Ειδικά Θέματα Ιχθυολογίας

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ειδικά Θέματα Ιχθυολογίας"

Transcript

1 Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Τμήμα Βιολογικών Εφαρμογών και Τεχνολογιών Ειδικά Θέματα Ιχθυολογίας Εργαστηριακός οδηγός Ιωάννης Δ. Λεονάρδος Καθηγητής

2 1 Εργαστηριακή άσκηση : κατά βάρος αύξηση δείκτες ευρωστίας Σκοπός Η κατά βάρος αύξηση είναι ένα σημαντικό μέρος του ευρύτερου κεφαλαίου της αύξησης, είναι απαραίτητη στη μελέτη της βιολογίας των ψαριών, στη συγκριτική μελέτη ενός ή περισσοτέρων πληθυσμών του ίδιου είδους καθώς και στην εκτίμηση των επιπτώσεων μεταβολών παραμέτρων του περιβαλλοντικών στα ψάρια. Σε αυτή την ομάδα ασκήσεων περιγράφονται η κατά βάρος αύξηση, οι δείκτες ευρωστίας καθώς και ένας δείκτης της αναπαραγωγικής κατάστασης των ψαριών. Παρουσιάζονται πληροφορίες για τις μεθόδους υπολογισμού των παραμέτρων της αύξησης, οι τεχνικές και η μεθοδολογία υπολογισμού των. Προσδοκώμενα αποτελέσματα Όταν θα έχετε μελετήσει αυτό το κεφάλαιο θα μπορείτε να: Βρίσκετε τις παραμέτρους αύξησης ενός οργανισμού όταν σας δίνονται μετρήσεις μήκους και βάρους του. Περιγράφετε μια γραφική παράσταση στην οποία θα παρουσιάζονται μετρήσεις μήκους και βάρους Διαπιστώνετε αν οι παράμετροι των εξισώσεων μήκους - βάρους αντιστοιχούν σε ισομετρική ή αλλομετρική μορφή αύξησης Συγκρίνετε τις παραμέτρους της κατά βάρος αύξησης δυο διαφορετικών πληθυσμών του ίδιου είδους και να διαπιστώνετε αν διαφέρουν στατιστικά μεταξύ τους και ποιος πληθυσμός παρουσιάζει υψηλότερο ρυθμό κατά βάρος αύξησης. Υπολογίζετε τους δείκτες ευρωστίας ενός πληθυσμού ψαριών Συγκρίνετε τις τιμές των δεικτών ευρωστίας δυο διαφορετικών πληθυσμών ή των δυο φύλων του ίδιου πληθυσμού και να διαπιστώνετε ποιο από τα δυο συγκρινόμενα μέρη είναι πιο εύρωστο. Υπολογίζετε τον σχετικό ηπατοσωματικό δείκτη και το σχετικό βάρος γονάδας ενός πληθυσμού ψαριών Έννοιες κλειδιά Σχέσεις μήκους - βάρους Ισομετρική, αλομετρική αύξηση Δείκτες ευρωστίας, Δείκτης ευρωστίας κατά Fulton, σχετικός δείκτης ευρωστίας Σύγκριση των παραμέτρων αύξησης Γοναδοσωματικός δείκτης, Σχετικό βάρος γονάδας Ηπατοσωματικός δείκτης, Σχετικός ηπατοσωματικός δείκτης, Παλινδρόμηση Ανάλυση της συνδιακύμανσης (ANCOVA) Εισαγωγικές παρατηρήσεις Αυτό το κεφάλαιο ασχολείται με τη μελέτη της κατά βάρος αύξησης των ψαριών. Στοιχεία του μήκους και του βάρους των ψαριών είναι θεμέλιοι λίθοι στην αλιευτική έρευνα και τη διαχείριση των υδάτινων οικοσυστημάτων. Τέτοιου είδους μετρήσεις είναι απαραίτητες στον υπολογισμό της αύξησης των υδρόβιων οργανισμών, της παραγωγικότητας των υδάτινων οικοσυστημάτων καθώς επίσης στις μονάδες εκτροφής και στα εργαστήρια.

3 2 Σχέσεις μήκους βάρους Από τη μελέτη των σχέσεων που συνδέουν το μήκος και το βάρους των ψαριών μπορεί να προκύψουν χρήσιμες πληροφορίες ως προς το σχήμα του σώματός τους. Η εκθετική εξίσωση : W = al b (όπου W είναι το βάρος του ψαριού, L είναι το μήκος, a και b είναι παράμετροι της εξίσωσης), έχει αποδειχθεί ότι είναι ένα ιδιαίτερα χρήσιμο μοντέλο καθώς εκφράζει το βάρος σαν συνάρτηση του μήκους (Εικόνα 1). Γενικά, τιμές του b μικρότερες του 3.0 δείχνουν ψάρι το οποίο αναπτύσσεται λιγότερο σε όγκο, καθώς το μήκος αυξάνει (περισσότερο επίμηκες), b μεγαλύτερο του 3.0 αντιστοιχεί σε ψάρι το οποίο γίνεται περισσότερο ογκώδες καθώς το μήκος αυξάνει (λιγότερο επίμηκες). Για τα περισσότερα ψάρια οι τιμές του b είναι μεγαλύτερες του 3.0. Αν το b είναι ίσο με 3.0, τότε η μορφή της αύξησης χαρακτηρίζεται ισομετρική, αυτό σημαίνει ότι το σχήμα δεν αλλάζει καθώς το ψάρι μεγαλώνει, ενώ σε αντίθετη περίπτωση (b 3) η μορφή της αύξησης χαρακτηρίζεται ως αλομετρική. Είναι πιθανόν το σχήμα του σώματος να αλλάζει παρόλο ότι το b παραμένει ίσο με 3.0. Οι παράμετροι a και b μπορούν να υπολογιστούν λαμβάνοντας τους δεκαδικούς λογαρίθμους και των δυο μερών της προηγούμενης οπότε αυτή λαμβάνει τη μορφή log W = log a + b log L Οι τιμές loga και logb μπορούν να υπολογιστούν για ένα πλήθος ζευγών τιμών μήκους και βάρους με τη βοήθεια της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων ή την τεχνική της GM παλινδρόμησης (παλινδρόμηση των γεωμετρικών μέσων) ( Ricker 1973, 1975) η οποία και συνιστάται. Αυτά που στη πραγματικότητα χρησιμοποιούνται είναι λογιστικά φύλλα (Excel) ή στατιστικά προγράμματα (SPSS, SAS, Minitab, Statistika, κ.ά). Είναι απαραίτητο κάθε φορά να αναφέρεται η μέθοδος που θα χρησιμοποιείται. Για να επιλυθεί η εξίσωση και να υπολογιστούν οι παράμετροί της για ένα πληθυσμό ψαριών, θα πρέπει πρώτα να σχεδιαστεί η γραφική παράσταση του λογάριθμου του βάρους ως προς τον λογάριθμο του μήκους, στη συνέχεια να υπολογιστεί η γραμμή της παλινδρόμησης με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Ο συντελεστής της παλινδρόμησης (η κλίση της γραμμής) είναι η παράμετρος b και η τιμή του log a είναι το σημείο τομής της γραμμής της παλινδρόμησης στον άξονα Υ. Οι παράμετροι της εξίσωσης μήκους-βάρους διαφέρουν όχι μόνο μεταξύ των ειδών αλλά συχνά και μεταξύ των πληθυσμών του ίδιου είδους. Κατά τη διάρκεια της ανάπτυξής του ένα ψάρι περνά από διάφορα στάδια ανάπτυξης (stanzas) (Vasnetsov 1953a), καθένα

4 3 από τα οποία μπορεί να έχει τις δικές του σχέσεις μήκους- βάρους (Εικ. 3). Μπορεί να παρουσιάζονται διαφορές ωστόσο και μεταξύ των δυο φύλων, κατά τη διάρκεια της γεννητικής ωριμότητας ακόμη και κατά τη διάρκεια της ημέρας (εξαιτίας μεταβολών στη πληρότητα του στομάχου). Κατά συνέπεια είναι απαραίτητο να υπολογίσουμε ένα αριθμό παλινδρομήσεων για κάθε ομάδα ψαριών (πληθυσμούς, φύλα, στάδια ανάπτυξης) και με τη βοήθεια της ανάλυσης της συνδιακύμανσης (ANCOVA) να ελέγξουμε για την ύπαρξη τυχόν στατιστικά σημαντικών διαφορών πριν προχωρήσουμε στην συγχώνευση των ομάδων (Le Creen, 1951, Zar, 1984). Μεταξύ των διαφόρων stanzas, ο συντελεστής b συχνά παραμένει σταθερός κατά τη διάρκεια ενός έτους ή μεταξύ μιας σειράς διαφορετικών περιβαλλόντων. Οι τιμές του συντελεστή a συχνά μεταβάλλονται εποχικά, κατά τη διάρκεια μιας ημέρας ή και μεταξύ των διαφορετικών οικοτόπων (Εικ. 2). Μεταβολές στις τιμές του b συχνά παρατηρούνται μεταξύ stanzas, κατά τη μεταμόρφωση, τη πρώτη γεννητική ωριμότητα και μεταξύ μεγάλων περιβαλλοντικών μεταβολών. Ωστόσο κατά τη διάρκεια ενός stanza είναι συνηθισμένο να υπολογίζουμε κάποιες μέσες σχέσεις οι οποίες μπορεί να χρησιμοποιηθούν στη μελέτη της αύξησης, της παραγωγής και σε διάφορες άλλες μελέτες. 5 Σωματικό βάρος (g) Ολικό μήκος (cm) Εικόνα 1. Γραφική παράσταση της σχέσης ολικού μήκους (TL) σωματικού βάρους (NW) του είδους Aphanius fasciatus από δείγμα 978 ατόμων τα οποία συλλέχθηκαν στη λιμνοθάλασσα Μεσολογγίου (Λεονάρδος, 1996) Όταν συλλέγουμε στοιχεία για τις μελέτες μήκους- βάρους, μετράμε ατομικά το κάθε ψάρι με ακρίβεια χιλιοστού του μέτρου και στη συνέχεια το ζυγίζουμε με σημαντική ακρίβεια. Πάντοτε αναφέρουμε τις μετρήσεις μήκους καθότι οι τιμές ποικίλουν ανάλογα με το αν χρησιμοποιούμε ολικό, μεσουραίο ή σταθερό μήκος 1. Ψάρια με μήκος μικρότερο των 1 Ολικό μήκος : το μήκος από την άκρη του ρύγχους μέχρι την άκρη του ουραίου πτερυγίου

5 4 30 cm θα πρέπει να τοποθετούνται για λίγο σε απορροφητικό χαρτί για να απομακρύνεται το νερό που υπάρχει στην επιφάνειά τους, πριν τα ζυγίσουμε. Πέντε ψάρια από κάθε κλάση μεγέθους (π.χ. 1-cm) συνήθως αποτελούν ένα ικανοποιητικό δείγμα. Μετρήστε περισσότερα ψάρια αν υπάρχουν διαφορές στις σχέσεις μήκους- βάρους μεταξύ των μεγεθών ή μεταξύ των φύλων. Δεν πρέπει να συμπεριλαμβάνονται μεταξύ των μετρήσεων μήκους βάρους ψάρια με πολύ μικρό μέγεθος αν η ακρίβεια ή η ευαισθησία των οργάνων μέτρησης του βάρους ή του μήκους είναι πολύ μικρή. Δείκτες ευρωστίας Οι δείκτες ευρωστίας ή κατάστασης μπορούν να υπολογιστούν και να χρησιμοποιηθούν σε συγκρίσεις πιο εύκολα από τις παραμέτρους a και b της σχέσης μήκους βάρους. Υπάρχουν τριών ειδών δείκτες ευρωστίας: Ο συντελεστής ευρωστίας κατά Fulton, ο σχετικός συντελεστής ευρωστίας και το σχετικό βάρος. Ο συντελεστής ευρωστίας κατά Fulton υπολογίζεται από τη σχέση : Κ ή C= (W/ L 3 )Χ Όπου W είναι το βάρος, L είναι το μήκος του ψαριού, Χ είναι μια σταθερά που εξαρτάται από τις χρησιμοποιούμενες μονάδες μέτρησης και λαμβάνει τιμές 10, 100 ή Στη χρήση του συντελεστή ευρωστίας κατά Fulton προκύπτει ένα πρόβλημα εξαιτίας του γεγονότος ότι αυτός συχνά ποικίλει ακόμη και μεταξύ των ψαριών του ίδιου είδους λόγω του ότι εξαρτάται από τις μονάδες μέτρησης που χρησιμοποιούνται. Ακόμη και εξαιτίας του γεγονότος ότι οι Κ και C αυξάνονται σε σχέση με το μήκος για ψάρια που ο συντελεστής b είναι μεγαλύτερος του 3, έτσι οι συγκρίσεις θα πρέπει να περιορίζονται μόνο μεταξύ ψαριών παρόμοιου μήκους. Συγκρίσεις του συντελεστή Κ μεταξύ διαφορετικών ειδών είναι συνήθως δύσκολο να γίνουν διότι είναι σπάνιο να συναντήσουμε ψάρια με το ίδιο σχήμα. Για παράδειγμα ο Bennett (1970) αναφέρει ότι τα είδη των ψαριών largemouth bass (Micropterus salmoides) και το bluegills (Lepomis macrochirus) βρίσκονται σε κανονικές ή μέσες συνθήκες όταν ο συντελεστής C κυμαίνεται από 4.6 ως 5.5 για το largemouth bass και από 7.1 ως 8.0 για το bluegills. Ο συντελεστής ευρωστίας κατά Fulton μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε συγκρίσεις μεταξύ ψαριών του ίδιου είδους, μπορεί να δείξει διαφορές σε σχέση με το φύλο, την εποχή, ή την περιοχή σύλληψης του ψαριού. Μια σημαντική προϋπόθεση στη χρήση του συντελεστή ευρωστίας κατά Fulton Μεσουραίο μήκος : το μήκος από το ρύγχος μέχρι την εσοχή της ουράς. Σταθερό μήκος: το μήκος από το ρύγχος μέχρι το τέλος της σπονδυλικής στήλης του ψαριού.

6 5 είναι για το υπό μελέτη είδος οι τιμές του εκθέτη b της εξίσωσης μήκους βάρους, υπό κανονικές συνθήκες να μην διαφέρουν από τη τιμή 3. Ο σχετικός συντελεστής ευρωστίας (Kn) αντιστοιχεί στην αλλομετρική μορφή αύξησης, όταν καθώς αυξάνεται το ψάρι μεταβάλλεται ανάλογα το σχήμα του (LeCren 1951). Υπολογίζεται για κάθε ψάρι από τη σχέση : Κn = W/ al b Όπου W είναι το βάρος του ψαριού, L είναι το μήκος, a και b είναι οι παράμετροι της σχέσης μήκους- βάρους. Ο σχετικός συντελεστής ευρωστίας χρησιμοποιήθηκε από τον LeCren (1951) στη προσπάθειά του να συγκρίνει αρσενικά και θηλυκά που ανήκαν στον ίδιο πληθυσμό τα οποία συλλέχθηκαν διαφορετικές εποχές. Η χρήση του Κn επεκτάθηκε από τους Swingle (1965) ; Swingle and Shell (1971) καθιερώνοντας μια γενικευμένη σχέση μήκους βάρους για διάφορα ψάρια που προέρχονταν από την περιοχή της Αλαμπάμα. Ένα χαρακτηριστικό του προβλήματος σχετικά με τον GSI 2 (γοναδοσωματικό δείκτη) ο οποίος χρησιμοποιείται σαν δείκτη της γονιμότητας των ψαριών, είναι ότι δυο ψάρια τα οποία έχουν ίδιο βάρος γονάδας αλλά διαφορετικό βάρος σώματος θα έχουν και διαφορετικές τιμές του GSI (γεγονός που μειώνει την χρηστικότητά του σαν δείκτη). Αυτό το πρόβλημα οδήγησε τον Legler (1977) να δημιουργήσει το σχετικό βάρος γονάδας (Gr) σαν : Gr = (Ovary weight x 100 )/Ws Όπου Ws είναι το βάρος του ψαριού που αντιστοιχεί Εικόνα 2. Γραφική παράσταση του βάρους ως προς το μήκος, σχεδιασμένη σε διπλούς λογαριθμικούς άξονες. Δυο γραμμές τάσης έχουν σχεδιαστεί οι οποίες αντιστοιχούν σε σχέσεις μήκουςβάρους για μήκη μεγαλύτερα και μικρότερα των 42 mm. Τα στοιχεία έχουν παρθεί από πληθυσμούς της καφέ πέστροφας (από Le Cren). σε συγκεκριμένο μήκος σώματος. Όταν δεν είναι διαθέσιμες οι τιμές του Ws, τότε ένας άλλος δείκτης ο (Gn) μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας αντί του Ws την παράσταση al b (παρονομαστής της εξίσωσης του σχετικού δείκτη ευρωστίας) ο οποίος είναι στατιστικά προτιμότερος από τον GSI. Αμφότεροι οι δείκτες Gr και Gn ενσωματώνουν τον 2 Ο γοναδοσωματικός δείκτης (GSI) ορίζεται ως το πηλίκο του βάρους της γονάδας του ψαριού ως προς το βάρος του σώματός του

7 6 παρονομαστή της εξίσωσης του σχετικού δείκτη ευρωστίας για ψάρια του ίδιου μήκους. Μια από τις λειτουργίες του ήπατος είναι και η αποθήκευση γλυκογόνου, αυτή επηρεάζεται από το ρυθμό τροφοληψίας κατά τη διάρκεια μικρών χρονικών περιόδων και μπορεί να χρησιμοποιηθεί σαν ένας δείκτης της τροφικής κατάστασης του ψαριού (Novinger 1973; Tyler and Dunn 1976). Ο ηπατοσωματικός δείκτης 3 (HSI or LSI) υπόκειται στους ίδιους περιορισμούς όπως και ο γοναδοσωματικός δείκτης. Γι αυτό το λόγο ο Legler (1977) πρότεινε το σχετικό ηπατοσωματικό δείκτη (Lr) σαν: Lr = (Liver weight x 100)/ Ws Ο οποίος προσφέρει τα ίδια πλεονεκτήματα με τον Gr. Ln είναι ο ηπατοσωματικός δείκτης ο οποίος υπολογίζεται ανάλογα με τον Gn. 3 Ο ηπατοσωματικός δείκτης (LSI ή HSI) ορίζεται ως το πηλίκο του βάρους του συκωτιού ενός ψαριού ως προς το βάρος του σώματός του.

8 7 Εργασία αξιολόγησης Το θέμα της εργασίας αξιολόγησης ζητά από τους φοιτητές να πραγματοποιήσουν μια εργαστηριακή άσκηση. Τις μετρήσεις που θα λάβουν θα χρειαστεί να τις χρησιμοποιήσουν για να υπολογίσουν μια σειρά από παραμέτρους οι οποίες αναφέρονται στο εκπαιδευτικό υλικό. Στόχος της εργασίας αξιολόγησης είναι να ελέγξει σε ποιο βαθμό οι φοιτητές έχουν πετύχει τα προσδοκώμενα αποτελέσματα. Κατά συνέπεια καλύπτει όσο το δυνατόν περισσότερα από αυτά και στοχεύει στην αποτίμησή τους. Θέμα εργασίας αξιολόγησης Να υπολογιστούν οι παράμετροι της κατά βάρος αύξησης του είδους Rutilus ylikiensis της λίμνης Τριχωνίδας (Δυτ. Ελλάδας). Οδηγίες για το φοιτητή Ο φοιτητής θα παραλάβει τα εξής: 1. ένα δοχείο με 100 περίπου ψάρια και των δυο φύλων, συντηρημένα σε κατάλληλο συντηρητικό διάλυμα φορμόλης 2. ένα ζυγό ακριβείας ( ± 0.1 γρ) 3. ένα ιχθυόμετρο (ή εναλλακτικά ένα χάρακα πλαστικό) 4. ένα κουτί με όργανα ανατομίας που περιέχει ένα ανατομικό νυστέρι, μια λαβίδα, βελόνα ανατομίας. 5. Σχετική βιβλιογραφία Τα παραπάνω υλικά και όργανα θα παραδοθούν ξανά μετά το πέρας της εργαστηριακής άσκησης. Θα υπολογιστούν οι παράμετροι αύξησης και οι δείκτες ευρωστίας, θα παρουσιαστούν γραφικά οι μετρήσεις, θα γίνουν όλες οι δυνατές συγκρίσεις μεταξύ των δυο φύλων καθώς και μεταξύ των διαφόρων δεικτών και θα παρουσιαστούν γραφικά τα αποτελέσματα της μελέτης. Θα γραφούν τα αποτελέσματα και όπου είναι δυνατόν θα διατυπωθούν τα προκύπτοντα συμπεράσματα.

Ειδικά Θέματα Ιχθυολογίας

Ειδικά Θέματα Ιχθυολογίας Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Τμήμα Βιολογικών Εφαρμογών και Τεχνολογιών Ειδικά Θέματα Ιχθυολογίας Εργαστηριακός οδηγός Ιωάννης Δ. Λεονάρδος Καθηγητής 6 Η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ : ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΑΥΞΗΣΗΣ ΤΩΝ ΨΑΡΙΩΝ 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να γίνει η σύνθεση (f ο g)(x) και (g ο f)(x) όταν α) f(x)=+x και g(x)=+5x β) f(x)=x και g(x)=x+ β) f(x)=x x και g(x)=x/. Να λυθούν οι παρακάτω εκθετικές και λογαριθμικές εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο

5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο 5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο Ένα εναλλακτικό μοντέλο της απλής γραμμικής παλινδρόμησης (που χρησιμοποιήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Παγκύπριων Εξετάσεων

Θέματα Παγκύπριων Εξετάσεων Θέματα Παγκύπριων Εξετάσεων 2009 2014 Σελίδα 1 από 24 Ταλαντώσεις 1. Το σύστημα ελατήριο-σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση μεταξύ των σημείων Α και Β. (α) Ο χρόνος που χρειάζεται το σώμα για να κινηθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. , ισχύει ότι:. α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. , ισχύει ότι:. α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Έστω ότι για μια γωνία ω, όπου, ισχύει ότι:. 1 α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. β. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:

Διαβάστε περισσότερα

<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση>

<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση> Συναρτήσεις 1 A Έστω μία συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης B Δίνεται η συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων :, και Γ Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

merluccius) ΣΤΟΝ ΠΑΓΑΣΗΤΙΚΟ ΚΟΛΠΟ

merluccius) ΣΤΟΝ ΠΑΓΑΣΗΤΙΚΟ ΚΟΛΠΟ 9 th Symposium on Oceanography & Fisheries, 2009 - Proceedings, Volume ΙΙ ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΗΛΙΚΙΑΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΤΟΥ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ ΤΟΥ ΜΠΑΚΑΛΙΑΡΟΥ(Merluccius merluccius) ΣΤΟΝ

Διαβάστε περισσότερα

METΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ ΤΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΜΕ ΤΟ ΑΠΛΟ ΕΚΚΡΕΜΕΣ

METΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ ΤΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΜΕ ΤΟ ΑΠΛΟ ΕΚΚΡΕΜΕΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Τ. Ε. Ι. Σ Ε Ρ Ρ Ω Ν ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΝΟΜΑTΕΠΩΝΥΜΟ ΑΡΙΘΜΟΣ ΜΗΤΡΩΟΥ METΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ ΤΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΜΕ ΤΟ ΑΠΛΟ ΕΚΚΡΕΜΕΣ Χρησιμοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΟΓΡΑΡΙΘΜΙΚΗ ΥΝΑΡΤΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ.-. ΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΥΝΑΡΤΗΗ. Να σημειώσετε το σωστό () ή το λάθος () στους παρακάτω ισχυρισμούς:. Η εξίσωση α x = θ, όπου α > 0 με α και θ >

Διαβάστε περισσότερα

Κάνοντας ακριβέστερες μετρήσεις με την βοήθεια των Μαθηματικών. Ν. Παναγιωτίδης, Υπεύθυνος ΕΚΦΕ Ν. Ιωαννίνων

Κάνοντας ακριβέστερες μετρήσεις με την βοήθεια των Μαθηματικών. Ν. Παναγιωτίδης, Υπεύθυνος ΕΚΦΕ Ν. Ιωαννίνων Κάνοντας ακριβέστερες μετρήσεις με την βοήθεια των Μαθηματικών Ν. Παναγιωτίδης, Υπεύθυνος ΕΚΦΕ Ν. Ιωαννίνων Αν κάναμε ένα τεστ νοημοσύνης στους μαθητές και θέταμε την ερώτηση: Πως μπορεί να μετρηθεί το

Διαβάστε περισσότερα

Απορρόφηση φωτός: Προσδιορισμός του συντελεστή απορρόφησης διαφανών υλικών

Απορρόφηση φωτός: Προσδιορισμός του συντελεστή απορρόφησης διαφανών υλικών O11 Απορρόφηση φωτός: Προσδιορισμός του συντελεστή απορρόφησης διαφανών υλικών 1. Σκοπός Η εργαστηριακή αυτή άσκηση αποσκοπεί α) στη μελέτη του φαινομένου της εξασθένησης φωτός καθώς διέρχεται μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα.

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα. Εισαγωγή Μετρήσεις-Σφάλματα Πολλές φορές θα έχει τύχει να ακούσουμε τη λέξη πείραμα, είτε στο μάθημα είτε σε κάποια είδηση που αφορά τη Φυσική, τη Χημεία ή τη Βιολογία. Είναι όμως γενικώς παραδεκτό ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ Δημήτρης Στεφανάκης Η Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων (ΜΕΤ) χρησιμοποιείται για την κατασκευή της γραφικής παράστασης που περιγράφει ένα φαινόμενο,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο: 7. f ( x) x x x, x α. Να βρείτε τη μονοτονία της συνάρτησης καθώς και τις θέσεις και το είδος των τοπικών ακρότατων που παρουσιάζει.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ - ΜΕΛΕΤΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ [Π. Μουρούζης, Γ. Παληός, Κ. Παπαμιχάλης, Γ. Τουντουλίδης, Ε. Τσιτοπούλου, Ι.

ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ - ΜΕΛΕΤΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ [Π. Μουρούζης, Γ. Παληός, Κ. Παπαμιχάλης, Γ. Τουντουλίδης, Ε. Τσιτοπούλου, Ι. ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ - ΜΕΛΕΤΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ [Π. Μουρούζης, Γ. Παληός, Κ. Παπαμιχάλης, Γ. Τουντουλίδης, Ε. Τσιτοπούλου, Ι. Χριστακόπουλος] Για τον καθηγητή Στόχοι: Με τη βοήθεια των γραφικών παραστάσεων

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΔΥΝΑΜΕΩΝ Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε τις παρακάτω ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1: ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΒΑΣΙΚΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1: ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΒΑΣΙΚΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 1: ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΒΑΣΙΚΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ (A) ΜΕΤΡΗΣΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΣΤΕΡΕΟΥ (B) ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ ΤΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ (Γ) ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΕΓΕΘΩΝ ΣΕ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ 1 Σκοπός Στην άσκηση αυτή

Διαβάστε περισσότερα

Ιχθυολογία. Ενότητα 1 η. Εργαστηριακή Άσκηση Μορφομετρία Οστεϊχθύος. Περσεφόνη Μεγαλοφώνου, Αναπλ. Καθηγήτρια Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Βιολογίας

Ιχθυολογία. Ενότητα 1 η. Εργαστηριακή Άσκηση Μορφομετρία Οστεϊχθύος. Περσεφόνη Μεγαλοφώνου, Αναπλ. Καθηγήτρια Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Βιολογίας Ιχθυολογία Ενότητα 1 η. Εργαστηριακή Άσκηση Μορφομετρία Οστεϊχθύος Περσεφόνη Μεγαλοφώνου, Αναπλ. Καθηγήτρια Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Βιολογίας Εργασίες Άσκησης Θα γίνει εξέταση των εξωτερικών μορφολογικών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. , ισχύει ότι:. α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. , ισχύει ότι:. α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Έστω ότι για μια γωνία ω, όπου, ισχύει ότι:. 1 α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. β. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ Παραθέτουµε αρχικά τις βασικές ιδιότητες των δυνάµεων µε βάση έ- ναν θετικό πραγµατικό αριθµό και εκθέτη έναν ρητό αριθµό. α x.α y = α x+y (α.β) x = α x.β x α x :α

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Διατύπωση: Αν μια συνάρτηση είναι: συνεχής στο κλειστό διάστημα [ α β] και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ( α β) τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( α β) τέτοιο ώστε: ( ( β) ( α) β α Γεωμετρικά αυτό σημαίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΚΦΕ Α Αν. Αττικής - Υπεύθυνος Κ. Παπαμιχάλης Εργαστηριακές ασκήσεις Φυσικής Β Γυμνασίου ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 7 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ Βασικές έννοιες: Θέση - μετατόπιση - χρόνος - χρονικό διάστημα - ταχύτητα

Διαβάστε περισσότερα

Αγωγιμομετρία. Η Πορεία των Υπολογισμών με Παραδείγματα.

Αγωγιμομετρία. Η Πορεία των Υπολογισμών με Παραδείγματα. Αγωγιμομετρία Η Πορεία των Υπολογισμών με Παραδείγματα. Πρώτα πρέπει να υπολογίσουμε την ισοδύναμη αγωγιμότητα άπειρης αραίωσης για κάθε ηλεκτρολύτη. Εδώ πρέπει να προσέξουμε τις μονάδες. Τα μεγέθη που

Διαβάστε περισσότερα

Ερευνητική Εργασία με θέμα: «Ερευνώντας τα χρονικά μυστικά του Σύμπαντος»

Ερευνητική Εργασία με θέμα: «Ερευνώντας τα χρονικά μυστικά του Σύμπαντος» Ερευνητική Εργασία με θέμα: «Ερευνώντας τα χρονικά μυστικά του Σύμπαντος» Σωτήρης Τσαντίλας (PhD, MSc), Μαθηματικός Αστροφυσικός Σύντομη περιγραφή: Χρησιμοποιώντας δεδομένα από το διαστημικό τηλεσκόπιο

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος Συνάρτησης Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 4 Χάραξη Καμπύλης, Ελάχιστα Τετράγωνα

ΑΣΚΗΣΗ 4 Χάραξη Καμπύλης, Ελάχιστα Τετράγωνα Σκοπός ΑΣΚΗΣΗ 4 Χάραξη Καμπύλης, Ελάχιστα Τετράγωνα Σκοπός της άσκησης αυτής είναι ο σπουδαστής να μπορέσει να παρουσιάζει τα αποτελέσματα πειραματικών μετρήσεων σε μορφή καμπυλών και να μπορέσει εν τέλει

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2013-2014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση μετρήσεων εικονικού πειράματος. Τελική εργασία εργαστηρίου φυσικής ΙΙ. Μέτρηση κατανομής ηλεκτρικού πεδίου.

Ανάλυση μετρήσεων εικονικού πειράματος. Τελική εργασία εργαστηρίου φυσικής ΙΙ. Μέτρηση κατανομής ηλεκτρικού πεδίου. Ανάλυση μετρήσεων εικονικού πειράματος. Τελική εργασία εργαστηρίου φυσικής ΙΙ. Βασικά στοιχεία εργασίας. Ονοματεπώνυμο φοιτητή : Ευστάθιος Χατζηκυριακίδης. Αριθμός μητρώου : Ημερομηνία εκτέλεσης : 03/06/2008-07/06/2008.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΜΒΑΔΟΥ. Σχεδιασμός - Περιγραφή

ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΜΒΑΔΟΥ. Σχεδιασμός - Περιγραφή ΕΚΦΕ Α Αν. Αττικής - Υπεύθυνος Κ. Παπαμιχάλης Εργαστηριακές ασκήσεις Φυσικής Β ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΜΒΑΔΟΥ Η εικόνα έχει ληφθεί από τον ιστότοπο: http://www.vbhelper.co/vbgptoc.ht Πώς θα μετρήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13 1.1. Εισαγωγή 13 1.2. Μοντέλο ή Υπόδειγμα 13 1.3. Η Ανάλυση Παλινδρόμησης 16 1.4. Το γραμμικό μοντέλο Παλινδρόμησης 17 1.5. Πρακτική χρησιμότητα

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισμός της σταθεράς του ελατηρίου

Υπολογισμός της σταθεράς του ελατηρίου Άσκηση 5 Υπολογισμός της σταθεράς του ελατηρίου Σκοπός: Ο υπολογισμός της σταθεράς ενός ελατηρίου. Αυτό θα γίνει με δύο τρόπους: 1. Από την κλίση μιας πειραματικής καμπύλης 2. Από τον τύπο της περιόδου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές Γνώσεις Πειραματική Διαδικασία

Εισαγωγικές Γνώσεις Πειραματική Διαδικασία ΕΚΦΕ Ν.ΚΙΛΚΙΣ 1 1 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ : Κ. ΚΟΥΚΟΥΛΑΣ, ΦΥΣΙΚΟΣ - ΡΑΔΙΟΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΟΣ [ Ε.Λ. ΠΟΛΥΚΑΣΤΡΟΥ ] ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗΣ ΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ Στόχοι 1.

Διαβάστε περισσότερα

σταθερής) προς την αντίστοιχη επιτάχυνση που έδωσε στο σώμα: m =

σταθερής) προς την αντίστοιχη επιτάχυνση που έδωσε στο σώμα: m = ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΑΝΑΛΟΓΙΑΣ ΣΤΗ ΣΧΕΣΗ F=f(α) ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΧΡΟΝΟΜΕΤΡΗΤΗ, ( για τη μελέτη των γραφικών παραστάσεων χρησιμοποιήσαμε το λογισμικό LoggerProGr). Γ. Κουρούκλης ΣΤΟΧΟΙ Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium iv Στατιστική Συμπερασματολογία Ι Σημειακές Εκτιμήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης Στατιστική Συμπερασματολογία (Statistical Inference) Το πεδίο της Στατιστικής Συμπερασματολογία,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 9 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κυριακή, 8 Απριλίου, 013 Ώρα: 10:00 1:30 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 (5 μονάδες) (α) Μεταβολή της κινητικής του κατάστασης (μεταβολή της

Διαβάστε περισσότερα

Διαδικασίες Υψηλών Θερμοκρασιών

Διαδικασίες Υψηλών Θερμοκρασιών Διαδικασίες Υψηλών Θερμοκρασιών Θεματική Ενότητα 4: Διαδικασίες σε υψηλές θερμοκρασίες Τίτλος: Διάχυση Ονόματα Καθηγητών: Κακάλη Γλυκερία, Ρηγοπούλου Βασιλεία Σχολή Χημικών Μηχανικών Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις για τη χρήση ενός κυκλικού διαγράμματος

Παρατηρήσεις για τη χρήση ενός κυκλικού διαγράμματος Παρατηρήσεις για τη χρήση ενός κυκλικού διαγράμματος Χρησιμοποιείται μόνο όταν οι τιμές της μεταβλητής έχουν ένα σταθερό άθροισμα (συνήθως 100%, όταν μιλάμε για σχετικές συχνότητες) Είναι χρήσιμο μόνο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποσοτικές; (ΓΕΛ 2005) 2. Πότε μια ποσοτική μεταβλητή ονομάζεται διακριτή και πότε συνεχής; (ΓΕΛ 2005,2014) 3. Τι ονοµάζεται απόλυτη

Διαβάστε περισσότερα

Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2013 Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών, Τεχνολογίας, Περιβάλλοντος

Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2013 Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών, Τεχνολογίας, Περιβάλλοντος Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 013 Θεωρητικό Μέρος Β Λυκείου 9 Μαρτίου 013 Θέμα 1 ο A. Ένα σωματίδιο με μάζα m και ηλεκτρικό φορτίο q επιταχύνεται από διαφορά δυναμικού V, κινούμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΚΥΡΙΑΚΗ 8 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. Όνομα/Επίθετο: ΟΜΑΔΑ Α

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΚΥΡΙΑΚΗ 8 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. Όνομα/Επίθετο: ΟΜΑΔΑ Α ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΚΥΡΙΑΚΗ 8 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015- ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Όνομα/Επίθετο: ΟΜΑΔΑ Α Για τις προτάσεις από Α1 μέχρι και Α5 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της

Διαβάστε περισσότερα

Πόσα αβγά γεννούν τα ψάρια;

Πόσα αβγά γεννούν τα ψάρια; Πόσα αβγά γεννούν τα ψάρια; Περιγραφή πειράματος Αποστολούδα Ο. 1,Ιωακειμίδου Α. 1, Κάλλου Σ. 1, Βακουφτσής Δ 2, Βαρελτζής Γ. 2, Γαβρίδης Δ. 2 Γεροντίδης Δ. 2, Δρακάκης Ε. 2, Ζαχαριάδης Σ. 2, Θεοδοσιάδης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΗ

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 d x dx Η διαφορική εξίσωση κίνησης ενός ταλαντωτή δίνεται από τη σχέση: λ μx. Αν η μάζα d d του ταλαντωτή είναι ίση με =.5 kg, τότε να διερευνήσετε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 16950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Εκθετική - Λογαριθµ ική Συνάρτηση)

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Εκθετική - Λογαριθµ ική Συνάρτηση) ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 4ο : Εκθετική - Λογαριθµ ική Συνάρτηση) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι.Ι (τεύχος-1-)

ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι.Ι (τεύχος-1-) ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι.Ι (τεύχος--) .. Μια χρήσιμη ανασκόπηση... Δυνάμεις Πραγματικών Αριθμών Ο συνοπτικός τρόπος για να εκφράσουμε το γινόμενο : 2*2*2*2 4 είναι να το γράψουμε:

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ Διάλ Άλγεβρα. 1 a. Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα Β του βιβλίου

ΦΥΣ Διάλ Άλγεβρα. 1 a. Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα Β του βιβλίου ΦΥΣ 131 - Διάλ. 4 1 Άλγεβρα a 1 a a ( ± y) a a ± y log a a 10 log a ± logb log( ab ± 1 ) log( a n ) n log( a) ln a a e ln a ± ln b ln( ab ± 1 ) ln( a n ) nln( a) Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα

Διαβάστε περισσότερα

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Υπάρχει σχέση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές; Αν ναι, ποια είναι αυτή η σχέση; Πως μπορεί αυτή η σχέση να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1o ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1o ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ 1o ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης µιας σταθερής συνάρτησης σε οποιοδήποτε σηµείο του πεδίου ορισµού της συµπίπτει µε τη γραφική

Διαβάστε περισσότερα

Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε x αντιστοιχεί η

Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε x αντιστοιχεί η Εκθετική συνάρτηση Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε αντιστοιχεί η δύναμη α. Έτσι ορίζεται η συνάρτηση : f : με f α, 0 α η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α, τότε έχουμε τη σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΩΤΟΣΥΝΘΕΤΙΚΗΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΩΤΟΣΥΝΘΕΤΙΚΗΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΩΤΟΣΥΝΘΕΤΙΚΗΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ ΜΕΣΩ ΑΙΣΘΗΤΗΡΩΝ Για τον καθηγητή ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Στόχοι - Να εξοικειωθούν οι μαθητές στην χρήση των αισθητήρων για την μέτρηση φυσικών μεγεθών. - Να διαπιστώσουν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΡΜΙΚΗ ΘΑΝΑΤΩΣΗ ΜΙΚΡΟΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ

ΘΕΡΜΙΚΗ ΘΑΝΑΤΩΣΗ ΜΙΚΡΟΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ ΘΕΡΜΙΚΗ ΘΑΝΑΤΩΣΗ ΜΙΚΡΟΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ 1. Εισαγωγή Η θέρμανση είναι μια μορφή επεξεργασίας, ίσως η πιο ευρέως διαδεδομένη, που χρησιμοποιείται για να θανατώσει ή αδρανοποιήσει τους μικροοργανισμούς (βλαστικές

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΕΜΒΑΔΟΥ ΟΓΚΟΥ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΤΟΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗ

ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΕΜΒΑΔΟΥ ΟΓΚΟΥ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΤΟΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗ ΕΚΦΕ Αν. Αττικής Υπεύθυνος: Κ. Παπαμιχάλης ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΕΜΒΑΔΟΥ ΟΓΚΟΥ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΤΟΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗ Κεντρική επιδίωξη των εργαστηριακών ασκήσεων φυσικής στην Α Γυμνασίου, είναι οι μαθητές να οικοδομήσουν

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Περιορισμοί στο R. ln x,log. Β= ln Α Β Α Β Α. Σύνοψη γραφικών παραστάσεων

Περιορισμοί στο R. ln x,log. Β= ln Α Β Α Β Α. Σύνοψη γραφικών παραστάσεων στο R Πεδίο ορισμού συνάρτησης είναι η συναλήθευση των περιορισμών της συνάρτησης στο R, αν δεν έχει περιορισμούς λέμε ότι έχει πεδίο ορισμού το R. Όταν έχω πρέπει ν Α, Α Α Α Β Β ln Α, log Α Α> ln Β logα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΣΗ ΑΡΧΗ ΤΟΥ ΑΡΧΙΜΗΔΗ εργαστηριακές οδηγίες (για τον καθηγητή)

ΑΝΩΣΗ ΑΡΧΗ ΤΟΥ ΑΡΧΙΜΗΔΗ εργαστηριακές οδηγίες (για τον καθηγητή) Έννοιες και φυσικά μεγέθη Στόχοι ΑΝΩΣΗ ΑΡΧΗ ΤΟΥ ΑΡΧΙΜΗΔΗ εργαστηριακές οδηγίες (για τον καθηγητή) Πυκνότητα Όγκος Όγκος εκτοπιζόμενου υγρού Βάρος Άνωση Να δείχνεις πειραματικά ότι: Τα υγρά ασκούν δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. α) να βρείτε το σηµείο x 0. β) να αποδείξετε ότι η κλίση της εφαπτοµένης της

Ερωτήσεις ανάπτυξης. α) να βρείτε το σηµείο x 0. β) να αποδείξετε ότι η κλίση της εφαπτοµένης της Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη στο R και η ευθεία (ε) είναι εφαπτοµένη της C στο σηµείο (0, (0)). Μετακινούµε τη C παράλληλα προς τους άξονες, όπως φαίνεται στο σχήµα, και ονοµάζουµε

Διαβάστε περισσότερα

f x και τέσσερα ζευγάρια σημείων

f x και τέσσερα ζευγάρια σημείων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 014 015, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ Ημερομηνία ανάρτησης εργασίας στην ιστοσελίδα του μαθήματος: 1 11 014 Ημερομηνία παράδοσης εργασίας: 18 11 014 Επιμέλεια απαντήσεων:

Διαβάστε περισσότερα

Ανατοκισμός. -Χρόνος (συμβολισμός n Ακέραιες περιόδους, μ/ρ κλάσμα χρονικών περιόδων)

Ανατοκισμός. -Χρόνος (συμβολισμός n Ακέραιες περιόδους, μ/ρ κλάσμα χρονικών περιόδων) Ανατοκισμός Σύνοψη Οι βασικές έννοιες αυτού του κεφαλαίου είναι - Αρχικό κεφάλαιο ή παρούσα αξία (συμβολισμός Κ ο ή PV) -Τελικό κεφάλαιο ή μελλοντική αξία (συμβολισμός Κ n ή FV) -Επιτόκιο (συμβολισμός

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

7.2.1 Εκτίμηση της Καμπύλης Παλινδρόμησης της Μεταβλητής Υ πάνω στην Μεταβλητή Χ

7.2.1 Εκτίμηση της Καμπύλης Παλινδρόμησης της Μεταβλητής Υ πάνω στην Μεταβλητή Χ 7.2.1 Εκτίμηση της Καμπύλης Παλινδρόμησης της Μεταβλητής Υ πάνω στην Μεταβλητή Χ Για να προσδιορισθεί η καμπύλη παλινδρόμησης, η οποία αποτελείται από όλα τα ζεύγη σημείων τα οποία μπορούν προσδιορισθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί Ενδεικτικός Προγραμματισμός ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί 12 περίοδοι Δείκτες επιτυχίας: Ορίζουν την έννοια της νιοστής ρίζας ενός αριθμού α και αποδεικνύουν τις ιδιότητες ριζών, όταν ν N, ν 0, 1, α R

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Διδακτικό Έτος 2015-2016 Παραδόσεις Διδακτικής Ενότητας: Πληθυσμιακή πρόβλεψη Δούκισσας Λεωνίδας, Στατιστικός, Υποψ. Διδάκτορας, Τμήμα Γεωγραφίας, Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

Ασύμπτωτες Κανόνες de L Hospital

Ασύμπτωτες Κανόνες de L Hospital Ενότητα Ασύμπτωτες Κανόνες de L Hospital Ασκήσεις για λύση 1). Να βρεθούν οι ασύμπτωτες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων: 5 i) f ( ) ii) g()= 1 1 iii) h( ) iv) φ()= 4 5 ). Αν η ευθεία ε: y + β

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 Πέµπτη, Ιουνίου 00 ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙ ΕΙΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α.. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι P(A B) P(A)

Διαβάστε περισσότερα

Y Y ... y nx1. nx1

Y Y ... y nx1. nx1 6 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΙΚΑΚΩΝ Η χρησιμοποίηση και ο συμβολισμός πινάκων απλοποιεί σημαντικά τα αποτελέσματα της γραμμικής παλινδρόμησης, ιδίως στην περίπτωση της πολλαπλής παλινδρόμησης Γενικά,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓΩΓΟΣ VENTURI. Σχήμα 1. Διάταξη πειραματικής συσκευής σωλήνα Venturi.

ΑΓΩΓΟΣ VENTURI. Σχήμα 1. Διάταξη πειραματικής συσκευής σωλήνα Venturi. Α.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ Τ.Τ. ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΡΕΥΣΤΩΝ 7 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΑΓΩΓΟΣ VENTURI ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ Σκοπός της άσκησης είναι η κατανόηση της χρήσης της συσκευής

Διαβάστε περισσότερα

3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής.

3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής. 3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής. 3.1. Διατύπωση του Προβλήματος. Τα συστήματα αναμονής (queueing systems), βρίσκονται πίσω από τα περισσότερα μοντέλα μελέτης της απόδοσης υπολογιστικών συστημάτων,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-125 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 Μικρή σφαίρα εκτοξεύεται τη χρονική στιγμή t=0 από ορισμένο ύψος με αρχική ταχύτητα

Διαβάστε περισσότερα

Α και Β ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΑΤΤΙΚΗΣ

Α και Β ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΑΤΤΙΚΗΣ Ευρωπαϊκή Ολυμπιάδα Φυσικών Επιστημών 2011-12 Τοπικός διαγωνισμός στη Φυσική 10-12-2011 Σχολείο: Ονόματα των μαθητών της ομάδας: 1) 2) 3) Κεντρική ιδέα της άσκησης Στην άσκηση μελετάμε την κίνηση ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου 9/11/2014

Διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου 9/11/2014 1 Διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου 9/11/2014 Ζήτημα 1 o Α) Να επιλέξτε την σωστή απάντηση 1) Η μετατόπιση ενός κινητού που κινείται ευθύγραμμα σε άξονα Χ ΟΧ είναι ίση με μηδέν : Αυτό σημαίνει ότι: α) η αρχική

Διαβάστε περισσότερα

Καρδιακοί κτύποι στους εφήβους

Καρδιακοί κτύποι στους εφήβους Καρδιακοί κτύποι στους εφήβους Σαμαρά Β., Γιαταγαντζίδης Α., Δώνης Α., Ισαακίδου Σ., Κοντού Ε., Κουγιουμτζίδης Ν., Μαρτάκου Α., Μεχανετζίδου Μ., Μπαλτζόπουλος Α., Νούλης Β., Πάδη Μ., Παπαϊωαννίδης Γ.,

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισμός της εστιακής απόστασης f λεπτού συμμετρικού συγκλίνοντος φακού απο τη γραμμική μεγέθυνση Μ

Υπολογισμός της εστιακής απόστασης f λεπτού συμμετρικού συγκλίνοντος φακού απο τη γραμμική μεγέθυνση Μ ΟΜΑΔΑ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΑ ΜΑΘΗΤΩΝ 1)... 2)... 3)... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : Υπολογισμός της εστιακής απόστασης f λεπτού συμμετρικού συγκλίνοντος φακού απο τη γραμμική μεγέθυνση Μ Με το πείραµα αυτό θα προσδιορίσουµε: Σκοπός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 34 Κεφάλαιο ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ o ΜΕΡΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Λ 4. Λ 43. Λ. Σ 5. Λ 44. Σ 3. Λ 6. Λ 45. α) Σ 4. Σ 7. Λ β) Λ 5. Σ 8. Σ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΑΗΜΙΑ ΚΥΒΟΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 100% www.kivosacademy.gr

ΑΚΑΗΜΙΑ ΚΥΒΟΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 100% www.kivosacademy.gr 11 ΟΗΓΙΕΣ 1. Το ebook περιέχει εργασίες δραστηριότητες για µαθητές που θα πάνε στη Γ Λυκείου και θα επιλέξουν µαθηµατικά κατεύθυνσης ή γενικής παιδείας.. Για την επίλυση θα χρειαστούν όλα τα βιβλία µαθηµατικών

Διαβάστε περισσότερα

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 11. Α. Αν α > 0 µε α 1 τότε για οποιουσδήποτε πραγµατικούς αριθµούς θ 1, θ 2 > 0 να αποδείξετε ότι log α (θ 1 θ 2 ) = log α θ 1 + log α θ 2 Β. Έστω το σύστηµα Σ : α1x +

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΘ. ΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ( ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΠΤΩΣΗΣ )

ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΘ. ΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ( ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΠΤΩΣΗΣ ) ο ΕΚΦΕ (Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ) Δ Δ/ΝΣΗΣ Δ. Ε. ΑΘΗΝΑΣ ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΘ. ΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ( ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΠΤΩΣΗΣ ) Α. ΣΤΟΧΟΙ Η ικανότητα συναρμολόγησης μιας απλής πειραματικής διάταξης. Η σύγκριση των πειραματικών

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εργαστήριο Κυκλωμάτων και Μετρήσεων

Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εργαστήριο Κυκλωμάτων και Μετρήσεων Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εργαστήριο Κυκλωμάτων και Μετρήσεων Εργαστήριο 8 Κυκλώματα RLC και Σταθερή Ημιτονοειδής Κατάσταση Λευκωσία, 2010 Εργαστήριο 8

Διαβάστε περισσότερα

1) Πάνω σε ευθύγραµµο οριζόντιο δρόµο ένας τροχός κυλάει χωρίς να ολισθαίνει. Ποιες από τις παρακάτω σχέσεις είναι σωστές ;

1) Πάνω σε ευθύγραµµο οριζόντιο δρόµο ένας τροχός κυλάει χωρίς να ολισθαίνει. Ποιες από τις παρακάτω σχέσεις είναι σωστές ; 45 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΣΑΒΒΑΪ Η-ΜΑΝΩΛΑΡΑΚΗ ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Χρυσ Σµύρνης 3 : Τηλ.: 107601470 ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 006 ΘΕΜΑ 1 1) Πάνω σε ευθύγραµµο οριζόντιο δρόµο ένας τροχός

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη της ακτινοβολίας γ µε τη βοήθεια απαριθµητή Geiger - Muller

Μελέτη της ακτινοβολίας γ µε τη βοήθεια απαριθµητή Geiger - Muller ΑΠ1 Μελέτη της ακτινοβολίας γ µε τη βοήθεια απαριθµητή Geiger - Muller 1. Σκοπός Στην άσκηση αυτή γίνεται µελέτη της εξασθενήσεως της ακτινοβολίας γ (ραδιενεργός πηγή Co 60 ) µε την βοήθεια απαριθµητή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Ασκηση 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Δίνεται η συνάρτηση α. Να εξετάσετε την f ως προς τα ακρότατα. β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο (1,f(1)). γ. Αν το α παίρνει τιμές που προκύπτουν από

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Στατιστική (ΔΕ200Α-210Α)

Εισαγωγή στην Στατιστική (ΔΕ200Α-210Α) Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Αγ. Νικόλαος), Τ.Ε.Ι. Κρήτης Σελίδα 1 από 10 6η Εργαστηριακή Άσκηση Σκοπός: Η παρούσα εργαστηριακή άσκηση στοχεύει στην εκμάθηση προσαρμογής διαφορετικών ειδών τάσης σε διαγράμματα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C Επιμέλεια: Κ Μυλωνάκης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α; Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ανάλυση Παλινδρόμησης

Στατιστική Ι. Ανάλυση Παλινδρόμησης Στατιστική Ι Ανάλυση Παλινδρόμησης Ανάλυση παλινδρόμησης Η πρόβλεψη πωλήσεων, εσόδων, κόστους, παραγωγής, κτλ. είναι η βάση του επιχειρηματικού σχεδιασμού. Η ανάλυση παλινδρόμησης και συσχέτισης είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΤΑΣΗΣ

ΜΕΤΡΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΤΑΣΗΣ Μέτρα Περιγραφικής Στατιστικής Πληθυσμιακοί παράμετροι: τα αριθμητικά μεγέθη που εκφράζουν τις στατιστικές ιδιότητες ενός πληθυσμού (που προσδιορίζουν / περιγράφουν τη φυσιογνωμία και τη δομή του) Στατιστικά

Διαβάστε περισσότερα

Αντικείμενα 4 ου εργαστηρίου

Αντικείμενα 4 ου εργαστηρίου 1.0 Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας (ΣΔΟ) Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Διδάσκων: Δρ. Γκόγκος Χρήστος Μάθημα: Πληροφορική Ι (εργαστήριο) Ακαδημαϊκό έτος: 2013-2014 Εξάμηνο Α 4 ο Φυλλάδιο Ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα