Save this PDF as:

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

## Transcript

1

2

3

4

5

6

7 J J l 2 J T l 1 J T J T l 2

8

9 l 1 J J l 1 c 0 J J J J J l 2 l 2 J J J T J T l 1 J J T J T J T J

10

11 {e n } n N {e n } n N x X {λ n } n N R x = λ n e n {e n } n N {e n : n N} e n 0 n N k 1, k 2,..., k n N λ k1, λ k2,..., λ kn R λ k1 e k1 + λ k2 e k λ kn e kn n = 0

12 {e n } n N { } D = r i e i : {r i } n Q, n N D D X x = λ n e n X ϵ > 0 N N {r i } i N Q λ n e n x < ϵ 2 n > N r i e i x X n > N λ i r i e i < ϵ 2 i+1 i N < λ i r i e i + ϵ 2 i+1 + ϵ 2 < ϵ λ i e i x X {e n } n N x = λ n e n X { } λ i e i < n N x = n N { } λ i e i

13 X n N P n : X X P n (x) = P n ( λ n e n ) = λ i e i n N P n(x) = x x X n { P n (x) } = x x X K > 0 x x K x x X x = n P n (x) x (X, ) { y (k) } k N (X, ) ϵ > 0 k 0 N y (i) y (j) < ϵ i, j > k 0 P n (y (i) ) P n (y (j) ) < ϵ i, j > k 0, n N { P n (y (k) ) } k N < e 1,..., e n > { P n (y (k) ) } k N n N z n = P n (y (k) ) {z n } n N k ϵ > 0 k, N N P n (y (k) ) P n (y (j) ) < ϵ 3 j > k, n N P n (y (k) ) z n < ϵ 3 n N P n (y (k) ) P m (y (k) ) < ϵ 3 n, m > N

14 n, m > N z n z m z n P n (y (k) ) + P n (y (k) ) P m (y (k) ) + P m (y (k) ) z m < ϵ {z n } n N (X, ) {z n } n N z = z n m > n N n P n (z m ) = P n ( P m (y (k) )) = P n (P m (y (k) )) = P n (y (k) )) = z n k k k P n < e 1,..., e n > {α i } i N z n = a i e i n N z 1 < e 1 > α 1 R z 1 = α 1 e 1 P 1 (z 2 ) = z 1 {e n } n N α 2 R z 2 = α 1 e 1 +α 2 e 2 α 1,...α n α n+1 z = n z n P n (z) = α i e i = z n k 0 N k > k 0 n N ϵ > 0 { z n P n (y (k) ) : n N } < ϵ { P n (z) P n (y (k) ) : n N } < ϵ z y (k) < ϵ k y (k) = z (X, ) n N x X P n (x) x K x P n < n N bc({e n } n N ) = P n bc({e n } n N ) n N bc({e n } n N ) 1 x X, x 0 P n (x) P n x bc({e n } n N ) x

15 n n N e n : X R e n(x) = e n( λ k e k ) = λ n x = k=1 e n(x)e n {e n} n N n N x = λ n e n X e n(x) = e n(x)e n e n = n 1 λ i e i λ i e i e n 2 x e n 2K e n x {e n} n N {e n } n N {e n } n N X {e n } n N e n 0 n N [e n : n N] = X [e n : n N] = < e n : n N > K > 0 m > n N λ 1,..., λ m R λ i e i K λ i e i

16 m > n N λ 1,..., λ m R λ i e i = P n (x) = P n (P m (x)) P n P m (x) bc({e n } n N ) λ i e i {e n : n N} n N λ 1,..., λ n R λ 1 e λ n e n = 0 i i 1 λ i e i = λ j e j λ j e j 2K λ i e i = 0 λ i = 0 j=1 j=1 i = 1,..., n n N p n :< e n : n N > < e n : n N > p n ( λ i e i ) = {n,m} p n {e n : n N} {n,m} p n ( λ i e i ) = λ i e i K λ i e i p n p n K n N < e n : n N > X p n p n : X < e n : n N > p n K n N m > n x X p n (x) = p n (p m (x)) x X {λ i } i N p n (x) = λ i e i n N p n(x) = x ϵ > 0 z = n x z < ϵ K + 1 m > k p m(z) = z λ i e i k β i e i < e n : n N > x p m (x) x z + z p m (z) + p m (z) p m (x) (1 + p m ) x z < ϵ

17 1 < p < e n = (0, 0,..., 1, 0,...) l p l p c 0 x = (λ 1, λ 2..., λ n,...) l p s n = λ i e i s n x = ( i=n+1 m > n N λ 1,..., λ m R λ i p ) 1/p n 0 λ i e i = ( λ i p ) 1/p ( λ i p ) 1/p = λ i e i c 0 {e n } n N K 0 m > n N λ 1,..., λ m R λ i e i K λ i e i bc({e n } n N ) K x X x 1 n N P n (x) K P m (x) m > n n P n (x) K x K

18 x X, x 0 {x n} n N X x n = M < n N S X x n(s) k x (s) s S x = w x n n x (x) = x n n(x) x X x X {s n } n N S x = s n ϵ > 0 N, n 0 N n s N x < ϵ 3 {M, x } x n(s N ) x (s N ) < ϵ 3 n n 0 n n 0 x n(x) x (x) x n(x) x n(s N ) + x n(s N ) x (s N ) + x (s N ) x (x) < M s N x + ϵ 3 + x s N x < ϵ 3 + ϵ 3 + ϵ 3 = ϵ {e n } n N x X, x 0 {x k } k N X x k < k N x k (e n) k x (e n ) n N x = w k x k S =< e n : n N > {x k } k N x

19 {x n } n N {x n } n N [x n : n N] {x n } n N [x n : n N] {x n } n N x n : [x n : n N] R x n( α k x k ) = α n k=1 {x n } n N X {x n } n N x n 0 n N K > 0 m > n N λ 1,..., λ m R λ i x i K λ i x i {e n } n N x [e n : n N] x = x (e n )e n m > n N λ 1,..., λ m R x X x 1

20 λ i e i (x) = λ i e i (P n (x)) = Pn( λ i e i )(x) Pn λ i e i λ i e i K λ i e i K λ i e i {e n} n N x [e n : n N] {α n } n N x = λ n e n x (e n ) = λ n n N ϵ > 0 x X x = 1 y (1 + ϵ) y + mx y F m R F S F k k N y 1,..., y k S F S F S(y i, ϵ ) S(y, ϵ) 2 y ϵ j {1,..., k} k yi S X yi (y i ) = y i = 1 Ker(yi ) X x X x = 1 yi (x) = 0 i = 1,..., k y S F 0 < ϵ < 1 j {1,..., k} y y j < ϵ 2

21 m R y + mx y j + mx y y j yj (y j + mx) ϵ 2 = y j (y j ) ϵ 2 = y j ϵ 2 = 1 ϵ < ϵ < ϵ ϵ > 0 y S F m R x S X (1 + ϵ) y + mx 1 y F y 0 ϵ > 0 m R x S X 1 (1 + ϵ) y y + mx y y (1 + ϵ) y + mx ϵ > 0 (1 + ϵ) {ϵ n } n N (1 + ϵ n ) n N 2 n (1 + ϵ n ) (1 + ϵ) n N (1 + ϵ n ) 1 + ϵ x 1 X x 1 = 1 F 1 =< x 1 > x 2 X x 2 = 1 y (1 + ϵ 2 ) y + mx 2 y F 1, m R F 2 =< x 1, x 2 > x 3 X x 3 = 1 y (1 + ϵ 3 ) y + mx 3 y F 2, m R F n =< x 1, x 2,..., x n > x n+1 X x n+1 = 1 y (1 + ϵ n+1 ) y + mx n+1 y F n, m R {x n } n N X 1 + ϵ m > n N α 1,..., α m R y k = k α i e i F k k N

22 α i e i = y n (1 + ϵ n+1 ) y n + α n+1 x n+1 = (1 + ϵ n+1 ) y n+1 (1 + ϵ n+1 )(1 + ϵ n+2 ) y n+1 + α n+2 x n+2 = (1 + ϵ n+1 )(1 + ϵ n+2 ) y n+3 m (1 + ϵ i ) y m (1 + ϵ) α i e i i=n+1 {x n } n N 1 + ϵ {x n } n N X, {y n } n N Y {x n } n N {y n } n N n N α 1,..., α n R c α n x n α n y n C α n x n {x n } n N X, {y n } n N Y {x n } n N {y n } n N {α n } n N R α n x n α n y n T : [x n : n N] [y n : n N] T (x n ) = y n n N i) ii) {α n } n N α n x n { } α i y i ϵ > 0 N N n N

23 m > n > N i=n+1 i=n+1 α i x i < ϵ C α i y i < ϵ T : [x n : n N] Y T (x) = T ( α n x n ) = α n y n T {x n } n N n N T k : X < y 1,..., y n > T n ( α i x i ) = F n :< x 1,..., x n > < y 1,..., y n > F n ( α i x i ) = α i y i α i y i n N T n = F n P n P n (y n ) n N T n F n P n T T (x) = T n (x) x X n T y = α n y n x = α n x n T (x) = y T c = 1 C = T T 1 {x n } n N {y n } n N n N α 1,..., α n R

24 c α n x n α n y n C α n x n {y n } n N m > n N α 1,...α m R α i y i CK α i x i CK m c α i y i T : X X δ (0, 1) x X x T (x) δ x T T T (x) x δ x T (x) (1 + δ) x x T (x) δ x (1 δ) x T (x) T T (X) X T T (X) x 0 S X x 0(x) = 0 x T (X) 0 < δ < 1 x 0 X x 0 = 1 x 0(x 0 ) > δ x 0 T (x 0 ) = {x (x 0 T (x 0 )) : x = 1} x 0 T (x 0 ) x 0(x 0 T (x 0 )) = x 0(x 0 ) > δ = δ x 0

25 {x n } n N, {y n } n N {x n } n N K δ = { x n : n N} > 0 x n y n < n=i δ 3K {y n } n N {x n } n N T : X X T (x n ) = y n {y n } n N {x n } n N m > n α 1,..., α m R α i y i T α i x i T K α i x i T K T 1 α i y i {y n } n N n N α 1,...α n R 1 T 1 α i x i α i y i T n N x [x n : n N] x n(x) x n = α i x i n 1 x i (x)e i x i (x)e i x n 2K x x n 2K δ n N x n X x X x n(x)(y n x n ) X x n(x) y n x n 2K δ x y n x n < 2 3 x

26 T : X X T (x) = x + x n(x)(y n x n ) T T (x n ) = y n n N x T (x) = x n(x)(y n x n ) x x n y n x n < 2 3 x. T l 1 l l 1 l 1 {x n } n N X {x n } n N {x n } n N l 1 l 1 l 1 Y X B Y {s n } n N B Y l 1 l 1 X {s n } n N {s nk } k N

27 { s nk+1 s nk }k N {s n k } k N θ > 0 n N k, m N : n < k < m s k s m θ ( ) ( ) {p n } n N N s p2n s p2n 1 θ n N w u n = s p2n s p2n 1 u n 0 u n θ n N {z n } n N z n = u n Y u n {e n } n N {u n } n N {α i } i N {n i } i N k N u k = k+1 i=n k +1 {e n } n N α i e i {u n } n N u n 0 λ 1,..., λ m R n N m > k N

28 k λ j u j = j=1 k j=1 K λ j n j+1 i=n j +1 n j+1 j=1 i=n j +1 α i e i = k λ j α i e i K n j+1 j=1 i=n j +1 λ j α i e i λ j u j j=1 {u n } n N K {e n } n N {x n } n N δ = x n > 0 e n N n k(x n ) = 0 k N ϵ > 0 {x n} n N {u n } n N {e n } n N x n u n 2 < ϵ 2 x n = 1 n N { } x n n N {b n } n N {e n } n N x n b n 2 < ϵ 2 P k (y n ) = 0 k N k N ϵ > 0 n N N i = 1,..., k e i (x n ) e i < ϵ 2 i n > N n > N k P k (x n ) = e i (x n )e i k e i (x n ) e i < ϵ ( ) 0 < ϵ < δ ( ) k 1 = 1 n 1 = 0 x k1 = α (1) i e i n 2 N n 2 > n 1 n=n 2 +1 α n (1) e n α (1) n e n < ϵ 2 n 2 α (1) n e n < ϵ 2

29 u 1 = n 2 n=n 1 +1 n 3 > n 2 u 2 = n 3 i=n 2 +1 α (1) n e n x k1 u 1 2 < ϵ2 2 ( ) k 2 > k 1 α (2) i e i x k2 = n 2 i=n 3 +1 n 2 α (2) i e i α (2) i e i < ϵ 4 α (2) i e i < ϵ 4 α (2) i e i n 3 i=n 2 +1 α k 2 i e i < ϵ 4 α (2) i e i x k2 u 2 < ϵ 2 x k 2 u 2 2 < ϵ2 4 {k n } n N {u n } n N {e n } n N x kn u n 2 < ϵ2 2 n n N u n > δ ϵ > 0 n N {x n} n N = {x kn } n N x n u n 2 < ϵ 2 (1 ϵ)ϵ x n = 1 n N 0 < ϵ < δ m = 2 0 < m < ϵ < δ {x n} n N {u n } n N 1 ϵ < 1 m < u n n N x n u n 2 < m 2 = (1 ϵ)2 ϵ 2 4 z n = u n u n z n = 1 n N n N

30 x n z n = x n u n u n x n u n u n u n 1 x u n 1 ϵ n 1 ϵ 2 u n 1 + x n u n u n 1 x n z n ϵ 1 ϵ + x n u n 1 ϵ + 2 x n u n 2 (1 ϵ) 2 (1 ϵ) 2 x n u n = 0 u n = 1 n n { } 2 u n {u n N n} n N u n 1 < (1 ϵ)2 ϵ 2 { } x n 4 n N { } x n {b n N n} n N {z n } n N x n b n 2 (1 ϵ) 2 u n (1 ϵ) 2 x n u n 2 < ϵ 2 {e n } n N {x n } n N δ = x n > 0 e n N n k(x n ) = 0 k N ϵ > 0 {x n} n N {u n } n N {e n } n N x n u n < ϵ ϵ = δ 3K K {e n} n N {x n} n N {u n } n N ϵ = δ 3K {x n } n N

31 {x n } n N l 1 {x n } n N l 1 l 1 X {y n )} n N X l 1 m, M > 0 m y n M n N k N x k (y n) x k M n N {x k (y n)} n N k N {y n} n N {y n } n N {x k (y n)} n N k N z n = y n+1 y n k N n x k(z n ) = 0 c, C > 0 m N α 1,..., α m R c α i α i z i C α i n N { z n } > 0 {z n } n N {z n} n N {u n } n N {x n } n N {u n } n N l 1 X {e n } n N X = [e n : n N] X {x n } n N X {x n } n N {λ n } n N n N λ i x i < λ n x n {e n } n N {e n } n N {e n } n N

32 w i) ii) {u n } n N u n = 1 n N u n 0 x X x = λ n e n ϵ > 0 k 0 k > k 0 n=k+1 λ n e n < ϵ u k = k+1 i=n k +1 n k > k 0 ( ) x (u k ) = n=k+1 λ i e i (u k ) = λ n e n(x) < ϵ x 1 ( ) α i e i m N n m > k 0 k > m i=n k +1 λ i e i (u k ) < ϵ u k w 0 ii) i) {e n } n N x / [e n : n N] x = 1 Pn(x ) = x (e i )e i {P n(x )} n N x ϵ > 0 {m k } k N x P m k (x ) 2ϵ k N ( ) n 1 = m 1 ( ) x 1 = x ( i=n 1 +1 n 2 = m k2 x i=n 1 +1 u 1 = λ (1 i )e i n 2 i=n 1 +1 λ (1) n e n X x 1 = 1 λ (1) i e i ) 2ϵ k 2 N m k2 > n 1 n 2 i=n 1 +1 λ (1) i e i < ϵ x ( λ (1) i e i x ( i=n 1 +1 i=n 1 +1 λ (1) i e i ) < x ( λ (1) i e i ) 2ϵ x (u 1 ) > ϵ n 2 i=n 1 +1 λ (1) i e i ) + ϵ

33 ( ) x 2 = λ (2) n e n X x 2 = 1 x ( i=n 2 +1 k 3 N m k3 > n 2 n 3 = m k3 x i=n 2 +1 u 2 = λ (2) i e i n 3 i=n 2 +1 n 3 i=n 2 +1 λ (2) i e i < ϵ x ( λ (2) i e i x ( i=n 2 +1 i=n 1 +1 λ (1) i e i ) < x ( λ (2) i e i ) 2ϵ x (u 2 ) > ϵ n 3 i=n 2 +1 λ (1) i e i ) 2ϵ λ (2) i e i ) + ϵ {u k } k N x (u k ) > ϵ k N {u k } k N {u k } k N u k = P nk+1 (x k ) P nk (x k ) 2K x k = 2K z n = u n u n {e n } n N x X 1 K n N x (e i )e i x n N x = n n N { x (e i )e i = x (e i )e i x (e i )e i } x (e i )y (e i ) : y B X y B X y = x (e i )y (e i ) = x ( y (e i )e i ) x y (e n )e n y (e i )e i ) K x y K x

34 x (e i )e i K x n N 1 K n N x (e i )e i x x B X x = x (x ) = n N x (e n )x (e n) = n x (e i )e i x n N x (e n )e n x (e i )x (e i ) n N x (e i )e i x ( x (e i )e i ) c 0 {e nk } k N c 0 {e nk } k N k e ni = 1 < e ni k N {x n } n N c 0 T : c 0 X z n = T (e n ) {e n } n N c 0 M > 0 z n M n N w w e n 0 z n 0 {u n } n N X {z nk } k N {z n } n N {u n } n N

35 {x nk } k N T {e nk } k N {e n } n N Y = [e n, n N] J : X Y J(x)(y) = y(x) y Y J J x X J(x)(y) = y(x) x y y Y J(x) x J x = α n e n x n = α n e n x = x n n x n K J(x n ) n N J n N x X x = 1 x (x n ) = x n x P n < e 1,..., e n > Y x n = P n (x n ) x n = (x P n )(x n ) = J(x n )(x P n ) x P n J(x n ) K J(x n ) J(x) = x x X { J } y Y y (e i )e i X K 2 y n N y (e i )e i K J( y (e i )e i ) = K y (e i )J(e i ) n N

36 y (e i )J(e i ) K y y = y 1 y(e n )e n Y y (e i )J(e i )(y) = y ( y(e i )e i ) y y(e i )e i y K y K y y (e i )e i x = y (e n)e n y = J(x) {e n } n N {e n } n N i) ii) X = [e n, n N] J X X ii) i) x X P n(x ) = x (e i )e i w x n X w w X P n(x ) w x X = < e n, n N > w = < e n, n N >. { } {α n } n N R α i e i = M α n e n x n = n N α i e i X M B X w

37 X x M B X {x nk } k N {x n } n N x = w k x nk i N e i w e i (x) = e i (w k x nk ) = k e i (x nk ) = α i i N x = e n(x)e n = α n e n X ˆX T : X Y Y = T [X ] ˆX Y = X X = T [X ] ˆX T : X Y T (x )(y) = y(x ) y Y T (x ) = { T (x )(y) : y B Y } = { y(x ) : y B Y } { ˆx(x ) : x B X } = { x (x) : x B X } = x T (x ) = { y(x ) : y B Y } { x (x ) : x B X } = x T T [X ] Y X T [X ] Y Q : Y X Q(y ) = y : X X X X Q P : Y Y P = T Q P Q T = I Y I Y Y (Q T )(x )(x) = T (x )(ˆx) = ˆx(x ) = x (x) x X P 2 = T Q T Q = T Q = P P [Y ] = T [X ] Q Y x X y = ˆx Y Q(y ) = x T [X ] Y Y = T [X ] KerP

38 KerP = ˆX y ˆX P (y )(y) = T (Q(y ) = T (y )(y) = y(y ) = 0 y Y ˆX KerP y KerP T (y ) = 0 T 1 1 y = 0 y ˆX KerP ˆX Y = T [X ] ˆX Y = X (X/Y ) Y T : (X/Y ) Y T (ˆx )(x) = ˆx (x + Y ) x Y T (ˆx )(x) = ˆx (Y ) = 0 x X T (ˆx )(x) = ˆx (x + Y ) ˆx x + Y ˆx x T T x Y ˆx : X/Y R ˆx (x + Y ) = x (x) x X ˆx (x + Y ) = x (x) = x (x y) y Y x x y y Y ˆx (x + Y ) x x + Y ˆx (X/Y ) T (ˆx ) = x ˆx (X/Y ) T (ˆx ) = { T (ˆx )(x) : x B X } { T (ˆx )(x) : x + Y B X/Y } = { ˆx (x + Y ) : x + Y B X/Y } = ˆx x X x + Y 1 ˆx (x + Y ) = T (ˆx )(x) = T (ˆx )(x y) y Y T (ˆx ) x y y Y ˆx (x + Y ) T (ˆx ) x + Y T (ˆx ) T (ˆx ) = ˆx T

39 Y = [e n, n N] X = ˆX Y dim(x / ˆX) = dimy = dim(x /Y ) Y = T [Y ] Ŷ Y = J[X] Y = J [X ] J [ ˆX] = T [Y ] J [Y ] = Ŷ. X = ˆX Y (X / ˆX) = Y (X /Y ) dim(x / ˆX) = dimy = dim(x /Y )

40

41 J n, m N n m [n, m] = {k N : n k m} n N [n, ) = {k N : n k} { { m J = x = {x n } n N R : } } x n 2 < n I i {I i } m J { m x J x = } 1/2 x n 2 n I i {I i } m (J, ) x, y J {I i } m

42 ( (x n + y n ) 2 ) 1/2 = [( x n + y n ) ( x n + y n ) 2 ] 1/2 n I i n I 1 n I 1 n I m n I m ( x n 2 ) 1/2 + ( y n 2 ) 1/2 x + y x + y x + y n I i n I i { x (n)} J ϵ > 0 N n N m > n > N x (m) x (n) < ϵ i N I i { = {i}} x (m) i x (n) i < ϵ m > n > N i N x i = x = {x i } i N x (n) i n N x (n) i n x J x = x (n) ϵ > 0 M N n m > n M x n x m < ϵ 2 {I i } k ( k ( j I i (x (m) j k x (n) j ) 2 ) 1/2 < ϵ 2 j I i (x (n) j x j ) 2 ) 1/2 ϵ 2 m > n M m < ϵ n M ( ) n = M ( ) x (M) x J x J x = x (n) n n N e n = X {n} x J k N s k = k x i e i s k 2 + x s k 2 x 2

43 {I i } m l {1,..., m 1} I i [1, n] i = 1,..., l I i [n + 1, + ) i = l + 1,..., m l s n 2 + (x s n ) 2 = x n 2 x 2 n I i n I i n I i i=l+1 s k 2 + x s k 2 x 2 {e n } n N = (X {n} ) n N J e n 0 n N e n = 1 n N J = [e n : n N] x = {x n } n N J s n = x i e i x = s n. ϵ > 0 n {I i } m x n 2 > x 2 ϵ 2 ( ) n I i n 0 = { n : n } m I i ( ) x 2 s n 2 < ϵ 2 n n 0 n n 0 x s n 2 = x s n 2 + s n 2 s n 2 x 2 s n 2 < ϵ 2 x = s n. k, n N n k > n α 1,..., α k R {I i } m I i [1, n] i = 1,..., m ( α j 2 )) 1/2 j I i k α i e i α i e i k α i e i

44 J c 0 J {α n } n N n N {e n } n N { α i e i < α i e i = α i e i n n N } α i e i 2 ϵ > 0 n N n 0 N m > n > n 0 α i e i 2 m α i e i α i e i 2 i=n+1 α i e i 2 < ϵ 2 α i e i 2 < ϵ J α n e n J < c 00 (N) > c 00 (N) J < c 00 (N) > J I I = e n I J n I I x J ϵ > 0 n 0 N m > n > n 0 e i (x) < ϵ i=n+1

45 n I e n(x) x J I : J R I (x) = n I e n(x) x J I I J I w = e n I = 1 n I I s w = e n s / [e n : n N] s. = e n 0 < ϵ < 1 n 0 N n 0 s (x) e x=e n0 +1 n(x) < ϵ x B J 1 < ϵ, I / [e n : n N] I J x = α n e n J x n = α i e i { m } 1/2 x n = Ii (x n ) 2 n N {I i } m suppx n n N n ( ) ( ) { m } 1/2 x = Ii (x) 2 {I i } m J J J = [e n, n N] [s ] J

46 {d n } n N J d 1 = e 1 d n = e n e n 1, n > 1 {d n } n N J < d n, n N >=< e n, n N > [d n, n N] = J. n N α 1,..., α n, α n+1 R {I i } m m [1, n] n / I i n+1 n+1 ( Ii ( α i d i ) 2 ) 1/2 = ( Ii ( α i d i ) 2 ) 1/2 α i d i n+1 α i d i α i d i I m = [i, n] i n ( Ii ( m 1 n+1 = ( Ii ( m 1 α i d i ) 2 ) 1/2 = ( n+1 α i d i ) 2 + αi 2 ) 1/2 α i d i Ii ( α i d i ) 2 + Im( α i d i ) 2 ) 1/2 n+1 α i d i α i d i n+1 α i d i α i d i {d n } n N {d n } n N {u n } n N {d n } n N M = u n u n n n N

47 u i m > k N i 2 5M 2 1 i2 i=k i=k J k+1 u k = λ i d i i=k i=n k +1 u i i = λ n k +1 k e nk + λ n k +1 λ nk +2 k e nk λ n k+1 1 λ nk+1 e nk k + ( λ n k+1 λ n k+1 +1 k k + 1 )e n k+1 + λ n k+1+1 λ nk+1+2 e nk k ( λ n m 1 m 1 λ n m +1 m )e n m λ n m+1 1 λ nm+1 e nm λ n m+1 m m e n m+1 {I j } l j=1 {1,..., l} F k = {j {1,..., l} : I j [n k, n k+1 1]} F s = {j {1,..., l} : I j [n s + 1, n s+1 1]}, s = k + 1,..., m 1 F m = {j {1,..., l} : I j [n m + 1, n m+1 ]} m F = i=k F i U = {j {1,..., l} : s 1 < s 2 {k + 1,..., m} : I j supp(u s1 ), I j supp(u s2 ) } F, U {1,...l} s = k, k + 1,..., m F s I u i j ( i ) 2 = 1 I s 2 j (u s ) 2 M 2 I u i s 2 j ( i ) 2 M 2 1 i 2 j F s j F s j F i=k j U i=k s j,1 = {i {1,..., m} : I j supp(u i ) } s j,2 = {i {1,..., m} : I j supp(u i ) } i=k I j ( i=k u i i ) 2 = Ij ( u s j,1 + u s j,2 ) 2 2M 2 + 2M 2 s j,1 s j,2 s 2 j,1 s 2 j,2 4M 2 s 2 j,1

48 U m k + 1 i=k Ij ( j U u i i 2 5M 2 i=k i=k u i i ) 2 4M 2 1 i 2 i=k 1 i 2 u n n x = (d n ) n N x X, ϵ > 0 (u n ) n N (d n ) n N x (u n ) > ϵ n N x x (u n ) 1 (x) = > ϵ = + n n u n n J = [e n, n N] < s > J l 1 J < d n, n N >=< e n, n N > < s > J = [d n, n N] = < e n, n N > < s > [e n, n N] < s > = [e n, n N] < s > dim < s >= 1 < + J = [e n, n N] < s > l 1 c 0 J J

49 J J J J J e J \ J ˆ w ê n e [e n, n N] = [e ] {e n } n N w x J x = λ n e n + λs x (e n ) = λ n + λ n λ n λ n 0 e J ê n e e / J ˆ e w e (s ) = e (e n) = 0 e (s ) = s (e n ) = 1 n [e n, n N] = [e ] x = e ( λ n e n) = w λ n e n [e n, n N] λ n e (e n) = 0 < e > [e n : n N] x [e n : n N] x J y [e n : n N] λ R : x = y + λs x (x ) = λx (s ) = x (s )e (x ) x = x (s )e [e nn : N] < e > [e n, n N] =< e >

50 J = J ˆ [e ] J dim(j / J ˆ ) = 1 {e n } n N J 1 2 J (J, 1 ) (J, 2 ) J J = { {x n } c 0 : { (x p1 x p2 ) 2 + (x p2 x p3 ) (x pm 1 x pm ) 2} < } m N p 1 <... < p m x J x 1 = { (x p1 x p2 ) (x pm 1 x pm ) 2 : m N, p 1 <... < p m N } 1/2 J (J, 1 ) {e n } n N e n = X {n} (J, 1 ) x 2 = { (x p1 x p2 ) (x pm 1 x pm ) 2 + (x pm x p1 ) 2} 1/2 m N p 1 <... < p m 1 x 2 x 1 x 2 2 (J, 2 ) (J, ) (J, 1 )

51 n N α 1,..., α n R α i d i = α i e i 1 m N 1 p 1 p 1 < p 2 p 2 <... < p m p m n I j = [p j, p j] j = 1,..., m α n+1 = 0 Ij ( α i d i ) 2 = (α p1 α p 1 +1) 2 + (α p2 α p 2 +1) (α pm α p m +1) 2 j=1 n+1 α i e i ) 2 1 = α i e i ) 2 1 α i d i ) α i e i ) 1 m N p 1 <... < p m n + 1 I j = [p j, p j+1 1], j = 1,..., m (α p1 α p2 ) (α pm 1 α pm ) 2 = j=1 α i e i 1 Ij ( α i d i ) 2 α i d i α i d i 2 {e n } n N (J, 1 ) (J, 2 ) α i d i = α i e i 1 α 1,..., α n R, n N 1 2 u n {u n } n N {e n } n N n

52 x J {x (e n)} n N x J 1 {e n } n N x 1 = x (e i )e i 1 n N x n = x (e i )e i N N n x 2 1 x N 2 1 < ϵ 2 ( ) k N p 1 <... < p k N +1 x N 1 = [x (e p 1 ) x (e p 2 )] [x (e p k 1 ) x (e p k )] 2. m > n N + 2 x (e m ) x (e n ) < ϵ (x (e n)) n N m N x m 1 > x 1 x 1 = n N x (e i )e i 1 (J, 2 ) π : J J π(x ) = ( λ, x (e 1) λ, x (e 2) λ,...) λ = n x (e n) π α 1 = λ α n = x (e n 1) λ π(x ) = α n e n π(x ) 2 = α n e n 2 = n N α i e i 2 = n N x (e i )e i 2 = x 2 {e n } n N (J, 2 ) x = {x n } n N J (x i+1 x 1 )e i 2 < y n = (x i+1 x 1 )e i {y n } n N n N

53 J x J {y n} n N {y n } n N ŷ n w x x (e n) = x n+1 x 1 n N π(x ) = x J (J, 2 ) J (J, 2 ) J l 2 J l 2 l 2 J {u n } n N {e n } n N m N α 1,..., α m R ( αi 2 ) 1/2 α i u i m N α 1,..., α m R αi 2 = 1 1 α i u i u i = 1 i = 1,..., m {u n } n N {I j } l j=1 1 < l 1 <... < l m 1 < l l 0 = 1 l m = l {I j } l i j=l i 1 supp(u i ) i = 1,..., m l i j=l i 1 I j (u i ) 2 = 1 i = 1,..., m l Ij ( α i u i ) 2 = j=1 αi 2 = 1 1 α i u i

54 {u n } n N {e n } n N n s (u n ) = 0 ϵ > 0 {u n} n N m N α 1,...α m R (1 ϵ m 2 )( αi 2 ) 1/2 u k = k+1 i=n k +1 α i u i ( 5 + ϵ m 2 )( αi 2 ) 1/2 λ i e i y k = u k s (u k )e nk+1 y k 1 + s (u k ) k N u k y k = 0 k {y n} n N (y n ) n N {u n} n N {u n } n N k=1 u k y k 2 < ϵ2 16 y k < 1 + ϵ2 128 k N m N α 1,..., α m R αi 2 = 1 1 ϵ m 2 < 1 α i u i α i y i 5 + ϵ 4 {I j } l j=1 i = 1,..., m m F i = {j {1,..., l} : I j supp(y i)} F = F i i:f i Ij ( α i y i) 2 = Ij (α i y i) 2 j F j F i i:f i α 2 i (1 + ϵ2 128 ) < 1 + ϵ2 32 U = { j {1,..., l} : i 1 < i 2 {1,..., m} : I j supp(y i 1 ), I j supp(y i 2 ) } j U s j,1 = {i {1,..., m} : I j supp(y i) }

55 s j,2 = {i {1,..., m} : I j supp(y i) } Ij ( α i y i) 2 = I j (α sj,1 y s j,1 ) + I j (α sj,2 y s j,2 ) 2 j U j U j U (2α 2 s j,1 I j (y s j,1 ) 2 + 2α 2 s j,2 I j (y s j,2 ) 2 ) 4 + ϵ2 32 F, U {1,..., l} α i y i < 5 + ϵ2 16 < 5 + ϵ 4 α i u i α i u i y i + α i y i ( u i y i 2 ) 1/ ϵ ϵ 2 J l 2 J {x n } n N ϵ > 0 {x n} n N {x n } n N m N α 1,..., α m R (1 ϵ)( αi 2 ) 1/2 α i x i ( 5 + ϵ)( αi 2 ) 1/2 J l 1 {x n } n N J {u n } n N {x n} n N {x n } n N x n u n 2 < ϵ2 4

56 m N α 1,..., α m R αi 2 = 1 α i x i α i x i u i + α i u i 5 + ϵ α i u i α i x i u i α i x i 1 ϵ α i x i

57 J T J T J 2 <N = {σ = (σ 1,..., σ n ) : σ i {0, 1} i = 1,..., n, n N} { } 2 <N : 2 <N N {0} { 0 s = s = n s = (s 1,..., s n ) 2 <N s s 2 <N s, u 2 <N s, u, s t s t s i = t i i = 1,..., s 2 N = {(σ n ) n N R : σ n {0, 1} n N} σ 2 N n N σ n = (σ 1,..., σ n ) 2 <N σ 1,..., σ n 2 N N N σ i N σ j N i, j {1,..., n}

58 i j σ 1,..., σ n I 2 <N s, t I s t t s s, t I w 2 <N s w t w I I I n I = {s 1, s 2,..., s n } s 1 s 2,..., s n s 1 I s n I I in(i) end(i) in(s) end(s) S s, t I s t S I in(s) = s end(s) = t S, I in(s) in(i) end(s) = end(i) I S I σ(i) 2 N n N I = {σ(i) n+k : k = 0, 1,...} σ(i) n in(i) I 1,..., I n σ(i 1 ),..., σ(i n ) I 1,..., I n N σ(i i ) N σ(i j ) N i, j {1,..., n} i j N in(i i ) i = 1,..., n t 1 = t 2 = (0) n > 2 t n = (σ 1,..., σ m ) i = 1,...m σ i = 1 t n+1 = (σ 1,..., σ m, σ m+1) σ i = 0 i = 1,..., m + 1 i 0 = max {i {1,..., m} : σ i = 0} t n+1 = (σ 1,..., σ m) σ i = σ i i = 1,..., i 0 1 σ i 0 = 1 σ i = 0 i = i 0 + 1,..., m 2 <N = {t n : n N} 2 <N n N t n = [ 2 n] [ ] s 2 <N e s = X {s} e n = X {tn } {e s } s 2 <N {e n } n N { { m J T = x : 2 <N R : } } x(t) 2 < t I i

59 {I i } m J T { m x J T x = } 1/2 x(t) 2 t I i {I i } m (J T, ) x, y J T {I i } m ( (x(t) + y(t)) 2 ) 1/2 = [( x(t) + y(t)) ( x(t) + y(t)) 2 ] 1/2 t I i t I 1 t I 1 t I m n I m ( x(t) 2 ) 1/2 + ( y(t) 2 ) 1/2 x + y x + y x + y t I i t I i {x n } n N J ϵ > 0 N m > n N x m x n < ϵ t 2 <N I t = {t} x m (t) x n (t) < ϵ m > n > N {x n (t)} n N t 2 <N x : 2 <N R x(t) = x n (t) x J T x = x n n n ϵ > 0 M N m > n M x n x m < ϵ 2 {I i } k k ( x m (t) x n (t)) 2 ) 1/2 < ϵ 2 t I i k ( x n (t) x 2 ) 1/2 ϵ 2 t I i m > n M m < ϵ n M ( )

60 n = M ( ) x M x J T x J T x = x n n x J T k N s k = k x i e i s k 2 + x s k 2 x 2 {e n } n N J T e n 0 n N e n = 1 n N J T = [e n : n N] x J T s n = x(t i )e i x = s n. ϵ > 0 n {I i } m x(t) 2 > x 2 ϵ 2 ( ) t I i n 0 = { t : t } m I i ( ) x 2 s n 2 < ϵ 2 n 2 n 0+1 n 2 n0+1 x s n 2 = x s n 2 + s n 2 s n 2 = x 2 s n 2 < ϵ 2 x = s n. n N n α 1,..., α n, α n+1 R {I i } m m t n+1 / I i ( n+1 α j 2 )) 1/2 α i e i t j I i n+1 α i e i α i e i

61 {e n } n N c 0 J T J T < c 00 (2 <N ) > I I = e s J T I I w = e s J T s I s I I = 1 I σ 2 N σ w = e σ n I / [e n : n N] I {e n } n N J T x J T { m } 1/2 x = Ii (x) 2 {I i } m σ 2 N [e σ n, n N] J T :< e σ n, n N > J T ( λ i e σ i ) = (λ 1,..., λ n, 0,...) T N I 1 = [n 1, n 1],...I m =

62 [n m, n m] 2 <N S 1 = [σ n1, σ n 1 ],..., S m = [σ nm, σ n m ] Ij ( λ i e i ) 2 = j=1 Sj ( λ i e σ i ) 2 T (x) = x j=1 T [e σ n, n N] x = λ n e n J ϵ > 0 N N m > n > N i=n+1 λ n e σ n T ( λ n e σ n ) = λ i e σ i = λ i e i < ϵ i=n+1 λ n e n J T { σ : σ 2 N} 1 σ1 σ2 s 2 <N σ1(e s ) = 1 σ2(e s ) = 0 σ1 σ2 1 J T σ 2 N σ J T \ ˆ J T ê σ n w σ T : [e σ n : n N] J T : J [e σ n : n N] J = [e n, n N] [s ] x [e σ n : n N] (λ n ) n N λ R x = T ( λ n e n + λs ) = λ n (e n T ) + λ(s T )

63 (e σ k ) k N w x J T x [eσ n :n N] [e σ n : n N] k N x (e σ k ) = λ n e n(t (e σ k ))+λs (T (e σ k )) = λ n e n(e k )+λs (e k ) = λ k +λ k λ λ k k 0 σ J T σ = w k ê σ k σ / J ˆ T. σ (σ ) = σ (e σ n ) = 1 n σ ˆ J T σ w σ (σ ) = σ (e σ n ) = 0 l 1 J T l 1 J T J J J T {I n } n N 2 <N x J T In(x) 2 x 2 {α n } n N B l2 α n In(x) x α n In(x) x J T w α n In B J T K = { w } α n In : {α n } n N B l2 {I n } n N K B J T J T x = {k (x) : k K} x = { k (x) : k K} x J T

64 x J T K B J T {k (x) : k K} x n N x n = e i (x)e i {I i } m x n 1 n λ i = ( Ii (x n ) k = Ii (x n ) 2 ) 1/2 m < ( Ii (x n ) 2 ) 1/2 λ i Ii K k (x n ) = ( Ii (x n ) 2 ) 1/2 x n 1 < n k (x n ) {k (x n ) : k K} n x {k (x) : k K} w J T J T (B X, w ) K kn = w α i,n Ii,n K n N α i+1,n α i,n i N {I n } n N {I kn } n N I Ik w n I {I kn } n N { Ik n (e s ) } n N s 2 <N I = { } s 2 <N : n s N s I kn n n s I s, t I n 0 N s, t I kn0 s t t s s, t I w 2 <N s w t I n 0 N s, t I n n n 0 w I n n n 0 w I n I k n (s) = I (s) s 2 <N In = 1 n N

65 M [N] {α i } i N B l2 n M α i,n α i i N {I i } i N I i = w I n M i,n {I i } i N k = w α i Ii K k = w k n M n s 2 <N ϵ > 0 N N ( αi 2 ) 1/2 < ϵ 4 n 0 N n n 0 N i=n+1 α i,n Ii,n(e s ) α i Ii (e s ) < ϵ 4 α N+1,n α N+1 < ϵ n M 4 n n 0 + i=n+1 α i,n Ii,n(e s ) α i I i (e s ) < ϵ 4 + ( α i Ii (e s ) i=n+1 α 2 i ) 1/2 ( N α i,n Ii,n(e s ) α i Ii (e s ) + i=n+1 i=n+1 α i,n I i,n(e s ) + I i (e s ) 2 ) 1/2 + α j,n j N + 1 < ϵ 4 + ϵ 4 + α N+1,n ϵ 2 + α N+1,n α N+1 + α N+1 ϵ 2 + ϵ 4 + ϵ 4 = ϵ kn(e s ) n M k (e s ) s 2 <N (X, A, µ) f L 1 ( µ ) f µ f dµ = f dµ + f dµ X X X f n : (X, A) R f = f n g L 1 ( µ ) n f n g n N X f n dµ = f dµ n X X n X f n f dµ = 0 X µ X µ M r (X)

66 f C (X) µ M r (X) f (f) = f dµ f C(X) X C(K) w {x n } n N J T {I (x n )} n N I {x n } n N w M = { x n } T : J T C(K) T (x) = ˆx K n N T T (x) = ˆx K = { ˆx(x ) : x K} = { x (x) : x K} = x K J T T : C (K) J T x J T f C (K) x = f T x J T µ x M r (K) n N x (x n ) = ˆx n K, dµ x ˆx n K M n N K µ x (K) < x J T {x (x n )} n N x K x = w λ i Ii K α i = Ii (x n ) n ( αi 2 ) 1/2 M λ i α i M ( i=n+1 λ i α i ϵ > 0 N N λ 2 i ) 1/2 < ϵ 3M i=n+1 λ i α i < ϵ 3 n 0 N

67 N n n 0 λ i Ii (x n ) λ i α i < ϵ 3 n n 0 x (x n ) λ i α i N λ i Ii (x n ) λ i α i + λ i Ii (x n ) + λ i α i < ϵ 3 + ( λ 2 i ) 1/2 ( i=n+1 i=n+1 i=n+1 i=n+1 I i (x n ) 2 ) 1/2 + ϵ 3 < ϵ 3 + ϵ 3 + ϵ 3 = ϵ X f n : X R { f n (x) } < x X ϵ > 0 M [N] L n N [M] n L f n (x) n L f n(x) < ϵ x X {f n } n N {L k } k N N k N n L k {n k } k N n k L k f n (x) f n (x) < 1 n L k k x X k N L = {n k : k N} L k N L L k x X f n (x) n L n L k f n (x) = n L n L n L f n (x) (f n ) n L f n (x) f n (x) < 1 n L k k f n (x) k N k l 1 J T

68 l 1 J T J T l 1 l 1 J T {u n } n N M = n N { u n } {u nk } k N {I (u nk } k N I K [N] {S (u n )} n K S ϵ > 0 M [K] L [M] σ (u n ) n L n L σ (u n ) ϵ σ 2 N ϵ > 0 M [K] L [M] σ L 2 N n L σ L(u n ) n L σ L(u n ) > ϵ σ L2 (u n )+ n L n L σ L2 (u n ) > ϵ2 ( ) k N k ϵ2 2 4 > M 2 L 0 [M] σ 1 2 N ( ) σ 2 1 (u n ) σ 2 1 (u n ) ϵ2 n L 0 n L 0 4 L 1 [L 0 ] σ 2 1 (u n ) > ϵ2 n L1 4 σ 2 2 N ( ) σ 1 σ 2 L k L k 1,..., L 1 N σ 1,..., σ k 2 N σ 2 i (u n ) > ϵ2 n Li 4 i = 1,..., k σ 2 i (u n ) > ϵ2 n Lk 4 i = 1,..., k N L k i = 1,..., k σi 2 (u n ) > ϵ2 n L k : n N σ 1,..., σ k 4 {u n } n N k n 0 L k n 0 N u n0 2 σ 2 i (u n0 ) > k ϵ2 4 > M 2 J T w

69 l 1 J T l 1 J T l 1 c 0 J T l 1 w K X conv w (K) = conv. (K) J T J T = [I : I 2 <N ] = [I : I 2 <N ] K J T B J T = conv. (K) = conv w (K) K B J T conv w (K) B J T B J T w x B J T \ conv w (K) w x J T { k (x) : k conv w (K) } < x (x) {k (x) : k K} < x (x) x K J T

70 { { } } l 2 (2 N ) = f : 2 N R : f(σ) 2 : F 2 N < σ F { 1/2 < f, g >= f(σ)g(σ) : F 2 } N σ F l 2 (2 N ) S : l 2 (2 N ) l 2(2 N ) S(f)(g) =< f, g > g l 2 (2 N ) f l 2 (2 N ) {λ n } n N l 2 {σ n } n N 2 N f = λ n X {σn } suppf = { σ 2 N : f(σ) > 1 } suppf n { σ 2 N : f(σ) > n} 1 n N n N k N σ 1,..., σ k 2 N f(σ i ) > 1 i = 1,..., k n k k n < f(σ 2 i ) 2 f 2 k suppf = {σ n : n N} k f(σ i )X {σi } f = n N { i=k+1 f(σ i ) 2 } = i=k+1 f(σ i ) 2 k 0 {f(σ n )} n N l 2 f = f(σ n )X {σn }

71 (X, d) (Y m ) m N P(X) Y = dist(x, Y ) = m dist(x, Y m) x X m=1 Y m x X (dist(x, Y m )) m N Y m Y m N dist(x, Y ) dist(x, Y m) m y Y {y k } k N Y m y {m k } k N y k Y mk k N m 1 N y 1 Y m1 m 2 N y 2 Y m 2 m 2 = {m 1, m 2} + 1 > m 1 y 2 Y m2 y k Y mk m k+1 N y k+1 Y m k+1 m k+1 = { m k, m k+1} + 1 {mk } k N dist(x, Y mk ) d(x, y k ) k N dist(x, Y m) = m dist(x, Y m k ) d(x, y k ) = d(x, y) dist(x, Y k k m) dist(x, Y ) m dist(x, Y ) = dist(x, Y m). m y k k m=1 Y = [e s : s N ] Q : J T J T /Y Q(x ) = x + Y J T /Y = Q[J T ] = Q(< I : I > Q[< I : I >] = [I + Y : I ] J T /Y = [I + Y : I ] J T /Y l 2 (2 N ) < I + Y : I 2 <N > I, S

72 I + Y = S + Y σ(i) = σ(s) I S Y U :< I + Y : I 2 <N > l 2 (2 N ) U( λ i Ii + Y ) = λ i X {σ(ii )} U I 1,..., I n λ 1,..., λ n R λ 2 i = 1 λ i Ii +Y = 1 λ i Ii (x) ( λ 2 i ) 1/2 ( λ i Ii 1 I i λ i Ii + Y 1 2 (x)) 1/2 x x J T N I 1,..., I n Y m =< e s : s m > Y = Y m m N x m = λ i e σ(ii ) m+1 x m = 1 y Y m λ i Ii (x m ) y (x m ) = 1 dist( λ i Ii (x m ) = 1 1 λ i Ii, Y m ) m N = dist( λ i Ii, Y m ) 1 m m=1 m N m N λ i Ii y y Y m λ i Ii + Y = dist( λ i Ii, Y ) = U J T /Y U k f = λ n X {σn} = U( λ n σn +Y ) k f U[J T /Y ] J T /Y U[J T /Y ] U[J T /Y ] l 2 (2 N ) f U[J T /Y ] U J

73 J T J T / ˆ J T J T dim(j T / J ˆ T ) = dim((j T /Y ) ) = dim(l 2(2 N )) = dim(l 2 (2 N )) = + J T = J ˆ T [σ : σ 2 N ] x J T x = ˆx + λ n σn x J T {λ n } n N l 2 {σ n } n N 2 N JˆT [σ : σ 2 N ] = {0} J T y Y y = λ n σ n {λ n } n N l 2 {σ n } n N 2 N T U S l 2 (2 N ) L = T U S : l 2 (2 N ) Y L L L(X {σ} ) = σ σ 2 N σ 2 N I 2 <N L(X {σ} )(I ) = T U S(X {σ} )(I ) = S(X {σ} )(U(I + Y )) = U(I + Y )(σ) = = X {σ(i)} (σ) = σ (I ) L(X {σ} ) = σ J T = [I : I ]. X X ˆX w X ˆX w X X w X l 1 J T

74 J ˆ T w J T x {x n } n N J T x = w ˆx n n J T x = ˆx + j=1 σ 1,..., σ n x n = x + λ j σ j x 1 = x n > 1 k n λ j e σj kn {x n } n N {λ n } n N l 2 I (x n ) n λ j σj (I ) I j=1 I i N σ(i) = σ i n n 0 I (x n ) = λ i = λ n σn (I ) I (x n ) = 0 = λ j σj (I ) n N I I (x n ) n j=1 j=1 j=1 λ j σ j (I ) J T l 2 J T l 2 l 2 M M (2) = {(n, m) : n, m M, n < m} [M] M

75 A 1,..., A k N N (2) = M (2) A i k A i M [N] i {1,..., k} L [N] n N {n} (2) L = {n, m) : m L, n < m} M 1 = N m 1 M 1 M 2 [M 1 ] i 1 {1,..., k} {m 1 } (2) M 2 A i1 m 2 M 2 m 2 > m 1 M 3 [M 2 ] i 2 {1,..., k} {m 2 } (2) M 3 A i2 {m n } n N N {M n } n N [N] {i n } n N {1,..., k} m p M n p n {m n } (2) M n+1 A in n N k { N = n N : {m n } (2) M n+1 A i } i {1,..., k} { } L = n N : {m n } (2) M n+1 A i M = {m n : n L} [N] m n, m p M m n < m p n < p m p M n+1 (m n, m p ) A i M (2) A i {x n } n N J T n I (x n ) = 0 I ϵ > 0 {x n } n M S in(s) = S (x n ) ϵ n M n(s) M S ϵ > 0 K = { x n } n N n N α n = {supp(x n )} Q n = { t 2 <N : t = α n St (x n ) > ϵ S t in(s) = t }

76 n N ϵ 2 Q n < St (x n ) 2 x n 2 K 2 Q n K2 ϵ 2 t Q n n N α N {0} L [N] Q n = α n L α = 0 (x n ) n L Q n = n L α 1 n L Q n = {t i,n : 1 i α} i, j {1,..., α} A i,j = {n, m L : n < m S t i,n t j,m S (x n ) > ϵ} A = N (2) \ 1 i,j α A i,j N (2) = A 1 i,j α A i,j M [N] M (2) A M (2) A i,j i, j {1,..., α} i, j {1,..., α} M (2) A i,j n, k M n+1 < k (n, k), (n+1, k) M (2) t i,n t i,n+1 S 1 t i,n S 2 t i,n+1 t j,k S1(x n ) > ϵ S2(x n+1 ) > ϵ t i,n+1 S 1 S n,n+1 t i,n t i,n+1 Sn,n+1(x n ) = S1(x n ) > ϵ I = S n,n+1 I I (x n ) = Sn,n+1(x n ) > ϵ n M I (x n ) = 0 M (2) A n (x n ) n M S in(s) = n, m M n < m S (x n ) > ϵ S (x m ) > ϵ t 1 S t 1 = α n t 2 S t 2 = α m Q n Q m i, j {1,..., α} t 1 = t i,n t 2 = t j,m (n, m) A i,j A A i,j =. 1 i,j α (x n ) n N J T ϵ > 0 M [N] S in(s) = S (x n ) ϵ n M n(s) ϵ {y n } n N J T n I (x n ) = 0 I ϵ > 0 {y n} n N n N

77 λ 1,..., λ n R ( λ 2 i ) 1/2 λ i y i 2(1 + ϵ)( λ 2 i ) 1/2 ϵ > 0 {ϵ k } k N R {M k } k N [N] {y n } n Mk ϵ k k N k N S in(s) = S(y n ) ϵ k n M k n(s) M k n N α n = {supp(x n )} m n = 2 α n {p n } n N {k n } n N p n M kn n N m n ( l=n+1 ϵ 2 k l ) < ϵ 2 k 1 = 1 p 1 M k1 ϵ n n 0 L 1 [N] r L 1 ϵ 2 r < ϵ2 2m 1 n L k 2 L 1 k 2 L 1 p 2 M k2 p 2 > p 1 ϵ 1 n 0 L 2 [L 1 ] ϵ 2 r < ϵ2 2 2 m 2 r L 2 k 3 L 2 k 3 > k 2 p 3 M k3 p 3 > p 2 {k n } n N {p n } n N p n M kn n N {L n } n N [N] k n L n ϵ 2 r < ϵ2 n N k 2 n l L n l n + 1 m n r L n l=n+1 ϵ 2 k l r L n ϵ 2 r < ϵ2 2 n m n n N m n ( l=n+1 ϵ 2 k l ) < ϵ 2 {k n } n N {p n } n N n N y n = y pn, b n = α pn, δ n = ϵ kn {y n} n k δ k k N k N

78 p n M k n k {y n} n k {y n } n Mk δ k m n ( δl 2 ) < ϵ 2 l=n+1 S i(s) = {n N : in(s) b n } in(s) = b i(s) S A(S) = {n N : S(y n) > δ n } A(S) λ(s) = mina(s) λ(s) = + S (y n) 2 n λ(s) n i(s) A(S) = {n 1 < n 2 <... < n j < n j+1 <...} λ(s) = n 1 i(s) n 1 j N (y n) n nj δ nj S (y n j ) > δ nj S (y n j+1 δ nj S (y n) 2 = S (y n) 2 = S (y n j ) 2 + S (y n) 2 n λ(s) n i(s):n n 1 j=2 n i(s):n/ A(S) δn 2 j + δn 2 = j=1 n i(s):n/ A(S) n N λ 1,..., λ n R δ 2 n n i(s) 1 δ 2 n λ 2 i = 1 λ i y i U S U S = S 0 S S 0 = { t S : t < b i(s) } S = { t S : b i(s) t } S 0, S S S = S1 S S 1 = { t S : b i(s) t < b i(s)+1 } S = { t S : b i(s)+1 t }

79 S S = S 1 S 2 S 3 { } S 1 = t S : b i(s)+1 t < b λ(s ) } S 2 = {t S : b ) λ(s t < b )+1 λ(s } S 3 = {t S : b λ(s )+1 t λ(s ) = + b λ(s ) = + S = S 0 S 1 S 1 S 2 S 3 x = λ i y i S (x) 2 = S U S U 4 S U S 0(x) + S 1(x) + S 1 (x) + S 2 (x) + S 3 (x) 2 ( S0(x) 2 + S1(x) 2 + S 2 (x) 2 )) + 4 S 1 (x) + S 3 (x) 2 S U R S 0, S 1, S 2 R(x) = λ i R(y i) i {1,..., n} R(x) 2 = λ 2 i R(y i) 2 S U ( S 0(x) 2 + S 1(x) 2 + S 2 (x) 2 )) = S U = λ 2 i ( S U ( S 0(y i) 2 + S 1(y i) 2 + S 2 (y i) 2 )) (λ 2 i ( S 0(y i) 2 + S 1(y i) 2 + S 2 (y i) 2 )) λ 2 i y i = λ 2 i = 1 S U S 1 (x) + S 3 (x) 2 =,i λ(s ) n λ(s ) λ i S (y i) 2 ( S (y n) 2 n i(s ),i λ(s ) δ 2 n λ 2 i )(,i λ(s ) S (y i) 2 ) k N U k = {S U : i(s) = k} S U k i(s ) = k + 1

80 S U = S 1 (x) + S 3 (x) 2 = k=1 S U k n i(s ) δ 2 n = S 1 (x) + S 3 (x) S U k δn 2 m k ( k=1 k=1 S U k n k+1) k=1 n=k+1 δ 2 n) < ϵ 2 U S (x) 2 < 4 + 4ϵ 2 < 4(1 + ϵ) 2 S U λ i y i 2(1 + ϵ) 1 λy i 2(1 + ϵ) J T l 2 Y {x n } n N Y ϵ > 0 {x n} n N n N λ 1,..., λ n R (1 ϵ)( λ 2 i ) 1/2 λ i x i (2 + 3ϵ)( λ 2 i ) 1/2 Y J T l 1 J T {x n } n N Y ϵ > 0 {x n} n N (y n ) n N x n y n 2 < ϵ 2 ( )

81 I (x n) n 0 ( ) x n y n n 0 I I (y n ) I (x n ) + I x n y n n N I (y n ) = 0 n ϵ > 0 {y n} n N n N λ 1,..., λ n R ( λ 2 i ) 1/2 λ i y i 2(1 + ϵ)( λ 2 i ) 1/2 {x n} n N {x n} n N n N λ 1,..., λ n R λ i x i λ i x i y i + λ i y i ( λ 2 i ) 1/2 ( x i y i 2 ) 1/2 + 2(1 + ϵ)( (2 + 3ϵ)( λ 2 i ) 1/2 λ 2 i ) 1/2 λ i y i λ i x i y i ( λ 2 i ) 1/2 ( λ 2 i ) 1/2 ( x i y i 2 ) 1/2 (1 ϵ)( λ 2 i ) 1/2 λ i x i λ i x i λ i x i (1 ϵ)( λ 2 i ) 1/2 λ i x i (2 + 3ϵ)( λ 2 i ) 1/2

82

83 l 1 l 1

### Αφιερώνεται στα παιδιά μας Σπυριδούλα, Αχιλλέα και Αναστασία

0 3 10 71 < < 3 1 7 ; (y k ) 0 LU n n M (2; 4; 1; 2) 2 n 2 = 2 2 n 2 n 2 = 2y 2 n n ' y = x [a; b] [a; b] x n = '(x n 1 ) (x n ) x 0 = 0 S p R 2 ; S p := fx 2 R 2 : kxk p = 1g; p = 1; 2; 1 K i

Διαβάστε περισσότερα

(G) = 4 1 (G) = 3 (G) = 6 6 W G G C = {K 2,i i = 1, 2,...} (C[, 2]) (C[, 2]) {u 1, u 2, u 3 } {u 2, u 3, u 4 } {u 3, u 4, u 5 } {u 3, u 4, u 6 } G u v G (G) = 2 O 1 O 2, O 3, O 4, O 5, O 6, O 7 O 8, O

Διαβάστε περισσότερα

B G [0; 1) S S # S y 1 ; y 3 0 t 20 y 2 ; y 4 0 t 20 y 1 y 2 h n t: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 1; 3: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 2; 4: r = 10 5 ; a = 10 6 t = 20

Διαβάστε περισσότερα

### x E[x] x xµº λx. E[x] λx. x 2 3x +2

¾ λ¹ ÐÓÒ Ó ÙÖ ½ ¼ º õ ¹ ¹ ÙÖ ¾ ÙÖ º ÃÐ ¹ ½ ¼º ¹ Ð Ñ ÐÙÐÙ µ λ¹ λ¹ ÐÙÐÙ µº λ¹ º ý ½ ¼ ø λ¹ ÃÐ º λ¹ ÌÙÖ Ò ÌÙÖ º ÌÙÖ Ò ÚÓÒ Æ ÙÑ ÒÒ ¹ ÇÊÌÊ Æ Ä ÇÄº ý λ¹ ¹ º Ö ÙØ ÓÒ Ñ Ò µ Ø ¹ ÓÛ ÓÑÔÙØ Ö µ ¹ λ¹ º λ¹ ÙÒØ ÓÒ Ð

Διαβάστε περισσότερα

### Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh

Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh Ginnhc K. Sarant pouloc jnik Mets bio Poluteqne o Sqol farmosmłnwn Majhmatik n & Fusik n pisthm n TomŁac Majhmatik n 22 Febrouar ou 28 Perieqìmena Συμβολισμός

Διαβάστε περισσότερα

### TALAR ROSA -. / ',)45\$%"67789

TALAR ROSA!"#"\$"%\$&'\$%(" )*"+%(""%\$," *\$ -. / 0"\$%%"\$&'1)2\$3!"\$ ',)45\$%"67789 ," %"(%:,;,"%,\$"\$)\$*2

Διαβάστε περισσότερα

ẋ = f(x) n 1 f i (i = 1, 2,..., n) x i (i = 1, 2,..., n) x(0) = x o x(t) t > 0 t < 0 x(t) x o U I xo I xo : α xo < t < β xo α xo β xo x(t) t β t α + x f(x) = 0 x x x x V 1 x x o V 1 x(t) t > 0 x o V 1

Διαβάστε περισσότερα

### ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ

. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 4 α. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του. β. Αν Re ( ) 0, τότε: 4 i. Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός w = + είναι πραγματικός και ισχύει 4 w 4. ii. Να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

### = k. n! k! (n k)!, k=0

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Συμπληρωματικές Ασκήσεις Χειμερινό Εξάμηνο 2015 Χρήστος Α Αθανασιάδης Συμβολίζουμε με O το μηδενικό πίνακα καταλλήλων διαστάσεων, με I (ορισμένες φορές, με I n τον n n ταυτοτικό πίνακα,

Διαβάστε περισσότερα

### Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

### Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

### 1.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

Κεφ. I Εισαγωγή.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Η ανάγκη µαθηµατικής περιγραφής και µοντελοποίησης συστηµάτων τα οποία εξελίσσονται χρονικά κατά τρόπο που περιέχει, σε µικρό ή µεγάλο βαθµό, τυχαιότητα,

Διαβάστε περισσότερα

### Ανταλλακτικά για Laptop Toshiba

Ανταλλακτικά για Laptop Toshiba Ημερομηνία έκδοσης καταλόγου: 6/11/2011 Κωδικός Προϊόντος Είδος Ανταλλακτικού Μάρκα Μοντέλο F000000901 Inverter Satellite A10 Series, A10 PSA10L-033X4P F000000902 Inverter

Διαβάστε περισσότερα

### ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

0 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παραπάνω φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει βοήθεια κυρίως στους μαθητές

Διαβάστε περισσότερα

### Κεφάλαιο 8 1. Γραµµικές Απεικονίσεις

Σελίδα 1 από 9 Κεφάλαιο 8 1 Γραµµικές Απεικονίσεις Τα αντικείµενα µελέτης της γραµµικής άλγεβρας είναι σύνολα διανυσµάτων που χαρακτηρίζονται µε την αλγεβρική δοµή των διανυσµατικών χώρων. Όπως λοιπόν

Διαβάστε περισσότερα

### ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ : (α) Ταχύτητα ΚΜ: u KM = mu + mu m = u + u Εποµένως u = u u + u = u u, u = u u + u = u u (β) Διατήρηση ορµής στο ΚΜ: mu + mu = mv + mv u + u = V + V = 0 V = V

Διαβάστε περισσότερα

### KYMATA Ανάκλαση - Μετάδοση

ΦΥΣ 131 - Διαλ.34 1 KYMATA Ανάκλαση - Μετάδοση q Παλµός πάνω σε χορδή: Ένα άκρο της σταθερό (δεµένο) Προσπίπτων Ο παλµός ασκεί µια δύναµη προς τα πάνω στον τοίχο ο οποίος ασκεί µια δύναµη προς τα κάτω

Διαβάστε περισσότερα

### HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

### Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

### Γραμμική Ανεξαρτησία. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. 17 Μαρτίου 2013, Βόλος

Γραμμικές Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις Ανώτερης Τάξης Γραμμικές Σ Ε 2ης τάξης Σ Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία Μανόλης Βάβαλης

Διαβάστε περισσότερα

### ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

### ΘΕΩΡΙΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΝΟΥΤΣΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΚΩΝ. Ιωάννινα 2014

ΘΕΩΡΙΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΝΟΥΤΣΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΚΩΝ Ιωάννινα 0 Περιεχόμενα ΕΙΣΑΓΩΓΗ 5. Νόρμες.................................... 6. Υπαρξη και μονοσήμαντο.......................... 8 ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ

Διαβάστε περισσότερα

### Ανταλλακτικά για Laptop Lenovo

Ανταλλακτικά για Laptop Lenovo Ημερομηνία έκδοσης καταλόγου: 6/11/2011 Κωδικός Προϊόντος Είδος Ανταλλακτικού Μάρκα Μοντέλο F000000884 Inverter Lenovo 3000 C200 F000000885 Inverter Lenovo 3000 N100 (0689-

Διαβάστε περισσότερα

### P13-2014-14. .. ²ÒÏ 1,,.Š. μ μ 1, 2, 1, 3, ,. Ê³ÌÊÊ. Œ œ ˆ ŒˆŠˆ ˆŒ œ ƒ Š ˆ -2Œ ˆ Š Œ ˆ ˆ Œ ˆŸ Œ ˆ. ² μ Ê ² Annals of Nuclear Energy

P13-2014-14.. ²ÒÏ 1,,.Š. μ μ 1, 2, 1, 3,,. Ê³ÌÊÊ Œ œ ˆ ŒˆŠˆ ˆŒ œ ƒ Š ˆ -2Œ Ÿ ˆ ˆŸ ˆ Š Œ ˆ ˆ Œ ˆŸ Œ ˆ ² μ Ê ² Annals of Nuclear Energy 1 Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê 2 ² ² Œƒ Œˆ, Ê, μ Ö 3 ˆ É ÉÊÉ Ë ± É Ì μ²μ Œ,

Διαβάστε περισσότερα

### Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου

Matrix Algorithms Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Περιεχόμενα παρουσίασης Πολλαπλασιασμός πίνακα με διάνυσμα Πολλαπλασιασμός πινάκων Επίλυση τριγωνικού

Διαβάστε περισσότερα

### Στατική και Σεισµική Ανάλυση

ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΙ Η ΠΟΛΙΤΙΚΟΥ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΑ ΚΤΙΡΙΑ από οπλισµένο σκυρόδεµα ΤΟΜΟΣ Β Στατική και Σεισµική Ανάλυση ISBN set 978-960-85506-6-7 ISBN τ. Β 978-960-85506-0-5 Copyright: Απόστολος

Διαβάστε περισσότερα

### 17 Μαρτίου 2013, Βόλος

Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις 1ης Τάξης Σ Ε 1ης τάξης, Πεδία κατευθύνσεων, Υπαρξη και μοναδικότητα, ιαχωρίσιμες εξισώσεις, Ολοκληρωτικοί παράγοντες, Αντικαταστάσεις, Αυτόνομες εξισώσεις Μανόλης Βάβαλης

Διαβάστε περισσότερα

### Ρόδος, Μαρτιος 2014. Εργασία Προόδου #1. ίνονται Οµάδες Ερωτήσεων, Προβληµάτων και Ασκήσεων, Α,Β,Γ,,Ε,Ζ,Η

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 Eaρινό Εξάµηνο Ρόδος, Μαρτιος 2014 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Ι ΑΚΤΙΚΗΣ και ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ Μάθηµα: ΥΓ00003 "ΕΙΣΑΓΩΓΗ στις ΒΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

### Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

### ψ (x) = e γ x A 3 x < a b / 2 A 2 cos(kx) B 2 b / 2 < x < b / 2 sin(kx) cosh(γ x) A 1 sin(kx) a b / 2 < x < b / 2 cos(kx) + B 2 e γ x x > a + b / 2

Σπουδές στις Φυσικές Επιστήµες ΦΥΕ 40 Κβαντική Φυσική 014-015 ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Υπόδειξη λύσεων ΑΣΚΗΣΗ 1 Η άρτια κυµατοσυνάρτηση θα δίνεται από (x) = A 3 e γ x x < a b / A cos(kx) B sin(kx) a b / < x < b / A

Διαβάστε περισσότερα

### Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Ακαδηµαϊκο Ετος 011-01 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laiihtml

Διαβάστε περισσότερα

### Κβαντικούς Υπολογιστές

QUANTUM QUANTUM HALL HALL EFFECT EFFECT Από Από τον τον Von Von Klitzing Klitzing στους στους Κβαντικούς Κβαντικούς Υπολογιστές Υπολογιστές V.C. Karavolas Physics Department, Solid State Section, University

Διαβάστε περισσότερα

### Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Μερική Παράγωγος και Εφαρµογές ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 19 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των µε- ϱικών

Διαβάστε περισσότερα

### Mαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΤΗΜΑΤΩΝ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2004 Θέμα 1 ο : Αποδείξτε με τον κανόνα της επίλυσης τα ακόλουθα Α. Η πρόταση (Α (Β C)) & (A B) & (A C) είναι μη επαληθεύσιμη Β. Η Β είναι αποδείξιμη από το Δ={ (Β

Διαβάστε περισσότερα

### γ. Για την απώλεια της ενέργειας αφαιρούμε την ενέργεια που είχε το σώμα τη χρονική στιγμή t 1, αυτή της

Βασικές ασκήσεις στις φθίνουσες ταλαντώσεις.. Μικρό σώμα εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση με πλάτος που μειώνεται με το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση =,8e,t (S.I.). Να υπολογίσετε: α. το πλάτος της ταλάντωσης τη

Διαβάστε περισσότερα

### ΑΠΟΦΑΣΗ ΤΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗΣ. της 6ης Νοεμβρίου 2006

18.11.2006 EL Επίσημη Εφημερίδα της Ευρωπαϊκής Ένωσης L 320/53 ΑΠΟΦΑΣΗ ΤΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗΣ της 6ης Νοεμβρίου 2006 για την κατάρτιση των καταλόγων τρίτων χωρών και εδαφών από τα οποία επιτρέπονται οι εισαγωγές

Διαβάστε περισσότερα

### 20.2.5 Å/ ÅÃ... YD/ kod... 130

Περιεχόμενα 13 Ψάχνοντας υποαπασχόληση 1 13.1 Διάλογοι.................................................. 1 13.1.1 Ÿ º Â È Ç½µ¹ Å»µ¹..................................... 1 13.1.2 Ä µãä¹±äìá¹...........................................

Διαβάστε περισσότερα

W ISR i = 5 15 ISR i + 4 15 ISR i 1 + 3 15 ISR i 2 + 2 15 ISR i 3 + 1 15 ISR i 4 W ISR W ISR ) E T hreshold = (1 Ẽ Ẽ + IQR (E) Ẽ IQR(E) E T hreshold = 0.99 e 1 N N i=1 (E i) + 0.01 Ẽ h(t) = H(y )(t)

Διαβάστε περισσότερα

### Βάσεις Δεδομένων και Ευφυή Πληροφοριακά Συστήματα Επιχειρηματικότητας. Πληροφοριακά Συστήματα και Βάσεις Δεδομένων. Δρ. Κωνσταντίνος Χ.

Βάσεις Δεδομένων και Ευφυή Πληροφοριακά Συστήματα Επιχειρηματικότητας Πληροφοριακά Συστήματα και Βάσεις Δεδομένων Δρ. Κωνσταντίνος Χ. Γιωτόπουλος ΧΡΟΝΟΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ και ΔΥΝΑΤΟΤΗΤΑ ΑΝΑΚΑΜΨΗΣ Όταν οι δοσοληψίες

Διαβάστε περισσότερα

### ΑΚΡΙΒΩΣ ΕΠΙΛΥΣΙΜΑ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ

ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΤΡΑΧΑΝΑΣ ΑΚΡΙΒΩΣ ΕΠΙΛΥΣΙΜΑ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ªÈ Û ÛÙËÌ ÙÈÎ Ó ÙËÛË E-BOOK ΠANEΠIΣTHMIAKEΣ EKΔOΣEIΣ KPHTHΣ I Ú ÙÈÎ ˆÚÂ ÁÎÚËÙÈÎ EÓÒÛÂˆ AÌÂÚÈÎ HΡΑΚΛΕΙΟ 2011 Π ANEΠIΣTHMIAKEΣ E KΔOΣEIΣ K PHTHΣ

Διαβάστε περισσότερα

### 2010 Offroad Standard & Flame fixed discs

New Flame discs March 23/9/2010 2010 2010 Offroad Standard & Flame fixed discs APRILIA APRILIA RXV, MXV 450 450 2005-2010 - - - 110315 97 APRILIA SXV 450 450 2005-2010 - 112067 252-110315 97 APRILIA RXV

Διαβάστε περισσότερα

### Ενότητα 3 (μέρος 1 ο )

Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Προγραμματισμός με Εφαρμογές στην Επιστήμη του Μηχανικού Ενότητα 3 (μέρος 1 ο ) Σιέττος Κωνσταντίνος Άδεια Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

### 7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι)

77 78 7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Άλγεβρα των μητρών οι πινάκων είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για την επίλυση συστημάτων καθώς επίσης στις επιστήμες της οικονομετρίας και της στατιστικής. ΟΡΙΣΜΟΣ: Μήτρα

Διαβάστε περισσότερα

### Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

### Αλγόριθµοι Brute-Force και Διεξοδική Αναζήτηση

Αλγόριθµοι Brute-Force και Διεξοδική Αναζήτηση Περίληψη Αλγόριθµοι τύπου Brute-Force Παραδείγµατα Αναζήτησης Ταξινόµησης Πλησιέστερα σηµεία Convex hull Βελτιστοποίηση Knapsack problem Προβλήµατα Ανάθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Πολυράκης Καθηγητής ΕΜΠ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ και Θεωρία Γενικής Ισορροπίας στην Οικονοµία ΑΘΗΝΑ 2009 2 Περιεχόµενα 1 Εισαγωγή 7 1.1 Η δυϊκότητα αγαθών-τιµών.................. 8 1.1.1 Λήψη αποφασεων...................

Διαβάστε περισσότερα

### Η Υποθεση του Riemann

Η Υποθεση του Riemann Πτυχιακη Εργασια Νικολεντζος Πολυχρονης Α.Μ.: 311/2003066 Εισηγητης : Κοντογεωργης Αριστειδης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Αιγαιου Καρλοβασι, 2008 Εξεταστικη Επιτροπη: Ανούσης

Διαβάστε περισσότερα

Προσοµοίωση Ανάλυση Απ ο τ ε λε σµ άτ ω ν ιδάσκων: Ν ικό λ α ο ς Α µ π α ζ ή ς Ανάλυση Απ ο τ ε λε σµ άτ ω ν Τα απ ο τ ε λ έ σ µ ατ α απ ό τ η ν π αρ αγ ω γ ή κ αι τ η χ ρ ή σ η τ υ χ αί ω ν δ ε ι γ µ

Διαβάστε περισσότερα

### «ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α» ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΕΙΔΩΝ και ΕΚΤΙΜΩΜΕΝΕΣ ΠΟΣΟΤΗΤΕΣ

«ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α» ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΕΙΔΩΝ και ΕΚΤΙΜΩΜΕΝΕΣ ΠΟΣΟΤΗΤΕΣ Α/Α ΜΟΝΤΕΛΟ ΕΙΔΟΣ ΕΚΤΥΠΩΤΗ ποσότητα BLACK ποσότητα YELLOW ποσότητα MAGENTA ποσότητα CYAN ποσότητ α color BROTHER 1 Brother dcb -7010L Fax 1 2 Brother

Διαβάστε περισσότερα

### 103 Α Α Α % Α 22 22 15,777 15.53 33.5 11,839 11.67 25.9

%- & Α -Η Η Α- Ω Ο Α Ο Ω Ο Α Ο Α Ο Ο Ο Α ΧΟ Η Α Ο Η / ΧΟ Η Ο Α... Α..Α.... Ο Α... Α..Α.. 127 Α Α Α Α Α Α Α % Α 21 21 20,924 18.40 36.8 19,434 17.15 34.2 127 Α Α Α Α Α Α Α %.. α 2 2 18,978 16.57 33.0 17,638

Διαβάστε περισσότερα

### ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Τάξης Γενικού Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Τάξης Γενικού Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Η συγγραφή και η επιμέλεια του βιβλίου πραγματοποιήθηκε υπό την αιγίδα του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου υγγραφή και η επιμέλεια του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

### Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Πρόβληµα, Στιγµιότυπο, Αλγόριθµος Εργαλεία εκτίµησης πολυπλοκότητας: οι τάξεις Ο(n), Ω(n), Θ(n) Ανάλυση Πολυπλοκότητας Αλγορίθµων

Διαβάστε περισσότερα

### = P = P. = P [ X 0 = x 0, X 1 = x 1,..., X k = x k. Xn = x 0. Xn+1 = x 1 X n = x 0. Xn+k = x k X n+k 1 = x k 1 = π 0 (x 0 )p(x 0, x 1 ) p(x k 1, x k )

ΚΕΦΑΛΑΙΟ VI. ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Οι αναλλοίωτες κατανομές είναι κατά κάποιο τρόπο οι φυσικές καταστάσεις μιας μαρκοβιανής αλυσίδας. Αν μια αλυσίδα ξεκινήσει από μια αναλλοίωτη κατανομή της θα παραμείνει

Διαβάστε περισσότερα

### Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων Ακαδ. Έτος 2014-2015 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας

Διαβάστε περισσότερα

### Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α,

Διαβάστε περισσότερα

### ΓΕΡΑΝΟΓΕΦΥΡΑ ΠΛΩΤΗΣ ΕΞΕΔΡΑΣ DΕLΤΑ VERENIKI

ΓΕΡΑΝΟΓΕΦΥΡΑ ΠΛΩΤΗΣ ΕΞΕΔΡΑΣ DΕLΤΑ VERENIKI Μελέτη Δ. Τ. Βενετσάνου Π.Α. Μακρή ΑΘΗΝΑ Ιούνιος 2008 Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγή... 3 1. Γενικά... 4 2. Διατομές... 5 3. Φορτία... 6 4. Επίλυση Με Τη Μέθοδο

Διαβάστε περισσότερα

### ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 23/4/2009

ΕΠΩΝΥΜΟ:........................ ΟΝΟΜΑ:........................... ΤΜΗΜΑ:........................... ΤΣΙΜΙΣΚΗ & ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ THΛ : 7077 594 ΑΡΤΑΚΗΣ 1 Κ. ΤΟΥΜΠΑ THΛ : 919113 9494 www.syghrono.gr ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:.....................

Διαβάστε περισσότερα

### ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (Κυριακή, 17-06-2007, 13.30-17:00)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραµµα Σπουδών Θεµατική Ενότητα ιοίκηση Επιχειρήσεων & Οργανισµών ΕΟ Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδηµαϊκό Έτος 006-7 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (Κυριακή, 7-06-007,.0-7:00)

Διαβάστε περισσότερα

### Γ Ρ Α Μ Μ Ι Κ Η Α Λ Γ Ε Β Ρ Α

Ι Ω Α Ν Ν Η Σ Μ Α Ρ Ο Υ Λ Α Σ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΣΕΜΦΕ Γ Ρ Α Μ Μ Ι Κ Η Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Επιµέλεια : ρ Αδάµ Μαρία ΕΜΠ, 005 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Ο ρόλος της Γραµµικής Άλγεβρας στις Εφαρµοσµένες Επιστήµες είναι εξαιρετικά σηµαντικός.

Διαβάστε περισσότερα

### Αυγ-13 Ακολουθιακά Κυκλώματα: Μανδαλωτές και Flip-Flops. ΗΜΥ 210: Σχεδιασμό Ψηφιακών Συστημάτων, Χειμερινό Εξάμηνο 2009.

ΗΜΥ-20: Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων Ακολουθιακά Κυκλώματα: Μανδαλωτές (Latches) και Flip-Flops Flops Διδάσκουσα: Μαρία Κ. Μιχαήλ Ακολουθιακά Κυκλώματα Συνδυαστική Λογική: Η τιμή σε μία έξοδο εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

### Η ΤΕΧΝΟΓΝΩΣΊΑ ΜΑΣ ΓΙΑ ΤΟ ΗΜΙ-ΦΟΡΤΗΓΌ ΣΑΣ CITROËN

Η ΤΕΧΝΟΓΝΩΣΊΑ ΜΑΣ ΓΙΑ ΤΟ ΗΜΙ-ΦΟΡΤΗΓΌ ΣΑΣ CITROËN Εδώ θα βρείτε μια λίστα με τα σημαντικότερα ανταλλακτικά για το ημιφορτηγό σας CITROËN. Εάν χρειάζεστε περαιτέρω εξαρτήματα ή αναζητάτε προϊόντα για άλλα

Διαβάστε περισσότερα

### ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ θεματα Α-Β-Γ-Δ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ENOTHTA ΘΕΜΑ ΣΕΛΙΔΕΣ 0 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 3-4 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΘΕΜΑ Α) 5-7 ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΘΕΜΑ Β)

Διαβάστε περισσότερα

### Διάδοση Κυμάτων στα Υλικά. Δ. Ευταξιόπουλος

Διάδοση Κυμάτων στα Υλικά Δ. Ευταξιόπουλος 14 Φεβρουαρίου 01 Περιεχόμενα 1 Διάδοση κυμάτων σε ελαστικό μέσο άπειρων διαστάσεων 5 1.1 Τάσεις και παραμορφώσεις...................... 5 1. Ο νόμος Hooke για

Διαβάστε περισσότερα

### Υπολογισµός Καµπύλης Απόκρισης

Απόκριση Θεµελιώσεων µε Πασσάλους υπό Οριζόντια Φόρτιση Απόκριση Πασσάλων υπό Οριζόντια Φόρτιση Μενονωµένος Πάσσαλος Φέρουσα Ικανότητα Μέθοδος Broms Οµάδα Πασσάλων Υπολογισµός Καµπύλης Απόκρισης p-y µέθοδος

Διαβάστε περισσότερα

### .,, T = N N f = T rad/s. : dφ. ω =. dt

-,.. -. ( ). -.,,.. ( ),. t, t T = N N f = t. s s - /s Hz.,. f = T,, ( ) π ω = = πf T rad/s.... : dφ ω =. dt. 8 -3 ).......,...,. x x = Aηµ ωt (. ).,,. 9 .. -. -... υ = υ συν ωt (.) max a = a ωt (.3) maxηµ

Διαβάστε περισσότερα

### ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ I

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΠΛΟΙΟΥ ΚΑΙ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ I ΧΑΡΙΛΑΟΣ Ν. ΨΑΡΑΥΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Ε.Μ.Π. ΑΘΗΝΑ, ΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2005

Διαβάστε περισσότερα

### Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί

Διαβάστε περισσότερα

### ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο Μετασχηματισμός Z

ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο Μετασχηματισμός Z ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ Ποιός είναι ο DTFT της u(n)?? u(n) e πδ(ω πk) j ω k ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-

Διαβάστε περισσότερα

### ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f ()= για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε

Διαβάστε περισσότερα

### ΕΝΤΥΠΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΠΡΟΣΦΟΡΑΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΔΗΜΟΣ ΠΑΠΑΓΟΥ-ΧΟΛΑΡΓΟΥ Περικλέους 55, 155 61 ΧΟΛΑΡΓΟΣ «Προμήθεια μελανοταινιών, αναλωσίμων Η/Υ κ.λπ.» Αριθ. μελέτης: 59/2014 ΕΝΤΥΠΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΠΡΟΣΦΟΡΑΣ ΙΧΕΙΑ ΜΕΛΕΤΗΣ ΑΔΑΣ ΕΙΔΟΣ ΜΕΛΕΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

### ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ Γενικού Λυκείου ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

### TABLES OF SOME INDEFINITE INTEGRALS OF BESSEL FUNCTIONS

Werner Rosenheinrich 1604015 Ernst - Abbe - Hochschule Jena First variant: 40900 University of Applied Sciences Germany TABLES OF SOME INDEFINITE INTEGRALS OF BESSEL FUNCTIONS Integrals of the type J 0

Διαβάστε περισσότερα

### BETONexpress, www.runet.gr

Πέδιλα ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Υπ ολογισμοί τμήματος κατασκευής : ΠΕΔΙΛΟ-001, Μεμονωμένο, κεντρικό πέδιλο, με ροπ ή και σεισμό 1.1. Διαστάσεις-Υλικά-Φορτία 1.2. Κανονισμοί 1.3. Ελεγχοι φέρουσας ικανότητας εδάφους

Διαβάστε περισσότερα

### Σηµειώσεις Γενικής Τοπολογίας Θέµης Μήτσης

Σηµειώσεις Γενικής Τοπολογίας Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Περιεχόµενα 1. Τοπολογικοί Χώροι - Βάσεις - Υποβάσεις 4 2. Κλειστότητα και Εσωτερικό 7 3. Σύγκλιση 10 4. Συνέχεια 13 5.

Διαβάστε περισσότερα

### ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

### ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. Γραμμική Άλγεβρα. Δημήτρης Σουρλάς Αναπλ. Καθηγητής. uv, u v ΠΑΤΡΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γραμμική Άλγεβρα Δημήτρης Σουρλάς Αναπλ. Καθηγητής 00 uv, u v ( ) ΠΑΤΡΑ dsourlas@physics.upatras.gr www.physics.upatras.gr II ΠΕΡΙΕΧΌΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... V ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι... ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Διαβάστε περισσότερα

### Θεωρια Αριθµων. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος

Θεωρια Αριθµων Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html 25 Μαιου 2013 2

Διαβάστε περισσότερα

### ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. Γραμμική Άλγεβρα. Δημήτρης Σουρλάς Αναπλ. Καθηγητής. uv, u v ΠΑΤΡΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γραμμική Άλγεβρα Δημήτρης Σουρλάς Αναπλ. Καθηγητής uv, u v ( ) ΠΑΤΡΑ dsourlas@physics.upatras.gr www.physics.upatras.gr II ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... V ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι... ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Διαβάστε περισσότερα

### API: Applications Programming Interface

ÒØ Ñ ÒÓ ØÖ ÔÖÓ» Ñ ÒØ Ñ ÒÓ ØÖ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Ñ ½ Ö Ø Ò Ô Ö Ø ÒØ Ñ ÒÛÒ ÒÒÓ ôòøóù ÔÖ Ñ Ø Ó ÑÓÙ Ì ÔÓ ÓÑ ÒÛÒ Ì µ (i) ÒÓÐÓØ ÑôÒ (ii)ôö Ü º Ð ØÖ Ò Ò ÖÛÔÓ ØÖ ÔÐ Ò Ø Ó Ó Ù Ø Ñ Ø ººº ½ºÈÖÛØ ÓÒØ Ø ÔÓ int double char

Διαβάστε περισσότερα

### Πεπερασμένες Διαφορές.

Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

### ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Η Λογιστική Απεικόνιση. 3.1 Εισαγωγή

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Η Λογιστική Απεικόνιση Οι μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις περιγράφουν ενδιαφέροντα δυναμικά συστήματα στη φυσική, τη βιολογία και τις οικονομικές επιστήμες. Στο κεφάλαιο αυτό μελετάμε αριθμητικά

Διαβάστε περισσότερα

### ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΜΕΛΑΝΙΩΝ-TONERS ΕΚΤΥΠΩΤΩΝ- ΜΗΧΑΝΗΜΑΤΩΝ FAX-ΦΩΤΟΤΥΠΙΚΩΝ

ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΛΙΜΕΝΟΣ ΠΕΙΡΑΙΩΣ Α. Ε. Δ/ΝΣΗ: ΠΡΟΜΗΘΕΙΩΝ ΤΜΗΜΑ: ΣΥΜΒΑΣΕΩΝ ΠΑΡΟΧΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΜΕΛΑΝΙΩΝ-TONERS ΕΚΤΥΠΩΤΩΝ- ΜΗΧΑΝΗΜΑΤΩΝ FAX-ΦΩΤΟΤΥΠΙΚΩΝ Α/Α Περιγραφή είδους EPSON toner cartridge CS00 για

Διαβάστε περισσότερα

### Οδηγός συμβατότητας εκτυπωτή, προαιρετικού εξαρτήματος και βάσης. Εκτυπωτές λέιζερ

Οδηγός συμβατότητας εκτυπωτή, προαιρετικού εξαρτήματος και βάσης Εκτυπωτές λέιζερ Ιανουάριος 2015 www.lexmark.com Περιεχόμενα 2 Περιεχόμενα Μέγιστες υποστηριζόμενες διαμορφώσεις...4 Lexmark CS310, CS410

Διαβάστε περισσότερα

### Έντυπο Υποβολής Αξιολόγησης Γ.Ε.

Έντυπο Υποβολής Αξιολόγησης Γ.Ε. O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

### Εισαγωγή στον Προγραμματισμό

Εισαγωγή στον Προγραμματισμό Ενότητα 6 Πίνακες Πανεπιστήμιο Αιγαίου Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Τύπος πίνακα (array) Σύνθετος τύπος δεδομένων Αναπαριστά ένα σύνολο ομοειδών

Διαβάστε περισσότερα

### Γραφική με Υπολογιστή Computer Graphics

Γραφική με Υπολογιστή Computer Graphics 1. Βασικοίγραφικοίαλγόριθμοι 2. Αρχέςγραφικώνπλεγματικώνοθονώνraster 3. Μετασχηματισμοί2 και3 διαστάσεωνκαι συστήματασυντεταγμένων 4. Προβολέςκαιμετασχηματισμοίπαρατήρησης

Διαβάστε περισσότερα

### ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΜΙΧΑΗΛ Π. ΜΙΧΑΗΛ ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΙΧΑΗΛ Π. ΜΙΧΑΗΛ ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θεσσαλονίκη 2011 Copyright

Διαβάστε περισσότερα

### Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Πίνακες ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 12 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας και της άλγεβρας των πινάκων. Το ϕυλλάδιο

Διαβάστε περισσότερα

### Τεστ ελέγχου πρώτων µε χρήση αθροισµάτων Gauss και Jacobi

Τεστ ελέγχου πρώτων µε χρήση αθροισµάτων Gauss και Jacobi Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης - Εµµανουήλ Γ. Τσακνάκης 1 Αυγούστου 006 1 Περιγραφή του Αλγορίθµου Περίληψη Εστω ότι έχουµε ένα µεγάλο περιττό αριθµό

Διαβάστε περισσότερα

### Συνδυαστική Βελτιστοποίηση

Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 1 Άγγελος Σιφαλέρας sifalera@uom.gr 4 η Διάλεξη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 2 Knapsack Problem, (1/9) Ένας επενδυτής διαθέτει ένα χρηματικό

Διαβάστε περισσότερα

### Βοηθητικές Σημειώσεις Αντισεισμικής Τεχνολογίας Κεφάλαιο 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΣΕΙΣΜΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΣΕΙΣΜΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Γιάννης Ν. Ψυχάρης Καθηγητής Ε.Μ.Π. 1.1 ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Κατά τη διάρκεια ενός σεισμού, το έδαφος, και επομένως και η βάση μιας κατασκευής που

Διαβάστε περισσότερα

### Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

ΜΑΘΗΜΑ 1: Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Τίποτε δεν θεωρώ μεγαλύτερο αίνιγμα από το χρόνο και το χώρο Εντούτοις, τίποτε δεν με απασχολεί λιγότερο από αυτά επειδή ποτέ δεν τα σκέφτομαι Charles

Διαβάστε περισσότερα

### Ύλη Λογικού Σχεδιασµού Ι

4 η Θεµατική Ενότητα : Συνδυαστική Λογική Ύλη Λογικού Σχεδιασµού Ι Κεφ 2 Κεφ 3 Κεφ 4 Κεφ 6 Συνδυαστική Λογική 2 Εισαγωγή Λογικά Κυκλώµατα Συνδυαστικά: Οι έξοδοι είναι συνάρτηση των εισόδων Ακολουθιακά:

Διαβάστε περισσότερα

### Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 133 Θέματα - 21/1/2015

Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Άλγεβρα 1 Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 133 Θέματα - 1/1/015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Άλγεβρα Κεφάλαιο 1 ο : Συστήματα 3 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

### ΜΕΡΙΚΕΣ ΕΙΔΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΡΙΚΕΣ ΕΙΔΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Στις ενότητες που ακολουθούν εξετάζουμε συνεχείς κατανομές με ευρεία χρήση στις εφαρμογές. Σε αυτές περιλαμβάνονται η ομοιόμορφη, η εκθετική, η Γάμμα και η

Διαβάστε περισσότερα

### εάν F x, x οµόρροπα εάν F x, x αντίρροπα B = T W T = W B

4 Εργο και Ενέργεια 4.1 Εργο σε µία διάσταση Το έργο µιας σταθερής δύναµης F x, η οποία ασκείται σε ένα σώµα που κινείται σε µία διάσταση x, ορίζεται ως W = F x x Εργο ύναµης = ύναµη Μετατόπιση Εχουµε

Διαβάστε περισσότερα

### Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν α,β τότε α //β α λβ, λ. είναι δύο διανύσματα, με β 0, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

### ΘΕΜΑ: «Πρόχειρος διαγωνισμός προμήθειας ΑΝΑΛΩΣΙΜΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΕΚΤΥΠΩΤΩΝ ΚΑΙ FAX για κάλυψη αναγκών του Κ.Θ-Κ.Υ. ΛΕΡΟΥ.»

ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Λέρος 8-11-2013 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ Αριθμ. πρωτ.12783 ΚΟΙΝΩΝΙΚΗΣ ΑΛΛΗΛΕΓΓΥΗΣ 2ΥΠΕ ΠΕΙΡΑΙΩΣ & ΑΙΓΑΙΟΥ ΚΡΑΤΙΚΟ ΘΕΡΑΠΕΥΤΗΡΙΟ- Κ.Υ ΛΕΡΟΥ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΓΡΑΦΕΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

### Περικλέους Σταύρου 31 34100 Χαλκίδα Τ: 2221-300524 & 6937016375 F: 2221-300524 @: chalkida@diakrotima.gr W: www.diakrotima.gr

Περικλέους Σταύρου 31 34100 Χαλκίδα Τ: 2221-300524 & 6937016375 F: 2221-300524 @: chalkida@diakrotima.gr W: www.diakrotima.gr Προς: Μαθητές Α, Β & Γ Λυκείου / Κάθε ενδιαφερόμενο Αγαπητοί Φίλοι Όπως σίγουρα

Διαβάστε περισσότερα