Σχεδιασµός Τροχιάς. Σχήµα Πορείες στον χώρο των αρθρώσεων και τον Καρτεσιανό χώρο.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Σχεδιασµός Τροχιάς. Σχήµα Πορείες στον χώρο των αρθρώσεων και τον Καρτεσιανό χώρο."

Transcript

1 Κεφάλαιο 11 Σχεδιασµός Τροχιάς 11-1 Εισαγωγή Πορεία (path) είναι µία γραµµή σε έναν πολυδιάστατο χώρο, η οποία συνδέει δύο από τα σηµεία του., βλ. Σχ Σχήµα Πορείες στον χώρο των αρθρώσεων και τον Καρτεσιανό χώρο. Τροχιά (trajectory) είναι η ιστορία των αρθρώσεων ή των θέσεων στον Καρτεσιανό χώρο, δηλαδή συναρτήσεις του χρόνου που περιγράφουν την εξέλιξη των µεταβλητών αρθρώσεων q ή των θέσεων X, βλ. Σχ (To X είναι ένα διάνυσµα στήλης που περιγράφει κατά κάποιο τρόπο τη θέση και προσανατολισµό κάποιου σώµατος, συνήθως του ΤΣΔ). Σχήµα Τροχιές µεταβλητών αρθρώσεων και Καρτεσιανών θέσεων. Η απαλοιφή του χρόνου από µία τροχιά δίνει ως αποτέλεσµα την πορεία. Σχεδιασµός Τροχιάς είναι η ανεύρεση κυµατοµορφών (συναρτήσεων του χρόνου) που περιγράφουν την εξέλιξη των µεταβλητών αρθρώσεων q ή των θέσεων X, έτσι ώστε αυτές να διέρχονται από επιθυµητά σηµεία ή να έχουν την επιθυµητή εξέλιξη. Πρέπει λοιπόν να βρεθούν οι εξής συναρτήσεις: 11-1

2 q d ( t)!q d ( t) Σχεδιασµός στον χώρο των αρθρώσεων!!q d ( t ) ( t)! ( t) Σχεδιασµός στον Καρτεσιανό χώρο!! ( t) X d X d X d Ο δείκτης d δηλώνει την επιθυµητή τροχιά (desired) Σχεδιασµός Τροχιάς Αρθρώσεων Τα επιθυµητά σηµεία καθορίζονται από το S T T, όπου το S δηλώνει τον σταθµό και το T το εργαλείο. Σχήµα Ορισµός διαφόρων ΣΣ. Ο πίνακας 0 T T ορίζει τη θέση και τον προσανατολισµό του εργαλείου ως προς τη βάση του ροµπότ και δίνεται από: 0 T T = 0 T 6 6 T E E T!" # $# = 0 T % T S S % T T const const. known (11-1) όπου o 6 T E συνδέει το ΤΣΔ µε το ΣΣ {6} και o E T T συνδέει την άκρη το εργαλείου µε το ΤΣΔ του ροµπότ. Ο 0 T 6 υπολογίζεται ως εξής: 0 T 6 = 0 T S S T 6 T ( T E E T T ) 1 (11-2) Από την Εξ. (11-2) και την αντίστροφη κινηµατική βρίσκουµε το διάνυσµα των µεταβλητών αρθρώσεων q που αντιστοιχούν σε σηµεία της τροχιά του εργαλείου: S T T,A S T 6,A q A S T T,B S T 6,B q B!! Οι διάφορες διαµορφώσεις q i, (i = A, B,...) µπορούν να βρεθούν και µε το τηλεχειριστήριο εκµάθησης θέσεων του ροµπότ (teach pendant). Αυτό επιτυγχάνεται ως εξής. Μετακινούµε µε το τηλεχειριστήριο το άκρο του εργαλείου στο επιθυµητό σηµείο και 11-2

3 µε τον επιθυµητό προσανατολισµό. Όταν αυτό επιτευχθεί, τότε δίνουµε εντολή να καταγραφούν οι µεταβλητές των αρθρώσεων και συνεχίζουµε µε το επόµενο επιθυµητό σηµείο. Η διαδικασία αυτή παίρνει αρκετό χρόνο, µια και δεν είναι εύκολο να οδηγηθεί το ροµπότ στη σωστή θέση και προσανατολισµό. Η γενική διαδικασία σχεδιασµού τροχιάς στο χώρο των αρθρώσεων απεικονίζεται στο Σχ Ο σχεδιασµός γίνεται µε διάφορε µεθόδους που θα µελετηθούν στη συνέχεια. Η είσοδος στη διαδικασία αυτή είναι οι θέσεις και οι αντίστοιχες ταχύτητες q A,q A,,!q A,!q A,, και η έξοδος είναι οι τροχιές για κάθε άρθρωση, q d (t). Οι τροχιές αυτές στη συνέχεια στέλνονται ως εντολές στο σύστηµα ελέγχου που οδηγεί το ροµπότ µέσω ρευµάτων των κινητήρων του. Σχήµα διαδικασία σχεδιασµού τροχιάς στο χώρο των αρθρώσεων Πολυώνυµα Τρίτου Βαθµού Δίνονται δύο σηµεία που περιγράφονται από διανύσµατα στην αρχή και το τέλος του χρόνου, θ 0,θ f και καθορισµένη χρονική διάρκεια : θ(0) = θ 0 θ( ) = θ f (11-3) Θεωρούµε καταρχήν ότι έχουµε µηδενικές αρχικές και τελικές ταχύτητες,!θ(0) = 0!θ( ) = 0 (11-4) Υποθέτουµε στη συνέχεια ότι το θ(t) είναι πολυώνυµο τρίτου βαθµού, ενώ η ταχύτητα δευτέρου βαθµού θ(t) = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + a 3 t 3 (11-5) 11-3

4 !θ(t) = a 1 + 2a 2 t + 3a 3 t 2 (11-6) Ο σχεδιασµός τροχιάς απαιτεί να βρεθούν οι συντελεστές a i, (i = 1,..., N), έτσι ώστε οι αρθρώσεις να ξεκινούν από τις αρχικές θέσεις και να καταλήγουν στις τελικές θέσεις, βλ. Εξ. (11-3) σε δοσµένο χρόνο και µε αρχικές και τελικές ταχύτητες αυτές των Εξ. (11-4). Η λύση δίνεται ως εξής. Σε χρόνο t = 0, ισχύει, Σε χρόνο, οι οριακές συνθήκες δίνουν, t = 0 a 0 = θ 0, a 1 = 0 t = t 2 f ( a 2 + a 3 ) = θ f θ 0 ( 2a 2 + 3a 3 ) = 0 Οι δύο αυτές εξισώσεις έχουν δύο αγνώστους, τους συγκεντρώνοντας όλα τα αποτελέσµατα, έχουµε: a 2,a 3. Επιλύοντας και a 0 = θ 0 a 1 = 0 a 2 = 3 2 ( θ f θ 0 ) a 3 = 2 3 ( θ f θ 0 ) (11-7) Παράδειγµα 11-1 Θεωρούµε ροµπότ µε ένα σύνδεσµο και µία άρθρωση, βλ. Σχ Σχήµα Ροµπότ ενός β.ε. Δίδεται ότι, θ 0 = 15!, θ f = 75! και = 3s. Oι Εξ. (11-7) δίδουν, a 0 = 15, a 1 = 0, a 2 = 20, a 3 = 4,44 Εποµένως, οι επιθυµητές τροχιές είναι: ( ) = t 2 4,44t 3 ( ) = 40t 13,3t 2 ( ) = 40 26,6t θ t θ! t!! θ t Το Σχήµα 11-1 απεικονίζει την επιθυµητή τροχιά µε συνεχή γραµµή. 11-4

5 Σχήµα Τροχιές για το Παράδειγµα Εάν υποθέσουµε ότι στον ίδιο χρόνο η άρθρωση πρέπει να κινηθεί από τις 0 στις 80 µοίρες, τότε προφανώς απαιτείται µεγαλύτερη επιτάχυνση και ταχύτητα. Πρέπει όµως αυτή η επιτάχυνση να µπορεί να επιτευχθεί µε τους υπάρχοντες επενεργητές. Εάν για τον επενεργητή της συγκεκριµένης άρθρωσης, η µέγιστη επιτάχυνση και ταχύτητα είναι αντίστοιχα!! θ max, θ! max, τότε αν!! θ max > 40deg s 2, θ! max > 30deg s 1, η τροχιά µπορεί να ακολουθηθεί. Σε αντίθετη περίπτωση πρέπει να αυξηθεί ο χρόνος. Παρατηρούµε επίσης ότι ο ελάχιστος χρόνος βρίσκεται όταν µία άρθρωση φτάσει τη µέγιστη τιµή των!! θ max ή θ! max που αντιστοιχούν στην άρθρωση αυτή. 11-5

6 Πολυώνυµα Τρίτου Βαθµού µε Ενδιάµεσα Σηµεία Η τροχιά µπορεί να έχει ενδιάµεσα σηµεία (via points) από τα οποία θα πρέπει να περάσει το ΤΣΔ του βραχίονα, χωρίς να σταµατήσει, βλ. Σχ Για να γίνει αυτό, πρέπει να έχουµε µη µηδενική αρχική και τελική ταχύτητα, βλ. Σχ Τότε:!θ(0) =! θ 0 (11-8)!θ( ) =! θ f (11-9) Σχήµα Προσεγγιστικός σχεδιασµός τροχιάς µε ενδιάµεσα σηµεία. Σχήµα Τροχιά κυβικού πολυωνύµου µε µηδενικές ταχύτητες στην αρχή και το τέλος της τροχιάς. Το γενικό πολυώνυµο τρίτου βαθµού είναι της µορφής: θ(t) = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + a 3 t 3 (11-10) Οι παράµετροι βρίσκονται χρησιµοποιώντας τις οριακές συνθήκες, όπως και πριν: a 0 = θ 0 a 1 = θ! 0 a 2 = 3 2 ( θ f θ 0 ) 2 θ0! 1! θ f (11-11) a 3 = 2 ( θ t 3 f θ 0 ) (!θ f θ! 0 ) Οι Εξ. (11-11) προϋποθέτουν µη µηδενικές κλίσεις σε t = t 0, t =. Πρέπει εποµένως να καθοριστούν τα! θ 0,! θ f στα ενδιάµεσα σηµεία. Αυτό µπορεί να γίνει µε 3 τρόπους: 1. Καθορισµός των v E,ω E για t = t 0, t =. Τότε, η ταχύτητες των αρθρώσεων υπολογίζονται από την επόµενη εξίσωση: 11-6

7 -1 v E!θ = J v ω E (11-12) Για να µπορεί να χρησιµοποιηθεί η Εξ. (11-12), θα πρέπει βέβαια ο πίνακας J v να είναι αντιστρέψιµος. Αυτό σηµαίνει ότι η τροχιά θα πρέπει να µην περνάει από ιδιόµορφα σηµεία. 2. Υπολογισµός της µέσης κλίσης. Ένας άλλος τρόπος είναι να υπολογίζεται η κλίση για την µετάβαση από σηµείο σε σηµείο και µετά να υπολογίζεται η µέση (αλγεβρικά) κλίση που αντιστοιχεί στο κάθε ενδιάµεσο σηµείο, βλ. Σχ Αυτή είναι η ευκολότερη, από πλευράς εφαρµογής, µέθοδος. Σχήµα Προσεγγιστική επιλογή ταχύτητας στα ενδιάµεσα σηµεία. 3. Εφαρµογή συνεχούς επιτάχυνσης. Με τη µέθοδο αυτή, διατηρείται συνέχεια στην επιτάχυνση, βλ. Σχ έτσι ώστε να αποφεύγονται απότοµες αλλαγές στη ροπή των κινητήρων και εποµένως και ανεπιθύµητες ταλαντώσεις. Χρησιµοποιούµε τις εξής οριακές συνθήκες:!!θ(0) =!! θ 0,!! θ( ) =!! θ f (11-13) Το αποτέλεσµα για τις παραµέτρους του πολυωνύµου είναι: a 0 = θ 0 a 1 = 1 θ f θ 0 2!! θ 0 +!! 2 ( θ f ) 6 a 2 =!! θ 0 2 (11-14)!!θ a 3 = f +!! θ 0 Σχήµα Συνέχεια επιτάχυνσης κατά το σχεδιασµό τροχιάς µε κυβικά πολυώνυµα. 11-7

8 Πολυώνυµα Ανώτερου Βαθµού Για να καθοριστούν οι επιταχύνσεις επί πλέον των θέσεων και των ταχυτήτων σε χρόνο t = t 0, t =, απαιτείται πολυώνυµο πέµπτου βαθµού, θ( t) = a 0 +a 1 t +a 2 t 2 +a 3 t 3 +a 4 t 4 +a 5 t 5 (11-15) Με δεδοµένα τα θ 0, θ! 0, θ!! 0, θ f, θ! f, θ!! f, να βρεθούν τα a i, i = 1,..., N. Προσπαθήστε το. Γενικά δεν χρησιµοποιούνται πολυώνυµα υψηλότερης τάξης γιατί οι υπολογισµοί είναι χρονοβόροι Γραµµικές Συναρτήσεις µε Παραβολικά Τµήµατα Προκειµένου να µειωθεί ο υπολογιστικός φόρτος που προκύπτει από πολυώνυµα κυβικής ή ανώτερης τάξης, εξετάζεται η χρήση γραµµικών συναρτήσεων. Εάν χρησιµοποιηθεί γραµµική παρεµβολή από την αρχική στην τελική γωνία, τότε η ταχύτητα είναι σταθερή, βλ. Σχ Στην περίπτωση όµως αυτή, η επιτάχυνση!! θ στην αρχή και το τέλος της κίνησης είναι άπειρη (πολύ µεγάλη). Το αποτέλεσµα είναι ταλάντωση του µηχανικού υποσυστήµατος και βέβαια η απόκλιση από την επιθυµητή τροχιά. Σχήµα Γραµµική παρεµβολή για σχεδιασµό τροχιάς. Για να αποφευχθούν τα ανεπιθύµητα αυτά φαινόµενα, εξοµαλύνεται η αρχή και το τέλος του τµήµατος µε σταθερή ταχύτητα, µε τµήµατα όπου η ταχύτητα αλλάζει γραµµικά και εποµένως η γωνία µεταβάλλεται παραβολικά ως προς το χρόνο, βλ. Σχ Με δεδοµένα τα θ 0, θ f,!! θ (για κάθε άρθρωση) και τον τελικό χρόνο της τροχιάς, (κοινό για όλες τις αρθρώσεις για µείωση ταλαντώσεων λόγω της εκκίνησης ή της πέδησης κάποιας άρθρωσης), βρίσκεται ο χρόνος κατά τον οποίο επιταχύνεται ή επιβραδύνεται η άρθρωση, t b (για κάθε άρθρωση διαφορετικός): Χρησιµοποιώντας το Σχ , για κάποια µεταβλητή άρθρωσης σε χρόνο t = t b ισχύει: Στο ήµισυ του χρόνου t h της τροχιάς ισχύει:! θ coast = θ h θ b t h t b =!! θt b (11-16) t h = 2 (11-17) 11-8

9 ( θ h = θ +θ 0 f ) 2 (11-18) Για το παραβολικό τµήµα που αντιστοιχεί σε σταθερή επιτάχυνση, ισχύει: θ b = θ 0 + 1!! 2 θt b 2 (11-19) Σχήµα Τυπική τροχιά µε γραµµικά και παραβολικά τµήµατα. Επιλύουµε τις Εξ. (11-16)-(11-19) ως προς t b και βρίσκουµε ( ) t b = t!! f 2 θ 2 t 2 f 4!! θ θ f θ 0 2!! θ (11-20) Ο χρόνος του παραβολικού τµήµατος t b είναι διαφορετικός για κάθε άρθρωση, όµως ο χρόνος κίνησης της κάθε άρθρωσης είναι ο ίδιος και ίσος µε τον συνολικό χρόνο της τροχιάς,. Η Εξ. (11-20) υποκρύπτει ένα περιορισµό για το µέγεθος της σταθερής επιτάχυνσης (ή επιβράδυνσης) που είναι δυνατόν να χρησιµοποιηθεί. Πράγµατι, για να είναι το υπόρριζο θετικό, πρέπει η επιτάχυνση να είναι µεγαλύτερη από µία ελάχιστη τιµή!! θ min, ( )!! θ min = 4 θ f θ 0!! θ!! θ 2 max (11-21) Το Σχ απεικονίζει την επίδραση της χρησιµοποιούµενης επιτάχυνσηςεπιβράδυνσης στη µορφή της τροχιάς. Εάν η επιτάχυνση είναι χαµηλή, τότε το τµήµα µε σταθερή ταχύτητα εξαφανίζεται. Εάν η επιτάχυνση µειωθεί περαιτέρω, τότε η τροχιά δεν είναι υλοποιήσιµη και πρέπει να αυξηθεί ο χρόνος. Η επιτάχυνση αυτή όµως πρέπει να είναι µικρότερη και από µία µέγιστη τιµή,!! θ max, που καθορίζεται από τις προδιαγραφές του επενεργητή ή του κατασκευαστή του ροµπότ. 11-9

10 !! θ >!! θ!! min θ =!! θ min Σχήµα Επίδραση της χρησιµοποιούµενης επιτάχυνσης στην τροχιά. Εάν θεωρήσουµε ως δεδοµένα τα θ f, θ 0 και!! θ max, τότε προκύπτει ο ελάχιστος χρόνος, ως ο χρόνος που χρειάζεται η πλέον αργή άρθρωση για να φθάσει στο τέλος της τροχιάς της, ( ) 4 θ f,i θ 0,i t min = max i!! θ max,i (11-22) Γραµµικές Συναρτήσεις µε Παραβολικά Τµήµατα και Ενδιάµεσα Σηµεία Εάν η τροχιά πρέπει να διέλθει από ορισµένα σηµεία (και όχι να ξεκινήσει από ένα σηµείο και να καταλήξει σε ένα άλλο), τότε ορίζονται ενδιάµεσα σηµεία από τα οποία πρέπει να περάσει κατά το δυνατόν η τροχιά, βλ. Σχ Σχήµα Τροχιά µε γραµµικά-παραβολικά τµήµατα και ενδιάµεσα σηµεία. Ορίζουµε τα εξής: θ 0, θ f αρχικό και τελικό σηµείο, θ j = [ θ 1,θ 2,,θ N ] j, ενδιάµεσο σηµείο j, 11-10

11 !! θ = επιτάχυνση στην j παραβολική περιοχή,! θ jk = σταθερή ταχύτητα για το τµήµα jk, t jk = χρόνος τµήµατος σταθερής ταχύτητας για το τµήµα jk, t k = χρόνος παραβολικού τµήµατος για το ενδιάµεσο σηµείο k, t djk = διάρκεια του τµήµατος jk. Με δεδοµένα τα θ j,!! θ j και t djk, υπολογίζονται ο χρόνος του παραβολικού τµήµατος. t k και η σταθερή ταχύτητα θ! jk ως εξής θ jk = θ k θ j t djk (11-23) ( θ jk )!!!! θ k = sgn θ! kl! Για το αρχικό τµήµα, ισχύει: +1 arg > 0 θ k, sgn = 1 arg < 0 θ t k =! kl θ! jk (11-24)!! θ k t 1 = t d12 2 t d12 ( ) 2 θ θ 2 1 θ!! 0 = θ 1 (11-25) θ 1 ενώ για το τελικό τµήµα: 2 t n = t d( n 1)n t d n 1 ( )n ( ) 2 θ θ n n 1 θ!! n = θ f (11-26) θ n Ψευδο-ενδιάµεσα σηµεία Εάν η τροχιά θ πρέπει να περάσει ακριβώς από το σηµείο θ j, τότε χρησιµοποιούµε ψευδο-ενδιάµεσα σηµεία, έτσι ώστε να υπάρχει τµήµα σταθερής ταχύτητας που περνάει ακριβώς από το σηµείο που ενδιαφέρει, βλ. Σχ Σχήµα Καθορισµός δύο ψευδο-ενδιάµεσων σηµείων έτσι ώστε η τροχιά να περάσει από το ενδιάµεσο σηµείο θ j

12 11-3 Σχεδιασµός Καρτεσιανών Τροχιών Ένα πρόβληµα µε το σχεδιασµό τροχιάς στον χώρο των αρθρώσεων είναι ότι αν και η τροχιά περνάει από τα επιθυµητά σηµεία, παρόλα αυτά, η τροχιά στον Καρτεσιανό χώρο µπορεί να είναι όπως φαίνεται στο Σχ α, δηλαδή δεν υπάρχει βεβαιότητα για το είδος της χωρικής τροχιάς που θα προκύψει. Εάν το ΤΣΔ πρέπει να ακολουθήσει ορισµένη πορεία στο χώρο (π.χ. κατά τη διάρκεια ηλεκτροσυγκόλλησης), τότε ο σχεδιασµός στον χώρο των αρθρώσεων δεν είναι επαρκής. Το πρόβληµα αυτό αντιµετωπίζεται µε το σχεδιασµό τροχιών στον Καρτεσιανό χώρο, Σχ β. Ένα πλεονέκτηµα αυτού του σχεδιασµού είναι ότι η Καρτεσιανή πορεία µεταξύ των ενδιάµεσων σηµείων, µπορεί να καθοριστεί. Το µειονέκτηµα είναι η απαίτηση για επίλυση της αντίστροφης κινηµατικής κατά την διάρκεια της κίνησης (run-time). (α) (β) Σχήµα Σχεδιασµός τροχιάς. Αριστερά, στο χώρο των αρθρώσεων. Δεξιά, στον Καρτεσιανό χώρο. Το Σχ απεικονίζει τη µεθοδολογία σχεδιασµού Καρτεσιανών τροχιών. Αυτή προϋποθέτει τη µετατροπή των πινάκων S T T,A σε διάνυσµα στήλης X A έτσι ώστε να είναι δυνατή η παρεµβολή µε πολυώνυµα ή άλλο τρόπο. Σχήµα Μεθοδολογία σχεδιασµού Καρτεσιανών τροχιών Καρτεσιανή Ευθεία Κίνηση Για απλότητα, θεωρούµε ότι η επιθυµητή πορεία είναι ευθύγραµµη. Θέλουµε επίσης να αλλάζει ο προσανατολισµός του ΤΣΔ οµαλά. Οι προδιαγραφές για την πορεία δίνονται µε πίνακες S T T,A, S T T,B, σε διάφορα σηµεία του χώρου. Επειδή όµως δεν είναι δυνατή η παρεµβολή σε πίνακες, αυτοί µετατρέπονται σε Καρτεσιανά «διανύσµατα» στήλης X, διαστάσεων 6x

13 Για τα ενδιάµεσα σηµεία A, B,, εξισώνουµε τον δεδοµένο πίνακα, π.χ. τον S T T,A, µε πίνακα στον οποίο ο προσανατολισµός περιγράφεται µε χρήση του ισοδύναµου ζεύγους άξονα γωνίας και υπολογίζουµε κινηµατικά τα στοιχεία του άξονα και της γωνίας. Για τη θέση δεν χρειάζεται να κάνουµε τίποτα. R A! S T T,A = 0 0 0! b A R A (φ A )! = ! b A 1 (11-27) Τότε, το διάνυσµα στήλης που αντιστοιχεί στο σηµείο Α είναι το εξής, b A X A = = b x,b y,b z,k x φ,k y φ,k z φ k A φ A A T (11-28) Πρέπει να σηµειωθεί ότι δεν υπάρχει µοναδική λύση για τον ισοδύναµο άξονα και τη γωνία. Για παράδειγµα, ισχύει ότι, R K B ( ) = R K B φ B ± m 360! φ B ( ), m = 1,2,... (11-29) Έχοντας υπολογίσει το διάνυσµα X A για κάποιο σηµείο Α, επιλέγουµε τα στοιχεία k B, φ B έτσι ώστε: k A φ A k B φ B = min (11-30) Με τον τρόπο αυτό, αποφεύγονται οι µεγάλες µεταβολές στον προσανατολισµό κατά τη διάρκεια των παρεµβολών και η κίνηση είναι οµαλή. Για το σχεδιασµός τροχιάς που αντιστοιχεί σε ευθύγραµµη κίνηση στον Καρτεσιανό χώρο, χρησιµοποιούνται γραµµικά και παραβολικά τµήµατα µε τους ίδιους χρόνους παρεµβολής για όλα τα 6 καρτεσιανά στοιχεία. Εάν οι χρόνοι παρεµβολής δεν είναι ίσοι, τότε η πορεία δεν θα είναι ευθύγραµµη. Με τον τρόπο αυτό υπολογίζεται το X (t). Επειδή βέβαια το ροµπότ αντιλαµβάνεται µόνο εντολές για τους επενεργητές και όχι Καρτεσιανές εντολές, απαιτείται να υπολογισθούν τροχιές θd! χρησιµοποιώντας αντίστροφη κινηµατική. Αυτές όµως είναι τέτοιες που οδηγούν το ΤΣΔ στην απαιτούµενη Καρτεσιανή πορεία και όχι σε κάποια πορεία ορισµένη στο χώρο των αρθρώσεων. Αυτή η διαδικασία, όπως και ο υπολογισµός των ταχυτήτων και επιταχύνσεων, στο χώρο των αρθρώσεων, παρουσιάζεται συνοπτικά στην Εξ. (11-31), επιλυση X ( t) T( t) θ! αντιστροϕηςκινηµατικης d!θ d ( t) = θ d ( t) θ d ( t Δt), ( η µε Ιακωβιανη) θ!!θ d ( t) =! d t Δt ( ) θ! d ( t Δt) Δt προς κατευθυντή (11-31) 11-13

14 Παράδειγµα 11-2 Εξετάζουµε το σχεδιασµό τροχιάς για πορεία του ΤΣΔ ενός βραχίονα 2 β.ε. σε ευθεία γραµµή, βλ. Σχ Σχήµα Κίνηση ΤΣΔ βραχίονα 2 β.ε. σε ευθεία από ένα αρχικό σε ένα τελικό σηµείο. Το αρχικό σηµείο Α, το τελικό Β και ο χρόνος της τροχιάς δίνονται ως εξής, X A = X 0 = x 0 y 0 X B = X f = x f y f = γνωστο Θέλουµε να υπολογίσουµε την τροχιά X t αρθρώσεων, θ 1,d ( t) και θ 2,d ( t). ( ) και την αντίστοιχη τροχιά στο χώρο των Επιλέγουµε το χρόνο παρεµβολής t b ίδιο για τις κινήσεις σε x και y µε κάποιο εµπειρικό τρόπο, π.χ. ίσο µε το 10% του. Εναλλακτικά, µε αντίστροφη κινηµατική βρίσκουµε τα θ 0,θ f και χρησιµοποιούµε την Εξ. (11-32) µε κάποια προσεγγιστική επιτάχυνση: ( ) t!! t b = max f i=1,2 2 θ 2 i t 2 f 4!! θ i θ i, f θ i,0 2!! θ i (11-32) Χρησιµοποιώντας γραµµικά και παραβολικά τµήµατα, έχουµε: x( t) = y( t) = x !!xt 2 x !!xt 2 b +!!xt b ( t t b ) t b t t b x f 1 2!!x ( t) 2 t b t y !!yt 2 y !!yt 2 b +!!yt b ( t t b ) t b t t b y f 1 2!!y ( t) 2 t b t 0 t t b 0 t t b (11-33) (11-34) 11-14

15 Οι επιταχύνσεις!!x και!!y πρέπει να υπολογιστούν: x( 2) = x 0 + x f 2 = x !!xt t 2 +!!xt f b 2 t b!!x = " (11-35) Παρατηρήστε ότι το!!xt b είναι η σταθερή ταχύτητα στο διάστηµα t b t b. Οµοίως και για την!!y. Η τροχιά στον Καρτεσιανό χώρο είναι: ( ) = x( t) y( t) X t (11-36) Το Σχ απεικονίζει τις τροχιές x και y καθώς και την πορεία στον Καρτεσιανό χώρο x-y. Σχήµα Tροχιές x και y και h πορεία στον Καρτεσιανό χώρο x-y. Τέλος, υπολογίζουµε κατά τη διάρκεια της κίνησης, (run time), της εντολές προς τους επενεργητές των αρθρώσεων: θ 2,d x ( t) 2 t = ± cos 1 ( ) + y 2 ( t) l l 2 2l 1 l 2 (11-37) θ 1,d ( t) = A tan2 y( t), x t ( ( )) A tan2( k 2,k 1 ) (11-38) 11-15

16 µε k 1 = l 1 + l 2 c 2 k 2 = l 2 c 2 ή θ 1,d ( t) = A tan2 k 1 y t ( ( ) k 2 x( t),k 1 x( t) + k 2 y( t) ) (11-39) Προβλήµατα µε Kαρτεσιανές Πορείες Υπάρχουν τρεις τύποι προβληµάτων που πρέπει να λαµβάνονται σοβαρά υπόψη. Πρόβληµα 1. Μη προσβάσιµα ενδιάµεσα σηµεία. Εάν ορίζουµε πορείες στον Kαρτεσιανό χώρο, χωρίς να λαµβάνουµε υπόψη το ροµπότ που προγραµµατίζουµε, τότε µπορεί η τροχιά που θέλουµε να µην είναι δυνατή λόγω του ότι διέρχεται από σηµεία που δεν ανήκουν στο χώρο εργασίας, βλ. Σχ Σχήµα Μερικά σηµεία της πορείας δεν ανήκουν στο χώρο εργασίας. Λύση: Προειδοποίηση στον χειριστή για αδυναµία εκτέλεσης τροχιάς. Πρόβληµα 2. Υψηλοί ρυθµοί µεταβολής των γωνιών των αρθρώσεων κοντά σε ιδιοµορφίες. Ισχύει!q = J 1!x. Όµως, εάν ορίσουµε Καρτεσιανές ταχύτητες χωρίς να λάβουµε υπόψη τις δυνατότητες του ροµπότ, τότε εάν η πορεία περνάει κοντά από ιδιόµορφο σηµείο, ο ρυθµός µεταβολής των µεταβλητές των αρθρώσεων γίνεται πολύ υψηλός µε απoτέλεσµα αδυναµία παρακολούθησης της τροχιάς και µεγάλα σφάλµατα, βλ. Σχ Λύση: Κλιµακωτή ελάττωση των ταχυτήτων, µε παράλληλο όµως αποτέλεσµα την αποµάκρυνση από τις προδιαγραφές της τροχιάς, όχι όµως και της πορείας. Σχήµα Κίνηση ΤΣΔ κοντά σε ιδιόµορφο σηµείο

17 Πρόβληµα 3. Εκκίνηση και στόχος προσβάσιµα µέσω διαφορετικών λύσεων. Εάν το ροµπότ του Σχ είναι τοποθετηµένο σε οριζόντια βάση, τότε η επιθυµητή διαµόρφωση στο τέλος της κίνησης είναι αδύνατη. Σχήµα Αδυναµία κίνησης λόγω εµποδίων και αλλαγή διαµόρφωσης. Λύση: Προειδοποίηση προς χειριστή και προγραµµατισµός της κίνησης έτσι ώστε το ροµπότ να ακολουθεί άλλη κινηµατική λύση

Σχεδίαση τροχιάς. (α) (β) (γ) (δ) Σχήµα 2.5

Σχεδίαση τροχιάς. (α) (β) (γ) (δ) Σχήµα 2.5 Σχεδίαση τροχιάς Η πιο απλή κίνηση ενός βραχίονα είναι από σηµείο σε σηµείο. Με την µέθοδο αυτή το ροµπότ κινείται από µία αρχική θέση σε µία τελική θέση χωρίς να µας ενδιαφέρει η ενδιάµεση διαδροµή που

Διαβάστε περισσότερα

Οµάδα Ασκήσεων #3-Λύσεις

Οµάδα Ασκήσεων #3-Λύσεις Οµάδα Ασκήσεων #3-Λύσεις Πρόβληµα # (α) Ο βραχίονας είναι επίπεδος. Μπορούµε να βρούµε τον προσπελάσιµο χώρο εργασίας µε µια βήµα-προς-βήµα προσέγγιση. Πρώτα βρίσκουµε το χώρο που καλύπτεται όταν η άρθρωση-3

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Ρομποτική

Εισαγωγή στην Ρομποτική Τμήμα Μηχανολογίας Τ.Ε.Ι. Κρήτης Εισαγωγή στην Ρομποτική 1 Γενική περιγραφή ρομποτικού βραχίονα σύνδεσμοι αρθρώσεις αρπάγη Περιστροφική Πρισματική Βάση ρομποτικού βραχίονα 3 Βασικές ρομποτικές αρθρώσεις

Διαβάστε περισσότερα

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x A3. ΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ. εύτερη παράγωγος.παραβολική προσέγγιση ή επέκταση 3.Κυρτή 4.Κοίλη 5.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Σηµεία καµπής ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7. εύτερη πλεγµένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισµός

Διαβάστε περισσότερα

Δυναµική των Ροµποτικών Βραχιόνων. Κ. Κυριακόπουλος

Δυναµική των Ροµποτικών Βραχιόνων. Κ. Κυριακόπουλος Δυναµική των Ροµποτικών Βραχιόνων Κ. Κυριακόπουλος Ροµποτική Αρχιτεκτονική: η Δυναµική Περιβάλλον u Ροµποτική Δυναµική q,!q Ροµποτική Κινηµατική Θέση, Προσανατολισµός και αλληλεπίδραση Η δυναµική ασχολείται

Διαβάστε περισσότερα

3.6 Ευθεία και Αντίστροφη υναµική

3.6 Ευθεία και Αντίστροφη υναµική 3.6 Ευθεία και Αντίστροφη υναµική Στη δυναµική µας απασχολούν δύο ειδών προβλήµατα, το ευθύ δυναµικό πρόβληµα και το αντίστροφο δυναµικό πρόβληµα. Το αντίστροφο πρόβληµα αφορά στον προσδιορισµό των ροπών

Διαβάστε περισσότερα

3. ΥΝΑΜΙΚΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΩΝ ΒΡΑΧΙΟΝΩΝ

3. ΥΝΑΜΙΚΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΩΝ ΒΡΑΧΙΟΝΩΝ 3. ΥΝΑΜΙΚΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΩΝ ΒΡΑΧΙΟΝΩΝ Η δυναµική ασχολείται µε την εξαγωγή και τη µελέτη του δυναµικού µοντέλου ενός ροµποτικού βραχίονα. Το δυναµικό µοντέλο συνίσταται στις διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν

Διαβάστε περισσότερα

Παρεµβολή και Προσέγγιση Συναρτήσεων

Παρεµβολή και Προσέγγιση Συναρτήσεων Κεφάλαιο 4 Παρεµβολή και Προσέγγιση Συναρτήσεων 41 Παρεµβολή µε πολυώνυµο Lagrage Εστω ότι γνωρίζουµε τις τιµές µιας συνάρτησης f (x), f 0, f 1,, f ν σε σηµεία x 0, x 1,, x ν, και Ϲητάµε να υπολογίσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Κινηµατική Οµάδα Γ.

1.1. Κινηµατική Οµάδα Γ. 1.1. Οµάδα Γ. 1.1.21. Πληροφορίες από το διάγραµµα θέσης-χρόνου..ένα σώµα κινείται ευθύγραµµα και στο διάγραµµα βλέπετε τη θέση του σε συνάρτηση µε το χρόνο. i) Βρείτε την κλίση στο διάγραµµα x-t στις

Διαβάστε περισσότερα

µε το µέτρο του µεγέθους. ii. Στη γλώσσα που χρησιµοποιούµε στην καθηµερινή µας ζωή ορίζουµε ως µέση ταχύτητα το

µε το µέτρο του µεγέθους. ii. Στη γλώσσα που χρησιµοποιούµε στην καθηµερινή µας ζωή ορίζουµε ως µέση ταχύτητα το Ερωτήσεις βιβλίου. Συµπλήρωσε τις λέξεις που λείπουν από το παρακάτω κείµενο έτσι ώστε οι προτάσεις που προκύπτουν να είναι επιστηµονικά ορθές: i. Η θέση ενός σώµατος καθορίζεται σε σχέση µε ένα σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004 Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Θέµα 1 (25 µονάδες) Ένα εκκρεµές µήκους l κρέµεται έτσι ώστε η σηµειακή µάζα να βρίσκεται ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ - ΣΥΝΟΨΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ - ΣΥΝΟΨΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ - Π. ΑΣΒΕΣΤΑΣ E MAIL: pasv@uniwa.gr Εφαρμογές ρομποτικής στην Ιατρική Κλασσική χειρουργική Ορθοπεδικές επεμβάσεις Νευροχειρουργική Ακτινοθεραπεία Αποκατάσταση φυσιοθεραπεία 2 Βασικοί

Διαβάστε περισσότερα

υναµ α ι µ κή τ ων Ρ οµ ο π µ ο π τ ο ικών Βραχιόνων

υναµ α ι µ κή τ ων Ρ οµ ο π µ ο π τ ο ικών Βραχιόνων υναµική των Ροµποτικών Βραχιόνων Ροµποτική Αρχιτεκτονική: η υναµική u Ροµποτική υναµική q, q& Ροµποτική Κινηµατική Περιβάλλον Θέση, Προσανατολισµός & και αλληλε ίδραση Η δυναµική ασχολείται µε την εξαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 4 Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε µε σαφήνεια και συντοµία. Η ορθή πλήρης απάντηση θέµατος εκτιµάται περισσότερο από τη

Διαβάστε περισσότερα

5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας

5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας 5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρηµα Κάθε ευθεία έχει εξίσωση της µορφής: Ax + By +Γ= 0, µε Α 0 ηβ 0 () και αντιστρόφως κάθε εξίσωση της µορφής () παριστάνει ευθεία γραµµή.

Διαβάστε περισσότερα

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ =

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ = Τ.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 1 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ MQN ΣΕ ΟΚΟ ιδάσκων: Αριστοτέλης Ε. Χαραλαµπάκης Εισαγωγή Με το παράδειγµα αυτό αναλύεται

Διαβάστε περισσότερα

Α. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής

Α. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής Μηχανική στερεού σώµατος, Ροπή ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ Α. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής Έστω ένα στερεό που δέχεται στο άκρο F Α δύναµη F όπως στο σχήµα. Στο Ο διέρχεται άξονας περιστροφής κάθετος στο στερεό

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 10, Γ. ΚΟΡ ΟΥΛΗΣ, ιανύσµατα 1/6. = + tβ r. zk και εξισώνουµε τις συνιστώσες των διανυσµάτων x(t) = 1+ 2t, y(t) = 1+ 3t, z(t) = 4 + t

ΦΥΕ 10, Γ. ΚΟΡ ΟΥΛΗΣ, ιανύσµατα 1/6. = + tβ r. zk και εξισώνουµε τις συνιστώσες των διανυσµάτων x(t) = 1+ 2t, y(t) = 1+ 3t, z(t) = 4 + t ΦΥΕ 10, Γ. ΚΟΡ ΟΥΛΗΣ, ιανύσµατα 1/6 ) Ευθεία Ευθεία διέρχεται από το σηµείο Α µε διάνυσµα θέσης = i j+ 4k το διάνυσµα β = 2i + 3j + k. και είναι παράλληλη προς Α = + tβ α β ιανυσµατική εξίσωση: Εισάγουµε

Διαβάστε περισσότερα

p& i m p mi i m Με τη ίδια λογική όπως αυτή που αναπτύχθηκε προηγουµένως καταλήγουµε στην έκφραση της κινητικής ενέργειας του ρότορα i,

p& i m p mi i m Με τη ίδια λογική όπως αυτή που αναπτύχθηκε προηγουµένως καταλήγουµε στην έκφραση της κινητικής ενέργειας του ρότορα i, Κινητική Ενέργεια Κινητήρων Περνάµε τώρα στη συνεισφορά κινητικής ενέργειας λόγω της κίνησης & ϑ m του κινητήρα που κινεί την άρθρωση µε q& και, προφανώς όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήµα, ευρίσκεται στον

Διαβάστε περισσότερα

9. ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΛΛΗΛΕΠΙ ΡΑΣΗΣ ΜΕ ΤΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ. Εξετάζουµε διάφορα µοντέλα ελέγχου αλληλεπίδρασης του βραχίονα µε το περιβάλλον.

9. ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΛΛΗΛΕΠΙ ΡΑΣΗΣ ΜΕ ΤΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ. Εξετάζουµε διάφορα µοντέλα ελέγχου αλληλεπίδρασης του βραχίονα µε το περιβάλλον. 9. ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΛΛΗΛΕΠΙ ΡΑΣΗΣ ΜΕ ΤΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ 9.0 Εισαγωγικά Εξετάζουµε διάφορα µοντέλα ελέγχου αλληλεπίδρασης του βραχίονα µε το περιβάλλον. 9.1 Έλεγχος «Συµµόρφωσης» ή «Υποχωρητικότητας» (Comliance Control)

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1 ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ : (α) Ταχύτητα ΚΜ: u KM = mu + mu m = u + u Εποµένως u = u u + u = u u, u = u u + u = u u (β) Διατήρηση ορµής στο ΚΜ: mu + mu = mv + mv u + u = V + V = 0 V = V

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΕΣ ΡΟΠΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΙΝΗΤΗΡΩΝ

Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΕΣ ΡΟΠΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΙΝΗΤΗΡΩΝ Αν είναι γνωστή η συμπεριφορά των μαγνητικών πεδίων στη μηχανή, είναι δυνατός ο προσεγγιστικός προσδιορισμός της χαρακτηριστικής ροπής-ταχύτητας του επαγωγικού κινητήρα Όπως είναι γνωστό η επαγόμενη ροπή

Διαβάστε περισσότερα

Για τις παρακάτω 3 ερωτήσεις, να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Για τις παρακάτω 3 ερωτήσεις, να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 007 Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµα ο ΦΥΣΙΚΗ Για τις παρακάτω 3 ερωτήσεις, να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.. Σε ένα σώµα

Διαβάστε περισσότερα

Συνάρτηση f, λέγεται η διαδικασία µε βάση την. Παρατηρήσεις - Σχόλια f

Συνάρτηση f, λέγεται η διαδικασία µε βάση την. Παρατηρήσεις - Σχόλια f Συνάρτηση f, λέγεται η διαδικασία µε βάση την οποία σε κάθε στοιχείο χ ενός συνόλου Α αντιστοιχούµε ακριβώς ένα στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β. Το σύνολο Α λέγεται πεδίο ορισµού ( ή σύνολο ορισµού ) της

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων.

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων. 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Καμπυλόγραμμες Κινήσεις Επιμέλεια: Αγκανάκης Α. Παναγιώτης, Φυσικός http://phyiccore.wordpre.com/ Βασικές Έννοιες Μέχρι στιγμής έχουμε μάθει να μελετάμε απλές κινήσεις,

Διαβάστε περισσότερα

1ο ιαγώνισµα Α Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 20 εκέµβρη 2015 Κινηµατική Υλικού Σηµείου. Ενδεικτικές Λύσεις. Θέµα Α

1ο ιαγώνισµα Α Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 20 εκέµβρη 2015 Κινηµατική Υλικού Σηµείου. Ενδεικτικές Λύσεις. Θέµα Α Α.1. 1ο ιαγώνισµα Α Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 2 εκέµβρη 215 Κινηµατική Υλικού Σηµείου Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α Οταν η κίνηση είναι ευθύγραµµη οµαλή, το κινητό διανύει (γ) ίσες µετατοπίσεις σε ίσους

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ. 1 Κ Ι Ν Η Σ Ε Ι Σ

Κ ε φ. 1 Κ Ι Ν Η Σ Ε Ι Σ Κ ε φ. 1 Κ Ι Ν Η Σ Ε Ι Σ Χρήσιμες έννοιες Κίνηση (σχετική κίνηση) ενός αντικειμένου λέγεται η αλλαγή της θέσης του ως προς κάποιο σύστημα αναφοράς. Τροχιά σώματος ονομάζουμε τη νοητή γραμμή που δημιουργεί

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος ενός βαθµού ελευθερίας ροµποτικού συστήµατος

Έλεγχος ενός βαθµού ελευθερίας ροµποτικού συστήµατος Έλεγχος ενός βαθµού ελευθερίας ροµποτικού συστήµατος Το βασικό σχήµα ελέγχου ενός βαθµού ελευθερίας (µιάς άρθρωσης, ενός τροχού, κλπ) ροµποτικού συστήµατος φαίνεται στο Σχήµα 1. Επιθυµητή θέση Ελεγκτής

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ Διαλ Σύνοψη εννοιών. Κινηµατική: Περιγραφή της κίνησης ενός σώµατος. Θέση και µετατόπιση Ταχύτητα Μέση Στιγµιαία Επιτάχυνση Μέση

ΦΥΣ Διαλ Σύνοψη εννοιών. Κινηµατική: Περιγραφή της κίνησης ενός σώµατος. Θέση και µετατόπιση Ταχύτητα Μέση Στιγµιαία Επιτάχυνση Μέση Κινηµατική ΦΥΣ 111 - Διαλ.04 2 Σύνοψη εννοιών Κινηµατική: Περιγραφή της κίνησης ενός σώµατος Θέση και µετατόπιση Ταχύτητα Μέση Στιγµιαία Επιτάχυνση Μέση Στιγµιαία Κίνηση - Τροχιές ΦΥΣ 111 - Διαλ.04 3!

Διαβάστε περισσότερα

Οµάδα Ασκήσεων #1-Λύσεις

Οµάδα Ασκήσεων #1-Λύσεις Οµάδα Ασκήσεων #-Λύσεις Πρόβληµα # (α) (β) Τουλάχιστον Β.Ε. (Βαθµοί Ελευθερίας) χρειάζονται για αυθαίρετη τοποθέτηση στο χώρο (x,y,z) και επιπλέον Β.Ε. απαιτούνται για αυθαίρετο προσανατολισµό (στη δεδοµένη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. Μελέτη ηλεκτρικών δικτύων στην Ηµιτονική Μόνιµη Κατάσταση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. Μελέτη ηλεκτρικών δικτύων στην Ηµιτονική Μόνιµη Κατάσταση 26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Μελέτη ηλεκτρικών δικτύων στην Ηµιτονική Μόνιµη Κατάσταση 0. ) Γενικά για την Ηµιτονική Μόνιµη Κατάσταση ( Η.Μ.Κ.) Η µελέτη ενός ηλεκτρικού δικτύου γίνεται πρώτιστα στο στο πεδίο του χρόνου.

Διαβάστε περισσότερα

Φυσικά μεγέθη. Φυσική α λυκείου ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Όλα τα φυσικά μεγέθη τα χωρίζουμε σε δύο κατηγορίες : Α. τα μονόμετρα. Β.

Φυσικά μεγέθη. Φυσική α λυκείου ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Όλα τα φυσικά μεγέθη τα χωρίζουμε σε δύο κατηγορίες : Α. τα μονόμετρα. Β. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Φυσικά μεγέθη Όλα τα φυσικά μεγέθη τα χωρίζουμε σε δύο κατηγορίες : Α. τα μονόμετρα Β. τα διανυσματικά Μονόμετρα ονομάζουμε τα μεγέθη εκείνα τα οποία για να τα γνωρίζουμε χρειάζεται να ξέρουμε

Διαβάστε περισσότερα

400 = t2 (2) t = 15.1 s (3) 400 = (t + 1)2 (5) t = 15.3 s (6)

400 = t2 (2) t = 15.1 s (3) 400 = (t + 1)2 (5) t = 15.3 s (6) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-112: Φυσική Ι Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Γ. Καφεντζής Πρώτη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις Ασκηση 1. Θεωρούµε ως χρονικό σηµείο αναφοράς τη στιγµή που

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ (Ε.Ο.Μ.Κ.) Με διάγραμμα :

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ (Ε.Ο.Μ.Κ.) Με διάγραμμα : Νόμος Νόμοι Πρότυπο ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ (Ε.Ο.Μ.Κ.) Πρότυπο ευθύγραμμης ομαλά μεταβαλλόμενης κίνησης (Ε.Ο.Μ.Κ) Όταν η επιτάχυνση ενός

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κεφάλαιο M4 Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κινηµατική σε δύο διαστάσεις Θα περιγράψουµε τη διανυσµατική φύση της θέσης, της ταχύτητας, και της επιτάχυνσης µε περισσότερες λεπτοµέρειες. Θα µελετήσουµε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ A. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταβολές 3.(Οριακός) ρυθµός µεταβολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI. Λογισµός των µεταβολών. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 2/2000

Μηχανική ΙI. Λογισµός των µεταβολών. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 2/2000 Τµήµα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου 2/2000 Μηχανική ΙI Λογισµός των µεταβολών Προκειµένου να αντιµετωπίσουµε προβλήµατα µεγιστοποίησης (ελαχιστοποίησης) όπως τα παραπάνω, όπου η ποσότητα που θέλουµε να µεγιστοποιήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

v = r r + r θ θ = ur + ωutθ r = r cos θi + r sin θj v = u 1 + ω 2 t 2

v = r r + r θ θ = ur + ωutθ r = r cos θi + r sin θj v = u 1 + ω 2 t 2 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΦΥΣΙΚΉΣ Ι ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΕΙΑΣ, 9 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 019 ΚΏΣΤΑΣ ΒΕΛΛΙΔΗΣ, cvellid@phys.uoa.r, 10 77 6895 ΘΕΜΑ 1: Σώµα κινείται µε σταθερή ταχύτητα u κατά µήκος οριζόντιας ράβδου που περιστρέφεται

Διαβάστε περισσότερα

4. ύο αυτοκίνητα Α, Β κινούνται ευθύγραµµα και οµαλά σε ένα τµήµα της Εγνατίας οδού σε παράλληλες

4. ύο αυτοκίνητα Α, Β κινούνται ευθύγραµµα και οµαλά σε ένα τµήµα της Εγνατίας οδού σε παράλληλες 1. Ένα αυτοκίνητο κινείται κατά µήκος ενός ευθύγραµµου οριζόντιου δρόµου, ο οποίος θεωρούµε ότι ταυτίζεται µε τον οριζόντιο άξονα x'x. Το αυτοκίνητο ξεκινά από τη θέση x o = +4m και κινούµενο ευθύγραµµα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση Περιεχόµενα Κεφαλαίου 10 Γωνιακές Ποσότητες Διανυσµατικός Χαρακτήρας των Γωνιακών Ποσοτήτων Σταθερή γωνιακή Επιτάχυνση Ροπή Δυναµική της Περιστροφικής Κίνησης, Ροπή και

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Καθηγητής κ. Σ. Νατσιάβας Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων Στοιχεία Φοιτητή Ονοματεπώνυμο: Νατσάκης Αναστάσιος Αριθμός Ειδικού Μητρώου:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 5 Προσέγγιση Συναρτήσεων. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών,

Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 5 Προσέγγιση Συναρτήσεων. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Αριθµητική Ανάλυση Ενότητα 5 Προσέγγιση Συναρτήσεων Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 1 / 55 Παρεµβολή Ας υποθέσουµε ότι δίνονται

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιασμός Τροχιάς Ρομποτικών Χειριστών

Σχεδιασμός Τροχιάς Ρομποτικών Χειριστών Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχ/κών και Μηχ/κών Υπολογιστών, Ε.Μ.Π., Ακαδημαϊκό Έτος 00809, 7ο Εξάμηνο Μάθημα: Ρομποτική Ι Αυτόματος Έλεγχος Ρομπότ Κων/νος Τζαφέστας Τομέας Σημάτων, Ελέγχου & Ρομποτικής Σχολή Ηλεκτρ.

Διαβάστε περισσότερα

όπου Μ η µάζα της Γης την οποία θεωρούµε σφαίρα οµογενή, G η παγκόσµια σταθερά της βαρύτητας και L!

όπου Μ η µάζα της Γης την οποία θεωρούµε σφαίρα οµογενή, G η παγκόσµια σταθερά της βαρύτητας και L! Είναι γνωστό ότι, όταν ένα σώµα κινείται µέσα στο βαρυτικό πεδίο της Γης υπό την επίδραση µόνο της Νευτώνειας έλξεως, η τροχιά που διαγράφει το κέντρο µάζας του είναι επίπεδη και µάλιστα το επίπεδό της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση της µορφής α + β = γ όπου α + β 0 ( α, β όχι συγχρόνως 0) παριστάνει ευθεία. (Η εξίσωση λέγεται : ΓΡΑΜΜΙΚΗ) ΕΙ ΙΚΑ γ Αν α = 0 και β 0έχουµε =. ηλαδή µορφή = c.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Έργο-Ενέργεια Ασκήσεις Έργου-Ενέργειας Θεώρηµα Μεταβολής της Κινητικής Ενέργειας. ΘΜΚΕ Μεταβλητή δύναµη και κίνηση

Έργο-Ενέργεια Ασκήσεις Έργου-Ενέργειας Θεώρηµα Μεταβολής της Κινητικής Ενέργειας. ΘΜΚΕ Μεταβλητή δύναµη και κίνηση 2.2. Ασκήσεις Έργου-Ενέργειας. 2.2.1. Θεώρηµα Μεταβολής της Κινητικής Ενέργειας. ΘΜΚΕ. Ένα σώµα µάζας m=2kg ηρεµεί σε οριζόντιο επίπεδο. Σε µια στιγµή δέχεται την επίδραση οριζόντιας δύνα- µης, το µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις αντιστοίχισης

Ερωτήσεις αντιστοίχισης Ερωτήσεις αντιστοίχισης 1. ** Να αντιστοιχίσετε κάθε ευθεία που η εξίσωσή της βρίσκεται στη του πίνακα (Ι) µε τον συντελεστή της που βρίσκεται στη, συµπληρώνοντας τον πίνακα (ΙΙ) (α, β 0). 1. ε 1 : y =

Διαβάστε περισσότερα

Καµπύλες στον R. σ τελικό σηµείο της σ. Το σ. σ =. Η σ λέγεται διαφορίσιµη ( αντιστοίχως

Καµπύλες στον R. σ τελικό σηµείο της σ. Το σ. σ =. Η σ λέγεται διαφορίσιµη ( αντιστοίχως Καµπύλες στον R 9. Ορισµός Μια καµπύλη στον R είναι µια συνεχής συνάρτηση σ : Ι R R όπου Ι διάστηµα ( συνήθως κλειστό και φραγµένο ) στον R. Συνήθως φανταζόµαστε την µεταβλητή t Ι ως τον χρόνο και την

Διαβάστε περισσότερα

i) Σε κάθε πλήρη περιστροφή το κινητό Α διαγράφει τόξο ίσου µήκους µε το τόξο που διαγράφει το κινητό Β

i) Σε κάθε πλήρη περιστροφή το κινητό Α διαγράφει τόξο ίσου µήκους µε το τόξο που διαγράφει το κινητό Β Φύλλο Εργασίας: ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΟΜΑΛΗΣ ΚΥΚΛΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ Λίγη γεωµετρία πριν ξεκινήσουµε: Σε κύκλο ακτίνας, η επίκεντρη γωνία Δθ µετρηµένη σε ακτίνια (rad) και το µήκος του τόξου Δs στο οποίο βαίνει, συνδέονται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Π. Ασβεστάς Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Βιοϊατρικής Πανεπιστήμιο Δυτικής Αττικής

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Π. Ασβεστάς Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Βιοϊατρικής Πανεπιστήμιο Δυτικής Αττικής ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ Π. Ασβεστάς Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Βιοϊατρικής Πανεπιστήμιο Δυτικής Αττικής E-mail: pasv@uniwa.gr ΑΣΚΗΣΗ 1 1. Έστω δύο 3Δ καρτεσιανά συστήματα συντεταγμένων,

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ.

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Ν. Ε. Ηλιού Επίκουρος Καθηγητής Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστηµίου Θεσσαλίας Γ.. Καλιαµπέτσος Επιστηµονικός

Διαβάστε περισσότερα

Α) ΕΝΑ ΚΙΝΗΤΟ. 1) Πληροφορίες από διάγραμμα x-t.

Α) ΕΝΑ ΚΙΝΗΤΟ. 1) Πληροφορίες από διάγραμμα x-t. Α) ΕΝΑ ΚΙΝΗΤΟ 1) Πληροφορίες από διάγραμμα x-t Ένα κινητό κινείται ευθύγραμμα και στο σχήμα φαίνεται η μετατόπισή του σε συνάρτηση με τον χρόνο Ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις είναι σωστές και ποιες

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Μπαρακλιανός τηλ ( ) Κώστας Τζάλλας τηλ ( ) Παραγγελίες : τηλ.

Γιώργος Μπαρακλιανός τηλ ( ) Κώστας Τζάλλας τηλ ( ) Παραγγελίες : τηλ. Γιώργος Μπαρακλιανός τηλ. 69377886 ( mparakgeo@gmail.com ) Κώστας Τζάλλας τηλ. 69733004 ( tzallask@gmail.com ) Παραγγελίες : τηλ. 5407604 Email : mparakgeo@gmail.com Messenger : Giorgos Mparaklianos Πρόλογος

Διαβάστε περισσότερα

Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια

Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Σχολη Θετικων Επιστηµων, Τµηµα Μαθηµατικων, Τοµεας Γεωµετριας Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια Πρώτη Εργασία, 2018-19 1 Προαπαιτούµενες γνώσεις και ϐασική προετοιµασία

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ιαν. 9 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Είδαµε στο κεφάλαιο της παρεµβολής συναρτήσεων πώς να προσεγγίζουµε µια (συνεχή) συνάρτηση f από ένα πολυώνυµο, όταν γνωρίζουµε + σηµεία του γραφήµατος της συνάρτησης:

Διαβάστε περισσότερα

γραπτή εξέταση στο μάθημα ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

γραπτή εξέταση στο μάθημα ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1η εξεταστική περίοδος από 4/10/15 έως 08/11/15 γραπτή εξέταση στο μάθημα ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Τάξη: Α Λυκείου Τμήμα: Βαθμός: Ονοματεπώνυμο: Καθηγητές: Θ Ε Μ Α Α Στις ερωτήσεις Α1-Α4 να επιλέξετε τη σωστή

Διαβάστε περισσότερα

II.6 ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ. 1. Γραφήματα-Επιφάνειες: z= 2. Γραμμική προσέγγιση-εφαπτόμενο επίπεδο. 3. Ισοσταθμικές: f(x, y) = c

II.6 ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ. 1. Γραφήματα-Επιφάνειες: z= 2. Γραμμική προσέγγιση-εφαπτόμενο επίπεδο. 3. Ισοσταθμικές: f(x, y) = c II.6 ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ.Γραφήματα-Επιφάνειες.Γραμμική προσέγγιση-εφαπτόμενο επίπεδο 3.Ισοσταθμικές 4.Κλίση ισοσταθμικών 5.Διανυσματική ή Ιακωβιανή παράγωγος 6.Ιδιότητες των ισοσταθμικών 7.κυρτότητα των ισοσταθμικών

Διαβάστε περισσότερα

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14.1 Υπολογισµός εµβαδών µε την µέθοδο των παράλληλων διατοµών Θεωρούµε µια ϕραγµένη επίπεδη επιφάνεια A µε οµαλό σύνορο, δηλαδή που περιγράφεται από µια συνεχή συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 4// ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ α) Για δεδομένη αρχική ταχύτητα υ, με ποια γωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Ποια μπορεί να είναι η κίνηση μετά την κρούση;

Ποια μπορεί να είναι η κίνηση μετά την κρούση; Ποια μπορεί να είναι η κίνηση μετά την κρούση; ή Η επιτάχυνση και ο ρυθµός µεταβολής του µέτρου της ταχύτητας. Ένα σώµα Σ ηρεµεί, δεµένο στο άκρο ενός ελατηρίου. Σε µια στιγµή συγκρούεται µε ένα άλλο κινούµενο

Διαβάστε περισσότερα

[ Απ. α) , β) µατος. Εκτρέπουµε το σύστηµα προς τα κάτω κατά x=0,5 m και το αφήνουµε ελεύθερο.

[ Απ. α) , β) µατος. Εκτρέπουµε το σύστηµα προς τα κάτω κατά x=0,5 m και το αφήνουµε ελεύθερο. 47. Σώµα (Σ 1 ) είναι τοποθετηµένο πάνω σε σώµα (Σ ) και το σύστηµα εκτελεί Α.Α.Τ. κατακόρυφα µε περίοδο Τ. α) Να εκφράσετε τη δύναµη αντίδρασης F του σώµατος (Σ ) στο σώµα (Σ 1 ), σε συνάρτηση µε την

Διαβάστε περισσότερα

1ο ιαγώνισµα Α Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 20 εκέµβρη 2015 Κινηµατική Υλικού Σηµείου

1ο ιαγώνισµα Α Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 20 εκέµβρη 2015 Κινηµατική Υλικού Σηµείου 1ο ιαγώνισµα Α Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 20 εκέµβρη 2015 Κινηµατική Υλικού Σηµείου Σύνολο Σελίδων: έξι (6) - ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο: Θέµα Α Στις ηµιτελείς προτάσεις Α.1

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα (2) Διανυσματικοί Χώροι

Παραδείγματα (2) Διανυσματικοί Χώροι Παραδείγματα () Διανυσματικοί Χώροι Παράδειγμα 7 Ελέγξτε αν τα ακόλουθα σύνολα διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητα ή όχι: α) v=(,4,6), v=(,,), v=(7,,) b) v=(,4), v=(,), v=(4,) ) v=(,,), v=(5,,), v=(5,,)

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1ο Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1ο Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η 1 Σκοπός Να αποκτήσουν οι μαθητές τη δυνατότητα να απαντούν σε ερωτήματα που εμφανίζονται στην καθημερινή μας ζωή και έχουν σχέση με την ταχύτητα, την επιτάχυνση, τη θέση ή το χρόνο κίνησης ενός κινητού.

Διαβάστε περισσότερα

1.1.1 Εσωτερικό και Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων

1.1.1 Εσωτερικό και Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων 3 1.1 Διανύσματα 1.1.1 Εσωτερικό και Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων ΑΣΚΗΣΗ 1.1 Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζουν τα διανύσματα î + ĵ + ˆk και î + ĵ ˆk. z k i j y x Τα δύο διανύσματα που προκύπτουν από

Διαβάστε περισσότερα

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν σαν σωστές (Σ) ή λάθος (Λ). Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές (Σ) και ποιες είναι λάθος (Λ).

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν σαν σωστές (Σ) ή λάθος (Λ). Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές (Σ) και ποιες είναι λάθος (Λ). 1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν σαν σωστές (Σ) ή λάθος (Λ). Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές (Σ) και ποιες είναι λάθος (Λ). *1. Μια κίνηση είναι

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα (1 ο σετ) Διανυσματικοί Χώροι

Παραδείγματα (1 ο σετ) Διανυσματικοί Χώροι Παραδείγματα ( ο σετ) Διανυσματικοί Χώροι Παράδειγμα Έστω το σύνολο V το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y y με y, V και του πολλαπλασιασμού:

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

ιονύσης Μητρόπουλος Ζ Ο

ιονύσης Μητρόπουλος Ζ Ο Πρισµατικό σώµα και κύλινδρος (ΙΙ) Κίνηση σε οριζόντιο επίπεδο (Σ 2 ) (Σ 1 ) A F εξ Ζ Ο Πρισµατικό σώµα (Σ 2 ) µάζας m = 4kg και κύλινδρος (Σ 1 ) ίσης µάζας m και ακτίνας R = 0,2m βρίσκονται πάνω σε οριζόντιο

Διαβάστε περισσότερα

Εντολές κίνησης σε συστήματα CNC

Εντολές κίνησης σε συστήματα CNC Εντολές κίνησης σε συστήματα CNC Τραπεζοειδές προφίλ ταχύτητας Τραπεζοειδές προφίλ επιτάχυνσης Βασικές έννοιες Ι Στο G code δίνεται η πρόωση f διανυσματικά. Δεδομένα γνωστά επιτάχυνση Α επιβράδυνση D παράγωγος

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ευθύγραμμη Ομαλή Κίνηση Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ.ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός https://physicscorses.wordpress.com/ Βασικές Έννοιες Ένα σώμα καθώς κινείται περνάει από διάφορα σημεία.

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

Θέση και Προσανατολισμός

Θέση και Προσανατολισμός Κεφάλαιο 2 Θέση και Προσανατολισμός 2-1 Εισαγωγή Προκειμένου να μπορεί ένα ρομπότ να εκτελέσει κάποιο έργο, πρέπει να διαθέτει τρόπο να περιγράφει τα εξής: Τη θέση και προσανατολισμό του τελικού στοιχείου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 3 Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ο ΜΕΡΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 6. Λ 8. Λ. Σ 7. Σ 9. Λ 3. Λ 8. Λ 3. Σ 4. Σ 9. Σ 3. α) Σ 5. Σ. Σ β) Σ 6.

Διαβάστε περισσότερα

ii) 1

ii)  1 2.2. Ασκήσεις Έργου-Ενέργειας. Οµάδα Γ. 2.2.21. Έργο και µέγιστη Κινητική Ενέργεια. Ένα σώµα µάζας 2kg κινείται σε οριζόντιο επίπεδο και σε µια στιγµή περνά από την θέση x=0 έχοντας ταχύτητα υ 0 =8m/s,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2015 ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2015 ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2015 ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ Οριζόντια βολή: Είναι η κίνηση (παραβολική τροχιά) που κάνει ένα σώμα το οποίο βάλλεται με οριζόντια ταχύτητα U 0 μέσα στο πεδίο βαρύτητας

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos Στο παρακάτω σχήµα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ο α) Να ορίσετε τις θέσεις των σηµείων (Α), (Β) και (Γ). β) Να υπολογίσετε τη µετατόπιση (ΑΓ). γ) Να υπολογίσετε το διάστηµα (ΑΒΓ).

Διαβάστε περισσότερα

Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης

Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης 1. Για να υπολογίσουµε µια ποσότητα q = x 2 y xy 2, µετρήσαµε τα µεγέθη x και y και βρήκαµε x = 3.0 ± 0.1και y = 2.0 ± 0.1. Να βρεθεί η ποσότητα q και η αβεβαιότητά

Διαβάστε περισσότερα

9 o Ε.Λ. ΠΕΙΡΑΙΑ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ

9 o Ε.Λ. ΠΕΙΡΑΙΑ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ 9 o Ε.Λ. ΠΕΙΡΑΙΑ Τµήµα: Α 2 ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Ονοµατεπώνυµο:.. Πειραιάς 4 /12 / 2006 Οδηγίες: Στις τρεις πρώτες ερωτήσεις, να επιλέξτε την σωστή πρόταση. Προσοχή!! Υπάρχει και η πίσω σελίδα. Μην ξεχάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία. έχει το γράφηµα του παραπλεύρως σχήµατος.

Θεωρία. έχει το γράφηµα του παραπλεύρως σχήµατος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I ιαγώνισµα 6 ιάρκεια εξέτασης: ώρες Θεωρία. (4 µονάδες) α) Να γίνει το γράφηµα µιας συνεχούς συνάρτησης f() της οποίας η παράγωγος f () έχει το γράφηµα του παραπλεύρως

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑ 5. Μελέτη ευθύγραµµης οµαλής και επιταχυνόµενης κίνησης. Σκοπός του πειράµατος

ΠΕΙΡΑΜΑ 5. Μελέτη ευθύγραµµης οµαλής και επιταχυνόµενης κίνησης. Σκοπός του πειράµατος ΠΕΙΡΑΜΑ 5 Μελέτη ευθύγραµµης οµαλής και επιταχυνόµενης κίνησης. Σκοπός του πειράµατος Σκοπός του πειράµατος είvαι vα µελετηθούν τα βασικά φυσικά µεγέθη της µεταφορικής κίνησης σε µία διάσταση. Τα µεγέθη

Διαβάστε περισσότερα

Κυλιόµενος κύλινδρος πέφτει πάνω σε οριζόντιο στερεωµένο ελατήριο. 3 m/sec. Να εξετάσετε στην περίπτωση αυτή αν, τη

Κυλιόµενος κύλινδρος πέφτει πάνω σε οριζόντιο στερεωµένο ελατήριο. 3 m/sec. Να εξετάσετε στην περίπτωση αυτή αν, τη Κυλιόµενος κύλινδρος πέφτει πάνω σε οριζόντιο στερεωµένο ελατήριο m υ ο k R Α Ο οµογενής κύλινδρος του σχήµατος έχει µάζα m = 8 kg, ακτίνα R και κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει στο οριζόντιο επίπεδο έτσι

Διαβάστε περισσότερα

1)Βρείτε την εξίσωση για το επίπεδο που περιέχει το σηµείο (1,-1,3) και είναι παράλληλο προς το επίπεδο 3x+y+z=a όπου a ένας αριθµός.

1)Βρείτε την εξίσωση για το επίπεδο που περιέχει το σηµείο (1,-1,3) και είναι παράλληλο προς το επίπεδο 3x+y+z=a όπου a ένας αριθµός. 1)Βρείτε την εξίσωση για το επίπεδο που περιέχει το σηµείο (1,-1,3) και είναι παράλληλο προς το επίπεδο 3x+y+z=a όπου a ένας αριθµός. ( Καρτεσιανή ) επιλέχθηκε για το σχήµα. Ο αριθµός a δεν επιρρεάζει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών παραβολικών διαφορικών εξισώσεων 6.1 Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων όγκων είναι µία ευρέως διαδεδοµένη υπολογιστική µέθοδος επίλυσης

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς Καστοριά, Ιούλιος 14 A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

οµή δικτύου ΣΧΗΜΑ 8.1

οµή δικτύου ΣΧΗΜΑ 8.1 8. ίκτυα Kohonen Το µοντέλο αυτό των δικτύων προτάθηκε το 1984 από τον Kοhonen, και αφορά διαδικασία εκµάθησης χωρίς επίβλεψη, δηλαδή δεν δίδεται καµία εξωτερική επέµβαση σχετικά µε τους στόχους που πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Β Α Λ Α Τ Σ Ο Σ. 4ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΑΜΙΑΣ 1. Γιώργος Βαλατσός Φυσικός Msc

Γ. Β Α Λ Α Τ Σ Ο Σ. 4ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΑΜΙΑΣ 1. Γιώργος Βαλατσός Φυσικός Msc 4ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΑΜΙΑΣ 1 1. Πότε τα σώματα θεωρούνται υλικά σημεία; Αναφέρεται παραδείγματα. Στη φυσική πολλές φορές είναι απαραίτητο να μελετήσουμε τα σώματα χωρίς να λάβουμε υπόψη τις διαστάσεις τους. Αυτό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ. Εστω f πραγµατική συνάρτηση, της οποίας είναι γνωστές µόνον οι τιµές f(x i ) σε n+1 σηµεία xi

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ. Εστω f πραγµατική συνάρτηση, της οποίας είναι γνωστές µόνον οι τιµές f(x i ) σε n+1 σηµεία xi ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ 5 Πολυωνυµική παρεµβολή Εστω f πραγµατική συνάρτηση της οποίας είναι γνωστές µόνον οι τιµές f(x ) σε + σηµεία x = του πεδίου ορισµού της Το πρόβληµα εύρεσης µιας συνάρτησης φ (από

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός των υδροστατικών δυνάµεων που ασκούνται στη γάστρα του πλοίου

Υπολογισµός των υδροστατικών δυνάµεων που ασκούνται στη γάστρα του πλοίου Παράρτηµα Β Υπολογισµός των υδροστατικών δυνάµεων που ασκούνται στη γάστρα του πλοίου 1. Πρόγραµµα υπολογισµού υδροστατικών δυνάµεων Για τον υπολογισµό των κοµβικών δυνάµεων που οφείλονται στις υδροστατικές

Διαβάστε περισσότερα

+ cos(45 ) i + sin(45 ) j + cos(45 ) i sin(45 ) j +

+ cos(45 ) i + sin(45 ) j + cos(45 ) i sin(45 ) j + ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-112: Φυσική Ι Χειµερινό Εξάµηνο 2018 ιδάσκων : Γ. Καφεντζής Τέταρτο Φροντιστήριο Επιµέλεια : Αναστασία Πεντάρη Υποψήφια ιδάκτωρ Ασκηση 1. Πόση είναι η

Διαβάστε περισσότερα