SIMP OSIO BRASILEIRO DE PROCESSAMENTO DE IMAGENS FUNDAMENTOS DA ANIMAC ~ AO MODELADA PORCOMPUTADOR. Leo Pini Magalh~aes

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1 VIII SIBGRAPI SIMP OSIO BRASILEIRO DE COMPUTAC ~ AO GR AFICA E PROCESSAMENTO DE IMAGENS TUTORIAL: FUNDAMENTOS DA ANIMAC ~ AO MODELADA PORCOMPUTADOR Jose Tarcsio Franco de Camargo tarcisio@dca.fee.unicamp.br Leo Pini Magalh~aes leopini@dca.fee.unicamp.br Alberto Barbosa Raposo alberto@dca.fee.unicamp.br Outubro 1995

2 Indice 1 INTRODUC ~AO A ANIMAC ~AO POR COMPUTADOR Animac~ao convencional :::::::::::::::::::::::::::::: Animac~ao por computador :::::::::::::::::::::::::::: Componentes de um sistema de animac~ao modelada por computador : : : : Abordagem das estrategias de controle em animac~ao :::::::::::::: 11 2 ANIMAC ~AO CINEM ATICA - MODELO PARA UM P^ENDULO SIM- PLES Gerando a animac~ao do p^endulo ::::::::::::::::::::::::: 14 3 ANIMAC ~AO DIN ^AMICA - MODELO PARA OBJETOS RIGIDOS Desenvolvimento de um modelo din^amico para um amortecedor ::::::: Modelo para objetos sujeitos a rotac~oes ::::::::::::::::::::: 23 4 REPRESENTAC ~AO DE OBJETOS NO ESPAC O TRIDIMENSIONAL Obtenc~ao de uma matriz de orientac~ao entre sistemas de coordenadas : : : : Notac~ao para sistemas de coordenadas variantes no tempo :::::::::: 28 5 MODELO CINEM ATICO PARA ESTRUTURAS ARTICULADAS Par^ametros de um objeto articulado segundo Denavit-Hartenberg : : : : : : Gerac~ao de trajetorias para uma estrutura articulada ::::::::::::: Exemplo de animac~ao de um rob^o modelo \Yasukawa Motoman L-3" : : : : Exemplo de animac~ao de uma luminaria \Luxo" :::::::::::::::: 38 6 MODELO DIN ^AMICO PARA ESTRUTURAS ARTICULADAS RAMI- FICADAS Formulac~ao din^amica para estrutura em arvore ::::::::::::::::: 40 7 PLANEJAMENTO DE TRILHAS / DESVIO DE OBST ACULOS Um caso estudado ::::::::::::::::::::::::::::::::: Denic~ao do modelo de campos de potenciais ::::::::::::: Denic~ao de uma trilha \otimizada" :::::::::::::::::: 48 8 CONTROLE GLOBAL ATRAVES DO MODELO DE DEDS Projeto do mecanismo de controle global para um objeto bpede ::::::: Modelo de locomoc~ao cinematico :::::::::::::::::::: 52 2

3 8.2 Modelo de locomoc~ao aeventos discretos :::::::::::::::::::: Denic~ao da sntaxe de ESMs :::::::::::::::::::::: Planejamento das ESMs para o modelo de locomoc~ao ::::::::: 55 9 EXEMPLOS DE SISTEMAS DE ANIMAC ~AO ProSIm - Prototipac~ao e Sntese de Imagens Foto-Realistas e Animac~ao ::: Sistema de modelagem geometrica :::::::::::::::::::: Sistema de controle da animac~ao :::::::::::::::::::: SIPP - SImple Polygon Processor :::::::::::::::::::: POV-Ray -Persistence Of Vision Ray tracer ::::::::::::: AutoDesk Animator Pro c :::::::::::::::::::::::::::: AutoDesk 3D Studio c :::::::::::::::::::::::::::::: D Shaper ::::::::::::::::::::::::::::::::: D Lofter ::::::::::::::::::::::::::::::::: Materials Editor ::::::::::::::::::::::::::::: D Editor ::::::::::::::::::::::::::::::::: Keyframer ::::::::::::::::::::::::::::::::: BIBLIOGRAFIA 66

4 Lista de Figuras 2.1 Esquematizac~ao de um p^endulo simples. :::::::::::::::::::: Relacionamento entre os arquivos utilizados para a sntese da animac~ao do p^endulo. ::::::::::::::::::::::::::::::::::::: Imagem gerada durante o processo de animac~ao do p^endulo. ::::::::: Amortecedor. ::::::::::::::::::::::::::::::::::: Esquema de representac~ao de sistemas de coordenadas no espaco 3-D. ::: Concatenando diversos sistemas de coordenadas. ::::::::::::::: Rotac~ao entre sistemas de coordenadas. :::::::::::::::::::: Representac~ao para S.C. variantes no tempo. ::::::::::::::::: Par^ametros de Denavit-Hartenberg para uma estrutura articulada. ::::: Sistema de Coordenadas de um segmento. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Posic~oes inicial e nal de uma estrutura articulada. :::::::::::::: Marcac~ao da trajetoria do objeto. ::::::::::::::::::::::: Esquema de um rob^o modelo Yasukawa Motoman L-3. :::::::::::: Representac~ao visual do rob^o modelo Yasukawa Motoman L-3. ::::::: Representac~ao visual para a luminaria Luxo. ::::::::::::::::: Exemplo de estrutura tipo arvore. ::::::::::::::::::::::: Um segmento de uma estrutura tipo arvore. :::::::::::::::::: Dois segmentos unidos atraves de uma junta rotacional. ::::::::::: Tr^es segmentos unidos por intermedio de uma junta rotacional. ::::::: Uma regi~ao planar a ser estudada. ::::::::::::::::::::::: Exemplo de trilha gerada atraves do algoritmo de planejamento de trilhas. : Um bpede composto por dois pares de estruturas articuladas. : : : : : : : : Ciclo de locomoc~ao de uma perna [Girard (1985)]. :::::::::::::: Representac~ao de uma transic~ao entre dois estados. :::::::::::::: Representac~ao graca para o sistema. ::::::::::::::::::::: Esquematizac~ao do TOOKIMA. :::::::::::::::::::::::: Hierarquia de linguagens para a descric~ao de animac~oes no ProSIm. : : : : Organizac~ao do 3D Studio [Malheiros (1995)]. ::::::::::::::::: 63 4

5 Fundamentos da Animac~ao Modelada por Computador 5 RESUMO / OBJETIVOS O campo da \Animac~ao por Computador" e uma rica area de investigac~ao cientca, alem de possuir um grande potencial de mercado. De fato, a crescente demanda por prossionais nesta area tem exigido uma expans~ao do numero de pessoas que atuam na area de animac~ao por computador. Este tutorial tem por objetivo apresentar ao publico conceitos relativos ao desenvolvimento de animac~oes por computador. Ser~ao abordados desde as ferramentas matematicas necessarias para a modelagem de animac~oes ate osmetodos de implementac~ao de animac~oes, incluindo o projeto dos atores, o desenvolvimento de roteiros, a gerac~ao dos quadros de uma animac~ao, etc. Adicionalmente, pretendemos ainda no decorrer do tutorial apresentar exemplos praticos de animac~oes, ilustrando os conceitos apresentados. Para um correto acompanhamento dos temas a serem desenvolvidos, o publico deste tutorial deve dispor de conhecimento basico nas areas de Computac~ao Graca e Calculo, alem de muita criatividade para explorar ao maximo os conceitos apresentados. A meta fundamental deste curso e estimular o interesse pela area de animac~ao por computador, de forma a ampliar o numero de interessados, principalmente alunos de graduac~ao e pos-graduac~ao desenvolvendo atividades nesta area.

6 Captulo 1 INTRODUC ~AO A ANIMAC ~AO POR COMPUTADOR A utilizac~ao de computadores expandiu-se muito desde a sua criac~ao. Inicialmente esta utilizac~ao era restrita a execuc~ao de calculos matematicos e ao apoio de tarefas administrativas hoje encontra ampla gama de aplicac~ao na automac~ao e criac~ao, inuenciando fortemente a propria linguagem artstica. Neste ultimo ponto, interessa-nos o campo da Animac~ao, onde o computador pode atuar como ferramenta de automac~ao do processo produtivo ou mesmo como elemento de express~ao da criatividade. O processo convencional de criac~ao de uma animac~ao constitui um exemplo claro de um conjunto de atividades que, quando automatizadas, proporcionam grande otimizac~ao de tempo, de custos, de conabilidade, etc. o que deslocou a atenc~ao de cientistas da computac~ao e animadores para uma possvel fus~ao computador-animac~ao. Este e, portanto, o escopo deste curso: estudar a aplicac~ao do computador como ferramenta de apoio ao desenvolvimento de animac~oes. Para tanto, as sec~oes seguintes tracam um paralelo entre a animac~ao convencional e a animac~ao por computador, introduzindo as varias formas de intervenc~ao do computador no processo de animac~ao. 1.1 Animac~ao convencional Existem diversas denic~oes possveis para o termo ANIMAC ~ AO. Entre elas podemos citar: 1. Arte de \dar vida" a personagens. 2. Ilus~ao da sensac~ao de movimento atraves da apresentac~ao de uma sequ^encia de quadros (imagens) sobrepostos ao longo do tempo. Entretanto, uma animac~ao n~ao precisa, necessariamente, envolver deslocamentos de objetos, podendo tambem ser caracterizada por: 1. Uma metamorfose: quando um personagem muda sua forma. 2. Uma mudanca de cor: quando, por exemplo, um ator se ruboriza de vergonha. 6

7 Fundamentos da Animac~ao Modelada por Computador 7 3. Uma variac~ao na intensidade luminosa: por exemplo, a luz ambiente diminui a medida em que o Sol se p~oe. O processo de criac~ao de uma animac~ao convencional, ou \desenho animado", pode ser descrito, genericamente, pela seguinte sequ^encia de etapas, segundo [Thalmann (1985)]: 1. A denic~ao da estoria: Como em um lme qualquer, o desenho animado tambem possui um enredo. Para se descrever o enredo tr^es \documentos" s~ao necessarios, cada um renando um pouco mais seu antecessor: ASinopse, que e um resumo da estoria em poucas linhas. O Enredo propriamente dito, que e um texto detalhado que descreve toda a estoria. O Storyboard, que e um \rascunho" do desenho animado. Este consiste de um numero de ilustrac~oes arranjadas como em uma estoria-em-quadrinhos. O numero total de ilustrac~oes n~ao e importante o que realmente importa e queostoryboard deve representar os momentos principais da animac~ao. Tambem e importante notar que a animac~ao e composta por um conjunto de sequ^encias que denem ac~oes especcas. Por sua vez, cada sequ^encia e composta por um conjunto de cenas que s~ao denidas por uma certa localizac~ao e um conjunto de atores que dela participam. Mais ainda, uma cena e composta por um conjunto de quadros. 2. A etapa de desenho: Este passo consiste principalmente do desenho dos personagens a serem animados e das ac~oes a serem executadas. Aqui tambem s~ao denidas caractersticas particulares quanto a forma dos atores, quanto ao relacionamento destes com o ambiente, etc. 3. A trilha sonora: Na animac~ao convencional a trilha sonora deve preceder o processo de animac~ao, visto que o movimento deve \ser casado" aos dialogos e/ou musica. 4. A animac~ao: Nesta etapa, o processo de animac~ao e levado adiante pelos animadores que desenhar~ao os quadros principais (ou quadros-chave / keyframes) da animac~ao. 5. Interpolac~ao dos quadros-chave: S~ao denominados in-betweens os desenhos que interpolam dois quadros-chave. Nesta etapa s~ao, portanto, desenhados os quadros que interpolam os quadros-chave desenhados na etapa anterior. 6. A etapa de copia: Ate aqui os quadros eram desenhados a lapis. Eles agoram precisam ser transferidos para folhas de acetato. Os contornos devem ser desenhados a tinta manualmente. 7. Pintura: Visto que os desenhos animados s~ao geralmente coloridos, as celulas de acetato devem, portanto, passar por um estagio de pintura. Este trabalho requer paci^encia e precis~ao.

8 Fundamentos da Animac~ao Modelada por Computador 8 8. Vericac~ao: Nesta etapa os animadores devem vericar se as ac~oes em suas respectivas cenas est~ao corretas, antes de se fotografar os quadros. 9. Fotografando os quadros: A etapa de fotogravac~ao da animac~ao e agora realizada em um lme colorido. 10. Edic~ao nal: Este ultimo passo e considerado como uma etapa de pos-produc~ao, depois da qual teremos o produto nal desejado. 1.2 Animac~ao por computador As tarefas descritas anteriormente podem, tambem, dispor de um certo grau de automac~ao. Neste caso, o computador pode auxiliar muito o processo de elaborac~ao de uma animac~ao. Por exemplo, o computador pode auxiliar na execuc~ao das seguintes tarefas: 1. Na criac~ao dos desenhos: i-) Os quadros-chave podem ser digitalizados. ii-) Os quadros-chave podem ser criados atraves de um editor graco interativo. iii-) Objetos complexos podem ser criados atraves de algum programa especco. 2. Na criac~ao do movimento: O computador pode realizar o calculo dos quadros in-betweens ou ate mesmo calcular algum movimento complexo. 3. Na pintura: Os desenhos podem ser pintados utilizando-se sistemas gracos interativos. 4. Na etapa de fotogravac~ao: Uma c^amera pode ser controlada por um computador. 5. Na etapa de pos-produc~ao: Edic~ao e sincronizac~ao podem ser controladas por computador. Para os casos acima descritos (todos 2D), dizemos que a animac~ao e auxiliada por computador. A participac~ao do computador no processo de criac~ao de uma animac~ao pode ainda ser efetivada de outras maneiras. O computador pode, por exemplo, ser responsavel por todo o processo de controle da gerac~ao de uma animac~ao. Neste caso dizemos que a animac~ao e modelada por computador. Uma animac~ao pode ser considerada modelada por computador quando o animador determina os atores, o ambiente e as ac~oes a serem executadas, cabendo ao computador o controle da animac~ao como um todo. Atraves da animac~ao modelada por computador podemos gerar desde animac~oes ate simulac~oes:

9 Fundamentos da Animac~ao Modelada por Computador 9 1. animac~oes: Desenhos animados tradicionais (cartoons), onde n~ao existe qualquer compromisso com a realidade fsica. 2. simulac~oes: Onde simulamos fen^omenos fsicos tais como o deslocamento do braco de um rob^o, um lancamento balstico, etc. Ainda em [Thalmann (1985)] os sistemas de animac~ao por computador s~ao classicados em diversos nveis, de acordo com a participac~ao do computador no processo de criac~ao de uma animac~ao: 1. Nvel 1: O computador e utilizado para que, interativamente, sejam realizadas as tarefas de criac~ao, pintura, armazenamento e edic~ao dos desenhos. Tais sistemas s~ao, basicamente, editores gracos utilizados pelos desenhistas. 2. Nvel 2: O computador e capaz de gerar os quadros de interpolac~ao (in-betweens), alem de mover um objeto ao longo de uma determinada trajetoria. Estes sistemas s~ao utilizados como alternativa aos desenhistas que realizam os quadros de (in-between). 3. Nvel 3: O computador torna disponvel ao animador um conjunto de operac~oes que podem ser aplicadas aos objetos, agora 3D. Por exemplo, operac~oes de translac~ao ou rotac~ao. Tais sistemas podem, tambem, incluir facilidades de manipulac~ao de c^ameras, tais como zoom, tilt ou panor^amica. 4. Nvel 4: Aqui o computador e capaz de tornar disponvel ao animador um mecanismo de de- nic~ao dos atores, ou seja, e posvel distinguir atores dotados de movimento proprio de outros elementos da cena (tais como a decorac~ao, etc.). O movimento dos atores pode tambem ser modelado por intermedio de restric~oes. 5. Nvel 5: Aqui se encontram os sistemas denominados \inteligentes". Neste caso o computador e capaz de modelar atores capazes de aprender a medida em que realizam suas tarefas. Este aprendizado pode consistir, por exemplo, na capacidade do ator alterar seu movimento em func~ao da ocorr^encia de determinados eventos. Os sistemas de animac~ao auxiliada por computador geralmente encontram-se nos nveis 1 e 2 acima descritos. Por sua vez, os sistemas de animac~ao modelada por computador geralmente englobam os nveis 3, 4 e 5. Outra proposta interessante para a classicac~ao de sistemas de animac~ao por computador pode ser encontrada em [Isaacs (1987)]. Segundo estes autores um sistema de animac~ao por computador pode ser enquadrado em uma das seguintes categorias:

10 Fundamentos da Animac~ao Modelada por Computador Animac~ao keyframe, ou por quadros-chave: Derivada diretamente da animac~ao convencional, onde o animador especica o que deve aparecer em cada quadro. Dessa forma, o animador esta explicitamente especi- cando a \cinematica" ou o movimento dos objetos. Adicionalmente, o computador aumenta a eci^encia do processo de criac~ao interpolando quadros de in-between entre os quadros-chave (keyframes) fornecidos pelo animador. Embora este metodo de animac~ao permita ao animador controlar quase que totalmente o processo de animac~ao, ele e muito limitado no que diz respeito a criac~ao de sequ^encias \dinamicamente corretas". 2. Animac~ao procedimental: Metodos de animac~ao procedimentais conam ao computador a determinac~ao da cinematica do movimento, atraves da especicac~ao de instruc~oes para o movimento, ao inves da especicac~ao de posic~oes explcitas. Tais metodos s~ao tambem conhecidos como animac~ao por roteiros, onde o animador descreve a animac~ao atraves de um determinado texto (roteiro), cabendo ao computador a interpretac~ao do mesmo e, consequentemente, a gerac~ao do movimento desejado. Atraves de um sistema de animac~ao procedimental o animador aproxima-se da gerac~ao de sequ^encias \dinamicamente corretas". 3. Simulac~ao din^amica: Esta classe de sistemas consiste em uma \especializac~ao" da animac~ao procedimental. Neste caso, o objetivo e a gerac~ao de uma simulac~ao, ou seja, o desenvolvimento de sequ^encias estritamente \dinamicamente corretas". Portanto, as ferramentas de modelagem de sistemas deste tipo s~ao as leis fsicas, tais como as equac~oes de Newton- Euler, etc. Como podemos notar atraves de todas as denic~oes anteriormente apresentadas, existe um numero muito grande denic~oes que buscam classicar melhor a area da \animac~ao por computador". A proposta de nosso trabalho segue de perto os conceitos relacionados a animac~ao modelada por computador. Portanto, a partir deste ponto, nos prenderemos ao estudo de sistemas de animac~ao deste tipo, sendo que na sec~ao seguinte procuraremos detalhar melhor esta abordagem. 1.3 Componentes de um sistema de animac~ao modelada por computador Durante o processo de criac~ao de uma animac~ao modelada por computador, necessitamos de, pelo menos, tr^es ferramentas fundamentais: 1. Um modelador geometrico: para que possamos denir e modelar as caractersticas geometricas das entidades envolvidas na animac~ao.

11 Fundamentos da Animac~ao Modelada por Computador Um mecanismo de controle da animac~ao: para que possamos denir e executar o controle das interac~oes entre atores e entre estes eoambiente. 3. Um mecanismo de rendering e visualizac~ao: para que possamos denir os atributos de cor e textura dos objetos, alem de visualizar cada quadro gerado durante o processo de animac~ao. A modelagem geometrica dos objetos presentes em uma animac~ao pode ser realizada de diversas maneiras, usualmente s~ao utilizadas a representac~ao por fronteiras (boundary representation / b-rep) ou a combinac~ao de formas primitivas por intermedio de operac~oes CSG (Construtive Solid Geometry) ou, ainda, uma combinac~ao destes. Em muitos casos o modelador geometrico ja se encontra disponvel em conjunto com o mecanismo de rendering, comoe o caso do pacote de gerac~ao de imagens por ray tracing denominado POV-Ray (Persistence of Vision Ray Tracer) [Young (1994)]. O mecanismo de rendering e visualizac~ao e responsavel pela gerac~ao das imagens que compor~ao a animac~ao. Este mecanismo deve reunir as informac~oes sobre a forma, a cor e a textura dos objetos da animac~ao com as informac~oes de posicionamento fornecidas pelo modulo de controle da animac~ao. Existem diversos pacotes, de domnio publico, capazes de realizar de forma satisfatoria o rendering dos quadros de uma animac~ao. Dentre eles podemos citar o pacote SIPP (SImple Polygon Processor) [Yngvesson (1994)], que e um pacote para sntese de imagens baseado em um algoritmo de scan-line Z-buer, alem do POV-Ray, que sera utilizado para a visualizac~ao dos exemplos apresentados neste curso. Finalmente, temos o mecanismo de controle da animac~ao que e, de fato, o responsavel pela movimentac~ao dos atores, alem da coordenac~ao da interac~ao entre os mesmos eentre estes e o animador. O controle do movimento-interac~ao dos atores e, sem duvida, o maior desao dentro da area da animac~ao por computador. Embora existam tecnicas padronizadas para a sntese de objetos (b-rep, CSG, etc.) e para a gerac~ao de imagens (algoritmos de scan-line, ray tracing, etc.), n~ao existe um algoritmo generico para o tratamento da movimentac~ao-interac~ao de objetos em uma animac~ao. De fato, existem apenas casos de estudo onde uma determinada tecnica de controle e aplicada a um certo numero de modelos. Este e o escopo deste curso, um estudo detalhado sobre as tecnicas de controle de movimento-interac~ao mais comuns em animac~ao modelada por computador. Especicamente, ser~ao abordadas tecnicas relacionadas a animac~ao baseada em procedimentos, ou procedimental, pois estas constituem excelentes ferramentas de desenvolvimento para um grande numero de casos de estudo. 1.4 Abordagem das estrategias de controle em anima- c~ao A losoa que orientou o desenvolvimento de grande parte dos sistemas de animac~ao modelada por computador desenvolvidos ate hoje orientou-se pela utilizac~ao de conceitos cinematicos ou din^amicos para a descric~ao do movimento. Isto ocorreu devido ao fato de que, durante o perodo de desenvolvimento destes sistemas, a maior parte dos \cientistas

12 Fundamentos da Animac~ao Modelada por Computador 12 da animac~ao" havia abordado o problema de controle do movimento de objetos atraves da utilizac~ao do calculo diferencial e das leis fsicas, tais como as Leis Din^amicas de Newton e de Euler. De fato, sem a aplicac~ao das leis fsicas que regem os movimentos dos objetos dicilmente seramos capazes de simular os movimentos de qualquer objeto. Assim a pesquisa por ferramentas de controle para animac~oes (convencionais ou simulac~oes) baseadas em tecnicas cinematicas e din^amicas constitui uma vasta area de investigac~ao cientca neste ramo da ci^encia da computac~ao. Dessa forma, dedicaremos grande parte deste trabalho a apresentac~ao de ferramentas de controle para animac~oes, conforme os captulos 2 a 7. Entretanto, a complexa natureza de diversos sistemas fsicos nos leva a lidar com sistemas de equac~oes diferenciais cada vez mais complexos. Mais ainda, n~ao existe uma soluc~ao global que possa ser aplicada a animac~ao de qualquer objeto. Ou seja, uma soluc~ao conveniente para determinado sistema pode n~ao trazer bons resultados quando aplicada a um outro sistema. Como alternativa para a soluc~ao do problema de controle do uxo de uma animac~ao apresentamos a divis~ao do modelo que controla os movimentos numa animac~ao em diversas partes, denominadas Blocos de Controle Local e Bloco de Controle Global, [Camargo (1994)] e [Camargo (1995)]. Imaginemos um sistema a ser simulado composto por diversos \atores". Podemos atribuir a cada ator um bloco de controle local, que contera as \regras de comportamento" de cada um. Por exemplo, as leis fsicas que regem omovimento de um unico ator est~ao embutidas em seu respectivo modulo de controle local. A natureza deste tipo de bloco sugere uma ferramenta matematica (tal como calculo diferencial) para que seja denido o modelo de um ator e seu comportamento proprio. Uma vez que o sistema sugerido e composto por muitos atores, podem ocorrer interac~oes entre atores e o animador. O bloco de controle global sugere uma abordagem logica para a determinac~ao de um modelo para estas interac~oes. Por exemplo, caso ocorra um determinado evento, quais atores ser~ao afetados? Como um determinado ator deve responder? Dessa forma, dependendo daquilo que esta ocorrendo no sistema, os atores se comportam de uma dada forma, que poderia ser diferente caso outro evento houvesse ocorrido. Isto e tratado no captulo 8. O captulo 9 dedica-se a apresentac~ao de tr^es sistemas de animac~ao para ilustrar os conceitos estudados ao longo deste tutorial.

13 Captulo 2 ANIMAC ~AO CINEM ATICA - MODELO PARA UM P^ENDULO SIMPLES Para introduzirmos uma metodologia para o desenvolvimento de animac~oes modeladas por computador recorreremos, inicialmente, a um modelo cinematico relativamente simples: o modelo de movimento de um p^endulo simples. Trata-se de um modelo cuja implementac~ao e relativamente facil mas que, contudo, e muito didatico e possui um resultado visual bastante agradavel. Consideremos a Figura 2.1. Para a Figura 2.1 temos que: e o ^angulo que o p^endulo descreve em relac~ao a normal. l e o comprimento do o que sustenta a esfera do p^endulo. Sup~oe-se que este o seja rgido, inextensvel e de massa desprezvel. m e a massa da esfera. ~g e a acelerac~ao da gravidade local, que possui modulo \g". Para este exemplo, a equac~ao que descreve o movimento e dada por: d 2 dt = ;g sen() (2.1) 2 l Devemos notar que a equac~ao 2.1 e n~ao-linear e, portanto, adotamos: para pequenas oscilac~oes. sen() Neste caso, a soluc~ao para a equac~ao (2.1) e: onde: = k cos(! t + ) (2.2) 13

14 Fundamentos da Animac~ao Modelada por Computador 14 z l '$ u &% m? ~g Figura 2.1: Esquematizac~ao de um p^endulo simples.! =(g=l) 1=2 e a frequ^encia angular do p^endulo (constante). \k" e a amplitude inicial do movimento (constante). \" e a \fase" do movimento (constante). 2.1 Gerando a animac~ao do p^endulo Uma vez que o modelo de movimento do p^endulo tenha sido denido, a proxima etapa consiste na gerac~ao da animac~ao propriamente dita. Para tanto, ser~ao necessarias as seguintes ferramentas: Um programa para a gerac~ao de uma trajetoria para o p^endulo, com base no modelo acima apresentado. Tal programa devera gerar um conjunto de arquivos que ser~ao interpretados pela ferramenta de rendering, sendo que cada arquivo contera adescric~ao de um ponto da trajetoria do p^endulo. Um arquivo que contenha a descric~ao (modelo) da animac~ao, que possa ser interpretado pela ferramenta de rendering. Este arquivo deve conter a descric~ao de cada objeto que participa da cena (geometria, textura, etc.).

15 Fundamentos da Animac~ao Modelada por Computador 15 Uma ferramenta (programa) para o rendering de cada quadro da animac~ao. Esta ferramenta devera ser capaz de interpretar o arquivo que contem o modelo da animac~ao, alem dos arquivos que descrevem a trajetoria do p^endulo. Um arquivo de processamento em lote, para a automac~ao do processo de sntese dos quadros. De acordo com esta losoa, este exemplo foi implementado em um microcomputador padr~ao PC-486. Foram implementados/utilizados os seguintes programas/arquivos: PENDULO.C / PENDULO.EXE: Este programa realiza o calculo da trajetoria do p^endulo () emfunc~ao de seu comprimento (l), da gravidade local (~g), da amplitude inicial do movimento (k) e de sua fase (). Alem disso, este programa gera um conjunto de arquivos com o nome FRAME*.H onde se encontram as informac~oes relativas a trajetoria descrita pelo p^endulo. FRAME0.H / FRAME1.H / FRAME2.H /... : Armazenam, respectivamente, a posic~ao do p^endulo para o primeiro quadro, para o segundo quadro,... FRAME.H: Contem a posic~ao do p^endulo para o quadro que esta sendo atualmente processado. BASICFRM.POV: Contem, de acordo com a linguagem de descric~ao de uma cena do pacote POV-Ray 1, os elementos que far~ao parte da cena: \pecas xas" (hastes e ch~ao) e \pecas moveis" (esfera e o). GERANIM.C / GERANIM.EXE: Gera um arquivo denominado ANIMACAO.BAT que descreve a sequ^encia de quadros a serem sintetizados, alem de conter informac~oes sobre a qualidade das imagens a serem geradas. ANIMACAO.BAT: Arquivo para processamento em lote que executa a sntese dos quadros da animac~ao. A Figura 2.2 esquematiza o relacionamento existente entre os arquivos que participam do processo de animac~ao. Para melhor ilustrar este exemplo s~ao apresentados a seguir alguns dos arquivos utilizados para a animac~ao do p^endulo: O ARQUIVO ANIMACAO.BAT (para n+1 quadros): 1 O pacote POV-Ray eumrenderer (free-ware) capaz de sintetizar uma cena atraves de um algoritmo de ray tracing.

16 Fundamentos da Animac~ao Modelada por Computador 16 copy frame0.h frame.h povray nd320.def -ibasicfrm.pov -oframe000.tga del frame.h copy frame1.h frame.h povray nd320.def -ibasicfrm.pov -oframe001.tga del frame.h... copy framen.h frame.h povray nd320.def -ibasicfrm.pov -oframe003.tga del frame.h OARQUIVO FRAME.H (dene a posic~ao atual do o e da esfera): #declare l= #declare ex= #declare ey= #declare ez= #declare fix= #declare fiy= #declare fiz= #declare ffx= #declare ffy= #declare ffz= O ARQUIVO BASICFRM.POV: #include "colors.inc" #include "textures.inc" #include "shapes.inc" #include "frame.h" // CONTEM AS CORES DO POVRAY // CONTES AS TEXTURAS DO POVRAY // CONTEM AS FORMAS GEOMETRICAS DO POVRAY // CONTEM AS POSICOES DA ESFERA E DO FIO DE // SUSTENTACAO NO QUADRO EM PROCESSAMENTO camera { location <2,4,-8> // LOCALIZACAO DA CAMERA look_at <0,3,0> // PONTO DE OBSERVACAO } light_source {<4,7,-1> color White} // FONTE DE LUZ

17 Fundamentos da Animac~ao Modelada por Computador 17 light_source {<-4,7,-1> color White} background {color SkyBlue} // FONTE DE LUZ // COR DE FUNDO plane { <0,1,0>,0 pigment{checker } } color color Red Yellow // PLANO DE SUSTENTACAO DO PENDULO // CONSTRUCAO DA ESFERA sphere { <ex, ey, ez>, 1 texture{glass} } // ESFERA DO PENDULO // INFORMACAO CONTIDA EM FRAME.H // CONSTRUCAO DO "FIO" cylinder { <fix, fiy, fiz>, <ffx, ffy, ffz>,.05 pigment{color Silver} finish{metal} } // FIO DO PENDULO // INFORMACAO CONTIDA EM // FRAME.H // CONSTRUCAO DA BASE // TODOS OS ELEMENTOS A SEGUIR SAO FIXOS cylinder { <0, l+2, -2>, <-4, 0, -2>,.2 pigment{color Silver} finish{metal} } cylinder { <0, l+2., -2>, <4, 0, -2>,.2 pigment{color Silver} finish{metal} } sphere { <0, l+2., -2>,.2

18 Fundamentos da Animac~ao Modelada por Computador 18 pigment{color Silver} finish{metal} } cylinder { <0, l+2, 2>, <-4, 0, 2>,.2 pigment{color Silver} finish{metal} } cylinder { <0, l+2., 2>, <4, 0, 2>,.2 pigment{color Silver} finish{metal} } sphere { <0, l+2., 2>,.2 pigment{color Silver} finish{metal} } cylinder { <0, l+2., -2>, <0, l+2., 2>,.2 pigment{color Silver} finish{metal} } Finalmente, a Figura 2.3 apresenta um dos quadros gerados nesta animac~ao. Como podemos notar, atraves deste exemplo, a implementac~ao de uma animac~ao deste tipo baseada em um modelo cinematico constitui uma tarefa simples, visto que apenas um pequeno numero de variaveis, tais como posic~ao, orientac~ao, velocidade e acelerac~ao deve ser controlado. Entretanto, os resultados obtidos s~ao, na maioria das vezes, completamente satisfatorios. Por outro lado, quando o objetivo de uma animac~ao e a simulac~ao de um processo fsico, ent~ao um modelo mais sosticado deve ser utilizado para que o resultado nal apresente um aspecto \mais realista". Dessa forma, no proximo captulo sera apresentado um modelo din^amico para o movimento de objetos rgidos, de maneira a obter-se \animac~oes realistas", ou seja, simulac~oes. Mais adiante abordaremos novamente o tema da animac~ao cinematica, porem direcionado ao estudo do movimento de objetos articulados.

19 Fundamentos da Animac~ao Modelada por Computador 19 - FRAME0.H - FRAME1.H PENDULO.EXE - FRAMEn.H FRAME.H - BASICFRM.POV POV-Ray?? ANIMACAO.BAT??? FRAME0.TGA FRAME1.TGA FRAMEn.TGA Figura 2.2: Relacionamento entre os arquivos utilizados para a sntese da animac~ao do p^endulo.

20 Fundamentos da Animac~ao Modelada por Computador 20 Figura 2.3: Imagem gerada durante o processo de animac~ao do p^endulo.

21 Captulo 3 ANIMAC ~AO DIN ^AMICA - MODELO PARA OBJETOS RIGIDOS O modelo din^amico para a animac~ao de objetos rgidos e complementar ao modelo cinematico apresentado anteriormente. Isto signica que o modelo din^amico apresenta variaveis que haviam sido desprezadas pelo modelo cinematico. Tais variaveis s~ao, por exemplo, as forcas e torques aplicados ao objeto, o momento de inercia do objeto, etc. A utilizac~ao de um modelo mais completo (din^amico, por exemplo) apresenta algumas vantagens, tais como um maior \grau de realismo" do movimento gerado e, tambem, a possibilidade de simulac~ao de um grande numero de fen^omenos fsicos. Por outro lado, tais modelos tambem apresentam desvantagens tais como maior grau de complexidade, maior numero de variaveis a serem controladas, etc. Alem disso, certamente o animador deve dominar alguns conhecimentos de mec^anica e, mais ainda, o resultado visual nem sempre compensara o alto custo computacional destes modelos. Portanto, a escolha entre a utilizac~ao de um modelo cinematico ou din^amico deve ser muito criteriosa. Dentro desse contexto, para que seja tracado um paralelo entre modelos cinematicos e din^amicos apresentaremos na subsec~ao seguinte um exemplo de implementac~ao de um modelo din^amico relativamente simples. 3.1 Desenvolvimento de um modelo din^amico para um amortecedor Consideremos o esquema de um amortecedor apresentado na Figura 3.1. Trata-se de um modelo relativamente simples onde so e possvel o deslocamento do ^embolo do pist~ao ao longo de seu eixo de simetria. Neste sistema temos um componente capaz de armazenar energia (mola), alem de um componente dissipador de energia (atrito viscoso entre o ^embolo e o corpo do amortecedor), que s~ao capazes de gerar um movimento amortecido para o ^embolo do objeto. Dessa forma, visto que n~ao existe movimento de rotac~ao neste sistema, seu modelo din^amico pode ser dado por: 21

22 Fundamentos da Animac~ao Modelada por Computador 22 Figura 3.1: Amortecedor. F resultante = F externa + F mola + F atrito viscoso (3.1) ou seja, a forca resultante sobre o objeto e igual a soma das forcas que atuam no mesmo. Como forcas atuantes sobre o objeto temos a forca externa que deve provocar o deslocamento do ^embolo (F externa ), a forca de restaurac~ao da mola (F mola )eaforca decorrente do atrito viscoso entreo^embolo e o corpo do amortecedor (F atrito viscoso ). Dessa forma, o modelo para o amortecedor pode ser re-escrito como sendo: onde: m d2 x dt 2 = F externa ; k x ; b dx dt (3.2) x e a posic~ao do objeto em deslocamento. m e a massa em movimento. k e a constante de elasticidade da mola. b e o coeciente de atrito viscoso. Discretizando o modelo consideraremos: dx dt =_x i = x i ; x i;1 t (3.3) d 2 x dt = _x i ; _x i;1 2 t = x i ; 2 x i;1 + x i;2 (t) 2 (3.4)

23 Fundamentos da Animac~ao Modelada por Computador 23 onde t equivale ao intervalo de amostragem. Substituindo na equac~ao (3.2): Finalmente: m x i ; 2 x i;1 + x i;2 = F externa ; k x i ; b x i ; x i;1 (t) 2 t (3.5) x i = (t)2 F externa +(b t +2 m) x i;1 ; m x i;2 m + k (t) 2 + b t (3.6) Dessa forma, de acordo o modelo representado na equac~ao (3.6) podemos avaliar a posic~ao do ^embolo do amortecedor em func~ao das forcas que atuam no corpo. Especicamente, para uma determinada forca externa aplicada ao objeto, podemos avaliar seu respectivo posicionamento ao longo do tempo. A partir deste ponto, uma vez que o modelo para omovimento do objeto tenha sido desenvolvido, o mesmo procedimento utilizado para a gerac~ao nal da animac~ao do exemplo cinematico pode ser utilizado aqui. Um ponto importante a ser novamente considerado ainda neste exemplo e o fato de que o mesmo n~ao dispunha de movimento de rotac~ao. Tal fato contribuiu em muito para a obtenc~ao deste modelo relativamente simples. Para sistemas onde e possvel a ocorr^encia de movimentos de rotac~ao, deve ser utilizada uma formulac~ao mais complexa, tal como as equac~oes din^amicas de Newton-Euler, que e descrita na sec~ao seguinte. 3.2 Modelo para objetos sujeitos a rotac~oes Quando dispomos de modelo onde e permitida a ocorr^encia de movimentos de rotac~ao devemos considerar, alem das forcas que atuam no sistema, os torques associados a rotac~ao do objeto. Para tanto, podemos considerar o Modelo Din^amico de Newton-Euler, descrito atraves do seguinte conjunto de equac~oes: F = m [a +_! P c +! (! P c )] (3.7) onde: N = I _! +(m P c a)+! (I!) (3.8) m e a massa do objeto. P c eumvetor que localiza o centro de massa do objeto em relac~ao ao sistema de coordenadas utilizado. F representa a soma das forcas que atuam no centro de massa do objeto. N representa a soma dos torques que atuam no centro de massa do objeto. I e a matriz tensor de inercia do objeto, relativa ao seu centro de massa.

24 Fundamentos da Animac~ao Modelada por Computador 24 a e a acelerac~ao linear do objeto.! e a velocidade angular do objeto. _! e a acelerac~ao angular do objeto. Embora o modelo acima seja suciente para a descric~ao do movimento de translac~ao e rotac~ao de um objeto rgido, voltaremos a estudar os modelos din^amicos mais adiante, quando direcionarmos nossa atenc~ao para uma outra classe de objetos rgidos, especicamente aqueles que s~ao dotados de articulac~oes. Um grande numero de objetos interessantes s~ao dotados de articulac~oes, entre eles diversas partes de nosso corpo tais como m~aos, bracos, pernas, etc. Entretanto, antes de introduzirmos os conceitos relacionados a animac~ao de objetos articulados, e interessante desenvolver um conjunto de convenc~oes de modo a facilitar a modelagem destes objetos. Portanto, o captulo seguinte introduz um conjunto de convenc~oes uteis a modelagem de objetos articulados.

25 Captulo 4 REPRESENTAC ~AO DE OBJETOS NO ESPACO TRIDIMENSIONAL Antes de partirmos para o desenvolvimento das tecnicas de controle de movimento de estruturas articuladas e interessante denir uma convenc~ao para a representac~ao dos objetos de nosso interesse. As denic~oes encontradas neste captulo s~ao derivadas das convenc~oes propostas em [Craig (1989)], inicialmente voltadas a area de Robotica. Consideremos a Figura 4.1: ; @; ;; z 6 frg : R P S -? ; y x ; ; ;; x Figura 4.1: Esquema de representac~ao de sistemas de coordenadas no espaco 3-D. Seja: R V 31 um vetor qualquer, representado no sistema de coordenadas frg. S V 31 um vetor qualquer, representado no sistema de coordenadas fsg. R S T 44 uma transformac~ao de coordenadas, que leva umvetor representado no sistema de coordenadas fsg para o sistema de coordenadas frg. Para estabelecermos uma relac~ao entre vetores e transformac~oes de coordenadas, e melhor descrever as translac~oes, vamos considerar, quando realizarmos o produto entre uma matriz de transformac~ao e um vetor, o vetor expresso na forma homog^enea: 25

26 Fundamentos da Animac~ao Modelada por Computador x y z 1 sendo \x", \y" e \z" as coordenadas do vetor em seu devido sistema de coordenadas 1. Dessa forma: R V = R S T S V (4.1) A matriz de transformac~ao R S T entre os SC pode ser expressa na forma: " RS # R S T R (44) = R (33) P S(31) onde: (4.2) R P S(31) eumvetor, representado no SC frg, quevai da origem do SC frg a origem do SC fsg. R S R (33) e uma matriz que representa a orientac~ao do SC fsg em relac~ao ao SC frg. Note que R S R e formada por tr^es \vetores-coluna", ortonormais entre si, representados no SC frg, que constituem uma base para o SC fsg. Dessa forma, podemos escrever que: Temos ainda que: S R R = h R S Ri ;1 = h R S Ri T (4.3) R V = R S R S V + R P S (4.4) A transformac~ao R S T e inversvel e pode ser representada na forma: Assim sendo: h i 2 ;1 S R RT = S T = 4 h i T RS R h i T R ; S T R P S (4.5) S V = S R T R V (4.6) S V = h R S Ri T R V ; R S R R P S (4.7) Podemos concatenar diversas transformac~oes como produto entre matrizes: A T = A T B T C T (4.8) D B C D 1 E comum, em robotica, a substituic~ao do termo \Sistema de Coordenadas" por outros, tais como \frame" ou, simplesmente, SC.

27 Fundamentos da Animac~ao Modelada por Computador 27 fbg z 6 - y x ; B P C ;; ; ;; z 6 P B fag - ; y ; ; ;; x C P D ; @- ; ;;? x Figura 4.2: Concatenando diversos sistemas de coordenadas. E importante lembrar que o vetor S V denota tanto a sua forma homog^enea (4x1) como a sua forma convencional (3x1). No decorrer do texto, a forma homog^enea sera utilizada no calculo das transformac~oes entre sistemas de coordenadas, conforme a equac~ao (4.1), enquanto a forma convencional, no calculo da orientac~ao do vetor, conforme a equac~ao (4.4). 4.1 Obtenc~ao de uma matriz de orientac~ao entre sistemas de coordenadas Consideremos dois SC fag e fbg, inicialmente coincidentes, sendo fag o SC referencial e fbg o SC que deve ser rotacionado. Epossvel a representac~ao de uma matriz de orientac~ao atraves da \notac~ao de rotac~ao de Euler", onde a rotac~ao sera representada em relac~ao ao proprio SC que esta girando. Dessa forma, consideremos a seguinte sequ^encia de passos: Primeiro, gire o SC fbg em torno de seu proprio eixo \x" de um ^angulo \", em segundo lugar, gire o SC fbg em torno de seu proprio eixo \y" de um ^angulo \" e, nalmente, gire o SC fbg em torno de seu proprio eixo \z" de um ^angulo \". Formalmente temos: = cos() ;sen() 0 sen() cos() A BR xyz ( ) =R x () R y () R z () = (4.9) cos() 0 sen() ;sen() 0 cos() cos() ;sen() 0 sen() cos() (4.10)

28 Fundamentos da Animac~ao Modelada por Computador 28 A B HHY H z 6 H H z' fbg H H y' H@ H * - ; y ; fag; x ;; x' Figura 4.3: Rotac~ao entre sistemas de coordenadas. Podemos tambem representar a orientac~ao entre dois SC atraves da rotac~ao de um SC em relac~ao a um vetor, por intermedio dos \par^ametros de Euler", conforme mostra a Figura 4.3. De acordo com esta gura, o SC fbg pode ser rotacionado de um ^angulo qualquer, digamos, ao redor do vetor, de acordo com a \regra da m~ao direita", na forma: " 1 = x sen(=2) " 2 = y sen(=2) " 3 = z sen(=2) " 4 = cos(=2) (4.11) Sendo que x, y e z s~ao as componentes do vetor A B, a matriz de orientac~ao sera dada por: A BR = (1 ; 2 " 2 2 ; 2 "2 3 ) 2 (" 1 " 2 ; " 3 " 4 ) 2 (" 1 " 3 ; " 2 " 4 ) 2 (" 1 " 2 ; " 3 " 4 ) (1 ; 2 " 2 1 ; 2 " 2 3) 2 (" 2 " 3 ; " 1 " 4 ) 2 (" 1 " 3 ; " 2 " 4 ) 2 (" 2 " 3 ; " 1 " 4 ) (1 ; 2 " 2 1 ; 2 " 2 2) (4.12) 4.2 Notac~ao para sistemas de coordenadas variantes no tempo Consideremos a Figura 4.4, onde s~ao apresentados dois SC fag e fbg. Consideremos tambem o ponto Q, representado no SC fbg ( B Q). Caso o ponto B Q esteja em movimento, seu vetor velocidade sera dadopor: B V Q = d( B Q) (4.13) dt Caso desejassemos expressar a velocidade do ponto \Q" em termos do SC fag, deveramos fazer:

29 Fundamentos da Animac~ao Modelada por Computador 29 ; @; ;; z A P fag : -? ; y x ; ; ;; x uq Figura 4.4: Representac~ao para S.C. variantes no tempo. A hb V Q i = A BR B V Q (4.14) Por outro lado, se existe variac~ao na dist^ancia entre as origens dos SC fag e fbg (os SC est~ao em movimento), ent~ao devemos considerar um novo termo: A hb V Q i = A V BORG + A BR B V Q (4.15) sendo A V BORG avelocidade entre as origens dos SC fag e fbg, medida no SC fag. Devemos notar que, para que a equac~ao (4.15) seja valida, n~ao e permitida a ocorr^encia de alterac~oes na orientac~ao entre os SC fag e fbg. Ou seja, A BR = constante. Consideremos agora que os SC fag e fbg possuem origens coincidentes e que esta condic~ao n~ao se altera com o passar do tempo. Dessa forma: A P B =0=constante, como mostra a Figura 4.3. Devemos tambem notar que, embora as origens permanecam coincidentes, existe movimento entre os SC fag e fbg,vistoqueexisteumavelocidade angular A B entre os mesmos, dada em termos do SC fag. A velocidade angular descreve a variac~ao da orientac~ao do SC fbg relativa ao SC fag. A direc~ao do vetor velocidade angular indica o eixo de rotac~ao instant^aneo de fbg relativo a fag a magnitude do vetor velocidade angular indica a velocidade da rotac~ao. Consideremos novamente a Figura 4.4. Caso exista velocidade linear ( A V BORG )evelocidade angular ( A B )entre os SC fag e fbg avelocidade do ponto \Q" sera dadapor: sendo: A V B = A V BORG + A B R B V Q + ha B A B R B Q i (4.16) A B A BR B Q a componente de rotac~ao caso o SC fbg gire em relac~ao ao SC fag, representado no SC fag A BR B V Q avelocidade do ponto \Q" em relac~ao ao S.C. fbg, representada no SC fag e

30 Fundamentos da Animac~ao Modelada por Computador 30 A V BORG avelocidade da origem do SC fbg em relac~ao ao SC fag. Vamos chamar o Sistema de Coordenadas Inercial de fug. Quando desejarmos representaravelocidade angular de um SC fag qualquer em relac~ao a fug, utilizaremos a notac~ao! A. Caso dois SC estejam se movendo, um em relac~ao ao outro, e possvel que exista contnua alterac~ao na matriz de orientac~ao que relaciona os dois sistemas. Para analisarmos esta situac~ao, consideremos o SC fag em movimento, em relac~ao ao SC inercial, fug. Neste caso temos: onde: d h U A R i dt [! A ] = e denominada a matriz DUAL do vetor: =[! A ] h U AR i (4.17) 0! z ;! y ;! z 0! x! y ;! x 0! A = 2 6 4! x! y! z (4.18) Uma vez que tenhamos denido uma convenc~ao para a notac~ao a ser utilizada na modelagem de estruturas articuladas, podemos proceder a modelagem de objetos desta classe. Nos captulos seguintes deniremos metodologias para a representac~ao e simulac~ao de objetos articulados no espaco tridimensional. Especicamente, o captulo seguinte apresenta um modelo cinematico para objetos articulados.

31 Captulo 5 MODELO CINEM ATICO PARA ESTRUTURAS ARTICULADAS \Manipulador" e um termo comum em robotica, utilizado para designar estruturas rgidas dotadas de articulac~oes como, por exemplo, o braco de um rob^o. Em [Korein (1982)] temos apresentada uma primeira aplicac~ao do modelo cinematico de um manipulador em Computac~ao Graca. Um problema bastante comum em robotica consiste em se determinar as posic~oes angulares das juntas de um rob^o de tal forma que sua extremidade (end-eector) seja posicionada em um determinado ponto de interesse do espaco. Ou seja, dada uma trajetoria para o end-eector do rob^o quais as posic~oes angulares das juntas que satisfazem esta condic~ao? Este e o mesmo problema encontrado quando se deseja realizar a animac~ao de um objeto articulado qualquer, para o qual devem ser consideradas as seguintes quest~oes: 1. Por quais pontos do espaco 3-D deve se deslocar a extremidade do objeto articulado (denic~ao da trajetoria)? 2. Qual a orientac~ao a ser seguida pelo end-eector do objeto? 3. Para a trajetoria desejada, quais as posic~oes e orientac~oes dos demais segmentos articulados do rob^o? 4. Qual deve ser o deslocamento angular de cada junta para que o movimento nal desejado seja efetivamente realizado? Para solucionarmos estas quest~oes podemos desenvolver, por exemplo, um modelo cinematico para o objeto articulado. Dessa forma, a sec~ao seguinte introduz uma metodologia para a representac~ao geometrica de uma estrutura articulada qualquer. 5.1 Par^ametros de um objeto articulado segundo Denavit-Hartenberg Conforme apresentado em [Girard (1985)], considere os seguintes par^ametros de uma estrutura articulada apresentados na Figura 5.1: 31

32 Fundamentos da Animac~ao Modelada por Computador 32 Figura 5.1: Par^ametros de Denavit-Hartenberg para uma estrutura articulada. Figura 5.2: Sistema de Coordenadas de um segmento. a i i i d i e o comprimento do segmento \i" (medido ao longo do eixo \x" do SC \preso" ao segmento \i"). eo^angulo entre os eixos \z" dos SC dos segmentos \i" e \i+1". eo^angulo entre os eixos \x" dos SC dos segmentos \i-1" e \i" (tambem conhecido como variavel de junta). e a dist^ancia entre os segmentos \i-1" e \i". Como podemos notar na Figura 5.1, para melhor representar as caractersticas de cada segmento, associamos a cada segmento do manipulador um SC proprio (e xo) a este, conforme mostra a Figura 5.2: Se associarmos a cada segmento do objeto articulado um SC, ent~ao poderemos denir tambem transformac~oes que relacionam tais SC. Logo, seja a transformac~ao entre dois segmentos adjacentes, \i-1" e \i":

33 Fundamentos da Animac~ao Modelada por Computador 33 onde: " i;1 ~ni ~o i T = i ~a i ~p i # (5.1) ~n i, ~o i, ~a i,s~ao vetores-coluna que denem a orientac~ao do segmento, ~p i equivale ao vetor-coluna de posic~ao, que vai da origem do SC fi-1g ate a origem do SC fig. e ainda: n ix = cos( i ) o ix = ;cos( i ) sen( i ) a ix = sen( i ) sen( i ) p ix = a i cos( i ) n iy = sen( i ) o iy = cos( i ) cos( i ) a iy = ;sen( i ) cos( i ) p iy = a i sen( i ) (5.2) n iz =0 o iz = sen( i ) a iz = cos( i ) p iz = d i Concatenando as transformac~oes entre quaisquer segmentos teremos: j it = j j+1t j+1 j+2t ::: i;1 i T (5.3) Notemos que, devido a sua estrutura n~ao deformavel, quando o objeto sofrer algum deslocamento, apenas o par^ametro \" sofrera variac~ao. 5.2 Gerac~ao de trajetorias para uma estrutura articulada Consideremos a estrutura articulada representada na Figura 5.3. Para a Figura 5.3, consideremos completamente conhecida sua congurac~ao inicial ou seja, todos os par^ametros do objeto s~ao conhecidos ( i =0ed i =0), inclusive asvariaveis de junta: 1, 2, 3 e 4. Com relac~ao a congurac~ao nal do objeto, ou seja, o estado do objeto apos sua movimentac~ao, consideremos conhecidas a posic~ao eaorientac~ao do ultimo SC (xo ao ultimo segmento) em relac~ao ao SC inercial f0g. Dessa forma, sendo conhecidas a posic~ao eaorientac~ao nal do ultimo segmento (associado ao SC f4g) em relac~ao ao SC inercial, f0g, podemos denir a transformac~ao nal que relaciona os respectivos SC. " # 0 ~n f ~o 4T = f ~a f ~p f (5.4) Analisando cuidadosamente a equac~ao (5.4), podemos concluir que, embora a matriz de transformac~ao se encontre numericamente denida, cada um de seus elementos esta relacionado a uma ou mais variaveis de junta. Atraves das informac~oes acima, podemos propor o seguinte problema cinematico inverso:

34 Fundamentos da Animac~ao Modelada por Computador 34 Figura 5.3: Posic~oes inicial e nal de uma estrutura articulada. Como determinar os valores para as variaveis de junta ( 1, 2, 3 e 4 ) que denem a congurac~ao nal do objeto? Para a soluc~ao deste tipo de problema propomos um procedimento iterativo, onde os valores das variaveis de junta s~ao constantemente atualizados ate que se chegue a soluc~ao do problema. Partindo-se de uma estimativa inicial qualquer, podemos denir para o objeto em quest~ao a transformac~ao relativaa\k-esima" iterac~ao que relaciona o ultimo SC, 4, com o SC inercial, f0g, como sendo: " # 0 ~n 4T k k ~o = k ~a k ~p k (5.5) Sendo o vetor de variaveis de junta dado por: q k =( k 1 k 2 k 3 k 4) T (5.6) Podemos ainda denir uma relac~ao entre as transformac~oes 0 4 T f inal e 0 4 T k na forma: Sendo: r 1 = ~n k (~p f ; ~p k ) r 2 = ~o k (~p f ; ~p k ) r 3 = ~a k (~p f ; ~p k ) r 4 = (~a k ~o f ; ~a f ~o k )=2 r 4 = (~n k ~a f ; ~n f ~a k )=2 r 4 = (~o k ~n f ; ~o f ~n k )=2 (5.7)

35 Fundamentos da Animac~ao Modelada por Computador 35 r(q) =(r 1 r 2 r 3 r 4 r 5 r 6 ) (5.8) conhecido como sendo o vetor residual da "k-esima" iterac~ao. Quando r(q) =0, o manipulador estara na posic~ao e orientac~ao nal desejadas. Segundo [Goldenberg (1985)], para chegarmos a r(q) = 0, o\vetor q" pode ser atualizado da seguinte forma: sendo (k) =[ 1 2 ::: n ] T a soluc~ao para o sistema linear: r j [q (k) ]+ nx i=1 q (k+1) = q (k) + (k) (5.9) J (k) ji (k) =0 j =1 ::: 6 (5.10) e J ji s~ao os elementos da matriz Jacobiano, \J", para um objeto com \n" graus de liberdade, queedadapor: J (k) ji = r(k) j (k) i (5.11) Notemos que, ao inves de associar a uma junta um grau de liberdade, e associado um SC a cada grau de liberdade. A soluc~ao deste problema geralmente depende da invers~ao da matriz Jacobiano. Entretanto, nem sempre o Jacobiano sera uma matriz quadrada, o que o tornara n~ao inversvel. Neste caso, para que ocorra converg^encia no processo iterativodecalculo do vetor de variaveis de estado, deve ser calculada a pseudo-inversa do Jacobiano, \J + ", ao inves de sua inversa. Para uma matriz Jacobiano de dimens~ao \m n" e posto (rank) \p", a sua pseudo-inversa sera: J + = (J T J) ;1 J se : m>n= p J T (J J T ) ;1 se : p = m<n (5.12) Uma alternativa para a resoluc~ao da equac~ao (5.9) e a utilizac~ao do \Metodo de Newton- Raphson Modicado", como segue: onde (k) satisfeita: onde: q (k+1) = q (k) + (k) (k) (5.13) eumnumero positivo escolhido de tal forma que a seguinte inequac~ao seja G[q (k+1) ] <G[q (k) ] (5.14) G(q) = X j=1 6[r j (q)] 2 (5.15) Conforme mostrado na Figura 5.4, a partir da denic~ao de um ponto da trajetoria desejada, aplicamos o \algoritmo" acima descrito (equac~ao (5.9) ou (5.13)) para que sejam calculadas as variaveis de junta do objeto neste ponto.

36 Fundamentos da Animac~ao Modelada por Computador 36 Figura 5.4: Marcac~ao da trajetoria do objeto. Assim, denimos para cada ponto da trajetoria do objeto a posic~ao e a orientac~ao do extremo livre 1 do objeto articulado. 5.3 Exemplo de animac~ao de um rob^o modelo \Yasukawa Motoman L-3" Consideremos o rob^o apresentado na Figura 5.5. Neste exemplo, o rob^o constitui uma estrutura articulada com cinco graus de liberdade. Matematicamente, a relac~ao existente entre cada um dos graus de liberdade pode ser expressa atraves do seguinte conjunto de matrizes de transformac~ao: 0 T = 1 1 2T = cos( 1 ) ;sen( 1 ) 0 0 sen( 1 ) cos( 1 ) cos( 2 ) ;sen( 2 ) ;sen( 2 ) ;cos( 2 ) (5.16) (5.17) 1 Consideremos o extremo livre de um objeto articulado como sendo o segmento mais extremo do mesmo, capaz de realizar uma determinada tarefa.

37 Fundamentos da Animac~ao Modelada por Computador 37 Figura 5.5: Esquema de um rob^o modelo Yasukawa Motoman L-3. onde: 2 3T = 3 4T = 4 5T = cos( 3 ) ;sen( 3 ) 0 l 1 sen( 3 ) cos( 3 ) cos( 4 ) ;sen( 4 ) 0 l 2 sen( 4 ) cos( 4 ) cos( 5 ) ;sen( 5 ) ;1 0 sen( 5 ) cos( 5 ) (5.18) (5.19) (5.20) 1, 2, 3, 4 e 5 representam os graus de liberdade do objeto e l 1 e l 2 representam os comprimentos do primeiro e segundo segmentos, respectivamente. A partir destas informac~oes podemos desenvolver a animac~ao do objeto para uma determinada trilha a ser seguida pelo extremo livre do mesmo. A Figura 5.6 apresenta uma possvel visualizac~ao para o objeto a ser animado.

38 Fundamentos da Animac~ao Modelada por Computador 38 Figura 5.6: Representac~ao visual do rob^o modelo Yasukawa Motoman L Exemplo de animac~ao de uma luminaria \Luxo" Alterando ligeiramente o modelo do rob^o Yasukawa Motoman L-3 podemos construir um outro objeto articulado interessante, a luminaria \Luxo". O modelo matematico para este objeto pode ser descrito atraves das seguintes transformac~oes: onde: 0 1T = 1 T = 2 2 T = 3 3 T = cos( 1 ) ;sen( 1 ) 0 p x sen( 1 ) cos( 1 ) 0 p y p z cos( 2 ) ;sen( 2 ) ;sen( 2 ) ;cos( 2 ) cos( 3 ) ;sen( 3 ) 0 l 1 sen( 3 ) cos( 3 ) cos( 4 ) ;sen( 4 ) 0 l 2 sen( 4 ) cos( 4 ) , 2, 3 e 4 representam os graus de liberdade rotacionais do objeto (5.21) (5.22) (5.23) (5.24)

39 Fundamentos da Animac~ao Modelada por Computador 39 p x, p y e p z representam os graus de liberdade translacionais do objeto. l 1 e l 2 representam os comprimentos do primeiro e segundo segmentos, respectivamente. Novamente, com este modelo podemos desenvolver uma animac~ao para uma determinada trilha planejada. A Figura 5.7 apresenta uma visualizac~ao para a luminaria \Luxo". Figura 5.7: Representac~ao visual para a luminaria Luxo. O modelo cinematico apresentado neste captulo pode ser complementado atraves de um modelo din^amico para estruturas articuladas, o qual sera apresentado no captulo seguinte.

40 Captulo 6 MODELO DIN ^AMICO PARA ESTRUTURAS ARTICULADAS RAMIFICADAS No captulo anterior foram tratadas estruturas articuladas que s~ao caracterizadas por uma cadeia de segmentos. Entretanto, uma grande variedade de objetos articulados admite cadeias ramicadas, caracterizando estruturas tipo arvore. Um exemplo bastante comum seria o esqueleto humano. [Armstrong (1985)] foi um dos pioneiros a tratar este tipo de problema aplicado a Computac~ao Graca. Ainda na segunda metade da decada de 80, foram propostas soluc~oes alternativas de forma mais generica em [Isaacs (1987)] e [Isaacs (1988)]. O modelo din^amico apresentado nesta sec~ao foi desenvolvido por [Wilhems (1988)] de modo a ser aplicavel a estruturas articuladas ramicadas ou n~ao. Este tipo de abordagem para a soluc~ao do problema de controle de movimento de uma estrutura tipo arvore nos leva a um algoritmo iterativo que pode ser implementado em computador de maneira relativamente facil. Consideremos a estrutura articulada em arvore apresentada na Figura 6.1. Uma estrutura tipo arvore consiste de um objeto articulado cujas juntas podem conectar mais de dois segmentos. Da mesma forma que o manipulador estudado no captulo anterior, associamos a cada segmento um SC que cara xo no seu respectivo segmento. A raiz da estrutura sera escolhida arbitrariamente e sera considerada uma refer^encia para o objeto. As folhas da arvore s~ao os segmentos extremos da estrutura. Temos que, para dois segmentos adjacentes, sera chamado de pai aquele que estiver mais proximo da raiz, sendo o segundo chamado de lho. Deve car claro desde ja que um segmento n~ao pode ter dois pais. Para a analise das estruturas tipo arvore podemos utilizar a formulac~ao din^amica de Newton-Euler, conforme apresentado em [Wilhelms (1988)] e [Craig (1989)]. 6.1 Formulac~ao din^amica para estrutura em arvore Consideremos o objeto rgido da Figura 6.2. As equac~oes vetoriais de Newton-Euler que descrevem o movimento deste objeto no espaco tridimensional s~ao [Wilhelms (1988)]: 40

41 Fundamentos da Animac~ao Modelada por Computador 41 Figura 6.1: Exemplo de estrutura tipo arvore. F = m [a +_! P c +! (! P c )] (6.1) onde: N = I _! + m P c a +! (I!) (6.2) m representa a massa do objeto. P c eumvetor que vai da origem do SC xo no objeto ate ocentro de massa do mesmo. F representa a soma das forcas que atuam no centro de massa do objeto. N representa a soma dos torques que atuam no centro de massa do objeto. I e a matriz tensor de inercia (3 3) do objeto relativa aoseucentro de massa. a e o vetor acelerac~ao linear do corpo.! e o vetor velocidade angular do corpo. _! e o vetor acelerac~ao angular do objeto. Sendo que, por conveni^encia, os valores acima devem ser medidos em relac~ao a um sistema de coordenadas xo no objeto. Em um objeto articulado, para que dois segmentos adjacentes (pai e lho) sejam mantidos unidos atraves de uma junta, devemos considerar um conjunto de equac~oes de restric~ao alem das equac~oes de Newton-Euler para cada conjunto pai-lho:

42 Fundamentos da Animac~ao Modelada por Computador 42 Figura 6.2: Um segmento de uma estrutura tipo arvore. f p = F p + p fr f f (6.3) onde: n p = N p + p fr n f + p P f ( p fr f f ) (6.4) f p f f n p n f e a forca aplicada na origem do SC preso ao segmento \pai". e a forca aplicada na origem do SC preso ao segmento \lho". e o torque aplicado na origem do SC preso ao segmento \pai". e o torque aplicado na origem do SC preso ao segmento \lho". p fr e a matriz de orientac~ao existente entre os segmentos\pai"e\lho". P c eovetor que vai da origem do SC preso ao segmento \pai" ate a origem do SC preso ao segmento \lho". Figura 6.3: Dois segmentos unidos atraves de uma junta rotacional. Dessa forma, para o objeto da Figura 6.3 temos:

43 Fundamentos da Animac~ao Modelada por Computador 43 F 1 = m 1 [a 1 +!_ 1 P c1 +! 1 (! 1 P c1 )] N 1 = I 1!_ 1 + m 1 P c1 a 1 +! 1 (I 1! 1 ) F 2 = m 2 [a 2 +!_ 2 P c2 +! 2 (! 2 P c2 )] N 2 = I 2!_ 2 + m 2 P c2 a 2 +! 2 (I 2! 2 ) f 1 = F 1 + 1R f 2 2 n 1 = N R n P 2 ( 1 2R f 2 ) (6.5) Supondo que as forcas e torques externos s~ao aplicados nas origens dos SC presos aos segmentos 1 e 2, e considerando a exist^encia de apenas dois segmentos, podemos ainda escrever que: F 1 = f 1 ; 1 2 R f 2 N 1 = n 1 ; 1 2 R n 2 ; 1 P R f 2 F 2 = f 2 N 2 = n 2 (6.6) Os conjuntos de equac~oes anteriores podem ser reescritos na seguinte forma matricial: a 1!_ 1 a 2!_ = m 1 ;P c1 0 0 m 1 P c1 I m 2 ;P c2 0 0 m 2 P c2 I 2 f 1 ; 1 2 R f 2 ;! 1 (! 1 P c1 ) n 1 ; 1 2R n 2 ; 1 P 2 1 2R f 2 ;! 1 (I 1! 1 ) f 2 ;! 2 (! 2 P c2 ) n 2 ;! 2 (I 2! 2 ) ;1 (6.7) Atraves da simulac~ao da express~ao matricial acima podemos determinar por completo o comportamento din^amico do objeto articulado ao longo do tempo. Para tanto, devem ser conhecidas, num determinado instante de tempo, a posic~ao, orientac~ao e a velocidade (linear e angular) do objeto. Para determinarmos a posic~ao, a orientac~ao e velocidade do objeto no \proximo instante de tempo" devemos calcular a acelerac~ao atual (linear e angular) e, atraves de integrac~ao numerica, determinar os proximos valores para as variaveis de posic~ao, orientac~aoevelocidade. Logo, atraves do metodo de integrac~ao numerica de Euler, temos:! (k+1) i =! (k) i v (k+1) i = v (k) i S (k+1) i = S (k) i + v (k) i +_! (k) i t + a (k) i t (6.8) t +0 5a (k) i (t) 2 sendo t o intervalo de amostragem. Outro metodo de integrac~ao (mais eciente) que pode ser utilizado e ometodo de Runge- Kutta [Boyce (1985)]. Dessa forma, a primeira matriz da equac~ao (6.7) representa as \incognitas" (acelerac~oes) do objeto a ser simulado. Ja a segunda matriz, que e constante e pode ser previamente calculada, representa a congurac~ao do objeto sendo comumente chamada de matriz de

44 Fundamentos da Animac~ao Modelada por Computador 44 massa. Finalmente, a terceira matriz e composta pelas forcas e torques que est~ao atuando no objeto. Como um novo exemplo, consideremos Figura 6.4, que apresenta uma estrutura em arvore. Figura 6.4: Tr^es segmentos unidos por intermedio de uma junta rotacional. As equac~oes din^amicas que modelam este objeto s~ao: F 1 = m 1 [a 1 +!_ 1 P c1 +! 1 (! 1 P c1 )] N 1 = I 1!_ 1 + m 1 P c1 a 1 +! 1 (I 1! 1 ) F 2 = m 2 [a 2 +!_ 2 P c2 +! 2 (! 2 P c2 )] N 2 = I 2!_ 2 + m 2 P c2 a 2 +! 2 (I 2! 2 ) F 3 = m 3 [a 3 +!_ 3 P c3 +! 3 (! 3 P c3 )] N 3 = I 3!_ 3 + m 3 P c3 a 3 +! 3 (I 3! 3 ) (6.9) f 1 = F R f R f 3 n 1 = N R n P 2 ( 1 2R f 2 )+ 1 3R n P 3 ( 1 3R f 3 ) Mais uma vez, de posse do modelo que descreve omovimento do objeto, o processo de gerac~ao nal da animac~ao pode ser repetido como descrito nas sec~oes anteriores. Notemos que, para os algoritmos apresentados ate omomento, com excec~ao deste ultimo, a trilha a ser seguida pelo objeto deve ser completamente denida pelo animador. Isto pode, em certos casos, constituir uma tarefa enfadonha que, a princpio, poderia ser automatizada. Por exemplo, para um determinado objeto, dados os pontos inicial e nal de seu movimento,o sistema de controle de movimento poderia automaticamente calcular a trilha a ser percorrida. Esta tarefa pode ser efetuada em diversos nveis, desde a simples considerac~ao de uma reta como trajetoria ate o calculo de caminhos otimizados e livres e livres de colis~ao. Dentro desse contexto, o proximo captulo explora um algoritmo para o planejamento e calculo de trilhas. O algoritmo a ser apresentado e capaz de gerar caminhos livres de colis~ao para o deslocamento de um objeto.

45 Captulo 7 PLANEJAMENTO DE TRILHAS / DESVIO DE OBST ACULOS Modelos cinematicos e din^amicos s~ao amplamente utilizados para o calculo do movimento de qualquer objeto em animac~ao por computador. Dessa forma, de acordo com grande parte das tecnicas de controle em animac~ao, o animador deve especicar \o qu^e" um ator deve fazer, por exemplo \mova-se daqui para la" (restric~ao espacial), e \como" a ac~ao deve ser realizada, por exemplo \mova-se o mais rapido possvel mas n~ao desperdice energia" (restric~ao temporal-energetica). Mais ainda, o animador deve especicar as outras restric~oes presentes no sistema a ser modelado, tais como as leis fsicas que regem o movimento, etc. A seguir, de acordo com as restric~oes impostas, a trilha para o movimento e gerada por alguma tecnica de otimizac~ao. Isto signica que o animador tem consci^encia da tarefa atribuda ao ator, mas a trilha a ser propriamente seguida pelo mesmo pode ser uma incognita. Analisando as restric~oes impostas ao movimento e possvel extrair todas as informac~oes sobre a trilha gerada, mas isto nem sempre e uma tarefa trivial. Mais ainda, a determinac~ao de caminhos livres de colis~oes pode exigir um conjunto muito complexo de restric~oes em alguns casos. Portanto, o paradigma acima descrito refere-se muito mais a \como se especicar as ac~oes desejadas" do que a \como se planejar o movimento". Para se solucionar o problema do planejamento do movimento de um unico ator sugerese, ent~ao, um mecanismo de planejamento previo da trilha a ser seguida. Dessa forma, a avaliac~ao da trilha a ser seguida pelo ator deve ser realizada antes da aplicac~ao de algum modelo cinematico ou din^amico ao movimento. Uma vez que uma trilha conveniente tenha sido calculada de acordo com algum conjunto de restric~oes, tais como \n~ao se aproxime muito deste objeto" ou \encontre o caminho mnimo entre estes dois pontos", algum modelo cinematico ou din^amico pode ser aplicado ao sistema para se gerar o movimento nal do ator. Esta estrategia fornece ao animador um maior controle da animac~ao como um todo, visto que ele n~ao apenas sabe o que deve ser feito, mas tambem e consciente de tudo aquilo que ocorre durante o movimento. Mais ainda, dividindo o modelo inicial em duas partes, ou seja, um planejamento previo da trilha a ser seguida e posterior aplicac~ao de um modelo sicamente valido, tornamos o controle da animac~ao como um todo mais facil de ser 45

46 Fundamentos da Animac~ao Modelada por Computador 46 manipulado. Existem desenvolvidos, atualmente, diversos metodos para a determinac~ao de trilhas (path planning) de objetos rgidos evitando-se colis~oes (collision avoidance). E. G. Gilbert apresentou um metodo em [Gilbert (1985)] que utiliza func~oes de dist^ancia para o calculo de uma trilha otima a ideia principal consiste em expressar o impedimento de colis~oes com outros obstaculos em termos das dist^ancias entre partes que apresentam grande probabilidade de colis~ao. O. Takahashi, por sua vez, apresentou um metodo para se evitar colis~oes entre guras planas (polgonos) no espaco 2-D utilizando Diagramas de Voronoi [Takahashi (1989)]. L. P. Gewali considerou o problema de planejamento de trilhas no espaco 3-D na presenca de obstaculos verticais [Gewali (1990)]. Um metodo muito interessante para o problema do impedimento de colis~oes ou planejamento de trilhas e apresentado por Y. K. Hwang em [Hwang (1992)]. Neste metodo o planejamento de trilhas no espaco 3-D e obtido atraves da representac~ao de obstaculos por intermedio de campos potenciais. Por outro lado, M. Moore em [Moore (1988)] preocupou-se em solucionar o problema da detec~ao em resposta a colis~oes em animac~ao por computador. O algoritmo para planejamento de trilhas que sera apresentado a seguir e parcialmente baseado na estrategia de atribuic~ao de \potenciais" aos obstaculos presentes numa regi~ao do espaco. Para se encontrar um conjunto de possveis trilhas, de acordo com algum conjunto de restric~oes impostas ao ambiente onde se passa a animac~ao, sugerimos a atribuic~ao de \func~oes potenciais" aos obstaculos presentes no ambiente. Uma vez que o potencial para cada ponto tenha sido calculado, podemos obter um conjunto de trilhas possveis para o movimento desejado. A seguir, dados os pontos inicial e nal para o movimento, atraves de uma \func~ao de otimizac~ao" podemos encontrar uma trilha otima para o movimento. 7.1 Um caso estudado O metodo aqui apresentado sera discutido atraves de um exemplo relativamente simples. Para o exemplo em quest~ao sera apenas aplicado o algoritmo de planejamento de trilhas, visto que ja foram apresentadas nos captulos anteriores diversas tecnicas cinematicas e din^amicas que podem ser aplicadas posteriormente ao calculo da trilha do movimento Denic~ao do modelo de campos de potenciais O metodo a seguir pode ser aplicado para regi~oes no espaco 3-D ou 2-D. Consideremos, por exemplo, a regi~ao planar apresentada na Figura 7.1. Como primeiro passo, a regi~ao planar deve ser decomposta em uma rede de pontos. A rede resultante sera, portanto, composta por pontos dentro de \obstaculos" ou no \espaco livre". A seguir, a cada um dos pontos da rede devemos atribuir um determinado potencial. Cabe ressaltar que o calculo de potenciais que se fara para cada ponto tem um pressuposto particular, a analogia com potenciais de campos eletricos. Iniciaremos este procedimento atribuindo um potencial \P i " a cada ponto no interior ou na borda de um obstaculo \i". Notemos que, atribuindo potenciais diferentes a cada

47 Fundamentos da Animac~ao Modelada por Computador 47 x x x x x - 6 x x x x x - 6 x x x x x P i j 6 P B x x x x x P A - - Figura 7.1: Uma regi~ao planar a ser estudada. obstaculo podemos obter comportamentos diferentes para o movimento do ator, isto e, um potencial elevado fara com que o ator se distancie do obstaculo. Podemos tambem considerar a fronteira que delimita a regi~ao planar como um obstaculo, atribuindo um potencial apropriado a mesma.para os pontos no espaco livre inicialmente atribuiremos um potencial zero. Visto que existem regi~oes com potenciais superiores em relac~ao a outras, um campo de potenciais surgira no espaco livre. Isto signica que deve-se atualizar os valores inicialmente atribuidos aos pontos no espaco livre. Isto pode ser feito atraves do processo iterativo apresentado abaixo. De acordo com a Equac~ao de Laplace, em sua forma discretizada, apresentada em [Hayt (1981)],e possvel avaliar o potencial de um ponto \P i j "naregi~ao planar como sendo dado pela media dos potenciais de seus pontos vizinhos. Logo, para o exemplo apresentado na gura 7.1, temos: P i j = P i;1 j + P i j;1 + P i j+1 + P i+1 j 4 O algoritmo para a avaliac~ao do campo de potencial de uma regi~ao e dado por: (7.1) 1. Divida a regi~ao em uma rede de pontos. 2. Para cada ponto nesta regi~ao: Se o ponto encontrar-se no interior ou na borda de um obstaculo, atribua um valor para seu potencial. Se o ponto encontrar-se no espaco livre, atribua a ele um potencial inicial igual a zero. 3. Repita, ate que o potencial de cada ponto no espaco livre apresente converg^encia para algum valor: Para cada ponto no espaco livre, atualize seu potencial de acordo com a equac~ao (7.1).

48 Fundamentos da Animac~ao Modelada por Computador 48 Ate o momento, dispomos da topologia da regi~ao descrita atraves de um campo potencial. Isto signica que o problema inicial, isto e, \como evitar uma colis~ao", encontra-se representado pelo campo potencial presente no espaco livre. Portanto, sabemos que o ator estara se aproximando de um obstaculo quando o potencial dos pontos percorridos estiver aumentando. Ou seja, a probabilidade de colis~ao diminui a medida em que o potencial dos pontos percorridos tambem diminui. Dessa forma, a trilha composta pelos pontos de menores potenciais certamente constitui a trilha com menor probabilidade de colis~ao. Entretanto, isto n~ao implica que esta trilha e a mais curta entre dois pontos. Isto signica que necessitamos de algum criterio/algoritmo de otimizac~ao de forma a descobrirmos \uma boa trilha" entre dois pontos de uma regi~ao. A subsec~ao seguinte discute esta etapa do problema, ou seja, \como encontrar uma boa trilha entre dois pontos mediante algum criterio de otimizac~ao" Denic~ao de uma trilha \otimizada" Para se avaliar uma trilha \otima" entre dois pontos, vamos considerar uma regra basica em programac~ao din^amica. De acordo com a Figura 7.1, se a trilha desenhada entre os pontos A e B e otima, ent~ao a \sub-trilha" entre os pontos P i j e B tambem e. Isto signica que, de acordo com o exemplo da Figura 7.1, se P i j se encontra na trilha otima, e e necessario passar por algum vizinho de P i j para se chegar a este ponto, ent~ao este ponto vizinho tambem se encontra na trilha otima. Existem diversos algoritmos para se calcular uma trilha otima entre dois pontos. Algoritmos de programac~ao din^amica, como aqueles apresentados em [Gill (1981)] e [Gondran (1986)], s~ao adequados ao metodo aqui desenvolvido porque ja dispomos da regi~ao de nosso interesse representada atraves de uma rede. Podemos considerar esta regi~ao como um grafo onde os \nos" do grafo s~ao representados pelos pontos discretizados da regi~ao. Os \arcos" do grafo s~ao representados pela conectividade da regi~ao e os \pesos de transic~ao" entre \nos" s~ao dados por algum criterio de otimizac~ao. O criterio de otimizac~ao aqui sugerido e a soma ponderada do potencial do ponto com sua dist^ancia euclidiana ate oponto inicial da trilha. A func~ao que representa o \custo" do ponto (i,j), C i j, pode ser expressa por: onde: C i j = V i j + D i j (7.2) e o \peso" atribuido ao potencial do ponto (i,j). V i j e o potencial do ponto (i,j). e o \peso" atribuido a dist^ancia. D i j e a dist^ancia euclidiana entre os pontos (i,j) e o ponto inicial da trilha. Para aplicarmos o algoritmo de otimizac~ao a ser apresentado a seguir, associamos, a cada ponto (i,j) no espaco livre, os seguintes atributos:

49 Fundamentos da Animac~ao Modelada por Computador 49 Point Number: Numero associado ao ponto. Father Number: Numero do \pai" deste ponto. X: Coordenada \x" do ponto. Y: Coordenada \y" do ponto. Z: Coordenada \z" do ponto. C: \Custo" deste ponto. Mark: Indica se este ponto foi marcado. O algoritmo desenvolvido para a otimizac~ao de uma trilha e representado por: 1. Para cada ponto no espaco livre: dena Point Number ( 1). 2. Dena os pontos inicial e nal da trilha. 3. Selecione o ponto nal, marque-o e faca-o ser o ponto atual. Faca Father Number =0 para o ponto nal. 4. Para cada ponto (i,j), n~ao marcado, no espaco livre vizinho ao ponto atual: calcule o custo C i j do ponto. 5. Selecione o vizinho do ponto atual, que n~ao esteja marcado, com menor custo. Faca seu Father Number =Point Number do ponto atual. Agora marque o ponto selecionado e faca-o ser o ponto atual. 6. O ponto atual e oponto inicial da trilha? Sim: Fim do algoritmo. N~ao: Volte ao passo 4. Uma vez que a trilha \otima" tenha sido calculada, o proximo estagio e a aplicac~ao de algum modelo cinematico ou din^amico ao movimento que deve ser executado de acordo com a trajetoria gerada. Considerando que podemos estar modelando o movimento de objetos rgidos, aos inves de apenas entidades \puntiformes", sugere-se manter o maior eixo do objeto na mesma direc~ao da trilha gerada. Um exemplo para uma trajetoria gerada e apresentado na Figura 7.2.

50 Fundamentos da Animac~ao Modelada por Computador 50 Figura 7.2: Exemplo de trilha gerada atraves do algoritmo de planejamento de trilhas.

51 Captulo 8 CONTROLE GLOBAL ATRAVES DO MODELO DE DEDS Como introduzido no captulo 1, a subdivis~ao em dois nveis, denominados local e global, pode trazer benefcios no que diz respeito a simplicac~ao da modelagem do sistema. Dentro deste contexto, o controle local realizara o deslocamento efetivo de um determinado objeto por outro lado, atraves do controle global controlamos a interac~ao entre atores eentre um ator e o animador. Como ilustrac~ao da interac~ao entre os metodos de controle local e global sera discutido, nesta sec~ao, o controle de uma estrutura bpede. Podemos modelar um bpede atraves de uma estrutura articulada. De fato, s~ao necessarias duas estruturas articuladas, id^enticas no caso, para compormos o bpede. Analogamente, para um modelo que se assemelha a um ser humano devemos considerar mais duas estruturas articuladas para os seus bracos. Quando s~ao consideradas cada uma das estruturas articuladas individualmente, vislumbramos o controle local do ator. Ou seja, devemos solucionar o problema do posicionamento de cada uma das \pernas" ao longo do tempo isoladamente. Este problema pode ser encarado do ponto de vista da cinematica inversa, ou seja, dadas as posic~oes inicial e nal de um objeto, devemos calcular as posic~oes intermediarias para o objeto, de modo que o movimento pareca o menos robotico possvel. Observemos a Figura 8.1. Figura 8.1: Um bpede composto por dois pares de estruturas articuladas. 51