Φ(s(n)) = s (Φ(n)). (i) Φ(1) = a.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Φ(s(n)) = s (Φ(n)). (i) Φ(1) = a."

Transcript

1 1. Τα θεμελιώδη αριθμητικά συστήματα Με τον όρο θεμελιώδη αριθμητικά συστήματα εννοούμε τα σύνολα N των φυσικών αριθμών, Z των ακεραίων, Q των ρητών και R των πραγματικών. Από αυτά, το σύνολο N είναι πρωτογενές ενώ οι ακέραιοι και οι ρητοί είναι παράγωγα των φυσικών και των ακεραίων αντίστοιχα με σχετικά απλή διαδικασία. Τέλος οι πραγματικοί αριθμοί προκύπτουν από τους ρητούς κατά μη τετριμένο τρόπο. Στο κεφάλαιο αυτό θα ορίσουμε τα θεμελιώδη συστήματα και θα συζητήσουμε κάποιες από τις βασικές ιδιότητές τους. Οι αριθμοί αποτελούν τον ακρογωνιαίο λίθο των μαθηματικών αλλά και όλων των επιστημών που το περιεχόμενό τους βασίζεται σε ποσοτικούς προσδιορισμούς. Η σαφής γνώση της δομής τους αποτελεί απαραίτητη προυπόθεση για ενασχόληση με οποιοδήποτε κλάδο των μαθηματικών. 2. Οι φυσικοί αριθμοί Το σύνολο N των φυσικών αριθμών είναι αναμφίβολα το απλούστερο από τα αριθμητικά συστήματα. Οι φυσικοί αριθμοί είναι τα πρώτα μαθηματικά αντικείμενα που έγιναν αντιληπτά από τον άνθρωπο στη διαδικασία της εξέλιξής του. Εχουν διακριτή δομή κατανοητή από τον οποιοδήποτε. Για παράδειγμα είναι σαφές ότι αν βρισκόμαστε στον φυσικό αριθμό m τότε μπορούμε να μεταβούμε στον m + 1 και μεταξύ τους δεν υπάρχει κανένας φυσικός. Επίσης καταλαβαίνουμε πως μπορούμε να προσθέσουμε και να πολλαπλασιάσουμε φυσικούς αριθμούς και τέλος ότι αν μας δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί τότε είτε είναι ίσοι είτε ο ένας είναι μεγαλύτερος από τον άλλο. Συνοψίζοντας τα παραπάνω μπορούμε να πούμε ότι το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι ένα σύνολο N εφοδιασμένο με δύο πράξεις +, και μια διάταξη < που ικανοποιούν κάποιες προφανείς ιδιότητες. Το ερώτημα που τίθεται είναι το ακόλουθο. Μεταξύ όλων των ιδιοτήτων των φυσικών αριθμών ποιες είναι οι ελάχιστες δυνατές που αν υποθέσουμε ότι ισχύουν σε ένα σύνολο N τότε το N υποχρεωτικά ταυτίζεται με το σύνολο των φυσικών αριθμών; Οι ελάχιστες αυτές ιδιότητες εντοπίστηκαν μετά το 1850 από διάφορους μαθηματικούς, ανεξάρτητα, και έχει επικρατήσει να ονομάζονται Αξιώματα Peano παρά το γεγονός ότι ο Peano δεν ήταν ο πρώτος που τα όρισε! Το σύνολο των φυσικών αριθμών, όπως θα οριστεί στο παρόν κείμενο δε θα περιλαμβάνει το μηδεν. Ορισμένοι συγγραφεις θεωρούν το μηδέν σα στοιχείο των φυσικών αριθμών. Κανένας από τους δύο ορισμούς δε θεωρείται λάθος και η παρουσία ή όχι του μηδενός δεν επιρρεάζει την ευρύτερη δομή του συνόλου. 3. Τα αξιώματα του Peano Αξιωματα 0.1. (Peano). Το σύνολο N των φυσικών αριθμών είναι ένα σύνολο τέτοιο ώστε υπάρχει μια απεικόνιση s : N N με τις εξής ιδιότητες: (i.) Υπάρχει ένα στοιχείο 1 N. (ii.) Για κάθε n N, s(n) 1. (iii.) Η s είναι αμφιμονοσήμαντη (1-1). (iv.) Εάν U N τέτοιο ώστε 1 U και για κάθε n N, s(n) U, τότε U = N. (Αρχή της Μαθηματικής Επαγωγής). Ας παρατηρήσουμε ότι οι βασικές ιδιότητες του N, δηλαδή οι πράξεις και η διάταξη απουσιάζουν πλήρως από τις παραπάνω ιδιότητες. Το κυρίαρχο στοιχείο των αξιωμάτων είναι η συνάρτηση s (συνάρτηση επομένου), όπου όταν θα ορίσουμε τις πράξεις το s(n) = n + 1. Πρέπει επίσης να τονιστεί ότι οι φυσικοί αριθμοί δεν απλά το σύνολο N. Το σημαντικότερο 1

2 στοιχείο τους είναι η δομή τους που περιγράφεται, σε επίπεδο αξιωμάτων από την συνάρτηση s και την αρχή της επαγωγής, ενώ σε μεταγενέστερο στάδιο θα περιγράφεται από τις πράξεις και τη διάταξη. Το πλέον ενδιαφέρον από τα αξιώματα είναι αυτό της Αρχής της Μαθηματικής Επαγωγής. Θα παίξει καθοριστικό ρόλο τόσο στον ορισμό των πράξεων όσο και στον ορισμό της διάταξης. Θα μπορούσε να θεωρηθεί ότι είναι μια θεμελιώδης αρχή διαχείρισης του απείρου. Σαν άμεση συνέπεια έχει τη μαθηματική επαγωγή σαν αποδειχτική διαδικασία. Ακριβέστερα ισχύει το ακόλουθο: Προταση 0.2. Εστω P (n) μια μαθηματική πρόταση που διατυπώνεται για κάθε n N. Υποθέτουμε τα ακόλουθα: (i.) Η P (1) ισχύει. (ii.) Αν ισχύει η P (n) τότε αποδεικνύεται ότι ισχύει η P (s(n)). Τότε συμπεραίνουμε ότι για κάθε n N ισχύει η P (n). Δηλαδή το σύνολο {n N : η P (n) ισχύει} ισούται με το N. Η απόδειξη της πρότασης είναι άμεση συνέπεια του αξιώματος (iv.), παρατηρώντας ότι το σύνολο {n N : η P (n) ισχύει} ικανοποιεί τις υποθέσεις του (iv.) και άρα ταυτίζεται με το N. Αξίζει να παρατηρήσουμε ότι η προηγούμενη πρόταση έχει μεταμαθηματικό περιεχόμενο. Ουσιαστικά αφορά τον τρόπο που αποδεικνύουμε ιδιότητες των φυσικών αριθμών (και όχι μόνο). Βεβαίως το ότι το αξίωμα (iv.) συνεπάγεται την πρόταση 0.2 είναι σχεδόν φανερό. Το αντίστροφο δε συμβαίνει. Δηλαδή αν δεχτούμε ότι ισχύει η πρόταση 0.2 τότε το αξίωμα (iv.) δεν είναι συνέπεια αυτής. Θα δούμε παρακάτω ότι το αξίωμα (iv.) είναι συνέπεια μιας πολύ φυσιολογικής ιδιότητας της διάταξης στο N. Προταση 0.3. Για κάθε n N με n 1 υπάρχει m N τέτοιο ώστε s(m) = n. Αποδειξη. Θα κάνουμε χρήση της μαθηματικής επαγωγής. Θα θέσουμε U = {n N : υπάρχει m N ώστε s(m) = n} και θα δείξουμε ότι U {1} = N. Πράγματι 1 U {1}. Αν το n U {1} τότε για m = n N έχουμε ότι s(n) = s(m) και επομένως s(n) U. Άρα s(n) U {1}. Από μαθηματική επαγωγή έχουμε ότι U {1} = N. Επομένως για κάθε n N με n 1 έχουμε ότι n U και συνεπώς, από τον ορισμό του U, υπάρχει m N τέτοιο ώστε n = s(m). Τα αξιώματα του Peano εξασφαλίζουν ότι ουσιαστικά υπάρχει ένα μόνο ζεύγος (N, s) που τα ικανοποιεί. Με αυτό εννοούμε ότι αν (N, s ) είναι ένα άλλο ζεύγος που ικανοποιεί τα αξιώματα του Peano τότε υπάρχει Φ : N N 1-1 και επί ώστε s (Φ(n)) = Φ(s(n)). Αυτό σημαίνει ότι μια ιδιότητα ισχύει στο (N, s) αν και μόνο αν ισχύει στο (N, s ) και υπό αυτήν την έννοια το ζεύγος (N, s) είναι μοναδικό. Η απόδειξη αυτής της ιδιότητας δίνεται στην επόμενη πρόταση. Προταση 0.4. Υπάρχει μοναδικό ζεύγος (N, s) που ικανοποιεί τα αξιώματα Peano. Περιγραφη Αποδειξης. Εστω ζεύγη (N, s) και (N, s ) που ικανοποιούν τα αξιώματα του Peano. Επομένως υπάρχουν 1 N και 1 N. Η Φ ορίζεται με επαγωγή. Ορίζουμε Φ(1) = 1 και αν το Φ(n) έχει οριστεί, θέτουμε Φ(s(n)) = s (Φ(n)). Η αρχή της μαθηματικής επαγωγής είναι αυτή που θα μας εξασφαλίσει ότι το σύνολο {n N : το Φ(n) έχει οριστεί} 2

3 είναι το σύνολο N καθώς επίσης ότι η Φ είναι 1-1 και επί. Προφανώς για κάθε n N, Φ(s(n)) = s (Φ(n)). 4. Αναδρομικοί ορισμοί Ο προσεκτικός, αλλά όχι με αρκετή εμπειρία αναγνώστης, θα παρατηρήσει ότι η απόδειξη της προηγούμενης πρότασης είναι αρκετά πλήρης, γεγονός που δε δικαιολογεί τον όρο περιγραφή της απόδειξης που διατυπώνεται στην αρχή της. Αν εξετάσουμε προσεκτικά το περιεχόμενο της απόδειξης θα συμφωνίσουμε ότι το βασικό στοιχείο της είναι ο ορισμός της συνάρτησης Q : (N, s) (N, s ). Ο ορισμός της Q γίνεται επαγωγικά (ή με αναδρομή) και το σημείο που πρέπει να επισημανθεί είναι ότι ο επαγωγικός ορισμός δεν είναι απλή συνέπεια της Μαθηματικής Επαγωγής. Εκτός αυτής χρησιμοποιεί και στοιχεία από τη θεωρία συνόλων. Η δυνατότητα να ολοκληρώνουμε ορισμούς νέων μαθηματικών αντικειμένων μέσω αναδρομής είναι το περιεχόμενο του Θεωρήματος της Αναδρομής που είναι το ακόλουθο: Θεωρημα 0.5 (Αναδρομής). Εστω A σύνολο, h : A A συνάρτηση και a A. Τότε υπάρχει συνάρτηση Φ : N A ώστε (i) Φ(1) = a. (ii) Για κάθε n N, Φ(s(n)) = h(φ(n)). Ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης μπορεί να βρει την απόδειξη του Θεωρήματος σε βιβλία Θεωρίας Συνόλων. Για παράδειγμα περιέχεται στο εξαιρετικό κείμενο του Γ. Μοσχοβάκη Σημειώσεις στη Συνολοθεωρία. Αξίζει να παρατηρήσει κανείς ότι η πρόταση 0.4 που διασφαλίζει τη μοναδικότητα του ζεύγους (N, s) είναι άμεση συνέπεια του Θεωρήματος της Αναδρομής. Αρκεί να θέσει κανείς όπου A = N, h = s και a = Οι πραξεις στο N Οταν λέμε ότι ένα σύνολο A είναι εφοδιασμένο με μια πράξη εννοούμε την ύπαρξη μιας συνάρτησης : A A A ώστε (a, b) = a b. Θα ορίσουμε τώρα τις δύο θεμελιώδεις πράξεις στο N, δηλαδή την πρόσθεση + και τον πολλαπλασιασμό. Δεδομένου ότι οι πράξεις είναι συναρτήσεις ο ακριβής ορισμός τους απαιτεί τη χρήση του Θεωρήματος Αναδρομής που έχουμε ήδη αναφέρει. Στον ορισμό που αναφέρεται αυτό παραλείπεται. Ορισμος 0.6. (Πρόσθεση) Ορίζουμε μια πράξη + : N N N, την οποία καλούμε πρόσθεση, με τις εξής ιδιότητες: i. Για κάθε n N, n + 1 = s(n). ii. Για κάθε (n, m) N N, n + s(m) = s(n + m). Ενώ για κάθε (n, m) N N χρησιμοποιώντας την Αρχή της Μαθηματικής Επαγωγής έχουμε ορίσει το n + m, εν τούτοις ο ορισμός της πρόσθεσης σαν συνάρτηση απαιτεί το Θεώρημα της Αναδρομής και αυτό το βήμα το παραλείπουμε. Ορισμος 0.7. (Πολλαπλασιασμός) Ορίζουμε μια πράξη : N N N, την οποία καλούμε πολλαπλασιασμό, με τις εξής ιδιότητες: i. Για κάθε n N, n 1 = n. ii. Για κάθε (n, m) N N, n s(m) = n m + n. 3

4 Προταση 0.8. Εάν n, m, k N, τότε α. i. n + (m + k) = (n + m) + k (προσεταιριστική ιδιότητα). ii. n + m = m + n (μεταθετική ιδιότητα). iii. Εάν n + m = n + k, τότε m = k (νόμος διαγραφής). β. i. n(mk) = (nm)k (προσεταιριστική ιδιότητα). ii. nm = mn (μεταθετική ιδιότητα). iii. Εάν nm = nk, τότε m = k (νόμος διαγραφής). γ. (n + m)k = nk + mk (επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση). Αποδειξη. Αποδεικνύουμε μόνο την α.i. Εστω U το σύνολο όλων των k N για τα οποία n + (m + k) = (n + m) + k για όλα τα n, m N. Λόγω του ορισμού 0.6 έχουμε n + (m + 1) = n + s(m) = s(n + m) = (m + n) + 1 Άρα 1 U. Εστω k U, τότε πάλι λογω του ορισμού 0.6 έχουμε n + (m + s(k)) = n + s(m + k) = s(n + (m + k)) = s((n + m) + k) = (n + m) + s(k) Άρα s(k) U και λόγω του αξιώματος 0.1 (iv.) U = N, και η ιδιότητα έχει αποδειχθεί. Οι υπόλοιπες ιδιότητες αποδεικνύονται με χρήση Μαθηματικής Επαγωγής και αφήνονται στον αναγνώστη. 6. Η διάταξη στο N Η διάταξη των φυσικών αριθμών είναι μια πολύ σημαντική συνιστώσα τ ης δομής τους. Η βασική ιδιότητά της είναι ότι είναι καλή διάταξη, δηλαδή ότι κάθε υποσύνολο έχει ελάχιστο στοιχείο. Αυτή η ιδιότητα που φαίνεται τελείως φυσιολογική είναι τόσο ισχυρή ώστε να μπορεί να αντικαταστήσει το αξίωμα της Μαθηματικής Επαγωγής. Το τελευταίο δείχνεται στην πρόταση Ορισμος 0.9. (Διάταξη) Εστω ένα σύνολο X. Ορίζουμε ως διάταξη στο X μια σχέση στο X, R X X, που ικανοποιεί τις εξής ιδιότητες: (i.) Για κάθε x X έχουμε ότι (x, x) R. (αυτοπάθεια) (ii.) Για κάθε x, y X έχουμε ότι αν (x, y) R και (y, x) R, τότε x = y. (αντισυμμετρικότητα) (iii.) Για κάθε x, y, z X τέτοια ώστε (x, y) R και (y, z) R έχουμε ότι (x, z) R. (μεταβατικότητα) Συχνά συμβολίζουμε μια δίαταξη με και αντί να γράφουμε (x, y) γράφουμε x y και θα λέμε ότι το x είναι μικρότερο ή ίσο του y. Το ζεύγος (X, ) καλείται διατεταγμένος χώρος. Επίσης αν x y και x y, γράφουμε x < y. Αξίζει να παρατηρήσουμε στο σημείο αυτό ότι σε ένα διατεταγμένο χώρο (X, ) δεν είναι πάντα σωστό ότι οποιαδήποτε δύο στοιχεία του, x, y X, είναι συγκρίσιμα, δηλαδή είτε x y είτε y x. Θεωρήστε, για παράδειγμα, ένα σύνολο Y με τουλάχιστον δύο στοιχεία, X = P(Y ) το δυναμοσύνολο του Y, δηλαδή το σύνολο που σαν στοιχεία του έχει όλα τα υποσύνολα του Y και τη σχέση διάταξης στο X, οπου A B αν A B. Αν x, y Y με x y και A = {x}, B = {y}, τότε τα A, B δεν είναι συγκρίσιμα. 4

5 Ορισμος Ενας διατεταγμένος χώρος (X, ) καλείται ολικά διατεταγμένος και η καλείται ολική διάταξη αν οποιδήποτε δύο στοιχεία του X είναι συγκρίσιμα. Δηλαδή για κάθε x, y X έχουμε ότι είτε x y είτε y x. Η διάταξη στο N θα οριστεί με τη βοήθεια της επόμενης πρότασης. Προταση Εστω n, m N. Τότε ακριβώς ένα από τα παρακάτω ισχύει. (a) n = m. (b) Υπάρχει k N τέτοιο ώστε n = m + k. (c) Υπάρχει k N τέτοιο ώστε m = n + k. Αποδειξη. Για κάθε n N ορίζουμε Σ n = {m N : (a) n = m ή (b) υπάρχει k N τέτοιο ώστε n = m + k ή (c) υπάρχει k N τέτοιο ώστε m = n + k} και θέτουμε επίσης U = {n N : Σ n = N}. Χρησιμοποιώντας την Αρχή της μαθηματικής επαγωγής θα δείξουμε ότι U = N. Το 1 U. Πράγματι, για κάθε n N έχουμε ότι είτε το n = 1, το οποίο άμεσα έπεται ότι n Σ 1 (περίπτωση (a)), είτε n 1. Τότε από πρόταση 0.3 υπάρχει k N τέτοιο ώστε n = s(k) = 1 + k Σ 1 (περίπτωση (b)). Ας υποθέσουμε ότι n U, δηλαδή Σ n = N. Θα δείξουμε ότι Σ s(n) = N, δηλαδή s(n) U. Πράγματι, για κάθε m N έχουμε ότι m Σ n. Επομένως (a) είτε n = m. Τότε s(n) = s(m) = m + 1 και συνεπώς m Σ s(n) (περίπτωση (b)). (b) είτε υπάρχει k N τέτοιο ώστε n = m + k. Τότε s(n) = s(m + k) = m + (k + 1). Συνεπώς m Σ s(n) (περίπτωση (b)). (c) είτε υπάρχει k N τέτοιο ώστε m = n + k. (c ) Αν k = 1 τότε m = n + 1 = s(n) και συνεπώς m Σ s(n) (περίπτωση (a)). (c ) Αν k 1, από πρόταση 0.3 υπάρχει l N τέτοιο ώστε s(l) = k. Τότε m = n + k = n + s(l) = n + l + 1 = (n + 1) + l = s(n) + l. Συνεπώς m Σ s(n) (περίπτωση (c)). Δηλαδή για κάθε m N έχουμε ότι m Σ s(n). Άρα Σ s(n) = N και s(n) U. Από Αρχή της Μαθηματικής Επαγωγής έχουμε ότι U = N. Εύκολα παρατηρεί κανείς ότι ακριβώς μία από τις παραπάνω περιπτώσεις θα ισχύει. Ειδάλλως θα υπήρχαν n, k N τέτοια ώστε n+k = n. Ισοδύναμα n + k + 1 = n + 1 και από το νόμο της διαγραφής έπεται ότι k + 1 = s(k) = 1 το οποίο αντιφάσκει με τα αξιώματα Peano. Ορισμος (Διάταξη στο N). Εάν n, m N και υπάρχει k N ώστε n+k = m, τότε λέμε ότι ο m είναι μεγαλύτερος του n (ή ισοδύναμα ο n μκρότερος του m) και συμβολίζουμε m > n (ή ισοδύναμα n < m). Θα γράφουμε n m αν είτε n = m είτε n < m. Είναι εύκολο να ελέγξει κανείς ότι η σχέση που μόλις ορίσαμε αποτελεί σχέση διάταξης στο N και μάλιστα σύμφωνα με την πρόταση 0.11 αποτελεί ολική διάταξη. Η ακόλουθη πρόταση παραθέτει κάποιες βασικές ιδιότητες της διάταξης των φυσικών αριθμών που σχετίζονται με τις πράξεις. Η απόδειξή τους αφήνεται ως άσκηση στον αναγνώστη. Προταση Εστω n, m N. i. Εάν n < m, τότε n + k < m + k, για κάθε k N. ii. Εάν n < m, τότε nk < mk, για κάθε k N. Ορισμοι Εστω (X, ) διατεταγμένος χώρος, A X και a A. 5

6 (i.) Το a καλείται ελάχιστο (minimum) του A αν για κάθε b A ισχύει ότι a b. (ii.) Το X καλείται καλά διατεταγμένο αν κάθε μη κενό υποσύνολό του έχει ελάχιστο στοιχείο και η καλείται καλή διάταξη. Ας παρατηρήσουμε ότι κάθε καλά διατεταγμένο σύνολο είναι και ολικά διατεταγμένο. Πράγματι αν (X, ) καλά διατεταγμένος χώρος και x, y X, τότε το σύνολο S = {x, y} X έχει ελάχιστο. Αυτό συνεπάγεται άμεσα ότι καθιστά τα δύο αυτά στοιχεία συγκρίσιμα, αφού το ελάχιστο θα είναι μικρότερο ή ίσο του άλλου. Θεωρημα Το N είναι καλά διατεταγμένο. Αποδειξη. Υποθέτουμε ότι υπάρχει μη κενό M N που δεν έχει ελάχιστο στοιχείο για να καταλήξουμε σε άτοπο, δείχνοντας ότι M =. Θέτουμε B = {n N : για κάθε k n το k M}. Κάνοντας χρήση της επαγωγής θα δείξουμε ότι το B = N και κατεπέκταση M =. Το 1 M, διότι αν ανήκε θα αποτελούσε το ελάχιστο στοιχείο του M το οποίο έρχεται σε αντίθεση με την υπόθεση ότι το M δεν έχει ελάχιστο στοιχείο. Επομένως 1 B. Αν n B τότε για κάθε k n το k M. Επομένως s(n) M, διότι αν άνηκε θα αποτελούσε το ελάχιστο στοιχείο του M, το οποίο οδηγεί σε άτοπο. Από επαγωγή έχουμε ότι B = N. Είναι ενδιαφέρον ότι η απόδειξη της ιδιότητας της καλής διάταξης στο N απαιτεί την χρήση του αξιώματος της Μαθηματικής Επαγωγής. Οπως έχουμε ήδη αναφέρει στην αρχή του κεφαλαίου, αυτό είναι αναγκαίο διότι η ιδιότητα της καλής διάταξης είναι σχεδόν ισοδύναμη με την Αρχή της Μαθηματικής Επαγωγής. Προταση Εστω (N, ) ένα μη κενό καλά διατεταγμένο σύνολο, 1 = min N και συνάρτηση s : N N με τις εξής ιδιότητες: (i.) Η s είναι 1-1. (ii.) Για κάθε n N με n 1 υπάρχει m N τέτοιο ώστε n = s(m). (iii.) Για κάθε n N έχουμε ότι n < s(n). Το ζεύγος (N, ) ικανοποιεί τα αξιώματα Peano και πρόκειται συνεπώς για το σύνολο των φυσικών αριθμών. Αποδειξη. Καταρχάς παρατηρούμε ότι για κάθε n N, 1 n < s(n) και συνεπώς s(n) 1. Απομένει να δείξουμε ότι ικανοποιεί την Αρχή της Μαθηματικής Επαγωγής. Εστω U N τέτοιο ώστε 1 U και για κάθε n U έχουμε ότι το s(n) U. Θα δείξουμε ότι U = N. Πράγματι θα υποθέσουμε ότι δεν ισχύει και θα καταλήξουμε σε άτοπο. Εστω, λοιπόν, το V = N \ U και n = min V. Επειδή 1 U έπεται ότι n 1 και συνεπώς υπάρχει m N τέτοιο ώστε s(m) = n. Επειδή m < s(m) = n και n το ελάχιστο στοιχείο του V έπεται ότι m V και συνεπώς m U. Από την υπόθεση για το U έχουμε ότι n = s(m) U, το οποίο είναι άτοπο. 7. Ο Ευκλείδιος Αλγόριθμος Ο Ευκλείδιος Αλγόριθμος αφορά την εύρεση του μέγιστου κοινού διαιρέτη (μ.κ.δ.) δύο φυσικών αριθμών. Περιέχεται στα Στοιχεία του Ευκλείδη σε γεωμετρική μορφή και αφορά μια μέθοδο ελέγχου του κατά πόσο δύο ευθύγραμμα τμήματα είναι ισομετρήσιμα. Δηλαδή κατά πόσο υπάρχει ένα τρίτο ευθύγραμμο τμήμα ακέραια πολλαπλάσια του οποίου είναι τα δύο προηγούμενα. Οπως είναι γνωστό αυτή την ιδιότητα δε την έχουν όλα τα 6

7 ζεύγη ευθυγράμμων τμημάτων. Για παράδειγμα η υποτείνουσα και μια κάθετη πλευρά ενός ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου δεν είναι ισομετρήσιμα. Το πραγματικό όμως περιεχόμενο του Ευκλείδιου Αλγορίθμου είναι η εύρεση του μ.κ.δ. που έχουμε ήδη αναφέρει. Ο Ευκλείδιος Αλγόριθμος περιγράφει την ακόλουθη μέθοδο. Ας υποθέσουμε ότι m, n είναι φυσικοί αριθμοί με n < m. Τότε m = np 1 + v 1 με p 1, v 1 φυσικούς αριθμούς και v 1 < n. Αν v 1 = 0 τότε η διαδικασία τερματίζεται. Διαφορετικά n = p 2 v 1 + v 2 με p 2, v 2 φυσικούς αριθμούς και v 2 < v 1. Πάλι αν v 2 = 0 η διαδικασία τερματίζεται. Διαφορετικά v 1 = p 3 v 2 + v 3 και συνεχίζουμε όπως προηγουμένως. Με τη διαδικασία αυτή ορίζουμε μια γνησίως φθίνουσα ακολουθία n > v 1 > v 2 >... > v k η οποία τερματίζεται στο v k αν και μόνο αν το v k = 0. Το θεώρημα αποφαίνεται ότι αν v k = 0 τότε ο μ.κ.δ. των m και n είναι ο v k 1. Άρα πράγματι η διαδικασία αυτή οδηγεί στην εύρεση του μ.κ.δ. των m, n. Η απόδειξη στηρίζεται στην ακόλουθη απλή πρόταση. Ας αρχίσουμε με κάποιους συμβολισμούς. Αν p N και q N {0} θα γράφουμε p q αν ο p διαιρεί τον q (κάθε p N διαιρεί το 0). Επίσης για m, n N θέτουμε (m, n) = {p N : p n και p m}. Προταση Εστω n, m N με n < m και m = np + v όπου p, v N. Τότε (m, n) = (n, v). Αποδειξη. Θα δείξουμε ότι (n, v) (m, n) και αντίστροφα. Εστω l (n, v). Τότε l n και l v. Επομένως l np + v. Δηλαδή l m. Αντίστροφα αν l (m, n), τότε l m και l n. Άρα l m np. Επομένως l v, αφού v = m np. Στον Ευκλείδιο Αλγόριθμο που τερματίζεται στο v k (v k = 0) η πρόταση έχει την ακόλουθη συνέπεια. (m, n) = (n, v 1 ) = (v 1, v 2 ) =... = (v k 2, v k 1 ). Επειδή v k 1 v k 2 έπεται ότι v k 1 = max (v k 2, v k 1 ) = max (m, n). Άρα v k 1 είναι ο μ.κ.δ. των m, n. Παρατηρηση. Αξίζει να σημειώσουμε ότι ο τερματισμός του Ευκλείδιου Αλγόριθμου σε πεπερασμένα βήματα είναι συνέπεια της καλής διάταξης του συνόλου N. Πράγματι μια ολική διάταξη είναι καλή αν και μόνο αν οι γνησίως φθίνουσες ακολουθίες είναι πεπερασμένες. Ετσι θεωρώντας οι αρχαίοι Ελληνες ότι ο Ευκλείδιος Αλγόριθμος τερματίζεται, ουσιαστικά δέχονταν ότι η διάταξη του N είναι καλή. Θα πρέπει επίσης να επισημάνουμε ότι η Μαθηματική Επαγωγή σαν αποδεικτική μέθοδος διατυπώθηκε για πρώτη φορά από τον F. Maurolicos (Φ. Μαυρόλυκος) ( ) Σικελό Ελληνικής καταγωγής και εν συνεχεία από τον Pascal ( ). Εντούτοις στα Στοιχεία του Ευκλείδη υπάρχουν προτάσεις που η απόδειξή του απαιτεί Μαθηματική Επαγωγή η οποία εφαρμόζεται ατελώς. 8. Υπαρξη μοντέλου του N Ενα σημείο που αξίζει επίσης να σχολιάσουμε αφορά την ύπαρξη ενός συνόλου N εφοδιασμένου με μια συνάρτηση s : N N που να ικανοποιεί τα αξιώματα του Peano. Στο ερώτημα αυτό μπορεί να διατυπωθεί ο αντίλογος σε δύο κατευθύνσεις. Καταρχάς θα μπορούσε κάποιος να απαντήσει ότι βεβαίως και υπάρχει και είναι οι φυσικοί αριθμοί που γενιές και γενιές έχουν μεγαλώσει μαζί τους. Και αυτό ακούγεται λογικό δεδομένου ότι οι φυσικοί αριθμοί θεωρούνται το πιο στέρεο μαθηματικό οικοδόμημα. Αν συλλογιστούμε όμως τους φυσικούς αριθμούς αντιλαμβανόμαστε ότι έχουμε πλήρη γνώση ενός πολύ μικρού αρχικού διαστήματος. Για δε το υπόλοιπο μέρος τους έχουμε διαμορφώσει ένα ισχυρό πιστεύω ότι εξελίσεται με τρόπο παρόμοιο με αυτό που παρατηρούμε 7

8 στο μικρό αρχικό διάστημα του. Τα αξιώματα που παραθέσαμε στοχεύουν να ορίσουν στο N τη δομή που πιστεύουμε ότι πρέπει να έχει. Η απάντηση λοιπόν στο πρώτο αντίλογο είναι ότι είμαστε γνώστες ενός μικρού μέρους του N και το μεγαλύτερο μέρος του διαφεύγει πλήρως της εμπειρίας μας. Ο δεύτερος αντίλογος αφορά την έκφραση να βρούμε ένα σύνολο N και μια συνάρτηση s : N N ώστε να ικανοποιούνται τα αξιώματα. Και η ερώτηση είναι απλή. Πως είναι δυνατόν να μπορούμε να αποδείξουμε αξιώματα; Αν αυτό συμβαίνει τότε αυτά δεν είναι αξιώματα αλλά συνέπειες αξιωμάτων! Ολες αυτές οι παρατηρήσεις έχουν ισχυρή βάση αλήθειας. Πράγματι, οποιαδήποτε μαθηματική θεωρία βασίζεται στις θεμελιώδεις (μη ορίσιμες) έννοιες και θεμελιώδεις (μη αποδείξιμες) προτάσεις απ όπου με βάση τους θεμελιώδεις νόμους της λογικής αναδεικνύεται ο επιστημονικός πλούτος. Το σημαντικό είναι ότι μια μαθηματική θεωρία μπορεί να αποτελεί μέρος μιας ευρύτερης θεωρίας της οποίας τα αξιώματα να επιτρέπουν την κατασκευή συνόλων και συναρτήσεων που να ικανοποιούν τα αξιώματα της επι μέρους θεωρίας. Για παράδειγμα τα αξιώματα Peano για το N μπορούν να θεωρηθούν στο ευρύτερο πλαίσιο της θεωρίας συνόλων και εκεί είναι εφικτή η κατασκευή ενός συνόλου N και μιας s : N N ώστε να ικανοποιούνται τα αξιώματα Peano. Η απόδειξη αυτού του ισχυρισμού βρίσκεται εκτός του πλαισίου και των στόχων του μαθήματος και για το λόγο αυτό θα δεχτούμε αξιωματικά ότι υπάρχει ένα ζεύγος (N, s) που ικανοποιεί τα αξιώματα Peano. 8

Shmei seic Paradìsewn Pragmatik c Anˆlushc (TrÐth èkdosh)

Shmei seic Paradìsewn Pragmatik c Anˆlushc (TrÐth èkdosh) ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΕΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Shmei seic Paradìsewn Pragmatik c Anˆlushc (TrÐth èkdosh) Σπύρος Αργυρός Μάρτιος 2011 1 2 Perieqìmena 1 Οι ϕυσικοί αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς Σημειώσεις Ανάλυσης Ι 1. Οι ρητοί αριθμοί Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς 1, 2, 3, και τις πράξεις (πρόσθεση - πολλαπλασιασμό)μεταξύ αυτών. Οι φυσικοί αριθμοί είναι επίσης διατεταγμένοι με κάποια

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 3: Σύνολα Συνδυαστική Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 016 Λύσεις ασκήσεων προόδου Θέμα 1: [16 μονάδες] [8] Έστω ότι μας δίνουν τα παρακάτω δεδομένα: Εάν αυτό το πρόγραμμα ΗΥ είναι αποδοτικό, τότε εκτελείται γρήγορα.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 1: Σύνολα, Πραγματικοί αριθμοί Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β.

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Η έννοια της ακολουθίας Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Δηλαδή: f : A B Η ακολουθία είναι συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ

Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ Μαθηματικά Πληροφορικής 2ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης.

Διαβάστε περισσότερα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα Δύο λόγια από τη συγγραφέα Τα μαθηματικά ή τα λατρεύεις ή τα μισείς! Για να λατρέψεις κάτι πρέπει να το κατανοήσεις, για τη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα μάλλον είναι λίγο πιο απλά. Στόχος αυτού του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1,

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1, I ΠΙΝΑΚΕΣ 11 Σώμα 111 Ορισμός: Ενα σύνολο k εφοδιασμένο με δύο πράξεις + και ονομάζεται σώμα αν ικανοποιούνται οι παρακάτω ιδιότητες: (Α (α (Προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης (a + b + c = a + (b +

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Η Γραμμική Άλγεβρα είναι ένα σημαντικό συστατικό στο πρόγραμμα σπουδών, όχι μόνο των Μαθηματικών, αλλά και άλλων τμημάτων, όπως είναι το τμήμα Φυσικής, Χημείας, των τμημάτων του Πολυτεχνείου,

Διαβάστε περισσότερα

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1 Κεφάλαιο 2: Στοιχεία Λογικής - Μέθοδοι Απόδειξης 1. Να αποδειχθεί ότι οι λογικοί τύποι: (p ( (( p) q))) (p q) και p είναι λογικά ισοδύναμοι. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι: (p ( (( p) q))) (p q) p, ή με άλλα

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο η Σειρά Ασκήσεων Λύσεις

ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο η Σειρά Ασκήσεων Λύσεις ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο 2016 3 η Σειρά Ασκήσεων Λύσεις Άσκηση 3.1 [1 μονάδα] Έστω p(x) και q(x) κατηγορήματα με πεδίο ορισμού Ω με σύνολα αλήθειας Α και Β αντίστοιχα (Σύνολα αλήθειας:

Διαβάστε περισσότερα

p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q

p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q Σημειώσεις του Μαθήματος Μ2422 Λογική Κώστας Σκανδάλης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2010 Εισαγωγή Η Λογική ασχολείται με τους νόμους ορθού συλλογισμού και μελετά τους κανόνες βάσει των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί. q Z, a = b q + r.

2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί. q Z, a = b q + r. Κεφάλαιο 2 Θεωρία Αριθμών Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Hardy and Wright 1979 και Graham, Knuth, and Patashnik 1994. 2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί Θεώρημα 2.1 Αν

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι διάστηµα και f : Ι συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f ( Ι )

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 8: Σχέσεις - Πράξεις Δομές Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο 1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε

Διαβάστε περισσότερα

Σύνολα, Σχέσεις, Συναρτήσεις

Σύνολα, Σχέσεις, Συναρτήσεις Κεφάλαιο 2 Σύνολα, Σχέσεις, Συναρτήσεις Τα σύνολα, οι σχέσεις και οι συναρτήσεις χρησιμοποιούνται ευρύτατα σε κάθε είδους μαθηματικές αναπαραστάσεις και μοντελοποιήσεις. Στη θεωρία υπολογισμού χρησιμεύουν,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015.

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες άρα

Διαβάστε περισσότερα

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές.

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές. 6 ι3.4 Παραδείγματα Στην παράγραφο αυτή θα μελετήσουμε κάποια σημαντικά παραδείγματα, για τις εφαρμογές, χώρων συναρτήσεων οι οποίοι είναι τοπικά κυρτοί και μετρικοποιήσιμοι αλλά η τοπολογία τους δεν επάγεται

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 Συνεχή Κλάσματα Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 5 Νοεμβρίου 204 Ορισμός και ιδιότητες: Ορισμός: Έστω a 0, a, a 2,...a n ανεξάρτητες μεταβλητές, n N σχηματίζουν την ακολουθία {[a 0, a,..., a n ] : n N} όπου

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

, ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο 2 καλείται δεύτερος όρος της ακολουθίας και τον συμβολίζουμε συνήθως με

, ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο 2 καλείται δεύτερος όρος της ακολουθίας και τον συμβολίζουμε συνήθως με 5. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Γενικά ακολουθία πραγματικών αριθμών είναι μια αντιστοίχιση των φυσικών αριθμών,,,...,ν,... στους πραγματικούς αριθμούς. Ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο καλείται πρώτος όρος της ακολουθίας

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικά Παραδείγματα: Παρατηρήσεις:

Εισαγωγικά Παραδείγματα: Παρατηρήσεις: 1 Εισαγωγικά Η έννοια του συνόλου είναι πρωταρχική στα Μαθηματικά, δεν μπορεί δηλ. να οριστεί από άλλες έννοιες. Γενικά, μπορούμε να πούμε ότι σύνολο είναι μια συλλογή αντικειμένων. υτά λέμε ότι περιέχονται

Διαβάστε περισσότερα

ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0,

ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0, Κεφάλαιο 2 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΥΠΑΡΞΗΣ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑΣ 2.1 Πρόβλημα αρχικών τιμών Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε ότι το πρόβλημα αρχικών τιμών (ΑΤ) ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0, έχει λύση και μάλιστα μοναδική για

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) Τμήμα Θ. Αποστολάτου & Π. Ιωάννου 1 Σειρές O Ζήνων ο Ελεάτης (490-430 π.χ.) στη προσπάθειά του να υποστηρίξει

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Ακολουθίες πραγματικών αριθμών

Ακολουθίες πραγματικών αριθμών ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ακολουθίες πραγματικών αριθμών Όταν διαδοχικές τιµές που παίρνει µία μεταβλητή προσεγγίζουν απεριόριστα µία συγκεκριµένη τιµή έτσι ώστε τελικά να διαφέρουν από αυτήν λιγότερο από όσο επιθυµεί

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 16 & Τετάρτη 21 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Ιδεώδη και Περιοχές κυρίων Ιδεωδών Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών 13 Ι Π Ι Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0},

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 1: Εισαγωγή- Χαρακτηριστικά Παραδείγματα Αλγορίθμων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι για αυτόματα

Αλγόριθμοι για αυτόματα Κεφάλαιο 8 Αλγόριθμοι για αυτόματα Κύρια βιβλιογραφική αναφορά για αυτό το Κεφάλαιο είναι η Hopcroft, Motwani, and Ullman 2007. 8.1 Πότε ένα DFA αναγνωρίζει κενή ή άπειρη γλώσσα Δοθέντος ενός DFA M καλούμαστε

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή )

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή ) Θεωρία Galos Πρόχειρες σημειώσεις 0- (εκδοχή -7-0) Περιεχόμενα 0 Υπενθυμίσεις και συμπληρώματα Ανάγωγα πολυώνυμα Ανάγωγα πολυώνυμα και σώματα Χαρακτηριστική σώματος Απλές ρίζες πολυωνύμων Ασκήσεις 0 Επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές έννοιες από τη Θεωρία Συνόλων και τον Προτασιακό Λογισμό

Βασικές έννοιες από τη Θεωρία Συνόλων και τον Προτασιακό Λογισμό Κεφάλαιο 1 Βασικές έννοιες από τη Θεωρία Συνόλων και τον Προτασιακό Λογισμό Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Kamke 1950, Halmos 1960 και C. L. Liu and C. Liu 1985. 1.1 Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Επαγωγή. Τεχνικές Απόδειξης. Αποδείξεις Ύπαρξης. Μαθηματική Επαγωγή

Μαθηματική Επαγωγή. Τεχνικές Απόδειξης. Αποδείξεις Ύπαρξης. Μαθηματική Επαγωγή Μαθηματική Επαγωγή Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τεχνικές Απόδειξης Εξαντλητική

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 4+5: Άλγεβρα Boole

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 4+5: Άλγεβρα Boole K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 4+5: Άλγεβρα Boole Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Ορισμός της δίτιμης άλγεβρας Boole Περιεχόμενα 1 Ορισμός της

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

Περί της Ταξινόμησης των Ειδών

Περί της Ταξινόμησης των Ειδών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 24 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Tel.: +30 2310998051, Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru Περί της Ταξινόμησης

Διαβάστε περισσότερα

Εις άτοπον απαγωγή. Απόδειξη διά τ ης εἰς ἄτοπον απαγωγ ης / proof by contradiction

Εις άτοπον απαγωγή. Απόδειξη διά τ ης εἰς ἄτοπον απαγωγ ης / proof by contradiction Εις άτοπον απαγωγή Απόδειξη διά τ ης εἰς ἄτοπον απαγωγ ης / proof by contradiction Για να αποδείξουμε την συνεπαγωγή των προτάσεων P Q αρκεί να αποδείξουμε ότι η υπόθεση { P αληθής και Q αναληθής } συνεπάγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 ΛΥΣΕΙΣ Ανάλυση Πολυπλοκότητας

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 ΛΥΣΕΙΣ Ανάλυση Πολυπλοκότητας ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 231: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 ΛΥΣΕΙΣ Ανάλυση Πολυπλοκότητας ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ Σε αυτή την άσκηση καλείστε να αναλύσετε και να υπολογίσετε το

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμήσιμα σύνολα. Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα. Παραδείγματα αριθμήσιμων συνόλων. Οι ρητοί αριθμοί

Αριθμήσιμα σύνολα. Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα. Παραδείγματα αριθμήσιμων συνόλων. Οι ρητοί αριθμοί Αριθμήσιμα σύνολα Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Ορισμός Πόσα στοιχεία έχει το σύνολο {a, b, r, q, x}; Οσα και το σύνολο {,,, 4, 5} που είναι

Διαβάστε περισσότερα

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της.

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της. ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Α.1.2 1. Οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών αριθμών είναι οι εξής : Αντιμεταθετική ιδιότητα π.χ. α+β=β+α Προσετεριστική ιδιότητα π.χ. α+β+γ=(α+β)+γ=α+(β+γ) 2.Η πραξη της αφαίρεσης

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι

Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Αλγόριθμοι που επεξεργάζονται μεγάλους ακέραιους αριθμούς Μέγεθος εισόδου: Αριθμός bits που απαιτούνται για την αναπαράσταση των ακεραίων. Έστω ότι ένας αλγόριθμος λαμβάνει ως είσοδο έναν ακέραιο Ο αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 4.1 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ. Εισαγωγή

4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 4.1 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ. Εισαγωγή 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 41 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ Εισαγωγή Η Θεωρία Αριθμών, δηλαδή η μελέτη των ιδιοτήτων των θετικών ακεραίων, έθεσε από πολύ νωρίς τους μαθηματικούς μπροστά στο εξής πρόβλημα: Κάποια πρόταση

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015.

Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015. Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι Θ Θ Α Ε Ι Μ : https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Α Δ Ι Θ Θ Α Ε Ι Μ :  https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Α Δ Ι Θ Θ Α Ε 2013-2014 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 12 Μαρτίου 2014 19:26

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 5: Αναδρομικές σχέσεις - Υπολογισμός Αθροισμάτων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2:Στοιχεία Μαθηματικής Λογικής Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πίνακας περιεχομένων Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 2 Κεφάλαιο 2 ο - ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ... 6 Κεφάλαιο 3 ο - ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 10 ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 1 Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 15-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Παράδειγμα. Ως εφαρμογή της Αρχιμήδειας Ιδιότητας θα μελετήσουμε το σύνολο { 1 } A = n N = {1, 1 n 2, 1 } 3,.... Κατ αρχάς το σύνολο A έχει προφανώς

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Απόδειξη

Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Σύντομο ιστορικό σημείωμα: Η πρώτη απόδειξη στην ιστορία των μαθηματικών, αποδίδεται στο Θαλή το Μιλήσιο (~600 π.χ.). Ο Θαλής απέδειξε, ότι η διάμετρος διαιρεί τον κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ, ΕΣΠΙ 1

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ, ΕΣΠΙ 1 ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ, ΕΣΠΙ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η έννοια της συνάρτησης είναι θεμελιώδης στο λογισμό και διαπερνά όλους τους μαθηματικούς κλάδους. Για το φοιτητή είναι σημαντικό να κατανοήσει πλήρως αυτή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 20 Νοεμβρίου 2012

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 20 Νοεμβρίου 2012 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι ανανεωμένο στις 20 Νοεμβρίου 202 Τμήμα Θ Αποστολάτου & Π Ιωάννου Ακολουθίες - Όρια ακολουθιών Έστω η ακολουθία μια αριθμημένη σειρά δηλαδή) των αριθμών:

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ 174 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Εισαγωγή Ένα από τα αρχαιότερα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών είναι η αναζήτηση των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν κάποιες δεδομένες σχέσεις Με σύγχρονη ορολογία

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου

Διαβάστε περισσότερα

H Ισοδυναμία των Διαστημάτων του R με αφορμή ένα Πρόβλημα του «φ»

H Ισοδυναμία των Διαστημάτων του R με αφορμή ένα Πρόβλημα του «φ» H Ισοδυναμία των Διαστημάτων του R με αφορμή ένα Πρόβλημα του «φ» Δημ. Ι. Μπουνάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών (Δημοσιεύτηκε στο τεύχος 6, 2009, του περιοδικού «φ») Στο τελευταίο τεύχος (5 ο, 2008) του

Διαβάστε περισσότερα

Οι πραγµατικοί αριθµοί

Οι πραγµατικοί αριθµοί Οι πραγµατικοί αριθµοί Προλεγόµενα Η ανάγκη απαρίθµησης αντικειµένων, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των φυσικών αριθµών Η ανάγκη µέτρησης µεγεθών, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των ρητών αριθµών

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Οι Αριθμοί. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Οι Αριθμοί. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 1: Οι Αριθμοί Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ

2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ Η θεωρία αριθμών και οι αλγεβρικές δομές τα τελευταία χρόνια χρησιμοποιούνται όλο και περισσότερο στην κρυπτολογία. Αριθμο-θεωρητικοί αλγόριθμοι χρησιμοποιούνται σήμερα

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Μαθηματική Επαγωγή ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τεχνικές Απόδειξης Εξαντλητική

Διαβάστε περισσότερα