ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ"

Transcript

1 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

2 Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Βλαχόπουλος Αποστόλης Δικαιοσυνόπουλος Νίκος Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σπύρος Μαρωνίτη Ειρήνη Μαρωνίτης Λάμπρος Μπουρούνης Μιχάλης Μιχαήλογλου Στέλιος Πανούσης Γιώργος Παπαθανάση Κέλλυ Πατσιμάς Ανδρέας Πατσιμάς Δημήτρης Ραμαντάνης Βαγγέλης Σαμπάνης Νίκος Τόλης Ευάγγελος Φανέλη Αναστασία Φερεντίνου Σταυρούλα

3 Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _860 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό συνδυασμό των και. (Μονάδες ) β) Να δείξετε ότι τα διανύσματα και είναι παράλληλα. (Μονάδες ) α) = 5 5 = β) Επειδή : = = τότε τα και είναι παράλληλα. _8604 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και Ε,Ζ σημεία τέτοια ώστε :, 5 7 α) Να γράψετε τα διανύσματα και ως γραμμικό συνδυασμό των και. (Μονάδες ) β) Να αποδείξτε ότι τα σημεία B, Z και E είναι συνευθειακά. (Μονάδες ) α) Είναι : ΕΖ ΑΖ ΑΕ ΑΓ ΑΔ. 7 5 Επειδή ΑΓ ΑΒ ΑΔ τότε : ΕΖ (ΑΒ ΑΔ) ΑΔ ΕΖ ΑΒ ΑΔ ΑΔ ΑΒ ΑΔ ΖB ΑΒ ΑZ ΑΒ ΑΓ ΑΒ ΑΒ ΑΔ ΑΒ ΑΒ ΑΔ ΖB ΑΒ ΑΔ 7 7

4 4 β) ΕΖ ΑΒ ΑΔ ΑΒ ΑΔ ΖB ΑΒ ΑΔ ΑΒ ΑΔ ΑΒ ΑΔ ΕΖ Ε,Ζ,Β συνευθειακά οπότε ΕΖ ΖΒ και _0054 Θεωρούμε τα σημεία Ρ, Λ, Κ και Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει η σχέση: 5. α) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ, Λ και Μ είναι συνευθειακά. (Μονάδες 0) β) Για τα παραπάνω σημεία Κ, Λ και Μ να δείξετε ότι ισχύει:, όπου Α και Β είναι σημεία του επιπέδου. (Μονάδες 5) Λύση α) 5, άρα // οπότε τα σημεία Κ, Λ και Μ είναι συνευθειακά. β) ισχύει από α). Συντεταγμένες στο επίπεδο ο Θέμα _8605 Δίνονται τα διανύσματα i 4j, i j και 5i 5j, όπου i και j είναι τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων xx και yy αντίστοιχα. α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των και. (Μονάδες ) β) Να εξετάσετε αν τα σημεία, και μπορεί να είναι κορυφές τριγώνου. (Μονάδες ) Λύση, δηλαδή AB, α) AB OB OA i j i 4 j i j i 4 j i j B O O 5i 5 j j 5i 5 j i j i 6 j, δηλαδή B, 6 β) Αν τα σημεία Α,Β,Γ είναι κορυφές τριγώνου, τότε τα διανύσματα AB, B δεν είναι παράλληλα. Είναι: det AB,B AB / /B, άρα τα σημεία Α,Β,Γ είναι 6 συνευθειακά, οπότε δεν ορίζουν τρίγωνο.

5 _0055 Θεωρούμε τα σημεία α,, α,4 και Γ (-4, 5α+4), α. α) Να βρείτε τα διανύσματα AB και. (μονάδες 8) β) Να βρείτε για ποια τιμή του α, τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. (μονάδες 0) γ) Αν α, να βρείτε αριθμό λ ώστε λ. (μονάδες 7) Λύση α) Είναι AB α (α ), 4 α α,, και 4 α, 5α α, 5α β) Α,Β, Γ συνευθειακά αν και μόνο αν AB/ / det(, ) α 5α 5α 4 α 0 4α 4 0 4α 4 α γ) Για α τα δεδομένα σημεία γίνονται:,,,4 και 4,9 AB,4, και 4,9 6, 6.. Για να ισχύει: λ αρκεί 6, 6 λ, λ 6. και τα διανύσματα: _006 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με τρεις κορυφές τα σημεία Α(,), Γ(4, ) και Δ(, ). α) Να υπολογίσετε τα μήκη των πλευρών του ΑΒΓΔ. (Μονάδες 9) β) Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Κ των διαγωνίων ΑΓ και ΒΔ, καθώς και τις συντεταγμένες της κορυφής Β. (Μονάδες 6) Λύση α) Γνωρίζουμε ότι η απόσταση δύο σημείων Α(x, y ) και Β(x, y ) υπολογίζεται με τον τύπο: B ( x x ) ( y y ) Για την πλευρά ΑΔ έχουμε: ( ) ( ) ( ) ( ) 4 5 Για την πλευρά ΔΓ έχουμε: (4 ) ( ) 0 4. Ισχύει 5 και =, αφού οι απέναντι πλευρές παραλληλογράμμου είναι παράλληλες και ίσες. β) Οι διαγώνιες του παραλληλογράμμου διχοτομούνται οπότε το Κ είναι το μέσον της ΑΓ και xax ya y έχει συντεταγμένες (, ) (, ) (, ) (, ) και επίσης είναι το μέσον της ΔΒ οπότε θα ισχύει:

6 Οπότε : x x y y x y 5 x y (, ) (, ) (, ) (, ) 5 x 5 x x y 4 y y Άρα Β(, ) _007 Θεωρούμε τα σημεία α, 4α και 5α, α, α. α) Να γράψετε το συναρτήσει του α και να βρείτε το α ώστε 0. (Μονάδες ) β) Έστω α. Να βρείτε σημείο Μ του άξονα x x ώστε το τρίγωνο ΜΑΒ να είναι ισοσκελές με βάση την ΑΒ. (Μονάδες ) Λύση α) 5α α, α 4α α, 5α 0 α 5α 0 9α 4 0α 5α 00 4α 0α α 0α 48 0 Η τελευταία είναι εξίσωση ου βαθμού με και ρίζες α, α ή α. Όμως ο α είναι ακέραιος, άρα α. 4 7 β) Για α είναι 5,6 και,. Έστω x,0. Επειδή το τρίγωνο ΜΑΒ να είναι ισοσκελές με βάση την ΑΒ, ισχύει ότι: 5 x 6 x 5 0x x 6 x x x 5 x x 0x 5 6 x 64 x. 6 Άρα M,0. _007 Δίνονται τα σημεία,,,5 και, 4. α) Να αποδείξετε ότι σχηματίζουν τρίγωνο. (Μονάδες 8) β) Να βρείτε το συμμετρικό Δ του Β ως προς το μέσο Μ της ΑΓ. (Μονάδες 0) γ) Τι σχήμα είναι το ΑΒΓΔ; Να αιτιολογήσετε τον ισχυρισμό σας. (Μονάδες 7) α) Είναι AB,5, και B, 4 5, 9. Λύση det AB, B 7 9 0, άρα τα διανύσματα 9 4

7 AB,B δεν είναι παράλληλα, οπότε σχηματίζουν τρίγωνο. β) Το μέσο Μ του ΑΓ έχει συντεταγμένες x x ya y 4 xm 0 και ym, δηλαδή 0,. Επειδή τα σημεία Β και Δ είναι συμμετρικά ως προς το Μ, το Μ είναι το μέσο του τμήματος ΒΔ, οπότε: x x B x x M 0 x 0 x και y yb y 5 ym y 5 y 6, άρα, 6. γ) Επειδή και οι διαγώνιες του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ διχοτομούνται, οπότε είναι παραλληλόγραμμο..048 Δίνονται τα διανύσματα α i j, β i 5 j και γ 7,. α) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα α, β, γ είναι μη συγγραμικά ανά δύο. (Μονάδες 0) β) Να γραφεί το διάνυσμα γ ως γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων α και β. (Μονάδες 5) Λύση α) Είναι α i j, και β i 5 j, 5 det α,β α 5. 5 det β, γ β γ και 7 det α, γ α γ 7 β) Έστω x, y με γ xα yβ, τότε: x y 7 7, x, y, 5 7, x y, x 5y x 5y x 7 y x 7 y x 7 y x y 5y 4 4y 5y y 7 y 7 Άρα γ 4α 7β β, 5

8 _8556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με π α,β Εσωτερικό γινόμενο ο Θέμα και α, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο α β. (Μονάδες 8) β) Αν τα διανύσματα α β και κα β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες 0) γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος α β. (Μονάδες 7) α)., 4. β) Αφού ( ) ( ) γ) _8558 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι: AB 4, 6, A, 8. α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος,όπου ΑΜ είναι η διάμεσος του τριγώνου ΑΒΓ. (Μονάδες 7) β) Να αποδείξετε ότι η γωνία ˆ είναι οξεία. (Μονάδες 0) γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(,), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. (Μονάδες 8), 4 α), 7 β) ( 4, 6) (, 8) ( 4) ( 6) ( 8) ˆ , 0. Άρα η 7 4 γωνία ˆ είναι οξεία. 6

9 γ) Έστω (x, y ) και (x, y ). Το διάνυσμα έχει συντεταγμένες : AB (x, y) ( 4, 6) Οπότε x 4 x και y 6 y 5. Άρα το σημείο Β έχει συντεταγμένες Β(-,-5) Το διάνυσμα έχει συντεταγμένες : ( x, y ) (, 8) Οπότε x x 5 και y 8 y 7. Επομένως το σημείο Γ έχει συντεταγμένες Β(5,-7) _858 Έστω τα διανύσματα α και β για τα οποία ισχύει : α β και α, β 60. α) Να αποδείξετε ότι α β (Μονάδες 0) β) Να υπολογίσετε τα μέτρα των διανυσμάτων α β και α β (Μονάδες 5) α) Είναι α α Λύση α β α β συν α,β συν60 β) α β α β α α β β α β α β α β 4 α β α β α α β β α β α β α β 6 _8598 Δίνονται τα διανύσματα κ 6κ 9, κ και,6, όπου κ. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο. (Μονάδες 8) β) Να βρείτε τις τιμές του κ, ώστε τα διανύσματα και να είναι κάθετα. (Μονάδες 9) γ) Για κ = να βρείτε το διάνυσμα. (Μονάδες 8) α) β) Πρέπει ή γ) Για κ= έχουμε 4, και, 6 άρα, 6 4, 4, 6,8 7

10 _005 Δίνονται τα διανύσματα α, β με β α 4 και α β 8. α) Να υπολογίσετε τη γωνία α, β. (Μονάδες 0) β) Να αποδείξετε ότι β α 0. (Μονάδες 5) α) Είναι α 4 α α β 8 Λύση συν α, β α, β 80. αβ 4 β) Επειδή α, β 80 τα διανύσματα α,β είναι αντίρροπα, οπότε β λα με λ 0. Επειδή β α, είναι λ και β α β α 0. _0056 Έστω α και β δύο διανύσματα με α, β 5π και (α, β) και u α β. 6 α) Να υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα α β και β u. (Μονάδες 6) β) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος u. (Μονάδες 9) Λύση α) Από τον ορισμό του εσωτερικού γινομένου έχουμε: 5π α β α β συν(α, β) συν 6 6 και β u β (α β) β α β β α β β 6 β 6 β u 6 4 β) Για να βρούμε το μέτρο του διανύσματος u υψώνουμε την αντίστοιχη σχέση στο τετράγωνο και έχουμε: u u α β α α β β α 4α β 4 β u Αποτετραγωνίζοντας στην συνέχεια έχουμε: u _0070 Έστω α, β δύο διανύσματα του επιπέδου για τα οποία ισχύουν: α β 9, α β και π α, β. α) Να βρείτε τα μέτρα των διανυσμάτων α, β και το εσωτερικό γινόμενο α β. (Μονάδες ) β) Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u α β. (Μονάδες ) 8

11 Λύση 0 α β 9 α α 9 5 α 0 α α) 5 α β α β α β β 4 π α β α β συνα, β συν 6 β) u α β α β 4α α β 9β 4 α 9 β u u 6 _0057 π Δίνονται τα διανύσματα α και β με α, β και α, β. Να υπολογίσετε τα εξής: α) το εσωτερικό γινόμενό των διανυσμάτων α,β και κατόπιν την τιμή της παράστασης: α α β. (Μονάδες 0) β) Το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων α β και β α. (Μονάδες 5) Λύση α) Από τον ορισμό του εσωτερικού γινομένου έχουμε: π α β α β συν α, β συν α α (β) α α β, αφού ισχύει: α (β) (α) β (α β) β) Για το συνημίτονο της γωνίας των δύο διανυσμάτων θέτουμε τα διανύσματα: u α β και v β α, οπότε από των ορισμό του εσωτερικού γινομένου λύνοντας ως προς το συνημίτονο της γωνίας έχουμε : συν(u, v) u v u v Υπολογίζουμε πρώτα το εσωτερικό γινόμενο και τα μέτρα των δύο διανυσμάτων. u v (α β) (β α) α β α β 4α β α β α β u v (). u u (α β) α α β (β) α 4α β 4 β u u v v (β α) β β α (α) β 4α β 4 α v v. Αντικαθιστώντας τις τιμές που βρήκαμε στη σχέση () έχουμε: u v 9 9 συν(u, v). u v 9 _0058 Δίνονται τα διανύσματα α (, ) και β (, ). Να υπολογίσετε: α) τη γωνία α, β (Μονάδες 0) 9

12 β) το διάνυσμα u α β (α β) α (Μονάδες 5) Λύση α) Από τον ορισμό του εσωτερικού γινομένου λύνοντας ως προς το συνημίτονο της γωνίας έχουμε: (, ) (). Αρκεί να υπολογίσουμε τα μέτρα και το εσωτερικό γινόμενο των δύο διανυσμάτων. Από την αναλυτική έκφραση του εσωτερικού γινομένου προκύπτει: (, ) (, ). Για το μέτρο των διανυσμάτων έχουμε: ( ) ( ) 4 ( ) 9 Αντικαθιστώντας στην σχέση () προκύπτει: (, ). Άρα η γωνία είναι 60 ο. β) Για το διάνυσμα έχουμε: u a ( a ) a ( a ) a (,) ( ) (, ) 4 (, ) (, ) (4, ) 4(, ) _0059 Δίνονται τα διανύσματα α (,) και β (, ) α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος u α β (Μονάδες 0) β) Να βρείτε τον θετικό αριθμό x για τον οποίο τα διανύσματα u και ν x,x κάθετα. Λύση είναι α) Για τις συντεταγμένες του u έχουμε: u (,) (, ) (,) ( 4, ) ( 4, ) (, 4). β) Για να είναι δύο διανύσματα κάθετα πρέπει το εσωτερικό τους γινόμενο να είναι 0. u v 0 (,4) ( x, x ) 0 x 4x 4 0. Λύνοντας την εξίσωση έχουμε: 4 4 ( 4) x, 4 0 ή 4 8 ( 4) ί (Μονάδες 5) 0

13 4ο Θέμα 4_8606 Δίνονται τα διανύσματα O (4, ) και O (,), όπου Ο είναι η αρχή των αξόνων. α) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα και O είναι κάθετα. (Μονάδες 4) β) Αν Γ (α, β) είναι σημείο της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α και Β, τότε: i) να αποδείξετε ότι: (,4) και (α 4,β ) (Μονάδες 5) ii) να αποδείξετε ότι: 4α + β = 0 (Μονάδες 6) iii) αν επιπλέον τα διανύσματα και είναι κάθετα, να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Γ. (Μονάδες 0) α) Για να είναι τα διανύσματα και O κάθετα πρέπει 0 Πράγματι : OO O O β) i) (,) (4, ) (,4) (, ) (4, ) ( 4, ) 4 / / det, 0 0 ( ) 4( 4) 0 a iii) Λύνουμε το σύστημα ( ) : και. Άρα το σημείο Σ έχει συντεταγμένες, ii) 4_866 Δίνονται τα διανύσματα α,β και γ για τα οποία ισχύουν: α, β, α,β 60 και κ γ α β, όπου κ. α) Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο α β (Μονάδες ) β) Αν ισχύει β γ κ, τότε: i) να αποδείξετε ότι: κ = (Μονάδες 6) ii) να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος γ (Μονάδες 8) iii) να αποδείξετε ότι τα διανύσματα α γ και β γ είναι κάθετα. (Μονάδες 8) α), 60

14 β) i) ii) για κ=- : και 4 7 Άρα 7 iii) ( ) 4 5 ( ) ( ) ( 5) ( ) Οπότε τα διανύσματα και είναι κάθετα. 4_868 α) Να εξετάσετε πότε ισχύει καθεμιά από τις ισότητες: u v u v και u v u v (Μονάδες 0) β) Δίνονται τα διανύσματα α,β, γ για τα οποία ισχύουν: α β γ 0 και α β γ 4 7 i) Να αποδείξετε ότι: α β και β γ (Μονάδες 8) ii) Να αποδείξετε ότι: 7α γ 0 (Μονάδες 7) α) u v u v u v u v u v u u v v u u v v u u v v u v u v u v u v Επομένως η σχέση u v u v ισχύει όταν u v. u v u v u v u v u v u v u u v v u u v v u v u v u v u v Επομένως η σχέση u v u v ισχύει όταν u v. β) i) Έστω. Τότε, 4 και Οπότε 7. Άρα. 0 Οπότε

15 . Άρα. ii) Από β) i) οπότε με λ<0 Όμως 7 7. Άρα _0050 Δίνονται τα διανύσματα α,7 και β,4 Προβολή διανύσματος σε διάνυσμα. α) Να βρεθεί η προβολή του α πάνω στο β. (Μονάδες 0) β) Να αναλύσετε το α σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες. από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη στο β. (Μονάδες 5) α) Έστω α προβ α β Λύση α / /β α λβ λ, 4λ, λ R... Είναι Είναι α β β προβ α 7 4 λ 4 4λ 0 0λ λ, άρα β α,4,6 β) Έστω α,α οι συνιστώσες του α με α / /β και α α α α α α α, 7, 6, β. Τότε α,6 και _005 Δίνονται τα διανύσματα α, β με α, α β β 7 και α β. α) Να υπολογίσετε τα α και β. (Μονάδες 6) β) Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος α β. (Μονάδες 9) γ) Να βρείτε την προβολή του α β στο διάνυσμα β. (Μονάδες 0) α) α α και Λύση α β β 7 α β β 7 β 7 β 8 β 4 β β) α β α β α 4α β 4β 4 4 β 6 α β γ) Είναι προβ α β β / /β προβ β α β λβ β α β β προββ α β α β β λβ 7 β λ β 8 4λ λ, άρα β 4 7 προβ α β β 4

16 Δίνονται τα διανύσματα α, και β,. α) Να βρείτε τη προβολή του α πάνω στο β. (Μονάδες 0) β) Να αναλύσετε το α σε δύο κάθετες συνιστώσες από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη με το β. (Μονάδες 5) Λύση α) Είναι προβ α / /β προβ α λβ,λ. β β Είναι β α β προβ α β λβ λβ λ β β λ 5 λ 5λ λ 4 5 Άρα προβ α β,, β β) Έστω α,α οι συνιστώσες του α με α / /β και α β. Τότε α προβ α, β 5 5 και 8 6 α α α α α α,,,,

17 Ευθεία Εξίσωση ευθείας ο Θέμα _8575 Δίνονται τα σημεία Α(,) και Β (5,6 ). α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α και B. (Μονάδες 0) β) Να αποδείξετε ότι η μεσοκάθετος ε του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ έχει εξίσωση την y x 7 (Μονάδες 5) α) Η ευθεία ΑΒ έχει συντελεστή διεύθυνσης: ΑΒ: y x y x 6 λ 5 και εξίσωση β) Έστω Μ το μέσο του ΑΒ. Οι συντεταγμένες του Μ είναι: xa xb 5 ya yb 6 xm και ym 4, δηλαδή M,4. Έστω μ η μεσοκάθετος του ΑΒ. Είναι μ λμ λ λμ. Η εξίσωση της μ είναι: y 4 x y x 7 _8600 Θεωρούμε την ευθεία ε που τέμνει τους άξονες χ χ και ψ ψ στα σημεία,0 και 0,6 αντίστοιχα. α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε. (Μονάδες 8) β) Αν ε είναι η ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και είναι κάθετη στην ε, τότε να βρείτε: i) την εξίσωση της ευθείας ε. (Μονάδες 9) ii) τις συντεταγμένες του σημείου τομής των ευθειών ε και ε. (Μονάδες 8) έχει μορφή y y x x α) Έστω ότι η εξίσωση 0 0 η οποία διέρχεται από τα σημεία Α yb ya και Β.Τότε όποτε αν στη θέση των x0, y 0 βάλουμε τις x x 0 B A συντεταγμένες του σημείου Β θα έχουμε η ζητούμενη εξίσωση. : y 6 x 0 y x 6 που είναι και β)i) Επειδή η ευθεία διέρχεται από την αρχή των αξόνων θα έχει μορφή : y x ( ) οπότε η έχει εξίσωση : y x ii) Για να βρούμε το σημείο τομής των ευθειών και λύνουμε το σύστημα των, δηλαδή 5

18 6 y x y x y y x y x y x 5 y x 6 x x 6 x 4x 5x x x Άρα το κοινό σημείο τους είναι το, 5 5. _860 Έστω Μ (, 5) το μέσο ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ με Α(,). α) Να βρείτε: i) τις συντεταγμένες του σημείου Β. (Μονάδες 6) ii) την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α και Β. (Μονάδες 7). β) Να βρείτε τις συντεταγμένες σημείου Κ του άξονα χ χ έτσι ώστε να ισχύει α) i) Έστω B( x, y ),οπότε αφού το σημείο M(,5) είναι το μέσο του τμήματος ΑΒ, θα xa x xm x xm x 6 x 5 ισχύει. ya y ym y ym y 0 y 9 Άρα το σημείο Β έχει συντεταγμένες (5,9). ii) Έστω η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α και Β. yb ya 9 8 Τότε. xb xa 5 4 Επομένως η εξίσωση της ευθείας θα είναι: y y x x y x y x y x A A β) Έστω,0 το σημείο του άξονα για το οποίο ισχύει Τότε x x y y x x y y Άρα το σημείο Κ έχει συντεταγμένες _860 Δίνεται η ευθεία (ε): y x ,0. και το σημείο, 4. (Μονάδες ) α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Α και είναι κάθετη στην (ε). (Μονάδες 0) β) Να βρείτε την προβολή του σημείου Α πάνω στην ευθεία (ε). (Μονάδες 5) 6

19 α) Έστω (ε) η ευθεία που διέρχεται από το με ( ) ( ) () Έχουμε (ε):x+y=,οπότε y=-x+,άρα: Τότε:. Οπότε η εξίσωση της είναι: y 4 x y 4 x y x 6. β) Δεδομένου ότι, η προβολή του σημείου Α πάνω στην ευθεία θα είναι το σημείο τομής Κ των δύο ευθειών, το οποίο θα βρεθεί από τη λύση του συστήματος των εξισώσεων των και, Έχουμε: 7 7 : x y x x 6 x 7 x x : y x 6 y x 6 y x 6 y 7 6 y 5 Άρα το σημείο Κ έχει συντεταγμένες 7 5,. _0060 Δίνονται τα διανύσματα α (, ) και β (,0). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που έχει συντελεστή διεύθυνσης u 4α β. (Μονάδες 0) u 5 και διέρχεται από το σημείο, α β. (Μονάδες 5) α) Για το διάνυσμα u έχουμε: u 4 4 (, ) (,0) (4, 4) (,0) (, 4). β) Υπολογίζουμε πρώτα το μέτρο του διανύσματος u για τον συντελεστή διεύθυνσης και το εσωτερικό γινόμενο των για τις συντεταγμένες του σημείου. u ( 4)

20 u u 5 Άρα ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας είναι : Για το εσωτερικό γινόμενο: (, ) (, 0) ( ) 0. Και το σημείο Α έχει συντεταγμένες: (, a ) (, ) (,5). Για την εξίσωση της ευθείας ισχύει: ε: y-y A=λ(x-x A) y-5=5(x-) y=5x-5+5 y=5x. _006 Θεωρούμε το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με μέσο Μ και,,,5. α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Β. (Μονάδες 0) β) Να βρείτε την εξίσωση της μεσοκαθέτου ε του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ, καθώς και τα κοινά σημεία αυτής με τους άξονες x x και y y. (Μονάδες 5) α) Επειδή το Μ είναι μέσο του ΑΒ, ισχύει ότι: x A x B x B x M 4 x B x B 5 και ya yb yb ym 5 0 yb yb. Άρα το σημείο Β έχει συντεταγμένες 5,. 4 7 β) Η ευθεία ΑΒ έχει συντελεστή διεύθυνσης λ Είναι ε λε λ λε λε. Επειδή η ε διέρχεται από το μέσο Μ της ΑΒ, έχει εξίσωση: y 5 x y x 5 y x Για να βρούμε τα σημεία τομής με τους άξονες: Βάζουμε όπου x το 0 και τότε: y= = 4 7 οπότε 4 0, ) το σημείο τομής με τον 7 y y Βάζουμε όπου y το 0 και τότε: 0= x x x 4 x, άρα ,0 το σημείο με τον άξονα χ χ. _0066 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές τα σημεία,,, και,4. α) Να βρείτε την εξίσωση της πλευράς ΑΓ. (Μονάδες 7) β) Να βρείτε τις εξισώσεις του ύψους ΒΔ και της διαμέσου ΑΜ. (Μονάδες 8) 8

21 α) Η ευθεία ΑΓ έχει συντελεστή διεύθυνσης και εξίσωση: y x y x 0 4 λ β) Είναι B λ λ λ λ Το ύψος ΒΔ έχει εξίσωση: y x y x y x 4 Για τις συντεταγμένες του μέσου Μ του ΒΓ, ισχύει ότι: x xb x y y M και ym, δηλαδή,. 5 Η ευθεία ΑΜ έχει συντελεστή διεύθυνσης: λ και εξίσωση: 5 5 y ya λ x xa y x y x 9 y x Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α( 5,4),Β(,6),Γ(4,) και σημείο Μ της πλευράς ΑΒ για το οποίο ισχύει. 4 α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος. (Μονάδες 6) β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Μ. (Μονάδες 9) 9 γ) Αν το σημείο Μ έχει συντεταγμένες 4,, να υπολογίσετε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Γ, Μ. (Μονάδες 0) α) xb x A, yb ya 5,6 4 4,. β) Έστω x, y. Είναι M M x M 5 4 x M x M 5, ym 4 4, ym 4 ym Άρα M4,. γ) Η ευθεία που διέρχεται από τα Γ και Μ έχει συντελεστή διεύθυνσης : λ και εξίσωση:

22 y y λ x x y (x 4) y x y x ο Θέμα Δίνονται τα σημεία λ,λ,, και 4,6, λ. α) Να βρείτε την μεσοκάθετο του τμήματος ΒΓ. (Μονάδες 7) β) Αν το σημείο Α ισαπέχει από τα σημεία Β και Γ, να βρείτε την τιμή του λ. (Μονάδες 8) γ) Για λ 4,να βρείτε σημείο Δ ώστε το τετράπλευρο ΑΒΔΓ να είναι ρόμβος. (Μονάδες 0) α) Έστω Μ το μέσο του ΒΓ. Για τις συντεταγμένες του Μ ισχύει ότι: x x 4 y y 6 xm και ym 4, δηλαδή, Η ευθεία ΒΓ έχει συντελεστή διεύθυνσης: λ. 4 Έστω ε η μεσοκάθετος του ΒΓ. Είναι ε λε λ λε Η εξίσωση της ε είναι: y y λε x x y 4 x y 8 x x y 0. β) Αν το σημείο Α ισαπέχει από τα Β,Γ τότε βρίσκεται στη μεσοκάθετο ε του ΒΓ, οπότε την επαληθεύει, δηλαδή: λ λ 0 λ λ 0 λ λ 4 γ) Για λ 4 5, α,β. Αρχικά το τετράπλευρο ΑΒΔΓ πρέπει να είναι παραλληλόγραμμο, οπότε είναι. Έστω, α 4,β 6 α 4 α 4, δηλαδή,5 β 6 β Τότε λ, λ. 5 4 Είναι λ λ, οπότε το παραλληλόγραμμο ΑΒΔΓ έχει διαγώνιες κάθετες και είναι ρόμβος. 0

23 Γενική μορφή εξίσωσης ευθείας ο Θέμα _8584. Δίνονται οι παράλληλες ευθείες ε : x y 8 = 0, ε : x 4y + 0 = 0 και το σημείο Α της ε που έχει τετμημένη το 4. α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Α. (Μονάδες 5) β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε η οποία διέρχεται από το σημείο Α και είναι κάθετη στην ευθεία ε. (Μονάδες 0) γ) Αν Β είναι το σημείο τομής των ευθειών ε και ε, τότε να βρείτε τις συντεταγμένες του Β (Μονάδες 0) α) Το σημείο Α έχει τετμημένη 4 άρα θα είναι της μορφής (4, y A). Όμως το Α είναι σημείο της ευθείας ε και οι συντεταγμένες του θα επαληθεύουν την εξίσωσή της: 4 y 8 0 y. Άρα οι συντεταγμένες του σημείου Α είναι (4, ). A A β) Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ε είναι:. Η ζητούμενη ευθεία ε είναι κάθετη στην ε άρα για τον συντελεστή διεύθυνσής της θα ισχύει:. Η ευθεία ε διέρχεται από το σημείο Α οπότε θα έχει εξίσωση: y y (x x ) y ( ) (x 4) y x 8 y x 6. A A γ) Για να βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Β των ευθειών ε και ε θα λύσουμε το y x 6 () σύστημα των εξισώσεων τους:. x 4y 0 0 () () 7 () x 4( x 6) 0 0 x 8x x 4 x. 5 7 x () y Άρα το σημείο Β έχει συντεταγμένες, 5 5 _8587. Δίνονται οι ευθείες ε : x 8y 6 0και ε : x y 5 0 οι οποίες τέμνονται στο σημείο Μ. Αν οι ευθείες ε και ε τέμνουν τον άξονα y y στα σημεία Α και B αντίστοιχα, τότε: α) να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Μ, A και B. (Μονάδες 0) β) αν Κ είναι το μέσο του τμήματος ΑΒ,να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης του διανύσματος. (Μονάδες 5)

24 α) Για να βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Μ των ευθειών και θα λύσουμε x 8y 6 0 () το σύστημα των εξισώσεων τους: (Σ). x y 5 0 () Πολλαπλασιάζουμε επί - και τα δύο μέλη της εξίσωσης () και το (Σ) γίνεται x 6y 0. Προσθέτουμε κατά μέλη τις εξισώσεις και έχουμε x y 5 0 7y 7 y. Για y = η εξίσωση () γίνεται: x x 8. Οπότε το σημείο τομής Μ των ευθειών και θα είναι Μ(-8, ). Θέτουμε x = 0 στην εξίσωση της και βρίσκουμε το σημείο τομής της Α με τον άξονα y y : 8y 6 y οπότε Α(0,). Ομοίως για το σημείο τομής Β της ε με τον άξονα y y : y5 0 y 5 οπότε Β(0, - 5). β) Αν x, y είναι το μέσο του ΑΒ τότε θα ισχύει: x 0 και 5 y. Άρα το σημείο Κ έχει συντεταγμένες 0,. Γνωρίζοντας ότι Μ(-8,) και 0,, οι συντεταγμένες του διανύσματος 5 υπολογίζονται ως εξής: 0 8, 8,. 5 5 Ο συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος θα είναι:. 8 6 _8589 Δίνονται οι ευθείες ε :8x y 8 0 και ε : x y 0 οι οποίες τέμνονται στο σημείο. α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου και στη συνέχεια, να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το και είναι κάθετη στον άξονα xx. (Μονάδες 0) β) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες που διέρχονται από το και έχουν συντελεστή διεύθυνσης λ έχουν εξίσωση την: λx y λ 4 0, όπου λ (Μονάδες 5) α) Για να βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου λύνουμε το σύστημα: 8x y x x x 7 x x y 0 y x y x y 4 Επομένως οι συντεταγμένες του σημείου είναι, 4 Η ευθεία που είναι κάθετη στον άξονα xx είναι της μορφής: x x0 καθώς δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης. Επομένως η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το και είναι κάθετη στον άξονα xx είναι η x

25 β) Όταν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης,η εξίσωση της ευθείας είναι: y y x x. 0 0 Επομένως οι ευθείες που διέρχονται από το και έχουν συντελεστή διεύθυνσης έχουν y 4 x y4 x x y 4 0, όπου εξίσωση την: _ 859 Δίνονται οι ευθείες ε : x y 5 0 και ε :x y 5 0 α) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες ε και ε είναι κάθετες μεταξύ τους. (Μονάδες 9) β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των ευθειών ε και ε (Μονάδες 9) γ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο και την αρχή των αξόνων. (Μονάδες 7) α) Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας με εξίσωση: xy 0, δίνεται από τον τύπο: (όταν ορίζεται ). Επομένως για την ευθεία : x y 5 0 έχουμε και για την ευθεία :x y5 0 έχουμε Είναι άρα. β) Για να βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου λύνουμε το σύστημα: x y 5 0 x y 5 0 x y x 0 0 x x x ( ) 9x y5 0 x y 5 0 y 5 0 y 6 y Επομένως οι συντεταγμένες του σημείου είναι,. γ) Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων είναι: y x. Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας που διέρχεται από δύο γνωστά σημεία δίνεται από τον y y 0 τύπο: οπότε. Επομένως η ευθεία που διέρχεται από το σημείο x x 0 και την αρχή των αξόνων είναι: y x Ή αλλιώς οι συντεταγμένες του σημείου Α(, ) επαληθεύουν την y x, άρα =λ, άρα λ= και y=x. _8595 Δίνονται οι ευθείες ε :x y 0 και ε : x y 4 0 α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των ευθειών ε και ε (Μονάδες 8) β) Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα yy στο σημείο και η ευθεία ε τέμνει τον άξονα xx στο σημείο, τότε: i) να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων και (Μονάδες 8) ii) να αποδείξετε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία και έχει εξίσωση την x 4y 0 (Μονάδες 9)

26 α) Για να βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου λύνουμε το σύστημα: x y 0 ( ) x y 4 0 x y x y 4 0 x x y 4 0 x x x y 4 0 y 6 y Επομένως οι συντεταγμένες του σημείου είναι,. β) i) Η ευθεία τέμνει τον άξονα yy όταν x 0, οπότε 0 y 0 y Άρα οι συντεταγμένες του σημείου B είναι 0, Η ευθεία τέμνει τον άξονα xx όταν y 0, οπότε x x 4 Άρα οι συντεταγμένες του σημείου Γ είναι 4,0 ii) Η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία και έχει συντελεστή διεύθυνσης: y y 0 οπότε x x Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από γνωστό σημείο και έχει συντελεστή διεύθυνσης y y x x είναι: 0 0 y x 0 4y x x 4y 0 4 Επομένως, έχουμε _0065 Δίνεται η ευθεία ε : x + y + = 0 και το σημείο Α(5,). α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η, η οποία διέρχεται από το Α και είναι κάθετη προς την ευθεία ε. (Μονάδες 9) β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η, η οποία διέρχεται από το Α και είναι παράλληλη προς τον άξονα x x. (Μονάδες 7) γ) Να βρείτε το σημείο τομής των ευθειών η, η και την απόστασή του από την αρχή των αξόνων. (Μονάδες 9) α) Η ευθεία ε έχει συντελεστή διεύθυνση λε. η ε λ λ λ. η ε η Η ευθεία η έχει εξίσωση: y x 5 y x 4 4

27 β) Επειδή η η είναι παράλληλη στον x x και διέρχεται από το Α, έχει εξίσωση y. γ) Επειδή και οι δύο ευθείες η, η διέρχονται από το Α, το σημείο τομής τους είναι το Α. Η απόσταση του Α από την αρχή Ο των αξόνων είναι: OA Θεωρούμε μια ευθεία (ε) και ένα σημείο 6, εκτός της (ε). Έστω, η προβολή του Α στην (ε). Να βρείτε: α) Την εξίσωση της ευθείας (ε). (Μονάδες ) β) Το συμμετρικό του Α ως προς την (ε). (Μονάδες ) α) Η ΑΜ έχει συντελεστή διεύθυνσης: λ. 6 4 Είναι ε λ λε λε λε. Επειδή η (ε) διέρχεται από το Μ και έχει λε, η εξίσωσή της είναι: y x y x. β) Έστω Β το συμμετρικό του Α ως προς την (ε). Τότε το Μ είναι μέσο του τμήματος ΑΒ και ισχύει: x A x B 6 x B x M 4 6 x B x B και ya yb yb ym yb yb, άρα, Απόσταση σημείου από ευθεία - Εμβαδόν τριγώνου _006 Δίνονται τα σημεία Α(, ) και Β(, ). α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από τα σημεία Α, Β. (Μονάδες ) β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΚΛ, όπου Ο είναι η αρχή των αξόνων και Κ, Λ είναι τα σημεία τομής της ε με τους άξονες xx και yy αντίστοιχα. (Μονάδες 4) 5

28 yb ya ( ) 5 α) Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας είναι : 5. xb xa Η εξίσωση της ευθείας ε είναι: y-ya=λ(x-xa) y-(-)=5(x-) y+=5x-5 y=5x-7. β) Για να βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Κ της ευθείας με τον άξονα xx θέτουμε όπου y=0 και λύνουμε την εξίσωση ως προς x. 7 Για y=0, 0=5x-7 5x 7 x.άρα Κ( 7 5 5, 0). Για να βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Λ της ευθείας με τον y y βάζουμε x=0 και λύνουμε την εξίσωση ως προς y. Για x=0 έχουμε y=-7. Άρα Λ(0, -7) Για το εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου ΟΚΛ ισχύει: 7 OK O ( ). 0 _0067 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές τα σημεία Α(,), Β(,) και Γ(4,0). α) Να βρείτε την εξίσωση της πλευράς ΑΒ. (Μονάδες 9) β) Να υπολογίσετε το ύψος ΓΔ καθώς και την εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία βρίσκεται αυτό. (Μονάδες 6) α) Η ευθεία ΑΒ έχει συντελεστή διεύθυνσης λ 6 6 και εξίσωση: y x y x 6 6 y x x 6y β) d, Είναι λ λ λ λ 6. 6 y 6 x 4 y 6x 4 Η ΓΔ επειδή διέρχεται από το Γ έχει εξίσωση: 4ο Θέμα 4_86 Δίνεται η εξίσωση: x xy y 6x 6y 8 0 α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση παριστάνει γεωμετρικά δύο ευθείες γραμμές ε και ε οι οποίες είναι παράλληλες μεταξύ τους. (Μονάδες 7) β) Αν ε : x y 0 και ε : x y 4 0, να βρείτε την εξίσωση της μεσοπαράλληλης ε των και ε (Μονάδες 8) ε 6

29 γ) Αν Α είναι σημείο της ευθείας ε με τεταγμένη το και Β σημείο της ευθείας ε με τετμημένη το, τότε: i) να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων A και Β (Μονάδες ) ii) να βρείτε τις συντεταγμένες δύο σημείων Γ και Δ της ευθείας ε έτσι, ώστε το τετράπλευρο ΑΓΒΔ να είναι τετράγωνο. (Μονάδες 8) α) x xy y 6x 6y 8 0 ( x y) 6( x y) 8 0 ( x y ) ( x y 4) 0 x y 0 ή x y 4 0 Άρα η εξίσωση παριστάνει γεωμετρικά τις ευθείες : (ε ) : x y- 0 και (ε ) : x y-4 0. Για τους συντελεστές διεύθυνσης των δύο ευθειών ισχύει : / / β) Έστω (ε) : x y-κ 0 η εξίσωση της μεσοπαράλληλης των ε και ε και ( xy, ) σημείο της. Επειδή Μ σημείο της μεσοπαράλληλης : x y x y4 d( M, ) d( M, ) x y x y 4 ( x y x y 4 0 x 0 y ύ ) ή ( x y x y 4 x y 6 0 x y 0 ) Επομένως η εξίσωση x y 0 είναι η ζητούμενη ευθεία. γ) i) Το σημείο (x,) οπότε xa 0 xa 0. Το σημείο (,y B) οπότε yb 4 0 yb. Άρα τα σημεία Α και Β έχουν συντεταγμένες (0,) και (,) αντίστοιχα. ii) Τα σημεία Γ και Δ ανήκουν στην ευθεία ε. Επομένως οι συντεταγμένες τους ικανοποιούν την εξίσωση της : x y 0 y x () x y 0 y x () Οι πλευρές ΑΓ και ΒΓ του τετραγώνου είναι κάθετες οπότε: 0 (x, y ) (x, y ) 0 x (x ) ( y ) (y ) 0 x x y y y () x x y y () () x x ( x ) 5( x ) 6 0 x x 9 6x x 5 5x 6 0 x x 0 x ( x ) 0 x 0 ήx x 0 Από την () y x Από την () y Επομένως το σημείο Γ έχει συντεταγμένες (0,) ή (,) Οι διαγώνιες του τετραγώνου διχοτομούνται άρα το Κ μέσο του ΑΒ και 7

30 x x 0 y y 5 x, y 5 Επομένως το σημείο Κ έχει συντεταγμένες,. To Κ είναι μέσο του ΓΔ οπότε: x x y y 5 x x x () και y y y 5(4) Για την περίπτωση που το Γ έχει συντεταγμένες (0,) έχουμε : x 0 y Από την (4) x Από την (5) y Το σημείο Δ έχει συντεταγμένες (,) Για την περίπτωση που το Γ έχει συντεταγμένες (,) έχουμε : x y Από την (4) x 0 Από την (5) x Το σημείο Δ έχει συντεταγμένες (0,) 4_86 Δίνεται η εξίσωση x y xy λx λy λ 0,με λ διαφορετικό του 0. α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει στο επίπεδο, δύο ευθείες παράλληλες μεταξύ τους, καθεμιά από τις οποίες έχει κλίση ίση με. (Μονάδες ) β) Αν το εμβαδόν του τετραγώνου του οποίου οι δύο πλευρές βρίσκονται πάνω στις ευθείες του ερωτήματος α) είναι ίσο με,να βρείτε την τιμή του λ. (Μονάδες ) α) x y xy x y 0 ( x y) (x y) 0 ( x y )( x y ) 0 x y 0 ή x y 0 Επομένως η παραπάνω παράσταση παριστάνει τις παράλληλες ευθείες (ε ) : x y 0 και (ε ) : x y 0 ( ). β) Έστω Α(0,-λ) σημείο της ε. Το εμβαδόν του τετραγώνου ΑΒΓΔ είναι ίσο με: ( ) ( ) d (A, ) 0 4 ( ) 4 4_867 Δίνονται τα διανύσματα a και b με μέτρα,6 αντίστοιχα και φ [0,π] η μεταξύ τους γωνία. Επίσης δίνεται η εξίσωση a b x a b 5 0 y. α) Να αποδείξετε ότι η () παριστάνει ευθεία για κάθε φ [0,π]. (Μονάδες ) 8

31 β) Αν η παραπάνω ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα y y, να αποδείξετε ότι b a. (Μονάδες 7) γ) Αν η παραπάνω ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα χ χ, να αποδείξετε ότι b a. (Μονάδες 7) δ) Αν η παραπάνω ευθεία είναι παράλληλη στην διχοτόμο πρώτης και τρίτης γωνίας των αξόνων, να αποδείξετε ότι b a (Μονάδες 8) α) Οι συντελεστές των x και y δεν μηδενίζονται ταυτόχρονα (το εσωτερικό γινόμενο δεν μπορεί να είναι ταυτόχρονα και -) άρα ένας από τους συντελεστές x,y θα είναι 0 οπότε η () θα παριστάνει 0, ευθεία για κάθε β) Για να είναι παράλληλη στον άξονα ψ ψ πρέπει a b 0 a b a b Επομένως a b οπότε b a, 0 b a a b 6. Επομένως b a γ) Για να είναι παράλληλη στον άξονα χ χ πρέπει a b 0 a b a b 6 0 Επομένως a b οπότε b a, 0 b a a b 6. Επομένως b a δ) Αν (ε) η ευθεία a b x a b y 5 0 και (ζ) : y=x η διχοτόμος της πρώτης και τρίτης a b γωνίας των αξόνων τότε επειδή // a b a b a b a b a b 0 a b 0 a b a b 9

32 4_8609 Εμβαδόν τριγώνου 4ο Θέμα Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι λ, λ, λ, λ μέσο της πλευράς ΒΓ, όπου λ 0 και λ, και Μ είναι το α) Να αποδείξετε ότι λ, λ. (Μονάδες 7) β) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία το διάνυσμα AΜ είναι κάθετο στο διάνυσμα α, λ λ. (Μονάδες 8) γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. (Μονάδες 0) α) Αφού το Μ είναι το μέσο της πλευράς άρα Αν xy, τότε Άρα,. 4 x και y β) Για να είναι το διάνυσμα κάθετο στο διάνυσμα, θα πρέπει 0 0,, 0 0 (αφού ) γ) Για, έχουμε, και 6, Επομένως το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ είναι:, det 4_860 Δίνονται οι ευθείες ε : x y 0λ 6 0 και ε : 0x y λ 4 0, όπου λ R α) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή της παραμέτρου λ οι ευθείες ε και ε τέμνονται, και να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής τους M (Μονάδες 7) β) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή της παραμέτρου λ το σημείο M ανήκει στην ευθεία ε : 8x + y 6 = 0 (Μονάδες 7) 0

33 γ) Αν η ευθεία ε τέμνει τους άξονες χ χ και ψ ψ στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, τότε: i) να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ζ που διέρχεται από την αρχή Ο των αξόνων και είναι παράλληλη προς την ευθεία ΑΒ (Μονάδες 5) 9 ii) αν Κ είναι τυχαίο σημείο της ευθείας ζ, να αποδείξετε ότι ( ). 4 (Μονάδες 6) x y 0 6 α) Θεωρούμε το σύστημα των εξισώσεων των ευθειών (ε) και (ε):. 0 x y 4 D 0 0 άρα το σύστημα έχει μοναδική λύση για κάθε λ δηλαδή οι 0 ευθείες τέμνονται σε ένα μόνο σημείο Μ που έχει συντεταγμένες τη λύση του συστήματος που είναι 0 6 x D D x 06 8 Dy y 8 4 D Επομένως το σημείο Μ έχει συντεταγμένες (λ-,-8λ+4) β) Για να ανήκει το σημείο Μ στην ευθεία ε : 8x + y 6 = 0 πρέπει οι συντεταγμένες του να την επαληθεύουν. Πράγματι : 8( )+( 8 4 )-6=8λ-8-8λ+4-6=0 οπότε το σημείο Μ ανήκει στην ευθεία ε:8x+y-6=0 γ) i) Έστω Α(x,0) και B(0,y). To σημείο A ανήκει στην ευθεία ε οπότε οι συντεταγμένες του ικανοποιούν την εξίσωση της οπότε 8x-6=0 x= 6 8 = 4. Επομένως η ευθεία ε τέμνει τον χ χ στο σημείο,0 4 To σημείο B ανήκει στην ευθεία ε οπότε οι συντεταγμένες του ικανοποιούν την εξίσωση της οπότε y 6 0 y 6 Επομένως η ευθεία ε τέμνει τον y y στο σημείο Β(0,6) yb ya 6 0 / / x B x A η ευθεία ζ διέρχεται από την αρχή των αξόνων οπότε έχει εξίσωση ζ: y=-8x 4

34 ii) To σημείο Κ(x,y) ανήκει στην ευθεία ζ οπότε οι συντεταγμένες του ικανοποιούν την εξίσωση της δηλαδή y 8x x,0 y x,8x 4 4 ( x, 6 y) ( x, 6 8x) και x det(, ) 4 8x x 6 8x = 9 6x 6x 8x 8x = 9 Το εμβαδόν (ΚΑΒ)= det(, ) ος τρόπος ( AB) 0 (0 6) d(o, ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d(, ) _86 Δίνεται η ευθεία ε : x 4y 7 0 και τα σημεία Α(,4 ) και B (,6) α) Να βρείτε τις συντεταγμένες σημείου M της ευθείας ε το οποίο ισαπέχει από τα σημεία A και B (Μονάδες 7) β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΜΑΒ (Μονάδες 8) γ) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ ( x,y) για τα οποία ισχύει (ΚΑΒ) = (ΜΑΒ) ανήκουν στις ευθείες με εξισώσεις τις: x y 5 0 και x y 5 0 (Μονάδες 0) α) Το σημείο Μ βρίσκεται στη μεσοκάθετη ζ του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. Έστω (x k, yk) το μέσο του ΑΒ. x Τότε κ A x B y 4 6 x 0 και Κ A y y B 5 Επομένως το σημείο Κ έχει συντεταγμένες (0,5). yb y A 6 4 λ ΑΒ x x ( ) 4 B A ζ ΑΒ λζ λζ λζ.

35 Άρα η ευθεία (ζ) έχει εξίσωση y y λ ( x x ) y 5 -( x 0) y x 5 k ζ Για να βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου Μ λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων των ευθειών (ζ) και (ε): 7 y x 5 y x y x x x 5 ( 4) x 7 8x 0 y x y x 5 y x 5 y 5 y 9x 7 x x x Άρα το σημείο Μ έχει συντεταγμένες (,-) β τρόπος Έστω M(x 0, y 0) το ζητούμενο σημείο. Θα πρέπει d(m, A) d(m, B) (x ) (y 4) (x ) (y 6) x 4 x 4 y 8 y 6 x 4 x 4 y y x 4 y x y 5 0 () 0 0 Επίσης M ( ). Άρα x0 4y0 7 0 () Θα λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων (), () για να βρούμε τις συντεταγμένες του Μ. Έχουμε x0 4 y0 7 0 x0 4 y0 7 x 0 4 y0 7 x0 y0 5 0 x0 y0 5 0 ( 4 y0 7) y0 5 0 x0 4 y0 7 x0 4 y0 7 x 0 4 y0 7 x 0 8 y0 4 y y0 9 y0 y0 Άρα M(,-) β)για το εμβαδόν του τριγώνου ΜΑΒ έχουμε: xm xa ym ya ( ) det, x x y y M B k M B ( ) x x 4 det, 5 A y ya x y 5 0 x x y y x y6 γ) ( x )( y 6) ( x )( y 4) 0 xy 6x y xy 4x y8 0 x 4y 0 0 x y0 0 x y0 5 x y 0 5 x y 5 0 ή x y 0 5 x y 5 0 Άρα τα σημεία Κ ανήκουν στις παράλληλες ευθείες ε,ε με εξισώσεις τις: x y 5 0 και x y 5 0 αντίστοιχα ( // 5 B αφού ) B

36 4_864 Δίνονται οι ευθείες ε : x y 0 και ε : x y 4 0 α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Α των ευθειών ε και ε (Μονάδες 5) β) Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα y y στο σημείο Β και η ευθεία ε τέμνει τον άξονα χ χ στο σημείο Γ, τότε: i) να βρείτε εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Β και Γ (Μονάδες 5) ii) να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ (Μονάδες 5) γ) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ ( x,y) για τα οποία ισχύει (ΚΒΓ ) = ( ΑΒΓ ) ανήκουν σε δύο παράλληλες ευθείες, των οποίων να βρείτε τις εξισώσεις. (Μονάδες 0) α) Για να βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Α των ευθειών ε και ε αρκεί να λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων τους: x y 0 (4 y) y 0 6 y y 0 x y 4 0 x 4 y x 4 y 5y 5 y y x 4 y x 4 x Άρα οι συντεταγμένες του σημείου τομής A των ευθειών ε και ε είναι (-,) β) i) Η ε τέμνει τον άξονα ψ' ψστο σημείο Β(0,y). Επομένως οι συντεταγμένες του Β ικανοποιούν την εξίσωση της ευθείας ε οπότε 0 y 0 y. Άρα το σημείο B έχει συντεταγμένες (0,-). Η ε τέμνει τον άξονα x' x στο σημείο Γ(x,0). Επομένως οι συντεταγμένες του Γ ικανοποιούν την εξίσωση της ευθείας ε οπότε x x 4. Άρα το σημείο Γ έχει συντεταγμένες (4,0). y y 0 ( ) x x Επομένως η εξίσωση της ευθείας ΒΓ είναι : y y ( x x ) y ( x 0) y x 4 4 ii) (0, ) (, 6) (4, 0 ) (6, ) 6 0 ( ) det, γ) x xb y yb x y det, x x y y x 4 y xy ( x 4)( y ) 0 xy xy x 4y 0 x 4y 0 x 4y 0 x 4y 8 0 ή x 4y 0 x 4y 4 0 4

37 Άρα τα σημεία Κ ανήκουν στις παράλληλες ευθείες ε,ε μ ε ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς : x 4y 8 0 και x 4y 4 0. (ε //ε αφού ) 4 4_865 Θεωρούμε ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ που είναι παράλληλο προς την ευθεία ε : y = x, με Α(x,y ), Β ( x,y ) και x < x. Αν το σημείο Μ (, 5) είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ και το γινόμενο των τετμημένων των σημείων Α και Β ισούται με 5, τότε: α) να υπολογίσετε τις συντεταγμένες των σημείων Α και Β. (Μονάδες ) β) να αποδείξετε ότι (ΟΑΒ) = 4, όπου Ο είναι η αρχή των αξόνων. (Μονάδες 5) γ) να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ ( x,y) για τα οποία ισχύει (ΚΑΒ) = (ΟΑΒ) ανήκουν στις ευθείες με εξισώσεις τις : x y 0 και x y 6 0 (Μονάδες 7) α) x x y y / / y y x x () Επειδή το σημείο Μ(,5)είναι μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ θα ισχύει ότι: x x x x xm x x 6 () και y y y y ym 5 y y 0 () x x (4) 5 Λύνουμε το σύστημα των (),(4) : 5 x 5 5 x x 5 x x x x x xx 6 5 x 6 x 5 6x x 6x 5 0 x 5 5 x x 5 x x x ή x ί(x x) x x 5 x x 5 Άρα x = και x =5 (5) (5) () y y 5 y y 4 (6) () (6) y 4 y 7 y 7 (6) 7 y 4 y Άρα τα σημεία Α και Β έχουν συντεταγμένες (,) και (5,7) αντίστοιχα. β) OA (,), OB (5,7) και Άρα OA det OA,OB ( ) det,ob

38 γ) ( x, y), B (5 x,7 y) και x y det, B ( x) (7 y) (5 x) ( y) 5x 7 y 7 7 x y xy 5 5y x xy 4x 4y 8 det(ka,kb) 8 4 x 4 y 8 8 x y 8 x y 4 x y 4 x y 0 ή x y 4 x y 6 0 Άρα τα σημεία Κ ανήκουν στις ευθείες ε,ε μ ε ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς : (ε ) : x y 0 και x y _860(_860) ε : λ x y 5 0 Δίνονται οι ευθείες, ε : λ x y 5 0 με λ και το σημείο,. α) Να αποδείξετε ότι, για κάθε τιμή του λ οι ευθείες τέμνονται. (Μονάδες 7) β) Αν οι ευθείες τέμνονται στο σημείο, να βρείτε την τιμή του λ. (Μονάδες 0) γ) Έστω λ και, τα σημεία που οι ε και ε τέμνουν τον άξονα yy.να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου. (Μονάδες 8) α) Έστω ότι υπάρχει τιμή του πραγματικού αριθμού για την οποία οι ευθείες είναι παράλληλες. Τότε θα έχουν ίσους συντελεστές διεύθυνσης. Είναι και Άρα η εξίσωση είναι αδύνατη, επομένως για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού οι ευθείες τέμνονται. ος τρόπος ( ) x y 5 Αν θεωρήσουμε το σύστημα των ευθειών (ε ),(ε ) : ( ) x y 5 D έχουμε Το τριώνυμο 0 ( Δ = -4 <0 ) οπότε D 0 και οι δύο ευθείες τέμνονται. β) Το σημείο είναι το σημείο τομής των ευθειών, άρα οι συντεταγμένες του επαληθεύουν τις εξισώσεις των δύο ευθειών:

39 ή Άρα γ) Για είναι : :x y 5 0 η οποία τέμνει τον yy όταν x 0 : 0 y5 0 y 5 Επομένως (0,5) : 7x y 5 0 η οποία τέμνει τον yy όταν x 0 : 7 0 y 5 0 y 5 Επομένως (0, 5) 7 Το εμβαδόν του τριγώνου υπολογίζεται από τον τύπο: det, Έχουμε x x, y y 0,5,6 x x, y y 0, 5, 4 και οπότε _86 Δίνονται οι ευθείες ε : κx κy κ 0 και ζ : κ x κ y 6κ 0, όπου κ α) Να εξετάσετε αν υπάρχει τιμή του κ, ώστε οι ευθείες να είναι παράλληλες. β) Να βρείτε την αμβλεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες ε και (Μονάδες 0) ζ. (Μονάδες 5) παράλληλο στην. Έχουμε, οπότε, παράλληλο στην οπότε α) Έστω διάνυσμα και Επομένως:, / / / / det, , άρα η εξίσωση είναι αδύνατη, επομένως δεν υπάρχει τέτοιο ώστε //. β) Για τον υπολογισμό της γωνίας των δύο ευθειών θα βρούμε το συνημίτονο της γωνίας των παράλληλων διανυσμάτων τους σύμφωνα με τον τύπο:, και Οπότε,

40 5 5 Άρα η αμβλεία γωνία των ευθειών είναι: _86. Δίνονται τα σημεία A,, Β(, - ) και μ 4 μ,, όπου μ. α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων και (Μονάδες 8) β) Να αποδείξετε ότι για κάθε μ το σημείο Γ ανήκει στην ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α και Β. (Μονάδες 8) γ) Να βρείτε την τιμή του μ έτσι, ώστε μ. (Μονάδες 6) δ) Για την τιμή του μ που βρήκατε στο ερώτημα γ), να αποδείξετε ότι (ΟΒΓ ) =, όπου O είναι η αρχή των αξόνων. (Μονάδες ) α) Οι συντεταγμένες των διανυσμάτων και υπολογίζονται ως εξής:,, και 4,, β) Για να αποδείξω ότι, για κάθε τιμή του μ, το σημείο Γ ανήκει στην ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α και Β αρκεί να αποδείξουμε ότι τα σημεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακά. det, 0. Επειδή η ορίζουσα det, είναι ίση με το μηδέν τα διανύσματα και θα είναι παράλληλα. Όμως έχουν κοινό σημείο το Β άρα τα και θα είναι συγγραμμικά, επομένως τα σημεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακά. ( ) ( ) γ) ( ),, ( ) 0 ( ) 0. δ) Για μ = είναι Οπότε:, και,, επίσης Β(, - ) και A,.,. 8

41 det,. Το εμβαδόν του det,. Υπολογίζω τριγώνου ΟΒΓ θα είναι: (ΟΒΓ) = Δίνονται τα σημεία Α(,4), B(5,7) και Γ (μ +,μ ), όπου μ. α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων και και, στη συνέχεια, να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, B και Γ δεν είναι συνευθειακά για κάθε τιμή του μ. (Μονάδες 8) β) Να αποδείξετε ότι: i) το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ δεν εξαρτάται από το μ. (Μονάδες 5) ii) για κάθε τιμή του μ το σημείο Γ ανήκει σε ευθεία ε, της οποίας να βρείτε την εξίσωση. (Μονάδες 7) γ) Να ερμηνεύσετε γεωμετρικά γιατί το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ παραμένει σταθερό, ανεξάρτητα από την τιμή του μ; (Μονάδες 5) α) Είναι: 5,7 4 (,) και, 4 (, 6). Για να αποδείξω ότι τα σημεία Α, B και Γ δεν είναι συνευθειακά για κάθε τιμή του μ, αρκεί να αποδείξω ότι τα διανύσματα και δεν είναι παράλληλα. det, Επειδή η ορίζουσα των διανυσμάτων και δεν είναι μηδέν για κάθε τιμή του μ, τα και δεν θα είναι παράλληλα. ( ) det, 6, ανεξάρτητο του μ. ii) Έστω Γ(x, y) οι συντεταγμένες του σημείου Γ, όμως Γ (μ +,μ ) για μ. Οπότε θα ισχύει: β) i) Το εμβαδόν είναι: x x x 6. Προσθέτουμε κατά μέλη τις δύο σχέσεις y y y 6 4 και έχουμε: x y = 7 (). Η εξίσωση () επαληθεύεται από τις συντεταγμένες του σημείου Γ για κάθε τιμή του μ, άρα το σημείο Γ θα ανήκει σε ευθεία ε με εξίσωση x y = 7. γ) Οι συντελεστές διεύθυνσης της ευθείας ΑΒ και της ευθείας ε είναι ίσοι με λ ΑΒ = λ ε, οπότε η ευθεία ΑΒ είναι παράλληλη στην ευθεία ε. Συνεπώς το σημείο Γ, ως σημείο της ευθείας ε, κινείται παράλληλα στην ευθεία ΑΒ, οπότε το ύψος του τριγώνου από το Γ θα είναι σταθερό και ίσο με την απόσταση των δύο ευθειών. Άρα το εμβαδόν του ΑΒΓ θα είναι σταθερό και ανεξάρτητο από την τιμή του μ. 9

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8)

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες 10) γ) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =.. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (16) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 2 ο (39) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

(Έκδοση: 06 12 2014)

(Έκδοση: 06 12 2014) (Έκδοση: 06 04) Οι απαντήσεις και οι λύσεις είναι αποτέλεσμα της συλλογικής δουλειάς των συνεργατών του δικτυακού τόπου http://lisari.blogspot.gr η έκδοση: 06 04 (συνεχής ανανέωση) Το βιβλίο διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας ε, που σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία: π 3 α) ω = β) ω = γ) ω = π 3. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηματίζει με

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ 1. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ.Σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε το άθροισμα.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν α,β τότε α //β α λβ, λ. είναι δύο διανύσματα, με β 0, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ taexeiolag ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 uuuu uuuu uuuu Αν OA OB 3O 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ uuuu uuuu uuuu OA OB 1, O α Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 2. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 5 Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός 867 (Αναρτήθηκε 8 4 ) ίνονται τα διανύσµατα a και b µε µέτρα, 6 αντίστοιχα και ϕ [, π] a b+ x+ a b y 5= () δίνεται η εξίσωση ( ) ( ) α) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Κάθε διάνυσμα του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή : i j όπου i, j μοναδιαία διανύσματα με κοινή αρχή το

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 Θέµα: Τα διανύσµατα ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ Η έννοια του διανύσµατος Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτων Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Συντεταγµένες

Διαβάστε περισσότερα

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Κύκλος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που απέχουν σταθερή απόσταση από ένα σταθερό σημείο του επιπέδου αυτού. Το σταθερό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-2004

Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-2004 Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-004 Περιεχόµενα 1 Θέµατα 1999.......................................... 3 Θέµατα 000..........................................

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Μ Ι Γ Α Δ Ι Κ Ο Ι Α Ρ Ι Θ Μ Ο Ι ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΡΟΣ ο Ερωτήσεις του τύπου σωστό λάθος. Αν = α + βi, α, β R και = 0, τότε α = 0 και β = 0. Σ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο.

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ΣΥΛΛΟΓΟΣ «Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ» ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Δίνονται τα πολυώνυμα (3x ) (5 x)(3x ) και 5x 9 i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ii). Να βρείτε την τιμή του

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ερωτήσεις τύπου ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ. 1.Αν ΑΓ+ΓΒ=ΒΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Σ Λ. 2. Αν α=β τότε α=β. Σ Λ. 3.

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ερωτήσεις τύπου ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ. 1.Αν ΑΓ+ΓΒ=ΒΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Σ Λ. 2. Αν α=β τότε α=β. Σ Λ. 3. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - 1 - ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ερωτήσεις τύπου ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ 1.Αν ΑΓ+ΓΒ=ΒΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α=β τότε α=β. 3. Αν ΑΜ+ΒΜ = 0 Μ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Επαναληπτικές Ασκήσεις (από σχολικό βιβλίο) (από βοήθημα Γ Γυμνασίου Πετσιά-Κάτσιου) Κεφάλαιο 1ο 17,

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα από τους μιγαδικούς

Θέματα από τους μιγαδικούς 6/0/0 Θέματα από τους μιγαδικούς Μπάμπης Στεργίου Σεπτέμβριος 0 Θέμα ο ***Οι λύσεις έγιναν από τον Αλέξη Μιχαλακίδη Δίνονται τα σύνολα : A C/ και α) Να εκφράσετε γεωμετρικά το σύνολο Α BwC/w,A β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: α) ω = 3 π β) ω = π 3 γ) ω = π. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηµατίζει µε τον άξονα x x µια ευθεία ε, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Ο ΚΥΚΛΟΣ. 1. Εξίσωση κύκλου (Ο, ρ) 2. Παραµετρικές εξισώσεις κύκλου. 3. Εφαπτοµένη κύκλου

3.1 Ο ΚΥΚΛΟΣ. 1. Εξίσωση κύκλου (Ο, ρ) 2. Παραµετρικές εξισώσεις κύκλου. 3. Εφαπτοµένη κύκλου 3. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση κύκλου (Ο, ρ) + y ρ. Παραµετρικές εξισώσεις κύκλου ρσυνφ και y ρηµφ 3. Εφαπτοµένη κύκλου + yy ρ 4. Εξίσωση κύκλου µε κέντρο το σηµείο Κ( o, y ο ) και ακτίνα ρ ( o ) + (y y ο

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων

Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων www.askisopolis.gr η έκδοση - - 0 Μεταβολές από την προηγούμενη έκδοση Αφαιρέθηκαν οι ασκήσεις _90, _900 και _907 Αλλαγές: Στην άσκηση _909 άλλαξε το β ερώτημα, στην

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΩΝ ΕΠΑΛ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΩΝ ΕΠΑΛ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΩΝ ΕΠΑΛ Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία Μιχαήλογλου Στέλιος Παπαθανάση Κέλλυ Πατσιμάς Ανδρέας Πατσιμάς Δημήτρης Ραμαντάνης Βαγγέλης

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Να βρείτε για καθεμιά από τις παρακάτω γραμμές αν είναι γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης. 4-1 1 () (1) (3) (4) (5) (6) Αν υπάρχει ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟ φροντιστήριο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµα ο κ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Α. ώστε τον ορισµό της υπερβολής και γράψτε τις εξισώσεις των ασύµπτωτων της ( C ): (Μονάδες 9) α β Β. Να διατυπώσετε τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν. Κατεύθυνσης Β Λυκείου 2000

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν. Κατεύθυνσης Β Λυκείου 2000 Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν. Κατεύθυνσης Β Λυκείου 000 Ζήτηµα ο Α.. Να γράψετε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο Κ(x 0,y 0 ) και ακτίνα ρ. (Μονάδες ) Α.. Πότε η εξίσωση x + y + Ax + By + Γ 0

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής xxi,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Θέμα Α. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της (7 μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Β' Γυμν. - Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Άσκηση 1 Απλοποίησε τις αλγεβρικές παραστάσεις (α) 2y 2z 8ω 8ω 2y 2z (β) 1x 2y 3z 3 3 z 2z z 2 x y Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρα - Γεωμετρία Άσκηση 2 Υπολόγισε την

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0. ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 0. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 0.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ (Πολυγωνικά χωρία) Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα. Κωνσταντίνος Παπασταματίου

Μιγαδικοί Αριθμοί. Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα. Κωνσταντίνος Παπασταματίου Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μιγαδικοί Αριθμοί Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Βόλος Τηλ. 40598 Κεφ. ο ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ. Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων

Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων www.askisopolis.gr 9--0 Θεώρημα Θαλή.897. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ με AB 9 και. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. 1. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α,Β,Γ,Δ ισχύει ότι : 4 3 4 3 7

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. 1. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α,Β,Γ,Δ ισχύει ότι : 4 3 4 3 7 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α,Β,Γ,Δ ισχύει ότι : 4 4 7. Αν ισχύουν να αποδείξετε ότι. Αν ισχύει ότι 5 5 να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ!

ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ! ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ! - Κύριε, πόσο μας χρειάζονται αυτά που μάθαμε πέρσι στα μαθηματικά της κατεύθυνσης; - Σοφία, αν όχι όλα, αρκετά από αυτά. - Για πείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΣΟΤΗΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ. α+βi =γ+δi α=γ και β=δ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΣΟΤΗΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ. α+βi =γ+δi α=γ και β=δ Το σύνολο C των μιγαδικών αριθμών είναι ένα υπερσύνολο του R, του συνόλου των πραγματικών αριθμών, στο οποίο ισχύουν: Επεκτείνονται οι πράξεις της πρόσθεσης του πολλαπλασιασμού έτσι ώστε, να έχουν τις

Διαβάστε περισσότερα

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του Κωνικές τομές Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του ΚΥΚΛΟΣ το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου ΠΑΡΑΒΟΛΗ το επίπεδο είναι παράλληλο σε μια γενέτειρα

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ.

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ. Θαλής Β' Λυκείου 1995-1996 1. Έστω κύκλος ακτίνας 1, στον οποίο ορίζουμε ένα συγκεκριμένο σημείο Α 0. Στη συνέχεια ορίζουμε τα σημεία Α ν ως εξής: Το μήκος του τόξου Α 0 Α ν (όπου αυτό μπορεί να είναι

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

8 Σίσκας Χρήστος Φακόπουλος Επαμεινώνδας. Η έννοια του Διανύσματος

8 Σίσκας Χρήστος Φακόπουλος Επαμεινώνδας. Η έννοια του Διανύσματος ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ - ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ.3 ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ 8 Σίσκας Χρήστος Φακόπουλος Επαμεινώνδας Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων 9 Θεολόγης Καρκαλέτσης Μαθηματικός teomail@schgr Πρόλογος Στο βιβλίο αυτό περιέχονται όλα τα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 9 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2014

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 9 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 9 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2014 Θέμα 1 ο A. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: Ρ(Α Β) = Ρ(Α) +

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Ορισμός: Δύο ευθύγραμμα σχήματα ονομάζονται όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ( ˆ =90 ο ) και ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας A. Από το σημείο Δ φέρουμε παράλληλη προς την ΑΒ που τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

Νίκος Καζαντζάκης (Από τον πρόλογο του Καπετάν Μιχάλη )

Νίκος Καζαντζάκης (Από τον πρόλογο του Καπετάν Μιχάλη ) .Η ψυχή του ανθρώπου γίνεται παντοδύναμη, όταν συνεπαρθεί από μια μεγάλη ιδέα. Τρομάζεις όταν ύστερα από πικρές δοκιμασίες, καταλάβεις πως μέσα μας υπάρχει μια δύναμη που μπορεί να ξεπεράσει τη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά, είναι τα 4, 0 και 0.

2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά, είναι τα 4, 0 και 0. Ευκλείδης Γ' Γυμνασίου 1995-1996 1. Να γίνει γινόμενο η παράσταση Α= ν 2 3ν 1 2 1. 2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά,

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 4η Να βρεθεί ο τριψήφιος αριθμός που τα ψηφία του είναι ανάλογα των αριθμών 1, 2, 3 κατά σειρά και διαιρείται από το 9. Άσκηση 7η.

Άσκηση 4η Να βρεθεί ο τριψήφιος αριθμός που τα ψηφία του είναι ανάλογα των αριθμών 1, 2, 3 κατά σειρά και διαιρείται από το 9. Άσκηση 7η. Άσκηση 1η Αν η εξίσωση είναι αόριστη, τότε: α) Να δειχθεί ότι η εξίσωση είναι αδύνατη β) Να λυθεί η ανίσωση γ) Αν ισχύει ότι να βρεθεί ο αριθμός Α Άσκηση 2η Αν η εξίσωση έχει λύση μεγαλύτερη του και η

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ η (Κατσίποδας Δημήτρης) Δίνονται οι συναρτήσεις f() = με a, β R και g() = 5.Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ,

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ, ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο - ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΜΑ Ο Άσκηση (_8975) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ=9 και ΑΓ=5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 70 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 21 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2009 B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 70 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 21 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2009 B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 0 3663-0367784 - Fax: 0 3640 GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR. 06 79

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις γιατί συχνά, οι ιδέες επαναλαµβάνονται ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Ο ΓΕΝ ΛΥΚΕΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ Σελίδα από 8 Επιµέλεια: Παππάς Αθανάσιος/o ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ 00

Διαβάστε περισσότερα

GREEK MATHEMATICAL SOCIETY Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 3616532-3617784 - Fax: 3641025 e-mail : info@hms.gr www.hms.

GREEK MATHEMATICAL SOCIETY Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 3616532-3617784 - Fax: 3641025 e-mail : info@hms.gr www.hms. Τηλ 361653-3617784 - Fax: 364105 Tel 361653-3617784 - Fax: 364105 17 Ιανουαρίου 015 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 7 49 3 4 3 6 11 Υπολογίστε την τιμή της παράστασης: Α= + + : 3 9 7 3 5 10 Πρόβλημα Μία οικογένεια αγόρασε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ . ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 4 α. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του. β. Αν Re ( ) 0, τότε: 4 i. Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός w = + είναι πραγματικός και ισχύει 4 w 4. ii. Να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) 6+ 9, g ( ), h ( ) 5 +, k

Διαβάστε περισσότερα