ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΦΥΣΙΚΗΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΦΥΣΙΚΗΣ"

Transcript

1

2 Ιωάννης Βέργαδος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΟΣ Ι Επιμέλεια έκδοσης Μαρία Καφεσάκη E-BOOK ΠANEΠIΣTHMIAKEΣ EKΔOΣEIΣ KPHTHΣ Ιδρυτική δωρεά Παγκρητικής Ενώσεως Αμερικής Hράκλειο 2011

3 ΠANEΠIΣTHMIAKEΣ EKΔOΣEIΣ KPHTHΣ IΔPYMA TEXNOΛOΓIAΣ KAI EPEYNAΣ Hράκλειο Kρήτης, T.Θ. 1527, Tηλ.: , Fax: Aθήνα: Κλεισόβης 3, Tηλ.: , Fax: ΣEIPA: ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΗ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΔΙΕΥΘΥΝΤHΣ ΣΕΙΡΑΣ: ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΤΡΑΧΑΝΑΣ 2004: Επιμέλεια: Στοιχειοθεσία: Eκτύπωση: Σχεδίαση εξωφύλλου: ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΕΣ EΚΔΟΣΕΙΣ KΡΗΤΗΣ Μαρία Καφεσάκη Γιάννης Κελεφούρας (ΛΥΧΝΟΣ PRINTHOUSE) ΛΥΧΝΟΣ PRINTHOUSE Bάσω Aβραμοπούλου ISBN

4 Στη μνήμη του πατέρα μου

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΙΓΑΔΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Eισαγωγή Tο μιγαδικό επίπεδο Συναρτήσεις μιγαδικής μεταβλητής Πλειότιμες συναρτήσεις μίας μιγαδικής μεταβλητής Σημεία διακλάδωσης Mονοσημαντοποίηση πλειότιμων συναρτήσεων Παράγωγος συναρτήσεων μιγαδικής μεταβλητής Oι συνθήκες των Cauchy - Riemann Aρμονικές συναρτήσεις Oλοκλήρωμα συνάρτησης μίας μιγαδικής μεταβλητής Tο θεώρημα του Cauchy O τύπος του Caudy (ολοκληρωτική αναπαράσταση συναρτήσεων) Παράγωγοι αναλυτικών συναρτήσεων Θεώρημα του Morera Σειρές Taylor (δυναμοσειρές) Σειρές Laurent Tαξινόμηση ανώμαλων σημείων Λογισμός των υπολοίπων Yπολογισμός ορισμένων ολοκληρωμάτων Γενίκευση της έννοιας του ολοκληρώματος H συνάρτηση Γ(z) Σύμμορφοι μετασχηματισμοί H μέθοδος της πιο απότομης καθόδου Bιβλιογραφία Προβλήματα ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ Eισαγωγή-Συμβολισμός Γενικεύσεις...178

6 viii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 2.3 Aξιωματική θεμελίωση διανυσματικών χώρων H ανισότητα του Schwarz Γραμμική ανεξαρτησία διανυσμάτων Bασικά διανύσματα Oρθογωνιοποίηση Gram-Schmidt Kλασικά ορθογώνια πολυώνυμα Σχέση Parseval Aνισότητα Bessel Περίληψη Bιβλιογραφία Προβλήματα ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΑΠΕΙΡΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Γενικές έννοιες Bασικές σχέσεις Πληρότητα Eίδη συγκλίσεων Φαινόμενο Gibbs Σειρές Fourier Πολυωνυμικές βάσεις Tα κλασικά πολυώνυμα Tαυτότητα Cristoffel-Darboux. Pίζες κλασικών πολυωνύμων Oρθοκανονικά συστήματα Eφαρμογές στην Aριθμητική Aνάλυση Iδιότητες κλασικών πολυώνυμων Περίληψη Bιβλιογραφία Προβλήματα ΤΕΛΕΣΤΕΣ Στοιχειώδης άλγεβρα τελεστών Iδιότητες των τελεστών Γραμμικοί τελεστές Προσαρτημένοι τελεστές Iδιοτιμές και ιδιοσυναρτήσεις Παραδείγματα χρήσιμων τελεστών Bιβλιογραφία Προβλήματα N-ΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΤΕΛΕΣΤΩΝ Αναπαράσταση διανυσμάτων Aναπαράσταση τελεστών Άλγεβρα πινάκων (μητρών) Mερικοί χρήσιμοι πίνακες Aλλαγή ορθοκανονικής βάσης Mετασχηματισμοί ομοιότητας Ίχνος πίνακα Oρίζουσες Bιβλιογραφία Προβλήματα...352

7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ix 6 IΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Διαγωνιοποίηση ενός πίνακα Πληρότητα ιδιοδιανυσμάτων κανονικών πινάκων Mερικές εφαρμογές Bιβλιογραφία Προβλήματα ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΣΕ ΑΠΕΙΡΟΔΙΑΣΤΑΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ Aπόλυτα συνεχείς τελεστές Tο φασματικό θεώρημα Eφαρμογή στην Kβαντομηχανική Bιβλιογραφία Προβλήματα ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ Mετασχηματισμοί Fourier H κατανομή δ(x) O μετασχηματισμός Fourier της παραγώγου Eφαρμογές Oλοκληρώματα Fourier στις τρεις διαστάσεις Mετασχηματισμοί Laplace Mετασχηματισμοί Laplace της παραγώγου Eφαρμογές Bιβλιογραφία Προβλήματα ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Mετρική καμπυλόγραμμων συντεταγμένων Παράγωγοι μοναδιαίων διανυσμάτων Διαφορικοί τελεστές H μέθοδος χωρισμού μεταβλητών Kαρτεσιανές συντεταγμένες Σφαιρικές συντεταγμένες Kυλινδρικές συντεταγμένες Παραβολικές συντεταγμένες Oι πεπλατυσμένες σφαιροειδείς συντεταγμένες Άλλα ορθογώνια συστήματα Bιβλιογραφία Προβλήματα ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ A. Mερικά θεωρήματα της θεωρίας μιγαδικών συναρτήσεων ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ B. Mερικά θεωρήματα διανυσματικών χώρων και σειρών Fourier ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ. Γενικευμένα ιδιοδιανύσματα Εφαρμογές...560

8 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Είναι ίσως κοινοτυπία η φράση «τα Μαθηματικά είναι η γλώσσα της Φυσικής». Αν όμως αυτό είναι αλήθεια, η γλώσσα αυτή, όπως και κάθε άλλη, θα πρέπει να μαθευτεί στη πράξη. Αυτόν ακριβώς το στόχο επιδιώκει η διδασκαλία των Mαθηματικών Mεθόδων Φυσικής (MMΦ), την οποία έρχεται να υπηρετήσει το παρόν σύγγραμμα. Δεν σκοπεύει δηλαδή να θεμελιώσει τις μαθηματικές έννοιες, αλλά να αναπτύξει μεθόδους λύσεων μαθηματικών προβλημάτων τα οποία απαντώνται όχι μόνο στη Φυσική αλλά ίσως και σ άλλες επιστήμες. Έτσι, ξεφεύγει από το στιλ «ορισμός θεώρημα απόδειξη» που κυριαρχεί σήμερα στα Μαθηματικά. Είναι όμως σε ορισμένες περιπτώσεις χρήσιμο να δίδονται και μερικές αποδείξεις θεωρημάτων, ιδιαίτερα εκείνων που έπαιξαν σημαντικό ρόλο στην πρόοδο της μαθηματικής επιστήμης ή αυτών τα οποία αποδεικνύονται με έναν τρόπο που αποτελεί ταυτόχρονα και «μέθοδο». H παραπάνω φιλοσοφία, την οποία ακολουθεί το παρόν βιβλίο, είναι απόρροια της άποψης ότι από τη μια μεριά ο κλασικός Μαθηματικός και από την άλλη ο ασχολούμενος με τα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ή ο Φυσικός διαφέρουν κατά πολύ στη νοοτροπία. O Μαθηματικός εκείνος που δημιουργεί τη μαθηματική επιστήμη θα πρέπει να πάει πέρα από το παραδεκτό και το καθιερωμένο. Κατά συνέπεια, πολύ σπάνια θα βρει χρήσιμη τη χρήση διαισθητικών συλλογισμών. Αντίθετα, εκείνος που χρησιμοποιεί τα Μαθηματικά ως εργαλείο όχι μόνο χρειάζεται αλλά και στηρίζεται στη διαίσθηση. Υποθέτουμε ότι ο αναγνώστης, πριν πάρει στα χέρια του το βιβλίο αυτό, θα έχει ήδη επίγνωση της μαθηματικής αυστηρότητας, ώστε να μπορεί να διακρίνει μια απόδειξη από μια «ψευδοαπόδειξη». Το βιβλίο αυτό δεν έχει ούτε τη φιλοδοξία αλλά ούτε και τη δυνατότητα να υποκαταστήσει τα καθαυτό Μαθηματικά συγγράμματα. Το μάθημα των MMΦ διαφέρει από την παραδοσιακή θεωρητική Φυσική, της οποίας άλλοτε αποτελούσε τμήμα, κατά το ότι δεν βλέπει τα Μαθηματικά μόνο σαν εργαλείο, αλλά προσπαθεί να δώσει αρκετή έμφαση και στη μαθηματική δομή. Κρίνεται δηλαδή απαραίτητο να μην εισάγονται οι διάφορες μέθοδοι αποσπασματικά, δηλαδή για την αντιμετώπιση ενός συγκεκριμένου φυσικού προβλήματος, αλλά κα-

9 xii ΠΡΟΛΟΓΟΣ τά τρόπο που να μπορούν να εφαρμοστούν σε μια μεγάλη ποικιλία φυσικών προβλημάτων. Είναι ευτύχημα ότι, από μαθηματικής σκοπιάς, τα είδη των εξισώσεων που συναντάει κανείς τόσο στην Κλασική όσο και στη σύγχρονη, Κβαντική Φυσική είναι αρκετά περιορισμένα. Έτσι, είναι δυνατόν να αναπτυχθεί μια διαίσθηση και να καλλιεργηθεί μια τεχνική που να μπορούν να εφαρμοστούν σε μια μεγάλη ποικιλία φυσικών προβλημάτων. Τέλος, η μελέτη του αντικειμένου αυτού ίσως βοηθήσει τον ασχολούμενο με τις εφαρμογές των Μαθηματικών στη μελέτη της μαθηματικής βιβλιογραφίας. Στην υλοποίηση των παραπάνω στόχων παρουσιάζονται, από παιδαγωγικής πλευράς, αρκετές δυσκολίες. Αν σκοπός των MMΦ είναι να αποφευχθούν άσκοπες επαναλήψεις, που σημαίνουν απώλεια χρόνου, ποιο είναι το βέλτιστο ποσόν «αφαίρεσης» που αφ ενός πετυχαίνει το σκοπό αυτόν και αφ ετέρου επιτρέπει να προχωρήσει κανείς πέρα από τις γενικότητες, σε συγκεκριμένες εφαρμογές; H απάντηση σ αυτό δεν είναι εύκολη. Ένα δεύτερο πρόβλημα είναι η ύπαρξη του κατάλληλου «κινήτρου». Συγκεκριμένα, είναι δυνατόν ο αναγνώστης να μην έχει συναντήσει προηγουμένως, σε προβλήματα Φυσικής, πολλές από τις εξισώσεις των MMΦ. H αναπαραγωγή και η ανάπτυξη της φυσικής σημασίας του συνόλου αυτών των εξισώσεων είναι πέρα από τους στόχους αλλά και τις δυνατότητες του βιβλίου αυτού. Συνεπώς, για να μην βρει ο αναγνώστης το βιβλίο ανιαρό ή άχρηστο, θα πρέπει να είναι ήδη κάπως εξοικειωμένος με τις εξισώσεις της Φυσικής ή να αγαπάει αρκετά τα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ώστε να τον θέλγει η δυνατότητα να βρει λύση στις εξισώσεις αυτές καθαυτές, ανεξάρτητα από την πρακτική τους χρησιμότητα. Ελπίζουμε ότι ένας κατάλληλος συνδυασμός και των δύο θα κρατήσει το ενδιαφέρον του αναγνώστη μέχρι το τέλος. Το βιβλίο αυτό για να διαβαστεί προϋποθέτει ένα ελάχιστο μαθηματικών γνώσεων. Συγκεκριμένα, Ολοκληρωτικό και Διαφορικό Λογισμό, Διανυσματικό Λογισμό, Αναλυτική Γεωμετρία και στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας. Καταβλήθηκε ιδιαίτερη προσπάθεια να συμπεριληφθούν πολλά παραδείγματα τόσο από τη Φυσική όσο και από τα Μαθηματικά, τα οποία σκοπεύουν να βοηθήσουν στην εμπέδωση της θεωρίας, να διδάξουν την τεχνική λύσεως προβλημάτων και, προπάντων, να εφαρμόσουν τη θεωρία σε συγκεκριμένα προβλήματα της Φυσικής. Θα ήταν όμως αυταπάτη να νομίσει ο αναγνώστης πως μπορεί ν ανταποκριθεί στις απαιτήσεις του αντικειμένου αυτού χωρίς να λύσει ο ίδιος μερικά αντιπροσωπευτικά προβλήματα. Για το λόγο αυτόν, συμπεριλήφθηκε στο τέλος κάθε κεφαλαίου μια αρκετά εκτεταμένη συλλογή προβλημάτων. Τα προβλήματα αυτά έχουν αριθμηθεί αντίστοιχα με τα σχετικά εδάφια της θεωρίας, ώστε να διευκολυνθεί ο άπειρος αναγνώστης στην εξεύρεση της λύσης τους. Τα θέματα τα οποία κρίθηκαν «ενδιαφέροντα» και συμπεριλήφθηκαν στο βιβλίο αντιπροσωπεύουν, ως ένα σημείο, τις προκαταλήψεις του συγγραφέα. Κυρίως, όμως, καθορίστηκαν με γνώμονα την πιθανή χρησιμότητά τους στη Φυσική, κατά τα διεθνή παραδεδεγμένα. O Μαθηματικός ίσως βρει τη συλλογή κάπως αστεία, ιδιαίτερα όταν στοιχειώδη θέματα (Μιγαδικές Συναρτήσεις, Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις

10 ΠΡΟΛΟΓΟΣ xiii κ.λπ.) βρίσκονται πλάι-πλάι, και όχι ίσως σε ειρηνική συνύπαρξη με θέματα κάπως προχωρημένα, όπως, π.χ., οι χώροι Hilbert. Δεν είναι πάντως αυτό προϊόν πολυπραγμοσύνης. Σε μια μεγάλη ποικιλία θεμάτων όπως αυτή που αποτελεί το αντικείμενο των MMΦ δεν υπάρχει μια προφανής λογική σειρά παρουσίασης. Ακολουθήθηκε αυτή που κατά τη γνώμη μας συνδέει καλύτερα μεταξύ τους τα τόσο διαφορετικά θέματα. Δεν επιτεύχθηκε, όμως, η αποφυγή παραπομπών σε θέματα που ακολουθούν. Επίσης, συχνά, το περιεχόμενο των κεφαλαίων που προηγούνται μπορεί να ιδωθεί και σε μια άλλη διάσταση κάτω από το πρίσμα αυτών που ακολουθούν. Οι διάφορες συσχετίσεις θα εκτιμηθούν όταν κανείς ολοκληρώσει τη μελέτη τόσο του παρόντος τόμου όσο και του Τόμου ΙΙ. O γράφων θα είναι πολύ ευτυχής αν, ως υποπροϊόν της μελέτης του βιβλίου, ο αναγνώστης διαπιστώσει πόσο οι διάφοροι μαθηματικοί κλάδοι Άλγεβρα, Ανάλυση, Γεωμετρία συνδέονται μεταξύ τους. H σύνδεση αυτή αποτέλεσε ίσως το μεγαλύτερο θρίαμβο της Μαθηματικής επιστήμης του 20ού αιώνα. Αυτό έχει μεγάλη σημασία για το Φυσικό ή τον ειδικό στα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά, ο οποίος, από ανάγκη, άλλοτε φοράει το καπέλο της Ανάλυσης, άλλοτε της Γεωμετρίας και άλλοτε της Άλγεβρας. Όχι σπάνια, είναι απαραίτητο να αλλάζει καπέλο πάρα πολύ γρήγορα! Στο τέλος κάθε κεφαλαίου υπάρχει σχετική βιβλιογραφία. Για κατατόπιση του άπειρου αναγνώστη γίνεται και μια προσπάθεια αξιολόγησης της βιβλιογραφίας, η οποία όμως είναι τελείως υποκειμενική. Στη βιβλιογραφία συμπεριλήφθηκαν μόνο τα βιβλία εκείνα τα οποία επηρέασαν το γράφοντα. Δεν συμπεριλήφθηκαν ειδικά μαθηματικά συγγράμματα, εκτός από εκείνα που έχουν χαρακτηριστεί ως κλασικά ή που κρίθηκαν απαραίτητα για περαιτέρω μελέτη. H ύλη του συνολικού συγγράμματος οργανώθηκε σε τρεις τόμους *. O πρώτος περιέχει βασικά και κάπως γενικότερα θέματα, όπως θεωρία συναρτήσεων μίας μιγαδικής μεταβλητής, βασικές έννοιες από τη θεωρία των γραμμικών διανυσματικών χώρων, καθώς και ανάπτυξη συναρτήσεων σε πλήρη συστήματα (σειρές Fourier, κλασικά πολυώνυμα κ.λπ.). Επίσης, δίνονται βασικά στοιχεία της άλγεβρας και αναπαράστασης τελεστών, αναπτύσσεται το φασματικό θεώρημα και μελετώνται μερικά απλά προβλήματα ιδιοτιμών, μελετώνται οι ολοκληρωτικοί μετασχηματισμοί Fourier και Laplace και οι εφαρμογές τους, και, τέλος, εξετάζονται τα συστήματα συντεταγμένων στα οποία χωρίζεται ο τελεστής Laplace και γίνονται εφαρμογές στη λύση διαφορικών εξισώσεων με μερικές παραγώγους. Στο δεύτερο τόμο αναπτύσσονται οι βασικές μέθοδοι επίλυσης γραμμικών διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης, μελετώνται τα συστήματα Sturm-Liouville και οι κλασικές συναρτήσεις (με εφαρμογές σε ρεαλιστικά προβλήματα ιδιοτιμών), και ακολουθεί μια συνοπτική θεωρία των συναρτήσεων Green και ένα κεφάλαιο πάνω στη θεωρία των διαφορικών εξισώσεων με μερικές παραγώγους (οι πιο συνηθισμένες εφαρμογές του αντιμετωπί- * Ο Τόμος ΙΙ κυκλοφορεί από το Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων (2003) και ο Τόμος ΙΙΙ από τις εκδόσεις «Συμεών» (1991).

11 xiv ΠΡΟΛΟΓΟΣ ζονται στα Κεφ. 9 και 13). Η αρχική ιδέα να περιληφθεί και ένα ακόμα κεφάλαιο με στοιχεία ολοκληρωτικών εξισώσεων εγκαταλείφθηκε, κυρίως λόγω χώρου, αλλά και λόγω του γεγονότος ότι τέτοια θέματα δεν περιλαμβάνονται στην ύλη των σχετικών μαθημάτων. Ο τρίτος τόμος περιλαμβάνει μια εισαγωγή στη θεωρία των διακριτών ομάδων και των αναπαραστάσεών τους, στοιχεία από τις κλασικές ομάδες, τις άλγεβρες Lie και τη θεωρία των αναπαραστάσεών τους, και επίσης εφαρμογές της θεωρίας των ομάδων στην Κβαντομηχανική, την κρυσταλλική δομή και τη θεωρία πολλών σωμάτων. H έκδοση του βιβλίου αυτού υπαγορεύτηκε κυρίως από τις διδακτικές ανάγκες του Πανεπιστημίου Iωαννίνων και κατά δεύτερο λόγο από την έλλειψη ανάλογου βιβλίου στα ελληνικά. Γι αυτό, προτιμήθηκε η σχετική αυτοδυναμία του. Επίσης, καταβλήθηκε ιδιαίτερη προσπάθεια να δοθούν κατάλληλα κίνητρα για μελέτη, αρκετές επεξηγήσεις και, όπου ήταν δυνατόν, να μπουν οι εισαχθείσες έννοιες σε ιστορική προοπτική. Επιδιώχθηκε επίσης η απλότητα, έστω και αν πολλές φορές αυτό σήμαινε θυσία της ακριβολογίας. Επιπλέον, αποφεύχθηκε, σκόπιμα, η συχνή χρήση του μαθηματικού συμβολισμού και επιχειρήθηκε η αντικατάστασή του «με λόγια». Αυτό είχε ως συνέπεια να αυξηθεί κάπως ο όγκος του βιβλίου, πλην όμως, από ό,τι διαφάνηκε από τις αντιδράσεις κατά την κυκλοφορία του υπό μορφή σημειώσεων, είχε καλά παιδαγωγικά αποτελέσματα. Ελπίζουμε ότι το στιλ αυτό όχι μόνο ανταποκρίνεται στις ανάγκες του Φυσικού αλλά ίσως αποτελέσει και ευχάριστη «αλλαγή» για το σπουδαστή των Μαθηματικών. Λίγα λόγια για την ιστορία του βιβλίου: Η παρούσα έκδοση του πρώτου τόμου είναι η πέμπτη κατά σειρά. Οι πρώτες τρεις έγιναν μέσω του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων, κατά τα έτη 1979, 1981 και 1986, και η τέταρτη από τις «Εκδόσεις Κωσταράκη», το Η δεύτερη έκδοση ακολούθησε τη στρατηγική της πρώτης, με κάποιες διορθώσεις και προσθήκη ορισμένων εδαφίων (μέθοδος πιο απότομης καθόδου στο Κεφ. 1, μερικά θεωρήματα ριζών των κλασικών πολυωνύμων με μερικές εφαρμογές στην Αριθμητική Ανάλυση στο Κεφ. 3, μερικές επιπλέον εφαρμογές στα Κεφ. 5 και 6, και ένα κεφάλαιο πάνω στα γενικευμένα ιδιοδιανύσματα, ως Παράρτημα Γ). Στις πρώτες εκδόσεις συνέβαλαν με την εποικοδομητική τους κριτική οι τότε φοιτητές του Πανεπιστημίου Iωαννίνων, και ιδιαίτερα οι επιμελητές Ν. Μπατάκης, Δ. Τσουμπελής και Γ. Παντής, και με τις εύστοχες υποδείξεις τους οι επιστημονικοί συνεργάτες της Έδρας Σοφία Κουκοβίνου-Μπολοβίνου και Γ. Λεοντάρης. Oι παρασκευάστριες Χρυσαυγή Παπαϊωάννου και Λιούτα Παπαφωτίκα δακτυλογράφησαν και επιμελήθηκαν το κείμενο, και ο Μίλτος Χριστουλάκης σχεδίασε τα σχήματα, επιμελήθηκε την εμφάνιση του βιβλίου αλλά συνέβαλε και στον εντοπισμό λαθών. Η τρίτη έκδοση του βιβλίου ήταν απλή αναπαραγωγή της δεύτερης, με ορισμένες διορθώσεις τυπογραφικών λαθών, τις οποίες έκανε η Χρυσαυγή Παπαϊωάννου. Η τέταρτη έκδοση επίσης ήταν αναπαραγωγή της προηγούμενης, με αρκετές

12 ΠΡΟΛΟΓΟΣ xv διορθώσεις και αλλαγές. Η βασικότερη αλλαγή ήταν η μεταφορά των Κεφαλαίων 8 και 9 από τον Τόμο ΙΙ στον Τόμο Ι και η αναπροσαρμογή τους. Η σχεδίαση των σχημάτων έγινε εκ νέου, από το Μίλτο Χριστουλάκη. Σε όλους τους παραπάνω συνεργάτες εκφράζω και σήμερα τις ειλικρινείς μου ευχαριστίες. Η παρούσα έκδοση του Τόμου Ι διατηρεί την στρατηγική των προηγουμένων. Έγιναν, πάντως, μερικές βελτιώσεις, παιδαγωγικού κυρίως χαρακτήρα, και διορθώσεις λαθών που υπέπεσαν στην αντίληψή μας. Επίσης, η παρούσα έκδοση έχει αξιοποιήσει τις προόδους της σχετικής τεχνολογίας τα τελευταία χρόνια και, προπάντων, έχει επωφεληθεί από την τάση για αναζήτηση της πληρότητας και την μεγάλη εκδοτική εμπειρία των Πανεπιστημιακών Εκδόσεων Κρήτης (ΠΕΚ). Θα ήθελα και από τη θέση αυτή να ευχαριστήσω τον διευθυντή των Π.Ε.Κ. Στέφανο Τραχανά και τη γενική επιμελήτρια Διονυσία Δασκάλου, για τη μεγάλη φροντίδα με την οποία περιέβαλαν το βιβλίο. Θέλω, επίσης να εκφράσω τις μεγάλες ευχαριστίες μου στη Δρα Μαρία Καφεσάκη, την επιμελήτρια της έκδοσης, που αγόγγυστα προέβη σε επανειλημμένες διορθώσεις, θα έλεγε κανείς με διάθεση τελειομανίας. Όχι μόνο επειδή επεξεργάστηκε άψογα, από τεχνική άποψη, τα δοκίμια και συνέβαλε έτσι ουσιαστικά στην άρτια εμφάνιση του βιβλίουø κυρίως επειδή, έχοντας πλήρη κατανόηση του κειμένου και αγάπη προς αυτό, έκανε και εύστοχες προτάσεις για την παιδαγωγική και επιστημονική βελτίωση του χειρογράφου και συνέβαλε σημαντικά στην άρση ασαφειών και τη διόρθωση λαθών. Αν ακόμη παρέμειναν μερικά λάθη ή ασάφειες, αυτό είναι αποκλειστικά ευθύνη του συγγραφέα. Iωάννινα, Απρίλιος 2004 I. Δ. Bέργαδος

13 1 1 Áü À Á Á» Á» ² ³ ¹ Á»  ±º  Á 1.1 ÐÙÈÊàÊÎ ÊÔàÙÎ ÓÐÊÈËÐÑÎÚ ÈÔÈÒÜÙÎÚ, ÈÑÖÓÎ ÑÈÐ ÙÌ ÌØÐÖØÐÙÓÌ ÔÎ ÑÒÐ ÓÈÑÈ, ÌÐ ÔÈÐ ÓÌÊÈÒÎÚ ÙÎÓÈÙÐ ÈÚ ÙÛÎ ÏÌàØÐ È ÛàÔ ÙÜÔÎÏàÔ ÑÈÐ ÛàÔ ÓÌ ÓÌØÐÑÌ Ú ÈØÈÊàÊÖÜÚ ËÐÈ- ÝÖØÐÑàÔ ÌÕÐÙàÙÌàÔ, ÛàÔ ÖÒÖÑÒÎØàÛÐÑàÔ ÓÌÛÈÙÞÎÓÈÛÐÙÓàÔ ÑÈÐ ÛàÔ ÌÐËÐÑàÔ ÙÜ- ÔÈØÛÎÙÌàÔ ÛÎÚ»ÈÏÎÓÈÛÐÑÎÚ ÄÜÙÐÑÎÚ. ÖÒÒÈ È Ö ÛÈ È ÖÛÌÒÌ ÙÓÈÛÈ ÛÎÚ ÏÌàØÐ ÈÚ ÛàÔ ÙÜÔÈØÛÎÙÌàÔ ÓÐ ÈÚ ÓÐÊÈËÐÑÎÚ ÓÌÛÈÉÒÎÛÎÚ ÌÐ ÔÈÐ ÈÔÈ ÈÔÛÌÞÈ.Þ., ÛÖ ÖÛÐ ÈÔ ÓÐÈ ÙÜÔÈØÛÎÙÎ ÓÐ ÈÚ ÓÐÊÈËÐÑÎÚ ÓÌ- ÛÈÉÒÎÛÎÚ Ì ÞÌÐ ÈØÈÊàÊÖ ÙÌ ÓÐÈ ÌØÐÖÞÎ, ÛÖÛÌ Ì ÞÌÐ ÈØÈÊàÊÖ ÑÈÏÌ ÛÈÕÎÚ. Ð ÙÎÚ, ÈÔ ÓÐÈ ÈÔÈÒÜÛÐÑÎ ÙÜÔÈØÛÎÙÎ ÌÐ ÔÈÐ ÊÔàÙÛÎ ÑÈÛÈ ÓÎÑÖÚ ÓÐÈÚ ÑÒÌÐÙÛÎÚ Ì Ð ÌËÎÚ ÑÈÓ ÜÒÎÚ, ÌÐ ÔÈÐ ÒÎØàÚ ÖØÐÙÓÌ ÔÎ ÙÌ ÑÈÏÌ ÙÎÓÌÐ Ö ÛÖÜ Ì Ð Ì ËÖÜ ÖÜ ÌØÐÑÒÌÐ ÌÛÈÐ È Ö ÛÎÔ ÑÈÓ ÜÒÎ. ÔÈÒÖÊÈ ÙÜÓ ÌØÈÙÓÈÛÈ ËÌÔ ÐÙÞÜÖÜÔ ÙÛÎÔ ÌØÐ ÛàÙÎ ÛàÔ ØÈÊÓÈÛÐÑàÔ ÙÜÔÈØÛÎÙÌàÔ. 1.2 ÂÖ ÓÐÊÈËÐÑÖ Ì Ð ÌËÖ»ÐÊÈËÐÑÖÚ ÈØÐÏÓÖÚ z ÌÐ ÔÈÐ Ì ÔÈ ÍÌÜÊÖÚ ËÐÈÛÌÛÈÊÓÌ ÔàÔ ØÈÊÓÈÛÐÑàÔ ÈØÐÏÓàÔ (a;b). Ôz 1 =(a 1 ;b 1 ) ÑÈÐ z 2 =(a 2 ;b 2 ),ÛÖÛÌ ÐÙÞÜÖÜÔ ÖÐ ÌÕÎÚ ÐËÐÖÛÎÛÌÚ: (i) z 1 = z 2 ÈÔ a 1 =a 2 ÑÈÐ b 1 = b 2. (ii) z 1 + z 2 =(a 1 ;b 1 )+(a 2 ;b 2 )=(a 1 +a 2 ;b 1 + b 2 ): (1:1) (iii) kz = k (a; b)=(ka; kb); k ØÈÊÓÈÛÐÑÖÚ. (iv) z 1 z 2 =(a 1 ;b 1 )(a 2 ;b 2 )=(a 1 a 2 ÿ b 1 b 2 ; a 1 b 2 +a 2 b 1 ). (1:2) (v) (x; 0) $ x; Ö ÖÜ x 2 RI,ËÎÒÈËÎÛÖ ÙÜÔÖÒÖ ÛàÔ ØÈÊÓÈÛÐÑàÔ ÈØÐÏÓàÔ Ó ÖØÌÐ ÔÈ ÏÌàØÎÏÌÐ àú Ü ÖÙÜÔÖÒÖ ÛÖÜ ÙÜÔÖÒÖÜ ÛàÔ ÓÐÊÈËÐÑàÔ ÈØÐÏÓàÔ. (vi) z =(0; 0) $ 0 (ÓÎËÌÔÐÑÖ ÙÛÖÐÞÌÐ Ö). (1:3) (vii) z =(1; 0) $ 1 (ÓÖÔÈËÐÈÐ Ö ÙÛÖÐÞÌÐ Ö). (1:4)

14 2 Áü À Á Á» Á» ² ³ ¹ Á»  ±º  Á (viii) Ô z 6= 0) z ÿ1 = Ö ÛÐÚ (iii), (iv) ÑÈÐ (v) ÉØÐ ÙÑÖÜÓÌ (ix) (0; 1)(0; 1) = ÿ1. a a 2 + b ; ÿ b 2 a 2 + b 2. (1:5) Ô ÙÜÓÉÖÒÐ ÍÖÜÓÌ ÓÌ i ÛÖÔ ÓÐÊÈËÐÑÖ ÈØÐÏÓÖ (0; 1), ËÎÒÈËÎi (0; 1), ÐÙÞÜÌÐ i 2 = ÿ1, ËÎÒÈËÎ Ö ÓÐÊÈËÐÑÖÚ ÈØÐÏÓÖÚ (0; 1) ÌÐ ÔÈÐ Î ÛÌÛØÈÊàÔÐÑÎ ØÐ ÍÈ ÛÖÜ ÿ1. ÂÖÛÌ, ÊØÈÝÖÜÓÌ z =(a;b) = a(1; 0) + b(0; 1) = a + bi: ÛÙÐ, ÖÐ ØÈÕÌÐÚ ÛàÔ ÓÐÊÈËÐÑàÔ ÈÔÈÊÖÔÛÈÐ ÙÌ ØÈÕÌÐÚ ØÈÊÓÈÛÐÑàÔ. ¾ÓÖÐÈ, ÓÐÈ ÓÐÊÈËÐÑÎ ÓÌÛÈÉÒÎÛÎ z ÏÈ ÈØÐÙÛÈÔÌÛÈÐ àú ÌÕÎÚ: z (x; y) x + iy; i 2 = ÿ1: ²ØÈÝÖÜÓÌ x =Rez ( ØÈÊÓÈÛÐÑÖ ÓÌ ØÖÚ) ÑÈÐ y =Imz (ÝÈÔÛÈÙÛÐÑÖ ÓÌ ØÖÚ), Ö ÖÛÌ TÖÜÛÖ ËÌÐ ÞÔÌÛÈÐ ÙÛÖ ÁÞ z =Rez + i Imz: (1:6) ÁÞ. 1.0: ÔÈ ÈØÈ ÙÛÈÙÎ ÓÐÊÈËÐÑÖÜ ÈØÐÏÓÖÜ ÙÛÖ ÑÈØÛÌÙÐÈÔÖ Ì Ð ÌËÖ. Ö ÛÖ ÁÞ. 1.0 ÉÒÌ ÖÜÓÌ ÖÛÐ r =(x 2 + y 2 ) 1=2 jzj )z = r(cos + i sin ); ËÎÒÈËÎ z = jzj(cos + i sin ),Ö ÖÜ jzj ÌÐ ÔÈÐ ÛÖ ÓÌ ÛØÖ ÑÈÐ =tan ÿ1 (y=x) ÛÖ ÖØÐÙÓÈ (arg) ÛÖÜ z. Ô ÖØÐ ÙÖÜÓÌ Arg z = Ö ÖÜ 0 <<2p, ÉØÐ ÙÑÖÜÓÌ arg z =2kp +Argz; k =0; 61; 62;... (1:7) ¾ ÈØÐÏÓÖÚ Arg z ÒÌ ÊÌÛÈÐ ÉÈÙÐÑÖ ÖØÐÙÓÈ ÛÖÜ z.

15 1.2 ¾» ² ³ ¹¾ ³¾ 3 Ö ÛÖÔ ÖØÐÙÓÖ ÛÖÜ ÖØÐ ÙÓÈÛÖÚ ØÖÑÜ ÛÌÐ ÖÛÐ ÛÖ ÖØÐÙÓÈ ÛÖÜ z =0(r =0)ËÌÔ ÖØÐ ÍÌÛÈÐ ÓÖÔÖÙÎÓÈÔÛÈ.» ÖØÌÐ,ÖÓàÚ, ÔÈ Ì ÐÒÌÊÌÐ Arg (0) = 0. ÂÖÐ ËÐÖ ÐÙÞÜÌÐ ÑÈÐ ÊÐÈ ÛÖ z = 1 (r!1), ÑÈÏÖÙÖÔ ÙÛÖ ÙÜÔÖÒÖ ÛàÔ ÓÐÊÈËÐÑàÔ ÈØÐÏÓàÔ Ü ÈØÞÌÐ Ì ÔÈ ÓÖÔÖ 1 (ÙÌ ÈÔÛÐ ÏÌÙÎ ÓÌ ÛÖÜÚ ØÈÊÓÈÛÐÑÖÜÚ, Ö ÖÜ Ì ÞÖÜÓÌ +1 ÑÈÐ ÿ1). Ö ÛÈ ÐÖ ÈÔà, ÌÜÑÖÒÈ ÙÜÔÈÊÖÔÛÈÐ ÓÌØÐÑÌ Ú ÈÑÖÓÈ ÐËÐÖÛÎÛÌÚ ÛàÔ ÓÐÊÈËÐÑàÔ ÈØÐÏÓàÔ, ÛÐÚ Ö ÖÐ ÌÚ ÈÔÈÝÌ ØÖÜÓÌ ÈÓÌ ÙàÚ ÈØÈÑÈÛà. Ô z 1 = jz 1 j (cos 1 + i sin 1 )ÑÈÐz 2 = jz 2 j (cos 2 + i sin 2 ),ÛÖÛÌ z = z 1 z 2 = jz 1 jjz 2 j 2 (cos 1 cos 2 ÿ sin 1 sin 2 )+i(sin 1 cos 2 + sin 2 cos 1 ) 3 = jz 1 jjz 2 j 2 cos( )+i sin( ) 3 : ØÈ jzj = jz 1 jjz 2 j ÑÈÐ arg z = arg z 1 +argz 2 : Ð ÙÎÚ, ËÖÏÌ ÔÛÖÚ ÌÔÖÚ ÓÐÊÈËÐÑÖÜ z = x + iy, Ö ÙÜÍÜÊÎÚ ÈÜÛÖÜ ÖØÐ ÍÌÛÈÐ àú ÌÕÎÚ: z 3 = x ÿ iy; ËÎÒÈËÎ ÑÈÔÖÜÓÌ ÛÎÔ ÈÔÛÐÑÈÛÈÙÛÈÙÎ i!ÿi. ¾Ð ØÈÕÌÐÚ z 3 ÑÈÐ z 1 z 2 Ì ÞÖÜÔ È ÒÎ ÊÌàÓÌÛØÐÑÎ ÌØÓÎÔÌÐ È, Î Ö ÖÐ È ËÌÐ ÞÔÌÛÈÐ ÙÛÈ ÁÞÎÓÈÛÈ 1.1b ÑÈÐ 1.1a. ÁÞ. 1.1a: ²ÌàÓÌÛØÐÑÎ ÈÔÈ ÈØÈ - ÙÛÈÙÎ ÛÖÜ ÊÐÔÖÓÌ ÔÖÜ ËÜ Ö ÓÐÊÈËÐ- ÑàÔ ÈØÐÏÓàÔ. ÁÞ. 1.1b: ²ÌàÓÌÛØÐÑÎ ÈÔÈ ÈØÈ - ÙÛÈÙÎ ÛÖÜ ÙÜÍÜÊÎ ÌÔÖ Ú ÓÐÊÈËÐÑÖÜ ÈØÐÏÓÖÜ. ÁÞ. 1.1c: ²ÌàÓÌÛØÐÑÎ È ÌÐÑÖ ÔÐ- ÙÎ ØÖ ÙÏÌÙÎÚ ËÜ Ö ÓÐÊÈËÐÑàÔ ÈØÐÏÓàÔ. ¾ àú ÝÈÐ ÔÌÛÈÐ ÙÛÖ ÁÞ. 1.1b, ÛÈ z ÑÈÐ z 3 ÑÌÐ ÔÛÈÐ ÙÜÓÓÌÛØÐÑÈ àú ØÖÚ ÛÖÔ ÈÕÖÔÈ ÛàÔ x.

16 4 Áü À Á Á» Á» ² ³ ¹ Á»  ±º  Á ÜÑÖÒÈ È ÖËÌÐÑÔÜÖÔÛÈÐ ÖÐ ÌÕÎÚÐËÐÖÛÎÛÌÚ: (i) z 1 + z 2 = x 1 + x 2 + i(y 1 + y 2 ). ²ÌàÓÌÛØÐÑÈ, ÛÖÈÏØÖÐÙÓÈ ÉØÐ ÙÑÌÛÈÐ ÓÌ ÛÖÔ ÑÈÔÖÔÈ ÛÖÜ ÈØÈÒÒÎÒÖÊØÈÓÓÖÜ (ÁÞ. 1.1c). (ii) jz 1 z 2 j = jz 1 jjz 2 j. (iii) jz 1 + z 2 jjz 1 j + jz 2 j. (iv) (v) jz1 jÿjz 2 j jz1 + z 2 j. z x iy x 1 1x 2 + y 1 y 2 = = z 2 x 2 + iy 2 x y 2 (vi) jzj 2 = x 2 + y 2 = zz 3. (vii) (z 1 z 2 ) 3 = z 3 1 z i y 1x 2 ÿ y 2 x 1 ; z x = y 2 ¾Ð ÙÞÌ ÙÌÐÚ (iii) ÑÈÐ (iv) ÌÐ ÔÈÐ ÊÔàÙÛÌ Ú àú ÛØÐÊàÔÐÑÎ ÈÔÐÙÖÛÎÛÈ. 1.3 ÁÜÔÈØÛÎ ÙÌÐÚ ÓÐÊÈËÐÑÎ Ú ÓÌÛÈÉÒÎÛÎ Ú ¾ØÐÙÓÖ Ú: ÁÜÔÈØÛÎÙÎ ÛÎÚ ÓÐÊÈËÐÑÎÚ ÓÌÛÈÉÒÎÛÎÚ z; f(z),ìð ÔÈÐ Ì ÔÈÚ ÑÈÔÖÔÈÚ ÖÜ ÈÔÛÐÙÛÖÐÞÐ ÍÌÐ Ì ÔÈ ÓÐÊÈËÐÑÖ ÈØÐÏÓÖ w 2 T ÙÌ ÑÈÏÌ ÓÐÊÈËÐÑÖ z 2 S : z! w = f(z). ÂÖ ÙÜÔÖÒÖ S ÌÐ ÔÈÐ ÛÖ ÌËÐ Ö ÖØÐÙÓÖÜ ÛÎÚ f ÑÈÐ ÛÖ ÙÜÔÖÒÖ T ÛàÔ ÙÎÓÌÐ àô w ÌÐ ÔÈÐ ÛÖ ÌËÐ Ö ÛÐÓàÔ ÛÎÚ.ÂÈÙÜÔÖÒÈ S ÑÈÐ T Ó ÖØÌÐ ÔÈ ÌÐ ÔÈÐ ÖÒÖÑÒÎØÖ ÛÖ ÓÐÊÈËÐÑÖ Ì Ð - ÌËÖ. ³ÜÙÛÜÞàÚ, ËÌÔ Ó ÖØÖÜÓÌ ÔÈ ÈØÈÙÛÎÙÖÜÓÌ ÊØÈÝÐÑÈ ÛÎÔ È ÌÐÑÖÔÐÙÎ, ÌÝÖÙÖÔ ÞØÌÐÈÍÖÓÈÙÛÌ ÌØÐÙÙÖÛÌØÌÚ È Ö ÛØÌÐÚ ËÐÈÙÛÈÙÌÐÚ. ²ÐÈ ÊÌàÓÌÛØÐÑÎ È ÌÐÑÖÔÐÙÎ ÙÜÔÎÏàÚ ÞØÎÙÐÓÖ ÖÐÖÜÓÌ ÑÈÐ ÛÈ ËÜÖ Ì Ð ÌËÈ, z ÑÈÐ w, Ö àú ÙÛÖ ÁÞÎÓÈ 1.2a. ²ØÈÝÖÜÓÌ w = u + i. ÁÞ. 1.2a: ÁÞÎÓÈÛÐÑÎ È ÌÐÑÖ ÔÐÙÎ ÛÖÜ ÓÌÛÈÙÞÎÓÈÛÐÙÓÖÜ w = f(z). ÂÖa ÎÊÈÐ ÔÌÐ ÙÛÖ a 0 ÛÖ b ÙÛÖ b 0 Ñ.Ö.Ñ.

17 1.3 Áü À Á Á» ² ³ ¹ Á»  ±º  Á 5 ÁÞ. 1.2b: ²ÌàÓÌÛØÐÑÎ È ÌÐÑÖ ÔÐÙÎ ÛÖÜ ÓÌÛÈÙÞÎÓÈÛÐÙÓÖÜ w =1=z; z 6= 0:S = fz 2 CI ÓÌ jzj 1, z 6= 0g, T = fw 2 CI, jwj 1g. ÂÖCI ÙÜÓÉÖÒÐ ÍÌÐ ÛÖ ÙÜ ÔÖÒÖ ÛàÔ ÓÐÊÈËÐÑàÔ. ÈØÈËÌÐ ÊÓÈÛÈ: ²ÐÈ ÛÐÚ ÐÖ ÑÈÛà ÙÜÔÈØÛÎÙÌÐÚ f(z) ÏÈ ÉØÌÏÖÜÔ ÖÐu ÑÈÐ. (i) f(z) = 1 z ; z 6= 0) x zÿ1 = x 2 + y ; ÿ y. 2 x 2 + y 2 ØÈ (ÑÖÐ ÛÈÕÌ ÁÞ. 1.2b), x u = ÑÈÐ = ÿ y x 2 + y 2 x 2 + y 2. (ii) (iii) f(z) =z 3 = x ÿ iy = w ) u = x ÑÈÐ = ÿy. f(z) =z 2 =(x + iy) 2 = x 2 ÿ y 2 + i2xy ) u = x 2 ÿ y 2 ÑÈÐ =2xy (ÑÖÐ ÛÈÕÌ ÁÞÎÓÈ 1.2c). (iv) ÌÑÏÌÛÐÑÎ ÙÜÔÈ ØÛÎÙÎ ÖØÐ ÍÌÛÈÐ àú ÌÕÎÚ: e z e x+iy e x (cos y + i sin y): ÂÖÛÌ, u(x; y) =e x cos y; (x; y) =e x sin y: Ö ÛÖÔ ÈØÈ ÈÔà ÖØÐÙÓÖ ËÐÈ ÐÙÛàÔÖÜÓÌ ÖÛÐ e z 1 ez 2 = e x 1 (cos y 1 + i sin y 1 ) e x 2 (cos y 2 + i sin y 2 ) = e x 1+x 2 2 cos(y1 + y 2 )+i sin(y 1 + y 2 ) 3

18 6 Áü À Á Á» Á» ² ³ ¹ Á»  ±º  Á ÁÞ. 1.2c: H È ÌÐÑÖ ÔÐÙÎ w = f(z) =z 2. ³ÌÐ ÞÔÌÛÈÐ Î ÌØÐÖÞÎ ÛÖÜ ÞàØÖÜ jim f(z)j 1, 1 Ì Ð ÌËÈ z ÑÈÐ w. ÙÛÈÏÌØÈ, ÙÛÈ = e x 1+x 2 +i(y 1 +y 2 ) = e x 1+iy 1 +x 2 +iy 2. ØÈ e z 1 ez 2 = e z 1+z 2 (Ö àú ÑÈÐ ÙÛÖÜÚ ØÈÊÓÈÛÐÑÖÜÚ). (v) ÂØÐÊàÔÖÓÌÛØÐÑÌ Ú ÙÜÔÈØÛÎ ÙÌÐÚ: Ôz = iy, Ì ÞÖÜÓÌ A Ö ÈÜÛÌ Ú ÉØÐ ÙÑÖÜÓÌ e z = e iy = cos y + i sin y ÑÈÐ e ÿiy = cos y ÿ i sin y: (1:8) cos y = 1 2 (eiy + e ÿiy ); sin y = 1 2i (eiy ÿ e ÿiy ): (1:9) ÛÙÐ, Î ÙÞÌ ÙÎ z = jzj (cos + i sin ) ÊØÈÝÌÛÈÐ z = jzj e i. (1:10) (vi) ÂØÐÊàÔÖÓÌÛØÐÑÌ Ú ÙÜÔÈØÛÎÙÌÐÚ ÓÐÊÈËÐÑÎÚ ÓÌÛÈÉÒÎÛÎÚ: cos z 1 2 (eiz + e ÿiz ); sin z 1 2i (eiz ÿ e ÿiz ); tan z sin z cos z ; cot z cos z sin z : (1:11)

19 1.3 Áü À Á Á» ² ³ ¹ Á»  ±º  Á 7 ÜÑÖÒÈ ËÐÈ ÐÙÛàÔÖÜÓÌ ÖÛÐ cos z = cos(ÿz) sin z = ÿ sin(ÿz) (ÈØÛÐÈ), ( ÌØÐÛÛÎ), sin(z +2p) = sin z; cos(z +2p) = cos z (sin z) 3 = ÿ1 2i (eiz ÿ e ÿiz ) 3 = ÿ1 2i (eÿiz3 ÿ e iz3 ) = sin z 3 (vii) à ÌØÉÖÒÐÑÌ Ú ÙÜÔÈØÛÎ ÙÌÐÚ: ( ÌØÐÖËÐÑÎ ÓÌ ÌØÐ ÖËÖ 2p), Ñ.Ö.Ñ. cosh z 1 2 (ez + e ÿz ); sinh z 1 2 (ez ÿ e ÿz ); (1:12) tanh z sinh z cosh z ; cosh z coth z sinh z : ÙÞÜÌÐ cos(iz) = 1 2 h ei(iz) + e ÿi(iz) i = 1 2 (ez + e ÿz ); ËÎÒÈËÎ cos (iz) = cosh z: ¾ÓÖÐÈ, sin (iz) =i sinh z: E Ð ÙÎÚ, cosh 2 z ÿ sinh 2 z = 1 4 e2z + e ÿ2z +2 ÿ 1 1ÿ 1 ÿ =1; ËÎÒÈËÎ ÑÈÐ ÊÐÈ ÓÐÊÈËÐÑÖÜÚ ÈØÐÏÓÖÜÚ ÐÙÞÜÌÐ cosh 2 z ÿ sinh 2 z =1: 4 e2z + e ÿ2z ÿ 2 Î (viii) ÂØÐÊàÔÖÓÌÛØÐÑÌ Ú ÛÈÜÛÖ ÛÎÛÌÚ: e i = cos + i sin ) e in = (cos + i sin ) n = X n k=0 n i k (sin ) k (cos ) (nÿk) k

20 8 Áü À Á Á» Á» ² ³ ¹ Á»  ±º  Á X n cos(n) +i sin(n) = k=0 n i k (sin ) k (cos ) nÿk : k ÐÖ ÈÔà ÛÈÜÛÖÛÎÛÈ ÌÐ ÔÈÐ ÐÙÖËÜÔÈÓÎ ÓÌ ËÜÖ ÛÈÜÛÖÛÎÛÌÚ ØÈÊÓÈÛÐÑàÔ ÈØÐÏÓàÔ: cos(n) = X a r=0 (ÿ) r n 2r h i (sin ) 2r (cos ) nÿ2r ; a= n 2 ; X b sin(n) = r=0 (ÿ) r n 2r +1 (sin ) 2r+1 (cos ) nÿ(2r+1) ; b = n ÿ 1 2 ; Ö ÖÜ [x] ËÎÒàÔÌÐ ÛÖ ÈÑÌ ØÈÐÖ ÓÌ ØÖÚ ÛÖÜ x ÑÈÐ.Þ., ÊÐÈ n =2ÑÈÐ n =4Ì ÞÖÜÓÌ n k = n! k!(n ÿ k)! : cos (2) = cos 2 ÿ sin 2 ; sin (2) =2sin cos ; cos (4) = cos 4 ÿ 6 cos 2 sin 2 +sin 4 = 2 cos 2 (2) ÿ 1; sin (4) =4sin cos 3 ÿ 4sin 3 cos = 2 sin (2) cos (2): ¾Ð ÈØÈ ÈÔà ÙÞÌ ÙÌÐÚ Ó ÖØÖÜÔ ÔÈ ØÖÑÜßÖÜÔ ÑÈÐ ÓÌ ÓÌÏÖËÖÜÚ ÛØÐÊàÔÖÓÌÛØÐÑÌ Ú. 1.4 ÒÌÐÖ ÛÐÓÌÚ ÙÜÔÈØÛÎ ÙÌÐÚ ÓÐ ÈÚ ÓÐÊÈËÐÑÎ Ú ÓÌÛÈÉÒÎÛÎ Ú ¾ÒÌÚ ÖÐ ÐÖ ÈÔà ÙÜÔÈØÛÎÙÌÐÚ Ì ÞÖÜÔ ÛÎÔ ÌÕÎÚ ÐËÐÖÛÎÛÈ: ÁÌ ËÖÙÓÌ ÔÖ ÙÎÓÌÐ Ö z 2 S ÈÔÛÐÙÛÖÐÞÌÐ ÓÐ ÈÓÖÔÖ ÌÐÑÖÔÈ w 2 T.±Ì ÉÈÐÈ, ÓÌØÐÑÌ ÚÝÖØÌ Ú, Î È ÌÐÑÖÔÐÙÎ ËÌÔ ÌÐ ÔÈÐ 1-1 (Ì ÔÈ ØÖÚ Ì ÔÈ),.Þ. w = e z = e z+2pmi, m ÈÑÌ ØÈÐÖÚ. ÁÛÐÚ ÌÝÈØÓÖÊÌ Ú, È ÈÔÛàÔÛÈÐ ÌØÐ ÛàÙÌÐÚ ûùüôèøûîùìàôý ÖÜ ÞÈØÈÑÛÎØÐ ÍÖ- ÔÛÈÐ È Ö ÈÙÈÝÎ ÑÈÔÖÔÈ ÈÔÛÐÙÛÖÐÞÐ ÈÚ. ¾Ð»ÈÏÎÓÈÛÐÑÖÐ ËÌÔ ÈØÈËÌ ÞÖÔÛÈÐ ÛÖÜÚ ÑÈÔÖÔÌÚ ÈÜÛÖÜÚ àúùüôèøûîùìðú ÖÐ ÄÜÙÐÑÖÐ ÖÓàÚ ÛÖÜÚ ËÌ ÞÖÔÛÈÐ, Ì ÌÐËÎ Ð- ÙÛÌÜÖÜÔ àú ÈÑÖÓÈ ÑÈÐ Ì ÔÈÚ ÑÈ àú ÈÙÈÝÎÚ ÑÈÔÖÔÈÚ ÌÐ ÔÈÐ ØÖÛÐÓÖÛÌØÖÚ È Ö ÛÎÔ Ì ÒÒÌÐßÎ Ö ÖÐÖÜËÎ ÖÛÌ ÑÈÔÖÔÈ. ÒÒàÙÛÌ, ÑÈÏàÚ ÏÈ ËÖÜÓÌ, ÌÐ ÔÈÐ ËÜÔÈÛÖÔ Ö ÑÈÔÖ- ÔÈÚ ÔÈ ÊÐ ÔÌÐ ÙÈÝÎÚ ÑÈÐ Î ÙÜÔÈØÛÎÙÎ ÓÖÔÖÛÐÓÎ ºÖÊÈ ØÐÏÓÖÚ ln z (ÝÜÙÐÑÖ Ú ÒÖÊÈ ØÐÏÓÖÚ) Õ' ÖØÐÙÓÖÜ f(z) =lnz, e f(z) = z; z 6= 0: (1:13)

21 1.4 º ¾Â» Á Áü À Á Á» Á» ² ³ ¹ Á»  ±º  Á 9 O ÐÖ ÈÔà ÑÈÔÖÔÈÚ (ÖØÐÙÓÖÚ) ËÌÔ ÌÐ ÔÈÐ ÙÈÝÎÚ. ØÈÊÓÈÛÐÑÈ, Ì ÙÛà f(z) =w = u + i ) e u+i = z = jzj (cos + i sin ) Î e u (cos + i sin ) jzj (cos + i sin ) ) e u = jzj; = +2pm; m ÈÑÌ ØÈÐÖÚ. AÒÒÈ, ÌÝÖÙÖÔ u ÑÈÐ jzj ÌÐ ÔÈÐ ØÈÊÓÈÛÐÑÖÐ ÈØÐÏÓÖÐ, u =lnjzj. ÛÙÐ, ÛÌÒÐÑÈ, ÉØÐ - ÙÑÖÜÓÌ ÖÛÐ ln z = w = u + i =lnjzj + i(argz +2pm) Î w m =lnz =lnjzj + i(argz +2pm); m ÈÑÌ ØÈÐÖÚ. (1:14) O ØÖÎÊÖÜÓÌÔÖÚ ÑÈÔÖÔÈÚ ËÌÔ ÌÐ ÔÈÐ ÙÈÝÎÚ. ÔÈÒÖÊÈ ÓÌ ÛÎÔ ÛÐÓÎ ÛÖÜ m ÓÈÚ ËÐ ÔÌÐ ËÐÈÝÖØÌÛÐÑÖÜÚ ÓÐÊÈËÐÑÖÜÚ ÈØÐÏÓÖÜÚ (ÌÐÑÖÔÌÚ) ln z, ËÎÒÈËÎ ÙÌ ÑÈÏÌ ÓÐÊÈËÐÑÖ z ÈÔÛÐÙÛÖÐÞÖÜÔ È ÌÐØÖÐ ÓÐÊÈËÐÑÖÐ ÈØÐÏÓÖÐ ln z. ÌÑÒÖÊÎ ÛÖÜ m ØÖÙËÐÖØÐ ÍÌÐ, Ö àú ÏÈ ËÖÜÓÌ ÐÖ ÑÈÛà, Ì ÔÈÔ ÑÒÈËÖ ÛÎÚ ÒÌÐÖÛÐÓÎÚ ÙÜÔÈØÛÎÙÎÚ ln z. ÁÎÓÌÐ àùî 1: ÁÛÖ Ì Ð ÌËÖ ÛàÔ ÓÐÊÈËÐÑàÔ ÈØÐÏÓàÔ ÑÈÐ ÖÐ ÈØÔÎÛÐÑÖÐ ÈØÐÏÓÖÐ Ì ÞÖÜÔ ÒÖÊÈØÐÏÓÖ,.Þ. Ö ln(ÿ1) Ü ÈØÞÌÐ. ÞÖÜÓÌ Arg(ÿ1) = p. ÁÜÔÌ àú, ln(ÿ1) = ln 1 + i(p +2pm) =pi(2m +1); m ÈÑÌ ØÈÐÖÚ, ØÈÊÓÈ ÖÜ Ó ÖØÌÐ ÌÜÑÖÒÈ ÔÈ Ì ÐÉÌÉÈÐàÏÌÐ : e pi(2m+1) = e 2pim e pi = e ip = cos p + i sin p = ÿ1: ÁÎÓÌÐ àùî 2: ÑÖÓÈ ÑÈÐ ÖÐ ÒÖÊÈØÐÏÓÖÐ ÏÌÛÐÑàÔ ØÈÊÓÈÛÐÑàÔ ÈØÐÏÓàÔ, ÙÛÖ ÓÐÊÈËÐÑÖ Ì Ð ÌËÖ, ÊÐ ÔÖÔÛÈÐ ÒÌÐÖÛÐÓÌÚ ÙÜÔÈØÛÎÙÌÐÚ..Þ., ÈÔ z = x; x > 0, ²ØÈÝÖÜÓÌ Argz =0) ln z =lnjxj +2pim; m ÈÑÌ ØÈÐÖÚ. ln(x + i0) = ln jxj +2pim: ÁÎÓÌÐ àùî 3: ÒÌÐÖÛÐÓÐ È ÏÈ ØÌ ÌÐ ÔÈ ÓÈÚ ÑÈÔÌÐ ÑÈ àú ØÖÙÌÑÛÐÑÖÜÚ ÖÛÈÔ ÊÌÔÐÑÌÜÖÜÓÌ ÛÐÚ ÐËÐÖÛÎÛÌÚ ÛàÔ ÒÖÊÈØÐ ÏÓàÔ ØÈÊÓÈÛÐÑàÔ ÈØÐÏÓàÔ..Þ., ÊÌÔÐÑÈ, ln(z 1 z 2 ) 6= lnz 1 +lnz 2 : ØÈÊÓÈÛÐÑÈ, ln(z 1 z 2 )=ln jz 1 jjz 2 je i( 1+ 2 ) :

22 10 Áü À Á Á» Á» ² ³ ¹ Á»  ±º  Á ÂÖÛÌ Arg (z 1 z 2 )= kai jz 1 z 2 j = jz 1 jjz 2 j) ln(z 1 z 2 )=ln ÿ jz 1 jjz 2 j 1 + i( pm) ) (1:15) ln(z 1 z 2 )=lnjz 1 j +lnjz 2 j + i( pm): ÕÈÒÒÖÜ, ln z 1 =lnjz 1 j + i( 1 +2kp) ln z 2 =lnjz 2 j + i( 2 +2`p) 9 >= >; ) ln z 1 +lnz 2 =lnjz 1 j +lnjz 2 j + i( kp +2`p); k; ` ÈÑÌ ØÈÐÖÐ. (1:16) ³ÎÒÈËÎ, ÊÐÈ ÛÜÞÖÔÛÌÚ ÈÑÌØÈÐ ÖÜÚ m, k, `, Ì ÞÖÜÓÌ ln (z 1 z 2 ) 6= lnz 1 +lnz 2 : (1:17a) ¾ÓÖÐÈ, Ú ËÖÜÓÌ ÓÐÈ ÌÐËÐÑÎ ÌØÐ ÛàÙÎ: p 4lni =4i +2pm 2 ln z m 6= m ln z: (1:17b) = i(2p + 8pm); m ÈÑÌ ØÈÐÖÚ, ln i 4 =ln1=2pmi; m ÈÑÌ ØÈÐÖÚ. ØÈ 4lni 6= lni 4 : ¾ ÑÒÈËÖÚ m = 0 ÑÈÒÌÐ ÛÈÐ ÉÈÙÐÑÖÚ ÑÒÈËÖÚ ÛÎÚ ÙÜÔÈØÛÎÙÎÚ ln z ÑÈÐ ÙÜÓÉÖÒÐ ÍÌÛÈÐ Ln z. Ð ÔÈÐ Ln z =lnjzj + i Arg z: (1:18) ÈØÈÛÎØÖÜÓÌ Ì Ð ÙÎÚ ÖÛÐ Î ÙÞÌ ÙÎ (1.17b) ÐÙÞÜÌÐ ÈÑÖÓÈ ÑÈÐ ÊÐÈ ÛÖ ÉÈÙÐÑÖ ÒÖÊÈ- ØÐÏÓÖ: 4Lni =2pi; Ln (i 4 )= ÀÐ ÍÌÚ È ÒÌ ÓÌ ÖÛÐ Î ÙÜÔÈØÛÎÙÎ w = f(z) ÌÐ ÔÈÐ ÛÌÛØÈÊàÔÐÑÎ ØÐ ÍÈ ÛÖÜ z, ËÎÒÈËÎ

23 1.4 º ¾Â» Á Áü À Á Á» Á» ² ³ ¹ Á»  ±º  Á 11 p w z z 1=2 ; ÈÔ w 2 = z: (1:19) ÙÛà z = jzje i ÑÈÐ w = jwje if. ÌÕÐ ÙàÙÎ (1.19) ÊÐ ÔÌÛÈÐ jwj 2 e 2if = jzje i )jwj 2 = jzj; 2f = +2pm; jwj = p jzj kai f = + pm; m ÈÑÌ ØÈÐÖÚ 2 m ÈÑÌ ØÈÐÖÚ, Î ÜÑÖÒÈ ËÐÈ ÐÙÛàÔÖÜÓÌ ÖÛÐ w m = jzj 1=2 e i(=2+pm) ; m =0: w 0 = jzj 1=2 e i=2 ; m ÈÑÌ ØÈÐÖÚ. m =1: w 1 = jzj 1=2 e i(=2+p) = jzj 1=2 e i=2 e ip = ÿw 0 ; m =2: w 2 = jzj 1=2 e i(=2+2p) = w 0 ; m = ÿ1 : w ÿ1 = ÿw 0 Ñ.Ö.Ñ. ²ÌÔÐÑÈ, w m =(ÿ1) m w 0 = 8 < : w 0 ; ÿw 0 ; m ÈØÛÐÖÚ m ÌØÐÛÛÖÚ. ÙÜÔÈØÛÎÙÎ w ÌÐ ÔÈÐ ËÐ ÒÖÛÐÓÎ, ËÎÒÈËÎ Ì ÞÌÐ ËÜÖ ÑÒÈËÖÜÚ.»Ì ÈÒÒÈ ÒÖÊÐÈ, Î ÌÕÐ ÙàÙÎ w 2 ÿ z =0(z ÊÔàÙÛÖ) Ì ÞÌÐ ËÜÖ ØÐ ÍÌÚ, ØÈÊÓÈ ÖÜ ÈÒÒàÙÛÌ ÌØÐÓÌ ÔÖÜÓÌ. ÔÈÒÖÊÈ, ÉØÐ ÙÑÖÜÓÌ ÖÛÐ Î w = f(z) =z 1=n ; n ÈÑÌ ØÈÐÖÚ, ÌÐ ÔÈÐ ÒÌÐÖÛÐÓÎ ÑÈÐ Ì ÞÌÐ ÛÖÜÚ ÌÕÎÚ ÑÒÈËÖÜÚ: w m = jzj 1=n e i(+2pm)=n = jzj 1=n e i =n+2pm=n ( ) : (1:20) ÁÞ. 1.3a: ÌÐÑÖ ÔÐÙÎ ÛÖÜ ÓÌÛÈÙÞÎÓÈÛÐÙÓÖÜ w = z 1=2.

24 12 Áü À Á Á» Á» ² ³ ¹ Á»  ±º  Á» ÖØÖÜÓÌ ÔÈ ËÐÈÒÌ ÕÖÜÓÌ m>0. ÄÜÙÐÑÈ, ÓÖÔÖ ÊÐÈ m =0; 1; 2;...;nÿ 1 ÈÐ Ø- ÔÖÜÓÌ ËÐÈÝÖØÌÛÐÑÌ Ú ÛÐÓÌ Ú *, ÑÈÏÖÙÖÔ ÐÙÞÜÖÜÔ w n = w 0 ; w n+k = w k ; k =0; 1; 2;... ; ËÎÒÈËÎ Î ÙÜÔÈØÛÎÙÎ f(z) =z 1=n Ì ÞÌÐ n ÑÒÈËÖÜÚ. ÁÜÔÌ àú, Î ÌÕÐ ÙàÙÎ w n ÿ z =0 (z ÊÔàÙÛÖ) Ì ÞÌÐ n ØÐ ÍÌÚ..Þ., ÊÐÈ n =4Ì ÞÖÜÓÌ ÛÎÔ ÌÐÑÖÔÈ ÛÖÜ ÁÞ. 1.3b. ÁÞ. 1.3b: ²ÌàÓÌÛØÐÑÎ ÈÔÈ ÈØÈ ÙÛÈÙÎ ÛàÔ ÛÌ ÛÈØÛàÔ ØÐÍàÔ ÛÖÜ ÓÐÊÈËÐÑÖÜ ÈØÐÏÓÖÜ z. ÂÈ ÐÖ ÈÔà Ó ÖØÖÜÔ ÔÈ ÞØÎÙÐÓÖ ÖÐÎÏÖÜÔ ÊÐÈ ÛÖÔ Ü ÖÒÖÊÐÙÓÖ ÛàÔ ØÐÍàÔ ÓÐÊÈËÐÑàÔ ÈØÐÏÓàÔ..Þ.: (È) à ÖÒÖÊÐÙÓÖÚ ÛÖÜ w = 8p 1. ÞÖÜÓÌ Arg 1 = 0; j1j =1, ËÎÒÈËÎ w m = e i 2 pm=8 ; m =0; 1; 2;... ; 7; w 2 = e i p=2 = i; w 3 = e i 3p 6p=8 = cos 4 + i 3p sin 4 = p 1 (ÿ1 +i); 2 p + w 0 =1; w 1 = e i p=4 = cos p 4 + i sin p 4 = 1 2 p i = p (1 + i); w 4 = e i p = ÿ1; w 5 = e i 5p=4 = p 1 (ÿ1 ÿ i); 2 * È Ó ÖØÖÜÙÈÓÌ ÉÌ ÉÈÐÈ ÔÈ ÌÐ ÞÈÓÌ ËÐÈÒÌ ÕÌÐ m 0, Ö ÖÛÌ ÖÐ ÈÔÌÕÈØÛÎÛÌÚ ØÐ ÍÌÚ ËÐ ÔÖÔÛÈÐ È Ö ÛÐÚ ÛÐÓÌ Ú m =0; ÿ1; ÿ2;...; ÿ(n ÿ 1).

Περιεχόµενα I ΜΙΓΑ ΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1

Περιεχόµενα I ΜΙΓΑ ΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 Περιεχόµενα I ΜΙΓΑ ΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 1 ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 3 1.1 Στοιχειώδεις παρατηρήσεις.................... 3 1.2 + Ορισµός και άλγεβρα των µιγαδικών αριθµών........ 6 1.3 Γεωµετρική παράσταση των µιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη

Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη ΘΩΜΑΣ Α. ΚΥΒΕΝΤΙΔΗΣ Γεννήθηκε το 1947 στο Νέο Πετρίτσι του Ν. Σερρών. Το 1965 αποφοίτησε από το εξατάξιο Γυμνάσιο Σιδηροκάστρου του Ν. Σερρών και εγγράφηκε

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Γράφημα της συνάρτησης = (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R )

Γράφημα της συνάρτησης = (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R ) Γράφημα της συνάρτησης f( x), αν p x< 0 F( x) = f( x), αν 0 x p και F( x+ 2 p) = F( x), x R (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R ) ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το Βιβλίο αυτό απευθύνεται στους

Διαβάστε περισσότερα

ISBN 960-431-204-9. K ıâ ÁÓ ÛÈÔ ÓÙ Ù appleô appleôáú ÊÂÙ È applefi ÙÔÓ Û ÁÁÚ Ê Â ÙÂÚË Î ÔÛË 1993

ISBN 960-431-204-9. K ıâ ÁÓ ÛÈÔ ÓÙ Ù appleô appleôáú ÊÂÙ È applefi ÙÔÓ Û ÁÁÚ Ê Â ÙÂÚË Î ÔÛË 1993 2 K ıâ ÁÓ ÛÈÔ ÓÙ Ù appleô appleôáú ÊÂÙ È applefi ÙÔÓ Û ÁÁÚ Ê Â ÙÂÚË Î ÔÛË 1993 Copyright 1989, 1993,. ËÌËÙÚÔappleÔ ÏÔ - æˆìôappleô ÏÔ ISBN 960-431-204-9 Φωτοστοιχειοθεσία-Eκτ πωση: Bι λιοπωλείο: Π. ZHTH

Διαβάστε περισσότερα

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα.

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα. i Π Ρ Ο Λ Ο Γ Ο Σ Το βιβλίο αυτό αποτελεί μια εισαγωγή στα βασικά προβλήματα των αριθμητικών μεθόδων της υπολογιστικής γραμμικής άλγεβρας (computational linear algebra) και της αριθμητικής ανάλυσης (numerical

Διαβάστε περισσότερα

Το βιβλίο που κρατάς στα χέρια σου, μοναδικό στην ελληνική βιβλιογραφία,

Το βιβλίο που κρατάς στα χέρια σου, μοναδικό στην ελληνική βιβλιογραφία, www.ziti.gr Πρόλογος Το βιβλίο που κρατάς στα χέρια σου, μοναδικό στην ελληνική βιβλιογραφία, θα σου φανεί χρήσιμο τις τελευταίες ημέρες της προετοιμασίας σου για τις πανελλαδικές εξετάσεις. Τα περιεχόμενά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 1.1 Εισαγωγή... 1 1.2 Λύση ΔΕ, αντίστροφο πρόβλημα αυτής... 3 Ασκήσεις... 10 1.3 ΔΕ πρώτης τάξης χωριζομένων μεταβλητών... 12 Ασκήσεις... 15 1.4 Ομογενείς

Διαβάστε περισσότερα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα Δύο λόγια από τη συγγραφέα Τα μαθηματικά ή τα λατρεύεις ή τα μισείς! Για να λατρέψεις κάτι πρέπει να το κατανοήσεις, για τη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα μάλλον είναι λίγο πιο απλά. Στόχος αυτού του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

Μαρία Χ.Γουσίδου-Κουτίτα Επίκουρη Καθηγήτρια Τμήματος Μαθηματικών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

Μαρία Χ.Γουσίδου-Κουτίτα Επίκουρη Καθηγήτρια Τμήματος Μαθηματικών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Μαρία Χ.Γουσίδου-Κουτίτα Επίκουρη Καθηγήτρια Τμήματος Μαθηματικών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2004 Κάθε γνήσιο αντίτυπο υπογράφεται από τη συγγραφέα ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 009 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 009. Πριν

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Β Πρόχειρες σημειώσεις

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Β Πρόχειρες σημειώσεις ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Β Μιγαδική ανάλυση Μέρος Β Πρόχειρες σημειώσεις Παράγωγος συνάρτησης μιγαδικής μεταβλητής Πριν ορίσουμε την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης f(z) θα σταθούμε

Διαβάστε περισσότερα

Î È appleúô Ï Ì Ù ÓÙ ÍË 36

Î È appleúô Ï Ì Ù ÓÙ ÍË 36 ƒπ ÃOª ƒo O π O ª πøª 9 º πo ƒøδo: Δ À ƒª Δ π ÀΔπ π π π 1.1 ÓÓÔÈ ÙÔ appleâúì ÛÔ 16 1.2 ÀappleÂÚÌ Û, ÎÔÈÓˆÓ Î È ÂÎapple  ÛË 18 1.3 ÂˆÚ Â Ì ıëûë Î È appleâúì Û 27 1.4 ÚfiÙ apple Ú ÛË appleôïôáèûùòó Î È

Διαβάστε περισσότερα

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί.

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί. O μετασχηματισμός Laplace αποτελεί περίπτωση ολοκληρωτικού μετασχηματισμού, κατά τον οποίο κατάλληλη συνάρτηση (χρονικό σήμα) μετατρέπεται σε συνάρτηση της «συχνότητας» μέσω της σχέσης. (1) Γενικότερα

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακες και ερµάρια. διανοµής. ƒ 2010. Plexo 3 στεγανοί πίνακες από 2 έως 72 στοιχεία (σ. 59) Practibox χωνευτοί πίνακες από 6 έως 36 τοιχεία (σ.

Πίνακες και ερµάρια. διανοµής. ƒ 2010. Plexo 3 στεγανοί πίνακες από 2 έως 72 στοιχεία (σ. 59) Practibox χωνευτοί πίνακες από 6 έως 36 τοιχεία (σ. χωνευτοί σ. 56 Nedbox χωνευτοί από 12 έως 56 στοιχεία σ. 58 από 1 έως 6 στοιχεία σ. 62 XL 3 160 από 48 έως 144 στοιχεία και ερµάρια διανοµής ισχύος XL 3 σ. 68 Ράγες, πλάτες στήριξης και µετώπες σ. 77 0

Διαβάστε περισσότερα

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 Περιεχόμενα Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών... 19 1.1 Σύνολα αριθμών... 19 1.2 Αλγεβρική δομή του R... 20 1.2.1 Ιδιότητες πρόσθεσης...

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί αριθμοί και στοιχειώδεις συναρτήσεις

Μιγαδικοί αριθμοί και στοιχειώδεις συναρτήσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί και στοιχειώδεις συναρτήσεις Σε αυτό το κεφάλαιο εισάγονται οι µιγαδικοί αριθµοί, οι στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις, και οι βασικές τους ιδιότητες. Όπως θα δούµε, οι µιγαδικοί αριθµοί

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ

ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ _CONT_.indd iii τίτλος: ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ συγγραφέας: Καραγιαννάκης Δημήτριος 2014 Εκδόσεις Δίσιγμα Για την ελληνική

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-314-2 Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται

Διαβάστε περισσότερα

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ Mα θ η μ α τ ι κ ά Γ Λυ κ ε ί ο υ Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Τό μ ο ς στον Αλέξη, το Σπύρο, τον Ηλία και το Λούη, στην παντοτινή φιλία Πρό λ ο γ ο ς Το βιβλίο αυτό έχει σκοπό και στόχο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β]

Διαβάστε περισσότερα

Ε. ΞΕΚΑΛΑΚΗ Καθηγήτριας του Τμήματος Στατιστικής του Οικονομικού Πανεπιστημίου Αθηνών ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

Ε. ΞΕΚΑΛΑΚΗ Καθηγήτριας του Τμήματος Στατιστικής του Οικονομικού Πανεπιστημίου Αθηνών ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ε. ΞΕΚΑΛΑΚΗ Καθηγήτριας του Τμήματος Στατιστικής του Οικονομικού Πανεπιστημίου Αθηνών ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΘΗΝΑ, 2001 Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ iii ix ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1 1.1

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Γενική Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Διδακτέα-εξεταστέα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός

ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός 2 ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός 3 ΟΔΗΓΟΣ στη ΧΡΗΣΗ του ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ 4 ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός 5 ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΘΕΟΔΩΡΟΥ Καθηγητής Α.Π.Θ. ΧΡΙΣΤΙΝΑ ΘΕΟΔΩΡΟΥ Μαθηματικός ΟΔΗΓΟΣ στη ΧΡΗΣΗ του ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής xxi,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

Παραδόσεις 4. Μαθήματα Γενικής Υποδομής Υποχρεωτικά. Δεν υφίστανται απαιτήσεις. Ελληνική/Αγγλική ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ

Παραδόσεις 4. Μαθήματα Γενικής Υποδομής Υποχρεωτικά. Δεν υφίστανται απαιτήσεις. Ελληνική/Αγγλική ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΠΙΠΕΔΟ ΣΠΟΥΔΩΝ Προπτυχιακό ΚΩΔΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ DP1021 ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΠΟΥΔΩΝ Πρώτο ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Μαθηματικά ΑΥΤΟΤΕΛΕΙΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ σε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ' Τάξης Γενικού Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ' Τάξης Γενικού Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ' Τάξης Γενικού Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Μέτης Στέφανος Μπρουχούτας Κων/νος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Μιγαδικής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης

Σηµειώσεις Μιγαδικής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης Σηµειώσεις Μιαδικής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Ηρακλειο Περιεχόµενα Κεφάλαιο 1. Εισαωικά 5 Η αλεβρική δοµή 5 Η τοπολοική δοµή τού 6 Το εκτεταµένο µιαδικό επίπεδο 7 Συνεκτικότητα

Διαβάστε περισσότερα

ÁÈ Ù apple È È appleô ı apple ÓÂ ÛÙË μã Ù ÍË

ÁÈ Ù apple È È appleô ı apple Ó ÛÙË μã Ù ÍË ÁÈ Ù apple È È appleô ı apple Ó ÛÙË μã Ù ÍË Δ Àƒ π ø ø º π π π ª Δ ƒàªª π μàƒπ π ø π π π ª Δ Δƒ À π ƒ Àà ƒ ªÀ π π ª ª Δπ ø, π Δ Ã π, ø ƒ ºπ, ƒ Δ ƒ Δπ Δ Δ, ƒπ π ª ª ΚΑΛΟ ΚΑΛΟΚΑΙΡΙ Με το πέρασμα του χρόνου

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. 1. Ειδικές συναρτήσεις. 2. Μιγαδικές Συναρτήσεις. 3. Η Έννοια του Τελεστή. Κεφάλαιο - Ενότητα

Περιεχόμενα. 1. Ειδικές συναρτήσεις. 2. Μιγαδικές Συναρτήσεις. 3. Η Έννοια του Τελεστή. Κεφάλαιο - Ενότητα Περιεχόμενα Κεφάλαιο - Ενότητα σελ 1. Ειδικές συναρτήσεις 1.0 Εισαγωγή 1.1 Εξίσωση του Laplace Συστήματα συντεταγμένων 1.2 Συνάρτηση δ του Dirac 1.3 Συνάρτηση του Heaviside 1.4 Οι συναρτήσεις Β, Γ και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

HMHTPHΣ TZIOBAΣ O ΘEOTOKAΣ, H EΥΡΩΠΗ KAI H ΓENIA TOY 30

HMHTPHΣ TZIOBAΣ O ΘEOTOKAΣ, H EΥΡΩΠΗ KAI H ΓENIA TOY 30 HMHTPHΣ TZIOBAΣ O ΘEOTOKAΣ, H EΥΡΩΠΗ KAI H ΓENIA TOY 30 Συµπληρώνονται φέτος 100 χρόνια από τη γέννηση του Γιώργου Θεοτοκά στην Kωνσταντινούπολη το 1905 από Xιώτες γονείς και σχεδόν 40 χρόνια από το θάνατό

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Μιγαδική Ανάλυση. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Μιγαδική Ανάλυση. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης Μιχάλης Παπαδημητράκης Μιγαδική Ανάλυση Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Περιεχόμενα Οι μιγαδικοί αριθμοί.. Οι μιγαδικοί αριθμοί..................................2 Το Ĉ, η στερεογραφική προβολή και

Διαβάστε περισσότερα

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς Πρόλογος Ο μηχανικός πρέπει να συνεχίσει να βελτιώνει την ποιότητα της δουλειάς του εάν επιθυμεί να είναι ανταγωνιστικός στην αγορά της χώρας του και γενικότερα της Ευρώπης. Μία σημαντική αναλογία σε αυτήν

Διαβάστε περισσότερα

http://kesyp.didefth.gr/ 1

http://kesyp.didefth.gr/ 1 248_Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κρήτης, Ηράκλειο Προπτυχιακό Πρόγραµµα Σκοπός του Τµήµατος Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών είναι η εκαπαίδευση επιστηµόνων ικανών όχι µόνο να υπηρετήσουν και να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΠΕΡΙΦ. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΜΕ ΕΔΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Διδακτέα- Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η, Βλάμου Π., Κατσούλη Γ., Μαρκάκη

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 1.1. Τι είναι το Matlab... 13 1.2. Περιβάλλον εργασίας... 14 1.3. Δουλεύοντας με το Matlab... 16 1.3.1. Απλές αριθμητικές πράξεις... 16 1.3.2. Σχόλια...

Διαβάστε περισσότερα

ΑΙΤΗΣΗ π ΑΣΦΑΛΙΣΗΣ π ΑΣΤΙΚΗΣ π ΕΥΘΥΝΗΣ ΠΡΟΣ ΤΡΙΤΟΥΣ π

ΑΙΤΗΣΗ π ΑΣΦΑΛΙΣΗΣ π ΑΣΤΙΚΗΣ π ΕΥΘΥΝΗΣ ΠΡΟΣ ΤΡΙΤΟΥΣ π ΑΝΩΝΥΜΟΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΙΑ ΓΕΝΙΚΩΝ ΑΣΦΑΛΕΙΩΝ «Η ΕΘΝΙΚΗ» ΕΤΟΣ ΙΔΡΥΣΗΣ 1891 ΕΤΑΙΡΙΑ ΤΟΥ ΟΜΙΛΟΥ ΤΗΣ ΕΘΝΙΚΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΤΗΣ ΕΛΛΑΔΟΣ ΑΡ.Μ.Α.Ε.: 12840/05 B 86/20 Α.Φ.Μ.: 094003849 Δ.Ο.Υ.: ΜΕΓΑΛΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΛΕΩΦ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

415 Μαθηματικών και Στατιστικής Κύπρου

415 Μαθηματικών και Στατιστικής Κύπρου 415 Μαθηματικών και Στατιστικής Κύπρου Το "Τμήμα Μαθηματικών και Στατιστικής" ιδρύθηκε το έτος 1989, ανήκει στη Σχολή Θετικών και Εφαρμοσμένων Επιστημών του Πανεπιστημίου Κύπρου (με έδρα του τη Λευκωσία)

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Β'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Β'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Β'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της B Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν βάση των µαθηµατικών του

Διαβάστε περισσότερα

Τομέας Mαθηματικών "ρούλα μακρή"

Τομέας Mαθηματικών ρούλα μακρή Τομέας Mαθηματικών "ρούλα μακρή" ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Πρότυπου Εκπαιδευτικού Οργανισμού ρούλα μακρή ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 5 ΜΑΪΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντικη Θεωρια και Υπολογιστες

Κβαντικη Θεωρια και Υπολογιστες Κβαντικη Θεωρια και Υπολογιστες 2 Μαθηματικη Βαση της Κβαντικής Θεωρίας Κλασσικα και Κβαντικα Μαθηματικα Μοντελα Χειμερινο Εξαμηνο Iωαννης E. Aντωνιου Τμημα Μαθηματικων Aριστοτελειο Πανεπιστημιο 54124,

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform)

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform) Μετασχηµατισµός Ζ (-traform) Εργαλείο ανάλυσης σηµάτων και συστηµάτων διακριτού χρόνου ιεργασία ανάλογη του Μετ/σµού Laplace Απόκριση συχνότητας Εφαρµογές επίλυση γραµµικών εξισώσεων διαφορών µε σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Υποβολής Αξιολόγησης Γ.Ε.

Έντυπο Υποβολής Αξιολόγησης Γ.Ε. Έντυπο Υποβολής Αξιολόγησης Γ.Ε. O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΕΙΣ LU, QR και SVD

ΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΕΙΣ LU, QR και SVD ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΕΙΣ LU, QR και SVD Εισαγωγή To παρόν κεφάλαιο χωρίζεται σε μέρη. Στο (Α), μεταξύ άλλων, εξηγούμε γιατί μας ενδιαφέρει η λεγόμενη ανάλυση σε παράγοντες ειδικούς πίνακες (decompositio)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ Α ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ Π.Μ.Σ (ΥΠΟΕΡΓΟΥ)

ΤΜΗΜΑ Α ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ Π.Μ.Σ (ΥΠΟΕΡΓΟΥ) ΤΜΗΜΑ Α ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ Π.Μ.Σ (ΥΠΟΕΡΓΟΥ) Α1. ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΦΥΣΙΚΟΥ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟΥ Tο Πρόγραµµα Μεταπτυχιακών Σπουδών του Τµήµατος Μαθηµατικών του Πανεπιστηµίου Κρήτης είναι ένα από τα πρώτα οργανωµένα µεταπτυχιακά

Διαβάστε περισσότερα

= DX(0, 0)(ae 1 + be 2 ) = adx(0, 0)e 1 + bdx(0, 0)e 2 = ax u (0, 0) + bx v (0, 0).

= DX(0, 0)(ae 1 + be 2 ) = adx(0, 0)e 1 + bdx(0, 0)e 2 = ax u (0, 0) + bx v (0, 0). Κεφάλαιο 3 Ο εφαπτόμενος χώρος Σύνοψη Ο εφαπτόμενος χώρος μιας κανονικής επιφάνειας αποτελεί τη βέλτιση γραμμική προσέγγιση της επιφάνειας σε ένα σημείο της. Αποτελείται από όλα τα εφαπτόμενα διανύσματα

Διαβάστε περισσότερα

Κατοικίδια και ζώα της φάρμας 978-960-566-195-3. Σελίδες: 32 // Τιμή: 3,70. Τα λουλούδια. 978-960-566-473-2 Σελίδες: 32 // Τιμή: 3,70

Κατοικίδια και ζώα της φάρμας 978-960-566-195-3. Σελίδες: 32 // Τιμή: 3,70. Τα λουλούδια. 978-960-566-473-2 Σελίδες: 32 // Τιμή: 3,70 x Προσχολική Αγωγή Χρώματα, Σχήματα, Γραμμές 978-960-566-192-2 Τιμή: 5,50 Πλανήτες 978-960-566-197-7 Τα γράμματα 978-960-566-474-9 Άγρια ζώα και ζώα της θάλασσας 978-960-566-193-9 Τιμή: 5,50 ÆÕÒÏ Κατοικίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Δευτέρα 25-5-2015 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ. Α4.) α) Λάθος, β) Σωστό, γ) Λάθος, δ) Σωστό, ε) Σωστό

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Δευτέρα 25-5-2015 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ. Α4.) α) Λάθος, β) Σωστό, γ) Λάθος, δ) Σωστό, ε) Σωστό ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Δευτέρα 5-5-5 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α.) Θεωρία σελ. 94 Α.) Θεωρία σελ.88 Α3.) Θεωρία σελ. 59 Α4.) α) Λάθος, β) Σωστό, γ) Λάθος, δ) Σωστό, ε) Σωστό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Χ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΑΚΗΣ ΑΝ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Β ΤΟΜΟΣ Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα και τη σφραγίδα του εκδότη ISBN SET: 960-56-026-9

Διαβάστε περισσότερα

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Σχέσεις Αναδρομής Γραμμικές Σχέσεις Αναδρομής με σταθερούς συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού

9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού 1 2 Τα θεωρήματα του Green, Stokes και Gauss 211 9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού Ήδη στην παράγραφο 5.7 ασχοληθήκαμε με την ύπαρξη συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗ. Θεωρία και Πολιτική

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗ. Θεωρία και Πολιτική ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗ Θεωρία και Πολιτική Παντελής Καλαϊτζιδάκης Σαράντης Καλυβίτης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγή στην οικονομική μεγέθυνση Ορισμός της οικονομικής μεγέθυνσης 15 Μια σύντομη

Διαβάστε περισσότερα

----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180 Μαρούσι Ιστοσελίδα: www.minedu.gov.gr Πληροφορίες: Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο: 210-3443422

----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180 Μαρούσι Ιστοσελίδα: www.minedu.gov.gr Πληροφορίες: Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο: 210-3443422 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α -----

Διαβάστε περισσότερα

X v (q) = ( x v (q), y v (q), z v (q) ) x u (q) y u (q) z u (q) x v (q) y v (q) z v (q) X 1 u (q) X 1. det. X 2 u (q) X 2. v (q)

X v (q) = ( x v (q), y v (q), z v (q) ) x u (q) y u (q) z u (q) x v (q) y v (q) z v (q) X 1 u (q) X 1. det. X 2 u (q) X 2. v (q) Κεφάλαιο 2 Κανονικές επιφάνειες Σύνοψη Προκειμένου να ορίσουμε την έννοια της επιφάνειας στον R 3, έχουμε δύο δυνατές προσεγγίσεις. Με την πρώτη μπορούμε να ορίσουμε μια επιφάνεια ως ένα υποσύνολο του

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 9 Φεβουαρίου 007 Ημερομηνία Παράδοσης της Εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α. A1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο x

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α. A1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο x ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο, στο οποίο όμως η είναι συνεχής Να αποδείξετε ότι αν () 0 στο, ) και ()

Διαβάστε περισσότερα

Παράγωγος Συνάρτησης. Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) = lim.

Παράγωγος Συνάρτησης. Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) = lim. Παράγωγος Συνάρτησης Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) x ξ g(x, ξ), g(x, ξ) f(x) f(ξ) x ξ Ορισμός Cauchy: ɛ > 0 δ(ɛ, ξ) > 0 x x ξ

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ Συναρτήσεων µιας Μεταβλητής

ΛΟΓΙΣΜΟΣ Συναρτήσεων µιας Μεταβλητής Σηµειωσεις: ΛΟΓΙΣΜΟΣ Συναρτήσεων µιας Μεταβλητής Θ. Κεχαγιάς Σεπτέµβρης 9 v..85 Περιεχόµενα Προλογος Εισαγωγη Βασικες Συναρτησεις. Θεωρια..................................... Λυµενα Προβληµατα.............................

Διαβάστε περισσότερα

Τανυστές στην Κβαντομηχανική Κβαντική Πληροφορική

Τανυστές στην Κβαντομηχανική Κβαντική Πληροφορική Αθανάσιος Χρ. Τζέμος Τομέας Θεωρητικής Φυσική Τανυστές στην Κβαντομηχανική Κβαντική Πληροφορική Το ζήτημα των τανυστών είναι πολύ σημαντικό τόσο για την Κβαντομηχανική, όσο και για τη Σχετικότητα. Οι δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 6 KΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Η θεωρία μεγίστων και ελαχίστων μιας πραγματικής συνάρτησης με μια μεταβλητή είναι γνωστή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε τη θεωρία μεγίστων και ελαχίστων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 3 4 ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:.

Διαβάστε περισσότερα

Γεώργιος Δ Ακρίβης Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (πανεπιστημιακές παραδόσεις) ΙΩΑΝΝΙΝΑ, 2003 i Πρόλογος Η Γραμμική Άλγεβρα αποτελεί, μαζί με την Ανάλυση, το θεμέλιο των μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2014-15 (ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2)

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2014-15 (ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 4/9/2015 ΠΕΜΠΤΗ 3/9/2015 ΤΕΤΑΡΤΗ 2/9/2015 ΤΡΙΤΗ 1/9/2015 ΔΕΥΤΕΡΑ 31/8/2015 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία στους Μιγαδικούς

Μεθοδολογία στους Μιγαδικούς ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ στους ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ Α. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ.Περιγράψτε το σύνολο των μιγαδικών αριθμών και δώστε τους ορισμούς της πρόσθεσης, του πολ/σμού και της ισότητας δύο μιγαδικών αριθμών.(σελ. 86-87, τα μπλε

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Κρήτης Τμήματα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών. Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών

Πανεπιστήμιο Κρήτης Τμήματα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών. Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Πανεπιστήμιο Κρήτης Τμήματα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Το Πρόγραμμα λειτουργεί από το ακαδημαϊκό έτος 2002-2003 και αποτελεί μετεξέλιξη του Προγράμματος Μεταπτυχιακών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ I ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΠΑΛ 2010-2011

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ I ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΠΑΛ 2010-2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ I ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΠΑΛ 2010-2011 ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Β Τηλ: 210 344 2478 FAX:

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

Δυστυχώς, κάποτε, κάποιοι «αρμόδιοι» απεφάσισαν να μη διδάσκονται στο Λύκειο όλα τα πεδία της Φυσικής! Μεταξύ αυτών καταλέγεται και το πεδίο της

Δυστυχώς, κάποτε, κάποιοι «αρμόδιοι» απεφάσισαν να μη διδάσκονται στο Λύκειο όλα τα πεδία της Φυσικής! Μεταξύ αυτών καταλέγεται και το πεδίο της ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο αυτό με τίτλο «Λυμένες Ασκήσεις Μουσικής Ακουστικής» απευθύνεται κυρίως στους φοιτητές μου στο Τμήμα Μουσικών Σπουδών του Εθνικού και Καποδιστριακού Πανεπιστημίου Αθηνών, στους φοιτητές

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Εξεταζόμενη Ύλη: Μιγαδικοί Αριθμοί Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Διαφορικός Λογισμός (μέχρι 2.7) 03/01/2014. Θέμα A. Θέμα Β

Απαντήσεις Εξεταζόμενη Ύλη: Μιγαδικοί Αριθμοί Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Διαφορικός Λογισμός (μέχρι 2.7) 03/01/2014. Θέμα A. Θέμα Β Απαντήσεις Εξεταζόμενη Ύλη: Μιγαδικοί Αριθμοί Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Διαφορικός Λογισμός (μέχρι.7 0/01/014 Θέμα A Α 1. Σχολικό βιβλίο σελίδα 5. Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 191. Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ορισμός Έστω U R, U και f : U R R συνάρτηση τότε: )Το λέγεται τοπικό ελάχιστο της f αν υπάρχει περιοχή V του ώστε f f για κάθε V U Το λέγεται τοπικό μέγιστο της f αν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Β. Τι

Διαβάστε περισσότερα

Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΜΑΘΗΜΑ 1: Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Τίποτε δεν θεωρώ μεγαλύτερο αίνιγμα από το χρόνο και το χώρο Εντούτοις, τίποτε δεν με απασχολεί λιγότερο από αυτά επειδή ποτέ δεν τα σκέφτομαι Charles

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Μάθημα 7 Ο Μετασχηματισμός Z Βασικές Ιδιότητες Καθηγητής Χριστόδουλος Χαμζάς Ο Μετασχηματισμός Ζ Γιατί χρειαζόμαστε τον Μετασχηματισμό Ζ; Ανάγει την επίλυση των αναδρομικών

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής zi,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 3-4 ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 3 ΗΜ/ΝΙΑ 1ο-2ο Φυσική Φυσικού

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς:

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΝΟΜΟΥ ΦΘΙΩΤΙΔΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

6 Εισαγωγή στα Συστήματα Ηλεκτρικής Ενέργειας

6 Εισαγωγή στα Συστήματα Ηλεκτρικής Ενέργειας Πρόλογος Σ το βιβλίο αυτό περιλαμβάνεται η ύλη του μαθήματος «Εισαγωγή στα Συστήματα Ηλεκτρικής Ενέργειας» που διδάσκεται στους φοιτητές του Γ έτους σπουδών του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας

Διαβάστε περισσότερα

ÍÒ Ú Ö Ø Ð Ù ÖÒ Ö ÄÝÓÒ Á ÁÒ Ø ØÙØ È Ý ÕÙ ÆÙÐ Ö ÄÝÓÒ Ì ÓØÓÖ Ø ËÔ Ð Ø È Ý ÕÙ Ô ÖØ ÙÐ ØÙ Ù Ò Ð À ¼ ¼ ÙÜ ÓÐÐ ÓÒÒ ÙÖ ÖÓÒ ÕÙ Ø ÒØ Ö Ð Ö Ø ÓÒ Ù ÐÓÖ Ñ ØÖ Ù ÊÙÒ ÁÁ Ù Ì Ú ØÖÓÒº Ô Ö È ÖÖ ¹ ÒØÓ Ò Ð ÖØ ËÓÙØ ÒÙ Ð ½

Διαβάστε περισσότερα

10.05.12 ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2012

10.05.12 ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2012 Εαρινό εξάμηνο 2012 10.05.12 Χ. Χαραλάμπους 1. Έχει κάθε πολυώνυμο ρίζα? 2. Πόσες ρίζες έχει ένα πολυώνυμο βαθμού n? 3. Μπορούμε να καθορίσουμε πότε οι ρίζες είναι ρητές, πραγματικές, θετικές, κλπ? 4.

Διαβάστε περισσότερα

Μοναδιαίοι Τελεστές Μοναδιαίοι Μετασχηματισμοί Εικόνες Χρονικής Εξέλιξης

Μοναδιαίοι Τελεστές Μοναδιαίοι Μετασχηματισμοί Εικόνες Χρονικής Εξέλιξης Αθανάσιος Χρ. Τζέμος Τομέας Θεωρητικής Φυσικής Μοναδιαίοι Τελεστές Μοναδιαίοι Μετασχηματισμοί Εικόνες Χρονικής Εξέλιξης Στη Φυσική ενδιαφερόμαστε για την δυναμική εξέλιξη των διαφόρων συστημάτων. Καίριο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΕΑΡΙΝΩΝ ΕΞΑΜΗΝΩΝ & ΕΠΙ ΠΤΥΧΙΩ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2014-15 (ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1 )

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΕΑΡΙΝΩΝ ΕΞΑΜΗΝΩΝ & ΕΠΙ ΠΤΥΧΙΩ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2014-15 (ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1 ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 19/6/2015 ΠΕΜΠΤΗ 18/6/2015 ΤΕΤΑΡΤΗ 17/6/2015 ΤΡΙΤΗ 16/6/2015 ΔΕΥΤΕΡΑ 15/6/2015 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΕΑΡΙΝΩΝ ΕΞΑΜΗΝΩΝ

Διαβάστε περισσότερα