Το μοτίβο ταπετσαρίας: μια σύντομη εισαγωγή στην φύση και τα είδη του.

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Το μοτίβο ταπετσαρίας: μια σύντομη εισαγωγή στην φύση και τα είδη του."

Κρόνος Ελευθερόπουλος
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Το μοτίβο ταπετσαρίας: μια σύντομη εισαγωγή στην φύση και τα είδη του. σημειώσεις για το μάθημα Εικαστική Σύνθεση 2, του τμήματος ΕΑΔΣΑ στο ΤΕΙ Σερρών. Οι αναφορές στα μοτίβα είναι βασισμένες επάνω στο κεφάλαιο Wallpaper patterns-the crystalgraphic restriction, του George Baloglou, από τις on-line σημειώσεις του A GEOMETRICAL INTRODUCTION TO PLANAR CRYSTALLOGRAPHIC GROUPS, SUNY OSWEGO, 2007 ISBN Τα μοτίβα ταπετσαρίας αν και οπτικά απόλυτα διακοσμητικά αποτελούν μία τελείως μαθηματική υπόθεση. Η χωρίς διακοπή συνέχεια, το χαρακτηριστικό τους γνώρισμα, είναι αποτέλεσμα μαθηματικής λογικής. Οπότε τι λογο έχουν αυτές οι σημειώσεις σε ένα μάθημα που σκοπός του είναι να διευρύνει την αντίληψη σε βασικές έννοιες της σύνθεσης ενός οπτικού συνόλου; Καθώς επιχειρούσα να μεταφράσω από τα αγγλικά τους μαθηματικούς όρους προβληματίστηκα για την πολυπλοκότητα των εννοιών και την χρησιμότητα τους στην θεωρία του μαθήματος. Αποφάσισα να διαμορφώσω ένα κείμενο όσο το δυνατόν πιο απλό που να κάνει όμως κατανοητό το μηχανισμό διαμόρφωσης των μοτίβων. Οποιος θέλει να πειραματιστεί με το μοτίβο και τους τρόπους που όταν αυτό πολλαπλασιάζεται δημιουργεί μια νέα ενότητα θα πάρει οδηγίες καθώ στο τέλος των σημειώσεων παραθέτω έναν εύκολο τρόπο κατάρτησης όλων των μετασχηματισμών, καθαρά για πρακτικούς λόγους. Οποιος θέλει να προχωρήσει περισσότερο, θα το κάνει ψάχνοντας μαθηματικές έννοιες και αυτό δεν το θεώρησα να ανήκει στην ύλη και τις επιδιώξεις του μαθήματος. Όλοι έχουμε δει έναν τέτοιο τοίχο, στο σπίτι μας, σε σπίτι κάποιου φίλου ή σε κάποιο μαγαζί: είναι γεμάτος από το ίδιο μοτίβο το οποίο επαναλαμβάνεται συνεχώς με έναν τακτικό τρόπο, δημιουργώντας μια οπτική εντύπωση που ξεπερνάει το συγκεκριμένο μοτίβο, εξαρτάται όμως από τις σχεδιαστικές του ιδιαιτερότητες και τους χρωματικούς συνδυασμούς. Η πιο απλή μορφή αυτής της επανάληψης μπορεί να βρεθεί στα πλακάκια κάποιου μπάνιου. Στις πιο πολύπλοκες μπορούμε να περιλάβουμε τα ρωμαΐκά μωσαΐκά, τα αραβουργήματα, ακόμη και τα σχέδια του Escher. Χαρακτηριστικό κάθε τέτοιου μοτίβου είναι πως εύκολα μπορούμε να το φανταστούμε να εκτείνεται απεριόριστα προς κάθε κατεύθυνση, διαμορφώνοντας έτσι την ταπετσαρία ή τα πλακάκια μπροστά μας σε ένα άπεριόριστο σχέδιο. Μιλώντας τεχνικά, σαν μοτίβο ταπετσαρίας χαρακτηρίζουμε ένα σχέδιο που καλύπτει ένα ολόκληρο πεδίο και παραμένει απαράλλακτο όταν μετατοπίζεται κατά δύο διαφορετικές αλλά όχι αντίθετες κατευθύνσεις. Υπάρχουν αρκετά μοτίβα στη φύση, όσο ατελή και να αποδεικνύονται μαθηματικά, που να μας εξοικοιώνουν μ αυτήν την κατηγορία σχεδίων. Σκεφτείτε το δέρμα της λεοπάρδαλης, ή τα φτερά μιας πεταλούδας και σε μικροκλίμακα μια κυψέλη.

CRYSTALLOGRAPHIC GROUPS, SUNY OSWEGO, 2007 ISBN 978-0-9792076-0-0 Τα μοτίβα ταπετσαρίας αν και οπτικά απόλυτα διακοσμητικά αποτελούν μία τελείως μαθηματική υπόθεση.

Τα επαναληπτικά μοτίβα που ονομάζονται μοτίβα ταπετσαρίας και χαρακτηρίζονται από την παραπάνω ιδιότητα του πολλαπλασιασμού τους σε απεριόριστες διαστάσεις χωρίζονται σε 17 διακριτούς τύπους που

2 Τα επαναληπτικά μοτίβα που ονομάζονται μοτίβα ταπετσαρίας και χαρακτηρίζονται από την παραπάνω ιδιότητα του πολλαπλασιασμού τους σε απεριόριστες διαστάσεις χωρίζονται σε 17 διακριτούς τύπους που έχουν να κάνουν με τους γεωμετρικούς τρόπους που το αρχικό σχέδιο -το κύτταρο - μετακινείται, αντανακλάται και περιστρέφεται έτσι ώστε να δημιουργεί την νέα ενότητα της ταπετσαρίας. Αν πρέπει να συνοψίσω κάτι για τα μοτίβα είναι ότι είναι μιά τέλεια απόδειξη του πως η επανάληψη της μονάδας οδηγεί σε ένα σύνολο πολύ διαφορετικό από το άθροισμα των μονάδων του. Στα μοτίβα ταπετσαρίας αυτή η βασική αρχή της Gestalt φτάνει σε έξαρση καθώς το αποτέλεσμα είναι μία επιφάνεια που μπορεί να τυλίξει το χώρο με κύριο χαρακτηριστικό της έναν αυτόνομο οπτικό ρυθμό που μπορεί να μην εντοπίζεται καθόλου στην αρχική μονάδα, το κύτταρο. Οι μέθοδοι αναπαραγωγής ενός μοτίβου ταπετσαρίας είναι η μεταφορά, η ανάκλαση ή κατοπτρισμός, η ανακλαστική ολίσθηση ή μεταφορική διακοσμητική συμμετρία και η περιστροφή ή περιστροφική συμμετρία. Στο αγγλικό κείμενο χρησιμοποιούνται οι όροι translation, reflection, glide= translation + reflection, rotation. Με την μεταφορά εννοούμε την μετατόπιση όλων των σημείων ενός σχήματος κατά την ίδια απόσταση έτσι ώστε τυχόν παραλληλίες, γωνίες και αναλογίες που περιλαμβάνει να παραμένουν αμετάβλητες. Ο κατοπτρισμός είναι η συμμετρική ανάπτυξη σε άξονα ενώ η ανακλαστική ολίσθηση είναι ο συνδυασμός κατοπτρισμού και μεταφοράς του σχήματος σε άξονα. Η περιστροφή αναφέρεται στην συμμετρική μετατόπιση όλων των σημείων ενός σχήματος κατά μοίρες που είναι Τα παραπάνω εξηγούν σύντομα τους τρόπους που χρησιμοποιούνται για να γεννηθεί από ένα σχέδιο μια ταπετσαρία. Μια απλή και οπτικά καθαρή επεξήγηση δίνεται και στην ιστοσελίδα M Escher, σαύρες, εφαρμογή στο μοτίβο p4

Αν πρέπει να συνοψίσω κάτι για τα μοτίβα είναι ότι είναι μιά τέλεια απόδειξη του πως η επανάληψη της μονάδας οδηγεί σε ένα σύνολο πολύ διαφορετικό από το άθροισμα των μονάδων του.

3 Έχοντας πει τις γενικές μεθόδους ας δούμε πως παράγεται με απλή μεταφορά σε δύο πάντα κατευθύνσεις το πιο απλό μοτίβο ταπετσαρίας p1. Μoντέλο p1. Mεταφορά μόνο, ο πιο απλός τύπος επαναληπτικού μοτίβου. p1 σε παραλλαγή κατά την οποία σειρά παρά σειρά η μεταφορά γίνεται στο μισό της αρχικής απόστασης κατά την οριζόντια μόνο κατεύθυνση. ατελές μοτίβο p1

Mεταφορά μόνο, ο πιο απλός τύπος επαναληπτικού μοτίβου.

4 Οσο απλό και να είναι το μοντέλο p1 μπορεί πάντα να γίνει ένα λάθος. Στο παραπάνω σχέδιο η σειρά 4 ακυρώνει τις οριζόντιες μετατοπίσεις στα διαστήματα α και α/2 που συμβαίνουν κάθε δεύτερη σειρά στο αρχικό μοντέλο. Έτσι όμως δεν μπορούμε να καταλάβουμε το πώς αυτό εξελίσσεται. Χωρίς να μπορούμε να το αναπαράγουμε απεριόριστα αυτό παύει να είναι μοτίβο ταπετσαρίας και γίνεται ένα αποσπασματικό κομμάτι από ένα σύνολο που δεν ξέρουμε πως είναι. Mοντέλο μοτίβου τύπου p1 φτιαγμένο από τους Ινκάς. Μοντέλο μοτίβου τύπου pm. Προκύπτει με κάθετη μεταφορά και οριζόντια ανακλαστική ολίσθηση. Οι άξονες ανάκλασης είναι δύο και μπορεί να διαπερνούν το αρχικό μοτίβο, όπως στο παρακάτω παράδειγμα.

Έτσι όμως δεν μπορούμε να καταλάβουμε το πώς αυτό εξελίσσεται.

5 Αρχαία αιγυπτιακά βόδια. Ένας άξονας διαπερνά το βόδια, ενώ οι καθρεφτικοί έλικες δηλώνουν τον δεύτερο άξονα και επιβεβαιώνουν ένα μοντέλο μοτίβου pm. Αυτού του τύπου τα μοτίβα δημιουργούν την αίσθηση στατικότητας. Στην προκειμένη περίπτωση η επιλογή είναι πετυχημένη καθώς συνδεεται με την παροιμιώδη αταραξία του βοωειδούς. Μοντέλο pg. Όταν η οριζόντια μεταφορά μεταβάλεται σειρά παρά σειρά από το επαναληπτικό μοτίβου pm προκύπτει το μοτίβο pg παραλλαγή1 του pg μοτίβου

μοτίβου pm. Αυτού του τύπου τα μοτίβα δημιουργούν την αίσθηση στατικότητας.

6 παραλλαγή2 στο μοτίβο pg Περουβιανές πτηνά, μοτίβο pg

7 Moντέλο cm. Οταν κάτω ακριβώς από ένα p αντιστοιχίζουμε ένα q και κάτω από ένα q ένα p έχουμε ένα καινούργιο μοντέλο, το cm. Κατοπτρισμός προς μια κατεύθυνση, ανακλαστική ολίσθηση στην ενδιάμεση απόσταση. Παράδειγμα από μοτίβο τύπου cm που έχει εντοπιστεί σε Φοινικικούς τάφους. Άλλη μια απόδειξη ότι τα μοτίβα ταπετσαρίας είναι μαζί μας πάρα πολλά χρόνια.

8 Μοντέλα μοτίβου με περιστροφή Ή σε παραλλαγή Μοντέλο p2. Μεταφορά και περιστροφή 180º Μοντέλο pm. Διπλή περιστροφή και διπλή αντανάκλαση. Μοντέλο pmg: περιστροφή 180, κατοπτρισμός και ολίσθηση προς μία κατεύθυνση χωρίς καμία ανακλαστική ολίσθηση σε ενδιάμεση απόσταση. Η ανακλαστική ολίσθηση είναι πάντα κάθετη με τον κατοπτρισμό. Τα κέντρα περιστροφής βρίσκονται πάνω στους άξονες ανάκλασης, ποτέ πάνω στους άξονες κατοπτρισμού.

Μοντέλο pmg: περιστροφή 180, κατοπτρισμός και ολίσθηση προς μία κατεύθυνση χωρίς καμία ανακλαστική ολίσθηση

9 Mοτίβο τύπου pmg, από κινέζικα σχέδια παραθύρου. Πάτωμα μπάνιου. Το μοντέλο μοτίβου pmg είναι ο καλύτερος τρόπος για να στρωθεί ένα επίπεδο με κανονικά πεντάγωνα.

10 Μοντέλο pgg. Mόνο διπλή ανακλαστική ολίσθηση σε κάθετες κατευθύνσεις. Μοντέλο cmm. Περιστροφή 180º, κατοπτρισμός σε δύο κατευθύνσεις, ενδιάμεση ανακλαστική ολίσθηση. Ο τοίχος με τα τούβλα, ένα από τα πιο απλά και γνωστά μοτίβα ανήκει στην κατηγορία cmm

11 Μοντέλα με περιστροφή Μοντέλο p4g. Κατοπτρισμός σε δύο κατευθύνσεις. Ενδιάμεση ανακλαστική ολίσθηση και στις δύο κατεθύνσεις. Ανακλαστική ολίσθηση και σε άλλες δύο (διαγώνιες) κατευθύνσεις. Περιστροφή 90 και 180. Παράδειγμα μοντέλου p4g. Μοντέλο p4. Περιστροφή 90 μόνο. Επιπλέον εμφανής περιστροφή 180.

Ανακλαστική ολίσθηση και σε άλλες δύο (διαγώνιες) κατευθύνσεις.

Αρχαία αιγυπτιακά λουλούδια, παράδειγμα μοντέλου p4.τα δύο κέντρα περιστροφής είναι έξυπνα τοποθετημένα στα κέντρα των ελαφρά διαφοροποιημένων λουλουδιών. Μοντέλο p4m.

12 Αρχαία αιγυπτιακά λουλούδια, παράδειγμα μοντέλου p4.τα δύο κέντρα περιστροφής είναι έξυπνα τοποθετημένα στα κέντρα των ελαφρά διαφοροποιημένων λουλουδιών. Μοντέλο p4m. Τετραπλός κατοπτρισμός και ανακλαστική ολίσθηση σε δύο από τις τέσσερις κατευθύνσεις. Όλα τα κέντρα των περιστροφών 90 βρίσκονται πάνω στην τομή των τεσσάρων αξόνων καθρεφτισμού. Τα κέντρα περιστροφής 180 βρίσκονται πάνω στην τομή δύο αξόνων κατοπτρισμού και δύο αξόνων ολίσθησης. Μοντέλα με περιστροφή 120 Μοντέλο p3. Περιστροφή 120 μόνο

Τετραπλός κατοπτρισμός και ανακλαστική ολίσθηση σε δύο από τις τέσσερις κατευθύνσεις.

Μοντέλο p31. Τριπλός κατοπτρισμός με ενδιάμεση ανακλαστική ολίσθηση. Μερικά κέντρα περιστροφής βρίσκονται πάνω στους άξονες κατοπρτισμού και μερικά όχι (δύο κέντρα).

13 Μοντέλο p31. Τριπλός κατοπτρισμός με ενδιάμεση ανακλαστική ολίσθηση. Μερικά κέντρα περιστροφής βρίσκονται πάνω στους άξονες κατοπρτισμού και μερικά όχι (δύο κέντρα). Κανένα κέντρο περιστροφής δεν βρίσκεται πάνω σε άξονα ολίσθησης. Μοντέλο p3m1.τριπλός κατοπτρισμός με ενδιάμεση ανακλαστική ολίσθηση. Όλα τα κέντρα περιστροφής βρίσκονται πάνω στους άξονες κατοπτρισμού (τρία ή ένα κέντρα). Κανένα κέντρο περιστροφής δεν βρίσκεται πάνω σε άξονα ολίσθησης. Μοτίβα με περιστροφή 60 Εφαρμογή του μοντέλου p3m1

Κανένα κέντρο περιστροφής δεν βρίσκεται πάνω σε άξονα ολίσθησης. Μοντέλο p3m1.

Μοτίβο p6m. Κατοπτρισμοί σε έξι κατευθύνσεις με ενδιάμεση ανακλαστική ολίσθηση. Όλα τα κέντρα περιστροφής 120º πάνω στους έξι άξονες κατοπτρισμού.

14 Μοτίβο p6m. Κατοπτρισμοί σε έξι κατευθύνσεις με ενδιάμεση ανακλαστική ολίσθηση. Όλα τα κέντρα περιστροφής 120º πάνω στους έξι άξονες κατοπτρισμού. Τα κέντρα περιστροφής 180º πάνω στην τομή σύο αξόνων κατοπτρισμού και τεσσάρων αξόνων ολίσθησης. Παράδειγμα p6m μοτίβου βασισμένο σε ρωμαικά πλακάκια του 1ου αιώνα.

Όλα τα κέντρα περιστροφής 120º πάνω στους έξι άξονες κατοπτρισμού.

15 Μοτίβο p6. 60 περιστροφή μόνο. Διακριτές περιστροφές 120 και 180. Τα 17 μοντέλα σε μια κατανοητή παρουσίαση. Από άσκηση αναγνώρισης μοντέλων του Helmer Aslaksen, Department of Mathematics, National University of Singapore.

Ιστοσελίδες αναφοράς http://www.math.nus.edu.sg/aslaksen/gem-projects/maa/0203-2-03-escher/main3.html http://www.tutorialmagazine.

16 Ιστοσελίδες αναφοράς =a master.math.upatras.gr/~oxy/symmetry/symmetry_chap2.pdf

htm http://dornob.com/math-bathrooms-pictures-of-3-geek-bathroom-tile-patterns/ http://www.aamt.edu.au/digital-resources/r11271/index.html http://www.facebook.

Σχετικά έγγραφα

ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕΔΟ

ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕΔΟ Το κεφάλαιο αυτό γράφτηκε από το Βαγγέλη Δρίβα Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε με την συμμετρία στο επίπεδο. Αυτή έχει την έννοια της μεταφοράς όλων των σημείων ενός αντικειμένου