πρόσωπο ε σαγωγικ κείµενα γι τ ηµήτριος Γερούκαλης ΑΝΤΙΦΩΝΟ σ µι προβληµατικ ξόδου π τ ν κρίση τ ς νεωτερικότητας

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "πρόσωπο ε σαγωγικ κείµενα γι τ ηµήτριος Γερούκαλης ΑΝΤΙΦΩΝΟ σ µι προβληµατικ ξόδου π τ ν κρίση τ ς νεωτερικότητας"

Transcript

1 ηµήτριος Γερούκαλης ε σαγωγικ κείµενα γι τ πρόσωπο σ µι προβληµατικ ξόδου π τ ν κρίση τ ς νεωτερικότητας πιµέλεια, ε σαγωγή: Σωτήρης Μητραλέξης ΑΝΤΙΦΩΝΟ

2 2

3 ε σαγωγικ κείµενα γι τ πρόσωπο σ µι προβληµατικ ξόδου π τ ν κρίση τ ς νεωτερικότητας ΗΜΗΤΡΙΟΣ ΓΕΡΟΥΚΑΛΗΣ π τ διέξοδο το Ε κλείδειου ριστοτελικο Κόσµου στ ν Μ -Γραµµικ υναµική: τ νυπόστατον το Προσώπου κα ντολογία του νάδειξη το Προσώπου ς Πρόταση ξόδου π τ ν Κρίση τ ς Νεωτερικότητας ΒΟΗΘΗΤΙΚΑ ΚΕΙΜΕΝΑ: ΒΛΑ ΙΜΗΡΟΣ ΛΟΣΣΚΥ Θεολογικ ννοια το νθρωπίνου Προσώπου ΙΩΑΝΝΗΣ Π. ΖΩΗΣ Θεολογία κα Θεµελιώδεις πιστ µες Ι: Θεολογία κα Μαθηµατικ Λογική Θεολογία κα Θεµελιώδεις πιστ µες ΙΙ: Θεολογία κα Κοσµολογία πιµέλεια, ε σαγωγή: Σωτήρης Μητραλέξης 3

4 4

5 Περιεχόµενα Ε σαγωγ Σωτήρη Μητραλέξη, ηµητρίου Γερούκαλη 7 ΒΛΑ ΙΜΗΡΟΥ ΛΟΣΣΚΥ Θεολογικ ννοια το νθρωπίνου Προσώπου 11 ΙΩΑΝΝΗ Π. ΖΩΗ Θεολογία κα Θεµελιώδεις πιστ µες Ι: Θεολογία κα Μαθηµατικ Λογική 21 ΙΩΑΝΝΗ Π. ΖΩΗ Θεολογία κα Θεµελιώδεις πιστ µες ΙΙ: Θεολογία κα Κοσµολογία 35 ΗΜΗΤΡΙΟΥ ΓΕΡΟΥΚΑΛΗ π τ διέξοδο το Ε κλείδειου ριστοτελικο Κόσµου στ ν Μ -Γραµµικ υναµική: τ νυπόστατον το Προσώπου κα ντολογία του 47 ΗΜΗΤΡΙΟΥ ΓΕΡΟΥΚΑΛΗ νάδειξη το Προσώπου ς Πρόταση ξόδου π τ ν Κρίση τ ς Νεωτερικότητας 71 5

6 6

7 Ε σαγωγή Τ ντίφωνο ( διοργανώνει δηµόσιο διάλογο γι τ ν φιλοσοφικ κα θεολογικ ννοια το Προσώπου. Μέσα π διαδικτυακ ς ζυµώσεις καλο νται σοι χουν σχοληθε συγγραφικ µ τ ν ννοια το Προσώπου λλ κα ο πλο διαδικτυοδίφες ν καταθέσουν τ ς πόψεις τους κα τ ς θέσεις τους π τ βάσει ν ς µικρο κειµένου θέσεων-προ ποθέσεων. Κορύφωση τ ς διαδικασίας θ ποτελέσει κδήλωση στ ς 15 κτωβρίου 2010, στ ς στ πατάρι το ρµο, που τ ς τελικ ς κα κτενε ς ε σηγήσεις π το θέµατος θ πραγµατοποιήσουν, λαµβάνοντας π ψιν τ συζητηθέντα, ο Θεόδωρος Ζιάκας, π. Νικόλαος Λουδοβίκος κα ηµήτριος Γερούκαλης. Μέχρι τότε καλο νται σοι τ πιθυµο ν π α το ς πο χουν σχοληθε συγγραφικ µ τ ζήτηµα το Προσώπου ν τοποθετηθο ν π το κειµένου θέσεων-προ ποθέσεων ε τε µ να κείµενό τους 1-2 σελίδων ε τε µ µι 10λεπτη ε σήγηση στ ν κάµερα το ντιφώνου. Τ κείµενα θ µοιραστο ν στο ς παρισταµένους στ ν κδήλωση στ ς 15/10, ν τ ποσπάσµατα βίντεο θ προβληθο ν πρ ν π τ ς ε σηγήσεις τ ν τρι ν µιλητ ν. Στόχος ε ναι ν κδοθε µεσοπρόθεσµα να βιβλίο ς καρπ ς α το το διαλόγου, τόσο µ τ ς σύντοµες ε σηγήσεις τ ν ε ρύτερα συµµετεχόντων σο κα µ τ ς ε σηγήσεις τ ν τρι ν µιλητ ν στ ν κδήλωση. Ο µ ε δικο νδιαφερόµενοι µπορο ν ν συζητήσουν τ θέµα διαδικτυακ ς στ ν ε δικ σελίδα το ντιφώνου. Γι τ ν προετοιµασία τους χει τυπωθε α τ δ τ βιβλίο µ πέντε ε σαγωγικ κείµενα γι τ Πρόσωπο, τ ν Βλαδιµήρου Λόσσκυ, ωάννη Ζώη κα ηµήτρη Γερούκαλη. 7

8 δέα ταν το ηµητρίου Γερούκαλη, ψυχιάτρου κ Κώου: π τότε πο ο µελέτες το Χρήστου Γιανναρ (Τ Πρόσωπο κα ρως) κα το ωάννη Ζηζιούλα ε σήγαγαν τ ν ννοια το Προσώπου στ ν νεοελληνικ σκέψη χει κυλήσει πολ νερ στ α λάκι. Μ ποτέλεσµα ν χρειάζεται πλέον να ξεκαθάρισµα µεταξ τ ν πιγόνων: πολλ ς φορ ς ρθρώνονται πόψεις κα θέσεις σχετικ µ τ Πρόσωπο πο βρίσκονται πραγµατικ «στ ν κόψη το πισφαλο ς». ρχ κ τ ν ν ο κ νευ τ ν περ το Προσώπου ναζητήσεων ε ναι τι α τ ς δ ν µπορο ν ν κπέσουν σ δεολογία κα πλ νταλλαγ θέσεων κα τοποθετήσεων χωρ ς ν χάσουν τ ν ποφατικό τους χαρακτήρα παρ λα τα τα, πιστεύουµε τι να ξεκαθάρισµα ρων- ρισµ ν δ ν βλαψε ποτ κανέναν. λπίζουµε δ πιχειρούµενος διάλογος ν βάλει να λιθαράκι σ α τ ν τ ν προσπάθεια. Σωτήρης Μητραλέξης διαχειριστ ς το «φοιτητικο ντιφώνου» 8

9 κολουθε τ κείµενο θέσεων-προ ποθέσεων το ηµητρίου Γερούκαλη: ρθοδοξία, ντ ν ποτελε συµπαγ χ ρο κα τρόπο κφράσεως το νθρώπου, ναδείξεως τ ς πολλ ς γάπης το Θεο και µάντα πορείας πρ ς τ ν θέωση, «ταλανίζεται», «δοκιµάζεται» π πόψεις, θέσεις, συγκρίσεις, παραλληρισµούς, µεταπατερικ ς ναλύσεις, λειτουργικο ς φιλελευθερισµο ς κα φορτία τ ποία ο τε πεδίωξε, ο τε πιτρέπει. λλ µε ς, σύγχρονος, µ λλον «µικρ ς» νθρωπος, κατ Γρηγόριο Νύσσης, ς λλοι Προκρο στες προσπαθο µε ν προσδιορίσουµε τ ρια τ ς κτιστότητας κα τ ρια τ ς «παφ ς» µ τ ν κτιστο κόσµο ( ρµηνε ες, ναγωγές, ψυχολογικ ς θεωρίες κ.λπ.). Προσπαθο µε ν ε σαγάγουµε τ φθαρτ στ ν κτιστη νέργεια! κτιστος Θε ς βουλήθηκε κα βούλησή του λοποιήθηκε σ αισθητ κα µ α σθητ Κτίση. τσι πάρχουν ο ξ ς πραγµατικότητες: 1. πραγµατικότητα το κτιστου Τριαδικο Θεο. 2. πραγµατικότητα τ ς Κτίσεως ς ποτέλεσµα τ ς θείας βουλήσεως, δηλαδ ς πραγµάτωση το βουλήµατος το Θεο πο ποδιαιρε ται: α. σ µ α σθητ Κτίση θέατου µεγαλείου. β. σ α σθητ Κτίση τεράστιας διαστάσεως, κτάσεως, γκου, ποκιλίας και δυνάµεως. γ. σ µεικτ π α σθητ κα µ α σθητ στοιχε ο Κτίση, τ ν «µέγα κα µικρ ν νθρωπο», κατ τ ν Γρηγόριο τ ν Νύσσης. Θ προσπαθήσουµε ν µιλήσουµε γι ρισµένες βασικ ς θέσεις, γιατ ρισµένα πράγµατα ε ναι σπρο µα ρο, γκρ µως δ ν ε ναι. 9

10 1) κ το µηδεν ς δηµιουργία το νθρώπου κα τ ς φύσεως, π τ ν πειρη γάπη το Θεο, ς φετηρία τ ς πορείας π τ κατ ε κόνα στ καθ µοίωση. 2) φθαρτ ς νθρωπος ε ναι καθηλωµένος στ ν κόσµο τ ν α σθήσεων, πως α τ ς ρίζεται π τ ν Ε κλείδεια γεωµετρία, τ ν ριστοτελικ φιλοσοφία ς τ ν Νευτώνεια φυσική. 3) νάδειξη το Προσώπου πιτρέπει στ ν νθρωπο ν µετέχει το µ α σθητο κόσµου (Μ Ε κλείδειες Γεωµετρίες) κα το παρέχει τ ν δυνατότητα τ ς πορείας πρ ς τ ν θέωση. 4) θεολογία κα νθρωπολογία τ ν Πατέρων, π τ ν 3ο κα 4ο µ.χ. α ώνα, δράζεται στ ν Τριαδικότητα το Θεο. Σύµφωνα δ µ α τήν, «µέτρον πάντων Χριστός». 5) ψυχολογία ναφέρεται µόνον στ ν κόσµο το α σθητο, χρησιµοποιε δ λικ χαρακτηριστικ κα γνωρίσµατα πο πάρχουν, πορρέουν κα τελειώνουν στ ν φθαρτ νθρωπο. ποστατική ντολογία κα τ Πρόσωπο κινο νται πρ ς τ Θε ο, λκόµενα π τ ς κτιστες νέργειές Του. Ο λόγοι τ ν ντων, ς θελήµατα τ ς θείας βουλήσεως, ποτυπώνονται στ ν λη κτίση κα ξάρτηση τ ν κτιστ ν ντων καθορίζεται π τ δυναµικ πορεία το κτιστο πρ ς τ κτιστο, κατ τ στάδια τ ς τελειώσεως κα χι π κλειστ ρχέτυπα κλειστο ς τύπους. ρ. ηµήτριος Γερούκαλης Νευρολόγος Ψυχίατρος Σεπτέµβριος 2010 Κ ς 10

11 ΒΛΑ ΙΜΗΡΟΣ ΛΟΣΣΚΥ Θεολογικ ννοια το νθρωπίνου Προσώπου ν χω τ ν πρόθεση ν κάνω µι κθεση πάνω στ ν ννοια το νθρώπινου προσώπου πο ε χαν ο Πατέρες τ ς κκλησίας µερικο λλοι χριστιανο θεολόγοι. κόµα κα ν θέλαµε ν τ ν κάνουµε, θ πρεπε ν διερωτηθο µε προηγουµένως κατ πόσο πιθυµία µας, ν βρο µε µι διδασκαλία γι τ νθρώπινο πρόσωπο στο ς Πατέρες τ ν πρώτων α ώνων, ε ναι θεµιτή. θ ταν το το ραγε σ ν θέλαµε ν το ς ποδώσουµε συλλήψεις πο σως µειναν ξένες πρ ς α το ς κα πο ν τούτοις θ το ς ποδίδαµε, χωρ ς ν' ντιλαµβανόµαστε ς ποι σηµε ο, µ τ τρόπο µας πο συλλαµβάνουµε τ νθρώπινο πρόσωπο, ξαρτόµαστε π µι πολυσύνθετη φιλοσοφικ παράδοση, π µι σκέψη πο κολούθησε πολ διαφορετικο ς δρόµους π κε νον πο θ δικαιο νταν ν πικαλεσθ τ ν καθαρ θεολογικ παράδοση; Γι ν' ποφύγουµε α τ τ ε δος τ ς συνείδητης σύγχυσης, γι ν µ πλανηθο µε µ συνειδητο ς ναχρονισµο ς βάζοντας να Μπεργκσ ν µέσα στ ν γιο Γρηγόριο Νύσσης να Χέγκελ µέσα στ ν γιο Μάξιµο τ ν µολογητή, θ πόσχουµε γι τ ν ρα π κάθε προσπάθεια ν ξαναβρο µε δι µέσου τ ν κειµένων τ ς γραµµ ς µι ς διδασκαλίας ( διδασκαλι ν) πο ναπτύχθηκε γι τ νθρώπινο πρόσωπο, τσι πως σως µπορο ν ν χουν παρουσιασθ κατ τ διάρκεια τ ς στορίας τ ς χριστιανικ ς θεολογίας. Προσωπικά, πρέπει ν µολογήσω τι, µέχρι σήµερα, δ ν συνάντησα α τ πο θ µπορο σε κανε ς ν νοµάση πεξεργασµένη διδασκαλία γι τ νθρώπινο πρόσωπο, µέσα στ πατερικ θεολογία, πλάι σ σαφέστατες διδασκαλίες πάνω στ θε α πρόσωπα τ ς θε ες ποστάσεις. πάρχει µως µι χριστιανικ νθρωπολογία ξ σου σφαλ ς στο ς Πατέρες τ ν πρώτων κτ α ώνων, πως ργότερα στ Βυζάντιο στ ύση, κα ε ναι περιττ ν λέη κανε ς τι α τ ς ο διδασκαλίες το νθρώπου ε ναι σαφ ς περσοναλιστικές. θ µπορο σε ν συµβαίνη διαφορετικ γι µι θεολογικ σκέψη θεµελιωµένη πάνω στ ν ποκάλυψη ν ς ζ ντος κα προσωπικο Θεο, πο δηµιούργησε τ ν νθρωπο «κατ' ε κόνα κα µοίωσιν». ν θ προτείνω, λοιπόν, µι ν ναζήτηση το στορικο τ ν χριστιανικ ν διδασκαλι ν, λλ µονάχα µερικ ς θεολογικ ς σκέψεις πάνω στ ς παιτήσεις πρ ς τ ς πο ες πρέπει ν' νταποκρίνεται δέα το νθρώπινου προσώπου µέσα στ συµφραζόµενα το χριστιανικο δόγµατος. Θ πρέπει ν πο µε µερικ ς λέξεις πάνω στ θε α Πρόσωπα, προτο θέσουµε τ ρώτηµα: τί ε ναι τ νθρώπινο πρόσωπο γι τ θεολογικ σκέψη; Α τ σύντοµη τριαδικ περίληψη δ ν θ µ ς ποµακρύνει π τ θέµα µας. 11

12 Γι ν κφράσουν καλλίτερα τ ν προσωπικ πραγµατικότητα ν Θε, µ λλον τ ν πραγµατικότητα ν ς προσωπικο Θεο, πραγµατικότητα πο δ ν ε ναι µονάχα νας ο κονοµικ ς τρόπος κδήλωσης µι ς πρόσωπης ν αυτ µονάδας, λλ ρχικ ς κα πόλυτος ρος ν ς Θεο -Τριάδας µέσα στ ν περβατικότητά του- ο λληνες Πατέρες προτίµησαν π τ ν ρο πρόσωπο κε νον τ ς πόστασης γι ν ποδείξουν τ θε α πρόσωπα. σκέψη πο διακρίνει τ ν ο σία κα τ ν πόσταση ν Θε χρησιµοποιε τ µεταφυσικ λεξιλόγιο, κφράζεται µ το ς ρους µι ς ντολογίας, ρους πο χουν δ τ ν ξία τυπικ ν σηµείων µ λλον παρ ννοι ν, γι ν ποσηµειώσουν τ ν πόλυτη ταυτότητα κα τ ν πόλυτη διαφορά. ταν µι φεύρεση ρων ν ε σάγει κανε ς µι διάκριση µεταξ δυ συνωνύµων, γι ν κφράση τ µείωτο τ ς πόστασης πρ ς τ ν ο σία, το προσώπου πρ ς τ ν ο σία, χωρ ς µως ν τ ς ντιτάξη σ δυ διαφορετικ ς πραγµατικότητες. Το το θ πιτρέψει στ ν γιο Γρηγόριο τ Ναζιανζην ν π : «Υ ς δ ν ε ναι Πατέρας, φο δ ν πάρχει παρ νας µόνος Πατέρας, λλ ε ναι α τ πο ε ναι Πατέρας, τ γιο Πνε µα, παρ' λο πο κπορεύεται π τ Θεό, δ ν ε ναι Υ ός, φο δ ν πάρχει παρ νας µοναδικ ς Υ ός, λλ ε ναι α τ πο ε ναι Υ ς» ρ. 31 παρ. 9). πόσταση ε ναι α τ πο ε ναι ο σία, λαβαίνει λες τ ς διότητες λες τ ς ρνήσεις πο µπορο ν ν διατυπωθο ν σχετικ µ τ ν «περουσία», λλ δ µένει λιγότερο µείωτη πρ ς τ ν ο σία. Α τ τ µείωτο δ µπορε ν συλληφθ ο τε ν κφρασθ, παρ µέσα στ σχέση τ ν τρι ν ποστάσεων, πο κυριολεκτικά, δ ν ε ναι «τρε ς», λλ «Τριενότητα». Μιλώντας γι τρε ς ποστάσεις, κάνουµε κιόλας µι ν θέλητη φαίρεση: ν θέλαµε ν γενικεύσουµε κα ν κάνουµε µι ν ννοια µ τ ν «θεία πόσταση», θ πρεπε ν πο µε τι µόνος κοιν ς προσδιορισµ ς θ ταν τ δύνατο κάθε κοινο προσδιορισµο τ ν τρι ν ποστάσεων. Μοιάζουν, ξ α τίας το γεγονότος τι δ ν µοιάζουν µ λλον, γι ν περβ κανε ς τ ν σχετικ ννοια τ ς µοιότητας πο δ ν χει θέση δ, θ πρέπει ν π τι πόλυτος χαρακτήρας τ ς διαφορ ς τους πονοε µι ν πόλυτη ταυτότητα, κτ ς π τ ν ποία δ µπορε κανε ς ν µιλήση γι ποστάσεις τ ς Τριενότητας. πως τ Τρία δ δ ν ε ναι νας ριθµ ς πολογισµο, λλ σηµειώνει να ξεπέρασµα πειρο τ ς δυάδας- ντίθεσης µέσα στ ν Τριάδα καθαρ ς διαφορ ς (Τριάδα πο µένει ση πρ ς τ Μονάδα), µοια πόσταση ς τέτοια, καθ ς ε ναι µείωτη πρ ς τ ν ο σία, δ ν ε ναι µι ννοιολογικ κφραση, λλ να σηµε ο πο ε σάγει µέσα στ ν περιοχ το γενικεύσιµου νόµατος, ποδείχνοντας τ ν ριζικ προσωπικ χαρακτήρα το Θεο τ ς χριστιανικ ς ποκάλυψης. ο σία µως κα πόσταση παραµένουν συνώνυµα κα κάθε φορ πο θέλει κανε ς ν κάνη µι διάκριση µεταξ τ ν δύο 12

13 ρων, ποδίδοντάς τους να διάφορο περιεχόµενο, ξαναπέφτει ναπόφευχτα µέσα στ ν περιοχ τ ς ννοιολογικ ς γνώσης: ντιτάσσει κανε ς τ γενικ πρ ς τ διαίτερο, τ «δεύτερη ο σία» πρ ς τ ν τοµικ ο σία, τ γένος τ ε δος πρ ς τ τοµο. Ε ναι α τ πο βρίσκουµε π.χ. στ χωρίο το Θεοδώρητου: (Α' ιάλογος το ρανιστ, P.G. 83, Col. 33): «Κατ τ βέβηλη φιλοσοφία δ ν πάρχει καµµι διαφορ µεταξ τ ς ο σίας κα τ ς πόστασης. Γιατί ο σία σηµαίνει τ ν κα πόσταση α τ πο φίσταται (τ φεστός). λλ κατ τ διδασκαλία τ ν Πατέρων, πάρχει µεταξ τ ς ο σίας κα τ ς πόστασης δια διαφορ πως µεταξ το κοινο κα το διαίτερου, δηλαδ πως µεταξ το γένους το ε δους κα το τόµου». δια κπληξη µ ς περιµένει στ ν γιο ωάννη τ αµασκηνό. Μέσα στ «ιαλεκτική» πο ε ναι να ε δος φιλοσοφικο προοιµίου τ ς κθεσής του γι τ χριστιανικ δόγµα, αµασκην ς λέει τ ξ ς (κέφ. 42 P.G. 94, Κόλ. 612): «λέξη πόσταση χει δυ σηµασίες. Πότε σηµαίνει πλ τ ν παρξη κατ' α τ τ ν σηµασία, ο σία κα πόσταση ε ναι τ διο πράγµα. δο γιατ µερικο Πατέρες ε παν «ο φύσεις ο ποστάσεις». Πότε ποδείχνει α τ πο πάρχει π µόνο του κα κατ τ ν ο σία πο συστήνεται ξ δίων (τ ν καθ' α τ κα διοσύστατην παρξη). Κατ τ σηµασία α τ ποδείχνει τ τοµο τ ριθµητικ διάφορο π κάθε λλο, π.χ.: Πέτρος, Πα λος, να ρισµένο λογο». Ε ναι σαφ ς π ς νας τέτοιος προσδιορισµ ς τ ς πόστασης δ µπορο σε ν χρησιµεύση παρ ς προοίµιο τ ς τριαδικ ς θεολογίας, ς ννοιολογικ σηµε ο ξεκινήµατος πρ ς µι ν δέα ξεννοιολογηµένη, πο δ ν ε ναι πι κείνη το τόµου ν ς ε δους. ν µερικ ς κριτικ ς θέλησαν ν δο ν µέσα στ ν τριαδικ διδασκαλία το γίου Βασιλείου µία διάκριση πόστασης-ο σίας πο θ' νταποκρινόταν στ ν ριστοτελικ διάκριση µεταξ πρώτης κα δεύτερης ο σίας, ε ναι γιατί δ µπόρεσαν ν ξεδιαλύνουν τ σηµε ο φιξης π τ σηµε ο κκίνησης, τ θεολογικ ο κοδόµηµα, πέρα π τ ς ννοιες, π τ ν ννοιολογική της νοικοδόµηση. Μέσα στ ν τριαδικ θεολογία (πο ε ναι κατ' ξοχ ν θεολογία, «Θεολογία» κυριολεκτικά, γι το ς Πατέρες τ ν πρώτων α ώνων), ννοια τ ς πόστασης δ ν ε ναι κείνη ν ς τόµου το ε δους «Θεότητα», ο τε κείνη µι ς τοµικ ς ο σίας τ ς θείας φύσης. διάκριση νάµεσα σ δυ συνώνυµα πο Θεοδώρητος ποδίδει στο ς Πατέρες τ ς κκλησίας, µέσα στ ν ννοιολογική της µορφ δ ν ε ναι λοιπ ν τίποτε λλο παρ τ κατ προσέγγιση κείνου πο δ ν ννοιολογε ται. Κατ βάθος, Θεοδώρητος δ ν ε χε δίκαιο ταν ντέτασε τ ν ννοιολογικ διάκριση πο ε σήχθη π το ς Πατέρες στ ν ταυτότητα τ ν δύο ρων µέσα στ «βέβηλη φιλοσοφία». ς ληθιν ς στορικ ς πο ταν, περισσότερο π θεολόγος, ξερε ν δ 13

14 µέσα στ ν ρχικ συνωνυµία τ ν δυ κλεγέντων ρων γι ν ποδείξη τ «κοινό» κα τ «διαίτερο» στ Θεό, µοναδικ µι στορικ σπανιότητα. λλ γιατί ν διαλέξη κανε ς α τ τ συνωνυµία, ν χι γι ν φυλάξη σ α τ πο ε ναι κοιν τ ν ννοια τ ς συγκεκριµένης ο σίας κα ν ξαλείψη π τ διαίτερο, κάθε περιορισµ πού ε ναι διος του τόµου, γι ν' πλωθ πόσταση στ σύνολο τ ς κοιν ς φύσης, ντ ν τ διαιρέση; ν α τ χει τσι, θεολογικ λήθεια τ ς διάκρισης µεταξ τ ς ο σίας κα τ ς πόστασης πο ποκαταστάθηκε π το ς Πατέρες, δ ν πρέπει ν ναζητ ται µέσα στ γράµµα τ ς ννοιολογικ ς της κφρασης, λλ µεταξ α τ ς κα τ ς ταυτότητας τ ν δυ ννοι ν πο θ ταν διο τ ς «βέβηλης φιλοσοφίας». Πρέπει δηλαδ ν τ ν τοποθετήσουµε πέρα π τ ς ννοιες: α τ ς πογυµνώνονται δ γι ν γίνουν σηµε α τ ς προσωπικ ς πραγµατικότητας ν ς Θεο πο δ ν ε ναι κε νος τ ν φιλοσόφων, ο τε ( περβολικά) κε νος τ ν θεολόγων. ς γυρέψουµε τώρα µέσα στ χριστιανικ νθρωπολογία τ ν δια µ συλληπτικ ννοια τ ς διάκρισης µεταξ τ ς πόστασης κα τ ς ο σίας φύσης. Α τ ς ο δυ ννοιες συµπίπτουν, χωρ ς ν ταυτίζονται πλήρως. Θ διερωτηθ κανε ς ν α τ τ µείωτο τ ς πόστασης πρ ς τ ν ο σία φύση µείωτο πο µ ς ποχρέωνε ν παραιτηθο µε π τ ν ταύτηση τ ς πόστασης µ τ τοµο µέσα στ ν Τριάδα, ποκαλύπτοντας τ µ συλληπτικ χαρακτήρα τ ς ννοιας πόσταση πρέπει ν λαβαίνη χώρα πίσης µέσα στ ν περιοχ το κτιστο ντος, κυρίως ταν πρόκειται γι νθρώπινες «ποστάσεις» «πρόσωπα»; Κάνοντας α τ τ ν ρώτηση, θ διερωτηθο µε ταυτόχρονα, ν τριαδικ θεολογία ε χε µι ν ντανάκλαση µέσα στ χριστιανικ νθρωπολογία ν νοιξε µι καινούργια διάσταση το «προσωπικο», νακαλύπτοντας µι ν ννοια τ ς µείωτης νθρώπινης πόστασης στ πίπεδο τοµικ ν φύσεων ο σι ν πο πέφτουν στ ν πίδραση τ ν συλλήψεων κα φήνονται ν τακτοποιηθο ν µ τόσην νεση, µέσα στ λογικ δένδρο το Πορφύριου; Σ' α τ τ ν ρώτηση θ' παντήσουµε, more scholastico, πρ τα µ µι ν ρνηση, λέγοντας συνετά: videtur quod non. Φαίνεται τι τ νθρώπινο πρόσωπο δ ν ε ναι τίποτε λλο παρ να τοµο, ριθµητικ διάφορο π κάθε λλο νθρωπο. Πραγµατικά, ν χρειάσθηκε ν παραιτηθ κανε ς π τ ν ννοια το τόµου, πο δ ν χει θέση µέσα στ ν Τριάδα, γι ν' νυψωθ πρ ς τ ν πογυµνωµένη δέα τ ς θείας πόστασης, συµβαίνει ντελ ς λλιώτικα µέσα στ ν κτιστ πραγµατικότητα, που πάρχουν νθρώπινα τοµα πο νοµάζουµε πρόσωπα. Μπορε κανε ς ν τ νοµάση «ποστάσεις», λλ τότε α τ ς ρος θ φαρµοσθ σ κάθε τοµο ποιουδήποτε ε δους κα ν ε ναι, πως τ δείχνει τ παράδειγµα πο δόθηκε π τ ν γιο ωάννη 14

15 τ αµασκηνό: «Πέτρος, Πα λος, να ρισµένο λογο». λλοι ( γιος Γρηγόριος Ναζιανζην ς π.χ.) θ κρατήσουν τ ν ρο τ ς πόστασης γι τ τοµα τ ς λογικ ς φύσης, κριβ ς πως Boece θ τ κάνη µέσα στ ν προσδιορισµ το προσώπου: Substantia individua rationalis natura, τοµικ ο σία, φύσις τ ν λλόγων (κα ς παρατηρήσουµε τι «substantia» ε ναι δ µι κυριολεκτικ µετάφραση τ ς πόστασης). γιος Θωµ ς κινάτος θ λάβη τσι κριβ ς α τ τ ν ννοια πο διατυπώθηκε π τ Boece γι ν ποδείξη τ κτιστ πρόσωπο. πως ο λληνες Πατέρες, θ γυρέψη ν τ µετασχηµατίση γι ν τ ν φαρµόση στ πρόσωπα τ ς Τριάδας, λλά, µέσα στο ς ρους µι ς τριαδικ ς διδασκαλίας διάφορης κείνης τ ς νατολ ς, τ πρόσωπο το φιλοσόφου θ γίνη relatio (σχέση) στ θεολόγο. Ε ναι περίεργο ν σηµειώση κανε ς τι Richard de Saint Victor, πο ρνήθηκε ν δεχθ τ ν προσδιορισµ το προσώπου στ ν Boece, καταλήγει ν συλλάβη τ ν θεία πόσταση ς Divinae naturae incommuni cabilis existentia, πράγµα πο θ τ ν συµπλησίαζε µ τ ν τρόπο πο βλέπουν ο λληνες θεολόγοι, κατ τ ν R. P. Bergeron. ν τούτοις -κα ε ναι τ µόνο σηµε ο πο πρέπει ν µ ς νδιαφέρη α τ τ στιγµ - φαίνεται π ς ο τε ο Πατέρες τ ς κκλησίας, ο τε Θωµ ς κινάτος, ο τε κόµα Richard de Saint Victor πο πέκρινε τ ν Boece, δ ν γκατέλειψαν µέσα στ ν νθρωπολογία τους τ ν ννοια το νθρώπινου προσώπου- τοµικ πόσταση, φο τ µετασχηµάτισαν γι τ χρήση τ ς τριαδικ ς θεολογίας. Λοιπόν, µέσα στ θεολογικ γλώσσα, στ ν νατολ πως κα στ ύση, ρος το νθρώπινου προσώπου συµπίπτει µ' κε νον το νθρώπινου τόµου. λλ δ µπορο µε ν σταµατήσουµε σ' α τ τ διαπίστωση. φο, καθ ς φαίνεται, χριστιανικ νθρωπολογία δ ν δωσε µι καινούργια ννοια στ ν ρο τ ς νθρώπινης πόστασης το προσώπου, ς προσπαθήσουµε ν' ποκαλύψουµε τ ν παρουσία µι ς διαφορετικ ς ννοιας, πο δ µπορε πι ν ε ναι ταυτόσηµη µ' κείνη το τόµου κα πο µως παραµένει προσδιόριστη π ναν ρο, ς να πονοούµενο βάθρο, τ πι συχν νέκφραστο π λες τ ς θεολογικ ς σκητικ ς διδασκαλίες πο ναφέρονται στ ν νθρωπο. ς δο µε πρ ν π λα (κα δ θ ε ναι τ ργο µας), ν ννοια το νθρώπινου προσώπου µειωµένη σ' κείνη µι ς φύσης τοµικ ς φύσης, µπορε ν διατηρηθ µέσα στ συµφραζόµενα το χριστιανικο δόγµατος. Τ δόγµα τ ς Χαλκηδόνος, το ποίου χριστιανικ ς κόσµος µόλις γιόρτασε τ 15η κατονταετηρίδα, µ ς δείχνει τ Χριστ «µοούσιο µ τ Πατέρα κατ τ Θεότητα, µοούσιο µέ µ ς κατ τ ν νθρωπότητα». Μπορο µε ν συλλάβουµε τ ν πραγµατικότητα τ ς νσάρκωσης το Θεο χωρ ς ν δεχθο µε καµµι µετατροπ τ ς Θεότητας σ νθρωπότητα, καµµι σύγχυση νάµιξη το κτιστου 15

16 κα το κτιστο, κριβ ς γιατί διακρίνουµε τ πρόσωπο πόσταση το Υ ο, π τ φύση του ο σία: να πρόσωπο πο δ ν σχηµατίζεται π δυ φύσεις κ δύο φύσεων, λλ πο ε ναι µέσα σ δυ φύσεις ε ς δύο φύσεις. κφραση «ποστατικ νωση» (παρ τ ν νεσή της κα τ γενικ της χρήση) ε ναι κατάλληλη, γιατί κάνει ν σκεφθ κανείς µι ν νθρώπινη φύση ο σία, προ πάρχουσα τ ς νσάρκωσης, πο θ µπαινε µέσα στ ν πόσταση το Λόγου, ν α τ φύση, νθρώπινη ο σία, ναληφθε σα π τ ν Λόγο µέσα στ ν Παρθένο Μαρία, δ ν ρχίζει ν πάρχη ς α τ φύση διαίτερη ο σία, παρ τ στιγµ τ ς νσάρκωσης, δηλαδ µέσα στ ν νότητα το Προσώπου πόσταση το Υ ο το Θεο πο γινε νθρωπος. Λοιπόν, νθρωπότητα το Χριστο, µ τ ν ποία ε ναι «µοούσιος µέ µ ς», δ ν ε χε ποτ λλην πόσταση παρ'α τ το Υ ο το Θεο ντούτοις, κανε ς δ θ θελήση ν' ρνηθ τι νθρώπινή Του φύση χει τ χαρακτήρα µι ς «τοµικ ς πόστασης» κα τ δόγµα τ ς Χαλκηδόνος πιµένει πάνω στ γεγον ς τι Χριστ ς ε ναι «τέλειος µέσα στ ν νθρωπότητά του», «ληθιν νθρωπος», κ ψυχ ς λογικ ς κα σώµατος. Μέσα στ ς συνθ κες α τές, τ νθρώπινο ποκείµενο το Χριστο χει τ ν διο χαρακτήρα µ τ ς λλες ποστάσεις διαίτερες φύσεις τ ς νθρωπότητας πο νοµάζουν «ποστάσεις» «πρόσωπα». µως, ν το φάρµοζαν α τ τ ν νοµασία, θ πεφτε κανε ς µέσα στ νεστοριαν πλάνη, νατέµνοντας τ ν ποστατικ ν νότητα το Χριστο σ δυ ντα «προσωπικά» διακεκριµένα. φο, κατ τ ν Χαλκηδόνα, να θε ο Πρόσωπο καταστάθηκε µοούσιο µ τ κτιστ πρόσωπα, ε ναι τι γινε µι Υπόσταση τ ς νθρώπινης φύσης χωρ ς ν µετασχηµατισθ σ νθρώπινη πόσταση πρόσωπο. Λοιπόν, ν Χριστ ς ε ναι να θε ο Πρόσωπο, ν ε ναι πλήρης νθρωπος π τ ν «νυποστασιασµένη» φύση του, θ πρέπει ν παραδεχθ κανε ς (τουλάχιστο στ ν περίπτωση το Χριστο ) τι δ πόσταση τ ς ναληφθείσας νθρωπότητας δ ν µπορε ν µειωθ στ ν νθρώπινη πόσταση, σ' α τ τ νθρώπινο τοµο, πο πογράφτηκε π τ ν Α γουστο, µ' λλα τοµα τ ς Ρωµα κ ς Α τοκρατορίας. λλά, ταυτόχρονα, µπορε κανε ς ν π τι, ε ναι Θε ς πο πογράφτηκε κατ τ ν νθρωπότητά Του, κριβ ς γιατί α τ τ νθρώπινο «τοµο», α τ τ τοµο τ ς νθρώπινης φύσης πογραµµένο µ τ' λλα, δ ν ταν να νθρώπινο «πρόσωπο». Φαίνεται τι, γι ν ε ναι κανε ς συνεπής, θ πρεπε ν παραιτηθ ν ποδεικνύη τ ν τοµικ ν ο σία φύσης λογικ ς µ τ ν ρο το προσώπου πόστασης, λλι ς νεστοριαν µφισβήτηση κινδυνεύει ν µφανισθ ς µι φιλονικία πάνω στ ς λέξεις: µι δυ ποστάσεις µέσα στ Χριστό; δυό, ν στ πρώτη περίπτωση ( κείνη τ ς θείας πόστασης), πόσταση σηµαίνει µείωτο πρ ς τ φύση, ν µέσα στ δεύτερη περίπτωση, πόσταση δ ν σηµαίνει παρ τ ν τοµικ νθρώπινη πόσταση. λλ ν µέσα στ ς δυ περιπτώσεις βρίσκει κανε ς τ διο µείωτο το προσώπου πρ ς τ φύση, θ π κανε ς µι ν 16

17 πόσταση πρόσωπο το Χριστο. Κα α τ ρνηση ν παραδεχτ κανε ς δυ προσωπικ διακεκριµένα ντα, µέσα στ Χριστό, θ σηµάνη ταυτόχρονα π ς πρέπει πίσης ν διακρίνη µέσα στ νθρώπινα ντα τ πρόσωπο πόσταση κα τ φύση τοµικ ο σία. Λοιπόν, προσδιορισµ ς το Boece: Substantia individua rationalis natura µφανίζεται, στ φ ς το Χριστολογικο δόγµατος, παρκ ς γι ν ποτελέση τ ν ννοια το νθρώπινου προσώπου. µπορε ν φαρµοσθ παρ στ ν «νυποστασιασµένη φύση» (γι ν µεταχειρισθο µε δ τ ν κφραση πο δηµιούργησε Λεόντιος το Βυζαντίου) κα χι στ ν πόσταση τ νθρώπινο πρόσωπο α τ τ διο. Καταλαβαίνει κανε ς γιατί Richard de Saint-Victor πέρριψε τ ν προσδιορισµ το Boece, παρατηρώντας µ λεπτότητα τι ο σία παντ στ ρώτηµα Quid, τ πρόσωπο στ ρώτηµα Quis. Λοιπόν, στ ρώτηµα Quis παντ κανε ς µ' να κύριο νοµα, πο µονάχα µπορε ν ποδείξη τ πρόσωπο (De Trin. IV. G.7: P.L Col.934, 935). Γι'α τ κα καινούργιος προσδιορισµ ς (γι τ θεία πρόσωπα): Persona est divina natura incοmmunicabilis existentia. λλ ς φήσουµε τ ν Richard, γι ν διερωτηθο µε κατ ποι ν ννοια πρέπει ν γίνη διάκριση µεταξ το προσώπου κα τ ς νθρώπινης πόστασης κα το νθρώπου ς τόµου διαίτερης φύσης. Τί πρέπει ν σηµαίνη τ πρόσωπο σχετικ µ τ νθρώπινο τοµο; Ε ναι ραγε µι διότητα νώτερη το τόµου, διότητα πο θ ταν τελειότητά του καθ ς ε ναι να ν δηµιουργηµένο κατ' ε κόνα το Θεο καί, ταυτόχρονα, ρχ τ ς ξατοµίκευσής του; Το το δ µπορε ν φαίνεται ληθοφανές, κυρίως ν λάβη κανε ς π' ψη του τι ο προσπάθειες ν δείξη µέσα στ νθρώπινο ν το ς χαρακτ ρες α το πο ε ναι «κατ' ε κόνα το Θεο» σκοπεύουν, σχεδ ν πάντοτε, τ ς νώτερες διότητες («πνευµατικές») το νθρώπου. ( ς πενθυµήσουµε µως π ς γιος Ε ρηνα ος πλωνε τ ν ε κόνα στ σωµατικ φύση το νθρώπου). Ο νώτερες διότητες το νθρώπου, πο χρησιµεύουν συνήθως ν' ναδείχνουν τ χαρακτήρα τ ς ε κόνας, µέσα σ µι τριχοτοµηµένη σύλληψη, λαβαίνουν τ νοµα το νο, ρος πο δύσκολα µεταφράζεται κα πο ναγκαζόµαστε ν' ποδώσουµε µ τ ν ρο νθρώπινο πνε µα. Στ ν περίπτωση α τή, νθρωπος ς πρόσωπο θ ταν νας νο ς, να νσαρκωµένο πνε µα, δεµένο µ τ ζωτικ φύση τ ν ποία «νυποστασιάζει» µ λλον στ ν ποία παραµένει παραφυόµενο, δεσπόζοντάς τη. Θ µπορο σε κανε ς ν βρ, πράγµατι, κυρίως στο ς Πατέρες το 4ου α ώνα, κα διαίτερα στ ν γιο Γρηγόριο Νύσσης, ναπτύξεις πάνω στ νο δρα τ ς λευθερίας (α τεξουσία), διότητα πο ν προσδιορίζεται ξ δίων κα πο πονέµει στ ν νθρωπο τ χαρακτήρα το κτιστο ντος κατ' ε κόνα το Θεο α τ πο θ µπορούσαµε ν νοµάσουµε τ ξίωµα το προσώπου. λλ' ς δοκιµάσουµε ν ποβάλουµε α τ τ νέο σχ µα, πο 17

18 φαίνεται τι στηρίζεται π τ κ ρος τ ν Πατέρων, στ ν κρίση το χριστολογικο δόγµατος. Θ δο µε µέσως π ς πρέπει ν παραιτηθο µε π α τό. Πράγµατι, ν νο ς ντιπροσώπευε µέσα σ' να νθρώπινο ν τ ν «ποστατική» στιγµ πο τ συνιστ ς πρόσωπο, θ πρεπε, γι ν περίσωση κανε ς τ ν νότητα τ ς πόστασης µέσα στ ν Θεάνθρωπο, ν' ποκόψη τ νθρώπινο πνε µα π τ φύση το Χριστο κα ν' ντικαταστήση τ ν κτιστό το νο µ τ θε ο Λόγο. ηλαδή, θ πρεπε ν δεχθ κανε ς τ ν χριστολογικ διατύπωση το πολλιναρίου τ ς Λαοδικείας. Πρέπει κανε ς ν παρατηρήση τι π ρξε κριβ ς Γρηγόριος Νύσσης πο πέκρινε κριβέστερα τ ν πλάνη το πολλιναρίου, πράγµα πο δίνει λαβ ν σκεφθ κανε ς τι, παρ τ ν πνευµατιστικ τόνο τ ς διδασκαλίας του τ ς ε κόνας το Θεο, νθρώπινος νο ς στ Γρηγόριο δ µπορε ν ρµηνευθ κατ τ ν ννοια το ποστατικο στοιχείου πο πονέµει στ ν νθρωπο τ προσωπικ του ν. ν τσι ε ναι, δ ν πάρχει πι θέση γι τ ν πόσταση πρόσωπο το νθρώπου µέσα στ σύνθεση τ ς τοµικ ς του φύσης. Λοιπόν, το το παντ κριβ ς σ' α τ τ µείωτο τ ς πόστασης πρ ς τ νθρώπινο τοµο πο ναγκασθήκαµε ν διαπιστώσουµε µιλώντας γι τ Χαλκηδόνα. λλά, π τ' λλο µέρος, γι ν διακρίνουµε τ ν νθρώπινη πόσταση π α τ πο ποτελε τ ν περίπλοκή της φύσησ µα, ψυχή, πνε µα ( ν θέλη κανε ς ν δεχθ α τ τ ν τριχοτόµηση)- δ θ βρο µε καµµι προσδιορίσιµη διότητα, καµµι ρµοδιότητα πο θ ταν ξένη π τ φύση κα θ ν κε ποκλειστικ στ πρόσωπο, παρµένο σ' α τ τ διο. π' α το ς το ς ρους θ µ ς ε ναι δύνατο ν σχηµατίσουµε µι ν ννοια το νθρώπινου προσώπου κα θ πρέπει ν' ρκεσθο µε ν πο µε: τ πρόσωπο σηµαίνει τ µείωτο το νθρώπου πρ ς τ φύση του. «µείωτο» κα χι «κάτι τι πο δ ν µειώνεται» «κάτι τί πο καθιστ τ ν νθρωπο µείωτο πρ ς τ φύση του», κριβ ς γιατί δ µπορε ν πρόκειται δ γι «κάτι τί» τ διακεκριµένο, µι ς «λλης φύσης», λλ γι κάποιον πο διακρίνεται π τ ν δια του τ φύση, γι κάποιον πο περβαίνει τ φύση του, ν τ ν περιέχει, πο τ ν κάνει ν πάρχη ς νθρώπινη φύση µ'α τ τ ν πέρβαση καί, ντούτοις, δ ν πάρχει ν αυτ, ξω π τ φύση πο «νυποστασιάζει», πο ποστατώνει, κα πο περβαίνει διάκοπα. Θ λεγα «πο κστασιάζει», ν δ φοβόµουν π ς θ µ µεµφθο ν τι ε σάγω µι ν κφραση πο πάρα πολ θυµίζει τ ν κστατικ χαρακτήρα το «Dasein» στ ν Χά ντεγγερ, φο πέκρινα λλους πο πιχείρησαν ν κάνουν παρόµοιες προσεγγίσεις. πατ ρ Von Balthasar στ βιβλίο του γι τ ν γιο Μάξιµο τ ν µολογητή, µιλώντας γι τ µεταχαλκηδόνεια θεολογία, κάνει µι παρατήρηση πο µο φαίνεται π ς ε ναι πολ σωστ κα ταυτόχρονα 18

19 σφαλµένη. Λέει (σέλ. 21): «Πλά στ δένδρο το Πορφυρίου πο προσπαθε ν ε σαγάγη κάθε πάρχον ν µέσα στ ς κατηγορίες τ ς ο σίας, τάξης, γένους, ε δικ ς διαφορ ς κα τελικ τόµου ( τοµα, ε δος), µφανίζονται καινούργιες κατηγορίες ντολογικές. Α τ ς ο καινούργιες κατηγορίες, µείωτες πρ ς τ ς κατηγορίες τ ς ο σίας, παραπέµπουν ταυτόχρονα στ ν περιοχ τ ς παρξης κα κείνης το προσώπου. Ο δυ περιοχ ς ε ναι κόµα δεµένες µέσα σ καινούργιες κφράσεις ( παρξη, πόσταση)... µ όριστα κόµα περιγράµµατα, πο γυρεύουν µι ν κριβ ρµοδιότητα. Θ χρειασθ κόµα πολ ς καιρ ς πρ ν ν ε ναι σ θέση Μεσαίωνας ν διατυπώση τ διάκριση µεταξ ο σίας κα παρξης κα ν κάνη µ' α τ τ ν πλισµ το τρόπου το ε ναι το πλάσµατος... ντούτοις, ε ναι σφαλ ς µέσα σ' α τ τ ν κατεύθυνση πο βαδίζουµε ταν βλέπουµε ν ξεπηδ κοντ στ ν παλη ριστοτελικ συνταγ τ ν ο σι ν, α τ καινούργια τάξη τ ς παρξης κα το προσώπου». π. Von Balthasar γγιξε δ να κόµπο προβληµάτων πο χουν ξαιρετικ σηµασία, λλά, φο κανε τ συσχέτιση, ντ ν προχωρήση µακρύτερα στ ν ναζήτηση, παραπλαν ται κα παραµένει στ ν πιφάνεια. Συσχέτισε, πως τ ε δαµε, τ ς «καινούργιες ντολογικ ς κατηγορίες», κείνης τ ς πόστασης το προσώπου, κα τ παρξιακ esse (ε ναι) πο γιος Θωµ ς κινάτος νακάλυψε πέκεινα τ ς ριστοτελικ ς τάξης τ ς ο σιαστικότητας, α τ τ ν συγχρονισµ τ ς παρξης πού, πως λέει Μ. Gilson, «διότι περβαίνει τ ν ο σία, περβαίνει πίσης τ ν ννοια» (L'etre et l essence, σέλ. 111). Πιστεύουµε τι Μ. Gilson χει δίκαιο ν λέη τι µονάχα νας χριστιαν ς µεταφυσικ ς µπόρεσε ν προχωρήση τόσο στ ν νάλυση τ ς συγκεκριµένης δοµ ς τ ν κτιστ ν ντων. λλ µπρ ς στ συσχέτιση πο γινε π τ ν π. Von Balthasar θ διερωτηθ κανείς: πραγµατικ διάκριση µεταξ τ ς ο σίας κα τ ς παρξης, βρίσκοντας στ ρίζα κάθε τοµικο ντος τ ν νέργεια ν πάρχη κανε ς κα πο τ τοποθετε µέσα στ ν δια του τ ν παρξη, φθασε ταυτόχρονα τ ρίζα το προσωπικο ντος; µ ννοιολογούµενος χαρακτήρας τ ς παρξης ε ναι ραγε τ ς διας τάξης µ' α τ το προσώπου α τ καινούργια ντολογικ τάξη, πο νακάλυψε γιος Θωµ ς, παραµένει κόµα δ θε το προσωπικο ; Ε ναι βέβαιο τι πάρχει νας στεν ς δεσµ ς µεταξ τ ν δύο, τουλάχιστο µέσα στ σκέψη το γίου Θωµ. παντώντας στ ρώτηµα Utrum in Christo sit tantum Unum esse (Sent. Ill, D. 6,9,2, α. 2. IΙΙ a,9.17. α2), Θωµ ς βεβαιώνει τ ν νότητα τ ς παρξης το Θεανθρώπου, µιλώντας γι τ ν νότητα τ ς πόστασής Του. λλ θ θήση ραγε πάρα πέρα α τ τ σύγκριση µεταξ το παρξιακο κα το προσωπικο, σπου ν βεβαιώση τρε ς πάρξεις ν Θε ; Ο Richard de 19

20 Saint-Victor τ κανε µιλώντας γι τ ς τρε ς θε ες ποστάσεις λλ δ ν νασχηµάτισε τ ν ννοια το νθρώπινου προσώπου. γιος Θωµ ς κινάτος νοικοδόµησε τ ν ννοια τ ν τοµικ ν ο σι ν, βρίσκοντας κε τ ν πολλαπλάσια δηµιουργικ ν νέργεια, συγχρονίζοντας λα σα πάρχουν, λλ α τ καινούργια ντολογικ κατηγορία πλώνεται σ λα τ κτιστ ντα, κα χι µονάχα στ νθρώπινα κα γγελικ πρόσωπα. π τ' λλο µέρος, Θε ς το γίου Θωµ δ ν ε ναι παρ µόνο µι παρξη, ταυτόσηµη στ ν ο σία καθαρ Πράξη ipsum esse subsistens. Το το δ µ ς ναγκάζει ν κάνουµε µι διόρθωση στ ν παρατήρηση το π. Von Balthasar. ν καινούργια περιοχ το µ ννοιολογούµενου, διότι ε ναι µείωτη πρ ς τ ν ο σία, νοίγεται σ' να Μάξιµο τ ν µολογητ µέσα στ ν ννοια τ ς κτιστ ς πόστασης, δ ν ε ναι µέσα στ θωµικ διάκριση τ ς ο σίας κα τ ς παρξης διάκριση πο διεισδύει ς τ παρξιακ βάθος τ ν τοµικ ν ντων πο θ βρ κανε ς τ ν ντολογικ λύση το µυστηρίου το νθρώπινου προσώπου. φυσικ θεολογία το γίου Θωµ παραµένει δ θε π α τ τ λύση, κα δ µπορε κανε ς ν τ ν µεµφθ γι' α τό, φο δ ν ταν το το τ ργο του. ν µο πιτρέπεται ν κφρασθ µέσα στ γλώσσα τ ς «παλαµικ ς» θεολογίας, πού µο ε ναι κοντινή, θ π τι γιος Θωµ ς, ς µεταφυσικός, φθάνει τ Θε κα τ κτιστ ντα στ πίπεδό της νέργειας, κα χι στ πίπεδό της «περουσίας» σ τρε ς ποστάσεις κα το πολυ ποστασιασµο το κτιστο κόσµου. Τ πλάσµα, «φυσικό» κα «ποστατικό» ταυτόχρονα, καλε ται ν πραγµατοποιήση ξ σου τ ν νότητα τ ς φύσης του κα τ ν ληθιν προσωπικ διαφορά, περβαίνοντας µέσα στ χάρη τ τοµικ ρια πο διαιρο ν τ φύση κα τείνουν ν µειώσουν τ πρόσωπα στ πίπεδο το κλειστο ντος τ ν διαίτερων ο σι ν. Τ πίπεδο πάνω στ πο ο τίθεται τ πρόβληµα το νθρώπινου προσώπου ξεπερν λοιπ ν α τ τ ς ντολογίας, τσι πως τ ν ννοο ν συνήθως. Κα ν πρόκειται γι µι µεταοντολογία, µονάχα Θε ς µπορε ν τ γνωρίση, α τ ς Θε ς πο διήγηση τ ς Γένεσης µ ς δείχνει ν σταµατ τ ργο γι ν π µέσα στ Συµβούλιο τ ν Τρι ν ποστάσεων: «ς δηµιουργήσουµε τ ν νθρωπο κατ' ε κόνα Μας κα καθ µοίωσή Μας». [ πόδοση : ΛΟΥΚΙΑΣ Ι. ΜΕΤΑΞΑ π τ «Χριστιανικ ν Συµπόσιον» 1969, κδ. Ι.. ΚΟΛΛΑΡΟΥ & ΣΙΑΣ Α.Ε. θ ναι 1968] 20

21 ΙΩΑΝΝΗΣ Π. ΖΩΗΣ Θεολογία και Θεµελιώδεις Επιστήµες Ι: Θεολογία και Μαθηµατική Λογική Ας υποθέσουµε πως κάποιος κάνει την εξής «περίεργη» γενική ερώτηση: Έχει κάθε πρόβληµα λύση; Τι θα απαντούσαµε; Οι περισσότεροι άνθρωποι νοµίζουν ότι κάθε πρόβληµα έχει (τουλάχιστον) µια λύση (κάποια προβλήµατα µπορεί να έχουν και περισσότερες από µία λύσεις). Είναι όµως αυτό σωστό; Η απάντηση είναι ΟΧΙ. Φαίνεται ότι οι ερωτήσεις είναι περισσότερες από τις απαντήσεις. Ο Kurt Gödel (Κουρτ Γκέντελ, ) ήταν ένας Αυστριακός µαθηµατικός (η γενέτειρά του σήµερα ανήκει στην Τσεχία αλλά στις αρχές του 20ου αιώνα ανήκε στην Αυστρουγγαρία). Θεωρείται ο πιο σηµαντικός επιστήµονας της µαθηµατικής λογικής του 20ου αιώνα και ένας από τους σηµαντικότερους όλων των εποχών. Η βασική του συνεισφορά στην µαθηµατική λογική είναι ένα ζευγάρι θεωρηµάτων που είναι γνωστά ως τα περίφηµα θεωρήµατα µηπληρότητας, τα οποία δηµοσίευσε το 1931, όταν ήταν 25 ετών, ένα χρόνο µετά την ολοκλήρωση της διδακτορικής του διατριβής στο πανεπιστήµιο της Βιέννης. Ο Gödel άρχισε την καριέρα του σπουδάζοντας θεωρητική φυσική αλλά σύντοµα στράφηκε προς την µαθηµατική λογική. Επηρεάστηκε κυρίως από τα συγγράµµατα των I. Kant και B. Russell. ιατηρούσε φιλική σχέση µε τον A. Einstein κατά το διάστηµα που βρίσκονταν και οι δύο στο Ινστιτούτο Ανωτέρων Σπουδών στο Πρίνστον της Αµερικής. υστυχώς είχε λυπηρό τέλος: Αν και ήταν πάντα ως ένα βαθµό εκκεντρικός (για παράδειγµα συνήθιζε ακόµη και το καλοκαίρι να φορά ένα µακρύ παλτό), τα τελευταία χρόνια της ζωής του έπασχε από παράνοια και µεταξύ των εµµονών του ήταν πως κάποιοι άγνωστοι προσπαθούν να τον δολοφονήσουν δηλητηριάζοντας την τροφή του. Αρνιόταν να φάει µε αποτέλεσµα να πεθάνει από ασιτία στο νοσοκοµείο του Πρίνστον το Αποφεύγοντας τους τεχνικούς όρους και χρησιµοποιώντας απλές λέξεις, τα θεωρήµατα µη-πληρότητας λένε τα εξής: Για κάθε υπολογίσιµο σύστηµα λογικών αξιωµάτων το οποίο είναι τουλάχιστον επαρκές για να περιγράψει την βασική αριθµητική των φυσικών αριθµών (δηλαδή την αριθµητική των φυσικών αριθµών που µαθαίνουµε στο ηµοτικό Σχολείο που περιλαµβάνει τις 4 βασικές 21

22 πράξεις: πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασµό και διαίρεση, στα µαθηµατικά αυτό αποκαλείται αριθµητική Peano), τότε: 1. Εάν το σύστηµα είναι συνεπές, τότε δεν µπορεί να είναι πλήρες (αυτό αναφέρεται ως το πρώτο θεώρηµα µη-πληρότητας). του συστήµατος. 2. Η συνέπεια των αξιωµάτων δεν µπορεί να αποδειχθεί µέσω Ας εξηγήσουµε λιγάκι τα θεωρήµατα: Ένα λογικό σύστηµα είναι συνεπές όταν δεν έχει αντιφάσεις, δηλαδή µια πρόταση δεν είναι ταυτόχρονα αληθής και ψευδής ενώ ένα λογικό σύστηµα λέγεται πλήρες εάν κάθε πρόταση µπορεί να χαρακτηρισθεί αληθής ή ψευδής. Το (πρώτο) θεώρηµα µη-πληρότητας λέει ότι εάν ένα σύστηµα είναι συνεπές, τότε δεν µπορεί να είναι πλήρες, δηλαδή θα υπάρχουν κάποιες προτάσεις (τουλάχιστον µία), για τις οποίες δεν θα µπορούµε να αποφανθούµε εάν είναι αληθείς ή ψευδείς. Οι προτάσεις αυτές λέγονται π₁ - προτάσεις. Ο λόγος που αποκαλείται θεώρηµα µη-πληρότητας είναι ο εξής: Έστω ότι έχουµε ένα λογικό σύστηµα που είναι συνεπές. Τότε θα υπάρχει τουλάχιστον µία π₁ - πρόταση. Έστω ότι έχουµε ακριβώς µία π₁ - πρόταση. ίδουµε σε αυτή την πρόταση αυθαίρετα την τιµή αληθείας αληθής και την ενσωµατώνουµε στο αρχικό σύστηµα ως ένα επιπλέον αξίωµα. Έτσι θα έχουµε ένα καινούργιο εκτεταµένο λογικό σύστηµα. Το θεώρηµα µη-πληρότητας όµως εφαρµόζεται εκ νέου για το καινούργιο λογικό σύστηµα οπότε και για αυτό θα υπάρχει τουλάχιστον µια π₁ - πρόταση. Αυτή η διαδικασία συνεχίζεται επ' άπειρον, οπότε τα συνεπή λογικά συστήµατα δεν είναι ποτέ πλήρη. Το θεώρηµα λέγει πως ένα σύστηµα µπορεί να είναι πλήρες µόνο εάν έχει λογικές αντιφάσεις, δηλαδή δεν είναι συνεπές. Πρόκειται για εντυπωσιακό θεώρηµα! To δεύτερο µέρος του θεωρήµατος δηλώνει πως δεν µπορούµε ούτε καν να αποδείξουµε την συνέπεια ενός λογικού συστήµατος στηριζόµενοι µόνο στα αξιώµατα του εν λόγω λογικού συστήµατος (κάτι που ίσως µεγαλώνει την απογοήτευσή µας...). Στην επιστήµη (αλλά και στις διαπροσωπικές µας σχέσεις, ακόµη και στην πολιτική), προτιµάµε συνήθως την συνέπεια µιας, και µια επιστηµονική θεωρία που είναι ασυνεπής δεν µπορεί να κάνει αξιόπιστες προβλέψεις. Τότε όµως η θεωρία αναπόδραστα δεν θα είναι πλήρης, δηλαδή θα αφήνει οπωσδήποτε αναπάντητα ερωτήµατα. Αντιθέτως, εάν επιµείνουµε στην πληρότητα, (δηλαδή θέλουµε πάντα απάντηση εάν µια πρόταση είναι αληθής ή ψευδής), τότε χάνουµε τη συνέπεια και το λογικό σύστηµα θα έχει αντιφάσεις. Κάντε την επιλογή σας, και τα δύο, συνέπεια και πληρότητα, δεν είναι ταυτόχρονα 22

23 εφικτά! Αξίζει µια κουβέντα για την απόδειξη του θεωρήµατος: Eίναι εκτεταµένη και πολύπλοκη (η απόδειξη καλύπτει αρκετές δεκάδες σελίδων) και βασίζεται σε µια µέθοδο που αργότερα ονοµάστηκε απαρίθµηση Gödel και η οποία µε τη σειρά της στηρίζεται στο περίφηµο διαγώνιο επιχείρηµα του Georg Cantor µέσω του οποίου αποδεικνύεται ότι ο πληθάριθµος των πραγµατικών αριθµών είναι µεγαλύτερος από τον πληθάριθµο των ακεραίων (και των φυσικών) αριθµών. Αρχικά για να αποφύγει παράδοξα τύπου Ράσελ (βλέπε παρακάτω), ο Γκέντελ κάνει προσεκτική διάκριση µεταξύ µαθηµατικών (όπως η πρόταση 1+1=2) και µετα-µαθηµατικών (δηλαδή προτάσεων για τα µαθηµατικά όπως η πρόταση «τα µαθηµατικά είναι ενδιαφέροντα»). Στην συνέχεια αποδεικνύει ότι κάθε µαθηµατική πρόταση µπορεί να αριθµηθεί µε κάποιον αριθµό που λέγεται αριθµός Γκέντελ της συγκεκριµένης πρότασης ενώ για τα µετα-µαθηµατικά αποδυκνείει ότι κάθε πρόταση των µετα-µαθηµατικών (όπως η πρόταση «η ακολουθία των τύπων Α αποτελεί απόδειξη του τύπου Β») µπορεί να εκφρασθεί ως αριθµητική σχέση των αριθµών Γκέντελ των προτάσεων Α και Β, συνεπώς τα µετα- µαθηµατικά µπορούν να απεικονισθούν στην αριθµητική. Για να ολοκληρώσει την απόδειξη κατασκευάζει µια αυτοαναφορική πρόταση η οποία είναι αληθής αν και µόνο αν είναι µη αποδείξιµη. Με την παραπάνω απεικόνιση των µετα-µαθηµατικών στην αριθµητική αυτό αντιστοιχεί σε µια σχέση µεταξύ φυσικών αριθµών η οποία όµως δεν µπορεί να προέλθει από τα αξιώµατα. Ο συγγραφέας του άρθρου θυµάται πως ως µεταπτυχιακός ερευνητικός φοιτητής στην Οξφόρδη παρακολούθησε ένα ολόκληρο τριµηνιαίο µάθηµα (µε διδάσκοντα τον περίφηµο καθηγητή Isaacson) που η ύλη του περιείχε µόνο τις αποδείξεις των θεωρηµάτων µη-πληρότητας. Αναφέρουµε επίσης ως ιστορικό στοιχείο πως όταν εµφανίστηκαν τα θεωρήµατα του Gödel στην κυριολεξία «συνέτριψαν» τo πρόγραµµα του µεγάλου γερµανού µαθηµατικού D. Hilbert που υποστήριζε πως αρκεί ένα σύστηµα αξιωµάτων για να περιγράψει όλα τα µαθηµατικά. Υπάρχουν πολλά παραδείγµατα π₁ - προτάσεων, ίσως το πιο απλό και το πιο γνωστό είναι το περίφηµο Ευκλείδειο Aίτηµα (ή αίτηµα της παραλληλίας, γνωστό από το Γυµνάσιο) που λέγει ότι από σηµείο εκτός ευθείας µόνο µία παράλληλη προς την αρχική ευθεία µπορούµε να φέρουµε (σηµειώνουµε πως αυτή δεν είναι η αυθεντική διατύπωση που υπάρχει στα Στοιχεία του Ευκλείδη αλλά είναι µια ισοδύναµη µεταγενέστερη που οφείλεται στον Playfair που είναι πιο καθαρή). Σήµερα γνωρίζουµε πως η πρόταση αυτή δεν µπορεί να αποδειχθεί ούτε να απορριφθεί µε βάση τα υπόλοιπα 4 αξιώµατα του Ευκλείδη, δεν µπορούµε στα πλαίσια της Ευκλείδειας Γωµετρίας να 23

24 αποδείξουµε ούτε ότι είναι αληθής ούτε ότι είναι ψευδής. Όσοι ασχολούνται µε την γεωµετρία γνωρίζουν ότι το Ευκλείδειο αίτηµα απασχόλησε πολλούς µεγάλους µαθηµατικούς ανά τους αιώνες και η τελική απάντηση δόθηκε µόλις τον 18ο αιώνα (δηλαδή περισσότερο από 20 αιώνες µετά τον Ευκλείδη), σχεδόν ανεξάρτητα από τους J. Bolyai, K.-F. Gauss, N. Lobachevsky. ύο επιπλέον σηµαντικά παραδείγµατα π₁ - προτάσεων έρχονται από την µαθηµατική λογική: Όπως απέδειξε την δεκαετία του 1960 ο P. J. Cohen, τόσο η υπόθεση του συνεχούς (που λέγει πως δεν υπάρχουν σύνολα µε πληθάριθµο µεταξύ ₀ א και ( ₁ א όσο και το αξίωµα της επιλογής (η απλούστερη έκφραση αυτού είναι ότι κάθε διανυσµατικός χώρος πεπερασµένης διάστασης έχει µια βάση), δεν µπορούν να αποδειχθούν ούτε ότι είναι ψευδείς ούτε ότι είναι αληθείς προτάσεις µε βάση τα αξιώµατα Zermelo-Fraenkel της αξιωµατικής θεωρίας συνόλων (οι παραπάνω αποδείξεις του P. J. Cohen θεωρούνται από πολλούς ως η δεύτερη σηµαντικότερη συνεισφορά στην µαθηµατική λογική κατά τον 20ο αιώνα). Τα θεωρήµατα µη-πληρότητας έχουν βαθειές συνέπειες όχι µόνο για τα µαθηµατικά και τις φυσικές επιστήµες αλλά και για την φιλοσοφία, την επιστήµη των υπολογιστών, τις γνωστικές επιστήµες, την ψυχολογία κλπ, συνέπειες που όπως έχει επισηµανθεί από µεγάλους σύγχρονους φιλοσόφους (σαν τον J. R. Lucas) και µαθηµατικούς (σαν τον R. Penrose) δεν έχουν ακόµη µελετηθεί πλήρως. Θα µπορούσε κάποιος να υποστηρίξει χωρίς να είναι µακριά από την πραγµατικότητα πως τα θεωρήµατα µη-πληρότητας αποτελούν µια πιο αυστηρή και πιο συνοπτική µορφή των θέσεων του L. Wittgenstein που ανέπτυξε στο περίφηµο Tractatus, έργο σταθµό για την φιλοσοφία του 20ου αιώνα. Επίσης οι εργασίες του Jacques Derrida πάνω στην θεωρία αποδόµησης (θεωρία λογοτεχνίας και φιλοσοφία), κατά την οµολογία του ιδίου του Derrida σε προσωπική συνοµιλία µε τον γράφοντα κατά το παρελθόν, σχετίζονται άµεσα µε τα θεωρήµατα µη-πληρότητας, άλλωστε ο Derrida είχε σπουδάσει και µαθηµατικά. Γενικότερα, στον ορισµό του J.-F. Lyotard ότι η µετανεωτερική συνθήκη είναι η δυσπιστία στις µετααφηγήσεις, θα µπορούσαµε να παραθέσουµε το σχόλιο του V. Tasic πως τα µαθηµατικά ανήκουν στις πιο επίµονες µετα-αφηγήσεις της υτικοευρωπα κής κουλτούρας. Όσον αφορά την φυσική, µεγάλοι σύγχρονοι θεωρητικοί φυσικοί όπως ο Steven Winberg (βραβείο Νοµπέλ 1979, ένας από τους πατέρες του λεγόµενου itστάνταρ µοντέλου της φυσικής των στοιχειωδών σωµατιδίων που ενοποίησε τις ηλεκτροµαγνητικές και τις ασθενείς πυρηνικές αλληλεπιδράσεις), ο γνωστός Stephen Hawking κ.λπ., παραδέχονται πλέον πως µια φυσική θεωρία των πάντων, ακόµη και εάν κάτι τέτοιο τελικά υπάρχει, (πχ θεωρία υπερχορδών/μ-θεωρία, συστροφική γεωµετρία), θα είναι 24

25 µαθηµατικά ασυνεπής λόγω των θεωρηµάτων µη-πληρότητας (µε όσα αρνητικά αυτό συνεπάγεται, ειδικά για την κβαντική βαρύτητα). Τα θεωρήµατα του Gödel έχουν άµεση σχέση µε την εργασία του µεγάλου Άγγλου µαθηµατικού A. Turing, του πατέρα της επιστήµης των ηλεκτρονικών υπολογιστών, (και του ανθρώπου που έσπασε τους κώδικες των γερµανικών υποβρυχίων κατά τον Β' Παγκόσµιο Πόλεµο συµβάλλοντας αποφασιστικά στη νίκη των συµµάχων κατά του Άξονα), και πιο συγκεκριµένα µε το λεγόµενο πρόβληµα του τερµατισµού (Entscheidungsproblem), αλλά και µε πολλά προβλήµατα των µαθηµατικών (όπως για παράδειγµα µε το πρόβληµα Whitehead στην Κ- Θεωρία, το πρόβληµα των λέξεων στις πεπερασµένα παρουσιασµένες οµάδες, το πρόβληµα Donaldson της κατηγοριοποίησης των πολλαπλοτήτων διάστασης 4 και την ύπαρξη εξωτικών δοµών κλπ). Όλα αυτά δεν είναι παρά µερικά επιπλέον παραδείγµατα π₁ - προτάσεων. Επιπρόσθετα τα θεωρήµατα του Gödelέχουν άµεση σχέση και µε το παράδοξο του ψεύτη: «Η παρακάτω πρόταση είναι ψευδής» «Η παραπάνω πρόταση είναι αληθής», αλλά και µε το γνωστό παράδοξο του Russell (µια διασκεδαστική έκδοση του οποίου είναι το παράδοξο του κουρέα: «Ο κουρέας ξυρίζει µόνο όσους δεν µπορούν να ξυριστούν µόνοι τους, ποιος ξυρίζει τον κουρέα;») Κάποια από τα παράδοξα αυτά έχουν τις ρίζες τους στους αρχαίους Έλληνες φιλοσόφους: Τον 6ο αιώνα π.χ ο φιλόσοφος και ποιητής Επιµενίδης που ήταν από την Κρήτη, έγραψε «Όλοι οι Κρητικοί είναι ψεύτες» ενώ ο φιλόσοφος Ευβουλίδης από την Μίλητο τον 4ο αιώνα π.χ. έγραψε: «Κάποιος λέει ότι ψεύδεται. Αυτό που λέει είναι αλήθεια ή ψέµµατα;» Ας µην ξεχάσουµε και την κλασική φράση που αποδίδεται στον Σωκράτη: «Εν οίδα, ότι ουδέν οίδα». Επίσης αυτο-αντιφατικές ερωτήσεις όπως: «Μπορεί ο παντοδύναµος Θεός να δηµιουργήσει µια πέτρα τόσο µεγάλη που να µην µπορεί να την σηκώσει;» υποδηλώνουν αδυναµία της ανθρώπινης λογικής (παρά του... Θεού). Στο σηµείο όµως αυτό δεν µπορούµε να αντισταθούµε στον πειρασµό να αναφέρουµε και την φράση του Απ. Παύλου: «Βλέπετε µη τις υµάς έσται ο συλαγωγών δια της φιλοσοφίας και κενής απάτης, κατά την παράδοσιν των ανθρώπων, κατά τα στοιχεία του κόσµου και ου κατά Χριστόν». (προς Κολασσαείς, Κεφ. Β στίχος 8). Ο Κ. Gödel ήταν πιστός χριστιανός (άνηκε στην Ρωµαιοκαθολική Εκκλησία). Το 1970 σκέφθηκε ένα οντολογικό επιχείρηµα υπέρ της ύπαρξης του Θεού, το οποίο αποτελούσε µια 25

26 βελτίωση ενός παρόµοιου επιχειρήµατος του Αγίου Ανσέλµου αρχιεπισκόπου του Καντέρµπουρη ( ), και το οποίο δεν δηµοσίευσε ποτέ όσο ζούσε αλλά επανειληµµένα το είχε επιδείξει σε διάφορους φίλους του. Πρωτοδηµοσιεύθηκε µόλις το 1987, εννέα χρόνια µετά τον θάνατό του. Ο ίδιος ο Gödel µάλιστα το θεωρούσε απόδειξη της ύπαρξης του Θεού αλλά εµείς είµαστε πιο µετριοπαθείς και το αναφέρουµε ως επιχείρηµα υπέρ της ύπαρξης του Θεού. Το αρχικό οντολογικό επιχείρηµα του Αγίου Άνσελµου ήταν το εξής (Προσλόγιον ΙΙ, µετάφραση από τα Λατινικά): «...Έτσι, ακόµη και ο άφρων είναι πεπεισµένος πως, τουλάχιστον διανοητικά, υπάρχει κάτι ανώτερο του οποίου δεν µπορεί να συλληφθεί. ιότι όταν το ακούει, το καταλαβαίνει. Και οτιδήποτε γίνεται κατανοητό υπάρχει διανοητικά. Και πείθεται ότι αυτό, ανώτερο του οποίου δεν υπάρχει, δεν µπορεί να υπάρχει µόνο διανοητικά. ιότι, ας υποθέσουµε πως υπάρχει µόνο διανοητικά: τότε µπορεί να συλληφθεί διανοητικά πως υπάρχει και στην πραγµατικότητα, κάτι το οποίο είναι ανώτερο. Συνεπώς εάν εκείνο, ανώτερο του οποίου δεν υπάρχει, υπάρχει µόνο διανοητικά, υπάρχει κάτι ανώτερο αυτού του οποίου ανώτερο δεν υπάρχει, κάτι που είναι αδύνατον...» Μπορούµε να γράψουµε το επιχείρηµα χρησιµοποιώντας την εις άτοπον απαγωγή µέσω των παρακάτω βηµάτων: 1. O Θεός εξ ορισµού είναι το υπέρτατο Ον, δηλαδή το Ον ανώτερο του οποίου δεν µπορεί να συλληφθεί διανοητικά. 2. Η έννοια του Θεού υπάρχει στην ανθρώπινη διάνοια. 3. Ας υποθέσουµε (για να καταλήξουµε σε άτοπο παρακάτω) ότι ο Θεός υπάρχει µόνο διανοητικά και όχι στην πραγµατικότητα. 4. Η έννοια του Θεού που υπάρχει και στην πραγµατικότητα υπάρχει στην ανθρώπινη διάνοια. 5. Ένα Ον που υπάρχει στην ανθρώπινη διάνοια αλλά και στην πραγµατικότητα είναι ανώτερο ενός Όντος που υπάρχει µόνο διανοητικά. 6. Από τα βήµατα 1,2,3,4 και 5 προκύπτει πως µπορεί να συλληφθεί διανοητικά η ύπαρξη ενός Όντος ανώτερου του Θεού (που εξ ορισµού από το 1 είναι το ανώτερο Ον που µπορεί διανοητικά να συλληφθεί), κάτι που όµως αποτελεί άτοπο. 7. Συνεπώς η υπόθεση 3 είναι λάθος, οπότε ο Θεός υπάρχει και στην πραγµατικότητα. 26

27 Σηµειώνουµε εδώ ότι το βήµα που δέχθηκε την µεγαλύτερη κριτική από τους φιλοσόφους στο πέρασµα των αιώνων ήταν το 5 παραπάνω (πιο συγκεκριµένα η έννοια της ανωτερότητας). ιάφορα οντολογικά επιχειρήµατα υπερ της ύπαρξης του Θεού εµφανίστηκαν αργότερα, ίσως τα πιο γνωστά είναι αυτά του R. Descartes και του G. Leibniz. Εµφανίστηκαν βέβαια και παρωδίες των οντολογικών επιχειρηµάτων. H κατά Κ. Gödel βελτίωση και εξέλιξη του επιχειρήµατος του Ανσέλµου είναι η εξής (για την κατανόηση απαιτείται κάποια εξοικείωση µε την σύγχρονη εγκλιτική λογική modal logic): Ορισµός 1. Το x έχει την θεοειδή ιδιότητα εάν και µόνο εάν το x έχει ως ουσιώδεις ιδιότητες εκείνες και µόνο εκείνες τις ιδιότητες που είναι θετικές. Ορισµός 2. Μια ιδιότητα Α αποτελεί µια ουσία του x εάν και µόνο εάν για κάθε ιδιότητα B, το x έχει αναγκαστικά την ιδιότητα B εάν και µόνο εάν η Α συνεπάγεται την Β. Ορισµός 3. Το x αναγκαστικά υπάρχει εάν και µόνο εάν κάθε ουσία του x αναγκαστικά εξηγείται µε κάποιο παράδειγµα. Αξίωµα 1. Εάν µια ιδιότητα είναι θετική, τότε η άρνησή της δεν είναι θετική. Αξίωµα 2. Κάθε ιδιότητα που συνεπάγεται από µια θετική ιδιότητα είναι επίσης θετική. Αξίωµα 3. Η ιδιότητα του να είναι κάτι θεοειδές είναι θετική. Αξίωµα 4. Εάν µια ιδιότητα είναι θετική τότε είναι και αναγκαστικά θετική. Αξίωµα 5. Η αναγκαία ύπαρξη είναι θετική ιδιότητα. Αξίωµα 6. Για κάθε ιδιότητα P, εάν η P είναι θετική, τότε το να έχει κάτι αναγκαστικά την ιδιότητα P είναι επίσης θετική ιδιότητα. Θεώρηµα 1. Εάν µια ιδιότητα είναι θετική, τότε είναι συνεπής (δηλαδή πιθανώς εξηγείται µε κάποιο παράδειγµα). Πόρισµα 1. Η θεοειδής ιδιότητα είναι συνεπής. 27

28 Θεώρηµα 2. Εάν κάτι έχει την θεοειδή ιδιότητα, τότε η θεοειδής ιδιότητα αποτελεί µια ουσία αυτού. Θεώρηµα 3. Αναγκαστικά η θεοειδής ιδιότητα εξηγείται µε κάποιο παράδειγµα. Για τους ειδικούς, χρησιµοποιώντας Συµβολική Λογική, τo παραπάνω Οντολογικό Επιχείρηµα του Κ. Gödel γράφεται ως εξής (αυτή είναι και η µορφή που το οντολογικό επιχείρηµα υπάρχει στις προσωπικές σηµειώσεις του ιδίου του Κ. Gödel): Ας κάνουµε τώρα ορισµένα σχόλια σχετικά µε την Θεολογία και ειδικά την Ορθόδοξη Θεολογία: Κατ' αρχήν η πρακτική χρησιµότητα των οντολογικών επιχειρηµάτων για την χριστιανική οµολογία είναι αµφίβολη: Η µόνη γνωστή περίπτωση ανθρώπου που παραδέχθηκε πως έγινε χριστιανός µελετώντας το παραπάνω οντολογικό επιχείρηµα του Αγίου Άνσελµου (το αναφέρει ο ίδιος στην αυτοβιογραφία του), είναι του γνωστού συγγραφέα και καθηγητή στην Οξφόρδη C. S. Lewis ( ) (συγγραφέα µεταξύ άλλων του εξαιρετικού βιβλίου που µεταφράστηκε και στα ελληνικά µε τον τίτλο «Η Τακτική του ιαβόλου»). Επίσης η διαφορά ανάµεσα στη χριστιανική πίστη και τη θρησκεία είναι η εξής: Στην πρώτη ο Θεός προσεγγίζει τον άνθρωπο, ενώ στη δεύτερη συµβαίνει το αντίθετο. Θα µπορούσε να υποθέσει κανείς ότι στην περίπτωση της θρησκείας είναι ο φόβος που γεννά το Θεό και σε κάθε περίπτωση ο Θεός είναι µία πατρική φιγούρα παράγωγο ενστίκτου. Αναλογικά µπορούµε να συµπεράνουµε ότι ο Θεός της οντολογικής απόδειξης είναι παράγωγο συλλογισµού και ίσως θα µπορούσαµε να υποθέσουµε ότι στο βάθος είναι αποκύηµα ενστίκτου κυριαρχίας µέσω του ορθού λόγου. (Για παράδειγµα η αθε α του Νίτσε δεν είναι παρά το αναπόδραστο συµπέρασµα του σκέφτοµαι άρα υπάρχω του Καρτέσιου). 28

29 Ωστόσο, ο χριστιανικός Θεός δεν είναι παράγωγο αλλά αποκάλυψη, η οποία συνέβη σε συγκεκριµένο χρόνο και τόπο µε όρους εµπειρικούς. Οι πατέρες της εκκλησίας (σαν τον Άγιο Μάξιµο τον Οµολογητή) γνώρισαν τον Θεό ως Πρόσωπο και στη συνέχεια έγραψαν τα θεολογικά κείµενα. Και επιπλέον η αποκάλυψη είναι συστατικό της υπόστασης του χριστιανικού Θεού, όπως αυτή περιγράφεται από το δόγµα της τριαδικότητας. Στην πραγµατικότητα η χρήση του κατηγορήµατος ύπαρξη ίσως δεν ταιριάζει στον Θεό: Η ύπαρξη προσδιορίζεται από την παρουσία, η παρουσία είναι το αποτέλεσµα της διευθέτησης των εµπειρικών δεδοµένων από τις λογικές κατηγορίες, ένα ενέργηµα του νου µε το οποίο η πολλαπλότητα αποκτά µορφή (Καντ) ή η εναπόθεση µορφής επάνω σε ένα άµορφο υπόβαθρο το οποίο ονοµάζεται ύλη (Αριστοτέλης). (O όρος ύλη χρησιµοποιείται τελείως συµβατικά: Οι περισσότεροι φυσικοί σήµερα θα συµφωνούσαν πως συνήθης ύλη είναι ο,τιδήποτε αποτελείται από κουάρκ και λεπτόνια αλλά ένας γενικός ορισµός της ύλης που θα περιλαµβάνει και τις εξωτικές µορφές ύλης της σύγχρονης φυσική είναι εξαιρετικά δύσκολος έως αδύνατος). Όµως ο Θεός δεν υπόκειται στην απόφαση κάθε λογικής κατηγορίας. Εποµένως δεν είναι δυνατή η απόφαση ύπαρξης ή µη ύπαρξης. Ο Άγιος Μάξιµος ο Οµολογητής αναφέρει ότι το αποφατικό «µη είναι» θα ταίριαζε περισσότερο στο Θεό. Πηγαίνοντας ένα βήµα παραπέρα θα µπορούσαµε να δώσουµε µία αναλογία και να πούµε ότι ο Θεός είναι όπως το κενό σύνολο: Είναι µοναδικό, και παρά το ότι είναι κενό θεµελιώνει τα Μαθηµατικά (βλέπε για παράδειγµα τον ορισµό των φυσικών αριθµών µε τη χρήση της θεωρίας τύπων του B. Russell). Είναι παρόν σε κάθε σύνολο καθώς είναι υποσύνολο κάθε συνόλου. (Άλλωστε η θεολογία µας µιλά και για την «Θεία Κένωση» του Λόγου κατά την θεία σαρκική Γέννησή Του από την Υπεραγία Θεοτόκο). Επιπλέον ένα εξίσου σοβαρό πρόβληµα είναι ότι η οντολογική απόδειξη δεν παράγει συγκεκριµένη ηθική θεωρία, όπως αυτή που έχει παραδωθεί µέσα από τη Βίβλο. Γενικότερα δεν προκύπτει µέσα από κάθε οντολογική απόδειξη εκείνο το οποίο ονοµάζεται Εκκλησία και που είναι θεµελιωµένο στην ενανθρώπιση του Υιού και Λόγου του Θεού, στην Σταύρωση και την Ανάστασή Του και στην µέλλουσα Κρίση. Συνεπώς τα οντολογικά επιχειρήµατα για την Θεολογία έχουν κάποια χρησιµότητα µόνο στο αρχικό στάδιο της πορείας συνάντησης δύο προσώπων (του ανθρώπου και του Θεού): Η χρησιµότητα έγγυται στο ότι υποδηλώνουν πως η έννοια του Θεού απλά δεν αντιβαίνει στις αρχές της ανθρώπινης σκέψης αλλά σε καµία περίπτωση δεν προκύπτει από αυτή, είναι κάτι πολύ πάνω, πέρα και έξω από αυτήν. 29

30 Άρα λοιπόν: Η πίστη στον Θεό ούτε προκύπτει αλλά ούτε και αντιβαίνει τις αρχές της λογικής καθώς σε διάφορα επιχειρήµατα που αναφέρθηκαν παραπάνω υπέρ της ύπαρξης του Θεού υπάρχουν και οι αντίστοιχες παρωδίες αυτών (για το συγκεκριµένο οντολογικό επιχείρηµα του Γκέντελ πάντως αξίζει να αναφερθεί ότι τουλάχιστον ο γράφων δεν έχει υπόψη του κάποια παρωδία). Άλλωστε η θεολογία εδώ και αιώνες µας πληροφορούσε ότι η λογική αποτελεί ατελές (αλλά σε καµία περίπτωση άχρηστο) εργαλείο στην προσέγγιση του Θεού. Επίσης οι ιεροί νηπτικοί πατέρες στα συγγράµµατά τους (κυρίως στην Φιλοκαλία αλλά και αλλού) υποστηρίζουν ότι το ζήτηµα της ύπαρξης / αποδοχής / πίστης του Θεού από τον άνθρωπο δεν είναι θέµα διανοητικό αλλά θέµα καθαρισµού της καρδιάς από τα πάθη, τα πάθη, που έχουν ως βάση την καρδιά, συσκοτίζουν και τον νου του ανθρώπου. Στην Αγία Γραφή υπάρχει η γνωστή φράση: «Είπεν άφρων εν τη καρδία αυτού ουκ έστι Θεός», δεν είναι τυχαίο που χρησιµοποιείται η λέξη «καρδία» και όχι για παράδειγµα η λέξη «διανοία». Παραθέτουµε κάποια σχόλια αµέσως παρακάτω και στο τέλος αναφέρουµε µια ενδεικτική βιβλιογραφία για όσους θα ήθελαν να εµβαθύνουν περισσότερο σε κάποιο από τα θέµατα που αγγίξαµε στο παρόν σύντοµο άρθρο. Σχόλια: 1. Ιστορικά το πρώτο οντολογικό επιχείρηµα υπέρ της ύπαρξης του Θεού θεωρείται αυτό του Αγίου Ανσέλµου Αρχιεπισκόπου του Καντέρµπουρη (αν και κάποια «απολογητικά στοιχεία» υπήρχαν και στα συγγράµµατα του ιερού Αυγουστίνου πολύ νωρίτερα αλλά και σε διάφορα απολογητικά έργα κάποιων πατέρων της Εκκλησίας.) Στην συνέχεια εµφανίστηκαν και άλλα οντολογικά επιχειρήµατα όπως του Thomas Acquinas, του Καρτέσιου (R. Descartes), του Leibniz («θεωρία µονάδων» από όπου προέκυψαν και ο λογισµός µεταβολών calculus of variations που αποτελεί τον ακρογωνιαίο λίθο για την σύγχρονη φυσική θεωρίες πεδίων και από την οποία προκύπτουν η αρχή ελάχιστης δράσης του Fermat, η διατήρηση ορµής και ενέργειας, το θεώρηµα Nöether κλπ), το λεγόµενο transcendental argument (Tranzendentalen Deduktion) του Ι. Kant, του γνωστού πυρηνικού φυσικού (και πατέρα της πρώτης ατοµικής βόµβας) R. Oppenheimer, και φτάσαµε τελικά µέχρι τον Gödel. Υπάρχουν όµως και τα λεγόµενα τελεολογικά επιχειρήµατα (σε συνδυασµό µε την ανθρωπική αρχή και τα fine tuned universes) αλλά και επιχειρήµατα υπέρ της ύπαρξης του Θεού που προέρχονται, όλως αναπάντεχα, και από την πληροφορική, 30

πρόσωπο ε σαγωγικ κείµενα γι τ ηµήτριος Γερούκαλης ΑΝΤΙΦΩΝΟ σ µι προβληµατικ ξόδου π τ ν κρίση τ ς νεωτερικότητας

πρόσωπο ε σαγωγικ κείµενα γι τ ηµήτριος Γερούκαλης ΑΝΤΙΦΩΝΟ σ µι προβληµατικ ξόδου π τ ν κρίση τ ς νεωτερικότητας ηµήτριος Γερούκαλης ε σαγωγικ κείµενα γι τ πρόσωπο σ µι προβληµατικ ξόδου π τ ν κρίση τ ς νεωτερικότητας πιµέλεια, ε σαγωγή: Σωτήρης Μητραλέξης ΑΝΤΙΦΩΝΟ 2 ε σαγωγικ κείµενα γι τ πρόσωπο σ µι προβληµατικ

Διαβάστε περισσότερα

Ευρωπαίοι μαθηματικοί απέδειξαν έπειτα από 40 χρόνια τη θεωρία περί της ύπαρξης του Θεού του Γκέντελ με τη βοήθεια ηλεκτρονικού υπολογιστή

Ευρωπαίοι μαθηματικοί απέδειξαν έπειτα από 40 χρόνια τη θεωρία περί της ύπαρξης του Θεού του Γκέντελ με τη βοήθεια ηλεκτρονικού υπολογιστή Ευρωπαίοι μαθηματικοί απέδειξαν έπειτα από 40 χρόνια τη θεωρία περί της ύπαρξης του Θεού του Γκέντελ με τη βοήθεια ηλεκτρονικού υπολογιστή Καθηγητή Χάρη Βάρβογλη 1 / 6 Υπάρχει Θεός; Το ερώτημα αυτό απασχολεί

Διαβάστε περισσότερα

«Έννοια της διάταξης ΟΡΙΣΜΟΣ α > β α β > 0.»

«Έννοια της διάταξης ΟΡΙΣΜΟΣ α > β α β > 0.» 1 Η σχέση της διάταξης στο IR ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Πρόλογος Η εργασία αυτή γράφτηκε µε αφορµή την κυκλικότητα που παρατηρείται στο σχολικό

Διαβάστε περισσότερα

Περί της Ταξινόμησης των Ειδών

Περί της Ταξινόμησης των Ειδών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 24 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Tel.: +30 2310998051, Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru Περί της Ταξινόμησης

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΩΜΑΣ ΑΚΙΝΑΤΗΣ

ΘΩΜΑΣ ΑΚΙΝΑΤΗΣ http://hallofpeople.com/gr/bio/aquinas.php ΘΩΜΑΣ ΑΚΙΝΑΤΗΣ Ο μεγαλύτερος και σπουδαιότερος φιλόσοφος του δευτέρου μισού του Μεσαίωνα ήταν ο Θωμάς ο Ακινάτης, που έζησε από το 1225 ως το 1274. Υπήρξε ο σημαντικότερος

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος

Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος Περιγραφή μαθήματος Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας (Θεωρία Αλγορίθμων). Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού Αρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr

Θεωρία Υπολογισμού Αρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr Περιγραφή μαθήματος Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Απόδειξη

Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Σύντομο ιστορικό σημείωμα: Η πρώτη απόδειξη στην ιστορία των μαθηματικών, αποδίδεται στο Θαλή το Μιλήσιο (~600 π.χ.). Ο Θαλής απέδειξε, ότι η διάμετρος διαιρεί τον κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

Οι πραγµατικοί αριθµοί

Οι πραγµατικοί αριθµοί Οι πραγµατικοί αριθµοί Προλεγόµενα Η ανάγκη απαρίθµησης αντικειµένων, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των φυσικών αριθµών Η ανάγκη µέτρησης µεγεθών, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των ρητών αριθµών

Διαβάστε περισσότερα

«Έννοια της διάταξης ΟΡΙΣΜΟΣ α > β α β > 0.»

«Έννοια της διάταξης ΟΡΙΣΜΟΣ α > β α β > 0.» 1 Η σχέση της διάταξης στο IR ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Η εργασία αυτή αποτελείται από δύο µέρη. Στο πρώτο µέρος ορίζεται η έννοια των θετικών

Διαβάστε περισσότερα

Η Ευκλείδεια διαίρεση

Η Ευκλείδεια διαίρεση 1 Η Ευκλείδεια διαίρεση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρηµα Αποδεικνύεται ότι για οποιουσδήποτε ακέραιους α και β, β 0, ισχύει το παρακάτω θεώρηµα και διατυπώνεται ως εξής : Αν α και β ακέραιοι µε β

Διαβάστε περισσότερα

Φορέας υλοποίησης: Φ.Μ.Ε. ΑΛΦΑ

Φορέας υλοποίησης: Φ.Μ.Ε. ΑΛΦΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΗΜΕΡΙΔΑ: «ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ, ΜΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΖΩΗΣ» ΣΤΡΑΤΗ ΣΤΑΜΑΤΙΑ Επιβλέπων Καθηγητής: ΚΑΡΑΧΑΛΙΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ Φορέας υλοποίησης: Φ.Μ.Ε. ΑΛΦΑ ΚΑΡΛΟΒΑΣΙ, ΜΑΪΟΣ 2012 ΣΤΟΙΧΕΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

Π α σα πνο η αι νε σα τω τον Κυ ρι. Π α σα πνο η αι νε σα α τω τον. Ἕτερον. Τάξις Ἑωθινοῦ Εὐαγγελίου, Ὀ Ν Ψαλµός. Μέλος Ἰωάννου Ἀ. Νέγρη.

Π α σα πνο η αι νε σα τω τον Κυ ρι. Π α σα πνο η αι νε σα α τω τον. Ἕτερον. Τάξις Ἑωθινοῦ Εὐαγγελίου, Ὀ Ν Ψαλµός. Μέλος Ἰωάννου Ἀ. Νέγρη. Τάξις Ἑωθινοῦ Εὐαγγελίου, Ὀ Ν Ψαλµός. Μέλος Ἰωάννου Ἀ. Νέγρη. Κυ ρι ε ε λε η σον Ἦχος Πα Α µην Π α σα πνο η αι νε σα τω τον Κυ ρι ον Ἕτερον. Π α σα πνο η αι νε σα α τω τον Κυ υ ρι ι ον 1 ΙΩΑΝΝΟΥ Α. ΝΕΓΡΗ

Διαβάστε περισσότερα

Nηπτική λύσις στο πρόβλημα της κατανοήσεως και της μεταφράσεως των Λειτουργικών Κειμένων (π. Κωνσταντίνος Στρατηγόπουλος)

Nηπτική λύσις στο πρόβλημα της κατανοήσεως και της μεταφράσεως των Λειτουργικών Κειμένων (π. Κωνσταντίνος Στρατηγόπουλος) Nηπτική λύσις στο πρόβλημα της κατανοήσεως και της μεταφράσεως των Λειτουργικών Κειμένων (π. Κωνσταντίνος Στρατηγόπουλος) Date : Οκτωβρίου 11, 2013 (Απομαγνητοφωνημένη ομιλία του πρωτοπρεσβύτερου Κωνσταντίνου

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη φιλοσοφία

Εισαγωγή στη φιλοσοφία Εισαγωγή στη φιλοσοφία Ενότητα 2 η : Μεταφυσική ή Οντολογία Ι: Θεός Ρένια Γασπαράτου Σχολή Ανθρωπιστικών & Κοινωνικών Επιστημών Τμήμα Επιστημών της Εκπαίδευσης & της Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

β. εκφράζουν αλήθειες για τον Χριστό, τη Θεοτόκο, την Αγία Τριάδα, τους αγίους

β. εκφράζουν αλήθειες για τον Χριστό, τη Θεοτόκο, την Αγία Τριάδα, τους αγίους ΜΑΘΗΜΑ 30 Ο 31 Ο ΥΜΝΟΓΡΑΦΙΑ ΣΤΗ ΛΑΤΡΕΙΑ Να συμπληρώσετε την πρόταση επιλέγοντας τη σωστή απάντηση, σύμφωνα με τη διδασκαλία της Εκκλησίας, από τις φράσεις α, β, γ, δ. Να τεκμηριώσετε με συντομία την επιλογή

Διαβάστε περισσότερα

2η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΟ 22. ΘΕΜΑ: Οι βασικοί σταθµοί του νεώτερου Εµπειρισµού από τον Locke µέχρι και τον Hume. ΣΧΕ ΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Α.

2η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΟ 22. ΘΕΜΑ: Οι βασικοί σταθµοί του νεώτερου Εµπειρισµού από τον Locke µέχρι και τον Hume. ΣΧΕ ΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Α. Θέµατα & Ασκήσεις από: www.arnos.gr 2η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΟ 22 ΘΕΜΑ: Οι βασικοί σταθµοί του νεώτερου Εµπειρισµού από τον Locke µέχρι και τον Hume. ΣΧΕ ΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Α. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σύµφωνα µε τη θεωρία του εµπειρισµού

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 02/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/2/2017

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Φιλοσοφία (Φ101)

Εισαγωγή στη Φιλοσοφία (Φ101) ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ (Φ101) 3η ενότητα: Θεμελιώδη ερωτήματα & κλάδοι της φιλοσοφίας Γιώργος Ζωγραφίδης Τμήμα Φιλοσοφίας & Παιδαγωγικής Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

3 ο Δημοτικό Σχολείο Βροντάδου Χίου Οι Τρεις Ιεράρχες, η ζωή και το έργο τους. Χίος, 29 Ιανουαρίου 2016 Εκπαιδευτικός: Κωσταρή Αντωνία

3 ο Δημοτικό Σχολείο Βροντάδου Χίου Οι Τρεις Ιεράρχες, η ζωή και το έργο τους. Χίος, 29 Ιανουαρίου 2016 Εκπαιδευτικός: Κωσταρή Αντωνία 3 ο Δημοτικό Σχολείο Βροντάδου Χίου Οι Τρεις Ιεράρχες, η ζωή και το έργο τους Χίος, 29 Ιανουαρίου 2016 Εκπαιδευτικός: Κωσταρή Αντωνία Εισαγωγή Και οι τρεις γεννήθηκαν τον 4ο αιώνα μ.χ., στα Βυζαντινά Χρόνια.

Διαβάστε περισσότερα

Τι μπορεί να δει κάποιος στο μουσείο της Ι.Μ. Μεγάλου Μετεώρου

Τι μπορεί να δει κάποιος στο μουσείο της Ι.Μ. Μεγάλου Μετεώρου 18/05/2019 Τι μπορεί να δει κάποιος στο μουσείο της Ι.Μ. Μεγάλου Μετεώρου / Ιερές Μονές Η μο νή του Με γά λου Με τε ώ ρου δι α μόρ φω σε μί α σει ρά α πό πε ρι κα λείς μου σεια κούς χώ ρους, για την α

Διαβάστε περισσότερα

Σχόλιο. Παρατηρήσεις. Παρατηρήσεις. p q p. , p1 p2

Σχόλιο. Παρατηρήσεις. Παρατηρήσεις. p q p. , p1 p2 A. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Στα Μαθηµατικά χρησιµοποιούµε προτάσεις οι οποίες µπορούν να χαρακτηριστούν ως αληθείς (α) ή ψευδείς (ψ). Τις προτάσεις συµβολίζουµε µε τα τελευταία µικρά γράµµατα του Λατινικού αλφαβήτου:

Διαβάστε περισσότερα

α κα ρι ι ο ος α α νηρ ος ου ουκ ε πο ρε ε ευ θη εν βου λη η η α α σε ε ε βων και εν ο δω ω α α µαρ τω λω ων ουουκ ε ε ε

α κα ρι ι ο ος α α νηρ ος ου ουκ ε πο ρε ε ευ θη εν βου λη η η α α σε ε ε βων και εν ο δω ω α α µαρ τω λω ων ουουκ ε ε ε Ἦχος Νη α κα ρι ι ο ος α α νηρ ος ου ουκ ε πο ρε ε ευ θη εν βου λη η η α α σε ε ε βων και εν ο δω ω α α µαρ τω λω ων ουουκ ε ε ε στη η και ε πι κα α θε ε ε ε δρα α λοι οι µων ου ουκ ε ε κα θι ι σε ε ε

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 09/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/9/2017

Διαβάστε περισσότερα

Φ(s(n)) = s (Φ(n)). (i) Φ(1) = a.

Φ(s(n)) = s (Φ(n)). (i) Φ(1) = a. 1. Τα θεμελιώδη αριθμητικά συστήματα Με τον όρο θεμελιώδη αριθμητικά συστήματα εννοούμε τα σύνολα N των φυσικών αριθμών, Z των ακεραίων, Q των ρητών και R των πραγματικών. Από αυτά, το σύνολο N είναι πρωτογενές

Διαβάστε περισσότερα

Είναι τα πράγματα όπως τα αντιλαμβανόμαστε με τις αισθήσεις μας;

Είναι τα πράγματα όπως τα αντιλαμβανόμαστε με τις αισθήσεις μας; Είναι τα πράγματα όπως τα αντιλαμβανόμαστε με τις αισθήσεις μας; Εμείς που αντιλαμβανόμαστε είμαστε όλοι φτιαγμένοι από το ίδιο υλικό; Πώς βρεθήκαμε σ αυτόν τον κόσμο; Ο θάνατός μας σημαίνει το τέλος ή

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

Η Κατάκτηση του Απείρου από την Αρχαιότητα ως Σήµερα

Η Κατάκτηση του Απείρου από την Αρχαιότητα ως Σήµερα [ 1 ] Πανεπιστήµιο Κύπρου Η Κατάκτηση του Απείρου από την Αρχαιότητα ως Σήµερα Νικόλαος Στυλιανόπουλος Ηµερίδα Ιστορία των Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κύπρου Νοέµβριος 2016 [ 2 ] Πανεπιστήµιο Κύπρου υσκολίες

Διαβάστε περισσότερα

Δημιουργώντας μια Συστηματική Θεολογία

Δημιουργώντας μια Συστηματική Θεολογία Ερωτήσεις Επανάληψης 1 Οι Θεολογικές Δηλώσεις στην Συστηματική Θεολογία Διάλεξη Τρίτη από την σειρά Δημιουργώντας μια Συστηματική Θεολογία Οδηγός Μελέτης Περιεχόμενα Περίγραμμα Ένα περίγραμμα του μαθήματος,

Διαβάστε περισσότερα

Να ιεραρχήσετε τα παρακάτω στάδια από τις φάσεις της θείας οικονομίας

Να ιεραρχήσετε τα παρακάτω στάδια από τις φάσεις της θείας οικονομίας ΜΑΘΗΜΑ 7 Ο Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΟΥ ΘΕΟΥ ΣΤΗΝ ΑΝΘΡΩΠΙΝΗ ΙΣΤΟΡΙΑ Να ιεραρχήσετε τα παρακάτω στάδια από τις φάσεις της θείας οικονομίας σύμφωνα με τη χρονική σειρά που πραγματοποιήθηκαν: 1. Προαναγγελία του Μεσσία

Διαβάστε περισσότερα

Πρόταση. Αληθείς Προτάσεις

Πρόταση. Αληθείς Προτάσεις Βασικές έννοιες της Λογικής 1 Πρόταση Στην καθημερινή μας ομιλία χρησιμοποιούμε εκφράσεις όπως: P1: «Καλή σταδιοδρομία» P2: «Ο Όλυμπος είναι το ψηλότερο βουνό της Ελλάδας» P3: «Η Θάσος είναι το μεγαλύτερο

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογίσιμες Συναρτήσεις

Υπολογίσιμες Συναρτήσεις Υπολογίσιμες Συναρτήσεις Σ Π Υ Ρ Ι Δ Ω Ν Τ Ζ Ι Μ Α Σ Δ Τ Ο Μ Ε Α Σ Τ Μ Η Μ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ω Ν Σ Χ Ο Λ Η Θ Ε Τ Ι Κ Ω Ν Ε Π Ι Σ Τ Η Μ Ω Ν Π Α Ν Ε Π Ι Σ Τ Η Μ Ι Ο Ι Ω Α Ν Ν Ι Ν Ω Ν Υπολογίσιμες Συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικοί Όροι στην Θεολογία

Τεχνικοί Όροι στην Θεολογία Τεχνικοί Όροι στην Θεολογία Μάθημα Δεύτερο από την σειρά Οικοδομώντας μία Συστηματική Θεολογία Οδηγός Μελέτης Περιεχόμενα Περίγραμμα Ένα περίγραμμα του μαθήματος, Σημειώσεις Ένα πρότυπο που παρέχει: το

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου.

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου. Να διατηρηθεί µέχρι... ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ENIAIOΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α' Αν. Παπανδρέου 37, 15180 Μαρούσι Πληροφορίες : Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ, ΕΣΠΙ 1

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ, ΕΣΠΙ 1 ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ, ΕΣΠΙ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η έννοια της συνάρτησης είναι θεμελιώδης στο λογισμό και διαπερνά όλους τους μαθηματικούς κλάδους. Για το φοιτητή είναι σημαντικό να κατανοήσει πλήρως αυτή

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΚΑΝΤ (1724-1804)

ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΚΑΝΤ (1724-1804) ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΚΑΝΤ - ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΤΗΣ ΓΝΩΣΙΟΘΕΩΡΙΑΣ ΤΟΥ 1 ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΚΑΝΤ (1724-1804) (Η σύντομη περίληψη που ακολουθεί και η επιλογή των αποσπασμάτων από την πραγματεία του Καντ για την ανθρώπινη γνώση,

Διαβάστε περισσότερα

Να συμπληρώσετε κάθε μια από τις προτάσεις 1, 2, και 3 επιλέγοντας τη σωστή

Να συμπληρώσετε κάθε μια από τις προτάσεις 1, 2, και 3 επιλέγοντας τη σωστή ΜΑΘΗΜΑ 6 Ο ΠΟΙΗΣΩΜΕΝ ΑΝΘΡΩΠΟΝ... Να συμπληρώσετε κάθε μια από τις προτάσεις 1, 2, και 3 επιλέγοντας τη σωστή απάντηση, κατά τη διδασκαλία του Χριστιανισμού, από τις αντίστοιχες φράσεις α, β, γ. Στη συνέχεια,

Διαβάστε περισσότερα

Να συμπληρώσετε κάθε μια από τις προτάσεις 1, 2, 3, 4 και 5, επιλέγοντας τη σωστή απάντηση από τις αντίστοιχες φράσεις α, β, γ:

Να συμπληρώσετε κάθε μια από τις προτάσεις 1, 2, 3, 4 και 5, επιλέγοντας τη σωστή απάντηση από τις αντίστοιχες φράσεις α, β, γ: ΜΑΘΗΜΑ 18 Ο ΟΙ ΑΓΙΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ Να συμπληρώσετε κάθε μια από τις προτάσεις 1, 2, 3, 4 και 5, επιλέγοντας τη σωστή απάντηση από τις αντίστοιχες φράσεις α, β, γ: 1. Η αποκατάσταση της προσκύνησης των εικόνων

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX 1.7 διαταξεις (σελ. 17) Παράδειγµα 1 Θα πρέπει να κάνουµε σαφές ότι η επιλογή των λέξεων «προηγείται» και «έπεται» δεν έγινε απλώς για λόγους αφαίρεσης. Μπορούµε δηλαδή να ϐρούµε διάφορα παραδείγµατα στα

Διαβάστε περισσότερα

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρηµα: Z ( Απόδειξη: Περ. #1: Περ. #2: *1, *2: αποδεικνύονται εύκολα, διερευνώντας τις περιπτώσεις ο k να είναι άρτιος ή περιττός

Θεώρηµα: Z ( Απόδειξη: Περ. #1: Περ. #2: *1, *2: αποδεικνύονται εύκολα, διερευνώντας τις περιπτώσεις ο k να είναι άρτιος ή περιττός HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Την προηγούµενη φορά Τρόποι απόδειξης Τρίτη, 07/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΠΟΤΥΠΩΣΗ ΤΩΝ ΕΛΛΑΝΙΩΝ ΣΥΜΒΟΛΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΤΡΙΑΔΩΝ ΟΛΟΤΗΤΩΝ ΤΩΝ 27 ΣΥΜΒΟΛΩΝ ΤΗΣ ΑΙΘΕΡΙΚΗΣ ΓΡΑΦΗΣ ΑΡΤΕΜΗΣ ΣΩΡΡΑΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΠΟΤΥΠΩΣΗ ΤΩΝ ΕΛΛΑΝΙΩΝ ΣΥΜΒΟΛΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΤΡΙΑΔΩΝ ΟΛΟΤΗΤΩΝ ΤΩΝ 27 ΣΥΜΒΟΛΩΝ ΤΗΣ ΑΙΘΕΡΙΚΗΣ ΓΡΑΦΗΣ ΑΡΤΕΜΗΣ ΣΩΡΡΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΠΟΤΥΠΩΣΗ ΤΩΝ ΕΛΛΑΝΙΩΝ ΣΥΜΒΟΛΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΤΡΙΑΔΩΝ ΟΛΟΤΗΤΩΝ ΤΩΝ 27 ΣΥΜΒΟΛΩΝ ΤΗΣ ΑΙΘΕΡΙΚΗΣ ΓΡΑΦΗΣ ΑΡΤΕΜΗΣ ΣΩΡΡΑΣ ΤΩΡΑ, ΜΕΤΑ ΤΗΝ ΑΠΟΛΥΤΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΠΟΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Η ΑΠΑΤΗ ΤΗΣ ΑΣΤΡΟΛΟΓΙΑΣ

Η ΑΠΑΤΗ ΤΗΣ ΑΣΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ «ΦΩΤΟΔΟΤΕΣ» - Κορυδαλλών 10 Κάντζα Αττικής 153 51 Phone: 210 6658 551 - Email: fotodotes@yahoo.gr Η ΑΠΑΤΗ ΤΗΣ ΑΣΤΡΟΛΟΓΙΑΣ Συγγραφέας: Παπαδημητρακόπουλος Κωνσταντίνος Κωδικός προϊόντος: 00092

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Q = (2 3 5... P) + 1.

Q = (2 3 5... P) + 1. Η ΑΠΟΛΟΓΙΑ ΕΝΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ G.H. Hardy ΘΑ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΕΙΝΑΙ Η Η ΦΑΝΕΡΟ ότι, αν θέλουµε να έχουµε οποιαδήποτε πιθανότητα να προχωρήσει η συζήτηση, οφείλω να δώσω παραδείγµατα «πραγµατικών» µαθηµατικών θεωρηµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 17-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Την προηγούμενη φορά αναφέραμε (και αποδείξαμε στην περίπτωση n = 2) το θεώρημα που λέει ότι, αν n N, n 2, τότε για κάθε y 0 υπάρχει μοναδική μηαρνητική

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα...

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα... HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 11/03/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/15/2016

Διαβάστε περισσότερα

(Εξήγηση του τίτλου και της εικόνας που επέλεξα για το ιστολόγιό μου)

(Εξήγηση του τίτλου και της εικόνας που επέλεξα για το ιστολόγιό μου) Εν αρχή ην ο Λόγος. (Εξήγηση του τίτλου και της εικόνας που επέλεξα για το ιστολόγιό μου) Στις νωπογραφίες της οροφής της Καπέλα Σιξτίνα φαίνεται να απεικονίζονται μέρη του ανθρώπινου σώματος, όπως ο εγκέφαλος,

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΙΣΤΙΑΝΙΚΗ ΗΘΙΚΗ. Ενότητα 18: ΤΑ ΔΟΓΜΑΤΑ ΤΗΣ ΕΚΚΛΗΣΙΑΣ ΩΣ ΔΕΙΚΤΕΣ ΖΩΗΣ. ΜΑΡΙΑ Κ. ΚΑΡΑΜΠΕΛΙΑ Τμήμα Ιερατικών Σπουδών

ΧΡΙΣΤΙΑΝΙΚΗ ΗΘΙΚΗ. Ενότητα 18: ΤΑ ΔΟΓΜΑΤΑ ΤΗΣ ΕΚΚΛΗΣΙΑΣ ΩΣ ΔΕΙΚΤΕΣ ΖΩΗΣ. ΜΑΡΙΑ Κ. ΚΑΡΑΜΠΕΛΙΑ Τμήμα Ιερατικών Σπουδών ΧΡΙΣΤΙΑΝΙΚΗ ΗΘΙΚΗ Ενότητα 18: ΤΑ ΔΟΓΜΑΤΑ ΤΗΣ ΕΚΚΛΗΣΙΑΣ ΩΣ ΔΕΙΚΤΕΣ ΖΩΗΣ ΜΑΡΙΑ Κ. ΚΑΡΑΜΠΕΛΙΑ Τμήμα Ιερατικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

* * * ( ) mod p = (a p 1. 2 ) mod p.

* * * ( ) mod p = (a p 1. 2 ) mod p. Θεωρια Αριθμων Εαρινο Εξαμηνο 2016 17 Μέρος Α: Πρώτοι Αριθμοί Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Διαιρετότητα: Διαιρετότητα, διαιρέτες, πολλαπλάσια, στοιχειώδεις ιδιότητες. Γραμμικοί Συνδυασμοί (ΓΣ). Ενότητα 2. Πρώτοι

Διαβάστε περισσότερα

5 Μαρτίου Το μυστήριο της ζωής. Θρησκεία / Θεολογία. Άγιος Ιουστίνος Πόποβιτς ( 1979)

5 Μαρτίου Το μυστήριο της ζωής. Θρησκεία / Θεολογία. Άγιος Ιουστίνος Πόποβιτς ( 1979) 5 Μαρτίου 2019 Το μυστήριο της ζωής Θρησκεία / Θεολογία Άγιος Ιουστίνος Πόποβιτς ( 1979) Η ζωή πάνω στη γη έλκει την καταγωγή της από τον ουρανό η ζωή του ανθρώπου έλκει την καταγωγή της από τον Θεό. Τα

Διαβάστε περισσότερα

Ο άνθρωπος ως κοινωνός της θείας ζωής: κίνδυνος παρερμηνειών

Ο άνθρωπος ως κοινωνός της θείας ζωής: κίνδυνος παρερμηνειών 20 Μαρτίου 2019 Ο άνθρωπος ως κοινωνός της θείας ζωής: κίνδυνος παρερμηνειών Θρησκεία / Θεολογία Δημήτρης Ιωάννου, Φιλόλογος Συγγραφέας Μερικοί θεολόγοι ισχυρίζονται ότι ο άνθρωπος είναι κοινωνός της «θείας

Διαβάστε περισσότερα

Mathematics and its Applications, 5th

Mathematics and its Applications, 5th Μαθηµατικα για Πληροφορικη Εφαρµογες και τεχνικες Ηλιας Κουτσουπιάς Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών Σχετικα µε το µαθηµα Σχετικα µε το µαθηµα Το µαθηµα πραγµατευεται καποια ϑεµατα

Διαβάστε περισσότερα

Να συμπληρώσετε κάθε μια από τις προτάσεις 1, 2, 3, 4 και 5, επιλέγοντας τη. 1. Ο χώρος τέλεσης της χριστιανικής λατρείας ονομάστηκε ναός

Να συμπληρώσετε κάθε μια από τις προτάσεις 1, 2, 3, 4 και 5, επιλέγοντας τη. 1. Ο χώρος τέλεσης της χριστιανικής λατρείας ονομάστηκε ναός ΜΑΘΗΜΑ 2 Ο ΤΟ ΝΟΗΜΑ ΚΑΙ Η ΕΞΕΛΙΞΗ ΤΗΣ ΧΡΙΣΤΙΑΝΙΚΗΣ ΛΑΤΡΕΙΑΣ Να συμπληρώσετε κάθε μια από τις προτάσεις 1, 2, 3, 4 και 5, επιλέγοντας τη σωστή απάντηση από τις αντίστοιχες φράσεις α, β, γ. 1. Ο χώρος τέλεσης

Διαβάστε περισσότερα

Αποφασισιµότητα. HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Βασικές µέθοδοι απόδειξης. 07 -Αποδείξεις. ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο 2017

Αποφασισιµότητα. HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Βασικές µέθοδοι απόδειξης. 07 -Αποδείξεις. ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο 2017 HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 02/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/2/2017

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: την αποδεικτική μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής για την οποία πρέπει να γίνει κατανοητό ότι η αλήθεια

Διαβάστε περισσότερα

τι είναι αυτό που κάνει κάτι αληθές; τι κριτήρια έχουμε, για να κρίνουμε πότε κάτι είναι αληθές;

τι είναι αυτό που κάνει κάτι αληθές; τι κριτήρια έχουμε, για να κρίνουμε πότε κάτι είναι αληθές; ΤΙ ΕΙΝΑΙ Η ΑΛΗΘΕΙΑ; τι είναι αυτό που κάνει κάτι αληθές; τι κριτήρια έχουμε, για να κρίνουμε πότε κάτι είναι αληθές; ποια είναι η σχέση των πεποιθήσεών μας με την πραγματικότητα, για να είναι αληθείς και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2.

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2. Κεφάλαιο 6 Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ταξινοµήσουµε τις πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Αυτές οι οµάδες είναι από τις λίγες περιπτώσεις οµάδων µε µία συγκεκριµένη

Διαβάστε περισσότερα

Αρχές Φιλοσοφίας Β Λυκείου Τράπεζα Θεμάτων: 2 ο κεφάλαιο «Κατανοώντας τα πράγματα»

Αρχές Φιλοσοφίας Β Λυκείου Τράπεζα Θεμάτων: 2 ο κεφάλαιο «Κατανοώντας τα πράγματα» Αρχές Φιλοσοφίας Β Λυκείου Τράπεζα Θεμάτων: 2 ο κεφάλαιο «Κατανοώντας τα πράγματα» Α] Ασκήσεις κλειστού τύπου (Σωστό Λάθος) Για τον Πλάτωνα οι καθολικές έννοιες, τα «καθόλου», δεν είναι πράγματα ξεχωριστά

Διαβάστε περισσότερα

Εντολές της LOGO (MicroWorlds Pro)

Εντολές της LOGO (MicroWorlds Pro) Εντολές της LOGO (MicroWorlds Pro) Εντολές εμφάνισης (εξόδου) και αριθμητικές πράξεις δείξε Εμφανίζει στην οθόνη έναν αριθμό, το αποτέλεσμα πράξεων, μια λέξη ή μια λίστα (ομάδα) λέξεων. δείξε 200 200 δείξε

Διαβάστε περισσότερα

α. αποτελούνταν από τους Αποστόλους και όσους βαπτίστηκαν την ημέρα της Πεντηκοστής.

α. αποτελούνταν από τους Αποστόλους και όσους βαπτίστηκαν την ημέρα της Πεντηκοστής. ΜΑΘΗΜΑ 15 Ο ΣΥΝΑΓΜΕΝΟΙ ΣΤΗ Θ. ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΑ Να συμπληρώσετε την παρακάτω πρόταση επιλέγοντας τη σωστή απάντηση, σύμφωνα με τη διδασκαλία της Εκκλησίας, από τις φράσεις α, β, γ, δ. Να τεκμηριώσετε με συντομία

Διαβάστε περισσότερα

Κα λόν ύπ νο και όνειρ α γλυκά

Κα λόν ύπ νο και όνειρ α γλυκά Κα λόν ύπ νο και όνειρ α γλυκά Οδηγίες ανάγνωσης Προσοχή! Μη διαβάσετε ποτέ μεγαλόφωνα το βιβλίο αυτό σε κάποιον που οδηγεί αυτοκίνητο ή άλλο όχημα, διότι το παραμύθι έχει ως σκοπό να αποκοιμίσει αυτόν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014 Εαρινό εξάμηνο 2014 20.03.14 Χ. Χαραλάμπους Είναι το 5 ο αίτημα όντως αίτημα και όχι πρόταση? Η πρώτη φορά που το αίτημα χρησιμοποιείται στα Στοιχεία είναι στην απόδειξη της Πρότασης 29. ( Η Πρόταση 29

Διαβάστε περισσότερα

4 Συνέχεια συνάρτησης

4 Συνέχεια συνάρτησης 4 Συνέχεια συνάρτησης Σε αυτή την ενότητα ϑα µελετήσουµε την έννοια της συνέχειας συνάρτησης. Πιο συγκεκριµένα πότε ϑα λέγεται µια συνάρτηση συνεχής σε ένα σηµείο το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισµού της

Διαβάστε περισσότερα

x - 1, x < 1 f(x) = x - x + 3, x

x - 1, x < 1 f(x) = x - x + 3, x Σελίδα από 4 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Του Αντώνη Κυριακόπουλου Εισαγωγή Στην εργασία αυτή παραθέτω χρήσιµες επισηµάνσεις στις βασικές έννοιες των πραγµατικών συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΙΣΤΙΑΝΙΚΗ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ

ΧΡΙΣΤΙΑΝΙΚΗ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ ΧΡΙΣΤΙΑΝΙΚΗ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ Ενότητα 1: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΧΡΙΣΤΙΑΝΙΚΗ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ ΜΑΡΙΑ Κ. ΚΑΡΑΜΠΕΛΙΑ Α.Ε.Α.Θ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΙΕΡΑΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Σύµφωνα µε την Υ.Α /Γ2/ Εξισώσεις 2 ου Βαθµού. 3.2 Η Εξίσωση x = α. Κεφ.4 ο : Ανισώσεις 4.2 Ανισώσεις 2 ου Βαθµού

Σύµφωνα µε την Υ.Α /Γ2/ Εξισώσεις 2 ου Βαθµού. 3.2 Η Εξίσωση x = α. Κεφ.4 ο : Ανισώσεις 4.2 Ανισώσεις 2 ου Βαθµού Σύµφωνα µε την Υ.Α. 139606/Γ2/01-10-2013 Άλγεβρα Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΛ Ι. ιδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου» (έκδοση 2013) Εισαγωγικό κεφάλαιο E.2. Σύνολα Κεφ.1

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Τοπικές έννοιες Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Πατήρ Αβραάμ Μάθημα - Τρία Η ζωή του Αβραάμ: Σύγχρονη εφαρμογή. Οδηγός μελέτης

Πατήρ Αβραάμ Μάθημα - Τρία Η ζωή του Αβραάμ: Σύγχρονη εφαρμογή. Οδηγός μελέτης Πατήρ Αβραάμ Μάθημα - Τρία Η ζωή του Αβραάμ: Σύγχρονη εφαρμογή Οδηγός μελέτης Περιεχόμενα Περίγραμμα Ένα περίγραμμα του μαθήματος, Σημειώσεις Το περίγραμμα το μαθήματος; με αποσπάσματα και περιλήψεις του

Διαβάστε περισσότερα

Π Ρ Ο Σ Ε Γ Γ Ι Σ Η Μ Ι Α Σ Ι Α Φ Ο Ρ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Σ

Π Ρ Ο Σ Ε Γ Γ Ι Σ Η Μ Ι Α Σ Ι Α Φ Ο Ρ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Σ Π Ρ Ο Σ Ε Γ Γ Ι Σ Η Μ Ι Α Σ Ι Α Φ Ο Ρ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Σ Εκτός της Ευκλείδειας γεωµετρίας υπάρχουν και άλλες γεωµετρίες µη Ευκλείδιες.Οι γεω- µετρίες αυτές διαφοροποιούνται σε ένα ή περισσότερα

Διαβάστε περισσότερα

Ελευθερία και Θεότητα στην αρχαιοελληνική σκέψη και στους Πατέρες

Ελευθερία και Θεότητα στην αρχαιοελληνική σκέψη και στους Πατέρες Ορθόδοξη Ομάδα Δογματικής Έρευνας Δογματικά θέματα Γνώση εν προσώπω και Ελευθερία // Γνώση εν προσώπω και Αγάπη Ελευθερία και Θεότητα στην αρχαιοελληνική σκέψη και στους Πατέρες Β. Μπακούρος Η Χριστιανική

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 07/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/7/2017

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓΙΑΣ ΦΙΛΟΘΕΗΣ 19-21, ΑΘΗΝΑ ΤΗΛ FAX: ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ

ΑΓΙΑΣ ΦΙΛΟΘΕΗΣ 19-21, ΑΘΗΝΑ ΤΗΛ FAX: ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΑΓΙΑΣ ΦΙΛΟΘΕΗΣ 19-21, 105 56 ΑΘΗΝΑ ΤΗΛ. 2103352364 FAX: 2103237654 www.iaath.gr, E-Mail: ipe.iaath@gmail.com ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ 5 Η ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΓΙΑ ΤΗ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΣΤΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΧΟΣ- Ε ΠΙ ΔΙΩ ΞΗ ΠΛΑΙ ΣΙΟ ΧΡΗ ΜΑ ΤΟ ΔΟ ΤΗ ΣΗΣ

ΣΤΟ ΧΟΣ- Ε ΠΙ ΔΙΩ ΞΗ ΠΛΑΙ ΣΙΟ ΧΡΗ ΜΑ ΤΟ ΔΟ ΤΗ ΣΗΣ ΣΤΟ ΧΟΣ- Ε ΠΙ ΔΙΩ ΞΗ Στό χος του Ο λο κλη ρω μέ νου Προ γράμ μα τος για τη βιώ σι μη α νά πτυ ξη της Πίν δου εί ναι η δια μόρ φω ση συν θη κών α ει φό ρου α νά πτυ ξης της ο ρει νής πε ριο χής, με τη δη

Διαβάστε περισσότερα

Ο Τριαδικός Θεός: Η Τριαδικότητα και η Μοναδικότητα του Θεού

Ο Τριαδικός Θεός: Η Τριαδικότητα και η Μοναδικότητα του Θεού 12 Νοεμβρίου 2018 Ο Τριαδικός Θεός: Η Τριαδικότητα και η Μοναδικότητα του Θεού Θρησκεία / Θεολογία Βασίλειος Γκρίλλας, Θεολόγος, ΜΑ Θεολογίας Το βασικότερο δόγμα της Ορθόδοξης Εκκλησίας είναι το Τριαδολογικό.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Οι πρώτες δύο ασκήσεις αναφέρονται στις έννοιες γραµµική ανεξαρτησία, γραµµικός

Διαβάστε περισσότερα

Τρία συνηθισµένα λάθη που κάνουν µαθητές της Γ Λυκείου σε ασκήσεις του ιαφορικού Λογισµού ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ3 e-mail@p-thedrpuls.gr Πρόλογος Στην εργασία αυτή επισηµαίνονται

Διαβάστε περισσότερα

Το ζήτημα της πλάνης στο Σοφιστή του Πλάτωνα

Το ζήτημα της πλάνης στο Σοφιστή του Πλάτωνα Το ζήτημα της πλάνης στο Σοφιστή του Πλάτωνα του μεταπτυχιακού φοιτητή Μαρκάτου Κωνσταντίνου Α.Μ.: 011/08 Επιβλέπων: Αν. Καθηγητής Άρης Κουτούγκος Διατμηματικό μεταπτυχιακό πρόγραμμα Ιστορίας και Φιλοσοφίας

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Αποτίµηση εκπαιδευτικού έργου

Αποτίµηση εκπαιδευτικού έργου Τ Μ Η Μ Α Φ Υ Σ Ι Κ Η Σ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ Αποτίµηση εκπαιδευτικού έργου Εαρινό εξάµηνο 9-1 Ι ΑΣΚΩΝ: ΠΕΡΙΒΟΛΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Λ. ΜΑΘΗΜΑ: ΗΛΕΚΤΡΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΙΙ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Α. Αξιολόγηση διδασκαλίας...... Α1 Β.

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I.

Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I. Γεωμετρία Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I. Εισαγωγή Η διδασκαλία της Γεωμετρίας στην Α Λυκείου εστιάζει στο πέρασμα από τον εμπειρικό στο θεωρητικό τρόπο σκέψης, με ιδιαίτερη έμφαση στη μαθηματική απόδειξη. Οι

Διαβάστε περισσότερα

4.3 Παραδείγµατα στην συνέχεια συναρτήσεων

4.3 Παραδείγµατα στην συνέχεια συναρτήσεων 5. Η συνάρτηση είναι συνεχής στο R. 6. Η συνάρτηση sin είναι συνεχής στο R. 7. Η συνάρτηση cos είναι συνεχής στο R. 8. Η συνάρτηση tan είναι συνεχής σε κάθε R µε k π + π/2, k Z. 9. Η συνάρτηση cotan είναι

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Ο θείος Πέτρος και η Εικασία του Γκόλντμπαχ. Απόστολος Δοξιάδης

Ο θείος Πέτρος και η Εικασία του Γκόλντμπαχ. Απόστολος Δοξιάδης Ο θείος Πέτρος και η Εικασία του Γκόλντμπαχ Απόστολος Δοξιάδης Περίληψη του βιβλίου Τι είναι τα Μαθηματικά; Ποια είναι η σχέση της «εικασίας» και του «θεωρήματος»; Ποιοι είναι οι πρώτοι αριθμοί; Christian

Διαβάστε περισσότερα

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβλίου αθηµατικών Προσαναταλισµού Β Λυκείου. Η έννοια του διανύσµατος. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

Να ξαναγράψετε το κείμενο που ακολουθεί συμπληρώνοντας τα κενά με τις

Να ξαναγράψετε το κείμενο που ακολουθεί συμπληρώνοντας τα κενά με τις ΜΑΘΗΜΑ 8 Ο ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΑ: Η ΓΙΟΡΤΗ ΤΗΣ ΕΝΑΝΘΡΩΠΗΣΗΣ ΤΟΥ ΘΕΟΥ Να ξαναγράψετε το κείμενο που ακολουθεί συμπληρώνοντας τα κενά με τις κατάλληλες λέξεις που δίνονται στην παρένθεση. Σε κάθε κενό αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

Αρχή και Πορεία του Κόσμου (Χριστιανική Κοσμολογία) Διδ. Εν. 9

Αρχή και Πορεία του Κόσμου (Χριστιανική Κοσμολογία) Διδ. Εν. 9 Αρχή και Πορεία του Κόσμου (Χριστιανική Κοσμολογία) Διδ. Εν. 9 Κόσμος Κόσμημα δηλ. στολίδι, που χαρακτηρίζεται από την ποικιλία, την τάξη και την αρμονία Φυσικός κόσμος μακρόκοσμος μικρόκοσμος Πως έγινε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΙ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΙ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΡΟΣ ΤΡΙΤΟ Ένταξη των Τ.Π.Ε. στην διδασκαλία και τη µάθηση I) ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΙ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ Παύλος Γ. Σπυράκης (google: Paul Spirakis) Ερευνητικό Ακαδηµαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

Θρησκευτικά Α Λυκείου GI_A_THI_0_8712 Απαντήσεις των θεμάτων ΘΕΜΑ Α1

Θρησκευτικά Α Λυκείου GI_A_THI_0_8712 Απαντήσεις των θεμάτων ΘΕΜΑ Α1 Θρησκευτικά Α Λυκείου GI_A_THI_0_8712 Απαντήσεις των θεμάτων ΘΕΜΑ Α1 α) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες, σύμφωνα με τη διδασκαλία της Εκκλησίας, γράφοντας δίπλα στον αριθμό

Διαβάστε περισσότερα

Υπερβατικοί Αριθµοί και Θεώρηµα του Liouville

Υπερβατικοί Αριθµοί και Θεώρηµα του Liouville Υπερβατικοί Αριθµοί και Θεώρηµα του Liouville Χρήστος Κονταράτος 14 Νοεµβρίου 2014 1 Περιεχόµενα 1 Εισαγωγή 3 2 Το Θεώρηµα του Liouville 4 3 Η Υπερβατικότητα του ξ 6 4 Αριθµοί του Liouville 8 2 1 Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα