., x N ) εχει τις φ φ x 1,..., κτλ. x N Επισης ϑα χρησιµοποιησουµε τον συµβολισµο των διαφορικων τελεστων. Ετσι, x φ = φ x, y φ = φ y, xx = xφ 2 = φ xx, x y φ = φ xy κτλ Το διαφορικο της φ (x, y) ειναι dφ = φ φ dx + x y dy Μπορουµε να συνδυασουµε ολες τις µερικες παραγωγους της φ (x, y) σε µια διανυσµατικη παραγωγο. Η κλιση της φ (x, y), συµβολιζεται gradφ και οριζεται ως εξησ: gradφ = i φ x + j φ x Αντιστοιχα, µπορουµε να συνδυασουµε ολες τις µερικες παραγωγους της φ (x, y, z) σε µια διανυσµατικη παραγωγο, την κλιση της φ (x, y, z), που συµβολιζεται gradφ και οριζεται ως εξης : gradφ = i φ x + j φ x + k φ x Ο τελεστης αναδελτα συµβολιζεται µε και οριζεται ως εξησ: = i x + +j για συναρτησεις δυο µεταβλητων και x = i x + j x + k για συναρτησεις τριων µεταβλητων x Τοτε η κλιση της φ µπορει να γραφτει gradφ = φ

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΟΡΙΟ, ΣΥΝΕΧΕΙΑ, ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ Η κλιση εχει ιδιοτητες παροµοιες µε αυτες της συνηθους παραγωγου. Π.χ. ισχυει οτι (φψ) = ( φ) ψ + φ ( ψ) Μια ειδικη και σηµαντικη µορφη παραγωγου δευτερης ταξης της φ ειναι η Λαπλασιανη: 2 φ = 2 φ x + 2 φ 2 y + 2 φ 2 z Γεωµετρικα, η φ δινει τον ϱυθµο µεταβολης της φ (x, y, z) οταν το διανυσµα x (x, y, z) µεταβαλλεται κατα την κατευθυνση x. φ x = lim r 0 Αντιστοιχα πραγµατα ισχυουν για τις φ φ (x+ x, y, z) φ (x, y, z). x, φ y z Αν τωρα τα x, y, z µεταβαλλονται ταυτοχρονως κατα την κατευθυνση του διανυσ- µατος v = ia + jb + kc, τοτε ο ϱυθµος µεταβολης της φ (x, y, z), δηλ.η παραγωγος της φ (x, y, z) κατα την κατευθυνση v ειναι dφ dv = lim s 0 και δινεται απο την σχεση φ (x + a s, y + b s, z + c s) φ (x, y, z) s dφ dv = φ v v. (2.2) Η κατευθυνση κατα την οποια µεγιστοποιειται η dφ φ ειναι η φ και οταν v = dv τοτε εχουµε dφ dv = φ Εστω οτι οριζεται µια επιφανεια στην πεπλεγµενη µορφη φ (x, y, z) = 0. Τοτε ενα καθετο διανυσµα στην επιφανεια, στο σηµειο (x 0, y o, z 0 ), ειναι το φ (x,y,z)=(x0,y o,z 0 ). Η καθετη ευθεια στην επιφανεια, στο σηµειο (x 0, y o, z 0 ), εχει εξισωση x x 0 φ x (x 0, y 0, z 0 ) = y y 0 φ y (x 0, y 0, z 0 ) = z z 0 φ z (x 0, y 0, z 0 ). φ Το δε εφαπτοµενο επιπεδο στην επιφανεια, στο σηµειο (x 0, y o, z 0 ), εχει εξισωση φ x (x 0, y 0, z 0 ) (x x 0 ) + φ y (x 0, y 0, z 0 ) (y y 0 ) + φ z (x 0, y 0, z 0 ) (z z 0 ) = 0.

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΟΡΙΟ, ΣΥΝΕΧΕΙΑ, ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ Αλυτα Προβληµατα Να υπολογιστει το οριο lim (x,y) (0,0) x 2 x+y Απ Να υπολογιστει το οριο lim (x,y) (0,0) x x+y Απ. εν υπαρχει. x Να υπολογιστει το οριο lim 2 +y 2 (x,y) (0,0) x 2 +y Απ. 2. x Να υπολογιστει το οριο lim 2 y (x,y) (0,0) x 2 +y 2 Απ Να υπολογιστει το οριο lim (x,y) (0,0) sin(x 2 +y 2 ) x 2 +y 2 Απ Να υπολογιστει το οριο lim (x,y) (0,0) sin(x 3 +y 3 ) x 2 +y 2 Απ Να υπολογιστει το οριο lim (x,y) (0,0) x+y x y Απ. εν υπαρχει ινεται η συναρτηση φ (x, y) = sin(x+y) x+y αυτη συνεχης στο (0, 0); Απ. Ναι ινεται η συναρτηση φ (x, y) = x2 y 2 αυτη συνεχης στο (0, 0); Απ. Ναι. x 2 +y ινεται η συναρτηση φ (x, y) = xy x 2 +y 2 αυτη συνεχης στο (0, 0); Απ. Οχι ινεται η συναρτηση φ (x, y) = x4 y 4 x 4 +y 4 αυτη συνεχης στο (0, 0); Απ. Οχι. για (x, y) (0, 0) και φ (0, 0) = 1. Ειναι για (x, y) (0, 0) και φ (0, 0) = 0. Ειναι για (x, y) (0, 0) και φ (0, 0) = 1. Ειναι για (x, y) (0, 0) και φ (0, 0) = 1. Ειναι Υπολογιστε τις µερικες παραγωγους φ x, φ y, φ xx, φ yy, φ xy της φ (x, y) = x 2 + 2xy + y 3 + 4x. Απ. 2x + 2y + 4, 3y 2 + 2x, 2, 6y, Υπολογιστε τις µερικες παραγωγους φ x, φ y, φ xx, φ yy, φ xy της φ (x, y) = x 2 sin (x + y). Απ. 2x sin (x + y) + x 2 cos (x + y), x 2 cos (x + y), 2 sin (x + y) + 4x cos (x + y) x 2 sin (x + y), x 2 sin (x + y), 2x cos (x + y) x 2 sin (x + y) Υπολογιστε τις µερικες παραγωγους φ x, φ y, φ xx, φ yy, φ xy της φ (x, y) = x+y xy 1. Απ. x 2 sin (x + y)

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΟΡΙΟ, ΣΥΝΕΧΕΙΑ, ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ Υπολογιστε τις µερικες παραγωγους φ x, φ y, φ xx, φ yy, φ xy της φ (x, y) = x 2 sin (x + y). Απ. 1 (y 2 + 1), 1 (x 2 y + 1), 2 (y 2 x + 1), 2 (x 2 + 1), 2(x+y). (xy 1) 2 (xy 1) 2 (xy 1) 3 (xy 1) 3 (xy 1) Υπολογιστε τις µερικες παραγωγους φ x, φ y, φ z, φ yy, φ xy της φ (x, y, z) = x 3 yz + y 2 z 3 + cos (xyz). Απ. yz (sin xyz 3x 2 ), x 3 z + 2yz 3 xz sin xyz, x 3 y + 3y 2 z 2 xy sin xyz Υπολογιστε τις µερικες παραγωγους φ x, φ y, φ z, φ yy, φ xy της φ (x, y, z) = ze sin(x+y). Απ. z (cos (x + y)) e sin(x+y), z (cos (x + y)) e sin(x+y), e sin(x+y) Υπολογιστε το διαφορικο της φ (x, y) = x 2 sin (x + y). Απ. dφ = (2x sin (x + y) + x 2 cos (x + y)) dx + x 2 cos (x + y) dy Υπολογιστε το το διαφορικο της φ (x, y) = x 3 y + x 2 y 2. Απ. dφ = (3x 2 y + 2xy 2 ) dx + (x 3 + 2yx 2 ) dy Υπολογιστε το το διαφορικο της φ (x, y, z) = x + y + z Απ. dφ = dx + dy + dz Υπολογιστε το το διαφορικο της φ (x, y, z) = x 2 y 3 z 4 Απ. dφ = 2xy 3 z 4 dx + 3x 2 y 2 z 4 dy + 4x 2 y 3 z 3 dz Υπολογιστε το το διαφορικο της φ (x, y, z) = cos (x + y 2 + z 3 ) Απ. dφ = sin (y 2 + z 3 + x) dx 2y sin (y 2 + z 3 + x) dy 3z 2 sin (y 2 + z 3 + x) dz Να υπολογιστει το φ και το dφ στο (x, y) = (x 0, y 0 ) για φ (x, y) = x 2 y 2, (x 0, y 0 ) = (1, 1), x = 0.1, y = 0.1 Απ. φ = 0.464, dφ = Να υπολογιστει το φ και το dφ στο (x, y) = (x 0, y 0 ) για φ (x, y) = sin (x 2 + y 2 ), (x 0, y 0 ) = (0, 0), x = 0.1, y = 0.1 Απ. φ = , dφ = Να ϐρεθει η κλιση φ και να υπολογιστει η τιµη της στο σηµειο (x, y, z) = (1, 1, 1) για φ (x, y, z) = x 2 y 3 z Απ. i2xy 3 z + j3x 2 y 2 z + kx 2 y 3 και i2 + j3 + k Να ϐρεθει η κλιση φ και να υπολογιστει η τιµη της στο σηµειο (x, y, z) = (1, 1, 1) για φ (x, y, z) = yz sin x + ) ( x ln z y ) ( ) Απ. i (yz cos x + 1y ln z + j z sin x x ln z + k y sin x + x και i cos 1 + j sin 1 + y 2 yz k (sin 1 + 1) Να ϐρεθει η κλιση φ και να υπολογιστει η τιµη της στο σηµειο (x, y, z) = (1, 1, 1) για φ (x, y, z) = 1. x 2 +y 2 +z 2 2y 2x 2z Απ. i j k και i 2 j 2 k 2 (x 2 +y 2 +z 2 ) 2 (x 2 +y 2 +z 2 ) 2 (x 2 +y 2 +z 2 )

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΟΡΙΟ, ΣΥΝΕΧΕΙΑ, ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ Να ϐρεθει η κλιση φ και να υπολογιστει η τιµη της στο σηµειο (x, y, z) = (1, 1, 1) για φ (x, y, z) = ln (x 2 + y 2 + z 2 ) 2x 2y 2z Απ. i + j + k και i 2 + j 2 + k 2 x 2 +y 2 +z 2 x 2 +y 2 +z 2 x 2 +y 2 +z ) ινεται η φ (x, y, z) = x 2 + xyz 3 + 2y 2 z. Να υπολογιστει η 2 φ. Απ z + 6xyz ινεται η φ (x, y, z) = sin (x 2 + y 2 + z 2 ). Να υπολογιστει η 2 φ. Απ. 6 cos (x 2 + y 2 + z 2 ) 4 (sin (x 2 + y 2 + z 2 )) x 2 4 (sin (x 2 + y 2 + z 2 )) y 2 4 (sin (x 2 + y 2 + z 2 )) z 2 ) Να ϐρεθει η παραγωγος της φ (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 κατα την κατευθυνση 2i + j k στο σηµειο ( 1, 3, 2). Απ Υπολογιστε την παραγωγο κατα κατευθυνση της z = x 3 3x 2 y + 3xy 2 στο σηµειο (3, 1) και κατα την κατευθυνση προς το σηµειο (6, 5). Απ Υπολογιστε την παραγωγο κατα κατευθυνση της z = tan 1 (xy) στο σηµειο (1, 1) και κατα την κατευθυνση i + j. Απ Υπολογιστε την παραγωγο κατα κατευθυνση της z = x 2 y 2 xy 3 3y 1 στο σηµειο (2, 1) και κατα την κατευθυνση που οδηγει στο (0, 0). Απ Υπολογιστε την παραγωγο κατα κατευθυνση της z = ln (e x + e y ) στο σηµειο (0, 0) και κατα την κατευθυνση του διανυσµατος που σχηµατιζει γωνια φ µε τον αξονα των x. Απ. cos φ+sin φ Να ϐρεθει η παραγωγος της u (x, y, z) = xyz κατα την κατευθυνση i j k στο σηµειο ( 1, 3, 2). Απ Υπολογιστε την παραγωγο κατα κατευθυνση της u = xy 2 + z 3 xyz στο σηµειο (1, 1, 2) και κατα την κατευθυνση που σχηµατιζει µε τους αξονες γωνιες π/3, π/4, π/3. Απ Υπολογιστε την παραγωγο κατα κατευθυνση της u = xyz στο σηµειο (5, 1, 2) και κατα την κατευθυνση προς το σηµειο (9, 4, 14). Απ Υπολογιστε την παραγωγο κατα κατευθυνση της u = x 2 y 2 z 2 στο σηµειο (1, 1, 3) και κατα την κατευθυνση προς το σηµειο (0, 1, 1). Απ Υπολογιστε την παραγωγο κατα κατευθυνση της u = 1 = 1 σε τυχον r x 2 +y 2 +z2 σηµειο και κατα την κατευθυνση u. Απ. 1 r 2.

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΟΡΙΟ, ΣΥΝΕΧΕΙΑ, ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ Να υπολογιστει το εφαπτοµενο επιπεδο στην επιφανεια z = x 2 + 2y 2 στο σηµειο (1, 1, 3). Απ. 2x + 4y z = Να υπολογιστει το εφαπτοµενο επιπεδο στην επιφανεια xy = z 2 στο σηµειο (x 0, y 0, z 0 ). Απ. xy 0 + yx 0 = 2zz Να υπολογιστει το εφαπτοµενο επιπεδο στην επιφανεια xyz = a 3 στο σηµειο (x 0, y 0, z 0 ),. Απ. xy 0 z 0 + yx 0 z 0 + zx 0 z 0 = 3a Να υπολογιστει το εφαπτοµενο επιπεδο στην επιφανεια z2 c 2 σηµειο (1, 1, 2). Απ. zz 0 xx c yy 0 = 1. a 2 b 2 ( ) x Να δειχτει οτι αν F, z = 0, τοτε x z + y z = y y x y z. x2 a Να δειχτει οτι αν F (x + y z, x 2 + y 2 ) = 0, τοτε x z y z = x x y y. ( ) Να δειχτει οτι 2 1 = Να δειχτει οτι 2 ( r ) 1 r 2 = 2 r Να δειχτει οτι 2 (φψ) = ψ 2 φ + 2 φ ψ + φ 2 ψ Αν c ειναι σταθερο διανυσµα, να δειχτει οτι (c r) = c ινονται παραγωγισιµες συναρτησεις P (x, y), Q (x, y). Να δειχτει οτι ( φ : P (x, y) dx + Q (x, y) dy = dφ) P y = Q x + y2 b 2 = 1 στο ινονται παραγωγισιµες συναρτησεις P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z). Να δειχτει οτι P = Q y x Q ( φ : P (x, y, z) dx + Q (x, y, z) dy + R (x, y, z) dz = dφ) = R. z y R = P z z

22 Κεφάλαιο 3 Πεπλεγµενη και Αλυσωτη Παραγωγιση 3.1 Θεωρια ινεται συναρτηση φ (x, y) και υποθετουµε οτι οι x, y ειναι συναρτησεις µιας αλλης µεταβλητης t: x (t), y (t). Τοτε και η φ ειναι συναρτηση της t: φ (x (t), y (t)). Η παραγωγος της φ ως προς t λεγεται ολικη παραγωγος και ειναι dφ dt = φ dx x dt + φ dy y dt η και ( dφ dt = φ i dx ) dt + jdy. dt Παροµοια, για συναρτησεις φ (x, y, z) και x (t), y (t), z (t) εχουµε dφ dt = φ dx x dt + φ dy y dt + φ dz z dt ( dφ dt = φ i dx ) dt + jdy dt + kdz. dt (3.1) Παροµοια, εστω οτι δινονται συναρτησεις P (x, y),q (x, y) και υποθετουµε οτι οι x, y ειναι συναρτησεις αλλων µεταβλητων u, v: x (u, v), y (u, v). Τοτε P u = P x x u + P y y u, P v = P x x v + P y y v, Q u = Q x x u + Q y y u, (3.2) Q v = Q x x v + Q y y v (3.3) Η παραπανω σχεσεις µπορουν να γραφτουν και µε συµβολισµο πινακων. ] [ ] P P ] ] [ ] P P ] x y x y =, =. [ P u Q u Q x Q y [ x u y u [ P v Q v Q x Q y [ x v y v 17

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΠΕΠΛΕΓΜΕΝΗ ΚΑΙ ΑΛΥΣΩΤΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ Αντιστοιχα πραγµατα ισχυουν για συναρτησεις P (x, y, z),q (x, y, z),r (x, y, z) και x (u, v, w), y (u, v, w). Τοτε P u Q u R u P v Q v R v P w Q w R w = = = P x Q x R x P x Q x R x P x Q x R x P y Q y R y P y Q y R y P y Q y R y Εστω οτι P (u, v) και Q (u, v) εχουν µερικες παραγωγους πρωτης ταξης. Οριζουµε την Ιακωβιανη οριζουσα (P, Q) P P (u, v) = x y Q Q = P u P v Q u Q v = P uq v P v Q u. x y Εστω οτι P (u, v, w), Q (u, v, w) και R (u, v, w) εχουν µερικες παραγωγους πρωτης ταξης. Οριζουµε την Ιακωβιανη οριζουσα (P, Q, R) (u, v, w) = P u P v P w Q u Q v Q w R u R v R w Μια ή περισσοτερες συναρτησεις µπορουν να οριστουν εµµεσα. Π.χ. η P z Q z R z P z Q z R z P z Q z R z φ (x, y, z) = 0 οριζει την z ως συναρτηση των x και y. Τοτε µπορουµε να υπολογισουµε τις z x και z y z x = φ x φ z, z x = φ y. φ z Παροµοια, µπορει να µας δινονται δυο εξισωσεις της µορφης P (x, y, u, v) = 0, Q (x, y, u, v) = 0. (3.4) Κατω απο καταλληλες συνθηκες (παραγωγισιµοτητας και συνεχειας), η (3.4) προσδιοριζει τις συναρτησεις u (x, y), v (x, y) (ή, αντιστροφα, τις x (u, v), y (u, v)). Τοτε µπορουµε να υπολογισουµε τις µερικες παραγωγους u x, u x, u x, u, χωρις να χρειαστει να λυσουµε τις x εξισωσεις (3.4), ως εξησ: x u y u z u x v y v z v x w y w z w,,. u x = (P,Q) (x,v) (P,Q) (u,v), u y = (P,Q) (y,v) (P,Q) (u,v), v x = (P,Q) (u,x) (P,Q) (u,v), v y = (P,Q) (u,y) (P,Q) (u,v).

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΠΕΠΛΕΓΜΕΝΗ ΚΑΙ ΑΛΥΣΩΤΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ Αντιστοιχα πραγµατα ισχυουν αν µας δοθουν τρεις εξισωσεις P (x, y, u, v, w) = 0, Q (x, y, u, v, w) = 0, R (x, y, u, v, w) = 0. Τοτε, κατω απο καταλληλες συνθηκες, εχουµε u x = (P,Q,R) (x,v,w) (P,Q,R) (u,v,w), v x = και µε αντιστιχο τροπο υπολογιζονται οι u, v y y (P,Q,R) (u,x,w) (P,Q,R) (u,v,w),,... κτλ. w x = (P,Q,R) (u,v,x) (P,Q,R) (u,v,w)

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΠΕΠΛΕΓΜΕΝΗ ΚΑΙ ΑΛΥΣΩΤΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ Αλυτα Προβληµατα Να υπολογιστει η ολικη παραγωγος της φ (x, y) = x 2 + y 2 ως προς t, οταν x (t) = t και y (t) = t2 t Απ. 2t (t4 +2t 2 +2). (t 2 +1) Να υπολογιστει η για τις παρακατω περιπτωσεις f (x, y) = u 2 + v 2, u = sin t, v = t cos t. Απ Να υπολογιστει η ολικη παραγωγος της φ (x, y) = cos (x + y + z) ως προς t, οταν x (t) = t, y (t) = cos t και z (t) = e t. Απ. (sin (t + cos t + e t )) (e t sin t + 1) Να υπολογιστει η ολικη παραγωγος της φ (x, y) = sin (x + y 3 + z) ως προς t, οταν x (t) = t, y (t) = cos t και z (t) = t2 Απ. cos 1 t t 2 +1 (t3 +t 2 cos 3 t+t 2 +t+cos 3 t) ( 3 sin t 2t + 3 sin 3t + 3 (t 2 +1) t2 sin t t4 sin t t2 sin 3t t4 sin 3t Να υπολογιστουν οι z x, z y αν ισχυει x2 Απ. z x = c2 x a 2 z, z y = c2 y b 2 z. a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 = Να υπολογιστουν οι z x, z y αν ισχυει x 2 2y 2 + z 2 4x + 2z 5 = 0. Απ. z x = 2 x z+1, z y = 2y. z Να υπολογιστουν οι z x, z y αν ισχυει z 3 + 3xyz = a 3. Απ. z x = yz, z xy+z 2 y = xz. xy+z Να υπολογιστουν οι z x, z y αν ισχυει x 2 + y 2 + z 2 6x = 0. Απ. z x = 3 x z, z y = y z Να υπολογιστουν οι z x, z y αν ισχυει z 2 = xy. Απ. z x = y z, z y = x z Να υπολογιστουν φ u,φ v οταν φ (x, y) = sin (x 2 + y 3 ), x (u, v) = u + v, y (u, v) = u v. Απ. φ u = (cos (u 3 3u 2 v + u 2 + 3uv 2 + 2uv v 3 + v 2 )) (3u 2 6uv + 2u + 3v 2 + 2v), φ v = (cos (u 3 3u 2 v + u 2 + 3uv 2 + 2uv v 3 + v 2 )) ( 3u 2 + 6uv + 2u 3v 2 + 2v) Να υπολογιστουν φ u,φ v οταν φ (x, y) = sin (x + y), x (u, v) = u 2 + v 2, y (u, v) = uv. Απ. φ u = (cos (u 2 + uv + v 2 )) (2u + v), φ v = (cos (u 2 + uv + v 2 )) (u + 2v) Να υπολογιστουν φ u,φ v οταν φ (x, y, z) = sin (x + y + z), x (u, v) = u 2 + v 2, y (u, v) = u, z (u, v) = 1 Απ. φ u = cos 1 φ v = cos 1 u+v. u+v(u 3 +u 2 v+u 2 +uv 2 +uv+v 3 +1) u+v(u 3 +u 2 v+u 2 +uv 2 +uv+v 3 +1) (u+v) 2 (2u 3 + 4u 2 v + u 2 + 2uv 2 + 2uv + v 2 1), (u+v) 2 (2u 2 v + 4uv 2 + 2v 3 1).

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΠΕΠΛΕΓΜΕΝΗ ΚΑΙ ΑΛΥΣΩΤΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ Να υπολογιστουν φ u,φ v, φ w οταν φ (x, y, z) = e x+y+z, x (u, v, w) = w 2, y (u, v, w) = u + v, z (u, v, w) = u v. Απ. w e w2 +u+v+u v = φ u = 2e w2 +2u, φ v = 0, 2we w2 +2u Να υπολογιστουν φ u,φ v, φ w οταν φ (x, y, z) = sin (x + y + z), x (u, v, w) = w sin u cos v, y (u, v, w) = w sin u sin v, z (u, v, w) = w cos u. Απ. φ u = (cos (w cos u + w cos v sin u + w sin u sin v)) (w cos u cos v w sin u + w cos u sin v), φ v = w (cos (w cos u + w cos v sin u + w sin u sin v) sin u) (cos v sin v), φ w = (cos (w cos u + w cos v sin u + w sin u sin v)) (cos u sin v + sin u cos v + cos u) Να υπολογιστουν οι u x,, v x,, u y,, v y για τις παρακατω περιπτωσεις. u 2 +v 2 = x+y και u v = x cos y 2v cos y+1 2u cos y 1 2vx sin y 1 2ux sin y+1 Απ. u x =, v 2u+2v x =, u 2u+2v y =, v 2u+2v y =. 2u+2v Να υπολογιστει η Ιακωβιανη (u,v) (x,y) οταν u = x2 + y 2, v = 2xy. Απ. 4x 2 4y Να υπολογιστει η Ιακωβιανη (x,y) (u,v) Απ. (x,y) = cos v u sin v (u,v) sin v u cos v και την (u,v) (x,y) = u, (u,v) (x,y) = 1 u. αν x = u cos v, y = u sin v Να υπολογιστει η Ιακωβιανη (u,v) (x,y) αν u = 3x2 xy, v = 2xy 2 + y 3. Απ. 24x 2 y + 16xy 2 3y Να υπολογιστει η Ιακωβιανη (u,v) x+y αν u = (x,y) 1 xy, v = tan 1 x + tan 1 y. y (x + y) 1 x (x + y) 1 (xy 1) Απ. 2 xy 1 (xy 1) 2 xy 1 1 = 0. 1 x 2 +1 y Να υπολογιστει η Ιακωβιανη (x,y,z) (u,v,w) αν x = u v+w, y = u2 v 2 w 2, z = u 3 +v Απ. 6wu 2 + 2u + 6u 2 v + 2w Να υπολογιστει η Ιακωβιανη (x,y,z) αν x = u cos v sin w, y = u sin v sin w, z = (u,v,w) u cos w Απ. u 2 sin w Να υπολογιστει η Ιακωβιανη (u,v,w) (x,y,z) αν u = x2 y, v = zx, w = x + y + z Απ. 2x 2 y zx 2 + x ειξτε οτι η συναρτηση z = arctan x y ικανοποιει z u+z v = u v οταν x = u+v, y = u 2 +v 2 u v ειξτε οτι η συναρτηση φ ( y x) ικανοποιει xzx + yz y = ειξτε οτι η συναρτηση φ (x 2 + y 2 ) ικανοποιει yφ x xφ y = 0.

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΠΕΠΛΕΓΜΕΝΗ ΚΑΙ ΑΛΥΣΩΤΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ειξτε οτι η συναρτηση z = y φ(x 2 y 2 ) ικανοποιει 1 x φ x + 1 y φ y = ειξτε οτι η συναρτηση x k φ ( z x, y x) ικανοποιει xφx + yφ y + zφ z = kφ ειξτε οτι αν z = yφ (x 2 y 2 ) τοτε 1 x z x + 1 y z y = z y ειξτε οτι αν z = xφ (x + y) + yψ (ξ + y) τοτε z xx 2z xy z yy = ειξτε οτι αν x = ρ cos φ, y = ρ sin φ, τοτε u xx + u yy = 1 ρ 2 u ρρ + u φφ.

28 Κεφάλαιο 4 Συστηµατα Συντεταγµενων 4.1 Θεωρια Στο Κεφαλαιο 1 προσδιορισαµε την ϑεση ενος σηµειου στον χωρο χρησιµοποιωντας τις Καρτεσιανες συντεταγµενες (x, y, z). Σε πολλες εφαρµογες (π.χ. στον υπολογισµο ολοκληρωµατων) ειναι πιο ϐολικο να χρησιµοποιησουµε αλλα συστηµατα συντεταγµενων. Π.χ. στο λογισµο συναρτησεων µιας µεταβλητης εχουµε χρησιµοποιησει τις πολικες συντεταγµενες. Στο παρον κεφαλαιο ϑα εξετασουµε διαφορα συστηµατα συντεταγµενων Πολικες Συντεταγµενες. Εστω ενα σηµειο M στον R 2 µε Καρτεσιανες συντεταγµενες (x, y). Το M µπορει να προσδιοριστει και µε τις πολικες συντεταγµενες (ρ, θ) (δες Σχ.5.1). Ισχυουν οι σχεσεις και reate PF files without this message by purchasing novapf printer (http://www.novapdf.com) Σχηµα 5.1 x = ρ cos θ, y = ρ sin θ, z = 0 ρ = x 2 + y 2, θ = tan 1 y x, z = 0. Το στοιχειωδες εµβαδον µετασχηµατιζεται σε πολικο συστηµα συντεταγµενων ως εξης (x, y) d = dxdy = (ρ, θ) dρdθ = cos θ ρ sin θ sin θ ρ cos θ dρdθ = ρdρdθ. 23

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Κυλινδρικες Συντεταγµενες. Εστω ενα σηµειο M στον R 3 µε Καρτεσιανες συντεταγµενες (x, y, z). Το M µπορει να προσδιοριστει και µε τις κυλινδρικες συντεταγµενες (ρ, θ, z) (δες Σχ.5.2). Ισχυουν οι σχεσεις και reate PF files without this message by purchasing novapf printer (http://www.novapdf.com) Σχηµα 5.2 x = ρ cos θ, y = ρ sin θ, z = z ρ = x 2 + y 2, θ = tan 1 y x, z = z. Ο στοιχειωδης ογκος µετασχηµατιζεται σε κυλινδρικο συστηµα συντεταγµενων ως εξης (x, y, z) dv = dxdydz = (ρ, θ, z) dρdθ = cos θ ρ sin θ 0 sin θ ρ cos θ 0 dρdθdz = ρdρdθdz Σφαιρικες Συντεταγµενες. Εστω ενα σηµειο M στον R 3 µε Καρτεσιανες συντεταγµενες (x, y, z). Το M µπορει να προσδιοριστει και µε τις σφαιρικες συντεταγµενες

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ 25 (r, θ, φ) (δες Σχ.5.3). reate PF files without this message by purchasing novapf printer (http://www.novapdf.com) Σχηµα 5.3 Ισχυουν οι σχεσεις και x = r cos θ sin φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos φ r = x 2 + y 2 + z 2, φ = tan 1 y x, θ = cos 1 z r. Ο στοιχειωδης ογκος µετασχηµατιζεται σε κυλινδρικο συστηµα συντεταγµενων ως εξης (x, y, z) dv = dxdydz = (r, θ, φ) drdθdφ = cos θ sin φ sin θ sin φ cos φ r sin θ sin φ r cos θ sin φ 0 r cos θ cos φ r sin θ cos φ r sin φ drdθdφ = r2 sin φdrdθdφ Τα προηγουµενα ηταν ειδικα παραδειγµατα. Στην γενικη περιπτωση εισαγουµε µεταβλητες u, v, w τετοιες ωστε να ισχυει x = f (u, v, w), y = g (u, v, w), z = h (u, v, w). Τοτε σε καθε σηµειο (x, y, z) αντιστοιχει το διανυσµα ϑεσης r µε αναπαρασταση r =xi + yj + zk = x (u, v, w) i + y (u, v, w) j+z (u, v, w) k και το διαφορικο διανυσµα ϑεσης ειναι Αν τωρα ορισουµε a = r u, dr = r r r du + dv + dw. (4.1) u v w b = r v, c = r w (4.2)

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ 26 ϑα εχουµε r u = am, r v = bn, οπου τα m, n, p ειναι µοναδιαια διανυσµατα : m = Απο τις (4.1) (4.4) παιρνουµε r u r u r w = cp, (4.3) r r, n = v r, p = w r. (4.4) v dr = amdu + bndv + vpdw και ϐλεπουµε οτι τα m, n, p παιζουν τον ϱολο των i, j, k στο νεο συστηµα συντεταγµενων. Επισης ο στοιχειωδης ογκος ειναι dv = dxdydz = w (x, y, z) (u, v, w) dudvdw.

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Αλυτα Προβληµατα Ποιες ειναι οι κυλινδρικες και σφαιρικες συντεταγµενες του σηµειου µε ορθογωνιες συντεταγµενες (1, 0, 0); Απ. (1, 0, 0), (1, π/2, 0) Ποιες ειναι οι κυλινδρικες και σφαιρικες συντεταγµενες του σηµειου µε ορθογωνιες συντεταγµενες ( (1, 1, ) 1); ( ) Απ. 2, π/4, 1, 3, arctan 2, π/ Ποιες ειναι οι κυλινδρικες και σφαιρικες συντεταγµενες του σηµειου µε ορθογωνιες συντεταγµενες (1, 2, 3); ( ) ( 14, ) Απ. 5, arctan 2, 3, arctan 5 0, arctan Ποιες ειναι οι κυλινδρικες και ορθογωνιες συντεταγµενες του σηµειου µε σφαιρικες συντεταγµενες (3, 0, π/3); Απ. (0, 0, 3), (0, 0, 3) Ποιες ειναι οι κυλινδρικες και ορθογωνιες συντεταγµενες του σηµειου µε σφαιρικες συντεταγµενες ( (1, π/4, π/3); ) ( ) Απ. 2/2, π/3, 2/2, 2/4, 6/4, 2/ Ποιες ειναι οι σφαιρικες και ορθογωνιες συντεταγµενες του σηµειου µε κυλινδρικες συντεταγµενες ( (1, 0, 3); ) Απ. 10, arctan (1/3), 0, (1, 0, 3) Ποιες ειναι οι σφαιρικες και ορθογωνιες συντεταγµενες του σηµειου µε κυλινδρικες συντεταγµενες ( (1, π/4, 1); ) ( ) Απ. 2/2, 2/2, 1, 2/2, π/4, π/ Βρειτε τον στοιχειωδη ογκο στο συστηµα συντεταγµενων x = u + v, y = u v, z = w Απ. dv = dudvdw = 2dudvdw Βρειτε τον στοιχειωδη ογκο και τα µοναδιαια διανυσµατα m, n, p (ελεγξτε οτι ειναι ορθογωνια) στο συστηµα συντεταγµενων x = u cos v, y = u sin v, z = w. cos v u sin v 0 Απ. dv = sin v u cos v 0 dudvdw = ududvdw Βρειτε τον στοιχειωδη ογκο στο συστηµα συντεταγµενων x = u2 v 2, y = uv, 2 z = w. u v 0 Απ. dv = v u dudvdw = (u2 + v 2 ) dudvdw.

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Βρειτε τον στοιχειωδη ογκο και τα µοναδιαια διανυσµατα m, n, p (ελεγξτε οτι ειναι ορθογωνια) στο συστηµα συντεταγµενων x = uv cos(w), y = uv sin(w), z = u2 v 2. 2 Απ. dv = cos (w) v u cos (w) u sin (w) v sin (w) v u sin (w) u cos (w) v dudvdw u v 0 = ( u 3 v cos 2 w + u 3 v sin 2 w + uv 3 cos 2 w + uv 3 sin 2 w ) dudvdw Βρειτε τον στοιχειωδη ογκο στο συστηµα συντεταγµενων x = cosh u sin v cos w, y = sinh u sin v sin w, z = sinh u. sinh (u) sin (v) cos (w) cosh (u) cos (v) cos (w) cosh (u) sin (v) sin (w) Απ. dv = sinh (u) sin (v) sin (w) cosh (u) cos (v) sin (w) cosh (u) sin (v) cos (w) cosh (u) cos (v) sinh (u) sin (v) 0 dudvdw. u Βρειτε τον στοιχειωδη ογκο στο συστηµα συντεταγµενων x =, y = u 2 +v 2 +w v w 2, z =. u 2 +v 2 +w 2 u 2 +v 2 +w 2 Απ. u 2 +v 2 +w 2 uv uw 2 2 (u 2 +v 2 +w 2 ) 2 (u 2 +v 2 +w 2 ) 2 (u 2 +v 2 +w 2 ) 2 dv = uv u 2 2 v 2 +w 2 vw 2 (u 2 +v 2 +w 2 ) 2 (u 2 +v 2 +w 2 ) 2 (u 2 +v 2 +w 2 ) 2 dudvdw uw vw u v 2 w 2 (u 2 +v 2 +w 2 ) 2 (u 2 +v 2 +w 2 ) 2 (u 2 +v 2 +w 2 ) 2 dudvdw = u 6 + 3u 4 v 2 + 3u 4 w 2 + 3u 2 v 4 + 6u 2 v 2 w 2 + 3u 2 w 4 + v 6 + 3v 4 w 2 + 3v 2 w 4 + w Βρειτε τον στοιχειωδη ογκο στο συστηµα συντεταγµενων x = uv sin w, z = u2 v 2. (u 2 +v 2 ) 2 (u 2 +v 2 ) 2 Απ. dv = cos(w)v (u 2 +v 2 ) 2 4 u2 cos(w)v (u 2 +v 2 ) 3 4 u cos(w)v2 (u 2 +v 2 ) 3 + u cos(w) (u 2 +v 2 ) 2 u sin(w)v (u 2 +v 2 ) 2 sin(w)v 4 u2 sin(w)v 4 u sin(w)v2 + u sin(w) u cos(w)v (u 2 +v 2 ) 2 (u 2 +v 2 ) 3 (u 2 +v 2 ) 3 (u 2 +v 2 ) 2 (u 2 +v 2 ) 2 2 u (u 2 +v 2 ) 2 4 (u2 v 2 )u (u 2 +v 2 ) 3 2 v (u 2 +v 2 ) 2 4 (u2 v 2 )v (u 2 +v 2 ) 3 0 uv cos w, y = (u 2 +v 2 ) 2 dudvdw.

34 Κεφάλαιο 5 Σειρες T aylor και Ακροτατα Συναρτησεων 5.1 Θεωρια Οπως ακριβως µια συναρτηση µιας µεταβλητης µπορει να αναπτυχθει σε σειρα T aylor γυρω απο το σηµειο x 0, ετσι και µια συναρτηση δυο µεταβλητων µπορει να αναπτυχθει σε σειρα T aylor γυρω απο το σηµειο (x 0, y 0 ). Ο τυπος για την σειρα T aylor της φ (x, y) γυρω απο το (x 0, y 0 ) ειναι φ (x, y) = φ (x 0, y 0 ) + φ x (x 0, y 0 ) 1! + φ xx (x 0, y 0 ) 2! + φ xxx (x 0, y 0 ) 3! + 3φ xyy (x 0, y 0 ) 3! (x x 0 ) + φ y (x 0, y 0 ) 1! (x x 0 ) 2 + 2φ xy (x 0, y 0 ) 2! (x x 0 ) 3 + 3φ xxy (x 0, y 0 ) 3! (x x 0 ) (y y 0 ) 2 + φ yyy (x 0, y 0 ) 3! (y y 0 ) (5.1) (x x 0 ) (y y 0 ) + φ yy (x 0, y 0 ) (y y 0 ) 2 2! (x x 0 ) 2 (y y 0 ) (y y 0 ) Η δοµη του αναπτυγµατος γινεται καλυτερα κατανοητη µε χρηση των διαφορικων τελεστων x, y (οπου x φ = φ x, y φ = φ y ). Τοτε οπου φ (x, y) = n=0 ((x x 0 ) x + (y y 0 ) y ) n φ n! k x l yφ = φ x...xy...y (x 0, y 0 ), δηλ. η µερικη παραγωγος της φ, ταξεως k ως προς x και l ως προς y, υπολογισµενη στο σηµειο (x, y) = (x 0, y 0 ). 29

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΕΙΡΕΣ T Y LOR ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Για σειρα MacLaurin, δηλ. για x 0 = y 0 = 0 ο τυπος (5.1) γινεται φ (x, y) = φ (x 0, y 0 ) + φ x (x 0, y 0 ) 1! + φ xx (x 0, y 0 ) x 2 + 2φ xy (x 0, y 0 ) 2! 2! + φ xxx (x 0, y 0 ) x 3 + 3φ xxy (x 0, y 0 ) 3! 3! x + φ y (x 0, y 0 ) y 1! xy + φ yy (x 0, y 0 ) y 2 2! x 2 y + 3φ xyy (x 0, y 0 ) 3! xy 2 + φ yyy (x 0, y 0 ) y ! Αντιστοιχα, για συναρτηση φ (x, y, z), η σειρα T aylor γυρω απο το (x 0, y 0, z 0 ) ειναι φ (x, y, z) = φ (x 0, y 0, z 0 ) + φ x (x 0, y 0, z 0 ) (x x 0 ) + φ x (x 0, y 0, z 0 ) 1! 1! + φ xx (x 0, y 0, z 0 ) (x x 0 ) 2 + φ yy (x 0, y 0, z 0 ) 2! 2! + 2φ xy (x 0, y 0, z 0 ) (x x 0 ) (y y 0 ) + 2φ yz (x 0, y 0, z 0 ) 2! 2! + 2φ zx (x 0, y 0, z 0 ) (z z 0 ) (x x 0 ) ! (y y 0 ) + φ x (x 0, y 0, z 0 ) 1! (y y 0 ) 2 + φ zz (x 0, y 0, z 0 ) 2! (z z 0 ) (y y 0 ) (z z 0 ) + (y y 0 ) Εστω παραγωγισιµη συναρτηση φ (x, y). Αυτη µπορει να παρουσιαζει ενα τοπικο µεγιστο η ελαχιστο στο σηµειο (x 0, y 0 ). Για να συµβαινει αυτο, αναγκαια συνθηκη ειναι φ x (x 0, y 0 ) = φ y (x 0, y 0 ) = 0. (5.2) Εφοσον ικανοποιειται η (5.2), λεµε οτι το (x 0, y 0 ) ειναι στασιµο σηµειο της φ (x, y). Τα στασιµα σηµεια ταξινοµουνται ως εξης. 1. Εχουµε τοπικο µεγιστο ανν φ xx (x 0, y 0 ) φ xy (x 0, y 0 ) φ yx (x 0, y 0 ) φ yy (x 0, y 0 ) > 0 και φ xx (x 0, y 0 ) < Εχουµε τοπικο ελαχιστο ανν φ xx (x 0, y 0 ) φ xy (x 0, y 0 ) φ yx (x 0, y 0 ) φ yy (x 0, y 0 ) > 0 και φ xx (x 0, y 0 ) > Εχουµε σαγµατικο σηµειο ανν φ xx (x 0, y 0 ) φ xy (x 0, y 0 ) φ yx (x 0, y 0 ) φ yy (x 0, y 0 ) < εν µπορουµε να ταξινοµησουµε το σηµειο (χρησιµοποιωντας µονο παραγωγους πρωτης και δευτερης ταξης) ανν φ xx (x 0, y 0 ) φ xy (x 0, y 0 ) φ yx (x 0, y 0 ) φ yy (x 0, y 0 ) = Παροµοια πραγµατα ισχυουν για συναρτηση τριων µεταβλητων φ (x, y, z) η και N µεταβλητων φ (x 1, x 2,..., x N ). Σε αυτη την περιπτωση τα κριτηρια για αναγκαια συν- ϑηκη µεγιστου η ελαχιστου ειναι αρκετα πολυπλοκα, αλλα η αναγκαια συνθηκη (για την υπαρξη στασιµου σηµειου µεγιστου, ελαχιστου η σαγµατικου) ειναι φ x (x 0, y 0, z 0 ) = φ y (x 0, y 0, z 0 ) = φ z (x 0, y 0, z 0 ) = 0

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΕΙΡΕΣ T Y LOR ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 31 και αντιστοιχα. φ x1 = φ x2 =... = φ xn = Εστω παραγωγισιµη συναρτηση φ (x, y, z). Για να ϐρουµε τοπικα µεγιστα η ε- λαχιστα της φ (x, y, z) υπο τον περιορισµο σχηµατιζουµε την ϐοηθητικη συναρτηση ψ (x, y, z) = 0 ω (x, y, z, λ) = φ (x, y, z) + λψ (x, y, z) και ϐρισκουµε τα µεγιστα / ελαχιστα αυτης χωρις περιορισµους Παροµοια, εστω παραγωγισιµη συναρτηση φ (x 1, x 2,..., x N ). Για να ϐρουµε τοπικα µεγιστα η ελαχιστα της φ (x, y, z) υπο τους περιορισµους σχηµατιζουµε την ϐοηθητικη συναρτηση ψ 1 (x 1, x 2,..., x N ) = 0,..., ψ M (x 1, x 2,..., x N ) = 0 ω (x 1, x 2,..., x N, λ 1,..., λ M ) = φ (x 1, x 2,..., x N ) + M λ m ψ m (x 1, x 2,..., x N ) m=1 και ϐρισκουµε τα µεγιστα / ελαχιστα αυτης χωρις περιορισµους.

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΕΙΡΕΣ T Y LOR ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Αλυτα Προβληµατα Να υπολογιστει η σειρα T aylor της F (x, y) = e x+y γυρω απο το σηµειο (0, 0). Βρειτε τους ορους µεχρι και 3ης ταξης. Απ. 1 + x + y x2 + xy y x x2 y xy y Να υπολογιστει η σειρα T aylor της F (x, y) = e x+y γυρω απο το σηµειο (1, 2). Βρειτε τους ορους µεχρι και 3ης ταξης. Απ. e 3 +e 3 x+e 3 y + e 3 2 x2 +e 3 xy + e 3 2 y2 + e 3 6 x3 + e 3 2 x2 y + e 3 2 xy2 + e 3 6 y Να υπολογιστει η σειρα T aylor της F (x, y) = sin (x 2 + y 2 ) γυρω απο το σηµειο (0, 0). Βρειτε τους ορους µεχρι και 6ης ταξης. Απ x6 1 2 x4 y x2 y y Να υπολογιστει η σειρα T aylor της F (x, y) = x 2 y sin (x 2 + y 2 ) γυρω απο το σηµειο (0, 0). Βρειτε τους ορους µεχρι και 9ης ταξης. Απ. x 2 y 1 6 x8 y 1 2 x6 y x4 y x2 y Να υπολογιστει η σειρα T aylor της F (x, y) = 21x + 42y 6xy 12y 2 + 4y γυρω απο το σηµειο (5, 1). Βρειτε ολους τους ορους. Απ. 15 (x 5) 6 (x 5) (y 1) + 4 (y 1) Να υπολογιστει η σειρα T aylor της F (x, y) = 1 1+x 2 +y 2 γυρω απο το σηµειο (0, 0). Βρειτε τους ορους µεχρι και 8ης ταξης. Απ. 1 x 6 3x 4 y 2 + x 4 3x 2 y 4 + 2x 2 y 2 x 2 y 6 + y 4 y Να υπολογιστει η σειρα T aylor της F (x, y) = sin x sin y γυρω απο το σηµειο (π/4, π/4). Βρειτε τους ορους µεχρι και 2ης ταξης. Απ (x π/4)+ 1 (y π/4) 1 (x π/4)2 1 (y 4 π/4)2 + 1 (x π/4) (y π/4) Να υπολογιστει η σειρα T aylor της F (x, y) = e x sin y γυρω απο το σηµειο (0, 0). Βρειτε τους ορους µεχρι και 3ης ταξης. Απ. y + xy x2 y 1 6 y Να υπολογιστει η σειρα T aylor της F (x, y) = e x ln (1 + y) γυρω απο το σηµειο (0, 0). Βρειτε τους ορους µεχρι και 3ης ταξης. Απ. y 1 2 y2 + xy x2 y 1 2 xy y Να υπολογιστει η σειρα T aylor της F (x, y) = cos x γυρω απο το σηµειο 1+x 2 +y 2 ( 1, 2). Βρειτε τους ορους µεχρι και 8ης ταξης. Απ x x8 y x8 1 8 x6 y x6 y x x4 y x4 y x4 y x x2 y x2 y x2 y x2 y 6 + y 4 y Να υπολογιστει η σειρα T aylor της F (x, y) = 1 1 x y+xy (0, 0). Βρειτε τους ορους µεχρι και 3ης ταξης. Απ. 1 + x + y + x 2 + xy + y γυρω απο το σηµειο

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΕΙΡΕΣ T Y LOR ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Να υπολογιστει η σειρα T aylor της F (x, y) = ln (1 x) ln (1 y) γυρω απο το σηµειο (0, 0). Βρειτε τους ορους µεχρι και 5ης ταξης. Απ. xy + x2 y + xy2 + x2 y 2 + x2 y 3 + x3 y Να υπολογιστει η σειρα T aylor (γυρω απο το (1, 1) ) της z (x, y) η οποια οριζεται εµµεσα απο τη σχεση z 3 + yz xy 2 x 3 = 0. Βρειτε τους ορους µεχρι και 2ης ταξης. Απ. 1 + (x 1) + 1 (y 1) 1 9 (x 1) (y 1) + (y ) Να υπολογιστει η σειρα T aylor της F (x, y, z) = sin (x + y + z) γυρω απο το σηµειο (0, 0, 0). Βρειτε τους ορους µεχρι και 3ης ταξης. Απ. x + y + z 1 6 x3 1 2 x2 y 1 2 x2 z 1 2 xy2 xyz 1 2 xz2 1 6 y3 1 2 y2 z 1 2 yz2 1 6 z Να υπολογιστει η σειρα T aylor της F (x, y, z) = 1 1+x+y+z (0, 0, 0). Βρειτε τους ορους µεχρι και 2ης ταξης. Απ. 1 x y z + x 2 + 2xy + 2xz + y 2 + 2yz + z γυρω απο το σηµειο Να ϐρεθουν και να χαρακτηριστουν τα στασιµα σηµεια της F (x, y) = 2xy x 2 2y 2 + 3x + 4 Απ. Υπαρχει µεγιστο στο (3, 3/2) Να ϐρεθουν τα στασιµα σηµεια της F (x, y) = 2x 3 + xy 2 + 5x 2 + y 2 Απ. Στασιµα σηµεια (0, 0), ( 5/3, 0), ( 1, 2), ( 1, 2) Να ϐρεθουν και να χαρακτηριστουν τα στασιµα σηµεια της F (x, y) = 8x 3 + y 3 12xy + 8 Απ. Μεγιστο (8) στο (1, 2) και ελαχιστο (0) στο (0, 0) Να ϐρεθουν τα στασιµα σηµεια της F (x, y) = xy (a x y) Απ. Στασιµα σηµεια (0, 0), (0, a), (a, 0), ( a 3, a 3) Να ϐρεθουν και να χαρακτηριστουν τα στασιµα σηµεια της F (x, y) = 2x 2 + y 2 2xy 4x + 3 Απ. Ελαχιστο ( 1) στο (2, 2) Να ϐρεθουν τα στασιµα σηµεια της F (x, y) = (2ax x 2 ) (2by y 2 ) Απ. Στασιµα σηµεια (0, 0), (0, 2b), (2a, 0), (a, b), (2a, 2b) Να ϐρεθουν και να χαρακτηριστουν τα στασιµα σηµεια της F (x, y) = x 4 4xy + 2y 2 5. Απ. Στασιµα σηµεια τα (0, 0), ( 1, 1), (1, 1) Να ϐρεθουν τα στασιµα σηµεια της F (x, y) = x 2 + xy + y 2 + a3 Απ. Ελαχιστο στο ( a/ 3 3, a/ 3 3 ). + a2 x y Να ϐρεθουν και να χαρακτηριστουν τα στασιµα σηµεια της F (x, y) = 13x xy + 7y x + 2y 5 Απ. Ελαχιστο στο ( 1, 1).

Αθ.Κεχαγιας. v. 0.95. Λογισµος Συναρτησεων Πολλων Μεταβλητων και ιανυσµατικων Συναρτησεων. Σηµειωσεις : Θ. Κεχαγιας.

Αθ.Κεχαγιας. v. 0.95. Λογισµος Συναρτησεων Πολλων Μεταβλητων και ιανυσµατικων Συναρτησεων. Σηµειωσεις : Θ. Κεχαγιας. Σηµειωσεις : Λογισµος Συναρτησεων Πολλων Μεταβλητων και ιανυσµατικων Συναρτησεων v..95 Θ. Κεχαγιας Σεπτεµβρης 1 Περιεχόµενα Προλογος 1 Οριο και Συνεχεια 1 1.1 Θεωρια....................................

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 Να υπολογίσετε το κάθε όριο αν υπάρχει ή να

Διαβάστε περισσότερα

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95 Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας Θ. Κεχαγιας Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95 Περιεχόµενα Εισαγωγη 1 Επιπεδα στον Τρισδιαστατο Χωρο 1 1.1 Θεωρια.................................... 1 1.2 Λυµενες Ασκησεις..............................

Διαβάστε περισσότερα

Thanasis Kehagias, 2009

Thanasis Kehagias, 2009 Μέρος II Αναλυτικη Γεωµετρια 33 34 Το παρον τευχος περιεχει συντοµη ϑεωρια, λυµενες και αλυτες ασκησεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Κατα τη γνωµη µου, για τους περισσοτερους ανθρωπους, ο µονος τροπος εξοικειωσης

Διαβάστε περισσότερα

5 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

5 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ SECTIN 1 5 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 5.1 Σε δύο ιαστάσεις Συστήµατα συντεταγµένων Για να καθοριστεί η θέση, το σχήµα και η κίνηση των σωµάτων στο χώρο (που θεωρείται Ευκλείδειος, δηλαδή µε θετική απόσταση µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

{ } S= M(x, y,z) : x= f (u,v), y= f (u,v), z= f (u,v), για u,v (1.1)

{ } S= M(x, y,z) : x= f (u,v), y= f (u,v), z= f (u,v), για u,v (1.1) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1. Γενικά Επειδή οι επιφάνειες δευτέρου βαθµού συναντώνται συχνά στη µελέτη των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών θεωρούµε σκόπιµο να τις περιγράψουµε στην αρχή του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων.

Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Χώρος Διανύσματα Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Καρτεσιανές συντεταγμένες και διανύσματα στο χώρο. Στο σύστημα καρτεσιανών (ή ορθογώνιων) συντεταγμένων κάθε

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες Εργασία Παράδοση 0/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες 1. Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: Α. Β. Γ. όπου x> 0, y > 0 Δ. όπου Κάνετε απευθείας τις πράξεις χωρίς να χρησιμοποιήσετε παραγώγους. Επιβεβαιώστε

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ 1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Προσανατολισμένο Ευθύγραμμο Τμήμα (π.ε.τ.) είναι το ευθύγραμμο τμήμα PQ στο οποίο ορίζουμε το άκρο Ρ αυτού να είναι η αρχή του π.ε.τ. και το άκρο Q αυτού να είναι το

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. 5 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 35

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. 5 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 35 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. 5 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 15 1. Γενικά.. 15 Επιφάνεια 15 Ευθειογενεί επιφάνειε. 15 Επιφάνειε δευτέρου βαθμού.. 16 2. Μερικέ επιφάνειε δευτέρου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚEΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΠΕ ΙΑ. 1. Όριο Συνέχεια Παράγωγος διανυσµατικών συναρτήσεων.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚEΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΠΕ ΙΑ. 1. Όριο Συνέχεια Παράγωγος διανυσµατικών συναρτήσεων. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚEΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΠΕ ΙΑ Όριο Συνέχεια Παράγωγος διανυσµατικών συναρτήσεων Ορισµός 6 Εστω, > είναι δυο φυσικοί αριθµοί Κάθε συνάρτηση F : Ε Α καλείται διανυσµατική

Διαβάστε περισσότερα

1)Βρείτε την εξίσωση για το επίπεδο που περιέχει το σηµείο (1,-1,3) και είναι παράλληλο προς το επίπεδο 3x+y+z=a όπου a ένας αριθµός.

1)Βρείτε την εξίσωση για το επίπεδο που περιέχει το σηµείο (1,-1,3) και είναι παράλληλο προς το επίπεδο 3x+y+z=a όπου a ένας αριθµός. 1)Βρείτε την εξίσωση για το επίπεδο που περιέχει το σηµείο (1,-1,3) και είναι παράλληλο προς το επίπεδο 3x+y+z=a όπου a ένας αριθµός. ( Καρτεσιανή ) επιλέχθηκε για το σχήµα. Ο αριθµός a δεν επιρρεάζει

Διαβάστε περισσότερα

u u u u u u u u u u u x x x x

u u u u u u u u u u u x x x x Βασικοί συµβολισµοί και σχέσεις ϕ ϕ ui & ϕ=, ϕ, i=, ui, j= t x x u1 u1 u1 x1 x2 x u 3 1, 1 ui, j ui, j u1, 1 ui, j ui, j u u u u u u u u u u u i 2 2 2 i, j= = i, j 2, 2 i, j = i, j 2, 2 i, j = x j x1 x2

Διαβάστε περισσότερα

4. Να βρεθεί η προβολή του σημείου Ρ=(6,1,5) πάνω στην ευθεία ε: x ={3,1,2}+λ{1,2,1},, και η απόστασή του από αυτήν.

4. Να βρεθεί η προβολή του σημείου Ρ=(6,1,5) πάνω στην ευθεία ε: x ={3,1,2}+λ{1,2,1},, και η απόστασή του από αυτήν. ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΙI Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ ΑΚΑΔ. ΕΤΟΣ 009-00 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο V Ι. Δίνονται οι ευθείες δ: x ={,0,0}+λ{,,}, ε: x -x + x -=0, x -x =. Να εξετάσετε αν οι ευθείες δ, ε είναι ασύμβατες. Αν ναι, βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

X v (q) = ( x v (q), y v (q), z v (q) ) x u (q) y u (q) z u (q) x v (q) y v (q) z v (q) X 1 u (q) X 1. det. X 2 u (q) X 2. v (q)

X v (q) = ( x v (q), y v (q), z v (q) ) x u (q) y u (q) z u (q) x v (q) y v (q) z v (q) X 1 u (q) X 1. det. X 2 u (q) X 2. v (q) Κεφάλαιο 2 Κανονικές επιφάνειες Σύνοψη Προκειμένου να ορίσουμε την έννοια της επιφάνειας στον R 3, έχουμε δύο δυνατές προσεγγίσεις. Με την πρώτη μπορούμε να ορίσουμε μια επιφάνεια ως ένα υποσύνολο του

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

2x 2 y. f(y) = f(x, y) = (xy, x + y)

2x 2 y. f(y) = f(x, y) = (xy, x + y) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Εστω f : R R η συνάρτηση με τύπο y + x sin 1, για y 0, f(x, y) = y 0, για y = 0. (α) Να αποδειχθεί οτι lim f(x, y) = 0. (x,y) (0,0) (β) Να αποδειχθεί οτι το lim(lim f(x, y)) δεν

Διαβάστε περισσότερα

1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1.

1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1. 1. Κινηµατική Βιβλιογραφία C. Kittel W. D. Knight M. A. Rueman A. C. Helmholz και B. J. Moe Μηχανική. Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Ε.Μ.Π. 1998. Κεφ.. {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα Μ1 Παράγωγος} {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα

Διαβάστε περισσότερα

= DX(0, 0)(ae 1 + be 2 ) = adx(0, 0)e 1 + bdx(0, 0)e 2 = ax u (0, 0) + bx v (0, 0).

= DX(0, 0)(ae 1 + be 2 ) = adx(0, 0)e 1 + bdx(0, 0)e 2 = ax u (0, 0) + bx v (0, 0). Κεφάλαιο 3 Ο εφαπτόμενος χώρος Σύνοψη Ο εφαπτόμενος χώρος μιας κανονικής επιφάνειας αποτελεί τη βέλτιση γραμμική προσέγγιση της επιφάνειας σε ένα σημείο της. Αποτελείται από όλα τα εφαπτόμενα διανύσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 TΡΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. R = x,y,z :a x b, a y b, a z b. είναι τυχαίες διαµερίσεις των κλειστών διαστηµάτων [α i,b i ] (i=1,2,3) της µορφής

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 TΡΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. R = x,y,z :a x b, a y b, a z b. είναι τυχαίες διαµερίσεις των κλειστών διαστηµάτων [α i,b i ] (i=1,2,3) της µορφής . Ορισµοί-Ιδιότητες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 TΡΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Έστω f : R είναι φραγµένη συνάρτηση πάνω σε κλειστό ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο Εστω ( x, y, z) {( ) } R = x,y,z :a x b, a y b, a z b. = είναι µια διαµέριση

Διαβάστε περισσότερα

σ (9) = i + j + 3 k, σ (9) = 1 6 k.

σ (9) = i + j + 3 k, σ (9) = 1 6 k. Ασκήσεις από το Διανυσματικός Λογισμός των Marsden - romba και από το alculus του Apostol. 1. Βρείτε τα διανύσματα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης και την εξίσωση της εφαπτομένης για κάθε μία από τις

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 61. 12. Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων

Κ. Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 61. 12. Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 6 Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων Υπάρχουν διαφόρων ειδών ολοκληρώµατα διανυσµάτων, ανάλογα µε τη µορφή που έχει η ολοκληρωτέα

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( ) ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α,

Διαβάστε περισσότερα

Αλλαγή µεταβλητής στο τριπλό ολοκλήρωµα ( ) Β R Jordan µετρήσιµα υποσύνολα του U. R, ανοικτό µε. y y y συµβολίζει την ορίζουσα του πίνακα Jacobi

Αλλαγή µεταβλητής στο τριπλό ολοκλήρωµα ( ) Β R Jordan µετρήσιµα υποσύνολα του U. R, ανοικτό µε. y y y συµβολίζει την ορίζουσα του πίνακα Jacobi 8 λλαγή µεταβλητής στο τριλό ολοκλήρωµα Υενθυµίζουµε ( Θεωρηµα ) το γενικό τύο αλλαγής µεταβλητής στο ολλαλό ολοκλήρωµα: f ( y) dy= f ( g( x) ) det J g( x) dx (), Β= g n όου, Β Jodan µετρήσιµα υοσύνολα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα Κεφάλαιο M3 Διανύσµατα Διανύσµατα Διανυσµατικά µεγέθη Φυσικά µεγέθη που έχουν τόσο αριθµητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούµε µε τις µαθηµατικές πράξεις των

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/2012

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/2012 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: : : : ma 3 για κάθε Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: 3 3 Τι συμπεραίνετε για τις παραπάνω νόρμες του Αν θεωρήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 6 Νοεµβρίου 005 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 31 Ορισµοί Ορισµός 311 Εστω f : A f( A), A, f( A) και έστω 0 Α είναι σηµείο συσσώρευσης του συνόλου Α Θα λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 εάν υπάρχει λ : Ισοδύναµα:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κεφάλαιο M4 Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κινηµατική σε δύο διαστάσεις Θα περιγράψουµε τη διανυσµατική φύση της θέσης, της ταχύτητας, και της επιτάχυνσης µε περισσότερες λεπτοµέρειες. Θα µελετήσουµε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηµατικά Ι Θέµατα Ιανουαρίου 2015

Γενικά Μαθηµατικά Ι Θέµατα Ιανουαρίου 2015 Γενικά Μαθηµατικά Ι Θέµατα Ιανουαρίου 215 Άσκηση 1: (α) Να υπολογισθεί το γενικευµένο ολοκλήρωµα (ax+b)(x 2 +1) αν το a είναι ϑετικός αριθµός. (ϐ) Το µεσηµέρι, ένα σαλιγκάρι που ϐρίσκεται στο κέντρο ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ Τρισδιάστατες κινήσεις Οι µονοδιάστατες κινήσεις είναι εύκολες αλλά ζούµε σε τρισδιάστατο χώρο Θα δούµε λοιπόν τώρα πως θα αντιµετωπίζοµε την κίνηση υλικού σηµείου στις τρεις διαστάσεις Ας θεωρήσοµε

Διαβάστε περισσότερα

10. Παραγώγιση διανυσµάτων

10. Παραγώγιση διανυσµάτων Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 51 10 Παραγώγιση διανυσµάτων 101 Παράγωγος διανυσµατικής συνάρτησης Αν οι συνιστώσες ενός διανύσµατος = είναι συνεχείς συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Πραγματικές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών (μέρος 1) Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ Η ύλη της εργασίας είναι οι ενότητες 5, 6 και 7 από τον Λογισµό µιας Μεταβλητής Η άσκηση αφορά στην έννοια

Διαβάστε περισσότερα

3. ΥΝΑΜΙΚΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΩΝ ΒΡΑΧΙΟΝΩΝ

3. ΥΝΑΜΙΚΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΩΝ ΒΡΑΧΙΟΝΩΝ 3. ΥΝΑΜΙΚΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΩΝ ΒΡΑΧΙΟΝΩΝ Η δυναµική ασχολείται µε την εξαγωγή και τη µελέτη του δυναµικού µοντέλου ενός ροµποτικού βραχίονα. Το δυναµικό µοντέλο συνίσταται στις διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 2009 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (240 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 10, Γ. ΚΟΡ ΟΥΛΗΣ, ιανύσµατα 1/6. = + tβ r. zk και εξισώνουµε τις συνιστώσες των διανυσµάτων x(t) = 1+ 2t, y(t) = 1+ 3t, z(t) = 4 + t

ΦΥΕ 10, Γ. ΚΟΡ ΟΥΛΗΣ, ιανύσµατα 1/6. = + tβ r. zk και εξισώνουµε τις συνιστώσες των διανυσµάτων x(t) = 1+ 2t, y(t) = 1+ 3t, z(t) = 4 + t ΦΥΕ 10, Γ. ΚΟΡ ΟΥΛΗΣ, ιανύσµατα 1/6 ) Ευθεία Ευθεία διέρχεται από το σηµείο Α µε διάνυσµα θέσης = i j+ 4k το διάνυσµα β = 2i + 3j + k. και είναι παράλληλη προς Α = + tβ α β ιανυσµατική εξίσωση: Εισάγουµε

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών.

Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών. Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών (βλ ενότητες 8 και 8 από το βιβλίο Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα, Ι Χατζάρας, Θ Γραμμένος, 0) (Δείτε τα παραδείγματα 8 (, ) και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ taexeiolag ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 uuuu uuuu uuuu Αν OA OB 3O 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ uuuu uuuu uuuu OA OB 1, O α Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΛΕΞΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ. Την Κινηµατική (µελετάει την κίνηση των σωµάτων χωρίς να ενδιαφέρεται για τις δυνάµεις που ενεργούν στα σώµατα)

ΙΑΛΕΞΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ. Την Κινηµατική (µελετάει την κίνηση των σωµάτων χωρίς να ενδιαφέρεται για τις δυνάµεις που ενεργούν στα σώµατα) ΙΑΛΕΞΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΕΙ / Λ, ΤΜΗΜΑ: ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΒΙΟΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Η Μηχανική, εκτός απο θεωρητικός, είναι και εφηρµοσµένος κλάδος της Φυσικής. Αποτελεί την ραχοκοκαλιά της σύγχρονης Μηχανολογίας και διαιρείται

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

1 m z. 1 mz. 1 mz M 1, 2 M 1

1 m z. 1 mz. 1 mz M 1, 2 M 1 Σύνοψη Κεφαλαίου 6: Υπερβολική Γεωμετρία Υπερβολική γεωμετρία: το μοντέλο του δίσκου 1. Στο μοντέλο του Poincaré της υπερβολικής γεωμετρίας, υπερβολικά σημεία είναι τα σημεία του μοναδιαίου δίσκου, D =

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα διπλών oλοκληρωμάτων Γ. Λυχναρόπουλος

Παραδείγματα διπλών oλοκληρωμάτων Γ. Λυχναρόπουλος Παραδείγματα διπλών oλοκληρωμάτων Γ. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Να υπολογισθεί με τρόπους το ολοκλήρωμα I d d 0 Η ολοκλήρωση, όπως φαίνεται από τα άκρα ολοκλήρωσης, γίνεται πάνω στο ορθογώνιο χωρίο R 0,,

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανύσματα Ευθείες - Επίπεδα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διάνυσμα ή Διανυσματικό μέγεθος (Vector) Μέγεθος που

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Παράγωγος συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. είναι µία κατεύθυνση στον (δηλαδή ένα. E. Αν υπάρχει το όριο ( + ) ( ) ( )

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Παράγωγος συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. είναι µία κατεύθυνση στον (δηλαδή ένα. E. Αν υπάρχει το όριο ( + ) ( ) ( ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ Παράγωγος συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Κατευθυνόµενη Παράγωγος Ορισµός Έστω a είναι µία κατεύθυνση στον (δηλαδή ένα µοναδιαίο διάνυσµα του χώρου ), E είναι ένα ανοικτό υποσύνολο του, : E και

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. είναι διαµερίσεις των κλειστών διαστηµάτων [α,b] και [c,d] αντιστοίχως της µορφής

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. είναι διαµερίσεις των κλειστών διαστηµάτων [α,b] και [c,d] αντιστοίχως της µορφής . Ορισµοί-Ιδιότητες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Έστω f : R είναι µία φραγµένη συνάρτηση πάνω σε µία κλειστή ορθογώνια περιοχή Εστω (, y ) { } R =,y :a b, c y d. = είναι µια διαµέριση της ορθογώνιας περιοχής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 1.1 Εισαγωγή... 1 1.2 Λύση ΔΕ, αντίστροφο πρόβλημα αυτής... 3 Ασκήσεις... 10 1.3 ΔΕ πρώτης τάξης χωριζομένων μεταβλητών... 12 Ασκήσεις... 15 1.4 Ομογενείς

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

εάν F x, x οµόρροπα εάν F x, x αντίρροπα B = T W T = W B

εάν F x, x οµόρροπα εάν F x, x αντίρροπα B = T W T = W B 4 Εργο και Ενέργεια 4.1 Εργο σε µία διάσταση Το έργο µιας σταθερής δύναµης F x, η οποία ασκείται σε ένα σώµα που κινείται σε µία διάσταση x, ορίζεται ως W = F x x Εργο ύναµης = ύναµη Μετατόπιση Εχουµε

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΤΕΣ ΦΥΣΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2013-2014 ΔΕΥΤΕΡΑ 12-15 ΑΙΘ.ΖΑ115-116

ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΤΕΣ ΦΥΣΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2013-2014 ΔΕΥΤΕΡΑ 12-15 ΑΙΘ.ΖΑ115-116 ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΤΕΣ ΦΥΣΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2013-2014 ΔΕΥΤΕΡΑ 12-15 ΑΙΘ.ΖΑ115-116 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Ορισμός παραγώγου συνάρτησης σε σημείο Μια συνάρτηση f (X) λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο του

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΜΕΣΩ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ CLAIRAUT

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΜΕΣΩ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ CLAIRAUT ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΜΕΣΩ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ CLAIRAUT Αρβανιτογεώργος Ανδρέας Πατέρας Ιωάννης ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ Στόχος Εργασίας Η εύρεση των γεωδαισιακών καμπυλών πάνω σε μια επιφάνεια.

Διαβάστε περισσότερα

Σύνολα. 1) Με αναγραφή των στοιχείων π.χ. 2) Με περιγραφή των στοιχείων π.χ.

Σύνολα. 1) Με αναγραφή των στοιχείων π.χ. 2) Με περιγραφή των στοιχείων π.χ. Σύνολα Ορισµός συνόλου (κατά Cantor): Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχεται από το µυαλό µας ή την εµπειρία µας, είναι καλά ορισµένο και τα αντικείµενα ξεχωρίζουν το ένα από το άλλο, δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 EΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟ ΧΩΡΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 EΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟ ΧΩΡΟ ιανύσµατα ΚΕΦΑΛΑΙΟ EΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟ ΧΩΡΟ Kαλούµε διάνυσµα AB ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα µε άκρα τα Α και Β Το σηµείο Α καλείται σηµείο εφαρµογής του διανύσµατος AB, ενώ το σηµείο Β καλείται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Μερική Παράγωγος και Εφαρµογές ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 19 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των µε- ϱικών

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΟΡΙΣΜΟΙ, ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ

1.1 ΟΡΙΣΜΟΙ, ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Κεφάλαιο 1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1.1 ΟΡΙΣΜΟΙ, ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Στις θετικές επιστήμες και στις τεχνολογικές τους εφαρμογές συναντάμε συχνά μεγέθη που χαρακτηρίζονται μόνο από το μέτρο τους: τη μάζα,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (1/7/ 2013) y x + y.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (1/7/ 2013) y x + y. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (/7/ 203) ΘΕΜΑ. (α) Δίνεται η συνάρτηση f : R 2 R με f(x, y) = xy x + y, αν (x, y) (0, 0) και f(0, 0) = 0. Δείξτε ότι η f είναι συνεχής στο (0, 0). (β) Εξετάστε αν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/ Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: 0 2 xx, που ισχύει.

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/ Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: 0 2 xx, που ισχύει. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: Ν : = + + + Ν : = + + + Ν : = ma 3 για κάθε = ( ) Να αποδείξετε ότι για κάθε = ( ) ισχύει: Ν ( ) Ν ( ) Ν ( ) Ν (

Διαβάστε περισσότερα

6 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ. 6.1 Ορισµοί. Συναρτήσεις

6 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ. 6.1 Ορισµοί. Συναρτήσεις SECTION 6 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 6. Ορισµοί Συναρτήσεις Γενικά, µε τον όρο συνάρτηση εννοούµε µια απεικόνιση αντιστοίχιση σύµφωνα µε έναν κανόνα) από ένα σύνολο D σε ένα σύνολο R, έτσι ώστε κάθε στοιχείο του D να αντιστοιχίζεται

Διαβάστε περισσότερα

~ 1 ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

~ 1 ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ~ ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 04 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στις «Σημειώσεις Μιγαδικού Λογισμού» β) Η συνάρτηση f ( ) γράφεται f x y + x + y x y + x + y xy ( ) ( ) ( ) ( ) Το πραγματικό και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος». * Συντελεστής διεύθυνσης µιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτοµένη της γωνίας που σχηµατίζει η ευθεία (ε) µε τον άξονα x x. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες Νίκος Ν. Αρπατζάνης Παράγωγος ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ y y = f(x) x φ y y y = f(x) x φ y y y = f(x) φ x 1 x 1 + х x x 1 x 1 + х x x 1 x tanϕ = y x tanϕ = dy dx

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Καθηγητές : Νικόλαος Κατσίπης 25 Απριλίου 2014 Στόχος του παρόντος ϕυλλαδίου είναι να αποτελέσει µια αφορµή για επανάληψη πριν τις εξετάσεις. Σας ευχόµαστε καλό διάβασµα και...

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 1. i) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό 3 3 0 1, ώστε: 3 e, 1 ln 0 + 0 = 0 ii) Δίνεται ο μιγαδικός 3 z = ln + i, > 0 a) Να βρείτε την ελάχιστη απόσταση k της εικόνας του z από την αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Συστήματα συντεταγμένων Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου στον χώρο. Κοινά συστήματα συντεταγμένων: Καρτεσιανό (x, y, z) Πολικό (r, θ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οι άξονες

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις: Λογισμός Συναρτήσεων Μιας Μεταβλητής v Θ. Κεχαγιάς Σεπτέμβριος 2014 Αθ.Κεχαγιας

Σημειώσεις: Λογισμός Συναρτήσεων Μιας Μεταβλητής v Θ. Κεχαγιάς Σεπτέμβριος 2014 Αθ.Κεχαγιας Σημειώσεις: Λογισμός Συναρτήσεων Μιας Μεταβλητής v..9 Θ. Κεχαγιάς Σεπτέμβριος 4 Περιεχόμενα Πρόλογος ii Εισαγωγή iv Οριο και Συνέχεια Παράγωγος 8 3 Λογαριθµικές και Εκθετικές Συναρτήσεις 3 4 Τριγωνοµετρικές

Διαβάστε περισσότερα

Αθ.Κεχαγιας. v. 0.86. Λογισµός Συναρτήσεων Μιας Μεταβλητής µε παράρτηµα Αναλυτικής Γεωµετρίας. Σηµειωσεις : Θ. Κεχαγιας.

Αθ.Κεχαγιας. v. 0.86. Λογισµός Συναρτήσεων Μιας Μεταβλητής µε παράρτηµα Αναλυτικής Γεωµετρίας. Σηµειωσεις : Θ. Κεχαγιας. Σηµειωσεις : Λογισµός Συναρτήσεων Μιας Μεταβλητής µε παράρτηµα Αναλυτικής Γεωµετρίας v..86 Θ. Κεχαγιας Απριλης Περιεχόµενα Προλογος Εισαγωγη Βασικες Συναρτησεις. Θεωρια.....................................

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνας της αλυσίδας. J ανοικτά διαστήματα) ώστε ( ), ( ) ( ) ( ) fog ' x = f ' g x g ' x, x I (2)

Κανόνας της αλυσίδας. J ανοικτά διαστήματα) ώστε ( ), ( ) ( ) ( ) fog ' x = f ' g x g ' x, x I (2) 8 Κανόνας της αλυσίδας Από τον Απειροστικό Λογισμό για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι: Αν g : I R R και f : J R R είναι συναρτήσεις ( όπου I, J ανοικτά διαστήματα ώστε, g( τότε η : I g I J

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Ο ΚΥΚΛΟΣ. 1. Εξίσωση κύκλου (Ο, ρ) 2. Παραµετρικές εξισώσεις κύκλου. 3. Εφαπτοµένη κύκλου

3.1 Ο ΚΥΚΛΟΣ. 1. Εξίσωση κύκλου (Ο, ρ) 2. Παραµετρικές εξισώσεις κύκλου. 3. Εφαπτοµένη κύκλου 3. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση κύκλου (Ο, ρ) + y ρ. Παραµετρικές εξισώσεις κύκλου ρσυνφ και y ρηµφ 3. Εφαπτοµένη κύκλου + yy ρ 4. Εξίσωση κύκλου µε κέντρο το σηµείο Κ( o, y ο ) και ακτίνα ρ ( o ) + (y y ο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του Κωνικές τομές Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του ΚΥΚΛΟΣ το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου ΠΑΡΑΒΟΛΗ το επίπεδο είναι παράλληλο σε μια γενέτειρα

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

x (t) u (t) = x 0 u 0 e 2t,

x (t) u (t) = x 0 u 0 e 2t, Κεφάλαιο 7 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ Η ευαισθησία της λύσης μιας ΔΕ σε μεταβολές της αρχικής τιμής είναι έ- να θεμελιώδες ζήτημα στη θεωρία αλλά και στις εφαρμογές των διαφορικών εξισώσεων. Παράδειγμα 7.0.3.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΣΕ ΕΝΑΝ ΑΠΕΙΡΟΣΤΟ ΟΓΚΟ ΡΕΥΣΤΟΥ Στο κεφάλαιο αυτό θα εξετάσουμε την ισορροπία των δυνάμεων οι οποίες ασκούνται σε ένα τυχόν σωματίδιο ρευστού.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2012-13 ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι Καθηγητής: Σ. Πνευματικός ΘΕΜΑΤΑ ΜΕΛΕΤΗΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΥ Μάθημα 2 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΤΟΥΣ

Διαβάστε περισσότερα

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Γραµµικης Αλγεβρας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2010, v.0.91

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Γραµµικης Αλγεβρας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2010, v.0.91 Σηµειωσεις Γραµµικης Αλγεβρας Θ. Κεχαγιας Σεπτεµβρης, v..9 Περιεχόµενα Εισαγωγη I Βασικες Εννοιες Πινακες. Θεωρια..................................... Λυµενα Προβληµατα............................. 5.3

Διαβάστε περισσότερα