Eletromagnetismo. Johny Carvalho Silva Universidade Federal do Rio Grande Instituto de Matemática, Física e Estatística. ...:: Solução ::...

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Eletromagnetismo. Johny Carvalho Silva Universidade Federal do Rio Grande Instituto de Matemática, Física e Estatística. ...:: Solução ::..."

Transcript

1 Eletromagnetismo Johny Carvalho Silva Universidade Federal do Rio Grande Instituto de Matemática, Física e Estatística Lista Mostrar que a seguinte medida é invariante d 3 p p 0 onde: p 0 p + m (1) onde v e v - velocidade da partícula no referencial K e K, V - velocidade do referencial K em relação a K....:: Solução ::... d 3 p p 0 d 4 pδ(p m )Θ(p 0 ) onde p p µ p µ p 0 p e p 0 E ± p + m () função de Heaviside: Θ(α) { 1, se α > 0 0, se α < 0 (3) d 4 pδ(p m )Θ(p 0 ) d 4 pδ(p 0 p m )Θ(p 0 ) [ d 4 pδ p 0 (p + m ) Θ(p 0 ) d 4 pδ(p 0 E )Θ(p 0 ) (4) propriedade da função delta: δ(x a ) 1 [ δ(x + a) + δ(x a) a (5) das eqs.(3), (4) e (5) d 4 pδ(p 0 E )Θ(p 0 ) [ δ(p 0 + E) + δ(p 0 E) Θ(p 0 ) d 4 p E d 4 p E δ(p 0 + E)Θ(p 0 ) }{{} Θ(p 0 )0 d 4 p + E δ(p 0 E)Θ(p 0 ) pois p 0 E (E > 0 é positivo definido, partícula livre) d 3 p d 3 E dp p 0 δ(p 0 E)Θ(p 0 ) (6) }{{} p 0 Θ(p 0 )1 pois p 0 E 1

2 . - Demonstrar a relação v (v + V) 1 c (v V) 1 + (v V) c...:: Solução ::... Suponha um sistema K que se move em relação ao sistema K com velocidade V ao longo do eixo x. Transformções de Lorentz, x γ(x + V t ) dx γ(dx + V dt ), (8) y y dy dy, (9) z z dz dz, (10) t γ(t + V/c x ) dt γ(dt + V/c dx ). (11) onde V (V x, 0, 0) é velocidade do sistema K em relação ao sistema K Dividindo as eqs, (8),(9) e (10) pela eq. (11) temos, v dr, velocidade da partícula no sistema K (1) dt v dr dt, velocidade da partícula no sistema K (13) (7) (14) cuja as componentes são, v x v x + V x 1 + v xv x c v y v y 1 V x c 1 + v xv x c v z v z 1 V x c 1 + v xv x c (15) fazendo: γ 1 1 V x c e a v xv x c v V c (16)

3 calculando o módulo de v, v v vx + vy + vz a (v x + V x ) + a (γ 1 v y) + a (γ 1 v z) a v x + Vx + v xv x + γ (v y + v z ) a v x + Vx + v xv x + (1 V x c )(v y + v z ) a v x + v y + v z + Vx + v xv x V x c (v y + v a v + V + v V 1 c (v V) (v + V) 1 c (v V) 1 + v V c z ) (17).3 - Sejam os tensores simétricos S µν e antisimétrico F µν. Obtenha as regras de transformação para as componentes destes tensores com as transformações de Lorentz no plano (t, x)....:: Solução ::... t γ βγ 0 0 t x y βγ γ 0 0 x y z z Para o tensor simétrico S µν, e t γ βγ 0 0 t x y βγ γ 0 0 x y (18) z z S µν Λ α µλ β ν S αβ (19) Λ 0 µλ 0 νs 00 + Λ 0 µλ 1 νs 01 + Λ 0 µλ νs 0 + Λ 0 µλ 3 νs 03 + Λ 1 µλ 0 νs 10 + Λ 1 µλ 1 νs 11 + Λ 1 µλ νs 1 + Λ 1 µλ 3 νs 13 + Λ µλ 0 νs 0 + Λ µλ 1 νs 1 + Λ µλ νs + Λ µλ 3 νs 3 + Λ 3 µλ 0 νs 30 + Λ 3 µλ 1 νs 31 + Λ 3 µλ νs 3 + Λ 3 µλ 3 νs 33 fixando µ 0 e fazendo variar ν 0,..., 3 para ν 0 S 00 Λ 0 0Λ 0 0S 00 + Λ 0 0Λ 1 0S 01 + Λ 0 0Λ 0S 0 + Λ 0 0Λ 3 0S 03 + Λ 1 0Λ 0 0S 10 + Λ 1 0Λ 1 0S 11 + Λ 1 0Λ 0S 1 + Λ 1 0Λ 3 0S 13 + Λ 0Λ 0 0S 0 + Λ 0Λ 1 0S 1 + Λ 0Λ 0S + Λ 0Λ 3 0S 3 + Λ 3 0Λ 0 0S 30 + Λ 3 0Λ 1 0S 31 + Λ 3 0Λ 0S 3 + Λ 3 0Λ 3 0S 33 Λ 0 0Λ 0 0S 00 + Λ 0 0Λ 1 0S 01 + Λ 1 0Λ 0 0S 10 + Λ 1 0Λ 1 0S 11 [ 1 S 00 γ β β S 00 + S 01 + βs 11 (0) 3

4 S 01 Λ 0 0Λ 0 1S 00 + Λ 0 0Λ 1 1S 01 + Λ 0 0Λ 1S 0 + Λ 0 0Λ 3 1S 03 + Λ 1 0Λ 0 1S 10 + Λ 1 0Λ 1 1S 11 + Λ 1 0Λ 1S 1 + Λ 1 0Λ 3 1S 13 + Λ 0Λ 0 1S 0 + Λ 0Λ 1 1S 1 + Λ 0Λ 1S + Λ 0Λ 3 1S 3 + Λ 3 0Λ 0 1S 30 + Λ 3 0Λ 1 1S 31 + Λ 3 0Λ 1S 3 + Λ 3 0Λ 3 1S 33 Λ 0 0Λ 0 1S 00 + Λ 0 0Λ 1 1S 01 + Λ 1 0Λ 0 1S 10 + Λ 1 0Λ 1 1S 11 S 01 γ β [S 00 + (1 + β)s 01 + S 11 (1) para ν S 0 Λ 0 0Λ 0 S 00 + Λ 0 0Λ 1 S 01 + Λ 0 0Λ S 0 + Λ 0 0Λ 3 S 03 + Λ 1 0Λ 0 S 10 + Λ 1 0Λ 1 S 11 + Λ 1 0Λ S 1 + Λ 1 0Λ 3 S 13 + Λ 0Λ 0 S 0 + Λ 0Λ 1 S 1 + Λ 0Λ S + Λ 0Λ 3 S 3 + Λ 3 0Λ 0 S 30 + Λ 3 0Λ 1 S 31 + Λ 3 0Λ S 3 + Λ 3 0Λ 3 S 33 Λ 0 0Λ S 0 + Λ 1 0Λ S 1 S 0 γ [S 0 + βs 1 () para ν 3 S 03 Λ 0 0Λ 0 3S 00 + Λ 0 0Λ 1 3S 01 + Λ 0 0Λ 3S 0 + Λ 0 0Λ 3 3S 03 + Λ 1 0Λ 0 3S 10 + Λ 1 0Λ 1 3S 11 + Λ 1 0Λ 3S 1 + Λ 1 0Λ 3 3S 13 + Λ 0Λ 0 3S 0 + Λ 0Λ 1 3S 1 + Λ 0Λ 3S + Λ 0Λ 3 3S 3 + Λ 3 0Λ 0 3S 30 + Λ 3 0Λ 1 3S 31 + Λ 3 0Λ 3S 3 + Λ 3 0Λ 3 3S 33 Λ 0 0Λ 3 3S 03 + Λ 1 0Λ 3 3S 13 S 03 γ [S 03 + βs 13 (3) fixando µ 1 e fazendo variar ν 0,..., 3 para ν 0 S 10 S 01 γ β [S 00 + (1 + β)s 01 + S 11 S 11 Λ 0 1Λ 0 1S 00 + Λ 0 1Λ 1 1S 01 + Λ 0 1Λ 1S 0 + Λ 0 1Λ 3 1S 03 + Λ 1 1Λ 0 1S 10 + Λ 1 1Λ 1 1S 11 + Λ 1 1Λ 1S 1 + Λ 1 1Λ 3 1S 13 + Λ 1Λ 0 1S 0 + Λ 1Λ 1 1S 1 + Λ 1Λ 1S + Λ 1Λ 3 1S 3 + Λ 3 1Λ 0 1S 30 + Λ 3 1Λ 1 1S 31 + Λ 3 1Λ 1S 3 + Λ 3 1Λ 3 1S 33 Λ 0 1Λ 0 1S 00 + Λ 0 1Λ 1 1S 01 + Λ 1 1Λ 0 1S 10 + Λ 1 1Λ 1 1S 11 S 11 γ β [S 00 βs β S 11 (4) para ν S 1 Λ 0 1Λ 0 S 00 + Λ 0 1Λ 1 S 01 + Λ 0 1Λ S 0 + Λ 0 1Λ 3 S 03 + Λ 1 1Λ 0 S 10 + Λ 1 1Λ 1 S 11 + Λ 1 1Λ S 1 + Λ 1 1Λ 3 S 13 + Λ 1Λ 0 S 0 + Λ 1Λ 1 S 1 + Λ 1Λ S + Λ 1Λ 3 S 3 + Λ 3 1Λ 0 S 30 + Λ 3 1Λ 1 S 31 + Λ 3 1Λ S 3 + Λ 3 1Λ 3 S 33 Λ 0 1Λ S 0 + Λ 1 1Λ S 1 S 1 γ S 1 γs 0 4

5 para ν 3 S 13 Λ 0 1Λ 0 3S 00 + Λ 0 1Λ 1 3S 01 + Λ 0 1Λ 3S 0 + Λ 0 1Λ 3 3S 03 + Λ 1 1Λ 0 3S 10 + Λ 1 1Λ 1 3S 11 + Λ 1 1Λ 3S 1 + Λ 1 1Λ 3 3S 13 + Λ 1Λ 0 3S 0 + Λ 1Λ 1 3S 1 + Λ 1Λ 3S + Λ 1Λ 3 3S 3 + Λ 3 1Λ 0 3S 30 + Λ 3 1Λ 1 3S 31 + Λ 3 1Λ 3S 3 + Λ 3 1Λ 3 3S 33 Λ 0 1Λ 3 3S 03 + Λ 1 1Λ 3 3S 13 S 13 γs 13 γ βs 03 fixando µ e fazendo variar ν 0,..., 3 para ν 0 S 0 S 0 γ [S 0 + βs 1 (5) S 1 S 1 γ S 1 γs 0 para ν S Λ 0 Λ 0 S 00 + Λ 0 Λ 1 S 01 + Λ 0 Λ S 0 + Λ 0 Λ 3 S 03 + Λ 1 Λ 0 S 10 + Λ 1 Λ 1 S 11 + Λ 1 Λ S 1 + Λ 1 Λ 3 S 13 + Λ Λ 0 S 0 + Λ Λ 1 S 1 + Λ Λ S + Λ Λ 3 S 3 + Λ 3 Λ 0 S 30 + Λ 3 Λ 1 S 31 + Λ 3 Λ S 3 + Λ 3 Λ 3 S 33 Λ Λ S S S para ν 3 S 3 Λ 0 Λ 0 3S 00 + Λ 0 Λ 1 3S 01 + Λ 0 Λ 3S 0 + Λ 0 Λ 3 3S 03 + Λ 1 Λ 0 3S 10 + Λ 1 Λ 1 3S 11 + Λ 1 Λ 3S 1 + Λ 1 Λ 3 3S 13 + Λ Λ 0 3S 0 + Λ Λ 1 3S 1 + Λ Λ 3S + Λ Λ 3 3S 3 + Λ 3 Λ 0 3S 30 + Λ 3 Λ 1 3S 31 + Λ 3 Λ 3S 3 + Λ 3 Λ 3 3S 33 Λ Λ 3 3S 3 S 3 S 3 fixando µ 3 e fazendo variar ν 0,..., 3 S 30 S 03 γ [S 03 + βs 13 (6) S 31 S 13 γs 13 γ βs 03 para ν S 3 S 3 S 3 5

6 para ν 3 S 33 Λ 0 3Λ 0 3S 00 + Λ 0 3Λ 1 3S 01 + Λ 0 3Λ 3S 0 + Λ 0 3Λ 3 3S 03 + Λ 1 3Λ 0 3S 10 + Λ 1 3Λ 1 3S 11 + Λ 1 3Λ 3S 1 + Λ 1 3Λ 3 3S 13 + Λ 3Λ 0 3S 0 + Λ 3Λ 1 3S 1 + Λ 3Λ 3S + Λ 3Λ 3 3S 3 + Λ 3 3Λ 0 3S 30 + Λ 3 3Λ 1 3S 31 + Λ 3 3Λ 3S 3 + Λ 3 3Λ 3 3S 33 Λ 3 3Λ 3 3S 33 S 33 S 33 Para o tensor antisimétrico F µν, F µν Λ α µλ β ν F αβ (7) fixando µ 0 e fazendo variar ν 0,..., 3 para ν 0 para ν F 00 Λ 0 0Λ 0 0F 00 + Λ 0 0Λ 1 0F 01 + Λ 0 0Λ 0F 0 + Λ 0 0Λ 3 0F 03 + Λ 1 0Λ 0 0F 10 + Λ 1 0Λ 1 0F 11 + Λ 1 0Λ 0F 1 + Λ 1 0Λ 3 0F 13 + Λ 0Λ 0 0F 0 + Λ 0Λ 1 0F 1 + Λ 0Λ 0F + Λ 0Λ 3 0F 3 + Λ 3 0Λ 0 0F 30 + Λ 3 0Λ 1 0F 31 + Λ 3 0Λ 0F 3 + Λ 3 0Λ 3 0F 33 Λ 0 0Λ 0 0F 00 + Λ 0 0Λ 1 0F 01 + Λ 1 0Λ 0 0F 10 + Λ 1 0Λ 1 0F 11 F 00 0 (8) F 01 Λ 0 0Λ 0 1F 00 + Λ 0 0Λ 1 1F 01 + Λ 0 0Λ 1F 0 + Λ 0 0Λ 3 1F 03 + Λ 1 0Λ 0 1F 10 + Λ 1 0Λ 1 1F 11 + Λ 1 0Λ 1F 1 + Λ 1 0Λ 3 1F 13 + Λ 0Λ 0 1F 0 + Λ 0Λ 1 1F 1 + Λ 0Λ 1F + Λ 0Λ 3 1F 3 + Λ 3 0Λ 0 1F 30 + Λ 3 0Λ 1 1F 31 + Λ 3 0Λ 1F 3 + Λ 3 0Λ 3 1F 33 Λ 0 0Λ 1 1F 01 + Λ 1 0Λ 0 1F 10 F 01 γ [ 1 β F 01 (9) F 0 Λ 0 0Λ 0 F 00 + Λ 0 0Λ 1 F 01 + Λ 0 0Λ F 0 + Λ 0 0Λ 3 F 03 + Λ 1 0Λ 0 F 10 + Λ 1 0Λ 1 F 11 + Λ 1 0Λ F 1 + Λ 1 0Λ 3 F 13 + Λ 0Λ 0 F 0 + Λ 0Λ 1 F 1 + Λ 0Λ F + Λ 0Λ 3 F 3 + Λ 3 0Λ 0 F 30 + Λ 3 0Λ 1 F 31 + Λ 3 0Λ F 3 + Λ 3 0Λ 3 F 33 Λ 0 0Λ F 0 + Λ 1 0Λ F 1 F 0 γ [F 0 βf 1 (30) para ν 3 F 03 Λ 0 0Λ 0 3F 00 + Λ 0 0Λ 1 3F 01 + Λ 0 0Λ 3F 0 + Λ 0 0Λ 3 3F 03 + Λ 1 0Λ 0 3F 10 + Λ 1 0Λ 1 3F 11 + Λ 1 0Λ 3F 1 + Λ 1 0Λ 3 3F 13 + Λ 0Λ 0 3F 0 + Λ 0Λ 1 3F 1 + Λ 0Λ 3F + Λ 0Λ 3 3F 3 + Λ 3 0Λ 0 3F 30 + Λ 3 0Λ 1 3F 31 + Λ 3 0Λ 3F 3 + Λ 3 0Λ 3 3F 33 Λ 0 0Λ 3 3F 03 + Λ 1 0Λ 3 3F 13 F 03 γ [F 03 γβf 13 (31) 6

7 fixando µ 1 e fazendo variar ν 0,..., 3 para ν 0 F 10 F 01 γ [β 1 F 01 F 11 Λ 0 1Λ 0 1F 00 + Λ 0 1Λ 1 1F 01 + Λ 0 1Λ 1F 0 + Λ 0 1Λ 3 1F 03 + Λ 1 1Λ 0 1F 10 + Λ 1 1Λ 1 1F 11 + Λ 1 1Λ 1F 1 + Λ 1 1Λ 3 1F 13 + Λ 1Λ 0 1F 0 + Λ 1Λ 1 1F 1 + Λ 1Λ 1F + Λ 1Λ 3 1F 3 + Λ 3 1Λ 0 1F 30 + Λ 3 1Λ 1 1F 31 + Λ 3 1Λ 1F 3 + Λ 3 1Λ 3 1F 33 Λ 0 1Λ 0 1F 00 + Λ 0 1Λ 1 1F 01 + Λ 1 1Λ 0 1F 10 + Λ 1 1Λ 1 1F 11 F 11 0 (3) para ν F 1 Λ 0 1Λ 0 F 00 + Λ 0 1Λ 1 F 01 + Λ 0 1Λ F 0 + Λ 0 1Λ 3 F 03 + Λ 1 1Λ 0 F 10 + Λ 1 1Λ 1 F 11 + Λ 1 1Λ F 1 + Λ 1 1Λ 3 F 13 + Λ 1Λ 0 F 0 + Λ 1Λ 1 F 1 + Λ 1Λ F + Λ 1Λ 3 F 3 + Λ 3 1Λ 0 F 30 + Λ 3 1Λ 1 F 31 + Λ 3 1Λ F 3 + Λ 3 1Λ 3 F 33 Λ 1 1Λ F 1 F 1 γf 1 (33) para ν 3 F 13 Λ 0 1Λ 0 3F 00 + Λ 0 1Λ 1 3F 01 + Λ 0 1Λ 3F 0 + Λ 0 1Λ 3 3F 03 + Λ 1 1Λ 0 3F 10 + Λ 1 1Λ 1 3F 11 + Λ 1 1Λ 3F 1 + Λ 1 1Λ 3 3F 13 + Λ 1Λ 0 3F 0 + Λ 1Λ 1 3F 1 + Λ 1Λ 3F + Λ 1Λ 3 3F 3 + Λ 3 1Λ 0 3F 30 + Λ 3 1Λ 1 3F 31 + Λ 3 1Λ 3F 3 + Λ 3 1Λ 3 3F 33 Λ 0 1Λ 3 3F 03 + Λ 1 1Λ 3 3F 13 F 13 γβf 03 + F 13 fixando µ e fazendo variar ν 0,..., 3 para ν 0 F 0 F 0 γ [βf 1 F 0 F 1 F 1 γf 1 para ν F Λ 0 Λ 0 1F 00 + Λ 0 Λ 1 1F 01 + Λ 0 Λ 1F 0 + Λ 0 Λ 3 1F 03 + Λ 1 Λ 0 1F 10 + Λ 1 Λ 1 1F 11 + Λ 1 Λ 1F 1 + Λ 1 Λ 3 1F 13 + Λ Λ 0 1F 0 + Λ Λ 1 1F 1 + Λ Λ 1F + Λ Λ 3 1F 3 + Λ 3 Λ 0 1F 30 + Λ 3 Λ 1 1F 31 + Λ 3 Λ 1F 3 + Λ 3 Λ 3 1F 33 F 0 (34) 7

8 para ν 3 F 3 Λ 0 Λ 0 3F 00 + Λ 0 Λ 1 3F 01 + Λ 0 Λ 3F 0 + Λ 0 Λ 3 3F 03 + Λ 1 Λ 0 3F 10 + Λ 1 Λ 1 3F 11 + Λ 1 Λ 3F 1 + Λ 1 Λ 3 3F 13 + Λ Λ 0 3F 0 + Λ Λ 1 3F 1 + Λ Λ 3F + Λ Λ 3 3F 3 + Λ 3 Λ 0 3F 30 + Λ 3 Λ 1 3F 31 + Λ 3 Λ 3F 3 + Λ 3 Λ 3 3F 33 Λ Λ 3 3F 3 F 3 F 3 (35) fixando µ 3 e fazendo variar ν 0,..., 3 para ν 0 F 30 F 03 γ [γβf 13 F 03 para ν F 31 F 13 γβf 03 F 13 para ν 3 F 3 F 3 F 3 F 3 Λ 0 3Λ 0 3F 00 + Λ 0 3Λ 1 3F 01 + Λ 0 3Λ 3F 0 + Λ 0 3Λ 3 3F 03 + Λ 1 3Λ 0 3F 10 + Λ 1 3Λ 1 3F 11 + Λ 1 3Λ 3F 1 + Λ 1 3Λ 3 3F 13 + Λ 3Λ 0 3F 0 + Λ 3Λ 1 3F 1 + Λ 3Λ 3F + Λ 3Λ 3 3F 3 + Λ 3 3Λ 0 3F 30 + Λ 3 3Λ 1 3F 31 + Λ 3 3Λ 3F 3 + Λ 3 3Λ 3 3F 33 F 33 0 (36).4 - Os campos elétrico E e magnético B, num sistema inércial K formam um ângulo < π/. Determinar os módulos dos campos E e B num outro referecial K onde o ângulo formado por ele é π/4....:: Solução ::... B E B E B E cos π 4 1 B E (B E) ( 1 B E ) B (B E) E (37) sabendo que, B E invariante E B invariante (38) (39) a invariância da eq. (38) significa que se as intensidades do campo elétrico E e do campo magnético B são iguais num sistema de referência, eles continuam iguais em outro. Se num referencial em repouso B > E ou vice-versa, eles continuam obedecendo a mesma relação em um referencial em movimento. A eq. (39) significa que se os campos E e B são mutuamente 8

9 perpendiculares em um referencial, isto é, E B 0, então eles também são perpendiculares em outro referencial. das eqs. (37) e (38) B E (B E) E E (B E) E 4 E 4 + (B E )E (B E) B E (40) B E (B E )E 0 usando a fórmula de Bhaskara: x b ± b 4ac a E e fazendo x E (B E ) ± (B E ) 4(1)( (B E) ) (1) E B ± (B E ) + 8(B E) E 1 [E B + (B E ) + 8(B E) 1/ (41) para obtermos B, basta proceder de modo análogo ao feito com E na eq. (37), B 1 [B E + (B E ) + 8(B E) 1/ (4).5 - Demonstrar as identidades abaixo C grad(a B) A (C )B + B (C )A (43) (C )(A B) A (C )B B (C )A (44) ( A) B A( B) (A )B A ( B) B ( A) (45)...:: Solução (43) ::... operação diferencial, C grad(a B) C [ (A ˇB) + C [ (Ǎ B) (46) 9

10 operação vetorial, A ( ˇB ) (A ˇB) + ˇB( A) (A ˇB) A ( B) + (A )B C [ (A ˇB) C [A ( B) + (A )B) C [A ( B) + C (A )B (C A) ( B) + C (A )B (C )(A B) (C B)(A ) + C (A )B A (C )B C (A )B + C (A )B A (C )B (47) B ( Ǎ) Ǎ(B ) + (Ǎ B) (Ǎ B) B ( A) + (B )A C [ (Ǎ B) C [B ( A) + (B )A das eqs. (46), (47) e (48), C [B ( A) + C (B )A (C B) ( A) + C (B )A (C )(B A) (C A)(B ) + C (B )A B (C )A C (B )A + C (B )A B (C )A (48) C grad(a B) A (C )B + B (C )A (49)...:: Solução (44) ::... operação diferencial, (C )(A B) (C )(A ˇB) + (C )(Ǎ B) (50) operação vetorial, (C )(A ˇB) A (C )B (51) (C )(Ǎ B) B (C )A (5) das eqs. (50), (51) e (5), (C )(A B) A (C )B B (C )A (53)...:: Solução (45) ::... operação diferencial, ( A) B ( A) ˇB + ( Ǎ) B (54) operação vetorial, ( A) ˇB ˇB ( A) +A( ˇB ) ( ˇB A) A( B) ( ˇB A) (55) A ( B) B(A ) + ( ˇB A) ( ˇB A) A ( B) + (A )B (56) 10

11 ( Ǎ) B B ( Ǎ) +Ǎ(B ) (B Ǎ) (B )A (Ǎ B) (57) B ( A) A(B ) + (Ǎ B) (Ǎ B) B ( A) + (B )A (58) das eqs. (54), (55), (56), (57) e (58), ( A) B A( B) (A )B A ( B) B ( A) (59) 11

Ονομαστική Γενική Αιτιατική Κλητική Αρσ. γλ υκοί γλ υκών γλ υκούς γλ υκοί Θηλ. γλ υκές γλ υκών γλ υκές γλ υκές Ουδ. γλ υκά γλ υκών γλ υκά γλ υκά

Ονομαστική Γενική Αιτιατική Κλητική Αρσ. γλ υκοί γλ υκών γλ υκούς γλ υκοί Θηλ. γλ υκές γλ υκών γλ υκές γλ υκές Ουδ. γλ υκά γλ υκών γλ υκά γλ υκά Επίθετα και Μετοχές Nic o las Pe lic ioni de OLI V EI RA 1 Apresentação Modelo de declinação de adjetivos e particípios (επίθετα και μετοχές, em grego) apresentado pela universidade Thessaloniki. Só é

Διαβάστε περισσότερα

Τ ο οριστ ικό άρθρο ΕΝΙΚΟΣ Ονομαστική Γενική Αιτιατική Κλ ητική Αρσενικός ο του το(ν) Θηλ υκός η της τη(ν) Ουδέτερο το του το ΠΛΗΘΥ ΝΤΙΚΟΣ

Τ ο οριστ ικό άρθρο ΕΝΙΚΟΣ Ονομαστική Γενική Αιτιατική Κλ ητική Αρσενικός ο του το(ν) Θηλ υκός η της τη(ν) Ουδέτερο το του το ΠΛΗΘΥ ΝΤΙΚΟΣ Apresentação Άρθρο και Ουσιαστικά Nic o las Pe lic ioni de OLI V EI RA 1 Modelo de declinação de artigos e substantivos (άρθρο και ουσιαστικά, em grego) apresentado pela universidade Thessaloniki. Só é

Διαβάστε περισσότερα

Problemas resueltos del teorema de Bolzano

Problemas resueltos del teorema de Bolzano Problemas resueltos del teorema de Bolzano 1 S e a la fun ción: S e puede af irm a r que f (x) está acotada en el interva lo [1, 4 ]? P or no se r c ont i nua f (x ) e n x = 1, la f unció n no e s c ont

Διαβάστε περισσότερα

At IP Barão de Geraldo

At IP Barão de Geraldo Prédio Povo At 6.8 8.3 IP Barão de Geraldo Ajuda na leitura: A cada parada, duas próximas palavras Igreja Igreja 1 E Saulo consentia na sua morte. Naquele dia, levantou-se grande perseguição contra a igreja

Διαβάστε περισσότερα

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033 Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische

Διαβάστε περισσότερα

Inscrição Carta de Referência

Inscrição Carta de Referência - Introdução Αγαπητέ κύριε, Αγαπητέ κύριε, Formal, destinatário do sexo masculino, nome desconhecido Αγαπητή κυρία, Αγαπητή κυρία, Formal, destinatário do sexo femino, nome desconhecido Αγαπητέ κύριε/κύρια,

Διαβάστε περισσότερα

m i N 1 F i = j i F ij + F x

m i N 1 F i = j i F ij + F x N m i i = 1,..., N m i Fi x N 1 F ij, j = 1, 2,... i 1, i + 1,..., N m i F i = j i F ij + F x i mi Fi j Fj i mj O P i = F i = j i F ij + F x i, i = 1,..., N P = i F i = N F ij + i j i N i F x i, i = 1,...,

Διαβάστε περισσότερα

Opalas de Pedro II: o APL como remediação da grande mina

Opalas de Pedro II: o APL como remediação da grande mina BrunoMilanez 1 JoséAntonioPuppimdeOliveira 2 1. Introdução 2. OmunicípiodePedroIIeseuentorno 1 2 United Nations University Institute of Advanced Studies 3 percapita percapita percapita per capita percapita

Διαβάστε περισσότερα

REPÚBLICA DE ANGOLA EMBAIXADA DA REPÚBLICA DE ANGOLA NA GRÉCIA DIPLOMÁTICO OFICIAL ORDINÁRIO ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΣΗΜΗ ΚΑΝΟΝΙΚΗ

REPÚBLICA DE ANGOLA EMBAIXADA DA REPÚBLICA DE ANGOLA NA GRÉCIA DIPLOMÁTICO OFICIAL ORDINÁRIO ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΣΗΜΗ ΚΑΝΟΝΙΚΗ REPÚBLICA DE ANGOLA EMBAIXADA DA REPÚBLICA DE ANGOLA NA GRÉCIA PEDIDO DE VISTO ΑΙΤΗΣΗ ΓΙΑ ΒΙΖΑ FOTO ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΑ DIPLOMÁTICO OFICIAL ORDINÁRIO ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΣΗΜΗ ΚΑΝΟΝΙΚΗ TRÂNSITO TRABALHO F. RESIDÊNCIA

Διαβάστε περισσότερα

u'+v u= 1+(u'v/c c+c=c Δx Δx'+vΔt' (Δx'/Δt')+v Δt Δt'+(v/c )Δx' 1+(v/c )(Δx'/Δt')

u'+v u= 1+(u'v/c c+c=c Δx Δx'+vΔt' (Δx'/Δt')+v Δt Δt'+(v/c )Δx' 1+(v/c )(Δx'/Δt') Μετασχηματισμοί Lorentz Σύμφωνα με την ειδική θεωρία της σχετικότητας οι νόμοι της φυσικής είναι ανεξάρτητοι από το αν το σύστημα αναφοράς κινείται ή είναι ακίνητο. x =γ(x-vt), y =y, z =z, t =γ(t-vx/c

Διαβάστε περισσότερα

#%" )*& ##+," $ -,!./" %#/%0! %,!

#% )*& ##+, $ -,!./ %#/%0! %,! -!"#$% -&!'"$ & #("$$, #%" )*& ##+," $ -,!./" %#/%0! %,! %!$"#" %!#0&!/" /+#0& 0.00.04. - 3 3,43 5 -, 4 $ $.. 04 ... 3. 6... 6.. #3 7 8... 6.. %9: 3 3 7....3. % 44 8... 6.4. 37; 3,, 443 8... 8.5. $; 3

Διαβάστε περισσότερα

Onde posso encontrar o formulário para? Onde posso encontrar o formulário para? Για να ρωτήσετε που μπορείτε να βρείτε μια φόρμα

Onde posso encontrar o formulário para? Onde posso encontrar o formulário para? Για να ρωτήσετε που μπορείτε να βρείτε μια φόρμα - Γενικά Onde posso encontrar o formulário para? Onde posso encontrar o formulário para? Για να ρωτήσετε που μπορείτε να βρείτε μια φόρμα Quando foi emitido seu/sua [documento]? Για να ρωτήσετε πότε έχει

Διαβάστε περισσότερα

Sur les articles de Henri Poincaré SUR LA DYNAMIQUE. Le texte fondateur de la Relativité en langage scientiþque moderne. par Anatoly A.

Sur les articles de Henri Poincaré SUR LA DYNAMIQUE. Le texte fondateur de la Relativité en langage scientiþque moderne. par Anatoly A. Sur les articles de Henri Poincaré SUR LA DYNAMIQUE DE L ÉLECTRON Le texte fondateur de la Relativité en langage scientiþque moderne par Anatoly A. LOGUNOV Directeur de l'institut de Physique des Hautes

Διαβάστε περισσότερα

Física P.A.U. ÓPTICA 1 ÓPTICA

Física P.A.U. ÓPTICA 1 ÓPTICA Física P.A.U. ÓPTICA 1 ÓPTICA PROBLEMAS DIOPTRIO PLANO 1. Un raio de luz de frecuencia 5 10 14 Hz incide, cun ángulo de incidencia de 30, sobre unha lámina de vidro de caras plano-paralelas de espesor

Διαβάστε περισσότερα

( () () ()) () () ()

( () () ()) () () () ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /011 1 Έστω r = r( t = ( x( t ( t z( t t I = [ a b] συνάρτηση C τάξης και r = r( t = r ( t = x ( t + ( t z ( t είναι μία διανυσματική + Nα αποδείξετε ότι: d 1 1

Διαβάστε περισσότερα

Laurindo Joao Dos Santos Lauro ~ Τιµοκατάλογος

Laurindo Joao Dos Santos Lauro ~ Τιµοκατάλογος Laurindo Joao Dos Santos Lauro ~ Τιµοκατάλογος Artmajeur.com/anaeluygi rua visconde de maua 140 apt 105 meireles, 60125160 Fortaleza ceara nordeste, Βραζιλία apresentando meu ceara brasil (90 Εικόνες)

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΜΦΕ ΕΜΠ Φυσική ΙΙΙ (Κυματική) Διαγώνισμα επί πτυχίω εξέτασης 02/06/2017 1

ΣΕΜΦΕ ΕΜΠ Φυσική ΙΙΙ (Κυματική) Διαγώνισμα επί πτυχίω εξέτασης 02/06/2017 1 ΣΕΜΦΕ ΕΜΠ Φυσική ΙΙΙ (Κυματική) Διαγώνισμα επί πτυχίω εξέτασης /6/7 Διάρκεια ώρες. Θέμα. Θεωρηστε ενα συστημα δυο σωματων ισων μαζων (μαζας Μ το καθενα) και δυο ελατηριων (χωρις μαζα) με σταθερες ελατηριων

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες Νίκος Ν. Αρπατζάνης Παράγωγος ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ y y = f(x) x φ y y y = f(x) x φ y y y = f(x) φ x 1 x 1 + х x x 1 x 1 + х x x 1 x tanϕ = y x tanϕ = dy dx

Διαβάστε περισσότερα

Exercicios de Física 02b. Magnetismo

Exercicios de Física 02b. Magnetismo Exercicios de Física 02b. Magnetismo Problemas 1. Determinar el radio de la órbita descrita por un protón que penetra perpendicularmente a un campo magnético uniforme de 10-2 T, después de haber sido acelerado

Διαβάστε περισσότερα

A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3

A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 16 0 17 0 17 0 18 0 18 0 19 0 20 A A = A 1 î + A 2 ĵ + A 3ˆk A (x, y, z) r = xî + yĵ + zˆk A B A B B A = A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 = A B θ θ A B = ˆn A B θ A B î ĵ ˆk = A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 W = F

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΨΗ 1 ου Μαθήματος

ΣΥΝΟΨΗ 1 ου Μαθήματος Ενημέρωση Η διδασκαλία του μαθήματος, πολλά από τα σχήματα και όλες οι ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: «Πανεπιστημιακή Φυσική» του Hugh Young των Εκδόσεων Παπαζήση, οι οποίες μας επέτρεψαν τη χρήση

Διαβάστε περισσότερα

GENIKA MAJHMATIKA. TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c

GENIKA MAJHMATIKA. TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c GENIKA MAJHMATIKA ΓΙΩΡΓΙΟΣ ΚΑΡΑΒΑΣΙΛΗΣ TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c 26 Μαΐου 2011 Συνάρτηση f ονομάζεται κάθε σχέση από ένα σύνολο A (πεδίο ορισμού) σε σύνολο B με την οποία

Διαβάστε περισσότερα

3. Μία τεθλασµένη γραµµή αποτελείται από πέντε διαφορετικά ευθύγραµµα

3. Μία τεθλασµένη γραµµή αποτελείται από πέντε διαφορετικά ευθύγραµµα 1. Να συγκρίνεις το µήκος της γραµµής ΑΒΓ Ε µε το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος ΖΗ, όπως φαίνονται στο διπλανό σχήµα. Μετρώντας µε το υποδεκάµετρο βρίσκουµε ΑΒ = 1,3cm, ΒΓ = 1,3cm, Γ = 1,4cm και Ε = 2,4cm

Διαβάστε περισσότερα

1.ª DECLINAÇÃO. Somente nomes femininos e masculinos, não há neutros. Os nomes femininos têm o

1.ª DECLINAÇÃO. Somente nomes femininos e masculinos, não há neutros. Os nomes femininos têm o 52 1.ª DECLINAÇÃO Somente nomes femininos e masculinos, não há neutros. Os nomes femininos têm o nominativo singular terminado em α (que pode ser puro ou impuro) ou η; já os masculinos os têm terminados

Διαβάστε περισσότερα

Tema 1. Espazos topolóxicos. Topoloxía Xeral, 2016

Tema 1. Espazos topolóxicos. Topoloxía Xeral, 2016 Tema 1. Espazos topolóxicos Topoloxía Xeral, 2016 Topoloxía e Espazo topolóxico Índice Topoloxía e Espazo topolóxico Exemplos de topoloxías Conxuntos pechados Topoloxías definidas por conxuntos pechados:

Διαβάστε περισσότερα

Física P.A.U. VIBRACIÓNS E ONDAS 1 VIBRACIÓNS E ONDAS

Física P.A.U. VIBRACIÓNS E ONDAS 1 VIBRACIÓNS E ONDAS Física P.A.U. VIBRACIÓNS E ONDAS 1 VIBRACIÓNS E ONDAS PROBLEMAS M.H.S.. 1. Dun resorte elástico de constante k = 500 N m -1 colga unha masa puntual de 5 kg. Estando o conxunto en equilibrio, desprázase

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 25/9/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 25/9/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 5/9/07 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) Να δειχθεί ότι το πεδίο F( x, y) = y cos x + y,sin x

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Διδάσκων: Θεόδωρος Ν. Τομαράς 1. Μετασχηματισμοί συντεταγμένων και συμμετρίες. 1α. Στροφές στο επίπεδο. Θεωρείστε δύο καρτεσιανά συστήματα συντεταγμένων στο επίπεδο, στραμμένα

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 3 (μέρος 1 ο )

Ενότητα 3 (μέρος 1 ο ) Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Προγραμματισμός με Εφαρμογές στην Επιστήμη του Μηχανικού Ενότητα 3 (μέρος 1 ο ) Σιέττος Κωνσταντίνος Άδεια Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ Διάλ Άλγεβρα. 1 a. Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα Β του βιβλίου

ΦΥΣ Διάλ Άλγεβρα. 1 a. Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα Β του βιβλίου ΦΥΣ 131 - Διάλ. 4 1 Άλγεβρα a 1 a a ( ± y) a a ± y log a a 10 log a ± logb log( ab ± 1 ) log( a n ) n log( a) ln a a e ln a ± ln b ln( ab ± 1 ) ln( a n ) nln( a) Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα

Διαβάστε περισσότερα

bab.la Φράσεις: Προσωπική Αλληλογραφία Ευχές ελληνικά-πορτογαλικά

bab.la Φράσεις: Προσωπική Αλληλογραφία Ευχές ελληνικά-πορτογαλικά Ευχές : Γάμος Συγχαρητήρια. Σας ευχόμαστε όλη την ευτυχία του κόσμου. Desejando a vocês toda felicidade do mundo. νιόπαντρο ζευγάρι Θερμά συγχαρητήρια για τους δυο σας αυτήν την ημέρα του σας. Parabéns

Διαβάστε περισσότερα

ᖧ劇Ć ᖧ劇 ᖧ劇 ᖧ劇ᖧ劇 Ι. ᖧ劇ᖧ劇ᖧ劇 ᖧ劇ᖧ劇ᖧ劇ᖧ劇ᖧ劇ᖧ劇ᖧ劇ᖧ劇ᖧ劇ᖧ劇 ᖧ劇ᖧ劇 ᖧ劇ᖧ劇ᖧ劇ᖧ劇ᖧ劇ᖧ劇ᖧ劇ᖧ劇 ᖧ劇ᖧ劇ᖧ劇ᖧ劇ᖧ劇ᖧ劇ᖧ劇ᖧ劇ᖧ劇ᖧ劇ᖧ劇ᖧ劇ᖧ劇ᖧ劇ᖧ劇ᖧ劇 ᖧ劇ᖧ劇ᖧ劇ᖧ劇ᖧ劇ᖧ劇ᖧ劇 ᖧ劇ᖧ劇ᖧ劇ᖧ劇 ᖧ劇ᖧ劇ᖧ劇ᖧ劇ᖧ劇ᖧ劇ᖧ劇ᖧ劇ᖧ劇ᖧ劇 ᖧ劇ᖧ劇 ᖧ劇ᖧ劇ᖧ劇ᖧ劇ᖧ劇ᖧ劇ᖧ劇ᖧ劇 ᖧ劇ᖧ劇ᖧ劇ᖧ劇ᖧ劇ᖧ劇ᖧ劇ᖧ劇ᖧ劇ᖧ劇ᖧ劇ᖧ劇ᖧ劇ᖧ劇ᖧ劇ᖧ劇

Διαβάστε περισσότερα

f H f H ψ n( x) α = 0.01 n( x) α = 1 n( x) α = 3 n( x) α = 10 n( x) α = 30 ū i ( x) α = 1 ū i ( x) α = 3 ū i ( x) α = 10 ū i ( x) α = 30 δū ij ( x) α = 1 δū ij ( x) α = 3 δū ij ( x) α = 10 δū ij ( x)

Διαβάστε περισσότερα

y(t) S x(t) S dy dx E, E E T1 T2 T1 T2 1 T 1 T 2 2 T 2 1 T 2 2 3 T 3 1 T 3 2... V o R R R T V CC P F A P g h V ext V sin 2 S f S t V 1 V 2 V out sin 2 f S t x 1 F k q K x q K k F d F x d V

Διαβάστε περισσότερα

Homework 8 Model Solution Section

Homework 8 Model Solution Section MATH 004 Homework Solution Homework 8 Model Solution Section 14.5 14.6. 14.5. Use the Chain Rule to find dz where z cosx + 4y), x 5t 4, y 1 t. dz dx + dy y sinx + 4y)0t + 4) sinx + 4y) 1t ) 0t + 4t ) sinx

Διαβάστε περισσότερα

Ταξίδι Τρώγοντας έξω. Τρώγοντας έξω - Στην είσοδο. Τρώγοντας έξω - Παραγγελία φαγητού

Ταξίδι Τρώγοντας έξω. Τρώγοντας έξω - Στην είσοδο. Τρώγοντας έξω - Παραγγελία φαγητού - Στην είσοδο Eu gostaria de reservar uma mesa para _[número de pessoas]_ às _[hora]_. Για να κάνετε κράτηση Uma mesa para _[número de pessoas]_, por favor. Για να ζητήσετε τραπέζι Eu gostaria de reservar

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

Teor imov r. ta matem. statist. Vip. 94, 2016, stor

Teor imov r. ta matem. statist. Vip. 94, 2016, stor eor imov r. ta matem. statist. Vip. 94, 6, stor. 93 5 Abstract. e article is devoted to models of financial markets wit stocastic volatility, wic is defined by a functional of Ornstein-Ulenbeck process

Διαβάστε περισσότερα

Έργα* στη Βραζιλία που χρηματοδοτούνται από Διεθνείς Χρηματοδοτικούς και Αναπτυξιακούς Οργανισμούς

Έργα* στη Βραζιλία που χρηματοδοτούνται από Διεθνείς Χρηματοδοτικούς και Αναπτυξιακούς Οργανισμούς Έργα* στη Βραζιλία που χρηματοδοτούνται από Διεθνείς Χρηματοδοτικούς και Αναπτυξιακούς Οργανισμούς Πηγή χρηματοδότησης Αριθμός έργων Δάνειο (δολάρια ΗΠΑ) Inter-American Development Bank Παναμερικανική

Διαβάστε περισσότερα

KIT DE DRENAJE DE CONDENSADOS

KIT DE DRENAJE DE CONDENSADOS KIT DE DRENAJE DE CONDENSADOS Estas instrucciones forman parte integrante del manual que acompaña el aparato en el cual está instalado este Kit. Este manual se refiere a ADVERTENCIAS GENERALES y REGLAS

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΣΗΜΖΖ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΔΤΡΩΠΑΗΚΟΤ ΣΤΠΟΤ (CURRENCY OPTIONS, BINARY OPTIONS, COMPOUND OPTIONS, CHOOSER OPTIONS, LOOKBACK OPTIONS, ASIAN OPTIONS)

ΑΠΟΣΗΜΖΖ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΔΤΡΩΠΑΗΚΟΤ ΣΤΠΟΤ (CURRENCY OPTIONS, BINARY OPTIONS, COMPOUND OPTIONS, CHOOSER OPTIONS, LOOKBACK OPTIONS, ASIAN OPTIONS) ΑΠΟΣΗΜΖΖ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΔΤΡΩΠΑΗΚΟΤ ΣΤΠΟΤ (CURRENCY OPIONS, BINARY OPIONS, COMPOUND OPIONS, CHOOSER OPIONS, LOOKBACK OPIONS, ASIAN OPIONS) ΣΑΝΣΟΤΛΟΤ ΔΛΔΝΖ ΔΠΗΒΛΔΠΩΝ ΚΑΘΖΓΖΣΖ: ΠΖΛΗΩΣΖ ΗΩΑΝΝΖ ΔΘΝΗΚΟ ΜΔΣΟΒΗΟ ΠΟΛΤΣΔΥΝΔΗΟ

Διαβάστε περισσότερα

MATEMÁTICAS. (Responder soamente a unha das opcións de cada bloque temático). BLOQUE 1 (ÁLXEBRA LINEAL) (Puntuación máxima 3 puntos)

MATEMÁTICAS. (Responder soamente a unha das opcións de cada bloque temático). BLOQUE 1 (ÁLXEBRA LINEAL) (Puntuación máxima 3 puntos) 21 MATEMÁTICAS (Responder soamente a unha das opcións de cada bloque temático). BLOQUE 1 (ÁLXEBRA LINEAL) (Puntuación máxima 3 Dada a matriz a) Calcula os valores do parámetro m para os que A ten inversa.

Διαβάστε περισσότερα

Problemas y cuestiones de electromagnetismo

Problemas y cuestiones de electromagnetismo Problemas y cuestiones de electromagnetismo 1.- Dúas cargas eléctricas puntuais de 2 e -2 µc cada unha están situadas respectivamente en (2,0) e en (-2,0) (en metros). Calcule: a) campo eléctrico en (0,0)

Διαβάστε περισσότερα

Pessoal Cumprimentos. Cumprimentos - Casamento. Cumprimentos - Noivado

Pessoal Cumprimentos. Cumprimentos - Casamento. Cumprimentos - Noivado - Casamento Συγχαρητήρια. Σας ευχόμαστε όλη την ευτυχία του κόσμου. Frase usada para felicitar um casal recém-casado Θερμά συγχαρητήρια για τους δυο σας αυτήν την ημέρα του γάμου σας. Frase usada para

Διαβάστε περισσότερα

( () () ()) () () ()

( () () ()) () () () ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /011 1 Έστω r = r( t = ( x( t, ( t, z( t, t I = [ a, b] συνάρτηση C τάξης και r = r( t = r ( t = x ( t + ( t z ( t είναι μία διανυσματική + Nα αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

!"#$ % &# &%#'()(! $ * +

!#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Φυσικές Επιστήμες (ΦΥΕ14) Περίοδος ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η. Τότε r r b c. και ( )

Εισαγωγή στις Φυσικές Επιστήμες (ΦΥΕ14) Περίοδος ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η. Τότε r r b c. και ( ) Εισαγωγή στις Φυσικές Επιστήμες (ΦΥΕ4) Περίοδος 8-9 ΕΡΓΑΣΙΑ η Θέμα (μονάδες ) i. Δείξτε ότι ( a b) c a ( b c ) + b( a c ). a b c+ c a b+ b c a ii. Δείξτε την ταυτότητα Jacobi : ( ) ( ) ( ) Απάντηση i.

Διαβάστε περισσότερα

' ( )* * +,,, ) - ". &!: &/#&$&0& &!& $#/&! 1 2!#&, #/&2!#&3 &"&!3, #&- &2!#&, "#4 $!&$3% 2!% #!.1 & &!" //! &-!!

' ( )* * +,,, ) - . &!: &/#&$&0& &!& $#/&! 1 2!#&, #/&2!#&3 &&!3, #&- &2!#&, #4 $!&$3% 2!% #!.1 & &! //! &-!! ..!! "#$% #&" 535.34 ' ( )* *,,, ) - ". &!: 1.4.7 &/#&$&& &!&11 5.7.1 $#/&! 1!#&, #/&!#&3 &"&!3, #&- &!#&, "#4 $!&$3%!% #!.1 & &!" //! &-!!% 3 #&$&/!: /&!&# &-!!%, "#&&# 56$.., //! &-!!% ).. &$ 13 .

Διαβάστε περισσότερα

FISICA 2º BAC 27/01/2007

FISICA 2º BAC 27/01/2007 POBLEMAS 1.- Un corpo de 10 g de masa desprázase cun movemento harmónico simple de 80 Hz de frecuencia e de 1 m de amplitude. Acha: a) A enerxía potencial cando a elongación é igual a 70 cm. b) O módulo

Διαβάστε περισσότερα

Graded Refractive-Index

Graded Refractive-Index Graded Refractive-Index Common Devices Methodologies for Graded Refractive Index Methodologies: Ray Optics WKB Multilayer Modelling Solution requires: some knowledge of index profile n 2 x Ray Optics for

Διαβάστε περισσότερα

1 + Φ r /c 2 = 1 (1) (2) c 2 k y 1 + (V/c) 1 + tan 2 α = sin α (3) tan α = k y k x

1 + Φ r /c 2 = 1 (1) (2) c 2 k y 1 + (V/c) 1 + tan 2 α = sin α (3) tan α = k y k x ΛΥΣΕΙΣ ΣΕΙΡΑΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 6 Θ. Τομαράς 1. Πρωτόνια στις κοσμικές ακτίνες φτάνουν ακόμα και ενέργειες της τάξης των 10 20 ev. Να συγκρίνετε την ενέργεια αυτή με την ενέργεια που έχει μια πέτρα που πετάτε με

Διαβάστε περισσότερα

Lectures on Quantum sine-gordon Models

Lectures on Quantum sine-gordon Models Lectures on Quantum sine-gordon Models Juan Mateos Guilarte, Departamento de Física Fundamental (Universidad de Salamanca IUFFyM (Universidad de Salamanca Universidade Federal de Matto Grosso Cuiabá, Brazil,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΧΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΕΥ η ΕΡΓΑΣΙΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΧΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΕΥ η ΕΡΓΑΣΙΑ 15/10/2004 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΧΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΕΥ34 2004-05 1 η ΕΡΓΑΣΙΑ Προθεσμία παράδοσης 15/11/2004 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1) Επιβάτης τραίνου, το οποίο κινείται προς τα δεξιά με ταχύτητα υ = 0.6c στη διεύθυνση του άξονα

Διαβάστε περισσότερα

P(200 X 232) = =

P(200 X 232) = = ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Το μέγεθος ενός αναλογικού σήματος, που λαμβάνεται από έναν ανιχνευτή και μετράται σε microvolts, είναι τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί την Κανονική κατανομή Ν(00, 6) σε συγκεκριμένη

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διπλά Ολοκληρώματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Ορθογώνια Χωρία Ορισμός n f( x, y) da lim f( x, y ) = Α Α 0 k

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 23 εκεµβρίου 29 5.1. Στο τυχαίο πείραµα της ϱίψης δύο διακεκριµένων κύβων έστω X η ένδειξη του πρώτου κύβου και Y η µεγαλύτερη από τις δύο ενδείξεις. Να προσδιορισθούν

Διαβάστε περισσότερα

Ταξίδι Τρώγοντας έξω. Τρώγοντας έξω - Στην είσοδο. Τρώγοντας έξω - Παραγγελία φαγητού

Ταξίδι Τρώγοντας έξω. Τρώγοντας έξω - Στην είσοδο. Τρώγοντας έξω - Παραγγελία φαγητού - Στην είσοδο Eu gostaria de reservar uma mesa para _[número de pessoas]_ às _[hora]_. Για να κάνετε κράτηση Uma mesa para _[número de pessoas]_, por favor. Για να ζητήσετε τραπέζι Você aceita cartão de

Διαβάστε περισσότερα

Da base de dados do torneio do Chess-Results Προκριματικός Όμιλος Ά Εθνικής ΕΣΣΠ Última Actualização05.05.

Da base de dados do torneio do Chess-Results  Προκριματικός Όμιλος Ά Εθνικής ΕΣΣΠ Última Actualização05.05. Da base de dados do torneio do Chess-Results http://chess-results.com Προκριματικός Όμιλος Ά Εθνικής ΕΣΣΠ Última Actualização05.05.2011 10:57:55 Composição das equipas com resultados ronda a roda 5. ΣΟ

Διαβάστε περισσότερα

ds 2 = 1 y 2 (dx2 + dy 2 ), y 0, < x < + (1) dx/(1 x 2 ) = 1 ln((1 + x)/(1 x)) για 1 < x < 1. l AB = dx/1 = 2 (2) (5) w 1/2 = ±κx + C (7)

ds 2 = 1 y 2 (dx2 + dy 2 ), y 0, < x < + (1) dx/(1 x 2 ) = 1 ln((1 + x)/(1 x)) για 1 < x < 1. l AB = dx/1 = 2 (2) (5) w 1/2 = ±κx + C (7) ΒΑΡΥΤΗΤΑ ΚΑΙ ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑ Θ. Τομαράς 1. ΤΟ ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Το υπερβολικό επίπεδο ορίζεται με τη μετρική ds = 1 y dx + dy ), y 0, < x < + 1) α) Να υπολογίσετε το μήκος της γραμμής της παράλληλης στον

Διαβάστε περισσότερα

σ (t) = (sin t + t cos t) 2 + (cos t t sin t) = t )) 5 = log 1 + r (t) = 2 + e 2t + e 2t = e t + e t

σ (t) = (sin t + t cos t) 2 + (cos t t sin t) = t )) 5 = log 1 + r (t) = 2 + e 2t + e 2t = e t + e t ΛΥΣΕΙΣ. Οι ακήεις από το βιβλίο των Mrsden - Tromb.. 3.)e) Είναι t) sin t + t os t, os t t sin t, 3) οπότε t) sin t + t os t) + os t t sin t) + 3 t + 4 και το μήκος είναι ίο με t t) dt t + 4 dt t + 4 +

Διαβάστε περισσότερα

Ó³ Ÿ , º 1(130).. 7Ä ±μ. Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê

Ó³ Ÿ , º 1(130).. 7Ä ±μ. Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê Ó³ Ÿ. 006.. 3, º 1(130).. 7Ä16 Š 530.145 ˆ ƒ ˆ ˆŒ ˆŸ Š ƒ.. ±μ Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê É μ ² Ö Ó μ μ Ö μ μ²õ μ É μ ÌÉ ±ÊÎ É ² ³ É μ - Î ±μ μ ÊÌ ±μ Ëμ ³ μ- ±² μ ÒÌ ³μ ²ÖÌ Ê ±. ³ É ÔÉμ μ μ μ Ö, Ö ²ÖÖ Ó ±μ³

Διαβάστε περισσότερα

Φαινόμενο Unruh. Δημήτρης Μάγγος. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο September 26, / 20. Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 1/20

Φαινόμενο Unruh. Δημήτρης Μάγγος. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο September 26, / 20. Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 1/20 Φαινόμενο Unruh Δημήτρης Μάγγος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο September 26, 2012 1 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 1/20 Outline Σχετικότητα Ειδική & Γενική Θεωρία Κβαντική Θεωρία Πεδίου Πεδία Στον Χωρόχρονο

Διαβάστε περισσότερα

Η Κβαντομηχανική. υπό ισχυρή συμπίεση

Η Κβαντομηχανική. υπό ισχυρή συμπίεση Σημειώσεις Σ. Τραχανά Η Κβαντομηχανική υπό ισχυρή συμπίεση Σημειώσεις του Καθ. Στέφανου Τραχανά Τμ. Φυσικής, Παν/μιο Κρήτης Σημειώσεις Σ. Τραχανά Το μέλαν σώμα Ι. Τι είναι η ακτινοβολία του μέλανος σώματος

Διαβάστε περισσότερα

Da base de dados do torneio do Chess-Results

Da base de dados do torneio do Chess-Results Da base de dados do torneio do Chess-Results http://chess-results.com ΟΜΑΔΙΚΟ ΠΡΩΤΑΘΛΗΜΑ Σ.Σ. ΑΝΑΤ.ΣΤΕΡΕΑΣ & ΕΥΒΟΙΑΣ 2010 Última Actualização10.02.2010 23:56:29 Composição das equipas com resultados ronda

Διαβάστε περισσότερα

Το άτομο του Υδρογόνου

Το άτομο του Υδρογόνου Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

ˆˆ ƒ ˆ ˆˆ.. ƒ ÏÉ,.. μ Ê μ, Œ.. Œ É Ï ²,.. ± Î ±μ

ˆˆ ƒ ˆ ˆˆ.. ƒ ÏÉ,.. μ Ê μ, Œ.. Œ É Ï ²,.. ± Î ±μ ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 2005.. 36.. 5 Š 539.12.01 ˆŸ ˆˆ ƒ ˆ ˆˆ.. ƒ ÏÉ,.. μ Ê μ, Œ.. Œ É Ï ²,.. ± Î ±μ ˆ É ÉÊÉ Ë ± Ò μ± Ì Ô, μé μ, μ Ö ˆ 1004 ˆ ˆŠ ƒ ˆ ˆ ƒ Ÿ ˆ ƒ Œ ˆ - ˆŸ 1006 œ ƒ ˆ ƒ ˆ ˆ- ƒ Ÿ 1013 ˆŸ ƒ ˆ ˆ ƒ Ÿ

Διαβάστε περισσότερα

FILTRO DE RED METÁLICA

FILTRO DE RED METÁLICA FILTRO DE RED METÁLICA Estas instrucciones forman parte integrante del manual que acompaña el aparato en el cual está instalado el accesorio. Este manual se refiere a ADVERTENCIAS GENERALES y a REGLAS

Διαβάστε περισσότερα

A proba constará de vinte cuestións tipo test. As cuestións tipo test teñen tres posibles respostas, das que soamente unha é correcta.

A proba constará de vinte cuestións tipo test. As cuestións tipo test teñen tres posibles respostas, das que soamente unha é correcta. Páxina 1 de 9 1. Formato da proba Formato proba constará de vinte cuestións tipo test. s cuestións tipo test teñen tres posibles respostas, das que soamente unha é correcta. Puntuación Puntuación: 0.5

Διαβάστε περισσότερα

Διαταραχές Τροχιάς (2)

Διαταραχές Τροχιάς (2) Διαταραχές Τροχιάς (2) Μάθημα 6 ο Βαρυτικές διαταραχές δυναμικό πεπλατυσμένου σώματος Επίδραση τρίτου σώματος (α) γραμμική αέναη κίνηση (β) κίνηση σε συντονισμό Μη βαρυτικές διαταραχές Μεταβολές του μεγάλου

Διαβάστε περισσότερα

Χημεία Εκπαίδευση - ο Συνάφεια των καινοτόμων παιδαγωγικών πρακτικών στα πρώτα χρόνια

Χημεία Εκπαίδευση - ο Συνάφεια των καινοτόμων παιδαγωγικών πρακτικών στα πρώτα χρόνια Χημεία Εκπαίδευση - ο Συνάφεια των καινοτόμων παιδαγωγικών πρακτικών στα πρώτα χρόνια Adorinda Gonçalves 1, Όλγα Ferreira 2, Filomena Barreiro 2, Maria José Rodrigues 1 1 Πολυτεχνικό Ινστιτούτο της Bragança

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 2/2012

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 2/2012 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Έστω r rx, y, z, I a, b συνάρτηση C τάξης και r r r x y z Nα αποδείξετε ότι: d dr r (α) r r, I r r r d dr d r (β) r r, I dr (γ) Αν r 0, για κάθε I κάθε I d (δ)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι Άσκηση 1: Θεωρήστε δύο ορθοκανονικά διανύσματα ψ 1 και ψ και υποθέστε ότι αποτελούν βάση σε ένα χώρο δύο διαστάσεων. Θεωρήστε επίσης ένα τελαστή T που ορίζεται στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

= 1. z n 1 = z z n = 1. f(z) = x 0. (0, 0) = lim

= 1. z n 1 = z z n = 1. f(z) = x 0. (0, 0) = lim ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 1η Σειρά Ασκήσεων στη Μιγαδική Ανάλυση 1. Να λυθεί η εξίσωση: 4 1 + 3i. Λύση. Επειδή 1 + 3i e πi/3, οι λύσεις της εξίσωσης 4 1 + 3i

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ Η δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα προκαλεί μεταβολή της ταχύτητάς του δηλαδή επιτάχυνση.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ Η δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα προκαλεί μεταβολή της ταχύτητάς του δηλαδή επιτάχυνση. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ Η δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα προκαλεί μεταβολή της ταχύτητάς του δηλαδή επιτάχυνση. Η δύναμη είναι ένα διανυσματικό μέγεθος. Όταν κατά την κίνηση ενός σώματος η δύναμη είναι μηδενική

Διαβάστε περισσότερα

Ακαδημαϊκός Λόγος Κύριο Μέρος

Ακαδημαϊκός Λόγος Κύριο Μέρος - Επίδειξη Συμφωνίας De modo geral, concorda-se com... porque... Επίδειξη γενικής συμφωνίας με άποψη άλλου Tende-se a concordar com...porque... Επίδειξη γενικής συμφωνίας με άποψη άλλου Parlando in termini

Διαβάστε περισσότερα

Mόνιμη ροή προερχόμενη από κίνηση πλάκας σε άπειρο χώρο (Ροή Couette)

Mόνιμη ροή προερχόμενη από κίνηση πλάκας σε άπειρο χώρο (Ροή Couette) Mόνιμη ροή προερχόμενη από κίνηση πλάκας σε άπειρο χώρο (Ροή Couette) Εξετάζουμε την επίπεδη ροή που λαμβάνει μεταξύ δύο επίπεδων πλακών οι οποίες έχουν απόσταση κατά την διεύθυνση y, h (h=ύψος.) Το μήκος

Διαβάστε περισσότερα

Tema 4 Magnetismo. 4-5 Lei de Ampere. Campo magnético creado por un solenoide. 4-1 Magnetismo. Experiencia de Oersted

Tema 4 Magnetismo. 4-5 Lei de Ampere. Campo magnético creado por un solenoide. 4-1 Magnetismo. Experiencia de Oersted Tema 4 Magnetismo 4-1 Magnetismo. Experiencia de Oersted 4-2 Lei de Lorentz. Definición de B. Movemento dunha carga nun campo magnético. 4-3 Forza exercida sobre unha corrente rectilínea 4-4 Lei de Biot

Διαβάστε περισσότερα

β α β α β α α α β α β α β α α γ α β α) β β β αβ α β β β α β α β μ μ μ μ μ μ μ α β α μ α β αβ α β α α β α α α α αβ α β α β α β α α β α α α α α α α α α α α α α α α α α β β γδ β αβ α α β β β β β β

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΩΡΙΝΕΣ ΕΘΝΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΡΟ ΙΑΓΡΑΦΕΣ

ΠΡΟΣΩΡΙΝΕΣ ΕΘΝΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΡΟ ΙΑΓΡΑΦΕΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Υ.ΠΕ.ΧΩ..Ε. ΠΡΟΣΩΡΙΝΕΣ ΕΘΝΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΡΟ ΙΑΓΡΑΦΕΣ ΠΕΤΕΠ 13-05-03-00 13 Κατασκευή φραγµάτων 05 Όργανα µετρήσεων και παρακολούθησης της συµπεριφοράς φραγµάτων 03 Κατασκευή βάθρων τριγωνοµετρικών

Διαβάστε περισσότερα

PAU XUÑO 2012 MATEMÁTICAS II

PAU XUÑO 2012 MATEMÁTICAS II PAU Código: 6 XUÑO 01 MATEMÁTICAS II (Responder só aos exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción: exercicio 1= 3 puntos, exercicio = 3 puntos, exercicio 3= puntos, exercicio

Διαβάστε περισσότερα

ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² µ, Ê

ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² µ, Ê ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 2003.. 34.. 3 Š 539.12.01 ˆŸ Š Š ˆ ŒˆŠˆ ˆ.. µ²ê µ Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² µ, Ê ²µ ÊÎ µ µ ±Éµ 738 ˆ 740 ˆŸ Œ Š Ÿ Š - ˆ Š Œ ƒ ˆ ƒ Ÿ 742 Š Ÿ Š ˆ ŒˆŠ Š ˆ Š ˆ - ˆŸ ( Œ ˆ Š ˆ Š ) 748 Š ˆ ŒˆŠ Ÿ Š Ÿ

Διαβάστε περισσότερα

Υποστηρικτικό υλικό για την εργασία «Πειραματική διάταξη για τη μελέτη της ροής ρευστού σε σωλήνα» του Σπύρου Χόρτη.

Υποστηρικτικό υλικό για την εργασία «Πειραματική διάταξη για τη μελέτη της ροής ρευστού σε σωλήνα» του Σπύρου Χόρτη. Υποστηρικτικό υλικό για την εργασία «Πειραματική διάταξη για τη μελέτη της ροής ρευστού σε σωλήνα» του Σπύρου Χόρτη. Η εργασία δημοσιεύτηκε στο 9ο τεύχος του περιοδικού Φυσικές Επιστήμες στην Εκπαίδευση,

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2012 ΘΕΜΑΤΑ Α

ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2012 ΘΕΜΑΤΑ Α ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 0 ΘΕΜΑΤΑ Α Θέµα ο. Να βρεθεί (α) η γενική λύση yy() της διαφορικής εξίσωσης y' y + καθώς και (β) η µερική λύση που διέρχεται από το σηµείο y(/). (γ) Από ποια σηµεία του επιπέδου

Διαβάστε περισσότερα

Supplementary Information

Supplementary Information Supplementary Information Intraspecific Variation of the Volatile Chemical Composition of Myracrodruon urundeuva Fr. Allem. ( Aroeira-do-Sertão ): Characterization of Six Chemotypes Nayara C. de Aquino,

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6. a2 x 2 y 2. = y

ΛΥΣΕΙΣ 6. a2 x 2 y 2. = y ΛΥΣΕΙΣ 6. Οι ασκήσεις από το βιβλίο των Marsden - romba. 7.5. Θεωρούμε την παραμετρικοποίηση rx, y = x, y, a 2 x 2 y 2, όπου το x, y διατρέχει τον δίσκο στο xy-επίπεδο που ορίζεται από την x 2 +y 2 a 2.

Διαβάστε περισσότερα

PAU XUÑO 2011 FÍSICA

PAU XUÑO 2011 FÍSICA PAU XUÑO 2011 Código: 25 FÍSICA Puntuación máxima: Cuestións 4 puntos (1 cada cuestión, teórica ou práctica). Problemas 6 puntos (1 cada apartado). Non se valorará a simple anotación dun ítem como solución

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, , 3 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ #4: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Βαρούτης

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, , 3 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ #4: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Βαρούτης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, 6--6, ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ #: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Βαρούτης. Βιβλίο Ν.Μ. Βραχάτη: σελίδα 6, Ασκήσεις 8. και 8.. Άσκηση 8. x I f( x) dx h f( x ah) da x aa ( )

Διαβάστε περισσότερα

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mathematica.gr. Η επιλογή και η ϕροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του http://www.mathematica.gr.

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Εξίσωση Συνέχειας Αστρόβιλη Ροή Εξισώσεις Κίνησης. Σειρά ΙΙ 2

Περιεχόμενα. Εξίσωση Συνέχειας Αστρόβιλη Ροή Εξισώσεις Κίνησης. Σειρά ΙΙ 2 Περιεχόμενα Εξίσωση Συνέχειας Αστρόβιλη Ροή Εξισώσεις Κίνησης Σειρά ΙΙ 2 Πεδίο ταχύτητας Όγκος Ελέγχου Καρτεσιανές Συντεταγμένες w+(/)dz z y u dz u+(/ x)dx x dy dx w Σειρά ΙΙ 3 1. Εισαγωγή 1.1 Εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

! " # $ % # "& #! $! !! % " # '! $ % !! # #!!! ) " ***

!  # $ % # & #! $! !! %  # '! $ % !! # #!!! )  *** ! " # $ % # # $ # # "& # $! $! #!! % " # '! $ % "!! $ "!!! # ( #!!! ) #! " *** # .....5.......9..........9.....4.3....... 9.4. -...3.......36....36......4.3....45.3......46.3......5.3.3....59.3.4.......65

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Ολοκληρωτικός Λογισμός (μέρος ) Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Σελίδα Σκοποί

Διαβάστε περισσότερα

ΧΙΙΙ ΓΡΑΜΜΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΕΓΚΑΡΣΙΑ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ (ΤΕΜ)

ΧΙΙΙ ΓΡΑΜΜΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΕΓΚΑΡΣΙΑ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ (ΤΕΜ) ΧΙΙΙ ΓΡΑΜΜΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΕΓΚΑΡΣΙΑ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ (ΤΕΜ) ΧΙΙΙ. ΧΙΙΙ. ΧΙΙΙ.3 Οι εξισώσεις στροφής το Maxwell όταν τα διανύσµατα βρίσκονται στο εγκάρσιο στη διεύθνση διάδοσης επίπεδο Εξισώσεις το Maxwell

Διαβάστε περισσότερα

Προσωπική Αλληλογραφία Ευχές

Προσωπική Αλληλογραφία Ευχές - Γάμος Desejando a vocês toda felicidade do mundo. Συγχαρητήρια για ένα νιόπαντρο ζευγάρι Parabéns e votos calorosos aos dois no dia do seu casamento. Συγχαρητήρια για ένα νιόπαντρο ζευγάρι Parabéns por

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική Ρευστών και Εφαρμοσμένη Υδραυλική

Μηχανική Ρευστών και Εφαρμοσμένη Υδραυλική Μηχανική Ρευστών και Εφαρμοσμένη Υδραυλική Σχολή Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Εθνικού Μετσοβίου Πολυτεχνείου Αριστοτέλης Μαντόγλου Αναπληρωτής Καθηγητής Αθήνα 006 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΡΕΥΣΤΩΝ.

Διαβάστε περισσότερα

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 8: Συστήματα πρώτης και δεύτερης τάξης Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Ó³ Ÿ , º 1(199).. 66Ä79 .. Ê 1. Œμ ±μ ± μ Ê É Ò Ê É É ³. Œ.. μ³μ μ μ, Œμ ±

Ó³ Ÿ , º 1(199).. 66Ä79 .. Ê 1. Œμ ±μ ± μ Ê É Ò Ê É É ³. Œ.. μ³μ μ μ, Œμ ± Ó³ Ÿ. 216.. 13, º 1(199).. 66Ä79 ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ. ˆŸ Œ Ÿ ƒˆÿ ˆ Œ ƒ ˆ ˆ.. Ê 1 Œμ ±μ ± μ Ê É Ò Ê É É ³. Œ.. μ³μ μ μ, Œμ ± μé ³± Ì ²ÖÉ É ±μ É μ É Í ³μÉ Î μ ²μ± ²Ó μ³ μ- Éμ± Ö ² ±É ± ³ ÏÉ Ì ±μ²ó± Ì ³ ±, Ò

Διαβάστε περισσότερα

ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ ˆ ² μ É ²Ó ± Í É μ²õé É, μ É μ ±, ± ˆŸ Œ 246 Š 248. Œ Œ ˆŒ œ ˆ ˆ 258 ˆŸ ˆ 260 Š ˆ Ÿ Œ ˆ Š 262 ˆ ˆ Œˆ Šˆ ˆŸ 263

ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ ˆ ² μ É ²Ó ± Í É μ²õé É, μ É μ ±, ± ˆŸ Œ 246 Š 248. Œ Œ ˆŒ œ ˆ ˆ 258 ˆŸ ˆ 260 Š ˆ Ÿ Œ ˆ Š 262 ˆ ˆ Œˆ Šˆ ˆŸ 263 ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 2012.. 43.. 1 ˆŸ Œ Ÿ ˆ ˆ Ÿ.. É μ ˆ ² μ É ²Ó ± Í É μ²õé É, μ É μ ±, ± ˆŸ Œ 246 Œ ˆ Œ ˆ Ÿ Š 248 ˆ Ÿ Ÿ 252 ˆ ˆ œ ˆ Œ 256 Œ Œ ˆŒ œ ˆ ˆ 258 ˆŸ ˆ 260 Š ˆ Ÿ Œ ˆ Š 262 ˆ ˆ Œˆ Šˆ ˆŸ 263 ˆ ˆ ˆ Œ

Διαβάστε περισσότερα