Κωνσταντίνος Σάλαρης, Ανδρέας Τριανταφύλλου. Μαθηματικά. για διαγωνισμούς. Ε & ΣΤ Δημοτικού

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κωνσταντίνος Σάλαρης, Ανδρέας Τριανταφύλλου. Μαθηματικά. για διαγωνισμούς. Ε & ΣΤ Δημοτικού"

Transcript

1 Κωνσταντίνος Σάλαρης, Ανδρέας Τριανταφύλλου Μαθηματικά για διαγωνισμούς Ε & ΣΤ Δημοτικού

2 Θέση υπογραφής δικαιούχου δικαιωμάτων πνευματικής ιδιοκτησίας, εφόσον η υπογραφή προβλέπεται από τη σύμβαση Το παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις της ελληνικής νομοθεσίας (Ν. 2121/1993, όπως έχει τροποποιηθεί και ισχύει σήμερα) και τις διεθνείς συμβάσεις περί πνευματικής ιδιοκτησίας. Απαγορεύεται απολύτως η άνευ γραπτής αδείας του εκδότη κατά οποιονδήποτε τρόπο ή μέσο (ηλεκτρονικό, μηχανικό ή άλλο) αντιγραφή, φωτοανατύπωση και εν γένει αναπαραγωγή, εκμίσθωση ή δανεισμός, μετάφραση, διασκευή, αναμετάδοση στο κοινό σε οποιαδήποτε μορφή και η εν γένει εκμετάλλευση του συνόλου ή μέρους του έργου. Εκδόσεις Πατάκη Εκπαίδευση Κωνσταντίνος Σάλαρης, Ανδρέας Τριανταφύλλου, Μαθηματικά για διαγωνισμούς Ε & ΣΤ Δημοτικού Διορθώσεις: Νάντια Κουτσουρούμπα Υπεύθυνος έκδοσης: Βαγγέλης Μπακλαβάς Επιμέλεια: Γεωργία Ευθυμίου Dtp: Γιώργος Χατζησπύρος Φιλμ μοντάζ: Κέντρο Γρήγορης Εκτύπωσης Copyright Σ. Πατάκης Α.Ε.Ε.Δ.Ε. (Εκδόσεις Πατάκη), Κωνσταντίνος Σάλαρης και Ανδρέας Τριανταφύλλου, Αθήνα, 2013 Πρώτη έκδοση από τις Εκδόσεις Πατάκη, Αθήνα, Μάιος 2014 Κ.Ε.Τ Κ.Ε.Π. 331/14 ISBN ΠΑΝΑΓΗ ΤΣΑΛΔΑΡΗ (ΠΡΩΗΝ ΠΕΙΡΑΙΩΣ) 38, ΑΘΗΝΑ, ΤΗΛ.: , , , ΦΑΞ: ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΔΙΑΘΕΣΗ: ΕΜΜ. ΜΠΕΝΑΚΗ 16, ΑΘΗΝΑ, ΤΗΛ.: YΠOKΑΤΑΣΤΗMA BOPEIAΣ EΛΛAΔAΣ: KOPYTΣAΣ (TEPMA ΠONTOY ΠEPIOXH B KTEO), KAΛOXΩPI ΘEΣΣAΛONIKHΣ, Τ.Θ. 1213, ΤΗΛ.: , , ΦΑΞ: Web site:

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος Ένα συνοπτικό σημείωμα για τον γονιό και τον δάσκαλο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ 1.1 Φυσικοί αριθμοί Ορισμοί Απαγγελία και γραφή φυσικών αριθμών Μια ενδιαφέρουσα δραστηριότητα Μια σύντομη αναδρομή στον τρόπο γραφής των αριθμών και στα αριθμητικά συστήματα Διαιρετότητα Ιδιότητες διαιρετότητας Κριτήρια διαιρετότητας Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (ΜΚΔ) Εύρεση ΜΚΔ Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) Εύρεση ΕΚΠ Α. Ανάλυση ενός αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων Β. Ένας άλλος τρόπος για να βρούμε τον ΜΚΔ και το ΕΚΠ Δεκαδικοί αριθμοί Στρογγυλοποίηση φυσικών και δεκαδικών αριθμών Σύγκριση φυσικών και δεκαδικών αριθμών Πρόσθεση και αφαίρεση φυσικών και δεκαδικών αριθμών Μια ενδιαφέρουσα δραστηριότητα Πολλαπλασιασμός φυσικών και δεκαδικών αριθμών Πολλαπλασιασμοί με το 10, 100, 1.000, Πολλαπλασιασμοί με το 0,1, 0,01, 0,001, Διαίρεση φυσικών και δεκαδικών αριθμών Πράξεις με μεικτές αριθμητικές παραστάσεις Κλάσματα Μεικτοί αριθμοί Μετατροπή δεκαδικών σε κλάσματα και αντίστροφα Ιδιότητες κλασμάτων Πράξεις μεταξύ κλασμάτων Σύγκριση μεταξύ δύο κλασμάτων

4 Μαθηματικά για Διαγωνισμούς 1.4 Δυνάμεις Μεταβλητές Εξισώσεις Μέθοδος για να λύνουμε εξισώσεις στις οποίες έχουμε όλες τις πράξεις Λόγοι Ποσά Αναλογίες Στατιστική Αναλογίες Ανάλογα ποσά Αντιστρόφως ανάλογα ή αντίστροφα ποσά Η μέθοδος της αναγωγής στη μονάδα Η απλή μέθοδος των τριών στα ανάλογα ποσά Η απλή μέθοδος των τριών στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά Ποσοστά Τόκοι Επιτόκια Ποσοστά Ραβδογράμματα Πίνακας κατανομής συχνοτήτων Μέσος όρος (μέση τιμή) Μονάδες μέτρησης Μονάδες μέτρησης μήκους Μονάδες μάζας Μονάδες μέτρησης χρόνου Μονάδες μέτρησης χρήματος Ευρώ Μοτίβα Γεωμετρικά μοτίβα Αριθμητικά μοτίβα Επίλυση σύνθετων προβλημάτων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 2.1 Βασικές έννοιες της Γεωμετρίας Γωνίες Μονάδες μέτρησης γωνιών και τόξων Εμβαδόν Μονάδες μέτρησης Παραλληλόγραμμο Εμβαδόν παραλληλογράμμου Τρίγωνο Εμβαδόν τριγώνου Τραπέζιο Εμβαδόν τραπεζίου Κύκλος Κύβος και ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο Κύλινδρος Μονάδες μέτρησης όγκου Όγκος στερεών Κλίμακες

5 Περιεχόμενα ΓΕΝΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΓΕΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΕΝΙΚΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α : ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΥ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ «ΠΑΙΧΝΙΔΙ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Θέματα Ε Δημοτικού ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» Ενδεικτικές λύσεις των θεμάτων Ε Δημοτικού ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» Θέματα ΣΤ Δημοτικού ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» Ενδεικτικές λύσεις των θεμάτων ΣΤ Δημοτικού ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά»

6 Μαθηματικά για Διαγωνισμούς 4ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β : ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ Θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Γυμνάσια Ενδεικτικές λύσεις των θεμάτων Μαθηματικών Ενδεικτικές Δοκιμασίες Μαθηματικών για την εισαγωγή μαθητών στα Πρότυπα Πειραματικά Γυμνάσια Δοκιμασία Δοκιμασία Δοκιμασία Δοκιμασία Δοκιμασία Δοκιμασία Δοκιμασία Δοκιμασία Δοκιμασία Δοκιμασία Ενδεικτικές λύσεις των Δοκιμασιών Δοκιμασία Δοκιμασία Δοκιμασία Δοκιμασία Δοκιμασία Δοκιμασία Δοκιμασία Δοκιμασία Δοκιμασία Δοκιμασία Βιβλιογραφία

7 Κεφάλαιο 1: Αριθμητική μονάδα. Όλοι λοιπόν οι πρώτοι αριθμοί έχουν κοινό διαιρέτη τον αριθμό 1, που είναι ταυτόχρονα και ο ΜΚΔ τους ΕΥΡΕΣΗ ΜΚΔ Έστω ότι ζητούμε τον ΜΚΔ των αριθμών 48 και 36. Βήμα 1: Βρίσκουμε τους διαιρέτες των δύο αριθμών. Οι διαιρέτες του 48 είναι Δ (48): 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48. Οι διαιρέτες του 60 είναι Δ (60): 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. Βήμα 2: Από τους διαιρέτες παίρνουμε τους κοινούς διαιρέτες. Οι κοινοί διαιρέτες των δύο αριθμών είναι οι 1, 2, 3, 4, 6, 12. Βήμα 3: Από τους κοινούς διαιρέτες παίρνουμε τον μεγαλύτερο. Ο μεγαλύτερος από τους κοινούς διαιρέτες είναι ο 12. Άρα ΜΚΔ (48, 36) 12. Την ίδια διαδικασία ακολουθούμε, αν έχουμε τρεις ή περισσότερους αριθμούς και ζητούμε τον ΜΚΔ αυτών. Υπάρχει και άλλος τρόπος, που στηρίζεται σε ιδιότητες της Ευκλείδειας Διαίρεσης, για την εύρεση του ΜΚΔ δύο ή περισσότερων αριθμών. Παράδειγμα Για να βρούμε τον ΜΚΔ των αριθμών 32, 90, 96 και 144, ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: Βήμα 1: Γράφουμε τους αριθμούς στη σειρά Βήμα 2: Βρίσκουμε τον μικρότερο (32) και τον γράφουμε κάτω από τον εαυτό του. Στον καθέναν από τους άλλους γράφουμε αποκάτω το υπόλοιπο της διαίρεσής του με τον μικρότερο (που έχουμε επιλέξει): , , Βήμα 3: Επαναλαμβάνουμε το βήμα 2 με τον μικρότερο μη μηδενικό αριθμό της δεύτερης γραμμής Βήμα 4: Το ίδιο (βήμα 3) κάνουμε και για τους αριθμούς της τρίτης γραμμής κ.ο.κ., μέχρι να φτάσουμε να έχουμε μόνο έναν μη μηδενικό αριθμό

8 Μαθηματικά για Διαγωνισμούς Ο αριθμός που έμεινε είναι ο ζητούμενος ΜΚΔ των δοσμένων αριθμών. Άρα ΜΚΔ (32, 88, 96, 144) 8. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Πρόβλημα 021 Ένας ανθοπώλης διαθέτει 58 τριαντάφυλλα, 145 γαρίφαλα και 203 κρίνους. Πόσες το πολύ ομοιόμορφες ανθοδέσμες μπορεί να φτιάξει; Πόσα άνθη από το κάθε είδος θα περιέχει καθεμία από αυτές; EΛΑΧΙΣΤΟ ΚΟΙΝΟ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΟ (ΕΚΠ) Κοινό Πολλαπλάσιο δύο ή περισσότερων δοσμένων αριθμών λέγεται κάθε αριθμός ο οποίος διαιρείται από τους δοσμένους αριθμούς. Παράδειγμα: Ο αριθμός 100 είναι κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών 1, 2, 4, 5, 10, 20, 50 και 100. Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο δοσμένων αριθμών καλείται το μικρότερο από τα κοινά πολλαπλάσια των αριθμών αυτών ΕΥΡΕΣΗ ΕΚΠ Για να βρούμε το ΕΚΠ πολλών αριθμών, πολλαπλασιάζουμε τον μεγαλύτερο από τους δοσμένους αριθμούς διαδοχικά με τους αριθμούς 1, 2, 3 κτλ., μέχρι να βρούμε αριθμό (πολλαπλάσιό του) ο οποίος να είναι διαιρετός από όλους τους δοσμένους αριθμούς. Παράδειγμα Δίνονται οι αριθμοί 5, 6, 10. Παίρνουμε τον μεγαλύτερο, τον 10, και τον πολλαπλασιάζουμε με τον 1, μετά με τον 2 και κατόπιν με τον 3. Παρατηρούμε ότι από τους αριθμούς που δημιουργήθηκαν, 10, 20, 30, ο 30 είναι πολλαπλάσιο των αριθμών 5 και 6, και μάλιστα το ελάχιστο από τα πολλαπλάσια. Αν ζητούσαμε το ΕΚΠ των αριθμών 4, 8, 16, πάλι θα παίρναμε τον μεγαλύτερο, δηλαδή τον 16. Παρατηρούμε ότι ο 16 είναι πολλαπλάσιο του 4, του 8 (και του 16), άρα είναι το ΕΚΠ των τριών δοσμένων αριθμών. 42

9 Κεφάλαιο 1: Αριθμητική Την ίδια διαδικασία ακολουθούμε και όταν έχουμε περισσότερους από τρεις αριθμούς και ζητάμε το ΕΚΠ τους. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Πρόβλημα 022 Ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός που διαιρείται με το 2, με το 3, με το 4, με το 5 και με το 6; Πρόβλημα 023 Τρεις καμπάνες μιας εκκλησίας χτυπάνε η Α ανά 2 δευτερόλεπτα, η Β ανά 3 δευτερόλεπτα και η Γ ανά 4 δευτερόλεπτα. Κάποια στιγμή χτυπάνε και οι τρεις ταυτόχρονα. Μετά από πόσα δευτερόλεπτα θα χτυπήσουν πάλι ταυτόχρονα οι καμπάνες; Πρόβλημα 024 Ο Γιάννης και η Άννα προπονούνται στο στάδιο. Ο Γιάννης ολοκληρώνει έναν πλήρη γύρο του σταδίου σε 3 λεπτά και η Άννα σε 4 λεπτά. Αν ξεκινήσουν και οι δύο από την αφετηρία ταυτόχρονα, μετά από πόσα λεπτά θα ξαναβρεθούν για πρώτη φορά μαζί στην αφετηρία; Πρόβλημα 025 Δύο φίλοι, ο ψηλός και ο κοντός, περπατάνε μαζί σε κυκλική πίστα. Ο ψηλός έχει βήμα 80 εκατοστά του μέτρου και ο κοντός 60 εκατοστά του μέτρου. Αν ξεκίνησαν μαζί την ίδια στιγμή, μετά από πόσα βήματα του κοντού θα συγχρονιστούν (θα βρεθούν να περπατούν δίπλα δίπλα) πάλι για πρώτη φορά; Πόσο διάστημα θα έχουν διανύσει; Α. ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΝΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΣΕ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΠΡΩ- ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ Για να γράψουμε έναν αριθμό ως γινόμενο πρώτων αριθμών, κάνουμε το εξής: Γράφουμε τον αριθμό και δεξιά του μια κατακόρυφη γραμμή. Αρχίζουμε να τον διαιρούμε διαδοχικά με τους πρώτους αριθμούς, γράφοντας κάθε φορά δεξιά του (μετά την κατακόρυφη γραμμή) τον αριθμό με τον οποίο τον διαιρέσαμε και αποκάτω του το πηλίκο της διαίρεσης. Αν ο αριθμός ή ένα πηλίκο δε διαιρείται με τον πρώτο αριθμό που ακολουθεί, πηγαίνουμε στον επόμενο πρώτο, 43

10 Μαθηματικά για Διαγωνισμούς μέχρι να βρούμε έναν πρώτο αριθμό που να διαιρεί τον αριθμό ή το πηλίκο. Σταματάμε τις διαιρέσεις όταν το πηλίκο της διαίρεσης είναι το 1. Ο αριθμός μας τότε θα είναι ίσος με το γινόμενο των αριθμών (διαιρετών του) που βρίσκονται κατακόρυφα, δεξιά της γραμμής. Θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής: Κάθε φυσικός αριθμός αναλύεται σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. EΦΑΡΜΟΓH Να αναλυθεί ο 450 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. ΛΥΣΗ Γράφουμε τον αριθμό 450, φέρνουμε δεξιά του μια κατακόρυφη γραμμή και αρχίζουμε διαδοχικές διαιρέσεις: Επομένως έχουμε ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Πρόβλημα 026 Ποιο είναι το άθροισμα όλων των πρώτων παραγόντων του αριθμού 60; 44

11 Κεφάλαιο 1: Αριθμητική Β. ΕΝΑΣ ΑΛΛΟΣ ΤΡΟΠΟΣ ΓΙΑ ΝΑ ΒΡΟΥΜΕ ΤΟΝ ΜΚΔ ΚΑΙ ΤΟ ΕΚΠ Η μέθοδος αυτή αφορά δύο ή περισσότερους αριθμούς, όταν θέλουμε να βρούμε τον ΜΚΔ και το ΕΚΠ τους. Τα βήματα που ακολουθούμε είναι: Βήμα 1: Αναλύουμε τους αριθμούς σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. Βήμα 2: Βρίσκουμε τον ΜΚΔ των αριθμών, ο οποίος είναι ίσος με το γινόμενο όλων των κοινών παραγόντων των αριθμών με τη μικρότερη δύναμη. Βήμα 3: Βρίσκουμε το ΕΚΠ των αριθμών, το οποίο είναι ίσο με το γινόμενο όλων των κοινών και μη κοινών παραγόντων των αριθμών με τη μεγαλύτερη δύναμη. EΦΑΡΜΟΓH Να βρεθεί ο ΜΚΔ και το ΕΚΠ των αριθμών 60, 120 και 210. ΛΥΣΗ Αναλύουμε τους αριθμούς σε γινόμενο πρώτων παραγόντων: Επομένως έχουμε: Ο ΜΚΔ είναι ίσος με το γινόμενο των κοινών παραγόντων με τους μικρότερους εκθέτες: Το ΕΚΠ είναι ίσο με το γινόμενο των κοινών και μη κοινών παραγόντων με τους μεγαλύτερους εκθέτες:

12 1.2 ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ένας δεκαδικός αριθμός αποτελείται από ένα ακέραιο και ένα δεκαδικό μέρος που χωρίζονται μεταξύ τους με υποδιαστολή (,). Όπως στους φυσικούς αριθμούς, έτσι και στους δεκαδικούς υπάρχουν οι μονάδες διάφορων τάξεων, τόσο στο ακέραιο όσο και στο δεκαδικό μέρος. Παράδειγμα , εκατομμυριοστά εκατοντάκις χιλιοστά δεκάκις χιλιοστά χιλιοστά εκατοστά δέκατα Δεκαδικό μέρος μονάδες δεκάδες εκατοντάδες χιλιάδες Ακέραιο μέρος Προσέχω! Οι δεκαδικοί δεν αλλάζουν αν προσθέσουμε ή διαγράψουμε μηδενικά στο τέλος τους (ή στην αρχή του ακέραιου μέρους τους, όπως έχουμε ήδη αναφέρει), π.χ. 4,320 4,32, 78, ,451 και 045,320 45,32. Κάθε φυσικός αριθμός μπορεί να γραφεί ως δεκαδικός με δεκαδικό μέρος μηδέν, π.χ ,0 ή ακόμα και 453,00 κ.ο.κ. 46

13 Κεφάλαιο 1: Αριθμητική Παράδειγμα ΓΡΑΦΩ ΔΙΑΒΑΖΩ 4,3 Τέσσερα και τρία δέκατα 7,45 Επτά και σαράντα πέντε εκατοστά 8,963 Οκτώ και εννιακόσια εξήντα τρία χιλιοστά 54,324 Πενήντα τέσσερα και τριακόσια είκοσι τέσσερα χιλιοστά 3,04 Τρία και τέσσερα εκατοστά 4,033 Τέσσερα και τριάντα τρία χιλιοστά 12,004 Δώδεκα και τέσσερα χιλιοστά 1,103 Ένα και εκατόν τρία χιλιοστά 7,0004 Επτά και τέσσερα δεκάκις χιλιοστά 10,7 Δέκα και επτά δέκατα 6,09 Έξι και εννέα εκατοστά 11,023 Έντεκα και είκοσι τρία χιλιοστά 10,302 Δέκα και τριακόσια δύο χιλιοστά ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Πρόβλημα 027 Πόσοι φυσικοί αριθμοί περιέχονται μεταξύ του 2,09 και του 15,3; ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΚΑΙ ΔΕΚΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Πολλές φορές χρειάζεται να παίρνουμε γρήγορες αποφάσεις ανάλογα με τα αποτελέσματα κάποιων πράξεων. Για τον λόγο αυτό κυρίως, αλλά και για άλλους πρακτικούς λόγους, χρησιμοποιούμε στη θέση ενός αριθμού έναν άλλο μικρότερο ή μεγαλύτερο (ακολουθώντας κάποιους κανόνες), πολύ κοντινό στον αρχικό, αλλά απλούστερο στη γραφή και στην ανάγνωση. Η διαδικασία αυτή λέγεται στρογγυλοποίηση. 47

14 Μαθηματικά για Διαγωνισμούς Κανόνες στρογγυλοποίησης Για να στρογγυλοποιήσουμε έναν αριθμό: Αν το ψηφίο που βρίσκεται δεξιά από εκείνο όπου θέλουμε να γίνει η στρογγυλοποίηση είναι 0, 1, 2, 3, 4, τότε απλώς το αντικαθιστούμε, όπως και όλα τα δεξιά του ψηφία με μηδενικά, αφήνοντας αμετάβλητο το ψηφίο στο οποίο θέλουμε να στρογγυλοποιήσουμε, π.χ Αν το ψηφίο που βρίσκεται δεξιά από εκείνο όπου θέλουμε να γίνει η στρογγυλοποίηση είναι 5, 6, 7, 8, 9, τότε το αντικαθιστούμε πάλι, όπως και όλα τα δεξιά του ψηφία με μηδενικά, αυξάνοντας κατά μία μονάδα το ψηφίο στο οποίο θέλουμε να στρογγυλοποιήσουμε, π.χ Αν το ψηφίο της στρογγυλοποίησης είναι 9, τότε το μηδενίζουμε και αυξάνουμε το προηγούμενό του ψηφίο κατά μία μονάδα, π.χ , ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΚΑΙ ΔΕΚΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Για να συγκρίνουμε δύο αριθμούς φυσικούς ή δεκαδικούς, συγκρίνουμε πρώτα τα ακέραια μέρη τους και, αν είναι ίσα, τότε συγκρίνουμε και τα δεκαδικά μέρη τους (για δεκαδικούς αριθμούς). Για τη σύγκριση χρησιμοποιούμε τα σύμβολα: <, >, (μικρότερο, μεγαλύτερο, ίσο αντίστοιχα). Η διάταξη των αριθμών γίνεται είτε από τον μικρότερο προς τον μεγαλύτερο (αύξουσα σειρά) είτε από τον μεγαλύτερο προς τον μικρότερο (φθίνουσα σειρά), π.χ. 100 < 101, 23,2 > 23,1, 42,7 < 43. Η έκφραση α < β < γ πρακτικά διαβάζεται: «ο β μεταξύ των α και γ» ή «ο β ανάμεσα στους α και γ». Δεν είναι επιτρεπτή η έκφραση α < γ > β. Δεν μπορούμε να πούμε 10 < 20 > 9. Για να υπάρχουν διαδοχικές ανισότητες σε μία γραφή, πρέπει να έχουν όλες την ίδια φορά. 48

15 Κεφάλαιο 1: Αριθμητική EΦΑΡΜΟΓH Να βρείτε τους φυσικούς αριθμούς α που ικανοποιούν τη σχέση: α) α < 8 β) α > 5 γ) 9 < α < 12 ΛΥΣΗ α) Τοποθετούμε τον αριθμό 8 στην αριθμογραμμή. Οι αριθμοί που αναζητούμε είναι οι μικρότεροι του 8. Άρα βρίσκονται αριστερότερα του 8. Επομένως οι φυσικοί αριθμοί που ικανοποιούν τη σχέση αυτή είναι οι 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 και 7. β) Τοποθετούμε τον αριθμό 5 στην αριθμογραμμή. Οι αριθμοί που αναζητούμε είναι οι μεγαλύτεροι του 5. Άρα βρίσκονται δεξιότερα του 5. Επομένως οι φυσικοί αριθμοί που ικανοποιούν τη σχέση αυτή είναι οι 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, γ) Τοποθετούμε τους αριθμούς 9 και 12 στην αριθμογραμμή. Οι αριθμοί που αναζητούμε είναι οι μεγαλύτεροι του 9, άρα βρίσκονται δεξιότερα του 9, και οι μικρότεροι του 12, άρα βρίσκονται αριστερότερα του 12. Επομένως οι φυσικοί αριθμοί που ικανοποιούν τη σχέση αυτή είναι οι 10 και ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΚΑΙ ΔΕΚΑ- ΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Μπορούμε να προσθέσουμε και να αφαιρέσουμε αριθμούς (φυσικούς και δεκαδικούς), προσέχοντας κατά την κατακόρυφη τοποθέτησή τους τα ψηφία της ίδιας τάξης να βρίσκονται στην ίδια κατακόρυφη (για να το πετύχουμε αυτό, αρκεί στην κατακόρυφη τοποθέτησή τους οι υποδιαστολές να βρίσκονται η μία ακριβώς κάτω από την άλλη). 49

16 Μαθηματικά για Διαγωνισμούς Οι αριθμοί που προσθέτουμε λέγονται προσθετέοι και το αποτέλεσμα της πρόσθεσης λέγεται άθροισμα. Στην πρόσθεση ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα: α β β α δηλαδή δεν έχει σημασία με ποια σειρά προσθέτουμε τους αριθμούς. Επίσης, ισχύει και η προσεταιριστική ιδιότητα, δηλαδή σε μία πρόσθεση πολλών αριθμών προσθέτουμε πρώτα τους δύο και μετά στο άθροισμά τους προσθέτουμε τον τρίτο κ.ο.κ., χωρίς να έχει σημασία η σειρά των προσθετέων: α (β γ) (α β) γ Αφαίρεση είναι η πράξη με την οποία, όταν δίνονται δύο αριθμοί, Μ (μειωτέος) και Α (αφαιρετέος), βρίσκουμε έναν αριθμό Δ (διαφορά), ο οποίος, όταν προστεθεί στον αφαιρετέο, δίνει άθροισμα τον μειωτέο. Ισχύει Μ Α Δ, διότι Α Δ Μ. Στην αφαίρεση δεν ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα. EΦΑΡΜΟΓΕΣ 1. Να γίνουν οι πράξεις κατακόρυφα: α) 45,32 2,98 β) 780,209 9,66 γ) 74,23 7,32 ΛΥΣΗ α) 45,32 β) 780,209 γ) 74,23 + 2,98 + 9, ,32 48,30 789,869 66,91 2. Αν x ψ 3 και φ ω 7, να βρεθούν τα αθροίσματα: α) x ψ φ ω β) x φ ψ ω γ) x ψ 5 φ ω δ) x φ 14 ψ ω ε) 2 x φ 9 ψ ω στ) x 4 φ 8 ω ψ ΛΥΣΗ Αντικαθιστούμε τις τιμές που έχουμε, οπότε: 50

17 Κεφάλαιο 1: Αριθμητική α) x ψ φ ω (x ψ) (φ ω) (λόγω της προσεταιριστικής ιδιότητας της πρόσθεσης). β) x φ ψ ω x ψ φ ω (λόγω της αντιμεταθετικής ιδιότητας της πρόσθεσης). γ) x ψ 5 φ ω δ) x φ 14 ψ ω x ψ 14 φ ω (x ψ) 14 (φ ω) (λόγω της αντιμεταθετικής και της προσεταιριστικής ιδιότητας της πρόσθεσης). ε) 2 x φ 9 ψ ω 2 x ψ 9 φ ω (λόγω της αντιμεταθετικής και της προσεταιριστικής ιδιότητας της πρόσθεσης). στ) x 4 φ 8 ω ψ x ψ 4 8 φ ω (x ψ) 4 8 (φ ω) (λόγω της αντιμεταθετικής και της προσεταιριστικής ιδιότητας της πρόσθεσης) ΜΙΑ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΥΣΑ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ Η έξυπνη πρόσθεση Το 1789, σε μια μικρή πόλη της Γερμανίας, φοιτούσε στην ΣΤ τάξη του δημοτικού σχολείου ένας μαθητής που το όνομά του ήταν Καρλ. Ο δάσκαλος ζήτησε να υπολογίσουν οι μαθητές το άθροισμα , δηλαδή το άθροισμα των 100 πρώτων φυσικών αριθμών. Μετά από ελάχιστο χρόνο ο μικρός Καρλ είπε στον δάσκαλο ότι βρήκε το αποτέλεσμα. Έκπληκτος ο δάσκαλος ρώτησε πώς. Τότε ο μικρός μαθητής ανέβηκε στον πίνακα και έγραψε: ( 1 100) ( 2 99) ( 3 98)... ( 47 54) ( 48 53) ( 49 52) ( 50 51) * ( 101) ( 101) ( 101)... ( 101) ( 101) ( 101) ( 101) * Πενήντα (50) είναι το πλήθος των παρενθέσεων, αφού πήρε τους 100 αριθμούς σε ζευγάρια: Σημείωση: Ο μικρός μαθητής Καρλ δεν ήταν άλλος από τον μετέπειτα διάσημο μαθηματικό Karl Friedrich Gauss ( ). 51

18 Μαθηματικά για Διαγωνισμούς ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Πρόβλημα 028 Αν κάνετε τις πράξεις , ποιο αποτέλεσμα θα πάρετε; Πρόβλημα 029 Το άθροισμα 1,13 0,003 2,15 1,017 μεταξύ ποιων διαδοχικών ακεραίων βρίσκεται; ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΚΑΙ ΔΕΚΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Μπορούμε να πολλαπλασιάζουμε φυσικούς ή δεκαδικούς αριθμούς. Το αποτέλεσμα που προκύπτει λέγεται γινόμενο. Ο πολλαπλασιασμός είναι ένας γρήγορος τρόπος υπολογισμού μιας επαναλαμβανόμενης πρόσθεσης. Παράδειγμα: Οι αριθμοί που πολλαπλασιάζονται λέγονται παράγοντες του γινομένου. Στην περίπτωση δύο παραγόντων, τον αριθμό που μας δείχνει πόσες φορές θα επαναληφθούν οι μονάδες του άλλου τον λέμε πολλαπλασιαστή και τον άλλο πολλαπλασιαστέο. Όταν ένας τουλάχιστον είναι δεκαδικός, τότε στο αποτέλεσμα χωρίζουμε με υποδιαστολή, από τα δεξιά προς τα αριστερά, τόσα δεκαδικά ψηφία όσα ήταν και τα συνολικά δεκαδικά ψηφία των παραγόντων του γινομένου. 52

19 Κεφάλαιο 1: Αριθμητική Στον πολλαπλασιασμό ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα: α β β α Δεν έχει σημασία με ποια σειρά πολλαπλασιάζουμε τους αριθμούς. Επίσης, ισχύει και η προσεταιριστική ιδιότητα, δηλαδή σε έναν πολλαπλασιασμό πολλών αριθμών πολλαπλασιάζουμε πρώτα τους δύο και μετά πολλαπλασιάζουμε το γινόμενό τους με τον τρίτο κ.ο.κ., χωρίς να έχει σημασία η σειρά των παραγόντων: α (β γ) (α β) γ Ένα γινόμενο ισούται με 0, μόνο αν ένας τουλάχιστον από τους παράγοντές του είναι ίσος με μηδέν, π.χ ,84 0 7,2 0. Αυτό ισχύει και αντίστροφα. Δηλαδή, όταν ένας ή περισσότεροι από τους παράγοντες ενός γινομένου είναι μηδέν, τότε το γινόμενο είναι μηδέν. Για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με το άθροισμα δύο ή περισσότερων προσθετέων, μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμό με κάθε όρο ξεχωριστά και να προσθέσουμε τα επιμέρους γινόμενα. Η ιδιότητα αυτή λέγεται επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση. Δηλαδή: α (β γ) α β α γ Η επιμεριστική ιδιότητα ισχύει και για τον πολλαπλασιασμό ενός αριθμού με τη διαφορά δύο αριθμών. Δηλαδή: α (β γ) α β α γ 53

20 2.12 ΟΓΚΟΣ ΣΤΕΡΕΩΝ Ο όγκος του ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου ισούται με το γινόμενο του μήκους του α επί το πλάτος β επί το ύψος του γ, δηλαδή: V ορθ. παραλληλεπιπέδου = α β γ Ο όγκος του κύβου, σύμφωνα με τα παραπάνω, ισούται με το γινόμενο του μήκους επί το πλάτος επί το ύψος του, κι επειδή το μήκος, το πλάτος και το ύψος του είναι όλα ίσα μεταξύ τους και ίσα με α, ισχύει: V κύβου = α 3 Ο όγκος ενός κυλίνδρου είναι ίσος με το εμβαδόν της βάσης του επί το ύψος του, δηλαδή: V κυλίνδρου = π ρ 2 υ 176

21 Κεφάλαιο 2: Γεωμετρία ΣΥΝΟΠΤΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΟΛΙΚΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΥ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΣΤΕΡΕΟ ΟΝΟΜΑ ΣΤΕΡΕΟΥ ΤΥΠΟΣ ΟΛΙΚΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΤΥΠΟΣ ΟΓΚΟΥ Ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο 2 α β (2α 2β) γ α β γ Κύβος 6 α α 6 α 2 α α α α 3 Κύλινδρος 2 π ρ 2 2 π ρ υ π ρ 2 υ EΦΑΡΜΟΓΕΣ 1. Μια δεξαμενή γεμίζει από μια παροχή νερού σε 2 ώρες. Αν η παροχή αυτή ρίχνει στη δεξαμενή 40 κ.εκ. το λεπτό, ποια είναι η χωρητικότητα της δεξαμενής σε λίτρα; ΛΥΣΗ Εφόσον η παροχή είναι 40 κ.εκ. το λεπτό, σε 2 ώρες (δηλαδή σε 120 λεπτά) θα έχει ρίξει στη δεξαμενή: κ.εκ. 177

22 Μαθηματικά για Διαγωνισμούς Μετατρέπουμε σε λίτρα την πιο πάνω ποσότητα κι έχουμε: : λίτρα. Άρα 48 λίτρα είναι η χωρητικότητα της δεξαμενής. 2. Κατασκευάσαμε από 18 ορθογώνια παραλληλεπίπεδα μήκους 2 εκ., πλάτους 3 εκ. και ύψους 2 εκ. έναν μεγάλο κύβο. Ποιος είναι ο όγκος του κύβου; Ποιο το εμβαδόν της βάσης; ΛΥΣΗ Όπως βλέπουμε στο διπλανό σχήμα, για να μπορέσουμε να σχηματίσουμε με τα ορθογώνια 2 παραλληλεπίπεδα κύβο, θα πρέπει να τοποθετήσουμε τρεις σει ρές με ανά τρία στο μήκος και ανά δύο στο πλάτος 3 ορθογώνια παραλληλεπίπεδα Ο κύβος θα έχει ακμή μήκους 6 εκ. Επομένως θα έχει όγκο V κ.εκ. Το εμβαδόν της βάσης του είναι Ε τ.εκ., διότι η βάση είναι τετράγωνο πλευράς 6 εκ. Βρίσκουμε τον όγκο καθενός από τα 18 ορθογώνια παραλληλεπίπεδα. Όγκος μικρού παραλληλεπιπέδου: κ.εκ. Βρίσκουμε τον όγκο του κύβου προσθέτοντας τους όγκους των 18 ορθογώνιων παραλληλεπιπέδων, δηλαδή V κ.εκ. 216 κ.εκ. Παρατηρούμε ότι, όπως έχουν τοποθετηθεί τα ορθογώνια παραλληλεπίπεδα, η βάση σχηματίζει ένα τετράγωνο πλευράς 6 εκ. Επομένως το εμβαδόν της βάσης του είναι Ε τ.εκ. 3. Να βρείτε το ύψος ενός κυλίνδρου που έχει όγκο 84,78 κ.εκ. και ακτίνα βάσης 3 εκ. ΛΥΣΗ Από τον τύπο που δίνει τον όγκο κυλίνδρου έχουμε: V π ρ 2 υ οπότε 3, υ 84,78, δηλαδή 28,26 υ 84,78, επομένως υ 84,78 : 28,26, άρα υ 3 εκ. 178

23 Κεφάλαιο 2: Γεωμετρία ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Πρόβλημα 143 Πόσα μικρά παραλληλεπίπεδα χρειάζεται η Αθηνά, για να κατασκευάσει τον μεγάλο κύβο που φαίνεται στο σχήμα; Πρόβλημα 144 Πόσοι κύβοι διαστάσεων 2 εκ. 2 εκ. 2 εκ. (μικρός κύβος) χρειάζονται για να φτιάξουμε έναν κύβο διαστάσεων 8 εκ. 8 εκ. 8 εκ. (μεγάλος κύβος); 2 εκ. Πρόβλημα 145 Πόσα κυβάκια χρειάζονται, για να κατασκευαστεί το στερεό που φαίνεται στο διπλανό σχήμα; Πρόβλημα 146 Δίνεται ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο του οποίου η βάση είναι τετράγωνο, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Ο όγκος του παραλληλεπιπέδου είναι 640 κυβικά μέτρα και το ύψος του είναι 10 μέτρα. Θέλουμε να βάψουμε την εξωτερική επιφάνεια του στερεού. Πόσα ευρώ θα κοστίσει το βάψιμο, αν γνωρίζουμε ότι, για να βάψουμε ένα τετραγωνικό μέτρο, χρειαζόμαστε 2 ; 179

24 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Άσκηση 001 Ποια από τις πέντε επιλογές είναι ο μεγαλύτερος αριθμός; Α. 5 4 Β. 2 9 Γ Δ E. 7 3 Άσκηση 002 Η αγαπημένη σου εκπομπή στην τηλεόραση αρχίζει στις 20:00. Ανακοινώνεται από την τηλεόραση ότι θα αρχίσει σε 12 λεπτά. Τι ώρα ακριβώς έγινε η ανακοίνωση; Α. 7:30 μ.μ. Β. 8:00 μ.μ. Γ. 8:36 μ.μ. Δ. 8:12 μ.μ. Ε. 7:48 μ.μ. Άσκηση 003 Ποιο κλάσμα είναι μεγαλύτερο; A. Ένα πέμπτο Β. Ένα έκτο Γ. Ένα έβδομο Δ. Ένα όγδοο Ε. Ένα ένατο Άσκηση 004 Ποια από τις διαφορές είναι η μεγαλύτερη; Α Β Γ Δ Ε Άσκηση 005 Στο βιβλιοπωλείο ένα μολύβι κοστίζει 8 λεπτά και μια γόμα κοστίζει 7 λεπτά. Αν η Κατερίνα αγοράσει 9 μολύβια και 8 γόμες και δώσει ένα χαρτονόμισμα των 5, πόσα ευρώ ρέστα θα πάρει; Α. 2,63 Β. 3,65 Γ. 4,72 Δ. 3,72 Ε. 2,75 Άσκηση 006 Το άθροισμα είναι: Α. 5 2 Β. 4 2 Γ. 2 2 Δ. 1 2 Ε. 6 2 Άσκηση 007 Ποια από τις ακόλουθες διαιρέσεις αφήνει το μικρότερο υπόλοιπο; Α Β. 503 Γ. 604 Δ. 75 Ε Άσκηση 008 Ποιο από τα ακόλουθα κλάσματα είναι μεγαλύτερο; A. Πέντε δέκατα Β. Πέντε ένατα Γ. Τέσσερα όγδοα Δ. Τρία έκτα Ε. Δύο τέταρτα 203

25 Μαθηματικά για Διαγωνισμούς Άσκηση 009 Ο πατέρας του πατέρα μου έχει μια κόρη. Η αδελφή της είναι: Α. αδελφή μου Β. γιαγιά μου Γ. μητέρα μου Δ. ξαδέλφη μου Ε. θεία μου Άσκηση 010 Ποιο από τα πιο κάτω κομμάτια της πίτσας είναι το μεγαλύτερο; A. 1 B. 5 Γ Δ. 1 2 Ε. 3 5 Άσκηση 011 Το γινόμενο είναι: A B Γ Δ Ε Άσκηση 012 Ποιο από τα κλάσματα είναι ίσο με το κλάσμα 3 4 ; A. 4 8 Β. 5 8 Γ. 6 8 Δ. 7 8 Ε. 3 8 Άσκηση 013 Να επιλέξετε ένα από τα πέντε μεικτά κλάσματα που είναι ίσο με το κλάσμα 8 3 : A. 2 Β. 2 Γ. 2 Δ. 3 Ε Άσκηση 014 Ποιος από τους αριθμούς είναι ο μικρότερος; Α. 1 3 Β Γ Δ Ε. 0,33 Άσκηση 015 Ποιο από τα κλάσματα έχει τη μεγαλύτερη αξία; Α Β. 5 9 Γ. 5 8 Δ. 5 7 Ε. 5 6 Άσκηση 016 Η Ειρήνη γιόρτασε προχθές τα γενέθλιά της. Αύριο είναι Παρασκευή. Ποια μέρα γιόρτασε η Ειρήνη τα γενέθλιά της; Α. Δευτέρα Β. Τρίτη Γ. Τετάρτη Δ. Πέμπτη Ε. Παρασκευή 204

Mαρία Πριοβόλου. Οδηγός προετοιμασίας. για τα Πρότυπα Πειραματικά Γυμνάσια. Μαθηματικά

Mαρία Πριοβόλου. Οδηγός προετοιμασίας. για τα Πρότυπα Πειραματικά Γυμνάσια. Μαθηματικά Mαρία Πριοβόλου Οδηγός προετοιμασίας για τα Πρότυπα Πειραματικά Γυμνάσια Μαθηματικά Θέση υπογραφής δικαιούχου δικαιωμάτων πνευματικής ιδιοκτησίας, εφόσον η υπογραφή προβλέπεται από τη σύμβαση. Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πίνακας περιεχομένων Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 2 Κεφάλαιο 2 ο - ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ... 6 Κεφάλαιο 3 ο - ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 10 ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 1 Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Οι φυσικοί αριθμοί. Παράδειγμα

Οι φυσικοί αριθμοί. Παράδειγμα Οι φυσικοί αριθμοί Φυσικοί Αριθμοί Είναι οι αριθμοί με τους οποίους δηλώνουμε πλήθος ή σειρά. Για παράδειγμα, φυσικοί αριθμοί είναι οι: 0, 1,, 3,..., 99, 100,...,999, 1000, 0... Χωρίζουμε τους Φυσικούς

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά ΣT Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά ΣT Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Γρήγορα τεστ Μαθηματικά ΣT Δημοτικού 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΡΗΓΟΡΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΣΤ Δημοτικού No 1 Γιάννης Ζαχαρόπουλος Διόρθωση: Αντωνία Κιλεσσοπούλου 201, Εκδόσεις Κυριάκος

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά Ε Δημοτικού E 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά Ε Δημοτικού E 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Γρήγορα τεστ E 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΡΗΓΟΡΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - Ε Δημοτικού No 1 Γιάννης Ζαχαρόπουλος Διόρθωση: Αντωνία Κιλεσσοπούλου 2013, Εκδόσεις Κυριάκος Παπαδόπουλος Α.Ε., Γιάννης

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα A Γυμνασιου

Μαθηματικα A Γυμνασιου Μαθηματικα A Γυμνασιου Θεωρια & παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 45 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 4 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΟΡΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Γυμνάσια

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Γυμνάσια ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 1 (ΜΟΝΑΔΕΣ 40) α) Ο αριθμός 1.047 έχει διαιρέτη το 3; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. β) Να βάλετε

Διαβάστε περισσότερα

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της.

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της. ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Α.1.2 1. Οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών αριθμών είναι οι εξής : Αντιμεταθετική ιδιότητα π.χ. α+β=β+α Προσετεριστική ιδιότητα π.χ. α+β+γ=(α+β)+γ=α+(β+γ) 2.Η πραξη της αφαίρεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

Όλες οι απαντήσεις. Μαθηματικά Στ Δημοτικού

Όλες οι απαντήσεις. Μαθηματικά Στ Δημοτικού Όλες οι απαντήσεις Μαθηματικά Στ Δημοτικού ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Όλες οι απαντήσεις Μαθηματικά Στ Δημοτικού Σειρά: Τα εκπαιδευτικά μου βιβλία / Δημοτικό / Μαθηματικά Γιάννης Ζαχαρόπουλος, Όλες οι απαντήσεις:

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά A Γυμνασίου

Μαθηματικά A Γυμνασίου Μαθηματικά A Γυμνασίου ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Μέρος Α - Άλγεβρα 1. Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; (σελ. 15) 2. Πως ορίζεται η πράξη της αφαίρεσης στους φυσικούς και πότε αυτή μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 6 1) Να εκφράσετε τον αριθμό 48 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με δενδροδιάγραμμα. 2) Να συγκρίνετε

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων 2016-2017 Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Περιεχόμενα Στόχοι Πηγή Υλικού 3.1 Αριθμοί Οι μαθητές πρέπει: Σχολικά βιβλία Ε και ΣΤ Φυσικοί, Δεκαδικοί, μετρήσεις Να μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

Αρβανιτίδης Θεόδωρος, - Μαθηματικά Ε

Αρβανιτίδης Θεόδωρος,  - Μαθηματικά Ε Δεκαδικά κλάσματα Δεκαδικοί αριθμοί Μάθημα 7 ο Σε κάθε κλάσμα έχουμε : όροι του κλάσματος : αριθμητής παρονομαστής πόσα ίσα μέρη της ακέραιης μονάδας πήρα πόσα ίσα μέρη χώρισα την ακέραιη μονάδα Η κλασματική

Διαβάστε περισσότερα

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο Υπενθύμιση Δ τάξης Παιχνίδια στην κατασκήνωση Συγκρίνω δυο αριθμούς για να βρω αν είναι ίσοι ή άνισοι. Στην περίπτωση που είναι άνισοι μπορώ να βρω ποιος είναι μεγαλύτερος (ή μικρότερος). Ανάμεσα

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών 2 Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Προσθετέοι 18+17=35 α Προσθετέοι + β = γ Άθοι ρ σμα Άθοι ρ σμα 13 + 17 = 17 + 13 Πρόσθεση φυσικών αριθμών Πρόσθεση είναι η πράξη με την οποία από

Διαβάστε περισσότερα

Α.2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ

Α.2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΚΛΑΣΜΑΤΑ Α.. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΟ Αν ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι μεγαλύτερος από τον παρανομαστή, τότε το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το. Αν ο αριθμητής

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι κλάσμα; Κλάσμα είναι ένα μέρος μιας ποσότητας. ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κλάσμα είναι ένας λόγος δύο αριθμών(fraction is a ratio of two whole numbers) Πως εκφράζετε συμβολικά ένα κλάσμα; Εκφράζετε

Διαβάστε περισσότερα

5 ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά»

5 ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 3616532-3617784 - Fax: 3641025 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Α ΤΑΞΗΣ

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Α ΤΑΞΗΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Α ΤΑΞΗΣ Το αναλυτικό πρόγραμμα που παρουσιάζουμε εδώ είναι μια πρόταση από περιεχόμενα που θα μπορούσαν να διδαχτούν στο σχολείο δεύτερης ευκαιρίας. Αυτό δεν σημαίνει ότι το πρόγραμμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ)

ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Α ΜΕΡΟΣ- ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΡΩΤΗΣΗ 1 Ποιοι αριθμοί ονομάζονται πρώτοι και ποιοι σύνθετοι; Να δώσετε παραδείγματα. ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1 Όταν ένας αριθμός διαιρείται

Διαβάστε περισσότερα

Σελίδα 4: Α Γυμνασίου, Μέρος Α, Αριθμητική - Άλγεβρα, Κεφάλαιο 2, Κλάσματα

Σελίδα 4: Α Γυμνασίου, Μέρος Α, Αριθμητική - Άλγεβρα, Κεφάλαιο 2, Κλάσματα Περιοδική έκδοση για τα Μαθηματικά Γυμνασίου https://mathsgymnasio.wordpress.com/ Τεύχος 2 Περιεχόμενα Σελίδα 4: Α Γυμνασίου, Μέρος Α, Αριθμητική - Άλγεβρα, Κεφάλαιο 2, Κλάσματα Σελίδα 22: Α Γυμνασίου,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Α σ κ ή σ ε ι ς γ ι α τ ι ς δ ι α κ ο π έ ς τ ω ν Χ ρ ι σ τ ο υ γ έ ν ν ω ν

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Α σ κ ή σ ε ι ς γ ι α τ ι ς δ ι α κ ο π έ ς τ ω ν Χ ρ ι σ τ ο υ γ έ ν ν ω ν ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α σ κ ή σ ε ι ς γ ι α τ ι ς δ ι α κ ο π έ ς τ ω ν Χ ρ ι σ τ ο υ γ έ ν ν ω ν () Στρογγυλοποίησε τον αριθμό 8.987. στις πλησιέστερες: (α) δ ε- κάδες, (β) εκατοντάδες, (γ) χιλιάδες,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ. Βαγγέλης. Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός.

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ. Βαγγέλης. Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός. 01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παρον φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΔΑΜΑΝΤΙΟΣ ΣΧΟΛΗ ΤΑΞΗ Δ ΟΝΟΜΑ α. Αντιμεταθετική ιδιότητα 1. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Π Ρ Ο Σ Θ Ε Σ Η Α. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ 8 + 7 = 15 ή 7 + 8 = 15 346 ή 517 ή 82 + 517 + 82 + 346 82 346 517 945 945

Διαβάστε περισσότερα

Κάθε φυσικός αριθμός έχει έναν επόμενο αριθμό. Κάθε φυσικός αριθμός (εκτός από το 0) έχει έναν προηγούμενο φυσικό αριθμό.

Κάθε φυσικός αριθμός έχει έναν επόμενο αριθμό. Κάθε φυσικός αριθμός (εκτός από το 0) έχει έναν προηγούμενο φυσικό αριθμό. A.1.1 Φυσικοί αριθμοί Διάταξη φυσικών Στρογγυλοποίηση Φυσικοί αριθμοί OÚÈÛÌfi 1. Φυσικοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί 0, 1, 2, 3,... και συμβολίζονται με το γράμμα Ν (το οποίο είναι το αρχικό γράμμα της

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

1.2 Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1 1. Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ MΟΝΩΝΥΜΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Αριθµητική παράσταση : Είναι η παράσταση που περιέχει πράξεις µεταξύ αριθµών. Αλγεβρική παράσταση : Είναι η παράσταση που περιέχει πράξεις µεταξύ αριθµών

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ. Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους

Περιεχόμενα ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ. Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους Περιεχόμενα ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ 15 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους Οι φυσικοί αριθμοί Η σχέση της ισότητας και της ανισότητας των φυσικών αριθμών Η αναπαράσταση των

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤ ΤΑΞΗΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ. Σάββατο, 8 Ιουνίου 2013

ΣΤ ΤΑΞΗΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ. Σάββατο, 8 Ιουνίου 2013 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Διεύθυνση: Προξένου Κορομηλά 51 Τ.Κ. 54622, Θεσσαλονίκη Τηλέφωνο και Fax 2310 285377 e-mail: emethes@otenet.gr http://www.emethes.gr ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμικό: Μαθηματικά Α ΣΤ Δημοτικού Κατηγορία αναπηρίας: Κώφωση Βαρηκοΐα Μάθημα: Μαθηματικά Τάξη/εις: Α Στ Δημοτικού

Λογισμικό: Μαθηματικά Α ΣΤ Δημοτικού Κατηγορία αναπηρίας: Κώφωση Βαρηκοΐα Μάθημα: Μαθηματικά Τάξη/εις: Α Στ Δημοτικού Λογισμικό: Μαθηματικά Α ΣΤ Δημοτικού Κατηγορία αναπηρίας: Κώφωση Βαρηκοΐα Μάθημα: Μαθηματικά Τάξη/εις: Α Στ Δημοτικού Παρουσίαση Λογισμικού: Κατερίνα Αραμπατζή Προμηθευτής: Postscriptum Advanced Communication

Διαβάστε περισσότερα

C Y M B ȦIJȠıIJȠȚȤİȚȠșİıȓĮ Ȇ =+7+ ȈȚĮ 2( (țijȫʌȧıș ǺȚȞȜȚȠįİıȓĮ %ȚȕȜȚȠʌȦȜİȓȠ (.ǻ2ȉ(,ȉ =+7+ ĭȧijƞıijƞțȥițƞșiıȓį Ȇ =+7+ ȈȚĮ 2( (țijȫʌȧıș ǺȚȞȜȚȠįİıȓĮ

C Y M B ȦIJȠıIJȠȚȤİȚȠșİıȓĮ Ȇ =+7+ ȈȚĮ 2( (țijȫʌȧıș ǺȚȞȜȚȠįİıȓĮ %ȚȕȜȚȠʌȦȜİȓȠ (.ǻ2ȉ(,ȉ =+7+ ĭȧijƞıijƞțȥițƞșiıȓį Ȇ =+7+ ȈȚĮ 2( (țijȫʌȧıș ǺȚȞȜȚȠįİıȓĮ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ www.ziti.gr www.ziti.gr Πρόλογος Το βιβλίο αυτό αποτελεί μια υπεύθυνη και εμπεριστατωμένη προσέγγιση της ύλης των δύο τελευταίων τάξεων Εʹ και Στʹ του Δημοτικού σχολείου, στα βασικά μαθήματα

Διαβάστε περισσότερα

τον αριθμητή 8 την κλασματική γραμμή τον παρανομαστή

τον αριθμητή 8 την κλασματική γραμμή τον παρανομαστή ΤΑΞΗ: ΣΤ ΔΙΑΘΕΣΙΜΟ ΣΤΗ: http //blogs.sch.gr/anianiouris ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ: Νιανιούρης Αντώνης (email: anianiouris@sch.gr) «Η έννοια του Κλάσματος και οι πράξεις του» Κλασματικός είναι ένας αριθμός ο οποίος εκφράζει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 ο. Εξισώσεις-Ανισώσεις.

Κεφάλαιο 1 ο. Εξισώσεις-Ανισώσεις. Μαθηματικά B Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο. Εξισώσεις-Ανισώσεις. Μέρος Α.- Θεωρία. 1. Τι λέμε αλγεβρική και τι αριθμητική παράσταση; 2. Τι λέμε αναγωγή ομοίων όρων; 3. Τι λέμε εξίσωση α βαθμού; 4. Τι λέμε πρώτο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ 1ο : ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ανακεφαλαίωση ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: 1, 2,,, Άρτιοι αριθμοί είναι οι φυσικοί

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτήρες διαιρετότητας ΜΚΔ ΕΚΠ Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων

Χαρακτήρες διαιρετότητας ΜΚΔ ΕΚΠ Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων Χαρακτήρες διαιρετότητας ΜΚΔ ΕΚΠ Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Ορισμός Ευκλείδεια διαίρεση ονομάζεται η πράξη κατά την οποία ένας αριθμός

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές δοκιμασίες για την εισαγωγή στα Πρότυπα Γυμνάσια 2015. Εισαγωγικό σημείωμα

Ενδεικτικές δοκιμασίες για την εισαγωγή στα Πρότυπα Γυμνάσια 2015. Εισαγωγικό σημείωμα Ενδεικτικές δοκιμασίες για την εισαγωγή στα Πρότυπα Γυμνάσια 015 Εισαγωγικό σημείωμα Σύμφωνα με τις οδηγίες της ΔΕΠΠΣ: Στα Μαθηματικά ελέγχονται οι ικανότητες των μαθητών/τριών στην κατανόηση και στην

Διαβάστε περισσότερα

1 η ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

1 η ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 1 η ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2 1. Ο Άρης έφαγε 5 μιας σοκολάτας και ο Φίλιππος έφαγε 1 10 σοκολάτας περισσότερο από τον Άρη. Τι μέρος της σοκολάτας έμεινε;

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 ο : Οι Φυσικοί αριθμοί

Κεφάλαιο 1 ο : Οι Φυσικοί αριθμοί ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Α! ΤΑΞΗΣ 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ -- ΑΛΓΕΒΡΑΣ Κεφάλαιο 1 ο : Οι Φυσικοί αριθμοί Α. 1. 1 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται φυσικοί και ποια είναι η χαρακτηριστική

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Μαθηματικά. Γυμνασίου

Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Μαθηματικά. Γυμνασίου Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Μαθηματικά A Γυμνασίου Περιεχόμενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Φυσικοί & Δεκαδικοί Αριθμοί Η θεωρία με Ερωτήσεις Ασκήσεις & Προβλήματα ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Μετρήσεις Μεγεθών Η

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία Μαθηματικά Β Γυμνασίου Επανάληψη στη Θεωρία Α.1.1: Η έννοια της μεταβλητής - Αλγεβρικές παραστάσεις Α.1.2: Εξισώσεις α βαθμού Α.1.4: Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων Α.1.5: Ανισώσεις α βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Ποιος είναι ο 66ος όρος στην ακολουθία γραμμάτων ΑΒΒΓΓΓΔΔΔΔΕΕΕΕΕ, όπου Α, Β, Γ, Δ, Ε είναι γράμματα του ελληνικού αλφαβήτου;

Ποιος είναι ο 66ος όρος στην ακολουθία γραμμάτων ΑΒΒΓΓΓΔΔΔΔΕΕΕΕΕ, όπου Α, Β, Γ, Δ, Ε είναι γράμματα του ελληνικού αλφαβήτου; Πρόβλημα 214 Τα θρανία στην τάξη του Γιάννη είναι τοποθετημένα σε γραμμές και στήλες. Το θρανίο του Γιάννη είναι στην τρίτη γραμμή από την αρχή και στην τέταρτη από το τέλος. Είναι επίσης στην τρίτη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Φώτης Κουνάδης Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ ΕΚ ΟΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΛΙΒΑΝΗ ΑΘΗΝΑ 2007 Σειρά:

Διαβάστε περισσότερα

Όλοι οι ακέραιοι αριθμοί από το 0 και μετά λέγονται φυσικοί αριθμοί π.χ.

Όλοι οι ακέραιοι αριθμοί από το 0 και μετά λέγονται φυσικοί αριθμοί π.χ. 1. Οι φυσικοί αριθμοί. Όλοι οι ακέραιοι αριθμοί από το 0 και μετά λέγονται φυσικοί αριθμοί π.χ. 0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, 10,..., 100,..., 1.000,..., 10.0000,10.001,..., 100.000, 100.001, 100.002,..., 200.000,...,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2012. Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά

ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2012. Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΩΤΗ ΤΑΞΗ Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά Να απαντήσετε σε ΟΛΕΣ τις ερωτήσεις. Όπου χρειάζεται να γίνουν πράξεις για να βρεθεί η απάντηση, να τις κάνετε

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις Μαθηματικών Γ τάξη - 5 η Ενότητα Κεφ

Επαναληπτικές Ασκήσεις Μαθηματικών Γ τάξη - 5 η Ενότητα Κεφ Οδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη Επαναληπτικές Ασκήσεις Μαθηματικών Γ τάξη - 5 η Ενότητα Κεφ. 33 38 Πηγή: e-selides ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Κεφ. 33 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΜΕ ΤΟ,,.000. Κάνω τους

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 10 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 100 ΜΟΤΙΒΟ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ 6

ΕΝΟΤΗΤΑ 10 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 100 ΜΟΤΙΒΟ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ 6 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 100 ΜΟΤΙΒΟ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ 6 ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ1.7 Αναπαριστούν εναδικά κλάσματα ( 1, 1, 1, 1, 1 ) ενός συνόλου ή μιας επιφάνειας, 2 3 4 6 8 χρησιμοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Διαχειρίζομαι αριθμούς έως το 10.000

Διαχειρίζομαι αριθμούς έως το 10.000 Α Περίοδος Διαχειρίζομαι αριθμούς έως το 10.000 Στο μάθημα αυτό θα ασχοληθούμε με την εκτίμηση υπολογισμών, δηλαδή με την εύρεση ενός αποτελέσματος στο «περίπου» ή «κατ εκτίμηση» ή «πάνω-κάτω» ή «χοντρά-χοντρά»,

Διαβάστε περισσότερα

Διορθώσεις - Βελτιώσεις. στα βιβλία μαθητή των Μαθηματικών του Γυμνασίου

Διορθώσεις - Βελτιώσεις. στα βιβλία μαθητή των Μαθηματικών του Γυμνασίου Διορθώσεις - Βελτιώσεις στα βιβλία μαθητή των Μαθηματικών του Γυμνασίου 1 Μαθηματικά Α Γυμνασίου A/A Σελίδα Αντί Να γραφεί 1 11, 1 η Δραστηριότητα Βρες τους έξι διαφορετικούς τριψήφιους αριθμούς που. Βρες

Διαβάστε περισσότερα

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις 24 Κεφάλαιο ο. Να κάνετε τις πράξεις : α) 2 + 3 4-2 : (-4) + γ) -3 (-2) -5 +4: (-2) -6 β) 2 +3 (4-2): (-4 +) δ) -8 : (-3 +5) -4 (-2 + 6) Για να κάνουμε τις πράξεις ακολουθούμε τα εξής βήματα: ο βήμα: Πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

Όλες οι απαντήσεις. Μαθηματικά Γ Δημοτικού

Όλες οι απαντήσεις. Μαθηματικά Γ Δημοτικού Όλες οι απαντήσεις Μαθηματικά Γ Δημοτικού ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Όλες οι απαντήσεις Μαθηματικά Γ Δημοτικού Σειρά: Τα εκπαιδευτικά μου βιβλία / Δημοτικό / Μαθηματικά Γιάννης Ζαχαρόπουλος, Όλες οι απαντήσεις:

Διαβάστε περισσότερα

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 2 Φυσικοί

Διαβάστε περισσότερα

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Τετράδιο Πρώτης Αρίθµησης Α ηµοτικού

Τετράδιο Πρώτης Αρίθµησης Α ηµοτικού Çëßáò Ã. ÊáñêáíéÜò - Έφη Ι. Σουλιώτου Τετράδιο Πρώτης Αρίθµησης Α ηµοτικού Α Τεύχος 1 Απαγορεύεται η αναπαραγωγή µέρους ή του συνόλου του παρόντος έργου µε οποιοδήποτε τρόπο ή µορφή, στο πρωτότυπο ή σε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 12 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20

ΕΝΟΤΗΤΑ 12 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20 ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ 1.6 Συνθέτουν και αναλύουν αριθμούς μέχρι το 100 με βάση την αξία θέσης ψηφίου, χρησιμοποιώντας αντικείμενα, εικόνες, και σύμβολα. Αρ

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το 5/2 1 Παράδειγμα 2: Γράψε ένα κλάσμα που χρησιμοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

1. 4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

1. 4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α 1.4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 59 1. 4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Πολλαπλασιασμός μονωνύμου με πολυώνυμο Ο πολλαπλασιασμός μονώνυμου με πολυώνυμο γίνεται ως εξής: Πολλαπλασιάζουμε το μονώνυμο με

Διαβάστε περισσότερα

B. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΠΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ

B. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΠΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ Τα Mαθηματικά παίζουν κυρίαρχο ρόλο σε όλους τους χώρους της σύγχρονης κοινωνίας. Όλα σχεδόν τα επιτεύγματα της τεχνολογίας και της ε- πιστήμης στηρίζονται στην ανάπτυξη των Μαθηματικών. Αλλά και τα προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 11 ΠΕΝΤΑΨΗΦΙΟΙ ΚΑΙ ΕΞΑΨΗΦΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ 11 ΠΕΝΤΑΨΗΦΙΟΙ ΚΑΙ ΕΞΑΨΗΦΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΠΕΝΤΑΨΗΦΙΟΙ ΚΑΙ ΕΞΑΨΗΦΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών ΑΡ2.5 Αναπαριστούν, συγκρίνουν και σειροθετούν ομώνυμα κλάσματα

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 6. Μονοψήφια διαίρεση Προβλήματα αναλογίας

ΕΝΟΤΗΤΑ 6. Μονοψήφια διαίρεση Προβλήματα αναλογίας Μονοψήφια διαίρεση Προβλήματα αναλογίας ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Υπολογισμοί και εκτίμηση Αρ2.13 Αναπτύσσουν και εφαρμόζουν αλγόριθμους της πρόσθεσης, της αφαίρεσης, του πολλαπλασιασμού με τριψήφιους

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης τόμος Καγκουρό Ελλάς 0 007 (ο πρώτος αριθµός σε µια γραµµή αναφέρεται στη σελίδα που αρχίζει το άρθρο και ο δεύτερος στη σελίδα που περιέχει τις απαντήσεις) Πρόλογος

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά Γ Δημοτικού Γ 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά Γ Δημοτικού Γ 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Γρήγορα τεστ Μαθηματικά Γ Δημοτικού Γ 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΡΗΓΟΡΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - Γ Δημοτικού No 1 Γιάννης Ζαχαρόπουλος Διόρθωση: Αντωνία Κιλεσσοπούλου 01, Εκδόσεις Κυριάκος

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ Α Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Όπως γνωρίζουμε, το σύνολο των φυσικών αριθμών Ν είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΥΜΝΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΥΜΝΣΙΟΥ ΜΙ ΠΡΟΕΤΟΙΜΣΙ ΓΙ ΤΙΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 11 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και τρείς ασκήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Αριθμός Επίθετο Όνομα Όνομα πατέρα THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2012-2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (Αυτό το γραπτό αποτελείται από 21 σελίδες, συμπεριλαμβανομένης της σελίδας αυτής).

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 1 ï. -Ïé äåêáäéêïß áñéèìïß -Óýãêñéóç äýï áñéèìþí -Óôñïããõëïðïßçóç ôùí áñéèìþí. -Ç Ýííïéá ôçò åîßóùóçò

ÊåöÜëáéï 1 ï. -Ïé äåêáäéêïß áñéèìïß -Óýãêñéóç äýï áñéèìþí -Óôñïããõëïðïßçóç ôùí áñéèìþí. -Ç Ýííïéá ôçò åîßóùóçò ÊåöÜëáéï 1 ï Öõóéêïß êáé Äåêáäéêïß áñéèìïß âéâëéïììüèçìá 1: -Öõóéêïß áñéèìïß -Ïé äåêáäéêïß áñéèìïß -Óýãêñéóç äýï áñéèìþí -Óôñïããõëïðïßçóç ôùí áñéèìþí âéâëéïììüèçìá : -Ç Ýííïéá ôçò ìåôáâëçôþò -Ç Ýííïéá

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικά Συστήματα

Αριθμητικά Συστήματα Αριθμητικά Συστήματα Σε οποιοδήποτε αριθμητικό σύστημα, με βάση τον αριθμό Β, ένας ακέραιος αριθμός με πλήθος ψηφίων ν, εκφράζεται ως ακολούθως: α ν-1 α ν-2 α 1 α 0 = α ν-1 Β ν-1 + α ν-2 Β ν-2 + + α 1

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση

Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση 1. Εισαγωγή Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση Μαθαίνω Γεωμετρία και Μετρώ Παίζω με τους αριθμούς Βρίσκω τα πολλαπλάσια Το εκπαιδευτικό λογισμικό «Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση» δίνει τη δυνατότητα στα παιδιά

Διαβάστε περισσότερα

Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ. Να γραφεί ο τύπος της Ευκλείδειας διαίρεσης. Πότε ένας αριθμός διαιρείται με το, πότε με το, το, και πότε με το 9. ( Δώστε παράδειγμα) Ποιοι αριθμοί καλούνται πρώτοι

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Η Διδασκαλια των Εξισωσεων ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ

Η Διδασκαλια των Εξισωσεων ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ Η Διδασκαλια των Εξισωσεων ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ Στόχοι Υποστόχοι Δραστηριότητες Πετράκη Ζαχαρούλα Προύντζου Δέσποινα Χριστοπούλου Ευθαλεία Κανονικότητες Συναρτήσεις Αλγεβρικές Παραστάσεις Ισότητα Ανισότητα

Διαβάστε περισσότερα

Η Έννοια του Κλάσµατος

Η Έννοια του Κλάσµατος Η Έννοια του Κλάσµατος Κεφάλαιο ο. Κλασµατική µονάδα λέγεται το ένα από τα ίσα µέρη, στα οποία χωρίζουµε την ακέραια µονάδα. Έχει τη µορφή, όπου α µη µηδενικός φυσικός αριθµός (α 0, α διάφορο του µηδενός).

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΥΠΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΑΤΥΠΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΤΥΠΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 1. Ταξινόμηση αντικειμένων ως προς τα χαρακτηριστικά τους Βάλε μαζί σε έναν κύκλο τα λουλούδια με το ίδιο χρώμα και το ίδιο όνομα. Κοίταξε προσεκτικά την εικόνα και απάντησε: Πόσα

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) είναι πραγματικός, γ) Το 3 είναι άρρητος,

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) είναι πραγματικός, γ) Το 3 είναι άρρητος, . ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Τηλ 0676-7 /0600 Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους. Να συμπληρωθούν τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη να προκύψει το έτος γέννησης σας : +....= 9.. = ( -

Διαβάστε περισσότερα

5 ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά»

5 ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 61652-617784 - Fax: 641025 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

26.02.14 ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014

26.02.14 ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014 Εαρινό εξάμηνο 2014 26.02.14 Χ. Χαραλάμπους 14 ο πρόβλημα (βρίσκεται στο Μουσείο Καλών Τεχνών της Μόσχας από το 1893 μ.χ.) «μετάφραση των συμβόλων: Εάν σου πουν: μία κομμένη πυραμίδα με ύψος 6, με βάση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2013-2014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

2. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

2. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΡΟΣ Α.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 193. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Με την βοήθεια των εξισώσεων δευτέρου βαθμού λύνουμε πολλά προβλήματα της καθημερινής ζωής και διαφόρων επιστημών.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS LEVEL: 9 10 (Γ Γυμνασίου Α Λυκείου) 10:00 11:00, 20 March 2010 THALES FOUNDATION 1 3 βαθμοί 1. Ποιο από τα ακόλουθα είναι το αποτέλεσμα της διαίρεσης του αριθμού 20102010 με τον

Διαβάστε περισσότερα