ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΔΟΜΟΣΤΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ&ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΔΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΔΟΜΟΣΤΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ&ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΔΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ"

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΔΟΜΟΣΤΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ&ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΔΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΛΑΣΤΟΠΛΑΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΟΙΧΕΙΩΝ ΜΕ ΤΕΤΡΑΚΟΜΒΙΚΑ ΥΣΤΕΡΗΤΙΚΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΠΙΠΕΔΗΣ ΕΝΤΑΣΗΣ ΦΕΛΛΟΥΡΗΣ ΑΓΓΕΛΟΣ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ : B. ΚΟΥΜΟΥΣΗΣ, ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΕΜΠ ΣΥΝΕΠΙΒΛΕΠΩΝ : Σ. ΤΡΙΑΝΤΑΦΥΛΛΟΥ, ΔΙΔΑΚΤΩΡ ΕΜΠ ΜΑΡΤΙΟΣ 2012

2

3 Ελαστοπλαστική Ανάλυση Τοιχείων με Τετρακομβικά Υστερητικά Πεπερασμένα Στοιχεία Επίπεδης Έντασης

4 ii

5 iii ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Θα ήθελα να εκφράσω τις ειλικρινείς ευχαριστίες μου στον κ. Βλάση Κουμούση, καθηγητή του Εργαστηρίου Στατικής και Αντισεισμικών Ερευνών του τομέα ομοστατικής του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου αρχικά για την υπομονή του, έπειτα για το επιστημονικό υλικό που μου παρείχε, καθώς και για την πολύτιμη καθοδήγησή του. Τον ευχαριστώ επίσης για το ενδιαφέρον και την πλήρη διδακτική του υποστήριξη. Επιπλέον, θέλω να ευχαριστήσω τον διδάκτορα της Σχολής Πολιτικών Μηχανικών, Σάββα Τριανταφύλλου για την βοήθειά του και τη διάθεση του λογισμικού που χρησιμοποιήθηκε στην εργασία αυτή. Επίσης, ευχαριστώ τα μέλη της επιτροπής εξέτασης, κ. Ευάγγελο Σαπουντζάκη, Καθηγητή ΕΜΠ και τον κ. Νικόλαο. Λαγαρό, Λέκτορα ΕΜΠ για τη συμμετοχή τους και την αξιολόγηση της μεταπτυχιακής αυτής εργασίας. Τέλος, θέλω να ευχαριστήσω την Αλεξάνδρα Βλάχου, Αρχιτέκτονα Μηχανικό ΕΜΠ για την αλληλεγγύη της.

6 iv

7 v ΠΕΡΙΛΗΨΗ Αντικείμενο της εργασίας είναι η εξέταση της ελαστοπλαστικής απόκρισης φορέων επίπεδης έντασης που υποβάλλονται σε στατική φόρτιση με τη χρήση τετρακομβικών υστερητικών πεπερασμένων στοιχείων. Τα στοιχεία αυτά ενσωματώνουν μια νέα υστερητική καταστατική σχέση που βασίζεται στο προσομοίωμα Bouc - Wen. Χαρακτηριστικό του υστερητικού αυτού μοντέλου είναι ότι είναι ομαλό και ανεξάρτητο από την ταχύτητα επιβολής της παραμόρφωσης. Επιπλέον, παράγεται ευθέως από τις εξισώσεις της κλασικής πλαστικότητας, δηλαδή το νόμο ροής, τη συνδυασμένη πλαστικότητα, τη συνάρτηση διαρροής και το νόμο κράτυνσης στα οποία και γίνεται εκτεταμένη αναφορά. Ακολούθως, με βάση τις εξισώσεις αυτές, προκύπτει το γενικευμένο τριαξονικό προσομοίωμα Bouc - Wen σε τανυστική μορφή, το οποίο ισχύει για κάθε κριτήριο διαρροής και για κάθε νόμο κράτυνσης. Παρατίθεται η διαδικασία εξαγωγής του τετρακομβικού ισοπαραμετρικού υστερητικού στοιχείου επίπεδης έντασης - παραμόρφωσης και τέλος συγκρίνεται η μη - γραμμική απόκριση ορισμένων μορφών τοίχων στο πρόγραμμα Nastran - Femap και στο πρόγραμμα Boucfem που βασίζεται στο τετραπλευρικό υστερητικό πεπερασμένο στοιχείο [7b]. Η σύγκλιση που προκύπτει από τα δύο λογισμικά είναι ικανοποιητική ενώ ο υπολογιστικός χρόνος προκύπτει αισθητά μικρότερος για τα υστερητικά πεπερασμένα στοιχεία για την ίδια διακριτοποίηση και αριθμό βημάτων.

8 vi

9 vii ABSTRACT The purpose of this post graduate thesis is to determine the response of elastoplastic walls subjected to static loading using four node hysteretic plane stress finite elements that incorporate an hysteretic constitutive relation based on the rate independent Bouc-Wen model. This model is directly derived from the equations of classical associated plasticity, i.e. the flow rule, the yield function and the hardening law and consistency relation on which extensive reference is made. Based on these equations, the generalized three dimensional stress state is expressed using Bouc - Wen model in tensorial form, valid for any yield criterion and different hardening laws [7a] From this general model the plane stress - plane strain stresses are used to derive an hysteretic finite element using the shape functions of the standard quadrilateral element [7b]. A Fortran code that incorporates the hysteretic Fem approach is used to perform a list of parametric studies. Different solid concrete walls and walls with openings are modeled and solved following the direct stiffness method and incremental elastoplastic analysis. The results are compared with the ones determined using Nastran - Femap code. The validity and the accuracy of the proposed model is verified and its computational efficiency is demonstrated.

10 viii

11 ix Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή 1.1 Γενικά.3 Κεφάλαιο 2 Ελαστοπλαστική συμπεριφορά θεωρία κλασικής πλαστικότητας και πλαστική ροή 2.1 Η μονοαξονική περίπτωση Περιγραφή της απόκρισης του υλικού Πλαστική ροή και σχέσεις τάσης παραμόρφωσης Πλαστική διαρροή υπό πολυαξονικές συνθήκες Εντατική και παραμορφωσιακή κατάσταση Ελαστικότητα Τελείως πλαστικό υλικό Κριτήριο διαρροής και συνθήκη διαρροής Πλαστική ροή Νόμοι κράτυνσης Ισότροπη κράτυνση Κινηματική κράτυνση...41

12 x Μεικτό μοντέλο κράτυνσης Μια γενική οπτική της ελαστοπλαστικής καταστατικής περιγραφής...48 Κεφάλαιο 3 Υστερητικό Προσομοίωμα Bouc - Wen 3.1 Εισαγωγή Υστέρηση Μονοαξονική διατύπωση Πολυαξονική υστερητική διατύπωση 63 Κεφάλαιο 4 Υστερητικό Τετραπλευρικό Στοιχείο 4.1 Τετραπλευρικό ισοπαραμετρικό στοιχείο επίπεδης έντασης παραμόρφωσης 4 κόμβων Συναρτήσεις σχήματος Μητρώο δυσκαμψίας Συμπεράσματα 82

13 xi Κεφάλαιο 5 Εφαρμογές Ελαστοπλαστικής Ανάλυσης σε Μορφές Τοίχων 5.1 ιαμόρφωση δεδομένων στο πρόγραμμα Nastran o Μοντέλο τοίχου o Μοντέλo τοίχου o Μοντέλο τοίχου Σύγκριση αποτελεσμάτων Κεφάλαιο 6 Σύγκριση Αποτελεσμάτων Ελαστοπλαστικής Ανάλυσης σε Nastran και Boucfem 6.1 Σύγκριση 1oυ Μοντέλου τοίχου Σύγκριση 2oυ Μοντέλου τοίχου Σύγκριση 3oυ Μοντέλου τοίχου Σύγκριση διαγράμματος P-d με μεταβολή της τιμής n Σύγκριση διαγράμματος P-d με μεταβολή της τιμής α Κεφάλαιο 7 Συμπεράσματα 129 Βιβλιογραφία 133

14 xii

15 1 1ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Εισαγωγή

16 2

17 3 1.1 Γενικά Αντικείμενο της εργασίας είναι ο έλεγχος της ανελαστικής απόκρισης τοιχείων επίπεδης έντασης με τη χρήση τετρακομβικών υστερητικών πεπερασμένων στοιχείων. Η διατύπωση του τετραπλευρικού στοιχείου τεσσάρων κόμβων για την ελαστική περίπτωση επεκτείνεται με την εισαγωγή μιας νέας υστερητικής καταστατικής σχέσης που βασίζεται στο υστερητικό μοντέλο Bouc - Wen. Πρόκειται για ένα ομαλό υστερητικό προσομοίωμα το οποίο είναι ανεξάρτητο από την ταχύτητα επιβολής της παραμόρφωσης. Το προτεινόμενο υστερητικό μοντέλο παράγεται άμεσα από τις εξισώσεις της κλασικής πλαστικότητας, δηλαδή του νόμου ροής, της συνδυασμένης πλαστικότητας, τη συνάρτηση διαρροής και του νόμου κράτυνσης. Η χρησιμότητα του εν λόγω μοντέλου επιτρέπει την προσομοίωση ποιοτικά διαφορετικών υστερητικών αποκρίσεων τροποποιώντας τις τιμές των παραμέτρων του μοντέλου. Οι καταστατικές σχέσεις της Bouc-Wen υστέρησης έχουν οριστεί στον τρισδιάστατο χώρο και ως εκ τούτου αναπτύσσεται μια τρισδιάστατη σχέση έντασης - παραμόρφωσης σε ανάλογη μορφή κατάλληλη για κάθε τύπο κριτηρίων διαρροής και συμπεριφοράς κράτυνσης. Η διατύπωση που προτείνεται επεκτείνεται για την κάλυψη κυκλικών φαινομένων όπως η εξασθένιση της ακαμψίας και η μείωση της δύναμης. Στο κεφάλαιο 2, αρχικά γίνεται μια εκτεταμένη αναφορά στη βάση της ελαστοπλαστικής συμπεριφοράς του υλικού και στις καταστατικές εξισώσεις της κλασικής θεωρίας της Πλαστικότητας και τη θεωρίας της Πλαστικής Ροής. Στο κεφάλαιο 3, μετά την περιγραφή της υστέρησης ως έννοια, παρουσιάζεται το υστερητικό προσομοίωμα Bouc-Wen. Στη συνέχεια, με βάση τις εξισώσεις της

18 4 κλασικής πλαστικότητας, προκύπτει το γενικευμένο τριαξονικό προσομοίωμα Bouc- Wen σε τανυστική μορφή, το οποίο ισχύει για κάθε κριτήριο διαρροής και για κάθε νόμο κράτυνσης. Στο κεφάλαιο 4, παρατίθεται το τετραπλευρικό ισοπαραμετρικό στοιχείο επίπεδης έντασης παραμόρφωσης 4 κόμβων και η διαδικασία ενσωμάτωσης του υστερητικού προσομοιώματος Bouc-Wen. Στο κεφάλαιο 5, αναλύονται τρία παραδείγματα τοίχων στο πρόγραμμα Nastran της Femap στα οποία καταγράφονται και συγκρίνονται τα αποτελέσματα της ελαστοπλαστικής απόκρισης Το κεφάλαιο 6, περιλαμβάνει τη σύγκριση των ίδιων παραδειγμάτων στο πρόγραμμα Nastran και στο πρόγραμμα Boucfem. Στο κεφάλαιο 7 τέλος, συνοψίζονται τα συμπεράσματα που προέκυψαν από την εργασία.

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ελαστοπλαστική συμπεριφορά - θεωρία κλασικής πλαστικότητας και πλαστική ροή

20 6

21 7 2.1 Η μονοαξονική περίπτωση Περιγραφή της απόκρισης του υλικού Για τη διερεύνηση της ελαστοπλαστικής συμπεριφοράς, θα εξεταστεί αρχικά η περίπτωση μιας ράβδου μεταλλικού υλικού υπό μονοαξονική ένταση. Μια απλή περίπτωση, που ωστόσο εμπεριέχει όλα τα απαραίτητα χαρακτηριστικά της ελαστοπλαστικής απόκρισης υλικού, που προκύπτουν ευθέως από μακροσκοπικές πειραματικές παρατηρήσεις. Η μαθηματική μεθοδολογία της ελαστοπλαστικής περιγραφής υλικού εισάγεται ως μια βάση για τη μεταγενέστερη επέκταση στην πολυαξονική ένταση και τις αντίστοιχες παραμορφωσιακές καταστάσεις. Για ένα ελαστικό δείγμα υπό εφελκυσμό με μήκος l και εμβαδόν διατομής Α στο σχήμα 2.1, ορίζεται η μονοαξονική ένταση ως εξής: P σ = (2.1) A όπου Ρ εκφράζει την αξονικά εφαρμοζόμενη δύναμη, ενώ η επιμήκης παραμόρφωση ορίζεται: δ γ = (2.2) l όπου δ εκφράζει την επιμήκυνση της ράβδου. Σχ. 2.1 : Μεταλλική ράβδος υπό μονοαξονικό εφελκυσμό

22 8 Η ράβδος θεωρείται αρχικά απαραμόρφωτη. Με την επιβολή της ελαστικής δύναμης, προκαλείται ένταση και παραμόρφωση, η οποία κινείται πάνω στην ευθεία γραμμή του διαγράμματος στο σχήμα 2.2. Ο έλεγχος της γραφικής παράστασης των καταγεγραμμένων τιμών της έντασης και της παραμόρφωσης καταδεικνύει την απόκλιση από το αρχικό γραμμικό τμήμα που αφορά στην ελαστική απόκριση μετά το σημείο L, το όριο γραμμικότητας. Ύστερα από αυτό το σημείο, το διάγραμμα τάσης παραμόρφωσης παίρνει μορφή καμπύλης με φθίνουσα κλίση. Τα παραπάνω αναφέρονται σε μονοτονικές συνθήκες φόρτισης. Σε μια εναλλακτική δοκιμή φόρτισης, αν η ράβδος υποβάλλεται αρχικά σε μια εντατική κατάσταση πέραν του σημείου L και στη συνέχεια αποφορτίζεται, η παραμόρφωση ακολουθεί τη διακεκομμένη γραμμή του διαγράμματος. Επομένως, παρατηρείται ότι η μετακίνηση της έντασης αποκαθιστά την παραμόρφωση μερικώς, ενώ ένα ποσοστό της παραμένει μόνιμα στην ράβδο. Με προσεκτική εξέταση των δεδομένων της δοκιμής, όπως αναλύεται και στο βιβλίο του κ. ολτσίνη - Elements of Plasticity Theory and Computation High Performance Structures and Materials [4], διαπιστώνεται ότι η μόνιμη πλαστική παραμόρφωση εμφανίζεται μετά το σημείο Ε, δηλαδή το όριο ελαστικότητας. Η επαναφόρτιση πραγματοποιείται με έναν λίγο διαφορετικό τρόπο μέχρι να προκύψουν τα μονοτονικά ελαστικά χαρακτηριστικά. Αυτό συμβαίνει όταν η φόρτιση αυξάνεται περαιτέρω. Η περιγραφόμενη συμπεριφορά είναι χαρακτηριστική για οποιαδήποτε λειτουργία αποφόρτισης και επαναφόρτισης στην ελαστοπλαστική περιοχή της δοκιμής ανεξάρτητα από το επίπεδο έντασης. Η διαφορά της διαδρομής ανάμεσα σε αποφόρτιση και επαναφόρτιση είναι γνωστή ως υστερητικός βρόχος.

23 9 Σχ. 2.2 : Ελαστοπλαστικό διάγραμμα τάσης παραμόρφωσης και εξιδανίκευση (δεξιά) [4] Η πραγματική ελαστική συμπεριφορά όπως απεικονίζεται στο σχήμα 2.2 φαίνεται ότι είναι πολύπλοκη. Με λογικές απλοποιήσεις στα πλαίσια της κατάλληλης περιγραφής της πλαστικότητας των μετάλλων, εξετάζεται η εξιδανικευμένη συμπεριφορά στην ελαστοπλαστική περιοχή που απεικονίζεται στο διάγραμμα τάσης παραμόρφωσης (σχήμα 2.2) και αποδίδεται στον Ludwing Prandtl. Αναλόγως, το όριο ελαστικότητας θεωρείται ότι συμπίπτει με το όριο γραμμικότητας στο σημείο Α, που είναι το σημείο διαρροής του υλικού υπό μονοαξονική ένταση. Η αντίστοιχη ένταση ορίζεται ως σ s. Η απόκριση του υλικού σε εντάσεις πριν το όριο διαρροής είναι ελαστική και κατά την αποφόρτιση, αποκαθίσταται πλήρως η παραμόρφωση της ράβδου. Για συνεχόμενη φόρτιση πέραν του σημείου Α ακολουθείται η καμπύλη περιοχή του διαγράμματος όπως φαίνεται στο σχήμα 2.2 (δεξιά), αλλά αποφορτίζοντας από το σημείο Β για παράδειγμα, αυτό κινείται σε μια ευθεία γραμμή που είναι παράλληλη της αρχικής ελαστικής γραμμής. Κατά συνέπεια, το ελαστικό μέρος ε αποκαθίσταται, ενώ το πλαστικό μέρος η εξακολουθεί να παραμένει και μετά την απομάκρυνση της έντασης. Η επαναφόρτιση από το σημείο C πραγματοποιείται στην ίδια ελαστική διαδρομή όπως στην αποφόρτιση και η αύξηση της παραμόρφωσης είναι τελείως ελαστική μέχρι το σημείο Β, δηλαδή την κατάσταση πριν την αποφόρτιση. Επομένως,

24 10 η πλαστική παραμόρφωση στο Β και στο C είναι η ίδια. Για μια αύξηση της τάσης πριν το σ f, δηλαδή την τάση στο σημείο Β, το υλικό ακολουθεί το μονοτονικό διάγραμμα φόρτισης σαν να μην είχε συμβεί η αποφόρτιση. Όμως, η απομάκρυνση της έντασης από ένα προχωρημένο σημείο D στο διάγραμμα καταδεικνύει ότι η μετάβαση από το σημείο Β συνοδεύτηκε από περαιτέρω πλαστική παραμόρφωση. Η εμφάνιση μιας μόνιμης πλαστικής παραμόρφωσης η, επιπρόσθετης της ελαστικής παραμόρφωσης ε, είναι χαρακτηριστικό της ελαστοπλαστικής περιοχής. Η συνολική παραμόρφωση γ, η οποία έχει οριστεί ήδη στην εξίσωση (2.2), μπορεί επίσης να εκφραστεί ως: γ = η+ ε (2.3) Ο διαχωρισμός της συνολικής επιμήκυνσης δ της ράβδου σε ελαστικό και πλαστικό μέρος ορίζει τους αντίστοιχους όρους παραμόρφωσης ε και η για μήκος l σταθερό. Η μέγιστη ένταση που επιβάλλεται μια φορά και προκαλεί πλαστική παραμόρφωση, ουσιαστικά καταγράφεται από το υλικό και μετατρέπεται στο πραγματικό όριο διαρροής σ f. Όταν η ράβδος αποφορτίζεται και στη συνέχεια επαναφορτίζεται, η τάση φτάνει την τιμή σ f αντί τoυ θεωρητικού ορίου διαρροής σ s. Μια συναρτησιακή εξάρτηση της μορφής: σ = σ ( η) με σ (0) = σ (2.4) f f f s μπορεί να συναχθεί από τη δοκιμή έντασης μετά την αφαίρεση της ελαστικής παραμόρφωσης ε από τη καταμετρημένη παραμόρφωση γ. Αφού η τάση διαρροής αυξάνεται προκαλώντας πλαστική παραμόρφωση, το υλικό θεωρείται ότι έχει κράτυνση και η συνάρτηση σ ( η ) ανταποκρίνεται στα χαρακτηριστικά της κράτυνσης. f

25 11 Φύση των σχέσεων τάσης παραμόρφωσης Ο επιμέρους διαχωρισμός της παραμόρφωσης όπως εκφράζεται στην εξίσωση (2.3) προτείνει μια περιγραφή της ελαστοπλαστικής συμπεριφοράς του υλικού διαμέσου ενός ελαστικού και ενός πλαστικού μέρους. Αυτό απεικονίζεται στο σχήμα (2.3) όπου τα χαρακτηριστικά της μονοαξονικής τάσης παραμόρφωσης χωρίζονται σε δύο διαφορετικά διαγράμματα που αναφέρονται στα τμήματα ε και η της παραμόρφωσης γ. Μέχρι ένα δεδομένο επίπεδο έντασης σ, η ελαστική παραμόρφωση μπορεί να οριστεί από το νόμο του Hooke ως εξής: ε = σ / Ε (2.5) όπου το Ε ορίζει το μέτρο ελαστικότητας του υλικού. Η εξίσωση (2.5) που συνδέει τάση και ελαστική παραμόρφωση μπορεί να θεωρηθεί σαν μια εξίσωση μιας κατάστασης η οποία συνδέει το ε με το σ μοναδικά, ανεξάρτητα από την ακολουθία φόρτισης που προκαλεί την πραγματική ένταση. Οποιαδήποτε διαφοροποίηση της έντασης συνοδεύεται από μεταβολή της ελαστικής παραμόρφωσης σύμφωνα με την σχέση που περιγράφεται από το νόμο ελαστικότητας. Σχήμα 2.3 : Ελαστικοί και πλαστικοί όροι [4]

26 12 Αντίστροφα, η τάση μπορεί να θεωρηθεί ως αποτέλεσμα της ελαστικής παραμόρφωσης. Κάνοντας χρήση της σχέσης (2.3), προκύπτει μέσω της εξίσωσης (2.5) : σ =Ε ε =Ε ( γ η) (2.6) Ο προσδιορισμός της τάσης σ απαιτεί γνώση της παραμόρφωσης η εκτός από την καταμετρημένη παραμόρφωση γ. Το διάγραμμα τάσης πλαστικής παραμόρφωσης στο σχήμα (2.3 δεξιά) παριστάνει τα χαρακτηριστικά κράτυνσης σ f ( η ) του υλικού. Αυτό προκύπτει από την πραγματική ελαστική καμπύλη τάσεων παραμορφώσεων μετά την αφαίρεση της παραμόρφωσης γ από την ελαστική παραμόρφωση ε που δίνεται από την εξίσωση (2.5). Απλή γνώση της στιγμιαίας τάσης αποδεικνύεται ανεπαρκής για έναν ξεχωριστό υπολογισμό της πλαστικής τάσης. Ενώ τα χαρακτηριστικά κράτυνσης παρέχουν μια τιμή για την παραμόρφωση η σε ένα δεδομένο επίπεδο τάσης, η ίδια ακριβώς τάση μπορεί να προκύψει μέσω αποφόρτισης από ένα υψηλότερο σημείο της καμπύλης κράτυνσης και μπορεί επίσης να συνδυαστεί με διαφορετικές τιμές πλαστικής παραμόρφωσης στην περίπτωση που δεν αναφέρεται η προηγούμενη ιστορία φόρτισης. Γι αυτόν το λόγο, πρέπει να δοθεί προσοχή στις σχέσεις μεταξύ των επαυξητικών μεταβολών τάσης και πλαστικής παραμόρφωσης αντί μιας καθορισμένης διαδρομής τάσεων. Για αλλαγές στην πλαστική παραμόρφωση (πλαστική ροή), η εφαρμοσμένη ελαστική τάση θα πρέπει να λάβει την τιμή σ ( η ) που έχει φτάσει τελευταία στο παρελθόν το υλικό. Επομένως, μια επαύξηση της τάσης κατά dσ > 0 προκαλεί μια επαύξηση dη στην πλαστική παραμόρφωση. Μείωση της τάσης κατά dσ < 0 αντιστοιχεί σε μια ελαστική αποφόρτιση και αφήνει την πλαστική παραμόρφωση ανεπηρέαστη, δηλαδή dη = 0. f

27 13 Σε αντίθεση με την ελαστικότητα, μια βασική διαφορά μεταξύ φόρτισης και αποφόρτισης είναι εμφανής στην πλαστικότητα καθώς εισάγεται μια μη-γραμμική απόκριση ακόμα και για στοιχειώδεις μεταβολές της εντατικής κατάστασης Πλαστική ροή και σχέσεις τάσης παραμόρφωσης Εκ της προαναφερθείσας διερεύνησης σχετικά με τις πειραματικές παρατηρήσεις, μια μαθηματική περιγραφή της μονοαξονικής πλαστικής ροής θα βασιστεί στα τρία ακόλουθα αξιώματα: 1. συνθήκη διαρροής φ = σ σ f 0 ( σ = σ) (2.7) 2. νόμος κράτυνσης σ f = σ f ( n) ( n = n ) (2.8) 3. νόμος ροής σ σ dη = s dη s = = σ σ (2.9) Η συνθήκη διαρροής από την άποψη της συνάρτησης διαρροής φ( σσ, f ) δηλώνει ότι η τάση διαρροής του υλικού σ f δεν μπορεί να ξεπεραστεί από την εφαρμοζόμενη τάση σ. Η απόλυτη τιμή της τάσης σ σαν όρος της συνάρτησης διαρροής συμπεριλαμβάνει και την θλιπτική φόρτιση. Αυτό προϋποθέτει ότι η τιμή σ f της τάσης διαρροής είναι η ίδια υπό εφελκυσμό και υπό θλίψη. H κράτυνση προβλέπει ένα χαρακτηριστικό υλικού που προδιαγράφει την τάση

28 14 διαρροής ( σ f > 0) σαν μια συνάρτηση της πλαστικής παραμόρφωσης ανεξάρτητα από το πρόσημο ( η 0). Πειραματικές αποδείξεις υποστηρίζουν την υπόθεση ότι το μέγεθος της τάσης διαρροής αποκτά την ίδια τιμή υπό εφελκυσμό και υπό θλίψη. Αυστηρά, αυτή η υπόθεση οδηγεί στο διαχωρισμό των δοκιμών υπό εφελκυστική ή θλιπτική δράση και όχι σε συνδυασμένες ακολουθίες φόρτισης. Σε αυτήν την περίπτωση, ισχύει: σ ( η) = σ( η) (βλέπε σχήμα 2.4) και η τάση διαρροής του υλικού μπορεί να οριστεί ως μια θετική ποσότητα σ ( η ) που εξαρτάται από την απόλυτη τιμή της πλαστικής παραμόρφωσης, για εφελκυστική ή θλιπτική δράση. Ένας πιο γενικός ορισμός της ποσότητας η είναι ο εξής: f η = dη, dη = dη (2.10) που προσφέρει μια μέτρηση της ενσωματωμένης πλαστικής παραμόρφωσης για εναλλασσόμενη φόρτιση. Σχήμα 2.4 : Τάση διαρροής υπό μονοτονικό εφελκυσμό ή θλίψη [4]

29 15 Σε αυτό το στάδιο, τυπικά θα πρέπει να χρησιμοποιούνται απόλυτες τιμές για τις μηχανικές μεταβλητές του συστήματος. Η διεύθυνση της πλαστικής ροής ορίζεται από το νόμο ροής. Επομένως, η εντατική κατάσταση κατά την πραγματοποίηση του νόμου ροής καθορίζει το πρόσημο των μεταβολών στην πλαστική παραμόρφωση. Αυτό εκφράζεται: dη σ = = s (2.11) dη σ Σχ. 2.5 : Συνθήκη διαρροής και πλαστική φόρτιση [4] Στο διάγραμμα σ η του σχήματος 2.5, το χαρακτηριστικό της κράτυνσης σ ( η ) φαίνεται να διαχωρίζεται σε δύο περιοχές, η μία υπό της καμπύλης όπου φ < 0 και η άλλη υπέρ της όπου φ > 0, ενώ ισχύει ότι φ = 0 πάνω στην καμπύλη κράτυνσης. Θεωρούμε μια ράβδο η οποία είναι αφόρτιστη, αλλά μπορεί να έχει παραμορφωθεί πλαστικά σε κάποιο προηγούμενο πρόγραμμα φόρτισης έτσι ώστε η πραγματική τάση διαρροής σ f να υπερβαίνει τη θεωρητική σ s. Μια αύξηση της τάσης σ από τη μηδενική τιμή δε θα προκαλέσει επιπρόσθετη πλαστική παραμόρφωση μέχρι να f

30 16 φτάσει την τιμή σ f. Συνεπώς, το φ < 0 καθορίζει την περιοχή όπου το υλικό αποκρίνεται ελαστικά στην εφαρμοζόμενη τάση. Όταν ισχύει σ = σ, το υλικό λέγεται ότι είναι σε πλαστική κατάσταση. Αυτή είναι μια απαραίτητη συνθήκη για την πραγματοποίηση της πλαστικής ροής, αλλά η μεταβολή της έντασης σε αυτήν την κατάσταση είναι αποφασιστική. Συγκεκριμένα, το dσ < 0 αφορά την ελαστική περιοχή ( φ < 0) και συνδυάζεται με το dη = 0, ενώ το dσ > 0 συνοδεύεται από μια επαύξηση της πλαστικής παραμόρφωσης dη > 0 προωθώντας την κατάσταση του υλικού στο χαρακτηριστικό κράτυνσης φ = 0. Σύμφωνα με αυτόν το μηχανισμό, η περιοχή φ > 0 δεν είναι προσβάσιμη για το υλικό παρά μόνο μέσω μιας στοιχειώδους εντατικής επαύξησης. f Η πλαστική ροή απαιτεί ότι η συνάρτηση διαρροής στην εξίσωση (2.8) είναι μηδενική: φ = σ σ f = 0 (2.12) H παραγώγιση οδηγεί στη συνθήκη συνοχής κατά την πλαστική ροή: dφ = dσ dσ = 0 (2.13) f Η επαύξηση της τάσης διαρροής μπορεί να συσχετιστεί με αυτήν της πλαστικής παραμόρφωσης μέσω του νόμου κράτυνσης: dσ h dη με h dσ f f = = (2.12) dη

31 17 Η παράμετρος h είναι η τοπική κλίση της καμπύλης κράτυνσης. Από τις εξισώσεις (2.13) και (2.14) προκύπτει: 1 dη = dσ 0 (2.13) h Η απαίτηση του dη 0 εξασφαλίζει ότι η ποσότητα η μπορεί μόνο να αυξηθεί και ικανοποιείται από την συνθήκη φόρτισης για πλαστική ροή. dσ = s dσ > 0 (2.14) Η έκφραση για το dσ στην εξίσωση (2.16) προκύπτει από την παραγώγιση της 2 2 ισότητας σ = σ και χρήση του ορισμού του s στην εξίσωση (2.8). Αντικαθιστώντας στην εξίσωση (2.15) και εφαρμόζοντας το νόμο ροής, διατυπώνεται για την επαύξηση της πλαστικής παραμόρφωσης: 1 1 dη = s s dσ = dσ if φ = 0 και dσ = s dσ > 0 h h dη = 0 εναλλακτικά (2.15) Επαυξημένες σχέσεις τάσης παραμόρφωσης Όποτε πραγματοποιείται πλαστική ροή σύμφωνα με τις συνθήκες που καταγράφονται στην εξίσωση (2.17), το dη συμπληρώνει την επαυξημένη ελαστική παραμόρφωση dε (όπως δίνεται από την εξίσωση (2.5)) και προκύπτει η παραμορφωσιακή επαύξηση : Ε + h dγ = dε + dη = dσ E h (2.16)

32 18 Η εξίσωση (2.18) προσδιορίζει τη μεταβολή στην παραμόρφωση dγ για μία δεδομένη επαυξητική μεταβολή της τάσης dσ. Για h = 0 (υλικό χωρίς κράτυνση), η σχέση αυτή δεν έχει σημασία, αφού η εξίσωση (2.17) δεν είναι εφαρμόσιμη για πλαστική παραμόρφωση. Τα υλικά χωρίς κράτυνση λέγεται ότι κατέχουν ένα τελείως πλαστικό όρο. Σε αυτήν την περίπτωση μεγάλης θεωρητικής σημασίας, η τάση μπορεί να αυξηθεί ελαστικά από το 0 μέχρι το όριο διαρροής σ s, αλλά η επακόλουθη παραμόρφωση συμβαίνει υπό σταθερή τάση. (σχήμα 2.6). Κατά συνέπεια: dσ = Ε dε = 0 (2.17) και επομένως: dγ = dε + dη = dη (2.18) Στην τελείως πλαστική περίπτωση, μόλις προσεγγιστεί το όριο διαρροής, το ελαστικό μέρος της επαυξημένης παραμόρφωσης μηδενίζεται και η παραμόρφωση είναι καθολικά πλαστική. Σχ. 2.6 : Ελαστική τελείως πλαστική συμπεριφορά

33 19 Για μία εναλλακτική περιγραφή της επαύξησης της πλαστικής παραμόρφωσης, το dσ στην εξίσωση (2.17) εκφράζεται μέσω της ελαστικής σχέσης (εξίσωση (2.6)) ως προς τη διαφορά ( dγ dη). Η λύση για το dη στη συνέχεια δίνει τη σχέση : Ε dη = dγ Ε+ h (2.19) για την επαυξημένη πλαστική παραμόρφωση, και τη συνθήκη φόρτισης : s dγ > 0 (2.20) ως προς την παραμορφωσιακή επαύξηση dγ. Για την περίπτωση του τελείως πλαστικού υλικού ( h = 0) η παραπάνω διατύπωση αφορά στην εξίσωση (2.20) Αφαίρεση της επαύξησης της πλαστικής παραμόρφωσης στην εξίσωση (2.21) από dγ δίνει το ελαστικό μέρος της παραμορφωσιακής επαύξησης και η τάση μεταβάλλεται : E h d σ E d ε = = d E+ h γ (2.21) λόγω κράτυνσης ως εξής: dσ = h dη. Η εξίσωση (2.23) προσδιορίζει στη ελαστοπλαστική περιοχή του υλικού τη μεταβολή της τάσης dσ για μία δεδομένη παραμορφωσιακή επαύξηση dγ. Αυτό μπορεί να παρουσιαστεί και ως η αντίστροφη σχέση της εξίσωσης (2.18).

34 Πλαστική διαρροή υπό πολυαξονικές συνθήκες Εντατική και παραμορφωσιακή κατάσταση Για τον ορισμό της τάσης και της παραμόρφωσης, αναφέρεται το κυβικό στοιχείο του υλικού στο σχήμα 2.7, το οποίο είναι προσανατολισμένο στους καρτεσιανούς άξονες. Οι τάσεις ορίζονται από τους καρτεσιανούς όρους της δύναμης ανά επιφάνεια που ασκούνται σε καθεμία έδρα του κυβικού στοιχείου. Εξετάζοντας την έδρα που είναι κάθετη στον άξονα x για παράδειγμα, αναπτύσσεται η κύρια τάση κάθετη στην επιφάνεια και οι διατμητικές τάσεις σ xy και σ yx εφαπτομενικές σε αυτήν. Ο πρώτος δείκτης στο συμβολισμό της τάσης αναφέρεται στην κύρια επιφάνεια, ενώ ο δεύτερος προσδιορίζει τη διεύθυνση του όρου. σ xx Σχ. 2.7 : Ορισμός των εντατικών όρων Οι τάσεις λαμβάνονται ως θετικές κατά τις διευθύνσεις του σχήματος 2.7. Οι 9 εντατικοί όροι που φαίνονται στο σχήμα ορίζουν την εντατική κατάσταση σε ένα σημείο. Μπορούν να μειωθούν σε 6 αν ληφθεί υπόψη ότι οι διατμητικές τάσεις με αντίστροφους δείκτες πρέπει να είναι ίσοι για να εξασφαλίζεται η ισορροπία ροπών.

35 21 Για τη συνοπτική παρουσίαση της εντατικής κατάστασης εισάγεται το μητρώο 6 1 που αποτελεί το διάνυσμα της τάσης: { } xx yy zz xy yz xz σ = σ σ σ σ σ σ (2.22) Η παραμορφωσιακή κατάσταση χαρακτηρίζεται από τις κύριες τάσεις γ xx, οι οποίες προκύπτουν ως οι προεκτάσεις μιας κυβικής μονάδας στους συντεταγμένους άξονες και τις διατμητικές παραμορφώσεις γωνιών του κύβου στα αντίστοιχα επίπεδα. (σχήμα 2.8) γ xy που εκφράζουν τις μεταβολές των Σχ. 2.8 : Ορισμός των κύριων και διατμητικών παραμορφώσεων Συνοπτικά, η παραμορφωσιακή κατάσταση διατυπώνεται μέσω του 6 1 παραμορφωσιακού διανύσματος: γ = γ xxγ yyγ zz γ xy γ yz γ xz (2.23) Τα ισότροπα υλικά παρουσιάζουν μια αξιοσημείωτα διαφορετική απόκριση στις κύριες τάσεις που ασκούνται εξίσου σε όλες τις διευθύνσεις σε σχέση με τις

36 22 διατμητικές τάσεις. Η λεγόμενη υδροστατική τάση ορίζεται ως η μέση τιμή των κύριων εντατικών παραγόντων. 1 1 t σ = Η ( σxx σ yy σzz ) e σ = 3 (2.24) όπου ο απαιτούμενος τελεστής μητρώου κάνει χρήση του διανύσματος: e = { } (2.25) Η μοναδική τιμή της υδροστατικής τάσης επεκτείνεται σε μια υδροστατική εντατική κατάσταση που αντιπροσωπεύεται από το 6 1 εντατικό διάνυσμα: { 000} σ = σ σ σ (2.26) Η Η Η Η Αποτελείται από τρεις κύριους όρους, ταυτόσημους με το σ Η και μηδενικούς διατμητικούς όρους που προσδιορίζουν το υδροστατικό μέρος της εντατικής κατάστασης σ. Η σημειογραφία του μητρώου για το σχηματισμό της σ Η είναι: 1 t σ Η = ση e= e e σ (2.27) 3 και ορίζει τον υδροστατικό τελεστή που εφαρμόζεται στην τάση σ. Η διαφορά της πραγματικής εντατικής κατάστασης σ από την αποκλίνουσα τάση. σ H ορίζει την 1 t σ D = σ ση = Ι ee σ 3 (2.28)

37 23 όπου το Ι αποτελεί το ταυτοτικό μητρώο. Οι αποκλίνοντες εντατικοί όροι ορίζονται κατά σειρά ως εξής: σ Dxx {( Η) ( Η) ( Η) } σ = σ σ σ σ σ σ σ σ σ D xx yy zz xy yz xz (2.29) Ο αποκλίνων μητρωικός τελεστής που εφαρμόζεται στην σ στην εξίσωση (2.30) τροποποιεί τους κύριους εντατικούς όρους, ενώ οι διατμητικοί όροι παραμένουν ανεπηρέαστοι. Εξ ορισμού, η αποκλίνουσα τάση δεν κατέχει κανέναν υδροστατικό όρο. Συνεπώς, η συνθήκη της σχέσης (2.30) περιορίζει τους κύριους όρους της αποκλίνουσας έντασης που δεν μπορούν να διαφοροποιηθούν ανεξάρτητα. t e σ = σ + σ + σ = 0 (2.30) D Dxx Dyy Dzz Οι υδροστατικοί και οι αποκλίνοντες παράγοντες της εντατικής κατάστασης πρέπει να είναι ορθογωνικοί μεταξύ τους σύμφωνα με την παρακάτω σχέση: t t σ σ = σ σ = 0 (2.31) D Η Η D Η παραμορφωσιακή κατάσταση χωρίζεται ανάλογα με την ένταση. Η ογκομετρική παραμόρφωση γ ν ορίζεται ως: 1 t γ D = γ γv = I e e γ 3 (2.32)

38 24 Η ογκομετρική παραμορφωσιακή κατάσταση προκύπτει από την πραγματική παραμορφωσιακή κατάσταση μέσω μιας εφαρμογής του υδροστατικού μητρωικού τελεστή της εξίσωσης (2.29). 1 t γν = γν e= e e γ (2.33) 3 Αναλόγως, η αποκλίνουσα παραμόρφωση ακολουθεί σαν αποτέλεσμα του μητρώου που ορίζεται από την εξίσωση (2.29). 1 t γ D = γ γν = Ι ee γ 3 (2.34) Η αποκλίνουσα παραμόρφωση διατηρεί τον όγκο αφού: t e γ = γ + γ + γ = 0 (2.35) D Dxx Dyy Dzz Στην ελαστοπλαστική θεώρηση, καθένας από τους παραμορφωσιακούς όρους της εξίσωσης (2.23) θεωρείται ότι αποτελείται από δύο επιπρόσθετα μέρη, την ελαστική και την πλαστική παραμόρφωση. Το ελαστικό μέρος της παραμόρφωσης εκφράζεται από το 6 1 διάνυσμα : ε = εxx εyy εzz εxy εyz εxz (2.36) και το πλαστικό μέρος της παραμόρφωσης από το 6 1 διάνυσμα : η = ηxx ηyy ηzz ηxy ηyz ηxz (2.37)

39 25 Η παραμόρφωση γ τότε εκφράζεται ως εξής : γ = ε + η (2.38) Οι ογκομετρικές και οι αποκλίνουσες καταστάσεις του ε και του η ορίζονται ως προς το γ. Για παράδειγμα, από την εξίσωση (2.35) 1 t γν = ee [ ε + η] = εν + ην (2.39) 3 όπου ε ν και η ν προκύπτουν από την εφαρμογή του υδροστατικού τελεστή σε καθέναν από τους παράγοντες. Επίσης, από την εξίσωση (2.36): 1 t γ D = I e e [ ε + η] = εd + ηd 3 (2.40) όπου ε D και η D δίνουν το αποτέλεσμα του αποκίνοντα τελεστή, όπως εφαρμόζεται στο ε και στο η αντίστοιχα. Η συνθήκη της εξίσωσης (2.37) αφορά κάθε όρο ξεχωριστά : t t e ε = 0, e η = 0 (2.41) D D Ελαστικότητα Ο διαχωρισμός της τάσης/παραμόρφωσης σε υδροστατικούς/ογκομετρικούς και αποκλίνοντες όρους χρησιμοποιείται στο να διαμορφωθεί το ελαστικό μητρώο για ένα

40 26 ισοτροπικό υλικό. Σε αυτήν την περίπτωση, οι υδροστατικές τάσεις είναι ανάλογες με τις ογκομετρικές παραμορφώσεις: σ = 3 Η K ε (2.42) ν Το μέτρο της διόγκωσης Κ μπορεί να εκφραστεί σε όρους του μέτρου ελαστικότητας σε ελαστικότητα (μέτρο του Young Ε ) και του συντελεστή of πλευρικής συστολής (lateral contraction) (λόγος Poisson ν ): E 3 K = (2.43) 1 2 ν Οι αποκλίνουσες τάσεις είναι ανάλογες με τις αποκλίνουσες παραμορφώσεις ως προς το μέτρο ελαστικότητας σε διάτμηση G. Η σχέση μεταξύ των αντίστοιχων στοιχείων του διανύσματος είναι οι εξής: σ D = 2 G ε (2.44) D όπου : E 2 G = (2.45) 1 + ν Με πρόσθεση των εξισώσεων (2.44) και (2.46) προκύπτει η πραγματική εντατική κατάσταση και η έκφραση των όρων ε D και ε ν ως προς τη συνολική παραμόρφωση ε σε αναλογία με τις εξισώσεις (2.36) και (2.35) οδηγεί στην σχέση ελαστικής τάσης παραμόρφωσης: ν t σ = 2 G εd + 3 K εν = 2 G I + e e ε 1 2 ν (2.46)

41 27 Σε συμπυκνωμένη μορφή, η εξίσωση (2.48) γράφεται ως εξής: σ = κ ε (2.47) με το συμμετρικό μητρώο ελαστικότητας (ελαστική ακαμψία υλικού), v t κ = 2 G I + e e 1 2 v (2.48) Η μητρωική σχέση στην εξίσωση (2.48) εύκολα αντιστρέφεται για να προσδιορίσει την ελαστική παραμόρφωση για μία δεδομένη τάση. Εναλλακτικά, η αντίστροφη μορφή μπορεί να προκύψει άμεσα χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις (2.44) και (2.46). Η πρόσθεση του αποκλίνοντος κα του ογκομετρικού μέρους της παραμόρφωσης από τις παραπάνω εξισώσεις δίνει την ελαστική παραμόρφωση: ν t ε = σd + ση = Ι ee σ 2 G 3 K 2 G 1+ ν (2.49) Εδώ, οι όροι σ D και σ Η έχουν εκφραστεί ως προς την τάση σ μέσω των εξισώσεων (2.30) και (2.29) αντίστοιχα. Η αντίστροφη σχέση της εξίσωσης (2.49) γίνεται: όπου : 1 ε κ σ = (2.50) 1 1 ν t κ = Ι ee 2 G 1+ ν (2.51)

42 Τελείως πλαστικό υλικό Κριτήριο διαρροής και συνθήκη διαρροής Προκειμένου να οριστούν οι κρίσιμοι συνδυασμοί τάσεων για πλαστική ροή, θεωρείται η ελαστική ενέργεια που αποθηκεύεται σε μια μονάδα όγκου του στοιχείου του υλικού. we ε t 1 t 1 σ dε σ κ σ (2.52) 2 0 = = Το ολοκλήρωμα της σχέσης (2.54) οδηγεί στον υπολογισμό της τάσης με χρήση του νόμου ελαστικότητας (εξίσωση 2.52). Ως προς τις αποκλίνουσες, υδροστατικές και ογκομετρικές τάσεις και παραμορφώσεις, η έκφραση της ενέργειας αναλύεται σε δύο μέρη : ε ε t t σ dε = σ dεd + 3 σh dε ν (2.53) 0 0 Όσο οι αποκλίνουσες τάσεις είναι ορθογωνικές στις ογκομετρικές παραμορφώσεις, τα αντίστοιχα μεικτά εσωτερικά γινόμενα μηδενίζονται. Το πρώτο ολοκλήρωμα στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης (2.55) εκφράζει την αποκλίνουσα παραμορφωσιακή ενέργεια ή την ενέργειας της ελαστικής παραμόρφωσης. Ανάπτυξη της αποκλίνουσας τάσης σχέσης για το ε D, εξίσωση (2.46) δίνει : σ D με χρήση της ελαστικής ε σ D t 1 t t σ dεd = σd dσd = 4G σd σd 2G 0 0 (2.54)

43 29 Το δεύτερο ολοκλήρωμα στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης (2.55) εκφράζει την ενέργεια της μεταβολής του όγκου. Χρησιμοποιώντας την ελαστική σχέση ανάμεσα στην ογκομετρική παραμόρφωση ε ν και την υδροστατική τάση σ Η από την εξίσωση (2.44), προκύπτει : 3 εν σ Η σ Η dεν = ση dση = ση Κ 2Κ 0 0 (2.55) Τα μεταλλικά υλικά θεωρούνται ανθεκτικά στην πλαστική διαρροή όταν υποβάλλονται σε υδροστατική τάση. Το κριτήριο διαρροής τους επομένως βασίζεται στην υπόθεση ότι τα μέταλλα διαρρέουν όταν η ενέργεια της ελαστικής παραμόρφωσης φτάσει μια κρίσιμη τιμή ανεξάρτητη από το συγκεκριμένο συνδυασμό τάσεων. Όταν μια ενδεικτική ράβδος υπό μονοαξονικό εφελκυσμό φτάσει την τάση σ s που είναι το όριο ελαστικότητας, η αποκλίνουσα εντατική κατάσταση προσδιορίζεται από τους όρους: 2 σ /3, σ /3, σ /3. s s s εξής : Από την εξίσωση (2.56) η κρίσιμη ενέργεια της παραμόρφωσης υπολογίζεται ως w e 2 σ S = (2.56) 6G Για πολυαξονικές εντατικές καταστάσεις, η συνθήκη που ορίζει την ελαστική περιοχή μπορεί να βρεθεί εξισώνοντας την έκφραση της ενέργειας της παραμόρφωσης της εξίσωσης (2.56) με την κρίσιμη τιμή της για τη μονοαξονική δοκιμή, εξίσωση (2.58). ηλαδή : 3 t 2 σ D σd = σs (2.57) 2

44 30 Η εξίσωση (2.59) προκαλεί την εισαγωγή της ισοδύναμης αποκλίνουσας τάσης σ που ορίζεται από : 2 3 t 3 t σ = σd σd = σd σ (2.58) 2 2 ως ένα κριτήριο διαρροής. Αυτό το κριτήριο προτάθηκε από το Huber και τελευταία ανεξάρτητα από τον Von Mises. Η μετάβαση της δεύτερης έκφρασης στην εξίσωση (2.60) είναι εφικτή γιατί οι υδροστατικές τάσεις στην σ δεν συνεισφέρουν στο εσωτερικό γινόμενο με τις αποκλίνουσες τάσεις. Η εξίσωση (2.59) σε συνδυασμό με τον ορισμό της εξίσωσης (2.60) προτείνει την εισαγωγή της συνάρτησης διαρροής φ( σ ) έτσι ώστε φ( σ) = σ σ s 0 (2.59) Η συνάρτηση διαρροής φ συγκρίνει την εντατική κατάσταση σ με τη μονοαξονική τάση διαρροήςσ του υλικού μέσω της ισοδύναμης τάσης σ και s προσδιορίζει τη συνθήκη διαρροής όπως στην εξίσωση (2.61). Κατά συνέπεια, η τιμή της συνάρτησης διαρροής περιορίζει τις ελαστικές εντατικές καταστάσεις στο φ( σ ) < 0 και ορίζει τις πλαστικές καταστάσεις στο σημείο διαρροής φ( σ ) = Πλαστική ροή Τα τελείως πλαστικά υλικά χωρίς κράτυνση χαρακτηρίζονται από μια συνεχή τάση διαρροής κι επομένως η συνθήκη διαρροής της εξίσωσης (2.61) παραμένει η

45 31 ίδια με την αρχική διαρροή ανεξάρτητα από την ποσότητα της πλαστικής παραμόρφωσης. Η συνάρτηση διαρροής φ για ένα συγκεκριμένο υλικό συνεπώς εξαρτάται μόνο από την τάση και εφόσον η τάση σ οδηγεί σε μια πλαστική κατάσταση φ( σ ) = 0, οι μεταβολές της τάσης σε σχέση με τη συνθήκη διαρροής περιορίζονται από την απαίτηση : dφ dφ = dσ 0 (2.60) dσ Η μητρωική διατύπωση της παραγώγισης οδηγεί στους παρακάτω ορισμούς : dφ φ φ φ 1 φ 1 φ 1 φ = dσ σxx σ yy σzz 2 σxy 2 σ yz 2 σxz (2.61) και { } xx yy zz xy yz xz dσ = dσ dσ dσ dσ dσ dσ (2.62) Στην εξίσωση (2.62), το αρνητικό πρόσημο οδηγεί σε ελαστικές καταστάσεις φ + dφ < 0, ενώ η μετάβαση σε μια άλλη πλαστική κατάσταση φ + dφ = 0 προκύπτει από το σύμβολο της ισότητας και μπορεί να συνοδεύεται από πλαστική ροή. Από την εξίσωση (2.61), οι μεταβολές της συνάρτησης διαρροής δίνονται από : dφ = dσ (2.63) Παραγωγίζοντας την εξίσωση (2.60) ως προς την ισοδύναμη αποκλίνουσα τάση σ προκύπτει : 3 t t 2σ dσ = σd dσd + dσd σ D 2 (2.64) και αφού στο εσωτερικό γινόμενο οι όροι μπορούν να αντιμετατίθενται, ισχύει :

46 t 3 1 t dσ = σd dσd σd dσ 2 σ = 2 σ (2.65) Άρα, η παράγωγος (πηλίκο διαφορικών) της εξίσωσης (2.62) δίνει : dφ dσ 3 1 t = = σ D (2.66) dσ dσ 2 σ Η συνάρτηση διαρροής δεν μπορεί να αυξηθεί και επομένως οι παραδεκτές εντατικές προσαυξήσεις dσ που απορρέουν από την πλαστική κατάσταση παράγουν μη-θετικά γινόμενα με την αποκλίνουσα τάση σ D. Οι πλαστικές μεταβολές της εντατικής κατάστασης στο φ( σ ) = 0 υπακούουν τη συνθήκη συνέπειας dφ = dσ = 0, η οποία μέσω της εξίσωσης (2.67) δίνει : t t t σ dσ = 2G σ dε = 2G σ dε = 0 (2.67) D D D D D Η μετάβαση στην τελευταία έκφραση μαρτυρά ότι οι ογκομετρικοί όροι δε συνεισφέρουν στο εσωτερικό γινόμενο με την αποκλίνουσα ένταση. Από την εξίσωση (2.69), η απαλοιφή του dσ είναι ισοδύναμη με μια απαλειφόμενη προσαύξηση του έργου της ελαστικής παραμόρφωσης. Εκφράζοντας το ελαστικό dε στην εξίσωση (2.69) από τη διαφορά ανάμεσα στη συνολική παραμορφωσιακή προσαύξηση dγ και το πλαστικό μέρος dη προκύπτει : t t σ dη = σ dγ 0 (2.68) D D

47 33 Κατά την τελείως πλαστική ροή, το προσαυξητικό έργο της παραμόρφωσης μετατρέπεται πλήρως σε πλαστικό έργο διότι το ελαστικό μέρος απαλείφεται ως μια συνέπεια του dσ = 0. Το δεξί μέρος της εξίσωσης (2.70) μπορεί να είναι θετικό, αρνητικό ή μηδενικό. Παρατηρείται όμως ότι οι αρνητικές τιμές μειώνουν την σ και συνδυάζονται με την ελαστική αποφόρτιση. Κατά συνέπεια, το αριστερό μέρος, που αφορά στην πλαστική ροή, μπορεί να αποκτήσει θετικές τιμές ή να εξαφανιστεί. Η ανισότητα στην εξίσωση (2.70) εκφράζει τη συνθήκη για πλαστική φόρτιση ως προς την παραμορφωσιακή προσαύξηση dγ [1]. Επιπλέον της συνθήκης διαρροής και της υπόθεσης ενός υλικού χωρίς κράτυνση, χρειάζονται επίσης πληροφορίες για τη διεύθυνση της πλαστικής παραμόρφωσης, οι οποίες παρέχονται από το νόμο ροής. Για μέταλλα, από πειραματικά δεδομένα, οι προσαυξητικές πλαστικές παραμορφώσεις θεωρούνται ανάλογες συναξονικές στην αποκλίνουσα τάση όπου συμβαίνει η ροή : dη = Λ σ D (2.69) O νόμος ροής που εκφράζεται από την εξίσωση (2.71) επιβεβαιώνει ότι η πλαστική παραμόρφωση είναι ισόχωρη, καθώς το ογκομετρικό μέρος της πλαστικής παραμόρφωσης εξαφανίζεται : 1 t η ηd ηv = e η = 0 (2.70) 3 O βαθμωτός πολλαπλασιαστής Λ στην εξίσωση (2.71) προσδιορίζεται από την εξίσωση (2.70) ως μια μη αρνητική ποσότητα. Κατά αυτόν τον τρόπο, η συνθήκη διαρροής, η υπόθεση μη κράτυνσης και ο νόμος ροής διαμορφώνουν μια έκφραση

48 34 για την προσαυξημένη πλαστική παραμόρφωση σε τελείως πλαστικά υλικά εφόσον η εντατική κατάσταση στη διαρροή και η προσαυξημένη παραμορφωσιακή μεταβολή είναι δεδομένες. Με μια λογική ερμηνεία της εξίσωσης (2.71), εισάγεται μια θετική βαθμωτή ποσότητα dη, ισοδύναμη με την προσαυξημένη πλαστική παραμόρφωση ως προς την ισότητα έργων : σ dη = σ dη (2.71) t D Με αντικατάσταση της εξίσωσης (2.71) ως προς το dη προκύπτει ο αναλογικός παράγοντας Λ ως εξής : Λ = 3 dη 2 σ (2.72) Με την αποκλίνουσα τάση σ D από τη εξίσωση (2.71), η εξίσωση (2.73) ορίζει την ισοδύναμη προσαύξηση της πλαστικής παραμόρφωσης ως ένα μέτρο του μεγέθους της προσαυξημένης παραμορφωσιακής παραμόρφωσης : 2 η η η = dη xx + dηyy + dηzz + dηxy + dηyz + dηxz t d = d d (2.73) Εναλλακτικά στην εξίσωση (2.71), η προσαυξημένη πλαστική παραμόρφωση μπορεί να εκφραστεί ως προς το μέγεθος dη και τη διεύθυνση s της πλαστικής ροής : dη = dη s (2.74)

49 35 δίνει: H εισαγωγή της εξίσωσης (2.76) ως προς το dη στην πρώτη εξίσωση (2.75) t s 3 s= (2.75) 2 και επιβεβαιώνει το s ως ένα διάνυσμα διεύθυνσης σταθερού μήκους. Με σύγκριση της εξίσωσης (2.76) με την εξίσωση (2.71) και λαμβάνοντας υπόψη την εξίσωση (2.74), το διάνυσμα s γίνεται : 3 1 dσ dφ s = σ D = 2 σ = dσ dσ t t (2.76) Η ισότητα με τα πηλίκα διαφορικών αναφέρεται στην εξίσωση (2.68). Ο νόμος ροής και η συνθήκη διαρροής συνδυάζονται με τέτοιον τρόπο ώστε η διεύθυνση της πλαστικής ροής να προκύπτει από τη συνάρτηση διαρροής φ( σ ) με παραγώγιση ως προς την τάση σ. Με το s από την εξίσωση (2.78), η προσαύξηση της ισοδύναμης τάσης, εξίσωση (2.67), γίνεται : t t d s d D s d σ = σ = σ (2.77) και πρέπει να είναι μη θετική για ένα τελείως πλαστικό υλικό. Κατά την πλαστική ροή, η απαλοιφή του dσ εκφράζεται : t t s dη = s dγ 0 (2.78)

50 36 σε αντιστοιχία με την εξίσωση (2.70). Με το dη από την εξίσωση (2.76), προκύπτει από την εξίσωση (2.80) το μέγεθος της προσαύξησης της πλαστικής παραμόρφωσης 2 t dη = s dγ 0 (2.79) 3 καθώς η ανισότητα ανταποκρίνεται στην συνθήκη πλαστικής φόρτισης. Αντίστοιχα, η προσαυξημένη πλαστική παραμόρφωση δίνεται : 2 t t dη = s s dγ αν s dγ > 0 3 dη = 0 διαφορετικά (2.80) Η εξίσωση (2.82) περιγράφει τη ροή σε ένα τελείως πλαστικό υλικό όταν έχει φτάσει η κατάσταση διαρροής φ( σ ) = 0. Στη συνέχεια, θα γίνει μια εκτεταμένη αναφορά στους νόμους κράτυνσης ακολουθώντας το βιβλίο του κ. ολτσίνη - Elements of Plasticity Theory and Computation High Performance Structures and Materials [4] 2.4 Νόμοι Κράτυνσης Η κράτυνση περιγράφει την επιρροή της πλαστικής παραμόρφωσης στη συνθήκη διαρροής. Η ισότροπη κράτυνση είναι επαρκής για πλαστική παραμόρφωση υπό μονοτονικές συνθήκες φόρτισης, ενώ η κυκλική πλαστικότητα περιγράφεται καλύτερα από το κινηματικό μοντέλο.

51 Iσότροπη κράτυνση Σε αντίθεση με το τελείως πλαστικό μοντέλο, το κριτήριο διαρροής επηρεάζεται από την πλαστική παραμόρφωση για την περίπτωση των υλικών υπό κράτυνση. Τα χαρακτηριστικά τάσης παραμόρφωσης καλύπτουν την περιγραφή των μονοτονικά εφαρμοζόμενων μονοαξονικών τάσεων, αλλά αφήνουν χώρο για εναλλακτικές ερμηνείες σχετικά με τις γενικότερες συνθήκες φόρτισης. Το ισότροπο μοντέλο κράτυνσης υποθέτει ότι η πλαστική παραμόρφωση τροποποιεί τη συνθήκη φόρτισης ανεξάρτητα από τη διεύθυνση της προκαλούμενης τάσης. Στον κύριο χώρο των τάσεων, ο κυκλικός κύλινδρος που αντιπροσωπεύει την επιφάνεια διαρροής φ = 0 επεκτείνεται γύρω από τον υδροστατικό άξονα. Στο αποκλίνον επίπεδο, ο κύκλος ορίζεται από την ακτίνα r = 2/3 σ f από την αρχή. Η ακτίνα r ακολουθεί την αύξηση της τάσης διαρροής σ f με πλαστική παραμόρφωση (σχήμα 2.9). Αντίστοιχα, η ισότροπη κράτυνση τροποποιεί τη συνθήκη φόρτισης ως εξής : ( f ) φ σ, σ = σ σ 0 (2.81) f Η τάση διαρροής σ f ορίζεται ως μια συνάρτηση της ενσωματωμένης ισοδύναμης πλαστικής παραμόρφωσης η = dη μια βαθμωτή μέτρηση της πλαστικής παραμόρφωσης που υφίσταται το υλικό στα πλαίσια ενός τυχαίου προγράμματος φόρτισης. Η συναρτησιακή εξάρτηση σ f ( η ) θεωρείται χαρακτηριστικό του υλικού.

52 38 Μπορεί να συναχθεί από οποιοδήποτε πείραμα σε συνεχή πλαστική ροή στη μορφή: σ ( η) = σ( η) (2.82) f Για την εφελκυστική δοκιμή σ = σ και η = η, επομένως η σχέση: σ ( η) = σ( η) (2.83) f μπορεί να παραχθεί από δεδομένα μονοαξονικών δοκιμών. Σχ. 2.9 : Ισότροπη κράτυνση για την επιφάνεια διαρροής [4] Οι πλαστικές καταστάσεις ορίζονται από φ = 0 και κατά την πλαστική ροή dφ = 0. Σε σύνδεση με την εξίσωση (2.83), η συνθήκη συνοχής δίνει: dφ = 0 dσ = h dη = dσ και f 1 1 t dη = dσ = s dσ 0 h h (2.84)

53 39 όπου η εξίσωση (2.79) έχει χρησιμοποιηθεί για dσ. Ο παράγοντας κράτυνσης προσδιορίζεται από την κλίση του χαρακτηριστικού μονοαξονικής ροής σ ( n). h dσ dσ dη = f = (2.85) dη Η συνθήκη φόρτισης (εξίσωση 2.86) συνδέει την πλαστική ροή με την επέκταση της επιφάνειας διαρροής. Με το s όπως ορίζεται από την εξίσωση (2.78), η ισοδύναμη προσαύξηση της πλαστικής παραμόρφωσης αποτελεί μια συνέπεια της προσαύξησης της τάσης dσ που δείχνει εκτός της επιφάνειας διαρροής. Χρησιμοποιώντας την εξίσωση (2.86) για το dη στο νόμο ροής (εξίσωση 2.76), η προσαυξημένη πλαστική παραμόρφωση παίρνει τη μορφή : 1 t t dη = dη s= s s dσ για dσ = s dσ > 0 (2.86) h Σε προέκταση της εξίσωσης (2.78), η διεύθυνση της πλαστικής ροής συνδυάζεται με την επιφάνεια διαρροής που αναφέρεται στην πραγματική κατάσταση κράτυνσης. 3 1 φ s = σ D = σ σ σ = 2 f const. t (2.87) Υπέρθεση της προσαυξημένης πλαστικής παραμόρφωσης στην ελαστική προσδιορίζει την προσαύξηση της παραμόρφωσης για μια δεδομένη προσαύξηση της τάσης. G γ = ε + η = + σ h 1 2 t d d d k I s s d (2.88)

54 40 Αν μια προσαυξημένη τάση δεν ικανοποιεί τη συνθήκη για την πλαστική φόρτιση, η σχέση (2.89) θα πρέπει να μειωθεί στην ελαστική σχέση τάσης παραμόρφωσης. Η παραπάνω διατύπωση αποτυγχάνει να περιγράψει τελείως πλαστικά υλικά με h = 0 γιατί η τάση δεν μπορεί να διαφοροποιείται αυθαίρετα σε αυτήν την t περίπτωση, αλλά περιορίζεται από την συνθήκη dσ = s dσ = 0. Μια εναλλακτική t έκφραση προκύπτει σε όρους τάσης με dσ 2 G s [ dγ dη] ελαστικότητα στην εξίσωση (2.86) = από την 2 G t dη = s dγ 0 h+ 3 G (2.89) και με το νόμο ροής (εξίσωση 2.78), η προσαυξημένη πλαστική παραμόρφωση γίνεται: 2 G t t d η d η = s= s s d s d 0 h 3 G γ για γ > + (2.90) H προσαυξημένη τάση αντιστοιχεί σε: 2 G t d σ κ [ d γ d η ] κ = = Ι s s d h+ 3 G γ (2.91) Αυτή είναι η αντίστροφη σχέση της (2.89) και πρέπει να μειωθεί στην ελαστική εφόσον η προσαυξημένη παραμόρφωση dγ δεν ικανοποιεί την συνθήκη πλαστικής t φόρτισης s dγ > 0. Η τελείως πλαστική περίπτωση αναπαράγεται για h = 0.

55 Κινηματική κράτυνση Η ισοτροπία του νόμου κράτυνσης υπονοεί ότι στη μονοαξονική περίπτωση, η τάση διαρροής σ f που προκαλείται υπό εφελκυσμό εφαρμόζεται επίσης και στην επακόλουθη θλίψη και αντιστρόφως. Επομένως, η συνθήκη διαρροής που εκφράζεται από την εξίσωση (2.83) περιλαμβάνει ελαστικό εύρος τιμών της μονοαξονικής τάσης σ f σ σ f Η ελαστική περιοχή του δείγματος για εναλλασσόμενες ακολουθίες φόρτισης σε θλίψη και εφελκυσμό επεκτείνεται από την αρχική τάση 2σ s στην πραγματική 2σ μέσω της πλαστικής παραμόρφωσης (σχ. 2.10). f Σχ. 2.10: Παρουσίαση φαινομένου Bauschinger [4] Σύμφωνα με πειραματικές παρατηρήσεις, οι αναστροφές φόρτισης μειώνουν την + τάση διαρροής έτσι ώστε σ f < σ f το οποίο είναι γνωστό ως φαινόμενο Bauschinger. Σύμφωνα με αυτό, η αντοχή ενός υλικού κατά τη μία διεύθυνση μειώνεται όταν κατά την αντίθετη διεύθυνση έχει προηγηθεί πλαστική παραμόρφωση. Για να υπολογιστεί

56 42 αυτή η επιρροή, o κινηματικός νόμος κράτυνσης που προτάθηκε από τον Prager υποθέτει ότι η αρχική επιφάνεια διαρροής παραμένει σταθερή, αλλά μετακινείται κατά την ανάπτυξη της πλαστικής παραμόρφωσης. Στον κύριο χώρο τάσεων, η επιφάνεια διαρροής στο αποκλίνον επίπεδο ορίζεται από την εξίσωση: [ σ α t 2 ] [ σ α ] r = (2.92) DI Ι DI Ι o Αυτή η εξίσωση περιγράφει έναν κύκλο ακτίνας r = 2/3 σ με κέντρο μετακινημένο κατά α 1 από τον υδροστατικό άξονα. Το διάνυσμα α 1 είναι εξ ορισμού από τη φύση του αποκλίνον. Σε όρους τυχαίας τάσεως, το όριο διαρροής εκφράζεται: o s 2 = (2.93) 3 t 2 [ σ α ] [ σ α ] σ D D s Ορίζοντας την ισοδύναμη ποσότητα: σ = σ σ (2.94) t Κ ΚD ΚD με την κινηματική αποκλίνουσα τάση να δίνεται από τη διαφορά: σ σ α = Κ D D (2.95) η συνθήκη φόρτισης μπορεί να θεωρηθεί ανάλογη με την εξίσωση (2.83) ως εξής: φ ( σ, α) = σ σ s 0 (2.96) Κ Κ

57 43 Η εξίσωση (2.98) υποδηλώνει την κινηματική κράτυνση της επιφάνειας διαρροής από το αποκλίνον εντατικό διάνυσμα: { } xx yy zz xy yz xz a= a α α α α α (2.97) το οποίο μεταβάλλεται σε αναλογία με την προσαυξημένη πλαστική παραμόρφωση: 2 dα = C dη = h dη (2.98) 3 Σχ : Κινηματικό Μοντέλο Κράτυνσης [4] Το διάνυσμα α λαμβάνει υπόψη την απομένουσα μικροένταση (residual microstresses) στο υλικό ως αποτέλεσμα της πλαστικής παραμόρφωσης. Η διαφορά σ = σ είναι προφανώς η ενεργός τάση στο παρόν μοντέλο πλαστικότητας. KD D a Στην περίπτωση της μονοαξονικής τάσης σ όπου: 2 σ σ α α σd = σ 000, α = α (2.99)

58 44 η ισοδύναμη ποσότητα τάσης στην εξίσωση (2.98) γίνεται: 3 σ = σ Κ α 2 (2.100) H συνθήκη διαρροής τότε περιορίζει την ελαστική εντατική κατάσταση ως εξής: 3 σ s σ α σs (2.101) 2 η οποία μειώνει το άνοιγμα για ελαστικές ακολουθίες της τάσης από εφελκυσμό σε θλίψη και αντιστρόφως, σε 2σ s (σχήμα 2.11). Αν η πλαστική παραμόρφωση αναπτύσσεται υπό εφελκυστική δράση, η τάση ακολουθεί τα μονοαξονικά χαρακτηριστικά κράτυνσης: 3 3 σ = σs + a = σ f ( η) και a= σ f ( η) σs (2.102) 2 2 Στην αντιστροφή των τάσεων, το ελαστικό πεδίο περιορίζεται ως εξής: σ 2σ σ σ (2.103) f s f Από την εξίσωση (iv), για προσαυξητικές μεταβολές σε συνεχή φόρτιση: da = h dη = C dη και C = h (2.104) 2 2 3

59 45 Στην εξίσωση (2.104), η αναλογία dα = C dη χρησιμοποιείται μεταξύ των αξονικών παραγόντων και καθορίζει τον αναλογικό παράγοντα C όπως διατυπώθηκε στην σχέση (2.100). Η προσαυξημένη πλαστική παραμόρφωση παρουσιάζεται στη μορφή: dη = dη s K (2.105) Η διεύθυνση της πλαστικής ροής s K ορίζεται από: 3 1 σκ φκ = σ = 2 σ = σ σ s K KD Κ t t (2.106) και συνδυάζεται με την συνθήκη διαρροής της εξίσωσης (2.98). Η συνθήκη συνοχής κατά την πλαστική ροή είναι: dφ = dσ = 0. Με την εξίσωση (2.97) για το σ Κ : Κ Κ t K [ σ ] 0 dσ = s Κ d da = (2.107) Μέσω της εξίσωσης (2.100) για το da και της (2.107) για το dη : t 2 t sκ da= h sκ dη = h dη (2.108) 3 Αντικαθιστώντας στην εξίσωση (2.109): 1 t dη = sk dσ 0 (2.109) h

60 46 Η προσαυξημένη πλαστική παραμόρφωση της εξίσωσης (2.107) 1 t t dη = sk dσ για sk dσ > 0 (2.110) h τότε προκύπτει τυπικά να είναι τελείως ανάλογη με το προηγούμενο ισότροπο μοντέλο κράτυνσης. Παρομοίως, η έκφραση ως προς την προσαύξηση της παραμόρφωσης dγ αντί για dσ και την ολοκληρωμένη προσαυξημένη σχέση τάσης παραμόρφωσης είναι ανάλογες με εκείνες για ισότροπη κράτυνση. Η εξίσωση (2.110) προτείνει εισαγωγή της ποσότητας: t da = sk da = dσ f και a = da = σ f σ s (2.111) ως μια βαθμωτή μέτρηση της κινηματικής κράτυνσης. Επιπλέον για λόγους πληρότητας, σημειώνονται οι ακόλουθες σχέσεις: 2 3 =, = (2.112) t da da sk da da da Μεικτό Μοντέλο Κράτυνσης Ένας συνδυασμός κινηματικής και ισότροπης κράτυνσης μπορεί να προκύψει με την έκφραση της συνθήκης διαρροής στη μορφή: φμ = σκ σ is 0 (2.113)

61 47 Εν αντιθέσει με την σταθερή τάση σs στην εξίσωση (2.98), η παράμετρος του υλικού σ is, θεωρείται ότι διαφοροποιείται ανάλογα με την πλαστική παραμόρφωση: σ = σ ( η) και dσ = C dη (2.114) is is is is Για μονοαξονικό εφελκυσμό: 3 σ = σis ( η) + α = σ f ( η) (2.115) 2 όπως φαίνεται στο σχήμα Με παραγώγιση: dσ is 3 da 3 + = Cis + CK = h (2.116) dη 2 dη 2 όπου το C αναφέρεται στον κινηματικό όρο της εξίσωσης (2.100). Για C = 0 η K K εξίσωση (2.113) περιγράφει την ισότροπη κράτυνση. Για C s = 0 περιγράφει το κινηματικό μοντέλο κράτυνσης. Σχ : Μεικτό μοντέλο κράτυνσης [4]

62 Μια γενική οπτική της ελαστοπλαστικής καταστατικής περιγραφής Στον χώρο των απειροελάχιστων παραμορφώσεων, η παραμόρφωση γ θεωρείται να αποτελείται από ένα ελαστικό μέρος ε και ένα ανελαστικό η. Για προσαυξημένες ποσότητες: γ = ε + η = κ σ + η (2119) 1 d d d d d Η προσαύξηση της ελαστικής παραμόρφωσης dε συνδέεται με την εντατική προσαύξηση dσ μέσω του νόμου ελαστικότητας. Η μεταβολή dη της ανελαστικής παραμόρφωσης είναι το αποτέλεσμα της πλαστικής ροής. H θεωρία πλαστικότητας βασίζεται στη συνθήκη διαρροής: φ( σ, q) 0 (2.120) όπου η εντατική κατάσταση σ εισάγει τη συνάρτηση διαρροής φ και το q δηλώνει το παραμετρικό στοιχείο του διανύσματος που περιγράφει την στιγμιαία πλαστική κατάσταση του υλικού. Στη συνέχεια, με ευκολία προσδιορίζονται οι παράμετροι για το στοιχείο q για το μοντέλο κράτυνσης που παρουσιάστηκε. Η εξίσωση φ( σ, q) = 0 περιορίζει τον ελαστικό χώρο για την τάση σ στην στιγμιαία κατάσταση κράτυνσης. Περιγράφει μια κυρτή επιφάνεια στον εντατικό χώρο με παραμέτρους τις μεταβλητές κράτυνσης q. Για τάσεις μέσα στην επιφάνεια διαρροής ( φ( σ, q) < 0), το υλικό είναι σε ελαστική κατάσταση, ενώ οι τάσεις που βρίσκονται πάνω σε αυτήν ορίζονται ως πλαστικές.

63 49 Η πλαστική ροή επηρεάζει την επιφάνεια διαρροής των υλικών υπό κράτυνση. Θεωρείται η ακόλουθη σχέση μεταξύ της μεταβολής των παραμέτρων κράτυνσης και της πλαστικής παραμόρφωσης: dq = H dη (2.121) Ο νόμος ροής ορίζει την διεύθυνση της πλαστικής ροής με την εντατική κατάσταση στο φ( σ, q) = 0. Ο συνδυασμένος νόμος ροής προέρχεται από τη συνάρτηση διαρροής: t φ φ dη =Λ =Λ ( Λ 0) t σ σ (2.117) Ικανοποιεί τη συνθήκη κανονικότητας σε σχέση με την επιφάνεια διαρροής. Η συνεχής πλαστική ροή καθορίζεται από την απαίτηση dφ = 0, την συνθήκη συνοχής. Κάνοντας χρήση του νόμου κράτυνσης και του νόμου ροής: φ φ φ φ φ dφ = dσ + dq= dσ +Λ Η t σ q σ q σ (2.118) και 1 φ H φ Λ = φ dσ 0 t q σ σ (2.124) Από τη συνθήκη διαρροής, η πραγματοποίηση της πλαστικής ροής απαιτεί φ = 0 φ/ σ dσ > 0, το οποίο ορίζει την πλαστική συνθήκη φόρτισης. ιαφορετικά, και ( ) η αλλαγή της κατάστασης είναι ελαστική. Παρατηρείται ότι η δημιουργία της συνθήκης διαρροής πρέπει να είναι τέτοια ώστε η σύμβαση Λ > 0 να συναντάται

ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΤΟΧΗΣ ΥΛΙΚΩΝ. Γεώργιος Κ. Μπαράκος Διπλ. Αεροναυπηγός Μηχανικός Καθηγητής Τ.Ε.Ι. ΚΑΜΨΗ. 1.

ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΤΟΧΗΣ ΥΛΙΚΩΝ. Γεώργιος Κ. Μπαράκος Διπλ. Αεροναυπηγός Μηχανικός Καθηγητής Τ.Ε.Ι. ΚΑΜΨΗ. 1. ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΤΟΧΗΣ ΥΛΙΚΩΝ Γεώργιος Κ. Μπαράκος Διπλ. Αεροναυπηγός Μηχανικός Καθηγητής Τ.Ε.Ι. ΚΑΜΨΗ 1. Γενικά Με τη δοκιμή κάμψης ελέγχεται η αντοχή σε κάμψη δοκών από διάφορα

Διαβάστε περισσότερα

2. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ 3. ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΚΥΚΛΙΚΗ ΣΗΡΑΓΓΑ

2. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ 3. ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΚΥΚΛΙΚΗ ΣΗΡΑΓΓΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ 3. ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΚΥΚΛΙΚΗ ΣΗΡΑΓΓΑ 3. Παραδοχές Σήραγγα κυκλικής διατοµής (ακτίνα ) Συνθήκες επίπεδης παραµόρφωσης (κατά τον άξονα της σήραγγας z) Ισότροπη γεωστατική

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Μηχ. Μηχ. Α. Τσουκνίδας. Σχήμα 1

Δρ. Μηχ. Μηχ. Α. Τσουκνίδας. Σχήμα 1 Σχήμα 1 Εξαιτίας της συνιστώσας F X αναπτύσσεται εντός του υλικού η ορθή τάση σ: N σ = A N 2 [ / ] Εξαιτίας της συνιστώσας F Υ αναπτύσσεται εντός του υλικού η διατμητική τάση τ: τ = mm Q 2 [ N / mm ] A

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 1. Εισαγωγικές έννοιες στην μηχανική των υλικών Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 1 Περιεχόμενο μαθήματος Μηχανική των Υλικών: τμήμα των θετικών επιστημών που

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Πειραματική Αντοχή Υλικών. Ενότητα: Μονοαξονική Θλίψη

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Πειραματική Αντοχή Υλικών. Ενότητα: Μονοαξονική Θλίψη ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Πειραματική Αντοχή Υλικών Ενότητα: Μονοαξονική Θλίψη Κωνσταντίνος Ι.Γιαννακόπουλος Τμήμα Μηχανολογίας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ιαλέξεις 24-27 Τρίτη, 2, Τετάρτη, 3, Παρασκευή 5 komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk Πέτρος Κωµοδρόµος

ιαλέξεις 24-27 Τρίτη, 2, Τετάρτη, 3, Παρασκευή 5 komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk Πέτρος Κωµοδρόµος ΠΠΜ 220: Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι ιαλέξεις 24-27 Αρχή υνατών Έργων (Α Ε) Τρίτη, 2, Τετάρτη, 3, Παρασκευή 5 και Τρίτη, 9 Νοεµβρίου, 2004 Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

Σχήμα 1: Διάταξη δοκιμίου και όργανα μέτρησης 1 BUILDNET

Σχήμα 1: Διάταξη δοκιμίου και όργανα μέτρησης 1 BUILDNET Παραμετρική ανάλυση κοχλιωτών συνδέσεων με μετωπική πλάκα χρησιμοποιώντας πεπερασμένα στοιχεία Χριστόφορος Δημόπουλος, Πολιτικός Μηχανικός, Υποψήφιος Διδάκτωρ ΕΜΠ Περίληψη Η εν λόγω εργασία παρουσιάζει

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ενότητα 6: Διπλά Ολοκληρώματα Δρ. Περικλής Παπαδόπουλος Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε Κάντε κλικ για

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΠείραμαΚάμψης(ΕλαστικήΓραμμή) ΕργαστηριακήΆσκηση 7 η

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΠείραμαΚάμψης(ΕλαστικήΓραμμή) ΕργαστηριακήΆσκηση 7 η ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΠείραμαΚάμψης(ΕλαστικήΓραμμή) ΕργαστηριακήΆσκηση 7 η Σκοπός Σκοπός του πειράµατος είναι ο προσδιορισµός των χαρακτηριστικών τιµών αντοχής του υλικού που ορίζονταιστηκάµψη, όπωςτοόριοδιαρροήςσεκάµψηκαιτοόριοαντοχής

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Υπόδειξη: Στην ισότροπη γραμμική ελαστικότητα, οι τάσεις με τις αντίστοιχες παραμορφώσεις συνδέονται μέσω των κάτωθι σχέσεων:

Υπόδειξη: Στην ισότροπη γραμμική ελαστικότητα, οι τάσεις με τις αντίστοιχες παραμορφώσεις συνδέονται μέσω των κάτωθι σχέσεων: Μάθημα: Εδαφομηχανική Ι, 5 ο εξάμηνο. Διδάσκων: Ιωάννης Ορέστης Σ. Γεωργόπουλος, Π.Δ.407/80, Δρ Πολιτικός Μηχανικός Ε.Μ.Π. Θεματική περιοχή: Σχέσεις τάσεων παραμορφώσεων στο έδαφος. Ημερομηνία: Δευτέρα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανικές ιδιότητες υάλων. Διάγραμμα τάσης-παραμόρφωσης (stress-stain)

Μηχανικές ιδιότητες υάλων. Διάγραμμα τάσης-παραμόρφωσης (stress-stain) Μηχανικές ιδιότητες υάλων Η ψαθυρότητα των υάλων είναι μια ιδιότητα καλά γνωστή που εύκολα διαπιστώνεται σε σύγκριση με ένα μεταλλικό υλικό. Διάγραμμα τάσης-παραμόρφωσης (stress-stain) E (Young s modulus)=

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ Διευθυντής: Διονύσιος-Ελευθ. Π. Μάργαρης, Αναπλ. Καθηγητής ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 Περιεχόμενα Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών... 19 1.1 Σύνολα αριθμών... 19 1.2 Αλγεβρική δομή του R... 20 1.2.1 Ιδιότητες πρόσθεσης...

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 3 4 ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:.

Διαβάστε περισσότερα

Πλαστική Κατάρρευση Δοκών

Πλαστική Κατάρρευση Δοκών Πλαστική Κατάρρευση Δοκών ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Σταδιακή Μελέτη Πλαστικής Κατάρρευσης o Παράδειγμα 1 (ισοστατικός φορέας) o Παράδειγμα 2 (υπερστατικός φορέας) Αμεταβλητότητα Φορτίου Πλαστικής Κατάρρευσης Προσδιορισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός της κινηματικής είναι η περιγραφή της κίνησης του ρευστού Τα αίτια που δημιούργησαν την κίνηση και η αναζήτηση των δυνάμεων που την διατηρούν είναι αντικείμενο της

Διαβάστε περισσότερα

3 η Εργαστηριακή Άσκηση

3 η Εργαστηριακή Άσκηση 3 η Εργαστηριακή Άσκηση Βρόχος υστέρησης σιδηρομαγνητικών υλικών Τα περισσότερα δείγματα του σιδήρου ή οποιουδήποτε σιδηρομαγνητικού υλικού που δεν έχουν βρεθεί ποτέ μέσα σε μαγνητικά πεδία δεν παρουσιάζουν

Διαβάστε περισσότερα

8. 1 Βαθμωτά και διανυσματικά πεδία

8. 1 Βαθμωτά και διανυσματικά πεδία 8. 1 Βαθμωτά και διανυσματικά πεδία Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση f : 2 Ø που έχει ως πεδίο ορισμού ολόκληρο το επίπεδο 2 και τύπο f Hx, yl = 2 xy. Επειδή τα στοιχεία του ονομάζονται και βαθμωτά, η παραπάνω

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2015

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2015 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2015 4. Εισαγωγή στις Τάσεις και Παραμορφώσεις Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 4. Τάσεις και Παραμορφώσεις/ Μηχανική Υλικών 2015 1 Σκοποί ενότητας Να συμφιλιωθεί

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς Εργαστηριακή Άσκηση 4 Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας με τη διάταξη της αεροτροχιάς Βαρσάμης Χρήστος Στόχος: Μελέτη της ευθύγραμμης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ Πείραμα Στρέψης. ΕργαστηριακήΆσκηση 3 η

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ Πείραμα Στρέψης. ΕργαστηριακήΆσκηση 3 η ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ Πείραμα Στρέψης ΕργαστηριακήΆσκηση 3 η Σκοπός Σκοπός του πειράµατος είναι ηκατανόησητωνδιαδικασιώνκατάτηκαταπόνησηστρέψης, η κατανόηση του διαγράµµατος διατµητικής τάσης παραµόρφωσης η ικανότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ. 3 η Σειρά Ασκήσεων. 1. Υπολογισμός Διατμητικής Αντοχής Εδάφους. 2. Γεωστατικές τάσεις

ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ. 3 η Σειρά Ασκήσεων. 1. Υπολογισμός Διατμητικής Αντοχής Εδάφους. 2. Γεωστατικές τάσεις ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ 3 η Σειρά Ασκήσεων 1. Υπολογισμός Διατμητικής Αντοχής Εδάφους Συνοχή (c) Γωνία τριβής (φ ο ) 2. Γεωστατικές τάσεις Ολικές τάσεις Ενεργές τάσεις Πιέσεις πόρων Διδάσκοντες: Β. Χρηστάρας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 6 KΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Η θεωρία μεγίστων και ελαχίστων μιας πραγματικής συνάρτησης με μια μεταβλητή είναι γνωστή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε τη θεωρία μεγίστων και ελαχίστων

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα Θέματα Εξαμήνου - Matlab

Προτεινόμενα Θέματα Εξαμήνου - Matlab ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑ ΟΜΟΤΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΤΗΡΙΟ ΤΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΑΝΤΙΕΙΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ Ακαδ. Έτος: 2012-2013 Μάθημα: Εφαρμογές Ηλεκτρονικού Υπολογιστή Τρίτη, 27/11/2012 ιδάσκοντες:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Κάµψη καθαρή κάµψη, τάσεις, βέλος κάµψης

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Κάµψη καθαρή κάµψη, τάσεις, βέλος κάµψης 5.1. Μορφές κάµψης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Κάµψη καθαρή κάµψη, τάσεις, βέλος κάµψης Η γενική κάµψη (ή κάµψη), κατά την οποία εµφανίζεται στο φορέα (π.χ. δοκό) καµπτική ροπή (Μ) και τέµνουσα δύναµη (Q) (Σχ. 5.1.α).

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

Προχωρημένη Εδαφομηχανική Π. Ντακούλας, Αν. Καθηγητής Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας, Βόλος

Προχωρημένη Εδαφομηχανική Π. Ντακούλας, Αν. Καθηγητής Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας, Βόλος Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Προχωρημένη Εδαφομηχανική Π. Ντακούλας, Αν. Καθηγητής Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας, Βόλος Στόχος του μαθήματος Η μελέτη και εφαρμογή προχωρημένων καταστατικών σχέσεων για την

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος... 15. Οι συγγραφείς... 18

Πρόλογος... 15. Οι συγγραφείς... 18 Περιεχόμενα Πρόλογος... 15 Οι συγγραφείς... 18 1 Θεμελιώδεις έννοιες... 19 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 19 1.2 ΙΣΤΟΡΙΚΟ... 19 1.3 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ... 20 1.4 ΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ... 20 1.5 ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ...

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο Δ και ότι για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρικό δυναμικό Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρικό δυναμικό Θα συνδέσουμε τον ηλεκτρομαγνητισμό με την ενέργεια. Χρησιμοποιώντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας μπορούμε να λύνουμε διάφορα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί.

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί. O μετασχηματισμός Laplace αποτελεί περίπτωση ολοκληρωτικού μετασχηματισμού, κατά τον οποίο κατάλληλη συνάρτηση (χρονικό σήμα) μετατρέπεται σε συνάρτηση της «συχνότητας» μέσω της σχέσης. (1) Γενικότερα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΘΕΣΗ ΤΡΟΧΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΤΗΜΑ. Παρατηρώντας τις εικόνες προσπαθήστε να ορίσετε τις θέσεις των διαφόρων ηρώων των κινουμένων σχεδίων. Ερώτηση: Πότε ένα σώμα

Διαβάστε περισσότερα

Οριακή κατάσταση αστοχίας έναντι ιάτµησης-στρέψης- ιάτρησης

Οριακή κατάσταση αστοχίας έναντι ιάτµησης-στρέψης- ιάτρησης Σχεδιασµός φορέων από σκυρόδεµα µε βάση τον Ευρωκώδικα 2 Οριακή κατάσταση αστοχίας έναντι ιάτµησης-στρέψης- ιάτρησης Καττής Μαρίνος, Αναπληρωτής Καθηγητής ΕΜΠ Λιβαδειά, 26 Σεπτεµβρίου 2009 1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) Τμήμα Θ. Αποστολάτου & Π. Ιωάννου 1 Σειρές O Ζήνων ο Ελεάτης (490-430 π.χ.) στη προσπάθειά του να υποστηρίξει

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΕΙΔΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΕΙΔΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΕΙΔΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ Νικόλαος Ι. Ιωακειμίδης Ομότιμος Καθηγητής Πολυτεχνικής Σχολής Πανεπιστημίου Πατρών ΠΑΤΡΑ 2014 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

4 ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΛΑΣΤΙΚΗΣ ΡΟΗΣ... 91

4 ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΛΑΣΤΙΚΗΣ ΡΟΗΣ... 91 Θεωρία Πλαστικής Ροής, Κεφ. 4, Ι. Βαρδουλάκης 2009 91 4 ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΛΑΣΤΙΚΗΣ ΡΟΗΣ 4 ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΛΑΣΤΙΚΗΣ ΡΟΗΣ... 91 4.1 Εισαγωγή... 93 4.2 Ελαστικότητα... 93 4.3

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 ο 1. Aν ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ενός σώματος είναι σταθερός, τότε το σώμα: (i) Ηρεμεί. (ii) Κινείται με σταθερή ταχύτητα. (iii) Κινείται με μεταβαλλόμενη

Διαβάστε περισσότερα

1η Εργαστηριακή Άσκηση: Πείραµα εφελκυσµού µεταλλικών δοκιµίων

1η Εργαστηριακή Άσκηση: Πείραµα εφελκυσµού µεταλλικών δοκιµίων 1η Εργαστηριακή Άσκηση: Πείραµα εφελκυσµού µεταλλικών δοκιµίων 1.1. Σκοπός Οι σπουδαστές θα πρέπει να αναλύουν βήµα προς βήµα τους χειρισµούς που πρέπει να εκτελέσουν για να προσδιορίσουν πειραµατικά την

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. 1. Γενικά... 2. 2. Γεωμετρία κάτοψης ορόφων... 2. 3. Ορισμός "ελαστικού" άξονα κτιρίου... 2. 4. Προσδιορισμός του κυρίου συστήματος...

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. 1. Γενικά... 2. 2. Γεωμετρία κάτοψης ορόφων... 2. 3. Ορισμός ελαστικού άξονα κτιρίου... 2. 4. Προσδιορισμός του κυρίου συστήματος... ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Γενικά... 2 2. Γεωμετρία κάτοψης ορόφων... 2 3. Ορισμός "ελαστικού" άξονα κτιρίου.... 2 4. Προσδιορισμός του κυρίου συστήματος.... 3 5. Στρεπτική ευαισθησία κτιρίου... 3 6. Εκκεντρότητες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Στη συνέχεια θα δοθούν ορισμένες βασικές έννοιες μαθηματικών και φυσικήςμηχανικής που είναι απαραίτητες για την κατανόηση του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες Νίκος Ν. Αρπατζάνης Παράγωγος ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ y y = f(x) x φ y y y = f(x) x φ y y y = f(x) φ x 1 x 1 + х x x 1 x 1 + х x x 1 x tanϕ = y x tanϕ = dy dx

Διαβάστε περισσότερα

Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis)

Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis) Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis) Η μέθοδος PCA (Ανάλυση Κύριων Συνιστωσών), αποτελεί μία γραμμική μέθοδο συμπίεσης Δεδομένων η οποία συνίσταται από τον επαναπροσδιορισμό των συντεταγμένων ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. 2013-2014 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1. Τι ονομάζουμε: i. πληθυσμό και μέγεθος πληθυσμού; (σελ. 59) ii. μεταβλητή; (σελ.59-60) 2. Ποιες μεταβλητές ονομάζονται ποσοτικές; (σελ.60)

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2007 ΓΙΑ ΤΑ ΑΝΩΤΕΡΑ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΙΔΡΥΜΑΤΑ Μάθημα: ΦΥΣΙΚΗ Ηµεροµηνία και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΜΑΘΗΜΑ 1: Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Τίποτε δεν θεωρώ μεγαλύτερο αίνιγμα από το χρόνο και το χώρο Εντούτοις, τίποτε δεν με απασχολεί λιγότερο από αυτά επειδή ποτέ δεν τα σκέφτομαι Charles

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 5 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση.. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού

ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 1. Oρισμοί Διάνυσμα ονομάζεται η μαθηματική οντότητα που έχει διεύθυνση φορά και μέτρο.

Διαβάστε περισσότερα

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ENOTHTA. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο. Πώς προσδιορίζουμε τη θέση των αντικειμένων; A O M B ' y P Ì(,y) Ð Για τον προσδιορισμό της θέσης πάνω σε μία ευθεία πρέπει να έχουμε ένα σημείο της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΜΕΡΟΣ ΙΙ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ 36 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Πολλές από τις αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Κεφάλαιο 2 ο : Η Ζήτηση των Αγαθών ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΝΙΚΟΣ Χ. ΤΖΟΥΜΑΚΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΣ Οι τιμές των αγαθών προσδιορίζονται στην αγορά από την αλληλεπίδραση της ζήτησης και της προσφοράς.

Διαβάστε περισσότερα

10. Η επιδίωξη της μέγιστης χρησιμότητας αποτελεί βασικό χαρακτηριστικό της συμπεριφοράς του καταναλωτή στη ζήτηση αγαθών.

10. Η επιδίωξη της μέγιστης χρησιμότητας αποτελεί βασικό χαρακτηριστικό της συμπεριφοράς του καταναλωτή στη ζήτηση αγαθών. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 : Η ΖΗΤΗΣΗ Να σημειώσετε το σωστό ή το λάθος στο τέλος των προτάσεων: 1. Όταν η ζήτηση ενός αγαθού είναι ελαστική, η συνολική δαπάνη των καταναλωτών για το αγαθό αυτό μειώνεται καθώς αυξάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα.

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα. i Π Ρ Ο Λ Ο Γ Ο Σ Το βιβλίο αυτό αποτελεί μια εισαγωγή στα βασικά προβλήματα των αριθμητικών μεθόδων της υπολογιστικής γραμμικής άλγεβρας (computational linear algebra) και της αριθμητικής ανάλυσης (numerical

Διαβάστε περισσότερα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα Δύο λόγια από τη συγγραφέα Τα μαθηματικά ή τα λατρεύεις ή τα μισείς! Για να λατρέψεις κάτι πρέπει να το κατανοήσεις, για τη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα μάλλον είναι λίγο πιο απλά. Στόχος αυτού του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟ ΤΙΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΤΑ ΜΕΓΕΘΗ Ή ΤΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ; ΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΜΕΛΕΤΗΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ y=ax+b ΜΕ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ

ΑΠΟ ΤΙΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΤΑ ΜΕΓΕΘΗ Ή ΤΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ; ΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΜΕΛΕΤΗΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ y=ax+b ΜΕ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ 176 1 ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΑΠΟ ΤΙΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΤΑ ΜΕΓΕΘΗ Ή ΤΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ; ΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΜΕΛΕΤΗΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ y=ax+b ΜΕ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ Σωτηρόπουλος Παναγιώτης 1 -

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 11 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 15. 10. Εσχάρες... 17

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 11 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 15. 10. Εσχάρες... 17 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 11 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 15 10. Εσχάρες... 17 Γενικότητες... 17 10.1 Κύρια χαρακτηριστικά της φέρουσας λειτουργίας... 18 10.2 Στατική διάταξη και λειτουργία λοξών γεφυρών... 28 11. Πλάκες...

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΣΠΥΡΙΔΩΝΑ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011-2012 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΣΠΥΡΙΔΩΝΑ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011-2012 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΠΥΡΙΔΩΝΑ ΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011-2012 ΓΡΑΠΤΕ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕ ΕΞΕΤΑΕΙ ΦΥΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 31-05-2012 ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 07.45 10.15 Οδηγίες 1. Το εξεταστικό δοκίμιο αποτελείται από 9 σελίδες.

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι. Δημόπουλος Τμήμα Διοίκησης Μονάδων Υγείας και Πρόνοιας -ΤΕΙ Καλαμάτας ΚΑΠΟΙΟΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΕΝΝΟΙΕΣ Ν = {1,2,3,...} το σύνολο των φυσικών αριθμών Ζ = {0, ±1, ±2, ±3,..

Διαβάστε περισσότερα

Νέα έκδοση προγράμματος STeel CONnections 2010.354

Νέα έκδοση προγράμματος STeel CONnections 2010.354 http://www.sofistik.gr/ Μεταλλικές και Σύμμικτες Κατασκευές Νέα έκδοση προγράμματος STeel CONnections 2010.354 Aξιότιμοι συνάδελφοι, Κυκλοφόρησε η νέα έκδοση του προγράμματος διαστασιολόγησης κόμβων μεταλλικών

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Π Ρ Ο Σ Α Ν Α Τ Ο Λ Ι Σ Μ Ο Υ Θ Ε Τ Ι Κ Ω Ν Σ Π Ο Υ Δ Ω Ν, Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ & Π Λ Η Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Η Σ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΕΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

ΦΥΣΙΚΕΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 1. Γενικά 2. Φυσικές ιδιότητες 3. Μηχανικές ιδιότητες 4. Χημικές ιδιότητες 5. Τεχνολογικές ιδιότητες 1. ΓΕΝΙΚΑ Τα υλικά που χρησιμοποιούνται, για να κατασκευασθεί

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΟΡΟΙ ΚΑΙ ΔΙΕΘΝΕΣ ΕΜΠΟΡΙΟ: ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ HECKSCHER-OHLIN

3. ΠΟΡΟΙ ΚΑΙ ΔΙΕΘΝΕΣ ΕΜΠΟΡΙΟ: ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ HECKSCHER-OHLIN 3. ΠΟΡΟΙ ΚΑΙ ΔΙΕΘΝΕΣ ΕΜΠΟΡΙΟ: ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ HESHER-OHIN Υπάρχουν δύο συντελεστές παραγωγής, το κεφάλαιο και η εργασία τους οποίους χρησιμοποιεί η επιχείρηση για να παράγει προϊόν Y μέσω μιας συνάρτησης παραγωγής

Διαβάστε περισσότερα

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat 4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή εισάγει το Θεώρημα Fermat και στη συνέχεια την απόδειξή του. Ακολούθως εξετάζεται η χρήση του στον εντοπισμό πιθανών τοπικών

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες Κεφάλαιο Συστήματα γραμμικών εξισώσεων Παραδείγματα από εφαρμογές Παράδειγμα : Σε ένα δίκτυο (αγωγών ή σωλήνων ή δρόμων) ισχύει ο κανόνας των κόμβων όπου το άθροισμα των εισερχόμενων ροών θα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μηχανικής Ρευστών. Εργασία 1 η : Πτώση πίεσης σε αγωγό κυκλικής διατομής

Εργαστήριο Μηχανικής Ρευστών. Εργασία 1 η : Πτώση πίεσης σε αγωγό κυκλικής διατομής Εργαστήριο Μηχανικής Ρευστών Εργασία 1 η : Πτώση πίεσης σε αγωγό κυκλικής διατομής Ονοματεπώνυμο:Κυρκιμτζής Γιώργος Σ.Τ.Ε.Φ. Οχημάτων - Εξάμηνο Γ Ημερομηνία εκτέλεσης Πειράματος : 12/4/2000 Ημερομηνία

Διαβάστε περισσότερα

Επίδραση υψηλών θερμοκρασιών στη συνάφεια χάλυβα σκυροδέματος

Επίδραση υψηλών θερμοκρασιών στη συνάφεια χάλυβα σκυροδέματος Επίδραση υψηλών θερμοκρασιών στη συνάφεια χάλυβα σκυροδέματος Κ.Γ. Τρέζος, Δ.Θ. Σαγιάς Εργαστήριο Ωπλισμένου Σκυροδέματος Ε.Μ.Π. Λέξεις κλειδιά: Συνάφεια, χάλυβας οπλισμού σκυροδέματος, πυρκαγιά, υψηλές

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Καθηγητής κ. Σ. Νατσιάβας Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων Στοιχεία Φοιτητή Ονοματεπώνυμο: Νατσάκης Αναστάσιος Αριθμός Ειδικού Μητρώου:

Διαβάστε περισσότερα