Transcript

1 INSTYTUT FIZYKI J DROWEJ im. Henryka Niewodnicza skiego POLSKIEJ AKADEMII NAUK Zak ad I Pracownia Dynamiki Nieliniowej Multifraktalne charakterystyki finansowych szeregów czasowych Pawe O wi cimka Praca doktorska wykonana pod kierunkiem prof. dr hab. Stanis awa Dro d a Kraków, 2005

2

3 Podzi kowania Pragn w tym miejscu podzi kowa mojemu promotorowi prof. dr hab. Stanis awowi Dro d owi za opiek naukow oraz prowadzenie w trakcie przygotowania tej pracy. Dzi kuj równie dr Jaros awowi Kwapieniowi za po wi cony mi czas i cenne uwagi, zarówno w trakcie pisania niniejszej pracy, jak i ca ych moich studiów. Dzi kuje mojej onie Agnieszce oraz naszym Rodzicom za okazane mi wsparcie.

4

5 Spis tre ci 1 Wst p 7 2 Formalizm Wprowadzenie Samopodobie stwo i samoafiniczno Wymiary fraktalne Spektrum osobliwo ci Funkcje fraktalne Nowoczesne metody analizy multifraktalnej Multifraktalna Analiza Fluktuacji Detrendowanych Opis MF-DFA Zwi zek MF-DFA z klasycznym formalizmem multifraktalnym Metoda Maksimów Modu u Transformaty Falkowej Transformata falkowa Analiza lokalnej regularno ci - metoda WTMM Interpretacja τ(q) Analiza (multi)fraktali ze znanym spektrum f(α) Ruch Browna Proces Lévy'ego Model kaskady multiplikatywnej-dwumian Multifraktalna natura cen akcji firm z DAX i DJI 51 6 Wp yw róde multifraktalno ci na f(α) 57 7 Wp yw detrendowania na spektrum f(α) 63 8 Korelacje zmienno ci 67 9 Analiza czasów mi dzytransakcyjnych Multifraktalny Model Stóp Zwrotu Multifraktalne czasy mi dzy transakcjami Podsumowanie i wnioski 75 5

6 6

7 1 Wst p W ostatnich latach szczególn uwag zarówno fizycy jak i matematycy skupili na ekonomii. Pomimo du ej dozy niepewno ci zwi zanej z ludzkim zachowaniem, pod pewnymi wzgl dami mo e ona by postrzegana jako kolektywny proces mo liwy do opisania w sensie statystycznym. Zainteresowanie ekonomi zwi zane jest tak e z intensywnym rozwojem bada nad uk adami z o onymi [1, 2, 3, 4, 5, 6]. Pod tym wzgl dem rynek mo e by uwa any za zbiór wielu odzia ywuj cych ze sob elementów [7, 8, 9, 10]. Samo oddzia ywanie jest zagadnieniem z jednej strony niezwykle trudnym do zrozumienia, ale z drugiej niezwykle interesuj cym. Dlatego te fizycy próbuj znale prawa, które mog yby opisa to z o one zachowanie oraz stworzy teori by lepiej je zrozumie. Ekonomia obfituje w dane, mog ce by przedmiotem analizy. Same serie finansowe s niezwykle skomplikowanymi strukturami, odznaczaj cymi si nietrywialnymi cechami, takimi jak: grube ogony funkcji fluktuacji czy d ugookresowa pami widziana chocia by w funkcji autokorelacji zmienno ci (volatility) [11]. S to cechy uniwersalne w ekonomii, niezale ne od analizowanych okresów, regionów wiata czy rodzaju rynków. Trzeba te w tym miejscu wspomnie, e to w a nie ekonomia stanowi a swojego rodzaju zapalnik dla nowych metod badawczych czy idei. Jedn z nich by a teoria fraktali. Koncepcja ta narodzi a si oko o 1963 roku, kiedy to Benoit Mandelbrot zauwa y niezwyk e podobie stwo wykresówcen, rozwa anych naró nych skalach czasowych [14]. W nast pnych latach teoria fraktali zosta a zaadoptowana w ró nych obszarach nauki i techniki takich jak np. fizyka, chemia, fizjologia czy elektronika [12, 13, 26]. Szczególnie wa n rol odgrywa ona w ekonofizyce, nowej dziedzinie, cz cej ekonomi z fizyk i matematyk, radz c sobie z wieloma trudnymi do pokonania przeszkodami w modelowaniu danych finansowych. Kluczow rol w formalizmie fraktali odgrywa prawo skalowania tzn. wykres y(x) wskali log log jest lini prost, a wspó czynnik jej pochylenia charakteryzuje zachowanie pot gowe. To zachowanie jest te cech fluktuacji cen (samoafiniczno ). Ichocia trudne do osi gni cia w wa nych w ekonomii modelach ARCH igarch [15], jest naturaln cech fraktali czy bardziej zaawansowanej koncepcji - multifraktali. Zaowocowa o to powstaniem w ostatnich latach dwóch obiecuj cych modeli opartych w a nie na koncepcji multifraktali: Multifraktalnego Modelu Stóp Zwrotu (Multifractal Model of Asset Returns) (MMAR)[16] i Multifraktalnego B dzenia Przypadkowego (Multifractal Random Walk)(MRW) [17,18]. Oba modele stanowi cenny wk ad zarówno w rozwój teorii fraktali, jak i zrozumienie dynamiki rynku. Razem z rozwojem koncepcji fraktali rozwija y si równie techniki ich badania. W ostatnich latach zosta y zaproponowane dwie zaawansowane me- 7

8 tody: Multifraktalna Analiza Fluktuacji Detrendowanych (Multifractal Detrended Fluctuation Analysis) (MF-DFA) [19] oraz Maksima Modu u Transformaty Falkowej (Wavelet Transform Modulus Maxima) (WTMM) [20]. Obie procedury, poprzez odpowiedni wybór parametrów (stopnia wielomianu lub falki), potrafi radzi sobie z obecnym w analizowanym sygnale trendem, który jest najcz stsz przyczyn b dów pope nianych przez starsze metody (metod pude kow czy funkcj struktury) [21]. Ka da z nich stosuje zupe nie inn technik : WTMM bazuje na transformacie falkowej, natomiast MF-DFA na w asno ciach statystycznych serii. Du e zapotrzebowanie na tego typu analizy przyczyni o si do szybkiego rozpowszechnienia si powy szych metod, co z kolei zaowocowa o du liczb prac w tej dziedzinie. Celem prezentowanej tu pracy by a analiza multifraktalna finansowych szeregów czasowych (zarówno cen, jak i czasów mi dzytransakcyjnych) z wykorzystaniem wy ej wspomnianychmetod. Formalizm multifraktalny wydaje si szczególnie obiecuj cym narz dziem w takich badaniach, poniewa przy jego pomocy mo na opisa wi kszo cech szeregów finansowych, a zatem z o ono procesu mo na opisa w ramach jednej teorii. Badania ukierunkowane by y zarówno na charakterystyk multifraktali poprzez oszacowanie spektrów f(α), jak te okre lenie znaczenia róde multifraktalno ci, którymi s korelacje i szerokie rozk ady fluktuacji. Analiz po czono z testami wykorzystanych metod, co prowadzi do próby odpowiedzi na pytanie o przydatno obu metod w badaniach tegotypu. Obliczenia odnosz ce si do serii rzeczywistych przeprowadzono dla danych wysokiej cz sto ci dla rynków niemieckiego i ameryka skiego. By y to dane typu transakcja po transakcji dla 30 firm wchodz cych w sk ad Deutsche Aktienindex (DAX) i 30 firm z grupy Dow Jones Industrials (DJI) lub cena papieru warto ciowego notowana co 5 minut w przypadku 100 najwi kszych firm z rynku ameryka skiego. Wi cej szczegó ów zawarto w dalszych rozdzia ach pracy. W pierwszych rozdzia ach pracy (2 i 3) przedstawiono podstawy teoretyczne formalizmu (multi)fraktalnego oraz dok adnie opisano stosowane w pracy metody takiej analizy. Pomimo powszechnego stosowania MF-DFA i WTMM brakuje w literaturze systematycznych studiów, porównuj cych wyniki uzyskane przy wykorzystaniu obu metod. Jednym z postawionych sobie celów w pracy by o sprawdzenie poprawno ci i zgodno ci wyników dla obu metod w przypadku zastosowania ich do danych finansowych i sztucznie wygenerowanych serii, zwi zanych, w ró nym stopniu, z ekonomi. W rozdziale 4 przedstawiono analiz, obiema wspomnianymi metodami, fraktali, dla których spektrum f(α) mo e by wyliczone analitycznie. Wszystkie przyk ady odnosi y si do struktur fraktalnych z ró nymi w asno ciami statystycznymi i korelacjami 8

9 czasowymi, co bezpo rednio wp ywa na spektrum osobliwo ci. Dla ka dego przypadku podano tak e odniesienie do odpowiednich modeli wykorzystywanych w ekonomii. Rozdzia 5 po wi cony jest analizie danych rzeczywistych z rynków ameryka skiego i niemieckiego. Pokazano w nim zarówno w asno- ci multifraktalne finansowych szeregów, jak i porównano wyniki uzyskane metod falkow i MF-DFA. Wp yw dodatniej kurtozy funkcji g sto ci prawdopodobie stwa oraz korelacji czasowych na spektrum f(α) pokazano w rozdziale 6. Oszacowanie wk adu do multifraktalno ci pochodz cej od tych dwóch róde jest kluczowym zadaniem, niezb dnym do pe nego zrozumienia dynamiki rozwa anego procesu. W pracy starano si znale rozwi zanie tego problemu, wykorzystuj c metod, opieraj c si na uogólnionych wyk adnikach Hursta. Te obliczenia przeprowadzono dla danych 5-minutowych. Metody detrendowania danych z jednej strony pomagaj pokona trudno zwi zan z w a ciw identyfikacj procesu, z drugiej jednak wp ywaj na sam seri, zmieniaj c jej w asno ci, a tym samym wp ywaj na otrzymywany wynik. Rozdzia 7zawiera porównanie analiz przeprowadzonych dla danych oryginalnych i zdetrendowanych (tzn. po usuni ciu trendu dziennego). Pokazano zarówno wp yw procedury detrenduj cej na w asno ci statystyczne serii, jak inakorelacje w czasie. W rozdziale 8 zaprezentowano wyniki dotycz ce serii finansowych, dla których utworzono surogaty zmienno ci. Same korelacje zmienno ci ceny, rozwa anej jako modu stopy zwrotu, s w przypadku danych finansowych sygnatur nieliniowo ci procesu. W pracy próbowano odpowiedzie na pytanie, jaki wp yw na multifraktalno maj korelacje liniowe wzmienno ci. Ostatnie z rozwa anych w pracy zagadnie dotyczy w asno ci czasów mi dzytransakcyjnych. Tematyka ta zaczyna przykuwa coraz wi ksz uwag miedzy innymi ze wzgl du na model MMAR traktuj cy czas transakcyjny jako g ówny mechanizm generowania multifraktalno ci w seriach finansowych. Rozdzia 9 zawiera analiz czasów pomi dzy transakcjami dla akcji firm z obu badanych rynków. Opisano w nim równie Multifraktalny Model Stóp Zwrotu oraz prób jego weryfikacji przy pomocy uzyskanych wyników. Prac ko czy Dodatek, tabele firm, których akcje u yto w analizie oraz wykaz rysunków i literatury. 9

10 10

11 2 Formalizm 2.1 Wprowadzenie S owo fraktal pochodzi od aci skiego s owa fractus i oznacza z amany lub cz stkowy. Zosta o ono zaproponowane przez Benoit Mandelbrota [22] w latach 70-tych XX wieku jako okre lenie obiektów tak nieregularnych, e nie mo na ich by o opisa w ramach klasycznej geometrii. W przesz o ci by y one zazwyczaj rozwa ane jako przypadki skrajne i traktowane raczej jako ciekawostki nie maj ce wi kszego praktycznego znaczenia. Stosunek do fraktali zmieni si bardzo od tego czasu, g ównie za spraw Mandelbrota, którego prace da y bodziec do rozwoju tej dziedziny nauki. Geometria fraktalna pozwala nam spojrze na przyrod z innego punktu widzenia ni to robili my do tej pory. Paradoksalnie to co na pocz tku mog o wydawa si chaotyczne lub nieregularne, przez pryzmat fraktali nabiera nowej jako ci. Niesamowita wr cz hierarchia ukazuje si nam w bogactwie struktur, które poprzez wnikliwe spojrzenie ods aniaj wci nowe szczegó y. Fenomen fraktali zwi zany jest tak e z odkrywaniem tych struktur niemal e wsz dzie. Kszta t p atka niegu, li cia czy chmury, topograficzne w asno ci terenu, linie brzegowe, uk ad krwiono ny, przep yw turbulentny i wiele innych posiadaj cechy, które najpe niej mo na opisa w a nie w formalizmie fraktali [24]. Nie sposób mówi o fraktalach, nie przygl daj c si im; na rysunku 1 przedstawiono kilka najbardziej znanych fraktali: zbiór Cantora, krzyw Kocha, trójk t Sierpi skiego oraz zbiór Mandelbrota, przy czym trzy pierwsze zosta y pokazane wraz z regu ami ich tworzenia. Fraktale s obiektami, których nie mo na opisa za pomoc precyzyjnej definicji. W a ciwie mo na jedynie mówi o obiektach posiadaj cych okre- lone cechy, przy czym liczba tych cech zale y od konkretnego fraktala. Przy próbie formalnego zdefiniowania fraktali, za ka dym razem pomijane s najbardziej interesuj ce przypadki, które nie mieszcz si w ramach definicji. Jedn z takich prób podj Mandelbrot w pracy The Fractal Geometry of Nature [22]. W praktyce zazwyczaj udaje si rozstrzygn czy dany obiekt jest fraktalem, czy nie 1. Zdarza si, e niektóre w asno ci fraktala s trywialne w odniesieniu do obiektów fraktalami nie b d cymi. W dalszej cz ci pracy, wprowadzone zostan podstawowe poj cia geometrii fraktalnej, które pomog nam rozpozna ischarakteryzowa fraktala. 1 Jednym z trudniejszych przypadkóws tzw. pseudofraktale, analizowane w pracy [23]. 11

12 Rysunek 1: Klasyczne fraktale: a)zbiór Cantora, b)krzywa Kocha, c)trójk t Sierpi skiego, d)zbiór Mandelbrota (zbiór warto ci zespolonego parametru c, dla którego ci g okre lony zale no ci rekurencyjn z n+1 = z 2 n + c (z 0 =0) jest ograniczony). 12

13 2.2 Samopodobie stwo i samoafiniczno Z poj ciem fraktali czy si nierozerwalnie pojecie samopodobie stwa, które z kolei wywodzi si od terminu podobie stwo. Samopodobie stwo mo e by rozumiane intuicyjnie jako podobie stwo obiektu do samego siebie, tak samo z bliska, jak i z daleka, niezale nie od skali [25]. Innymi s owy, fragment obiektu odpowiednio powi kszony (przeskalowany) przypomina ca o. Ten typ samopodobie stwa cechuje fraktale matematyczne, utworzone poprzez procedury rekurencyjne. Definicj t mo na nieco z agodzi, przyjmuj c podobie stwo obiektów jedynie w sensie statystycznym [26]. Ten warunek spe niaj fraktale spotykane w naturze. Ponadto zdarza si, e samopodobie stwo wyst puje jedynie w ograniczonym zakresie skal, co zwi zane jest ze sko czonym stopniem z o ono ci materii. W wielu dziedzinach nauki takie podej cie w zupe no ci wystarcza i mo e by z powodzeniem stosowane do opisu zjawisk naturalnych. Samopodobie stwo jest szczególnym przypadkiem samoafiniczno ci. Okre lenie affine wprowadzi Leonhard Euler i w przek adzie na polski oznacza powinowactwo 2. Charakterystyczn cech podobie stwa jest izotropia, tzn. obiekt jest przeskalowywany z u yciem tych samych regu (wspó czynników skali) wzd u wszystkich kierunków. Dla przekszta cenia afinicznego skalowanie zale y od orientacji w przestrzeni, a wi c ten typ przekszta ce wykazuje anizotropi. Przyk adem takiego fraktala mo e by drzewo pitagorejskie pokazane na rysunku 2. Ujmuj c powy sze rozwa ania bardziej formalnie, przekszta cenie afiniczne S : R n R n mo emy zapisa w postaci S(x) =T (x)+b, (1) gdzie T jest przekszta ceniem liniowym 3 na zbiorze R n, cz sto reprezentowanym za pomoc macierzy n n, ib jest wektorem w R n. St d przekszta cenie afiniczne jest z o eniem operacji skalowania (jednok adno ci), przesuni cia, obrotu oraz mo liwego odbicia. Przekszta cenie S : R n R n nazywany odwzorowaniem zw aj cym, je li istnieje taka liczba 0 <c<1, dla której [25, 28] S(x) S(y) c x y (2) dla ka dego x i yɛr n. Je li powy sza s aba nierówno przechodzi w równanie, wówczas S jest podobie stwem i szczególnym przypadkiem afiniczno ci. 2 W j zyku polskim funkcjonuj dwie równowa ne nazwy afiniczno i powinowactwo. W pracy, ze wzgl du na przejrzysto i wi ksz popularno u ywa si terminu afiniczno (i jego pochodnych) do opisu anizotropowych transformacji [24]. 3 Transformacja T : R n R n jest liniowa je eli T (x+y) =T (x)+t (y) i T (λx) =λt (x) dla wszystkich x, yɛr n i λɛr. 13

14 Rysunek 2: Drzewo pitagorejskie jako przyk ad fraktala samoafinicznego. Je eli S 1,...S m s odwzorowaniami zw aj cymi w R n to istnieje dok adnie jeden zbiór F ograniczony i domkni ty taki e F = m S i (F ) i=1 Warto w tym miejscu wspomnie, e istnienie takiego zbioru gwarantuje twierdzenie polskiego matematyka, Stefana Banacha o punkcie sta ym. Rodzin odwzorowa zw aj cych nazywa si te systemem funkcji iterowanych IFS (Iterated Function System). Dla S i b d cych odwzorowaniami afinicznymi, zbiór F nazywany jest zbiorem samoafinicznym (odpowiednio dla S i b d cych podobie stwami, F jest zbiorem samopodobnym). Przyk adem dobrze ilustruj cym powy sz w asno jest np. trójk t Sierpi skiego. W przypadku trójk ta Sierpi skiego, S 1,S 2,S 3 : R 2 R 2, s kolejnymi odwzorowaniami wyj ciowego trójk ta. Dlatego te mo emy napisa : F = S 1 (F ) S 2 (F ) S 3 (F ). Wida st d, e F jest sum trzech kopii samego siebie. Przyk ad ten zilustrowany jest na rysunku 3. Odnosz c si jednak do wcze niejszych rozwa a, trzeba zauwa y, e obecno samopodobie stwa jako jednej z cech zbioru nie gwarantuje, e jest on fraktalem. Dobrym przyk adem jest tutaj prosta lub kwadrat, które mog by roz o one za pomoc przekszta cenia podobie stwa na mniejsze fragmenty, a jednak fraktalami nie s. Zreszt samopodobie stwo jest w tych przypadkach w asno ci trywialn. 14

15 Rysunek 3: Samopodobie stwo trójk ta Sierpi skiego. 2.3 Wymiary fraktalne Klasyczne metody geometrii nie wystarczaj do opisu struktur fraktalnych. Do ich charakterystyki zwykle u ywa si wymiarów fraktalnych, definiowanych w ró noraki sposób. Pozwalaj one jako ciowo opisa w asno ci skalowania czy samopodobie stwa (samoafiniczno ci). Klasycznie wymiar definiuje si jako liczb stopni swobody, czyli liczb wspó rz dnych potrzebnych do dok adnego wyznaczenia po o enia punktu badanej figury. Tak definiowana wielko nazywana jest wymiarem topologicznym d T i mo e przyjmowa jedynie dodatnie i ca kowite warto ci. Dla punktu, prostej oraz powierzchni wymiar topologiczny wynosi odpowiednio 0,1 i 2. W przypadku fraktali musimy wyj poza standardow definicje wymiaru. Przyk adem, który pomo e nam zrozumie odmienno fraktali od obiektów klasycznych jest krzywa Peano, przedstawiona na rysunku 4. Krzywa ta pokrywa ca kowicie p aszczyzn, a wi c pozwala na jednoznaczne wyznaczenie punktu na p aszczy nie za pomoc pojedynczej wspó rz dnej. Z tego punktu widzenia powinna ona mie wymiar topologiczny1. Jednak e pokrycie p aszczyzny sugeruje d T = 2. Wydaje si wi c, e wymiar topologiczny nie jest odpowiedni miar w tym przypadku. Dlatego te wprowadzono poj cie wymiaru fraktalnego, który o wiele lepiej radzi sobie z takimi obiektami. Jednak nazwa wymiar fraktalny nie odnosi si do konkretnej definicji; okre la ona raczej specyficzne podej cie do problemu obliczania wymiaru. Dlatego te istnieje wiele sposobów obliczania wymiaru fraktalnego, co z kolei mo e prowadzi 15

16 Rysunek 4: Zasada konstrukcji krzywej Peano. W pierwszym kroku odcinek dzielony jest na trzy cz ci i po obu stronach rodkowej doklejane s kwadraty (I). W nast pnym kroku dzielone s znowu wszystkie odcinki itd. Zacienione kwadraty powsta y po drugim przekszta ceniu. do ró nych wyników w odniesieniu do tego samego obiektu [25]. Odpowiednia procedura powinna by dobierana w zale no ci od cech, które chcemy bada, za porównywanie wyników powinno odbywa si w ramach konkretnej definicji. Poni ej opisano najwa niejsze i najbardziej popularne metody obliczania wymiaru fraktalnego, które b d kluczowe w zrozumieniu dalszej cz ci pracy. Jedn z definicji wymiaru fraktalnego jest wymiar samopodobie stwa [24]. Wykorzystuje on prawo wi ce liczb cz ci, na jakie mo emy podzieli obiekt geometryczny, ze wspó czynnikiem redukcji (wspó czynnikiem skali) N =1/s D S lub D s = log(n) log(1/s), (3) gdzie N jest liczb cz ci, s wspó czynnikiem skali, a D s wymiarem samopodobie stwa. I tak np. przyjmuj c wspó czynnik redukcji dla odcinka równy 1/3 otrzymujemy N = 3 i wymiar D s =1. Podobnie dla kwadratu i sze- cianu otrzymujemy odpowiednio D s =2 i D s =3. W tych wi c przypadkach wymiar samopodobie stwa równy jest wymiarowi topologicznemu. Ró nice mi dzy tymi wymiarami mo na dostrzec analizuj c dane fraktalne. W przypadku struktur fraktalnych wspó czynnik redukcji nie mo e by wybrany arbitralnie i jest on charakterystyczny dla danego fraktala. W przypadku zbioru Cantora, na ka dym poziomie procedury wyst puj dwie kopie orygina u, przeskalowane ze wspó czynnikiem s =1/3, co implikuje natychmiast D s =log(2)/ log(3) Wida z tego, e wymiar fraktalny mo e by liczba nieca kowit, co zasadniczo odró nia go od wymiaru topologicznego. Uzyskany wynik sugeruje, e zbiór Cantora jest czym po rednim mi dzy punktem a prost, co pozostaje w zgodzie z nasz intuicj i o wiele lepiej charakteryzuje zbiór ni d T. Dla trójk ta Sierpi skiego wymiar D s 1.585, 16

17 co lokuje go, ze wzgl du na pokrycie przestrzeni, pomi dzy prost a p aszczyzn. Jednak tak zdefiniowany wymiar pozwala na charakterystyk jedynie w skiej klasy fraktali, które wykazuj cis e samopodobie stwo. O wiele bardziej uniwersaln metod jest wymiar Hausdorffa (zwany tak e wymiarem Hausdorffa-Besicovitcha), który jest najstarsz i jedn z najwa niejszych metod, a jej zrozumienie jest konieczne dla zrozumienia dalszej cz ci pracy [25]. Aby zdefiniowa wymiar Hausdorffa trzeba wcze niej zdefiniowa tzw. miar Hausdorffa. Niech U b dzie niepustym zbiorem w R n o rednicy zdefiniowanej jako U = sup x y : x, yɛu nie wi kszej ni ε. U i jest ε-pokryciem zbioru F, je eli F i=1 U i i 0 < U i ε. Je eli za o ymy, efɛr n i s jest liczb dodatni, dla ε>0 mo emy zdefiniowa : { Hε(F s )=inf i=1 } U i s : {U i } jest ε pokryciem F. (4) To znaczy pokrywamy zbiórf zbiorami o rednicy co najwy ej ε, a nast pnie szukamy minimum sumy pot gi stopnia s rednicy tych zbiorów. Warunkiem koniecznym jest, aby U i by o zbiorem policzalnym. Zmierzaj c z ε do zera patrzymy na coraz wi cej szczegó ów zbioru, redukuj c zarazem liczb mo liwych pokry zbioru F. Granica H s gdy ε 0 nazywana jest s-wymiarow miar Hausdorffa: H s (F ) = lim H s ε 0 ε(f ). (5) W wi kszo ci przypadków miara Hausdorffa równa si 0 lub. Jednak istnieje krytyczne s dla którego H s przyjmuje warto po redni. Ta warto parametru s nazywana jest wymiarem Hausdorffa d H : H s = { dla s<dh 0 dla s>d H. Dlatego, aby porówna dwa obiekty geometryczne, trzeba najpierw porówna ich wymiary, a je li te s równe - ich miary. Jako jedn z pierwszych, Mandelbrot zaproponowa definicje fraktala jako obiektu, dla którego wymiar Hausdorffa jest wi kszy ni jego wymiar topologiczny. I chocia ta definicja sprawdza si dla du ej klasy obiektów to jednak istniej fraktale, dla których d T = d H =1 nazywane t ustymi fraktalami. Wymiar Hausdorffa jest bardzo dobrym narz dziem matematycznym, jednak do trudnym do zastosowa w praktyce i w istocie rzadko u ywanym. Szeroko stosowana jest inna definicja wymiaru: tzw. wymiar pude kowy, inaczej nazywany równie wymiarem obj to ciowym lub entropi Ko mogorowa. Swoj popularno zawdzi cza on stosunkowo prostej implementacji 17 (6)

18 w praktycznych rachunkach. Do tej definicji mo emy podej w troszk inny sposób ni w poprzednim przypadku. Zdefiniujmy F jako zbiór w R n i K(ε) jako pokrycie F kulami o rednicy ε. Niech N(ε) b dzie liczb kul w K(ε). Wymiar pude kowy d C zbioru F, mo na zdefiniowa nast puj co: d C (S) = lim sup δ O + log(n(ε)) log(1/ε). (7) W praktyce N(ε) mo e odnosi si do sze cianów czy liczby zbiorów o charakterystycznym rozmiarze ε. Wymiar ten pozwala oszacowa, jak zmienia si rozmiar badanego zbioru, gdy zmieniamy jednostk miary. Jednak, w przeciwie stwie do poprzedniej definicji, nie jest zdefiniowana miara, która pozwoli aby namrozró nia zbiory otym samym wymiarze pude kowym. Jak wspominano wy ej, wymiary fraktalne, uzyskane przy wykorzystaniu opisanych metod, nie zawsze si pokrywaj (np. dla zbioru liczb wymiernych na odcinku [0,1] d H =0, a d C =1), chocia dla du ej klasy zbiorów wymiar Hausdorffa i wymiar pude kowy s takie same (trójk t Sierpi skiego czy zbiór Cantora). Sytuacja o wiele bardziej si komplikuje, je li rozwa amy obiekt, który jest mieszanin fraktali (multifraktal). W takim przypadku wymiar ca o ci b dzie równy wymiarowi sk adnika o najwi kszym wymiarze. Na koniec napiszmy wyra enie, które okre la zwi zek pomi dzy wymiarem topologicznym, wymiarem Hausdorffa i wymiarem pude kowym [29]: 2.4 Spektrum osobliwo ci d T d H d C. (8) Znajomo samego wymiaru fraktalnego nie wystarcza do pe nej charakterystyki geometrii obiektu czy klasyfikacji w asno ci fizycznych procesu, którego jest wynikiem. W ogólno ci obliczanie wymiaru fraktalnego sprowadza si do zliczania pokrycia fraktalnychzbiorów, przy czym nie ma znaczenia, do jakiej klasy obiektów nale y zbiór. Zatem informacja, jak uzyskujemy, jest raczej informacj u rednion. Aby w pe ni zrozumie wiele fizycznych zjawisk, musimy scharakteryzowa miar dla ka dego punktu no nika, którym s fraktalne zbiory. Szczególnie wa ne jest to w przypadku multifraktali, które, jak sama nazwa wskazuje, s splotem wielu pojedynczych struktur fraktalnych, a które wszystkie powinny by rozpoznane ischarakteryzowane w analizie. W a nie w przypadku multifraktali lokalne w asno ci struktury pozwalaj odró ni je od zwyk ych fraktali. W dalszej cz ci pracy b d podane wielko ci, pozwalaj ce na to odró nienie. Wracaj c do poj cia miary, pozwala nam ona przypisa wagi poszczególnym cz ciom zbioru (w szczególno ci fraktalnego), tzn. zdekomponowa 18

19 go pod wzgl dem wielko ci, które mu przypisuje. Id c dalej, mo emy opisa w a ciwo ci zbioru, charakteryzuj c skalowanie si miary w ró nych cz ciach zbioru. Miara µ mo e reprezentowa rozk ad adunku, masy, energii lub prawdopodobie stwa. No nikiem miary nazywamy punkty, w których miara jest skoncentrowana. W wielu przypadkach µ na R mo na opisa poprzez g sto ϱ(x) = lim ε 0 + µ([x, x + ε])/ε. W przypadku fraktali mamy do czynienia z tzw. osobliwymi miarami, tzn. takimi, które nie mog by wyra one przez funkcj g sto ci. Miary osobliwe mo na opisa u ywaj c wielko ci α i f(α). Wyk adnik osobliwo ci α jest zdefiniowany nast puj co [25, 29]: ln µ(b x0 (ε)) α(x 0 ) = lim, (9) ε 0 + ln(ε) gdzie B x0 (ε) jest kul o rodku w x 0 i rednicy ε. α okre la si osobliwo ci miary w punkcie x 0. Powy sza definicja mo e by zapisana w formie µ(b x0 (ε)) ε α(x 0), (10) która wprost ukazuje natur α jako wielko ci opisuj cej lokalne zachowanie si miary (skalowanie). Im ten wyk adnik jest mniejszy, tym bardziej osobliwe jest µ. Dla granicznego przypadku α(x 0 )=0, zachowanie miary przypomina delt Diraca w x 0. Druga wielko : f(α), nazywana spektrum osobliwo ci (lub spektrum multifraktalnym) jest interpretowana jako wymiar fraktalny (Hausdorffa) no nika, dla którego osobliwo przyjmuje okre lone α [30]: f(α) =d H {x 0 ɛsuppµ: α(x 0 )=α}. (11) Spektrum osobliwo ci pozwala nam oszacowa udzia miar z poszczególnymi wyk adnikami osobliwo ci w ca ym zbiorze. Bazuj c na definicji wymiarów fraktalnych, f(α) mo emy zapisa w postaci N α (ε) ε f(α), z czego wida, e spektrum osobliwo ci opisuje ewolucje histogramu N α przy ε 0 +. Wtym miejscu naj atwiej jest pokaza, co odró nia fraktal od multifraktala. Zauwa my, e w przypadku, gdy miara wykazuje tylko jeden rodzaj osobliwo ci, spektrum redukuje si do jednego punktu (α 0,f(α 0 )). Takie miary nazywane s miarami homogenicznymi. Istniej jednak tak e miary niehomogeniczne, nazywane multifraktalnymi. Dla takich miar istnieje wi cej rodzajów osobliwo ci, a co za tym idzie, spektrum sk ada si z wi cej ni jednego punktu. A zatem to co odró nia fraktal od multifraktala to, najpro ciej mówi c, istnienie ró nych osobliwo ci. Próba obliczenia spektrum osobliwo ci wprost z powy szych definicji mo e prowadzi do du ych b dów. Wynikaj one najcz ciej z faktu niewystarczaj cej liczby skal ε i du ej zmienno ci α. W praktyce, aby obliczy spektrum f(α), musimy korzysta z metod, które bazuj raczej na globalnych 19

20 wielko ciach, czyni c obliczenia bardziej stabilnymi. Najcz ciej w analizie wykorzystuje si wielko zwan funkcj rozdzia u: N(ε) Z(q, ε) = µ q i (ε), qɛr. (12) i=1 Pozwala ona poprzez wybór odpowiednich q zdekomponowa struktur ze wzgl du na wielko miary. W granicy ε 0 + funkcja rozdzia u zachowuje si jak funkcja pot gowa Z(q, ε) ε τ(q), (13) gdzie τ(q) nazywana jest wyk adnikiem skalowania. Znaczenie tego parametru b dzie podane w dalszej cz ci pracy, teraz natomiast skupimy si na zwi zku τ(q) z f(α). Rozwa my rozk ad warto ci α w skali ε w postaci ϱ(α)ε f(α). Je li podstawimy t warto do równania (12) i uwzgl dnimy (10) to otrzymamy Z(q, ε) ϱ(α)ε qα f(α) dα, (14) st d parametr q pozwala nam dekomponowa struktur ze wzgl du na wielko miary. Dla ε 0 + suma ta jest zdominowana przez warto α, dla której qα f(α) jest najmniejsze. Z definicji τ(q) otrzymujemy τ(q) =min α (qα f(α)). (15) St d wynika, e τ(q) mo na otrzyma poprzez transformacj Legendre'a f(α). Odwracaj c transformacj dostajemy: f(α) =min q (qα τ(q)). (16) Zatem znaj c funkcj skaluj c, mo emy obliczy spektrum osobliwo ci. Powy sze wyra enia mo emy przedstawi w postaci uk adów równa : { q = df /dα τ(q) =qα f(α) { α = dτ/dq f(α) =qα τ(q). (17) Zauwa my, e w przypadku monofraktala funkcja τ(q) jest liniowa, a ponadto spektrum osobliwo ci f(α) sk ada si z jednego punktu, który jest wymiarem Hausdorffa no nika miary. Dla multifraktala wyk adnik skaluj cy jest nieliniow funkcj q. Na podstawie równania (15) mo emy napisa, e d 2 f/dα 2 < 0 dla wszystkich α. St d mo emy wnioskowa, e spektrum osobliwo ci przypomina kszta tem odwrócon parabol 4. 4 W szczególno ci dla procesów multiplikatywnych zwanych anomaliami, f(α) ró ni si od kszta tu. S to tzw. lewostronne f(α). 20

21 Poprzez τ(q) mo emy wyrazi inn wa n w formalizmie fraktali wielko : tzw. uogólnione wymiary fraktalne D q D q oraz f(α) wi e nast puj ca zale no : D q = τ(q) q 1. (18) D q = 1 (qα f(α)). (19) q 1 Zarówno D q jak i opisane powy ej wielko ci dla niektórych warto ci q posiadaj specjaln interpretacj. I tak dla q =0, Z(0,ε) reprezentuje liczb kostek o boku ε potrzebn do pokrycia ca ego zbioru. Wykorzystuj c wzory (12) i (13) mo emy napisa τ(0) = D 0 = d c (no nika) =maxf(α). (20) α St d wymiar fraktalny no nika miary odpowiada maksimum krzywej f(α). Warto α, dla którego spektrum osobliwo ci osi ga maksimum jest najcz - ciej spotykan osobliwo ci w analizowanym zbiorze. Dla q =1, Z(1,ε) jest sum miar na no niku sk adaj cym si z przedzia ów o d ugo ci ε. Dla znormalizowanej miary Z(1,ε)= N(ε) i=1 µ(ε) =1. Z tego wynika, e τ(1) = 0. Korzystaj c z równania (17) otrzymujemy 0=τ(1) = min α (α f(α)) f(α(q =1))=α(q =1). Warto zatrzyma si nad tym wyra eniem nieco d u ej. Bazuj c na powy szych równaniach mo na napisa : D 1 = α(1) = dτ(1) dq ( µ(ε)log(µ(ε)) ) = lim. (21) ε 0 log(ε) Wyra enie: µ(ε)logµ(ε) jest nazywane entropi miary rozdzielonej pomi dzy komórki o wymiarze charakterystycznym ε. α(1) charakteryzuje zatem zachowanie si entropii w zale no ci od ε i nazywane jest wymiarem informacyjnym. Gdy q =2, D 0 nazywane jest wymiarem korelacyjnym: log D 2 = lim ε 0 µ(ε)µ(ε). (22) log(ε) Dla q = ±, Z jest zdominowane przez obszary o wysokiej g sto ci µ(ε) (dla q + ) lub niskiej g sto ci (dla q ). St d granice spektrum osobliwo ci okre laj najsilniejsz i najs absz osobliwo. Spektrum osobliwo ci i jego interpretacja przedstawione s na rysunku 5. 21

22 D 0 wymiar nosnika q=0 f(α) D 1 wymiar informacyjny q=1 f(α)=α q=+ 8 q=- 8 0 α min wymiar informacyjny α α max Rysunek 5: Spektrum multifraktalne f(α). β q U α F(β) τ(q) S(E) f(α) Tablica 1: Analogia pomi dzy formalizmem multifraktalnym a termodynamik. Na koniec tej cz ci poruszona zostanie wa na kwestia dotycz ca analogii pomi dzy formalizmem multifraktalnym a termodynamik [26]. Mo na zauwa y, e zmienne q i τ(q) pe ni t sam rol, co odpowiednio, temperatura Boltzmanna β =1/kT i energia swobodna F w termodynamice. Ponadto patrz c na wzory (17) wida z kolei, e f(α) jest analogiem entropii S, za α energii U. Zatem f(α) mo e by uto samiana z potencja em termodynamicznym w sensie redniej statystycznej, dostarczaj cej globalnej informacji o w asno ciach skalowania osobliwych miar. W tabeli 1 zestawiono g ówne wielko ci charakteryzuj ce multifraktala i ich odpowiedniki w termodynamice. 22

23 Rysunek 6: Ruch Wienera-Browna(u góry) i jego izotropiczne i anizotropiczne powi kszenie (na dole). 2.5 Funkcje fraktalne Opisane w poprzednim paragrafie metody analizy fraktali mog pos u- y równie do badania funkcji bardzo nieregularnych. Taki rodzaj danych, wsz dzie osobliwych oraz bez charakterystycznej skali, spotykany jest praktycznie w ka dej dziedzinie nauki, pocz wszy od medycyny poprzez geologi, astronomi, a sko czywszy na ekonomii. Co ciekawe, takie funkcje mog równie by postrzegane jako fraktalne w tym sensie, e ich wykres jest fraktalnym zbiorem w R 2 [31]. Wa n rol odgrywa tutaj poj cie samoafiniczno ci. W asno ci funkcji samoafinicznej (w statystycznym sensie) pokazano na przyk adzie tzw. ruchu Wienera-Browna (WBM) (rysunek 6). atwo zauwa y, e izotropicznie powi kszony fragment wykresu nie przypomina pocz tkowej funkcji. Zkolei inaczej rzecz si ma w przypadku anizotropicznego przekszta cenia. Stosuj c odmienne regu y skalowania wzd u obu osi, otrzymujemy powi kszenie nie odbiegaj ce pod wzgl dem statystycznym od orygina u. Dok adny opis tego typu procesu zostanie podany w rozdziale po wi conym testom multifraktalnych metod charakterystyki sygna ów. W tym miejscu prezentowane jest jedynie odniesienie do parametru H. Jest on nierozerwalnie zwi zany z koncepcj samoafiniczno ci i nazywany wyk adnikiem Hursta. Okre la on stopie nieregularno ci funkcji. Je eli f(x) jest 23

24 funkcj samoafiniczn to dla ka dego λ>0 spe nia ona relacj f(x 0 + λx) f(x 0 ) λ H (f(x 0 + x) f(x 0 )). (23) Zauwa my, e dla H = 1 funkcja f(x) jest samopodobna. Odnosz c si do poprzednich rozdzia ów, regularno funkcji samoafinicznych mo na równie scharakteryzowa za pomoc wymiaru fraktalnego, który z kolei musi by zwi zany z H. Jednak, tak jak i w poprzednich przypadkach, istnieje kilka definicji wymiaru. Najcz ciej u ywanymi s D G =2 H oraz D T =1/H > 2 H. Oczywi cie wyniki uzyskane przy wykorzystaniu tych wzorów ró ni si od siebie, co jednak nie jest zaskoczeniem, poniewa obie definicje odnosz si do ró nych obiektów geometrycznych. D G mo e by rozumiany jako wymiar pude kowy ca ego wykresu (indeks G pochodzi od angielskiego graph ) natomiast D T -jako wymiar pude kowy, odnosz cy si jedynie do cie ki funkcji (st d indeks T od trail ). Szersze omówienie tego zagadnienia mo na spotka w referencji [7]. 24

25 3 Nowoczesne metody analizy multifraktalnej W ostatnich latach gwa townie wzros o zapotrzebowanie na algorytmy pozwalaj ce analizowa skomplikowane serie czasowe pod k tem wyst powania struktur multifraktalnych. W odpowiedzi na to opracowano dwie zaawansowane metody: MF-DFA i WTMM, które (przynajmniej w za o- eniu autorów) doskonale radz sobie z niestacjonarnymi danymi, co w wielu wcze niejszych przypadkach bywa o przeszkod w poprawnym oszacowaniu f(α). Obie metody s dzi szeroko stosowane, za ka da z nich pretenduje do miana najlepszej. Poni ej przedstawiono szczegó owy opis tych metod. Dodatkowo w przypadku WTMM, dla lepszego zrozumienia procedury, jej dzia anie zilustrowano przyk adem. 3.1 Multifraktalna Analiza Fluktuacji Detrendowanych Pierwsza z metod Multifraktalna Analiza Fluktuacji Detrendowanych MF- DFA (Multifractal Detrended Fluctuation Analysis) jest rozszerzeniem klasycznej metody DFA na przypadek multifraktali [19, 32]. Dla niestacjonarnych serii wspomniana wy ej zdolno do poprawnej detekcji d ugookresowych korelacji, czy eliminacji obecnego w serii trendu, czyni z tej metody jedn z najlepszych technik w tym obszarze bada. Metoda jest prosta w implementacji, a jednocze nie pozwala na skuteczn analiz serii multifraktalnych Opis MF-DFA Ca a procedura sk ada si z pi ciu kroków, a jej wynikiem jest spektrum osobliwo ci lub uogólnione wyk adniki Hursta. 1. Dla serii x i o d ugo ci N obliczany jest tzw. profil Y(i) wg wzoru: n Y (i) = [x i <x>], i =1, 2...N, (24) i=1 gdzie <> oznacza redni po ca ej serii. Y (i) mo e by rozumiany jako pozycja cz steczki poruszaj cej si przypadkowo po i krokach. Odj cie redniej jest arbitralne, poniewa usuni cie trendu w nast pnych krokach spowoduje ten sam efekt. 2. W tym kroku seria dzielona jest na segmenty o d ugo ci s. By w obliczeniach uwzgl dni wszystkie punkty, seria dzielona jest dwukrotnie, zaczynaj c najpierw od pocz tku, a nast pnie od ko ca. W wyniku tej procedury otrzymujemy 2N s przedzia ów, gdzie N s = N/s. 25

26 3. Nast pnie dla ka dego z segmentów ν obliczany jest trend P ν (l), reprezentowany przez wielomian o zadanym stopniu l. Jego odj cie pozwala obliczy wariancj fluktuacji w ka dym z przedzia ów: F 2 (s, ν) 1 s s i=1 {Y [(ν 1)s + i] P (l) ν (i)}2. (25) Zatem odejmowanie wielomianu ma za zadanie usuni cie trendu, który mo e by obecny w serii. Detrendowanie zale y oczywi cie od parametru l, tzn. z profilu eliminowany jest trend stopnia l, czyli l 1 z oryginalnej serii. Stopie zastosowanego wielomianu wprowadza rozró nienie pomi dzy ró nymi wersjami tej metody np. MFDFA1 dla l =1, MFDFA2 dla l =2itd. 4. Nast pnym krokiem jest u rednienie wariancji po wszystkich przedzia- ach i obliczenie tzw. funkcji fluktuacji { 1 2N s } 1/q, F q (s) [F 2 (s, ν)] q/2 q ɛ R\{0}. (26) 2N s ν=1 Znaczenie parametru q jest takie samo jak w przypadku obliczania funkcji rozdzia u: pozwala on analizowa serie w zale no ci od wielko- ci sygna u. I tak dla q<0najwi kszy wk ad do funkcji fluktuacji b dzie pochodzi od ma ych fluktuacji, odwrotnie za dla q>0, kiedy najwi ksze znaczenie b d mia y du e fluktuacje. Warto jeszcze zauwa y, e dla q =2metoda MFDFA przechodzi w DFA. 5. Ostatni krok zwi zany jest z zachowaniem F q dla ró nych skal s. W przypadku, gdy analizowana seria jest fraktalem, obserwujemy pot gowy wzrost funkcji fluktuacji dla du ych warto ci s: F q s h(q), (27) gdzie h(q) jest uogólnionym wyk adnikiem Hursta, co wi e si z faktem, e dla stacjonarnej serii h(2) równe jest wyk adnikowi Hursta H. Dla monofraktala h(q) jest sta e, jednak gdy seria jest multifraktalem, h(q) jest malej c funkcj q. Du ym fluktuacjom odpowiadaj mniejsze wyk adniki h, za mniejsze fluktuacje s charakteryzowane przez wi ksze h. Warto h(0) nie mo e by oszacowana wprost z równania (26). W tym przypadku musimy zastosowa logarytmiczn redni { 1 2N S } F 0 (s) exp ln[f 2 (ν, s)] s h(0). (28) 4N s ν=1 26

27 Dla sygna ów wykazuj cych siln antykorelacj (h bliskie lub mniejsze od zera) MF-DFA nie jest wystarczaj co dok adna, dlatego te trzeba zmodyfikowa procedur, by poprawi dok adno wyników. Najpro ciej mo na to uzyska poprzez dwukrotne sca kowanie analizowanego sygna u, tzn. u ycie w obliczeniach Ỹ (i): Ỹ (i) i [Y (k) <Y >]. (29) k=1 Dla fraktalnego sygna u funkcja fluktuacji, b dzie w tym przypadku opisana zale no ci F q (s) s h(q) = s h(q)+1. (30) MF-DFAwpowy szej formie nie nadaje si jednak do analizy danych z no nikiem fraktalnym, co w przypadku serii czasowej oznacza g ównie niezerowe warto ci i brak d ugich przedzia ów, w których seria jest sta a. Zamiast tego mo emy zastosowa rozszerzon MF-DFA, która pozwala pomin w obliczeniach przedzia y dla których F 2 (ν, s) jest równe lub bliskie 0: [F 2 (ν, s)] q/2 s τ(q). (31) F 2 (ν 1,s)<F 2 (ν,s) F 2 (ν+1,s) Na potrzeby tej pracy zastosowano zwyk wersj MF-DFA Zwi zek MF-DFA z klasycznym formalizmem multifraktalnym Multifraktalna DFA mo e by w prosty sposób odniesiona do formalizmu multifraktalnego poprzez jej zwi zek z metod pude kow [19]. Aby to pokaza, dla prostoty przyjmijmy, e rozwa ana seria jest stacjonarna i znormalizowana ( N i=1 x i =1), a wi c nie jest konieczne detredowanie danych. St d równanie (25) odnosz ce si do obliczania wariancji, mo e by uproszczone i zamienione na równanie z klasycznej analizy fluktuacji (FA): F 2 FA [Y (νs) Y ((ν 1)s)] 2. (32) Ró nica w powy szej definicji jest sum elementów serii x i w przedziale [(ν 1)s : νs]. W przypadku znormalizowanej serii warto ta mo e by rozwa ana jako miara (prawdopodobie stwo) p s (ν) w ν-tym segmencie. Korzystaj c z równania (13) mo emy napisa : N/s Z(q, s) p s (ν) q s τ(q). (33) ν=1 27

28 Zwi zek pomi dzy funkcj rozdzia u Z(q, s) a funkcj fluktuacji F q (s) mo e by zapisany w postaci: co natychmiast implikuje: F q (s) ={ 1 N s Z q (s)} 1/q s h(q), (34) τ(q) =qh(q) 1. (35) Korzystaj c z powy szej zale no ci oraz równania (17) mo emy poda zwi zek pomi dzy uogólnionym wyk adnikiem Hursta a spektrum osobliwo ci: α = h(q)+qh (q) ; f(α) =q[α h(q)] + 1. (36) 3.2 Metoda Maksimów Modu u Transformaty Falkowej Innym sposobem oszacowania spektrów multifraktalnych jest metoda Maksimów Modu u Transformaty Falkowej WTMM (Wavelet Transform Modulus Maxima) [29, 20, 33]. Wykorzystuj c jej zdolno do dekompozycji sygna u na p aszczy nie czas-skala oraz analiz jedynie szkieletu takiej konstrukcji, mo na bada struktur osobliwo ci poprzez wyznaczenie τ(q), a nast pnie, z wykorzystaniem transformacji Legendre'a, f(α). Ten rodzaj procedury jest polecany jako szczególnie przydatny przy analizie serii niestacjonarnych. Metoda WTMM by a stosowana mi dzy innymi do charakterystyki d ugookresowych korelacji w sekwencji DNA [34], fizjologii ludzkiego serca [12], badania agregacji ograniczonej dyfuzj (DLA) [35] czy w pe ni rozwini tej turbulencji [36] Transformata falkowa Podstaw WTMM jest transformata falkowa (wavelet transform) (WT) [37], której wynikiem jest dekompozycja sygna u na sk adowe dobrze zlokalizowane zarówno w czasie, jak i cz stotliwo ci, co umo liwia opisanie lokalnej regularno ci sygna ów. Transformata falkowa jest funkcj splotu pomi dzy analizowanym sygna em a tzw. falk T ψ [f](b, s) = 1 s ( x b ) ψ f(x)dx, (37) s gdzie f(x) to analizowany sygna, ψ jest falk, a bɛr i sɛr + to odpowiednio: wspó czynniki przesuni cia i skali. Falka to elementarna funkcja, uzyskana poprzez przesuwanie i skalowanie tzw. falki podstawowej (mother 28

29 Rysunek 7: Przyk ad analizy opartej na transformacie falkowej. (a) Analizowany sygna : diabelskie schody. (b) Transformata falkowa. (c) Linie maksimów transformaty. wavelet). Funkcja ψ posiada przynajmniej kilka oscylacji. Przypomina ona krótk fal, sk d te wzi a si jej nazwa. Poprzez zmian parametru s uzyskujemy zmian upakowania oscylacji, tzn. uzyskujemy falki o mniejszym lub wi kszym zakresie cz stotliwo ci. Z kolei parametr przesuni cia b pozwala nam przesuwa falk wzd u osi x, co jest bezpo rednio zwi zane z czasow rozdzielczo ci transformaty. Wynik transformaty mo na przedstawi na p aszczy nie w postaci mapy, na której warto ci wspó czynników koduje si za pomoc kolorów, a osie oznacza si jako czaslub po o enie (o x) i skala (o y). Przyk ad transformaty falkowej zosta przedstawiony nary- sunku 7. Analizowanym sygna em by y diabelskie schody, uzyskane poprzez sca kowanie zbioru Cantora. Wida, e im mniejsza u yta w obliczeniach skala, tym transformata pokazuje wi cej szczegó ów sygna u, dlatego te jest ona cz sto nazywana matematycznym mikroskopem. Dokonuj c dekompozycji sygna u w p aszczy nie po o enie-skala, ukazuje hierarchiczn struktur sygna u, b d c w ten sposób idealnym narz dziem do badania fraktali. Od- 29

30 krywa ona ukryty proces rz dz cy konstrukcj sygna u, co doskonale wida w prezentowanym przyk adzie. Jedynym warunkiem na o onym na falk podstawow jest jej dobra lokalizacja w czasie i cz stotliwo ci. Formalnie warunek dopuszczalno ci dla falki jest sformu owany nast puj co: Ψ(ω) 2 C ψ = dω <, (38) ω 0 przy czym Ψ(ω) jest transformat Fouriera funkcji ψ(ω). Falka powinna równie by tak dobrana, aby w jak najlepszym stopniu odzwierciedla zachowanie sygna u. Spo ród najcz ciej wykorzystywanych nale y wymieni takie falki, jak: Gaussa i jej pochodne, Meyera i Daubechies. W pracy wykorzystano rodzin falek zbudowan na trzeciej pochodnej funkcji Gaussa, dlatego te skupimy si wi cej na tej klasie falek. Oznaczaj c N jako stopie pochodnej, mo emy napisa : ψ (N) (x) = dn dx N e x 2 2. (39) Dla N=2 otrzymujemy popularn falk : funkcj meksyka skiego kapelusza (nazwa pochodzi od kszta tu falki, przypominaj cego przekrój kapelusza). Funkcje tej rodziny posiadaj ciekaw cech, mianowicie N pierwszych momentów ψ (N) jest zerowych ψ (N) (x)x m dx =0, 0 m<n. (40) Jak zobaczymy pó niej, w asno ta jest kluczowa w okre laniu wyk adnika Höldera. Na rysunku 8 przedstawiono kilka rodzajów falek zbudowanych na funkcji Gaussa oraz zilustrowano wp yw parametrów b i s na zachowanie si falki Analiza lokalnej regularno ci - metoda WTMM Zachowanie si funkcji f(x) wokó punktu x 0 mo e by opisane przy wykorzystaniu wielomianu Taylora f(x) =c 0 + c 1 (x x 0 )+...+ c n (x x 0 ) n + C x x 0 α. (41) Je eli analizowana falka posiada n ψ >nzerowych momentów, znaczy to, e jest ortogonalna do wielomianu stopnia n. Korzystaj c z powy szego równania, mo emy napisa : T ψ [f](x 0,s)= 1 C x x 0 α(x0) ψ( x x 0 )dx = C s α(x 0) x α(x0) ψ(x )dx, s s (42) 30

31 Rysunek 8: Góra: pochodne funkcji Gaussa jako falki. Dó : wp yw parametrów b i s na modulacj falki. st d T ψ [f](x 0,s) s α(x 0), s 0 +. (43) A zatem transformata falkowa mo e by u yta do oszacowania wyk adników osobliwo ci, nawet je eli s maskowane przez wielomian. Ograniczono si tutaj, tak jak i w poprzednim paragrafie, tylko do osobliwo ci opisywanych przez wyk adnik Höldera ( w przeciwie stwie do osobliwo ci oscyluj cych, opisywanych przez dwa wyk adniki). Ponadto do oszacowania regularno- ci analizowanej funkcji wystarczy bada szybko spadku warto ci WT lokalnych maksimów Tψ[f](x 0,s). Punkt (x 0,s) jest lokalnym maksimum modu u transformaty, je eli Tψ[f](x 0,s) > Tψ[f](x, s) dla ka dego x w prawym s siedztwie x 0 i Tψ[f](x 0,s) Tψ[f](x, s) dla ka dego x wlewym s siedztwie x 0. Maksima modu u mo emy po czy na p aszczy nie dowoln krzyw, otrzymuj c linie maksimów (rysunek 7). Je li przy ma ych skalach sygna nie ma adnych maksimów modu u transformaty falkowej, to jest on sygna em lokalnie regularnym. Inaczej mówi c, mo emy wykry wszystkie osobliwo ci przesuwaj c si wzd u wszystkich linii maksimów w kierunku 31

32 najmniejszej skali. W przypadku, gdy analizowana funkcja jest klasy C wtedy otrzymujemy: T ψ [f](x 0,s) s n ψ, s 0 +. (44) Taki sposób oszacowania α sprawdza si jedynie w przypadku izolowanych osobliwo ci. Jednak dla fraktali osobliwo ci s g sto upakowane, a ten sposób analizy staje si niestabilny dla tego rodzaju sygna ów. W takim przypadku konieczne jest skorzystanie z globalnej miary, jak jest funkcja rozdzia u, definiowana nast puj co: Z(q, s) = T ψ [f](b l (a),a) q s τ(q), (45) lɛl(s) gdzie L(a) jest zbiorem wszystkich linii maksimów l nale cych doskali s, b l jest po o eniem maksimum, a τ(q) wyk adnikiem skaluj cym. Korzystaj c z równania (43) oraz N α (s) s f(α), mo emy napisa : τ(q) =min α (qα f(α)) = τ B (q). (46) τ B (q) wpowy szym równaniu jest tym samym wyk adnikiem co funkcja skaluj ca z równania (13), co potwierdza zwi zek nowego formalizmu opartego na falkach z klasycznym formalizmem multifraktalnym, wprowadzonym w poprzednim rozdziale. Definicja (45) nie jest stabilna dla q<0. Mo na j jednak troch zmodyfikowa, zamieniaj c modu maksimum transformatyna supremum modu u transformaty wzd u linii maksimum: Z(q, s) = (sup T ψ [f](b l (a ),a ) ) q. (47) s s lɛl(s) St d dochodzimy do równania spektrum osobliwo ci f(α) 5, osi ganego poprzez transformacje Legendre'a τ(q): Interpretacja τ(q) f(α) =min q (qα τ(q)). (48) Dla q =0, τ(0) odpowiada liczbie falek w skali s potrzebnej do pokrycia zbioru osobliwo ci funkcji. Odwo uj c si do metody pude kowej, widzimy, e τ(0) równe jest wymiarowi fraktalnemu no nika funkcji. 5 W formalizmie opartym na falkach wyk adnik Höldera dla funkcji afinicznych oznaczany jest jako h, a wymiar Hausdorffa jako D(h). Jednak dla przejrzysto ci w pracy przyj to oznaczenia takie jak w metodzie MF-DFA, odpowiednio: α i f(α). 32

33 Dla q =1, τ(1) okre la obj to grafu rozwa anej funkcji d c (G) =max(1, 1 τ(1)). Dla q =2, τ(2) = β 2, gdzie β jest wyk adnikiem g sto ci spektralnej Ŝ(k) k β (β =2H +1). 33

34 34

35 4 Analiza (multi)fraktali ze znanym spektrum f(α) Metody opisane powy ej s wy mienitymi narz dziami, pozwalaj cymi charakteryzowa multifraktale. Ponadto ka da z nich prezentuje zgo a odmienne podej cie do problemu szacowania spektrów f(α). W pracy postawiono pytanie: czy wyniki uzyskane metodami MF-DFA oraz WTMM s ze sob zgodne? W literaturze brakuje systematycznych studiów na ten temat. Aby móc odpowiedzie na postawione pytanie, przeanalizowano kilka fraktali, dla których spektra multifraktalne mo na wyliczy analitycznie. Zosta y one dobrane w ten sposób, by mo liwe sta o si rozró nienie pomi dzy wp ywem korelacji czasowych a funkcji g sto ci prawdopodobie stwa na efektywno badanych metod. St d te analiza ruchu Browna (monofraktala), procesu Lévy'ego dla α L = 1.5 (bifraktala bez korelacji czasowych) oraz kaskady multifraktalnej (wp yw obu róde w zale no ci od parametru a). 4.1 Ruch Browna Pierwszy rozwa any przyk ad odnosi si do serii monofraktalnych. S one reprezentowane poprzez tzw. u amkowe ruchy Browna FBM (fractional Brownian motion) [29, 7]. Ten typ danych by i nadal jest wykorzystywany do modelowania wielu zjawisk fizycznych, w tym równie fluktuacji warto- ci indeksu gie dowego. Warto wspomnie, e pierwszy model dynamiki cen (nazywany dzisiaj klasycznym ruchem Browna lub ruchem Wienera-Browna (WBM), o którym jest mowa poni ej) zaproponowany przez Bacheliera w 1900 roku [39] wyprzedza o dwie dekady matematyczn teori opisuj c b dzenie przypadkowe, sformu owan przez Norberta Wienera. Ten typ procesu, zwany równie martynga em, realizuje ide hipotezy efektywnego rynku. FBM, oznaczany B H, jest procesem gaussowskim o warto ci redniej zero i funkcji kowariancji: <B H (t 1 )B H (t 2 ) > = σ2 2 ( t 1 2H + t 2 2H t 1 t 2 2H ), (49) gdzie <> oznacza warto redni. Zkolei wariancja tego procesu jest równa: var(b H (t)) = σ 2 t 2H. (50) FBM jest charakteryzowany za pomoc jednego parametru: wyk adnika Hursta 0<H <1. Warto parametru H jest ci le zwi zana z typem korelacji liniowych wyst puj cych w serii. I tak dla 0.5<H <1 seria odznacza si dodatni korelacj (persystencj ), natomiast dla 0<H <0.5 seria wykazuje 35

36 antykorelacj (antypersystencj ). Szczególnym przypadkiem FBM jest klasyczny ruch Browna WBM, dla którego H=0.5, tzn. taki, w którym brak jest jakichkolwiek korelacji. Wszystkie wy ej wymienione cechy sprawiaj, e ten rodzaj danych bardzo dobrze nadaje si do testu badanych metod w przypadku braku przyczynków do multifraktalno ci (sygna posiada jedynie korelacje liniowe, a ponadto w sk funkcj g sto ci prawdopodobie stwa fluktuacji). A zatem teoretyczne spektrum f(α) jest zredukowane do punktu i zlokalizowane w α = H i f(α) =1. W praktyce nie spodziewamy si pojedynczego punktu, ale w skiego spektrum, które sugeruje monofraktalno. Pierwsze postawione pytanie brzmia o: jaki wp yw na rezultat, dla tego typu danych, ma rodzaj stosowanej falki w metodzie WTMM oraz stopie u ytego wielomianu w metodzie MF-DFA i czy obecno ró nego rodzaju korelacji liniowych w serii wp ywa na poprawno wyniku. Do analizy wybrano serie d ugo ci punktów oh równym 0.3, 0.5 i 0.75, które zawiera y wszystkie mo liwe wtym przypadku rodzaje korelacji (odpowiednio korelacja ujemna, brak korelacji oraz korelacja dodatnia). Rozwa anymi falkami w metodzie WTMM by y kolejne pochodne Gaussianu ψ (1),ψ (2),ψ (3),ψ (4) (równanie (39)), za w procedurze MF-DFAl zastosowano warianty l =1,2,3,4. Ka dy rodzaj u ytej metody posiada inne mo liwo ci w zakresie eliminacji trendu. Dla skrajnych przypadków: w metodzie falkowej pierwsza pochodna Gaussianu eliminuje sta y trend, podczas gdy ψ (4) jest ortogonalna do wielomianu stopnia 3. Dla MF-DFA1 eliminowany jest liniowy trend w profilu, natomiast gdy l=4 trend stopnia 4. Zadane q dla obu metod zmienia o si w zakresie od -10 do 10 co 0.5. Jedynie w okolicy maksimum spektrum (q =0)w przedziale od -0.6 do 2.4 q próbkowano je co 0.2. Pierwszym krokiem by o obliczenie F q (s) i Z(q, s) dla wszystkichrozwa anych serii i rodzajów falek. Wyniki oblicze prezentowane s na rysunku 9. Najni sza krzywa na ka dym wykresie odpowiada q=-10, najwy sza q=10. Zarówno funkcja fluktuacji, jak i rozdzia u wykazuj spodziewane pot gowe zachowanie. Jako skalowania wydaje si by porównywalna dla obu funkcji, a przedzia liniowo ci rozci ga si w zakresie od s=40 do s Dla wi kszych skal obserwujemy pogorszenie si skalowania F q (s), co zwi zane jest z mniejsz statystyk dla du ych przedzia ów s. Nie wida te zwi zku pomi dzy jako ci obserwowanej zale no ci a wariantem MF-DFA i rodzajem wykorzystanych danych. Podobnie sprawa wygl da dla funkcji rozdzia u. Jako obserwowanej zale no ci jest troch gorsza dla ma ych q ni w poprzednim przypadku, jednak wci na tyle dobra by mówi o zale no ci pot gowej. Przedzia skalowania jest podobny jak w przypadku funkcji fluktuacji, a jednocze nie jako skalowania praktycznie nie zale y od rodzaju u ytej falki. Tak e rodzaj korelacji wydaje si nie mie wp ywu na 36