ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ"

Transcript

1 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Έννοια του πολυωνύμου. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια μεταβλητή x που μπορεί να πάρει κάθε πραγματική τιμή. Μονώνυμο του x, είναι κάθε παράσταση της μορφής : x όπου α είναι ένας δεδομένος πραγματικός αριθμός και ν ένας μη αρνητικός ακέραιος. Ο πραγματικός αριθμός α ονομάζεται συντελεστής του μονωνύμου, ενώ ο μη αρνητικός ακέραιος ν, είναι ο βαθμός του, αφ όσον Σύμφωνα με τον ορισμό που δώσαμε, κάθε πραγματικός αριθμός α, είναι μονώνυμο μηδενικού βαθμού, διότι μπορεί να γραφεί με τη μορφή : 0. 0 x Παραδείγματα μονωνύμων : 1 x, x, 7x, 4, x Τα παραπάνω μονώνυμα, είναι πέμπτου, τρίτου, δεύτερου, μηδενικού και τρίτου βαθμού αντίστοιχα. Όταν δυο μονώνυμα έχουν τον ίδιο βαθμό, λέμε ότι είναι όμοια. Στα παραπάνω παραδείγματα, τα όμοια μονώνυμα είναι : 1 x, x 4 5 Πολυώνυμο του x, είναι ένα άθροισμα μη ομοίων μονωνύμων. Δηλαδή κάθε παράσταση της μορφής : x x... x EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 1 -

2 είναι ένα πολυώνυμο του x, το οποίο συνήθως συμβολίζεται με Qx κ.τ.λ. 1 Τα μονώνυμα : x, 1x,..., 1x, 0 είναι οι όροι του πολυωνύμου, ενώ οι πραγματικοί αριθμοί :, 1,..., 1, 0 είναι οι συντελεστές του. Ο συντελεστής σταθερός όρος του πολυωνύμου. Το πολυώνυμο : 1 Px x x... x, 0 Px ή 0, είναι ο είναι ν-οστού βαθμού. Γενικά ο βαθμός ενός πολυωνύμου, είναι ο βαθμός του μεγιστοβάθμιου όρου του. Το πολυώνυμο : Qx είναι μηδενικού βαθμού ή σταθερό πολυώνυμο. Όλοι οι πραγματικοί αριθμοί, είναι σταθερά πολυώνυμα. Το πολυώνυμο που έχει όλους τους συντελεστές του μηδέν, συμβολίζεται : Px 0 και είναι το μηδενικό πολυώνυμο. Το μηδενικό πολυώνυμο δεν έχει βαθμό. Ίσα πολυώνυμα Τα πολυώνυμα : 1 Ax x 1x... 1x 0, 0 και 1 Bx x 1x... 1x 0, 0 είναι ίσα, αν και μόνο αν έχουν τον ίδιο βαθμό ν και ισχύουν :, 1 1, , 0 0 Δηλαδή δυο πολυώνυμα είναι ίσα, αν και μόνο αν, αποτελούνται από τα ίδια ακριβώς μονώνυμα. Αριθμητική τιμή πολυωνύμου Έχουμε το πολυώνυμο: 1 Px x x... x EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - -

3 και τον πραγματικό αριθμό ρ. Ο πραγματικός αριθμός που προκύπτει αν αντικαταστήσουμε τη μεταβλητή x του πολυωνύμου με τον ρ, αποτελεί την αριθμητική τιμή του πολυωνύμου και συμβολίζεται : 1 P ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Δίνονται τα πολυώνυμα : Px x x, Qx x x 1. Να βρεθούν : i. Px Qx ii. Px Qx iii. Px Qx i. ii. iii. P x Q x x x x x 1 x x 5x 1 P x Q x x x x x 1 x x x x 1 x x x P x Q x x x x x 1 x x x 6x x. Να βρεθεί η τιμή του για την οποία το πολυώνυμο : P x x x 4 να είναι το μηδενικό πολυώνυμο. Για να είναι το πολυώνυμο Px το μηδενικό πολυώνυμο πρέπει να ισχύουν συγχρόνως οι σχέσεις : Η 1 δίνει : Για η Για η 4 0 δίνει : (ικανοποιείται) δίνει : (ικανοποιείται) Άρα η ζητούμενη τιμή του λ είναι : EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - -

4 . Να βρεθεί για ποιες τιμές των κ, λ, μ είναι ίσα τα πολυώνυμα : Px x x Qx x 4x Για να είναι τα πολυώνυμα σχέσεις : Px και Qx ίσα, θα πρέπει να ισχύουν οι Οι σχέσεις και δίνουν : Για δίνει : η Για η Άρα,, δίνει : 4 ή 4. Να προσδιοριστεί ο ώστε το πολυώνυμο Px 9x x 8x 7 να παίρνει τη μορφή x x x x x x 9. Έστω Qx x x x x x x 9 x x x x x 9x x 9x 7 1 x x x 7 Πρέπει λοιπόν : Να βρεθεί ο βαθμός του πολυωνύμου P x 4 x x για τις διάφορες τιμές του λ. EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 4 -

5 Αν και τότε το 0 τότε τότε P x είναι ου βαθμού. Αν που είναι μηδενικού βαθμού. Αν που δεν ορίζεται βαθμός. Αν τότε Px 8x 4 που είναι 1 ου βαθμού. P x P x 0 και 6. Αν για το πολυώνυμο ότι το 1 είναι ρίζα του Px Px Αρκεί να δείξουμε ότι :. Είναι x 5 1 x 6 x. Για x 1 γίνεται : P 5 1 P P1 0. P 1 0 είναι : Px 5 x x 1 1 να δείξετε 7. Αν το πολυώνυμο Px x 1 x έχει ρίζα το ότι το ίδιο ισχύει και για το ισχύει; K x x 4x 1 x 1, αποδείξτε. Το αντίστροφο Αν το Px έχει ρίζα το P ( 1) Τότε K Η σχέση 1 για δίνει : K 1 0, που σημαίνει ότι ο αριθμός 1 είναι ρίζα του Kx. 1 θα είναι : Αντίστροφα, αν ο αριθμός 1 είναι ρίζα του K Kx, τότε : EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 5 -

6 Ακόμα : P1 ( 1) 1 ( 1) 1 1 Για, η δίνει :. Για, η δίνει : P Άρα το αντίστροφο δεν ισχύει πάντα. 8. Αν η διαφορά δύο πολυωνύμων βαθμού ν είναι το μηδενικό πολυώνυμο, να δείξετε ότι τα πολυώνυμα αυτά είναι ίσα. P 1 0 Έστω Px 1 x 1x... 1x 0, 1, i0,1,,..., και Qx x x 1... x,, i0,1,,..., Από την υπόθεση έχουμε : Px Qx 0 x 1 x... x, 0, x Επομένως πρέπει : 0 και 11 0 και 11 0 και 00 0 δηλαδή και 1 1 και 1 1 και 0 0. Άρα Px Q x EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 6 -

7 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Για ποιες τιμές των α, β το πολυώνυμο Ρ(x)=αx (β+1)x-1 έχει ρίζα το 1 και για x=- παίρνει την τιμή -15 ;. Για ποιες τιμές του λ τα πολυώνυμα Ρ(x)=x +λ (x -1)+9 και Q(x)=(λ+1)x +(λ 9)x+x είναι ίσα..να βρείτε τις τιμές των ( ) Q x 4 6 x 5 x R x x x να είναι ίσα, ώστε τα πολυώνυμα: 4. Για ποιες τιμές του μ το πολυώνυμο Ρ(x)=(μ +8)x +(μ +μ)x + είναι το μηδενικό πολυώνυμο; 5. Να αποδείξετε ότι αν το πολυώνυμο Ρ(x)=(α-1)x +βx-1 έχει ρίζα το 1, τότε το πολυώνυμο Q(x)=(α-1)x +βx+1 έχει ρίζα το Αν ο αριθμός είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x),να αποδείξετε ότι ο αριθμός -1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Q(x)=Ρ(x+5). 7. Να αποδειχτεί ότι το πολυώνυμο Ρ(x)=(λ+1)x (κ-)x +κ+λ δεν είναι το μηδενικό πολυώνυμο. 8.Να βρείτε το βαθμό του πολυωνύμου P x x 1 x για τις διάφορες τιμές του λ. 9. Να βρεθεί ο βαθμός του πολυωνύμου Ρ(x)=(λ-λ )x 4 +(λ +λ)x +(λ +λ ) x+1-λ για τις διάφορες τιμές του λr. 10. Να βρεθεί για τις διάφορες τιμές του λr o βαθμός του πολυωνύμου Ρ(x) όταν: EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 7 -

8 i) Ρ(x)=(λ-λ )x 4 +(λ λ)x +1-λ ii) Ρ(x)=(λ 5 16λ)x +(4-λ )x+-λ iii) Ρ(x)=(λ+1)x +λx+ iv) Ρ(x)=λx-λ v) Ρ(x)=λ 11. Για ποιες τιμές των α, β, γ το πολυώνυμο Ρ(x)=4x -x +x-1 παίρνει τη μορφή x (x-α) + (β-γ)x + γ + α; 1. Για ποιες τιμές των α, β, γ, δ R το πολυώνυμο Ρ(x)=x +6x +15x+14 παίρνει την μορφή α(x+β) +γ(x+δ); 1. i) Να βρεθεί πολυώνυμο Ρ(x) τέτοιο ώστε (x+)ρ(x)=x +x -x+ ii) Να λυθεί η εξίσωση x +x x + = i) Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα Ρ(x) για τα οποία είναι [Ρ(x)] = x 4 +6x +5x -1x+4. ii) Να λυθεί η εξίσωση x 4 +6x +5x -1x+4 = Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α και β για τους οποίους 5 το πολυώνυμο: P x x 5x 5x 8 να παίρνει τη μορφή: x x x 5 ax P x 1 x 1 x Αν το πολυώνυμο: είναι μηδενικού βαθμού, τότε να βρείτε το βαθμό του πολυωνύμου: Q x 1 x x 1 x 5 όπου * EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 8 -

9 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να γίνουν οι διαιρέσεις : i) x 5 x x 9 : x 1 ii) x 4 7x x 15 : x 5 iii) x 4x : x iv) 7x 9 7 x 9 : x i) 5 x x x 9 x 1 5 x x x x 9 x x x x 9 x x x x 7 5 Επομένως : x x x 9 x 1 x x x 7 EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 9 -

10 ii) 4 x 7x x 15 x 4 5x x 5 x 7 7x x 15 7x 5 x 0 4 Επομένως : x 7x x 15 x 5 x 7 x 0 iii) x 4x x x 6 x 6x 4x 6x 1 x 1 4 x 1 4 x x 6x 1 4 Επομένως : x 4 x x x 6 x EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM

11 iv) 7x 9 7 x 9 x 7x 7 x 7x 7x 9 7x 9 7 x 9 7x 7 x 9x 9 Επομένως : 7x 9 7 x 9 x 7x 7 x 9. Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης : x 1991 x 199 4x 199 : x 1 9x Έστω Px x x 4x. 0 Επειδή x 1 x 1 άρα P Να βρείτε τις τιμές του κ για τις οποίες το x Px x 5x x είναι παράγοντας του Είναι x 1 x 1 άρα το 1 είναι ρίζα του Px οπότε : P ή 1 EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM

12 4. Δίνεται το πολυώνυμο Px x x 1x. Αν το με το x x 6 να προσδιορίσετε τα,. Px διαιρείται Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα. Αν Qx x x 6 x x, θα πρέπει οι παράγοντες του είναι παράγοντες του Px. Έτσι : x x παράγοντας του Px P 0 1 παράγοντας του Px P 0 5 και ρίζες x ή x Έχουμε λοιπόν : P P Λύνουμε το σύστημα των σχέσεων και Επομένως : Px x x 1x 6. 4 Qx να 5. Το πολυώνυμο Px διαιρούμενο με x αφήνει υπόλοιπο 10 και διαιρούμενο με x αφήνει υπόλοιπο 5. Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του Px με το x x. Έστω ότι : Px x x Qx x 1. Το υπόλοιπο πρέπει να είναι πρώτου βαθμού και άρα : x x, με,. Από την υπόθεση έχουμε : P 10 και P 5 Για x, η 1 δίνει : P 10 4 Για x, η 1 δίνει : P 5 5 Λύνουμε το σύστημα των σχέσεων 4 και x x 8. Άρα το υπόλοιπο είναι το : EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 1 -

13 βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του Px Px ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Px 6. Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου δια του x είναι 5 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του δια του x 1 είναι, να δια του x x 1. Επειδή το x x 1 είναι ου βαθμού, το υπόλοιπο του Px : x x 1 θα είναι 1 ου βαθμού. x Έστω x x Τότε Px x x 1 x x Για x P 0 P Για x 1 P1 01 P1 Εξάλλου τα P, P 1 είναι τα υπόλοιπα των διαιρέσεων του του x, x 1 αντίστοιχα, οπότε P 5, P Επομένως.. Άρα x x της διαίρεσης Px 7. Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς κ, λ ώστε αν το 4 πολυώνυμο Px x 1 διαιρεθεί με το πολυώνυμο x x να αφήνει υπόλοιπο 0. Εκτελούμε την διαίρεση 4 x 1 P x : x x x x 4 x x x x x x x 1 x x x x x 1 x x x 1 δια EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 1 -

14 Επομένως πρέπει : ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ x 1 0, x, άρα : Η (1) δίνει 0 ή κ 0, δηλ.. Για 0 η () δίνει : 0 1 δηλ. 1, άτοπο. Για η () δίνει : Επομένως : Αν Αν Τελικά πρέπει : 1 τότε : 1 τότε :, άτοπο. 1 και 1 δηλ.. 1, δηλ. 1. Px 8. Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου είναι x 5 να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του Επειδή ο διαιρέτης x 1 x 1 είναι της μορφής x με ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι P 1. Από την ταυτότητα της διαίρεσης, έχουμε : P x x x 4 x x 5 Οπότε P Px με το x x 4 με το x 1. 1, έχουμε 9. Να βρείτε τα α, β ώστε το πολυώνυμο : Px x x x 1 να έχει παράγοντα το πολυώνυμο x 1. Για να έχει το πολυώνυμο Px παράγοντα το πολυώνυμο x 1 θα πρέπει να ισχύει: Px x 1 x (1) Επειδή ο βαθμός του Px είναι και ο βαθμός του x 1 είναι το x θα είναι 1 ου βαθμού, οπότε x x, 0. Η σχέση (1) γράφεται : Px x 1x x x x 1 x x x Επομένως : 1 και και και 1 1 και 1και 1 και 1 Άρα 1, 1. EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM

15 10. Να βρείτε τα α, β ώστε το πολυώνυμο Px x x να έχει παράγοντα το πολυώνυμο. x1 Px Πρέπει το να έχει παράγοντα το x 1 και το πηλίκο της διαίρεσης του με το x 1 να έχει παράγοντα το x 1, δηλαδή και. Για το και για 1 από το σχήμα Horner έχουμε : P 1 0 Px Px 1 0 x 1 0 α β Άρα P1 1 και x x x 1 P Να προσδιοριστούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β ώστε το πολυώνυμο Px x x x 10 να έχει για παράγοντα τα x. Για να είναι το x παράγοντας του Px πρέπει P 0, και, αν Qx είναι το πηλίκο της διαίρεσης Px : x θα πρέπει το x να είναι παράγοντας του Qx, δηλ. Q. Με το σχήμα Horner, έχουμε : EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM

16 Άρα το πηλίκο είναι το Qx x x 1 και το υπόλοιπο x 8. Επειδή το διαιρείται με το, με το σχήμα του Horner, έχουμε : Qx x Άρα το πηλίκο είναι το x x και το υπόλοιπο x 5 Το P 8 και το Q 5. Λύνουμε λοιπόν το σύστημα : P Q Άρα Px x x 8x Αν το πολυώνυμο Px 1 x x διαιρείται με το x 1, τότε αποδείξτε ότι διαιρείται και με το x 1. Αφού το x 1 είναι παράγοντας του Px θα είναι : Άρα : P Για 1, το πολυώνυμο Px γράφεται διαδοχικά : 1 Px 1 x x 1 1 x x x 1 1 x x 1 x 1x x... x 1 1 x x x 1 1 x 1 x x x... x 1 x 1 Qx 1 Qx 1 Είναι : Qx x x x... x 1, και άρα : Q προσθετ. P 1 0. EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM

17 Έτσι το x 1 είναι παράγοντας του Το πολυώνυμο λόγω των σχέσεων (1) και () γράφεται : Px Qx P x x 1 Q x x 1 x 1 x x 1 x Άρα το Px διαιρείται και με το. x1, δηλαδή Qx x 1 x EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM

18 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να κάνετε τις διαιρέσεις και στην συνέχεια να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης: i) (6x 19x +0x-10) :(x - 5x +6) ii) (x +1):(x+1) iii) x 5 :(x-1) iv) (x 4 ):(x+) v) (x 7 +5):(x+4). Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης : (x x 199-4x 199 ):(x+1).. Να βρείτε τις τιμές του κ για τις οποίες το x+1 είναι παράγοντας του g(x)=κ x κx 500 +x 4. Να βρεθεί το λr ώστε α) το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x)=x 6x +1x 8 με το x+λ να είναι το μηδέν β) το υπόλοιπο της διαίρεσης του g(x)=λ x 4 7λx +8 με το x-1 να είναι το Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) με το x +5x+6 είναι 5x+1, να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ(x):(x+). 6. Αν τα πολυώνυμα Ρ(x)=x αχ +0 και Q(x) =αx 4 +x- δίνουν το ίδιο υπόλοιπο όταν διαιρεθούν με το x+,να βρεθεί η τιμή του α R. 7. Να βρείτε τους κ, λ ώστε το πολυώνυμο Ρ(x)=x 4 x -7x +(κ+1)x-λ-1 να έχει παράγοντες τους x+1 και x-. EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM

19 8. Αν το x+α είναι παράγοντας του Ρ(x)=x +αx +x+β να αποδείξετε ότι το x+β είναι παράγοντας του Ρ(x). 9. Να βρεθούν τα α, β ώστε το πολυώνυμο Ρ( x)=x x +αx+β να έχει παράγοντες τους x+, x Ένα πολυώνυμο Ρ(x) όταν διαιρείται με το x+ δίνει υπόλοιπο 7 και όταν διαιρείται με το x- δίνει υπόλοιπο -.Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το (x+)(x-). 11. Ένα πολυώνυμο Ρ(x) διαιρούμενο με το x-1 δίνει υπόλοιπο και διαιρούμενο με το x+ δίνει υπόλοιπο 0. Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το (x-1)(x+). 1. Με το σχήμα Horner να βρεθεί το υπόλοιπο και το πηλίκο της διαίρεσης : i) (-x 4 +x +x+1) :(x+) ii) (-x 5 +5x 4 +7x+) :(x+) iii) (x 4 +x -):(x+4) iv) (x 4 +1):( x+1) 1. Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) με το αx+β, α 0 είναι το Ρ(- ). 14. Να αποδείξετε με το σχήμα Horner ότι τα πολυώνυμα της μορφής x-ρ είναι παράγοντες του αντίστοιχου Ρ(x): i) Ρ(x)=x 4-7x x +1x+6,x- ii) Ρ(x)=5x 6 +15x 5 +5x+15,x+ iii) Ρ(x)=5x +47x +1x+1,x Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο Ρ(x)=(1-x) ν x ν +x-1 νν *, έχει παράγοντες όλους τους παράγοντες του πολυωνύμου x -x +x. EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM

20 16. Για ποιες τιμές των α, βr το πολυώνυμο Ρ(x)=αx 5 +βx 4 +1 έχει παράγοντα το (x-1) ; 17. Να προσδιοριστούν οι α, β, γr όταν το Ρ(x)=x 4 +αx +βx -1x +γ έχει παράγοντες όλους τους παράγοντες του Q(x)=x 4x +x. 18. Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) δια του (x 5x +6x-) είναι το x -x+4.να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ(x) :(x-1). 19. Δίνονται τα πολυώνυμα και ν>μ. Αν το Q x ( x) P x, Q( x) διαιρείται με το τότε ο ρ είναι ρίζα και του ( x) με βαθμούς ν,μ αντίστοιχα, και το ρ είναι ρίζα του Q x 0. Να προσδιοριστούν οι λ, μ R για τους οποίους το Ρ(x)=x 4 -x +λx-μ έχει παράγοντα το x Για ποιες τιμές των α, βr το πολυώνυμο Ρ(x)=x ν+1 x +λx-μ έχει παράγοντα το x +1..Να βρείτε τους α,β ώστε το πολυώνυμο έχει παράγοντα x P x ax x 1 να. Να βρεθούν τα α, βr για τα οποία το πολυώνυμο Ρ(x)=x 5 -x -x +αx+β διαιρούμενο με το x 4 δίνει υπόλοιπο 4x+1. 4.Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) με βαθμό ν>. Αν Ρ(1)= και Px Ρ()= -1 να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης x x ( x) x x x 5 5.Δίνεται το πολυώνυμο: Α)Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς κ,λ αν 1 ( ) 5 και Ρ 5 Β)Αν κ=- και λ=1 τότε : : 4 EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 0 -

21 i) να κάνετε τη διαίρεση του P(x) με το x+ και στη συνέχεια να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης. ii) να λύσετε την ανίσωση Ρ(x)>-10. P 6.Δίνεται το πολυώνυμο: x x x x Px : Α)Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης x Β)Αν το διαιρεί το P(x) να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α,β. x 7.Έστω P(x) πολυώνυμο με σταθερό όρο. Το P(x) διαιρούμενο με το x-α δίνει πηλίκο x x και διαιρούμενο με το x- β δίνει πηλίκο. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α και β του πολυωνύμου P(x). x x1 P 8.Δίνεται το πολυώνυμο x x x x 1. 1 P 7 και P1 Α) Αν να δείξετε ότι κ= -6 και λ= -5. Β) Αν κ= -6 και λ= -5 να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης του Ρ(x) με το x+1. Γ)Αν κ= -6 και λ= -5 να λύσετε την ανίσωση Ρ(x)>7. EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 1 -

22 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να λύσετε την εξίσωση : x 7x 6 0. Έστω το πολυώνυμο Px x 7x 6. Οι διαιρέτες του σταθερού όρου 6 είναι 1,,, 6 Με το σχήμα Horner έχω : Άρα Px x 1x x 6 οπότε : x 1 x x 6 0 x 1 0 ή x x 6 0. Έτσι έχουμε : x 1 0 x 1 x x 6 0 x1 ή x Άρα το σύνολο των λύσεων είναι : 1,,.. Αν κ ακέραιος αριθμός να δειχθεί ότι η εξίσωση : 5x 9x 1 0 δεν έχει ακέραιες ρίζες. Οι πιθανές ακέραιες ρίζες της εξίσωσης είναι οι αριθμοί του συνόλου : 1. Για x 1 είναι : Ο αριθμός διότι αν ήταν Για x 1 είναι : Ο αριθμός διότι αν ήταν Επομένως η εξίσωση : 5x 9x 1 0 δεν έχει ακέραιες ρίζες. EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - -

23 . Να λυθούν οι εξισώσεις : 4 ii) i) 4 x 4x 6x 4x 1 0 i) Η δοσμένη εξίσωση γράφεται: 4 4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 6x 5x 1x 5x 6 0 x 4x 6x 4x 1 0 x 1 0 x 1 0 x ii) Θέτουμε x t x t x t x t x x x x (1) Διαιρώντας και τα δύο μέλη της εξίσωσης με το, παίρνουμε : x x 5x 1x 5x 6 0 6x 5x x x x 5 x t 5t 1 0 6t 5t 4 0 x x x 0 Το τριώνυμο της σχέσης (), έχει διακρίνουσα , και ρίζες t και επομένως : 1 Αν t x x x x x 0 () x Το τριώνυμο της σχέσης (), έχει διακρίνουσα και ρίζες : x Αν t x x 8x x 8x 0 (4) x Το τριώνυμο της σχέσης (4), έχει διακρίνουσα και ρίζες : x Τελικά οι ρίζες της εξίσωσης είναι :,,,. EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - -

24 4. Να λύσετε τις εξισώσεις : i) 6 x 9x ii) x x 9 x x 8 0 iii) 8 4 x x iv) v) x 11x 1 x 11x x 1 x x x i) Θέτουμε t 9t 8 0 x t, οπότε η επιλύουσα της δοσμένης εξίσωσης είναι: Η διακρίνουσα του τριωνύμου της σχέσης (1) είναι : , και οι ρίζες του : t 1 ή t 8. Για t 1 x 1 x 1 Για t 8 x 8 x x (1). ii) Θέτουμεx x t, οπότε η επιλύουσα της δοσμένης εξίσωσης είναι: t 9t 8 0 (). Η διακρίνουσα του τριωνύμου της σχέσης (1) είναι : , και ρίζες του : t 1 ή t 8 Για. t 1 x x 1 x x 1 x x 0 () Η διακρίνουσα του τριωνύμου της σχέσης () είναι : 9 1 1, και οι 1 ρίζες του : x. Για t 8 x x 8 x x x x 4 0 (4). Η διακρίνουσα του τριωνύμου της σχέσης (4) είναι : , και οι ρίζες του: x EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 4 -

25 iii) Θέτουμεx 4 t, οπότε η επιλύουσα της δοσμένης εξίσωσης είναι: t t 4 0 (5). Η διακρίνουσα του τριωνύμου της σχέσης (5) είναι : , και οι ρίζες του: t. 5 1 Για t 4, έχουμε : x x x 4 x x x x Για t 1, έχουμε : x 4 1 (αδύνατη στο ). iv) Θέτουμεx 11x 1 t, οπότε η επιλύουσα της δοσμένης εξίσωσης είναι: t t 4 0 (6). Η διακρίνουσα του τριωνύμου της σχέσης (6) είναι : , και οι ρίζες του: t. 5 1 Για t 4 x 11x 1 4 x 11x 1 (7). Από την σχέση (7), παίρνουμε τις εξισώσεις : x 11x 1 x 11x 10 0 (8) Για x 1 είναι : Άρα : x 11x 10 x 1x x Η διακρίνουσα του τριωνύμου x x 10 είναι : , και οι ρίζες 1 41 του : x. x 11x 1 x 11x 14 0 (9) EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 5 -

26 Για x είναι : Άρα : x 11x 14 x x x 7. Η διακρίνουσα του τριωνύμου x x 7 είναι : 4 8, και οι ρίζες του : 4 x 1. Τελικά οι ρίζες της δοσμένης εξίσωσης είναι : 1 41,1, 1,. v) Θέτουμε x 1 t, οπότε η επιλύουσα της δοσμένης εξίσωσης είναι: x t 5t 6 0 (10). Η διακρίνουσα του τριωνύμου της σχέσης (10) είναι : , και οι ρίζες του : t ή t. x1 Για t x 1 x x 1. x x 1 1 Για t x 1 x x 1 x. x 5. Να λυθούν οι εξισώσεις : 4 i) ii) x 5 x 5x 0 x 1 6 x iii) x 5 x 5x 0 i) Θέτουμεx 1 t, οπότε η επιλύουσα της δοσμένης εξίσωσης είναι: t 6t 7 0. EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 6 -

27 Το τριώνυμο της σχέσης (1) έχει διακρίνουσα , και ρίζες : x, οπότε Αν x 11 x x 1 t 1 x 1 1 x 1 1 x 1 1 x 0 x 0 x 1 x x k, k x 0 x k, k Αν t 7 x 1 7 (αδύνατη) ii) Η δοσμένη εξίσωση γράφεται: x 5 x 5x 0 x 1 5x x 1 0 x 1 x x 1 5x x 1 0 x 1 x x 0, άρα x k, k x 1 x x x k, k x x 0.Θέτοντας x t, η επιλύουσα της εξίσωσης είναι t t η οποία δεν έχει ρίζες, αφού η διακρίνουσα είναι iii) Η δοσμένη εξίσωση γράφεται: 4 4 x 5 x 5x 0 x 1 5x x 1 0 x 1 x 1 5x x 1 0 x 1 x 5x 0 άρα : x 1 x 0 x k, k x 1 x 1 x x k, k x 5x 0. Θέτοντας x t, η επιλύουσα της εξίσωσης είναι t 5t η οποία έχει διακρίνουσα είναι και ρίζες : 1 t ή t, οπότε : t x (αδύνατη) EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 7 -

28 1 t 6. Να λύσετε την ανίσωση : x 7x 6 0. Οι πιθανές ακέραιες ρίζες του πολυωνύμου : Px x 7x 6 είναι : 1,,, 6. Με το σχήμα Horner για 1 έχουμε Άρα το P x x 1 x x 6. 1 είναι ρίζα οπότε, Το τριώνυμο x x 6 έχει ρίζες x1,x άρα 1 x x x x 1x x 6 _ + _ + Επομένως x, 1,. 7. Να βρείτε τα διαστήματα του x, στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης f x x 5x βρίσκεται πάνω από την ευθεία : y x 9. EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 8 -

29 Τα διαστήματα του x, στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από την y x 9 είναι οι λύσεις της ανίσωσης : x 5x x 9 x 5x x 9 0 (1). Με το σχήμα Horner έχω : Άρα η ανίσωση (1) γράφεται : x 1 x 6x 9 0 x 1 x 0 1 x+1 _ + + x x 1x _ + + Επομένως είναι x, Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f x x 9 και gx 5x x. Τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων f και g έχουν τετμημένες τις λύσεις της εξίσωσης (1) Με το σχήμα Horner έχουμε : f x g x x 9 5x x x 5x x EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 9 -

30 Άρα η (1) γράφεται : ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ x 1 x 6x 9 0 x 1 x 0 x 1 0 ή x 0 x 1 ή x= Άρα τα κοινά σημεία των f, g είναι : A 1,8 B,6 9. Να λυθούν οι εξισώσεις : f 1 8 f 6 i) x 5x 10 8 ii) x x 1 iii) x 8 x iv) x x 16 v) x 5 1 x. i) Πρέπει: 5x x 10 x (1) Η δοσμένη εξίσωση γράφεται : x 5x x 10 8 x. Πρέπει : 8 x 0 x 8 (). 8 Τότε, υψώνοντας και τα δύο μέλη της () στο τετράγωνο, παίρνουμε : 5x 10 8 x 5x x x x 1x 54 0 () Το τριώνυμο της σχέσης (), έχει διακρίνουσα και ρίζες : x Δεκτή γίνεται η τιμή x ii) Πρέπει: x 1 0 x 1 και x 0 και x 0 x 4 (1) Η δοσμένη εξίσωση γράφεται : x x 1 x x 1 x 4 4 x x 1 EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 0 -

31 9 4 x 16x 9 x (απορρίπτεται). 16 Επομένως η εξίσωση είναι αδύνατη. iii) Πρέπει: x 8 0 x 8 και x 0 x 8 Η δοσμένη εξίσωση γράφεται : x 8 x x 8 x x 8 4 4x x x x 1 0 (1). Η εξίσωση (1) δεν έχει ρίζες, διότι η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι αρνητική. iv) Πρέπει: x 0 x και x 0 (1) 0 Η δοσμένη εξίσωση γράφεται : x x 16 x 16 x () Πρέπει : 16 x 0 16 x x Η () γράφεται : x 16 x x 16 x x 56 x x 56 x x 56 x 4 x 7 x 49 Άρα x 49. v) Πρέπει: 1 x 0 x 1 x 5 0 x EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 1 -

32 Η δοσμένη εξίσωση γράφεται : x 5 1 x x 5 1 x x 5 11 x (1) Πρέπει : 11 x 0 x Τότε, υψώνοντας και τα δύο μέλη της (1) στο τετράγωνο, παίρνουμε: x 5 11 x x 5 11 x x x x 16 0 () Το τριώνυμο της σχέσης (), έχει διακρίνουσα , και ρίζες: x Δεκτή γίνεται η τιμή x Να λυθούν οι ανισώσεις : i) x 7 x ii) x 1 x 5 1 iii) x x x i) Πρέπει: 7 x 7 0 x 7 x x 0 x (1) Η δοσμένη ανίσωση γράφεται : x 7 x x 7 x x 4 x () 7 Από τις (1) και () συμπεραίνουμε ότι : x,. ii) Πρέπει: x 5 0 x 5 x 1 x 1 0 x 1 (1) Η δοσμένη ανίσωση γράφεται : x 1 x 5 x x 1 x 5 x x 4 0 () EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - -

33 Το τριώνυμο της σχέσης (), έχει διακρίνουσα , και ρίζες: t και άρα x, 1 4, () 5 1 Από τις (1) και () συμπεραίνουμε ότι : x 4, iii) Πρέπει: x x 0 x.. Η δοσμένη εξίσωση γράφεται : x x x x x x x, η οποία αληθεύει 4 4 πάντοτε. Επομένως : x. EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - -

34 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να λυθούν οι εξισώσεις : i) 4x 1x +5x+6=0 ii) 8x - 4x +10x +1=0 iii) x 4 +11x +19x +16x+1=0 iv) x -6x +11x-6 =0. Να λυθούν οι εξισώσεις : i) x x 10x 8 =0 ii) x 4 +x +x -x- =0 iii) 1 4 x + 4 x x- 5 6 =0. Να βρείτε τα σημεία τομής : i) Της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f(x)=x 4-6x 9x με τον άξονα x x. ii) Των γραφικών παραστάσεων f(x)=x +x και g(x)=00x Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( x) x 4x x 4 βρίσκεται πάνω από τον άξονα x x. 5. Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f(x)=x -9x +15x+5 με τον άξονα x x. 6. Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων: f(x)=x 4-4x +10x +0x-10 και g(x)=5x -8x +x Για ποιες τιμές του λ η εξίσωση x +(5-λ )x +λ-1 =0 έχει ρίζα τον x=1; Για την τιμή του λ που βρήκατε να λύσετε την εξίσωση αυτή. 8. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) (x+1) 6 7(x+1) -8 = 0 ii) (x -x+) 10(x -x+)-49 =0 iii) x (x+1) -8(x +x)+1=0 EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 4 -

35 iv) x x 1 x1 x1 =6 9.Αν Ρ(x)=x 6-5x 4-10x +λ να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες το Ρ(x) έχει παράγοντα το x-1.για αυτές τις τιμές του λ να λύσετε την εξίσωση Ρ(x)= Να λυθούν οι ανισώσεις: i) x -5x +4x-1>0 ii) x +x +6x+7<0 iii) x +x -4x-6>0 iv) x -4x +x-8>0 11. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)=x -5x+4 βρίσκεται πάνω από τον άξονα x x. 1. Αν το (x+) είναι παράγοντας του Ρ(x)=x 4 +αx -x +βx+4 να λύσετε την ανίσωση Ρ(x)<0. 1.Έστω P x x x x με α,β Α)Να βρείτε τα α,β ώστε το Ρ(x) να έχει παράγοντα το Β)Αν α= και β=1 να λύσετε την ανίσωση Ρ(x)>0 x 1 14.Έστω τα πολυώνυμα: P( x) x x a 1 Q( x) 1 x 6 x 11x 5 Α)Να βρείτε τις τιμές των α,β ώστε το Ρ(χ) να διέρχεται από την αρχή των αξόνων Β) Αν α=0 και β=1 να βρείτε τις τιμές του x ώστε η γραφική παράσταση του Q(x) να βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ χ 15. Αν ο λ είναι ακέραιος να αποδειχτεί ότι η εξίσωση 6x ν -λx-1=0, νν * δεν έχει ακέραιες ρίζες. 16. Να λυθούν οι εξισώσεις EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 5 -

36 x x 1 i) + x 11 = - x x ii) = iii) x - x 1 =1 iv) = x+ x x 5 5 x 17. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) =x 10 ii) x+ x =0 5x iii) x 6x 1 = x+1 6 iv) = 5 x x Να λυθούν οι εξισώσεις : i) ημ x+7ημ x+7ημx+ = 0 ii) συν x 7συνx+6 =0 iii) ημ x συν x-1 =0 iv) 4συν x+8ημ x-συνx-6=0 19. Να λυθούν οι ανισώσεις: i) x < 5 x ii) x 1 >x- iii) x >1-x iv) x-1> x 1 0. Να λυθούν για τις διάφορες τιμές του λ R οι εξισώσεις i) 1 x =λ x ii) 1 9x = λ x iii) x 1 =λ Αν τα πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) δεν έχουν κοινή ρίζα, να αποδείξετε ότι και τα πολυώνυμα Ρ(x) Q(x) και Ρ(x)-Q(x) δεν έχουν κοινή ρίζα. EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 6 -

37 . Για τα πολυώνυμα Ρ(x),Q(x) και φ(x) με πραγματικούς συντελεστές, ισχύει [Ρ(x)] + [Q(x)] =[φ(x)] για κάθε x R. Αν τα Ρ(x) και Q(x) δεν έχουν κοινή ρίζα,να αποδείξετε ότι το φ(x) δεν έχει πραγματική ρίζα.. Να αποδείξετε ότι κάθε ρίζα του πολυωνύμου 5x x 1 είναι ρίζα και των πολυωνύμων: i) (5x -x-1) ν+1 + (5x x) ν, νn * ii) (10x 4x ) ν+1 + (+x-5x ) ν,ν N * 4. Για ένα πολυώνυμο Ρ(x) ισχύει Ρ(x+1) Ρ(x) =x 10 για κάθε xr και Ρ(0)=0. Να αποδείξετε ότι Ρ(ν)= (ν-1) 10,για κάθε φυσικό αριθμό ν>. 5. Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x)=(x +x-1) 15 +x 1.Να βρείτε: i) Τον σταθερό όρο του Ρ(x). ii) Το άθροισμα των συντελεστών του Ρ(x). 6. Αν τα πολυώνυμα Ρ(x)=α 0 x 0 + α 19 x α 1 x +α 0 και Q(x)=(x x-1) 10 είναι ίσα,να αποδείξετε ότι : i) α 0 = 1 ii) α 0 +α α 1 =0 iii) α +α 4 +α 6 +.+α 0 =0. iv) α 19 +α α +α 1 =0. 7. Να βρεθεί πολυώνυμο Ρ(x) τέτοιο ώστε : (x-1)ρ(x) =x 7 -x 6 +6x -x +x Για ένα πολυώνυμο Ρ(x) ισχύει Ρ(x )=Ρ(x 5 ) για κάθε xr.να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο Ρ(x) είναι σταθερό. 9. Αν για τα πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) που έχουν ακέραιους συντελεστές και δεν είναι σταθερά ισχύει Ρ(x) Q(x) =x -6x+9,να αποδείξετε ότι Ρ(x) = Q(x). EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 7 -

38 0. Να βρείτε για ποιες τιμές των α, β το πολυώνυμο x 4 +1 διαιρείται με το :x +αx+β. 1. Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο Ρ(x)=x xσυνα συνα διαιρείται με το x-συνα και να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης.. Αν το πολυώνυμο f (x)= x +αx -βx+1 διαιρείται με το g(x)=x -x-6 να υπολογίσετε τις τιμές των α, β.. Να βρεθούν οι τιμές των κ, λ για τις οποίες το πολυώνυμο Ρ(x)=x 4 κx -6x +λx+7 διαιρούμενο με το x -x- δίνει υπόλοιπο 5x Η διαίρεση του x -x +αx+β με το x -x-6 δίνει υπόλοιπο 1.Να βρεθούν τα α,βr. 5. Να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του f(x)= x ν+1 αx ν +x ν-1 με το g(x)=x ν-1 +(όπου ν φυσικός >). 6. Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) και το πολυώνυμο Q(x)=Ρ(x-5)+x -x-. Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ(x):(x-1) είναι,να αποδείξετε ότι το x- είναι παράγοντας του Q(x). 7. Αν το πολυώνυμο Ρ(x) διαιρούμενο με τα x+ και x-1 δίνει αντίστοιχα υπόλοιπο 1 και 4,να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ(x):(x+)(x-1). 8. Το πολυώνυμο f(x) διαιρούμενο με τα πολυώνυμα x+ και x -4x+ δίνει υπόλοιπο και x+7 αντίστοιχα. Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του f(x) με το (x+)(x -4x+). 9. Να υπολογίσετε τους α,βr ώστε το πολυώνυμο Ρ(x)=αx ν+1 +βx ν +1,νΝ *, να έχει παράγοντα το (x+1). EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 8 -

39 Π. 40.Σε μια διαίρεση πολυωνύμου με διαιρετέο ένα πολυώνυμο Px δίνονται ο διαιρέτης δ x x x, το πηλίκο x x και το υ x x λ της διαίρεσης αυτής όπου λ πραγματικός αριθμός. i) Να αποδείξετε ότι P x x x x λ ii) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία το πολυώνυμο Px έχει ρίζα τον 1. iii) Για λ =1 να λυθεί η εξίσωση P x 0. Π.41. Α. Δίνεται το πολυώνυμο Px αx x 5x β με α,β. Αν οι αριθμοί α, 4, β αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου και το Px έχει ρίζα το δείξτε ότι α = και β = 6. Β. Αν α = και β = 6 να λυθεί η εξίσωση P x 0 Π4. Δίνεται το πολυώνυμο Px αx β 1 x x β 6 όπου. i) Αν ο αριθμός 1 είναι ρίζα του Px και το Px διαιρούμενο με το x + 1 δίνει υπόλοιπο, τότε να αποδείξετε ότι α = και β = 4 ii) Αν α = και β = 4 να λύσετε την εξίσωση P x 0. α,β Π.4. Δίνεται το πολυώνυμο P x 4x 16x 19x α, όπου α πραγματικός αριθμός i) Αν το Px έχει παράγοντα το x 5, να υπολογιστεί ο αριθμός α ii) Για τις τιμές των α που βρήκατε στο (i) ερώτημα να δείξετε ότι το Px έχει παράγοντα το x + 1. Π.44. Δίνεται το πολυώνυμο 4 P x x συνθ x συνθ x x 1. Να βρεθεί ο θ 0, π ώστε το πολυώνυμο Px να έχει παράγοντα το x 1. Π.45. Να βρεθούν τα α,β ώστε το πολυώνυμο Px αx x βx Α. Να έχει παράγοντες το x και το x+1. Β. Να λυθεί η ανίσωση P x 0. Π.46. Δίνεται το πολυώνυμο P x x x αx, α το οποίο έχει ρίζα το 1. i) Να βρείτε την τιμή του α. ii) Για α 1, να λύσετε την εξίσωση P x 0. EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 9 -

40 4 Π.47. Δίνεται το πολυώνυμο f x x α 1 x 6x β 1 x 6. i) Αν το f x έχει ρίζα το και το υπόλοιπο της διαίρεσης του f x το x+1 είναι 0 να αποδείξετε ότι α 4, β 14. ii) Για τις τιμές των α, β που βρήκατε στο (i) ερώτημα να λύσετε την εξίσωση f x 0. iii) Να λύσετε την ανίσωση f x 0. Π.48. i ) Να βρείτε τα α, β ώστε το πολυώνυμο P x x αx βx 1 να έχει παράγοντα το x 1. ii) Για α 1 και β =1 να λυθεί η ανίσωση P x Π.49. Έστω το πολυώνυμο P x x x x x x x. i) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του με το x 1. ii) Δείξτε ότι πολυώνυμο παράγοντα το x 1. f x P x 1 P x P x 1 x 1 έχει με Π.50. Δίνονται τα πολυώνυμα Px και Q x P x 5 x x 1. Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης P x : x 1 είναι, να αποδείξετε ότι η διαίρεση Q x : x είναι τέλεια. EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM

9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων

9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων 4ο Κεφάλαιο 9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμοί Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής ν αx όπου α R, * ν N και x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,... 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α

Διαβάστε περισσότερα

K. Μυλωνάκης Αλγεβρα B Λυκείου

K. Μυλωνάκης Αλγεβρα B Λυκείου ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Ονομάζουμε μονώνυμο του x κάθε πραγματικό αριθμό ή κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α είναι πραγμ. αριθμός και ν ένας θετικός ακέραιος. Π.χ. οι παραστάσεις 2χ 4, -3χ 2, 7 είναι μονώνυμα του

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Να αναγνωρίζει πότε μια αλγεβρική παράσταση της πραγματικής μεταβλητής x, είναι πολυώνυμο και να διακρίνει τα στοιχεία του: όροι, συντελεστές, σταθερός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος Κεφάλαιο 2ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος 1. * Οι πραγματικοί αριθμοί είναι σταθερά πολυώνυμα. Σ Λ 2. * Το σταθερό πολυώνυμο 0 λέγεται μηδενικό πολυώνυμο. Σ Λ 3. * Κάθε σταθερό και μη μηδενικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος Κεφάλαιο ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος 1. * Οι πραγματικοί αριθμοί είναι σταθερά πολυώνυμα. Σ Λ. * Το σταθερό πολυώνυμο 0 λέγεται μηδενικό πολυώνυμο. Σ Λ 3. * Κάθε σταθερό και μη μηδενικό

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Επαναληπτικές Ασκήσεις Έστω ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου ( x ) α Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης β Να βρείτε τα 0 και Ρ γ Αν το πολυώνυμο ( x) είναι x να βρείτε: x + x είναι 3x

Διαβάστε περισσότερα

( ) Άρα το 1 είναι ρίζα του P, οπότε το x 1 είναι παράγοντάς του. Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x 1) είναι:

( ) Άρα το 1 είναι ρίζα του P, οπότε το x 1 είναι παράγοντάς του. Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x 1) είναι: ( x) Άρα το είναι ρίζα του P, οπότε το x είναι παράγοντάς του 4 Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x ) είναι: 3 π ( x) = x + x x + 3 Η ταυτότητα της προηγούμενης διαίρεσης είναι: 4 3 x 3x + 5x

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Συνοπτική Θεωρία Ασκήσεις της Τράπεζας Θεμάτων Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Συντακτική ομάδα mathp.gr Συντονισμός

Διαβάστε περισσότερα

4.2. ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

4.2. ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 4.. Η ταυτότητα της διαίρεσης A. Όπως στους ακέραιους αριθμούς, έτσι και στα πολυώνυμα ισχύει η ταυτότητα της διαίρεσης. Πιο συγκεκριμένα ισχύει ότι: Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων Δ(x) και δ(x), με δ(x) 0

Διαβάστε περισσότερα

4.3. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

4.3. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 4.3. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Αν η εξίσωση α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +... +α 1 x+α 0 = 0 με α ν,α ν-1,...,α 1,α 0 Ζ : έχει ρίζα τον ακέραιο αριθμό ρ, τότε το ρ διαιρεί το α 0. έχει ρίζα το κλάσμα,

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων

2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων ιαίρεση Πολυωνύμων 1 Να γίνουν οι διαιρέσεις: α) (x 5 - x + x - 9) : (x - 1) β) (x 4-7x + x - 15) : (x + 5) γ) (x - 4αx + α ) : (x - α) δ) [7x - (9α + 7α ) x + 9α ] : (x - α) Με τη βοήθεια του σχήματος

Διαβάστε περισσότερα

4.1 ΕΝΝΟΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ -ΒΑΘΜΟΣ-ΙΣΟΤΗΤΑ-ΡΙΖΕΣ. ΛΥΣΗ 1 2 =κ κ κ 1+43κ κ = =0

4.1 ΕΝΝΟΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ -ΒΑΘΜΟΣ-ΙΣΟΤΗΤΑ-ΡΙΖΕΣ. ΛΥΣΗ 1 2 =κ κ κ 1+43κ κ = =0 4.1 ΕΝΝΟΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ -ΒΑΘΜΟΣ-ΙΣΟΤΗΤΑ-ΡΙΖΕΣ 4.1.1 Να δειχθεί ότι για κάθε κ R το πολυώνυμο P (x) = (κ - 1) x 5 + (3κ 2 + 2) x 3 + κx δεν έχει ρίζα το 1. 2 1 2 =κ 11 2 +3κ + 2 1 + 2 1 2 =0 κ 1+43κ + 2+16κ

Διαβάστε περισσότερα

4.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

4.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 4.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Πολυωνυµική εξίσωση Λέγεται κάθε εξίσωση της µορφής Ρ(x) = 0, όπου Ρ(x) πολυώνυµο.. Ρίζα πολυωνυµικής εξίσωσης Λέγεται κάθε ρίζα του αντίστοιχου πολυωνύµου.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. ίνεται το Ρ(x) αν το ρ είναι ρίζα Ρ(2x) 2x τότε το ρ είναι ρίζα του Ρ( Ρ(2x)) 2x.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. ίνεται το Ρ(x) αν το ρ είναι ρίζα Ρ(2x) 2x τότε το ρ είναι ρίζα του Ρ( Ρ(2x)) 2x. ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ίνονται τα πολυώνυµα Ρ (x), Ρ (x), Ρ (x) αν τα πολυώνυµα Ρ (x) και Ρ (x) δεν έχουν κοινή ρίζα και ισχύει : ( Ρ (x)) + (Ρ (x)) = (Ρ (x)) για κάθε x R να δείξετε ότι το Ρ (x) δεν έχει πραγµατική

Διαβάστε περισσότερα

4. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x 3 2x 2 + x 12 α) Να αιτιολογήσετε γιατί το διώνυμο x 3 είναι παράγοντας του P(x) β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0

4. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x 3 2x 2 + x 12 α) Να αιτιολογήσετε γιατί το διώνυμο x 3 είναι παράγοντας του P(x) β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0 1. α) Να βρείτε το υπόλοιπο και το πηλίκο της διαίρεσης (x 3 6x 2 +11x 2) : (x 3) β) Αν P(x) = x 3 6x 2 +11x + λ να βρείτε το λ R ώστε η διαίρεση P(x) : (x 3) να έχει υπόλοιπο 0. 2. Δίνονται τα πολυώνυμα:

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Πολυώνυμα. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα; 3 2 ii. x iii. 3 iv. vi.

2.1 Πολυώνυμα. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα; 3 2 ii. x iii. 3 iv. vi. .1 Πολυώνυμα 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα; i. 1 x + x ii. x + 7 x iii. 5 x + 7x x iv. 1 x + x v. 1 4 4 x + x + 4x vi. 1 x + 5x. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα

Διαβάστε περισσότερα

1. Αν α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P (x) = (α - β) x 2 + (β - γ) x + γ - α είναι

1. Αν α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P (x) = (α - β) x 2 + (β - γ) x + γ - α είναι _ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Αν α + β + γ = αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P () = (α - β) + (β - γ) + γ - α είναι το µηδενικό πολυώνυµο.. Να δειχθεί ότι το πολυώνυµο P () = (κ - ) + (λ + 6) +

Διαβάστε περισσότερα

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου 4.1 Πολυώνυμα Η έννοια του πολυωνύμου ΟΡΙΣΜΟΙ 1. Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α R, ν N (σταθερές) και x R (μεταβλητή).. Πολυώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής:

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)

Διαβάστε περισσότερα

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου 4.1 Πολυώνυμα Η έννοια του πολυωνύμου ΟΡΙΣΜΟΙ 1. Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α R, ν N (σταθερές) και x R (μεταβλητή). 2. Πολυώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της

Διαβάστε περισσότερα

8. Να εξετάσετε με το σχήμα Horner αν τα πολυώνυμα x+1, x-3 είναι παράγοντες

8. Να εξετάσετε με το σχήμα Horner αν τα πολυώνυμα x+1, x-3 είναι παράγοντες ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 1. Να γίνουν οι διαιρέσεις: α) (x 5 - x 3 + x - 9) : (x - 1) β) (x 7x 3 + x -15) : (x 3 +5) γ) (3x 3 - αx + α ) : (x - α) δ) [7x 3 - (9α + 7α )x + 9α ] : (x - α). Να γίνουν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoocom Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 10 ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΑΠΟ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΕΣ ΤΑΞΕΙΣ α ) Ταυτότητες 1. (a-β)(a+β)=a - b. (a ± b ) = a ± ab + b 3 3 3 3. (a ± b ) = a ± 3a b + 3ab

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 1. Τι καλούμε μονώνυμο, τι πολυώνυμο, τι όροι,τι συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Κεφάλαιο 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Κεφάλαιο 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 4.1 πωλυωνυμα Η έννοια του πολυωνύμου Έστω x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε πραγματική τιμή. Καλούμε μονώνυμο του x κάθε παράσταση της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 11. Α. Αν α > 0 µε α 1 τότε για οποιουσδήποτε πραγµατικούς αριθµούς θ 1, θ 2 > 0 να αποδείξετε ότι log α (θ 1 θ 2 ) = log α θ 1 + log α θ 2 Β. Έστω το σύστηµα Σ : α1x +

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Λυμένα Παραδείγματα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Λυμένα Παραδείγματα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Λυμένα Παραδείγματα. Να βρεθούν οι τιμές του λ R για τις οποίες το πολυώνυμο Ρ () = (4λ -9) +(λ -λ-) +λ- είναι το μηδενικό. Το Ρ () θα είναι το μηδενικό πολυώνυμο, για εκείνες τις τιμές του λ

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου Θέμα Α. Αν α>0 με α, τότε για οποιουσδήποτε θ, θ,θ>0 και κ ισχύει log (θ θ ) log θ log θ Μονάδες 8 α α α Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Για ποιες τιµές του, αν υπάρχουν, ισχύει κάθε µία από τις ισότητες α. log = log( ) β. log = log γ. log 4 log = Να λυθεί η εξίσωση 4 log ( ) + = 0 6 α) Θα πρέπει > 0 και > 0,

Διαβάστε περισσότερα

Πολυώνυμα. Πολυωνυμικές εξισώσεις. Athens Επιμέλεια: Χατζόπουλος Μάκης. 14/2/2012

Πολυώνυμα. Πολυωνυμικές εξισώσεις. Athens Επιμέλεια: Χατζόπουλος Μάκης.  14/2/2012 Πολυώνυμα Πολυωνυμικές εξισώσεις Άλγεβρα 01 Β Λυκείου Athens 01 13 14//01 1. Περί πολυωνύμων (Α) Πολυώνυμα P x a x a x... a x a v v 1 Πολυώνυμο ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής: όπου a v, a v-1,,a

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων

2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων ιαίρεση Πολυωνύμων η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μας ζητούν να διαιρέσουμε δύο πολυώνυμα Δίνονται τα πολυώνυμα: P x x x x 8x 4 = + +4 και δ ( x) = x x α) Να βρεθεί το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 3ο κεφάλαιο: Εξισώσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα 1

Διαβάστε περισσότερα

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις . Πολυωνυμικές Εξισώσεις η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μας ζητούν να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση.. Να λυθούν οι εξισώσεις: i. + + + 6 = 0 ii. 7 = iii. ( + ) + 7 = 0 iv. 8 + 56 = 0 i. + + + 6 = 0 (

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Άλγεβρα

Τάξη A Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη A Μάθημα: Άλγεβρα Ερωτήσεις Θεωρίας Θέματα Εξετάσεων Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Α. Θεωρία - Αποδείξεις.. Σελ. Β. Θεωρία-Ορισμοί. Σελ.16 Γ. Ερωτήσεις Σωστού Λάθους...

Διαβάστε περισσότερα

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΛΛΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΛΛΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1 ΘΕΜΑ Α ΦΥΛΛΟ 1 Α1. Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο υ της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P(x) με το x - ρ είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για x = ρ. Είναι δηλαδή υ = P(ρ). Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 1. Α. Να βρεθού οι κ,λ R για τους οποίους είαι ίσα τα πολυώυµα ( λ + 1) x ( κ ) x λ + 1 (x) = και Q(x) = κx λx + κ Β. Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς α, β, γ R για τους

Διαβάστε περισσότερα

1. Το πολυώνυµο P (x) = 3 (x - 1) 2-3x είναι Α. µηδενικού βαθµού Β. πρώτου βαθµού Γ. δευτέρου βαθµού. το µηδενικό πολυώνυµο Ε.

1. Το πολυώνυµο P (x) = 3 (x - 1) 2-3x είναι Α. µηδενικού βαθµού Β. πρώτου βαθµού Γ. δευτέρου βαθµού. το µηδενικό πολυώνυµο Ε. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Το πολυώνυµο P (x) = 3 (x - 1) 2-3x 2 + 5 είναι Α. µηδενικού βαθµού Β. πρώτου βαθµού Γ. δευτέρου βαθµού. το µηδενικό πολυώνυµο Ε. τρίτου βαθµού 2. Αν το πολυώνυµο P (x)

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες)

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) Θέμα 1 Θέματα A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) B. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: i) Ο βαθμός του υπολοίπου της διαίρεσης P(x)

Διαβάστε περισσότερα

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Γ Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

( ) = 2. f x α(x x )(x x ) f x α(x ρ) x1,2. 1, x

( ) = 2. f x α(x x )(x x ) f x α(x ρ) x1,2. 1, x ΜΟΡΦΕΣ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Τριώνυµο λέγεται ένα πολυώνυµο της µορφής : f x = αx + βx+ γ, όπου α, β, γ R µε α. ( ) ιακρίνουσα και ρίζες του τριωνύµου f( x) = αx + βx+ γ λέγεται η διακρίνουσα και

Διαβάστε περισσότερα

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,

Διαβάστε περισσότερα

( ) x 3 + ( λ 3 1) x 2 + λ 1

( ) x 3 + ( λ 3 1) x 2 + λ 1 Επαναληπτικό Διαγώνισµα Άλγεβρα Β Λυκείου Θέµα Α Α1. Έστω η πολυωνυµική εξίσωσης α ν χ ν + α ν 1 χ ν 1 +... + α 1 χ + α 0 = 0, µε ακέραιους συντελεστές. Να αποδείξετε ότι αν ο ακέραιος ρ 0 είναι ρίζα της

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Ορισµός Ονοµάζουµε ακέραιο πολυώνυµο του x κάθε έκφραση της µορφής : α ν x ν + α ν-1 x ν-1 + α ν-2 x ν-2 + +α 1 x + α 0 όπου α ν, α ν-1, α ν-2,, α 1, α 0 C και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4_095. Δίνονται οι ευθείες ε 1: λx + y = 1 και ε : x + λy = λ α) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ οι δύο ευθείες τέμνονται και να γράψετε τις συντεταγμένες του κοινού τους σημείου συναρτήσει

Διαβάστε περισσότερα

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7].

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση:

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις συµπλήρωσης 1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: Φυσική γλώσσα Μαθηµατική γλώσσα ύο αριθµοί x, y διαφέρουν κατά και έχουν γινόµενο x (x

Διαβάστε περισσότερα

- 1 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

- 1 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ http://mathhmagic.blogspot.com - ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ν Μονώνυμο του χ ονομάζουμε κάθε αλγεβρική παράσταση της μορφής α χ με χ R και ν Ν. Πολυώνυμο του χ

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρα Β-Λυκείου (2ο πακέτο ασκήσεων) 1 22630 Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = 3 x με x R. α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Α. Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Ποια εξίσωση λέγεται εξίσωση ου βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΧΡΟΝΙΑΔΗΣ ΝΙΚΟΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

ΠΟΛΥΧΡΟΝΙΑΔΗΣ ΝΙΚΟΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΘΕΩΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ). (α + β) = α +αβ + β ). (α β) = α αβ + β. 3). (α + β) 3 = α 3 + 3α β +3αβ + β 3 ). (α β) 3 = α 3 3α β +3αβ β 3. 5). α β = (α β)(α + β) 6). α + β = (α + β) αβ. 6). α 3 β 3

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Ενότητα 2 η Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 9. 5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Εάν έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β τότε λέμε ότι ο α είναι μεγαλύτερος

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες)

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Θέματα Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Β. Είναι Σωστή ή Λάθος καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις ; Θέμα α. Αν x

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων

Διαβάστε περισσότερα

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο 2.1: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο 2.1: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο.: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ Β Έστω μια παραγωγίσιμη στο συνάρτηση, τέτοια ώστε για κάθε x

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ............................................

Διαβάστε περισσότερα

5.ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

5.ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 5.ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Για να επιλύσουμε μία παραμετρική εξίσωση ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: i) Βγάζω παρενθέσεις ii) Κάνω απαλοιφή παρανομαστών iii) Χωρίζω γνωστούς από αγνώστους (άγνωστος είναι

Διαβάστε περισσότερα

Πολυώνυμα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Άλγεβρα Κεφάλαιο ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α

Πολυώνυμα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Άλγεβρα Κεφάλαιο ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α Πολυώνυμα Κώστας Γλυκός Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 1 / 1 / 0 1 6 Άλγεβρα Κεφάλαιο 4 174 ασκήσεις και τεχνικές σε 1 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο ΓΛΥΚΟΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ τηλ.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο :.2 -.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων Πολλαπλασιασμός

Διαβάστε περισσότερα

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1. Έστω η εξίσωση (k 5k+ 4) x (k 1)x + 1= 0 Να βρείτε την τιµή του k ώστε η εξίσωση να έχει µία µόνο ρίζα την οποία ρίζα να προσδιορίσετε i Να βρείτε την τιµή του k ώστε η

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Α - Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Α - Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 1. Φυσικοί αριθμοί : Ν = {0,1,,3,4,...}. Ακέραιοι αριθμοί : Ζ = {...-4,-3,-,-1,0,1,,3,4,...} 3. Ρητοί αριθμοί : Q = { ì í, μ Ζ, ν Ζ* } Σημ. Το σύνολο Q των ρητών αριθμών ταυτίζεται με

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΘΕΜΑ 1. ημ x. 1 σφx 1 σφx 4 ΘΕΜΑ γ ε. 2 δ. 1

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΘΕΜΑ 1. ημ x. 1 σφx 1 σφx 4 ΘΕΜΑ γ ε. 2 δ. 1 1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 1. Να αποδείξετε ότι: 1 σφ 1 σφ ΘΕΜΑ 1. Nα λύσετε την εξίσωση: ημ 1 σφ 1σφ 4 ΘΕΜΑ Α. Να βρεθούν οι παρακάτω τριγωνομετρικοί αριθμοί: α. συν330 ο = β. συν (-300 ο ) = γ. συν (-10 ο ) = δ.

Διαβάστε περισσότερα

Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε x αντιστοιχεί η

Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε x αντιστοιχεί η Εκθετική συνάρτηση Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε αντιστοιχεί η δύναμη α. Έτσι ορίζεται η συνάρτηση : f : με f α, 0 α η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α, τότε έχουμε τη σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων

2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων . ιαίρεση Πολυωνύμων 1. Να σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1. Η διαίρεση δύο πολυωνύμων στηρίζεται στο παρακάτω θεώρημα: «Για κάθε ζεύγος Δ ( x) και δ ( x) με δ ( x)

Διαβάστε περισσότερα

1.7 ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

1.7 ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1 1.7 ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ταυτότητα Ευκλείδειας διαίρεσης : Για δύο οποιαδήποτε πολυώνυµα (x) και δ(x) µε δ(x) µπορούµε να βρούµε δύο άλλα πολυώνυµα π(x) και υ(x) τέτοια ώστε να ισχύει (x) = δ(x)π(x)

Διαβάστε περισσότερα

Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ

Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Α λ γ ε β ρ α Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Α λ γ ε β ρ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Με πολυ μερακι Για τους μικρους φιλους μου Τακης Τσακαλακος Κερκυρα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός εφαπτομένης καμπύλης Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x, τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α(x, f(x )) την

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Email : stvrentzou@gmail.com www.ma8eno.gr

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Email : stvrentzou@gmail.com www.ma8eno.gr 1 Πρόσημο τριωνύμου - λύση ανίσωσης ου βαθμού Έστω το τριώνυμο f(x) = x - 4x - 1. Θέλουμε να εξετάσουμε για ποιες τιμές της μεταβλητής x το τριώνυμο f(x) γίνεται θετικό, για ποιες τιμές του x γίνεται αρνητικό,

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 Α ν ι σ ω σ η 1 ο υ β α θ μ ο υ 3. Να δειχτει οτι α + 110 0α. Ποτε ισχυει το ισον; Μορφη: αx + β > 0 με α,β. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ Αν α > 0

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Δίνονται οι συναρτήσεις

ΘΕΜΑ 2. Δίνονται οι συναρτήσεις ΘΕΜΑ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις (, x R 3 f ( x) = x και g x) = x α) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g τέμνονται σε τρία σημεία τα οποία και να βρείτε. (Μονάδες 13) β) Αν Α, Ο,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΜΑΘ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΜΑΘ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΜΑΘ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία µμου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι

Διαβάστε περισσότερα

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε.

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 55) Μαθηματικά για την Α τάξη του Λυκείου Το τριώνυμο f(x) = α x + β x + γ, α Κώστα Βακαλόπουλου, Νίκου Ταπεινού Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) αx βx γ,

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2001

Άλγεβρα Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2001 Άλγεβρα Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα ο Α.. Α.. Έστω η πολυωνυµική εξίσωση α ν x ν + α ν- x ν- +... + α x + α 0 0, µε ακέραιους συντελεστές. Αν ο ακέραιος ρ 0 είναι ρίζα της εξίσωσης,

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ 1 ΜΕΡΟΣ Α ΚEΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: την αποδεικτική μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής για την οποία πρέπει να γίνει κατανοητό ότι η αλήθεια

Διαβάστε περισσότερα

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1. Α. Έστω α = (x 1, y 1 ) και β = (x, y ) δύο διανύσµατα Να γράψετε την αναλυτική έκφραση του εσωτερικού γινοµένου τους i Αν τα διανύσµατα δεν είναι παράλληλα προς τον

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ H Έννοια της Συνάρτησης H έννοια του συνόλου Ορισμός: Σύνολο είναι κάθε συλλογή

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΑΛΓΕΒΡΑΣ... ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2012 ΘΕΜΑ 1 Ο

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΑΛΓΕΒΡΑΣ... ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2012 ΘΕΜΑ 1 Ο Αµυραδάκη, Νίκαια (1-493576) ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 1 Α1. Έστω P(x) ένα πολυώνυµο του x και p ένας πραγµατικός αριθµός. Αν π(χ) είναι το πηλίκο και υ(x) το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύµου P(x) µε το πολυώνυµο

Διαβάστε περισσότερα

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι:

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: κεφάλαιο 4 Α τριώνυμο επίλυση της εξίσωσης δευτέρου βαθμού Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: αx + βx + γ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 106 Β' Λυκείου. Ύλη: Συστήματα Ιδιότητες Συναρτήσεων- Τριγωνομετρία Πολυώνυμα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 106 Β' Λυκείου. Ύλη: Συστήματα Ιδιότητες Συναρτήσεων- Τριγωνομετρία Πολυώνυμα ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 106 Β' Λυκείου Ον/μο:. Γεν. Παιδείας Ύλη: Συστήματα Ιδιότητες Συναρτήσεων- Τριγωνομετρία - 15-01-17 Πολυώνυμα Θέμα 1 ο : Α. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται περιοδική με περίοδο T;

Διαβάστε περισσότερα

1ο τεταρτημόριο x>0,y>0 Ν Β

1ο τεταρτημόριο x>0,y>0 Ν Β ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ( 6.2 ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται ένα επίπεδο εφοδιασμένο με δύο κάθετους άξονες οι οποίοι έχουν κοινή αρχή Ο και είναι αριθμημένοι με τις ίδιες μονάδες μήκους.

Διαβάστε περισσότερα

με Τέλος πάντων, έστω ότι ξεκινάει ένα άλλο υποθετικό σενάριο που απλά δεν διευκρινίζεται. Για το i) θα έχουμε , 2

με Τέλος πάντων, έστω ότι ξεκινάει ένα άλλο υποθετικό σενάριο που απλά δεν διευκρινίζεται. Για το i) θα έχουμε , 2 Άσκηση 75 Σε έναν οργανισμό, αρχικά υπάρχουν 04800 βακτήρια. Μετά από 1 ώρα υπάρχουν 10400 βακτήρια, μετά από ώρες 5100 βακτήρια, και γενικά ο αριθμός των βακτηρίων υποδιπλασιάζεται κάθε μια ώρα. α) Πόσα

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Να γράψετε 5 φυσικούς αριθμούς ξεκινώντας από τον μικρότερο. Ποιοι αριθμοί λέγονται ρητοί και ποιοι άρρητοι;

Να γράψετε 5 φυσικούς αριθμούς ξεκινώντας από τον μικρότερο. Ποιοι αριθμοί λέγονται ρητοί και ποιοι άρρητοι; Φυσικοί, Ακέραιοι, Ρητοί, Άρρητοι, Πραγματικοί, Απόλυτη Τιμή, Ομόσημοι, Ετερόσημοι, Αντίθετοι, Αντίστροφοι. Να γράψετε 5 φυσικούς αριθμούς ξεκινώντας από τον μικρότερο. Ποιοι αριθμοί λέγονται ακέραιοι;

Διαβάστε περισσότερα