1. kolokvij iz Klasične mehanike I,

Transcript

1 1. kookvij iz Kasične ehanike I, Deec z aso se brez trenja gibje po obroču z radije R. Obroč se vrti s konstantno frekvenco ω okrog osi, ki gre skozi fiksno točko na obroču in je pravokotna na ravnino obroča. Poišči enačbo gibanja za deec. Kje so stacionarne ege deca in kakšna je njihova narava (abina, stabina)? ω 2. Potenciano energijo eektrona v eektrične poju, ki ga ustvarjajo eektrode ustrezno obikovanega kondenzatorja, zapišeo kot: V = V 0 (3z 2 r 2 ). 2z0 2 Zapiši Lagrangeovo funkcijo ter enačbe gibanja. Enačbe reši pri začetnih pogojih r(0) = 0 in r(0) = v 0x î+v z0ˆk. V ravnini xz skiciraj tir eektrona. 3. Nihao z aso in ahko paico dožine je vpeto v točko p. Točka p se pod vpivo dveh vzeti s konstanto k ahko gibje e v horizontani seri. V ravnovesni egi sistea sta vzeti nenapeti. Izračunaj frekvenco ajhnega nihanja, ki nastopi, če aso ao izakneo iz ravnovesja. k p k 4. Pokaži, da v prieru keperjevskega potenciaa za vezane orbite veja zveza 2 T = V, kjer sta T in V časovni povprečji kinetične in potenciane energije. Lahko si poagaš z zvezaa: H = GMµ 2π dϕ in 2a 0 1+ǫcosϕ = 2π 1 ǫ 2 (tu so: M vsota as, µ reducirana asa, a in ǫ pa gavna poos in ekscentričnost eipse t.j. orbite) 3 naoge štejejo "pribižno"100%. Vso srečo.

2 2. kookvij iz Kasične ehanike, V aboratoriju na vesojski postaji zavrtio kvader ase in s stranicai a, b = a in c = a 2 okoi teesne diagonae s kotno hitrostjo ω. Kvader nato spustio, da se vrti kot prosta vrtavka. Izračunaj tenzor vztrajnostnega oenta. Zapiši rešitve Euerjevih enačb za vrtenje kvadra v njegove astne sisteu. Koikšna je frekvenca proste precesije? 2. Tanek vaj z radije R s pravokotno ahko prečko dožine se brez zdrsavanja (točka A iruje) ahko kotai po ravni podagi nagnjeni za kot ǫ gede na vodoravnico (gej siko). Zapiši enačbe gibanja in jih reši za prier ajhnega nihanja okoi ravnovesne ege. 3. Paica z aso in dožino (vztrajnostni oent paice okrog težišča I = 2 /12) je na strop pritrjena z enakia vzetea kot prikazuje sika. Zania nas gibanje sistea v vertikani seri, tako da odike v horizontani seri zaneario (upoštevaj x 2 x 1 ). Zapiši Lagrangeovo funkcijo, izraženo z odiki x 1,x 2 obeh koncev paice iz ravnovesja. Poišči astne načine nihanja in njihove frekvence. k k x 1 x 2 4. Pospošena Lagrangeova funkcija za deec z aso je L = 1 2 (ẋ2 ω 2 x 2 )e γt, 0 < γ < ω. Dooči Haitonovo funkcijo in Haitonove enačbe gibanja ter jih reši. Interpretiraj rešitev in napovej vrednost x v iiti x(t ). Koentiraj še, ai je Haitonova funkcija ohranjena koičina.

3 1. izpit iz Kasične ehanike, Po žične vodiu paraboične obike brez trenja drsi drobna utež. Vodio se vrti okoi navpične sietrijske osi z s kotno hitrostjo ω 0, njegovo obiko pa v vrteče koordinatne sisteu opišeo z zvezo z = ax 2. Zapiši Lagrangeovo funkcijo in ustrezne enačbe gibanja. Ugotovi, kdaj je ravnovesna ega stabina in reši enačbe za prier ajhnega nihanja. 2. Opazujeo steber z radije R, ki se u tok hokejskih poščkov z radije a pribižuje z desne strani in se na nje eastično sipajo. Poščki so enakoerno porazdejeni po širini L. Skupno števio poščkov N je veiko. Go je postavjen na oddajenosti d od stebra in ia širino w. Lahko predpostaviš, da veja d R, d w, w a. i.) Izpeji povezavo ed udarni paraetro b in sipani koto θ za pošček. ii.) Če dvodienzionani sipani presek, ki poda števio poščkov sipanih v kot dθ, definirao kot (N/L)σ(θ)dθ, poišči diferenciani sipani presek. iii.) Koiko poščkov bo končao v gou? Koiko jih bo zadeo steber? 3. Po cevi z aso brez trenja drsita uteži z aso. Uteži in cev so povezani z vzeti, tako kot prikazuje sika in tvorijo sestavjeno nihao. Zapiši Lagrangeovo funkcijo ter izračunaj astne frekvence in astne nihajne načine za takšno nihao. Cev in uteži se ahko gibjejo sao v sereh označenih s puščicai (1D siste). 4. Deec z aso se brez trenja giba po notranji površini stožca s kotov 2α v vrhu. i.) Poišči Langrangeovo in Haitonovo funkcijo za dan probe. Katere so ohranjene koičine? ii.) Pokaži, da je rešitev ekvivaentna gibanju deca z neko efektivno aso v enodienzionane efektivne potenciau. Kaj sta v te prieru V eff? iii.) S poočjo efektivnega potenciaa ugotovi, pri kakšne radiju ρ 0 je kroženje (pri konstantne radiju) rešitev probea. Sika 1: Leva: k 2. naogi, sredinska: k 3. naogi, desna: k 4. naogi.

4 Izpit iz Kasične ehanike Zapiši Lagrangeovo funkcijo in ustrezne enačbe za siste uteži in škripcev, ki jih prikazuje sika. Upoštevaj, da je vrvica neraztegjiva, ter da potuje po škripcih brez zdrsavanja. Oba škripca iata aso in poer R. Reši enačbe in koentiraj reštev., R 2. Z drobni projektio z razdaje s strejao na težko irujočo tarčo preera c 2r 0. Projekti ia ob izstreitvi hitrost v 0, r v0 0 tarčo pa opišeo s centrano sietrični V 0, r < r0 s potenciao V =. Pri strejanju 0, r r0 opazio, da do kritičnega kota ϑ c ed serjo strejanja in zveznico do središča tarče (gej siko), projekti prodre v notranjost tarče, pri večjih kotih pa se odbije. Skiciraj efektivni potencia, karakteriziraj ožne orbite in izračunaj kritični kot. 3. Utež z aso je pritrjena na kvadratni okvir s štirii vzeti s koeficienti k kot prikazuje sika. Njeno gibanje je oejeno na ravnino okvirja. V ravnovesni egi vzeti niso napete. Recio, da okvir poožio na ta na severne tečaju. Zapiši enačbe gibanja za ajhna nihanja okrog ravnovesne ege. Pri te upoštevaj e gavne prispevke. Poišči spošno rešitev teh enačb in koentiraj kakšneu gibanju ustrezajo. 4. Na disk z aso in radije a je s paičico dožine b, ki gre skozi njegovo sietrijsko os, pritrjena dodatna asa M. Ceotno teo je, kot prikazuje sika, pripeto na sredino paice z dožino, ki se vrti s konstantno kotno hitrostjo. Maso obeh paic zaneario. Izračunaj koponente si F 1 (t) in F 2 (t), s katerii orao deovati na konceh paice, da uravnovesio navore. u

5 Kookvij iz Kasične ehanike Okoi vertikane osi O se s konstantno kotno hitrostjo Ω vrti skop iz paice dožine in okrogega obroča s poero R (gej siko). Po obroču se brez trenja gibje točkasto teo. Kako zapišeo poožaj teesa kot funkcijo časa in kota φ? Od tod izpeji Lagrangevo funkcijo in poišči enačbo gibanja za točkasto teo! Izračunaj energijo sistea! Ai se energija ohranja? Poišči stabino ravnovesno ego in frekvenco ajhnega nihanja okoi ravnovesja! Ω O R φ 2. Točkasto teo se brez trenja gibje po eiptične obroču, ki ga opisuje enačba (x/a) 2 + (y/b) 2 = 1 (gej siko). V seriy deuje hoogeno težnostno pojeg. Za pospošeno koordinato izbereo koičino α, definirano z x = acosα, y = bsinα. Izpeji enačbo gibanja za α in poišči stabino ravnovesno ego in frekvenco ajhnega nihanja okoi ravnovesja! g a b 3. Točkasto teo se gibje v centrane potenciau obike: V(r) = { V0 za r < R 0 0 sicer (1) Skiciraj efektivni potencia ter kasificiraj in skiciraj ožne orbite. Ugotovi, pri katerih vrednostih vrtine koičine (za dano energijo), so vezane orbite zakjučene po ene obhodu. 4. Pri ini gofu se uknjica preera 2R nahaja v središču ijaka, ki ga opišeo z zvezo z = αr 1, α > 0, kjer jer oddajenost od središča uknjice. Luknjico cijao z veike razdaje, pri čeer žogico suneo z začetno hitrostjo v 0. Za koikšen kot gede na ser proti središču uknjice seo zgrešiti, da bo žogica še zadea? Navodio: žogico obravnavaj kot točkasto teo in upoštevaj, da je vzpetina baga (t.j. hitrost žogice v navpični seri ahko zaneariš). 1

6 Kookvij iz Kasične ehanike Obravnavao dvojno torzijsko nihao. Na strop je pritrjena žica, na katero je obešena hoogena okroga pošča z aso in poero R, tako da je pritrdišče žice natanko v sredini pošče. Torzijski koeficient žice je D. Na spodnji strani pošče je v sredini pritrjena druga žica, na katero je sietrično obešena še ena pošča. Obe pošči iata enako aso in poer, pa tudi žici iata obe enak torzijski koeficient. Zapiši Lagrangevo funkcijo sistea ter poišči astni frekvenci in astna vektorja za nihanje sistea. 2. Obravnavao sietrično vrtavko z gavnii vztrajnostnii oenti J 1 = J 2 = J in J 3 = J. Vrtavka je vpeta tako, da njena astna os z vedno okepa kot θ 0 z aboratorijsko osjo z (Euerjev kot θ = θ 0 je torej konstanten), zato astna os z ed gibanje oriše stožec. Zapiši Lagrangevo funkcijo za preostaa Euerjeva kota φ in ψ, poišči ustrezni enačbi gibanja in dooči časovni potek φ(t) in ψ(t). Na začetku veja φ(0) = ψ(0) = 0, hitrost vrtenja okoi osi z je Ω, os z pa oriše stožec v času τ. 3. Kovanec naj opeta (oz. se kotai) po svoje obodu tako, da njegovo težišče iruje. Zapiši enačbe gibanja t.j. Euerjeve enačbe za opisan siste. Upoštevaj, da se kovanec kotai brez zdrsavanja, in zapiši ustrezno vez. Izračunaj frekvenco opetanja v odvisnosti od nagiba kovanca. 4. Eektron se gibje v agnetne poju dogega ravnega vodnika skozi katerega teče eektrični tok. Magnetno poje v te prieru podaja vektorski potencia A = C n(r/r 0 )ˆk. Zapiši Lagrangeovo in Haitonovo funkcijo ter poišči konstante gibanja. Kateri pogoj ora biti izponjen, da bo gibanje v ravnini, ki vsebuje vodnik? Za prier takšnega ravninskega gibanja ugotovi, kako je videti tir eektrona. 1

7 Izpit iz Kasične ehanike Na vesojski postaji, ki ia obiko ogronega kouta poera R, uetno težnost ustvario z vrtenje postaje okoi sietrijske osi s kotno hitrostjo ω. Na takšni postaji opazujeo aa nihanja nitnega nihaa z dožino niti (naj veja R). Zapiši Lagrangevo funkcijo za prier ajhne apitude nihanja in ustrezne enačbe gibanja za opisan siste, ter jih reši. 2. Obravnavao ravninsko nihanje ateatičnega nihaa z raztegjivo vrvico. Na eastični (raztegjivi) vrvici je obešena utež z aso. Dožina neobreenjene vrvice je, njen koeficient vzeti pa označio s k. Siste je v težnostne poju. Zapiši Lagrangevo funkcijo in enačbe gibanja za utež. Dooči ravnovesni poožaj uteži in obravnavaj aa nihanja takšnega nihaa. 3. Kvader ase in s stranicai a, b, in c vpneo tako, da se ahko vrti okoi fiksne osi, ki poteka vzdož teesne diagonae. Izračunaj vztrajnostni tenzor v astne koordinatne sisteu. Kvader zavrtio s kotno hitrostjo ω. Zapiši Euerjeve enačbe gibanja in izračunaj, kakšen navor deuje na ežaje osi. 4. Deec je ujet v pasti, ki jo opišeo s potenciao V past = 1 2 k 1x k 2y k 3z 2. Ujeti deec ia naboj q. Vzpostavio dodatno eektrično poje jakosti E 0 v seri, vzporedni z vektorje (1, 1, 0). Zapiši Haitonovo funkcijo, dooči enačbe gibanja in jih reši. 1

8 Izpit iz Kasične ehanike Vztrajnik je sestavjen iz dveh uteži z aso na prečkah dožine b, te pa so pritrjene na nosica dožine a (gej siko). Ceotna naprava se ahko vrti okoi navpične osi, gibjiva pa sta tudi oba stika ed prečko in nosice (probe poenostavio tako, da privzaeo, da sta oba kota enaka). Dooči Lagrangevo funkcijo in enačbe gibanja. Naštej konstante gibanja. g φ b θ a a θ b 2. Po vajasti skedi poera R se brez zdrsavanja kotai hoogen vaj s poero r in aso (gej siko). Zapiši vezi, kinetično in potenciano energijo ter Lagrangeovo funkcijo. Zapiši še Lagrangeove enačbe, izračunaj ravnovesno ego ter reši enačbe za prier ajhnega nihanja vaja. 3. Za trojno nihao, kot ga prikazuje sika, izračunaj za ajhna nihanja astne nihajne načine in ustrezne astne frekvence. Dožine neraztegnjenih vzeti so enake razaku a ed vpetji posaičnih niha. Naig: upoštevaj sietrijo. 4. Deec z aso in naboje e je ujet v statični eektrični pasti, poeg tega pa ga vzbujao z dodatni časovno periodični poje. Obravnavao poenostavjen probe, kjer predpostavio, da ia poje sao koponento v seri x in ga zapišeo kot E = [ax + b cos(ωt)]e x, kjer sta a in b neki konstanti. Zapiši Haitonovo funkcijo in enačbe gibanja za dve razični izbiri potenciaov φ in A: i) poje opišeo s skaarni potenciao φ, potencia A pa je enak nič, ii) poje opišeo z vektorski potenciao A, potencia φ pa je enak nič. Je generaizirani ipuz v obeh prierih enak? Kaj pa hitrost? 1

9 Kookvij iz Kasične ehanike Hokejist na edeni poskvi v Tivoiju sune pak s hitrostjo 30 /s natančno v seri proti severu. Za koiko bo zaradi vrtenja Zeje na poti 50 pak skreni z začetne seri? Ljubjana se nahaja na geografski širini 46 0 in pak drsi brez trenja. 2. Zapiši Lagrangeovo funkcijo in ustrezne enačbe za siste uteži in škripcev, ki jih prikazuje sika. Upoštevaj, da je vrvica neraztegjiva, ter da potuje po škripcih brez zdrsavanja. Oba škripca iata aso in poer R. Reši enačbe in koentiraj reštev., R u 3. Po žične obroču, ki se vrti okoi navpične osi s kotno hitrostjo Ω, brez trenja drsi drobna utež (gej siko). Zapiši Lagrangeovo funkcijo in ustrezne enačbe. Pokaži da obstaja ejna kotna hitrost vrtenja, do katere je ravnovesna ega uteži na dnu obroča. Za ta prier reši enačbe gibanja za ajhna nihanja. R g

10 Kookvij iz Kasične ehanike Izračunaj sipani presek za trk točkastega projektia s tarčo preera 2R, če ed njia deuje privačna sia, ki jo opišeo s centrani potenciao 3 V = α / r, α > 0. Navodio: skiciraj efektivni potencia in ugotovi kakšen je potrebni pogoj za trk (dva priera!). 2. V aboratoriju na vesojski postaji zavrtio kvader ase in s stranicai a, b = a in c = a / 2 okoi teesne diagonae s kotno hitrostjo ω. Kvader nato spustio da se vrti kot prosta vrtavka. Kako se kvader vrti za opazovaca v aboratoriju? Naig: rešitve najprej zapiši v astne sisteu kvadra in jih nato transforiraj v aboratorijski siste. 3. Za dvojno nihao prikazano na siki izračunaj astne frekvence in astne nihajne načine ter zapiši rešitev za prier začetnih pogojev x T ( t = 0) = (0,0) in x& T t = 0) = ( v,0). ( 0

11 Izpit iz Anaitične ehanike Po žične vodiu, katerega obiko podaja zveza z = a (1 + cos( kx )), brez trenja drsi drobna utež ase. Skiciraj obiko vodia, zapiši Lagrangeovo funkcijo in enačbe, poišči stabine ravnovesne ege ter izračunaj frekvence pripadajočih ajhnih nihanj. 2. Pri ini gofu se uknjica preera 2R nahaja v središču ijaka, ki ga opišeo z zvezo z = αr 1, α > 0. Tu je r oddajenost od središča uknjice. Luknjico cijao z veike razdaje, pri čeer žogico suneo z začetno hitrostjo v 0. Za koikšen kot gede na ser proti središču uknjice seo zgrešiti, da bo žogica še zadea? Navodio: žogico obravnavaj kot točkasto teo in upoštevaj, da je vzpetina baga t.j. hitrost žogice v navpični seri ahko zaneariš. 3. Vztrajnik preera 2R s pravokotno prečko dožine, se brez zdrsavanja (točka A iruje) kotai po ravni podagi nagnjeni za kot ε gede na vodoravnico (gej siko). Zapiši gibane enačbe in jih reši za prier ajhnega nihanja okoi ravnovesne ege. Naig: uporabi Lagrangeov foraize podobno kot v prieru vrtavke. 4. Za trojno nihao, kot ga prikazuje sika, izračunaj za ajhna nihanja astne nihajne načine in ustrezne astne frekvence. Dožine neraztegnjenih vzeti so enake razaku a ed vpetji posaičnih niha. Naig: upoštevaj sietrijo. a a k k

12 Kookvij iz anaitične ehanike Vrteča restavracija na stopu v Torontu se zavrti dvakrat v inuti, česar se orajo pri svoje deu navaditi natakarji, ki raznašajo hrano. Kako je gede na gadino juhe v krožniku na izi, nagnjena gadina tiste, ki jo natakar ravnokar nese io nas? Natakar hiti v radiani seri proti gostu na obodu restavracije s hitrostjo 1/s, naša iza pa je 20 oddajena od osi vrtenja. 2. Hoogen vaj se ahko prosto vrti okoi navpične osi. Na obod vaja je pritrjeno spirano vodio s hodo p [/2π] po katere brez trenja drsi drobna utež z aso. V začetku utež iruje na vrhu vaja, ko pa jo spustio zaradi teže oddrsi navzdo. Zapiši Lagrangeovo funkcijo za opisan siste, ter reši ustrezne enačbe. 3. Pokaži, da je v prieru keperjevskega potenciaa V = k / r (k>0) t.i. Runge-Lenzov vektor R = p L k ( r / r) konstanta gibanja. Tu sta: p = r gibana koičina in L = r r vrtina koičina. Naig: ogej si časovni odvod vektorja R in upoštevaj, da se vrtina koičina ohranja. 4. Z drobni projektio ustreio na težko irojočo tarčo. Tarčo opišeo s V 0, r < r0 centrano sietrični potenciao V =. Izračunaj potrebno kinetično 0, r r0 energijo projektia, če naj e-ta, pri izbrane udarne paraetru, prodre v notranjost tarče. Izračunaj totani sipani presek za ta isti proces.

13 Kookvij iz anaitične ehanike Na vodoravno podago navpično postavio tanko paico (z dožino in aso ). Paica sčasoa pade, ed padanje pa spodnji konec paice pri neke nagibu zdrsne. Izračunaj zvezo ed koto nagiba pri zdrsu in koeficiento epenja ed paico in podago. Uporabi etodo Lagrangeovih utipikatorjev. 2. Lagrangeovo funkcijo za nabit deec v agnetne poju zapišeo kot 1 L = q 2 i + e q i Ai. Pokaži, da se Haitonova funkcija, ki je definirana kot 2 i i H = p q i i L 1 2 v te prieru zapiše kot H = ( p i ea i ). i 2 3. Vztrajnik preera 2R s pravokotno prečko dožine, se brez zdrsavanja (točka A iruje) kotai po ravni podagi nagnjeni za kot ε gede na vodoravnico (gej siko). Zapiši gibane enačbe in jih reši za prier ajhnega nihanja okoi ravnovesne ege. Naig: uporabi Lagrangeov foraize podobno kot v prieru vrtavke. i 4. Mode neke oekue napravio tako, da tri enake krogice (atoe) z aso povežeo z dvea enakia vzetea (k) kot prikazuje sika. Izračunaj astne nihajne načine in pripadajoče frekvence nihanja. Atoi se ahko gibjejo sao vzdož dajše sietrijske osi oekue.

14 Izpit iz Anaitične ehanike Žično vodio, katerega obiko podaja zveza z = α x, se s konstantno kotno hitrostjo Ω vrti okoi navpične osi (e-ta sovpada s sietrijsko osjo vodia). Po vodiu brez trenja drsi drobna utež ase. Zapiši Lagrangeovo funkcijo in ustrezne enačbe, ter jih reši za prier ajhnega nihanja. Interpretiraj rešitve. Naig: L in enačbe je siseno zapisati v vrteče sisteu vodia. 2. Pri ini gofu se uknjica preera 2R nahaja na vrhu bage vzpetine, ki jo 1 opišeo z zvezo z = α r, kjer je r oddajenost od središča uknjice. Luknjico cijao z veike razdaje, pri čeer žogico suneo z začetno hitrostjo v 0. Za koikšen kot gede na ser proti središču uknjice seo zgrešiti, da bo žogica še zadea? Navodio: žogico obravnavaj kot točkasto teo in upoštevaj, da je vzpetina baga t.j. hitrost žogice v navpični seri ahko zaneariš. 3. Po površini gadke pokroge brez trenja z vrha zdrsne drobna utež. Z etodo Lagrangeovih utipikatorjev dooči kot pri katere se utež odepi od površine kroge in izračunaj, kako daeč od oboda pokroge pade na ta.?? 4. Za trojno nihao, kot ga prikazuje sika, izračunaj za ajhna nihanja astne nihajne načine in ustrezne astne frekvence. Dožine neraztegnjenih vzeti so enake razaku a ed vpetji posaičnih niha. Naig: upoštevaj sietrijo. a a k k

15 Izpit iz anaitične ehanike V skedo, ki ia obiko pokroge s poero R, poožio krogico z aso in poero r. Obravnavaj ravninsko kotajenje krogice po skedi - zapiši gibane enačbe ter jih reši za prier ajhnega nihanja. Kako se spreinja frekvenca nihanja, če večao poer krogice? 2. Izračunaj totani sipani presek, da koet trči v Sonce. Koet obravnavaj kot točkasto teo, Sonce pa ia poer R. 3. Paica z aso in dožino, ki jo postavio v kot ed steno in tei pod koto ϑ 0, brez trenja zdrsne (gej siko). Zapiši Lagrangeovo funkcijo in ustrezne vezi. Za generaizirane koordinate vzei x, y težišča in kot ϑ. Izrazi sio, s katero stena deuje na paico pri kotu ϑ in ugotovi, pri katere kotu se paica odepi od stene. Uporabi etodo Lagrangeovih utipikatorjev. 4. Eektron v vodikove atou vidi statično eektrično poje protona kot agnetno 1 poje: B = v E 2. Deovanje e-tega na agnetni oent eektrona c e μ = 0 s opišeo s Haitonovo funkcijo H = μ B, kjer je s astna vrtina koičina eektrona (spin). S Poissonovii okepaji zapiši gibano enačbo za spin eektrona in izračunaj frekvenco precesije (pojavu pravio skopitev spin-tir). Za poer orbite eektrona vzei Bohrov radij r B =0.053n, za veikost tirne vrtine koičine pa =h/2π.

16 Izpit iz anaitične ehanike V cirkusu opazujeo dva kovna, ki izvajata točko, katere de je baanasiranje paice na nosu. Točko izvajata na vrteče podiju, pri čeer prvi stoji na robu, drugi pa od središča hodi proti prveu s hitrostjo v. V katero ser in pod kakšni koto sta nagnjeni paici obeh kovnov? Podij se vrti počasi, tako da ves čas veja 2 ω r g. 2. V atoarne pinu ed dvea atooa deuje sia, ki jo dooča potencia 6 V ( r) = C / r, C > 0. Izračunaj presek za združitev decev kot funkcijo energije. 3. Tanko paico (z dožino in aso ) navpično postavio na konico prsta. Če s prsto ne ovio ravnotežja bo paica sčasoa pada Izračunaj sio na prst v odvisnosti od kota nagiba ed padanje paice. Uporabi etodo Lagranževih utipikatorjev. 4. Eektron v vodikove atou vidi statično eektrično poje protona kot agnetno 1 poje: B = v E 2. Deovanje e-tega na agnetni oent eektrona c e μ = 0 s opišeo s Haitonovo funkcijo H = μ B, kjer je s astna vrtina koičina eektrona (spin). S Poissonovii okepaji zapiši gibano enačbo za spin eektrona in izračunaj frekvenco precesije (pojavu pravio skopitev spin-tir). Za poer orbite eektrona vzei Bohrov radij r B =0.053n, za veikost tirne vrtine koičine pa =h/2π.