ΕΞΕΤΑΣΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I: ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ

Transcript

1 1 1. Εστω Y, W, Z ανεξάρτητες παρατηρήσεις από κατανοµές Poisson P(θ), P(3θ), P(4θ), αντίστοιχα, (α) (10 µονάδες) Να δειχθεί ότι η οικογένεια κατανοµών του (Y,W,Z) είναι µία ΜΕΟΚ και να (ϐ) (10 µονάδες) Να δειχθεί ότι ο ΑΟΕ εκτιµητής του g(θ) = e 3θ είναι ο δ = (11/8) Y +W+Z. 2. Εστω Y 1,...,Y n, n 2, τυχαίο δείγµα από κανονική κατανοµή N(µ,σ 2 ), θ = (µ,σ 2 ) Θ = (α) (15 µονάδες) Να ϐρεθεί ο ΕΜΠ του µ 2 /σ 2. (ϐ) (10 µονάδες) Να κατασκευασθεί ένα 100(1 α)% διάστηµα εµπιστοσύνης για το 1/σ. (γ) (10 µονάδες) Να εκτιµηθεί το σ µε ένα 99% διάστηµα εµπιστοσύνης αν σε δείγµα µεγέθους δέκα παρατηρήσαµε y i = 30, yi 2 = Εστω W 1,...,W n τυχαίο δείγµα από κατανοµή Bernoulli B(1,θ), θ Θ = (0,1). (ϐ) (10 µονάδες) Να ϐρεθεί η ασυµπτωτική κατανοµή του log θ.

2 2 1. Εστω U, V, W ανεξάρτητες παρατηρήσεις από κατανοµές Poisson P(θ), P(2θ), P(6θ), αντίστοιχα, (α) (10 µονάδες) Να δειχθεί ότι η οικογένεια κατανοµών του (U,V,W) είναι µία ΜΕΟΚ και να (ϐ) (10 µονάδες) Να δειχθεί ότι ο ΑΟΕ εκτιµητής του g(θ) = e 2θ είναι ο δ = (11/9) U+V +W. 2. Εστω V 1,...,V n, n 2, τυχαίο δείγµα από κανονική κατανοµή N(µ,σ 2 ), θ = (µ,σ 2 ) Θ = (α) (15 µονάδες) Να ϐρεθεί ο ΕΜΠ του µ/σ. (ϐ) (10 µονάδες) Να κατασκευασθεί ένα 100(1 α)% διάστηµα εµπιστοσύνης για το 1/σ 3. (γ) (10 µονάδες) Να εκτιµηθεί το σ 3 µε ένα 95% διάστηµα εµπιστοσύνης αν σε δείγµα µεγέθους οκτώ παρατηρήσαµε v i = 32, vi 2 = Εστω U 1,...,U n τυχαίο δείγµα από κατανοµή Bernoulli B(1,θ), θ Θ = (0,1). (ϐ) (10 µονάδες) Να ϐρεθεί η ασυµπτωτική κατανοµή του θ 2.

3 3 1. Εστω X, U, Z ανεξάρτητες παρατηρήσεις από κατανοµές Poisson P(2θ), P(3θ), P(5θ), αντίστοιχα, (α) (10 µονάδες) Να δειχθεί ότι η οικογένεια κατανοµών του (X,U,Z) είναι µία ΜΕΟΚ και να (ϐ) (10 µονάδες) Να δειχθεί ότι ο ΑΟΕ εκτιµητής του g(θ) = e 7θ είναι ο δ = (17/10) X+U+Z. 2. Εστω W 1,...,W n, n 2, τυχαίο δείγµα από κανονική κατανοµή N(µ,σ 2 ), θ = (µ,σ 2 ) Θ = (α) (15 µονάδες) Να ϐρεθεί ο ΕΜΠ του σ/µ. (ϐ) (10 µονάδες) Να κατασκευασθεί ένα 100(1 α)% διάστηµα εµπιστοσύνης για το σ. (γ) (10 µονάδες) Να εκτιµηθεί το 1/σ µε ένα 90% διάστηµα εµπιστοσύνης αν σε δείγµα µεγέθους δώδεκα παρατηρήσαµε w i = 36, wi 2 = Εστω Y 1,...,Y n τυχαίο δείγµα από κατανοµή Bernoulli B(1,θ), θ Θ = (0,1). (ϐ) (10 µονάδες) Να ϐρεθεί η ασυµπτωτική κατανοµή του 1/ θ.

4 4 1. Εστω X, Y, V ανεξάρτητες παρατηρήσεις από κατανοµές Poisson P(2θ), P(4θ), P(6θ), αντίστοιχα, (α) (10 µονάδες) Να δειχθεί ότι η οικογένεια κατανοµών του (X,Y,V ) είναι µία ΜΕΟΚ και να (ϐ) (10 µονάδες) Να δειχθεί ότι ο ΑΟΕ εκτιµητής του g(θ) = e 5θ είναι ο δ = (17/12) X+Y +V. 2. Εστω U 1,...,U n, n 2, τυχαίο δείγµα από κανονική κατανοµή N(µ,σ 2 ), θ = (µ,σ 2 ) Θ = (α) (15 µονάδες) Να ϐρεθεί ο ΕΜΠ του σ 3 /µ 3. (ϐ) (10 µονάδες) Να κατασκευασθεί ένα 100(1 α)% διάστηµα εµπιστοσύνης για το σ 3. (γ) (10 µονάδες) Να εκτιµηθεί το 1/σ 3 µε ένα 80% διάστηµα εµπιστοσύνης αν σε δείγµα µεγέθους έξι παρατηρήσαµε u i = 18, u 2 i = Εστω Z 1,...,Z n τυχαίο δείγµα από κατανοµή Bernoulli B(1,θ), θ Θ = (0,1). (ϐ) (10 µονάδες) Να ϐρεθεί η ασυµπτωτική κατανοµή του θ.

5 Χρήσιµες (και µη) κατανοµές ιωνυµική Αν X B(n,p), n {1,2,...}, 0 < p < 1, τότε ( ) n f(x) = p x (1 p) n x I x {0,1,...,n} (x) και E(X) = np, Var(X) = np(1 p). Poisson Αν X P(λ), λ > 0, τότε λ λx f(x) = e x! I {0,1,2,...}(x) και E(X) = Var(X) = λ. Εκθετική Αν X E(λ), λ > 0, τότε f(x) = 1 λ e x/λ I (0, ) (x) και E(X) = λ, Var(X) = λ 2. Οµοιόµορφη Αν X U(α,β), α < β, τότε f(x) = 1 β α I (α,β)(x). και E(X) = (α + β)/2, Var(X) = (β α) 2 /12. Γάµµα Αν X G(α,β), α,β > 0, τότε f(x) = xα 1 e x/β Γ(α)β α I (0, ) (x) και E(X) = αβ, Var(X) = αβ 2. Κανονική Αν X N(µ,σ 2 ), µ R, σ > 0, τότε f(x) = 1 σ 1 2π e 2σ 2 (x µ)2 I R (x) και E(X) = µ, Var(X) = σ 2. α = P(χ 2 m > χ 2 m,α) 0 χ 2 m,α α α m Ποσοστιαία σηµεία της κατανοµής χ 2 m.