«Τεηπάδιο Επανάληψηρ» ΑΛΓΕΒΡΑ Ά ΛΥΚΕΙΟΥ

Transcript

1 . Άλγεβπα Ά Λςκείος Θεωπία Αζκήζειρ «Τεηπάδιο Επανάληψηρ» ΑΛΓΕΒΡΑ Ά ΛΥΚΕΙΟΥ Σςνοπηική θεωπία Επωηήζειρ θεωπίαρ Θέμαηα Εξεηάζεων Σςνδςαζηικά θέμαηα Θέμαηα ηος ΟΕΦΕ

2

3

4 (Α) ΜΕΡΟ: ΕΡΩΣΗΕΙ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΣΑ ΕΞΕΣΑΕΩΝ ΘΔΜΑ 1 ο i. Αλ ζ >0, λα δείμεηε όηη x< ζ -ζ <x < ζ α. Πόηε κηα ζπλάξηεζε f κε πεδίν νξηζκνύ ην Α ιέγεηαη άξηηα; β. Πόηε κηα ζπλάξηεζε f ιέγεηαη γλεζίσο θζίλνπζα ζε έλα δηάζηεκα Γ ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ ηεο ; i Οη επζείεο ε 1 : y = (ι 3)x + 5, ε : y = 4ιx 1 είλαη παξάιιειεο, όηαλ ην ι είλαη: α) 3 β) γ) -1 δ) 0 ΘΔΜΑ ο i. Να ζπκπιεξώζεηε ηνπο ηύπνπο : Γ =.. ρ 1, ρ =.. όπνπ ρ 1,ρ είλαη ξίδεο ηεο εμίζσζεο : αρ +βρ+γ=0,α 0 θαη θαηόπηλ λα ζπκπιεξώζεηε ηηο πξνηάζεηο : α) Αλ Γ 0, ηόηε νη ξίδεο β) Αλ Γ = 0, ηόηε νη ξίδεο Να ραξαθηεξίζεηε θάζε πξόηαζε κε σζηό () ή Λάζνο (Λ) α) Ζ εμίζσζε αx = β είλαη αόξηζηε (ηαπηόηεηα), όηαλ α = 0 θαη β 0. β) Αλ ι 1 = ι, ηόηε νη επζείεο y = ι 1 ρ + β 1 θαη y = ι ρ + β είλαη παξάιιειεο. γ) Αλ S θαη P ην άζξνηζκα θαη ην γηλόκελν δπν αξηζκώλ, ηόηε ε εμίζσζε πνπ έρεη ξίδεο απηνύο ηνπο δπν αξηζκνύο είλαη ε : ρ + Sx + P = 0. δ) Δάλ α < β θαη γ < δ, ηόηε α. γ <β. δ ΘΔΜΑ 3 ο i. Να δνζεί ν νξηζκόο ηεο απόιπηεο ηηκήο ελόο ζεηηθνύ αξηζκνύ α Αλ ζ > 0 ηόηε λα απνδείμεηε όηη: <ζ - ζ < x < ζ i Να ζπκπιεξώζεηε ηα θελά ζηηο παξαθάησ πξνηάζεηο: α) Αλ =α.

5 β) Έζησ ηα ζεκεία Α(x, y) θαη Β(x, y ). Ζ απόζηαζε ηνπ Α από ην Β δίλεηαη από ηνλ ηύπν : d (ΑΒ) =. γ) Έζησ f(x) = αx + βx + γ, κε α 0. Αλ x 1, x είλαη νη ξίδεο ηνπ ηξησλύκνπ ηόηε ε f(x) γίλεηαη γηλόκελν παξαγόλησλ ζύκθσλα κε ηνλ ηύπν : f(ρ) =. ΘΔΜΑ 4 ο i. Να απνδείμεηε όηη :.. Ση ιέγεηαη απόζηαζε δύν αξηζκώλ α θαη β; i Να ραξαθηεξίζεηε ηηο παξαθάησ πξνηάζεηο κε σζηό () ή Λάζνο (Λ) α) Ηζρύεη :.. β) Ηζρύεη : γ) Οη επζείεο ε 1 : ς = 3ιρ + θαη ε : ς = 1 ιρ + είλαη παξάιιειεο 3 δ) Αλ x R, ηόηε γηα θάζε ρ πξαγκαηηθό αξηζκό. ΘΔΜΑ 5 ο i. Αλ νη ξίδεο ηεο εμίζσζεο, ρ + βx + γ =0 κε α 0 είλαη νη ξ 1 θαη ξ δείμεηε όηη : S = 1 θαη Ρ = 1 (ηύπνη Vieta ) Να ραξαθηεξίζεηε κε (σζηό) ή Λ (Λάζνο) ηηο παξαθάησ πξνηάζεηο: 1) Ζ εμίζσζε α x = β έρεη κνλαδηθή ιύζε όηαλ α 0 ) Όηαλ α 0, ηόηε ε παξηζηάλεη ηε ιύζε ηεο εμίζσζεο x = α 3) Γη α θάζε πξαγκαηηθό αξηζκό α ηζρύεη : α α α 4) Γίλεηαη ην ζύζηεκα : αx +βy = γ θαη α x + β y = γ Αλ ηζρύνπλ D = Dy =0 θαη Dx 0 ην ζύζηεκα είλαη αδύλαην. ΘEMA 6 ο Γίλεηαη ε εμίζσζε ε : αx + βx + γ = 0, όπνπ α 0.

6 α. Να γξάςεηε ηε δηαθξίλνπζα Γ ηεο εμίζσζεο (ε) θαη πνηα ζπλζήθε πξέπεη λα ηθαλνπνηεί ε Γ, ώζηε ε (ε) λα έρεη πξαγκαηηθέο ξίδεο (ρσξίο απόδεημε ) β. Αλ ε εμίζσζε ε έρεη πξαγκαηηθέο ξίδεο, ηόηε λα γξάςεηε ηνπο ηύπνπο ησλ ξηδώλ ηεο ζε ζρέζε κε ηα α, β, γ (ρσξίο απόδεημε) γ. Αλ ε εμίζσζε ε έρεη πξαγκαηηθέο ξίδεο ίζεο ηόηε λα γξάςεηε ηνπο ηύπνπο ησλ ξηδώλ ηεο ζε ζρέζε κε ηα α, β ( ρσξίο απόδεημε ) ΘΔΜΑ 7 ο i. Να δώζεηε ηνπο παξαθάησ νξηζκνύο : α) Να δώζεηε ηνλ νξηζκό ηεο ζπλάξηεζεο β) Πόηε κηα ζπλάξηεζε ιέγεηαη άξηηα θαη πόηε πεξηηηή ; γ) Πόηε κηα ζπλάξηεζε ιέγεηαη γλεζίσο αύμνπζα θαη πόηε γλεζίσο θζίλνπζα ; δ) Πόηε ε ηηκή f(x 0 ) ιέγεηαη κέγηζην ηεο ζπλάξηεζεο f ; Ση νλνκάδνπκε απόιπηε ηηκή ελόο αξηζκνύ α; i Ση νλνκάδνπκε ηεηξαγσληθή ξίδα ηνπ ζεηηθνύ αξηζκνύ α; iv. Ση νλνκάδνπκε λ-νζηή ξίδα ηνπ ζεηηθνύ αξηζκνύ α; ΘΔΜΑ 8 ο i. Να ζπκπιεξσζνύλ νη παξαθάησ ηδηόηεηεο ησλ απνιύησλ ηηκώλ: α) β).. γ) Να ραξαθηεξίζεηε σο ζσζηό ( Σ ) ή ιάζνο ( Λ ) ηηο επόκελεο πξνηάζεηο : α) β) Αλ 0, ηόηε : γ) Αλ, 0, ηόηε : δ) ΘΔΜΑ 9 ο Α. Να δείμεηε όηη γηα θάζε α, β R. Β. Να ραξαθηεξίζεηε ηηο πξνηάζεηο πνπ αθνινπζνύλ, σζηό (Σ) ή Λάζνο (Λ) α) Αλ x, ς 0, ηόηε β) Γηα θάζε x R ηζρύεη : γ) Γη α θάζε x, y R ηζρύεη : y x y

7 ΘΔΜΑ 10 ο δ) Αλ x + y < y, ηόηε : x < 0 ε) Ζ εμίζσζε α x = 0 είλαη αδύλαηε i. Να δώζεηε ηνλ νξηζκό ηεο απόιπηεο ηηκήο ηνπ πξαγκαηηθνύ αξηζκνύ α. Να απνδείμεηε όηη: αλ ζ > 0, x < ζ ζ < x < ζ. i Να γξάςεηε αλ είλαη ζσζηνί (Σ) ή ιάζνο (Λ), νη παξαθάησ ηζρπξηζκνί: ΘΔΜΑ 11 ο α. α + β = α + β, α, β R. β. x = x, x R γ. x =0 είλαη αδύλαηε, x R δ. Αλ α + β = 0, ηόηε : α = 0 ή β = 0 ε. x >, x R i. Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε α, β R ηζρύεη : α β = α β. Να δώζεηε ηνλ νξηζκό ηεο απόιπηεο ηηκήο πξαγκαηηθνύ αξηζκνύ α i Να γξάςεηε σζηό () ή Λάζνο (Λ) ζηηο παξαθάησ πξνηάζεηο : ΘΔΜΑ 1 ο α) Αλ α 0, ηόηε ε εμίζσζε αρ+β=0, δελ έρεη κία ιύζε β) Γηα ρ R θαη ζ > 0, ηζρύεη : x = ζ x = ± ζ. γ) Ζ επζεία ρ = α είλαη παξάιιειε ζηνλ άμνλα ρρ. δ) Αλ ε δηαθξίλνπζα Γ ηεο εμίζσζεο : αρ +βρ +γ = 0,α a 0 είλαη ζεηηθή, ηόηε ε εμίζσζε δελ έρεη πξαγκαηηθέο ξίδεο i. Να απνδείμεηε όηη: δύν επζείεο ε 1 θαη ε κε εμηζώζεηο ε 1 : y = α 1 x + β 1 θαη ε : y = α x + β αληίζηνηρα, είλαη παξάιιειεο κόλν όηαλ νη ζπληειεζηέο δηεύζπλζεο απηώλ είλαη ίζνη. Να ραξαθηεξίζεηε ηηο παξαθάησ πξνηάζεηο κε σζηό () ή Λάζνο (Λ): α) Μία επζεία παξάιιειε ζηνλ άμνλα x x ζρεκαηίδεη κε ηνλ άμνλα ησλ ρρ γσλία 90 β) Αλ σ είλαη ε γσλία πνπ ζρεκαηίδεη ε επζεία ε :y = αx + β κε ηνλ άμνλα ησλ ρρ, ηόηε εθσ = β γ) Οη ζπληειεζηέο δηεύζπλζεο δύν θάζεησλ επζεηώλ έρνπλ

8 γηλόκελν ίζν κε -1 δ) επζεία y = αx δελ δηέξρεηαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ. Θέμα 13 ο (ΟΔΦΔ 006/ Θ.1) α. Αλ ζ>0 λα απνδείμεηε όηη Μονάδερ 13 β. Έζησ x 1 θαη x νη ξίδεο ηεο εμίζσζεο Να απνδείμεηε όηη: i) ii) Μονάδερ 1 Θέμα 14 ο (ΟΔΦΔ 007/ Θ. 1) Α. Να δνζεί ν νξηζκόο ηεο απόιπηεο ηηκήο. Μονάδερ 5 Β. Να απνδείμεηε όηη: Μονάδερ 6 Γ. Να ζπκπιεξσζνύλ ζην ηεηξάδην ζαο ηα θελά ζηνπο ηύπνπο: 1. αλ ζ>0 θαη. αλ Μονάδερ 4 Γ. Να ραξαθηεξίζεηε ηηο παξαθάησ πξνηάζεηο ζεκεηώλνληαο ζην ηεηξάδηό ζαο ην αληίζηνηρν γξάκκα (ζσζηό) ή Λ (ιάζνο). 1. αλ. ν αξηζκόο x είλαη αξλεηηθόο γηα θάζε 3. αλ αλ α<1<β ηόηε (1-α)(1-β)(α-β)β > 0 Μονάδερ 10 Θέμα 15 ο (ΟΔΦΔ 008/ Θ.1) Α. Έζησ x 1 θαη x νη ξίδεο ηεο εμίζσζεο Να απνδείμεηε όηη: i. Β. ηηο παξαθάησ πξνηάζεηο λα επηιέμεηε ηελ ζσζηή απάληεζε: i. Οη είλαη παξάιιειεο αλ: α. ι=5 γ. β. ι=008 δ. ι= Αλ ε εμίζσζε έρεη ξίδα ην ηόηε: Μονάδερ 9

9 α. θ=6 β. θ=0 γ. δ. θ=-6 i Αλ D=0 θαη D x =D y =5 ηόηε ην ζύζηεκα: α. έρεη άπεηξν πιήζνο ιύζεσλ β. είλαη αδύλαην γ. έρεη κνλαδηθή ιύζε (x,y)=(0,0) δ. έρεη κνλαδηθή ιύζε (x,y)=(5,5) Μονάδερ 6 Γ. Να ζεκεηώζεηε πνηεο από ηηο παξαθάησ πξνηάζεηο είλαη ζσζηέο () ή ιαλζαζκέλεο (Λ): i. Αλ Ζ εμίζσζε έρεη πξαγκαηηθέο ξίδεο γηα θάζε i γηα θάζε iv. v. Μονάδερ 10 Θέμα 16 ο (ΟΔΦΔ 009/ Θ.1) Α. Να γξάςεηε ηνλ νξηζκό ηεο ζπλάξηεζεο από έλα ζύλνιν Α ζε έλα ζύλνιν Β. Μονάδερ 5 Β. Αλ λα απνδείμεηε όηη: Μονάδερ 10 Γ. Να ζεκεηώζεηε πνηεο από ηηο παξαθάησ πξνηάζεηο είλαη ζσζηέο () ή ιαλζαζκέλεο (Λ). α) Γηα θάζε ηζρύεη :. β) Ζ γξαθηθή παξάζηαζε κηαο ζπλάξηεζεο f ηέκλεη θάζε θαηαθόξπθε επζεία ζε έλα ην πνιύ ζεκείν. γ) Αλ D, D x, D y νη νξίδνπζεο ελόο ζπζηήκαηνο δύν γξακκηθώλ εμηζώζεσλ κε δύν αγλώζηνπο, κε D=D x =D y =0, ηόηε ην ζύζηεκα έρεη πάληα άπεηξν πιήζνο ιύζεσλ. δ) Αλ ζηελ εμίζσζε ηζρύεη ηόηε ε εμίζσζε έρεη δύν ξίδεο άληζεο. ε) Αλ ηόηε. Μονάδερ 10 Θέμα 17 ο (ΟΔΦΔ 010/ Θ.1) Α. Αλ ζ>0 λα απνδείμεηε όηη. Μονάδερ 10 Β. ε θαξηεζηαλό ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ δίλνληαη ηα ζεκεία Α(x 1, y 1 ) θαη Β(x, y ). Να γξάςεηε ηνλ ηύπν, κε ηνλ νπνίν ππνινγίδεηαη ε απόζηαζε ΑΒ. Μονάδερ 5 Γ. Να ραξαθηεξίζεηε ηηο πξνηάζεηο πνπ αθνινπζνύλ γξάθνληαο ζην ηεηξάδηό ζαο δίπια ζην γξάκκα πνπ αληηζηνηρεί ζε θάζε πξόηαζε ηε ιέμε σζηό αλ ε πξόηαζε είλαη ζσζηή, ή Λάζνο, αλ ε πξόηαζε είλαη ιαλζαζκέλε. α) Αλ, ηόηε ηζρύεη:

10 β) Αλ ηόηε ην ηξηώλπκν παίξλεη ηε κνξθή όπνπ x 1, x νη ξίδεο ηνπ ηξησλύκνπ. γ) Ηζρύεη πάληνηε όπνπ λ ζεηηθόο αθέξαηνο θαη. δ) Αλ ηόηε πάληνηε ηζρύεη: ε) Αλ x>0, ηόηε Μονάδερ 10 Θέμα 18 ο (3ο Γενικό Λύκειο Νέαρ Ιωνίαρ) Α. Αλ ζ > 0 θαη x πξαγκαηηθόο αξηζκόο λα δείμεηε όηη: x < ζ ζ < x < ζ Β. Να δώζεηε ηνλ νξηζκό ηεο απνιύηνπ ηηκήο ελόο πξαγκαηηθνύ αξηζκνύ α. Γ. Να γξάςεηε ζηελ θόιια ζαο πνηεο από ηηο παξαθάησ πξνηάζεηο είλαη ζσζηέο θαη πνηεο είλαη ιάζνο ζεκεηώλνληαο κε θάζε ζσζηή θαη κε Λ θάζε ιαλζαζκέλε πξόηαζε. α. Γηα θάζε x R ηζρύεη: x x = x x β. Γηα θάζε α, β < 0 ηζρύεη: γ. Γηα θάζε α, β R ηζρύεη: α + β = α + β δ. Ζ εμίζσζε x λ = α κε α < 0 θαη λ άξηην έρεη αθξηβώο δύν ιύζεηο ηηο θαη ε. Αλ x 1, x είλαη νη ξίδεο ηεο εμίζσζεο αx + βx + γ = 0 κε α 0, ηόηε ε εμίζσζε κεηαζρεκαηίδεηαη ζηελ x Sx + P = 0 όπνπ S = x 1 + x θαη Ρ = x 1 x.

11 (Β) ΜΕΡΟ: ΘΕΜΑΣΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΑ 1. πκπιεξώζηε ηα θελά: i. d( x, y )... d ( 3,5)... i x... x 0 iv. x 0 x... v. x 5 είλαη. vi. x 1 1 είλαη. v x x είλαη vi x y... x y ix. x y x. x y 0 x y... xi. x y... x x... xi xiv γηα θάζε πξαγκαηηθό αξηζκό α, β > 0.. σζηό ή Λάζνο; Γηθαηνινγήζηε ηελ απάληεζή ζαο: i. d( x, y) d( y, x ) x y y x i x x iv. x x v. 0x 1 αδύλαηε vi. 0x αόξηζηε v x y 0 γηα θάζε ρ, y R vi 0x 0 αδύλαηε ix. x 0 x. x x xi. αλ α < β ηόηε -3α > -3β x 0x > -5 είλαη αδύλαηε xi γηα θάζε πξαγκαηηθό αξηζκό αr 3. Να ιπζνύλ νη παξαθάησ εμηζώζεηο: i. x 1 5 x 1 5 i 1 x x iv. 1 x x v. 1 x 3 x vi. 1 x 3 x 0 v vi ix. x 4 x x x 3 3 x x x. 3 x 5 x 3 1 x 3 6 3

12 xi. x 4 3 x x Να ιπζνύλ νη παξαθάησ αληζώζεηο: i. x 1 4 x 1 4 iv. x 1 4 v. 1 x 5 3 i x 1 4 vi. v x x x 1 x 1 x Αλ 1< ρ < y < 1 ηόηε λα απινπνηήζεηε ηηο παξαζηάζεηο: i. A 1 x y 1 3 x y y 4x 5 A= x y i A= 33 x iv. A= x xy y - 1 v. A x x 1 x 1 6. Αλ ρ< 3<y λα βξείηε ην πξόζεκν ηεο παξάζηαζεο: 7. Να απινπνηεζνύλ νη παξαζηάζεηο: Α= -(3 ρ)(y - 3)(3x -7)(5 y) i. 18 A A x x x 1 x x 1 κε 0 < x < 1 i Α= Γίλνληαη ηα ζεκεία Α(-1,), Β(-1,-1) θαη Γ(,-1) i. Βξείηε ηηο απνζηάζεηο ησλ πιεπξώλ ΑΒ, ΑΓ, ΒΓ i Να απνδείμεηε όηη ην ηξίγσλν ΑΒΓ είλαη ηζνζθειέο Να απνδείμεηε όηη ην ηξίγσλν ΑΒΓ είλαη νξζνγώλην iv. Αλ (ε): y x 3, βξείηε ηελ επζεία πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν Α θαη είλαη παξάιιειε ζηελ επζεία (ε) v. Πνηα από ηηο παξαθάησ επζείεο είλαη θάζεηεο ζηελ επζεία (ε).

13 α) x y 1 β) y x γ) y x Γίλνληαη νη επζείεο ( 1) : y x 5 θαη ( ) : y (5 4 )x i. Βξείηε ην ι αλ νη επζείεο είλαη παξάιιειεο i Βξείηε ην ι αλ νη επζείεο είλαη θάζεηεο Γηα ηελ ηηκή ηνπ ι πνπ βξήθαηε από ην β ζθέινο κε ι <1, βξείηε ην ζεκείν ηνκήο ησλ δύν επζεηώλ x 1 y Γίλεηαη ην ζύζηεκα x 3 x y 3 3 i. Να απνδείμεηε όηη ε ιύζε ηνπ ζπζηήκαηνο είλαη ην (5,) Πνηα από ηηο παξαθάησ επζείεο δηέξρεηαη από ην παξαπάλσ ζεκείν: α) x 3y 1 β) 3y x i Βξείηε ην ιr *, αλ ε επζεία ( )x 5 y 10 δηέξρεηαη από ην ζεκείν ηνκήο ησλ επζεηώλ ηνπ εξσηήκαηνο (α) x y Γίλεηαη ην ζύζηεκα x y i. Τπνινγίζηε ηηο νξίδνπζεο D,D x,d y i Να βξείηε ην ι, αλ ην ζύζηεκα έρεη κνλαδηθή ιύζε. Πνηα είλαη ε ιύζε ηνπ ζπζηήκαηνο; Γηα πνηεο ηηκέο ηνπ ι ην ζύζηεκα είλαη αδύλαην ή αόξηζην; iv. Βξείηε ην ι=;,αλ γηα ηελ κνλαδηθή ηηκή (x 0, y 0) ηνπ ηζρύεη y 8 x 0 0 v. Όκνηα ππνινγίζηε ην ι=; αλ γηα ηελ ιύζε ηνπ εξσηήκαηνο β ηζρύεη: x y 1. Γίλεηαη ην ζύζηεκα ( 1)x y 1 4x (k 1)y 1 i. Αλ ην ζύζηεκα είλαη αόξηζην λα απνδείμεηε όηη: ι = 5 θαη θ = 1 i Γηα ηηο παξαπάλσ ηηκέο ηνπ θ, ι λα ζρεδηάζεηε ηηο επζείεο Πνηα είλαη ε ζρεηηθή ηνπο ζέζε ησλ δύν επζεηώλ; 13. Γίλεηαη ην ζεκείν Α(3,1), λα βξείηε ην ζπκκεηξηθό ηνπ ζεκείν σο πξνο:

14 i. Σνλ άμνλα ρ ρ Σνλ άμνλα yy i Σελ δηρνηόκν ηεο πξώηεο θαη ηξίηεο γσλίαο ροy iv. Αλ ην ζπκκεηξηθό ηνπ ζεκείν σο πξνο ηνλ άμνλα ρ ρ είλαη ην Α (1 θ, ι 3) βξείηε ηα θ,ι =; 14. Γίλεηαη ην ζύζηεκα ( 1)x 8y 4 x ( 3)y 3 1 κε ιr Βξείηε ην ι, αλ ην ζύζηεκα έρεη: i. Μνλαδηθή ιύζε Μνλαδηθή ιύζε (ρ 0,y 0 ) πνπ ηθαλνπνηεί ηελ ζρέζε ρ 0 +y 0 =1 i iv. Κακία ιύζε Άπεηξν πιήζνο ιύζεσλ x y Να βξεζεί γηα πνηεο ηηκέο ηνπ κ, ην ζύζηεκα x y i. Έρεη κνλαδηθή ιύζε Έρεη κνλαδηθή ιύζε (ρ 0,y 0 ) γηα ηελ νπνία ηζρύεη ρ 0 +3y 0 =3 i Δίλαη αδύλαην 16. Γίλεηαη ην ζύζηεκα x 3y 11 x 5y 7 γηα ιr i. Να απνδείμεηε όηη ην ζύζηεκα έρεη κνλαδηθή ιύζε γηα νπνηνδήπνηε πξαγκαηηθό αξηζκό ι Τπνινγίζηε ηελ ιύζε (ρ 0,y 0 ) i Γηα πνηα ηηκή ηνπ ι ε ιύζε (ρ 0,y 0 ) ηνπ β εξσηήκαηνο επαιεζεύεη ηε ζρέζε: x 11 y Γίλεηαη ε εμίζσζε x x 1 0 κε i. Να απνδείμεηε όηη ε εμίζσζε έρεη δηαθνξεηηθέο ξίδεο ξ 1, ξ γηα νπνηνδήπνηε πξαγκαηηθό αξηζκό ι Τπνινγίζηε ηηο παξαζηάζεηο: A p p θαη B p p 1

15 i Αλ ην ζύζηεκα είλαη αόξηζην, ππνινγίζηε ην ι. (p p )x (p p )y p1 p x 3 y 6 p1 p 18. Γίλεηαη ε εμίζσζε Α) Να βξείηε ηηο παξαζηάζεηο x 5x 7 0 κε ιύζεηο p 1,p. i. A p p 1 p1 p B p p 1 Β) Να βξείηε ηελ εμίζσζε κε ιύζεηο ηνπο αξηζκνύο i. 1 p 1, p 1 1 1, p p Να ιπζνύλ νη παξαθάησ εμηζώζεηο: i. i iv. v. vi. (x 1) 4 x x 3 x 0 x x 4 x 6x x 3x 0 x 3 x 0 x x x x x 1 x 1 x 1 0. Γίλεηαη ε εμίζσζε x x 7 0 i. Να απνδείμεηε όηη έρεη δύν ξίδεο ρ 1, ρ θαη λα ηηο βξείηε x1 x 3 Να απνδείμεηε όηη γηα ηηο παξαπάλσ ξίδεο ηζρύεη: Να θάλεηε ηα εμήο: i. Να ππνινγίζεηε ηηο παξαζηάζεηο 3 5 θαη 5 3

16 Να ιύζεηε ηελ εμίζσζε x ( 5 3)x i Να απινπνηήζεηε ηελ παξάζηαζε: A Γίλεηαη ην ζύζηεκα: x 1 y x 3 x y 3 3 i. Σν ζύζηεκα είλαη γξακκηθό; Αλ δελ είλαη, λα ην θάλεηε. i iv. Να ιύζεηε ην ζύζηεκα Να ζρεδηάζεηε ηηο επζείεο θαη λα βξείηε ην ζεκείν ηνκήο ηνπο Βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζεία πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν ηνκήο ηνπο θαη είλαη παξάιιειε ζηελ επζεία (ε ): y x Γίλνληαη ηα ζεκεία Α(3, -8), Β( -6, 4). Να βξείηε: i. Σελ απόζηαζε ησλ ζεκείσλ ΑΒ Σελ εμίζσζε ηεο επζείαο (ε) πνπ δηέξρεηαη από ηα ζεκεία Α, Β. i Σα ζεκεία ηνκήο Γ, Γ ηεο επζείαο (ε), κε ηνπο άμνλεο ρ ρ θαη y' y αληίζηνηρα. iv. Να ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ θαη ηελ πεξίκεηξνο ηνπ ηξηγώλνπ ΟΓΓ. 4. Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε: x f (x) x πνπ δηέξρεηαη από ηα ζεκεία Α(1, -1) θαη Β(4, -3) i. 5x Να απνδείμεηε όηη: f (x) x Γηα πνηεο ηηκέο ηνπ ρ νξίδεηαη ε ζπλάξηεζε f ; i f (0) f ( 1) 4 6 Να ιύζεηε ηελ εμίζσζε: Γίλεηαη ε επζεία (ε): 4x y i. Βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο (ε )πνπ είλαη θάζεηε ζηελ επζεία (ε) θαη δηέξρεηαη από ην ζεκείν Α(4,9) Βξείηε ηα ζεκεία ηνκήο Γ, Γ ηεο επζείαο (ε ) κε ηνπο άμνλεο xx ' θαη y' y αληίζηνηρα.

17 i iv. ρεδηάζηε ηελ επζεία (ε ) Βξείηε ην εκβαδόλ θαη ηελ πεξίκεηξνο ηνπ ηξηγώλνπ ΟΓΓ. 6. Έζησ ε εμίζσζε ρ - 3κρ+λ=0 θαη ξ 1, ξ νη ξίδεο ηεο. Αλ ηζρύεη: 3ξ 1 ξ 1 ξ = -3ξ θαη 1-ξ 1 ξ 6ξ 1 =6ξ 10 Α. Να βξείηε ηα ξ 1 + ξ θαη ξ 1 ξ ζπλαξηήζεη ησλ κ, λ από ηελ δεπηεξνβάζκηα εμίζσζε. Β. Βξείηε ηα κ, λ από ηελ επίιπζε ηνπ ζπζηήκαηνο. 7. Αλ ε εμίζσζε ρ - α+β-1 ρ - (α-β) =0 έρεη κηα δηπιή ξίδα ηόηε: Α. Να δείμεηε όηη α = β = ½ Β. Αλ ν Ρσκαίνο θαη ε Ηνπιηέηα βξίζθνληαη πάλσ ζηα πινία Π₁ θαη Π₂ αληίζηνηρα πνπ θηλνύληαη πάλσ ζηηο επζείεο (ε 1 ): αρ+004ς=1 θαη (ε ): βρ+004ς=, ππάξρεη πεξίπησζε λα ζπλαληεζνύλ θαη νινθιεξώζνπλ ηνλ εξσηά ηνπο...; 8. έλα αγώλα κπάζθεη ε ΑΔΚΑΡΑ θέξδηζε ηνλ ΟΛΤΜΠΗΑΚΟ Αλ ζθόξαξαλ ηνλ ίδην αξηζκό δίπνλησλ αιιά ε ΑΔΚ πέηπρε δηπιάζηα ηξίπνληα από ηνλ ΘΡΤΛΟ, πόζα θαιάζηα πέηπρε θάζε νκάδα; (Τπνζέηνπκε όηη ην ζθνξ δηακνξθώζεθε κόλν από ηξίπνληα θαη δίπνληα). 9. Έζησ ε δεπηεξνβάζκηα εμίζσζε: ρ - ρ + ι+ = 0, ι R. a. Να βξείηε ην άζξνηζκα θαη ην γηλόκελν ησλ ξηδώλ, ζπλαξηήζεη ηνπ ι. b. Αλ ν ιόγνο ησλ ξηδώλ ηεο είλαη 3, λα βξείηε ην ι θαη ηηο ξίδεο ηηο εμηζώζεηο. 30. Έζησ ε εμίζσζε αρ + βρ + γ = 0, α 0. a. Να δείμεηε όηη: α + γ b. Αλ ηζρύεη όηη: β > α + γ ηόηε λα δείμεηε όηη ε δεπηεξνβάζκηα εμίζσζε έρεη δύν ξίδεο πξαγκαηηθέο θαη άληζεο. 31. Γηα ηελ ηηκή ηνπ α πνπ θάλεη ηελ εμίζσζε αρ + 1 = α + ρ ηαπηόηεηα, λα βξεζνύλ νη αθέξαηεο ηηκέο ηνπ ρ πνπ ζπλαιεζεύνπλ νη αληζώζεηο: (ρ-α) +(α-ρ) +ρ > (ρ-α) + ρ θαη (1-α) ρ - αρ < α+3 3. Έζησ ε εμίζσζε ρ -(ι+1)ρ+ι=0 θαη ρ 1,ρ είλαη νη ξίδεο ηεο. α. Βξείηε ηηο ξίδεο ηεο εμίζσζεο ζπλαξηήζε ηνπ ι β. Αλ νη αξηζκνί,ρ 1,ρ είλαη πιεπξέο ηξηγώλνπ ηόηε ην ι (1,3). γ. Γηα ηελ παξαπάλσ ηηκή ηνπ ι λα ιπζεί ε παξαθάησ εμίζσζε: ι-1 ι - ι-004 = 3-ι +8ι Ο θνο Πνιπμεξίδεο πνπ πξόθεηηαη λα αγνξάζεη έλα πεξηθξαγκέλν νηθόπεδν ζην Καηαζηάξη ηεο Εαθύλζνπ ζρήκαηνο νξζνγσλίνπ κε εκβαδόλ 4070 m ζέιεζε λα κάζεη ηηο δηαζηάζεηο ησλ πιεπξώλ ηνπ. Ο ηδηνθηήηεο όκσο δελ ηηο γλώξηδε ηηο

18 δηαζηάζεηο, ζπκόηαλ όκσο όηη ρξεζηκνπνίεζε 58 m ζπξκαηόπιεγκα γηα λα ην πεξηθξάμεη. α. Πνηεο είλαη νη δηαζηάζεηο ηνπ νξζνγσλίνπ. β. Μεηά ζέιεζε λα κάζεη από ηελ πνιενδνκία ηνπ Καηαζηαξίνπ πνην είλαη ην κέγηζην εκβαδόλ ηνπ ζπηηηνύ πνπ δηθαηνύηαη λα θηίζεη βάζε λόκνπ. Ο πνιενδόκνο γηα λα ηνλ κπεξδέςεη (σο γλήζηνο Εαθπλζηλόο) ηνπ έδσζε ηελ απάληεζε όηη ε πεξίκεηξνο ηνπ ζπηηηνύ (ζρήκαηνο νξζνγώληνπ) κπνξεί λα είλαη κέρξη 40m. Ο θνο Πνιπμεξίδεο θπζηθά βξήθε ηελ απάληεζε. Πνηά ήηαλ; 34. Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε F κε ηύπν: F(ρ) = 3ρ - a. Να βξείηε ηα ζεκεία ηνκήο κε ηνπο άμνλεο θαη λα ηα νλνκάζεηε Α, Β. b. Να ραξάμεηε ηελ γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο F ζε έλα ζύζηεκα νξζνγσλίσλ αμόλσλ c. Βξείηε ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΟΑΒ, όπνπ Ο ε αξρή ησλ αμόλσλ d. Βξείηε ην ι γηα ηελ επζεία, ιρ - ς=00 αλ γλσξίδεηε όηη είλαη παξάιιειε ηεο επζείαο ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο F. e. Να ιπζεί ην ζύζηεκα : F 1 F 4 / 3 0 F5 / 3 F 10 f. Αλ (α ν,β ν ) είλαη ε ιύζε ηνπ πξνεγνύκελνπ ζπζηήκαηνο ηόηε λα ιύζεηε ηελ αλίζσζε: α ν ρ ρ + β ν < 35. Να βξεζεί ν αξηζκόο α R ώζηε ε εμίζσζε α ρ + 3αρ 4 + ρ + α = 0 λα έρεη ιύζε ηελ ρ= - 1. α. Γηα ηελ ηηκή ηνπ πξνεγνύκελνπ εξσηήκαηνο λα βξείηε ηελ δεπηεξνβάζκηα εμίζσζε πνπ έρεη ξίδεο ην α θαη ην ½. β. Σέινο γηα ηελ ηηκή ηνπ α λα ιύζεηε ηελ εμίζσζε ι (ρ- 1) =ι 3 - ι +9ρ +6ια γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ ι R. 36. Γίλεηαη ε εμίζσζε ρ - κ 4 ρ - 4 κ =0, όπνπ κ > 4. α. Να απνδείμεηε όηη ε παξαπάλσ εμίζσζε έρεη ξίδεο πξαγκαηηθέο θαη άληζεο γηα θάζε ηηκή κ>4. β. Αλ ξ 1, ξ είλαη νη ξίδεο ηεο παξαπάλσ εμίζσζεο λα δείμεηε όηη: ξ ξ 3 + ξ 1 3 ξ 3 >0 37. Αλ ξ 1, ξ είλαη ξίδεο ηηο εμίζσζεο ρ + 5 (κ 1 )ρ (κ + 1) = 0, κ R, 1 1 γηα πνηεο ηηκέο ηνπ κ ηζρύεη: 1 ; Θεσξνύκε ηηο επζείεο κε εμηζώζεηο: (ε 1 ) ς= ιρ + 1 ι θαη (ε ) ς = ι ρ ι κε ι R. Να βξεζνύλ νη ηηκέο ηνπ ι ώζηε:

19 Α. ε 1 // ε Β. Οη επζείεο ε 1 θαη ε λα ηέκλνληαη Γ. Οη επζείεο ε 1, ε λα ηαπηίδνληαη 39. Α. Ζ εμίζσζε ρ θρ + ι = 0 θ, ι R έρεη ξίδεο ρ 1,ρ. Να βξείηε κηα εμίζσζε δεπηέξνπ βαζκνύ ε νπνία λα έρεη ξίδεο ρ 1 +3ρ θαη 3ρ 1 +ρ. Β. Να ιύζεηε ηελ εμίζσζε ρ ( +1) ρ + = Α. Να απνδείμεηε όηη : 3ρ ρ + 4 > 0 γηα θάζε ρ R. Β. Να εμεηάζεηε πόζεο ιύζεηο έρεη ην παξαθάησ ζύζηεκα: (3α + 3β 1 ) ρ ς = α 4 + β θαη ρ + ( α +β ) ς = α Α. Να ιύζεηε ηελ εμίζσζε ρ + ρ 3 = 0. Β. Να ππνινγίζεηε ηα α, β αλ ηζρύεη: ( α + β ) + ( α + β ) = 3 θαη α β = Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε F(ρ)= ρ + αρ + 1, α R. α. Βξείηε ην α έηζη ώζηε ε F λα είλαη άξηηα β. Υαξάμηε ηελ γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο F 43. Γίλεηαη ε παξακεηξηθή εμίζσζε x x α. Να ηελ ιύζεηε γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ β. Αν χ 0 είναι η μοναδική λύση της εξίσωσης, βρείτε τις τιμζς λ, αν Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f κε f ( x ) = α ) Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο β ) Να απινπνηήζεηε ηνλ ηύπν ηεο γ ) Να ιύζεηε ηελ αλίζσζε f ( x ) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε: f(x) = x 3x 1 x 1 3x x 10 x 4x 4 α ) Να βξεζεί ην πεδίν νξηζκνύ ηεο θαη λα απινπνηεζεί ν ηύπνο ηεο β ) Να βξεζνύλ ηα ζεκεία πνπ ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f ηέκλεη ηνπο άμνλεο 46. Γηα ηηο νξίδνπζεο D, D x θαη D y ελόο γξακκηθνύ ζπζηήκαηνο δύν εμηζώζεσλ κε δύν αγλώζηνπο x, y ηζρύεη :

20 D + D x + D y = D 6D x +10D y 35 α ) Να δείμεηε όηη : ( D x + 3 ) + ( D y 5 ) + ( D 1 ) = 0 β ) Πόζεο ιύζεηο έρεη ην ζύζηεκα ; Να δηθαηνινγήζεηε ηελ απάληεζε. γ ) Βξείηε ηελ ιύζε ηνπ ζπζηήκαηνο 47. Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε : f ( x ) = x 1 x 1. Να ραξαθηεξίζεηε αλ είλαη σζηέο ή Λ αλ είλαη ιάζνο, θάζε κία από ηηο παξαθάησ πξνηάζεηο. α ) Ζ ζπλάξηεζε f είλαη άξηηα β ) f ( x ) < 0 γηα θάζε x πξαγκαηηθό αξηζκό γ ) Παξνπζηάδεη κέγηζην ίζν κε αλ x = 0 δ ) Έρεη άμνλα ζπκκεηξίαο ηνλ άμνλα ησλ ς ε ) Δίλαη γλεζίσο αύμνπζα ζην δηάζηεκα, 1 x x 48. Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f κε f ( x ) = x x α ) Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο β ) Να δείμεηε όηη είλαη πεξηηηή 3 γ) Λύζηε ηελ εμίζσζε: fx 3 δ) Λύζηε ηελ αλίζσζε: fx ε ) Να απαιείςεηε ηα απόιπηα θαη λα απινπνηήζεηε ηνλ ηύπν ηεο f 49. Να ιπζνύλ νη αληζώζεηο: (x x 9)(x 3) 3x 7x 8 Α) 0 Β) 1 x 3x 4 x 1 Γ) (x 6) (x x 3) 0 Γ) (x x 6) (x 6x 5) 0 x 3x 5 (x 5x 6)(x 1) Δ) 0 η) 0 x x 6 ( 4x)(x 6) 50. Να βξείηε ηελ ή ηηο ηηκέο ηνπ θ ώζηε ε εμίζσζε: α. 3x 7x 6 θ, λα έρεη ξίδα ίζε κε ην 0. β. 4x 0x θ 0, λα έρεη ίζεο πξαγκαηηθέο ξίδεο. γ. x (θ )x 4 0, λα έρεη άληζεο πξαγκαηηθέο ξίδεο. δ. θx 4 3x θ 1 0, λα κελ έρεη πξαγκαηηθέο ξίδεο. 51. Αλ x 1, x είλαη ξίδεο ηεο εμίζσζεο x x 1 0 θαη ξ 1, ξ ξίδεο ηεο 1 1 ξ εμίζσζεο x 1 ξ ξ1 ξ 3x 0, λα απνδείμεηε όηη 4 ξ1 ξ ξ ξ1 x x x x 1 x x 1 x x

21 x y 5. (ΟΔΦΔ 008/ Θ. 4) Γίλεηαη ην ζύζηεκα x y α. Να δείμεηε όηη έρεη κνλαδηθή ιύζε γηα θάζε β. Να βξεζεί ε κνλαδηθή ιύζε x 0, y 0 ηνπ ζπζηήκαηνο γ. Να ιπζεί ε αλίζσζε x0 y (ΟΔΦΔ 007 /Θ. 4) Γίλνληαη νη επζείεο : y 1 1 x 3 1 : y x 1 3 θαη Α. Να βξεζνύλ νη ηηκέο ηνπ γηα ηηο νπνίεο νη επζείεο, θάζεηεο. Β. Γηα α=, I. Να βξεζεί ην ζεκείν ηνκήο Α ησλ επζεηώλ, 1 είλαη 1 II. Να βξεζεί ε απόζηαζε ηνπ ζεκείνπ Α από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ Γ. Γηα πνηα ηηκή ηνπ ην ζεκείν Α αλήθεη ζηε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο κε ηύπν: f x x x 1, x Γ. Γηα ι=0 λα βξεζνύλ ηα δηαζηήκαηα ζηα νπνία ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f βξίζθεηαη πάλσ από ηνλ άμνλα x x. 54. (ΟΔΦΔ 009/Θ. 3) Γίλεηαη ε εμίζσζε: έρεη δύν ξίδεο ηηο x 1, x α) Να δείμεηε όηη: 1 x 1 x 1 0 κε ε νπνία β) Να ππνινγίζεηε ηηο ηηκέο ηνπ ι γ) Να εθθξάζεηε ζαλ ζπλάξηεζε ηνπ ι ηηο ηηκέο ησλ παξαζηάζεσλ: 1 1 x1 x, x1 x, x x δ) Να βξείηε ην ι ώζηε λα ηζρύεη: 1 x x x x 3x 3x x 5, 5 x x, x 5,. Γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ: f f 4 f f (ΟΔΦΔ 009/ Θ.4) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε fx α. Να δείμεηε όηη: : y x f 1 β. Να βξείηε ην ώζηε νη επζείεο F 1 F 4 / 3 0 θαη F 5 / 3 F 10 : y f x λα είλαη παξάιιειεο κε

22 γ. Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο f θαη ζηε ζπλέρεηα λα ιύζεηε ηελ εμίζσζε f x (ΟΔΦΔ 010/ Θ. 4) Γίλεηαη ε εμίζσζε x y x y D D D D D 0 1, όπνπ D,D x,d y πξαγκαηηθνί αξηζκνί ίζνη κε ηηο νξίδνπζεο ελόο ζπζηήκαηνο () δύν γξακκηθώλ εμηζώζεσλ κε αγλώζηνπο x, y. Α. Έζησ όηη ε εμίζσζε (1) είλαη δεπηέξνπ βαζκνύ σο πξνο σ α) Να απνδείμεηε όηη ην γξακκηθό ζύζηεκα () έρεη κνλαδηθή ιύζε β) Αλ γηα ην άζξνηζκα S θαη ην γηλόκελν P ησλ ξηδώλ ηεο (1) ηζρύεη S 1 P i) Να δείμεηε όηη: Dx Dy D Dx Dy D ii) Να βξείηε ηε κνλαδηθή ιύζε ηνπ ζπζηήκαηνο (). Β. Αλ D = 0 θαη ε (1) είλαη αδύλαηε, ηόηε λα δείμεηε όηη θαη ην γξακκηθό ζύζηεκα () είλαη αδύλαην. 57. Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε y x 1 x 3 x α. Να απνδείμεηε όηη: y x κε πεδίν νξηζκνύ A 1,3 β. Να απνδείμεηε όηη ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο ζπλάξηεζεο είλαη Β= (- 4, 0] (Υπόδειξη: Να απνδείμεηε όηη: 4 y 0) γ. Να ζρεδηάζεηε ηελ γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζε δ. Βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ είλαη ζπκκεηξηθήο ηεο ζπλάξηεζεο ηνπ (α) εξσηήκαηνο, σο πξνο ηνλ άμνλα x x. 58. Γίλνληαη νη παξαζηάζεηο αξηζκόο. A 8 θαη 3 16, όπνπ ι πξαγκαηηθόο Α) Να ιύζεηε ηηο εμηζώζεηο Α=0 θαη Β=0 θαη ζηε ζπλέρεηα λα παξαγνληνπνηήζεηε ηηο παξαζηάζεηο Α, Β Β) Γίλεηαη ε παξακεηξηθή εμίζσζε (1), όπνπ Α, Β νη παξαζηάζεηο ηνπ εξσηήκαηνο (Α) Βξείηε: i. Γηα πνηεο ηηκέο ηνπ ι, ε εμίζσζε (1) έρεη κνλαδηθή ιύζε; Βξείηε ηελ ιύζε i απηή. Σν ι, αλ ε εμίζσζε (1) είλαη αόξηζηε Σν ι, αλ ε εμίζσζε (1) είλαη αδύλαηε

23 x Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε fx x 9 α. Βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο ζπλάξηεζεο θαη λα απνδείμεηε όηη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο είλαη άξηηα. β. Να απινπνηήζεηε ηνλ ηύπν ηεο ζπλάξηεζεο γ. Να ιύζεηε ηελ αλίζσζε: fx 7 f 0 f 1 3 δ. Βξείηε ηνπο πξαγκαηηθνύο αξηζκνύο α, β, αλ f 3 f Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε fx x x 3 α. Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο ζπλάξηεζεο β. Να απνδείμεηε όηη ε γξαθηθή ηεο παξάζηαζε, είλαη ζπκκεηξηθή σο πξνο ηνλ άμνλα y y θαη αλήθεη ζηνλ άμνλα x x θαη πάλσ. 3 γ. Να ιύζεηε ηελ εμίζσζε: fx 3 δ. Να ιύζεηε ηελ αλίζσζε: fx 61. (Βασική άσκηση - πρόταση) Α. Έζησ ε εμίζσζε x x 0, 0, ηόηε: i. Αλ α, γ είλαη εηεξόζεκνη αξηζκνί, ηόηε ε εμίζσζε έρεη δύν πξαγκαηηθέο θαη άληζεο ιύζεηο, δειαδή ηζρύεη ε πξόηαζε: ό αν αγ <0 Γ > 0 Αλ ε εμίζσζε δελ έρεη πξαγκαηηθέο ιύζεηο, ηόηε ηα α, γ είλαη νκόζεκνη αξηζκνί, δειαδή ηζρύεη ε πξόηαζε: ό αν Γ < 0 αγ > 0 Β. Αλ ην ηξηώλπκν f x x x κε β, γ πξαγκαηηθνύο αξηζκνύο, δελ έρεη πξαγκαηηθέο ξίδεο, ηόηε λα απνδείμεηε: i. γ > 0 β + γ > 1 Γ. Γίλεηαη ην ηξηώλπκν f x x x, κε 0. Να δείμεηε όηη αλ ππάξρεη ώζηε f 0,ηόηε ην ηξηώλπκν έρεη δύν ξίδεο πξαγκαηηθέο θαη άληζεο. Γ. Γίλεηαη ην ηξηώλπκν f x x x 010, 0 κε f x 0 γηα θάζε x. πκπιεξώζηε ηα θελά κε ηα ζύκβνια «<, >, =» θαη δηθαηνινγήζηε ηελ απάληεζή ζαο: i. Γ 0 γηαηί α 0 γηαηί i f(011) 0 γηαηί

24 E) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f x x x, 0 ( 1 ). Να δείμεηε όηη ππάξρνπλ, ηέηνηα ώζηε: f f 0 η) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε i. Βξείηε ην πξόζεκν ηνπ γ i κε δύν πξαγκαηηθέο ξίδεο 1, όπνπ, θαη f x x x κε 3. 1 f x 0 Βξείηε ην πιήζνο ησλ πξαγκαηηθώλ ξηδώλ ηεο εμίζσζεο Να απνδείμεηε όηη: f x 0 γηα θάζε x Ε) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f x x x, 0 ε νπνία δελ έρεη ξίδεο πξαγκαηηθέο, λα απνδείμεηε όηη: f f 0 γηα θάζε, 6. Α) Γίλεηαη ε παξάζηαζε Βξείηε ην πξόζεκν ηεο παξάζηαζεο Α γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ f x 1 x 1 x 3 1, 1 Β) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε i. Να δείμεηε όηη: Γ = Α, όπνπ Α ε παξάζηαζε ηνπ εξσηήκαηνο (Α) f x 0 γηα θάζε x, ππνινγίζηε ηηο ηηκέο ηνπ κ. Αλ 63. Έζησ ε εμίζσζε x x 1 0, α) Να απνδεηρζεί όηη ε εμίζσζε έρεη δύν πξαγκαηηθέο θαη άληζεο ξίδεο. β) Αλ x 1, x νη ξίδεο ηεο εμίζσζεο, ηόηε: i. Να απνδείμεηε όηη: x x x x Να βξεζνύλ νη ηηκέο ηνπ ι ώζηε: x1x (3 ν Λύθεην Νέαο Ησλίαο) x y Γίλεηαη ην ζύζηεκα: () ( )x y 1 α.να δείμεηε όηη ην ζύζηεκα () έρεη κνλαδηθή ιύζε γηα θάζε α R β. Αλ (x o, y o ) είλαη ε κνλαδηθή ιύζε ηνπ ζπζηήκαηνο () λα δείμεηε όηη ηζρύεη: 1 x o yo = γ. Αλ α = d(ι, 1), λα βξεζνύλ νη ηηκέο ηνπ πξαγκαηηθνύ αξηζκνύ ι ώζηε λα ηζρύεη: x o yo < (3 ν Λύθεην Νέαο Ησλίαο) Γίλεηαη ην ηξηώλπκν f(x) = x (ι 5)x (ι 5), όπνπ ι πξαγκαηηθόο αξηζκόο. α. Να απνδείμεηε όηη ε δηαθξίλνπζα ηνπ ηξησλύκνπ ηζνύηαη κε: Γ = 4(ι 5)(ι 3). β. Να βξείηε γηα πνηεο ηηκέο ηνπ πξαγκαηηθνύ αξηζκνύ ι ην ηξηώλπκν έρεη δύν ξίδεο πξαγκαηηθέο θαη άληζεο. γ. Αλ x 1, x είλαη νη άληζεο ξίδεο ηνπ ηξησλύκνπ λα δείμεηε όηη ηζρύεη: x = (ι 5)(ι 4) 1 x,

25 δ. Να βξείηε ηηο ηηκέο ηνπ ι R ώζηε ην ηξηώλπκν f(x) λα είλαη ζεηηθό γηα θάζε ηηκή ηνπ x R.

26 ΔΠΑΝΑΛΖΠΣΗΚΑ ΘΔΜΑΣΑ ΟΔΦΔ

27 Θέμα 1 ο Επαναληπτικά θέματα ΟΕΦΕ 006 α. Αλ ζ>0 λα απνδείμεηε όηη Μονάδερ 13 β. Έζησ x 1 θαη x νη ξίδεο ηεο εμίζσζεο Να απνδείμεηε όηη: i) ii) Μονάδερ 1 Θέμα ο Γίλνληαη νη επζείεο α. Αλ νη (ε 1 ) θαη (ε ) είλαη παξάιιειεο λα βξείηε ην α Μονάδερ 1 β. Γηα α = 3 λα βξείηε: i) ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ ζεκείνπ Α πνπ ε (ε 1 ) ηέκλεη ηνλ άμνλα y y θαζώο θαη ηνπ ζεκείνπ Β πνπ ε (ε ) ηέκλεη ηνλ άμνλα x x. Μονάδερ 8 ii) ηελ απόζηαζε ΑΒ Μονάδερ 5 Θέμα 3 ο Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε α. Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο f Μονάδερ 7 β. Να απινπνηήζεηε ηνλ ηύπν ηεο Μονάδερ 9 γ. Να απνδείμεηε όηη: Μονάδερ 9 Θέμα 4 ο Γίλεηαη ε εμίζσζε κε α. Να απνδείμεηε όηη έρεη ξίδεο άληζεο γηα θάζε Μονάδερ 8 β. Έζησ x 1, x νη ξίδεο ηεο (1) Να βξείηε: i) Σα x 1 +x θαη x 1 x Μονάδερ 4 ii) Σηο ηηκέο ηνπ ι γηα ηηο νπνίεο ε (1) έρεη ξίδεο εηεξόζεκεο Μονάδερ 6 iii) Σηο ηηκέο ηνπ ι ώζηε λα ηζρύεη x 1 +x <x 1 x Μονάδερ 7

28 Επαναληπτικά θέματα ΟΕΦΕ 007 Θέμα 1 ο Α. Να δνζεί ν νξηζκόο ηεο απόιπηεο ηηκήο. Μονάδερ 5 Β. Να απνδείμεηε όηη: Μονάδερ 6 Γ. Να ζπκπιεξσζνύλ ζην ηεηξάδην ζαο ηα θελά ζηνπο ηύπνπο: 1. αλ ζ>0 θαη. αλ Μονάδερ 4 Γ. Να ραξαθηεξίζεηε ηηο παξαθάησ πξνηάζεηο ζεκεηώλνληαο ζην ηεηξάδηό ζαο ην αληίζηνηρν γξάκκα (ζσζηό) ή Λ (ιάζνο). 1. αλ. ν αξηζκόο x είλαη αξλεηηθόο γηα θάζε 3. αλ αλ α<1<β ηόηε (1-α)(1-β)(α-β)β > 0 Μονάδερ 10 Θέμα ο Γίλεηαη ην ζύζηεκα θαη Α. Να ππνινγίζεηε ηηο πνζόηεηεο D, D x, D ς Μονάδερ 15 Β. Να εμεγήζεηε γηαηί ην ζύζηεκα έρεη κνλαδηθή ιύζε θαη λα ππνινγίζεηε ηε ιύζε απηή. Μονάδερ 3+7 Θέμα 3 ο Α. Να ιπζεί ε αλίζσζε Μονάδερ 8 Β. Να ιπζεί ε εμίζσζε Μονάδερ 9 Γ. Να απνδείμεηε όηη: Μονάδερ 8 Θέμα 4 ο Γίλνληαη νη επζείεο Α. Να βξεζνύλ νη ηηκέο ηνπ γηα ηηο νπνίεο νη επζείεο (ε 1 ) θαη (ε ) είλαη θάζεηεο. Μονάδερ 10 Β. Γηα α= 1. Να βξεζεί ην ζεκείν ηνκήο Α ησλ επζεηώλ (ε 1 ), (ε ). Μονάδερ 4. Να βξεζεί ε απόζηαζε ηνπ ζεκείνπ Α από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ. Μονάδερ 3 Γ. Γηα πνηα ηηκή ηνπ ην ζεκείν Α αλήθεη ζηε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο κε ηύπν:. Μονάδερ 4 Γ. Γηα ι=0 λα βξεζνύλ ηα δηαζηήκαηα ζηα νπνία ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f βξίζθεηαη πάλσ από ηνλ άμνλα x x. Μονάδερ 4

29 Θέμα 1 ο Επαναληπτικά θέματα ΟΕΦΕ 008 Α. Έζησ x 1 θαη x νη ξίδεο ηεο εμίζσζεο Να απνδείμεηε όηη: i. Μονάδερ 9 Β. ηηο παξαθάησ πξνηάζεηο λα επηιέμεηε ηελ ζσζηή απάληεζε: i. Οη είλαη παξάιιειεο αλ: α. ι=5 δ. ι= β. ι=008 γ. Αλ ε εμίζσζε α. θ=6 β. θ=0 γ. i Αλ D=0 θαη D x =D y =5 ηόηε ην ζύζηεκα: α. έρεη άπεηξν πιήζνο ιύζεσλ β. είλαη αδύλαην έρεη ξίδα ην ηόηε: δ. θ=-6 γ. έρεη κνλαδηθή ιύζε (x,y)=(0,0) δ. έρεη κνλαδηθή ιύζε (x,y)=(5,5) Μονάδερ 6 Γ. Να ζεκεηώζεηε πνηεο από ηηο παξαθάησ πξνηάζεηο είλαη ζσζηέο () ή ιαλζαζκέλεο (Λ): i. Αλ Ζ εμίζσζε έρεη πξαγκαηηθέο ξίδεο γηα θάζε i γηα θάζε iv. v. Μονάδερ 10 Θέμα ο 3 x 4x Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε: fx x x Α. Να βξεζεί ην πεδίν νξηζκνύ ηεο ζπλάξηεζεο θαη λα απινπνηεζεί ν ηύπνο ηεο. Μονάδερ 10 f 3 f 1 Β. Να ππνινγηζηεί ε παξάζηαζε: A Μονάδερ 8 f 4 Γ. Να ιπζεί ε εμίζσζε Μονάδερ 7

30 Θέμα 3 ο Γίλεηαη ε εμίζσζε i. Να απνδείμεηε όηη ε εμίζσζε έρεη πξαγκαηηθέο ξίδεο γηα θάζε ηηκή ηνπ ι. Μνλάδεο 8 Αλ x 1, x νη ξίδεο ηεο εμίζσζεο λα βξείηε ην ι ώζηε Μονάδερ 8 i Γηα ι=3, λα θαηαζθεπάζεηε εμίζσζε νπ βαζκνύ κε ξίδεο x 1 θαη x. Μονάδερ 9 Θέμα 4 ο Γίλεηαη ην ζύζηεκα: i. Να δείμεηε όηη ην ζύζηεκα έρεη κνλαδηθή ιύζε γηα θάζε Μονάδερ 5 Να βξεζεί ε κνλαδηθή ιύζε (x 0,y 0 ) ηνπ ζπζηήκαηνο. Μονάδερ 8 i Να ιπζεί ε αλίζσζε Μονάδερ 1

31 Επαναληπτικά θέματα ΟΕΦΕ 009 Θέμα 1 ο Α. Να γξάςεηε ηνλ νξηζκό ηεο ζπλάξηεζεο από έλα ζύλνιν Α ζε έλα ζύλνιν Β. Μονάδερ 5 Β. Αλ λα απνδείμεηε όηη: Μονάδερ 10 Γ. Να ζεκεηώζεηε πνηεο από ηηο παξαθάησ πξνηάζεηο είλαη ζσζηέο () ή ιαλζαζκέλεο (Λ). α) Γηα θάζε ηζρύεη :. β) Ζ γξαθηθή παξάζηαζε κηαο ζπλάξηεζεο f ηέκλεη θάζε θαηαθόξπθε επζεία ζε έλα ην πνιύ ζεκείν. γ) Αλ D, D x, D y νη νξίδνπζεο ελόο ζπζηήκαηνο δύν γξακκηθώλ εμηζώζεσλ κε δύν αγλώζηνπο, κε D=D x =D y =0, ηόηε ην ζύζηεκα έρεη πάληα άπεηξν πιήζνο ιύζεσλ. δ) Αλ ζηελ εμίζσζε ηζρύεη ηόηε ε εμίζσζε έρεη δύν ξίδεο άληζεο. ε) Αλ ηόηε. Μονάδερ 10 Θέμα ο Γίλεηαη ην ζύζηεκα α) Να βξείηε ηηο ηηκέο ησλ νξηδνπζώλ D, D x, D y Μονάδερ 6 β) Να ιύζεηε ην ζύζηεκα γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ ι. Μονάδερ 1 γ) Αλ (x 0,y 0 ) ε κνλαδηθή ιύζε ηνπ παξαπάλσ ζπζηήκαηνο, λα βξείηε ην ι ώζηε Μονάδερ 7 Θέμα 3 ο Γίλεηαη ε εμίζσζε: άληζεο ηηο x 1 θαη x. ε νπνία έρεη δύν ξίδεο Α) Να δείμεηε όηη Μονάδερ 7 Β) Να ππνινγίζεηε ηηο ηηκέο ηνπ ι. Μονάδερ 6 Γ) Να εθθξάζεηε ζαλ ζπλάξηεζε ηνπ ι ηηο ηηκέο ησλ πην θάησ παξαζηάζεσλ Μονάδερ 6 Γ) Να βξείηε ην ι ώζηε λα ηζρύεη: Μονάδερ 6 Θέμα 4 ο Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε Γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ : Α) Να δείμεηε όηη α=-1 θαη β=-5. Μονάδερ 7

32 Β) Να βξείηε ην ώζηε νη επζείεο λα είλαη παξάιιειεο Μονάδερ 8 Γ) Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο f θαη ζηε ζπλέρεη λα ιύζεηε ηελ εμίζσζε. Μονάδερ 10

33 Επαναληπτικά θέματα ΟΕΦΕ 010 Θέμα 1 ο Α. Αλ ζ>0 λα απνδείμεηε όηη. Μονάδερ 10 Β. ε θαξηεζηαλό ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ δίλνληαη ηα ζεκεία Α(x 1, y 1 ) θαη Β(x, y ). Να γξάςεηε ηνλ ηύπν, κε ηνλ νπνίν ππνινγίδεηαη ε απόζηαζε ΑΒ. Μονάδερ 5 Γ. Να ραξαθηεξίζεηε ηηο πξνηάζεηο πνπ αθνινπζνύλ γξάθνληαο ζην ηεηξάδηό ζαο δίπια ζην γξάκκα πνπ αληηζηνηρεί ζε θάζε πξόηαζε ηε ιέμε σζηό αλ ε πξόηαζε είλαη ζσζηή, ή Λάζνο, αλ ε πξόηαζε είλαη ιαλζαζκέλε. α) Αλ, ηόηε ηζρύεη: β) Αλ ηόηε ην ηξηώλπκν παίξλεη ηε κνξθή όπνπ x 1, x νη ξίδεο ηνπ ηξησλύκνπ. γ) Ηζρύεη πάληνηε όπνπ λ ζεηηθόο αθέξαηνο θαη. δ) Αλ ηόηε πάληνηε ηζρύεη: ε) Αλ x>0, ηόηε Μονάδερ 10 Θέμα ο Γίλνληαη νη επζείεο ε 1 θαη ε κε εμηζώζεηο α) Να βξείηε ηελ ηηκή ηνπ πξαγκαηηθνύ αξηζκνύ ι ώζηε νη επζείεο ε 1 θαη ε λα είλαη παξάιιειεο. Μονάδερ 10 β) Να βξείηε ηελ ηηκή ηηκέο ησλ πξαγκαηηθώλ αξηζκώλ ι ώζηε νη επζείεο ε 1 θαη ε λα είλαη θάζεηεο κεηαμύ ηνπο. Μονάδερ 15 Θέμα 3 ο Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f κε ηύπν, όπνπ α) Να απνδείμεηε όηη α=6 Μονάδερ 8

34 β) Να ππνινγίζεηε ηελ ηηκή f(1). Μονάδερ γ) Να ιύζεηε ηελ εμίζσζε : f(x) = f(1). Μονάδερ 8 δ) Να ιύζεηε ηελ αλίζσζε : Μονάδερ 7 Θέμα 4 ο Γίλεηαη ε εμίζσζε όπνπ D, Dx, Dy πξαγκαηηθνί αξηζκνί ίζνη κε ηηο νξίδνπζεο ελόο ζπζηήκαηνο () δύν γξακκηθώλ εμηζώζεσλ κε δύν αγλώζηνπο. Α. Έζησ όηη ε εμίζσζε (1) είλαη δεπηέξνπ βαζκνύ σο πξνο σ α) Να απνδείμεηε όηη ην γξακκηθό ζύζηεκα () έρεη κνλαδηθή ιύζε. Μονάδερ 6 β) Αλ γηα ην άζξνηζκα S θαη ην γηλόκελν Ρ ησλ ξηδώλ ηεο (1) ηζρύεη S=-1 θαη Ρ=-, ηόηε: i) Να δείμεηε όηη Μονάδερ 6 ii) Να βξείηε ηε κνλαδηθή ιύζε ηνπ γξακκηθνύ ζπζηήκαηνο (). Μονάδερ 5 Β. Αλ D=0 θαη ε (1) είλαη αδύλαηε, ηόηε λα δείμεηε όηη θαη ην γξακκηθό ζύζηεκα () είλαη αδύλαην. Μονάδερ 8