ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΣΤΡΟΓΙΑΝΝΗΣ ΑΛΕΞΙΟΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΣΤΡΟΓΙΑΝΝΗΣ ΑΛΕΞΙΟΣ"

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗ» ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΥΝΑΜΙΚΩΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΜΑΣΤΡΟΓΙΑΝΝΗΣ ΑΛΕΞΙΟΣ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ: ΖΑΓΟΥΡΑΣ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ, ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΤΡΑ 2009

2 Η ΤΡΙΜΕΛΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ: ΖΑΓΟΥΡΑΣ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ, Καθηγητής ΠΙΝΤΕΛΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Καθηγητής ΡΑΓΓΟΣ ΟΜΗΡΟΣ, Επίκουρος Καθηγητής ιπλωµατική Εργασία που υποβάλλεται στο πλαίσιο της µερικής εκπλήρωσης των απαιτήσεων για την απόκτηση Μεταπτυχιακού ιπλώµατος στα Υπολογιστικά Μαθηµατικά- Πληροφορική στην Εκπαίδευση µε εξειδίκευση στην Κατεύθυνση «Τεχνολογίες Πληροφορικής & Επικοινωνιών στην Εκπαίδευση»

3 Στη Μαρία, Παναγιώτα, Ροδάνθη, ηµήτρη Και στην Παναγιώτα που έφυγε

4 Ευχαριστίες Ως «µετανάστης» στην ψηφιοχώρα είναι αλήθεια ότι υπερέβην τα νοητικά και ηλικιακά µου εσκαµµένα, καθότι κάθε µη γηγενής σε ένα χώρο (στην περίπτωσή µου «εικονικό») απαιτείται να καταβάλλει, συχνά, ίσως και ατελέσφορες, κοπιώδεις προσπάθειες προσαρµογής και εγκλιµατισµού του, στα νέα δεδοµένα. Βέβαια, η τύχη βοηθάει τους τυχερούς και γι αυτό τα συναπαντήµατα µου, στους χώρους του Πανεπιστηµίου Πατρών και ειδικά στο Τµήµα των Μαθηµατικών, ήταν κρίσιµα και εξέχοντα. Οι σπουδές µου στο τµήµα αυτό είναι, αποκλειστικά, «υπεύθυνες», για την ενασχόλησή µου µε τους Η/Υ και την πληροφορική, αφού εκεί µετήλθα πολλών µαθηµάτων πληροφορικού περιεχοµένου, ως προπτυχιακός και µεταπτυχιακός φοιτητής. Φυσικά, πέρα από τα γνωστικά αντικείµενα υπάρχουν οι δάσκαλοι, που τα ζωντανεύουν και τα µεταλαµπαδεύουν στους αρχικά, έστω, αδαείς. Και επειδή, κατά το Μ. Αλέξανδρο οφείλουµε το ευ ζην στους δασκάλους µας, ταυτόχρονα οφείλουµε, ίσως και να υποχρεούµαστε, να τους ευχαριστούµε και να τους ευγνωµονούµε. Θέλω, λοιπόν, ειλικρινώς, να ευχαριστήσω τον καθηγητή (µου) κ. Χαράλαµπο Ζαγούρα για την πολύπλευρη βοήθειά του όλα αυτά τα χρόνια, που υπήρξα µαθητής του, αλλά και γιατί στήριξε το πολύ επιτυχηµένο (για τα ελληνικά δεδοµένα) πρόγραµµα της επιµόρφωσης των εκπαιδευτικών στην αξιοποίηση των ΤΠΕ στην ιδακτική διαδικασία, στο οποίο συµµετείχα. Εκφράζω επίσης τις ευχαριστίες µου στα δυο υπόλοιπα µέλη της τριµελούς επιτροπής κ. Πιντέλα και κ. Ράγγο, για τις παρατηρήσεις και διορθώσεις τους, κατά τη συγγραφή αυτής της εργασίας. Τους ευχαριστώ επίσης για τις συζητήσεις (και όχι µόνο µαθηµατικού περιεχοµένου), κατά τη διάρκεια των Σπουδών µου, στο παρόν Μεταπτυχιακό Πρόγραµµα. Ακόµα θα τους ευχαριστήσω, όπως και τον κ. Ζαγούρα, γιατί οι παραδόσεις τους ήταν πάντα διανθισµένες µε χιούµορ, το οποίο, όντως χωράει στα Μαθηµατικά, παρά την περί του αντιθέτου άποψη της κοινής γνώµης. Την κ. Μ. Κορδάκη, ως µεντορά µου, που µε βοήθησε πάρα πολύ στα πρώτα µου µεταπτυχιακά και ερευνητικά βήµατα, την ευχαριστώ θερµότατα. Μάλιστα, κάποιες κατασκευές, που υλοποιήθηκαν στα πλαίσια του Ευρωπαϊκού προγράµµατος «Vccsse: Virtual Community Collaborative Space for Science Education; European Commission, Education and Training, School Education: Socrates: Comenius, through Project CP RO-COMENIUS-C21» και αναφέρονται ως παραδείγµατα στην παρούσα εργασία (σχετικές εικόνες οι 67, 78, 79, 80, 81 και 105), έγιναν µε τη συνεργασία της. Τον κ. Κόµη, επίσης ευχαριστώ πάρα πολύ, για όσα πολλά αποκόµισα από αυτόν, κατά τη µαθητεία µου στο παρόν µεταπτυχιακό, στο ΠΑΚΕ Πατρών αλλά και για τα βιβλία, που µου δάνειζε και τα οποία µε βοήθησαν πολύ, στην εκπόνηση της εργασίας µου. Τον κ. Χ. Κυνηγό αλλά και τη µαθήτρια του Πιαζέ κ. C. Kamii τους ευχαριστώ, γιατί ανταποκρίθηκαν στο αίτηµά µου και µου απέστειλαν αµέσως, κάποια άρθρα τους, τα οποία χρησιµοποίησα στη διπλωµατική µου εργασία. Τέλος, ευχαριστώ τα 3 παιδιά µου για την ευτυχία που µου χαρίζουν και τους ζητώ να µε συγχωρέσουν, επειδή όλα αυτά τα χρόνια των Σπουδών µου, και των συνεπακόλουθων απουσιών µου από το σπίτι, τους στέρησα τον πατέρα. Και φυσικά, ευχαριστώ τη σύζυγό µου, για τη στήριξή της σε µένα και στα παιδιά, για τον ελεύθερο χρόνο, που µου εξασφάλιζε, ώστε να µπορώ να διαβάζω και να προετοιµάζοµαι για τις πολλές εξετάσεις, που λάβαινα µέρος και, βέβαια, επειδή καθηµερινά µου υπενθυµίζει ότι η γνώση γι αυτούς που ευτυχούν είναι στολίδι, ενώ γι αυτούς που δυστυχούν καταφύγιο. Αγρίνιο, Πάτρα Μάρτιος 2009

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Περίληψη... ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... Α. ΕΠΙΝΟΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΕΡΓΑΛΕΙΩΝ. ΜΙΑ ΕΚΤΙΝΑΞΗ ΩΣ ΤΟΝ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ Ο άβακας Το ινδοαραβικό αριθµητικό σύστηµα Το αιγυπτιακό αριθµητικό σύστηµα Το βαβυλωνιακό αριθµητικό σύστηµα Το ρωµαϊκό αριθµητικό σύστηµα Το αρχαιοελληνικό αριθµητικό σύστηµα Ένα ινδιάνικο αριθµητικό σύστηµα Το σύγχρονο αριθµητικό σύστηµα.. 3. Τα δεκαδικά κλάσµατα 4. Οι λογάριθµοι Άλλες νεπέρειες καινοτοµίες και συσκευές Ο σύγχρονος υπολογιστής.. Β. ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΩΣ ΤΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗ. 1. Εκπαιδευτική Τεχνολογία. 2. Εκφάνσεις της εκπαιδευτικής τεχνολογίας Οι διδακτικές µηχανές Η προγραµµατισµένη διδασκαλία 2.2. Συσκευές- πηγές πληροφοριών Ο ηλεκτρονικός υπολογιστής Μαθηµατικά προβλήµατα και Υπολογιστής Το Internet ( ιαδίκτυο).. 3. ΤΠΕ στην εκπαίδευση Επιπτώσεις των ΤΠΕ στην εκπαίδευση Η διαχρονικότητα του φόβου για το άγνωστο και το καινούργιο. Γ. ΘΕΩΡΙΕΣ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ 1. Είδη εκπαιδευτικού λογισµικού Λογισµικά γενικής χρήσης 1.2. Λογισµικά εξειδικευµένου χαρακτήρα.. 2. Επίδραση των θεωριών µάθησης στη σχεδίαση εκπαιδευτικού λογισµικού O συµπεριφορισµός (µπιχεβιορισµός) Κριτική του συµπεριφορισµού 2.2. Οι γνωστικές θεωρίες Ο Piaget και o εποικοδοµισµός Ο Jerome S. Bruner O Seymour Papert.. 3. Οι κοινωνικοπολιτισµικές θεωρίες 3.1. Lev Vygotsky H θεωρία δραστηριότητας Επιδράσεις στην εκπαίδευση. σελ. 1 σελ. 3 σελ. 3 σελ. 3 σελ. 5 σελ. 6 σελ. 7 σελ. 10 σελ. 11 σελ. 14 σελ. 17 σελ. 20 σελ. 22 σελ. 25 σελ. 31 σελ. 31 σελ. 38 σελ. 41 σελ. 42 σελ. 42 σελ. 44 σελ. 45 σελ. 46 σελ. 48 σελ. 50 σελ. 55 σελ. 57 σελ. 59 σελ. 59 σελ. 59 σελ. 59 σελ. 61 σελ. 61 σελ. 63 σελ. 64 σελ. 67 σελ. 68 σελ. 70 σελ. 71 σελ. 71 σελ. 75 σελ. 77

6 3.3. Κατανεµηµένη γνώση Εµπλαισιωµένη- Εγκαθιδρυµένη γνώση Η Κοινωγνωστική θεωρια του Albert Bandura. 4. Άλλοι σηµαντικοί παιδαγωγοί, ψυχολόγοι και οι θεωρίες τους Robert Mills Gagne O David Ausubel 4.3. Άλλοι σηµαντικοί ψυχολόγοι O Gardner και οι πολλαπλοί τύποι νοηµοσύνης Εκπαιδευτικό λογισµικό Τα λογισµικά στην εκπαίδευση Κατάλογος λογισµικών γνωστικών αντικειµένων Προδιαγραφές ποιότητας εκπαιδευτικού λογισµικού.. ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ ΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 1. Λογισµικά Γεωµετρίας Γεωµετρία της χελώνας υναµικά Περιβάλλοντα Γεωµετρίας Επίπεδα γεωµετρικής σκέψης van Hiele και δυναµικά περιβάλλοντα Γεωµετρίας. Ε. ΤΟ ΥΝΑΜΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ CABRI GEOMETRY. 1. Οι δυνατότητες του λογισµικού. 2. Τύποι δραστηριοτήτων στο περιβάλλον του Cabri-Geometry II ιατυπώσεις/επαληθεύσεις εικασιών µε βάση τη µεταβολή µιας γεωµετρικής κατασκευής ιατυπώσεις/επαληθεύσεις εικασιών µε βάση τα µεταβαλλόµενα αριθµητικά δεδοµένα Επαληθεύσεις σχέσεων, µε βάση τη µεταβαλλόµενη εικόνα σε συνδυασµό µε τα µεταβαλλόµενα αριθ. εδοµένα ραστηριότητες τύπου «µαύρου κουτιού» (Black-box) ραστηριότητες πολλαπλών επιλύσεων Κατασκευή ζευγών ίσων ευθυγράµµων τµηµάτων Πιθανές Στρατηγικές λύσεις Χρήση απλών εντολών του Λογισµικού Στρατηγικές σχετικές µε τον κύκλο Στρατηγικές σχετικές µε παράλληλες ευθείες Στρατηγικές σχετικές µε τρίγωνα Κατασκευές που αντιγράφουν πραγµατικά προβλήµατα ζωής Πρόβληµα ανεύρεσης ελάχιστου αθροίσµατος Πρόβληµα που αξιοποιεί τα θεωρήµατα της εσωτερικής και εξωτερικής διχοτόµου Πρόβληµα στήριξης ιστίων Εύρεση αξόνων συµµετρίας σε κανονικά πολύγωνα και στον κύκλο ραστηριότητες εξοικείωσης.. ΣΤ. ΑΛΛΕΣ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΧΡΗΣΗΣ ΚΑΙ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΟΥ CABRI GEOMETRY II. 1. Μονάδες µέτρησης εµβαδού.. Περίληψη 1.1.Θεωρητικό πλαίσιο σελ. 78 σελ. 80 σελ. 81 σελ. 83 σελ. 83 σελ. 85 σελ. 85 σελ. 86 σελ. 87 σελ. 89 σελ. 89 σελ. 89 σελ. 91 σελ. 94 σελ. 94 σελ. 95 σελ. 97 σελ. 99 σελ. 99 σελ. 101 σελ. 102 σελ. 105 σελ. 108 σελ. 111 σελ. 114 σελ. 118 σελ. 118 σελ. 119 σελ. 119 σελ. 119 σελ. 120 σελ. 120 σελ. 121 σελ. 122 σελ. 123 σελ. 124 σελ. 128 σελ. 130 σελ. 130 σελ. 130 σελ. 130

7 1.2. υσκολίες µαθησιακά προβλήµατα Η διδακτική «εικονική» πρόταση Απειροστικός Λογισµός στο περιβάλλον του Cabri Geometry II. Μια διαχρονική προσέγγιση της εύρεσης του εµβαδού κύκλου Περίληψη Ιστορική εισαγωγή ιαχρονική προσέγγιση του εµβαδού του κύκλου Cabri Geometry II και απειροστικός λογισµός Συµπεράσµατα 3. Ευκλείδειοι µετασχηµατισµοί, για την εύρεση εµβαδών επιπέδων σχηµάτων και την απόδειξη απλών ταυτοτήτων, σε περιβάλλοντα υναµικής Γεωµετρίας.. Περίληψη 3.1. Εισαγωγή- Γεωµετρικοί Μετασχηµατισµοί 3.2. Ευκλείδεια Γεωµετρία -Ευκλείδειοι µετασχηµατισµοί 3.3. Υπολογισµός Εµβαδών µε χρήση Τεχνολογικών εργαλείων Απόδειξη ταυτοτήτων, µέσω µετασχηµατισµών 3.5. Haberdasher s Puzzle Το τάγκραµ Συζήτηση- συµπεράσµατα και προτάσεις O µετασχηµατισµός της αξονικής συµµετρίας (ανάκλασης), ως µέσο επίλυσης ανοικτών προβληµάτων Περίληψη 4.1. Θεωρητικό πλαίσιο Αξονική συµµετρία και λύση προβληµάτων υναµικές και σηµαιολογικές αναπαραστάσεις κλασµάτων. Περίληψη 5.1. Θεωρητικό πλαίσιο Οι προτεινόµενες δραστηριότητες Συµπεράσµατα 6. Η συµβολή των δυναµικών συστηµάτων γεωµετρίας στην εξάλειψη παρερµηνειών και εσφαλµένων αντιλήψεων των µαθητών. Η περίπτωση των υψών τριγώνου Θεωρητικό πλαίσιο Η βιωµατική κατασκευή Ενδεικτικές ραστηριότητες. Ζ. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ... Η. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ. σελ. 132 σελ. 133 σελ. 136 σελ. 136 σελ. 136 σελ. 138 σελ. 141 σελ. 144 σελ. 145 σελ. 145 σελ. 145 σελ. 146 σελ. 148 σελ. 150 σελ. 151 σελ. 153 σελ. 156 σελ. 157 σελ. 157 σελ. 157 σελ. 159 σελ. 163 σελ. 163 σελ. 163 σελ. 166 σελ. 169 σελ. 170 σελ. 170 σελ. 171 σελ. 172 σελ. 173 σελ. 179

8 Ο Μηχανισµός των Αντικυθήρων O πρώτος ηλεκτρονικός υπολογιστής Στο πίσω µέρος του µηχανισµού, µε τα 30 γρανάζια ακριβείας, ανακαλύφθηκαν, µε χρήση ακτίνων Χ, τα ονόµατα όλων των µηνών

9 Περίληψη Αρχικά, η παρούσα εργασία ξεκινά µια ιστορική αναδροµή, µε σταθµούς τις κεφαλαιώδεις ανακαλύψεις, οι οποίες συνέβαλαν στη γρήγορη και αποτελεσµατική εκτέλεση υπολογισµών. Από την εποχή των πρώτων υπολογιστικών συσκευών, διατρέχει αρχαίους πολιτισµούς, µέσω των αριθµητικών συστηµάτων τους, µελετά τους λογαρίθµους, αναφέρεται στην επινόηση των δεκαδικών αριθµών και καταλήγει στο σηµερινό υπολογιστή. Ακολούθως, πραγµατεύεται την έλευση της λεγόµενης εκπαιδευτικής τεχνολογίας στον εκπαιδευτικό χώρο, ενώ µελετά και τις επιδράσεις των θεωριών µάθησης, στην κατασκευή και δηµιουργία τύπων και µορφών εκπαιδευτικού λογισµικού καθώς και στη χρησιµοποίηση των ΤΠΕ στην εκπαιδευτική διαδικασία. Οι εκπαιδευτικές χρήσεις των τεχνολογιών πληροφορίας και των επικοινωνιών (ΤΠΕ) χωρίζονται αδροµερώς σε 3 κατηγορίες. Η πρώτη κατηγορία αφορά στην ανάπτυξη βασικών δεξιοτήτων και στην εξοικείωση µε την Τεχνολογία. Επίσης οι µαθητές µαθαίνουν να χρησιµοποιούν λογισµικά. Η δεύτερη περίπτωση επικεντρώνεται σε λογισµικά εξάσκησης και επανάληψης. Τέλος η τελευταία κατηγορία χρήσεων των ΤΠΕ περιλαµβάνει περισσότερο κονστρουκτιβιστικές προσεγγίσεις. Ο εποικοδοµισµός (κονστρουκτιβισµός), που αποτελεί την επικρατέστερη θεωρία της εποχής µας, επαγγέλλεται τα ενιαιοποιηµένα σχήµατα Αναλυτικού Προγράµµατος και διδακτικής παρέµβασης. Προτρέπει η µάθηση να συντελείται µέσα σε αυθεντικές καταστάσεις, οµαδοσυνεργατικά, οργανώνοντας το αναλυτικό πρόγραµµα µε θέµατα προσωπικού ενδιαφέροντος. Ακόµα, παραδέχεται ότι η γνώση δε µεταβιβάζεται, αλλά «οικοδοµείται» από το µαθητή, αφού οι νέες πληροφορίες εντάσσονται στα προϋπάρχοντα νοητικά σχήµατα, τα οποία µε τη σειρά τους τροποποιούνται, εξαιτίας βέβαια, της άφιξης των νέων δεδοµένων. Το βασικό λοιπόν αξίωµα τού κονστρουκτιβισµού είναι ότι ο άνθρωπος κατασκευάζει τη γνώση, µέσα από µια συνεχή ενεργητική διαδικασία και δεν τη δέχεται παθητικά. Οι ΤΠΕ (πρέπει να) χρησιµοποιούνται και να αξιοποιούνται στο Σύγχρονο Σχολείο. Τα µαθησιακά οφέλη τους διαχέονται µέσω των ολοκληρωµένων (ολιστικών) µοντέλων, σε όλα σχεδόν τα γνωστικά αντικείµενα. Ειδικότερα για την Πρωτοβάθµια Εκπαίδευση, είναι επιβεβαιωµένο το ενδιαφέρον των µαθητών ως προς την χρήση των ΤΠΕ, στην εκπαιδευτική διαδικασία. Σχετικά µε τα Μαθηµατικά, ο εποικοδοµισµός πρεσβεύει πως οι µαθητές εφευρίσκουν ειδικές-προσωπικές µεθόδους, κατά την επίλυση µαθηµατικών προβληµάτων και ότι η µάθηση των Μαθηµατικών συντελείται µέσα από τις προσπάθειες επίλυσής τους. Το περιβάλλον υναµικής Γεωµετρίας Cabri-Geometry II παρέχει δυνατότητες κατασκευής και πραγµατοποίησης µαθησιακών δραστηριοτήτων σύµφωνα µε τις σύγχρονες κοινωνικές και εποικοδοµιστικές θεωρήσεις για τη γνώση και τη µάθηση. Σύµφωνα µε αυτές τις θεωρήσεις, η µάθηση είναι µια ενεργητική, υποκειµενική και κατασκευαστική δραστηριότητα στην οποία καταλυτικό ρόλο παίζει το πλαίσιο συµφραζοµένων, στο οποίο πραγµατοποιείται, και ειδικότερα οι µαθησιακές δραστηριότητες και τα εργαλεία τα οποία παρέχονται προς χρήση στους µαθητές. Είναι γνωστές οι 6 τύποι ποικίλων και διάφορων διερευνητικών, διδακτικών, αλληλεπιδραστικών δραστηριοτήτων µάθησης, οι οποίες παρέχονται, µέσω των λειτουργιών και εργαλείων τού εκπαιδευτικού λογισµικού Cabri Geometry II. Μάλιστα, πολλά παραδείγµατα τέτοιων περιπτωσεων έχουν σχεδιασθεί και αναφέρονται στην παρούσα εργασία. 1

10 Ειδικότερα, οι δραστηριότητες «βιωµατικού τύπου» που µελετούν πραγµατικά προβλήµατα ζωής (real life problems) µπορούν να βοηθήσουν τους µαθητές να αναπτύξουν ισχυρό κίνητρο, για τη µάθηση των µαθηµατικών και την προσέγγισή τους, ως ανθρώπινη δραστηριότητα. Επίσης, οι µαθηµατικές έννοιες τίθενται σε ένα διεπιστηµονικό-διαθεµατκό πλαίσιο. Η αξιοποίηση του Cabri Geometry II παρέχει δυνατότητες δηµιουργίας περιβαλλόντων µάθησης, όπου µεταφέρονται αυθεντικά σενάρια πραγµατικής ζωής, ώστε να συνδεθούν οι πληροφορίες του σχολείου µε καθηµερινές καταστάσεις. Η εργασία αυτή και µε «σύµµαχο» το περιβάλλον υναµικής Γεωµετρίας Cabri-Geometry II προτείνει και τρόπους «µεταφοράς» της σχολικής γνώσης µε στόχο να αντιληφθεί ο µαθητής ότι η γνώση αυτή είναι χρήσιµη στην καθηµερινή ζωή. Για παράδειγµα κατασκευάστηκαν µια σειρά από αλληλεπιδραστικές δραστηριότητες «βιωµατικού-αυθεντικού» χαρακτήρα, για την αποσαφήνιση της έννοιας της µονάδας µέτρησης του εµβαδού, για την υποστήριξη τής µάθησης τής έννοιας τού ύψους στα τρίγωνα και της ελάχιστης απόστασης µεταξύ σηµείου και ευθείας. Ακόµα σχεδιάστηκαν δραστηριότητες που αφορούν σε µετασχηµατισµούς, σε εύρεση εµβαδών διάφορων σχηµάτων, σε αποδείξεις απλών ταυτοτήτων αλλά και σε αναπαραστάσεις κλασµάτων, µέσω της µελέτης σηµαιών διάφορων χωρών του κόσµου. Σε µια περίπτωση, οι προτεινόµενες αλληλεπιδραστικές κατασκευές και ερωτήσεις δοκιµάσθηκαν στην τάξη και προέκυψε ανατροφοδότηση, στηριζόµενη σε πραγµατικά δεδοµένα. Μάλιστα, µελετήθηκε η προστιθέµενη αξία και τα παιδαγωγικά και διδακτικά οφέλη της χρήσης των ΤΠΕ στο σχολείο, δεδοµένου ότι έγινε σύγκριση µαθησιακών δεδοµένων και αποτελεσµάτων που αντλήθηκαν µέσω παραδοσιακών µεθόδων διδασκαλίας. Τέλος, µερικές από τις κατασκευές- δραστηριότητες απέκτησαν περισσότερο δυναµικό χαρακτήρα, µέσω της «κινηµατογραφικής κίνησης» των πρωταγωνιστών τους. 2

11 ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο πρωτόγονος άνθρωπος αντιµετώπιζε µε φόβο και δέος τα φυσικά φαινόµενα, επειδή αδυνατούσε να τα εξηγήσει. Αγνοούσε ότι στη φύση επικρατεί κάποια τάξη. Τα φυσικά φαινόµενα ήταν γι αυτόν αποτέλεσµα της επενέργειας θεών, πνευµάτων και αόρατων δυνάµεων. Η φουρτουνιασµένη θάλασσα ήταν αποτέλεσµα της οργής του Ποσειδώνα, ο θάνατος συνέπεια κάποιας µαγείας, µια αίσια έκβαση κάποιου γεγονότος, αποτέλεσµα της ευµένειας κάποιου αόρατου πνεύµατος (Εξαρχάκος, 1988). Αργότερα, σταδιακά, άρχισε να κατανοεί τη φύση και έµαθε πώς να τη δαµάζει και να τη χαίρεται. Η αποκρυπτογράφηση των φυσικών φαινοµένων, η εξήγησή τους, η µέτρησή τους, η υποταγή τους σε αριθµούς ήταν κοσµοϊστορικό γεγονός και αποτέλεσε θεµέλιο των επιστηµών. Ήδη από πολύ παλιά, ο άνθρωπος, παρατηρώντας φυσικά φαινόµενα, άρχισε να υποψιάζεται την ισχύ νόµων που διέπουν τη φύση. Τέτοια φαινόµενα ήταν περιοδικά, όπως η εναλλαγή µέρας και νύχτας, οι φάσεις της σελήνης, η διαδοχή των εποχών, η περιφορά του ήλιου κ. ά. ( ηµαράς, 1971). Αυτή η παρακολούθηση τον ώθησε να προβεί σε υπολογισµούς, για να αποκωδικοποιήσει, στη συγκεκριµένη περίπτωση, την έννοια του χρόνου και τη µέτρησή του (Εξαρχάκος, 1988). Έτσι, βαθµιαία ο άνθρωπος επικεντρώνει την προσοχή του και το ενδιαφέρον του για τη µέτρηση όλων των πραγµάτων που τον περιβάλλουν. Οι εκπλήξεις, που γνώριζε από τις µετρήσεις αυτές, ήταν συναρπαστικές. Εξάλλου, η οργάνωση των κρατών συνέβαλε στην ανάπτυξη των στοιχειωδών αριθµητικών λογισµών, ώστε να µπορούν να χρησιµεύσουν στον προσδιορισµό των φόρων, στις συναλλαγές, στη ρυµοτοµία πόλεων, στην ανέγερση κτιρίων. Η ικανότητα των λαών στην αρίθµηση και στους υπολογισµούς βελτιώνεται σιγά σιγά. Οι εφαρµογές των αριθµών στις µετρήσεις συντελούν στη δηµιουργία και εδραίωση της πεποίθησης ότι η φύση υπόκειται σε τάξη. Τα µυστήρια άρχισαν να ξεδιαλύνονται και οι ανερµήνευτες φυσικές δυνάµεις, όπως και οι τρόποι µε τους οποίους δρουν, εξιχνιάζονται. Οι πέντε κεφαλαιώδεις ανακαλύψεις, που συνέβαλαν καταλυτικά και καίρια στη γρήγορη και αποτελεσµατική εκτέλεση υπολογισµών και αποτέλεσαν όλες ανεξαιρέτως, µεγάλες στιγµές των µαθηµατικών αλλά και µεγαλειώδεις σταθµοί σε κάθε σχεδόν, πτυχή της ανθρώπινης εξέλιξης, είναι κατά σειρά εµφάνισης, οι παρακάτω (Eves, 1989): ο άβακας το ινδοαραβικό σύστηµα τα δεκαδικά κλάσµατα οι λογάριθµοι και ο σύγχρονος υπολογιστής Η διερεύνηση και η ανακάλυψη των αιτιών που κρύβονται πίσω από τις κοινωνικές, οικονοµικές, πολιτικές, επιστηµονικές και κάθε είδους εξελίξεις είναι ένας από τους σηµαντικότερους λόγους, που οι άνθρωποι εκδηλώνουν ενδιαφέρον για ιστορική αναδίφηση και γνώση. Ένεκα του τρέχοντος τεχνολογικού προσανατολισµού προς τις επικείµενες αλλαγές και το µέλλον, η αγνόηση της ιστορίας αποτελεί σφαλερή προσέγγιση. Το θέµα παραµένει ακανθώδες, αφού είναι σχεδόν αδύνατο, να προγραµµατιστεί το µέλλον δίχως την εξέταση και την προσµέτρηση των µηνυµάτων του παρελθόντος. Οι ιστορικές αναλύσεις τού χθες διαφοροποιούν το µέλλον, ενώ και εκπαιδευτικά οφέλη απορρέουν, δυνητικώς, από τέτοιες µελέτες. 3

12 Μια πρόσφορη παιδαγωγική πρακτική µπορεί να βασίζεται σε ιστορικές ρίζες και να αντλεί τα θέµατα και τους στόχους της, σχετίζοντας και ενοποιώντας το παρελθόν, το παρόν και το µέλλον. Μια τέτοια προσέγγιση, µάλιστα, είναι ενδιαφέρουσα, δηµιουργεί κίνητρα για παραπέρα δραστηριοποίηση και είναι οπωσδήποτε, περισσότερο ειλικρινής (Januszewski, 2001). ιαµέσου, λοιπόν, αυτού του πρόσφορου παιδαγωγικού πρίσµατος, µια ευσύνοπτη ιστορική επισκόπηση της υπολογιστικής και εκπαιδευτικής τεχνολογίας, που ευθύς ακολουθεί, καθίσταται, αν όχι επιβεβληµένη και εξαναγκασµένη, τουλάχιστον αναγκαστική και δικαιολογηµένη. Α. ΕΠΙΝΟΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΕΡΓΑΛΕΙΩΝ. ΜΙΑ ΕΚΤΙΝΑΞΗ ΩΣ ΤΟΝ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ 1. Ο άβακας Ο άβακας (κοινώς αριθµητήριο) εφευρέθηκε το 3000 π.χ. περίπου, στη Βαβυλωνία, οριοθετώντας την απαρχή της περιόδου των µηχανικών υπολογιστικών µηχανών. Ο άβακας (εικόνα 1) ήταν και είναι ένα ξύλινο ράφι, όπου στηρίζονται οριζόντια και παράλληλα σύρµατα, τα οποία µε τη σειρά τους συγκρατούν χάντρες (Meyers, 1993). Με τη βοήθεια αυτού του πρωτόλειου υπολογιστικού µέσου, µπορούν να εκτελεσθούν όλες οι βασικές αριθµητικές πράξεις, ακόµα δε και υπολογισµοί ριζών. Πολλές παραλλαγές του άβακα έχουν εµφανιστεί ιστορικά, διαχρονικά βελτιούµενες. Αιγύπτιοι, Έλληνες, Ρωµαίοι, Ινδοί και Ασιάτες επιδίδονταν ενδελεχώς, µη φειδόµενοι χρόνου, στη βελτιστοποίηση και τελειοποίηση των υπολογιστικών µοντέλων τους, προσδοκώντας το κατασκεύασµά τους, µελλοντικά ασφαλώς, να λειτουργήσει αντιπαροχικά, κατά την πραγµατοποίηση, φυσικά, πολλών και διάφορων αριθµητικών πράξεων. Στα νέα βιβλία των Μαθηµατικών του ηµοτικού µάλιστα, που εισήχθηκαν στην ελληνική εκπαίδευση το Σεπτέµβριο του 2006, η χρήση του κάθετου άβακα, ως ιδιαίτερα βοηθητικού εποπτικού µέσου, για τη διδασκαλία του δεκαδικού συστήµατος, κρατά δεσπόζουσα θέση. Εικόνα 1. Ο γνωστός και δηµοφιλής άβακας (αριθµητήριο), κοσµούσε τα ελληνικά σχολεία, εκατέρωθεν των χρόνων της µεταπολίτευσης Επίσης, οι αρχαίοι Έλληνες ανέπτυξαν µερικές περίπλοκες, αναλογικές µηχανές. Οι αστρολάβοι ( π.χ), µπρούτζινα εργαλεία, λειτουργούσαν µε γρανάζια και δείκτες και βοηθούσαν στην πρόβλεψη των κινήσεων των αστεριών και των πλανητών (Dodig - Crnkovic, 2001). Μια τέτοια συσκευή, γνωστή ως «µηχανισµός των Αντικυθήρων» (εικόνα 2), που θεωρείται από πολλούς ως ο ηλεκτρονικός υπολογιστής της αρχαιότητας, ανασύρθηκε από ναυάγιο, που ανακαλύφθηκε το 1901, στην περιοχή του οµώνυµου ελληνικού νησιού. Έκτοτε, µαγνητίζει, προκαλεί και συναρπάζει πολλούς επιστήµονες, που έχουν αποδυθεί πεισµατικά, σε εργώδη εκστρατεία πλήρους και οριστικής αποκωδικοποίησής του. Σήµερα, γνωρίζουµε ότι αποτελούνταν από 35 οδοντωτούς τροχούς και µέσω περίπλοκων κινήσεων και στροφών, υπολόγιζαν τη θέση της σελήνης και προέβλεπαν εκλείψεις (Spinellis, 2008). ιαπιστώθηκε επίσης, 4

13 ότι έδειχνε έναν τετραετή κύκλο, σχετικά µε τους αγώνες, που διεξάγονταν στην αρχαία Ελλάδα, συµπεριλαµβανοµένων και των Ολυµπιακών Αγώνων. Τον κατάλογο των πρωτοποριακών αυτών µηχανικών υπολογιστικών µηχανών και µεθόδων συµπληρώνουν η κλεψύδρα, το ηλιακό ρολόι, που θεωρείται προποµπός των αστρολάβων, αφού αποτέλεσε τη βάση για την κατασκευή τους, οι µαθηµατικοί βαβυλωνιακοί αλγόριθµοι, το κόσκινο του Ερατοσθένη, που χρησίµευε στην εύρεση των πρώτων αριθµών, όπως και διάφορες καταπληκτικές, µηχανικές επινοήσεις και εφευρέσεις του ιδιοφυούς Αρχιµήδη. Εικόνα 2. Ο µηχανισµός των Αντικυθήρων, ο πρώτος υπολογιστής, παρέµενε «κρυµµένος» για, περίπου, 2000 χρόνια, ως µέρος ενός ναυαγίου 2. Το ινδοαραβικό αριθµητικό σύστηµα Τα αριθµητικά συστήµατα προσφέρεται να θεωρηθούν και να εξετασθούν ως ειδικού τύπου γλώσσες, ό,τι ακριβώς δηλαδή, είναι. Ειδικές γλώσσες, που αναπτύχθηκαν παράλληλα µε τις φυσικές, µε σκοπό και στόχο την αποτίµηση ποσοτήτων. Όπως και κάθε γλώσσα, τα αριθµητικά συστήµατα απαρτίζονται από ένα αλφάβητο, ένα σύνολο συντακτικών κανόνων (π.χ το µηδέν δεν τοποθετείται ποτέ πρώτο σε ακολουθίες- αρµαθιές συµβόλων τού αλφάβητου, παρά µόνο, αν είναι µόνο του) και ένα σύνολο σηµασιολογικών κανόνων ( ρόσος & Καραζέρης & Παπαδοπετράκης, 2006). Σε σχέση µε τους συντακτικούς και τους σηµασιολογικούς κανόνες τους, τα συστήµατα αυτά διαιρούνται σε: προσθετικά, όπου η σειρά γραφής των συµβόλων δεν είναι δεσµευτική, απλώς τα παρατιθέµενα αυτά σύµβολα αθροίζονται. Πρόκειται για παρελθόντων πολιτισµών κληρονοµιές, αν και σε ορισµένες, ελάχιστες, περιπτώσεις είναι ακόµα σε ισχύ, όπως για παράδειγµα, σε απαριθµήσεις τόµων έργου ή σε αποτυπώσεις ηµερολογιακών ετών, ειδικά σε επιγραφές ναών. Ήταν δύσχρηστα, δύσκολα στη µελέτη και στην πραγµάτευσή τους, απαγορευτικά στη γραφή µεγάλων αριθµών, επειδή απαιτούσαν ελιγµούς και το σπουδαιότερο ασαφή και συγκεχυµένα, αφού σε ένα σηµαινόµενο αντιστοιχούσαν πολλά σηµαίνοντα. θεσιακά. Εδώ η τάξη των ψηφίων είναι θεµελιώδους σπουδαιότητας και σηµασίας, δεδοµένου ότι η αξία κάθε ψηφίου εξαρτάται από τη θέση του, κατά το σχηµατισµό του αριθµού. Είναι τα τρέχοντα, ανώτερα αριθµητικά συστήµατα, τα οποία προσφέρουν ευλυγισία, σαφήνεια, καθαρότητα νοηµάτων και εννοιών, ενώ τα σύµβολά τους σχεδιάζονται εύκολα και συνδυαζόµενα µπορούν να παραστήσουν οποιοδήποτε αριθµό, οσοδήποτε µεγάλο. Οι πράξεις γίνονται άνετα και γρήγορα, ενώ τα «γλωσσικά σηµεία» είναι ανά δύο ξένα µεταξύ τους (λαµβανόµενα ως δισύνολα). Όλοι οι αριθµοί, ακέραιοι, κλασµατικοί και «µεικτοί», µπορούν να αναπαρασταθούν ως άθροισµα, όπου οι προσθετέοι είναι γινόµενα δυνάµεων, µιας κατάλληλα εκλεγµένης βάσης, µε διάφορους και προκαθορισµένους συντελεστές, οι οποίοι και αποτελούν το αλφάβητο του αριθµητικού συστήµατος, στα πλαίσια του οποίου παρίστανται οι αριθµοί. Η βάση λειτουργεί, ταυτόχρονα, και ως ονοµατοδότης του συστήµατος (Μαστρογιάννης & Μαλέτσκος, 2007β). Κάθε αριθµός α σε κάθε σύστηµα βάσης β, αποτυπώνεται, µονοσήµαντα, ως εξής: 5

14 a n i = aβ = α i n β n + α n-1 β n-1 + +α 2 β 2 +α 1 β 1 + α 0 β 0 (1) i= 0 όπου τα α i αποτελούν τα στοιχεία του αλφάβητου, για τα οποία ισχύει ο περιορισµός 0 α i < β (2) Ο παραπάνω συµβολισµός (1) αποτελεί και το σηµασιολογικό κανόνα σε κάθε αριθµητικό σύστηµα θέσης. Η σχέση (2) µας δηλώνει, ρητά, ότι σε κάθε σύστηµα, βάσης β, το πλήθος των στοιχείων του αλφάβητου είναι πάντα β. Αν τώρα ένας αριθµός α έχει και κλασµατικό µέρος, σε κάθε σύστηµα µε βάση β, γράφεται ως: n m i j iβ jβ µε 0 α i, b j < β i= 0 j= 1 a= a + b 2.1 Το αιγυπτιακό αριθµητικό σύστηµα Αναφορικά τώρα, µε αριθµητικά συστήµατα αρχαίων λαών, ένα από τα αρχαϊκότερα είναι αυτό των Αιγυπτίων. Ο λεγόµενος πάπυρος του Rhind (ή για άλλους πάπυρος του Ahmes) αποτελεί βασικό και πλούσιο πεδίο άντλησης πληροφοριών για τα µαθηµατικά των αρχαίων Αιγυπτίων. Χρονολογείται από το 2000 π.χ, ενώ ο Αhmes τον αντέγραψε 300 χρόνια αργότερα. Υπάρχουν περίπου 80 προβλήµατα στον πάπυρο του Rhind, που αποκρυπτογραφήθηκε, µάλιστα, το Το αιγυπτιακό σύστηµα ήταν δεκαδικό και µη θεσιακό. Το αλφάβητο αποτελούνταν από 7 διαφορετικά (ιερογλυφικά) σύµβολα αριθµών, τα οποία παριστάνονταν µε έναν πολύ απλό τρόπο και εµφανίστηκαν το 3000 π.χ. (εικόνα 3). Η γραφή γινόταν προς τα Εικόνα 3.Τα ιερογλυφικά αριθµητικά σύµβολα αριστερά και όπως σε όλα τα προσθετικά συστήµατα απουσίαζε σύµβολο για το µηδέν, αφού δεν ήταν απαραίτητο. Ένα άλλο σύστηµα αριθµού, που οι Αιγύπτιοι χρησιµοποίησαν µετά από την εφεύρεση του γραψίµατος στον πάπυρο, αποτελούνταν από τους λεγόµενους «ιερατικούς αριθµούς» (Bunt & Jones & Bedient, 1981). Οι αριθµοί γράφονταν σε µια συµπαγέστερη µορφή, αλλά απαιτούσαν πολύ περισσότερα σύµβολα για να αποµνηµονευτούν. Τα ιερατικά σύµβολα άλλαξαν κατά τη διάρκεια του χρόνου. Αρχικά, τα σύµβολα που χρησιµοποιήθηκαν, ήταν αρκετά κοντά, στα αντίστοιχα ιερογλυφικά, αλλά η µορφή τους απόκλινε κατά τη διάρκεια του χρόνου. Οι εκδόσεις των ιερατικών αριθµών που απεικονίζονται στην εικόνα 4, χρονολογούνται από το 1800 π.χ. περίπου. Τα δύο συστήµατα έτρεξαν παράλληλα για περίπου 2000 έτη, µε τα ιερατικά σύµβολα να χρησιµοποιούνται για γράψιµο στον πάπυρο, όπως παραδείγµατος χάρη, στον πάπυρο Rhind και τον πάπυρο της Μόσχας, ενώ και τα ιερογλυφικά συνέχισαν και αυτά να χρησιµοποιούνται και να χαράσσονται σε πέτρα. Στους ιερατικούς υπήρξαν 36 χωριστά σύµβολα για τους παρακάτω αριθµούς: 9 για τις µονάδες, 9 για τις δεκάδες, 9 για τις εκατοντάδες και 9 για τις χιλιάδες. Σ αυτό το σύστηµα οι αριθµοί σχηµατίζονται µέσω αυτών των παράξενων συµβόλων. Ο αριθµός 9999 είχε ακριβώς 4 ιερατικά σύµβολα, αντί για 36 ιερογλυφικά (9 σύµβολα 6

15 των 1000, 9 των 100, 9 των 10 και 9 της µονάδας). Το ιερατικό σύστηµα δεν είναι θεσιακό, έτσι τα ψηφία κάθε αριθµού θα µπορούσαν να γραφτούν σε οποιαδήποτε διάταξη. Παρακάτω, στην εικόνα 5, παρατίθενται δύο τρόποι, µε τους οποίους οι αρχαίοι Αιγύπτιοι θα έγραφαν τον αριθµό 1821, τον δηλωτικό της εθνικής µας παλιγγενεσίας λαµβανοµένης υπόψη, φυσικά, και της αντιµεταθετικής ιδιότητας, που πρέσβευε αυτό το αιγυπτιακό αριθµητικό σύστηµα. Εικόνα 4. Οι ιερατικοί αριθµοί Εικόνα 5. Αιγύπτιοι µάντεις προέβλεψαν τον ελληνικό ξεσηκωµό 2.2. Το βαβυλωνιακό αριθµητικό σύστηµα Οι Βαβυλώνιοι ανέπτυξαν ένα ελλιπές, µεικτό (προσθετικό και θεσιακό, τµηµατικά) εξηνταδικό αριθµητικό σύστηµα. Από µαρτυρίες, η επινόησή του τοποθετείται χρόνια πριν. Η δοµή του ήταν, κάπως, περίπλοκη, αφού για Εικόνα 6. Μονάδες (σφήνα) εκάδες (γωνία) να αναπαραστήσει τους αριθµούς µέχρι το 59 χρησιµοποιούσε και συνδύαζε, προσθετικά, µόνο 2 σύµβολα (εικόνα 6), δεν υπήρχε σύµβολο για το 0, ενώ η γραφή µεγαλύτερων αριθµών 7

16 επιτυγχανόταν, µέσω ενός θεσιακού συστήµατος. Για παράδειγµα, στην εικόνα 7, εµφανίζεται ο αριθµός 59 αποτυπωµένος «βαβυλωνιακά». Εικόνα 7. Ο αριθµός 59 κατά Βαβυλωνίους Τον αριθµό 60 τον συµβόλιζαν µε το ίδιο σύµβολο των µονάδων (σφήνα), τον 2 60 µε 2 σφήνες τις 10 εξηντάδες µε το ίδιο σύµβολο των δεκάδων (γωνία), ενώ π.χ τις 8 εξηντάδες µε 8 γωνίες. Έναν πολύ µεγαλύτερο π.χ. τον 2700 τον συµβόλιζαν Εικόνα 8. Ο αριθµός 2700 αλλά ίσως και ο...45 ως (εικόνα 8). Φυσικά, θα µπορούσε να εκληφθεί και ως 45. Αυτό είναι ένα από τα µειονεκτήµατα του βαβυλωνιακού αριθµητικού συστήµατος. Επίσης, και κάθε µονάδα οποιασδήποτε τάξης, όπως 60, 60 2, κλπ, συµβολιζόταν µε τη σφήνα και η σύγχυση, φυσικά, επιδεινωνόταν. Οι 4 σφήνες µπορούσε να παριστάνουν τον αριθµό 4 ή τον 63 ή τον αλλάκαι πολλούς άλλους. Για τη γραφή των αριθµών οι Βαβυλώνιοι ξεκινούσαν από τα δεξιά προς τα αριστερά. Έγραφαν τον αριθµό των απλών µονάδων (1 µέχρι 59) στα δεξιά και προχωρώντας προς τ αριστερά έγραψαν έπειτα τον αριθµό των εξηντάδων, στη συνέχεια τον αριθµό των 60 2 κ.ο.κ. Τους αριθµούς κάθε τάξης, δηλαδή από το 1 µέχρι το 59, από το 60 µέχρι το 59 60, από το 60 2 µέχρι το κ.ο.κ. τους έγραφαν θεσιακά. Στην εικόνα 9 αναπαρίσταται ο αριθµός = Εικόνα 9. Ο αριθµός Με το σύµβολο της σφήνας παρίσταναν επίσης, και τα κλάσµατα 1 1 1,, κ.ο.κ., κάτι που προσθέτει και ένα άλλο ένα µειονέκτηµα στο σύστηµα αυτό. Ο αριθµός µε µία γωνία και πέντε σφήνες, ίσως, ήταν ο 15 ή ο 14,1 ή ο 13,2 ή ο 12,3 κλπ. 8

17 Ένα άλλο µειονέκτηµα του βαβυλωνιακού συστήµατος είναι η απουσία συµβόλου για το µηδέν, καθιστώντας, έτσι, αδύνατη την επισήµανση της απουσίας µονάδων κάποιας τάξης. Τελικά γύρω στον 3ο π.χ. αιώνα, οι Βαβυλώνιοι χρησιµοποίησαν το σύµβολο Σ για να σηµειώνουν την απουσία µονάδας κάποιας τάξης (Εξαρχάκος, 1988). Αλλά και πάλι το «0» αυτό, δεν συµβόλιζε την απουσία απλών µονάδων, δεν τοποθετούνταν, δηλαδή, ποτέ τελευταίο. Τελειώνοντας την αναφορά µας στους Βαβυλώνιους, θα σταθούµε στο 1854, όταν στην περιοχή Σενκερέχ, κοντά στις όχθες του Ευφράτη, ανακαλύφτηκαν µερικές πήλινες πλάκες, γραµµένες την περίοδο µεταξύ 2300 π.χ. και 1600 π.χ. Από τις πλάκες αυτές εξάγεται το συµπέρασµα ότι οι Βαβυλώνιοι χρησιµοποιούσαν και ένα σύστηµα µε βάση το 10. Υπάρχουν ειδικά σύµβολα για τους αριθµούς 1, 10, 100, 1000, , , και επαναληπτικά µέσω των συµβόλων αυτών, µπορούσαν να αναπαρασταθούν οποιοιδήποτε αριθµοί µέχρι και το (Εξαρχάκος, 1988). Τα, κάπως αλλόκοτα, δύσχρηστα και απρόσωπα αυτά σύµβολα παρουσιάζονται στην εικόνα 10. Τέλος, παρουσιάζεται (εικόνα 11) η (γνωστή) βαβυλωνιακή πινακίδα 322 (Plimpton) στην οποία εµφανίζονται σφηνωµένοι αριθµοί του βαβυλωνιακού συστήµατος. Εικόνα 10. Έτεροι βαβυλωνιακοί αριθµοί Εικόνα 11. Βαβυλωνία αριθµών 9

18 2.3. Το ρωµαϊκό αριθµητικό σύστηµα Το αλφάβητο των Ρωµαίων αποτελούνταν από επτά µόνο, σύµβολα-ψηφία. Υπήρξαν διαφορετικά σύµβολα για τη µονάδα, το δέκα, το πενήντα, το εκατό, το πεντακόσια και το χίλια, όπως φαίνονται στην εικόνα 12. Έτσι, δεν υπήρχε κανένα άλλο σύµβολο, για 1 5 Ρωµαϊκά σύµβολα I V αναπαράσταση µεγαλύτερων αριθµών, και µπορούσαν να περιγράψουν αριθµούς µέχρι το Πάνω από 10 αυτό, υπήρχαν διάφοροι τρόποι - τεχνάσµατα, για να 50 αναπαρασταθούν οι αριθµοί αλλά κανένας, γενικά X L προκαθορισµένος (Μαστρογιάννης & Μαλέτσκος, 100 C 2007β). Οι Ρωµαίοι συνδύαζαν τα σύµβολά τους. Έτσι 500 VII σήµανε 5+1+1, δηλαδή 7. Εντούτοις, διαπίστωσαν 1000 ότι το VIIII π.χ δηµιουργούσε σύγχυση συµβολίζοντας D M το 9, έτσι εισήγαγαν µια άλλη µέθοδο, που πρόσφερε Εικόνα 12. Ρωµαϊκό αλφάβητο κοµψότητα στη γραφή τους. Εάν το Ι βρίσκεται δεξιά του V ή του Χ κλπ. προστίθεται (π.χ. το VI είναι το 6, ενώ το ΧI είναι το 11). Εάν το Ι βρίσκεται αριστερά του V, αφαιρείται (το IV είναι το 4). Ο κανόνας επιτρέπει να προστίθενται µέχρι τρεις µονάδες (VIII είναι το 8), αλλά να αφαιρείται µόνο µία (π.χ. το ΙΧ είναι το 9). Παρακάτω παρατίθενται µερικοί αριθµοί ρωµαϊστί (εικόνα 13): MMCCXXXVII MMCMXCIX MMMI MMMDCCCXLVII Εικόνα 13. ιάφοροι ρωµαϊκοί αριθµοί Αντίστροφα τώρα, ο ΜMDCCLXXXVII είναι ο αριθµός = 2787, ενώ ο MCMXCIX είναι ο Μ CM XC ΙΧ ή ( ) + (100-10) + (10-1), δηλαδή, ο Πάντως, δεν υπάρχει αντιστοιχία µεταξύ «µήκους» αριθµού και ποσότητας που αποτιµά, αφού το σε σχέση µε το ακριβώς προηγούµενο παράδειγµα, παρίσταται, εύκολα, ως ΜΜ. Οι Ρωµαίοι συµφωνούσαν σχετικά, για τη γραφή αριθµών, µε τη χρήση των συµβόλων για τους αριθµούς 1, 5, 10, 50, 100, 500 και 1000, αλλά για αριθµούς µεγαλύτερους από το 3999, µεταχειρίζονταν διάφορα τεχνάσµατα. Οποιοδήποτε σύµβολο, µε µια οριζόντια γραµµή πάνω από αυτό, συµβόλιζε τον αριθµό πολλαπλασιασµένο επί χίλια. ηλαδή, το σύµβολο L αναπαριστούσε τον αριθµό ( ), ενώ το Mήταν ισοδύναµο του ( ). Αν το σύµβολο του αριθµού τοποθετούνταν σε «απόλυτη τιµή» ( ), τότε οι αριθµός αυξανόταν 100 φορές. Ακόµα, υπήρχαν και τα σύµβολα: X, L, D, όπου ο περικλειόµενος αριθµός πολλαπλασιαζόταν επί ( ). Το L, άρα, σήµαινε = Φυσικά, οι ρωµαϊκοί αριθµοί παραµένουν σε ισχύ µέχρι σήµερα, αφού είναι οι αριθµοί του αδυσώπητου χρόνου και των ωρολογοποιών. Χρησιµοποιούνται, επίσης, σε διάφορες απαριθµήσεις. 10

19 Ως κατακλείδα, θα επισηµανθεί ότι το ρωµαϊκό σύστηµα αρίθµησης ήταν αρκετά δύσχρηστο και στρυφνό, ειδικά στην πραγµάτευση ακόµα και µεσαίου µεγέθους αριθµών (η παρακάτω εικόνα 14 είναι διαφωτιστική και αποκαλυπτική). Η εκτέλεση πράξεων δε, ήταν αδύνατη και οι Ρωµαίοι, αναγκαστικά, κατέφευγαν στον άβακα, το αριθµητήριο της εποχής τους (Bunt & Jones & Bedient, 1981). CCMXXXVIDCLXXVIII = Εικόνα 14. Ευκολότερο ήταν για τους Ρωµαίους να ανέβουν στην Αίτνα, παρά να διαβάσουν τούς αριθµούς τους!! 2.4. Το αρχαιοελληνικό αριθµητικό σύστηµα Στον ελληνικό χώρο, γύρω στο 1600 π.χ, χρησιµοποιείται ένα είδος γραφής, που ονοµάζεται «Γραµµική Α». Αν και η Γραµµική Α δεν αποκρυπτογραφήθηκε, δεν έγινε το ίδιο και µε αριθµητικό της σύστηµα. Πρόκειται για δεκαδικό σύστηµα. Οι µονάδες αναπαρίστανται σ αυτό µε κάθετες γραµµές, οι δεκάδες µε κουκκίδες, οι εκατοντάδες µε λοξές γραµµές και οι χιλιάδες µε ρόµβους (Εξαρχάκος, 1988): 1 10, 100, 1000 Για παράδειγµα, ο 8 αναπαριστανόταν ως και ο 75 ως ενώ ως εικονιζόταν ο Από το 1300 π.χ. όµως, καθιερώνεται µια άλλη γραφή, που ονοµάζεται «Γραµµική Β» η οποία αποκρυπτογραφήθηκε το Πρόκειται, πάλι για δεκαδικό σύστηµα (Εξαρχάκος, 1988). Το αλφάβητο ήταν: Έτσι, ο αριθµός παριστανόταν από τον παρακάτω συνδυασµό ως: Φυσικά, και εδώ έλειπε δηλωτικό σύµβολο-ψηφίο, για την ανυπαρξία ποσοτήτων. Ένα άλλο αριθµητικό σύστηµα, το ακροφωνικό, ήταν σε χρήση την πρώτη χιλιετία π.χ. «Ακροφωνικό» σηµαίνει ότι τα σύµβολα για τους αριθµούς προέρχονται από το αρχικό γράµµα τού ονόµατος του αριθµού (γραµµένος ολογράφως, δηλαδή). Εδώ είναι τα σύµβολα για τους αριθµούς 5, 10, 100, 1000, 10000, που αποτελούσαν και το αλφάβητο τού ακροφωνικού συστήµατος (εικόνα 14α), µαζί µε το σύµβολο τής µονάδας ( ) (Εξαρχάκος, 1988; Bunt & Jones & Bedient, 1981; Παπαδοπετράκης, 2006). 11

20 Εικόνα 14α. Το ακροφωνικό αλφάβητο Παρακάτω, φαίνονται (εικόνα 14β), οι 10 πρώτοι αριθµοί του ακροφωνικού, που οιστρηλάτησαν, µάλλον, αργότερα τα µυαλά των Ρωµαίων Μαθηµατικών. Εικόνα 14β. Οι 10 πρώτοι αριθµοί του ακροφωνικού ιάφοροι συνδυασµοί, τώρα, επινοούνταν για τους µεγαλύτερους αριθµούς, προς αποφυγή σιδηροδροµικών καταστάσεων και επιπλοκών. Όπως φαίνεται στην εικόνα 15 η οποία ακολουθεί, τα σύµβολα, όταν περικλείονταν από το σύµβολο του 5, πολλαπλασιάζονταν επί 5. Εξάλλου, αφού δεν υφίστατο καµία θεσιακή θεώρηση στο σύστηµα, δεν υπήρχε φυσικά, καµία ανάγκη για µηδέν. Εικόνα 15. Μερικά πενταπλάσια Ακόµα, ένα άλλο σύστηµα, το ιωνικό, δηµιουργήθηκε από τους Έλληνες της Ιωνίας γύρω στα µέσα του 5ου π.χ. αιώνα. Επειδή για την παράσταση των αριθµών χρησιµοποιούνται γράµµατα του ελληνικού αλφαβήτου, ονοµάστηκε και αλφαβητικό σύστηµα αρίθµησης. Θεωρείται και ως προάγγελος του Ινδοαραβικού συστήµατος, που χρησιµοποιούµε σήµερα, αφού ήταν και το πλέον τελειοποιηµένο σύστηµα γραφής αριθµών, πριν από την επικράτηση του σηµερινού (Εξαρχάκος, 1988). Το σύστηµα αυτό διατηρήθηκε ως το µοναδικό αριθµητικό σύστηµα, µέχρι και το τέλος της βυζαντινής περιόδου. Ως αλφάβητο χρησιµοποιεί τα 24 γράµµατα του ελληνικού αλφάβητου και ακόµα 3 παλαιότερα, που είχαν πέσει σε αχρηστία (ή ίσως και να επινοήθηκαν για να καλύψουν το κενό). Τα τρία επιπρόσθετα γράµµατα (το στίγµα δίγαµµα για το 6, το κόππα για το 90 και το σαµπί για το 900), µαζί µε τα 24 γνωστά, εµφανίζονται στην εικόνα 16. Για να ξεχωρίζουν τα γράµµατα ως σύµβολα αριθµών από τα γράµµατα λέξεων, πάνω δεξιά από κάθε γράµµα που παρίστανε κάποιον αριθµό, ζωγραφιζόταν µια οξεία π.χ. το γράµµα ε Εικόνα 16. Ιωνικοί αριθµοί παρίστανε το 5, το γράµµα ς (ή και στ ) το 6, τα γράµµατα κδ' το 24 τα ρξθ το 169 τα χνβ το 652 κ.ο.κ. Για το µηδέν δε χρειαζόταν και δεν απαιτούνταν σύµβολο. 12

21 Για τη γραφή µεγάλων αριθµών έως το 9999, χρησιµοποιούσαν διάφορα τεχνάσµατα, τα οποία στηρίζονταν σε πολλαπλασιαστικές αρχές. Μια µικρή γραµµή κάτω αριστερά από κάποιο γράµµα σήµαινε ότι ο αριθµός, που συµβόλιζε το γράµµα αυτό, πολλαπλασιαζόταν επί Π.χ. ο,ηυνγ είναι ο αριθµός Για πολύ µεγάλους αριθµούς χρησιµοποιούσαν το γράµµα Μ, που παρίστανε το , µε κάποια γράµµατα στο πάνω µέρος του, τα οποία δήλωναν πολλαπλασιασµό. Π.χ. το σύµβολο Μ, µε το γ να υπερίπταται αυτού, ήταν ο αριθµός =30.000, ενώ ο ήταν ο αριστερά εµφανιζόµενος συµβολο-αριθµός. Για µια, ασφαλώς, δύσκολη απόπειρα γραφής πολύ µεγάλου αριθµού, θα καταφεύγαµε, οπωσδήποτε, στον Αρίσταρχο και στον Απολλώνιο οι οποίοι, ως και εκ των εικόνων 17 και 18 τεκµαίρεται, ήταν δεξιοτέχνες στην αριθµογραφή. Εικόνα 17.Ο αριθµός του Αρίσταρχου Μερικές φορές, ο αριθµός, που πολλαπλασιαζόταν µε το Μ=10.000, τοποθετούνταν αριστερά και το σηµάδι των χιλιάδων πάνω αριστερά. Εικόνα 18. Χαι η πρόταση του Απολλώνιου για αναπαράσταση θηριωδών αριθµών Το αριθµητικό σύστηµα αυτό, το ιωνικό, θα µπορούσε να αναπαραστήσει όλους τους αριθµούς, που προέκυπταν στην κανονική, καθηµερινή ζωή. Οι µαθηµατικοί, εντούτοις, θέλησαν να επεκτείνουν το σύστηµα, για γραφή, δηλαδή, πολύ µεγάλων αριθµών. Μία τέτοια απόπειρα αποδίδεται στον Αρχιµήδη και άλλη µία, 50 χρόνια αργότερα, στον Απολλώνιο. Ο δεύτερος εργάστηκε µε δυνάµεις της µυριάδας (10.000). Ένα Μ (µύρια) µε ένα α υπερυψωµένο, αντιπροσώπευε το , ενώ Μ µε β στην ίδια θέση αντιπροσώπευε το Μ 2, δηλαδή το κλπ. Ο αριθµός που πολλαπλασιάζεται µε , κλπ. γράφεται µετά το Μ, ενώ το σύµβολο «χαι» ( µάλλον και) γράφεται µεταξύ των µερών του αριθµού δηλώνοντας, φυσικά, πρόσθεση. Έτσι ο , της προηγούµενης εικόνας, προκύπτει από: ( ) + ( ) = Ο Αρχιµήδης σχεδίασε ένα παρόµοιο σύστηµα, αλλά αντί να χρησιµοποιήσει το = 10 4, σαν βασικό αριθµό υψωµένο σε διάφορες δυνάµεις, χρησιµοποίησε το = 10 8 υψωµένο σε δυνάµεις. Εφαρµόζοντας αυτό το σύστηµα ο Αρχιµήδης υπολόγισε ότι ο αριθµός των κόκκων της άµµου, που θα µπορούσαν να χωρέσουν στο σύµπαν, ήταν της τάξης των (το είναι γνωστός και ως «ο αριθµός του Αρχιµήδη»). Ακόµα, κάθε λέξη στην αρχαία Ελλάδα ήταν συγχρόνως και ένας λεξάριθµος, η «αριθµητική αξία» των λέξεων ή προτάσεων δηλαδή, που ήταν ο αριθµός που προερχόταν από το άθροισµα της αριθµητικής αξίας των γραµµάτων της. Η συνήθεια αυτή ήταν πολύ διαδεδοµένη εκείνη την εποχή. Σε κάθε γράµµα της λέξης αντιστοιχούσε ο αριθµός τον οποίο συµβόλιζε. Στη συνέχεια, σαν σε παιχνίδι, 13

22 προσθέτονταν όλοι αυτοί οι αριθµοί και το άθροισµα έδινε την αριθµητική αξία της λέξης ή και πρότασης. Ακόµη και ο αριθµός του Αντίχριστου στην Ιερά Αποκάλυψη, προέκυψε βάσει του ελληνικού, ιωνικού συστήµατος αρίθµησης. «Ό έχων νουν ας υπολογίσει τον αριθµόν του θηρίου αριθµός ανθρώπου είναι και ο αριθµός αυτού χξς». Σύµφωνα µε µια εκδοχή, ο 666 προήλθε από το άθροισµα των αριθµών που παρίσταναν τα γράµµατα της λέξης Λατείνος. Οι Ρωµαίοι (Λατίνοι) ήταν οι κατακτητές την εποχή της συγγραφής της Αποκάλυψης, αυτοί που επιδόθηκαν µάλιστα σε θηριώδεις διωγµούς εναντίον των Χριστιανών (Εξαρχάκος, 1988). Κατά µια δεύτερη εκδοχή, είναι η αριθµητική αξία της λέξης «Ιαπετός». Κατά την ελληνική µυθολογία, ο Προµηθέας, γιος του Ιαπετού, δηµιούργησε από πηλό το ανθρώπινο γένος. Όπως και στην πρώτη (παραλλαγµένη) περίπτωση, οι πρώτοι χριστιανοί έβλεπαν στο πρόσωπο των «Ελληνιστών», αυτών δηλαδή, που πρέσβευαν το αρχαίο ελληνικό πνεύµα, τον Αντίχριστο, το θηρίο που πρόκειται να εµφανιστεί, για να καταπολεµήσει τη Βασιλεία του Χριστού Ένα ινδιάνικο αριθµητικό σύστηµα Τέλος, οι Μάγια, που είχαν αναπτύξει το λαµπρότερο πολιτισµό του υτικού Ηµισφαιρίου, χρησιµοποιούσαν στους υπολογισµούς τους ένα προηγµένο, θεσιακό, εικοσαδικό σύστηµα. Είναι σχεδόν βέβαιο ότι η αιτία για τη βάση 20 αλλά και για την επικράτηση του σηµερινού δεκαδικού, προέκυψε από τους αρχαίους ανθρώπους, οι οποίοι βασίζονταν και αξιοποιούσαν τα δάχτυλά των χεριών ή και των ποδιών τους. Το αλφάβητο των Μάγια περιλάµβανε µόνο 3 σύµβολα, µία κουκκίδα για τη µονάδα, µία µπάρα για το 5 και ένα οβάλ σύµβολο για το 0. Με συνδυασµό αυτών των συµβόλων και µόνο, προέκυπταν τα παρακάτω ψηφία (Εικόνα 19). Εικόνα 19. Οι πρώτοι 20 αριθµοί των Μάγια Επειδή η βάση του αριθµητικού συστήµατος ήταν το 20, οι µεγαλύτεροι αριθµοί γράφονταν, βέβαια, ως δυνάµεις του 20. Παρακάτω εµφανίζονται οι αριθµοί της τρίτης δεκάδας (Εικόνα 20): Εικόνα 20. Η Τρίτη δεκάδα των Μάγια 14

23 Οι αριθµοί γράφονταν από κάτω προς τα πάνω. Άρα ο αριθµός 56 θα γραφόταν ως , δηλαδή ως: 2 16 ενώ ο 3263 = ως: Φυσικά ο αριθµός είναι ο = Είναι, σχετικά, εύκολο να προσθέσουµε και να αφαιρέσουµε στο σύστηµα των Μάγια. Εδώ, ένα παράδειγµα µιας απλής πρόσθεσης ( =19.874): = Όπως εύκολα διαπιστώνεται, η πρόσθεση είναι, ακριβώς, µία άθροιση κουκκίδων και γραµµών. 15

24 Και τελειώνουµε µε µια παραξενιά, µια ιδιοτροπία του ινδιάνικου αυτού συστήµατος. Κατά τον υπολογισµό του χρόνου, το σύστηµα ήταν ελαφρώς διαφορετικό και µη θεσιακό. Σε αυτήν την περίπτωση στην τρίτη θέση, αντί για πολλαπλασιασµό µε το 400, τη δεύτερη δύναµη του 20 δηλαδή, υπήρχε διαφοροποίηση και το 20 2 αντικαθιστούνταν από το 360. Προφανώς, οι Μάγια ευθυγραµµίζονταν έτσι, µε τις 360 µέρες, που πίστευαν ότι περιέχονταν σ ένα έτος. Κατά συνέπεια, η αποτύπωση σε στυλ Μάγια του ηµερολογιακού µας έτους (2009) θα είναι: ( = 2009). Ενώ, η πτώσης της Κωνσταντινούπολης (1453) αποδίδεται ως: ( =1453. Για γενική εποπτεία, η εικόνα 21 παρουσιάζει διάφορα αριθµητικά σύµβολα αρχαίων πολιτισµών, που αποδίδουν 11 συχνόχρηστους σήµερα αριθµούς ( ιασκευή από: Εικόνα 21. Ποικίλα αριθµητικά σύµβολα 16

25 2.6. Το σύγχρονο αριθµητικό σύστηµα Το ινδοαραβικό αριθµητικό σύστηµα προήλθε από την Ινδία και ήταν θεσιακό και δεκαδικό, ιδιότητες που του προσέδωσαν ισχυρό και δυναµικό πλεονέκτηµα, ως προς την επιτελεσθείσα επικράτησή του. Μάλιστα, το δεκαδικό αναδείχθηκε νικητής στην κούρσα της υιοθέτησης αριθµητικού συστήµατος, από τις ανθρώπινες κοινωνίες, εξαιτίας και της θεµελιώδους ανθρώπινης εµπειρίας (Εξαρχάκος, 1988), του µετρήµατος δηλαδή, µε τα 10 δάχτυλα. Το σύστηµα αυτό επινοήθηκε από τους Ινδούς και αργότερα µεταφέρθηκε στη υτική Ευρώπη, από τους Άραβες, εξού και το όνοµά του. Οπωσδήποτε πριν το 800 µ.χ., εισήχθηκε και η θεµελιώδης ιδέα της αξίας της θέσης (Εves,1989). Τούτο συµπεραίνεται από το περίφηµο βιβλίο µε τίτλο: «Hisab aljabr w almuqabala», δηλαδή «το βιβλίο της αποκατάστασης και εξισορρόπησης» του Πέρση µαθηµατικού και συγγραφέα Abu Jafar Mohammed ibn Musa Αl-Khowarizmi ( ), όπου και περιγράφεται λεπτοµερώς το ινδικό αριθµητικό σύστηµα. Το όνοµα του Άραβα συγγραφέα σήµαινε ο Μωάµεθ ο πατέρας τού Τζαφάρ και ο γιος τού Μούσα, ο Κ(χ)οβαρισµιάνος (όπου Κ(χ)οβαρίσµι ήταν µια πόλη, νότια της λίµνης Αράλης, γνωστή και µε το αρχαιοελληνικό όνοµα Χωρασµία). Επιπλέον, ο Πέρσης αυτός, µεγάλος µαθηµατικός της εποχής του, ονοµατοδότησε και το µεγάλο κλάδο των µαθηµατικών, εννοούµε, φυσικά την Άλγεβρα, αφού µέσω λατινικών γλωσσικών επεµβάσεων και παρεµβάσεων το aljabr µετεξελίχθηκε σε Άλγεβρα. Ακόµα, υπήρξε ανάδοχος και της ακολουθίας πεπερασµένων βηµάτων (εντολών), η οποία υποδεικνύει τον τρόπο ολοκλήρωσης και επίτευξης µιας συγκεκριµένης διαδικασίας, δηλαδή του αλγόριθµου, µέσω της επιµελούς παραφθοράς, µέρους τού ονόµατός του. Τα ινδοαραβικά ψηφία-σύµβολα µε ενδιάµεσο σταθµό την Ισπανία ξεχύθηκαν και κατέκτησαν τελικά, σταδιακώς, την Ευρώπη. Κεφαλαιώδης ήταν η συµβολή τού Γάλλου µαθηµατικού Ζερµπέρ (µετέπειτα πάπας Συλβέστρος ΙΙ), ο οποίος στα µέσα του 10ου αιώνα επισκέφθηκε την αραβοκρατούµενη, τότε Ισπανία. Η οξυδέρκειά του τον οδήγησε στην, αναφανδόν βεβαιότητά του, περί της υπεροχής και των πλεονεκτηµάτων, που περιέκλειαν αυτά τα σύµβολα, και το εν γένει αριθµητικό σύστηµα, που δοµούσαν και εξέφραζαν. Τελικά, ύστερα από µια µακρά περίοδο 250 χρόνων προστριβών, αγκυλώσεων, ανασφαλειών και πεισµατικών αντιδράσεων, όπως συχνά συµβαίνει στην υιοθέτηση κάθε τι καινούργιου, το βιβλίο Liber Abbaci του Fibonacci, το οποίο εκδόθηκε το 1202, στην Πίζα (Τσαµάτος, 2004), αποτέλεσε το κύκνειο άσµα των συντηρητικών και αρνούµενων να ευθυγραµµιστούν µε τις επιβεβαιωµένες επιταγές της κοινής λογικής που, ανενδοίαστα και αταλάντευτα, συνηγορούσε υπέρ της κατίσχυσης του νέου αριθµητικού συστήµατος. Το βιβλίο αυτό, που άσκησε µεγάλη επίδραση σε επιστήµονες και εµπόρους στην εποχή του, (Bunt & Jones & Bedient, 1981), εισήγαγε και καθιέρωσε το δεκαδικό σύστηµα και τους αραβικούς αριθµούς στην Ευρώπη, αφού µε το περιεχόµενο του θρυµµάτισε κάθε θύλακα αντίστασης των πολέµιων του αριθµητικού αυτού νεωτερισµού. Παρενθετικά, µπορεί να αναφερθεί ότι στο βιβλίο αυτό ο Fibonacci εισήγαγε και µιαν ακολουθία, που είναι γνωστή ως «αριθµοί Fibonacci», προς τιµή του. Οι όροι της ορίζονται από τις σχέσεις: α 1 =0, α 2 =1 και α ν =α ν-1 +α ν-2, µε ν 3. Μάλιστα, ισχύει lim α ν+1 /α ν = ( 5+1)/2=1,618, όταν ν. Οι αρχαίοι Έλληνες παρήγαγαν τη διασηµότερη κλίµακα της ιστορίας, το χρυσό µέσο ή χρυσή τοµή. Αν ΑΒ ένα ευθύγραµµο τµήµα, τότε πώς πρέπει να διαιρεθεί από ένα εσωτερικό του σηµείο Γ, έτσι ώστε ΑΓ/ΑΒ=ΓΒ/ΑΓ, δηλαδή ο λόγος των δυο τµηµάτων ΑΓ και ΓΒ να είναι ίσος µε το λόγο του µεγαλύτερου 17

26 τµήµατος ως προς το αρχικό ευθύγραµµο τµήµα; Η αναλογία αυτή ισούται µε το τον άρρητο αριθµό φ=1,618 Η ακολουθία 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,, x, y, x+y, του Fibonacci εµφανίζεται σε πολλές αξιοσηµείωτες και απροσδόκητες περιπτώσεις (Eves, 1989). Συναντάται, για παράδειγµα, στο πρόβληµα-γρίφο: «Πόσα ζευγάρια κουνέλια µπορούν να γεννηθούν από ένα ζευγάρι, µέσα σ ένα χρόνο, αν κάθε ζευγάρι γεννά κάθε µήνα ένα νέο ζευγάρι, που από το 2ο µήνα αρχίζει και αυτό να γίνεται παραγωγικό»; Ακόµα έχει εφαρµογές σε προβλήµατα διαχωρισµού, στον πολλαπλασιασµό µελισσών, στην φυλλοταξία στην ελικοειδή, δηλαδή, τάση στη φύση, όπου τα κλάσµατα που αντιπροσωπεύουν την ελικοειδή διευθέτηση των φύλλων στα λουλούδια (µετρώντας τις καµπύλες που πηγαίνουν σύµφωνα µε τους δείκτες του ρολογιού προς αυτές που πηγαίνουν αντίθετα), αποτελούν, σχεδόν πάντοτε, µέλη της σειράς τού Fibonacci (Weyl, 1991). Επιπλέον, γνωρίζουµε, ότι ο αριθµός αυτός, της χρυσής τοµής, εµφανίζεται και στο αρχαίο θέατρο της Επιδαύρου, σε σχέση µε τον αριθµό των θέσεων, στα δύο διαζώµατα. Επίσης, η χρυσή τοµή προκύπτει και ως το πηλίκο του πλάτους προς το ύψος του Παρθενώνα. Στην πυραµίδα της Γκίζας, στον πάπυρο του Rhind, σε αγάλµατα και πίνακες της Αναγέννησης παρουσιάζεται, επίσης, ο «ιερός λόγος». Ο αριθµός αυτός της χρυσής τοµής εµφανίζεται, λοιπόν, σε πολλές περιπτώσεις και αναδεικνύει την καλαισθησία, προσφέρει αισθητική απόλαυση, τέρποντας την όραση. Πάντως, οι ινδοαραβικοί αριθµοί, υπόστηκαν πολλές και σηµαντικές αλλαγές, στο πέρασµα των αιώνων, όπως µας πληροφορεί, αναλυτικά, η παρακάτω εικόνα 22 (Πηγή: Εικόνα 22. ιαχρονικές, ινδοαραβικές συµβολο- µεταµορφώσεις Αξιοσηµείωτο και αξιοπερίεργο όµως, είναι το γεγονός ότι τα σύµβολα, που χρησιµοποιούν σήµερα, οι κάτοικοι των αραβικών περιοχών, για την γραφή αριθµών είναι τελείως διαφορετικά από αυτά, που κληροδότησαν στη ύση. Η εικόνα 23 είναι διαφωτιστική και κατατοπιστική, εκθέτοντας κατ αντιστοιχία, τα τρέχοντα αραβικά σύµβολα µε τα σύγχρονα δυτικά. 18

27 Εικόνα 23. Σύγχρονα και παλαιά αραβικά σύµβολα αριθµών Επίσης, αναφοράς χρήζει και το σύµβολο-ψηφίο, που υιοθετήθηκε για να περιγράψει το µηδέν, σύµβολο, που δηµιουργήθηκε τελευταίο στη σειρά, αν και πρώτο στη διάταξη. Η ανακάλυψη του µηδενός, όπως προαναφέρθηκε, µαρτυρείται από τα χρόνια των αρχαίων Βαβυλωνίων αλλά και των Μάγια. Η πρώτη γραπτή µαρτυρία, όσον αφορά στο µηδέν, βρίσκεται σε µια ινδική επιγραφή του 876 µ.χ. Σίγουρα όµως, οι Ινδοί χρησιµοποιούσαν ειδικό σύµβολο για το µηδέν από πολύ νωρίτερα (Εξαρχάκος, 1988). Πιθανότατα επινοήθηκε το 500 µ.χ περίπου, µε ινδικές και πάλι καταβολές. Η αγγλική λέξη «zero» προέρχεται από τη λατινική «zephiirum», που εξελίχθηκε από τη αραβική «as-sifr», που και αυτή µε τη σειρά της προήλθε από τη σανσκριτική λέξη «sunya», που χρησιµοποιούνταν στην Ινδία, ήδη από τον πέµπτο αιώνα, για να δειχθεί η κενή στήλη στον άβακα. Μάλιστα, η ελληνική λέξη τζίφος είναι οµόρριζη της sifr (Εves, 1989). Πάντως ο Αl-Khowarizmi σ ένα άλλο ολιγοσέλιδο βιβλίο του, που µελετά την αριθµητική των Ινδών, προτείνει στις αφαιρέσεις µε µηδενικό υπόλοιπο να σηµειώνεται ένας µικρός κύκλος (Bunt & Jones & Bedient, 1981), ως δηλωτικό του «τίποτα», διότι διαφορετικά η θέση θα µένει αδειανή µε ορατό κίνδυνο έτσι, τις παρανοήσεις και την ασάφεια, αφού οι θέσεις θα λιγοστεύουν και δε θα είναι ευκρινής η σειρά τους. Κατά µιαν άλλη εκδοχή, το ειδικό σύµβολο «0» για το µηδέν, επινοήθηκε από τον Έλληνα µαθηµατικό και αστρονόµο Πτολεµαίο τον Κλαύδιο ( µ.χ.), που το χρησιµοποίησε για πρώτη φορά στο έργο του, γνωστό και ως «Αλµαγέστη» (Εξαρχάκος, 1988). Μάλιστα, το σύµβολο αυτό προτάθηκε, εξαιτίας της θέσης του ως πρώτο γράµµα στη λέξη «ουδέν». Ο Πτολεµαίος, ως Έλληνας, εύκολα, αβίαστα και ευεξήγητα, φαίνεται να οδηγήθηκε σ αυτόν τον παραλληλισµό και συσχετισµό. Τέλος, η ανεκτίµητη σηµασία και σπουδαιότητα της ανάπτυξης του αριθµητικού θεσιακού συστήµατος αναδεικνύεται και καταξιώνεται µε τον καλύτερο τρόπο, µέσα από το παρακάτω παρατιθέµενο απόσπασα του Pierre Simon Laplace ( ), ο οποίος εύστοχα και αφοπλιστικά παρατήρησε: «Ήταν η Ινδία που µας έδωσε την αφελή µέθοδο παράστασης όλων των αριθµών, µέσω δέκα συµβόλων, µε κάθε σύµβολο να λαµβάνει µιαν αξία ανάλογα µε τη θέση του, καθώς επίσης και µιαν απόλυτη αξία. Η ιδέα αυτή ήταν βαθιά και σηµαντική, αν και εµφανίζεται τόσο απλή σε µας τώρα, αφού µάλλον αγνοούµε την αληθινή της αξία. Αυτή η απλότητά της και η µεγάλη ευκολία, που έχει επιφέρει σε όλους τους υπολογισµούς, τοποθετεί την αριθµητική µας στην πρώτη τάξη των χρήσιµων εφευρέσεων. Οπωσδήποτε, θα εκτιµήσουµε το µεγαλείο αυτού του επιτεύγµατος, αν αναλογιστούµε ότι δραπέτευσε της µεγαλοφυΐας του Αρχιµήδη και του Απολλώνιου, δύο από τα µεγαλύτερα µυαλά, µε τα οποία προικίστηκε η αρχαιότητα» (Eves, 1988). 19

28 3. Τα δεκαδικά κλάσµατα Πολυγραφότατος και ευρείας επιστηµονικής γκάµας ενδιαφερόντων ο ολλανδόφωνος Simon Stevin (εικόνα 24) συνεισέφερε σε πολλές και ποικίλες επιστηµονικές περιοχές (φυσική, µηχανική µαθηµατικά, τεχνολογία, ναυσιπλοΐα, οικονοµική θεωρία, γλωσσολογία, µουσική, κλπ), χάρις στις πλούσιες µαθηµατικές του γνώσεις και ικανότητες (Devreese & Berghe, 2008). Ο Simon Stevin ( ) ήταν Φλαµανδός µαθηµατικός και µνηµονεύεται, πέραν των πολλών άλλων επιστηµονικών κατορθωµάτων του, και για τον πετυχηµένο αγώνα του περί της εισαγωγής των δεκαδικών κλασµάτων στην καθηµερινότητα του ευρέος κοινού και, κατ επέκταση, στην ευκολία εκτέλεσης αριθµητικών υπολογισµών. Η προσπάθειά Εικόνα 24. Simon Stevin ( ) του αυτή, βέβαια, απέδωσε καρπούς, σχετικώς καθυστερηµένα, κατά τη διάρκεια των χρόνων της γαλλικής επανάστασης, γεγονός που ουδόλως, φυσικά, δε µειώνει τη σπουδαιότητά της. Ακόµα, µεταξύ των άλλων, ο Stevin ανέτρεψε την εσφαλµένη πεποίθηση του Αριστοτέλη ότι τα βαρύτερα σώµατα πέφτουν γρηγορότερα από τα ελαφρύτερα, ενώ τερµάτισε και την αρχαία ελληνική διάκριση, µεταξύ του αριθµού και του µεγέθους, που αυτός αντιπροσωπεύει. Το πόνηµα, που του χάρισε την αιωνιότητα, σχηµατίζει ποσά αντιστρόφως ανάλογα, ως προς τη σχέση µεγέθους του και επιτυχίας του. Πρόκειται για ένα, 36 σελίδων βιβλιαράκι, που εκδόθηκε στα ολλανδικά και γαλλικά το 1585 και µεταφράστηκε στα αγγλικά, το 1608 (εικόνα 25). Ο αρχικός τίτλος ήταν «De Thiende», που σηµαίνει «εκάτη». Παραδόξως η γαλλική του µετάφραση «La Disme» δεν ξεπερνούσε τις 7 σελίδες. Ο όρος-λέξη Disme µαρτυρείται και στο έργο του Ουίλλιαµ Σαίξπηρ «Τρωίλος και Χρυσηίδα», που κυκλοφόρησε το 1609, ένα χρόνο, δηλαδή, µετά τη αγγλική µετάφραση της «εκάτης». Αυτό µάλλον καταδεικνύει και τις µαθηµατικές ανησυχίες και ενδιαφέροντα του κορυφαίου Άγγλου ποιητή και θεατρικού συγγραφέα, αφού φαίνεται ότι διάβαζε, και οπωσδήποτε καταλάβαινε, ακραιφνείς επιστηµονικές, µαθηµατικές µελέτες. Μελέτες, οι οποίες επαγγέλονταν µεταρρυθµίσεις και απαγκιστρώσεις από παρωχηµένες και αναποτελεσµατικές πρακτικές, που καταδυνάστευαν τη µεσαιωνική καθηµερινότητα, δεδοµένου ότι έντονη και πιεστική ήταν η εµµονή και η επιµονή του Simon Stevin, για ταχεία εισαγωγή και εφαρµογή των δεκαδικών κλασµάτων και του δεκαδικού συστήµατος, γενικότερα, στα χρήµατα, στα βάρη και στα µέτρα (Bunt & Jones & Bedient, 1981). Κύριος και αποκλειστικός σκοπός του Stevin, κατά τη συγγραφή αυτού του βιβλίου - σταθµού, όπως αναφέρεται και στην εισαγωγή του, ήταν να διδάξει την εύκολη εκτέλεση υπολογισµών. Περιγράφει την πρόσθεση, τον πολλαπλασιασµό, την αφαίρεση και τη διαίρεση δεκαδικών αριθµών. Έγραφε τους δεκαδικούς αριθµούς, χρησιµοποιώντας µόνο ακέραιους, αποφεύγοντας έτσι τα κλάσµατα. Η καινοτοµία του συνίσταται στην τοποθέτηση των εκθετών των διαφορετικών δυνάµεων του ενός δεκάτου, εντός περιγεγραµµένων κύκλων. 20

29 Εικόνα 25. Η «δεκάτη» στα ολλανδικά και στα αγγλικά Με τη µέθοδο του Simon Stevin, για παράδειγµα, ο δεκαδικός ο αριθµός: ,3784 = γραφόταν ως: επινόηση που, σίγουρα και οµολογουµένως, επέφερε επανάσταση απλοποιώντας τη δύσχρηστη και χρονοβόρα µέχρι τότε, γραφή των αριθµών. Η πρόσθεση των αριθµών 14,67 και 5,14 αποτυπώνεται παρακάτω: 21

30 Το περικυκλωµένο µηδέν χώριζε το ακέραιο από το δεκαδικό µέρος, εν είδει σηµερινής υποδιαστολής. ηλωτικό σύµβολο διαχωρισµού ακέραιου από δεκαδικό µέρος παρουσιάστηκε ως ένα κενό διάστηµα για πρώτη φορά από τον Πέρση αστρονόµο Al- Kashi το Αργότερα, χρησιµοποιήθηκε µια κάθετη ράβδος όπως και κάποια άλλα σύµβολα, έως και το 1617, χρονιά που ο Napier υιοθέτησε το κόµµα και την τελεία ταυτόχρονα, αµφιταλαντευόµενος ποιο από τα δυο σύµβολα να προκρίνει (Cajori, 2007). Αλλά και 400 χρόνια αργότερα, µέχρι τις µέρες µας δηλαδή, αυτό το δίληµµα εξακολουθεί και παραµένει, αφού οι ανθρώπινες κοινωνίες κράτη είναι διαιρεµένες σε 2 στρατόπεδα, µε όλες τις εκπορευόµενες και παράπλευρες δυσλειτουργίες και συγχύσεις εξ αυτής της διαφοροποίησης. Ένα σχετικό δε, ελαφρό οπαδικό προβάδισµα του «κόµµατος», είναι καταγεγραµµένο. Παρενθετικά, η ευεργετική, λόγω της ευκολίας στην απαγγελία των αριθµών, οµαδοποίηση των ψηφίων ανά 3, εµφανίστηκε, αρχικά το 1795, στο άρθρο «Numeration in Mathematical and Philosophical Dictionary» του Charles Hutton (Cajori, 2007). Ωστόσο, η εφεύρεση του «δεκαδικού σηµείου» πιστώνεται από ιστορικούς των Μαθηµατικών στον Bartholomaeus Pitiscus, το Γερµανό µαθηµατικό στον οποίο αποδίδεται και η δηµιουργία του όρου Τριγωνοµετρία. Στη συνέχεια, σύµφωνα µε µερικούς συγγραφείς, το σύµβολο αυτό έγινε δεκτό από τον John Napier, κατά την ανάπτυξη των λογαρίθµων του, που µια συνοπτική πραγµάτευσή τους, αµέσως, παρατίθεται. 4. Οι λογάριθµοι Ο John Napier ( ) ήταν Σκοτσέζος ευγενής και απολαµβάνει σχετικού µεριδίου «υπολογιστικού» κλέους, διότι συνεισέφερε, κατά έναν τρόπο, στη θεµελίωση της σύγχρονης επιστήµης της πληροφορικής (εικόνα 26). Εµφορούµενος, ίσως, από τις αρχές και τα ιδανικά της σκοτσέζικης καταγωγής του, ενδιαφερόταν, κατά κύριο λόγο, για την επινόηση µεθόδων και την κατασκευή συσκευών, ώστε να εκτελούνται περίπλοκοι υπολογισµοί γρήγορα, µε ακρίβεια και ευκολία. Φυσικά, το πανανθρώπινο και οικουµενικό απόφθεγµα «ο χρόνος είναι χρήµα» θα αποτέλεσε, αναµφισβήτητα, κύριο ιµάντα έµπνευσης και λιπαντικό παρακίνησής του. Η µεγάλη του εφεύρεση ήταν αυτή των Εικόνα 26. John Napier ( ) λογαρίθµων και ως έννοιας και ως λέξης. Εφεύρεση που σηµαδεύει αποφασιστικά µια µεγάλη στιγµή των µαθηµατικών (Eves, 1989). Ως λογάριθµος ενός αριθµού x µε βάση β ορίζεται ένας αριθµός y ως εκθέτης, τέτοιος ώστε x = β y και συµβολίζεται µε λογβ(x). Επιπλέον, ο Napier θεωρείται µοναδικός, µιας και το έργο του είναι από εκείνα τα σπάνια γεγονότα παρθενογένεσης στην ιστορία της επιστήµης, δεδοµένου ότι δεν παρατηρούνται καταφυγές, συσχετισµοί και ερείσµατα σε προγενέστερες εργασίες άλλων (Ayoub, 1993). Ειρήσθω εν παρόδω, ας σηµειωθεί ότι ο µεγάλος Νεύτωνας, συν-επινοητής µετά του Leibnitz, του απειροστικού λογισµού, παραδέχθηκε, ειλικρινώς και ευθαρσώς, ότι στηρίχθηκε σε ώµους γιγάντων. Οι λογάριθµοι (λογαριθµικοί πίνακες) απλοποιούν τις πράξεις της Αριθµητικής, µειώνοντας τες από 4 σε 2, αφού ο πολλαπλασιασµός µετατρέπεται σε 22

31 πρόσθεση εκθετών και η διαίρεση σε αφαίρεση. Στηρίζονται στις ιδιότητες των δυνάµεων (οι οποίες, περιέργως, πολύ αργότερα, κέρδισαν την επιστηµονική παραδοχή και ισχύ): a x a y = a x+y και a x /a y = a x-y µε a, x, y R. Για παράδειγµα, για τον πολ/σµό = = 3 13 = , η προσφυγή σε πίνακες, µε εκ των προτέρων, καταχωρισµένες τις δυνάµεις τού 3, µάς προσφέρει σίγουρα, χρονικά πλεονεκτήµατα. Ο Napier υπήρξε σύγχρονος των Γαλιλαίου και Κέπλερ. Η εποχή αυτή χαρακτηρίζεται από αστρονοµικές και ναυσιπλοϊκές επιστηµονικές ανησυχίες, που συνεπάγονταν αλυσιδωτούς και ατέρµονους υπολογισµούς. Το παραµικρό λάθος, φυσικά, ήταν καταστροφικό για την εξαγωγή ασφαλών συµπερασµάτων. Ως καίρια συµβολή, στην άρση αυτής της δυσχερούς κατάστασης, µέσω της τριγωνοµετρίας, ο Napier εξέδωσε 2 κύρια βιβλία, λατινιστί. Το πρώτο, το 1614, τιτλοφορούνταν «Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio», δηλαδή «Μια περιγραφή του θαυµάσιου κανόνα των λογαρίθµων» και πραγµατευόταν την καινοφανή έννοια του λογάριθµου. Περιείχε πίνακα µε τους «νεπέρειους» λογαρίθµους των ηµιτόνων γωνιών, ανά πρώτο λεπτό του τόξου αλλά και κανόνες για την επίλυση επίπεδων και σφαιρικών τριγώνων (Ayoub, 1993; Eves, 1989). O Laplace, µάλιστα υστερότερα, δε φείσθηκε εγκωµιαστικών σχολίων, δηλώνοντας ότι η εργασία του Napier διπλασίασε τη ζωή των αστρονόµων και πια, περίσσευε χρόνος και για... ενατένιση των άστρων, που πρωτύτερα ξοδευόταν σε οδυνηρούς υπολογισµούς. Ο Napier όρισε το λογάριθµο L ενός αριθµού N, µέσω της παρακάτω σχέσης: N = 10 7 ( ) L (1), όπου δηλαδή, Νεπ λογ(n)=l. Χρησιµοποίησε τις ακέραιες δυνάµεις ενός αριθµού, οι οποίες είχαν την ιδιότητα οι διαδοχικές δυνάµεις να ήταν αρκετά κοντά και εάν κανείς έσυρε µια ευθεία γραµµή µεταξύ των διαδοχικών τιµών, η αξία ακόµα θα βρισκόταν, µέσα σε µια επιθυµητή ανοχή (Wallach, 2005). Ο Napier επέλεξε αρχικά τον αριθµό ( ) = 0, Θεώρησε έπειτα τον ( ) L. Π.χ. (0, ) 2 = 0, , (0, ) 3 = 0, (0, ) = 0, Προκειµένου δε, να αποφευχθούν οι µικροί δεκαδικοί, τελικά όρισε τη σχέση (1). Η δηµοφιλία του 10 7 µοφειλόταν στους αριθµούς, µέχρι εφτά δεκαδικές θέσεις, που περιέχονταν στον καλύτερο πίνακα ηµίτονων, που γνώριζε (Eves, 1989). Έτσι για τον πολλαπλασιασµό 2 αριθµών x=10 7 ( ) L, µε Νεπ λογ(x)= L και y = 10 7 ( ) K, µε Νεπ λογ(y)= Κ, η απλή πρόσθεση L+Κ ήταν αρκετή. Ακολούθως, µε την εξέταση του λογαριθµικού πίνακα, εντοπιζόταν ο αριθµός µε λογάριθµο L+Κ. Στην περίπτωση του (0, ) λαµβάνουµε 0, µε ακρίβεια 7 δεκαδικών ψηφίων. Ο αντίστροφος του προηγούµενου αριθµού είναι ο γνωστός e=2, Σε µια άλλη κοµψότερη και σωστότερη µορφή (Ayoub, 1993; Eves,1989), στην οποία υπεισέρχεται ο άρρητος e, ο νεπέρειος λογάριθµος ισούται µε: Νεπ λογ(x) = 10 7 ln(10 7 /x) (2), όπου ln(x) ο φυσικός λογάριθµος, βάσης e. Αρκετές φορές, ο φυσικός λογάριθµος καλείται και νεπέρειος, λανθασµένα όµως, αφού όπως προκύπτει, από τη σχέση (2), πρόκειται για διαφορετικές µαθηµατικές οντότητες. Ο λογάριθµος µε βάση 10 καλείται κοινός λογάριθµος λογ(x) ή ακόµα και λογάριθµος του Briggs προς τιµή του Henry Briggs ( ), ενός Άγγλου καθηγητή Μαθηµατικών και κατοπινού ένθερµου υποστηρικτή του Napier, τον οποίο επισκέφτηκε στη Σκοτία και εντυπωσιάστηκε από τον ευφυή αυτό µαθηµατικό µεθοδολογικό νεωτερισµό και, φυσικά, από τις καταπληκτικές, υπολογιστικές εφαρµογές του. Η σχέση, που συνδέει το δεκαδικό και το νεπέρειο λογάριθµο, δίδεται παρακάτω: 23

32 7 10 λογ x Νεπ λογ(x) = 7 10 λογ Το µέγεθος της επιτυχίας της νεπέρειας µεθόδου, τεκµαίρεται απερίφραστα, και από τον κεντρικό ρόλο, που κατείχε στην ύλη της δευτεροβάθµιας εκπαίδευσης των Μαθηµατικών παγκοσµίως, µέχρι και τις αρχές της δεκαετίας του 80. Στην εικόνα 27, υπάρχουν ενδεικτικά αποσπάσµατα µε άκρως διαφωτιστικά και πειστικά παραδείγµατα της σπουδαιότητας των λογαρίθµων, λίγο πριν «πνεύσουν τα λοίσθια», και τεθούν σε αχρησ(τ)ία, εξαιτίας της καταιγιστικής εισβολής των, συνεχώς και σκανδαλωδώς, βελτιούµενων ηλεκτρονικών υπολογιστών. Εικόνα 27: Απολιθωµένο εκπαιδευτικό υλικό 24

33 Οι εφαρµογές αυτές των δεκαδικών λογαρίθµων αποτελούν τµήµατα της 105ης και 106ης σελίδας του ελληνικού σχολικού εγχειριδίου µαθηµατικών, της Β Λυκείου, του ΟΕ Β, έκδοσης Μάλιστα, πολλοί συγγραφείς είχαν αποδυθεί σε έναν τιτάνιο και συστηµατικό αγώνα δηµιουργίας λογαριθµικών πινάκων θαυµαστής ακρίβειας, όπως και ευκολίας χρήσης τους. Όλα αυτά πια τώρα, αποτελούν βέβαια, µουσειακό αλλά και θρυλικό υλικό και είδος, συµβολίζοντας την αέναη, αγωνιώδη (ίσως και χιµαιρική) ανθρώπινη προσπάθεια για αποκωδικοποίηση, αποκρυπτογράφηση και κατανόηση της συµπαντικής φύσης. Ακόµα, σε ένα δεύτερο βιβλίο του µε τίτλο Mirifici Logarithmorum Canonis Constuctio, που εκδόθηκε µετά θάνατον το 1619, ο Napier περιγράφει τρόπους κατασκευής λογαριθµικών πινάκων και, επίσης, αναφέρει και αναλύει ιδιότητες της λογαριθµικής συνάρτησης, απαραίτητες για αυτήν την κατασκευή (Ayoub, 1993). 4.1 Άλλες νεπέρειες καινοτοµίες και συσκευές Τέλος το 1617, γράφτηκε και το βιβλίο «Rabdologiae, seu Numerationis per Virgulas Libri Duo: Cum Appendice de expecitissimo Multiplicationis Promptuario. Quibus accessitet Arithmeticae Loaclis Liber Unus» ή απλώς (συγκοπτόµενο) Rabdologiae (Ραβδολογία). Στην πραγµατεία αυτή, ο µεγάλος Σκότος επινοητής αριθµητικών µεθόδων, φειδωλών και εχθρικών προς το χρόνο, άφησε ως παρακαταθήκη και «πρακτικές συσκευές», που αντιπαλεύουν, όπως πάντα, την απώλεια χρόνου και συνάµα απαλύνουν την ταλαιπωρία, ένα σύνηθες αποκαρδιωτικό φαινόµενο, που υφίσταντο οι µορφωµένοι της εποχής του, κατά την εκτέλεση ογκωδών πολλαπλασιασµών. Ήδη, στις µέρες του ήταν γνωστή και δηµοφιλής, οπωσδήποτε, η «µέθοδος του δικτυωτού» µια διαδικασία πολλαπλασιασµού πολυψήφιων αριθµών. Αναπτύχθηκε αρχικά στην Ινδία (µέθοδος gelosia), µετά η χρήση της επεκτάθηκε σε κινεζικές, περσικές και αραβικές εργασίες, µέχρι που έφτασε, το 15ο αιώνα, στην Ευρώπη. Σύµφωνα µε τη µέθοδο αυτή, οι 2 αριθµοί προς πολ/σµό, τοποθετούνται σε ηµικύκλια, στην κορυφή του πλέγµατος και στη δεξιά πλευρά, αντίστοιχα. Εικόνα 28. Συµπλεγµατικοί πολ/σµοι 25

34 Κάθε τετράπλευρο κελί του πλέγµατος διαιρείται σε δύο ορθογώνια τρίγωνα, µέσω της διαγωνίου. Το γινόµενο για κάθε δύο αντίστοιχα ψηφία των αρχικών αριθµών, γράφεται σε κάθε κελί, µε τις δεκάδες στο πάνω τρίγωνο και τις µονάδες στο κάτω. Οι αριθµοί σε κάθε τραπέζιο, τα οποία καλύπτουν πλήρως το πλέγµα και σχηµατίζονται από τις παράλληλες διαγωνίους, προστίθενται και το άθροισµα τους (µονοψήφιο, σε περίπτωση δε, κρατούµενου αυτό µεταφέρεται στο επόµενο αριστερό τραπέζιο) τοποθετείται στο σχετικό και αντίστοιχο ηµικύκλιο. Τα ψηφία, που προκύπτουν, συγκροτούν το γινόµενο των διαλαµβανοµένων αριθµών, «σαρώνοντάς» τα από πάνω αριστερά και µε φορά αντίθετη των δεικτών του ωρολογίου. Η εικόνα 28, µε τον πολλαπλασιασµό = , αποσαφηνίζει την όντως εύκολη διαδικασία. Η µέθοδος αυτή θα µπορούσε να χρησιµοποιείται και σήµερα, αφού είναι απλή, γρήγορη και προσφέρει µαθησιακά πλεονεκτήµατα, κατά την εκµάθηση της «προπαίδειας». Υπάρχει βέβαια, δυσκολία στη σχεδίαση του δικτύου των γραµµών, σκόπελος φυσικά, που αποφεύγεται µε µια εκ των προτέρων φωτοτυπηµένη εκδοχή τους και διαµοίρασή τους. Ασφαλώς όµως, ο κυριότερος λόγος παροπλισµού της παραπάνω µεθόδου, της µη χρησιµοποίησης ή εφαρµογής της, είναι η καταιγιστική εισβολή, ακόµη και στα σχολεία, των υπολογιστών τσέπης. Μια πραγµατικότητα, που αυτόµατα µετατρέπει τη µελέτη µιας τέτοιας µεθόδου σε πλήρη µαταιοσπουδία. Παραπλήσια είναι και µια φορητή, χρονικά ολιγαρκής συσκευή, γνωστή ως κόκαλα ή αριθµηµένες ράβδοι του Napier, (Horsburgh, 1914), που, µάλλον, λειτούργησε και ως ανάδοχος της συνολικής διατριβής του οξύνοος Σκοτσέζου. Έτσι, στο έργο του Ραβδολογία περιγράφει την κατασκευή ράβδων-λωρίδων, ως σηµαντικών αρωγών σε πολλαπλασιασµούς, διαιρέσεις και σε ευρέσεις τετραγωνικών και κυβικών ριζών, καµωµένων από κόκαλο, ελεφαντόδοντο, ξύλο ή και ασήµι. Κάθε πλευρά της ορθογώνιας και παραλληλεπίπεδης ράβδου είναι διαιρεµένη σε δέκα τετράγωνα. Στην κορυφή είναι τοποθετηµένο καθένα από τα 10 σύµβολα του δεκαδικού αριθµητικού συστήµατος. Οι υπόλοιπες 9 θέσεις, (σαν σε πίνακα λειψής προπαίδειας) καταλαµβάνονται από τα ισάριθµα πρώτα πολλαπλάσιά του, σε αύξουσα σειρά, καταχωρισµένα όπως και στη µέθοδο του δικτυωτού. Συνολικά, ο Napier προτείνει τη δηµιουργία 10 τετράεδρων επιµηκών ράβδων, µε µόνη κανονιστική ιδιαιτερότητα, τη συµπληρωµατικότητα, ως προς το 9 των ψηφίων των απέναντι εδρών. Μια ράβδος Εικόνα 29 Νεπέρειο οστεοφυλάκιο περιείχε τα πολλαπλάσια των 0, 1, 9, 8, µια άλλη των 0, 2, 9, 7, µια τρίτη των 3, 4, 6, 5 κ.ο.κ. µε κάθε ψηφίο, δηλαδή, να εµφανίζεται τετράκις στη δεκάδα των διαφορετικών ράβδων (εικόνα 29). Για να πραγµατοποιηθεί ένας πολ/σµός, µέσω αυτής της βολικής συσκευής, τοποθετούνται εφαπτόµενες εντός ενός πλαισίου, οι ράβδοι εκείνες, που αντιστοιχούν στα ψηφία του πολλαπλασιαστέου. Ακολούθως, προστίθενται ως µερικά γινόµενα, όπως παραπάνω, οι αριθµοί κάθε σειράς, που το δηλωτικό της αριθµητικό αντιστοιχεί 26

35 στα ψηφία του πολλαπλασιαστή. Στη συνέχεια, στην εικόνα 30, παρατίθεται ο πολλαπλασιασµός Το άθροισµα = είναι και το ζητούµενο αποτέλεσµα. Εικόνα 30. Όπου δεν πίπτει λογ(άριθµ)ος πίπτει ράβδος Φυσικά, η πραγµατοποίηση διαιρέσεων είναι ελαφρώς δυσκολότερη διαδικασία, όπως και οι εξαγωγές ριζών. Κατά τη διαίρεση τοποθετούνται οµοίως, οι ράβδοι των ψηφίων του διαιρέτη και εξάγονται, µέσω αυτών τα πολλαπλάσιά του. Στη συνέχεια µε συνεχείς αφαιρέσεις υπολογίζεται το πηλίκο και ως δεκαδικός αριθµός, αν χρειαστεί. Η πνευµατική µεγαλοσύνη του Napier δεν αρκέστηκε στις ραβδόµορφες «κοκάλινες» συσκευές του. Το ανήσυχο πνεύµα του επινόησε και µια περισσότερο σύνθετη παραλλαγή τους, που την ονόµασε promptuarium-promptuary (οψοθήκη). Την περιγράφει στο παράρτηµα της Rabdologiae, ενώ εµφανής στόχος του ήταν να απλοποιήσει περαιτέρω τις µεθόδους του, για ταχείς και ακριβείς υπολογισµούς. Η συσκευή αυτή στηριζόταν πάλι και χρησιµοποιούσε ειδικές λωρίδες- ράβδους, που ο αριθµός τους ανερχόταν σε 200. Πλεονέκτηµα της ήταν ότι πολλαπλασίαζε εύκολα, πολυψήφιους αριθµούς και µειονέκτηµά της ότι έκανε ακριβώς, µόνο αυτό. Η ξενάγησή µας στο µουσειακό κελάρι, µε τα χρονικώς διαιτητικά, αριθµητικά συµπληρώµατα του Napier, θα επικεντρωθεί σε µια τελευταία συνεισφορά του. Η ακροτελεύτια αυτή αναφορά θα λειτουργήσει συζευκτικά, ως γέφυρα και συνδετικός κρίκος µε την επόµενη, τελευταία και πληρέστερη, µέχρι τώρα (καλοκαίρι 2008), «ηλεκτρονική υπολογιστική» επινόηση. Η ριζοσπαστική αυτή συσκευή, αν και σχετικά άγνωστη, ονοµαζόταν «υπολογιστής σκακιέρας» (chessboard calculator) και οδηγίες χρήσης της περιέχονταν στη Ραβδολογία. Εκτελούσε τις 4 πράξεις της Αριθµητικής, χρησιµοποιώντας το σηµασιολογικό κανόνα του δυαδικού συστήµατος και εξήγαγε τετραγωνικές ρίζες. Η µεθοδολογία της συσκευής στηρίζεται στο αριθµητικό σύστηµα αυτό, γεγονός που ενισχύει τα επιχειρήµατα πολλών (και δικαιολογεί, ενδεχοµένως, και τον επιθετικό προσδιορισµό «ριζοσπαστική» στην αρχή της 27

36 παραγράφου) ότι ο Napier «ανακάλυψε» το δυαδικό σύστηµα (Lee, 1998; Gardner, 1986), το οποίο οµοίως, αποτελεί πυλώνα και ζωοδότη και µιας άλλης απογόνου συσκευής, του σηµερινού δηλαδή, ηλεκτρονικού υπολογιστή. =(101101) 2 =(11001) 2 =( ) 2 Εικόνα 31. Υπολογιστής σκακιέρας Στην πρόσθεση (εικόνα 31) τοποθετούνται οι αριθµοί στη σκακιέρα, γραµµένοι σύµφωνα µε το δυαδικό σύστηµα: Ο αριθµός 45, που ισούται µε τον (101101) 2 στο δυαδικό και ο οµόλογός του (11001) 2 που είναι, φυσικά ο (25) 10. Η απουσία ή παρουσία µονάδων κάποιας τάξης αναπαρίστανται και δηλώνεται µε τα γνωστά πούλια. Στη συνέχεια, τα πούλια κατηφορίζουν στην τελευταία γραµµή, κινούµενα ακριβώς κάθετα. Στην περίπτωση, που 2 πούλια φιλοξενούνται στο ίδιο τετραγωνάκι, τότε ενεργοποιείται ο βασικός νόµος των αριθµητικών συστηµάτων, αυτός δηλαδή, της ανταλλαγής τους µε ένα, και το οποίο θα καλύψει το ακριβώς επόµενο, αριστερά τετραγωνάκι. Για εποπτικούς λόγους, στην εικόνα 31, η πρόσθεση έχει αποδοθεί, µέσω 2 στιγµιότυπων. Το κόκκινο βέλος αντιστοιχεί στη συγκέντρωση και το πράσινο στην τελική, µετά την ανταλλαγή, διάταξη. Η αφαίρεση εκτελούνταν κατά αντίστροφο τρόπο, µέσω «δανεισµού» αν χρειαζόταν, από τα αριστερά τετράγωνα, ενώ το τελικό αποτέλεσµα το µαρτυρούσε η διάταξη στα εναποµείναντα πούλια του µειωτέου, αφού τα ευρισκόµενα στην ίδια στήλη πούλια αλληλοαναιρούνταν. Για τον πολλαπλασιασµό, µέσω του δυαδικού αυτού υπολογιστή, οι αριθµοί τοποθετούνται µε το δυαδικό τους ανάπτυγµα στη δεξιά και στην κάτω πλευρά, αντίστοιχα. Στην εικόνα 32 πολλαπλασιάζονται οι αριθµοί 14 και 17. Με πούλια (στο παράδειγµά µας, για εποπτικούς λόγους, απεικονίζονται κόκκινα) καλύπτονται και εκείνα τα τετράγωνα, τα οποία αποτελούν σηµείο τοµής των σειρών και των γραµµών, µε ύπαρξη ποσότητας (µε 1 πούλι), αυτών, δηλαδή, που αποδίδουν δυαδικά, τους 2 αριθµούς, που συµµετέχουν. 28

37 Ακολούθως, τα πούλια αυτά σύρονται, διαγωνίως, µέχρι την τελευταία γραµµή (πράσινα) και τελικά, αν απαιτηθεί, µέσω ανταλλαγής, στην οποία λαβαίνουν µέρος και τα πούλια τού δεξιά τοποθετηµένου αριθµού, προκύπτει το γινόµενο (Gardner 1986). Εικόνα 32. Πολλαπλασιασµός σκακιέρας Η µέθοδος της σκακιέρας, πέραν της εξοικείωσης µε τα γνωστά επιτραπέζια παιχνίδια, µπορεί να βοηθήσει στην εκµάθηση του δυαδικού συστήµατος και σε τάξεις, ίσως και του ηµοτικού. Το µεγάλο πλεονέκτηµα του δυαδικού συστήµατος συνίσταται στο γεγονός, ότι δύο και µόνο σύµβολα, εννοούµε βέβαια, το 0 και το 1, είναι αρκετά για να αναπαρασταθούν όλοι οι αριθµοί. Έχουν παρατηρηθεί αρκετοί εντυπωσιακοί παραλληλισµοί ανάµεσα στις προσεγγίσεις των µικρότερων µαθητών και στα αριθµητικά συστήµατα, που αναπτύχθηκαν διαχρονικά. Πρώτα η ένα προς ένα αντιστοιχία, υστερότερα µια αντικατάσταση από κρυπτογραφηµένα συστήµατα και πολύ αργότερα η εισαγωγή των συµβόλων (Hughes, 2002). Υποστηρίζεται δε, από ιστορικούς, ότι το δυαδικό ήταν το πρώτο σύστηµα που επινοήθηκε από τον άνθρωπο. Η επιχειρηµατολογία τους στηρίζεται στη διαφοροποίηση, που όντως υπάρχει, στην απαγγελία των 2 πρώτων τακτικών αριθµητικών, σε πολλές φυσικές γλώσσες (π.χ. πρώτος, δεύτερος). Ακόµα και η ύπαρξη δυϊκού αριθµού, σε πολλές γραµµατικές, ισχυροποιεί αυτά τα επιχειρήµατα. Ακόµα η θεώρηση αυτή ενισχύεται και από το γεγονός ότι σε πολλούς πρωτόγονους πολιτισµούς, τα αριθµητικά επίθετα περιορίζονται σε τρία µόνο («ένα», «δύο», «πολλά») (Wilder, 1986). Επίσης, ο Γερµανός µαθηµατικός και φιλόσοφος Λάιµπνιτς ( ) προσέδιδε συµπαντικές και θεολογικές διαστάσεις και προεκτάσεις, στο δυαδικό σύστηµα. Σύµφωνα µε τη Γένεση, ο ένας (1) Θεός δηµιούργησε τον κόσµο από το 29

38 κενό (0). Εποµένως, πίστευε, το δυαδικό θεωρείται θεϊκό αριθµητικό σύστηµα, αφού µέσω των συµβόλων του 0 και 1 κατασκευάζονται όλοι οι αριθµοί (Cook, 2008). Προς επίρρωση των πεποιθήσεων του Λάιµπνιτς (εικόνα 33), αρκεί η αναφορά µας, χωρίς καν επιχειρηµατολόγηση, στο σηµερινό «εικονικό κόσµο», δηµιουργία των στοιχείων- εργαλείων «0» και «1» του δυαδικού. Με την υιοθέτηση των παραπάνω, και σχετικά µε το δυαδικό σύστηµα, µπορεί να υποστηριχθεί η ύπαρξη µιας ιστορικής κυκλικότητας, µιας κυκλοτερικής, πολιτισµικής ανακύκλησης και αναβίωσης, έστω και µέσω της τεχνολογίας, αφού και τώρα βρισκόµαστε στα σπάργανα της εικονικής-δυαδικής πραγµατικότητας. Η γνωριµία και γνώση του δυαδικού συστήµατος είναι, λοιπόν, θεµελιώδης στην Πληροφορική. Στο ελληνικό εκπαιδευτικό σύστηµα, προ Εικόνα 33. Ο Λάιµπνιτς 25ετίας, εισήχθηκε η διδασκαλία αριθµητικών συστηµάτων διαφορετικών από το δεκαδικό (δυαδικό, πενταδικό), ακόµα και στο ηµοτικό Σχολείο. Το εγχείρηµα, βέβαια αποδείχθηκε θνησιγενές και χιµαιρικό, όπως η σχολική πραγµατικότητα απέδειξε, εξαιτίας των δυσκολιών, καταδεικνύοντας σαφώς εγγενείς «µαθητικές» αδυναµίες. Στις επόµενες, αναθεωρηµένες εκδόσεις των εγχειριδίων, τα αντίστοιχα κεφάλαια, φυσικά, αφαιρέθηκαν. Σήµερα και δικαιολογηµένα, η διδασκαλία αριθµητικών συστηµάτων είναι τµήµα, µόνο του Αναλυτικού Προγράµµατος Πληροφορικής του Λυκείου, δεδοµένης και της σπουδαιότητας της δυαδικής αναπαράστασης. Είναι αδιαµφισβήτητο ότι οι πρωτοποριακές συσκευές και καινοτόµες µέθοδοι του Napier επηρέασαν αναφανδόν, πολλούς κατοπινούς επιστήµονες (Gittins, 1998), οι οποίοι πρωτοστατούσαν από την εποχή του και εντεύθεν, στην κατασκευή όλο και τελειότερων µεθόδων και µηχανικών συσκευών, λειαίνοντας την οδό έλευσης, ως προποµποί και «καλοί προ-άγγελοι», του σηµερινού Υπολογιστή. Σήµερα και ο ηλεκτρονικός υπολογιστής, µπορεί να ισχυριστεί κανείς ότι µιµείται τις λογαριθµικές µεθόδους, καθώς ανάγει τις 4 πράξεις της αριθµητικής σε µία, µέσω της µεθόδου του συµπληρώµατος. Είναι γεγονός ότι οι τέσσερις πράξεις της αριθµητικής ανάγονται στη µία και κυρίαρχη, και εννοείται φυσικά, η πρόσθεση. Αυτό συµβαίνει διότι η αφαίρεση είναι το αντίστροφο της πρόσθεσης, ο πολλαπλασιασµός είναι µια πρόσθεση ίσων προσθετέων και η διαίρεση εκτελείται µέσω συνεχών αφαιρέσεων. Ο Η/Υ εκµεταλλεύεται αυτή την πραγµατικότητα απλούστευσης των πράξεων και αφαιρεί αριθµούς προσθέτοντάς τους, ενεργοποιώντας τη λεγόµενη «µέθοδο του συµπληρώµατος». Βέβαια αυτή η διαδικασία ταιριάζει απόλυτα και απλοποιείται, σκανδαλωδώς, στα πλαίσια εφαρµογής της στο δυαδικό σύστηµα. Ένας φορµαλιστικός ορισµός του συµπληρώµατος είναι ο ακόλουθος: Αν β είναι η βάση του συστήµατος, τότε το συµπλήρωµα a ενός αριθµού α µε ν ψηφία ως προς το β ν είναι ο a = ( β ν -1-α)+1= β ν -α. ηλαδή το συµπλήρωµα του 35 στο δεκαδικό σύστηµα είναι το ( )+1=65. Ο λόγος που γράφουµε είναι ότι, έτσι, κάνουµε, εύκολα, αφαίρεση κάθε ψηφίου του αριθµού από το 9 (το συµπλήρωµα κάθε ψηφίου ως προς το 9) και φυσικά µετά προσθέτουµε τη µονάδα (99-35=64, 64+1=65). Για να βρούµε, λοιπόν, το συµπληρωµατικό κάθε αριθµού κάνουµε αφαίρεση, αφού αφαιρούµε το κάθε 30

39 ψηφίο του από το 9. Εποµένως, µπορούµε να ισχυριστούµε ότι µπορούµε γενικά να κάνουµε αφαίρεση σε οποιοδήποτε σύστηµα, χρησιµοποιώντας πρόσθεση, µόνο αν γνωρίζουµε το συµπληρωµατικό κάθε ενός ψηφίου του συστήµατος από το µεγαλύτερο ψηφίο του συστήµατος. Βέβαια στο δυαδικό σύστηµα είναι προφανές, αφού το συµπληρωµατικό του 0 είναι το 1 και αντιστρόφως. Έτσι αν στο δυαδικό αριθµό α, αντιστρέψουµε όλα τα ψηφία του (του αλλάξουµε δηλαδή τα φώτα), δηλαδή όπου 0 βάζουµε το 1 και αντίστροφα, και προσθέσουµε άλλη µια µονάδα, θα έχουµε το συµπλήρωµα ως προς 2 τού α. Για παράδειγµα, το συµπλήρωµα του είναι το = , ενώ το συµπλήρωµα του στο πενταδικό είναι το = Έστω ότι έχουµε να αφαιρέσουµε τους αριθµούς και Για να επιτύχουµε ίσο αριθµό ψηφίων γράφουµε τον αφαιρετέο ως και ακολούθως βρίσκουµε το συµπλήρωµά του, που είναι το = Oπότε µετά από την πρόσθεση έχουµε: δηλαδή το τελικό αποτέλεσµα είναι το , αφού, όπως προστάζει η µέθοδος του συµπληρώµατος, απορρίψουµε αποκόψουµε την πάντα εµφανιζόµενη στα αριστερά, µονάδα. Και θα συµπληρώσουµε τη µέθοδο του συµπληρώµατος µε ένα τελευταίο παράδειγµα χρησιµοποιώντας και κλασµατικούς αριθµούς: Για παράδειγµα, ας βρεθεί η διαφορά 1.247,14-658,7 µε τη µέθοδο του συµπληρώµατος, στο δεκαδικό σύστηµα. Αρχικά οι αριθµοί θεωρούνται ως ακέραιοι (άρα στο τελικό αποτέλεσµα θα είµαστε υποχρεωµένοι να χωρίσουµε δεκαδικά ψηφία) και για να επιτύχουµε ίσο αριθµό ψηφίων, οι αριθµοί καταγράφονται ως ο µειωτέος και ως ο αφαιρετέος. Έτσι βρίσκουµε το συµπλήρωµα του (ως προς το ), που είναι το και µε την πρόσθεση της µονάδας ( ) προκύπτει ο Στη συνέχεια προσθέτουµε: και µετά την απόρριψη της µονάδας, το αποτέλεσµα είναι το Τέλος, αφού χωρίσουµε (εδώ στην περίπτωσή µας) 2 δεκαδικά ψηφία, το τελικό αποτέλεσµα θα είναι φυσικά, το 588,44. Τέλος, η επωδός της ιστορικής αυτής αναδροµής θα αφιερωθεί σε µια αδροµερή παράθεση των σηµαντικότερων επιτευγµάτων που καταγράφηκαν, µέχρι τη σηµερινή ασύλληπτη και εξωπραγµατική µορφή και ισχύ του ηλεκτρονικού υπολογιστή. 5. Ο σύγχρονος υπολογιστής Σύµφωνα µε έναν ορισµό (που συµµαχεί, ασφαλώς, µε την αλήθεια) οι υπολογιστές εφευρέθηκαν για να λύνουν πολύπλοκα µαθηµατικά προβλήµατα και εξισώσεις. Μάλιστα, η λέξη Υπολογιστής δήλωνε αρχικά, το λύτη εξισώσεων και µόνο µετά το 1945, ταυτίστηκε µε το συγκεκριµένο µηχάνηµα (Cerussi, 2006). 31

40 Στο σωτήριο έτος 1642 σηµατοδοτείται ο πρώτος σηµαντικός σταθµός στη σύγχρονη υπολογιστική ιστορία και συνάµα η περίοδος των αυτόµατων υπολογιστικών µηχανών (Βραχάτης & Παπαδάκης, 1995). Τη χρονιά αυτή, ο προικισµένος Γάλλος µαθηµατικός, θεολόγος και φιλόσοφος Blaise Pascal κατασκεύασε στο Παρίσι, την «Πασκαλίνα» του (εικόνα 34). Η συσκευή αυτή, µεγέθους φραντζόλας ψωµιού, εκτελούσε πρόσθεση και αφαίρεση και βοηθούσε τον υπάλληλο πατέρα τού εφευρέτη, σε υπολογισµούς κατά την είσπραξη των φόρων και την πάταξη της φοροδιαφυγής. Ο µηχανισµός της στηριζόταν σε 8 καντράν µε γρανάζια, που υποκαθιστούσαν τα ψηφία και, µέσω των οποίων, µεταφέρονταν τα κρατούµενα. Έτσι, όταν ένα γρανάζι µε δέκα δόντια έκανε µια περιστροφή, σε ένα δεύτερο µετατοπιζόταν ένα δόντι, κατά µια θέση και στη συµπλήρωση µιας πλήρους περιστροφής και αυτού, µετατοπιζόταν το δόντι ενός τρίτου (εκατοντάδες) κ.ο.κ. Περίπου το 1674, και ενώ είχε µεσολαβήσει η εφεύρεση του µηχανικού υπολογιστή του Samuel Morland, που και αυτός πρόσθετε και αφαιρούσε, παρουσιάστηκε ο Staffelwalze, αγγλιστί Stepped Reckoner, και µε µια πρόχειρη ελληνική απόδοση ως συσκευή κλιµακωτών υπολογισµών (εικόνα 35). ηµιουργός του το έτερο µέλος Εικόνα 34. Η πασκαλίνα Εικόνα 35. Stepped Reckoner της πεφωτισµένης συνωρίδας των επινοητών του διαφορικού λογισµού, ο Gottfried Wilhelm von Leibniz. Χρησιµοποιούσε έναν ειδικού τύπου οδοντωτό τροχό σε σχήµα κυλίνδρου, µε 9 δόντια αυξανόµενου µήκους, παράλληλων προς τον άξονα του κυλίνδρου. Είχε περίπου 67 cm µήκος και κάθε ψηφίο αναπαριστανόταν µε ένα σύνολο από τροχούς. Αποτελούνταν από δύο µέρη, το 12-ψήφιο τµήµα συσσωρευτών στο πίσω µέρος και το τµήµα εισαγωγής 8 ψηφίων στο µπροστινό. Η µηχανή αυτή, που ολοκληρώθηκε το 1694, ήταν πρωτοποριακή, καθώς εκτελούσε και τις 4 πράξεις της Αριθµητικής. Το 1775, ο Philip Matthaus Hanh ( ), ένας περίφηµος ωρολογοποιός της εποχής του, βασίστηκε στη συσκευή του Leibniz και ανέπτυξε τον πρώτο λειτουργικό µηχανικό υπολογιστή. Μέχρι το λυκαυγές του 19ου αιώνα, οι συστηµατικές προσπάθειες επέκτασης του ανθρώπινου µυαλού περιορίζονταν σε χειροκίνητες και σειριακές συσκευές. Επιπλέον όµως, η έννοια του προγραµµατισµού δεν ήταν και τόσο νέα, αφού πολλά και διάφορα εργαλεία, όπως ρολόγια και music boxes έκαναν χρήση προγραµµατιστικών µεθόδων (Dodig Crnkovic, 2001). Ως απότοκο της διαµορφωθείσας κατάστασης αυτής ο Joseph-Marie Jacquard ( ) εφεύρε, πριν περίπου 200 χρόνια, την πρώτη δεκαετία του 19ου αιώνα, έναν αυτοµατοποιηµένο αργαλειό, µε την επιστράτευση µιας πρωτόλειας µορφής προγραµµατισµού. Στόχος του ήταν να αυξήσει την κλωστοϋφαντουργική παραγωγή. 32

41 Η θεµελιώδης προγραµµατιστική σύλληψή του συνίστατο στη χρήση διάτρητων καρτών. Η ύφανση σύνθετων σχεδίων διευκολυνόταν και απλοποιούνταν, καθώς αυτά αναπαράγονταν µε βάση τις προκαθορισµένες οπές των καρτών. Ας σηµειωθεί ότι µε την τεχνική και την ιδέα αυτή προικοδοτήθηκαν και οι σύγχρονοι ηλεκτρονικοί υπολογιστές, αφού χρησιµοποιούνταν διάτρητα δελτία, ως φορείς εισόδου δεδοµένων, µέχρι πρόσφατα (Περσίδης, 1978). Το γεγονός αυτό, αναµφισβήτητα, προσδίδει αίγλη, κύρος και λαµπρότητα στην έµπνευση του Jacquard (Εικόνα 36). Λίγο αργότερα, το 1820, διατίθεται προς πώληση, η πρώτη µαζικής παραγωγής µηχανική υπολογιστική συσκευή, σχεδιασµένη από το Γάλλο µαθηµατικό Charles Xavier Thomas de Colmar ( ). Την ίδια χρονική περίοδο, ο Άγγλος µαθηµατικός Charles Babbage ( ) αντιλήφθηκε ότι οι χρονοβόροι υπολογισµοί, ειδικά µεταξύ πινάκων, ήταν µια σειρά από προβλέψιµες διαδικασίες και επαναλαµβανόµενες ενέργειες και εξ αυτού του λόγου, ίσως θα µπορούσαν να αυτοµατοποιηθούν (Meyers, 1993). Εργαζόµενος, ήδη από το 1822, παρουσίασε δέκα χρόνια αργότερα τη «διαφορική µηχανή» του, ενώ είχε µεσολαβήσει, το 1829, το πατεντάρισµα της πρώτης γραφοµηχανής, από τον William Austin Burt. Το 1834, ο Charles Babbage οραµατίσθηκε µια ατµοκίνητη µηχανή, πλήρως αυτοµατοποιηµένη, η οποία θα στηριζόταν στην ιδέα των διάτρητων καρτών. Λόγω όµως ανυπαρξίας χορηγών και της γενικότερης κρατικής αδιαφορίας, η κληθείσα από τον ίδιο «αναλυτική µηχανή», έµεινε, κυριολεκτικά, στα χαρτιά. Ακόµα και έτσι όµως, η «αναλυτική µηχανή», το φιλόδοξο όσο και επαναστατικό αυτό σχέδιο του Babbage, δικαίως και ορθώς, θεωρείται προποµπός και γεννήτορας του σύγχρονου ηλεκτρονικού υπολογιστή (Εικόνα 37). Εικόνα 36. Ο ίδιος ο αργαλειός υπήρξε η «προίκα» του Jacquard στους απογόνους του Εικόνα 37. Η ανα(κ)λητική µηχανή του Babbage Αναφοράς χρήζει, στον συνοπτικό αυτό ιστορικό άτλαντα, και όχι µόνο για εθνικ(ιστικ)ούς λόγους, η φίλη του Babbage και συνάµα κόρη του Άγγλου ποιητή και µεγάλου Φιλέλληνα Λόρδου Βύρωνα. Η µαθηµατικός Ada Augusta Byron, Countess of Lovelace ( ), υπήρξε ο πρώτος προγραµµατιστής υπολογιστών και ανάδοχος γι αυτό, της οµώνυµης γλώσσας προγραµµατισµού. Πρόλαβε στη σύντοµη ζωή της, µέσα από συχνές επιστηµονικές συζητήσεις να αναδεικνύει το ταλέντο της και να γοητεύει µε τις γνώσεις της και την επιστηµοσύνη της τους γύρω της. Συχνά, υπέβαλλε «προγραµµατιστικές» προτάσεις, για παραπέρα αξιοποίηση της αναλυτικής µηχανής και κατόρθωνε έτσι να εντυπωσιάζει το δηµιουργό της αλλά και τους συγχρόνους της. 33

42 Καταλυτική συµβολή αλλά και ώθηση στην επιστήµη των υπολογιστών επήλθε µε το έργο του Άγγλου George Boole ( ), ο οποίος στα µέσα του 19ου αιώνα, το 1854, ένα χρόνο πριν το θάνατο του κορυφαίου Γερµανού Μαθηµατικού Johann Carl Friedrich Gauss, εξέδωσε το µνηµειώδες βιβλίο του «An investigation into the Laws of Thought on which are founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities» (Έρευνα των Νόµων της Σκέψης, πάνω στους οποίους βασίζονται οι Μαθηµατικές θεωρίες της λογικής και των Πιθανοτήτων). Στο έργο αυτό, όπως παρατήρησε ο διάσηµος Βρετανός ειρηνιστής, µαθηµατικός και φιλόσοφος Bertrand Russell ( ), ανακαλύφθηκαν τα καθαρά Μαθηµατικά. Αν και ο ισχυρισµός αυτός έχει δόσεις υπερβολής, ωστόσο υποδηλώνει το σπουδαίο επίτευγµα του Boole, που δεν είναι άλλο από την ενσωµάτωση της Λογικής στα Μαθηµατικά, προοπτική που είχαν οραµατιστεί ο De Morgan και ο Leibnitz (Bell, 1993). Ο Boole εργαζόταν ως δάσκαλος στη Στοιχειώδη Εκπαίδευση και, ως υποχρεωτικό µέρος της δουλειάς του, µελετούσε µόνος του Μαθηµατικά για να διευρύνει τις ελλιπείς γνώσεις του. Αξιοσηµείωτο είναι ότι τα έργα του είχαν στόχο, κυρίως να αποκρούσουν φληναφήµατα και αβδηριτισµούς περί της µηδαµινής αξίας των Μαθηµατικών ως επιστήµης, που εµβριθώς και καταιγιστικώς ανακοίνωναν «φιλόσοφοι» της εποχής του. Στο περιώνυµο αριστούργηµά του εισήγαγε την οµώνυµη Άλγεβρα, µε µεταβλητές δύο τιµών (δυαδική άλγεβρα), ιδανική για πολλές εφαρµογές στη λογική και το σχεδιασµό των υπολογιστών. Στη συνέχεια και ενώ ο Alexander Graham Bell εφευρίσκει το τηλέφωνο το 1876, ο Αµερικανός Herman Hollerith ( ), µια δεκαετία σχεδόν αργότερα επινοεί έναν ηλεκτροµηχανικό καταγραφέα, για την αµερικάνικη απογραφή πληθυσµού του Η επεξεργασία των δεδοµένων ακολουθούσε τη µέθοδο της ανάκλησης των πληροφοριών, µέσω διάτρητων καρτών, που πρώτος ανέπτυξε ο Jacquard. Αργότερα, το 1896, ο Hollerith ιδρύει µια συναφούς αντικειµένου εταιρεία και παράγει τέτοιου είδους µηχανές επεξεργασίας δεδοµένων. Η εταιρεία αυτή υπήρξε η γιαγιά της σηµερινής (και πολύ γνωστής) International Business Machines (IBM). Φυσικά, από καµία υπολογιστική ιστορική αναδροµή δε θα απουσίαζε το όνοµα τού Άγγλου µαθηµατικού Alan M. Turing ( ). Αν υπήρχε ρήτραπλαφόν για αναφορά ενός και µοναδικού ονόµατος, αυτό θα έπρεπε να ήταν το δικό του, που θα κοσµούσε την κουτσουρεµένη αυτή λίστα. Το κολοσσιαίο δηµιούργηµα τού πατέρα τής επιστήµης των υπολογιστών και της Πληροφορικής, δηµοσιεύτηκε το 1936 και είχε τίτλο: «On Computable Numbers, with an application to the Entscheidungsproblem», δηλαδή «Για τους υπολογίσιµους αριθµούς, µε µια εφαρµογή στην αποφασισιµότητα», όπου ως Entscheidungsproblem αποδίδεται γερµανιστί, η αγγλική φράση decision problem. Τότε και στην πραγµατεία του αυτή, ο Turing έδωσε τον ορισµό της οµώνυµης µηχανής του, ενός πρωτογενούς, θεωρητικού υπολογιστικού µοντέλου. Βέβαια περιέγραφε έναν υπολογιστή, µια δεκαετία σχεδόν, πριν την πρώτη κατασκευή µιας τέτοιας µηχανής. Η µηχανή του Turing µπορούσε να υπολογίσει οποιοδήποτε κατανοητό µαθηµατικό πρόβληµα, αφού εκτελούσε και αξιοποιούσε όλες τις ανθρώπινες υπολογιστικές µεθόδους. Μάλιστα, ο Turing ισχυριζόταν πως µπορούν να προγραµµατισθούν µηχανές, εάν και εφόσον ήταν δυνατό να αναπαρασταθούν, σαφώς και λεπτοµερώς, από έναν αλγόριθµο. Η επιχειρηµατολογία του, οι προτάσεις και οι υποθέσεις του εστιάζονταν στην πεποίθησή του, περί της αντίληψης και θεώρησης δηλαδή, τού εγκεφάλου ως ενός 34

43 υπολογιστικού οργάνου. Αν οι ψυχολόγοι έλεγε, εντόπιζαν τα στάδια και απεικόνιζαν επακριβώς τον τρόπο που ακολουθεί η ανθρώπινη σκέψη, κατά τη λύση προβληµάτων, τότε θα ήταν εφικτή και η κατασκευή µιας µηχανής, που θα χρησιµοποιεί και θα ακολουθεί τέτοιες ανθρώπινες δραστηριότητες και λειτουργίες. Εξαιτίας αυτών των απόψεων του, µόλις στις αρχές της δεκαετίας του 60, µια καινούργια επιστήµη, η Γνωστική, άρχισε να οριοθετείται και να θέτει τις βάσεις της. Το επιστηµονικό της πεδίο και η κύρια ασχολία της επικεντρώνονται στη µελέτη της νοηµοσύνης, και ειδικότερα στην εξερεύνηση και αποκωδικοποίηση των υπολογιστικών διαδικασιών τού νου. Στόχος της η κατανόηση των δοµών τού εγκεφάλου, ώστε να παραχθούν έτσι, πλούσιες, ενδιαφέρουσες και αξιοποιήσιµες πληροφορίες για τον τρόπο σκέψης και µάθησης ανθρώπων ή και ζώων. Έτσι, η Γνωστική Επιστήµη όρισε ως αντικείµενο µελέτης της, κατά πρώτον, τη διερεύνηση της σκέψης του λύτη κατά τη διάρκεια επίλυσης προβληµάτων (problem solving). Ως πρόβληµα, κατά τη Γνωστική Επιστήµη, ορίζεται µια κατάσταση, όπου διάφορα εµπόδια δυσκολεύουν, δυσχεραίνουν την επίτευξη ενός επιδιωκόµενου σκοπού. Ο λύτης µετέρχεται διάφορων µεθόδων και επιστρατεύει µια σειρά γνωστικών διαδικασιών, προκειµένου η επιδίωξή του να τελεσφορήσει. Άµεσος στόχος του (και µοναδικός) είναι η υπερπήδηση και υπερφαλάγγιση των εµποδίων, µε την αλλαγή της υπάρχουσας αρχικής κατάστασης, η οποία φυσικά, συνιστά και προσδιορίζει το πρόβληµα (Σπανός, 1996). Η παρακολούθηση εν συνεχεία και η µελέτη από ένα Γνωστικό επιστήµονα, του τρόπου σκέψης και της συµπεριφοράς ενός λύτη, κατά τη διαδικασία λύσης προβληµάτων, αποτελεί το δεύτερο σκέλος δράσης της Γνωστικής Επιστήµης. Αυτή η σπουδή είναι υπερβολικά εξονυχιστική, λεπτοµερής, ενδελεχής και αναλυτική. Αλιεύονται οι στρατηγικές, οι ευρετικές και τεχνικές, που χρησιµοποιούνται από το λύτη και κατασκευάζονται προγράµµατα σε ηλεκτρονικούς υπολογιστές, όπου εξοµοιώνεται η ανθρώπινη συµπεριφορά. Αυτή, βέβαια, η προσπάθεια εξοµοίωσης της ανθρώπινης σκέψης µε τη µέθοδο της επεξεργασίας των πληροφοριών, δια των ηλεκτρονικών υπολογιστών, αποτελεί το ουσιωδέστερο χαρακτηριστικό και µέληµα, την πεµπτουσία δηλαδή, τής Γνωστικής Επιστήµης. Μέσα στα λίγα αυτά χρόνια ζωής της, η επιστήµη αυτή αναπτύχθηκε αλµατωδώς και έφτασε σε µια νέα εξέλιξη, γνωστή ως «Τεχνητή Νοηµοσύνη». Ο όρος εµφανίστηκε το 1956 περίπου και κόµιζε την καινοτόµο άποψη ότι η έννοια της νοηµοσύνης έπρεπε να επεκταθεί, για να περιλάβει και τεχνητά, ευφυή συστήµατα (Βοσνιάδου, 2004). Οι επιστήµονες της Τεχνητής Νοηµοσύνης συλλέγουν, αντλούν και επεξεργάζονται πληροφορίες σχετικές µε αποδείξεις προβληµάτων, µαθηµατικών θεωρηµάτων, σύνθεση καλλιτεχνηµάτων και κατόπιν τροφοδοτούν προγράµµατα σε Η/Υ, κατορθώνοντας να αναγάγουν, να αναβαθµίζουν και να µετατρέψουν την άψυχη ηλεκτρονική µηχανή σε δεινό και ανίκητο σκακιστή και λύτη προβληµάτων, σε µαθηµατικό, σε καλλιτέχνη κλπ. Στην περιοχή αυτή τα αποτελέσµατα είναι κυριολεκτικά «φανταστικά». Τρανή απόδειξη, που και νωπή, µάλλον, θα παραµένει, η προ δεκαετίας περίπου, αναµέτρηση και ήττα του παγκόσµιου πρωταθλητή στο σκάκι Γκασπάρωφ από ηλεκτρονικό υπολογιστή. Η είδηση αυτή εξαιτίας, του απροσδόκητου (τότε) και ταυτόχρονα σηµαντικού γεγονότος που µετέφερε, κυριαρχούσε για µέρες στα δελτία των Μ.Μ.Ε. Μάλιστα, σχετικά πρόσφατα (από άρθρο, στις 6/12/2006, στον ειδησεογραφικό κόµβο σηµειώθηκε νέα, περίτρανη και περιφανής, λογισµική νίκη, αφού σύµφωνα µε το e-δηµοσίευµα ο παγκόσµιος πρωταθλητής σκακιού Βλαντιµίρ Κράµνικ ηττήθηκε από το Deep Frtitz, το κορυφαίο πρόγραµµα σκακιού, που µπορεί να αναλύει οκτώ µε δέκα εκατοµµύρια δυνατές κινήσεις το 35

44 δευτερόλεπτο, σε µια αναµέτρηση έξι παρτίδων στη Γερµανία. Ο 31χρονος Ρώσος µετρ είχε παραδεχθεί, βέβαια, εξαρχής ότι το πρόγραµµα ήταν το «φαβορί» της αναµέτρησης. Και όπως αβίαστα και φυσικά διαφαίνεται και συµπεραίνεται, παρόµοιες µελλοντικές αναµετρήσεις δε θα συµπεριλαµβάνονται σε κανενός είδους στοίχηµα, αφού και οι πλέον αδαείς, εύκολα και λογι(σµι)κά σκεπτόµενοι, θα προβλέπουν τον (εικονικό - ψηφιακό) e-νικητή. H τελευταία διακεκριµένη θέση στο ιστορικό αυτό πάνθεον ανήκει, δικαιωµατικά, στο Μαγυάρο µαθηµατικό John von Neumann ( ). Ενώ διανύεται το σωτήριο έτος 1945, στην ατµόσφαιρα των ΗΠΑ διαχέεται το µεθυστικό άρωµα, του Ψυχρού πολέµου, µε τη Σοβιετική Ένωση. Ο ENIAC, o πρώτος υπολογιστής γενικών καθηκόντων και «ειδικών στρατιωτικών απαιτήσεων», είναι, ήδη, πραγµατικότητα. Ο John von Neumann συνεπαρµένος από την επιτυχία του ENIAC, δηµοσιεύει, στις 30 Ιουνίου το άρθρο του, «First Draft of a Report on the EDVAC», ορµώµενος από πρότερες εργασίες των Mauchly και Eckert, οι όποιοι εφεύραν τον ENIAC και πρότειναν την κατασκευή τού διαδόχου του EDVAC. Το κείµενο αυτό αναφέρεται συχνά, ως το καταστατικό της υπολογιστικής τεχνολογίας καθώς επέδρασε, καίρια έκτοτε, στον τρόπο σχεδίασης των Εικόνα 38. Ο John von Neumann υπολογιστών. Η σχεδίαση αυτή, γνωστή ως «αρχιτεκτονική von Neumann», αφορά στον τρόπο διάταξης των ηλεκτρικών κυκλωµάτων και συνεπακόλουθα της ροής των πληροφοριών στο εσωτερικό του Υπολογιστή, που µέχρι κάποιο τουλάχιστο επίπεδο δεν έχει, ως τα τώρα, αλλάξει (Cerussi, 2006). Ο υπολογιστής του Neumann έκανε αποτελεσµατική τη µορφή του αποθηκευτικού προγράµµατος και διαχώρισε τις µονάδες, που επεξεργάζονται την πληροφορία από εκείνες που την αποθηκεύουν. Ακόµα, οι υπορουτίνες δεν επαναπρογραµµατίζονταν για κάθε νέο πρόγραµµα, αλλά µπορούσαν να φυλάσσονται στις βιβλιοθήκες και να επανέρχονται στη µνήµη, όταν αυτό απαιτούνταν. Ως κατακλείδα, θα αναφερθούν επιγραµµατικά και ακροθιγώς, µερικές ακόµα φωτεινές στιγµές και γεγονότα που σηµάδεψαν το ανελέητο κυνηγητό του χρόνου από τον άνθρωπο και αναπτέρωσαν τη µαταιοδοξία του για νοητική υπερύψωση και υπέρβαση. To 1947, εφευρίσκεται το transistor, το πλέον ζωτικό στοιχείο των υπολογιστών και αντικαθιστά την παρωχηµένη τεχνολογία των λυχνιών. Μια δεκαετία αργότερα ο John Backus και οι συνεργάτες του ανέπτυξαν τον πρώτο µεταγλωττιστή για τη FORTRAN. Από το 1958, τα ολοκληρωµένα κυκλώµατα κρατούν τη µερίδα του λέοντος κατά την παραγωγή των υπολογιστών, για να παραδώσουν και αυτά µε τη σειρά τους τη σκυτάλη, 13 χρόνια αργότερα, το 1971, στους µικροεπεξεργαστές. Νωρίτερα, το 1968 είχε «πιαστεί» στην εφευρετική φάκα το ποντίκι και ένα χρόνο µετά, το 1969, ξεκίνησαν οι περιορισµένης εµβέλειας διαδικτυακές- εικονικές περιηγήσεις, µε όχηµα µάρκας ARPAnet και οδηγό το Υπουργείο Άµυνας των ΗΠΑ. Το 1980, άρχισε από την IBM η πώληση των πρώτων προσωπικών υπολογιστών, που αύξησαν δραµατικά την παραγωγή τους και τους κατόχους τους, 36

45 µετά και το λανσάρισµα των windows το Ενδιάµεσα, το 1991, είχε δηµιουργηθεί ο Παγκόσµιος Ιστός από τον Άγγλο Tim Berners-Lee. Και ο κατάλογος συνεχίζεται Τελικά, ποιο θα είναι το επόµενο βήµα ή η κατάληξη; Ποιο είναι το όριο των δυνατοτήτων των υπολογιστών στην ταχύτητα και στη µνήµη; Η µικρή προϊστορία τους δεν εγγυάται ασφαλείς προβλέψεις. Μάλλον, οι επόµενες γενιές ανθρώπων θα προσπορίζονται οφέλη από αυτούς, που για µας τώρα, είναι αδιανόητα, ασύλληπτα και...πιθανώς απίθανα. Οπωσδήποτε όµως, θα παραµένουν µια µηχανική προέκταση των λειτουργιών του ανθρώπινου εγκεφάλου. Πάντα, τους ενασχολούµενους θα φιλοδωρούν απλόχερα, µε ερεθιστικότητα, αϋπνία και µε την ανελέητη, φρικτή πραγµατικότητα ότι ουδέποτε ο χρήστης τους θα είναι ικανός να µάθει όλα όσα κυκλοφορούν και αφορούν σ αυτούς. Ακόµα, η πυκνότητα των transistor στα ολοκληρωµένα κυκλώµατα, που θα πρέπει να διπλασιάζεται κάθε 2 χρόνια, ως αναγκαίος και συνεχώς επιβεβαιώσιµος νόµος (Moore) θα προκαλεί, θα δελεάζει και θα οιστρηλατεί τους κοχλίες των µηχανικών και τη φαιά ουσία των επιστηµόνων. Επιπροσθέτως, ο νόµος αυτός, πεισµατικά ίσως και χαιρέκακα, σε αρµονικό και οδυνηρό συνδυασµό, ως ένα αχτύπητο δίδυµο µε τους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές, θα σιγοτραγουδούν αντάµα, τα λόγια του ποιητή: «...όσα βουνά κι αν ανεβείτε, απ τις κορφές τους θ αγναντέψτε άλλες κορφές, ψηλότερες, µιαν άλλη πλάση ξελογιάστρα και στην κορφή σα φτάστε την κατάψηλη, πάλε θα καταλάβετε πως βρίσκεστε σαν πρώτα, κάτω απ όλα τ άστρα...» (Κωστής Παλαµάς) 37

46 Β. ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΩΣ ΤΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗ. 1. Εκπαιδευτική Τεχνολογία Η τεχνολογία, αναµφισβήτητα, έχει προσφέρει πολλά. Τα ιστία, η πυξίδα και το πηδάλιο, η τυπογραφία, η ατµοµηχανή, η πενικιλίνη, το τηλέφωνο, ο δορυφόρος και ο ηλεκτρονικός υπολογιστής (Kumpulainen, 2007) είναι ακριβώς µερικά παραδείγµατα µεγάλων εφευρετικών καινοτοµιών, που µετέβαλαν το ρου της ιστορίας, αφού υπηρέτησαν ανθρώπινες σκοπιµότητες, όνειρα, επιδιώξεις και φιλοδοξίες. Στο πλαίσιο αυτό, ήδη από τις αρχές του προηγούµενου αιώνα, υπήρξε σηµαντική τεχνική πρόοδος, βελτίωση και διεύρυνση των δυνατοτήτων των ΜΜΕ της εποχής. Το ραδιόφωνο, ο τηλέγραφος, ο φωνογράφος, ο κινηµατογράφος και η τυπογραφία υπεισέρχονται βαθύτερα στα λαϊκά στρώµατα, αποκτούν κοινωνικά ερείσµατα και τα πρώιµα, ίσως δειλά και ψυχρά, σηµάδια πρακτικής και χρηστικής αποδοχής τους, αποτελούν πια ιστορικό, παρελθοντικό υλικό. Η εκπαίδευση βέβαια, ως αναπόσπαστο κοµµάτι της διαδικασίας εξέλιξης των ανθρώπων και µάλιστα πρωτεύουσας κοινωνικής και παρεµβατικής σηµασίας, αποτέλεσε πεδίο εφαρµογής τους, αποκοµίζοντας παράπλευρες ωφέλειες, δεδοµένου ότι αυτές οι εφευρέσεις (όπως αργότερα και ο ηλεκτρονικός υπολογιστής) εντάχτηκαν στην εκπαιδευτική και διδακτική διαδικασία, αν και δε σχεδιάστηκαν γι αυτόν τον σκοπό. Είναι όµως, αναπόφευκτη και δικαιολογηµένη, ανά τους αιώνες, η ανθρώπινη καταφυγή και η εναπόθεση ελπίδας σε διαδικασίες, µεθόδους και µηχανές, µε την προσδοκία, µέσω αυτών, να καταστεί η µάθηση ευκολότερη και αποτελεσµατικότερη. Ανέκαθεν χρησιµοποιούνταν διάφορα µέσα διδασκαλίας για την «απόκτηση» της γνώσης και, αργότερα, την «ανακάλυψη» ή την «κατασκευή» της. Αρχικά, επιστρατεύθηκε ο προφορικός λόγος, η µουσική, η ποίηση, η αφήγηση, η ζωγραφική και η χαρακτική και στη συνέχεια ο γραπτός λόγος, σε χειρόγραφη και έντυπη µορφή. Σήµερα έχουν την τιµητική τους τα οπτικοακουστικά εποπτικά µέσα και οι σύγχρονες ψηφιακές τεχνολογίες, που συνιστούν εργαλεία και µέσα παραγωγής, διάδοσης και επεξεργασίας πληροφοριών και γνώσεων και ανάπτυξης δεξιοτήτων (Σολωµονίδου, 2006). Αυτή η εισαγωγή διάφορων µορφών τεχνολογίας στην εκπαίδευση αποκτά ευρεία έκταση κατά τις αρχές του 20ου αιώνα. Ήδη, από το τέλος του Πρώτου Παγκοσµίου Πολέµου αναπτύσσεται στις ΗΠΑ µια βιοµηχανία παραγωγής εκπαιδευτικών ταινιών και ένα παιδαγωγικό ρεύµα µε στόχο την «οπτική» κατάρτιση των µαθητών, που πολύ γρήγορα µετατράπηκε σε «οπτικοακουστική» (Κόµης, 2004). Οπτικοακουστική συσκευή σηµαίνει οποιοσδήποτε εξοπλισµός, µε τα παρελκόµενα υλικά, η οποία ελέγχει µέσω µηχανικών ή ηλεκτρονικών µεθόδων, την παρουσίαση πληροφοριών, οπτικώς ή και ακουστικώς, για διδακτικούς σκοπούς. Εποµένως, ο κινηµατογράφος, το διαφανοσκόπιο, η τηλεόραση, οι συσκευές Slides, το µαγνητόφωνο και ο ηλεκτρονικός υπολογιστής είναι µερικά, ενδεικτικά παραδείγµατα, καθότι κλασικοί αντιπρόσωποι συσκευών οπτικοακουστικής τεχνολογίας. Οι απαρχές του «οπτικοακουστικού» κινήµατος θεµελιώνονται στα µέσα του 17ου αιώνα, µε την έκδοση του εικονογραφηµένου εγχειριδίου του Κοµένιου «The Visible World in Pictures». Ο µεγάλος αυτός Ολλανδός θεολόγος και παιδαγωγός ( ) πρότεινε να υιοθετηθεί, ως κύρια παιδαγωγική µέθοδος η αρχή της εποπτείας. ιακήρυττε ότι η µάθηση πρέπει να υπηρετείται από όλες τις αισθήσεις, δεδοµένου ότι αρχικά, µαθαίνουµε για όλα τα πράγµατα, µέσω των αισθήσεών µας. 38

47 Εποµένως, θεωρούσε ότι τα πραγµατικά αντικείµενα, οι εικόνες και τα σχέδια πρέπει να χρησιµοποιούνται, για να συµπληρώνουν τις προφορικές και γραπτές οδηγίες (Gagne, 1987). Οι ιδέες αυτές του Κοµένιου ξένιζαν τους αδιάφορους συγχρόνους αλλά και απογόνους του, ως τις αρχές όµως, του Εκεί βρήκαν ένθερµο υποστηρικτή στις εκπεφρασµένες παιδαγωγικές πεποιθήσεις του σηµαντικού Ελβετού παιδαγωγού και µεταρρυθµιστή Johann Pestalozzi, ο οποίος συνηγορούσε και επιχειρηµατολογούσε και αυτός σθεναρά, υπέρ της µάθησης, µέσω των αισθήσεων. Ακόµα, και ο Lewis Carroll πικρά διερωτόταν, µέσα από την Αλίκη του στη χώρα των θαυµάτων «Ποια είναι, άραγε, η χρησιµότητα ενός βιβλίου χωρίς εικόνες και συνοµιλίες;». Μια εκατονταετία αργότερα, στην άλλη άκρη του Ατλαντικού, µετά το πέρας των καταστροφικών πολέµων και το καταλάγιασµα των εµφύλιων παθών, ο προβολέας ταινιών ήταν µια από τις πρώτες οπτικοακουστικές συσκευές, οι οποίες χρησιµοποιήθηκαν στα σχολεία. Στις Ηνωµένες Πολιτείες, οι πρώτοι κατάλογοι εκπαιδευτικών φιλµ δηµοσιεύθηκαν το Ήταν τέτοιος ο ενθουσιασµός για την παιδαγωγική επαναστατικότητα και τη διδακτική αποτελεσµατικότητα, που κόµιζαν οι «κινούµενες εικόνες», ώστε να χρεωθεί µε µια ανεπιτυχή πρόβλεψη ο διάσηµος εφευρέτης Thomas Edison. «Τα βιβλία, σύντοµα, θα είναι παρωχηµένα στα σχολεία», είχε ισχυριστεί το Ίσως, όµως, η νέα τεχνολογική πραγµατικότητα του 21 ου αιώνα τον δικαιώσει, µέσω της αναµενόµενης έλευσης του µαθητικού υπολογιστή OLPC αλλά κυρίως, εξαιτίας της επαχθούς µαθητικής σάκας. Είναι ενδεικτικό πως έξι στα δέκα παιδιά, ηλικίας πρώτων τάξεων του ηµοτικού, που ζυγίζουν περίπου κιλά, υποφέρουν από πόνους, εξαιτίας προβληµάτων, που παρουσιάζουν στη σπονδυλική στήλη ύστερα από την καθηµερινή χρήση των σχολικών σακιδίων «βαρέων βαρών». Η τσάντα θα έπρεπε να ζυγίζει περίπου το 1/10 του βάρους τους (Εφηµερίδα, ΤΑ ΝΕΑ 30/08/2008). Αλλά και το υπουργείο Παιδείας µε την Φ. 12 / 472 / /Γ1 εγκύκλιο στις , µετά από τη µε αριθµό 3/2008 γνωµοδότηση του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου, εισηγείται ορισµένα µέτρα για την αντιµετώπιση της απαράδεκτης, βασανιστικής και απάνθρωπης αυτής κατάστασης. Τη δεκαετία του 30 δροµολογήθηκαν ουσιαστικές εξελίξεις σε τρεις χώρες, τις Ηνωµένες Πολιτείες, την Αγγλία και τη Γερµανία (Lee, 2000). Ο εύτερος Παγκόσµιος πόλεµος, δυστυχώς και αναµενόµενα, αποτέλεσε τροχοπέδη και φρενάρισε φυσικά, οποιαδήποτε οπτικοακουστική σχολική ανησυχία και ενδιαφέρον. Αντίθετα, άνθηση παρατηρείται στη χρήση συσκευών για στρατιωτικούς σκοπούς. Προβολείς σλάιντς, διαφανοσκόπια και διάφορα είδη ακουστικού εξοπλισµού χρησιµοποιήθηκαν εκτενώς, στην αναγνώριση (αερο)σκαφών και στην εκµάθηση ξένων γλωσσών. Επιπλέον, την εποχή αυτή κατέθεσαν τα διαπιστευτήριά τους και διάφοροι εξοµοιωτές πτήσεων (Gagne, 1987). Το 1950, η τηλεοπτική τεχνολογία άρχισε να αναπτύσσεται αλµατωδώς και να εισάγεται ως κύριο µέσο διδασκαλίας στην εκπαίδευση. Η πρωτοκαθεδρία τής «εκπαιδευτικής τηλεόρασης» ατόνησε στα µέσα του 1960 και συνεχώς φθίνει έκτοτε, λόγω της αµφίβολης και αβέβαιης παιδαγωγικής αξίας της πλειονότητας (και) των τηλεοπτικών προγραµµάτων, µια βεβαιωµένη στρεβλή, αντιπαιδαγωγική κατάσταση, που σταθερά και εµµόνως συνεχίζεται. Η σηµερινή ελληνική ερτζιανή πραγµατικότητα, παρέχει ζωτικό χώρο δράσης στην εκπαιδευτική τηλεόραση. Από το site του Υπουργείου Παιδείας παρατίθεται, το σχετικό κατατοπιστικό απόσπασµα, µε ηµεροµηνία προσπέλασης 25 Αυγούστου 2008: «Έργο της ιεύθυνσης Εκπαιδευτικής Ραδιοτηλεόρασης είναι η εφαρµογή ραδιοφωνικών και τηλεοπτικών προγραµµάτων µε στόχο την υποστήριξη της 39

48 εκπαιδευτικής διαδικασίας στην Πρωτοβάθµια και τη ευτεροβάθµια Εκπαίδευση, καθώς και ευρύτερα στην επιµόρφωση και τη δια βίου µάθηση. Η Εκπαιδευτική Τηλεόραση έχει αναδειχθεί διεθνώς σε προνοµιακό µηχανισµό διάχυσης της γνώσης µέσω προγραµµάτων εξ αποστάσεως εκπαίδευσης και εκποµπών γενικής παιδείας και πληροφόρησης. Η ιεύθυνση της Εκπαιδευτικής Ραδιοτηλεόρασης του ΥΠΕΠΘ καλύπτει τηλεοπτικά το σύνολο της ελληνικής επικράτειας, µέσα από το ανοικτό κύκλωµα της δηµόσιας τηλεόρασης (ΕΤ1). Προβάλλει περισσότερες από 600 µορφωτικές και εκπαιδευτικές εκποµπές κάθε χρόνο. Οι εκποµπές αυτές είναι µια εναλλακτική, οπτικοακουστική, εκπαιδευτική πρόταση για τους µαθητές όλων των βαθµίδων και όχι µόνον. Σε αυτές περιλαµβάνονται εκποµπές µαθηµατικών, φυσικών επιστηµών, οικολογίας, αστρονοµίας, σεξουαλικής αγωγής, αγωγής υγείας, εκποµπές για τον αθλητισµό, την τέχνη, την ιστορία, τον πολιτισµό, τη γεωγραφία, καθώς και γενικά θέµατα για µικρούς και µεγάλους. Το πρόγραµµα της Εκπαιδευτικής Τηλεόρασης µεταδίδεται από τη ΕΤ1 κάθε Παρασκευή, π.µ. και Σάββατο, 7-9 π.µ.». Άξια αναφοράς είναι και µια εντελώς πρόσφατη, σχετική ερευνητική δραστηριότητα, που παρουσιάστηκε σε ελληνικά Συνέδρια και καταχωρίστηκε στα οικεία πρακτικά τους: Η πρώτη δηµοσίευση τιτλοφορείται «Αξιοποιώντας την Εκπαιδευτική Τηλεόραση στη διδασκαλία της Πληροφορικής στο Γυµνάσιο: Μία διδακτική πρόταση µε αλληλεπιδραστικές δραστηριότητες υποτιτλισµού ταινιών» και παρουσιάστηκε στο 4ο Πανελλήνιο Συνέδριο ιδακτική της Πληροφορικής, που πραγµατοποιήθηκε στις Μαρτίου 2008, στο Πανεπιστήµιο Πατρών. Η δεύτερη πρόταση αφορά σε «ιδακτική πρόταση αξιοποίησης των ταινιών της Εκπαιδευτικής Τηλεόρασης στην Πρωτοβάθµια Εκπαίδευση, µέσω εκπαιδευτικού εργαλείου υποτιτλισµού» των εκπαιδευτικών Παπαδηµητρίου Σοφίας και Παπαδάκη Σπύρου, συγγραφέων και του προηγούµενου παραπλήσιου και σχετικού άρθρου. Η δεύτερη ανακοίνωση περιλαµβάνεται στα πρακτικά του 5oυ Πανελλήνιου Συνεδρίου της Επιστηµονικής Ένωσης Εκπαιδευτικών Πρωτοβάθµιας για τη διάδοση των Τ. Π. Ε. στην εκπαίδευση, που διεξήχθη στις 4 & 5 Οκτωβρίου 2008, στον Πειραιά. Μετά τον πόλεµο, η τεχνολογία περιορίστηκε σε χώρες µε πλούσιο υπόβαθρο πόρων, της Γερµανίας και Ιαπωνίας µη συµπεριλαµβανοµένων. Οι 2 αυτές χώρες, έως το 1955, είχαν ασθενική παρουσία στα τεχνολογικά, επιστηµονικά δρώµενα. Από την άλλη µεριά, η Σοβιετική Ένωση περιέλαβε στα µεταπολεµικά σχέδιά της την ανάπτυξη και εξέλιξη συσκευών υπολογισµού αλλά η άκρα µυστικότητα, που περιέβαλε τέτοια προγράµµατα, δεν επέτρεψε τη µεταφορά της τεχνολογίας τους στη ύση. Γι αυτό τον «ψυχροπολεµικό λόγο», σπουδαίοι Σοβιετικοί επιστήµονες ήταν παραγνωρισµένοι, µέχρι πρόσφατα (Lee, 2000). Η τεχνολογία εξελίχθηκε ραγδαία κατά τη δεκαετία του 1960, όπου συντελείται και το πρώτο ευρύ πέρασµα από τα παραδοσιακά µέσα διδασκαλίας στη χρήση των µαζικών µέσων επικοινωνίας (ΜΜΕ), για διδακτικούς σκοπούς (Κόµης, 2004). Την εποχή αυτή επινοείται ο γνωστός όρος «εκπαιδευτική τεχνολογία» (educational/instructional technology), που αρχίζει να αποτελεί και λήµµα των λεξικών αλλά και πεδίο αντιπαραθέσεων, µεταξύ των ειδηµόνων, ως προς την ερµηνεία και την απόδοσή του. Η αυξανόµενη χρήση των οπτικοακουστικών συσκευών είχε δηµιουργήσει έναν όρο µε ποικίλες έννοιες και νοήµατα. Οι συνεχείς αλλαγές, τροποποιήσεις και προσθήκες του σχετικού ορισµού είναι δηλωτικές των αλλεπάλληλων τεχνολογικών αλλαγών και βελτιώσεων. Ως επακόλουθο, πολλοί ορισµοί έχουν διατυπωθεί κατά καιρούς, αλλά ουδείς έχει καταφέρει να κερδίσει την παγκόσµια καθολική αποδοχή. 40

49 Ένας απλοϊκός ορισµός θέλει την εκπαιδευτική τεχνολογία ως τη χρήση ενός συνόλου ακριβών τεχνολογικών εργαλείων, για βελτίωση της διδασκαλίας και της µάθησης. Η µάθηση αρχίζει συχνά και επέρχεται µέσω της επικοινωνίας, η οποία υποβοηθείται πολλές φορές από κατάλληλο εξοπλισµό και τις συσχετιζόµενες µε αυτόν τεχνικές, διαδικασίες και µεθόδους. Αυτό το δίπολο αποδίδεται παγκοσµίως µε την οικουµενική λέξη media. Σήµερα, τα media περιλαµβάνουν στοιχεία υψηλής τεχνολογίας, όπως οι διάφορες µορφές και τύποι της τηλεόρασης αλλά και του ηλεκτρονικού υπολογιστή (Gagne, 1987). Ωστόσο, οι περισσότεροι ορισµοί της εκπαιδευτικής τεχνολογίας µπορούν να υπαχθούν σε δυο µόνο ταξινοµήσεις. Ο πρώτος τύπος ορισµών εξισώνει την τεχνολογία µε ένα ιδιαίτερο σύνολο εκπαιδευτικών µέσων, αναφερόµενων συχνά, ως οπτικοακουστικών συσκευών. Ο άλλος τύπος περιγράφει την εκπαιδευτική τεχνολογία ως µια διαδικασία προσέγγισης συστηµάτων. Το 1970, η Commission on instructional technology αποσαφηνίζει, δια παραδειγµάτων, τα δυο αυτά είδη ορισµών. Έτσι, εν πρώτοις, εκπαιδευτική τεχνολογία σηµαίνει τα µέσα που προέκυψαν από την επικοινωνιακή επανάσταση και συνάµα έχουν εκπαιδευτικό προσανατολισµό αλλά και επικουρική συνεισφορά, παράλληλα µε το δάσκαλο, το εγχειρίδιο και τον πίνακα. Τα µέσα αυτά περιλαµβάνουν και το υλικό (hardware) αλλά και το λογισµικό (software), όρους που ξεχωρίζουν τις µηχανές από τα προγράµµατα (Gagne, 1987). Ο δεύτερος ορισµός αποµακρύνεται από οποιοδήποτε µέσο ή συσκευή. Σύµφωνα µε τον ορισµό αυτό, η εκπαιδευτική τεχνολογία είναι ο συστηµατικός τρόπος σχεδίασης, πραγµατοποίησης και αξιολόγησης της συνολικής διαδικασίας της διδασκαλίας και µάθησης, ως προς την υλοποίηση των συγκεκριµένων στόχων, που βασίζονται σε ερευνητικά δεδοµένα του τρόπου επίτευξης της ανθρώπινης επικοινωνίας και µάθησης. Η συστηµατική αυτή προσέγγιση χρησιµοποιεί ένα συνδυασµό ανθρώπινων και µη πόρων, για να επιφέρει το επιθυµητό µαθησιακό αποτέλεσµα. Νωρίτερα, το 1963, λέξη κλειδί για τον ορισµό αποτελούσαν οι οπτικοακουστικές επικοινωνίες, οι οποίες σύµφωνα µ αυτόν, είναι κλάδος της εκπαιδευτικής θεωρίας και της πρακτικής, που ενδιαφέρεται για τη σχεδίαση και τη χρήση των µηνυµάτων, που ελέγχουν τη διαδικασία µάθησης, ενώ πρακτικός στόχος τους είναι η αποδοτική χρησιµοποίηση τους από κάθε µέθοδο και µέσο επικοινωνίας, τα οποία µπορούν να συµβάλουν στην αποτελεσµατικότητα της µάθησης. Το 1972 και 1977 παρουσιάστηκαν και άλλοι ορισµοί, οι οποίοι µετασχηµατίστηκαν, σταδιακά, και συγχωνεύτηκαν τελικά, σ αυτόν τον τελευταίο που προτάθηκε το 1994, όπως και οι 3 προηγούµενοι, από την Association for Educational Communication and Technology (AECT): «Η εκπαιδευτική τεχνολογία είναι η θεωρία και οι εφαρµογές της σχεδίασης, της ανάπτυξης, της χρησιµοποίησης, της διαχείρισης και της αξιολόγησης των διαδικασιών και των πόρων που σχετίζονται µε το φαινόµενο της µάθησης» (Januszewski, 2001), που τάσσεται, καταφανώς, µε το δεύτερο τύπο ορισµών, σύµφωνα µε τη δυαδική διαµέριση, που προηγουµένως διαλήφθηκε. 2. Εκφάνσεις της εκπαιδευτικής τεχνολογίας Η εκπαιδευτική τεχνολογία µπορεί, αδροµερώς, να διαχωριστεί σε τρεις µορφές: Στις διδακτικές µηχανές, στις τεχνολογίες πληροφόρησης και στους ηλεκτρονικούς υπολογιστές (Θεριανός, 2002). 41

50 Ως πρώτη, λοιπόν, ακραιφνής εφαρµογή της (Κόµης, 2004), πρώτος ερειστικός πυλώνας και συνάµα αιµοδότης της αποτελούν οι διδακτικές µηχανές, οι αγγελιοφόροι και ευαγγελιστές των υπολογιστών στην εκπαίδευση. 2.1 Οι διδακτικές µηχανές Οι µηχανές αυτές είναι συνυφασµένες και άρρηκτα συνδεδεµένες µε την «προγραµµατισµένη διδασκαλία». Στο είδος αυτό της διδασκαλίας κατέφυγαν οι Αµερικανοί πανικόβλητοι, µε σκοπό να υπερφαλαγγίσουν και να υπερακοντίσουν τη ρωσική διαστηµική κυριαρχία. Ήδη στις 4 Οκτωβρίου 1957, ο ρωσικός τεχνητός δορυφόρος Σπούτνικ (Sputnik) σηµατοδότησε την πρώτη ανθρώπινη νίκη κατά της νευτώνειας βαρύτητας, αφού εγκατέλειψε τη γη περιηγούµενος στο διάστηµα, κουνώντας προκλητικά και χαιρέκακα το µαντίλι στους επηρµένους Αµερικανούς, που µέχρι τότε βαυκαλίζονταν και κόµπαζαν µε τη εγωκεντρική και δογµατική τους πεποίθηση ότι αποτελούσαν τους µόνους γνώστες, κατακτητές και πρωτοπόρους της διαστηµικής τεχνολογίας. Η καθιερωθείσα έκφραση «Σπούτνικ σοκ» αποδίδει εµφατικώς και ευστόχως, την ιστορική αυτή αµερικανική, επιστηµονική ψυχρολουσία, καταµεσής του Ψυχρού πολέµου. Η χρονική συγκυρία της «ψυχροπολεµικότητας» επιδείνωσε κατά πολύ, την αµερικανική αυτή καταπληξία, και, φυσικά, κλόνισε και έθεσε, εν αµφιβόλω, το παντοκρατορικό τους, παραισθητικό ιδεολόγηµα Η προγραµµατισµένη διδασκαλία Η προγραµµατισµένη διδασκαλία (programmed instruction) αναπτύχθηκε από το σπουδαίο συµπεριφοριστή ψυχολόγο Β. F. Skinner, ως µια δυναµική συµβολή στην αντιµετώπιση και επίλυση µαθησιακών και εκπαιδευτικών προβληµάτων (εικόνα 39). Η παιδαγωγική αυτή καινοτοµία λανσαρίστηκε µε τη δηµοσίευση το 1954, του άρθρου του Skinner «The Science of Learning and the Art of Teaching». Στο δηµοσίευµα αυτό, ο µεγάλος Αµερικανός ψυχολόγος επιχειρηµατολογούσε υπέρ των πολλών πλεονεκτηµάτων των «διδακτικών µηχανών», αφού πίστευε ακλόνητα, ότι η Εικόνα 39. Β.F Skinner ( ) χρησιµοποίησή τους υπερτερεί έναντι των ελλειµµατικών και παιδαγωγικά ελλιπών, παραδοσιακών, εκπαιδευτικών τεχνικών. ιατεινόταν πως υπάρχει ένα άλλο είδος κύριου εξοπλισµού, που θα ενθαρρύνει το σπουδαστή για να αποκτήσει έναν ενεργό ρόλο στην εκπαιδευτική διαδικασία. Από την πειραµατική µελέτη της µάθησης έρχονται συσκευές, οι οποίες δηµιουργούν βέλτιστες συνθήκες, για αυτο-εκπαίδευση, ισχυριζόταν. Η δυνατότητα είχε αναγνωριστεί ήδη από το 1920, όταν ο Sidney L. Pressey σχεδίασε διάφορες µηχανές για τον αυτόµατο έλεγχο της νοηµοσύνης και των πληροφοριών (Skinner, 1958). Στην εικόνα 40 απεικονίζεται συσκευή αυτοελέγχου του Pressey, µε test πολλαπλής επιλογής. Ο µαθητής πιέζει το πλήκτρο, που αντιστοιχεί στην επιλογή του. Εάν αυτή είναι σωστή, η συσκευή προχωρά στην επόµενη ερώτηση (Skinner, 1958). Επιπλέον, και ο πολύ γνωστός Αµερικανός εκπαιδευτικός ψυχολόγος Edward Lee Thorndike ( ), αναφέρεται ως πρόγονος της προγραµµατισµένης 42

51 διδασκαλίας, αφού είχε προβλέψει, από το 1912, την ανάπτυξη ειδικών προγραµµατιστικών εργαλείων. Το σχέδιο τού Skinner στηριζόταν σε διάφορες αλληλοεξαρτώµενες αρχές. Πρότεινε τα «προγραµµατιστικά υλικά» (διδακτικές µηχανές ή προγραµµατισµένα βιβλία) να βασίζονται σε µια σειρά µικρών, διακριτών και διαδραστικών βηµάτων, καθένα από το οποία πρέπει να απαιτεί µια ενεργητική απάντηση-ανταπόκριση από το µαθητή. Στη συνέχεια, ο µαθητής θα λαµβάνει άµεση ανατροφοδότηση, σχετικά µε την ακρίβεια και την ορθότητα της απάντησής του. Είναι µια διδασκαλία Εικόνα 40. Συσκευή αυτοελέγχου του Pressey σχεδιασµένη εκ των προτέρων και παρουσιάζει την πληροφορία µε γραµµικό τρόπο (Κοµης, 2004). Ο Skinner θεωρούσε ακόµα, ότι κάθε µαθητής πρέπει να είναι ελεύθερος και απερίσπαστος στην ανάπτυξη και υιοθέτηση του δικού του προσωπικού ρυθµού µάθησης, εργαζόµενος έτσι, στα ωφέλιµα και αντιεξοντωτικά πλαίσια µιας εξατοµικευµένης διδασκαλίας. Η διδακτική µηχανή του Skinner (εικόνες 41, 42) ήταν µε τη σηµερινή ορολογία ένα «πρώιµο λογισµικό κλειστού τύπου, εξάσκησης και πρακτικής» µε κύρια (και µόνη) παιδαγωγική εφαρµογή την αξιολόγηση γνώσεων. Εικόνα 41. Μαθητές, µηχανές και διδασκαλία. Ο µαθητής γράφει την απάντηση σε µια χάρτινη ταινία στα δεξιά. Σηκώνει έπειτα µε το αριστερό του χέρι ένα µοχλό και η σωστή απάντηση αποκαλύπτεται (Skinner, 1958) Εικόνα 42. ιδακτική µηχανή για την αριθµητική. ώρο του B. F. Skinner, στο Cambridge, Massachusetts, Από εθνικό µουσείο αµερικανικής ιστορίας Για παράδειγµα στην εικόνα 43, παρουσιάζονται σειριακά, τα 6 επιµέρους βήµατα, που προτείνονται κατά την προγραµµατισµένη εκµάθηση της ορθογραφίας της λέξης «manufacture». Οι µαθητές κινούν sliders για να εµφανίσουν τα γράµµατα στα λευκά τετράγωνα. Το επόµενο βήµα προβάλλεται αυστηρά, µόνο όταν το προηγούµενο εκτελείται σωστά. Τελικά, στο 6ο βήµα οι µαθητές γράφουν τη λέξη για να ολοκληρώσουν την ίδια πρόταση που χρησιµοποιήθηκε στο 1ο βήµα. 43

52 Κατά τον Skinner, ακόµη και ένας αδύναµος µαθητής είναι πολύ πιθανό να γράψει τη µελετώµενη λέξη χωρίς ορθογραφικά λάθη, επειδή την έχει συνθέσει ή συµπληρώσει, ήδη πέντε φορές. Εικόνα 43. Τµηµατική, µηχανική, ορθογραφική καθοδήγηση, 6 βηµάτων, σε δεκάχρονους Οι Αµερικανοί υπερεκτίµησαν τις δυνατότητες των διδακτικών µηχανών και επένδυσαν σ αυτές, θεωρώντας τες ιδανικές περιπτώσεις επιστηµονικής και εκπαιδευτικής ανάνηψης, προσδίδοντας τους, ίσως, µαγικές και θαυµατο-ποιητικές προεκτάσεις. Λογίσθηκαν ως µέσα γρήγορου εκσυγχρονισµού τού αµερικάνικου εκπαιδευτικού συστήµατος (Θεριανός, 2002), ικανά να τονώσουν και να ενισχύσουν την ανταγωνιστικότητα έναντι των σοβιετικών στον αέναο, ατελέσφορο και απατηλό αγώνα, για την παγκόσµια κυριαρχία. Φυσικά, η παιδαγωγική αξία και ωφελιµότητα των διδακτικών µηχανών, δεδοµένης και της καταχρηστικότητας αλλά και της αστοχίας του όρου, και παρά τον αρχικό ενθουσιασµό, υπήρξε αχνή, λειψή και αµφίβολη, αφού οι χρήσεις τους δεν ευνοούσαν και δεν αξιοποιούσαν, επ ουδενί, τη διερεύνηση και τη ανακάλυψη, τους δύο κατεξοχήν δηλαδή, γεννήτορες και ταυτόχρονα, θεµελιώδεις συνιστώσες της µάθησης Συσκευές- πηγές πληροφοριών Η δεύτερη µορφή της εκπαιδευτικής τεχνολογίας αφορά στις συσκευές - πηγές πληροφοριών ήχου και εικόνας, όπως το ραδιόφωνο, το µαγνητόφωνο, η τηλεόραση ο κινηµατογράφος, το video κ.ά. Όπως προαναφέρθηκε, οι εκπρόσωποι αυτής της οπτικοακουστικής τεχνολογίας και της συµπεριφοριστικής σχολής ήγειραν, αρχικά, κύµατα εκπαιδευτικής ευφροσύνης, ευδαιµονίας και παιδαγωγικού ενθουσιασµού, αλλά όπως τις περισσότερες φορές συµβαίνει, η συνάντηση (ή και πρόσκρουση) µε τη σκληρή, ανάλγητη αλλά και αδέκαστη (;) πραγµατικότητα διαψεύδει τις πρώιµες προσδοκίες και ελπίδες, φυλλορροώντας τες. Αναφανδόν και αναµφίβολα, την τελειότερη και πληρέστερη, ως τα τώρα, τεχνολογική συνεισφορά στην εκπαιδευτική διαδικασία αποτελεί η τρίτη κατά σειρά αλλά πρώτη κατά σπουδαιότητα, θρυλική, «γραφική» και «εικονική» φιγούρα του ηλεκτρονικού υπολογιστή. 44

53 2.3. Ο ηλεκτρονικός υπολογιστής Στα πολλά πλεονεκτήµατα, που κοσµούν και ισχυροποιούν την εκπαιδευτική φαρέτρα του Η/Υ, εν είδει «µαθησιακών βελών», αναµφίβολα, συγκαταλέγονται το δυναµικό περιβάλλον διεπαφής, η φιλικότητα, η ευχρηστία, η ταχύτητα, η αλληλεπιδραστικότητα, τα πλούσια γραφικά, οι δυνατότητες πλοήγησης στον κυβερνοχώρο αλλά και συγχρονικής και ασύγχρονης επικοινωνίας, η αυτόµατη λήψη και αποστολή αρχείων, η µετάλλαξή του σε µέσο που αντικατέστησε παραδοσιακές συσκευές ήχου, εικόνας και διασκέδασης και φυσικά ο κατάλογος συνεχίζεται, όπως και θα εµπλουτίζεται καθηµερινά µε νέες (ίσως και εξωπραγµατικές) δυνατότητες. Οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές καταχωρίσθηκαν ως µέσα διδασκαλίας, ήδη από τη δεκαετία του Οι πρώτοι λειτουργικοί υπολογιστές που τέθηκαν σε χρήση ήταν ο MARK 1 το 1944 στο Χάρβαρντ και o ENIAC το 1946, στο Πανεπιστήµιο της Πενσυλβάνια. Η χρήση των υπολογιστών ευδοκίµησε, αρχικά, σε πρόσφορο υπερµέγεθες «µαθηµατικό» και «µηχανικό» έδαφος, σαν εργαλείο επίλυσης προβληµάτων. Ήταν δε περιορισµένη, κυρίως, στην ανάγνωση και πληκτρολόγηση κειµένων (Alessi & Trollip, 2005). Το 1959, στο πανεπιστήµιο του Ιλλινόις, ο Donald Bitier επινόησε το PLATO (Programmed Logic for Automatic Teaching Operations), το πρώτο, µεγάλης κλίµακας πρόγραµµα για τη χρήση των υπολογιστών στην εκπαίδευση. Το έργο αυτό παρείχε γραφικά και πρώιµα περιβάλλοντα προγραµµατισµού για την εκπαίδευση, µε τη βοήθεια υπολογιστών. Αργότερα, παρουσιάζονται και οι γλώσσες FORTRAN και BASIC, µε τη δεύτερη να διαδίδεται αµέσως και να καλύπτει πολλά γνωστικά αντικείµενα αλλά και όλες τις βαθµίδες της εκπαίδευσης (Molnar, 1997; Alessi & Trollip, 2005). Στο τέλος της δεκαετίας του 70, εξαιτίας και του παιδαγωγικού, εκπαιδευτικού και διδακτικού ενδιαφέροντος, για εξατοµικευµένη διδασκαλία, παρουσιάστηκαν οι µικροϋπολογιστές, που µετασχηµάτισαν άρδην και ολοκληρωτικά το πεδίο της εκπαιδευτικής τεχνολογίας. Ο Μικροϋπολογιστής Apple II και αυτός της IBM, αµέσως µετά το 1981, αποτέλεσαν την αιχµή του τεχνολογικού δόρατος, που άλωσε και εκπόρθησε το εκπαιδευτικό, παραδοσιακό και συµβατικό φρούριο. Ενδεικτικό της καταιγιστικής διείσδυσης των υπολογιστών είναι η αύξηση του ποσοστού χρήσης τους στα σχολεία της ευτεροβάθµιας εκπαίδευσης στην Αµερική, από το 1% στο 75%, µέσα στην εικοσαετία Την εποχή εκείνη υπήρχε ένα αυξανόµενο αίσθηµα ευφροσύνης, ανάµεσα σε µαθητές και ειδικά για τα µαθηµατικά, αφού θεωρούνταν ότι κάθε µαθηµατικό πρόβληµα θα επιλυόταν µε τη βοήθεια των υπολογιστών και όλη η µαθηµατική δραστηριότητα θα ήταν προσανατολισµένη σε αυτούς. Αυτή η εσφαλµένη µαθητική παραδοχή και προσδοκία ονοµάσθηκε, χλευαστικά, «κοµπιουτερίτιδα» (Eves, 1990). Βέβαια, οι υπολογιστές µπορούν να θεωρηθούν µαθηµατικά εργαλεία και πολύτιµοι µαθηµατικοί διευκολυντές, µόνο κατά την επεξεργασία µεγάλου πλήθους συµβόλων, σε εκτενείς υπολογισµούς και σε µεγάλης κλίµακας απαρίθµηση και έλεγχο προτύπων και περιπτώσεων (Eves, 1990). Γι αυτούς τους λόγους ο Υπολογιστής υπερτερεί του ανθρώπου. Με µηδενική πιθανότητα λάθους κάνει υπολογισµούς, που ο ανθρώπινος εγκέφαλος θα απαιτούσε χρόνο µεγαλύτερο της συµπαντικής ηλικίας, για να τους εκτελέσει. Προς το παρόν, ο Υπολογιστής ηττάται και υποσκελίζεται, τουλάχιστον σε 2 περιπτώσεις από ένα βιολογικό, ανθρώπινο ον: Στην αδυναµία αναπαραγωγής του και στη µηχανική περιχαράκωση της διάνοιάς του (Περσίδης, 1978). 45

54 Μαθηµατικά προβλήµατα και Υπολογιστής Πάντως, µερικά, ίσως και σοβαρά µαθηµατικά προβλήµατα, βρήκαν λυσιτελές απάγκιο και αναζωογονητική θαλπωρή στα θερµά κυκλώµατα και στους υπήνεµους διαδρόµους και καταχωρητές των επεξεργαστών των Ηλεκτρονικών Υπολογιστών. Για παράδειγµα, τα τελευταία χρόνια το θέµα εύρεσης των δεκαδικών ψηφίων του π έχει πάρει διαστάσεις πρωταθλητισµού και έχουν ανακαλυφθεί, µε τη βοήθεια των Η/Υ, ήδη από το 2001, πάνω από 50 δισεκατοµµύρια ψηφία (Μπλάτνερ, 2001). Μάλιστα, η ιστοσελίδα περιµένει κάποιον, που θα διαθέτει «ιώβεια υποµονή» και, ασφαλώς, θα αντιπαρατίθεται στη διαχρονική, διαχειριστική ρήση «χρόνου φείδου», ώστε να απαγγείλει το πρώτο µέχρι και το τελευταίο αναφερόµενο, το εκατοµµυριοστό ψηφίο του π. Εξάλλου, καταλυτική και καίρια είναι και η συνεισφορά των Η/Υ στην εύρεση των λεγόµενων τέλειων ή και φίλιων αριθµών. Η φιλία στα χρόνια των Πυθαγορείων είχε εξυψωθεί σε πολύ µεγάλο βαθµό, ώστε οι ακάµατοι αυτοί αριθµολόγοι ενδιαφέρθηκαν και για ζευγάρια αριθµών, που τους ονόµασαν φίλους, όπου ο ένας είναι το άθροισµα των γνήσιων διαιρετών του άλλου. Ένα ζεύγος τέτοιων αριθµών, που ανακάλυψαν οι Πυθαγόρειοι, είναι οι 284 και 220, δεδοµένου ότι 220 = (1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, 220) και το άθροισµα των γνήσιων διαιρετών ισούται µε 284, ενώ 284 = (1, 2, 4, 71, 142, 284) και =220. Πολύ αργότερα, ο Φερµά βρήκε το νέο ζευγάρι των αριθµών και Ο Ντε Καρτ ανακάλυψε το τρίτο ζεύγος ( , ). Ο Ελβετός Euler, από το 1747 και εντεύθεν, ασχολήθηκε ενδελεχώς, βρίσκοντας περίπου 60 νέα ζεύγη. Σήµερα, εξαιτίας της βοήθειας των ηλεκτρονικών υπολογιστών είναι γνωστά χιλιάδες ζεύγη φίλιων αριθµών (Eves, 1989). Οι Πυθαγόρειοι, αφού αντιστοίχιζαν τους τέλειους αριθµούς στους τέλειους ανθρώπους και τους φίλους στη φιλία, κατέληγαν στο συµπέρασµα ότι όπως σπανίζουν οι τέλειοι και οι φίλοι αριθµοί, έτσι σπανίζουν οι τέλειοι άνθρωποι και η φιλία µεταξύ των ανθρώπων (Εξαρχάκος, 1988). Τέλειος λέγεται ένας αριθµός, όταν είναι ίσος µε το άθροισµα των γνήσιων διαιρετών του. Ο αριθµός 6, για παράδειγµα είναι τέλειος γιατί οι διαιρέτες του, εκτός του 6 φυσικά, είναι οι 1, 2, 3 και 1+2+3=6. Το ίδιο συµβαίνει µε τον 28, αφού ισχύει 28 = (1, 2, 4, 7, 14, 28) και =28, δηλαδή ο 28 είναι ο επόµενος τέλειος αριθµός. Οι επόµενοι 5 τέλειοι αριθµοί εµφανίζονται παρακάτω: 496 = = 2 4 (2 5-1) = = 2 6 (2 7-1) = = 2 12 (2 13-1) = = 2 16 (2 17-1) = = 2 18 (2 19-1) Ο Ευκλείδης είχε δείξει στο Ένατο Βιβλίο των Στοιχείων του, ότι αν ο αριθµός 2 ν-1 είναι πρώτος, τότε ο 2 ν-1 (2 ν -1) είναι τέλειος. Σήµερα, κάθε πρώτος αριθµός της µορφής 2 ν-1, καλείται πρώτος του Mersenne. Ο Euler συµπλήρωσε την απόδειξη, αποδεικνύοντας ότι ο a είναι ένας άρτιος τέλειος αριθµός, αν και µόνο αν, έχει τη µορφή a= 2 ν-1 (2 ν -1). Περιττός τέλειος, µέχρι στιγµής, δεν έχει βρεθεί. Μέχρι σήµερα (Νοέµβριος του 2008), είναι γνωστοί 46 πρώτοι αριθµοί του Mersenne και συνεπακόλουθα 46 τέλειοι αριθµοί! Στις 23 Αυγούστου 2008, από έναν υπολογιστή στο UCLA (University of California, Los Angeles), στον οποίο εγκαταστάθηκε το ελεύθερο λογισµικό-µηχανή GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) ανακαλύφθηκε ο , ο 45ος πρώτος του Mersenne, ένας αριθµός ψηφίων! Ακριβώς 2 βδοµάδες αργότερα, στις 6 Σεπτεµβρίου ο 46

55 46 ος πρώτος του Mersenne, ήταν γεγονός. Ανακαλύφθηκε από τον Hans-Michael Elvenich στο Langenfeld, κοντά στην Κολονία, στη Γερµανία. Είναι ο , µε ψηφία. Αξιοσηµείωτο είναι ότι είναι ο πρώτος εκτός σειράς από το 1988, τότε που οι Colquitt and Welsh εντόπισαν τον , µεταγενέστερα, των (1982) και (1985). Οι δύο αυτές πρόσφατες ανακαλύψεις, φιγουράρουν στην 29 η θέση των «50 καλύτερων εφευρέσεων του 2008», του περιοδικού TIME. Η δε µηχανή «GIMPS» διεκδικεί το βραβείο των $ του Electronic Frontier Foundation, εξαιτίας της ανακάλυψης πρώτου αριθµού του Mersenne, µε περισσότερα από 10 εκατοµµύρια ψηφία (πηγή: Φυσικά, από οποιαδήποτε ιστορική αναδροµή δε θα ήταν απών ο επιστηµονικός, µαθηµατικός άθλος µε τα τεχνολογικά του δεκανίκια, η απόδειξη δηλαδή, του «θεωρήµατος των τεσσάρων χρωµάτων». Αυτό το διάσηµο θεώρηµα έχει µια ιστορία 156 χρόνων. ιατυπώθηκε από τον Άγγλο Francis Guthrie το 1852, όταν παρατήρησε ότι τέσσερα χρώµατα είναι αρκετά για να επισηµανθούν οι νοµοί, σε ένα χάρτη της Αγγλίας. Γενικότερα, το θεώρηµα δηλώνει ότι οποιοδήποτε επίπεδο, το οποίο χωρίζεται σε περιοχές (όπως ένας πολιτικός χάρτης) µπορεί να χρωµατισθεί, χρησιµοποιώντας το πολύ τέσσερα διαφορετικά χρώµατα. Οι µόνοι, απλοί «κανόνες του χρωµατίσµατος» αναφέρονται παρακάτω: Οι όµορες-γειτονικές περιοχές πρέπει να έχουν διαφορετικά χρώµατα. Περιοχές που µοιράζονται µια γωνία (σηµείο) µπορούν να είναι οµόχρωµες (π.χ. τα ζεύγη περιοχών 19, 4 και 7, 8 στον παρακάτω χάρτη) Κάθε περιοχή πρέπει να είναι συνεχόµενη. Για παράδειγµα οι Η.Π.Α δεν είναι συνεχόµενη χώρα, λόγω της Αλάσκας. Μολονότι το θεώρηµα είναι αρκετά δύσκολο να αποδειχθεί, εντούτοις το πρόβληµα του χρωµατισµού χαρτών είναι εύκολο να κατανοηθεί και να εξηγηθεί. Μεγάλοι µαθηµατικοί εργάσθηκαν σκληρά και επί µαταίω, για την απόδειξη αυτού του απλού και απλοϊκού, φαινοµενικά, προβλήµατος. Μια λανθασµένη Εικόνα 44. Θεώρηµα των τεσσάρων χρωµάτων απόδειξη δηµοσιεύτηκε το 1879 από τον Alfred Kempe και το πρόβληµα θεωρούνταν λυµένο για µια δεκαετία, ωσότου το λάθος εντοπισθεί. Μετά την κατάρρευση της 47

56 απόδειξης του Kempe, πολλοί µαθηµατικοί, ερασιτέχνες και επαγγελµατίες, προσπάθησαν να λύσουν αυτό το ιντριγκαδόρικο θεώρηµα, αποκαλούµενο ως «Υπόθεση των 4 χρωµάτων» (Lovász & Pelikán & Vesztergombi, 2003). Αρκετές εσφαλµένες αποδείξεις κατατέθηκαν χωρίς φυσικά, έγκυρο επιστηµονικά αντίκρισµα, γεγονός που παραπέµπει ευθέως, στο «Τελευταίο θεώρηµα του Φερµά», το µαθηµατικό θεώρηµα που ταλαιπώρησε, για 350 περίπου χρόνια, γενιές µαθηµατικών, που καταπιάστηκαν µε την επίλυσή του και συγκεντρώνει, µέχρι στιγµής, τις περισσότερες, λανθασµένες απόπειρες απόδειξής του. Ο Φερµά ( ), Γάλλος, ερασιτέχνης µαθηµατικός, ισχυρίστηκε, πως δεν υπάρχουν φυσικοί αριθµοί x, y, z, n µε n>2 τέτοιοι ώστε x n +y n =z n. Για παράδειγµα, δεν υπάρχουν φυσικοί αριθµοί x, y, z τέτοιοι ώστε x 4 +y 4 =z 4. Μέχρι τις αρχές της προηγούµενης δεκαετίας κανένας δεν µπορούσε να αποδείξει αυτόν τον ισχυρισµό του Φερµά ή να βρει ένα αντιπαράδειγµα. Ως σπουδαία καταγράφεται η προσπάθεια του Ernst Kummer ( ), o οποίος αφού ανέπτυξε τη σηµαντική θεωρία των ιδεωδών, απόδειξε τον ισχυρισµό του Φερµά, για πολλές τιµές του n. Τελικά, το στοιχειωµένο θεώρηµα του Φερµά επιλύθηκε το 1994 µε µεθόδους της Αλγεβρικής Γεωµετρίας, από τον Andrew Wiles, ο οποίος κατέθεσε µια λαθεµένη απόδειξη αρχικά, τον Ιούνιο του 1993, η οποία διορθώθηκε µε τη βοήθεια του Richard Taylor, το Σεπτέµβριο του 1994 και δηµοσιεύθηκε, αφού εξακριβώθηκε η ορθότητά της, το Μάιο του Η λύση αυτή του Andrew Wiles (Ουάιλς), στηρίχθηκε σε όλες, σχεδόν, τις σηµαντικές µαθηµατικές ανακαλύψεις των 100 τελευταίων ετών, συνδυάζοντάς τες περίτεχνα και αριστουργηµατικά, πετυχαίνοντας έτσι, ένα επιστηµονικό θαύµα (Aczel, 1998; Singh, 1998). Κάτι ανάλογο (µα µικρότερης κλίµακας) σηµειώθηκε και µε τις άστοχες και ανεπιτυχείς προσπάθειες επίλυσης της Υπόθεσης των 4 χρωµάτων, αφού αποτέλεσαν αυτές τη θρυαλλίδα για την ανάπτυξη ενός ολοκληρωτικά νέου τοµέα των Μαθηµατικών, της θεωρίας γραφηµάτων. Ώσπου το 1976, ο Kenneth Appel and Wolfgang Haken παρουσίασαν µια απόδειξη της υπόθεσης τεσσάρων χρώµατος την οποία και µετονόµασαν πια, αναγκαστικά, σε «θεώρηµα των τεσσάρων χρωµάτων». Το θεώρηµα αυτό ήταν το πρώτο, που αποδείχθηκε µε τη βοήθεια Υπολογιστών. Έτσι, κατέστη εφικτός ο έλεγχος ενός τεράστιου αριθµού δυνητικών περιπτώσεων, οι οποίες περιέχονται σε αρκετές εκατοντάδες σελίδες, µε πολύπλοκες λεπτοµέρειες, ενώ δαπανήθηκαν τουλάχιστον ώρες υπολογισµών σε υπολογιστή. Ανεπιφύλακτα, η λύση του προβλήµατος των τεσσάρων χρωµάτων, το καλοκαίρι του 1976, πρέπει να θεωρηθεί ως µια µεγάλη στιγµή των µαθηµατικών (Lovász & Pelikán & Vesztergombi, 2003; Eves, 1990). Βέβαια, µια «καθαρή» µαθηµατική απόδειξη είναι, σαφώς καλοδεχούµενη, δεδοµένου ότι υπάρχουν λόγοι για τους οποίους η «τεχνολογική απόδειξη» των Appel και Haken δεν είναι απολύτως ικανοποιητική και έτσι, στερείται γενικής επιστηµονικής αποδοχής. Η απόδειξη αυτή, σύµφωνα µε τα επιχειρήµατα των πολέµιων και των αντιφρονούντων, παραµένει πληµµελής και ελλιπής, αφού µέρος της χρησιµοποιεί υπολογιστή που δεν µπορεί να ελεγχθεί µε το χέρι, αλλά ακόµη και το µέρος που είναι υποθετικά ελέγξιµο µε το χέρι, είναι εξαιρετικά περίπλοκο και κουραστικό και, από όσο είναι γνωστό, κανένας δεν το έχει ελέγξει στην ολότητά του. Πάντως, η ιστοσελίδα παρέχει αιτιάσεις και αποδεικτικούς ισχυρισµούς, περί καθαρής, αγνής και αµόλυντης τεχνολογικά λύσης. 48

57 Στις αρχές της δεκαετίας του 1970 ο Seymour Papert, στο MIT, ανέπτυξε µια νέα διαφορετική προσέγγιση των υπολογιστών στην εκπαίδευση. Ανέπτυξε µια γλώσσα προγραµµατισµού, τη LOGO, για να ενθαρρύνει την αυστηρή σκέψη, που απαιτούν τα µαθηµατικά. Ήταν δε, τόση η ευφροσύνη για τα προσδοκώµενα µαθησιακά αποτελέσµατα, που στις αρχές του 1980 ο Papert, σε ένα άρθρο του, είχε προφητεύσει, ανεπιτυχώς, ότι ο υπολογιστής θα ανατινάξει και θα κονιορτοποιήσει τα σχολεία. Η πρόβλεψη αυτή αποτέλεσε µάλλον κακό και δυσµενή οιωνό, δεδοµένου ότι λίγα χρόνια αργότερα υπήρξε µια σαφής και καταφανής γενική αναδίπλωση, αφού οι αναµενόµενες, επαναστατικές εκπαιδευτικές αλλαγές αποδείχτηκαν, µάλλον, χιµαιρικές. Ευτυχώς όµως, στις αρχές του τρέχοντος αιώνα, το ενδιαφέρον για αξιοποίηση του υπολογιστή στη διδακτική διαδικασία αναζωπυρώθηκε. Ως κύρια, ίσως και αποκλειστική αιτία αυτής της αναθερµάνσεως προβάλλουν τα θέλγητρα και κάλλη του παγκόσµιου, διαδικτυακού ιστού (Βοσνιάδου, 2006; Pelgrum, 2001) Το Internet ( ιαδίκτυο) Το Internet ( ιαδίκτυο) είναι ένα καθολικό δίκτυο υπολογιστών, που παρέχει πόρους και δεδοµένα. Ξεκίνησε, ως ΑRPAnet το 1969 στις ΗΠΑ, συνδέοντας 4 ηλεκτρονικούς υπολογιστές Πανεπιστηµίων. Αργότερα χρησιµοποιήθηκε για στρατιωτικούς σκοπούς και το 1989 µετονοµάσθηκε σε Internet και αριθµούσε περίπου Η/Υ. Την τελευταία δεκαετία ο παγκόσµιος Ιστός αναπτύχθηκε αλµατωδώς και από ένα εξειδικευµένο εργαλείο για επιστήµονες, µετασχηµατίσθηκε σε έναν παγκόσµιο χώρο πληροφοριών µε περισσότερους από ένα δισεκατοµµύριο χρήστες παγκοσµίως. Αυτήν την περίοδο επιστρέφει στις ρίζες του, ως ένα εργαλείο ανάγνωσης και γραφής, αλλά ταυτόχρονα εισέρχεται σε µια νέα φάση, βαφτισµένη ως Web 2.0, µε έµφαση και επένδυση στην κοινωνικότητα και στη συµµετοχικότητα (Anderson, 2007). Από πανευρωπαϊκή έρευνα, που διεξήχθη µεταξύ των 27 κρατών µελών το 2006, διαπιστώθηκε ότι οι υπολογιστές και το ιαδίκτυο είναι, ήδη, τετριµµένο και κοινότοπο εξοπλιστικό υλικό, αφού χρησιµοποιούνται ευρέως στις σχολικές αίθουσες των περισσότερων χωρών. Μάλιστα, επιτελέστηκε µια αξιοσηµείωτη αύξηση στη χρήση των ΤΠΕ κατά τη διάρκεια των προηγούµενων 5 ετών µε µια σαφή στροφή στην ευρυζωνικότητα (Korte & Hüsing, 2006). Τα υψηλότερα ποσοστά της ευρυζωνικής σύνδεσης στα σχολεία βρίσκονται, φυσικά, στις σκανδιναβικές χώρες, στην Ολλανδία, την Εσθονία και τη Μάλτα, όπου περίπου 90% των σχολείων έχουν γρήγορη σύνδεση στο ιαδίκτυο. Στον αντίποδα, και ακριβώς στον διαδικτυακό πυθµένα, κατατάσσεται η Ελλάδα, κατέχοντας, όπως τις περισσότερες φορές, τα θλιβερά και αποκαρδιωτικά πρωτεία στην εκπαιδευτική οπισθοδρόµηση, τελµάτωση και νεκρότητα, οφειλόµενη καταφανώς και στους χελωνοειδείς τεχνολογικούς ρυθµούς της. Μόνο το 13% των σχολείων µας διαθέτουν ευρυζωνική σύνδεση, ενώ το µέσο ποσοστό διείσδυσης στα σχολεία της ευρωπαϊκής ένωσης ανέρχεται, περίπου, στο 70%. Ως προς τον αριθµό των υπολογιστών, ανά 100 µαθητές, στα ευρωπαϊκά σχολεία, το 2006, η χώρα µας καταλαµβάνει, µε 6,5%, την 23η θέση, µε πρώτη τη ανία µε 27,3%. Ουραγός δυστυχώς, ως συνήθως, παρέµενε η Ελλάδα και στο ποσοστό των σχολείων που διέθεταν υπολογιστές στις τάξεις το 2006, µε µόνο 18%, σε 49

58 αντιδιαµετρική αντίθεση µε το 95% του Ηνωµένου (και...υπολογιστικού για αυτό το λόγο) Βασιλείου (Korte & Hüsing, 2006). Γενικώς, η Ελλάδα δεν επενδύει σε νέες τεχνολογίες. Για δεύτερο χρόνο το 2007, οι σχετικές δαπάνες έµειναν παγωµένες στο 0,57% του ΑΕΠ (Eurostat) έναντι 1,83% του κοινοτικού µέσου όρου και 3,63% στη Σουηδία (Εφηµερίδα ΚΥΡΙΑΚΑΤΙΚΗ, 21/12/2008). Μερικές, ενδεικτικές (έστω και αργές, για τα ελληνικά σχολεία) χρήσεις και υπηρεσίες τού διαδικτύου παρατίθενται παρακάτω: Παγκόσµιος Ιστός (WWW) από το 1991 Ηλεκτρονικό Ταχυδροµείο ( ) Μεταφορά και Αποθήκευση Αρχείων µε FTP Αίθουσες Συνοµιλίας (chat rooms) Οµάδες Συζητήσεων, forae (Aσύγχρονα) Τηλεδιάσκεψη (Σύγχρονη επικοινωνία) Blogs Πλατφόρµες ασύγχρονης τηλεκπαίδευσης, για διαχείριση εκπαιδευτικού περιεχοµένου (Moodle, e-class) Wikis για συνεργατική συγγραφή κειµένων στο διαδίκτυο. Ο όρος προέρχεται από µια χαβανέζικη λέξη που σηµαίνει «γρήγορος». Το πιο γνωστό παράδειγµα wiki είναι η διάσηµη on line εγκυκλοπαίδεια «Wikipedia», που δηµιουργείται, τροποποιείται και ελέγχεται από τα µέλη της ψηφιακής κοινότητας (Freedman, 2006). Το Πανελλήνιο Σχολικό δίκτυο ήδη, υποστηρίζει συνεργατικά περιβάλλοντα Wikis. Μηχανές αναζήτησης, όπως η παντοκρατορική Google αλλά και (µόνο για λόγους ακαδηµαϊκής πληροφόρησης), Altavista, Yahoo, Msn, Lycos, Ask, Alltheweb. Επίσης και οι ελληνικές µηχανές κ.ά. Υπηρεσίες επικοινωνίας και τηλεφωνίας (Skype, oovoo) Ελεύθερη διανοµή πολυµέσων (Youtube) Υπηρεσίες RSS, για αυτόµατη ενηµέρωση για θέµατα και σχετικές πληροφορίες, δίχως την υποχρέωση για επίσκεψη και πλοήγηση των αντίστοιχων ιστοσελίδων, που τις φιλοξενούν Συνεργατικά Περιβάλλοντα, όπως το «SYNERGO», Collaborative Mapping Environment, που αναπτύχθηκε από την οµάδα Αλληλεπίδρασης Ανθρώπου Υπολογιστή του Πανεπιστηµίου Πατρών, Τεχνικές AJAX (ακρωνύµιο από: Asynchronous JavaScript And XML), υποστηριζόµενες από την Coogle, για τη δηµιουργία γρηγορότερων, χρηστικότερων και φιλικότερων διαδικτυακών εφαρµογών Πύλες, όπως οι εκπαιδευτικού ενδιαφέροντος και περιεχοµένου alfavita.gr, eduportal.gr, e-yliko.gr, edra.gr κ.ά. Τελευταία, σηµειώνεται µεγάλη αποδοχή και χρήση των blog, αφού αυτά προσφέρονται αδιαµφισβήτητα, για εκπαιδευτική χρήση και παιδαγωγική αξιοποίηση. Το σχολικό δίκτυο παρέχει ήδη, τη δυνατότητα στους εκπαιδευτικούς για τη δηµιουργία του προσωπικού τους blog. 3. ΤΠΕ στην εκπαίδευση Οι όροι «Πληροφορική» αλλά και οι «Νέες Τεχνολογίες» παραχώρησαν ευγενώς τη θέση τους στον διεθνώς καθιερωµένο όρο «Τεχνολογίες Πληροφορίας και Επικοινωνιών», γνωστό και µε το ακρωνύµιο Τ.Π.Ε. Ο όρος ΤΠΕ είναι πιστή µετάφραση του αγγλικού «Information & Communication Technologies» (ICT) και 50

59 ορίζεται ως «όλα τα εκπ/κά και πολιτισµικά προϊόντα και υπηρεσίες που εµπλέκονται στη συνδυαστική χρήση διαφόρων µέσων και στις οποίες η πρόσβαση επιτυγχάνεται µέσω της τηλεόρασης ή των Η/Υ» (Βοσνιάδου, 2006) ή ως «οι τεχνολογίες που επιτρέπουν την επεξεργασία και τη µετάδοση µιας ποικιλίας µορφών αναπαράστασης της πληροφορίας (σύµβολα, εικόνες, ήχοι, βίντεο) και αφετέρου τα µέσα, που είναι φορείς αυτών των άυλων µηνυµάτων» (Κόµης, 2004), αλλά και ως «οι σύγχρονες ψηφιακές τεχνολογίες που επιτρέπουν την κωδικοποίηση, επεξεργασία, αποθήκευση, αναζήτηση, ανάκληση και µετάδοση της πληροφορίας σε ψηφιακή µορφή µε χρήση υπολογιστών αλλά και δικτύων υπολογιστών» (Tinio, 2003). Αυτές οι τεχνολογίες, αποκρυσταλλώνοντας τους παραπάνω ορισµούς, περιλαµβάνουν, ευνοήτως, τους υπολογιστές, το ιαδίκτυο, τις τεχνολογίες αναµετάδοσης και την τηλεφωνία. Η ρητορική η οποία έχει αναπτυχθεί την τελευταία περίπου τριακονταετία, επικεντρώνεται στην (ανα)ζητούµενη βελτίωση τής αποδοτικότητας και της αποτελεσµατικότητας της εκπαίδευσης, µέσω της χρήσης των ΤΠΕ. Μια εδραιωθείσα αρχικά, πεποίθηση, περί της επαναστατικότητας που κοµίζουν οι τεχνολογίες, δεν ήταν παρά ένα απατηλό όνειρο και ένας µύθος (Βοσνιάδου, 2006). Ως ευκταία όµως και αισιόδοξη εξέλιξη εµφανίζεται η τρέχουσα βεβαιότητα ότι οι ΤΠΕ είναι όχι µόνο η σπονδυλική στήλη της Κοινωνίας της Πληροφορίας αλλά και ένας σηµαντικός καταλύτης και ένα σπουδαίο εργαλείο για τις εκπαιδευτικές µεταρρυθµίσεις, οι οποίες θα µεταβάλλουν τους µαθητές σε παραγωγικούς «εργάτες γνώσης». Πολλές κυβερνήσεις, προς το τέλος της δεκαετίας του 1990, είχαν αναπτύξει καινοτόµα και µεγαλεπήβολα σχέδια, ώστε να ενισχύσουν τις επενδύσεις, σχετικά µε την ένταξη και ενσωµάτωση των ΤΠΕ στην εκπαίδευση (Pelgrum, 2001). Οι δυνατότητες για µάθηση, µέσω των ΤΠΕ, που χρησιµοποιούνται συνήθως στην εκπαίδευση, είναι οι κάτωθι (Tinio, 2003): Η µάθηση µέσω «e-learning», αν και συνδέεται περισσότερο µε την τριτοβάθµια εκπαίδευση και µε διάφορεςς µορφές επιµόρφωσης, καλύπτει την µάθηση σε όλα τα επίπεδα, επίσηµα και µη, η οποία χρησιµοποιεί, πλήρως ή εν µέρει, δίκτυα πληροφοριών (διαδίκτυο, τοπικό ή extranet), για την παράδοση µιας σειράς αλληλεπιδραστικών µαθηµάτων. Η µάθηση µέσω Κινητών Συσκευών (M-learning) είναι κάθε µορφή µάθησης, που αξιοποιεί τις δυνατότητες που προσφέρουν οι φορητές συσκευές ασύρµατης τεχνολογίας. Οι τεχνολογίες mobile-learning µεταφέρουν τη γνώση κοντά στον τόπο και στη διαδικασία της εφαρµογής της, απαλλάσσοντας τους εκπαιδευόµενους από τη χρονοβόρα και ασφυκτική αναγκαιότητα της παρουσίας τους σε συγκεκριµένο χώρο. Η Blended Learning (Συνδυαζόµενη µάθηση), µια σύγχρονη παιδαγωγική προσέγγιση, µε την «δια ζώσης» παραδοσιακή πρακτική στις αίθουσες, συνεπικουρούµενη από e-learning και m-learning µαθησιακές πρακτικές. Η ανοικτή και από απόσταση εκπαίδευση ορίζεται ως ο διαζευτικός τρόπος εκπαίδευσης, ο οποίος χαρακτηρίζεται από το χωρισµό του δασκάλου και του µαθητή, ως προς το χώρο ή/και το χρόνο. Μετέρχεται ποικίλων µέσων και τρόπων εφαρµογής, συµπεριλαµβανοµένης έντυπης και ηλεκτρονικής ύλης, αµφίδροµης, αλληλεπιδραστικής επικοινωνίας δασκάλων και µαθητών, όπως και της δυνατότητας περιστασιακών συναντήσεων τους. Το Ανοικτό Πανεπιστήµιο του Ηνωµένου Βασιλείου 51

60 (The Open University), που ιδρύθηκε το 1969, είναι το πρώτο εκπαιδευτικό ίδρυµα στον κόσµο, που αφιερώθηκε πλήρως στην ανοικτή και από απόσταση εκπαίδευση. Στηρίζεται, ακόµα, σε µεγάλο ποσοστό στην έντυπη ύλη, που συµπληρώνεται από το ραδιόφωνο, την τηλεόραση και, τελευταία, από on-line µεθόδους. Το αντίστοιχο Ελληνικό Ανοιχτό Πανεπιστήµιο (ΕΑΠ) ιδρύθηκε το 1992, σύµφωνα µε το άρθρο 27 του Ν. 2083/92, ενώ το 1998 σηµατοδοτήθηκε µε την έναρξη παροχής των δύο πρώτων προγραµµάτων σπουδών του. Η επιτυχία του δε, παρά τα υψηλά δίδακτρα, µε κριτήριο φυσικά, τη ζήτηση, είναι εντυπωσιακή και πρωτοφανής, δεδοµένου ότι για τα προγράµµατα του , υποβλήθηκαν αιτήσεις, για προσφερόµενες θέσεις. Σήµερα, στον ελληνικό χώρο, συµβατικά Πανεπιστήµια προσφέρουν µεταπτυχιακά προγράµµατα και µε µεθόδους ανοικτής και εξ αποστάσεως διδασκαλίας. Η Μάθηση βασισµένη σε µαθητοκεντρικά περιβάλλοντα την οποία πρεσβεύουν και επαγγέλλονται οι σύγχρονες εποικοδοµιστικές (κονστρουκτιβιστικές) θεωρήσεις. Η βασική αρχή του εποικοδοµισµού (κονστρουκτιβισµού), που αποτελεί την επικρατέστερη θεωρία της εποχής µας, στηρίζεται στην αποδοχή της µάθησης ως µιας ενεργητικής διαδικασίας, κατά την οποία τα άτοµα «κατασκευάζουν» τη γνώση, µέσω της ενεργοποίησης, επιστράτευσης και επίδρασης των προγενέστερων γνώσεων και εµπειριών τους. Κατά τη θεωρία αυτή, ο ρόλος της συνεργατικότητας στη διαδικασία της µάθησης είναι θεµελιακός και κεφαλαιώδης. Οι ΤΠΕ προσφέρουν αυθεντικές µαθησιακές καταστάσεις και είναι µετασχηµατιστικά εργαλεία που έχουν γνωρίσµατα και χαρακτηριστικά, που ευνοούν τις κοινωνικοπολιτισµικές αλληλεπιδράσεις, όπως και τη σχεδίαση, ανάδειξη και δηµιουργία συνεργατικών και µαθητοκεντρικών περιβαλλόντων µάθησης. Τρία είναι τα µοντέλα που αποτέλεσαν τα οχήµατα ένταξης των ΤΠΕ στην Εκπαίδευση: Το τεχνοκεντρικό µοντέλο µε ακραιφνές µάθηµα Πληροφορικής, ως διακριτό γνωστικό αντικείµενο, µε βασικό στόχο την απόκτηση δεξιοτήτων στη χρήση του υπολογιστή. Αφορά, αποκλειστικά, τους εκπαιδευτικούς πληροφορικής Το ολοκληρωµένο ή ολιστικό µοντέλο, στο οποίο οι ΤΠΕ διαχέονται εγκάρσια στο εύρος του αναλυτικού προγράµµατος, ως µέσο έκφρασης διαθεµατικής προσέγγισης, υποστηρίζοντας και αξιοποιώντας παιδαγωγικές, µεθοδολογικές και διδακτικές αρχές, µέσω της ένταξης και ενσωµάτωσης της χρήσης των ΤΠΕ στη ζώσα, εκπαιδευτική διαδικασία. Το πραγµατολογικό µοντέλο, που αποτελεί τη σύνθεση των δυο προηγούµενων προτύπων. Ένα τέτοιο µοντέλο χαρακτηρίζει και υπηρετεί την ελληνική ευτεροβάθµια Εκπαίδευση. Μάλιστα, εστιάζοντας στην ελληνική εκπαιδευτική πραγµατικότητα, το σχετικά επιτυχηµένο αλλά αρκετά καθυστερηµένο, πρόσφατα υλοποιηθέν (Νοέµβριος 2008), πρόγραµµα Επιµόρφωσης Εκπαιδευτικών «Β Επιπέδου», σε «θέµατα εφαρµογής των Τ.Π.Ε. στη διδακτική πράξη, στην απόκτηση βασικών γνώσεων και δεξιοτήτων στη χρήση των Τ.Π.Ε. στην εκπαίδευση» αλλά και «στην παιδαγωγική αξιοποίηση εκπαιδευτικού λογισµικού, λογισµικού γενικής χρήσης και 52

61 άλλων σχετικών εργαλείων», στόχευε στην τόνωση και ενίσχυση των ωφεληµάτων του πραγµατολογικού µοντέλου, µε την (υπο)στήριξη της µαθησιακής διαδικασίας σε 3, τουλάχιστο, γνωστικά αντικείµενα (ΠΕ02, ΠΕ03, ΠΕ04). Όσον αφορά στην πρωτοβάθµια Εκπαίδευση, το Μοντέλο είναι καθαρά ολιστικό, που υποβοηθήθηκε αρκετά και από το παραπάνω πρόγραµµα επιµόρφωσης, κάτι που τεκµαίρεται και από το πραγµατικό, «ανιδιοτελές» και αυξανόµενο ενδιαφέρον των δασκάλων, για συµµετοχή και παρακολούθηση των κατά τόπους Κέντρων Στήριξης Επιµόρφωσης (ΚΣΕ). ιευκρινιστικά, στο πρόγραµµα του Ολοήµερου ηµοτικού Σχολείου, διδάσκεται το µάθηµα της Πληροφορικής, προσφέροντας δηλαδή, απογευµατινά ψήγµατα πραγµατολογικής προσέγγισης. Πολλές συναρπαστικές εφαρµογές της τεχνολογίας στα σχολεία επιβεβαιώνουν ότι νέα µοντέλα διδασκαλίας και µάθησης µπορούν να βελτιώσουν εντυπωσιακά τα µαθησιακά αποτελέσµατα. Η εκπαιδευτική κοινότητα, ωστόσο, είναι αντιµέτωπη µε πολλές προκλήσεις, περισπασµούς και ανασχέσεις, που δυσχεραίνουν ή και παρακωλύουν την τεχνολογική εδραίωση και παγίωση. Επιγραµµατικά και αδρά, µπορούν να συνοψισθούν στους εξής λόγους (Dede,1998; Fouts, 2000): Οικονοµικοί, που συνδέονται µε την ανάγκη διάθεσης των σχετικών κονδυλίων Αδιαφορία ή και φοβία εκ µέρους των εκπ/κών, για υιοθέτηση νέων τεχνολογικών προτύπων Επίτευξη αποτελεσµατικής και επαρκούς κατάρτισης εκπαιδευτικών ιστακτικότητα και επιφυλακτικότητα της κοινωνίας, ως προς την αποτελεσµατικότητα των ΤΠΕ, στην ενίσχυση (και ποιων) γνωστικών δεξιοτήτων, αλλά και ως προς τη βελτίωση της παραγωγικότητας και την αµφισβητούµενη συµβολή τους στη γεφύρωση του χάσµατος µεταξύ των πλούσιων και φτωχών Η ζητούµενη «τυπική» απόδοση των µαθητών µετά από µια (προς διαπραγµάτευση και οριοθέτηση) ορθολογική χρήση των ΤΠΕ Η βελτίωση της ποιότητας της εκπαίδευσης και της κατάρτισης είναι ένα κρίσιµο ζήτηµα, ιδιαίτερα στην τωρινή εποχή των ιδιαίτερων εκπαιδευτικών απαιτήσεων. Οι ΤΠΕ µπορούν να βελτιώσουν την ποιότητα της εκπαίδευσης µε διάφορους τρόπους: µε την αύξηση των κινήτρων µάθησης και συµµετοχής, µε τη διευκόλυνση απόκτησης των βασικών δεξιοτήτων και µε την ενίσχυση της κατάρτισης και επιµόρφωσης των εκπαιδευτικών. Για παράδειγµα το video, η τηλεόραση και διάφορα πολυµεσικά λογισµικά υπολογιστών, τα οποία συνδυάζουν κείµενο, ήχο, έγχρωµες, κινούµενες εικόνες µπορούν να χρησιµοποιηθούν για να παράσχουν ευχάριστο, αυθεντικό και γνήσιο περιεχόµενο µε ανατροφοδοτικές και συνεργατικές προεκτάσεις, που θα παρακινήσει και θα παροτρύνει τους µαθητές, κατά τη διαδικασία της µάθησης (Tinio, 2003; Βοσνιάδου, 2006). Οι εξυµνητικές κριτικές των υπέρµαχων και υπερασπιστών της ένταξης και ενσωµάτωσης των ΤΠΕ στην εκπαιδευτική διαδικασία περιλαµβάνουν στην πραµάτεια τους, µια σειρά από κλασικά επιχειρήµατα και επιδεικνύουν ως οφέλη και πλεονεκτήµατα τα παρακάτω τεχνολογικά «κρυφά χαρτιά», τους υπολογιστικούς «άσους», µε την προσδοκία να βρουν αυτά κατάλληλο εκπαιδευτικό και παιδαγωγικό ενδιαίτηµα. Έτσι µια µικρή σταχυολόγηση θα περιλάµβανε αναγκαστικά τις δυνατότητες που παρέχουν οι ΤΠΕ για ανεξάρτητη, εξατοµικευµένη και ενισχυτική διδασκαλία και για υιοθέτηση εκ µέρους των µαθητών του δικού τους ρυθµού µάθησης καθώς και του ελέγχου αυτής. Ακόµα οι µαθητές µαθαίνουν να ψάχνουν για 53

62 πληροφορίες, να τις επεξεργάζονται και να τις παρουσιάζουν, όπως επίσης να συνεργάζονται και να συµµετέχουν ενεργητικά σε οµαδικά σχέδια εργασίας (projects). Επίσης, παρέχονται δυνατότητες για ενιαιοποιηµένη γνώση, µέσω διαθεµατικών και διεπιστηµονικών προσεγγίσεων. Επιπλέον, προκρίνεται η αυθεντικότητα, µε τη σχεδίαση κατάλληλων δραστηριοτήτων βιωµατικού χαρακτήρα, ενώ και ανατροφοδοτικές παρεµβάσεις, µέσω θετικών και αρνητικών ενισχύσεων, βρίσκουν πρόσφορο έδαφος ευδοκίµησης. Για να δρέψει, όµως, η εκπαίδευση τους «τεχνολογικούς καρπούς» είναι απαραίτητο να υπερπηδηθούν κάποια σοβαρά εµπόδια. Από µια παγκόσµια έρευνα που πραγµατοποιήθηκε το 2000, µεταξύ 26 κρατών, µε πανηπειρωτική συµµετοχή (της Ελλάδας µη συµπεριλαµβανοµένης), καταγράφηκαν τα κύρια προσκόµµατα που εµποδίζουν σοβαρά, την επίτευξη των εκπαιδευτικών στόχων, των συνδεδεµένων µε τις ΤΠΕ (Pelgrum, 2001). Σε διευθυντές ηµοτικών Σχολείων και Γυµνασίων, όπως επίσης και σε υπευθύνους πληροφορικής, δόθηκε µια λίστα µε πιθανά εµπόδια. Στη συνέχεια κλήθηκαν να υποδείξουν ποια από αυτά θεωρούν ότι αποτελούν σηµαντικούς σκοπέλους και παρεµποδίζουν την πραγµατοποίηση, των σχετικών µε τον υπολογιστή, στόχων του Σχολείου (Pelgrum, 2001). Οι κυριότεροι φραγµοί, όπως αποτυπώθηκαν στην έρευνα, αποδόθηκαν, κατά σειρά αρνητικής συνεισφοράς στην επιδιωκόµενη αξιοποίηση των εκπαιδευτικών δυνατοτήτων του Υπολογιστή, στα παρακάτω γεγονότα, καταστάσεις και δεδοµένα: Ανεπαρκής αριθµός υπολογιστών Ελλιπείς γνώσεις και δεξιότητες των δασκάλων υσκολία στη ένταξη του υπολογιστή στη διδασκαλία Έλλειψη περιφερειακών µονάδων Μειωµένα αντίγραφα των λογισµικών Ανεπαρκής χρόνος δασκάλων Μη ταυτόχρονη πρόσβαση στο ιαδίκτυο Έλλειψη προσωπικού επίβλεψης Έλλειψη τεχνικής βοήθειας Λίγες ευκαιρίες επιµόρφωσης των εκπαιδευτικών, δεδοµένου ότι για την ορθή αξιοποίηση των Τεχνολογιών απαιτείται η σχεδίαση κατάλληλων, πλούσιων, αλληλεπιδραστικών δραστηριοτήτων, µε προκαθορισµένες παιδαγωγικές επιδιώξεις Αδιαφορία των δασκάλων Ανατροπή κύριας παιδαγωγικής αρχής, καθότι οι µαθητές γνωρίζουν περισσότερα από το δάσκαλο Συµπεραίνεται, λοιπόν, πως το αναχαιτιστικό δίπολο που παρακωλύει, κατά τους εκπαιδευτικούς, τη µεταφορά της τεχνολογικής προίκας στο Σχολείο, έχει ποσοτικά και ποσοτικά χαρακτηριστικά, ισάριθµα και άκρως δηλωτικά των δύο παρακάτω οµαδοποιήσεων. Έλλειψη τεχνολογικού εξοπλισµού από τη µια και πληµµελής κατάρτιση και λειψό ενδιαφέρον των εκπαιδευτικών από την άλλη. Στα χρόνια που µεσολάβησαν από το 2000, όπως ήδη αναφέρθηκε, τα περισσότερα ευρωπαϊκά σχολεία (πλην Ελλάδας) έχουν εξοπλισθεί επαρκώς, µε τάσεις ανόδου των ποσοστών διείσδυσης των υπολογιστών στις αίθουσες. Αναπόφευκτα και επιβεβληµένα, το βάρος µετατοπίσθηκε στον «έτερο απωθητικό πόλο» τον ποιοτικό, που αποτελεί ανεπιφύλακτα, και τον κατεξοχήν δείκτη, πρόκριµα και καταλύτη της αποτελεσµατικότητας των ΤΠΕ, στο Σχολείο. Ο Richard Noss, συνεργάτης του Piaget, άκρως δηκτικά, συµπεριέλαβε στη κάτωθι δήλωσή του, την κατάλληλη ποσοτική αναλογία για µια επιτυχηµένη συνταγή 54

63 τεχνολογικής εκπαιδευτικής ανάκαµψης: «Τα χρηµατικά ποσά, τα οποία διατίθενται για την παιδαγωγική κατάρτιση και επιµόρφωση των εκπαιδευτικών, επιβάλλεται να είναι εκατονταπλάσια αυτών που δαπανώνται για την αγορά υπολογιστών». Ήδη και ευτυχώς, και στην Ελλάδα, τα προγράµµατα επιµόρφωσης των εκπαιδευτικών «Α και Β επιπέδου» στις ΤΠΕ, αλλά και αυτά που υλοποιήθηκαν στο πλαίσιο της ενέργειας Ο ΥΣΣΕΙΑΣ, την περίοδο , ήταν σχετικά επιτυχηµένα (ή µάλλον αρκετά, µε αµιγώς ελληνικά κριτήρια), και πλήρως συντεταγµένα και ευθυγραµµισµένα µε την υψηλή προσδοκία της Συνθήκης της Λισαβόνας το 2000, για µια ανταγωνιστικότερη και δυναµικότερη οικονοµία, βασισµένη στη γνώση. Προβάλλει δε επιτακτική η ανάγκη συνέχισης της επιµόρφωσης αυτής, και ειδικά του Β Επιπέδου, δεδοµένου ότι και µε την έλευση του απαραίτητου εξοπλισµού στα Σχολεία, η χώρα µας θα επικυρώσει το εισιτήριο ανόδου της, στο τεχνολογικό τρένο, που οσονούπω αναχωρεί µε, δυστυχώς, µονής κατεύθυνσης και άνευ επιστροφής διαδροµή 4. Επιπτώσεις των ΤΠΕ στην εκπαίδευση Σύµφωνα µε το νέο ιαθεµατικό Αναλυτικό Πρόγραµµα ( ΕΠΠΣ) της υποχρεωτικής εκπαίδευσης (www.pi-schools.gr) σκοπός της διδασκαλίας της Πληροφορικής (ΤΠΕ) «είναι να αποκτήσουν οι µαθητές µια αρχική αλλά συγκροτηµένη και σφαιρική αντίληψη των βασικών λειτουργιών του υπολογιστή, µέσα σε µια προοπτική τεχνολογικού αλφαβητισµού να έλθουν σε επαφή µε τις διάφορες χρήσεις του υπολογιστή ως εποπτικού µέσου διδασκαλίας, ως γνωστικού - διερευνητικού εργαλείου (µε τη χρήση κατάλληλου ανοικτού λογισµικού διερευνητικής µάθησης) και ως εργαλείου επικοινωνίας και αναζήτησης πληροφοριών στο πλαίσιο των καθηµερινών σχολικών δραστηριοτήτων» Οι 3 βασικοί άξονες των µαθησιακών στόχων, σύµφωνα πάντα µε το ΕΠΠΣ, περιστρέφονται γύρω από: α) Τη γνώση και τη µεθοδολογία, µέσω της εξοικείωσης των µαθητών µε τον υπολογιστή και τη χρησιµοποίησή του ως εργαλείο ανακάλυψης, δηµιουργίας, έκφρασης αλλά και ως νοητικό εργαλείο και εργαλείο ανάπτυξης της σκέψης, β) από τη συνεργασία και την επικοινωνία µε την ανάπτυξη δραστηριοτήτων στο πλαίσιο ποικίλων οµαδικών - συνθετικών εργασιών και γ) την επιστήµη και την τεχνολογία στην καθηµερινή ζωή. Ο υπολογιστής, λοιπόν, ως επ-(προ)-έκταση του ανθρώπινου νου και επειδή υποστηρίζει γνωστικές διεργασίες και ενισχύει τις γνωστικές δεξιότητες των µαθητών, όπως κριτική σκέψη, επίλυση προβληµάτων, διερεύνηση και αναζήτηση πληροφοριών, δεξιότητες λήψης απόφασης, µεταγνωστικές διεργασίες, αυτορύθµιση και αναστοχασµό, ευνοήτως και δικαιωµατικά, θεωρείται σπουδαίο γνωστικό (νοητικό) εργαλείο (cognitive or mind tool). Επιπλέον, ως σηµαντικά γνωστικά εργαλεία πιστώνονται και καταχωρίζονται επίσης και οι βάσεις δεδοµένων, οι γλώσσες προγραµµατισµού υπολογιστών, τα διάφορα λογισµικά συστηµάτων επικοινωνιών αλλά και ο γραπτός λόγος και ο µαθηµατικός συµβολισµός (Μικρόπουλος, 2006). Υπό αυτήν την «γνωστική ιδιότητα» ο υπολογιστής και γενικά οι ΤΠΕ, έχουν επιφέρει ευεργετικά αποτελέσµατα και θε(αµα)τικές επιπτώσεις στη σχολική πρακτική και διαδικασία, όπως αποδεικνύουν περίτρανα και αφοπλιστικά τα κοινότοπα ευρήµατα ερευνών, τις τελευταίες 2 και πλέον δεκαετίες. Έτσι οι «γλαύκες που κοµίζονται ες Αθήνας» κατά το τεχνολογικό λυκαυγές, σιγο-διαλαλούν τις παρακάτω ευνοϊκές και επωφελείς επιδράσεις της χρήσης της Τεχνολογίας στο Σχολείο (Balanskat & Blamire, 2007): 55

64 Αύξηση στην απόδοση των σπουδαστών σε τυποποιηµένα Test Βελτίωση στην απόκτηση δεξιοτήτων ανάγνωσης και γραφής αλλά και επίλυσης προβληµάτων, µέσα από την ευκολότερη κατανόηση βασικών µαθηµατικών εννοιών. Μάλιστα, διαπιστώθηκε µια θετική συνάφεια µεταξύ του χρονικού διαστήµατος της χρήσης των ΤΠΕ και της επίδοσης µαθητών στα Test µαθηµατικών. Κατανόηση και αποσαφήνιση σηµαντικών επιστηµονικών εννοιών και ιδεών µε τη βοήθεια των προσοµοιώσεων, των υπολογιστικών εργαστηρίων και των εργαλείων απεικόνισης Τα σχολεία µε υψηλότερα επίπεδα e-ωριµότητας επιτυγχάνουν καλύτερα αποτελέσµατα. Το ίδιο συµβαίνει και µε τα σχολεία, που διαθέτουν καλύτερο και περισσότερο τεχνολογικό εξοπλισµό. Η ευρυζωνική πρόσβαση µέσα στις τάξεις βελτιώνει σηµαντικά τις επιδόσεις σε µαθητές, ειδικά των πρώτων τάξεων του Λυκείου. Οι µαθητές δραστηριοποιούνται και προσηλώνονται περισσότερο, όταν χρησιµοποιούνται στην αίθουσα οι υπολογιστές και το ιαδίκτυο, σύµφωνα µε το 86% των δασκάλων στην Ευρώπη. Οι ΤΠΕ υποστηρίζουν την εξατοµίκευση, την ανεξάρτητη µάθηση και την οµαδική εργασία και συνεργασία. Η συντριπτική πλειονότητα των δάσκαλων στην Ευρώπη (το 90%) χρησιµοποιούν τις ΤΠΕ για να προετοιµάσουν τα µαθήµατά τους, αν και ένα σηµαντικό µέρος τους (20%) πιστεύει στο ουτοπικό του εγχειρήµατος, θεωρώντας πως δεν υπάρχει καµιά προστιθέµενη αξία, µέσω της χρήσης του υπολογιστή. Οι δάσκαλοι χρησιµοποιούν περισσότερο τις ΤΠΕ, όταν ταιριάζουν αυτές και εναρµονίζονται καλύτερα µε παραδοσιακές πρακτικές. Επιπλέον, µπορούν να συνεργάζονται µέσω των διαθέσιµων και γνωστών τεχνολογικών πόρων κάτι που συµβαίνει όµως κυρίως, για διοικητικούς λόγους παρά για παιδαγωγικούς. Κρίνεται σκόπιµο να τονισθεί, εδώ, ότι πολλοί εκπαιδευτικοί συµφωνούν ότι η ύπαρξη Υπολογιστών στο σπίτι έχει θετική επιρροή στην εκπαιδευτική διαδικασία. Παιδιά που χρησιµοποιούν υπολογιστή στο σπίτι, έστω και για διασκέδαση, είναι πιο ενθουσιώδη, ικανά και βέβαια, κατά τη χρησιµοποίησή του στο σχολείο. Άλλοι ερευνητές τονίζουν το χάσµα µεταξύ της «ηδείας» χρήσης των υπολογιστών στο σπίτι και της περιορισµένης ή βαρετής χρήσης τους στο σχολείο. Επιµένουν όµως ότι η «οικιακή» χρήση δεν είναι ούτε απλό ούτε οµοειδές φαινόµενο και καιροφυλακτεί το ενδεχόµενο, σε µια πληθώρα περιπτώσεων και χρήσεων, να µην αντανακλώνται αυτές πάντα σε σχολική εµπειρία (Ruba Abu, 2008). Οµολογουµένως βέβαια, για αρκετούς πολιτικούς, ειδικούς επιστήµονες και εκπαιδευτικούς, η χρήση των ΤΠΕ επικρίνεται ως δαπανηρή, ενώ και η επίδρασή της στα αποτελέσµατα της µάθησης, όπως και παραπάνω αναφέρθηκε, χαρακτηρίζεται ασαφής, συγκεχυµένη και «σηκώνει» µεγάλη συζήτηση. Εµφιλοχωρούν διχογνωµίες, διενέξεις και έριδες που «δολιεύονται» και συγκρατούν την τεχνολογική ευφροσύνη και διαταράσσουν το ευδαιµονικό πληροφορικό πεδίο, µετατρέποντάς το σε πεδίο αντιπαραθέσεων. Αυτές, οι κατά τους διαφωνούντες, αρνητικές επιπτώσεις, σκοπίµως, δεν παρατίθενται. Αντί αυτών, αφιερώνονται στους κατήγορους και πολέµιους της ένταξης των ΤΠΕ στην εκπαίδευση και ειδικά στον τεχνολογικά φοβικό εκπαιδευτικό του τελευταίου χωρίου, τα παρακάτω διαχρονικά και µελαγχολικά: 56

65 5. Η διαχρονικότητα του φόβου για το άγνωστο και το καινούργιο Τα 6 πρώτα αποσπάσµατα είναι από το βιβλίο Edutrends 2010: Restructuring, Technology and the Future of Education (Thornburg, 1992). Οι µαθητές, σήµερα, δεν µπορούν να προετοιµάσουν το µυαλό τους για να λύνουν προβλήµατα. Εξαρτώνται από τις πλάκες, οι οποίες, ασφαλώς είναι και πανάκριβες. Τι θα κάνουν όταν πέσει η πλάκα και σπάσει; Θα είναι αδύνατον να γράψουν. ιάσκεψη δασκάλων, 1703 Οι µαθητές σήµερα εξαρτώνται πάρα πολύ από το χαρτί. εν ξέρουν πώς να γράφουν στην πλάκα και να αποφεύγουν να λερώνονται από την σκόνη της κιµωλίας. Ούτε βέβαια, µπορούν να καθαρίσουν µια πλάκα, σωστά. Τι θα κάνουν, όταν ξεµείνουν από χαρτί; Σύλλογος ιευθυντών, 1815 Οι µαθητές, σήµερα, εξαρτώνται πάρα πολύ, από το µελάνι. εν ξέρουν πώς να χρησιµοποιήσουν ένα µαχαίρι για να ξύσουν ένα µολύβι. Η πένα και το µελάνι ουδέποτε θα αντικαταστήσουν το µολύβι. Εθνική Ένωση δασκάλων, 1907 Οι µαθητές, σήµερα, εξαρτώνται από το αγορασµένο µελάνι. εν ξέρουν πώς να το φτιάξουν µόνοι τους. Όταν ξεµείνουν από το µελάνι θα είναι ανίκανοι να γράψουν, µέχρι το επόµενο ταξίδι τους στο κατάστηµα. Αυτά είναι λυπηρά φαινόµενα, για τη σύγχρονη εκπαίδευση. Αµερικανός αγροτικός δάσκαλος, 1929 Οι µαθητές, σήµερα, εξαρτώνται από αυτούς τους ακριβούς στυλογράφους. εν µπορούν πλέον να γράψουν µε µια γραφίδα ή µια πένα (για να µην αναφερθεί, βέβαια, και το ξύσιµο των φτερών). Ως γονείς δεν πρέπει να τους επιτρέψουµε να περιπέσουν σε τέτοιες πολυτέλειες, σε βάρος της µάθησής τους, να µην αντεπεξέρχονται, δηλαδή σωστά, στον πραγµατικό κόσµο της αγοράς, ο οποίος δεν είναι τόσο υπερβολικός. Εφηµερίδα της εποχής, 1941 Οι στυλοί διαρκείας θα αποτελέσουν αληθινή συµφορά για την εκπαίδευση. Οι µαθητές χρησιµοποιούν αυτά τα εργαλεία και τα ρίχνουν έπειτα στα σκουπίδια. Οι αρετές της λιτότητας και της οικονοµίας εγκαταλείπονται. Οι επιχειρήσεις και οι τράπεζες ουδέποτε θα επιτρέψουν τέτοιες ακριβές πολυτέλειες. Οµοσπονδιακός δάσκαλος, 1950 Με τους υπολογιστές οι µαθητές περισπώνται και αποκόπτονται από το σκοπό της εκπαίδευσης. Τους χρησιµοποιούν για να κλέβουν λύσεις για τα προβλήµατα ή ακόµη για να έχουν πρόσβαση σε αµφίβολης ποιότητας και αξιοπιστίας πληροφορίες αλλά και σε άσεµνο υλικό, ενώ ανταλλάσσουν ανόητα και χυδαία µηνύµατα, σε ώρα µαθήµατος. Καλλιεργείται η λογική της ήσσονος προσπάθειας και δηµιουργούνται 57

66 ράθυµες, ακατέργαστες και άκριτες προσωπικότητες. Θα πρέπει οσονούπω, τα σχολεία να απαλλαγούν από αυτή την ανελέητη µάστιγα. Κοντόφθαλµος και µυωπικής αντίληψης εκπαιδευτικός, 2008 Ακόµα, λίαν εύστοχο, ροµαντικό και συνηγορικό της υπολογιστικής εκπαιδευτικής αξίας είναι και «το άρρωστο άλογο» του Ζαχαρία Παπαντωνίου (Πεζοί ρυθµοί, εκδ. Βιβλιοπωλείον της Εστίας): «Στην αγορά του Σαββάτου τ άλογα που ήταν για πούληµα µιλούσαν κάτου απ τη λεύκα για τη ζωή τους. Κι ένα κόκκινο άλογο, κουρασµένο, µε το κεφάλι χαµηλά, τους διηγιόταν τα θαυµάσια των ταξιδιών του. Κάµπους απέραντους στο λιοπύρι εδιάβηκε, δασωµένες ρεµατιές µε κελαηδιστό νερό το ξεκούρασαν. Σε παρθένια χιόνια βυθίστηκαν τα πέταλα του - από θύελλες µαστιγώθηκε - σε λαµπρές φωτιές εστέγνωσε - στη ζέστη παχνιών αρχοντικών κοιµήθηκεν ύπνο βαθύ. Για τον καβαλάρη του µιλούσεν ώρα πολλή και για τις πολιτείες, που τον χαιρετούσαν από µακριά µε τους θόλους των και τα καµπαναριά των... -Παράξενο! του είπαν. Έτσι άρρωστο και κοκαλιάρικο δοκίµασες τέτοιες δόξες; -Είν αλήθεια, είπε τ' άλογο, πως σ όλη µου τη ζωή µε δεµένα τα µάτια γύριζα µαγγανοπήγαδο. Μα ο θεός ήξερε να τιµωρήσει τον άνθρωπο, που µε σκλάβωσε - χαρίζοντάς µου τη φαντασία.» Προς επίρρωση και η πάνσοφη ρήση: «Η φαντασία είναι σπουδαιότερη από τη γνώση» Αϊνστάιν Οι παραπάνω λογοτεχνικές αναφορές βρίσκουν και προσωπική ευθυγράµµιση, ισχύ και παραδοχή και η απλή αντικατάσταση της λέξης «φαντασία» µε την «εικονική και διαδικτυακή περιήγηση», προσφέρει, ίσως, τρανταχτά, αδιαφιλονίκητα και υπερασπιστικά επιχειρήµατα υπέρ της ένταξης, ενσωµάτωσης και αξιοποίησης των ΤΠΕ στην εκπαιδευτική διαδικασία. 58

67 Γ. ΘΕΩΡΙΕΣ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ Πρόδηλα µπορούν να χαρακτηριστούν τα δυο κύρια συστατικά στοιχεία του ηλεκτρονικού υπολογιστή και έτσι αβίαστα, είναι δυνατό, να αποκαλυφθεί η δισυπόστατη φύση του. Το υλικό (hardware) και το λογισµικό (software) αποτελούν το ζωογόνο ζεύγος τής «εικονικής ύπαρξής του». Ο γενικός και συγκεκριµένος όρος «υλικό» περιλαµβάνει όλα τα κατασκευασµένα υλικά του υπολογιστή, όπως κυκλώµατα και µηχανικά µέρη, οτιδήποτε, δηλαδή, διαθέτει µάζα. Ο όρος «λογισµικό» είναι αφηρηµένος και προσδιορίζει όλα τα προγράµµατα, τις εντολές, τα δεδοµένα και τις οδηγίες, µέσω των οποίων επιτυγχάνεται η επικοινωνία ανθρώπου και υπολογιστικής µηχανής, ως προς τη διαχείρισή της και την εκτέλεση συγκεκριµένων πράξεων. Χωρίζεται σε δυο µεγάλες κατηγορίες: Το Λογισµικό Συστήµατος και το Λογισµικό Εφαρµογών. Στο Λογισµικό Συστήµατος ανήκει, για παράδειγµα το Λειτουργικό Σύστηµα (Windows, Linux) αλλά και οι οδηγοί τού Υλικού (Drivers). Το Λογισµικό Εφαρµογών είναι υπεύθυνο για την πραγµατοποίηση διακριτών, υπολογιστικών εργασιών. Κλασικά παραδείγµατα ο επεξεργαστής κειµένου, το λογιστικό φύλλο, η διαχείριση βάσεων δεδοµένων, το λογισµικό παρουσίασης, οι φυλλοµετρητές, η εννοιολογική χαρτογράφηση. Το τελευταίο παράδειγµα, οι εννοιολογικοί χάρτες, είναι εργαλεία για την οργάνωση και αναπαράσταση γνώσης και αποτελούν τυπικό εκπρόσωπο ενός σηµαντικού παιδαγωγικού εργαλείου, του εκπαιδευτικού λογισµικού, που αποτελεί µε τη σειρά του γνήσιο (και στην αξία) υποσύνολο του λογισµικού εφαρµογών. Εκπαιδευτικό θεωρείται το λογισµικό που υποστηρίζει συγκεκριµένους διδακτικούς και µαθησιακούς στόχους, που υλοποιούνται και εκπληρώνονται, µέσω ολοκληρωµένων σεναρίων, interface και αλληγοριών µε παιδαγωγική σηµασία, και προορίζεται για χρήση στην παραδοσιακή τάξη, για εκπαίδευση από απόσταση αλλά και για αυτοδιδασκαλία (Παναγιωτακόπουλος κ.ά., 2005; Μικρόπουλος, 1999). 1. Είδη εκπαιδευτικού λογισµικού Μια αρχική ταξινόµηση κατατάσσει τα εκπαιδευτικά λογισµικά σε 2 ξεκάθαρες κατηγορίες: α) σε λογισµικά γενικής χρήσης και β) σε λογισµικά εξειδικευµένου και αµιγούς χαρακτήρα 1.1 Λογισµικά γενικής χρήσης Ως λογισµικά γενικής χρήσης λογίζονται αυτά που αξιοποιούνται και για εκπαιδευτικούς σκοπούς, µολονότι ο αρχικός προορισµός χρήσης τους δεν ήταν παιδαγωγικός. Οι επεξεργαστές κειµένου, τα λογισµικά παρουσιάσεων, τα λογιστικά φύλλα, οι βάσεις δεδοµένων, το διαδίκτυο καθώς και τα λογισµικά ζωγραφικής µπορούν να υποστηρίξουν όχι µόνο τη διδασκαλία αλλά και τη µάθηση, σχεδόν όλων των επί µέρους µαθηµάτων του Σχολείου. Μάλιστα, η σωστή χρήση τους τα προβιβάζει και τα προάγει σε αξιόλογα γνωστικά εργαλεία. Για παράδειγµα, υπάρχουν αρκετές και ολοκληρωµένες προτάσεις χρήσης και αξιοποίησης ενός από τα πλέον απλά, εύκολα και δηµοφιλή λογισµικά γενικής χρήσης, όπως είναι ο επεξεργαστής κειµένου Λογισµικά εξειδικευµένου και (σχεδόν) αµιγούς χαρακτήρα Το εκπαιδευτικό λογισµικό κατασκευάζεται, προκειµένου µε τη χρήση του να εκπληρωθούν συγκεκριµένοι µαθησιακοί στόχοι. Η εκπαιδευτική διαδικασία µε τη 59

68 χρήση του εκπαιδευτικού λογισµικού µπορεί να καταστεί εξαιρετικά αποτελεσµατική για το µαθητή. Η διδασκαλία µπορεί να γίνει αλληλεπιδραστική, οδηγούµενη από το χρήστη, εµπλουτισµένη, διαθεµατική και µε δυνατότητα εξερεύνησης. (Παναγιωτακόπουλος & Πιερρακέας & Πιντέλας, 2005). Tα λογισµικά που σχεδιάστηκαν για να εξυπηρετήσουν, σχεδόν αποκλειστικά, εκπαιδευτικούς και µαθησιακούς σκοπούς µετέρχονται καθορισµένων, παιδαγωγικών παρεµβάσεων και διδακτικών πρακτικών. Οι διάφορες αυτές παιδαγωγικές και διδακτικές πρακτικές και προτάσεις αποτελούν τη βάση και την αιτία, για την ταξινόµηση των εκπαιδευτικών λογισµικών, σε βασικές κατηγορίες. Μια κατηγοριοποίηση, που δεν µπορεί, βέβαια, παρά να είναι γενική, ελαστική και χαλαρή, αφού δεν υπάρχουν αυστηρά και σαφή κριτήρια, ενώ και τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά µιας κατηγορίας (ή και πολλών) απαντώνται µερικές φορές και σε άλλες. Ένας πρόχειρος διαχωρισµός θα µπορούσε να ήταν και ο εξής: Λογισµικά καθοδηγούµενης διδασκαλίας, µε ολοκληρωµένο πλαίσιο ανάπτυξης θεµάτων-µαθηµάτων, που µπορεί να συνοδεύεται και από αξιολογικές ερωτήσεις. Λογισµικά εξάσκησης και πρακτικής, µε ερωτήσεις κατανόησης, ελέγχου γνώσεων όπως και δραστηριότητες εξάσκησης. Ένα, αρκετά, δηµοφιλές λογισµικό αυτού του τύπου είναι το Hot Potatoes, ένα σύνολο έξι συγγραφικών εργαλείων, που δίνει τη δυνατότητα δηµιουργίας αλληλεπιδραστικών ασκήσεων διαφόρων µορφών (π.χ πολλαπλών επιλογών, αντιστοίχισης, σταυρολέξων), βασισµένων στον Παγκόσµιο Ιστό. Λογισµικά οπτικοποίησης µε τη δυναµική αναπαράσταση δεδοµένων. Για παράδειγµα, το λογισµικό, για τους µαθητές του ηµοτικού, «ΑΝΑΚΑΛΥΠΤΩ ΤΙΣ ΜΗΧΑΝΕΣ» αλλά και το διάσηµο «Google Earth» Λογισµικά προσοµοίωσης µε τη δυνατότητα παρέµβασης στις µεταβλητές και στις παραµέτρους ενός µελετώµενου φαινοµένου ή µοντέλου, όπως το Interactive Physics, που προσοµοιώνει φυσικά φαινόµενα. Λογισµικά µοντελοποίησης, που παρέχουν εργαλεία δηµιουργίας και ανάλυσης µοντέλων. Ο «ηµιουργός Μοντέλων» µια ελληνική λογισµική κατασκευή, που χρηµατοδοτήθηκε από το Υπουργείο Παιδείας αλλά και το «Modellus», ένα εξελληνισµένο λογισµικό για τη διδασκαλία των θετικών επιστηµών, είναι τυπικά και αντιπροσωπευτικά παραδείγµατα. Λογισµικά εικονικής πραγµατικότητας, εξαιρετικά επωφελείς εκπαιδευτικές εφαρµογές, εξαιτίας της πολυ-αισθητηριακής συµµετοχής των µαθητών σε περιβάλλοντα και καταστάσεις που, διαφορετικά θα ήταν αδύνατο να παρακολουθήσουν και να αντιληφθούν. Λογισµικά εκπαιδευτικών παιχνιδιών, που αποσκοπούν και στην µαθητική ψυχαγωγία και διασκέδαση, συνδυάζοντας αρµονικά, «το τερπνόν µετά του ωφελίµου» (edutainment). Γλώσσες προγραµµατισµού, που είναι τεχνητές γλώσσες ελέγχου του υπολογιστή. Αξιόλογο προγραµµατιστικό, πολυµεσικό περιβάλλον είναι το MicroWorlds Pro, στο οποίο µπορούµε να προγραµµατίζουµε χελώνες και να συνδυάζουµε ποικιλία µορφών πληροφορίας. Το λογισµικό αυτό παρέχει εκπληκτικές ευκαιρίες στους µαθητές για 60

69 δηµιουργική ενασχόληση και έκφραση ( απόντες κ.ά., 2003), προσφέροντας εποικοδοµιστικές, παιδαγωγικές προσεγγίσεις και επιπρόσθετα µαθησιακά οφέλη, σε σχέση µε την παραδοσιακή διδασκαλία αίθουσας. Λογισµικά τεχνητής νοηµοσύνης, εφαρµογές σε Νοήµονα Συστήµατα ιδασκαλίας, µε το συγκριτικό πλεονέκτηµα τής προσαρµογής τους στο επίπεδο των γνωστικών αναγκών των µαθητών (Ράπτης & Ράπτη, 2007). Λογισµικά ροµποτικής µε τους µαθητές να τα χρησιµοποιούν, µε σκοπό τη δηµιουργία προγραµµάτων για ροµπότ (LEGO) Ηλεκτρονικά βιβλία, ψηφιακές (θεµατικές) εγκυκλοπαίδειες, ψηφιακά λεξικά, σώµατα κειµένων Όλες οι παραπάνω εκπαιδευτικές εφαρµογές είναι εδώ και πολύ καιρό πολυµεσικές, αφού συνδυάζουν και αξιοποιούν ποικιλία µορφών περιεχοµένου, όπως κείµενο, ήχο, εικόνα, κινούµενη εικόνα, γραφικά και βίντεο. Υπερσύνολο των πολυµεσικών εφαρµογών συνιστούν σήµερα, τα λεγόµενα υπερµέσα, τα πολυµεσικά δηλαδή υπερκείµενα, που είναι κοινός τόπος πολλών, σύγχρονων εκπαιδευτικών λογισµικών. 2. Επίδραση των θεωριών µάθησης στη σχεδίαση εκπαιδευτικού λογισµικού Οι ποικίλες παιδαγωγικές εφαρµογές των υπολογιστών είναι άµεσα και αναπόφευκτα συναρτηµένες και, σχεδόν, καθολικά βασισµένες στις θεωρίες µάθησης και στις ψυχοπαιδαγωγικές θεωρίες (Κόµης, 2004). Οι θεωρίες αυτές, πολλές φορές αντικρουόµενες, προσπαθούν να αποκωδικοποιήσουν και να ερµηνεύσουν την πολυσύνθετη και πολύπλοκη έννοια της µάθησης και της απόκτησης γνώσεων. Η µάθηση αναφέρεται σε γνώσεις δεξιότητες και εµπειρίες, ενώ κύριο χαρακτηριστικό της είναι η τροποποίηση της ανθρώπινης συµπεριφοράς. Μελετάται συστηµατικά από την αρχαϊκή εποχή, φτάνοντας στην επιστηµονική κορύφωσή της, τον 20 ο αιώνα. Οι σηµερινές επιστηµονικές παραδοχές, αναγνωρίζουν ότι κατευθύνεται από το περιβάλλον (αγωγή) και µαζί µε την ωρίµαση (προδιάθεση) συµβάλλουν στην ανάπτυξη των όντων, ως δυϊκές παράµετροι της εξέλιξής τους, δίχως να διαφαίνεται και να αποσαφηνίζεται, ωστόσο, η ακριβής, ποσοτική συνεισφορά των δυο αυτών παραγόντων. Τρεις είναι οι κύριες θεωρητικές προσεγγίσεις, που επιχειρούν να διαλευκάνουν και να αποσαφηνίσουν τον τρόπο και το µηχανισµό, µε τον οποίο συντελείται η µάθηση, όπως και το γενικότερο πλαίσιο των συνθηκών της: O συµπεριφορισµός (behaviorism) Οι γνωστικές θεωρίες (Cognitive) και Οι κοινωνικοπολιτισµικές θεωρίες (sociocultural) Μάλιστα, η επίδραση των θεωριών αυτών ήταν πρωτογενής και καταλυτική στη διαµόρφωση και ανάπτυξη ειδικών και ισάριθµων κατηγοριών εκπαιδευτικού λογισµικού O συµπεριφορισµός (µπιχεβιορισµός) Η θεωρία του συµπεριφορισµού έθεσε τις επιστηµονικές της βάσεις, στις αρχές του προηγούµενου αιώνα και επί µια εξηκονταετία κρατούσε συστηµατικά, τη µερίδα του λέοντος στην εξήγηση και ερµηνεία του φαινοµένου της µάθησης. Πρεσβεύει ότι η µάθηση είναι µια αλλαγή στη συµπεριφορά, ως αποτέλεσµα εµπειρίας και αλληλεπίδρασης µε το περιβάλλον. Ενδιαφέρεται µόνο για τις αντικειµενικά παρατηρήσιµες και µετρήσιµες συµπεριφορές, που παράγονται από την αντίδραση ενός ατόµου στα ερεθίσµατα και αγνοεί τα διανοητικά γεγονότα και την 61

70 εσωτερική, ψυχολογική διαδικασία. Κυρίαρχο, δηλαδή, υπόβαθρο το δίπολο αλληλεξάρτησης, «ερέθισµα αντίδραση», που είναι κατεξοχήν υπεύθυνο για την απόκτηση της νέας τροποποιηµένης συµπεριφοράς. Αρχικά, η θεωρία υποστήριζε ότι ορισµένες συµπεριφοριστικές αντιδράσεις συνδέονται µε συγκεκριµένα περιβαλλοντικά ερεθίσµατα. Οι µελέτες στηρίχθηκαν στις αντιδράσεις των ζώων κατά την εκπαίδευσή τους, µέσω συµπεριφοριστικών προτύπων. Αναλογικά, ίσως και ανέρειστα, τα οµολογουµένως σηµαντικά αποτελέσµατα των ερευνών, εξέλαβαν «ανθρώπινη» ισχύ και µετασχηµατίσθηκαν σε αρχές και κανόνες, που αποτυπώνουν, διέπουν και εξηγούν και την ανθρώπινη συµπεριφορά και µάθηση. Ο Ρώσος φυσιολόγος και γιατρός Ivan Pavlov ( ) ήταν από τους πρώτους, που µελέτησαν τη µεταβολή της συµπεριφοράς των ζωών, εξαιτίας της επίδρασης εξωτερικών ερεθισµάτων. Το 1904 ήταν ο πρώτος Ρώσος που τιµήθηκε µε το Nobel ιατρικής, για τις πρωτοπόρες έρευνές του στη µελέτη των αδενικών εκκρίσεων και του πεπτικού συστήµατος. Σε προέκταση των ενδιαφερόντων του πραγµατοποίησε πειράµατα σε πεινασµένους σκύλους και εξήγαγε συµπεράσµατα για τον τρόπο λειτουργίας της µάθησης. Παρατήρησε ότι η έκκριση σάλιου του σκύλου στην παρουσία τροφής και στην (για πολλές φορές επαναλαµβανόµενη) ταυτόχρονη και εσκεµµένη ενεργοποίηση ενός κουδουνιού, αυτή συνέβαινε και κατά την λειτουργία µόνο του κουδουνιού. Έτσι, ενώ αρχικά στο ερέθισµα της τροφής προκαλείται η αντίδραση της έκκρισης σάλιου, στη συνέχεια µέσω του συνδυασµού τους και το ουδέτερο ερέθισµα (κουδούνισµα), ως εξαρτηµένο αντανακλαστικό, προκαλεί την ίδια αυτόµατη αντίδραση, υποκαθιστώντας το φυσικό. Η θεωρία αυτή του Pavlov είναι γνωστή ως κλασική υποκατάστασηδιασύνδεση αλλά και ως µάθηση µέσω εξαρτηµένων αντανακλαστικών. Ο Skinner ( ) είναι ένας άλλος διάσηµος εκπρόσωπος της συµπεριφοριστικής σχολής, εισηγητής της προγραµµατισµένης διδασκαλίας αλλά και της θεωρίας της συντελεστικής µάθησης. Η θεωρία του, ένα ανατροφοδοτικό µοντέλο και µια επέκταση τής έννοιας των διασυνδέσεων, δέχεται ότι µια αντίδραση σε ένα ερέθισµα µπορεί να ενισχυθεί θετικά ή αρνητικά, µέσω ανταµοιβών ή ποινών, αντίστοιχα. Τα συµπεράσµατά του τα βάσισε σε δεδοµένα, που άντλησε από µια σειρά πειραµάτων, που διενήργησε σε περιστέρια. Ο νόµος του αποτελέσµατος, που διατυπώθηκε από τον Αµερικανό ψυχολόγο Edward L. Thorndike ( ), διαφοροποιεί κατά τι, τις υστερότερες αιτιάσεις του Skinner, επισηµαίνοντας ότι οι αµοιβές έχουν ισχυρότερο αποτέλεσµα στη µάθηση, έναντι των ποινών, που σχετικώς αποτυγχάνουν να εξαλείψουν µιαν ανεπιθύµητη συµπεριφορά. Ο Thorndike διαπίστωσε επίσης, πειραµατιζόµενος µε γάτες, ότι η απόκτηση γνώσεων συντελείται µέσω «δοκιµής και πλάνης», εισάγοντας και την οµώνυµη θεωρία. Οι γάτες, που ήταν νηστικές και κλεισµένες σε κλουβί, µετά από πολλές αποτυχηµένες προσπάθειες εντόπιζαν το µοχλό, που τις απελευθέρωνε. Τα ψάρια, φυσικά, που ήταν απέξω, αποτελούσαν λάφυρο κορεσµού και άξια ανταµοιβή για τον κόπο τους. Ακόµα και σήµερα, πολλή παιδαγωγική µελάνη χύνεται και πολλά γόνιµα, διαµειβόµενα προκύπτουν, σχετικά µε την παιδαγωγική αξιοποίηση του λάθους κατά την εκπαιδευτική διαδικασία. Ο John B. Watson ( ), κλασικός συµπεριφοριστής, ως ιδρυτής του, συµπατριώτης και συνάδελφος του Thorndike, υπεραµυνόταν των θέσεων και απόψεων του Pavlov, αν και δεχόταν ότι η µάθηση επιτυγχάνεται µέσω της αντικατάστασης ενός ερεθίσµατος από κάποιο άλλο. Ο µικρός Αλβέρτος υπήρξε θύµα των πειραµατισµών του. Στο χρονικό διάστηµα που παρέµεινε µαζί του, µέχρι 62

71 να τον λυτρώσει η µητέρα του, αποµακρύνοντάς τον κακήν κακώς, από τις αµφιλεγόµενες επιστηµονικές µεθόδους του Watson, το ηλικίας ενός έτους αγόρι «έµαθε» να φοβάται τελικά όλα τα ζώα, που του παρουσίαζαν, αν και αρχικά τα περιεργαζόταν µε ευχαρίστηση. Τέλος, στον Watson πιστώνεται η κλασικά µνηµειώδης, ανατρεπτική, όσο και κραυγαλέως αυτάρεσκη, αποφατική ρήση: «ώστε µου µια δωδεκάδα υγιή, καλοσχηµατισµένα νήπια,...και θα εγγυηθώ ότι θα πάρω τυχαία οποιοδήποτε, θα το εκπαιδεύσω, για να γίνει οποιοσδήποτε ειδικός επιλέξω -γιατρός, δικηγόρος, έµπορος και ναι, ακόµη ζητιάνος ή και κλέφτης, ανεξάρτητα από τα ταλέντα του, τις τάσεις, τις δυνατότητες, τις κλίσεις και τη φυλή των προγόνων του» Κριτική του συµπεριφορισµού Οι αρνητικές κριτικές εστιάσθηκαν κυρίως στο γεγονός ότι ο συµπεριφορισµός προσέδωσε στα πορίσµατα του ανθρώπινη υπόσταση και νοµοτέλεια, αν και αυτά αντλήθηκαν σε συνθήκες εργαστηρίων και µέσα από πειραµατισµούς µε ζώα. Ακόµα, η θεωρία αυτή δέχεται, πως το άτοµο δεν είναι τίποτα περισσότερο από µια αντιδρώσα µηχανή σε ερεθίσµατα, κενή και αποστειρωµένη από συναισθήµατα. Επίσης, αδυνατεί να εξηγήσει, µέσω των απλοϊκών και αφελών αρχών της (όπως κατακεραυνώνουν πολλοί τιµητές της), όλες τις εγκεφαλικές δραστηριότητες, όπως και πολλά είδη µάθησης. Ως µια λίαν αρνητική παράµετρος της θεωρίας των συµπεριφοριστών καταγράφεται η υπαγωγή του µαθητή σε παθητικό δέκτη πληροφοριών, χωρίς συµµετοχή και ευθύνη για το αποτέλεσµα της µάθησής του. Η υψηλού επιπέδου ανάπτυξη γνωστικών δεξιοτήτων είναι κενό γράµµα για τον µπιχεβιορισµό και γι αυτό πεδίο άσκησης ευρείας, σκληρής και αδυσώπητης κριτικής. Το σηµερινό Σχολείο όµως, και δη το ελληνικό, βρίθει συµπεριφοριστικών µεθόδων και πρακτικών, που ενέσκηψαν ήδη από την εποχή των διδακτικών µηχανών και της προγραµµατισµένης διδασκαλίας. Η υπεισέλευση των εξαρτηµένων αντανακλαστικών, που αφειδώς παρέχει και καλλιεργεί το σχολείο παρασέρνει τα παιδιά και αντιδρούν µηχανικά, σε βάρος της παραγωγικής, δηµιουργικής και κριτικής σκέψης. Εξάλλου, και η απόδοση επαίνων και αµοιβών και η επιβολή ποινών και τιµωριών είναι καθηµερινή, παθογόνος σχολική πραγµατικότητα. Είναι, παγιωµένη, δυστυχώς, ακόµα και σήµερα, στο (υποτίθεται) «Σύγχρονο Σχολείο», η στραγγαλιστική και ευνουχιστική, για την παιδική παραγωγικότητα, δηµιουργικότητα και σκέψη, η πνευµατοκτόνος πρακτική τής στείρας αποστήθισης «ακανόνιστων» κανόνων και «αόριστων» ορισµών. Η συνεπαγόµενη επιβάρυνση της µνήµης, και η υφαρπαγή τού µαθητικού χρόνου επιβαρύνει, επιβραδύνει και αφαιρεί κάθε περιθώριο συµφιλίωσης και οικοδόµησης υγιούς σχέσης, µε το Σχολείο και µε τα επιµέρους γνωστικά αντικείµενα. Ας αποτελέσουν παράδειγµα προς αποφυγή, τα λόγια του διάσηµου Βρετανού ειρηνιστή, µαθηµατικού και φιλόσοφου Bertrand Russell ( ), που διαφωτιστικά, εύστοχα, όσο και µελαγχολικά σηµείωνε: «Το ξεκίνηµα της άλγεβρας ήταν πολύ δύσκολο, ίσως ως αποτέλεσµα κακής διδασκαλίας. Έπρεπε να αποστηθίσω: το τετράγωνο του αθροίσµατος δύο αριθµών είναι ίσο µε το άθροισµα των τετραγώνων τους, αυξηµένο κατά το διπλάσιο γινόµενό τους. εν είχα την παραµικρή ιδέα τι σήµαινε αυτό και όταν δεν µπορούσα να θυµηθώ τα λόγια, ο δάσκαλος µού πέταγε το βιβλίο στο κεφάλι, γεγονός που δεν παρακινούσε, µε κανένα τρόπο, τη νοηµοσύνη µου» (Russell, ). 63

72 Τέλος, στις θετικές, τεχνολογικές επιπτώσεις του συµπεριφορισµού, αναµφισβήτητα, καταχωρίζεται η ραγδαία ποσοτική αλλά και ποιοτική εξέλιξη εκπαιδευτικών πακέτων λογισµικού, εξαιτίας της χρήσης και προαγωγής του Υπολογιστή σε ισχυρό εκπαιδευτικό µέσο, έστω και ως µπιχεβιοριστικό υποκατάστατο του δασκάλου Οι γνωστικές θεωρίες Έρευνα, η οποία πραγµατοποιήθηκε σε µαθητές ηµοτικού Σχολείου (Μαστρογιάννης & Μαλέτσκος, 2007α), κατέδειξε τις άγευστες, µηχανικές και «αντανακλαστικές» στρατηγικές τους. Μια περίπτωση ακραιφνούς µπιχεβιοριστικής αντιµετώπισης στη (σωστή) λύση, παρατηρήθηκε, για παράδειγµα, στη σχέση ισοδυναµίας 5 : 2 7 : 2 = 5, αφού αυτή χαρακτηρίσθηκε, συντριπτικά, ως λανθασµένη, 7 ενώ οι λίγες σωστές απαντήσεις στηρίχθηκαν στο «µετασχηµατισµό»: 2,5 = 5, µετά 3,5 7 από την εκτέλεση δηλαδή, τής περιττής διαίρεσης. Το θέµα ειδώθηκε εθιστικά, και υπήρξε αδυναµία προσέγγισης ολικά της σχέσης, αφού βέβαια, αποτελεί τον ορισµό της ισοδυναµίας - ισότητας κλασµατικών αριθµών. Σύµφωνα µε τη Μορφολογική Ψυχολογία (Gestalt), η κατανόηση ενός θέµατος δεν είναι αποτέλεσµα µελέτης και ερµηνείας των συστατικών του στοιχείων αλλά προϊόν ευρύτερης αντίληψης αυτού, ως οργανωµένου όλου. Προέχει η µελέτη πρώτα του όλου και µετά των µερών (Παναγιώτου, 1984). Τα στοιχεία αποκτούν νόηµα µόνο όταν είναι ενταγµένα στο όλο. Μια αρχή, βέβαια, που αντιστρατεύεται τις θέσεις του Συµπεριφορισµού. Υπέρ της ολικής αυτής προσέγγισης της γνώσης, ασφαλώς και οπωσδήποτε, θα συνηγορούσε και ο Αριστοτέλης, µε τη γνωστή απόφανσή του ότι «το όλο είναι περισσότερο από το άθροισµα των µερών του». Η µορφολογική Ψυχολογία (Gestalt) ήταν και ο προποµπός της Γνωστικής Ψυχολογίας. Όπως αναφέρθηκε, εξαιτίας των απόψεων του Alan M. Turing, µόλις στις αρχές της δεκαετίας του 60, µια καινούργια επιστήµη, η Γνωστική, εµφανίστηκε στο ερευνητικό προσκήνιο. Η Γνωστική (ή και Γνωσιακή) Επιστήµη, ασχολείται µε τη µελέτη της νοηµοσύνης, και ειδικότερα µε την εξερεύνηση και αποκωδικοποίηση των υπολογιστικών διαδικασιών τού νου. H προσπάθεια και το ενδιαφέρον της περιστρέφεται γύρω και από την κατανόηση των δοµών τού εγκεφάλου, οι οποίες παρέχουν πλούσιες, ενδιαφέρουσες και αξιοποιήσιµες πληροφορίες για τον τρόπο σκέψης και µάθησης ανθρώπων ή και ζώων. Η Γνωστική Επιστήµη ενδιαφέρεται να αποκρυπτογραφήσει και να αποκωδικοποιήσει τον τρόπο αντιµετώπισης προβληµάτων από διάφορους και ποικίλου ταλάντου λύτες, µε απώτερο σκοπό και στόχο, την εξεύρεση και αλίευση στρατηγικών, τεχνικών και µεθόδων. Ακολούθως, παράγονται προγράµµατα σε Η/Υ, που προσοµοιώνουν τις ανθρώπινες γνωστικές λειτουργίες, ανοίγοντας διάπλατα τις επιστηµονικές θύρες, για την έλευση της «Τεχνητής Νοηµοσύνης». Κυρίαρχο και εγγενές στοιχείο και χαρακτηριστικό της Γνωστικής Επιστήµης, είναι, φυσικά, η ιαθεµατικότητα ( ιεπιστηµονικότητα καλύτερα), η οποία στις µέρες µας αναδεικνύεται ως ύψιστης προτεραιότητας και σπουδαιότητας παιδαγωγική επιταγή και διδακτική αρχή. Η Γνωστική ψυχολογία, οι Νευροεπιστήµες, η Μηχανική και Τεχνολογία Υπολογιστών, η Τεχνητή Νοηµοσύνη, αποτελούν δοµικά της στοιχεία, πηγές αναφορών και αιµοδότες της (Von Eckardt, 1996). 64

73 Η Γνωστική ψυχολογία είναι ο κλάδος της ψυχολογίας, που µελετά και αναλύει εµπειρικά, τις γνωστικές λειτουργίες και διανοητικές διαδικασίες. Στα βασικά της ερευνητικά ενδιαφέροντα συγκαταλέγονται η αντίληψη, η µνήµη, η γλώσσα, η σκέψη και η επίλυση προβληµάτων. Στο πλαίσιο της θεωρίας επεξεργασίας πληροφοριών, η Γνωστική Ψυχολογία εστιάζει στον τρόπο µε τον οποίο οι άνθρωποι αποκτούν, επεξεργάζονται οργανώνουν και αποθηκεύουν τις πληροφορίες, ώστε αυτές να γίνουν γνώσεις (Πόρποδας, 2003). Υπάρχει ένας ευθύς παραλληλισµός µεταξύ του ανθρώπινου εγκεφάλου και του Ηλεκτρονικού Υπολογιστή, µε το µεγαλύτερο βάρος να µετατοπίζεται στην αποκρυπτογράφηση της λειτουργίας της µνήµης και της αποθήκευσης πληροφοριών. Η µνήµη είναι µια εσωτερική γνωστική ικανότητα, άκρως απαραίτητη κατά τη διαδικασία της µάθησης και της διατήρησής της. Κατά τη θεωρία επεξεργασίας των πληροφοριών, διακρίνονται 3 επίπεδα µνήµης. Η αισθητηριακή, η βραχύχρονη και η µακρόχρονη. Η αισθητηριακή µνήµη υποδέχεται τα αισθητηριακά ερεθίσµατα, ακόµα και υποσυνείδητα, και λειτουργεί ως προθάλαµός τους αλλά και ως φίλτρο για την είσοδό τους ή όχι στη βραχύχρονη µνήµη. ιαβατήριο και κλειδί εισόδου αποτελεί φυσικά, η θετικότητα, το ενδιαφέρον ως προς το προκληθέν ερέθισµα και ο βαθµός ευαρέσκειας, που προξενεί. Ο χρόνος παραµονής τους κυµαίνεται µεταξύ µερικών χιλιοστών του δευτερολέπτου, όπως δηλαδή το ξεφύλλισµα της προηγούµενης σελίδας της παρούσας εργασίας. Ο αποθηκευτικός χώρος της αισθητηριακής µνήµης (αποτύπωσης) είναι θεωρητικά, ίσως και ουσιαστικά, άπειρος. Η βραχυπρόθεσµη ή και εργαζόµενη µνήµη έχει περιορισµένη χωρητικότητα. Μέσω πειραµάτων αποδείχθηκε το 1956 ότι το εύρος διακύµανσης των στοιχείων, που µπορεί να αποθηκευτούν είναι από 5 έως 9. Ο χρόνος διατήρησης της πληροφορίας, µέχρι αυτή να µπορέσει να προωθηθεί στο επόµενο και τελευταίο επίπεδο, χωρίς επανάληψη, διαρκεί περίπου 20 δευτερόλεπτα, αν και µερικοί επιστήµονες επεκτείνουν το χρονικό διάστηµα σε 30 λεπτά, ακόµα και σε 2-3 ηµέρες. Οι περισπασµοί είναι συχνή αιτία παρακώλυσης της βραχύχρονης µνήµης και υπεύθυνοι για πολλές, καθηµερινές, µνηµονικές αστοχίες όπως βέβαια, και ο εκφυλισµός των µνηµονικών κυττάρων, λόγω υπερκόπωσης και γήρατος. Απλό και διαφωτιστικό παράδειγµα η απώλεια της πληροφορίας (τηλεφωνικού αριθµού), κατά την εσπευσµένη ή µη µετακίνηση του χεριού από τον τηλεφωνικό κατάλογο, µέχρι το ακουστικό. Ακόµα, πολλές µαθησιακές δυσκολίες οφείλονται σε δυσλειτουργίες της βραχυπρόθεσµης µνήµης. Ανορθογραφίες, λάθη στην εκτέλεση αριθµητικών πράξεων, αν τα κρατούµενα δε(ν) (συγ)κρατούνται αλλά και πληµµελής αντιγραφή - µεταφορά κειµένων, από τον µαυροπίνακα στο τετράδιο είναι κάποιες ενδεικτικές προβληµατικές περιπτώσεις. Αντισταθµιστικά, η καταφυγή σε κατάτµηση της πληροφορίας (π.χ. τεµαχισµένη απόδοση αριθµών) ή η απόδοση κανονιστικών γνωρισµάτων και ευκολοµνηµόνευτων διακριτικών (π.χ. 1-7,8,9, για το έτος της γαλλικής επανάστασης) προσφέρει σηµαντικά, µνηµονικά πλεονεκτήµατα. Τέλος, η µακροπρόθεσµη µνήµη, «ο σκληρός δίσκος» της ανθρώπινης αποθηκευτικής διεργασίας των πληροφοριών, όπως και η αντιστοίχιση µε τη µνήµη Ram, του προηγούµενου τύπου (βραχύχρονης µνήµης), είναι το τελευταίο, δυνητικό στάδιο αποθήκευσης κατά τη διαδροµή της πληροφορίας, που µετακινείται από τη βραχύχρονη µνήµη, µετά από µερικά δευτερόλεπτα. Οι ποσότητες των πληροφοριών, που αποθηκεύονται και οι οποίες επιζητούν µονιµότητα και σταθεροποίηση είναι τεράστιες, ενώ το ποσοστό απόρριψής τους 65

74 σχετικά περιορισµένο, σε αντίθεση µε ό,τι συµβαίνει στη βραχύχρονη µνήµη. Εµφανής διαφοροποίηση υφίσταται στο βαθµό εδραίωσης, αξιοπιστίας αλλά και ανάκλησης των πληροφοριών, αφού αρκετές επανέρχονται ως νοητικός εξοπλισµός, µετά από προσπάθεια και υπενθύµιση. Η µνήµη, ως µια υπέρτατη γνωστική διαδικασία, λόγω και της κεφαλαιώδους σπουδαιότητας και σηµασίας της στην εκπαίδευση και µάθηση γενικότερα, έχει απασχολήσει τους επιστήµονες και έχει εγείρει κατά κόρον τις φιλοδοξίες τους για την αποσαφήνιση των µηχανισµών και των δοµών των πλαισίων αναφοράς και λειτουργίας της. Έχουν προταθεί, κατά καιρούς, πολυάριθµοι, πρακτικοί τρόποι βελτίωσης της µνήµης, όπως τακτικές για σωστή επανάληψη, διαδικασίας γνωστής και µε το προσωνύµιο «µήτηρ πάσης µαθήσεως». Είναι, όµως, ερευνητικά επιβεβαιωµένο, πως ένα µεγάλο µέρος από τις προσλαµβάνουσες πληροφορίες και γνώσεις, αποβάλλεται, εξοβελίζεται και ξεχνιέται. Η αυτολεξεί για παράδειγµα, στείρα αποστήθιση µαθηµάτων είναι εξοντωτική, ανόητη και καταστρεπτική, αν και συχνή, ελληνική εκπαιδευτική πρακτική. Μετά από παρέλευση ολίγων ηµερών, οποιοσδήποτε µαθητής θα θυµάται ένα µικρό ποσοστό της ύλης, το οποίο µάλιστα, θα παραµένει, περίπου σταθερό, για αρκετό χρονικό διάστηµα. Η λήθη, άλλη σπουδαία εξισορροπητική λειτουργία, έχει και ευµενή εγκεφαλικά αποτελέσµατα, δεδοµένου ότι, ειδικά τη σηµερινή εποχή, µε την καταιγιστική υπερπροσφορά (συχνά άχρηστων) πληροφοριών, ο εγκέφαλος, ως πεπερασµένος χώρος, θα εκρήγνυντο. Ως αποµνηµονευτική κατακλείδα και συµβουλή προς εξεταζοµένους, ας σηµειωθεί ότι το διάβασµα της τελευταίας στιγµής έχει ερωµένη τη λησµονιά, αφού έχει διαπιστωθεί ότι απαιτείται η µεσολάβηση κάποιου χρόνου, ώστε να επιτευχθούν οι απαραίτητες διασυνδέσεις και να παγιωθούν οι συνεχώς συρρέουσες πληροφορίες. Αντιθέτως, η χρονική επιµήκυνση της προετοιµασίας είναι σταθερά ωφέλιµη και, κυριολεκτικώς, αποτελεσµατικά ευδαιµονική. Εύλογα και δικαιολογηµένα, γεννάται, βέβαια, το απλοϊκό αλλά και συνάµα ουσιαστικό ερώτηµα: «Η επιστήµη νοµιµοποιείται, και ως ποίου βαθµού, να ισχυρίζεται ότι κατανοεί τον ανθρώπινο νου και ειδικότερα τις γνωστικές του λειτουργίες, όπως η µνήµη;». Η απάντηση βρίσκεται καταγραµµένη στην ελληνική έκδοση του επιστηµονικού περιοδικού Scientific American, τεύχος Φεβρουαρίου Στο άρθρο µε τίτλο «Εξερευνώντας τον εγκέφαλο ενός ευφυούς ιδιώτη» των Darold Treffert και Daniel Christensen ο Kim Peek πρωταγωνιστεί σε ένα ανεξήγητο και δυσκατάληπτο, επιστηµονικό µονόπρακτο. Ο περί ου ο λόγος εξαιρετικός κύριος, υποφέρει, πιθανώς, από το σύνδροµο FG, ένα σπάνιο γενετικό σύνδροµο, που συνδέεται µε το χρωµόσωµα Χ, και ο δείκτης νοηµοσύνης του (IQ) δεν ξεπερνά το 87. Η µνηµονική του ικανότητα, ωστόσο, είναι από τις πιο εντυπωσιακές που έχουν ποτέ καταγραφεί. Ο Kim διαβάζει (σκανάρει καλύτερα) µία σελίδα σε 8 µε 10 δευτερόλεπτα και ταυτόχρονα την αποστηθίζει. Μέχρι τη συγγραφή του άρθρου είχε αποστηθίσει (!!!...) βιβλία, τα οποία µπορούσε να τα αναπαραγάγει, κατά λέξη, οποιαδήποτε στιγµή. Ο χαρισµατικός (;) και προικισµένος (;) αυτός (υπερ)άνθρωπος ενέπνευσε το συγγραφέα Barry Morrow κατά τη συγγραφή του σεναρίου της επιτυχηµένης ταινίας του 1988 «Ο άνθρωπος της βροχής», µε τον Dastin Hoffman στο ρόλο του Kim. Τοµογραφίες του εγκεφάλου τού «ευφυούς» αυτού «ιδιώτη», έχουν φανερώσει σηµαντικές δοµικές ανωµαλίες στον εγκέφαλό του. Μέχρι σήµερα, ουδεµία πειστική επιστηµονική ερµηνεία έχει προταθεί, που να εξηγεί την τερατώδη ικανότητά του. 66

75 Παρόµοιες κινήσεις στα σκότη του ανθρώπινου νοητικού ωκεανού καταγράφονται από τις αρχές του 19 ου αιώνα, µε τις ατελέσφορες προσπάθειες εξήγησης του τρόπου δράσης των αριθµοµνηµόνων κατά τον υπολογισµό, από µνήµης, πολύπλοκων αριθµητικών πράξεων. Και οι ίδιοι, άλλωστε, δεν ήταν καθόλου κατατοπιστικοί και επεξηγηµατικοί, αφού δε ήταν σε θέση να ερµηνεύσουν τις εντυπωσιακές δυνατότητές τους, πέραν της αποκάλυψης, κάποιων ευφυών τεχνασµάτων. Το ίδιο συνέβαινε και µε την αποκρυπτογράφηση της διαδικασίας ανεύρεσης της µέρας, µιας συγκεκριµένης ηµεροµηνίας, δυνατότητα που επιδεικνύουν «αυτιστικοί σοφοί», όπως, µέσω και µιας προσωπικής µας µαρτυρίας, επιβεβαιώνεται. Και φυσικά αποµένει η απάντηση στο παραπάνω καίριο ερώτηµα. Όπως, συµπαγώς και αφοπλιστικά, τονίζεται στην προµετωπίδα του άρθρου: «έως ότου καταφέρουµε να εξηγήσουµε πώς προκύπτουν οι ιδιαίτερες ικανότητές του (του Kim), δε δικαιούµαστε να ισχυριζόµαστε ότι κατανοούµε τον ανθρώπινο νου». Τέλος, ως ευχάριστη επωδός, επισηµαίνεται ότι η µνήµη διάκειται ευµενώς, υπέρ της διατήρησης των ευχάριστων περιστατικών, επιδεικνύοντας σαφή, προκατειληµµένη προτεραιότητα και επιλεκτική προτίµηση προς αυτά. Ίσως, επειδή την επιβαρύνουν ελάχιστα, αφού, δυστυχώς, σχεδόν για όλους µας, και αναλογικά µε τα αδιάφορα και τα δυσάρεστα, τα ευχάριστα γεγονότα είναι κατά πολύ λιγότερα Ο Piaget και o εποικοδοµισµός Σηµαντική επιρροή στη θεµελίωση της θεωρίας του γνωστικισµού, της µάθησης µέσω κατανόησης, αποτέλεσε και η εργασία του Piaget ( ), ο οποίος ανέπτυξε τη θεωρία των φάσεων, κατά τη γνωστική ανάπτυξη των παιδιών. Ήταν Ελβετός βιολόγος, επιστηµολόγος και στα κύρια ενδιαφέροντά του εντασσόταν η ψυχολογία, η φιλοσοφία και η λογική των µαθηµατικών. Η καινοτόµος επιστηµονική αντίληψη του Πιαζέ εδράζεται στο γεγονός της παραδοχής του ότι τα παιδιά δεν συγκροτούν συρρικνωµένες οντότητες ενηλίκων. Συνεπακόλουθο µιας τέτοιας επαναστατικής για την εποχή της, θεώρησης, υπήρξε η διαφοροποίηση των αναλυτικών προγραµµάτων, τα οποία προσαρµόσθηκαν, σύµφωνα µε το λογικο- µαθηµατικό µοντέλο ανάπτυξης της ανθρώπινης σκέψης, που εισήγαγε ο Piaget. Αυτή η εξελικτική διαδικασία ακολουθεί 4 διαφορετικά, γραµµικά στάδια (Πρέζας, 2003): Αισθησιοκινητικό στάδιο (0-2 έτη). Οι αισθήσεις και η µετακίνηση είναι ο µόνος τρόπος επικοινωνίας, εξερεύνησης και γνωριµίας µε το περιβάλλον. Προσυλλογιστικό στάδιο (2-7 έτη). Τα παιδιά αποκτούν την ικανότητα να χρησιµοποιούν αριθµούς λέξεις και εικόνες, ως µέρη της αναδυόµενης συµβολικής σκέψης και φαντασίας τους. Στάδιο των συγκεκριµένων συλλογισµών (7-12 έτη). Στην ηλικία αυτή, το παιδί, που βρίσκεται στα χρόνια του ηµοτικού Σχολείου, αρχίζει να ελέγχει και να εξερευνά το περιβάλλον του. H σκέψη του, αν και αιχµάλωτη των συγκεκριµένων εµπειριών και, φυσικά, προσκολληµένη, περιχαρακωµένη και εγκλωβισµένη στα «σύνορα του απτού», εντούτοις προοδεύει σηµαντικά στο στάδιο αυτό. Γίνεται λιγότερο εγωκεντρική, ενώ η βασική γνωστική δοµή, πάνω στην οποία στηρίζεται είναι η οµαδοποίηση. Η οµαδοποίηση βοηθά τους µαθητές, όλο και πιο πολύ, να αντιλαµβάνονται σωστά τις εµπειρίες, να λύνουν προβλήµατα και να προχωρούν προς µια ακριβέστερη και ρεαλιστικότερη εικόνα του κόσµου και του περιβάλλοντος. 67

76 Στάδιο των αφηρηµένων συλλογισµών (12-19 έτη). Η συστηµατική αφηρηµένη σκέψη, η συναγωγή συµπερασµάτων, η διατύπωση υποθέσεων και η κατανόηση αποδείξεων κυριαρχούν στα χρόνια της εφηβείας Οι απόψεις του Piaget συνετέλεσαν στην εµφάνιση µιας θεωρίας, σφόδρα ανταγωνιστικής προς το συµπεριφορισµό, του λεγόµενου εποικοδοµισµού (κονστρουκτιβισµού), βάσει της οποίας το παιδί ενεργητικά, οικοδοµεί ιδέες και νοήµατα, εντός αλληλεπιδραστικών περιβαλλόντων. Σύµφωνα µε τις επιταγές τού εποικοδοµισµού, η πληροφορία µετουσιώνεται σε γνώση, µόνο αν εξετάζεται στο πλαίσιο αυθεντικών καταστάσεων. Γι αυτό χρησιµοποιούνται µαθητοκεντρικές µέθοδοι διδασκαλίας. Αποτελεί την επικρατέστερη θεωρία της εποχής µας και επαγγέλλεται τα ενιαιοποιηµένα σχήµατα αναλυτικού προγράµµατος και διδακτικής παρέµβασης. Προτρέπει η µάθηση να συντελείται µέσα σε αυθεντικές καταστάσεις, οµαδοσυνεργατικά, οργανώνοντας το αναλυτικό πρόγραµµα µε θέµατα προσωπικού ενδιαφέροντος (Ματσαγγούρας, 2003). Ακόµα, παραδέχεται ότι η γνώση δε µεταβιβάζεται, αλλά «οικοδοµείται» από το µαθητή, αφού οι νέες πληροφορίες εντάσσονται στα προϋπάρχοντα νοητικά σχήµατα, τα οποία µε τη σειρά τους τροποποιούνται, εξαιτίας βέβαια της άφιξης των νέων δεδοµένων. Το βασικό, λοιπόν, αξίωµα τού κονστρουκτιβισµού είναι ότι ο άνθρωπος κατασκευάζει τη γνώση, µέσα από µια συνεχή ενεργητική διαδικασία και δεν τη δέχεται παθητικά (Σπυροπούλου, 2002). Απαγορεύει, δια ροπάλου, την αποστήθιση και την παροχή έτοιµων λύσεων, καθώς υποστηρίζει ότι η µάθηση επέρχεται, όταν οι νοητικές δοµές του µαθητή «αφοµοιώνουν» τις νέες εµπειρίες. Κατόπιν, οι νέες αυτές πληροφορίες «συγκρούονται γνωστικά», λόγω δυσαρµονίας και διαφορών µε τις ήδη υπάρχουσες, µε άµεση συνέπεια την επιβεβληµένη επιδίωξη γεφύρωσης αυτού του γνωστικού χάσµατος, της «γνωστικής ανισορροπίας». Αυτή η επιζητούµενη τροποποίηση των πρότερων γνώσεων καλείται συµµόρφωση, που, φυσικά, είναι ο γεννήτορας, η γενεσιουργός αιτία και αφορµή των νέων εννοιών και γνώσεων. Οι 3 αυτοί όροι «γνωστική σύγκρουση», «αφοµοίωση» και «συµµόρφωση» είναι γνωστικές διαδικασίες θεµελιώδους σπουδαιότητας στη θεωρία του Piaget, που κατά τον Einstein, η θεωρία αυτή είναι τόσο απλή, που µόνο µια µεγαλοφυΐα θα µπορούσε να την έχει σκεφτεί (Papert, 1999) Ο Jerome S. Bruner Κύριος εκπρόσωπος του εποικοδοµισµού είναι και ο Αµερικανός ψυχολόγος Jerome S. Bruner ( ). Βασική του πεποίθηση (και αντιπιαζετική, συνάµα) η δυνατότητα ακόµα και των µικρών µαθητών να προσεγγίσουν οποιοδήποτε υλικό, αν αυτό είναι οργανωµένο και προσαρµοσµένο κατάλληλα, µέσω µιας πεφωτισµένης διδασκαλίας. «Κάθε µαθητής µπορεί να µάθει οτιδήποτε, αρκεί να βρεθεί ο ενδεδειγµένος τρόπος», επισηµαίνει. Ο Bruner δέχεται ότι υποβόσκει στους µαθητές µια εκούσια, έµφυτη, εσωτερική παρόρµηση για µάθηση και ένας από τους σκοπούς της διδασκαλίας πρέπει να είναι η µετατροπή των εξωτερικών κινήτρων µάθησης, όπως το εξοντωτικό κυνήγι των καλών βαθµών, σε εσωτερικά, όπως η ευχαρίστηση από τη µάθηση (Bruner, 1960). Μάλιστα, διακρίνει και προκρίνει έναν ωφελιµιστικό και ίσως χρησιµοθηρικό χαρακτήρα στη διδασκαλία, αφού δηλώνει πως ο κύριος σκοπός κάθε προσπάθειας για µάθηση, πρέπει να είναι πέρα από την ικανοποίηση, που ίσως µας προσφέρει, το ότι θα µας εξυπηρετήσει στο µέλλον (Κολιάδης, 1997). Ο Bruner ανέπτυξε το ανακαλυπτικό µοντέλο µάθησης, που οικοδοµείται και ευδοκιµεί σε περιβάλλοντα αλληλεπίδρασης µεταξύ µαθητών και δασκάλων. Η δηµιουργία απαραίτητων βιωµατικών συνθηκών για την ανακάλυψη της γνώσης, 68

77 µέσω διερευνητικών διεργασιών, οδηγεί στην ισχυροποίηση των νοητικών ικανοτήτων. Η βιωµατικότητα και η διερεύνηση είναι βασικές και κρίσιµες αρχές, που προβάλλουν ως «εκ των ων ουκ άνευ», στην ανακαλυπτική θεωρία του Bruner. Τη συµπεριφοριστική συνωρίδα «Ερέθισµα Αντίδραση» o Bruner, βαδίζοντας στα χνάρια του Skinner, την αναβαθµίζει σε διατεταγµένη τριάδα, µε την προσθήκη της ενίσχυσης, ως τρίτου στοιχείου. Η αντίδραση, δηλαδή η γνώση, είναι µια εξαιρετικής συνθετότητας γνωστική δραστηριότητα, µε δυναµικά συνθετικά της τρεις σηµαντικές νοητικές λειτουργίες, όπως εµφανίζονται παρακάτω (Fontana, 1996): Η ανακάλυψη, η απόκτηση της πληροφορίας Ο µετασχηµατισµός ή χειρισµός της Ο έλεγχος για την καταλληλότητα και η αξιολόγηση της πληροφορίας O Bruner όπως και ο Piaget θεώρησε επάλληλα, εξελικτικά στάδια γνωστικής ανάπτυξης, αφού αποδέχτηκε 3 τρόπους αναπαράστασης της γνώσης, τον πραξιακόχειριστικό, τον εικονιστικό και το συµβολικό (Αγαλιώτης, 2000). Η διδασκαλία των αριθµητικών συστηµάτων αποτελεί, ίσως, το προσφορότερο και καταλληλότερο πλαίσιο και πεδίο εφαρµογής και επιβεβαίωσης, της παραπάνω θεώρησης, όπως επίσης και η εκτέλεση ίσως µια διαίρεσης. Πρώτα για παράδειγµα, 20 βώλοι διαµοιράζονται σε 4 κυπελλάκια (πραξιακός τρόπος). Η διαίρεση αυτή (20:4) όµως, µπορεί να αποδοθεί «εικονιστικά», ζωγραφίζοντας ανάλογα και χωρίζοντας µε 4 κάθετες ευθείες 20 (σωστά παρατεταγµένους) βώλους. Τέλος, ο συµβολικός τρόπος κατακτάται µέσω της «δύσκολης», λεκτικής, φορµαλιστικής διατύπωσης (20:4=5). Ας σηµειωθεί ότι στη θεωρία του Bruner, και αντίθετα από τους ισχυρισµούς του Piaget, επιτρέπονται γνωστικές παλινωδίες και νοητικά «πισωγυρίσµατα», αφού τα τρία στάδια, µε το συµπλεγµατικό και αλληλοσυµπληρωµατικό ρόλο τους, συνυπάρχουν σε όλες τις ηλικίες. Η ενίσχυση, κατά τον Bruner, επιτυγχάνεται µέσω της αυτοεκπλήρωσης τού µαθητή και της συνειδητοποίησης ότι η µάθηση ανεξαρτητοποιεί, µέσω της αντιπαροχής της, για δυνατότητα πρόσβασης σε πληροφορίες, δηµιουργώντας έτσι, µια ανακυκλητική διαδικασία, ως αποτέλεσµα της συνεπαγόµενης ενίσχυσης της αυτοπεποίθησ&et