Dissertation for the degree philosophiae doctor (PhD) at the University of Bergen

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Dissertation for the degree philosophiae doctor (PhD) at the University of Bergen"

Transcript

1 Dissertation for the degree philosophiae doctor (PhD) at the University of Bergen Dissertation date:

2

3

4

5

6

7 GF F GF F SLE GF F

8

9

10

11 D Ĉ = C { } Ĉ \ D D D = {z : z < 1} f : D D D D = D D, D = D D f f : D D D f P (D) D ˆD = D P (D) ˆD f : D D ˆf : D ˆD ˆD D D ˆD D Ĉ a D, b 1,b 2, b 3 P (D)

12 f : D D, ˆf : ˆD ˆD. f ˆf(0) = a ˆf (0) > 0, ˆf(0) = a ˆf(1) = b1, ˆf( i) =b1, ˆf(1) = b2, ˆf(i) =b 3 Hol(D, D) D Aut(D) Hol(D, D) D {g t } t 0 Hol(D, D) D D g 0 =id D, g t+s = g t g s, s, t 0 lim t 0 + g t (z) =z z D g t D z D t g t (z) t [0, + ) g t Aut(D) t 0, {g t } t 0 {g t } t 0 V : D C, {g t } t R g t := g 1 t t g t(z) =V (g t (z)), g 0 (z) =z, t 0, z D. V {g t } t 0

13 V (z) V (z) =V (0) zq(z) V (0) z 2, q(z) Re q(z) 0 V (z) q(z) =ib, b R φ Hol(D, D) φ id D τ D φ τ D lim z τ φ(z) =τ α = φ(z) τ lim z τ z τ 0 <α 1 0 <α<1 φ α =1 φ τ φ {g t } t 0 g 0 =id D τ τ {g t } t 0 V (z) τ D p : D C Re p 0 V (z) =(z τ)( τ z 1) p(z), z D. V (z) 0 τ {g t } t 0 p(z) τ V (z) g t (z) τ D t + {g t } t 0 D D D f : D 1 D 2 {g 1 t } t 0 D 1 {g 2 t } t 0 = {φ g 1 t φ 1 } t 0 D 2 V 1 V 2 {g 1 t } t 0 {g 2 t } t 0 V 1 V 2 φ V 2 V 1 φ V 2 = φ V 1 φ V 1 (z) = 1 φ 1 (z) V 1(φ 1 (z)).

14 f C 1 D z = x + iy f = f z = 1 ( 2 x i ) f, y f = f z = 1 ( 2 x + i ) f. y V D V f C 1 (D, C) f ( V + V ) f. L V L V = V + V. L V f V L V f f V ; L V f = LV f, L V Re f = ReL V f L V Im f = Im L V f L V ( f) = L V f, L V ( f) = L V f V D C n f : C n C z =(z 1,...,z n ) = ( ) z 1,..., z n = ( ) z 1,..., z n V (z) =(V1 (z),...,v n (z)) f V L V f(z) = ( V (z) + V (z) ) f(z). X t {F t } t 0 B t T>0 X t

15 B t [0,T] T 0 X t db t := lim n Δt 0 j=1 X tj 1 ( Btj B tj 1 ), 0=t 0 <t 1 <...<t n = T Δt := max j=1,..., n (t j t j 1 ) T 0 X t db t := lim n Δt 0 j=1 X t j 1 +t j 2 ( Btj B tj 1 ). T>0 T 0 X s db s t 0 X s db s Y t {F t } t 0 ( ) t P Y t = X s db s =1 t 0. 0 t 0 X s db s E ( T0 Xs 2 ds ) < T>0 t 0 X s db s P ( T0 Xs 2 ds < ) =1 Y t {F} t 0 M t M t = M 0 + t 0 X s db s F t X t X t Y t X T,Y T = X, Y T := lim n Δt 0 j=1 (X tj X tj 1 )(Y tj Y tj 1 ) 0 = t 0 < t 1 <... < t n = T Δt := max j=1,..., n (t j t j 1 ) X t Y t X t (ω) = Y t (ω) = t t b 1(ω, s) ds + σ 1(ω, s) db s (ω), 0 0 t t b 2(ω, s) ds + σ 2(ω, s) db s (ω), 0 0

16 b j (ω, t) σ j (ω, t) j =1, 2 F t ( ) ( T ) T P b j(ω, s) ds < =1, P σ j(ω, s) 2 ds =1, 0 0 T > 0 j =1, 2 X, Y t (ω) = t 0 σ 1(ω, s) σ 2 (ω, s) ds. T 0 X t db t = T 0 X t db t X, B T. w t = X 1 t + ix 2 t X 1 t X 2 t f : C C w t t f(w t )=f(w 0 )+ f(w s) dw s + 0 t f(w s ) d w s t + f(w s ) d w, w s, 0 t 0 t 0 f(w s ) d w s 2 f(w s ) d w s df (w t )= f(w t ) dw t + f(w t ) d w t f(w t ) d w t f(w t ) d w t + f(w t ) d w, w t. w t t n t w t = w 0 + b(w s) ds + σ k(w s ) dbs k, 0 0 b σ n B 1 t,...,b n t k=1 dw t = b(w t ) dt + n k=1 σ k (w t ) db k t.

17 dw t = b(w t )+ 1 2 n k=1 σ k (w t ) σ k(w t ) dt + w t = w 0 + t 0 b(w s )+ 1 2 n k=1 n k=1 σ k (w s ) σ k(w s ) ds + σ k (w t ) db k t, n t k=1 0 σ k(w s ) db k s. f : C C f(w t ) df (w t )=L b f(w t ) dt + = L b n k=1 n L 2 σ k k=1 L σk f(w t ) db k t f(w t ) dt + n k=1 L σk f(w t ) db k t. w t C n f C 2 n b : C n C σ k : C n C {g t } t 0 t g t(z) =V (g t (z)), g 0 (z) =z, t g t ( ) D V D g t Hol(D, D) t 0 z D w t (z) w 0 = z {w t } t 0 dw t (z) =b(w t (z),t) dt + n k=1 σ k (w t (z),t) dbt k, w 0 (z) =z, z D. σ k (w) w σ k(w) f t(z) z f t(z)

18 b(z,t), σ 1 (z,t),...σ n (z,t) C 2 z C 1 t T (z) w t (z) w t (z) =z T (z) D t t>0 D t = {z D : T (z) >t} D s D t s t R t D t w t R t := w t (D t ) w t : D t R t t 0 1 b(z,t) C 1 t>0 C d z D σ 1 (z,t),...,σ n (z,t) C 1 t C d+1 z w t : D t R t C d t 0 1 b(z,t), σ 1 (z,t),...σ n (z,t) C 1 t>0 C z D w t (z) :D t R t C t 0 1 b(z,t), σ 1 (z,t),...σ n (z,t) C 1 t>0 z D w t (z) :D t R t t 0 1 w t (z) dw t (z) =b(w t (z)) dt + n k=1 σ k (w t (z)) dbt k, w 0 (z) =z, z D, b(z) σ 1 (z),...,σ n (z) C w t (z) D t 0 g w t (z) dw t (z) =b(w t (z),t) dt + n k=1 σ k (w t (z),t) dbt k, w 0 (z) =z, z D,

19 d w t (z) = b( w t (z),t) dt + n k=1 σ k ( w t (z),t) dbt k, w 0 (z) =z, z D, T (z), T (z) {ζ t } t 0 ζ t := w t w t U(z) := min[inf{t >0:w t (z) D t },T(z)] D t = {z D : T (z) >t} dζ t (z) = [ b(ζt (z),t)+ w t b(ζ t (z),t) ] dt + n k=1 [ σ k (ζ t (z),t)+ w t σ k (ζ t (z),t)] db k t, {η t } t 0,η t = wt 1 dη t (z) = (η t b)(η t (z),t) dt = η t (z) b(z,t) dt n k=1 n k=0 (η t σ k )(η t (z),t) db k t η t (z) σ k (z,t) db k t, SLE κ SLE(κ, ρ)

20 t t H = {z :Imz>0} S = {z :0< Im z<1} d [1, + ] {φ s,t } 0 s t<+ φ s,s = id D φ s,t = φ u,t φ s,u 0 s u t<+ z D T > 0 k z,t L d ([0,T], R), φ s,u (z) φ s,t (z) 0 s u t T. t u k z,t(ξ)dξ

21 z D φ s,t (z) t [s, + ) d [1, + ] V : D [0, + ) C [0, + ) t V (z,t) z D z V (z,t) t [0, + ) K D T > 0 k K,T L d ([0,T], R), V (z,t) k K,T (z) z K t [0,T] t [0, + ) V (,t) {φ s,t } d 1 V (z,t) d, z D t [0, + ) t φ s,t(z) =V (φ s,t (z),t). V (z,t) d 1 {φ s,t } 0 s t<+ d H(z,t) H(z,t) =V (z,t) z D t [0, + ) {f t } 0 t< f t : D C d [1, + ] f t f s (D) f t (D) 0 s<t<+, K D T>0 k K,T L d ([0,T], R) f s (z) f t (z) k K,T (ξ)dξ s z K 0 s t T. t

22 f t (D) t {f t } t 0 d {φ s,t } d φ s,t = f 1 t f s. {φ s,t } 0 s t<+ d {f t } t 0 d, φ s,t = ft 1 f s 0 s t f(0) = 0 f (0) = 1 Ω:= t 0 f t (D) {z : z < R} R (0, + ]. {g t } t 0 = {F f t } t 0, F :Ω C R 1/β 0, φ β 0 = lim 0,t(0) t + 1 φ 0,t (z) 2. {f t } t 0 d s f s(z) = V (z,s)f s(z) ( s 0), V (z,s) {φ s,t } 0 s t<+. V (,t) t 0 p t d [1, + ) p : D [0, + ) C, t p(z,t) L d loc([0, + ), C) z D z p(z,t) D t [0, + )

23 Re p(z,t) 0 z D t [0, + ) V (z,t) d 1 t V (,t) 0 τ :[0, + ) D p(z,t) d, z D t [0, + ) V (z,t) =(z τ(t)) (τ(t) z 1) p(z,t). τ :[0, + ) D p(z,t) d 1, d {φ s,t } V (z,t) (p, τ) V (z,t) {φ s,t } 0 s t<+ τ(t) V (z,t) {φ s,t } 0 s t<+ d [1, + ] {φ s,t } 0 s t<+ Hol(D, D) d φ s,s =id D φ s,t = φ s,u φ u,t 0 s u t< z D T > 0 k z,t L 2 ([0,T], R) φ s,u (z) φ s,t (z) k z,t(ξ) dξ, u s, t, u [0,T] s u t d [1, + ] {f t } t 0 Hol(D, D) d t

24 f t : D D f 0 =id D, f s (D) f t (D) 0 s<t<+ K D T > 0 k K,T L d ([0,T], R) f s (z) f t (z) k K,T (ξ)dξ s z K 0 s t T {f t } t 0 t φ s,t (z) =f 1 s f t, 0 s t<. {φ s,t } 0 s t<+ f t (z) :=φ 0,t V d [1, + ] z D, g t (z) D t g t(z) = V (g t (z),t), g 0 (z) =z. t 0, D t z D, g t (z) t, g t (z) z D t D t D f t := gt 1 d t f t(z) =f t(z) V (z,t), f 0 =id D. D t = g 1 t (D) =f t (D) t K t = D \ D t t {D t } t 0 {K t } t 0 0 s t< D s D t K s K t

25 τ(t) τ 0 τ 0 D τ 0 =0 p(0,t) 1 p(z,t) V (z,t) = zp(z,t), p(z,t) p(0,t) 1. p(0,t) 1 φ s,t (z) =e s t z +..., z D, f t (z) =e t z +..., z D. f t (z) =e t z +..., z D. {φ s,t } 0 s t<+ {f t } t 0 lim t et φ 0,t (z) =f 0 (z) V (z,t) = z eiu(t) + z e iu(t), u(t). z

26 D C D C \ C D {f t } t 0 t f t(z) =z eiu(t) + z e iu(t) z f t(z) u(t) f t(0) = e t ɛ>0 δ>0 s, t 0 0 t s δ f t (D) ɛ 0 f t (D)\f s (D) {f t } t 0 f t(0) = e t Γ:[0, + ) C t 0 f t (D) C \ Γ[t, + ) 0 Γ {f t } t 0 u(t) u(t) f(0) = 0 f (0) = 1 S S f S f(z) =z + a 2 z 2 + a 3 z , z D. a n n S n =2 a 2 =2 f(z) =e iθ k(e iθ z) θ [0, 2π) k(z) k(z) = z (1 z) 2 = z +2z2 +3z , z D. n =3

27 n =4, 5 6 n a n = n f S n N f(z) =e iθ k(e iθ z) θ [0, 2π) f S f(d) =C \ Γ Γ Γ=(, 1/4] S f {f t } t 0 f(z) =f 0 (z) {f t } t 0 {φ s,t } 0 s t<+ lim t et φ 0,t (z) =f 0 (z). F : S C S S S n S n S u(t) S S τ(t) τ 0 τ 0 D

28 D τ 0 = 1 V (z,t) = (z +1) 2 p(z,t). H τ 0 D H z 2 i 1 z 1+z, ( ) 2i z V H (z,t) =4ip 2i + z,t = i p(z,t), p(z,t) :=4p ( 2i z 2i+z,t) z H t 0 Re p(z,t) 0 z H V H 1 (z,t) = u(t) z, u(t) t i p(z,t) = z u(t), 2 V H 2 (z,t) = u(t) z. t f 2 t(z) = f, t(z) u(t) f 0 (z) =z, z H, t f 1 t(z) = f 0 (z) =z, tanh[(f t(z) u(t))/2], z S,

29 u(t) :[0, + ) R S {z :0< Im z<π} { f t } t 0 f t = φ f t φ 1 φ : S D φ(z) :=i ez i e z + i. φ 0 1 i + i { f t } t 0 f t t (z) = V ( f t (z),t), f 0 (z) =z, z D V (z,t) = 1 2 (1 + z2 ) 1 iz+ eu(t) (z i) i + z e u(t) (1 + iz) < 1 V (z,t) = tanh[(z u(t))/2] φ V (i, t) = V ( i, t) = 0 t 0 ±i { f t } t 0 τ(t) = sech u(t)+i tanh u(t). u(t) u(t) {φ s,t } 0 s t<+ φ s,t (D) 0 s t<+ [0, ) C u(t) Lip(1/2) 1/2

30 u 1/2loc < 4 u 1/2loc := inf sup u(t) u(s). ɛ>0 t s <ɛ t s u(t) u(s) lim t s t s SLE κ u(t) = κb t B t κ>0 SLE κ t f t(z) =f t (z) ei κbt + f t (z) e i κb t ft (z), f 0(z) =z, z D, SLE κ t f 2 t(z) = f t (z), f 0 (z) =z, z H, κb t SLE κ t f 2 t(z) = tanh[(f t (z) κb t )/2], f 0(z) =z, z S. γ γ SLE κ SLE κ SLE κ SLE κ>0 SLE κ γ κ [0, 4] κ (4, 8) κ [8, ) SLE κ min (2, 1+κ/8)

31 SLE SLE SLE κ SLE κ (D, 1, 0) D a D b D φ : D D φ(0) = b ˆφ(1) = a SLE κ (D, a, b) =SLE κ (φ(d), ˆφ(1),φ(0)) D a b γ SLE κ (D, 1, 0) φ γ SLE κ (φ(d), ˆφ(1),φ(0)) γ[0,t] SLE κ (D t,γ(t),b) D t D \ γ[0,t] b SLE κ (D t,γ(t),b) γ SLE SLE κ w t (z) =f t (z)/e i κb t dw t (z) =w t (z) 1+w t(z) 1 w t (z) dt i κw t db t, w 0 (z) =z, z D. D C 0 (D) D {p n } n=1 C 0 (D) p C 0 (D) K supp(p n p) K n =1, 2,...

32 m+p m x p y p n m+p m x p yp n K m, p = 1, 2,... C0 (D) T C0 (D) T (p n ) T (p) p n p C0 (D) D D(D) D (D) A D (, ) L 2 (D, A) (p, q) := D p(z) q(z) da(z), p q L 1 loc(d, A) D h L 1 loc(d, A) h L 1 (U) U U D L 1 loc(d) L p (D, A) L 1 loc(d, A) p 1 h L 1 loc(d, A) h L 2 (D, A) (h, p) p D(D) h D p (h, p), p D(D), L 1 loc(d) D (D) D (h, p) h p D w D f w : D D f w (w) =0, f w(w) > 0 D G D (z,w) = log f w (z). G D (z,w) = log 1 wz z w G H (z,w) = log z w z w p D(D) 1 2π G D(z,w)Δp(w) da(w) =p(z). D Δ w G D (z,w) =2πδ(z w), z D, G D (z,w) =0, z D.

33 Δ D(D) ker Δ = {0} D(D) Δ Δ 1 p(z) = 1 2π G D(z,w) p(w) da(w). D D(D) L 2 (D, A) (, ) (, ) L 2 (D,A) p, q D(D) (p, q) := D p(z) q(z) da(z). p, q D(D) (p, q) := D p(z) q(z) da(z). D(D) (p, q) E(D) := 2 G D(z 1,z 2 ) p(z 1 ) q(z 2 ) da(z 1 ) da(z 2 ). D D p, q D(D) (p, q) = 1 4π ( Δp, q) E(D), (p, q) =( Δp, q), (p, q) = 1 4π (Δp, Δq) E(D). D(D) p := (p, p), p := (p, p), p E(D) := (p, p) E(D). p p p E(D) p (Ω, F, P) D Φ:Ω D (D) Φ GF F D p D(D) (Φ, p) p 2 E(D)

34 Cov ((Φ, p), (Φ, q)) = (p, q) E(D). H(D) D(D) (, ) H(D) H(D) L 2 (D, A) L 1 loc(d) D (D) {e n } n=1 H(D) {α n } n=1 2 π α n e n. n=1 p D(D) 2 π n=1 α n (p,e n ) L 2 (Ω, P) 2 π n=1 α n (p,e n ) 2 L 2 (Ω,P)= 4π n=1 (p,e n ) 2, 4π n=1 (p,e n ) 2 =4π n=1 ( Δ 1 p,e n ) 2 =4π Δ 1 p 2 = p 2 E(D)<, p D(D) Φ D Φ=2π n=1 α n e n {e n } n=1 H(D) {α n } n=1 B D D H(B) H(D) Harm(B) H(D) H(D) =H(B) Harm(B). P H(B) P Harm(B)

35 f Harm(B) (f,g) =0 g H(B) (f,δg) L 2 (B,A) =0 g H(B). B Harm(B) H(D) B Φ B B Φ B := 2 π n=1 α n f n {f n } n=1 H(B) {α n } n=1 Φ B D p D(D) (Φ B, p) p 2 E(B) p D(D) (Φ B, p) =2 π =2 π =2 π n=1 n=1 n=1 α n (f n, p) α n (f n, Δ 1 p) α n (f n,p H(B) ( Δ 1 p)), (Φ B, p) 4π P H(B) ( Δ 1 p) 2 = ΔP H(B) ( Δ 1 p) 2 E(B) = ΔP H(B) ( Δ 1 p)+δp Harm(B) ( Δ 1 p) 2 E(B)= p 2 E(B). GF F h D h D (D) GF F h ˆΦ D =Φ D +h GF F h D ˆΦ D h h μ h D B D A(D\B) ˆΦ B =Φ B +h GF F B p D(D) Φ B D h B (h, p) L 2 (D,A) = D h(z) p(z) da(z)

36 ˆΦ B D GF F φ : D 1 D 2 Ψ D (D 2 ) Ψ φ Ψ φ D 1 (Ψ φ, p) =(Ψ, (φ 1 ) 2 p(φ 1 )), p C 0 (D 1 ). Ψ L 1 loc(d 2 ) Ψ(φ(z)) p(z) da(z) = Ψ(w) (φ 1 (w)) 2 p(φ 1 (w)) da(w). D 1 D 2 Φ D2 φ D 2 GF F D 1 SLE GF F SLE 4 GF F SLE κ κ SLE GF F SLE 4 Φ H Φ H ˆΦ H =Φ H 2 arg z. ˆΦ H ˆΦ H =0 ˆΦ H = π B t ˆΦ H {w t } t 0 SLE 4 dw t (z) = 2 w t (z) dt 2 db t, w 0 (z) =z, z H. ˆΦ H SLE 4 T > 0 ˆΦ H ˆΦ H w T

37 {φ s,t } 0 s t<+ t φ s,t(z) = φ s,t (z) eiu(t) +φ s,t(z) e iu(t) φ, s,t(z) φ s,s (z) =z, z D, {f t } t 0 t f t(z) =zf t(z) eiu(t) + z e iu(t) z, f 0(z) = lim t e t φ 0,t (z). {f t } t 0 φ s,t = ft 1 f s {f t } t 0 [0, + ) φ s,t (D) D \ φ s,t (D) γ D \ γ 0 u(t) D \ γ u(t) φ 0,t0 (D) =D \ γ t 0 > 0 u(t) Ĉ φ s,t (D)

38 u(t) Lip(1/2) u(t) 1/2loc (4, ) Lip(1/2) u(t) 1/2loc =0 V (t, z) =(z τ(t))(τ(t) z 1) p(z,t), τ(t) =e ikbt,k 0 τ(t) =e ikbt k R t φ t(z) = (τ(t) φt(z))2 τ(t) p(φ t (z),t), φ 0 (z) =z, z D. p(z,t) = p(z/τ(t)) p(z) :D C ψ t (z) = φt(z) τ(t) t ψ t(z) =(ψ t (z) 1) 2 p(ψ t (z)) ikψ t (z), ψ 0 (z) =z. {ψ t } t 0 {ψ t } t 0 {φ t } t 0 {φ t } t 0 Aut(D) p(z,t) = p(z/τ(t)) p(z) =A 1+z + Bi, A,B R. 1 z ψ t k τ(t)

39 2( Im p(0) p(0) ) <k<2( Im p(0) + p(0) ) 2( Im p(0) p(0) ) <k<2( Im p(0) + p(0) ) k<2( Im p(0) p(0) ) k>2( Im p(0) + p(0) ) φ t (z) k 4 A 2 +4 Bk+k 2 {ψ t } t 0 p(z) p(z,t) = p(z/τ(t)) w t = φ t /e ikbt dw t = ( k2 2 w t +(w t 1) 2 p(w t ) ) dt ikw t db t, w 0 (z) =z. {w t } t 0 {φ t (D)} t 0 SLE SLE dw t (z) =b(w t (z)) dt + σ(w t (z)) db t, w 0 (z) =z, z D, D b σ w t Hol(D, D) t 0 b σ w t Aut(D) t 0

40 b(z) dh t (z) =σ(h t (z)) db t, H 0 (z) =z, z D, D {H t } t 0 t h t(z) =σ(h t (z)), h 0 (z) =z, z D H t = h Bt {g t } t 0 g t := Ht 1 w t = w t h 1 B t dg t (z) = ( h 1 B t b ) (g t (z)) dt, g 0 (z) =z, z D. ( h 1 B t b ) {g t } t 0 Hol(D, D) {w t } t 0 Hol(D, D) b σ D SLE dw t (z) = b(w t (z)) dt + σ(w t (z)) dbt k, w 0 (z) =z, z D, b σ D t = {z D : w t (z) t}, w t : D t D t 0 g t = Ht 1 w t dg t (z) = ( h 1 B t b ) (g t (z)) dt, g 0 (z) =z, z D, {g t } t 0

41 b SLEs b D lim Re r 1 b(reiθ ) re iθ =0 e iθ D e iθ0 e iθ0 =1 D b D ( b(z) =α z iβ+ γ 1+z ) αz 2, 1 z z D, α C, β R γ 0 l H n (z) := z n+1, n Z, z H, D l D n := φ l H n φ : H D l D n φ φ(z) = z 2i z+2i l D n(z) = 2 n 1 ( i) n (z 1) n+1 (z +1) n+1. S = {z :0< Im z<π} ψ(z) = Log 2+z 2 z ( ) l S n(z) =ψ l H n (z) = 2 n sinh(z) tanh n z. 2 D span R {l D 1,l D 0,l D 1 } l D n,n= 2,...,1 D b D b(z) =b 2 l D 2(z)+b 1 l D 1(z)+b 0 l D 0 (z)+b 1 l D 1 (z), b 2 0 b 1,b 0,b 1 R D l D n l D n

42 D D σ D b D b(z) =b 2 l D 2(z)+b 1 l D 1(z)+b 0 l D 0 (z)+b 1 l D 1 (z), b 2 0,b 1,b 0,b 1 R, σ(z) =σ 1 l D 1(z)+σ 0 l D 0 (z)+σ 1 l 1, σ 1,σ 0,σ 1 R, σ 1 0. u t :[0, + ) R b, σ u t {f t } t 0 V (t, z) = ( h 1 u t b ) (z), {h t } t 0 D σ b 2 =2, σ 1 =1, b σ 2l 2 l 1 2l l 0 l l 1 2l l 0 l l 1 u t = κb t κ 0 w t = h κb t g t dw t (z) = b(w t (z)) dt + κσ(w t (z)) db t, w 0 (z) =z, z D. {w t } t 0 b σ SLE κ κ [0, 4] κ (4, 8) κ [8, )

43 ABP SLE b =2l 2 σ = l l 1 t f t(z) = 1 (e iu(t) + f t (z)) 3 4 e iu(t) e iu(t) f t (z). τ(t) = e iu(t) p(z) = 1 1+z 4 1 z u(t) = κb t κ 0 ABP SLE ABP {f t } t 0 SLE ABP {w t } t 0 b σ κ =4 {w t } t 0 dw t (z) = b(w t (z)) dt +2σ(w t (z)) db t, w 0 (z) =z, z H. Φ H H B t b σ h H ˆΦ H := Φ H + h(z), ˆΦ H w T ˆΦ H T>0 GF F SLEs dg H (w t (z 1 ),w t (z 2 )) = 1 2 h(w t(z 1 )),h(w t (z 2 )), G H H, z 1,z 2 H z 1 z 2 h

44 h(w t (z)) t h SLE 4 2 B t αt, α R αt b(z) = 2 z α, σ = 1, h(z) = α 2 Im z 2 arg z. b(z) = 2 z βz,β R, σ = 1, h(z) = 2 arg z. SLE 4 2 B t αt, α R b(z) = 2 z α + z 2 + α 4 z2, h(z) = 1 α arg(2 z) 2 arg z + 1+α arg(2 + z). 2 2 b(z) = 2 ( z +1 β 1 ) ( 1 z 2 4 β ) z 2,β R, 2 h(z) = 2 arg(2 z) 2 arg z, b(z) = 2 ( z 1 β 1 ) ( β z ) z 2,β R, 4 h(z) = 2 arg(2 + z) 2 arg z, SLE 4 2 B t αt α R b(z) = 2 z α z 2 α z2 4, α R, h(z) = 2 α Im arctan 2 z 2 arg z + 1 arg(4 + z 2 ). 2 GF F α = 0 SLE 4 h GF F

45 b σ SLEs ABP SLE ABP SLE SLEs SLE SLE(κ; ρ) SLEs SLE(κ; ρ) SLE(κ; ρ)

46

47

48 SLE(4)

49

50

51 SLE 4

52

Μεταπτυχιακή Μιγαδική Ανάλυση. Έβδομο φυλλάδιο ασκήσεων, Παραδώστε λυμένες τις 4, 9, 15, 19, 24 και 28 μέχρι

Μεταπτυχιακή Μιγαδική Ανάλυση. Έβδομο φυλλάδιο ασκήσεων, Παραδώστε λυμένες τις 4, 9, 15, 19, 24 και 28 μέχρι Μεταπτυχιακή Μιαδική Ανάλυση Έβδομο φυλλάδιο ασκήσεων, 5--20. Παραδώστε λυμένες τις 4, 9, 5, 9, 24 και 28 μέχρι 22--20.. Θεωρούμε τις καμπύλες (t) = t + it sin t και 2 (t) = t + it 2 sin t ια t (0, ] και

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική Ανάλυση. Δρ. Θ. Ζυγκιρίδης

Μιγαδική Ανάλυση. Δρ. Θ. Ζυγκιρίδης Μιγαδική Ανάλυση Δρ. Θ. Ζυγκιρίδης 2 Περιεχόμενα 1 Μιγαδικοί αριθμοί 1 1.1 Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες............................. 1 1.2 Γεωμετρική αναπαράσταση των μιγαδικών αριθμών.................

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟΙ ΚΑΤΕΡΓΑΣΙΑΣ. κατά τον άξονα Ζ.

ΚΥΚΛΟΙ ΚΑΤΕΡΓΑΣΙΑΣ. κατά τον άξονα Ζ. ΚΥΚΛΟΙ ΚΑΤΕΡΓΑΣΙΑΣ Οι κύκλοι κατεργασίας χρησιµοποιούνται για ξεχόνδρισµα - φινίρισµα ενός προφίλ χωρίς να απαιτείται να προγραµµατίζουµε εµείς τα διαδοχικά πάσα της κατεργασίας. Έτσι, στο πρόγραµµα περικλείουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ -11 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Ο ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ ΙΟΥΝΙΟΣ 11 Pappas Ath...page 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Monotonicity theorems for analytic functions centered at infinity. Proc. Amer. Math. Soc. (to appear). Growth theorems for holomorphic functions

Monotonicity theorems for analytic functions centered at infinity. Proc. Amer. Math. Soc. (to appear). Growth theorems for holomorphic functions ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΑΥΞΗΤΙΚΟΤΗΤΑΣ-ΠΑΡΑΛΛΑΓΕΣ ΤΟΥ ΛΗΜΜΑΤΟΣ SCHWARZ ΓΙΑ ΟΛΟΜΟΡΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Γαλάτεια Κλεάνθους Υποστήριξη διδακτορικής διατριβής 25/02/2014 Monotonicity theorems for analytic functions

Διαβάστε περισσότερα

cz+d d (ac + cd )z + bc + dd c z + d

cz+d d (ac + cd )z + bc + dd c z + d T (z) = az + b cz + d ; a, b, c, d C, ad bc 0 ( ) a b M T (z) = (z) az + b c d cz + d (T T )(z) = T (T (z) (T T )(z) = az+b a + cz+d b c az+b + = (aa + cb )z + a b + b d a z + b cz+d d (ac + cd )z + bc

Διαβάστε περισσότερα

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Α Ρ Χ Α Ι Α Ι Σ Τ Ο Ρ Ι Α Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Σ η µ ε ί ω σ η : σ υ ν ά δ ε λ φ ο ι, ν α µ ο υ σ υ γ χ ω ρ ή σ ε τ ε τ ο γ ρ ή γ ο ρ ο κ α ι α τ η µ έ λ η τ ο ύ

Διαβάστε περισσότερα

Τυπολογίο Μαθηµατικών Μεθόδων Φυσικής ΙΙ

Τυπολογίο Μαθηµατικών Μεθόδων Φυσικής ΙΙ . Μέθοδος Frobenius Τυπολογίο Μαθηµατικών Μεθόδων Φυσικής ΙΙ d w Γενική µορφή της γραµµικής.ε. ης τάξης: dz + P (z)dw + Q(z)w = dz Μορφή της.ε. όταν το σηµείο z = z είναι κανονικό ανώµαλο σηµείο d w dz

Διαβάστε περισσότερα

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033 Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische

Διαβάστε περισσότερα

u = 0 u = ϕ t + Π) = 0 t + Π = C(t) C(t) ϕ = ϕ 1 + C(t) dt 2 ϕ = 0

u = 0 u = ϕ t + Π) = 0 t + Π = C(t) C(t) ϕ = ϕ 1 + C(t) dt 2 ϕ = 0 u = (u, v, w) ω ω = u = 0 ϕ u u = ϕ u = 0 ϕ 2 ϕ = 0 u t = u ω 1 ρ Π + ν 2 u Π = p + (1/2)ρ u 2 + ρgz ω = 0 ( ϕ t + Π) = 0 ϕ t + Π = C(t) C(t) C(t) = 0 C(t) ϕ = ϕ 1 + C(t) dt C(t) ϕ ϕ 1 ϕ = ϕ 1 p ρ + ϕ

Διαβάστε περισσότερα

F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2

F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2 F (x) = kx x k F = F (x) U(0) U(x) = x F = kx 0 F (x )dx U(x) = U(0) + 1 2 kx2 x U(0) = 0 U(x) = 1 2 kx2 U(x) x 0 = 0 x 1 U(x) U(0) + U (0) x + 1 2 U (0) x 2 U (0) = 0 U(x) U(0) + 1 2 U (0) x 2 U(0) =

Διαβάστε περισσότερα

ιανύσµατα A z A y A x 1.1 Αλγεβρικές πράξεις µεταξύ διανυσµάτων 1.2 Εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων ca = ca x ˆx + ca y ŷ + ca z ẑ

ιανύσµατα A z A y A x 1.1 Αλγεβρικές πράξεις µεταξύ διανυσµάτων 1.2 Εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων ca = ca x ˆx + ca y ŷ + ca z ẑ 1 ιανύσµατα Ο ϕυσικός χώρος µέσα στον οποίο Ϲούµε και κινούµαστε είναι ένας τρισδιάστατος ευκλείδειος γραµµικός χώ- ϱος. Ισχύουν λοιπόν τα αξιώµατα της Γεωµετρίας του Ευκλείδη, το πυθαγόρειο ϑεώρηµα και

Διαβάστε περισσότερα

Μετατροπή Αναλογικού Σήµατος σε. Ψηφιακό (A/D Conversion) Μετατροπή Ψηφιακού Σήµατος σε Αναλογικό (D/A Conversion)

Μετατροπή Αναλογικού Σήµατος σε. Ψηφιακό (A/D Conversion) Μετατροπή Ψηφιακού Σήµατος σε Αναλογικό (D/A Conversion) Κεφάλαιο 2 Διαχείριση Σηµάτων σε Ψηφιακά Συστήµατα Ελέγχου Μετατροπή Αναλογικού Σήµατος σε Ο µετασχηµατισµός Ζ Ψηφιακό (A/D Conversion) Μαθηµατική Ανάλυση της ιαδικασίας A/D Μετατροπή Ψηφιακού Σήµατος

Διαβάστε περισσότερα

(... )..!, ".. (! ) # - $ % % $ & % 2007

(... )..!, .. (! ) # - $ % % $ & % 2007 (! ), "! ( ) # $ % & % $ % 007 500 ' 67905:5394!33 : (! ) $, -, * +,'; ), -, *! ' - " #!, $ & % $ ( % %): /!, " ; - : - +', 007 5 ISBN 978-5-7596-0766-3 % % - $, $ &- % $ % %, * $ % - % % # $ $,, % % #-

Διαβάστε περισσότερα

a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-215: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 2013 ιδάσκων : Π.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-215: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 2013 ιδάσκων : Π. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-25: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 203 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Πέµπτης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : 23/05/203 Ηµεροµηνία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Διαχείριση Σηµάτων σε Ψηφιακά Συστήµατα Ελέγχου

Κεφάλαιο 2 Διαχείριση Σηµάτων σε Ψηφιακά Συστήµατα Ελέγχου Κεφάλαιο 2 Διαχείριση Σηµάτων σε Ψηφιακά Συστήµατα Ελέγχου Μετατροπή Αναλογικού Σήµατος σε Ψηφιακό (A/D Conversion) Ο µετασχηµατισµός Ζ Μαθηµατική Ανάλυση της ιαδικασίας A/D Μετατροπή Ψηφιακού Σήµατος

Διαβάστε περισσότερα

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Ο μετασχηματισμός Laplace Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΜΑΘΗΜΑ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΜΑΘΗΜΑ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΜΑΘΗΜΑ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Επιµέλεια: Ι. Σπηλιώτης Άσκηση.3 σελ.45 Εξάγονται δύο σφαίρες από την Α και τοποθετούνται στην Β. Υπάρχουν τρία δυνατά ενδεχόµενα: Ε : εξάγονται δύο

Διαβάστε περισσότερα

f H f H ψ n( x) α = 0.01 n( x) α = 1 n( x) α = 3 n( x) α = 10 n( x) α = 30 ū i ( x) α = 1 ū i ( x) α = 3 ū i ( x) α = 10 ū i ( x) α = 30 δū ij ( x) α = 1 δū ij ( x) α = 3 δū ij ( x) α = 10 δū ij ( x)

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Βαθμωτές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Βαθμωτές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών f

Διαβάστε περισσότερα

B G [0; 1) S S # S y 1 ; y 3 0 t 20 y 2 ; y 4 0 t 20 y 1 y 2 h n t: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 1; 3: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 2; 4: r = 10 5 ; a = 10 6 t = 20

Διαβάστε περισσότερα

!"#$ % &# &%#'()(! $ * +

!#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Δ.Ε. με Laplace

Επίλυση Δ.Ε. με Laplace Επίλυση Δ.Ε. με Laplace Ν. Παπαδάκης 24 Οκτωβρίου 2015 Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 1 / 78 Περιεχόμενα 1 Παρουσίαση Προβλήματος Επίλυση διαϕορικής εξίσωσης Ορισμός Άλλες μορϕή

Διαβάστε περισσότερα

-! " #!$ %& ' %( #! )! ' 2003

-!  #!$ %& ' %( #! )! ' 2003 -! "#!$ %&' %(#!)!' ! 7 #!$# 9 " # 6 $!% 6!!! 6! 6! 6 7 7 &! % 7 ' (&$ 8 9! 9!- "!!- ) % -! " 6 %!( 6 6 / 6 6 7 6!! 7 6! # 8 6!! 66! #! $ - (( 6 6 $ % 7 7 $ 9!" $& & " $! / % " 6!$ 6!!$#/ 6 #!!$! 9 /!

Διαβάστε περισσότερα

Ó³ Ÿ , º 1(130).. 7Ä ±μ. Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê

Ó³ Ÿ , º 1(130).. 7Ä ±μ. Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê Ó³ Ÿ. 006.. 3, º 1(130).. 7Ä16 Š 530.145 ˆ ƒ ˆ ˆŒ ˆŸ Š ƒ.. ±μ Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê É μ ² Ö Ó μ μ Ö μ μ²õ μ É μ ÌÉ ±ÊÎ É ² ³ É μ - Î ±μ μ ÊÌ ±μ Ëμ ³ μ- ±² μ ÒÌ ³μ ²ÖÌ Ê ±. ³ É ÔÉμ μ μ μ Ö, Ö ²ÖÖ Ó ±μ³

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Θεωρία Δικτύων

Μάθημα: Θεωρία Δικτύων Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχ/κών και Μηχ/κών Υπολογιστών, Ε.Μ.Π., Ακαδημαϊκό Έτος 7-8, 5ο Εξάμηνο Μάθημα: Θεωρία Δικτύων Ανάλυση Ευσταθείας Κων/νος Τζαφέστας Τομέας Σημάτων, Ελέγχου & Ρομποτικής Σχολή Ηλεκτρ.

Διαβάστε περισσότερα

a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Μιγαδικής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης

Σηµειώσεις Μιγαδικής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης Σηµειώσεις Μιαδικής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Ηρακλειο Περιεχόµενα Κεφάλαιο 1. Εισαωικά 5 Η αλεβρική δοµή 5 Η τοπολοική δοµή τού 6 Το εκτεταµένο µιαδικό επίπεδο 7 Συνεκτικότητα

Διαβάστε περισσότερα

Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913

Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913 Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913 ΠΡΑΞΗ ΚΑΤΑΘΕΣΗΣ ΟΡΩΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Σ τ η ν Π ά τ ρ α σ ή μ ε ρ α σ τ ι ς δ ε κ α τ έ σ σ ε ρ ι ς ( 1 4 ) τ ο υ μ ή ν α Ο κ τ ω β ρ ί ο υ, η μ έ ρ α Τ ε τ ά ρ τ η, τ ο υ έ τ ο υ ς δ

Διαβάστε περισσότερα

m 1, m 2 F 12, F 21 F12 = F 21

m 1, m 2 F 12, F 21 F12 = F 21 m 1, m 2 F 12, F 21 F12 = F 21 r 1, r 2 r = r 1 r 2 = r 1 r 2 ê r = rê r F 12 = f(r)ê r F 21 = f(r)ê r f(r) f(r) < 0 f(r) > 0 m 1 r1 = f(r)ê r m 2 r2 = f(r)ê r r = r 1 r 2 r 1 = 1 m 1 f(r)ê r r 2 = 1 m

Διαβάστε περισσότερα

Ατρέας. Μέρος I. Σημειώσεις: Ατρέας Κεφ Κεχαγιάς Κεφ Βιβλία: Churchill - Brown (για μηχανικούς)

Ατρέας. Μέρος I.  Σημειώσεις: Ατρέας Κεφ Κεχαγιάς Κεφ Βιβλία: Churchill - Brown (για μηχανικούς) http://users.auth.gr/natreas Σημειώσεις: Ατρέας Κεφ. 3-4-5 Κεχαγιάς Κεφ. --6 Βιβλία: Churchill - Brown (για μηχανικούς) Marsden (πιο μαθηματικό) Μέρος I Ατρέας Κεφάλαιο Μιγαδικοί Αριθμοί γεωμετρική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΜΦ Ι 1/ Μαθηµατικές Μέθοδοι Φυσικής ΙΙ. (Μάθηµα επιλογής) Μιγαδικοί αριθµοί - `Αλγεβρα των Μ.Α. + b n sin nπx. a n cos nπx.

ΜΜΦ Ι 1/ Μαθηµατικές Μέθοδοι Φυσικής ΙΙ. (Μάθηµα επιλογής) Μιγαδικοί αριθµοί - `Αλγεβρα των Μ.Α. + b n sin nπx. a n cos nπx. ΜΜΦ Ι /6--9 Μαθηµατικές Μέθοδοι Φυσικής Ι Το µάθηµα περιλαµβάνει:. Μιγαδικές συναρτήσεις.ανάλυση F ourier α. Σειρές F ourier β. Μετασχηµατισµοί F ourier 3. Συνάρτηση έλτα Μαθηµατικές Μέθοδοι Φυσικής ΙΙ

Διαβάστε περισσότερα

Παρασκευή 1 Νοεμβρίου 2013 Ασκηση 1. Λύση. Παρατήρηση. Ασκηση 2. Λύση.

Παρασκευή 1 Νοεμβρίου 2013 Ασκηση 1. Λύση. Παρατήρηση. Ασκηση 2. Λύση. (, ) =,, = : = = ( ) = = = ( ) = = = ( ) ( ) = = ( ) = = = = (, ) =, = = =,,...,, N, (... ) ( + ) =,, ( + ) (... ) =,. ( ) = ( ) = (, ) = = { } = { } = ( ) = \ = { = } = { = }. \ = \ \ \ \ \ = = = = R

Διαβάστε περισσότερα

X = συνεχης. Είναι εμφανές ότι αναγκαία προϋπόθεση για την ύπαρξη της ροπογεννήτριας

X = συνεχης. Είναι εμφανές ότι αναγκαία προϋπόθεση για την ύπαρξη της ροπογεννήτριας Ροπογεννήτριες (mome geerig fucios), πιθανογεννήτριες (robbiliy geerig fucios) και χαρακτηριστικές συναρτήσεις (chrcerisic fucios) Η ροπογεννήτρια συνάρτηση της τμ είναι η πραγματική συνάρτηση πραγματικής

Διαβάστε περισσότερα

!"!# ""$ %%"" %$" &" %" "!'! " #$!

!!# $ %% %$ & % !'!  #$! " "" %%"" %" &" %" " " " % ((((( ((( ((((( " %%%% & ) * ((( "* ( + ) (((( (, (() (((((* ( - )((((( )((((((& + )(((((((((( +. ) ) /(((( +( ),(, ((((((( +, 0 )/ (((((+ ++, ((((() & "( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%(

Διαβάστε περισσότερα

LCs 2 + RCs + 1. s 1,2 = RC ± R 2 C 2 4LC 2LC. (s 2)(s 3) = A. = 4 s 3 s=2 s + 2 B = (s 2)(s 3) (s 3) s=3. = s + 2. x(t) = 4e 2t u(t) + 5e 3t u(t) (2)

LCs 2 + RCs + 1. s 1,2 = RC ± R 2 C 2 4LC 2LC. (s 2)(s 3) = A. = 4 s 3 s=2 s + 2 B = (s 2)(s 3) (s 3) s=3. = s + 2. x(t) = 4e 2t u(t) + 5e 3t u(t) (2) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-5: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 06-7 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λύσεις Εβδοµης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης

Διαβάστε περισσότερα

5.2 (α) Να γραφούν οι εξισώσεις βρόχων για το κύκλωμα του σχήματος Π5.2α. (β) Να γραφούν οι εξισώσεις κόμβων για το κύκλωμα του σχήματος Π5.

5.2 (α) Να γραφούν οι εξισώσεις βρόχων για το κύκλωμα του σχήματος Π5.2α. (β) Να γραφούν οι εξισώσεις κόμβων για το κύκλωμα του σχήματος Π5. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ, ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ, ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 5. (α) Να βρεθεί η τιμή της σύνθετης αντίστασης Ζ(s) των τριών κυκλωμάτων στο σχήμα Π5. (β) Να βρεθούν οι πόλοι και τα μηδενικά της Ζ(s). (γ) Να βρεθεί

Διαβάστε περισσότερα

l 1 p r i = ρ ij α j + w i j=1 ρ ij λ α j j p w i p α j = 1, α j 0, j = 1,..., p j=1 R B B B m j [ρ 1j, ρ 2j,..., ρ Bj ] T = }{{} α + [,,..., ] R B p p α [α 1,..., α p ] [w 1,..., w p ] M m 1 m 2,

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί αριθμοί και στοιχειώδεις συναρτήσεις

Μιγαδικοί αριθμοί και στοιχειώδεις συναρτήσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί και στοιχειώδεις συναρτήσεις Σε αυτό το κεφάλαιο εισάγονται οι µιγαδικοί αριθµοί, οι στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις, και οι βασικές τους ιδιότητες. Όπως θα δούµε, οι µιγαδικοί αριθµοί

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις. Μιχάλης Δρακόπουλος

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις. Μιχάλης Δρακόπουλος Μιχάλης Δρακόπουλος Σημειώσεις Τμ. Χημείας Α.Ε. 2016 2017 Περιεχόμενα 1 Βασικές έννοιες 3 1.1 Η εκθετική συνάρτηση............................... 3 1.2 Παράγωγος συνάρτησης..............................

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 2003

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 2003 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ο Θέµα Α. α) Έστω η συνάρτηση στο κάθε f δ) R τις τιµές του γ) Αν η συνάρτηση παραγωγίσιµη σε αυτό. Τότε ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

I = 1. cos z. dz = = 1 z 2 cos z + 2z sin z + 2 cos z 2. z(z π) 3 dz. f(re iθ. f(z)

I = 1. cos z. dz = = 1 z 2 cos z + 2z sin z + 2 cos z 2. z(z π) 3 dz. f(re iθ. f(z) ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ η Σειρά Ασκήσεων στη Μιγαδική Ανάλυση. Χρησιμοποιώντας τους ολοκληρωτικούς τύπους Cauchy υπολογίστε το ολοκλήρωμα I = πi z(z π) 3 dz,

Διαβάστε περισσότερα

m i N 1 F i = j i F ij + F x

m i N 1 F i = j i F ij + F x N m i i = 1,..., N m i Fi x N 1 F ij, j = 1, 2,... i 1, i + 1,..., N m i F i = j i F ij + F x i mi Fi j Fj i mj O P i = F i = j i F ij + F x i, i = 1,..., N P = i F i = N F ij + i j i N i F x i, i = 1,...,

Διαβάστε περισσότερα

= df. f (n) (x) = dn f dx n

= df. f (n) (x) = dn f dx n Παράγωγος Συνάρτησης Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) Ορισμός Cauchy: f (ξ) = lim x ξ g(x, ξ), g(x, ξ) = f(x) f(ξ) x ξ ɛ > 0 δ(ɛ, ξ) > 0

Διαβάστε περισσότερα

Bessel functions. ν + 1 ; 1 = 0 for k = 0, 1, 2,..., n 1. Γ( n + k + 1) = ( 1) n J n (z). Γ(n + k + 1) k!

Bessel functions. ν + 1 ; 1 = 0 for k = 0, 1, 2,..., n 1. Γ( n + k + 1) = ( 1) n J n (z). Γ(n + k + 1) k! Bessel functions The Bessel function J ν (z of the first kind of order ν is defined by J ν (z ( (z/ν ν Γ(ν + F ν + ; z 4 ( k k ( Γ(ν + k + k! For ν this is a solution of the Bessel differential equation

Διαβάστε περισσότερα

α) () z i z iz i Αν z i τότε i( yi) i + + y y y ( y) i i y + 4y + 4, y y 4. Άρα z i. 4 β) ( z) z i z z i z ( i) z, οπότε ( z ) i z z Άρα z z γ) Αν z τ

α) () z i z iz i Αν z i τότε i( yi) i + + y y y ( y) i i y + 4y + 4, y y 4. Άρα z i. 4 β) ( z) z i z z i z ( i) z, οπότε ( z ) i z z Άρα z z γ) Αν z τ Λυμένα θέματα στους Μιγαδικούς αριθμούς. Δίνονται οι μιγαδικοί z, w και u z w. α) Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός z είναι φανταστικός αν και μόνο αν ισχύει z z. β) Αν για τους z και w ισχύει: z + w z w,

Διαβάστε περισσότερα

Σ.Η. ΜΑΣΕΝ ΣΠΟΥ ΑΣΤΗΡΙΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΙΑΛΕΞΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΘΟ ΩΝ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι

Σ.Η. ΜΑΣΕΝ ΣΠΟΥ ΑΣΤΗΡΙΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΙΑΛΕΞΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΘΟ ΩΝ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι Σ.Η. ΜΑΣΕΝ ΣΠΟΥ ΑΣΤΗΡΙΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΙΑΛΕΞΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΘΟ ΩΝ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι - ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ . ΜΜΦ Ι /7-- Η λύση ενός προβλήµατος της Θεωρητικής Φυσικής ανάγεται,

Διαβάστε περισσότερα

f RF f LO f RF ±f LO Ιδανικός μείκτης RF Είσοδος f RF f RF ± f LO IF Έξοδος f LO LO Είσοδος f RF f LO (ω RF t) (ω LO t) = 1 2 [(ω RF + ω LO )t + (ω RF ω LO )t] RF LO IF f RF ± f LO 0 180 +1 RF IF 1 LO

Διαβάστε περισσότερα

= 2 (α z)(ˆα z) = z. [z k ]a(z) = ak [βkz k ]a(z) = β 1 ,... f0 = 0, f1 = 1, fk = fk 1 + fk 2, k 2. 5a(z) a(z) = k 0. 1 z k = k 0.

= 2 (α z)(ˆα z) = z. [z k ]a(z) = ak [βkz k ]a(z) = β 1 ,... f0 = 0, f1 = 1, fk = fk 1 + fk 2, k 2. 5a(z) a(z) = k 0. 1 z k = k 0. - / C @AB? / LG BKI F / I G E / C? O C / M Q C? TU/VWG O S C [ C VXYCZ X T? C @AK BK V? K? @A ] \ V G C? G O??? C @A^ B V ] \ ' & $ " $ ' + ' &! $ & ' *& $ # $ # MG log X X T/ K V B @ Q 'XG [ B [ @ -!

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 0: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ # Μετασχηματισμός Laplace και ΓΧΑ Συστήματα Συνάρτηση μεταφοράς αιτιατών και ευσταθών συστημάτων Συστήματα που περιγράφονται από ΔΕ Διαγράμματα Μπλοκ Μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

(1) P(Ω) = 1. i=1 A i) = i=1 P(A i)

(1) P(Ω) = 1. i=1 A i) = i=1 P(A i) Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά Το συνεχές μοντέλο συνεχούς χρόνου Σ. Ξανθόπουλος Παν. Αιγαίου Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 1 / Σύνοψη 1 Προκαταρκτικά 2 Διαδικασία Wiener ή Κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑ (Σεπτέμβριος 2008)

ΠΡΟΒΛΗΜΑ (Σεπτέμβριος 2008) ΠΡΟΒΛΗΜΑ (Σεπτέμβριος 008) Για τον Γεωμετρικό Τόπο των Ριζών της συνάρτησης μεταφοράς as + s + 9 G(s) s(s 5)(s + b) με Κ>0 δίδεται ότι η τομή των ασυμπτώτων είναι το σημείο σ -(0+Ν 0 ) όπου Ν 0 το τελευταίο

Διαβάστε περισσότερα

L A TEX 2ε. mathematica 5.2

L A TEX 2ε. mathematica 5.2 Διδασκων: Τσαπογας Γεωργιος Διαφορικη Γεωμετρια Προχειρες Σημειωσεις Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών Σάμος Εαρινό Εξάμηνο 2005 στοιχεοθεσια : Ξενιτιδης Κλεανθης L A TEX 2ε σχεδια : Dia mathematica

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά ϑέµατα στους Μιγαδικούς Αριθµούς

Επαναληπτικά ϑέµατα στους Μιγαδικούς Αριθµούς Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Επαναληπτικά ϑέµατα στους Μιγαδικούς Αριθµούς ιδάσκων : Αντώνης Λουτράρης Μαθηµατικός M.S.c Αύγουστος, 2012 Σελίδα 1 Ο συντοµότερος δρόµος ανάµεσα

Διαβάστε περισσότερα

lim Δt Δt 0 da da da dt dt dt dt Αν ο χρόνος αυξηθεί κατά Δt το διάνυσμα θα γίνει Εξετάζουμε την παράσταση

lim Δt Δt 0 da da da dt dt dt dt Αν ο χρόνος αυξηθεί κατά Δt το διάνυσμα θα γίνει Εξετάζουμε την παράσταση Έστω διάνυσμα a( t a ( t i a ( t j a ( t k Αν ο χρόνος αυξηθεί κατά Δt το διάνυσμα θα γίνει a( t Δt a ( t Δt i a ( t Δt j a ( t Δt k Εξετάζουμε την παράσταση z z a( t Δt - a( t Δa a ( t Δt - a ( t lim

Διαβάστε περισσότερα

z k z + n N f(z n ) + K z n = z n 1 2N

z k z + n N f(z n ) + K z n = z n 1 2N Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 6..5 Λύσεις Σειράς Ασκήσεων Άσκηση (α) Έστω z το όριο της ακολουθίας z n, δηλ. για κάθε ɛ > υπάρχει N(ɛ) ώστε z n z < ɛ για n > N. Για n > N(ɛ), είναι z n

Διαβάστε περισσότερα

Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα : + +

Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα : + + Μετασχηματισμός aplace ορίζεται ως εξής : t X() [x( t)] xte () dt = = Ο αντίστροφος μετασχηματισμός aplace ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα : t x(t) = [ X()] = X() e dt π j c C είναι μία καμπύλη που

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΙ Σωστός σχεδιασµός C ( z ) οδηγεί σε u() t = uc(), t t = kt, k =,,... Για το σχεδιασµό και υλοποίηση της C ( z) απαιτείται βασικά γνώση του µετασχηµατισµού z Ορισµός µετασχηµατισµού z Ζ [ ] ( ) = i f ()

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 20 Δεκεμβρίου GL n (R) / SL n (R)

Α Δ Ι. Παρασκευή 20 Δεκεμβρίου GL n (R) / SL n (R) Α Δ Ι Α - Φ 8 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 20 Δεκεμβρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ

ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ ΘΔΜΑ Α A Να απνδείμεηε όηη αλ νη ζπλαξηήζεηο f, g είλαη ζπλερείο ζε έλα δηάζηεκα Δ θαη f () g () γηα θάζε εζωηεξηθό ζεκείν ηνπ Δ, ηόηε ππάξρεη

Διαβάστε περισσότερα

). = + U = -U U= mgy (y= H) =0 = mgh. y=0 = U=0

). = + U = -U U= mgy (y= H) =0 = mgh. y=0 = U=0 3761 5226 9585 ). = + U = -U U= mgy (y= H) =0 = mgh. y=0 = U=0 y = mgh mgy, 3761 5226 ) ) =mg 2 F=ma F-B=ma Fmg=m.2g F=3mg F=3B B = F/3 3763 5208 ) ) W 1 = -mgh W 2 =mgh W = W 1 + W 2 = -mgh + mgh=0 3763

Διαβάστε περισσότερα

ϕ n n n n = 1,..., N n n {X I, Y I } {X r, Y r } (x c, y c ) q r = x a y a θ X r = [x r, y r, θ r ] X I = [x I, y I, θ I ] X I = R(θ)X r R(θ) R(θ) = cosθ sinθ 0 sinθ cosθ 0 0 0 1 Ẋ I = R(θ)Ẋr y r ẏa r

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

(1.1) y (t) = f ( t, y(t) ), a t b, y(a) = y 0.

(1.1) y (t) = f ( t, y(t) ), a t b, y(a) = y 0. 1. Προβλήματα αρχικών τιμών Στο μεγαλύτερο μέρος αυτού του βιβλίου θα ασχοληθούμε με μεθόδους αριθμητικής επίλυσης προβλημάτων αρχικών τιμών για Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις (Σ.Δ.Ε.). Στο πρώτο κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Β Πρόχειρες σημειώσεις

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Β Πρόχειρες σημειώσεις ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Β Μιγαδική ανάλυση Μέρος Β Πρόχειρες σημειώσεις Παράγωγος συνάρτησης μιγαδικής μεταβλητής Πριν ορίσουμε την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης f(z) θα σταθούμε

Διαβάστε περισσότερα

Σημείωση. Δημήτρης Φουσκάκης Λέκτορας ΕΜΠ

Σημείωση. Δημήτρης Φουσκάκης Λέκτορας ΕΜΠ Σημείωση Οι σημειώσεις αυτές περιλαμβάνουν λύσεις ασκήσεων Πιθανοτήτων και συγκροτήθηκαν εν όψει των αναγκών των σπουδαστών ΣΕΜΦΕ στo μαθήματα Πιθανότητες του ου εξαμήνου από τον διδάσκοντα Δ Φουσκάκη

Διαβάστε περισσότερα

Επίσημη Εφημερίδα της Ευρωπαϊκής Ένωσης L 222/5

Επίσημη Εφημερίδα της Ευρωπαϊκής Ένωσης L 222/5 18.8.2012 Επίσημη Εφημερίδα της Ευρωπαϊκής Ένωσης L 222/5 ΕΚΤΕΛΕΣΤΙΚΟΣ ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΣ (ΕΕ) αριθ. 751/2012 ΤΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗΣ της 16ης Αυγούστου 2012 για τη διόρθωση του κανονισμού (ΕΚ) αριθ. 1235/2008 για τον καθορισμό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Ανάλυση και Προσοµοίωση Δυναµικών Συστηµάτων

Εισαγωγή στην Ανάλυση και Προσοµοίωση Δυναµικών Συστηµάτων Εισαγωγή στην Ανάλυση και Προσοµοίωση Δυναµικών Συστηµάτων Control Systems Laboratory Περιγραφή Δυναµικών Συστηµάτων Εξίσωση µεταβολής όγκου Η µεταβολή όγκου ισούται µε τη παροχή υγρού Q που σχετίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Ειδικές Συναρτήσεις

Τίτλος Μαθήματος: Ειδικές Συναρτήσεις Τίτλος Μαθήματος: Ειδικές Συναρτήσεις Ενότητα: Στοιχειώδεις ειδικές συναρτήσεις Όνομα Καθηγήτριας: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικά πολυώνυμα

Τριγωνομετρικά πολυώνυμα Κεφάλαιο Τριγωνομετρικά πολυώνυμα Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Zygmund, Katznelson 4 και Stein and Shakarchi.. Μερικά βασικά περί μιγαδικών αριθμών Υποθέτουμε ως γνωστές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o A. Έστω f µια συνεχής συνάρτηση σ' ένα διάστηµα [α, ]. Αν G είναι µια παράγουσα της f στο [α, ], τότε να δείξετε ότι f(t)

Διαβάστε περισσότερα

(x y) = (X = x Y = y) = (Y = y) (x y) = f X,Y (x, y) x f X

(x y) = (X = x Y = y) = (Y = y) (x y) = f X,Y (x, y) x f X X, Y f X,Y x, y X x, Y y f X Y x y X x Y y X x, Y y Y y f X,Y x, y f Y y f X Y x y x y X Y f X,Y x, y f X Y x y f X,Y x, y f Y y x y X : Ω R Y : Ω E X < y Y Y y 0 X Y y x R x f X Y x y gy X Y gy gy : Ω

Διαβάστε περισσότερα

σ (9) = i + j + 3 k, σ (9) = 1 6 k.

σ (9) = i + j + 3 k, σ (9) = 1 6 k. Ασκήσεις από το Διανυσματικός Λογισμός των Marsden - romba και από το alculus του Apostol. 1. Βρείτε τα διανύσματα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης και την εξίσωση της εφαπτομένης για κάθε μία από τις

Διαβάστε περισσότερα

t : (x, y) x 2 +y 2 y x

t : (x, y) x 2 +y 2 y x Σύνοψη Κεφαλαίου 5: Αντιστροφική Γεωμετρία Αντιστροφή 1. Η ανάκλαση σε μία ευθεία l στο επίπεδο απεικονίζει ένα σημείο A σε ένα σημείο A που απέχει ίση απόσταση από την l αλλά βρίσκεται στην άλλη πλευρά

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών. Διάλεξη 4

Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών. Διάλεξη 4 Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τομέας Συστημάτων και Αυτομάτου Ελέγχου ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Διάλεξη 4 Πάτρα 2008 Ντετερμινιστικά Moving Average Μοντέλα Ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

Ο πίνακας Hilbert σε χώρους Hardy και Bergman

Ο πίνακας Hilbert σε χώρους Hardy και Bergman ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ο ίνακας Hilbert σε χώρους Hardy και Bergman Βασίλης ασκαλογιάννης Τριµελής Εξεταστική Ειτροή : Καθηγητής Α. Συσκάκης ειβλέων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Α2. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Βolzano. Μονάδες 5

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Α2. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Βolzano. Μονάδες 5 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΡΙΤΗ 0 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 03 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Μαθηµατικών Μεθόδων Φυσικής Ι

Ασκήσεις Μαθηµατικών Μεθόδων Φυσικής Ι .. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ασκήσεις Μαθηµατικών Μεθόδων Φυσικής Ι Κατά τη λύση των ασκήσεων επάνω στους µιγαδικούς αριθµούς είναι χρήσιµο να έχουµε υπόψη ότι ένας µιγαδικός αριθµός µπορεί

Διαβάστε περισσότερα

(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x

(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x ΕΥΓΕΝΙΑ Ν. ΠΕΤΡΟΠΟΥΛΟΥ ΕΠΙΚ. ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙΙ» ΠΑΤΡΑ 2015 1 Ασκήσεις 1η ομάδα ασκήσεων 1. Να χαρακτηρισθούν πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΤΟ ΔΡΟΜΙΚΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

1ος Θερμοδυναμικός Νόμος

1ος Θερμοδυναμικός Νόμος ος Θερμοδυναμικός Νόμος Έργο-Έργο ογκομεταβολής Αδιαβατικό Έργο Εσωτερική ενέργεια, U Πρώτος Θερμοδυναμικός Νόμος Θερμότητα Ολική Ενέργεια Ενθαλπία Θερμοχωρητικότητα Διεργασίες Ιδανικών Αερίων ΕΡΓΟ Κεφάλαιο3,

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Επικοινωνιών Ι

Συστήματα Επικοινωνιών Ι + Διδάσκων: Δρ. Κ. Δεμέστιχας e-mail: cdemestichas@uowm.gr Συστήματα Επικοινωνιών Ι Αναπαράσταση Σημάτων και Συστημάτων στο πεδίο της συχνότητας + Περιεχόμενα n Εισαγωγή n Ανάλυση Fourier n Μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

( [T]. , s 1 a as 1 [T] (derived category) Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter 4. [I] XI ). Gelfand Manin [GM1]

( [T]. , s 1 a as 1 [T] (derived category) Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter 4. [I] XI ). Gelfand Manin [GM1] 1 ( ) 2007 02 16 (2006 5 19 ) 1 1 11 1 12 2 13 Ore 8 14 9 2 (2007 2 16 ) 10 1 11 ( ) ( [T] 131),, s 1 a as 1 [T] 15 (, D ), Lie, (derived category), ( ) [T] Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική και υπολογιστική μοντελοποίηση βιολογικών συστημάτων και εφαρμογές Μέρος Ι: Εισαγωγή στη Στοχαστική Ανάλυση Βακερουδης Σταυρος E-mail: stavros.vakeroudis@gmail.com Ιστοσελίδα: https://svakeroudis.wordpress.com/

Διαβάστε περισσότερα

k k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας ρυθμίσεων στο χώρο εγκατάστασης

Πίνακας ρυθμίσεων στο χώρο εγκατάστασης 1/8 Κατάλληλες εσωτερικές μονάδες *HVZ4S18CB3V *HVZ8S18CB3V *HVZ16S18CB3V Σημειώσεις (*5) *4/8* 4P41673-1 - 215.4 2/8 Ρυθμίσεις χρήστη Προκαθορισμένες τιμές Θερμοκρασία χώρου 7.4.1.1 Άνεση (θέρμανση) R/W

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 D (, ) :9 0, 4 0 (, ) :

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ - ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ - ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ - ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ [Κεφ..: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Δίνονται οι μιγαδικοί z,w με

Διαβάστε περισσότερα

Υπεραγωγιμότητα. Βασικά Φαινόμενα: Ηλεκτροδυναμική: Επιφανειακή Ενέργεια: Κβαντικά Φαινόμενα: Μικροσκοπική Θεωρία :

Υπεραγωγιμότητα. Βασικά Φαινόμενα: Ηλεκτροδυναμική: Επιφανειακή Ενέργεια: Κβαντικά Φαινόμενα: Μικροσκοπική Θεωρία : Βασικά Φαινόμενα: Ηλεκτροδυναμική: Επιφανειακή Ενέργεια: Κβαντικά Φαινόμενα: Μικροσκοπική Θεωρία : Υπεραγωγιμότητα Μηδενική Αντίσταση Missn, Κρίσιμο Πεδίο, Θερμοδυναμική Κρίσιμο Ρεύμα Εξισώσεις London,

Διαβάστε περισσότερα

Συμπληρωματικά, διαβάστε όλο το Κεφάλαιο 2 των Μαθηματικών Θετικής Κατεύθυνσης της 3ης Λυκείου

Συμπληρωματικά, διαβάστε όλο το Κεφάλαιο 2 των Μαθηματικών Θετικής Κατεύθυνσης της 3ης Λυκείου Κεφάλαιο 2 Μιγαδικοί Αριθμοί Συμπληρωματικά, διαβάστε όλο το Κεφάλαιο 2 των Μαθηματικών Θετικής Κατεύθυνσης της 3ης Λυκείου Τα στοιχεία του συνόλου των μιγαδικών αριθμών είναι εκφράσεις της μορφής a+ib

Διαβάστε περισσότερα

+ 1 n 5 (η) {( 1) n + 1 m

+ 1 n 5 (η) {( 1) n + 1 m Κεφάλαιο Τοπολογία του. Στοιχεία Θεωρίας Ορισµός Αν α και ɛ > ονοµάζουµε ɛ-περιοχή του α ή περιοχή κέντρου α και ακτίνας ɛ και συµβολίζουµε N α (ɛ) το σύνολο όλων των αριθµών που έχουν απόσταση από το

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ IOYNIOY 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές Δυναμική Μηχανών I Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις 5 3 Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

= 1-3 i, να γράψετε στο τετράδιό σας τους αριθμούς της Στήλης Α και δίπλα σε κάθε αριθμό το γράμμα της Στήλης Β έτσι, ώστε να προκύπτει ισότητα.

= 1-3 i, να γράψετε στο τετράδιό σας τους αριθμούς της Στήλης Α και δίπλα σε κάθε αριθμό το γράμμα της Στήλης Β έτσι, ώστε να προκύπτει ισότητα. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ ΙΟΥΝΙΟΥ 1 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ 1o A.1. Δίνονται

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα 2 Μαθηματικές Μέθοδοι Ανάλυσης Γραμμικών Συστημάτων Αυτόματης Ρύθμισης j ω α j ω j ω

Περιεχόμενα 2 Μαθηματικές Μέθοδοι Ανάλυσης Γραμμικών Συστημάτων Αυτόματης Ρύθμισης j ω α j ω j ω Περιεχόμενα 2 Μαθηματικές Μέθοδοι Ανάλυσης Γραμμικών Συστημάτων Αυτόματης Ρύθμισης 2. Ο μετασχηματισμός Laplace......................... 2.. Εισαγωγή............................... 2..2 Θεμελιώδεις κανόνες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. x + 5= 6 (1) και. x = 1, οπότε η (2) γίνεται 1 5x + 1= 7 x = 1 ΘΕΜΑ Β. Άσκηση 1. Να βρείτε τον αριθμό x R όταν. Λύση.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. x + 5= 6 (1) και. x = 1, οπότε η (2) γίνεται 1 5x + 1= 7 x = 1 ΘΕΜΑ Β. Άσκηση 1. Να βρείτε τον αριθμό x R όταν. Λύση. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση ΙI

Μαθηματική Ανάλυση ΙI Π Δ Μ Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση ΙI Δρ. Θεόδωρος Ζυγκιρίδης 25 Μαΐου 211 2 Περιεχόμενα 1 Ο χώρος R n 1 1.1 Ο Ευκλείδιος n-χώρος..................................

Διαβάστε περισσότερα