Dissertation for the degree philosophiae doctor (PhD) at the University of Bergen

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Dissertation for the degree philosophiae doctor (PhD) at the University of Bergen"

Transcript

1 Dissertation for the degree philosophiae doctor (PhD) at the University of Bergen Dissertation date:

2

3

4

5

6

7 GF F GF F SLE GF F

8

9

10

11 D Ĉ = C { } Ĉ \ D D D = {z : z < 1} f : D D D D = D D, D = D D f f : D D D f P (D) D ˆD = D P (D) ˆD f : D D ˆf : D ˆD ˆD D D ˆD D Ĉ a D, b 1,b 2, b 3 P (D)

12 f : D D, ˆf : ˆD ˆD. f ˆf(0) = a ˆf (0) > 0, ˆf(0) = a ˆf(1) = b1, ˆf( i) =b1, ˆf(1) = b2, ˆf(i) =b 3 Hol(D, D) D Aut(D) Hol(D, D) D {g t } t 0 Hol(D, D) D D g 0 =id D, g t+s = g t g s, s, t 0 lim t 0 + g t (z) =z z D g t D z D t g t (z) t [0, + ) g t Aut(D) t 0, {g t } t 0 {g t } t 0 V : D C, {g t } t R g t := g 1 t t g t(z) =V (g t (z)), g 0 (z) =z, t 0, z D. V {g t } t 0

13 V (z) V (z) =V (0) zq(z) V (0) z 2, q(z) Re q(z) 0 V (z) q(z) =ib, b R φ Hol(D, D) φ id D τ D φ τ D lim z τ φ(z) =τ α = φ(z) τ lim z τ z τ 0 <α 1 0 <α<1 φ α =1 φ τ φ {g t } t 0 g 0 =id D τ τ {g t } t 0 V (z) τ D p : D C Re p 0 V (z) =(z τ)( τ z 1) p(z), z D. V (z) 0 τ {g t } t 0 p(z) τ V (z) g t (z) τ D t + {g t } t 0 D D D f : D 1 D 2 {g 1 t } t 0 D 1 {g 2 t } t 0 = {φ g 1 t φ 1 } t 0 D 2 V 1 V 2 {g 1 t } t 0 {g 2 t } t 0 V 1 V 2 φ V 2 V 1 φ V 2 = φ V 1 φ V 1 (z) = 1 φ 1 (z) V 1(φ 1 (z)).

14 f C 1 D z = x + iy f = f z = 1 ( 2 x i ) f, y f = f z = 1 ( 2 x + i ) f. y V D V f C 1 (D, C) f ( V + V ) f. L V L V = V + V. L V f V L V f f V ; L V f = LV f, L V Re f = ReL V f L V Im f = Im L V f L V ( f) = L V f, L V ( f) = L V f V D C n f : C n C z =(z 1,...,z n ) = ( ) z 1,..., z n = ( ) z 1,..., z n V (z) =(V1 (z),...,v n (z)) f V L V f(z) = ( V (z) + V (z) ) f(z). X t {F t } t 0 B t T>0 X t

15 B t [0,T] T 0 X t db t := lim n Δt 0 j=1 X tj 1 ( Btj B tj 1 ), 0=t 0 <t 1 <...<t n = T Δt := max j=1,..., n (t j t j 1 ) T 0 X t db t := lim n Δt 0 j=1 X t j 1 +t j 2 ( Btj B tj 1 ). T>0 T 0 X s db s t 0 X s db s Y t {F t } t 0 ( ) t P Y t = X s db s =1 t 0. 0 t 0 X s db s E ( T0 Xs 2 ds ) < T>0 t 0 X s db s P ( T0 Xs 2 ds < ) =1 Y t {F} t 0 M t M t = M 0 + t 0 X s db s F t X t X t Y t X T,Y T = X, Y T := lim n Δt 0 j=1 (X tj X tj 1 )(Y tj Y tj 1 ) 0 = t 0 < t 1 <... < t n = T Δt := max j=1,..., n (t j t j 1 ) X t Y t X t (ω) = Y t (ω) = t t b 1(ω, s) ds + σ 1(ω, s) db s (ω), 0 0 t t b 2(ω, s) ds + σ 2(ω, s) db s (ω), 0 0

16 b j (ω, t) σ j (ω, t) j =1, 2 F t ( ) ( T ) T P b j(ω, s) ds < =1, P σ j(ω, s) 2 ds =1, 0 0 T > 0 j =1, 2 X, Y t (ω) = t 0 σ 1(ω, s) σ 2 (ω, s) ds. T 0 X t db t = T 0 X t db t X, B T. w t = X 1 t + ix 2 t X 1 t X 2 t f : C C w t t f(w t )=f(w 0 )+ f(w s) dw s + 0 t f(w s ) d w s t + f(w s ) d w, w s, 0 t 0 t 0 f(w s ) d w s 2 f(w s ) d w s df (w t )= f(w t ) dw t + f(w t ) d w t f(w t ) d w t f(w t ) d w t + f(w t ) d w, w t. w t t n t w t = w 0 + b(w s) ds + σ k(w s ) dbs k, 0 0 b σ n B 1 t,...,b n t k=1 dw t = b(w t ) dt + n k=1 σ k (w t ) db k t.

17 dw t = b(w t )+ 1 2 n k=1 σ k (w t ) σ k(w t ) dt + w t = w 0 + t 0 b(w s )+ 1 2 n k=1 n k=1 σ k (w s ) σ k(w s ) ds + σ k (w t ) db k t, n t k=1 0 σ k(w s ) db k s. f : C C f(w t ) df (w t )=L b f(w t ) dt + = L b n k=1 n L 2 σ k k=1 L σk f(w t ) db k t f(w t ) dt + n k=1 L σk f(w t ) db k t. w t C n f C 2 n b : C n C σ k : C n C {g t } t 0 t g t(z) =V (g t (z)), g 0 (z) =z, t g t ( ) D V D g t Hol(D, D) t 0 z D w t (z) w 0 = z {w t } t 0 dw t (z) =b(w t (z),t) dt + n k=1 σ k (w t (z),t) dbt k, w 0 (z) =z, z D. σ k (w) w σ k(w) f t(z) z f t(z)

18 b(z,t), σ 1 (z,t),...σ n (z,t) C 2 z C 1 t T (z) w t (z) w t (z) =z T (z) D t t>0 D t = {z D : T (z) >t} D s D t s t R t D t w t R t := w t (D t ) w t : D t R t t 0 1 b(z,t) C 1 t>0 C d z D σ 1 (z,t),...,σ n (z,t) C 1 t C d+1 z w t : D t R t C d t 0 1 b(z,t), σ 1 (z,t),...σ n (z,t) C 1 t>0 C z D w t (z) :D t R t C t 0 1 b(z,t), σ 1 (z,t),...σ n (z,t) C 1 t>0 z D w t (z) :D t R t t 0 1 w t (z) dw t (z) =b(w t (z)) dt + n k=1 σ k (w t (z)) dbt k, w 0 (z) =z, z D, b(z) σ 1 (z),...,σ n (z) C w t (z) D t 0 g w t (z) dw t (z) =b(w t (z),t) dt + n k=1 σ k (w t (z),t) dbt k, w 0 (z) =z, z D,

19 d w t (z) = b( w t (z),t) dt + n k=1 σ k ( w t (z),t) dbt k, w 0 (z) =z, z D, T (z), T (z) {ζ t } t 0 ζ t := w t w t U(z) := min[inf{t >0:w t (z) D t },T(z)] D t = {z D : T (z) >t} dζ t (z) = [ b(ζt (z),t)+ w t b(ζ t (z),t) ] dt + n k=1 [ σ k (ζ t (z),t)+ w t σ k (ζ t (z),t)] db k t, {η t } t 0,η t = wt 1 dη t (z) = (η t b)(η t (z),t) dt = η t (z) b(z,t) dt n k=1 n k=0 (η t σ k )(η t (z),t) db k t η t (z) σ k (z,t) db k t, SLE κ SLE(κ, ρ)

20 t t H = {z :Imz>0} S = {z :0< Im z<1} d [1, + ] {φ s,t } 0 s t<+ φ s,s = id D φ s,t = φ u,t φ s,u 0 s u t<+ z D T > 0 k z,t L d ([0,T], R), φ s,u (z) φ s,t (z) 0 s u t T. t u k z,t(ξ)dξ

21 z D φ s,t (z) t [s, + ) d [1, + ] V : D [0, + ) C [0, + ) t V (z,t) z D z V (z,t) t [0, + ) K D T > 0 k K,T L d ([0,T], R), V (z,t) k K,T (z) z K t [0,T] t [0, + ) V (,t) {φ s,t } d 1 V (z,t) d, z D t [0, + ) t φ s,t(z) =V (φ s,t (z),t). V (z,t) d 1 {φ s,t } 0 s t<+ d H(z,t) H(z,t) =V (z,t) z D t [0, + ) {f t } 0 t< f t : D C d [1, + ] f t f s (D) f t (D) 0 s<t<+, K D T>0 k K,T L d ([0,T], R) f s (z) f t (z) k K,T (ξ)dξ s z K 0 s t T. t

22 f t (D) t {f t } t 0 d {φ s,t } d φ s,t = f 1 t f s. {φ s,t } 0 s t<+ d {f t } t 0 d, φ s,t = ft 1 f s 0 s t f(0) = 0 f (0) = 1 Ω:= t 0 f t (D) {z : z < R} R (0, + ]. {g t } t 0 = {F f t } t 0, F :Ω C R 1/β 0, φ β 0 = lim 0,t(0) t + 1 φ 0,t (z) 2. {f t } t 0 d s f s(z) = V (z,s)f s(z) ( s 0), V (z,s) {φ s,t } 0 s t<+. V (,t) t 0 p t d [1, + ) p : D [0, + ) C, t p(z,t) L d loc([0, + ), C) z D z p(z,t) D t [0, + )

23 Re p(z,t) 0 z D t [0, + ) V (z,t) d 1 t V (,t) 0 τ :[0, + ) D p(z,t) d, z D t [0, + ) V (z,t) =(z τ(t)) (τ(t) z 1) p(z,t). τ :[0, + ) D p(z,t) d 1, d {φ s,t } V (z,t) (p, τ) V (z,t) {φ s,t } 0 s t<+ τ(t) V (z,t) {φ s,t } 0 s t<+ d [1, + ] {φ s,t } 0 s t<+ Hol(D, D) d φ s,s =id D φ s,t = φ s,u φ u,t 0 s u t< z D T > 0 k z,t L 2 ([0,T], R) φ s,u (z) φ s,t (z) k z,t(ξ) dξ, u s, t, u [0,T] s u t d [1, + ] {f t } t 0 Hol(D, D) d t

24 f t : D D f 0 =id D, f s (D) f t (D) 0 s<t<+ K D T > 0 k K,T L d ([0,T], R) f s (z) f t (z) k K,T (ξ)dξ s z K 0 s t T {f t } t 0 t φ s,t (z) =f 1 s f t, 0 s t<. {φ s,t } 0 s t<+ f t (z) :=φ 0,t V d [1, + ] z D, g t (z) D t g t(z) = V (g t (z),t), g 0 (z) =z. t 0, D t z D, g t (z) t, g t (z) z D t D t D f t := gt 1 d t f t(z) =f t(z) V (z,t), f 0 =id D. D t = g 1 t (D) =f t (D) t K t = D \ D t t {D t } t 0 {K t } t 0 0 s t< D s D t K s K t

25 τ(t) τ 0 τ 0 D τ 0 =0 p(0,t) 1 p(z,t) V (z,t) = zp(z,t), p(z,t) p(0,t) 1. p(0,t) 1 φ s,t (z) =e s t z +..., z D, f t (z) =e t z +..., z D. f t (z) =e t z +..., z D. {φ s,t } 0 s t<+ {f t } t 0 lim t et φ 0,t (z) =f 0 (z) V (z,t) = z eiu(t) + z e iu(t), u(t). z

26 D C D C \ C D {f t } t 0 t f t(z) =z eiu(t) + z e iu(t) z f t(z) u(t) f t(0) = e t ɛ>0 δ>0 s, t 0 0 t s δ f t (D) ɛ 0 f t (D)\f s (D) {f t } t 0 f t(0) = e t Γ:[0, + ) C t 0 f t (D) C \ Γ[t, + ) 0 Γ {f t } t 0 u(t) u(t) f(0) = 0 f (0) = 1 S S f S f(z) =z + a 2 z 2 + a 3 z , z D. a n n S n =2 a 2 =2 f(z) =e iθ k(e iθ z) θ [0, 2π) k(z) k(z) = z (1 z) 2 = z +2z2 +3z , z D. n =3

27 n =4, 5 6 n a n = n f S n N f(z) =e iθ k(e iθ z) θ [0, 2π) f S f(d) =C \ Γ Γ Γ=(, 1/4] S f {f t } t 0 f(z) =f 0 (z) {f t } t 0 {φ s,t } 0 s t<+ lim t et φ 0,t (z) =f 0 (z). F : S C S S S n S n S u(t) S S τ(t) τ 0 τ 0 D

28 D τ 0 = 1 V (z,t) = (z +1) 2 p(z,t). H τ 0 D H z 2 i 1 z 1+z, ( ) 2i z V H (z,t) =4ip 2i + z,t = i p(z,t), p(z,t) :=4p ( 2i z 2i+z,t) z H t 0 Re p(z,t) 0 z H V H 1 (z,t) = u(t) z, u(t) t i p(z,t) = z u(t), 2 V H 2 (z,t) = u(t) z. t f 2 t(z) = f, t(z) u(t) f 0 (z) =z, z H, t f 1 t(z) = f 0 (z) =z, tanh[(f t(z) u(t))/2], z S,

29 u(t) :[0, + ) R S {z :0< Im z<π} { f t } t 0 f t = φ f t φ 1 φ : S D φ(z) :=i ez i e z + i. φ 0 1 i + i { f t } t 0 f t t (z) = V ( f t (z),t), f 0 (z) =z, z D V (z,t) = 1 2 (1 + z2 ) 1 iz+ eu(t) (z i) i + z e u(t) (1 + iz) < 1 V (z,t) = tanh[(z u(t))/2] φ V (i, t) = V ( i, t) = 0 t 0 ±i { f t } t 0 τ(t) = sech u(t)+i tanh u(t). u(t) u(t) {φ s,t } 0 s t<+ φ s,t (D) 0 s t<+ [0, ) C u(t) Lip(1/2) 1/2

30 u 1/2loc < 4 u 1/2loc := inf sup u(t) u(s). ɛ>0 t s <ɛ t s u(t) u(s) lim t s t s SLE κ u(t) = κb t B t κ>0 SLE κ t f t(z) =f t (z) ei κbt + f t (z) e i κb t ft (z), f 0(z) =z, z D, SLE κ t f 2 t(z) = f t (z), f 0 (z) =z, z H, κb t SLE κ t f 2 t(z) = tanh[(f t (z) κb t )/2], f 0(z) =z, z S. γ γ SLE κ SLE κ SLE κ SLE κ>0 SLE κ γ κ [0, 4] κ (4, 8) κ [8, ) SLE κ min (2, 1+κ/8)

31 SLE SLE SLE κ SLE κ (D, 1, 0) D a D b D φ : D D φ(0) = b ˆφ(1) = a SLE κ (D, a, b) =SLE κ (φ(d), ˆφ(1),φ(0)) D a b γ SLE κ (D, 1, 0) φ γ SLE κ (φ(d), ˆφ(1),φ(0)) γ[0,t] SLE κ (D t,γ(t),b) D t D \ γ[0,t] b SLE κ (D t,γ(t),b) γ SLE SLE κ w t (z) =f t (z)/e i κb t dw t (z) =w t (z) 1+w t(z) 1 w t (z) dt i κw t db t, w 0 (z) =z, z D. D C 0 (D) D {p n } n=1 C 0 (D) p C 0 (D) K supp(p n p) K n =1, 2,...

32 m+p m x p y p n m+p m x p yp n K m, p = 1, 2,... C0 (D) T C0 (D) T (p n ) T (p) p n p C0 (D) D D(D) D (D) A D (, ) L 2 (D, A) (p, q) := D p(z) q(z) da(z), p q L 1 loc(d, A) D h L 1 loc(d, A) h L 1 (U) U U D L 1 loc(d) L p (D, A) L 1 loc(d, A) p 1 h L 1 loc(d, A) h L 2 (D, A) (h, p) p D(D) h D p (h, p), p D(D), L 1 loc(d) D (D) D (h, p) h p D w D f w : D D f w (w) =0, f w(w) > 0 D G D (z,w) = log f w (z). G D (z,w) = log 1 wz z w G H (z,w) = log z w z w p D(D) 1 2π G D(z,w)Δp(w) da(w) =p(z). D Δ w G D (z,w) =2πδ(z w), z D, G D (z,w) =0, z D.

33 Δ D(D) ker Δ = {0} D(D) Δ Δ 1 p(z) = 1 2π G D(z,w) p(w) da(w). D D(D) L 2 (D, A) (, ) (, ) L 2 (D,A) p, q D(D) (p, q) := D p(z) q(z) da(z). p, q D(D) (p, q) := D p(z) q(z) da(z). D(D) (p, q) E(D) := 2 G D(z 1,z 2 ) p(z 1 ) q(z 2 ) da(z 1 ) da(z 2 ). D D p, q D(D) (p, q) = 1 4π ( Δp, q) E(D), (p, q) =( Δp, q), (p, q) = 1 4π (Δp, Δq) E(D). D(D) p := (p, p), p := (p, p), p E(D) := (p, p) E(D). p p p E(D) p (Ω, F, P) D Φ:Ω D (D) Φ GF F D p D(D) (Φ, p) p 2 E(D)

34 Cov ((Φ, p), (Φ, q)) = (p, q) E(D). H(D) D(D) (, ) H(D) H(D) L 2 (D, A) L 1 loc(d) D (D) {e n } n=1 H(D) {α n } n=1 2 π α n e n. n=1 p D(D) 2 π n=1 α n (p,e n ) L 2 (Ω, P) 2 π n=1 α n (p,e n ) 2 L 2 (Ω,P)= 4π n=1 (p,e n ) 2, 4π n=1 (p,e n ) 2 =4π n=1 ( Δ 1 p,e n ) 2 =4π Δ 1 p 2 = p 2 E(D)<, p D(D) Φ D Φ=2π n=1 α n e n {e n } n=1 H(D) {α n } n=1 B D D H(B) H(D) Harm(B) H(D) H(D) =H(B) Harm(B). P H(B) P Harm(B)

35 f Harm(B) (f,g) =0 g H(B) (f,δg) L 2 (B,A) =0 g H(B). B Harm(B) H(D) B Φ B B Φ B := 2 π n=1 α n f n {f n } n=1 H(B) {α n } n=1 Φ B D p D(D) (Φ B, p) p 2 E(B) p D(D) (Φ B, p) =2 π =2 π =2 π n=1 n=1 n=1 α n (f n, p) α n (f n, Δ 1 p) α n (f n,p H(B) ( Δ 1 p)), (Φ B, p) 4π P H(B) ( Δ 1 p) 2 = ΔP H(B) ( Δ 1 p) 2 E(B) = ΔP H(B) ( Δ 1 p)+δp Harm(B) ( Δ 1 p) 2 E(B)= p 2 E(B). GF F h D h D (D) GF F h ˆΦ D =Φ D +h GF F h D ˆΦ D h h μ h D B D A(D\B) ˆΦ B =Φ B +h GF F B p D(D) Φ B D h B (h, p) L 2 (D,A) = D h(z) p(z) da(z)

36 ˆΦ B D GF F φ : D 1 D 2 Ψ D (D 2 ) Ψ φ Ψ φ D 1 (Ψ φ, p) =(Ψ, (φ 1 ) 2 p(φ 1 )), p C 0 (D 1 ). Ψ L 1 loc(d 2 ) Ψ(φ(z)) p(z) da(z) = Ψ(w) (φ 1 (w)) 2 p(φ 1 (w)) da(w). D 1 D 2 Φ D2 φ D 2 GF F D 1 SLE GF F SLE 4 GF F SLE κ κ SLE GF F SLE 4 Φ H Φ H ˆΦ H =Φ H 2 arg z. ˆΦ H ˆΦ H =0 ˆΦ H = π B t ˆΦ H {w t } t 0 SLE 4 dw t (z) = 2 w t (z) dt 2 db t, w 0 (z) =z, z H. ˆΦ H SLE 4 T > 0 ˆΦ H ˆΦ H w T

37 {φ s,t } 0 s t<+ t φ s,t(z) = φ s,t (z) eiu(t) +φ s,t(z) e iu(t) φ, s,t(z) φ s,s (z) =z, z D, {f t } t 0 t f t(z) =zf t(z) eiu(t) + z e iu(t) z, f 0(z) = lim t e t φ 0,t (z). {f t } t 0 φ s,t = ft 1 f s {f t } t 0 [0, + ) φ s,t (D) D \ φ s,t (D) γ D \ γ 0 u(t) D \ γ u(t) φ 0,t0 (D) =D \ γ t 0 > 0 u(t) Ĉ φ s,t (D)

38 u(t) Lip(1/2) u(t) 1/2loc (4, ) Lip(1/2) u(t) 1/2loc =0 V (t, z) =(z τ(t))(τ(t) z 1) p(z,t), τ(t) =e ikbt,k 0 τ(t) =e ikbt k R t φ t(z) = (τ(t) φt(z))2 τ(t) p(φ t (z),t), φ 0 (z) =z, z D. p(z,t) = p(z/τ(t)) p(z) :D C ψ t (z) = φt(z) τ(t) t ψ t(z) =(ψ t (z) 1) 2 p(ψ t (z)) ikψ t (z), ψ 0 (z) =z. {ψ t } t 0 {ψ t } t 0 {φ t } t 0 {φ t } t 0 Aut(D) p(z,t) = p(z/τ(t)) p(z) =A 1+z + Bi, A,B R. 1 z ψ t k τ(t)

39 2( Im p(0) p(0) ) <k<2( Im p(0) + p(0) ) 2( Im p(0) p(0) ) <k<2( Im p(0) + p(0) ) k<2( Im p(0) p(0) ) k>2( Im p(0) + p(0) ) φ t (z) k 4 A 2 +4 Bk+k 2 {ψ t } t 0 p(z) p(z,t) = p(z/τ(t)) w t = φ t /e ikbt dw t = ( k2 2 w t +(w t 1) 2 p(w t ) ) dt ikw t db t, w 0 (z) =z. {w t } t 0 {φ t (D)} t 0 SLE SLE dw t (z) =b(w t (z)) dt + σ(w t (z)) db t, w 0 (z) =z, z D, D b σ w t Hol(D, D) t 0 b σ w t Aut(D) t 0

40 b(z) dh t (z) =σ(h t (z)) db t, H 0 (z) =z, z D, D {H t } t 0 t h t(z) =σ(h t (z)), h 0 (z) =z, z D H t = h Bt {g t } t 0 g t := Ht 1 w t = w t h 1 B t dg t (z) = ( h 1 B t b ) (g t (z)) dt, g 0 (z) =z, z D. ( h 1 B t b ) {g t } t 0 Hol(D, D) {w t } t 0 Hol(D, D) b σ D SLE dw t (z) = b(w t (z)) dt + σ(w t (z)) dbt k, w 0 (z) =z, z D, b σ D t = {z D : w t (z) t}, w t : D t D t 0 g t = Ht 1 w t dg t (z) = ( h 1 B t b ) (g t (z)) dt, g 0 (z) =z, z D, {g t } t 0

41 b SLEs b D lim Re r 1 b(reiθ ) re iθ =0 e iθ D e iθ0 e iθ0 =1 D b D ( b(z) =α z iβ+ γ 1+z ) αz 2, 1 z z D, α C, β R γ 0 l H n (z) := z n+1, n Z, z H, D l D n := φ l H n φ : H D l D n φ φ(z) = z 2i z+2i l D n(z) = 2 n 1 ( i) n (z 1) n+1 (z +1) n+1. S = {z :0< Im z<π} ψ(z) = Log 2+z 2 z ( ) l S n(z) =ψ l H n (z) = 2 n sinh(z) tanh n z. 2 D span R {l D 1,l D 0,l D 1 } l D n,n= 2,...,1 D b D b(z) =b 2 l D 2(z)+b 1 l D 1(z)+b 0 l D 0 (z)+b 1 l D 1 (z), b 2 0 b 1,b 0,b 1 R D l D n l D n

42 D D σ D b D b(z) =b 2 l D 2(z)+b 1 l D 1(z)+b 0 l D 0 (z)+b 1 l D 1 (z), b 2 0,b 1,b 0,b 1 R, σ(z) =σ 1 l D 1(z)+σ 0 l D 0 (z)+σ 1 l 1, σ 1,σ 0,σ 1 R, σ 1 0. u t :[0, + ) R b, σ u t {f t } t 0 V (t, z) = ( h 1 u t b ) (z), {h t } t 0 D σ b 2 =2, σ 1 =1, b σ 2l 2 l 1 2l l 0 l l 1 2l l 0 l l 1 u t = κb t κ 0 w t = h κb t g t dw t (z) = b(w t (z)) dt + κσ(w t (z)) db t, w 0 (z) =z, z D. {w t } t 0 b σ SLE κ κ [0, 4] κ (4, 8) κ [8, )

43 ABP SLE b =2l 2 σ = l l 1 t f t(z) = 1 (e iu(t) + f t (z)) 3 4 e iu(t) e iu(t) f t (z). τ(t) = e iu(t) p(z) = 1 1+z 4 1 z u(t) = κb t κ 0 ABP SLE ABP {f t } t 0 SLE ABP {w t } t 0 b σ κ =4 {w t } t 0 dw t (z) = b(w t (z)) dt +2σ(w t (z)) db t, w 0 (z) =z, z H. Φ H H B t b σ h H ˆΦ H := Φ H + h(z), ˆΦ H w T ˆΦ H T>0 GF F SLEs dg H (w t (z 1 ),w t (z 2 )) = 1 2 h(w t(z 1 )),h(w t (z 2 )), G H H, z 1,z 2 H z 1 z 2 h

44 h(w t (z)) t h SLE 4 2 B t αt, α R αt b(z) = 2 z α, σ = 1, h(z) = α 2 Im z 2 arg z. b(z) = 2 z βz,β R, σ = 1, h(z) = 2 arg z. SLE 4 2 B t αt, α R b(z) = 2 z α + z 2 + α 4 z2, h(z) = 1 α arg(2 z) 2 arg z + 1+α arg(2 + z). 2 2 b(z) = 2 ( z +1 β 1 ) ( 1 z 2 4 β ) z 2,β R, 2 h(z) = 2 arg(2 z) 2 arg z, b(z) = 2 ( z 1 β 1 ) ( β z ) z 2,β R, 4 h(z) = 2 arg(2 + z) 2 arg z, SLE 4 2 B t αt α R b(z) = 2 z α z 2 α z2 4, α R, h(z) = 2 α Im arctan 2 z 2 arg z + 1 arg(4 + z 2 ). 2 GF F α = 0 SLE 4 h GF F

45 b σ SLEs ABP SLE ABP SLE SLEs SLE SLE(κ; ρ) SLEs SLE(κ; ρ) SLE(κ; ρ)

46

47

48 SLE(4)

49

50

51 SLE 4

52

Μιγαδική Ανάλυση. Δρ. Θ. Ζυγκιρίδης

Μιγαδική Ανάλυση. Δρ. Θ. Ζυγκιρίδης Μιγαδική Ανάλυση Δρ. Θ. Ζυγκιρίδης 2 Περιεχόμενα 1 Μιγαδικοί αριθμοί 1 1.1 Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες............................. 1 1.2 Γεωμετρική αναπαράσταση των μιγαδικών αριθμών.................

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟΙ ΚΑΤΕΡΓΑΣΙΑΣ. κατά τον άξονα Ζ.

ΚΥΚΛΟΙ ΚΑΤΕΡΓΑΣΙΑΣ. κατά τον άξονα Ζ. ΚΥΚΛΟΙ ΚΑΤΕΡΓΑΣΙΑΣ Οι κύκλοι κατεργασίας χρησιµοποιούνται για ξεχόνδρισµα - φινίρισµα ενός προφίλ χωρίς να απαιτείται να προγραµµατίζουµε εµείς τα διαδοχικά πάσα της κατεργασίας. Έτσι, στο πρόγραµµα περικλείουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ -11 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Ο ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ ΙΟΥΝΙΟΣ 11 Pappas Ath...page 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Monotonicity theorems for analytic functions centered at infinity. Proc. Amer. Math. Soc. (to appear). Growth theorems for holomorphic functions

Monotonicity theorems for analytic functions centered at infinity. Proc. Amer. Math. Soc. (to appear). Growth theorems for holomorphic functions ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΑΥΞΗΤΙΚΟΤΗΤΑΣ-ΠΑΡΑΛΛΑΓΕΣ ΤΟΥ ΛΗΜΜΑΤΟΣ SCHWARZ ΓΙΑ ΟΛΟΜΟΡΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Γαλάτεια Κλεάνθους Υποστήριξη διδακτορικής διατριβής 25/02/2014 Monotonicity theorems for analytic functions

Διαβάστε περισσότερα

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Α Ρ Χ Α Ι Α Ι Σ Τ Ο Ρ Ι Α Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Σ η µ ε ί ω σ η : σ υ ν ά δ ε λ φ ο ι, ν α µ ο υ σ υ γ χ ω ρ ή σ ε τ ε τ ο γ ρ ή γ ο ρ ο κ α ι α τ η µ έ λ η τ ο ύ

Διαβάστε περισσότερα

Τυπολογίο Μαθηµατικών Μεθόδων Φυσικής ΙΙ

Τυπολογίο Μαθηµατικών Μεθόδων Φυσικής ΙΙ . Μέθοδος Frobenius Τυπολογίο Μαθηµατικών Μεθόδων Φυσικής ΙΙ d w Γενική µορφή της γραµµικής.ε. ης τάξης: dz + P (z)dw + Q(z)w = dz Μορφή της.ε. όταν το σηµείο z = z είναι κανονικό ανώµαλο σηµείο d w dz

Διαβάστε περισσότερα

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033 Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische

Διαβάστε περισσότερα

u = 0 u = ϕ t + Π) = 0 t + Π = C(t) C(t) ϕ = ϕ 1 + C(t) dt 2 ϕ = 0

u = 0 u = ϕ t + Π) = 0 t + Π = C(t) C(t) ϕ = ϕ 1 + C(t) dt 2 ϕ = 0 u = (u, v, w) ω ω = u = 0 ϕ u u = ϕ u = 0 ϕ 2 ϕ = 0 u t = u ω 1 ρ Π + ν 2 u Π = p + (1/2)ρ u 2 + ρgz ω = 0 ( ϕ t + Π) = 0 ϕ t + Π = C(t) C(t) C(t) = 0 C(t) ϕ = ϕ 1 + C(t) dt C(t) ϕ ϕ 1 ϕ = ϕ 1 p ρ + ϕ

Διαβάστε περισσότερα

ιανύσµατα A z A y A x 1.1 Αλγεβρικές πράξεις µεταξύ διανυσµάτων 1.2 Εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων ca = ca x ˆx + ca y ŷ + ca z ẑ

ιανύσµατα A z A y A x 1.1 Αλγεβρικές πράξεις µεταξύ διανυσµάτων 1.2 Εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων ca = ca x ˆx + ca y ŷ + ca z ẑ 1 ιανύσµατα Ο ϕυσικός χώρος µέσα στον οποίο Ϲούµε και κινούµαστε είναι ένας τρισδιάστατος ευκλείδειος γραµµικός χώ- ϱος. Ισχύουν λοιπόν τα αξιώµατα της Γεωµετρίας του Ευκλείδη, το πυθαγόρειο ϑεώρηµα και

Διαβάστε περισσότερα

F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2

F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2 F (x) = kx x k F = F (x) U(0) U(x) = x F = kx 0 F (x )dx U(x) = U(0) + 1 2 kx2 x U(0) = 0 U(x) = 1 2 kx2 U(x) x 0 = 0 x 1 U(x) U(0) + U (0) x + 1 2 U (0) x 2 U (0) = 0 U(x) U(0) + 1 2 U (0) x 2 U(0) =

Διαβάστε περισσότερα

(... )..!, ".. (! ) # - $ % % $ & % 2007

(... )..!, .. (! ) # - $ % % $ & % 2007 (! ), "! ( ) # $ % & % $ % 007 500 ' 67905:5394!33 : (! ) $, -, * +,'; ), -, *! ' - " #!, $ & % $ ( % %): /!, " ; - : - +', 007 5 ISBN 978-5-7596-0766-3 % % - $, $ &- % $ % %, * $ % - % % # $ $,, % % #-

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Διαχείριση Σηµάτων σε Ψηφιακά Συστήµατα Ελέγχου

Κεφάλαιο 2 Διαχείριση Σηµάτων σε Ψηφιακά Συστήµατα Ελέγχου Κεφάλαιο 2 Διαχείριση Σηµάτων σε Ψηφιακά Συστήµατα Ελέγχου Μετατροπή Αναλογικού Σήµατος σε Ψηφιακό (A/D Conversion) Ο µετασχηµατισµός Ζ Μαθηµατική Ανάλυση της ιαδικασίας A/D Μετατροπή Ψηφιακού Σήµατος

Διαβάστε περισσότερα

a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Βαθμωτές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Βαθμωτές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών f

Διαβάστε περισσότερα

B G [0; 1) S S # S y 1 ; y 3 0 t 20 y 2 ; y 4 0 t 20 y 1 y 2 h n t: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 1; 3: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 2; 4: r = 10 5 ; a = 10 6 t = 20

Διαβάστε περισσότερα

!"#$ % &# &%#'()(! $ * +

!#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))

Διαβάστε περισσότερα

-! " #!$ %& ' %( #! )! ' 2003

-!  #!$ %& ' %( #! )! ' 2003 -! "#!$ %&' %(#!)!' ! 7 #!$# 9 " # 6 $!% 6!!! 6! 6! 6 7 7 &! % 7 ' (&$ 8 9! 9!- "!!- ) % -! " 6 %!( 6 6 / 6 6 7 6!! 7 6! # 8 6!! 66! #! $ - (( 6 6 $ % 7 7 $ 9!" $& & " $! / % " 6!$ 6!!$#/ 6 #!!$! 9 /!

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Θεωρία Δικτύων

Μάθημα: Θεωρία Δικτύων Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχ/κών και Μηχ/κών Υπολογιστών, Ε.Μ.Π., Ακαδημαϊκό Έτος 7-8, 5ο Εξάμηνο Μάθημα: Θεωρία Δικτύων Ανάλυση Ευσταθείας Κων/νος Τζαφέστας Τομέας Σημάτων, Ελέγχου & Ρομποτικής Σχολή Ηλεκτρ.

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Μιγαδικής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης

Σηµειώσεις Μιγαδικής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης Σηµειώσεις Μιαδικής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Ηρακλειο Περιεχόµενα Κεφάλαιο 1. Εισαωικά 5 Η αλεβρική δοµή 5 Η τοπολοική δοµή τού 6 Το εκτεταµένο µιαδικό επίπεδο 7 Συνεκτικότητα

Διαβάστε περισσότερα

Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913

Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913 Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913 ΠΡΑΞΗ ΚΑΤΑΘΕΣΗΣ ΟΡΩΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Σ τ η ν Π ά τ ρ α σ ή μ ε ρ α σ τ ι ς δ ε κ α τ έ σ σ ε ρ ι ς ( 1 4 ) τ ο υ μ ή ν α Ο κ τ ω β ρ ί ο υ, η μ έ ρ α Τ ε τ ά ρ τ η, τ ο υ έ τ ο υ ς δ

Διαβάστε περισσότερα

Ατρέας. Μέρος I. Σημειώσεις: Ατρέας Κεφ Κεχαγιάς Κεφ Βιβλία: Churchill - Brown (για μηχανικούς)

Ατρέας. Μέρος I.  Σημειώσεις: Ατρέας Κεφ Κεχαγιάς Κεφ Βιβλία: Churchill - Brown (για μηχανικούς) http://users.auth.gr/natreas Σημειώσεις: Ατρέας Κεφ. 3-4-5 Κεχαγιάς Κεφ. --6 Βιβλία: Churchill - Brown (για μηχανικούς) Marsden (πιο μαθηματικό) Μέρος I Ατρέας Κεφάλαιο Μιγαδικοί Αριθμοί γεωμετρική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

m 1, m 2 F 12, F 21 F12 = F 21

m 1, m 2 F 12, F 21 F12 = F 21 m 1, m 2 F 12, F 21 F12 = F 21 r 1, r 2 r = r 1 r 2 = r 1 r 2 ê r = rê r F 12 = f(r)ê r F 21 = f(r)ê r f(r) f(r) < 0 f(r) > 0 m 1 r1 = f(r)ê r m 2 r2 = f(r)ê r r = r 1 r 2 r 1 = 1 m 1 f(r)ê r r 2 = 1 m

Διαβάστε περισσότερα

ΜΜΦ Ι 1/ Μαθηµατικές Μέθοδοι Φυσικής ΙΙ. (Μάθηµα επιλογής) Μιγαδικοί αριθµοί - `Αλγεβρα των Μ.Α. + b n sin nπx. a n cos nπx.

ΜΜΦ Ι 1/ Μαθηµατικές Μέθοδοι Φυσικής ΙΙ. (Μάθηµα επιλογής) Μιγαδικοί αριθµοί - `Αλγεβρα των Μ.Α. + b n sin nπx. a n cos nπx. ΜΜΦ Ι /6--9 Μαθηµατικές Μέθοδοι Φυσικής Ι Το µάθηµα περιλαµβάνει:. Μιγαδικές συναρτήσεις.ανάλυση F ourier α. Σειρές F ourier β. Μετασχηµατισµοί F ourier 3. Συνάρτηση έλτα Μαθηµατικές Μέθοδοι Φυσικής ΙΙ

Διαβάστε περισσότερα

Παρασκευή 1 Νοεμβρίου 2013 Ασκηση 1. Λύση. Παρατήρηση. Ασκηση 2. Λύση.

Παρασκευή 1 Νοεμβρίου 2013 Ασκηση 1. Λύση. Παρατήρηση. Ασκηση 2. Λύση. (, ) =,, = : = = ( ) = = = ( ) = = = ( ) ( ) = = ( ) = = = = (, ) =, = = =,,...,, N, (... ) ( + ) =,, ( + ) (... ) =,. ( ) = ( ) = (, ) = = { } = { } = ( ) = \ = { = } = { = }. \ = \ \ \ \ \ = = = = R

Διαβάστε περισσότερα

X = συνεχης. Είναι εμφανές ότι αναγκαία προϋπόθεση για την ύπαρξη της ροπογεννήτριας

X = συνεχης. Είναι εμφανές ότι αναγκαία προϋπόθεση για την ύπαρξη της ροπογεννήτριας Ροπογεννήτριες (mome geerig fucios), πιθανογεννήτριες (robbiliy geerig fucios) και χαρακτηριστικές συναρτήσεις (chrcerisic fucios) Η ροπογεννήτρια συνάρτηση της τμ είναι η πραγματική συνάρτηση πραγματικής

Διαβάστε περισσότερα

5.2 (α) Να γραφούν οι εξισώσεις βρόχων για το κύκλωμα του σχήματος Π5.2α. (β) Να γραφούν οι εξισώσεις κόμβων για το κύκλωμα του σχήματος Π5.

5.2 (α) Να γραφούν οι εξισώσεις βρόχων για το κύκλωμα του σχήματος Π5.2α. (β) Να γραφούν οι εξισώσεις κόμβων για το κύκλωμα του σχήματος Π5. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ, ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ, ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 5. (α) Να βρεθεί η τιμή της σύνθετης αντίστασης Ζ(s) των τριών κυκλωμάτων στο σχήμα Π5. (β) Να βρεθούν οι πόλοι και τα μηδενικά της Ζ(s). (γ) Να βρεθεί

Διαβάστε περισσότερα

!"!# ""$ %%"" %$" &" %" "!'! " #$!

!!# $ %% %$ & % !'!  #$! " "" %%"" %" &" %" " " " % ((((( ((( ((((( " %%%% & ) * ((( "* ( + ) (((( (, (() (((((* ( - )((((( )((((((& + )(((((((((( +. ) ) /(((( +( ),(, ((((((( +, 0 )/ (((((+ ++, ((((() & "( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%(

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί αριθμοί και στοιχειώδεις συναρτήσεις

Μιγαδικοί αριθμοί και στοιχειώδεις συναρτήσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί και στοιχειώδεις συναρτήσεις Σε αυτό το κεφάλαιο εισάγονται οι µιγαδικοί αριθµοί, οι στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις, και οι βασικές τους ιδιότητες. Όπως θα δούµε, οι µιγαδικοί αριθµοί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 2003

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 2003 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ο Θέµα Α. α) Έστω η συνάρτηση στο κάθε f δ) R τις τιµές του γ) Αν η συνάρτηση παραγωγίσιµη σε αυτό. Τότε ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις. Μιχάλης Δρακόπουλος

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις. Μιχάλης Δρακόπουλος Μιχάλης Δρακόπουλος Σημειώσεις Τμ. Χημείας Α.Ε. 2016 2017 Περιεχόμενα 1 Βασικές έννοιες 3 1.1 Η εκθετική συνάρτηση............................... 3 1.2 Παράγωγος συνάρτησης..............................

Διαβάστε περισσότερα

l 1 p r i = ρ ij α j + w i j=1 ρ ij λ α j j p w i p α j = 1, α j 0, j = 1,..., p j=1 R B B B m j [ρ 1j, ρ 2j,..., ρ Bj ] T = }{{} α + [,,..., ] R B p p α [α 1,..., α p ] [w 1,..., w p ] M m 1 m 2,

Διαβάστε περισσότερα

I = 1. cos z. dz = = 1 z 2 cos z + 2z sin z + 2 cos z 2. z(z π) 3 dz. f(re iθ. f(z)

I = 1. cos z. dz = = 1 z 2 cos z + 2z sin z + 2 cos z 2. z(z π) 3 dz. f(re iθ. f(z) ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ η Σειρά Ασκήσεων στη Μιγαδική Ανάλυση. Χρησιμοποιώντας τους ολοκληρωτικούς τύπους Cauchy υπολογίστε το ολοκλήρωμα I = πi z(z π) 3 dz,

Διαβάστε περισσότερα

m i N 1 F i = j i F ij + F x

m i N 1 F i = j i F ij + F x N m i i = 1,..., N m i Fi x N 1 F ij, j = 1, 2,... i 1, i + 1,..., N m i F i = j i F ij + F x i mi Fi j Fj i mj O P i = F i = j i F ij + F x i, i = 1,..., N P = i F i = N F ij + i j i N i F x i, i = 1,...,

Διαβάστε περισσότερα

Bessel functions. ν + 1 ; 1 = 0 for k = 0, 1, 2,..., n 1. Γ( n + k + 1) = ( 1) n J n (z). Γ(n + k + 1) k!

Bessel functions. ν + 1 ; 1 = 0 for k = 0, 1, 2,..., n 1. Γ( n + k + 1) = ( 1) n J n (z). Γ(n + k + 1) k! Bessel functions The Bessel function J ν (z of the first kind of order ν is defined by J ν (z ( (z/ν ν Γ(ν + F ν + ; z 4 ( k k ( Γ(ν + k + k! For ν this is a solution of the Bessel differential equation

Διαβάστε περισσότερα

= 2 (α z)(ˆα z) = z. [z k ]a(z) = ak [βkz k ]a(z) = β 1 ,... f0 = 0, f1 = 1, fk = fk 1 + fk 2, k 2. 5a(z) a(z) = k 0. 1 z k = k 0.

= 2 (α z)(ˆα z) = z. [z k ]a(z) = ak [βkz k ]a(z) = β 1 ,... f0 = 0, f1 = 1, fk = fk 1 + fk 2, k 2. 5a(z) a(z) = k 0. 1 z k = k 0. - / C @AB? / LG BKI F / I G E / C? O C / M Q C? TU/VWG O S C [ C VXYCZ X T? C @AK BK V? K? @A ] \ V G C? G O??? C @A^ B V ] \ ' & $ " $ ' + ' &! $ & ' *& $ # $ # MG log X X T/ K V B @ Q 'XG [ B [ @ -!

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 0: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ # Μετασχηματισμός Laplace και ΓΧΑ Συστήματα Συνάρτηση μεταφοράς αιτιατών και ευσταθών συστημάτων Συστήματα που περιγράφονται από ΔΕ Διαγράμματα Μπλοκ Μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

(1) P(Ω) = 1. i=1 A i) = i=1 P(A i)

(1) P(Ω) = 1. i=1 A i) = i=1 P(A i) Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά Το συνεχές μοντέλο συνεχούς χρόνου Σ. Ξανθόπουλος Παν. Αιγαίου Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 1 / Σύνοψη 1 Προκαταρκτικά 2 Διαδικασία Wiener ή Κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑ (Σεπτέμβριος 2008)

ΠΡΟΒΛΗΜΑ (Σεπτέμβριος 2008) ΠΡΟΒΛΗΜΑ (Σεπτέμβριος 008) Για τον Γεωμετρικό Τόπο των Ριζών της συνάρτησης μεταφοράς as + s + 9 G(s) s(s 5)(s + b) με Κ>0 δίδεται ότι η τομή των ασυμπτώτων είναι το σημείο σ -(0+Ν 0 ) όπου Ν 0 το τελευταίο

Διαβάστε περισσότερα

L A TEX 2ε. mathematica 5.2

L A TEX 2ε. mathematica 5.2 Διδασκων: Τσαπογας Γεωργιος Διαφορικη Γεωμετρια Προχειρες Σημειωσεις Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών Σάμος Εαρινό Εξάμηνο 2005 στοιχεοθεσια : Ξενιτιδης Κλεανθης L A TEX 2ε σχεδια : Dia mathematica

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά ϑέµατα στους Μιγαδικούς Αριθµούς

Επαναληπτικά ϑέµατα στους Μιγαδικούς Αριθµούς Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Επαναληπτικά ϑέµατα στους Μιγαδικούς Αριθµούς ιδάσκων : Αντώνης Λουτράρης Μαθηµατικός M.S.c Αύγουστος, 2012 Σελίδα 1 Ο συντοµότερος δρόµος ανάµεσα

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα : + +

Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα : + + Μετασχηματισμός aplace ορίζεται ως εξής : t X() [x( t)] xte () dt = = Ο αντίστροφος μετασχηματισμός aplace ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα : t x(t) = [ X()] = X() e dt π j c C είναι μία καμπύλη που

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ

ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ ΘΔΜΑ Α A Να απνδείμεηε όηη αλ νη ζπλαξηήζεηο f, g είλαη ζπλερείο ζε έλα δηάζηεκα Δ θαη f () g () γηα θάζε εζωηεξηθό ζεκείν ηνπ Δ, ηόηε ππάξρεη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

). = + U = -U U= mgy (y= H) =0 = mgh. y=0 = U=0

). = + U = -U U= mgy (y= H) =0 = mgh. y=0 = U=0 3761 5226 9585 ). = + U = -U U= mgy (y= H) =0 = mgh. y=0 = U=0 y = mgh mgy, 3761 5226 ) ) =mg 2 F=ma F-B=ma Fmg=m.2g F=3mg F=3B B = F/3 3763 5208 ) ) W 1 = -mgh W 2 =mgh W = W 1 + W 2 = -mgh + mgh=0 3763

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Β Πρόχειρες σημειώσεις

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Β Πρόχειρες σημειώσεις ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Β Μιγαδική ανάλυση Μέρος Β Πρόχειρες σημειώσεις Παράγωγος συνάρτησης μιγαδικής μεταβλητής Πριν ορίσουμε την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης f(z) θα σταθούμε

Διαβάστε περισσότερα

Σημείωση. Δημήτρης Φουσκάκης Λέκτορας ΕΜΠ

Σημείωση. Δημήτρης Φουσκάκης Λέκτορας ΕΜΠ Σημείωση Οι σημειώσεις αυτές περιλαμβάνουν λύσεις ασκήσεων Πιθανοτήτων και συγκροτήθηκαν εν όψει των αναγκών των σπουδαστών ΣΕΜΦΕ στo μαθήματα Πιθανότητες του ου εξαμήνου από τον διδάσκοντα Δ Φουσκάκη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o A. Έστω f µια συνεχής συνάρτηση σ' ένα διάστηµα [α, ]. Αν G είναι µια παράγουσα της f στο [α, ], τότε να δείξετε ότι f(t)

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Ανάλυση και Προσοµοίωση Δυναµικών Συστηµάτων

Εισαγωγή στην Ανάλυση και Προσοµοίωση Δυναµικών Συστηµάτων Εισαγωγή στην Ανάλυση και Προσοµοίωση Δυναµικών Συστηµάτων Control Systems Laboratory Περιγραφή Δυναµικών Συστηµάτων Εξίσωση µεταβολής όγκου Η µεταβολή όγκου ισούται µε τη παροχή υγρού Q που σχετίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικά πολυώνυμα

Τριγωνομετρικά πολυώνυμα Κεφάλαιο Τριγωνομετρικά πολυώνυμα Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Zygmund, Katznelson 4 και Stein and Shakarchi.. Μερικά βασικά περί μιγαδικών αριθμών Υποθέτουμε ως γνωστές

Διαβάστε περισσότερα

σ (9) = i + j + 3 k, σ (9) = 1 6 k.

σ (9) = i + j + 3 k, σ (9) = 1 6 k. Ασκήσεις από το Διανυσματικός Λογισμός των Marsden - romba και από το alculus του Apostol. 1. Βρείτε τα διανύσματα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης και την εξίσωση της εφαπτομένης για κάθε μία από τις

Διαβάστε περισσότερα

(x y) = (X = x Y = y) = (Y = y) (x y) = f X,Y (x, y) x f X

(x y) = (X = x Y = y) = (Y = y) (x y) = f X,Y (x, y) x f X X, Y f X,Y x, y X x, Y y f X Y x y X x Y y X x, Y y Y y f X,Y x, y f Y y f X Y x y x y X Y f X,Y x, y f X Y x y f X,Y x, y f Y y x y X : Ω R Y : Ω E X < y Y Y y 0 X Y y x R x f X Y x y gy X Y gy gy : Ω

Διαβάστε περισσότερα

t : (x, y) x 2 +y 2 y x

t : (x, y) x 2 +y 2 y x Σύνοψη Κεφαλαίου 5: Αντιστροφική Γεωμετρία Αντιστροφή 1. Η ανάκλαση σε μία ευθεία l στο επίπεδο απεικονίζει ένα σημείο A σε ένα σημείο A που απέχει ίση απόσταση από την l αλλά βρίσκεται στην άλλη πλευρά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Α2. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Βolzano. Μονάδες 5

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Α2. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Βolzano. Μονάδες 5 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΡΙΤΗ 0 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 03 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Μαθηµατικών Μεθόδων Φυσικής Ι

Ασκήσεις Μαθηµατικών Μεθόδων Φυσικής Ι .. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ασκήσεις Μαθηµατικών Μεθόδων Φυσικής Ι Κατά τη λύση των ασκήσεων επάνω στους µιγαδικούς αριθµούς είναι χρήσιµο να έχουµε υπόψη ότι ένας µιγαδικός αριθµός µπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Ο πίνακας Hilbert σε χώρους Hardy και Bergman

Ο πίνακας Hilbert σε χώρους Hardy και Bergman ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ο ίνακας Hilbert σε χώρους Hardy και Bergman Βασίλης ασκαλογιάννης Τριµελής Εξεταστική Ειτροή : Καθηγητής Α. Συσκάκης ειβλέων

Διαβάστε περισσότερα

(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x

(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x ΕΥΓΕΝΙΑ Ν. ΠΕΤΡΟΠΟΥΛΟΥ ΕΠΙΚ. ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙΙ» ΠΑΤΡΑ 2015 1 Ασκήσεις 1η ομάδα ασκήσεων 1. Να χαρακτηρισθούν πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

1ος Θερμοδυναμικός Νόμος

1ος Θερμοδυναμικός Νόμος ος Θερμοδυναμικός Νόμος Έργο-Έργο ογκομεταβολής Αδιαβατικό Έργο Εσωτερική ενέργεια, U Πρώτος Θερμοδυναμικός Νόμος Θερμότητα Ολική Ενέργεια Ενθαλπία Θερμοχωρητικότητα Διεργασίες Ιδανικών Αερίων ΕΡΓΟ Κεφάλαιο3,

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Επικοινωνιών Ι

Συστήματα Επικοινωνιών Ι + Διδάσκων: Δρ. Κ. Δεμέστιχας e-mail: cdemestichas@uowm.gr Συστήματα Επικοινωνιών Ι Αναπαράσταση Σημάτων και Συστημάτων στο πεδίο της συχνότητας + Περιεχόμενα n Εισαγωγή n Ανάλυση Fourier n Μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

A :H. S B(H) unilateral shift : Se n = e n+1, n Z + και U B(K) bilateral shift : Ue n = e n+1, n Z. X 0 0 S Y S. U m = B = D A.

A :H. S B(H) unilateral shift : Se n = e n+1, n Z + και U B(K) bilateral shift : Ue n = e n+1, n Z. X 0 0 S Y S. U m = B = D A. Διαστολές Τελεστών 1 Εισαγωγή Αν H είναι 1 κλειστός υπόχωρος χώρου Hilbert K, κάθε B B(K) ορίζει έναν A B(H) ως εξής: A :H B K P H x Bx P Bx όπου P B(K) η ορθή προβολή στον H. Δηλαδή A = P B H ή AP = P

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική και υπολογιστική μοντελοποίηση βιολογικών συστημάτων και εφαρμογές Μέρος Ι: Εισαγωγή στη Στοχαστική Ανάλυση Βακερουδης Σταυρος E-mail: stavros.vakeroudis@gmail.com Ιστοσελίδα: https://svakeroudis.wordpress.com/

Διαβάστε περισσότερα

( [T]. , s 1 a as 1 [T] (derived category) Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter 4. [I] XI ). Gelfand Manin [GM1]

( [T]. , s 1 a as 1 [T] (derived category) Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter 4. [I] XI ). Gelfand Manin [GM1] 1 ( ) 2007 02 16 (2006 5 19 ) 1 1 11 1 12 2 13 Ore 8 14 9 2 (2007 2 16 ) 10 1 11 ( ) ( [T] 131),, s 1 a as 1 [T] 15 (, D ), Lie, (derived category), ( ) [T] Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 D (, ) :9 0, 4 0 (, ) :

Διαβάστε περισσότερα

k k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)

Διαβάστε περισσότερα

Υπεραγωγιμότητα. Βασικά Φαινόμενα: Ηλεκτροδυναμική: Επιφανειακή Ενέργεια: Κβαντικά Φαινόμενα: Μικροσκοπική Θεωρία :

Υπεραγωγιμότητα. Βασικά Φαινόμενα: Ηλεκτροδυναμική: Επιφανειακή Ενέργεια: Κβαντικά Φαινόμενα: Μικροσκοπική Θεωρία : Βασικά Φαινόμενα: Ηλεκτροδυναμική: Επιφανειακή Ενέργεια: Κβαντικά Φαινόμενα: Μικροσκοπική Θεωρία : Υπεραγωγιμότητα Μηδενική Αντίσταση Missn, Κρίσιμο Πεδίο, Θερμοδυναμική Κρίσιμο Ρεύμα Εξισώσεις London,

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας ρυθμίσεων στο χώρο εγκατάστασης

Πίνακας ρυθμίσεων στο χώρο εγκατάστασης 1/8 Κατάλληλες εσωτερικές μονάδες *HVZ4S18CB3V *HVZ8S18CB3V *HVZ16S18CB3V Σημειώσεις (*5) *4/8* 4P41673-1 - 215.4 2/8 Ρυθμίσεις χρήστη Προκαθορισμένες τιμές Θερμοκρασία χώρου 7.4.1.1 Άνεση (θέρμανση) R/W

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ IOYNIOY 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

+ 1 n 5 (η) {( 1) n + 1 m

+ 1 n 5 (η) {( 1) n + 1 m Κεφάλαιο Τοπολογία του. Στοιχεία Θεωρίας Ορισµός Αν α και ɛ > ονοµάζουµε ɛ-περιοχή του α ή περιοχή κέντρου α και ακτίνας ɛ και συµβολίζουµε N α (ɛ) το σύνολο όλων των αριθµών που έχουν απόσταση από το

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές Δυναμική Μηχανών I Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις 5 3 Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

Συμπληρωματικά, διαβάστε όλο το Κεφάλαιο 2 των Μαθηματικών Θετικής Κατεύθυνσης της 3ης Λυκείου

Συμπληρωματικά, διαβάστε όλο το Κεφάλαιο 2 των Μαθηματικών Θετικής Κατεύθυνσης της 3ης Λυκείου Κεφάλαιο 2 Μιγαδικοί Αριθμοί Συμπληρωματικά, διαβάστε όλο το Κεφάλαιο 2 των Μαθηματικών Θετικής Κατεύθυνσης της 3ης Λυκείου Τα στοιχεία του συνόλου των μιγαδικών αριθμών είναι εκφράσεις της μορφής a+ib

Διαβάστε περισσότερα

= 1-3 i, να γράψετε στο τετράδιό σας τους αριθμούς της Στήλης Α και δίπλα σε κάθε αριθμό το γράμμα της Στήλης Β έτσι, ώστε να προκύπτει ισότητα.

= 1-3 i, να γράψετε στο τετράδιό σας τους αριθμούς της Στήλης Α και δίπλα σε κάθε αριθμό το γράμμα της Στήλης Β έτσι, ώστε να προκύπτει ισότητα. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ ΙΟΥΝΙΟΥ 1 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ 1o A.1. Δίνονται

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα 2 Μαθηματικές Μέθοδοι Ανάλυσης Γραμμικών Συστημάτων Αυτόματης Ρύθμισης j ω α j ω j ω

Περιεχόμενα 2 Μαθηματικές Μέθοδοι Ανάλυσης Γραμμικών Συστημάτων Αυτόματης Ρύθμισης j ω α j ω j ω Περιεχόμενα 2 Μαθηματικές Μέθοδοι Ανάλυσης Γραμμικών Συστημάτων Αυτόματης Ρύθμισης 2. Ο μετασχηματισμός Laplace......................... 2.. Εισαγωγή............................... 2..2 Θεμελιώδεις κανόνες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση ΙI

Μαθηματική Ανάλυση ΙI Π Δ Μ Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση ΙI Δρ. Θεόδωρος Ζυγκιρίδης 25 Μαΐου 211 2 Περιεχόμενα 1 Ο χώρος R n 1 1.1 Ο Ευκλείδιος n-χώρος..................................

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. x + 5= 6 (1) και. x = 1, οπότε η (2) γίνεται 1 5x + 1= 7 x = 1 ΘΕΜΑ Β. Άσκηση 1. Να βρείτε τον αριθμό x R όταν. Λύση.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. x + 5= 6 (1) και. x = 1, οπότε η (2) γίνεται 1 5x + 1= 7 x = 1 ΘΕΜΑ Β. Άσκηση 1. Να βρείτε τον αριθμό x R όταν. Λύση. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 25 Οκτωβρίου Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ορίζουμε μια σχέση R R R ως εξής:

Α Δ Ι. Παρασκευή 25 Οκτωβρίου Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ορίζουμε μια σχέση R R R ως εξής: Α Δ Ι Α - Φ 1 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 25 Οκτωβρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Κλείνει με τις λύσεις όλων των θεμάτων του Μαίου

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Κλείνει με τις λύσεις όλων των θεμάτων του Μαίου ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το παρόν τεύχος δημιουργήθηκε για να διευκολύνει τους μαθητές στην ΆΜΕΣΗ κατανόηση των απαιτήσεων των πανελληνίων εξετάσεων δίνοντας τους τα θέματα των 4 χρόνων των κανονικών εξετάσεων του Μαίου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΨΗ 1 ου Μαθήματος

ΣΥΝΟΨΗ 1 ου Μαθήματος Ενημέρωση Η διδασκαλία του μαθήματος, πολλά από τα σχήματα και όλες οι ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: «Πανεπιστημιακή Φυσική» του Hugh Young των Εκδόσεων Παπαζήση, οι οποίες μας επέτρεψαν τη χρήση

Διαβάστε περισσότερα

!"! #!"!!$ #$! %!"&' & (%!' #!% #" *! *$' *.!! )#/'.0! )#/.*!$,)# * % $ %!!#!!%#'!)$! #,# #!%# ##& )$&# 11!!#2!

!! #!!!$ #$! %!&' & (%!' #!% # *! *$' *.!! )#/'.0! )#/.*!$,)# * % $ %!!#!!%#'!)$! #,# #!%# ##& )$&# 11!!#2! # $ #$ % (% # )*%%# )# )$ % # * *$ * #,##%#)#% *-. )#/###%. )#/.0 )#/.* $,)# )#/ * % $ % # %# )$ #,# # %# ## )$# 11 #2 #**##%% $#%34 5 # %## * 6 7(%#)%%%, #, # ## # *% #$# 8# )####, 7 9%%# 0 * #,, :;

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Μετασχηματισμός Laplace 1. Ο μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

(απεικονίζεται µόνο η µία κεφαλή)

(απεικονίζεται µόνο η µία κεφαλή) ιπλό δισκοπρίονο DG 79/4,5 m + Ε 111 ίσκος Φ 380 mm Μήκος κοπής 4500 mm Ρύθµιση κοπής (περιστροφή βάσης) 45-90 -45 και ενδιάµεσες µοίρες Μπλοκάρισµα στις 15, 22,5, 30 και 45 Υδροπνευµατική πτώση δίσκων

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση ΙI

Μαθηματική Ανάλυση ΙI Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση ΙI Ενότητα 6: Παράγωγος κατά κατεύθυνση, κλίση, εφαπτόμενα επίπεδα Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτησιακή Ανάλυση, εαρινό εξάμηνο Έκτο φυλλάδιο ασκήσεων. Παραδώστε τις ασκήσεις 1, 3, 4, 8 και 10 μέχρι το μάθημα της Παρασκευής 24/3.

Συναρτησιακή Ανάλυση, εαρινό εξάμηνο Έκτο φυλλάδιο ασκήσεων. Παραδώστε τις ασκήσεις 1, 3, 4, 8 και 10 μέχρι το μάθημα της Παρασκευής 24/3. Συναρτησιακή Ανάλυση, εαρινό εξάμηνο 2016-17. Έκτο φυλλάδιο ασκήσεων. Παραδώστε τις ασκήσεις 1, 3, 4, 8 και 10 μέχρι το μάθημα της Παρασκευής 24/3. 1. Αν ο X είναι χώρος Bnch, αποδείξτε ότι ο X είναι αυτοπαθής

Διαβάστε περισσότερα

4 4 2 = 3 2 = = 1 2

4 4 2 = 3 2 = = 1 2 Πιθανότητες και Τυχαία Σήματα Μάθημα 3 ΑΣΚΗΣΗ Εστω ότι έχουμε δύο νομίσματα. Στο νόμισμα A η πιθανότητα να έρθει κεφαλή είναι. Στο νόμισμα B 4 3 η πιθανότητα να έρθει κεφαλή είναι. Δεν είστε σίγουροι ποιο

Διαβάστε περισσότερα

Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence MRI in Multiple Sclerosis

Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence MRI in Multiple Sclerosis Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence MRI in Multiple Sclerosis Daniel García-Lorenzo To cite this version: Daniel García-Lorenzo. Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 3, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Ανάλυση Επικοινωνιακών Σημάτων κατά Fourier

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 3, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Ανάλυση Επικοινωνιακών Σημάτων κατά Fourier ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 3, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Ανάλυση Επικοινωνιακών Σημάτων κατά Fourier 2.2: Μετασχηματισμός Fourier (Fourier Transform, FT) 2.3: Ιδιότητες του

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες Νίκος Ν. Αρπατζάνης Παράγωγος ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ y y = f(x) x φ y y y = f(x) x φ y y y = f(x) φ x 1 x 1 + х x x 1 x 1 + х x x 1 x tanϕ = y x tanϕ = dy dx

Διαβάστε περισσότερα

x[n]e X(z) = x[n]z n

x[n]e X(z) = x[n]z n Πανεπιστημιο Κυπρου Τμημα Ηλεκτρολογων Μηχανικων και Μηχανικων Υπολογιστων ΗΜΥ 30: Σηματα και Συστηματα ΙΙ Κεφάλαιο 6: Μετασχηματισμοί!"#!"#! "#$% Σημειώσεις διαλέξεων στο: http://www.eng.ucy.ac.cy/chadcha/

Διαβάστε περισσότερα

- - - - RWC( %) PF PS = 100 PT PS (%) PF PS = 100 PF WC TW BW FW PF PS PS PD PS PS TW BW = = = C 7.12 A A 660 + 16. 8 = 642.5 µ logn = log N0 + a exp(

Διαβάστε περισσότερα

Erkki Mäkinen ja Timo Poranen Algoritmit

Erkki Mäkinen ja Timo Poranen Algoritmit rkki Mäkinen ja Timo Poranen Algoritmit TITOJNKÄSITTLYTITIDN LAITOS TAMPRN YLIOPISTO D 2008 6 TAMPR 2009 TAMPRN YLIOPISTO TITOJNKÄSITTLYTITIDN LAITOS JULKAISUSARJA D VRKKOJULKAISUT D 2008 6, TOUKOKUU 2009

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών. Διδάσκων: Αντώνιος Τζές

Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών. Διδάσκων: Αντώνιος Τζές Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τομέας Συστημάτων και Αυτομάτου Ελέγχου ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Διδάσκων: Αντώνιος Τζές Πάτρα 2008 Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟ ΕΛΕΓΧΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Τρύφων Κουσιουρής

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟ ΕΛΕΓΧΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Τρύφων Κουσιουρής ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟ ΕΛΕΓΧΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Τρύφων Κουσιουρής Ακ. Έτος 005-006 ΠΡΟΒΛΗΜΑ ίδονται τα συστήµατα Σ, Σ µε συναρτήσεις µεταφοράς s+ -s+ G (s)= G (s)= s +s+ s +s+ α) Να προσδιοριστεί η βηµατική απόκριση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΠΟ ΤΟΥΣ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ κύριο ΦΟΥΝΤΟΥΛΑΚΗ ΜΑΝΩΛΗ κυρία ΦΟΥΝΤΟΥΛΑΚΗ ΑΓΓΕΛΙΚΗ του ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Μαγνητικά Υλικά Υπεραγωγοί

Μαγνητικά Υλικά Υπεραγωγοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαγνητικά Υλικά Υπεραγωγοί ΥΠΕΡΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑ Διδάσκων: Καθηγητής Ιωάννης Παναγιωτόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ, ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ, ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ, ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ, ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ, ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ, ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 5. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Στα προηγούμενα κεφάλαια παρουσιάσαμε την έννοια της συνάρτησης συστήματος για αναλογικά

Διαβάστε περισσότερα

k k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)

Διαβάστε περισσότερα

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2014

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2014 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μια συνάρτηση f: Α R η οποία είναι. Να γράψετε τον ορισμό της αντίστροφης συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

&,'-- #-" > #'$,"/'3&)##3!0'0#!0#/# 0'0';&'"$8 ''#"&$'!&0-##-""#;-# B

&,'-- #- > #'$,/'3&)##3!0'0#!0#/# 0'0';&'$8 ''#&$'!&0-##-#;-# B !"#"# $%"&$' ('#')#''$# * +,-""&$'.-,-"#!&"!##/'#')#''$# ** '$#/0'!0#'&!0"#"/#0"## * 1--'/''00#&'232232223#24 *5 ##-'"-&1-$6'#76#!$#0"$8&9-1$" * '$#&$'!&&1:"-#;6"/'-#

Διαβάστε περισσότερα

Παράγωγος Συνάρτησης. Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) = lim.

Παράγωγος Συνάρτησης. Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) = lim. Παράγωγος Συνάρτησης Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) x ξ g(x, ξ), g(x, ξ) f(x) f(ξ) x ξ Ορισμός Cauchy: ɛ > 0 δ(ɛ, ξ) > 0 x x ξ

Διαβάστε περισσότερα