ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο. Συνδυαστική - Πιθανότητες. Απαρίθμηση. Μεταθέσεις. Συνδυασμοί

Save this PDF as:
Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο. Συνδυαστική - Πιθανότητες. Απαρίθμηση. Μεταθέσεις. Συνδυασμοί"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο Συνδυαστική - Πιθανότητες Απαρίθμηση Διατάξεις Μεταθέσεις Διατάξεις με επανάληψη Συνδυασμοί Πείραμα - Δειγματικός χώρος Πράξεις με ενδεχόμενα Έννοια Πιθανότητας Ορισμός Πιθανότητας Κανόνες λογισμού πιθανοτήτων Δεσμευμένη Πιθανότητα Ανεξάρτητα ενδεχόμενα

2 2.1 Απαρίθμηση Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε τεχνικές απαρίθμησης των στοιχείων ενός συνόλου. Το ρήμα "απαριθμώ" αναφέρεται στην ένα προς ένα καταγραφή των στοιχείων ενός συνόλου. Η πράξη της καταγραφής λέγεται απαρίθμηση. Παράδειγμα απαρίθμησης αποτελεί η καταγραφή του αριθμού των μαθητών της Γ' Λυκείου που επέλεξαν το μάθημα της Στατιστικής. Βασική Αρχή Απαρίθμησης Αν μια διαδικασία είναι δυνατόν να χωρισθεί σε ν διαδοχικές φάσεις, έτσι ώ- στε η πρώτη φάση να μπορεί να εκτελεστεί με κ1 τρόπους, η δεύτερη με κ 2 τρόπους... και η ν-οστή με κ ν τρόπους, τότε αυτή η διαδικασία μπορεί να ε- κτελεστεί με κι.κ 2...κ ν διαφορετικούς τρόπους. Παράδειγμα 1 : Ένα γραφείο ταξιδιών έχει 4 οδηγούς και 3 πούλμαν. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί ένας οδηγός και ένα πούλμαν να συνδυασθούν σε ένα ταξίδι; Απάντηση Η ύπαρξη 4 οδηγών και 3 πούλμαν παρέχει κ1=4 δυνατότητες επιλογής οδηγού και κ2=3 δυνατότητες επιλογής πούλμαν, με συνέπεια να έχουμε κ1 κ 2 = 4.3 = 12 διαφορετικούς τρόπους συνδυασμού οδηγού και πούλμαν για ένα ταξίδι. Ένας τρόπος παρουσίασης της απαρίθμησης είναι το «δενδροδιάγραμμα» Αν συμβολίσουμε τους 4 οδηγούς με Α, Β, Γ, Δ και τα 3 πούλμαν με I, II, III, οι δώδεκα διαφορετικοί τρόποι με τους οποίους μπορούν να συνδυαστούν ένας οδηγός και ένα πούλμαν, δίνονται στο δενδροδιάγραμμα του Σχήματος (2.1).

3 Σχήμα (2.1) Δενδροδιάγραμμα των τρόπων συνδυασμού οδηγού και πούλμαν. Παράδειγμα 2 : Μία πινακίδα αριθμού κυκλοφορίας αυτοκινήτου περιέχει τρία γράμματα, τα οποία ακολουθούνται από ένα τετραψήφιο αριθμό. Πόσες διαφορετικές πινακίδες μπορούμε να κατασκευάσουμε αν θέλουμε τα γράμματα να είναι διαφορετικά μεταξύ τους και να χρησιμοποιούνται μόνο εκείνα που υπάρχουν και στο Λατινικό αλφάβητο; Απάντηση Από τα 24 γράμματα του ελληνικού αλφαβήτου πρέπει να εξαιρέσουμε τα Γ, Δ, Θ, Λ. Ξ, Π, Σ, Φ, Ψ, Ω που δεν υπάρχουν στο Λατινικό αλφάβητο. Επομένως θα χρησιμοποιήσουμε τα υπόλοιπα 14 γράμματα. Άρα το πρώτο τμήμα της πινακίδας καλύπτεται με = τρόπους. Το δεύτερο τμήμα της πινακίδας καλύπτεται με = τρόπους, αφού το 0 δεν μπορεί να γραφεί στη θέση των χιλιάδων. Άρα υπάρχουν (2.184) (9.000) = διαφορετικές πινακίδες. Το ν! (παραγοντικό) Για κάθε ν e Ν* το σύμβολο ν! διαβάζεται "ν παραγοντικό" και ορίζεται ως ν!=123...ν με 0!=1 1!=1 Π.χ. 2! = 1 2 = 2 Π.χ. 12! = = Ισχύει για κάθε v e Ν* ότι: ν! = (ν-1)!ν Π.χ. 14! =(14-1)! 4 = 13! 4

4 Διατάξεις - Μεταθέσεις - Συνδυασμοί 2.2 Διατάξεις Η βασική αρχή της απαρίθμησης εφαρμόζεται συχνά σε προβλήματα επιλογής κάποιων στοιχείων ενός συνόλου και τοποθέτησής τους σε σειρά. Παράδειγμα 3ο: Με πόσους διαφορετικούς τρόπους οι 285 μαθητές ενός σχολείου μπορούν να εκλέξουν τον πρόεδρο, τον αντιπρόεδρο και το γραμματέα του 15μελούς συμβουλίου τους; Απάντηση Εφαρμόζοντας τη βασική αρχή της απαρίθμησης: κ1 = 285, κ 2 = 284, κ 3 = 283 (αδιαφορώντας ποιος θα επιλέγει πρώτος, δεύτερος, τρίτος) έχουμε: = διαφορετικούς τρόπους Έστω ένα μη κενό σύνολο Α = {α1, α 2, α 3,..., α ν }, v e N* και κ ε Ν*, κ<ν Διάταξη Καλείται διάταξη των ν αυτών στοιχείων του Α ανά κ, κάθε τοποθέτηση σε μία σειρά κ διαφορετικών στοιχείων του Α Αν παραστήσουμε με Δ ν κ το πλήθος των διατάξεων αυτών, τότε με εφαρμογή της βασικής αρχής της απαρίθμησης αποδεικνύεται ότι: Δνκ =ν(ν-1)...(ν-ν + 1) Πράγματι έχουμε να συμπληρώσουμε κ θέσεις: Η 1η θέση μπορεί να συμπληρωθεί με ν τρόπους, Η 2η θέση μπορεί να συμπληρωθεί με ν-1 τρόπους, Η κ η θέση μπορεί να συμπληρωθεί με ν-κ+1 τρόπους.

5 Επομένως, σύμφωνα με τη βασική αρχή της απαρίθμησης, οι κ το πλήθος θέσεις μπορούν να συμπληρωθούν με V (ν -1) (ν - 2)...(ν - κ +1) τρόπους ή Δ=ν(ν-1)(ν-2)...(ν - κ + 1) Αν χρησιμοποιήσουμε το σύμβολο του παραγοντικού για να εκφράσουμε το πλήθος των διατάξεων των ν ανά κ, με κ < ν έχουμε : δηλαδή Παράδειγμα 4ο: Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούν να απονεμηθούν τα μετάλλια χρυσό, αργυρό και χάλκινο στους 8 αθλητές που συμμετέχουν στον τελικό του δρόμου των 100 μέτρων; Απάντηση: Οι τρόποι που μπορούν να απονεμηθούν τα μετάλλια χρυσό, αργυρό και χάλκινο στους 8 αθλητές του δρόμου των 100 μέτρων είναι όσες και οι διατάξεις των 8 ανά 3, δηλαδή : 2.3 Μεταθέσεις Μετάθεση Μια διάταξη όλων των ν στοιχείων του Α ανά ν ονομάζεται μετάθεση των ν στοιχείων του Α Αν παραστήσουμε με Μ ν το πλήθος των μεταθέσεων αυτών, τότε πάλι με ε- φαρμογή της βασικής αρχής της απαρίθμησης προκύπτει Μ ν = ν, δηλαδή: Μ ν =ν!

6 Παράδειγμα 5 : Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούν να εμφανιστούν στο γήπεδο οι 8 ομάδες ποδοσφαίρου ενός από τους 3 ομίλους του παγκόσμιου κυπέλλου ; Απάντηση: Οι διαφορετικοί τρόποι με τους οποίους οι ομάδες ποδοσφαίρου μπορούν να παρουσιαστούν στο γήπεδο είναι όσες και οι μεταθέσεις των 8 ομάδων, δηλαδή Μ 8 =8! = τρόποι 2.4 Διατάξεις με επανάληψη Έστω το σύνολο Α={1, 2, 3, 4}. Θέλουμε να βρούμε το πλήθος των τριψήφιων αριθμών που μπορούμε να σχηματίσουμε με ψηφία τα στοιχεία του Α, όταν κάθε αριθμός μπορεί να έχει μερικά ή και όλα τα ψηφία του ίδια. Έχουμε να συμπληρώσουμε 3 θέσεις : Η 1η θέση, δηλαδή το ψηφίο των εκατοντάδων, μπορεί να συμπληρωθεί με 4 τρόπους. Η 2η θέση, δηλαδή το ψηφίο των δεκάδων, μπορεί να συμπληρωθεί επίσης με 4 τρόπους, τέλος και η 3η θέση, δηλαδή το ψηφίο των μονάδων, μπορεί να συμπληρωθεί με 4 τρόπους. Άρα υπάρχουν συνολικά = 43 διαφορετικοί αριθμοί. Κάθε μία από τις διατεταγμένες αυτές τριάδες λέγεται διάταξη με επανάληψη των 4 στοιχείων ανά 3. Γενικά: Διατάξεις με επανάληψη Διάταξη με επανάληψη των ν στοιχείων ανά κ είναι, κάθε τοποθέτηση σε σειρά κ στοιχείων που λαμβάνονται από τα ν, αν κάθε στοιχείο μπορεί να επαναλαμβάνεται μέχρι κ φορές (εδώ το κ μπορεί να είναι ίσο, μικρότερο ή μεγαλύτερο του ν).

7 Αν παραστήσουμε με Εκ το πλήθος των διατάξεων με επανάληψη των ν στοιχείων ανά κ, τότε με συλλογισμούς ανάλογους με αυτούς του παραδείγματος θα έχουμε: Ενκ=ν κ Για παράδειγμα οι διαφορετικές στήλες που μπορούμε να συμπληρώσουμε στο ΠΡΟ-ΠΟ είναι όσες οι διατάξεις με επανάληψη των 3 ανά 13, δηλαδή: Ε313 = 3 13 = στήλες. 2.5 Συνδυασμοί Από πέντε μαθήτριες μιας τάξης {Γ, Μ, I, Α, Σ} θέλουμε να επιλέξουμε τριμελή ομάδα μαθητριών, χωρίς να μας ενδιαφέρει η κατάταξη των μελών της ομάδας, προκειμένου να συμμετάσχουν στο ανέβασμα ενός θεατρικού έργου τριών ρόλων. Αν χ είναι ο αριθμός των διαφορετικών τριμελών θεατρικών ομάδων που μπορούμε να επιλέξουμε, τότε σε κάθε τέτοια ομάδα η διανομή των ρόλων μπορεί να γίνει κατά 3! τρόπους. Επομένως, αν πολλαπλασιάσουμε τον αριθμό των τρόπων με τους οποίους μπορούν να διανεμηθούν οι 3 ρόλοι, στις x θεατρικές ομάδες βρίσκουμε 3! x. Ο αριθμός αυτός όμως είναι το πλήθος των διατάξεων των 5 κοριτσιών ανά 3 δηλαδη: και συνεπώς ο συνολικός αριθμός των τριμελών θεατρικών ομάδων που μπορούν να γίνουν από το σύνολο των πέντε μαθητριών είναι 10 και συγκεκριμένα οι: {Γ, Μ, Ι},, {Γ, Μ, Α}, {Γ, Μ, Σ}, {Γ, I, Α,}, {Γ, I, Σ} {Γ, Α, Σ}, {Μ,Ι,Α}, {Μ, I, Σ}, {Μ, Α, Σ}., {Ι,Α,Σ}. Κάθε επιλογή από τις δέκα δυνατές επιλογές λέγεται συνδυασμός των 5 ανά 3.

8 Γενικά : Συνδυασμός Συνδυασμός των ν στοιχείων ενός συνόλου Α ανά κ, είναι κάθε υποσύνολο του Α με κ στοιχεία. Το πλήθος των συνδυασμών των ν στοιχείων ανά κ, το συμβολίσουμε με και αν εργαστούμε όπως στο προηγούμενο παράδειγμα βρίσκουμε ότι: Από κάθε συνδυασμό των ν ανά κ προκύπτουν κ! διατάξεις. Επομένως, το πλήθος των διατάξεων των ν ανά κ είναι: Παράδειγμα 6 : Ένας μαθητής πρέπει να απαντήσει στις εξετάσεις της Ιστορίας σε 6 από 9 ε- ρωτήσεις. Πόσες επιλογές έχει; Απάντηση Οι επιλογές που έχει ένας μαθητής να απαντήσει στις 6 από τις 9 ερωτήσεις είναι όσες και οι συνδυασμοί των 9 ανά 6, δηλαδή:

9 Εφαρμογή: α) Για κάθε x,y e R και ve Ν* ισχύει: (τύπος του διωνύμου) β) Να δείξετε ότι: ν, μ e Ν* και μ<ν Απάντηση: α) Για x=y=l από τον τύπο του διωνύμου έχουμε : οποτε: β) Έχουμε :

10 Σημείωση: Στην παραπάνω πρόταση στηρίζεται η κατασκευή του τριγώνου Pascal, το οποίο μας δίνει ένα πρακτικό κανόνα για τον υπολογισμό των συντελεστών των όρων του (x + y) v Η ν-οστή σειρά του τριγώνου αυτού, δίνει τους συντελεστές του αναπτύγματος (x + y) v-1, π.χ. για ν = 5 έχουμε: (X + y) 4 = x 4 + 4x 3 y + 6x 2 y 2 + 4xy 3 + y 4

11 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΟΜΑΔΑ Α 1. Με πόσους τρόπους 9 παιχνίδια μπορούν να μοιρασθούν σε 4 παιδιά, αν το νεώτερο πάρει 3 παιχνίδια και το καθένα από τα υπόλοιπα 2 παιχνίδια ; 2. Πόσοι είναι οι τρόποι με τους οποίους 10 βιβλία μπορούν να διανεμηθούν σε 5 μαθητές, ώστε κάθε μαθητής να πάρει 2 βιβλία ; 3. Σε μία διεθνή σύσκεψη συμμετέχουν 3 Αμερικανοί, 4 Γάλλοι, 3 Γερμανοί και 2 Έλληνες. Με πόσους τρόπους μπορούν να καθίσουν έτσι, ώστε τα μέλη της ίδιας εθνικότητας να κάθονται μαζί; 4. Βρείτε τον αριθμό των αναγραμματισμών που μπορούν να προκύψουν από τις λέξεις: α) ΣΕΙΡΑ β) ΠΟΣΟΣΤΟ γ) ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ (Ανεξάρτητα από το νόημα των λέξεων) ΟΜΑΔΑ Β 1. Να λύσετε τις εξισώσεις : 2. Πόσες μεταθέσεις των στοιχείων 1,2,..., ν υπάρχουν στις οποίες το 1 δεν κατέχει την 1η θέση; 3. Με πόσους τρόπους 12 μαθητές μιας τάξης μπορούν να χωρισθούν σε τρεις ομάδες των 4 ατόμων, προκειμένου να τους ανατεθούν τρεις διαφορετικές εργασίες; Πόσοι είναι οι τρόποι αυτοί με τους οποίους μπορούν να χωρισθούν οι 12 μαθητές της τάξης σε τρεις ομάδες των 4 ατόμων ; 4. α) Θεωρούμε την ταυτότητα (1 +x) v (x+1 ) ν = (1 +x) 2ν, όπου ve Ν. Να αναπτύξετε καθένα διώνυμο και να βρείτε το συντελεστή του x ν στο 1ο μέλος και στο 2ο μέλος της ταυτότητας.

12 β) Να δείξετε ότι: 2.6 Πείραμα τύχης - Δειγματικός χώρος Με τον όρο «πείραμα» εννοούμε κάθε διαδικασία που καταλήγει σε ένα ή περισσότερα αποτελέσματα ή όπως διαφορετικά λέγονται παρατηρήσεις ή εξαγόμενα. Η εκτέλεση ενός πειράματος ονομάζεται δοκιμή ή προσπάθεια και μπορεί να επαναληφθεί μία ή περισσότερες φορές. Τα πειράματα διακρίνονται σε προσδιορίσιμα και σε μη προσδιορίσιμα ή τυχαία. Προσδιορίσιμο ονομάζεται ένα πείραμα όταν τα αποτελέσματά του είναι γνωστά με ακρίβεια πριν από την εκτέλεσή του. Έτσι, π.χ. όταν θερμαίνουμε μια ποσότητα αποσταγμένου νερού υπό πίεση 760 mm Hg, ξέρουμε εκ των προτέρων ότι το νερό θα αρχίσει να βράζει όταν η θερμοκρασία του φθάσει στους 100 C. Αντιθέτως, μη προσδιορίσμο ή τυχαίο ονομάζεται ένα πείραμα όταν τα αποτελέσματά του δεν μπορούν να προβλεφθούν με ακρίβεια, μολονότι επαναλαμβάνονται(φαινομενικά τουλάχιστον) πάντοτε κάτω από τις ίδιες συνθήκες, π.χ. στο πείραμα της ρίψης ενός ζαριού, το αποτέλεσμα θα είναι βέβαια ένας από τους α- ριθμούς 1, 2, 3, 4, 5, 6, αλλά ποιος ακριβώς, δεν είναι δυνατόν εκ των προτέρων να προβλεφθεί. Δειγματικός χώρος Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων του τυχαίου πειράματος αποτελεί το δειγματικό χώρο Ω. Δειγματικό σημείο Κάθε ένα από τα δυνατά αποτελέσματα ενός τυχαίου πειράματος ονομάζεται στοιχειώδες ενδεχόμενο ή δειγματικό σημείο ή εξαγόμενο. Ενδεχόμενο Κάθε υποσύνολο Α του δειγματικού χώρου Ω ονομάζεται ενδεχόμενο.

13 Π.χ. αν το πείραμα είναι η ρίψη ενός νομίσματος 2 φορές, ο δειγματικός χώρος είναι Ω = {ΚΓ, ΓΓ, ΚΚ, ΓΚ} και το σύνολο Α = {ΚΚ, ΓΓ} c Ω αποτελεί ενδεχόμενο του δειγματικού χώρου Ω. Όταν το αποτέλεσμα του πειράματος σε μία συγκεκριμένη εκτέλεσή του είναι στοιχείο του Α, τότε λέμε ότι το ενδεχόμενο αυτό πραγματοποιείται. Ένα ενδεχόμενο ονομάζεται απλό, όταν έχει ένα μόνο στοιχείο και σύνθετο, αν έχει περισσότερα από ένα στοιχεία. Το κενό σύνολο 0 και το σύνολο Ω είναι ενδεχόμενα. Το 0 στη γλώσσα των πιθανοτήτων ονομάζεται αδύνατο ενδεχόμενο, ενώ το Ω βέβαιο ενδεχόμενο. 2.7 Πράξεις με ενδεχόμενα Μπορούμε να συνδυάσουμε ενδεχόμενα προς δημιουργία νέων ενδεχομένων χρησιμοποιώντας τις γνωστές πράξεις των συνόλων. Στον παρακάτω πίνακα αναφέρονται συνοπτικά οι σημαντικότερες πράξεις μεταξύ δύο ενδεχομένων και το αντίστοιχο κάθε φορά διάγραμμα του Venn. Διάγραμμα του Venn Δύο ενδεχόμενα Α και Β λέγονται ασυμβίβαστα, ή αμοιβαίως αποκλειόμενα όταν A n Β = 0

14 2.8 Έννοια Πιθανότητας Σε τυχαίο πείραμα συνηθίζουμε να εκφράζουμε την προσωπική μας γνώμη για το βαθμό βεβαιότητας εμφάνισης ενός ενδεχομένου. Λέμε π.χ. Ότι είναι σχεδόν αδύνατο στις 20 ρίψεις ενός ζαριού να φέρουμε 20 άσσους. ή Ότι είναι πιθανό να βρέξει κατά τη διάρκεια των αγώνων Ότι πιθανότατα ο Γιώργος θα είναι ο νέος αρχηγός της ομάδας μπάσκετ του σχολείου του. Στα παραπάνω παραδείγματα δίνουμε την προσωπική μας εκτίμηση για το «βαθμό βεβαιότητας» ή διαφορετικά για το «μέτρο της πιθανότητας» πραγματοποίησης ενός ενδεχομένου. Αυτό όμως που χρειαζόμαστε πολύ περισσότερο είναι ένα αντικειμενικό και όχι υποκειμενικό μέτρο πιθανότητας και το οποίο θα προσπαθήσουμε να αναπτύξουμε στην παρούσα ενότητα. 2.9 Ορισμός Πιθανότητας Από πρακτικής άποψης, η παρακάτω ερμηνεία της πιθανότητας φαίνεται να είναι η χρησιμότερη. Έστω Ω ο δειγματικός χώρος και Α ένα ενδεχόμενο του. Θεωρούμε ένα αριθμό ν επαναλαμβανόμενων δοκιμών, των οποίων τα αποτελέσματα περιέχονται στο σύνολο Ω. Αν κ ο αριθμός εμφάνισης του ενδεχόμενου Α στις ν επαναλαμβανόμενες δοκιμές, τότε η πιθανότητα Ρ(Α) του ενδεχομένου Α, ορίζεται ως: Πρέπει να σημειωθεί ότι, για σταθερό ν, η ποσότητα είναι η σχετική συχνότητα του ενδεχομένου Α και συμβολίζεται με f A. Είναι πρακτικώς αδύνατο να επαναλάβουμε το πείραμα άπειρες, το πλήθος, φορές (ν» + <*>), για να προσδιορίσουμε το όριο της σχέσης (2.1). Μπορούμε να παρατηρήσουμε όμως ότι, όσο αυξάνει ο αριθμός ν των δοκιμών, η σχετική συχνότητα f A εμφάνισης του ενδεχομένου Α σταθεροποιείται γύρω από μια συγκεκριμένη τιμή, όπως θα δούμε στα παρακάτω δύο παραδείγματα. Κατά την εκτέλεση του πειράματος της ρίψης ενός ζαριού, οι συχνότητες εμφάνισης των όψεων 1, 2, 3, 4, 5, 6 στις 25, 50, 100, 500, 1.000, 2.000, 5.000, 8.000, ρίψεις φαίνονται στον πίνακα:

15 Πίνακας συχνοτήτων Διαιρώντας τη συχνότητα εμφάνισης μιας όψης με τον αριθμό των ρίψεων, βρίσκουμε τη σχετική συχνότητα της εμφάνισης της όψης αυτής. Τα αποτελέσματα φαίνονται στον παρακάτω πίνακα σχετικών συχνοτήτων : Πίνακας σχετικών συχνοτήτων Παρατηρούμε ότι όταν αυξάνεται ο αριθμός ν των ρίψεων, η σχετική συχνότητα εμφάνισης κάθε όψης σταθεροποιείται γύρω από κάποιο αριθμό (εδώ είναι διαφορετικός για κάθε όψη). Κατά την εκτέλεση του πειράματος της ρίψης ενός νομίσματος σημειώνουμε με Κ το αποτέλεσμα «κεφάλι» και με Γ το αποτέλεσμα «γράμματα». Στον παρακάτω πίνακα αναφέρονται το πλήθος των Κ και οι αντίστοιχες σχετικές συχνότητες στις 10, 20, 30,..., 200 ρίψεις του νομίσματος και στο Σχ. (2.2) παριστάνεται το αντίστοιχο διάγραμμα σχετικών συχνοτήτων:

16 Πίνακας ρίψεων ενός νομίσματος Παρατηρούμε ότι καθώς αυξάνεται ο αριθμός ν των ρίψεων, η σχετική συχνότητα f K εμφάνισης του «κεφαλιού» σταθεροποιείται γύρω από την τιμή 0,5 ή όπως λέμε «τείνει» στον αριθμό 0,5. Με άλλα λόγια, σε ένα μεγάλο αριθμό ρίψεων ενός «αμερόληπτου» νομίσματος, δηλαδή ενός νομίσματος που είναι συμμετρικό και ομογενές, αναμένουμε ότι οι σχετικές συχνότητες των ενδεχομένων {Κ}, {Γ} είναι ίσες. Ομοίως και στο προηγούμενο παράδειγμα, αν το ζάρι ήταν αμερόληπτο, η σχετική συχνότητα καθενός από τα απλά ενδεχόμενα {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} θα έτεινε στον αριθμό 1/6.

17 Σε τέτοια πειράματα λέμε ότι ο δειγματικός χώρος (δ.χ) αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Έτσι: Αν Ω είναι ένας δ.χ. με απλά ισοπίθανα ενδεχόμενα, τότε η πιθανότητα ενός ενδεχόμενου Α είναι: ή όπως λέμε : Υπάρχουν όμως πειράματα τύχης των οποίων ο δειγματικός χώρος δεν αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Για τις περιπτώσεις αυτές χρησιμοποιούμε τον παρακάτω αξιωματικό ορισμό της πιθανότητας: Έστω Ω = {ω 1, ω 2,..., ων,} ένας δειγματικός χώρος με πεπερασμένο πλήθος στοιχείων. Σε κάθε απλό ενδεχόμενο {ωi} αντιστοιχίζουμε έναν πραγματικό αριθμό, που το συμβολίζουμε με Ρ(ωi), έτσι ώστε να ισχύουν: 0< Ρ(ωi) <l Ρ(ω 1 ) + Ρ(ω 2 ) Ρ(ω ν ) = 1 Τον αριθμό P(ωi) ονομάζουμε πιθανότητα του ενδεχομένου {ωi}. Ως πιθανότητα Ρ(Α) ενός ενδεχομένου Α = {α1,α 2,...,α κ } ορίζουμε το ά- θροισμα Ρ(α1)+Ρ(α 2 )+...+Ρ(α κ ), ενώ ως πιθανότητα του αδύνατου ενδεχομένου 0 ορίζουμε τον αριθμό Ρ(0) = 0. i=l, 2,..., ν, τότε έχουμε τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας ενός ενδεχομένου. Στην πράξη, ιδιαίτερα στην περίπτωση που δεν ισχύει ο κλασσικός ορισμός της πιθανότητας, ως πιθανότητα ενός ενδεχομένου Α λαμβάνεται το όριο της σχετικής του συχνότητας. Από τον κλασσικό ορισμό της πιθανότητας προκύπτει ότι: 3. Για κάθε ενδεχόμενο Α ισχύει 0 < Ρ (Α) < 1, αφού 0 < Ν(Α)< Ν(Ω)

18 2.10 Κανόνες λογισμού πιθανοτήτων Για τις πιθανότητες των ενδεχομένων ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες, γνωστές ως «κανόνες λογισμού των πιθανοτήτων» 1. Αθροισμα : Για δύο ενδεχόμενα Α, Β ισχύει: Ρ(Α υ Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ{Α η Β) Αν τα Α, Β είναι ασυμβίβαστα, τότε : Ρ(Α U Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) 2. Ανισότητα : Για δύο ενδεχόμενα Α, Β για τα οποία A c Β, δηλαδή το ενδεχόμενο Α περιέχεται στο Β, ισχύει: Ρ(Α) < Ρ(Β) 3. Συμπλήρωμα : Για κάθε ενδεχόμενο Α ισχύει: Ρ(Α) + Ρ(Α') = 1 όπου Α' το συμπλήρωμα του Α ως προς το Ω 2.11 Δεσμευμένη πιθανότητα Ένας από τους καθηγητές Γυμνασίου-Λυκείου πρόκειται να εκλεγεί ως εκπρόσωπος στην επιτροπή παιδείας του Δήμου. Υποψήφιοι είναι από το Γυμνάσιο 4 άνδρες, 2 γυναίκες και από το Λύκειο 1 άνδρας και 3 γυναίκες. Σύμφωνα με αυτά τα δεδομένα οι υποψήφιοι μπορούν να ταξινομηθούν στον ακόλουθο πίνακα ως εξής: Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α : Να εκλεγεί καθηγητής Γυμνασίου Β : Να εκλεγεί γυναίκα

19 Ένας κατάλληλος δειγματικός χώρος Ω δίνεται στο Σχ.(2.3), όπου κάθε σημείο αντιπροσωπεύει έναν υποψήφιο. Με την παραδοχή ότι τα 10 στοιχεία του δειγματικού χώρου Ω είναι ισοπίθανα έχουμε : Αν υποθέσουμε ότι έχει κληρωθεί γυναίκα, τότε έχει πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο Β. Αυτό σημαίνει ότι ο εκπρόσωπος θα είναι μία από τις 5 γυναίκες και επομένως, η πιθανότητα να είναι καθηγήτρια του Γυμνασίου είναι Πράγματι, με την πληροφορία ότι έχει κληρωθεί γυναίκα ο μεν δειγματικός χώρος Ω περιορίζεται στο ενδεχόμενο Β το δε ενδεχόμενο Α στο ενδεχόμενο Α Π Β. Η πιθανότητα του Α με δεδομένη την εμφάνιση του Β ονομάζεται δεσμευμένη πιθανότητα του Α με δεδομένο το Β και συμβολίζεται Ρ(Α/Β). Παρατηρούμε ότι. Ρ(Α/Β) είναι γενικώς διαφορετική της Ρ(Α). Σχ. (2.3) Με την αρχική αποδοχή ότι ο δειγματικός χώρος Ω αποτελείται από ισοπίθανα, απλά ενδεχόμενα, η ζητούμενη πιθανότητα είναι :

20 Δεσμευμένη πιθανότητα Αν Α και Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω και Ρ(Β)>0, τότε ο λόγος λέγεται δεσμευμένη πιθανότητα του Α με δεδομένο το Β και συμβολίζεται με Ρ(Α/Β), δηλαδή : με Ρ(Β)>0 Από τον παραπάνω ορισμό προκύπτει: Ρ(Α Β) = Ρ(Β)Ρ(Α / Β) Αν Ρ(Α)>0, ανάλογα έχουμε: και Ρ(Α Β) = Ρ(Α)Ρ(Β/Α) Άμεση συνέπεια των παραπάνω ορισμών είναι ότι: Ρ(ΑηΒ) = Ρ(Α)Ρ(Β/Α) =Ρ(Β)Ρ(Α/Β) Οι παραπάνω ισότητες εκφράζουν το πολλαπλασιαστικό νόμο των πιθανοτήτων. Παράδειγμα 7": Μια κάλπη περιέχει 7 σφαίρες μπλε και 3 κόκκινες. Δύο σφαίρες επιλέγονται τυχαία, διαδοχικά, χωρίς επανατοποθέτηση. Θέλουμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα η πρώτη σφαίρα να είναι κόκκινη και η δεύτερη μπλε: Απάντηση: Έστω τα ενδεχόμενα : Α : η σφαίρα είναι κόκκινη Β : η σφαίρα είναι μπλε Η πιθανότητα η πρώτη σφαίρα να είναι κόκκινη είναι Η δεύτερη σφαίρα επιλέγεται από κάλπη που περιέχει 7 σφαίρες μπλε και 2 κόκκινες. Αρα η πιθανότητα η δεύτερη σφαίρα να είναι μπλε είναι:

21 Έτσι η πιθανότητα κατά την πρώτη επιλογή να έχουμε κόκκινη σφαίρα και κατά τη δεύτερη μπλε είναι: Το παρακάτω δενδροδιάγραμμα περιγράφει τη διαδικασία αυτή και δίνει την πιθανότητα κάθε κλάδου του δένδρου χωριστά. Πιθανότητα 2.12 Ανεξάρτητα ενδεχόμενα Έστω το πείραμα της ρίψης ενός αμερόληπτου νομίσματος δύο φορές, με δειγματικό χώρο το σύνολο: Ω={ΚΚ, ΚΓ,ΓΚ, ΓΓ} Προφανώς: Ας θεωρήσουμε τα ενδεχόμενα : Α : Γράμματα στη δεύτερη ρίψη : Α={ΚΓ, ΓΓ} Β : Κεφάλι στην πρώτη ρίψη : Β={ΚΚ, ΚΓ} Δ : Κεφάλι και στις δύο ρίψεις : Δ={ΚΚ} Τότε είναι

22 Με την πληροφορία ότι το ενδεχόμενο Δ={ΚΚ} έχει πραγματοποιηθεί, η δεσμευμένη πιθανότητα του Β με δεδομένη την πραγματοποίηση του Δ είναι: Αντιθέτως γνωρίζοντας ότι το ενδεχόμενο Β={ΚΚ,ΚΓ} έχει πραγματοποιηθεί, η δεσμευμένη πιθανότητα του Α με δεδομένη την πραγματοποίηση του Β είναι: Από την τελευταία σχέση διαπιστώνουμε ότι η Ρ(Α) δεν επηρεάζεται από την πραγματοποίηση ή μη του ενδεχομένου Β. Τέτοια ενδεχόμενα όπως τα Α και Β για τα οποία η πραγματοποίηση του ενός δεν επηρεάζει την πιθανότητα πραγματοποίησης του άλλου, ονομάζονται ανεξάρτητα ενδεχόμενα. Δηλαδή, αν δύο ενδεχόμενα είναι ανεξάρτητα, τότε ισχύει: Ρ(Α/Β)=Ρ(Α) ή Ρ(Β/Α)=Ρ(Β) με Ρ(Β)>0 και Ρ(Α)>0 Λαμβάνοντας υπόψιν τον πολλαπλασιαστικό νόμο των πιθανοτήτων έχουμε : δηλαδή Ρ(Α Β) = Ρ(Α) Ρ( Β). Γενικά : Ανεξάρτητα ενδεχόμενα Δύο ενδεχόμενα Α και Β είναι ανεξάρτητα αν και μόνο αν : Ρ(Α Β)= Ρ(Α) Ρ(Β) Δύο ενδεχόμενα που δεν είναι ανεξάρτητα λέγονται εξαρτημένα. Τρία ενδεχόμενα Α, Β, Γ είναι ανεξάρτητα, αν και μόνο αν ικανοποιούνται οι παρακάτω συνθήκες: Ρ(Α Π Β) = Ρ(Α) Ρ(Β), Ρ(ΑΠ Γ) = Ρ(Α) Ρ(Γ), Ρ(Β Π Γ) =Ρ(Β) Ρ(Γ) και Ρ(Α Π Β Π Γ) = Ρ(Α) Ρ(Β) Ρ(Γ)

23 Γενικεύοντας, ο παραπάνω ορισμός μπορεί να επεκταθεί για περισσότερα από τρία ενδεχόμενα. Τα ενδεχόμενα Α1, Α 2,..., Α ν, (ν > 2) είναι ανεξάρτητα, όταν για οποιαδήποτε κ από αυτά ισχύει: Ρ(Α 1nA 2 n...na r )= Ρ(Α, )Ρ(Α 2)..Ρ(Ακ) με κ ν ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1. Ρίχνουμε ένα αμερόληπτο ζάρι. Δίνονται τα ενδεχόμενα : Α : "Εμφανίζεται ένδειξη μεγαλύτερη ή ίση του 2" Β : "Εμφανίζεται ακριβώς ένδειξη 5" Υπολογίστε την πιθανότητα Ρ(Β/Α). Απάντηση Οι δυνατές περιπτώσεις του πειράματος είναι 6. Οι ευνοϊκές περιπτώσεις του Α είναι 5 (ένδειξη 2 ή 3 ή 4 ή 5 ή 6) και του Β είναι 1, οπότε : Ρ(Α) = 5/6 και Ρ(Β) = 1/6 Είναι φανερό ότι Ρ(Α/Β) = 1 Επομένως έχουμε: 2. Σε ένα λύκειο το 4% των αγοριών και το 1% των κοριτσιών είναι ψηλότερα από 1,85 m. Το 60% των μαθητών είναι κορίτσια. Ένας μαθητής επιλέγεται τυχαία. Να βρεθεί η πιθανότητα : α) Να είναι ψηλότερος από 1,85 m β) Αν είναι ψηλότερος από 1,85 m να είναι αγόρι Απάντηση Θεωρούμε τα ενδεχόμενα : Α : "Αγόρι" Κ : "Κορίτσι" Ψ : "Μαθητής ψηλότερος από 1,85 m" Χ : "Μαθητής χαμηλότερος από 1,85 m" Στο παρακάτω δενδροδιάγραμμα περιγράφονται οι 2 φάσεις της διαδικασίας και δίνονται οι πιθανότητες κάθε κλάδου.

24 ΠΙΘΑΝΌΤΗΤΑ 0,4 0,04 = 0,016 0,4 0,96 = 0,384 0,6 0,01 = 0,006 0,6 0,99 = 0,594 α) Όπως βλέπουμε υπάρχουν «2 διαδρομές» που οδηγούν σε μαθητή ψηλότερο από 1,85 m. Στο σχήμα οι διαδρομές αυτές σημειώνονται με τελεία. Η πιθανότητα των ενδεχομένων Ψ είναι: Ρ(Ψ) = Ρ(Α) Ρ(Ψ/Α) + Ρ(Κ) Ρ(Ψ/Κ) = 0, ,6 0,01 = 0,022 β) Η πιθανότητα που ζητείται είναι: 3. Αν Α και Β είναι ανεξάρτητα ενδεχόμενα, τότε τα παρακάτω ζεύγη είναι ζεύγη ανεξαρτήτων ενδεχομένων, α) Α και Β' β) Α' και Β γ) Α' και Β' Απάντηση : α) Έστω Ρ(Α)>0, οπότε έχουμε:

25 όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα: Επομένως Ρ( Β'/Α)= 1 - Ρ(Β/Α). Έτσι: Ρ(ΑΠΒ') = Ρ(Α) Ρ(Β/Α)= Ρ(Α) [1 - Ρ(Β/Α)] = Ρ(Α)- Ρ(Α) Ρ(Β/Α)= Ρ(Α)- Ρ(Α) Ρ(Β) = Ρ(Α) [1 - Ρ(Β)] = Ρ(Α) Ρ(Β') και συνεπώς τα ενδεχόμενα Α και Β' είναι ανεξάρτητα. Κατά ανάλογο τρόπο αποδεικνύονται οι β) και γ).

26 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΤΥΠΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 1. Αν ένα πείραμα μπορεί να χωρισθεί σε ν φάσεις, έτσι ώστε η πρώτη φάση να μπορεί να εκτελεσθεί με κ1 τρόπους, η 2η με κ 2 τρόπους η ν-οστή μεκν, τρόπους, το πείραμα μπορεί να εκτελεστεί μεκ1 κ 2... κν διαφορετικούς τρόπους. 2, Διατάξεις - Μεταθέσεις - Συνδυασμοί Το πλήθος αυτών είναι αντίστοιχα: Μ ν = v! Ορισμός πιθανότητας Αν κ ο αριθμός εμφάνισης του ενδεχομένου Α στις ν επαναλαμβανόμενες δοκιμές, τότε: Αν ο δειγματικός χώρος αποτελείται από ισοπίθανα, απλά ενδεχόμενα, τότε: 4. Πιθανότητα της ένωσης δύο ενδεχομένων Α, Β Ρ( AU Β) = Ρ( Α) + Ρ(Β) -Ρ(Α Β) Αν Α, Β είναι ασυμβίβαστα, τότε : Ρ(ΑΠΒ) = 0 και 5. Αν A B,τότε Ρ(Α)<Ρ(Β) P(AΠΒ) = Ρ(Α) + Ρ(Β) 6. Για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α, Α' ισχύει: Ρ(Α) + Ρ(Α') = 1 7. Δεσμευμένη πιθανότητα ενός ενδεχόμενου : Ρ(Β/Α) = Ρ(Α n Β)/Ρ(Α) και [Ρ(Α / Β) = Ρ(Α ο Β)/ Ρ(Β) οπότε Ρ(ΑπΒ) = Ρ(Α)Ρ(Β/Α) ή Ρ(ΑηΒ) = Ρ(Β)Ρ(Α/Β) που αποτελεί τον Πολλαπλασιαστικό νόμο της πιθανότητας 8. Ανεξάρτητα ενδεχόμενα: Δύο ενδεχόμενα Α, Β είναι ανεξάρτητα αν Ρ(Α Π Β) = Ρ(Α) Ρ(Β) και γενικώς τα Α1, Α 2,..., Αν είναι ανεξάρτητα όταν : Ρ(Α1 n Α 2 π... Π Α κ ) =Ρ(Α1 )Ρ(Α 2 )...Ρ(Α Κ ) για κάθε κ ν

27 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1. Το σύνολο όλων των εξαγομένων ενός πειράματος ονομάζεται: α. Δειγματικός χώρος β. Τομή ενδεχομένων γ. Δεσμευμένη πιθανότητα 2. Η πιθανότητα ενός ενδεχομένου είναι πάντοτε : α. Μικρότερη από το μηδέν β. Στο διάστημα μεταξύ 0 και 1 γ. Μεγαλύτερη από το 1 3. Δύο ισοπίθανα ενδεχόμενα α. Δεν μπορούν να πραγματοποιηθούν συγχρόνως β. Έχουν την ίδια πιθανότητα πραγματοποίησης γ. Η πραγματοποίηση του ενός δεν επηρεάζει την πραγματοποίηση του άλλου. 4. Η δεσμευμένη πιθανότητα δύο ασυμβίβαστων ενδεχομένων είναι πάντοτε : α. 1, 0 β. Μεταξύ 0 και 1 γ Δύο ανεξάρτητα ενδεχόμενα είναι: α. Πάντοτε ασυμβίβαστα β. Ποτέ ασυμβίβαστα γ. Πάντοτε συμπληρωματικά 6. Αν τα ενδεχόμενα Α και Β είναι ασυμβίβαστα, τότε P(AΠ Β) = α. 1 β. 0 γ. Ρ(Α)+Ρ(Β) δ. Ρ(Α) Ρ(Β) 7. Τα ποτά που προμηθεύτηκε κάποιος για τη συγκέντρωση που θα έκανε ήταν : 12 μπύρες μάρκας Α 24 μπύρες μάρκας Β 24 μπύρες μάρκας Γ 12 μπύρες μάρκας Δ 2 μπύρες μάρκας Ε και 6 αναψυκτικά Α) Η πιθανότητα να είναι μπύρα το πρώτο ποτό που σερβίρεται είναι: α. 0,9250 β. 0,9000 γ. 0,9487 δ. 0,7800 Β) Η πιθανότητα να είναι μπύρα Α το πρώτο ποτό που σερβίρεται είναι: α. 0,0750 β. 0,1500 γ. 0,3000 δ. 0,1622 Γ) Η πιθανότητα να είναι τα 3 πρώτα ποτά αναψυκτικά είναι: α. 0,00042 β. 0,00024 γ. 0,1875 δ. 0,2250

28 8. Οι τρόποι με τους οποίους 3 μαθητές μπορούν να εξεταστούν σε πέντε μαθήματα είναι: α. 125 β. 60 γ. 10 δ Σε ένα τηλεπαιχνίδι λαμβάνουν μέρος 10 παίκτες. Οι τρόποι με τους οποίους μπορούν να συμπληρωθούν οι 3 πρώτες θέσεις είναι: α. 120 β γ. 150 δ. 720 ΟΜΑΔΑ Α ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Δίνονται τα ενδεχόμενα Α και Β με : P(AU Β) =3/4, Ρ(Α') = 2/3 και Ρ(ΑΠΒ)= 1/4 Βρείτε τις πιθανότητες : α) Ρ(Α) β) Ρ(Β) γ) Ρ(ΑΠΒ') 2. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ισχύουν: Ρ(Α) = 1/2, Ρ(Β) = 1/4 και Ρ(Α/Β) = 4/5. Να υπολογίσετε τις πιθανότητες : Ρ(Α'), Ρ(ΑΠΒ) και P(AUB) 3. Η πιθανότητα να ζει ένας άνδρας μετά από 10 χρόνια είναι 1/4, ενώ η πιθανότητα να ζει η γυναίκα του μετά από 10 χρόνια είναι 1/3. Βρείτε την πιθανότητα των ενδεχομένων μετά από 10 χρόνια : α) Να ζουν και οι δύο β) Να ζει ένας τουλάχιστον από τους δύο γ) Να μη ζουν και οι δύο δ) Να ζει μόνο η σύζυγος 4. Από τους πέντε παίχτες μιας ομάδας μπάσκετ ο πλεϊμέικερ είναι γεννημένος στις 28 Ιανουαρίου. Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων : α) Ένας τουλάχιστον συμπαίχτης να έχει γενέθλια την ίδια ημέρα β) Δύο τουλάχιστον παίχτες της ομάδας να έχουν γενέθλια την ίδια ημέρα

29 5. Το νούμερο του κλεμμένου αυτοκινήτου μου ήταν: ΥΙΤ Σκέπτομαι να αγοράσω ένα καινούργιο αυτοκίνητο. Υποθέτοντας ότι η νέα πινακίδα θα έχει τετραψήφιο αριθμό, υπολογίστε την πιθανότητα των παρακάτω ενδεχομένων: α) Τα ψηφία στη νέα πινακίδα είναι 8, 8, 7, 0 με αυτή τη σειρά β) Τα ψηφία είναι 8, 8, 7, 0 αλλά σε οποιαδήποτε σειρά γ) Η νέα πινακίδα να μην έχει κανένα από τα ψηφία 8, 7, 0 δ) Η νέα πινακίδα να μοιάζει με την παλιά μόνο στο πρώτο ψηφίο ε) Η νέα πινακίδα να μοιάζει με την παλιά σε ένα μόνο ψηφίο ΟΜΑΔΑ Β 1. Μια εταιρία έχει 500 εργαζομένους. Από αυτούς 300 είναι άνδρες και 280 είναι μέλη του συνδικάτου. Από τους 300 άνδρες, 190 είναι μέλη του συνδικάτου. α) Είναι τα ενδεχόμενα «άνδρας» και «μέλος του συνδικάτου» ανεξάρτητα; Είναι ασυμβίβαστα; Αιτιολογήστε την απάντησή σας. β) Αν ένας εργαζόμενος της εταιρίας λαμβάνεται τυχαία, ποια είναι η πιθανότητα ότι αυτός είναι: α) Γυναίκα β) Άνδρας με δεδομένο ότι είναι μέλος του συνδικάτου γ) Άνδρας ή μέλος του συνδικάτου γ) Αν δύο εργαζόμενοι επιλέγονται τυχαία από την εταιρία, ποια είναι η πιθανότητα να είναι και οι δύο μέλη του συνδικάτου ; 2. Τα αποτελέσματα έρευνας για τη σχέση μητρότητας και εργασιακής απασχόλησης της μητέρας που στηρίχθηκαν σε δείγμα 500 γυναικών ηλικίας χρονών δίνονται στον πίνακα.

30 α) Αν μια γυναίκα λαμβάνεται τυχαία, βρείτε την πιθανότητα η γυναίκα αυτή: i) Να εργάζεται σε πλήρη απασχόληση. ii) Να εργάζεται με μερική απασχόληση με δεδομένο ότι έχει παιδιά ηλικίας από 6 μέχρι 18 χρόνων, iii) Να μην εργάζεται με πλήρη απασχόληση iν) Να εργάζεται με πλήρη απασχόληση ή έχει παιδιά κάτω των 6 χρονών β) Είναι τα ενδεχόμενα «εργάζεται με μερική απασχόληση» και «έχει παιδιά κάτω των 6 χρόνων» ανεξάρτητα; Είναι ασυμβίβαστα; Δικαιολογήστε την α- πάντησή σας. 3. Από τους 60 μαθητές της Γ'τάξης ενός λυκείου επιλέγουν: Στατιστική 27, Πληροφορική 20 και 22 κανένα από αυτά τα δύο. Ένας μαθητής επιλέγεται τυχαία. i) Βρείτε την πιθανότητα να έχει επιλέξει και τα δύο Στατιστική και Πληροφορική. ii) Δεδομένου ότι έχει επιλέξει Στατιστική, βρείτε την πιθανότητα να μην έχει επιλέξει Πληροφορική. Προσδιορίστε αν το ενδεχόμενο «επιλέγει Στατιστική» είναι ανεξάρτητο του ενδεχομένου «δεν επιλέγει Πληροφορική». 4. Η πιθανότητα ένας ασφαλιστής να συνάψει ένα συμβόλαιο σε κάθε επαφή του με πελάτη είναι 0,4. Πόσους πελάτες πρέπει να επισκεφθεί για να συνάψει ένα τουλάχιστον συμβόλαιο με πιθανότητα μεγαλύτερη του 95%, αν υποθέσουμε ότι η σύναψη συμβολαίου με ένα πελάτη δεν επηρεάζει την απόφαση του ε- πόμενου πελάτη να συνάψει ή όχι συμβόλαιο. 5. Ένα διαγνωστικό τεστ χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό μιας συγκεκριμένης ασθένειας, η οποία είναι γνωστό ότι προσβάλλει το 3% του πληθυσμού. Όταν εφαρμόζεται σε ένα άτομο που πάσχει από την ασθένεια δίνει θετικό α- ποτέλεσμα με πιθανότητα 0,95. Όταν εφαρμόζεται σε υγειή δίνει θετικό αποτέλεσμα με πιθανότητα 0,01. Το τεστ εφαρμόζεται σε ένα τυχαία επιλεγμένο άτομο του πληθυσμού. α) Υπολογίστε την πιθανότητα να έχουμε θετικό αποτέλεσμα, β) Με δεδομένο ότι έχουμε θετικό αποτέλεσμα από το τεστ, βρείτε την πιθανότητα το άτομο να έχει την ασθένεια.

31 ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ 1. Ποια είναι η πιθανότητα ένας τυχαία επιλεγόμενος μαθητής στην τάξη να : α) Έχει επιλέξει θετική κατεύθυνση β) Έχει επιλέξει θεωρητική κατεύθυνση γ) Έχει επιλέξει τεχνολογική κατεύθυνση δ) Είναι αριστούχος ε) Είναι αριστερόχειρας στ) Είναι δεξιόχειρας ζ) Πηγαίνει φροντιστήριο σε όλα τα μαθήματα η) Πηγαίνει φροντιστήριο μόνο στα μαθήματα κατεύθυνσης θ) Μην πηγαίνει φροντιστήριο ι) Έχει επιλέξει θετική κατεύθυνση και να μην πηγαίνει φροντιστήριο κ) Να έχει επιλέξει τεχνολογική κατεύθυνση ή να είναι αριστερόχειρας. Είναι τα παραπάνω ενδεχόμενα «επιλέγει τεχνολογική κατεύθυνση» και «είναι αριστερόχειρας» ανεξάρτητα; Είναι ασυμβίβαστα; Δικαιολογείστε την απάντησή σας. λ) Να πηγαίνει φροντιστήριο μόνο στα μαθήματα κατεύθυνσης με δεδομένο ότι έχει επιλέξει θετική κατεύθυνση. 2. Πηγαίνετε στο κυλικείο του σχολείου σας κατά το χρόνο των διαλειμμάτων μιας ημέρας και καταγράψτε τι αγόρασε ο κάθε μαθητής και πόσα πλήρωσε. α) Ποιο ποσοστό των μαθητών ξόδεψε 300 δραχμές ή περισσότερα; β) Βασιζόμενοι στην απάντησή σας στο ερώτημα (α), ποια είναι η πιθανότητα ένας τυχαία επιλεγόμενος μαθητής να ξόδεψε 300 ή περισσότερες δραχμές; γ) Επαναλάβετε το πρόβλημα σε μία διαφορετική ημέρα και δείτε αν υπάρχει σημαντική διαφορά στις απαντήσεις των ερωτήσεων (α) και (β), δ) Παρουσιάστε σε ένα πίνακα τα αποτελέσματα της έρευνάς σας (τα είδη που αγόρασε ο κάθε μαθητής, καθώς και τα χρήματα που δαπάνησε).

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Πείραμα Τύχης - δειγματικός χώρος

1.1 Πείραμα Τύχης - δειγματικός χώρος 1. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1.1 Πείραμα Τύχης - δειγματικός χώρος Κάθε πείραμα στο οποίο η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως το αποτέλεσμα λέγεται αιτιοκρατικό πείραμα. Τέτοια πειράματα

Διαβάστε περισσότερα

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }.

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }. 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΡΟΣ - ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πείραμα Τύχης Ένα πείραμα του οποίου δεν μπορούμε εκ των προτέρων να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, μολονότι επαναλαμβάνεται φαινομενικά τουλάχιστον κάτω από

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΓΕΡΓΙΟΣ Ε. ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΠΕ03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ [] ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΡΙΑ: Πείραμα Τύχης Κάθε πείραμα κατά στο οποίο η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα {,,..., }.

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα {,,..., }. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων λέγεται δειγματικός χώρος (sample space) και συμβολίζεται συνήθως με το γράμμα Αν δηλαδή ω,,, ω2 ωκ είναι τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Συνοπτική Θεωρία Όλες οι αποδείξεις Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις από την Τράπεζα Θεμάτων του Υπουργείου και προτεινόμενες Διαγωνίσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ανδρεσάκης Δ. ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ανδρεσάκης Δ. ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΛΓΕΡ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙ 1 Tα πειράματα των οποίων δεν μπορούμε εκ των προτέρων να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, μολονότι επαναλαμβάνονται (φαινομενικά τουλάχιστον) κάτω από τις ίδιες συνθήκες

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής. Θεωρία Πιθανοτήτων. Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος

Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής. Θεωρία Πιθανοτήτων. Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής 1 Θεωρία Πιθανοτήτων Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος 2 Περιεχόμενα Έννοια πιθανότητας Ορισμοί πιθανότητας Τρόπος υπολογισμού Πράξεις πιθανοτήτων Χρησιμότητα τους 3 Πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Ο Γυμναστής ενός λυκείου προκειμένου να στελεχώσει την ομάδα μπάσκετ του λυκείου ψάχνει στην τύχη μεταξύ των μαθητών να βρει τρεις κοντούς (Κ) και τρεις ψηλούς (Ψ). Να

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 3: Πιθανότητες. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 3: Πιθανότητες. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 3: Πιθανότητες Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ

ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΑΛΓΕΒΡΑ - Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Επιμέλεια: Παπαδόπουλος Παναγιώτης Πείραμα τύχης 1 η δραστηριότητα Ρίξτε ένα κέρμα 5 φορές και καταγράψτε την πάνω όψη του: 1 η ρίψη:, 2 η ρίψη:, 3 η ρίψη:

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. 1. Συνδυαστική ανάλυση. 1.1. Μεταθέσεις

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. 1. Συνδυαστική ανάλυση. 1.1. Μεταθέσεις 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 1 Συνδυαστική ανάλυση Η συνδυαστική ανάλυση είναι οι διάφοροι μέθοδοι και τύποι που χρησιμοποιούνται στη λύση προβλημάτων εκτίμησης του πλήθους των στοιχείων ενός πεπερασμένου συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

5. 2 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

5. 2 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ Α 5. ΔΕΙΜΑΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ-ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ 69 5. ΔΕΙΜΑΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πείραμα τύχης- Δειγματικός χώρος Ένα πείραμα το οποίο όσες φορές και αν το επαναλάβουμε, δεν μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμα

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. 1. Δειγματικοί χώροι 2. Διαγράμματα Venn. Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 3. Κλασικός ορισμός. 4.

1 ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. 1. Δειγματικοί χώροι 2. Διαγράμματα Venn. Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 3. Κλασικός ορισμός. 4. ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. Δειγματικοί χώροι. Διαγράμματα Venn Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Κλασικός ορισμός πιθανότητας 4. Κανόνες λογισμού πιθανοτήτων η Κατηγορία : Δειγματικοί χώροι ) Ρίχνουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ.ΣΠ. ΛΥΚΟΥΔΗΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ.ΣΠ. ΛΥΚΟΥΔΗΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θεωρία Πιθανοτήτων Εάν οι συνθήκες τέλεσης ενός πειράματος καθορίζουν πλήρως το αποτέλεσμα του, τότε το πείραμα λέγεται αιτιοκρατικό. Είναι γνωστό ότι το αποσταγμένο νερό βράζει στους 100 βαθμού κελσίου.

Διαβάστε περισσότερα

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς : Ο τομέας των Εφαρμοσμένων Μαθηματικών, που ασχολείται με την αξιολόγηση κατάλληλων στοιχείων έτσι ώστε να είναι μετρήσιμη η προσδοκία μας για την πραγματοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ( Version ) 2001

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ( Version ) 2001 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ( Version 17-4--2016) 2001 ΘΕΜΑ 1ο Α.1. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει ότι: Ρ (Α Β) = Ρ (Α) Ρ (Α Β). Μονάδες 8,5 Απόδειξη: Επειδή τα ενδεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Συχνότητα Σχετική συχνότητα Αν σε ν εκτελέσεις ενός πειράματος ένα ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται va φορές,τότε va ο αριθμός va λέγεται συχνότητα του ενδεχομένου

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 2ο Κανόνες Απαρίθμησης (συνέχεια) 2 ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΑ ΜΕ ΔΙΑΦΑΝΕΙΕΣ, ΒΙΒΛΙΟ & ΔΕΙΓΜΑ ΘΕΜΑΤΩΝ www.unipi.gr/faculty/mkoutras/index.htm

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 5o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

Α ΕΝΟΤΗΤΑ. Πιθανότητες. Α.1 (1.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Α.2 (1.2 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα. Η έννοια της πιθανότητας

Α ΕΝΟΤΗΤΑ. Πιθανότητες. Α.1 (1.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Α.2 (1.2 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα. Η έννοια της πιθανότητας Α ΕΝΟΤΗΤΑ Πιθανότητες Α.1 (1.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα Α.2 (1.2 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Η έννοια της πιθανότητας Α.1 Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα. Απαραίτητες γνώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. β) το ενδεχόμενο Α: ο αριθμός που προκύπτει να είναι άρτιος

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. β) το ενδεχόμενο Α: ο αριθμός που προκύπτει να είναι άρτιος ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ.Ένα κουτί περιέχει τέσσερις λαχνούς αριθμημένους από το εώς το 4. Εκλέγουμε έναν λαχνό στην τύχη,σημειώνουμε το αποτέλεσμα και δεν ξανατοποθετούμε τον λαχνό στο κουτί. Επαναλαμβάνουμε το πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Γιατί πιθανότητες; Γιατί πιθανότητες; Θεωρία πιθανοτήτων. Θεωρία Πιθανοτήτων. ΗΥ118, Διακριτά Μαθηματικά Άνοιξη 2017.

Γιατί πιθανότητες; Γιατί πιθανότητες; Θεωρία πιθανοτήτων. Θεωρία Πιθανοτήτων. ΗΥ118, Διακριτά Μαθηματικά Άνοιξη 2017. HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 02/05/2017 Θεωρία πιθανοτήτων Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 04-May-17 1 1 04-May-17 2 2 Γιατί πιθανότητες; Γιατί πιθανότητες; Στον προτασιακό και κατηγορηματικό

Διαβάστε περισσότερα

1. Πείραμα τύχης. 2. Δειγματικός Χώρος ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

1. Πείραμα τύχης. 2. Δειγματικός Χώρος ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1 ΣΤΟΙΧΕΙ ΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙ ΠΙΘΝΟΤΗΤΩΝ 1. Πείραμα τύχης Πείραμα τύχης (π.τ.) ονομάζουμε κάθε πείραμα που μπορεί να επαναληφθεί όσες φορές επιθυμούμε υπό τις ίδιες συνθήκες και του οποίου το αποτέλεσμα είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές ΠΜΣ στη «Ναυτιλία» Τμήμα Β art time Χαράλαμπος Ευαγγελάρας hevangel@unipi.gr Η έννοια της Πιθανότητας Ο όρος πιθανότητα είναι συνδέεται άμεσα με τη μελέτη

Διαβάστε περισσότερα

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα.

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα. 1. Τα μέλη ενός Γυμναστηρίου έχουν τη δυνατότητα να επιλέξουν προγράμματα αεροβικής ή γυμναστικής με βάρη. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α = Ένα μέλος έχει επιλέξει πρόγραμμα αεροβικής. Β = Ένα μέλος έχει επιλέξει

Διαβάστε περισσότερα

1.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

1.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ . ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 7 9 Α ΟΜΑΔΑΣ. Από μία τράπουλα με 5 φύλλα παίρνουμε ένα στην τύχη. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων : i) Το φύλλο είναι 5 ii) Το φύλλο δεν

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση 00-0 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη Μαθηματικά Γενικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ Ι Παπαγρηγοράκης http://usersschgr/mipapagr Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-

Διαβάστε περισσότερα

Στέλιος Μιταήλογλοσ Δημήτρης Πατσιμάς.

Στέλιος Μιταήλογλοσ Δημήτρης Πατσιμάς. Πιθανότητες Α Λσκείοσ Στέλιος Μιταήλογλοσ Δημήτρης Πατσιμάς www.askisopolis.gr Πιθανότητες Εφαρμογές στον ορισμό πιθανότητας. Ρίχνουμε ένα νόμισμα τρεις φορές. Ποια είναι η πιθανότητα να φέρουμε και τις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α. α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης;

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α. α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης; ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης; =. β) Για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος»

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Αν είναι δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης, τότε Ρ () = 1. 2. * Αν Α είναι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης τότε, 0 Ρ (Α) 1. 3. * Για το αδύνατο

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 6: Πιθανότητες Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

5. 3 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

5. 3 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΜΕΡΟΣ Α. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ 77. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ Κλασικός ορισμός πιθανότητας Αν ένα στοιχείο του συνόλου του δειγματικού χώρου επιλέγεται στην τύχη και δεν έχει κανένα πλεονέκτημα έναντι των άλλων,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 6o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΙΔΕΙΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου Π Ι Θ Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ ΟΡΙΣΜΟΙ Πείραμα τύχης λέγεται το πείραμα το οποίο όσες φορές και αν επαναληφθεί (φαινομενικά τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α

Πιθανότητες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α Πιθανότητες Κώστας Γλυκός Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 7 / 0 / 0 6 Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις και τεχνικές σε 8 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο ΓΛΥΚΟΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ τηλ.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ (ημιτελές Version )

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ (ημιτελές Version ) ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ (ημιτελές Version 24-3-2016) 2001 2001 επαναληπτικές 2002 2002 επαναληπτικές 2003 2003 επαναληπτικές 2006 2006 επαναληπτικές 2005 2005 επαναληπτικές 2006 2006 επαναληπτικές 2007 2007

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ κεφ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Σε ένα συρτάρι υπάρχουν δύο κάρτες, μία άσπρη και μία κόκκινη Παίρνουμε στην τύχη μία κάρτα από το συρτάρι, καταγράφουμε το χρώμα της και την ξαναβάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α + 110 20α. Ποτε ισχυει το ισον; Πειραμα τυχης: λεγεται καθε πειραμα για το οποιο δεν μπορουμε να προβλεψουμε

3. Να δειχτει οτι α + 110 20α. Ποτε ισχυει το ισον; Πειραμα τυχης: λεγεται καθε πειραμα για το οποιο δεν μπορουμε να προβλεψουμε ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Π ε ι ρ α μ α τ υ χ η ς - Δ ε ι γ μ α τ ι κ ο ς χ ω ρ ο ς. Να δειχτει οτι α + 0 0α. Ποτε ισχυει το ισον; Πειραμα τυχης: λεγεται καθε πειραμα για το οποιο δεν μπορουμε να προβλεψουμε το αποτελεσμα,.

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Πιθανότητες. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Πιθανότητες Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 2 Ενότητα 2 η Πιθανότητες Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης ενότητας είναι οι μαθητές να αναγνωρίζουν ένα πείραμα τύχης

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς. 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού. 3.2 Η εξίσωση x. 3.3 Εξισώσεις 2 ου Βαθμού. ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α1-

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς. 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού. 3.2 Η εξίσωση x. 3.3 Εξισώσεις 2 ου Βαθμού. ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α1- 3. Εξισώσεις ου Βαθμού 3. Η εξίσωση 3.3 Εξισώσεις ου Βαθμού Διδακτικό υλικό Άλγεβρας Α Λυκείου (Κεφάλαιο 3 ο ) Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α- Εξεταστέα ύλη

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΛ ΝΕΑΣ ΠΕΡΑΜΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ-ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Στατιστική ομαλότητα ή Νόμος των μεγάλων αριθμών

ΓΕΛ ΝΕΑΣ ΠΕΡΑΜΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ-ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Στατιστική ομαλότητα ή Νόμος των μεγάλων αριθμών ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ-ΛΟΓΙΣΜΟΣ Στατιστική ομαλότητα ή Νόμος των μεγάλων αριθμών Οι σχετικές συχνότητες πραγματοποίησης των ενδεχομένων ενός πειράματος σταθεροποιούνται γύρω από κάποιους αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα # 7: Θεωρία Πιθανοτήτων (Πείραμα Τύχης) Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο «ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ»

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο «ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ» ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισήγηση 2: Θεωρία Πιθανοτήτων Διδάσκων: Δαφέρμος Βασίλειος ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Τ.Θ.Δ.Δ. ΘΕΜΑ Β

Θέματα Τ.Θ.Δ.Δ. ΘΕΜΑ Β Θέματα Τ.Θ.Δ.Δ. ΘΕΜΑ Β 1. Δίνονται δύο ενδεχόμενα A, B ενός δειγματικού χώρου και οι πιθανότητες: 3 5 1 P( A), P( A B) και P( B) 4 8 4 α) Να υπολογίσετε την P( A B) β) i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα 1 ο (ΜΑΪΟΣ 2004, ΜΑΪΟΣ 2008) Να δείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f (x) = c είναι (c) = 0. Απόδειξη

Θέμα 1 ο (ΜΑΪΟΣ 2004, ΜΑΪΟΣ 2008) Να δείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f (x) = c είναι (c) = 0. Απόδειξη ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΕΛΑΦΑ 59 Θέμα 1 ο (ΜΑΪΟΣ 004, ΜΑΪΟΣ 008) Να δείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f (x) = c είναι (c) = 0. Έχουμε f (x+h) - f (x) = c - c = 0 και για h 0 είναι f (x + h) - f (x) 0 m

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Η Έννοια της Πιθανότητας. 1 Βρείτε την πιθανότητα του καθ ενός απ τα παρακάτω ενδεχόμενα:

Η Έννοια της Πιθανότητας. 1 Βρείτε την πιθανότητα του καθ ενός απ τα παρακάτω ενδεχόμενα: 1 Η Έννοια της Πιθανότητας Η Έννοια της Πιθανότητας 1 Βρείτε την πιθανότητα του καθ ενός απ τα παρακάτω ενδεχόμενα: α) Να εμφανιστεί περιττός αριθμός κατά την ρίψη ενός ζαριού. (1/2) β) Να εμφανιστεί τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ . Να βρείτε το δειγµατικό χώρο της ρίψης ενός ζαριού.. Επιλέγουµε ένα µαθητή Λυκείου και σηµειώνουµε το φύλο και την τάξη του. Να βρείτε το δειγµατικό χώρο Ω του πειράµατος. 3. Τραβάµε ένα φύλλο από µία

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα)

Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα) Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα) Πείραμα: διαδικασία που παράγει πεπερασμένο σύνολο αποτελεσμάτων Πληθικός αριθμός συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

1.7 Διατάξεις 1. Στην ελληνική βιβλιογραφία επικρατεί ο συμβολισμός. Permutations

1.7 Διατάξεις 1. Στην ελληνική βιβλιογραφία επικρατεί ο συμβολισμός. Permutations .7 Διατάξεις Είναι το σύνολο των συμπλεγμάτων που μπορεί να προκύψουν όταν επιλέγονται υποσύνολα που περιέχουν διακεκριμένα στοιχεία από ένα υπερσύνολο διακεκριμένων στοιχείων. Εδώ δεν ενδιαφέρουν οι θέσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω.

ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω. ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ Έστω α, β πραγµατικοί αριθµοί για τους οποίους ισχύουν: α β = 4 και αβ + αβ = 0 α) Να αποδείξετε ότι: α + β = 5. (Μονάδες 0) β) Να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθµού µε ρίζες τους αριθµούς α, β

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Tόμος 5ος 22-0088_l_c_math_bm_146-192_28b.indd 1 18/09/2017 10:10 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΚ ΟΣΗΣ ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ: Αδαμόπουλος Λεωνίδας Επ. Σύμβουλος Παιδαγωγικού

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Ανάλυση. Υπολογισμός της πιθανότητας σε διακριτούς χώρους με ισοπίθανα αποτελέσματα:

Συνδυαστική Ανάλυση. Υπολογισμός της πιθανότητας σε διακριτούς χώρους με ισοπίθανα αποτελέσματα: Συνδυαστική Ανάλυση Υπολογισμός της πιθανότητας σε διακριτούς χώρους με ισοπίθανα αποτελέσματα: P( A) N( A) N ( ) Ν(Α): πλήθος ευνοϊκών αποτελεσμάτων του Α Ν(Ω): πλήθος συνολικών αποτελεσμάτων του Ω Χρειαζόμαστε

Διαβάστε περισσότερα

Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία. Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος

Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία. Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος Θεωρία Συνόλων Σύνολο: Το σύνολο εκφράζει μία συλλογή διακριτών μονάδων οποιασδήποτε φύσης.

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα 3ης Διάλεξης 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Δεσμευμένη Πιθανότητα 3 Bayes Theorem 4 Στοχαστική Ανεξαρτησία 5 Αμοιβαία (ή πλήρης) Ανεξαρ

Περιεχόμενα 3ης Διάλεξης 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Δεσμευμένη Πιθανότητα 3 Bayes Theorem 4 Στοχαστική Ανεξαρτησία 5 Αμοιβαία (ή πλήρης) Ανεξαρ Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (3η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2017-2018 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 38 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1

P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1 Διακριτά Μαθηματικά Φροντιστήριο Ασκήσεις στη Στοιχειώδη Συνδυαστική 1 / 12 Επανάληψη Κανόνας Αθροίσματος Κανόνας Γινομένου Χωρίς επαναλήψεις στοιχείων P(n, r) = n! (n r)! C(n, r) = ( ) n r Με επαναλήψεις

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα 3ης Διάλεξης 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Δεσμευμένη Πιθανότητα 3 Bayes Theorem 4 Στοχαστική Ανεξαρτησία 5 Αμοιβαία (ή πλήρης) Ανεξαρ

Περιεχόμενα 3ης Διάλεξης 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Δεσμευμένη Πιθανότητα 3 Bayes Theorem 4 Στοχαστική Ανεξαρτησία 5 Αμοιβαία (ή πλήρης) Ανεξαρ 3ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2016-2017 Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 3ο Μάθημα Πιθανότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Πολλαπλασιαστική αρχή (multiplicatio rule). Έστω ότι ένα πείραμα Ε 1 έχει 1 δυνατά αποτελέσματα. Έστω επίσης ότι για κάθε ένα από αυτά τα δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ Τ.Θ.Δ.Δ. ΘΕΜΑ Β. B. Το αντίστοιχο διάγραμμα Venn είναι το παρακάτω:

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ Τ.Θ.Δ.Δ. ΘΕΜΑ Β. B. Το αντίστοιχο διάγραμμα Venn είναι το παρακάτω: ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ Τ.Θ.Δ.Δ. ΘΕΜΑ Β Β1 α) Από τους κανόνες λογισμού των πιθανοτήτων έχουμε: P( A B) P( A) P( A B) P( A B) P( A) P( A B) και από τα δεδομένα 3 5 1 παίρνουμε: P( A B) P( A B) 4 8 8 β)

Διαβάστε περισσότερα

1 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εισαγωγή

1 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εισαγωγή 1 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εισαγωγή Υπάρχει σε πολλούς η εντύπωση ότι το κύριο κίνητρο για την ανάπτυξη της Θεωρίας των Πιθανοτήτων προήλθε από το ενδιαφέρον του ανθρώπου για τα τυχερά παιχνίδια. Σημαντική μάλιστα

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες. Έννοια πιθανότητας Ορισμοί πιθανότητας Τρόπος υπολογισμού Πράξεις πιθανοτήτων Χρησιμότητα τους

Πιθανότητες. Έννοια πιθανότητας Ορισμοί πιθανότητας Τρόπος υπολογισμού Πράξεις πιθανοτήτων Χρησιμότητα τους Πιθανότητες Έννοια πιθανότητας Ορισμοί πιθανότητας Τρόπος υπολογισμού Πράξεις πιθανοτήτων Χρησιμότητα τους «Πείραμα» Tύχης Οτιδήποτε συμβαίνει και δεν γνωρίζουμε από πριν το ακριβές αποτέλεσμά του. Απασχόλησαν

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος 013-014, Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Πιθανότητες Πραγματικοί αριθμοί Εξισώσεις Ανισώσεις Πρόοδοι Βασικές έννοιες των συναρτήσεων Μελέτη βασικών συναρτήσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες. Κεφάλαιο Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα Κατανόηση εννοιών - Θεωρία

Πιθανότητες. Κεφάλαιο Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα Κατανόηση εννοιών - Θεωρία Κεφάλαιο 1 Πιθανότητες 1.1 Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα 1.1.1 Κατανόηση εννοιών - Θεωρία 1. Ποιό πείραμα λέγεται αιτιοκρατικό και ποιό πείραμα τύχης; 2. Τι ονομάζουμε δειγματικό χώρο ενός πειράματος

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές Στρατηγικές

Στοχαστικές Στρατηγικές Στοχαστικές Στρατηγικές 3 η ενότητα: Εισαγωγή στα στοχαστικά προβλήματα διαδρομής Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ Ακαδημαϊκό έτος 2018-2019 Χειμερινό Εξάμηνο Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ- 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ- 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η συνάρτηση f 1 ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ- 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Ι. Το πεδίο ορισμού της f είναι:, 1 υ -1, B. 1, Γ. -1,., 1. 1, f 1 ΙΙ. Το όριο lm είναι ίσο με: 0 Α. 0 Β. 1 Γ. -1 Δ. 1/ Ε. Τίποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C Επιμέλεια: Κ Μυλωνάκης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α; Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

3.2. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 154 156 Α ΟΜΑ ΑΣ

3.2. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 154 156 Α ΟΜΑ ΑΣ . Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 54 56 Α ΟΜΑ ΑΣ. Από µία τράπουλα µε 5 φύλλα παίρνουµε ένα στην τύχη. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων : i) Το φύλλο είναι 5 ii) Το φύλλο δεν είναι 5 i) εχόµαστε

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Βιομαθηματικά BIO-156. Θεωρία Πιθανοτήτων. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2016

Βιομαθηματικά BIO-156. Θεωρία Πιθανοτήτων. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2016 Βιομαθηματικά IO-56 Θεωρία Πιθανοτήτων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 06 lika@biology.uo.gr Ορισμοί Τυχαίο Πείραμα: κάθε πείραμα που είναι δυνατόν να επαναληφθεί με το ίδιο σύνολο υποθέσεων και του οποίου

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν άντρες: ο Δημήτρης (Δ), ο Κώστας (Κ), ο Μιχάλης (Μ) και γυναίκες:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 3. Δίνεται ο πίνακας: 3 3 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ ο. Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 6. Επιλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0% Να βρείτε: i Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ

ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ 1 1) Δίνεται ο διπλανός πίνακας 43 παρατηρήσεων της μεταβλητής Χ και οι αντίστοιχες συχνότητές τους ν i. Αν 116 η μέση τιμή των παρατηρήσεων είναι x =, η διάμε- 43 σος είναι δ=3 και ισχύει κ>10, να υπολογιστούν

Διαβάστε περισσότερα

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ω Ν ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ0 e-mail@p-theodoropoulos.gr Πρόλογος Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηµατικών µε πολλά

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων «πειράματος» ή «γεγονότος» (με συνδυαστικά επιχειρήματα). «Πείραμα» ή «γεγονός»: διαδικασία με συγκεκριμένο (πεπερασμένο) σύνολο παρατηρήσιμων

Διαβάστε περισσότερα

Α) Να γράψετε με τη βοήθεια των πράξεων των συνόλων το ενδεχόμενο που παριστάνει το σκιασμένο εμβαδόν σε καθένα από τα παρακάτω διαγράμματα Venn.

Α) Να γράψετε με τη βοήθεια των πράξεων των συνόλων το ενδεχόμενο που παριστάνει το σκιασμένο εμβαδόν σε καθένα από τα παρακάτω διαγράμματα Venn. Άσκηση 1 Α) Να γράψετε με τη βοήθεια των πράξεων των συνόλων το ενδεχόμενο που παριστάνει το σκιασμένο εμβαδόν σε καθένα από τα παρακάτω διαγράμματα Venn. B) Αν ( ), ( ), ( ), να εκφράσετε τις πιθανότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Ασκηση 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Δίνεται η συνάρτηση α. Να εξετάσετε την f ως προς τα ακρότατα. β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο (1,f(1)). γ. Αν το α παίρνει τιμές που προκύπτουν από

Διαβάστε περισσότερα

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Γ Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

5.3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

5.3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 1 5.3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα Είναι τα απλά ενδεχόµενα για τα οποία κάποιο εξ αυτών δεν έχει πλεονέκτηµα έναντι των άλλων όσον αφορά την επιλογή του. Με άλλα λόγια

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 2 Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΣΧΕΔΙΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 2 Α ΛΥΚΕΙΟΥ Page1 ΣΧΕΔΙΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 2 Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: 1.1 Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα i. ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ: 1. Προσδιορίζουν το δειγματικό χώρο ενός πειράματος τύχης και ενδεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 1 η : Βασικές Έννοιες Πιθανότητας Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Α.Π.Θ. Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

4 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 31.

4 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 31. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. Οι µηνιαίες αποδοχές, σε, ν υπαλλήλων είναι x, x,, x ν και αυτές αποτελούν οµοιογενές δείγµα µε µέση τιµή 000. Αν το 8% έχει µισθό Α, το 6% Β και οι υπόλοιποι Γ : Να βρείτε το

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 5ο Σχηματισμοί όπου επιτρέπεται η επανάληψη στοιχείων 2 Παράδειγμα 2.4.1 Πόσα διαφορετικά αποτελέσματα μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Το κύριο αντικείμενο της Συνδυαστικής Οι τεχνικές υπολογισμού του πλήθους των στοιχείων πεπερασμένων συνόλων ή υποσυνό-

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Φ1 : ΠIΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ 2014-2015 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Γ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Δ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 1ης Ομάδας Ασκήσεων

Λύσεις 1ης Ομάδας Ασκήσεων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Γ. ΚΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗΣ Λύσεις ης Ομάδας Ασκήσεων Τμήμα Α Λ. Ισότητα συνόλων Έστω C = A i= B i και D = i= A B i. Θα αποδείξουμε ότι τα C, D ταυτίζονται,

Διαβάστε περισσότερα

Οι Ασκήσεις της Α Λυκείου

Οι Ασκήσεις της Α Λυκείου Οι Ασκήσεις της Α Λυκείου ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 0-0 Οι Ασκήσεις της Α Λυκείου ΣΥΝΟΛΑ. Σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής

Διαβάστε περισσότερα