τα βιβλία των επιτυχιών

Transcript

1 Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από τη διαρκή τους αξιοποίηση στις τάξεις μας διασφαλίζουμε τον εμπλουτισμό τους, τη συνεχή τους βελτίωση και την επιστημονική τους αρτιότητα, καθιστώντας τα βιβλία των Εκδόσεών μας εγγύηση για την επιτυχία των μαθητών. τα βιβλία των επιτυχιών

2 Νίκος Τάσος Μαθηματικά & στοιχεία στατιστικής Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

3 Στον Αποστόλη, στον Κυριάκο και στη Γωγώ, που υλοποιούν τα οράματά μου Πρόλογος Το βιβλίο αυτό έχει σκοπό και στόχο αφενός να βοηθήσει τους μαθητές της Γ Λυκείου να κατανοήσουν καλύτερα την ύλη των Μαθηματικών, αφετέρου να αποτελέσει χρήσιμο βοήθημα για τους συνάδελφους εκπαιδευτικούς. Κάθε κεφάλαιο αποτελείται από ενότητες, καθεμία από τις οποίες περιέχει: Ι. ΘΕΩΡΙΑ ΣΕ ΜΟΡΦΗ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΩΝ ΜΕ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Πλήρης θεωρία, η οποία συνοδεύεται από παραδείγματα και παρατηρήσεις προκειμένου να αναδειχθούν τα «σκοτεινά» σημεία της. ΙΙ. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Έγινε προσπάθεια, ώστε όλες οι ασκήσεις να ενταχθούν σε ένα πλαίσιο μεθοδολογιών. Πιστεύοντας ότι δεν υπάρχουν εύκολες ή δύσκολες ασκήσεις, αλλά μόνο ασκήσεις που μπορούν να επιλυθούν με κατάλληλη μεθοδολογία, δημιουργήσαμε κατηγορίες (για πρώτη φορά στα ελληνικά βιβλιογραφικά δεδομένα), οι οποίες βοηθούν τους μαθητές να αυτενεργήσουν προκειμένου να λύσουν εφαρμογές κάθε επιπέδου δυσκολίας.

4 ΙΙΙ. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΕΜΠΕΔΩΣΗΣ ΚΑΙ ΕΜΒΑΘΥΝΣΗΣ Κάθε λυμένη εφαρμογή συνοδεύεται από παρόμοιες εφαρμογές για λύση. Όπου κρίνεται απαραίτητο υπάρχουν και επιπλέον εφαρμογές για λύση, ώστε ο μαθητής να αποκτήσει μεγαλύτερη εμπειρία. ΙV. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Ερωτήσεις του τύπου «σωστό-λάθος», οι οποίες στοχεύουν να ελέγξουν τις γνώσεις που έχει αποκτήσει ο μαθητής. V. ΦΥΛΛΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ Στο τέλος των περισσότερων ενοτήτων υπάρχουν φύλλα αξιολόγησης με στόχο τον έλεγχο των γνώσεων που αποκτήθηκαν. VI. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΦΥΛΛΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ Στο τέλος κάθε κεφαλαίου, καθώς και στο τέλος του βιβλίου, υπάρχουν επαναληπτικά θέματα και φύλλα αξιολόγησης δομημένα με τέτοιον τρόπο, ώστε ο μαθητής να κάνει μία ολοκληρωμένη επανάληψη λίγο πριν από τις Πανελλήνιες Εξετάσεις και ο συνάδελφος εκπαιδευτικός να έχει μία σημαντική τράπεζα θεμάτων. Στο τελευταίο τμήμα του βιβλίου υπάρχουν απαντήσεις όλων των εφαρμογών, των ερωτήσεων κατανόησης και των φύλλων αξιολόγησης. Ελπίζοντας ότι η προσπάθεια αυτή θα βρει τον στόχο της, παραδίδουμε το παρόν πόνημα στην αυστηρή κρίση των μαθητών και των συνάδελφων εκπαιδευτικών. Νίκος Τάσος Μαθηματικός M.Sc., Μ.Α., Ph.D.

5 Περιεχόμενα ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ... 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές Εφαρμογές εμπέδωσης και εμβάθυνσης Ερωτήσεις κατανόησης ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές Εφαρμογές εμπέδωσης και εμβάθυνσης Ερωτήσεις κατανόησης ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές Εφαρμογές εμπέδωσης και εμβάθυνσης Ερωτήσεις κατανόησης ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές Εφαρμογές εμπέδωσης και εμβάθυνσης Ερωτήσεις κατανόησης Φύλλο αξιολόγησης Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές Εφαρμογές εμπέδωσης και εμβάθυνσης Ερωτήσεις κατανόησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 12. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές Εφαρμογές εμπέδωσης και εμβάθυνσης Ερωτήσεις κατανόησης ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ (Ι) ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές Εφαρμογές εμπέδωσης και εμβάθυνσης Ερωτήσεις κατανόησης Φύλλο αξιολόγησης ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές Εφαρμογές εμπέδωσης και εμβάθυνσης Ερωτήσεις κατανόησης ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές Εφαρμογές εμπέδωσης και εμβάθυνσης Φύλλο αξιολόγησης ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές Εφαρμογές εμπέδωσης και εμβάθυνσης Ερωτήσεις κατανόησης ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Μεθοδολογίες Εφαρμογές Εφαρμογές εμπέδωσης και εμβάθυνσης Φύλλο αξιολόγησης ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Επαναληπτικά θέματα στον διαφορικό λογισμό 263 Φύλλο αξιολόγησης Εφαρμογές εμπέδωσης και εμβάθυνσης Ερωτήσεις κατανόησης ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ (ΙΙ) ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές Εφαρμογές εμπέδωσης και εμβάθυνσης Ερωτήσεις κατανόησης Φύλλο αξιολόγησης

6 15. ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές Εφαρμογές εμπέδωσης και εμβάθυνσης Ερωτήσεις κατανόησης Φύλλο αξιολόγησης ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές Εφαρμογές εμπέδωσης και εμβάθυνσης Ερωτήσεις κατανόησης Φύλλο αξιολόγησης ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές Εφαρμογές εμπέδωσης και εμβάθυνσης Ερωτήσεις κατανόησης Φύλλο αξιολόγησης ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές Εφαρμογές εμπέδωσης και εμβάθυνσης Ερωτήσεις κατανόησης Φύλλο αξιολόγησης ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Επαναληπτικά θέματα στη στατιστική Φύλλο αξιολόγησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 20. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές Εφαρμογές εμπέδωσης και εμβάθυνσης Ερωτήσεις κατανόησης ΚΛΑΣΙΚΟΣ & ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές Εφαρμογές εμπέδωσης και εμβάθυνσης Ερωτήσεις κατανόησης Φύλλο αξιολόγησης ΚΑΝΟΝΕΣ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ (Ι) Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές Εφαρμογές εμπέδωσης και εμβάθυνσης ΚΑΝΟΝΕΣ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ (ΙΙ) ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές Εφαρμογές εμπέδωσης και εμβάθυνσης Ερωτήσεις κατανόησης Φύλλο αξιολόγησης ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Επαναληπτικά θέματα στις πιθανότητες Φύλλο αξιολόγησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 25. ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΦΥΛΛΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

7 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΔΥΝΑΜΕΩΝ i) α ν = α α... α ν 2, α 1 = α, α 0 = 1 (α 0) { ν-παράγοντες ii) α ν = 1 (α 0) αν iii) α μ α ν = α μ+ν και α μ α ν = αμ ν iv) (α β) ν = α ν β ν και ( α β ) ν = αν β ν v) (α μ ) ν = α μ ν i) (α + β) 2 = α 2 + 2αβ + β 2 ii) (α β) 2 = α 2 2αβ + β 2 ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ iii) α 2 β 2 = (α β)(α + β) (διαφορά τετραγώνων) iv) (α + β) 3 = α 3 + 3α 2 β + 3αβ 2 + β 3 v) (α β) 3 = α 3 3α 2 β + 3αβ 2 β 3 vi) α 3 β 3 = (α β)(α 2 + αβ + β 2 ) (διαφορά κύβων) vii) α 3 + β 3 = (α + β)(α 2 αβ + β 2 ) i) α = { α, α 0 α, α < 0 ii) α = α και α 0, για κάθε α R iii) α 2 = α 2 = α 2 ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ iv) α α α, για κάθε α R v) x = α > 0 x = ±α vi) x = α x = ±α vii) α β = α β και α β = α β, β 0 viii) α + β α + β και α β α + β ix) x < θ θ < x < θ x) x > θ x < θ ή x > θ

8 10 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ i) α = β α = β 2 (α, β 0) ii) α β = α β (α, β 0) iii) α β = α β (α 0, β > 0) ΡΙΖΕΣ Προσοχή: α + β α + β και α β α β iv) α > β α > β (α, β 0) v) α 2 = α, α 0 vi) α 2 = α, α R vii) ν μ α = νμ α, ν, μ N με ν, μ > 2 και α 0 viii) νμ α μκ = ν α κ, ν, μ, κ N με ν, μ > 2, κ άρτιος και α 0 ix) ν α ν β = α ν β, ν N με ν > 2 και α, β 0 x) μ ν α μ = α ν, ν, μ N με ν, μ > 2 και α > 0 ΔΙΑΤΑΞΗ ΣΤΟ R i) α 2 0 για κάθε α R ii) Αν α > β και β > γ, τότε: α > γ iii) Αν α > β, τότε: α ± γ β ± γ iv) Αν α > β και γ > δ, τότε: α + γ > β + δ v) Αν γ > 0, τότε: vi) Αν γ < 0, τότε: α > β α γ > β γ α > β α γ < β γ α > β α γ > β γ α > β α γ < β γ vii) Αν α, β ομόσημοι, τότε: α > β 1 α < 1 β viii) Αν α > 0, β > 0, τότε: α > β α 2 > β 2 ix) Αν α < 0, β < 0, τότε: α < β α 2 > β 2 x) Αν α, β, γ, δ θετικοί, με α > β και γ > δ, τότε: α γ > β δ Προσοχή: Δεν αφαιρούμε, ούτε διαιρούμε ανισότητες κατά μέλη. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ A ΒΑΘΜΟΥ Έχουν τη μορφή: αx + β = 0 αx = β (1) Αν α 0, τότε η (1) έχει μοναδική λύση τη x = β α. Αν α = 0 και β 0, τότε η (1) είναι αδύνατη. Αν α = 0 και β = 0, τότε η (1) είναι αόριστη.

9 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ 11 Έχουν τη μορφή: αx 2 + βx + γ = 0 (α 0) ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Δ = β 2 4αγ Η εξίσωση: αx 2 + βx + γ = 0, α 0 Δ > 0 Έχει δύο ρίζες άνισες: x 1,2 = β ± Δ 2α Δ = 0 Δ < 0 Έχει μία διπλή ρίζα: x 0 = β 2α Δεν έχει πραγματικές ρίζες. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΒΑΘΜΟΥ 3 i) Λύνονται με: παραγοντοποίηση, το σχήμα Hörner. ii) Για εξισώσεις της μορφής x ν = α διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν ν θετικός άρτιος ακέραιος και α > 0, τότε: x ν = α x = ± ν α Αν ν θετικός άρτιος ακέραιος και α < 0, τότε η εξίσωση x ν = α είναι αδύνατη. Αν ν θετικός περιττός ακέραιος και α > 0, τότε: x ν = α x = ν α Αν ν θετικός περιττός ακέραιος και α < 0, τότε: x ν = α x = ν α ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ A ΒΑΘΜΟΥ Έχουν τη μορφή: Ομοίως αν αx < β. Η (1) δίνει: αx > β, α 0 (1) x > β α, α > 0 ή x < β α, α < 0 Αν α = 0 και β > 0, τότε η (1) είναι αδύνατη. Αν α = 0 και β < 0, τότε η (1) είναι αόριστη. Αν α = 0 και β = 0, τότε η (1) είναι αδύνατη.

10 12 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Έχουν τη μορφή: αx 2 + βx + γ > 0 ή αx 2 + βx + γ < 0 (α 0) Λύνονται με τη χρήση των πινάκων που προκύπτουν από το πρόσημο τριωνύμου, όπως φαίνεται παρακάτω. ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ i) Αν Δ > 0 και x 1, x 2 οι ρίζες του τριωνύμου, τότε: χ x 1 x 2 + αx 2 + βx + γ Ομόσημο του α ii) Αν Δ = 0 και x 0 η ρίζα του τριωνύμου, τότε: iii) Αν Δ < 0, τότε: Ετερόσημο του α Ομόσημο του α χ x 0 + αx 2 + βx + γ Ομόσημο του α Ομόσημο του α χ + αx 2 Ομόσημο + βx + γ του α ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΒΑΘΜΟΥ 3 Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο 1ο μέλος. Αναλύουμε σε γινόμενο το 1ο μέλος. Κάνουμε πίνακα, όπου βρίσκουμε το πρόσημο κάθε παράγοντα του γινομένου. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Μια ανίσωση της μορφής f(x) 0 είναι ισοδύναμη με την f(x) g(x) 0, για g(x) 0. g(x) Μια ανίσωση της μορφής f(x) h(x) γράφεται: g(x) f(x) f(x) h(x)g(x) h(x) 0 0 [f(x) h(x)g(x)]g(x) 0, g(x) 0 g(x) g(x)

11 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ 13 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ f 1 (x) f 2 (x) f ν (x) 0 Κάνουμε πίνακα, όπου βρίσκουμε το πρόσημο κάθε παράγοντα f 1 (x), f 2 (x),, f ν (x) και, τελικά, βρίσκουμε τα διαστήματα στα οποία το γινόμενο είναι μη αρνητικό. Ομοίως αν θέλουμε να λύσουμε την ανίσωση f 1 (x) f 2 (x) f ν (x) 0. ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Β ΒΑΘΜΟΥ Το πολυώνυμο f(x) = αx 2 + βx + γ, α 0 μετασχηματίζεται ως εξής: Αν Δ > 0, τότε f(x) = α(x x 1 )(x x 2 ), όπου x 1,2 = β ± Δ. 2α Αν Δ = 0, τότε f(x) = α(x x 0 ) 2, όπου x 0 = β 2α. Αν Δ < 0, τότε το f(x) δεν παραγοντοποιείται στο R. ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ ΓΡΑΦΗΜΑ α x β [α, β] α β + α < x β (α, β] α β + α x < β [α, β) α β + α < x < β (α, β) α β + α x α < x [α, + ) (α, + ) α + α + x α (, α] x < α (, α) α + α + ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 2 x 2 Το σύστημα: { α 1χ + β 1 y = γ 1 α 2 χ + β 2 y = γ 2

12 14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ έχει ορίζουσες: D = α 1 β 1 α 2 β 2, D x = γ 1 β 1 γ 2 β 2, D y = α 1 γ 1 α 2 γ 2 Αν D 0, το σύστημα έχει μοναδική λύση τη x = D x D, y = D y D. Αν D = 0 και D x 0 ή D y 0, το σύστημα είναι αδύνατο. Αν D = D x = D y = 0, το σύστημα είναι αόριστο. (Εκτός από την περίπτωση όπου όλοι οι συντελεστές των αγνώστων είναι μηδέν και ένας τουλάχιστον από τους σταθερούς όρους είναι διάφορος του μηδενός, οπότε το σύστημα είναι αδύνατο.) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = α x, α > 0 και α 1 Πεδίο ορισμού: R Σύνολο τιμών: (0, + ) α > 1 y 0 < α < 1 y 1 O x 1 O x α χ1 = α χ2 χ 1 = χ 2 α χ1 = α χ2 χ 1 = χ 2 α χ1 < α χ2 χ 1 < χ 2 α χ1 < α χ2 χ 1 > χ 2 Ειδική περίπτωση f(x) = e x, e 2,71 e > 1 y 1 O x ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = lnx Πεδίο ορισμού: (0, + ) Σύνολο τιμών: R y O 1 x

13 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ 15 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΩΝ i) 10 x = α x = logα (α > 0) ii) e x = α x = lnα (α > 0) iii) log10 α = α, 10 lοgα = α (α > 0) iv) lne α = α, e lnα = α (α > 0) v) log1 = 0, log10 = 1 vi) ln1 = 0, lne = 1 vii) log(α 1 α 2 ) = logα 1 + logα 2 (α 1, α 2 > 0) viii) ln(α 1 α 2 ) = lnα 1 + lnα 2 (α 1, α 2 > 0) ix) log α 1 α 2 = logα 1 logα 2 (α 1, α 2 > 0) x) ln α 1 α 2 = lnα 1 lnα 2 (α 1, α 2 > 0) xi) logα κ = κlogα (α > 0, κ Z) xii) lnα κ = κlnα (α > 0, κ Z) Παρατήρηση: Δεν υπάρχουν λογάριθμοι αρνητικών αριθμών καθώς και λογάριθμος του 0. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Βασικοί τύποι Γ ημθ = β α, συνθ = γ α εφθ = β γ, σφθ = γ β β α Βασικές τριγωνομετρικές σχέσεις i) ημ 2 α + συν 2 α = 1 ii) εφα = ημα σφα = συνα εφα σφα = 1 συνα ημα iii) ημ(α + β) = ημα συνβ + ημβ συνα iv) ημ(α β) = ημα συνβ ημβ συνα v) συν(α + β) = συνα συνβ ημα ημβ vi) συν(α β) = συνα συνβ + ημα ημβ vii) ημ2α = 2 ημα συνα viii) συν2α = συν 2 α ημ 2 α = 1 2 ημ 2 α = 2 συν 2 α 1 Α γ θ Β Πίνακας τριγωνομετρικών αριθμών Γωνίες 0 ή 0 rad 30 ή π 6 rad 45 ή π 4 rad 60 ή π 3 rad 90 ή π 2 rad ημθ 0 συνθ 1 εφθ σφθ

14 16 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Μνημονικός κανόνας ημ(0, 30, 45, 60, 90 ) = 0,1,2,3,4 2 Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο Γωνίες αντίθετες: i) συν( θ) = συνθ ii) ημ( θ) = ημθ iii) εφ( θ) = εφθ iv) σφ( θ) = σφθ Γωνίες με άθροισμα 180 : i) ημ(180 θ) = ημθ ii) συν(180 θ) = συνθ iii) εφ(180 θ) = εφθ iv) σφ(180 θ) = σφθ v) ημ(180 + θ) = ημθ vi) συν(180 + θ) = συνθ vii) εφ(180 + θ) = εφθ viii) σφ(180 + θ) = σφθ Γωνίες με άθροισμα ή διαφορά 90 : i) ημ(90 θ) = συνθ ii) συν(90 θ) = ημθ iii) εφ(90 θ) = σφθ iv) σφ(90 θ) = εφθ v) ημ(90 + θ) = συνθ vi) συν(90 + θ) = ημθ vii) εφ(90 + θ) = σφθ viii) σφ(90 + θ) = εφθ συν(0, 30, 45, 60, 90 ) = 4,3,2,1,0 2 Τριγωνομετρικές εξισώσεις χ = 2κπ + θ ημx = ημθ { χ = 2κπ + π θ, κ Z εφx = εφθ x = κπ + θ, κ Z χ = 2κπ + θ συνx = συνθ { χ = 2κπ θ, κ Z σφx = σφθ x = κπ + θ, κ Z α ν+1 = α ν + ω α ν = α 1 + (ν 1)ω ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ α, β, γ διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου β = α + γ 2 S ν = ν 2 (α 1 + α ν ) και S ν = ν 2 [2α 1 + (ν 1)ω] ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ α ν+1 = α ν λ, λ 0 α ν = α 1 λ ν 1 α, β, γ διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου β 2 = α γ S ν = α 1(λ ν 1), λ 1 και S ν = ν α 1, λ = 1 λ 1

15 ΚΕΦΆΛΑΙΟ 1 ΔΙΑΦΟΡΙΚΌΣ ΛΟΓΙΣΜΌΣ

16 1 OΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΕ ΜΟΡΦΗ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΩΝ 1 Τι ονομάζουμε συνάρτηση από το σύνολο Α στο σύνολο Β; Απάντηση Συνάρτηση από το σύνολο Α στο σύνολο Β είναι μία διαδικασία με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχεί σε ένα ακριβώς στοιχείο του συνόλου Β. A f B Συμβολικά: f: A B ή x f y = f(x) Παραδείγματα i) Σε κάθε αυτοκίνητο αντιστοιχεί ένας αριθμός κυκλοφορίας. Άρα η διαδικασία αυτή είναι συνάρτηση. ii) Σε κάθε μαθητή αντιστοιχεί ένας μόνο βαθμός για τα Μαθηματικά. Άρα και η διαδικασία αυτή είναι συνάρτηση. iii) Kάθε άνθρωπος οδηγεί μόνο ένα αυτοκίνητο. H διαδικασία αυτή δεν είναι συνάρτηση. iv) A B H διπλανή διαδικασία δεν είναι συνάρτηση, διότι ένα στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχεί σε δύο στοιχεία του συνόλου Β. A B H διπλανή διαδικασία είναι συνάρτηση.

17 20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ A B H διπλανή διαδικασία δεν είναι συνάρτηση, διότι ένα στοιχείο του συνόλου Α δεν αντιστοιχεί σε κάποιο στοιχείο του συνόλου Β. Σχόλιο Τα γράμματα που χρησιμοποιούμε για να συμβολίσουμε μια συνάρτηση είναι συνήθως τα: f, g, h, φ κ.λπ. 2 Έστω μια συνάρτηση f: A B. Πότε η f ονομάζεται πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής; Απάντηση Αν το σύνολο Α είναι υποσύνολο του R (A R) και Β = R, τότε η f ονομάζεται πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής. 3 Έστω μια συνάρτηση f: A R. i) Αν η f αντιστοιχίζει το x A στο y R, τότε πώς αλλιώς γράφεται το y και πώς ονομάζεται; ii) Πώς ονομάζονται οι μεταβλητές x και y; Απάντηση i) Αν έχουμε τη συνάρτηση f: A R, A B x A, όπου το x αντιστοιχεί στο y, f τότε γράφουμε: f(x) y = f(x) x Το f(x) ονομάζεται τιμή της f στο x. ii) Αν y = f(x), όπου x A, είναι συνάρτηση, τότε το x ονομάζεται ανεξάρτητη μεταβλητή και το y εξαρτημένη μεταβλητή. Σχόλια i) Το y = f(x) ονομάζεται τύπος της συνάρτησης ή εικόνα του x ή τιμή της f στο x. Στην πράξη, ο τύπος μιας συνάρτησης αποτελεί το «μονοπάτι» για να μεταβούμε από το σύνολο Α στο σύνολο Β. Υπάρχουν άπειροι τρόποι μετάβασης (τύποι) από το Α στο Β. Για παράδειγμα: f(x) = x + 2, g(x) = lnx, h(x) = x e x κ.λπ. + 4

18 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 21 ii) Για την ανεξάρτητη μεταβλητή μπορούμε να χρησιμοποιούμε και άλλα γράμματα εκτός από το x χωρίς να δημιουργούμε προβλήματα στον ορισμό της. Για παράδειγμα, ο τύπος f(x) = 2x 3 x και ο τύπος g(t) = 2t 3 t εκφράζουν την ίδια συνάρτηση. iii) Η αντιστοίχιση από το σύνολο Α στο σύνολο Β μπορεί να γίνεται με περισσότερες από μία διαδικασίες. Τότε η συνάρτηση περιγράφεται με περισσότερους από έναν τρόπους. Για παράδειγμα: A R f(x) = x x < f(x) = 3x x Η παραπάνω αντιστοίχιση περιγράφεται από τη συνάρτηση με τύπο: x f(x) = { 2, x < 0 3x + 1, x 0 Οι συναρτήσεις αυτές ονομάζονται πολλαπλού τύπου ή κλαδωτές. 4 i) Τι ονομάζουμε πεδίο ορισμού μιας πραγματικής συνάρτησης f της οποίας δίνεται μόνο ο τύπος της y = f(x); ii) Τι ονομάζουμε σύνολο τιμών μιας συνάρτησης f: A R με τύπο y = f(x); Απάντηση i) Πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f της οποίας δίνεται μόνο ο τύπος y = f(x) ονομάζεται το «ευρύτερο» υποσύνολο του R, στο οποίο η παράσταση f(x) έχει νόημα πραγματικού αριθμού. Συμβολικά: A = {x R / f(x) R} ii) Σύνολο τιμών μιας συνάρτησης με πεδίο ορισμού Α ονομάζουμε το σύνολο όλων των στοιχείων του R, που το καθένα είναι αντίστοιχο ενός τουλάχιστον στοιχείου του Α, και (συνήθως) συμβολίζουμε με f(a). Συμβολικά: f(a) = {y R / υπάρχει ένα τουλάχιστον x A, τέτοιο ώστε: y = f(x)} Με τη βοήθεια βελοδιαγράμματος έχουμε τα παρακάτω: A R f(a) Είναι φανερό ότι ένα στοιχείο y του R δεν είναι υποχρεωτικά η εικόνα κάποιου στοιχείου x του Α.

19 22 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Σχόλια i) Το f(a) γενικά είναι υποσύνολο του R. ii) Το πεδίο ορισμού Α της f συμβολίζεται και με D f. iii) Αξίζει να προσέξουμε ότι: Η έκφραση «Δίνεται συνάρτηση f: A R» δηλώνει ότι το πεδίο ορισμού της f είναι το Α. Η έκφραση «Δίνεται η συνάρτηση f: A Β» δηλώνει ότι το πεδίο ορισμού της f είναι το Α και το σύνολο τιμών της f(a) είναι υποσύνολο του Β. Δηλαδή f(a) B. Η έκφραση «Δίνεται η συνάρτηση y = f(x), x A» δηλώνει ότι το πεδίο ορισμού της f είναι το Α. 5 Ποιους περιορισμούς χρειαζόμαστε για να βρούμε το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f αν γνωρίζουμε τον τύπο της; Απάντηση Για να βρούμε το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης με γνωστό τύπο θέτουμε τους εξής περιορισμούς: Οι παρονομαστές πρέπει να είναι διάφοροι του μηδενός. Οι υπόρριζες ποσότητες πρέπει να είναι μεγαλύτερες ή ίσες του μηδενός. Αν έχουμε παραστάσεις της μορφής ln[f(x)], τότε πρέπει f(x) > 0. Αν έχουμε παράσταση της μορφής εφ[f(x)], τότε πρέπει f(x) κπ + π 2, κ Z. Αν έχουμε παράσταση της μορφής σφ[f(x)], τότε πρέπει f(x) κπ, κ Z. Τονίζουμε ότι: Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις έχουν πεδίο ορισμού το R. Η συνάρτηση f(x) = e x έχει πεδίο ορισμού το R. Συνοπτικά, έχουμε τον παρακάτω πίνακα: Τύπος f(x) = h(x) g(x) Περιορισμός g(x) 0 f(x) = ν g(x), ν N, ν > 1 g(x) 0 f(x) = ln[g(x)] g(x) > 0 f(x) = εφ[g(x)] f(x) = σφ[g(x)] g(x) κπ + π 2, κ Z g(x) κπ, κ Z

20 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 23 Παραδείγματα i) Αν f(x) = χ 1, τότε πρέπει x x 2. χ + 2 ii) Αν f(x) = x 1, τότε πρέπει x 1 0 x 1. iii) Αν f(x) = ln(x + 4), τότε πρέπει x + 4 > 0 x > 4. iv) Αν f(x) = εφ(x π 4 ), τότε πρέπει x π 4 κπ + π 2 x κπ + 3π 4, κ Z. v) Αν f(x) = σφ(x + π 8 ), τότε πρέπει x + π 8 κπ x κπ π 8, κ Z. 6 Έστω οι συναρτήσεις f και g με κοινό πεδίο ορισμού το σύνολο Α. Πώς ορίζονται οι συναρτήσεις: Ρ = f + g, Q = f g, R = f g και S = f g Απάντηση Το άθροισμα Ρ των συναρτήσεων f, g, δηλαδή η συνάρτηση f + g, έχει πεδίο ορισμού το κοινό πεδίο ορισμού Α των συναρτήσεων f, g και τύπο που δίνεται από τη σχέση: P(x) = (f + g)(x) = f(x) + g(x) Η διαφορά Q των συναρτήσεων f, g, δηλαδή η συνάρτηση f g, έχει πεδίο ορισμού το κοινό πεδίο ορισμού Α των συναρτήσεων f, g και τύπο που δίνεται από τη σχέση: Q(x) = (f g)(x) = f(x) g(x) Το γινόμενο R των συναρτήσεων f, g, δηλαδή η συνάρτηση f g, έχει πεδίο ορισμού το κοινό πεδίο ορισμού Α των συναρτήσεων f, g και τύπο που δίνεται από τη σχέση: R(x) = (f g)(x) = f(x) g(x) Το πηλίκο S των συναρτήσεων f, g, δηλαδή η συνάρτηση f, έχει πεδίο ορισμού g το κοινό πεδίο ορισμού Α των συναρτήσεων f, g, αν εξαιρέσουμε τις τιμές του x για τις οποίες είναι g(x) = 0, και τύπο που δίνεται από τη σχέση: S(x) = ( f ) (x) = f(χ) g g(χ) Παραδείγματα i) Έστω οι συναρτήσεις f(x) = 3x 2 + 2x και g(x) = (x 1) 2.