3.6 Ευθεία και Αντίστροφη υναµική

Transcript

1 3.6 Ευθεία και Αντίστροφη υναµική Στη δυναµική µας απασχολούν δύο ειδών προβλήµατα, το ευθύ δυναµικό πρόβληµα και το αντίστροφο δυναµικό πρόβληµα. Το αντίστροφο πρόβληµα αφορά στον προσδιορισµό των ροπών που είναι αναγκαίες για να προκαλέσουν κίνηση του βραχίονα, η οποία περιγράφεται από συγκεκριµένες µετατοπίσεις, ταχύτητες και επιταχύνσεις των αρθρώσεων. Με άλλα λόγια οι εξισώσεις E-L (3.53 B( q q&& C( q, q& q& F q& F sgn(q& G( q J ( q h τ u s είναι ουσιαστικά µία µορφή αντίστροφης δυναµικής, γιατί για συγκεκριµένο βραχίονα και συγκεκριµένες µετατοπίσεις, ταχύτητες και επιταχύνσεις των αρθρώσεων ( qqq, &&&, λαµβάνουµε τις ροπές που είναι αναγκαίες για να προκαλέσουν αυτή τη κίνηση του βραχίονα. Από την άλλη πλευρά, το ευθύ πρόβληµα συνίσταται στον προσδιορισµό των επιταχύνσεων των αρθρώσεων (και άρα µέσω αριθµητικής ολοκλήρωσης των ταχυτήτων και των µετατοπίσεων που προκαλούνται από την εφαρµογή κάποιων συγκεκριµένων συναρτήσεων ροπών στις αρθρώσεις του βραχίονα, όταν είναι γνωστή η αρχική κατάσταση του συστήµατος (δηλ. οι θέσεις και οι ταχύτητες. Η ευθεία δυναµική δίδεται εποµένως από την (διπλή ολοκλήρωση της { τ u s } q && B ( q C( q, q & q & F q & F sgn(q & G( q J ( q h (3.58 δεδοµένων αρχικών συνθηκών (, &( q t q q t q&. Αυτή ουσιαστικά προέρχεται από τις E-L µε επίλυση ως προς q&&. Η (3.58 έχει νόηµα γιατί η αντιστροφή του πίνακα µάζας B( q είναι πάντα δυνατή γιατί είναι θετικά ορισµένος. Η επίλυση του πρώτου προβλήµατος χρησιµεύει στην προσοµοίωση της κίνησης του βραχίονα, ενώ η επίλυση του αντίστροφου προβλήµατος είναι απαραίτητη για τον έλεγχο κίνησης του βραχίονα. Σχετικά µε τον έλεγχο σηµειώνουµε ότι όταν είναι γνωστές οι επιθυµητές τροχιές (χρονικές συναρτήσεις των µετατοπίσεων, των ταχυτήτων και των επιταχύνσεων των αρθρώσεων, συνήθως ως αποτέλεσµα της αντίστροφης κινηµατικής ανάλυσης, η αντίστροφη δυναµική επιτρέπει τον προσδιορισµό των ροπών που πρέπει να εφαρµοστούν στις αρθρώσεις προκειµένου να πραγµατοποιηθεί η επιθυµητή κίνηση του βραχίονα. Παράδειγµα Θεωρούµε τον επίπεδο βραχίονα µε τους βαθµούς κινητικότητας που εξετάσαµε στα προηγούµενα παραδείγµατα. Στο σηµείο αυτό θα ασχοληθούµε µε τη δυναµική του προσδιορίζοντας τις εξισώσεις κίνησης. Εκτός των εξισώσεων Euer-Lagrange που δίδουν την δυναµική σε κλειστή µορφή υπάρχει και η µορφή Newton-Euer που την δίδουν σε αναδροµική µορφή.

2 Επίπεδος Βραχίονας Βαθµών Κινητικότητας Με αναφορά στο παραπάνω σχήµα έπεται ότι το διάνυσµα των γενικευµένων συντεταγµένων. Θεωρούµε θα είναι q [ ϑ ϑ ] a, a τα µήκη των συνδέσµων και αντίστοιχα, και και τις αποστάσεις των κέντρων µάζας των δύο συνδέσµων από τους αντίστοιχους άξονες περιστροφής. Επιπλέον θεωρούµε και τις µάζες των δύο συνδέσµων και, τις µάζες των κινουµένων µερών των δύο κινητήρων. Ακόµα µε I,I συµβολίζουµε τις ροπές αδράνειας των κινητήρων ως προς τους άξονες περιστροφής τους και µε I,I τις ροπές αδράνειας των συνδέσµων ως προς τα κέντρα µάζας τους αντίστοιχα. Τέλος γίνεται η υπόθεση ότι οι κινητήρες βρίσκονται τοποθετηµένοι στους άξονες των αρθρώσεων, µε τα κέντρα µάζας τοποθετηµένα στις αντίστοιχες αρχές των συστηµάτων. Αυτό πρακτικά σηµαίνει ότι p pi και z zi για i,. i Προκαταρκτικά Με βάση τις σχέσεις που δώσαµε πιο πάνω θα έχουµε για τις ιακωβιανές θέσης: i ( ( s ( ( JP I P z ( p p a ( ( s s 3 3 s.. ( ( ( JP IP I P z ( p p z ( p p a ( 39. ( J P [ ] και a ( ( s ( ( JP p z [ ] ( p p z ( p p a I. Με παρόµοιο τρόπο οι ιακωβιανές προσανατολισµού θα είναι:

3 όπου ( 3. ( 3. ( ( JO I O [ z ] ( 3. ( 3. ( ( ( JO IO I O [ z z ] ( 33. ( 33. ( ( JO I O kr z k r z και kr ( 33. ( 33. ( ( ( ( JO IO I O IO k r z z kr z k r k r και k r οι λόγοι µείωσης των δύο µειωτήρων. Εξισώσεις E-L Στην περίπτωση που εξετάζουµε οι τανυστές αδράνειας των συνδέσµων και των κινητήρων στα τοπικά συστήµατα αξόνων ταυτίζονται µε τους αντίστοιχους στο σύστηµα αναφοράς της βάσης. Αυτό συµβαίνει διότι όλοι οι άξονες z είναι παράλληλοι στον άξονα z, οι δε περιστροφές των επιµέρους συστηµάτων πραγµατοποιούνται κατά µία γωνία περί τον άξονα z του συστήµατος αναφοράς. Έτσι το µητρώο αδράνειας B(q του βραχίονα υπολογίζεται από τη γνωστή σχέση δίνοντας ( 336. b( ϑ b( ϑ B( q b ( ϑ b όπου b I k I I (a a I a r r r. b b I ( a k I b I k I Το B(q είναι προφανώς συµµετρικό και µπορεί να αποδειχθεί εύκολα ότι είναι θετικά ορισµένο. Τα σύµβολα Christoffe ijk υπολογίζονται από τη σχέση που δώσαµε πιο πάνω και έτσι θα έχουµε: q a s h q q q q q h h 3

4 q q οπότε και καταλήγουµε στο µητρώο φυγόκεντρων & Coriois h & ϑ h ( & ϑ & ϑ C( q,q &. h & ϑ Με βάση τις σχέσεις που έχουµε προαναφέρει, τις παραπάνω ιακωβιανές θέσης και προσανατολισµού του βραχίονα και το διάνυσµα επιτάχυνσης της βαρύτητας g [ g ] θα έχουµε για τους βαρυτικούς όρους µε χρήση της (3.44: g g I g I g I g I ( a a g g ( ( ( ( o P o P o P o P g g I g I g I g I ( ( ( ( o P o P o P o P g Τελικά οι δυναµικές εξισώσεις του βραχίονα χωρίς τριβές και δυνάµεις επαφής προκύπτουν µε εφαρµογή της σχέσης (3.53 B(q q&& C(q,q & q& g(q τ οπότε και θα πάρουµε (I k I I (a a I a && ϑ r (I ( a kr I && ϑ a s & ϑ & ϑ a s & ϑ ( a a g g τ (I ( a k I && ϑ (I k I && ϑ r r a s & ϑ g τ όπου τ και τ οι ροπές που οδηγούν τις αρθρώσεις. Αντισυµµετρικότητα του µητρώου Nqq (, & Bq &( Cqq (, & Εύκολα πλέον µπορεί κανείς να διαπιστώσει ότι ισχύει η ιδιότητα της αντι-συµµετρικότητας για το µητρώο h & ϑ h & ϑ h & ϑ h ( & ϑ & ϑ N(q,q & B(q & C(q,q & h & ϑ h & ϑ h & ϑ h & ϑ. h & ϑ h & ϑ Γραµµικότητα ως προς τις δυναµικές παραµέτρους Με κατάλληλη θεώρηση του δυναµικού µοντέλου µπορούµε να δούµε ότι το διάνυσµα αγνώστων παραµέτρων είναι 4

5 ( [ ] π π π K π ( 8 π π 5 ( π a π a 6 ( π I a I π I a 3 7 π I π I 4 8 και αντίστοιχα y y K y8 Y y y y K 8 µε y a && ϑ ag y a && ϑ g y3 && ϑ y k && ϑ 4 r ( ( ( ( y a aa a && ϑ aa a && ϑ aa s & ϑϑ& aa s & ϑ a g a g 5 y a a && ϑ a a && ϑ as & ϑϑ& as & ϑ g y y 6 y && ϑ && ϑ && ϑ k && ϑ r y y y y 3 4 ( ( y aa a && ϑ a && ϑ aa s & ϑ a g 5 y a a && ϑ a && ϑ as & ϑ g 6 y k && ϑ k && ϑ 8 r r 5