X v (q) = ( x v (q), y v (q), z v (q) ) x u (q) y u (q) z u (q) x v (q) y v (q) z v (q) X 1 u (q) X 1. det. X 2 u (q) X 2. v (q)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "X v (q) = ( x v (q), y v (q), z v (q) ) x u (q) y u (q) z u (q) x v (q) y v (q) z v (q) X 1 u (q) X 1. det. X 2 u (q) X 2. v (q)"

Transcript

1 Κεφάλαιο 2 Κανονικές επιφάνειες Σύνοψη Προκειμένου να ορίσουμε την έννοια της επιφάνειας στον R 3, έχουμε δύο δυνατές προσεγγίσεις. Με την πρώτη μπορούμε να ορίσουμε μια επιφάνεια ως ένα υποσύνολο του R 3, ώστε για κάθε σημείο του να υπάρχει ένα ανοικτό υποσύνολο, το οποίο να είναι ομοιομορφικό με ένα ανοικτό υποσύνολο του R 2. Με τη δεύτερη προσέγγιση μια επιφάνεια (ή καλύτερα τμήμα επιφάνειας) ορίζεται ως εικόνα μιας απεικόνισης από ένα ανοικτό υποσύνολο του επιπέδου στον R 3, η οποία και αυτή ικανοποιεί συγκεκριμένες ιδιότητες. Η δεύτερη προσέγγιση είναι γενίκευση της περιγραφής των καμπυλών στον R 3. Αν και είναι χρήσιμη στην περιγραφή τοπικών ιδιοτήτων μιας επιφάνειας, έχει παρόλα αυτά περιορισμένη χρησιμότητα για πιο δύσκολα προβλήματα. Για τον λόγο αυτό, θα χρησιμοποιήσουμε και τον εναλλακτικό ορισμό μιας επιφάνειας ως ένα υποσύνολο του Ευκλείδειου χώρου R 3 το οποίο τοπικά να μοιάζει με ένα ανοικτό υποσύνολο του επιπέδου. Για περισσότερες πληροφορίες προτείνουμε τα βιβλία [1], [2], [3], [4], [5], [6]. Προαπαιτούμενη γνώση Αναλυτική Γεωμετρία, Απειροστικός Λογισμός μιας και πολλών μεταβλητών, Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα. Ορισμός 2.1. Ενα μη κενό συνεκτικό υποσύνολο M του R 3 ονομάζεται κανονική επιφάνεια (regular surface) (ή τοπικά εμφυτευμένη (embedded) επιφάνεια) εάν για κάθε p M υπάρχουν ανοικτές περιοχές V R 3, U R 2 με p V και μια 1-1 απεικόνιση X : U R 2 V M R 3, X = X(u, v) τέτοια ώστε 1. Η X να είναι ομοιομορφισμός 2. Να είναι X u (q) X v (q) 0 για κάθε q U. Η απεικόνιση X ονομάζεται τοπική παραμέτρηση (local parametrization) της M και η δυάδα (V M, X 1 ), όπου X 1 : V M U, ονομάζεται τοπικός χάρτης (local chart) ή τοπικό σύστημα συντεταγμένων της M στο σημείο p = X(q). Παρατηρήσεις 1. Η απεικόνιση X ως προς ένα σύστημα συντεταγμένων O xyz του R 3 έχει τη μορφή X(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), όπου x, y, z : U R 2 R είναι πραγματικές διαφορίσιμες απεικονίσεις, των u, v U.

2 2 Κανονικές επιφάνειες Κατόπιν αυτού, η συνθήκη 2 ισοδυναμεί με το ότι τα διανύσματα X u (q) = ( x u (q), y u (q), z u (q) ), X v (q) = ( x v (q), y v (q), z v (q) ) είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. Ισοδύναμα, το διαφορικό dx q : R 2 R 3 είναι 1-1, δηλαδή η τάξη του πίνακα είναι Η συλλογή A = M, εάν ( x u (q) y u (q) z u (q) x v (q) y v (q) z v (q) { (Vα M, Xα 1 ) } : α I από τοπικούς χάρτες της M ονομάζεται άτλαντας της M = α I ( Vα M ) ) Εάν π i : R 3 R, (i = 1, 2) είναι οι κανονικές προβολές, τότε προκύπτει το παρακάτω διάγραμμα: Τότε η συνθήκη 2 ισοδυναμεί με το ότι Σχήμα 2.1: Τοπικό σύστημα συντεταγμένων. det X 1 u (q) X 1 v (q) X 2 u (q) X 2 v (q) Παράδειγμα 2.1. Το επίπεδο Π = {(x, y, z) R 3 0. : Ax + By + Γz + = 0} είναι μια κανονική επεφάνεια η οποία καλύπτεται με έναν μόνο χάρτη. Πράγματι, γνωρίζουμε ότι, για να ορίζεται ένα επίπεδο, θα πρέπει ένα τουλάχιστον από τα A, B, Γ να είναι διάφορο του μηδενός. Οπότε χωρίς βλάβη της γενικότητας

3 Κανονικές επιφάνειες 3 υποθέτουμε ότι Γ 0, άρα z = Θεωρούμε τώρα την απεικόνιση Ax By. Θέτουμε x = u, y = v, συνεπώς είναι z = z(u, v). Γ X : R 2 Π R 3 (u, v) X(u, v) = ( x(u, v), y(u, v), z(u, v) ) ( Au Bv ) = u, v,. Γ Προφανώς η X είναι 1-1, επί και συνεχής, οπότε υπάρχει η αντίστροφη X 1 : Π R 3 R 2, X 1 (x, y, z) = (x, y), η οποία είναι συνεχής, επομένως η απεικόνιση X είναι ομοιομορφισμός. Επίσης η X είναι διαφορίσιμη (διότι υπάρχουν και είναι συνεχείς όλες οι μερικές παράγωγοι των απεικονίσεων x, y, z : R 2 R). Τέλος, θα δείξουμε ότι X u (q) X v (q) 0 για κάθε q = (u, v) R 2. Είναι X u = (1, 0, A Γ ) και X v = (0, 1, B Γ ), οπότε e 1 e 2 e 3 X u X v = 1 0 A Γ = ( A 0 1 B Γ, B Γ, 1) Γ απ όπου παίρνουμε ότι X u X v = 0, άρα X u X v (0, 0, 0). Επομένως, σύμφωνα με τον Ορισμό 2.1, το επίπεδο Π είναι μια κανονική επιφάνεια η οποία καλύπτεται από έναν μόνο χάρτη (Π, X 1 ), όπου X 1 : Π R 3 R 2. Παράδειγμα 2.2. Εστω U ανοικτό υποσύνολο του R 2 και f : U R μια διαφορίσιμη συνάρτηση. Τότε η απεικόνιση X : U M με τιμή αποτελεί μια τοπική παραμέτρηση του γραφήματος X(u, v) = ( u, v, f(u, v) ) M = { (u, v, f(u, v)) : (u, v) U } της f. Ο αντίστοιχος τοπικός χάρτης (M, X 1 ) όπου X 1 : M U είναι X 1 (x, y, z) = (x, y). Συνεπώς το σύνολο M είναι μια κανονική επιφάνεια. Στο παραπάνω παράδειγμα το σύνολο M είναι το γράφημα της απεικόνισης f : R 2 R με f(x, y) = z. Ανάλογα, το γράφημα μιας απεικόνισης g : R 2 R με g(x, z) = y είναι το σύνολο {(u, g(u, v), v) : (u, v) R 2 } με παραμέτρηση Y (u, v) = (u, g(u, v), v), ενώ το γράφημα της απεικόνισης h : R 2 R με h(y, z) = x είναι το σύνολο {(h(u, v), u, v) : (u, v) R 2 } με παραμέτρηση W (u, v) = (h(u, v), u, v). Οι πραμετρήσεις αυτής της μορφής καλούνται παραμετρήσεις τύπου Monge. Εύκολα βλέπουμε ότι η παραμέτρηση του επιπέδου στο Παράδειγμα 2.1 είναι παραμέτρηση τύπου Monge. Παράδειγμα 2.3. Εστω S 2 = { (x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 1 } η μοναδιαία σφαίρα του R 3. Εστω N = (0, 0, 1), S = (0, 0, 1) ο βόρειος και ο νότιος πόλος αντίστοιχα. Θέτουμε U N = S 2 \ {N}, U S = S 2 \ {S} και ορίζουμε τις απεικονίσεις X N : U N R 2, X S : U S R 2 (στερεογραφικές προβολές) ως X N (x, y, z) = 1 (x, y), 1 z X S (x, y, z) = 1 (x, y). 1 + z

4 4 Κανονικές επιφάνειες Τότε το σύνολο A = { (U N, X N ), (U S, X S ) } αποτελεί έναν άτλαντα της σφαίρας S 2. Άσκηση Να γίνει αναλυτικός έλεγχος ότι ικανοποιείται ο Ορισμός 1.1. Σχήμα 2.2: Στερεογραφική προβολή. Ο παραπάνω ορισμός μιας επιφάνειας παρουσιάζει τεχνικές δυσκολίες στην εφαρμογή του. Θα δούμε τώρα έναν εναλλακτικό τρόπο κατασκευής επιφανειών στον R 3 μέσω του θεωρήματος πεπλεγμένης συνάρτησης. Χρειαζόμαστε κατ αρχάς να υπενθυμίσουμε τα εξής: Εστω F = (F 1,..., F m ) : U R n R m μια διαφορίσιμη απεικόνιση στο ανοικτό υποσύνολο U του R n και p U. Τότε το διαφορικό DF (p) : R n R m στο p είναι μια γραμμική απεικόνιση της οποίας ο m n πίνακας (ως προς τις κανονικές βάσεις των R n, R m ) είναι ο [DF (p)] = F 1 x 1 (p). F m (p) x 1 F 1 (p) x n. F. m (p) x n Συχνά θα γράφουμε τον παραπάνω πίνακα απλά ως DF (p). Στην ειδική περίπτωση όπου F : U R n R, τότε ο πίνακας του διαφορικού DF (p) : R n R είναι ο 1 n πίνακας [DF (p)] = [ F (p),..., F ] (p). x 1 x n ( F Το αντίστοιχο διάνυσμα (p),..., F ) (p) λέγεται κλίση (grand) της F και συμβολίζεται με gradf x 1 x n ή F, με άλλα λόγια η κλίση της απεικόνισης F στο σημείο p είναι ο πίνακας του διαφορικού [DF (p)] γραμμένος ως διάνυσμα. Εστω τώρα γ : R U R n μια διαφορίσιμη καμπύλη με γ(0) = p, γ (0) = Z R. Τότε η σύνθεση F γ : R R m είναι μια καμπύλη στον R m και από τον κανόνα της αλυσίδας προκύπτει ότι το εφαπτόμενο διάνυσμά της στο σημείο F (p) R m είναι d ( ) F γ(t) t=0 dt = DF (γ(0))γ (0) = DF (p)z.

5 Κανονικές επιφάνειες 5 Σημειώνουμε ότι η τελευταία ισότητα είναι ένα διάνυσμα του R m, που η παράστασή του προκύπτει ως το γινόμενο ενός m n και ενός n 1 πίνακα. Συνεπώς, το διαφορικό DF (p) μιας απεικόνισης F : R n R m μπορεί να θεωρηθεί ως μια γραμμική απεικόνιση, η οποία απεικονίζει εφαπτόμενα διανύσματα στο p U R n σε εφαπτόμενα διανύσματα στο F (p) R m. αποτέλεσμα: Από τον λογισμό πολλών μεταβλητών ισχύει το εξής Πρόταση 2.1. Το διαφορικό DF (p) μιας απεικόνισης F : R n R m δεν εξαρτάται από την επιλογή της καμπύλης γ. Το παρακάτω θεώρημα είναι ίσως το πιο κεντρικό θεώρημα της κλασικής Ανάλυσης. Θεώρημα 2.1. (Θεώρημα Αντίστροφης Απεικόνισης) Εστω U R n ανοικτό και F : U R n R n διαφορίσιμη. Υποθέτουμε ότι στο p U το διαφορικό DF (p) : R n R n της F στο p είναι αντιστρέψιμη (ως γραμμική απεικόνιση). Τότε υπάρχουν ανοικτές περιοχές U p p, V q q = F (p) έτσι ώστε η f = F Up : U p V q να είναι 1-1, επί και η αντίστροφή της f 1 : V q U p να είναι διαφορίσιμη. Επιπλέον, για το διαφορικό της f 1 ισχύει: Df 1 (q) = ( DF (p) ) 1. Ορισμός 2.2. Εστω U R n ανοικτό και F : U R m διαφορίσιμη. 1. Ενα σημείο p U ονομάζεται κρίσιμο σημείο (critical point) της F, εάν το διαφορικό DF (p) : R n R m δεν είναι επί. Διαφορετικά, το p ονομάζεται κανονικό σημείο (regular point). 2. Ενα σημείο q F (U) ονομάζεται κανονική τιμή (regular value) της F, εάν κάθε σημείο της αντίστροφης εικόνας F 1 ({q}) του q είναι κανονικό. Διαφορετικά, το q ονομάζεται κρίσιμη τιμή (critical value) της F. Εστω f : U R 3 R μια διαφορίσιμη απεικόνιση και U ένα ανοικτό υποσύνολο του R 3. Τότε ο πίνακας του διαφορικού Df(p) της f στο σημείο p είναι ο 1 3 πίνακας ( ) f f f [Df(p)] = (p), (p), x y z (p). Για να είναι η απεικόνιση Df(p) : R 3 R επί (δεδομένου ότι έχει πεδίο τιμών διάστασης 1) πρέπει και αρκεί τουλάχιστον ένα από τα f f f (p), (p), (p) να είναι διαφορετικό από το μηδέν. Συνεπώς, το x y z q f(u) είναι κανονική τιμή της απεικόνισης f : U R 3 R εάν και μόνο εάν οι μερικές παράγωγοι f f f (p), (p), x y z (p) δεν μηδενίζονται ταυτόχρονα στο f 1 (q), ή ισοδύναμα το f 1 (q) δεν περιέχει κρίσιμα σημεία. Χρησιμοποιώντας τώρα το παραπάνω Θεώρημα Αντίστροφης Απεικόνισης, μπορούμε να αποδείξουμε το επόμενο θεώρημα κατασκευής επιφανειών στον R 3. Πολλές φορές το θεώρημα αυτό αναφέρεται και ως Θεώρημα Πεπλεγμένης Συνάρτησης (για τη θεωρία επιφανειών).

6 6 Κανονικές επιφάνειες Θεώρημα 2.2. Εστω U R 3 ανοικτό, f : U R διαφορίσιμη απεικόνιση και q μια κανονική τιμή της f, δηλαδή ισχύει ( ) ( f f f ) f (p) = (p), (p), x y z (p) 0, για κάθε p M = f 1( {q} ). Τότε το σύνολο M είναι μια κανονική επιφάνεια του R 3. Απόδειξη. Εστω p ένα τυχαίο σημείο του συνόλου M. Η κλίση ( f)(p) στο p δεν είναι μηδέν, οπότε χωρίς βλάβη της γενικότητας, υποθέτουμε ότι f z (p) 0. Ορίζουμε την απεικόνιση F : U R3 R 3 με τιμή Ο πίνακας του διαφορικού DF (p) στο σημείο p είναι F (x, y, z) = (x, y, f(x, y, z)). [DF (p)] = f f f x y z η ορίζουσα του οποίου είναι ίση με det([df (p)]) = f 0. Από το Θεώρημα Αντίστροφης Απεικόνισης z p υπάρχουν ανοικτές περιοχές U p p, W l l = F (p), έτσι ώστε η απεικόνιση f = F Up : U p W l να είναι 1-1, επί και η αντίστροφή της p, f 1 : W l U p, (u, v, t) (u, v, g(u, v, t)) να είναι διαφορίσιμη, όπου g : W l R 3 R. Επεται ότι ο περιορισμός X = f 1 W l : Wl R 3 στο σύνολο (συγκεκριμένα το επίπεδο) W l = {(u, v, t) W l : t = q} είναι διαφορίσιμη συνάρτηση. Άρα η απεικόνιση X : Wl U p M είναι μια τοπική παραμέτρηση. Επειδή το σημείο p είναι τυχαίο, το σύνολο M είναι μια κανονική επιφάνεια του R 3. Παράδειγμα 2.4. Εστω f : R 3 R η διαφορίσιμη απεικόνιση f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 και p = (x, y, z) R 3. Η κλίση f(p) είναι f(p) = ( 2x, 2y, 2z ) p = 2p, συνεπώς κάθε θετικός πραγματικός αριθμός r είναι μια κανονική τιμή της f. Άρα η σφαίρα ακτίνας r είναι μια κανονική επιφάνεια του R 3. S 2 r = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = r 2 } = f 1( {r 2 } ) Παράδειγμα 2.5. Εστω r, R R με 0 < r < R. Θεωρούμε τη διαφορίσιμη συνάρτηση f : U = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 0} R

7 Κανονικές επιφάνειες 7 με τιμή Θεωρούμε την αντίστροφη εικόνα αυτής f(x, y, z) = z 2 + ( x 2 + y 2 R ) 2. T 2 = f 1( {r 2 } ) = {(x, y, z) R 3 : z 2 + ( x 2 + y 2 R ) 2 = r 2 }. Τότε η κλίση της f στο p = (x, y, z) είναι f(p) = 2 ( x( x 2 + y 2 R), y( x 2 + y 2 R), z x 2 + y ). 2 x 2 + y 2 Ισχυριζόμαστε ότι το r 2 είναι μια κανονική τιμή της f. Πράγματι, αν το p T 2 ήταν τέτοιο ώστε f(p) = 0, τότε z = 0, άρα θα ήταν f(p) = 2r (x, y, 0) 0, x 2 + y2 άτοπο. Συνεπώς, το σύνολο T 2 είναι μια κανονική επιφάνεια του R 3, η οποία ονομάζεται δακτύλιος ή τόρος (torus) Σχήμα 2.3: Ο τόρος T 2. Με την ίδια μέθοδο των Παραδειγμάτων 2.4 και 2.5 μπορούμε εύκολα να αποδείξουμε ότι οι επόμενες εξισώσεις ορίζουν κανονικές επιφάνειες: για a, b, c 0. Ελλειψοειδές x 2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 = 1 Μονόχωνο υπερβολοειδές Δίχωνο υπερβολοειδές Υπερβολικό παραβολοειδές x 2 a 2 + y2 b 2 z2 c 2 = 1 x 2 a 2 y2 b 2 z2 c 2 = 1 x 2 a 2 y2 b 2 z = 0, Ερχόμαστε τώρα σε μια εναλλακτική περιγραφή μιας επιφάνειας (ή καλύτερα τμήματος επιφάνειας). Η διαδικασία αυτή αποτελεί γενίκευση της περιγραφής μιας καμπύλης μέσω απεικονίσεων παραμέτρησης. Ορισμός 2.3. Μια κανονική παραμετρημένη επιφάνεια (regular parametrized surface) είναι μια απεικόνιση X : U R 2 R 3 (U ανοικτό υποσύνολο του R 2 ) τέτοια ώστε για κάθε q U να ισχύει X u (q) X v (q) 0. ( )

8 8 Κανονικές επιφάνειες Παρατηρήσεις 1. Η εικόνα X(U) ονομάζεται και τμήμα επιφάνειας. 2. Η συνθήκη ( ) είναι ισοδύναμη με το ότι το διαφορικό DX(q) : R 2 R 3 είναι Μια κανονική παραμετρημένη επιφάνεια ονομάζεται και εμβαπτισμένη (immersed) επιφάνεια του R 3. Ορισμός 2.4. Εστω M μια κανονική επιφάνεια του R 3. Μια διαφορίσιμη απεικόνιση X : U R 2 M (U ανοικτό) αποτελεί μια παραμέτρηση (parametrization) της M εάν: 1. η X είναι επί. 2. Για κάθε p U υπάρχει ανοικτή περιοχή U p p τέτοια ώστε η απεικόνιση X Up : U p X(U p ) να είναι μια τοπική παραμέτρηση της M. Εστω X(U) ένα τμήμα μιας επιφάνειας η οποία να ορίζεται απο την απεικόνιση X : U R 2 R 3. Ας θεωρήσουμε το σημείο q = (u 0, v 0 ) U. Τότε η εικόνα της ευθείας v = v 0 μέσω της απεικόνισης X θα είναι η καμπύλη γ(u) X(u, v 0 ) στην επιφάνεια X(U), η οποία θα διέρχεται από την εικόνα X(q) του σημείου q. Η επιφανειακή αυτή καμπύλη θα ονομάζεται u-καμπύλη. Εντελώς ανάλογα, η εικόνα της ευθείας u = u 0 του επιπέδου U R 2 μέσω της απεικόνισης X, είναι η καμπύλη με εξίσωση γ(v) X(u 0, v) στην επιφάνεια X(U), η οποία θα διέρχεται επίσης, από την είκονα X(q) του σημείου q και ονομάζεται v-καμπύλη. Αν τώρα επιτρέψουμε τις μεταβλητές u, v να πάρουν όλες τις τιμές από το πεδίο ορισμού U, τότε ορίζεται ένα πλέγμα ευθειών οριζοντίων και καθέτων, τέτοιο ώστε από κάθε σημείο q του U να διέρχεται μοναδικό ζεύγος τέτοιων ευθειών. Η εικόνα αυτού του πλέγματος μέσω της X ορίζει ένα πλέγμα επιφανειακών καμπυλών της X(U) που την καλύπτουν. Δηλαδή από κάθε σημείο q = (u 0, v 0 ) της X(U) διέρχεται μία και μοναδική u-καμπύλη, η v = v 0 και μία και μοναδική v-καμπύλη, η u = u 0. Το ζεύγος (u 0, v 0 ) λέγεται ζεύγος καμπυλόγραμμων συντεταγμένων του σημείου q. Ορισμός 2.5. Εστω X : U R 2 M μια τοπική παραμέτρηση της επιφάνειας M. Τότε για κάθε σημείο (u 0, v 0 ) του U: (1) Το διάνυσμα της ταχύτητας της u-παραμετρικής καμπύλης, v = v 0, συμβολίζεται με X u (u 0, v 0 ). (2) Το διάνυσμα της ταχύτητας της v-παραμετρικής καμπύλης, u = u 0, συμβολίζεται με X v (u 0, v 0 ). Παράδειγμα 2.6. Θα δώσουμε δύο διαφορετικές παραμετρήσεις του επιπέδου O xy και θα ορίσουμε τις παραμετρικές καμπύλες αυτού. Θεωρούμε την εξίσωση X(u, v) = (u, v, 0). Η συνάρτηση αυτή είναι διαφορίσιμη και επιπλέον X u X v 0, άρα είναι πράγματι μια παραμέτρηση του επιπέδου z = 0. Το πλέγμα των παραμετρικών γραμμών αυτού, ορίζεται από τις ευθείες u = u 0, v = v 0, όπου (u 0, v 0 ) R 2, που είναι ευθείες παράλληλες προς τους άξονες των συντεταγμένων. Ας θεωρήσουμε τώρα την εξίσωση

9 Κανονικές επιφάνειες 9 X(u, v) = (u cos v, u sin v, 0). Η παράσταση αυτή είναι επίσης, όπως εύκολα αναγνωρίζεται, μια παραμέτρηση του επιπέδου, εκτός του σημείου (0, 0, 0). Το πλέγμα των παραμετρικών γραμμών στην περίπτωση αυτή αποτελείται από τις ακόλουθες καμπύλες: (α) Τις u-καμπύλες (v = v 0 ) που ορίζονται από την εξίσωση X(u, v 0 ) = (u cos v 0, u sin v 0, 0). Οι παραμετρικές εξισώσεις αυτών των καμπυλών (για τα διάφορα v 0 ) είναι x = u cos v 0 και y = u sin v 0. Απαλείφοντας την παράμετρο u μεταξύ αυτών των εξισώσεων, έχουμε y = x tan v 0. Αλλά η τελευταία εξίσωση για τα διάφορα v 0 [0, 2π] εκφράζει οικογένεια ευθειών οι οποίες διέρχονται από την αρχή O(0, 0) των συνταταγμένων. (β) Τις v-καμπύλες (u = u 0 ), που ορίζονται από την εξίσωση X(u 0, v) = (u 0 cos v, u 0 sin v, 0). Οι παραμετρικές εξισώσεις αυτών των καμπυλών είναι x = u 0 cos v και y = u 0 sin v. Απαλείφοντας την παράμετρο v μεταξύ αυτών, έχουμε x 2 + y 2 = u 2 0. Η εξίσωση όμως αυτή για τα διάφορα u 0 R \ {0} εκφράζει μια οικογένεια κύκλων κέντρου (0, 0). Ετσι κάθε σημείο του επιπέδου (u 0, v 0 ) ορίζεται από την τομή της ευθείας y = x tan v 0 και του κύκλου x 2 + y 2 = u 2 0. Παράδειγμα 2.7. Ο δακτύλιος T 2 του Παραδείγματος 2.5 προκύπτει με περιστροφή του κύκλου {(x, 0, z) R 3 : z 2 + (x R) 2 = r 2 } του επιπέδου (x, z), περί τον άξονα z (βλ. Σχήμα 2.4). Συνεπώς, μπορούμε να παραμετρήσουμε τοπικά τον δακτύλιο μέσω της απεικόνισης (τοπική παραμέτρηση) Σχήμα 2.4: Ο δακτύλιος T 2 ως επιφάνεια εκ περιστροφής. X : R 2 T 2 cos v sin v 0 X(u, v) = sin v cos v R + r cos u 0 r sin u.

10 10 Κανονικές επιφάνειες Παράδειγμα 2.8. Θεωρούμε τη μοναδιαία σφαίρα S 2 του R 3. Μια τοπική παραμέτρηση της σφαίρας S 2 με γεωγραφικές συντεταγμένες είναι η απεικόνιση X : U = {(θ, φ) : π/2 < θ < π/2, 0 < φ < 2π} S 2 X(θ, φ) = ( cos θ cos φ, cos θ sin φ, sin θ ). Σημειώστε ότι X(U) = S 2 \ C, όπου C = {(x, 0, z) S 2 : x 0} είναι ένας μέγιστος κύκλος της S 2. Παράδειγμα 2.9. Εστω γ = (r, 0, z) : I R 2 μια κανονική καμπύλη στο επίπεδο (x, z) τέτοια ώστε r(s) > 0 και ṙ(s) 2 + ż(s) 2 = 1 για κάθε s I. Περιστρέφοντας την καμπύλη αυτή περί τον άξονα z, προκύπτει μια κανονική επιφάνεια εκ περιστροφής (surface of revolution), η οποία παραμετροποιείται μέσω της απεικόνισης X : R 2 R 3 cos v sin v 0 X(u, v) = sin v cos v r(u) 0 z(u) = r(u) cos v r(u) sin v z(u). Σχήμα 2.5: Επειφάνειες εκ περιστροφής. Παρατήρηση Η καμπύλη γ ονομάζεται γενέτειρα (generating curve) και ο άξονας z καλείται άξονας περιστροφής της επιφάνειας. Τα σημεία της γ, κατά την περιστροφή της, διαγράφουν κύκλους, τους οποίους καλούμε παραλλήλους της επιφάνειας, ενώ η καμπύλη γ και οι νέες θέσεις της (κατά την περιστροφή) αποτελούν τους μεσημβρινούς της επιφάνειας. Ορισμός 2.6. Εστω M μια κανονική επιφάνεια του R 3. Μια συνεχής απεικόνιση γ : I M (I R ανοικτό) ονομάζεται λεία (ή διαφορίσιμη) καμπύλη στην M, εάν η γ είναι διαφορίσιμη ως απεικόνιση με τιμές στο R 3.

11 Λείες απεικονίσεις 11 Εστω γ 1 : I M και γ 2 : J M δύο επιφανειακές καμπύλες οι οποίες τέμνονται στο σημείο p M, δηλαδή υπάρχει t 0 I και s 0 J τέτοια ώστε γ 1 (t 0 ) = γ 2 (s 0 ) = p. Η γωνία των δύο καμπυλών είναι ίση με τη γωνία που σχηματίζουν τα εφαπτόμενα διανύσματα στο σημείο τομής αυτών, δηλαδή cos θ = γ 1 (t 0), γ 2 (s 0) γ 1 (t 0) γ 2 (s 0) Θα κλείσουμε το κεφάλαιο αυτό ορίζοντας την έννοια της διαφορίσιμης απεικόνισης μεταξύ επιφανειών. 2.1 Λείες απεικονίσεις Θέλουμε να ορίσουμε την έννοια της λείας απεικόνισης f : M 1 M 2, όπου M 1 και M 2 είναι κανονικές επιφάνειες. Δεν είναι προφανές πώς μπορούμε να το κάνουμε αυτό, διότι ως τώρα γνωρίζουμε πώς να ορίζουμε λείες απεικονίσεις μεταξύ ανοικτών υποσυνόλων Ευκλείδειων χώρων. Αρχίζουμε με μια ειδική περίπτωση. Ορισμός 2.7. Εστω M μια κανονική επιφάνεια του R 3. Μια πραγματική συνάρτηση f : M R ονομάζεται λεία ή διαφορίσιμη (smooth or differentiable), εάν για κάθε τοπική αναπαράσταση X : U M της M, η σύνθεση f X : U R 2 R είναι διαφορίσιμη. Σχήμα 2.6: Η απεικόνιση f X : U R 2 R. Πρόταση 2.2. Εστω M μια κανονική επιφάνεια του R 3 και f : M R. Η απεικόνιση f είναι λεία εάν και μόνο εάν, για κάθε τοπική παραμέτρηση X : U R 2 M, η απεικόνιση f X είναι λεία. Απόδειξη. Υποθέτουμε πρώτα ότι η απεικόνιση f είναι λεία. Σύμφωνα με τον Ορισμό 2.7, υπάρχει τοπική αναπαράσταση Y : V M της M τέτοια ώστε η f Y : V R

12 12 Κανονικές επιφάνειες να είναι λεία. Συνεπώς, η απεικόνιση f X = f Y Y 1 X : U V R είναι λεία ως σύνθεση των λείων απεικονίσεων f Y και Y 1 X. Το αντίστροφο είναι προφανές. Ορισμός 2.8. Μια απεικόνιση φ : M 1 M 2 μεταξύ δύο κανονικών επιφανειών του R 3 ονομάζεται λεία ή διαφορίσιμη, εάν για κάθε δύο τοπικές παραμετρήσεις (U 1, X 1 ) της M 1 και (U 2, X 2 ) της M 2 η απεικόνιση X2 1 φ X U 1 : U R 2 R 2, ( που ορίζεται στο ανοικτό U = X1 1 X 1 (U 1 ) φ 1( X 2 (U 2 ) )) R 2, είναι διαφορίσιμη. Σχήμα 2.7: Η απεικόνιση X 1 2 φ X 1 U : U R 2 R 2. Πρόταση 2.3. Εστω φ 1 : M 1 M 2 και φ 2 : M 2 M 3 δύο λείες απεικονίσεις μεταξύ κανονικών επιφανειών του R 3. Τότε η σύνθεση φ 2 φ 1 : M 1 M 3 είναι λεία. Απόδειξη. Επειδή η απεικόνιση φ 1 είναι λεία μεταξύ δύο κανονικών επιφανειών του R 3, τότε από τον Ορισμό 2.8, για κάθε δύο παραμετρήσεις X 1 : U 1 M 1 και X 2 : U 2 M 2 η σύνθεση X2 1 φ 1 X 1 : X1 1 ( X1 (U 1 ) φ 1 (X 2 (U 2 )) ) R 2 R 2 θα είναι λεία. Ομοίως, για τη λεία απεικόνιση φ 2, για κάθε δύο τοπικές παραμετρήσεις θα έχουμε ότι η απεικόνιση X3 1 φ 2 X 2 : X2 1 ( X2 (U 2 ) φ 1 2 (X 3(U 3 )) ) R 2 R 2 θα είναι λεία. Για τη σύνθεση φ 2 φ 1 : M 1 M 3 παρατηρούμε ότι, αν επιλέξουμε τις παραμετρήσεις X 1 : U 1 R 2 R και X 3 : U 3 R 2 R, τότε η απεικόνιση είναι λεία στο ανοικτό σύνολο W = X 1 1 X3 1 (φ 2 φ 1 ) X 1 : W R 2 R 2 ( X1 (U 1 ) (φ 2 φ 1 ) 1 (X 3 (U 3 )) ), ως σύνθεση των λείων απεικονίσεων X 1 3 φ 2 X 2 και X 1 2 φ 1 X 1.

13 Λυμένα παραδείγματα 13 Πρόταση 2.4. Εστω M 1, M 2 κανονικές επιφάνειες του R 3 και φ : U R 3 R 3 διαφορίσιμη απεικόνιση στο ανοικτό U, τέτοια ώστε M 1 U και φ(m 1 ) M 2. Τότε ο περιορισμός φ M1 απεικόνιση μεταξύ των δύο επιφανειών. : M 1 M 2 είναι λεία Απόδειξη. Εστω p τυχαίο σημείο της M 1 και X 1 : U 1 R 2 M 1, X 2 : U 2 R 2 M 2 δύο παραμετρήσεις, γύρω από τα σημεία p και φ(p) αντίστοιχα, τέτοιες ώστε p X 1 (U 1 ), φ(x 1 (U 1 )) X 2 (U 2 ). Τότε όμως, η απεικόνιση X 1 2 φ X 1 : U 1 R 2 U 2 R 2 είναι διαφορίσιμη στο X 1 (p), ως σύνθεση των διαφορίσιμων απεικονίσεων X 1 2 και φ X 1. Αλλά είναι X 1 2 φ X 1 = X 1 2 φ M1 X 1, οπότε η απεικόνιση φ M1 είναι διαφορίσιμη στο σημείο p. Επειδή όμως το σημείο p είναι ένα τυχαίο σημείο της M 1, η απεικόνιση φ M1 : M 1 M 2 θα είναι διαφορίσιμη. Παράδειγμα Εστω f : R 3 R 3, f(x, y, z) = (ax, by, cz) με abc > 0. Προφανώς η f είναι διαφορίσιμη. Ο περιορισμός της f στη σφαίρα S 2 είναι μια διαφορίσιμη απεικόνιση από την σφαίρα σε ένα ελλειψοειδές, όπου η σφαίρα είναι το σύνολο και το ελλειψοειδές είναι το σύνολο S 2 = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 1} E = {(x, y, z) R 3 : x2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 = 1}. Ορισμός 2.9. Μια διαφορίσιμη απεικόνιση φ : M 1 M 2 μεταξύ δύο κανονικών επιφανειών του R 3 ονομάζεται αμφιδιαφόριση (diffeomorphism), εάν είναι 1-1, επί και η αντίστροφη φ 1 : M 2 M 1 είναι διαφορίσιμη. Τότε οι επιφάνειες M 1 και M 2 ονομάζονται αμφιδιαφορικές. Παράδειγμα Η απεικόνιση f : S 2 S 2 με f(x, y, z) = ( x, y, z) είναι αμφιδιαφόριση. Πράγματι, παρατηρούμε ότι η f είναι 1-1 και επί με f 1 = f. Επίσης, η f είναι ο περιορισμός (επί της S 2 ) της διαφορίσιμης απεικόνισης F : R 3 R 3, (x, y, z) ( x, y, z). Άρα σύμφωνα με την Πρόταση 2.4, η f είναι επίσης διαφορίσιμη Πρόταση 2.5. Εστω f : M 1 M 2 μια αμφιδιαφόριση. Εάν X 1 είναι μια τοπική παραμέτρηση της επιφάνειας M 1, τότε η f X 1 είναι μια τοπική παραμέτρηση της επιφάνειας M 2. Μερικές φορές θα φανεί χρήσιμο αντί των αμφιδιαφορίσεων να θεωρούμε λείες απεικονίσεις που ι- κανοποιούν μια ελαφρώς ασθενέστερη συνθήκη. Μια λεία απεικόνιση f : M 1 M 2 καλείται τοπική αμφιδιαφόριση, εάν για κάθε σημείο p M 1 υπάρχει ανοικτό υποσύνολο U της M 1, τέτοιο ώστε το f(u) να είναι ανοικτό υποσύνολο της M 2 και η f U : U f(u) να είναι αμφιδιαφόριση. Είναι προφανές ότι κάθε αμφιδιαφόριση είναι τοπική αμφιδιαφόριση (αρκεί να πάρουμε U = M 1 ). Επιπλέον, η Πρόταση 2.5 ισχύει αν η f είναι τοπική αμφιδιαφόριση, υπό τον όρο ότι ο περιορισμός της στην εικόνα του X 1 είναι 1-1.

14 14 Κανονικές επιφάνειες 2.2 Λυμένα παραδείγματα Παράδειγμα Εστω X : U R 3, X(u, v) = (u cosh v, u sinh v, u 2 ) όπου U = {(u, v) R 2 : u > 0}. Αποδείξτε ότι η X αποτελεί μια κανονική παραμέτρηση (του τμήματος) της επιφάνειας του υπερβολικού παραβολοειδούς M = {(x, y, z) R 3 : z = x 2 y 2 }. Λύση Εστω X(u, v) = (x, y, z). Τότε x 2 y 2 = u 2( cosh 2 v sinh 2 v ) = u 2, άρα X(u, v) M για κάθε (u, v) U. Εστω V = X(U). Πρέπει να δείξουμε τα εξής: α) η X είναι 1 1 β) η X είναι διαφορίσιμη (άρα συνεχής) γ) η X 1 : V U είναι συνεχής δ) ισχύει X u X v 0 για κάθε (u, v) U. Πράγματι, α) Εστω X(u 1, v 1 ) = X(u 2, v 2 ). Τότε προκύπτει το σύστημα u 1 cosh v 1 = u 2 cosh v 2 u 1 sinh v 1 = u 2 sinh v 2 u 2 1 = u 2 2. Η τρίτη εξίσωση δίνει u 1 = ±u 2 και επειδή u 1, u 2 > 0 παίρνουμε u 1 = u 2. Λόγω του ότι η συνάρτηση sinh είναι 1-1 προκύπτει ότι v 1 = v 2, άρα η X είναι 1-1. β) Η X είναι διαφορίσιμη επειδή οι συνιστώσες συναρτήσεις της είναι διαφορίσιμες πραγματικές συναρτήσεις. γ) Για να βρούμε την αντίστροφη X 1 : V U πρέπει να λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων x = u cosh v, y = u sinh v, z = u 2 ως προς u, v. Είναι u = z, v = tanh 1 y x άρα η αντίστροφη είναι X 1 : V U, (x, y, z) (u, v) = ( z, tanh 1 x) y, η οποία είναι συνεχής. Συνεπώς, η X είναι ομοιομορφισμός. δ) Είναι X u = ( cosh v, sinh v, 2u ), X v = ( u sinh v, u sinh v, 0 ), άρα X u X v = ( 2u 2 cosh v, 2u 2 sinh v, u ) (0, 0, 0) για κάθε (u, v) U. Παράδειγμα Να δείξετε ότι η συνάρτηση X : (0, ) (0, ) R 3, X(u, v) = (u, 2u, uv 2 ) αποτελεί παραμέτρηση επιφάνειας.

15 Λυμένα παραδείγματα 15 Λύση Η X είναι λεία, αφού οι μερικές παράγωγοι των u, 2u, uv 2 είναι συνεχείς και επίσης είναι 1-1, επειδή X(u 1, v 1 ) = X(u 2, v 2 ) (u 1, v 1 ) = (u 2, v 2 ). Η αντίστροφη απεικόνιση δίνεται ως X 1 (x, y, z) = ( ) z x,, x η οποία είναι συνεχής, αφού για κάθε (x, y, z) X(U) ισχύει ότι x 0 (και x, z > 0). Τέλος, με απλούς υπολογισμούς βρίσκουμε ότι X u X v = (4uv, 2uv, 0) (0, 0, 0), οπότε η απεικόνιση X αποτελεί μια παραμέτρηση μιας επιφάνειας. Παράδειγμα Εξετάστε εάν το σύνολο M = {(x, y, z) R 3 : x z+f(y z) = 0}, όπου f : R R μια διαφορίσιμη συνάρτηση, είναι μια κανονική επιφάνεια. Λύση Θεωρούμε την απεικόνιση F : R 3 R με F (x, y, z) = x z + f(y z). Εχουμε ότι M = F 1 ({0}). Η απεικόνιση F είναι διαφορίσιμη και F (x, y, z) = (1, f (y z), 1 f (y z)). Παρατηρούμε ότι για κάθε (x, y, z) M είναι F (x, y, z) (0, 0, 0), άρα όλα τα σημεία του συνόλου M = F 1 ({0}) είναι κανονικά, επομένως το M είναι μια κανονική επιφάνεια. Παράδειγμα Να δειχθεί ότι το σύνολο M = {(x, y, z) R 3 : xy + xz zy + y 2 = 2} είναι μια κανονική επιφάνεια και να βρείτε μια παραμέτρηση αυτής σε μια περιοχή του σημείου (1, 1, 1). Λύση Θέτουμε F (x, y, z) = xy + xz zy + y 2 2, οπότε M = F 1 ({0}). Αρκεί να δείξουμε ότι το σύνολο M δεν περιέχει κρίσιμα σημεία. Είναι F (x, y, z) = (y + z, x z + 2y, x y). Τα κρίσιμα σημεία της F είναι τα σημεία για τα οποία ισχύει F (x, y, z) = (0, 0, 0), δηλαδή y + z = 0, x z + 2y = 0, x y = 0 x = y = z = 0. Το (0, 0, 0) δεν ανήκει στο σύνολο M, οπότε το M αποτελεί μια κανονική επιφάνεια του R 3. Προκειμένου να βρούμε μια παραμέτρηση θα λύσουμε ως προς y. Επειδή είναι y 2 + y(x z) 2 + xz = 0 παίρνουμε y = (x z) ± (z x) 2 4(xz 2). 2 Το σημείο (1, 1, 1) ικανοποιεί την παραπάνω εξίσωση μόνο όταν πάρουμε το +. Άρα θέτοντας X(u, v) = ( u, u + v + (u v) uv, v ) 2 έχουμε μια παραμέτρηση της επιφάνειας M σε μια περιοχή του σημείου (1, 1, 1).

16 16 Κανονικές επιφάνειες Παράδειγμα Να βρεθούν οι τιμές του c R για τις οποίες το σύνολο είναι μια κανονική επιφάνεια του R 3 Λύση S = {(x, y, z) R 3 : 4x 5 + 2y 3 y + 3z 2 = c} Εστω f : R 3 R με f(x, y, z) = 4x 5 + 2y 3 y + 3z 2. Τότε S = f 1 (c). Για να είναι το σύνολο S κανονική επιφάνεια, θα πρέπει να μην περιέχει κρίσιμα σημεία. Εχουμε f(x, y, z) = 0 ( f x, f y, f ) = (0, 0, 0) z (20x 4, 6y 2 1, 6z) = (0, 0, 0) (x, y, z) = (0, ± 1, 0), 6 1 άρα τα κρίσιμα σημεία της f είναι τα (0, 6, 0), (0, 1 1 6, 0). Εάν (0, 6, 0) f 1 1 (c) τότε f((0, 6, 0)) = c δηλαδή c = 2 3. Παρόμοια, εάν (0, 1 6 6, 0) f 1 (c) τότε θα είναι c = 2 3. Επομένως το σύνολο 6 S = f 1 (c) ορίζει μια κανονική επιφάνεια για κάθε c R \ {± }. Παράδειγμα Ποιό από τα παρακάτω υποσύνολα του R 3 αποτελεί μια κανονική επιφάνεια; α) M 1 = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 = z} β) M 2 = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 = z 2 }. Σε θετική περίπτωση βρείτε μια παραμέτρηση της επιφάνειας. Λύση α) Θεωρούμε τη συνάρτηση f : R 3 R, f(x, y, z) = x 2 + y 2 z. Τότε M 1 = f 1 (0) και f = (2x, 2y, 1) (0, 0, 0) για κάθε (x, y, z) R 3. Μια παραμέτρηση της M 1 είναι η X(u, v) = (u, v, u 2 + v 2 ). β) Θεωρούμε τη συνάρτηση f : R 3 R, f(x, y, z) = x 2 + y 2 z 2. Τότε M 2 = f 1 (0) και f = (2x, 2y, 2z) το οποίο είναι μη μηδενικό διάνυσμα για κάθε (x, y, z) M 2 \{(0, 0, 0)}. Άρα η M 2 είναι κανονική επιφάνεια σε κάθε σημείο, εκτός από το (0, 0, 0) όπου δεν είναι κανονική. Παραπέμπουμε στη βιβλιογραφία για πλήρη απόδειξη του σημείου αυτού. Μια παραμέτρηση των δύο κανονικών τμημάτων της M 2 είναι X ± : R 2 \ {(0, 0)} R 3, X ± (u, v) = ( u, v, ± u 2 + v 2). Παράδειγμα Να κατασκευαστεί μια αμφιδιαφόριση μεταξύ του ελλειψοειδούς E = {(x, y, z) R 3 : x2 a 2 + y2 b 2 + z2 = 1}, abc 0 c2 και της μοναδιαίας σφαίρας με κέντρο το 0, δηλαδή S 2 = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 1}.

17 Ασκήσεις 17 Λύση Θεωρούμε την απεικόνιση F : R 3 R 3 με F (x, y, z) = ( x a, y b, z ), η οποία είναι, προφανώς αμφιδιαφόριση, c με αντίστροφη την F 1 : R 3 R 3, (x, y, z) (ax, by, cz). Εύκολα προκύπτει ότι F (E) S 2 και F 1 (S 2 ) E. Επομένως, η απεικόνιση είναι μια αμφιδιαφόριση. f = F S : E S Ασκήσεις 1. Ποιό από τα παρακάτω υποσύνολα του R 3 αποτελεί μια κανονική επιφάνεια; M 1 = { (x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 = z } M 2 = { (x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 = z 2} M 3 = { (x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 z 2 = 1 } M 4 = { (x, y, z) R 3 : x sin z = y cos z }. Για τα σύνολα τα οποία αποτελούν μια κανονική επιφάνεια του R 3, βρείτε μια παραμέτρηση. 2. Βρείτε μια παραμέτρηση του επιπέδου ax + by + cz = d του R Κατασκευάστε μια αμφιδιαφόριση ϕ : S 2 M μεταξύ της μοναδιαίας σφαίρας S 2 και του ελλειψοειδούς M = { (x, y, z) R 3 : x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 1 }. 4. Εστω U = { (u, v) R 2 : π < u < π, 0 < v < 1 } και X : U R 3 με X(u, v) = (sin u, sin(2u), v). Εστω M = X(U). Σχεδιάστε το γράφημα του συνόλου M και δείξτε ότι η X είναι διαφορίσιμη, 1-1 και ότι είναι μια κανονική παραμέτρηση, παρόλα αυτά δείξτε ότι η X 1 δεν είναι συνεχής. Είναι η M μια κανονική επιφάνεια του R 3 ; 5. Εργαστείτε όπως στο Παράδειγμα 2.6, για τις επιφάνειες που ορίζονται ως ακολούθως: (1) Την σφαίρα X(u, v) = (r cos u sin v, r sin u sin v, r cos v), 0 u 2π, π 2 v π 2 (2) Τον κώνο X(u, v) = (u cos v, u sin v, αu) (3) Τον κύλινδρο X(u, v) = (α cos u, α sin v, βv) (4) Το ελλειψοειδές X(u, v) = (α cos u cos v, β sin u cos v, γ sin v) (5) Το υπερβολικό παραβολοειδές X(u, v) = (αu cosh u, βu sinh v, u 2 ) 6. Εστω f(x, y, z) = (x+y +z 1) 1 και g(x, y, z) = xyz 2. Να βρεθούν τα κρίσιμα σημεία και οι κρίσιμες τιμές των f, g. Για ποιές τιμές του c είναι τα σύνολα f 1 ({c}) και g 1 ({c}) κανονικές επιφάνειες του R 3 ; 7. Να δικαιολογηθεί γιατί το ελλειπτικό παραβολοειδές, που καθορίζεται από την εξίσωση z = x 2 + y 2, είναι αμφιδιαφορικό με ένα επίπεδο.

18 18 Κανονικές επιφάνειες 8. Να αποδειχθεί ότι η απεικόνιση X : U R 3 με X(u, v) = (a cos u sin v, b sin u sin v, c cos v), όπου U = R (0, π), είναι παραμέτρηση του ελλειψοειδούς. Να περιγραφούν οι u- και v-καμπύλες. 9. Εστω a, b 0. Αποδείξτε ότι οι εξισώσεις x 2 + y 2 + z 2 = ay και x 2 + y 2 + z 2 = bz ορίζουν κανονικές επιφάνειες του R 3. Στη συνέχεια, αποδείξτε ότι οι επιφάνειες αυτές τέμνονται κάθετα.

19 Βιβλιογραφία [1] M. Abate and F. Torena, Curves and Surfaces, Springer [2] C. Bär, Elementary Differential Geometry, Cambridge Univ. Press [3] M. P. do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall [4] J. Oprea, Differential Geometry and Its Applications, The Mathematical Assocation of America, [5] Β. Ι. Παπαντωνίου, Διαφορική Γεωμετρία, Εκδ. Πανεπιστ. Πατρών, Πάτρα, [6] A. Pressley, Elementary Differential Geometry, Second Edition, Springer Μετάφραση: Στοιχειώδης Διαφορική Γεωμετρία, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Κρήτη

= DX(0, 0)(ae 1 + be 2 ) = adx(0, 0)e 1 + bdx(0, 0)e 2 = ax u (0, 0) + bx v (0, 0).

= DX(0, 0)(ae 1 + be 2 ) = adx(0, 0)e 1 + bdx(0, 0)e 2 = ax u (0, 0) + bx v (0, 0). Κεφάλαιο 3 Ο εφαπτόμενος χώρος Σύνοψη Ο εφαπτόμενος χώρος μιας κανονικής επιφάνειας αποτελεί τη βέλτιση γραμμική προσέγγιση της επιφάνειας σε ένα σημείο της. Αποτελείται από όλα τα εφαπτόμενα διανύσματα

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία

Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία 33 Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία Ενότητα: Ο εφαπτόμενος χώρος Όνομα Καθηγητή: Ανδρέας Αρβανιτογεώργος Τμήμα: Μαθηματικών 33 34 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία

Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία 71 Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία Ενότητα: Λσμένα Παραδείγματα Όνομα Καθηγητή: Ανδρέας Αρβανιτογεώργος Τμήμα: Μαθηματικών 71 72 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία II

Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία II Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία II Ενότητα: Σσναλλοίωτη παράγωγος και παράλληλη μεταφορά Όνομα Καθηγητή: Ανδρέας Αρβανιτογεώργος Τμήμα: Μαθηματικών 17 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία II

Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία II Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία II Ενότητα: Επαναληπτικά θέματα Όνομα Καθηγητή: Ανδρέας Αρβανιτογεώργος Τμήμα: Μαθηματικών x Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

X u, X u. Z = X u. W EG F 2 (X v F E X u). X u, X v X v, X v

X u, X u. Z = X u. W EG F 2 (X v F E X u). X u, X v X v, X v Κεφάλαιο 6 Το Θαυμαστό Θεώρημα Σύνοψη Στο Κεφάλαιο αυτό αποδεικνύουμε ένα από τα δύο κεντρικά θεωρήματα της θεωρίας επιφανειών το άλλο είναι το Θεώρημα των auss-bonnet. Το θεώρημα αυτό είναι γνωστό ως

Διαβάστε περισσότερα

1 C k 1 = 1 C 2 sin 2 t, k 2 =

1 C k 1 = 1 C 2 sin 2 t, k 2 = Κεφάλαιο 11 Επιφάνειες σταθερής καμπυλότητας Gauss Σύνοψη Παρουσιάζουμε χωρίς απόδειξη την ταξινόμηση των επιφανειών του R 3 με σταθερή καμπυλότητα Gauss, θετική, μηδέν, ή αρνητική. Εξετάζουμε χωριστά

Διαβάστε περισσότερα

I p : T p M R +, I p (Z) = Z, Z p = Z 2.

I p : T p M R +, I p (Z) = Z, Z p = Z 2. Κεφάλαιο 4 Η πρώτη θεμελιώδης μορφή Σύνοψη Ενας από τους κεντρικούς στόχους της διαφορικής γεωμετρίας είναι η ανάπτυξη ενός αποτελεσματικού τρόπου μέτρησης της καμπυλότητας γεωμετρικών αντικειμένων τα

Διαβάστε περισσότερα

[4], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11].

[4], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11]. Κεφάλαιο 8 Συναλλοίωτη παράγωγος και παραλληλία Σύνοψη Ορίζουμε την έννοια του διανυσματικού πεδίου σε μια επιφάνεια και τη συναλλοίωτη παράγωγο αυτού κατά μήκος μιας λείας καμπύλης. Ενα διανυσματικό πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία II

Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία II Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία II Ενότητα: Γεωδαιζιακές καμπύλες Όνομα Καθηγηηή: Ανδρέας Αρβανιηογεώργος Τμήμα: Μαθημαηικών 23 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση ΙI

Μαθηματική Ανάλυση ΙI Π Δ Μ Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση ΙI Δρ. Θεόδωρος Ζυγκιρίδης 25 Μαΐου 211 2 Περιεχόμενα 1 Ο χώρος R n 1 1.1 Ο Ευκλείδιος n-χώρος..................................

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία

Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία 48 Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία Ενότητα: Καμπσλότητα Όνομα Καθηγητή: Ανδρέας Αρβανιτογεώργος Τμήμα: Μαθηματικών 48 49 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/2012

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/2012 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: : : : ma 3 για κάθε Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: 3 3 Τι συμπεραίνετε για τις παραπάνω νόρμες του Αν θεωρήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΜΕΣΩ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ CLAIRAUT

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΜΕΣΩ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ CLAIRAUT ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΜΕΣΩ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ CLAIRAUT Αρβανιτογεώργος Ανδρέας Πατέρας Ιωάννης ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ Στόχος Εργασίας Η εύρεση των γεωδαισιακών καμπυλών πάνω σε μια επιφάνεια.

Διαβάστε περισσότερα

Διάνυσμα του Plücker

Διάνυσμα του Plücker ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α.Π.Θ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗ ΘΕΩΡΗΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΥΘΕΙΑΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2016-17 Διδάσκων: Αναπλ. Kαθηγητής Στυλιανός Σταματάκης ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1.

Διαβάστε περισσότερα

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι 36 6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι Έστω R διάστημα και f : R συνεχής συνάρτηση τότε, όπως γνωρίζουμε από τον Απειροστικό Λογισμό, η f έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσου τιμής. Η ιδιότητα αυτή δεν εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3 η : Εισαγωγικές Ένvοιες ΙI Λουκάς Βλάχος Καθηγητής Αστροφυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1 Γενικά Επειδή οι επιφάνειε δευτέρου βαθμού συναντώνται συχνά στη μελέτη των συναρτήσεων πολλών μεταβλητών θεωρούμε σκόπιμο να τι περιγράψουμε στην αρχή του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/ Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: 0 2 xx, που ισχύει.

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/ Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: 0 2 xx, που ισχύει. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: Ν : = + + + Ν : = + + + Ν : = ma 3 για κάθε = ( ) Να αποδείξετε ότι για κάθε = ( ) ισχύει: Ν ( ) Ν ( ) Ν ( ) Ν (

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ ΘΕΣΕΟΓΡΑΦΙΚΩΝ ΧΩΡΩΝ

ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ ΘΕΣΕΟΓΡΑΦΙΚΩΝ ΧΩΡΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 01-1 ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι Καθηγητής: Σ. Πνευματικός Μάθημα 4 ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ ΘΕΣΕΟΓΡΑΦΙΚΩΝ ΧΩΡΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ Ο Διαφορικός

Διαβάστε περισσότερα

1 x m 2. degn = m 1 + m m n. a(m 1 m 2...m k )x m 1

1 x m 2. degn = m 1 + m m n. a(m 1 m 2...m k )x m 1 1 Πολυώνυμα και συσχετικός χώρος Ορισμός 3.1 Ενα μονώνυμο N στις μεταβλητές x 1, x 2,..., x n είναι ένα γινόμενο της μορφής x m 1 2...x m n n, όπου όλοι οι εκθέτες είναι φυσικοί αριθμοί. Ο βαθμός του μονωνύμου

Διαβάστε περισσότερα

14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών.

14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών. 14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών. 13 η εβδομάδα (16/01/2017 & 19/01/2017) Ασυμπτωτική διεύθυνση και ασυμπτωτικό

Διαβάστε περισσότερα

14 η εβδομάδα (27/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 39, 41 και 42. Έγινε επανάληψη και λύθηκαν ερωτήματα και απορίες.

14 η εβδομάδα (27/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 39, 41 και 42. Έγινε επανάληψη και λύθηκαν ερωτήματα και απορίες. 14 η εβδομάδα (27/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 39, 41 και 42. Έγινε επανάληψη και λύθηκαν ερωτήματα και απορίες. 13 η εβδομάδα (20/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 31, 32, 33, 34, 36 και 37 11 η 12 η εβδομάδα

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία II

Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία II Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία II Ενότητα: Το Θεώρημα Gauss - Bonnet Όνομα Καθηγητή: Ανδρέας Αρβανιτογεώργος Τμήμα: Μαθηματικών 39 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

{ } M =: T a. a M ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟΥ ΧΩΡΟΥ 3. )} i I. ,φ i. A(M) = {(U i = M. U i i I

{ } M =: T a. a M ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟΥ ΧΩΡΟΥ 3. )} i I. ,φ i. A(M) = {(U i = M. U i i I 4. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟΥ ΧΩΡΟΥ Ο Διαφορικός Λογισμός σε ομαλές επιφάνειες του τρισδιάστατου ευκλείδειου χώρου αποτελεί προπομπό ει- σαγωγής στη θεωρία των Διαφορικών Πολλαπλοτήτων,

Διαβάστε περισσότερα

t=0 t=0 (2) v(fg) = v(f)g(p) + f(p)v(g),

t=0 t=0 (2) v(fg) = v(f)g(p) + f(p)v(g), Κεφάλαιο 3 Το διαφορικό μιας λείας απεικόνισης Σύνοψη Ορίζουμε ένα εφαπτόμενο διάνυσμα σε ένα σημείο μιας πολλαπλότητας ως μια παραγώγιση κατά σημείο. Το σύνολο όλων των εφαπτόμενων διανυσμάτων σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

γ(0) = γ(0) tan + γ(0) norm, γ(t) tan = 0 (9.1)

γ(0) = γ(0) tan + γ(0) norm, γ(t) tan = 0 (9.1) Κεφάλαιο 9 Γεωδαισιακές καμπύλες Σύνοψη Ως γνωστόν οι ευθείες γραμμές παίζουν καθοριστικό ρόλο στη γεωμετρία του επιπέδου. Σκοπός του κεφαλαίου αυτού είναι να ορίσουμε εκείνες τις καμπύλες σε μια επιφάνεια,

Διαβάστε περισσότερα

α) f(x(t), y(t)) = 0,

α) f(x(t), y(t)) = 0, Ρητές καμπύλες Μια επίπεδη αλγεβρική καμπύλη V (f) είναι το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου K 2 που μηδενίζουν κάποιο συγκεκριμένο ανάγωγο πολυώνυμο f K[x, y], δηλαδή V (f) = {(x 0, y 0 ) K 2 f(x

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικός Λογισμός πολλών μεταβλητών

Διαφορικός Λογισμός πολλών μεταβλητών Διαφορικός Λογισμός πολλών μεταβλητών Πρόχειρες σημειώσεις Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 1η εβδομάδα. Τα στοιχεία του R n είναι όλα τα n-διάστατα διανύσματα ή, ισοδύναμα,

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Βασικές Έννοιες των Διαφορικών Εξισώσεων

1.1 Βασικές Έννοιες των Διαφορικών Εξισώσεων Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικά Στο κεφάλαιο αυτό θα παρουσιάσουμε τις βασικές έννοιες και ορισμούς των Διαφορικών Εξισώσεων. Στο εδάφιο 1.1 παρουσιάζονται οι βασικές έννοιες και ορισμοί των διαφορικών εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6. a2 x 2 y 2. = y

ΛΥΣΕΙΣ 6. a2 x 2 y 2. = y ΛΥΣΕΙΣ 6. Οι ασκήσεις από το βιβλίο των Marsden - romba. 7.5. Θεωρούμε την παραμετρικοποίηση rx, y = x, y, a 2 x 2 y 2, όπου το x, y διατρέχει τον δίσκο στο xy-επίπεδο που ορίζεται από την x 2 +y 2 a 2.

Διαβάστε περισσότερα

Απειροστικός Λογισμός ΙΙ, εαρινό εξάμηνο Φυλλάδιο ασκήσεων επανάληψης.

Απειροστικός Λογισμός ΙΙ, εαρινό εξάμηνο Φυλλάδιο ασκήσεων επανάληψης. Απειροστικός Λογισμός ΙΙ, εαρινό εξάμηνο 2016-17. Φυλλάδιο ασκήσεων επανάληψης. 1. Για καθεμία από τις παρακάτω συναρτήσεις ελέγξτε βάσει του ορισμού της παραγωγισιμότητας αν είναι παραγωγίσιμη στο αντίστοιχο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις ẋ 1 f 1 (x 1 x 2 ) ẋ 2 f 2 (x 1 x 2 ) (501) Το σύστημα αυτό γράφεται σε διανυσματική

Διαβάστε περισσότερα

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1.1 Όρια ακολουθιών Λέμε ότι η ακολουθία { n } συγκλίνει με όριο R αν για κάθε ϵ > 0 υπάρχει ακέραιος N = N(ϵ) τέτοιος ώστε (1.1) n < ϵ για κάθε n > N, και

Διαβάστε περισσότερα

4. Να βρεθεί η προβολή του σημείου Ρ=(6,1,5) πάνω στην ευθεία ε: x ={3,1,2}+λ{1,2,1},, και η απόστασή του από αυτήν.

4. Να βρεθεί η προβολή του σημείου Ρ=(6,1,5) πάνω στην ευθεία ε: x ={3,1,2}+λ{1,2,1},, και η απόστασή του από αυτήν. ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΙI Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ ΑΚΑΔ. ΕΤΟΣ 009-00 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο V Ι. Δίνονται οι ευθείες δ: x ={,0,0}+λ{,,}, ε: x -x + x -=0, x -x =. Να εξετάσετε αν οι ευθείες δ, ε είναι ασύμβατες. Αν ναι, βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

X vu = Γ 1 21X u + Γ 2 21X v + fn. X vv = Γ 1 22X u + Γ 2 22X v + gn, (7.2) X u = (cos u cos v, cos u sin v, sin u)

X vu = Γ 1 21X u + Γ 2 21X v + fn. X vv = Γ 1 22X u + Γ 2 22X v + gn, (7.2) X u = (cos u cos v, cos u sin v, sin u) Κεφάλαιο 7 Οι εξισώσεις Codazzi και Gauss Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε με μια βαθύτερη κατανόηση της καμπυλότητας Gauss. Θα ορίσουμε τα σύμβολα του Christoffel, τα οποία είναι πραγματικές συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

N(q) = N(X(u, v)) = X u(u, v) X v (u, v) X u (u, v) X v (u, v)

N(q) = N(X(u, v)) = X u(u, v) X v (u, v) X u (u, v) X v (u, v) Κεφάλαιο 5 Η απεικόνιση Gauss και καμπυλότητα Σύνοψη Ενας από τους κεντρικούς στόχους της διαφορικής γεωμετρίας είναι η εύρεση ενός φυσικού και αποτελεσματικού τρόπου, προκειμένου να μετρηθεί η κύρτωση

Διαβάστε περισσότερα

X u X v 2 = X u 2 X v 2 (1 cos 2 θ) = X u 2 X v 2 X u, X v 2 = EG F 2, da =

X u X v 2 = X u 2 X v 2 (1 cos 2 θ) = X u 2 X v 2 X u, X v 2 = EG F 2, da = Κεφάλαιο 1 Το Θεώρημα Gauss-Bonnet Σύνοψη Το Θεώρημα των Gauss - Bonnet αποτελεί ένα από τα πιο σημαντικά (αν όχι το πιο σημαντικό) αποτελέσματα της διαφορικής γεωμετρίας των επιφανειών. Μέσω του θεωρήματος

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Αφφινικοί Μετασχηματισμοί Αναπαράσταση Γεωμετρικών Μορφών

Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Αφφινικοί Μετασχηματισμοί Αναπαράσταση Γεωμετρικών Μορφών Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή Γεωμετρικός Πυρήνας Γεωμετρικός Πυρήνας Αφφινικοί Μετασχηματισμοί Αναπαράσταση Γεωμετρικών Μορφών Γεωμετρικός Πυρήνας Εξομάλυνση Σημεία Καμπύλες Επιφάνειες

Διαβάστε περισσότερα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (1/7/ 2013) y x + y.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (1/7/ 2013) y x + y. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (/7/ 203) ΘΕΜΑ. (α) Δίνεται η συνάρτηση f : R 2 R με f(x, y) = xy x + y, αν (x, y) (0, 0) και f(0, 0) = 0. Δείξτε ότι η f είναι συνεχής στο (0, 0). (β) Εξετάστε αν

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017 Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση M(x, y) + (x, y)y = 0 ή ισοδύναμα, γραμμένη στην μορφή M(x,

Διαβάστε περισσότερα

από t 1 (x) = A 1 x A 1 b.

από t 1 (x) = A 1 x A 1 b. Σύνοψη Κεφαλαίου 2: Ομοπαραλληλική Γεωμετρία Γεωμετρία και μετασχηματισμοί 1. Μία ισομετρία του R 2 είναι μία απεικόνιση από το R 2 στο R 2 που διατηρεί αποστάσεις. Κάθε ισομετρία του R 2 έχει μία από

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο 1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 4. bt (γιατί;).

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 4. bt (γιατί;). ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ 1 Τμήμα Α Ακ.Έτος: 6-7 Διδάσκων Σ.Ε.Π. : Τρύφων Δάρας ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 4 ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Μία συνάρτηση της μορφής r ():[ aβ, ] (αντίστοιχα r ():[, ] aβ ) λέμε ότι παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΧΩΡΟ MINKOWSKI R 1

ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΧΩΡΟ MINKOWSKI R 1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Π.Μ.Σ. ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΧΩΡΟ MINKOWSKI R 1 3 ΑΛΕΞΑΝΔΡΑ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΔΟΥ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΓΕΩΡΓΙΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 015 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! Bookmark not defined. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Λογισμός ΙΙ. Χρήστος Θ. Αναστασίου Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Λογισμός ΙΙ. Χρήστος Θ. Αναστασίου Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Λογισμός ΙΙ Χρήστος Θ. Αναστασίου Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

x (t) u (t) = x 0 u 0 e 2t,

x (t) u (t) = x 0 u 0 e 2t, Κεφάλαιο 7 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ Η ευαισθησία της λύσης μιας ΔΕ σε μεταβολές της αρχικής τιμής είναι έ- να θεμελιώδες ζήτημα στη θεωρία αλλά και στις εφαρμογές των διαφορικών εξισώσεων. Παράδειγμα 7.0.3.

Διαβάστε περισσότερα

b proj a b είναι κάθετο στο

b proj a b είναι κάθετο στο ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Βρείτε όλα τα σηµεία P τέτοια ώστε η απόσταση του P από το A(, 5, 3) είναι διπλάσια από την απόσταση του P από το B(6, 2, 2). είξτε ότι το σύνολο όλων αυτών των σηµείων είναι σφαίρα.

Διαβάστε περισσότερα

Μέγιστα & Ελάχιστα. ΗΥ111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ

Μέγιστα & Ελάχιστα. ΗΥ111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ ΗΥ-111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Μέγιστα & Ελάχιστα 1 μεταβλητή: Τύπος Taylor Aν y=f(x) είναι καλή συνάρτηση f '( a) f ''( a) f ( a) f x f a x a x a x a R x 1!! n! n + 1 f ( c) n + 1 Rn ( x) = ( x a), a

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 2 Ορια και συνέχεια συναρτήσεων 2.1 Πραγµατικές συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

cos ϑ sin ϑ sin ϑ cos ϑ

cos ϑ sin ϑ sin ϑ cos ϑ ΜΕΜ 102 Γεωμετρία και Γραμμική Άλγεβρα Διάλεξη 33 Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης Νοε 2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) ΜΕΜ 102-33 Νοε 2014 1 / 11 Μετασχηματισμοί του επιπέδου Πολλοί μετασχηματισμοί

Διαβάστε περισσότερα

V (F ) = {(u 1, u 2, u 3 ) P 2 K F (u 1, u 2, u 3 ) = 0}

V (F ) = {(u 1, u 2, u 3 ) P 2 K F (u 1, u 2, u 3 ) = 0} 1 Θεώρημα BEZOU T Ο δακτύλιος K[x 1,..., x n ] είναι περιοχή μονοσήμαντης ανάλυσης. Άρα κάθε πολυώνυμο f K[x 1,..., x n ] (που δεν είναι σταθερά, δηλαδή f / K) αναλύεται σε γινόμενο αναγώγων πολυωνύμων,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. 5 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 35

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. 5 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 35 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. 5 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 15 1. Γενικά.. 15 Επιφάνεια 15 Ευθειογενεί επιφάνειε. 15 Επιφάνειε δευτέρου βαθμού.. 16 2. Μερικέ επιφάνειε δευτέρου

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

T M = T p U = v p = c i

T M = T p U = v p = c i Κεφάλαιο 4 Διανυσματικά πεδία Σύνοψη Ορίζουμε και μελετάμε λεία διανυσματικά πεδία σε μια λεία πολλαπλότητα M. Ως λεία απεικόνιση, ένα διανυσματικό πεδίο έχει τη μορφή X : M T M με τιμές στην εφαπτόμενη

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

{ } S= M(x, y,z) : x= f (u,v), y= f (u,v), z= f (u,v), για u,v (1.1)

{ } S= M(x, y,z) : x= f (u,v), y= f (u,v), z= f (u,v), για u,v (1.1) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1. Γενικά Επειδή οι επιφάνειες δευτέρου βαθµού συναντώνται συχνά στη µελέτη των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών θεωρούµε σκόπιµο να τις περιγράψουµε στην αρχή του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

ή κανονικός ( regular ), αν για κάθε x και κάθε κλειστό αντιπαραδείγματα με τα οποία αποδεικνύεται ότι οι αντίστροφες συνεπαγωγές δεν ισχύουν.

ή κανονικός ( regular ), αν για κάθε x και κάθε κλειστό αντιπαραδείγματα με τα οποία αποδεικνύεται ότι οι αντίστροφες συνεπαγωγές δεν ισχύουν. 93 4 Διαχωριστικά αξιώματα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε τα λεγόμενα διαχωριστικά αξιώματα και εξετάζουμε τις βασικές ιδιότητές τους. Ένα από αυτά το έχουμε ήδη εισαγάγει δηλαδή το αξίωμα Husdorff ( ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 6 KΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Η θεωρία μεγίστων και ελαχίστων μιας πραγματικής συνάρτησης με μια μεταβλητή είναι γνωστή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε τη θεωρία μεγίστων και ελαχίστων

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνας της αλυσίδας. J ανοικτά διαστήματα) ώστε ( ), ( ) ( ) ( ) fog ' x = f ' g x g ' x, x I (2)

Κανόνας της αλυσίδας. J ανοικτά διαστήματα) ώστε ( ), ( ) ( ) ( ) fog ' x = f ' g x g ' x, x I (2) 8 Κανόνας της αλυσίδας Από τον Απειροστικό Λογισμό για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι: Αν g : I R R και f : J R R είναι συναρτήσεις ( όπου I, J ανοικτά διαστήματα ώστε, g( τότε η : I g I J

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 17 Οκτωβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 17 Οκτωβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Οκτωβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 5 Νοεμβρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Ορισμός. Αν τα και είναι τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων και αντίστοιχα η συνάρτηση που ορίζεται από τη σχέση όπου (συνιστώσες) είναι

Διαβάστε περισσότερα

σ (9) = i + j + 3 k, σ (9) = 1 6 k.

σ (9) = i + j + 3 k, σ (9) = 1 6 k. Ασκήσεις από το Διανυσματικός Λογισμός των Marsden - romba και από το alculus του Apostol. 1. Βρείτε τα διανύσματα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης και την εξίσωση της εφαπτομένης για κάθε μία από τις

Διαβάστε περισσότερα

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95 Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας Θ. Κεχαγιας Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95 Περιεχόµενα Εισαγωγη 1 Επιπεδα στον Τρισδιαστατο Χωρο 1 1.1 Θεωρια.................................... 1 1.2 Λυµενες Ασκησεις..............................

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Πραγματικές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών (μέρος 1) Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

1 m z. 1 mz. 1 mz M 1, 2 M 1

1 m z. 1 mz. 1 mz M 1, 2 M 1 Σύνοψη Κεφαλαίου 6: Υπερβολική Γεωμετρία Υπερβολική γεωμετρία: το μοντέλο του δίσκου 1. Στο μοντέλο του Poincaré της υπερβολικής γεωμετρίας, υπερβολικά σημεία είναι τα σημεία του μοναδιαίου δίσκου, D =

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνες παραγώγισης ( )

Κανόνες παραγώγισης ( ) 66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

(β ) ((X c Y ) (X c Y c )) c

(β ) ((X c Y ) (X c Y c )) c Λύσεις Ασκήσεων στα Θεμέλια των Μαθηματικών II Ρωμανός-Διογένης Μαλικιώσης Παρασκευή, 29 Οκτωβρίου 2010 Άσκηση 1. Απλοποιήστε τις ακόλουθες εκφράσεις (α ) (D c F ) c (D F ) (β ) ((X c Y ) (X c Y c )) c

Διαβάστε περισσότερα

f f 2 0 B f f 0 1 B 10.3 Ακρότατα υπό συνθήκες Πολλαπλασιαστές του Lagrange

f f 2 0 B f f 0 1 B 10.3 Ακρότατα υπό συνθήκες Πολλαπλασιαστές του Lagrange Μέγιστα και ελάχιστα 39 f f B f f yx y x xy Οι ιδιοτιμές του πίνακα Β είναι λ =-, λ =- και οι δυο αρνητικές, άρα το κρίσιμο σημείο (,) είναι σημείο τοπικού μεγίστου. Εφαρμογή 6: Στο παράδειγμα 3 ο αντίστοιχος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάμε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων Αυτές συνδέονται μεταξύ τους με την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Στο ομοπαραλληλικό επίπεδο δίνεται το σύστημα συντεταγμένων S { A, A, A }.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Στο ομοπαραλληλικό επίπεδο δίνεται το σύστημα συντεταγμένων S { A, A, A }. ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΠΘ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Ι ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 0-3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Στο ομοπαραλληλικό επίπεδο δίνεται το σύστημα συντεταγμένων S { A, A, A }. 0 ' Θεωρούμε τα σημεία A, A, A που ορίζονται

Διαβάστε περισσότερα

t : (x, y) x 2 +y 2 y x

t : (x, y) x 2 +y 2 y x Σύνοψη Κεφαλαίου 5: Αντιστροφική Γεωμετρία Αντιστροφή 1. Η ανάκλαση σε μία ευθεία l στο επίπεδο απεικονίζει ένα σημείο A σε ένα σημείο A που απέχει ίση απόσταση από την l αλλά βρίσκεται στην άλλη πλευρά

Διαβάστε περισσότερα

2x 2 y. f(y) = f(x, y) = (xy, x + y)

2x 2 y. f(y) = f(x, y) = (xy, x + y) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Εστω f : R R η συνάρτηση με τύπο y + x sin 1, για y 0, f(x, y) = y 0, για y = 0. (α) Να αποδειχθεί οτι lim f(x, y) = 0. (x,y) (0,0) (β) Να αποδειχθεί οτι το lim(lim f(x, y)) δεν

Διαβάστε περισσότερα

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν:

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1. Για τα διανύσματα α, β δίνεται ότι α =1, β = και u α β, v α - β.να υπολογίσετε: π (α,β). Έστω τα διανύσματα α. το εσωτερικό γινόμενο α β β. τα μέτρα u, v των διανυσμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 D (, ) :9 0, 4 0 (, ) :

Διαβάστε περισσότερα

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Χειμερινό εξάμηνο ακαδημαϊκού έτους 24-25, Διδάσκων: Α.Τόγκας ο φύλλο προβλημάτων Ονοματεπώνυμο - ΑΜ: ΜΔΕ ο φύλλο προβλημάτων Α. Τόγκας

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων.

Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Χώρος Διανύσματα Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Καρτεσιανές συντεταγμένες και διανύσματα στο χώρο. Στο σύστημα καρτεσιανών (ή ορθογώνιων) συντεταγμένων κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΕΚΤΑΣΗΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΕΚΤΑΣΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΕΚΤΑΣΗΣ ΟΝΟΜΑ ΦΟΙΤΗΤΗ ΠΑΤΕΡΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Συστήματα συντεταγμένων Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου στον χώρο. Κοινά συστήματα συντεταγμένων: Καρτεσιανό (x, y, z) Πολικό (r, θ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οι άξονες

Διαβάστε περισσότερα

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. Λογισμός 3 Ασκήσεις. Μιχάλης Μαριάς Τμήμα Α.Π.Θ.

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. Λογισμός 3 Ασκήσεις. Μιχάλης Μαριάς Τμήμα Α.Π.Θ. Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Λογισμός 3 Μιχάλης Μαριάς Τμήμα Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, 2015 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

= lim. e 1. e 2. = lim. 2t 3

= lim. e 1. e 2. = lim. 2t 3 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ, 6/06/017 Θέμα 1. Δίνεται η συνάρτηση f : R R με f(0, 0) = 0 και f(x, y) = x3 + y 3 x + y αν (x, y) (0, 0). (i) Δείξτε ότι η f είναι συνεχής στο (0, 0). (ii) Αν u

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

x 2 + y 2 x y

x 2 + y 2 x y ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Εαρινό Εξάμηνο 014-15 Τμήμα Μαθηματικών και Διδάσκων: Χρήστος Κουρουνιώτης Εφαρμοσμένων Μαθηματικών ΜΕΜ0 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Φυλλάδιο Προβλημάτων Κύκλος, Ελλειψη, Υπερβολή, Παραβολή

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 3. Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Λογισμός 3. Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ Διαλ Σήμερα...? q Λογισμό μεταβολών (calculus of variations)

ΦΥΣ Διαλ Σήμερα...? q Λογισμό μεταβολών (calculus of variations) ΦΥΣ 11 - Διαλ.09 1 Σήμερα...? q Λογισμό μεταβολών (calculus of variations) Λογισμός μεταβολών - εισαγωγικά ΦΥΣ 11 - Διαλ.09 q Εύρεση του ελάχιστου ή μέγιστου μιας ποσότητας που εκφράζεται με τη μορφή ενός

Διαβάστε περισσότερα

,..., v n. W πεπερασμένα παραγόμενοι και dimv. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα f είναι ισομορφιμός. f είναι 1-1. f είναι επί.

,..., v n. W πεπερασμένα παραγόμενοι και dimv. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα f είναι ισομορφιμός. f είναι 1-1. f είναι επί. Γραμμική Άλγεβρα Ι, 07-8 Ασκήσεις7: Γραμμικές Απεικονίσεις Βασικά σημεία Ορισμός και παραδείγματα γραμμικών απεικονίσεων Σύνθεση γραμμικών απεικονίσεων, ισομορφισμοί Κάθε γραμμική απεικόνιση f : V W, όπου

Διαβάστε περισσότερα