Κωνσταντίνος Σάλαρης, Ανδρέας Τριανταφύλλου. Μαθηματικά. για διαγωνισμούς. Ε & ΣΤ Δημοτικού

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κωνσταντίνος Σάλαρης, Ανδρέας Τριανταφύλλου. Μαθηματικά. για διαγωνισμούς. Ε & ΣΤ Δημοτικού"

Transcript

1 Κωνσταντίνος Σάλαρης, Ανδρέας Τριανταφύλλου Μαθηματικά για διαγωνισμούς Ε & ΣΤ Δημοτικού

2 Θέση υπογραφής δικαιούχου δικαιωμάτων πνευματικής ιδιοκτησίας, εφόσον η υπογραφή προβλέπεται από τη σύμβαση Το παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις της ελληνικής νομοθεσίας (Ν. 2121/1993, όπως έχει τροποποιηθεί και ισχύει σήμερα) και τις διεθνείς συμβάσεις περί πνευματικής ιδιοκτησίας. Απαγορεύεται απολύτως η άνευ γραπτής αδείας του εκδότη κατά οποιονδήποτε τρόπο ή μέσο (ηλεκτρονικό, μηχανικό ή άλλο) αντιγραφή, φωτοανατύπωση και εν γένει αναπαραγωγή, εκμίσθωση ή δανεισμός, μετάφραση, διασκευή, αναμετάδοση στο κοινό σε οποιαδήποτε μορφή και η εν γένει εκμετάλλευση του συνόλου ή μέρους του έργου. Εκδόσεις Πατάκη Εκπαίδευση Κωνσταντίνος Σάλαρης, Ανδρέας Τριανταφύλλου, Μαθηματικά για διαγωνισμούς Ε & ΣΤ Δημοτικού Διορθώσεις: Νάντια Κουτσουρούμπα Υπεύθυνος έκδοσης: Βαγγέλης Μπακλαβάς Επιμέλεια: Γεωργία Ευθυμίου Dtp: Γιώργος Χατζησπύρος Φιλμ μοντάζ: Κέντρο Γρήγορης Εκτύπωσης Copyright Σ. Πατάκης Α.Ε.Ε.Δ.Ε. (Εκδόσεις Πατάκη), Κωνσταντίνος Σάλαρης και Ανδρέας Τριανταφύλλου, Αθήνα, 2013 Πρώτη έκδοση από τις Εκδόσεις Πατάκη, Αθήνα, Μάιος 2014 Κ.Ε.Τ Κ.Ε.Π. 331/14 ISBN ΠΑΝΑΓΗ ΤΣΑΛΔΑΡΗ (ΠΡΩΗΝ ΠΕΙΡΑΙΩΣ) 38, ΑΘΗΝΑ, ΤΗΛ.: , , , ΦΑΞ: ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΔΙΑΘΕΣΗ: ΕΜΜ. ΜΠΕΝΑΚΗ 16, ΑΘΗΝΑ, ΤΗΛ.: YΠOKΑΤΑΣΤΗMA BOPEIAΣ EΛΛAΔAΣ: KOPYTΣAΣ (TEPMA ΠONTOY ΠEPIOXH B KTEO), KAΛOXΩPI ΘEΣΣAΛONIKHΣ, Τ.Θ. 1213, ΤΗΛ.: , , ΦΑΞ: Web site: info@patakis.gr, sales@patakis.gr

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος Ένα συνοπτικό σημείωμα για τον γονιό και τον δάσκαλο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ 1.1 Φυσικοί αριθμοί Ορισμοί Απαγγελία και γραφή φυσικών αριθμών Μια ενδιαφέρουσα δραστηριότητα Μια σύντομη αναδρομή στον τρόπο γραφής των αριθμών και στα αριθμητικά συστήματα Διαιρετότητα Ιδιότητες διαιρετότητας Κριτήρια διαιρετότητας Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (ΜΚΔ) Εύρεση ΜΚΔ Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) Εύρεση ΕΚΠ Α. Ανάλυση ενός αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων Β. Ένας άλλος τρόπος για να βρούμε τον ΜΚΔ και το ΕΚΠ Δεκαδικοί αριθμοί Στρογγυλοποίηση φυσικών και δεκαδικών αριθμών Σύγκριση φυσικών και δεκαδικών αριθμών Πρόσθεση και αφαίρεση φυσικών και δεκαδικών αριθμών Μια ενδιαφέρουσα δραστηριότητα Πολλαπλασιασμός φυσικών και δεκαδικών αριθμών Πολλαπλασιασμοί με το 10, 100, 1.000, Πολλαπλασιασμοί με το 0,1, 0,01, 0,001, Διαίρεση φυσικών και δεκαδικών αριθμών Πράξεις με μεικτές αριθμητικές παραστάσεις Κλάσματα Μεικτοί αριθμοί Μετατροπή δεκαδικών σε κλάσματα και αντίστροφα Ιδιότητες κλασμάτων Πράξεις μεταξύ κλασμάτων Σύγκριση μεταξύ δύο κλασμάτων

4 Μαθηματικά για Διαγωνισμούς 1.4 Δυνάμεις Μεταβλητές Εξισώσεις Μέθοδος για να λύνουμε εξισώσεις στις οποίες έχουμε όλες τις πράξεις Λόγοι Ποσά Αναλογίες Στατιστική Αναλογίες Ανάλογα ποσά Αντιστρόφως ανάλογα ή αντίστροφα ποσά Η μέθοδος της αναγωγής στη μονάδα Η απλή μέθοδος των τριών στα ανάλογα ποσά Η απλή μέθοδος των τριών στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά Ποσοστά Τόκοι Επιτόκια Ποσοστά Ραβδογράμματα Πίνακας κατανομής συχνοτήτων Μέσος όρος (μέση τιμή) Μονάδες μέτρησης Μονάδες μέτρησης μήκους Μονάδες μάζας Μονάδες μέτρησης χρόνου Μονάδες μέτρησης χρήματος Ευρώ Μοτίβα Γεωμετρικά μοτίβα Αριθμητικά μοτίβα Επίλυση σύνθετων προβλημάτων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 2.1 Βασικές έννοιες της Γεωμετρίας Γωνίες Μονάδες μέτρησης γωνιών και τόξων Εμβαδόν Μονάδες μέτρησης Παραλληλόγραμμο Εμβαδόν παραλληλογράμμου Τρίγωνο Εμβαδόν τριγώνου Τραπέζιο Εμβαδόν τραπεζίου Κύκλος Κύβος και ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο Κύλινδρος Μονάδες μέτρησης όγκου Όγκος στερεών Κλίμακες

5 Περιεχόμενα ΓΕΝΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΓΕΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΕΝΙΚΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α : ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΥ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ «ΠΑΙΧΝΙΔΙ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Θέματα Ε Δημοτικού ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» Ενδεικτικές λύσεις των θεμάτων Ε Δημοτικού ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» Θέματα ΣΤ Δημοτικού ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» Ενδεικτικές λύσεις των θεμάτων ΣΤ Δημοτικού ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά»

6 Μαθηματικά για Διαγωνισμούς 4ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β : ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ Θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Γυμνάσια Ενδεικτικές λύσεις των θεμάτων Μαθηματικών Ενδεικτικές Δοκιμασίες Μαθηματικών για την εισαγωγή μαθητών στα Πρότυπα Πειραματικά Γυμνάσια Δοκιμασία Δοκιμασία Δοκιμασία Δοκιμασία Δοκιμασία Δοκιμασία Δοκιμασία Δοκιμασία Δοκιμασία Δοκιμασία Ενδεικτικές λύσεις των Δοκιμασιών Δοκιμασία Δοκιμασία Δοκιμασία Δοκιμασία Δοκιμασία Δοκιμασία Δοκιμασία Δοκιμασία Δοκιμασία Δοκιμασία Βιβλιογραφία

7 Κεφάλαιο 1: Αριθμητική μονάδα. Όλοι λοιπόν οι πρώτοι αριθμοί έχουν κοινό διαιρέτη τον αριθμό 1, που είναι ταυτόχρονα και ο ΜΚΔ τους ΕΥΡΕΣΗ ΜΚΔ Έστω ότι ζητούμε τον ΜΚΔ των αριθμών 48 και 36. Βήμα 1: Βρίσκουμε τους διαιρέτες των δύο αριθμών. Οι διαιρέτες του 48 είναι Δ (48): 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48. Οι διαιρέτες του 60 είναι Δ (60): 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. Βήμα 2: Από τους διαιρέτες παίρνουμε τους κοινούς διαιρέτες. Οι κοινοί διαιρέτες των δύο αριθμών είναι οι 1, 2, 3, 4, 6, 12. Βήμα 3: Από τους κοινούς διαιρέτες παίρνουμε τον μεγαλύτερο. Ο μεγαλύτερος από τους κοινούς διαιρέτες είναι ο 12. Άρα ΜΚΔ (48, 36) 12. Την ίδια διαδικασία ακολουθούμε, αν έχουμε τρεις ή περισσότερους αριθμούς και ζητούμε τον ΜΚΔ αυτών. Υπάρχει και άλλος τρόπος, που στηρίζεται σε ιδιότητες της Ευκλείδειας Διαίρεσης, για την εύρεση του ΜΚΔ δύο ή περισσότερων αριθμών. Παράδειγμα Για να βρούμε τον ΜΚΔ των αριθμών 32, 90, 96 και 144, ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: Βήμα 1: Γράφουμε τους αριθμούς στη σειρά Βήμα 2: Βρίσκουμε τον μικρότερο (32) και τον γράφουμε κάτω από τον εαυτό του. Στον καθέναν από τους άλλους γράφουμε αποκάτω το υπόλοιπο της διαίρεσής του με τον μικρότερο (που έχουμε επιλέξει): , , Βήμα 3: Επαναλαμβάνουμε το βήμα 2 με τον μικρότερο μη μηδενικό αριθμό της δεύτερης γραμμής Βήμα 4: Το ίδιο (βήμα 3) κάνουμε και για τους αριθμούς της τρίτης γραμμής κ.ο.κ., μέχρι να φτάσουμε να έχουμε μόνο έναν μη μηδενικό αριθμό

8 Μαθηματικά για Διαγωνισμούς Ο αριθμός που έμεινε είναι ο ζητούμενος ΜΚΔ των δοσμένων αριθμών. Άρα ΜΚΔ (32, 88, 96, 144) 8. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Πρόβλημα 021 Ένας ανθοπώλης διαθέτει 58 τριαντάφυλλα, 145 γαρίφαλα και 203 κρίνους. Πόσες το πολύ ομοιόμορφες ανθοδέσμες μπορεί να φτιάξει; Πόσα άνθη από το κάθε είδος θα περιέχει καθεμία από αυτές; EΛΑΧΙΣΤΟ ΚΟΙΝΟ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΟ (ΕΚΠ) Κοινό Πολλαπλάσιο δύο ή περισσότερων δοσμένων αριθμών λέγεται κάθε αριθμός ο οποίος διαιρείται από τους δοσμένους αριθμούς. Παράδειγμα: Ο αριθμός 100 είναι κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών 1, 2, 4, 5, 10, 20, 50 και 100. Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο δοσμένων αριθμών καλείται το μικρότερο από τα κοινά πολλαπλάσια των αριθμών αυτών ΕΥΡΕΣΗ ΕΚΠ Για να βρούμε το ΕΚΠ πολλών αριθμών, πολλαπλασιάζουμε τον μεγαλύτερο από τους δοσμένους αριθμούς διαδοχικά με τους αριθμούς 1, 2, 3 κτλ., μέχρι να βρούμε αριθμό (πολλαπλάσιό του) ο οποίος να είναι διαιρετός από όλους τους δοσμένους αριθμούς. Παράδειγμα Δίνονται οι αριθμοί 5, 6, 10. Παίρνουμε τον μεγαλύτερο, τον 10, και τον πολλαπλασιάζουμε με τον 1, μετά με τον 2 και κατόπιν με τον 3. Παρατηρούμε ότι από τους αριθμούς που δημιουργήθηκαν, 10, 20, 30, ο 30 είναι πολλαπλάσιο των αριθμών 5 και 6, και μάλιστα το ελάχιστο από τα πολλαπλάσια. Αν ζητούσαμε το ΕΚΠ των αριθμών 4, 8, 16, πάλι θα παίρναμε τον μεγαλύτερο, δηλαδή τον 16. Παρατηρούμε ότι ο 16 είναι πολλαπλάσιο του 4, του 8 (και του 16), άρα είναι το ΕΚΠ των τριών δοσμένων αριθμών. 42

9 Κεφάλαιο 1: Αριθμητική Την ίδια διαδικασία ακολουθούμε και όταν έχουμε περισσότερους από τρεις αριθμούς και ζητάμε το ΕΚΠ τους. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Πρόβλημα 022 Ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός που διαιρείται με το 2, με το 3, με το 4, με το 5 και με το 6; Πρόβλημα 023 Τρεις καμπάνες μιας εκκλησίας χτυπάνε η Α ανά 2 δευτερόλεπτα, η Β ανά 3 δευτερόλεπτα και η Γ ανά 4 δευτερόλεπτα. Κάποια στιγμή χτυπάνε και οι τρεις ταυτόχρονα. Μετά από πόσα δευτερόλεπτα θα χτυπήσουν πάλι ταυτόχρονα οι καμπάνες; Πρόβλημα 024 Ο Γιάννης και η Άννα προπονούνται στο στάδιο. Ο Γιάννης ολοκληρώνει έναν πλήρη γύρο του σταδίου σε 3 λεπτά και η Άννα σε 4 λεπτά. Αν ξεκινήσουν και οι δύο από την αφετηρία ταυτόχρονα, μετά από πόσα λεπτά θα ξαναβρεθούν για πρώτη φορά μαζί στην αφετηρία; Πρόβλημα 025 Δύο φίλοι, ο ψηλός και ο κοντός, περπατάνε μαζί σε κυκλική πίστα. Ο ψηλός έχει βήμα 80 εκατοστά του μέτρου και ο κοντός 60 εκατοστά του μέτρου. Αν ξεκίνησαν μαζί την ίδια στιγμή, μετά από πόσα βήματα του κοντού θα συγχρονιστούν (θα βρεθούν να περπατούν δίπλα δίπλα) πάλι για πρώτη φορά; Πόσο διάστημα θα έχουν διανύσει; Α. ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΝΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΣΕ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΠΡΩ- ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ Για να γράψουμε έναν αριθμό ως γινόμενο πρώτων αριθμών, κάνουμε το εξής: Γράφουμε τον αριθμό και δεξιά του μια κατακόρυφη γραμμή. Αρχίζουμε να τον διαιρούμε διαδοχικά με τους πρώτους αριθμούς, γράφοντας κάθε φορά δεξιά του (μετά την κατακόρυφη γραμμή) τον αριθμό με τον οποίο τον διαιρέσαμε και αποκάτω του το πηλίκο της διαίρεσης. Αν ο αριθμός ή ένα πηλίκο δε διαιρείται με τον πρώτο αριθμό που ακολουθεί, πηγαίνουμε στον επόμενο πρώτο, 43

10 Μαθηματικά για Διαγωνισμούς μέχρι να βρούμε έναν πρώτο αριθμό που να διαιρεί τον αριθμό ή το πηλίκο. Σταματάμε τις διαιρέσεις όταν το πηλίκο της διαίρεσης είναι το 1. Ο αριθμός μας τότε θα είναι ίσος με το γινόμενο των αριθμών (διαιρετών του) που βρίσκονται κατακόρυφα, δεξιά της γραμμής. Θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής: Κάθε φυσικός αριθμός αναλύεται σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. EΦΑΡΜΟΓH Να αναλυθεί ο 450 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. ΛΥΣΗ Γράφουμε τον αριθμό 450, φέρνουμε δεξιά του μια κατακόρυφη γραμμή και αρχίζουμε διαδοχικές διαιρέσεις: Επομένως έχουμε ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Πρόβλημα 026 Ποιο είναι το άθροισμα όλων των πρώτων παραγόντων του αριθμού 60; 44

11 Κεφάλαιο 1: Αριθμητική Β. ΕΝΑΣ ΑΛΛΟΣ ΤΡΟΠΟΣ ΓΙΑ ΝΑ ΒΡΟΥΜΕ ΤΟΝ ΜΚΔ ΚΑΙ ΤΟ ΕΚΠ Η μέθοδος αυτή αφορά δύο ή περισσότερους αριθμούς, όταν θέλουμε να βρούμε τον ΜΚΔ και το ΕΚΠ τους. Τα βήματα που ακολουθούμε είναι: Βήμα 1: Αναλύουμε τους αριθμούς σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. Βήμα 2: Βρίσκουμε τον ΜΚΔ των αριθμών, ο οποίος είναι ίσος με το γινόμενο όλων των κοινών παραγόντων των αριθμών με τη μικρότερη δύναμη. Βήμα 3: Βρίσκουμε το ΕΚΠ των αριθμών, το οποίο είναι ίσο με το γινόμενο όλων των κοινών και μη κοινών παραγόντων των αριθμών με τη μεγαλύτερη δύναμη. EΦΑΡΜΟΓH Να βρεθεί ο ΜΚΔ και το ΕΚΠ των αριθμών 60, 120 και 210. ΛΥΣΗ Αναλύουμε τους αριθμούς σε γινόμενο πρώτων παραγόντων: Επομένως έχουμε: Ο ΜΚΔ είναι ίσος με το γινόμενο των κοινών παραγόντων με τους μικρότερους εκθέτες: Το ΕΚΠ είναι ίσο με το γινόμενο των κοινών και μη κοινών παραγόντων με τους μεγαλύτερους εκθέτες:

12 1.2 ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ένας δεκαδικός αριθμός αποτελείται από ένα ακέραιο και ένα δεκαδικό μέρος που χωρίζονται μεταξύ τους με υποδιαστολή (,). Όπως στους φυσικούς αριθμούς, έτσι και στους δεκαδικούς υπάρχουν οι μονάδες διάφορων τάξεων, τόσο στο ακέραιο όσο και στο δεκαδικό μέρος. Παράδειγμα , εκατομμυριοστά εκατοντάκις χιλιοστά δεκάκις χιλιοστά χιλιοστά εκατοστά δέκατα Δεκαδικό μέρος μονάδες δεκάδες εκατοντάδες χιλιάδες Ακέραιο μέρος Προσέχω! Οι δεκαδικοί δεν αλλάζουν αν προσθέσουμε ή διαγράψουμε μηδενικά στο τέλος τους (ή στην αρχή του ακέραιου μέρους τους, όπως έχουμε ήδη αναφέρει), π.χ. 4,320 4,32, 78, ,451 και 045,320 45,32. Κάθε φυσικός αριθμός μπορεί να γραφεί ως δεκαδικός με δεκαδικό μέρος μηδέν, π.χ ,0 ή ακόμα και 453,00 κ.ο.κ. 46

13 Κεφάλαιο 1: Αριθμητική Παράδειγμα ΓΡΑΦΩ ΔΙΑΒΑΖΩ 4,3 Τέσσερα και τρία δέκατα 7,45 Επτά και σαράντα πέντε εκατοστά 8,963 Οκτώ και εννιακόσια εξήντα τρία χιλιοστά 54,324 Πενήντα τέσσερα και τριακόσια είκοσι τέσσερα χιλιοστά 3,04 Τρία και τέσσερα εκατοστά 4,033 Τέσσερα και τριάντα τρία χιλιοστά 12,004 Δώδεκα και τέσσερα χιλιοστά 1,103 Ένα και εκατόν τρία χιλιοστά 7,0004 Επτά και τέσσερα δεκάκις χιλιοστά 10,7 Δέκα και επτά δέκατα 6,09 Έξι και εννέα εκατοστά 11,023 Έντεκα και είκοσι τρία χιλιοστά 10,302 Δέκα και τριακόσια δύο χιλιοστά ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Πρόβλημα 027 Πόσοι φυσικοί αριθμοί περιέχονται μεταξύ του 2,09 και του 15,3; ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΚΑΙ ΔΕΚΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Πολλές φορές χρειάζεται να παίρνουμε γρήγορες αποφάσεις ανάλογα με τα αποτελέσματα κάποιων πράξεων. Για τον λόγο αυτό κυρίως, αλλά και για άλλους πρακτικούς λόγους, χρησιμοποιούμε στη θέση ενός αριθμού έναν άλλο μικρότερο ή μεγαλύτερο (ακολουθώντας κάποιους κανόνες), πολύ κοντινό στον αρχικό, αλλά απλούστερο στη γραφή και στην ανάγνωση. Η διαδικασία αυτή λέγεται στρογγυλοποίηση. 47

14 Μαθηματικά για Διαγωνισμούς Κανόνες στρογγυλοποίησης Για να στρογγυλοποιήσουμε έναν αριθμό: Αν το ψηφίο που βρίσκεται δεξιά από εκείνο όπου θέλουμε να γίνει η στρογγυλοποίηση είναι 0, 1, 2, 3, 4, τότε απλώς το αντικαθιστούμε, όπως και όλα τα δεξιά του ψηφία με μηδενικά, αφήνοντας αμετάβλητο το ψηφίο στο οποίο θέλουμε να στρογγυλοποιήσουμε, π.χ Αν το ψηφίο που βρίσκεται δεξιά από εκείνο όπου θέλουμε να γίνει η στρογγυλοποίηση είναι 5, 6, 7, 8, 9, τότε το αντικαθιστούμε πάλι, όπως και όλα τα δεξιά του ψηφία με μηδενικά, αυξάνοντας κατά μία μονάδα το ψηφίο στο οποίο θέλουμε να στρογγυλοποιήσουμε, π.χ Αν το ψηφίο της στρογγυλοποίησης είναι 9, τότε το μηδενίζουμε και αυξάνουμε το προηγούμενό του ψηφίο κατά μία μονάδα, π.χ , ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΚΑΙ ΔΕΚΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Για να συγκρίνουμε δύο αριθμούς φυσικούς ή δεκαδικούς, συγκρίνουμε πρώτα τα ακέραια μέρη τους και, αν είναι ίσα, τότε συγκρίνουμε και τα δεκαδικά μέρη τους (για δεκαδικούς αριθμούς). Για τη σύγκριση χρησιμοποιούμε τα σύμβολα: <, >, (μικρότερο, μεγαλύτερο, ίσο αντίστοιχα). Η διάταξη των αριθμών γίνεται είτε από τον μικρότερο προς τον μεγαλύτερο (αύξουσα σειρά) είτε από τον μεγαλύτερο προς τον μικρότερο (φθίνουσα σειρά), π.χ. 100 < 101, 23,2 > 23,1, 42,7 < 43. Η έκφραση α < β < γ πρακτικά διαβάζεται: «ο β μεταξύ των α και γ» ή «ο β ανάμεσα στους α και γ». Δεν είναι επιτρεπτή η έκφραση α < γ > β. Δεν μπορούμε να πούμε 10 < 20 > 9. Για να υπάρχουν διαδοχικές ανισότητες σε μία γραφή, πρέπει να έχουν όλες την ίδια φορά. 48

15 Κεφάλαιο 1: Αριθμητική EΦΑΡΜΟΓH Να βρείτε τους φυσικούς αριθμούς α που ικανοποιούν τη σχέση: α) α < 8 β) α > 5 γ) 9 < α < 12 ΛΥΣΗ α) Τοποθετούμε τον αριθμό 8 στην αριθμογραμμή. Οι αριθμοί που αναζητούμε είναι οι μικρότεροι του 8. Άρα βρίσκονται αριστερότερα του 8. Επομένως οι φυσικοί αριθμοί που ικανοποιούν τη σχέση αυτή είναι οι 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 και 7. β) Τοποθετούμε τον αριθμό 5 στην αριθμογραμμή. Οι αριθμοί που αναζητούμε είναι οι μεγαλύτεροι του 5. Άρα βρίσκονται δεξιότερα του 5. Επομένως οι φυσικοί αριθμοί που ικανοποιούν τη σχέση αυτή είναι οι 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, γ) Τοποθετούμε τους αριθμούς 9 και 12 στην αριθμογραμμή. Οι αριθμοί που αναζητούμε είναι οι μεγαλύτεροι του 9, άρα βρίσκονται δεξιότερα του 9, και οι μικρότεροι του 12, άρα βρίσκονται αριστερότερα του 12. Επομένως οι φυσικοί αριθμοί που ικανοποιούν τη σχέση αυτή είναι οι 10 και ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΚΑΙ ΔΕΚΑ- ΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Μπορούμε να προσθέσουμε και να αφαιρέσουμε αριθμούς (φυσικούς και δεκαδικούς), προσέχοντας κατά την κατακόρυφη τοποθέτησή τους τα ψηφία της ίδιας τάξης να βρίσκονται στην ίδια κατακόρυφη (για να το πετύχουμε αυτό, αρκεί στην κατακόρυφη τοποθέτησή τους οι υποδιαστολές να βρίσκονται η μία ακριβώς κάτω από την άλλη). 49

16 Μαθηματικά για Διαγωνισμούς Οι αριθμοί που προσθέτουμε λέγονται προσθετέοι και το αποτέλεσμα της πρόσθεσης λέγεται άθροισμα. Στην πρόσθεση ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα: α β β α δηλαδή δεν έχει σημασία με ποια σειρά προσθέτουμε τους αριθμούς. Επίσης, ισχύει και η προσεταιριστική ιδιότητα, δηλαδή σε μία πρόσθεση πολλών αριθμών προσθέτουμε πρώτα τους δύο και μετά στο άθροισμά τους προσθέτουμε τον τρίτο κ.ο.κ., χωρίς να έχει σημασία η σειρά των προσθετέων: α (β γ) (α β) γ Αφαίρεση είναι η πράξη με την οποία, όταν δίνονται δύο αριθμοί, Μ (μειωτέος) και Α (αφαιρετέος), βρίσκουμε έναν αριθμό Δ (διαφορά), ο οποίος, όταν προστεθεί στον αφαιρετέο, δίνει άθροισμα τον μειωτέο. Ισχύει Μ Α Δ, διότι Α Δ Μ. Στην αφαίρεση δεν ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα. EΦΑΡΜΟΓΕΣ 1. Να γίνουν οι πράξεις κατακόρυφα: α) 45,32 2,98 β) 780,209 9,66 γ) 74,23 7,32 ΛΥΣΗ α) 45,32 β) 780,209 γ) 74,23 + 2,98 + 9, ,32 48,30 789,869 66,91 2. Αν x ψ 3 και φ ω 7, να βρεθούν τα αθροίσματα: α) x ψ φ ω β) x φ ψ ω γ) x ψ 5 φ ω δ) x φ 14 ψ ω ε) 2 x φ 9 ψ ω στ) x 4 φ 8 ω ψ ΛΥΣΗ Αντικαθιστούμε τις τιμές που έχουμε, οπότε: 50

17 Κεφάλαιο 1: Αριθμητική α) x ψ φ ω (x ψ) (φ ω) (λόγω της προσεταιριστικής ιδιότητας της πρόσθεσης). β) x φ ψ ω x ψ φ ω (λόγω της αντιμεταθετικής ιδιότητας της πρόσθεσης). γ) x ψ 5 φ ω δ) x φ 14 ψ ω x ψ 14 φ ω (x ψ) 14 (φ ω) (λόγω της αντιμεταθετικής και της προσεταιριστικής ιδιότητας της πρόσθεσης). ε) 2 x φ 9 ψ ω 2 x ψ 9 φ ω (λόγω της αντιμεταθετικής και της προσεταιριστικής ιδιότητας της πρόσθεσης). στ) x 4 φ 8 ω ψ x ψ 4 8 φ ω (x ψ) 4 8 (φ ω) (λόγω της αντιμεταθετικής και της προσεταιριστικής ιδιότητας της πρόσθεσης) ΜΙΑ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΥΣΑ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ Η έξυπνη πρόσθεση Το 1789, σε μια μικρή πόλη της Γερμανίας, φοιτούσε στην ΣΤ τάξη του δημοτικού σχολείου ένας μαθητής που το όνομά του ήταν Καρλ. Ο δάσκαλος ζήτησε να υπολογίσουν οι μαθητές το άθροισμα , δηλαδή το άθροισμα των 100 πρώτων φυσικών αριθμών. Μετά από ελάχιστο χρόνο ο μικρός Καρλ είπε στον δάσκαλο ότι βρήκε το αποτέλεσμα. Έκπληκτος ο δάσκαλος ρώτησε πώς. Τότε ο μικρός μαθητής ανέβηκε στον πίνακα και έγραψε: ( 1 100) ( 2 99) ( 3 98)... ( 47 54) ( 48 53) ( 49 52) ( 50 51) * ( 101) ( 101) ( 101)... ( 101) ( 101) ( 101) ( 101) * Πενήντα (50) είναι το πλήθος των παρενθέσεων, αφού πήρε τους 100 αριθμούς σε ζευγάρια: Σημείωση: Ο μικρός μαθητής Καρλ δεν ήταν άλλος από τον μετέπειτα διάσημο μαθηματικό Karl Friedrich Gauss ( ). 51

18 Μαθηματικά για Διαγωνισμούς ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Πρόβλημα 028 Αν κάνετε τις πράξεις , ποιο αποτέλεσμα θα πάρετε; Πρόβλημα 029 Το άθροισμα 1,13 0,003 2,15 1,017 μεταξύ ποιων διαδοχικών ακεραίων βρίσκεται; ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΚΑΙ ΔΕΚΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Μπορούμε να πολλαπλασιάζουμε φυσικούς ή δεκαδικούς αριθμούς. Το αποτέλεσμα που προκύπτει λέγεται γινόμενο. Ο πολλαπλασιασμός είναι ένας γρήγορος τρόπος υπολογισμού μιας επαναλαμβανόμενης πρόσθεσης. Παράδειγμα: Οι αριθμοί που πολλαπλασιάζονται λέγονται παράγοντες του γινομένου. Στην περίπτωση δύο παραγόντων, τον αριθμό που μας δείχνει πόσες φορές θα επαναληφθούν οι μονάδες του άλλου τον λέμε πολλαπλασιαστή και τον άλλο πολλαπλασιαστέο. Όταν ένας τουλάχιστον είναι δεκαδικός, τότε στο αποτέλεσμα χωρίζουμε με υποδιαστολή, από τα δεξιά προς τα αριστερά, τόσα δεκαδικά ψηφία όσα ήταν και τα συνολικά δεκαδικά ψηφία των παραγόντων του γινομένου. 52

19 Κεφάλαιο 1: Αριθμητική Στον πολλαπλασιασμό ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα: α β β α Δεν έχει σημασία με ποια σειρά πολλαπλασιάζουμε τους αριθμούς. Επίσης, ισχύει και η προσεταιριστική ιδιότητα, δηλαδή σε έναν πολλαπλασιασμό πολλών αριθμών πολλαπλασιάζουμε πρώτα τους δύο και μετά πολλαπλασιάζουμε το γινόμενό τους με τον τρίτο κ.ο.κ., χωρίς να έχει σημασία η σειρά των παραγόντων: α (β γ) (α β) γ Ένα γινόμενο ισούται με 0, μόνο αν ένας τουλάχιστον από τους παράγοντές του είναι ίσος με μηδέν, π.χ ,84 0 7,2 0. Αυτό ισχύει και αντίστροφα. Δηλαδή, όταν ένας ή περισσότεροι από τους παράγοντες ενός γινομένου είναι μηδέν, τότε το γινόμενο είναι μηδέν. Για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με το άθροισμα δύο ή περισσότερων προσθετέων, μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμό με κάθε όρο ξεχωριστά και να προσθέσουμε τα επιμέρους γινόμενα. Η ιδιότητα αυτή λέγεται επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση. Δηλαδή: α (β γ) α β α γ Η επιμεριστική ιδιότητα ισχύει και για τον πολλαπλασιασμό ενός αριθμού με τη διαφορά δύο αριθμών. Δηλαδή: α (β γ) α β α γ 53

20 2.12 ΟΓΚΟΣ ΣΤΕΡΕΩΝ Ο όγκος του ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου ισούται με το γινόμενο του μήκους του α επί το πλάτος β επί το ύψος του γ, δηλαδή: V ορθ. παραλληλεπιπέδου = α β γ Ο όγκος του κύβου, σύμφωνα με τα παραπάνω, ισούται με το γινόμενο του μήκους επί το πλάτος επί το ύψος του, κι επειδή το μήκος, το πλάτος και το ύψος του είναι όλα ίσα μεταξύ τους και ίσα με α, ισχύει: V κύβου = α 3 Ο όγκος ενός κυλίνδρου είναι ίσος με το εμβαδόν της βάσης του επί το ύψος του, δηλαδή: V κυλίνδρου = π ρ 2 υ 176

21 Κεφάλαιο 2: Γεωμετρία ΣΥΝΟΠΤΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΟΛΙΚΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΥ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΣΤΕΡΕΟ ΟΝΟΜΑ ΣΤΕΡΕΟΥ ΤΥΠΟΣ ΟΛΙΚΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΤΥΠΟΣ ΟΓΚΟΥ Ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο 2 α β (2α 2β) γ α β γ Κύβος 6 α α 6 α 2 α α α α 3 Κύλινδρος 2 π ρ 2 2 π ρ υ π ρ 2 υ EΦΑΡΜΟΓΕΣ 1. Μια δεξαμενή γεμίζει από μια παροχή νερού σε 2 ώρες. Αν η παροχή αυτή ρίχνει στη δεξαμενή 40 κ.εκ. το λεπτό, ποια είναι η χωρητικότητα της δεξαμενής σε λίτρα; ΛΥΣΗ Εφόσον η παροχή είναι 40 κ.εκ. το λεπτό, σε 2 ώρες (δηλαδή σε 120 λεπτά) θα έχει ρίξει στη δεξαμενή: κ.εκ. 177

22 Μαθηματικά για Διαγωνισμούς Μετατρέπουμε σε λίτρα την πιο πάνω ποσότητα κι έχουμε: : λίτρα. Άρα 48 λίτρα είναι η χωρητικότητα της δεξαμενής. 2. Κατασκευάσαμε από 18 ορθογώνια παραλληλεπίπεδα μήκους 2 εκ., πλάτους 3 εκ. και ύψους 2 εκ. έναν μεγάλο κύβο. Ποιος είναι ο όγκος του κύβου; Ποιο το εμβαδόν της βάσης; ΛΥΣΗ Όπως βλέπουμε στο διπλανό σχήμα, για να μπορέσουμε να σχηματίσουμε με τα ορθογώνια 2 παραλληλεπίπεδα κύβο, θα πρέπει να τοποθετήσουμε τρεις σει ρές με ανά τρία στο μήκος και ανά δύο στο πλάτος 3 ορθογώνια παραλληλεπίπεδα Ο κύβος θα έχει ακμή μήκους 6 εκ. Επομένως θα έχει όγκο V κ.εκ. Το εμβαδόν της βάσης του είναι Ε τ.εκ., διότι η βάση είναι τετράγωνο πλευράς 6 εκ. Βρίσκουμε τον όγκο καθενός από τα 18 ορθογώνια παραλληλεπίπεδα. Όγκος μικρού παραλληλεπιπέδου: κ.εκ. Βρίσκουμε τον όγκο του κύβου προσθέτοντας τους όγκους των 18 ορθογώνιων παραλληλεπιπέδων, δηλαδή V κ.εκ. 216 κ.εκ. Παρατηρούμε ότι, όπως έχουν τοποθετηθεί τα ορθογώνια παραλληλεπίπεδα, η βάση σχηματίζει ένα τετράγωνο πλευράς 6 εκ. Επομένως το εμβαδόν της βάσης του είναι Ε τ.εκ. 3. Να βρείτε το ύψος ενός κυλίνδρου που έχει όγκο 84,78 κ.εκ. και ακτίνα βάσης 3 εκ. ΛΥΣΗ Από τον τύπο που δίνει τον όγκο κυλίνδρου έχουμε: V π ρ 2 υ οπότε 3, υ 84,78, δηλαδή 28,26 υ 84,78, επομένως υ 84,78 : 28,26, άρα υ 3 εκ. 178

23 Κεφάλαιο 2: Γεωμετρία ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Πρόβλημα 143 Πόσα μικρά παραλληλεπίπεδα χρειάζεται η Αθηνά, για να κατασκευάσει τον μεγάλο κύβο που φαίνεται στο σχήμα; Πρόβλημα 144 Πόσοι κύβοι διαστάσεων 2 εκ. 2 εκ. 2 εκ. (μικρός κύβος) χρειάζονται για να φτιάξουμε έναν κύβο διαστάσεων 8 εκ. 8 εκ. 8 εκ. (μεγάλος κύβος); 2 εκ. Πρόβλημα 145 Πόσα κυβάκια χρειάζονται, για να κατασκευαστεί το στερεό που φαίνεται στο διπλανό σχήμα; Πρόβλημα 146 Δίνεται ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο του οποίου η βάση είναι τετράγωνο, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Ο όγκος του παραλληλεπιπέδου είναι 640 κυβικά μέτρα και το ύψος του είναι 10 μέτρα. Θέλουμε να βάψουμε την εξωτερική επιφάνεια του στερεού. Πόσα ευρώ θα κοστίσει το βάψιμο, αν γνωρίζουμε ότι, για να βάψουμε ένα τετραγωνικό μέτρο, χρειαζόμαστε 2 ; 179

24 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Άσκηση 001 Ποια από τις πέντε επιλογές είναι ο μεγαλύτερος αριθμός; Α. 5 4 Β. 2 9 Γ Δ E. 7 3 Άσκηση 002 Η αγαπημένη σου εκπομπή στην τηλεόραση αρχίζει στις 20:00. Ανακοινώνεται από την τηλεόραση ότι θα αρχίσει σε 12 λεπτά. Τι ώρα ακριβώς έγινε η ανακοίνωση; Α. 7:30 μ.μ. Β. 8:00 μ.μ. Γ. 8:36 μ.μ. Δ. 8:12 μ.μ. Ε. 7:48 μ.μ. Άσκηση 003 Ποιο κλάσμα είναι μεγαλύτερο; A. Ένα πέμπτο Β. Ένα έκτο Γ. Ένα έβδομο Δ. Ένα όγδοο Ε. Ένα ένατο Άσκηση 004 Ποια από τις διαφορές είναι η μεγαλύτερη; Α Β Γ Δ Ε Άσκηση 005 Στο βιβλιοπωλείο ένα μολύβι κοστίζει 8 λεπτά και μια γόμα κοστίζει 7 λεπτά. Αν η Κατερίνα αγοράσει 9 μολύβια και 8 γόμες και δώσει ένα χαρτονόμισμα των 5, πόσα ευρώ ρέστα θα πάρει; Α. 2,63 Β. 3,65 Γ. 4,72 Δ. 3,72 Ε. 2,75 Άσκηση 006 Το άθροισμα είναι: Α. 5 2 Β. 4 2 Γ. 2 2 Δ. 1 2 Ε. 6 2 Άσκηση 007 Ποια από τις ακόλουθες διαιρέσεις αφήνει το μικρότερο υπόλοιπο; Α Β. 503 Γ. 604 Δ. 75 Ε Άσκηση 008 Ποιο από τα ακόλουθα κλάσματα είναι μεγαλύτερο; A. Πέντε δέκατα Β. Πέντε ένατα Γ. Τέσσερα όγδοα Δ. Τρία έκτα Ε. Δύο τέταρτα 203

25 Μαθηματικά για Διαγωνισμούς Άσκηση 009 Ο πατέρας του πατέρα μου έχει μια κόρη. Η αδελφή της είναι: Α. αδελφή μου Β. γιαγιά μου Γ. μητέρα μου Δ. ξαδέλφη μου Ε. θεία μου Άσκηση 010 Ποιο από τα πιο κάτω κομμάτια της πίτσας είναι το μεγαλύτερο; A. 1 B. 5 Γ Δ. 1 2 Ε. 3 5 Άσκηση 011 Το γινόμενο είναι: A B Γ Δ Ε Άσκηση 012 Ποιο από τα κλάσματα είναι ίσο με το κλάσμα 3 4 ; A. 4 8 Β. 5 8 Γ. 6 8 Δ. 7 8 Ε. 3 8 Άσκηση 013 Να επιλέξετε ένα από τα πέντε μεικτά κλάσματα που είναι ίσο με το κλάσμα 8 3 : A. 2 Β. 2 Γ. 2 Δ. 3 Ε Άσκηση 014 Ποιος από τους αριθμούς είναι ο μικρότερος; Α. 1 3 Β Γ Δ Ε. 0,33 Άσκηση 015 Ποιο από τα κλάσματα έχει τη μεγαλύτερη αξία; Α Β. 5 9 Γ. 5 8 Δ. 5 7 Ε. 5 6 Άσκηση 016 Η Ειρήνη γιόρτασε προχθές τα γενέθλιά της. Αύριο είναι Παρασκευή. Ποια μέρα γιόρτασε η Ειρήνη τα γενέθλιά της; Α. Δευτέρα Β. Τρίτη Γ. Τετάρτη Δ. Πέμπτη Ε. Παρασκευή 204

11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης;

11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης; 10. Τι ονομάζουμε Ευκλείδεια διαίρεση και τέλεια διαίρεση; Όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθμοί π και υ, έτσι ώστε να ισχύει: Δ = δ π + υ. Ο αριθμός Δ λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πίνακας περιεχομένων Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 2 Κεφάλαιο 2 ο - ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ... 6 Κεφάλαιο 3 ο - ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 10 ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 1 Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Mαρία Πριοβόλου. Οδηγός προετοιμασίας. για τα Πρότυπα Πειραματικά Γυμνάσια. Μαθηματικά

Mαρία Πριοβόλου. Οδηγός προετοιμασίας. για τα Πρότυπα Πειραματικά Γυμνάσια. Μαθηματικά Mαρία Πριοβόλου Οδηγός προετοιμασίας για τα Πρότυπα Πειραματικά Γυμνάσια Μαθηματικά Θέση υπογραφής δικαιούχου δικαιωμάτων πνευματικής ιδιοκτησίας, εφόσον η υπογραφή προβλέπεται από τη σύμβαση. Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Οι Φυσικοί Αριθμοί. Παρατήρηση: Δεν στρογγυλοποιούνται αριθμοί τηλεφώνων, Α.Φ.Μ., κωδικοί αριθμοί κλπ. Πρόσθεση Φυσικών αριθμών

Οι Φυσικοί Αριθμοί. Παρατήρηση: Δεν στρογγυλοποιούνται αριθμοί τηλεφώνων, Α.Φ.Μ., κωδικοί αριθμοί κλπ. Πρόσθεση Φυσικών αριθμών Οι Φυσικοί Αριθμοί Γνωρίζουμε ότι οι αριθμοί είναι ποσοτικές έννοιες και για να τους γράψουμε χρησιμοποιούμε τα αριθμητικά σύμβολα. Οι αριθμοί μετρούν συγκεκριμένα πράγματα και φανερώνουν το πλήθος της

Διαβάστε περισσότερα

Mαρία Πριοβόλου. Οδηγός προετοιμασίας. για τα Πρότυπα Πειραματικά Γυμνάσια. Μαθηματικά

Mαρία Πριοβόλου. Οδηγός προετοιμασίας. για τα Πρότυπα Πειραματικά Γυμνάσια. Μαθηματικά Mαρία Πριοβόλου Οδηγός προετοιμασίας για τα Πρότυπα Πειραματικά Γυμνάσια Μαθηματικά Θέση υπογραφής δικαιούχου δικαιωμάτων πνευματικής ιδιοκτησίας, εφόσον η υπογραφή προβλέπεται από τη σύμβαση. Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά ΣT Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά ΣT Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Γρήγορα τεστ Μαθηματικά ΣT Δημοτικού 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΡΗΓΟΡΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΣΤ Δημοτικού No 1 Γιάννης Ζαχαρόπουλος Διόρθωση: Αντωνία Κιλεσσοπούλου 201, Εκδόσεις Κυριάκος

Διαβάστε περισσότερα

Οι φυσικοί αριθμοί. Παράδειγμα

Οι φυσικοί αριθμοί. Παράδειγμα Οι φυσικοί αριθμοί Φυσικοί Αριθμοί Είναι οι αριθμοί με τους οποίους δηλώνουμε πλήθος ή σειρά. Για παράδειγμα, φυσικοί αριθμοί είναι οι: 0, 1,, 3,..., 99, 100,...,999, 1000, 0... Χωρίζουμε τους Φυσικούς

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΕΙΣ ( 1 ) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις Α = 3 + 23 + 19 Β = 8 +13 +45-7 Γ = 3 + 0 Α = 3+23 +19 =

Διαβάστε περισσότερα

Λέγονται οι αριθμοί που βρίσκονται καθημερινά στη φύση, γύρω μας. π.χ. 1 μήλο, 2 παιδιά, 5 αυτοκίνητα, 100 πρόβατα, δέντρα κ.λ.π.

Λέγονται οι αριθμοί που βρίσκονται καθημερινά στη φύση, γύρω μας. π.χ. 1 μήλο, 2 παιδιά, 5 αυτοκίνητα, 100 πρόβατα, δέντρα κ.λ.π. Λέγονται οι αριθμοί που βρίσκονται καθημερινά στη φύση, γύρω μας. π.χ. 1 μήλο, 2 παιδιά, 5 αυτοκίνητα, 100 πρόβατα, 1.000 δέντρα κ.λ.π. Εκτός από πλήθος οι αριθμοί αυτοί μπορούν να δηλώσουν και τη θέση

Διαβάστε περισσότερα

Α Γυμνασίου, Μέρο Α : Αριθμητική Άλγεβρα, Κεφάλαιο 1 - Οι φυσικοί αριθμοί

Α Γυμνασίου, Μέρο Α : Αριθμητική Άλγεβρα, Κεφάλαιο 1 - Οι φυσικοί αριθμοί Α Γυμνασίου, Μέρο Α : Αριθμητική Άλγεβρα, Κεφάλαιο 1 - Οι φυσικοί αριθμοί Μαθηματικά Α Γυμνασίου Μέρο Α - Κεφάλαιο 1 Α. 1.2. Οι αριθμοί 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6... 98, 99, 100... 1999, 2000, 2001,... ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά Ε Δημοτικού E 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά Ε Δημοτικού E 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Γρήγορα τεστ E 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΡΗΓΟΡΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - Ε Δημοτικού No 1 Γιάννης Ζαχαρόπουλος Διόρθωση: Αντωνία Κιλεσσοπούλου 2013, Εκδόσεις Κυριάκος Παπαδόπουλος Α.Ε., Γιάννης

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Β Γυμνασίου

Μαθηματικά Β Γυμνασίου ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ Μαθηματικά Β Γυμνασίου Κριτήρια Αξιολόγησης Θέση υπογραφής δικαιούχου δικαιωμάτων πνευματικής ιδιοκτησίας, εφόσον η υπογραφή προβλέπεται από τη σύμβαση. «Το παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ EΞΙΣΩΣΕΙΣ...47 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ EΞΙΣΩΣΕΙΣ...47 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ...11 1.1 Βασικές θεωρητικές γνώσεις... 11 1.. Λυμένα προβλήματα... 19 1. Προβλήματα προς λύση... 4 1.4 Απαντήσεις προβλημάτων Πραγματικοί αριθμοί... 0 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Δημήτρης Διαμαντίδης, Γεωργία Ευθυμίου, Αναστάσιος Κουπετώρης, Ιωάννης Σταμπόλας. Άλγεβρα Α Λυκείου B ΤΟΜΟΣ

Δημήτρης Διαμαντίδης, Γεωργία Ευθυμίου, Αναστάσιος Κουπετώρης, Ιωάννης Σταμπόλας. Άλγεβρα Α Λυκείου B ΤΟΜΟΣ Δημήτρης Διαμαντίδης, Γεωργία Ευθυμίου, Αναστάσιος Κουπετώρης, Ιωάννης Σταμπόλας Άλγεβρα Α Λυκείου B ΤΟΜΟΣ Θέση υπογραφής δικαιούχου δικαιωμάτων πνευματικής ιδιοκτησίας, εφόσον η υπογραφή προβλέπεται από

Διαβάστε περισσότερα

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή Το βιβλίο αυτό έχει διπλό σκοπό: Να σε βοηθήσει στη γρήγορη, άρτια και αποτελεσματική προετοιμασία του καθημερινού σχολικού μαθήματος. Να σου δώσει όλα τα απαραίτητα εφόδια,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΡΟΣ 1ο : ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται φυσικοί, ποια ιδιότητα έχουν και πως χωρίζονται; Οι αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457.

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457. 1. Ένα κεφάλαιο ενός βιβλίου ξεκινάει από τη σελίδα 32 και τελειώνει στη σελίδα 75. Από πόσες σελίδες αποτελείται το κεφάλαιο; Αν το κεφάλαιο ξεκινάει από τη σελίδα κ και τελειώνει στη σελίδα λ, από πόσες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α.1. 1) Ποιοι φυσικοί αριθμοί λέγονται άρτιοι και ποιοι περιττοί; ( σ. 11 ) 2) Από τι καθορίζεται η αξία ενός ψηφίου σ έναν φυσικό αριθμό; ( σ. 11 ) 3) Τι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα.

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. (2) Ποιοι είναι οι άρτιοι και ποιοι οι περιττοί αριθμοί; Γράψε από τρία παραδείγματα.

Διαβάστε περισσότερα

Ύλη εξετάσεων Κλάσματα Δεκαδικοί Δυνάμεις Ρητοί Αριθμοί Διαιρετότητα ΕΚΠ ΜΚΔ...

Ύλη εξετάσεων Κλάσματα Δεκαδικοί Δυνάμεις Ρητοί Αριθμοί Διαιρετότητα ΕΚΠ ΜΚΔ... ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ύλη εξετάσεων...2 1. Κλάσματα...3 2. Δεκαδικοί...8 3. Δυνάμεις...11 4. Ρητοί Αριθμοί...13. Διαιρετότητα...16 6. ΕΚΠ ΜΚΔ...17 7. Εξισώσεις- υστήματα...19 8. Αναλογίες - Απλή μέθοδος των τριών...2

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Γυμνάσια

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Γυμνάσια ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 1 (ΜΟΝΑΔΕΣ 40) α) Ο αριθμός 1.047 έχει διαιρέτη το 3; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. β) Να βάλετε

Διαβάστε περισσότερα

Οδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΤΑΞΗ Συμπεράσματα Ενοτήτων

Οδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΤΑΞΗ Συμπεράσματα Ενοτήτων Οδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΤΑΞΗ Συμπεράσματα Ενοτήτων Πηγή πληροφόρησης: e-selides ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΤΑΞΗΣ 1η ΕΝΟΤΗΤΑ (ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ) Δεν μπορώ να βρω το ζητούμενο ενός προβλήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΝΝΗΣ ΠΑΠΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΠΑΠΑΘΑΝΑΣΙΟΥ. Γράφω καλά. στο τεστ των. Μαθηματικών

ΓΙΑΝΝΗΣ ΠΑΠΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΠΑΠΑΘΑΝΑΣΙΟΥ. Γράφω καλά. στο τεστ των. Μαθηματικών ΓΙΑΝΝΗΣ ΠΑΠΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΠΑΠΑΘΑΝΑΣΙΟΥ Γράφω καλά στο τεστ των Μαθηματικών E, ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ Ανακεφαλαίωση της θεωρίας με πίνακες και παραδείγματα Διαγωνίσματα Αναλυτικές απαντήσεις με έμφαση στα δύσκολα

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτική Οργάνωση Ενοτήτων. E Τάξη. Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1

Ενδεικτική Οργάνωση Ενοτήτων. E Τάξη. Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1 Ενδεικτική Οργάνωση Ενοτήτων E Τάξη Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1 Αρ3.1 Απαγγέλουν, διαβάζουν, γράφουν και αναγνωρίζουν ποσότητες αριθμών μέχρι το 1 000 000 000 8 Επανάληψη

Διαβάστε περισσότερα

Στ Τάξη. Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1

Στ Τάξη. Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1 Ενδεικτική Οργάνωση Ενοτήτων Στ Τάξη Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1 15 Αρ3.1 Απαγγέλουν, διαβάζουν, γράφουν και αναγνωρίζουν ποσότητες αριθμών Επανάληψη μέχρι το 1 000

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ Α.1.2. ΠΡΑΞΕΙΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ Α.1.2. ΠΡΑΞΕΙΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ Α.1.2. ΠΡΑΞΕΙΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ / / ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 12+ 7 = 19 Οι αριθμοί 12 και 7 ονομάζονται ενώ το 19 ονομάζεται.. 3+5 =, 5+3 =...

Διαβάστε περισσότερα

Μαρία Πριοβόλου ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Μαρία Πριοβόλου ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Μαρία Πριοβόλου ΔΙΑΓΩΝΙΣΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Το παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις της ελληνικής νομοθεσίας (Ν. 2121/1993, όπως έχει τροποποιηθεί και ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα Μάθημα: Μαθηματικά Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών (1 ο, 2 ο, 3 ο Κεφάλαιο) 11-10-2017, 18-10-2017 Διδάσκουσα: Αριστούλα Κοντογιάννη ΩΡΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία

Διαβάστε περισσότερα

MAΘΗΜΑΤΙΚΑ. κριτήρια αξιολόγησης. Κωνσταντίνος Ηλιόπουλος A ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

MAΘΗΜΑΤΙΚΑ. κριτήρια αξιολόγησης. Κωνσταντίνος Ηλιόπουλος A ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ A ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κωνσταντίνος Ηλιόπουλος κριτήρια αξιολόγησης MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Διαγωνίσματα σε κάθε μάθημα και επαναληπτικά σε κάθε κεφάλαιο Διαγωνίσματα σε όλη την ύλη για τις τελικές εξετάσεις Αναλυτικές απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα A Γυμνασιου

Μαθηματικα A Γυμνασιου Μαθηματικα A Γυμνασιου Θεωρια & παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 45 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 4 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΟΡΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Κάθε φυσικός αριθμός έχει έναν επόμενο αριθμό. Κάθε φυσικός αριθμός (εκτός από το 0) έχει έναν προηγούμενο φυσικό αριθμό.

Κάθε φυσικός αριθμός έχει έναν επόμενο αριθμό. Κάθε φυσικός αριθμός (εκτός από το 0) έχει έναν προηγούμενο φυσικό αριθμό. A.1.1 Φυσικοί αριθμοί Διάταξη φυσικών Στρογγυλοποίηση Φυσικοί αριθμοί OÚÈÛÌfi 1. Φυσικοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί 0, 1, 2, 3,... και συμβολίζονται με το γράμμα Ν (το οποίο είναι το αρχικό γράμμα της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ. Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ. Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ 1)Ποιοι αριθμοί ονομάζονται άρτιοι και ποιοι περιττοί ; Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι που δεν διαιρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Όταν οι αριθμοί είναι ομόσημοι Βάζουμε το κοινό πρόσημο και προσθέτουμε

Όταν οι αριθμοί είναι ομόσημοι Βάζουμε το κοινό πρόσημο και προσθέτουμε Κανόνες των προσήμων Στην πρόσθεση Όταν οι αριθμοί είναι ομόσημοι Βάζουμε το κοινό πρόσημο και προσθέτουμε (+) και (+) κάνει (+) + + 3 = +5 (-) και (-) κάνει (-) - - 3 = -5 Όταν οι αριθμοί είναι ετερόσημοι

Διαβάστε περισσότερα

Eλευθέριος Πρωτοπαπάς ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Γυμνασίου

Eλευθέριος Πρωτοπαπάς ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Γυμνασίου Eλευθέριος Πρωτοπαπάς ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Θέση υπογραφής δικαιούχου δικαιωμάτων πνευματικής ιδιοκτησίας, εφόσον η υπογραφή προβλέπεται από τη σύμβαση. Το παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται

Διαβάστε περισσότερα

Αρβανιτίδης Θεόδωρος, - Μαθηματικά Ε

Αρβανιτίδης Θεόδωρος,  - Μαθηματικά Ε Δεκαδικά κλάσματα Δεκαδικοί αριθμοί Μάθημα 7 ο Σε κάθε κλάσμα έχουμε : όροι του κλάσματος : αριθμητής παρονομαστής πόσα ίσα μέρη της ακέραιης μονάδας πήρα πόσα ίσα μέρη χώρισα την ακέραιη μονάδα Η κλασματική

Διαβάστε περισσότερα

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της.

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της. ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Α.1.2 1. Οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών αριθμών είναι οι εξής : Αντιμεταθετική ιδιότητα π.χ. α+β=β+α Προσετεριστική ιδιότητα π.χ. α+β+γ=(α+β)+γ=α+(β+γ) 2.Η πραξη της αφαίρεσης

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Αρβανιτίδης Θεόδωρος, - Μαθηματικά Ε

Αρβανιτίδης Θεόδωρος,  - Μαθηματικά Ε Πρόσθεση Φυσικών Αριθμών Μάθημα 5 ο Για να προσθέσω φυσικούς αριθμούς πρέπει να προσθέσω τις μονάδες των αριθμών αυτών, μετά τις δεκάδες των αριθμών, μετά τις εκατοντάδες κλπ. Η πρόσθεση φυσικών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ σε word! ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΤΣΟΛΚΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ σε word! ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΤΣΟΛΚΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ σε word! ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΤΣΟΛΚΑΣ Ένα «ανοικτό» αρχείο, δηλαδή επεξεργάσιμο που όλοι μπορούν να συμμετέχουν είτε προσθέτοντας είτε διορθώνοντας υλικό. Μετά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 6 1) Να εκφράσετε τον αριθμό 48 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με δενδροδιάγραμμα. 2) Να συγκρίνετε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά Ε Δημοτικού E 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά Ε Δημοτικού E 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Γρήγορα τεστ E 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΡΗΓΟΡΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - Ε Δημοτικού No 1 Γιάννης Ζαχαρόπουλος Διόρθωση: Αντωνία Κιλεσσοπούλου 2013, Εκδόσεις Κυριάκος Παπαδόπουλος Α.Ε., Γιάννης

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΙΟΡΤΕΣ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ)

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΙΟΡΤΕΣ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ) ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΙΟΡΤΕΣ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ) 1. Ένα κεφάλαιο ενός βιβλίου ξεκινάει από τη σελίδα 32 και τελειώνει στη σελίδα 75. Από πόσες σελίδες αποτελείται το κεφάλαιο; Αν το κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο Υπενθύμιση Δ τάξης Παιχνίδια στην κατασκήνωση Συγκρίνω δυο αριθμούς για να βρω αν είναι ίσοι ή άνισοι. Στην περίπτωση που είναι άνισοι μπορώ να βρω ποιος είναι μεγαλύτερος (ή μικρότερος). Ανάμεσα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών 2 Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Προσθετέοι 18+17=35 α Προσθετέοι + β = γ Άθοι ρ σμα Άθοι ρ σμα 13 + 17 = 17 + 13 Πρόσθεση φυσικών αριθμών Πρόσθεση είναι η πράξη με την οποία από

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων 2016-2017 Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Περιεχόμενα Στόχοι Πηγή Υλικού 3.1 Αριθμοί Οι μαθητές πρέπει: Σχολικά βιβλία Ε και ΣΤ Φυσικοί, Δεκαδικοί, μετρήσεις Να μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

Α.2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ

Α.2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΚΛΑΣΜΑΤΑ Α.. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΟ Αν ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι μεγαλύτερος από τον παρανομαστή, τότε το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το. Αν ο αριθμητής

Διαβάστε περισσότερα

Όλες οι απαντήσεις. Μαθηματικά Στ Δημοτικού

Όλες οι απαντήσεις. Μαθηματικά Στ Δημοτικού Όλες οι απαντήσεις Μαθηματικά Στ Δημοτικού ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Όλες οι απαντήσεις Μαθηματικά Στ Δημοτικού Σειρά: Τα εκπαιδευτικά μου βιβλία / Δημοτικό / Μαθηματικά Γιάννης Ζαχαρόπουλος, Όλες οι απαντήσεις:

Διαβάστε περισσότερα

Σοφία Κ. Αδάµου. Τα Μαθηµατικά µου. Για παιδιά προσχολικής και σχολικής ηλικίας

Σοφία Κ. Αδάµου. Τα Μαθηµατικά µου. Για παιδιά προσχολικής και σχολικής ηλικίας Σοφία Κ. Αδάµου Τα Μαθηµατικά µου Για παιδιά προσχολικής και σχολικής ηλικίας 1 Θέση υπογραφής δικαιούχου δικαιωµάτων πνευµατικής ιδιοκτησίας, εφόσον η υπογραφή προβλέπεται από τη σύµβαση. Το παρόν έργο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά ΣT Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά ΣT Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Γρήγορα τεστ Μαθηματικά ΣT Δημοτικού 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΡΗΓΟΡΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΣΤ Δημοτικού No 1 Γιάννης Ζαχαρόπουλος Διόρθωση: Αντωνία Κιλεσσοπούλου 201, Εκδόσεις Κυριάκος

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Οι Αριθμοί. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Οι Αριθμοί. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 1: Οι Αριθμοί Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι κλάσμα; Κλάσμα είναι ένα μέρος μιας ποσότητας. ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κλάσμα είναι ένας λόγος δύο αριθμών(fraction is a ratio of two whole numbers) Πως εκφράζετε συμβολικά ένα κλάσμα; Εκφράζετε

Διαβάστε περισσότερα

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο Υπενθύμιση Δ τάξης Παιχνίδια στην κατασκήνωση Συγκρίνω δυο αριθμούς για να βρω αν είναι ίσοι ή άνισοι. Στην περίπτωση που είναι άνισοι μπορώ να βρω ποιος είναι μεγαλύτερος (ή μικρότερος). Ανάμεσα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Όταν μπροστα" (αριστερα") απο" ε"ναν αριθμο" γραφει" το συ"μβολο + το"τε ο αριθμο"ς

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Α Γυμνασίου, Μέρο Α : Αριθμητική Άλγεβρα, Κεφάλαιο 2 - Κλάσματα

Α Γυμνασίου, Μέρο Α : Αριθμητική Άλγεβρα, Κεφάλαιο 2 - Κλάσματα Α Γυμνασίου, Μέρο Α : Αριθμητική Άλγεβρα, Κεφάλαιο 2 - Κλάσματα Μαθηματικά Α Γυμνασίου Μέρο Α - Κεφάλαιο 2 Α. 2.1. Όταν ένα μέγεθο ή ένα σύνολο ομοειδών αντικειμένων χωρισθεί σε ν ίσα μέρη, το κάθε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά A Γυμνασίου

Μαθηματικά A Γυμνασίου Μαθηματικά A Γυμνασίου ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Μέρος Α - Άλγεβρα 1. Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; (σελ. 15) 2. Πως ορίζεται η πράξη της αφαίρεσης στους φυσικούς και πότε αυτή μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

6 Φεβρουαρίου 2016, Λεμεσός

6 Φεβρουαρίου 2016, Λεμεσός 6 Φεβρουαρίου 2016, Λεμεσός Τα ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ περιγράφει: τα Μαθηματικά που αναμένουμε να κατανοήσουν οι μαθητές μέχρι το τέλος της σχολικής τους εκπαίδευσης, από το Νηπιαγωγείο μέχρι

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α Γυμνασίου

Μαθηματικά Α Γυμνασίου Μαθηματικά Α Γυμνασίου Επαναληπτικές ασκήσεις Στέλιος Μιχαήλογλου Ασκήσεις. Δίνεται η παράσταση 7 : α) Να αποδείξετε ότι Α=8. β) Ο αριθμός Α είναι πρώτος ή σύνθετος; γ) Να αναλύσετε τον αριθμό Α σε γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Τεύχος Α. Φύλλα εργασίας. Για παιδιά ΣΤ ΗΜΟΤΙΚΟΥ. Συµπληρωµατικές ασκήσεις & Προβλήµατα Ανάλυση θεωρίας µε ασκήσεις και παραδείγµατα

Μαθηµατικά Τεύχος Α. Φύλλα εργασίας. Για παιδιά ΣΤ ΗΜΟΤΙΚΟΥ. Συµπληρωµατικές ασκήσεις & Προβλήµατα Ανάλυση θεωρίας µε ασκήσεις και παραδείγµατα Παίζω, Σκέφτοµαι, Μαθαίνω Φύλλα εργασίας Μαθηµατικά Τεύχος Α Για παιδιά ΣΤ ΗΜΟΤΙΚΟΥ Συµπληρωµατικές ασκήσεις & Προβλήµατα Ανάλυση θεωρίας µε ασκήσεις και παραδείγµατα 116 σελίδες Περιεχόµενα 1η ενότητα:

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγήτρια : Ιωάννα Ερωτοκρίτου τηλ:

Καθηγήτρια : Ιωάννα Ερωτοκρίτου τηλ: ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ύλη εξετάσεων...2 1. Κλάσματα...3 2. Δεκαδικοί...8 3. Δυνάμεις...11 4. Ρητοί Αριθμοί...13 5. Διαιρετότητα...16 6. ΕΚΠ ΜΚΔ...17 7. Εξισώσεις- υστήματα...19 8. Αναλογίες - Απλή μέθοδος των τριών...25

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Διαιρετότητα Μαθαίνω Πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθμού α είναι όλοι οι αριθμοί που προκύπτουν από τον πολλαπλασιασμό του με όλους τους φυσικούς αριθμούς, δηλαδή οι αριθμοί: 0, α, 2 α, 3 α, 4 α,... Το μηδέν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο : ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Όταν ένα μέγεθος ή ένα σύνολο χωριστεί σε ν ίσα μέρη, το κάθε ένα από αυτά ονομάζεται.. και συμβολίζεται : 2. Κάθε τμήμα του μεγέθους ή του συνόλου αντικειμένων,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ Α': ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: Αλγεβρικές παραστάσεις Παράγραφος A..: Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) Β: Πράξεις με μονώνυμα Τα σημαντικότερα σημεία

Διαβάστε περισσότερα

Xαράλαμπος Παπαθεοδώρου Φυσική Γ Λυκείου

Xαράλαμπος Παπαθεοδώρου Φυσική Γ Λυκείου Xαράλαμπος Παπαθεοδώρου Φυσική Γ Λυκείου Ομάδων Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Υγείας Θέση υπογραφής δικαιούχου δικαιωμάτων πνευματικής ιδιοκτησίας, εφόσον η υπογραφή προβλέπεται από τη σύμβαση.

Διαβάστε περισσότερα

Στόχοι ΑΠΣ για τα μαθηματικά της Ε τάξης

Στόχοι ΑΠΣ για τα μαθηματικά της Ε τάξης Στόχοι ΑΠΣ για τα μαθηματικά της Ε τάξης ΘΕΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΑ ΣΤΟΧΟΙ ΧΡΟΝΟΣ Αριθμοί και πράξειςακέραιοι 2, 3, 4, 5 2. να μπορούν να εκφράζουν αριθμούς μέχρι και το 1.000.000 με διάφορους τρόπους

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία και ασκήσεις στα κλάσματα

Θεωρία και ασκήσεις στα κλάσματα Θεωρία Θεωρία και ασκήσεις στα κλάσματα. Πως λέγονται οι όροι ενός κλάσματος. Ο αριθμός που βρίσκεται πάνω από την γραμμή του κλάσματος λέγεται αριθμητής ενώ ο αριθμός που βρίσκεται κάτω από αυτήν λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α Γυμνασίου. Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας

Μαθηματικά Α Γυμνασίου. Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας Μαθηματικά Α Γυμνασίου Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας Επαναληπτικές Ερωτήσεις Θεωρίας 1. Τι ονομάζεται Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο ή περισσότερων αριθμών; Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο

Διαβάστε περισσότερα

Η κλασματική γραμμή είναι η πράξη της διαίρεσης.

Η κλασματική γραμμή είναι η πράξη της διαίρεσης. όροι του κλάσματος : αριθμητής παρονομαστής πόσα ίσα μέρη της ακέραιης μονάδας πήρα πόσα ίσα μέρη χώρισα την ακέραιη μονάδα Η κλασματική γραμμή είναι η πράξη της διαίρεσης. Τα κόκκινα κομμάτια αποτελούν

Διαβάστε περισσότερα

3, ( 4), ( 3),( 2), 2017

3, ( 4), ( 3),( 2), 2017 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ 1 ΜΕΡΟΣ Α ΚEΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ)

ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Α ΜΕΡΟΣ- ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΡΩΤΗΣΗ 1 Ποιοι αριθμοί ονομάζονται πρώτοι και ποιοι σύνθετοι; Να δώσετε παραδείγματα. ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1 Όταν ένας αριθμός διαιρείται

Διαβάστε περισσότερα

5 ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά»

5 ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 3616532-3617784 - Fax: 3641025 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤ ΤΑΞΗΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ. Σάββατο, 8 Ιουνίου 2013

ΣΤ ΤΑΞΗΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ. Σάββατο, 8 Ιουνίου 2013 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Διεύθυνση: Προξένου Κορομηλά 51 Τ.Κ. 54622, Θεσσαλονίκη Τηλέφωνο και Fax 2310 285377 e-mail: emethes@otenet.gr http://www.emethes.gr ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Α σ κ ή σ ε ι ς γ ι α τ ι ς δ ι α κ ο π έ ς τ ω ν Χ ρ ι σ τ ο υ γ έ ν ν ω ν

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Α σ κ ή σ ε ι ς γ ι α τ ι ς δ ι α κ ο π έ ς τ ω ν Χ ρ ι σ τ ο υ γ έ ν ν ω ν ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α σ κ ή σ ε ι ς γ ι α τ ι ς δ ι α κ ο π έ ς τ ω ν Χ ρ ι σ τ ο υ γ έ ν ν ω ν () Στρογγυλοποίησε τον αριθμό 8.987. στις πλησιέστερες: (α) δ ε- κάδες, (β) εκατοντάδες, (γ) χιλιάδες,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Σχολική Χρονιά: Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Σχολική Χρονιά: Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ενότητα 1: Σύνολα 1. Με τη βοήθεια του πιο κάτω διαγράμματος να γράψετε με αναγραφή τα σύνολα: Ω A 5. 1. B Ω =. 6. 4. 3. 7. 8.. Από το διπλανό διάγραμμα, να γράψετε με αναγραφή τα σύνολα: 3. Δίνεται το

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Α ΤΑΞΗΣ

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Α ΤΑΞΗΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Α ΤΑΞΗΣ Το αναλυτικό πρόγραμμα που παρουσιάζουμε εδώ είναι μια πρόταση από περιεχόμενα που θα μπορούσαν να διδαχτούν στο σχολείο δεύτερης ευκαιρίας. Αυτό δεν σημαίνει ότι το πρόγραμμα

Διαβάστε περισσότερα

5ο Μάθημα ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΥ

5ο Μάθημα ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΥ 5ο Μάθημα ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΥ Μετρούμε αλλά και υπολογίζουμε Στο προηγούμενο μάθημα χρησιμοποιήσαμε το μέτρο, αλλά και άλλα όργανα με τα οποία μετρούμε το μήκος. Το σχήμα που μετρούμε με το μέτρο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ. Βαγγέλης. Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός.

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ. Βαγγέλης. Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός. 01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παρον φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

Αρβανιτίδης Θεόδωρος, - Μαθηματικά Ε

Αρβανιτίδης Θεόδωρος,  - Μαθηματικά Ε Μαθηματικά Ε Τεύχος 1οο ΑΡΒΑΝΙΤΙΔΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΣΠΥΡΙΔΩΝΙΔΗΣ ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΑΚΡΙΒΟΠΟΥΛΟΥΥ ΓΕΩΡΓΙΑ Μαθηματικά Ε Μαθηματικά Ε Υπενθύμιση Δ τάξης Ασκήσεις Μάθημα 1 ο 1. Να κάνεις τις προσθέσεις : 209 101 595 614

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Α' Γυμ. - Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρα-Γεωμετρία Άσκηση 1 Σημείωσε με Χ ποιοι από τους παρακάτω αριθμούς είναι Φυσικοί, Ακέραιοι ή/και Ρητοί: Αριθμοί Φυσικοί Ακέραιοι Ρητοί 0

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι η Ευκλείδια διαίρεση; Είναι η διαδικασία κατά την οποία όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε βρίσκουμε άλλους δύο φυσικούς αριθμούς π και υ,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί Αριθμοί - Η ευθεία των αριθμών

Ρητοί Αριθμοί - Η ευθεία των αριθμών ο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Θεσσαλονίκης Α Γυμνασίου Ρητοί Αριθμοί - Η ευθεία των αριθμών Ρητοί αριθμοί (ℚ ονομάζονται οι αριθμοί οι οποίοι μπορούν να εκφραστούν με ένα κλάσμα με ακέραιους όρους. Με

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1 ο Τα παρακάτω σχήματα έχουν χωριστεί σε ίσα τετράγωνα. Σε ποια από αυτά έχουμε γραμμοσκιάσει του σχήματος; Να κυκλώσεις το σωστό.

ΘΕΜΑ 1 ο Τα παρακάτω σχήματα έχουν χωριστεί σε ίσα τετράγωνα. Σε ποια από αυτά έχουμε γραμμοσκιάσει του σχήματος; Να κυκλώσεις το σωστό. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Επιτροπή ιαγωνισμού του περιοδικού «Ο μικρός Ευκλείδης» 10 ος Πανελλήνιος Μαθητικός ιαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» 4-3 - 2016 Για μαθητές της Ε Τάξης ημοτικού Ονοματεπώνυμο:.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΙΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί Α. 7. 1 1. Τι είναι τα πρόσημα και πως χαρακτηρίζονται οι αριθμοί από αυτά; Τα σύμβολα

Διαβάστε περισσότερα