Κεφ. 4: Ολοκλήρωση. 4.1 Εισαγωγή

Transcript

1 Κεφ. 4: Ολοκλήρωση 4. Εισαγωγή 4. Εξισώσεις ολοκλήρωσης Newto Cotes 4.. Κανόνας τραπεζίου 4.. Πρώτος και δεύτερος κανόνας Simpso 4.. Πολλαπλά ολοκληρώματα 4. Ολοκλήρωση Gauss 4.. Πολυώνυμα Legedre, Chebyshev, Hermite, Laguerre 4.. Gauss-Legedre, Gauss-Chebyshev, Gauss-Laguerre, Gauss-Hermite 4.. Παραδείγματα

2 4. Εισαγωγή Γενικά ο αναλυτικός υπολογισμός ορισμένων ολοκληρωμάτων είναι επίπονος και σε πολλές περιπτώσεις αδύνατος. Η εναλλακτική λύση είναι ο υπολογισμός των ολοκληρωμάτων με αριθμητικές μεθόδους. Οι πλέον συνηθισμένες μέθοδοι αριθμητικής ολοκλήρωσης είναι: Εξισώσεις Newto-Cotes Ολοκλήρωση Gauss Και στις δύο μεθοδολογίες το ολοκλήρωμα προσεγγίζεται με άθροισμα σύμφωνα με τη σχέση b a N f ( ) d = wi f i όπου i i a,b και w i οι συντελεστές βαρύτητας που προκύπτουν ανάλογα με τη μέθοδο ολοκλήρωσης. f οι τιμές της f ( ) στα σημεία [ ]

3 4. Αριθμητική ολοκλήρωση Newto Cotes Γενική εξίσωση: Πρόδρομη έκφραση παρεμβολής Newto aa ( ) aa ( )( a ) f( ) = f( + ah) = f( ) + a f( ) + f( ) + f( ) +!! aa ( )( a )( a ) 4 aa ( )...( a + ) + + f( ) f( ) + O( h ) 4!! όπου ( ) α = / h είναι ένας πραγματικός αριθμός, h... ( ) ( ) f( ) = f + h f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f( ) = f = f + h f = f + h f =... f( ) = f( + h) f( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = = και = f + h f + h f + h + f = f f + f i+ i+ i

4 Απόδειξη πρόδρομης έκφρασης παρεμβολής Newto ( ) = + ( ) + ( )( ) + + ( )( ) ( ) f b b b b b b b f f f = f, b = + =, h f f f f f + f f = + + = = ( )( ) ( )( ) ( )( ) h! h f f f f f f + f f f h h h h h h h h h h h h 6h! h = = = ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) f, b = h!,, =, = ( α ) h, = ( α ) h,, = ( α + ) αh h Αντικατάσταση: ( ) ( ) a a aa ( )...( a + ) f = f + a f + f f!! 4

5 4.. Κανόνας Τραπεζίου: h=, a I ( ) = f ( ) d = h f ( + ah) da = h [ f ( ) + a f ( ) + O h ] da = a h = h af + ( f f) f ( ) = h f f O h ( + ) + ( ) Κανόνας Τραπεζίου για διαστήματα h ( b a) / b h h = = = = και i = + ih, i =,,..., : I f ( ) d f ( ) d ( f f... f f ) f ( ) a Σημείωση: f ( ξ ) = f ( ξ) i, a ξ b i f ( ξ ), i i i ( b a) h i = f ( ξ) 5

6 4.. ος και ος Κανόνας Simpso ος Κανόνας Simpso: h= =, a I = f ( ) d = h f ( + ah) da = aa ( ) aa ( )( a ) 4 = h [ f( ) + a f( ) + f( ) + f( ) + O( h )] da =!! 4 a a a a a a 5 ( ) ( ) ( ) = h af + f + f + + f + O( h ) = h ( 4 = h ( ) ( ) ) f + f f + f f+ f f ( ) = 9 ος Κανόνας Simpso για διαστήματα: I = ( ) h f f f f f f f f 4 h f f f O h 5 ( ) + ( ) 6

7 ος Κανόνας Simpso ή Κανόνας /8: h= = =, a I aa ( )! = f( ) d= h f( + ah) da = h [ f( ) + a f( ) + f( ) + aa ( )( a ) 4 + f ( ) + O( h )] da =! 4 a a a a a a 5 ( ) ( ) ( ) = h af + f + f + + f + O( h ) = = h[ f( ) + [ f( ) f( )] + [ f( ) f( ) + f( )] h ( 4 [ f( ) ) f( ) f( ) + f( ) + f( ) f( )] f ( ) = = h f( ) + f( ) + f( ) + f( ) + O h ος 5 h h 4 Κανόνας Simpso : I = [ f + f+ f + f] f ξ 8 8 ( ) ( ) 5 ( ) 7

8 a 4: I aa ( )! = f( ) d= h f( + ah) da = h [ f( ) + a f( ) + f( ) + aa ( )( a ) aa ( )( a )( a ) 4 aa ( )( a )( a )( a 4) 5 + f( ) + f( ) + f( )] da=! 4! 5! 4 a a a a a a = h[ af( ) + f( ) + ( ) f( ) + ( + ) f( ) a a a a 4 a 5 5a 5a ( + ) f( ) + ( a a ) f( )] = = h[4 f( ) + 8[ f( ) f( )] + [ f( ) f( ) + f( )] + 8 [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] f f f + f + f f [ ( 4 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] 45 f f f + f f + f + f f + f f f + f 7 8h I4 = h (7 f + f+ f + f + 7 f4) f ξ ( 6 ) ( ) 8

9 Εναλλακτική διατύπωση εξισώσεων Newto-Cotes Απόδειξη του ου κανόνα ολοκλήρωσης Simpso f ( ) d = ( f + 4 f+ f), αντικαθιστώντας τη συνάρτηση f( ) με το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrage ης τάξης. j P( ) = Li( ) fi = L( ) f + L( ) f+ L( ) f, όπου Li ( ) =. b a h j= i j j i Το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrage ης τάξης υπολογίζεται από τη σχέση P( ) = f + f + f Με δεδομένο ότι τα f, f, f είναι σταθερές ως προς την ολοκλήρωση γράφουμε f d f d f d f d ( ) = + + 9

10 Εισάγουμε την αλλαγή μεταβλητής = + ht απ όπου προκύπτει d = hdt. Η νέα μεταβλητή ολοκλήρωσης είναι το t [, ] Η παραπάνω σχέση παίρνει τη μορφή: f ( ) d ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) ht ht ht ht ht ht f hdt + f hdt f hdt h h + h h = h h h h = f t t + dt f h t t dt + f t t dt = ( ) ( ) ( ) t= t= t= h t t t h t t = f + t fh t + f = t= t= t= h 4 h = f fh + f = h f f f ( )

11 Παράδειγμα: Αριθμητική επίλυση του ολοκληρώματος e d = με h =.. f = e =.,. 887 f = e =., f = e =., f = e =., f e.. 4 = = 679. I = ( f + f+ f + f + f4) =. 45 (κανόνας τραπεζίου 4 φορές). I = ( f + 4f+ f + 4f + f4) =. 458 ( ος κανόνας Simpso φορές) I =? (η διακριτοποίηση με h = δεν οδηγεί στον σωστό αριθμό σημείων ώστε να εφαρμοστεί ο ος κανόνας Simpso) 4. I4 = ( 7 f + f+ f + f + 7 f4) =

12 4.. Πολλαπλά ολοκληρώματα) Αριθμητική ολοκλήρωση σε διαστάσεις (διπλά ολοκληρώματα): ( ) J I Παράδειγμα: = si( + ) = si( + ) I y ddy y w Κανόνας τραπεζίου φορές με = y = : j= = + y + + y + + y dy = I si( j) si( j) si( j) bd J I a c i j i, j = f,y ddy f w j= y = { si( + y) + si( + y) + si( + y) + si y 4si y si y si + y + si + y + si + y = + ( + ) + ( + ) + ( + ) + ( ) ( ) ( )} = { si ( ) + si ( ) + si ( ) + 4si ( ) + si ( ) + si ( ) + si ( ) + si ( 4 )} = 4 = si( ) +.5si( ) + si( ) +.5si( 4) =.57 i,j i,j

13 Στη συνέχεια υπολογίζεται το ίδιο ολοκλήρωμα εφαρμόζοντας ο Κανόνα Simpso μία φορά με = y = : = + y + + y + + y dy = I si( j) 4si( j) si( j) y = { si( + y) + 4si( + y) + si( + y) + + 4si( + y) + 6si( + y) + 4si( + y) + si( y) 4si( y) si( y)} = = { 4si ( ) + si ( ) + 4si ( ) + 6si ( ) + 4si ( ) + si ( ) + 4si ( ) + si ( 4 )} = = si( ) + si( ) + si( ) + si( 4) =

14 J I Παράδειγμα: = ( + ) si( + ) = ( + ) si( + ) I y y ddy y y w Κανόνας τραπεζίου με = y = : j= i j i j i, j = + y + y + + y + y + + y + y dy = I ( j) si( j) ( j) si( j) ( j) si( j) y = {( + y ) si( + y ) + ( + y ) si( + y ) + ( + y ) si( + y ) + ( y ) ( y ) ( y ) ( y ) ( y ) ( y ) + + si si si + + ( y) si( y) ( y) si( y) ( y) si( y)} = { si ( ) + si ( ) + si ( ) + 8si ( ) + 6si ( ) + si ( ) + 6si ( ) + 4si ( 4 )} = 4 ( ) ( ) ( ) ( ).84 = si + si + si + si 4 = =. 4

15 Παράδειγμα: Υπολογίστε αριθμητικά εφαρμόζοντας τον κανόνα του τραπεζίου φορά σε κάθε κατεύθυνση το τριπλό ολοκλήρωμα: ydzdyd = 56 Σχολιάστε την ακρίβεια του αριθμητικού αποτελέσματος και εξηγήστε τυχόν σημαντικές αποκλίσεις. h h h ydzdyd = y + dyd = + + d = z y z Αριθμητική λύση: ( ) ( ) ( ) h h y h hhh z y z = ( 9+ ) ( + ) ( + ) = 4= 4 5= 8 Η σημαντική διαφορά ανάμεσα στην αριθμητική και αναλυτική λύση οφείλεται αποκλειστικά στη επίλυση του ολοκληρώματος ως προς και συγκεκριμένα στο γεγονός ότι το πολυώνυμο ου βαθμού που προκύπτει από τον κανόνα του τραπεζίου δεν προσεγγίζει επαρκώς τη συνάρτηση Αντίθετα οι αριθμητικές ολοκληρώσεις στις άλλες δύο κατευθύνσεις y και z είναι απόλυτα ακριβείς.. 5

16 4. Αριθμητική ολοκλήρωση Gauss: ( ) ( ) Gauss-Legedre: ( ) ( ) f d= f i wi Gauss-Laguerre: ( ) ( ) f e d= f i wi Gauss-Hermitte: ( ) ( ) f e d= f i wi b a Gauss-Chebyshev: ( ) = ( ) f d= f i wi d f f i wi Σε κάθε μία από τις ολοκληρώσεις Gauss τα i είναι οι ρίζες του αντίστοιχου πολυωνύμου βαθμού και τα w i οι συντελεστές βαρύτητας. 6

17 4.. Ρίζες πολυωνύμου Legedre ου και 4 ου βαθμού και οι αντίστοιχοι συντελεστές βαρύτητας: ± ± ± Ρίζες πολυωνύμου Hermitte ου και 4 ου βαθμού και οι αντίστοιχοι συντελεστές βαρύτητας: ± ± ± Ρίζες πολυωνύμου Laguerre 4 ου βαθμού και οι αντίστοιχοι συντελεστές βαρύτητας: = = = = w = w = w = w 4 = Ρίζες πολυωνύμου Chebyshev βαθμού + και οι αντίστοιχοι συντελεστές βαρύτητας: i ( i + ) π = cos + i =,,..., wi π = + 7

18 Ρίζες πολυωνύμου Hermitte βαθμού 6 και συντελεστές βαρύτητας: ± E E-9 ± E E-6 ± E E-4 ± E E- ± E E- ± E E- ± E E+ ± E E+ 8

19 Ρίζες πολυωνύμου Legedre βαθμού 8 και συντελεστές βαρύτητας: d d D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D- 9

20 4.. Απόδειξη της έκφρασης Gauss-Legedre: ( ) ( ) Θέτουμε f ( ) p ( ) R ( ) = +, όπου ( ) = ( ) ( ), L ( ) p L f i i i ( j ) ( ) j i i j j= =, i =,,...,,i j f d= f i wi ( + ) R( ) = ( i) ( + ) ( ) ( ) ( ) i( ) ( i) ( i) ( + )!! f f d = p d + R d = L f d + d = ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = f L d + q d = f w + q d i i i i i i Εάν η f ( ) είναι ένα πολυώνυμο βαθμού + και αφού το ( ) πολυώνυμο + βαθμού τότε το ( ) i είναι ένα q θα πρέπει να είναι πολυώνυμο βαθμού. f

21 Γράφουμε τα αναπτύγματα με βάση τα πολυώνυμα Legedre: ( i) = bp bp + b+ P+ και ( )... Αντικαθιστούμε και εφαρμόζοντας ορθογωνιότητα έχουμε q = cp+ + cp ( ) ( ) = + = [ ] q d b c PP d b c P P d b c P d i i j i j + j + j i i i j= j= Για να είναι το σφάλμα μηδενικό θέτουμε b = b =... = b =, ενώ ο συντελεστής b προκύπτει από τη σχέση ( i) = b P i = b P Επιπλέον το αποτέλεσμα αυτό δηλώνει ότι το πολυώνυμο ( ) + +, δηλαδή έχουν τις ίδιες ρίζες που θα είναι οι ρίζες του πολυωνύμου Legedre βαθμού +. Επειδή όμως πολυώνυμο ( ) i είναι σε μορφή γινομένου παραγόντων οι ρίζες του είναι τα i που πρέπει να είναι οι ρίζες του πολυωνύμου Legedre βαθμού +.

22 4... Παραδείγματα Παράδειγμα: Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα ( ) Νέα μεταβλητή ολοκλήρωσης: s = ( ) t a+ b b a t t s = = t t = ( s + ) dt = ds erf = e dt π με Gauss-Legedre. N t erf ( ) = e dt ep ( s ) ds ep ( s ) wi π = π + = + 4 π 4 i erf = s+ w+ s + w = p 4 4 Έκφραση σημείων: ( ) ep ( ) ep ( ) Για.5 = : ( ) = ep ( ) + ep ( ) = p 4 4 erf.5 =.55

23 Παράδειγμα: Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα Ι= + y dyd = π με Gauss-Legedre. Νέα μεταβλητή ολοκλήρωσης: ( ) y a+ b y s = s = y = s dy = ds b a I J + y dyd = + s ( ) dsd = i + s j ( i ) i wiw j j= Έκφραση σημείων: Ι ( ) ( ) = + s ww + + s ww + ( ) ( ) + + s ww+ + s ww = 4. Εφαρμόστε ολοκλήρωση Gauss-Legedre περισσοτέρων σημείων.

24 Ασκήσεις:. Να υπολογισθεί με Κανόνα Τραπεζίου, ο Κανόνα Simpso και Gauss-Legedre ο ολοκλήρωμα y dyd. h I = f + f+ f + f + ε 8. Υπολογίστε το σφάλμα ολοκλήρωσης στον ο Κανόνα Simpso: ( ) Βοήθημα: Στη γενική περίπτωση το ανάπτυγμα της f( ) γράφεται στη μορφή: a aa ( ) ( ) aa ( )( a f( ) = f( + ah) = + f( ) ) = f( ) + a f( ) + f( ) + f( ) +!! aa ( )( a )( a ) 4 aa ( )...( a + ) + f( ) f( ) + R ( + ah) 4!! ( + ) όπου f( ) = f ( + h) f ( ), f( ) + f = f( + h) f( ) και R ( + ah) = h a ( a )...( a ) +!. Nα υπολογισθεί αριθμητικά το ολοκλήρωμα Σχολιάστε την ακρίβεια των αποτελεσμάτων. ( ) I = e d εφαρμόζοντας έναν αλγόριθμο Newto Cotes και έναν αλγόριθμο Gauss. 4. Να υπολογισθεί αριθμητικά το ολοκλήρωμα της συνάρτησης ( ) f y, = + y στο πεδίο < < και < y<. 5. Να υπολογιστεί το τριπλό ολοκλήρωμα 4 6 y z y z e d dy dz 6. Να υπολογιστεί με αριθμητική ολοκλήρωση το ολοκλήρωμα κατεύθυνση y και ο κανόνα Simpso με h =.5 στη κατεύθυνση. I = + y dyd εφαρμόζοντας Gauss Chebyshev σημείων στη 4

25 y dzdyd 7. Να υπολογισθεί αριθμητικά το ολοκλήρωμα: y z y 8. Υπολογίστε με ολοκλήρωση Gauss-Laguerre τεσσάρων σημείων το ολοκλήρωμα d. ( + ) 9. Έστω το ολοκλήρωμα ( ) ( ) b I = f d = d = a Α) Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα αριθμητικά εφαρμόζοντας α) κανόνα τραπεζίου μία φορά, β) κανόνα τραπεζίου δύο φορές και γ) ο κανόνα Simpso μία φορά. Σχολιάστε την ακρίβεια των υπολογισμών. h= b a h I = ( f + f) = ( + 5 ) I = 6 h / I = ( f + f+ f) = ( ) I = 4 h / IS = ( f + 4 f+ f) = ( ) I S = Το σφάλμα του ου Κανόνα Simpso είναι επομένως το σφάλμα ολοκλήρωσης μηδενίζεται. ( 4 ) ( ) 5 9 h f ξ. Αφού η συγκεκριμένη f είναι πολυώνυμο ης τάξης η 4 η παράγωγος ( 4) f = και 5

26 Β) Έστω ότι I και R η αριθμητική εκτίμηση και το αντίστοιχο σφάλμα με τον κανόνα του τραπεζίου σε υποδιαστήματα του ολοκληρώματος I διαιρώντας το αρχικό διάστημα [ ab, ]. Θεωρώντας ότι I I I = I + / * ( ) όπου και είναι δύο τιμές του. * I I R = + είναι η ακριβής τιμή του ολοκληρώματος, αποδείξτε ότι R R R R * I I I = I + R = I + R I + R = I + R R = I I R = ( / ) * I I I = I + R = I + ( / ) Γ) Επίσης εφαρμόστε τη σχέση για το υπολογίστε τη νέα βελτιωμένη εκτίμηση * I αξιοποιώντας τα παραπάνω αποτελέσματα αριθμητικής ολοκλήρωσης τραπεζίου και φορές και * I. Σχολιάστε το αποτέλεσμα. * I I 6 I = I + = 6 + = ( / ) ( /) Αντικαθιστώντας τις εκφράσεις για I και I προκύπτει ο ο κανόνα Simpso: h/ h ( ) ( ) * I I f + f + f f + f h / ( ) h h h I = I + = f + f + = ( f + f) ( f f+ f) = ( f + 4f+ f) ( / ) 4. Υποθέστε ότι οι παράγωγοι f ( ) και ( ) h h f d f f f f ( ) = ( ) + ( ) + ( ) ( ) f είναι γνωστές και αποδείξτε τον βελτιωμένο κανόνα του τραπεζίου: 6

27 . Έστω ημιάπειρο χωρίο με συντελεστές θερμικής αγωγής και διάχυσης k και α αντίστοιχα που αρχικά ( t = ) βρίσκεται σε θερμοκρασία T. Στη συνέχεια, για t > η επιφάνεια = δέχεται σταθερή θερμορροή q. Αποδεικνύεται ότι η χρονομεταβαλλόμενη θερμοκρασιακή κατανομή στο ημιάπειρο χωρίο δίδεται από τη σχέση: q α T( t, ) = T + tep erfc k p 4αt αt y erfc s = e dy π όπου ( ) s Γράψτε κώδικα που με βάση την παραπάνω έκφραση να υπολογίζει για γνωστές τιμές των παραμέτρων k, α, q και T τον απαιτούμενο χρόνο t ώστε σε κάποια γνωστή απόσταση η θερμοκρασία να έχει τη προδιαγεγραμμένη τιμή Ιδιότητες αέρα, νερού και χάλυβα: ρ Κg / m cp [ J /( Kg K )] k [ W /( mk )] a m / s Air Ε-5 Water Ε-7 Steel Ε-5 Κατανομή θερμοκρασίας για αέρα, νερό και χάλυβα για q = 8 W/m και διάφορους χρόνους t. * T. 7

28 . Εφαρμόστε αριθμητική παρεμβολή με ορθογώνια πολυώνυμα Legedre και προσεγγίστε τη συνάρτηση + f( ) = si + e στο διάστημα [,]. 8