4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου
|
|
- Εὐνίκη Βυζάντιος
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 4.1 Πολυώνυμα Η έννοια του πολυωνύμου ΟΡΙΣΜΟΙ 1. Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α R, ν N (σταθερές) και x R (μεταβλητή).. Πολυώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής: α ν x ν + α ν 1 x ν α 1 x + α 0 όπου α ν, α ν 1,..., α 1, α0 R, ν N (σταθερές) και x R (μεταβλητή). Τα μονώνυμα α ν x ν, α ν 1 x ν 1,..., α 1 x, α 0 λέγονται όροι του πολυωνύμου και οι αριθμοί α ν, α ν 1,..., α 1, α 0 λέγονται συντελεστές του πολυωνύμου. Επιπλέον, ο όρος α 0 λέγεται σταθερός όρος του πολυωνύμου. 3. Κάθε πολυώνυμο της μορφής α 0, με α 0 R, δηλαδή οι πραγματικοί αριθμοί, λέγεται σταθερό πολυώνυμο. Ειδικά το σταθερό πολυώνυμο 0 λέγεται μηδενικό πολυώνυμο. 4. Θεωρούμε το πολυώνυμο α ν x ν + α ν 1 x ν α 1 x + α 0, α ν 0, α ν, α ν 1,..., α 1, α0 R, ν N, x R. Ο φυσικός αριθμός ν λέγεται βαθμός του πολυωνύμου. Κάθε σταθερό μη μηδενικό πολυώνυμο είναι μηδενικού βαθμού. Για το μηδενικό πολυώνυμο δεν ορίζεται βαθμός. 5. Δύο πολυώνυμα θα λέμε ότι είναι ίσα αν είναι του ίδιου βαθμού και οι συντελεστές των ομοβάθμιων όρων είναι ίσοι, δηλαδή τα πολυώνυμα: α ν x ν + α ν 1 x ν α 1 x + α 0 και β μ x μ + β μ 1 x μ β 1 x + β 0 με α ν 0, β μ 0, α ν, α ν 1,..., α 1, α0 R, β μ, β μ 1,..., β 1, β0 R, μ, ν N και μ ν, είναι ίσα αν ισχύει ότι: α 0 = β 0, α 1 = β 1,..., α ν 1 = β ν 1, α ν = β ν και β ν+1 = β ν+ =... = β μ 1 = β μ = 0 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Κάθε μονώνυμο είναι και πολυώνυμο. 9
2 Êεφάλαιο 4: Πολυώνυμα Πολυωνυμικές εξισώσεις Αριθμητική τιμή και ρίζα πολυωνύμου ΟΡΙΣΜΟΙ 1. Αριθμητική τιμή ενός πολυωνύμου Ρ(x) για x = ρ ονομάζεται ο πραγματικός αριθμός που προκύπτει αν στο Ρ(x) θέσουμε όπου x το ρ, δηλαδή το Ρ(ρ).. Το ρ λέγεται ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) αν και μόνο αν Ρ(ρ) = 0. Πράξεις με πολυώνυμα Η πρόσθεση (και η αφαίρεση) δύο πολυωνύμων δίνει ένα νέο πολυώνυμο, που προκύπτει κάνοντας τις προσθαφαιρέσεις στα ομοβάθμια μονώνυμα. Ο πολλαπλασιασμός δύο πολυωνύμων δίνει ένα νέο πολυώνυμο, που προκύπτει με τη βοήθεια της διπλής επιμεριστικής ιδιότητας. Η διαίρεση δύο πολυωνύμων γενικά δεν είναι πολυώνυμο. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ 1. Ο βαθμός του πολυωνύμου που προκύπτει από το άθροισμα (ή τη διαφορά) δύο πολυωνύμων είναι μικρότερος ή ίσος με το μέγιστο των βαθμών των δύο πολυωνύμων, δηλαδή: βαθμός[ρ(x) ± Q(x)] μέγιστο{βαθμό[ρ(x)], βαθμό[q(x)]}. Ο βαθμός του πολυωνύμου που προκύπτει από το γινόμενο δύο πολυωνύμων είναι ίσος με το άθροισμα των βαθμών των πολυωνύμων αυτών, δηλαδή: βαθμός{ρ(x)q(x)}= βαθμός[ρ(x)] + βαθμός[q(x)] 3. Ο βαθμός του πολυωνύμου που προκύπτει ως δύναμη είναι ίσος με το γινόμενο του εκθέτη επί τον βαθμό του πολυωνύμου, δηλαδή: βαθμός[ρ(x)] ν = νβαθμός[ρ(x)], με ν N 10
3 4.1 Πολυώνυμα Mέθοδοι και εφαρμογές 1η ΜΕΘΟΔΟΣ: Μονώνυμα Πολυώνυμα Ίσα πολυώνυμα Πράξεις πολυωνύμων Υπόδειξη: Μονώνυμο: μορφή αx ν, α R, ν N (σταθερές) και x R (μεταβλητή). Πολυώνυμο: μορφή α ν x ν + α ν 1 x ν α 1 x + α 0, όπου α ν, α ν 1,..., α 1, α0 R, ν N (σταθερές) και x R (μεταβλητή). Ίσα πολυώνυμα: ίδιος βαθμός, ίσοι ομοβάθμιοι όροι. 1. Να εξετάσετε ποιες από τις ακόλουθες παραστάσεις Παρόμοια άσκηση είναι μονώνυμα και ποιες πολυώνυμα: και στο σχολικό 5 4 P(x) = x 3, Q(x) = 4 x7, Α(x) = 4x 7, 8 5x B(x) =, Γ(x) = 8 x3, Δ(x) = 11x 5 3x, 3 9x E(x) = 3 x, Z(x) = x 4 x 4, H(x) = x + 5 x5. x 7 3 Ρ(x) Q(x) Α(x) Β(x) Γ(x) Δ(x) Ε(x) Ζ(x) Η(x) Μονώνυμο Πολυώνυμο. Να βρείτε τις τιμές των κ, λ, μ R ώστε να είναι ίσα Παρόμοια άσκηση τα πολυώνυμα Ρ(x) = (κ λ)x + (κ + λ)x + (μ ) και στο σχολικό και Q(x) = (μ + λ + 1)x + μx + λ. Ρ(x) = Q(x) (κ λ)x + (κ + λ)x + (μ ) = (μ + λ + 1)x + μx + λ κ λ= μ+ λ+1 κ 3λ μ=1 κ 3λ (λ +1 ) =1 κ+ λ= μ κ+ λ μ=0 κ+ λ (λ +1 ) =0 μ =λ μ λ= μ= λ+1 κ 4 λ= κ =1 μ= λ λ = κ =1 μ= λ+1 4 λ =0 κ =1 μ= λ+1 λ = 0 κ = 1. μ =1 11
4 Êεφάλαιο 4: Πολυώνυμα Πολυωνυμικές εξισώσεις 3. Να βρείτε τα α, β, γ R έτσι ώστε το πολυώνυμο Παρόμοια άσκηση Ρ(x) = 4x x + 1 να παίρνει τη μορφή και στο σχολικό Ρ(x) = αx(x 3) + (β + )x + γ 1. Πρέπει να ισχύει 4x x + 1 = αx(x 3) + (β + )x + γ 1 4x x + 1 = αx + (β + 3α)x + γ 1 4 = α και = β + 3α και γ 1 = 1 α = 4 και β = 3α 4 και γ = (α, β, γ) = (4, 8, ). 4. Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ(x) = 4x 3 + 5x 6x + 7 Παρόμοια άσκηση και στο σχολικό και Q(x) = x +. Να βρείτε τα πολυώνυμα: α) Ρ(x) + Q(x), β) Ρ(x) 5Q(x), γ) Ρ(x)Q(x), δ) Q (x) Ρ(x). α) Ρ(x) + Q(x) = (4x 3 + 5x 6x + 7) + (x + ) = 4x 3 + 6x 6x + 9. β) Ρ(x) 5Q(x) = (4x 3 + 5x 6x + 7) 5(x + ) = 4x 3 6x 3. γ) Ρ(x)Q(x) = (4x 3 + 5x 6x + 7)(x + ) = = 4x 5 + 8x 3 + 5x x 6x 3 1x + 7x + 14 = = 4x 5 + 5x 4 + x x 1x δ) Q (x) Ρ(x) = (x + ) (4x 3 + 5x 6x + 7) = = x 4 + 4x + 4 4x 3 5x + 6x 7 = = x 4 4x 3 x + 6x 3. η ΜΕΘΟΔΟΣ: Βαθμός πολυωνύμου Μηδενικό πολυώνυμο Υπόδειξη: Βαθμός πολυωνύμου είναι ο εκθέτης του μεγιστοβάθμιου όρου. Αν οι συντελεστές του πολυωνύμου δίνονται με τη βοήθεια παραμέτρων, τότε: Εντοπίζουμε το x με τη μεγαλύτερη δύναμη (έστω ν) και, αν α(λ) είναι ο συντελεστής του x ν, λύνουμε την α(λ) 0, οπότε το πολυώνυμο είναι ν βαθμού. Στη συνέχεια αντικαθιστούμε στο αρχικό πολυώνυμο καθεμία από τις τιμές του λ που εξαιρέσαμε και σε κάθε περίπτωση έχουμε ένα συγκεκριμένο πολυώνυμο του οποίου ο βαθμός βρίσκεται εύκολα. Μηδενικό πολυώνυμο είναι το πολυώνυμο που έχει όλους τους συντελεστές του μηδέν και για το οποίο δεν ορίζεται βαθμός. 5. Να βρείτε τις τιμές της παραμέτρου λ για τις οποίες Παρόμοια άσκηση το πολυώνυμο Ρ(x) = (λ 3 4λ)x 4 + (λ + λ)x + λ + και στο σχολικό είναι το μηδενικό πολυώνυμο. Για να είναι το πολυώνυμο Ρ(x) = (λ 3 4λ)x 4 + (λ + λ)x + λ + το μηδενικό, αρκεί: 1
5 4.1 Πολυώνυμα 3 λ 4 λ=0 λ(λ )(λ + ) =0 λ + λ =0 λ(λ + ) =0 λ +=0 λ +=0 λ =0 ή λ = ή λ = λ =0 ή λ = λ =. λ = Ένα πολυώνυμο είναι το μηδενικό όταν όλοι οι συντελεστές του είναι ταυτόχρονα ίσοι με μηδέν. 6. Για κάθε τιμή του λ R να βρείτε τον βαθμό του πολυωνύμου: Ρ(x) = (λ 3 4λ)x 3 + (λ 5λ + 6)x + (λ + 1)x + Η μεγαλύτερη δύναμη του x που εμφανίζεται είναι η τρίτη και ο συντελεστής του x 3 είναι ο λ 3 4λ. Συνεπώς: Για λ 3 4λ 0 λ(λ 4) 0 λ 0 και λ ± έχουμε ότι το πολυώνυμο είναι 3ου βαθμού. Για λ = 0 το πολυώνυμο γίνεται: Ρ(x) = ( )x 3 + ( )x + (0 + 1)x +, άρα Ρ(x) = 6x + x +, οπότε είναι ου βαθμού. Για λ = το πολυώνυμο γίνεται Ρ(x) = 5x +, οπότε είναι 1ου βαθμού. Για λ = το πολυώνυμο γίνεται Ρ(x) = 0x + 5x +, οπότε είναι ου βαθμού. 3ου βαθμού αν λ 0 και λ ± Άρα το πολυώνυμο Ρ(x) είναι ου βαθμού αν λ =0 ή λ =. 1 ου βαθμού αν λ = 3η ΜΕΘΟΔΟΣ: Αριθμητική τιμή Ρίζα πολυωνύμου Υπόδειξη: Η αριθμητική τιμή του Ρ(x) για x = ρ είναι ίση με το Ρ(ρ). Το ρ είναι ρίζα του Ρ(x) αν και μόνο αν Ρ(ρ) = Να βρείτε τα λ R ώστε η αριθμητική τιμή του Παρόμοια άσκηση πολυωνύμου Ρ(x) = (λ + 4λ)x 3 (1 + λ)x + (3λ + )x + 3 και στο σχολικό για x = να είναι 5. Το πολυώνυμο Ρ(x) παίρνει την τιμή 5 για x = όταν Ρ( ) = 5. Τότε: (λ + 4λ)( ) 3 (1 + λ)( ) + (3λ + )( ) + 3 = 5 8λ 3λ 4 4λ 6λ = 0 8λ 4λ 10 = 0 4λ + 1λ + 5 = 0, με Δ = = = 361 και 13
6 Êεφάλαιο 4: Πολυώνυμα Πολυωνυμικές εξισώσεις 1± 361 1±19 λ = =, άρα λ1 = = = λ = = = Να εξετάσετε αν οι αριθμοί 3 και είναι ρίζες Παρόμοια άσκηση του πολυωνύμου Ρ(x) = 3x + 5x +. και στο σχολικό Ρ( 3) = 3( 3) + 5( 3) + = = = = 40 0, άρα το 3 δεν είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x). Το ρ είναι ρίζα του Ρ(x) Ρ(ρ) = 0. Ρ() = = = 0, άρα το είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x). 9. Να βρείτε τις τιμές των κ, λ R για τις οποίες το Παρόμοια άσκηση πολυώνυμο Ρ(x) = x 3 + (1 κ)x + (κ + λ)x + κ και στο σχολικό έχει ρίζα το x = 1 και αριθμητική τιμή 33 για x =. P( ) = 33 3 ( ) + (1 κ)( ) + (κ + λ)( ) + κ = 33 P() 1=0 +(1 κ) + (κ+ λ) + κ = κ κ λ+ κ= κ+ κ+ λ+ κ=0 5 κ +( 3 κ) =1 λ= 3 κ 5κ 6 κ=1 λ= 3 κ 5κ λ= 1 λ+ κ= 3 5 κ+ λ=1 λ= 3 κ 3 κ =7 κ =9 λ = 3 κ. λ = Αν το πολυώνυμο P(x) έχει ρίζα τον αριθμό 4, να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο Q(x) = P(1 3x) έχει ρίζα τον αριθμό 1. Αφού το πολυώνυμο Ρ(x) έχει ρίζα τον αριθμό 4, θα ισχύει Ρ(4) = 0. Επίσης, Q( 1) = P(1 3( 1)) = P(1 + 3) = P(4) = 0, οπότε το 1 είναι ρίζα του Q(x). 11. Να αποδείξετε ότι για κάθε λ R το πολυώνυμο: Ρ(x) = (λ 3)x 3 + 4λx (λ 5)x δεν έχει ρίζα τον αριθμό 1. Ρ(1) = (λ 3) + 4λ (λ 5) = = λ 3 + 4λ λ = λ + 3λ +.007, όπου Δ = = < 0, άρα Ρ(1) 0. Συνεπώς το 1 δεν μπορεί να είναι ρίζα του Ρ(x). 14
7 4.1 Πολυώνυμα 4η ΜΕΘΟΔΟΣ: Εύρεση πολυωνύμου Υπόδειξη: Βρίσκουμε τον βαθμό που πολυωνύμου και το θέτουμε στη μορφή α ν x ν + α ν 1 x ν α 1 x + α 0, α ν 0, όπου ν είναι ο βαθμός του πολυωνύμου. 1. Να βρείτε το πολυώνυμο Ρ(x) για το οποίο ισχύει: Παρόμοια άσκηση (3x 1)Ρ(x) = 3x 3 13x + 13x 3 και στο σχολικό Το πολυώνυμο Ρ(x) πολλαπλασιάζεται με ένα πολυώνυμο 1ου βαθμού και δίνει πολυώνυμο 3ου βαθμού, άρα το Ρ(x) είναι ου βαθμού. Έστω Ρ(x) = αx + βx + γ, με α 0. Τότε: (3x 1)(αx + βx + γ) = 3x 3 13x + 13x 3 3αx 3 + 3βx + 3γx αx βx γ = 3x 3 13x + 13x 3 3αx 3 + (3β α)x + (3γ β)x γ = 3x 3 13x + 13x 3 3 α =3 α =1 α =1 α =1 3β α= 13 3 β= α 13 3 γ β =13 3 γ = β +13 β = 4 β = 4 3 γ = β +13. γ =3 γ = 3 γ =3 γ =3 γ =3 Συνεπώς Ρ(x) = x 4x + 3. Ερωτήσεις νέου τύπου 4 Να σημειώσετε Σ (σωστό) ή Λ (λάθος) σε καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις. 1. Κάθε μηδενικό πολυώνυμο είναι μηδενικού βαθμού.. Το άθροισμα δύο πολυωνύμων ου βαθμού δίνει πολυώνυμο ου βαθμού. 3. Το Ρ(x) = x 3 + 4x 14x + 1 έχει ρίζα το x =. 4. Το πηλίκο πολυωνύμων μπορεί να είναι πολυώνυμο. 5. Το πολυώνυμο Ρ(x) = λx 3 + 5x + λ 3 είναι 3ου βαθμού. 15
8 Êεφάλαιο 4: Πολυώνυμα Πολυωνυμικές εξισώσεις 4 Να αντιστοιχίσετε τα πολυώνυμα της 1ης στήλης με τις ρίζες τους της ης στήλης. 1η στήλη Πολυώνυμο Ρ(x) η στήλη Ρίζες του Ρ(x) 1, 1, A 1 λ 3 + 3λ + λ 0, 1, Β λ 3 + λ λ 0, 1, Γ 3 λ 3 3λ + λ 0, 1, 4 λ 3 λ 4λ + 4 0, 1, Ε 5 λ 3 λ λ 1, 1, ΣΤ 1,, Ζ Ασκήσεις προς λύση 4 Α Ομάδα 1. Να βρείτε ποιες από τις ακόλουθες παραστάσεις είναι μονώνυμα και ποιες πολυώνυμα: P(x) =, 4 x 4 4 8, Q(x) = x, Α(x) = 8x 3, 5 8x B(x) =, Γ(x) = 3 x, Δ(x) = 13x 4 + 5x 3, 6 x E(x) =6 x + x, Z(x) =5 x + x 4 x, H(x) =5x 3 x 3.. Να βρείτε τις τιμές των κ, λ, μ R ώστε να είναι ίσα τα πολυώνυμα: Ρ(x) = (κ λ)x + (λ κ μ)x + κ και Q(x) = (κ + μ)x + 3λx + 4 λ 3. Δίνονται τα πολυώνυμα: Ρ(x) = (α + β)x + (β γ)x και Q(x) = 10x ( γ α)x + 6 β + γ Να βρείτε για ποιες τιμές των α, β R είναι ίσα. 4. Να βρείτε τα α, β, γ R έτσι ώστε το πολυώνυμο Ρ(x) = 4x + 3x + να παίρνει τη μορφή Ρ(x) = αx(x + ) + βx + γ Να βρείτε τα α, β, γ R έτσι ώστε το πολυώνυμο Ρ(x) = 5x 11x + 7 να παίρνει τη μορφή Ρ(x) = αx(x 3) + βx + 6 β + γ. 1 16
9 4.1 Πολυώνυμα 6. Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ(x) = x 3 4x + 5 και Q(x) = 3x x + 1. Να βρείτε τα πολυώνυμα: α) Ρ(x) + Q(x), β) Ρ(x) Q(x), γ) Ρ(x)Q(x), δ) 4Q(x) 5Ρ(x). 7. Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ(x) = 5x 3 + x και Q(x) = x + 3x 4. Να βρείτε τα πολυώνυμα: α) 3Ρ(x) + 4Q(x), β) Ρ(x) Q(x), γ) Q (x), δ) Q(Ρ(x)). 8. Να βρείτε τις τιμές της παραμέτρου λ R για τις οποίες το πολυώνυμο: Ρ(x) = (λ 3 4λ + 3λ)x 3 + (λ 3λ)x + λ 9 είναι το μηδενικό πολυώνυμο. 9. Να βρείτε τις τιμές της παραμέτρου λ R για τις οποίες το πολυώνυμο: Ρ(x) = (λ 4 16λ )x 4 (λ + 4λ)x + λ + 5λ + 4 είναι το μηδενικό πολυώνυμο. 10. Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = (α β + γ)x + (α + β + γ)x + γ + α 1, με α, β, γ R. Να βρείτε τις τιμές των α, β, γ ώστε το Ρ(x) να είναι το μηδενικό πολυώνυμο. 11. Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = (5α + 3β γ)x + (α + β)x + γ 3, με α, β, γ R. Να βρείτε τις τιμές των α, β, γ ώστε το Ρ(x) να είναι το μηδενικό πολυώνυμο. 1. Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = (α 5)x + (β + )x + 00α 500β.005, με α, β R. Να αποδείξετε ότι το Ρ(x) δεν μπορεί να είναι το μηδενικό πολυώνυμο. 13. Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = (λ 3 16λ)x 4 + (λ 5λ + 4)x + (λ + 1)x + λ, με λ R. Αν το πολυώνυμο είναι ου βαθμού, να βρείτε τον πραγματικό αριθμό λ. 14. Για κάθε τιμή λ R να βρείτε τον βαθμό του πολυωνύμου: Ρ(x) = (λ 5 + λ 3 λ)x 4 + (λ 5λ 6)x + (λ 1)x Για κάθε τιμή λ R να βρείτε τον βαθμό του πολυωνύμου: Ρ(x) = (λ 3 λ λ + 4)x 4 + (λ + λ 6)x + (λ 4)x + λ 16. Δίνεται το πολυώνυμο: Ρ(x) = (λ 8)x 3 + (λ + λ 6)x + (λ 5λ + 6)x + λ 4 16, λ R α) Να εξετάσετε για ποιες τιμές του λ R το Ρ(x) είναι το μηδενικό πολυώνυμο. β) Να βρείτε τον βαθμό του πολυωνύμου για κάθε λ R. 17
10 Êεφάλαιο 4: Πολυώνυμα Πολυωνυμικές εξισώσεις 17. Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = x 3 5x + 3x + 4. Να βρείτε τις αριθμητικές τιμές του πολυωνύμου για: α) x = 1, β) x = 1, γ) x = 0, δ) x =. 18. Να βρείτε τα λ R ώστε η αριθμητική τιμή του πολυωνύμου: Ρ(x) = (λ + 8)x 3 (5 + λ)x + (λ 5)x 9λ για x = 1 να είναι Να εξετάσετε αν οι αριθμοί 3 και είναι ρίζες του Ρ(x) = 3x 4 + 5x. 0. Να εξετάσετε αν οι αριθμοί 3 και 5 είναι ρίζες του πολυωνύμου: Ρ(x) = x 4 5x Να βρείτε τις τιμές των κ, λ R για τις οποίες το πολυώνυμο: Ρ(x) = (κ λ)x 3 κx (κ + λ)x + 8 3λ έχει ρίζα το x = 1 και αριθμητική τιμή 40 για x = 3.. Αν το πολυώνυμο P(x) έχει ρίζα τον αριθμό 3, να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο Q(x) = P(7 x) έχει ρίζα τον αριθμό Αν το πολυώνυμο P(x) έχει ρίζα τον αριθμό 5, να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο Q(x) = x 1 + P(3x 8) έχει ρίζα τον αριθμό Να αποδείξετε ότι για κάθε λ R το πολυώνυμο: Ρ(x) = (λ 3 + λ λ)x 3 λx + (3λ λ 3 )x δεν έχει ρίζα τον αριθμό Έστω το πολυώνυμο P(x) = x 3 + αx + (α + 3)x + 4. Να βρείτε τον α R έτσι ώστε το Ρ(x) να παίρνει τη μορφή (x + κ) (x λ), όπου κ, λ R. 6. Να βρείτε το πολυώνυμο Ρ(x) για το οποίο ισχύει: (x + 5)Ρ(x) = x 4 + 3x 3 5x + 4x α) Να βρείτε το πολυώνυμο Ρ(x) για το οποίο ισχύει: (3x )Ρ(x) = 6x 3 x + 7x 10 β) Να λύσετε την εξίσωση 6x 3 x + 7x 10 = Να βρείτε τα κ R έτσι ώστε το πολυώνυμο: Ρ(x) = (κ + 1)x 4 (7 κ)x 3 (3κ + 1)x + κx + κ 1 να έχει ρίζα το x = 1. Στη συνέχεια να βρείτε την αριθμητική τιμή του Ρ(x) για x = Να βρείτε το πολυώνυμο Ρ(x) ου βαθμού, αν ισχύει: Ρ(x) + P( x) = 3(x + ) 18
11 4.1 Πολυώνυμα 30. Να βρείτε πολυώνυμο Ρ(x) ου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς 4 και, αν η τιμή του για x = 1 είναι. 31. Να βρείτε πολυώνυμο Ρ(x) 3ου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς 1, και 3, αν η τιμή του για x = 0 είναι Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = x 3 x + x + 4. Να προσδιορίσετε τον πραγματικό αριθμό κ, αν ισχύει Ρ(κ + 1) = 4. 4 Β Ομάδα Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = (x 3 x +x 1) 6 x +7. α) Να βρείτε τον σταθερό όρο του P(x). β) Να υπολογίσετε το άθροισμα των συντελεστών του P(x). 34. Σε ένα πολυώνυμο P(x) ο σταθερός όρος είναι 5 και το άθροισμα των συντελεστών του ισούται με 4. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός 1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Q(x) = P(P(P(x) 4) 5) 5 x. 35. Δίνεται το πολυώνυμο α β γ δ Px ( )= 8 x+ 6 x + 4 x + x +7 x, με α, β, γ, δ R. Αν P( ) =5, να βρείτε το Ρ( ). 36. Δίνεται το πολυώνυμο α β γ δ Px ( )= 9 x + 7 x + 5 x + 3 x 11, με α, β, γ, δ R. Αν P( 4 ) =9, να βρείτε το Ρ(4). α β 37. Να βρείτε τα α, β R έτσι ώστε να ισχύει = + για κάθε x 1 x 1 x 1 x+1 και x Να βρείτε τα α, β R έτσι ώστε να ισχύει x 3 και x. x 1 α β x = για κάθε x 6 3 x x+ 39. Αν α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ και α + β + γ 0, να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο: Ρ(x) = (γ α)x + (β γ)x + (α β) είναι το μηδενικό πολυώνυμο. 40. Να βρείτε πολυώνυμο Ρ(x) ου βαθμού, αν ισχύουν: Ρ(1 x) = P(x + 1), P(0) = 1 και P(1) = Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ(x) = (x 1) 005 και Q(x) = x Να εξετάσετε αν τα πολυώνυμα είναι ίσα. 4. Να βρείτε το πολυώνυμο P(x) για το οποίο ισχύει P(x) + 3P(1 x) = x. 19
12 Êεφάλαιο 4: Πολυώνυμα Πολυωνυμικές εξισώσεις 43. Να βρείτε πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) 1ου βαθμού για τα οποία ισχύει: (x ) P(x) (x 3x + )Q(x) = 6x 3 + 6x + 8x Να βρείτε το πολυώνυμο ου βαθμού P(x) και το πολυώνυμο 1ου βαθμού Q(x) 3 3 ώστε να ισχύει (x 1 )P(x) + x Q(x) = x Να βρείτε το πολυώνυμο P(x) για το οποίο ισχύει: P(x 1) + 3P( x) = x Να βρείτε το πολυώνυμο Ρ(x) 1ου βαθμού ώστε: Ρ(Ρ(x)) Ρ(x)= 6x Να βρείτε πολυώνυμο P(x) ώστε [P(x)] = x 4 + 6x 3 + 8x 3x Να βρείτε το πολυώνυμο Ρ(x), αν ισχύει [Ρ(x)] + Ρ(x) = (x + 1)(x + ). 49. Να βρείτε το πολυώνυμο Ρ(x) για το οποίο ισχύει Ρ(x 3) = 4x Να βρείτε το πολυώνυμο Ρ(x) για το οποίο ισχύει Ρ(x + ) = 3x Να βρείτε όλα τα πολυώνυμα Ρ(x) για τα οποία ισχύει 3[Ρ(x)] = Ρ(x). 5. Δίνεται το πολυώνυμο Px αx βx γ ( )= + + για το οποίο ισχύει: P(x 1) = P(x ) = P(x 3) =0, με x x x x Να αποδείξετε ότι το P(x) είναι το μηδενικό πολυώνυμο Να βρείτε τους α, β, γ, δ R ώστε το πολυώνυμο: P(x) = (α + γ)x 3 (β + 5)x + (3β + 5γ)x + 5α + 8δ 9 να έχει περισσότερες από 3 ρίζες. 54. Δίνονται τα πολυώνυμα: Ρ(x) = αx 3 βx + γx + δ και Q(x) = (4α 5)x 3 (β + )x + (β γ)x + 6 Να βρείτε τα α, β, γ, δ R για τα οποία το f(x) = P(x) Q(x) είναι: α) 3ου βαθμού, β) ου βαθμού, γ) 1ου βαθμού, δ) το μηδενικό πολυώνυμο. ( α 1 )x + (α 3β 1 )x + γ Δίνεται η συνάρτηση f με f(x) =, όπου α, β, γ R, x + x+1 της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το Α(1, ). Να βρείτε τους α, β, γ ώστε η συνάρτηση f να είναι σταθερή. 0
13 4.1 Πολυώνυμα 56. Δίνονται τα πολυώνυμα: ν ν * Px ( )= x ( α +1 ) x+ α + α, Qx ( )=( x α 1 ) + ( x α) 1, με α R, ν N Να αποδείξετε ότι οι ρίζες του πολυωνύμου P(x) είναι και ρίζες του Q(x). 57. Αν τα πολυώνυμα f(x), g(x) δεν έχουν κοινή ρίζα, να αποδείξετε ότι τα πολυώνυμα f(x) + g(x) και f(x)g(x) δε θα έχουν επίσης κοινή ρίζα. 58. Δίνονται τα πολυώνυμα f(x), g(x), p(x) για τα οποία ισχύει: f (x) xg (x) xp (x) = 0 για κάθε x R Να αποδείξετε ότι τα πολυώνυμα f(x), g(x) και p(x) είναι μηδενικά. 59. Δίνονται τα πολυώνυμα P(x) και Q(x) = P(P(x)). Αν το ρ είναι ρίζα του πολυωνύμου f(x) = P(x) x, να αποδείξετε ότι το ρ είναι και ρίζα του πολυωνύμου g(x) = Q(x) x. 60. Αν f(x), g(x) είναι δύο πολυώνυμα χωρίς ρίζες, να αποδείξετε ότι τα πολυώνυμα * P(x) = αf(x) + βg(x), Q(x) = βf(x) + αg(x), με α, β R και α β, δεν έχουν κοινή ρίζα. 61. Δίνονται τα πολυώνυμα P(x), Q(x), με Q(x) = P(x)P( x). Να αποδείξετε ότι το Q(x) έχει μόνο άρτιες δυνάμεις του x. 6. Δίνονται τα πολυώνυμα P(x), Q(x) = P(P(P(x))), με P(α) = β, P(β) = γ και P(γ) = α, όπου α, β, γ R. Να αποδείξετε ότι: α) Q(α) = α, β) Q(β) = β, γ) Q(γ) = γ. 63. α) Να βρείτε τα α, β R ώστε για κάθε x 0 και x 1 να ισχύει: 1 α β = + x(x 1) x x β) Να υπολογίσετε το άθροισμα Σ = ν(ν +1 ). 64. Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = 5(γ α)x 3 + α(3γ β )x 7(β α) +, με α, β, γ R. Αν οι α, β, γ είναι οι πλευρές του ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ με o Β =10, να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο P(x) είναι το σταθερό πολυώνυμο. 1
14 4. Διαίρεση πολυωνύμων Αλγοριθμική διαίρεση ΘΕΩΡΗΜΑ (Ταυτότητα της διαίρεσης) Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων Δ(x) και δ(x) με δ(x) 0 υπάρχουν δύο μοναδικά πολυώνυμα π(x) και υ(x) τέτοια ώστε: Δ(x) = δ(x)π(x) + υ(x) όπου ο βαθμός του υ(x) είναι μικρότερος του βαθμού του δ(x) ή υ(x) είναι το μηδενικό πολυώνυμο. Το Δ(x) λέγεται διαιρετέος, το δ(x) λέγεται διαιρέτης, το π(x) πηλίκο και το υ(x) υπόλοιπο της διαίρεσης. ΟΡΙΣΜΟΣ Αν σε μια διαίρεση πολυωνύμων το υπόλοιπο υ(x) είναι 0, τότε η διαίρεση λέγεται τέλεια. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Στην τέλεια διαίρεση του Δ(x) με το δ(x) λέμε ότι το δ(x) διαιρεί το Δ(x) ή το Δ(x) διαιρείται με το δ(x) ή το δ(x) είναι παράγοντας του Δ(x) ή το δ(x) είναι διαιρέτης του Δ(x). Παράδειγμα διαίρεσης πολυωνύμων Έστω ότι έχουμε τη διαίρεση των πολυωνύμων Δ(x) = 3x 5 + 7x 4 6x 3 + 9x + x 1 και δ(x) = x 5. Τότε: Πρώτα βρίσκουμε το μονώνυμο που, όταν πολλαπλασιάζεται με τον μεγιστοβάθμιο όρο του διαιρέτη, δίνει τον μεγιστοβάθμιο όρο του διαιρετέου, το οποίο γράφεται στο πηλίκο. Στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε το μονώνυμο αυτό με τον διαιρετέο, και το γινόμενο γράφεται κάτω από τον διαιρετέο με αντίθετα πρόσημα. Αν κάποιος όρος δεν υπάρχει, τον βάζουμε με συντελεστή μηδέν.
15 4. ιαίρεση πολυωνύμων Έπειτα προσθέτουμε τα δύο πολυώνυμα και προκύπτει ένα τρίτο πολυώνυμο, που γράφεται κάτω από αυτά. Μετά εφαρμόζουμε διαδοχικά την ίδια διαδικασία, ώσπου να καταλήξουμε σε πολυώνυμο του οποίου ο βαθμός να είναι μικρότερος του βαθμού του διαιρέτη. Άρα από την ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης έχουμε: 3x 5 + 7x 4 6x 3 + 9x + x 1 = (x 5)( 3x 3 + 7x 1x + 44) + ( 104x + 19), με πηλίκο το π(x) = 3x 3 + 7x 1x + 44 και υπόλοιπο το υ(x) = 104x ΠΡΟΣΟΧΗ Αν το πολυώνυμο που εκφράζει τον διαιρετέο μιας διαίρεσης δύο πολυωνύμων είναι ελλιπές (δηλαδή δεν υπάρχουν με φθίνουσα σειρά όλες οι δυνάμεις του x), τότε, για να κάνουμε τη διαίρεση, συμπληρώνουμε εμείς τους όρους που λείπουν βάζοντας ως συντελεστές τους μηδενικά. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Αν Δ(x) = 4x 3 + 5x 3, τότε γράφουμε Δ(x) = 4x 3 + 0x + 5x 3. 3
16 Êεφάλαιο 4: Πολυώνυμα Πολυωνυμικές εξισώσεις ιαίρεση πολυωνύμου με το x ρ ΘΕΩΡΗΜΑ Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) με το x ρ είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για x = ρ, ισχύει δηλαδή υ = Ρ(ρ). ΘΕΩΡΗΜΑ Ένα πολυώνυμο Ρ(x) έχει παράγοντα το x ρ αν και μόνο αν το ρ είναι ρίζα του Ρ(x), δηλαδή αν και μόνο αν Ρ(ρ) = 0. Σχήμα Horner Όταν θέλουμε είτε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης Δ(x) : (x ρ) είτε να εξετάσουμε αν το ρ είναι ρίζα του Δ(x), τότε μπορούμε να εφαρμόσουμε αυτό που ονομάζουμε σχήμα Horner. Το σχήμα Horner αποτελείται από τρεις γραμμές αριθμών και την κατασκευή του θα την περιγράψουμε παρακάτω. Έστω λοιπόν η διαίρεση (5x 3 + 4x 7x 9) : (x + 1). Τότε, για να εφαρμόσουμε το σχήμα Horner, ακολουθούμε τα εξής βήματα: Γράφουμε πρώτα όλους τους συντελεστές του διαιρετέου κατά τη φθίνουσα σειρά των δυνάμεων στο αριστερό μέρος της διάταξης και το ρ στο δεξί μέρος της διάταξης. Καταρχήν κατεβάζουμε κάτω από τη γραμμή τον συντελεστή του μεγιστοβάθμιου όρου. Στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε το νούμερο κάτω από τη γραμμή με το ρ και το αποτέλεσμα το γράφουμε στην προηγούμενη γραμμή, στην αμέσως δεξιότερη θέση. 4
4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου
4.1 Πολυώνυμα Η έννοια του πολυωνύμου ΟΡΙΣΜΟΙ 1. Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α R, ν N (σταθερές) και x R (μεταβλητή). 2. Πολυώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της
9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων
4ο Κεφάλαιο 9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμοί Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής ν αx όπου α R, * ν N και x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε
2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ
Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:
Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Να αναγνωρίζει πότε μια αλγεβρική παράσταση της πραγματικής μεταβλητής x, είναι πολυώνυμο και να διακρίνει τα στοιχεία του: όροι, συντελεστές, σταθερός
K. Μυλωνάκης Αλγεβρα B Λυκείου
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Ονομάζουμε μονώνυμο του x κάθε πραγματικό αριθμό ή κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α είναι πραγμ. αριθμός και ν ένας θετικός ακέραιος. Π.χ. οι παραστάσεις 2χ 4, -3χ 2, 7 είναι μονώνυμα του
2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων
ιαίρεση Πολυωνύμων η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μας ζητούν να διαιρέσουμε δύο πολυώνυμα Δίνονται τα πολυώνυμα: P x x x x 8x 4 = + +4 και δ ( x) = x x α) Να βρεθεί το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης
Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...
3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α
Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Συνοπτική Θεωρία Ασκήσεις της Τράπεζας Θεμάτων Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Συντακτική ομάδα mathp.gr Συντονισμός
2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων
ιαίρεση Πολυωνύμων Ταυτότητα διαίρεσης Όπως στους ακέραιους αριθμούς, έτσι και στα πολυώνυμα ισχύει η ταυτότητα της διαίρεσης Πιο συγκεκριμένα ισχύει ότι: Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων Δ ( ) και δ ( ), με
β) Αν επιπλέον το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι υ(x) = - 3x + 5, τότε να βρείτε το Δ(x). (Απ. α) 5 ος β) Δ(x) = x 5 5x 4 + 6x 3 + 4x 2 11x + 5)
ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ B Λυκείου Γενικής Παιδείας Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 4ο - Φ Υ Λ Λ Ο Νο 2 Δ Ι Α Ι Ρ Ε Σ Η ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ένα πολυώνυμο Δ(x),
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Έννοια του πολυωνύμου. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια μεταβλητή x που μπορεί να πάρει κάθε πραγματική τιμή. Μονώνυμο του x, είναι κάθε παράσταση της μορφής : x όπου α είναι
1.7 ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ
1 1.7 ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ταυτότητα Ευκλείδειας διαίρεσης : Για δύο οποιαδήποτε πολυώνυµα (x) και δ(x) µε δ(x) µπορούµε να βρούµε δύο άλλα πολυώνυµα π(x) και υ(x) τέτοια ώστε να ισχύει (x) = δ(x)π(x)
2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων
. ιαίρεση Πολυωνύμων 1. Να σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1. Η διαίρεση δύο πολυωνύμων στηρίζεται στο παρακάτω θεώρημα: «Για κάθε ζεύγος Δ ( x) και δ ( x) με δ ( x)
ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ
ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 1. Τι καλούμε μονώνυμο, τι πολυώνυμο, τι όροι,τι συντελεστές
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΙΜΗ,ΠΡΑΞΕΙΣ,ΙΣΟΤΗΤΑ) P( x) ( 4) x ( 8) x ( 5 6) x 16 είναι το μηδενικό πολυώνυμο.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΙΜΗ,ΠΡΑΞΕΙΣ,ΙΣΟΤΗΤΑ) 1. Δίνονται τα πολυώνυμα: P ( x) x x, Q( x) x x 1. Να βρεθούν: a) P( x) Q( x) ) P( x) Q( x) ) P( x) Q( x). Να βρεθεί η τιμή του λ R για την οποία
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoocom Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ
4.3. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ
4.3. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Αν η εξίσωση α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +... +α 1 x+α 0 = 0 με α ν,α ν-1,...,α 1,α 0 Ζ : έχει ρίζα τον ακέραιο αριθμό ρ, τότε το ρ διαιρεί το α 0. έχει ρίζα το κλάσμα,
2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων
ιαίρεση Πολυωνύμων 1 Να γίνουν οι διαιρέσεις: α) (x 5 - x + x - 9) : (x - 1) β) (x 4-7x + x - 15) : (x + 5) γ) (x - 4αx + α ) : (x - α) δ) [7x - (9α + 7α ) x + 9α ] : (x - α) Με τη βοήθεια του σχήματος
Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Ορισµός Ονοµάζουµε ακέραιο πολυώνυµο του x κάθε έκφραση της µορφής : α ν x ν + α ν-1 x ν-1 + α ν-2 x ν-2 + +α 1 x + α 0 όπου α ν, α ν-1, α ν-2,, α 1, α 0 C και
Κεφάλαιο 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Κεφάλαιο 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 4.1 πωλυωνυμα Η έννοια του πολυωνύμου Έστω x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε πραγματική τιμή. Καλούμε μονώνυμο του x κάθε παράσταση της μορφής
4.2 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ
4 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΩΡΗΜΑ (ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΔΙΑΙΡΕΣΗΣ) Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων ( και ( με ( 0 υπάρχουν δυο μοναδικά πολυώνυμα ( και (, τέτοια ώστε : ( ( όπου το ( ή είναι το μηδενικό
Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες
Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος
Κεφάλαιο 2ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος 1. * Οι πραγματικοί αριθμοί είναι σταθερά πολυώνυμα. Σ Λ 2. * Το σταθερό πολυώνυμο 0 λέγεται μηδενικό πολυώνυμο. Σ Λ 3. * Κάθε σταθερό και μη μηδενικό
(x) = δ(x) π(x) + υ(x)
Μάθηµα 12 Κεφάλαιο 4ο: Πολυώνυµα Πολυωνυµικές Εξισώσεις Θεµατικές Ενότητες: Α. ιαίρεση Πολυωνύµων Β. Σχήµα Horner Η ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης Αν ( χ), δ ( χ) δύο πολυώνυµα µε δ ( χ) 0 και βαθµούς
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος
Κεφάλαιο ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος 1. * Οι πραγματικοί αριθμοί είναι σταθερά πολυώνυμα. Σ Λ. * Το σταθερό πολυώνυμο 0 λέγεται μηδενικό πολυώνυμο. Σ Λ 3. * Κάθε σταθερό και μη μηδενικό
τα βιβλία των επιτυχιών
Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από
( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει
μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,
4.2. ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ
4.. Η ταυτότητα της διαίρεσης A. Όπως στους ακέραιους αριθμούς, έτσι και στα πολυώνυμα ισχύει η ταυτότητα της διαίρεσης. Πιο συγκεκριμένα ισχύει ότι: Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων Δ(x) και δ(x), με δ(x) 0
µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;
ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται
ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. ίνεται το Ρ(x) αν το ρ είναι ρίζα Ρ(2x) 2x τότε το ρ είναι ρίζα του Ρ( Ρ(2x)) 2x.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ίνονται τα πολυώνυµα Ρ (x), Ρ (x), Ρ (x) αν τα πολυώνυµα Ρ (x) και Ρ (x) δεν έχουν κοινή ρίζα και ισχύει : ( Ρ (x)) + (Ρ (x)) = (Ρ (x)) για κάθε x R να δείξετε ότι το Ρ (x) δεν έχει πραγµατική
ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΛΛΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1
ΘΕΜΑ Α ΦΥΛΛΟ 1 Α1. Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο υ της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P(x) με το x - ρ είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για x = ρ. Είναι δηλαδή υ = P(ρ). Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις
2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
1 2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 11. Α. Αν α > 0 µε α 1 τότε για οποιουσδήποτε πραγµατικούς αριθµούς θ 1, θ 2 > 0 να αποδείξετε ότι log α (θ 1 θ 2 ) = log α θ 1 + log α θ 2 Β. Έστω το σύστηµα Σ : α1x +
4.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ
4.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Πολυωνυµική εξίσωση Λέγεται κάθε εξίσωση της µορφής Ρ(x) = 0, όπου Ρ(x) πολυώνυµο.. Ρίζα πολυωνυµικής εξίσωσης Λέγεται κάθε ρίζα του αντίστοιχου πολυωνύµου.
Aπάντηση Απόλυτη τιμή αριθμού είναι η απόσταση του αριθμού από το 0. Συμβολίζεται με 3 = 3-3 = 3 + και και είναι πάντα θετικός αριθμός. Π.
ΜΕΡΟΣ Α : Α Λ Γ Ε Β ΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και πράξεις τους 1. Γράψε τα βασικότερα σύνολα τιμών: Aπάντηση Ν{0,1,,,4,5,6,..+
Πολυώνυμα. Πολυωνυμικές εξισώσεις. Athens Επιμέλεια: Χατζόπουλος Μάκης. 14/2/2012
Πολυώνυμα Πολυωνυμικές εξισώσεις Άλγεβρα 01 Β Λυκείου Athens 01 13 14//01 1. Περί πολυωνύμων (Α) Πολυώνυμα P x a x a x... a x a v v 1 Πολυώνυμο ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής: όπου a v, a v-1,,a
1 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 2008
ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 008 α). Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) με το πρωτοβάθμιο πολυώνυμο x ρ ισούται με την αριθμητική τιμή του Ρ(x) για x =
Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες
Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο :.2 -.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων Πολλαπλασιασμός
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 10 ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΑΠΟ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΕΣ ΤΑΞΕΙΣ α ) Ταυτότητες 1. (a-β)(a+β)=a - b. (a ± b ) = a ± ab + b 3 3 3 3. (a ± b ) = a ± 3a b + 3ab
( ) Άρα το 1 είναι ρίζα του P, οπότε το x 1 είναι παράγοντάς του. Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x 1) είναι:
( x) Άρα το είναι ρίζα του P, οπότε το x είναι παράγοντάς του 4 Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x ) είναι: 3 π ( x) = x + x x + 3 Η ταυτότητα της προηγούμενης διαίρεσης είναι: 4 3 x 3x + 5x
Δ = δπ + υ με υ < δ. (Ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης),
ΜΕΡΟΣ Α 1.7 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 19 1. 7 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Διαίρεση πολυωνύμων Αν έχουμε δύο φυσικούς αριθμούς Δ (διαιρετέος) και δ (διαιρέτης) με δ και κάνουμε τη διαίρεση Δ : δ, τότε βρίσκουμε δύο άλλους
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. β) x 9x. ε) (x 1) 3(x 1) 2(x 1) 0. (2x 1) x 128 0
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x x 10x 0 5 x 9x γ) x 8x 0 x x x 0 x (x ) 9(x ) ε) (x 1) (x 1) (x 1) 0. Να λύσετε τις εξισώσεις: 5 α) x 0 7 γ) (x ) 1 0 (x 1)
4.1 ΕΝΝΟΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ -ΒΑΘΜΟΣ-ΙΣΟΤΗΤΑ-ΡΙΖΕΣ. ΛΥΣΗ 1 2 =κ κ κ 1+43κ κ = =0
4.1 ΕΝΝΟΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ -ΒΑΘΜΟΣ-ΙΣΟΤΗΤΑ-ΡΙΖΕΣ 4.1.1 Να δειχθεί ότι για κάθε κ R το πολυώνυμο P (x) = (κ - 1) x 5 + (3κ 2 + 2) x 3 + κx δεν έχει ρίζα το 1. 2 1 2 =κ 11 2 +3κ + 2 1 + 2 1 2 =0 κ 1+43κ + 2+16κ
Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές
0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)
ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑ B. Β.1. Γνωρίζουμε ότι τα σημεία Α(π,4) και Β(-2π,6) ανήκουν στην ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑ Α Α.1. Η απόδειξη βρίσκεται στη σελίδα 175 του σχολικού βιβλίου. Α.. Η διατύπωση του ορισμού βρίσκεται στη σελίδα 163 του σχολικού βιβλίου «εκθετική συνάρτηση». Α.3. i) Λάθος ii) Λάθος iii) Σωστό
Να γράψετε 5 φυσικούς αριθμούς ξεκινώντας από τον μικρότερο. Ποιοι αριθμοί λέγονται ρητοί και ποιοι άρρητοι;
Φυσικοί, Ακέραιοι, Ρητοί, Άρρητοι, Πραγματικοί, Απόλυτη Τιμή, Ομόσημοι, Ετερόσημοι, Αντίθετοι, Αντίστροφοι. Να γράψετε 5 φυσικούς αριθμούς ξεκινώντας από τον μικρότερο. Ποιοι αριθμοί λέγονται ακέραιοι;
2.1 Πολυώνυμα. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα; 3 2 ii. x iii. 3 iv. vi.
.1 Πολυώνυμα 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα; i. 1 x + x ii. x + 7 x iii. 5 x + 7x x iv. 1 x + x v. 1 4 4 x + x + 4x vi. 1 x + 5x. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα
1. Το πολυώνυµο P (x) = 3 (x - 1) 2-3x είναι Α. µηδενικού βαθµού Β. πρώτου βαθµού Γ. δευτέρου βαθµού. το µηδενικό πολυώνυµο Ε.
Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Το πολυώνυµο P (x) = 3 (x - 1) 2-3x 2 + 5 είναι Α. µηδενικού βαθµού Β. πρώτου βαθµού Γ. δευτέρου βαθµού. το µηδενικό πολυώνυµο Ε. τρίτου βαθµού 2. Αν το πολυώνυµο P (x)
Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις
4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α
Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ
Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ 1 ΜΕΡΟΣ Α ΚEΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζουμε
4. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x 3 2x 2 + x 12 α) Να αιτιολογήσετε γιατί το διώνυμο x 3 είναι παράγοντας του P(x) β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0
1. α) Να βρείτε το υπόλοιπο και το πηλίκο της διαίρεσης (x 3 6x 2 +11x 2) : (x 3) β) Αν P(x) = x 3 6x 2 +11x + λ να βρείτε το λ R ώστε η διαίρεση P(x) : (x 3) να έχει υπόλοιπο 0. 2. Δίνονται τα πολυώνυμα:
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Α - Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 1. Φυσικοί αριθμοί : Ν = {0,1,,3,4,...}. Ακέραιοι αριθμοί : Ζ = {...-4,-3,-,-1,0,1,,3,4,...} 3. Ρητοί αριθμοί : Q = { ì í, μ Ζ, ν Ζ* } Σημ. Το σύνολο Q των ρητών αριθμών ταυτίζεται με
Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ
Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Ενότητα 2 η Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης
A N A B P Y T A ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ. 1 (α + β + γ) [(α-β) 2 +(α-γ) 2 +(β-γ) 2 ] και τις υποθέσεις
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΑΣΚΗΣΗ η Αν α +β +γ = αβγ και α + β + γ, να δείξετε ότι το πολυώνυμο P()=(α β) +(β γ) + γ α είναι το μηδενικό πολυώνυμο. Από την ταυτότητα του Euler α +β +γ -αβγ = (α + β + γ)[(α-β)
Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ
Α λ γ ε β ρ α Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Α λ γ ε β ρ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Με πολυ μερακι Για τους μικρους φιλους μου Τακης Τσακαλακος Κερκυρα
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Οι Πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι είναι οι πραγματικοί αριθμοί ; Ποιοι είναι οι
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
0 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός . ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΟΜΟΣΗΜΩΝ- ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ Σε ομόσημους κάνω πρόσθεση και βάζω το κοινό
4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ
14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ Α': ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: Αλγεβρικές παραστάσεις Παράγραφος A..: Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) Β: Πράξεις με μονώνυμα Τα σημαντικότερα σημεία
( ) = 2. f x α(x x )(x x ) f x α(x ρ) x1,2. 1, x
ΜΟΡΦΕΣ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Τριώνυµο λέγεται ένα πολυώνυµο της µορφής : f x = αx + βx+ γ, όπου α, β, γ R µε α. ( ) ιακρίνουσα και ρίζες του τριωνύµου f( x) = αx + βx+ γ λέγεται η διακρίνουσα και
qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj
qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ klzxcvλοπbnαmqwertyuiopasdfghjklz ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ xcvbnmσγqwφertyuioσδφpγρaηsόρ
8. Να εξετάσετε με το σχήμα Horner αν τα πολυώνυμα x+1, x-3 είναι παράγοντες
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 1. Να γίνουν οι διαιρέσεις: α) (x 5 - x 3 + x - 9) : (x - 1) β) (x 7x 3 + x -15) : (x 3 +5) γ) (3x 3 - αx + α ) : (x - α) δ) [7x 3 - (9α + 7α )x + 9α ] : (x - α). Να γίνουν
3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Για ποιες τιµές του, αν υπάρχουν, ισχύει κάθε µία από τις ισότητες α. log = log( ) β. log = log γ. log 4 log = Να λυθεί η εξίσωση 4 log ( ) + = 0 6 α) Θα πρέπει > 0 και > 0,
Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 6: Ο αλγόριθμος της διαίρεσης
Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 6: Ο αλγόριθμος της διαίρεσης Ράπτης Ευάγγελος Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Μέρος III Πολυώνυμα πολλών μεταβλητών 33 Κεφάλαιο 6 Ο αλγόριθμος της διαίρεσης Τετάρτη
Επαναληπτικές Ασκήσεις
Επαναληπτικές Ασκήσεις Έστω ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου ( x ) α Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης β Να βρείτε τα 0 και Ρ γ Αν το πολυώνυμο ( x) είναι x να βρείτε: x + x είναι 3x
,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα,
Γενικής Παιδείας 1.4 Εφαρμογές των παραγώγων Το κριτήριο της πρώτης παραγώγου Στην Άλγεβρα της Α Λυκείου μελετήσαμε τη συνάρτηση f(x) = αx + βx + γ, α 0 και είδαμε ότι η γραφική της παράσταση είναι μία
1 of 79 ΘΕΜΑ 2. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 2 4x + 5, x R
1 of 79 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 2 4x + 5, x R α) Να αποδείξετε ότι η f γράφεται στη μορφή f(x) = (x- 2) 2 + 1. (Μονάδες 12) β) Στο σύστημα συντεταγμένων που ακολουθεί, να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ
ΜΕΡΟΣ Α 1. ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 51 1. ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Πολυώνυμα Όπως είδαμε στην προηγούμενη ενότητα Το άθροισμα όμοιων μονώνυμων είναι ένα μονώνυμο όμοιο
Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος)
Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος) 1. Πως προσθέτουμε δυο πραγματικούς αριθμούς; Για να προσθέσουμε δύο ομόσημους αριθμούς, προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο άθροισμά
Δοκιμασίες πολλαπλών επιλογών
Δοκιμασίες πολλαπλών επιλογών ) Η απόλυτη τιμή θετικού αριθμού είναι: Α. Ο αντίθετός του Β. Ο ίδιος ο αριθμός Γ. Ο αντίστροφός του 2) Αν x =3, τότε Α. x=3 Β. x 0 Γ. x=-3 Δ. x=3 ή x=-3 3) Με το -x συμβολίζουμε
1.1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1.2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : π α) f() = + ηµ β) g() = + συν( ) 6 π π γ) f() = ηµ( ) δ) g() = συν( ) Να γίνει η µελέτη και η γραφική παράσταση
1ο Κεφάλαιο: Συστήματα
ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.
ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ............................................
Αλγεβρικές Παραστάσεις
Αλγεβρικές Παραστάσεις 1.2 Μονώνυμα-Πράξεις με Μονώνυμα 1 1.2 Μονώνυμα-Πράξεις με Μονώνυμα Α Άλγεβρικές Παραστάσεις-Μονώνυμα Πολλές φορές για να λύσουμε ένα πρόβλημα, καταλήγουμε σε εκφράσεις που περιέχουν
τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι:
κεφάλαιο 4 Α τριώνυμο επίλυση της εξίσωσης δευτέρου βαθμού Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: αx + βx + γ
1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.
Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή
Μαθηματικά Γ Γυμνασίου
Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται
ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4_095. Δίνονται οι ευθείες ε 1: λx + y = 1 και ε : x + λy = λ α) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ οι δύο ευθείες τέμνονται και να γράψετε τις συντεταγμένες του κοινού τους σημείου συναρτήσει
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1
Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες
- 1 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ
- ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ http://mathhmagic.blogspot.com - ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ν Μονώνυμο του χ ονομάζουμε κάθε αλγεβρική παράσταση της μορφής α χ με χ R και ν Ν. Πολυώνυμο του χ
ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ερώτηση θεωρίας 1 ΘΕΜΑ Α Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ
ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Όταν μπροστα" (αριστερα") απο" ε"ναν αριθμο" γραφει" το συ"μβολο + το"τε ο αριθμο"ς
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Λυμένα Παραδείγματα
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Λυμένα Παραδείγματα. Να βρεθούν οι τιμές του λ R για τις οποίες το πολυώνυμο Ρ () = (4λ -9) +(λ -λ-) +λ- είναι το μηδενικό. Το Ρ () θα είναι το μηδενικό πολυώνυμο, για εκείνες τις τιμές του λ
ΟΝΟΜ/ΜΟ :... ΟΜΑ Α Α. 1. Χαρακτηρίστε µε ΣΩΣΤΟ (Σ) ή ΛΑΘΟΣ (Λ) τις παρακάτω προτάσεις : Σχῆµα 1: Ασκηση 1δ.
ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 oυ 4 νoυ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΟΜΑ Α Α 1. Χαρακτηρίστε µε ΣΩΣΤΟ (Σ) ή ΛΑΘΟΣ (Λ) τις παρακάτω προτάσεις : (α ) Η περίοδος της συνάρτησης f(x) = 3συν x 5 είναι 5π... (ϐ ) Η συνάρτηση f(x)
Σημειώσεις Πολυωνύμων Β Λυκείου
Χατζημανώλης Νίκος Μαθηματικός, M. Ed. Διδακτικής και Μεθοδολογίας των Μαθηματικών Σημειώσεις Πολυωνύμων Β Λυκείου ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 015 (Α ΕΚΔΟΣΗ) ΠΡΟΛΟΓΟΣ Με τις σημειώσεις αυτές προσπαθώ να αποτυπώσω τη δική
ΑΛΓΕΒΡΑ Τ Ν Ο Π Σ Ι Κ Η Τ Λ Η
Τ Ν Ο Π Σ Ι Κ Η Τ Λ Η ΑΛΓΕΒΡΑ Τα ςημαντικότερα ςημεία τησ θεωρίασ Ερωτήςεισ εμπζδωςησ- απαντήςεισ Μεθοδολογία αςκήςεων Προτεινόμενεσ αςκήςεισ του βιβλίου - διεξοδική ανάλυςη των λφςεων (ςκζψη-βήματα-επεξήγηςη
Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής
D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί
Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα.
Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. (2) Ποιοι είναι οι άρτιοι και ποιοι οι περιττοί αριθμοί; Γράψε από τρία παραδείγματα.
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ A Α1. Να αποδείξετε ότι: αβ α β (Μονάδες 15) A. Χαρακτηρίστε ως Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) τις ακόλουθες προτάσεις: 1. Η εξίσωση
4.2 ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ
. ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 9 0 A Οµάδας.i) Να κάετε τη διαίρεση ( x + 6x 7x+ 0 ) : ( x+ ) και α γράψετε τη ταυτότητα της διαίρεσης. x + 6x 7x+ 0 x+ x 9x + + x + 9x 8x+ 0 + 8x+
1. Αν α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P (x) = (α - β) x 2 + (β - γ) x + γ - α είναι
_ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Αν α + β + γ = αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P () = (α - β) + (β - γ) + γ - α είναι το µηδενικό πολυώνυµο.. Να δειχθεί ότι το πολυώνυµο P () = (κ - ) + (λ + 6) +
1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση:
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις συµπλήρωσης 1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: Φυσική γλώσσα Μαθηµατική γλώσσα ύο αριθµοί x, y διαφέρουν κατά και έχουν γινόµενο x (x
Μη πεπερασµένα όρια και όριο στο άπειρο
Μη πεπερασµένα όρια και όριο στο άπειρο Λυγάτσικας Ζήνων Πρότυπο Πειρµαµατικό Γενικό Λύκειο Βαρβακείου Σχολής 9 εκεµβρίου 203 Μη Πεπερασµένο Οριο Συναρτησεων στο x 0. Το Μη-πεπερασµένο Το Απειρο Ορισµός.
Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5
Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Α Σύνολα αριθμών Για τα σύνολα των αριθμών γνωρίζουμε ότι N Z Q R. ) Το N= { 0,,,,... } είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών. ) Το Z = { 0, ±, ±, ±,... } είναι το σύνολο
11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης;
10. Τι ονομάζουμε Ευκλείδεια διαίρεση και τέλεια διαίρεση; Όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθμοί π και υ, έτσι ώστε να ισχύει: Δ = δ π + υ. Ο αριθμός Δ λέγεται
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α.1. 1) Ποιοι φυσικοί αριθμοί λέγονται άρτιοι και ποιοι περιττοί; ( σ. 11 ) 2) Από τι καθορίζεται η αξία ενός ψηφίου σ έναν φυσικό αριθμό; ( σ. 11 ) 3) Τι
Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ
Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών
ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΘΕΩΡΙΑ. Β. Να συμπληρώσετε στο γραπτό σας τις παρακάτω σχέσεις ώστε να προκύψουν ταυτότητες:
ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΣΑΞΗ: Γ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α. Τι λέγεται ταυτότητα; Β. Να συμπληρώσετε στο γραπτό σας τις παρακάτω σχέσεις ώστε να προκύψουν ταυτότητες: Γ. Να αποδείξετε
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ
3ο κεφάλαιο: Εξισώσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα 1