Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις - συμπληρώσεις )

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ α x +β<0 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ α.(β+γ)=α. β+α. γ Δ= δ. π+ υ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις - συμπληρώσεις ) Τα μαθηματικά είναι μια αλυσίδα. Για να προχωρήσουμε στην ύλη της Γ Γυμνασίου θα πρέπει να γνωρίζουμε πλήρως την ύλη της Β Γυμνασίου. Επειδή όμως αυτό δεν είναι εφικτό, για να καλύψετε τυχόν κενά, σας παραπέμπουμε στο ένθετο τεύχος μας όπου θα βρείτε όλη τη θεωρία της Β Γυμνασίου με παραδείγματα. Παρακάτω θα βρείτε συνοπτικά τη θεωρία που μας είναι απαραίτητη για να προχωρήσουμε στη λύση των ασκήσεων της παραγράφου.

2 4 Κεφάλαιο 1 ο Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Πρόσθεση Για να προσθέσουμε δύο ομόσημους αριθμούς, προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο άθροισμα αυτό βάζουμε το πρόσημό τους. π.χ. (-7 ) + (-5 ) = - ( ) = -12 Για να προσθέσουμε δύο ετερόσημους αριθμούς, αφαιρούμε τη μικρότερη απόλυτη τιμή από τη μεγαλύτερη και στη διαφορά αυτή βάζουμε το πρόσημο του αριθμού που έχει τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή. Αν η διαφορά των απόλυτων αριθμών είναι μηδέν, τότε και το άθροισμα είναι μηδέν. π.χ. (-13) + (+5)= -(13-5) = -8, (-6) + (+6) =0 Ιδιότητες της πρόσθεσης α + 0 = α α + (-α) = 0 α + β = β + α (αντιμεταθετική ιδιότητα) (α + β) + γ = α + (β+γ), (προσεταιριστική ιδιότητα) Με τη βοήθεια των παραπάνω ιδιοτήτων μπορούμε να βρίσκουμε το άθροισμα πολλών προσθετέων. Αφαίρεση Είναι γνωστό ότι διαφορά του αριθμού β από τον αριθμό α είναι ένας αριθμός γ, που όταν τον προσθέσουμε στον β να προκύπτει το α. Δηλαδή α - β = γ, όταν α = β + γ Η διαφορά του β από τον α βρίσκεται, αν στον α προσθέσουμε τον αντίθετό του β. Δηλαδή α - β = α + (-β) π.χ. (+3) -(-5) = (+3) + (+5) = +8 Με τη βοήθεια της αφαίρεσης, λύνονται οι εξισώσεις: χ + α = β, τότε χ = β α χ - α = β, τότε χ = α +β

3 Κεφάλαιο 1 ο 5 α- χ = β, τότε χ + β = α, οπότε χ = α β Απαλοιφή παρενθέσεων Όταν μία παρένθεση έχει μπροστά της το + (ή δεν έχει πρόσημο) μπορούμε να την απαλείψουμε μαζί με το + (αν έχει) και να γράψουμε τους όρους που περιέχει με τα πρόσημά τους. π.χ. ( ) + ( )= = = -1 Όταν μία παρένθεση έχει μπροστά της το -, μπορούμε να την απαλείψουμε μαζί με το - και να γράψουμε τους όρους που περιέχει με αλλαγμένα πρόσημα. π.χ. - (3-5 +2) - ( )= = =5 Πολλαπλασιασμός Για να πολλαπλασιάζουμε δύο ρητούς αριθμούς θα εργαζόμαστε ως εξής: α) Θα πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές των αριθμών, δηλαδή τους αριθμούς χωρίς πρόσημα. β) Στο αποτέλεσμα (το γινόμενό τους) θα βάζουμε ένα πρόσημο (+) ή (-) με βάση τον επόμενο κανόνα. 1. (+) επί (+) μας δίνει (+). Δηλαδή όταν και οι δύο αριθμοί είναι θετικοί το γινόμενό τους θα είναι θετικός αριθμός. 2. (-) επί (-) μας δίνει (+). Δηλαδή όταν και οι δύο αριθμοί είναι αρνητικοί το γινόμενό τους θα είναι θετικός αριθμός. 3. (+) επί (-) μας δίνει (-). Όταν ο ένας αριθμός είναι θετικός και ο άλλος είναι αρνητικός τότε το γινόμενό τους θα είναι αρνητικός αριθμός. 4. (-) επί (+) μας δίνει (-). Ισχύει ό,τι και στην περίπτωση 3. (+) (+) = (+) (+) ( ) = ( ) ( ) ( ) = (+) ( ) (+) = ( ) Δεν πρέπει να μπερδεύουμε την πρόσθεση ή την αφαίρεση δύο αριθμών με τον πολλαπλασιασμό.

4 6 Κεφάλαιο 1 ο Από τους τέσσερις κανόνες για τον «πολλαπλασιασμό» των προσήμων, προκύπτουν οι παρακάτω κανόνες για τον πολλαπλασιασμό ρητών αριθμών. Ιδιότητες του πολλαπλασιασμού α) Όταν πολλαπλασιάζουμε έναν ρητό αριθμό (είτε θετικό είτε αρνητικό) με το μηδέν, το αποτέλεσμα θα είναι μηδέν: α 0=0 α=0 Π.χ. (-2) 0 = 0 (-2) = 0, 0 (+3) = (+3) 0 = 0, 2 0 = 0 2 = 0 β) Όταν πολλαπλασιάζουμε έναν ρητό αριθμό με το +1 το αποτέλεσμα θα είναι ο ίδιος ο αριθμός: Π.χ. (-4) 1 = 1 (-4) = -4 α 1=1 α=α γ) Με όποια σειρά και να πολλαπλασιάσουμε δύο ρητούς α- ριθμούς το αποτέλεσμα δεν αλλάζει. Αυτή είναι η αντιμεταθετική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού. Π.χ. (-2) (+3)=(+3) (-2)=-6 α β = β α δ) Επίσης ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού Π.χ. [3 (-2)] (-1)=3 [(-2) (-1)] (α β) γ = α (β γ) ε) Δύο ρητοί αριθμοί που έχουν γινόμενο +1 λέγονται αντίστροφοι α β =β α=1 Π.χ. Ο αντίστροφος του +2 είναι ο αφού :( ) = + = = στ) Η ιδιότητα που συνδέει τον πολλαπλασιασμό με την πρόσθεση ρητών αριθμών είναι η επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση. π.χ. 3( 2+ 1) = = 6+ 3= 9 ή 3(2 + 1) = 3 (3) = 3 3 = 9 α (β + γ) =α β + α γ ή α β + α γ= α (β +γ)

5 Κεφάλαιο 1 ο 7 Διαίρεση Ανάλογη με τη σχέση που έχει η αφαίρεση προς την πρόσθεση, είναι και η σχέση της διαίρεσης προς τον πολλαπλασιασμό. Έχουμε λοιπόν, τα παρακάτω «ζευγάρια». ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Έτσι για να διαιρέσουμε δύο ρητούς: α) Διαιρούμε τις απόλυτες τιμές τους (δηλαδή τους αριθμούς χωρίς πρόσημα) β) Βάζουμε στο αποτέλεσμα πρόσημο, σκεπτόμενοι όπως ΑΚΡΙΒΩΣ στον πολλαπλασιασμό (αντί «επί» έχουμε τη λέξη διά»). Έτσι : (+) δια (+) = (+) (+) δια ( ) = ( ) ( ) δια ( ) = (+) ( ) δια (+) = ( ) Δηλαδή αν οι αριθμοί είναι ομόσημοι δίνουν (+) ενώ αν είναι ετερόσημοι δίνουν (-) Διαίρεση του ρητού α δια του ρητού β ονομάζεται η πράξη κατά την οποία βρίσκεται ένας ρητός, έστω χ, ο οποίος πολλαπλασιαζόμενος με τον β μας δίνει τον α. Η διαίρεση του α δια του β συμβολίζεται με «:» ή με, δηλαδή αν β χ = α, τότε: a α: β=χ ή χ β =. Ο α λέγεται διαιρετέος, ο β διαιρέτης και ο χ πηλίκο. Προσοχή Διαίρεση δια του μηδενός (0) δεν έχει νόημα. Γι αυτό σε κάθε κλάσμα ο παρoνομαστής πρέπει να είναι διαφορετικός του 0.

6 8 Κεφάλαιο 1 ο Ιδιότητες της διαίρεσης 1) Η διαίρεση ενός αριθμού α (διάφορου του 0) με τον εαυτό του δίνει πηλίκο 1. α : α = 1 ή α =1 α 2) Η διαίρεση ενός αριθμού α με το 1 δίνει τον ίδιο αριθμό α, ενώ η διαίρεσή του με το 1 δίνει τον αντίθετο του α, τον α. α : (-1) = -α ή α =-α -1 3) Η διαίρεση του 0 (μηδέν) με έναν αριθμό α (διάφορο από το 0) δίνει 0. α : 0 = α 1 Να υπολογιστεί το άθροισμα Α = (-2) + (-5) + (+11) + (+5) + (-7) 1 ος τρόπος 2 ος τρόπος ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Α = (-2) = = = =+2 =+2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Α= = = =+11+-9

7 Κεφάλαιο 1 ο 9 3 ος τρόπος Α = (-2) + (-5) + ( +11 ) + ( +5 ) + (-7) = = = =11-9 =2 (παραλείπουμε τις παρενθέσεις) (Διαγράφουμε τους αντίθετους όρους) (Χωρίζουμε θετικούς και αρνητικούς) (Προσθέτουμε χωριστά θετικούς, χωριστά αρνητικούς) 2 Να βρείτε το γινόμενο 3 (6-7) 3 (6-7)= = Εδώ έχουμε αφαίρεση, θα την μετατρέψουμε σε πρόσθεση =18+(-21)=-(21-18)=-3 Άρα 3 (6-7)=-3 ή 3 (6-7)=3 (-1)=(+3) (-1) = -3 1 = -3 3 Να βρεθούν τα πηλίκα : i) α : α ii) α : 1 iii) α : (-1) και iv) 0 : α i) Όπως γνωρίζουμε η διαίρεση ενός αριθμού με τον εαυτό του μας δίνει πηλίκο 1, έτσι α : α =1. ii) Η διαίρεση ενός αριθμού με τη μονάδα μας δίνει τον ίδιο αριθμό, οπότε α : 1 = α. iii) Eδώ έχουμε τη διαίρεση του α με το 1. Αφού α:1= α θα είναι α:(-1)=-α iv) Όπως ισχύει και στον πολλαπλασιασμό, η διαίρεση του μηδενός με έναν αριθμό (διάφορο του μηδενός) δίνει πηλίκο 0.

8 10 Κεφάλαιο 1 ο 2x x+( x 45 Πώς προσθέτουμε δύο ετερόσημους αριθμούς; Για να προσθέσουμε δύο ετερόσημους αριθμούς, αφαιρούμε τη μικρότερη απόλυτη τιμή από τη μεγαλύτερη και στη διαφορά αυτή βάζουμε το πρόσημο του αριθμού που έχει τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή. Αν η διαφορά των απόλυτων αριθμών είναι μηδέν, τότε και το άθροισμα είναι μηδέν. Πώς πολλαπλασιάζουμε δύο ρητούς αριθμούς; Θα πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές των αριθμών, δηλαδή τους αριθμούς χωρίς πρόσημα και στο αποτέλεσμα (το γινόμενό τους) θα βάζουμε ένα πρόσημο (+) ή (-) με βάση τον επόμενο κανόνα. Πώς διαιρούμε δύο ρητούς; Διαιρούμε τις απόλυτες τιμές τους (δηλαδή τους αριθμούς χωρίς πρόσημα) β)βάζουμε στο αποτέλεσμα πρόσημο, σκεπτόμενοι όπως ΑΚΡΙΒΩΣ στον πολλαπλασιασμό (αντί «επί» έχουμε τη λέξη διά»). Η διαίρεση ενός αριθμού α με το μηδέν τι αποτέλεσμα μας δίνει; Η διαίρεση του 0 (μηδέν) με έναν αριθμό α (διάφορο από το 0) δίνει 0.

9 Κεφάλαιο 1 ο 11 Για τη λύση των ασκήσεων θα ακολουθήσουμε τα παρακάτω βήματα: Πρόσθεση ρητών αριθμών 1 ο βήμα Εξετάζουμε αν οι αριθμοί είναι ομόσημοι ή ετερόσημοι. 2 ο βήμα Εάν οι αριθμοί είναι ομόσημοι (δηλαδή και οι δύο θετικοί ή και οι δύο αρνητικοί) προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο αποτέλεσμα βάζουμε το κοινό πρόσημο των αριθμών. Εάν οι αριθμοί είναι ετερόσημοι από τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή αφαιρούμε την μικρότερη και στο αποτέλεσμα βάζουμε το πρόσημο που είχε η μεγαλύτερη απόλυτη τιμή. Όταν προσθέτουμε περισσότερους από δύο ρητούς αριθμούς: 1 ο βήμα Εάν υπάρχουν αντίθετοι αριθμοί τους διαγράφουμε. 2 ο βήμα Χωρίζουμε τους αριθμούς σε θετικούς και αρνητικούς. 3 ο βήμα προσθέτουμε όλους τους θετικούς και όλους τους αρνητικούς. 4 ο βήμα στο τέλος μένουν δύο αριθμοί, ένας θετικός και ένας αρνητικός, τους οποίους προσθέτουμε και παίρνουμε το τελικό αποτέλεσμα. Αφαίρεση ρητών αριθμών Η μεθοδολογία που θα ακολουθήσουμε στην πρώτη κατηγορία είναι η εξής: 1 ο βήμα Εντοπίζουμε πού υπάρχουν αφαιρέσεις και τις μετατρέπουμε σε προσθέσεις αλλάζοντας ταυτόχρονα το πρόσημο του αριθμού που ακολουθεί.

10 12 Κεφάλαιο 1 ο 2 ο βήμα Βγάζοντας ή όχι τις παρενθέσεις προσθέτουμε όλους τους θετικούς, όλους τους αρνητικούς και στους δύο αριθμούς που απομένουν κάνουμε μία αφαίρεση. Όπου χρειάζεται μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τις ιδιότητες της πρόσθεσης: Πολλαπλασιασμός ρητών αριθμών 1 ο βήμα Θα εξετάζουμε αν οι αριθμοί είναι ομόσημοι ή ετερόσημοι. Εάν είναι ομόσημοι το πρόσημο του γινομένου θα είναι (+). Εάν είναι ετερόσημοι το πρόσημο του γινομένου θα είναι (-). 2 ο βήμα Θα πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές και στο αποτέλεσμα θα βάζουμε το πρόσημο που βρήκαμε στο 1 ο βήμα. Όταν σε μια παράσταση υπάρχουν πολλαπλασιασμοί, προσθέσεις και αφαιρέσεις θα ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: 1 ο βήμα Θα κάνουμε πρώτα τους πολλαπλασιασμούς και τα γινόμενα θα τα γράφουμε μέσα σε παρενθέσεις. 2 ο βήμα Έπειτα θα κάνουμε τις προσθέσεις. 3 ο βήμα και τέλος θα κάνουμε τις αφαιρέσεις (θα τις μετατρέπουμε σε προσθέσεις) και θα βρίσκουμε το τελικό αποτέλεσμα. Όταν έχουμε τον πολλαπλασιασμό ενός αριθμού με ένα άθροισμα που είναι μέσα σε παρένθεση θα χρησιμοποιούμε την επιμεριστική ιδιότητα. 1 ο βήμα Θα κάνουμε τον πολλαπλασιασμό του αριθμού με κάθε έναν από τους όρους του αθροίσματος. 2 ο βήμα Θα υπολογίζουμε το άθροισμα κάνοντας πρώτα τις προσθέσεις και έπειτα τις αφαιρέσεις. Διαίρεση ρητών αριθμών 1 ο βήμα Διαιρούμε τις απόλυτες τιμές των αριθμών 2 ο βήμα: Βρίσκουμε το πρόσημο του αποτελέσματος σύμφωνα με τους κανόνες. Για να διαιρέσουμε δύο κλάσματα εργαζόμαστε ως εξής: 1 ο βήμα Αντιστρέφουμε το δεύτερο κλάσμα (το διαιρέτη). 2 ο βήμα Μετατρέπουμε τη διαίρεση σε πολλαπλασιασμό.

11 Κεφάλαιο 1 ο 13 Σε κάποιες από τις ασκήσεις θα χρειαστεί να βρούμε τους αντίστροφους και τους αντίθετους ρητών αριθμών. Για δύο αντίστροφους αριθμούς α και 1 α ισχύει 1 α =1 α Αντίθετος ενός αριθμού είναι ο ίδιος αριθμός με αλλαγμένο πρόσημο.