ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕΔΟ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕΔΟ"

Transcript

1 ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕΔΟ Το κεφάλαιο αυτό γράφτηκε από το Βαγγέλη Δρίβα Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε με την συμμετρία στο επίπεδο. Αυτή έχει την έννοια της μεταφοράς όλων των σημείων ενός αντικειμένου στο επίπεδο κατά τέτοιο τρόπο ώστε οι σχετικές θέσεις των σημείων αυτών να παραμένουν αμετάβλητες έστω και εάν οι απόλυτες θέσεις τους μπορεί να μεταβάλλονται. Η συμμετρία δηλαδή του επιπέδου ενεργεί κατά τέτοιο τρόπο ώστε να διατηρεί αποστάσεις, γωνίες, μεγέθη και σχήματα. Οι συμμετρίες δημιουργούν σχέδια τα οποία μας βοηθούν να οργανώνουμε τον κόσμο στον οποίο ζούμε καλύτερα. Συμμετρικά σχέδια συναντάμε στην φύση αλλά και στα διάφορα έργα ζωγράφων, μουσικών, γλυπτών κ.τ.λ. Αφού λοιπόν εξετάσουμε αναλυτικά τα είδη της συμμετρίας στο επίπεδο, στην συνέχεια θα δούμε πως αυτή έχει εφαρμοστεί στις διάφορες μορφές της τέχνης όπως για παράδειγμα ή ζωγραφική ή ακόμα και η μουσική. Ενδιαφερόμαστε λοιπόν για τις συμμετρίες στο επίπεδο. Σε αυτές μπορούμε να προσδώσουμε έναν καινούργιο ορισμό. Συμμετρία του επιπέδου είναι ο μετασχηματισμός του επιπέδου, ο οποίος μετακινεί ένα σχέδιο κατά τέτοιο τρόπο ώστε να ταυτισθεί με τον εαυτό του. Οι μόνοι μετασχηματισμοί που θα λάβουμε υπόψη μας είναι αυτοί που διατηρούν την απόσταση και ονομάζονται ισομετρίες. Υπάρχουν τέσσερις τύποι επίπεδων ισομετριών και οι οποίοι είναι οι εξής: 1. ΜΕΤΑΦΟΡΑ Με τον όρο μεταφορά εννοούμε την μετακίνηση ενός αντικειμένου χωρίς να το περιστρέψουμε ή να το καθρεφτίσουμε. Κάθε μεταφορά έχει δύο κύριες παραμέτρους: την διεύθυνση και την απόσταση. 1

2 Εάν μας δίνεται ένα επαναλαμβανόμενο σχέδιο τότε μπορούμε να σύρουμε αυτό κατά μήκος ορισμένης διεύθυνσης έτσι ώστε αυτό να συμπέσει στον εαυτό του. Στο παραπάνω σχήμα τα δύο βέλη αντιστοιχούν σε δύο μεταφορικές συμμετρίες. Μπορούμε βέβαια να επιλέξουμε διαφορετικές διευθύνσεις κατά τις οποίες θα συμβεί η μεταφορά. 2. ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ Με την έννοια περιστροφή υπονοούμε την στρέψη του αντικειμένου. Κάθε περιστροφή έχει δύο κύρια χαρακτηριστικά: την γωνία περιστροφής και το κέντρο. 2

3 Μια περιστροφή διατηρεί σταθερό ένα σημείο του αντικείμενος πάνω στο επίπεδο και περιστρέφει το υπόλοιπο αντικείμενο κατά μία γωνία γύρω από το σημείο αυτό. Γενικώς μια περιστροφή μπορεί να γίνει υπό οποιαδήποτε γωνία, αλλά συγκεκριμένα για τα σχέδια του επιπέδου η γωνία αυτή θα πρέπει να διαιρεί ακριβώς την γωνία των 360 μοιρών. Μια περαιτέρω ανάλυση της περιστροφής ενός σχήματος του επιπέδου οδηγεί στο συμπέρασμα ότι η γωνία περιστροφής μπορεί να παίρνει μόνο τις τιμές 180, 120, 90 και 60. Ως τάξη μιας περιστροφής ορίζεται ο αριθμός των επαναληπτικών περιστροφών που πρέπει να γίνουν, ώστε το σχήμα του επιπέδου να επιστρέψει στην αρχική του θέση. Σύμφωνα λοιπόν με τον ορισμό της τάξης, μια περιστροφή 60 μοιρών έχει τάξη 6, μία περιστροφή 120 μοιρών έχει τάξη 3 κ.ο.κ Ειδικότερα μια περιστροφή κατά 180 μοίρες ονομάζεται και μισή στροφή. Στο ανωτέρω σχήμα παρατηρούμε μια περιστροφή 90 μοιρών. 3. ΚΑΘΡΕΦΤΙΣΜΟΣ Ο καθρεφτισμός παίρνει το όνομα του από την ιδιότητα του. Δηλαδή το να καθρεφτίσεις ένα αντικείμενο, είναι στην ουσία η προβολή της εικόνας του αντικειμένου στον καθρέφτη. Για παράδειγμα ο καθρεφτισμός του παραπάνω αγγλικού γράμματος R, θα είναι ένα ανάποδο R. Κάθε καθρεφτισμός έχει ένα χαρακτηριστικό που ονομάζεται άξονας του καθρεφτισμού. 3

4 Ο τρόπος που λειτουργεί ο καθρεφτισμός βασίζεται στην ανταλλαγή σημείων από την μία πλευρά του άξονα στην άλλη πλευρά, διατηρώντας συγχρόνως την απόσταση των σημείων αυτών από τον άξονα ίση. Στο σχήμα μας η άσπρη γραμμή αντιστοιχεί στον διαγώνιο άξονα ενώ τα κόκκινα βέλη υποδηλώνουν τον καθρεφτισμό. 4. ΟΛΙΣΘΑΙΝΟΝ ΚΑΘΡΕΦΤΙΣΜΟΣ Το τέταρτο είδος της ισομετρίας, ο ολισθαίνον καθρεφτισμός, δεν μπορεί να γίνει εύκολα κατανοητός όπως οι υπόλοιποι τρεις. Αυτός είναι ένας συνδυασμός ενός καθρεφτισμού απέναντι από τον άξονα του καθρεφτισμού και μιας μεταφοράς κατά μήκος του άξονα. 4

5 Στο παράδειγμα μας ο άξονας του καθρεφτισμού συμβολίζεται με την φούξια ευθεία. Τα πράσινα βέλη σε κάθε πλευρά του άξονα υποδηλώνουν τον καθρεφτισμό. Εάν καθρεφτίσουμε το σχήμα απέναντι από την φούξια ευθεία και στην συνέχεια το μεταφέρουμε κατά μήκος αυτής, είτε με διεύθυνση προς τα επάνω είτε με διεύθυνση προς τα κάτω, τότε το κάθε πράσινο βέλος θα ταυτισθεί με το αντίστοιχο του στην απέναντι πλευρά του άξονα. Τα διάφορα σχέδια που συναντάμε στην φύση, οι Μαθηματικοί τα ομαδοποιούν ανάλογα με τα είδη συμμετριών που αυτά παρουσιάζουν, δηλαδή με εκείνους τους μετασχηματισμούς που αφήνουν τα σχέδια αναλλοίωτα. Για ένα δεδομένο σχέδιο η συλλογή των συμμετριών που παρουσιάζει, την οποία οι Μαθηματικοί την ονομάζουν ομάδα συμμετριών, είναι στην ουσία μια ομάδα μετασχηματισμών. Θυμίζουμε ότι η ομάδα βασίζεται σε έναν ορισμένο νόμο. Ο νόμος αυτός έχει την έννοια της σύνθεσης. Δηλαδή εάν έχουμε δύο δοθέντα στοιχεία το S και το Τ μιας ομάδας μπορούμε να τα συνθέσουμε με τέτοιο τρόπο ώστε να δημιουργήσουμε ένα καινούργιο στοιχείο το ST, που με την σειρά του θα ανήκει στην ομάδα. Άρα αντιστοίχως μπορούμε να συνθέσουμε μετασχηματισμούς του επιπέδου, που αφήνουν το επίπεδο αναλλοίωτο. Δηλαδή μπορούμε να εκτελέσουμε πρώτα έναν μετασχηματισμό τον S και ύστερα τον μετασχηματισμό Τ. Εάν κάθε μετασχηματισμός αποτελεί μια συμμετρία για οποιοδήποτε δοθέν σχέδιο τότε και η σύνθεση τους θα αποτελεί μια συμμετρία. Ο νόμος της ομάδας, δηλαδή η διεργασία της σύνθεσης, δεν είναι από μόνη της ικανή να σχηματίσει μια ομάδα. Υπάρχουν ορισμένες ιδιότητες που ο νόμος θα πρέπει να πληρή. Πρέπει καταρχήν να υπάρχει ένα στοιχείο της ομάδας που να παίζει το ρόλο του ουδετέρου στοιχείου. Ας το συμβολίσουμε έστω με L. Η σύνθεση λοιπόν του L με το στοιχείο Τ έστω, θα πρέπει να αφήνει το Τ αναλλοίωτο. Δηλαδή LT=T και TL=T. Για την ομάδα συμμετρίας ενός σχεδίου, το ουδέτερο στοιχείο είναι ο ταυτοτικός μετασχηματισμός δηλαδή ο μετασχηματισμός του επιπέδου που δεν μετακινεί κανένα σημείο πάνω στο επίπεδο. Η δεύτερη ιδιότητα 5

6 για την ύπαρξη μιας ομάδας είναι η ύπαρξη αντιστρόφου. Το αντίστροφο ενός στοιχείου, έστω του Τ, συμβολίζεται με Τ-1 και η σύνθεση του με το Τα παράγει το ουδέτερο στοιχείο. Δηλαδή Τ-1Τ=Ι και ΤΤ-1=Ι. Άρα το αντίστροφο του Τ κάνει ακριβώς την αντίθετη δουλειά από ότι το Τ. Για παράδειγμα το αντίστροφο μιας μετάθεσης με διεύθυνση προς τα επάνω, είναι μια μετάθεση με διεύθυνση προς τα κάτω. Το αντίστροφο μιας περιστροφής 90ο με φορά δεξιόστροφη, είναι μια περιστροφή 90ο με φορά αριστερόστροφη. Τέλος το αντίστροφο ενός καθρεφτισμού είναι παραδόξως ο ίδιος ο καθρεφτισμός. Η τρίτη και τελευταία ιδιότητα για τις ομάδες είναι η προσεταιριστικότητα. Αλγεβρικά όταν έχουμε τρία στοιχεία το S, το T και το U προσεταιριστικότητα σημαίνει να ισχύει το εξής: (ST)U=S(TU). Η προσεταιριστικότητα είναι η ιδιότητα που μας επιτρέπει να γράφουμε την σύνθεση τριών στοιχείων χωρίς να χρησιμοποιούμε παρενθέσεις. Η σύνθεση των μετασχηματισμών είναι επίσης προσεταιριστική. Συνήθως στις ομάδες μετασχηματισμών δεν ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα π.χ. ST=TS. Εάν το S και το Τ τυχαίνει να είναι μεταφορές τότε η αντιμεταθετική ιδιότητα ισχύει αλλά δύσκολα αυτό συμβαίνει σε κάθε άλλη περίπτωση. Λαμβάνοντας υπόψη μας μόνο τις μεταφορικές συμμετρίες ενός σχεδίου, μπορούμε να αρχίσουμε να κατηγοριοποιούμε τα διάφορα σχέδια του επιπέδου. Τα σημεία που σχηματίζονται από όλες τις πιθανές μεταφορές ενός σημείου ενός σχήματος του επιπέδου, σχηματίζουν το λεγόμενο πλέγμα (lattice) του σχήματος. Στο παρακάτω παράδειγμα τα σημεία που προκύπτουν από την μεταφορά του κόκκινου σημείου σημειώνονται με μπλε χρώμα. Έστω τώρα ότι έχουμε μια μεταφορά την Τ η οποία συμβολίζεται με το πράσινο βέλος. Όπως διαφαίνεται από το σχήμα η Τ μεταφέρει το κόκκινο σημείο προς τα δεξιά και λίγο προς τα επάνω. Έστω επίσης η μεταφορά U σημειωμένη με κόκκινο χρώμα και η οποία μεταφέρει το σημείο προς τα επάνω και λίγο προς τα δεξιά. Από την σύνθεση της Τ με την U καθώς και των αντίστροφων τους, μπορεί να κατασκευασθεί κάθε 6

7 άλλη μεταφορική συμμετρία του σχήματος. Επίσης κάθε μεταφορά θα είναι της μορφής ΤmUn όπου το m και το n παίρνουν ακέραιες τιμές. Άρα το πλέγμα των κουκίδων του σχήματος αντιστοιχεί στις μεταφορικές συμμετρίες που υπάρχουν. Μπορούμε να κατατάξουμε τα πλέγματα σε πέντε μεγάλες κατηγορίες. Εάν ένα πλέγμα έχει σαν βασική του περιοχή το τετράγωνο ονομάζεται τετράγωνο πλέγμα (square lattice). Εάν έχει ένα ρόμβο 60ο τότε ονομάζεται εξαγωνικό πλέγμα (hexagonal lattice). Εάν το πλέγμα έχει ως βασική του περιοχή έναν ρόμβο(εκτός αυτόν των 60ο) τότε ονομάζεται ρομβικό πλέγμα (rhombic lattice). Εάν το πλέγμα έχει μια ορθογώνια βασική περιοχή ονομάζεται ορθογώνιο πλέγμα (rectangular lattice). Γενικότερα ένα πλέγμα ονομάζεται απλά παραλληλόγραμμο πλέγμα (parallelgrammatic lattice). Ας δούμε τις κατηγορίες αυτές σχηματικά και ας δώσουμε και κάποια παραδείγματα σχημάτων με κουκίδες: 7

8 parallelgrammatic lattice rectangular lattice rhombic lattice square lattice 8

9 hexagonal lattice Εάν ένα σχέδιο έχει ως συμμετρία μια ανάκλαση τότε το πλέγμα του πρέπει να είναι ρομβοειδές, ορθογώνιο ή τετράγωνο. Εάν έχει μια περιστροφή 900 τότε το πλέγμα θα πρέπει να είναι τετράγωνο. Εάν όμως έχει περιστροφική συμμετρία των 60 ή των 120 μοιρών το πλέγμα θα πρέπει να είναι εξαγωνικό. Όπως λοιπόν προαναφέραμε τα διάφορα σχέδια του επιπέδου μπορούν να ομαδοποιηθούν ανάλογα με τις ομάδες μετασχηματισμών τα οποία τα αφήνουν αναλλοίωτα δηλαδή τις ομάδες συμμετρίας τους. Υπάρχουν συνολικά 17 διαφορετικές ομάδες συμμετρίας. Ο τρόπος με τον οποίο θα τις παρουσιάσουμε είναι ο εξής : Θα αναφέρουμε τα είδη της συμμετρίας που περιέχει η κάθε μια (εκτός των μεταφορών) και στην συνέχεια θα παρουσιάζουμε ένα σχέδιο τοιχογραφίας που θα το απλοποιούμε, ώστε να δούμε ακριβώς πως συνθέτονται οι συμμετρίες των ομάδων αυτών. Τέλος θα αναφέρουμε το είδος του πλέγματος που προκύπτει από κάθε τοιχογραφία αλλά και την βασική περιοχή κάθε ομάδας συμμετρίας. Προς κατανόηση των απλοποιημένων σχημάτων των τοιχογραφιών ακολουθεί το παρακάτω διάγραμμα. Ας ξεκινήσουμε : 1. ΔΥΟ ΜΕΤΑΦΟΡΕΣ (p1) 9

10 Η ομάδα αυτή συμμετρίας είναι η πιο απλή και αποτελείται από δύο μεταθέσεις προς δύο διαφορετικές κατευθύνσεις. Δεν υπάρχουν καθρεφτισμοί, περιστροφές ή ολισθαίνοντες καθρεφτισμοί στα σχήματα που ακολουθούν αυτήν την ομάδα συμμετρίας. Οι μεταφορές μπορεί να λαμβάνουν χώρα είτε κατά κάθετη διεύθυνση, είτε υπό γωνία. Το πλέγμα είναι παραλληλόγραμμο οπότε η βασική περιοχή της ομάδας συμμετρίας αυτής είναι όμοια με την βασική περιοχή μιας ομάδας μεταφορών η οποία είναι παραλληλόγραμμο. 2. ΤΡΕΙΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΕΣ (p2) 10

11 Η ομάδα συμμετρίας αυτή αποτελείται από τρεις μισές στροφές, δηλαδή 3 περιστροφές υπό γωνία 180ο και δεν περιλαμβάνει καθρεφτισμούς. Στο παραπάνω σχήμα είναι λίγο δύσκολο να ξεχωρίσουμε τις μισές στροφές, οπότε θα το απλοποιήσουμε σημειώνοντας τα σημεία τα οποία παραμένουν σταθερά από την περιστροφή και τα οποία σημειώνονται με μαύρο χρώμα. Έτσι θα προκύψει το παρακάτω σχήμα : Το πλέγμα που δημιουργείται από την ομάδα συμμετρίας αυτή είναι επίσης παραλληλόγραμμο και έχει ως βασική περιοχή ακριβώς το μισό ενός παραλληλογράμμου που αποτελεί την βασική περιοχή της ομάδας των μεταφορών. 11

12 3. ΔΥΟ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΕΣ (p3) Η ομάδα συμμετριών p3 αποτελείται από δύο περιστροφές των 120ο η κάθε μια. Αναλύοντας την παραπάνω εικόνα ώστε να γίνει αντιληπτή η ομάδα συμμετρίας θα έχουμε ότι: Στην ομάδα συμμετρίας αυτή συναντάμε για πρώτη φορά εξαγωνικό πλέγμα. Το βασικό εξάγωνο του πλέγματος διαιρείται σε έξι ισόπλευρα 12

13 τρίγωνα. Η βασική περιοχή της ομάδας συμμετρίας αυτής είναι το 1/3 ενός από τα τρίγωνα αυτά. 4. ΔΥΟ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΕΣ (p4) Αποτελείται από μισή στροφή και μία περιστροφή 90ο. Ακολουθεί η ανάλυση του σχεδίου : Το πλέγμα είναι τετράγωνο και το ένα τέταρτο μιας τετράγωνης βασικής περιοχής της ομάδας των μεταφορών είναι η βασική περιοχή για αυτήν την ομάδας συμμετρίας. 13

14 5. ΔΥΟ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΕΣ (p6) Αποτελείται από μισή στροφή και μία περιστροφή 120ο. Ακολουθεί ανάλυση του σχήματος : Το πλέγμα είναι εξαγωνικό. Μια βασική περιοχή για την ομάδα συμμετρίας αυτήν είναι το 1/6 ενός από τα ισόπλευρα τρίγωνα του πλέγματος. 6. ΔΥΟ ΚΑΘΡΕΦΤΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΜΙΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑ (pm) 14

15 Αποτελείται από δύο καθρεφτισμούς και μία μεταφορά. Οι δύο καθρεφτισμοί δημιουργούν άπειρες ακολουθίες εικόνων με διεύθυνση κάθετη προς τους άξονες των καθρεφτών, όπως ακριβώς δηλαδή οι παράλληλοι καθρέφτες στην πραγματικότητα δημιουργούν άπειρους «διαδρόμους» καθρεφτισμών. Η μεταφορά στην συνέχεια αντιγράφει τις άπειρες ακολουθίες αυτές σε όλο το επίπεδο. Ακολουθεί η ανάλυση του σχήματος : 15

16 Μια βασική περιοχή της ομάδας μεταφορών είναι ένα ορθογώνιο. Το μισό του ορθογωνίου αυτού μπορεί να αποτελέσει θεμελιώδη περιοχή για την ομάδα συμμετρίας pm. 7. ΚΑΘΡΕΦΤΙΣΜΟΙ (pmm) Αποτελείται από ορθογωνίου. καθρεφτισμούς στις τέσσερις πλευρές ενός Ακολουθεί η ανάλυση του σχήματος : 16

17 Το πλέγμα είναι ορθογώνιο και ένα ορθογώνιο μπορεί να επιλεχθεί ως βασική περιοχή της ομάδας των μεταφορών, έτσι ώστε το ένα τέταρτο του ορθογωνίου αυτού να αποτελεί βασική περιοχή για την ομάδα συμμετρίας. 8. ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΕΣ ΚΑΙ ΚΑΘΡΕΦΤΙΣΜΟΣ (pmg) Αποτελείται από δύο μισές στροφές και έναν καθρεφτισμό. Ακολουθεί ανάλυση του σχήματος : 17

18 . Για το πλέγμα ισχύουν τα ίδια όπως στην προηγούμενη ομάδα συμμετρίας. 9. ΜΙΑ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΚΑΙ ΔΥΟ ΟΛΙΣΘΑΙΝΟΝΤΕΣ ΚΑΘΡΕΦΤΙΣΜΟΙ (cmm) Αποτελείται από δύο κάθετους ολισθαίνοντες καθρεφτισμούς και μισή στροφή. Ακολουθεί η ανάλυση του σχήματος : 18

19 Το πλέγμα είναι ρομβικό και το ένα τέταρτο μιας θεμελιώδους βασικής περιοχής της ομάδας μεταφορών είναι η βασική περιοχή της ομάδας συμμετρίας αυτής. 10. ΚΑΘΡΕΦΤIΣΜΟΙ (p31m) Αποτελείται από καθρεφτισμούς στις τρεις πλευρές ενός ισόπλευρου τριγώνου. 19

20 Ακολουθεί η ανάλυση του σχήματος : Το πλέγμα είναι εξαγωνικό. Μια θεμελιώδης περιοχή για αυτήν την ομάδα συμμετρίας, είναι το 1/6 ενός ισοπλεύρου τριγώνου του πλέγματος. 11. ΚΑΘΡΕΦΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ (p3m1) Aποτελείται από έναν καθρεφτισμό και μία περιστροφή 120ο. 20

21 \ Ακολουθεί η ανάλυση του σχήματος : Ομοίως όπως ανωτέρω για το πλέγμα. 12. ΚΑΘΡΕΦΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ (p4g) Αποτελείται από έναν καθρεφτισμό και μία περιστροφή 90o. 21

22 Ακολουθεί η ανάλυση του σχεδίου : Το πλέγμα στην περίπτωση αυτή είναι τετράγωνο και το 1/8 του τετραγώνου της βασικής περιοχής της ομάδας των μεταφορών, είναι η θεμελιώδης περιοχή αυτής της ομάδας συμμετρίας. 13. ΚΑΘΡΕΦΤΙΣΜΟΙ (p4m) Αποτελείται από καθρεφτισμούς στις τρεις πλευρές ενός ορθογώνιου και ισοσκελούς τριγώνου με γωνίες 45ο-45ο-90ο. 22

23 Ακολουθεί η ανάλυση του σχεδίου : Για το πλέγμα ισχύουν τα ίδια με την ομάδα συμμετρίας p4g. 14. ΚΑΘΡΕΦΤΙΣΜΟΙ (p6m) Αποτελείται από καθρεφτισμούς στις τρεις πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου με γωνίες 30ο-60ο-90ο. 23

24 Ακολουθεί η ανάλυση του σχεδίου : Το πλέγμα είναι εξαγωνικό. Μια βασική περιοχή για την ομάδα αυτή συμμετρίας είναι το 1/12 ενός ισοπλεύρου τριγώνου του πλέγματος. 15. ΚΑΘΡΕΦΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΙΣΘΑΙΝΟΝ ΚΑΘΡΕΦΤΙΣΜΟΣ (cm) 24

25 Αποτελείται από έναν καθρεφτισμό και έναν παράλληλο ολισθαίνον καθρεφτισμό. Ακολουθεί η ανάλυση του σχεδίου : Η βασική περιοχή της ομάδας των μεταφορών είναι ρόμβος. Η βασική περιοχή ολόκληρης της ομάδας συμμετρίας είναι το μισό αυτού του ρόμβου. 16. ΔΥΟ ΟΛΙΣΘΑΙΝΟΝΤΕΣ ΚΑΘΡΕΦΤΙΣΜΟΙ (pg) 25

26 Αποτελείται από δύο παράλληλους ολισθαίνοντες καθρεφτισμούς. Ακολουθεί η ανάλυση του σχεδίου : Το πλέγμα είναι ορθογώνιο. Μπορούμε να βρούμε μια ορθογώνια βασική περιοχή για την ομάδα των μεταφορών εάν διαιρέσουμε έναν από τους άξονες των καθρεφτισμών. Το μισό αυτής της βασικής ορθογώνιας περιοχής αποτελεί την θεμελιώδη περιοχή της ομάδας συμμετρίας pg. 26

27 17. ΔΥΟ ΟΛΙΣΘΑΙΝΟΝΤΕΣ ΚΑΘΡΕΦΤΙΣΜΟΙ (pgg) Αποτελείται από δύο κάθετους ολισθαίνοντες καθρεφτισμούς. Ακολουθεί η ανάλυση του σχεδίου : Το πλέγμα είναι ορθογώνιο. Το ένα τέταρτο της βασικής ορθογώνιας περιοχής της ομάδας των μεταφορών αποτελεί την θεμελιώδη περιοχή της ομάδας συμμετρίας. Αφού λοιπόν αναφέραμε όλα τα είδη ομάδων συμμετρίας νομίζουμε ότι θα ήταν διαφωτιστικό να παρουσιάσουμε και έναν πίνακα που αφορά τα βασικά επίπεδα σχήματα, που συναντάμε ιδιαίτερα στην δευτεροβάθμια εκπαίδευση, και τα είδη της συμμετρίας που αυτά παρουσιάζουν. 27

28 Η συμμετρία στην τέχνη κάνει την εμφάνιση της από πολύ νωρίς, έστω και εάν η αντίληψη που είχαν οι άνθρωποι για την έννοια της και τα είδη της, ήταν καθαρά εμπειρική. Από τους Αρχαίους λαούς οι Σουμέριοι φαίνεται ότι αγαπούσαν την συμμετρία και ιδιαίτερα την αμφίπλευρη. Παρακάτω παρουσιάζεται ένα χαρακτηριστικό σχέδιο πάνω στο φημισμένο βάζο του βασιλιά Εντεμένα που βασίλευε στην πόλη Λάγους το 2700 π.χ. Από το σχήμα γίνεται εμφανέστατη η κυριαρχία της αμφίπλευρης συμμετρίας. Χαρακτηριστικό είναι επίσης και το επόμενο σχήμα από βάζο των Σουμερίων που αναπαριστά δύο ερπετά: 28

29 Παραδείγματα εφαρμογής της συμμετρίας στην τέχνη θα βρούμε πολλά στους Βαβυλώνιους αλλά και στην αρχαία Ελλάδα, στους Πέρσες καθώς και κατά την διάρκεια της Μινωικής και Μυκηναϊκής Εποχής. Στη συνέχεια ακολουθούν διάφορα σχέδια που επιβεβαιώνουν την ύπαρξη της συμμετρίας στην ζωγραφική και την αγγειοπλαστική στους αρχαίους πολιτισμούς. Απεικόνιση Δελφινιών Μινωική Εποχή 29

30 Απεικόνιση Χταποδιού Μινωική Εποχή 30

31 Ανθέμια Αρχαίας Ελληνικής Τέχνης Σχέδιο Δαπέδου Μυκηναϊκή Εποχή Η εισχώρηση της συμμετρίας στην τέχνη δεν σταματά στην προ Χριστού εποχή αλλά συνεχίζεται στα χρόνια του Βυζαντίου. Βέβαια παρατηρείται μια τάση από την δυτική τέχνη προς μετρίαση της αυστηρής συμμετρίας, αλλά η καθαυτού συμμετρία συνεχίζει να 31

32 παραμένει εμφανής. Ας προχωρήσουμε στην παρουσίαση κάποιων έργων των χριστιανικών χρόνων. Βυζαντινός Δίσκος Πλάκα από τον περίγυρο της Αγίας Τράπεζας στον καθεδρικό ναό του Torcello στην Ιταλία του 11ου αιώνα 32

33 Εμφάνιση ασυμμετρίας σε βυζαντινό ανάγλυφο του Αγίου Μάρκου της Βενετίας Στο σημείο αυτό θα ήταν ενδιαφέρον να παρουσιάζαμε κάποια σύμβολα από τις διάφορες θρησκείες και την συμμετρία που αυτά παρουσιάζουν. Ιδού λοιπόν ο παρακάτω πίνακας : Όμως και στην σύγχρονη εποχή συναντάμε καλλιτέχνες που χρησιμοποιούν έντονα την συμμετρία στα σχέδια τους. Ένας από αυτούς 33

34 και ίσως ο πιο χαρακτηριστικός του 19ου και 20ου αιώνα είναι ο M.S.Escher. Ο Escher γεννήθηκε το 1898 στη Δανία και πέθανε το Το έργο του έχει αναγνωρισθεί από πολλούς επιστήμονες, όπως μαθηματικούς και κρυσταλλογράφους. Έκπληξη αποτελεί το γεγονός του ότι ενώ ο ίδιος δεν είχε εκτελέσει καμία σπουδή στον τομέα των Μαθηματικών, η συμμετρία που αποδίδεται στα έργα του είναι αξιοθαύμαστη. Στη συνέχεια θα παραθέσουμε κάποια από τα σχέδια του. Αξίζει να τονίσουμε ότι στα έργα του με τίτλο Symmetry Drawing 72, Symmetry Watercolor 55, Symmetry Watercolor 70, Symmetry Watercolor 119 και Symmetry Watercolor 117, έχουν χρησιμοποιηθεί οι ομάδες συμμετρίας p1, p2, p3, p4, pmg αντιστοίχως. symmetry drawing 72 34

35 symmetry drawing 60 symmetry watercolor

36 symmetry watercolor 117 symmetry watercolor

37 symmetry watercolor 55 symmetry watercolor 70 37

38 Γίνεται λοιπόν από όλα τα παραπάνω σχήματα αντιληπτό ότι η συμμετρία με την ζωγραφική αλληλοσυνδέονται. Θα μπορούσε όμως κάποιος να υποστηρίξει ότι η συμμετρία είναι αλληλένδετη και με άλλες μορφές της τέχνης, όπως για παράδειγμα η μουσική; Μια απάντηση στο ερώτημα αυτό δίνεται μέσα από ένα άρθρο του περιοδικού «L OUVERT Νο 31» που εκδόθηκε στο Στρασβούργο τον Ιούνιο του Στο άρθρο αυτό εκθέτονται δύο παρτιτούρες η μία γραμμένη από τον Mozart και η οποία τιτλοφορείται ως «La destine à deux guitares» ενώ η δεύτερη, μια φούγκα γραμμένη για τέσσερις φωνές, είναι εμπνευσμένη από τον Bach και φέρει τον τίτλο «Contrapunctus XVI». Ας παραθέσουμε κάθε μία παρτιτούρα και ας τις εξετάσουμε ως προς την ύπαρξη συμμετρίας. Παρουσιάζουμε λοιπόν πρώτη την παρτιτούρα του Mozart. 38

39 39

40 Με μια πρώτη ματιά γίνεται αντιληπτό ότι η παρτιτούρα μπορεί να διαβαστεί και από την «καλή», δηλαδή με φορά από πάνω προς τα κάτω, αλλά και από την «ανάποδη», δηλαδή με φορά από κάτω προς τα πάνω. Παρατηρούμε δηλαδή, όπως τονίζει και το άρθρο, ένα είδος καρκινικής γραφής στην παρτιτούρα, ή λαμβάνοντας υπόψη μας την έννοια και τα είδη της συμμετρίας, μια περιστροφική συμμετρία της παρτιτούρας κατά 180ο. Εάν αναλύσουμε την παρτιτούρα σε βάθος διακρίνουμε ότι οι νότες στα τρία πρώτα μέτρα της παρτιτούρας, από οποιοδήποτε φορά και εάν την διαβάσουμε, είναι ακριβώς οι ίδιες αλλά με απόκλιση μίας οκτάβας. Άρα έχουμε συγχρόνως μια ταυτοφωνία των δύο κιθάρων αλλά και μια συμμετρία (περιστροφική 180ο) μεταξύ τόσο της ίδιας της παρτιτούρας σαν μορφή αλλά επίσης και των νοτών της (μεταφορική κατά μία οκτάβα). Μετά το τρίτο μέτρο, οι νότες διαφέρουν όπως επίσης και η αξία τους. Άρα επέρχεται ένα σπάσιμο της συμμετρίας των νοτών και παραμένει συμμετρική μόνο η μορφή της παρτιτούρας. Ας περάσουμε τώρα στην μελέτη της φούγκας του Bach. 40

41 Η παραπάνω παρτιτούρα κάνει εμφανέστατη την χρησιμοποίηση της συμμετρίας στην μουσική και ιδιαίτερα την κλασσική. Εξετάζοντας την παρτιτούρα παρατηρούμε ότι στην Inversus μορφή της γίνεται ακριβώς το αντίθετο από ότι στην Rectus όσον αφορά τις φωνές, παρατηρούμε δηλαδή εναλλαγή των φωνών. Για παράδειγμα, στα πρώτα εφτά μέτρα στην Rectus μορφή η πρώτη και η δεύτερη φωνή δεν συμμετέχουν, η τρίτη συμμετέχει μετά το τέταρτο μέτρο, ενώ η τέταρτη φωνή από την αρχή. Στην Inversus μορφή στα πρώτα εφτά μέτρα συμβαίνει το αντίθετο. Η τρίτη και η τέταρτη φωνή παραμένουν αμέτοχες, η δεύτερη συμμετέχει μετά το τέταρτο μέτρο ενώ η πρώτη από την αρχή. Παρατηρούμε δηλαδή μια ανάκλαση που έχει τον άξονα της όπως διαφαίνεται στο παρακάτω σχήμα: Επίσης ενώ οι νότες μεταξύ τους δεν παρουσιάζουν καμία συμμετρία επειδή είναι διαφορετικές, ο ρυθμός είναι συμμετρικός αφού παραμένει ο ίδιος. 41

42 Ανακεφαλαιώνοντας, η συμμετρία στο επίπεδο, η οποία κάνει την εμφάνιση της από τα αρχαιοτάτων χρόνων, έχει αξιοσημείωτη σημασία τόσο για τις επιστήμες όπως τα Μαθηματικά, αφού περικλείει μέσα τις έννοιες όπως η ομάδα και η γεωμετρικοί μετασχηματισμοί αλλά και για τις τέχνες, αφού πολλές φορές οι καλλιτέχνες είτε εμπειρικά είτε όχι δημιουργούν βασιζόμενοι σε αυτήν. 42

Κεφάλαιο 7 Ισομετρίες, Συμμετρίες και Πλακοστρώσεις Οπως είδαμε στην απόδειξη του πρώτου κριτηρίου ισότητας τριγώνων, ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί την έννοια της εφαρμογής ενός τριγώνου σε ένα άλλο, χωρίς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΕΙΔΗ ΓΡΑΜΜΩΝ, ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ, ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ, ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΕΙΔΗ ΓΡΑΜΜΩΝ, ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ, ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ, ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΕΙΔΗ ΓΡΑΜΜΩΝ, ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ, ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ, ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Εκτίμηση και μέτρηση Μ3.6 Εκτιμούν, μετρούν, ταξινομούν και κατασκευάζουν γωνίες (με ή χωρίς τη χρήση της

Διαβάστε περισσότερα

Ανθή Μαρία Κουρνιάτη. Νίκος Κουρνιάτης

Ανθή Μαρία Κουρνιάτη. Νίκος Κουρνιάτης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Αρχιτεκτόνων Μηχανικών Τομέας III : Αρχιτεκτονικής Γλώσσας, Επικοινωνίας & Σχεδιασμού ntua ACADEMIC OPEN COURSES Ανθή Μαρία Κουρνιάτη Επίκουρη Καθηγήτρια, Σχολή Αρχιτεκτόνων

Διαβάστε περισσότερα

Χρωματίζουμε τα σημεία του επιπέδου με τρία χρώματα. Αποδείξτε ότι υπάρχουν δύο

Χρωματίζουμε τα σημεία του επιπέδου με τρία χρώματα. Αποδείξτε ότι υπάρχουν δύο 1.1 ΠΡΟΒΛΗ ΜΑ Χρωματίζουμε τα σημεία του επιπέδου με δύο χρώματα. Αποδείξτε ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον σημεία με το ίδιο χρώμα που απέχουν απόσταση 1. Έστω ότι χρωματίζουμε τα σημεία του επιπέδου κόκινα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 1: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑ 1: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑ 1: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ Δραστηριότητα 1 Εξερευνώντας το σχηματισμό των ψηφιδωτών. Ένα Ολλανδός ζωγράφος, ο M.C. Escher ( 1898-1972 ), έφτιαχνε ζωγραφικούς πίνακες χρησιμοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ : Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής κατεύθυνσης : Β Ενιαίου Λυκείου

ΣΧΕ ΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ : Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής κατεύθυνσης : Β Ενιαίου Λυκείου ΜΑΘΗΜΑ ΤΑΞΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ : Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής κατεύθυνσης : Β Ενιαίου Λυκείου : Υπερβολή : Λυµπερόπουλος Ιωάννης. Σκοπός : Οι µαθητές να γνωρίζουν : α) Τον ορισµό της υπερβολής. β)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS LEVEL: 9 10 (Γ Γυμνασίου Α Λυκείου) 10:00 11:00, 20 March 2010 THALES FOUNDATION 1 3 βαθμοί 1. Ποιο από τα ακόλουθα είναι το αποτέλεσμα της διαίρεσης του αριθμού 20102010 με τον

Διαβάστε περισσότερα

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1.

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. Στο επίπεδο 0, στις πρώτες τάξεις του δηµοτικού σχολείου, όπου στόχος είναι η οµαδοποίηση των γεωµετρικών σχηµάτων σε οµάδες µε κοινά χαρακτηριστικά στη µορφή τους, είδαµε

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Θέματα: - Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες - ισδιάστατη γεωμετρία - Γωνίες - Στερεομετρία - Συμμετρία/ μετασχηματισμοί

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Θέματα: - Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες - ισδιάστατη γεωμετρία - Γωνίες - Στερεομετρία - Συμμετρία/ μετασχηματισμοί ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θέματα: - Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες - ισδιάστατη γεωμετρία - Γωνίες - Στερεομετρία - Συμμετρία/ μετασχηματισμοί 1 Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες 1. Ο χάρτης δείχνει

Διαβάστε περισσότερα

3, ( 4), ( 3),( 2), 2017

3, ( 4), ( 3),( 2), 2017 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS LEVEL: 5 6 (E - Στ Δημοτικού) 10:00 11:00, 20 March 2010 THALES FOUNDATION 1 3 βαθμοί 1. Γνωρίζοντας ότι + + 6 = + + +, ποιόν αριθμό αντιπροσωπεύει το ; A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηματισμοί-Τάξη Δ Δημοτικού (3 ώρες) Προαπαιτούμενα:

Μετασχηματισμοί-Τάξη Δ Δημοτικού (3 ώρες) Προαπαιτούμενα: Μετασχηματισμοί-Τάξη Δ Δημοτικού (3 ώρες) Προαπαιτούμενα: Α τάξη Β τάξη Γ τάξη Παρατηρούν μετατοπίσεις και στροφές (90 ο, 180 ο, 360 ο ) και μπορούν αν προβλέψουν το αποτέλεσμα. Αναγνωρίζουν συμμετρικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ 3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Διερεύνηση αριθμών Γ2.1 Oνομάζουν και κατασκευάζουν σημεία, ευθύγραμμα τμήματα, ημιευθείες, ευθείες και διάφορα είδη γραμμών (καμπύλες, ευθείες, τεθλασμένες) με διάφορα

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση

Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση 1. Εισαγωγή Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση Μαθαίνω Γεωμετρία και Μετρώ Παίζω με τους αριθμούς Βρίσκω τα πολλαπλάσια Το εκπαιδευτικό λογισμικό «Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση» δίνει τη δυνατότητα στα παιδιά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS LEVEL: 7 8 (A - Β Γυμνασίου) 10:00 11:00, 20 March 2010 THALES FOUNDATION 1 3 βαθμοί 1. Ποιά η τιμή: 12 + 23 + 34 + 45 + 56 + 67 + 78 + 89 ; A) 389 B) 396 C) 404 D) 405 E) άλλη απάντηση

Διαβάστε περισσότερα

1. Γενικά για τα τετράπλευρα

1. Γενικά για τα τετράπλευρα 1. ενικά για τα τετράπλευρα Ένα τετράπλευρο θα λέγεται κυρτό αν η προέκταση οποιασδήποτε πλευράς του αφήνει το σχήμα από το ίδιο μέρος (στο ίδιο ημιεπίπεδο, όπως λέμε καλύτερα). κορυφές γωνία εξωτερική

Διαβάστε περισσότερα

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή Το βιβλίο αυτό έχει διπλό σκοπό: Να σε βοηθήσει στη γρήγορη, άρτια και αποτελεσματική προετοιμασία του καθημερινού σχολικού μαθήματος. Να σου δώσει όλα τα απαραίτητα εφόδια,

Διαβάστε περισσότερα

Φυλλάδιο 1 - Σημεία Προσοχής στις Παραγράφους 1.1, 1.2 και 1.3

Φυλλάδιο 1 - Σημεία Προσοχής στις Παραγράφους 1.1, 1.2 και 1.3 Φυλλάδιο 1 - Σημεία Προσοχής στις Παραγράφους 1.1, 1.2 και 1.3 1. Σπάμε ένα Διάνυσμα Έστω ότι έχουμε ένα διάνυσμα. Τότε αυτό μπορούμε να το σπάσουμε σε δύο (ή περισσότερα), παρεμβάλλοντας ανάμεσα στα γράμματα

Διαβάστε περισσότερα

Το μοτίβο ταπετσαρίας: μια σύντομη εισαγωγή στην φύση και τα είδη του.

Το μοτίβο ταπετσαρίας: μια σύντομη εισαγωγή στην φύση και τα είδη του. Το μοτίβο ταπετσαρίας: μια σύντομη εισαγωγή στην φύση και τα είδη του. σημειώσεις για το μάθημα Εικαστική Σύνθεση 2, του τμήματος ΕΑΔΣΑ στο ΤΕΙ Σερρών. Οι αναφορές στα μοτίβα είναι βασισμένες επάνω στο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙ Η ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΩΝ. ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο

ΕΙ Η ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΩΝ. ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο ΕΙΗ ΤΕΤΡΠΛΕΥΡΩΝ ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες δηλ. // και //. ΙΙΟΤΗΤΕΣ ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜΟΥ: 1. Οι απέναντι πλευρές του είναι.

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστηριακή Άσκηση Β3: Πειράματα περίθλασης από κρύσταλλο λυσοζύμης

Εργαστηριακή Άσκηση Β3: Πειράματα περίθλασης από κρύσταλλο λυσοζύμης Βιοφυσική & Νανοτεχνολογία Εργαστηριακή Άσκηση Β3: Πειράματα περίθλασης από κρύσταλλο λυσοζύμης Ημερομηνία εκτέλεσης άσκησης... Ονοματεπώνυμα... Περίληψη Σκοπός της άσκησης είναι η εξοικείωση με την χρήση

Διαβάστε περισσότερα

VAN HIELE GEOMETRY TEST * (USISKIN) ΟΔΗΓΙΕΣ

VAN HIELE GEOMETRY TEST * (USISKIN) ΟΔΗΓΙΕΣ VAN HIELE GEOMETRY TEST * (USISKIN) ΟΔΗΓΙΕΣ Μην γυρίσετε την επόμενη σελίδα πριν σας το πουν. Για το test αυτό πρέπει να γνωρίζετε ότι: Δεν επηρεάζει τη βαθμολογία σου στο σχολείο. Χρησιμοποιείται αποκλειστικά

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η Γεωμετρία Κεφάλαιο 1: Βασικές γεωμετρικές έννοιες Β.1.1 61.Η ευθεία είναι βασική έννοια της γεωμετρίας που την αντιλαμβανόμαστε ως την γραμμή που αφήνει ο κανόνας (χάρακας).συμβολίζεται με μικρά γράμματα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 33 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 27 Φεβρουαρίου 2016

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 33 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα Ο Αρχιμήδης 27 Φεβρουαρίου 2016 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 6 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ 665-67784 - Fax: 645 e-mail : info@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4 Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από

Διαβάστε περισσότερα

Κατασκευή ρόμβων. Μέθοδος 1: Ιδιότητες: Μέθοδος 2: Ιδιότητες: Μέθοδος 3: Ιδιότητες: Μέθοδος 4: Ιδιότητες: Ονοματεπώνυμο(α):

Κατασκευή ρόμβων. Μέθοδος 1: Ιδιότητες: Μέθοδος 2: Ιδιότητες: Μέθοδος 3: Ιδιότητες: Μέθοδος 4: Ιδιότητες: Ονοματεπώνυμο(α): Κατασκευή ρόμβων Ονοματεπώνυμο(α): Πόσους τρόπους μπορείτε να σκεφτείτε για την κατασκευή ενός ρόμβου; Εξετάστε μεθόδους που χρησιμοποιούν το μενού Κατασκευή, το μενού Μετασχηματισμός ή συνδυασμούς αυτών.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ Για να κάνουμε Γεωμετρία χρειαζόμαστε εργαλεία κατασκευής, εργαλεία μετρήσεων και εργαλεία μετασχηματισμών.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

6 Γεωμετρικές κατασκευές

6 Γεωμετρικές κατασκευές 6 Γεωμετρικές κατασκευές 6.1 Γενικά Στα σχέδια εφαρμόζουμε γεωμετρικές κατασκευές, προκειμένου να επιλύσουμε προβλήματα που απαιτούν μεγάλη σχεδιαστική και κατασκευαστική ακρίβεια. Τα γεωμετρικά - σχεδιαστικά

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΥΚΤΟΛΟΓΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΛΟΓΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΕΤΑΛΛΕΙΩΝ - ΜΕΤΑΛΛΟΥΡΓΩΝ

ΟΡΥΚΤΟΛΟΓΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΛΟΓΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΕΤΑΛΛΕΙΩΝ - ΜΕΤΑΛΛΟΥΡΓΩΝ ΟΡΥΚΤΟΛΟΓΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΛΟΓΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΕΤΑΛΛΕΙΩΝ - ΜΕΤΑΛΛΟΥΡΓΩΝ ΜΑΘΗΜΑ 3. ΟΙ 32 ΚΡΥΣΤΑΛΛΙΚΕΣ ΤΑΞΕΙΣ Ταξινόμηση των κρυστάλλων σαν στερεά σχήματα και οι συμμετρίες Ηλίας Χατζηθεοδωρίδης,

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

t : (x, y) x 2 +y 2 y x

t : (x, y) x 2 +y 2 y x Σύνοψη Κεφαλαίου 5: Αντιστροφική Γεωμετρία Αντιστροφή 1. Η ανάκλαση σε μία ευθεία l στο επίπεδο απεικονίζει ένα σημείο A σε ένα σημείο A που απέχει ίση απόσταση από την l αλλά βρίσκεται στην άλλη πλευρά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 10 ο, Τμήμα Α

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 10 ο, Τμήμα Α Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 10 ο, Τμήμα Α Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο 3 cm 5 cm Ο τύπος όπως είναι γραμμένος δείχνει ότι μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε δύο μήκη. Ε=3cm x 5cm=15cm 2. Πώς καταλαβαίνετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 Προεκτεινουµε τις πλευρες και παραλληλογραμμου κατα τμηματα = και = αντιστοιχως. Να αποδειξετε οτι τα σημεια, και ειναι συνευθειακα. = παραλληλογραμμο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι η Ευκλείδια διαίρεση; Είναι η διαδικασία κατά την οποία όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε βρίσκουμε άλλους δύο φυσικούς αριθμούς π και υ,

Διαβάστε περισσότερα

2. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 και του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες, όταν αντιστραφούν τα ψηφία τους; Γ. Αν, Δ. Αν, τότε. τότε.

2. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 και του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες, όταν αντιστραφούν τα ψηφία τους; Γ. Αν, Δ. Αν, τότε. τότε. 11η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα πρίλιος 010 Χρόνος: 60 λεπτά ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Το τελευταίο ψηφίο του αριθμού 1 3 5 Ε 9 7. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες όταν αντιστραφούν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα A Γυμνασιου

Μαθηματικα A Γυμνασιου Μαθηματικα A Γυμνασιου Θεωρια & παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 45 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 4 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΟΡΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΗΜΑΤΑ-ΓΡΑΜΜΕΣ-ΜΕΤΡΗΣΗ Μιχάλης Χριστοφορίδης Ανδρέας Σάββα Σύμβουλοι Μαθηματικών

ΣΧΗΜΑΤΑ-ΓΡΑΜΜΕΣ-ΜΕΤΡΗΣΗ Μιχάλης Χριστοφορίδης Ανδρέας Σάββα Σύμβουλοι Μαθηματικών ΕΦΑΡΜΟΓΙΔΙΟ: Σχήματα-Γραμμές-Μέτρηση Είναι ένα εργαλείο που μας βοηθά στην κατασκευή και μέτρηση σχημάτων, γωνιών και γραμμών. Μας παρέχει ένα χάρακα, μοιρογνωμόνιο και υπολογιστική μηχανή για να μας βοηθάει

Διαβάστε περισσότερα

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες. ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΖΩ ΚΑΙ ΚΑΤΑΛΑΒΑΙΝΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΑΙΖΩ ΚΑΙ ΚΑΤΑΛΑΒΑΙΝΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 1oς ΚΥΚΛΟΣ - ΠΑΙΖΟΥΜΕ ΚΑΙ ΜΑΘΑΙΝΟΥΜΕ ΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α Ενότητα Ανακαλύπτουμε τις ιδιότητες των υλικών μας, τα τοποθετούμε σε ομάδες και διατυπώνουμε κριτήρια ομαδοποίησης Οι μαθητές μαθαίνουν να αναπτύσσουν

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικά πολύγωνα Τουρναβίτης Στέργιος

Κανονικά πολύγωνα Τουρναβίτης Στέργιος Κανονικά πολύγωνα Τουρναβίτης Στέργιος Κανονικά πολύγωνα στη φύση, τέχνη, ανθρώπινες κατασκευές, Μαθηματικά Κανονικά πολύγωνα στη φύση Η κηρήθρα είναι ένα φυσικό θαύμα αρχιτεκτονικής Οι μέλισσες έχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Ακολουθίες. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα.

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Ακολουθίες. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα. Ακολουθίες ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα. Να ορίζουμε τις σχέσεις μεταξύ διανυσμάτων (παράλληλα, ομόρροπα, αντίρροπα, ίσα και αντίθετα διανύσματα). Να προσθέτουμε και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 3. Δίνεται ο πίνακας: 3 3 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ ο. Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 6. Επιλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Β' Γυμν. - Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Άσκηση 1 Απλοποίησε τις αλγεβρικές παραστάσεις (α) 2y 2z 8ω 8ω 2y 2z (β) 1x 2y 3z 3 3 z 2z z 2 x y Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρα - Γεωμετρία Άσκηση 2 Υπολόγισε την

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Χρησιμοποιήθηκε στην αρχαία Αίγυπτο και στην Πυθαγόρεια παράδοση,ο πρώτος ορισμός που έχουμε για αυτήν ανήκει στον Ευκλείδη που την ορίζει ως διαίρεση ενός ευθύγραμμου τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 2 0 Κεφάλαιο

Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 2 0 Κεφάλαιο Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 0 Κεφάλαιο Περιέχει: Αναλυτική Θεωρία Ερωτήσεις Θεωρίας Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής Ερωτήσεις Σωστού - λάθους Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ 4- ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στην μέχρι τώρα

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλο 3. Δράσεις με το λογισμικό The geometer s Sketchpad. Το περιβάλλον του λογισμικού αυτού είναι παρόμοιο μ εκείνο του Cabri II

Φύλλο 3. Δράσεις με το λογισμικό The geometer s Sketchpad. Το περιβάλλον του λογισμικού αυτού είναι παρόμοιο μ εκείνο του Cabri II Φύλλο 3 1 ράσεις με το λογισμικό The geometer s Sketchpad Το περιβάλλον του λογισμικού αυτού είναι παρόμοιο μ εκείνο του Cabri II όμως έχει τη δικιά του φιλοσοφία και το δικό του τρόπο συνεργασίας με το

Διαβάστε περισσότερα

Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I.

Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I. Γεωμετρία Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I. Εισαγωγή Η διδασκαλία της Γεωμετρίας στην Α Λυκείου εστιάζει στο πέρασμα από τον εμπειρικό στο θεωρητικό τρόπο σκέψης, με ιδιαίτερη έμφαση στη μαθηματική απόδειξη. Οι

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλο 1. Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry II

Φύλλο 1. Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry II 1 Φύλλο 1 Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry II Στις δύο παρακάτω γραμμές από το περιβάλλον του λογισμικού αυτού η πρώτη αφορά γενικές επεξεργασίες και δεύτερη με τα εικονίδια περιλαμβάνει τις στοιχειώδεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 5: ΑΝΑΚΛΑΣΗ (συνέχεια)

ΜΑΘΗΜΑ 5: ΑΝΑΚΛΑΣΗ (συνέχεια) ΜΑΘΗΜΑ 5: ΑΝΑΚΛΑΣΗ (συνέχεια) Δραστηριότητα 1 Εξερευνώντας τις παραμέτρους της ανάκλασης. 1. Να επιλέξεις το λογισμικό Μαθαίνω Γεωμετρία και Μετρώ. 2. Από το μενού δραστηριοτήτων, να επιλέξεις το «Συμμετρία».

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Τετράπλευρα (Ιδιότητες Ταξινόμηση) Keywords: parallelogram, rectangular, rhombus, square, diagonals, height.

Ενότητα: Τετράπλευρα (Ιδιότητες Ταξινόμηση) Keywords: parallelogram, rectangular, rhombus, square, diagonals, height. Νέο Αναλυτικό Πρόγραμμα Σπουδών Σχολικό έτος 2016-17 Σπύρος Γ. Γλένης spyrosglenis@gmail.com Ενότητα: Τετράπλευρα (Ιδιότητες Ταξινόμηση) Keywords: parallelogram, rectangular, rhombus, square, diagonals,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος.

Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος. Ενότητα 5 Στερεομετρία Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

n ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4

n ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4 Διακριτά Μαθηματικά Ι Επαναληπτικό Μάθημα 1 Συνδυαστική 2 Μεταξύ 2n αντικειμένων, τα n είναι ίδια. Βρείτε τον αριθμό των επιλογών n αντικειμένων από αυτά τα 2n αντικείμενα. Μεταξύ 3n + 1 αντικειμένων τα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή - Διανύσματα 25/7/2014

Μαθηματική Εισαγωγή - Διανύσματα 25/7/2014 Κωνσταντίνος Χ. Παύλου Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 2 ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς Καστοριά, Ιούλιος 14 A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορή Επίλυση βασικών μορών εξισώσεων Συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS LEVEL: 11 12 (B - Γ Λυκείου) 10:00 11:00, 20 March 2010 THALES FOUNDATION 1 3 βαθμοί 1. Από την εικόνα μπορούμε να δούμε ότι: 1 + 3 + 5 + 7 = 4 4. Ποια είναι η τιμή του: 1 + 3 +

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΡΟΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ του Γεωργίου Π. Νίνη «Η Θεωρία Ομάδων και

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ. Βαγγέλης. Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός.

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ. Βαγγέλης. Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός. 01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παρον φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης:

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: παρόμοιο με του Cabri με αρκετές όμως διαφορές στην αρχιτεκτονική

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3()

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3() ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0% Να βρείτε: i Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ ΧΑΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΕΡΓΟ ΤΟΥ ΣΠ. ΠΑΠΑΛΟΥΚΑ

ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ ΧΑΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΕΡΓΟ ΤΟΥ ΣΠ. ΠΑΠΑΛΟΥΚΑ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ ΧΑΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΕΡΓΟ ΤΟΥ ΣΠ. ΠΑΠΑΛΟΥΚΑ α) Ειρήνη Χρυσοβαλάντη Ρουμπάνη β) Μαρία Πανακάκη «Το τοπίο είναι αντικείμενα σε διάφορες αποστάσεις, που χαρακτηρίζονται με χρώματα, σε διάφορες πλάκες, οριζόντιες,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά A Γυμνασίου

Μαθηματικά A Γυμνασίου Μαθηματικά A Γυμνασίου ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Μέρος Α - Άλγεβρα 1. Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; (σελ. 15) 2. Πως ορίζεται η πράξη της αφαίρεσης στους φυσικούς και πότε αυτή μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

Και τα στερεά συγκρούονται

Και τα στερεά συγκρούονται Και τα στερεά συγκρούονται Εξετάζοντας την ελαστική κρούση υλικών σημείων, ουσιαστικά εξετάζουμε την κρούση μεταξύ δύο στερεών σωμάτων, δύο μικρών σφαιρών, τα οποία εκτελούν μόνο μεταφορική κίνηση. Τι

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Υπερβολής

Μεθοδολογία Υπερβολής Μεθοδολογία Υπερβολής Υπερβολή ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων, των οποίων η απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία Ε και Ε είναι σταθερή και μικρότερη από την απόσταση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ

ΟΙ ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΟΙ ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ Simplici: Αυτό πραγματικά δεν μπορώ να το κατανοήσω Salviati: Θα το κατανοήσεις όταν σου δείξω που βρίσκεται το σφάλμα σου ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ ΔΙΑΛΟΓΟΙ Ο Γαλιλαίος,

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία παιγνίων Δημήτρης Χριστοφίδης Εκδοση 1η: Παρασκευή 3 Απριλίου 2015. Παραδείγματα Παράδειγμα 1. Δυο άτομα παίζουν μια παραλλαγή του σκακιού όπου σε κάθε βήμα ο κάθε παίκτης κάνει δύο κανονικές κινήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Β' ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ. «Ευκλείδης» Ημερομηνία: 4/03/2017 Ώρα εξέτασης: 10:00-14:30

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Β' ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ. «Ευκλείδης» Ημερομηνία: 4/03/2017 Ώρα εξέτασης: 10:00-14:30 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Β' ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ «Ευκλείδης» Ημερομηνία: 4/03/2017 Ώρα εξέτασης: 10:00-14:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις σας. 2.

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις σωστού-λάθους

Ερωτήσεις σωστού-λάθους ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Α ΜΕΡΟΣ (ΑΛΓΕΒΡΑ) ΚΕΦ ο : Μιγαδικοί Αριθμοί Φυλλάδιο ο Κεφ..: Η Έννοια του Μιγαδικού Αριθμού Κεφ..: Πράξεις στο Σύνολο C των Mιγαδικών Κεφ..: Πράξεις στο Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = //

5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = // 1 5.6 5.9 ΘΩΡΙ 1., µέσα των, = //. µέσο της και // µέσο της 3. = και ////Ζ = Ζ Ζ. Ο γ. τόπος της µεσοπαράλληλης Έστω ε η µεσοπαράλληλη των ε 1, ε. Τότε ισχύουν : i) άθε σηµείο της ε ισαπέχει από τις ε

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Έλλειψης

Μεθοδολογία Έλλειψης Μεθοδολογία Έλλειψης Έλλειψη ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων, των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία Ε και Ε είναι σταθερό και μεγαλύτερο από την απόσταση (ΕΕ ). Στη Φύση

Διαβάστε περισσότερα