ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΣΤΡΟΓΙΑΝΝΗΣ ΑΛΕΞΙΟΣ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗ» ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΥΝΑΜΙΚΩΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΜΑΣΤΡΟΓΙΑΝΝΗΣ ΑΛΕΞΙΟΣ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ: ΖΑΓΟΥΡΑΣ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ, ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΤΡΑ 2009

2 Η ΤΡΙΜΕΛΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ: ΖΑΓΟΥΡΑΣ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ, Καθηγητής ΠΙΝΤΕΛΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Καθηγητής ΡΑΓΓΟΣ ΟΜΗΡΟΣ, Επίκουρος Καθηγητής ιπλωµατική Εργασία που υποβάλλεται στο πλαίσιο της µερικής εκπλήρωσης των απαιτήσεων για την απόκτηση Μεταπτυχιακού ιπλώµατος στα Υπολογιστικά Μαθηµατικά- Πληροφορική στην Εκπαίδευση µε εξειδίκευση στην Κατεύθυνση «Τεχνολογίες Πληροφορικής & Επικοινωνιών στην Εκπαίδευση»

3 Στη Μαρία, Παναγιώτα, Ροδάνθη, ηµήτρη Και στην Παναγιώτα που έφυγε

4 Ευχαριστίες Ως «µετανάστης» στην ψηφιοχώρα είναι αλήθεια ότι υπερέβην τα νοητικά και ηλικιακά µου εσκαµµένα, καθότι κάθε µη γηγενής σε ένα χώρο (στην περίπτωσή µου «εικονικό») απαιτείται να καταβάλλει, συχνά, ίσως και ατελέσφορες, κοπιώδεις προσπάθειες προσαρµογής και εγκλιµατισµού του, στα νέα δεδοµένα. Βέβαια, η τύχη βοηθάει τους τυχερούς και γι αυτό τα συναπαντήµατα µου, στους χώρους του Πανεπιστηµίου Πατρών και ειδικά στο Τµήµα των Μαθηµατικών, ήταν κρίσιµα και εξέχοντα. Οι σπουδές µου στο τµήµα αυτό είναι, αποκλειστικά, «υπεύθυνες», για την ενασχόλησή µου µε τους Η/Υ και την πληροφορική, αφού εκεί µετήλθα πολλών µαθηµάτων πληροφορικού περιεχοµένου, ως προπτυχιακός και µεταπτυχιακός φοιτητής. Φυσικά, πέρα από τα γνωστικά αντικείµενα υπάρχουν οι δάσκαλοι, που τα ζωντανεύουν και τα µεταλαµπαδεύουν στους αρχικά, έστω, αδαείς. Και επειδή, κατά το Μ. Αλέξανδρο οφείλουµε το ευ ζην στους δασκάλους µας, ταυτόχρονα οφείλουµε, ίσως και να υποχρεούµαστε, να τους ευχαριστούµε και να τους ευγνωµονούµε. Θέλω, λοιπόν, ειλικρινώς, να ευχαριστήσω τον καθηγητή (µου) κ. Χαράλαµπο Ζαγούρα για την πολύπλευρη βοήθειά του όλα αυτά τα χρόνια, που υπήρξα µαθητής του, αλλά και γιατί στήριξε το πολύ επιτυχηµένο (για τα ελληνικά δεδοµένα) πρόγραµµα της επιµόρφωσης των εκπαιδευτικών στην αξιοποίηση των ΤΠΕ στην ιδακτική διαδικασία, στο οποίο συµµετείχα. Εκφράζω επίσης τις ευχαριστίες µου στα δυο υπόλοιπα µέλη της τριµελούς επιτροπής κ. Πιντέλα και κ. Ράγγο, για τις παρατηρήσεις και διορθώσεις τους, κατά τη συγγραφή αυτής της εργασίας. Τους ευχαριστώ επίσης για τις συζητήσεις (και όχι µόνο µαθηµατικού περιεχοµένου), κατά τη διάρκεια των Σπουδών µου, στο παρόν Μεταπτυχιακό Πρόγραµµα. Ακόµα θα τους ευχαριστήσω, όπως και τον κ. Ζαγούρα, γιατί οι παραδόσεις τους ήταν πάντα διανθισµένες µε χιούµορ, το οποίο, όντως χωράει στα Μαθηµατικά, παρά την περί του αντιθέτου άποψη της κοινής γνώµης. Την κ. Μ. Κορδάκη, ως µεντορά µου, που µε βοήθησε πάρα πολύ στα πρώτα µου µεταπτυχιακά και ερευνητικά βήµατα, την ευχαριστώ θερµότατα. Μάλιστα, κάποιες κατασκευές, που υλοποιήθηκαν στα πλαίσια του Ευρωπαϊκού προγράµµατος «Vccsse: Virtual Community Collaborative Space for Science Education; European Commission, Education and Training, School Education: Socrates: Comenius, through Project CP RO-COMENIUS-C21» και αναφέρονται ως παραδείγµατα στην παρούσα εργασία (σχετικές εικόνες οι 67, 78, 79, 80, 81 και 105), έγιναν µε τη συνεργασία της. Τον κ. Κόµη, επίσης ευχαριστώ πάρα πολύ, για όσα πολλά αποκόµισα από αυτόν, κατά τη µαθητεία µου στο παρόν µεταπτυχιακό, στο ΠΑΚΕ Πατρών αλλά και για τα βιβλία, που µου δάνειζε και τα οποία µε βοήθησαν πολύ, στην εκπόνηση της εργασίας µου. Τον κ. Χ. Κυνηγό αλλά και τη µαθήτρια του Πιαζέ κ. C. Kamii τους ευχαριστώ, γιατί ανταποκρίθηκαν στο αίτηµά µου και µου απέστειλαν αµέσως, κάποια άρθρα τους, τα οποία χρησιµοποίησα στη διπλωµατική µου εργασία. Τέλος, ευχαριστώ τα 3 παιδιά µου για την ευτυχία που µου χαρίζουν και τους ζητώ να µε συγχωρέσουν, επειδή όλα αυτά τα χρόνια των Σπουδών µου, και των συνεπακόλουθων απουσιών µου από το σπίτι, τους στέρησα τον πατέρα. Και φυσικά, ευχαριστώ τη σύζυγό µου, για τη στήριξή της σε µένα και στα παιδιά, για τον ελεύθερο χρόνο, που µου εξασφάλιζε, ώστε να µπορώ να διαβάζω και να προετοιµάζοµαι για τις πολλές εξετάσεις, που λάβαινα µέρος και, βέβαια, επειδή καθηµερινά µου υπενθυµίζει ότι η γνώση γι αυτούς που ευτυχούν είναι στολίδι, ενώ γι αυτούς που δυστυχούν καταφύγιο. Αγρίνιο, Πάτρα Μάρτιος 2009

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Περίληψη... ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... Α. ΕΠΙΝΟΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΕΡΓΑΛΕΙΩΝ. ΜΙΑ ΕΚΤΙΝΑΞΗ ΩΣ ΤΟΝ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ Ο άβακας Το ινδοαραβικό αριθµητικό σύστηµα Το αιγυπτιακό αριθµητικό σύστηµα Το βαβυλωνιακό αριθµητικό σύστηµα Το ρωµαϊκό αριθµητικό σύστηµα Το αρχαιοελληνικό αριθµητικό σύστηµα Ένα ινδιάνικο αριθµητικό σύστηµα Το σύγχρονο αριθµητικό σύστηµα.. 3. Τα δεκαδικά κλάσµατα 4. Οι λογάριθµοι Άλλες νεπέρειες καινοτοµίες και συσκευές Ο σύγχρονος υπολογιστής.. Β. ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΩΣ ΤΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗ. 1. Εκπαιδευτική Τεχνολογία. 2. Εκφάνσεις της εκπαιδευτικής τεχνολογίας Οι διδακτικές µηχανές Η προγραµµατισµένη διδασκαλία 2.2. Συσκευές- πηγές πληροφοριών Ο ηλεκτρονικός υπολογιστής Μαθηµατικά προβλήµατα και Υπολογιστής Το Internet ( ιαδίκτυο).. 3. ΤΠΕ στην εκπαίδευση Επιπτώσεις των ΤΠΕ στην εκπαίδευση Η διαχρονικότητα του φόβου για το άγνωστο και το καινούργιο. Γ. ΘΕΩΡΙΕΣ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ 1. Είδη εκπαιδευτικού λογισµικού Λογισµικά γενικής χρήσης 1.2. Λογισµικά εξειδικευµένου χαρακτήρα.. 2. Επίδραση των θεωριών µάθησης στη σχεδίαση εκπαιδευτικού λογισµικού O συµπεριφορισµός (µπιχεβιορισµός) Κριτική του συµπεριφορισµού 2.2. Οι γνωστικές θεωρίες Ο Piaget και o εποικοδοµισµός Ο Jerome S. Bruner O Seymour Papert.. 3. Οι κοινωνικοπολιτισµικές θεωρίες 3.1. Lev Vygotsky H θεωρία δραστηριότητας Επιδράσεις στην εκπαίδευση. σελ. 1 σελ. 3 σελ. 3 σελ. 3 σελ. 5 σελ. 6 σελ. 7 σελ. 10 σελ. 11 σελ. 14 σελ. 17 σελ. 20 σελ. 22 σελ. 25 σελ. 31 σελ. 31 σελ. 38 σελ. 41 σελ. 42 σελ. 42 σελ. 44 σελ. 45 σελ. 46 σελ. 48 σελ. 50 σελ. 55 σελ. 57 σελ. 59 σελ. 59 σελ. 59 σελ. 59 σελ. 61 σελ. 61 σελ. 63 σελ. 64 σελ. 67 σελ. 68 σελ. 70 σελ. 71 σελ. 71 σελ. 75 σελ. 77

6 3.3. Κατανεµηµένη γνώση Εµπλαισιωµένη- Εγκαθιδρυµένη γνώση Η Κοινωγνωστική θεωρια του Albert Bandura. 4. Άλλοι σηµαντικοί παιδαγωγοί, ψυχολόγοι και οι θεωρίες τους Robert Mills Gagne O David Ausubel 4.3. Άλλοι σηµαντικοί ψυχολόγοι O Gardner και οι πολλαπλοί τύποι νοηµοσύνης Εκπαιδευτικό λογισµικό Τα λογισµικά στην εκπαίδευση Κατάλογος λογισµικών γνωστικών αντικειµένων Προδιαγραφές ποιότητας εκπαιδευτικού λογισµικού.. ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ ΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 1. Λογισµικά Γεωµετρίας Γεωµετρία της χελώνας υναµικά Περιβάλλοντα Γεωµετρίας Επίπεδα γεωµετρικής σκέψης van Hiele και δυναµικά περιβάλλοντα Γεωµετρίας. Ε. ΤΟ ΥΝΑΜΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ CABRI GEOMETRY. 1. Οι δυνατότητες του λογισµικού. 2. Τύποι δραστηριοτήτων στο περιβάλλον του Cabri-Geometry II ιατυπώσεις/επαληθεύσεις εικασιών µε βάση τη µεταβολή µιας γεωµετρικής κατασκευής ιατυπώσεις/επαληθεύσεις εικασιών µε βάση τα µεταβαλλόµενα αριθµητικά δεδοµένα Επαληθεύσεις σχέσεων, µε βάση τη µεταβαλλόµενη εικόνα σε συνδυασµό µε τα µεταβαλλόµενα αριθ. εδοµένα ραστηριότητες τύπου «µαύρου κουτιού» (Black-box) ραστηριότητες πολλαπλών επιλύσεων Κατασκευή ζευγών ίσων ευθυγράµµων τµηµάτων Πιθανές Στρατηγικές λύσεις Χρήση απλών εντολών του Λογισµικού Στρατηγικές σχετικές µε τον κύκλο Στρατηγικές σχετικές µε παράλληλες ευθείες Στρατηγικές σχετικές µε τρίγωνα Κατασκευές που αντιγράφουν πραγµατικά προβλήµατα ζωής Πρόβληµα ανεύρεσης ελάχιστου αθροίσµατος Πρόβληµα που αξιοποιεί τα θεωρήµατα της εσωτερικής και εξωτερικής διχοτόµου Πρόβληµα στήριξης ιστίων Εύρεση αξόνων συµµετρίας σε κανονικά πολύγωνα και στον κύκλο ραστηριότητες εξοικείωσης.. ΣΤ. ΑΛΛΕΣ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΧΡΗΣΗΣ ΚΑΙ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΟΥ CABRI GEOMETRY II. 1. Μονάδες µέτρησης εµβαδού.. Περίληψη 1.1.Θεωρητικό πλαίσιο σελ. 78 σελ. 80 σελ. 81 σελ. 83 σελ. 83 σελ. 85 σελ. 85 σελ. 86 σελ. 87 σελ. 89 σελ. 89 σελ. 89 σελ. 91 σελ. 94 σελ. 94 σελ. 95 σελ. 97 σελ. 99 σελ. 99 σελ. 101 σελ. 102 σελ. 105 σελ. 108 σελ. 111 σελ. 114 σελ. 118 σελ. 118 σελ. 119 σελ. 119 σελ. 119 σελ. 120 σελ. 120 σελ. 121 σελ. 122 σελ. 123 σελ. 124 σελ. 128 σελ. 130 σελ. 130 σελ. 130 σελ. 130

7 1.2. υσκολίες µαθησιακά προβλήµατα Η διδακτική «εικονική» πρόταση Απειροστικός Λογισµός στο περιβάλλον του Cabri Geometry II. Μια διαχρονική προσέγγιση της εύρεσης του εµβαδού κύκλου Περίληψη Ιστορική εισαγωγή ιαχρονική προσέγγιση του εµβαδού του κύκλου Cabri Geometry II και απειροστικός λογισµός Συµπεράσµατα 3. Ευκλείδειοι µετασχηµατισµοί, για την εύρεση εµβαδών επιπέδων σχηµάτων και την απόδειξη απλών ταυτοτήτων, σε περιβάλλοντα υναµικής Γεωµετρίας.. Περίληψη 3.1. Εισαγωγή- Γεωµετρικοί Μετασχηµατισµοί 3.2. Ευκλείδεια Γεωµετρία -Ευκλείδειοι µετασχηµατισµοί 3.3. Υπολογισµός Εµβαδών µε χρήση Τεχνολογικών εργαλείων Απόδειξη ταυτοτήτων, µέσω µετασχηµατισµών 3.5. Haberdasher s Puzzle Το τάγκραµ Συζήτηση- συµπεράσµατα και προτάσεις O µετασχηµατισµός της αξονικής συµµετρίας (ανάκλασης), ως µέσο επίλυσης ανοικτών προβληµάτων Περίληψη 4.1. Θεωρητικό πλαίσιο Αξονική συµµετρία και λύση προβληµάτων υναµικές και σηµαιολογικές αναπαραστάσεις κλασµάτων. Περίληψη 5.1. Θεωρητικό πλαίσιο Οι προτεινόµενες δραστηριότητες Συµπεράσµατα 6. Η συµβολή των δυναµικών συστηµάτων γεωµετρίας στην εξάλειψη παρερµηνειών και εσφαλµένων αντιλήψεων των µαθητών. Η περίπτωση των υψών τριγώνου Θεωρητικό πλαίσιο Η βιωµατική κατασκευή Ενδεικτικές ραστηριότητες. Ζ. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ... Η. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ. σελ. 132 σελ. 133 σελ. 136 σελ. 136 σελ. 136 σελ. 138 σελ. 141 σελ. 144 σελ. 145 σελ. 145 σελ. 145 σελ. 146 σελ. 148 σελ. 150 σελ. 151 σελ. 153 σελ. 156 σελ. 157 σελ. 157 σελ. 157 σελ. 159 σελ. 163 σελ. 163 σελ. 163 σελ. 166 σελ. 169 σελ. 170 σελ. 170 σελ. 171 σελ. 172 σελ. 173 σελ. 179

8 Ο Μηχανισµός των Αντικυθήρων O πρώτος ηλεκτρονικός υπολογιστής Στο πίσω µέρος του µηχανισµού, µε τα 30 γρανάζια ακριβείας, ανακαλύφθηκαν, µε χρήση ακτίνων Χ, τα ονόµατα όλων των µηνών

9 Περίληψη Αρχικά, η παρούσα εργασία ξεκινά µια ιστορική αναδροµή, µε σταθµούς τις κεφαλαιώδεις ανακαλύψεις, οι οποίες συνέβαλαν στη γρήγορη και αποτελεσµατική εκτέλεση υπολογισµών. Από την εποχή των πρώτων υπολογιστικών συσκευών, διατρέχει αρχαίους πολιτισµούς, µέσω των αριθµητικών συστηµάτων τους, µελετά τους λογαρίθµους, αναφέρεται στην επινόηση των δεκαδικών αριθµών και καταλήγει στο σηµερινό υπολογιστή. Ακολούθως, πραγµατεύεται την έλευση της λεγόµενης εκπαιδευτικής τεχνολογίας στον εκπαιδευτικό χώρο, ενώ µελετά και τις επιδράσεις των θεωριών µάθησης, στην κατασκευή και δηµιουργία τύπων και µορφών εκπαιδευτικού λογισµικού καθώς και στη χρησιµοποίηση των ΤΠΕ στην εκπαιδευτική διαδικασία. Οι εκπαιδευτικές χρήσεις των τεχνολογιών πληροφορίας και των επικοινωνιών (ΤΠΕ) χωρίζονται αδροµερώς σε 3 κατηγορίες. Η πρώτη κατηγορία αφορά στην ανάπτυξη βασικών δεξιοτήτων και στην εξοικείωση µε την Τεχνολογία. Επίσης οι µαθητές µαθαίνουν να χρησιµοποιούν λογισµικά. Η δεύτερη περίπτωση επικεντρώνεται σε λογισµικά εξάσκησης και επανάληψης. Τέλος η τελευταία κατηγορία χρήσεων των ΤΠΕ περιλαµβάνει περισσότερο κονστρουκτιβιστικές προσεγγίσεις. Ο εποικοδοµισµός (κονστρουκτιβισµός), που αποτελεί την επικρατέστερη θεωρία της εποχής µας, επαγγέλλεται τα ενιαιοποιηµένα σχήµατα Αναλυτικού Προγράµµατος και διδακτικής παρέµβασης. Προτρέπει η µάθηση να συντελείται µέσα σε αυθεντικές καταστάσεις, οµαδοσυνεργατικά, οργανώνοντας το αναλυτικό πρόγραµµα µε θέµατα προσωπικού ενδιαφέροντος. Ακόµα, παραδέχεται ότι η γνώση δε µεταβιβάζεται, αλλά «οικοδοµείται» από το µαθητή, αφού οι νέες πληροφορίες εντάσσονται στα προϋπάρχοντα νοητικά σχήµατα, τα οποία µε τη σειρά τους τροποποιούνται, εξαιτίας βέβαια, της άφιξης των νέων δεδοµένων. Το βασικό λοιπόν αξίωµα τού κονστρουκτιβισµού είναι ότι ο άνθρωπος κατασκευάζει τη γνώση, µέσα από µια συνεχή ενεργητική διαδικασία και δεν τη δέχεται παθητικά. Οι ΤΠΕ (πρέπει να) χρησιµοποιούνται και να αξιοποιούνται στο Σύγχρονο Σχολείο. Τα µαθησιακά οφέλη τους διαχέονται µέσω των ολοκληρωµένων (ολιστικών) µοντέλων, σε όλα σχεδόν τα γνωστικά αντικείµενα. Ειδικότερα για την Πρωτοβάθµια Εκπαίδευση, είναι επιβεβαιωµένο το ενδιαφέρον των µαθητών ως προς την χρήση των ΤΠΕ, στην εκπαιδευτική διαδικασία. Σχετικά µε τα Μαθηµατικά, ο εποικοδοµισµός πρεσβεύει πως οι µαθητές εφευρίσκουν ειδικές-προσωπικές µεθόδους, κατά την επίλυση µαθηµατικών προβληµάτων και ότι η µάθηση των Μαθηµατικών συντελείται µέσα από τις προσπάθειες επίλυσής τους. Το περιβάλλον υναµικής Γεωµετρίας Cabri-Geometry II παρέχει δυνατότητες κατασκευής και πραγµατοποίησης µαθησιακών δραστηριοτήτων σύµφωνα µε τις σύγχρονες κοινωνικές και εποικοδοµιστικές θεωρήσεις για τη γνώση και τη µάθηση. Σύµφωνα µε αυτές τις θεωρήσεις, η µάθηση είναι µια ενεργητική, υποκειµενική και κατασκευαστική δραστηριότητα στην οποία καταλυτικό ρόλο παίζει το πλαίσιο συµφραζοµένων, στο οποίο πραγµατοποιείται, και ειδικότερα οι µαθησιακές δραστηριότητες και τα εργαλεία τα οποία παρέχονται προς χρήση στους µαθητές. Είναι γνωστές οι 6 τύποι ποικίλων και διάφορων διερευνητικών, διδακτικών, αλληλεπιδραστικών δραστηριοτήτων µάθησης, οι οποίες παρέχονται, µέσω των λειτουργιών και εργαλείων τού εκπαιδευτικού λογισµικού Cabri Geometry II. Μάλιστα, πολλά παραδείγµατα τέτοιων περιπτωσεων έχουν σχεδιασθεί και αναφέρονται στην παρούσα εργασία. 1

10 Ειδικότερα, οι δραστηριότητες «βιωµατικού τύπου» που µελετούν πραγµατικά προβλήµατα ζωής (real life problems) µπορούν να βοηθήσουν τους µαθητές να αναπτύξουν ισχυρό κίνητρο, για τη µάθηση των µαθηµατικών και την προσέγγισή τους, ως ανθρώπινη δραστηριότητα. Επίσης, οι µαθηµατικές έννοιες τίθενται σε ένα διεπιστηµονικό-διαθεµατκό πλαίσιο. Η αξιοποίηση του Cabri Geometry II παρέχει δυνατότητες δηµιουργίας περιβαλλόντων µάθησης, όπου µεταφέρονται αυθεντικά σενάρια πραγµατικής ζωής, ώστε να συνδεθούν οι πληροφορίες του σχολείου µε καθηµερινές καταστάσεις. Η εργασία αυτή και µε «σύµµαχο» το περιβάλλον υναµικής Γεωµετρίας Cabri-Geometry II προτείνει και τρόπους «µεταφοράς» της σχολικής γνώσης µε στόχο να αντιληφθεί ο µαθητής ότι η γνώση αυτή είναι χρήσιµη στην καθηµερινή ζωή. Για παράδειγµα κατασκευάστηκαν µια σειρά από αλληλεπιδραστικές δραστηριότητες «βιωµατικού-αυθεντικού» χαρακτήρα, για την αποσαφήνιση της έννοιας της µονάδας µέτρησης του εµβαδού, για την υποστήριξη τής µάθησης τής έννοιας τού ύψους στα τρίγωνα και της ελάχιστης απόστασης µεταξύ σηµείου και ευθείας. Ακόµα σχεδιάστηκαν δραστηριότητες που αφορούν σε µετασχηµατισµούς, σε εύρεση εµβαδών διάφορων σχηµάτων, σε αποδείξεις απλών ταυτοτήτων αλλά και σε αναπαραστάσεις κλασµάτων, µέσω της µελέτης σηµαιών διάφορων χωρών του κόσµου. Σε µια περίπτωση, οι προτεινόµενες αλληλεπιδραστικές κατασκευές και ερωτήσεις δοκιµάσθηκαν στην τάξη και προέκυψε ανατροφοδότηση, στηριζόµενη σε πραγµατικά δεδοµένα. Μάλιστα, µελετήθηκε η προστιθέµενη αξία και τα παιδαγωγικά και διδακτικά οφέλη της χρήσης των ΤΠΕ στο σχολείο, δεδοµένου ότι έγινε σύγκριση µαθησιακών δεδοµένων και αποτελεσµάτων που αντλήθηκαν µέσω παραδοσιακών µεθόδων διδασκαλίας. Τέλος, µερικές από τις κατασκευές- δραστηριότητες απέκτησαν περισσότερο δυναµικό χαρακτήρα, µέσω της «κινηµατογραφικής κίνησης» των πρωταγωνιστών τους. 2

11 ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο πρωτόγονος άνθρωπος αντιµετώπιζε µε φόβο και δέος τα φυσικά φαινόµενα, επειδή αδυνατούσε να τα εξηγήσει. Αγνοούσε ότι στη φύση επικρατεί κάποια τάξη. Τα φυσικά φαινόµενα ήταν γι αυτόν αποτέλεσµα της επενέργειας θεών, πνευµάτων και αόρατων δυνάµεων. Η φουρτουνιασµένη θάλασσα ήταν αποτέλεσµα της οργής του Ποσειδώνα, ο θάνατος συνέπεια κάποιας µαγείας, µια αίσια έκβαση κάποιου γεγονότος, αποτέλεσµα της ευµένειας κάποιου αόρατου πνεύµατος (Εξαρχάκος, 1988). Αργότερα, σταδιακά, άρχισε να κατανοεί τη φύση και έµαθε πώς να τη δαµάζει και να τη χαίρεται. Η αποκρυπτογράφηση των φυσικών φαινοµένων, η εξήγησή τους, η µέτρησή τους, η υποταγή τους σε αριθµούς ήταν κοσµοϊστορικό γεγονός και αποτέλεσε θεµέλιο των επιστηµών. Ήδη από πολύ παλιά, ο άνθρωπος, παρατηρώντας φυσικά φαινόµενα, άρχισε να υποψιάζεται την ισχύ νόµων που διέπουν τη φύση. Τέτοια φαινόµενα ήταν περιοδικά, όπως η εναλλαγή µέρας και νύχτας, οι φάσεις της σελήνης, η διαδοχή των εποχών, η περιφορά του ήλιου κ. ά. ( ηµαράς, 1971). Αυτή η παρακολούθηση τον ώθησε να προβεί σε υπολογισµούς, για να αποκωδικοποιήσει, στη συγκεκριµένη περίπτωση, την έννοια του χρόνου και τη µέτρησή του (Εξαρχάκος, 1988). Έτσι, βαθµιαία ο άνθρωπος επικεντρώνει την προσοχή του και το ενδιαφέρον του για τη µέτρηση όλων των πραγµάτων που τον περιβάλλουν. Οι εκπλήξεις, που γνώριζε από τις µετρήσεις αυτές, ήταν συναρπαστικές. Εξάλλου, η οργάνωση των κρατών συνέβαλε στην ανάπτυξη των στοιχειωδών αριθµητικών λογισµών, ώστε να µπορούν να χρησιµεύσουν στον προσδιορισµό των φόρων, στις συναλλαγές, στη ρυµοτοµία πόλεων, στην ανέγερση κτιρίων. Η ικανότητα των λαών στην αρίθµηση και στους υπολογισµούς βελτιώνεται σιγά σιγά. Οι εφαρµογές των αριθµών στις µετρήσεις συντελούν στη δηµιουργία και εδραίωση της πεποίθησης ότι η φύση υπόκειται σε τάξη. Τα µυστήρια άρχισαν να ξεδιαλύνονται και οι ανερµήνευτες φυσικές δυνάµεις, όπως και οι τρόποι µε τους οποίους δρουν, εξιχνιάζονται. Οι πέντε κεφαλαιώδεις ανακαλύψεις, που συνέβαλαν καταλυτικά και καίρια στη γρήγορη και αποτελεσµατική εκτέλεση υπολογισµών και αποτέλεσαν όλες ανεξαιρέτως, µεγάλες στιγµές των µαθηµατικών αλλά και µεγαλειώδεις σταθµοί σε κάθε σχεδόν, πτυχή της ανθρώπινης εξέλιξης, είναι κατά σειρά εµφάνισης, οι παρακάτω (Eves, 1989): ο άβακας το ινδοαραβικό σύστηµα τα δεκαδικά κλάσµατα οι λογάριθµοι και ο σύγχρονος υπολογιστής Η διερεύνηση και η ανακάλυψη των αιτιών που κρύβονται πίσω από τις κοινωνικές, οικονοµικές, πολιτικές, επιστηµονικές και κάθε είδους εξελίξεις είναι ένας από τους σηµαντικότερους λόγους, που οι άνθρωποι εκδηλώνουν ενδιαφέρον για ιστορική αναδίφηση και γνώση. Ένεκα του τρέχοντος τεχνολογικού προσανατολισµού προς τις επικείµενες αλλαγές και το µέλλον, η αγνόηση της ιστορίας αποτελεί σφαλερή προσέγγιση. Το θέµα παραµένει ακανθώδες, αφού είναι σχεδόν αδύνατο, να προγραµµατιστεί το µέλλον δίχως την εξέταση και την προσµέτρηση των µηνυµάτων του παρελθόντος. Οι ιστορικές αναλύσεις τού χθες διαφοροποιούν το µέλλον, ενώ και εκπαιδευτικά οφέλη απορρέουν, δυνητικώς, από τέτοιες µελέτες. 3

12 Μια πρόσφορη παιδαγωγική πρακτική µπορεί να βασίζεται σε ιστορικές ρίζες και να αντλεί τα θέµατα και τους στόχους της, σχετίζοντας και ενοποιώντας το παρελθόν, το παρόν και το µέλλον. Μια τέτοια προσέγγιση, µάλιστα, είναι ενδιαφέρουσα, δηµιουργεί κίνητρα για παραπέρα δραστηριοποίηση και είναι οπωσδήποτε, περισσότερο ειλικρινής (Januszewski, 2001). ιαµέσου, λοιπόν, αυτού του πρόσφορου παιδαγωγικού πρίσµατος, µια ευσύνοπτη ιστορική επισκόπηση της υπολογιστικής και εκπαιδευτικής τεχνολογίας, που ευθύς ακολουθεί, καθίσταται, αν όχι επιβεβληµένη και εξαναγκασµένη, τουλάχιστον αναγκαστική και δικαιολογηµένη. Α. ΕΠΙΝΟΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΕΡΓΑΛΕΙΩΝ. ΜΙΑ ΕΚΤΙΝΑΞΗ ΩΣ ΤΟΝ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ 1. Ο άβακας Ο άβακας (κοινώς αριθµητήριο) εφευρέθηκε το 3000 π.χ. περίπου, στη Βαβυλωνία, οριοθετώντας την απαρχή της περιόδου των µηχανικών υπολογιστικών µηχανών. Ο άβακας (εικόνα 1) ήταν και είναι ένα ξύλινο ράφι, όπου στηρίζονται οριζόντια και παράλληλα σύρµατα, τα οποία µε τη σειρά τους συγκρατούν χάντρες (Meyers, 1993). Με τη βοήθεια αυτού του πρωτόλειου υπολογιστικού µέσου, µπορούν να εκτελεσθούν όλες οι βασικές αριθµητικές πράξεις, ακόµα δε και υπολογισµοί ριζών. Πολλές παραλλαγές του άβακα έχουν εµφανιστεί ιστορικά, διαχρονικά βελτιούµενες. Αιγύπτιοι, Έλληνες, Ρωµαίοι, Ινδοί και Ασιάτες επιδίδονταν ενδελεχώς, µη φειδόµενοι χρόνου, στη βελτιστοποίηση και τελειοποίηση των υπολογιστικών µοντέλων τους, προσδοκώντας το κατασκεύασµά τους, µελλοντικά ασφαλώς, να λειτουργήσει αντιπαροχικά, κατά την πραγµατοποίηση, φυσικά, πολλών και διάφορων αριθµητικών πράξεων. Στα νέα βιβλία των Μαθηµατικών του ηµοτικού µάλιστα, που εισήχθηκαν στην ελληνική εκπαίδευση το Σεπτέµβριο του 2006, η χρήση του κάθετου άβακα, ως ιδιαίτερα βοηθητικού εποπτικού µέσου, για τη διδασκαλία του δεκαδικού συστήµατος, κρατά δεσπόζουσα θέση. Εικόνα 1. Ο γνωστός και δηµοφιλής άβακας (αριθµητήριο), κοσµούσε τα ελληνικά σχολεία, εκατέρωθεν των χρόνων της µεταπολίτευσης Επίσης, οι αρχαίοι Έλληνες ανέπτυξαν µερικές περίπλοκες, αναλογικές µηχανές. Οι αστρολάβοι ( π.χ), µπρούτζινα εργαλεία, λειτουργούσαν µε γρανάζια και δείκτες και βοηθούσαν στην πρόβλεψη των κινήσεων των αστεριών και των πλανητών (Dodig - Crnkovic, 2001). Μια τέτοια συσκευή, γνωστή ως «µηχανισµός των Αντικυθήρων» (εικόνα 2), που θεωρείται από πολλούς ως ο ηλεκτρονικός υπολογιστής της αρχαιότητας, ανασύρθηκε από ναυάγιο, που ανακαλύφθηκε το 1901, στην περιοχή του οµώνυµου ελληνικού νησιού. Έκτοτε, µαγνητίζει, προκαλεί και συναρπάζει πολλούς επιστήµονες, που έχουν αποδυθεί πεισµατικά, σε εργώδη εκστρατεία πλήρους και οριστικής αποκωδικοποίησής του. Σήµερα, γνωρίζουµε ότι αποτελούνταν από 35 οδοντωτούς τροχούς και µέσω περίπλοκων κινήσεων και στροφών, υπολόγιζαν τη θέση της σελήνης και προέβλεπαν εκλείψεις (Spinellis, 2008). ιαπιστώθηκε επίσης, 4

13 ότι έδειχνε έναν τετραετή κύκλο, σχετικά µε τους αγώνες, που διεξάγονταν στην αρχαία Ελλάδα, συµπεριλαµβανοµένων και των Ολυµπιακών Αγώνων. Τον κατάλογο των πρωτοποριακών αυτών µηχανικών υπολογιστικών µηχανών και µεθόδων συµπληρώνουν η κλεψύδρα, το ηλιακό ρολόι, που θεωρείται προποµπός των αστρολάβων, αφού αποτέλεσε τη βάση για την κατασκευή τους, οι µαθηµατικοί βαβυλωνιακοί αλγόριθµοι, το κόσκινο του Ερατοσθένη, που χρησίµευε στην εύρεση των πρώτων αριθµών, όπως και διάφορες καταπληκτικές, µηχανικές επινοήσεις και εφευρέσεις του ιδιοφυούς Αρχιµήδη. Εικόνα 2. Ο µηχανισµός των Αντικυθήρων, ο πρώτος υπολογιστής, παρέµενε «κρυµµένος» για, περίπου, 2000 χρόνια, ως µέρος ενός ναυαγίου 2. Το ινδοαραβικό αριθµητικό σύστηµα Τα αριθµητικά συστήµατα προσφέρεται να θεωρηθούν και να εξετασθούν ως ειδικού τύπου γλώσσες, ό,τι ακριβώς δηλαδή, είναι. Ειδικές γλώσσες, που αναπτύχθηκαν παράλληλα µε τις φυσικές, µε σκοπό και στόχο την αποτίµηση ποσοτήτων. Όπως και κάθε γλώσσα, τα αριθµητικά συστήµατα απαρτίζονται από ένα αλφάβητο, ένα σύνολο συντακτικών κανόνων (π.χ το µηδέν δεν τοποθετείται ποτέ πρώτο σε ακολουθίες- αρµαθιές συµβόλων τού αλφάβητου, παρά µόνο, αν είναι µόνο του) και ένα σύνολο σηµασιολογικών κανόνων ( ρόσος & Καραζέρης & Παπαδοπετράκης, 2006). Σε σχέση µε τους συντακτικούς και τους σηµασιολογικούς κανόνες τους, τα συστήµατα αυτά διαιρούνται σε: προσθετικά, όπου η σειρά γραφής των συµβόλων δεν είναι δεσµευτική, απλώς τα παρατιθέµενα αυτά σύµβολα αθροίζονται. Πρόκειται για παρελθόντων πολιτισµών κληρονοµιές, αν και σε ορισµένες, ελάχιστες, περιπτώσεις είναι ακόµα σε ισχύ, όπως για παράδειγµα, σε απαριθµήσεις τόµων έργου ή σε αποτυπώσεις ηµερολογιακών ετών, ειδικά σε επιγραφές ναών. Ήταν δύσχρηστα, δύσκολα στη µελέτη και στην πραγµάτευσή τους, απαγορευτικά στη γραφή µεγάλων αριθµών, επειδή απαιτούσαν ελιγµούς και το σπουδαιότερο ασαφή και συγκεχυµένα, αφού σε ένα σηµαινόµενο αντιστοιχούσαν πολλά σηµαίνοντα. θεσιακά. Εδώ η τάξη των ψηφίων είναι θεµελιώδους σπουδαιότητας και σηµασίας, δεδοµένου ότι η αξία κάθε ψηφίου εξαρτάται από τη θέση του, κατά το σχηµατισµό του αριθµού. Είναι τα τρέχοντα, ανώτερα αριθµητικά συστήµατα, τα οποία προσφέρουν ευλυγισία, σαφήνεια, καθαρότητα νοηµάτων και εννοιών, ενώ τα σύµβολά τους σχεδιάζονται εύκολα και συνδυαζόµενα µπορούν να παραστήσουν οποιοδήποτε αριθµό, οσοδήποτε µεγάλο. Οι πράξεις γίνονται άνετα και γρήγορα, ενώ τα «γλωσσικά σηµεία» είναι ανά δύο ξένα µεταξύ τους (λαµβανόµενα ως δισύνολα). Όλοι οι αριθµοί, ακέραιοι, κλασµατικοί και «µεικτοί», µπορούν να αναπαρασταθούν ως άθροισµα, όπου οι προσθετέοι είναι γινόµενα δυνάµεων, µιας κατάλληλα εκλεγµένης βάσης, µε διάφορους και προκαθορισµένους συντελεστές, οι οποίοι και αποτελούν το αλφάβητο του αριθµητικού συστήµατος, στα πλαίσια του οποίου παρίστανται οι αριθµοί. Η βάση λειτουργεί, ταυτόχρονα, και ως ονοµατοδότης του συστήµατος (Μαστρογιάννης & Μαλέτσκος, 2007β). Κάθε αριθµός α σε κάθε σύστηµα βάσης β, αποτυπώνεται, µονοσήµαντα, ως εξής: 5

14 a n i = aβ = α i n β n + α n-1 β n-1 + +α 2 β 2 +α 1 β 1 + α 0 β 0 (1) i= 0 όπου τα α i αποτελούν τα στοιχεία του αλφάβητου, για τα οποία ισχύει ο περιορισµός 0 α i < β (2) Ο παραπάνω συµβολισµός (1) αποτελεί και το σηµασιολογικό κανόνα σε κάθε αριθµητικό σύστηµα θέσης. Η σχέση (2) µας δηλώνει, ρητά, ότι σε κάθε σύστηµα, βάσης β, το πλήθος των στοιχείων του αλφάβητου είναι πάντα β. Αν τώρα ένας αριθµός α έχει και κλασµατικό µέρος, σε κάθε σύστηµα µε βάση β, γράφεται ως: n m i j iβ jβ µε 0 α i, b j < β i= 0 j= 1 a= a + b 2.1 Το αιγυπτιακό αριθµητικό σύστηµα Αναφορικά τώρα, µε αριθµητικά συστήµατα αρχαίων λαών, ένα από τα αρχαϊκότερα είναι αυτό των Αιγυπτίων. Ο λεγόµενος πάπυρος του Rhind (ή για άλλους πάπυρος του Ahmes) αποτελεί βασικό και πλούσιο πεδίο άντλησης πληροφοριών για τα µαθηµατικά των αρχαίων Αιγυπτίων. Χρονολογείται από το 2000 π.χ, ενώ ο Αhmes τον αντέγραψε 300 χρόνια αργότερα. Υπάρχουν περίπου 80 προβλήµατα στον πάπυρο του Rhind, που αποκρυπτογραφήθηκε, µάλιστα, το Το αιγυπτιακό σύστηµα ήταν δεκαδικό και µη θεσιακό. Το αλφάβητο αποτελούνταν από 7 διαφορετικά (ιερογλυφικά) σύµβολα αριθµών, τα οποία παριστάνονταν µε έναν πολύ απλό τρόπο και εµφανίστηκαν το 3000 π.χ. (εικόνα 3). Η γραφή γινόταν προς τα Εικόνα 3.Τα ιερογλυφικά αριθµητικά σύµβολα αριστερά και όπως σε όλα τα προσθετικά συστήµατα απουσίαζε σύµβολο για το µηδέν, αφού δεν ήταν απαραίτητο. Ένα άλλο σύστηµα αριθµού, που οι Αιγύπτιοι χρησιµοποίησαν µετά από την εφεύρεση του γραψίµατος στον πάπυρο, αποτελούνταν από τους λεγόµενους «ιερατικούς αριθµούς» (Bunt & Jones & Bedient, 1981). Οι αριθµοί γράφονταν σε µια συµπαγέστερη µορφή, αλλά απαιτούσαν πολύ περισσότερα σύµβολα για να αποµνηµονευτούν. Τα ιερατικά σύµβολα άλλαξαν κατά τη διάρκεια του χρόνου. Αρχικά, τα σύµβολα που χρησιµοποιήθηκαν, ήταν αρκετά κοντά, στα αντίστοιχα ιερογλυφικά, αλλά η µορφή τους απόκλινε κατά τη διάρκεια του χρόνου. Οι εκδόσεις των ιερατικών αριθµών που απεικονίζονται στην εικόνα 4, χρονολογούνται από το 1800 π.χ. περίπου. Τα δύο συστήµατα έτρεξαν παράλληλα για περίπου 2000 έτη, µε τα ιερατικά σύµβολα να χρησιµοποιούνται για γράψιµο στον πάπυρο, όπως παραδείγµατος χάρη, στον πάπυρο Rhind και τον πάπυρο της Μόσχας, ενώ και τα ιερογλυφικά συνέχισαν και αυτά να χρησιµοποιούνται και να χαράσσονται σε πέτρα. Στους ιερατικούς υπήρξαν 36 χωριστά σύµβολα για τους παρακάτω αριθµούς: 9 για τις µονάδες, 9 για τις δεκάδες, 9 για τις εκατοντάδες και 9 για τις χιλιάδες. Σ αυτό το σύστηµα οι αριθµοί σχηµατίζονται µέσω αυτών των παράξενων συµβόλων. Ο αριθµός 9999 είχε ακριβώς 4 ιερατικά σύµβολα, αντί για 36 ιερογλυφικά (9 σύµβολα 6

15 των 1000, 9 των 100, 9 των 10 και 9 της µονάδας). Το ιερατικό σύστηµα δεν είναι θεσιακό, έτσι τα ψηφία κάθε αριθµού θα µπορούσαν να γραφτούν σε οποιαδήποτε διάταξη. Παρακάτω, στην εικόνα 5, παρατίθενται δύο τρόποι, µε τους οποίους οι αρχαίοι Αιγύπτιοι θα έγραφαν τον αριθµό 1821, τον δηλωτικό της εθνικής µας παλιγγενεσίας λαµβανοµένης υπόψη, φυσικά, και της αντιµεταθετικής ιδιότητας, που πρέσβευε αυτό το αιγυπτιακό αριθµητικό σύστηµα. Εικόνα 4. Οι ιερατικοί αριθµοί Εικόνα 5. Αιγύπτιοι µάντεις προέβλεψαν τον ελληνικό ξεσηκωµό 2.2. Το βαβυλωνιακό αριθµητικό σύστηµα Οι Βαβυλώνιοι ανέπτυξαν ένα ελλιπές, µεικτό (προσθετικό και θεσιακό, τµηµατικά) εξηνταδικό αριθµητικό σύστηµα. Από µαρτυρίες, η επινόησή του τοποθετείται χρόνια πριν. Η δοµή του ήταν, κάπως, περίπλοκη, αφού για Εικόνα 6. Μονάδες (σφήνα) εκάδες (γωνία) να αναπαραστήσει τους αριθµούς µέχρι το 59 χρησιµοποιούσε και συνδύαζε, προσθετικά, µόνο 2 σύµβολα (εικόνα 6), δεν υπήρχε σύµβολο για το 0, ενώ η γραφή µεγαλύτερων αριθµών 7

16 επιτυγχανόταν, µέσω ενός θεσιακού συστήµατος. Για παράδειγµα, στην εικόνα 7, εµφανίζεται ο αριθµός 59 αποτυπωµένος «βαβυλωνιακά». Εικόνα 7. Ο αριθµός 59 κατά Βαβυλωνίους Τον αριθµό 60 τον συµβόλιζαν µε το ίδιο σύµβολο των µονάδων (σφήνα), τον 2 60 µε 2 σφήνες τις 10 εξηντάδες µε το ίδιο σύµβολο των δεκάδων (γωνία), ενώ π.χ τις 8 εξηντάδες µε 8 γωνίες. Έναν πολύ µεγαλύτερο π.χ. τον 2700 τον συµβόλιζαν Εικόνα 8. Ο αριθµός 2700 αλλά ίσως και ο...45 ως (εικόνα 8). Φυσικά, θα µπορούσε να εκληφθεί και ως 45. Αυτό είναι ένα από τα µειονεκτήµατα του βαβυλωνιακού αριθµητικού συστήµατος. Επίσης, και κάθε µονάδα οποιασδήποτε τάξης, όπως 60, 60 2, κλπ, συµβολιζόταν µε τη σφήνα και η σύγχυση, φυσικά, επιδεινωνόταν. Οι 4 σφήνες µπορούσε να παριστάνουν τον αριθµό 4 ή τον 63 ή τον αλλάκαι πολλούς άλλους. Για τη γραφή των αριθµών οι Βαβυλώνιοι ξεκινούσαν από τα δεξιά προς τα αριστερά. Έγραφαν τον αριθµό των απλών µονάδων (1 µέχρι 59) στα δεξιά και προχωρώντας προς τ αριστερά έγραψαν έπειτα τον αριθµό των εξηντάδων, στη συνέχεια τον αριθµό των 60 2 κ.ο.κ. Τους αριθµούς κάθε τάξης, δηλαδή από το 1 µέχρι το 59, από το 60 µέχρι το 59 60, από το 60 2 µέχρι το κ.ο.κ. τους έγραφαν θεσιακά. Στην εικόνα 9 αναπαρίσταται ο αριθµός = Εικόνα 9. Ο αριθµός Με το σύµβολο της σφήνας παρίσταναν επίσης, και τα κλάσµατα 1 1 1,, κ.ο.κ., κάτι που προσθέτει και ένα άλλο ένα µειονέκτηµα στο σύστηµα αυτό. Ο αριθµός µε µία γωνία και πέντε σφήνες, ίσως, ήταν ο 15 ή ο 14,1 ή ο 13,2 ή ο 12,3 κλπ. 8

17 Ένα άλλο µειονέκτηµα του βαβυλωνιακού συστήµατος είναι η απουσία συµβόλου για το µηδέν, καθιστώντας, έτσι, αδύνατη την επισήµανση της απουσίας µονάδων κάποιας τάξης. Τελικά γύρω στον 3ο π.χ. αιώνα, οι Βαβυλώνιοι χρησιµοποίησαν το σύµβολο Σ για να σηµειώνουν την απουσία µονάδας κάποιας τάξης (Εξαρχάκος, 1988). Αλλά και πάλι το «0» αυτό, δεν συµβόλιζε την απουσία απλών µονάδων, δεν τοποθετούνταν, δηλαδή, ποτέ τελευταίο. Τελειώνοντας την αναφορά µας στους Βαβυλώνιους, θα σταθούµε στο 1854, όταν στην περιοχή Σενκερέχ, κοντά στις όχθες του Ευφράτη, ανακαλύφτηκαν µερικές πήλινες πλάκες, γραµµένες την περίοδο µεταξύ 2300 π.χ. και 1600 π.χ. Από τις πλάκες αυτές εξάγεται το συµπέρασµα ότι οι Βαβυλώνιοι χρησιµοποιούσαν και ένα σύστηµα µε βάση το 10. Υπάρχουν ειδικά σύµβολα για τους αριθµούς 1, 10, 100, 1000, , , και επαναληπτικά µέσω των συµβόλων αυτών, µπορούσαν να αναπαρασταθούν οποιοιδήποτε αριθµοί µέχρι και το (Εξαρχάκος, 1988). Τα, κάπως αλλόκοτα, δύσχρηστα και απρόσωπα αυτά σύµβολα παρουσιάζονται στην εικόνα 10. Τέλος, παρουσιάζεται (εικόνα 11) η (γνωστή) βαβυλωνιακή πινακίδα 322 (Plimpton) στην οποία εµφανίζονται σφηνωµένοι αριθµοί του βαβυλωνιακού συστήµατος. Εικόνα 10. Έτεροι βαβυλωνιακοί αριθµοί Εικόνα 11. Βαβυλωνία αριθµών 9

18 2.3. Το ρωµαϊκό αριθµητικό σύστηµα Το αλφάβητο των Ρωµαίων αποτελούνταν από επτά µόνο, σύµβολα-ψηφία. Υπήρξαν διαφορετικά σύµβολα για τη µονάδα, το δέκα, το πενήντα, το εκατό, το πεντακόσια και το χίλια, όπως φαίνονται στην εικόνα 12. Έτσι, δεν υπήρχε κανένα άλλο σύµβολο, για 1 5 Ρωµαϊκά σύµβολα I V αναπαράσταση µεγαλύτερων αριθµών, και µπορούσαν να περιγράψουν αριθµούς µέχρι το Πάνω από 10 αυτό, υπήρχαν διάφοροι τρόποι - τεχνάσµατα, για να 50 αναπαρασταθούν οι αριθµοί αλλά κανένας, γενικά X L προκαθορισµένος (Μαστρογιάννης & Μαλέτσκος, 100 C 2007β). Οι Ρωµαίοι συνδύαζαν τα σύµβολά τους. Έτσι 500 VII σήµανε 5+1+1, δηλαδή 7. Εντούτοις, διαπίστωσαν 1000 ότι το VIIII π.χ δηµιουργούσε σύγχυση συµβολίζοντας D M το 9, έτσι εισήγαγαν µια άλλη µέθοδο, που πρόσφερε Εικόνα 12. Ρωµαϊκό αλφάβητο κοµψότητα στη γραφή τους. Εάν το Ι βρίσκεται δεξιά του V ή του Χ κλπ. προστίθεται (π.χ. το VI είναι το 6, ενώ το ΧI είναι το 11). Εάν το Ι βρίσκεται αριστερά του V, αφαιρείται (το IV είναι το 4). Ο κανόνας επιτρέπει να προστίθενται µέχρι τρεις µονάδες (VIII είναι το 8), αλλά να αφαιρείται µόνο µία (π.χ. το ΙΧ είναι το 9). Παρακάτω παρατίθενται µερικοί αριθµοί ρωµαϊστί (εικόνα 13): MMCCXXXVII MMCMXCIX MMMI MMMDCCCXLVII Εικόνα 13. ιάφοροι ρωµαϊκοί αριθµοί Αντίστροφα τώρα, ο ΜMDCCLXXXVII είναι ο αριθµός = 2787, ενώ ο MCMXCIX είναι ο Μ CM XC ΙΧ ή ( ) + (100-10) + (10-1), δηλαδή, ο Πάντως, δεν υπάρχει αντιστοιχία µεταξύ «µήκους» αριθµού και ποσότητας που αποτιµά, αφού το σε σχέση µε το ακριβώς προηγούµενο παράδειγµα, παρίσταται, εύκολα, ως ΜΜ. Οι Ρωµαίοι συµφωνούσαν σχετικά, για τη γραφή αριθµών, µε τη χρήση των συµβόλων για τους αριθµούς 1, 5, 10, 50, 100, 500 και 1000, αλλά για αριθµούς µεγαλύτερους από το 3999, µεταχειρίζονταν διάφορα τεχνάσµατα. Οποιοδήποτε σύµβολο, µε µια οριζόντια γραµµή πάνω από αυτό, συµβόλιζε τον αριθµό πολλαπλασιασµένο επί χίλια. ηλαδή, το σύµβολο L αναπαριστούσε τον αριθµό ( ), ενώ το Mήταν ισοδύναµο του ( ). Αν το σύµβολο του αριθµού τοποθετούνταν σε «απόλυτη τιµή» ( ), τότε οι αριθµός αυξανόταν 100 φορές. Ακόµα, υπήρχαν και τα σύµβολα: X, L, D, όπου ο περικλειόµενος αριθµός πολλαπλασιαζόταν επί ( ). Το L, άρα, σήµαινε = Φυσικά, οι ρωµαϊκοί αριθµοί παραµένουν σε ισχύ µέχρι σήµερα, αφού είναι οι αριθµοί του αδυσώπητου χρόνου και των ωρολογοποιών. Χρησιµοποιούνται, επίσης, σε διάφορες απαριθµήσεις. 10

19 Ως κατακλείδα, θα επισηµανθεί ότι το ρωµαϊκό σύστηµα αρίθµησης ήταν αρκετά δύσχρηστο και στρυφνό, ειδικά στην πραγµάτευση ακόµα και µεσαίου µεγέθους αριθµών (η παρακάτω εικόνα 14 είναι διαφωτιστική και αποκαλυπτική). Η εκτέλεση πράξεων δε, ήταν αδύνατη και οι Ρωµαίοι, αναγκαστικά, κατέφευγαν στον άβακα, το αριθµητήριο της εποχής τους (Bunt & Jones & Bedient, 1981). CCMXXXVIDCLXXVIII = Εικόνα 14. Ευκολότερο ήταν για τους Ρωµαίους να ανέβουν στην Αίτνα, παρά να διαβάσουν τούς αριθµούς τους!! 2.4. Το αρχαιοελληνικό αριθµητικό σύστηµα Στον ελληνικό χώρο, γύρω στο 1600 π.χ, χρησιµοποιείται ένα είδος γραφής, που ονοµάζεται «Γραµµική Α». Αν και η Γραµµική Α δεν αποκρυπτογραφήθηκε, δεν έγινε το ίδιο και µε αριθµητικό της σύστηµα. Πρόκειται για δεκαδικό σύστηµα. Οι µονάδες αναπαρίστανται σ αυτό µε κάθετες γραµµές, οι δεκάδες µε κουκκίδες, οι εκατοντάδες µε λοξές γραµµές και οι χιλιάδες µε ρόµβους (Εξαρχάκος, 1988): 1 10, 100, 1000 Για παράδειγµα, ο 8 αναπαριστανόταν ως και ο 75 ως ενώ ως εικονιζόταν ο Από το 1300 π.χ. όµως, καθιερώνεται µια άλλη γραφή, που ονοµάζεται «Γραµµική Β» η οποία αποκρυπτογραφήθηκε το Πρόκειται, πάλι για δεκαδικό σύστηµα (Εξαρχάκος, 1988). Το αλφάβητο ήταν: Έτσι, ο αριθµός παριστανόταν από τον παρακάτω συνδυασµό ως: Φυσικά, και εδώ έλειπε δηλωτικό σύµβολο-ψηφίο, για την ανυπαρξία ποσοτήτων. Ένα άλλο αριθµητικό σύστηµα, το ακροφωνικό, ήταν σε χρήση την πρώτη χιλιετία π.χ. «Ακροφωνικό» σηµαίνει ότι τα σύµβολα για τους αριθµούς προέρχονται από το αρχικό γράµµα τού ονόµατος του αριθµού (γραµµένος ολογράφως, δηλαδή). Εδώ είναι τα σύµβολα για τους αριθµούς 5, 10, 100, 1000, 10000, που αποτελούσαν και το αλφάβητο τού ακροφωνικού συστήµατος (εικόνα 14α), µαζί µε το σύµβολο τής µονάδας ( ) (Εξαρχάκος, 1988; Bunt & Jones & Bedient, 1981; Παπαδοπετράκης, 2006). 11

20 Εικόνα 14α. Το ακροφωνικό αλφάβητο Παρακάτω, φαίνονται (εικόνα 14β), οι 10 πρώτοι αριθµοί του ακροφωνικού, που οιστρηλάτησαν, µάλλον, αργότερα τα µυαλά των Ρωµαίων Μαθηµατικών. Εικόνα 14β. Οι 10 πρώτοι αριθµοί του ακροφωνικού ιάφοροι συνδυασµοί, τώρα, επινοούνταν για τους µεγαλύτερους αριθµούς, προς αποφυγή σιδηροδροµικών καταστάσεων και επιπλοκών. Όπως φαίνεται στην εικόνα 15 η οποία ακολουθεί, τα σύµβολα, όταν περικλείονταν από το σύµβολο του 5, πολλαπλασιάζονταν επί 5. Εξάλλου, αφού δεν υφίστατο καµία θεσιακή θεώρηση στο σύστηµα, δεν υπήρχε φυσικά, καµία ανάγκη για µηδέν. Εικόνα 15. Μερικά πενταπλάσια Ακόµα, ένα άλλο σύστηµα, το ιωνικό, δηµιουργήθηκε από τους Έλληνες της Ιωνίας γύρω στα µέσα του 5ου π.χ. αιώνα. Επειδή για την παράσταση των αριθµών χρησιµοποιούνται γράµµατα του ελληνικού αλφαβήτου, ονοµάστηκε και αλφαβητικό σύστηµα αρίθµησης. Θεωρείται και ως προάγγελος του Ινδοαραβικού συστήµατος, που χρησιµοποιούµε σήµερα, αφού ήταν και το πλέον τελειοποιηµένο σύστηµα γραφής αριθµών, πριν από την επικράτηση του σηµερινού (Εξαρχάκος, 1988). Το σύστηµα αυτό διατηρήθηκε ως το µοναδικό αριθµητικό σύστηµα, µέχρι και το τέλος της βυζαντινής περιόδου. Ως αλφάβητο χρησιµοποιεί τα 24 γράµµατα του ελληνικού αλφάβητου και ακόµα 3 παλαιότερα, που είχαν πέσει σε αχρηστία (ή ίσως και να επινοήθηκαν για να καλύψουν το κενό). Τα τρία επιπρόσθετα γράµµατα (το στίγµα δίγαµµα για το 6, το κόππα για το 90 και το σαµπί για το 900), µαζί µε τα 24 γνωστά, εµφανίζονται στην εικόνα 16. Για να ξεχωρίζουν τα γράµµατα ως σύµβολα αριθµών από τα γράµµατα λέξεων, πάνω δεξιά από κάθε γράµµα που παρίστανε κάποιον αριθµό, ζωγραφιζόταν µια οξεία π.χ. το γράµµα ε Εικόνα 16. Ιωνικοί αριθµοί παρίστανε το 5, το γράµµα ς (ή και στ ) το 6, τα γράµµατα κδ' το 24 τα ρξθ το 169 τα χνβ το 652 κ.ο.κ. Για το µηδέν δε χρειαζόταν και δεν απαιτούνταν σύµβολο. 12

21 Για τη γραφή µεγάλων αριθµών έως το 9999, χρησιµοποιούσαν διάφορα τεχνάσµατα, τα οποία στηρίζονταν σε πολλαπλασιαστικές αρχές. Μια µικρή γραµµή κάτω αριστερά από κάποιο γράµµα σήµαινε ότι ο αριθµός, που συµβόλιζε το γράµµα αυτό, πολλαπλασιαζόταν επί Π.χ. ο,ηυνγ είναι ο αριθµός Για πολύ µεγάλους αριθµούς χρησιµοποιούσαν το γράµµα Μ, που παρίστανε το , µε κάποια γράµµατα στο πάνω µέρος του, τα οποία δήλωναν πολλαπλασιασµό. Π.χ. το σύµβολο Μ, µε το γ να υπερίπταται αυτού, ήταν ο αριθµός =30.000, ενώ ο ήταν ο αριστερά εµφανιζόµενος συµβολο-αριθµός. Για µια, ασφαλώς, δύσκολη απόπειρα γραφής πολύ µεγάλου αριθµού, θα καταφεύγαµε, οπωσδήποτε, στον Αρίσταρχο και στον Απολλώνιο οι οποίοι, ως και εκ των εικόνων 17 και 18 τεκµαίρεται, ήταν δεξιοτέχνες στην αριθµογραφή. Εικόνα 17.Ο αριθµός του Αρίσταρχου Μερικές φορές, ο αριθµός, που πολλαπλασιαζόταν µε το Μ=10.000, τοποθετούνταν αριστερά και το σηµάδι των χιλιάδων πάνω αριστερά. Εικόνα 18. Χαι η πρόταση του Απολλώνιου για αναπαράσταση θηριωδών αριθµών Το αριθµητικό σύστηµα αυτό, το ιωνικό, θα µπορούσε να αναπαραστήσει όλους τους αριθµούς, που προέκυπταν στην κανονική, καθηµερινή ζωή. Οι µαθηµατικοί, εντούτοις, θέλησαν να επεκτείνουν το σύστηµα, για γραφή, δηλαδή, πολύ µεγάλων αριθµών. Μία τέτοια απόπειρα αποδίδεται στον Αρχιµήδη και άλλη µία, 50 χρόνια αργότερα, στον Απολλώνιο. Ο δεύτερος εργάστηκε µε δυνάµεις της µυριάδας (10.000). Ένα Μ (µύρια) µε ένα α υπερυψωµένο, αντιπροσώπευε το , ενώ Μ µε β στην ίδια θέση αντιπροσώπευε το Μ 2, δηλαδή το κλπ. Ο αριθµός που πολλαπλασιάζεται µε , κλπ. γράφεται µετά το Μ, ενώ το σύµβολο «χαι» ( µάλλον και) γράφεται µεταξύ των µερών του αριθµού δηλώνοντας, φυσικά, πρόσθεση. Έτσι ο , της προηγούµενης εικόνας, προκύπτει από: ( ) + ( ) = Ο Αρχιµήδης σχεδίασε ένα παρόµοιο σύστηµα, αλλά αντί να χρησιµοποιήσει το = 10 4, σαν βασικό αριθµό υψωµένο σε διάφορες δυνάµεις, χρησιµοποίησε το = 10 8 υψωµένο σε δυνάµεις. Εφαρµόζοντας αυτό το σύστηµα ο Αρχιµήδης υπολόγισε ότι ο αριθµός των κόκκων της άµµου, που θα µπορούσαν να χωρέσουν στο σύµπαν, ήταν της τάξης των (το είναι γνωστός και ως «ο αριθµός του Αρχιµήδη»). Ακόµα, κάθε λέξη στην αρχαία Ελλάδα ήταν συγχρόνως και ένας λεξάριθµος, η «αριθµητική αξία» των λέξεων ή προτάσεων δηλαδή, που ήταν ο αριθµός που προερχόταν από το άθροισµα της αριθµητικής αξίας των γραµµάτων της. Η συνήθεια αυτή ήταν πολύ διαδεδοµένη εκείνη την εποχή. Σε κάθε γράµµα της λέξης αντιστοιχούσε ο αριθµός τον οποίο συµβόλιζε. Στη συνέχεια, σαν σε παιχνίδι, 13

22 προσθέτονταν όλοι αυτοί οι αριθµοί και το άθροισµα έδινε την αριθµητική αξία της λέξης ή και πρότασης. Ακόµη και ο αριθµός του Αντίχριστου στην Ιερά Αποκάλυψη, προέκυψε βάσει του ελληνικού, ιωνικού συστήµατος αρίθµησης. «Ό έχων νουν ας υπολογίσει τον αριθµόν του θηρίου αριθµός ανθρώπου είναι και ο αριθµός αυτού χξς». Σύµφωνα µε µια εκδοχή, ο 666 προήλθε από το άθροισµα των αριθµών που παρίσταναν τα γράµµατα της λέξης Λατείνος. Οι Ρωµαίοι (Λατίνοι) ήταν οι κατακτητές την εποχή της συγγραφής της Αποκάλυψης, αυτοί που επιδόθηκαν µάλιστα σε θηριώδεις διωγµούς εναντίον των Χριστιανών (Εξαρχάκος, 1988). Κατά µια δεύτερη εκδοχή, είναι η αριθµητική αξία της λέξης «Ιαπετός». Κατά την ελληνική µυθολογία, ο Προµηθέας, γιος του Ιαπετού, δηµιούργησε από πηλό το ανθρώπινο γένος. Όπως και στην πρώτη (παραλλαγµένη) περίπτωση, οι πρώτοι χριστιανοί έβλεπαν στο πρόσωπο των «Ελληνιστών», αυτών δηλαδή, που πρέσβευαν το αρχαίο ελληνικό πνεύµα, τον Αντίχριστο, το θηρίο που πρόκειται να εµφανιστεί, για να καταπολεµήσει τη Βασιλεία του Χριστού Ένα ινδιάνικο αριθµητικό σύστηµα Τέλος, οι Μάγια, που είχαν αναπτύξει το λαµπρότερο πολιτισµό του υτικού Ηµισφαιρίου, χρησιµοποιούσαν στους υπολογισµούς τους ένα προηγµένο, θεσιακό, εικοσαδικό σύστηµα. Είναι σχεδόν βέβαιο ότι η αιτία για τη βάση 20 αλλά και για την επικράτηση του σηµερινού δεκαδικού, προέκυψε από τους αρχαίους ανθρώπους, οι οποίοι βασίζονταν και αξιοποιούσαν τα δάχτυλά των χεριών ή και των ποδιών τους. Το αλφάβητο των Μάγια περιλάµβανε µόνο 3 σύµβολα, µία κουκκίδα για τη µονάδα, µία µπάρα για το 5 και ένα οβάλ σύµβολο για το 0. Με συνδυασµό αυτών των συµβόλων και µόνο, προέκυπταν τα παρακάτω ψηφία (Εικόνα 19). Εικόνα 19. Οι πρώτοι 20 αριθµοί των Μάγια Επειδή η βάση του αριθµητικού συστήµατος ήταν το 20, οι µεγαλύτεροι αριθµοί γράφονταν, βέβαια, ως δυνάµεις του 20. Παρακάτω εµφανίζονται οι αριθµοί της τρίτης δεκάδας (Εικόνα 20): Εικόνα 20. Η Τρίτη δεκάδα των Μάγια 14

23 Οι αριθµοί γράφονταν από κάτω προς τα πάνω. Άρα ο αριθµός 56 θα γραφόταν ως , δηλαδή ως: 2 16 ενώ ο 3263 = ως: Φυσικά ο αριθµός είναι ο = Είναι, σχετικά, εύκολο να προσθέσουµε και να αφαιρέσουµε στο σύστηµα των Μάγια. Εδώ, ένα παράδειγµα µιας απλής πρόσθεσης ( =19.874): = Όπως εύκολα διαπιστώνεται, η πρόσθεση είναι, ακριβώς, µία άθροιση κουκκίδων και γραµµών. 15

24 Και τελειώνουµε µε µια παραξενιά, µια ιδιοτροπία του ινδιάνικου αυτού συστήµατος. Κατά τον υπολογισµό του χρόνου, το σύστηµα ήταν ελαφρώς διαφορετικό και µη θεσιακό. Σε αυτήν την περίπτωση στην τρίτη θέση, αντί για πολλαπλασιασµό µε το 400, τη δεύτερη δύναµη του 20 δηλαδή, υπήρχε διαφοροποίηση και το 20 2 αντικαθιστούνταν από το 360. Προφανώς, οι Μάγια ευθυγραµµίζονταν έτσι, µε τις 360 µέρες, που πίστευαν ότι περιέχονταν σ ένα έτος. Κατά συνέπεια, η αποτύπωση σε στυλ Μάγια του ηµερολογιακού µας έτους (2009) θα είναι: ( = 2009). Ενώ, η πτώσης της Κωνσταντινούπολης (1453) αποδίδεται ως: ( =1453. Για γενική εποπτεία, η εικόνα 21 παρουσιάζει διάφορα αριθµητικά σύµβολα αρχαίων πολιτισµών, που αποδίδουν 11 συχνόχρηστους σήµερα αριθµούς ( ιασκευή από: Εικόνα 21. Ποικίλα αριθµητικά σύµβολα 16

25 2.6. Το σύγχρονο αριθµητικό σύστηµα Το ινδοαραβικό αριθµητικό σύστηµα προήλθε από την Ινδία και ήταν θεσιακό και δεκαδικό, ιδιότητες που του προσέδωσαν ισχυρό και δυναµικό πλεονέκτηµα, ως προς την επιτελεσθείσα επικράτησή του. Μάλιστα, το δεκαδικό αναδείχθηκε νικητής στην κούρσα της υιοθέτησης αριθµητικού συστήµατος, από τις ανθρώπινες κοινωνίες, εξαιτίας και της θεµελιώδους ανθρώπινης εµπειρίας (Εξαρχάκος, 1988), του µετρήµατος δηλαδή, µε τα 10 δάχτυλα. Το σύστηµα αυτό επινοήθηκε από τους Ινδούς και αργότερα µεταφέρθηκε στη υτική Ευρώπη, από τους Άραβες, εξού και το όνοµά του. Οπωσδήποτε πριν το 800 µ.χ., εισήχθηκε και η θεµελιώδης ιδέα της αξίας της θέσης (Εves,1989). Τούτο συµπεραίνεται από το περίφηµο βιβλίο µε τίτλο: «Hisab aljabr w almuqabala», δηλαδή «το βιβλίο της αποκατάστασης και εξισορρόπησης» του Πέρση µαθηµατικού και συγγραφέα Abu Jafar Mohammed ibn Musa Αl-Khowarizmi ( ), όπου και περιγράφεται λεπτοµερώς το ινδικό αριθµητικό σύστηµα. Το όνοµα του Άραβα συγγραφέα σήµαινε ο Μωάµεθ ο πατέρας τού Τζαφάρ και ο γιος τού Μούσα, ο Κ(χ)οβαρισµιάνος (όπου Κ(χ)οβαρίσµι ήταν µια πόλη, νότια της λίµνης Αράλης, γνωστή και µε το αρχαιοελληνικό όνοµα Χωρασµία). Επιπλέον, ο Πέρσης αυτός, µεγάλος µαθηµατικός της εποχής του, ονοµατοδότησε και το µεγάλο κλάδο των µαθηµατικών, εννοούµε, φυσικά την Άλγεβρα, αφού µέσω λατινικών γλωσσικών επεµβάσεων και παρεµβάσεων το aljabr µετεξελίχθηκε σε Άλγεβρα. Ακόµα, υπήρξε ανάδοχος και της ακολουθίας πεπερασµένων βηµάτων (εντολών), η οποία υποδεικνύει τον τρόπο ολοκλήρωσης και επίτευξης µιας συγκεκριµένης διαδικασίας, δηλαδή του αλγόριθµου, µέσω της επιµελούς παραφθοράς, µέρους τού ονόµατός του. Τα ινδοαραβικά ψηφία-σύµβολα µε ενδιάµεσο σταθµό την Ισπανία ξεχύθηκαν και κατέκτησαν τελικά, σταδιακώς, την Ευρώπη. Κεφαλαιώδης ήταν η συµβολή τού Γάλλου µαθηµατικού Ζερµπέρ (µετέπειτα πάπας Συλβέστρος ΙΙ), ο οποίος στα µέσα του 10ου αιώνα επισκέφθηκε την αραβοκρατούµενη, τότε Ισπανία. Η οξυδέρκειά του τον οδήγησε στην, αναφανδόν βεβαιότητά του, περί της υπεροχής και των πλεονεκτηµάτων, που περιέκλειαν αυτά τα σύµβολα, και το εν γένει αριθµητικό σύστηµα, που δοµούσαν και εξέφραζαν. Τελικά, ύστερα από µια µακρά περίοδο 250 χρόνων προστριβών, αγκυλώσεων, ανασφαλειών και πεισµατικών αντιδράσεων, όπως συχνά συµβαίνει στην υιοθέτηση κάθε τι καινούργιου, το βιβλίο Liber Abbaci του Fibonacci, το οποίο εκδόθηκε το 1202, στην Πίζα (Τσαµάτος, 2004), αποτέλεσε το κύκνειο άσµα των συντηρητικών και αρνούµενων να ευθυγραµµιστούν µε τις επιβεβαιωµένες επιταγές της κοινής λογικής που, ανενδοίαστα και αταλάντευτα, συνηγορούσε υπέρ της κατίσχυσης του νέου αριθµητικού συστήµατος. Το βιβλίο αυτό, που άσκησε µεγάλη επίδραση σε επιστήµονες και εµπόρους στην εποχή του, (Bunt & Jones & Bedient, 1981), εισήγαγε και καθιέρωσε το δεκαδικό σύστηµα και τους αραβικούς αριθµούς στην Ευρώπη, αφού µε το περιεχόµενο του θρυµµάτισε κάθε θύλακα αντίστασης των πολέµιων του αριθµητικού αυτού νεωτερισµού. Παρενθετικά, µπορεί να αναφερθεί ότι στο βιβλίο αυτό ο Fibonacci εισήγαγε και µιαν ακολουθία, που είναι γνωστή ως «αριθµοί Fibonacci», προς τιµή του. Οι όροι της ορίζονται από τις σχέσεις: α 1 =0, α 2 =1 και α ν =α ν-1 +α ν-2, µε ν 3. Μάλιστα, ισχύει lim α ν+1 /α ν = ( 5+1)/2=1,618, όταν ν. Οι αρχαίοι Έλληνες παρήγαγαν τη διασηµότερη κλίµακα της ιστορίας, το χρυσό µέσο ή χρυσή τοµή. Αν ΑΒ ένα ευθύγραµµο τµήµα, τότε πώς πρέπει να διαιρεθεί από ένα εσωτερικό του σηµείο Γ, έτσι ώστε ΑΓ/ΑΒ=ΓΒ/ΑΓ, δηλαδή ο λόγος των δυο τµηµάτων ΑΓ και ΓΒ να είναι ίσος µε το λόγο του µεγαλύτερου 17

26 τµήµατος ως προς το αρχικό ευθύγραµµο τµήµα; Η αναλογία αυτή ισούται µε το τον άρρητο αριθµό φ=1,618 Η ακολουθία 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,, x, y, x+y, του Fibonacci εµφανίζεται σε πολλές αξιοσηµείωτες και απροσδόκητες περιπτώσεις (Eves, 1989). Συναντάται, για παράδειγµα, στο πρόβληµα-γρίφο: «Πόσα ζευγάρια κουνέλια µπορούν να γεννηθούν από ένα ζευγάρι, µέσα σ ένα χρόνο, αν κάθε ζευγάρι γεννά κάθε µήνα ένα νέο ζευγάρι, που από το 2ο µήνα αρχίζει και αυτό να γίνεται παραγωγικό»; Ακόµα έχει εφαρµογές σε προβλήµατα διαχωρισµού, στον πολλαπλασιασµό µελισσών, στην φυλλοταξία στην ελικοειδή, δηλαδή, τάση στη φύση, όπου τα κλάσµατα που αντιπροσωπεύουν την ελικοειδή διευθέτηση των φύλλων στα λουλούδια (µετρώντας τις καµπύλες που πηγαίνουν σύµφωνα µε τους δείκτες του ρολογιού προς αυτές που πηγαίνουν αντίθετα), αποτελούν, σχεδόν πάντοτε, µέλη της σειράς τού Fibonacci (Weyl, 1991). Επιπλέον, γνωρίζουµε, ότι ο αριθµός αυτός, της χρυσής τοµής, εµφανίζεται και στο αρχαίο θέατρο της Επιδαύρου, σε σχέση µε τον αριθµό των θέσεων, στα δύο διαζώµατα. Επίσης, η χρυσή τοµή προκύπτει και ως το πηλίκο του πλάτους προς το ύψος του Παρθενώνα. Στην πυραµίδα της Γκίζας, στον πάπυρο του Rhind, σε αγάλµατα και πίνακες της Αναγέννησης παρουσιάζεται, επίσης, ο «ιερός λόγος». Ο αριθµός αυτός της χρυσής τοµής εµφανίζεται, λοιπόν, σε πολλές περιπτώσεις και αναδεικνύει την καλαισθησία, προσφέρει αισθητική απόλαυση, τέρποντας την όραση. Πάντως, οι ινδοαραβικοί αριθµοί, υπόστηκαν πολλές και σηµαντικές αλλαγές, στο πέρασµα των αιώνων, όπως µας πληροφορεί, αναλυτικά, η παρακάτω εικόνα 22 (Πηγή: Εικόνα 22. ιαχρονικές, ινδοαραβικές συµβολο- µεταµορφώσεις Αξιοσηµείωτο και αξιοπερίεργο όµως, είναι το γεγονός ότι τα σύµβολα, που χρησιµοποιούν σήµερα, οι κάτοικοι των αραβικών περιοχών, για την γραφή αριθµών είναι τελείως διαφορετικά από αυτά, που κληροδότησαν στη ύση. Η εικόνα 23 είναι διαφωτιστική και κατατοπιστική, εκθέτοντας κατ αντιστοιχία, τα τρέχοντα αραβικά σύµβολα µε τα σύγχρονα δυτικά. 18

27 Εικόνα 23. Σύγχρονα και παλαιά αραβικά σύµβολα αριθµών Επίσης, αναφοράς χρήζει και το σύµβολο-ψηφίο, που υιοθετήθηκε για να περιγράψει το µηδέν, σύµβολο, που δηµιουργήθηκε τελευταίο στη σειρά, αν και πρώτο στη διάταξη. Η ανακάλυψη του µηδενός, όπως προαναφέρθηκε, µαρτυρείται από τα χρόνια των αρχαίων Βαβυλωνίων αλλά και των Μάγια. Η πρώτη γραπτή µαρτυρία, όσον αφορά στο µηδέν, βρίσκεται σε µια ινδική επιγραφή του 876 µ.χ. Σίγουρα όµως, οι Ινδοί χρησιµοποιούσαν ειδικό σύµβολο για το µηδέν από πολύ νωρίτερα (Εξαρχάκος, 1988). Πιθανότατα επινοήθηκε το 500 µ.χ περίπου, µε ινδικές και πάλι καταβολές. Η αγγλική λέξη «zero» προέρχεται από τη λατινική «zephiirum», που εξελίχθηκε από τη αραβική «as-sifr», που και αυτή µε τη σειρά της προήλθε από τη σανσκριτική λέξη «sunya», που χρησιµοποιούνταν στην Ινδία, ήδη από τον πέµπτο αιώνα, για να δειχθεί η κενή στήλη στον άβακα. Μάλιστα, η ελληνική λέξη τζίφος είναι οµόρριζη της sifr (Εves, 1989). Πάντως ο Αl-Khowarizmi σ ένα άλλο ολιγοσέλιδο βιβλίο του, που µελετά την αριθµητική των Ινδών, προτείνει στις αφαιρέσεις µε µηδενικό υπόλοιπο να σηµειώνεται ένας µικρός κύκλος (Bunt & Jones & Bedient, 1981), ως δηλωτικό του «τίποτα», διότι διαφορετικά η θέση θα µένει αδειανή µε ορατό κίνδυνο έτσι, τις παρανοήσεις και την ασάφεια, αφού οι θέσεις θα λιγοστεύουν και δε θα είναι ευκρινής η σειρά τους. Κατά µιαν άλλη εκδοχή, το ειδικό σύµβολο «0» για το µηδέν, επινοήθηκε από τον Έλληνα µαθηµατικό και αστρονόµο Πτολεµαίο τον Κλαύδιο ( µ.χ.), που το χρησιµοποίησε για πρώτη φορά στο έργο του, γνωστό και ως «Αλµαγέστη» (Εξαρχάκος, 1988). Μάλιστα, το σύµβολο αυτό προτάθηκε, εξαιτίας της θέσης του ως πρώτο γράµµα στη λέξη «ουδέν». Ο Πτολεµαίος, ως Έλληνας, εύκολα, αβίαστα και ευεξήγητα, φαίνεται να οδηγήθηκε σ αυτόν τον παραλληλισµό και συσχετισµό. Τέλος, η ανεκτίµητη σηµασία και σπουδαιότητα της ανάπτυξης του αριθµητικού θεσιακού συστήµατος αναδεικνύεται και καταξιώνεται µε τον καλύτερο τρόπο, µέσα από το παρακάτω παρατιθέµενο απόσπασα του Pierre Simon Laplace ( ), ο οποίος εύστοχα και αφοπλιστικά παρατήρησε: «Ήταν η Ινδία που µας έδωσε την αφελή µέθοδο παράστασης όλων των αριθµών, µέσω δέκα συµβόλων, µε κάθε σύµβολο να λαµβάνει µιαν αξία ανάλογα µε τη θέση του, καθώς επίσης και µιαν απόλυτη αξία. Η ιδέα αυτή ήταν βαθιά και σηµαντική, αν και εµφανίζεται τόσο απλή σε µας τώρα, αφού µάλλον αγνοούµε την αληθινή της αξία. Αυτή η απλότητά της και η µεγάλη ευκολία, που έχει επιφέρει σε όλους τους υπολογισµούς, τοποθετεί την αριθµητική µας στην πρώτη τάξη των χρήσιµων εφευρέσεων. Οπωσδήποτε, θα εκτιµήσουµε το µεγαλείο αυτού του επιτεύγµατος, αν αναλογιστούµε ότι δραπέτευσε της µεγαλοφυΐας του Αρχιµήδη και του Απολλώνιου, δύο από τα µεγαλύτερα µυαλά, µε τα οποία προικίστηκε η αρχαιότητα» (Eves, 1988). 19

28 3. Τα δεκαδικά κλάσµατα Πολυγραφότατος και ευρείας επιστηµονικής γκάµας ενδιαφερόντων ο ολλανδόφωνος Simon Stevin (εικόνα 24) συνεισέφερε σε πολλές και ποικίλες επιστηµονικές περιοχές (φυσική, µηχανική µαθηµατικά, τεχνολογία, ναυσιπλοΐα, οικονοµική θεωρία, γλωσσολογία, µουσική, κλπ), χάρις στις πλούσιες µαθηµατικές του γνώσεις και ικανότητες (Devreese & Berghe, 2008). Ο Simon Stevin ( ) ήταν Φλαµανδός µαθηµατικός και µνηµονεύεται, πέραν των πολλών άλλων επιστηµονικών κατορθωµάτων του, και για τον πετυχηµένο αγώνα του περί της εισαγωγής των δεκαδικών κλασµάτων στην καθηµερινότητα του ευρέος κοινού και, κατ επέκταση, στην ευκολία εκτέλεσης αριθµητικών υπολογισµών. Η προσπάθειά Εικόνα 24. Simon Stevin ( ) του αυτή, βέβαια, απέδωσε καρπούς, σχετικώς καθυστερηµένα, κατά τη διάρκεια των χρόνων της γαλλικής επανάστασης, γεγονός που ουδόλως, φυσικά, δε µειώνει τη σπουδαιότητά της. Ακόµα, µεταξύ των άλλων, ο Stevin ανέτρεψε την εσφαλµένη πεποίθηση του Αριστοτέλη ότι τα βαρύτερα σώµατα πέφτουν γρηγορότερα από τα ελαφρύτερα, ενώ τερµάτισε και την αρχαία ελληνική διάκριση, µεταξύ του αριθµού και του µεγέθους, που αυτός αντιπροσωπεύει. Το πόνηµα, που του χάρισε την αιωνιότητα, σχηµατίζει ποσά αντιστρόφως ανάλογα, ως προς τη σχέση µεγέθους του και επιτυχίας του. Πρόκειται για ένα, 36 σελίδων βιβλιαράκι, που εκδόθηκε στα ολλανδικά και γαλλικά το 1585 και µεταφράστηκε στα αγγλικά, το 1608 (εικόνα 25). Ο αρχικός τίτλος ήταν «De Thiende», που σηµαίνει «εκάτη». Παραδόξως η γαλλική του µετάφραση «La Disme» δεν ξεπερνούσε τις 7 σελίδες. Ο όρος-λέξη Disme µαρτυρείται και στο έργο του Ουίλλιαµ Σαίξπηρ «Τρωίλος και Χρυσηίδα», που κυκλοφόρησε το 1609, ένα χρόνο, δηλαδή, µετά τη αγγλική µετάφραση της «εκάτης». Αυτό µάλλον καταδεικνύει και τις µαθηµατικές ανησυχίες και ενδιαφέροντα του κορυφαίου Άγγλου ποιητή και θεατρικού συγγραφέα, αφού φαίνεται ότι διάβαζε, και οπωσδήποτε καταλάβαινε, ακραιφνείς επιστηµονικές, µαθηµατικές µελέτες. Μελέτες, οι οποίες επαγγέλονταν µεταρρυθµίσεις και απαγκιστρώσεις από παρωχηµένες και αναποτελεσµατικές πρακτικές, που καταδυνάστευαν τη µεσαιωνική καθηµερινότητα, δεδοµένου ότι έντονη και πιεστική ήταν η εµµονή και η επιµονή του Simon Stevin, για ταχεία εισαγωγή και εφαρµογή των δεκαδικών κλασµάτων και του δεκαδικού συστήµατος, γενικότερα, στα χρήµατα, στα βάρη και στα µέτρα (Bunt & Jones & Bedient, 1981). Κύριος και αποκλειστικός σκοπός του Stevin, κατά τη συγγραφή αυτού του βιβλίου - σταθµού, όπως αναφέρεται και στην εισαγωγή του, ήταν να διδάξει την εύκολη εκτέλεση υπολογισµών. Περιγράφει την πρόσθεση, τον πολλαπλασιασµό, την αφαίρεση και τη διαίρεση δεκαδικών αριθµών. Έγραφε τους δεκαδικούς αριθµούς, χρησιµοποιώντας µόνο ακέραιους, αποφεύγοντας έτσι τα κλάσµατα. Η καινοτοµία του συνίσταται στην τοποθέτηση των εκθετών των διαφορετικών δυνάµεων του ενός δεκάτου, εντός περιγεγραµµένων κύκλων. 20

29 Εικόνα 25. Η «δεκάτη» στα ολλανδικά και στα αγγλικά Με τη µέθοδο του Simon Stevin, για παράδειγµα, ο δεκαδικός ο αριθµός: ,3784 = γραφόταν ως: επινόηση που, σίγουρα και οµολογουµένως, επέφερε επανάσταση απλοποιώντας τη δύσχρηστη και χρονοβόρα µέχρι τότε, γραφή των αριθµών. Η πρόσθεση των αριθµών 14,67 και 5,14 αποτυπώνεται παρακάτω: 21

30 Το περικυκλωµένο µηδέν χώριζε το ακέραιο από το δεκαδικό µέρος, εν είδει σηµερινής υποδιαστολής. ηλωτικό σύµβολο διαχωρισµού ακέραιου από δεκαδικό µέρος παρουσιάστηκε ως ένα κενό διάστηµα για πρώτη φορά από τον Πέρση αστρονόµο Al- Kashi το Αργότερα, χρησιµοποιήθηκε µια κάθετη ράβδος όπως και κάποια άλλα σύµβολα, έως και το 1617, χρονιά που ο Napier υιοθέτησε το κόµµα και την τελεία ταυτόχρονα, αµφιταλαντευόµενος ποιο από τα δυο σύµβολα να προκρίνει (Cajori, 2007). Αλλά και 400 χρόνια αργότερα, µέχρι τις µέρες µας δηλαδή, αυτό το δίληµµα εξακολουθεί και παραµένει, αφού οι ανθρώπινες κοινωνίες κράτη είναι διαιρεµένες σε 2 στρατόπεδα, µε όλες τις εκπορευόµενες και παράπλευρες δυσλειτουργίες και συγχύσεις εξ αυτής της διαφοροποίησης. Ένα σχετικό δε, ελαφρό οπαδικό προβάδισµα του «κόµµατος», είναι καταγεγραµµένο. Παρενθετικά, η ευεργετική, λόγω της ευκολίας στην απαγγελία των αριθµών, οµαδοποίηση των ψηφίων ανά 3, εµφανίστηκε, αρχικά το 1795, στο άρθρο «Numeration in Mathematical and Philosophical Dictionary» του Charles Hutton (Cajori, 2007). Ωστόσο, η εφεύρεση του «δεκαδικού σηµείου» πιστώνεται από ιστορικούς των Μαθηµατικών στον Bartholomaeus Pitiscus, το Γερµανό µαθηµατικό στον οποίο αποδίδεται και η δηµιουργία του όρου Τριγωνοµετρία. Στη συνέχεια, σύµφωνα µε µερικούς συγγραφείς, το σύµβολο αυτό έγινε δεκτό από τον John Napier, κατά την ανάπτυξη των λογαρίθµων του, που µια συνοπτική πραγµάτευσή τους, αµέσως, παρατίθεται. 4. Οι λογάριθµοι Ο John Napier ( ) ήταν Σκοτσέζος ευγενής και απολαµβάνει σχετικού µεριδίου «υπολογιστικού» κλέους, διότι συνεισέφερε, κατά έναν τρόπο, στη θεµελίωση της σύγχρονης επιστήµης της πληροφορικής (εικόνα 26). Εµφορούµενος, ίσως, από τις αρχές και τα ιδανικά της σκοτσέζικης καταγωγής του, ενδιαφερόταν, κατά κύριο λόγο, για την επινόηση µεθόδων και την κατασκευή συσκευών, ώστε να εκτελούνται περίπλοκοι υπολογισµοί γρήγορα, µε ακρίβεια και ευκολία. Φυσικά, το πανανθρώπινο και οικουµενικό απόφθεγµα «ο χρόνος είναι χρήµα» θα αποτέλεσε, αναµφισβήτητα, κύριο ιµάντα έµπνευσης και λιπαντικό παρακίνησής του. Η µεγάλη του εφεύρεση ήταν αυτή των Εικόνα 26. John Napier ( ) λογαρίθµων και ως έννοιας και ως λέξης. Εφεύρεση που σηµαδεύει αποφασιστικά µια µεγάλη στιγµή των µαθηµατικών (Eves, 1989). Ως λογάριθµος ενός αριθµού x µε βάση β ορίζεται ένας αριθµός y ως εκθέτης, τέτοιος ώστε x = β y και συµβολίζεται µε λογβ(x). Επιπλέον, ο Napier θεωρείται µοναδικός, µιας και το έργο του είναι από εκείνα τα σπάνια γεγονότα παρθενογένεσης στην ιστορία της επιστήµης, δεδοµένου ότι δεν παρατηρούνται καταφυγές, συσχετισµοί και ερείσµατα σε προγενέστερες εργασίες άλλων (Ayoub, 1993). Ειρήσθω εν παρόδω, ας σηµειωθεί ότι ο µεγάλος Νεύτωνας, συν-επινοητής µετά του Leibnitz, του απειροστικού λογισµού, παραδέχθηκε, ειλικρινώς και ευθαρσώς, ότι στηρίχθηκε σε ώµους γιγάντων. Οι λογάριθµοι (λογαριθµικοί πίνακες) απλοποιούν τις πράξεις της Αριθµητικής, µειώνοντας τες από 4 σε 2, αφού ο πολλαπλασιασµός µετατρέπεται σε 22

31 πρόσθεση εκθετών και η διαίρεση σε αφαίρεση. Στηρίζονται στις ιδιότητες των δυνάµεων (οι οποίες, περιέργως, πολύ αργότερα, κέρδισαν την επιστηµονική παραδοχή και ισχύ): a x a y = a x+y και a x /a y = a x-y µε a, x, y R. Για παράδειγµα, για τον πολ/σµό = = 3 13 = , η προσφυγή σε πίνακες, µε εκ των προτέρων, καταχωρισµένες τις δυνάµεις τού 3, µάς προσφέρει σίγουρα, χρονικά πλεονεκτήµατα. Ο Napier υπήρξε σύγχρονος των Γαλιλαίου και Κέπλερ. Η εποχή αυτή χαρακτηρίζεται από αστρονοµικές και ναυσιπλοϊκές επιστηµονικές ανησυχίες, που συνεπάγονταν αλυσιδωτούς και ατέρµονους υπολογισµούς. Το παραµικρό λάθος, φυσικά, ήταν καταστροφικό για την εξαγωγή ασφαλών συµπερασµάτων. Ως καίρια συµβολή, στην άρση αυτής της δυσχερούς κατάστασης, µέσω της τριγωνοµετρίας, ο Napier εξέδωσε 2 κύρια βιβλία, λατινιστί. Το πρώτο, το 1614, τιτλοφορούνταν «Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio», δηλαδή «Μια περιγραφή του θαυµάσιου κανόνα των λογαρίθµων» και πραγµατευόταν την καινοφανή έννοια του λογάριθµου. Περιείχε πίνακα µε τους «νεπέρειους» λογαρίθµους των ηµιτόνων γωνιών, ανά πρώτο λεπτό του τόξου αλλά και κανόνες για την επίλυση επίπεδων και σφαιρικών τριγώνων (Ayoub, 1993; Eves, 1989). O Laplace, µάλιστα υστερότερα, δε φείσθηκε εγκωµιαστικών σχολίων, δηλώνοντας ότι η εργασία του Napier διπλασίασε τη ζωή των αστρονόµων και πια, περίσσευε χρόνος και για... ενατένιση των άστρων, που πρωτύτερα ξοδευόταν σε οδυνηρούς υπολογισµούς. Ο Napier όρισε το λογάριθµο L ενός αριθµού N, µέσω της παρακάτω σχέσης: N = 10 7 ( ) L (1), όπου δηλαδή, Νεπ λογ(n)=l. Χρησιµοποίησε τις ακέραιες δυνάµεις ενός αριθµού, οι οποίες είχαν την ιδιότητα οι διαδοχικές δυνάµεις να ήταν αρκετά κοντά και εάν κανείς έσυρε µια ευθεία γραµµή µεταξύ των διαδοχικών τιµών, η αξία ακόµα θα βρισκόταν, µέσα σε µια επιθυµητή ανοχή (Wallach, 2005). Ο Napier επέλεξε αρχικά τον αριθµό ( ) = 0, Θεώρησε έπειτα τον ( ) L. Π.χ. (0, ) 2 = 0, , (0, ) 3 = 0, (0, ) = 0, Προκειµένου δε, να αποφευχθούν οι µικροί δεκαδικοί, τελικά όρισε τη σχέση (1). Η δηµοφιλία του 10 7 µοφειλόταν στους αριθµούς, µέχρι εφτά δεκαδικές θέσεις, που περιέχονταν στον καλύτερο πίνακα ηµίτονων, που γνώριζε (Eves, 1989). Έτσι για τον πολλαπλασιασµό 2 αριθµών x=10 7 ( ) L, µε Νεπ λογ(x)= L και y = 10 7 ( ) K, µε Νεπ λογ(y)= Κ, η απλή πρόσθεση L+Κ ήταν αρκετή. Ακολούθως, µε την εξέταση του λογαριθµικού πίνακα, εντοπιζόταν ο αριθµός µε λογάριθµο L+Κ. Στην περίπτωση του (0, ) λαµβάνουµε 0, µε ακρίβεια 7 δεκαδικών ψηφίων. Ο αντίστροφος του προηγούµενου αριθµού είναι ο γνωστός e=2, Σε µια άλλη κοµψότερη και σωστότερη µορφή (Ayoub, 1993; Eves,1989), στην οποία υπεισέρχεται ο άρρητος e, ο νεπέρειος λογάριθµος ισούται µε: Νεπ λογ(x) = 10 7 ln(10 7 /x) (2), όπου ln(x) ο φυσικός λογάριθµος, βάσης e. Αρκετές φορές, ο φυσικός λογάριθµος καλείται και νεπέρειος, λανθασµένα όµως, αφού όπως προκύπτει, από τη σχέση (2), πρόκειται για διαφορετικές µαθηµατικές οντότητες. Ο λογάριθµος µε βάση 10 καλείται κοινός λογάριθµος λογ(x) ή ακόµα και λογάριθµος του Briggs προς τιµή του Henry Briggs ( ), ενός Άγγλου καθηγητή Μαθηµατικών και κατοπινού ένθερµου υποστηρικτή του Napier, τον οποίο επισκέφτηκε στη Σκοτία και εντυπωσιάστηκε από τον ευφυή αυτό µαθηµατικό µεθοδολογικό νεωτερισµό και, φυσικά, από τις καταπληκτικές, υπολογιστικές εφαρµογές του. Η σχέση, που συνδέει το δεκαδικό και το νεπέρειο λογάριθµο, δίδεται παρακάτω: 23

32 7 10 λογ x Νεπ λογ(x) = 7 10 λογ Το µέγεθος της επιτυχίας της νεπέρειας µεθόδου, τεκµαίρεται απερίφραστα, και από τον κεντρικό ρόλο, που κατείχε στην ύλη της δευτεροβάθµιας εκπαίδευσης των Μαθηµατικών παγκοσµίως, µέχρι και τις αρχές της δεκαετίας του 80. Στην εικόνα 27, υπάρχουν ενδεικτικά αποσπάσµατα µε άκρως διαφωτιστικά και πειστικά παραδείγµατα της σπουδαιότητας των λογαρίθµων, λίγο πριν «πνεύσουν τα λοίσθια», και τεθούν σε αχρησ(τ)ία, εξαιτίας της καταιγιστικής εισβολής των, συνεχώς και σκανδαλωδώς, βελτιούµενων ηλεκτρονικών υπολογιστών. Εικόνα 27: Απολιθωµένο εκπαιδευτικό υλικό 24

33 Οι εφαρµογές αυτές των δεκαδικών λογαρίθµων αποτελούν τµήµατα της 105ης και 106ης σελίδας του ελληνικού σχολικού εγχειριδίου µαθηµατικών, της Β Λυκείου, του ΟΕ Β, έκδοσης Μάλιστα, πολλοί συγγραφείς είχαν αποδυθεί σε έναν τιτάνιο και συστηµατικό αγώνα δηµιουργίας λογαριθµικών πινάκων θαυµαστής ακρίβειας, όπως και ευκολίας χρήσης τους. Όλα αυτά πια τώρα, αποτελούν βέβαια, µουσειακό αλλά και θρυλικό υλικό και είδος, συµβολίζοντας την αέναη, αγωνιώδη (ίσως και χιµαιρική) ανθρώπινη προσπάθεια για αποκωδικοποίηση, αποκρυπτογράφηση και κατανόηση της συµπαντικής φύσης. Ακόµα, σε ένα δεύτερο βιβλίο του µε τίτλο Mirifici Logarithmorum Canonis Constuctio, που εκδόθηκε µετά θάνατον το 1619, ο Napier περιγράφει τρόπους κατασκευής λογαριθµικών πινάκων και, επίσης, αναφέρει και αναλύει ιδιότητες της λογαριθµικής συνάρτησης, απαραίτητες για αυτήν την κατασκευή (Ayoub, 1993). 4.1 Άλλες νεπέρειες καινοτοµίες και συσκευές Τέλος το 1617, γράφτηκε και το βιβλίο «Rabdologiae, seu Numerationis per Virgulas Libri Duo: Cum Appendice de expecitissimo Multiplicationis Promptuario. Quibus accessitet Arithmeticae Loaclis Liber Unus» ή απλώς (συγκοπτόµενο) Rabdologiae (Ραβδολογία). Στην πραγµατεία αυτή, ο µεγάλος Σκότος επινοητής αριθµητικών µεθόδων, φειδωλών και εχθρικών προς το χρόνο, άφησε ως παρακαταθήκη και «πρακτικές συσκευές», που αντιπαλεύουν, όπως πάντα, την απώλεια χρόνου και συνάµα απαλύνουν την ταλαιπωρία, ένα σύνηθες αποκαρδιωτικό φαινόµενο, που υφίσταντο οι µορφωµένοι της εποχής του, κατά την εκτέλεση ογκωδών πολλαπλασιασµών. Ήδη, στις µέρες του ήταν γνωστή και δηµοφιλής, οπωσδήποτε, η «µέθοδος του δικτυωτού» µια διαδικασία πολλαπλασιασµού πολυψήφιων αριθµών. Αναπτύχθηκε αρχικά στην Ινδία (µέθοδος gelosia), µετά η χρήση της επεκτάθηκε σε κινεζικές, περσικές και αραβικές εργασίες, µέχρι που έφτασε, το 15ο αιώνα, στην Ευρώπη. Σύµφωνα µε τη µέθοδο αυτή, οι 2 αριθµοί προς πολ/σµό, τοποθετούνται σε ηµικύκλια, στην κορυφή του πλέγµατος και στη δεξιά πλευρά, αντίστοιχα. Εικόνα 28. Συµπλεγµατικοί πολ/σµοι 25

34 Κάθε τετράπλευρο κελί του πλέγµατος διαιρείται σε δύο ορθογώνια τρίγωνα, µέσω της διαγωνίου. Το γινόµενο για κάθε δύο αντίστοιχα ψηφία των αρχικών αριθµών, γράφεται σε κάθε κελί, µε τις δεκάδες στο πάνω τρίγωνο και τις µονάδες στο κάτω. Οι αριθµοί σε κάθε τραπέζιο, τα οποία καλύπτουν πλήρως το πλέγµα και σχηµατίζονται από τις παράλληλες διαγωνίους, προστίθενται και το άθροισµα τους (µονοψήφιο, σε περίπτωση δε, κρατούµενου αυτό µεταφέρεται στο επόµενο αριστερό τραπέζιο) τοποθετείται στο σχετικό και αντίστοιχο ηµικύκλιο. Τα ψηφία, που προκύπτουν, συγκροτούν το γινόµενο των διαλαµβανοµένων αριθµών, «σαρώνοντάς» τα από πάνω αριστερά και µε φορά αντίθετη των δεικτών του ωρολογίου. Η εικόνα 28, µε τον πολλαπλασιασµό = , αποσαφηνίζει την όντως εύκολη διαδικασία. Η µέθοδος αυτή θα µπορούσε να χρησιµοποιείται και σήµερα, αφού είναι απλή, γρήγορη και προσφέρει µαθησιακά πλεονεκτήµατα, κατά την εκµάθηση της «προπαίδειας». Υπάρχει βέβαια, δυσκολία στη σχεδίαση του δικτύου των γραµµών, σκόπελος φυσικά, που αποφεύγεται µε µια εκ των προτέρων φωτοτυπηµένη εκδοχή τους και διαµοίρασή τους. Ασφαλώς όµως, ο κυριότερος λόγος παροπλισµού της παραπάνω µεθόδου, της µη χρησιµοποίησης ή εφαρµογής της, είναι η καταιγιστική εισβολή, ακόµη και στα σχολεία, των υπολογιστών τσέπης. Μια πραγµατικότητα, που αυτόµατα µετατρέπει τη µελέτη µιας τέτοιας µεθόδου σε πλήρη µαταιοσπουδία. Παραπλήσια είναι και µια φορητή, χρονικά ολιγαρκής συσκευή, γνωστή ως κόκαλα ή αριθµηµένες ράβδοι του Napier, (Horsburgh, 1914), που, µάλλον, λειτούργησε και ως ανάδοχος της συνολικής διατριβής του οξύνοος Σκοτσέζου. Έτσι, στο έργο του Ραβδολογία περιγράφει την κατασκευή ράβδων-λωρίδων, ως σηµαντικών αρωγών σε πολλαπλασιασµούς, διαιρέσεις και σε ευρέσεις τετραγωνικών και κυβικών ριζών, καµωµένων από κόκαλο, ελεφαντόδοντο, ξύλο ή και ασήµι. Κάθε πλευρά της ορθογώνιας και παραλληλεπίπεδης ράβδου είναι διαιρεµένη σε δέκα τετράγωνα. Στην κορυφή είναι τοποθετηµένο καθένα από τα 10 σύµβολα του δεκαδικού αριθµητικού συστήµατος. Οι υπόλοιπες 9 θέσεις, (σαν σε πίνακα λειψής προπαίδειας) καταλαµβάνονται από τα ισάριθµα πρώτα πολλαπλάσιά του, σε αύξουσα σειρά, καταχωρισµένα όπως και στη µέθοδο του δικτυωτού. Συνολικά, ο Napier προτείνει τη δηµιουργία 10 τετράεδρων επιµηκών ράβδων, µε µόνη κανονιστική ιδιαιτερότητα, τη συµπληρωµατικότητα, ως προς το 9 των ψηφίων των απέναντι εδρών. Μια ράβδος Εικόνα 29 Νεπέρειο οστεοφυλάκιο περιείχε τα πολλαπλάσια των 0, 1, 9, 8, µια άλλη των 0, 2, 9, 7, µια τρίτη των 3, 4, 6, 5 κ.ο.κ. µε κάθε ψηφίο, δηλαδή, να εµφανίζεται τετράκις στη δεκάδα των διαφορετικών ράβδων (εικόνα 29). Για να πραγµατοποιηθεί ένας πολ/σµός, µέσω αυτής της βολικής συσκευής, τοποθετούνται εφαπτόµενες εντός ενός πλαισίου, οι ράβδοι εκείνες, που αντιστοιχούν στα ψηφία του πολλαπλασιαστέου. Ακολούθως, προστίθενται ως µερικά γινόµενα, όπως παραπάνω, οι αριθµοί κάθε σειράς, που το δηλωτικό της αριθµητικό αντιστοιχεί 26

35 στα ψηφία του πολλαπλασιαστή. Στη συνέχεια, στην εικόνα 30, παρατίθεται ο πολλαπλασιασµός Το άθροισµα = είναι και το ζητούµενο αποτέλεσµα. Εικόνα 30. Όπου δεν πίπτει λογ(άριθµ)ος πίπτει ράβδος Φυσικά, η πραγµατοποίηση διαιρέσεων είναι ελαφρώς δυσκολότερη διαδικασία, όπως και οι εξαγωγές ριζών. Κατά τη διαίρεση τοποθετούνται οµοίως, οι ράβδοι των ψηφίων του διαιρέτη και εξάγονται, µέσω αυτών τα πολλαπλάσιά του. Στη συνέχεια µε συνεχείς αφαιρέσεις υπολογίζεται το πηλίκο και ως δεκαδικός αριθµός, αν χρειαστεί. Η πνευµατική µεγαλοσύνη του Napier δεν αρκέστηκε στις ραβδόµορφες «κοκάλινες» συσκευές του. Το ανήσυχο πνεύµα του επινόησε και µια περισσότερο σύνθετη παραλλαγή τους, που την ονόµασε promptuarium-promptuary (οψοθήκη). Την περιγράφει στο παράρτηµα της Rabdologiae, ενώ εµφανής στόχος του ήταν να απλοποιήσει περαιτέρω τις µεθόδους του, για ταχείς και ακριβείς υπολογισµούς. Η συσκευή αυτή στηριζόταν πάλι και χρησιµοποιούσε ειδικές λωρίδες- ράβδους, που ο αριθµός τους ανερχόταν σε 200. Πλεονέκτηµα της ήταν ότι πολλαπλασίαζε εύκολα, πολυψήφιους αριθµούς και µειονέκτηµά της ότι έκανε ακριβώς, µόνο αυτό. Η ξενάγησή µας στο µουσειακό κελάρι, µε τα χρονικώς διαιτητικά, αριθµητικά συµπληρώµατα του Napier, θα επικεντρωθεί σε µια τελευταία συνεισφορά του. Η ακροτελεύτια αυτή αναφορά θα λειτουργήσει συζευκτικά, ως γέφυρα και συνδετικός κρίκος µε την επόµενη, τελευταία και πληρέστερη, µέχρι τώρα (καλοκαίρι 2008), «ηλεκτρονική υπολογιστική» επινόηση. Η ριζοσπαστική αυτή συσκευή, αν και σχετικά άγνωστη, ονοµαζόταν «υπολογιστής σκακιέρας» (chessboard calculator) και οδηγίες χρήσης της περιέχονταν στη Ραβδολογία. Εκτελούσε τις 4 πράξεις της Αριθµητικής, χρησιµοποιώντας το σηµασιολογικό κανόνα του δυαδικού συστήµατος και εξήγαγε τετραγωνικές ρίζες. Η µεθοδολογία της συσκευής στηρίζεται στο αριθµητικό σύστηµα αυτό, γεγονός που ενισχύει τα επιχειρήµατα πολλών (και δικαιολογεί, ενδεχοµένως, και τον επιθετικό προσδιορισµό «ριζοσπαστική» στην αρχή της 27

36 παραγράφου) ότι ο Napier «ανακάλυψε» το δυαδικό σύστηµα (Lee, 1998; Gardner, 1986), το οποίο οµοίως, αποτελεί πυλώνα και ζωοδότη και µιας άλλης απογόνου συσκευής, του σηµερινού δηλαδή, ηλεκτρονικού υπολογιστή. =(101101) 2 =(11001) 2 =( ) 2 Εικόνα 31. Υπολογιστής σκακιέρας Στην πρόσθεση (εικόνα 31) τοποθετούνται οι αριθµοί στη σκακιέρα, γραµµένοι σύµφωνα µε το δυαδικό σύστηµα: Ο αριθµός 45, που ισούται µε τον (101101) 2 στο δυαδικό και ο οµόλογός του (11001) 2 που είναι, φυσικά ο (25) 10. Η απουσία ή παρουσία µονάδων κάποιας τάξης αναπαρίστανται και δηλώνεται µε τα γνωστά πούλια. Στη συνέχεια, τα πούλια κατηφορίζουν στην τελευταία γραµµή, κινούµενα ακριβώς κάθετα. Στην περίπτωση, που 2 πούλια φιλοξενούνται στο ίδιο τετραγωνάκι, τότε ενεργοποιείται ο βασικός νόµος των αριθµητικών συστηµάτων, αυτός δηλαδή, της ανταλλαγής τους µε ένα, και το οποίο θα καλύψει το ακριβώς επόµενο, αριστερά τετραγωνάκι. Για εποπτικούς λόγους, στην εικόνα 31, η πρόσθεση έχει αποδοθεί, µέσω 2 στιγµιότυπων. Το κόκκινο βέλος αντιστοιχεί στη συγκέντρωση και το πράσινο στην τελική, µετά την ανταλλαγή, διάταξη. Η αφαίρεση εκτελούνταν κατά αντίστροφο τρόπο, µέσω «δανεισµού» αν χρειαζόταν, από τα αριστερά τετράγωνα, ενώ το τελικό αποτέλεσµα το µαρτυρούσε η διάταξη στα εναποµείναντα πούλια του µειωτέου, αφού τα ευρισκόµενα στην ίδια στήλη πούλια αλληλοαναιρούνταν. Για τον πολλαπλασιασµό, µέσω του δυαδικού αυτού υπολογιστή, οι αριθµοί τοποθετούνται µε το δυαδικό τους ανάπτυγµα στη δεξιά και στην κάτω πλευρά, αντίστοιχα. Στην εικόνα 32 πολλαπλασιάζονται οι αριθµοί 14 και 17. Με πούλια (στο παράδειγµά µας, για εποπτικούς λόγους, απεικονίζονται κόκκινα) καλύπτονται και εκείνα τα τετράγωνα, τα οποία αποτελούν σηµείο τοµής των σειρών και των γραµµών, µε ύπαρξη ποσότητας (µε 1 πούλι), αυτών, δηλαδή, που αποδίδουν δυαδικά, τους 2 αριθµούς, που συµµετέχουν. 28

37 Ακολούθως, τα πούλια αυτά σύρονται, διαγωνίως, µέχρι την τελευταία γραµµή (πράσινα) και τελικά, αν απαιτηθεί, µέσω ανταλλαγής, στην οποία λαβαίνουν µέρος και τα πούλια τού δεξιά τοποθετηµένου αριθµού, προκύπτει το γινόµενο (Gardner 1986). Εικόνα 32. Πολλαπλασιασµός σκακιέρας Η µέθοδος της σκακιέρας, πέραν της εξοικείωσης µε τα γνωστά επιτραπέζια παιχνίδια, µπορεί να βοηθήσει στην εκµάθηση του δυαδικού συστήµατος και σε τάξεις, ίσως και του ηµοτικού. Το µεγάλο πλεονέκτηµα του δυαδικού συστήµατος συνίσταται στο γεγονός, ότι δύο και µόνο σύµβολα, εννοούµε βέβαια, το 0 και το 1, είναι αρκετά για να αναπαρασταθούν όλοι οι αριθµοί. Έχουν παρατηρηθεί αρκετοί εντυπωσιακοί παραλληλισµοί ανάµεσα στις προσεγγίσεις των µικρότερων µαθητών και στα αριθµητικά συστήµατα, που αναπτύχθηκαν διαχρονικά. Πρώτα η ένα προς ένα αντιστοιχία, υστερότερα µια αντικατάσταση από κρυπτογραφηµένα συστήµατα και πολύ αργότερα η εισαγωγή των συµβόλων (Hughes, 2002). Υποστηρίζεται δε, από ιστορικούς, ότι το δυαδικό ήταν το πρώτο σύστηµα που επινοήθηκε από τον άνθρωπο. Η επιχειρηµατολογία τους στηρίζεται στη διαφοροποίηση, που όντως υπάρχει, στην απαγγελία των 2 πρώτων τακτικών αριθµητικών, σε πολλές φυσικές γλώσσες (π.χ. πρώτος, δεύτερος). Ακόµα και η ύπαρξη δυϊκού αριθµού, σε πολλές γραµµατικές, ισχυροποιεί αυτά τα επιχειρήµατα. Ακόµα η θεώρηση αυτή ενισχύεται και από το γεγονός ότι σε πολλούς πρωτόγονους πολιτισµούς, τα αριθµητικά επίθετα περιορίζονται σε τρία µόνο («ένα», «δύο», «πολλά») (Wilder, 1986). Επίσης, ο Γερµανός µαθηµατικός και φιλόσοφος Λάιµπνιτς ( ) προσέδιδε συµπαντικές και θεολογικές διαστάσεις και προεκτάσεις, στο δυαδικό σύστηµα. Σύµφωνα µε τη Γένεση, ο ένας (1) Θεός δηµιούργησε τον κόσµο από το 29

38 κενό (0). Εποµένως, πίστευε, το δυαδικό θεωρείται θεϊκό αριθµητικό σύστηµα, αφού µέσω των συµβόλων του 0 και 1 κατασκευάζονται όλοι οι αριθµοί (Cook, 2008). Προς επίρρωση των πεποιθήσεων του Λάιµπνιτς (εικόνα 33), αρκεί η αναφορά µας, χωρίς καν επιχειρηµατολόγηση, στο σηµερινό «εικονικό κόσµο», δηµιουργία των στοιχείων- εργαλείων «0» και «1» του δυαδικού. Με την υιοθέτηση των παραπάνω, και σχετικά µε το δυαδικό σύστηµα, µπορεί να υποστηριχθεί η ύπαρξη µιας ιστορικής κυκλικότητας, µιας κυκλοτερικής, πολιτισµικής ανακύκλησης και αναβίωσης, έστω και µέσω της τεχνολογίας, αφού και τώρα βρισκόµαστε στα σπάργανα της εικονικής-δυαδικής πραγµατικότητας. Η γνωριµία και γνώση του δυαδικού συστήµατος είναι, λοιπόν, θεµελιώδης στην Πληροφορική. Στο ελληνικό εκπαιδευτικό σύστηµα, προ Εικόνα 33. Ο Λάιµπνιτς 25ετίας, εισήχθηκε η διδασκαλία αριθµητικών συστηµάτων διαφορετικών από το δεκαδικό (δυαδικό, πενταδικό), ακόµα και στο ηµοτικό Σχολείο. Το εγχείρηµα, βέβαια αποδείχθηκε θνησιγενές και χιµαιρικό, όπως η σχολική πραγµατικότητα απέδειξε, εξαιτίας των δυσκολιών, καταδεικνύοντας σαφώς εγγενείς «µαθητικές» αδυναµίες. Στις επόµενες, αναθεωρηµένες εκδόσεις των εγχειριδίων, τα αντίστοιχα κεφάλαια, φυσικά, αφαιρέθηκαν. Σήµερα και δικαιολογηµένα, η διδασκαλία αριθµητικών συστηµάτων είναι τµήµα, µόνο του Αναλυτικού Προγράµµατος Πληροφορικής του Λυκείου, δεδοµένης και της σπουδαιότητας της δυαδικής αναπαράστασης. Είναι αδιαµφισβήτητο ότι οι πρωτοποριακές συσκευές και καινοτόµες µέθοδοι του Napier επηρέασαν αναφανδόν, πολλούς κατοπινούς επιστήµονες (Gittins, 1998), οι οποίοι πρωτοστατούσαν από την εποχή του και εντεύθεν, στην κατασκευή όλο και τελειότερων µεθόδων και µηχανικών συσκευών, λειαίνοντας την οδό έλευσης, ως προποµποί και «καλοί προ-άγγελοι», του σηµερινού Υπολογιστή. Σήµερα και ο ηλεκτρονικός υπολογιστής, µπορεί να ισχυριστεί κανείς ότι µιµείται τις λογαριθµικές µεθόδους, καθώς ανάγει τις 4 πράξεις της αριθµητικής σε µία, µέσω της µεθόδου του συµπληρώµατος. Είναι γεγονός ότι οι τέσσερις πράξεις της αριθµητικής ανάγονται στη µία και κυρίαρχη, και εννοείται φυσικά, η πρόσθεση. Αυτό συµβαίνει διότι η αφαίρεση είναι το αντίστροφο της πρόσθεσης, ο πολλαπλασιασµός είναι µια πρόσθεση ίσων προσθετέων και η διαίρεση εκτελείται µέσω συνεχών αφαιρέσεων. Ο Η/Υ εκµεταλλεύεται αυτή την πραγµατικότητα απλούστευσης των πράξεων και αφαιρεί αριθµούς προσθέτοντάς τους, ενεργοποιώντας τη λεγόµενη «µέθοδο του συµπληρώµατος». Βέβαια αυτή η διαδικασία ταιριάζει απόλυτα και απλοποιείται, σκανδαλωδώς, στα πλαίσια εφαρµογής της στο δυαδικό σύστηµα. Ένας φορµαλιστικός ορισµός του συµπληρώµατος είναι ο ακόλουθος: Αν β είναι η βάση του συστήµατος, τότε το συµπλήρωµα a ενός αριθµού α µε ν ψηφία ως προς το β ν είναι ο a = ( β ν -1-α)+1= β ν -α. ηλαδή το συµπλήρωµα του 35 στο δεκαδικό σύστηµα είναι το ( )+1=65. Ο λόγος που γράφουµε είναι ότι, έτσι, κάνουµε, εύκολα, αφαίρεση κάθε ψηφίου του αριθµού από το 9 (το συµπλήρωµα κάθε ψηφίου ως προς το 9) και φυσικά µετά προσθέτουµε τη µονάδα (99-35=64, 64+1=65). Για να βρούµε, λοιπόν, το συµπληρωµατικό κάθε αριθµού κάνουµε αφαίρεση, αφού αφαιρούµε το κάθε 30

39 ψηφίο του από το 9. Εποµένως, µπορούµε να ισχυριστούµε ότι µπορούµε γενικά να κάνουµε αφαίρεση σε οποιοδήποτε σύστηµα, χρησιµοποιώντας πρόσθεση, µόνο αν γνωρίζουµε το συµπληρωµατικό κάθε ενός ψηφίου του συστήµατος από το µεγαλύτερο ψηφίο του συστήµατος. Βέβαια στο δυαδικό σύστηµα είναι προφανές, αφού το συµπληρωµατικό του 0 είναι το 1 και αντιστρόφως. Έτσι αν στο δυαδικό αριθµό α, αντιστρέψουµε όλα τα ψηφία του (του αλλάξουµε δηλαδή τα φώτα), δηλαδή όπου 0 βάζουµε το 1 και αντίστροφα, και προσθέσουµε άλλη µια µονάδα, θα έχουµε το συµπλήρωµα ως προς 2 τού α. Για παράδειγµα, το συµπλήρωµα του είναι το = , ενώ το συµπλήρωµα του στο πενταδικό είναι το = Έστω ότι έχουµε να αφαιρέσουµε τους αριθµούς και Για να επιτύχουµε ίσο αριθµό ψηφίων γράφουµε τον αφαιρετέο ως και ακολούθως βρίσκουµε το συµπλήρωµά του, που είναι το = Oπότε µετά από την πρόσθεση έχουµε: δηλαδή το τελικό αποτέλεσµα είναι το , αφού, όπως προστάζει η µέθοδος του συµπληρώµατος, απορρίψουµε αποκόψουµε την πάντα εµφανιζόµενη στα αριστερά, µονάδα. Και θα συµπληρώσουµε τη µέθοδο του συµπληρώµατος µε ένα τελευταίο παράδειγµα χρησιµοποιώντας και κλασµατικούς αριθµούς: Για παράδειγµα, ας βρεθεί η διαφορά 1.247,14-658,7 µε τη µέθοδο του συµπληρώµατος, στο δεκαδικό σύστηµα. Αρχικά οι αριθµοί θεωρούνται ως ακέραιοι (άρα στο τελικό αποτέλεσµα θα είµαστε υποχρεωµένοι να χωρίσουµε δεκαδικά ψηφία) και για να επιτύχουµε ίσο αριθµό ψηφίων, οι αριθµοί καταγράφονται ως ο µειωτέος και ως ο αφαιρετέος. Έτσι βρίσκουµε το συµπλήρωµα του (ως προς το ), που είναι το και µε την πρόσθεση της µονάδας ( ) προκύπτει ο Στη συνέχεια προσθέτουµε: και µετά την απόρριψη της µονάδας, το αποτέλεσµα είναι το Τέλος, αφού χωρίσουµε (εδώ στην περίπτωσή µας) 2 δεκαδικά ψηφία, το τελικό αποτέλεσµα θα είναι φυσικά, το 588,44. Τέλος, η επωδός της ιστορικής αυτής αναδροµής θα αφιερωθεί σε µια αδροµερή παράθεση των σηµαντικότερων επιτευγµάτων που καταγράφηκαν, µέχρι τη σηµερινή ασύλληπτη και εξωπραγµατική µορφή και ισχύ του ηλεκτρονικού υπολογιστή. 5. Ο σύγχρονος υπολογιστής Σύµφωνα µε έναν ορισµό (που συµµαχεί, ασφαλώς, µε την αλήθεια) οι υπολογιστές εφευρέθηκαν για να λύνουν πολύπλοκα µαθηµατικά προβλήµατα και εξισώσεις. Μάλιστα, η λέξη Υπολογιστής δήλωνε αρχικά, το λύτη εξισώσεων και µόνο µετά το 1945, ταυτίστηκε µε το συγκεκριµένο µηχάνηµα (Cerussi, 2006). 31

40 Στο σωτήριο έτος 1642 σηµατοδοτείται ο πρώτος σηµαντικός σταθµός στη σύγχρονη υπολογιστική ιστορία και συνάµα η περίοδος των αυτόµατων υπολογιστικών µηχανών (Βραχάτης & Παπαδάκης, 1995). Τη χρονιά αυτή, ο προικισµένος Γάλλος µαθηµατικός, θεολόγος και φιλόσοφος Blaise Pascal κατασκεύασε στο Παρίσι, την «Πασκαλίνα» του (εικόνα 34). Η συσκευή αυτή, µεγέθους φραντζόλας ψωµιού, εκτελούσε πρόσθεση και αφαίρεση και βοηθούσε τον υπάλληλο πατέρα τού εφευρέτη, σε υπολογισµούς κατά την είσπραξη των φόρων και την πάταξη της φοροδιαφυγής. Ο µηχανισµός της στηριζόταν σε 8 καντράν µε γρανάζια, που υποκαθιστούσαν τα ψηφία και, µέσω των οποίων, µεταφέρονταν τα κρατούµενα. Έτσι, όταν ένα γρανάζι µε δέκα δόντια έκανε µια περιστροφή, σε ένα δεύτερο µετατοπιζόταν ένα δόντι, κατά µια θέση και στη συµπλήρωση µιας πλήρους περιστροφής και αυτού, µετατοπιζόταν το δόντι ενός τρίτου (εκατοντάδες) κ.ο.κ. Περίπου το 1674, και ενώ είχε µεσολαβήσει η εφεύρεση του µηχανικού υπολογιστή του Samuel Morland, που και αυτός πρόσθετε και αφαιρούσε, παρουσιάστηκε ο Staffelwalze, αγγλιστί Stepped Reckoner, και µε µια πρόχειρη ελληνική απόδοση ως συσκευή κλιµακωτών υπολογισµών (εικόνα 35). ηµιουργός του το έτερο µέλος Εικόνα 34. Η πασκαλίνα Εικόνα 35. Stepped Reckoner της πεφωτισµένης συνωρίδας των επινοητών του διαφορικού λογισµού, ο Gottfried Wilhelm von Leibniz. Χρησιµοποιούσε έναν ειδικού τύπου οδοντωτό τροχό σε σχήµα κυλίνδρου, µε 9 δόντια αυξανόµενου µήκους, παράλληλων προς τον άξονα του κυλίνδρου. Είχε περίπου 67 cm µήκος και κάθε ψηφίο αναπαριστανόταν µε ένα σύνολο από τροχούς. Αποτελούνταν από δύο µέρη, το 12-ψήφιο τµήµα συσσωρευτών στο πίσω µέρος και το τµήµα εισαγωγής 8 ψηφίων στο µπροστινό. Η µηχανή αυτή, που ολοκληρώθηκε το 1694, ήταν πρωτοποριακή, καθώς εκτελούσε και τις 4 πράξεις της Αριθµητικής. Το 1775, ο Philip Matthaus Hanh ( ), ένας περίφηµος ωρολογοποιός της εποχής του, βασίστηκε στη συσκευή του Leibniz και ανέπτυξε τον πρώτο λειτουργικό µηχανικό υπολογιστή. Μέχρι το λυκαυγές του 19ου αιώνα, οι συστηµατικές προσπάθειες επέκτασης του ανθρώπινου µυαλού περιορίζονταν σε χειροκίνητες και σειριακές συσκευές. Επιπλέον όµως, η έννοια του προγραµµατισµού δεν ήταν και τόσο νέα, αφού πολλά και διάφορα εργαλεία, όπως ρολόγια και music boxes έκαναν χρήση προγραµµατιστικών µεθόδων (Dodig Crnkovic, 2001). Ως απότοκο της διαµορφωθείσας κατάστασης αυτής ο Joseph-Marie Jacquard ( ) εφεύρε, πριν περίπου 200 χρόνια, την πρώτη δεκαετία του 19ου αιώνα, έναν αυτοµατοποιηµένο αργαλειό, µε την επιστράτευση µιας πρωτόλειας µορφής προγραµµατισµού. Στόχος του ήταν να αυξήσει την κλωστοϋφαντουργική παραγωγή. 32

41 Η θεµελιώδης προγραµµατιστική σύλληψή του συνίστατο στη χρήση διάτρητων καρτών. Η ύφανση σύνθετων σχεδίων διευκολυνόταν και απλοποιούνταν, καθώς αυτά αναπαράγονταν µε βάση τις προκαθορισµένες οπές των καρτών. Ας σηµειωθεί ότι µε την τεχνική και την ιδέα αυτή προικοδοτήθηκαν και οι σύγχρονοι ηλεκτρονικοί υπολογιστές, αφού χρησιµοποιούνταν διάτρητα δελτία, ως φορείς εισόδου δεδοµένων, µέχρι πρόσφατα (Περσίδης, 1978). Το γεγονός αυτό, αναµφισβήτητα, προσδίδει αίγλη, κύρος και λαµπρότητα στην έµπνευση του Jacquard (Εικόνα 36). Λίγο αργότερα, το 1820, διατίθεται προς πώληση, η πρώτη µαζικής παραγωγής µηχανική υπολογιστική συσκευή, σχεδιασµένη από το Γάλλο µαθηµατικό Charles Xavier Thomas de Colmar ( ). Την ίδια χρονική περίοδο, ο Άγγλος µαθηµατικός Charles Babbage ( ) αντιλήφθηκε ότι οι χρονοβόροι υπολογισµοί, ειδικά µεταξύ πινάκων, ήταν µια σειρά από προβλέψιµες διαδικασίες και επαναλαµβανόµενες ενέργειες και εξ αυτού του λόγου, ίσως θα µπορούσαν να αυτοµατοποιηθούν (Meyers, 1993). Εργαζόµενος, ήδη από το 1822, παρουσίασε δέκα χρόνια αργότερα τη «διαφορική µηχανή» του, ενώ είχε µεσολαβήσει, το 1829, το πατεντάρισµα της πρώτης γραφοµηχανής, από τον William Austin Burt. Το 1834, ο Charles Babbage οραµατίσθηκε µια ατµοκίνητη µηχανή, πλήρως αυτοµατοποιηµένη, η οποία θα στηριζόταν στην ιδέα των διάτρητων καρτών. Λόγω όµως ανυπαρξίας χορηγών και της γενικότερης κρατικής αδιαφορίας, η κληθείσα από τον ίδιο «αναλυτική µηχανή», έµεινε, κυριολεκτικά, στα χαρτιά. Ακόµα και έτσι όµως, η «αναλυτική µηχανή», το φιλόδοξο όσο και επαναστατικό αυτό σχέδιο του Babbage, δικαίως και ορθώς, θεωρείται προποµπός και γεννήτορας του σύγχρονου ηλεκτρονικού υπολογιστή (Εικόνα 37). Εικόνα 36. Ο ίδιος ο αργαλειός υπήρξε η «προίκα» του Jacquard στους απογόνους του Εικόνα 37. Η ανα(κ)λητική µηχανή του Babbage Αναφοράς χρήζει, στον συνοπτικό αυτό ιστορικό άτλαντα, και όχι µόνο για εθνικ(ιστικ)ούς λόγους, η φίλη του Babbage και συνάµα κόρη του Άγγλου ποιητή και µεγάλου Φιλέλληνα Λόρδου Βύρωνα. Η µαθηµατικός Ada Augusta Byron, Countess of Lovelace ( ), υπήρξε ο πρώτος προγραµµατιστής υπολογιστών και ανάδοχος γι αυτό, της οµώνυµης γλώσσας προγραµµατισµού. Πρόλαβε στη σύντοµη ζωή της, µέσα από συχνές επιστηµονικές συζητήσεις να αναδεικνύει το ταλέντο της και να γοητεύει µε τις γνώσεις της και την επιστηµοσύνη της τους γύρω της. Συχνά, υπέβαλλε «προγραµµατιστικές» προτάσεις, για παραπέρα αξιοποίηση της αναλυτικής µηχανής και κατόρθωνε έτσι να εντυπωσιάζει το δηµιουργό της αλλά και τους συγχρόνους της. 33

42 Καταλυτική συµβολή αλλά και ώθηση στην επιστήµη των υπολογιστών επήλθε µε το έργο του Άγγλου George Boole ( ), ο οποίος στα µέσα του 19ου αιώνα, το 1854, ένα χρόνο πριν το θάνατο του κορυφαίου Γερµανού Μαθηµατικού Johann Carl Friedrich Gauss, εξέδωσε το µνηµειώδες βιβλίο του «An investigation into the Laws of Thought on which are founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities» (Έρευνα των Νόµων της Σκέψης, πάνω στους οποίους βασίζονται οι Μαθηµατικές θεωρίες της λογικής και των Πιθανοτήτων). Στο έργο αυτό, όπως παρατήρησε ο διάσηµος Βρετανός ειρηνιστής, µαθηµατικός και φιλόσοφος Bertrand Russell ( ), ανακαλύφθηκαν τα καθαρά Μαθηµατικά. Αν και ο ισχυρισµός αυτός έχει δόσεις υπερβολής, ωστόσο υποδηλώνει το σπουδαίο επίτευγµα του Boole, που δεν είναι άλλο από την ενσωµάτωση της Λογικής στα Μαθηµατικά, προοπτική που είχαν οραµατιστεί ο De Morgan και ο Leibnitz (Bell, 1993). Ο Boole εργαζόταν ως δάσκαλος στη Στοιχειώδη Εκπαίδευση και, ως υποχρεωτικό µέρος της δουλειάς του, µελετούσε µόνος του Μαθηµατικά για να διευρύνει τις ελλιπείς γνώσεις του. Αξιοσηµείωτο είναι ότι τα έργα του είχαν στόχο, κυρίως να αποκρούσουν φληναφήµατα και αβδηριτισµούς περί της µηδαµινής αξίας των Μαθηµατικών ως επιστήµης, που εµβριθώς και καταιγιστικώς ανακοίνωναν «φιλόσοφοι» της εποχής του. Στο περιώνυµο αριστούργηµά του εισήγαγε την οµώνυµη Άλγεβρα, µε µεταβλητές δύο τιµών (δυαδική άλγεβρα), ιδανική για πολλές εφαρµογές στη λογική και το σχεδιασµό των υπολογιστών. Στη συνέχεια και ενώ ο Alexander Graham Bell εφευρίσκει το τηλέφωνο το 1876, ο Αµερικανός Herman Hollerith ( ), µια δεκαετία σχεδόν αργότερα επινοεί έναν ηλεκτροµηχανικό καταγραφέα, για την αµερικάνικη απογραφή πληθυσµού του Η επεξεργασία των δεδοµένων ακολουθούσε τη µέθοδο της ανάκλησης των πληροφοριών, µέσω διάτρητων καρτών, που πρώτος ανέπτυξε ο Jacquard. Αργότερα, το 1896, ο Hollerith ιδρύει µια συναφούς αντικειµένου εταιρεία και παράγει τέτοιου είδους µηχανές επεξεργασίας δεδοµένων. Η εταιρεία αυτή υπήρξε η γιαγιά της σηµερινής (και πολύ γνωστής) International Business Machines (IBM). Φυσικά, από καµία υπολογιστική ιστορική αναδροµή δε θα απουσίαζε το όνοµα τού Άγγλου µαθηµατικού Alan M. Turing ( ). Αν υπήρχε ρήτραπλαφόν για αναφορά ενός και µοναδικού ονόµατος, αυτό θα έπρεπε να ήταν το δικό του, που θα κοσµούσε την κουτσουρεµένη αυτή λίστα. Το κολοσσιαίο δηµιούργηµα τού πατέρα τής επιστήµης των υπολογιστών και της Πληροφορικής, δηµοσιεύτηκε το 1936 και είχε τίτλο: «On Computable Numbers, with an application to the Entscheidungsproblem», δηλαδή «Για τους υπολογίσιµους αριθµούς, µε µια εφαρµογή στην αποφασισιµότητα», όπου ως Entscheidungsproblem αποδίδεται γερµανιστί, η αγγλική φράση decision problem. Τότε και στην πραγµατεία του αυτή, ο Turing έδωσε τον ορισµό της οµώνυµης µηχανής του, ενός πρωτογενούς, θεωρητικού υπολογιστικού µοντέλου. Βέβαια περιέγραφε έναν υπολογιστή, µια δεκαετία σχεδόν, πριν την πρώτη κατασκευή µιας τέτοιας µηχανής. Η µηχανή του Turing µπορούσε να υπολογίσει οποιοδήποτε κατανοητό µαθηµατικό πρόβληµα, αφού εκτελούσε και αξιοποιούσε όλες τις ανθρώπινες υπολογιστικές µεθόδους. Μάλιστα, ο Turing ισχυριζόταν πως µπορούν να προγραµµατισθούν µηχανές, εάν και εφόσον ήταν δυνατό να αναπαρασταθούν, σαφώς και λεπτοµερώς, από έναν αλγόριθµο. Η επιχειρηµατολογία του, οι προτάσεις και οι υποθέσεις του εστιάζονταν στην πεποίθησή του, περί της αντίληψης και θεώρησης δηλαδή, τού εγκεφάλου ως ενός 34

43 υπολογιστικού οργάνου. Αν οι ψυχολόγοι έλεγε, εντόπιζαν τα στάδια και απεικόνιζαν επακριβώς τον τρόπο που ακολουθεί η ανθρώπινη σκέψη, κατά τη λύση προβληµάτων, τότε θα ήταν εφικτή και η κατασκευή µιας µηχανής, που θα χρησιµοποιεί και θα ακολουθεί τέτοιες ανθρώπινες δραστηριότητες και λειτουργίες. Εξαιτίας αυτών των απόψεων του, µόλις στις αρχές της δεκαετίας του 60, µια καινούργια επιστήµη, η Γνωστική, άρχισε να οριοθετείται και να θέτει τις βάσεις της. Το επιστηµονικό της πεδίο και η κύρια ασχολία της επικεντρώνονται στη µελέτη της νοηµοσύνης, και ειδικότερα στην εξερεύνηση και αποκωδικοποίηση των υπολογιστικών διαδικασιών τού νου. Στόχος της η κατανόηση των δοµών τού εγκεφάλου, ώστε να παραχθούν έτσι, πλούσιες, ενδιαφέρουσες και αξιοποιήσιµες πληροφορίες για τον τρόπο σκέψης και µάθησης ανθρώπων ή και ζώων. Έτσι, η Γνωστική Επιστήµη όρισε ως αντικείµενο µελέτης της, κατά πρώτον, τη διερεύνηση της σκέψης του λύτη κατά τη διάρκεια επίλυσης προβληµάτων (problem solving). Ως πρόβληµα, κατά τη Γνωστική Επιστήµη, ορίζεται µια κατάσταση, όπου διάφορα εµπόδια δυσκολεύουν, δυσχεραίνουν την επίτευξη ενός επιδιωκόµενου σκοπού. Ο λύτης µετέρχεται διάφορων µεθόδων και επιστρατεύει µια σειρά γνωστικών διαδικασιών, προκειµένου η επιδίωξή του να τελεσφορήσει. Άµεσος στόχος του (και µοναδικός) είναι η υπερπήδηση και υπερφαλάγγιση των εµποδίων, µε την αλλαγή της υπάρχουσας αρχικής κατάστασης, η οποία φυσικά, συνιστά και προσδιορίζει το πρόβληµα (Σπανός, 1996). Η παρακολούθηση εν συνεχεία και η µελέτη από ένα Γνωστικό επιστήµονα, του τρόπου σκέψης και της συµπεριφοράς ενός λύτη, κατά τη διαδικασία λύσης προβληµάτων, αποτελεί το δεύτερο σκέλος δράσης της Γνωστικής Επιστήµης. Αυτή η σπουδή είναι υπερβολικά εξονυχιστική, λεπτοµερής, ενδελεχής και αναλυτική. Αλιεύονται οι στρατηγικές, οι ευρετικές και τεχνικές, που χρησιµοποιούνται από το λύτη και κατασκευάζονται προγράµµατα σε ηλεκτρονικούς υπολογιστές, όπου εξοµοιώνεται η ανθρώπινη συµπεριφορά. Αυτή, βέβαια, η προσπάθεια εξοµοίωσης της ανθρώπινης σκέψης µε τη µέθοδο της επεξεργασίας των πληροφοριών, δια των ηλεκτρονικών υπολογιστών, αποτελεί το ουσιωδέστερο χαρακτηριστικό και µέληµα, την πεµπτουσία δηλαδή, τής Γνωστικής Επιστήµης. Μέσα στα λίγα αυτά χρόνια ζωής της, η επιστήµη αυτή αναπτύχθηκε αλµατωδώς και έφτασε σε µια νέα εξέλιξη, γνωστή ως «Τεχνητή Νοηµοσύνη». Ο όρος εµφανίστηκε το 1956 περίπου και κόµιζε την καινοτόµο άποψη ότι η έννοια της νοηµοσύνης έπρεπε να επεκταθεί, για να περιλάβει και τεχνητά, ευφυή συστήµατα (Βοσνιάδου, 2004). Οι επιστήµονες της Τεχνητής Νοηµοσύνης συλλέγουν, αντλούν και επεξεργάζονται πληροφορίες σχετικές µε αποδείξεις προβληµάτων, µαθηµατικών θεωρηµάτων, σύνθεση καλλιτεχνηµάτων και κατόπιν τροφοδοτούν προγράµµατα σε Η/Υ, κατορθώνοντας να αναγάγουν, να αναβαθµίζουν και να µετατρέψουν την άψυχη ηλεκτρονική µηχανή σε δεινό και ανίκητο σκακιστή και λύτη προβληµάτων, σε µαθηµατικό, σε καλλιτέχνη κλπ. Στην περιοχή αυτή τα αποτελέσµατα είναι κυριολεκτικά «φανταστικά». Τρανή απόδειξη, που και νωπή, µάλλον, θα παραµένει, η προ δεκαετίας περίπου, αναµέτρηση και ήττα του παγκόσµιου πρωταθλητή στο σκάκι Γκασπάρωφ από ηλεκτρονικό υπολογιστή. Η είδηση αυτή εξαιτίας, του απροσδόκητου (τότε) και ταυτόχρονα σηµαντικού γεγονότος που µετέφερε, κυριαρχούσε για µέρες στα δελτία των Μ.Μ.Ε. Μάλιστα, σχετικά πρόσφατα (από άρθρο, στις 6/12/2006, στον ειδησεογραφικό κόµβο σηµειώθηκε νέα, περίτρανη και περιφανής, λογισµική νίκη, αφού σύµφωνα µε το e-δηµοσίευµα ο παγκόσµιος πρωταθλητής σκακιού Βλαντιµίρ Κράµνικ ηττήθηκε από το Deep Frtitz, το κορυφαίο πρόγραµµα σκακιού, που µπορεί να αναλύει οκτώ µε δέκα εκατοµµύρια δυνατές κινήσεις το 35

44 δευτερόλεπτο, σε µια αναµέτρηση έξι παρτίδων στη Γερµανία. Ο 31χρονος Ρώσος µετρ είχε παραδεχθεί, βέβαια, εξαρχής ότι το πρόγραµµα ήταν το «φαβορί» της αναµέτρησης. Και όπως αβίαστα και φυσικά διαφαίνεται και συµπεραίνεται, παρόµοιες µελλοντικές αναµετρήσεις δε θα συµπεριλαµβάνονται σε κανενός είδους στοίχηµα, αφού και οι πλέον αδαείς, εύκολα και λογι(σµι)κά σκεπτόµενοι, θα προβλέπουν τον (εικονικό - ψηφιακό) e-νικητή. H τελευταία διακεκριµένη θέση στο ιστορικό αυτό πάνθεον ανήκει, δικαιωµατικά, στο Μαγυάρο µαθηµατικό John von Neumann ( ). Ενώ διανύεται το σωτήριο έτος 1945, στην ατµόσφαιρα των ΗΠΑ διαχέεται το µεθυστικό άρωµα, του Ψυχρού πολέµου, µε τη Σοβιετική Ένωση. Ο ENIAC, o πρώτος υπολογιστής γενικών καθηκόντων και «ειδικών στρατιωτικών απαιτήσεων», είναι, ήδη, πραγµατικότητα. Ο John von Neumann συνεπαρµένος από την επιτυχία του ENIAC, δηµοσιεύει, στις 30 Ιουνίου το άρθρο του, «First Draft of a Report on the EDVAC», ορµώµενος από πρότερες εργασίες των Mauchly και Eckert, οι όποιοι εφεύραν τον ENIAC και πρότειναν την κατασκευή τού διαδόχου του EDVAC. Το κείµενο αυτό αναφέρεται συχνά, ως το καταστατικό της υπολογιστικής τεχνολογίας καθώς επέδρασε, καίρια έκτοτε, στον τρόπο σχεδίασης των Εικόνα 38. Ο John von Neumann υπολογιστών. Η σχεδίαση αυτή, γνωστή ως «αρχιτεκτονική von Neumann», αφορά στον τρόπο διάταξης των ηλεκτρικών κυκλωµάτων και συνεπακόλουθα της ροής των πληροφοριών στο εσωτερικό του Υπολογιστή, που µέχρι κάποιο τουλάχιστο επίπεδο δεν έχει, ως τα τώρα, αλλάξει (Cerussi, 2006). Ο υπολογιστής του Neumann έκανε αποτελεσµατική τη µορφή του αποθηκευτικού προγράµµατος και διαχώρισε τις µονάδες, που επεξεργάζονται την πληροφορία από εκείνες που την αποθηκεύουν. Ακόµα, οι υπορουτίνες δεν επαναπρογραµµατίζονταν για κάθε νέο πρόγραµµα, αλλά µπορούσαν να φυλάσσονται στις βιβλιοθήκες και να επανέρχονται στη µνήµη, όταν αυτό απαιτούνταν. Ως κατακλείδα, θα αναφερθούν επιγραµµατικά και ακροθιγώς, µερικές ακόµα φωτεινές στιγµές και γεγονότα που σηµάδεψαν το ανελέητο κυνηγητό του χρόνου από τον άνθρωπο και αναπτέρωσαν τη µαταιοδοξία του για νοητική υπερύψωση και υπέρβαση. To 1947, εφευρίσκεται το transistor, το πλέον ζωτικό στοιχείο των υπολογιστών και αντικαθιστά την παρωχηµένη τεχνολογία των λυχνιών. Μια δεκαετία αργότερα ο John Backus και οι συνεργάτες του ανέπτυξαν τον πρώτο µεταγλωττιστή για τη FORTRAN. Από το 1958, τα ολοκληρωµένα κυκλώµατα κρατούν τη µερίδα του λέοντος κατά την παραγωγή των υπολογιστών, για να παραδώσουν και αυτά µε τη σειρά τους τη σκυτάλη, 13 χρόνια αργότερα, το 1971, στους µικροεπεξεργαστές. Νωρίτερα, το 1968 είχε «πιαστεί» στην εφευρετική φάκα το ποντίκι και ένα χρόνο µετά, το 1969, ξεκίνησαν οι περιορισµένης εµβέλειας διαδικτυακές- εικονικές περιηγήσεις, µε όχηµα µάρκας ARPAnet και οδηγό το Υπουργείο Άµυνας των ΗΠΑ. Το 1980, άρχισε από την IBM η πώληση των πρώτων προσωπικών υπολογιστών, που αύξησαν δραµατικά την παραγωγή τους και τους κατόχους τους, 36

45 µετά και το λανσάρισµα των windows το Ενδιάµεσα, το 1991, είχε δηµιουργηθεί ο Παγκόσµιος Ιστός από τον Άγγλο Tim Berners-Lee. Και ο κατάλογος συνεχίζεται Τελικά, ποιο θα είναι το επόµενο βήµα ή η κατάληξη; Ποιο είναι το όριο των δυνατοτήτων των υπολογιστών στην ταχύτητα και στη µνήµη; Η µικρή προϊστορία τους δεν εγγυάται ασφαλείς προβλέψεις. Μάλλον, οι επόµενες γενιές ανθρώπων θα προσπορίζονται οφέλη από αυτούς, που για µας τώρα, είναι αδιανόητα, ασύλληπτα και...πιθανώς απίθανα. Οπωσδήποτε όµως, θα παραµένουν µια µηχανική προέκταση των λειτουργιών του ανθρώπινου εγκεφάλου. Πάντα, τους ενασχολούµενους θα φιλοδωρούν απλόχερα, µε ερεθιστικότητα, αϋπνία και µε την ανελέητη, φρικτή πραγµατικότητα ότι ουδέποτε ο χρήστης τους θα είναι ικανός να µάθει όλα όσα κυκλοφορούν και αφορούν σ αυτούς. Ακόµα, η πυκνότητα των transistor στα ολοκληρωµένα κυκλώµατα, που θα πρέπει να διπλασιάζεται κάθε 2 χρόνια, ως αναγκαίος και συνεχώς επιβεβαιώσιµος νόµος (Moore) θα προκαλεί, θα δελεάζει και θα οιστρηλατεί τους κοχλίες των µηχανικών και τη φαιά ουσία των επιστηµόνων. Επιπροσθέτως, ο νόµος αυτός, πεισµατικά ίσως και χαιρέκακα, σε αρµονικό και οδυνηρό συνδυασµό, ως ένα αχτύπητο δίδυµο µε τους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές, θα σιγοτραγουδούν αντάµα, τα λόγια του ποιητή: «...όσα βουνά κι αν ανεβείτε, απ τις κορφές τους θ αγναντέψτε άλλες κορφές, ψηλότερες, µιαν άλλη πλάση ξελογιάστρα και στην κορφή σα φτάστε την κατάψηλη, πάλε θα καταλάβετε πως βρίσκεστε σαν πρώτα, κάτω απ όλα τ άστρα...» (Κωστής Παλαµάς) 37

46 Β. ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΩΣ ΤΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗ. 1. Εκπαιδευτική Τεχνολογία Η τεχνολογία, αναµφισβήτητα, έχει προσφέρει πολλά. Τα ιστία, η πυξίδα και το πηδάλιο, η τυπογραφία, η ατµοµηχανή, η πενικιλίνη, το τηλέφωνο, ο δορυφόρος και ο ηλεκτρονικός υπολογιστής (Kumpulainen, 2007) είναι ακριβώς µερικά παραδείγµατα µεγάλων εφευρετικών καινοτοµιών, που µετέβαλαν το ρου της ιστορίας, αφού υπηρέτησαν ανθρώπινες σκοπιµότητες, όνειρα, επιδιώξεις και φιλοδοξίες. Στο πλαίσιο αυτό, ήδη από τις αρχές του προηγούµενου αιώνα, υπήρξε σηµαντική τεχνική πρόοδος, βελτίωση και διεύρυνση των δυνατοτήτων των ΜΜΕ της εποχής. Το ραδιόφωνο, ο τηλέγραφος, ο φωνογράφος, ο κινηµατογράφος και η τυπογραφία υπεισέρχονται βαθύτερα στα λαϊκά στρώµατα, αποκτούν κοινωνικά ερείσµατα και τα πρώιµα, ίσως δειλά και ψυχρά, σηµάδια πρακτικής και χρηστικής αποδοχής τους, αποτελούν πια ιστορικό, παρελθοντικό υλικό. Η εκπαίδευση βέβαια, ως αναπόσπαστο κοµµάτι της διαδικασίας εξέλιξης των ανθρώπων και µάλιστα πρωτεύουσας κοινωνικής και παρεµβατικής σηµασίας, αποτέλεσε πεδίο εφαρµογής τους, αποκοµίζοντας παράπλευρες ωφέλειες, δεδοµένου ότι αυτές οι εφευρέσεις (όπως αργότερα και ο ηλεκτρονικός υπολογιστής) εντάχτηκαν στην εκπαιδευτική και διδακτική διαδικασία, αν και δε σχεδιάστηκαν γι αυτόν τον σκοπό. Είναι όµως, αναπόφευκτη και δικαιολογηµένη, ανά τους αιώνες, η ανθρώπινη καταφυγή και η εναπόθεση ελπίδας σε διαδικασίες, µεθόδους και µηχανές, µε την προσδοκία, µέσω αυτών, να καταστεί η µάθηση ευκολότερη και αποτελεσµατικότερη. Ανέκαθεν χρησιµοποιούνταν διάφορα µέσα διδασκαλίας για την «απόκτηση» της γνώσης και, αργότερα, την «ανακάλυψη» ή την «κατασκευή» της. Αρχικά, επιστρατεύθηκε ο προφορικός λόγος, η µουσική, η ποίηση, η αφήγηση, η ζωγραφική και η χαρακτική και στη συνέχεια ο γραπτός λόγος, σε χειρόγραφη και έντυπη µορφή. Σήµερα έχουν την τιµητική τους τα οπτικοακουστικά εποπτικά µέσα και οι σύγχρονες ψηφιακές τεχνολογίες, που συνιστούν εργαλεία και µέσα παραγωγής, διάδοσης και επεξεργασίας πληροφοριών και γνώσεων και ανάπτυξης δεξιοτήτων (Σολωµονίδου, 2006). Αυτή η εισαγωγή διάφορων µορφών τεχνολογίας στην εκπαίδευση αποκτά ευρεία έκταση κατά τις αρχές του 20ου αιώνα. Ήδη, από το τέλος του Πρώτου Παγκοσµίου Πολέµου αναπτύσσεται στις ΗΠΑ µια βιοµηχανία παραγωγής εκπαιδευτικών ταινιών και ένα παιδαγωγικό ρεύµα µε στόχο την «οπτική» κατάρτιση των µαθητών, που πολύ γρήγορα µετατράπηκε σε «οπτικοακουστική» (Κόµης, 2004). Οπτικοακουστική συσκευή σηµαίνει οποιοσδήποτε εξοπλισµός, µε τα παρελκόµενα υλικά, η οποία ελέγχει µέσω µηχανικών ή ηλεκτρονικών µεθόδων, την παρουσίαση πληροφοριών, οπτικώς ή και ακουστικώς, για διδακτικούς σκοπούς. Εποµένως, ο κινηµατογράφος, το διαφανοσκόπιο, η τηλεόραση, οι συσκευές Slides, το µαγνητόφωνο και ο ηλεκτρονικός υπολογιστής είναι µερικά, ενδεικτικά παραδείγµατα, καθότι κλασικοί αντιπρόσωποι συσκευών οπτικοακουστικής τεχνολογίας. Οι απαρχές του «οπτικοακουστικού» κινήµατος θεµελιώνονται στα µέσα του 17ου αιώνα, µε την έκδοση του εικονογραφηµένου εγχειριδίου του Κοµένιου «The Visible World in Pictures». Ο µεγάλος αυτός Ολλανδός θεολόγος και παιδαγωγός ( ) πρότεινε να υιοθετηθεί, ως κύρια παιδαγωγική µέθοδος η αρχή της εποπτείας. ιακήρυττε ότι η µάθηση πρέπει να υπηρετείται από όλες τις αισθήσεις, δεδοµένου ότι αρχικά, µαθαίνουµε για όλα τα πράγµατα, µέσω των αισθήσεών µας. 38

47 Εποµένως, θεωρούσε ότι τα πραγµατικά αντικείµενα, οι εικόνες και τα σχέδια πρέπει να χρησιµοποιούνται, για να συµπληρώνουν τις προφορικές και γραπτές οδηγίες (Gagne, 1987). Οι ιδέες αυτές του Κοµένιου ξένιζαν τους αδιάφορους συγχρόνους αλλά και απογόνους του, ως τις αρχές όµως, του Εκεί βρήκαν ένθερµο υποστηρικτή στις εκπεφρασµένες παιδαγωγικές πεποιθήσεις του σηµαντικού Ελβετού παιδαγωγού και µεταρρυθµιστή Johann Pestalozzi, ο οποίος συνηγορούσε και επιχειρηµατολογούσε και αυτός σθεναρά, υπέρ της µάθησης, µέσω των αισθήσεων. Ακόµα, και ο Lewis Carroll πικρά διερωτόταν, µέσα από την Αλίκη του στη χώρα των θαυµάτων «Ποια είναι, άραγε, η χρησιµότητα ενός βιβλίου χωρίς εικόνες και συνοµιλίες;». Μια εκατονταετία αργότερα, στην άλλη άκρη του Ατλαντικού, µετά το πέρας των καταστροφικών πολέµων και το καταλάγιασµα των εµφύλιων παθών, ο προβολέας ταινιών ήταν µια από τις πρώτες οπτικοακουστικές συσκευές, οι οποίες χρησιµοποιήθηκαν στα σχολεία. Στις Ηνωµένες Πολιτείες, οι πρώτοι κατάλογοι εκπαιδευτικών φιλµ δηµοσιεύθηκαν το Ήταν τέτοιος ο ενθουσιασµός για την παιδαγωγική επαναστατικότητα και τη διδακτική αποτελεσµατικότητα, που κόµιζαν οι «κινούµενες εικόνες», ώστε να χρεωθεί µε µια ανεπιτυχή πρόβλεψη ο διάσηµος εφευρέτης Thomas Edison. «Τα βιβλία, σύντοµα, θα είναι παρωχηµένα στα σχολεία», είχε ισχυριστεί το Ίσως, όµως, η νέα τεχνολογική πραγµατικότητα του 21 ου αιώνα τον δικαιώσει, µέσω της αναµενόµενης έλευσης του µαθητικού υπολογιστή OLPC αλλά κυρίως, εξαιτίας της επαχθούς µαθητικής σάκας. Είναι ενδεικτικό πως έξι στα δέκα παιδιά, ηλικίας πρώτων τάξεων του ηµοτικού, που ζυγίζουν περίπου κιλά, υποφέρουν από πόνους, εξαιτίας προβληµάτων, που παρουσιάζουν στη σπονδυλική στήλη ύστερα από την καθηµερινή χρήση των σχολικών σακιδίων «βαρέων βαρών». Η τσάντα θα έπρεπε να ζυγίζει περίπου το 1/10 του βάρους τους (Εφηµερίδα, ΤΑ ΝΕΑ 30/08/2008). Αλλά και το υπουργείο Παιδείας µε την Φ. 12 / 472 / /Γ1 εγκύκλιο στις , µετά από τη µε αριθµό 3/2008 γνωµοδότηση του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου, εισηγείται ορισµένα µέτρα για την αντιµετώπιση της απαράδεκτης, βασανιστικής και απάνθρωπης αυτής κατάστασης. Τη δεκαετία του 30 δροµολογήθηκαν ουσιαστικές εξελίξεις σε τρεις χώρες, τις Ηνωµένες Πολιτείες, την Αγγλία και τη Γερµανία (Lee, 2000). Ο εύτερος Παγκόσµιος πόλεµος, δυστυχώς και αναµενόµενα, αποτέλεσε τροχοπέδη και φρενάρισε φυσικά, οποιαδήποτε οπτικοακουστική σχολική ανησυχία και ενδιαφέρον. Αντίθετα, άνθηση παρατηρείται στη χρήση συσκευών για στρατιωτικούς σκοπούς. Προβολείς σλάιντς, διαφανοσκόπια και διάφορα είδη ακουστικού εξοπλισµού χρησιµοποιήθηκαν εκτενώς, στην αναγνώριση (αερο)σκαφών και στην εκµάθηση ξένων γλωσσών. Επιπλέον, την εποχή αυτή κατέθεσαν τα διαπιστευτήριά τους και διάφοροι εξοµοιωτές πτήσεων (Gagne, 1987). Το 1950, η τηλεοπτική τεχνολογία άρχισε να αναπτύσσεται αλµατωδώς και να εισάγεται ως κύριο µέσο διδασκαλίας στην εκπαίδευση. Η πρωτοκαθεδρία τής «εκπαιδευτικής τηλεόρασης» ατόνησε στα µέσα του 1960 και συνεχώς φθίνει έκτοτε, λόγω της αµφίβολης και αβέβαιης παιδαγωγικής αξίας της πλειονότητας (και) των τηλεοπτικών προγραµµάτων, µια βεβαιωµένη στρεβλή, αντιπαιδαγωγική κατάσταση, που σταθερά και εµµόνως συνεχίζεται. Η σηµερινή ελληνική ερτζιανή πραγµατικότητα, παρέχει ζωτικό χώρο δράσης στην εκπαιδευτική τηλεόραση. Από το site του Υπουργείου Παιδείας παρατίθεται, το σχετικό κατατοπιστικό απόσπασµα, µε ηµεροµηνία προσπέλασης 25 Αυγούστου 2008: «Έργο της ιεύθυνσης Εκπαιδευτικής Ραδιοτηλεόρασης είναι η εφαρµογή ραδιοφωνικών και τηλεοπτικών προγραµµάτων µε στόχο την υποστήριξη της 39

48 εκπαιδευτικής διαδικασίας στην Πρωτοβάθµια και τη ευτεροβάθµια Εκπαίδευση, καθώς και ευρύτερα στην επιµόρφωση και τη δια βίου µάθηση. Η Εκπαιδευτική Τηλεόραση έχει αναδειχθεί διεθνώς σε προνοµιακό µηχανισµό διάχυσης της γνώσης µέσω προγραµµάτων εξ αποστάσεως εκπαίδευσης και εκποµπών γενικής παιδείας και πληροφόρησης. Η ιεύθυνση της Εκπαιδευτικής Ραδιοτηλεόρασης του ΥΠΕΠΘ καλύπτει τηλεοπτικά το σύνολο της ελληνικής επικράτειας, µέσα από το ανοικτό κύκλωµα της δηµόσιας τηλεόρασης (ΕΤ1). Προβάλλει περισσότερες από 600 µορφωτικές και εκπαιδευτικές εκποµπές κάθε χρόνο. Οι εκποµπές αυτές είναι µια εναλλακτική, οπτικοακουστική, εκπαιδευτική πρόταση για τους µαθητές όλων των βαθµίδων και όχι µόνον. Σε αυτές περιλαµβάνονται εκποµπές µαθηµατικών, φυσικών επιστηµών, οικολογίας, αστρονοµίας, σεξουαλικής αγωγής, αγωγής υγείας, εκποµπές για τον αθλητισµό, την τέχνη, την ιστορία, τον πολιτισµό, τη γεωγραφία, καθώς και γενικά θέµατα για µικρούς και µεγάλους. Το πρόγραµµα της Εκπαιδευτικής Τηλεόρασης µεταδίδεται από τη ΕΤ1 κάθε Παρασκευή, π.µ. και Σάββατο, 7-9 π.µ.». Άξια αναφοράς είναι και µια εντελώς πρόσφατη, σχετική ερευνητική δραστηριότητα, που παρουσιάστηκε σε ελληνικά Συνέδρια και καταχωρίστηκε στα οικεία πρακτικά τους: Η πρώτη δηµοσίευση τιτλοφορείται «Αξιοποιώντας την Εκπαιδευτική Τηλεόραση στη διδασκαλία της Πληροφορικής στο Γυµνάσιο: Μία διδακτική πρόταση µε αλληλεπιδραστικές δραστηριότητες υποτιτλισµού ταινιών» και παρουσιάστηκε στο 4ο Πανελλήνιο Συνέδριο ιδακτική της Πληροφορικής, που πραγµατοποιήθηκε στις Μαρτίου 2008, στο Πανεπιστήµιο Πατρών. Η δεύτερη πρόταση αφορά σε «ιδακτική πρόταση αξιοποίησης των ταινιών της Εκπαιδευτικής Τηλεόρασης στην Πρωτοβάθµια Εκπαίδευση, µέσω εκπαιδευτικού εργαλείου υποτιτλισµού» των εκπαιδευτικών Παπαδηµητρίου Σοφίας και Παπαδάκη Σπύρου, συγγραφέων και του προηγούµενου παραπλήσιου και σχετικού άρθρου. Η δεύτερη ανακοίνωση περιλαµβάνεται στα πρακτικά του 5oυ Πανελλήνιου Συνεδρίου της Επιστηµονικής Ένωσης Εκπαιδευτικών Πρωτοβάθµιας για τη διάδοση των Τ. Π. Ε. στην εκπαίδευση, που διεξήχθη στις 4 & 5 Οκτωβρίου 2008, στον Πειραιά. Μετά τον πόλεµο, η τεχνολογία περιορίστηκε σε χώρες µε πλούσιο υπόβαθρο πόρων, της Γερµανίας και Ιαπωνίας µη συµπεριλαµβανοµένων. Οι 2 αυτές χώρες, έως το 1955, είχαν ασθενική παρουσία στα τεχνολογικά, επιστηµονικά δρώµενα. Από την άλλη µεριά, η Σοβιετική Ένωση περιέλαβε στα µεταπολεµικά σχέδιά της την ανάπτυξη και εξέλιξη συσκευών υπολογισµού αλλά η άκρα µυστικότητα, που περιέβαλε τέτοια προγράµµατα, δεν επέτρεψε τη µεταφορά της τεχνολογίας τους στη ύση. Γι αυτό τον «ψυχροπολεµικό λόγο», σπουδαίοι Σοβιετικοί επιστήµονες ήταν παραγνωρισµένοι, µέχρι πρόσφατα (Lee, 2000). Η τεχνολογία εξελίχθηκε ραγδαία κατά τη δεκαετία του 1960, όπου συντελείται και το πρώτο ευρύ πέρασµα από τα παραδοσιακά µέσα διδασκαλίας στη χρήση των µαζικών µέσων επικοινωνίας (ΜΜΕ), για διδακτικούς σκοπούς (Κόµης, 2004). Την εποχή αυτή επινοείται ο γνωστός όρος «εκπαιδευτική τεχνολογία» (educational/instructional technology), που αρχίζει να αποτελεί και λήµµα των λεξικών αλλά και πεδίο αντιπαραθέσεων, µεταξύ των ειδηµόνων, ως προς την ερµηνεία και την απόδοσή του. Η αυξανόµενη χρήση των οπτικοακουστικών συσκευών είχε δηµιουργήσει έναν όρο µε ποικίλες έννοιες και νοήµατα. Οι συνεχείς αλλαγές, τροποποιήσεις και προσθήκες του σχετικού ορισµού είναι δηλωτικές των αλλεπάλληλων τεχνολογικών αλλαγών και βελτιώσεων. Ως επακόλουθο, πολλοί ορισµοί έχουν διατυπωθεί κατά καιρούς, αλλά ουδείς έχει καταφέρει να κερδίσει την παγκόσµια καθολική αποδοχή. 40

49 Ένας απλοϊκός ορισµός θέλει την εκπαιδευτική τεχνολογία ως τη χρήση ενός συνόλου ακριβών τεχνολογικών εργαλείων, για βελτίωση της διδασκαλίας και της µάθησης. Η µάθηση αρχίζει συχνά και επέρχεται µέσω της επικοινωνίας, η οποία υποβοηθείται πολλές φορές από κατάλληλο εξοπλισµό και τις συσχετιζόµενες µε αυτόν τεχνικές, διαδικασίες και µεθόδους. Αυτό το δίπολο αποδίδεται παγκοσµίως µε την οικουµενική λέξη media. Σήµερα, τα media περιλαµβάνουν στοιχεία υψηλής τεχνολογίας, όπως οι διάφορες µορφές και τύποι της τηλεόρασης αλλά και του ηλεκτρονικού υπολογιστή (Gagne, 1987). Ωστόσο, οι περισσότεροι ορισµοί της εκπαιδευτικής τεχνολογίας µπορούν να υπαχθούν σε δυο µόνο ταξινοµήσεις. Ο πρώτος τύπος ορισµών εξισώνει την τεχνολογία µε ένα ιδιαίτερο σύνολο εκπαιδευτικών µέσων, αναφερόµενων συχνά, ως οπτικοακουστικών συσκευών. Ο άλλος τύπος περιγράφει την εκπαιδευτική τεχνολογία ως µια διαδικασία προσέγγισης συστηµάτων. Το 1970, η Commission on instructional technology αποσαφηνίζει, δια παραδειγµάτων, τα δυο αυτά είδη ορισµών. Έτσι, εν πρώτοις, εκπαιδευτική τεχνολογία σηµαίνει τα µέσα που προέκυψαν από την επικοινωνιακή επανάσταση και συνάµα έχουν εκπαιδευτικό προσανατολισµό αλλά και επικουρική συνεισφορά, παράλληλα µε το δάσκαλο, το εγχειρίδιο και τον πίνακα. Τα µέσα αυτά περιλαµβάνουν και το υλικό (hardware) αλλά και το λογισµικό (software), όρους που ξεχωρίζουν τις µηχανές από τα προγράµµατα (Gagne, 1987). Ο δεύτερος ορισµός αποµακρύνεται από οποιοδήποτε µέσο ή συσκευή. Σύµφωνα µε τον ορισµό αυτό, η εκπαιδευτική τεχνολογία είναι ο συστηµατικός τρόπος σχεδίασης, πραγµατοποίησης και αξιολόγησης της συνολικής διαδικασίας της διδασκαλίας και µάθησης, ως προς την υλοποίηση των συγκεκριµένων στόχων, που βασίζονται σε ερευνητικά δεδοµένα του τρόπου επίτευξης της ανθρώπινης επικοινωνίας και µάθησης. Η συστηµατική αυτή προσέγγιση χρησιµοποιεί ένα συνδυασµό ανθρώπινων και µη πόρων, για να επιφέρει το επιθυµητό µαθησιακό αποτέλεσµα. Νωρίτερα, το 1963, λέξη κλειδί για τον ορισµό αποτελούσαν οι οπτικοακουστικές επικοινωνίες, οι οποίες σύµφωνα µ αυτόν, είναι κλάδος της εκπαιδευτικής θεωρίας και της πρακτικής, που ενδιαφέρεται για τη σχεδίαση και τη χρήση των µηνυµάτων, που ελέγχουν τη διαδικασία µάθησης, ενώ πρακτικός στόχος τους είναι η αποδοτική χρησιµοποίηση τους από κάθε µέθοδο και µέσο επικοινωνίας, τα οποία µπορούν να συµβάλουν στην αποτελεσµατικότητα της µάθησης. Το 1972 και 1977 παρουσιάστηκαν και άλλοι ορισµοί, οι οποίοι µετασχηµατίστηκαν, σταδιακά, και συγχωνεύτηκαν τελικά, σ αυτόν τον τελευταίο που προτάθηκε το 1994, όπως και οι 3 προηγούµενοι, από την Association for Educational Communication and Technology (AECT): «Η εκπαιδευτική τεχνολογία είναι η θεωρία και οι εφαρµογές της σχεδίασης, της ανάπτυξης, της χρησιµοποίησης, της διαχείρισης και της αξιολόγησης των διαδικασιών και των πόρων που σχετίζονται µε το φαινόµενο της µάθησης» (Januszewski, 2001), που τάσσεται, καταφανώς, µε το δεύτερο τύπο ορισµών, σύµφωνα µε τη δυαδική διαµέριση, που προηγουµένως διαλήφθηκε. 2. Εκφάνσεις της εκπαιδευτικής τεχνολογίας Η εκπαιδευτική τεχνολογία µπορεί, αδροµερώς, να διαχωριστεί σε τρεις µορφές: Στις διδακτικές µηχανές, στις τεχνολογίες πληροφόρησης και στους ηλεκτρονικούς υπολογιστές (Θεριανός, 2002). 41

50 Ως πρώτη, λοιπόν, ακραιφνής εφαρµογή της (Κόµης, 2004), πρώτος ερειστικός πυλώνας και συνάµα αιµοδότης της αποτελούν οι διδακτικές µηχανές, οι αγγελιοφόροι και ευαγγελιστές των υπολογιστών στην εκπαίδευση. 2.1 Οι διδακτικές µηχανές Οι µηχανές αυτές είναι συνυφασµένες και άρρηκτα συνδεδεµένες µε την «προγραµµατισµένη διδασκαλία». Στο είδος αυτό της διδασκαλίας κατέφυγαν οι Αµερικανοί πανικόβλητοι, µε σκοπό να υπερφαλαγγίσουν και να υπερακοντίσουν τη ρωσική διαστηµική κυριαρχία. Ήδη στις 4 Οκτωβρίου 1957, ο ρωσικός τεχνητός δορυφόρος Σπούτνικ (Sputnik) σηµατοδότησε την πρώτη ανθρώπινη νίκη κατά της νευτώνειας βαρύτητας, αφού εγκατέλειψε τη γη περιηγούµενος στο διάστηµα, κουνώντας προκλητικά και χαιρέκακα το µαντίλι στους επηρµένους Αµερικανούς, που µέχρι τότε βαυκαλίζονταν και κόµπαζαν µε τη εγωκεντρική και δογµατική τους πεποίθηση ότι αποτελούσαν τους µόνους γνώστες, κατακτητές και πρωτοπόρους της διαστηµικής τεχνολογίας. Η καθιερωθείσα έκφραση «Σπούτνικ σοκ» αποδίδει εµφατικώς και ευστόχως, την ιστορική αυτή αµερικανική, επιστηµονική ψυχρολουσία, καταµεσής του Ψυχρού πολέµου. Η χρονική συγκυρία της «ψυχροπολεµικότητας» επιδείνωσε κατά πολύ, την αµερικανική αυτή καταπληξία, και, φυσικά, κλόνισε και έθεσε, εν αµφιβόλω, το παντοκρατορικό τους, παραισθητικό ιδεολόγηµα Η προγραµµατισµένη διδασκαλία Η προγραµµατισµένη διδασκαλία (programmed instruction) αναπτύχθηκε από το σπουδαίο συµπεριφοριστή ψυχολόγο Β. F. Skinner, ως µια δυναµική συµβολή στην αντιµετώπιση και επίλυση µαθησιακών και εκπαιδευτικών προβληµάτων (εικόνα 39). Η παιδαγωγική αυτή καινοτοµία λανσαρίστηκε µε τη δηµοσίευση το 1954, του άρθρου του Skinner «The Science of Learning and the Art of Teaching». Στο δηµοσίευµα αυτό, ο µεγάλος Αµερικανός ψυχολόγος επιχειρηµατολογούσε υπέρ των πολλών πλεονεκτηµάτων των «διδακτικών µηχανών», αφού πίστευε ακλόνητα, ότι η Εικόνα 39. Β.F Skinner ( ) χρησιµοποίησή τους υπερτερεί έναντι των ελλειµµατικών και παιδαγωγικά ελλιπών, παραδοσιακών, εκπαιδευτικών τεχνικών. ιατεινόταν πως υπάρχει ένα άλλο είδος κύριου εξοπλισµού, που θα ενθαρρύνει το σπουδαστή για να αποκτήσει έναν ενεργό ρόλο στην εκπαιδευτική διαδικασία. Από την πειραµατική µελέτη της µάθησης έρχονται συσκευές, οι οποίες δηµιουργούν βέλτιστες συνθήκες, για αυτο-εκπαίδευση, ισχυριζόταν. Η δυνατότητα είχε αναγνωριστεί ήδη από το 1920, όταν ο Sidney L. Pressey σχεδίασε διάφορες µηχανές για τον αυτόµατο έλεγχο της νοηµοσύνης και των πληροφοριών (Skinner, 1958). Στην εικόνα 40 απεικονίζεται συσκευή αυτοελέγχου του Pressey, µε test πολλαπλής επιλογής. Ο µαθητής πιέζει το πλήκτρο, που αντιστοιχεί στην επιλογή του. Εάν αυτή είναι σωστή, η συσκευή προχωρά στην επόµενη ερώτηση (Skinner, 1958). Επιπλέον, και ο πολύ γνωστός Αµερικανός εκπαιδευτικός ψυχολόγος Edward Lee Thorndike ( ), αναφέρεται ως πρόγονος της προγραµµατισµένης 42

51 διδασκαλίας, αφού είχε προβλέψει, από το 1912, την ανάπτυξη ειδικών προγραµµατιστικών εργαλείων. Το σχέδιο τού Skinner στηριζόταν σε διάφορες αλληλοεξαρτώµενες αρχές. Πρότεινε τα «προγραµµατιστικά υλικά» (διδακτικές µηχανές ή προγραµµατισµένα βιβλία) να βασίζονται σε µια σειρά µικρών, διακριτών και διαδραστικών βηµάτων, καθένα από το οποία πρέπει να απαιτεί µια ενεργητική απάντηση-ανταπόκριση από το µαθητή. Στη συνέχεια, ο µαθητής θα λαµβάνει άµεση ανατροφοδότηση, σχετικά µε την ακρίβεια και την ορθότητα της απάντησής του. Είναι µια διδασκαλία Εικόνα 40. Συσκευή αυτοελέγχου του Pressey σχεδιασµένη εκ των προτέρων και παρουσιάζει την πληροφορία µε γραµµικό τρόπο (Κοµης, 2004). Ο Skinner θεωρούσε ακόµα, ότι κάθε µαθητής πρέπει να είναι ελεύθερος και απερίσπαστος στην ανάπτυξη και υιοθέτηση του δικού του προσωπικού ρυθµού µάθησης, εργαζόµενος έτσι, στα ωφέλιµα και αντιεξοντωτικά πλαίσια µιας εξατοµικευµένης διδασκαλίας. Η διδακτική µηχανή του Skinner (εικόνες 41, 42) ήταν µε τη σηµερινή ορολογία ένα «πρώιµο λογισµικό κλειστού τύπου, εξάσκησης και πρακτικής» µε κύρια (και µόνη) παιδαγωγική εφαρµογή την αξιολόγηση γνώσεων. Εικόνα 41. Μαθητές, µηχανές και διδασκαλία. Ο µαθητής γράφει την απάντηση σε µια χάρτινη ταινία στα δεξιά. Σηκώνει έπειτα µε το αριστερό του χέρι ένα µοχλό και η σωστή απάντηση αποκαλύπτεται (Skinner, 1958) Εικόνα 42. ιδακτική µηχανή για την αριθµητική. ώρο του B. F. Skinner, στο Cambridge, Massachusetts, Από εθνικό µουσείο αµερικανικής ιστορίας Για παράδειγµα στην εικόνα 43, παρουσιάζονται σειριακά, τα 6 επιµέρους βήµατα, που προτείνονται κατά την προγραµµατισµένη εκµάθηση της ορθογραφίας της λέξης «manufacture». Οι µαθητές κινούν sliders για να εµφανίσουν τα γράµµατα στα λευκά τετράγωνα. Το επόµενο βήµα προβάλλεται αυστηρά, µόνο όταν το προηγούµενο εκτελείται σωστά. Τελικά, στο 6ο βήµα οι µαθητές γράφουν τη λέξη για να ολοκληρώσουν την ίδια πρόταση που χρησιµοποιήθηκε στο 1ο βήµα. 43

52 Κατά τον Skinner, ακόµη και ένας αδύναµος µαθητής είναι πολύ πιθανό να γράψει τη µελετώµενη λέξη χωρίς ορθογραφικά λάθη, επειδή την έχει συνθέσει ή συµπληρώσει, ήδη πέντε φορές. Εικόνα 43. Τµηµατική, µηχανική, ορθογραφική καθοδήγηση, 6 βηµάτων, σε δεκάχρονους Οι Αµερικανοί υπερεκτίµησαν τις δυνατότητες των διδακτικών µηχανών και επένδυσαν σ αυτές, θεωρώντας τες ιδανικές περιπτώσεις επιστηµονικής και εκπαιδευτικής ανάνηψης, προσδίδοντας τους, ίσως, µαγικές και θαυµατο-ποιητικές προεκτάσεις. Λογίσθηκαν ως µέσα γρήγορου εκσυγχρονισµού τού αµερικάνικου εκπαιδευτικού συστήµατος (Θεριανός, 2002), ικανά να τονώσουν και να ενισχύσουν την ανταγωνιστικότητα έναντι των σοβιετικών στον αέναο, ατελέσφορο και απατηλό αγώνα, για την παγκόσµια κυριαρχία. Φυσικά, η παιδαγωγική αξία και ωφελιµότητα των διδακτικών µηχανών, δεδοµένης και της καταχρηστικότητας αλλά και της αστοχίας του όρου, και παρά τον αρχικό ενθουσιασµό, υπήρξε αχνή, λειψή και αµφίβολη, αφού οι χρήσεις τους δεν ευνοούσαν και δεν αξιοποιούσαν, επ ουδενί, τη διερεύνηση και τη ανακάλυψη, τους δύο κατεξοχήν δηλαδή, γεννήτορες και ταυτόχρονα, θεµελιώδεις συνιστώσες της µάθησης Συσκευές- πηγές πληροφοριών Η δεύτερη µορφή της εκπαιδευτικής τεχνολογίας αφορά στις συσκευές - πηγές πληροφοριών ήχου και εικόνας, όπως το ραδιόφωνο, το µαγνητόφωνο, η τηλεόραση ο κινηµατογράφος, το video κ.ά. Όπως προαναφέρθηκε, οι εκπρόσωποι αυτής της οπτικοακουστικής τεχνολογίας και της συµπεριφοριστικής σχολής ήγειραν, αρχικά, κύµατα εκπαιδευτικής ευφροσύνης, ευδαιµονίας και παιδαγωγικού ενθουσιασµού, αλλά όπως τις περισσότερες φορές συµβαίνει, η συνάντηση (ή και πρόσκρουση) µε τη σκληρή, ανάλγητη αλλά και αδέκαστη (;) πραγµατικότητα διαψεύδει τις πρώιµες προσδοκίες και ελπίδες, φυλλορροώντας τες. Αναφανδόν και αναµφίβολα, την τελειότερη και πληρέστερη, ως τα τώρα, τεχνολογική συνεισφορά στην εκπαιδευτική διαδικασία αποτελεί η τρίτη κατά σειρά αλλά πρώτη κατά σπουδαιότητα, θρυλική, «γραφική» και «εικονική» φιγούρα του ηλεκτρονικού υπολογιστή. 44

53 2.3. Ο ηλεκτρονικός υπολογιστής Στα πολλά πλεονεκτήµατα, που κοσµούν και ισχυροποιούν την εκπαιδευτική φαρέτρα του Η/Υ, εν είδει «µαθησιακών βελών», αναµφίβολα, συγκαταλέγονται το δυναµικό περιβάλλον διεπαφής, η φιλικότητα, η ευχρηστία, η ταχύτητα, η αλληλεπιδραστικότητα, τα πλούσια γραφικά, οι δυνατότητες πλοήγησης στον κυβερνοχώρο αλλά και συγχρονικής και ασύγχρονης επικοινωνίας, η αυτόµατη λήψη και αποστολή αρχείων, η µετάλλαξή του σε µέσο που αντικατέστησε παραδοσιακές συσκευές ήχου, εικόνας και διασκέδασης και φυσικά ο κατάλογος συνεχίζεται, όπως και θα εµπλουτίζεται καθηµερινά µε νέες (ίσως και εξωπραγµατικές) δυνατότητες. Οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές καταχωρίσθηκαν ως µέσα διδασκαλίας, ήδη από τη δεκαετία του Οι πρώτοι λειτουργικοί υπολογιστές που τέθηκαν σε χρήση ήταν ο MARK 1 το 1944 στο Χάρβαρντ και o ENIAC το 1946, στο Πανεπιστήµιο της Πενσυλβάνια. Η χρήση των υπολογιστών ευδοκίµησε, αρχικά, σε πρόσφορο υπερµέγεθες «µαθηµατικό» και «µηχανικό» έδαφος, σαν εργαλείο επίλυσης προβληµάτων. Ήταν δε περιορισµένη, κυρίως, στην ανάγνωση και πληκτρολόγηση κειµένων (Alessi & Trollip, 2005). Το 1959, στο πανεπιστήµιο του Ιλλινόις, ο Donald Bitier επινόησε το PLATO (Programmed Logic for Automatic Teaching Operations), το πρώτο, µεγάλης κλίµακας πρόγραµµα για τη χρήση των υπολογιστών στην εκπαίδευση. Το έργο αυτό παρείχε γραφικά και πρώιµα περιβάλλοντα προγραµµατισµού για την εκπαίδευση, µε τη βοήθεια υπολογιστών. Αργότερα, παρουσιάζονται και οι γλώσσες FORTRAN και BASIC, µε τη δεύτερη να διαδίδεται αµέσως και να καλύπτει πολλά γνωστικά αντικείµενα αλλά και όλες τις βαθµίδες της εκπαίδευσης (Molnar, 1997; Alessi & Trollip, 2005). Στο τέλος της δεκαετίας του 70, εξαιτίας και του παιδαγωγικού, εκπαιδευτικού και διδακτικού ενδιαφέροντος, για εξατοµικευµένη διδασκαλία, παρουσιάστηκαν οι µικροϋπολογιστές, που µετασχηµάτισαν άρδην και ολοκληρωτικά το πεδίο της εκπαιδευτικής τεχνολογίας. Ο Μικροϋπολογιστής Apple II και αυτός της IBM, αµέσως µετά το 1981, αποτέλεσαν την αιχµή του τεχνολογικού δόρατος, που άλωσε και εκπόρθησε το εκπαιδευτικό, παραδοσιακό και συµβατικό φρούριο. Ενδεικτικό της καταιγιστικής διείσδυσης των υπολογιστών είναι η αύξηση του ποσοστού χρήσης τους στα σχολεία της ευτεροβάθµιας εκπαίδευσης στην Αµερική, από το 1% στο 75%, µέσα στην εικοσαετία Την εποχή εκείνη υπήρχε ένα αυξανόµενο αίσθηµα ευφροσύνης, ανάµεσα σε µαθητές και ειδικά για τα µαθηµατικά, αφού θεωρούνταν ότι κάθε µαθηµατικό πρόβληµα θα επιλυόταν µε τη βοήθεια των υπολογιστών και όλη η µαθηµατική δραστηριότητα θα ήταν προσανατολισµένη σε αυτούς. Αυτή η εσφαλµένη µαθητική παραδοχή και προσδοκία ονοµάσθηκε, χλευαστικά, «κοµπιουτερίτιδα» (Eves, 1990). Βέβαια, οι υπολογιστές µπορούν να θεωρηθούν µαθηµατικά εργαλεία και πολύτιµοι µαθηµατικοί διευκολυντές, µόνο κατά την επεξεργασία µεγάλου πλήθους συµβόλων, σε εκτενείς υπολογισµούς και σε µεγάλης κλίµακας απαρίθµηση και έλεγχο προτύπων και περιπτώσεων (Eves, 1990). Γι αυτούς τους λόγους ο Υπολογιστής υπερτερεί του ανθρώπου. Με µηδενική πιθανότητα λάθους κάνει υπολογισµούς, που ο ανθρώπινος εγκέφαλος θα απαιτούσε χρόνο µεγαλύτερο της συµπαντικής ηλικίας, για να τους εκτελέσει. Προς το παρόν, ο Υπολογιστής ηττάται και υποσκελίζεται, τουλάχιστον σε 2 περιπτώσεις από ένα βιολογικό, ανθρώπινο ον: Στην αδυναµία αναπαραγωγής του και στη µηχανική περιχαράκωση της διάνοιάς του (Περσίδης, 1978). 45

54 Μαθηµατικά προβλήµατα και Υπολογιστής Πάντως, µερικά, ίσως και σοβαρά µαθηµατικά προβλήµατα, βρήκαν λυσιτελές απάγκιο και αναζωογονητική θαλπωρή στα θερµά κυκλώµατα και στους υπήνεµους διαδρόµους και καταχωρητές των επεξεργαστών των Ηλεκτρονικών Υπολογιστών. Για παράδειγµα, τα τελευταία χρόνια το θέµα εύρεσης των δεκαδικών ψηφίων του π έχει πάρει διαστάσεις πρωταθλητισµού και έχουν ανακαλυφθεί, µε τη βοήθεια των Η/Υ, ήδη από το 2001, πάνω από 50 δισεκατοµµύρια ψηφία (Μπλάτνερ, 2001). Μάλιστα, η ιστοσελίδα περιµένει κάποιον, που θα διαθέτει «ιώβεια υποµονή» και, ασφαλώς, θα αντιπαρατίθεται στη διαχρονική, διαχειριστική ρήση «χρόνου φείδου», ώστε να απαγγείλει το πρώτο µέχρι και το τελευταίο αναφερόµενο, το εκατοµµυριοστό ψηφίο του π. Εξάλλου, καταλυτική και καίρια είναι και η συνεισφορά των Η/Υ στην εύρεση των λεγόµενων τέλειων ή και φίλιων αριθµών. Η φιλία στα χρόνια των Πυθαγορείων είχε εξυψωθεί σε πολύ µεγάλο βαθµό, ώστε οι ακάµατοι αυτοί αριθµολόγοι ενδιαφέρθηκαν και για ζευγάρια αριθµών, που τους ονόµασαν φίλους, όπου ο ένας είναι το άθροισµα των γνήσιων διαιρετών του άλλου. Ένα ζεύγος τέτοιων αριθµών, που ανακάλυψαν οι Πυθαγόρειοι, είναι οι 284 και 220, δεδοµένου ότι 220 = (1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, 220) και το άθροισµα των γνήσιων διαιρετών ισούται µε 284, ενώ 284 = (1, 2, 4, 71, 142, 284) και =220. Πολύ αργότερα, ο Φερµά βρήκε το νέο ζευγάρι των αριθµών και Ο Ντε Καρτ ανακάλυψε το τρίτο ζεύγος ( , ). Ο Ελβετός Euler, από το 1747 και εντεύθεν, ασχολήθηκε ενδελεχώς, βρίσκοντας περίπου 60 νέα ζεύγη. Σήµερα, εξαιτίας της βοήθειας των ηλεκτρονικών υπολογιστών είναι γνωστά χιλιάδες ζεύγη φίλιων αριθµών (Eves, 1989). Οι Πυθαγόρειοι, αφού αντιστοίχιζαν τους τέλειους αριθµούς στους τέλειους ανθρώπους και τους φίλους στη φιλία, κατέληγαν στο συµπέρασµα ότι όπως σπανίζουν οι τέλειοι και οι φίλοι αριθµοί, έτσι σπανίζουν οι τέλειοι άνθρωποι και η φιλία µεταξύ των ανθρώπων (Εξαρχάκος, 1988). Τέλειος λέγεται ένας αριθµός, όταν είναι ίσος µε το άθροισµα των γνήσιων διαιρετών του. Ο αριθµός 6, για παράδειγµα είναι τέλειος γιατί οι διαιρέτες του, εκτός του 6 φυσικά, είναι οι 1, 2, 3 και 1+2+3=6. Το ίδιο συµβαίνει µε τον 28, αφού ισχύει 28 = (1, 2, 4, 7, 14, 28) και =28, δηλαδή ο 28 είναι ο επόµενος τέλειος αριθµός. Οι επόµενοι 5 τέλειοι αριθµοί εµφανίζονται παρακάτω: 496 = = 2 4 (2 5-1) = = 2 6 (2 7-1) = = 2 12 (2 13-1) = = 2 16 (2 17-1) = = 2 18 (2 19-1) Ο Ευκλείδης είχε δείξει στο Ένατο Βιβλίο των Στοιχείων του, ότι αν ο αριθµός 2 ν-1 είναι πρώτος, τότε ο 2 ν-1 (2 ν -1) είναι τέλειος. Σήµερα, κάθε πρώτος αριθµός της µορφής 2 ν-1, καλείται πρώτος του Mersenne. Ο Euler συµπλήρωσε την απόδειξη, αποδεικνύοντας ότι ο a είναι ένας άρτιος τέλειος αριθµός, αν και µόνο αν, έχει τη µορφή a= 2 ν-1 (2 ν -1). Περιττός τέλειος, µέχρι στιγµής, δεν έχει βρεθεί. Μέχρι σήµερα (Νοέµβριος του 2008), είναι γνωστοί 46 πρώτοι αριθµοί του Mersenne και συνεπακόλουθα 46 τέλειοι αριθµοί! Στις 23 Αυγούστου 2008, από έναν υπολογιστή στο UCLA (University of California, Los Angeles), στον οποίο εγκαταστάθηκε το ελεύθερο λογισµικό-µηχανή GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) ανακαλύφθηκε ο , ο 45ος πρώτος του Mersenne, ένας αριθµός ψηφίων! Ακριβώς 2 βδοµάδες αργότερα, στις 6 Σεπτεµβρίου ο 46

55 46 ος πρώτος του Mersenne, ήταν γεγονός. Ανακαλύφθηκε από τον Hans-Michael Elvenich στο Langenfeld, κοντά στην Κολονία, στη Γερµανία. Είναι ο , µε ψηφία. Αξιοσηµείωτο είναι ότι είναι ο πρώτος εκτός σειράς από το 1988, τότε που οι Colquitt and Welsh εντόπισαν τον , µεταγενέστερα, των (1982) και (1985). Οι δύο αυτές πρόσφατες ανακαλύψεις, φιγουράρουν στην 29 η θέση των «50 καλύτερων εφευρέσεων του 2008», του περιοδικού TIME. Η δε µηχανή «GIMPS» διεκδικεί το βραβείο των $ του Electronic Frontier Foundation, εξαιτίας της ανακάλυψης πρώτου αριθµού του Mersenne, µε περισσότερα από 10 εκατοµµύρια ψηφία (πηγή: Φυσικά, από οποιαδήποτε ιστορική αναδροµή δε θα ήταν απών ο επιστηµονικός, µαθηµατικός άθλος µε τα τεχνολογικά του δεκανίκια, η απόδειξη δηλαδή, του «θεωρήµατος των τεσσάρων χρωµάτων». Αυτό το διάσηµο θεώρηµα έχει µια ιστορία 156 χρόνων. ιατυπώθηκε από τον Άγγλο Francis Guthrie το 1852, όταν παρατήρησε ότι τέσσερα χρώµατα είναι αρκετά για να επισηµανθούν οι νοµοί, σε ένα χάρτη της Αγγλίας. Γενικότερα, το θεώρηµα δηλώνει ότι οποιοδήποτε επίπεδο, το οποίο χωρίζεται σε περιοχές (όπως ένας πολιτικός χάρτης) µπορεί να χρωµατισθεί, χρησιµοποιώντας το πολύ τέσσερα διαφορετικά χρώµατα. Οι µόνοι, απλοί «κανόνες του χρωµατίσµατος» αναφέρονται παρακάτω: Οι όµορες-γειτονικές περιοχές πρέπει να έχουν διαφορετικά χρώµατα. Περιοχές που µοιράζονται µια γωνία (σηµείο) µπορούν να είναι οµόχρωµες (π.χ. τα ζεύγη περιοχών 19, 4 και 7, 8 στον παρακάτω χάρτη) Κάθε περιοχή πρέπει να είναι συνεχόµενη. Για παράδειγµα οι Η.Π.Α δεν είναι συνεχόµενη χώρα, λόγω της Αλάσκας. Μολονότι το θεώρηµα είναι αρκετά δύσκολο να αποδειχθεί, εντούτοις το πρόβληµα του χρωµατισµού χαρτών είναι εύκολο να κατανοηθεί και να εξηγηθεί. Μεγάλοι µαθηµατικοί εργάσθηκαν σκληρά και επί µαταίω, για την απόδειξη αυτού του απλού και απλοϊκού, φαινοµενικά, προβλήµατος. Μια λανθασµένη Εικόνα 44. Θεώρηµα των τεσσάρων χρωµάτων απόδειξη δηµοσιεύτηκε το 1879 από τον Alfred Kempe και το πρόβληµα θεωρούνταν λυµένο για µια δεκαετία, ωσότου το λάθος εντοπισθεί. Μετά την κατάρρευση της 47

56 απόδειξης του Kempe, πολλοί µαθηµατικοί, ερασιτέχνες και επαγγελµατίες, προσπάθησαν να λύσουν αυτό το ιντριγκαδόρικο θεώρηµα, αποκαλούµενο ως «Υπόθεση των 4 χρωµάτων» (Lovász & Pelikán & Vesztergombi, 2003). Αρκετές εσφαλµένες αποδείξεις κατατέθηκαν χωρίς φυσικά, έγκυρο επιστηµονικά αντίκρισµα, γεγονός που παραπέµπει ευθέως, στο «Τελευταίο θεώρηµα του Φερµά», το µαθηµατικό θεώρηµα που ταλαιπώρησε, για 350 περίπου χρόνια, γενιές µαθηµατικών, που καταπιάστηκαν µε την επίλυσή του και συγκεντρώνει, µέχρι στιγµής, τις περισσότερες, λανθασµένες απόπειρες απόδειξής του. Ο Φερµά ( ), Γάλλος, ερασιτέχνης µαθηµατικός, ισχυρίστηκε, πως δεν υπάρχουν φυσικοί αριθµοί x, y, z, n µε n>2 τέτοιοι ώστε x n +y n =z n. Για παράδειγµα, δεν υπάρχουν φυσικοί αριθµοί x, y, z τέτοιοι ώστε x 4 +y 4 =z 4. Μέχρι τις αρχές της προηγούµενης δεκαετίας κανένας δεν µπορούσε να αποδείξει αυτόν τον ισχυρισµό του Φερµά ή να βρει ένα αντιπαράδειγµα. Ως σπουδαία καταγράφεται η προσπάθεια του Ernst Kummer ( ), o οποίος αφού ανέπτυξε τη σηµαντική θεωρία των ιδεωδών, απόδειξε τον ισχυρισµό του Φερµά, για πολλές τιµές του n. Τελικά, το στοιχειωµένο θεώρηµα του Φερµά επιλύθηκε το 1994 µε µεθόδους της Αλγεβρικής Γεωµετρίας, από τον Andrew Wiles, ο οποίος κατέθεσε µια λαθεµένη απόδειξη αρχικά, τον Ιούνιο του 1993, η οποία διορθώθηκε µε τη βοήθεια του Richard Taylor, το Σεπτέµβριο του 1994 και δηµοσιεύθηκε, αφού εξακριβώθηκε η ορθότητά της, το Μάιο του Η λύση αυτή του Andrew Wiles (Ουάιλς), στηρίχθηκε σε όλες, σχεδόν, τις σηµαντικές µαθηµατικές ανακαλύψεις των 100 τελευταίων ετών, συνδυάζοντάς τες περίτεχνα και αριστουργηµατικά, πετυχαίνοντας έτσι, ένα επιστηµονικό θαύµα (Aczel, 1998; Singh, 1998). Κάτι ανάλογο (µα µικρότερης κλίµακας) σηµειώθηκε και µε τις άστοχες και ανεπιτυχείς προσπάθειες επίλυσης της Υπόθεσης των 4 χρωµάτων, αφού αποτέλεσαν αυτές τη θρυαλλίδα για την ανάπτυξη ενός ολοκληρωτικά νέου τοµέα των Μαθηµατικών, της θεωρίας γραφηµάτων. Ώσπου το 1976, ο Kenneth Appel and Wolfgang Haken παρουσίασαν µια απόδειξη της υπόθεσης τεσσάρων χρώµατος την οποία και µετονόµασαν πια, αναγκαστικά, σε «θεώρηµα των τεσσάρων χρωµάτων». Το θεώρηµα αυτό ήταν το πρώτο, που αποδείχθηκε µε τη βοήθεια Υπολογιστών. Έτσι, κατέστη εφικτός ο έλεγχος ενός τεράστιου αριθµού δυνητικών περιπτώσεων, οι οποίες περιέχονται σε αρκετές εκατοντάδες σελίδες, µε πολύπλοκες λεπτοµέρειες, ενώ δαπανήθηκαν τουλάχιστον ώρες υπολογισµών σε υπολογιστή. Ανεπιφύλακτα, η λύση του προβλήµατος των τεσσάρων χρωµάτων, το καλοκαίρι του 1976, πρέπει να θεωρηθεί ως µια µεγάλη στιγµή των µαθηµατικών (Lovász & Pelikán & Vesztergombi, 2003; Eves, 1990). Βέβαια, µια «καθαρή» µαθηµατική απόδειξη είναι, σαφώς καλοδεχούµενη, δεδοµένου ότι υπάρχουν λόγοι για τους οποίους η «τεχνολογική απόδειξη» των Appel και Haken δεν είναι απολύτως ικανοποιητική και έτσι, στερείται γενικής επιστηµονικής αποδοχής. Η απόδειξη αυτή, σύµφωνα µε τα επιχειρήµατα των πολέµιων και των αντιφρονούντων, παραµένει πληµµελής και ελλιπής, αφού µέρος της χρησιµοποιεί υπολογιστή που δεν µπορεί να ελεγχθεί µε το χέρι, αλλά ακόµη και το µέρος που είναι υποθετικά ελέγξιµο µε το χέρι, είναι εξαιρετικά περίπλοκο και κουραστικό και, από όσο είναι γνωστό, κανένας δεν το έχει ελέγξει στην ολότητά του. Πάντως, η ιστοσελίδα παρέχει αιτιάσεις και αποδεικτικούς ισχυρισµούς, περί καθαρής, αγνής και αµόλυντης τεχνολογικά λύσης. 48

57 Στις αρχές της δεκαετίας του 1970 ο Seymour Papert, στο MIT, ανέπτυξε µια νέα διαφορετική προσέγγιση των υπολογιστών στην εκπαίδευση. Ανέπτυξε µια γλώσσα προγραµµατισµού, τη LOGO, για να ενθαρρύνει την αυστηρή σκέψη, που απαιτούν τα µαθηµατικά. Ήταν δε, τόση η ευφροσύνη για τα προσδοκώµενα µαθησιακά αποτελέσµατα, που στις αρχές του 1980 ο Papert, σε ένα άρθρο του, είχε προφητεύσει, ανεπιτυχώς, ότι ο υπολογιστής θα ανατινάξει και θα κονιορτοποιήσει τα σχολεία. Η πρόβλεψη αυτή αποτέλεσε µάλλον κακό και δυσµενή οιωνό, δεδοµένου ότι λίγα χρόνια αργότερα υπήρξε µια σαφής και καταφανής γενική αναδίπλωση, αφού οι αναµενόµενες, επαναστατικές εκπαιδευτικές αλλαγές αποδείχτηκαν, µάλλον, χιµαιρικές. Ευτυχώς όµως, στις αρχές του τρέχοντος αιώνα, το ενδιαφέρον για αξιοποίηση του υπολογιστή στη διδακτική διαδικασία αναζωπυρώθηκε. Ως κύρια, ίσως και αποκλειστική αιτία αυτής της αναθερµάνσεως προβάλλουν τα θέλγητρα και κάλλη του παγκόσµιου, διαδικτυακού ιστού (Βοσνιάδου, 2006; Pelgrum, 2001) Το Internet ( ιαδίκτυο) Το Internet ( ιαδίκτυο) είναι ένα καθολικό δίκτυο υπολογιστών, που παρέχει πόρους και δεδοµένα. Ξεκίνησε, ως ΑRPAnet το 1969 στις ΗΠΑ, συνδέοντας 4 ηλεκτρονικούς υπολογιστές Πανεπιστηµίων. Αργότερα χρησιµοποιήθηκε για στρατιωτικούς σκοπούς και το 1989 µετονοµάσθηκε σε Internet και αριθµούσε περίπου Η/Υ. Την τελευταία δεκαετία ο παγκόσµιος Ιστός αναπτύχθηκε αλµατωδώς και από ένα εξειδικευµένο εργαλείο για επιστήµονες, µετασχηµατίσθηκε σε έναν παγκόσµιο χώρο πληροφοριών µε περισσότερους από ένα δισεκατοµµύριο χρήστες παγκοσµίως. Αυτήν την περίοδο επιστρέφει στις ρίζες του, ως ένα εργαλείο ανάγνωσης και γραφής, αλλά ταυτόχρονα εισέρχεται σε µια νέα φάση, βαφτισµένη ως Web 2.0, µε έµφαση και επένδυση στην κοινωνικότητα και στη συµµετοχικότητα (Anderson, 2007). Από πανευρωπαϊκή έρευνα, που διεξήχθη µεταξύ των 27 κρατών µελών το 2006, διαπιστώθηκε ότι οι υπολογιστές και το ιαδίκτυο είναι, ήδη, τετριµµένο και κοινότοπο εξοπλιστικό υλικό, αφού χρησιµοποιούνται ευρέως στις σχολικές αίθουσες των περισσότερων χωρών. Μάλιστα, επιτελέστηκε µια αξιοσηµείωτη αύξηση στη χρήση των ΤΠΕ κατά τη διάρκεια των προηγούµενων 5 ετών µε µια σαφή στροφή στην ευρυζωνικότητα (Korte & Hüsing, 2006). Τα υψηλότερα ποσοστά της ευρυζωνικής σύνδεσης στα σχολεία βρίσκονται, φυσικά, στις σκανδιναβικές χώρες, στην Ολλανδία, την Εσθονία και τη Μάλτα, όπου περίπου 90% των σχολείων έχουν γρήγορη σύνδεση στο ιαδίκτυο. Στον αντίποδα, και ακριβώς στον διαδικτυακό πυθµένα, κατατάσσεται η Ελλάδα, κατέχοντας, όπως τις περισσότερες φορές, τα θλιβερά και αποκαρδιωτικά πρωτεία στην εκπαιδευτική οπισθοδρόµηση, τελµάτωση και νεκρότητα, οφειλόµενη καταφανώς και στους χελωνοειδείς τεχνολογικούς ρυθµούς της. Μόνο το 13% των σχολείων µας διαθέτουν ευρυζωνική σύνδεση, ενώ το µέσο ποσοστό διείσδυσης στα σχολεία της ευρωπαϊκής ένωσης ανέρχεται, περίπου, στο 70%. Ως προς τον αριθµό των υπολογιστών, ανά 100 µαθητές, στα ευρωπαϊκά σχολεία, το 2006, η χώρα µας καταλαµβάνει, µε 6,5%, την 23η θέση, µε πρώτη τη ανία µε 27,3%. Ουραγός δυστυχώς, ως συνήθως, παρέµενε η Ελλάδα και στο ποσοστό των σχολείων που διέθεταν υπολογιστές στις τάξεις το 2006, µε µόνο 18%, σε 49

58 αντιδιαµετρική αντίθεση µε το 95% του Ηνωµένου (και...υπολογιστικού για αυτό το λόγο) Βασιλείου (Korte & Hüsing, 2006). Γενικώς, η Ελλάδα δεν επενδύει σε νέες τεχνολογίες. Για δεύτερο χρόνο το 2007, οι σχετικές δαπάνες έµειναν παγωµένες στο 0,57% του ΑΕΠ (Eurostat) έναντι 1,83% του κοινοτικού µέσου όρου και 3,63% στη Σουηδία (Εφηµερίδα ΚΥΡΙΑΚΑΤΙΚΗ, 21/12/2008). Μερικές, ενδεικτικές (έστω και αργές, για τα ελληνικά σχολεία) χρήσεις και υπηρεσίες τού διαδικτύου παρατίθενται παρακάτω: Παγκόσµιος Ιστός (WWW) από το 1991 Ηλεκτρονικό Ταχυδροµείο ( ) Μεταφορά και Αποθήκευση Αρχείων µε FTP Αίθουσες Συνοµιλίας (chat rooms) Οµάδες Συζητήσεων, forae (Aσύγχρονα) Τηλεδιάσκεψη (Σύγχρονη επικοινωνία) Blogs Πλατφόρµες ασύγχρονης τηλεκπαίδευσης, για διαχείριση εκπαιδευτικού περιεχοµένου (Moodle, e-class) Wikis για συνεργατική συγγραφή κειµένων στο διαδίκτυο. Ο όρος προέρχεται από µια χαβανέζικη λέξη που σηµαίνει «γρήγορος». Το πιο γνωστό παράδειγµα wiki είναι η διάσηµη on line εγκυκλοπαίδεια «Wikipedia», που δηµιουργείται, τροποποιείται και ελέγχεται από τα µέλη της ψηφιακής κοινότητας (Freedman, 2006). Το Πανελλήνιο Σχολικό δίκτυο ήδη, υποστηρίζει συνεργατικά περιβάλλοντα Wikis. Μηχανές αναζήτησης, όπως η παντοκρατορική Google αλλά και (µόνο για λόγους ακαδηµαϊκής πληροφόρησης), Altavista, Yahoo, Msn, Lycos, Ask, Alltheweb. Επίσης και οι ελληνικές µηχανές κ.ά. Υπηρεσίες επικοινωνίας και τηλεφωνίας (Skype, oovoo) Ελεύθερη διανοµή πολυµέσων (Youtube) Υπηρεσίες RSS, για αυτόµατη ενηµέρωση για θέµατα και σχετικές πληροφορίες, δίχως την υποχρέωση για επίσκεψη και πλοήγηση των αντίστοιχων ιστοσελίδων, που τις φιλοξενούν Συνεργατικά Περιβάλλοντα, όπως το «SYNERGO», Collaborative Mapping Environment, που αναπτύχθηκε από την οµάδα Αλληλεπίδρασης Ανθρώπου Υπολογιστή του Πανεπιστηµίου Πατρών, Τεχνικές AJAX (ακρωνύµιο από: Asynchronous JavaScript And XML), υποστηριζόµενες από την Coogle, για τη δηµιουργία γρηγορότερων, χρηστικότερων και φιλικότερων διαδικτυακών εφαρµογών Πύλες, όπως οι εκπαιδευτικού ενδιαφέροντος και περιεχοµένου alfavita.gr, eduportal.gr, e-yliko.gr, edra.gr κ.ά. Τελευταία, σηµειώνεται µεγάλη αποδοχή και χρήση των blog, αφού αυτά προσφέρονται αδιαµφισβήτητα, για εκπαιδευτική χρήση και παιδαγωγική αξιοποίηση. Το σχολικό δίκτυο παρέχει ήδη, τη δυνατότητα στους εκπαιδευτικούς για τη δηµιουργία του προσωπικού τους blog. 3. ΤΠΕ στην εκπαίδευση Οι όροι «Πληροφορική» αλλά και οι «Νέες Τεχνολογίες» παραχώρησαν ευγενώς τη θέση τους στον διεθνώς καθιερωµένο όρο «Τεχνολογίες Πληροφορίας και Επικοινωνιών», γνωστό και µε το ακρωνύµιο Τ.Π.Ε. Ο όρος ΤΠΕ είναι πιστή µετάφραση του αγγλικού «Information & Communication Technologies» (ICT) και 50

59 ορίζεται ως «όλα τα εκπ/κά και πολιτισµικά προϊόντα και υπηρεσίες που εµπλέκονται στη συνδυαστική χρήση διαφόρων µέσων και στις οποίες η πρόσβαση επιτυγχάνεται µέσω της τηλεόρασης ή των Η/Υ» (Βοσνιάδου, 2006) ή ως «οι τεχνολογίες που επιτρέπουν την επεξεργασία και τη µετάδοση µιας ποικιλίας µορφών αναπαράστασης της πληροφορίας (σύµβολα, εικόνες, ήχοι, βίντεο) και αφετέρου τα µέσα, που είναι φορείς αυτών των άυλων µηνυµάτων» (Κόµης, 2004), αλλά και ως «οι σύγχρονες ψηφιακές τεχνολογίες που επιτρέπουν την κωδικοποίηση, επεξεργασία, αποθήκευση, αναζήτηση, ανάκληση και µετάδοση της πληροφορίας σε ψηφιακή µορφή µε χρήση υπολογιστών αλλά και δικτύων υπολογιστών» (Tinio, 2003). Αυτές οι τεχνολογίες, αποκρυσταλλώνοντας τους παραπάνω ορισµούς, περιλαµβάνουν, ευνοήτως, τους υπολογιστές, το ιαδίκτυο, τις τεχνολογίες αναµετάδοσης και την τηλεφωνία. Η ρητορική η οποία έχει αναπτυχθεί την τελευταία περίπου τριακονταετία, επικεντρώνεται στην (ανα)ζητούµενη βελτίωση τής αποδοτικότητας και της αποτελεσµατικότητας της εκπαίδευσης, µέσω της χρήσης των ΤΠΕ. Μια εδραιωθείσα αρχικά, πεποίθηση, περί της επαναστατικότητας που κοµίζουν οι τεχνολογίες, δεν ήταν παρά ένα απατηλό όνειρο και ένας µύθος (Βοσνιάδου, 2006). Ως ευκταία όµως και αισιόδοξη εξέλιξη εµφανίζεται η τρέχουσα βεβαιότητα ότι οι ΤΠΕ είναι όχι µόνο η σπονδυλική στήλη της Κοινωνίας της Πληροφορίας αλλά και ένας σηµαντικός καταλύτης και ένα σπουδαίο εργαλείο για τις εκπαιδευτικές µεταρρυθµίσεις, οι οποίες θα µεταβάλλουν τους µαθητές σε παραγωγικούς «εργάτες γνώσης». Πολλές κυβερνήσεις, προς το τέλος της δεκαετίας του 1990, είχαν αναπτύξει καινοτόµα και µεγαλεπήβολα σχέδια, ώστε να ενισχύσουν τις επενδύσεις, σχετικά µε την ένταξη και ενσωµάτωση των ΤΠΕ στην εκπαίδευση (Pelgrum, 2001). Οι δυνατότητες για µάθηση, µέσω των ΤΠΕ, που χρησιµοποιούνται συνήθως στην εκπαίδευση, είναι οι κάτωθι (Tinio, 2003): Η µάθηση µέσω «e-learning», αν και συνδέεται περισσότερο µε την τριτοβάθµια εκπαίδευση και µε διάφορεςς µορφές επιµόρφωσης, καλύπτει την µάθηση σε όλα τα επίπεδα, επίσηµα και µη, η οποία χρησιµοποιεί, πλήρως ή εν µέρει, δίκτυα πληροφοριών (διαδίκτυο, τοπικό ή extranet), για την παράδοση µιας σειράς αλληλεπιδραστικών µαθηµάτων. Η µάθηση µέσω Κινητών Συσκευών (M-learning) είναι κάθε µορφή µάθησης, που αξιοποιεί τις δυνατότητες που προσφέρουν οι φορητές συσκευές ασύρµατης τεχνολογίας. Οι τεχνολογίες mobile-learning µεταφέρουν τη γνώση κοντά στον τόπο και στη διαδικασία της εφαρµογής της, απαλλάσσοντας τους εκπαιδευόµενους από τη χρονοβόρα και ασφυκτική αναγκαιότητα της παρουσίας τους σε συγκεκριµένο χώρο. Η Blended Learning (Συνδυαζόµενη µάθηση), µια σύγχρονη παιδαγωγική προσέγγιση, µε την «δια ζώσης» παραδοσιακή πρακτική στις αίθουσες, συνεπικουρούµενη από e-learning και m-learning µαθησιακές πρακτικές. Η ανοικτή και από απόσταση εκπαίδευση ορίζεται ως ο διαζευτικός τρόπος εκπαίδευσης, ο οποίος χαρακτηρίζεται από το χωρισµό του δασκάλου και του µαθητή, ως προς το χώρο ή/και το χρόνο. Μετέρχεται ποικίλων µέσων και τρόπων εφαρµογής, συµπεριλαµβανοµένης έντυπης και ηλεκτρονικής ύλης, αµφίδροµης, αλληλεπιδραστικής επικοινωνίας δασκάλων και µαθητών, όπως και της δυνατότητας περιστασιακών συναντήσεων τους. Το Ανοικτό Πανεπιστήµιο του Ηνωµένου Βασιλείου 51

60 (The Open University), που ιδρύθηκε το 1969, είναι το πρώτο εκπαιδευτικό ίδρυµα στον κόσµο, που αφιερώθηκε πλήρως στην ανοικτή και από απόσταση εκπαίδευση. Στηρίζεται, ακόµα, σε µεγάλο ποσοστό στην έντυπη ύλη, που συµπληρώνεται από το ραδιόφωνο, την τηλεόραση και, τελευταία, από on-line µεθόδους. Το αντίστοιχο Ελληνικό Ανοιχτό Πανεπιστήµιο (ΕΑΠ) ιδρύθηκε το 1992, σύµφωνα µε το άρθρο 27 του Ν. 2083/92, ενώ το 1998 σηµατοδοτήθηκε µε την έναρξη παροχής των δύο πρώτων προγραµµάτων σπουδών του. Η επιτυχία του δε, παρά τα υψηλά δίδακτρα, µε κριτήριο φυσικά, τη ζήτηση, είναι εντυπωσιακή και πρωτοφανής, δεδοµένου ότι για τα προγράµµατα του , υποβλήθηκαν αιτήσεις, για προσφερόµενες θέσεις. Σήµερα, στον ελληνικό χώρο, συµβατικά Πανεπιστήµια προσφέρουν µεταπτυχιακά προγράµµατα και µε µεθόδους ανοικτής και εξ αποστάσεως διδασκαλίας. Η Μάθηση βασισµένη σε µαθητοκεντρικά περιβάλλοντα την οποία πρεσβεύουν και επαγγέλλονται οι σύγχρονες εποικοδοµιστικές (κονστρουκτιβιστικές) θεωρήσεις. Η βασική αρχή του εποικοδοµισµού (κονστρουκτιβισµού), που αποτελεί την επικρατέστερη θεωρία της εποχής µας, στηρίζεται στην αποδοχή της µάθησης ως µιας ενεργητικής διαδικασίας, κατά την οποία τα άτοµα «κατασκευάζουν» τη γνώση, µέσω της ενεργοποίησης, επιστράτευσης και επίδρασης των προγενέστερων γνώσεων και εµπειριών τους. Κατά τη θεωρία αυτή, ο ρόλος της συνεργατικότητας στη διαδικασία της µάθησης είναι θεµελιακός και κεφαλαιώδης. Οι ΤΠΕ προσφέρουν αυθεντικές µαθησιακές καταστάσεις και είναι µετασχηµατιστικά εργαλεία που έχουν γνωρίσµατα και χαρακτηριστικά, που ευνοούν τις κοινωνικοπολιτισµικές αλληλεπιδράσεις, όπως και τη σχεδίαση, ανάδειξη και δηµιουργία συνεργατικών και µαθητοκεντρικών περιβαλλόντων µάθησης. Τρία είναι τα µοντέλα που αποτέλεσαν τα οχήµατα ένταξης των ΤΠΕ στην Εκπαίδευση: Το τεχνοκεντρικό µοντέλο µε ακραιφνές µάθηµα Πληροφορικής, ως διακριτό γνωστικό αντικείµενο, µε βασικό στόχο την απόκτηση δεξιοτήτων στη χρήση του υπολογιστή. Αφορά, αποκλειστικά, τους εκπαιδευτικούς πληροφορικής Το ολοκληρωµένο ή ολιστικό µοντέλο, στο οποίο οι ΤΠΕ διαχέονται εγκάρσια στο εύρος του αναλυτικού προγράµµατος, ως µέσο έκφρασης διαθεµατικής προσέγγισης, υποστηρίζοντας και αξιοποιώντας παιδαγωγικές, µεθοδολογικές και διδακτικές αρχές, µέσω της ένταξης και ενσωµάτωσης της χρήσης των ΤΠΕ στη ζώσα, εκπαιδευτική διαδικασία. Το πραγµατολογικό µοντέλο, που αποτελεί τη σύνθεση των δυο προηγούµενων προτύπων. Ένα τέτοιο µοντέλο χαρακτηρίζει και υπηρετεί την ελληνική ευτεροβάθµια Εκπαίδευση. Μάλιστα, εστιάζοντας στην ελληνική εκπαιδευτική πραγµατικότητα, το σχετικά επιτυχηµένο αλλά αρκετά καθυστερηµένο, πρόσφατα υλοποιηθέν (Νοέµβριος 2008), πρόγραµµα Επιµόρφωσης Εκπαιδευτικών «Β Επιπέδου», σε «θέµατα εφαρµογής των Τ.Π.Ε. στη διδακτική πράξη, στην απόκτηση βασικών γνώσεων και δεξιοτήτων στη χρήση των Τ.Π.Ε. στην εκπαίδευση» αλλά και «στην παιδαγωγική αξιοποίηση εκπαιδευτικού λογισµικού, λογισµικού γενικής χρήσης και 52

61 άλλων σχετικών εργαλείων», στόχευε στην τόνωση και ενίσχυση των ωφεληµάτων του πραγµατολογικού µοντέλου, µε την (υπο)στήριξη της µαθησιακής διαδικασίας σε 3, τουλάχιστο, γνωστικά αντικείµενα (ΠΕ02, ΠΕ03, ΠΕ04). Όσον αφορά στην πρωτοβάθµια Εκπαίδευση, το Μοντέλο είναι καθαρά ολιστικό, που υποβοηθήθηκε αρκετά και από το παραπάνω πρόγραµµα επιµόρφωσης, κάτι που τεκµαίρεται και από το πραγµατικό, «ανιδιοτελές» και αυξανόµενο ενδιαφέρον των δασκάλων, για συµµετοχή και παρακολούθηση των κατά τόπους Κέντρων Στήριξης Επιµόρφωσης (ΚΣΕ). ιευκρινιστικά, στο πρόγραµµα του Ολοήµερου ηµοτικού Σχολείου, διδάσκεται το µάθηµα της Πληροφορικής, προσφέροντας δηλαδή, απογευµατινά ψήγµατα πραγµατολογικής προσέγγισης. Πολλές συναρπαστικές εφαρµογές της τεχνολογίας στα σχολεία επιβεβαιώνουν ότι νέα µοντέλα διδασκαλίας και µάθησης µπορούν να βελτιώσουν εντυπωσιακά τα µαθησιακά αποτελέσµατα. Η εκπαιδευτική κοινότητα, ωστόσο, είναι αντιµέτωπη µε πολλές προκλήσεις, περισπασµούς και ανασχέσεις, που δυσχεραίνουν ή και παρακωλύουν την τεχνολογική εδραίωση και παγίωση. Επιγραµµατικά και αδρά, µπορούν να συνοψισθούν στους εξής λόγους (Dede,1998; Fouts, 2000): Οικονοµικοί, που συνδέονται µε την ανάγκη διάθεσης των σχετικών κονδυλίων Αδιαφορία ή και φοβία εκ µέρους των εκπ/κών, για υιοθέτηση νέων τεχνολογικών προτύπων Επίτευξη αποτελεσµατικής και επαρκούς κατάρτισης εκπαιδευτικών ιστακτικότητα και επιφυλακτικότητα της κοινωνίας, ως προς την αποτελεσµατικότητα των ΤΠΕ, στην ενίσχυση (και ποιων) γνωστικών δεξιοτήτων, αλλά και ως προς τη βελτίωση της παραγωγικότητας και την αµφισβητούµενη συµβολή τους στη γεφύρωση του χάσµατος µεταξύ των πλούσιων και φτωχών Η ζητούµενη «τυπική» απόδοση των µαθητών µετά από µια (προς διαπραγµάτευση και οριοθέτηση) ορθολογική χρήση των ΤΠΕ Η βελτίωση της ποιότητας της εκπαίδευσης και της κατάρτισης είναι ένα κρίσιµο ζήτηµα, ιδιαίτερα στην τωρινή εποχή των ιδιαίτερων εκπαιδευτικών απαιτήσεων. Οι ΤΠΕ µπορούν να βελτιώσουν την ποιότητα της εκπαίδευσης µε διάφορους τρόπους: µε την αύξηση των κινήτρων µάθησης και συµµετοχής, µε τη διευκόλυνση απόκτησης των βασικών δεξιοτήτων και µε την ενίσχυση της κατάρτισης και επιµόρφωσης των εκπαιδευτικών. Για παράδειγµα το video, η τηλεόραση και διάφορα πολυµεσικά λογισµικά υπολογιστών, τα οποία συνδυάζουν κείµενο, ήχο, έγχρωµες, κινούµενες εικόνες µπορούν να χρησιµοποιηθούν για να παράσχουν ευχάριστο, αυθεντικό και γνήσιο περιεχόµενο µε ανατροφοδοτικές και συνεργατικές προεκτάσεις, που θα παρακινήσει και θα παροτρύνει τους µαθητές, κατά τη διαδικασία της µάθησης (Tinio, 2003; Βοσνιάδου, 2006). Οι εξυµνητικές κριτικές των υπέρµαχων και υπερασπιστών της ένταξης και ενσωµάτωσης των ΤΠΕ στην εκπαιδευτική διαδικασία περιλαµβάνουν στην πραµάτεια τους, µια σειρά από κλασικά επιχειρήµατα και επιδεικνύουν ως οφέλη και πλεονεκτήµατα τα παρακάτω τεχνολογικά «κρυφά χαρτιά», τους υπολογιστικούς «άσους», µε την προσδοκία να βρουν αυτά κατάλληλο εκπαιδευτικό και παιδαγωγικό ενδιαίτηµα. Έτσι µια µικρή σταχυολόγηση θα περιλάµβανε αναγκαστικά τις δυνατότητες που παρέχουν οι ΤΠΕ για ανεξάρτητη, εξατοµικευµένη και ενισχυτική διδασκαλία και για υιοθέτηση εκ µέρους των µαθητών του δικού τους ρυθµού µάθησης καθώς και του ελέγχου αυτής. Ακόµα οι µαθητές µαθαίνουν να ψάχνουν για 53

62 πληροφορίες, να τις επεξεργάζονται και να τις παρουσιάζουν, όπως επίσης να συνεργάζονται και να συµµετέχουν ενεργητικά σε οµαδικά σχέδια εργασίας (projects). Επίσης, παρέχονται δυνατότητες για ενιαιοποιηµένη γνώση, µέσω διαθεµατικών και διεπιστηµονικών προσεγγίσεων. Επιπλέον, προκρίνεται η αυθεντικότητα, µε τη σχεδίαση κατάλληλων δραστηριοτήτων βιωµατικού χαρακτήρα, ενώ και ανατροφοδοτικές παρεµβάσεις, µέσω θετικών και αρνητικών ενισχύσεων, βρίσκουν πρόσφορο έδαφος ευδοκίµησης. Για να δρέψει, όµως, η εκπαίδευση τους «τεχνολογικούς καρπούς» είναι απαραίτητο να υπερπηδηθούν κάποια σοβαρά εµπόδια. Από µια παγκόσµια έρευνα που πραγµατοποιήθηκε το 2000, µεταξύ 26 κρατών, µε πανηπειρωτική συµµετοχή (της Ελλάδας µη συµπεριλαµβανοµένης), καταγράφηκαν τα κύρια προσκόµµατα που εµποδίζουν σοβαρά, την επίτευξη των εκπαιδευτικών στόχων, των συνδεδεµένων µε τις ΤΠΕ (Pelgrum, 2001). Σε διευθυντές ηµοτικών Σχολείων και Γυµνασίων, όπως επίσης και σε υπευθύνους πληροφορικής, δόθηκε µια λίστα µε πιθανά εµπόδια. Στη συνέχεια κλήθηκαν να υποδείξουν ποια από αυτά θεωρούν ότι αποτελούν σηµαντικούς σκοπέλους και παρεµποδίζουν την πραγµατοποίηση, των σχετικών µε τον υπολογιστή, στόχων του Σχολείου (Pelgrum, 2001). Οι κυριότεροι φραγµοί, όπως αποτυπώθηκαν στην έρευνα, αποδόθηκαν, κατά σειρά αρνητικής συνεισφοράς στην επιδιωκόµενη αξιοποίηση των εκπαιδευτικών δυνατοτήτων του Υπολογιστή, στα παρακάτω γεγονότα, καταστάσεις και δεδοµένα: Ανεπαρκής αριθµός υπολογιστών Ελλιπείς γνώσεις και δεξιότητες των δασκάλων υσκολία στη ένταξη του υπολογιστή στη διδασκαλία Έλλειψη περιφερειακών µονάδων Μειωµένα αντίγραφα των λογισµικών Ανεπαρκής χρόνος δασκάλων Μη ταυτόχρονη πρόσβαση στο ιαδίκτυο Έλλειψη προσωπικού επίβλεψης Έλλειψη τεχνικής βοήθειας Λίγες ευκαιρίες επιµόρφωσης των εκπαιδευτικών, δεδοµένου ότι για την ορθή αξιοποίηση των Τεχνολογιών απαιτείται η σχεδίαση κατάλληλων, πλούσιων, αλληλεπιδραστικών δραστηριοτήτων, µε προκαθορισµένες παιδαγωγικές επιδιώξεις Αδιαφορία των δασκάλων Ανατροπή κύριας παιδαγωγικής αρχής, καθότι οι µαθητές γνωρίζουν περισσότερα από το δάσκαλο Συµπεραίνεται, λοιπόν, πως το αναχαιτιστικό δίπολο που παρακωλύει, κατά τους εκπαιδευτικούς, τη µεταφορά της τεχνολογικής προίκας στο Σχολείο, έχει ποσοτικά και ποσοτικά χαρακτηριστικά, ισάριθµα και άκρως δηλωτικά των δύο παρακάτω οµαδοποιήσεων. Έλλειψη τεχνολογικού εξοπλισµού από τη µια και πληµµελής κατάρτιση και λειψό ενδιαφέρον των εκπαιδευτικών από την άλλη. Στα χρόνια που µεσολάβησαν από το 2000, όπως ήδη αναφέρθηκε, τα περισσότερα ευρωπαϊκά σχολεία (πλην Ελλάδας) έχουν εξοπλισθεί επαρκώς, µε τάσεις ανόδου των ποσοστών διείσδυσης των υπολογιστών στις αίθουσες. Αναπόφευκτα και επιβεβληµένα, το βάρος µετατοπίσθηκε στον «έτερο απωθητικό πόλο» τον ποιοτικό, που αποτελεί ανεπιφύλακτα, και τον κατεξοχήν δείκτη, πρόκριµα και καταλύτη της αποτελεσµατικότητας των ΤΠΕ, στο Σχολείο. Ο Richard Noss, συνεργάτης του Piaget, άκρως δηκτικά, συµπεριέλαβε στη κάτωθι δήλωσή του, την κατάλληλη ποσοτική αναλογία για µια επιτυχηµένη συνταγή 54

63 τεχνολογικής εκπαιδευτικής ανάκαµψης: «Τα χρηµατικά ποσά, τα οποία διατίθενται για την παιδαγωγική κατάρτιση και επιµόρφωση των εκπαιδευτικών, επιβάλλεται να είναι εκατονταπλάσια αυτών που δαπανώνται για την αγορά υπολογιστών». Ήδη και ευτυχώς, και στην Ελλάδα, τα προγράµµατα επιµόρφωσης των εκπαιδευτικών «Α και Β επιπέδου» στις ΤΠΕ, αλλά και αυτά που υλοποιήθηκαν στο πλαίσιο της ενέργειας Ο ΥΣΣΕΙΑΣ, την περίοδο , ήταν σχετικά επιτυχηµένα (ή µάλλον αρκετά, µε αµιγώς ελληνικά κριτήρια), και πλήρως συντεταγµένα και ευθυγραµµισµένα µε την υψηλή προσδοκία της Συνθήκης της Λισαβόνας το 2000, για µια ανταγωνιστικότερη και δυναµικότερη οικονοµία, βασισµένη στη γνώση. Προβάλλει δε επιτακτική η ανάγκη συνέχισης της επιµόρφωσης αυτής, και ειδικά του Β Επιπέδου, δεδοµένου ότι και µε την έλευση του απαραίτητου εξοπλισµού στα Σχολεία, η χώρα µας θα επικυρώσει το εισιτήριο ανόδου της, στο τεχνολογικό τρένο, που οσονούπω αναχωρεί µε, δυστυχώς, µονής κατεύθυνσης και άνευ επιστροφής διαδροµή 4. Επιπτώσεις των ΤΠΕ στην εκπαίδευση Σύµφωνα µε το νέο ιαθεµατικό Αναλυτικό Πρόγραµµα ( ΕΠΠΣ) της υποχρεωτικής εκπαίδευσης ( σκοπός της διδασκαλίας της Πληροφορικής (ΤΠΕ) «είναι να αποκτήσουν οι µαθητές µια αρχική αλλά συγκροτηµένη και σφαιρική αντίληψη των βασικών λειτουργιών του υπολογιστή, µέσα σε µια προοπτική τεχνολογικού αλφαβητισµού να έλθουν σε επαφή µε τις διάφορες χρήσεις του υπολογιστή ως εποπτικού µέσου διδασκαλίας, ως γνωστικού - διερευνητικού εργαλείου (µε τη χρήση κατάλληλου ανοικτού λογισµικού διερευνητικής µάθησης) και ως εργαλείου επικοινωνίας και αναζήτησης πληροφοριών στο πλαίσιο των καθηµερινών σχολικών δραστηριοτήτων» Οι 3 βασικοί άξονες των µαθησιακών στόχων, σύµφωνα πάντα µε το ΕΠΠΣ, περιστρέφονται γύρω από: α) Τη γνώση και τη µεθοδολογία, µέσω της εξοικείωσης των µαθητών µε τον υπολογιστή και τη χρησιµοποίησή του ως εργαλείο ανακάλυψης, δηµιουργίας, έκφρασης αλλά και ως νοητικό εργαλείο και εργαλείο ανάπτυξης της σκέψης, β) από τη συνεργασία και την επικοινωνία µε την ανάπτυξη δραστηριοτήτων στο πλαίσιο ποικίλων οµαδικών - συνθετικών εργασιών και γ) την επιστήµη και την τεχνολογία στην καθηµερινή ζωή. Ο υπολογιστής, λοιπόν, ως επ-(προ)-έκταση του ανθρώπινου νου και επειδή υποστηρίζει γνωστικές διεργασίες και ενισχύει τις γνωστικές δεξιότητες των µαθητών, όπως κριτική σκέψη, επίλυση προβληµάτων, διερεύνηση και αναζήτηση πληροφοριών, δεξιότητες λήψης απόφασης, µεταγνωστικές διεργασίες, αυτορύθµιση και αναστοχασµό, ευνοήτως και δικαιωµατικά, θεωρείται σπουδαίο γνωστικό (νοητικό) εργαλείο (cognitive or mind tool). Επιπλέον, ως σηµαντικά γνωστικά εργαλεία πιστώνονται και καταχωρίζονται επίσης και οι βάσεις δεδοµένων, οι γλώσσες προγραµµατισµού υπολογιστών, τα διάφορα λογισµικά συστηµάτων επικοινωνιών αλλά και ο γραπτός λόγος και ο µαθηµατικός συµβολισµός (Μικρόπουλος, 2006). Υπό αυτήν την «γνωστική ιδιότητα» ο υπολογιστής και γενικά οι ΤΠΕ, έχουν επιφέρει ευεργετικά αποτελέσµατα και θε(αµα)τικές επιπτώσεις στη σχολική πρακτική και διαδικασία, όπως αποδεικνύουν περίτρανα και αφοπλιστικά τα κοινότοπα ευρήµατα ερευνών, τις τελευταίες 2 και πλέον δεκαετίες. Έτσι οι «γλαύκες που κοµίζονται ες Αθήνας» κατά το τεχνολογικό λυκαυγές, σιγο-διαλαλούν τις παρακάτω ευνοϊκές και επωφελείς επιδράσεις της χρήσης της Τεχνολογίας στο Σχολείο (Balanskat & Blamire, 2007): 55

64 Αύξηση στην απόδοση των σπουδαστών σε τυποποιηµένα Test Βελτίωση στην απόκτηση δεξιοτήτων ανάγνωσης και γραφής αλλά και επίλυσης προβληµάτων, µέσα από την ευκολότερη κατανόηση βασικών µαθηµατικών εννοιών. Μάλιστα, διαπιστώθηκε µια θετική συνάφεια µεταξύ του χρονικού διαστήµατος της χρήσης των ΤΠΕ και της επίδοσης µαθητών στα Test µαθηµατικών. Κατανόηση και αποσαφήνιση σηµαντικών επιστηµονικών εννοιών και ιδεών µε τη βοήθεια των προσοµοιώσεων, των υπολογιστικών εργαστηρίων και των εργαλείων απεικόνισης Τα σχολεία µε υψηλότερα επίπεδα e-ωριµότητας επιτυγχάνουν καλύτερα αποτελέσµατα. Το ίδιο συµβαίνει και µε τα σχολεία, που διαθέτουν καλύτερο και περισσότερο τεχνολογικό εξοπλισµό. Η ευρυζωνική πρόσβαση µέσα στις τάξεις βελτιώνει σηµαντικά τις επιδόσεις σε µαθητές, ειδικά των πρώτων τάξεων του Λυκείου. Οι µαθητές δραστηριοποιούνται και προσηλώνονται περισσότερο, όταν χρησιµοποιούνται στην αίθουσα οι υπολογιστές και το ιαδίκτυο, σύµφωνα µε το 86% των δασκάλων στην Ευρώπη. Οι ΤΠΕ υποστηρίζουν την εξατοµίκευση, την ανεξάρτητη µάθηση και την οµαδική εργασία και συνεργασία. Η συντριπτική πλειονότητα των δάσκαλων στην Ευρώπη (το 90%) χρησιµοποιούν τις ΤΠΕ για να προετοιµάσουν τα µαθήµατά τους, αν και ένα σηµαντικό µέρος τους (20%) πιστεύει στο ουτοπικό του εγχειρήµατος, θεωρώντας πως δεν υπάρχει καµιά προστιθέµενη αξία, µέσω της χρήσης του υπολογιστή. Οι δάσκαλοι χρησιµοποιούν περισσότερο τις ΤΠΕ, όταν ταιριάζουν αυτές και εναρµονίζονται καλύτερα µε παραδοσιακές πρακτικές. Επιπλέον, µπορούν να συνεργάζονται µέσω των διαθέσιµων και γνωστών τεχνολογικών πόρων κάτι που συµβαίνει όµως κυρίως, για διοικητικούς λόγους παρά για παιδαγωγικούς. Κρίνεται σκόπιµο να τονισθεί, εδώ, ότι πολλοί εκπαιδευτικοί συµφωνούν ότι η ύπαρξη Υπολογιστών στο σπίτι έχει θετική επιρροή στην εκπαιδευτική διαδικασία. Παιδιά που χρησιµοποιούν υπολογιστή στο σπίτι, έστω και για διασκέδαση, είναι πιο ενθουσιώδη, ικανά και βέβαια, κατά τη χρησιµοποίησή του στο σχολείο. Άλλοι ερευνητές τονίζουν το χάσµα µεταξύ της «ηδείας» χρήσης των υπολογιστών στο σπίτι και της περιορισµένης ή βαρετής χρήσης τους στο σχολείο. Επιµένουν όµως ότι η «οικιακή» χρήση δεν είναι ούτε απλό ούτε οµοειδές φαινόµενο και καιροφυλακτεί το ενδεχόµενο, σε µια πληθώρα περιπτώσεων και χρήσεων, να µην αντανακλώνται αυτές πάντα σε σχολική εµπειρία (Ruba Abu, 2008). Οµολογουµένως βέβαια, για αρκετούς πολιτικούς, ειδικούς επιστήµονες και εκπαιδευτικούς, η χρήση των ΤΠΕ επικρίνεται ως δαπανηρή, ενώ και η επίδρασή της στα αποτελέσµατα της µάθησης, όπως και παραπάνω αναφέρθηκε, χαρακτηρίζεται ασαφής, συγκεχυµένη και «σηκώνει» µεγάλη συζήτηση. Εµφιλοχωρούν διχογνωµίες, διενέξεις και έριδες που «δολιεύονται» και συγκρατούν την τεχνολογική ευφροσύνη και διαταράσσουν το ευδαιµονικό πληροφορικό πεδίο, µετατρέποντάς το σε πεδίο αντιπαραθέσεων. Αυτές, οι κατά τους διαφωνούντες, αρνητικές επιπτώσεις, σκοπίµως, δεν παρατίθενται. Αντί αυτών, αφιερώνονται στους κατήγορους και πολέµιους της ένταξης των ΤΠΕ στην εκπαίδευση και ειδικά στον τεχνολογικά φοβικό εκπαιδευτικό του τελευταίου χωρίου, τα παρακάτω διαχρονικά και µελαγχολικά: 56

65 5. Η διαχρονικότητα του φόβου για το άγνωστο και το καινούργιο Τα 6 πρώτα αποσπάσµατα είναι από το βιβλίο Edutrends 2010: Restructuring, Technology and the Future of Education (Thornburg, 1992). Οι µαθητές, σήµερα, δεν µπορούν να προετοιµάσουν το µυαλό τους για να λύνουν προβλήµατα. Εξαρτώνται από τις πλάκες, οι οποίες, ασφαλώς είναι και πανάκριβες. Τι θα κάνουν όταν πέσει η πλάκα και σπάσει; Θα είναι αδύνατον να γράψουν. ιάσκεψη δασκάλων, 1703 Οι µαθητές σήµερα εξαρτώνται πάρα πολύ από το χαρτί. εν ξέρουν πώς να γράφουν στην πλάκα και να αποφεύγουν να λερώνονται από την σκόνη της κιµωλίας. Ούτε βέβαια, µπορούν να καθαρίσουν µια πλάκα, σωστά. Τι θα κάνουν, όταν ξεµείνουν από χαρτί; Σύλλογος ιευθυντών, 1815 Οι µαθητές, σήµερα, εξαρτώνται πάρα πολύ, από το µελάνι. εν ξέρουν πώς να χρησιµοποιήσουν ένα µαχαίρι για να ξύσουν ένα µολύβι. Η πένα και το µελάνι ουδέποτε θα αντικαταστήσουν το µολύβι. Εθνική Ένωση δασκάλων, 1907 Οι µαθητές, σήµερα, εξαρτώνται από το αγορασµένο µελάνι. εν ξέρουν πώς να το φτιάξουν µόνοι τους. Όταν ξεµείνουν από το µελάνι θα είναι ανίκανοι να γράψουν, µέχρι το επόµενο ταξίδι τους στο κατάστηµα. Αυτά είναι λυπηρά φαινόµενα, για τη σύγχρονη εκπαίδευση. Αµερικανός αγροτικός δάσκαλος, 1929 Οι µαθητές, σήµερα, εξαρτώνται από αυτούς τους ακριβούς στυλογράφους. εν µπορούν πλέον να γράψουν µε µια γραφίδα ή µια πένα (για να µην αναφερθεί, βέβαια, και το ξύσιµο των φτερών). Ως γονείς δεν πρέπει να τους επιτρέψουµε να περιπέσουν σε τέτοιες πολυτέλειες, σε βάρος της µάθησής τους, να µην αντεπεξέρχονται, δηλαδή σωστά, στον πραγµατικό κόσµο της αγοράς, ο οποίος δεν είναι τόσο υπερβολικός. Εφηµερίδα της εποχής, 1941 Οι στυλοί διαρκείας θα αποτελέσουν αληθινή συµφορά για την εκπαίδευση. Οι µαθητές χρησιµοποιούν αυτά τα εργαλεία και τα ρίχνουν έπειτα στα σκουπίδια. Οι αρετές της λιτότητας και της οικονοµίας εγκαταλείπονται. Οι επιχειρήσεις και οι τράπεζες ουδέποτε θα επιτρέψουν τέτοιες ακριβές πολυτέλειες. Οµοσπονδιακός δάσκαλος, 1950 Με τους υπολογιστές οι µαθητές περισπώνται και αποκόπτονται από το σκοπό της εκπαίδευσης. Τους χρησιµοποιούν για να κλέβουν λύσεις για τα προβλήµατα ή ακόµη για να έχουν πρόσβαση σε αµφίβολης ποιότητας και αξιοπιστίας πληροφορίες αλλά και σε άσεµνο υλικό, ενώ ανταλλάσσουν ανόητα και χυδαία µηνύµατα, σε ώρα µαθήµατος. Καλλιεργείται η λογική της ήσσονος προσπάθειας και δηµιουργούνται 57

66 ράθυµες, ακατέργαστες και άκριτες προσωπικότητες. Θα πρέπει οσονούπω, τα σχολεία να απαλλαγούν από αυτή την ανελέητη µάστιγα. Κοντόφθαλµος και µυωπικής αντίληψης εκπαιδευτικός, 2008 Ακόµα, λίαν εύστοχο, ροµαντικό και συνηγορικό της υπολογιστικής εκπαιδευτικής αξίας είναι και «το άρρωστο άλογο» του Ζαχαρία Παπαντωνίου (Πεζοί ρυθµοί, εκδ. Βιβλιοπωλείον της Εστίας): «Στην αγορά του Σαββάτου τ άλογα που ήταν για πούληµα µιλούσαν κάτου απ τη λεύκα για τη ζωή τους. Κι ένα κόκκινο άλογο, κουρασµένο, µε το κεφάλι χαµηλά, τους διηγιόταν τα θαυµάσια των ταξιδιών του. Κάµπους απέραντους στο λιοπύρι εδιάβηκε, δασωµένες ρεµατιές µε κελαηδιστό νερό το ξεκούρασαν. Σε παρθένια χιόνια βυθίστηκαν τα πέταλα του - από θύελλες µαστιγώθηκε - σε λαµπρές φωτιές εστέγνωσε - στη ζέστη παχνιών αρχοντικών κοιµήθηκεν ύπνο βαθύ. Για τον καβαλάρη του µιλούσεν ώρα πολλή και για τις πολιτείες, που τον χαιρετούσαν από µακριά µε τους θόλους των και τα καµπαναριά των... -Παράξενο! του είπαν. Έτσι άρρωστο και κοκαλιάρικο δοκίµασες τέτοιες δόξες; -Είν αλήθεια, είπε τ' άλογο, πως σ όλη µου τη ζωή µε δεµένα τα µάτια γύριζα µαγγανοπήγαδο. Μα ο θεός ήξερε να τιµωρήσει τον άνθρωπο, που µε σκλάβωσε - χαρίζοντάς µου τη φαντασία.» Προς επίρρωση και η πάνσοφη ρήση: «Η φαντασία είναι σπουδαιότερη από τη γνώση» Αϊνστάιν Οι παραπάνω λογοτεχνικές αναφορές βρίσκουν και προσωπική ευθυγράµµιση, ισχύ και παραδοχή και η απλή αντικατάσταση της λέξης «φαντασία» µε την «εικονική και διαδικτυακή περιήγηση», προσφέρει, ίσως, τρανταχτά, αδιαφιλονίκητα και υπερασπιστικά επιχειρήµατα υπέρ της ένταξης, ενσωµάτωσης και αξιοποίησης των ΤΠΕ στην εκπαιδευτική διαδικασία. 58

67 Γ. ΘΕΩΡΙΕΣ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ Πρόδηλα µπορούν να χαρακτηριστούν τα δυο κύρια συστατικά στοιχεία του ηλεκτρονικού υπολογιστή και έτσι αβίαστα, είναι δυνατό, να αποκαλυφθεί η δισυπόστατη φύση του. Το υλικό (hardware) και το λογισµικό (software) αποτελούν το ζωογόνο ζεύγος τής «εικονικής ύπαρξής του». Ο γενικός και συγκεκριµένος όρος «υλικό» περιλαµβάνει όλα τα κατασκευασµένα υλικά του υπολογιστή, όπως κυκλώµατα και µηχανικά µέρη, οτιδήποτε, δηλαδή, διαθέτει µάζα. Ο όρος «λογισµικό» είναι αφηρηµένος και προσδιορίζει όλα τα προγράµµατα, τις εντολές, τα δεδοµένα και τις οδηγίες, µέσω των οποίων επιτυγχάνεται η επικοινωνία ανθρώπου και υπολογιστικής µηχανής, ως προς τη διαχείρισή της και την εκτέλεση συγκεκριµένων πράξεων. Χωρίζεται σε δυο µεγάλες κατηγορίες: Το Λογισµικό Συστήµατος και το Λογισµικό Εφαρµογών. Στο Λογισµικό Συστήµατος ανήκει, για παράδειγµα το Λειτουργικό Σύστηµα (Windows, Linux) αλλά και οι οδηγοί τού Υλικού (Drivers). Το Λογισµικό Εφαρµογών είναι υπεύθυνο για την πραγµατοποίηση διακριτών, υπολογιστικών εργασιών. Κλασικά παραδείγµατα ο επεξεργαστής κειµένου, το λογιστικό φύλλο, η διαχείριση βάσεων δεδοµένων, το λογισµικό παρουσίασης, οι φυλλοµετρητές, η εννοιολογική χαρτογράφηση. Το τελευταίο παράδειγµα, οι εννοιολογικοί χάρτες, είναι εργαλεία για την οργάνωση και αναπαράσταση γνώσης και αποτελούν τυπικό εκπρόσωπο ενός σηµαντικού παιδαγωγικού εργαλείου, του εκπαιδευτικού λογισµικού, που αποτελεί µε τη σειρά του γνήσιο (και στην αξία) υποσύνολο του λογισµικού εφαρµογών. Εκπαιδευτικό θεωρείται το λογισµικό που υποστηρίζει συγκεκριµένους διδακτικούς και µαθησιακούς στόχους, που υλοποιούνται και εκπληρώνονται, µέσω ολοκληρωµένων σεναρίων, interface και αλληγοριών µε παιδαγωγική σηµασία, και προορίζεται για χρήση στην παραδοσιακή τάξη, για εκπαίδευση από απόσταση αλλά και για αυτοδιδασκαλία (Παναγιωτακόπουλος κ.ά., 2005; Μικρόπουλος, 1999). 1. Είδη εκπαιδευτικού λογισµικού Μια αρχική ταξινόµηση κατατάσσει τα εκπαιδευτικά λογισµικά σε 2 ξεκάθαρες κατηγορίες: α) σε λογισµικά γενικής χρήσης και β) σε λογισµικά εξειδικευµένου και αµιγούς χαρακτήρα 1.1 Λογισµικά γενικής χρήσης Ως λογισµικά γενικής χρήσης λογίζονται αυτά που αξιοποιούνται και για εκπαιδευτικούς σκοπούς, µολονότι ο αρχικός προορισµός χρήσης τους δεν ήταν παιδαγωγικός. Οι επεξεργαστές κειµένου, τα λογισµικά παρουσιάσεων, τα λογιστικά φύλλα, οι βάσεις δεδοµένων, το διαδίκτυο καθώς και τα λογισµικά ζωγραφικής µπορούν να υποστηρίξουν όχι µόνο τη διδασκαλία αλλά και τη µάθηση, σχεδόν όλων των επί µέρους µαθηµάτων του Σχολείου. Μάλιστα, η σωστή χρήση τους τα προβιβάζει και τα προάγει σε αξιόλογα γνωστικά εργαλεία. Για παράδειγµα, υπάρχουν αρκετές και ολοκληρωµένες προτάσεις χρήσης και αξιοποίησης ενός από τα πλέον απλά, εύκολα και δηµοφιλή λογισµικά γενικής χρήσης, όπως είναι ο επεξεργαστής κειµένου Λογισµικά εξειδικευµένου και (σχεδόν) αµιγούς χαρακτήρα Το εκπαιδευτικό λογισµικό κατασκευάζεται, προκειµένου µε τη χρήση του να εκπληρωθούν συγκεκριµένοι µαθησιακοί στόχοι. Η εκπαιδευτική διαδικασία µε τη 59

68 χρήση του εκπαιδευτικού λογισµικού µπορεί να καταστεί εξαιρετικά αποτελεσµατική για το µαθητή. Η διδασκαλία µπορεί να γίνει αλληλεπιδραστική, οδηγούµενη από το χρήστη, εµπλουτισµένη, διαθεµατική και µε δυνατότητα εξερεύνησης. (Παναγιωτακόπουλος & Πιερρακέας & Πιντέλας, 2005). Tα λογισµικά που σχεδιάστηκαν για να εξυπηρετήσουν, σχεδόν αποκλειστικά, εκπαιδευτικούς και µαθησιακούς σκοπούς µετέρχονται καθορισµένων, παιδαγωγικών παρεµβάσεων και διδακτικών πρακτικών. Οι διάφορες αυτές παιδαγωγικές και διδακτικές πρακτικές και προτάσεις αποτελούν τη βάση και την αιτία, για την ταξινόµηση των εκπαιδευτικών λογισµικών, σε βασικές κατηγορίες. Μια κατηγοριοποίηση, που δεν µπορεί, βέβαια, παρά να είναι γενική, ελαστική και χαλαρή, αφού δεν υπάρχουν αυστηρά και σαφή κριτήρια, ενώ και τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά µιας κατηγορίας (ή και πολλών) απαντώνται µερικές φορές και σε άλλες. Ένας πρόχειρος διαχωρισµός θα µπορούσε να ήταν και ο εξής: Λογισµικά καθοδηγούµενης διδασκαλίας, µε ολοκληρωµένο πλαίσιο ανάπτυξης θεµάτων-µαθηµάτων, που µπορεί να συνοδεύεται και από αξιολογικές ερωτήσεις. Λογισµικά εξάσκησης και πρακτικής, µε ερωτήσεις κατανόησης, ελέγχου γνώσεων όπως και δραστηριότητες εξάσκησης. Ένα, αρκετά, δηµοφιλές λογισµικό αυτού του τύπου είναι το Hot Potatoes, ένα σύνολο έξι συγγραφικών εργαλείων, που δίνει τη δυνατότητα δηµιουργίας αλληλεπιδραστικών ασκήσεων διαφόρων µορφών (π.χ πολλαπλών επιλογών, αντιστοίχισης, σταυρολέξων), βασισµένων στον Παγκόσµιο Ιστό. Λογισµικά οπτικοποίησης µε τη δυναµική αναπαράσταση δεδοµένων. Για παράδειγµα, το λογισµικό, για τους µαθητές του ηµοτικού, «ΑΝΑΚΑΛΥΠΤΩ ΤΙΣ ΜΗΧΑΝΕΣ» αλλά και το διάσηµο «Google Earth» Λογισµικά προσοµοίωσης µε τη δυνατότητα παρέµβασης στις µεταβλητές και στις παραµέτρους ενός µελετώµενου φαινοµένου ή µοντέλου, όπως το Interactive Physics, που προσοµοιώνει φυσικά φαινόµενα. Λογισµικά µοντελοποίησης, που παρέχουν εργαλεία δηµιουργίας και ανάλυσης µοντέλων. Ο «ηµιουργός Μοντέλων» µια ελληνική λογισµική κατασκευή, που χρηµατοδοτήθηκε από το Υπουργείο Παιδείας αλλά και το «Modellus», ένα εξελληνισµένο λογισµικό για τη διδασκαλία των θετικών επιστηµών, είναι τυπικά και αντιπροσωπευτικά παραδείγµατα. Λογισµικά εικονικής πραγµατικότητας, εξαιρετικά επωφελείς εκπαιδευτικές εφαρµογές, εξαιτίας της πολυ-αισθητηριακής συµµετοχής των µαθητών σε περιβάλλοντα και καταστάσεις που, διαφορετικά θα ήταν αδύνατο να παρακολουθήσουν και να αντιληφθούν. Λογισµικά εκπαιδευτικών παιχνιδιών, που αποσκοπούν και στην µαθητική ψυχαγωγία και διασκέδαση, συνδυάζοντας αρµονικά, «το τερπνόν µετά του ωφελίµου» (edutainment). Γλώσσες προγραµµατισµού, που είναι τεχνητές γλώσσες ελέγχου του υπολογιστή. Αξιόλογο προγραµµατιστικό, πολυµεσικό περιβάλλον είναι το MicroWorlds Pro, στο οποίο µπορούµε να προγραµµατίζουµε χελώνες και να συνδυάζουµε ποικιλία µορφών πληροφορίας. Το λογισµικό αυτό παρέχει εκπληκτικές ευκαιρίες στους µαθητές για 60

69 δηµιουργική ενασχόληση και έκφραση ( απόντες κ.ά., 2003), προσφέροντας εποικοδοµιστικές, παιδαγωγικές προσεγγίσεις και επιπρόσθετα µαθησιακά οφέλη, σε σχέση µε την παραδοσιακή διδασκαλία αίθουσας. Λογισµικά τεχνητής νοηµοσύνης, εφαρµογές σε Νοήµονα Συστήµατα ιδασκαλίας, µε το συγκριτικό πλεονέκτηµα τής προσαρµογής τους στο επίπεδο των γνωστικών αναγκών των µαθητών (Ράπτης & Ράπτη, 2007). Λογισµικά ροµποτικής µε τους µαθητές να τα χρησιµοποιούν, µε σκοπό τη δηµιουργία προγραµµάτων για ροµπότ (LEGO) Ηλεκτρονικά βιβλία, ψηφιακές (θεµατικές) εγκυκλοπαίδειες, ψηφιακά λεξικά, σώµατα κειµένων Όλες οι παραπάνω εκπαιδευτικές εφαρµογές είναι εδώ και πολύ καιρό πολυµεσικές, αφού συνδυάζουν και αξιοποιούν ποικιλία µορφών περιεχοµένου, όπως κείµενο, ήχο, εικόνα, κινούµενη εικόνα, γραφικά και βίντεο. Υπερσύνολο των πολυµεσικών εφαρµογών συνιστούν σήµερα, τα λεγόµενα υπερµέσα, τα πολυµεσικά δηλαδή υπερκείµενα, που είναι κοινός τόπος πολλών, σύγχρονων εκπαιδευτικών λογισµικών. 2. Επίδραση των θεωριών µάθησης στη σχεδίαση εκπαιδευτικού λογισµικού Οι ποικίλες παιδαγωγικές εφαρµογές των υπολογιστών είναι άµεσα και αναπόφευκτα συναρτηµένες και, σχεδόν, καθολικά βασισµένες στις θεωρίες µάθησης και στις ψυχοπαιδαγωγικές θεωρίες (Κόµης, 2004). Οι θεωρίες αυτές, πολλές φορές αντικρουόµενες, προσπαθούν να αποκωδικοποιήσουν και να ερµηνεύσουν την πολυσύνθετη και πολύπλοκη έννοια της µάθησης και της απόκτησης γνώσεων. Η µάθηση αναφέρεται σε γνώσεις δεξιότητες και εµπειρίες, ενώ κύριο χαρακτηριστικό της είναι η τροποποίηση της ανθρώπινης συµπεριφοράς. Μελετάται συστηµατικά από την αρχαϊκή εποχή, φτάνοντας στην επιστηµονική κορύφωσή της, τον 20 ο αιώνα. Οι σηµερινές επιστηµονικές παραδοχές, αναγνωρίζουν ότι κατευθύνεται από το περιβάλλον (αγωγή) και µαζί µε την ωρίµαση (προδιάθεση) συµβάλλουν στην ανάπτυξη των όντων, ως δυϊκές παράµετροι της εξέλιξής τους, δίχως να διαφαίνεται και να αποσαφηνίζεται, ωστόσο, η ακριβής, ποσοτική συνεισφορά των δυο αυτών παραγόντων. Τρεις είναι οι κύριες θεωρητικές προσεγγίσεις, που επιχειρούν να διαλευκάνουν και να αποσαφηνίσουν τον τρόπο και το µηχανισµό, µε τον οποίο συντελείται η µάθηση, όπως και το γενικότερο πλαίσιο των συνθηκών της: O συµπεριφορισµός (behaviorism) Οι γνωστικές θεωρίες (Cognitive) και Οι κοινωνικοπολιτισµικές θεωρίες (sociocultural) Μάλιστα, η επίδραση των θεωριών αυτών ήταν πρωτογενής και καταλυτική στη διαµόρφωση και ανάπτυξη ειδικών και ισάριθµων κατηγοριών εκπαιδευτικού λογισµικού O συµπεριφορισµός (µπιχεβιορισµός) Η θεωρία του συµπεριφορισµού έθεσε τις επιστηµονικές της βάσεις, στις αρχές του προηγούµενου αιώνα και επί µια εξηκονταετία κρατούσε συστηµατικά, τη µερίδα του λέοντος στην εξήγηση και ερµηνεία του φαινοµένου της µάθησης. Πρεσβεύει ότι η µάθηση είναι µια αλλαγή στη συµπεριφορά, ως αποτέλεσµα εµπειρίας και αλληλεπίδρασης µε το περιβάλλον. Ενδιαφέρεται µόνο για τις αντικειµενικά παρατηρήσιµες και µετρήσιµες συµπεριφορές, που παράγονται από την αντίδραση ενός ατόµου στα ερεθίσµατα και αγνοεί τα διανοητικά γεγονότα και την 61

70 εσωτερική, ψυχολογική διαδικασία. Κυρίαρχο, δηλαδή, υπόβαθρο το δίπολο αλληλεξάρτησης, «ερέθισµα αντίδραση», που είναι κατεξοχήν υπεύθυνο για την απόκτηση της νέας τροποποιηµένης συµπεριφοράς. Αρχικά, η θεωρία υποστήριζε ότι ορισµένες συµπεριφοριστικές αντιδράσεις συνδέονται µε συγκεκριµένα περιβαλλοντικά ερεθίσµατα. Οι µελέτες στηρίχθηκαν στις αντιδράσεις των ζώων κατά την εκπαίδευσή τους, µέσω συµπεριφοριστικών προτύπων. Αναλογικά, ίσως και ανέρειστα, τα οµολογουµένως σηµαντικά αποτελέσµατα των ερευνών, εξέλαβαν «ανθρώπινη» ισχύ και µετασχηµατίσθηκαν σε αρχές και κανόνες, που αποτυπώνουν, διέπουν και εξηγούν και την ανθρώπινη συµπεριφορά και µάθηση. Ο Ρώσος φυσιολόγος και γιατρός Ivan Pavlov ( ) ήταν από τους πρώτους, που µελέτησαν τη µεταβολή της συµπεριφοράς των ζωών, εξαιτίας της επίδρασης εξωτερικών ερεθισµάτων. Το 1904 ήταν ο πρώτος Ρώσος που τιµήθηκε µε το Nobel ιατρικής, για τις πρωτοπόρες έρευνές του στη µελέτη των αδενικών εκκρίσεων και του πεπτικού συστήµατος. Σε προέκταση των ενδιαφερόντων του πραγµατοποίησε πειράµατα σε πεινασµένους σκύλους και εξήγαγε συµπεράσµατα για τον τρόπο λειτουργίας της µάθησης. Παρατήρησε ότι η έκκριση σάλιου του σκύλου στην παρουσία τροφής και στην (για πολλές φορές επαναλαµβανόµενη) ταυτόχρονη και εσκεµµένη ενεργοποίηση ενός κουδουνιού, αυτή συνέβαινε και κατά την λειτουργία µόνο του κουδουνιού. Έτσι, ενώ αρχικά στο ερέθισµα της τροφής προκαλείται η αντίδραση της έκκρισης σάλιου, στη συνέχεια µέσω του συνδυασµού τους και το ουδέτερο ερέθισµα (κουδούνισµα), ως εξαρτηµένο αντανακλαστικό, προκαλεί την ίδια αυτόµατη αντίδραση, υποκαθιστώντας το φυσικό. Η θεωρία αυτή του Pavlov είναι γνωστή ως κλασική υποκατάστασηδιασύνδεση αλλά και ως µάθηση µέσω εξαρτηµένων αντανακλαστικών. Ο Skinner ( ) είναι ένας άλλος διάσηµος εκπρόσωπος της συµπεριφοριστικής σχολής, εισηγητής της προγραµµατισµένης διδασκαλίας αλλά και της θεωρίας της συντελεστικής µάθησης. Η θεωρία του, ένα ανατροφοδοτικό µοντέλο και µια επέκταση τής έννοιας των διασυνδέσεων, δέχεται ότι µια αντίδραση σε ένα ερέθισµα µπορεί να ενισχυθεί θετικά ή αρνητικά, µέσω ανταµοιβών ή ποινών, αντίστοιχα. Τα συµπεράσµατά του τα βάσισε σε δεδοµένα, που άντλησε από µια σειρά πειραµάτων, που διενήργησε σε περιστέρια. Ο νόµος του αποτελέσµατος, που διατυπώθηκε από τον Αµερικανό ψυχολόγο Edward L. Thorndike ( ), διαφοροποιεί κατά τι, τις υστερότερες αιτιάσεις του Skinner, επισηµαίνοντας ότι οι αµοιβές έχουν ισχυρότερο αποτέλεσµα στη µάθηση, έναντι των ποινών, που σχετικώς αποτυγχάνουν να εξαλείψουν µιαν ανεπιθύµητη συµπεριφορά. Ο Thorndike διαπίστωσε επίσης, πειραµατιζόµενος µε γάτες, ότι η απόκτηση γνώσεων συντελείται µέσω «δοκιµής και πλάνης», εισάγοντας και την οµώνυµη θεωρία. Οι γάτες, που ήταν νηστικές και κλεισµένες σε κλουβί, µετά από πολλές αποτυχηµένες προσπάθειες εντόπιζαν το µοχλό, που τις απελευθέρωνε. Τα ψάρια, φυσικά, που ήταν απέξω, αποτελούσαν λάφυρο κορεσµού και άξια ανταµοιβή για τον κόπο τους. Ακόµα και σήµερα, πολλή παιδαγωγική µελάνη χύνεται και πολλά γόνιµα, διαµειβόµενα προκύπτουν, σχετικά µε την παιδαγωγική αξιοποίηση του λάθους κατά την εκπαιδευτική διαδικασία. Ο John B. Watson ( ), κλασικός συµπεριφοριστής, ως ιδρυτής του, συµπατριώτης και συνάδελφος του Thorndike, υπεραµυνόταν των θέσεων και απόψεων του Pavlov, αν και δεχόταν ότι η µάθηση επιτυγχάνεται µέσω της αντικατάστασης ενός ερεθίσµατος από κάποιο άλλο. Ο µικρός Αλβέρτος υπήρξε θύµα των πειραµατισµών του. Στο χρονικό διάστηµα που παρέµεινε µαζί του, µέχρι 62

71 να τον λυτρώσει η µητέρα του, αποµακρύνοντάς τον κακήν κακώς, από τις αµφιλεγόµενες επιστηµονικές µεθόδους του Watson, το ηλικίας ενός έτους αγόρι «έµαθε» να φοβάται τελικά όλα τα ζώα, που του παρουσίαζαν, αν και αρχικά τα περιεργαζόταν µε ευχαρίστηση. Τέλος, στον Watson πιστώνεται η κλασικά µνηµειώδης, ανατρεπτική, όσο και κραυγαλέως αυτάρεσκη, αποφατική ρήση: «ώστε µου µια δωδεκάδα υγιή, καλοσχηµατισµένα νήπια,...και θα εγγυηθώ ότι θα πάρω τυχαία οποιοδήποτε, θα το εκπαιδεύσω, για να γίνει οποιοσδήποτε ειδικός επιλέξω -γιατρός, δικηγόρος, έµπορος και ναι, ακόµη ζητιάνος ή και κλέφτης, ανεξάρτητα από τα ταλέντα του, τις τάσεις, τις δυνατότητες, τις κλίσεις και τη φυλή των προγόνων του» Κριτική του συµπεριφορισµού Οι αρνητικές κριτικές εστιάσθηκαν κυρίως στο γεγονός ότι ο συµπεριφορισµός προσέδωσε στα πορίσµατα του ανθρώπινη υπόσταση και νοµοτέλεια, αν και αυτά αντλήθηκαν σε συνθήκες εργαστηρίων και µέσα από πειραµατισµούς µε ζώα. Ακόµα, η θεωρία αυτή δέχεται, πως το άτοµο δεν είναι τίποτα περισσότερο από µια αντιδρώσα µηχανή σε ερεθίσµατα, κενή και αποστειρωµένη από συναισθήµατα. Επίσης, αδυνατεί να εξηγήσει, µέσω των απλοϊκών και αφελών αρχών της (όπως κατακεραυνώνουν πολλοί τιµητές της), όλες τις εγκεφαλικές δραστηριότητες, όπως και πολλά είδη µάθησης. Ως µια λίαν αρνητική παράµετρος της θεωρίας των συµπεριφοριστών καταγράφεται η υπαγωγή του µαθητή σε παθητικό δέκτη πληροφοριών, χωρίς συµµετοχή και ευθύνη για το αποτέλεσµα της µάθησής του. Η υψηλού επιπέδου ανάπτυξη γνωστικών δεξιοτήτων είναι κενό γράµµα για τον µπιχεβιορισµό και γι αυτό πεδίο άσκησης ευρείας, σκληρής και αδυσώπητης κριτικής. Το σηµερινό Σχολείο όµως, και δη το ελληνικό, βρίθει συµπεριφοριστικών µεθόδων και πρακτικών, που ενέσκηψαν ήδη από την εποχή των διδακτικών µηχανών και της προγραµµατισµένης διδασκαλίας. Η υπεισέλευση των εξαρτηµένων αντανακλαστικών, που αφειδώς παρέχει και καλλιεργεί το σχολείο παρασέρνει τα παιδιά και αντιδρούν µηχανικά, σε βάρος της παραγωγικής, δηµιουργικής και κριτικής σκέψης. Εξάλλου, και η απόδοση επαίνων και αµοιβών και η επιβολή ποινών και τιµωριών είναι καθηµερινή, παθογόνος σχολική πραγµατικότητα. Είναι, παγιωµένη, δυστυχώς, ακόµα και σήµερα, στο (υποτίθεται) «Σύγχρονο Σχολείο», η στραγγαλιστική και ευνουχιστική, για την παιδική παραγωγικότητα, δηµιουργικότητα και σκέψη, η πνευµατοκτόνος πρακτική τής στείρας αποστήθισης «ακανόνιστων» κανόνων και «αόριστων» ορισµών. Η συνεπαγόµενη επιβάρυνση της µνήµης, και η υφαρπαγή τού µαθητικού χρόνου επιβαρύνει, επιβραδύνει και αφαιρεί κάθε περιθώριο συµφιλίωσης και οικοδόµησης υγιούς σχέσης, µε το Σχολείο και µε τα επιµέρους γνωστικά αντικείµενα. Ας αποτελέσουν παράδειγµα προς αποφυγή, τα λόγια του διάσηµου Βρετανού ειρηνιστή, µαθηµατικού και φιλόσοφου Bertrand Russell ( ), που διαφωτιστικά, εύστοχα, όσο και µελαγχολικά σηµείωνε: «Το ξεκίνηµα της άλγεβρας ήταν πολύ δύσκολο, ίσως ως αποτέλεσµα κακής διδασκαλίας. Έπρεπε να αποστηθίσω: το τετράγωνο του αθροίσµατος δύο αριθµών είναι ίσο µε το άθροισµα των τετραγώνων τους, αυξηµένο κατά το διπλάσιο γινόµενό τους. εν είχα την παραµικρή ιδέα τι σήµαινε αυτό και όταν δεν µπορούσα να θυµηθώ τα λόγια, ο δάσκαλος µού πέταγε το βιβλίο στο κεφάλι, γεγονός που δεν παρακινούσε, µε κανένα τρόπο, τη νοηµοσύνη µου» (Russell, ). 63

72 Τέλος, στις θετικές, τεχνολογικές επιπτώσεις του συµπεριφορισµού, αναµφισβήτητα, καταχωρίζεται η ραγδαία ποσοτική αλλά και ποιοτική εξέλιξη εκπαιδευτικών πακέτων λογισµικού, εξαιτίας της χρήσης και προαγωγής του Υπολογιστή σε ισχυρό εκπαιδευτικό µέσο, έστω και ως µπιχεβιοριστικό υποκατάστατο του δασκάλου Οι γνωστικές θεωρίες Έρευνα, η οποία πραγµατοποιήθηκε σε µαθητές ηµοτικού Σχολείου (Μαστρογιάννης & Μαλέτσκος, 2007α), κατέδειξε τις άγευστες, µηχανικές και «αντανακλαστικές» στρατηγικές τους. Μια περίπτωση ακραιφνούς µπιχεβιοριστικής αντιµετώπισης στη (σωστή) λύση, παρατηρήθηκε, για παράδειγµα, στη σχέση ισοδυναµίας 5 : 2 7 : 2 = 5, αφού αυτή χαρακτηρίσθηκε, συντριπτικά, ως λανθασµένη, 7 ενώ οι λίγες σωστές απαντήσεις στηρίχθηκαν στο «µετασχηµατισµό»: 2,5 = 5, µετά 3,5 7 από την εκτέλεση δηλαδή, τής περιττής διαίρεσης. Το θέµα ειδώθηκε εθιστικά, και υπήρξε αδυναµία προσέγγισης ολικά της σχέσης, αφού βέβαια, αποτελεί τον ορισµό της ισοδυναµίας - ισότητας κλασµατικών αριθµών. Σύµφωνα µε τη Μορφολογική Ψυχολογία (Gestalt), η κατανόηση ενός θέµατος δεν είναι αποτέλεσµα µελέτης και ερµηνείας των συστατικών του στοιχείων αλλά προϊόν ευρύτερης αντίληψης αυτού, ως οργανωµένου όλου. Προέχει η µελέτη πρώτα του όλου και µετά των µερών (Παναγιώτου, 1984). Τα στοιχεία αποκτούν νόηµα µόνο όταν είναι ενταγµένα στο όλο. Μια αρχή, βέβαια, που αντιστρατεύεται τις θέσεις του Συµπεριφορισµού. Υπέρ της ολικής αυτής προσέγγισης της γνώσης, ασφαλώς και οπωσδήποτε, θα συνηγορούσε και ο Αριστοτέλης, µε τη γνωστή απόφανσή του ότι «το όλο είναι περισσότερο από το άθροισµα των µερών του». Η µορφολογική Ψυχολογία (Gestalt) ήταν και ο προποµπός της Γνωστικής Ψυχολογίας. Όπως αναφέρθηκε, εξαιτίας των απόψεων του Alan M. Turing, µόλις στις αρχές της δεκαετίας του 60, µια καινούργια επιστήµη, η Γνωστική, εµφανίστηκε στο ερευνητικό προσκήνιο. Η Γνωστική (ή και Γνωσιακή) Επιστήµη, ασχολείται µε τη µελέτη της νοηµοσύνης, και ειδικότερα µε την εξερεύνηση και αποκωδικοποίηση των υπολογιστικών διαδικασιών τού νου. H προσπάθεια και το ενδιαφέρον της περιστρέφεται γύρω και από την κατανόηση των δοµών τού εγκεφάλου, οι οποίες παρέχουν πλούσιες, ενδιαφέρουσες και αξιοποιήσιµες πληροφορίες για τον τρόπο σκέψης και µάθησης ανθρώπων ή και ζώων. Η Γνωστική Επιστήµη ενδιαφέρεται να αποκρυπτογραφήσει και να αποκωδικοποιήσει τον τρόπο αντιµετώπισης προβληµάτων από διάφορους και ποικίλου ταλάντου λύτες, µε απώτερο σκοπό και στόχο, την εξεύρεση και αλίευση στρατηγικών, τεχνικών και µεθόδων. Ακολούθως, παράγονται προγράµµατα σε Η/Υ, που προσοµοιώνουν τις ανθρώπινες γνωστικές λειτουργίες, ανοίγοντας διάπλατα τις επιστηµονικές θύρες, για την έλευση της «Τεχνητής Νοηµοσύνης». Κυρίαρχο και εγγενές στοιχείο και χαρακτηριστικό της Γνωστικής Επιστήµης, είναι, φυσικά, η ιαθεµατικότητα ( ιεπιστηµονικότητα καλύτερα), η οποία στις µέρες µας αναδεικνύεται ως ύψιστης προτεραιότητας και σπουδαιότητας παιδαγωγική επιταγή και διδακτική αρχή. Η Γνωστική ψυχολογία, οι Νευροεπιστήµες, η Μηχανική και Τεχνολογία Υπολογιστών, η Τεχνητή Νοηµοσύνη, αποτελούν δοµικά της στοιχεία, πηγές αναφορών και αιµοδότες της (Von Eckardt, 1996). 64

73 Η Γνωστική ψυχολογία είναι ο κλάδος της ψυχολογίας, που µελετά και αναλύει εµπειρικά, τις γνωστικές λειτουργίες και διανοητικές διαδικασίες. Στα βασικά της ερευνητικά ενδιαφέροντα συγκαταλέγονται η αντίληψη, η µνήµη, η γλώσσα, η σκέψη και η επίλυση προβληµάτων. Στο πλαίσιο της θεωρίας επεξεργασίας πληροφοριών, η Γνωστική Ψυχολογία εστιάζει στον τρόπο µε τον οποίο οι άνθρωποι αποκτούν, επεξεργάζονται οργανώνουν και αποθηκεύουν τις πληροφορίες, ώστε αυτές να γίνουν γνώσεις (Πόρποδας, 2003). Υπάρχει ένας ευθύς παραλληλισµός µεταξύ του ανθρώπινου εγκεφάλου και του Ηλεκτρονικού Υπολογιστή, µε το µεγαλύτερο βάρος να µετατοπίζεται στην αποκρυπτογράφηση της λειτουργίας της µνήµης και της αποθήκευσης πληροφοριών. Η µνήµη είναι µια εσωτερική γνωστική ικανότητα, άκρως απαραίτητη κατά τη διαδικασία της µάθησης και της διατήρησής της. Κατά τη θεωρία επεξεργασίας των πληροφοριών, διακρίνονται 3 επίπεδα µνήµης. Η αισθητηριακή, η βραχύχρονη και η µακρόχρονη. Η αισθητηριακή µνήµη υποδέχεται τα αισθητηριακά ερεθίσµατα, ακόµα και υποσυνείδητα, και λειτουργεί ως προθάλαµός τους αλλά και ως φίλτρο για την είσοδό τους ή όχι στη βραχύχρονη µνήµη. ιαβατήριο και κλειδί εισόδου αποτελεί φυσικά, η θετικότητα, το ενδιαφέρον ως προς το προκληθέν ερέθισµα και ο βαθµός ευαρέσκειας, που προξενεί. Ο χρόνος παραµονής τους κυµαίνεται µεταξύ µερικών χιλιοστών του δευτερολέπτου, όπως δηλαδή το ξεφύλλισµα της προηγούµενης σελίδας της παρούσας εργασίας. Ο αποθηκευτικός χώρος της αισθητηριακής µνήµης (αποτύπωσης) είναι θεωρητικά, ίσως και ουσιαστικά, άπειρος. Η βραχυπρόθεσµη ή και εργαζόµενη µνήµη έχει περιορισµένη χωρητικότητα. Μέσω πειραµάτων αποδείχθηκε το 1956 ότι το εύρος διακύµανσης των στοιχείων, που µπορεί να αποθηκευτούν είναι από 5 έως 9. Ο χρόνος διατήρησης της πληροφορίας, µέχρι αυτή να µπορέσει να προωθηθεί στο επόµενο και τελευταίο επίπεδο, χωρίς επανάληψη, διαρκεί περίπου 20 δευτερόλεπτα, αν και µερικοί επιστήµονες επεκτείνουν το χρονικό διάστηµα σε 30 λεπτά, ακόµα και σε 2-3 ηµέρες. Οι περισπασµοί είναι συχνή αιτία παρακώλυσης της βραχύχρονης µνήµης και υπεύθυνοι για πολλές, καθηµερινές, µνηµονικές αστοχίες όπως βέβαια, και ο εκφυλισµός των µνηµονικών κυττάρων, λόγω υπερκόπωσης και γήρατος. Απλό και διαφωτιστικό παράδειγµα η απώλεια της πληροφορίας (τηλεφωνικού αριθµού), κατά την εσπευσµένη ή µη µετακίνηση του χεριού από τον τηλεφωνικό κατάλογο, µέχρι το ακουστικό. Ακόµα, πολλές µαθησιακές δυσκολίες οφείλονται σε δυσλειτουργίες της βραχυπρόθεσµης µνήµης. Ανορθογραφίες, λάθη στην εκτέλεση αριθµητικών πράξεων, αν τα κρατούµενα δε(ν) (συγ)κρατούνται αλλά και πληµµελής αντιγραφή - µεταφορά κειµένων, από τον µαυροπίνακα στο τετράδιο είναι κάποιες ενδεικτικές προβληµατικές περιπτώσεις. Αντισταθµιστικά, η καταφυγή σε κατάτµηση της πληροφορίας (π.χ. τεµαχισµένη απόδοση αριθµών) ή η απόδοση κανονιστικών γνωρισµάτων και ευκολοµνηµόνευτων διακριτικών (π.χ. 1-7,8,9, για το έτος της γαλλικής επανάστασης) προσφέρει σηµαντικά, µνηµονικά πλεονεκτήµατα. Τέλος, η µακροπρόθεσµη µνήµη, «ο σκληρός δίσκος» της ανθρώπινης αποθηκευτικής διεργασίας των πληροφοριών, όπως και η αντιστοίχιση µε τη µνήµη Ram, του προηγούµενου τύπου (βραχύχρονης µνήµης), είναι το τελευταίο, δυνητικό στάδιο αποθήκευσης κατά τη διαδροµή της πληροφορίας, που µετακινείται από τη βραχύχρονη µνήµη, µετά από µερικά δευτερόλεπτα. Οι ποσότητες των πληροφοριών, που αποθηκεύονται και οι οποίες επιζητούν µονιµότητα και σταθεροποίηση είναι τεράστιες, ενώ το ποσοστό απόρριψής τους 65

74 σχετικά περιορισµένο, σε αντίθεση µε ό,τι συµβαίνει στη βραχύχρονη µνήµη. Εµφανής διαφοροποίηση υφίσταται στο βαθµό εδραίωσης, αξιοπιστίας αλλά και ανάκλησης των πληροφοριών, αφού αρκετές επανέρχονται ως νοητικός εξοπλισµός, µετά από προσπάθεια και υπενθύµιση. Η µνήµη, ως µια υπέρτατη γνωστική διαδικασία, λόγω και της κεφαλαιώδους σπουδαιότητας και σηµασίας της στην εκπαίδευση και µάθηση γενικότερα, έχει απασχολήσει τους επιστήµονες και έχει εγείρει κατά κόρον τις φιλοδοξίες τους για την αποσαφήνιση των µηχανισµών και των δοµών των πλαισίων αναφοράς και λειτουργίας της. Έχουν προταθεί, κατά καιρούς, πολυάριθµοι, πρακτικοί τρόποι βελτίωσης της µνήµης, όπως τακτικές για σωστή επανάληψη, διαδικασίας γνωστής και µε το προσωνύµιο «µήτηρ πάσης µαθήσεως». Είναι, όµως, ερευνητικά επιβεβαιωµένο, πως ένα µεγάλο µέρος από τις προσλαµβάνουσες πληροφορίες και γνώσεις, αποβάλλεται, εξοβελίζεται και ξεχνιέται. Η αυτολεξεί για παράδειγµα, στείρα αποστήθιση µαθηµάτων είναι εξοντωτική, ανόητη και καταστρεπτική, αν και συχνή, ελληνική εκπαιδευτική πρακτική. Μετά από παρέλευση ολίγων ηµερών, οποιοσδήποτε µαθητής θα θυµάται ένα µικρό ποσοστό της ύλης, το οποίο µάλιστα, θα παραµένει, περίπου σταθερό, για αρκετό χρονικό διάστηµα. Η λήθη, άλλη σπουδαία εξισορροπητική λειτουργία, έχει και ευµενή εγκεφαλικά αποτελέσµατα, δεδοµένου ότι, ειδικά τη σηµερινή εποχή, µε την καταιγιστική υπερπροσφορά (συχνά άχρηστων) πληροφοριών, ο εγκέφαλος, ως πεπερασµένος χώρος, θα εκρήγνυντο. Ως αποµνηµονευτική κατακλείδα και συµβουλή προς εξεταζοµένους, ας σηµειωθεί ότι το διάβασµα της τελευταίας στιγµής έχει ερωµένη τη λησµονιά, αφού έχει διαπιστωθεί ότι απαιτείται η µεσολάβηση κάποιου χρόνου, ώστε να επιτευχθούν οι απαραίτητες διασυνδέσεις και να παγιωθούν οι συνεχώς συρρέουσες πληροφορίες. Αντιθέτως, η χρονική επιµήκυνση της προετοιµασίας είναι σταθερά ωφέλιµη και, κυριολεκτικώς, αποτελεσµατικά ευδαιµονική. Εύλογα και δικαιολογηµένα, γεννάται, βέβαια, το απλοϊκό αλλά και συνάµα ουσιαστικό ερώτηµα: «Η επιστήµη νοµιµοποιείται, και ως ποίου βαθµού, να ισχυρίζεται ότι κατανοεί τον ανθρώπινο νου και ειδικότερα τις γνωστικές του λειτουργίες, όπως η µνήµη;». Η απάντηση βρίσκεται καταγραµµένη στην ελληνική έκδοση του επιστηµονικού περιοδικού Scientific American, τεύχος Φεβρουαρίου Στο άρθρο µε τίτλο «Εξερευνώντας τον εγκέφαλο ενός ευφυούς ιδιώτη» των Darold Treffert και Daniel Christensen ο Kim Peek πρωταγωνιστεί σε ένα ανεξήγητο και δυσκατάληπτο, επιστηµονικό µονόπρακτο. Ο περί ου ο λόγος εξαιρετικός κύριος, υποφέρει, πιθανώς, από το σύνδροµο FG, ένα σπάνιο γενετικό σύνδροµο, που συνδέεται µε το χρωµόσωµα Χ, και ο δείκτης νοηµοσύνης του (IQ) δεν ξεπερνά το 87. Η µνηµονική του ικανότητα, ωστόσο, είναι από τις πιο εντυπωσιακές που έχουν ποτέ καταγραφεί. Ο Kim διαβάζει (σκανάρει καλύτερα) µία σελίδα σε 8 µε 10 δευτερόλεπτα και ταυτόχρονα την αποστηθίζει. Μέχρι τη συγγραφή του άρθρου είχε αποστηθίσει (!!!...) βιβλία, τα οποία µπορούσε να τα αναπαραγάγει, κατά λέξη, οποιαδήποτε στιγµή. Ο χαρισµατικός (;) και προικισµένος (;) αυτός (υπερ)άνθρωπος ενέπνευσε το συγγραφέα Barry Morrow κατά τη συγγραφή του σεναρίου της επιτυχηµένης ταινίας του 1988 «Ο άνθρωπος της βροχής», µε τον Dastin Hoffman στο ρόλο του Kim. Τοµογραφίες του εγκεφάλου τού «ευφυούς» αυτού «ιδιώτη», έχουν φανερώσει σηµαντικές δοµικές ανωµαλίες στον εγκέφαλό του. Μέχρι σήµερα, ουδεµία πειστική επιστηµονική ερµηνεία έχει προταθεί, που να εξηγεί την τερατώδη ικανότητά του. 66

75 Παρόµοιες κινήσεις στα σκότη του ανθρώπινου νοητικού ωκεανού καταγράφονται από τις αρχές του 19 ου αιώνα, µε τις ατελέσφορες προσπάθειες εξήγησης του τρόπου δράσης των αριθµοµνηµόνων κατά τον υπολογισµό, από µνήµης, πολύπλοκων αριθµητικών πράξεων. Και οι ίδιοι, άλλωστε, δεν ήταν καθόλου κατατοπιστικοί και επεξηγηµατικοί, αφού δε ήταν σε θέση να ερµηνεύσουν τις εντυπωσιακές δυνατότητές τους, πέραν της αποκάλυψης, κάποιων ευφυών τεχνασµάτων. Το ίδιο συνέβαινε και µε την αποκρυπτογράφηση της διαδικασίας ανεύρεσης της µέρας, µιας συγκεκριµένης ηµεροµηνίας, δυνατότητα που επιδεικνύουν «αυτιστικοί σοφοί», όπως, µέσω και µιας προσωπικής µας µαρτυρίας, επιβεβαιώνεται. Και φυσικά αποµένει η απάντηση στο παραπάνω καίριο ερώτηµα. Όπως, συµπαγώς και αφοπλιστικά, τονίζεται στην προµετωπίδα του άρθρου: «έως ότου καταφέρουµε να εξηγήσουµε πώς προκύπτουν οι ιδιαίτερες ικανότητές του (του Kim), δε δικαιούµαστε να ισχυριζόµαστε ότι κατανοούµε τον ανθρώπινο νου». Τέλος, ως ευχάριστη επωδός, επισηµαίνεται ότι η µνήµη διάκειται ευµενώς, υπέρ της διατήρησης των ευχάριστων περιστατικών, επιδεικνύοντας σαφή, προκατειληµµένη προτεραιότητα και επιλεκτική προτίµηση προς αυτά. Ίσως, επειδή την επιβαρύνουν ελάχιστα, αφού, δυστυχώς, σχεδόν για όλους µας, και αναλογικά µε τα αδιάφορα και τα δυσάρεστα, τα ευχάριστα γεγονότα είναι κατά πολύ λιγότερα Ο Piaget και o εποικοδοµισµός Σηµαντική επιρροή στη θεµελίωση της θεωρίας του γνωστικισµού, της µάθησης µέσω κατανόησης, αποτέλεσε και η εργασία του Piaget ( ), ο οποίος ανέπτυξε τη θεωρία των φάσεων, κατά τη γνωστική ανάπτυξη των παιδιών. Ήταν Ελβετός βιολόγος, επιστηµολόγος και στα κύρια ενδιαφέροντά του εντασσόταν η ψυχολογία, η φιλοσοφία και η λογική των µαθηµατικών. Η καινοτόµος επιστηµονική αντίληψη του Πιαζέ εδράζεται στο γεγονός της παραδοχής του ότι τα παιδιά δεν συγκροτούν συρρικνωµένες οντότητες ενηλίκων. Συνεπακόλουθο µιας τέτοιας επαναστατικής για την εποχή της, θεώρησης, υπήρξε η διαφοροποίηση των αναλυτικών προγραµµάτων, τα οποία προσαρµόσθηκαν, σύµφωνα µε το λογικο- µαθηµατικό µοντέλο ανάπτυξης της ανθρώπινης σκέψης, που εισήγαγε ο Piaget. Αυτή η εξελικτική διαδικασία ακολουθεί 4 διαφορετικά, γραµµικά στάδια (Πρέζας, 2003): Αισθησιοκινητικό στάδιο (0-2 έτη). Οι αισθήσεις και η µετακίνηση είναι ο µόνος τρόπος επικοινωνίας, εξερεύνησης και γνωριµίας µε το περιβάλλον. Προσυλλογιστικό στάδιο (2-7 έτη). Τα παιδιά αποκτούν την ικανότητα να χρησιµοποιούν αριθµούς λέξεις και εικόνες, ως µέρη της αναδυόµενης συµβολικής σκέψης και φαντασίας τους. Στάδιο των συγκεκριµένων συλλογισµών (7-12 έτη). Στην ηλικία αυτή, το παιδί, που βρίσκεται στα χρόνια του ηµοτικού Σχολείου, αρχίζει να ελέγχει και να εξερευνά το περιβάλλον του. H σκέψη του, αν και αιχµάλωτη των συγκεκριµένων εµπειριών και, φυσικά, προσκολληµένη, περιχαρακωµένη και εγκλωβισµένη στα «σύνορα του απτού», εντούτοις προοδεύει σηµαντικά στο στάδιο αυτό. Γίνεται λιγότερο εγωκεντρική, ενώ η βασική γνωστική δοµή, πάνω στην οποία στηρίζεται είναι η οµαδοποίηση. Η οµαδοποίηση βοηθά τους µαθητές, όλο και πιο πολύ, να αντιλαµβάνονται σωστά τις εµπειρίες, να λύνουν προβλήµατα και να προχωρούν προς µια ακριβέστερη και ρεαλιστικότερη εικόνα του κόσµου και του περιβάλλοντος. 67

76 Στάδιο των αφηρηµένων συλλογισµών (12-19 έτη). Η συστηµατική αφηρηµένη σκέψη, η συναγωγή συµπερασµάτων, η διατύπωση υποθέσεων και η κατανόηση αποδείξεων κυριαρχούν στα χρόνια της εφηβείας Οι απόψεις του Piaget συνετέλεσαν στην εµφάνιση µιας θεωρίας, σφόδρα ανταγωνιστικής προς το συµπεριφορισµό, του λεγόµενου εποικοδοµισµού (κονστρουκτιβισµού), βάσει της οποίας το παιδί ενεργητικά, οικοδοµεί ιδέες και νοήµατα, εντός αλληλεπιδραστικών περιβαλλόντων. Σύµφωνα µε τις επιταγές τού εποικοδοµισµού, η πληροφορία µετουσιώνεται σε γνώση, µόνο αν εξετάζεται στο πλαίσιο αυθεντικών καταστάσεων. Γι αυτό χρησιµοποιούνται µαθητοκεντρικές µέθοδοι διδασκαλίας. Αποτελεί την επικρατέστερη θεωρία της εποχής µας και επαγγέλλεται τα ενιαιοποιηµένα σχήµατα αναλυτικού προγράµµατος και διδακτικής παρέµβασης. Προτρέπει η µάθηση να συντελείται µέσα σε αυθεντικές καταστάσεις, οµαδοσυνεργατικά, οργανώνοντας το αναλυτικό πρόγραµµα µε θέµατα προσωπικού ενδιαφέροντος (Ματσαγγούρας, 2003). Ακόµα, παραδέχεται ότι η γνώση δε µεταβιβάζεται, αλλά «οικοδοµείται» από το µαθητή, αφού οι νέες πληροφορίες εντάσσονται στα προϋπάρχοντα νοητικά σχήµατα, τα οποία µε τη σειρά τους τροποποιούνται, εξαιτίας βέβαια της άφιξης των νέων δεδοµένων. Το βασικό, λοιπόν, αξίωµα τού κονστρουκτιβισµού είναι ότι ο άνθρωπος κατασκευάζει τη γνώση, µέσα από µια συνεχή ενεργητική διαδικασία και δεν τη δέχεται παθητικά (Σπυροπούλου, 2002). Απαγορεύει, δια ροπάλου, την αποστήθιση και την παροχή έτοιµων λύσεων, καθώς υποστηρίζει ότι η µάθηση επέρχεται, όταν οι νοητικές δοµές του µαθητή «αφοµοιώνουν» τις νέες εµπειρίες. Κατόπιν, οι νέες αυτές πληροφορίες «συγκρούονται γνωστικά», λόγω δυσαρµονίας και διαφορών µε τις ήδη υπάρχουσες, µε άµεση συνέπεια την επιβεβληµένη επιδίωξη γεφύρωσης αυτού του γνωστικού χάσµατος, της «γνωστικής ανισορροπίας». Αυτή η επιζητούµενη τροποποίηση των πρότερων γνώσεων καλείται συµµόρφωση, που, φυσικά, είναι ο γεννήτορας, η γενεσιουργός αιτία και αφορµή των νέων εννοιών και γνώσεων. Οι 3 αυτοί όροι «γνωστική σύγκρουση», «αφοµοίωση» και «συµµόρφωση» είναι γνωστικές διαδικασίες θεµελιώδους σπουδαιότητας στη θεωρία του Piaget, που κατά τον Einstein, η θεωρία αυτή είναι τόσο απλή, που µόνο µια µεγαλοφυΐα θα µπορούσε να την έχει σκεφτεί (Papert, 1999) Ο Jerome S. Bruner Κύριος εκπρόσωπος του εποικοδοµισµού είναι και ο Αµερικανός ψυχολόγος Jerome S. Bruner ( ). Βασική του πεποίθηση (και αντιπιαζετική, συνάµα) η δυνατότητα ακόµα και των µικρών µαθητών να προσεγγίσουν οποιοδήποτε υλικό, αν αυτό είναι οργανωµένο και προσαρµοσµένο κατάλληλα, µέσω µιας πεφωτισµένης διδασκαλίας. «Κάθε µαθητής µπορεί να µάθει οτιδήποτε, αρκεί να βρεθεί ο ενδεδειγµένος τρόπος», επισηµαίνει. Ο Bruner δέχεται ότι υποβόσκει στους µαθητές µια εκούσια, έµφυτη, εσωτερική παρόρµηση για µάθηση και ένας από τους σκοπούς της διδασκαλίας πρέπει να είναι η µετατροπή των εξωτερικών κινήτρων µάθησης, όπως το εξοντωτικό κυνήγι των καλών βαθµών, σε εσωτερικά, όπως η ευχαρίστηση από τη µάθηση (Bruner, 1960). Μάλιστα, διακρίνει και προκρίνει έναν ωφελιµιστικό και ίσως χρησιµοθηρικό χαρακτήρα στη διδασκαλία, αφού δηλώνει πως ο κύριος σκοπός κάθε προσπάθειας για µάθηση, πρέπει να είναι πέρα από την ικανοποίηση, που ίσως µας προσφέρει, το ότι θα µας εξυπηρετήσει στο µέλλον (Κολιάδης, 1997). Ο Bruner ανέπτυξε το ανακαλυπτικό µοντέλο µάθησης, που οικοδοµείται και ευδοκιµεί σε περιβάλλοντα αλληλεπίδρασης µεταξύ µαθητών και δασκάλων. Η δηµιουργία απαραίτητων βιωµατικών συνθηκών για την ανακάλυψη της γνώσης, 68

77 µέσω διερευνητικών διεργασιών, οδηγεί στην ισχυροποίηση των νοητικών ικανοτήτων. Η βιωµατικότητα και η διερεύνηση είναι βασικές και κρίσιµες αρχές, που προβάλλουν ως «εκ των ων ουκ άνευ», στην ανακαλυπτική θεωρία του Bruner. Τη συµπεριφοριστική συνωρίδα «Ερέθισµα Αντίδραση» o Bruner, βαδίζοντας στα χνάρια του Skinner, την αναβαθµίζει σε διατεταγµένη τριάδα, µε την προσθήκη της ενίσχυσης, ως τρίτου στοιχείου. Η αντίδραση, δηλαδή η γνώση, είναι µια εξαιρετικής συνθετότητας γνωστική δραστηριότητα, µε δυναµικά συνθετικά της τρεις σηµαντικές νοητικές λειτουργίες, όπως εµφανίζονται παρακάτω (Fontana, 1996): Η ανακάλυψη, η απόκτηση της πληροφορίας Ο µετασχηµατισµός ή χειρισµός της Ο έλεγχος για την καταλληλότητα και η αξιολόγηση της πληροφορίας O Bruner όπως και ο Piaget θεώρησε επάλληλα, εξελικτικά στάδια γνωστικής ανάπτυξης, αφού αποδέχτηκε 3 τρόπους αναπαράστασης της γνώσης, τον πραξιακόχειριστικό, τον εικονιστικό και το συµβολικό (Αγαλιώτης, 2000). Η διδασκαλία των αριθµητικών συστηµάτων αποτελεί, ίσως, το προσφορότερο και καταλληλότερο πλαίσιο και πεδίο εφαρµογής και επιβεβαίωσης, της παραπάνω θεώρησης, όπως επίσης και η εκτέλεση ίσως µια διαίρεσης. Πρώτα για παράδειγµα, 20 βώλοι διαµοιράζονται σε 4 κυπελλάκια (πραξιακός τρόπος). Η διαίρεση αυτή (20:4) όµως, µπορεί να αποδοθεί «εικονιστικά», ζωγραφίζοντας ανάλογα και χωρίζοντας µε 4 κάθετες ευθείες 20 (σωστά παρατεταγµένους) βώλους. Τέλος, ο συµβολικός τρόπος κατακτάται µέσω της «δύσκολης», λεκτικής, φορµαλιστικής διατύπωσης (20:4=5). Ας σηµειωθεί ότι στη θεωρία του Bruner, και αντίθετα από τους ισχυρισµούς του Piaget, επιτρέπονται γνωστικές παλινωδίες και νοητικά «πισωγυρίσµατα», αφού τα τρία στάδια, µε το συµπλεγµατικό και αλληλοσυµπληρωµατικό ρόλο τους, συνυπάρχουν σε όλες τις ηλικίες. Η ενίσχυση, κατά τον Bruner, επιτυγχάνεται µέσω της αυτοεκπλήρωσης τού µαθητή και της συνειδητοποίησης ότι η µάθηση ανεξαρτητοποιεί, µέσω της αντιπαροχής της, για δυνατότητα πρόσβασης σε πληροφορίες, δηµιουργώντας έτσι, µια ανακυκλητική διαδικασία, ως αποτέλεσµα της συνεπαγόµενης ενίσχυσης της αυτοπεποίθησης και του ενθουσιασµού. Ο Bruner ακόµα, υιοθέτησε την έννοια της «νοητικής σκαλωσιάς» (scaffolding), όρος που επινοήθηκε από το Ρώσο ψυχολόγο Vygotsky, για να αναφερθεί στο ευρύ φάσµα των δραστηριοτήτων, µέσω του οποίου ο δάσκαλος, βοηθά το µαθητή να επιτύχει τους στόχους του, που ειδάλλως θα ήταν ανέφικτοι, όπως για παράδειγµα, µε τη διαµόρφωση µιας δράσης, µιας στρατηγικής ή ακόµα µε την εύχρηστη, τµηµατική δόµηση της µάθησης. Οι στόχοι της εκπαίδευσης, σύµφωνα µε τον Bruner, είναι µια ελεύθερη κοινωνία, εντός της οποίας οι µαθητές µε κατάλληλη βοήθεια αναπτύσσουν υγιώς τις δυνατότητές τους. Η εκπαίδευση, επίσης, επιβάλλεται «τοις πράγµασι» να αποκτήσει, κατά το δυνατό, και συγχρονικούς βηµατισµούς µε τις διαρκείς, πληθωρικές αλλαγές και βελτιώσεις στους τοµείς της τεχνολογίας. Πρέπει να διαµορφώσει ένα ευέλικτο πλαίσιο ανάδειξης, ανάπτυξης και συνεχούς επικαιροποίησης, πλήρων και βασικών δεξιοτήτων, για ενεργητική αξιοποίηση του τεχνολογικού δυναµικού. Τέλος, ισχυρή επίδραση στη διαµόρφωση των αναλυτικών προγραµµάτων είχε ο προτεινόµενος, από τον υπερήλικα σήµερα ψυχολόγο, σπειροειδής τρόπος διάταξης της ύλης. Οι συνεχώς αυξανόµενοι οµόκεντροι κύκλοι, οι οποίοι συµβολίζουν γνώσεις, αξίες στάσεις και δεξιότητες, σταδιακά µε την παρέλευση των ανώτερων γνωστικών επιπέδων (σχολικών τάξεων, κατά µια έννοια) ολοένα επαναπραγµατεύονται, διευρύνονται και εµπλουτίζονται (Bruner, 1960). 69

78 O Seymour Papert O Seymour Papert (1928 -) είναι επιφανής Αµερικανός παιδαγωγός, µε τοµείς ενδιαφερόντων του τα µαθηµατικά και την επιστήµη των ηλεκτρονικών υπολογιστών. Σήµερα ο Papert ( θεωρείται παγκοσµίως, πρωτοπόρος στον τρόπο µε τον οποίο η τεχνολογία µπορεί να παράσχει νέες και ποικίλες δυνατότητες µάθησης. Τη δεκαετία του 1960 υπήρξε συνεργάτης του Piaget και «αυτός που κατανοούσε καλύτερα τις ιδέες του», όπως είχε κάποτε εκµυστηρευτεί ο µεγάλος Ελβετός επιστηµολόγος. Αυτή τη χρονική εποχή, ο Papert άρχισε να επιχειρηµατολογεί υπέρ της χρησιµοποίησης του υπολογιστή ως ευέλικτου, εκπαιδευτικού εργαλείου ενθάρρυνσης και βελτίωσης της µάθησης και προώθησης της δηµιουργικότητας, εισπράττοντας και τα σχεδόν απαραίτητα, προς οποιαδήποτε καινοτοµία, ειρωνικά και επιτιµητικά σχόλια των συγχρόνων του. Οι ιδέες και οι θεωρίες του John Dewey, της Montessori και του Jean Piaget υπήρξαν φυτώριο και στυλοβάτες του κονστρουκτιονισµού (constructionist), του προτύπου µάθησης που αναπτύχθηκε τη δεκαετία του 1980, από τον Seymour Papert και την οµάδα του, στο εργαστήριο MIT Media Lab. Η έρευνα στις προηγούµενες τρεις δεκαετίες δείχνει ότι η καλύτερη µάθηση δε συµβαίνει µαντεύοντας το σωστό ή το λάθος ή «απορροφώντας» την εµπειρία και τη γνώση κάποιου άλλου ή, ακόµα, αποµνηµονεύοντας γεγονότα (Harel & Papert, 1991). Αντιθέτως, η θεωρία του κονστρουκτιονισµού διατείνεται ότι τα παιδιά µαθαίνουν ανεπιτήδευτα και φυσικά, καθώς παίζουν και υποστηρίζει ότι µαθαίνουν, καλύτερα, όταν χρησιµοποιούν τους ηλεκτρονικούς υπολογιστές (ίσως και σαν παιχνίδι), υπό του ενεργού ρόλου τού σχεδιαστή και του κατασκευαστή. «εν βλέπω µεγάλη διαφορά µεταξύ εργασίας και παιχνιδιού, όταν και τα δύο γίνονται σωστά» δήλωνε ο Papert (Papert, 1996). Και συνεχίζει, ορµώµενος και από το παράδειγµα του παιγνιώδους κτισίµατος παλατιών και άλλων µεγαλεπήβολων, παραθαλάσσιων, οικοδοµηµάτων στην άµµο, αναφέροντας εµφατικώς, πως «ο κονστρουκτιονισµός προσθέτει την αίσθηση ότι αυτό συµβαίνει ιδιαίτερα επιτυχηµένα και ευχάριστα σε ένα πλαίσιο, στο οποίο ο µαθητής συµµετέχει συνειδητά στην κατασκευή ενός κοινής ωφέλειας πράγµατος, είτε αυτό είναι ένα κάστρο άµµου στην παραλία, είτε µια κοσµογονική θεωρία». Σύµφωνα µε τον Papert, µια κύρια σύνδεση µεταξύ του υπολογιστή και της γνωστικής ανάπτυξης, έρχεται µέσω της δυνατότητας του υπολογιστή να παρέχει ένα πλαίσιο, στο οποίο η γνώση θεωρείται ότι έχει ευνόητο σκοπό και νόηµα, αφαιρώντας, κατά συνέπεια, την ανάγκη να ψεύδεται κανείς γι αυτό (Pereverzev, 2000). Η εργασία του, στα τέλη του 1970, για τελειοποίηση του προγραµµατιστικού περιβάλλοντος Logo, ήταν αναπόφευκτη, επιστηµονική συνέχεια και ερειστικό των απόψεων του επακολούθηµα για το µεγάλο Αµερικανό, πρωτοπόρο και της Τεχνητής Νοηµοσύνης. Η γλώσσα προγραµµατισµού Logo, µια διάλεκτος της Lisp, σχεδιάστηκε, αρχικά, από τον W. Feurseig, ως εργαλείο για µάθηση, ειδικά για µαθητές. Τα δηµοφιλέστερα περιβάλλοντά της περιλαµβάνουν τη χελώνα, ένα ροµποτικό δηµιούργηµα, που διευθύνεται πληκτρολογώντας τις κατάλληλες εντολές στον υπολογιστή. ραστηριότητες µε τη Logo (από την ελληνική λέξη λόγος) καλύπτουν και αξιοποιούνται, σχεδόν, από το σύνολο των µαθηµάτων του Σχολείου. Για πληρέστερη ενηµέρωση και υποστήριξη λογισµικών βασισµένων στη Logo, δηµιουργήθηκε από 70

79 τον Papert το ίδρυµα «Logo Foundation», στις διαδικτυακές ιστοσελίδες του οποίου, µπορεί κανείς να προστρέξει (//el.media.mit.edu/logo-foundation) για να αντλήσει ιδέες, προτάσεις και τρόπους για παραπέρα χρήση της Logo, στη διδασκαλία και τη µάθηση. ιάφορες ερευνητικές µελέτες για αρκετά χρόνια καταδεικνύουν ότι, όντως, ένα περιβάλλον προγραµµατισµού Logo ενθαρρύνει και καλλιεργεί υψηλές δεξιότητες σκέψης, αναπτύσσει τη δηµιουργικότητα, παράγοντας και άλλα επιθυµητά µαθησιακά αποτελέσµατα (Fouts, 2000). Στις µέρες µας ένα πολύ ενδιαφέρον περιβάλλον προγραµµατισµού, βασισµένου στη Logo, είναι το MicroWorlds Pro, µια καναδέζικη έκδοση της LCSI του 1999, που εξελληνίστηκε το 2001 (Περισσότερα, στο κεφάλαιο.1.1) Σε προχωρηµένη ηλικία σήµερα, ο Papert συνεχίζει να διευθύνει εκπαιδευτικά προγράµµατα, σε κάθε ήπειρο, ακόµα και σε αποµακρυσµένα χωριά, σε αναπτυσσόµενες χώρες. Όπως αναγράφεται και στην προσωπική του ιστοσελίδα, συµµετέχει στην ανάπτυξη ισχυρών κινήτρων και ανάδειξη πλούσιων ευκαιριών, µε σκοπό τη µαζική, απροβληµάτιστη και ωφέλιµη είσοδο και περιήγηση των παιδιών στον «εικονικό κόσµο». Ενεργό µέρος έλαβε, επίσης, στην ανάπτυξη του παγκόσµιου προγράµµατος του OLPC (One Laptop per Child). Για το σκοπό αυτό, συµµετέχει και στο wiki: παραθέτοντας τις σοφές ιδέες του, τους δηκτικούς σχολιασµούς του και επιµένοντας «ότι δίνοντας ένα Laptop, αλλάζεις τον κόσµο». Η επιστηµονική και παιδαγωγική παρακαταθήκη του Papert, του εµπνευστή του κονστρουκτιονισµού, της εκπαιδευτικής φιλοσοφίας που διδάσκει τα παιδιά «να κάνουν κάτι» και όχι «σχετικά µε κάτι» συνοψίζεται από τον Marvin Minsky στο βιβλίο του «The Society of Mind». Το σχετικό απόσπασµα, υπό τον τίτλο «Αρχή του Papert» αποδίδει µεστά, την εκπαιδευτική προτροπή και παραίνεσή του: «Μερικά από τα κρισιµότερα βήµατα στη γνωστική ανάπτυξη δεν βασίζονται απλά, στην απόκτηση νέων δεξιοτήτων, αλλά στην απόκτηση νέων διαχειριστικών τρόπων χρησιµοποίησης, όσων ήδη γνωρίζουµε» (Minsky, 1988). 3. Οι κοινωνικοπολιτισµικές θεωρίες Οι κοινωνικοπολιτισµικές θεωρίες επικεντρώνονται στην αλληλεξάρτηση µεταξύ της κοινωνικής αλληλεπίδρασης και της γνωστικής ανάπτυξης και αποτελούν ένα ισχυρό και ανταγωνιστικό πρότυπο, στο σηµερινό πεδίο των κοινωνικών και πολιτισµικών επιστηµών. Κάθε εσωτερική, γνωστική αλλαγή και µεταβολή αποδίδεται ως συνεπακόλουθο κοινωνικής διάδρασης και πολιτισµικής επίδρασης (van Oers, 2004). Η κοινωνικοπολιτισµκή θεώρηση προτείνει ότι η µάθηση είναι µια διαδικασία ιδιοποίησης εργαλείων σκέψης, τα ποία παρέχονται από κοινωνικούς διαµεσολαβητές, οι ποίοι ενεργούν αρχικά, ως διερµηνείς και οδηγούν την πολιτισµική µαθητεία του ατόµου. Το παιδί δε µαθαίνει, βεβαίως, µόνο από τους άλλους, εντός των κοινωνικών πλαισίων κατά τη διάρκεια των κοινωνικών ανταλλαγών, αλλά µάλλον, τα ακριβή και πραγµατικά µέσα της κοινωνικής αλληλεπίδρασης (γλώσσα, χειρονοµίες), ιδιοποιούνται από το άτοµο (που τα εσωτερικοποιεί και τα µετασχηµατίζει), ώστε να διαµορφωθούν τελικά, σε εσωτερικά εργαλεία για τη σκέψη, την επίλυση προβλήµατος, τη µνήµη κ.ά. (Renshaw, 1992) Lev Vygotsky Οι κοινωνικοπολιτιστικές θεωρίες βασίστηκαν στον πραγµατισµό του Dewey, στη Μαρξιστική θεωρία, ενώ επηρεάστηκαν και από τις εργασίες του Αµερικανού 71

80 κοινωνιολόγου Charles Horton Cooley ( ), ο οποίος ίσως ήταν ο πρώτος, που υποστήριξε την άποψη ότι «η κοινωνία και τα άτοµα δε δείχνουν να είναι διαχωρίσιµα φαινόµενα». Ο πυρήνας, βέβαια, των θεωριών αυτών συναπαντά και εγκολπώνεται τις ιδέες και τις αντιλήψεις του Lev Vygotsky ( ), του µεγάλου Ρώσου ψυχολόγου, που ανέπτυξε την πολιτισµικο ιστορική θεωρία της ανθρώπινης εξέλιξης, την δεκαετία του 20 και στις αρχές της δεκαετίας του 1930 (εικόνα 45). Αργότερα, οι δηµιουργικές ιδέες του ενέπνευσαν πολλούς επιστήµονες, σε όλο τον κόσµο, οι οποίοι άρχισαν να τις διαµορφώνουν και να τις συνδυάζουν µε απόψεις άλλων, όπως για παράδειγµα µε τις εργασίες του Αµερικανού φιλοσόφου και παιδαγωγού John Dewey (van Oers, 2004), επινοητή και υποστηρικτή της θεώρησης «learning by doing». Μέσω τόσων πολλών δηµιουργικών Εικόνα 45. Lev Vygotsky: «Το κεντρικό γεγονός για την ψυχολογία µας είναι το γεγονός της διαµεσολάβησης» προσπαθειών, η κοινωνικοπολιτισµική θεωρία έχει εµπλουτιστεί µε πολλές ενδιαφέρουσες απόψεις και παραγωγικές ιδέες, προσφέροντας επιστηµονικά όπλα στο διαχρονικό, αέναο, µα µάταιο (έως τώρα) «αγώνα καταδίωξης» για «σύλληψη» του φαινοµένου της µάθησης. Ο Vygotsky ενδιαφέρθηκε για την εφαρµογή της µαρξιστικής κοινωνικής θεωρίας στην ατοµική ψυχολογία. Η προσέγγισή του υιοθετεί την υπόθεση ότι «η δράση είναι διαµεσολαβητική και δεν µπορεί να διαχωριστεί από το περιβάλλον στο οποίο πραγµατοποιείται» (Wertsch, 1991), τονίζοντας τον καταλυτικό ρόλο της αλληλεπίδρασης µεταξύ παιδιού και κοινωνικού περιβάλλοντος. Η ανθρώπινη νοηµοσύνη είναι κοινωνικό προϊόν και πολιτισµικό κατασκεύασµα και η ευεργετική απόκτηση γνώσεων εµφανίζεται πρώτα, µέσω αλληλεπίδρασης µε το κοινωνικό περιβάλλον, παρά ενδοατοµικώς. Ο Vygotsky ξεχώρισε δύο πορείες ανάπτυξης, τη φυσική-γενετική (χαµηλότερη) και την πολιτισµική (υψηλότερη). Οι χαµηλότερες διανοητικές λειτουργίες είναι οι βιολογικοί µηχανισµοί, όπως τα ένστικτα στα ζώα, ενώ οι υψηλότερες διανοητικές λειτουργίες είναι υπεύθυνες για τον, οµολογουµένως δύσκολο µερικές φορές, διαχωρισµό του ανθρώπινου από το ζωικό βασίλειο (Suh & Couchman & Park, 2003). Κάθε λειτουργία στην πολιτισµική ανάπτυξη του παιδιού εµφανίζεται διττώς: Καταρχάς, στο κοινωνικό επίπεδο και έπειτα στο προσωπικό. Καταρχάς, µεταξύ των ανθρώπων και έπειτα µέσα στο παιδί. Αυτό ισχύει εξίσου, για την εθελοντική προσοχή, για τη λογική µνήµη και για τη διατύπωση των εννοιών. Όλες οι σηµαντικές λειτουργίες είναι απόρροια των πραγµατικών σχέσεων, µεταξύ των ανθρώπων (Vygotsky, 1978). Στη συνέχεια, µέσω της κοινωνικής αλληλεπίδρασης, προάγονται οι υψηλότερες διανοητικές λειτουργίες. Χωρίς αυτές τις λειτουργίες, τα ανθρώπινα όντα δεν µπορούν να έχουν στόχους και όνειρα και δεν µπορούν να δηµιουργήσουν τα εργαλεία (Suh & Couchman & Park, 2003). Τα τρία κεντρικά θέµατα, που διαµορφώνουν το σκελετό του θεωρητικού πλαισίου του Vygotsky, είναι: α) µια πεποίθηση σε µια γενετική ή αναπτυξιακή µέθοδο β) η άποψη ότι οι υψηλότερες διανοητικές διαδικασίες, που συντελούνται στο άτοµο έχουν την προέλευσή τους σε κοινωνικές διαδικασίες και γ) η άποψη ότι οι 72

81 διανοητικές διαδικασίες µπορούν να γίνουν κατανοητές, µόνο εάν κατανοούνται τα εργαλεία και τα σηµεία, που µεσολαβούν. Καθένα από αυτά τα θέµατα µπορεί να γίνει πλήρως κατανοητό, µόνο µέσω της αλληλεξάρτησής του µε τα υπόλοιπα. Κατά συνέπεια, η ίδια η έννοια της προέλευσης, στο δεύτερο θέµα, υπονοεί µια γενετική ανάλυση. Επιπλέον, και η συσχέτιση του Lev Vygotsky, µεταξύ της κοινωνικής αλληλεπίδρασης και των διανοητικών διαδικασιών, εξαρτάται έντονα από τις µορφές της διαµεσολάβησης, της έννοιας δηλαδή, που αποτέλεσε τη σηµαντικότερη και µοναδική συµβολή του, κατά την ανάπτυξη της θεωρίας του (Wertsch, 1991). O Vygotsky, µε την τοποθέτηση της πολιτισµικής διαµεσολάβησης στο κέντρο της διαδικασίας της γνωστικής ανάπτυξης, προσδίδει στην κοινωνική προέλευση ιδιαίτερα χαρακτηριστικά και εξέχουσα σηµασία. Όπως και ο Piaget, θεωρεί τη σχέση µεταξύ ατοµικού και κοινωνικού, απαραιτήτως συγγενική. Ωστόσο, οι ιδέες του επιδεικνύουν λιγότερη συµµετρικότητα σε σχέση µε αυτές του Ελβετού ψυχολόγου, δεδοµένου ότι η έννοια της κοινωνικής ισορροπίας και συµµόρφωσης του τελευταίου, είναι, αποκλειστικά, παρεπόµενο αλληλεπιδράσεων, παραγόµενων σε συνεργατικά περιβάλλοντα. Για τον Vygotsky, η κοινωνία υπερέχει του ατόµου, είναι φορέας πολιτισµικής κληρονοµιάς και κυρίαρχος µοχλός νοητικής ανάπτυξης και εξέλιξης (Cole & Wertsch, 1996). Την εποχή των επιστηµονικών ανησυχιών του και άλλοι µελετητές είχαν υποστηρίξει ήδη, την αδήριτη ανάγκη χρησιµοποίησης της γενετικής ανάλυσης στη µελέτη του νου, τον οποίο και περιέγραφαν, ως δηµιούργηµα της κοινωνικής ζωής. Ο Vygotsky επαναπροσδιόρισε και επέκτεινε αυτές τις ιδέες µε την εισαγωγή της έννοιας της διαµεσολάβησης, µέσω εργαλείων και σηµείων (Wertsch, 1988). Τα εργαλεία αυτά µπορούν να µεταβάλλουν αποτελεσµατικά τη γνωστική ανάπτυξη. Είναι ψυχολογικά εργαλεία, σε αντιστοιχία µε τα τεχνικά, που διευκολύνουν και συντελούν στη γεφύρωση του χάσµατος µεταξύ των κατώτερων και των υψηλότερων διανοητικών λειτουργιών. Αυτά τα ψυχολογικά εργαλεία µάθησης περιλαµβάνουν, κατά τον Vygotsky, διάφορα συµβολικά συστήµατα (γλώσσα, αριθµητικά συστήµατα), µνηµονικές τεχνικές, αλγεβρικές αναπαραστάσεις, έργα τέχνης, το γράψιµο, σχέδια, διαγράµµατα, χάρτες και τεχνικά σχέδια, όπως και όλα τα είδη των συµβατικών σηµείων κ. ά. (Cole & Wertsch, 1996). Με την επενέργεια και τη διαµεσολάβηση αυτών των εργαλείων προάγονται και αναπτύσσονται οι κοινωνικές διαδικασίες, οι οποίες µε τη σειρά τους προωθούν και ενισχύουν την καλλιέργεια και των ατοµικών διαδικασιών. Το σπουδαιότερο από τα ψυχολογικά, διαµεσολαβητικά εργαλεία κατανόησης των σκέψεων, των συναισθηµάτων και των συµπεριφορών, είναι, κατά το Ρώσο ψυχολόγο, η γλώσσα. Σύµφωνα µε τη θεωρία του Vygotsky, η γλώσσα αποτελεί το σηµαντικότερο συµβολικό εργαλείο, που παρέχει η κοινωνία στα µέλη της. Ο Vygotsky περιγράφει τη γλώσσα ως ένα λογικό και αναλυτικό εργαλείο σκέψης, ενώ ισχυρίζεται εντούτοις, ότι οι λέξεις δεν αποτελούν ακριβώς, το εκφραστικό µέσο των σκέψεων. Θεωρεί ότι οι σκέψεις υπάρχουν, υφίστανται και νοηµατίζονται, διαµέσου των λέξεων (Ali Baber & Dahl, 2005). Ως θεµελιώδης αρχή στις εργασίες του προσδιορίζεται η συνισταµένη σχέση, µεταξύ γλώσσας και σκέψης, των δύο βασικών τρόπων δράσης και συµπεριφοράς στον υλικό και κοινωνικό κόσµο. Ο Vygotsky διατύπωσε την άποψη ότι η σκέψη και η γλώσσα του παιδιού, αρχικά αναπτύσσονται ως δύο ανεξάρτητες γνωστικές λειτουργίες. Τη σκέψη την ονόµασε προ-γλωσσική σκέψη, ενώ την ίδια χρονική περίοδο το παιδί χρησιµοποιεί τη γλώσσα του, η οποία δεν είναι δυνατόν να το βοηθήσει στην τακτοποίηση των σκέψεων, στη λύση των προβληµάτων και στη διαδικασία συγκρότησης των 73

82 γλωσσικών σηµείων (προνοητική γλώσσα). Αργότερα γλώσσα και σκέψη θα συναντηθούν, για να συγκροτήσουν ένα νέο οργανικό και αδιαίρετο όλο (Πόρποδας, 2003). Στην ανάλυση του Vygotsky, η µεταβαλλόµενη λειτουργική σχέση µεταξύ οµιλίας και σκέψης είναι τρανό παράδειγµα επιβεβαίωσης της εξελικτικής διαδικασίας, αφού, κατά τη διάρκειά της, τα κοινωνικά εργαλεία, που ενώ εξυπηρετούν αρχικά κοινωνικές σκοπιµότητες, στη συνέχεια µετασχηµατίζονται σε ατοµικά εργαλεία σκέψης και επίλυσης προβληµάτων. Ο διαµεσολαβητικός ρόλος της οµιλίας, ως εργαλείο νοηµατοδότησης των αποκτηµένων, κοινωνικών εµπειριών, συνιστά σταθερό και κρίσιµο βηµατισµό, προς µια ανεξάρτητη διανοητική λειτουργία (Renshaw, 1992). Ο Vygotsky επέµενε στην ερµηνεία και εξήγηση του τρόπου συγκρότησης της µάθησης και της απόκτησης γνώσεων από τα παιδιά. Κύριος ιµάντας των επιχειρηµάτων και ισχυρισµών του ήταν η ένταξη των παιδιών σε κοινωνικά πλαίσια µε την επακόλουθη, δυνητική χρήση και αξιοποίηση των εργαλείων διαµεσολάβησης και η καθοδήγηση, που λαµβάνουν από «ειδικούς» ενήλικες αλλά και η συνεργασία τους µε ικανότερους συνοµηλίκους τους. Για να αποσαφηνιστούν λεπτοµερώς οι διαστάσεις της σχολικής µάθησης, εισάγεται και περιγράφεται µια νέα και εξαιρετικά σηµαντική έννοια, η ζώνη της επικείµενης ανάπτυξης, δίχως την οποία το ακανθώδες και φλέγον αυτό ζήτηµα δεν µπορεί να επιλυθεί. Η έναρξη της µάθησης στα παιδιά δε συµβαίνει ταυτόχρονα µε την είσοδό τους στο σχολικό περιβάλλον, στο οποίο βέβαια, κοµίζουν την προσχολική τους γνώση. Μια περί του αντιθέτου αντίληψη, ο Vygotsky την αναγνωρίζει ως αποκλειστικό και απατηλό προνόµιο των µυωπικών και κοντόφθαλµων ψυχολόγων. Επίσης, σε αντιδιαστολή µε την Πιαζετιανή Σχολή, θεωρεί σφαλερή την εστίαση και εµµονή, µόνο στον καθορισµό των αναπτυξιακών επιπέδων κατά την προσπάθεια ανακάλυψης των πραγµατικών σχέσεων, µεταξύ της αναπτυξιακής διαδικασίας και των ικανοτήτων µάθησης. Προς τούτο, προτείνεται ο προσδιορισµός δύο τουλάχιστον, αναπτυξιακών επιπέδων. Πρώτο επίπεδο καλείται το πραγµατικό επίπεδο ανάπτυξης, δηλαδή το επίπεδο ανάπτυξης των διανοητικών λειτουργιών, που εµφανίζεται ως καρπός ορισµένων αναπτυξιακών κύκλων, που έχουν, ήδη ολοκληρωθεί. Ο καθορισµός της νοητικής ηλικίας ενός παιδιού, µε τη χρησιµοποίηση test, βασίζεται σχεδόν πάντα, στον έλεγχο του πραγµατικού αναπτυξιακού επιπέδου. Η προσφορά διδακτικής και συνεργατικής αρωγής, µέσω ερωτήσεων και στρατηγικών επίλυσης προβληµάτων, οριοθετεί το δεύτερο επίπεδο. Σε µια τέτοια περίπτωση, η µη αυτόνοµη λύση δεν εκλαµβάνεται ως ενδεικτική της νοητικής ανάπτυξής του παιδιού, γεγονός που δεν εναντιώνεται, κατά τον Vygotsky, στην κοινή λογική, τουναντίον µάλιστα. Η διαφορά, η µη συγγραµµικότητα των δύο αυτών επιπέδων γνωστικής ανάπτυξης, καλείται Ζώνη της Επικείµενης Ανάπτυξης. Είναι η απόσταση µεταξύ του πραγµατικού αναπτυξιακού επιπέδου, όπως καθορίζεται µέσα από ανεξάρτητεςαυτόνοµες επιλύσεις προβληµάτων και του επιπέδου τής εν δυνάµει ανάπτυξης, όπως καθορίζεται µέσω της επίλυσης προβληµάτων, υπό τη φθίνουσα καθοδήγηση ενήλικων ή σε συνεργασία µε ικανότερους συµµαθητές (Vygotsky, 1978). Ο διαµεσολαβητικός ρόλος του δασκάλου διαφαίνεται, απερίφραστα, ουσιαστικός και αναγκαίος, στην προσπάθεια των µαθητών για είσοδο και κατάκτηση της Ζώνης της Επικείµενης Ανάπτυξής τους. Χωρίς τη διαµεσολάβηση αυτών των νοητικών σκαλωσιών (scaffolding), δηλαδή των εργαλείων, (προεξαρχόντων βέβαια σήµερα, των «εικονικών»), της αλληλεπίδρασης µε τους γονείς, εκπαιδευτικούς και 74

83 συνοµηλίκους τους, η απαιτούµενη και σκοπούµενη υπερφαλάγγιση γνωστικών προσκοµµάτων, ίσως απέβαινε για τους µαθητές ατέρµονη και χιµαιρική διαδικασία. Η ίδια η ζώνη της επικείµενης ανάπτυξης θεωρείται εργαλείο κατανόησης της εσωτερικής πορείας της ανάπτυξης, µε το οποίο εφοδιάζονται εκπαιδευτικοί και ψυχολόγοι. Με τη χρησιµοποίηση αυτής της µεθόδου λαµβάνονται υπόψη, όχι µόνο οι διεργασίες και οι διαδικασίες ωρίµασης που έχουν ολοκληρωθεί αλλά και εκείνες που, αυτήν την περίοδο, βρίσκονται σε µια λανθάνουσα κατάσταση σχηµατισµού και διαµόρφωσης, που µόλις αρχίζει να ωριµάζει και να αναπτύσσεται. Κατά συνέπεια, η ζώνη της επικείµενης ανάπτυξης επιτρέπει σκιαγράφηση του άµεσου µέλλοντος του παιδιού καθώς και στάθµιση της δυναµικότητας της αναπτυξιακής του κατάστασης, όχι µόνο για αυτά που, ήδη επιτεύχθηκαν εξελικτικά, αλλά και για αυτά, που µετέρχονται διαδικασίες ωρίµασης H θεωρία δραστηριότητας Ο Vygotsky υπήρξε ο θεµελιωτής και µιας νέας, για το υτικό Κόσµο, θεωρίας µε διεπιστηµονικό ενδιαφέρον, αφού τοµείς εφαρµογής της εντοπίζονται στην ψυχολογία, στην εκπαίδευση, στην αλληλεπίδραση ανθρώπου µηχανής, στα πληροφοριακά συστήµατα κ.α. Ιστορικά, η θεωρία δραστηριότητας προέκυψε ως αντίδραση στο χάσµα µεταξύ µιας υλιστικής άποψης (φυσική επιστήµη) και µιας ιδεαλιστικής άποψης (επιστήµη του «πνεύµατος») για την ανθρώπινη ζωή. Καµία από αυτές τις µεθόδους δε συνυπολογίζει στην αναπτυξιακή διαδικασία, τη σχέση µεταξύ ενός προσώπου και του περιβάλλοντός του (Aboulafia & Gould & Spyrou, 1995). Η διατύπωση των αρχών της θεωρίας της δραστηριότητας είναι µια αντισταθµιστική προσέγγιση, ώστε να υπερακοντισθεί αυτό το έλλειµµα, µε την εισαγωγή της έννοιας της δραστηριότητας, όπου το υποκείµενο και το αντικείµενο αντιµετωπίζονται ως πόλοι του συστήµατος της δραστηριότητας, το οποίο υπογραµµίζει την ενεργό και δραστήρια φύση των ανθρώπων. Η θεωρία δραστηριότητας διερευνά την αλληλεπίδραση του ανθρώπου µε το περιβάλλον, µέσω της ανθρώπινης δραστηριότητας. Εποµένως, µια δραστηριότητα είναι η αφετηρία για τη µελέτη της ανθρώπινης συµπεριφοράς. Η θεωρία αυτή είναι ένα περιγραφικό ψυχολογικό πλαίσιο, που βοηθά να γίνει αντιληπτή η ενότητα συνείδησης και δραστηριότητας (Cassens & Kofod-Petersen, 2006). Οι θεωρητικοί υποστηρίζουν ότι η ανθρώπινη δραστηριότητα δεν είναι ένα αποµονωµένο ή περιστασιακό γεγονός αλλά µια διασυνδεµένη οντότητα τριών βασικών στοιχείων: υποκείµενο, αντικείµενο και εργαλεία. Εικόνα 46. Θεωρία δραστηριότητας Ι Μια δραστηριότητα εκτελείται από ένα άτοµο ή µια οµάδα ανθρώπων (υποκείµενο) και κατευθύνεται από ορισµένους στόχους ή σκοπούς (αντικείµενο), ενώ διαµεσολαβητικό ρόλο έχουν τα εργαλεία φυσικά και ψυχολογικά. Με άλλα λόγια, ένας άνθρωπος δεν αντιδρά άµεσα στο περιβάλλον, αλλά αλληλεπιδρά µε 75

84 αυτό, µέσω της χρήσης των εργαλείων και των σηµείων. Μια δραστηριότητα περιέχει διάφορα εργαλεία όπως όργανα, σηµεία, διαδικασίες, µηχανές, µεθόδους, νόµους, µορφές οργάνωσης εργασίας κλπ (Kuutti 1995; Suh & Couchman & Park, 2003), και είναι µια µορφή δράσης, που κατευθύνεται σε ένα αντικείµενο. Ο µετασχηµατισµός του αντικειµένου σε ένα αποτέλεσµα, σε µια συνέπεια σηµατοδοτεί την ύπαρξη µιας δραστηριότητας, που διακρίνεται από κάποια άλλη µε βάση το τυχόν, διαφορετικό αντικείµενό της (Εικόνα 46). εδοµένης της απλοϊκότητας της παραπάνω δοµής και της αδυναµίας της να εκτιµήσει τις συστηµικές σχέσεις µεταξύ ενός ατόµου και του περιβάλλοντός του, σε µια δραστηριότητα πρέπει να προστεθεί ένα τρίτο κύριο συστατικό, το σύνολο των ατόµων που µοιράζονται το ίδιο αντικείµενο, δηλαδή η κοινότητα. Εικόνα 47. Θεωρία δραστηριότητας ΙΙ Αυτό το συστηµικό πρότυπο (Εικόνα 47) χαρακτηρίζει τη Θεωρία δραστηριότητας της δεύτερης γενιάς και αντιπροσωπεύει τη δραστηριότητα σε συλλογικό επίπεδο. Περιέχει δε, τρεις αµοιβαίες σχέσεις µεταξύ του υποκειµένου, του αντικειµένου και της κοινότητας: Τη σχέση µεταξύ του υποκειµένου και του αντικειµένου διεπόµενη από «τα εργαλεία διαµεσολάβησης», τη σχέση του υποκειµένου και της κοινότητας διαµεσολαβούµενης από «τους κανόνες», που µπορούν να είναι σαφείς ή υπονοούµενοι. Τέλος, η τρίτη σχέση του αντικειµένου και της κοινότητας, που διαµορφώνεται από τον «καταµερισµό εργασίας», ο οποίος αναφέρεται στη σαφή και υπονοούµενη οργάνωση της κοινότητας, η οποία συµµετέχει στη δραστηριότητα (Kuutti, 1995; Robertson, 2008). Στην εικόνα 48, για παραδειγµατικούς και αποσαφηνιστικούς λόγους απεικονίζεται ένα πρότυπο παιδαγωγικής δραστηριότητας, για ανάπτυξη υψηλών νοητικών δεξιοτήτων (Kumpulainen, 2007). Εικόνα 48. Ένα πρότυπο παιδαγωγικής δραστηριότητας 76

85 Η θεωρία δραστηριότητας τρίτης γενιάς αντιπροσωπεύει τη δικτυωµένη δραστηριότητα και ενσωµατώνει την ιδέα των οριακών αντικειµένων, δηλαδή αντικείµενων, που κινούνται στις διαχωριστικές γραµµές πολλών πλαισίων (Εικόνα 49). Εικόνα 49. Θεωρία δραστηριότητας ΙΙΙ Στην περίπτωση που, για παράδειγµα, 3 διακριτά συστήµατα δραστηριότητας συµπλέκονται, µε κοινό σκοπό την επέκταση της e-learning µάθησης, το αποτέλεσµα, οπωσδήποτε θα ποικίλει µεταξύ των συστηµάτων. Το οργανωτικό, διοικητικό σύστηµα δραστηριότητας είναι υπεύθυνο για το φυσικό, οικονοµικό και ανθρώπινο δυναµικό της οργάνωσης, η δε επιθυµητή έκβαση αυτού του συστήµατος είναι η πλήρης οργανωτική υποστήριξη. Το τεχνολογικό σύστηµα δραστηριότητας, µε τους ειδικούς της τεχνολογίας υπολογιστών θα απεύχεται, προφανώς, τεχνολογικές δυσλειτουργίες. Τέλος, το παιδαγωγικό σύστηµα δραστηριότητας θα προσδοκά τον άµεσο και βιώσιµο προσπορισµό παιδαγωγικών και µαθησιακών οφελών (Robertson, 2008) Επιδράσεις στην εκπαίδευση Γενικά, στην εκπαίδευση η θεωρία δραστηριότητας προφέρεται ως, ιδεατά παιδαγωγικό και συνεργατικό πλαίσιο δόµησης γνώσης, η οποία συν-δηµιουργείται από το ενεργητικό σώµα (υποκείµενο) των δασκάλων και µαθητών. Εκπαιδευτικοί και µαθητές χρησιµοποιούν εργαλεία (τεχνολογίες αλλά και ένα ολόκληρο πλήθος άλλων εργαλείων και πόρων). Συνεργάζονται µέσα σε ένα συγκεκριµένο σύνολο κανόνων ή συµβάσεων, που προάγουν και εδραιώνουν σηµαντικές αλληλεπιδράσεις µε στόχους πάντα µαθησιακούς ή συχνότερα, µε στόχους απόδοσης και επίδοσης, σχετικούς µε µια διεξαχθείσα δραστηριότητα. Η θεωρία του Vygotsky και των επιστηµονικών και ακαδηµαϊκών απογόνων του ασκεί τελευταία, ισχυρή επίδραση στη θέσπιση αναλυτικών προγραµµάτων µεσούσης και της τεχνολογικής εκπαιδευτικής πραγµατικότητας. Γενικότερα, οι σύγχρονες παιδαγωγικές και διδακτικές πρακτικές είναι διαποτισµένες και διαρθρωµένες από τις πρωτοποριακές (και όχι µόνο για την εποχή του) αρχές και πεποιθήσεις του µεγάλου Ρώσου ψυχολόγου, αν και παρήλθε σχεδόν µια εκατονταετία από τη στιγµή που παρουσιάστηκαν. Οι βασικές ιδέες του Lev Vygotsky αποπνέουν µια αυθεντική πολιτισµική αύρα ενεργητικής συµµετοχής, συνεργατικότητας, αλληλοβοήθειας και κοινής δράσης. 77

86 Για τον Vygotsky, η συστηµατική συνεργασία όλων των συµµετεχόντων στην εκπαιδευτική διαδικασία είναι κρίσιµο χαρακτηριστικό µιας αποτελεσµατικής διδασκαλίας. Η βοήθεια των δασκάλων και των ικανότερων συνοµηλίκων, οι αλληλεπιδράσεις µε τον περιβάλλοντα πολιτισµό, το οικογενειακό και σχολικό περιβάλλον είναι σηµαντικοί και ισχυροί παράγοντες, για την ανάπτυξη υψηλών νοητικών λειτουργιών. Κατά τη διδασκαλία, µέσω του scaffolding αλλά και των εργαλείων, παράγονται άµεσα αποτελέσµατα και αποκτούνται δεξιότητες απαραίτητες για γνωστικές ανεξαρτητοποιήσεις στο µέλλον. Ο ενήλικος ρυθµίζει συνεχώς το επίπεδο παρέµβασης και προβαίνει, σταδιακά, στην απόσυρση των νοητικών σκαλωσιών, όπως επίσης και στη βαθµιαία παραχώρηση του ελέγχου. Η οµιλία και η λεκτική υποστήριξη κατέχουν την υψηλότερη θέση σε µια ιεραρχηµένη κλίµακα παιδαγωγικών εργαλείων σπουδαιότητας, κατά τον Vygotsky. Στο ναδίρ αυτής της φθίνουσας σειράς τοποθετείται η άµεση διδασκαλία, η στείρα αποµνηµόνευση και η στεγνή και παθητική µετάδοση έτοιµων εννοιών. Η ζώνη της επικείµενης ανάπτυξης, η διαφορά δηλαδή, µεταξύ της πραγµατικής και της ενδεχόµενης - επιθυµητής ανάπτυξης των µαθητών, καθορίζει και προσδιορίζει σηµαντικά, τους τρόπους και τις παρεµβάσεις της σχολικής (µαθητικής και διδακτικής) αξιολόγησης και βαθµολόγησης. Η κατακλείδα είναι, ταυτόχρονα, και ένα γλαφυρό απόσπασµα από τις ουσιώδεις αντιλήψεις και ιδέες του Vygotsky περί επιτυχηµένης και ευδόκιµης διδασκαλίας: «Έχουµε δει ότι η διδασκαλία και η ανάπτυξη δε συµπίπτουν. Είναι δύο διαφορετικές διαδικασίες, µε πολύ σύνθετες αλληλεξαρτήσεις. Η διδασκαλία είναι χρήσιµη µόνο, όταν κινείται µπροστά από την ανάπτυξη. Όταν αυτό συµβαίνει, ωθεί ή ξυπνά µια ολόκληρη σειρά λειτουργιών, που είναι σε ένα στάδιο ωρίµασης και βρίσκονται στη ζώνη της επικείµενης ανάπτυξης. Αυτό είναι ο σηµαντικότερος ρόλος της διδασκαλίας στην ανάπτυξη. Αυτό είναι, που διακρίνει τη διδασκαλία του παιδιού από την εκπαίδευση των ζώων. Αυτό είναι επίσης, που διακρίνει τη διδασκαλία του παιδιού, η οποία στοχεύει στην πλήρη ανάπτυξή του, από τη διδασκαλία εξειδικευµένων, τεχνικών δεξιοτήτων, όπως η δακτυλογράφηση ή η οδήγηση ενός ποδηλάτου. Η τυπική πτυχή κάθε σχολικού µαθήµατος είναι αυτή, κατά την οποία η διδασκαλία επιδρά και επηρεάζει την ανάπτυξη. Η διδασκαλία θα ήταν απολύτως περιττή, εάν αξιοποιούσε µόνο ό,τι είχε ωριµάσει ήδη στην αναπτυξιακή διαδικασία, εάν δεν ήταν η ίδια µια πηγή ανάπτυξης» (Vygotsky, 1987) Κατανεµηµένη γνώση Είναι ενδιαφέρον να σηµειωθεί ότι τα επιχειρήµατα του Vygotsky βρίσκουν εντυπωσιακή οµοιότητα και εφαρµογή µε την πρόσφατη κίνηση της γνωστικής επιστήµης, η οποία συνδέεται µε την έννοια της κατανεµηµένης γνώσης (distributed cognition) και της εγκαθιδρυµένης (εµπλαισιωµένης) γνώσης και µάθησης (situated cognition) (Cole & Wertsch, 1996). Η κατανεµηµένη γνώση είναι µια υβριδική προσέγγιση, στη µελέτη όλων των εκφάνσεων της γνώσης, από µια γνωστική, κοινωνική και οργανωτική σκοπιά. Η θεωρία αυτή αναπτύχθηκε αρχικά, από τον Edwin Hutchins στο University California στο San Diego, τη δεκαετία του 80. Η θεωρητική και µεθοδολογική βάση της, προέρχεται από τις γνωστικές επιστήµες, τη γνωστική ανθρωπολογία και τις κοινωνικές επιστήµες. Όπως όλοι οι άλλοι κλάδοι της γνωστικής επιστήµης, η κατανεµηµένη γνωστικότητα επιδιώκει να αποκωδικοποιήσει την οργάνωση των γνωστικών 78

87 συστηµάτων. Είναι µια θεωρητική προσέγγιση, που συναρτάται άµεσα µε τις αλληλεπιδράσεις µεταξύ των ανθρώπων από τη µια αλλά και µε τα εργαλεία, τις εσωτερικές και τις εξωτερικές αναπαραστάσεις από την άλλη, που συγκροτούν το κατανεµηµένο ζεύγος των «αναπαραστασιακών καταστάσεων» και «µέσων», ως όρους µιας κοινής γλώσσας. Ο Hutchins ορίζει τις αναπαραστασιακές καταστάσεις ως µια διαµόρφωση των στοιχείων σε ένα µέσο, που µπορεί να ερµηνευθεί ως αναπαράσταση. Η αναπαράσταση µπορεί να θεωρηθεί είτε ως κωδικοποιηµένες πληροφορίες, είτε ως συµβολική αφηρηµένη ιδέα ενός πράγµατος (κλασική, γνωστική επιστήµη), είτε ως κατανεµηµένο σύνολο κόµβων, που µαζί αποκτούν νόηµα. Σύµφωνα µε την αναπαραστασιακή θεωρία του νου, ο ανθρώπινος εγκέφαλος λειτουργεί µε συµβολικές αναπαραστάσεις ή κώδικες. Η κατανεµηµένη γνώση επεκτείνει αυτή τη θεώρηση για να δείξει ότι οι µετασχηµατισµοί των αναπαραστάσεων δε χρειάζονται να είναι εξ ολοκλήρου συµβολικοί, αλλά µπορεί να ορισθούν, µέσω χειρισµών µε φυσικά µέσα, που διαθέτουν αναπαραστασιακό υπόβαθρο (π.χ. ένας χάρτης πλοήγησης ή ένα σχέδιο) (Perry, 2003). Η παραδοσιακή άποψη κατανοεί τη γνώση ως ένα εντοπισµένο φαινόµενο, που εξηγείται καλύτερα, µέσω της επεξεργασίας πληροφοριών, σε ατοµικό επίπεδο. Αντίθετα, ο Hutchins ισχυρίστηκε ότι η γνώση γίνεται κατανοητή καλύτερα ως κατανεµηµένο φαινόµενο, ανάµεσα στα υποκείµενα, στα κατασκευάσµατατεχνουργήµατα (artifacts), τις εσωτερικές και εξωτερικές αναπαραστάσεις. Οι πρώτες εργασίες του αφορούσαν στις σχέσεις µεταξύ της γλώσσας, του πολιτισµού και της σκέψης. Μάλιστα, το 1975 και το 1976, πραγµατοποίησε σχετική εθνογραφική έρευνα, στα νησιά Trobriand της Νέας Παπούα-Γουϊνέας. Αντί να εστιάσει αποκλειστικά στις εσωτερικές γνωστικές διαδικασίες του ατόµου, ο Αµερικανός γνωστικός ανθρωπολόγος επικεντρώνεται στις διαδικασίες, που πραγµατοποιούνται σε ένα εκτεταµένο γνωστικό σύστηµα, θεωρώντας ότι οι πολιτιστικές πρακτικές είναι ένα βασικό συστατικό της ανθρώπινης γνώσης. Οι διαδικασίες αυτές περιλαµβάνουν λεκτική και µη λεκτική συµπεριφορά, συντονιστικούς µηχανισµούς, µορφές επικοινωνίας, µέσω των οποίων η υπονοούµενη και η συγκεκριµένη γνώση διανέµoνται και προσεγγίζονται. Ένα σηµαντικό όφελος είναι η ερµηνεία των σύνθετων αλληλεξαρτήσεων µεταξύ των ανθρώπων, των εργαλείων και των τεχνολογικών συστηµάτων, που είναι πιθανό να αγνοηθούν, κατά τη χρησιµοποίηση των παραδοσιακών θεωριών της γνώσης. Μάλιστα, στο χώρο αυτό, εστιάζουν σε µεγάλο βαθµό πολλές ερευνητικές προσπάθειες, που αφορούν στην επικοινωνία ανθρώπου-υπολογιστή και ειδικότερα στο σχεδιασµό συνεργατικών δικτυακών περιβαλλόντων (Αβούρης & Κόµης, 2003). Ο Hutchins αναφέρει, για διευκρινιστικούς λόγους, µεταξύ άλλων, δυο απλά και γι αυτό διαφωτιστικά παραδείγµατα κατανεµηµένων γνωστικών συστηµάτων. Ένα πιλοτήριο αεροπλάνου, µέσω των σύνθετων αλληλεπιδράσεων µεταξύ των πιλότων του πληρώµατος και των διάφορων αναπαραστασιακών συσκευών, των εργαλείων και των µέσων, διατηρεί στη µνήµη του πολλές παραµέτρους πτήσης (Harris, 2004). Ο Hutchins πιστεύει ότι οι γνωστικές ιδιότητες του κατανεµηµένου συστήµατος εξαρτώνται από τις δυνατότητες, τη λειτουργία και τις ιδιότητες των µέσων στα οποία εφαρµόζεται. Επίσης, επιµένει ότι µια πλήρης θεωρία της ανθρώπινης µνήµης δεν θα ήταν ποτέ επαρκής για την κατανόηση και ανάλυση όλων των επιθυµητών καταστάσεων, επειδή ένα πολύ µεγάλο µέρος της λειτουργίας της µνήµης πραγµατοποιείται έξω από το άτοµο (Hutchins, 1995b). Η πλοήγηση ενός σκάφους και οι λεπτοµερείς, συντονισµένες ενέργειες µεταξύ των αναπαραστασιακών καταστάσεων (των γνωστικών καταστάσεων των 79

88 υποκειµένων και των λειτουργιών τους) και των µέσων, κατά τον ελλιµενισµό του, συνθέτει το δεύτερο παράδειγµα κατανεµηµένου γνωστικού συστήµατος. Η χάραξη της πορείας του πλοίου, µια απλή αλλά αρκετά ζωτική διαδικασία είναι απαύγασµα των παρεµβάσεων και αποφάσεων µιας ευάριθµης οµάδας ειδικών, που µε τη χρήση των εργαλείων-συσκευών στοχεύουν στην εκµηδένιση των παρεκκλίσεων από την προδιαγεγραµµένη πορεία (Hutchins, 1995a). Τελικά, η κατανεµηµένη προσέγγιση της γνώσης επιχειρεί να αποσαφηνίσει τις αλληλοεξαρτήσεις µεταξύ ανθρώπων και κατασκευασµάτων, που λαµβάνουν χώρα σε πλησµονή δραστηριοτήτων, σηµαντικό µέρος των οποίων προσδιορίζει τα προβλήµατα, τα αποτυχηµένα εγχειρήµατα αλλά και τις κατανεµηµένες διαδικασίες επίλυσης προβληµάτων, που επιστρατεύονται για να τα εξετάσουν και να τα αντιµετωπίσουν. Έτσι, παρέχονται πολυεπίπεδες περιγραφές, συνταιριάζοντας τα δεδοµένα, τις ενέργειες, τις ερµηνείες και τις εθνογραφικές συνθήκες, συνθέτοντας δηλαδή, ένα δυναµικό πλαίσιο από παράγοντες και στοιχεία χρήσιµα και απαραίτητα (Rogers, 2006) Εµπλαισιωµένη- Εγκαθιδρυµένη γνώση Το κίνηµα της εµπλαισιωµένης γνώσης αναδύθηκε στις τελευταίες δεκαετίες, κυρίως σαν µια αντίδραση στην προσέγγιση, η οποία επιχειρούσε να εξηγήσει τη γνώση αγνοώντας όµως, το πλαίσιο εντός του οποίου οι γνωστικές δραστηριότητες, τυπικά εµφανίζονται. Οι κριτικές µέχρι τη δεκαετία του '70 και του '80 αντιτέθηκαν σε πολλά πειραµατικά παραδείγµατα της γνωστικής ψυχολογίας, θεωρώντας τα µη έγκυρα, αφού υποστήριζαν ότι τα συµπεράσµατα ίσχυαν µόνο για τις τεχνητές περιστάσεις, που δηµιουργήθηκαν στο εργαστήριο και δε γενίκευαν στις πραγµατικές και γνήσιες συνθήκες (Bechtel, 2008). Τα τελευταία χρόνια έχει υπάρξει πολύς θόρυβος για µια νέα τάση στη γνωστική επιστήµη. Η τάση αυτή συνδέεται ιδιαίτερα µε τρεις κεντρικές ιδέες και τοποθετήσεις. Καταρχάς, ότι η γνώση εξαρτάται όχι µόνο από τον εγκέφαλο αλλά και από το σώµα. εύτερον, ότι οι γνωστικές δραστηριότητες αξιοποιούν συνήθως, τις δοµές του φυσικού και κοινωνικού περιβάλλοντος και τρίτον ότι τα όρια της γνώσης επεκτείνονται πέρα από τα όρια των µεµονωµένων οργανωµένων συστηµάτων. Κάθε µια από αυτές τις προτάσεις συµβάλλει στη διαµόρφωση µιας εικόνας, για τη διανοητική δραστηριότητα, ως εξαρτώµενη από τη θέση ή το πλαίσιο στο οποίο εµφανίζεται (Robbins & Aydede, 2008). Η θεωρία της εµπλαισιωµένης µάθησης και το γνωστικό πρότυπο της µαθητείας πρεσβεύει ότι οι δεξιότητες αποκτούνται, µέσω επικοινωνίας µε τους άλλους, εντός αυθεντικών πλαισίων. Η µάθηση είναι φυσικά, συνδεδεµένη µε αυθεντικές δραστηριότητες, µε πλαίσια και τον πολιτισµό, όπως, για παράδειγµα, η κατάκτηση της µητρικής ή η εκµάθηση µιας ξένης γλώσσας (Brown & Collins & Duguid, 1989). Η θεωρία της εµπλαισιωµένης γνώσης επιµένει ότι οι γνωστικές δραστηριότητες ενός ατόµου ενσωµατώνονται εγγενώς και υποστηρίζονται από τις δυναµικές αλληλεπιδράσεις µε τα χαρακτηριστικά γνωρίσµατα του περιβάλλοντος (Bechtel, 2008). Οι κύριες µέθοδοι της γνωστικής µαθητείας προσπαθούν να υπαγάγουν πολιτισµικά τους µαθητές σε αυθεντικές πρακτικές, µέσω των δραστηριοτήτων και της κοινωνικής αλληλεπίδρασης, µε τρόπους παρόµοιους µε εκείνους στη µαθητεία των τεχνών. 80

89 ύο παραδείγµατα στη διδασκαλία των µαθηµατικών είναι αρκετά για να διευκρινιστεί, πώς µερικά από τα χαρακτηριστικά της µάθησης µπορούν να αναδειχθούν στην τάξη. Στη µια περίπτωση αντιµετωπίζεται το πρόβληµα του µαγικού τετραγώνου στο οποίο οι µαθητές καλούνται να τοποθετήσουν τα 9 σηµαντικά ψηφία σε ένα τετράγωνο ισάριθµων θέσεων, έτσι ώστε το άθροισµα των ψηφίων κάθε σειράς, κάθε στήλης και κάθε διαγωνίου να είναι ίσο. Αν και το πρόβληµα είναι σχετικά απλό, η συνεργασία ενισχύει την ανακάλυψη τρόπων και την αλίευση στρατηγικών εξέτασης µαθηµατικών προβληµάτων (Brown & Collins & Duguid 1989). Στο δεύτερο παράδειγµα διδάσκεται ο πολλαπλασιασµός, στα πλαίσια προβληµάτων µε νοµίσµατα. Οι µαθητές δηµιουργούν ιστορίες µε τα προβλήµατα αυτά, στηριζόµενοι κυρίως, στην προϋπάρχουσα γνώση τους και σκιαγραφούν διαφορετικά παραδείγµατα του πολλαπλασιασµού. Κατόπιν, βοηθιούνται κατά την εκµάθηση του αφηρηµένου αλγόριθµου, στα πλαίσια πάντοτε των προβληµάτων µε τα νοµίσµατα και των ιστοριών, που οι ίδιοι οι µαθητές επινόησαν. Κατά συνέπεια, η µέθοδος παρουσιάζει τον αλγόριθµο ως µια χρήσιµη στρατηγική επίλυσης καθηµερινών προβληµάτων (Brown & Collins & Duguid 1989) Η Κοινωνικογνωστική θεωρία του Albert Bandura Ο Albert Bandura (1925-), πρωτοπόρος καθηγητής του Πανεπιστηµίου Stanford (εικόνα 50), θεωρείται ο µεγαλύτερος ψυχολόγος του καιρού µας. Μάλιστα το 2007, κέρδισε το βραβείο «Everett Rogers Award for Achievement in Entertainment-Education», ως αναγνώριση και ανταµοιβή για την τεράστια διεθνή συµβολή του, στον τοµέα της ψυχαγωγικής εκπαίδευσης - µάθησης (edutainment). Επίσης, το Πανεπιστήµιο Αθηνών και το Τµήµα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία το 2003 τον τίµησε για το πολυσχιδές έργο του, σχετικά µε την ερµηνεία Εικόνα 50. Albert Bandura της κοινωνικής µάθησης και την ανάπτυξη της κοινωνικογνωστικής του θεωρίας, ανακηρύσσοντάς τον επίτιµο διδάκτορα. Στη συνέντευξη, που παραχώρησε τότε, στις 15 Απριλίου 2003, στον Σ. Ν. Κοδέλλα (kapodistriako.uoa.gr/stories/024_in_01/index.php?m=2-26k), ανέφερε τις βασικότερες παραµέτρους της θεωρίας του: «Η κοινωνικογνωστική θεωρία της µάθησης τονίζει ότι οι άνθρωποι δεν είναι µόνο προϊόντα του περιβάλλοντός τους αλλά είναι οι ίδιοι οι παραγωγοί νοήµατος. Η κοινωνικογνωστική θεωρία της ανθρώπινης λειτουργικότητας δίνει έναν κεντρικό ρόλο στις γνωστικές αυτορυθµιστικές και αυτοαντανακλαστικές διαδικασίες, στη δυνατότητα του ανθρώπου για προσαρµογή και αλλαγή. O άνθρωπος εποµένως δεν αντιδρά µηχανικά στα ερεθίσµατα του περιβάλλοντος, αλλά σκέπτεται, οργανώνει τα δεδοµένα και καταλήγει σε συµπεράσµατα, µετά από γνωστική επεξεργασία των δεδοµένων αυτών. Η κοινωνικογνωστική θεωρία προσφέρει µια πιο αισιόδοξη εικόνα για τον άνθρωπο, καθώς του δίνει τη δυνατότητα να αλλάξει τις συνθήκες της ζωής του, προς το καλύτερο. Μια άλλη πολύ σηµαντική παράµετρος της θεωρίας αυτής, που την διαφοροποιεί από τις παραδοσιακές θεωρίες, είναι ότι δίνει µεγάλη έµφαση στην κοινωνική διαµόρφωση της γνώσης. Οι παραδοσιακές θεωρίες έδιναν µεγάλη έµφαση στο πόσο επηρεάζεται η συµπεριφορά από τις επιβραβεύσεις και τις τιµωρίες. Η δική 81

90 µου θεωρία τονίζει την πολύ σηµαντική επίδραση της συµβολικής µίµησης προτύπων στην καλλιέργεια νέων ικανοτήτων, κινήτρων, συναισθηµατικών τάσεων και αξιών». Ως προς τα µοντέρνα εκπαιδευτικά συστήµατα και την υιοθέτηση ή µη, της πολύ σηµαντικής έννοιας της «αυτο-αποτελεσµατικότητας» (Bandura, 1997), που ο ίδιος εισήγαγε, δήλωσε: «Είναι πράγµατι ένα ερώτηµα το κατά πόσο και σε ποιο βαθµό οι κοινωνίες αναγνωρίζουν ότι βρισκόµαστε σε µία καινούργια εποχή, κάτι που απαιτεί και αλλαγές στο εκπαιδευτικό σύστηµα, ώστε οι µαθητές να γίνουν ρυθµιστές της γνώσης που λαµβάνουν. Συνήθως υπάρχει ένα χάσµα ανάµεσα στις αλλαγές, που πραγµατοποιούνται και την ταχύτητα µε την οποία η κοινωνία µπορεί και ακολουθεί προσαρµοζόµενη σε αυτές τις αλλαγές. Πάντως, τα νέα εκπαιδευτικά συστήµατα δεν µπορούν παρά να λάβουν υπόψη τους ότι οι άνθρωποι είναι σε θέση να ρυθµίσουν το επίπεδο της φυσιολογικής τους ενεργοποίησης µέσα από την πίστη τους στην αυτο-αποτελεσµατικότητά τους, την αντίληψη δηλαδή που έχουν για την ικανότητά τους να αντιµετωπίσουν συγκεκριµένες καταστάσεις». Ακόµα, στη συνέντευξη δέχτηκε ότι οι «άνθρωποι είναι ικανοί να ελέγξουν τη µοίρα τους. εν υπάρχουν κοινωνίες που είναι ειρηνόφιλες και κοινωνίες που είναι επιθετικές. Όλες οι κοινωνίες έχουν τη δυνατότητα και την προδιάθεση να γίνουν επιθετικές, αλλά το εάν θα το αναπτύξουν και θα γίνουν τελικά επιθετικές έχει περισσότερο να κάνει µε τις κοινωνικές συνθήκες, που θα προωθήσουν ή θα καταπνίξουν αυτή την τάση». Η κοινωνική θεωρία µάθησης του Albert Bandura υπογραµµίζει τη σηµασία της παρατήρησης στην προτυποποίηση της συµπεριφοράς και στη διαµόρφωση στάσεων. Οι άνθρωποι µαθαίνουν από τους άλλους, πέρα από τα πλαίσια της προσωπικής τους εµπειρίας, µέσω της παρατήρησης, της µίµησης και της προτυποποίησης (παρατήρηση, µίµηση προτύπων). Η θεωρία αυτή εξηγεί την ανθρώπινη συµπεριφορά, ως µια συνεχή και αµοιβαία αλληλεπίδραση µεταξύ περιβαλλοντικών, γνωστικών, ατοµικών και βιολογικών παραγόντων, ως ένα συνδυασµό δηλαδή, εσωτερικών και εξωτερικών επιρροών (Bandura, 1986). Η µίµηση του προτύπου τροποποιεί µια πλευρά της συµπεριφοράς τού παρατηρητή, ενώ σε περιπτώσεις ολικής αποδοχής µιας εκδηλωµένης συµπεριφοράς, επέρχεται και ταύτιση παρατηρητή και προτύπου. Τα άτοµα τείνουν να υιοθετούν συµπεριφορές µόνο, εάν αυτές οδηγούν σε επιθυµητά αποτελέσµατα και αν τα πρότυπα είναι παρόµοια µε τον παρατηρητή και η θέση τους έχει γόητρο, κύρος και αίγλη. Για παράδειγµα, από έρευνα προέκυψε ότι ένας «καλοντυµένος κύριος» παρέσερνε πεζούς, οι οποίοι τον ακολουθούσαν, όταν αυτός περνούσε µε κόκκινο, σε κάποια διασταύρωση. Το ποσοστό των παρασυρµένων παραβατών ανέρχονταν περίπου στο 13%, και µειωνόταν αισθητά στο 3%, όταν ο κύριος αυτός ήταν ατηµέλητος και απεριποίητος (Bandura, 2001). Επιπλέον, και από άλλα πειράµατα του Μπαντούρα, διαφάνηκε ότι και οι επιθετικές συµπεριφορές αποκτούν µιµητές, αν αυτές προσφέρουν πλεονεκτήµατα και οφέλη (Bandura, 1977; Bandura, 1973). Ακόµα εδραιωµένη πεποίθηση στον Bandura είναι η καταλυτική επίδραση της µίµησης και το προβάδισµά της, έναντι της άµεσης εµπειρίας. Οι τέσσερις καίριες συνθήκες για αποδοτική µάθηση µέσω παρατήρησης και µίµησης είναι η προσοχή, η διατήρηση, η αναπαραγωγή και η ενίσχυση. Απλά δηλαδή, στην αρχή δίδεται προσοχή σε κάτι, σε κάποιο πρότυπο. Ακολούθως, πρέπει να διατηρείται µια συγκεκριµένη συµπεριφορά και αν απαιτηθεί να µπορεί να αναπαράγεται και να επαναλαµβάνεται. Τέλος, η συµπεριφορά αυτή µπορεί να ενισχύεται από την ύπαρξη 82

91 σηµαντικών αιτιών, υπεύθυνων για τη δηµιουργία και ενίσχυση ευνοϊκού κλίµατος µίµησης. Φυσικά, ο ρόλος του δασκάλου στην κοινωνική θεωρία του Bandura, όπως βέβαια και στις περισσότερες θεωρίες είναι κλασικά εµφατικός και πρωταγωνιστικός, δεδοµένου ότι κάθε εκπαιδευτικός θεωρείται (και σε πολλές περιπτώσεις είναι) το πλέον αξιόλογο και αγλαό πρότυπο µίµησης, για κάθε µαθητή. Έτσι ο εκπαιδευτικός δεν πρέπει να περιορίζεται µόνο στις επιστηµονικές και γνωστικές παροχές, αλλά µέσω της στάσης του και γενικότερα της συµπεριφοράς του να εκπέµπει µηνύµατα και ιδέες, να διαχέει κοινωνικές αρχές και αξίες, να παγιώνει ιδανικά και κανόνες, που αβίαστα και αυθόρµητα, µιµούνται και ενστερνίζονται οι συνεχώς διαµορφούµενοι, εύπλαστοι µαθητές του. 4. Άλλοι σηµαντικοί παιδαγωγοί, ψυχολόγοι και οι θεωρίες τους 4.1. Robert Mills Gagne Σύµφωνα µε τον Αµερικανό ψυχολόγο Robert Mills Gagne ( ), οι µαθητές µπορούν να µάθουν οτιδήποτε και σε οποιαδήποτε ηλικία, αρκεί να έχουν αφοµοιώσει τις προαπαιτούµενες δεξιότητες (ή τα αναγκαία γνωσικά στοιχεία) και να είναι σωστά προγραµµατισµένη και οργανωµένη η διδασκαλία (Κολιάδης, 1997). Η µάθηση είναι µια επισωρευτική, αθροιστική διαδικασία και κάθε νέο είδος της στηρίζεται στις ήδη υπάρχουσες δυνατότητες (Κάτσικας & Θεριανός & Νικολαϊδου, 2006). Η γνώση, για τον Gagné, αποτελείται από σύνολο αρχών, δεν είναι «ευρετική» και η διδασκαλία ορίζεται ως «το σύνολο των ενεργειών του δασκάλου που αποσκοπεί να προκαλέσει, να ενεργοποιήσει, να ενισχύσει και να προωθήσει τη µάθηση» (Αραβανή, 2007). Η θεωρία του Gagné, εκφράζει µια συµπεριφοριστική αντίληψη για την µάθηση, αφού προτρέπει η γνώση να προσεγγίζεται λεπτοµερώς, «κοµµατιασµένη», σε µια σταδιακή ακολουθιακή διαδικασία (Βισκαδουράκης, 2003). Αυτή η θεωρία στηρίζεται σε 3 σαφείς συνιστώσες και ορίζει ότι υπάρχουν διαφορετικοί τύποι και επίπεδα µάθησης. Τα 3 κύρια συστατικά της θεωρίας του Gagné είναι οι ταξινοµήσεις των αποτελεσµάτων της µάθησης, οι ειδικές συνθήκες της µάθησης και τα 9 εννέα γεγονότα- ενέργειες της διδασκαλίας. Η σηµασία των ταξινοµήσεων είναι ότι κάθε διαφορετικός τύπος µάθησης απαιτεί και διαφορετικό τύπο διδασκαλίας. Ο Gagne προσδιορίζει πέντε σηµαντικές κατηγορίες µάθησης: λεκτικές πληροφορίες, νοητικές δεξιότητες, γνωστικές στρατηγικές, στάσεις και κινητικές δεξιότητες. Προτείνει επίσης, οι στόχοι της µάθησης να οργανώνονται ιεραρχικά, ώστε να εντοπίζονται και να καθορίζονται οι προαπαιτούµενες προϋποθέσεις κάθε εξελικτικού επιπέδου µάθησης, δεδοµένου ότι κάθε ανώτερος µαθησιακός τύπος πρέπει να διευκολύνεται και να στηρίζεται, απαραιτήτως, στους ήδη περατωµένους κατώτερους, δηλαδή ως είδος διδακτικής αλληλουχίας. Οι 8 τύποι (είδη) µάθησης είναι (Κολιάδης, 1997): αναγνώριση ερεθισµάτων αντίδραση αλυσιδωτές συνδέσεις χρήση της ορολογίας διάκριση γνωρισµάτων σχηµατισµός εννοιών, εφαρµογή των κανόνων και τέλος 83

92 επίλυση του προβλήµατος Το δεύτερο συστατικό της θεωρίας του Gagne είναι οι συγκεκριµένες συνθήκες µάθησης και η σπουδαιότητα ταξινόµησης των µαθησιακών στόχων, σύµφωνα µε το είδος των µαθησιακών αποτελεσµάτων. Η διδασκαλία προσαρµόζεται έτσι, ανάλογα µε τα επιδιωκόµενα αποτελέσµατα στην παροχή, διαλεύκανση και αποσαφήνιση των σχετικών προαπαιτούµενων και απαραίτητων γνώσεων. Η βασική εργασία του Gagne περιλαµβάνεται στις διάφορες εκδόσεις του έργου του «The Conditions of Learning and Theory of Instruction». Στο πόνηµα αυτό εισήγαγε ή διαµόρφωσε και τις εννέα διδακτικές του οδηγίες, βασισµένες σε εσωτερικές και εξωτερικές συνθήκες µάθησης (Dempsey, 2002). Αρκετοί εκπαιδευτικοί χρησιµοποιούν το σύνολο αυτών των διδακτικών ενεργειών, κατά την οργάνωση των µαθηµάτων και της διδασκαλίας. Η σειρά των ενεργειών φυσικά, µπορεί να είναι χαλαρή, στα µαθησιακά αποτελέσµατα όµως δεν επιτρέπεται ουδεµία, απολύτως, έκπτωση. Το πρότυπο των εννέα διδακτικών γεγονότων συνίσταται (µε ένα διασαφητικό παράδειγµα χρήσης υπολογιστή) από: 1) Απόκτηση προσοχής (Σχεδιάστε στον υπολογιστή αρκετά ζεύγη ευθειών) 2) Πληροφόρηση των µαθητών για το µαθησιακό στόχο (Ποιες ειδικές περιπτώσεις ζεύγους ευθειών καλούνται κάθετες ή παράλληλες ευθείες) 3) Ανάκληση της προγενέστερης γνώσης (γενικοί ορισµοί) 4) Παρουσίαση του ερεθίσµατος (ορισµός των κάθετων ή και παράλληλων ευθειών) 5) Παροχή οδηγιών για τη νέα µάθηση (παραδείγµατα κατασκευής κάθετων ή και παράλληλων ευθειών) 6) Έλεγχος της απόδοσης (οι µαθητές κατασκευάζουν κάθετες ή και παράλληλες ευθείες) 7) Παροχή ανατροφοδότησης (έλεγχος όλων των απαντήσεων και ανάδραση) 8) Αξιολόγηση π.χ. µέσω ενός τεστ ή ερωτήσεων (βαθµολογία) 9) Ενίσχυση της διατήρησης και της µεταφοράς γενίκευσης (Οι µαθητές αναγνωρίζουν κάθετες ή και παράλληλες ευθείες, τις σχεδιάζουν στον υπολογιστή και στο τετράδιο και, τέλος, µπορούν να γράφουν και γενικούς συµπερασµατικούς κανόνες.) Οι πρότερες προσπάθειες τού Gagne κινήθηκαν σταθερά, σε παραδοσιακά, συµπεριφοριστικά πλαίσια, οι τελευταίες του όµως επιστηµονικές παρεµβάσεις και προτάσεις διαφοροποιήθηκαν περισσότερο, σε επίπεδο γνωστικών διεργασιών. Τέλος, οι γενικές αρχές και άξονες της θεωρίας του µπορούν να συνοψισθούν ως εξής: Οι ιεραρχίες της µάθησης καθορίζουν τις νοητικές δεξιότητες, που είναι προαπαιτούµενες καθώς και την ακολουθιακή διαδικασία της διδασκαλίας. Κάθε διαφορετικό µαθησιακό αποτέλεσµα απαιτεί ιδιαίτερη και διαφορετική διδασκαλία. Οι συγκεκριµένες διαδικασίες, που αποτελούν τα εκπαιδευτικά γεγονότα, είναι διαφορετικές για κάθε διαφορετικό τύπο µαθησιακού αποτελέσµατος. 84

93 4.2 O David Ausubel O David Ausubel ( ), Αµερικανός ψυχολόγος, δίνει κεντρική έµφαση στην επίδραση των προγενέστερων γνώσεων των µαθητών, στην εκµάθηση νέων εννοιών. Σύµφωνα µε τον Ausubel, ο σηµαντικότερος παράγοντας, που επηρεάζει τη µάθηση, είναι αυτά που ο µαθητής ήδη ξέρει. Κατά συνέπεια, η µάθηση πραγµατοποιείται, όταν ένα πρόσωπο συνειδητά συνδέει τη νέα γνώση µε τις ήδη υπάρχουσες, σχετικές έννοιες. Αυτή η συσχέτιση των νέων πληροφοριών µε τις προϋπάρχουσες είναι κατά τον Ausubel η πεµπτουσία της ουσιώδους µάθησης. Μάλιστα, η χρήση των εννοιολογικών χαρτών ως στρατηγικών διδασκαλίας, που αναπτύχθηκε από τον J. D. Novak, του πανεπιστηµίου του Cornell, στις αρχές της δεκαετίας του '80, βασίστηκε στη θεωρία του David Ausubel. Η παραγωγική και προοργανωτική µέθοδος του Ausubel βασίζεται στη µάθηση η οποία «έχει νόηµα» για το µαθητή. Απορρίπτεται η ανακαλυπτική µάθηση, ως χρονοβόρα και γι αυτό αναποτελεσµατική και προκρίνεται η εκθετική διδασκαλία, κατά την οποία παρουσιάζεται η γνώση έτοιµη και ολοκληρωµένη. Το µοντέλο διδασκαλίας του Ausubel προάγει τη µετωπική, δασκαλοκεντρική διδασκαλία και βασίζεται στους προκαταβολικούς οργανωτές. H πορεία διδασκαλίας κατά τον Ausubel είναι απαγωγική, µε αφετηρία γενικές έννοιες, που σταδιακά εξειδικεύονται. Οι προκαταβολικοί (προδροµικοί) οργανωτές ή προοργανωτές µπορεί να είναι σχεδιαγράµµατα, περιλήψεις, γενικοί ορισµοί και πληροφορίες ή ακόµα και γενικεύσεις (Κολιάδης, 1997). Ο Ausubel ξεχωρίζει δύο γνωστικές λειτουργίες τη µηχανιστική και τη νοηµατική µάθηση. Η µηχανιστική - ανακαλυπτική µάθηση είναι ευεργετική σε µικρότερους µαθητές και αναφέρεται σε τυχαίες ανακαλύψεις. Τα 4 είδη µάθησης, κατά τον Ausubel, είναι: η νοηµατική-προσληπτική µάθηση η µηχανιστική-προσληπτική µάθηση η µηχανιστική-ανακαλυπτική µάθηση η νοηµατική-ανακαλυπτική µάθηση Από αυτές τις 4, η πρώτη στη σειρά είναι και η καταλληλότερη µορφή µάθησης για το σχολείο. Με τη µέθοδο αυτή, η γνώση προσφέρεται άµεσα στην τελική της µορφή, µέσω της καθοδήγησης του δασκάλου (Κολιάδης, 1997) Άλλοι σηµαντικοί ψυχολόγοι Άλλος σηµαντικός ψυχολόγος υπήρξε ο εκπρόσωπος της ανθρωπιστικής σχολής Carl Rogers ( ), που βάσισε την ανθρωπιστική του θεώρηση, µελετώντας υπαρξιακούς συγγραφείς. Θεωρούσε ότι ο άνθρωπος διαθέτει ένστικτο ανάπτυξης, το οποίο ελέγχει και κατευθύνει την εξέλιξή του. Εξαιτίας αυτών των θεωρήσεων, πίστευε ότι είναι επιβεβληµένη η δηµιουργία ενός κατάλληλου και ευνοϊκού περιβάλλοντος για την ανάπτυξη (Houssaye, 2000). Άλλη σηµαντική του αρχή είναι η πεποίθησή του ότι τα ανθρώπινα όντα έχουν µια φυσική ικανότητα για µάθηση, η οποία συντελείται γρηγορότερα και ευκολότερα, όταν γίνεται αντιληπτό από το µαθητή ότι το αντικείµενο της µάθησης είναι σχετικό και εξυπηρετεί τους στόχους του. Ακόµα φρονούσε, πως η σηµαντική µάθηση αποκτιέται βιωµατικά και µέσω δράσης. Για τον Rogers, τέλος, η πλέον χρήσιµη, κοινωνικά µάθηση στο σύγχρονο κόσµο, είναι η µάθηση της διαδικασίας της µάθησης, η συνεχής, δηλαδή, ευρύτητα αντιλήψεων για απόκτηση εµπειριών και προσαρµογής σε κάθε διαδικασία αλλαγής (Zimring, 1994). 85

94 Σπουδαίος ψυχολόγος υπήρξε και ο Erikson ( ) ο οποίος υποστήριξε τη µεταβλητότητα της προσωπικότητας και διέκρινε οκτώ αναπτυξιακά στάδια: Εµπιστοσύνη εναντίον δυσπιστίας (από τη γέννηση µέχρι το 2ο περίπου έτος) Αυτονοµία εναντίον ντροπής ή αµφιβολίας (2ο µέχρι το 3ο έτος) Πρωτοβουλία εναντίον ενοχής (από το 3ο έως το 6ο έτος) Εργατικότητα εναντίον κατωτερότητας (από το 6ο έως το 12ο έτος) Ταυτότητα εναντίον σύγχυσης ρόλων (από το 12ο έως το 20ο έτος) Οικειότητα εναντίον αποµόνωσης (από το 20ο έως το 30ο έτος) Ανθρωπισµός εναντίον της στασιµότητας (από 30o έως το 65ο έτος) Ακεραιότητα του εγώ εναντίον απελπισίας (από το 65ο έως το θάνατο) O Gardner και οι πολλαπλοί τύποι νοηµοσύνης Η διαθεµατικότητα στη διδασκαλία δίνει τη δυνατότητα εξέτασης µιας έννοιας κάτω από πολλές οπτικές γωνίες, από διάφορα επιστηµονικά πεδία, µε αποτέλεσµα τη βαθύτερη και πολύπλευρη κατανόησή της (Παναγιωτακόπουλος & Πιερρακέας & Πιντέλας, 2005). Τα νέα Αναλυτικά προγράµµατα Σπουδών ευνοούν και προκρίνουν τη «διαθεµατικότητα» ή «διεπιστηµονικότητα», καλύτερα, της γνώσης καταργώντας, εν µέρει, τα διακριτά και αυτοτελή µαθήµατα. Με τον όρο διαθεµατικότητα αναφερόµαστε στη θεωρητική αρχή οργάνωσης του Αναλυτικού Προγράµµατος, όπου επιχειρείται να προσεγγιστεί η γνώση ενιαιοποιηµένη. Αντίθετα, ο όρος ιεπιστηµονικότητα αναφέρεται στον τρόπο οργάνωσης του αναλυτικού προγράµµατος, όπου διατηρούνται τα διακριτά µαθήµατα, αλλά µε ποικίλες τεχνικές και προσεγγίσεις, πραγµατοποιούνται διασυνδέσεις και συσχετισµοί µεταξύ του περιεχοµένου των διαφορετικών µαθηµάτων. Τέλος, το Νέο ιαθεµατικό Ενιαίο Πλαίσιο Προγραµµάτων Σπουδών ( ΕΠΠΣ) στοχεύει τόσο στην καλύτερη και ισόρροπη κατανοµή της διδακτέας ύλης ανά τάξη, όσο και στην εφικτή διαθεµατική προσέγγιση τής γνώσης ( Ακόµα, και η θεωρία των πολλαπλών τύπων νοηµοσύνης τού H. Gardner (Gardner, 1993) έδωσε ερείσµατα στη διαθεµατική προσέγγιση. Ο Gardner ( υποστηρίζει ότι το σχολείο πρέπει να απευθύνεται σ όλους τους τύπους νοηµοσύνης και όχι µόνο στη γλωσσική και τη λογικοµαθηµατική, κάτι που συµβαίνει και µε τα γνωστά Tests I.Q, αφού κατεξοχήν αυτούς του τύπους νοηµοσύνης «ανιχνεύουν», και για αυτό το λόγο καθίστανται, µάλλον, αναξιόπιστα. Σύµφωνα, λοιπόν, µε τον H. Gardner υπάρχουν οκτώ τύποι νοηµοσύνης: Γλωσσική (Verbal/Linguistic) Λογικοµαθηµατική (Logical/Mathematical) Χωρική) (Visual/Spatial) Κιναισθητική (Bodily/Kinestetic) Μουσική (Musical/Rhythmic Ενδο-προσωπική (Interpersonal) ια-προσωπική (Intrapersonal) Νατουραλιστική (Naturalistic) Η θεωρία των πολλαπλών τύπων Νοηµοσύνης του H. Gardner µπορεί να αξιοποιηθεί και να παράσχει ερείσµατα στη διδασκαλία των αριθµητικών συστηµάτων, ειδικά σήµερα, στην εποχή της «διαθεµατικής αυτοκρατορίας». Ερωτήσεις όπως «Πώς θα εξηγούσαµε το σηµασιολογικό κανόνα του τρέχοντος αριθµητικού µας συστήµατος;» ή «Γιατί πιστεύετε ότι επικράτησε το δεκαδικό;» 86

95 προάγουν και αναδεικνύουν τη γλωσσική και την λογικοµαθηµατική νοηµοσύνη, αντίστοιχα. Η ακρόαση σχετικών τραγουδιών αλλά και η αντιστοίχιση π.χ. των οκταδικών συµβόλων µε την µουσική κλίµακα (Becker, 2003), προσδίδει πλεονεκτήµατα στους «µουσικά ευφυείς». Η νατουραλιστική νοηµοσύνη προωθείται, επίσης, µέσω και του προβλήµατος γρίφου που παραπέµπει, ευθέως, στο δυαδικό σύστηµα: «Ένα µαγικό, κυκλικό νούφαρο βρίσκεται στο κέντρο µιας κυκλικής δεξαµενής και κάθε µέρα διπλασιάζει την επιφάνειά του. Σε 10 µέρες καλύπτει τη µισή δεξαµενή. Σε πόσες µέρες θα τη σκεπάσει ολόκληρη;». Το συνεχές δίπλωµα, ακόµα, ενός χαρτιού (Becker, 2003), σαφώς ευνοεί τους κιναισθητικούς τύπους, αλλά και ταυτόχρονα προδίδει τις «δυαδικές» του προεκτάσεις. Και η διαπροσωπική νοηµοσύνη, άλλωστε, οπωσδήποτε αξιοποιείται, µέσα από τη συνεργασία, σύµφωνα και µε τις τρέχουσες, εποικοδοµιστικές επιταγές, και την εµπλοκή σε κατάλληλα παιχνίδια µε αριθµούς. Τέλος, σαφές προβάδισµα αποκτούν οι «χωρικοί» και «κιναισθητικοί» τύποι µε τη χρησιµοποίηση στη διδασκαλία ενός αναλογικού οδόµετρου, µε πτυσσόµενες τις περιφέρειες των τροχών του. Η βάση 10, εύκολα, µε τη µείωση του µεγέθους των τροχών µετατρέπεται σε οκταδική, πενταδική ή σε δυαδική (Becker, 2003). Τέλος, θα παρατηρήσουµε ότι κάθε θέµα ιδωµένο διαθεµατικά προάγει, προωθεί, καλλιεργεί και αξιοποιεί και τους 8 τύπους της νοηµοσύνης του Gardner, δεδοµένου ότι η διαθεµατικότητα επιχειρεί αυτό το άνοιγµα, προς όλους τους τύπους της νοηµοσύνης. Ίσως, αυτό να λειτουργεί και ανταποδοτικά, αφού η Θεωρία περί των πολλαπλών τύπων νοηµοσύνης έδωσε ερείσµατα στην εµφάνιση της διαθεµατικής προσέγγισης και την παγίωσή της (;). 5. Εκπαιδευτικό λογισµικό Οι θεωρίες µάθησης είναι κατεξοχήν υπεύθυνες για πολλαπλές και πολυποίκιλες κατηγοριοποιήσεις των εκπαιδευτικών λογισµικών. Καταρχάς, η πρώτη δυϊκή διαµέριση αναφέρεται: α) στα λογισµικά, που επικεντρώνονται στον εκπαιδευτικό και στην Υπολογιστική Υποστήριξη της ιδασκαλίας µε την παροχή συνεχούς βοήθειας προς τον, παθητικά, προσλαµβάνοντα πληροφορίες µαθητή και β) στα λογισµικά, που υποστηρίζουν τη µάθηση, µέσω της ενίσχυσης του µαθητή, ώστε να αναπτύξει δεξιότητες υψηλού επιπέδου (Κόµης, 2004). Μια παρεµφερής ταξινόµηση αναφέρεται στον υπολογιστή ως δάσκαλο, µε τις περισσότερες εφαρµογές να στηρίζονται σε γραµµικές ακολουθίες εντολών και να προχωρούν στην εξέταση κάθε επόµενου σταδίου µόνο, όταν περατωθεί το προηγούµενο. Είναι συνήθως προγράµµατα καθοδήγησης και εξάσκησης και πρακτικής. Αποτέλεσµα, µάλιστα, αυτής της προσέγγισης ήταν η εκρηκτική αύξηση των εκπαιδευτικών πακέτων λογισµικού. Ο έτερος πόλος αυτού του διαχωρισµού δηλώνεται µε τον υπολογιστή ως εργαλείο, µε τη δηµιουργία, δηλαδή, παιδαγωγικών πλαισίων ανάδειξης υψηλών γνωστικών λειτουργιών, όπως δηµιουργικότητα, λύση προβληµάτων, κριτική σκέψη και αισθητική έκφραση. Είναι µαθητοκεντρικά και συνεργατικά περιβάλλοντα µάθησης, υπερµεσικές εφαρµογές που αξιοποιούν και τις δυνατότητες του διαδικτύου. Τα λογισµικά, που αναβαθµίζουν τον υπολογιστή σε γνωστικό εργαλείο, αποτελούν επιπλέον αλληλεπιδραστικές, εκπαιδευτικές περιοχές ευδοκίµησης και αξιοποίησης συνεργατικών περιβαλλόντων, στήριξης διαθεµατικών δραστηριοτήτων και χρήσης οπτικών αλλά ακόµα και πολλαπλών αναπαραστάσεων. Είναι πλούσια περιβάλλοντα «ανοικτού τύπου», που επιτρέπουν στο µαθητή να συµµετέχει ενεργά, να αφήνει το στίγµα του, να αλληλεπιδρά και να «οικοδοµεί» τη γνώση, σύµφωνα µε 87

96 τις τρέχουσες εποικοδοµιστικές και κοινωνικοπολιτισµικές θεωρήσεις. Είναι λογισµικά που λαµβάνουν υπόψη τους τις προϋπάρχουσες ιδέες, τις αντιλήψεις και τα νοητικά µοντέλα των µαθητών και υποστηρίζουν τη µάθηση, δηµιουργώντας κατάλληλα, ρεαλιστικά περιβάλλοντα ανακάλυψης και διερεύνησης της γνώσης αλλά και πειραµατισµού. Ο δυναµικός προβιβασµός τους σε διαµεσολαβητικά, γνωστικά εργαλεία προάγει και προωθεί την καλλιέργεια σύνθετων και ανώτερων νοητικών λειτουργιών. εν πρέπει, βέβαια, να συγχέονται µε τα ελεύθερα λογισµικά / λογισµικά ανοικτού κώδικα (ΕΛ/ΛΑΚ), τα οποία διατίθενται ελευθέρα και δωρεάν µε τη µόνη, ηθική υποχρέωση, οι προχωρηµένοι γνώστες, αφού τα βελτιώσουν να τα επαναδιαθέσουν στην ψηφιακή κοινότητα (π.χ Linux, openoffice, mozilla). Πολλοί εξελληνισµένοι τίτλοι εκπαιδευτικού λογισµικού ανοικτού κώδικα αναπτύχτηκαν από το Ε.Α.Ι.Τ.Υ, στο πλαίσιο των αρµοδιοτήτων του ως Τεχνικού Συµβούλου της Πράξης «Επιµόρφωση εκπαιδευτικών στη χρήση και αξιοποίηση των ΤΠΕ στην εκπαιδευτική διδακτική διαδικασία» και βρίσκονται αναρτηµένα στην e διεύθυνση: b-epipedo.cti.gr Σε αντιδιαστολή, τα λογισµικά που υποστηρίζουν τη διδασκαλία, µέσω δασκαλοκεντρικών και γνωσιοκεντρικών προσεγγίσεων, προσδίδοντας στον υπολογιστή το ρόλο του δασκάλου, είναι «κλειστού τύπου». Στα λογισµικά αυτά δίνεται βαρύτητα στην ορθή και αναλυτική παρουσίαση µόνο πληροφοριών, τις οποίες δέχεται ο µαθητής γραµµικά και άνευρα, διατηρώντας έναν παθητικό και διεκπεραιωτικό, και γι αυτό ανούσιο και άχαρο ρόλο. Οι πληροφορίες παρουσιάζονται µε τη µορφή ηλεκτρονικών βιβλίων και λογισµικών πολυµέσων καθοδηγούµενης διδασκαλίας και εξάσκησης και πρακτικής. Μια άλλη, τελευταία ταξινόµηση, άκρως συνυφασµένη µε τις 3 κύριες θεωρητικές προσεγγίσεις για τη µάθηση, κατατάσσει τα εκπαιδευτικά λογισµικά, όπως τονίστηκε σε 3 βασικές κατηγορίες: λογισµικά συµπεριφοριστικού τύπου λογισµικά εποικοδοµιστικού τύπου και λογισµικά κοινωνικοπολιτισµικού τύπου Τα λογισµικά συµπεριφοριστικού τύπου είναι τα «κλειστά» λογισµικά, µε το κύριο βάρος τους να κατανέµεται στην «υποστήριξη της εποπτικής και προγραµµατισµένης διδασκαλίας µε τη Βοήθεια Υπολογιστή» και στη µετάδοση της γνώσης, µέσω συσσωρευµένων πληροφοριών, που παρέχονται σε ποικιλία µορφών. Είναι υπολογιστικά περιβάλλοντα, που υποκαθιστούν το δάσκαλο, πλήρως εστιασµένα στην καθοδηγούµενη κατατοµή τους και στην αξιολόγηση γνώσεων. Οι παιδαγωγικές τους αξίες είναι σχετικά ισχνές και αµφισβητήσιµες. Στις θετικές τους συνεισφορές συγκαταλέγονται οι πολυδύναµες ανατροφοδοτήσεις και η βοήθειά τους στην εκµάθηση ξένων γλωσσών και στη χρήση διάφορων εργαλείων. Τα εποικοδοµιστικά λογισµικά είναι τα διερευνητικά λογισµικά ανοικτού τύπου, που αναβαθµίζουν τον υπολογιστή σε γνωστικό εργαλείο. Είναι παιδοκεντρικά περιβάλλοντα υποστήριξης της µάθησης, ανακάλυψης και οικοδόµησης της γνώσης. Τα υπερµεσικά λογισµικά οπτικοποίησης, προσοµοίωσης, µοντελοποίησης, εννοιολογικής χαρτογράφησης, εικονικής πραγµατικότητας, τεχνητής νοηµοσύνης είναι χαρακτηριστικοί και δηλωτικοί εκπρόσωποι αυτής της σύγχρονης και αποτελεσµατικής κατηγορίας εκπαιδευτικού λογισµικού. Τέλος, τα λογισµικά κοινωνικοπολιτισµικού τύπου αναφέρονται σε αλληλεπιδραστικά συστήµατα επικοινωνίας και συνεργασίας, όπως οι υπηρεσίες του διαδικτύου ( , chat, wikis, blogs, forae, skype κλπ.). 88

97 5.1. Τα λογισµικά στην εκπαίδευση Οι εκπαιδευτικές χρήσεις των τεχνολογιών πληροφορίας και των επικοινωνιών (ΤΠΕ) χωρίζονται, αδροµερώς, σε 3 κατηγορίες (Βοσνιάδου, 2006). Η πρώτη κατηγορία αφορά στην ανάπτυξη βασικών δεξιοτήτων και στην εξοικείωση µε την Τεχνολογία. Επίσης οι µαθητές µαθαίνουν να χρησιµοποιούν λογισµικά. Η δεύτερη περίπτωση επικεντρώνεται σε λογισµικά εξάσκησης και επανάληψης. Τέλος η τελευταία κατηγορία χρήσεων των ΤΠΕ περιλαµβάνει περισσότερο κονστρουκτιβιστικές προσεγγίσεις. Οι ΤΠΕ (πρέπει να) χρησιµοποιούνται και να αξιοποιούνται στο Σύγχρονο Σχολείο. Τα µαθησιακά οφέλη τους διαχέονται µέσω των ολοκληρωµένων (ολιστικών) µοντέλων σε όλα σχεδόν τα γνωστικά αντικείµενα. Ειδικότερα, για την Πρωτοβάθµια Εκπαίδευση είναι επιβεβαιωµένο το ενδιαφέρον των µαθητών ως προς την χρήση των ΤΠΕ στην εκπαιδευτική διαδικασία. Η Γλώσσα (π.χ µε το λογισµικό Ιδεοκατασκευές ή και τον κειµενογράφο ως γνωστικό εργαλείο), τα Μαθηµατικά (Cabri ή και Sketchpad και Function Probe), η Ιστορία (Centennia), η Φυσική (ανακαλύπτω τις µηχανές, Interactive Physics), η Γεωγραφία (Γαία) κ.λ.π είναι κάποια ενδεικτικά παραδείγµατα «εικονικών» ερεισµάτων και ωφεληµάτων, στο σύνολο σχεδόν των µαθηµάτων-γνωστικών αντικειµένων. Ακολουθεί σχετικός ενδεικτικός κατάλογος Κατάλογος µερικών λογισµικών γνωστικών αντικειµένων Ιστορικός Άτλαντας CENTENNIA, Ιστορία της Νεότερης και Σύγχρονης Ελλάδας, Το 21 Εν Πλω, για το µάθηµα της Ιστορίας, φυσικά Revelation Natural Art, TuxPaint, για ανάπτυξη της δηµιουργικότητας, επικοινωνίας και έκφρασης Ιδεοκατασκευές, Λεξικά και σώµατα κειµένων (Κέντρο Ελληνικής Γλώσσας) ή Εκπαιδευτικός Θησαυρός Ελληνικών Κειµένων, για Γλώσσα γραπτή έκφραση, φιλολογικά µαθήµατα Εκπαιδευτικό Λογισµικό (3 CD-ROMs) Μαθηµατικά Α & Β, Γ &, Ε' & Στ ηµοτικού (Παιδαγωγικό Ινστιτούτο) Ανακαλύπτω τις µηχανές, Γαία ΙΙ, Interactive Physics, Εγκυκλοπαίδεια ανθρωπίνουσώµατος, IrYdium Chemistry Lab, Μ.Α.Θ.Η.Μ.Α., ChemModels, για τις Φυσικές Επιστήµες Hot Potatoes, για ηλεκτρονική αξιολόγηση - δηµιουργία ασκήσεων και σταυρολέξων Inspiration, για εννοιολογική χαρτογράφηση The Geometer s Sketchpad, Cabri Geometry, Crocodile, GeoGebra Function Probe, Modellus, Αβάκιο, Excel, για τα Μαθηµατικά MicroWorldsPro, σπουδαίο προγραµµατιστικό εργαλείο Ανακαλύπτω τη Φύση (Μελέτη Περιβάλλοντος για µικρές ηλικίες) Προδιαγραφές ποιότητας εκπαιδευτικού λογισµικού Τέλος, κάποιες κλασικές, στοιχειώδεις αλλά και απαραίτητες προδιαγραφές ενός τυπικού εκπαιδευτικού λογισµικού είναι και οι (Κορδάκη, 2004α): Αλληλεπιδραστικότητα Ενεργητικότητα µαθητών Συνεργατικότητα Βιωµατικότητα ιαθεµατικότητα 89

98 Ανατροφοδότηση Φιλικότητα Ευχρηστία Άµεση διαχείριση αντικειµένων Πολλαπλές αναπαραστάσεις ιερεύνηση ανακάλυψη Εργαλεία βοήθειας Επεκτασιµότητα ιατύπωση υποθέσεων, γενικεύσεων, συµπερασµάτων 90

99 . ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ ΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Οι Νέες Τεχνολογίες στην Εκπαίδευση είναι µια αναµφισβήτητη πραγµατικότητα µε συνεπακόλουθο, βέβαια, την ανάπτυξη µιας νέας διάστασης στην εκπαιδευτική Τεχνολογία. Στην εκπαίδευση ο υπολογιστής µπορεί να χρησιµοποιηθεί σε όλα τα µαθήµατα και να διευκολύνει και να προωθήσει τη µάθηση σε όλα τα γνωστικά αντικείµενα µε τη χρήση εκπαιδευτικού λογισµικού, αναδεικνύοντας νέες δυνατότητες µάθησης (Ράπτης & Ράπτη, 2007). Ήδη, διανύεται η 5η δεκαετία από την εισαγωγή των πρώτων «θηριωδών» υπολογιστών στην εκπαιδευτική διαδικασία. Απ τις αρχές της δεκαετίας του 1980, όµως, η κατασκευή των πρώτων µικροϋπολογιστών, άλλαξε το τεχνολογικό εκπαιδευτικό τοπίο, αφού σταδιακά, αν και µε σχετική εγγενή προγραµµατιστική δυσκολία, οι υπολογιστές άρχισαν να διδάσκονται στα σχολεία. Φυσικά, σταθµός στην πληροφορική αποτέλεσε η επινόηση και η ανάπτυξη του «παγκόσµιου ιστού» (Alessi & Trollip, 2005). Σύµφωνα µε το NCTM (2000), οι αποφάσεις που λαµβάνονται από τους υπεύθυνους της εκπαίδευσης, ως προς το περιεχόµενο και το χαρακτήρα των σχολικών µαθηµατικών, έχουν σηµαντικές συνέπειες για τους µαθητές και την κοινωνία. Αυτές οι αποφάσεις πρέπει να στηρίζονται σε αρχές και πρότυπα, µε σκοπό να περιγράφονται και να αναδεικνύονται τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά γνωρίσµατα, µιας ιδιαίτερα υψηλής ποιότητας, στη διδασκαλία των Μαθηµατικών. Αυτές οι αρχές και τα πρότυπα αποτελούν ένα όραµα, καθοδηγώντας τους εκπαιδευτικούς στη διαρκή και επίπονη προσπάθειά τους, για συνεχή βελτίωση της διδασκαλίας των µαθηµατικών. Οι αρχές για τα σχολικά µαθηµατικά βασίζονται, πληρούν και καλύπτουν τα παρακάτω έξι χαρακτηριστικά: Ισότητα, ευέλικτο Αναλυτικό πρόγραµµα, Αποτελεσµατική ιδασκαλία, Μάθηση µε κατανόηση, Αξιολόγηση και Τεχνολογία. Σύµφωνα πάντοτε, µε το NCTM (2000), η τεχνολογία είναι ουσιαστική στη διδασκαλία και τη µάθηση των Μαθηµατικών, διότι επιδρά δραστικά στα Μαθηµατικά που διδάσκονται στο σχολείο, ενισχύοντας τη διαδικασία της µάθησης. Τα τεχνολογικά εργαλεία µπορούν να υποστηρίξουν την έρευνα και την ανακάλυψη της γνώσης από τους µαθητές, σε κάθε τοµέα των Μαθηµατικών, συµπεριλαµβανοµένης της Γεωµετρίας, της Στατιστικής και της Άλγεβρας. Οι µαθητές µπορούν να µάθουν περισσότερα Μαθηµατικά µε τη χρήση της τεχνολογίας, η οποία όταν αξιοποιείται κατάλληλα και επαρκώς, µπορεί να παρέχει ένα πλούσιο περιβάλλον στο οποίο µπορούν να αναπτυχθούν, για παράδειγµα, η κατανόηση της Γεωµετρίας αλλά και η διαίσθηση των µαθητών. Ο Noss και Hoyles περιγράφουν τον υπολογιστή ως ένα παράθυρο µάθησης. Οι τεχνολογίες πρέπει να χρησιµοποιούνται στις αίθουσες, ώστε να βοηθούν τους µαθητές κατά την επίλυση προβληµάτων, προσφέροντας πρόσβαση σε πληροφορίες, αποτελώντας ιδανικό πεδίο για µοντελοποίηση προβληµάτων αλλά και γόνιµο έδαφος ανάπτυξης µοντέλων και διαδικασιών λήψης αποφάσεων (Jonassen & Howland, 2003). Η τεχνολογία προσφέρει ιδανικό, «εικονικό» πεδίο αποτίναξης και απεµπλοκής από την παραδοσιακή, µονότονη και πληκτική µελέτη των µαθηµατικών µε την αναπροσαρµογή του περιεχοµένου και της παιδαγωγικής τους διάστασης και θα ήταν εκπαιδευτικά κολάσιµη πράξη η παραγκώνιση και ο υποσκελισµός της (Τουµάσης & Αρβανίτης, 2003). Η χρήση, λοιπόν, των εκπαιδευτικών εργαλείων της τεχνολογίας πρέπει να συνιστά αναπόσπαστο τµήµα της µάθησης και της διδασκαλίας των µαθηµατικών (N.C.T.M., 2000). Μάλιστα, ο αντίκτυπος της τεχνολογίας στη διδασκαλία των 91

100 µαθηµατικών είναι τριπλός, αφού: α) πολλά από τα µαθητικά ζητήµατα έχουν χάσει την αξία τους, οπότε β) διδάσκονται καλύτερα µε τη βοήθεια της τεχνολογίας και γ) πολλά µαθηµατικά θέµατα καθίστανται προσβάσιµα πλέον, εξαιτίας της τεχνολογίας (Van de Walle, 2005). Το περιβάλλον υπολογιστή µε τη µορφή εκπαιδευτικού λογισµικού χαρακτηρίζεται ως µέσο διαµεσολάβησης, µε ρόλο νοητικής σκαλωσιάς, εξαιτίας της υποστηρικτικής του λειτουργίας στην ανάπτυξη της µαθηµατικής δραστηριότητας των µαθητών, καθώς και µε τη συµβολή του στην αναδιοργάνωση της σκέψης των παιδιών (Κορδάκη, 2004α). Το National Council for Educational technology (NCET) περιγράφει 5 σηµαντικές ευκαιρίες που παρέχει η χρήση των ΤΠΕ, προκειµένου να υποστηριχθεί η διδασκαλία και η µάθηση στα µαθηµατικά (Briggs & Pritchard, 2005; Johnston- Wilder & Pimm, 2005): µάθηση από ανατροφοδότηση παρατήρηση προτύπων (µοτίβων), µια έννοια που, κατά κόρον, παρουσιάζεται και µελετάται στα νέα βιβλία των Μαθηµατικών, ειδικά του ηµοτικού διερεύνηση και επεξεργασία των ορθών δεδοµένων (π.χ κατάλληλος αριθµός δεκαδικών ψηφίων) διδασκαλία του υπολογιστή. O Seymour Papert συστήνει τα παιδιά να προγραµµατίζουν τους υπολογιστές, παρά ο υπολογιστής να προγραµµατίζει τα παιδιά. Ανάπτυξη της νοερής απεικόνισης (visual imagery). Οι µαθητές στις περισσότερες περιπτώσεις, ωφελούνται µαθησιακά, από τη µελέτη οπτικών δεδοµένων. Ακόµα, ο υπολογιστής επιτρέπει ευκολότερες συνδέσεις, µεταξύ διάφορων αντιπροσωπεύσεων όπως τύπων, πινάκων ή και γραφικών παραστάσεων. Η αλλαγή µιας παραµέτρου σε µια αντιπροσώπευση δεδοµένων, αυτόµατα επιφέρει αντίστοιχες µεταβολές και στις άλλες. Επιπλέον, η εργασία µε δυναµικές εικόνες βοηθά τους µαθητές να χειρίζονται δυναµικά διαγράµµατα και σχήµατα και τους ενθαρρύνει να οπτικοποιήσουν ειδικά τη γεωµετρία, δεδοµένου ότι παράγουν δικές τους νοητικές εικόνες (Crown, 2003). Ιδιαίτερα στην πρωτοβάθµια εκπαίδευση οι ΤΠΕ συµβάλλουν σηµαντικά, στη µάθηση των µαθηµατικών, καθότι µπορούν να βοηθήσουν τους µαθητές (Briggs & Pritchard, 2005; Johnston- Wilder & Pimm, 2005; Way & Beardon, 2003): Στην εξάσκηση και σταθεροποίηση αριθµητικών δεξιοτήτων Στην εξερεύνηση περιγραφή και αποκρυπτογράφηση αριθµητικών προτύπων (µοτίβων) Στη µαθηµατική µοντελοποίηση µέσα από την εξερεύνηση και την ερµηνεία δεδοµένων Στον πειραµατισµό µοτίβων σε αριθµούς, σχήµατα και χώρο Στην ανάπτυξη της λογικής σκέψης, µέσα από καταστάσεις άµεσης ανατροφοδότησης Στη διασύνδεση µεταξύ τοµέων και περιοχών των µαθηµατικών Στην ανάπτυξη της νοητικής φαντασίας (mental imagery) Στη δηµιουργία απλών προγραµµάτων Υπάρχουν τρεις τοµείς της διδασκαλίας και της µάθησης των µαθηµατικών που προσπορίζονται οφέλη από τη χρησιµοποίηση των ΤΠΕ: παιδαγωγικοί (ανάπτυξη δεξιοτήτων και εννοιών), οργανωτικοί, αφού οι µαθητές οργανώνουν, παρουσιάζουν 92

101 και βελτιώνουν την εργασία τους και ακολούθως κοινοποιούν τα ευρήµατα και τα συµπεράσµατά τους και, φυσικά, µαθηµατικοί. Γενικά, τα πλεονεκτήµατα των ΤΠΕ στη διδασκαλία των µαθηµατικών µπορούν να συνοψιστούν στα παρακάτω (Briggs & Pritchard, 2005; Crown 2003; Leask & Meadows, 2004): Προσθέτουν αξιοπιστία και ακρίβεια στις µετρήσεις. Βελτιώνουν την ποιότητα των παρουσιάσεων. Εξοικονοµούν χρόνο, που ξοδεύεται π.χ στη µέτρηση, στην καταγραφή ή στο γράψιµο. Προσφέρουν ευκολία και ακρίβεια στο χειρισµό δεδοµένων, που παρίστανται σε ποικίλες µορφές. Απαιτούν ενεργητική συµµετοχή, αφού παρέχουν πρόσβαση σε πληροφορίες, τις οποίες οι µαθητές πρέπει να επεξεργαστούν και να ερµηνεύσουν. Οι διαδραστικοί πίνακες παρέχουν έναν αποτελεσµατικό τρόπο παρουσίασης των πληροφοριών και υπογραµµίζουν τις στρατηγικές διδασκαλίας σε όλη την τάξη, ενώ πένες και ειδικοί µαρκαδόροι σε µια ποικίλα χρωµάτων µπορούν να χρησιµοποιηθούν, για να επισηµάνουν τα ιδιαίτερα στοιχεία κάποιας ενότητας. Τα πολυµέσα και το ιαδίκτυο µπορούν να χρησιµοποιηθούν για εξεύρεση κατάλληλου υποστηρικτικού υλικού, παρέχοντας στους µαθητές, κατά συνέπεια, πρόσβαση σε δύσκολες µαθηµατικές έννοιες. Ψηφιακά έγγραφα γραφικών παραστάσεων, διάστικτα έγγραφα πίνακες, διαγράµµατα, πλέγµατα, αριθµογραµµές, παρέχουν έναν γρήγορο και αποτελεσµατικό τρόπο παρουσίασης µαθηµατικών εννοιών. Animations και άλλες διευκολύνσεις επιτρέπουν στο χρήστη να περιστρέψει να απεικονίσει, να µεταφέρει και να µεγεθύνει σχήµατα, λέξεις και αριθµούς για να καταδειχτούν έτσι, ιδιαίτερες πτυχές των µαθηµατικών. Η ηλεκτρονική φύση όλων των υλικών επιτρέπει την εύκολη διαµοίραση, µεταξύ των εκπαιδευτικών και την επαναχρησιµοποίηση στο µέλλον σε άλλες τάξεις. Υπάρχουν τεράστιοι διαθέσιµοι πόροι στο ιαδίκτυο, που µπορεί να χρησιµοποιηθούν από πολλούς δασκάλους, συµβάλλοντας σε µακροπρόθεσµη µείωση του χρόνου προετοιµασίας. Στους µαθητές παρέχονται ευκαιρίες ώστε να αναπτυχθούν δεξιότητες, όπως συντονισµού, επικοινωνίας καθώς επίσης και τόνωση της αυτοπεποίθησής τους. Προσφέρουν υψηλά επίπεδα κινήτρων, συγκέντρωσης, συµµετοχής και τέρψης, µεταξύ των µαθητών. Οι περισσότεροι τοµείς και περιοχές των µαθηµατικών, ωφελούνται ιδιαίτερα από τη χρήση των ΤΠΕ στην Εκπαιδευτική διαδικασία, όπως για παράδειγµα: Αριθµητική, Άλγεβρα, Στατιστική Εξισώσεις, τύποι και ταυτότητες Επίλυση προβληµάτων Θεσιακή αξία των ψηφίων και στρογγυλοποίηση Ακολουθίες, συντεταγµένες, συναρτήσεις και γραφικές παραστάσεις Μετασχηµατισµοί Εξολοκλήρου η γεωµετρία ως γνωστικό αντικείµενο 93

102 Χειρισµός και επεξεργασία δεδοµένων Το λογισµικό για τα µαθηµατικά πρέπει να πληροί, κατεξοχήν, τις ακόλουθες λειτουργίες και προϋποθέσεις (Fox & Montague-Smith & Wilkes, 2000): Ταχύτητα και αυτόµατες λειτουργίες Χωρητικότητα και ποικιλία υνατότητα τροποποιήσεων και διορθώσεων Αλληλεπιδραστικότητα Φυσικά, υπάρχουν πολλοί διαθέσιµοι τύποι λογισµικών για τη διδασκαλία και τη µάθηση των µαθηµατικών (Crown, 2003; Johnston- Wilder & Pimm, 2005; Way & Beardon, 2003): Υπολογιστές τσέπης και γραφηµάτων Συστήµατα αναλυτικών και αριθµητικών υπολογισµών (Mathematica) Επεξεργαστές µαθηµατικών συµβολισµών και τύπων (Math Type) Λογισµικό γενικής χρήσης (Λογιστικά φύλλα, επεξεργαστής κειµένου, βάσεις δεδοµένων, λογισµικό παρουσιάσεων, λογισµικά αισθητικής έκφρασης) Γλώσσες προγραµµατισµού (Logo, Microwords Pro, Fortran, Prolog) Περιβάλλοντα δυναµικής γεωµετρίας (Cabri Geometry, Geometry SketchPad, Cinderella, Geometric Supposer, Geometry Inventor) Περιβάλλοντα µοντελοποίησης (Modellus, Modeling Space, ηµιουργός Μοντέλων) ιαδικτυακές εφαρµογές Το ΕΠΠΣ - ΑΠΣ των Μαθηµατικών της υποχρεωτικής Εκπαίδευσης, υπογραµµίζει ότι στη δηµιουργία περιβάλλοντος, στο οποίο εµπλέκονται όλες οι αισθήσεις και αναπτύσσεται η επικοινωνία, συµβάλλουν, εκτός των συµβατικών µέσων και οι νέες τεχνολογίες. Έτσι, η χρήση ενός κατάλληλου εκπαιδευτικού λογισµικού µπορεί αφενός να διευρύνει τα όρια µιας αναπαράστασης και αφετέρου να δώσει τη δυνατότητα πολλαπλής αναπαράστασης µίας έννοιας µε την ταυτόχρονη εξέλιξη (σε διαφορετικά πλαίσια) ενός φαινοµένου ή γεγονότος. Κατά αυτόν τον τρόπο επιτυγχάνεται τόσο η δηµιουργία όσο και η διατήρηση ερευνητικού κλίµατος. Από την Πέµπτη ηµοτικού προτείνεται οι µαθητές να χρησιµοποιούν τον Η/Υ, µε ανάλογα προγράµµατα (υπολογιστές τσέπης, Word, Excel, Paint, SketchPad, Cabri, Logo), για την «ευχερέστερη αντιµετώπιση των προβληµάτων». 1. Λογισµικά Γεωµετρίας Υπάρχουν, γενικά, δύο τύποι λογισµικών εφαρµογής, µε καθαρά γεωµετρικά χαρακτηριστικά, που βοηθούν αναµφίβολα στη µελέτη και µάθηση της σχολικής γεωµετρίας. Τα τελευταία τριάντα χρόνια, η έρευνα έχει επικεντρωθεί κυρίως, σε αυτά τα δύο είδη τεχνολογίας, τα οποία παρέχουν γραφικές αναπαραστάσεις: α) στη Γεωµετρία της χελώνας, συνυφασµένης µε τη φιλοσοφία του µικρόκοσµου και β) στα υναµικά Περιβάλλοντα Γεωµετρίας, µε την ποικιλία και γενικά την ανάπτυξη υψηλού βαθµού αλληλεπίδρασης και άµεσου χειρισµού όλων των γεωµετρικών αντικειµένων (Laborde et all, 2006) Γεωµετρία της χελώνας Ο Seymour Papert, το 1980, κυκλοφόρησε το µνηµειώδες βιβλίο του «Mindstorms: Chίldren, Computers, and Powerful Ideas», που διεπόταν από µια πιαζετιανή παιδαγωγική φιλοσοφία, η οποία επικεντρωνόταν στην αλληλεπίδραση των µαθητών µε τους υπολογιστές, µέσω της γλώσσας προγραµµατισµού Logo. Στόχος του υπήρξε η µάθηση των µαθηµατικών να επιτυγχάνεται µε τη δηµιουργία 94

103 προγραµµάτων στον υπολογιστή, παρά µε παραδείγµατα, ασκήσεις και διαγωνίσµατα. Τρία χρόνια αργότερα και ο Richard Noss επικροτούσε και προσυπόγραφε, εγγράφως, αυτές τις απόψεις του Papert στο άρθρο του «Doing maths while learning Logo» (Johnston- Wilder & Pimm, 2005). Η Logo είναι µια γλώσσα προγραµµατισµού, ειδικά σχεδιασµένη για µαθητές, που δηµιουργήθηκε τη δεκαετία του 1960 από τον W. Feurseig. Η ετυµολογία της παραπέµπει στην ελληνική λέξη «λόγος» που σηµαίνει συλλογισµός, γλώσσα και υπολογισµός. Αργότερα το 1968, ο S. Papert, συνεργάτης του Piaget και ευρύτατα γνωστός επειδή µελετούσε τις επιπτώσεις νέων τεχνολογιών στην εκπαιδευτική διαδικασία, την τελειοποίησε. Στόχος του ήταν να δηµιουργήσει ένα εργαλείο, ώστε να βελτιώσει τον τρόπο, που τα παιδιά σκέφτονται και λύνουν προβλήµατα. Πρωταγωνιστικό ρόλο στον προγραµµατισµό της Logo κατέχει η ακάµατη χελώνα που περιηγείται αγογγύστως, την οθόνη του υπολογιστή µέσω των απλών εντολών της γλώσσας. Ένα πολύ ενδιαφέρον περιβάλλον προγραµµατισµού είναι το MicroWorlds Pro, µια καναδέζικη έκδοση της LCSI, που κυκλοφόρησε το 1999, και η οποία εξελληνίστηκε δυο χρόνια αργότερα. Χρησιµοποιεί τη γλώσσα προγραµµατισµού Logo, προγραµµατίζοντας χελώνες. Το λογισµικό αυτό µπορεί να παρέχει εκπληκτικές ευκαιρίες στους µαθητές για δηµιουργική ενασχόληση και έκφραση ( απόντες κ.ά., 2003), προσφέροντας εποικοδοµιστικές, παιδαγωγικές προσεγγίσεις και επιπρόσθετα µαθησιακά οφέλη, σε σχέση πάντα µε την παραδοσιακή διδασκαλία αίθουσας. Πάντως, σαν µια γενική αποτίµηση, τριάντα χρόνια µετά την εισαγωγή της Logo στα σχολεία ως ένα επαναστατικό, νεωτεριστικό παιδαγωγικό εργαλείο, οποιοσδήποτε µπορεί να ισχυριστεί ότι η γλώσσα αυτή δε δικαίωσε τις πρώτες και µεγάλες προσδοκίες, για ριζική ανατροπή και εκ βάθρων αναδιάρθρωση, ίσως, του εκπαιδευτικού συστήµατος. Στη δευτεροβάθµια εκπαίδευση, για παράδειγµα, του Ηνωµένου Βασιλείου έχει σχεδόν εγκαταλειφθεί και εξοβελιστεί από τα αναλυτικά προγράµµατα των µαθηµατικών. Μόνη παρηγοριά και ζωοδότης της, οι ευρείες, ακόµα, αναφορές χρήσης και εφαρµογών της, σε σχολεία της Πρωτοβάθµιας Εκπαίδευσης υναµικά Περιβάλλοντα Γεωµετρίας Στην ίδια δεκαετία (του 1980), των µεγάλων προσδοκιών από τη Logo και της κατασκευής των µικροϋπολογιστών αλλά όµως προς τα τέλη της, τοποθετείται και η νέα γενιά του δυναµικού γεωµετρικού λογισµικού µε δηµοφιλέστερους αντιπροσώπους το Cabri και το Sketchpad που επαναστατικοποίησαν τη διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωµετρίας. Τα πρώτα υναµικά Περιβάλλοντα Γεωµετρίας αξιοποίησαν πλήρως την τεράστια πρόοδο, που είχε συντελεστεί στη δηµιουργία γραφικών διεπαφών χρήστη. Ένα από τα κίνητρα ήταν να ενισχυθούν οι µαθητές, ώστε να αντιληφθούν τις γενικές πτυχές ενός στατικού διαγράµµατος (Laborde et all, 2006). Επιπλέον ήταν (και είναι) περισσότερο φιλικά στο χρήστη και φυσικά δεν απαιτούν γνώσεις προγραµµατισµού, κάτι που προβάλλει, µάλλον, ως το σηµαντικότερο πλεονέκτηµά τους. Τα µαθηµατικά είναι µια από τις γλώσσες της φαντασίας και η γεωµετρία είναι µια δεξιότητα των µατιών, των χεριών καθώς επίσης και του νου. Οι λέξεις «θεώρηµα» και «θέατρο» είναι οµόριζες και σχετίζονται µε τις παρουσιάσεις, µε τις επιδείξεις, ενώ και οι δύο παρέχουν µιαν αύρα µαγείας γύρω τους (Johnston-Wilder & Pimm, 2005). 95

104 Τα λογισµικά υναµικής Γεωµετρίας προσφέρουν αυτή την αίσθηση της µαγείας, µε τη δηµιουργία και το συνεχή µετασχηµατισµό διαγραµµάτων και άλλων µαθηµατικών µορφών. Αντίθετα από την ανθρώπινη νοητική φαντασία, η οθόνη του υπολογιστή µπορεί επίσης, να κρατήσει συγκεκριµένες εικόνες για παρατήρηση και διερεύνηση και, επιπλέον, είναι ένας δηµόσιος χώρος, που καθιστά τις δυναµικές φαντασίες, ορατές σε όλους (Johnston- Wilder & Pimm, 2005). Πολλά και διάφορα υναµικά Περιβάλλοντα Γεωµετρίας έχουν αναπτυχθεί, την τελευταία εικοσαετία. Ο αριθµός τους, παγκοσµίως, ανέρχεται περίπου σε 70, αν και τα περισσότερα από αυτά είναι κλώνοι αρχικών υναµικών Περιβαλλόντων, τα οποία είναι λιγότερα από δέκα. Τα βασικά και κλασικά αυτά λογισµικά, που προκάλεσαν σωρεία ερευνών, στη µαθηµατική εκπαίδευση, κατά αλφαβητική σειρά, είναι (Laborde et all, 2006): Cabri-géomètre GEOLOG Geometer s Sketchpad Geometry Inventor, Geometric Supposer και Thales Η Γεωµετρία, αναµφίβολα, είναι το γνωστικό αντικείµενο στο οποίο η τεχνολογία έχει υπεισέλθει «δυναµικά», µέσω αυτών των γνωστών διαδραστικών περιβαλλόντων µάθησης. Ακόµα, τέτοιες τεχνολογικές προσεγγίσεις είναι δυνατές ακόµα και στην ύλη του ηµοτικού Σχολείου. Το σωστό εκπαιδευτικό λογισµικό έχει υψηλή ανατροφοδοτική και αλληλεπιδραστική λειτουργία, αφού σχεδιάζεται και υλοποιείται αυστηρά, για καθαρά διδακτικούς σκοπούς. Βασικό χαρακτηριστικό των δυναµικών λογισµικών της γεωµετρίας είναι η δυναµική τροποποίηση, η µετακίνηση και ο µετασχηµατισµός των σχηµάτων, µε διατήρηση όµως, των βασικών σχέσεων και ιδιοτήτων τους. Είναι σαν τα σχήµατα να αντιδρούν στους χειρισµούς του χρήστη, ακολουθώντας τους νόµους της Γεωµετρίας, ακριβώς όπως τα υλικά αντικείµενα αντιδρούν σύµφωνα µε τους νόµους της Φυσικής (Laborde et all, 2006). Οι δυνατότητες υπολογισµών, οι γραφικές παραστάσεις και οι δυνατότητες συρσίµατος (drag mode) παρέχουν γενικεύσεις και ανακαλύψεις ιδιοτήτων, και σύµφωνα µε τις επιταγές και θεωρήσεις των σύγχρονων εποικοδοµιστικών θεωριών για τη µάθηση, οι µαθητές κάνουν µαθηµατικές υποθέσεις, λύνουν προβλήµατα και δηµιουργούν ακόµα σχετικά προβλήµατα (Τουµάσης & Αρβανίτης, 2003; Christou et all, 2005). Τα λογισµικά αυτά ανήκουν στην κατηγορία των διερευνητικών µικρόκοσµων, αποτελούν εικονικά εργαστήρια και επιτρέπουν στους µαθητές να δηµιουργήσουν πληθώρα οµοειδών σχηµάτων, να πειραµατισθούν, να εξερευνήσουν και να παρατηρήσουν, προκειµένου να εντοπίσουν σταθερές, πρότυπα και κανονικότητες, ώστε να διατυπώσουν υποθέσεις, τις οποίες και θα δοκιµάσουν ακολούθως, µε τη συνδροµή του λογισµικού. Σε ένα τέτοιο είδος αλληλεπίδρασης µε το µικρόκοσµο ο µαθητής µπορεί να αποκτήσει τη γνώση που ενσωµατώνεται στο λογισµικό και µπορεί έπειτα να κατασκευάσει µια κατάλληλη γεωµετρική γνώση (Bartolini Bussi et all). Επιπλέον, η χρήση υναµικών Περιβαλλόντων Γεωµετρίας στη διδασκαλία των µαθηµατικών βελτιώνει την ικανότητα των µαθητών στον επαγωγικό και παραγωγικό συµπερασµό (Χρίστου & Πίττα - Πανταζή, 2004). Έρευνες δείχνουν ότι κατά τη χρησιµοποίηση των υναµικών Λογισµικών της Γεωµετρίας, οι µαθητές µπορούν να προχωρήσουν σε µαθηµατικές επεξηγήσεις, οι οποίες µε τη σειρά τους 96

105 αποτελούν τη βάση για την περαιτέρω ανάπτυξη των εννοιών του παραγωγικού συλλογισµού στα µαθηµατικά (Jones, 2001). Ακόµα, µέσω ερευνών αποδείχθηκε ότι τα λογισµικά αυτά µπορούν να διαδραµατίσουν ένα σηµαντικό ρόλο στη δηµιουργία και την επίλυση προβληµάτων. Τρεις είναι οι βασικές επιπτώσεις τους στη µαθησιακή διαδικασία (Christou et all, 2005): το σύρσιµο και η µέτρηση είναι σηµαντικά εργαλεία για την επίλυση προβληµάτων και για την ακρίβεια των υποθέσεων, αντίστοιχα. ως ένα εργαλείο διαµεσολάβησης ενθαρρύνουν τις υποθέσεις, τον πειραµατισµό και τις γενικεύσεις. οι µαθητές, είναι πολύ πιθανό, µε το σύρσιµο να εντοπίσουν ειδικές περιπτώσεις και να τις µελετήσουν. Στις σχολικές τάξεις τα πρακτικά ζητήµατα του χρόνου και του τρόπου χρησιµοποίησης του λογισµικού δυναµικής γεωµετρίας είναι πολύ καίρια και κρίσιµα. Οι δάσκαλοι µε την ασφυκτική, χρονική δυσπραγία και την ανεπάρκεια τεχνολογικού εξοπλισµού και οι συντάκτες αναλυτικών προγραµµάτων προκαλούνται «τοις πράγµασι» για την εξεύρεση και δηµιουργία νέων καινοτόµων δραστηριοτήτων, που θα στοχεύουν και θα υπηρετούν τις ανάγκες των σηµερινών «δυναµικών» µαθητών (Christou et all, 2005). Γενικά, πολλά αποτελέσµατα ερευνών αποκαλύπτουν ότι τα δυναµικά περιβάλλοντα διευκολύνουν την καλύτερη κατανόηση των γεωµετρικών εννοιών και ενθαρρύνουν τους µαθητές να κινηθούν προς υψηλότερα επίπεδα γεωµετρικής σκέψης, πέραν µιας στραγγαλιστικής αποµνηµόνευσης ιδιοτήτων, κάποιων γεωµετρικών σχηµάτων (Ustun & Ubuz, 2004) Επίπεδα γεωµετρικής σκέψης van Hiele και δυναµικά περιβάλλοντα Γεωµετρίας Η σχολική γεωµετρία, που παρουσιάζεται αξιωµατικά, υποθέτει ότι οι µαθητές σκέφτονται µε ένα τυπικά συµπερασµατικό τρόπο. Μια άλλη θεωρία, όµως σχετικά µε την εκµάθηση της γεωµετρίας είναι η θεωρία των van Hiele, δυο Ολλανδών παιδαγωγών, που ξεκίνησε το 1959 και αποτελεί, σήµερα, τον παράγοντα µε τη µεγαλύτερη επίδραση στη σχολική γεωµετρία. Αποτελείται από δύο κύριες πτυχές. Η πρώτη αποτελείται από µια ιεραρχική ακολουθία πέντε επιπέδων συλλογιστικών διεργασιών και γεωµετρικής σκέψης. Το δεύτερο µέρος ενδιαφέρεται για την ανάπτυξη της διαίσθησης των µαθητών και επικεντρώνεται στις φάσεις εκµάθησης, στα µέσα, δηλαδή, τα οποία µετέρχεται ένας δάσκαλος, προκειµένου να αυξήσει την απόδοση των µαθητών του, µέσω αυτών των διάφορων επιπέδων σκέψης. Τα επίπεδα έχουν µια συγκεκριµένη και αυστηρή αλληλουχία και καθώς το παιδί προχωράει γραµµικά, από ένα προηγούµενο επίπεδο στο επόµενο, το αντικείµενο των γεωµετρικών του συλλογισµών αλλάζει (Olkun & Sinoplu & Deryakulu, 2005; Van de Walle, 2005;) Τα πέντε επίπεδα γεωµετρικής σκέψεις των van Hiele, τα οποία, κατά βάση, δεν είναι ηλικιακά συναρτηµένα, είναι τα εξής (συνοδευόµενα από τα κυριότερα χαρακτηριστικά τους): Επίπεδο 1: Νοερή Απεικόνιση (Visualisation). Οι µαθητές αναγνωρίζουν τα σχήµατα ως συνολικές οντότητες και παραβλέπουν τις ιδιότητες και τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά τους. Ένα περιστρεµµένο ορθογώνιο τρίγωνο, για παράδειγµα, που η βάση του δεν είναι παράλληλη στις γραµµές ή στο περίγραµµα τού τετραδίου, πιθανόν να µην αναγνωρίζεται ως τέτοιο. 97

106 Επίπεδο 2: Ανάλυση (Analysis). Οι µαθητές εντοπίζουν τις ιδιότητες κάποιων σχηµάτων, αδυνατώντας όµως να τις εξηγήσουν και να τις ορίσουν και µέσω αυτών προβαίνουν σε χαλαρές οµαδοποιήσεις. Επίπεδο 3: Μη Τυπική Παραγωγή (Informal Deduction). Σε αυτό το επίπεδο οι µαθητές µπορούν να επιχειρηµατολογήσουν, µέσω µιας ενορατικής κατανόησης των ιδιοτήτων των σχηµάτων αλλά και κάποιων συσχετισµών µεταξύ των ιδιοτήτων διαφορετικών σχηµάτων. «Ένα τρίγωνο χαρακτηρίζεται σκαληνό, αφού διαθέτει τρεις άνισες µεταξύ τους πλευρές» είναι µια απόφανση µαθητή, που η σκέψη του κινείται, τουλάχιστο, στο τρίτο επίπεδο της Μη Τυπικής Παραγωγής. Επίπεδο 4: Παραγωγή (Deduction). Οι µαθητές, στηριζόµενοι σε ορισµούς και αξιώµατα, αποδεικνύουν θεωρήµατα. Επίπεδο 5: Αυστηρότητα (Rigor). Οι µαθητές, ως φοιτητές πια, µε υψηλή µαθηµατική σκέψη, µελετούν διάφορα αξιωµατικά συστήµατα, όπως τη γεωµετρία του Riemman ή την υπερβολική γεωµετρία του Lobachevsky. Αυτονοήτως, το τέταρτο επίπεδο συνάδει και προσιδιάζει περισσότερο στα αναλυτικά προγράµµατα του Λυκείου, ενώ τα τρία πρώτα σε µαθητές της υποχρεωτικής Εκπαίδευσης. Έτσι, και τα δυναµικά περιβάλλοντα Γεωµετρίας καλύπτουν και υποστηρίζουν αναφανδόν, αυτά τα τρία πρώτα επίπεδα γεωµετρικής σκέψης των van Hiele. Με τη δηµιουργία κατάλληλων ακολουθιακών δραστηριοτήτων, που αφορούν σε κάθε ιεραρχικό επίπεδο, ενθαρρύνονται διαδικασίες διερεύνησης, που ξεκινούν από την οπτικοποίηση (νοερή απεικόνιση), κατόπιν «αναλύονται» και, τέλος, µέσω εικασιών και συσχετισµών (3 ο επίπεδο) µπορούν να καταλήξουν σε µαθηµατικά αυστηρές αποδείξεις (4 ο επίπεδο). 98

107 Ε. ΤΟ ΥΝΑΜΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ CABRI GEOMETRY 1. Οι δυνατότητες του λογισµικού Το Cabri Geometry II δηµιουργήθηκε από τους Jean-Marie Laborde και Frank Bellemain, στο Ινστιτούτο Πληροφορικής και Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών (IMAG), στο πανεπιστήµιο Joseph Fourier της Γκρενόµπλ στη Γαλλία, σε συνεργασία µε άλλους δύο φορείς, το Εθνικό Κέντρο Επιστηµονικής Έρευνας της Γαλλίας (CNRS) και την ιδιωτική επιχείρηση Texas Instruments. Η συνολική προσπάθεια ήταν υπό την αιγίδα του γαλλικού υπουργείου Παιδείας. Το αλληλεπιδραστικό λογισµικό Cabri Geometry II εξελληνίστηκε, την τρέχουσα δεκαετία και διανεµήθηκε από το Υπουργείο Παιδείας, για χρήση στα σχολεία της δευτεροβάθµιας εκπαίδευσης. Το εκπαιδευτικό λογισµικό Cabri Geometry II είναι ένα δυναµικό, µαθησιακό µέσο διερευνητικής και ανακαλυπτικής προσέγγισης κατά τη διδασκαλία και µάθηση της γεωµετρίας αλλά, εν µέρει, και της άλγεβρας. Ειδικά, στην ευκλείδεια γεωµετρία παρέχει ένα ευρύ φάσµα και πλαίσιο πραγµάτευσης, ποικιλίας θεµάτων. Το λογισµικό διαθέτει πλησµονή εργαλείων και λειτουργιών για την πραγµατοποίηση διάφορων και ποικίλων αλληλεπιδραστικών γεωµετρικών κατασκευών και δραστηριοτήτων, τα οποία διαδραµατίζουν το ρόλο των διαµεσολαβητών, εν είδει νοητικής σκαλωσιάς, µεταξύ των γεωµετρικών εννοιών που ενσωµατώνουν και των µαθητών. Εικόνα 51. Τα εργαλεία του Cabri Αποτελείται από 11 κουµπιά γεωµετρικών ενοτήτων (κατασκευές σχηµάτων, µετασχηµατισµοί, µετρήσεις, µορφοποιήσεις κλπ), που καθένα συνοδεύεται από ένα κυλιόµενο µενού, σχετικών λειτουργιών και κατασκευών. Μάλιστα, τα εργαλεία αυτά απαιτούν σχετικά λίγο χρόνο προσαρµογής και κατανόησης του τρόπου λειτουργίας τους, ενώ προσφέρονται και για εξατοµικευµένη µάθηση, αφού, µέσω αυτών, µπορεί να επιλεγεί η πλέον κατάλληλη, για κάθε µαθητή στρατηγική λύσης. Οι µαθητές µπορούν, όχι µόνο να πειραµατιστούν και να εκτελέσουν µια γεωµετρική κατασκευή, αλλά και να παρακινηθούν, να υποστηριχτούν και να επιβεβαιωθούν κατά τη διατύπωση συγκεκριµένων υποθέσεων και γενικεύσεων. Αυτό καθίσταται δυνατό, για τους µαθητές, µε την ενεργοποίηση της επαγωγικής και παραγωγικής σκέψης, µέσα στο πλαίσιο ανάπτυξης της γεωµετρικής λογικής τους, σε συνδυασµό µε τις προσπάθειές τους για επινόηση µεθόδων απόδειξης αυτών των υποθέσεων και γενικεύσεών τους. Μάλιστα, η αίσθηση της γενικότητας προκαλείται από την πολλαπλότητα των σχετικών περιπτώσεων µιας δεδοµένης γεωµετρικής µορφής ή σχήµατος. Το Cabri Geometry είναι ένα εξαιρετικό αλληλεπιδραστικό περιβάλλον. Οι περισσότερες ενέργειες δε των µαθητών, ακολουθούνται από σηµαντική οπτική και αριθµητική ανατροφοδότηση καθώς επίσης και από κειµενικά µηνύµατα οδηγιών και διόρθωσης. Αυτές οι δυνατότητες µπορούν να παρέχουν στους µαθητές δυνατότητες ενεργητικής µάθησης, σε αντίθεση µε τα παραδοσιακά ανενεργά περιβάλλοντα, όπως 99

108 το περιβάλλον χαρτί-µολύβι αλλά και άλλα περιβάλλοντα όπου χρησιµοποιούνται φυσικά αντικείµενα. Στο περιβάλλον Cabri-Geometry ΙΙ βρίσκουν πρόσφορο και γόνιµο έδαφος ανάδειξης και ευδοκίµησης όλες οι τρέχουσες, σύγχρονες κοινωνικοπολιτισµικές και εποικοδοµιστικές θεωρίες για τη γνώση και τη µάθηση. Μέσω των ποικίλων δυνατοτήτων και εργαλείων του λογισµικού, για κατασκευή και υλοποίηση κατάλληλων, µαθησιακών δραστηριοτήτων, η µάθηση αναβαθµίζεται σε µια ενεργητική, υποκειµενική και εποικοδοµιστική δραστηριότητα, όπου ο κύριος ρόλος της διατηρείται, µέσω αυτών των µαθησιακών δραστηριοτήτων και των εργαλείων, εντός του πλαισίου συµφραζοµένων (Μαστρογιάννης & Κορδάκη, 2007α). Τα εποικοδοµιστικά υπολογιστικά µαθησιακά περιβάλλοντα µπορούν να ενεργήσουν ως καταλύτες σε ολόκληρο το πλαίσιο µάθησης, διαδραµατίζοντας έναν ουσιαστικό, κρίσιµο και εξαιρετικό ρόλο, όπως ασφαλώς και οι κατάλληλα σχεδιασµένες δραστηριότητες µάθησης. Οι ολιστικές δραστηριότητες µάθησης µπορούν να βοηθήσουν τους µαθητές, ώστε να αποκτήσουν µια σφαιρική άποψη του θέµατος, ενώ οι δραστηριότητες επίλυσης προβλήµατος (Kordaki & Mastrogiannis, 2006) µπορούν να τους ενθαρρύνουν για να κατασκευάσουν τη γνώση ενεργά, καθώς επίσης και να αποκτήσουν ορισµένες ουσιαστικές δεξιότητες επίλυσης προβληµάτων. Ακόµα, οι τύποι των δραστηριοτήτων βοηθούν τους µαθητές να εκφράσουν τις ενδοατοµικές και διατοµικές τους διαφορές (Kordaki & Mastrogiannis, 2006). Ως τα κυριότερα χαρακτηριστικά και πλεονεκτήµατα του Cabri Geometry καταγράφονται, συνοπτικά, τα εξής (Κορδάκη, 2004β): Υψηλή διαδραστικότητα Φιλικότητα και ευχρηστία Πληθώρα εργαλείων και λειτουργιών υναµικό µαθησιακό περιβάλλον. Το περιβάλλον Cabri-Geometry II διαθέτει τη λειτουργία του «συρσίµατος», µέσω του οποίου είναι δυνατός ο δυναµικός µετασχηµατισµός σχηµάτων, έτσι ώστε να διατηρούνται οι βασικές τους ιδιότητες. Έτσι, οι µαθητές έχουν την ευκαιρία να πειραµατιστούν, µε µια απειρία σχηµάτων της ίδιας κλάσης και να διατυπώσουν υποθέσεις για τις βασικές τους ιδιότητες. Οπτική, αριθµητική και κειµενική ανατροφοδότηση, µε δυνατότητες αυτοδιόρθωσης Καταγραφή των ενεργειών των µαθητών Υποστήριξη διαθεµατικών δραστηριοτήτων ηµιουργία µακροεντολών Ποιοτική και ποσοτική προσέγγιση των γεωµετρικών εννοιών Ειδικότερα, οι προφερόµενες ευκαιρίες µάθησης και η παιδαγωγική προστιθέµενη αξία του «υναµικού» λογισµικού Cabri-Geometry εδράζονται και συνίστανται στις παρακάτω δυνατότητες (Κορδάκη, 2004β; Kordaki & Mastrogiannis 2006; Mastrogiannis & Kordaki, 2006; Kordaki & Mastrogiannis, 2007b): Παροχή πλούσιου συνόλου εργαλείων για την εκτέλεση ποικίλων γεωµετρικών κατασκευών για την ανάδειξη και κατανόηση σηµαντικού αριθµού γεωµετρικών εννοιών και προβληµάτων Πολλαπλές αριθµητικές και οπτικές αναπαραστάσεις, όπως γεωµετρία µε αριθµούς (µετρήσεις) και χωρίς (δυναµικοί µετασχηµατισµοί), πίνακες, πινακοποιήσεις, εξισώσεις, γραφικές παραστάσεις, υπολογισµοί. Όταν οι αναπαραστάσεις αυτές είναι της ίδιας έννοιας, ο µαθητής µέσω του συνδυασµού τους, µπορεί να επιλέξει την παιδαγωγικά και µαθησιακά προσφορότερη και πλέον επωφελή, για τον ίδιο. 100

109 υναµική διασύνδεση εννοιών, ιδεών και αναπαραστάσεων. Η διαδραστικότητα και η δυναµικότητα συµβάλλει στην ενίσχυση της ενεργητικής µάθησης, µέσω της διατύπωσης εικασιών και της εξέτασης υποθέσεων, µε άµεσο συνεπακόλουθο την ανάπτυξη στρατηγικών ανακάλυψης και διερεύνησης, µε στόχο την υιοθέτηση ή την απόρριψη αυτών των εικασιών. υναµικός και άµεσος χειρισµός των γεωµετρικών κατασκευών. Η λειτουργία του συρσίµατος (drag mode), παρέχει τη δυνατότητα δυναµικών µετασχηµατισµών και διαµόρφωσης δυναµικών όψεων των γεωµετρικών κατασκευών και σχηµάτων, µε αποτέλεσµα, µόνο οπτικές διαφοροποιήσεις, αφού οι βασικές τους γεωµετρικές ιδιότητες παραµένουν αναλλοίωτες. Η δυνατότητα διαχείρισης µεγάλης ποσότητας αριθµητικών στοιχείων, µέσω της αυτόµατης πινακοποίησης, παρέχει στους µαθητές ευκαιρίες να απεικονίσουν, να διαµορφώσουν, να ελέγξουν και να ερµηνεύσουν τις εικασίες τους. Αλληλεπίδραση και ανατροφοδότηση Παρουσίαση πληροφοριών µε µορφή κειµένων Το ιστορικό των ενεργειών του µαθητή παρέχει στους δασκάλους και τους ερευνητές πολύτιµα στοιχεία και δεδοµένα. Επεκτασιµότητα, µε τη δεδοµένη δυνατότητα δηµιουργίας µακροεντολών Ενίσχυση διαδικασιών για αποτελεσµατικότερη επικοινωνία και συνεργασία Οι αυθεντικές δραστηριότητες πραγµατικής ζωής (real life) µπορούν να αποτελέσουν ισχυρά κίνητρα µάθησης. Παροχή διάφορων και ποικίλων τύπων δραστηριοτήτων 2. Τύποι δραστηριοτήτων στο περιβάλλον του Cabri-Geometry II Σε εποικοδοµιστικά περιβάλλοντα µάθησης, όπως το Cabri-Geometry II, ο ρόλος των δραστηριοτήτων είναι καθοριστικός. Έξι βασικοί τύποι µαθησιακών, διερευνητικών δραστηριοτήτων, µε σκοπό την ενεργητική συµµετοχή και την οικοδόµηση γνώσης µπορούν να σχεδιαστούν για να εκτελεσθούν από τους µαθητές στα πλαίσια αυτού του υναµικού Περιβάλλοντος Γεωµετρίας (Κορδάκη, 2004β; Kordaki & Mastrogiannis 2006; Mastrogiannis & Kordaki, 2006; Kordaki & Mastrogiannis, 2007b): 1) ιατυπώσεις/επαληθεύσεις εικασιών µε βάση τη µεταβολή µιας γεωµετρικής κατασκευής, µέσω της λειτουργίας του συρσίµατος. 2) ιατυπώσεις/επαληθεύσεις εικασιών, µε βάση τα µεταβαλλόµενα αριθµητικά δεδοµένα, τα οποία, αυτοµάτως προκύπτουν από το δυναµικό µετασχηµατισµό µιας γεωµετρικής κατασκευής, µέσω της λειτουργίας του συρσίµατος. 3) Επαληθεύσεις σχέσεων, µε βάση µεταβαλλόµενα αριθµητικά δεδοµένα, που προκύπτουν αυτόµατα, κατά τη διάρκεια µεταβολής µιας γεωµετρικής κατασκευής, µέσω της λειτουργίας του συρσίµατος. 4) ραστηριότητες τύπου «µαύρου κουτιού» (Black-box) 5) ραστηριότητες πολλαπλών επιλύσεων 6) Κατασκευές, που αντιγράφουν πραγµατικά προβλήµατα ζωής (real life problems). Αλλά ας µελετηθεί κάθε περίπτωση ξεχωριστά, µέσα από παραδειγµατικές περιπτώσεις και ανάλογες προτάσεις σχεδίασης ποικίλων και διάφορων 101

110 διερευνητικών, διδακτικών δραστηριοτήτων, µέσω της αξιοποίησης των λειτουργιών και εργαλείων, που παρέχει το εκπαιδευτικό λογισµικό Cabri Geometry II ιατυπώσεις/επαληθεύσεις εικασιών µε βάση τη µεταβολή µιας γεωµετρικής κατασκευής, µέσω της λειτουργίας του συρσίµατος Μεταξύ των µαθηµατικών κλάδων, η γεωµετρία είναι το ο πλέον οπτικός, διακατέχεται από περίσσια οµορφιά, µεταφέρει και ενσωµατώνει τη δυνατότητα µιας άµεσης κατανόησης της αλήθειας. Ο τρόπος διδασκαλίας όµως την τελευταία πεντηκονταετία, δεν άφηνε περιθώρια ελιγµών και εξερευνήσεων, αφού, απλά και µονότονα, δινόταν προς µάθηση ένα σύνολο θεωρηµάτων, τα οποία αργότερα αποδεικνύονταν και εφαρµόζονταν σε διάφορα, φαινοµενικά ανούσια προβλήµατα (Aarnes & Knudtzon, 2003). Η εµφάνιση των υναµικών Περιβαλλόντων έχει αλλάξει άρδην το άτονο αυτό στερεοτυπικό τοπίο, δεδοµένου ότι ένα από τα µεγάλα πλεονεκτήµατά τους είναι η δυνατότητά να δηµιουργούν νοερές εικόνες, που µε τη σειρά τους είναι απαραίτητες προϋποθέσεις για τις αποδείξεις. Ακόµα και αν τα υναµικά Περιβάλλοντα Γεωµετρίας δεν µπορούν να αποδείξουν, εντούτοις προετοιµάζουν και λιπαίνουν το έδαφος και τον τρόπο, και ίσως εξάπτουν την περιέργεια που απαιτείται, ώστε να ενθαρρυνθούν οι µαθητές για να καταπιαστούν µε το πρόβληµα (Aarnes & Knudtzon, 2003). Προκειµένου να δοθεί µια γεωµετρική απόδειξη, που µπορεί να κατανοηθεί από ένα µαθητή, είναι σηµαντικό να ενισχυθεί αυτός από ένα καλό σχήµα. Υπάρχουν πολλά καλά παραδείγµατα λειψών και εσφαλµένων γεωµετρικών αποδείξεων, που βασίστηκαν σε λανθασµένα σχήµατα. Μερικές φορές µια απόδειξη πρέπει να εξετάσει όλες τις πιθανές περιπτώσεις και εποµένως απαιτούνται πολλά σχήµατα για ένα απλό θεώρηµα. Αυτή τη δυνατότητα, ασφαλώς την παρέχει αφειδώς και άµεσα το Cabri Geometry, εισάγοντας και µυώντας έτσι τους µαθητές, σε αποδεικτικούς µηχανισµούς (Accascina & Margiotta & Rogora, 2005). Στα κονστρουβιστικά πλαίσια του Cabri η διατύπωση, παραγωγή και η επιβεβαίωση υποθέσεων και εικασιών, µε βάση την µεταβαλλόµενη εικόνα ή τα µεταβαλλόµενα αριθµητικά δεδοµένα ή ακόµα οι επαληθεύσεις σχέσεων, µε βάση το συνδυασµό των προηγούµενων περιπτώσεων, είναι κοινός τόπος. Στο περιβάλλον αυτό οι µαθητές αναβαπτίζονται σε µαθηµατικούς δηµιουργούς και εξερευνητές, αφού τίθενται ευάρεστα αντιµέτωποι µε άφθονες ευκαιρίες για ανακάλυψη, διατύπωση εικασιών, ανασκευής και επαναδιατύπωσης αυτών και τελικού ελέγχου µε την κατασκευή αποδείξεων, ώστε, τελικά, να εξηγήσουν, γιατί ένα αποτέλεσµα, το οποίο παρατηρούν στην οθόνη του υπολογιστή, πρέπει να είναι αληθές (Τουµάσης, 1999). Για παράδειγµα, η χορδή κύκλου και η µεσοκάθετός της, ύλη για την Α Γυµνασίου, θα µπορούσε να ήταν µια δραστηριότητα, που εµπίπτει στην περίπτωση της διατύπωσης εικασίας µε βάση τη µεταβαλλόµενη εικόνα: ραστηριότητα: Κατασκευή µεσοκαθέτου σε χορδή κύκλου (Εικόνα 52). Στόχος: Εύρεση του (άγνωστου) κέντρου δοθέντος κύκλου. Ένα ενδεικτικό φύλλο εργασιών ακολουθεί: Τι καλούµε χορδή σε έναν κύκλο; Τι ορίζουµε ως µεσοκάθετο, σε ένα ευθύγραµµο τµήµα; Τι σχέση έχει κάθε σηµείο της µεσοκαθέτου µε τα άκρα του ευθυγράµµου τµήµατος; 102

111 Ορίστε τη χορδή ΑΒ και φέρτε τη µεσοκάθετο. Μετακινήστε τη χορδή ή αυξοµειώστε τον κύκλο. Τι παρατηρείτε; Αποτελεί το κέντρο του κύκλου, και σηµείο της µεσοκαθέτου; Επιχειρηµατολογήστε. Υπάρχει περίπτωση το κέντρο του κύκλου να είναι ταυτόχρονα, σηµείο της µεσοκαθέτου και σηµείο της χορδής; ικαιολογήστε. Πώς µπορούµε να βρούµε το (άγνωστο) κέντρο ενός κύκλου, λαµβάνοντας υπόψη τα παραπάνω; Εικόνα 52. Μεσοκάθετος χορδής Επίσης το τµήµα που συνδέει τα µέσα των πλευρών ενός τριγώνου είναι (φαίνεται) παράλληλο και συγχρόνως το µισό της τρίτης πλευράς. Αυτή η εικασία µπορεί να επιβεβαιωθεί, επαγωγικά, µετασχηµατίζοντας δυναµικά το τρίγωνο, µε την ενεργοποίηση, κάθε αντίστοιχη φορά, της λειτουργίας «παράλληλα» του 8 ου κουµπιού, η οποία αποφαίνεται, αν 2 τµήµατα είναι ή όχι παράλληλα (Εικόνα 53). Εικόνα 53. Παράλληλα τµήµατα σε τρίγωνο Ακόµα (Kordaki & Mastrogiannis, 2007b), σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ µε διάµεσο την ΑΗ και µε, Ε, Ζ, τα µέσα των ΒΗ, ΑΗ και ΑΓ αντίστοιχα, οι µαθητές µπορούν να υποθέσουν ότι το τετράπλευρο ΕΖΗ είναι παραλληλόγραµµο. Μπορούν να το 103

112 επιβεβαιώσουν µεταβάλλοντας, µέσω του drag mode, το τρίγωνο και διαπιστώνοντας κάθε φορά την ισχύ της εικασίας τους (Εικόνα 54). Εικόνα 54. Κατασκευή παρ/µου σε τρίγωνο Μια περίπτωση, λίαν ενδεικτική και αφοπλιστική των δυνατοτήτων του Cabri Geometry, είναι και η σχεδίαση των διαµέσων (µωβ), διχοτόµων (κίτρινες), µεσοκαθέτων (πράσινες) και των υψών (κόκκινα) ενός τριγώνου (Εικόνα 55). Η εικασία ότι και στις 4 σχετικές κατασκευές τα στοιχεία αυτά διέρχονται από ένα σηµείο µπορεί, αβίαστα, να επαληθευτεί, Στην περίπτωση δε του ύψους, εύκολη είναι και η µελέτη των ειδικών περιπτώσεων. Αξίζει να σηµειωθεί εδώ η (και οπτικά), καταπληκτική, συγχρονική κατασκευή και των 4 διαφορετικών αυτών στοιχείων του τριγώνου (12 τµήµατα). Ο δυναµικός µετασχηµατισµός του τριγώνου σε ισόπλευρο, προσφέρει το µαγικό αποτέλεσµα της απόλυτης ταύτισης και των 4 αυτών στοιχείων µεταξύ τους. Εικόνα 55α. Στοιχεία τριγώνου Εικόνα 55β. Ισόπλευρο τρίγωνο Τέλος, και µια δραστηριότητα που απευθύνεται σε µαθητές Λυκείου µε τίτλο «Συνευθειακά σηµεία», που αξιοποιεί και την εντολή της πινακοποίησης: ραστηριότητα: ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ. Προεκτείνουµε την Γ κατά τµήµα ΓΕ= Γ και την Α κατά τµήµα ΑΖ= Α. 104

113 Στόχος: Αποδείξτε ότι τα σηµεία Ζ, Β, Ε είναι συνευθειακά ή το Β είναι σηµείο του ευθυγράµµου τµήµατος ΖΕ (Εικόνα 56). και το αντίστοιχο ενδεικτικό φύλλο εργασιών: ώστε τον ορισµό και τις ιδιότητες του παραλληλογράµµου. Κατασκευάζουµε το παραλληλόγραµµο ΑΒΓ. Παίρνουµε τα σηµεία Ε και Ζ στις προεκτάσεις των Γ και Α αντίστοιχα, τέτοια ώστε Γ=ΓΕ και Α=ΑΖ. Τι παρατηρείτε ότι συµβαίνει µε τα σηµεία Ζ, Β, Ε; Σύρτε τα σηµεία Γ και και τις ευθείες e 1 και e 2 µετασχηµατίζοντας, δυναµικά, το παραλληλόγραµµο. Η προηγούµενη παρατήρηση εξακολουθεί να ισχύει; Κάντε χρήση της εντολής «συγγραµικά» στο 8 ο κουµπί. Μετρήστε τις γωνίες B, B 1 και B 2, αθροίστε τες και πινακοποιήστε τα 4 αυτά ποσά, µετά από κάθε µετασχηµατισµό. Τι παρατηρείτε; Αποδείξτε ότι B 1 =B 2 =Γ, που θα σας οδηγήσει στη λύση. ιατυπώστε τώρα τα συµπεράσµατά σας για τα σηµεία Β, Ζ, Ε. Εικόνα 56. Συνευθειακά σηµεία 2.2. ιατυπώσεις/επαληθεύσεις εικασιών µε βάση τα µεταβαλλόµενα αριθµητικά δεδοµένα Μια πρώτη δραστηριότητα θα µπορούσε να αφορά στην εξαγωγή του άρρητου αριθµού π, µέσα από επαγωγικές διαδικασίες: ραστηριότητα: Κατασκευή κύκλου - Λόγος περιµέτρου (µήκους) κύκλου προς τη διάµετρό του (Εικόνα 57). Στόχος: Υπολογισµός µήκους τού κύκλου, µετά την «ανακάλυψη» τής ύπαρξης τού σταθερού λόγου π Ενδεικτικό φύλλο εργασιών: Ποιο γεωµετρικό επίπεδο σχήµα καλείται κύκλος; Ποιο είναι το κέντρο του και τι ονοµάζουµε ακτίνα και διάµετρό του; Κατασκευάζουµε κύκλο µε κέντρο Ο. Αυξοµειώνουµε το µέγεθός του, καταγράφοντας ταυτόχρονα και πινακοποιώντας κάθε φορά, το λόγο της περιµέτρου προς τη διάµετρό του. Τι παρατηρείτε; Πόσες φορές, λοιπόν, το µήκος της διαµέτρου χωράει στο µήκος του κύκλου; Με βάση αυτή την «περίεργη» παρατήρηση, πώς µπορούµε να υπολογίσουµε το µήκος του κύκλου, αν γνωρίζουµε την διάµετρό του; 105

114 Γιατί είναι εύκολος, λοιπόν, στην πραγµάτευσή του ένας κύκλος; Ποιο είναι το στοιχείο του, που τον διαφοροποιεί από οποιοδήποτε άλλο; Γνωρίζετε άλλους αριθµούς, που εµφανίζονται στη φύση; Εικόνα 57. Μήκος κύκλου Επίσης, ένα οποιοδήποτε σηµείο Α της διχοτόµου µιας γωνίας, ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας (εικόνα 58). Στην κατασκευή αυτή, το σηµείο Α µπορεί να κινείται πάνω στη διχοτόµο και να καταγράφεται, κάθε φορά, η δυναµικότητα αλλά και η ισότητα των µετρήσεων των τµηµάτων ΑΒ και ΑΓ. Ακόµα και η τιµή της γωνίας µπορεί να µεταβάλλεται δυναµικά, µε το σύρσιµο των πλευρών της. Εικόνα 58. Σηµεία διχοτόµου Μια άλλη δραστηριότητα διατύπωσης/επαλήθευσης εικασίας, µε βάση τα µεταβαλλόµενα αριθµητικά δεδοµένα, είναι και οι εφαπτόµενες σε χορδή κύκλου: ραστηριότητα: Κατασκευή εφαπτόµενων σε χορδή κύκλου. Στόχος: Η διατύπωση της ισότητας των εφαπτόµενων τµηµάτων στα άκρα χορδής ενός κύκλου Ενδεικτικό σχέδιο εργασίας Πώς κατασκευάζουµε εφαπτοµένη σε σηµείο κύκλου; Ορίστε µια χορδή ΑΒ και χαράξτε τις εφαπτόµενες στα άκρα της. Έστω Ε το σηµείο τοµής τους. Μετρήστε τα τµήµατα ΒΕ και ΑΕ. Τι παρατηρείτε; 106

115 Μετασχηµατίζοντας το µέγεθος του κύκλου όπως και αυτό της χορδής, µετρήστε πάλι τα τµήµατα. Πινακοποιήστε τις αποστάσεις ΑΕ και ΒΕ. Τι παρατηρείτε; Θα µπορούσαν οι εφαπτόµενες να ενωθούν σε σηµείο εντός τού κύκλου; Τι συµβαίνει αν η χορδή είναι και διάµετρος του κύκλου; Εξηγήστε λεπτοµερώς. Ποια τρίγωνα µας βοηθούν να καταλήξουµε στο συµπέρασµα ότι ΒΕ=ΑΕ; ιατυπώστε τα τελικά σας συµπεράσµατα. Εικόνα 59. Εφαπτόµενες σε χορδή κύκλου Μια άλλη, απλή δραστηριότητα αυτής της µορφής αναφέρεται στην εξωτερική γωνία ενός τριγώνου. Οι µαθητές µπορούν µε σύρσιµο των κορυφών του τριγώνου και αυτόµατη καταγραφή και πινακοποίηση των τιµών των εσωτερικών και εξωτερικών γωνιών να εικάσουν και ακολούθως να επιβεβαιώσουν ότι κάθε εξωτερική γωνία του τριγώνου είναι ίση µε το άθροισµα των δύο εντός και απέναντι γωνιών (εικόνα 60). Εικόνα 60. Εξωτερική γωνία τριγώνου Τέλος (Κοrdaki & Mastrogiannis, 2007b), µια άλλη περίπτωση διατύπωσης/ επαλήθευσης εικασίας, που βασίζεται σε µεταβαλλόµενα αριθµητικά δεδοµένα είναι αυτή ενός ρόµβου ABCD µε διαγωνίους AC και BD, που τέµνονται σε ένα σηµείο Ο. 107

116 Ο µαθητής σέρνει το ρόµβο, µετρά αυτόµατα τις γωνίες ABD, DBC, BCA ACD, CDB, BDA και BOC και πινακοποιεί συνεχώς τις τιµές τους. Εστιάζοντας, ακολούθως στα αριθµητικά στοιχεία µπορεί να υποθέσει ότι οι διαγώνιοι ενός ρόµβου είναι κάθετες µεταξύ τους και διχοτοµούν τις γωνίες του. Εναλλακτικά για την καθετότητα, µπορεί να ενεργοποιήσει τη λειτουργία «κάθετα», στο 8 ο κουµπί, η οποία πληροφορεί εάν δύο ευθείες γραµµές ή τµήµατα, ή διανύσµατα ή πλευρές ενός πολυγώνου είναι ή όχι κάθετες. Εικόνα 61 ιαγώνιοι ρόµβου 2.3. Επαληθεύσεις σχέσεων, µε βάση τη µεταβαλλόµενη εικόνα σε συνδυασµό µε τα µεταβαλλόµενα αριθµητικά δεδοµένα Η επαλήθευση του νόµου των συνηµίτονων σε ένα οποιοδήποτε τρίγωνο, µέσω της λειτουργίας του drag mode και της επικέντρωσης στη µεταβαλλόµενη εικόνα και στα αριθµητικά δεδοµένα, προβάλλει ως µια περίπτωση κλασικού εκπροσώπου µια τέτοιας κατηγορίας ασκήσεων, κατασκευών και δραστηριοτήτων (εικόνα 62): Εικόνα 62. Νόµος των συνηµίτονων ραστηριότητα: Εφαρµογή του νόµου των συνηµίτονων σε τρίγωνο Στόχος: Επαλήθευση του νόµου αυτού ότι σε κάθε τρίγωνο, δηλαδή, ισχύει η σχέση α 2 = β 2-2βγ συνα 108

117 Ενδεικτικό σχέδιο εργασίας Τι ονοµάζουµε συνηµίτονο µιας γωνίας και πώς βρίσκουµε την τιµή του; Αναφέρτε και άλλους τριγωνοµετρικούς αριθµούς. ιατυπώστε το νόµο των συνηµιτόνων που ισχύει σε ένα τρίγωνο Κατασκευάστε ένα τρίγωνο, εφαρµόστε τον παραπάνω νόµο και διαπιστώστε την ισχύ του. Σύρτε τις κορυφές του και αυξοµειώστε την γωνία Α. Τι παρατηρείτε; Τι θα συµβεί αν Â=90º; Πώς σχετίζεται το «άνοιγµα» (και συνεπακόλουθα το συνηµίτονο) της γωνίας ενός τριγώνου µε το µήκος τής απέναντι πλευράς; Πότε µια πλευρά παίρνει (θεωρητικά) τη µεγαλύτερη και πότε τη µικρότερη τιµή της; Πώς µπορούµε να διαπιστώσουµε, αν ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο, ορθογώνιο ή αµβλυγώνιο, στηριζόµενοι στο νόµο των συνηµιτόνων; Οι ανισωτικές σχέσεις σε ένα τρίγωνο (β-γ<α<β+γ, µε γ β), που επαληθεύονται στα πλαίσια του Cabri είναι ακόµα ένα κατατοπιστικό παράδειγµα (εικόνα 63). Οι µαθητές µετρούν τις πλευρές του τριγώνου και µε τη λειτουργία «υπολογισµός» βρίσκουν τη διαφορά β-γ και το άθροισµα β+γ. Στη συνέχεια, αφού πινακοποιήσουν, µε τη δηµιουργία άπειρων περιπτώσεων, µπορούν να αντιληφθούν επαγωγικά, την ισχύ της ανισωτικής σχέσης στα τρίγωνα. Επιπλέον, οι µαθητές µπορούν να κατανοήσουν την καθολικότητα του «καθηµερινού» αξιώµατος, ότι ο συντοµότερος δρόµος, που συνδέει δύο σηµεία µεταξύ τους, είναι η ευθεία. Εικόνα 63. Ανισωτικές σχέσεις σε τρίγωνο Μια τρίτη κατασκευή αξιοποιεί πλήρως τη λειτουργία της πινακοποιήσεως, για να «αποδειχθεί» η ισότητα των γωνιών που σχηµατίζονται, αν µια ευθεία εφάπτεται σε έναν κύκλο και από το σηµείο της τοµής αχθεί µια χορδή του κύκλου («υπό χορδής και εφαπτοµένης»). Η σχηµατισθείσα οξεία γωνία είναι ίση µε την εγγεγραµµένη στο έλασσον τόξο, ενώ η αµβλεία στην εγγεγραµµένη, που βαίνει στο µείζον τόξο της χορδής (εικόνα 64). Οι µαθητές, αρχικά, σχηµατίζουν, αυτόµατα µέσω της οµώνυµης εντολής, κάθετη ευθεία (εφαπτοµένη) σε µια ακτίνα του κύκλου, σε ένα από τα δυο σηµεία τοµής, εδώ το Α. Ακολούθως, χαράζουν µια οποιαδήποτε χορδή ΑΒ του κύκλου και λαµβάνουν τα σηµεία και Ε στο µείζον και τόξο έλασσον αντίστοιχα. Ο δυναµικός 109

118 µετασχηµατισµός, οι µεταβολές και οι µετακινήσεις, που προηγούνται κάθε αντίστοιχης, αυτόµατης καταγραφής πινακοποίησης, µπορεί να αναφέρονται και να εφαρµόζονται στον κύκλο και στα σηµεία Α, Β, και Ε. Κάθε φορά «αποδεικνύονται» οι ζητούµενες σχέσεις. Εικόνα 64. Σηµεία διχοτόµου Ένα άλλο παράδειγµα, τέτοιου είδους δραστηριοτήτων, αποτελεί και ο τύπος του Ήρωνα, ο οποίος υπολογίζει το εµβαδόν ενός τριγώνου, αν είναι γνωστά τα µήκη των πλευρών του (εικόνα 65). Έτσι, ένα τρίγωνο µε µήκη πλευρών α, β, και γ έχει α+ β+ γ εµβαδό E= τ ( τ α)( τ β )( τ γ ), όπου τ =, η ηµιπερίµετρος. 2 Οι µαθητές µετρούν αυτόµατα τα µήκη των πλευρών, υπολογίζουν αυτόµατα το εµβαδόν καθώς και τον τύπο του Ήρωνα. Στη συνέχεια, πινακοποιούν, µετασχηµατίζουν το τρίγωνο και καταχωρίζουν κάθε φορά τα νέα δεδοµένα. Σε κάθε περίπτωση µπορούν να εντοπίσουν ότι τα δεδοµένα των στηλών του εµβαδού και του τύπου του Ήρωνα συµπίπτουν. Ακόµα, οι µαθητές µπορούν να διαπιστώσουν, αφού πρώτα µετρήσουν αυτόµατα τα ύψη, ότι οι τύποι 2Ε/α, 2Ε/β και 2Ε/γ υπολογίζουν, αντίστοιχα, τα ύψη υ α, υ β, και υ γ του τριγώνου. Εικόνα 65. Τύπος του Ήρωνα 110

119 Τέλος, σε ένα τελευταίο αντιπροσωπευτικό παράδειγµα, οι µαθητές καθίστανται ικανοί να επαληθεύσουν τη σχέση ΡΑ ΡΒ=ΡΓ Ρ, µε ΑΒ και Γ να είναι χορδές κύκλου, που οι προεκτάσεις τους τέµνονται σε ένα σηµείο Ρ (εικόνα 66). Αξίζει να σηµειωθεί ότι όταν το σηµείο Ρ γίνεται εσωτερικό του κύκλου η ισότητα εξακολουθεί να ισχύει και µάλιστα το γινόµενο παίρνει τη µέγιστη τιµή του, όταν το σηµείο Ρ ταυτίζεται µε το κέντρο του κύκλου. Από αυτή την παρατήρηση µπορεί να συναχθεί το συµπέρασµα ότι η µεγαλύτερη απόσταση, που συνδέει δυο οποιαδήποτε σηµεία ενός κύκλου, είναι αυτή της διαµέτρου. Εικόνα 66. Μετρικές σχέσεις σε κύκλο 2.4. ραστηριότητες τύπου «µαύρου κουτιού» (Black-box) Αρκετές φορές επιστρατεύονται δραστηριότητες τύπου «black box», αφού αυτού του είδους οι κατασκευές προάγουν και ευνοούν την ανακαλυπτική µάθηση, ενώ διεγείρουν και την ενεργητικότητα του µαθητή. Σύµφωνα µε τους θεωρητικούς του κονστρουκτιβισµού, η µάθηση δε µεταδίδεται, αλλά κατασκευάζεται (construct) και κατακτάται από το µαθητή. Απαιτεί δε, εξερεύνηση, µετασχηµατισµό, πειραµατισµό και ανακάλυψη. Οι µαθητές καλούνται πρώτα, να διερευνήσουν και έπειτα να ανακαλύψουν, να αιτιολογήσουν και να εξηγήσουν υπονοούµενες και κρυµµένες γεωµετρικές ιδιότητες, µιας γεωµετρικής κατασκευής. Μια συχνή και κοινότοπη σχολική διαπίστωση αφορά στη σύγχυση των µαθητών, κατά την «ονοµασία» γωνιών, µε κριτήριο το µέγεθός τους. Σε πολλές περιπτώσεις αυτό συναρτάται, εσφαλµένα, µε το «µήκος» των πλευρών των γωνιών. Για την αποσαφήνιση και άρση παρανοήσεων, όσον αφορά στα είδη και στην ισότητα γωνιών, µπορούν να κατασκευαστούν και να αξιοποιηθούν, πλήρως, αλληλεπιδραστικές δραστηριότητες, τύπου «µαύρου κουτιού» (Black-box), οι οποίες θα συγκροτούν ένα µικρόκοσµο, στα πλαίσια του Cabri-Geometry. Η διαχείρισή τους από τους µαθητές είναι πολύ απλή και στηρίζεται στη χρήση κατάλληλων κουµπιών. Μάλιστα, χάριν φιλικότητας προς το χρήστη, διατηρείται το ίδιο περιβάλλον διεπαφής. Το περιβάλλον αυτό και τα σχήµατα είναι ελκυστικά στους µικρούς µαθητές του ηµοτικού, αφού η σχεδίασή τους αξιοποιεί, στο έπακρο, τα παρεχόµενα «εργαλεία χρώµατος» τού λογισµικού. Για παράδειγµα, (7) σχετικές δραστηριότητες σχεδιάστηκαν (αναρτηµένες στον ιστότοπο που αφορούν σε: Κατακορυφήν γωνίες, που παραµένουν έτσι Εφεξής και παραπληρωµατικές, που παραµένουν τέτοιες 111

120 Γωνίες µε πλευρές µεταξύ τους παράλληλες, που παραµένουν έτσι Γωνίες µε πλευρές µεταξύ τους κάθετες, που παραµένουν έτσι (εικόνα 67) Γωνίες που παραµένουν πάντα κάθετες Γωνίες που παραµένουν πάντα οξείες Γωνίες που παραµένουν πάντα αµβλείες Εικόνα 67. Γωνίες Οι µαθητές, σε µια δεύτερη δραστηριότητα «µαύρου κουτιού», µπορούν να κληθούν, επίσης, να εξερευνήσουν τις συγκεκριµένες ιδιότητες ζευγών τριγώνων (εικόνα 68). Το ένα ζευγάρι αυτών των τριγώνων είναι τυχαίο, ενώ το άλλο αποτελεί ζεύγος όµοιων τρίγωνων. Ο µετασχηµατισµός του ενός τριγώνου, µέσω της λειτουργίας του συρσίµατος, αυτόµατα επηρεάζει και το αντίστοιχο άλλο. Στο δεύτερο ζεύγος τριγώνων, παρά τις όποιες µεταβολές, οι γωνίες τους εξακολουθούν να παραµένουν, µια προς µία ίσες. Με πειραµατισµούς οι µαθητές µπορούν να ανακαλύψουν την κρυµµένη αυτή ιδιότητα των τριγώνων και να συναγάγουν ο συµπέρασµα, περί της οµοιότητας τους (Κοrdaki & Mastrogiannis, 2007b). Εικόνα 68. Παιχνίδι κρυµµένων όµοιων τριγώνων Μια άλλη δραστηριότητα τύπου «µαύρου κουτιού» θα µπορούσε να αφορά τετράπλευρα σε µερικά από τα οποία (που είναι εγγεγραµµένα σε κρυµµένο κύκλο) το άθροισµα των απέναντι γωνιών τους ισούται µε 180 ο (εικόνα 69). 112

121 Ένα ενδεικτικό φύλλο εργασιών ακολουθεί: Στα δοσµένα τετράπλευρα µετρήστε τις γωνίες και στη συνέχεια υπολογίστε το άθροισµα των απέναντι γωνιών. Τι παρατηρείτε; Αυξοµειώστε τις γωνίες µετακινώντας τις κορυφές των τετραπλεύρων. Η προηγούµενη παρατήρηση εξακολουθεί να ισχύει; Σε ορισµένα, λοιπόν, τετράπλευρα τι ισχύει; ιατυπώστε ευκρινώς και λεπτοµερώς την παρατήρησή σας. Μπορείτε να εντοπίσετε την αιτία της ύπαρξης της παραπάνω σχέσης, δηλαδή µε άλλα λόγια, γιατί σε ορισµένα τετράπλευρα οι απέναντι γωνίες είναι (και παραµένουν) παραπληρωµατικές; Τι ισχύει για τις δύο εγγεγραµµένες γωνίες κύκλου που η µία (οξεία) βαίνει στο έλασσον τόξο και η άλλη (αµβλεία) βαίνει στο µείζον τόξο; Η σχέση αυτή εξηγεί την παρατήρησή σας; ιατυπώστε την αναγκαία και ικανή συνθήκη για να είναι ένα τετράπλευρο εγγράψιµο σε κύκλο; Εικόνα 69. Τύπου black box δραστηριότητα Στο επόµενο σχήµα (εικόνα 70), οι γωνίες, οποιοδήποτε µετασχηµατισµό ή µεταβολή και αν υποστούν, θα παραµένουν πάντα ίσες ή παραπληρωµατικές. Αυτό συµβαίνει, επειδή είναι εγγεγραµµένες σε (κρυµµένο) κύκλο και βαίνουν σε ίσα τόξα, µια κατασκευή την οποία οι µαθητές (προ)καλούνται να αποκωδικοποιήσουν και να εξηγήσουν. Εικόνα 70. Κρυµµένες εγγεγραµµένες γωνίες 113

122 Ένα τελευταίο παράδειγµα δραστηριότητας τύπου «µαύρου κουτιού» αποτελεί ζεύγος ευθυγράµµων τµηµάτων, όπου ο µετασχηµατισµός τού ενός, αυτοµάτως επιφέρει αλλαγές και στο δεύτερο τµήµα. Οι µαθητές µπορούν, µέσω της λειτουργίας «παράλληλα» και µέσω της µέτρησης να διαπιστώσουν ότι τα τµήµατα παραµένουν πάντοτε παράλληλα και ότι το ένα είναι, πάντα, διπλάσιο σε µήκος από το άλλο. Οι µαθητές πιθανόν να αντιληφθούν ότι το ένα είναι η βάση ενός (κρυµµένου) τριγώνου και το άλλο το τµήµα που συνδέει τα µέσα των δυο άλλων πλευρών (Εικόνα 71). Εικόνα 71. Κρυµµένη παραλληλία 2.5. ραστηριότητες πολλαπλών επιλύσεων Το Cabri Geometry, εξαιτίας της ποικιλίας των εργαλείων και των λειτουργιών του, προσφέρεται ιδανικά, για ανάπτυξη δραστηριοτήτων, τύπου πολλαπλών επιλύσεων. Είναι δυνατόν, µέσα από τέτοιες δραστηριότητες, να καλυφθούν και να ενσωµατωθούν σχεδόν όλα τα µενού, οι λειτουργίες και οι εντολές του λογισµικού και επιπροσθέτως να µελετηθούν πλείστα γεωµετρικά θέµατα και κεφάλαια αλλά και ολόκληρες γνωστικές ενότητες. Οι δραστηριότητες αυτές καλλιεργούν και αναπτύσσουν την δηµιουργικότητα των µαθητών, ένα ιδιαίτερο είδος σκέψης µε πρωτοτυπία και ευελιξία. Η δηµιουργικότητα είναι άρρηκτα συνδεδεµένη µε την αποκλίνουσα ή συνθετική σκέψη, η οποία ενθαρρύνει και παρακινεί τους µαθητές να αντιµετωπίζουν τα προβλήµατα µε όσο το δυνατόν περισσότερους δυνατούς τρόπους. Το είδος αυτό της σκέψης µελετήθηκε από τον J. P. Guilford στα µέσα του περασµένου αιώνα, ο οποίος υποστήριξε ότι η αποκλίνουσα σκέψη είναι η ικανότητα του ανθρώπου να προτείνει και να παράγει µια δέσµη πιθανών λύσεων, δηλαδή η δηµιουργική παραγωγή πολλαπλών απαντήσεων, σε ένα συγκεκριµένο πρόβληµα (Fontana, 1996). Οι δραστηριότητες πολλαπλών επιλύσεων µπορεί να χρησιµεύουν, επίσης, ως «εκπαιδευτικό αντίδοτο» στα δεσµευτικά, περιχαρακωµένα, στείρα και πνευµατοκτόνα πλαίσια των συµπεριφοριστικών συνταγών, από τις οποίες ακόµα και σήµερα, το Σύγχρονο Σχολείο, και δη το ελληνικό, δεν έχει απογαλακτισθεί και απεξαρτηθεί. Στην ίδια «συνοµοταξία» ανήκουν και τα ανοιχτού τύπου προβλήµατα, τα οποία απαιτούν επινοητικότητα, εφευρετικότητα και φαντασία κατά την επιλογή µιας (εκ των πολλών) στρατηγικής λύσης. Τα προβλήµατα αυτά θεωρούνται σπουδαία 114

123 παιδαγωγικά εργαλεία, καθόσον παρέχουν γόνιµο και «βιωµατικό» έδαφος ανάδειξης της οµορφιάς των µαθηµατικών (Κόσσυβας, 1996). Στα πλαίσια του Cabri Geometry, µε επιπλέον σύµµαχο τα ποικίλα εργαλεία του λογισµικού, οι µαθητές µπορούν, εργαζόµενοι και κατά οµάδες, να επιλέξουν τα πλέον κατάλληλα από αυτά, για να ενεργοποιήσουν τις γνώσεις τους, ώστε να επινοήσουν και να εισηγηθούν διάφορες λύσεις. Έχουν ήδη παρουσιασθεί προτάσεις, δηλωτικές των δραστηριοτήτων αυτού του τύπου. Η κατασκευή ζευγών ίσων γωνιών (Kordaki & Mastrogiannis, 2006) αλλά και η κατασκευή όµοιων τριγώνων µε όλους τους δυνατούς τρόπους (Mastrogiannis & Kordaki, 2006) είναι δύο ενδεικτικές περιπτώσεις Κατασκευή ζευγών ίσων ευθυγράµµων τµηµάτων Μια άλλη παραδειγµατική περίπτωση δραστηριότητας πολλαπλών επιλύσεων θα µπορούσε να ήταν η εξεύρεση ζευγών ίσων ευθυγράµµων τµηµάτων, µε όλους τους πιθανούς τρόπους. Η ισότητα ευθυγράµµων τµηµάτων και γενικά η µέτρησή τους είναι έννοια πολύ σηµαντική στα Αναλυτικά Προγράµµατα Σπουδών των µαθηµατικών λόγω της πρακτικότητας και της διεισδυτικότητας της µέτρησης σε πολλές πτυχές της καθηµερινής ζωής. Με τον όρο µέτρηση ορίζεται η απόδοση µιας αριθµητικής τιµής σε µια ιδιότητα ενός αντικειµένου, όπως το µήκος π.χ. ενός µολυβιού (NCTM, 2000). Όλα τα εκπαιδευτικά προγράµµατα, σύµφωνα µε το NCTM, πρέπει να καθιστούν ικανούς τους µαθητές να κατανοούν τις µετρήσιµες ιδιότητες των αντικειµένων και των µονάδων, των συστηµάτων και των διαδικασιών της µέτρησης. Ακόµα, οι µαθητές θα πρέπει να εφαρµόζουν τις κατάλληλες τεχνικές, τα εργαλεία, τους τύπους και τις φόρµουλες, για να υπολογίζουν τις µετρήσεις τους. Παρόλη την φαινοµενικά εύκολη διαδικασία οποιασδήποτε µέτρησης, εντούτοις πολλοί µαθησιακοί σκόπελοι τη δυσχεραίνουν. Η διαφορετικότητα των µονάδων για διαφορετικές ιδιότητες-χαρακτηριστικά και η επιλογή της κατάλληλης, τα διαφορετικά, ανά την υφήλιο µετρικά συστήµατα, η προσεγγιστικότητα που περικλείει κάθε µέτρηση, η σύγχυση περιµέτρου και εµβαδού, η δυσκολία εκτιµήσεων είναι µερικά, ανασχετικά παρακωλύµατα. Μια άλλη δυσκολία έχει τις ρίζες της στην αρχαία Ελλάδα, αφού κληροδοτήθηκε από τους Πυθαγόρειους και µάλιστα αποτέλεσε αληθινή συµφορά γι αυτούς τους «αριθµολόγους», που πίστευαν ότι η ουσία κάθε όντος µπορεί να αναχθεί σε φυσικούς αριθµούς. Ήταν η ανακάλυψη των άρρητων, ασύµµετρων αριθµών. εν µπορούµε να βρούµε δυο φυσικούς αριθµούς τέτοιους, ώστε το τετράγωνο του ενός να ισούται µε το διπλάσιο του τετραγώνου του άλλου. ηλαδή για x και y δεν ισχύει x 2 = 2y 2. Μ άλλα λόγια ο 2 είναι αριθµός, ο οποίος δεν µπορεί να παρασταθεί µε κλάσµα. Στην πραγµατικότητα οι Πυθαγόρειοι σκόνταψαν στη Γεωµετρία: ο λόγος της πλευράς ενός τετραγώνου προς µια από τις διαγωνίους του δεν εκφράζεται ως λόγος δυο φυσικών αριθµών. Απλούστερα διατυπωµένο, σηµαίνει ότι δεν υπάρχει ένα τρίτο ευθύγραµµο οσοδήποτε µικρό, που να χωράει ακέραιες φορές στην διαγώνιο του τετραγώνου και στην πλευρά του, δεν υπάρχει δηλαδή κοινή µονάδα µέτρησης (κάτι που η κοινή λογική αδυνατεί να συλλάβει). Εξ ου και ο χαρακτηρισµός τους ως «ασύµµετρα µεγέθη» ως «ασύµµετροι αριθµοί» (Εves, 1989; Bell, 1995). Γενικά βέβαια, ισχύει ότι για όλους τους αριθµούς, που δεν είναι τέλεια τετράγωνα αριθµών, οι τετραγωνικές τους ρίζες είναι άρρητοι. Ο πλέον γνωστός άρρητος αριθµός ακόµα και στους µαθητές του ηµοτικού σχολείου είναι ο αριθµός 115

124 π (αν και δε χαρακτηρίζεται ως τέτοιος). Ακόµα, τα παιδιά του ηµοτικού έρχονται σε επαφή µε τετραγωνικές ρίζες µέσα από τα εµβαδά τετραγώνων και κυβικές ρίζες όταν πραγµατεύονται όγκους κύβων. Αξιοσηµείωτο είναι ότι σε περιπτώσεις άρρητων αριθµών (π.χ. τετραγωνικές ρίζες), αν και δεν εκφράζονται αριθµητικώς µε ακριβή µορφή, εντούτοις παρίστανται, ακριβώς, µε το µήκος ενός ευθυγράµµου τµήµατος. Η κατασκευή, όµως, αντίθετα, ενός ευθυγράµµου τµήµατος µε µήκος π είναι αδύνατη εξαιτίας βέβαια της υπερβατικότητάς του, της µη δυνατότητας του, δηλαδή, να εκφραστεί ως ρίζα πολυωνυµικής εξίσωσης µε ακέραιους συντελεστές (Spiegel, 1982). Το ίδιο ισχύει για τον άρρητο αριθµό e (Κοτινάς & Μαστρογιάννης & αρζάνου, 2008). Το µήκος είναι, κατά πάσα πιθανότητα, το πρώτο γνώρισµα που καλούνται οι µαθητές να υπολογίσουν. Ήδη από την ηλικία του Νηπιαγωγείου αρχίζουν τις εκτιµήσεις και τις συγκρίσεις, διαδικασία που απαιτεί, ασφαλώς, αντιµεταθετικότητα µεταβατικότητα και αντιστρεψιµότητα σκέψης. Λάθη παιδιών αυτής της ηλικίας οφείλονται στην εστίασή τους στα αρχικά ή στα τελικά σηµεία των γραµµών, αγνοώντας το εσωτερικό διάστηµα µιας γραµµής, µε αποτέλεσµα οι παραστάσεις, που οικοδοµούν για το µήκος µιας γραµµής, να τους παρέχουν στρεβλές (δια)βεβαιώσεις (Παπανδρέου, 2000). Σηµαντική είναι η συνεισφορά των εκτιµήσεων στη µάθηση της µέτρησης, δεδοµένου ότι εστιάζουν στο χαρακτηριστικό που µετράται, παρέχουν κίνητρα για τις σχετικές δραστηριότητες µέτρησης και τέλος βοηθούν στην εξοικείωση µε τις καθιερωµένες µονάδες (van de Walle, 2005). Γενικά όµως και δυστυχώς, κατά την τελευταία τριακονταετία τα αποτελέσµατα της διδασκαλίας της µέτρησης του µήκους είναι απογοητευτικά. Σε έρευνες, µόνο το 14% παιδιών 3ης ηµοτικού έδωσαν σωστές απαντήσεις, για το µήκος ενός ευθυγράµµου τµήµατος, στο οποίο η άκρη του χάρακα δεν ταυτιζόταν µε άκρο του ευθυγράµµου τµήµατος. Το ποσοστό αυτό καλυτέρευε σε µαθητές 1ης Γυµνασίου και βελτιωνόταν σε 49%. Ακόµα, και ανάστροφα «Τ», µε ισοµήκεις τις οριζόντιες και κάθετες γραµµές, έχουν δοθεί για µέτρηση σε µαθητές και διερευνήθηκαν οι προτάσεις και απαντήσεις τους. Φυσικά, σαν σε οφθαλµαπάτη, η κατακόρυφη γραµµή φαινόταν µακρύτερη (Kamii, 2006). Εξάλλου, είναι γνωστές µερικές, κλασικές και παρελκυστικές για την εκµάθηση της µέτρησης του µήκους, οφθαλµαπάτες, όπου ισοµήκη τµήµατα εξαπατούν το µάτι (εικόνα 72), αλλά και άλλες, όπου ευθύγραµµα τµήµατα, επιµελώς και παραπλανητικά κρύβουν την παραλληλία τους (εικόνα 73). Εικόνα 72. Οφθαλµαπάτη µήκους και (αν)ισότητας 116

125 Εικόνα 73. Οφθαλµαπάτη µη παραλληλίας Η µέτρηση, πάντως, επινοήθηκε από τους προγόνους µας, µε σκοπό την πραγµατοποίηση έµµεσων συγκρίσεων. Σύµφωνα µε την Kamii (2006), υπάρχει παραλληλισµός ανάµεσα στις προσεγγίσεις των µικρότερων µαθητών και στις προσεγγίσεις µέτρησης που αναπτύχθηκαν από την ανθρωπότητα, διαχρονικά. Έτσι τα µήκη µπορούν να συγκριθούν είτε µέσω µεταβατικών συλλογισµών, χρησιµοποιώντας ολόκληρα τα µήκη, είτε µέσω του αριθµού των επαναλαµβανόµενων µονάδων µέτρησης, για κάθε µήκος. Στα Στοιχεία τού Ευκλείδη, στα οποία, ειρήσθω εν παρόδω, δεν αποδίδονταν οι µετρήσεις µέσω αριθµητικών τιµών, και στο βιβλίο 1, αναφέρονται ως «Κοιναί έννοιαι» τα παρακάτω σχετικά: Τέλος, µε θαυµαστές έµµεσες µετρήσεις καταπιανόταν και ο µεγάλος µαθηµατικός της αρχαιότητας Θαλής ο Μιλήσιος, µέσω όµοιων τριγώνων ή µέσω σκιών. Ιστορικά, οι πρώτες απόπειρες µέτρησης, µέσω σύγκρισης, κατέφευγαν και στηρίζονταν αναγκαστικά, στην ποικιλοµορφία του ανθρώπινου σώµατος. Οι ανακριβείς και αστάθµητες αυτές µονάδες δηλώνονταν από βηµατισµούς και, συνήθως, από αποστάσεις µεταξύ µερών του σώµατος. Για παράδειγµα, η απόσταση από τον αγκώνα µέχρι την άκρη του µεσαίου δάχτυλου αποτελούσε τη µετρική µονάδα του πήχη, το άνοιγµα των χεριών την οργιά και το πλάτος του αντρικού αντίχειρα την ίντσα. Φυσικά, από µια τέτοια αναφορά, ουδέποτε θα πάρει πόδι το πόδι αφού κατά πάσα πιθανότητα, το µήκος του υπήρξε ανέκαθεν, η κύρια µονάδα µέτρησης. Βέβαια, για ιστορικούς λόγους οι ονοµασίες αυτές 117

126 κληρονοµήθηκαν από τις σύγχρονες, σηµερινές κοινωνίες, απαλλαγµένες φυσικά, από την αναξιοπιστία τους. Στα πλαίσια των υναµικών Περιβαλλόντων Γεωµετρίας τώρα, και στην προκειµένη περίπτωση, οι µαθητές καλούνται να παρουσιάσουν στην οθόνη του υπολογιστή ζεύγη ίσων ευθυγράµµων τµηµάτων. Μια τέτοια διαδικασία έχει καθαρά µαθηµατικό αλλά και αρχαιοελληνικό, µυθολογικό υπόβαθρο. Αφενός, η ισοµετρία είναι γεωµετρικός µετασχηµατισµός κατά τον οποίο διατηρούνται τα µήκη, οι αποστάσεις των σηµείων. Αποτελεί δε, ειδική περίπτωση οµοιοµορφισµού στα Μαθηµατικά. Αφετέρου είναι γνωστή η µυθολογική «προκρούστειος κλίνη», όπου ο µυθικός ληστής Προκρούστης εξίσωνε το ανάστηµα ξαπλωµένων περαστικών, µε το µήκος ενός κρεβατιού, τεντώνοντάς τους ή αποκόπτοντας το προεξέχον µέρος του σώµατός τους, κατά περίπτωση. Η δραστηριότητα θα µπορούσε να παρουσιασθεί ζητώντας από τους µαθητές να κατασκευάσουν ζεύγη ίσων ευθυγράµµων τµηµάτων, µε όσο το δυνατόν περισσότερους τρόπους, χρησιµοποιώντας οποιαδήποτε από τα εργαλεία που παρέχει το Cabri Geometry και δικαιολογώντας κάθε στρατηγική λύσης τους. Οι µαθησιακοί στόχοι αυτής της εργασίας είναι να καταστούν οι µαθητές ικανοί να εκφράζουν τις διατοµικές και ενδοατοµικές διαφορές τους, σχετικά µε την ισότητα των ευθυγράµµων τµηµάτων και να ενσωµατώνουν διαφορετικά είδη γνώσης για την έννοια της ισότητας, µέσω της χρησιµοποίησης των ποικίλων εργαλείων και λειτουργιών του λογισµικού. Επιπλέον, η ενίσχυση των διάφορων στυλ µάθησης και η ανάπτυξη και µελέτη µιας ευρείας γκάµας περιπτώσεων αυτής της έννοιας, που σχεδόν µπορεί και να εξαντλούν τη γεωµετρική ευκλείδεια γνώση, είναι επίσης υψηλής, µαθησιακής προτεραιότητας στόχοι (Mastrogiannis & Kordaki, 2006) Πιθανές Στρατηγικές λύσεις Μια a-priori ανάλυση πιθανών και ενδεικτικών στρατηγικών λύσης και τα αντίστοιχα µαθησιακά οφέλη κατηγοριοποιηµένα και ταξινοµηµένα, κατά γνωστικές σχετικές ενότητες, περιγράφονται παρακάτω: Χρήση απλών εντολών του Λογισµικού (και ως διαδικασία εξοικείωσης µε τις λειτουργίες του λογισµικού) 1) Οπτική επιβεβαίωση, µε την κατασκευή δυο ευθύγραµµων τµηµάτων, που η ισότητά τους επαληθεύεται και επικυρώνεται «µε το µάτι». 2) Με αντιγραφή και επικόλληση 3) Κατασκευή ενός τµήµατος, αυτόµατη µέτρησή του και ακολούθως κατασκευή ενός ισοµήκους δεύτερου, µέσω του συρσίµατος ενός άκρου του. 4) Μέσω αξονικής συµµετρίας, µε την κατασκευή πρώτα ενός τµήµατος και στη συνέχεια της αυτόµατης εικόνας του 5) Μέσω µετατόπισης 6) Μέσω κεντρικής συµµετρίας 7) Μέσω περιστροφής 8) Μέσω οµοιοθεσίας µε λόγο 2 και κέντρο ένα άκρο του τµήµατος 9) Με την εντολή «Μέσον», ένα ευθύγραµµο τµήµα χωρίζεται σε δύο ίσα µέρη 10) Με την εντολή «Μεσοκάθετος», ένα τµήµα χωρίζεται σε δύο ίσα µέρη 11) Κάθε σηµείο της µεσοκαθέτου ισαπέχει από τα άκρα ενός ευθυγράµµου τµήµατος 12) Κατασκευή της διχοτόµου µιας γωνίας, κάθε σηµείο της οποίας ισαπέχει από τις πλευρές της 118

127 13) Με την κατασκευή κανονικών ν-γώνων, προκύπτουν 2 οµάδες ισάριθµων ίσων τµηµάτων (πλευρές και ακτίνες) 14) Με τη λειτουργία «Μεταφορά µέτρησης» κατασκευάζεται ένα σηµείο, που απέχει δεδοµένη απόσταση από ένα άλλο σταθερό. Η απόσταση αυτή θα µπορούσε να είναι το µήκος του πρώτου ευθυγράµµου τµήµατος. 15) Με τη λειτουργία «διαβήτης» κατασκευάζεται κύκλος µε ακτίνα (ως το β τµήµα) ίση µε δεδοµένο ευθύγραµµο τµήµα 16) ηµιουργία κύκλου µε σηµεία αναφοράς δυο οποιεσδήποτε ακτίνες του 17) Κατασκευή υψών, µεσοκαθέτων, διαµέσων ή διχοτόµων σε ένα ισοσκελές τρίγωνο ή σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο 18) Με την εντολή «εµφάνιση αξόνων» προκύπτει απειρία ίσων τµηµάτων, όπως και 19) Με την εντολή «νέοι άξονες» αλλά και 20) Με την εντολή «ορισµός πλέγµατος» Με τις παραπάνω πιθανές στρατηγικές λύσεις, που ο συνεχής δυναµικός µετασχηµατισµός των αντίστοιχων κατασκευών παρέχει απειρία λύσεων, καλύπτεται σηµαντικός αριθµός γεωµετρικών εννοιών (µετασχηµατισµοί, µετρήσεις, εµβαδό, µήκος, στοιχεία τριγώνων, διχοτόµος µιας γωνίας κ.λ.π) και µάλιστα, εξαντλείται σχεδόν το 1/3 του συνόλου των εντολών του λογισµικού, παρέχοντας, σαφή πλεονεκτήµατα άµεσης, γρήγορης και αβίαστης εξοικείωσης Στρατηγικές σχετικές µε τον κύκλο 21) ηµιουργία ίσων τόξων αρχικά (µέσω µέτρησης), και στη συνέχεια κατασκευή των ίσων χορδών τους 22) Οι εφαπτόµενες στα άκρα µιας χορδής (εκτός διαµέτρου) ενός κύκλου ισαπέχουν 23) Η κάθετη, που διέρχεται από το κέντρο ενός κύκλου, διχοτοµεί οποιαδήποτε χορδή 24) ηµιουργία κατακορυφήν γωνιών, µε κοινό σηµείο το κέντρο του κύκλου και ακολούθως δηµιουργία των αντίστοιχων χορδών 25) ηµιουργία δυο ίσων επίκεντρων γωνιών (µε την εντολή γωνία και µε σύρσιµο) και στη συνέχεια δηµιουργία των αντίστοιχων χορδών τους. Ίσες επίκεντρες γωνίες µπορούν να δηµιουργηθούν και µέσω αξονικής συµµετρίας, ως προς µια πλευρά ή ως προς µια διάµετρο. 26) Ίσες χορδές (που δηµιουργούνται και µέσω αξονικής συµµετρίας ως προς µια διάµετρο) ισαπέχουν από το κέντρο του κύκλου 27) Κατασκευή ενός αποστήµατος και στη συνέχεια περιστροφή του, κατά οποιαδήποτε γωνία, γύρω από το κέντρο του κύκλου. Οι χορδές, που είναι κάθετες στα δύο αυτά ίσα αποστήµατα, είναι µεταξύ τους ίσες 28) Η διάκεντρος είναι µεσοκάθετος της κοινής χορδής δυο τεµνόµενων κύκλων Με τις παραπάνω στρατηγικές λύσεις και µέσω της µελέτης τους, οι µαθητές πιθανόν να κατανοήσουν, σχεδόν όλα τα στοιχεία του κύκλου, αλλά και διάφορες άλλες γεωµετρικές έννοιες, όπως τους µετασχηµατισµούς, τις κατακορυφήν γωνίες την καθετότητα, την ισότητα γωνιών κ.λ.π. Και εδώ η δυναµική µεταβολή κάθε σχετικής κατασκευής προσφέρει πληθώρα σχετικών λύσεων Στρατηγικές σχετικές µε παράλληλες ευθείες 29) Κάθετα τµήµατα µεταξύ παραλλήλων είναι µεταξύ τους ίσα 30) Τεµνόµενα ζεύγη παραλλήλων ευθειών δηµιουργούν παραλληλόγραµµα µε τις ίσες απέναντι πλευρές τους 119

128 31) Οι διαγώνιοι παραλληλογράµµων διχοτοµούνται 32) Οι διαγώνιοι ισοσκελούς τραπεζίου είναι ίσες Οι ιδιότητες και οι ορισµοί των παραλλήλων, των παραλληλογράµµων των τραπεζίων και των διαγωνίων τους, καθώς επίσης η σπουδαία, καθηµερινώς επιβεβαιούµενη ισότητα των καθέτων τµηµάτων, µεταξύ παραλλήλων είναι ενδεχόµενα, µαθησιακά ωφελήµατα. Πάντα, παραµένει βέβαια, η απειρία των περιπτώσεων, που προσφέρει η δυναµικότητα των κατασκευών Στρατηγικές σχετικές µε τρίγωνα 33) Το τµήµα που συνδέει τα µέσα δύο πλευρών είναι το µισό της τρίτης πλευράς 34) Η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου, που άγεται από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας 35) Σε ορθογώνιο τρίγωνο η πλευρά απέναντι από γωνία 30 ο ισούται µε το µισό της υποτείνουσας 36) Σχεδίαση τυχαίου τριγώνου, µέτρηση δυο γωνιών του, εξίσωση µέσω drag mode των τιµών τους και παραγωγή ισοσκελούς τριγώνου. Τα στοιχεία του τριγώνου, τα είδη τους, οι µετρήσεις γωνιών, η παραλληλία, η καθετότητα προσφέρονται για µελέτη µε τις ενδεικτικές αυτές στρατηγικές επίλυσης. Κύριο χαρακτηριστικό, όπως και στις προηγούµενες παραδειγµατικές δηµιουργίες, ο πλεονεκτικός, δυναµικός µετασχηµατισµός των κατασκευών, που συνεπάγεται απειρία οµόλογων και οµοειδών περιπτώσεων Κατασκευές που αντιγράφουν πραγµατικά προβλήµατα ζωής (real life problems) Ο ρεαλισµός των µαθηµατικοποιηµένων προβληµάτων της καθηµερινής ζωής, προσδίδει στη διαδικασία επίλυσης τα στοιχεία του ενθουσιασµού, της παρακίνησης και της ενεργού συµµετοχής. Παρέχει στους µαθητές δυνατότητες ανάπτυξης περισσότερων και ισχυρότερων κινήτρων κατά τη µάθηση και την προσέγγιση των µαθηµατικών ως ανθρώπινη δραστηριότητα. Επιπλέον, εισάγει τις µαθηµατικές έννοιες σε ένα διεπιστηµονικό και διαθεµατικό πλαίσιο (Kordaki & Mastrogiannis 2007b), ενώ προσφέρει και αισθητή ικανοποίηση, ως ένα ιλαρό αποτέλεσµα των χειροπιαστών και ωφέλιµων αποτελεσµάτων. Έχει διαπιστωθεί ότι όταν οι µαθητές αναπτύσσουν δικές τους ιδέες για προβλήµατα, χρησιµοποιώντας ρεαλιστικά πρότυπα, η µάθηση ενισχύεται και τα πλεονεκτήµατα είναι σαφή και ξεκάθαρα (Lesh & Amit & Schorr, 1997). Εµφανώς και οι µέτριοι µαθητές αυξάνουν την επίδοσή τους και, κυριολεκτικά, υπερακοντίζουν εαυτούς, όταν προκαλούνται και εντυπωσιάζονται από ένα «καθηµερινό εµπειρικό πρόβληµα» και καταπιάνονται µε τη λύση του (Gackowski, 2003). Ένα από τα κύρια φαινόµενα της ένδειας της σχολικής γνώσης, πέραν των παρανοήσεων και της έλλειψης κριτικής σκέψης, είναι η λεγόµενη αδρανής γνώση, οι αποκτηθείσες σχολικές γνώσεις και δεξιότητες, δηλαδή, που δεν µεταφέρονται και δε χρησιµοποιούνται σε καταστάσεις της καθηµερινής ζωής. Αυτού του είδους η βιωµατικότητα δεν προκρίνεται και δεν ενισχύεται στο σχολείο, εξαιτίας του ανερµάτιστου τρόπου διδασκαλίας και της αδυναµίας των εκπαιδευτικών να συνδέουν τις γνώσεις, που δίνονται στον σχολείο µε τις καταστάσεις της πραγµατικής ζωής (Βοσνιάδου, 2006). Αδήριτη, λοιπόν, προβάλλει η ανάγκη, οι µαθητές να αντιλαµβάνονται και να αναγνωρίζουν την ωφελιµότητα των µαθηµατικών κατά την επίλυση καθηµερινών προβληµάτων. 120

129 Αυτή την παιδαγωγική λογική και προοπτική ενστερνίζονται και εγκολπώνονται και οι συντάκτες του περίφηµου προγράµµατος έρευνας PISA (Programme for International Student Assessment), το οποίο πραγµατοποιείται κάθε τρία χρόνια και συµµετέχουν περίπου 60 χώρες, από όλο τον κόσµο. Σκοπός της έρευνας αυτής είναι η αξιολόγηση, για κάθε χώρα, των δεικτών επίτευξης βασικών µαθησιακών στόχων, µέσω της µέτρησης των γνώσεων και δεξιοτήτων δεκαπεντάχρονων µαθητών σε βασικά γνωστικά πεδία, όπως στην κατανόηση κειµένου, στα µαθηµατικά, στις φυσικές επιστήµες. Επιπλέον, εξετάζει την ικανότητα των µαθητών να αναλύουν, να επιχειρηµατολογούν αλλά και να εκφράζονται αποτελεσµατικά, όταν µελετούν, ερµηνεύουν και επιλύουν προβλήµατα της καθηµερινής ζωής. Ειδικά για τα µαθηµατικά, το Πρόγραµµα PISA πέραν των άλλων υπογραµµίζει την ανάγκη µαθηµατικοποίησης πραγµατικών καθηµερινών προβληµάτων, µέσω του λεγόµενου «Μαθηµατικού Αλφαβητισµού». Ο όρος αυτός δίνει βαρύτητα στη µαθηµατική γνώση, που χρησιµοποιείται για τη µελέτη ποικίλων πρακτικών προβληµάτων της καθηµερινής ζωής, η επίλυση των οποίων προϋποθέτει µια σειρά βασικών γνώσεων και δεξιοτήτων. Σηµαντικές αυθεντικές, δηµιουργικές δραστηριότητες µάθησης, που σχετίζονται µε καταστάσεις πραγµατικής ζωής µπορούν να κατασκευασθούν και να ενσωµατωθούν στο περιβάλλον του Cabri Geometry, συνιστώντας ένα πλούσιο, παρωθητικό, διδακτικό και µαθησιακό πλαίσιο. Το ενδιαφέρον των µαθητών για τις ΤΠΕ, φυσικά και δεν είναι αµείωτο, ούτε φυσικά αέναο. ραστηριότητες που, αρχικά, εµφανίζονται ελκυστικές και αιχµαλωτίζουν την παιδική προσοχή, στη συνέχεια, καταντούν πληκτικές, ανιαρές και µονότονες. Ένας αποτελεσµατικός τρόπος διατήρησης του ενδιαφέροντος, της προσήλωσης και των κινήτρων έγκειται στη παιδαγωγική ευλυγισία και δεξιοτεχνία των εκπαιδευτικών να εντάξουν τις ΤΠΕ, σε ενδιαφέρουσες, εκπαιδευτικές δραστηριότητες (Βοσνιάδου, 2006), όπως είναι οι βιωµατικές που πραγµατεύονται θελκτικά θέµατα καθηµερινών, πραγµατικών καταστάσεων. Μερικές τέτοιες δραστηριότητες βιωµατικού χαρακτήρα ακολουθούν: Πρόβληµα ανεύρεσης ελάχιστου αθροίσµατος διαδροµών ραστηριότητα-πρόβληµα: Ένας γεωργός αγόρασε ένα µεγάλο πεδινό αγρόκτηµα σχήµατος ισοπλεύρου τριγώνου, το οποίο περιβάλλεται κατά µήκος των πλευρών του από λεωφόρο, ποτάµι και θάλασσα. Πού πρέπει να χτίσει το σπίτι του, αν είναι αναγκασµένος να κάνει καθηµερινά τη διαδροµή σπίτι λεωφόρο, σπίτιακροθαλασσιά και σπίτι-ποτάµι, έτσι ώστε η διαδροµή αυτή να είναι η ελάχιστη δυνατή; Στο Cabri Geometry II, σχεδιάζεται (εξ ολοκλήρου δυναµικά) ένα ισόπλευρο τρίγωνο ABC, που περικλείεται από δυο παραλληλόγραµµα (ποτάµι και δρόµο) και ένα πολύγωνο, ως θάλασσα. Το σηµείο G είναι το εσωτερικό του τριγώνου, τα D, E και F είναι τα σηµεία τοµής και τα GD, GE και GF οι ζητούµενες αποστάσεις (εικόνα, 74). Ένα ενδεικτικό συνοδευτικό φύλλο εργασιών ακολουθεί: Μετακινήστε το σηµείο G και µετρήστε τις αποστάσεις DG, GE και GF. Ακολούθως υπολογίστε, για κάθε περίπτωση, το άθροισµα των παραπάνω τµηµάτων. Πινακοποιήστε τις µετρήσεις σας. Τι παρατηρείτε; Αν το G ταυτιστεί µε µία κορυφή του τριγώνου, η ελάχιστη αυτή απόσταση µε τι ισούται; Μπορούµε να βρούµε, λοιπόν, το µήκος της ελάχιστης αυτής απόστασης; 121

130 Πώς µπορούµε τώρα, να αποδείξουµε, αυστηρά γεωµετρικά, το συµπέρασµά µας αυτό; Χωρίζουµε το ισόπλευρο τρίγωνο σε 3 τρίγωνα, σε καθένα από τα οποία, κάθε επιµέρους διαδροµή είναι ύψος του. Το συνολικό εµβαδόν είναι άθροισµα των επιµέρους εµβαδών. είξτε αυτή την επισήµανση µε σχέση. ιατυπώστε το τελικό σας συµπέρασµα. Τι θα συµβεί εάν µετακινήσουµε το σηµείο G εκτός του τριγώνου; Τι συµβαίνει εάν το τρίγωνο δεν είναι ισόπλευρο; Τι συµβαίνει εάν αντικαταστήσουµε το τρίγωνο µε ένα τετράγωνο ή ένα κανονικό πολύγωνο; Εικόνα 74. Ελάχιστο άθροισµα διαδροµών Ένα παραπλήσιο µε το προηγούµενο «real life» πρόβληµα θα ήταν και το εξής: Τρία πεδινά χωριά ενός νεότευκτου καποδιστριακού ήµου, που σχηµατίζουν τριγωνική περιοχή, θα αναγείρουν µια νοσοκοµειακή µονάδα. Σε ποιο σηµείο ενδείκνυται να χτισθεί, έτσι ώστε τα τρία χωριά να απέχουν εξίσου από αυτή; Επίσης, µια άλλη παρόµοια, πάλι βιωµατική εφαρµογή και προέκταση της προηγούµενης, θα µπορούσε να αφορά στη χάραξη ενός δρόµου ο οποίος να ισαπέχει από τα 3 µη συνευθειακά χωριά. Ο δρόµος αυτός δεν είναι µοναδικός Πρόβληµα που αξιοποιεί τα θεωρήµατα της εσωτερικής και εξωτερικής διχοτόµου Μια εξαιρετική βιωµατική δραστηριότητα (Kordaki & Mastrogiannis, 2007a) αναφέρεται και αξιοποιεί τα θεωρήµατα της εσωτερικής και εξωτερικής διχοτόµου (εικόνα, 75). Η πλοκή των σχετικών συνοδευτικών σεναρίων παρουσιάζεται ως εξής: ραστηριότητα- πρόβληµα Σε µια µικρό ορεινό χωριό υπάρχουν δύο γείτονες (Β και Γ) που παράγουν διαφορετικά προϊόντα. Ο γείτονας Β είναι κτηνοτρόφος, ενώ ο γείτονας Γ καλλιεργεί φρούτα και λαχανικά. Για να ζήσουν σε διατροφική ισορροπία πρέπει να ανταλλάσουν τα αγαθά τους, µα δεν υπάρχει δυνατότητα άµεσης συγκοινωνίας µεταξύ τους. Ο µόνος δρόµος είναι µέσω του χωριού Α, διαδικασία, όµως, δαπανηρή και χρονοβόρα. Έτσι, σκέφτηκαν ότι θα ήταν καλύτερη ιδέα να κατασκευάσουν ένα δρόµο µεταξύ των σπιτιών τους. Μετά από διαπραγµατεύσεις, συµφώνησαν ότι είναι σωστό και δίκαιο για καθένα τους να πληρώσουν ανάλογα προς την απόσταση των 122

131 σπιτιών τους από το χωριό Α. Έτσι, έψαξαν ένα σηµείο στο τµήµα ΒΓ το οποίο θα πληρούσε αυτήν την συµφωνία (Kordaki & Mastrogiannis, 2007a). Εικόνα 75. Θεωρήµατα διχοτόµου στην καθηµερινή ζωή Ακολούθως, θέλησαν να διαπλατύνουν το δρόµο που κατασκεύασαν αλλά και να χτίσουν µια πισίνα δεδοµένου ότι η χρήση της πισίνας που υπήρχε ήδη στο χωριό Α ήταν ασύµφορη. Μάλιστα, συµφώνησαν η πισίνα να κατασκευαστεί προς το µέρος του Β, αφού η περιοχή γύρω από το Γ είναι βραχώδης και απρόσιτη. Μετά από συζητήσεις, κατέληξαν στο συµπέρασµα ότι η κατάλληλη θέση αυτής της πισίνας πρέπει να είναι µακριά και από το Β για να αποφεύγεται ο θόρυβος και η αναστάτωση από τα ξεφωνητά των παιδιών. Όσον αφορά στη χρηµατοοικονοµική πλευρά αυτής της κατασκευής, οι γείτονες Γ και Β συµφώνησαν πάλι να τηρήσουν την προηγούµενη συµφωνία τους, να πληρώσουν, δηλαδή, αναλογικά προς την απόσταση των σπιτιών τους από το χωριό Α (Kordaki & Mastrogiannis, 2007a). Καθώς ο χρόνος πέρασε, η εκµετάλλευση της τριγωνικής περιοχής ABΓ ήρθε στο προσκήνιο. Έτσι, άρχισαν να σκέφτονται τρόπους διανοµής της. εδοµένου ότι µοιράστηκαν, αναλογικά, τις δαπάνες των προηγούµενων κοινοτικών κατασκευών, αποφάσιζαν να διαιρέσουν το τριγωνικό έδαφος µε τον ίδιο ακριβώς τρόπο, ώστε ολόκληρη η διαδικασία διανοµής της γης, να παρέµενε δίκαιη Πρόβληµα στήριξης ιστίων Τέλος και µια «θαλασσινή» περιπέτεια για µαθητές Λυκείου (εικόνα 76): ραστηριότητα πρόβληµα: υο κατάρτια ενός πλοίου έχουν ύψος 4 και 6 µέτρα, αντίστοιχα. Συρµάτινα καλώδια συνδέουν την κορυφή τού ενός µε τη βάση του άλλου. Τα καλώδια διασταυρώνονται σε ύψος 2,4 µέτρα από το κατάστρωµα. Πώς µπορεί ο καπετάνιος, µετακινώντας τα κατάρτια, να προσαρµόσει ένα τρίτο, ύψους 3 µέτρων, ακριβώς, στην διασταύρωση, έτσι ώστε να επιτύχει καλύτερη στήριξη των ιστίων; (Kordaki & Mastrogiannis, 2007b) Και ένα ενδεικτικό φύλλο εργασιών: Μετακινήστε τα κατάρτια και µετρήστε, σε κάθε περίπτωση, την απόσταση του σηµείου τοµής των καλωδίων από το κατάστρωµα; Πότε η απόσταση αυτή προσεγγίζει τη ζητούµενη; ιατυπώστε το συµπέρασµά σας. Υποψιάζεστε για ποιό λόγο ισχύει το παραπάνω συµπέρασµά σας; Πώς µπορούµε να το αποδείξουµε αυτό αυστηρά µαθηµατικά; 123

132 Εφαρµόστε το θεώρηµα οµοιότητας σε κατάλληλα τρίγωνα Ως τελικό, λοιπόν, συµπέρασµα τι θα διατυπώναµε; Εικόνα 76. Πρόβληµα στήριξης ιστίων 3. Εύρεση αξόνων συµµετρίας σε κανονικά πολύγωνα και στον κύκλο Στη συνέχεια, και για αποσαφήνιση και εµπέδωση ακολουθεί ένα ολοκληρωµένο σενάριο µε αξιοποίηση και µερικών άλλων εκπαιδευτικών λογισµικών. ραστηριότητα: Μελέτη της αξονικής συµµετρίας σε κανονικά πολύγωνα και σε κύκλους και εντοπισµός του αριθµού των αξόνων συµµετρίας τους Η αξονική συµµετρία αποτελεί βασική έννοια των µαθηµατικών, απόρροια, ίσως, και της πληθωρικής ιδιότητάς της, ως ενός στοιχείου πληρότητας, φιλοκαλίας και καλαισθησίας της φύσης αλλά και ως γνωρίσµατος πλείστων πολιτισµικών και καλλιτεχνικών κατασκευασµάτων (Μαστρογιάννης & Κορδάκη, 2007α). Με την έλευση, το φθινόπωρο του 2006, των νέων σχολικών εγχειριδίων, η έννοια της αξονικής συµµετρίας, αισθητά και σηµαντικά αναβαθµισµένη, διατρέχει τα νέα αναλυτικά προγράµµατα και αποτελεί πραγµατεύσιµη µαθηµατική ύλη, ήδη από το λυκαυγές του ηµοτικού Σχολείου (Μαστρογιάννης & Κορδάκη, 2007α). Ωστόσο, πολλές και ποικίλες έρευνες αναφέρουν ότι σε ένα ευρύ ποσοστό µαθητών Υποχρεωτικής Εκπαίδευσης, µια σειρά από λόγους και αιτίες λειτουργούν ανασχετικά και αποδυναµώνουν την κατανόηση της έννοιας της αξονικής συµµετρίας (Μαστρογιάννης & Κορδάκη, 2007β). Η µελέτη της αξονικής συµµετρίας σε ένα Περιβάλλον υναµικής Γεωµετρίας µέσω της κατασκευής πλούσιων δραστηριοτήτων «ανοιχτού τύπου» θα µπορούσε να δηµιουργήσει ωφέλιµες, µαθησιακές συνθήκες, αφενός για την κατανόησή της και αφετέρου στην άρση παρερµηνειών σχετικών µε τη συµµετρικότητα ενός σχήµατος και τον εντοπισµό, εν συνεχεία, του αριθµού των αξόνων συµµετρίας του. Προαπαιτούµενες Γνώσεις: α) Τεχνολογικές Γνώσεις: Να είναι εξοικειωµένοι οι µαθητές µε κύριες λειτουργίες του εκπαιδευτικού λογισµικού Cabri Geometry ΙΙ και ειδικότερα µε τη δηµιουργία σηµείων, ευθειών, καθέτων ευθειών, ευθυγράµµων τµηµάτων, πολυγώνων, κύκλων και τόξων. Επίσης να µπορούν να µετρούν, να υπολογίζουν και να πινακοποιούν. β) Μαθηµατικές Γνώσεις Ορισµός (κανονικών) πολυγώνων και είδη τους, ορισµός κύκλου ακτίνας και διαµέτρου του. Επίσης οι µαθητές να γνωρίζουν και να ξεχωρίζουν πότε ένα σχήµα 124

133 καλείται συµµετρικό και να εντοπίζουν τον (τους) άξονα (ες) συµµετρίας του. Ακόµα να γνωρίζουν τη συµµετρικότητα ή µη των άλλων γνωστών γεωµετρικών σχηµάτων (παραλληλόγραµµα, ορθογώνια, τετράγωνα, τρίγωνα κλπ). Σκοποί και στόχοι α) Γνωστικοί Ως σκοπός τίθεται η αναγνώριση των κανονικών πολυγώνων και των κύκλων ως συµµετρικών σχηµάτων και εν συνεχεία η εύρεση του πλήθους των αξόνων συµµετρίας τους. Ως επιµέρους στόχοι για το µαθητή ορίζονται καταρχάς, η «ανακάλυψη» ότι ο αριθµός των πλευρών ενός κανονικού πολυγώνου είναι ισάριθµος των αξόνων συµµετρίας του, ενώ στον κύκλο ο αριθµός αυτός είναι άπειρος, όσες δηλαδή είναι και οι διάµετροί του. Επιπλέον, ο µαθητής να µπορεί να σχεδιάζει και να ολοκληρώνει, ακριβώς µισά κανονικά πολύγωνα και κύκλους, µέσω της αξονικής συµµετρίας. β) Τεχνολογικοί Οι µαθητές να αξιοποιήσουν γνωστικά τις «δυναµικές» δυνατότητες του εκπαιδευτικού λογισµικού Cabri Geometry ΙΙ, αναδεικνύοντας τη µαθησιακή, προστιθέµενη αξία του, αλλά και να εξασκηθούν σε διαφορετικές αναπαραστάσεις των γεωµετρικών εννοιών. Γενικά, η «αναβάθµιση» του υπολογιστή ως εξαιρετικού γνωστικού εργαλείου αποτελεί παράπλευρο, τεχνολογικό στόχο. Κατηγορία λογισµικού συνδυασµός κατηγοριών λογισµικού Το πρόγραµµα Cabri διαθέτει κάποια βασικά πλεονεκτήµατα σε σύγκριση µε άλλα προγράµµατα διδασκαλίας των Μαθηµατικών και ιδιαίτερα της Γεωµετρίας. Συγκεκριµένα πρόκειται για ένα δυναµικό περιβάλλον µάθησης, το οποίο παρέχει δυνατότητες πλούσιας αλληλεπίδρασης µε το χρήστη. Γενικά, τα υναµικά λογισµικά Γεωµετρίας επιτρέπουν στους χρήστες να δηµιουργήσουν γεωµετρικά σχήµατα, χρησιµοποιώντας τυποποιηµένες κατασκευές, αντικαθιστώντας το γνώµονα και το διαβήτη, και να τα εξερευνήσουν αλληλεπιδραστικά µε τρόπους µη επιτεύξιµους µε τα παραδοσιακά σχήµατα, που σχεδιάζονται στο χαρτί. Ο χρήστης µπορεί, επίσης, να χειριστεί το σχήµα, µετακινώντας τη θέση των ελεύθερων σηµείων και να µελετήσει τις ιδιότητές του µε ένα νέο τρόπο, δεδοµένου ότι οι εξαρτηµένες κατασκευές ενηµερώνονται δυναµικά και αυτόµατα, δηµιουργώντας έτσι, νέες περιπτώσεις σχηµάτων (Wilson & Fleuriot, 2005). Βέβαια, οι µορφές των σχηµάτων αν και τροποποιούνται (συνοδευόµενες στην πλειονότητά τους από γραφική-εικονική αλλά και αριθµητική ανατροφοδότηση), κάποιες ιδιότητές τους όµως, παραµένουν αµετάβλητες (Κορδάκη, 2004β). Μάλιστα, αυτή η αυτόµατη διαχείριση µπορεί να εµφανίσει στον υπολογιστή µια πληθώρα γεωµετρικών σχηµάτων µε κοινές ιδιότητες, παρέχοντας έτσι στο µαθητή, τη δυνατότητα να οικοδοµήσει αφηρηµένες έννοιες, σχετικές και δηλωτικές αυτών των ιδιοτήτων (Κορδάκη, 2004β). Επιπλέον, στη διδασκαλία θα αξιοποιηθεί το διαδίκτυο µέσω µηχανών αναζήτησης, για εύρεση σχετικών αναφορών για τη συµµετρία (applets, επιλεγµένες εικόνες συµµετρικών, γεωµετρικών και µη σχηµάτων). Το λογισµικό αισθητικής αγωγής Revelation Natural Art θα χρησιµοποιηθεί, επίσης, για σχεδίαση συµµετρικών πολυγώνων και γενικά σχηµάτων, δεδοµένου ότι διαθέτει µια σειρά από εντολές που αναφέρονται στη συµµετρία. Τέλος, το λογισµικό Inspiration θα µπορούσε να χρησιµοποιηθεί, µε καθαρά εµπεδωτικό χαρακτήρα, στην ταξινόµηση σχηµάτων ως προς την ιδιότητα της συµµετρικότητας (αµφίπλευρη συµµετρία). Για παράδειγµα τα σχήµατα µπορούν να κατηγοριοποιηθούν ως εξής: Α) µη τυπικά γεωµετρικά σχήµατα της καθηµερινής ζωής τα οποία προέρχονται από τον κόσµο της εµπειρίας των µαθητών, β) γεωµετρικά σχήµατα της καθηµερινής ζωής και γ) τυπικά γεωµετρικά 125

134 σχήµατα. Όλα αυτά διαιρούνται σε συµµετρικά µε 1, 2 ή πολλούς άξονες συµµετρίας και σε µη συµµετρικά, που µε τη σειρά τους µπορεί να είναι ευδιακρίτως µη συµµετρικά ή η µη συµµετρικότητά τους να είναι δυσδιάκριτη ή να υπάρχει διαφοροποίηση, µόνο ως προς το χρώµα (Μαστρογιάννης & Κορδάκη, 2007β). Προβλεπόµενος χρόνος υλοποίησης σεναρίου: 2-3 ώρες Οργάνωση τάξης και απαιτούµενη υλικοτεχνική υποδοµή Οι µαθητές θα εργαστούν εξ ολοκλήρου στο εργαστήριο υπολογιστών, όπου, ανά δύο µε τρείς µαθητές, να αντιστοιχεί ένας υπολογιστής. Επιπλέον, ένας βιντεοπροβολέας είναι απαραίτητος, όπως και µια οθόνη προβολής για την κινηµατογραφική αποτύπωση του σεναρίου. Φυσικά, το λογισµικό Cabri Geometry II να είναι εγκαταστηµένο σε όλους τους υπολογιστές του εργαστηρίου και τα σχετικά εγχειρίδια χρήσης των λογισµικών βρίσκονται στη διάθεση των µαθητών. Οι µαθητές, σύµφωνα και µε τις επιταγές του εποικοδοµητισµού, ο οποίος προκρίνει και προάγει τη συνεργατικότητα, είναι χωρισµένοι σε οµάδες των δύο ή το πολύ τριών ατόµων. Ο ρόλος κάθε µαθητή, ως µέλους της οµάδας, είναι διακριτός και συγκεκριµένος, αφού άλλος µπορεί να πληκτρολογεί, άλλος να καταχωρίζει τα αποτελέσµατα και άλλος να εξετάζει και να συγκεντρώνει τα αποτελέσµατα των άλλων οµάδων. Απαραίτητο είναι, κάθε φορά, µετά από την ολοκλήρωση µιας συγκεκριµένης ενότητας του σεναρίου, να εναλλάσσονται οι ρόλοι µέσα σε κάθε οµάδα, αλλά ακόµη και να µπορούν οι µαθητές να αλλάζουν οµάδες. Ο δάσκαλος, µέσω κατάλληλων ερωτήσεων, κρατά ρόλο διαµεσολαβητικό, διευκολυντικό και συµβουλευτικό και διαχειρίζεται τη διδακτική ώρα, ώστε να υπάρχει, κατά το δυνατό, συγχρονισµός στις διάφορες φάσεις του έργου κάθε οµάδας. Στο τέλος όλες οι οµάδες ανακοινώνουν (ακόµα και µέσω Power Point) ή αντιπαραβάλλουν τα ευρήµατά τους της, µε αυτά των άλλων οµάδων, ώστε οι οµάδες να καταλήξουν και να συµπεράνουν ποια από παραγόµενα αποτελέσµατα (π.χ. τα κοινά) είναι ορθά (Από το δικτυακό τόπο Περιγραφή και αιτιολόγηση του σεναρίου Για το συγκεκριµένο σενάριο, προσφέρεται η αξιοποίηση του µοντέλου της διερευνητικής-ανακαλυπτικής µάθησης, εντός συνεργατικών και µαθητοκεντρικών, περιβαλλόντων εργασίας. Καταρχάς, παρέχεται η δυνατότητα στους µαθητές να ανακαλέσουν τις βασικές λειτουργίες των µενού του Cabri Geornetry ΙΙ. Στο φύλλο εργασίας διατυπώνονται ερωτήσεις, σχετικά µε επιµέρους στοιχεία κανονικών πολυγώνων αλλά και ερωτήσεις, που αφορούν στην αξονική συµµετρία. Όσον αφορά στην έννοια της συµµετρίας, µέσω, βέβαια, των λειτουργιών και εργαλείων που προσφέρει το Cabri Geornetry, είναι δυνατή η δυναµική µεταβολή ενός σχήµατος και η αντίστοιχη απεικόνιση τού συµµετρικού του, ως προς έναν άξονα συµµετρίας. Ακόµα, µέσω µιας «εικονικής δίπλωσης/αναδίπλωσης» οι µαθητές µπορούν να µελετήσουν την ταύτιση/µη ταύτιση των µερών ενός γεωµετρικού σχήµατος, ώστε, τελικά, να αντιληφθούν την ύπαρξη η όχι αξόνων συµµετρίας του. Επιπλέον, η δυναµική µεταβολή ενός σχήµατος δίνει τη δυνατότητα να ανακαλύψουν οι µαθητές, όλες τις περιπτώσεις, κατά τις οποίες µια ευθεία καθίσταται άξονας συµµετρίας του. Για παράδειγµα, οι µαθητές µεταβάλλοντας δυναµικά ένα ορθογώνιο ΑΒΓ, όπου φαίνεται το συµµετρικό του τριγώνου ΑΒΓ, ως προς τη διαγώνιο ΑΓ µπορεί να αντιληφθούν, ότι όταν το ΑΒΓ γίνει τετράγωνο, τότε η ΑΓ «αναβαθµίζεται» σε άξονας συµµετρίας τού ΑΒΓ (Μαστρογιάννης & Κορδάκη, 2007α) Εµπλοκή µε τη δραστηριότητα Η αλληλεπιδραστική αυτή κατασκευή δίνει δυνατότητες στο µαθητή να πειραµατιστεί µε την έννοια της αµφίπλευρης συµµετρίας σε κανονικά εξάγωνα, 126

135 επτάγωνα, οκτάγωνα και δωδεκάγωνα. Ο µαθητής δύναται να πραγµατοποιήσει αυτόµατη εικονική δίπλωση, ως προς µια απειρία αξόνων διερχοµένων από το κέντρο του κάθε πολυγώνου. Σε κάθε µία περίπτωση µπορεί να παρατηρήσει την ταύτιση/µη ταύτιση των µερών. Μετακινώντας δυναµικά τον άξονα της δίπλωσης ο µαθητής µπορεί να διαπιστώσει ότι αυτός καθίσταται άξονας συµµετρίας στην περίπτωση που ενώνει δύο απέναντι κορυφές ενός κανονικού πολυγώνου µε άρτιο αριθµό πλευρών καθώς επίσης και όταν συνδέει µια κορυφή του µε το µέσο της απέναντι πλευράς. Στην περίπτωση των κανονικών πολυγώνων µε περιττό αριθµό πλευρών ισχύει µόνο η δεύτερη περίπτωση (Μαστρογιάννης & Κορδάκη, 2007α). Ως παράδειγµα, που αφορά σε κανονικό οκτάγωνο, παρατίθενται µερικές σχετικές ανοικτές, διερευνητικές ερωτήσεις (Εικόνα 77): Στο οκτάγωνο ΑΒΓ ΕΖΗΘ, που εµφανίζεται στην οθόνη το πολύγωνο ΙΑ Θ Η Ζ Κ είναι το συµµετρικό του ΙΑΘΗΖΚ, µε άξονα συµµετρίας την ευθεία ε. Σύρτε το οκτάγωνο ΑΒΓ ΕΖΗΘ ή και την ευθεία ε και ανακαλύψτε πότε η ευθεία καθίσταται άξονας συµµετρίας του ΑΒΓ ΕΖΗΘ. Πόσους άξονες συµµετρίας έχει το ΑΒΓ ΕΖΗΘ; ικαιολογήστε την απάντησή σας (Μαστρογιάννης & Κορδάκη, 2007α). Εικόνα 77. Άξονες συµµετρίας σε οκτάγωνο Ακριβώς, αντίστοιχες ερωτήσεις µπορούν, προφανώς, να διατυπωθούν και στις περιπτώσεις του εξαγώνου του επταγώνου, του δωδεκαγώνου κ.λ.π. Γενικά, σε κάθε ν-γωνο, µε ν 3, και ν περιττός, αν συνδέσουµε µια κορυφή µε το µέσο της πλευράς που έχει σειρά απ την κορυφή [ν/2] + 1 τότε η ευθεία αυτή είναι άξονας συµµετρίας. Άρα, συµπεραίνεται ότι υπάρχουν και ν άξονες. Αν ν άρτιος υπάρχουν ν/2 άξονες συµµετρίας, όπου καθένας διέρχεται από το µέσο µιας πλευράς και από το µέσο της πλευράς που έχει ν/2 σειρά από την πρώτη. Υπάρχουν όµως ακόµα ν/2 άξονες συµµετρίας που καθένας διέρχεται από µια κορυφή και από εκείνη που έχει σειρά ν\2 από την πρώτη. Άρα κάθε κανονικό κυρτό πολύγωνο µε ν πλευρές έχει ν άξονες συµµετρίας, ενώ κάθε κανονικό ν-γωνο χωρίζεται από τους ν άξονες συµµετρίας του σε 2ν ίσα µέρη. Επίσης, συµπεραίνουµε ότι µπορούµε πάντα να βρούµε σχήµα του επιπέδου µε ν άξονες συµµετρίας, µε ν Ν. εν έχουµε όµως τη δυνατότητα να ισχυριστούµε ότι είναι εφικτή η κατασκευή σχήµατος µε ν άξονες συµµετρίας. Η κατασκευή είναι υλοποιήσιµη, µόνο στο βαθµό, που το κανονικό ν-γωνο είναι κατασκευάσιµο. 127

136 Επίσης, ως προς τον κύκλο και τη διερεύνηση της συµµετρικότητάς του σχεδιάζουµε τον (Ο, ΟΑ) και µια ευθεία ε, που τον τέµνει στα σηµεία Β και Γ. Ως «εικονική δίπλωση» δεχόµαστε το συµµετρικό του τόξου ΒΑΓ, µε άξονα συµµετρίας την ευθεία ε. Η µετακίνηση της ευθείας ε προς το κέντρο του κύκλου µπορεί να δώσει τη δυνατότητα στους µαθητές να αντιληφθούν ότι όταν η ευθεία διέλθει από το κέντρο του κύκλου, τότε η ευθεία ε µετατρέπεται σε άξονα συµµετρίας τού κύκλου. Ας σηµειωθεί ότι αντί για τόξο θα µπορούσε να µελετηθεί και το συµµετρικό ενός σηµείου Α της περιφέρειας του κύκλου ως προς την ευθεία ε. Στην περίπτωση δε, του εντοπισµού της διαµέτρου ως άξονα συµµετρίας, αν το Α διατρέχει τον κύκλο τότε το συµµετρικό του, θα διατρέχει επίσης το άλλο ηµικύκλιο (Μαστρογιάννης & Κορδάκη, 2007α). Αξίζει να αναφερθεί ότι το πλήθος των διαµέτρων του κύκλου, οπότε και των αξόνων συµµετρίας του, είναι µη αριθµήσιµο άπειρο Οποιοδήποτε κανονικό κυρτό πολύγωνο είναι εγγράψιµο σε κύκλο. Οι άξονες συµµετρίας είναι και διάµετροι του κύκλου. Αυξάνοντας, τώρα, το ν το πολύγωνο γίνεται στο όριο κύκλος, που έχει µη αριθµήσιµα άπειρο πλήθος αξόνων. Από αριθµήσιµο πλήθος, λοιπόν, οι άξονες γίνονται στο όριο µη αριθµήσιµοι. Ενδεικτικές ερωτήσεις, που αφορούν στην ανεύρεση των αξόνων συµµετρίας του κύκλου και του πλήθους τους ακολουθούν (Μαστρογιάννης & Κορδάκη, 2007α): «Στον κύκλο (Ο, ΟΑ) που εµφανίζεται στην οθόνη, το τόξο ΒΑ Γ είναι το συµµετρικό του ΒΑΓ µε άξονα συµµετρίας την ευθεία ε, η οποία τέµνει τον κύκλο στα σηµεία Β και Γ. Σύρτε την ευθεία προς το κέντρο του κύκλου και διερευνήστε πότε η ευθεία ε γίνεται άξονας συµµετρίας του. Πόσοι άξονες συµµετρίας µπορούν να κατασκευαστούν σε έναν κύκλο; ικαιολογήστε την απάντησή σας.» Ενδεικτικό Φύλλο εργασίας (µερικές δραστηριότητες) Με χρήση της εντολής «κανονικό πολύγωνο» του Cabri Geometry II, σχεδιάστε κανονικό επτάγωνο ΑΒΓ ΕΖΗ. Να επιλέξετε την κατάλληλη «εικονική δίπλωση» και να διαπιστώσετε ότι µια ευθεία, που συνδέει µια κορυφή του µε το µέσο της απέναντι πλευράς είναι άξονας συµµετρίας του επταγώνου. Στη συνέχεια, να εξακριβώσετε πόσους άξονες συµµετρίας έχει το κανονικό επτάγωνο ΑΒΓ ΕΖΗ. ικαιολογήστε την απάντησή σας. Βρείτε στο διαδίκτυο συµµετρικά σχήµατα κανονικών πολυγώνων (φυσικά ή ανθρώπινα δηµιουργήµατα). Με το λογισµικό Natural Art κατασκευάστε συµµετρικά πολύγωνα, σχεδιάζοντας µόνο το µισό τους ή το ¼ τους. Ψάξτε στη βιβλιοθήκη των εικόνων του για κανονικά πολύγωνα. Παρόµοιες ερωτήσεις µπορούν να ορισθούν και στην περίπτωση του κύκλου. Τέλος, για αξιολόγηση µπορούν, µέσω του λογισµικού Hot Potatoes, να δηµιουργηθούν αλληλεπιδραστικές ασκήσεις-ερωτήσεις διάφορων µορφών (πολλαπλής επιλογής, σωστού λάθους, σταυρόλεξου ή αντιστοίχισης) βασισµένες στη συµµετρία (Π.χ. Το δεκάγωνο έχει 12 άξονες συµµετρίας Σωστό ή Λάθος και ακόµα: Ο κύκλος έχει πάντα περισσότερους λιγότερους ίσους άξονες συµµετρίας, σε σχέση µε ένα κανονικό πολύγωνο µε πάρα πολλές πλευρές). Τέλος, παρατίθεται και ένα φύλλο εργασιών, που σε αρχάριους προτάσσεται της προηγούµενης µαθησιακής παρέµβασης, αφού αποσκοπεί στην εξοικείωση µε τη λειτουργία της αξονικής συµµετρίας, στο περιβάλλον του Cabri Geometry ΙΙ ραστηριότητες εξοικείωσης µε τη λειτουργία της αξονικής συµµετρίας (Από το Training Material 1 - Teaching and Learning with Cabri Geometry, του Προγράµµατος Vccsse, των Kordaki & Mastrogiannis, (2007c)) 128

137 1η κατασκευή Αρχείο ηµιουργία Κατασκευάζουµε πολύγωνο (Κουµπί 3 Πολύγωνο). Κάνουµε κλικ στα σηµεία που θέλουµε να δηµιουργηθούν οι κορυφές του πολυγώνου, µε το τελευταίο κλικ στην πρώτη κορυφή που κατασκευάσαµε. Κατασκευάζουµε ευθεία (Κουµπί 3 ευθεία). Κάνουµε κλικ σε σηµείο της επιφάνειας εργασίας και σύρουµε τον κέρσορα. Κατασκευάζουµε το συµµετρικό του πολυγώνου. (Κουµπί 6 αξονική Συµµετρία) Τοποθετούµε τον κέρσορα σε πλευρά του πολυγώνου, κάνουµε κλικ, κατόπιν σύρουµε τον κέρσορα στην ευθεία- άξονα και κάνουµε κλικ. 2η κατασκευή Αρχείο ηµιουργία Κατασκευάζουµε ισόπλευρο τρίγωνο (Κουµπί 3-Κανονικό πολύγωνο). Κλικ στην επιφάνεια εργασίας, αποµακρύνουµε τον κέρσορα από το σηµείο, κάνουµε κλικ και τον µετακινούµε κατά την φορά τον δεικτών του ρολογιού, µέχρι να σχηµατιστεί τρίγωνο και ξανακάνουµε κλικ. Κατασκευάζουµε το συµµετρικό του ως προς µια κορυφή του (κουµπί 6- αξονική Συµµετρία). Κλικ κοντά στο τρίγωνο και δεύτερο κλικ στην κορυφή ως προς την οποία θέλουµε το συµµετρικό. Χρωµατίζουµε τα τρίγωνα (Κουµπί 11 Γέµισµα). Κάνουµε κλικ στο χρώµα, πλησιάζουµε τον κέρσορα σε πλευρά του τριγώνου που θέλουµε να χρωµατίσουµε και κάνουµε κλικ. Συνεχίζουµε την προηγούµενη διαδικασία µέχρι να κάνουµε ένα σχέδιο στην οθόνη (εικόνα 78). Εικόνα 78. Παιχνιδίσµατα µε το Cabri!!! 129

138 ΣΤ. ΑΛΛΕΣ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΧΡΗΣΗΣ ΚΑΙ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΟΥ CABRI GEOMETRY II 1. Μονάδες µέτρησης εµβαδού Περίληψη Η καθηµερινή εφαρµογή και χρήση και οι πλούσιες µαθηµατικές της προεκτάσεις, καθιστούν τη µέτρηση του εµβαδού, έννοια θεµελιώδους σηµασίας. Έρευνες έχουν καταδείξει, όµως, µια σειρά από προβλήµατα, δυσκολίες και παρανοήσεις, κατά τη µάθησή της. Ο αλγόριθµος εφαρµογής, η σύγχυση µε την περίµετρο, η επιλογή και οι επαναλήψεις των µονάδων µέτρησης, η έλλειψη κατανόησης των εννοιών που το συνθέτουν και ο παραδοσιακός, συµπεριφοριστικός τρόπος µάθησης του σχετικού αλγορίθµου, προβάλλουν ως τα κυριότερα µαθησιακά προσκόµµατα. Η παρούσα πρόταση µε τη «δυναµική» ενίσχυση του Cabti Geometry και µέσω δραστηριοτήτων «βιωµατικού τύπου» πλακόστρωσης µιας αυλής, αποπειράται να υπερφαλαγγίσει τις παραπάνω δυσκολίες. 1.1.Θεωρητικό πλαίσιο Η µέτρηση του εµβαδού είναι σηµαντική µαθηµατική έννοια, στα σχολικά µαθηµατικά και δικαιολογηµένα καλύπτει, σχετικά, µεγάλο µέρος, στην ύλη των Αναλυτικών Προγραµµάτων Σπουδών της Υποχρεωτικής εκπαίδευσης. Γενικά, η µέτρηση είναι οικουµενική και κεφαλαιώδης δραστηριότητα, µε οριζόντια πολιτισµική διάχυση, σε όλους ανεξαιρέτως τους λαούς και σε πολλές κοινωνικές εκφάνσεις, όπως στην επιστήµη, στην τεχνολογία αλλά και στην απλή καθηµερινότητα (Κορδάκη, 1999; Kordaki & Potari 1998). Πολλές και ποίκιλες, καθηµερινές εφαρµογές συνηγορούν υπέρ και της σπουδαιότητας της µάθησης του εµβαδού και της µέτρησης του. Η ζωγραφική, η κηπουρική, οι επιστρώσεις και οι επικαλύψεις επιφανειών είναι κάποιες, ενδεικτικές περιπτώσεις (Cavanagh, 2008). Η µέτρηση των επιφανειών καταχωρίζεται ως µία, λίαν σηµαντική και θεµελιακή µαθηµατική έννοια, εξαιτίας των πολλών διασυνδέσεων και αρωγών της σε πλείστες άλλες µαθηµατικές έννοιες και περιοχές. Η έννοια του αριθµού, η κατανόηση των πολλαπλασιαστικών δοµών µεταξύ ακεραίων αλλά και (πολύ περισσότερο) µεταξύ κλασµάτων, η οµοιότητα, οι µεγεθύνσεις, η αντιµεταθετική ιδιότητα του πολλαπλασιασµού, η κατανόηση του αναπτύγµατος των διωνύµων αλλά και ο ολοκληρωτικός λογισµός είναι µαθηµατικές ενότητες, άρρηκτα συνδεδεµένες µε τη µέτρηση του εµβαδού επιφανειών και έπονται, στις περισσότερες των περιπτώσεων, της µελέτης του. Μάλιστα, η έννοια του εµβαδού γεφυρώνει το σύµπαν των συγκεκριµένων και απτών, φυσικών αντικειµένων µε τον αφηρηµένο κόσµο των αριθµών (Κορδάκη, 1999; Cavanagh, 2008). Η µέτρηση του εµβαδού προϋποθέτει ότι: (α) επιλέγεται µια κατάλληλη δισδιάστατη περιοχή ως µονάδα µέτρησης, (β) ίδιες επιφάνειες έχουν ίσα εµβαδά, (γ) οι επιφάνειες δεν επικαλύπτονται και (δ) το εµβαδό της ένωσης δύο επιφανειών είναι το άθροισµα των επιµέρους εµβαδών. Κατά συνέπεια, η εύρεση του εµβαδού µιας επιφάνειας µπορεί να θεωρηθεί ως η «επίστρωση» (ή διαχωρισµός) µιας περιοχής µε µια δισδιάστατη µονάδα µέτρησης (Clements & Stephan, 2003). Υπάρχουν, τουλάχιστον πέντε θεµελιώδεις έννοιες, που περιλαµβάνονται στην εκµάθηση της µέτρησης επιφανειών (Clements & Stephan, 2003): ιαχωρισµός 130

139 Επανάληψη µονάδων ιατήρηση Γραµµική µέτρηση όµηση σειρών Ο διαχωρισµός είναι η διανοητική πράξη της τµήσης µιας επιφάνειας δυο διαστάσεων, µέσω µιας δισδιάστατης µονάδας. Οι µαθητές, καθώς καλύπτουν επιφάνειες, δίχως κενά και επικαλύψεις, µπορούν επίσης να αναπτύξουν την έννοια της επανάληψης µονάδων. Η στρατηγική δε, της (επι)κάλυψης είναι η κύρια µέθοδος της ευκλείδειας γεωµετρίας, κατά τον προσδιορισµό ισεµβαδικών σχηµάτων (Zacharos, 2005). Η έννοια της διατήρησης του εµβαδού είναι επίσης, σηµαντική, παραµελείται, όµως συχνά, στη διδασκαλία. Οι µαθητές δυσκολεύονται να αντιληφθούν ότι όταν τεµαχίζουν µια δεδοµένη επιφάνεια και ανασυνθέτουν εκ νέου τα µέρη της, δηµιουργώντας έτσι, µια άλλη διαφορετική επιφάνεια, αυτή παραµένει ισεµβαδική. Αδυνατούν, δηλαδή, να διαπιστώσουν ότι διαφορετικά σχήµατα µπορούν να έχουν το ίδιο εµβαδόν. Μια παρέµβαση (βρίσκεται στον ιστότοπο του προγράµµατος Vccsse) αξιοποιώντας τις δυνατότητες και τα εργαλεία του Cabri, ως προς αυτή τη µαθησιακή κατεύθυνση, θα µπορούσε να περιλαµβάνει ζεύγη ορθογωνίων (εικόνα 79) ή τριγώνων (εικόνα 80), ο συνεχής δυναµικός µετασχηµατισµός των οποίων δεν επηρεάζει την ισεµβαδικότητά τους. Εικόνα 79. Ισεµβαδικά ορθογώνια Ακόµα, πολλά άρθρα αναφέρουν ρητά, ότι µια καλή υποδοµή στη µέτρηση µηκών (γραµµική µέτρηση) είναι απαραίτητη προϋπόθεση κατά τη µέτρηση επιφανειών, αφού, προφανώς, η µέτρηση του εµβαδού είναι προϊόν δύο γραµµικών µετρήσεων (Clements & Stephan, 2003). Εικόνα 80. Ισεµβαδικά τρίγωνα 131

140 Τέλος, οι µαθητές πρέπει να δοµήσουν και να οργανώσουν µια σειρά, ώστε να αντιληφθούν την επιφάνεια, ως ένα χώρο δυο διαστάσεων. Τα στάδια ανάπτυξης της έννοιας του εµβαδού, που καλούνται οι µαθητές να ακολουθήσουν και να υπερκεράσουν, σύµφωνα µε τους Clements & Stephan (2003), περιλαµβάνουν: ελάχιστη ή καµία δυνατότητα να οργανώσουν και να συντονίσουν τα κοµµάτια πάνω στην επιφάνεια, δίχως κενά και επικαλύψεις. πλήρης κάλυψη, αλλά πληµµελής υπολογισµός πλήρης κάλυψη και σωστή καταµέτρηση, χωρίς ωστόσο, δόµηση γραµµών και στηλών χρήση των σειρών ή των στηλών αλλά εσφαλµένη καταµέτρηση δόµηση του ορθογωνίου ως σύνολο σειρών, µετρώντας κάθε σειρά, ανά συγκεκριµένο αριθµό επανάληψη των σειρών σε συνδυασµό µε τον αριθµό των τετραγώνων σε µια στήλη συνειδητοποίηση ότι οι διαστάσεις του ορθογωνίου παρέχουν τον αριθµό των τετραγώνων των σειρών και των στηλών και ο πολλαπλασιασµός τους υπολογίζει, τελικά, το εµβαδόν υσκολίες µαθησιακά προβλήµατα Πολλές έρευνες τονίζουν τα προβλήµατα, που αντιµετωπίζουν οι µαθητές σε σχέση µε την κατανόηση της διαδικασίας µέτρησης επιφανειών (Μαστρογιάννης & Αλπάς, 2008). Ο αλγόριθµος εφαρµογής, η σύγχυση µε την περίµετρο, η επιλογή και οι επαναλήψεις των µονάδων µέτρησης, αλλά και η έλλειψη κατανόησης των εννοιών που το συνθέτουν, αναφέρονται ως σηµαντικά µαθησιακά προσκόµµατα και ως οι κυριότερες δυσκολίες των µαθητών. Ο παραδοσιακός τρόπος της διδασκαλίας, ο οποίος βασίζεται στην «µπιχεβιοριστική» µάθηση του αλγορίθµου, κρατά τη µερίδα του λέοντος στις επικριτικές αναφορές. Ενώ το µήκος µετριέται άµεσα, το εµβαδόν υπολογίζεται έµµεσα µε τη χρησιµοποίηση των µηκών των στοιχείων, τα οποία εµφανίζονται στον τύπο του εµβαδού (Zacharos, 2005). Τα παιδιά µαθαίνουν συχνά έναν κανόνα, όπως ο πολλαπλασιασµός δύο αποστάσεων, χωρίς καµιά σηµασία για αυτά. Οι προσπάθειες ώστε να διδαχτεί ο σύντοµος αλγοριθµικός υπολογισµός, πριν την δοµική εισαγωγή των σειρών και γραµµών αποβαίνουν θνησιγενείς, µαθησιακά (Reynolds & Wheatley, 1996). Ακόµα, έχουν παρατηρηθεί µερικές κοινές παρερµηνείες και παρανοήσεις, όσον αφορά, πάντα, στην κατανόηση του εµβαδού, δεδοµένου ότι, µερικές φορές, οι µαθητές (Cavanagh, 2007): κρίνουν το εµβαδόν ενός ορθογωνίου εξετάζοντας το µήκος, µόνο µιας από τις πλευρές του στηρίζουν τα συµπεράσµατά τους σε άτυπες παρατηρήσεις κατά τον τεµαχισµό και την επανασύνθεση των σχηµάτων και τη σχετική σύγκριση των επιφανειών τους µετρούν τα σηµεία ή υπολογίζουν όλες τις περιοχές εξίσου, ανεξάρτητα από το γεωµετρικό σχήµα τους, κατά τη χρησιµοποίηση ενός πλέγµατος υπολογίζουν τις µονάδες, γύρω από τη γωνία ενός ορθογωνίου, διπλά µετρούν τα σηµάδια επισήµανσης (µαρκαρίσµατος), παρά υπολογίζουν τις µονάδες προσθέτουν τα µήκη των πλευρών, αντί να τα πολλαπλασιάσουν υπεργενικεύουν τους τύπους των εµβαδών και όπως ήδη αναφέρθηκε συγχέουν την περίµετρο µε το εµβαδό 132

141 Η τελευταία εσφαλµένη προσέγγιση, στο δυναµικό περιβάλλον του Cabri Geometry, µπορεί να αντιµετωπισθεί καίρια, ως εξής, µε σκοπό να αντιµετωπιστεί αυτή η µαθητική δυσκολία: Σχεδιάζονται παραδειγµατικές περιπτώσεις ζευγών (ή και µονών που µετασχηµατίζονται, δυναµικά) τριγώνων, ορθογωνίων ή και παραλληλογράµµων, που άλλοτε είναι µόνο ισεµβαδικά (εικόνες 79 και 80), άλλοτε µόνο ισοπεριµετρικά και άλλοτε πληρούν ταυτόχρονα, και τις δυο παραπάνω προϋποθέσεις. Ο κύκλος µε ακτίνα 2, το τετράγωνο µε πλευρά 4 και το ορθογώνιο µε πλευρές 3 και 6, έχουν εµβαδό αριθµητικά ίσο µε την περίµετρό τους. Στην εικόνα 81 παρουσιάζεται ένα ορθογώνιο το οποίο µετασχηµατίζεται δυναµικά, αλλά πάντα, η περίµετρός του ισούται (αριθµητικά, φυσικά) µε το εµβαδό του. Η κατασκευή αυτή που βρίσκεται αναρτηµένη στον ιστότοπο του προγράµµατος Vccsse, έχει στηριχθεί στην παρακάτω απόδειξη. Αν ένα ορθογώνιο έχει διαστάσεις x και κx (κ>1), τότε αν x=(2/κ)+2, το εµβαδόν θα ισούται µε Ε= ((2/κ)+2)2 κ = (4/κ)+κ+8 και η περίµετρος µε Π=2((2/κ)+2)+2κ(2/κ)+2) =(4/κ)+κ+8, δηλαδή το ορθογώνιο θα έχει περίµετρο ίση, αριθµητικά, µε το εµβαδόν του. Για κάθε κ υπάρχει µοναδική τιµή για το x, που σηµαίνει ότι υπάρχει, κάθε φορά, µοναδικό ορθογώνιο. Εικόνα 81. Ορθογώνιο µε εµβαδό ίσο (αριθµητικά) µε την περίµετρό του Εστιάζοντας τώρα στη σχολική πραγµατικότητα, µπορεί εύκολα και αβίαστα να παρατηρηθεί ότι πολλά εγχειρίδια µαθηµατικών παρουσιάζουν περιοχές, που είναι ήδη διαχωρισµένες. Οι µαθητές, το µόνο που απαιτείται να κάνουν, είναι να µετρήσουν τις µονάδες µία-µία, διαδικασία όµως, που αποκρύπτει τη δοµή της σειράς, αφού η προσοχή δεν επικεντρώνεται σε αυτή (Cavanagh, 2008). Επιπλέον, η τάση πολλών δασκάλων και εγχειριδίων να προκρίνουν πολύ γρήγορα τις διαδικασίες πολλαπλασιασµού, που συνδέονται µε τον υπολογισµό των εµβαδών, ειδικά µέσω της χρήσης των τύπων, στερεί τους µαθητές από την ευκαιρία να µελετηθεί το σχέδιο και η δοµή της σειράς (Kordaki & Potari, 2002; Clements & Stephan, 2003). Ο αλγόριθµος του υπολογισµού των εµβαδών προσφέρεται, παιδαγωγικά, να παρουσιασθεί ως µια τελική τεχνική και µέθοδος, που αποσκοπεί στην αποφυγή της χρονοβόρας, επίπονης και, πολλές φορές, σφαλερής διαδικασίας µέτρησης των µονάδων, οι οποίες καλύπτουν την εξεταζόµενη επιφάνεια Η διδακτική «εικονική» πρόταση Στα δυναµικά πλαίσια του Cabri Geometry, έχει σχεδιαστεί µονοκατοικία, µε τις σχετικές της εγκαταστάσεις και ανέσεις. Ο αύλειος χώρος χρειάζεται να επιστρωθεί µε πλακίδια, τα οποία µπορεί να θεωρηθούν ως µονάδες µέτρησης. Τα πλακίδια αυτά προσφέρονται για επιλογή, αφού είναι 2 είναι τετραγωνικά και 2 ορθογώνια, διαφόρων χρωµάτων και σχεδίων. Μπορούν να µεταφερθούν, µε σύρσιµο και να τοποθετηθούν σε κατάλληλη θέση στην ορθογώνια αυλή. Ακολούθως, µέσω 133

142 του µετασχηµατισµού της µεταφοράς µετατόπισης, καλύπτουν την επιφάνεια, άλλοτε µετατοπιζόµενα οριζόντια και άλλοτε κάθετα (οι αρχικές εικόνες-πλακίδια παραµένουν). Τα διανύσµατα, κάθε φορά, (οριζόντιο ή κάθετο) είναι προσχεδιασµένα και τα µέτρα τους ισούνται µε τη διάσταση του τετράγωνου πλακιδίου (εικόνα 82). Ανάλογη είναι και η κατασκευή, όσον αφορά στις 2 διαστάσεις των ορθογώνιων µονάδων. Όταν, για παράδειγµα, το ορθογώνιο πλακίδιο µετατοπίζεται κάθετα, το προσχεδιασµένο διάνυσµα έχει µέτρο, πάντοτε, ίσο µε την αντίστοιχη διάσταση του πλακιδίου µονάδας µέτρησης. Οι 4 αυτές µονάδες µέτρησης µπορούν να µετασχηµατίζονται δυναµικά και να αυξοµειώνουν το µέγεθος τους, ενώ αντίστοιχη διαφοροποίηση υφίστανται, ταυτόχρονα, και οι εικόνες τους (επιστρωµένα πλακίδια) αλλά και τα προσχεδιασµένα, δηλωτικά διανύσµατα της µετατόπισης. Εικόνα 82. Πλακοστρώσεις αυλής Στόχος της συγκεκριµένης αυτής διδακτικής πρότασης είναι, κυρίως, να αναδειχθεί ότι η δοµή των σειρών-στηλών είναι εξαιρετικά σηµαντική και παράλληλα οι µαθητές να µάθουν να κατασκευάζουν σειρές και στήλες και να µετρούν τις µονάδες. Ακολουθείται ο «φυσικός» τρόπος της επίστρωσης, καθότι χρησιµοποιεί, για τις συνεχείς επιστρώσεις κάθε φορά, το µετασχηµατισµό της µεταφοράς, µια διαδικασία που µπορεί να συνεισφέρει, πιθανόν, και στην κατανόηση της επαναληπτικότητας των µονάδων. Επιπλέον, η µέθοδος αυτή δεν επιτρέπει κενά και επικαλύψεις. Οι µαθητές έχουν στη διάθεση τους και µπορούν να αναµείξουν διάφορες µονάδες. Η ύπαρξη κοινής µονάδας µέτρησης, ενδεχοµένως, να προκύψει, ως αιτούµενο και, βαθµιαία, οι µαθητές, µπορεί να αντιληφθούν την αναγκαιότητά της. Μέσω της ελκυστικής, χρωµατικής οπτικοποίησης, µπορεί να κατανοηθεί ότι το θεµελιώδες, δοµικό χαρακτηριστικό στη µέτρηση επιφανειών είναι τα ισάριθµα τετράγωνα-µονάδες, που συµπληρώνουν κάθε σειρά ή κάθε στήλη. Οι µαθητές παρωθούνται να µάθουν ότι το µήκος των πλευρών ενός ορθογωνίου µπορεί να καθορίσει τον αριθµό των µονάδων σε κάθε σειρά αλλά και το συνολικό αριθµό των σειρών. Ακόµα, οι µαθητές µπορεί να καταλάβουν ότι η µονάδα λειτουργεί ως παρονοµαστής µε την τιµή του κλάσµατος να παριστάνει την τελική µέτρηση, να εντοπίσουν, δηλαδή ότι τα ποσά του µεγέθους µιας µονάδας και ο συνολικός αριθµός των µονάδων σε µια µέτρηση (το εµβαδόν) είναι αντιστρόφως ανάλογα. Η δυναµική τροποποίηση των µονάδων προσφέρει αυτόµατα, οποιαδήποτε στιγµή, τη σχετική, οπτική αλλά και µαθηµατική επιβεβαίωση. 134

143 Επίσης, παρέχονται ευκαιρίες εκτίµησης, κάθε φορά, του εµβαδού. Η επαλήθευση επιτυγχάνεται µε την αυτόµατη µέτρηση του εµβαδού της ορθογώνιας αυλής και της µονάδας και την διαίρεσή τους εν συνεχεία, µε χρήση της εντολής του λογισµικού «υπολογισµός». Πιθανόν, µια τέτοια προσέγγιση να φέρει στο διδακτικό και µαθησιακό προσκήνιο την φαινοµενική «παραδοξότητα», ως προς τη διαφοροποίηση των αριθµητικών δεδοµένων µέτρησης του εµβαδού, του λογισµικού από τη µια, και των δεδοµένων των µαθητών από την άλλη. Κάτι τέτοιο, που καταγράφεται, ασφαλώς, ως σηµαντική παιδαγωγική και µαθησιακή ωφελιµότητα, συµβαίνει, επειδή οι µονάδες µέτρησης του λογισµικού είναι οι καθιερωµένες (π.χ. cm 2 ). Επιπλέον ένα άλλο παράπλευρο όφελος θα µπορούσε να ήταν παραδοχή περί της αναγκαιότητας της εισαγωγής και κατανόησης των «συµφωνηθέντων» µεταξύ των ανθρώπινων κοινωνιών, επίσηµων µονάδων µέτρησης. Βέβαια, οι µαθητές µπορούν να µετασχηµατίσουν τη µονάδα-πλακίδιο, έτσι ώστε να ταυτιστεί αριθµητικά µε την αντίστοιχη, που χρησιµοποιεί το λογισµικό, οπότε και τα αποτελέσµατα της µέτρησης της αυλής θα συµπέσουν. Ως µια εναλλακτική προσέγγιση οι µαθητές µπορούν, ακόµα, αξιοποιώντας κατάλληλες λειτουργίες του λογισµικού, να χρησιµοποιήσουν και το πλέγµα σαν ένα αποτελεσµατικό εργαλείο µέτρησης. Τέλος, η επίστρωση των πλακιδίων εισάγει και την έννοια του µοτίβου, η οποία κυριαρχεί στα νέα σχολικά εγχειρίδια των µαθηµατικών. Υποστηρίζεται ότι τα Μαθηµατικά είναι η επιστήµη των προτύπων- µοτίβων. Μια από τις έξι κατηγορίες προτύπων αποτελούν τα λεγόµενα πρότυπα συµµετρίας και κανονικότητας, τα οποία δηµιουργούνται σε πλακοστρώσεις και διακοσµητικές ταινίες (Τσικοπούλου, 2007). Ήδη από την προηγούµενη δεκαετία, που χαρακτηρίζεται από πολλούς ως η δεκαετία των προτύπων, στα Αναλυτικά Προγράµµατα Σπουδών των Μαθηµατικών όλων των βαθµίδων, εισήχθηκε η µελέτη τους, ως σηµαντικό µαθηµατικό εργαλείο (Τσικοπούλου, 2007). Τονίζεται επίσης, ότι τα µαθηµατικά µπορούν να µαθευτούν «κάνοντας µαθηµατικά» ή «εφευρίσκοντάς τα πάλι». Η διδασκαλία, που ενστερνίζεται την άποψη περί «των µαθηµατικών ως επιστήµη των προτύπων», πρέπει να περιλαµβάνει την αναζήτηση, την έρευνα, τη δηµιουργία και την εφαρµογή των µοτίβων. Μια νέα προσέγγιση αντιλαµβάνεται τα µαθηµατικά ως «σχεδόν-εµπειρική» επιστήµη µε τη ζητούµενη απόδειξη να προκύπτει, σχεδόν, φυσικά. Οι αυστηρές αποδείξεις, µπορούν να ακολουθήσουν. Ο κύριος στόχος όλων των επιστήµων είναι πρώτα να παρατηρήσουν και έπειτα να εξηγήσουν τα φαινόµενα. Στα µαθηµατικά, η εξήγηση είναι η απόδειξη (Wittmann, 2005). Έρευνες έχουν δείξει ότι τα στοιχειώδη µαθηµατικά πρότυπα, µέσα από την παρατήρησή τους, παρέχουν άριστες ευκαιρίες µάθησης, ειδικά, στους µικρούς µαθητές, επειδή συνδυάζουν την εξάσκηση δεξιοτήτων µε γενικές «ικανότητες» όπως µαθηµατική σκέψη, εξερεύνηση, επεξήγηση και επικοινωνία (Wittmann, 2005). Μέσω της παρούσας πρότασης, ως ενός τρόπου «µεταφοράς» της σχολικής γνώσης, ο µαθητής µπορεί να αντιληφθεί ότι η γνώση (και ειδικά η «µαθηµατική») είναι χρήσιµη και ικανή να επιλύει προβλήµατα στην καθηµερινή ζωή. Επιπλέον, η χρωµατικά πολυποίκιλη αυτή σύνθεση µπορεί να προσφέρει και παιδαγωγικό τόνο ιλαρότητας και ατµόσφαιρα µαθησιακής ευαρέσκειας, χαρακτηριστικά λίαν επιζητούµενα στο χλωµό, άγευστο, απρόσωπο και εξοντωτικό, σύγχρονο Σχολείο. Οι παραπάνω διαλαµβανόµενες δραστηριότητες προορίζονται για µαθητές Γυµνασίου, ενώ πρέπει να προτρέπεται και να ενθαρρύνεται η µελέτη τους και από µαθητές ηµοτικού. 135

144 2. Απειροστικός Λογισµός στο περιβάλλον του Cabri Geometry II. Μια διαχρονική προσέγγιση της εύρεσης του εµβαδού κύκλου. Περίληψη Οι απαρχές της επιστηµονικής θεωρητικοποίησης και τεκµηρίωσης των Μαθηµατικών και ιδιαίτερα της Γεωµετρίας, τοποθετούνται το 600 π.χ. Μέχρι τότε, αν και πλούσια σε παραγωγή, τα Μαθηµατικά παρέµεναν πειραµατικά και εµπειρικά. Έτσι στην αρχαία Κίνα και Βαβυλώνα, ο τύπος E=3r 2 υπολόγιζε το εµβαδό κύκλου, ακτίνας r. Αργότερα, πάλι, οι Βαβυλώνιοι θεώρησαν ότι E=3,125r 2. Από τον πάπυρο του Rhind-Ahmes διαπιστώνουµε ότι και η προσέγγιση των Αιγυπτίων ήταν πολύ καλή, αφού Ε= r2. Τελικά, ο Αρχιµήδης τον 3ο αιώνα π.χ κατόρθωσε να επιτύχει θαυµαστή ακρίβεια, µέσω εγγράψιµων και περιγράψιµων σε κύκλο, 1 κανονικών 96-πλεύρων, αποδεικνύοντας ότι 3 <π < Ο Κέπλερ, το 17 ο αιώνα, πρότεινε το εµβαδό κύκλου να ιδωθεί ως άθροισµα εµβαδών, των ισάριθµων των πλευρών εγγεγραµµένου κανονικού πολυγώνου, κυκλικών τοµέων. Παρόµοια, µέσω της παρούσας πρότασης, πέραν της ιστορικής αναδροµής, στα πλαίσια του Περιβάλλοντος υναµικής Γεωµετρίας Cabri Geometry II, ο κύκλος διαιρείται σε ισοσκελή τρίγωνα. Με τη συνεχή αύξηση του αριθµού τους (µετρήθηκαν µέχρι και ), διαπιστώνεται ότι η περίµετρος του αντίστοιχου πολυγώνου, τείνει στην περιφέρεια του κύκλου και το απόστηµα στην ακτίνα του ή διαφορετικά, κάθε τρίγωνο πλησιάζει στον αντίστοιχό του, κυκλικό τοµέα, µε καταφανές συµπέρασµα τη συνεχή βελτίωση στην προσέγγιση του εµβαδού του κύκλου Ιστορική εισαγωγή Η Εγγύς Ανατολή αποτέλεσε, αναµφισβήτητα, τη φάτνη της ανθρωπότητας και του υτικού πολιτισµού (Kline, 2001). Στην περιοχή αυτή αναπτύχθηκαν µεγάλοι πολιτισµοί, όπως ο βαβυλωνιακός και ο αιγυπτιακός, οι οποίοι υπήρξαν και οι πρώτοι που ανέπτυξαν τα Μαθηµατικά. Ο λεγόµενος πάπυρος του Rhind (ή για άλλους πάπυρος του Ahmes) αποτελεί βασικό και πλούσιο πεδίο άντλησης πληροφοριών για τα µαθηµατικά των αρχαίων Αιγυπτίων. Χρονολογείται από το 2000 π.χ, ενώ ο Αhmes τον αντέγραψε 300 χρόνια αργότερα. Υπάρχουν δε, περίπου 80 προβλήµατα στον πάπυρο του Rhind, ο οποίος αποκρυπτογραφήθηκε το Σχετικά δε, µε τον άλλο ανατολίτικο λαό, τους Βαβυλώνιους, οι παλαιότερες, καταγραµµένες µαθηµατικές ενασχολήσεις του χρονολογούνται στα π.χ. (Bunt, Jones & Bedient, 1981). Η εµφάνιση και ανάπτυξη των Μαθηµατικών στο χώρο αυτό ήταν απόρροια κοινωνικών, καθηµερινών αναγκών και οικονοµικών συνθηκών ( ρόσος, 1999). Σταδιακά, ο άνθρωπος άρχισε να κατανοεί τη φύση και έµαθε πώς να τη δαµάζει και να τη χαίρεται. Η αποκρυπτογράφηση των φυσικών φαινοµένων, η εξήγησή τους, η µέτρησή τους, η υποταγή τους σε αριθµούς ήταν κοσµοϊστορικό γεγονός και αποτέλεσε θεµέλιο των Μαθηµατικών και γενικά των επιστηµών. Εξάλλου και η οργάνωση των κρατών συνέβαλε στην ανάπτυξη των στοιχειωδών αριθµητικών λογισµών, ώστε να µπορούν να χρησιµεύσουν σε καθηµερινές δοσοληψίες. Έτσι, ένα επιπλέον κίνητρο υπήρξε και η ανάγκη για οµοιοµορφία στις εµπορικές συναλλαγές αλλά, επίσης, και για ένα εύχρηστο ηµερολόγιο, λίαν απαραίτητου, κατά τις αγροτικές προετοιµασίες (Εξαρχάκος, 1988). 136

145 Ακόµα και οι θρησκευτικές τελετές αποτέλεσαν αιτία προόδου και εξέλιξης των Μαθηµατικών, αφού οι συµµετέχοντες και κοινωνοί ιεροτελεστιών ακολουθούσαν, αυστηρά, σειριακή και οριοθετηµένη ένταξη. Ειδικά, οι ρίζες της Γεωµετρίας, σύµφωνα µε τον Ηρόδοτο, τον Ήρωνα τον Αλεξανδρέα και άλλους αρχαίους συγγραφείς, πρέπει να αναζητηθούν στην αρχαία Αίγυπτο (Τσαµάτος, 2000). Ο αιγυπτιακός πολιτισµός υφάνθηκε και αναπτύχθηκε στην κοιλάδα του Νείλου. Οι πολλές πληµµύρες απαιτούσαν κάθε φορά σωστούς επαναπροσδιορισµούς των αγροτεµαχίων και απόδοσή τους, και πάλι, στους ιδιοκτήτες τους. Οι σχετικές εργασίες επιτελούνταν, αρχικά, από ιερείς (Abbott, -) οι οποίοι και εφάρµοζαν, οπωσδήποτε, κάποιες βασικές αρχές της Γεωµετρίας, ώστε οι παρεµβάσεις, οι κρίσεις και οι αποφάνσεις τους να µη στερούνται δικαιοσύνης και νοµιµότητας. Αργότερα ένα ειδικό σώµα τοπογράφων, οι «αρπεδονάπτες», ήταν υπεύθυνο για την ορθή κτηµατική διαµοίραση. Οι αρπεδονάπτες, µετρητές της γης (απ όπου και ο όρος Γεωµετρία), πρέπει να θεωρούνται οι πρώτοι γεωµέτρες στον κόσµο (Τσαµάτος, 2000). Ασφαλώς, παραπλήσια προβλήµατα καλούνταν να αντιµετωπίσουν και οι Βαβυλώνιοι, εξαιτίας του Τίγρη και του Ευφράτη, οι Ινδοί, λόγω του Ινδού ποταµού και του Γάγγη αλλά ακόµα και οι Κινέζοι. Οι λαοί αυτοί πρωτοστάτησαν και ώθησαν την ανάπτυξη των Μαθηµατικών, δεδοµένου ότι, πέραν του επανακαθορισµού των συνόρων των αγρών, και η κατασκευή π.χ. των απαραίτητων αρδευτικών έργων, απαιτούσε σχετικά, τεχνικά έργα (Εξαρχάκος, 1988). Οι Βαβυλώνιοι υπερακόντισαν τους Αιγυπτίους στην Αριθµητική και την Άλγεβρα, µα φυσικά, υπολείπονταν στη Γεωµετρία, το «δώρο του Νείλου». Η Γεωµετρία των Αιγυπτίων, µάλιστα, συνέβαλε καίρια στη µετάδοση των γεωµετρικών εννοιών και αρχών στον ελληνικό χώρο, όπου εκεί βρήκαν κατάλληλο και πρόσφορο, επιστηµονικό έδαφος για παραπέρα ανάπτυξη. Οι απαρχές της επιστηµονικής θεωρητικοποίησης και τεκµηρίωσης των µαθηµατικών, και ιδιαίτερα της Γεωµετρίας, τοποθετούνται χωροχρονικά, το 600 π.χ., στον ελληνικό χώρο. Μέχρι τότε, η αιγυπτιακή και η βαβυλωνιακή Γεωµετρία ήταν «βλέποντας και κάνοντας», ένα πρακτικό φύρδην µίγδην (Kline, 2001). Τα Μαθηµατικά, αν και πλούσια σε παραγωγή, παρέµεναν πειραµατικά και εµπειρικά. Μια µεγάλη οµάδα εµπειρικών κανόνων, άλλοι σωστοί άλλοι προσεγγιστικοί και αρκετοί λαθεµένοι (Eves, 1989), ήταν η «επιστηµονική» καταφυγή για γεωµετρικές θεωρήσεις. Η ιστοριογραµµή των Μαθηµατικών διαιρείται σε 5 µεγάλες περιόδους ( ρόσος, 1999): Τα Προελληνικά Μαθηµατικά, µέχρι το 600 π.χ. Τα ελληνικά Μαθηµατικά έως το 500 µ.χ. Οι αφηρηµένες έννοιες και ο λογικός συλλογισµός της Γεωµετρίας παρακίνησαν τους αρχαίους Έλληνες, να ασχοληθούν µε αυτή. Κατά την περίοδο αυτή αναπτύσσεται η θεωρητική µορφή των Μαθηµατικών, διατυπώνονται αξιώµατα και αρκετά θεωρήµατα, οι αποδείξεις των οποίων έπονταν µιας αλληλουχίας λογικών συλλογισµών (Abbott, - ; Εξαρχάκος, 1988). Είναι βέβαιο, ότι ο Θαλής ο Μιλήσιος, περίπου το 600 π.χ., που αποτελεί και ορόσηµο στην ιστορία της µαθηµατικής επιστήµης, ήταν ο πρώτος που βάσισε και στήριξε µαθηµατικές αλήθειες σε αποδείξεις, ενώ τον µιµήθηκε αργότερα και ο Πυθαγόρας. Τα αραβικά Μαθηµατικά, από το 750 µ.χ. µέχρι το 1450 µ.χ. Τα δυτικά Μαθηµατικά, από το 1100 µ.χ. ως το 1600 µ.χ. και τα Σύγχρονα Μαθηµατικά, έως σήµερα 137

146 Η παρούσα εργασία αντλεί τα θέµατά της και εξετάζει τις 2 πρώτες περιόδους καθώς επίσης και την τελευταία. Ασχολείται µε τη διαχρονική προσέγγιση του εµβαδού του κύκλου, αρχής γενοµένης από τους λαούς τής Εγγύς Ανατολής και καταλήγει στη σηµερινή, σύγχρονη, τεχνολογική-πληροφοριακή πραγµατικότητα, κάνοντας, βέβαια, και µια στάση στα χρόνια, µετά την Αναγέννηση, στον Νεύτωνα τον Κέπλερ και τον Λάιµπνιτς. Μάλιστα ο υπολογισµός, γενικά, των εµβαδών, για τους λόγους, που εξηγήθηκε παραπάνω, ήταν συνήθης και επιβεβληµένη πρακτική, ήδη από την εποχή των προελληνικών Μαθηµατικών, αν και απαιτούνταν αρκετές δοκιµές για την επίτευξη του τελικού αποτελέσµατος. Αυτή η σταδιακή προσέγγιση, πιστεύουµε, προσφέρεται καίρια και αποτελεσµατικά για διδακτική αξιοποίηση, προσδίδοντας κατά ένα µέρος φυλογενετικά χαρακτηριστικά και ερείσµατα στη µαθησιακή, «οντογενετική» διαδικασία ιαχρονική προσέγγιση του εµβαδού του κύκλου Η εύρεση του εµβαδού του κύκλου «ταλαιπώρησε» αρκετά τα µαθηµατικά µυαλά της αρχαιότητας. Οι πρώτες, φυσικά προσεγγιστικές τιµές ανάγονται και εντοπίζονται στα «πήλινα γραπτά» των αρχαίων Βαβυλωνίων. Σε µια πήλινη πινακίδα που βρέθηκε στη Μεσοποταµία υπήρχε το εξής πρόβληµα (Bunt, Jones & Bedient, 1981): «Έχω σχεδιάσει το περίγραµµα µιας πόλης. εν ξέρω πόσο µήκος έχει. Ξεκίνησα από τον πρώτο κύκλο, περπάτησα 5 πέρα απ αυτόν (αποµακρυνόµενος από το κέντρο), κατά όλες τις διευθύνσεις και σχεδίασα ένα δεύτερο περίγραµµα. Το ενδιάµεσο εµβαδό είναι 6,15. Να υπολογίσεις τις διαµέτρους τής νέας πόλης και της παλιάς». Ζητούνται, δηλαδή µε άλλα λόγια, οι διάµετροι δύο οµόκεντρων κύκλων, αν είναι γνωστά το ενδιάµεσο εµβαδό και η διαφορά των ακτίνων τους. Κατά την επίλυση του παραπάνω προβλήµατος οι Βαβυλώνιοι δέχτηκαν ότι το εµβαδόν του κύκλου (Ε=πr 2 ) ισούται µε Ε=3r 2, όπου r η ακτίνα του κύκλου. Στην ουσία, δηλαδή, ο προσδιορισµός του κύκλου ισοδυναµεί µε την εύρεση της τιµής του π, του σταθερού λόγου τής περιµέτρου του κύκλου προς την διάµετρό του. Σε άλλες περιπτώσεις οι Βαβυλώνιοι λάµβαναν το εµβαδό κύκλου ως Ε= (1/12) C 2, όπου C το µήκος του κύκλου. Και πάλι, διαπιστώνεται ότι µόνο η τιµή π=3 ικανοποιεί τον παραπάνω τύπο. Εικόνα 83. Η κινέζικη προσέγγιση Οι αρχαίοι Κινέζοι, επίσης, απέδιδαν την τιµή π=3, κατά τη διαδικασία εύρεσης του εµβαδού κύκλου. Στο έργο «Αριθµητικά σε Εννιά Κεφάλαια» που χρονολογείται από το 2ο αιώνα π.χ., µετέρχονταν µαθηµατικές µεθόδους, βασισµένες στην εποπτεία, τακτική στην οποία, συχνά και διαχρονικά, καταφεύγουν και οι µαθητές του ηµοτικού και του Γυµνασίου. Στην περίπτωση του εµβαδού ενός ηµικυκλίου (στην εικόνα 83, το ΒΕ) θεωρούσαν πως αυτό ισούται µε το εµβαδό τριγώνου ΑΒΓ, του οποίου οι 2 κορυφές λαµβάνονταν εκατέρωθεν της διαµέτρου Ε 138

147 και σε απόσταση ίση µε τη µισή ακτίνα, ενώ η τρίτη ήταν το σηµείο τοµής της µεσοκαθέτου της διαµέτρου και του κύκλου. Μέσω οπτικής επιβεβαίωσης, «αποδείκνυαν» ότι τα εµβαδά του τριγώνου και του ηµικυκλίου είναι ίσα. Επειδή Ε τρ =(β.υ)/2, στην προκειµένη περίπτωση καταλήγουµε, κατά τους Κινέζους, στο Ε κυκ = 2(r(2r+r))/2= 3r 2, δηλαδή π=3, µια προσέγγιση που συναντάται συχνά, στα αρχαία Μαθηµατικά (Eves, 1989). Οι Ινδοί, επίσης, µέσω ενός θρησκευτικού κειµένου, και µεταξύ πολλών άλλων µαθηµατικών τύπων, άφησαν ως παρακαταθήκη πρωτόλειες απόπειρες τετραγωνισµού του κύκλου. Η διάµετρος δ ενός κύκλου και η πλευρά α του «ισεµβαδικού» τετραγώνου λογίζονταν αντίστοιχα, ως δ=(2+ 2)α/3 και α= 13δ/15. Οι τιµές του π, µετά την εκτέλεση των υπολογισµών επιρρωνύουν, και σε αυτή την περίπτωση, τους παραπάνω ισχυρισµούς των αρχαίων Βαβυλωνίων και των Κινέζων. Το 1936 στα Σούσα, µετά από ανασκαφή, βρέθηκε πλάκα µε τον αριθµό 57/ /3600 (Eves, 1989) να εµφανίζεται ως λόγος της περιφέρειας κανονικού εξαγώνου προς την περίµετρο του περιγεγραµµένου κύκλου. Επειδή η πλευρά κάθε εγγεγραµµένου σε κύκλο, κανονικού εξαγώνου, ισούται µε την ακτίνα του κύκλου r, συµπεραίνουµε πως 6r/2πr = 57/ /3600, δηλαδή 3/π = 0,96 και τελικά, κατά τους αρχαίους Βαβυλώνιους και π =3,125, που αποτελεί και την καλύτερη προσέγγισή τους, στην εµπειρική προσπάθειά τους για υπολογισµό του εµβαδού του κύκλου. Στον πάπυρο του Rhind-Ahmes και στο 50ό, από τα ογδόντα προβλήµατά του, ανακαλύπτουµε ότι, σύµφωνα µε τους αρχαίους Αιγυπτίους, το εµβαδό κύκλου ισούται µε το εµβαδό τετραγώνου µε πλευρά ίση µε τα 8/9 της διαµέτρου του κύκλου. Μια κυκλική, δηλαδή, φαραωνική αυλή µε διάµετρο 9 µέτρα είχε εµβαδό 64 τετραγωνικά µέτρα. Στην εικόνα 84, ο γραµµοσκιασµένος κύκλος έχει εγγραφεί σε τετράγωνο ΑΒΓ, πλευράς ίσης µε τη διάµετρο δ. Το τετράγωνο διαιρείται σε 9 µικρότερα και ίσα µεταξύ τους τετράγωνα, µε εµβαδό το καθένα (δ/3) 2. Οπτικά «επαληθεύεται» ότι Ε κυκ = 7 (δ/3) 2, δηλαδή ότι το εµβαδό του κύκλου ισούται, περίπου, µε το άθροισµα των εµβαδών των 7 τετραγώνων. Ο αριθµός 7 (δ/3) 2 γράφεται και ως (63/81)δ 2 και τελικά για λόγους στρογγυλοποίησης, τετραγωνικής τελειότητας και µέσω µιας αµελητέας διαφοροποίησης, ως (64/81)δ 2, δηλαδή ως [( 8/9) δ] 2. Η παραπάνω αιγυπτιακή αλγοριθµική προσέγγιση οδηγεί στoν τύπο Ε κυκ = (256/81) r 2 µε π 3, Αξίζει εδώ να σηµειωθεί ότι σε καµιά από τις παραπάνω µεθόδους, βέβαια, δε διαφαίνεται η πεποίθηση περί της ύπαρξης κάποιας σταθεράς, όπως ο Εικόνα 84. Αιγυπτιακή απόπειρα εύρεσης εµβαδού αριθµός π (Bunt, Jones & Bedient, 1981). Τελικά, ο Αρχιµήδης τον 3ο αιώνα π.χ κατόρθωσε να επιτύχει θαυµαστή ακρίβεια, µέσω εγγράψιµων και περιγράψιµων σε κύκλο, κανονικών 96-πλεύρων, 1 10 αποδεικνύοντας ότι 3 <π < 3. Πίστευε ότι το µήκος του κύκλου ήταν µεταξύ 7 71 των µηκών των περιµέτρων του εγγεγραµµένου και περιγεγραµµένου κανονικού πολυγώνου (Sawer, 1993). Ακόµα, αν εγγράψουµε ένα κανονικό πολύγωνο σε ένα 139

148 κύκλο και συνεχώς αυξάνουµε τις πλευρές του, οι επιφάνειες των πολυγώνων πλησιάζουν όλο και περισσότερο την επιφάνεια του κύκλου. Το ενδιαφέρον, σ αυτή τη λεγόµενη µέθοδο της εξάντλησης του Εύδοξου, είναι ότι η διαφορά ανάµεσα στη γνωστή επιφάνεια του πολυγώνου και στη επιφάνεια του κύκλου γίνεται όσο µικρή επιθυµούµε, προσφέροντας καλύτερη προσέγγιση για το εµβαδό του κύκλου, καθώς αυξάνουµε το πλήθος των πλευρών του πολυγώνου (Γκετζ, 2003). Σ αυτή τη µέθοδο στηρίχθηκε ο Αρχιµήδης και έλυσε πολλά προβλήµατα εµβαδών καµπυλόγραµµων επιπέδων σχηµάτων και όγκων (Bell, 1995). Λόγω αυτής της εξαιρετικής συνεισφοράς του θεωρείται ο εµπνευστής του Απειροστικού Λογισµού στα Μαθηµατικά. Τέλος, µια παρόµοια µε του Αρχιµήδη προσέγγιση υιοθέτησε και ο Κινέζος µαθηµατικός και αστρονόµος Zu Chongzhi τον 5ο αιώνα µ.χ., στο βιβλίο του shu Zhui (µέθοδος της παρεµβολής), µέσω ενός εγγράψιµου σε κύκλο, κανονικού γώνου. Μετά από πολλούς, πολύπλοκους και επίπονους υπολογισµούς, απέδειξε ότι < π < Πρότεινε τον αριθµό 355/113 ως καλή προσέγγιση για τον αριθµό π και τον 22/7, για εργασίες µε µικρότερη ακρίβεια (O' Connor & Robertson, 2003). Ο π αποτελεί έναν αριθµό σταρ, µαζί µε έναν άλλον επίσης γνωστό στα Μαθηµατικά αριθµό, τον φ, τον αριθµό δηλαδή της θεϊκής αναλογίας, της χρυσής τοµής. Εάν ο κόσµος των Μαθηµατικών είναι ένας ουρανός, τότε ο π και ο φ είναι, αναµφίβολα, τα πιο λαµπρά του αστέρια (Στιούαρτ, 2003). Μάλιστα η 14η Μαρτίου, κάθε έτους (3/14) είναι καταχωρισµένη ως µέρα του π (N.C.T.M., 2008). Το ελληνικό γράµµα π πρωτοχρησιµοποιήθηκε τον 18ο αιώνα, για να παραστήσει την περιφέρεια ή την περίµετρο του κύκλου. Ως ο γνωστός λόγος εισήχθηκε από την πένα του Άγγλου συγγραφέα W. Jones το 1706 και καθιερώθηκε, από το µεγάλο Ελβετό µαθηµατικό Εuler, υπεύθυνο για αρκετούς µαθηµατικούς συµβολισµούς, το Ο Γερµανός µαθηµατικός Johan Lambert το 1761 απέδειξε ότι ο π είναι άρρητος αριθµός, δεν µπορεί, δηλαδή, να παρασταθεί µε κλάσµα, του οποίου οι όροι είναι ακέραιοι. Έχει άπειρα δεκαδικά ψηφία, που εµφανίζονται τυχαία, χωρίς καµιά περιοδικότητα. Εξαιτίας αυτής της ιδιότητάς του, είναι αδύνατη η απόδοση τής ακριβούς τιµής του. Σήµερα µε µεθόδους των Ανωτέρων Μαθηµατικών µπορούµε να επιτύχουµε οσηδήποτε ακρίβεια επιζητούµε. Για παράδειγµα, η συγκλίνουσα σειρά π = 1 + +, προσεγγίζει τη τιµή του π, τόσο καλύτερα, όσο αυξάνεται ο αριθµός των όρων που λαµβάνουµε. Τα τελευταία χρόνια το θέµα έχει πάρει διαστάσεις πρωταθλητισµού και έχουν ανακαλυφθεί, µε τη βοήθεια των Η/Υ, ήδη από το 2001, πάνω από 50 δισεκατοµµύρια ψηφία (Μπλάτνερ, 2001). Σηµειωτέον, ότι διδακτικές δραστηριότητες για τον υπολογισµό του π, από µαθητές ηµοτικού Σχολείου, µε χρήση τεχνολογικών περιβαλλόντων µάθησης, έχουν καταγραφεί και στην ελληνική βιβλιογραφία (Παπαδόπουλος, 2004). Τέλος, µια άλλη ιδιότητα του αριθµού π, η υπερβατικότητα, ευθύνεται για το χιµαιρικό εγχείρηµα του τετραγωνισµού του κύκλου, αποκλειστικά µε κανόνα και διαβήτη, όπως ο Πλάτωνας και τα ελληνικά µαθηµατικά πρόσταζαν και απαιτούσαν. Η κατασκευή τετραγώνου ισεµβαδικού µε κύκλο είναι ένα από τα 3 γνωστά, άλυτα προβλήµατα της αρχαιότητας. Η απόδειξη της υπερβατικότητας του π ότι, δηλαδή, είναι ένας αριθµός, ο οποίος δεν εκφράζεται ως λύση οποιασδήποτε πολυωνυµικής εξίσωσης, µε ρητούς συντελεστές, οδήγησε στην αρνητική απάντηση του προβλήµατος του τετραγωνισµού του κύκλου, παρά τις αντίθετες πεποιθήσεις της πλειονότητας των µαθηµατικών της εποχής τού Carl L. F. von Lindemann, του 140

149 Γερµανού µαθηµατικού που απόδειξε, το 1882, ότι ο αριθµός π είναι υπερβατικός (Στρατηγόπουλος, 1997) Cabri Geometry II και απειροστικός λογισµός Αβίαστα και πειστικά, µπορεί κανείς να επιχειρηµατολογήσει υπέρ της σπουδαιότητας της χρήσης των ΤΠΕ στην Εκπαίδευση. Οµολογουµένως, στην Πρωτοβάθµια Εκπαίδευση το έδαφος είναι πιο πρόσφορο σε σχέση µε τη ευτεροβάθµια, διότι ο δάσκαλος εκεί είναι υπεύθυνος για µία τάξη και διαµορφώνει όπως επιθυµεί τη µαθησιακή διαδικασία, έχει περισσότερο χρόνο και λιγότερη πίεση στην εκπλήρωση των στόχων του Αναλυτικού Προγράµµατος και, συνήθως, είναι, διδακτικά και παιδαγωγικά, περισσότερο καταρτισµένος. Επιπλέον, οι µικρότεροι µαθητές δείχνουν αµέριστο και αδιάλειπτο ενδιαφέρον για τις ΤΠΕ (Βοσνιάδου, 2006). Οι γεωµετρικές έννοιες έχουν διττή και αδιαίρετη υπόσταση, τη σχηµατική και τη νοητική, και η τεχνολογία συµβάλλει αποτελεσµατικά στην κατανόηση τους. Παρέχει δυνατότητες συγκερασµού της συµβολικής αναπαράστασης µε τη σχηµατική, αφού ένας από τους αναπαραστασιακούς κώδικες είναι οι δυναµικά, χειριζόµενοι µετασχηµατισµοί (Κυνηγός, 2006). Επιπλέον, µέσω των δυναµικών συστηµάτων προσφέρονται ταυτόχρονα γνωστικές διαδικασίες οπτικοποίησης, κατασκευής και συλλογισµού, κατά τη µελέτη της Γεωµετρίας. Σύµφωνα µε τη ρεαλιστική προσέγγιση (Κολέζα, 2000), ειδικά για την πρωτοβάθµια εκπαίδευση, η διδασκαλία της Γεωµετρίας περιλαµβάνει 6 αλληλοσυµπληρώµενες και αλληλοεξαρτώµενες δραστηριότητες. Οι λεγόµενες δραστηριότητες µέτρησης και εµβαδού, αποτελούν βασικό µαθηµατικό υλικό στο ηµοτικό Σχολείο και χρήζουν, γι αυτό, ιδιαίτερης προσοχής. Η σχολική πραγµατικότητα είναι αδιάψευστος µάρτυρας πολλών παρερµηνειών και εσφαλµένων αντιλήψεων των µαθητών, όσον αφορά σε απλές γεωµετρικές έννοιες. Αρκετές επισκοπήσεις και έρευνες στον ελλαδικό χώρο έχουν επικεντρωθεί στις µετερχόµενες στρατηγικές, στις δυσκολίες και παρανοήσεις των µαθητών, ως προς την έννοια του εµβαδού και τη µέτρησή του, αλλά και στις επιπτώσεις τής χρήσης τεχνολογικών περιβαλλόντων στη διδασκαλία του (Kordaki and Potari, 1998; Κορδάκη, 1999; Kordaki, 2003; Παπαδόπουλος & αγδιλέλης 2004; Τσούκκας κ. ά, 2004; Παπαδόπουλος & Μαµµωνά, 2005; Zacharos, 2006). Ο αλγόριθµος εφαρµογής, η σύγχυση µε την περίµετρο, η επιλογή και οι επαναλήψεις των µονάδων µέτρησης, αλλά και η έλλειψη κατανόησης των εννοιών που το συνθέτουν, αναφέρονται ως σηµαντικά µαθησιακά προσκόµµατα και ως οι κυριότερες δυσκολίες των µαθητών, σχετικά µε το εµβαδό και τη µέτρησή του. Αντισταθµιστικά, επιστρατεύεται συχνά ο κατατεµαχισµός και η ανακατασκευή (τεµαχισµός και ανασύνθεση) ενός σχήµατος για να λυθεί και να δικαιολογηθεί, χειριστικά, ένα πρόβληµα στη Γεωµετρία, ιδιαίτερα κατά τη διδασκαλία της Γεωµετρίας, στο ηµοτικό Σχολείο (Τσούκκας κ.ά, 2004). Αυτός ο µετασχηµατισµός, µε την ταυτόχρονη διατήρηση, την ποσοτική αµεταβλητότητα, δηλαδή, της επιφάνειας, προσδίδει στην έννοια του εµβαδού, µια δυναµική χροιά. Μάλιστα, τα εργαλεία που χρησιµοποιούν οι µαθητές σε δραστηριότητες, σχετικές µε αυτή την αρχή της διατήρησης, διαδραµατίζουν σηµαντικό ρόλο στην εννοιολογική κατανόηση της έννοιας του εµβαδού (Kordaki, 2003). Οι Νέες Τεχνολογίες, ως ειδικά και αποτελεσµατικά εργαλεία, µπορούν να δηµιουργήσουν γόνιµες και κατάλληλες διδακτικές καταστάσεις, για υποστήριξη της µάθησης. Η παρούσα παρέµβαση επιχειρεί να συνδυάσει και να αξιοποιήσει τα πλεονεκτήµατα των νέων πληροφοριακών δυναµικών περιβαλλόντων αλλά και του 141

150 Απειροστικού λογισµού, ενός σπουδαίου κλάδου των Μαθηµατικών. Ο Απειροστικός Λογισµός ανακαλύφθηκε ανεξάρτητα, από τους ιδιοφυείς µαθηµατικούς Isaac Newton και G. W. Leibnitz, το τελευταίο τέταρτο του 17ου αιώνα. Είναι ο κλάδος των Ανώτερων Μαθηµατικών, που προσπάθησε και απάντησε στο ερώτηµα «τι είναι ταχύτητα και πώς µετρείται». Για το σκοπό αυτό µελετά παρά πολύ µικρούς αριθµούς και ποσότητες, στηρίζεται δε, στην έννοια της συνάρτησης. Για παράδειγµα η αλλαγή που επέρχεται στο σώµα µας, σε χρόνο ενός ανοιγοκλείσµατος των µατιών µας είναι «απειροστή». Μάλιστα, ο Απειροστικός Λογισµός δεν ενδιαφέρεται για αυτή καθαυτή τη µεταβολή αλλά για το ποσοστό της. Ένα τµήµα του, ο Ολοκληρωτικός Λογισµός, ασχολείται µε υπολογισµούς εµβαδών, όγκων και µηκών καµπύλων γραµµών. Η κεντρική του ιδέα είναι η θεώρηση του εµβαδού, ως άθροισµα πολύ λεπτών, απειροστών, παράλληλων και ορθογώνιων λωρίδων, στις οποίες διαιρείται, η προς υπολογισµό, επιφάνεια. Ήδη, ο αστρονόµος Κέπλερ, στις αρχές του 17ου µε πρόδροµες, απειροστικές απόπειρες, πρότεινε το εµβαδό κύκλου να ιδωθεί ως άθροισµα εµβαδών, των ισάριθµων των πλευρών εγγεγραµµένου κανονικού πολυγώνου, κυκλικών τοµέων (Bunt, Jones & Bedient, 1981). Η ταύτιση των τοµέων µε µικρά και ίσα ισοσκελή τρίγωνα και της ακτίνας µε το ύψος του τριγώνου, κάτι που µπορεί να θεωρηθεί ότι συµβαίνει, όταν ο αριθµός των τοµέων, γίνεται άπειρος, προσφέρει έναν τρόπο για τον υπολογισµό του εµβαδού του κύκλου. Ο τεµαχισµός του κύκλου σε λεπτούς τοµείς και η ανασύνθεσή τους ως ένα «ορθογώνιο παραλληλόγραµµο» και η παραδοχή της ακτίνας r, ως το ύψος αυτού του «παραλληλογράµµου», δίδει Ε κυκ = =πr r= π r 2. Μια διδακτική παρέµβαση για τον υπολογισµό της επιφάνειας του κύκλου, µπορεί να ξεκινήσει σταδιακά. Tο εµβαδό είναι µικρότερο από 4r 2, γεγονός που εύκολα εντοπίζεται, αν ο κύκλος εγγραφεί σε τετράγωνο πλευράς 2r και το οποίο χωρίζεται σε 4 µικρότερα και ίσα τετράγωνα, πλευράς r. Έτσι, µέσα από ένα ιστορικό ταξίδι, γνωρίζοντας προσεγγίσεις αρχαίων λαών και ειδικά των Αιγυπτίων, το εµβαδό του κύκλου οριοθετείται στο διάστηµα (3r 2, 4r 2 ). Ακολουθεί, λοιπόν, φθίνουσα πορεία για να σταµατήσει, µέσω της προσέγγισης του Κέπλερ αλλά και µέσω και των 2 παρακάτω «τεχνολογικών» προσεγγίσεων στο Ε κυκ = π r 2. Στο περιβάλλον του Cabri Geometry II δύναται να εφαρµοστεί η µέθοδος εξάντλησης του Εύδοξου και του Αρχιµήδη. Αρχικά, κατασκευάζεται κύκλος και µέσω αντιγραφής και επικόλλησης δηµιουργείται δεύτερος, ίσος µε τον προηγούµενο. Στον πρώτο δηµιουργούµε εγγεγραµµένο κανονικό πολύγωνο, µια λειτουργία που προσφέρεται από το µενού του λογισµικού. Στo Cabri, και µε επιλογή από το µενού γραµµές, κατασκευάζονται κανονικά πολύγωνα έως και 30 πλευρών. Ακολούθως, µετρείται η περίµετρος και το εµβαδό του κύκλου και του εγγεγραµµένου πολυγώνου π.χ. 12-γώνου. Στο δεύτερο κύκλο ακολουθείται ακριβώς η ίδια διαδικασία, εγγράφοντας όµως κανονικό πολύγωνο περισσοτέρων πλευρών, για παράδειγµα 20-γωνο (εικόνα 85). Τα παραγόµενα αποτελέσµατα πινακοποιούνται για επεξεργασία και εξαγωγή συµπερασµάτων. Οι µαθητές µπορούν να αντιληφθούν ότι η αύξηση των πλευρών του πολυγώνου έχει ως αποτέλεσµα την ελάττωση της διαφοράς µεταξύ της σταθερής επιφάνειας του κύκλου και του, συνεχώς αυξανόµενου σε αριθµό πλευρών, κανονικού πολυγώνου. Η ίδια, φυσικά, ελάττωση παρατηρείται και στην αντίστοιχη διαφορά των περιµέτρων. Αυτό µπορεί να συνεχιστεί εγγράφοντας έως και το 30-γωνο. Με παρέµβαση του χρήστη και λαµβάνοντας τα µέσα των πλευρών του 30-γώνου µπορεί να σχηµατισθεί 60- γωνο, µε χρήση της εντολής «κατασκευή πολυγώνου», κ.ο.κ. Κάθε φορά η επιφάνεια του νέου πολυγώνου θα «τείνει» προς την επιφάνεια του κύκλου. Και περισσότερο 142

151 φορµαλιστικά, αν n είναι τα ίσα ισοσκελή τρίγωνα, τα ισάριθµα των πλευρών του εγγεγραµµένου κανονικού n-πολυγώνου, τότε το εµβαδό αυτού του πολυγώνου, 1 1 ισούται µε Ε= n( υ β ) = υ( n β ) =όπου β η βάση και υ το ύψος κάθε τριγώνου. 2 2 Καθώς ο αριθµός n των πλευρών αυξάνει, η περίµετρος n β του πολυγώνου πλησιάζει όλο και περισσότερο την περίµετρο του κύκλου και το ύψος υ την ακτίνα του. Έτσι, Ε= n( υ β ) r(2 π r) = π r. 2 2 Εικόνα γωνο και 20-γωνο, εγγεγραµµένα σε κύκλο Τέλος, θα ακολουθήσει µια δεύτερη διδακτική πρόταση, περισσότερο εύχρηστη, εποπτική και «εντυπωσιακή», υλοποιούµενη και πάλι στο δυναµικό και αλληλεπιδραστικό περιβάλλον του Cabri Geometry II. Ο κύκλος διαιρείται σε ισοσκελή τρίγωνα. Αρχικά κατασκευάζεται τρίγωνο ΟΑΒ µε κορυφές το κέντρο και δύο σηµεία της περιφέρειας του κύκλου. Με την εντολή «αξονική συµµετρία» σχηµατίζονται συνεχόµενα συµµετρικά του τριγώνου, ως προς µια πλευρά του. Στην εικόνα 86 εµφανίζονται, για παράδειγµα, 82 ίσα τρίγωνα, που το συνολικό εµβαδό τους αποκλίνει από το εµβαδό του κύκλου κατά 0,33 τ.εκ. Εικόνα 86. Κυκλική διαµέριση Αν σύρουµε το σηµείο Α πάνω στην περιφέρεια, τα 82 αυτά τρίγωνα, καταλαµβάνουν όλο και µικρότερο τµήµα του κύκλου. Αυτό σηµαίνει ότι τα τρίγωνα 143

152 µικραίνουν όλο και περισσότερο, ενώ ταυτόχρονα αυξάνεται το πλήθος τους, γεγονός που συµπεραίνεται και από τον εικονιζόµενο πληθικό αριθµό τους. Έτσι, µε τη συνεχή αύξηση του αριθµού τους (µετρήθηκαν µέχρι και ), οι µαθητές µπορούν να παρατηρήσουν και να ανακαλύψουν, µέσω των µετρήσεων, όπως και οι νέες θεωρίες µάθησης προτρέπουν, ότι το εµβαδό (και η περίµετρος) του αντίστοιχου πολυγώνου, πλησιάζει το εµβαδό (περίµετρο) του κύκλου και το απόστηµα στην ακτίνα του. Αλλιώτικα, οι µαθητές µπορούν να κατανοήσουν ότι κάθε τρίγωνο πλησιάζει στον αντίστοιχό του κυκλικό τοµέα και να διαπιστώσουν τη συνεχή βελτίωση στην προσέγγιση του εµβαδού του κύκλου. Για παράδειγµα, για το συνολικό εµβαδό 400 τριγώνων, η διαφορά εµφανίζεται µόλις ως 0,05 τ.εκ. Η διαφοροποίηση, βέβαια, της ακρίβειας των δεκαδικών ψηφίων στις µετρήσεις και τους υπολογισµούς, οπωσδήποτε επιφέρει αποτελέσµατα µε περισσότερη ευστάθεια, που βοηθούν στην εξαγωγή πιστότερων συµπερασµάτων Συµπεράσµατα Η τρέχουσα παρέµβαση παρουσίασε, καταρχάς, µια ιστορική αναδροµή, σχετικά µε τη διαχρονική προσπάθεια µέτρησης του εµβαδού κύκλου, άρρηκτα συνδεδεµένης, µε τον υπολογισµό του σταθερού λόγου της περιµέτρου του κύκλου προς τη διάµετρό του, του γνωστού π. Στη συνέχεια, µελετήθηκε η χρήση και η συµβολή των εργαλείων του γνωστού περιβάλλοντος υναµικής Γεωµετρίας, Cabri- Geometry II στη µέτρηση αυτή, συνεπικουρικά µε ένα σηµαντικό κλάδο των Ανώτερων Μαθηµατικών, του Απειροστικού λογισµού, καρπού επίπονων προσπαθειών, των µαθηµατικών του 17ου αιώνα. Προτάθηκαν 2 δραστηριότητεςδιδακτικές παρεµβάσεις οι οποίες απευθύνονται σε µαθητές ηµοτικού αλλά και τού Γυµνασίου. Οι µαθητές µπορεί να εγγράφουν µε δυναµικό τρόπο στον κύκλο κανονικά πολύγωνα ή και να τον διαιρούν σε ίσα ισοσκελή τρίγωνα. Μέσω αυτών των δραστηριοτήτων, οι µαθητές δύνανται να αντιληφθούν και να ανακαλύψουν ότι το εµβαδό του κύκλου ισούται µε το γινόµενο του π επί το τετράγωνο της ακτίνας του. Τέλος, η απαραίτητη δοκιµή στην τάξη των προτεινόµενων αλληλεπιδραστικών κατασκευών θα αποτελέσει σε εύθετο χρόνο και πεδίο έρευνας, για να προκύψει ανάδραση η οποία θα βασίζεται σε γνήσια και πραγµατικά δεδοµένα. 144

153 3. Ευκλείδειοι µετασχηµατισµοί, για την εύρεση εµβαδών επιπέδων σχηµάτων και την απόδειξη απλών ταυτοτήτων, σε περιβάλλοντα υναµικής Γεωµετρίας Περίληψη Η παρούσα παρέµβαση πραγµατεύεται, καταρχάς, την έννοια του γεωµετρικού µετασχηµατισµού, ως θεµελιώδους σηµασίας, για την ταξινόµηση των Γεωµετριών. Ακολούθως, παρουσιάζονται οι ευκλείδειοι µετασχηµατισµοί της µετατόπισης, της συµµετρίας και της στροφής, ως ειδικές περιπτώσεις ισοµετριών, δεδοµένου ότι διατηρούν τις αποστάσεις των σηµείων και τα µέτρα των γωνιών. Ερευνητικά δεδοµένα καταδεικνύουν, σε αντίθεση µε τις γνωστικές θεωρήσεις, ότι µαθητές µέσης σχολικής ηλικίας, γενικά δυσκολεύονται στην εκτέλεση τέτοιων µετασχηµατισµών. Σε αυτή τη διδακτική πρόταση προτείνεται, µέσω της αξιοποίησης του ειδικού µενού εντολών του υναµικού Περιβάλλοντος Γεωµετρίας Cabri Geometry II, να κατανοηθούν αρχικά οι ευκλείδειοι µετασχηµατισµοί. Στη συνέχεια, θεωρούνται αυτοί, ως γνωστικά οχήµατα για την εύρεση εµβαδών, µιας σειράς επιπέδων σχηµάτων, όπως παραλληλογράµµων, τριγώνων, τραπεζίων, κύκλων και πολυγώνων, µε την εφαρµογή της µεθόδου του τεµαχισµού και της ανασύνθεσης. Με την ίδια τεχνική και διαδικασία παρουσιάζονται και αποδεικνύονται απλές ταυτότητες. Η ίδια διαδικασία διατηρείται και στην απόδειξη του γρίφου του Haberdasher, µε τον τεµαχισµό ενός ισόπλευρου τριγώνου σε τέσσερα µέρη, τα οποία ανασυντίθενται, µε χρήση των ευκλειδείων µετασχηµατισµών, δηµιουργώντας ένα τετράγωνο. Τέλος, η εισαγωγή του παιχνιδιού τάγκραµ επιδιώκει διδακτικό και εµπεδωτικό όφελος, αφού στοχεύει να συνδυάσει, αρµονικά και συµπλεκτικά, το παραµύθι και το παιχνίδι µε τους ευκλείδειους µετασχηµατισµούς Εισαγωγή. Γεωµετρικοί Μετασχηµατισµοί Αν Σ είναι το σύνολο των σηµείων του επιπέδου, τότε ένας µετασχηµατισµός τού Σ είναι µια συνάρτηση Μ, µε Μ: Σ Σ, ένα προς ένα (1-1) και επί. ηλαδή, αν για κάθε Α, Β Σ µε Α Β, τότε ισχύει Μ(Α) Μ(Β) και για κάθε Α Σ υπάρχει Α Σ, τέτοιο ώστε Μ(Α)=Α. Η έννοια του µετασχηµατισµού κατέχει κεντρικό και καθοριστικό ρόλο στη Γεωµετρία, αφού οι γεωµετρικές ιδιότητες των σχηµάτων, που παραµένουν αναλλοίωτες, µέσω µετασχηµατισµών, κατηγοριοποιούν και διαφοροποιούν τη Γεωµετρία σε ευκλείδεια και µη, σε οµοπαραλληλική, σε προβολική κλπ. Ήδη από το 1872, ο Γερµανός Μαθηµατικός Felix Klein ( ) οργάνωσε και συνέθεσε την, και επί των ηµερών του ακόµα, απέραντη γεωµετρική γνώση, διατυπώνοντας το διάσηµο «πρόγραµµα του Erlangen», το οποίο καθορίζει, αλλά και ταξινοµεί τις Γεωµετρίες, σύµφωνα µε το περιεχόµενο τους. Οι θεµελιώδεις έννοιες του προγράµµατος του Erlangen είναι η έννοια της οµάδας και η ιδιότητα του αναλλοίωτου κάτω από τη δράση µιας οµάδας ( ρόσος, 1995). Μια σύγχρονη φορµαλιστική θεώρηση της αρχής του Klein µπορεί να εκφραστεί ως εξής: «Μια Γεωµετρία είναι η µελέτη των ιδιοτήτων ενός συνόλου Σ, οι οποίες παραµένουν αµετάβλητες, όταν τα στοιχεία του Σ υπόκεινται σε µετασχηµατισµούς κάποιας οµάδας µετασχηµατισµών» (kidder, 1976). Γενικά δηλαδή, µια Γεωµετρία χαρακτηρίζεται από την οµάδα των µετασχηµατισµών της, µέσω των οποίων τα θεωρήµατα και οι προτάσεις της παραµένουν σε ισχύ. 145

154 Εκείνη τη χρονική εποχή εισάγονται και οι λεγόµενες µη Ευκλείδειες Γεωµετρίες, που δυναµίτισαν τα θεµέλια της διαίσθησης και κλόνισαν τις επικρατούσες µέχρι τότε γεωµετρικές, αξιωµατικές αντιλήψεις. Η «περιθωριοποίηση» και η µη αποδοχή του 5ου αιτήµατος του Ευκλείδη, ήταν η γενεσιουργός αιτία των Νέων, µη Ευκλείδειων Γεωµετριών. Σύµφωνα µε το αξίωµα αυτό, από ένα σηµείο Α εκτός ευθείας e άγεται µια και µόνο µία παράλληλος, από το A προς την ευθεία e. Αυτή η διατύπωση είναι επίσης γνωστή ως αξίωµα του Playfair, το οποίο είναι ισοδύναµο µε το 5ο αίτηµα του Ευκλείδη. Συγκεκριµένα, ο µεγάλος Έλληνας γεωµέτρης έλεγε: «Και εάν εις δύο ευθείας ευθεία εµπίπτουσα τα εντός και τα επί τα αυτά µέρη γωνίας δύο ορθών ελάσσονας ποιή εκβαλλοµένας τάς δύο ευθείας επ άπειρον συµπίπτειν, εφ α µέρη εισίν αι των δύο ορθών ελάσσονες». Επιπλέον, το 5 ο αίτηµα του Ευκλείδη είναι ανεξάρτητο από τα 4 άλλα αξιώµατα και είναι γνωστό ως παράλληλο αξίωµα, επειδή µπορεί να χρησιµοποιηθεί για να αποδείξει τις ιδιότητες των παράλληλων ευθειών. Στη Γεωµετρία του Lobachevsky (υπερβολική) υπάρχουν τουλάχιστο δύο διαφορετικές ευθείες, που διέρχονται από το Α και είναι παράλληλες στην e, ενώ αντίστοιχα στη Γεωµετρία του Riemann (ελλειπτική) δε διέρχεται καµία παράλληλη ευθεία, από το Α προς την e. Στον ευκλείδειο χώρο η Οµοπαραλληλική Γεωµετρία, που θεωρείται γενίκευση της Ευκλείδειας, µελετά τις ιδιότητες των σχηµάτων, που παραµένουν αµετάβλητες µετά από παράλληλες προβολές ενός επίπεδου σε κάποιο άλλο (εικόνα 87). Οι µετασχηµατισµοί της Γεωµετρίας αυτής, τροποποιούν τους κύκλους, τις γωνίες και τις αποστάσεις, ενώ διατηρούν τη γραµµικότητα των σηµείων, αφού οι εικόνες για παράδειγµα συνευθειακών σηµείων παραµένουν και πάλι συνευθειακές. Ακόµα παραµένει η παραλληλία, το σηµείο τοµής των ευθειών, ο λόγος των µηκών ευθυγράµµων τµηµάτων που κείνται σε µια ευθεία, όπως και ο λόγος των εµβαδών δυο τριγώνων. Εικόνα 87. Γεωµετρικοί Μετασχηµατισµοί Η Προβολική Γεωµετρία πραγµατεύεται τις ιδιότητες των σχηµάτων, που δεν υφίστανται αλλοιώσεις µέσω των προβολικών απεικονίσεων, όπως για παράδειγµα των ευθειών που παραµένουν ευθείες, µετά από προβολικούς µετασχηµατισµούς. Επίσης, η προβολική εικόνα του σηµείου τοµής ευθειών εξακολουθεί και διατηρεί την ίδια ιδιότητα, ενώ και η γραµµικότητα, όπως και ο διπλούς λόγος τεσσάρων σηµείων κειµένων επί µιας ευθείας (Ηλιάδης, 1992), είναι «προβολικά γνωρίσµατα». Αντιθέτως, η παραλληλία, τα µήκη και οι αναλογίες των µηκών αλλά και οι γωνίες µεταβάλλονται στην Προβολική Γεωµετρία (εικόνα 87) Ευκλείδεια Γεωµετρία -Ευκλείδειοι µετασχηµατισµοί Η Ευκλείδεια Γεωµετρία ασχολείται µε τις ιδιότητες των σχηµάτων, που παραµένουν σταθερές µετά από µετατοπίσεις (Ηλιάδης, 1992). Οι ευκλείδειοι µετασχηµατισµοί είναι οι πλέον συνηθέστεροι, όπου το σχήµα των αντικειµένων δε 146

155 µεταβάλλεται, αφού διατηρούνται τα µήκη και τα µέτρα των γωνιών. Μόνο η θέση και ο προσανατολισµός των αντικειµένων αλλάζουν. Ως ευκλείδειοι µετασχηµατισµοί θεωρούνται: α) η παράλληλη µεταφορά, µε εικόνα ένα αντικείµενο που ολισθαίνει- µετατοπίζεται, κατά ένα συγκεκριµένο διάνυσµα, β) η αξονική συµµετρία (ανάκλαση), ο κατοπτρισµός δηλαδή, ως προς έναν άξονα, που επιφέρει και αλλαγή προσανατολισµού και γ) η (περι)στροφή, µε εικόνα ένα αντικείµενο που στρέφεται κατά συγκεκριµένη γωνία, γύρω από ένα σηµείο, το κέντρο. Η συµµετρία ως προς κέντρο (ή µισή στροφή) είναι ισοδύναµη µε τη περιστροφή κατά 180 ο, γύρω από το αυτό κέντρο. Οι παραπάνω ευκλείδειοι µετασχηµατισµοί είναι ισοµετρίες, δηλαδή µετασχηµατισµοί, όπου διατηρούνται τα µήκη, οι αποστάσεις των σηµείων, και αποτελούν ειδικές περιπτώσεις οµοιοµορφισµών στα Μαθηµατικά. Για παράδειγµα, η 2 2 απεικόνιση f : R R µε f ( x, y) = ( x, y) είναι ισοµετρική (Αρτεµιάδης, 1996). Μάλιστα, κάθε ισοµετρία µπορεί να παραχθεί από τη σύνθεση το πολύ τριών αξονικών συµµετριών-ανακλάσεων ( ρόσος, 1995; Modenov, 1965). Οι φυσικοί τρόποι µετατόπισης ενός αντικειµένου, µέσω µεταφοράς, ανάκλασης ή (περι)στροφής, εύκολα ορίζονται µε ακραιφνώς µαθηµατικούς όρους, γεγονός που ευνοεί, γενικότερα, τη συνολική µελέτη των γεωµετρικών µετασχηµατισµών (Kelly, 1971). Η µελέτη αυτή αναφέρεται στη διεθνή βιβλιογραφία ως Γεωµετρία της Κίνησης (Motion Geometry), η οποία µπορεί να θεωρηθεί, έτσι, ως µια γεωµετρική λειτουργία, που απεικονίζει ένα σύνολο σηµείων ενός επίπεδου σε ένα άλλο σύνολο σηµείων (Dindyal, 2008; Brieske & Lott, 1978). Η Γεωµετρία της Κίνησης έχει πολλά ελκυστικά παιδαγωγικά χαρακτηριστικά, αφού µπορεί να αυξήσει και να ρυθµίσει τις διαισθητικές εικασίες των µαθητών, µε βάση τις πρότερες γνώσεις τους, αναφορικά µε το συνηθισµένο ευκλείδειο επίπεδο. Περιέχει ακόµα µερικές γνήσιες εκπλήξεις, που προκύπτουν από την απλή εφαρµογή των βασικών ιδιοτήτων της Γεωµετρίας της κίνησης (Brieske & Lott, 1978). Κατά την πιαζετιανή θεωρία, η έννοια της αλλαγής θέσης είναι θεµελιώδης στην ευκλείδεια µετρική και ταυτόχρονα διπλά δύσκολη για τους µικρούς µαθητές. Αρχικά, η έννοια της µέτρησης υπερβαίνει τη δυνατότητα να πραγµατοποιηθούν οι απαραίτητες σωµατικές µετακινήσεις ή τη δυνατότητα να µετατεθούν πράγµατα. Αφετέρου, το να είναι ικανός ο µικρός µαθητής να φανταστεί τις µετακινήσεις δεν είναι αρκετό, δεδοµένου ότι πρέπει να συνδέει τις µετακινήσεις µε τα σηµεία αναφοράς (Piaget & Inhelder & Szeminska, 1981). Παρόλα αυτά, η θεωρία αυτή πρεσβεύει όµως, ότι οι µαθητές µέσης σχολικής ηλικίας, είναι ικανοί να εκτελέσουν ευκλείδειους µετασχηµατισµούς, στα πλαίσια των οποίων µπορούν να αποκαλυφθούν οι γνωστικές τους διαδικασίες. Επίσης, µπορούν, σύµφωνα πάντα µε τη θεωρία αυτή, να κατανοήσουν την έννοια της διατήρησης του µήκους. Εντούτοις όµως, ερευνητικά δεδοµένα δεν επιβεβαιώνουν τις παραπάνω θεωρήσεις. Μαθητές ηλικίας 9-13 ετών δυσκολεύονται και, γενικά, αποτυχαίνουν, στην εκτέλεση µετασχηµατισµών, απλών αλλά και σε συνθέσεις αυτών, όπως επίσης και στη διατήρηση µηκών (Kidder, 1976), αποδυναµώνοντας έτσι, τα διδακτικά και µαθητικά ερείσµατα της Γεωµετρίας της Κίνησης. Άλλες ερευνητικές εργασίες θεωρούν βέβαια, ότι ο χρόνος που ξοδεύεται µε τους γεωµετρικούς µετασχηµατισµούς, αξίζει γενικά την προσπάθεια. Εκτός από τα οφέλη της χρήσης τους στη Γεωµετρία, οι µετασχηµατισµοί φαίνονται να αποτελούν µια χρήσιµη µαθηµατική έννοια, για τους µαθητές του Λυκείου. Εξάλλου, µερικές εφαρµογές των µετασχηµατισµών είναι εύκολες και ένας µέσος µαθητής µπορεί να 147

156 µάθει µια σειρά µαθηµάτων Γεωµετρίας, στην οποία η µαθηµατική ανάπτυξη θα είναι βασισµένη σε µετασχηµατισµούς (Usiskin, 1972) Υπολογισµός Εµβαδών µε χρήση Τεχνολογικών εργαλείων, µέσω γεωµετρικών µετασχηµατισµών. Προτεινόµενες κατασκευές Τα δυναµικά συστήµατα Γεωµετρίας, όπως το γνωστό λογισµικό Cabri Geometry ΙΙ, µπορούν να διαδραµατίσουν έναν κρίσιµο ρόλο στη µάθηση. Στην πραγµατικότητα, το Cabri Geometry ΙΙ, που χρησιµοποιείται στην παρούσα εργασία, παρέχει στους µαθητές ποικίλα εργαλεία, σχετικά µε έναν µεγάλο αριθµό εννοιών στην Ευκλείδεια Γεωµετρία (Kordaki & Mastrogiannis, 2007b). Το εκπαιδευτικό λογισµικό αυτό, δηλαδή πέραν των πολλών τεχνικών και µαθησιακών πλεονεκτηµάτων που διαθέτει, όπως υψηλή αλληλεπιδραστικότητα, συνεχή οπτική ανατροφοδότηση, δυνατότητα δυναµικού χειρισµού σχηµάτων, είναι ένα ανοικτό µαθησιακό περιβάλλον, µε µεγάλο αριθµό εργαλείων, παρέχοντας ευκαιρίες προσέγγισης και πραγµάτευσης πολλών γεωµετρικών θεµάτων και εννοιών. Το Cabri διαθέτει ένα πλούσιο περιβάλλον δραστηριοποίησης, κατά τη µελέτη της γεωµετρίας. ηµιουργεί έναν νέο τρόπο σκέψης όσον αφορά σε γεωµετρικές καταστάσεις, ενώ προσφέρει εντολές για τη δηµιουργία σχηµάτων αλλά και τρόπους, ώστε να µπορούν αυτά να µετακινηθούν άµεσα και αυτόµατα (Smith, 1999). Μάλιστα, ολόκληρο µενού του λογισµικού είναι αφιερωµένο στην εκτέλεση-κατασκευή µετασχηµατισµών. Σχετικά µε τις δραστηριότητες µέτρησης και εµβαδού, όπως σηµειώθηκε στην προηγούµενη ενότητα, και σύµφωνα µε τη ρεαλιστική προσέγγιση (Κολέζα, 2000), αυτές θεωρούνται κύριο µαθηµατικό υλικό και λόγω σηµαντικών µαθησιακών προσκοµµάτων, απαιτείται ιδιαίτερη προσοχή στη µελέτη τους. Η καταφυγή, συχνά, στον τεµαχισµό και στην ανασύνθεση ενός σχήµατος προσφέρει διδακτικά πλεονεκτήµατα (Τσούκκας κ. ά., 2004). Η παρούσα εργασία προτείνει οι ευκλείδειοι µετασχηµατισµοί να λογισθούν ως γνωστικά οχήµατα και να αποτελέσουν αρωγούς στην εύρεση εµβαδών επιπέδων σχηµάτων και, έτσι, έχει διττό σκοπό και στόχο. Μέσα από τις προτεινόµενες δραστηριότητες, οι µαθητές των τελευταίων τάξεων του ηµοτικού αλλά και του Γυµνασίου, µπορούν να µελετήσουν τρόπους εύρεσης των τύπων των εµβαδών, για µια σειρά από επίπεδα σχήµατα (παραλληλόγραµµα, τρίγωνα, τραπέζια, κύκλοι, πολύγωνα), αλλά µπορεί και να κατανοήσουν τους ευκλείδειους µετασχηµατισµούς. Ως σύµµαχος επιστρατεύεται και συνεπικουρεί καταλυτικά, η τεχνολογία και ειδικότερα το Περιβάλλον υναµικής Γεωµετρίας Cabri Geometry. Για τον υπολογισµό του εµβαδού του παραλληλογράµµου ΑΒΓ, χαράσσεται το κάθετο τµήµα ΒΕ, προς την πλευρά Γ (Εικόνα 88). Στη συνέχεια, το τρίγωνο ΒΓΕ µετατοπίζεται κατά το διάνυσµα Γ uuur, µετασχηµατίζοντας το αρχικό παραλληλόγραµµο ΑΒΓ στο ισεµβαδικό του ορθογώνιο ΑΒΕΖ. Εικόνα 88: Εµβαδό παραλληλογράµµου 148

157 Επίσης, µέσω της εργασίας αυτής, οι µαθητές µπορούν (εικόνα 89), για τον υπολογισµό του εµβαδού του τριγώνου ΑΒΓ να το µετατοπίσουν κατά το διάνυσµα ΓΑ uuur (α στιγµιότυπο) και στη συνέχεια να περιστρέψουν (κέντρο Α) τη νέα εικόνα του τριγώνου, µεταβάλλοντας σταδιακά, την αριθµητική τιµή της γωνίας περιστροφής, µε βήµα της µιας µοίρας (στο β στιγµιότυπο η γωνία ισούται µε 107 ο ), µέχρι αυτό να συνθέσει ένα παραλληλόγραµµο µε το αρχικό (γ στιγµιότυπο). Με δυναµική µεταβολή του τριγώνου ΑΒΓ και µε πινακοποίηση των δεδοµένων, οι µαθητές µπορούν να καταλήξουν στο συµπέρασµα ότι το εµβαδό του τριγώνου είναι το ήµισυ του εµβαδού παραλληλογράµµου µε ίδια βάση και ύψος. Εικόνα 89: Εµβαδό τριγώνου Ακόµα το τραπέζιο ΑΒΓ, µέσω στροφής 180 ο, µε κέντρο Ε (ή εκτελώντας την ισοδύναµη εντολή «κεντρική συµµετρία» από το µενού του λογισµικού) και αποκοπής τού τριγώνου ΓΕ (ΓΕ=ΕΒ), ανασυντίθεται σε τρίγωνο, µε βάση ίση µε το άθροισµα των βάσεων του τραπεζίου. Ως προς το εµβαδό του κύκλου ήδη, όπως αναφέρθηκε στην ενότητα ΣΤ 2 ο διάσηµος αστρονόµος του 17ου, Κέπλερ το θεώρησε ως άθροισµα εµβαδών, των ισάριθµων των πλευρών εγγεγραµµένου κανονικού πολυγώνου, κυκλικών τοµέων. Ακολούθως, η παραδοχή ότι τα ισοσκελή τρίγωνα ισούνται µε τους αντίστοιχους κυκλικούς τοµείς και η ακτίνα µε το ύψος του τριγώνου, προσφέρει έναν τρόπο για τον υπολογισµό του εµβαδού του κύκλου. Ο τεµαχισµός του κύκλου, σε λεπτούς τοµείς και η ανασύνθεσή τους µε κατάλληλες µετατοπίσεις και περιστροφές, ως ένα «ορθογώνιο παραλληλόγραµµο» (εικόνα 90), µέσω µιας θεωρητικής απειροστικής διαδικασίας, δίδει Ε κυκ =πr r= π r 2. Εικόνα 90. Εµβαδό κύκλου Με παραπλήσιο µε τον κύκλο τρόπο, οι µαθητές στα κανονικά πολύγωνα, µπορούν µε συνεχείς µετατοπίσεις και περιστροφές των ισοσκελών τριγώνων που τα συνθέτουν, να τα µετασχηµατίσουν σε τετράπλευρα. Σε περιπτώσεις κανονικών πολυγώνων µε άρτιο αριθµό πλευρών (εικόνα 91), αυτά ανασυντίθενται σε πλάγια 149

158 παραλληλόγραµµα, ενώ αν ο αριθµός των πλευρών είναι περιττός, τα κανονικά πολύγωνα µεταµορφώνονται σε ισοσκελή τραπέζια. Εικόνα 91. Εµβαδό πολυγώνων 3.4 Απόδειξη ταυτοτήτων, µέσω µετασχηµατισµών Οι µαθητές χρησιµοποιώντας µετασχηµατισµούς και υπολογίζοντας τα εµβαδά, µέσω του τεµαχισµού των µερών και της επανασύνθεσής τους, µπορούν επίσης να επαληθεύουν βασικές ταυτότητες. Στα στοιχεία του Ευκλείδη δεν υπάρχουν µετρήσεις, που αποδίδονται µε πραγµατικούς αριθµούς, όσον αφορά στα εµβαδά επιπέδων σχηµάτων. Έτσι, η ισότητά τους επιβεβαιώνεται µέσω του τεµαχισµού τους και της πρόσθεσης και αφαίρεσης ίσων τριγώνων (Hartshorne, 2000). Όταν ο Ευκλείδης ήθελε να δείξει ότι δύο σχήµατα είναι ισεµβαδικά, αποδείκνυε ότι το πρώτο µπορεί να τεµαχιστεί σε κοµµάτια, τα οποία αν ανασυνθέτονταν κατάλληλα, θα παρήγαγαν το άλλο σχήµα. Παραδείγµατος χάριν στο βιβλίο 1, πρόταση 47, ο Ευκλείδης δηλώνει (Fitzpatrick, 2007): Στα Στοιχεία και στο βιβλίο 2, η πρόταση 4 αναφέρει: «Εάν ευθεία γραµµή τµηθή, ως έτυχεν, το από της όλης τετράγωνον ίσον εστί τοις τε από των τµηµάτων τετραγώνοις και τω δις υπό των τµηµάτων περιεχοµένω. Ευθεία γαρ γραµµή η ΑΒ τετµήσθω, ως έτυχεν κατά το Γ λέγω ότι το από της ΑΒ τετράγωνον ίσον εστί τοις τε από των ΑΓ, ΓΒ τετραγώνοις και τω δις υπό των ΑΓ, ΓΒ περιεχοµένω ορθογωνίω». Αυτό, µέσω σύγχρονου συµβολισµού, σηµαίνει ότι (a+b) 2 = a 2 + b 2 +2ab. Έτσι, για την παραπάνω ταυτότητα µπορούν να εκτελεσθούν τα επόµενα βήµατα: α) µεταφορές των τετραγώνων (a 2 ) και (b 2 ) και του ορθογωνίου (a*b), και β) µια φορά ακόµα µεταφορά και περιστροφή κατά 90 ο του ορθογωνίου (a*b), γύρω από την αριστερή, κάτω κορυφή του τετραγώνου (a 2 ) (εικόνα 92). Επιπλέον, η ταυτότητα (a-b) 2 = a 2 + b 2-2ab µπορεί να αποδειχθεί ως εξής (εικόνα 92): α) µεταφορές των τετραγώνων (a 2 ) και (b 2 ) και του ορθογωνίου (a*b) και β) το ορθογώνιο (a*b) µεταφέρεται και περιστρέφεται µια ακόµα φορά, γύρω από την πάνω αριστερή κορυφή του τετραγώνου b 2, κατά -90 ο (δεξιόστροφα). 150

159 Εικόνα 92. Ευκλείδειοι µετασχηµατισµοί και αποδείξεις Μια άλλη βασική ταυτότητα όπως η (a 2 -b 2 ) = (a+b)(a-b), ελαφρώς δυσκολότερη από τις προηγούµενες, απαιτεί το µετασχηµατισµό της ανάκλασης λόγω της αλλαγής του προσανατολισµού ενός τετραπλεύρου (γκρίζου). Έτσι τα βήµατα για την επαλήθευση είναι (εικόνα 93): α) µεταφορά του πράσινου τετράπλευρου, β) ανάκλαση του γκρίζου τετράπλευρου ως προς την οριζόντια πλευρά του, γ) µεταφορά του γκρίζου τετράπλευρου, έως ότου συµπέσει το σηµείο Α µε το σηµείο Β και δ) περιστροφή του γκρίζου τετράπλευρου (τραπέζιου) γύρω από το σηµείο Α (ή Β), κατά 90 ο. Εικόνα 93. Ευκλείδεια ταυτοτική απόδειξη 3.5. Haberdasher s Puzzle Ο (σχετικά άγνωστος) γρίφος του Haberdasher είναι, επίσης πιθανόν, ιδανικός για σχετική µελέτη. Στο βιβλίο «The Canterbury Puzzles» (Dudeney, 1958), ο συγγραφέας του παρουσιάζει 110 γρίφους, όχι ως µεµονωµένα προβλήµατα αλλά ως γεγονότα µιας σειράς ιστοριών. Το πρόβληµα δε, µε αριθµό 26 έχει ως εξής: «... ηµιουργήστε ένα κοµµάτι του υφάσµατος µε µορφή ενός τέλειου ισόπλευρου τριγώνου και.δείξτε µου, εάν µπορούµε και µε ποιο τρόπο, αυτό το κοµµάτι του υφάσµατος, να το κόψουµε σε τέσσερα διαφορετικά κοµµάτια, τα οποία να αναπροσαρµοσθούν, ώστε να προκύψει ένα τέλειο τετράγωνο». Ο Dudeney 151

160 αναγνώρισε ότι η µέθοδος επίλυσης απαιτούσε οξύνοια και επιδεξιότητα, αλλά σκέφτηκε ότι ο αναγνώστης θα βρει το πρόβληµα, µάλλον, ενδιαφέρον. Η λύση, όπως προτάθηκε από τον ίδιο, είναι η εξής: «ιχοτοµήστε την πλευρά ΑΒ στο D και την BC στο E. Προεκτείνατε τη γραµµή AE προς το Ε και πάρτε σηµείο F, τέτοιο ώστε EF=EB. ιχοτοµήστε την AF στο G και σχεδιάστε το τόξο AHF. Προεκτείντε το EB προς το H, και το EH είναι το µήκος της πλευράς του ζητούµενου τετραγώνου. Από το Ε µε απόσταση EH, σχεδιάστε το τόξο HJ και ακολούθως, κάνετε το JK ίσο µε το BE. Τώρα από τα σηµεία D και K φέρτε καθέτους πάνω στο EJ στα σηµεία L και M» (εικόνα 94). Εικόνα 94. Η λύση στο Haberdasher s Puzzle Μια ενδεικτική, τεχνολογική λύση θα µπορούσε να είναι αυτή, όπως φαίνεται στην εικόνα 95: α) µεταφορά και στροφή του κίτρινου τετράπλευρου, β) µεταφορά και στροφή του κόκκινου τετράπλευρου, γ) µεταφορά και στροφή του µπλε τριγώνου και δ) µεταφορά και στροφή του πράσινου τετράπλευρου (1 ο στιγµιότυπο). Η τελική λύση καταγράφεται στο 2 ο στιγµιότυπο. Εικόνα 95. Haberdasher s Puzzle 152

161 3.6. Το τάγκραµ Τέλος, καθαρά εµπεδωτικό και συνάµα διασκεδαστικό χαρακτήρα αποτελεί η µελέτη του παιχνιδιού τάγκραµ. Στα νέα βιβλία των µαθηµατικών, που εισήχθηκαν στην ελληνική εκπαίδευση το Σεπτέµβριο του 2006, αφιερώνεται αρκετός χώρος για διδακτική αξιοποίηση αυτού του γεωµετρικού γρίφου. Ακόµα, ειδικά στο βιβλίο του µαθητή «Μαθηµατικά, δεύτερο επίπεδο διδασκαλίας» του προγράµµατος «ένταξη τσιγγανοπαίδων στο σχολείο» µε φορέα Υλοποίησης το Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας (ΥΠΕΠΘ, 2007), σε παραπάνω από 15 σελίδες, µελετώνται απλά προβλήµατα εµβαδών, µέσω της εφαρµογής της έννοιας του τάγκραµ. Ως εξήγηση µπορεί να θεωρηθεί η επιβεβαιωµένη, πρόσφατη έµφαση στην µάθηση των µαθηµατικών εννοιών, µέσω του χειρισµού υλικών, που συνδέονται µε τη φυσική γοητεία των γρίφων. Ειδικά, το τάγκραµ θεωρείται µια αποτελεσµατική µέθοδος-υλικό διδασκαλίας στην τάξη. Πολλές µαθηµατικές έννοιες µπορεί να κατακτηθούν ευκολότερα από τους µαθητές, καθότι δραστηριότητες µε τέτοιου είδους παζλ, οδηγούν στην ανακάλυψη της γνώσης, µέσω της αναγκαίας και πρόσφορης ενεργητικής συµµετοχής. Έννοιες όπως σχήµα, µέγεθος, εµβαδό, ισότηταισεµβαδικότητα σχηµάτων, οµοιότητα, ιδιότητες πολυγώνων και συµµετρία οργανώνονται, σχηµατίζονται και ενισχύονται µε τη διδασκαλία, µέσω της κινεζικής αυτής επινόησης (Wilkinson, 2008). Οι µαθητές, µέσω αυτής της παιγνιώδους απλοποίησης, µπορούν να εντοπίζουν, να τονίζουν και να αντιλαµβάνονται καλύτερα (Καψάλης, 2002) πολλά κύρια γεωµετρικά χαρακτηριστικά σχηµάτων, ιδιότητες αλλά και µετασχηµατισµούς. Εξάλλου και η παιγνιώδης διδασκαλία, (πρέπει να) προσλαµβάνει στις µέρες µας, περίοπτη θέση στη διδακτική πράξη. Το παιγνίδι αποτελεί και προσφέρεται, ως µέσο διδασκαλίας. Τα παιχνίδια µπορούν να αποτελέσουν, ειδικά για τους µικρούς µαθητές, αρκετά ευχάριστες δραστηριότητες, αφού µπορεί να δηµιουργούν κίνητρα, στους συµµετέχοντες παίχτες, µε τρεις τρόπους: φαντασία, πρόκληση και περιέργεια. Μάλιστα µέσω των παιχνιδιών, αποκτούνται ουσιαστικές δεξιότητες µάθησης, όπως είναι ο λογικός συλλογισµός διαχείρισης δεδοµένων, η επίλυση προβλήµατος αλλά και η ανάπτυξη στρατηγικής σκέψης (Κορδάκη & Μαστρογιάννης, 2007). Τα παιχνίδια ενσωµατώνονται έτσι, στην καθηµερινή, σχολική πρακτική, παρέχοντας οδηγίες για τη διεξαγωγή των µαθηµάτων, σύµφωνα µε τούς κανόνες του, και οι µαθητές χωρίζονται σε παίκτες, παρατηρητές και κριτές. Εποµένως, το παιγνίδι µπορεί να θεωρηθεί µέσο, µέθοδος αλλά και µοντέλο διδασκαλίας. (Κοσσυβάκη, 2003). Η τελευταία διδακτική πρόταση, που ευθύς ακολουθεί, φιλοδοξεί να λειτουργήσει ως «µαθησιακό δικτυωτό» παιδαγωγικών και διδακτικών ωφεληµάτων, που απορρέουν από το συνδυασµό παραµυθιού, παιχνιδιού σε αγαστή και αρµονική, συµπλεκτική συνύπαρξη µε τα Μαθηµατικά και τα τάγκραµ. Το παραµύθι ως µορφωτικό µέσο προσφέρει στο παιδί, µε ευχάριστο τρόπο, γνώσεις για το βίο των ανθρώπων των ζώων και των φυτών, καλλιεργεί τη φαντασία και τη γλώσσα του, βοηθά να αναπτυχτούν τα συναισθήµατά του και οπωσδήποτε ψυχαγωγεί και διασκεδάζει (Κίτσος, 1982). Επιπλέον, πολλές φορές, µπορεί να διαδραµατίσει και ρόλο καταλύτη µάθησης, αφού η άποψη ότι τα Μαθηµατικά θεωρούνται δύσκολο µάθηµα εξαιτίας της µικρής µεταβίβασης µάθησης, από άλλα µαθήµατα (πλάγια µεταβίβαση µάθησης κατά Gagne), αποτελεί κοινό τόπο µεταξύ των ειδικών (Καψάλης, 2002). Το τάγκραµ επινοήθηκε στην Κίνα και ήδη από τις αρχές του 19ου αιώνα ήταν αρκετά δηµοφιλές. Την περίοδο αυτή, µε την κυκλοφορία του πρώτου σχετικού βιβλίου το 1813, τοποθετείται και η πρώτη καταγραµµένη αναφορά του. Μάλιστα 153

162 κατά τη διάρκεια του 19ου αιώνα, εξαιτίας της άνθησης των εµπορικών συναλλαγών της Κίνας, η Ευρώπη και η Αµερική γνώρισαν τη νέα διασκέδαση επιδεικνύοντας, σαφώς, έντονο και ζωηρό ενδιαφέρον για την εκµάθηση και τα συνεπακόλουθα ευδαιµονικά, διανοητικά οφέλη του τάγκραµ. Σύµφωνα µε το γρίφο αυτό, ένα τετράγωνο πλευράς α, χωρίζεται σε επτά κοµµάτια γεωµετρικά σχήµατα (εικόνα 96): Σε 5 ορθογώνια ισοσκελή τρίγωνα o δύο µε υποτείνουσα µήκους α και πλευρές (α 2)/2 το καθένα o δύο µε υποτείνουσα α/2 και πλευρές (α 2)/4 το καθένα o ένα µε υποτείνουσα α/2 και πλευρές (α 2)/2 Σε ένα τετράγωνο πλευράς (α 2)/4 Σε ένα παραλληλόγραµµο µε πλευρές α/2 και (α 2)/4 Στη συνέχεια η προσπάθεια των παιχτών εστιάζεται στην ανασύνθεση των επτά κοµµατιών και τη δηµιουργία ανθρώπινων µορφών, ζώων, αντικειµένων ή και διάφορων γεωµετρικών σχηµάτων. Οι κανόνες του παιχνιδιού απαιτούν τη χρησιµοποίηση απαραιτήτως και των επτά κοµµατιών (tans), τα οποία τοποθετούνται επίπεδα, εφάπτονται πλήρως και δεν επικαλύπτονται. Ας σηµειωθεί η µοναδικότητα του παραλληλογράµµου, αφού κατά τη δηµιουργία µερικών µορφών είναι απαραίτητη η «ανατροπή» του, δεδοµένου ότι η περιστροφή δεν προσφέρει τη ζητούµενη σχηµατική διαµόρφωση. Εικόνα 96. Τα 7 κοµµάτια του τάγκραµ Στο βιβλίο Grandfather Tang's Story (Tompert, 1990) ο παππούς Tang και η µικρή Soo κάθονται κάτω από µια ροδακινιά, στην αυλή του σπιτιού τους και διασκεδάζουν, δηµιουργώντας διαφορετικά σχήµατα στα τάγκραµ τους. «Ας κάνουµε µια ιστορία µε µαγικές αλεπούδες (κατά κόσµον Chou και Wu Ling)» είπε η µικρή Soo. Έτσι ο παππούς, µε τα επτά κοµµάτια του τάγκραµ του, σχηµάτισε τη µορφή µιας αλεπούς, ενώ λίγο αργότερα έφτιαξε µιαν άλλη αλεπού µε το τάγκραµ της µικρής Soo. Και κάπως έτσι το παραµύθι του παππού ξεκίνησε: «Μολονότι οι αλεπούδες Chou και Wu Ling ήταν καλές φίλες, εντούτοις ο ανταγωνισµός µεταξύ τους ήταν έντονος. Μια µέρα κάθονταν κάτω από την αγαπηµένη τους ιτιά και µιλούσαν για τις µαγικές δυνάµεις τους. «Μπορώ να µεταφορτωθώ σε κουνέλι µε ταχύτητα ανοιγοκλείσµατος µατιών» είπε η καυχησιάρα Wu Ling» Τελικά, λαµβάνει χώρα µια ποικιλία από µεταµορφώσεις των αλεπούδων (εικόνα 97), όπως σε χήνα, γεράκι, λιοντάρι, σκίουρο, κροκόδειλο και χρυσόψαρο. Εξαιτίας αυτών των αλλαγών τους, βιώνουν µια παρά λίγο θανάσιµη εµπειρία, αφού βρέθηκαν στο στόχαστρο κάποιου θηρευτή κυνηγού, γεγονός που αποτελεί και το τελευταίο επεισόδιο στην πλοκή του παραµυθιού. Οι ταυτόχρονοι δε, µετα-σχηµατισµοί και µεταµορφώσεις των αλεπούδων στα τάγκραµ, µέσω των εργαλείων που παρέχει το περιβάλλον του Cabri Geometry II, εγείρουν προσδοκίες για την ανάδειξη των ζητούµενων µαθησιακών, µαθηµατικών ευεργετηµάτων. 154

163 Εικόνα 97. Αλωπέκειοι µετασχηµατισµοί Για παράδειγµα από το αρχικό τετράγωνο (εικόνα 98) των 7 κοµµατιών, ο αλγόριθµος µετασχηµατισµού της αλεπούς θα µπορούσε να ήταν ο εξής: α) µετατόπιση του τετραγώνου, β) µετατόπιση και στροφή του πράσινου τριγώνου γ) µετατόπιση του κίτρινου τριγώνου, δ) µετατόπιση και στροφή του ροζ τριγώνου, ε) µετατόπιση και στροφή του γκρι τριγώνου στ) µετατόπιση και στροφή του µωβ τριγώνου και ζ) µετατόπιση και στροφή του παραλληλογράµµου. Για τη µεταµόρφωση της αλεπούς σε χελώνα, θα απαιτούνταν η ενεργοποίηση και της συµµετρίας, κατά το σχηµατισµό του παραλληλόγραµµου κεφαλιού της, ο ευκλείδειος αυτός µετασχηµατισµός, που µόνο για το σχήµα του παραλληλογράµµου, µερικές φορές ενεργοποιείται, όπως έχει, ήδη τονιστεί. Εικόνα 98. Η αλεπού βγήκε στο Cabri 155

164 3.7. Συζήτηση- συµπεράσµατα και προτάσεις Στην παρούσα πρόταση εξετάσθηκε και, ίσως, αναδείχθηκε η πολύτροπη διδακτική και µαθησιακή βοήθεια που προσφέρει η αξιοποίηση των εργαλείων του γνωστού Περιβάλλοντος υναµικής Γεωµετρίας, Cabri-Geometry II. Η διάθεση ενός πλήρους µενού εντολών του λογισµικού, σχετικά µε την εκτέλεση ευκλείδειων και όχι µόνο γεωµετρικών µετασχηµατισµών, κρίνεται ως λίαν σηµαντική, κατά µελέτη του υπολογισµού εµβαδών των βασικών και δηµοφιλών επίπεδων γεωµετρικών σχηµάτων αλλά και ταυτοτήτων. Αν και φαινοµενικά το λογισµικό αυτό µειονεκτεί, καθώς στερείται δυνατοτήτων άµεσων και αυτόµατων περιστροφών σχηµάτων, η αναγκαστική καταφυγή στο µενού των µετασχηµατισµών, παρέχει καίρια µαθησιακά οφέλη. Με αυτόν τον τρόπο γίνονται αντιληπτές οι αυτοµατοποιηµένες κινήσεις χειρισµού αντικειµένων, ενώ προσδίδεται και µια µαθηµατική χροιά, µε επίφαση επιστηµονικότητας, η οποία, προκλητικά, βρίσκεται πανταχού παρούσα, σε καθηµερινές και τετριµµένες, επαναλαµβανόµενες ανθρώπινες ενέργειες. Οι δραστηριότητες προορίζονται περισσότερο για µαθητές Γυµνασίου, δίχως να αποκλείεται η εισαγωγή τους και στην τελευταία τάξη της Πρωτοβάθµιας Εκπαίδευσης, τουναντίον, µάλιστα. Τέλος, η εφαρµογή και δοκιµή στην τάξη, ως απαραίτητη αναδραστική διαδικασία, θεωρείται, φυσικά, εκ των ων ουκ άνευ. 156

165 4. O µετασχηµατισµός της αξονικής συµµετρίας (ανάκλασης), ως µέσο επίλυσης ανοικτών προβληµάτων Περίληψη Ένας από τους σηµαντικότερους παράγοντες επίλυσης ενός προβλήµατος είναι ο τρόπος της νοητικής του αναπαράστασης. Πολλά προβλήµατα µπορούν να επιλυθούν ευκολότερα, αν «αναπαρασταθούν» και µετατραπούν σε ισόµορφα της καθηµερινής ζωής. Η παρούσα πρόταση εξετάζει καταρχάς, την αξονική συµµετρία και υστερότερα την αξιοποιεί στα πλαίσια του Cabri και µετατρέπει, σταδιακά, ένα καθαρά µαθηµατικό πρόβληµα συµµετρίας, σε ένα «ανοιχτό» πρόβληµα καθηµερινής, πραγµατικής ζωής, συνδυάζοντας και αποκοµίζοντας µαθησιακά οφέλη, από τις δυνατότητες και τα πλεονεκτήµατα αυτών των 3 προσεγγίσεων Θεωρητικό πλαίσιο Η συµµετρία αποτελεί χαρακτηριστικό γνώρισµα της πληρότητας της φύσης καθώς επίσης και ουσιαστικό στοιχείο της οµορφιάς και της καλαισθησίας των µνηµείων όλων των πολιτισµών (Μαστρογιάννης & Κορδάκη 2007α). Η συµµετρία αποτελεί βασική έννοια των µαθηµατικών και µε την εισαγωγή των νέων σχολικών βιβλίων στην ελληνική εκπαίδευση, καταλαµβάνει µεγαλύτερο χώρο στα αναλυτικά προγράµµατα, από ό,τι παλαιότερα, και προτείνεται να διδάσκεται σε κάθε τάξη, ξεκινώντας από την Πρώτη ηµοτικού. Αν Σ το σύνολο των σηµείων του επιπέδου, ο µετασχηµατισµός Μ: Σ Σ καλείται (αξονική) συµµετρία ή ανάκλαση ως προς µια ευθεία (άξονα) ε, αν για κάθε Α ε, τότε Μ(Α) = Α, ενώ αν Α ε τότε το Μ(Α) ταυτίζεται µε σηµείο Α Σ, τέτοιο ώστε η ε να καθίσταται µεσοκάθετος του ευθυγράµµου τµήµατος ΑΑ. Επιπλέον, κάθε συµµετρία είναι ισοµετρία, µετασχηµατισµός δηλαδή, στον οποίο διατηρούνται οι αποστάσεις των σηµείων. Από τα αποτελέσµατα πολλών ερευνών προκύπτει ότι ένα µεγάλο ποσοστό µαθητών (πάνω από τους µισούς µαθητές) εµφανίζουν δυσκολίες στην κατανόηση της αξονικής συµµετρίας. Είναι ευκολότερο, όµως, για τους µαθητές να κατασκευάζουν τα συµµετρικά µη πολύπλοκων σχηµάτων αλλά και σχηµάτων, τα οποία είναι κάθετα ή παράλληλα στον άξονα συµµετρίας (Μαστρογιάννης & Κορδάκη 2007α). Αυτή τη µαθησιακή προσδοκία θα προσπαθήσει να αξιοποιήσει η παρούσα παρέµβαση. Επιπλέον, η αξονική συµµετρία, πέραν της γεωµετρικής της σηµασίας έχει αναγνωρισθεί και πιστωθεί και ως ένα αποτελεσµατικό εργαλείο για την ανάπτυξη υψηλού επιπέδου µαθηµατικής σκέψης, στα πλαίσια µιας παραγωγικής και γόνιµης επίλυσης προβληµάτων (Mαστρογιάννης & Κορδάκη 2007α). Αν ένα πρόβληµα διέπεται από κάποια συµµετρικότητα, µε την παρατήρηση και τον εντοπισµό των µερών που µπορούν να εναλλαχθούν, παρέχονται σαφή πλεονεκτήµατα ως προς την επίλυσή του (Polya, 1991). Σύµφωνα µε τους Burkhardt & Schoenfeld (1984), (όπως παρατίθεται στους Κολέζα & Μακρής & Σούρλας, 2000) πρόβληµα είναι ένα ασυνήθιστο θέµα για το οποίο ο λύτης, αν και δε γνωρίζει αυτοµάτως το δρόµο προς τη λύση, έχει εντούτοις, ένα µεγάλο ποσοστό αυτονοµίας, ερευνώντας διάφορες εκδοχές και αποφασίζοντας τι θα δοκιµάσει. Σύµφωνα και µε τις εποικοδοµιστικές θεωρήσεις, η επίλυση προβληµάτων είναι καθοριστική για τη µάθηση των Μαθηµατικών και βασίζεται στις προϋπάρχουσες γνώσεις των µαθητών, οι οποίες τροποποιούνται και προσαρµόζονται 157

166 κατάλληλα, ώστε να αρθεί η προβληµατική κατάσταση. Ακόµα ο εποικοδοµισµός προτείνει η παρέµβαση του δασκάλου να είναι περιορισµένη, δεδοµένου ότι η γνώση δε µεταβιβάζεται, αλλά «οικοδοµείται» από το µαθητή. Έτσι, οι µαθητές ενεργοποιούνται και ανακαλύπτουν τεχνάσµατα και αναπτύσσουν προσωπικές µεθοδολογίες επίλυσης µαθηµατικών προβληµάτων. Οι σηµαντικότερες µορφές προβληµάτων είναι οι εξής (Κολέζα & Μακρής & Σούρλας, 2000): Τα ανοιχτά προβλήµατα Τα προβλήµατα ανοιχτής έρευνας Οι καταστάσεις προβλήµατα ή πραγµατικά προβλήµατα Το ανοιχτό πρόβληµα έχει σύντοµη εκφώνηση, η οποία δεν παρακινεί και δεν προκρίνει ορισµένη µέθοδο µελέτης ούτε συγκεκριµένη λύση. Οι µαθητές µπορούν εύκολα να κάνουν δοκιµές, σκέψεις και πειραµατισµούς, ώστε να οδηγηθούν στη λύση. Πρόβληµα ανοιχτής έρευνας χαρακτηρίζεται αυτό, το οποίο επιδέχεται διαφορετικές λύσεις. Ως τέτοιο µπορεί να θεωρηθεί (και είναι) η δραστηριότητα πολλαπλών επιλύσεων που παρουσιάσθηκε στην παράγραφο του Ε κεφαλαίου, η εξεύρεση, δηλαδή, ζευγών ίσων ευθυγράµµων τµηµάτων, µε όλους τους πιθανούς τρόπους. Φυσικά, οι καταστάσεις προβλήµατα ή πραγµατικά προβλήµατα αναφέρονται, όπως ήδη τονίστηκε στην παράγραφο 2.6 του Ε κεφαλαίου, σε καταστάσεις του πραγµατικού κόσµου, που µελετώνται σε καθαρά µαθηµατικοποιηµένα πλαίσια, µε την επιστράτευση ανοικτών ερωτήσεων. Βέβαια, υπάρχουν πολλοί παράγοντες, που επηρεάζουν αρνητικά ή θετικάκαταλυτικά τη λύση. Αδροµερώς όµως µπορούν να κατηγοριοποιηθούν διττώς. Σε γενικούς παράγοντες όπως είναι το επίπεδο νοηµοσύνης του λύτη και σε ειδικούς παράγοντες οι οποίοι σχετίζονται µε (Πόρποδας 2003; Αγαλιώτης, 2000; Kahney, 1997; Παναγιώτου, 1984): την πείρα του την ικανότητα «αναπαράστασης» του προβλήµατος, η οποία λειτουργεί αµφίδροµα µε την προϋπάρχουσα γνώση του και τις στρατηγικές που διαθέτει για τη λύση των προβληµάτων την αυτοπεποίθηση και την «αξιοσύνη» του τη γνώµη του, δηλαδή, για την αξία και τις δυνατότητές του και την εκπαίδευσή του, την επίδραση, δηλαδή, της διδασκαλίας που δέχεται, στα σχολεία µε τη µύησή του στη συστηµατική εργασία, και µε την ανάπτυξη της κριτικής σκέψης Ο τελευταίος παράγοντας είναι καταλυτικής σηµασίας, γιατί µε τη διδασκαλία παρέχονται ποικίλοι τρόποι και τεχνικές οργάνωσης της ύλης και οι µαθητές µυούνται στη συστηµατική εργασία. Επιπλέον, προκρίνονται και εφαρµόζονται οι πλέον κατάλληλες µέθοδοι για την αντιµετώπιση των προβληµάτων, κατανοείται η δοµή τους, µε αποτέλεσµα να προσεγγίζονται από τους µαθητές, µε περισσότερη αυτοπεποίθηση και βεβαιότητα (Παναγιώτου, 1984). Επιπλέον, για τους µαθητές της Πρωτοβάθµιας Εκπαίδευσης: η κατανόηση του αλγόριθµου των 4 πράξεων η διατήρηση και ανάκληση αριθµητικών δεδοµένων το επίπεδο κατάκτησης του µαθηµατικού λεξιλογίου και η επιβάρυνση της βραχυπρόθεσµης µνήµης είναι σηµαντικές παράµετροι επιτυχούς επίλυσης προβληµάτων (Αγαλιώτης, 2000). 158

167 Οπωσδήποτε όλα τα άτοµα δεν είναι ικανά για την αντιµετώπιση διάφορων προβληµάτων. Ερευνητές κατέληξαν στο συµπέρασµα ότι µε επιτυχία ενεργούν τα άτοµα εκείνα, που αφιερώνουν λιγότερο χρόνο και προσοχή στα επουσιώδη σηµεία των προβληµάτων. Επίσης, βρέθηκε ακόµα, ότι οι καλοί και αποτελεσµατικοί λύτες, δαπανούν, σχετικά, πολύ χρόνο κατά το στάδιο της ανάλυσης των προβληµάτων, ενώ τα άτοµα µε χαµηλές επιδόσεις ενεργούν, ακριβώς αντίθετα, αφού ασχολούνται µε τη λύση αµέσως, χωρίς να αναλύουν και έχουν στη διάθεσή τους αρκετές πληροφορίες (Παναγιώτου, 1984). Οµολογουµένως όµως, από τους σηµαντικότερους παράγοντες επίλυσης ενός προβλήµατος, είναι ο τρόπος της νοητικής αναπαράστασής του (Kahney, 1997). Ας υποθέσουµε ότι από µια σκακιέρα 64 τετραγώνων έχουν αφαιρεθεί δυο γωνιακά, µαύρα τετράγωνα, που είναι αντικριστά διαγωνίως. Έστω πάλι, ότι υπάρχουν 31 πούλια του ντόµινο, το καθένα από τα οποία µπορεί να καλύψει ακριβώς δυο τετράγωνα. Υπό αυτές τις συνθήκες υπάρχει κάποιος τρόπος, ώστε να τακτοποιηθούν τα πούλια, καλύπτοντας όλα και τα 62 τετράγωνα, που απέµειναν; Το πρόβληµα αυτό, όπως και πολλά άλλα, µπορεί να επιλυθεί ευκολότερα, αν «αναπαρασταθεί» και µετατραπεί σε ισόµορφο της καθηµερινής ζωής: Έστω ένας προξενητής (Kahney, 1997), ο οποίος προσκαλείται σε ένα χωριό για να ζευγαρώσει 32 άνδρες και 32 γυναίκες, µέσω ενός οµαδικού γάµου, που θα τελεστεί ακριβώς σε δύο µέρες, το πρωί του Σαββάτου. Ο προξενητής εργάζεται, πυρετωδώς και καταφέρνει τελικά, να ταιριάξει τα ζευγάρια. Το βράδυ της Παρασκευής όµως, κατά τη διάρκεια ενός γλεντιού, δυο άνδρες τσακώνονται, αρχίζουν να παλεύουν και αλληλοσκοτώνονται. Μπορούν τα υπόλοιπα 62 άτοµα να παντρευτούν το επόµενο πρωί, έτσι όπως ήταν προγραµµατισµένο; Η λύση βέβαια, σε αυτό το δεύτερο πρόβληµα, είναι απλή και η απάντηση αρνητική. Επιπλέον, τα δύο µαύρα τετράγωνα, στο αρχικό ισόµορφο πρόβληµα, µπορούν κάλλιστα, να αναπαρασταθούν από τους δύο αλληλοσπαραχθέντες άνδρες. Άρα, τα 31 πούλια του ντόµινο δεν µπορούν να καλύψουν τα 62 τετράγωνα, που αποµένουν Αξονική συµµετρία και λύση προβληµάτων Πάντως, πολλά προβλήµατα επιλύονται µέσω χρήσης (πρωτογενώς και δευτερογενώς) και της αξονικής συµµετρίας. Σε ένα παράδειγµα, το µαθηµατικό πρόβληµα συνίσταται στο εξής ( ρόσος, 1995): Έστω δύο σηµεία Α και Β εκτός µιας ευθείας ε. Ποιο πρέπει να είναι το σηµείο Ρ ε, τέτοιο ώστε η απόσταση ΑΡ+ΡΒ να είναι η ελάχιστη δυνατή; Αν το Β είναι το συµµετρικό του Β ως προς την ε, τότε ΑΡ+ΡΒ=ΑΒ, όπου Ρ το σηµείο τοµής της ευθείας ε και του τµήµατος ΑΒ. Οπότε το ζητούµενο σηµείο είναι το Ρ, δεδοµένου ότι «η ευθεία είναι συντοµοτέρα, πάσης άλλης γραµµής». Το ίδιο πρόβληµα, ενταγµένο σε καθηµερινά πλαίσια, θα µπορούσε ελαφρώς τροποποιηµένο, να λειτουργούσε και ως σύµβουλος παικτών µπιλιάρδου. Εικόνα 99. Η συµµετρία στα µπιλιάρδα 159

168 Η διάταξη µπιλιάρδου στην εικόνα 99 είναι επεξηγηµατική, ενώ ζητείται να εντοπισθούν τρόποι επίτευξης του στόχου, η µπάλα δηλαδή να µπει στην τρύπα (σηµείο Ο). Τρείς ενδεικτικές λύσεις ( ρόσος, 1995) παρουσιάζονται στην εικόνα 99. Ακόµα, το ίδιο ανοιχτό πρόβληµα σε µια άλλη αναπαράσταση, µέσω όρων καθηµερινής ζωής (Κολέζα & Μακρής & Σούρλας, 2000), θα µπορούσε να µετασχηµατιζόταν «ισόµορφα» στο εξής πραγµατικό πρόβληµα της καθηµερινής ζωής (εικόνα 100): «Κάποιος φεύγει από το Α, παίρνει νερό και πηγαίνει στο Β. Μπορείς να χαράξεις τον πιο σύντοµο δρόµο;» Εικόνα 100. Ο Νερουλάς Τέλος, η παρούσα πρόταση παρουσιάζει µια «τεχνολογική» καθηµερινή αναπαράσταση, υλοποιούµενη (πάντοτε) στα δυναµικά πλαίσια του Cabri, η οποία αποπειράται να συγκεράσει τρία σηµαντικά πλεονεκτήµατα: Τις δυνατότητες που παρέχει το Cabri κατά την επίλυση προβληµάτων, την «αναπαραστασιακή» µετακύληση του προβλήµατος σε δεδοµένα και καταστάσεις καθηµερινής ζωής αλλά και τα προσποριζόµενα οφέλη από τη µελέτη ανοιχτών προβληµάτων. Έχει διαπιστωθεί ότι η µάθηση της γεωµετρίας µε το Cabri παρέχει πλούσια ερεθίσµατα, όπως και κίνητρα δραστηριοποίησης (Smith, 1999). Οι περισσότερες έρευνες για τη διδασκαλία της µαθηµατικής απόδειξης αφορούν κυρίως, σε µαθητές της δευτεροβάθµιας εκπαίδευσης. Το Cabri έχει αρκετά περιορισµένες επιλογές και εντολές που µπορούν να συνδυαστούν µόνο µε ορισµένα «επεισόδια», που παραλληλίζουν, αντιπαραβάλλουν και εξισώνουν, πάντοτε, ευκλείδειες, γεωµετρικές κατασκευές. Αυτό είναι σκόπιµο, ώστε να ευνοηθούν αυτές οι στρατηγικές πέρα από κάποιες άλλες και από αυτή την άποψη το Cabri Geometry είναι ένα παραγωγικό - συµπερασµατικό περιβάλλον (Smith, 1999). Οι µαθητές καθοδηγούνται να ανακαλύψουν ιδέες για οπτικές αποδείξεις, οι οποίες µπορούν να επεκταθούν στη συνέχεια και σε καθαρά µαθηµατικές αποδείξεις (Martínez & Bárcena & Rodríguez, 2005). Μερικά από τα χαρακτηριστικά γνωρίσµατα αυτού του λογισµικού µπορούν να υποστηρίξουν την εισαγωγή της ιδέας της µαθηµατικής απόδειξης. Η δυναµική αναπαράσταση ενός προβλήµατος µπορεί να βοηθήσει το µαθητή να οπτικοποιήσει τα αντικείµενα, µε έναν ιδιαίτερο τρόπο, και να τα τροποποιήσει έπειτα, προκειµένου να ληφθεί υπόψη το εύρος όλων των πιθανών µορφών, οι οποίες διατηρούν την αµεταβλητότητα των σχέσεων, µεταξύ των αντικειµένων (Mogetta, 1998). Υποστηρίζεται ότι (Mogetta, 1998) η αντιστοιχία µεταξύ των εντολών του Cabri και των αξιωµάτων και θεωρηµάτων της ευκλείδειας γεωµετρίας µπορούν να βοηθήσει τους µαθητές, ώστε να τεκµηριώσουν τα επιχειρήµατά τους, υπό µαθηµατική σκοπιά και εποµένως να υποστηρίξουν µια διαδικασία βαθµιαίας κατασκευής της λύσης και της σχετικής αιτιολόγησης και απόδειξης. Ειδικότερα, η χρήση του Cabri στην εξερεύνηση των ανοιχτών προβληµάτων επιτρέπει στους µαθητές να συµµετέχουν ενεργά και να ανακαλύπτουν τα γεωµετρικά γεγονότα µόνοι τους και να τα ενσωµατώνουν, όπως και εκείνα που ανακαλύπτονται 160

169 κατά τη διαδικασία της απόδειξης των υποθέσεων, σε ένα αξιωµατικό σύστηµα (Camargo & Samper & Perry, 2007). Όπως και στην παράγραφο 2.5. του Ε κεφαλαίου αναφέρθηκε, τα ανοιχτά προβλήµατα δεν έχουν προφανή, σωστή απάντηση και µπορούν να χωρισθούν σε δύο τύπους, στα προβλήµατα µε µια λύση, η οποία επιτυγχάνεται µέσω διαφορετικών προσεγγίσεων και σε αυτά µε τις πολλές και διαφορετικές, σωστές απαντήσεις. Η σπουδαιότητα των ανοιχτών προβληµάτων έγκειται πρώτα απ όλα στο γεγονός ότι καταρρίπτουν το στερεότυπο ότι κάθε πρόβληµα έχει µια µόνο, σωστή λύση. Επιτρέπουν επίσης σε κάθε µαθητή να εργαστεί σύµφωνα µε τις δυνατότητές του. Εντούτοις, η πρώτιστη σηµασία των προβληµάτων αυτού του είδους είναι ότι µπορούν να χρησιµοποιηθούν για µάθηση διάφορων στρατηγικών και έτσι, οι µαθητές να εµβαθύνουν στη µαθηµατική γνώση και να αναπτύξουν τη δηµιουργική µαθηµατική σκέψη τους (Klavir & Hershkovitz, 2008). Υπάρχουν 5 βασικά πλεονεκτήµατα των ανοιχτών προβληµάτων, τα οποία συνοψίζονται παρακάτω (Becker & Shimada, 1997): 1) Οι µαθητές συµµετέχουν πιο ενεργά στα µαθήµατα και εκφράζουν τις ιδέες τους συχνότερα 2) Οι µαθητές έχουν περισσότερες ευκαιρίες να κάνουν ευρεία χρήση των µαθηµατικών γνώσεων και δεξιοτήτων τους 3) Κάθε µαθητής µπορεί να απαντήσει στο πρόβληµα µε µερικούς σηµαντικούς, δικούς του τρόπους 4) Το µάθηµα µπορεί να παρέχει στους µαθητές εµπειρίες συλλογισµών 5) Οι µαθητές βιώνουν και γεύονται πλούσιες και ευχάριστες εµπειρίες µέσα από την ευχαρίστηση της ανακάλυψης, αλλά και εξαιτίας των επιδοκιµασιών, που εισπράττουν από τους συµµαθητές τους. Το ανοιχτό πρόβληµα, λοιπόν, της µεταφοράς νερού (εικόνα 100), ελαφρώς παραλλαγµένο, διατυπώνεται ως εξής (εικόνα 101): Εικόνα 101. Πότισµα των δέντρων «Ένα πλήρως, πεδινό αγρόκτηµα βρέχεται ανατολικά από θάλασσα και διαρρέεται από έναν ποταµό, ο οποίος εκβάλλει σ αυτήν. Εκατέρωθεν του ποταµού και σε ίση-συµµετρική απόσταση ο ιδιοκτήτης έχει φυτέψει δέντρα. Οι δυο γιοι του, επιφορτίστηκαν µε το καθηµερινό έργο τού ποτίσµατος αυτών των δυο δέντρων, αφού, σύµφωνα µε την επιθυµία του πατέρα τους, ο ένας θα φρόντιζε (και αργότερα θα κληρονοµούσε, φυσικά) το βόρειο του ποταµού κοµµάτι και ο άλλος το νότιο. Οι γιοι θα ξεκινούν, για την καθηµερινή τους εργασία, από το αγροτόσπιτο, που βρίσκεται στο βόρειο τµήµα του κτήµατος. 161

170 Από ποιο σηµείο του ποταµού θα πρέπει να αντλούν ο καθένας το νερό, έτσι ώστε η διαδροµή τους από το σπίτι, στο ποτάµι και µέχρι το «δέντρο» τους, να είναι η λιγότερο κοπιαστική (συντοµότερη). Με βάση αυτή τη διαδροµή, δικαιούται κάποιος από τους γιους να διαµαρτύρεται ότι η µοιρασιά και το έργο, που τους ανατέθηκε, παραβιάζει τους νόµους της ισότητας; Συµβαίνει το ίδιο για το συνολικό καθηµερινό δροµολόγιο συµπεριλαµβανοµένης, δηλαδή, και της επιστροφής στο σπίτι; Σε περίπτωση αρνητικής απάντησης θα µπορούσε ο πατέρας να προβλέψει, προκαταβολικά, ειδικές θέσεις για την ανέγερση του σπιτιού και για τις δεντροφυτέψεις, (αν και προσπάθησε, όντως, αφού τις έφτιαξε συµµετρικές), ώστε να είναι, πέρα για πέρα δίκαιος, απέναντι στα παιδιά του;» Το πρόβληµα απέκτησε δυο γιούς-πρωταγωνιστές, δεδοµένου ότι το σηµείο άντλησης του νερού πρέπει να ταυτιστεί µε κάποιο ειδικό-συγκεκριµένο, όπως είναι το ζητούµενο σηµείο της τοµής της ευθείας (ποταµού) και του τµήµατος που συνδέει το αγροτόσπιτο µε το δέντρο του νοτίου µέρους. Όλη η κατασκευή είναι ολοκληρωτικά δυναµική, αφού µπορούν να µετακινούνται όλα τα κεντρικά σηµεία του προβλήµατος. Τα δέντρα, δίχως να µεταβληθεί η συµµετρικότητά τους, και το σηµείο αφετηρίας (αγροτόσπιτο) αλλάζουν οποιαδήποτε στιγµή θέση, µέσω του συρσίµατος. Μάλιστα, για εποπτικούς και ευάρεστους λόγους αλλά και για λόγους προσήλωσης και αιχµαλώτισης της προσοχής των µαθητών, µε χρήση «κρυφών κουµπιών», τα δοχεία, µετά την άντληση νερού από το ποτάµι, αποκτούν γαλάζιο χρώµα. Ακόµα προσδίδεται, µέσω της εντολής του λογισµικού «πολλαπλή κίνηση γραφικών, και κινηµατογραφική κίνηση κατά τις καθηµερινές διαδροµές των γιων του ιδιοκτήτη. Η οπτικοποίηση της πληροφορίας είναι σταθερός και ευνοϊκός παράγοντας της µάθησης και ένα από τα σπουδαία χαρακτηριστικά των ΤΠΕ. Αν και η απόφανση αυτή εγείρει αρκετές, επιστηµονικές ενστάσεις, ωστόσο όµως, είναι πειραµατικά επιβεβαιωµένη, η παιδαγωγική αξία των γραφικών αναπαραστάσεων (Βοσνιάδου, 2006). Θετικές επιδράσεις, επίσης, στη µαθησιακή διαδικασία προκαλεί και ο αρµονικός συνδυασµός εικόνας και κειµένου, ακόµα και στις θετικές επιστήµες (Βοσνιάδου, 2006). Αρχικά, ο µαθητής µε πειραµατισµούς και µέσω της απεικονιζόµενης αυτόµατης µέτρησης, κάθε φορά της απόστασης, από το λογισµικό, µπορεί να εντοπίσει ένα σηµείο που την ελαχιστοποιεί. Στη συνέχεια, µε το στιγµιότυπο του δεύτερου νερουλά-γιου, µπορεί να διαπιστώσει ότι το ζητούµενο σηµείο είναι αυτό της τοµής της ευθείας, που παριστάνει τον ποταµό και του τµήµατος, που συνδέει το σπίτι µε το νότιο δέντρο. Ακόµα, µπορεί να µελετηθεί ή έννοια της µεσοκαθέτου ενός τµήµατος, αλλά και η τριγωνική ανισότητα, αφού αυτή είναι υπεύθυνη για την ανισοκατανοµή των πόρων στους δυο γιους, όσον αφορά στη συνολική καθηµερινή διαδροµή, καθότι ο δεύτερος γιος του νότιου τµήµατος υποχρεούται να καλύπτει µεγαλύτερη απόσταση. Εξάλλου, η λύση της ανέγερσης του σπιτιού µέσα στο ποτάµι, ως η µόνη εξισωτής και η οποία θα παρείχε πλήρη δικαιοσύνη στις αποστάσεις των καθηµερινών διαδροµών, προβάλλει ως αδύνατη. Τέλος, οι διαθεµατικές προεκτάσεις αυτής της διδακτικής παρέµβασης (νερό στη φύση, δέντρα, ποτάµια, ανθρώπινες κοινωνίες κ.ά) είναι προφανείς. 162

171 5. υναµικές και σηµαιολογικές αναπαραστάσεις κλασµάτων Περίληψη Πολλές έρευνες αλλά και η καθηµερινή σχολική πραγµατικότητα ενοχοποιούν τους κλασµατικούς αριθµούς, ως παρελκυστικούς παράγοντες µάθησης και αριθµητικές περιοχές συχνών, µαθητικών ολισθηµάτων. Η παρούσα πρόταση αφού κάνει µια µικρή ιστορική αναδροµή στην επινόηση και χρήση των κλασµάτων από τους αρχαίους πολιτισµούς, στη συνέχεια αναφέρεται στους παράγοντες και τις εννοιολογικές δυσκολίες, που δυσχεραίνουν και παρακωλύουν την κατανόησή τους, ειδικά σε µαθητές του ηµοτικού. Ακολούθως µέσω µιας διαθεµατικής προσέγγισης, προτείνεται οι κλασµατικοί αριθµοί να προσεγγιστούν, µέσω της µελέτης σηµαιών διάφορων κρατών του κόσµου, µε ενεργοποίηση, κυρίως, του µοντέλου περιοχής ή εµβαδού. Επίσης, σε κάθε περίπτωση, λήφθηκαν υπόψη και τονίσθηκαν στις προτεινόµενες δραστηριότητες, οι δυο συνιστώσες, οι δυο καίριες προϋποθέσεις κατά την ανάπτυξη της έννοιας των κλασµάτων (van de Walle, 2005): α) η ακέραια µονάδα πρέπει να αποτελείται από το σωστό αριθµό µερών και β) όλα τα µέρη πρέπει να είναι ίσα ή δίκαια µερίδια, ότι έχουν δηλαδή το ίδιο µέγεθος (µήκος ή εµβαδό) Θεωρητικό πλαίσιο Ουσιαστικό µέρος της παιδικής µαθηµατικής ανάπτυξης αποτελεί η κατανόηση των κλασµάτων. Μάλιστα, η εµπειρία των µαθητών µε τους κλασµατικούς αριθµούς ξεκινά, πριν την είσοδό τους στους σχολικούς ρυθµούς. Ο πιο γνωστός, οικείος και για αυτό δηµοφιλής διαιρέτης παρονοµαστής, από την νηπιακή, ακόµα, ηλικία είναι ο αριθµός 2 (από την έννοια του «µισού»). Κλάσµατα χρησιµοποιούνταν και από τους αρχαίους λαούς. Οι αρχαίοι Αιγύπτιοι στα ιερογλυφικά τους εισήγαγαν κλασµατικές µονάδες, µε την τοποθέτηση ενός ειδικού οβάλ συµβόλου ( ), πάνω από τον αριθµό, που αντιπροσώπευε τον παρονοµαστή. Ειδικά, τους κλασµατικούς αριθµούς 1/2 και 2/3, οι Αιγύπτιοι τους παρίσταναν µε ιδιαίτερα σύµβολα (π.χ το συµβόλιζε το 1/2). Στον αιγυπτιακό πάπυρο του Rhind (ή Ahmes) ανακαλύφθηκαν και «ιερατικές» κλασµατικές µονάδες, που δηλώνονταν µε τη σχεδίαση µιας, υπερκείµενης των παρονοµαστών, τελείας. ικό τους, ιδιαίτερο σύµβολο είχαν τα κλάσµατα 1/2, 1/3, 1/4 και 2/3. Το «Χ» για παράδειγµα, ήταν το σύµβολο του 1/4 (Cajori, 2007). Οι αρχαίοι Βαβυλώνιοι επίσης, µε χρήση του συµβόλου της σφήνας (Κεφάλαιο Α. 2.2 της παρούσας εργασίας) αναπαριστούσαν και τα εξηνταδικά τους κλάσµατα,, κ.ο.κ. Χρησιµοποιούσαν ειδικό σχεδιασµό και ονοµασία για τον προσδιορισµό µερικών «έκτων», για τις κλασµατικές µονάδες δηλαδή, 1/2, 1/3, 1/6 και τα κλάσµατα 2/3 και 5/6, στα οποία ο αριθµητής υπολειπόταν κατά ενός του παρονοµαστή (Cajori, 2007). Οι αρχαίοι Έλληνες γράφανε, τέλος, τα κλάσµατα µε διάφορους τρόπους και πάντα χωρίς κλασµατική γραµµή. Το κλάσµα 3/7 π.χ. ένας αρχαίος Έλληνας θα το παρίστανε ως γ ζ, ως γ ζ ζ (ο παρονοµαστής γραφόταν, δεξιά, µία ή δυο γ φορές) ή ακόµα και ως. Ο Αρχιµήδης και ο ιόφαντος τοποθετούσαν τον ζ παρονοµαστή στη θέση του σηµερινού εκθέτη δύναµης. Ο σηµερινός κοινός τρόπος γραφής των κλασµατικών αριθµών είναι πρόταση, ήδη από τον 7 ο µ. Χ αιώνα, των Ινδών, που τους έγραφαν όµως, δίχως την οριζόντια κλασµατική γραµµή, η οποία υπήρξε επινόηση των Αράβων, και συγκεκριµένα του 163

172 al-hassar, 6 αιώνες αργότερα. Ο Fibonacci, πέραν της εισαγωγής του δεκαδικού συστήµατος και των αραβικών αριθµών στην Ευρώπη, ήταν και ο πρώτος Ευρωπαίος, που χρησιµοποίησε την κλασµατική γραµµή, αν και παρέκλινε από το σύγχρονο τρόπο γραφής των κλασµάτων, αφού σε περιπτώσεις µεικτών αριθµών τα έγραφε αριστερά των ακεραίων (Cajori, 2007). Στα κατοπινά χρόνια η οριζόντια γραµµή δεν τύχαινε πλήρους και καθολικής αποδοχής από τους µαθηµατικούς, καθώς αρκετοί την απέφευγαν, αλλά και από τους τυπογράφους. Οι τελευταίοι αντιστέκονταν στη χρήση της οριζόντιας γραµµής, καθότι αυτή απαιτούσε τρία κάθετα τυπογραφικά επίπεδα, µια διαδικασία δύσκολη και χρονοβόρα. Το 1845 ο De Morgan στο άρθρο του «The Calculus of Fractions», προσέφερε «τυπογραφική» ανακούφιση και παρηγοριά, µε την υιοθέτηση της διαγωνίου γραµµής, τακτική που χρησιµοποιείται και σε σηµερινά κείµενα. Μετά από αυτή την ιστορική διαχρονική διαδροµή της κλασµατικής αποτύπωσης και αναπαράστασης, είναι «τοις πράγµασι» επιβεβληµένη και η µελέτη και ερµηνεία της διαχρονικότητας της µαθητικής δυσκολίας ως προς την κατανόηση των κλασµάτων. Αναφορικά δε, µε την οµολογουµένως «ταραγµένη» και προβληµατική σχέση των µαθητών ειδικά του ηµοτικού, µε τους κλασµατικούς αριθµούς και τις εννοιολογικές δυσκολίες που αντιµετωπίζουν, πολλές και διάφορες έρευνες έχουν πραγµατοποιηθεί και καταγραφεί. Οι κυριότεροι αιτίες της περιπετειώδους αυτής συνύπαρξης οφείλονται (Hasemann, 1981; Nunes & Bryant, 1996; Καλδρυµίδου & Κοντοζήσης, 2003; Brizuela, 2006; Μαστρογιάννης & Μαλέτσκος, 2007α): στην περιορισµένη χρήση των κλασµατικών αριθµών στην καθηµερινή ζωή στη δυσκολία ονοµασίας, σύγκρισης και διάταξης των κλασµάτων στην αδυναµία σύλληψης και κατανόησης του διαφορετικού ρόλου των όρων του κλάσµατος και της σχέσης που τους διέπει, γεγονός που επιφέρει και λογιστική διαφοροποίηση στην πραγµάτευση και το χειρισµό του αριθµητή και παρονοµαστή, αφού θεωρούνται ως ανεξάρτητες µεταξύ τους ποσότητες στη δυσχέρεια κατανόησης της ισοδυναµίας - ισότητας των κλασµάτων στην ύπαρξη πολλών κανόνων, κατά την εκτέλεση των 4 πράξεων της αριθµητικής (ειδικά στην πρόσθεση και αφαίρεση), µεταξύ κλασµατικών αριθµών, σε σχέση, φυσικά, µε τους ευκολονόητους φυσικούς αριθµούς στην παράξενη «κλασµατική πραγµατικότητα» ότι, δηλαδή, ίσα µέρη δυο διαφορετικών ποσών δεν παριστάνουν ίσες ποσότητες ( ηλαδή, για παράδειγµα, τα 3/4 του 12 είναι διαφορετικά από τα 3/4 του 20) στην εσφαλµένη αντίληψη περί της µη ύπαρξης άλλων κλασµατικών αριθµών µεταξύ κ/µ και (κ+1)/µ στην κακή διδασκαλία τους Τη δυσκολία επιτείνει και η πολύµορφη παράσταση των ρητών αριθµών άλλοτε ως δεκαδικών, άλλοτε ως κλασµάτων, ως µεικτών και ως συµµιγών. Χάριν αστεϊσµού, θα παρατηρούσε κάποιος ότι τα παραπάνω ενισχύει και η γνωστή ρήση του µεγάλου Γερµανού µαθηµατικού Leopold Kronecker ( ): «Ο Θεός δηµιούργησε µόνο τους ακέραιους αριθµούς. Πάντα τα λοιπά είναι έργο του ανθρώπου», (Bell 1995), που εφευρέθηκαν για να «τυραννούν» παιδικές ψυχές στο σχολείο, όπως αρκετοί µαθητές διαµαρτύρονται. Ή ακόµα και η πικρή παραδοχή τής Αγκάθα Κρίστι: «Συνέχισα να κάνω αριθµητική µε τον πατέρα µου, περνώντας, 164

173 υπερήφανα, µέσω των κλασµάτων, στους δεκαδικούς. Έφθασα τελικά στο σηµείο όπου τόσες πολλές αγελάδες έφαγαν τόσο πολύ γρασίδι και οι δεξαµενές γέµισαν µε νερό σε τόσες πολλές ώρες που το βρήκα, πράγµατι, αρκετά συναρπαστικό» (Πηγή: Πολλοί µαθητές δεν αντιλαµβάνονται πως τα κλάσµατα είναι αριθµοί, αφού τα θεωρούν, εσφαλµένα, ως µέρη µόνο ενός σχήµατος ή µιας ποσότητας. Η σχολική πρακτική, κυρίως υπεύθυνη γι αυτή την αρρυθµία, δεν παρέχει αρκετές νύξεις, δεδοµένου ότι εργασίες µε γραφικές παραστάσεις, αλγεβρικές εξισώσεις και µοτίβα αριθµών περιλαµβάνουν, συνήθως, µόνο ακέραιους αριθµούς (Amato, 2005). Όπως σε πολλές περιοχές των µαθηµατικών, παροµοίως και στα κλάσµατα, η χρήση εικόνων και διαγραµµάτων ενδέχεται να καθιστά τους µαθητές ικανούς να κατανοήσουν και να συνειδητοποιήσουν διαδικασίες, που σε διαφορετικές περιπτώσεις θα υπερέβαιναν τα αντιληπτικά τους, νοητικά εσκαµµένα. Έτσι, τα αναπαραστασιακά εργαλεία προβάλλουν, ίσως, ως τα πλέον κατάλληλα µέσα, για να κινηθούν οι µαθητές στο µαθησιακό τους µονόδροµο (Brizuela, 2004). Έρευνες έχουν δείξει βέβαια, ότι τα σχεδιαγράµµατα, σε κάποιες περιπτώσεις, δεν παρέχουν τα προσδοκώµενα αποτελέσµατα, αφού οι µαθητές έχουν δυσκολίες, σε κάποια από αυτά, κατά τον προσδιορισµό, λόγου χάρη, της µονάδας, ειδικά όταν τα διαγράµµατα είναι περισσότερα του ενός. Για παράδειγµα, σε σχέδιο, όπου δυο ακέραιες µονάδες είναι χωρισµένος αµφότερες σε πέµπτα, µε σκιασµένη την πρώτη και τα 2/5 της επόµενης, πολλοί µαθητές αποκρίνονται ότι η ολική σκίαση αντιπροσωπεύει το 7/10 και όχι το σωστό 7/5 (Amato, 2005). Παρόλες αυτές τις ενστάσεις, έχει παρατηρηθεί όµως, ότι τα διαγράµµατα βοηθούν πολλές φορές στη λύση προβληµάτων µε κλάσµατα αλλά και στον έλεγχο των ορθών απαντήσεων. Η παρούσα παρέµβαση, ενδεδυµένη µε «διαθεµατικό χιτώνα», επιχειρεί µια γεωγραφική προσέγγιση στους κλασµατικούς αριθµούς, µέσω της µελέτης σηµαιών διάφορων χωρών του κόσµου. Η διαθεµατικότητα αποτελεί κυρίαρχο και ουσιαστικό χαρακτηριστικό και στοιχείο της νέας παιδαγωγικής και διδακτικής προσέγγισης, πρακτικής και πραγµατικότητας (Κεφάλαιο Γ της παρούσας εργασίας). Τα νέα αναλυτικά προγράµµατα στηρίζουν και αναδεικνύουν τη διαθεµατικότητα, καταργώντας εν µέρει τα διακριτά και αυτοτελή µαθήµατα. Πάντως, γενικός και βασικός στόχος των νέων βιβλίων υπήρξε, µέσω της προώθησης και της εφαρµογής διαθεµατικών µεθοδολογιών, να προκύψουν και να αποκοµιστούν παιδαγωγικά ωφελήµατα. Ο εποικοδοµισµός επίσης, όπως και η θεωρία των πολλαπλών τύπων νοηµοσύνης ευνοούν και προκρίνουν τις διαθεµατικές «καταφυγές. Εξάλλου και η µέθοδος Project στηρίζεται στις ανάγκες και στα βιώµατα των µαθητών, παρεκκλίνοντας, καταφανώς, από το παραδοσιακό σχολικό σύστηµα, σηµατοδοτώντας έναν τρόπο οµαδικής εργασίας µε συµµετοχή όλων των µαθητών. Το µοντέλο αυτό διδασκαλίας επιδιώκει την ενιαιοποίηση της σχολικής γνώσης µε τις πραγµατικές καταστάσεις ζωής, τη σφαιρική ενεργοποίηση του µαθητή και την πολύπλευρη δράση του, µέσα από τον συνδυασµό νοητικών και πρακτικών δεξιοτήτων (Κοσσυβάκη, 2003). Ο στόχος, λοιπόν, της διδακτικής παρέµβασης είναι διττός: Αφενός οι µαθητές να αισθανθούν πολίτες του διεθνοποιηµένου κόσµου, να αναπτύξουν πανανθρώπινες αξίες, να σεβαστούν πολιτισµικές και άλλες ιδιαιτερότητες, ώστε τελικά, να διαµορφώσουν θετικές στάσεις απέναντι των άλλων λαών. Αφετέρου κινούµενοι σε καθαρά µαθηµατικά πλαίσια, οι µαθητές να αντιληφθούν την έννοια του κλάσµατος, µέσα από πειραµατισµούς και διαχωρισµούς σε µέρη µιας ακέραιας ποσότητας, όπως επίσης και µέσω συσχετισµών µεταξύ οµοειδών ποσοτήτων. Ακόµα 165

174 να συγκρίνουν κλασµατικούς αριθµούς, να τους απλοποιούν, να κατανοούν την ισοδυναµία τους και τις παρεπόµενες έννοιες του λόγου και της αναλογίας. Μάλιστα, η αναλογία αποτελεί δοµικό λίθο και µια από τις βασικότερες έννοιες των Μαθηµατικών, δεδοµένου ότι, για µια πλειάδα µαθηµατικών εννοιών, είναι πρωταρχική έννοια και βασικό συστατικό, όπως η κλίµακα, η οµοιότητα των γεωµετρικών σχηµάτων, τα ποσοστά κ.ά. (Χιονίδου-Μοσκοφόγλου & Βλάχου, 2006) Οι προτεινόµενες δραστηριότητες Στις περισσότερες των περιπτώσεων, οι σηµαίες του κόσµου αποτελούνται από παράλληλες, κατακόρυφες ή οριζόντιες λωρίδες, ενώ σε όλες, σχεδόν, υπάρχει συγκεκριµένος λόγος µήκους πλάτους. Οι σηµαίες σχεδιάζονται, µέσω των εργαλείων του Cabri Geometry II, µε τέτοιο τρόπο, ώστε, κάθε στιγµή, οποτεδήποτε χρειαστεί, ο χειρισµός ειδικού κουµπιού-σηµείου να µεταβάλλει την αναλογία αυτή, αλλά και να την επαναφέρει στις σωστές και προκαθορισµένες από κάθε χώρα προδιαγραφές και διαστάσεις. Επιπλέον, επιτρέπεται η δυναµική µεταβολή κάθε σηµαίας µε την αλλαγή του µεγέθους της, χωρίς όµως, ταυτόχρονη αλλαγή των επιµέρους στοιχείων της, αφού ο αρχικά επιλεγµένος λόγος παραµένει αµετάβλητος και εξακολουθεί να ισχύει. Πέραν βέβαια αυτών των χαρακτηριστικών, οι χρωµατικά πολυποίκιλες αυτές συνθέσεις προσφέρουν και παιδαγωγικό τόνο ευθυµίας και ατµόσφαιρα µαθησιακής ευαρέσκειας, χαρακτηριστικά λίαν απαραίτητα στο χλωµό, άγευστο, απρόσωπο και εξοντωτικό, σύγχρονο Σχολείο. Επίσης, είναι δυνατό οι µαθητές να κατασκευάσουν οι ίδιοι κάθε σηµαία. Αυτή η διαδικασία απαιτεί σαφώς γεωµετρικές και τεχνολογικές γνώσεις, αλλά λειτουργεί όµως αντισταθµιστικά, δεδοµένου ότι τα µαθησιακά οφέλη θα είναι κατά πολύ πλουσιότερα. Ως µια γενική διδακτική κατεύθυνση θα µπορούσαν να τεθούν οδηγίες και ερωτήσεις όπως: Αναγνωρίστε και απαριθµήστε τα χρώµατα. Να µεταβάλετε δυναµικά το δοσµένο λόγο και να σηµειώσετε τις τροποποιήσεις που επιφέρει. Σύρτε τη σηµαία από (κάποια) σηµεία της και καταγράψτε τις παρατηρήσεις σας. Εκτιµήστε τι µέρος της σηµαίας χρησιµοποιεί κάθε χρώµα. Κάθε λωρίδα αποτελεί κλασµατική µονάδα; Εξηγήστε τις απαντήσεις σας. Βρείτε τον κλασµατικό αριθµό ενός µέρους (λωρίδας). Πώς µπορούµε να κατασκευάσουµε µια σηµαία, αν ξέρουµε µόνο ένα κοµµάτι της και τις σχέσεις του µε τα υπόλοιπα κοµµάτια- λωρίδες; ιατάξτε τα κλάσµατα που προκύπτουν. Εντοπίστε τα ισοδύναµα (ίσα) κλάσµατα. Πώς µπορούµε να αξιοποιήσουµε τα εργαλεία και τις λειτουργίες του Cabri Geometry, για να επαληθεύσουµε και να επιβεβαιώσουµε τις εκτιµήσεις και τους υπολογισµούς µας; Τι µέρους του συνολικού εµβαδού καλύπτει κάθε λωρίδα; Τι µέρους του συνολικού ποσού των χρηµάτων θα δαπανηθούν, για την αγορά κάθε χρωµατιστής λωρίδας; Βρείτε τρόπους απόδειξης των ισχυρισµών σας Πώς σχεδιάζουµε τις σηµαίες- ορθογώνια, ώστε να παραµένει ο λόγος των διαστάσεών της (µε περιστροφή κατά -90 ο ενός οριζόντιου τµήµατος, που σχηµατίζει το δοσµένο λόγο µε το συγγραµικό µήκος) 166

175 Μια από τις απλές (στο σχεδιασµό) σηµαίες είναι αυτή της Ινδονησίας (εικόνα 102) µε δύο ισοµεγέθεις παράλληλες λωρίδες. 1. Ινδονησία 2. Ρωσία 3. Κολοµβία 4. Ταϊλάνδη 5. Εµιράτα 6. Κονγκό 7. Μαδαγασκάρη 8. Ελβετία 9. Μπαγκλαντές Εικόνα 102. Σηµαίες σχεδιασµένες µε το Cabri Το 1/2 που αντιπροσωπεύει η κάθε λωρίδα µπορεί να επαληθευτεί και από προσδιορισµό του εµβαδού της, σε σχέση µε το συνολικό εµβαδό της σηµαίας. Με τρεις παράλληλες λωρίδες είναι η σηµαία της Ρωσίας και της Ιταλίας. Ελαφρώς δυσκολότερες στη µελέτη τους, είναι οι σηµαίες της Κολοµβίας και της Ταϊλάνδης δεδοµένου ότι περιέχουν ανισοµεγέθεις λωρίδες. Μερικές ενδεικτικές ερωτήσεις που µπορούν να τεθούν είναι: Τι µέρος της κολοµβιανής σηµαίας καλύπτει η µπλε λωρίδα; (το ½ του ½) Με τι ισούται το άθροισµα ½+¼ +¼; Χαράξτε µια νέα λωρίδα, παραποιώντας τη σηµαία, ώστε όλες οι λωρίδες να παριστάνουν ίσες κλασµατικές µονάδες. Στη σηµαία της Ταϊλάνδης, γράψτε µε δυο διαφορετικούς κλασµατικούς αριθµούς το µέρος που αντιπροσωπεύει η µπλε λωρίδα. Ποιον από τους δυο συµφέρει να προτιµούµε; Περισσότερο «δύσκολες» είναι οι σηµαίες των Εµιράτων, της Μαδαγασκάρης και του Κονγκό, αφού οι κλασµατικές σχέσεις (όλες οι λωρίδες της κάθε σηµαίας είναι ισεµβαδικές) δεν µπορούν να επαληθευτούν εύκολα οπτικά. Μια λύση µπορεί, ενδεχοµένως, να προέλθει από τη µέτρηση των εµβαδών των σηµαιών και των λωρίδων που τις συνθέτουν και την κατοπινή διαίρεσή τους. Εδώ οι µαθητές µπορεί να διαπιστώσουν ότι διαφορετικά στη µορφή σχήµατα είναι πιθανό να είναι ισεµβαδικά και να αποσαφηνίσουν τη συνεπαγωγή (και όχι ισοδυναµία), ότι, δηλαδή, τα ίσα σχήµατα είναι ισεµβαδικά, χωρίς κατ ανάγκη, να ισχύει και το αντίστροφο. Η σηµαία της Ελβετίας είναι η µόνη µε λόγο των διαστάσεων της ίσο µε 1 (τετράγωνη). Η µελέτη της σηµαίας αυτής προσφέρεται να δηµιουργηθεί από τους ίδιους τους µαθητές, µεγάλων τάξεων, ίσως Λυκείου, λόγω των διαφορετικών αναλογιών που λαµβάνονται υπόψη, κατά τη σχεδίαση του εσωτερικού λευκού σταυρού. Η ίδια διδακτική τακτική προτείνεται να ακολουθηθεί και στην σηµαία του Μπαγκλαντές, αφού η διάµετρος του κύκλου ισούται µε το 1/5 του µήκους, ενώ το κέντρο του είναι το σηµείο τοµής της καθέτου, που άγεται από το 9/20 µέρος του µήκους της σηµαίας, και της οριζόντιας (παράλληλης προς το µήκος) γραµµής, που σύρεται από το µέσο του πλάτους του. 167

176 Τέλος οι δυο σηµαίες των Ηνωµένων Πολιτειών και της Ελλάδας, θεωρούνται σαν οι πλέον ιδανικές για τη µελέτη των κλασµάτων, δεδοµένου ότι παρουσιάζουν συγκριτική, κλασµατική ποικιλία, σε σχέση µε τις υπόλοιπες (εικόνα 103). Εικόνα 103. Ελληνική και αµερικανική σηµαία Η αµερικανική σηµαία, οµολογουµένως αρκετά δύσκολη στην κατασκευή της, έχει αναλογία διαστάσεων 1:1,9. Αποτελείται από 13 ισοµεγέθεις λωρίδες κόκκινες (7) και λευκές (6), που εναλλάσσονται. Το αριστερό µπλε ορθογώνιο έχει µήκος τα 2/5 του συνολικού και πλάτος τα 7/13 του συνολικού πλάτους της σηµαίας. Το πλάτος του ορθογωνίου των αστεριών είναι χωρισµένο σε 10 τµήµατα, ενώ το µήκος του σε 12. Μερικές ερωτήσεις µπορούν να αφορούν στον εντοπισµό των µικρών ορθογωνίων του πλαισίου των αστεριών ως µερών της σηµαίας. Κάποιες άλλες, για παράδειγµα, στην εύρεση της κλασµατικής µονάδας στο πλάτος ή στο µήκος του ορθογωνίου των άστρων. Ακόµα, µια καλή µαθησιακή δραστηριότητα, ίσως αποτελεί η διερεύνηση της δυνατότητας, ως προς τη µεταβολή του αρχικού λόγου των διαστάσεων (µ/π=1,9), ώστε το µπλε ορθογώνιο να µετασχηµατιστεί σε τετράγωνο (2/5µ=7/13π, δηλαδή µ/π 1,35). Κάποιες άλλες ερωτήσεις και δραστηριότητες θα αναφερθούν, ως κοινές, κατά τη µελέτη της γαλανόλευκης, που ευθύς αµέσως αναρτάται. Και κατακλείδα, ας αποτελέσει, λοιπόν, το εθνικό µας σύµβολο, το οποίο υιοθετήθηκε επίσηµα ως τέτοιο, το Η ελληνική σηµαία αποτελείται από 9 ίσες, οριζόντιες ρίγες, 5 µπλε οι οποίες εναλλάσσονται µε τις υπόλοιπες 4 λευκές. Οι 9 λωρίδες αντιπροσωπεύουν τις ισάριθµες συλλαβές της φράσης «Ελευθερία ή Θάνατος» ή ίσως, τις εννέα Μούσες, κατά µιαν άλλη εκδοχή. Ο επίσηµος λόγος των διαστάσεών της είναι 2:3. Αν υποθέσουµε ότι το πλάτος κάθε ρίγας είναι τα 2/18 του συνολικού πλάτους της σηµαίας και ότι το µήκος της είναι 27/27, τότε το µπλε αριστερό τετράγωνο έχει διαστάσεις 10/18 του πλάτους και 10/27 του µήκους. Οι ποσότητες, που παριστάνουν αυτά τα διαφορετικά κλάσµατα είναι (παραδόξως, για πολλούς µαθητές) ίσες µεταξύ τους, αφού 10/18 2/3=20/54=10/27. Το καθένα τετράγωνο του σταυρού έχει διαστάσεις 4/18 του πλάτους και 4/27 του µήκους, ενώ ο λευκός σταυρός αποτελείται από 2 ίσες κάθετες ρίγες διαστάσεων 2/27 του µήκους και 10//18 του πλάτους η µία, και 2/18 του πλάτους και 4/27 του µήκους, η άλλη. Μερικές ενδεικτικές ερωτήσεις θα µπορούσε να ήταν οι ακόλουθες: Η κάθε ρίγα ποιο µέρος ολόκληρης της σηµαίας αντιπροσωπεύει; Πόσες λωρίδες συνθέτουν τη ελληνική σηµαία; Το µπλε τετράγωνο τι τµήµα ολόκληρης της σηµαίας αντιπροσωπεύει; 168