Μέϑοδοι Εφαρμοσμένων Μαϑηματιϰών (ΜΕΜ 274) Φυλλάδιο 8

Transcript

1 Μέϑοδοι Εφαρμοσμένων Μαϑηματιϰών (ΜΕΜ 274) Φυλλάδιο 8 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΤΟΠΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θεωρούμε τη γενιϰή ομογενή γραμμιϰή διαφοριϰή εξίσωση τάξης n N στην ϰανονιϰή μορφή της y (n) + p n 1 (x) y (n 1) + p n 2 (x) y (n 2) p 1 (x) y (1) + p 0 (x) y = 0 όπου οι συντελεστές p k, όπου k = 0, 1,..., n 1, είναι συνεχείς συναρτήσεις στο R, με εξαίρεση, ενδεχόμενα, πεπερασμένο πλήϑος σημείων. Τα ϰλασιϰά ϑεωρήματα ύπαρξης για την παραπάνω εξίσωση δίνουν τις προϋποϑέσεις ομαλότητας των συντελεστών ϰάτω από τις οποίες υπάρχει μη τετριμμένη λύση δοσμένης ομαλότητας σε γειτονιά δοσμένου σημείου του πεδίου ορισμού των συντελεστών. Ο προσδιορισμός σε «ϰλειστή μορφή» της λύσης στο R, με εξαίρεση, ενδεχόμενα, πεπερασμένου πλήϑους σημείων στα οποία δεν ορίζονται οι συντελεστές, είναι, γενιϰά, ένα αδύνατο πρόβλημα. Το ϑεώρημα του Fuchs επιτρέπει, στη βάση μιας ορισμένης ϰατηγοριοποίησης σημειαϰών ιδιομορφιών των συντελεστών, την αναπαράσταση λύσεων σε γειτονιά του δοσμένου σημείου x 0 R ή του σημείου στο άπειρο x 0 =, ή παραπέρα, της τοπιϰής συμπεριφοράς λύσεων της εξίσωσης εϰεί. Ορισμός Α. Εστω μη ϰενό ανοιϰτό διάστημα I R ϰαι x 0 I. Η συνάρτηση f : I R ονομάζεται πραγματιϰή αναλυτιϰή στο σημείο x 0 αν ϰαι μόνο αν υπάρχει μη ϰενή γειτονιά του x 0, U I, ϰαι συγϰλίνουσα δυναμοσειρά a k (x x 0 ) k στην U, ώστε εϰεί να έχουμε f(x) = a k (x x 0 ) k. Αν η f είναι πραγματιϰή αναλυτιϰή σε ϰάϑε σημείο x I τότε ονομάζεται πραγματιϰή αναλυτιϰή στο I, ενώ συνάρτηση ορισμένη στο R η οποία είναι πραγματιϰή αναλυτιϰή σε ϰάϑε σημείο x R ονομάζεται απλά πραγματιϰή αναλυτιϰή. Ορισμός Β. Το σημείο x 0 R ονομάζεται ομαλό ή μη ιδιόμορφο σημείο της εξίσωσης αν ϰάϑε συντελεστής p k, όπου k = 0, 1,..., n 1, είναι πραγματιϰή αναλυτιϰή συνάρτηση στο σημείο x 0. Σημείο το οποίο δεν είναι ομαλό σημείο της εξίσωσης ονομάζεται ιδιόμορφο σημείο της εξίσωσης, τα οποία ϰατηγοριοποιούμε παραπέρα. Ορισμός Γ. Το σημείο x 0 R ονομάζεται ϰανονιϰό ιδιόμορφο σημείο της εξίσωσης αν τουλάχιστον ένας από τους συντελεστές p k, όπου k = 0, 1,..., n 1, δεν είναι πραγματιϰή αναλυτιϰή συνάρτηση στο σημείο αυτό, ϰαι ταυτόχρονα οι (x x 0 ) n p 0 (x), (x x 0 ) n 1 p 1 (x), (x x 0 ) n 2 p 2 (x),..., (x x 0 ) p n 1 (x) Χρησιμοποιούμε τον συμβολισμό y (k) := dk y, k = 1, 2,..., n. dxk

2 είναι πραγματιϰές αναλυτιϰές συναρτήσεις στο σημείο x 0. Ορισμός Δ. Το σημείο x 0 R ονομάζεται ιδιάζον ιδιόμορφο σημείο της εξίσωσης αν δεν είναι ούτε ομαλό ούτε ϰανονιϰό ιδιόμορφο σημείο της εξίσωσης. Ορισμός Ε. Το σημείο στο άπειρο x = ονομάζεται ομαλό, ϰανονιϰό ιδιόμορφο ή ιδιάζον ιδιόμορφο, αντίστοιχα, αν το σημείο ξ = 0 της εξίσωσης που προϰύπτει από την αλλαγή ανεξάρτητης μεταβλητής x ξ := 1 x ϰατηγοριοποιείται ως ομαλό, ϰανονιϰό ιδιόμορφο ή ιδιάζον ιδιόμορφο, αντίστοιχα. Στη βάση του παραπάνω ορισμού επεϰτείνονται ϰαι οι παραϰάτω ορισμοί ϰαι ϑεωρήματα για τον χαραϰτηρισμό του σημείου στο άπειρο ϰαι την τοπιϰή μορφή των λύσεων εϰεί. Θεώρημα. Αν x 0 R ομαλό σημείο της εξίσωσης, τότε αυτή επιδέχεται n γραμμιϰά ανεξάρτητες n φορές συνεχώς διαφορίσιμες λύσεις σε μη ϰενή γειτονιά του σημείου x 0. Ειδιϰότερα, ϑεωρούμε τη γενιϰή ομογενή γραμμιϰή διαφοριϰή εξίσωση δεύτερης τάξης, στην ϰανονιϰή μορφή της, σε μια μη ϰενή, ενδεχόμενα τρύπια, γειτονιά σημείου x 0 R y + a(x) y + b(x) y = 0 όπου οι συντελεστές a, b είναι πραγματιϰές συνεχείς συναρτήσεις στη γειτονιά αυτή, με εξαίρεση, ενδεχομένως, το σημείο x 0. Αναζητούμε 2 φορές συνεχώς διαφορίσιμες λύσεις της εξίσωσης, y = f(x), στη γειτονιά αυτή. Θεώρημα Fuchs. Εστω η παραπάνω διαφοριϰή εξίσωση. i.) Για ϰάϑε ομαλό σημείο της έχει ζευγάρι γραμμιϰά ανεξάρτητων λύσων οι οποίες είναι πραγματιϰές αναλυτιϰές στο σημείο αυτό. ii.) Αν το σημείο x 0 R είναι ϰανονιϰό ιδιόμορφο σημείο τότε σε (τρύπια) γειτονιά του σημείου x 0 οι 2 ανεξάρτητες λύσεις της έχουν τη μορφή ή y 1 = (x x 0 ) α 1 g 1 (x), y 2 = (x x 0 ) α 2 g 2 (x) y 1 = (x x 0 ) α 1 g 1 (x), y 2 = (x x 0 ) α 1 log(x x 0 )g 1 (x) + (x x 0 ) α 2 g 2 (x) όπου α 1, α 2 R οι εναρϰτήριες δύναμεις των λύσεων, ϰαι g 1, g 2 πραγματιϰές αναλυτιϰές συναρτήσεις στο σημείο x 0. Σειρές της μορφής a k (x x 0 ) k+α ονομάζονται σειρές F robenius, ϰαι οι αντίστοιχες λύσεις σε ϰανονιϰά ιδιόμορφα σημεία ονομάζονται λύσεις μορφής F robenius. Υπογραμμίζουμε πως λύσεις μορφής Frobenius με μη αϰέραια εναρϰτήρια δύναμη δεν είναι πραγματιϰές αναλυτιϰές στο ιδιόμορφο σημείο. Θεώρημα Fuchs για Ομαλό Σημείο. Αν το σημείο x 0 είναι ομαλό σημείο της εξίσωσης, τότε αυτή επιδέχεται λύσεις στο σημείο x 0 οι οποίες είναι πραγματιϰές αναλυτιϰές σε αυτό.

3 Σϰιαγράφηση Μεϑόδου Προσδιορισμού Τοπιϰής Λύσης σε Ομαλό Σημείο Οι συντελεστές a, b ως πραγματιϰές αναλυτιϰές συναρτήσεις στο σημείο x 0 R, επιδέχονται ανάπτυγμα Taylor στο σημείο αυτό, a(x) = A k (x x 0 ) k, b(x) = B k (x x 0 ) k. Ο προσδιορισμός της τοπιϰής λύσης στο σημείο x 0 ανάγεται στον προσδιορισμό της αϰολουϑίας των συντελεστών Taylor, {a k }, μέσω αναδρομιϰής σχέσης που προϰύπτει αντιϰαϑιστώντας στην εξίσωση τις σειρές Taylor για τη λύση, y, ϰαϑώς ϰαι για τους συντελεστές a, b, ομαδοποιώντας τους όρους ίδιας τάξης ϰαι εξισώνοντάς τους με μηδέν. Εδώ αντιλαμβανόμαστε το δεξί μέλος της εξίσωσης ως τη μηδενιϰή σειρά Taylor, ϰαι αξιοποιούμε τη μοναδιϰότητα των σειρών Taylor. Θεώρημα Fuchs για Κανονιϰό Ιδιόμορφο Σημείο. Αν το σημείο x 0 R είναι ϰανονιϰό ιδιόμορφο σημείο της εξίσωσης τότε αυτή δεν επιδέχεται λύσεις στο σημείο x 0 οι οποίες είναι πραγματιϰές αναλυτιϰές στο σημείο αυτό, πλην της τετριμμένης. Τουλάχιστον μια από τις γραμμιϰά ανεξάρτητες λύσεις της επιδέχεται ανάπτυγμα Frobenius στο σημείο x 0, δηλαδή είναι της μορφής y = (x x 0 ) α a k (x x 0 ) k = a k (x x 0 ) k+α όπου α R η εναρϰτήρια δύναμη της λύσης (γενιϰά μη αϰέραια). Χωρίς βλάβη γενιϰότητας, μπορούμε πάντα να υποϑέσουμε για τη σειρά Frobenius (x x 0 ) [a α 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) ότι a 0 0. Σϰιαγράφηση της Μεϑόδου Frobenius Το ϑεώρημα Fuchs διασφαλίζει την ύπαρξη τουλάχιστον μιας τοπιϰής λύσης της εξίσωσης της μορφής Frobenius σε γειτονιά ϰανονιϰού ιδιόμορφου σημείου της. Ο προσδιορισμός της τοπιϰής λύσης μορφής Frobenius ανάγεται στον προσδιορισμό της εναρϰτήριας δύναμης, α, ϰαι της αϰολουϑίας που προσδιορίζει το υπόλοιπο, πραγματιϰό αναλυτιϰό μέρος, {a k }. Θεωρούμε την εξίσωση σε μια γειτονιά ϰανονιϰού ιδιόμορφου σημείου της, x 0, ϰαι τη μετατρέπουμε σε μορφή στην οποία γίνεται έϰδηλη η ιδιομορφία των συντελεστών της στο σημείο αυτό, y + p(x) x x 0 y + q(x) (x x 0 ) 2 y = 0 Εστω συνάρτηση f που επιδέχεται ανάπτυγμα σε (μη τετριμμένη) σειρά Frobenius σε μη ϰενή γειτονιά του σημείου x 0, δηλαδή f(x) = (x x 0 ) [a α 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) Υπάρχει τουλάχιστον ένα k N 0 για το οποίο a k 0. Αν m είναι το ελάχιστο αυτών των k, τότε έχουμε f(x) = (x x 0 ) α+m[ a m +a m+1 (x x 0 )+a m+2 (x x 0 ) = (x x ) α[ 0 ã 0 +ã 1 (x x 0 )+ã 2 (x x 0 ) με α = α + m ϰαι ã k = a k+m, δηλαδή μπορούμε να ϑεωρήσουμε την α = α + m R ως εναρϰτήρια δύναμη της σειράς, με το υπόλοιπο, πραγματιϰό αναλυτιϰό μέρος της συνάρτησης, να έχει ως πρώτο όρο τη σταϑερά.

4 όπου οι συναρτήσεις p, q είναι πραγματιϰές αναλυτιϰές στο σημείο x 0, p(x) = p k (x x 0 ) k, q(x) = q k (x x 0 ) k. Ο προσδιορισμός της αϰολουϑίας των συντελεστών Taylor, {a k }, ϰαϑώς ϰαι της εναρϰτήριας δύναμης, α, γίνεται μέσω αναδρομϰής σχέσης που προϰύπτει αντιϰαϑιστώντας στην εξίσωση τη σειρά Frobenius για τη λύση, y, ϰαϑώς ϰαι τις σειρές Taylor για τους συντελεστές p, q, ομαδοποιώντας τους όρους ίδιας τάξης ϰαι εξισώνοντάς τους με μηδέν, σε αναλογία με την πραγματιϰή αναλυτιϰή περίπτωση. Εξισώνοντας, τάξη προς τάξη, τους όρους της σειράς με το μηδέν, προϰύπτει η αναδρομιϰή σχέση, ξεχωρίζοντας τη σχέση για k = 0, [α 2 + (p 0 1)α + q 0 a 0 = 0 k 1 [(α + k) 2 + (p 0 1)(α + k) + q 0 a k = [(α + l)p k l + q k l a l, k = 1, 2,... ή, σε συμπαγή μορφή, l=0 l=0 P (α) a 0 = 0 k 1 P (α + k) a k = [(α + l)p k l + q k l a l, k = 1, 2,... Με δεδομένο ότι a 0 0, όπως έχουμε συμβατιϰά υποϑέσει, η πρώτη σχέση προσδιορίζει την εναρϰτήρια δύναμη της πρώτης λύσης της εξίσωσης, ως ρίζα του εναρϰτήριου πολυωνύμου της εξίσωσης, P (α) := α 2 + (p 0 1) α + q 0. Η τοπιϰή συμπεριφορά της δεύτερης γραμμιϰά ανεξάρτητης λύσης της εξίσωσης, πέρα από την πρώτη λύση που είναι της μορφής Frobenius, ϰαϑορίζεται από τη συμπεριφορά του εναρϰτήριου πολυωνύμου, συγϰεϰριμένα, τη ριζιϰή του δομή. Ειδιϰότερα, ξεχωρίζουμε τις εξής περιπτώσεις: Α. Οι ρίζες του P δε διαφέρουν ϰατά μη αρνητιϰό αϰέραιο αριϑμό. Εστω α 1, α 2 C οι ρίζες του P (συμβατιϰά ϑεωρούμε Re α 1 > Re α 2 ), οι οποίες πρέπει να είναι τέτοιες ώστε α 1 α 2 / N 0. Σε αυτή την περίπτωση, η εξίσωση επιδέχεται 2 γραμμι- ϰά ανεξάρτητες λύσεις της μορφής Frobenius, στη γειτονιά του σημείου x 0, με αντίστοιχες εναρϰτήριες δυνάμεις τις α 1 ϰαι α 2, ϰαϑώς ϰαι συντελεστές Taylor που προσδιορίζονται από την αντιϰατάσταση των τιμών α 1, α 2, αντίστοιχα, στις παραπάνω αναδρομιϰές σχέσεις. Β. Οι ρίζες του P διαφέρουν ϰατά μη αρνητιϰό αϰέραιο αριϑμό. Τότε, έχουμε α 1 α 2 =: N N 0. Αυτή η περίπτωση διαϰρίνεται στις εξής υποπεριπτώσεις: Β 1. Το P έχει διπλή ρίζα.

5 Εστω α 1 η διπλή ρίζα. Σε αυτή την περίπτωση, η δεύτερη γραμμιϰά ανεξάρτητη λύση της εξίσωσης έχει τη μορφή y 2 = y 1 (x) log(x x 0 ) + (x x 0 ) α 1 b k (x x 0 ) k, b k = a k α (α 1) όπου y 1 = a k (x x 0 ) k+α 1 η πρώτη λύση Frobenius, ϰαι a k (α) η γενιϰή λύση της αναδρομιϰής σχέσης, δηλαδή a k (α 1 ) = a k. Β 2. Οι ρίζες του P διαφέρουν ϰατά φυσιϰό αριϑμό. Τότε, έχουμε α 1 α 2 = N N. Εδώ, ενώ το αριστερό μέλος της αναδρομιϰής σχέσης P (α + k) a k ϑα μηδενίζεται για α = α 2 ϰαι k = N, αφού P (α 2 + N) a N = P (α 1 ) a N = 0 a N, το δεξί μέλος της αναδρομιϰής σχέσης, για α = α 2 ϰαι k = N, δηλαδή 0 l N 1 [(α 2 + l)p N l + q N l a l, είτε i) δε μηδενίζεται, οπότε ϰαι η δεύτερη λύση δεν είναι της μορφής Frobenius, άλλα έχει λογαριϑμιϰή συμπεριφορά, που δίνεται από y 2 = c k (x x 0 ) k+α 2 u α (x, α 1) όπου c k (x x 0 ) k+α 2 είναι οποιαδήποτε ειδιϰή λύση της μη ομογενούς εξίσωσης y + p(x) y + q(x) x x 0 (x x 0 ) y = a 0P (α 2 1 ) (x x 0 ) α 2+N 2 ϰαι u(x, α) = a k (α) (x x 0 ) k+α είναι η σειρά Frobenius που προϰύπτει από την αναδρομιϰή σχέση, για γενιϰή εναρϰτήρια δύναμη α, δηλαδή u(x, α 1 ) = y 1 (x), είτε ii) μηδενίζεται, οπότε η δεύτερη λύση είναι ϰι αυτή της μορφής Frobenius, με εναρϰτήρια δύναμη α 2 ϰαι συντελεστές Taylor που προϰύπτουν από την αντιϰατάσταση της α 2 στην αναδρομιϰή σχέση. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. Εντοπίστε ϰαι χαραϰτηρίστε, αν υπάρχουν, ιδιόμορφα σημεία στο R ή στο άπειρο, των παραϰάτω ϰλασιϰών δευτεροτάξιων διαφοριϰών εξισώσεων. Α 1. Εξίσωση Airy y x y = 0. Α 1. Εξίσωση Hermite Α 2. Εξίσωση Legendre y 2x y + λ y = 0, λ R. (1 x 2 ) y 2x y + l(l + 1) y = 0, l Z. Α 3. Εξίσωση Bessel x 2 y + x y + (x 2 n 2 ) y = 0, n Z. Η λογαριϑμιϰή συμπεριφορά προϰύπτει από την παράγωγο u α.

6 Α 4. Τροποποιημένη εξίσωση Bessel Α 5. Εξίσωση Laguerre Α 6. Εξίσωση Gegenbauer Α 7. Εξίσωση Mathieu y + 1 x y (1 + ν2 x 2 ) y = 0, ν R\Z. x y + (1 x) y + λ y = 0, λ R. (1 x 2 ) y (2µ + 1) x y + λ(λ + 2µ) y = 0, λ, µ R. y + (a 2q cos 2x) y = 0, a, q R. Α 8. Υπεργεωμετριϰή εξίσωση [ x(1 x) y + c (a + b + 1) x y ab y = 0, a, b, c R. Α 9. Συμβάλλουσα υπεργεωμετριϰή εξίσωση x y + (c x) y λ y = 0, λ, c R. Β. Προσδιορίστε την τοπιϰή συμπεριφορά της λύσης της διαφοριϰής εξίσωσης y 2x y = 0 στο σημείο 0. Γ. Εστω το πρόβλημα αρχιϰών τιμών { y x 3 y = 0 y(0) = 0, y (0) = 1. Επαληϑεύστε την ασυμπτωτιϰή συμπεριφορά της λύσης y x + x x9 1440, x 0. Δ. Επαληϑεύστε ότι η εξίσωση 4x 2 y + y = 0 δεν έχει μη τετριμμένες πραγματιϰές αναλυτιϰές λύσεις στο σημείο 0. Υπόδειξη: ϰάτω από την αλλαγή ανεξάρτητης μεταβλητής ξ = x 1 έχουμε τον εξής μετασχηματισμό παραγώγων d dx = d ξ2 dξ, d 2 dx = d2 2 ξ4 dξ + d 2 2ξ3 dξ.

7 Ε. Διερευνήστε την ασυμπτωτιϰή συμπεριφορά της γενιϰής λύσης της εξίσωσης ϰαϑώς x ±. x 4 y + 2x 3 y + y = 0 ΣΤ. Δείχτε πως αν a, b R σταϑερές, τότε το σημείο στο άπειρο x = είναι ιδιάζον ιδιόμορφο σημείο της εξίσωσης y + a y + b y = 0. Ζ. Προσδιορίστε την τοπιϰή συμπεριφορά της λύσης του προβλήματος αρχιϰών τιμών για την εξίσωση Airy στο σημείο 0 { y x y = 0 y(0) = 0, y (0) = 1. Η. Χρησιμοποιήστε το ϑεώρημα Fuchs για να προσδιορίσετε την τοπιϰή συμπεριφορά των γενιϰών λύσεων των παραϰάτω εξισώσεων στο σημείο 0, δίνοντας τους τέσσερεις πρώτους όρους της αντίστοιχης σειράς Taylor. Η 1. y + sin x y x y = 0. Η 2. y + (1 e x ) y + 2 y = 0. Η 3. y + x 2 y = 0. Θ. Εστω η τροποποιημένη εξίσωση Bessel (βλέπε Α 4). Θ 1. Εξετάστε τον χαραϰτήρα ϰατά Fuchs του σημείου 0 της εξίσωσης. Θ 2. Προσδιορίστε μια λύση μορφής Frobenius στο σημείο αυτό. Θ 3. Διερευνήστε τις προϋποϑέσεις ύπαρξης δεύτερης, γραμμιϰά ανεξάρτητης λύσης, μορφής Frobenius. 7/5/2019, Πάνος Καραγιώργος