VII. RECTAS E PLANOS NO ESPAZO
|
|
- Φίλομενης Αναστασιάδης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 VII. RETS E PLNOS NO ESPZO.- Ecuacións da recta Unha recta r no espao queda determinada por un punto, punto base, e un vector v non nulo que se chama vector director ou direccional da recta; r, v é a determinación linear da recta r. Se {O; e, e, e } é un sistema de referencia ortonormal, calquera punto X da recta r determina con un vector X tal que X=t v, tr Se a e son os vectores de posición dos puntos e X respectivamente, = a+x, é dicir = a + t v, tr ecuación vectorial de r Se,,,,, e v, v, v son as coordenadas ou compoñentes de, a, v respectivamente, aplicando a identificación estudada entre V e R, a ecuación vectorial transfórmase en:,, =,, + t v, v, v, = + t v = + t v = + t v ecuacións paramétricas de r espeando t e igualando, v v v ecuacións continuas de r, se v i hámanse coeficientes directores da recta r, ás compoñentes v, v, v do vector direccional v. Esta terna define unha dirección salvo que se trate do vector,,. Se separamos as igualdades das ecuación continuas en dúas ecuacións e agrupamos os termos nun membro, obtemos as ecuacións implícitas ou cartesianas da recta. Eercicios: determinación linear da recta r que pasa por dous puntos distintos e é r,. Se,, e,, obter as ecuacións paramétricas e as ecuacións continuas da recta que determinan.. Escribe un sistema de ecuacións paramétricas das seguintes rectas: a os eies de coordenadas b recta paralela ao eie OX e que pasa por,, 5 determinación linear dun elemento do espao recta, plano, superficie esférica, etc é o conunto mínimo de datos necesarios para que dito elemento quede determinado VII /
2 .- Ecuacións do plano Un plano α no espao, queda determinado mediante un punto e dous vectores u,v non nulos e non proporcionais que se chaman vectores direccionais do plano; α, u, v é a determinación linear do plano α. Se {O; e, e, e } é un sistema de referencia ortonormal, calquera punto X do plano α determina con un vector X tal que X=s u+t v, s, tr Se a e son os vectores de posición dos puntos e X respectivamente, = a+x, é dicir = a + s u + t v, s, tr ecuación vectorial de α Se,,,,,, u, u, u e v, v, v son as compoñentes de, a, u, v respectivamente, aplicando a identificación de V e R, a ecuación vectorial transfórmase en:,, =,, + s u, u, u + t v, v, v de onde, = + s u + t v = + s u + t v = + s u + t v ecuacións paramétricas de α Ou tamén: - = s u + t v - = s u + t v - = s u + t v é dicir u é combinación linear de u u e v v v u v e, polo tanto: u v u v ecuación en forma de determinante esenvolvendo polos elementos da primeira columna e operando, resulta: = ecuación eral, cartesiana ou implícita O plano que pasa por tres puntos distintos e non aliñados,, ten como determinación linear,,. Eercicio: Se,,,,, e,, son tres puntos distintos e non aliñados, obter as ecuacións paramétricas e en forma de determinante do plano que determinan. No caso particular dun plano que corte ós tres eies en a,,,,b, e,,c, a partir da ecuación en forma de determinante se obtén: a b c ecuación segmentaria O plano definido por r, u e un punto eterior, ven determinado por α, u, VII / Matemáticas II XEOMETRÍ
3 RETS E PLNOS NO ESPZO Matemáticas II VII / Vector normal ou característico dun plano. ado un plano, o vector n=,, é perpendicular ao plano, é dicir, ortogonal a calquera vector contido no plano; recibe o nome de vector característico do plano, ou vector normal. En efecto, sean dous puntos P,, e P,, de P P n ou o que é o mesmo, n P P logo n π a que P P é paralelo ao plano. Se P,, é un punto de,,, X se verifica que PX n ecuación normal do plano on epresión analítica:,,,, sí un plano queda determinado por un punto P, punto base, e un vector n ortogonal ao plano. o par P, n chámase determinación normal do plano..- Posicións relativas de planos a Posicións relativas de dous planos Sean e * M M= aso : rgm = rgm* = Sistema compatible indeterminado, os planos son coincidentes por tratares de ecuacións proporcionais. aso : rgm = rgm* = Sistema compatible indeterminado, os planos se cortan ao longo dunha recta. aso : rgm = e rgm* = Sistema incompatible, os planos ao non ter ningún punto en común son paralelos. omo rgm=, = = = O conunto de tódolos planos paralelos a un dado recibe o nome de feie de planos paralelos e ven dado pola ecuación R K, K b Posicións relativas de tres planos Sean e * M M=
4 aso : rgm = rgm* = Sistema compatible determinado, eiste un único punto de intersección común ós tres planos: córtanse nun punto. a aso : rgm = e rgm* = Sistema incompatible, non eiste ningún punto común aos tres planos. - Os tres planos se cortan dous a dous formando unha superficie prismática. b - ous planos son paralelos e o terceiro corta a ambos segundo dúas rectas paralelas. c aso : rgm = rgm* = Sistema compatible indeterminado, os tres planos teñen unha recta en común. - Os tres planos son distintos. d - ous planos son coincidentes. e aso 4: rgm = e rgm* = Sistema incompatible, os planos non teñen ningún punto en común. - Os tres planos son paralelos. f - ous planos son coincidentes e o outro é paralelo a eles. g aso 5: rgm = rgm* = Sistema compatible indeterminado, os tres planos son coincidentes. h a b c d e f g h VII / 4 Matemáticas II XEOMETRÍ
5 hámase feie de planos ao conunto de planos que pasan por unha recta, recta que recibe o nome de aresta do feie. O feie queda determinado por dous planos distintos do mesmo. Se a recta ven dada pola intersección de dous planos, e, a ecuación do feie de planos que a contén é:,, R Se Se facendo / O feie estará determinado polas ecuacións e 4.- Posicións relativas dunha recta e dun plano Estudo analítico: oas ecuacións da recta r e do plano v v podemos formar un sistema de tres ecuacións con tres incógnitas. rang = rang * =, solución única, recta e plano secantes. rang = e rang * =, incompatible, recta e plano paralelos rang = rang * =, infinitas solucións, recta contida no plano. Estudo en forma paramétrica: v, Sean a recta de ecuacións r tv, tv, tv e o plano de ecuación. Substituíndo,, de r na ecuación do plano se obtén v v v t que é unha ecuación linear en t. aso : v v v o ser o seu coeficiente distinto de cero, pódese despear t, e a ecuación ten solución; recta e plano se cortan nun punto. aso : v v v e ecuación non ten solución a que non se pode despear t; recta e plano son paralelos. aso : v v v e ecuación ten infinitas solucións, unha para cada valor de t; recta contida no plano. 5.- Posicións relativas de dúas rectas Unha recta pode vir dada como intersección de dous planos. Neste caso, as ecuacións paramétricas da recta obtéñense resolvendo o sistema formado polas ecuacións erais dos dous planos que a definen. Se o que interesa e calcular o vector direccional da recta, calcúlase o produto vectorial dos vectores característicos ou normais dos planos que determinan a recta. RETS E PLNOS NO ESPZO Matemáticas II VII / 5
6 Estudo analítico: onsiderando as rectas como intersección de dous planos cada unha, formamos un sistema de catro ecuacións con tres incógnitas. rang = e rang * = 4, incompatible, rectas que se cruan non paralelas e sen punto en común rang = rang * =, solución única, rectas secantes rang = e rang * =, incompatible, rectas paralelas rang = rang * =, infinitas solucións, rectas coincidentes Estudo en forma paramétrica: Sean as rectas de determinacións lineais r, u e s, v aso : rangu,v =, rangu,v, = Os vectores u e v non son paralelos polo tanto as rectas pódense cruar ou cortar. omo rgu,v,=, os vectores non son coplanarios, as rectas non están no mesmo plano e polo tanto se cruan. aso : rangu,v = rangu,v, = omo no caso anterior, pódense cruar ou cortar. Xa que rangu,v,=, os vectores son coplanarios, as rectas están no mesmo plano coplanarias e se cortan. aso : rangu,v =, rangu,v, = Os vectores u e v son paralelos, logo as rectas tamén o son. omo rangu,v,=, non ten a dirección de u e v e as rectas non poden coincidir, polo tanto son paralelas e distintas. aso 4: rangu,v = rangu,v, = omo no caso anterior as rectas son paralelas. Xa que rgu,v,=, son coincidentes. 6.- Proeccións ortogonais. Puntos simétricos proección ortogonal dun punto P sobre unha recta r é outro punto Q que pertence á recta, e tal que o vector PQ é perpendicular ao vector director da recta. hámase proección ortogonal do punto P sobre o plano ao punto P que se obtén como intersección da recta r perpendicular a que pasa por P co plano. hámase proección ortogonal da recta r sobre o plano á recta r que se obtén como intersección do plano ' perpendicular a que pasa por r co plano. O simétrico dun punto P respecto doutro Q é un punto P tal que Q é o punto medio do segmento PP O simétrico dun punto P respecto dunha recta r é un punto P tal que a recta r pasa polo punto medio do segmento PP, e o vector PP e perpendicular á recta r. O simétrico dun punto P respecto dun plano é outro punto P tal que o plano pasa polo punto medio do segmento PP, e o vector PP é perpendicular ao plano. VII / 6 Matemáticas II XEOMETRÍ
7 EXERIIOS. char a ecuación dun plano que pasa polo punto,,, sendo o triángulo formado polas rectas en que corta aos planos coordenados, equilátero.. char o valor de t para que o plano t t t 4 sea paralelo á recta,,,,,,. char a ecuación do plano que pasa por,, 4 e pola recta intersección dos planos Posición relativa dos planos a+-+=, +4a-=. eterminar, no caso a=, a ecuación do plano que pasa por,, e é perpendicular a ambos. 5. char as ecuacións da recta que pasa por,-, e é paralela ao plano -+= e ao determinado polos puntos,,,,,,,,-. 6. Obtéñanse as ecuacións da recta intersección do plano que pasa polos puntos,,,,,,,, co plano que sendo perpendicular a contén a = = char a ecuación da recta que pasa polo punto,,, é paralela ao plano e está no mesmo plano que a recta. 8. a emostra que o triángulo de vértices,,4, 4,, e,4, é equilátero. b alcula a ecuación da recta que pasa pola orie e é perpendicular ao plano que contén ao triángulo. c alcula a ecuación dunha recta que pasa pola orie e é paralela ao plano que contén ao triángulo. 9. char a ecuación da recta r que define o feie de planos +m-+m++m=. alcular a recta s que pasa pola orie de coordenadas, é perpendicular a r e paralela ao plano =.. e tódalas rectas que pasan por -,, e cortan á recta 4 + r investigar se eiste algunha que pase por -4,,.. onsideremos os puntos P-,,, Q7,, 7 e R-4,, 5. Pídese: a emostra que son os vértices dun triángulo rectángulo e calcula a lonitude de cada cateto e a área do triángulo. b Obtén a ecuación eral do plano que os contén. a Obtén un punto T tal que P, Q, R e T sean os vértices dun rectángulo.. ividir o segmento,,, -,, en tres partes iguais mediante dous planos perpendiculares á recta. ar as ecuacións de ambos planos.. Sea p o punto,, -, p o punto simétrico de p respecto do plano -= e sea p o punto simétrico de p respecto do plano ++=. alcular a ecuación do plano que pasa polos puntos p, p e p. λ adas as rectas r : λ ; s : 4 λ corta perpendicularmente. achar as ecuacións da recta que as = a Estudar se para valores adecuados de a e b, as rectas ; = = = b ortogonais e coplanarias. ales serían ditos valores?. poden ser RETS E PLNOS NO ESPZO Matemáticas II VII / 7
8 ados o punto M,-,-4, a recta r : e o plano de ecuación =, a Ecuación da recta que pasa por M, é paralela ao plano e corta á recta r. b Ecuación do plano que pasa por M, é paralelo a r e perpendicular ao plano. 7. Un triángulo ten vértices,,,,, e o terceiro vértice situado na recta =, =. alcular as coordenadas do terceiro vértice, sabendo que a área é /. -+ = 8. ada a recta r: e o plano π: =, achar a ecuación dunha recta --4 = situada no plano, que pase polo punto P,, - e sea perpendicular a r. 9. ados os planos,, a Estudar a súa posición relativa b char o punto simétrico da orie de coordenadas respecto á recta intersección dos dous primeiros planos. c char a proección ortogonal da orie sobre o plano. alcular raoadamente a área do triángulo con vértices nos puntos de corte cos eies coordenados do plano de ecuación +-=5. alcular tamén o ortocentro pto. de corte das alturas de dito triángulo.. ados,,,,-,4, 6,-,6 e,,, probar que,, non determinan ningún plano. Por que? char, se fora posible, a ecuación do plano que pasa polos catro puntos dados.. ados os puntos,,,,, e,6,a, a char para que valores do parámetro a están aliñados. b char se eisten valores de a para os que, e son tres vértices dun paralelogramo de área e, en caso afirmativo, calculalos. c char a ecuación da recta que pasando pola orie, corte perpendicularmente á recta.. eterminar as posicións relativas, segundo os valores do parámetro R, dos planos, 5, ada a recta r de ecuacións t, t, t e a recta s de ecuacións,, pídese: a. Estudar a súa posición relativa b. char a ecuación dunha recta que pasa pola orie de coordenadas e sea perpendicular ás rectas dadas. 5. adas as rectas r ; s a Estudar a súa posición. b char a recta que corta a r e s e é paralela a t,,,,,, ada a recta r e os puntos,, e -,,, pídese: - a char as ecuacións en forma continua da paralela a r que pasa polo punto medio de. b char o punto de r tal que a súa distancia a sea mínima. 7. Probar que os planos a a e a a se cortan nunha recta r que pasa pola orie, calquera que sea o valor de a. char a posición relativa de r co plano a para os diferentes valores de a. / 8. adas as rectas r e s, dicir se eisten, e achar en cada caso: a O plano paralelo á recta s que contén á recta r. b O plano perpendicular a s que conteña a r. c recta de dirección perpendicular a ambas rectas que pasa pola orie. VII / 8 Matemáticas II XEOMETRÍ
9 -. 9. Se considera P,,- e a recta e o plano r ; π = alcular o punto, R, de corte de r e, a ecuación eral do plano determinado por P e r. ar a ecuación continua da recta s paralela a e perpendicular á recta r e que pasa por,,.. recta r e o plano teñen en común o punto P,-,. demais, r corta perpendicularmente a. Sábese tamén que o punto Q,, está en e que o vector v,, é un vector con orie nun punto de e etremo noutro punto de. Encontrar a ecuación da recta r.. Sea r a recta que pasa polo punto,, e ten como vector director o v=, -,.. char o punto P da recta r que está máis preto do punto 4, 7, 5. cha o cuarto vértice, Q, do paralelogramo con vértices consecutivos PQ. Podes especificar que tipo de paralelogramo é PQ?. Estudar, segundo os valores do parámetro, a posición relativa das rectas r e s. alcular o punto de intersección no caso de que se corten: r : ; s :.. Sea o tetraedro de vértices,,,,,,,, e,, a alcula a ecuación do plano que contén a cara e a do plano que contén a cara. b alcula as ecuacións de dúas alturas do tetraedro, a que pasa polo vértice e a que pasa polo vértice, respectivamente. c omproba que as dúas alturas anteriores se cortan nun punto P d omproba se a recta que une calquera vértice do tetraedro co punto P é perpendicular á cara oposta e é, polo tanto, unha altura do tetraedro 4. ada a recta r e o plano = 5 a eterminar o punto P intersección de r e e o punto R de que está máis preto ao punto Q6, -, - de r. b Ecuación da recta s determinada por P e R. c Área do triángulo que ten como vértices P, Q e R. 5. ada a recta r e o plano, achar un plano que conteña á recta r e corte ao plano nunha recta paralela ao plano OXY. 6. iscute e resolve, segundo os valores de m, a posición relativa dos seguintes planos, indicando : as figuras eométricas que determinan: : 5 6. : m 7. Encontrar a recta que pasa polo punto,,- e corta ás rectas de ecuacións t ; t 4 t 8. Encontrar a recta que pasa pola orie, está contida no plano de ecuación +-4= e é perpendicular á recta,. 9. alcula a sabendo que os planos a 7 5 e a 8 se cortan nunha recta que pasa por,, pero que non pasa por 6, -,. 4. onsidera os puntos,,,,,,,, e,,, calcula: a. O volume do tetraedro que determinan b. ecuación cartesiana ou implícita do plano que contén ao punto e é paralelo ao que contén ós puntos,,. RETS E PLNOS NO ESPZO Matemáticas II VII / 9
10 7 4. Se considera a recta r e o punto P,,. 4 a alcula a ecuación paramétrica do plano que é perpendicular á recta r e contén a P. b ada a recta s, cal é a posición relativa entre a recta s e o plano? c alcula cales son as coordenadas do punto Q da recta s que está máis preto á recta r. Xustifica a túa resposta 4. Sea a recta r a. Escribe a recta en forma paramétrica b. Para cada punto P de r, determina a ecuación da recta que pasa por P e corta perpendicularmente ao eie OZ 4. Sean e os puntos do espao de coordenadas =,,, =,,. Encontrar a ecuación paramétrica da recta que pasa por ditos puntos Eisten valores de r e s para os que o punto de coordenadas =, r+s, r-s pertena á recta calculada antes? En caso afirmativo, calcular os valores r e s. Raoar a contestación en caso negativo. 44. char as ecuacións dos planos que pasan polo punto -7,, - e tales que as proeccións perpendiculares da orie sobre ditos planos son puntos da recta,,, 4, t,,. t t 45. a emostra que L t e L se cortan nun punto. al é ese punto? t 4 t b Encontrar a ecuación do plano determinado por ditas rectas 46. Para cada valor de a, os puntos P=,, e =,, a son simétricos respecto dun plano. char, raoadamente, a ecuación de dito plano. En particular, encontrar o plano para a=. 47. Sea r a recta que contén ao punto P=, -, e que é perpendicular ao plano de ecuación 5. Encontrar a ecuación paramétrica de r. char de forma raoada a ecuación dun plano que conteña ao punto Q=,, e que non teña puntos comúns con r. É único dito plano? 48. Sea o plano : e o punto =5, -5, 4 a eterminar o punto simétrico de respecto de b char o volume da figura do espao limitado polo plano e os tres planos cartesianos 49. onsidera o triángulo que ten por vértices os puntos,,,,, - e, -, a Raoa se o triángulo é rectángulo b alcula a recta r que pasa por e é perpendicular ó lado c alcula a recta s que pasa polos puntos e d Se é o punto de corte das rectas r e s, calcula o módulo do vector e alcula a lonitude do lado f alcula o produto vectorial dos vectores e e comproba que o seu módulo é igual a h.b, sendo h o módulo do vector e b a lonitude do lado. 5. ous vértices consecutivos dun rectángulo están en P,, - e Q-,, e os outros dous vértices pertencen á recta r que pasa polo punto 4,, -5. Pídese: a char a ecuación da recta r e a do plano que contén ao rectángulo. b char as coordenadas dos outros dous vértices do rectángulo VII / Matemáticas II XEOMETRÍ
11 5. onsidera os planos de ecuacións :, : p p e : p onde p é un parámetro real. a Para que valores de p os tres planos se cortan nun único punto? cha este punto cando p=. b Hai algún valor de p que faga que a intersección común sea unha recta? Se é así, escribe a ecuación vectorial desa recta. c escribe a posición relativa dos tres planos cando p=/. 5. Sea r a recta que pasa pola orie de coordenadas e ten como vector director v4,,. char un punto P contido en dita recta, tal que se chamamos Q á súa proección sobre o plano :, o triángulo OPQ ten de área. 5. a s compoñentes de u, v e w nunha certa base de V son: u,,, v,,, w 4,,7 char nesa mesma base as compoñentes do vector u v / w b eterminar a posición relativa das seguintes rectas: r r adas as rectas r : e s : e o punto P=,, -, queremos encontrar a ecuación da recta que pasa por P e que corta a r e s. Para conseguilo: a etermina a ecuación eral ou cartesiana do plano que contén á recta r e ao punto P. b etermina o punto M, intersección do plano coa recta s. c etermina a ecuación da recta que pasa polos puntos P e M. d omproba que a recta achada no apartado anterior é a buscada. 55. Se considera o plano a a 4 e a recta r a eterminar os valores de a para os que a recta e o plano son paralelos. b Para a=, calcular a recta que pasa por P,, -, é paralela a e se apoia na recta r. 56. Se consideran os puntos =, -,, =,, e =,,. Se pide: a emostra que determinan un triángulo. b char os puntos de intersección do plano determinado por este triángulo cos eies de coordenadas. 57. char a ecuación do plano que pasa polo punto P=, -, 4 e é paralelo ás rectas 5 4 r e r 58. ados os puntos P=4,, e Q=,,, encontra os dous puntos, R e R, do plano tales que PQR e PQR son triángulos equiláteros. 59. Un plano determina sobre a parte positiva dos eies OX, OY e OZ tres segmentos de lonitudes, e 4 m, respectivamente. a che a ecuación do plano b che a ecuación da recta r que contén aos puntos,, e, 6, a e estude a posición relativa de e r segundo os valores de a. c Para o caso a=, ache o punto onde se cortan e r. 6. Sean e os puntos do espao, de coordenadas =, 4, +a, =-,,-a. Sábese que ditos puntos son simétricos respecto a un plano. char de forma raoada a ecuación de dito plano. RETS E PLNOS NO ESPZO Matemáticas II VII /
12 6. alcular a ecuación cartesiana da recta que contén aos puntos de coordenadas =,, a e =,,. Eiste algún valor de a tal que o punto,, pertena á recta? Raoar a resposta. 6. Sea a recta r definida por e sean os planos, de ecuación, e, de ecuación. cha a recta contida no plano, que é paralela ao plano e que corta á recta r. 6. ados o plano 5 4 e a recta r contida en, obter a recta s contida en que é perpendicular a r, e que pasa pola orie de coordenadas. 64. onsidérase a recta r definida por e a recta s definida por. cha a ecuación da recta perpendicular común a r e s. 65. onsidera o plano, a recta s e o punto =,, -. a cha unha ecuación eral do plano que pasa polo punto, é perpendicular a e ademais é paralelo á recta s. b eséase construír un cadrado que teña un vértice no punto e un lado sobre a recta s. etermina a lonitude dun lado do cadrado e as coordenadas do vértice que está na recta s e é consecutivo ao vértice. 66. Sean r e s dúas rectas do espao, cuas ecuacións, dependentes dun parámetro real b, son as b b seguintes: r : s : 5 b a Encontra o punto de corte da recta r co plano de ecuación e o punto de corte da recta s co mesmo plano. b alcula un vector dirección para cada unha das dúas rectas. c Estuda a posición relativa das dúas rectas en función do parámetro b. 67. ados os puntos O=,,, =4,4, e P=,,, pídese obter raoadamente: a ecuación da recta que pasa por e é perpendicular ao plano de ecuación b ecuación dun plano que cumpra as dúas condicións seguintes: Pase por P e por un punto Q da recta de ecuación 4 Sea perpendicular á recta que pasa por O e Q adas as rectas: r : r' : determine a relación que debe a b eistir entre a e b para que: a r e r ' sean paralelas b r e r ' sean perpendiculares 69. onsidera os puntos =,, -, =,,, =,, e =,, m, onde m R. a etermina o valor do parámetro m para que os catro puntos sean coplanarios. b alcula o punto do plano máis preto ao punto VII / Matemáticas II XEOMETRÍ
13 7. Se consideran as rectas r e s dadas polas ecuacións: r s a a cha o valor do parámetro a para que r e s sean perpendiculares. b char a recta t paralela a r e que pasa polo punto de s cua ordenada é. 7. Sean P a, b, c e Q a, b, c dous puntos do plano. emostra que o vector PQ é perpendicular ao vector n,,. plica o resultado anterior para calcular a ecuación eral do plano que contén aos puntos P=,,, Q=-,, e R=,, 7. Se r é a recta que pasa polo punto P=, -, e ten como vector director,, -, eiste algún valor de a para o cal a recta r está contida no plano 4 a? En caso afirmativo, encontra o valor de a. En caso negativo, raoa a túa resposta. 7. Encontra a ecuación continua da recta que está contida no plano 4 e corta perpendicularmente á recta seguinte: r,, a b onde a, b R a etermina o valor dos parámetros a e b para que os planos se corten nunha recta r. b alcula unhas ecuacións paramétricas da recta r. c cha unha ecuación eral do plano que contén á recta r e que pasa polo punto Q,, 74. onsidera os planos 75. Estude, en función dos parámetros a e b, a posición relativa da recta r e o plano a b Para cada unha das posicións obtidas, diga como é o sistema formado polas tres ecuacións:,, a a b 76. eterminar a ecuación do plano que pasando polos puntos,, e,, corta ao eie OZ no punto,, c con c, tal que a área do triángulo vale alcula a ecuación dunha recta r paralela ao plano que pasa polos puntos,,,,, e,, e ao plano de ecuación e que non está contida en ningún deles recta r de ecuación e a recta s que pasa polos puntos P,, e Q a,, se cortan nun punto. alcula o valor de a e o punto de corte. 79. a char o volume do tetraedro que ten un vértice na orie e os outros tres vértices nas interseccións das rectas: r, r, r co plano b char a recta t que corta perpendicularmente a r4, r5 8. ados o plano 6 e a recta r a 4 a Encontra o valor do parámetro a R para que e r sean paralelos b Para o valor de a do apartado anterior, da a ecuación eral do plano ' que contén a r e é perpendicular a RETS E PLNOS NO ESPZO Matemáticas II VII /
14 VII / 4 Matemáticas II XEOMETRÍ
EXERCICIOS AUTOAVALIABLES: RECTAS E PLANOS. 3. Cal é o vector de posición da orixe de coordenadas O? Cales son as coordenadas do punto O?
EXERCICIOS AUTOAVALIABLES: RECTAS E PLANOS Representa en R os puntos S(2, 2, 2) e T(,, ) 2 Debuxa os puntos M (, 0, 0), M 2 (0,, 0) e M (0, 0, ) e logo traza o vector OM sendo M(,, ) Cal é o vector de
Διαβάστε περισσότεραEXERCICIOS DE REFORZO: RECTAS E PLANOS
EXERCICIOS DE REFORZO RECTAS E PLANOS Dada a recta r z a) Determna a ecuacón mplícta do plano π que pasa polo punto P(,, ) e é perpendcular a r Calcula o punto de nterseccón de r a π b) Calcula o punto
Διαβάστε περισσότεραIX. ESPAZO EUCLÍDEO TRIDIMENSIONAL: Aplicacións ao cálculo de distancias, áreas e volumes
IX. ESPAZO EUCLÍDEO TRIDIMENSIONAL: Aplicacións ao cálculo de distancias, áreas e volumes 1.- Distancia entre dous puntos Se A e B son dous puntos do espazo, defínese a distancia entre A e B como o módulo
Διαβάστε περισσότεραPAU XUÑO 2011 MATEMÁTICAS II
PAU XUÑO 2011 MATEMÁTICAS II Código: 26 (O alumno/a debe responder só os exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción: exercicio 1= 3 puntos, exercicio 2= 3 puntos, exercicio
Διαβάστε περισσότεραXEOMETRÍA NO ESPAZO. - Se dun vector se coñecen a orixe, o módulo, a dirección e o sentido, este está perfectamente determinado no espazo.
XEOMETRÍA NO ESPAZO Vectores fixos Dos puntos do espazo, A e B, determinan o vector fixo AB, sendo o punto A a orixe e o punto B o extremo, é dicir, un vector no espazo é calquera segmento orientado que
Διαβάστε περισσότεραMATEMÁTICAS. (Responder soamente a unha das opcións de cada bloque temático). BLOQUE 1 (ÁLXEBRA LINEAL) (Puntuación máxima 3 puntos)
21 MATEMÁTICAS (Responder soamente a unha das opcións de cada bloque temático). BLOQUE 1 (ÁLXEBRA LINEAL) (Puntuación máxima 3 Dada a matriz a) Calcula os valores do parámetro m para os que A ten inversa.
Διαβάστε περισσότεραMATEMÁTICAS. (Responder soamente a unha das opcións de cada bloque temático). BLOQUE 1 (ÁLXEBRA LINEAL) (Puntuación máxima 3 puntos)
1 MATEMÁTICAS (Responder soamente a unha das opcións de cada bloque temático). BLOQUE 1 (ÁLXEBRA LINEAL) (Puntuación máxima 3 puntos) Opción 1. Dada a matriz a) Calcula os valores do parámetro m para os
Διαβάστε περισσότεραPAU XUÑO 2012 MATEMÁTICAS II
PAU Código: 6 XUÑO 01 MATEMÁTICAS II (Responder só aos exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción: exercicio 1= 3 puntos, exercicio = 3 puntos, exercicio 3= puntos, exercicio
Διαβάστε περισσότεραPAU XUÑO 2010 MATEMÁTICAS II
PAU XUÑO 010 MATEMÁTICAS II Código: 6 (O alumno/a deber responder só aos eercicios dunha das opcións. Punuación máima dos eercicios de cada opción: eercicio 1= 3 punos, eercicio = 3 punos, eercicio 3 =
Διαβάστε περισσότερα1. O ESPAZO VECTORIAL DOS VECTORES LIBRES 1.1. DEFINICIÓN DE VECTOR LIBRE
O ESPAZO VECTORIAL DOS VECTORES LIBRES DEFINICIÓN DE VECTOR LIBRE MATEMÁTICA II 06 Exames e Textos de Matemática de Pepe Sacau ten unha licenza Creative Commons Atribución Compartir igual 40 Internacional
Διαβάστε περισσότεραPAU XUÑO 2011 MATEMÁTICAS II
PAU XUÑO 2011 MATEMÁTICAS II Código: 26 (O alumno/a debe responder só os exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción: exercicio 1= 3 puntos, exercicio 2= 3 puntos, exercicio
Διαβάστε περισσότεραVIII. ESPAZO EUCLÍDEO TRIDIMENSIONAL: Ángulos, perpendicularidade de rectas e planos
VIII. ESPZO EULÍDEO TRIDIMENSIONL: Áglos perpediclaridade de rectas e plaos.- Áglo qe forma dúas rectas O áglo de dúas rectas qe se corta se defie como o meor dos áglos qe forma o plao qe determia. O áglo
Διαβάστε περισσότεραPAU XUÑO 2010 MATEMÁTICAS II
PAU XUÑO 010 MATEMÁTICAS II Código: 6 (O alumno/a deber responder só aos eercicios dunha das opcións. Puntuación máima dos eercicios de cada opción: eercicio 1= 3 puntos, eercicio = 3 puntos, eercicio
Διαβάστε περισσότεραln x, d) y = (3x 5 5x 2 + 7) 8 x
EXERCICIOS AUTOAVALIABLES: CÁLCULO DIFERENCIAL. Deriva: a) y 7 6 + 5, b) y e, c) y e) y 7 ( 5 ), f) y ln, d) y ( 5 5 + 7) 8 n e ln, g) y, h) y n. Usando a derivada da función inversa, demostra que: a)
Διαβάστε περισσότεραTema 3. Espazos métricos. Topoloxía Xeral,
Tema 3. Espazos métricos Topoloxía Xeral, 2017-18 Índice Métricas en R n Métricas no espazo de funcións Bólas e relacións métricas Definición Unha métrica nun conxunto M é unha aplicación d con valores
Διαβάστε περισσότεραPAU XUÑO 2016 MATEMÁTICAS II
PAU XUÑO 06 Código: 6 MATEMÁTICAS II (O alumno/a debe responder só os exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción: exercicio = 3 puntos, exercicio = 3 puntos, exercicio
Διαβάστε περισσότεραTema: Enerxía 01/02/06 DEPARTAMENTO DE FÍSICA E QUÍMICA
Tema: Enerxía 01/0/06 DEPARTAMENTO DE FÍSICA E QUÍMICA Nome: 1. Unha caixa de 150 kg descende dende o repouso por un plano inclinado por acción do seu peso. Se a compoñente tanxencial do peso é de 735
Διαβάστε περισσότεραEXERCICIOS DE ÁLXEBRA. PAU GALICIA
Maemáicas II EXERCICIOS DE ÁLXEBRA PAU GALICIA a) (Xuño ) Propiedades do produo de marices (só enuncialas) b) (Xuño ) Sexan M e N M + I, onde I denoa a mariz idenidade de orde n, calcule N e M 3 Son M
Διαβάστε περισσότεραTema 1. Espazos topolóxicos. Topoloxía Xeral, 2016
Tema 1. Espazos topolóxicos Topoloxía Xeral, 2016 Topoloxía e Espazo topolóxico Índice Topoloxía e Espazo topolóxico Exemplos de topoloxías Conxuntos pechados Topoloxías definidas por conxuntos pechados:
Διαβάστε περισσότεραXUÑO 2018 MATEMÁTICAS II
Proba de Avaliación do Bacharelato para o Acceso áuniversidade XUÑO 218 Código: 2 MATEMÁTICAS II (Responde só os exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción: exercicio
Διαβάστε περισσότεραLUGARES XEOMÉTRICOS. CÓNICAS
LUGARES XEOMÉTRICOS. CÓNICAS Páxina REFLEXIONA E RESOLVE Cónicas abertas: parábolas e hipérboles Completa a seguinte táboa, na que a é o ángulo que forman as xeratrices co eixe, e, da cónica e b o ángulo
Διαβάστε περισσότεραFísica P.A.U. ELECTROMAGNETISMO 1 ELECTROMAGNETISMO. F = m a
Física P.A.U. ELECTOMAGNETISMO 1 ELECTOMAGNETISMO INTODUCIÓN MÉTODO 1. En xeral: Debúxanse as forzas que actúan sobre o sistema. Calcúlase a resultante polo principio de superposición. Aplícase a 2ª lei
Διαβάστε περισσότεραA circunferencia e o círculo
10 A circunferencia e o círculo Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Identificar os diferentes elementos presentes na circunferencia e o círculo. Coñecer as posicións relativas de puntos, rectas e circunferencias.
Διαβάστε περισσότεραINICIACIÓN AO CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIÓNS
INICIACIÓN AO CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIÓNS Páina 0 REFLEXIONA E RESOLVE Coller un autobús en marca Na gráfica seguinte, a liña vermella representa o movemento dun autobús que arranca da parada e vai,
Διαβάστε περισσότεραa) Calcula m de modo que o produto escalar de a( 3, 2 ) e b( m, 5 ) sexa igual a 5. ( )
.. MATEMÁTICAS I PENDENTES (º PARTE) a) Calcula m de modo que o produto escalar de a(, ) e b( m, 5 ) sea igual a 5. b) Calcula a proección de a sobre c, sendo c,. ( ) 5 Se (, ) e y,. Calcula: a) Un vector
Διαβάστε περισσότεραTEORÍA DE XEOMETRÍA. 1º ESO
TEORÍA DE XEOMETRÍA. 1º ESO 1. CORPOS XEOMÉTRICOS No noso entorno observamos continuamente obxectos de diversas formas: pelotas, botes, caixas, pirámides, etc. Todos estes obxectos son corpos xeométricos.
Διαβάστε περισσότεραMATEMÁTICAS. PRIMEIRA PARTE (Parte Común) ), cadradas de orde tres, tales que a 21
PRIMEIRA PARTE (Parte Común) (Nesta primeira parte tódolos alumnos deben responder a tres preguntas. Unha soa pregunta de cada un dos tres bloques temáticos: Álxebra Lineal, Xeometría e Análise. A puntuación
Διαβάστε περισσότεραVI. VECTORES NO ESPAZO
VI. VECTORES NO ESPAZO.- Vectores no espazo. Operacións Sexa E o espazo de pntos ordinario o intitio da xeometría elemental. Un segmento orientado AB con orixe no pnto A e extremo no pnto B recibe o nome
Διαβάστε περισσότεραSistemas e Inecuacións
Sistemas e Inecuacións 1. Introdución 2. Sistemas lineais 2.1 Resolución gráfica 2.2 Resolución alxébrica 3. Método de Gauss 4. Sistemas de ecuacións non lineais 5. Inecuacións 5.1 Inecuacións de 1º e
Διαβάστε περισσότεραNÚMEROS COMPLEXOS. Páxina 147 REFLEXIONA E RESOLVE. Extraer fóra da raíz. Potencias de. Como se manexa k 1? Saca fóra da raíz:
NÚMEROS COMPLEXOS Páxina 7 REFLEXIONA E RESOLVE Extraer fóra da raíz Saca fóra da raíz: a) b) 00 a) b) 00 0 Potencias de Calcula as sucesivas potencias de : a) ( ) ( ) ( ) b) ( ) c) ( ) 5 a) ( ) ( ) (
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIA. hipotenusa L 2. hipotenusa
TRIGONOMETRIA. Calcular las razones trigonométricas de 0º, º y 60º. Para calcular las razones trigonométricas de º, nos ayudamos de un triángulo rectángulo isósceles como el de la figura. cateto opuesto
Διαβάστε περισσότεραFísica P.A.U. VIBRACIÓNS E ONDAS 1 VIBRACIÓNS E ONDAS
Física P.A.U. VIBRACIÓNS E ONDAS 1 VIBRACIÓNS E ONDAS PROBLEMAS M.H.S.. 1. Dun resorte elástico de constante k = 500 N m -1 colga unha masa puntual de 5 kg. Estando o conxunto en equilibrio, desprázase
Διαβάστε περισσότεραx 2 6º- Achar a ecuación da recta que pasa polo punto medio do segmento de extremos
º- Dados os puntos A(,, ), B(, 4), C( 5,, ) EXERCICIOS XEOMETRÍA Acha as coodenadas dun cuato punto D coa condición que o cuadiláteo ABCD sexa un paalelogamo º- Escibi as ecuacións paaméticas, na foma
Διαβάστε περισσότεραProcedementos operatorios de unións non soldadas
Procedementos operatorios de unións non soldadas Técnicas de montaxe de instalacións Ciclo medio de montaxe e mantemento de instalacións frigoríficas 1 de 28 Técnicas de roscado Unha rosca é unha hélice
Διαβάστε περισσότεραÁmbito científico tecnolóxico. Ecuacións de segundo grao e sistemas de ecuacións. Módulo 3 Unidade didáctica 8
Educación secundaria para persoas adultas Ámbito científico tecnolóxico Módulo 3 Unidade didáctica 8 Ecuacións de segundo grao e sistemas de ecuacións Páxina 1 de 45 Índice 1. Programación da unidade...3
Διαβάστε περισσότεραECUACIÓNS, INECUACIÓNS E SISTEMAS
ECUACIÓNS, INECUACIÓNS E SISTEMAS Índice 1. Ecuacións de primeiro e segundo grao... 1 1.1. Ecuacións de primeiro grao... 1 1.. Ecuacións de segundo grao.... Outras ecuacións alébricas... 5.1. Ecuacións
Διαβάστε περισσότεραExercicios de Física 02a. Campo Eléctrico
Exercicios de Física 02a. Campo Eléctrico Problemas 1. Dúas cargas eléctricas de 3 mc están situadas en A(4,0) e B( 4,0) (en metros). Caalcula: a) o campo eléctrico en C(0,5) e en D(0,0) b) o potencial
Διαβάστε περισσότεραSemellanza e trigonometría
7 Semellanza e trigonometría Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Recoñecer triángulos semellantes. Calcular distancias inaccesibles, aplicando a semellanza de triángulos. Nocións básicas de trigonometría.
Διαβάστε περισσότεραFísica P.A.U. ÓPTICA 1 ÓPTICA
Física P.A.U. ÓPTICA 1 ÓPTICA PROBLEMAS DIOPTRIO PLANO 1. Un raio de luz de frecuencia 5 10 14 Hz incide, cun ángulo de incidencia de 30, sobre unha lámina de vidro de caras plano-paralelas de espesor
Διαβάστε περισσότεραA proba constará de vinte cuestións tipo test. As cuestións tipo test teñen tres posibles respostas, das que soamente unha é correcta.
Páxina 1 de 9 1. Formato da proba Formato proba constará de vinte cuestións tipo test. s cuestións tipo test teñen tres posibles respostas, das que soamente unha é correcta. Puntuación Puntuación: 0.5
Διαβάστε περισσότεραCaderno de traballo. Proxecto EDA 2009 Descartes na aula. Departamento de Matemáticas CPI A Xunqueira Fene
Departamento de Matemáticas CPI A Xunqueira Fene Nome: 4º ESO Nº Páx. 1 de 36 FIGURAS SEMELLANTES 1. CONCEPTO DE SEMELLANZA Intuitivamente: Dúas figuras son SEMELLANTES se teñen a mesma forma pero distinto
Διαβάστε περισσότεραCorpos xeométricos. Obxectivos. Antes de empezar. 1. Poliedros... páx. 4 Definición Elementos dun poliedro
9 Corpos xeométricos Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Identificar que é un poliedro. Determinar os elementos dun poliedro: Caras, arestas e vértices. Clasificar os poliedros. Especificar cando un
Διαβάστε περισσότεραFísica P.A.U. ELECTROMAGNETISMO 1 ELECTROMAGNETISMO
Física P.A.U. ELECTROMAGNETISMO 1 ELECTROMAGNETISMO PROBLEMAS CAMPO ELECTROSTÁTICO 1. Dúas cargas eléctricas de 3 mc están situadas en A(4, 0) e B(-4, 0) (en metros). Calcula: a) O campo eléctrico en C(0,
Διαβάστε περισσότεραFísica P.A.U. VIBRACIÓNS E ONDAS 1 VIBRACIÓNS E ONDAS
Física P.A.U. VIBRACIÓNS E ONDAS 1 VIBRACIÓNS E ONDAS INTRODUCIÓN MÉTODO 1. En xeral: a) Debúxanse as forzas que actúan sobre o sistema. b) Calcúlase cada forza. c) Calcúlase a resultante polo principio
Διαβάστε περισσότεραProblemas y cuestiones de electromagnetismo
Problemas y cuestiones de electromagnetismo 1.- Dúas cargas eléctricas puntuais de 2 e -2 µc cada unha están situadas respectivamente en (2,0) e en (-2,0) (en metros). Calcule: a) campo eléctrico en (0,0)
Διαβάστε περισσότεραEXERCICIOS AUTOAVALIABLES: SISTEMAS DE ECUACIÓNS LINEAIS. 2. Dada a ecuación lineal 2x 3y + 4z = 2, comproba que as ternas (3, 2, 2
EXERCICIOS AUTOAVALIABLES: SISTEMAS DE ECUACIÓNS LINEAIS Dds s ecucións seguintes indic s que son lineis: ) + + b) + u c) + d) + Dd ecución linel + comprob que s terns ( ) e ( ) son lgunhs ds sús solucións
Διαβάστε περισσότεραÁreas de corpos xeométricos
9 Áreas de corpos xeométricos Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Antes de empezar 1.Área dos prismas....... páx.164 Área dos prismas Calcular a área de prismas rectos de calquera número de caras.
Διαβάστε περισσότεραReflexión e refracción. Coeficientes de Fresnel
Tema 5 Reflexión e refracción Coeficientes de Fresnel 51 Introdución Cando a luz incide sobre a superficie de separación de dous medios transparentes de índice de refracción diferente, unha parte entra
Διαβάστε περισσότεραEletromagnetismo. Johny Carvalho Silva Universidade Federal do Rio Grande Instituto de Matemática, Física e Estatística. ...:: Solução ::...
Eletromagnetismo Johny Carvalho Silva Universidade Federal do Rio Grande Instituto de Matemática, Física e Estatística Lista -.1 - Mostrar que a seguinte medida é invariante d 3 p p 0 onde: p 0 p + m (1)
Διαβάστε περισσότεραFísica P.A.U. ÓPTICA 1 ÓPTICA
Física P.A.U. ÓPTICA 1 ÓPTICA PROBLEMAS DIOPTRIO PLANO 1. Un raio de luz de frecuencia 5 10¹⁴ Hz incide cun ángulo de incidencia de 30 sobre unha lámina de vidro de caras plano-paralelas de espesor 10
Διαβάστε περισσότεραEXERCICIOS DE REFORZO: SISTEMAS DE ECUACIÓNS LINEAIS
EXERCICIOS DE REFORZO: SISTEMAS DE ECUACIÓNS LINEAIS. ) Clul os posiles vlores de,, pr que triz A verifique relión (A I), sendo I triz identidde de orde e triz nul de orde. ) Cl é soluión dun siste hooéneo
Διαβάστε περισσότεραProblemas xeométricos
Problemas xeométricos Contidos 1. Figuras planas Triángulos Paralelogramos Trapecios Trapezoides Polígonos regulares Círculos, sectores e segmentos 2. Corpos xeométricos Prismas Pirámides Troncos de pirámides
Διαβάστε περισσότεραInecuacións. Obxectivos
5 Inecuacións Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Resolver inecuacións de primeiro e segundo grao cunha incógnita. Resolver sistemas de ecuacións cunha incógnita. Resolver de forma gráfica inecuacións
Διαβάστε περισσότεραEJERCICIOS DE VIBRACIONES Y ONDAS
EJERCICIOS DE VIBRACIONES Y ONDAS 1.- Cando un movemento ondulatorio se atopa na súa propagación cunha fenda de dimensións pequenas comparables as da súa lonxitude de onda prodúcese: a) polarización; b)
Διαβάστε περισσότεραESTRUTURA ATÓMICA E CLASIFICACIÓN PERIÓDICA DOS ELEMENTOS
Química P.A.U. ESTRUTURA ATÓMICA E CLASIFICACIÓN PERIÓDICA DOS ELEMENTOS ESTRUTURA ATÓMICA E CLASIFICACIÓN PERIÓDICA DOS ELEMENTOS CUESTIÓNS NÚMEROS CUÁNTICOS. a) Indique o significado dos números cuánticos
Διαβάστε περισσότερα1_2.- Os números e as súas utilidades - Exercicios recomendados
1_.- Os números e as súas utilidades - Exercicios recomendados 1. Ordena de menor a maior as seguintes fraccións: 1 6 3 5 7 4,,,,, 3 5 4 8 6 9. Efectúa as seguintes operacións e simplifica o resultado:
Διαβάστε περισσότεραTRAZADOS XEOMÉTRICOS FUNDAMENTAIS NO PLANO A 1. PUNTO E RECTA
TRAZADOS XEOMÉTRICOS FUNDAMENTAIS NO PLANO 1. Punto e recta 2. Lugares xeométricos 3. Ángulos 4. Trazado de paralelas e perpendiculares con escuadro e cartabón 5. Operacións elementais 6. Trazado de ángulos
Διαβάστε περισσότεραMétodos Matemáticos en Física L4F. CONDICIONES de CONTORNO+Fuerzas Externas (Cap. 3, libro APL)
L4F. CONDICIONES de CONTORNO+Fuerzas Externas (Cap. 3, libro Condiciones de contorno. Fuerzas externas aplicadas sobre una cuerda. condición que nos describe un extremo libre en una cuerda tensa. Ecuación
Διαβάστε περισσότεραI.E.S. CADERNO Nº 6 NOME: DATA: / / Semellanza
Semellanza Contidos 1. Semellanza Figuras semellantes Teorema de Tales Triángulos semellantes 2. Triángulos rectángulos. Teoremas Teorema do cateto Teorema da altura Teorema de Pitágoras xeneralizado 3.
Διαβάστε περισσότεραSOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 101 a 119
Página 0. a) b) π 4 π x 0 4 π π / 0 π / x 0º 0 x π π. 0 rad 0 π π rad 0 4 π 0 π rad 0 π 0 π / 4. rad 4º 4 π π 0 π / rad 0º π π 0 π / rad 0º π 4. De izquierda a derecha: 4 80 π rad π / rad 0 Página 0. tg
Διαβάστε περισσότεραExpresións alxébricas
5 Expresións alxébricas Obxectivos Crear expresións alxébricas a partir dun enunciado. Atopar o valor numérico dunha expresión alxébrica. Clasificar unha expresión alxébrica como monomio, binomio,... polinomio.
Διαβάστε περισσότερα1 La teoría de Jeans. t + (n v) = 0 (1) b) Navier-Stokes (conservación del impulso) c) Poisson
1 La teoría de Jeans El caso ás siple de evolución de fluctuaciones es el de un fluído no relativista. las ecuaciones básicas son: a conservación del núero de partículas n t + (n v = 0 (1 b Navier-Stokes
Διαβάστε περισσότεραPÁGINA 106 PÁGINA a) sen 30 = 1/2 b) cos 120 = 1/2. c) tg 135 = 1 d) cos 45 = PÁGINA 109
PÁGINA 0. La altura del árbol es de 8,5 cm.. BC m. CA 70 m. a) x b) y PÁGINA 0. tg a 0, Con calculadora: sß 0,9 t{ ««}. cos a 0, Con calculadora: st,8 { \ \ } PÁGINA 05. cos a 0,78 tg a 0,79. sen a 0,5
Διαβάστε περισσότεραFísica P.A.U. GRAVITACIÓN 1 GRAVITACIÓN
Física P.A.U. GRAVITACIÓN 1 GRAVITACIÓN PROBLEMAS SATÉLITES 1. O período de rotación da Terra arredor del Sol é un año e o radio da órbita é 1,5 10 11 m. Se Xúpiter ten un período de aproximadamente 12
Διαβάστε περισσότεραTrigonometría. Obxectivos. Antes de empezar.
7 Trigonometría Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Calcular as razóns trigonométricas dun ángulo. Calcular todas as razóns trigonométricas dun ángulo a partir dunha delas. Resolver triángulos rectángulos
Διαβάστε περισσότεραNÚMEROS REAIS. Páxina 27 REFLEXIONA E RESOLVE. O paso de Z a Q. O paso de Q a Á
NÚMEROS REAIS Páxina 7 REFLEXIONA E RESOLVE O paso de Z a Q Di cales das seguintes ecuacións se poden resolver en Z e para cales é necesario o conxunto dos números racionais, Q. a) x 0 b) 7x c) x + d)
Διαβάστε περισσότεραCódigo: 25 PAU XUÑO 2014 FÍSICA OPCIÓN A OPCIÓN B
PAU XUÑO 2014 Código: 25 FÍSICA Puntuación máxima: Cuestións 4 puntos (1 cada cuestión, teórica ou práctica). Problemas 6 puntos (1 cada apartado). Non se valorará a simple anotación dun ítem como solución
Διαβάστε περισσότεραFuncións e gráficas. Obxectivos. 1.Funcións reais páx. 4 Concepto de función Gráfico dunha función Dominio e percorrido Funcións definidas a anacos
9 Funcións e gráficas Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Coñecer e interpretar as funcións e as distintas formas de presentalas. Recoñecer o dominio e o percorrido dunha función. Determinar se unha
Διαβάστε περισσότεραObxectivos. Resumo. titor. corpos xeométricos. Calcular as. súas áreas volumes. Terra. deles.
8 Corpos xeométricos Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Distinguir as clases de corpos xeométricos. Construíloss a partir do seu desenvolvemento plano. Calcular as súas áreas e volumes. Localizar
Διαβάστε περισσότεραVolume dos corpos xeométricos
11 Volume dos corpos xeométricos Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Comprender o concepto de medida do volume e coñecer e manexar as unidades de medida do S.M.D. Obter e aplicar expresións para o
Διαβάστε περισσότεραINTERACCIÓNS GRAVITATORIA E ELECTROSTÁTICA
INTEACCIÓNS GAVITATOIA E ELECTOSTÁTICA AS LEIS DE KEPLE O astrónomo e matemático Johannes Kepler (1571 1630) enunciou tres leis que describen o movemento planetario a partir do estudo dunha gran cantidade
Διαβάστε περισσότεραCADERNO Nº 2 NOME: DATA: / / Polinomios. Manexar as expresións alxébricas e calcular o seu valor numérico.
Polinomios Contidos 1. Monomios e polinomios Expresións alxébricas Expresión en coeficientes Valor numérico dun polinomio 2. Operacións Suma e diferenza Produto Factor común 3. Identidades notables Suma
Διαβάστε περισσότεραf) cotg 300 ctg 60 2 d) cos 5 cos 6 Al ser un ángulo del primer cuadrante, todas las razones son positivas. Así, tenemos: tg α 3
.9. Calcula el valor de las siguientes razones trigonométricas reduciéndolas al primer cuadrante. a) sen 0 c) tg 0 e) sec 0 b) cos d) cosec f) cotg 00 Solucionario a) sen 0 sen 0 d) cosec sen sen b) cos
Διαβάστε περισσότερα1. A INTEGRAL INDEFINIDA 1.1. DEFINICIÓN DE INTEGRAL INDEFINIDA 1.2. PROPRIEDADES
TEMA / CÁLCULO INTEGRAL MATEMÁTICA II 07 Eames e Tetos de Matemática de Pepe Sacau ten unha licenza Creative Commons Atriución Compartir igual.0 Internacional. A INTEGRAL INDEFINIDA.. DEFINICIÓN DE INTEGRAL
Διαβάστε περισσότεραPolinomios. Obxectivos. Antes de empezar. 1.Polinomios... páx. 4 Grao. Expresión en coeficientes Valor numérico dun polinomio
3 Polinomios Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Achar a expresión en coeficientes dun polinomio e operar con eles. Calcular o valor numérico dun polinomio. Recoñecer algunhas identidades notables,
Διαβάστε περισσότεραÁmbito científico tecnolóxico. Xeometría. Unidade didáctica 2. Módulo 3. Educación a distancia semipresencial
Educación secundaria para persoas adultas Ámbito científico tecnolóxico Educación a distancia semipresencial Módulo 3 Unidade didáctica 2 Xeometría Índice 1. Introdución... 3 1.1 Descrición da unidade
Διαβάστε περισσότεραResistencia de Materiais. Tema 5. Relacións entre tensións e deformacións
Resistencia de Materiais. Tema 5. Relacións entre tensións e deformacións ARTURO NORBERTO FONTÁN PÉREZ Fotografía. Ponte Coalbrookdale (Gran Bretaña, 779). Van principal: 30.5 m. Contido. Tema 5. Relacións
Διαβάστε περισσότεραPAU XUÑO 2011 FÍSICA
PAU XUÑO 2011 Código: 25 FÍSICA Puntuación máxima: Cuestións 4 puntos (1 cada cuestión, teórica ou práctica). Problemas 6 puntos (1 cada apartado). Non se valorará a simple anotación dun ítem como solución
Διαβάστε περισσότεραELECTROMAGNETISMO Problemas PAAU
ELECTROMAGNETISMO Problemas PAAU XUÑO-96 PROBLEMA 2. op B Dadas as cargas puntuais q 1 = 80 µc, q 2 = -80 µc y q 3 = 40 µc situadas nos puntos A (-2,0), B(2,0) y C(0,2) respectivamente (coordenadas en
Διαβάστε περισσότεραExpresións alxébricas
Expresións alxébricas Contidos 1. Expresións alxébricas Que son? Como as obtemos? Valor numérico 2. Monomios Que son? Sumar e restar Multiplicar 3. Polinomios Que son? Sumar e restar Multiplicar por un
Διαβάστε περισσότεραCódigo: 25 XUÑO 2014 PAU FÍSICA OPCIÓN A OPCIÓN B
PAU Código: 25 XUÑO 204 FÍSICA Puntuación máxima: Cuestións 4 puntos ( cada cuestión, teórica ou práctica). Problemas 6 puntos ( cada apartado). Non se valorará a simple anotación dun ítem como solución
Διαβάστε περισσότεραFuncións e gráficas. Obxectivos. Antes de empezar. 1.Funcións páx. 4 Concepto Táboas e gráficas Dominio e percorrido
9 Funcións e gráficas Obxectivos Nesta quinceer na aprenderás a: Coñecer e interpretar as funcións e as distintas formas de presentalas. Recoñecer ou dominio e ou percorrido dunha función. Determinar se
Διαβάστε περισσότεραProbas de acceso a ciclos formativos de grao medio CMPM001. Proba de. Código. Matemáticas. Parte matemática. Matemáticas.
Probas de acceso a ciclos formativos de grao medio Proba de Matemáticas Código CMPM001 Páxina 1 de 9 Parte matemática. Matemáticas 1. Formato da proba Formato A proba consta de vinte cuestións tipo test.
Διαβάστε περισσότεραÓPTICA- A LUZ Problemas PAAU
ÓPTICA- A LUZ Problemas PAAU XUÑO-96 CUESTION 2. opa Disponse de luz monocromática capaz de extraer electróns dun metal. A medida que medra a lonxitude de onda da luz incidente, a) os electróns emitidos
Διαβάστε περισσότεραAno 2018 FÍSICA. SOL:a...máx. 1,00 Un son grave ten baixa frecuencia, polo que a súa lonxitude de onda é maior.
ABAU CONVOCAT ORIA DE SET EMBRO Ano 2018 CRIT ERIOS DE AVALI ACIÓN FÍSICA (Cód. 23) Elixir e desenvolver unha das dúas opcións. As solución numéricas non acompañadas de unidades ou con unidades incorrectas...
Διαβάστε περισσότερα1 Experimento aleatorio. Espazo de mostra. Sucesos
V. PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 1 Experimento aleatorio. Espazo de mostra. Sucesos 1 Experimento aleatorio. Concepto e exemplos Experimentos aleatorios son aqueles que ao repetilos nas mesmas condicións
Διαβάστε περισσότεραIntrodución ao cálculo vectorial
Intoducón o cálculo ectol 1 Intoducón o cálculo ectol 1. MAGNITUDES ESCALARES E VECTORIAIS. Mgntude físc é todo qulo que se pode med. Mgntudes escles son quels que están detemnds po un lo numéco epesdo
Διαβάστε περισσότεραFísica e Química 4º ESO
Física e Química 4º ESO DEPARTAMENTO DE FÍSICA E QUÍMICA Física: Temas 1 ao 6. 01/03/07 Nome: Cuestións 1. Un móbil ten unha aceleración de -2 m/s 2. Explica o que significa isto. 2. No medio dunha tormenta
Διαβάστε περισσότεραPAU XUÑO Código: 25 FÍSICA OPCIÓN A OPCIÓN B
PAU XUÑO 013 Código: 5 FÍSICA Puntuación máxima: Cuestións 4 puntos (1 cada cuestión, teórica ou práctica). Problemas 6 puntos (1 cada apartado). Non se valorará a simple anotación dun ítem como solución
Διαβάστε περισσότεραPAU Xuño 2011 FÍSICA OPCIÓN A
PAU Xuño 20 Código: 25 FÍSICA Puntuación máxima: Cuestións 4 puntos ( cada cuestión, teórica ou práctica). Problemas 6 puntos ( cada apartado). Non se valorará a simple anotación dun ítem como solución
Διαβάστε περισσότεραObxectivos. polinomios. Valor. por diferenza. Factor común. ao cadrado. Suma. Resumo. titor. numérico. seu grao. Polinomios. Sacar factor. común.
Polinomios Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Manexar as expresiónss alxébricas e calcular o seu valor numérico. Recoñecer os polinomios e o seu grao. Sumar, restar e multiplicar polinomios. Sacar
Διαβάστε περισσότεραEducación secundaria para persoas adultas Ámbito científico tecnolóxico Educación a distancia semipresencial Módulo 1 Unidade didáctica 2 Xeometría
Educación secundaria para persoas adultas Ámbito científico tecnolóxico Educación a distancia semipresencial Módulo 1 Unidade didáctica Xeometría Índice 1. Introdución... 3 1.1 Descrición da unidade didáctica...
Διαβάστε περισσότερα24/10/06 MOVEMENTO HARMÓNICO SIMPLE
NOME: CALIFICACIÓN PROBLEMAS (6 puntos) 24/10/06 MOVEMENTO HARMÓNICO SIMPLE 1. Dun resorte elástico de constante k= 500 Nm -1 colga unha masa puntual de 5 kg. Estando o conxunto en equilibrio, desprázase
Διαβάστε περισσότεραPAU SETEMBRO 2013 FÍSICA
PAU SETEMBRO 013 Código: 5 FÍSICA Puntuación máxima: Cuestións 4 puntos (1 cada cuestión, teórica ou práctica). Problemas 6 puntos (1 cada apartado). Non se valorará a simple anotación dun ítem como solución
Διαβάστε περισσότεραa) Ao ceibar o resorte describe un MHS, polo tanto correspóndelle unha ecuación para a elongación:
VIBRACIÓNS E ONDAS PROBLEMAS 1. Un sistema cun resorte estirado 0,03 m sóltase en t=0 deixándoo oscilar libremente, co resultado dunha oscilación cada 0, s. Calcula: a) A velocidade do extremo libre ó
Διαβάστε περισσότεραQuímica P.A.U. ÁCIDOS E BASES 1 ÁCIDOS E BASES
Química P.A.U. ÁCIDOS E BASES 1 ÁCIDOS E BASES PROBLEMAS ÁCIDO/BASE DÉBIL 1. Unha disolución de amonuíaco de concentración 0,01 mol/dm³ está ionizada nun 4,2 %. a) Escribe a reacción de disociación e calcula
Διαβάστε περισσότεραÁmbito científico tecnolóxico. Números e álxebra. Unidade didáctica 1. Módulo 3. Educación a distancia semipresencial
Educación secundaria para persoas adultas Ámbito científico tecnolóxico Educación a distancia semipresencial Módulo Unidade didáctica 1 Números e álxebra Índice 1. Introdución... 1.1 Descrición da unidade
Διαβάστε περισσότεραPAAU (LOXSE) XUÑO 2005 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CC. SOCIAIS
PAAU (LOXSE) XUÑO 005 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CC. SOCIAIS Código: 61 O alumno debe resolver só un exercicio de cada un dos tres bloques temáticos. Puntuación máxima de cada un dos exercicios: Álxebra
Διαβάστε περισσότεραCADERNO Nº 2 NOME: DATA: / / Os números reais
CADERNO Nº NOME: DATA: / / Os números reais Contidos. Os números reais Números irracionais Números reais Aproximacións Representación gráfica Valor absoluto Intervalos. Radicais Forma exponencial Radicais
Διαβάστε περισσότεραExame tipo. C. Problemas (Valoración: 5 puntos, 2,5 puntos cada problema)
Exame tipo A. Proba obxectiva (Valoración: 3 puntos) 1. - Un disco de 10 cm de raio xira cunha velocidade angular de 45 revolucións por minuto. A velocidade lineal dos puntos da periferia do disco será:
Διαβάστε περισσότερα