Dissertation for the degree philosophiae doctor (PhD) at the University of Bergen

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Dissertation for the degree philosophiae doctor (PhD) at the University of Bergen"

Transcript

1 Dissertation for the degree philosophiae doctor (PhD) at the University of Bergen Dissertation date:

2

3

4

5

6

7 GF F GF F SLE GF F

8

9

10

11 D Ĉ = C { } Ĉ \ D D D = {z : z < 1} f : D D D D = D D, D = D D f f : D D D f P (D) D ˆD = D P (D) ˆD f : D D ˆf : D ˆD ˆD D D ˆD D Ĉ a D, b 1,b 2, b 3 P (D)

12 f : D D, ˆf : ˆD ˆD. f ˆf(0) = a ˆf (0) > 0, ˆf(0) = a ˆf(1) = b1, ˆf( i) =b1, ˆf(1) = b2, ˆf(i) =b 3 Hol(D, D) D Aut(D) Hol(D, D) D {g t } t 0 Hol(D, D) D D g 0 =id D, g t+s = g t g s, s, t 0 lim t 0 + g t (z) =z z D g t D z D t g t (z) t [0, + ) g t Aut(D) t 0, {g t } t 0 {g t } t 0 V : D C, {g t } t R g t := g 1 t t g t(z) =V (g t (z)), g 0 (z) =z, t 0, z D. V {g t } t 0

13 V (z) V (z) =V (0) zq(z) V (0) z 2, q(z) Re q(z) 0 V (z) q(z) =ib, b R φ Hol(D, D) φ id D τ D φ τ D lim z τ φ(z) =τ α = φ(z) τ lim z τ z τ 0 <α 1 0 <α<1 φ α =1 φ τ φ {g t } t 0 g 0 =id D τ τ {g t } t 0 V (z) τ D p : D C Re p 0 V (z) =(z τ)( τ z 1) p(z), z D. V (z) 0 τ {g t } t 0 p(z) τ V (z) g t (z) τ D t + {g t } t 0 D D D f : D 1 D 2 {g 1 t } t 0 D 1 {g 2 t } t 0 = {φ g 1 t φ 1 } t 0 D 2 V 1 V 2 {g 1 t } t 0 {g 2 t } t 0 V 1 V 2 φ V 2 V 1 φ V 2 = φ V 1 φ V 1 (z) = 1 φ 1 (z) V 1(φ 1 (z)).

14 f C 1 D z = x + iy f = f z = 1 ( 2 x i ) f, y f = f z = 1 ( 2 x + i ) f. y V D V f C 1 (D, C) f ( V + V ) f. L V L V = V + V. L V f V L V f f V ; L V f = LV f, L V Re f = ReL V f L V Im f = Im L V f L V ( f) = L V f, L V ( f) = L V f V D C n f : C n C z =(z 1,...,z n ) = ( ) z 1,..., z n = ( ) z 1,..., z n V (z) =(V1 (z),...,v n (z)) f V L V f(z) = ( V (z) + V (z) ) f(z). X t {F t } t 0 B t T>0 X t

15 B t [0,T] T 0 X t db t := lim n Δt 0 j=1 X tj 1 ( Btj B tj 1 ), 0=t 0 <t 1 <...<t n = T Δt := max j=1,..., n (t j t j 1 ) T 0 X t db t := lim n Δt 0 j=1 X t j 1 +t j 2 ( Btj B tj 1 ). T>0 T 0 X s db s t 0 X s db s Y t {F t } t 0 ( ) t P Y t = X s db s =1 t 0. 0 t 0 X s db s E ( T0 Xs 2 ds ) < T>0 t 0 X s db s P ( T0 Xs 2 ds < ) =1 Y t {F} t 0 M t M t = M 0 + t 0 X s db s F t X t X t Y t X T,Y T = X, Y T := lim n Δt 0 j=1 (X tj X tj 1 )(Y tj Y tj 1 ) 0 = t 0 < t 1 <... < t n = T Δt := max j=1,..., n (t j t j 1 ) X t Y t X t (ω) = Y t (ω) = t t b 1(ω, s) ds + σ 1(ω, s) db s (ω), 0 0 t t b 2(ω, s) ds + σ 2(ω, s) db s (ω), 0 0

16 b j (ω, t) σ j (ω, t) j =1, 2 F t ( ) ( T ) T P b j(ω, s) ds < =1, P σ j(ω, s) 2 ds =1, 0 0 T > 0 j =1, 2 X, Y t (ω) = t 0 σ 1(ω, s) σ 2 (ω, s) ds. T 0 X t db t = T 0 X t db t X, B T. w t = X 1 t + ix 2 t X 1 t X 2 t f : C C w t t f(w t )=f(w 0 )+ f(w s) dw s + 0 t f(w s ) d w s t + f(w s ) d w, w s, 0 t 0 t 0 f(w s ) d w s 2 f(w s ) d w s df (w t )= f(w t ) dw t + f(w t ) d w t f(w t ) d w t f(w t ) d w t + f(w t ) d w, w t. w t t n t w t = w 0 + b(w s) ds + σ k(w s ) dbs k, 0 0 b σ n B 1 t,...,b n t k=1 dw t = b(w t ) dt + n k=1 σ k (w t ) db k t.

17 dw t = b(w t )+ 1 2 n k=1 σ k (w t ) σ k(w t ) dt + w t = w 0 + t 0 b(w s )+ 1 2 n k=1 n k=1 σ k (w s ) σ k(w s ) ds + σ k (w t ) db k t, n t k=1 0 σ k(w s ) db k s. f : C C f(w t ) df (w t )=L b f(w t ) dt + = L b n k=1 n L 2 σ k k=1 L σk f(w t ) db k t f(w t ) dt + n k=1 L σk f(w t ) db k t. w t C n f C 2 n b : C n C σ k : C n C {g t } t 0 t g t(z) =V (g t (z)), g 0 (z) =z, t g t ( ) D V D g t Hol(D, D) t 0 z D w t (z) w 0 = z {w t } t 0 dw t (z) =b(w t (z),t) dt + n k=1 σ k (w t (z),t) dbt k, w 0 (z) =z, z D. σ k (w) w σ k(w) f t(z) z f t(z)

18 b(z,t), σ 1 (z,t),...σ n (z,t) C 2 z C 1 t T (z) w t (z) w t (z) =z T (z) D t t>0 D t = {z D : T (z) >t} D s D t s t R t D t w t R t := w t (D t ) w t : D t R t t 0 1 b(z,t) C 1 t>0 C d z D σ 1 (z,t),...,σ n (z,t) C 1 t C d+1 z w t : D t R t C d t 0 1 b(z,t), σ 1 (z,t),...σ n (z,t) C 1 t>0 C z D w t (z) :D t R t C t 0 1 b(z,t), σ 1 (z,t),...σ n (z,t) C 1 t>0 z D w t (z) :D t R t t 0 1 w t (z) dw t (z) =b(w t (z)) dt + n k=1 σ k (w t (z)) dbt k, w 0 (z) =z, z D, b(z) σ 1 (z),...,σ n (z) C w t (z) D t 0 g w t (z) dw t (z) =b(w t (z),t) dt + n k=1 σ k (w t (z),t) dbt k, w 0 (z) =z, z D,

19 d w t (z) = b( w t (z),t) dt + n k=1 σ k ( w t (z),t) dbt k, w 0 (z) =z, z D, T (z), T (z) {ζ t } t 0 ζ t := w t w t U(z) := min[inf{t >0:w t (z) D t },T(z)] D t = {z D : T (z) >t} dζ t (z) = [ b(ζt (z),t)+ w t b(ζ t (z),t) ] dt + n k=1 [ σ k (ζ t (z),t)+ w t σ k (ζ t (z),t)] db k t, {η t } t 0,η t = wt 1 dη t (z) = (η t b)(η t (z),t) dt = η t (z) b(z,t) dt n k=1 n k=0 (η t σ k )(η t (z),t) db k t η t (z) σ k (z,t) db k t, SLE κ SLE(κ, ρ)

20 t t H = {z :Imz>0} S = {z :0< Im z<1} d [1, + ] {φ s,t } 0 s t<+ φ s,s = id D φ s,t = φ u,t φ s,u 0 s u t<+ z D T > 0 k z,t L d ([0,T], R), φ s,u (z) φ s,t (z) 0 s u t T. t u k z,t(ξ)dξ

21 z D φ s,t (z) t [s, + ) d [1, + ] V : D [0, + ) C [0, + ) t V (z,t) z D z V (z,t) t [0, + ) K D T > 0 k K,T L d ([0,T], R), V (z,t) k K,T (z) z K t [0,T] t [0, + ) V (,t) {φ s,t } d 1 V (z,t) d, z D t [0, + ) t φ s,t(z) =V (φ s,t (z),t). V (z,t) d 1 {φ s,t } 0 s t<+ d H(z,t) H(z,t) =V (z,t) z D t [0, + ) {f t } 0 t< f t : D C d [1, + ] f t f s (D) f t (D) 0 s<t<+, K D T>0 k K,T L d ([0,T], R) f s (z) f t (z) k K,T (ξ)dξ s z K 0 s t T. t

22 f t (D) t {f t } t 0 d {φ s,t } d φ s,t = f 1 t f s. {φ s,t } 0 s t<+ d {f t } t 0 d, φ s,t = ft 1 f s 0 s t f(0) = 0 f (0) = 1 Ω:= t 0 f t (D) {z : z < R} R (0, + ]. {g t } t 0 = {F f t } t 0, F :Ω C R 1/β 0, φ β 0 = lim 0,t(0) t + 1 φ 0,t (z) 2. {f t } t 0 d s f s(z) = V (z,s)f s(z) ( s 0), V (z,s) {φ s,t } 0 s t<+. V (,t) t 0 p t d [1, + ) p : D [0, + ) C, t p(z,t) L d loc([0, + ), C) z D z p(z,t) D t [0, + )

23 Re p(z,t) 0 z D t [0, + ) V (z,t) d 1 t V (,t) 0 τ :[0, + ) D p(z,t) d, z D t [0, + ) V (z,t) =(z τ(t)) (τ(t) z 1) p(z,t). τ :[0, + ) D p(z,t) d 1, d {φ s,t } V (z,t) (p, τ) V (z,t) {φ s,t } 0 s t<+ τ(t) V (z,t) {φ s,t } 0 s t<+ d [1, + ] {φ s,t } 0 s t<+ Hol(D, D) d φ s,s =id D φ s,t = φ s,u φ u,t 0 s u t< z D T > 0 k z,t L 2 ([0,T], R) φ s,u (z) φ s,t (z) k z,t(ξ) dξ, u s, t, u [0,T] s u t d [1, + ] {f t } t 0 Hol(D, D) d t

24 f t : D D f 0 =id D, f s (D) f t (D) 0 s<t<+ K D T > 0 k K,T L d ([0,T], R) f s (z) f t (z) k K,T (ξ)dξ s z K 0 s t T {f t } t 0 t φ s,t (z) =f 1 s f t, 0 s t<. {φ s,t } 0 s t<+ f t (z) :=φ 0,t V d [1, + ] z D, g t (z) D t g t(z) = V (g t (z),t), g 0 (z) =z. t 0, D t z D, g t (z) t, g t (z) z D t D t D f t := gt 1 d t f t(z) =f t(z) V (z,t), f 0 =id D. D t = g 1 t (D) =f t (D) t K t = D \ D t t {D t } t 0 {K t } t 0 0 s t< D s D t K s K t

25 τ(t) τ 0 τ 0 D τ 0 =0 p(0,t) 1 p(z,t) V (z,t) = zp(z,t), p(z,t) p(0,t) 1. p(0,t) 1 φ s,t (z) =e s t z +..., z D, f t (z) =e t z +..., z D. f t (z) =e t z +..., z D. {φ s,t } 0 s t<+ {f t } t 0 lim t et φ 0,t (z) =f 0 (z) V (z,t) = z eiu(t) + z e iu(t), u(t). z

26 D C D C \ C D {f t } t 0 t f t(z) =z eiu(t) + z e iu(t) z f t(z) u(t) f t(0) = e t ɛ>0 δ>0 s, t 0 0 t s δ f t (D) ɛ 0 f t (D)\f s (D) {f t } t 0 f t(0) = e t Γ:[0, + ) C t 0 f t (D) C \ Γ[t, + ) 0 Γ {f t } t 0 u(t) u(t) f(0) = 0 f (0) = 1 S S f S f(z) =z + a 2 z 2 + a 3 z , z D. a n n S n =2 a 2 =2 f(z) =e iθ k(e iθ z) θ [0, 2π) k(z) k(z) = z (1 z) 2 = z +2z2 +3z , z D. n =3

27 n =4, 5 6 n a n = n f S n N f(z) =e iθ k(e iθ z) θ [0, 2π) f S f(d) =C \ Γ Γ Γ=(, 1/4] S f {f t } t 0 f(z) =f 0 (z) {f t } t 0 {φ s,t } 0 s t<+ lim t et φ 0,t (z) =f 0 (z). F : S C S S S n S n S u(t) S S τ(t) τ 0 τ 0 D

28 D τ 0 = 1 V (z,t) = (z +1) 2 p(z,t). H τ 0 D H z 2 i 1 z 1+z, ( ) 2i z V H (z,t) =4ip 2i + z,t = i p(z,t), p(z,t) :=4p ( 2i z 2i+z,t) z H t 0 Re p(z,t) 0 z H V H 1 (z,t) = u(t) z, u(t) t i p(z,t) = z u(t), 2 V H 2 (z,t) = u(t) z. t f 2 t(z) = f, t(z) u(t) f 0 (z) =z, z H, t f 1 t(z) = f 0 (z) =z, tanh[(f t(z) u(t))/2], z S,

29 u(t) :[0, + ) R S {z :0< Im z<π} { f t } t 0 f t = φ f t φ 1 φ : S D φ(z) :=i ez i e z + i. φ 0 1 i + i { f t } t 0 f t t (z) = V ( f t (z),t), f 0 (z) =z, z D V (z,t) = 1 2 (1 + z2 ) 1 iz+ eu(t) (z i) i + z e u(t) (1 + iz) < 1 V (z,t) = tanh[(z u(t))/2] φ V (i, t) = V ( i, t) = 0 t 0 ±i { f t } t 0 τ(t) = sech u(t)+i tanh u(t). u(t) u(t) {φ s,t } 0 s t<+ φ s,t (D) 0 s t<+ [0, ) C u(t) Lip(1/2) 1/2

30 u 1/2loc < 4 u 1/2loc := inf sup u(t) u(s). ɛ>0 t s <ɛ t s u(t) u(s) lim t s t s SLE κ u(t) = κb t B t κ>0 SLE κ t f t(z) =f t (z) ei κbt + f t (z) e i κb t ft (z), f 0(z) =z, z D, SLE κ t f 2 t(z) = f t (z), f 0 (z) =z, z H, κb t SLE κ t f 2 t(z) = tanh[(f t (z) κb t )/2], f 0(z) =z, z S. γ γ SLE κ SLE κ SLE κ SLE κ>0 SLE κ γ κ [0, 4] κ (4, 8) κ [8, ) SLE κ min (2, 1+κ/8)

31 SLE SLE SLE κ SLE κ (D, 1, 0) D a D b D φ : D D φ(0) = b ˆφ(1) = a SLE κ (D, a, b) =SLE κ (φ(d), ˆφ(1),φ(0)) D a b γ SLE κ (D, 1, 0) φ γ SLE κ (φ(d), ˆφ(1),φ(0)) γ[0,t] SLE κ (D t,γ(t),b) D t D \ γ[0,t] b SLE κ (D t,γ(t),b) γ SLE SLE κ w t (z) =f t (z)/e i κb t dw t (z) =w t (z) 1+w t(z) 1 w t (z) dt i κw t db t, w 0 (z) =z, z D. D C 0 (D) D {p n } n=1 C 0 (D) p C 0 (D) K supp(p n p) K n =1, 2,...

32 m+p m x p y p n m+p m x p yp n K m, p = 1, 2,... C0 (D) T C0 (D) T (p n ) T (p) p n p C0 (D) D D(D) D (D) A D (, ) L 2 (D, A) (p, q) := D p(z) q(z) da(z), p q L 1 loc(d, A) D h L 1 loc(d, A) h L 1 (U) U U D L 1 loc(d) L p (D, A) L 1 loc(d, A) p 1 h L 1 loc(d, A) h L 2 (D, A) (h, p) p D(D) h D p (h, p), p D(D), L 1 loc(d) D (D) D (h, p) h p D w D f w : D D f w (w) =0, f w(w) > 0 D G D (z,w) = log f w (z). G D (z,w) = log 1 wz z w G H (z,w) = log z w z w p D(D) 1 2π G D(z,w)Δp(w) da(w) =p(z). D Δ w G D (z,w) =2πδ(z w), z D, G D (z,w) =0, z D.

33 Δ D(D) ker Δ = {0} D(D) Δ Δ 1 p(z) = 1 2π G D(z,w) p(w) da(w). D D(D) L 2 (D, A) (, ) (, ) L 2 (D,A) p, q D(D) (p, q) := D p(z) q(z) da(z). p, q D(D) (p, q) := D p(z) q(z) da(z). D(D) (p, q) E(D) := 2 G D(z 1,z 2 ) p(z 1 ) q(z 2 ) da(z 1 ) da(z 2 ). D D p, q D(D) (p, q) = 1 4π ( Δp, q) E(D), (p, q) =( Δp, q), (p, q) = 1 4π (Δp, Δq) E(D). D(D) p := (p, p), p := (p, p), p E(D) := (p, p) E(D). p p p E(D) p (Ω, F, P) D Φ:Ω D (D) Φ GF F D p D(D) (Φ, p) p 2 E(D)

34 Cov ((Φ, p), (Φ, q)) = (p, q) E(D). H(D) D(D) (, ) H(D) H(D) L 2 (D, A) L 1 loc(d) D (D) {e n } n=1 H(D) {α n } n=1 2 π α n e n. n=1 p D(D) 2 π n=1 α n (p,e n ) L 2 (Ω, P) 2 π n=1 α n (p,e n ) 2 L 2 (Ω,P)= 4π n=1 (p,e n ) 2, 4π n=1 (p,e n ) 2 =4π n=1 ( Δ 1 p,e n ) 2 =4π Δ 1 p 2 = p 2 E(D)<, p D(D) Φ D Φ=2π n=1 α n e n {e n } n=1 H(D) {α n } n=1 B D D H(B) H(D) Harm(B) H(D) H(D) =H(B) Harm(B). P H(B) P Harm(B)

35 f Harm(B) (f,g) =0 g H(B) (f,δg) L 2 (B,A) =0 g H(B). B Harm(B) H(D) B Φ B B Φ B := 2 π n=1 α n f n {f n } n=1 H(B) {α n } n=1 Φ B D p D(D) (Φ B, p) p 2 E(B) p D(D) (Φ B, p) =2 π =2 π =2 π n=1 n=1 n=1 α n (f n, p) α n (f n, Δ 1 p) α n (f n,p H(B) ( Δ 1 p)), (Φ B, p) 4π P H(B) ( Δ 1 p) 2 = ΔP H(B) ( Δ 1 p) 2 E(B) = ΔP H(B) ( Δ 1 p)+δp Harm(B) ( Δ 1 p) 2 E(B)= p 2 E(B). GF F h D h D (D) GF F h ˆΦ D =Φ D +h GF F h D ˆΦ D h h μ h D B D A(D\B) ˆΦ B =Φ B +h GF F B p D(D) Φ B D h B (h, p) L 2 (D,A) = D h(z) p(z) da(z)

36 ˆΦ B D GF F φ : D 1 D 2 Ψ D (D 2 ) Ψ φ Ψ φ D 1 (Ψ φ, p) =(Ψ, (φ 1 ) 2 p(φ 1 )), p C 0 (D 1 ). Ψ L 1 loc(d 2 ) Ψ(φ(z)) p(z) da(z) = Ψ(w) (φ 1 (w)) 2 p(φ 1 (w)) da(w). D 1 D 2 Φ D2 φ D 2 GF F D 1 SLE GF F SLE 4 GF F SLE κ κ SLE GF F SLE 4 Φ H Φ H ˆΦ H =Φ H 2 arg z. ˆΦ H ˆΦ H =0 ˆΦ H = π B t ˆΦ H {w t } t 0 SLE 4 dw t (z) = 2 w t (z) dt 2 db t, w 0 (z) =z, z H. ˆΦ H SLE 4 T > 0 ˆΦ H ˆΦ H w T

37 {φ s,t } 0 s t<+ t φ s,t(z) = φ s,t (z) eiu(t) +φ s,t(z) e iu(t) φ, s,t(z) φ s,s (z) =z, z D, {f t } t 0 t f t(z) =zf t(z) eiu(t) + z e iu(t) z, f 0(z) = lim t e t φ 0,t (z). {f t } t 0 φ s,t = ft 1 f s {f t } t 0 [0, + ) φ s,t (D) D \ φ s,t (D) γ D \ γ 0 u(t) D \ γ u(t) φ 0,t0 (D) =D \ γ t 0 > 0 u(t) Ĉ φ s,t (D)

38 u(t) Lip(1/2) u(t) 1/2loc (4, ) Lip(1/2) u(t) 1/2loc =0 V (t, z) =(z τ(t))(τ(t) z 1) p(z,t), τ(t) =e ikbt,k 0 τ(t) =e ikbt k R t φ t(z) = (τ(t) φt(z))2 τ(t) p(φ t (z),t), φ 0 (z) =z, z D. p(z,t) = p(z/τ(t)) p(z) :D C ψ t (z) = φt(z) τ(t) t ψ t(z) =(ψ t (z) 1) 2 p(ψ t (z)) ikψ t (z), ψ 0 (z) =z. {ψ t } t 0 {ψ t } t 0 {φ t } t 0 {φ t } t 0 Aut(D) p(z,t) = p(z/τ(t)) p(z) =A 1+z + Bi, A,B R. 1 z ψ t k τ(t)

39 2( Im p(0) p(0) ) <k<2( Im p(0) + p(0) ) 2( Im p(0) p(0) ) <k<2( Im p(0) + p(0) ) k<2( Im p(0) p(0) ) k>2( Im p(0) + p(0) ) φ t (z) k 4 A 2 +4 Bk+k 2 {ψ t } t 0 p(z) p(z,t) = p(z/τ(t)) w t = φ t /e ikbt dw t = ( k2 2 w t +(w t 1) 2 p(w t ) ) dt ikw t db t, w 0 (z) =z. {w t } t 0 {φ t (D)} t 0 SLE SLE dw t (z) =b(w t (z)) dt + σ(w t (z)) db t, w 0 (z) =z, z D, D b σ w t Hol(D, D) t 0 b σ w t Aut(D) t 0

40 b(z) dh t (z) =σ(h t (z)) db t, H 0 (z) =z, z D, D {H t } t 0 t h t(z) =σ(h t (z)), h 0 (z) =z, z D H t = h Bt {g t } t 0 g t := Ht 1 w t = w t h 1 B t dg t (z) = ( h 1 B t b ) (g t (z)) dt, g 0 (z) =z, z D. ( h 1 B t b ) {g t } t 0 Hol(D, D) {w t } t 0 Hol(D, D) b σ D SLE dw t (z) = b(w t (z)) dt + σ(w t (z)) dbt k, w 0 (z) =z, z D, b σ D t = {z D : w t (z) t}, w t : D t D t 0 g t = Ht 1 w t dg t (z) = ( h 1 B t b ) (g t (z)) dt, g 0 (z) =z, z D, {g t } t 0

41 b SLEs b D lim Re r 1 b(reiθ ) re iθ =0 e iθ D e iθ0 e iθ0 =1 D b D ( b(z) =α z iβ+ γ 1+z ) αz 2, 1 z z D, α C, β R γ 0 l H n (z) := z n+1, n Z, z H, D l D n := φ l H n φ : H D l D n φ φ(z) = z 2i z+2i l D n(z) = 2 n 1 ( i) n (z 1) n+1 (z +1) n+1. S = {z :0< Im z<π} ψ(z) = Log 2+z 2 z ( ) l S n(z) =ψ l H n (z) = 2 n sinh(z) tanh n z. 2 D span R {l D 1,l D 0,l D 1 } l D n,n= 2,...,1 D b D b(z) =b 2 l D 2(z)+b 1 l D 1(z)+b 0 l D 0 (z)+b 1 l D 1 (z), b 2 0 b 1,b 0,b 1 R D l D n l D n

42 D D σ D b D b(z) =b 2 l D 2(z)+b 1 l D 1(z)+b 0 l D 0 (z)+b 1 l D 1 (z), b 2 0,b 1,b 0,b 1 R, σ(z) =σ 1 l D 1(z)+σ 0 l D 0 (z)+σ 1 l 1, σ 1,σ 0,σ 1 R, σ 1 0. u t :[0, + ) R b, σ u t {f t } t 0 V (t, z) = ( h 1 u t b ) (z), {h t } t 0 D σ b 2 =2, σ 1 =1, b σ 2l 2 l 1 2l l 0 l l 1 2l l 0 l l 1 u t = κb t κ 0 w t = h κb t g t dw t (z) = b(w t (z)) dt + κσ(w t (z)) db t, w 0 (z) =z, z D. {w t } t 0 b σ SLE κ κ [0, 4] κ (4, 8) κ [8, )

43 ABP SLE b =2l 2 σ = l l 1 t f t(z) = 1 (e iu(t) + f t (z)) 3 4 e iu(t) e iu(t) f t (z). τ(t) = e iu(t) p(z) = 1 1+z 4 1 z u(t) = κb t κ 0 ABP SLE ABP {f t } t 0 SLE ABP {w t } t 0 b σ κ =4 {w t } t 0 dw t (z) = b(w t (z)) dt +2σ(w t (z)) db t, w 0 (z) =z, z H. Φ H H B t b σ h H ˆΦ H := Φ H + h(z), ˆΦ H w T ˆΦ H T>0 GF F SLEs dg H (w t (z 1 ),w t (z 2 )) = 1 2 h(w t(z 1 )),h(w t (z 2 )), G H H, z 1,z 2 H z 1 z 2 h

44 h(w t (z)) t h SLE 4 2 B t αt, α R αt b(z) = 2 z α, σ = 1, h(z) = α 2 Im z 2 arg z. b(z) = 2 z βz,β R, σ = 1, h(z) = 2 arg z. SLE 4 2 B t αt, α R b(z) = 2 z α + z 2 + α 4 z2, h(z) = 1 α arg(2 z) 2 arg z + 1+α arg(2 + z). 2 2 b(z) = 2 ( z +1 β 1 ) ( 1 z 2 4 β ) z 2,β R, 2 h(z) = 2 arg(2 z) 2 arg z, b(z) = 2 ( z 1 β 1 ) ( β z ) z 2,β R, 4 h(z) = 2 arg(2 + z) 2 arg z, SLE 4 2 B t αt α R b(z) = 2 z α z 2 α z2 4, α R, h(z) = 2 α Im arctan 2 z 2 arg z + 1 arg(4 + z 2 ). 2 GF F α = 0 SLE 4 h GF F

45 b σ SLEs ABP SLE ABP SLE SLEs SLE SLE(κ; ρ) SLEs SLE(κ; ρ) SLE(κ; ρ)

46

47

48 SLE(4)

49

50

51 SLE 4

52

Μιγαδική Ανάλυση. Δρ. Θ. Ζυγκιρίδης

Μιγαδική Ανάλυση. Δρ. Θ. Ζυγκιρίδης Μιγαδική Ανάλυση Δρ. Θ. Ζυγκιρίδης 2 Περιεχόμενα 1 Μιγαδικοί αριθμοί 1 1.1 Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες............................. 1 1.2 Γεωμετρική αναπαράσταση των μιγαδικών αριθμών.................

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟΙ ΚΑΤΕΡΓΑΣΙΑΣ. κατά τον άξονα Ζ.

ΚΥΚΛΟΙ ΚΑΤΕΡΓΑΣΙΑΣ. κατά τον άξονα Ζ. ΚΥΚΛΟΙ ΚΑΤΕΡΓΑΣΙΑΣ Οι κύκλοι κατεργασίας χρησιµοποιούνται για ξεχόνδρισµα - φινίρισµα ενός προφίλ χωρίς να απαιτείται να προγραµµατίζουµε εµείς τα διαδοχικά πάσα της κατεργασίας. Έτσι, στο πρόγραµµα περικλείουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ -11 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Ο ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ ΙΟΥΝΙΟΣ 11 Pappas Ath...page 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Α Ρ Χ Α Ι Α Ι Σ Τ Ο Ρ Ι Α Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Σ η µ ε ί ω σ η : σ υ ν ά δ ε λ φ ο ι, ν α µ ο υ σ υ γ χ ω ρ ή σ ε τ ε τ ο γ ρ ή γ ο ρ ο κ α ι α τ η µ έ λ η τ ο ύ

Διαβάστε περισσότερα

Τυπολογίο Μαθηµατικών Μεθόδων Φυσικής ΙΙ

Τυπολογίο Μαθηµατικών Μεθόδων Φυσικής ΙΙ . Μέθοδος Frobenius Τυπολογίο Μαθηµατικών Μεθόδων Φυσικής ΙΙ d w Γενική µορφή της γραµµικής.ε. ης τάξης: dz + P (z)dw + Q(z)w = dz Μορφή της.ε. όταν το σηµείο z = z είναι κανονικό ανώµαλο σηµείο d w dz

Διαβάστε περισσότερα

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033 Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische

Διαβάστε περισσότερα

ιανύσµατα A z A y A x 1.1 Αλγεβρικές πράξεις µεταξύ διανυσµάτων 1.2 Εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων ca = ca x ˆx + ca y ŷ + ca z ẑ

ιανύσµατα A z A y A x 1.1 Αλγεβρικές πράξεις µεταξύ διανυσµάτων 1.2 Εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων ca = ca x ˆx + ca y ŷ + ca z ẑ 1 ιανύσµατα Ο ϕυσικός χώρος µέσα στον οποίο Ϲούµε και κινούµαστε είναι ένας τρισδιάστατος ευκλείδειος γραµµικός χώ- ϱος. Ισχύουν λοιπόν τα αξιώµατα της Γεωµετρίας του Ευκλείδη, το πυθαγόρειο ϑεώρηµα και

Διαβάστε περισσότερα

F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2

F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2 F (x) = kx x k F = F (x) U(0) U(x) = x F = kx 0 F (x )dx U(x) = U(0) + 1 2 kx2 x U(0) = 0 U(x) = 1 2 kx2 U(x) x 0 = 0 x 1 U(x) U(0) + U (0) x + 1 2 U (0) x 2 U (0) = 0 U(x) U(0) + 1 2 U (0) x 2 U(0) =

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Διαχείριση Σηµάτων σε Ψηφιακά Συστήµατα Ελέγχου

Κεφάλαιο 2 Διαχείριση Σηµάτων σε Ψηφιακά Συστήµατα Ελέγχου Κεφάλαιο 2 Διαχείριση Σηµάτων σε Ψηφιακά Συστήµατα Ελέγχου Μετατροπή Αναλογικού Σήµατος σε Ψηφιακό (A/D Conversion) Ο µετασχηµατισµός Ζ Μαθηµατική Ανάλυση της ιαδικασίας A/D Μετατροπή Ψηφιακού Σήµατος

Διαβάστε περισσότερα

a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Βαθμωτές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Βαθμωτές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών f

Διαβάστε περισσότερα

B G [0; 1) S S # S y 1 ; y 3 0 t 20 y 2 ; y 4 0 t 20 y 1 y 2 h n t: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 1; 3: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 2; 4: r = 10 5 ; a = 10 6 t = 20

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Θεωρία Δικτύων

Μάθημα: Θεωρία Δικτύων Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχ/κών και Μηχ/κών Υπολογιστών, Ε.Μ.Π., Ακαδημαϊκό Έτος 7-8, 5ο Εξάμηνο Μάθημα: Θεωρία Δικτύων Ανάλυση Ευσταθείας Κων/νος Τζαφέστας Τομέας Σημάτων, Ελέγχου & Ρομποτικής Σχολή Ηλεκτρ.

Διαβάστε περισσότερα

-! " #!$ %& ' %( #! )! ' 2003

-!  #!$ %& ' %( #! )! ' 2003 -! "#!$ %&' %(#!)!' ! 7 #!$# 9 " # 6 $!% 6!!! 6! 6! 6 7 7 &! % 7 ' (&$ 8 9! 9!- "!!- ) % -! " 6 %!( 6 6 / 6 6 7 6!! 7 6! # 8 6!! 66! #! $ - (( 6 6 $ % 7 7 $ 9!" $& & " $! / % " 6!$ 6!!$#/ 6 #!!$! 9 /!

Διαβάστε περισσότερα

ΜΜΦ Ι 1/ Μαθηµατικές Μέθοδοι Φυσικής ΙΙ. (Μάθηµα επιλογής) Μιγαδικοί αριθµοί - `Αλγεβρα των Μ.Α. + b n sin nπx. a n cos nπx.

ΜΜΦ Ι 1/ Μαθηµατικές Μέθοδοι Φυσικής ΙΙ. (Μάθηµα επιλογής) Μιγαδικοί αριθµοί - `Αλγεβρα των Μ.Α. + b n sin nπx. a n cos nπx. ΜΜΦ Ι /6--9 Μαθηµατικές Μέθοδοι Φυσικής Ι Το µάθηµα περιλαµβάνει:. Μιγαδικές συναρτήσεις.ανάλυση F ourier α. Σειρές F ourier β. Μετασχηµατισµοί F ourier 3. Συνάρτηση έλτα Μαθηµατικές Μέθοδοι Φυσικής ΙΙ

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Μιγαδικής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης

Σηµειώσεις Μιγαδικής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης Σηµειώσεις Μιαδικής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Ηρακλειο Περιεχόµενα Κεφάλαιο 1. Εισαωικά 5 Η αλεβρική δοµή 5 Η τοπολοική δοµή τού 6 Το εκτεταµένο µιαδικό επίπεδο 7 Συνεκτικότητα

Διαβάστε περισσότερα

Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913

Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913 Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913 ΠΡΑΞΗ ΚΑΤΑΘΕΣΗΣ ΟΡΩΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Σ τ η ν Π ά τ ρ α σ ή μ ε ρ α σ τ ι ς δ ε κ α τ έ σ σ ε ρ ι ς ( 1 4 ) τ ο υ μ ή ν α Ο κ τ ω β ρ ί ο υ, η μ έ ρ α Τ ε τ ά ρ τ η, τ ο υ έ τ ο υ ς δ

Διαβάστε περισσότερα

!"#$ % &# &%#'()(! $ * +

!#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))

Διαβάστε περισσότερα

m 1, m 2 F 12, F 21 F12 = F 21

m 1, m 2 F 12, F 21 F12 = F 21 m 1, m 2 F 12, F 21 F12 = F 21 r 1, r 2 r = r 1 r 2 = r 1 r 2 ê r = rê r F 12 = f(r)ê r F 21 = f(r)ê r f(r) f(r) < 0 f(r) > 0 m 1 r1 = f(r)ê r m 2 r2 = f(r)ê r r = r 1 r 2 r 1 = 1 m 1 f(r)ê r r 2 = 1 m

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί αριθμοί και στοιχειώδεις συναρτήσεις

Μιγαδικοί αριθμοί και στοιχειώδεις συναρτήσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί και στοιχειώδεις συναρτήσεις Σε αυτό το κεφάλαιο εισάγονται οι µιγαδικοί αριθµοί, οι στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις, και οι βασικές τους ιδιότητες. Όπως θα δούµε, οι µιγαδικοί αριθµοί

Διαβάστε περισσότερα

X = συνεχης. Είναι εμφανές ότι αναγκαία προϋπόθεση για την ύπαρξη της ροπογεννήτριας

X = συνεχης. Είναι εμφανές ότι αναγκαία προϋπόθεση για την ύπαρξη της ροπογεννήτριας Ροπογεννήτριες (mome geerig fucios), πιθανογεννήτριες (robbiliy geerig fucios) και χαρακτηριστικές συναρτήσεις (chrcerisic fucios) Η ροπογεννήτρια συνάρτηση της τμ είναι η πραγματική συνάρτηση πραγματικής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 2003

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 2003 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ο Θέµα Α. α) Έστω η συνάρτηση στο κάθε f δ) R τις τιµές του γ) Αν η συνάρτηση παραγωγίσιµη σε αυτό. Τότε ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Bessel functions. ν + 1 ; 1 = 0 for k = 0, 1, 2,..., n 1. Γ( n + k + 1) = ( 1) n J n (z). Γ(n + k + 1) k!

Bessel functions. ν + 1 ; 1 = 0 for k = 0, 1, 2,..., n 1. Γ( n + k + 1) = ( 1) n J n (z). Γ(n + k + 1) k! Bessel functions The Bessel function J ν (z of the first kind of order ν is defined by J ν (z ( (z/ν ν Γ(ν + F ν + ; z 4 ( k k ( Γ(ν + k + k! For ν this is a solution of the Bessel differential equation

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑ (Σεπτέμβριος 2008)

ΠΡΟΒΛΗΜΑ (Σεπτέμβριος 2008) ΠΡΟΒΛΗΜΑ (Σεπτέμβριος 008) Για τον Γεωμετρικό Τόπο των Ριζών της συνάρτησης μεταφοράς as + s + 9 G(s) s(s 5)(s + b) με Κ>0 δίδεται ότι η τομή των ασυμπτώτων είναι το σημείο σ -(0+Ν 0 ) όπου Ν 0 το τελευταίο

Διαβάστε περισσότερα

L A TEX 2ε. mathematica 5.2

L A TEX 2ε. mathematica 5.2 Διδασκων: Τσαπογας Γεωργιος Διαφορικη Γεωμετρια Προχειρες Σημειωσεις Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών Σάμος Εαρινό Εξάμηνο 2005 στοιχεοθεσια : Ξενιτιδης Κλεανθης L A TEX 2ε σχεδια : Dia mathematica

Διαβάστε περισσότερα

Σημείωση. Δημήτρης Φουσκάκης Λέκτορας ΕΜΠ

Σημείωση. Δημήτρης Φουσκάκης Λέκτορας ΕΜΠ Σημείωση Οι σημειώσεις αυτές περιλαμβάνουν λύσεις ασκήσεων Πιθανοτήτων και συγκροτήθηκαν εν όψει των αναγκών των σπουδαστών ΣΕΜΦΕ στo μαθήματα Πιθανότητες του ου εξαμήνου από τον διδάσκοντα Δ Φουσκάκη

Διαβάστε περισσότερα

Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα : + +

Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα : + + Μετασχηματισμός aplace ορίζεται ως εξής : t X() [x( t)] xte () dt = = Ο αντίστροφος μετασχηματισμός aplace ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα : t x(t) = [ X()] = X() e dt π j c C είναι μία καμπύλη που

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ

ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ ΘΔΜΑ Α A Να απνδείμεηε όηη αλ νη ζπλαξηήζεηο f, g είλαη ζπλερείο ζε έλα δηάζηεκα Δ θαη f () g () γηα θάζε εζωηεξηθό ζεκείν ηνπ Δ, ηόηε ππάξρεη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Β Πρόχειρες σημειώσεις

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Β Πρόχειρες σημειώσεις ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Β Μιγαδική ανάλυση Μέρος Β Πρόχειρες σημειώσεις Παράγωγος συνάρτησης μιγαδικής μεταβλητής Πριν ορίσουμε την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης f(z) θα σταθούμε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική και υπολογιστική μοντελοποίηση βιολογικών συστημάτων και εφαρμογές Μέρος Ι: Εισαγωγή στη Στοχαστική Ανάλυση Βακερουδης Σταυρος E-mail: stavros.vakeroudis@gmail.com Ιστοσελίδα: https://svakeroudis.wordpress.com/

Διαβάστε περισσότερα

σ (9) = i + j + 3 k, σ (9) = 1 6 k.

σ (9) = i + j + 3 k, σ (9) = 1 6 k. Ασκήσεις από το Διανυσματικός Λογισμός των Marsden - romba και από το alculus του Apostol. 1. Βρείτε τα διανύσματα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης και την εξίσωση της εφαπτομένης για κάθε μία από τις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Α2. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Βolzano. Μονάδες 5

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Α2. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Βolzano. Μονάδες 5 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΡΙΤΗ 0 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 03 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Μαθηµατικών Μεθόδων Φυσικής Ι

Ασκήσεις Μαθηµατικών Μεθόδων Φυσικής Ι .. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ασκήσεις Μαθηµατικών Μεθόδων Φυσικής Ι Κατά τη λύση των ασκήσεων επάνω στους µιγαδικούς αριθµούς είναι χρήσιµο να έχουµε υπόψη ότι ένας µιγαδικός αριθµός µπορεί

Διαβάστε περισσότερα

1ος Θερμοδυναμικός Νόμος

1ος Θερμοδυναμικός Νόμος ος Θερμοδυναμικός Νόμος Έργο-Έργο ογκομεταβολής Αδιαβατικό Έργο Εσωτερική ενέργεια, U Πρώτος Θερμοδυναμικός Νόμος Θερμότητα Ολική Ενέργεια Ενθαλπία Θερμοχωρητικότητα Διεργασίες Ιδανικών Αερίων ΕΡΓΟ Κεφάλαιο3,

Διαβάστε περισσότερα

!"! #!"!!$ #$! %!"&' & (%!' #!% #" *! *$' *.!! )#/'.0! )#/.*!$,)# * % $ %!!#!!%#'!)$! #,# #!%# ##& )$&# 11!!#2!

!! #!!!$ #$! %!&' & (%!' #!% # *! *$' *.!! )#/'.0! )#/.*!$,)# * % $ %!!#!!%#'!)$! #,# #!%# ##& )$&# 11!!#2! # $ #$ % (% # )*%%# )# )$ % # * *$ * #,##%#)#% *-. )#/###%. )#/.0 )#/.* $,)# )#/ * % $ % # %# )$ #,# # %# ## )$# 11 #2 #**##%% $#%34 5 # %## * 6 7(%#)%%%, #, # ## # *% #$# 8# )####, 7 9%%# 0 * #,, :;

Διαβάστε περισσότερα

( [T]. , s 1 a as 1 [T] (derived category) Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter 4. [I] XI ). Gelfand Manin [GM1]

( [T]. , s 1 a as 1 [T] (derived category) Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter 4. [I] XI ). Gelfand Manin [GM1] 1 ( ) 2007 02 16 (2006 5 19 ) 1 1 11 1 12 2 13 Ore 8 14 9 2 (2007 2 16 ) 10 1 11 ( ) ( [T] 131),, s 1 a as 1 [T] 15 (, D ), Lie, (derived category), ( ) [T] Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter

Διαβάστε περισσότερα

+ 1 n 5 (η) {( 1) n + 1 m

+ 1 n 5 (η) {( 1) n + 1 m Κεφάλαιο Τοπολογία του. Στοιχεία Θεωρίας Ορισµός Αν α και ɛ > ονοµάζουµε ɛ-περιοχή του α ή περιοχή κέντρου α και ακτίνας ɛ και συµβολίζουµε N α (ɛ) το σύνολο όλων των αριθµών που έχουν απόσταση από το

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές Δυναμική Μηχανών I Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις 5 3 Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

= 1-3 i, να γράψετε στο τετράδιό σας τους αριθμούς της Στήλης Α και δίπλα σε κάθε αριθμό το γράμμα της Στήλης Β έτσι, ώστε να προκύπτει ισότητα.

= 1-3 i, να γράψετε στο τετράδιό σας τους αριθμούς της Στήλης Α και δίπλα σε κάθε αριθμό το γράμμα της Στήλης Β έτσι, ώστε να προκύπτει ισότητα. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ ΙΟΥΝΙΟΥ 1 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ 1o A.1. Δίνονται

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας ρυθμίσεων στο χώρο εγκατάστασης

Πίνακας ρυθμίσεων στο χώρο εγκατάστασης 1/8 Κατάλληλες εσωτερικές μονάδες *HVZ4S18CB3V *HVZ8S18CB3V *HVZ16S18CB3V Σημειώσεις (*5) *4/8* 4P41673-1 - 215.4 2/8 Ρυθμίσεις χρήστη Προκαθορισμένες τιμές Θερμοκρασία χώρου 7.4.1.1 Άνεση (θέρμανση) R/W

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Κλείνει με τις λύσεις όλων των θεμάτων του Μαίου

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Κλείνει με τις λύσεις όλων των θεμάτων του Μαίου ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το παρόν τεύχος δημιουργήθηκε για να διευκολύνει τους μαθητές στην ΆΜΕΣΗ κατανόηση των απαιτήσεων των πανελληνίων εξετάσεων δίνοντας τους τα θέματα των 4 χρόνων των κανονικών εξετάσεων του Μαίου

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Μετασχηματισμός Laplace 1. Ο μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΨΗ 1 ου Μαθήματος

ΣΥΝΟΨΗ 1 ου Μαθήματος Ενημέρωση Η διδασκαλία του μαθήματος, πολλά από τα σχήματα και όλες οι ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: «Πανεπιστημιακή Φυσική» του Hugh Young των Εκδόσεων Παπαζήση, οι οποίες μας επέτρεψαν τη χρήση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση ΙI

Μαθηματική Ανάλυση ΙI Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση ΙI Ενότητα 6: Παράγωγος κατά κατεύθυνση, κλίση, εφαπτόμενα επίπεδα Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

(απεικονίζεται µόνο η µία κεφαλή)

(απεικονίζεται µόνο η µία κεφαλή) ιπλό δισκοπρίονο DG 79/4,5 m + Ε 111 ίσκος Φ 380 mm Μήκος κοπής 4500 mm Ρύθµιση κοπής (περιστροφή βάσης) 45-90 -45 και ενδιάµεσες µοίρες Μπλοκάρισµα στις 15, 22,5, 30 και 45 Υδροπνευµατική πτώση δίσκων

Διαβάστε περισσότερα

Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence MRI in Multiple Sclerosis

Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence MRI in Multiple Sclerosis Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence MRI in Multiple Sclerosis Daniel García-Lorenzo To cite this version: Daniel García-Lorenzo. Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 3, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Ανάλυση Επικοινωνιακών Σημάτων κατά Fourier

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 3, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Ανάλυση Επικοινωνιακών Σημάτων κατά Fourier ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 3, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Ανάλυση Επικοινωνιακών Σημάτων κατά Fourier 2.2: Μετασχηματισμός Fourier (Fourier Transform, FT) 2.3: Ιδιότητες του

Διαβάστε περισσότερα

x[n]e X(z) = x[n]z n

x[n]e X(z) = x[n]z n Πανεπιστημιο Κυπρου Τμημα Ηλεκτρολογων Μηχανικων και Μηχανικων Υπολογιστων ΗΜΥ 30: Σηματα και Συστηματα ΙΙ Κεφάλαιο 6: Μετασχηματισμοί!"#!"#! "#$% Σημειώσεις διαλέξεων στο: http://www.eng.ucy.ac.cy/chadcha/

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες Νίκος Ν. Αρπατζάνης Παράγωγος ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ y y = f(x) x φ y y y = f(x) x φ y y y = f(x) φ x 1 x 1 + х x x 1 x 1 + х x x 1 x tanϕ = y x tanϕ = dy dx

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Σήματα και Συστήματα στο Πεδίο της Επιμέλεια: Αθανάσιος N. Σκόδρας, Καθηγητής Γεώργιος Α. Βασκαντήρας, Υπ. Διδάκτορας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Μαγνητικά Υλικά Υπεραγωγοί

Μαγνητικά Υλικά Υπεραγωγοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαγνητικά Υλικά Υπεραγωγοί ΥΠΕΡΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑ Διδάσκων: Καθηγητής Ιωάννης Παναγιωτόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ, ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ, ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ, ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ, ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ, ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ, ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 5. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Στα προηγούμενα κεφάλαια παρουσιάσαμε την έννοια της συνάρτησης συστήματος για αναλογικά

Διαβάστε περισσότερα

- - - - RWC( %) PF PS = 100 PT PS (%) PF PS = 100 PF WC TW BW FW PF PS PS PD PS PS TW BW = = = C 7.12 A A 660 + 16. 8 = 642.5 µ logn = log N0 + a exp(

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΠΟ ΤΟΥΣ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ κύριο ΦΟΥΝΤΟΥΛΑΚΗ ΜΑΝΩΛΗ κυρία ΦΟΥΝΤΟΥΛΑΚΗ ΑΓΓΕΛΙΚΗ του ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

k k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)

Διαβάστε περισσότερα

&,'-- #-" > #'$,"/'3&)##3!0'0#!0#/# 0'0';&'"$8 ''#"&$'!&0-##-""#;-# B

&,'-- #- > #'$,/'3&)##3!0'0#!0#/# 0'0';&'$8 ''#&$'!&0-##-#;-# B !"#"# $%"&$' ('#')#''$# * +,-""&$'.-,-"#!&"!##/'#')#''$# ** '$#/0'!0#'&!0"#"/#0"## * 1--'/''00#&'232232223#24 *5 ##-'"-&1-$6'#76#!$#0"$8&9-1$" * '$#&$'!&&1:"-#;6"/'-#

Διαβάστε περισσότερα

Παράγωγος Συνάρτησης. Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) = lim.

Παράγωγος Συνάρτησης. Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) = lim. Παράγωγος Συνάρτησης Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) x ξ g(x, ξ), g(x, ξ) f(x) f(ξ) x ξ Ορισμός Cauchy: ɛ > 0 δ(ɛ, ξ) > 0 x x ξ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής zi,

Διαβάστε περισσότερα

A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3

A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 16 0 17 0 17 0 18 0 18 0 19 0 20 A A = A 1 î + A 2 ĵ + A 3ˆk A (x, y, z) r = xî + yĵ + zˆk A B A B B A = A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 = A B θ θ A B = ˆn A B θ A B î ĵ ˆk = A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 W = F

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις για το μάθημα Μιγαδική Ανάλυση Ι. Θέμης Μήτσης. Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Ηράκλειο

Σημειώσεις για το μάθημα Μιγαδική Ανάλυση Ι. Θέμης Μήτσης. Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Ηράκλειο Σημειώσεις ια το μάθημα Μιαδική Ανάλυση Ι Θέμης Μήτσης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Ηράκλειο Στις σημειώσεις αυτές, αν η απόδειξη κάποιου θεωρήματος δεν δίνεται, τότε είτε είναι σχεδόν αυτολεξεί

Διαβάστε περισσότερα

d 1 d 1

d 1 d 1 É É d 1 d 1 n ; n ; x E x E Q 0 z db1 0 z W 0,( 0,d 0,1 ( (,W z 0 z 0 z 0 z z z z z z z z z z z z z z z z z z 0 Date 0 Date 1 Date 2 Borrowing Crisis Repayment Investment Consumption Date 0 Budget Constraint:

Διαβάστε περισσότερα

(a b) c = a (b c) e a e = e a = a. a a 1 = a 1 a = e. m+n

(a b) c = a (b c) e a e = e a = a. a a 1 = a 1 a = e. m+n Z 6 D 3 G = {a, b, c,... } G a, b G a b = c c (a b) c = a (b c) e a e = e a = a a a 1 = a 1 a = e Q = {0, ±1, ±2,..., ±n,... } m, n m+n m + 0 = m m + ( m) = 0 Z N = {a n }, n = 1, 2... N N Z N = {1, ω,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 Να υπολογίσετε το κάθε όριο αν υπάρχει ή να

Διαβάστε περισσότερα

, όπου D. το πεδίο ορισμού της y f ( x). Τότε θα έχουμε ( ) ( ) ( ) i i i. ανήκουν στην καμπύλη 2 και καθορίζουν τα ύψη των παραλληλογράμμων

, όπου D. το πεδίο ορισμού της y f ( x). Τότε θα έχουμε ( ) ( ) ( ) i i i. ανήκουν στην καμπύλη 2 και καθορίζουν τα ύψη των παραλληλογράμμων Έστω διάστημα B= ( b ) Df όπου D f το πεδίο ορισμού της f ( x) και διαμέριση ( B) = { t i n: t < t r n t = t = b} Τότε θα έχουμε n i r r+ n n ( b ] ( x x ] = Το ολοκλήρωμα της = f ( x) στο B άθροισμα του

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ. 131 Τελική Εξέταση: 13-Δεκεμβρίου-2006

ΦΥΣ. 131 Τελική Εξέταση: 13-Δεκεμβρίου-2006 Σειρά Θέση ΦΥΣ. 3 Τελική Εξέταση: 3-Δεκεμβρίου-6 Πριν αρχίσετε συμπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοματεπώνυμο και αριθμό ταυτότητας). Ονοματεπώνυμο Αριθμός ταυτότητας Σας δίνονται ισότιμα προβλήματα ( βαθμοί

Διαβάστε περισσότερα

x(t) = (x 1 (t), x 1 (t),..., x n (t)) R n R [a, b] t 1:1 c 2 : x(t) = (x(t), y(t)) = (cos t, sin t), t 0, π ]

x(t) = (x 1 (t), x 1 (t),..., x n (t)) R n R [a, b] t 1:1 c 2 : x(t) = (x(t), y(t)) = (cos t, sin t), t 0, π ] συνεχές τόξο (arc) - τροχιά R [a, b] t 1:1 επί x(t) = (x 1 (t), x 1 (t),..., x n (t)) R n x i (t), i = 1, 2,..., n συνεχείς συναρτήσεις, π.χ c 1 : x(t) = (x(t), y(t)) = (1 t, 1 t), t [0, 1] [ c 2 : x(t)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Διαχείριση Σηµάτων σε Ψηφιακά Συστήµατα Ελέγχου

Κεφάλαιο 2 Διαχείριση Σηµάτων σε Ψηφιακά Συστήµατα Ελέγχου Κεφάλαιο 2 Διαχείριση Σηµάτων σε Ψηφιακά Συστήµατα Ελέγχου u Μετατροπή Αναλογικού Σήµατος σε Ψηφιακό (A/D Conversion) Ο µετασχηµατισµός Ζ u Μαθηµατική Ανάλυση της Διαδικασίας A/D Μετατροπή Ψηφιακού Σήµατος

Διαβάστε περισσότερα

6. ΕΚΒΟΛΗ ΜΕ ΕΜΦΥΣΗΣΗ

6. ΕΚΒΟΛΗ ΜΕ ΕΜΦΥΣΗΣΗ 6-6. ΕΚΒΟΛΗ ΜΕ ΕΜΦΥΣΗΣΗ 6.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η διεργασία εκβολής µε εµφύσηση χρησιµοποιείται στη βιοµηχανία πλαστικών για την παραγωγή σάκκων και φύλλων (φιλµ) που έχουν διαξονικό προσανατολισµό. Έχουν γίνει αρκετές

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #20 Πόλοι και μηδενικά Διάγραμμα πόλων και μηδενικών Ιδιότητες της περιοχής σύγκλισης Ο αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Μετασχηματισμός Laplace Αμφίπλευρος μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (h>p://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή

Διαβάστε περισσότερα

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mathematica.gr. Η επιλογή και η ϕροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του http://www.mathematica.gr.

Διαβάστε περισσότερα

= 1-3 i, να γράψετε στο τετράδιό

= 1-3 i, να γράψετε στο τετράδιό ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ ΙΟΥΝΙΟΥ 001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ 1o A.1. ίνονται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Λογισμό των Μεταβολών : Βελτιστοποίηση σε Πεπερασμένες Διαστάσεις

Εισαγωγή στο Λογισμό των Μεταβολών : Βελτιστοποίηση σε Πεπερασμένες Διαστάσεις Εισαγωγή στο Λογισμό των Μεταβολών : Βελτιστοποίηση σε Πεπερασμένες Διαστάσεις Όπως είδαµε στα προηγούµενα παραδείγµατα, η εξαγωγή συµπεράσµατος για το είδος του κρίσιµου σηµείου έγινε µέσω της 2 ης παραγώγου

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Χρονική Απόκριση Συστημάτων 2 ης Τάξης

Δυναμική Μηχανών I. Χρονική Απόκριση Συστημάτων 2 ης Τάξης Δυναμική Μηχανών I 5 5 Χρονική Απόκριση Συστημάτων 2 ης Τάξης 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Χωρητικότητα διαύλου

Χωρητικότητα διαύλου Χωρητικότητα διαύλου Τηλεπικοινωνιακοί δίαυλοι Τηλεπικοινωνιακοί δίαυλοι Οι τηλεπικοινωνιακοί δίαυλοι μπορεί να μεταφέρουν ή αποθηκεύουν πληροφορία Ενσύρματοι (διπλαγωγοί, ομοαξωνικά καλώδια, κυματοδηγοί,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 12: ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE

ΕΝΟΤΗΤΑ 12: ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE Δρ Γιώργος Μαϊστρος, Χημικός Μηχανικός

Διαβάστε περισσότερα

Ανταλλακτικά για Laptop Lenovo

Ανταλλακτικά για Laptop Lenovo Ανταλλακτικά για Laptop Lenovo Ημερομηνία έκδοσης καταλόγου: 6/11/2011 Κωδικός Προϊόντος Είδος Ανταλλακτικού Μάρκα Μοντέλο F000000884 Inverter Lenovo 3000 C200 F000000885 Inverter Lenovo 3000 N100 (0689-

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκληρώματα. ΗΥ111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ

Ολοκληρώματα. ΗΥ111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ ΗΥ- Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Ολοκληρώματα Εφαρμογές Ολοκληρωμάτων Υπολογισμός μήκους Υπολογισμός εμβαδού Υπολογισμός όγκου Χρήση σε Τύπους/Μετρικές Φυσική Πιθανότητες Γραφική Θέματα Αναγνώρισης προτύπων

Διαβάστε περισσότερα

( ) ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: Α.Μ.: 2. Εστω ότι τα σηµεία z,..., Υπολογίστε όλες τις λύσεις της εξίσωσης. θ,n ισούται µε. (α) βρίσκονται στο ηµιεπίπεδο Im

( ) ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: Α.Μ.: 2. Εστω ότι τα σηµεία z,..., Υπολογίστε όλες τις λύσεις της εξίσωσης. θ,n ισούται µε. (α) βρίσκονται στο ηµιεπίπεδο Im ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: Α.Μ.:. είξτε ότι η οσότητα συνθ + συν ( θ + a) +... + συν ( θ + na) θ,n ισούται µε ( ) ηµ (( n+ ) a/ ) συν ( θ + na /). (β) ηµ ( a /) ηµ ( na /) (γ) ηµ ( θ + na /). (δ) ηµ ( a /) συν ((

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ 1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Προσανατολισμένο Ευθύγραμμο Τμήμα (π.ε.τ.) είναι το ευθύγραμμο τμήμα PQ στο οποίο ορίζουμε το άκρο Ρ αυτού να είναι η αρχή του π.ε.τ. και το άκρο Q αυτού να είναι το

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Μερική Παράγωγος και Εφαρµογές ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 19 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των µε- ϱικών

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 7 Σχεδιασμός IIR Φίλτρων

Kεφάλαιο 7 Σχεδιασμός IIR Φίλτρων Kεφάλαιο 7 Σχεδιασμός IIR Φίλτρων Φίλτρα «άπειρης» κρουστικής απόκρισης IIR - Infinite impule repone filter Recurive filter / 77 / 78 Περιεχόμενα Εισαγωγικά χαρακτηριστικά των IIR φίλτρων, σχεδιασμός στο

Διαβάστε περισσότερα

V r,k j F k m N k+1 N k N k+1 H j n = 7 n = 16 Ṽ r ñ,ñ j Ṽ Ṽ j x / Ṽ W 2r V r D N T T 2r 2r N k F k N 2r Ω R 2 n Ω I n = { N: n} n N R 2 x R 2, I n Ω R 2 u R 2, I n x k+1 = x k + u k, u, x R 2,

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Ι Τ Ε Λ Ε Σ Τ Ε Σ

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Ι Τ Ε Λ Ε Σ Τ Ε Σ Κλίση συνάρτησης f Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Ι Τ Ε Λ Ε Σ Τ Ε Σ Αν σε κάθε σημείο Px, y,z ενός τμήματος Δ του χώρου μία τιμή, ορίζεται μια συνάρτηση. f x, y,z : Δ, Δ αντιστοιχίσουμε την οποία ονομάζουμε σημειακή

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΣΚΗΣΗ 1 Να αποδειχθεί ότι οι γεωμετρικές εικόνες των μιγαδικών ριζών της εξίσωσης (συν θ)z (4συνθ)z + (5 συν θ) = 0 με θ π, π κινούνται σε υπερβολή, της οποίας να ευρεθούν τα στοιχεί ΑΣΚΗΣΗ Στο μιγαδικό

Διαβάστε περισσότερα

ACTA MATHEMATICAE APPLICATAE SINICA Nov., ( µ ) ( (

ACTA MATHEMATICAE APPLICATAE SINICA Nov., ( µ ) (  ( 35 Þ 6 Ð Å Vol. 35 No. 6 2012 11 ACTA MATHEMATICAE APPLICATAE SINICA Nov., 2012 È ÄÎ Ç ÓÑ ( µ 266590) (E-mail: jgzhu980@yahoo.com.cn) Ð ( Æ (Í ), µ 266555) (E-mail: bbhao981@yahoo.com.cn) Þ» ½ α- Ð Æ Ä

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1. Μιγαδικοί αριθμοί

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1. Μιγαδικοί αριθμοί Σελίδα από 4 ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θετική & Τεχνολογική κατεύθυνση Το παρόν κείμενο αποτελεί μια μορφοποιημένη έκδοση του αρχείου που μας έστειλε ο συνάδελφος Σπύρος Κούρτης.(Επιμέλεια : Μπάμπης

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι Βασικές Έννοιες Σήματα Κατηγορίες Σημάτων Συνεχούς/ Διακριτού Χρόνου, Αναλογικά/ Ψηφιακά Μετασχηματισμοί Σημάτων Χρόνου: Αντιστροφή, Κλιμάκωση, Μετατόπιση Πλάτους Βασικά

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ σελ. από 0 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ ΙΟΥΝΙΟΥ 04 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

SENSORS Tutorials: November 3, 2013 Conference: November 4-6, Sponsored by the IEEE Sensors Council,

SENSORS Tutorials: November 3, 2013 Conference: November 4-6, Sponsored by the IEEE Sensors Council, Tutorials: November 3, 2013 Conference: November 4-6, 2013 Sponsored by the IEEE Sensors Council, www.ieee-sensors.org Source: Yole Développement, Inertial Sensors in Mobile Products, 2012 M. Judy, Proc.

Διαβάστε περισσότερα

wave energy Superposition of linear plane progressive waves Marine Hydrodynamics Lecture Oblique Plane Waves:

wave energy Superposition of linear plane progressive waves Marine Hydrodynamics Lecture Oblique Plane Waves: 3.0 Marine Hydrodynamics, Fall 004 Lecture 0 Copyriht c 004 MIT - Department of Ocean Enineerin, All rihts reserved. 3.0 - Marine Hydrodynamics Lecture 0 Free-surface waves: wave enery linear superposition,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ-V ΑΣΚΗΣΗ Α2 - JOULE-THOMSON

ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ-V ΑΣΚΗΣΗ Α2 - JOULE-THOMSON ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ-V ΑΣΚΗΣΗ Α2 - JOULE-THOMSON Τµήµα Χηµείας, Πανεπιστήµιο Κρήτης, και Ινστιτούτο Ηλεκτρονικής οµής και Λέιζερ, Ιδρυµα Τεχνολογίας και Ερευνας, Ηράκλειο, Κρήτη http://tccc.iesl.forth.gr/education/local.html

Διαβάστε περισσότερα

Α. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής

Α. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής Μηχανική στερεού σώµατος, Ροπή ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ Α. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής Έστω ένα στερεό που δέχεται στο άκρο F Α δύναµη F όπως στο σχήµα. Στο Ο διέρχεται άξονας περιστροφής κάθετος στο στερεό

Διαβάστε περισσότερα

= DX(0, 0)(ae 1 + be 2 ) = adx(0, 0)e 1 + bdx(0, 0)e 2 = ax u (0, 0) + bx v (0, 0).

= DX(0, 0)(ae 1 + be 2 ) = adx(0, 0)e 1 + bdx(0, 0)e 2 = ax u (0, 0) + bx v (0, 0). Κεφάλαιο 3 Ο εφαπτόμενος χώρος Σύνοψη Ο εφαπτόμενος χώρος μιας κανονικής επιφάνειας αποτελεί τη βέλτιση γραμμική προσέγγιση της επιφάνειας σε ένα σημείο της. Αποτελείται από όλα τα εφαπτόμενα διανύσματα

Διαβάστε περισσότερα

. Σήματα και Συστήματα

. Σήματα και Συστήματα Σήματα και Συστήματα Βασίλειος Δαλάκας & Παναγιώτης Ριζομυλιώτης Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Σήματα και Συστήματα 1/16 Πρόβλημα 1 (βιβλίο σελίδα 146) Να υπολογιστεί ο ML της

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Φωνής

Ψηφιακή Επεξεργασία Φωνής ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Φωνής Ενότητα 1η: Ψηφιακή Επεξεργασία Σήματος Στυλιανού Ιωάννης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών CS578- Speech Signal Processing Lecture 1: Discrete-Time

Διαβάστε περισσότερα

Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση.

Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση. Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση. 3. Λίστα Παραμέτρων 3.. Λίστα Παραμέτρων Στην αρχική ρύθμιση, μόνο οι παράμετροι

Διαβάστε περισσότερα