Kolokvij iz Klasične mehanike

Transcript

1 Kolokvij iz Klasične ehanike Hokejist na ledeni ploskvi v Tivoliju sune pak s hitrostjo 30 /s natančno v seri proti severu. Za koliko bo zaradi vrtenja Zelje na poti 50 pak skrenil z začetne seri? Ljubljana se nahaja na geografski širini 46 0 in pak drsi brez trenja. 2. Zapiši Lagrangeovo funkcijo in ustrezne enačbe za siste uteži in škripcev, ki jih prikazuje slika. Upoštevaj, da je vrvica neraztegljiva, ter da potuje po škripcih brez zdrsavanja. Oba škripca iata aso in poler R. Reši enačbe in koentiraj reštev., R u 3. Po žične obroču, ki se vrti okoli navpične osi s kotno hitrostjo Ω, brez trenja drsi drobna utež (glej sliko). Zapiši Lagrangeovo funkcijo in ustrezne enačbe. Pokaži da obstaja ejna kotna hitrost vrtenja, do katere je ravnovesna lega uteži na dnu obroča. Za ta prier reši enačbe gibanja za ajhna nihanja. R g

2 Izpit iz Analitične ehanike Po žične vodilu, katerega obliko podaja zveza z = a (1 + cos( kx )), brez trenja drsi drobna utež ase. Skiciraj obliko vodila, zapiši Lagrangeovo funkcijo in enačbe, poišči stabilne ravnovesne lege ter izračunaj frekvence pripadajočih ajhnih nihanj. 2. Pri ini golfu se luknjica preera 2R nahaja v središču lijaka, ki ga opišeo z zvezo z = α r 1, α > 0. Tu je r oddaljenost od središča luknjice. Luknjico ciljao z velike razdalje l, pri čeer žogico suneo z začetno hitrostjo v 0. Za kolikšen kot glede na ser proti središču luknjice seo zgrešiti, da bo žogica še zadela? Navodilo: žogico obravnavaj kot točkasto telo in upoštevaj, da je vzpetina blaga t.j. hitrost žogice v navpični seri lahko zaneariš. 3. Vztrajnik preera 2R s pravokotno prečko dolžine l, se brez zdrsavanja (točka A iruje) kotali po ravni podlagi nagnjeni za kot ε glede na vodoravnico (glej sliko). Zapiši gibalne enačbe in jih reši za prier ajhnega nihanja okoli ravnovesne lege. Naig: uporabi Lagrangeov foralize podobno kot v prieru vrtavke. 4. Za trojno nihalo, kot ga prikazuje slika, izračunaj za ajhna nihanja lastne nihajne načine in ustrezne lastne frekvence. Dolžine neraztegnjenih vzeti so enake razaku a ed vpetji posaičnih nihal. Naig: upoštevaj sietrijo. a a l l l k k

3 Izpit iz analitične ehanike V cirkusu opazujeo dva klovna, ki izvajata točko, katere del je balanasiranje palice na nosu. Točko izvajata na vrteče podiju, pri čeer prvi stoji na robu, drugi pa od središča hodi proti prveu s hitrostjo v. V katero ser in pod kakšni koto sta nagnjeni palici obeh klovnov? Podij se vrti počasi, tako da ves čas velja 2 ω r g. 2. V atoarne plinu ed dvea atooa deluje sila, ki jo določa potencial 6 V ( r) = C / r, C > 0. Izračunaj presek za združitev delcev kot funkcijo energije. 3. Tanko palico (z dolžino l in aso ) navpično postavio na konico prsta. Če s prsto ne lovio ravnotežja bo palica sčasoa padla Izračunaj silo na prst v odvisnosti od kota nagiba ed padanje palice. Uporabi etodo Lagranževih ultiplikatorjev. 4. Elektron v vodikove atou vidi statično električno polje protona kot agnetno 1 polje: B = v E. Delovanje le-tega na agnetni oent elektrona 2 c e μ = 0 s opišeo s Hailtonovo funkcijo H = μ B, kjer je s lastna vrtilna količina elektrona (spin). S Poissonovii oklepaji zapiši gibalno enačbo za spin elektrona in izračunaj frekvenco precesije (pojavu pravio sklopitev spin-tir). Za poler orbite elektrona vzei Bohrov radij r B =0.053n, za velikost tirne vrtilne količine pa l=h/2π.

4 Izpit iz analitične ehanike V skledo, ki ia obliko polkrogle s polero R, položio kroglico z aso in polero r. Obravnavaj ravninsko kotaljenje kroglice po skledi - zapiši gibalne enačbe ter jih reši za prier ajhnega nihanja. Kako se spreinja frekvenca nihanja, če večao poler kroglice? 2. Izračunaj totalni sipalni presek, da koet trči v Sonce. Koet obravnavaj kot točkasto telo, Sonce pa ia poler R. 3. Palica z aso in dolžino l, ki jo postavio v kot ed steno in tlei pod koto ϑ 0, brez trenja zdrsne (glej sliko). Zapiši Lagrangeovo funkcijo in ustrezne vezi. Za generalizirane koordinate vzei x, y težišča in kot ϑ. Izrazi silo, s katero stena deluje na palico pri kotu ϑ in ugotovi, pri katere kotu se palica odlepi od stene. Uporabi etodo Lagrangeovih ultiplikatorjev. 4. Elektron v vodikove atou vidi statično električno polje protona kot agnetno 1 polje: B = v E. Delovanje le-tega na agnetni oent elektrona 2 c e μ = 0 s opišeo s Hailtonovo funkcijo H = μ B, kjer je s lastna vrtilna količina elektrona (spin). S Poissonovii oklepaji zapiši gibalno enačbo za spin elektrona in izračunaj frekvenco precesije (pojavu pravio sklopitev spin-tir). Za poler orbite elektrona vzei Bohrov radij r B =0.053n, za velikost tirne vrtilne količine pa l=h/2π.

5 Izpit iz Analitične ehanike Žično vodilo, katerega obliko podaja zveza z = α x, se s konstantno kotno hitrostjo Ω vrti okoli navpične osi (le-ta sovpada s sietrijsko osjo vodila). Po vodilu brez trenja drsi drobna utež ase. Zapiši Lagrangeovo funkcijo in ustrezne enačbe, ter jih reši za prier ajhnega nihanja. Interpretiraj rešitve. Naig: L in enačbe je siselno zapisati v vrteče sisteu vodila. 2. Pri ini golfu se luknjica preera 2R nahaja na vrhu blage vzpetine, ki jo 1 opišeo z zvezo z = α r, kjer je r oddaljenost od središča luknjice. Luknjico ciljao z velike razdalje l, pri čeer žogico suneo z začetno hitrostjo v 0. Za kolikšen kot glede na ser proti središču luknjice seo zgrešiti, da bo žogica še zadela? Navodilo: žogico obravnavaj kot točkasto telo in upoštevaj, da je vzpetina blaga t.j. hitrost žogice v navpični seri lahko zaneariš. 3. Po površini gladke polkrogle brez trenja z vrha zdrsne drobna utež. Z etodo Lagrangeovih ultiplikatorjev določi kot pri katere se utež odlepi od površine krogle in izračunaj, kako daleč od oboda polkrogle pade na tla.?? 4. Za trojno nihalo, kot ga prikazuje slika, izračunaj za ajhna nihanja lastne nihajne načine in ustrezne lastne frekvence. Dolžine neraztegnjenih vzeti so enake razaku a ed vpetji posaičnih nihal. Naig: upoštevaj sietrijo. a a l l l k k

6 Kolokvij iz Klasične ehanike Izračunaj sipalni presek za trk točkastega projektila s tarčo preera 2R, če ed njia deluje privlačna sila, ki jo opišeo s centralni potencialo 3 V = α / r, α > 0. Navodilo: skiciraj efektivni potencial in ugotovi kakšen je potrebni pogoj za trk (dva priera!). 2. V laboratoriju na vesoljski postaji zavrtio kvader ase in s stranicai a, b = a in c = a / 2 okoli telesne diagonale s kotno hitrostjo ω. Kvader nato spustio da se vrti kot prosta vrtavka. Kako se kvader vrti za opazovalca v laboratoriju? Naig: rešitve najprej zapiši v lastne sisteu kvadra in jih nato transforiraj v laboratorijski siste. 3. Za dvojno nihalo prikazano na sliki izračunaj lastne frekvence in lastne nihajne načine ter zapiši rešitev za prier začetnih pogojev x T ( t = 0) = (0,0) in x& T t = 0) = ( v,0). ( 0

7 Kolokvij iz analitične ehanike Na vodoravno podlago navpično postavio tanko palico (z dolžino l in aso ). Palica sčasoa pade, ed padanje pa spodnji konec palice pri neke nagibu zdrsne. Izračunaj zvezo ed koto nagiba pri zdrsu in koeficiento lepenja ed palico in podlago. Uporabi etodo Lagrangeovih ultiplikatorjev. 2. Lagrangeovo funkcijo za nabit delec v agnetne polju zapišeo kot 1 L = q 2 i + e q i Ai. Pokaži, da se Hailtonova funkcija, ki je definirana 2 i i 1 2 kot H = piq i L v te prieru zapiše kot H = ( p i ea i ). 2 i 3. Vztrajnik preera 2R s pravokotno prečko dolžine l, se brez zdrsavanja (točka A iruje) kotali po ravni podlagi nagnjeni za kot ε glede na vodoravnico (glej sliko). Zapiši gibalne enačbe in jih reši za prier ajhnega nihanja okoli ravnovesne lege. Naig: uporabi Lagrangeov foralize podobno kot v prieru vrtavke. i 4. Model neke olekule napravio tako, da tri enake kroglice (atoe) z aso povežeo z dvea enakia vzetea (k) kot prikazuje slika. Izračunaj lastne nihajne načine in pripadajoče frekvence nihanja. Atoi se lahko gibljejo sao vzdolž daljše sietrijske osi olekule.

8

9 Kolokvij iz analitične ehanike Vrteča restavracija na stolpu v Torontu se zavrti dvakrat v inuti, česar se orajo pri svoje delu navaditi natakarji, ki raznašajo hrano. Kako je glede na gladino juhe v krožniku na izi, nagnjena gladina tiste, ki jo natakar ravnokar nese io nas? Natakar hiti v radialni seri proti gostu na obodu restavracije s hitrostjo 1/s, naša iza pa je 20 oddaljena od osi vrtenja. 2. Hoogen valj se lahko prosto vrti okoli navpične osi. Na obod valja je pritrjeno spiralno vodilo s hodo p [/2π] po katere brez trenja drsi drobna utež z aso. V začetku utež iruje na vrhu valja, ko pa jo spustio zaradi teže oddrsi navzdol. Zapiši Lagrangeovo funkcijo za opisan siste, ter reši ustrezne enačbe. 3. Pokaži, da je v prieru keplerjevskega potenciala V = k / r (k>0) t.i. Runge- Lenzov vektor R = p L k ( r / r) konstanta gibanja. Tu sta: p = r gibalna količina in L = r r vrtilna količina. Naig: oglej si časovni odvod vektorja R in upoštevaj, da se vrtilna količina ohranja. 4. Z drobni projektilo ustrelio na težko irojočo tarčo. Tarčo opišeo s V 0, r < r0 centralno sietrični potencialo V =. Izračunaj potrebno kinetično 0, r r0 energijo projektila, če naj le-ta, pri izbrane udarne paraetru, prodre v notranjost tarče. Izračunaj totalni sipalni presek za ta isti proces.

10 1. kolokvĳ iz analitične ehanike Zapiši gibalne enačbe za prost delec v vrteče koordinatne sisteu in jih reši. Pokaži, da te rešitve, transforirane v inercialni koordinatni siste, predstavljajo enakoerno gibanje. 2. V lesen valj s polero R = 20 c in aso M = 1 kg je na razdalji r = 15 c od osi vgrajena tanka železna palica z aso 50 g (glej sliko). Zapiši enačbe gibanja za prost valj, če ga položio na ravno podlago. Poišči ravnovesne lege in razišči ajhna nihanja valja. Naig: upoštevaj, da je M. 3. Pokaži, da je v prieru keplerjevskega potenciala V = k/r (K > 0) t.i. Runge- Lenzov vektor R = p L k ( r/r) konstanta gibanja. Tu sta: p = r gibalna količina in L = r r vrtilna količina. Naig: oglej si časovni odvod vektorja R. 4. Izračunaj diferencialni sipalni presek pri elastične sipanju drobnega projektila z aso na irujoči okrogli tarči z aso M v prierih, ko je M in = M. Kolokvĳi iz analitične ehanike, verzĳa: 13. januar

11 2. kolokvĳ iz analitične ehanike V kroglasti skledi s polero R brez trenja drsi palica dolžine l in ase (l < R, glej sliko). Z etodo Lagrangeovih nožiteljev ugotovi, s kolikšno silo pri dane kotu θ deluje skleda na palico, če le-ta v skleti prosto ravninsko niha. Naig: zapiši siste Lagrangeovih enačb in vezi ter izrazi ustrezni nožitelj. Enačb ne rešuj. 2. Okoli zvezde krožita dva planeta, prvi pri oddaljenosti r in drugi pri r (velja r r in ). Ravnini orbit obeh planetov oklepata kot γ. Orbita prvega planeta zaradi otnje, ki jo predstavlja drugi planet, precedira (gledano v časovnih razdobjih dolgih v prieri z obhodnia časoa obeh planetov). Izračunaj frekvenco precesĳe. Naig: zapiši hailtonovo funkcĳo za celoten siste in poglej, kako se spreinja vektor vrtilne količine prvega planeta. Poagaj si z razvoje: 1 r r = 1 r (1 + ) r r r 2 Kolokvĳi iz analitične ehanike, verzĳa: 13. januar

12

13

14

15

16