Eλευθέριος Πρωτοπαπάς ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Γυμνασίου

Transcript

1

2

3 Eλευθέριος Πρωτοπαπάς ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

4 Θέση υπογραφής δικαιούχου δικαιωμάτων πνευματικής ιδιοκτησίας, εφόσον η υπογραφή προβλέπεται από τη σύμβαση. Το παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις της ελληνικής νομοθεσίας (Ν. 11/199, όπως έχει τροποποιηθεί και ισχύει σήμερα) και τις διεθνείς συμβάσεις περί πνευματικής ιδιοκτησίας. Απαγορεύεται απολύτως η άνευ γραπτής αδείας του εκδότη κατά οποιονδήποτε τρόπο ή μέσο (ηλεκτρονικό, μηχανικό ή άλλο) αντιγραφή, φωτοανατύπωση και εν γένει αναπαραγωγή, εκμίσθωση ή δανεισμός, μετάφραση, διασκευή, αναμετάδοση στο κοινό σε οποιαδήποτε μορφή και η εν γένει εκμετάλλευση του συνόλου ή μέρους του έργου. Εκδόσεις Πατάκη Βιβλία για την εκπαίδευση Ελευθέριος Πρωτοπαπάς, Μαθηματικά Β Γυμνασίου Υπεύθυνος έκδοσης: Νίκος Κύρος Διορθώσεις: Νάντια Κουτσουρούμπα Μακέτα εξωφύλλου: Δάφνη Μπέη DTP: Γιώργος Χατζησπύρος Φιλμ μοντάζ: Μαρία Ποινιού-Ρένεση Copyright Σ. Πατάκης ΑΕΕΔΕ (Εκδόσεις Πατάκη) και Ελευθέριος Πρωτοπαπάς, Αθήνα, 017 Πρώτη έκδοση από τις Εκδόσεις Πατάκη, Αθήνα, Αύγουστος 017 Κ.Ε.Τ. Α91 Κ.Ε.Π. 0/17 ISBN ΠΑΝΑΓΗ ΤΣΑΛΔΑΡΗ (ΠΡΩΗΝ ΠΕΙΡΑΙΩΣ) 8, 10 7 ΑΘΗΝΑ, ΤΗΛ.: , , , ΦΑΞ: ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΔΙΑΘΕΣΗ: ΕΜΜ. ΜΠΕΝΑΚΗ 16, ΑΘΗΝΑ, ΤΗΛ.: YΠOKΑΤΑΣΤΗMA BOPEIAΣ EΛΛAΔAΣ: KOPYTΣAΣ (TEPMA ΠONTOY ΠEPIOXH B KTEO), KAΛOXΩPI ΘEΣΣAΛONIKHΣ, Τ.Θ. 11, ΤΗΛ.: , , ΦΑΞ: Web site: info@patakis.gr, sales@patakis.gr

5 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Γράμμα προς τον μαθητή ΜΕΡΟΣ Α ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΠΟ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Θετικοί και αρνητικοί αριθμοί Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη ακέραιο Τυποποιημένη μορφή μεγάλων και μικρών αριθμών Ασκήσεις επανάληψης Κριτήριο αξιολόγησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: Εξισώσεις Ανισώσεις 1.1 Η έννοια της μεταβλητής Αλγεβρικές παραστάσεις Εξισώσεις α βαθμού Επίλυση τύπων Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων Ανισώσεις α βαθμού Ασκήσεις επανάληψης Κριτήρια αξιολόγησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: Πραγματικοί αριθμοί.1 Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Άρρητοι αριθμοί Πραγματικοί αριθμοί Προβλήματα Ασκήσεις επανάληψης Κριτήρια αξιολόγησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: Συναρτήσεις.1 Η έννοια της συνάρτησης Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Η συνάρτηση y αx Η συνάρτηση y αx β α. Η συνάρτηση y Η υπερβολή x Ασκήσεις επανάληψης Κριτήρια αξιολόγησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: Περιγραφική Στατιστική.1 Βασικές έννοιες της Στατιστικής: Πληθυσμός Δείγμα Γραφικές παραστάσεις Κατανομή συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων Ομαδοποίηση παρατηρήσεων Μέση τιμή Διάμεσος Ασκήσεις επανάληψης Κριτήριο αξιολόγησης ΜΕΡΟΣ Β ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: Εμβαδά επίπεδων σχημάτων Πυθαγόρειο θεώρημα 1.1 Εμβαδόν επίπεδης επιφάνειας

6 Μαθηματικά Β Γυμνασίου 1. Μονάδες μέτρησης επιφανειών Εμβαδά επίπεδων σχημάτων Πυθαγόρειο θεώρημα Ασκήσεις επανάληψης Κριτήρια αξιολόγησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: Τριγωνομετρία Διανύσματα.1 Εφαπτομένη οξείας γωνίας Ημίτονο και συνημίτονο οξείας γωνίας Μεταβολές ημιτόνου, συνημιτόνου και εφαπτομένης Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών 0, και Η έννοια του διανύσματος Άθροισμα και διαφορά διανυσμάτων Ανάλυση διανύσματος σε δύο κάθετες συνιστώσες Ασκήσεις επανάληψης Κριτήρια αξιολόγησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: Μέτρηση κύκλου.1 Εγγεγραμμένες γωνίες Κανονικά πολύγωνα Μήκος κύκλου Μήκος τόξου Εμβαδόν κυκλικού δίσκου Εμβαδόν κυκλικού τομέα Ασκήσεις επανάληψης Κριτήρια αξιολόγησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: Γεωμετρικά στερεά Μέτρηση στερεών.1 Ευθείες και επίπεδα στον χώρο Στοιχεία και εμβαδόν πρίσματος και κυλίνδρου Όγκος πρίσματος και κυλίνδρου Η πυραμίδα και τα στοιχεία της Ο κώνος και τα στοιχεία του Η σφαίρα και τα στοιχεία της Γεωγραφικές συντεταγμένες Ασκήσεις επανάληψης Κριτήριo αξιολόγησης ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Χρήσιμες οδηγίες Ερωτήσεις θεωρίας Ασκήσεις επανάληψης Ενδεικτικά θέματα γραπτών εξετάσεων Μαΐου Ιουνίου ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Υποδείξεις Απαντήσεις ερωτήσεων και ασκήσεων Απαντήσεις των ερωτήσεων και λύσεις και ασκήσεων του σχολικού βιβλίου Τριγωνομετρικοί αριθμοί

7 Γράμμα προς τον μαθητή (πώς πρέπει να διαβάσεις το βιβλίο αυτό) Φίλε μαθητή, Το βιβλίο αυτό που κρατάς στα χέρια σου μπορεί να γίνει ένα πολύτιμο εργαλείο για τη γνώση, την κατανόηση και την εμπέδωση των μαθηματικών της Β Γυμνασίου. Το διάβασμά σου πρέπει απαραιτήτως να χωρίζεται σε τρία στάδια: ΘΕΩΡΙΑ Η γνώση της θεωρίας είναι βασικό μέρος του διαβάσματος στα μαθηματικά. Μάθε, κατανόησε, εμπέδωσε τη θεωρία που υπάρχει στην αρχή κάθε ενότητας. Η ύπαρξη πολλών παραδειγμάτων θα σε βοηθήσει. ΜΟΡΦΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Όταν η θεωρία έχει γίνει πραγματικά κτήμα σου, μελέτησε και κατανόησε ποιες είναι οι διάφορες μορφές ασκήσεων που θα συναντήσεις. Σ αυτό θα σε βοηθήσουν οι λυμένες εφαρμογές που αντιστοιχούν στις διάφορες μορφές ασκήσεων. Λύσε και ξαναλύσε τις λυμένες εφαρμογές, έτσι ώστε να έχεις καταλάβει πλήρως πώς και γιατί γίνεται το καθετί. Μην προσπαθήσεις να αποστηθίσεις ασκήσεις!!! Τα μαθηματικά είναι σκέψη και λογική, όχι «παπαγαλία». ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ Εφόσον τα δύο προηγούμενα βήματα έχουν ολοκληρωθεί, λύσε τις ερωτήσεις κλειστού τύπου που υπάρχουν στο τέλος κάθε ενότητας. Στη συνέχεια λύσε τις ασκήσεις προς λύση χωρίς καμία βοήθεια. Προσπάθησε όσο το δυνατόν περισσότερο να αντιμετωπίσεις τα δύσκολα σημεία. Αν η λύση δεν προκύπτει, στο τέλος του βοηθήματος υπάρχουν υποδείξεις απαντήσεις για να βοηθηθείς ή να ελέγξεις τα αποτελέσματα που βρήκες. Μη λησμονείς ότι τα βήματα αυτά είναι απαραίτητα για να έχεις καταλάβει πλήρως τι διαπραγματεύεται κάθε ενότητα. Όταν θα πλησιάζει η ώρα των εξετάσεων, χρησιμοποίησε τον «ΟΔΗΓΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ» που υπάρχει στο βιβλίο. Οι ερωτήσεις θεωρίας θα σε βοηθήσουν να δεις αν γνωρίζεις τη θεωρία, οι ασκήσεις επανάληψης για να ελέγξεις την ικανότητά σου στην επίλυση ασκήσεων και τα ενδεικτικά θέματα των εξετάσεων για να έχεις μια εικόνα της λογικής του τελικού διαγωνίσματος. Θα ήθελα να ευχαριστήσω τη συνάδελφο Ευσταθίου Μαρία για τη συνδρομή της στη συγγραφή του πρώτου βοηθήματος για τα μαθηματικά της Β Γυμνασίου, μέρος του οποίου χρησιμοποιείται και σε αυτό το βοήθημα. Ο συγγραφέας Πρωτοπαπάς Ελευθέριος Σχόλια και παρατηρήσεις για την περαιτέρω βελτίωση του βιβλίου μπορείτε να αποστείλετε στην ηλεκτρονική διεύθυνση ή στις Εκδόσεις Πατάκη.

8

9 ΜΕΡΟΣ Α ΑΛΓΕΒΡΑ

10

11 Θετικοί και αρνητικοί αριθμοί Επανάληψη από την Α Γυμνασίου Θετικοί και αρνητικοί αριθμοί Ορισμοί 1. Τα σύμβολα και, εκτός από τη χρήση τους για την απεικόνιση της πρόσθεσης και της αφαίρεσης, μπορούν να τοποθετηθούν μπροστά από τους αριθμούς. Στην περίπτωση αυτή ονομάζονται πρόσημα.. Θετικοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν πρόσημο.. Αρνητικοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν πρόσημο. Παραδείγματα Οι αριθμοί,,,, είναι θετικοί. 8 Οι αριθμοί 1,,,,1 είναι αρνητικοί. 7 Ο θετικός αριθμός διαβάζεται «συν τέσσερα». Ο αρνητικός αριθμός διαβάζεται «πλην τρία» ή «μείον τρία». Ακέραιοι και ρητοί αριθμοί Ορισμοί 1. Το σύνολο των φυσικών αριθμών και των αρνητικών που προκύπτουν βάζοντας μπροστά από τους φυσικούς το πρόσημο ονομάζεται σύνολο των ακέραιων αριθμών και συμβολίζεται με, δηλαδή έχουμε ότι...,, 1, 0, 1,,..... Το σύνολο που περιέχει όλους τους ακέραιους αριθμούς, όλα τα κλάσματα, τους δεκαδικούς με συγκεκριμένο πλήθος ψηφίων και τους περιοδικούς δεκαδικούς (κάποιο κομμάτι του δεκαδικού μέρους επαναλαμβάνεται συνεχώς) ονομάζεται σύνολο των ρητών αριθμών, το οποίο συμβολίζεται με το γράμμα.. Δύο ή περισσότεροι αριθμοί που έχουν το ίδιο πρόσημο λέγονται ομόσημοι.. Δύο αριθμοί που έχουν διαφορετικό πρόσημο λέγονται ετερόσημοι. 9

12 Μαθηματικά Β Γυμνασίου Παατσεσ 1. Το μηδέν δεν είναι ούτε θετικός ούτε αρνητικός αριθμός.. Ουσιαστικά, οι ομόσημοι αριθμοί θα είναι είτε θετικοί είτε αρνητικοί.. Στους θετικούς αριθμούς έχουμε τη δυνατότητα να μη βάζουμε μπροστά το πρόσημο, ενεργώντας ακριβώς όπως κάναμε μέχρι σήμερα.. Το σύνολο των ρητών περιέχει όλους εκείνους τους αριθμούς που μπορούν να γραφούν ως κλάσμα με όρους ακεραίους. Παραδείγματα Οι αριθμοί, 0, 11 είναι ακέραιοι. Οι αριθμοί,,, 7,1,,..., 6, 7 είναι ρητοί. Οι αριθμοί,, 9, είναι ομόσημοι, όπως και οι 1, 7,,1. Οι αριθμοί 1, είναι ετερόσημοι. Ισχύει, κτλ. Οι αριθμοί 7,,1, 0, είναι ρητοί, αφού ,,1, 0, 0, Άξονας ή ευθεία των ρητών αριθμών Έχουμε γνωρίσει την έννοια του ημιάξονα Ox των αριθμών, που αναφέρεται στους θετικούς αριθμούς. Αν προεκτείνουμε τον ημιάξονα προς την πλευρά του Ο, προκύπτει ένας νέος ημιάξονας (ο Οx ), πάνω στον οποίο μπορούμε να εκφράσουμε τους αρνητικούς αριθμούς με τρόπο παρόμοιο με αυτόν που εκφράσαμε και τους θετικούς. Έτσι έχουμε δημιουργήσει τον άξονα (ή ευθεία) των ρητών αριθμών, τον x Ox. 10

13 Θετικοί και αρνητικοί αριθμοί Επανάληψη από την Α Γυμνασίου Παατσ Ο άξονας x Ox περιλαμβάνει όλους τους ρητούς αριθμούς, δηλαδή τους αρνητικούς, το μηδέν και τους θετικούς αριθμούς. Ορισμός Τετμημένη ενός σημείου της ευθείας των ρητών αριθμών ονομάζεται ο αριθμός που παριστάνει το σημείο. Αν α είναι η τετμημένη του σημείου Α, συμβολίζουμε Α(α). Παραδείγματα Στον ακόλουθο άξονα έχουμε ότι η τετμημένη του Α είναι 1, του Β είναι και του Γ είναι,, άρα Α(1), Β( ), Γ(,). Απόλυτη τιμή ρητού Αντίθετοι αριθμοί Ορισμοί 1. Απόλυτη τιμή ενός ρητού αριθμού α ονομάζεται η απόσταση του σημείου με τετμημένη α από την αρχή Ο του άξονα των ρητών αριθμών και συμβολίζεται με α.. Αντίθετοι αριθμοί ονομάζονται οι δύο ετερόσημοι αριθμοί που έχουν την ίδια απόλυτη τιμή. Συνεπώς, αν α 0, ο αντίθετος του α είναι ο α. 11

14 Μαθηματικά Β Γυμνασίου Παραδείγματα Ο αντίθετος του είναι ο, αφού. Ο αντίθετος του 8 είναι ο 8 8, αφού Παατσεσ 1. Η απόλυτη τιμή ενός ρητού αριθμού είναι πάντα θετικός ή μηδέν (μη αρνητικός ρητός αριθμός), αφού το ίδιο συμβαίνει για οποιαδήποτε απόσταση.. Η απόλυτη τιμή ενός μη μηδενικού αριθμού είναι ο αριθμός χωρίς το πρόσημο.. H απόλυτη τιμή ενός μη μηδενικού αριθμού είναι πάντα θετικός αριθμός.. Η απόλυτη τιμή θετικού αριθμού είναι ο ίδιος αριθμός.. Η απόλυτη τιμή αρνητικού αριθμού είναι ο αντίθετός του. 6. Η απόλυτη τιμή του μηδενός είναι το μηδέν. 7. Δύο σημεία που έχουν την ίδια απόσταση από το Ο έχουν τετμημένες αντίθετους αριθμούς. 8. Η έκφραση x διαβάζεται: ο αντίθετος του x. 9. O αντίθετος ενός αριθμού δεν είναι απαραίτητα αρνητικός, δηλαδή ο x δεν είναι απαραίτητα αρνητικός αριθμός. Παραδείγματα Αν ο α είναι ρητός αριθμός, ισχύει α 0. Αν ο α είναι ρητός αριθμός, ισχύει α,,.,0 9, α.,. Η έκφραση ( 8) σημαίνει ο αντίθετος του 8 και ισούται με 8, αφού ( 8) 8. 1

15 Θετικοί και αρνητικοί αριθμοί Επανάληψη από την Α Γυμνασίου Σύγκριση ρητών αριθμών Ανάμεσα σε δύο ρητούς αριθμούς, μεγαλύτερος είναι αυτός που βρίσκεται δεξιότερα στον άξονα. Ανάμεσα σε δύο θετικούς αριθμούς, μεγαλύτερος είναι αυτός με τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή. Ανάμεσα σε δύο αρνητικούς αριθμούς, μεγαλύτερος είναι αυτός με τη μικρότερη απόλυτη τιμή. Κάθε θετικός αριθμός είναι μεγαλύτερος από κάθε αρνητικό αριθμό. Το μηδέν είναι μεγαλύτερο από κάθε αρνητικό. Το μηδέν είναι μικρότερο από κάθε θετικό αριθμό. Παραδείγματα 10, 0 αφού, 0, 6 Πρόσθεση ρητών αριθμών Πρόσθεση ομόσημων αριθμών Για να προσθέσουμε δύο ομόσημους ρητούς, βάζουμε ως πρόσημο το κοινό τους πρόσημο και προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους. Παραδείγματα ( ) ( 8) 8 (8) 11 ( ) ( 8) 8 ( 8) 11 ( ) ( 8) 8 (8) ( ) ( 8) 8 (8) Πρόσθεση ετερόσημων αριθμών Για να προσθέσουμε δύο ετερόσημους αριθμούς, βάζουμε ως πρόσημο αυτό του μεγαλύτερου κατά απόλυτη τιμή και αφαιρούμε από τη μεγαλύτερη τη μικρότερη απόλυτη τιμή. 1

16 Μαθηματικά Β Γυμνασίου Άθροισμα πολλών προσθετέων Για να βρούμε το άθροισμα πολλών προσθετέων, προσθέτουμε μαζί όλους τους θετικούς και μαζί όλους τους αρνητικούς, οπότε προκύπτει άθροισμα δύο ετερόσημων όρων. Παραδείγματα ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 9) ( 8) 7 ( ) ( 11) ( ) 7 ( 11) ( 8) ( ) ( ) ( 18) ( 17) 1 Ιδιότητες της πρόσθεσης Ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης είναι το 0: α00αα Αντιμεταθετική ιδιότητα της πρόσθεσης: αββα Προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης: α( βγ) ( αβ) γ Συμμετρικό στοιχείο του α για την πρόσθεση είναι το α: α( α) ( α) α0 Αφαίρεση ρητών αριθμών Για να αφαιρέσουμε από τον αριθμό α τον αριθμό β, προσθέτουμε στον α τον αντίθετο του β, δηλαδή αβα( β). Παραδείγματα ( 1) ( 6) ( 1) ( 6) ( 1) ( 6) 1 ( 1) ( 6) ( 1) ( 6) ( 1) ( 6) 9 ( 1) ( 6) ( 1) ( 6) ( 1) ( 6) 9 ( 1) ( 6) ( 1) ( 6) ( 1) ( 6) 1 1

17 Θετικοί και αρνητικοί αριθμοί Επανάληψη από την Α Γυμνασίου Απαλοιφή παρενθέσεων Ορισμός Απαλοιφή παρενθέσεων λέγεται η διαδικασία με την οποία διώχνουμε τις παρενθέσεις από μια αλγεβρική παράσταση. Για να απαλείψουμε τις παρενθέσεις από μια αριθμητική ή αλγεβρική παράσταση, ακολουθούμε τον εξής κανόνα: 1. Αν μπροστά από μια παρένθεση υπάρχει ή αν δεν υπάρχει καθόλου πρόσημο, τότε διώχνουμε την παρένθεση και γράφουμε τους όρους που είναι εντός της παρένθεσης με το πρόσημο που ήδη έχουν.. Αν μπροστά από μια παρένθεση υπάρχει, τότε διώχνουμε την παρένθεση και γράφουμε τους όρους που είναι εντός της παρένθεσης με αλλαγμένο πρόσημο. Παραδείγματα ( x 8) x 8, ( x 8) x 8, ( x 8) x 8 (17 9) (1 11) ( 10 ) ( 19 ) Πολλαπλασιασμός ρητών αριθμών Για τον πολλαπλασιασμό δύο ρητών ακολουθούμε τον εξής κανόνα: Για ομόσημους αριθμούς Βάζουμε πρόσημο και πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές των αριθμών. Για ετερόσημους αριθμούς Βάζουμε πρόσημο και πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές των αριθμών. Κανόνας προσήμου Παραδείγματα ( 8) ( 9) ( 8) ( 9) ( 8) ( 9) ( 8) ( 9)

18 Μαθηματικά Β Γυμνασίου Ιδιότητες του πολλαπλασιασμού Ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού είναι το 1: α11αα Αντιμεταθετική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού: αβ βα Προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού: α( βγ) ( αβ) γ Συμμετρικό στοιχείο του α 0 για τον πολλαπλασιασμό α α1( α0) είναι το : α α α Απορροφητικό στοιχείο του πολλαπλασιασμού είναι το 0: α00α0 Επιμεριστική ιδιότητα ως προς την πρόσθεση: α( βγ) αβαγ Επιμεριστική ιδιότητα ως προς την αφαίρεση: α( βγ) αβαγ Διπλή επιμεριστική ιδιότητα: ( αβ) ( γδ) αγαδβγβδ Παατσεσ 1. ( 1) α α.. Αν αβ 1, οι αριθμοί α και β είναι αντίστροφοι, δηλαδή ο αριθμός α είναι αντίστροφος του β και ο β είναι αντίστροφος του α.. Αν α αβ β (, 0) είναι ένας ρητός αριθμός, ο αντίστροφός του είναι ο β α.. Το μηδέν δεν έχει αντίστροφο, γιατί το γινόμενο οποιουδήποτε αριθμού με το μηδέν δίνει πάντα μηδέν και ποτέ ένα. Παραδείγματα ( 1) 6 6. Ο αντίστροφος του είναι ο. 1 Ο αντίστροφος του είναι ο. 1 Ο αντίστροφος του 1 είναι ο Ο αντίστροφος του 1 είναι ο 1. 16

19 Θετικοί και αρνητικοί αριθμοί Επανάληψη από την Α Γυμνασίου Γινόμενο πολλών παραγόντων Για να υπολογίσουμε ένα γινόμενο που αποτελείται από πολλούς παράγοντες: μετράμε το πλήθος των αρνητικών όρων και, αν είναι άρτιο, το πρόσημο του γινομένου είναι, ενώ, αν είναι περιττό, το πρόσημο είναι, πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές τους. Παραδείγματα ( ) ( ) ( 1) ( ) ( 1 ) [ αρνητικοί αριθμοί] [ αρνητικοί αριθμοί] Παατσεσ 1. Αν ένας παράγοντας του γινομένου είναι μηδέν, όλο το γινόμενο είναι μηδέν.. Το σύμβολο του πολλαπλασιασμού δεν είναι απαραίτητο να σημειώνεται μεταξύ των γραμμάτων (μεταβλητών) και των αριθμών ή μεταξύ των μεταβλητών. Παραδείγματα x x, 8xy 8xy Διαίρεση ρητών αριθμών Για τη διαίρεση δύο ρητών, ακολουθούμε τον κανόνα: α: βα 1, με β 0 β Για ομόσημους αριθμούς Βάζουμε πρόσημο + και διαιρούμε τις απόλυτες τιμές των αριθμών. Για ετερόσημους αριθμούς Βάζουμε πρόσημο και διαιρούμε τις απόλυτες τιμές των αριθμών. Κανόνας προσήμου : : : : 17

20 Μαθηματικά Β Γυμνασίου Παατσεσ 1. Όταν ο διαιρετέος είναι μηδέν, το πηλίκο είναι επίσης μηδέν, δηλαδή 0 0: α 0, μεα0. α. Σε μια διαίρεση ο διαιρέτης δεν μπορεί να είναι μηδέν, όπως ακριβώς δε νοείται κλάσμα με παρονομαστή μηδέν. Παραδείγματα ( 1) : ( ) ( 1: ). ( 7) : ( 9) ( 7 :9) 8. (, ):( 0, ) (, :0, ) 17. ( 7) : ( 9) 7 : : 0. Οι διαιρέσεις :0, 6:0, :0 δεν ορίζονται και γι αυτόν τον λόγο είναι λάθος να γράφουμε τέτοιες διαιρέσεις. Δεκαδική μορφή ρητών αριθμών Ορισμός Περιοδικός λέγεται κάθε δεκαδικός με άπειρα δεκαδικά ψηφία, όπου στο δεκαδικό μέρος από ένα ψηφίο και μετά κάποια ψηφία επαναλαμβάνονται συνεχώς. Το επαναλαμβανόμενο μέρος του περιοδικού δεκαδικού λέγεται περίοδος του περιοδικού δεκαδικού. Παατσ Κάθε ρητός αριθμός έχει τη μορφή δεκαδικού με συγκεκριμένο πλήθος δεκαδικών ψηφίων (αλλιώς πεπερασμένο) ή τη μορφή περιοδικού δεκαδικού. Παραδείγματα Ο αριθμός 0,... 0, είναι περιοδικός δεκαδικός με περίοδο. 18

21 Θετικοί και αρνητικοί αριθμοί Επανάληψη από την Α Γυμνασίου Ο αριθμός 1, ,1 είναι περιοδικός δεκαδικός με περίοδο ,... 0,, 10 1, , ,, 0,, 0, Μορφές ασκήσεων Λυμένες εφαρμογές ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΚΑΙ ΑΝΤΙΘΕΤΟΣ ΡΗΤΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 1. Να βρείτε (αν υπάρχουν) τους αριθμούς που έχουν απόλυτη τιμή: α) 16 β) +71 γ) 0 δ) 6 α) Αφού , οι αριθμοί 16 και 16 έχουν απόλυτη τιμή 16. β) Αφού , οι αριθμοί 71 και 71 έχουν απόλυτη τιμή 71. γ) Αφού 0 0, μόνο το 0 έχει απόλυτη τιμή 0. δ) Γνωρίζουμε ότι η απόλυτη τιμή ενός αριθμού είναι θετικός αριθμός ή μηδέν, οπότε δεν μπορεί να είναι 6, δηλαδή δεν υπάρχει αριθμός με απόλυτη τιμή 6.. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης A 7, 1 0, 11. A 71, 0, 11 71, 0, , 10, 1119, 0, 11,01 α α ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ. Να υπολογίσετε τα αθροίσματα: α) ( 9) ( 6) β) ( 1) ( 7) γ) ( 7) ( 61) δ) ( ) ( 7) ε) (,) ( 8,9) στ) ( 9,7) (,9) 19

22 Μαθηματικά Β Γυμνασίου α) ( 9) ( 6) (9 6) 1 [πρόσθεση ομοσήμων] β) ( 1) ( 7) (7 1) [πρόσθεση ετεροσήμων] γ) ( 7) ( 61) (617) [πρόσθεση ετεροσήμων] δ) ( ) ( 7) ( 7) [πρόσθεση ομοσήμων] ε) (, ) ( 8,9) (, 8,9) 1, [πρόσθεση ομοσήμων] στ) ( 9,7) (,9) (9,7,9),8,8 [πρόσθεση ετεροσήμων]. Να υπολογίσετε τα αθροίσματα: α) 7 β) 8 7 α) β) γ) γ) Να υπολογίσετε τα αθροίσματα: Α ( ) ( 87) ( ) ( 7) Β ( 671) ( 08) ( 8) ( 97) Α ( ) ( 87) ( ) ( 7) ( ) ( ) ( 87) ( 7) ( 89) ( 19) ( 19 89) 70 Β ( 671) ( 0 8) ( 8) ( 97) ( 671) ( 8) ( 0 8) ( 97) ( 1. ) ( 1. ) ( ) Να υπολογίσετε το άθροισμα A 6 1. Προσθέτουμε πρώτα τους θετικούς και τους αρνητικούς μεταξύ τους. 0

23 Θετικοί και αρνητικοί αριθμοί Επανάληψη από την Α Γυμνασίου A ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 7. Να υπολογίσετε τις διαφορές: α) ( ) ( ) β) ( 18) ( 1) γ) ( 76) ( ) δ) ( 6) ( 69) ε) ( 1, ) ( 8, ) στ) (, 7) ( 86, ) ζ) 7 η) 7 6 θ) α) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 β) ( 18) ( 1) ( 18) ( 1) ( 18 1) γ) ( 76) ( ) ( 76) ( ) ( 76 ) 19 δ) ( 6) ( 69) ( 6) ( 69) ( 69 6) ε) ( 1, ) ( 8, ) ( 1, ) ( 8, ) ( 1, 8, ) 71, στ) ( 7, ) ( 86, ) ( 7, ) ( 86, ) ( 7, 86, ) 1, ζ) η) θ) ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 8. Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: Α ( ) ( 7) ( 1) ( ) Β

24 Μαθηματικά Β Γυμνασίου Α ( ) ( 7) ( 1) ( ) ( ) ( 7) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( 7) ( ) ( 0) ( 11) ( 0 11) 9 Β 11 7 ( ) ( ) ( 11) ( 7) ( ) ( ) ( 7) ( 11) ( 1) ( 11) (1 11) 9. Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων με δύο τρόπους: A = 6 ( 1 1 ) ( ) B = 1 ( 19 7) ( 76 1) α) 1ος τρόπος με απαλοιφή παρενθέσεων A = 6 ( 1 1 ) ( ) ος τρόπος με πράξεις στις παρενθέσεις A = 6 ( 1 1 ) ( ) 6 ( 1 ) ( ) 6 ( ) ( ) β) 1ος τρόπος με απαλοιφή παρενθέσεων B = 1 ( 19 7) ( 76 1) ( 180) 6 ος τρόπος με πράξεις στις παρενθέσεις B = 1 ( 19 7) ( 76 1) 1 ( 19 7 ) ( 76 1) 1 ( 166 ) ( 76 1) 1 ( 11) ( 6) ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 10. Να υπολογίσετε τα γινόμενα: α) ( 1) ( ) β) ( 16) ( ) γ) ( 7)( 61) δ) ( 7) 1, ε) ( ) ( 8) στ), ( ) α) ( 1) ( ) 1 1 β) ( 16) ( ) 16 8 γ) ( 7) ( 61)

25 Θετικοί και αρνητικοί αριθμοί Επανάληψη από την Α Γυμνασίου δ) ( 7) 1, 71, 10, ε) ( ) ( 8) 8 18 στ), ( ), Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: α) ( )( )( 7) ( 9) β) ( )( )( 6) ( 8) 1 γ) δ) α) ( ) ( ) ( 7) ( 9) [ αρνητικοί] β) ( ) ( ) ( 6) ( 8) [ αρνητικοί] γ) δ) [ αρνητικοί] [1 αρνητικός] 1. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: Α ( x 1)( 1 x)( x ), για x, Β ( y )( y)( y)( y), για y 0,. Α ( ) 1 1 ( ) ( ) ( 61)( 1)( ) ( ) 0 Β ( 0, )( 0, ) ( 0, ) ( 0, ) ( 0, )( 0, )( 0, )( 0, ) (, ), 8,, 8, 616 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 1. Να υπολογίσετε τα πηλίκα: α) ( ):( 9) β) ( ): 1 γ) 6, 8 :(, ) δ) : 7 ε) : 6 9 στ) 10 8 : 1

26 Μαθηματικά Β Γυμνασίου α) ( ) : ( 9) ( : 9) 6 β) ( ) : 1 : 1 1 γ) 6, 8:(, ) 6, 8:, : 7 δ) : : : 6 9 : 1 ε) : : : : 6 στ) : : : Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: Α : 9 8 Β 6 Α : : : : : : Β ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ ΠΡΑΞΕΩΝ 1. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α ( 9) : ( )( ) ( 8) ( ) Α ( 9) : ( )( ) ( 8) ( )

27 Θετικοί και αρνητικοί αριθμοί Επανάληψη από την Α Γυμνασίου ( 9) ( )( ) ( 8) ( ) 6 8 ( 6 16) 1 8 ( 6 16) 0 ( ) Ασκήσεις προς λύση ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΚΑΙ ΑΝΤΙΘΕΤΟΣ ΡΗΤΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 1. Να βρείτε τις απόλυτες τιμές των αριθμών και τους αντίθετους των αριθμών: 7, 6, 1,,, 9,, 10. Να βρείτε (αν υπάρχουν) τους αριθμούς με απόλυτη τιμή: α) 11 β) 6 γ) ( 8) δ) 1. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: Α 8 Β 11 7 Γ 9 6 Δ 1 Ε Ζ 9. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: Α Β Γ 7 6 Δ 0 Ε 9 1 Ζ 7 8. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: 1 Α 17 9 Β Γ Δ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 6. Να υπολογίσετε τα αθροίσματα: α) ( 10 ) ( 7) β) ( 1) ( 8) γ) ( ) ( 9) δ) ( 98) ( ) ε) ( 6 ) ( 0) στ) ( 7) ( 9)

28 Μαθηματικά Β Γυμνασίου 7. Να υπολογίσετε τα αθροίσματα: α) 6 β) 7 1 γ) 7 6 δ) ε) 1 6 στ) 8. Να υπολογίσετε τα αθροίσματα: Α ( ) ( 71) ( 8) ( 9) Β ( 99) ( 8) ( ) ( 11) Γ ( ) ( 8) ( ) ( ) Δ ( ) ( ) ( 76) ( 187) 9. Να υπολογίσετε τα αθροίσματα: Α ( ) ( ) ( 17) Β 1 ( ) ( 6) ( 1) ( 6) 10. Να υπολογίσετε τα αθροίσματα: A 8 ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 10 7 B Να υπολογίσετε τις διαφορές: α) ( 7 ) ( 87) β) ( ) ( 1) γ) ( ) ( ) δ) ( 71) ( ) ε) ( 6 ) ( 9) στ) ( ) ( 9) 1. Να υπολογίσετε τις διαφορές: 1 α) 7 β) γ) 7 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 1. Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: Α ( ) ( 7) ( ) ( ) Β ( 7) ( 6) ( 9) ( 1) Γ ( 67) ( ) ( 9) ( 8) Δ ( 7) ( 69) ( ) ( 18) 1. Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: Α Β Γ Δ Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: Α 7 7 Β 6 8 Γ 71 7 Δ

29 Θετικοί και αρνητικοί αριθμοί Επανάληψη από την Α Γυμνασίου 16. Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων με δύο τρόπους: α) 6 (7 18 ) ( 1) β) 7 ( 9) (61 7) γ) ( 77 9 ) (9 1) δ) 8 ( 917 7) (1 ) 17. Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: A (17 8 9) 8 ( 8 ) (189) B (98 ) ( 76 9) 87 ( 6 ) (11) ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 18. Να υπολογίσετε τα γινόμενα: α) ( 7) ( 9) β) ( ) ( 8) γ) ( 7) ( 6) δ) ( ) ε) (,6) ( 8) στ) (,7) ( ) 19. Να συμπληρώσετε τον πίνακα: x y x + y x y y x xy Να υπολογίσετε τα γινόμενα: 18 α) 1 10 β) 7 γ) Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: α) ( 1) ( ) ( ) ( ) β) ( 1) ( ) ( ) ( 8) γ) ( 1 ) ( ) ( 6) δ) ( 1 ) ( 6) ( 79). Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: α) 8 (1 7) 11 ( 1) β) ( 1 9 ) ( 1) ( 6) γ) ( 9) ( 7) (16 7) ( ) δ) ( 9 ) ( ) (6 7) ( ). Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: 8 9 α) 6 β) γ) ( ) δ)

30 Μαθηματικά Β Γυμνασίου ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ. Να υπολογίσετε τα πηλίκα: α) ( 0 ): ( 6) β) ( ): ( ) γ) ( 81) : ( 9) δ) ( ):( 9) ε) ( 8):19 στ) ( 667) : ( ). Να υπολογίσετε τα πηλίκα: α) : 7 β) 1 : 8 γ) : δ) : 10 1 ε) : 9 1 στ) : 10 ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ ΠΡΑΞΕΩΝ 6. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: Α 6 : ( 9) B (618):( ) Γ (6 ) : ( 9) Δ ( 8 89) : ( ) Ε (7688):( 1:6) Ζ ( 168):( 9) 7. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: Α ( ) : ( ) ( ) : ( 8) Β ( ) : ( ) : ( ) ( 8) Γ ( ) ( ):( ):( 8) Δ ( ) : ( ) : ( ) : ( 8) 8. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: Α ( ) ( :1) 1 : ( 1 : ) B (8917):( 7) ( 1) ( ) ( ):( 6) Γ ( )( 9) : ( ) (8 : ) ( 6) : ( ) Δ ( ) ( 18: ) ( ) ( ) : ( 6) 9. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: Α : Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: Β : 6 Α ( ) ( ) ( 11) ( ) 6 : ( 6 ) Β ( 18): 1 ( ) ( ) ( ) ( 81):( ) ( ) ( 10) 8

31 7.8 Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό Ορισμός Το γινόμενο του αριθμού α με τον εαυτό του ν φορές συμβολίζεται με α και λέγεται δύναμη με βάση α και εκθέτη ν, ν όπου ο ν είναι φυσικός μεγαλύτερος του 1. ν α βάση εκθέτης = α α... α α νπαράγοντες Παατσεσ 1. α 1 α, για κάθε ρητό α. ν. 0 0, για κάθε φυσικό ν 1. ν. 1 1, για κάθε φυσικό ν. ν. Η δύναμη α διαβάζεται νιοστή δύναμη του α ή άλφα στη νιοστή.. Η δύναμη α διαβάζεται άλφα στη δευτέρα ή τετράγωνο του α ή άλφα στο τετράγωνο. 6. Η δύναμη α διαβάζεται άλφα στην τρίτη ή κύβος του α ή άλφα στον κύβο. ν α 7. Αν ο α είναι ρητός και ο ν φυσικός με α ν, γενικά ισχύει α ν. Παραδείγματα ( 7) ( 7) ( 7) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , αφού, 9

32 Μαθηματικά Β Γυμνασίου Πρόσημο δύναμης Δύναμη με βάση θετικό είναι θετικός αριθμός, δηλαδή: αν α > 0 και ν > 1 φυσικός, τότε α ν > 0 Δύναμη με βάση αρνητικό και εκθέτη άρτιο είναι θετικός αριθμός, δηλαδή: αν α < 0 και ν > 1 άρτιος φυσικός, τότε α ν > 0 Δύναμη με βάση αρνητικό και εκθέτη περιττό είναι αρνητικός αριθμός, δηλαδή: Παραδείγματα αν α < 0 και ν > 1 περιττός φυσικός, τότε α ν < 0 Ισχύει 0, αφού α 0 και ν. Πράγματι: 9 0. Ισχύει ( ) 0, αφού α 0 και ν (άρτιος). Πράγματι: ( ) ( ) ( ) 9 0. Ισχύει ( ) 0, αφού α 0 και ν (περιττός). Πράγματι: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 0. Ιδιότητες δυνάμεων Για τις τιμές των α, β, μ, ν που έχουν νόημα οι ακόλουθες ιδιότητες, ισχύουν: ΟΝΟΜΑΣΙΑ ΕΚΦΩΝΗΣΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ Γινόμενο δυνάμεων με την ίδια βάση Πηλίκο δυνάμεων με την ίδια βάση Για να πολλαπλασιάσουμε δυνάμεις με την ίδια βάση, αφήνουμε την ίδια βάση και βάζουμε εκθέτη το άθροισμα των εκθετών. Για να διαιρέσουμε δυνάμεις με την ίδια μη μηδενική βάση, αφήνουμε την ίδια βάση και βάζουμε εκθέτη τη διαφορά του εκθέτη του διαιρέτη με τον εκθέτη του διαιρετέου. α α α μ ν μ ν μ μ ν α μ ν α : α α ( α 0) ν α 0

33 7.8 Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό Γινόμενο δυνάμεων με τον ίδιο εκθέτη Πηλίκο δυνάμεων με τον ίδιο εκθέτη Δύναμη υψωμένη σε εκθέτη Για να υψώσουμε ένα γινόμενο σε έναν εκθέτη, υψώνουμε κάθε παράγοντα του γινομένου στον εκθέτη αυτό. Για να υψώσουμε ένα πηλίκο σε έναν εκθέτη, υψώνουμε καθέναν από τους όρους του πηλίκου στον εκθέτη αυτό. Για να υψώσουμε μια δύναμη σε έναν εκθέτη, υψώνουμε τη βάση της δύναμης στο γινόμενο των εκθετών. ( α: β) ( αβ ) αβ ν ν ν ν ν ν α α ν β β : ( 0) ν ν α β β α μ ν μ ν α Παραδείγματα 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 ( 6) 1 ( ) ( ) ( ) ( 16) : ( 8) 16 : ( 8) ( ) 7 : ( ) :( ) ( ) ( ) ( ) 1 : 1 : = 8 9 Παατσεσ μ ν μ ν 1. Δεν υπάρχουν ιδιότητες για τις παραστάσεις α + α και α α.. Για τις τιμές των α, β, ν που έχει νόημα η παράσταση, γενικά ισχύει ότι ( α β) α β. Για τις τιμές των α, β, ν που έχει νόημα η παράσταση, γενικά ισχύει ότι ν ν ν. ( α β) α β ν ν ν. Παραδείγματα ( ), αφού ( ) 6 16 και (6 ) 6, αφού (6 ) 6 και

34 Μαθηματικά Β Γυμνασίου Μορφές ασκήσεων Λυμένες εφαρμογές ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΩΝ 1. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: α) β) ( ) γ) δ) ( ) ε) στ) α) β) ( ) ( ) ( ) γ) Στη δύναμη δεν υψώνεται το στο τετράγωνο (δεν υπάρχει παρένθεση, όπως στο ερώτημα β), αλλά μόνο το και το μείον παραμένει, οπότε. δ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ν α α α... α ν παράγοντες ν α α α... α ν παράγοντες ν α α α α ν παράγοντες ( ) ( ) ( )... ( ) ε) Στη δύναμη δεν υψώνεται το στον κύβο (δεν υπάρχει παρένθεση, όπως στο ερώτημα δ), αλλά μόνο το και το μείον παραμένει, οπότε 1. στ) 1. Να βρείτε το πρόσημο των δυνάμεων: 7 α) ( 19 ) β) ( ) γ) ( 98) δ) ( 8) 7 α) Επειδή η δύναμη ( 19 ). έχει αρνητική βάση (το 19) και περιττό εκθέτη 7 7 (το.7), το αποτέλεσμα είναι αρνητικό, δηλαδή ( 19) β) Επειδή η δύναμη ( ) έχει αρνητική βάση (το ) και άρτιο εκθέτη (το ), το αποτέλεσμα είναι θετικό, δηλαδή ( ) γ) Επειδή η δύναμη ( 98) έχει θετική βάση (το 98), το αποτέλεσμα είναι θετικό, δηλαδή ( 98) δ) Επειδή η δύναμη ( 8) έχει θετική βάση (το 8), το αποτέλεσμα είναι.091 θετικό, δηλαδή ( 8) 0.

35 7.8 Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό. Να βρείτε τα αποτελέσματα με τη βοήθεια μιας δύναμης: α) β) ( ) ( ) γ) ( ) ( ) δ) : ε) ζ) 7 ( ) :( ) στ) 1 6 : 19 9 η) ( ) θ) ( ) 8 α) μ ν μ ν [εφαρμογή της ιδιότητας α α α ] β) ( ) ( ) ( ) ( ) μ ν μ ν [εφαρμογή της ιδιότητας α α α ] Η δύναμη ( ) έχει αρνητική βάση και περιττό εκθέτη, άρα το αποτέλεσμα είναι αρνητικό και ισχύει ( ). γ) ( ) ( ) 1 8 μ ν μ ν [εφαρμογή της ιδιότητας α α α ] Η δύναμη ( ) έχει αρνητική βάση και περιττό εκθέτη, άρα το αποτέλεσμα είναι αρνητικό και ισχύει ( ). δ) : μ ν μν [εφαρμογή της ιδιότητας α : α α ] 7 7 ε) ( ) :( ) ( ) ( ) μ ν μν [εφαρμογή της ιδιότητας α : α α ] Η δύναμη ( ) έχει αρνητική βάση και άρτιο εκθέτη, άρα το αποτέλεσμα είναι θετικό και ισχύει ( ). στ) μ ν μ ν : : [εφαρμογή της ιδιότητας α α α ] : μ ν μν [εφαρμογή της ιδιότητας α : α α ζ) μ [εφαρμογή της ιδιότητας α ν 1 ] μ ν α ] η) θ) μ ( ) ( ) ( ) [εφαρμογή της ιδιότητας ν μ ν α α ] 7 Η δύναμη ( ) έχει αρνητική βάση και περιττό εκθέτη, άρα το αποτέλεσμα 7 7 είναι αρνητικό και ισχύει ( ) μ ( ) ( ) ( ) [εφαρμογή της ιδιότητας ν μ ν α α ] 10 Η δύναμη ( ) έχει αρνητική βάση και άρτιο εκθέτη, άρα το αποτέλεσμα 1 1 είναι θετικό και ισχύει ( ) 0 0.

36 Μαθηματικά Β Γυμνασίου ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΣ Προτεραιότητα των πράξεων: πράξεις στις παρενθέσεις (πρώτα δυνάμεις, μετά πολλαπλασιασμοί και διαιρέσεις, τέλος προσθέσεις και αφαιρέσεις), δυνάμεις, πολλαπλασιασμοί και διαιρέσεις, προσθέσεις και αφαιρέσεις.. Να κάνετε τις πράξεις: α) ( ) ( ) 9 1 β) ( ) ( ) ( 1) : ( ) ( ) : α) ( ) ( ) 9 [δυνάμεις στην παρένθεση] ( ) ( ) ( 99) [πολλαπλασιασμοί στην παρένθεση] ( ) ( ) (8 99) [προσθέσεις - αφαιρέσεις στην παρένθεση] ( ) ( ) 8 [δυνάμεις] ( ) ( ) 88 [πολλαπλασιασμοί - διαιρέσεις] 688 [προσθέσεις - αφαιρέσεις] ( ) ( ) 1 ( 1) : ( ) ( ) : [δυνάμεις στην παρένθεση] β) ( ) ( ) ( 1) : 9 ( ) ( ) : 1 1 [πολλαπλασιασμοί - διαιρέσεις στην παρένθεση] ( ) ( ) ( 1) : (9 8 1) [προσθέσεις - αφαιρέσεις στην παρένθεση] ( ) ( ) ( 1) : 0 [δυνάμεις] 1 ( ) ( ) 7 1: 0 [πολλαπλασιασμοί - διαιρέσεις] [προσθέσεις - αφαιρέσεις] 1

37 7.8 Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: ( ) ( 18) 10 1 A Β ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 18) A ( ) ( ) ( ) 6 ( ) Β ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 8) 16 ( ) ( 0) ν ν α α, ν β β β 0 6. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: α) Α( ), Β β) Γ( 9), Δ 9 Τι παρατηρείτε; α) Α ( ) 7 9 και Β 916. Παρατηρούμε ότι ( ), δηλαδή Α Β. β) Γ ( 9) ( ) 16 και Δ Παρατηρούμε ότι ( 9) 9, δηλαδή Γ Δ. ( αβ) α β ν ν ν ( αβ) α β ν ν ν

38 Μαθηματικά Β Γυμνασίου Eρωτήσεις κλειστού τύπου Να αντιστοιχίσετε τα δεδομένα της 1ης στήλης με τα δεδομένα της ης στήλης: 1η στήλη η στήλη 16 A 1 ( ) 8 Β Γ ( ) Δ ( ) 8 Ε 16 ΣΤ Ζ Ασκήσεις προς λύση ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΩΝ 1. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: α) 6 β) ( 6) γ) 6 δ) ( 6) ε) 6 στ) 6. Να βρείτε το πρόσημο των δυνάμεων: α) ( 7) β) ( ) γ) ( 16) δ) ( 7) ε) ( ) στ) ( ) 11. Να βρείτε τα αποτελέσματα με τη βοήθεια μιας δύναμης: α) β) ( ) ( ) γ) δ) ( ) ( ) ( ) ε) στ) ( ) ( ) ( ) ζ) ( 8) 8 ( 8) η) ( ) 7 θ) 6 ( ) ( ) 8. Να βρείτε τα αποτελέσματα με τη βοήθεια μιας δύναμης: α) ( ) :( ) β) 7 9 :7 6 γ) ( ) :( ) 7 δ) ( ) : ε) ( ) : στ) :( 7 ) 6 6

39 7.8 Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό. Να βρείτε τα αποτελέσματα με τη βοήθεια μιας δύναμης: α) ( ) β) ( ) ε) στ) γ) ( 7) ζ) δ) ( ) 10 η) ( ) 6. Να βρείτε τα αποτελέσματα με τη βοήθεια μιας δύναμης: ( ) : ( ) ( ) α) 17 8 β) : 7 ( ) ( ) δ) 7 ( ) : ( ) 7 γ) : 7. Να βρείτε τα αποτελέσματα με τη βοήθεια μιας δύναμης: ( ) ( ) α) β) γ) 7 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 6) ( 6) δ) ε) στ) ( ) ( ) 6 ( 6) 8. Να βρείτε τα αποτελέσματα με τη βοήθεια μιας δύναμης: α) 6 9 : β) 8 : γ) ( ) : ( ) δ) 6 : ε) : 7 στ) 6 : 6 9. Να βρείτε τα αποτελέσματα με τη βοήθεια μιας δύναμης: α) ( ) ( ) β) γ) ( ) δ) ( ) ε) ( 8) στ) Να βρείτε τα αποτελέσματα με τη βοήθεια μιας δύναμης: α) ( 16) : ( ) β) 0 : γ) ( 0) :1 7 7 δ) ( 1) : ε) ( 7) :8 στ) 11 : Να κάνετε τις πράξεις: α) αβ β) x y 6 γ) x y z δ) αβγ 7 ε) χψω στ) xyz 7

40 Μαθηματικά Β Γυμνασίου ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 1. Να υπολογίσετε την τιμή κάθε παράστασης: α) Α (7 ), Β 7 β) Γ ( 6 10), Δ 6 10, Ε (0 1 6) Τι παρατηρείτε σε καθεμία από τις περιπτώσεις; 1. Να υπολογίσετε την τιμή κάθε παράστασης: Α (7) ( ) ( ) 7 B ( ) 11 ( 1) 8 Γ ( ) : ( ) 0 6 Δ ( 17) ( ) ( ) 1. Να υπολογίσετε την τιμή κάθε παράστασης: Α 10 ( ) 119 : B 8 ( ) : 0 1 Γ 9 ( ) : ( ) ( ) 11 Δ 17 9 ( 17) 1. Να υπολογίσετε την τιμή κάθε παράστασης: 1 Α ( ) ( ) 11 ( ) 1 Β ( ) ( ) ( ) ( ) ( 8) 1 6 Γ ( ) ( ) ( 9) Δ 16. Να υπολογίσετε την τιμή κάθε παράστασης: α) ( ) 7 ( ) 97 1 β) ( 100) : ( ) 7 (1 1) ( ) 7 7 γ) ( 6) ( ) ( ) ( ) :( ) ( ) δ) ( 911) ( 1) ( 7) ( 1)( )( ) 17. Να υπολογίσετε την τιμή κάθε παράστασης: α) : 6 9 ( 1) : ( ) 6 7 : 7 β) 8

41 7.8 Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό 6 10 ( ) : γ) ( ) ( 1)( )( ) ( 7) : 9 δ) 1 16 ( ) : 1 ( ) : 7 9 ε) Να υπολογίσετε την τιμή κάθε παράστασης: ν ν 1 Α ( 1) ( 1), όπου ο ν είναι φυσικός αριθμός, ν ν 1 ν ν Β ( 1) ( 1) ( 1) ( 1), όπου ο ν είναι φυσικός αριθμός. 19. Αν ο αριθμός ν είναι περιττός, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: ν1 ( 1) A 1 ( 1) ( 1) ( 1) ν ν ν ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΑΣΤΕΡΑΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ 0. Να βρείτε τα αποτελέσματα με τη βοήθεια μιας δύναμης: ( 1) A Β Γ Αν x, να βρείτε τα αποτελέσματα με τη βοήθεια μιας δύναμης: y 11 8x y x A x y y x y x y Β 9 xy. Αν ο αριθμός ν είναι φυσικός, να υπολογίσετε με τη βοήθεια του ν την τιμή της παράστασης: 8 A 10 ν1 ν1 ν 9

42 7.9 Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη ακέραιο Ισχύει ότι: 0 α 1, α 0. ν ν 1 1 α ν α α, όπου α 0 ρητός και ν ακέραιος. Δηλαδή η δύναμη κάθε μη μηδενικού αριθμού με ακέραιο αρνητικό εκθέτη είναι ίση με το κλάσμα που έχει αριθμητή τη μονάδα και παρονομαστή τη δύναμη του αριθμού αυτού με τον αντίθετο εκθέτη. ν ν α β β α, όπου α, β 0 ρητοί και ν ακέραιος. Παατσεσ 1. Οι ιδιότητες των δυνάμεων ισχύουν και για ακέραιους εκθέτες.. Η δύναμη 0 0 δεν έχει νόημα. ν ν ν ν. 10 0, 1 0, και 0, , ν 1 φυσικός. Παραδείγματα 0 ( 1. 6) 1 νμηδενικά νμηδενικά , , ,1 10, ,

43 7.9 Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη ακέραιο Μορφές ασκήσεων Λυμένες εφαρμογές 1. Να υπολογίσετε τις δυνάμεις: ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΔΥΝΑΜΕΙΣ β) ( ) γ) α) 1 7 δ) ε) ( ) 0 α) β) γ) δ) ( ) ε) ( ) 0 1 Αν α, β 0, έχουμε: ν ν α β β α, ν 1 φυσικός. 0 α 1.. Να υπολογίσετε τις δυνάμεις: 6 α) 10 β) 0,1 γ) 10 δ) 0,1 1 1 α) 10 0, β) 0, γ) 10 0, δ) 1 0, ν ν 10 0, 1 0, ν ν 1 1 νμηδενικά 0, νμηδενικά 1

44 Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: α) ( ) ( ) β) ( ) : γ) ( ) δ) ( ) ε) 6 : ( 1) 6 9 α) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : : ( ) 1 β) γ) ( ) ( ) ( ) ( ) δ) ( ) ( ) ( 10) ε) :( ) :( ) ( ) 6 6. Να λύσετε τις εξισώσεις: β) 1 1 x1 α) 1 x γ) x α) 10 x 10 ή x 10 :10 ή x 10 ή x 10 ( ) β) x 10 ή10 10 x 10 ή10 10 x 10 ή 10 x 10 ή10 x 10 ή x 10 :10 ή x 10 ή x γ) x ή x : ή x ή x ή x ή x ή x 81 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΣ Προτεραιότητα των πράξεων: πράξεις στις παρενθέσεις (πρώτα δυνάμεις, μετά πολλαπλασιασμοί και διαιρέσεις, τέλος προσθέσεις και αφαιρέσεις), δυνάμεις, πολλαπλασιασμοί και διαιρέσεις, προσθέσεις και αφαιρέσεις.

45 7.9 Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη ακέραιο. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: 1 0 ( ) ( 6) ( 17) Α ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) B 1 ( ) ( ) Α ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 6) ( 17) B 1 ( ) ( ) ( ) Να βρείτε την αριθμητική τιμή της παράστασης: Α x x 1 x x1 x, για x 1 Α

46 Μαθηματικά Β Γυμνασίου Eρωτήσεις κλειστού τύπου Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις ως σωστές (Σ) ή ως λανθασμένες (Λ): Αν α 0, ο αντίστροφος του α είναι ο α. 7 8 ( ) Ασκήσεις προς λύση ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΔΥΝΑΜΕΙΣ 1. Να υπολογίσετε τις δυνάμεις: α) β) ( ) γ) 7 δ) ( ) ε) 7 στ). Να υπολογίσετε τις δυνάμεις: 0 α) ( 8) β) γ) ζ). Να υπολογίσετε τις δυνάμεις: α) 10 β) 0, 1 7 γ) 10 δ) 0,1 ε) 10 7 στ) 0, 1 ζ) 10 6 η) 0,1 1 η) δ) ( ) 0

47 7.9 Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη ακέραιο. Να συγκρίνετε με το μηδέν τις δυνάμεις: 7 α) ( ) β) 7 11 γ) 7 δ). Να βρείτε τα αποτελέσματα με τη βοήθεια μιας δύναμης: α) β) 7 ( ) ( ) 9 6 γ) ( ) 9 7 δ) ( ) 6. Να βρείτε τα αποτελέσματα με τη βοήθεια μιας δύναμης: 7 8 α) 8 β) γ) Να βρείτε τα αποτελέσματα με τη βοήθεια μιας δύναμης: 7 α) 7 8 : β) ( ) :( ) γ) 8. Να βρείτε τα αποτελέσματα με τη βοήθεια μιας δύναμης: α) ( ) β) ( ) γ) 9. Να βρείτε τα αποτελέσματα με τη βοήθεια μιας δύναμης: α) 9 7 ( ) : δ) 6 : 6 δ) ( 7) β) γ) ( 8) δ) ( ) :( ) 10. Να βρείτε τα αποτελέσματα με τη βοήθεια μιας δύναμης: α) 1 : ( 17) β) ( 81) : ( 7) γ) 100 : δ) ( 1) : Να βρείτε τα αποτελέσματα με τη βοήθεια μιας δύναμης: 1 ( 7) ( 1) 100 α) β) γ) δ) 10 ( ) ( 1) 16 ( ) 1. Να βρείτε τα αποτελέσματα με τη βοήθεια μιας δύναμης: α) β) γ) δ) ( ) Να βρείτε τα αποτελέσματα με τη βοήθεια μιας δύναμης του 10: ( 10) ,1 α) β) γ) δ) ( 10) Να βρείτε τα αποτελέσματα με τη βοήθεια μιας δύναμης του 0,1: ,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 α) β) γ) δ) ,1 0,1 0,1 0,1 ( 0,1) 0,1 10 0,1 9 7

48 Μαθηματικά Β Γυμνασίου 1. Να υπολογίσετε την τιμή κάθε παράστασης: 10 α) : γ) : 16. Να συμπληρώσετε τον πίνακα: 8 1 β) ( ) δ) : : 8 9 x 0,01 10 x 1 x ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 17. Να υπολογίσετε την τιμή κάθε παράστασης: 1 7 ( ) 6 ( 11) Α ( ) ( ) ( ) B ( ) ( 6) ( ) ( 10) ( 8) Γ Δ 9 8 ( 10) ( 10) ( ) 18. Να υπολογίσετε την τιμή κάθε παράστασης: Α ( ) :( ) ( ) ( ) 19 Β 1 : ( ) Γ ( ) : 7 16 (18:9 9 6) 19 Δ ( ) ( ) 6 ( ) Να υπολογίσετε την τιμή κάθε παράστασης: Α ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B ( ) ( 16) ( ) 7 ( ) ( 8) : Γ ( 18) :9 1 : ( ) ( 7) ( ) ( 7) : 1 ( ) 0 1 : ( 8) 1.0 ( ) ( ) Δ 6

49 7.9 Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη ακέραιο 0. Να υπολογίσετε την τιμή κάθε παράστασης: Α 8 B 16 8 : 11 ( ) ( ) : 1 1 Γ ( ) Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: x x x x 1 Α, για x, x x x 1 x Β (x ) (x ) (x ) (x ) 1.8, για x 0, x x 1 Γ (x 1). Να λύσετε τις εξισώσεις: 7 9 α) 10 x 10 x , για x. 1 β) 10 x 10 1 γ) 6 δ) x ( 8) ε) 9 7 x 7 10 ( x + ) στ) ( ). Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 9 x ( ) 7 β) 6 x 1 γ) 6 x 10 x 10 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΑΣΤΕΡΑΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ. Αν xy, να υπολογίσετε την τιμή κάθε παράστασης: 1 6 A x y 18y B x y x y 17 6 x y y 6 x y x Γ Δ 6 9 x y x y 16. Αν α 0, x α 7 και y α, να εκφράσετε με τη βοήθεια των x, y τα: α) α β) α 11 γ) α δ) α ν ν ν ν Αν A και Β, όπου ο ν είναι μη μηδενικός φυσικός ν ν ν 1 16 αριθμός, να αποδείξετε ότι B A. 7

50 7.10 Τυποποιημένη μορφή μεγάλων και μικρών αριθμών Ορισμός Τυποποιημένη μορφή ενός θετικού ρητού αριθμού είναι η μορφή με την οποία μπορούμε να γράψουμε τον αριθμό, ως γινόμενο ενός αριθμού α που είναι μεγαλύτερος ή ίσος του 1 και μικρότερος του 10 με κατάλληλη δύναμη του 10. Η τυποποιημένη μορφή των θετικών ρητών που είναι μεγαλύτεροι του 10 είναι: ν α 10, με 1 α 10 και ν φυσικός Η τυποποιημένη μορφή των θετικών ρητών που είναι μικρότεροι του 1 είναι: ν α 10, με 1 α 10 και ν φυσικός Παραδείγματα ,110 0,00 0,01 0 0, , 6 10 Μορφές ασκήσεων Λυμένες εφαρμογές ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ 1. Να γράψετε σε τυποποιημένη μορφή τους αριθμούς: α) β) γ) : 0,0000 α) , β) , γ) : 0, ν α10, 1 α10, νφυσικός 8

51 7.10 Τυποποιημένη μορφή μεγάλων και μικρών αριθμών. Να γράψετε σε τυποποιημένη μορφή τους αριθμούς: α) 0, β) 0, γ) 0, 0000 : α) 0, β) 0, 00067, γ) 0, 0000: , ν α10,1 α10, νφυσικός Eρωτήσεις κλειστού τύπου Να αντιστοιχίσετε τα δεδομένα της 1ης στήλης με τα δεδομένα της ης στήλης: 1η στήλη η στήλη 1,10 1 A 1 0, 001 1,10 Β ,10 Γ 0, ,10 Δ ,10 Ε 0,1 1,10 6 ΣΤ 1,10 7 Ζ Ασκήσεις προς λύση 1. Να γράψετε σε τυποποιημένη μορφή τους αριθμούς: α) β) γ) δ) ε) στ) Να γράψετε τους αριθμούς: α), 810 β) 110, γ), δ) 7, ε) 9,010 0 στ) 8, Να γράψετε σε τυποποιημένη μορφή τους αριθμούς: α) 10 β) 1 10 γ) 010 9

52 Μαθηματικά Β Γυμνασίου 6 δ) ε).0 10 στ) Να γράψετε σε τυποποιημένη μορφή τους αριθμούς: α) 0, 00 β) 0, 0000 γ) 0, δ) 0, ε) 0, στ) 0,0. Να γράψετε τους αριθμούς: α), 810 β) 110, γ), δ) 7, ε) 9,010 0 στ) 8, Να γράψετε σε τυποποιημένη μορφή τους αριθμούς: α) 10 β) 1 10 γ) δ) ε) στ) Να γράψετε σε τυποποιημένη μορφή τους αριθμούς: α).000 : 0,000 β) : 0, γ) : 0,00000 δ) 0, : ε) 0, 01 : στ) 0, 00000: Να συγκρίνετε τα ζεύγη των αριθμών: α),0 10 και,01 10 β) 6, 10 και, γ) 0, 10 και,110 δ) 0, και 1, Να μετατρέψετε σε gr και σε τυποποιημένη μορφή τα: α),0 kg β) 0, 00 kg γ), 10 kg δ) 0,06 10 kg ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΑΣΤΕΡΑΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ 10. Να γράψετε σε τυποποιημένη μορφή τα αποτελέσματα των παραστάσεων: 8 10 α) 8 0,0 10,07 10 β), 10 0, γ) 6 0, , 110 δ) 0,0910, Να γράψετε σε τυποποιημένη μορφή τα αποτελέσματα των παραστάσεων: 8 10 α) 8 0,0 10,07 10 β) 9, 10 0, γ) 6 0, , 110 δ) 0,0910, Να γράψετε σε τυποποιημένη μορφή τα αποτελέσματα των παραστάσεων: 8 10 α) 8 0,0 10,07 10 β) 9, 10 0, γ) 6 0, , 110 δ) 0,0910, 10 0

53 Ασκήσεις επανάληψης Ασκήσεις επανάληψης 1. Να βρείτε τα αποτελέσματα με τη βοήθεια μιας δύναμης: α) β) 1 9 γ) ( ) ( ) δ) 11 : ε) 7 9 : 7 11 στ) 11 : ( 11). Να βρείτε τα αποτελέσματα με τη βοήθεια μιας δύναμης: ( ) ( ) ( 7) 7 7 α) β) γ) 8 11 ( ) ( ) 7 ( 7) 7. Να βρείτε τα αποτελέσματα με τη βοήθεια μιας δύναμης: α) ( ) β) δ) 6 19 : ε) γ) ( ) 1 : στ) ( ) : ( ) 9. Να βρείτε τα αποτελέσματα με τη βοήθεια μιας δύναμης: β) ( ) : γ) ( ) : ( ) 1 8 α) :. Να βρείτε τα αποτελέσματα με τη βοήθεια μιας δύναμης: α) 9 9 ( 8) ( ) β) 1 γ) ( 16) δ) ( ) : ε) ( ) :9 στ) ( 18) :( 6) 6. Να βρείτε τα αποτελέσματα με τη βοήθεια μιας δύναμης: 7 α) β) γ) ( ) ( ) δ) ( ) :( ) 6 ε) 7 :7 : 9 στ) 7. Να βρείτε τα αποτελέσματα με τη βοήθεια μιας δύναμης: 6 ( ) α) β) γ) 8 11 ( ) 8. Να βρείτε τα αποτελέσματα με τη βοήθεια μιας δύναμης: α) ( ) β) γ) ( ) 1

54 Μαθηματικά Β Γυμνασίου 9. Να βρείτε τα αποτελέσματα με τη βοήθεια μιας δύναμης: 7 α) : β) : 10. Δίνεται η παράσταση Α ( ) :( ) ( ) 1. Να βρείτε τον αντίθετο, τον αντίστροφο και την απόλυτη τιμή του Α. 11. Να βρείτε τα αποτελέσματα των αριθμητικών παραστάσεων: A 1x x x 1x, για x, 1x x x B (x) (x1) (x1) ( ), για x. 1. Να βρείτε τα αποτελέσματα των αριθμητικών παραστάσεων: 1 ( ) 17 ( 1) Α B 9 : ( ) ( ) ( ) Να υπολογίσετε την τιμή κάθε παράστασης: α) 7 0 ( ) : ( ) ( ) ( 8 1) ( 1) 7 β) ( 8) : ( ) ( ) ( 100) γ) δ) ( 9 6) : ( 7 ) ( 6) ( ) 1. Να υπολογίσετε την τιμή κάθε παράστασης: α) ( ) : ( ) ( 7 :18) ( 1) 7 ( ) β) 1 10 : ( 0) ( ) ( 8 ) ( 1) ( ) 0 γ) ( ) : 8 ( 6) ( 9) δ) 6 1 :( ) :( ) ( ) ( ) 1

55 Κριτήριο αξιολόγησης Θέμα 1ο α) Με τι ισούται η δύναμη ενός μη μηδενικού αριθμού με ακέραιο αρνητικό εκθέτη; Να εκφράσετε τη σχέση αυτή με τη βοήθεια μεταβλητών. β) Να γράψετε τις ιδιότητες των δυνάμεων. γ) Να αντιστοιχίσετε τα δεδομένα της 1ης στήλης με τα δεδομένα της ης στήλης: 1 1η στήλη η στήλη ( 6) 1 ( 6) ( 6) 7 ( 6) ( 6) :( 6) 1 ( 6) ( 6) ( ) ( 6) ( ) 1 ( ) ( 6) :( ) ( 18) ( 18) 16 A Β Γ Δ Ε ΣΤ Ζ Θέμα ο Να βρείτε τα αποτελέσματα με τη βοήθεια μιας δύναμης: β) 9 α) 7 7 : γ) : 7 7 Θέμα ο Για x να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: x x x A (x 10) x Θέμα ο Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: ( ) 0 ( ) 79 ( ) ( ) ( 7) ( 1) 1 0 Α

56 1.1 Η έννοια της μεταβλητής Αλγεβρικές παραστάσεις Ορισμοί 1. Μεταβλητή ονομάζεται το γράμμα (ελληνικό α, β, γ,... ή λατινικό x, y, t, ) που παριστάνει έναν οποιονδήποτε αριθμό.. Αριθμητική παράσταση ονομάζεται η παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς.. Αλγεβρική παράσταση ονομάζεται η παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς και μεταβλητές. Οι προσθετέοι της παράστασης λέγονται όροι αυτής.. Αναγωγή ομοίων όρων ονομάζεται η διαδικασία με την οποία γράφουμε σε απλούστερη μορφή μια αλγεβρική παράσταση, προσθέτοντας ή αφαιρώντας τους όρους που έχουν ίδιες μεταβλητές υψωμένες στις ίδιες δυνάμεις. Παατσεσ 1. Το επί () μεταξύ αριθμού και μεταβλητής ή μεταξύ μεταβλητών μπορεί να παραλείπεται, δηλαδή xy xy.. 1x 1x x.. Για την αναγωγή ομοίων όρων χρησιμοποιούμε την επιμεριστική ιδιότητα, δηλαδή α( βγ) αβαγ. Χρήσιμη είναι και η ισοδύναμη μορφή της ( βγ) αβαγ α.. Στην αναγωγή ομοίων όρων προσθέτουμε (ή αφαιρούμε) όρους που έχουν ακριβώς τις ίδιες μεταβλητές υψωμένες στις ίδιες δυνάμεις με τους όρους στους οποίους κάνουμε πράξεις. Τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις των όρων που δεν έχουν μεταβλητές (είναι αριθμοί) τις κάνουμε χωριστά. Παραδείγματα x x, y y, xyw xyw. Αριθμητικές παραστάσεις: ( 6) ( ), ( ) (1 : 1). Αλγεβρικές παραστάσεις: ( α) 8α, (x 1) y x.

57 1.1 Η έννοια της μεταβλητής Αλγεβρικές παραστάσεις Αναγωγή ομοίων όρων: 7α1 α(71) α α, xxx (1) x x, α ( α) 8α α6α6 8α (1 6 8) α6 1α. Στις αλγεβρικές παραστάσεις x y, x xy y δεν υπάρχουν όμοιοι όροι για να κάνουμε αναγωγή. Μορφές ασκήσεων Λυμένες εφαρμογές ΕΚΦΡΑΣΗ ΜΙΑΣ ΠΡΟΤΑΣΗΣ Ή ΕΝΟΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ 1. Να εκφράσετε τις προτάσεις με τη βοήθεια μεταβλητών: α) Το τριπλάσιο ενός αριθμού ελαττώνεται κατά. β) Το πενταπλάσιο ενός αριθμού αυξάνεται κατά 1. γ) Το 1 ενός αριθμού αυξάνεται κατά το μισό του αρχικού αριθμού. δ) Το τετραπλάσιο του αθροίσματος δύο αριθμών είναι μεγαλύτερο από. ε) Η περίμετρος ενός ορθογώνιου παραλληλογράμμου ισούται με 1cm. α) Αν x είναι o αριθμός, τότε x είναι το τριπλάσιό του, άρα x είναι το τριπλάσιο του αριθμού ελαττωμένο κατά. β) Αν x είναι ο αριθμός, τότε το πενταπλάσιό του είναι x, άρα x 1 είναι το πενταπλάσιο του αριθμού αυξημένο κατά 1. γ) Αν x είναι ο αριθμός, τότε το 1 του είναι 1 x, το μισό του είναι 1 x, άρα το x x του αριθμού αυξημένο κατά το μισό του είναι x x. δ) Θεωρούμε δύο αριθμούς x και y, οπότε το άθροισμά τους είναι x y, το τετραπλάσιο του αθροίσματος είναι ( x y), άρα η ζητούμενη παράσταση είναι ( xy).

58 Μαθηματικά Β Γυμνασίου ε) Θεωρούμε x cm το μήκος και y cm το πλάτος του ορθογωνίου, με x, y 0. Τότε η περίμετρος του ορθογώνιου παραλληλογράμμου είναι x y. Επομένως θα ισχύει x y 1.. Σε μια ιδιωτική επιχείρηση γίνεται αύξηση των μισθών των υπαλλήλων κατά 1%. Να εκφράσετε τον νέο μισθό του κάθε υπαλλήλου με τη βοήθεια του παλιού μισθού. Έστω x (x 0) ο αρχικός μισθός ενός υπαλλήλου της ιδιωτικής επιχείρησης, οπότε η αύξηση είναι 1% x. Τότε ο νέος μισθός του υπαλλήλου (σε ) θα είναι: 1 x1% x x x x0, 1x ( 10, 1) x 11, x. 100 ΑΠΛΟΠΟΙΗΣΗ ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: α) xx8x β) t t 6t t 7t γ) 8x x x x x ( ) ( ) δ) ( ) α) x x 8x = ( + 8)x = x β) t t 6t t 7t = ( )t = t γ) 8x ( x x) ( x x) 8x x x x x x 8x x x x x 1x 9x δ) ( ) y 9y y y + y = = y [ 9y + 6y y ] + y = = y + 9y 6y y + y = = y + 9y y + y 6y = = 17y 6y = 11y y 9y y y y βαγα ( βγ) α ( αβγ) αβγ ( αβγ) αβγ α(βγ) αβ αγ 6