Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Transcript

1 2 Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Προσθετέοι 18+17=35 α Προσθετέοι + β = γ Άθοι ρ σμα Άθοι ρ σμα = Πρόσθεση φυσικών αριθμών Πρόσθεση είναι η πράξη με την οποία από δύο φυσικούς αριθμούς, βρίσκουμε έναν τρίτο φυσικό αριθμό που λέγεται άθροισμα των αριθμών αυτών. Οι αριθμοί που προστίθενται λέγονται προσθετέοι του αθροίσματος. Η πρόσθεση έχει τις εξής ιδιότητες: Αντιμεταθετική α+ β= β+ α Προσεταιριστική ( ) + 20 = 11 + ( ) α+ ( β+ γ) = ( α+ β) + γ Το 0 δεν μεταβάλλει τον φυσικό με την πρόσθεση = = 15 α+ 0= 0+ α= α = 33 Μειωτέος Διαφορά Αφαιρετέος Αφαίρεση φυσικών αριθμών Αφαίρεση είναι η πράξη με την οποία, όταν δίνονται δύο αριθμοί Μ, Α, βρίσκουμε έναν αριθμό Δ, ο οποίος, όταν προστεθεί στον Α, δίνει άθροισμα το Μ. Στην αφαίρεση δηλαδή έχουμε: Μ Α= Δ γιατί Α+ Δ= Μ 23

2 50 17 = 33 γιατί = 50 Παράγοντες Παράγοντες 5. 7=35 α. β =γ Γινόμενο Γινόμενο 3 7 = 7 3 Ο αριθμός Μ ονομάζεται μειωτέος, ο Α αφαιρετέος και ο Δ διαφορά. Μια αφαίρεση μπορεί να γίνει όταν ο μειωτέος είναι μεγαλύτερος ή ίσος από τον αφαιρετέο. Πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πολλαπλασιασμός είναι η πράξη με την οποία από δύο φυσικούς αριθμούς βρίσκουμε έναν τρίτο φυσικό αριθμό που λέγεται γινόμενο των αριθμών αυτών, ενώ οι αριθμοί που πολλαπλασιάζονται λέγονται παράγοντες του γινομένου. Ο πολλαπλασιασμός έχει τις εξής ιδιότητες: Αντιμεταθετική αβ = βα Προσεταιριστική 2 ( 5 8) = ( 2 5) 8 α ( β γ) = ( α β) γ Το 1 δεν μεταβάλλει το φυσικό με τον πολλαπλασιασμό 15 1 = 1 15 = 15 α1 = 1α = α Επιμεριστική ως προς την πρόσθεση 5 ( 3 + 7) = α ( β+ γ) = α β+ α γ Επιμεριστική ως προς την αφαίρεση 5 ( 8 4) = α ( β γ) = α β α γ 24 Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

3 Να προσέξουμε : Το άθροισμα τριών αριθμών προκύπτει, αν προσθέσουμε αρχικά τους δύο αριθμούς και στη συνέχεια στο αποτέλεσμα που θα βρούμε προσθέσουμε τον τρίτο α- ριθμό. Για παράδειγμα: Για να υπολογίσουμε το άθροισμα , βρίσκουμε πρώτα το άθροισμα = και μετά το άθροισμα = 90. Αυτό το γράφουμε ως εξής: = ( ) Βάζουμε δηλαδή μέσα σε παρενθέσεις τους αριθμούς που θέλουμε να προσθέσουμε πρώτα. Το γινόμενο επίσης τριών αριθμών προκύπτει, αν πολλαπλασιάσουμε αρχικά τους δύο αριθμούς και στη συνέχεια το αποτέλεσμα που θα βρούμε το πολλαπλασιάσουμε με τον τρίτο αριθμό. Και στον πολλαπλασιασμό, όπως και στην πρόσθεση, βάζουμε μέσα σε παρενθέσεις τους αριθμούς που θέλουμε να πολλαπλασιάσουμε πρώτα. Έτσι, για να υπολογίσουμε το γινόμενο 7 2 5, βρίσκουμε πρώτα το γινόμενο 25 = 10και μετά το γινόμενο 710 = 70. Αυτό γράφεται ως εξής: 7 2 5= 7 ( 2 5) Εφαρμόζοντας την αντιμεταθετική και την προσεταιριστική ιδιότητα μπορούμε να υπολογίζουμε πιο εύκολα αθροίσματα. Για παράδειγμα: αντιμεταθετική ιδιότητα + + = + + ( ) = ( ) + 15 ( προσεταιριστική ιδιότητα ) = = 45 Ανάλογα, εφαρμόζοντας την αντιμεταθετική και την προσεταιριστική ιδιότητα μπορούμε να υπολογίζουμε πιο εύκολα γινόμενα. Για παράδειγμα: αντιμεταθετική ιδιότητα = ( ) = ( 25 4) 7 5 ( προσεταιριστική ιδιότητα ) = = Το γινόμενο κάθε φυσικού αριθμού α με το μηδέν είναι μηδέν, δηλαδή ισχύει: α 0= 0 α= 0 25

4 Επειδή το 0 δεν μεταβάλλει τον φυσικό όταν προστίθεται με αυτόν και το 1 δεν μεταβάλλει τον φυσικό όταν πολλαπλασιάζεται με αυτόν, κάθε φυσικός μπορεί να γράφεται ως άθροισμα του ίδιου με το μηδέν ή ως γινόμενο του ίδιου με το ένα. Για παράδειγμα: 8= 8+ 0= 0+ 8 ή 8= 8 1= 1 8 Για να πολλαπλασιάσουμε έναν φυσικό αριθμό επί 10, 100, 1.000,... γράφουμε δεξιά του αριθμού τόσα μηδενικά όσα έχει κάθε φορά ο παράγοντας 10, 100, 1.000,... Για παράδειγμα: = = = Το γινόμενο δύο φυσικών είναι ουσιαστικά συντομογραφία αθροίσματος ίδιων προσθετέων, αφού για παράδειγμα 5 4 σημαίνει: ή Έτσι, όταν έχουμε να κάνουμε πράξεις όπου σημειώνονται προσθέσεις ή αφαιρέσεις και πολλαπλασιασμοί, πρώτα κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς και μετά τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις. Για παράδειγμα: = = 7+ 20= 27 Τονίζουμε ότι είναι λάθος αν γράψουμε = 12 4= 48, αφού όπως είδαμε = 27. Η επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση μπορεί να ερμηνευτεί γεωμετρικά με τη βοήθεια του σχήματος: β+γ α α (β+γ) = α α β + α γ α β γ β γ Η επιμεριστική ιδιότητα μας διευκολύνει πολύ στην εκτέλεση των πράξεων. Ιδιαίτερα χρήσιμη είναι όταν έχουμε να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε γινόμενα που έχουν έναν κοινό παράγοντα. Για παράδειγμα: = = 27 = 14 ( ) = = 15 ( 11 1) = = 150 Παρατηρούμε στο 2 ο παράδειγμα πόσο χρήσιμο είναι μερικές φορές να γράφουμε έναν αριθμό ως γινόμενο του ίδιου του αριθμού επί το ένα. 26 Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

5 Η επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση εφαρμόζεται και στην περίπτωση που το άθροισμα έχει περισσότερους από δύο προσθετέους. Είναι: = = = 45 ( ) 4 ( ) = = = = = 3 5 ( ) = 310 = 30 Παραδείγματα Εφαρμογές : 2.1 Να συμπληρωθούν τα με κατάλληλα ψηφία α) β) γ) δ) Έχουμε: α) β) γ) δ) Να γίνει μια πρόχειρη εκτίμηση του παρακάτω αθροίσματος: Στη συνέχεια να υπολογιστεί το παραπάνω άθροισμα. Για να εκτιμήσουμε πρόχειρα ένα άθροισμα στρογγυλοποιούμε κατάλληλα τους προσθετέους και τους προσθέτουμε. Στο συγκεκριμένο πρόβλημα με στρογγυλοποίηση στην πλησιέστερη δεκάδα έχουμε: = ενώ με στρογγυλοποίηση στην πλησιέστερη εκατοντάδα έχουμε: = Το ακριβές άθροισμα είναι αυτό που φαίνεται δίπλα:

6 Παρατήρηση: Με την πρόχειρη εκτίμηση ενός αποτελέσματος ξέρουμε, πριν από την εκτέλεση της πράξης με χαρτί και μολύβι, περίπου το αποτέλεσμα. 2.3 α) Να υπολογιστούν τα αθροίσματα: i) ii) β) Να υπολογιστούν τα αθροίσματα των αριθμών κάθε γραμμής, κάθε στήλης και κάθε διαγωνίου του διπλανού τετραγώνου. α) Ο υπολογισμός ενός αθροίσματος με τρεις ή περισσότερους προσθετέους γίνεται πιο εύκολα, αν εφαρμόσουμε την αντιμεταθετική και την προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης. Έτσι λοιπόν έχουμε: i) = ii) = = ( 3 + 7) ( ) = = ( 3+ 22) + ( 16+ 9) + 15= = = = = = ( ) + 35 = = ( ) + 15 = = = 65 = = 65 β) Αν εργαστούμε με τον ίδιο τρόπο διαπιστώνουμε ότι το άθροισμα των αριθμών κάθε γραμμής, κάθε στήλης και κάθε διαγωνίου του τετραγώνου είναι το ίδιο, ίσο με 65. Παρατήρηση: Το τετράγωνο αυτό λέγεται «μαγικό τετράγωνο» και επειδή έχει 5 γραμμές και 5 στήλες λέγεται μαγικό τετράγωνο 5x5. Υπάρχουν πολλά τέτοια μαγικά τετράγωνα 3x3, 4x4, 5x5 κ.λπ. Το συγκεκριμένο μαγικό τετράγωνο είναι το βασικό 5x5. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η κατασκευή του. Να τοποθετηθούν δηλαδή σε 5 x 5 = 25 τετράγωνα οι αριθμοί 1, 2, 3,..., 25 με τέτοιο τρόπο, ώστε τα αθροίσματα των αριθμών κάθε γραμμής, κάθε στήλης και κάθε τετραγώνου να είναι Να συμπληρωθούν τα με κατάλληλα ψηφία. α) x β) x γ) 4 x Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

7 Είναι: α) 13 x β) x γ) 604 x Να υπολογιστούν τα γινόμενα: α) β) Έχουμε: α) = (αντιμεταθετική ιδιότητα) = ( 25 40) 83 (προσεταιριστική ιδιότητα) = = = = β) = ( ) ( ) ( ) 2.6 Να εκτελεστούν οι ακόλουθες πράξεις: α) β) γ) δ) α) = 13 ( ) = = β) = ( ) 7 = = 700 γ) = 18( 36 26) = = 180 δ) = ( ) 33 = = Να βρεθούν τα εξαγόμενα: α) = = = β) α) = = = = = 90 ( ) ( ) ( ) ( ) 29

8 β) = 763 ( ) ( 100 1) = = = = = = ( ) + ( ) = = = Πόσα ψηφία θα χρειαστούν για να αριθμήσουμε τα 149 σπίτια ενός δρόμου; Για την γραφή κάθε μονοψήφιου αριθμού χρειαζόμαστε προφανώς 1 ψηφίο, για κάθε διψήφιο 2 ψηφία, ενώ για κάθε τριψήφιο 3 ψηφία. Οι μονοψήφιοι είναι 9 (εκτός του μηδέν). Οι διψήφιοι είναι 99 μείον τους μονοψήφιους, δηλαδή 99 9 = 90, ενώ οι τριψήφιοι στο συγκεκριμένο πρόβλημα είναι 149 μείον = 99, που είναι οι μονοψήφιοι και οι διψήφιοι, δηλαδή είναι = 50. Θα χρειαστούμε λοιπόν 9 1 ψηφία για τους μονοψήφιους, 90 2 ψηφία για τους διψήφιους και 50 3 ψηφία για τους τριψήφιους, δηλαδή συνολικά: = = 339 ψηφία 2.9 Να υπολογιστεί το εμβαδόν της χρωματισμένης επιφάνειας στο παρακάτω σχήμα. Τα μήκη που σημειώνονται είναι σε εκατοστά: Το εμβαδόν Ε της επιφάνειας είναι ίσο με Ε1 + Ε2 + Ε3 όπου Ε,Ε,Ε τα εμβαδά των ορθογωνίων στα οποία χωρίζεται η επιφάνεια. Η μία πλευρά του ορθογωνίου με εμβαδόν Ε 1 είναι ίση με = 13 εκ., ενώ η άλλη είναι = 6 εκ. Άρα Ε1 = 6 13, Ε2 = 6 4 και Ε3 = 6 3, οπότε: Ε= = 6 ( ) = 6 20= 120 τετραγωνικά εκατοστά 12 Ε Ε Ε Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

9 2.10 Ο κύριος Μιχάλης προμηθεύτηκε για την ταβέρνα του 12 κιλά παϊδάκια προς 9 ευρώ το κιλό, 4 κιλά μοσχαρίσιες μπριζόλες προς 11 ευρώ το κιλό, 8 κιλά χοιρινές μπριζόλες προς 6 ευρώ το κιλό και 10 κιλά κιμά προς 7 ευρώ το κιλό. Πόσα ρέστα πήρε αν πλήρωσε με χαρτονόμισμα των 500 ευρώ; Τα χρήματα που έδωσε στον κρεοπώλη είναι: Για παϊδάκια 12 9 ευρώ, για μοσχαρίσιες μπριζόλες 411 ευρώ, για χοιρινές μπριζόλες 86 ευρώ και για κιμά 10 7 ευρώ. Συνολικά έδωσε: = = = 4( ) = = = = 270 ευρώ Επομένως από τα 500 ευρώ που έδωσε πήρε ρέστα = 230 ευρώ. Ερωτήσεις κατανόησης : 2.11 Να εξετάσετε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι σωστές ή λανθασμένες. σα) Για την πρόσθεση ισχύει η ιδιότητα α+ β= β+ α. σβ) Για την αφαίρεση ισχύει η ιδιότητα α β= β α. σγ) Ισχύει α 0= 0 για οποιοδήποτε φυσικό αριθμό α. α β γ = α β α γ. σδ) Ισχύει η ιδιότητα ( ) ( ) ( ) σε) Ισχύει η ισότητα = ( 30 7) 12. στ) Όταν γράφουμε 6 5εννοούμε σζ) Το γινόμενο δύο περιττών αριθμών είναι περιττός. ση) Το άθροισμα δύο περιττών αριθμών είναι περιττός Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. α) Οι πράξεις ( ) ( ) εκτελούνται λάθος, αν συνεχίσουμε γράφοντας: Α Β β) Οι πράξεις 55 ( 30 13) συνεχίζονται γράφοντας: Α Β. ( 55 30) Γ. ( + ) Δ. ( ) Γ Δ. ( ) 31

10 γ) Οι πράξεις συνεχίζονται λάθος, αν γράψουμε: Α. 99 Β Γ Δ δ) Ο αριθμός που είναι πλησιέστερα στο αποτέλεσμα των πράξεων: είναι ο: Α. 900 Β Γ Δ Να εξετάσετε αν έχουν εκτελεστεί σωστά ή λάθος οι παρακάτω πράξεις: = = 14 σα) ( ) σβ) = ( 7+ 2) 7= 9 7= 63 σγ) 2 ( 4 6) = ( 2 4) ( 2 6) = 8 12= 96 σδ) 4 ( 5+ 8) = = 20+ 8= 28 σε) ( 6 + 2) ( 20 5) = 8 15 = 120 στ) ( 18 3) ( 4 + 1) = = = Να αντιστοιχίσετε σε κάθε γραμμή της 1 ης στήλης τα αποτελέσματα της 2 ης στήλης. 1 η στήλη 2 η στήλη α) i) 10 β) ii) 0 γ) iii) 24 δ) iv) 12 ε) v) 26 Ασκήσεις Προβλήματα : 2.15 Να βρείτε τα αθροίσματα: α) β) γ) δ) Να βρείτε τα αθροίσματα, αφού κάνετε πρώτα μια πρόχειρη εκτίμηση για το καθένα: α) β) γ) δ) Στις επόμενες προσθέσεις να αντικαταστήσετε τα τετράγωνα με κατάλληλα ψηφία: 32 Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

11 α) β) Να διαπιστώσετε ότι τα παρακάτω τετράγωνα είναι μαγικά: Να υπολογίσετε τα αθροίσματα: α) σβ) γ) σδ) ε) στ) Να υπολογίσετε τις παρακάτω διαφορές, αφού κάνετε πρώτα μια εκτίμηση των αποτελεσμάτων: α) β) Να αντικαταστήσετε τα τετράγωνα με κατάλληλα ψηφία: α) β) γ) δ) Να συμπληρώσετε τα παρακάτω μαγικά τετράγωνα: α) 6 β) Να γράψετε μέσα στα κατάλληλους αριθμούς, ώστε να είναι σωστές οι ισότητες: α) = 963 β) = γ) 711 = 128 δ) = Να γράψετε με τη μορφή γινομένου τα παρακάτω αθροίσματα: α) β) γ) προσθετέοι 2.25 Να γράψετε τα γινόμενα με μορφή αθροίσματος ίσων προσθετέων: α) 365 β) 23 5 γ) 1 102δ) Να κάνετε τους πολλαπλασιασμούς: Α. α) ββ) γ) Β. α) ββ) γ) βδ) ε) στ) Γ. α) β) γ) Να χρησιμοποιήσετε μόνο μία φορά το καθένα από τα ψηφία 1, 2, 3, 4, 5, ώστε να συμπληρώσετε τα στον παρακάτω πολλαπλασιασμό: x 33

12 2.28 Να αντικαταστήσετε τα τετράγωνα με κατάλληλα ψηφία: α) 5 6 β) 25 5 x 7 x γ) 275 x δ) 4 5 x Να κάνετε τους πολλαπλασιασμούς: α) β) γ) δ) ε) Να κάνετε τις πράξεις: Α. α) β) γ) + ( ) δ) ( ) ε) 3 ( 4+ 5) Β. α) β) γ) δ) ( ) ε) ( 32 6) Να βρείτε τα εξαγόμενα: α) β) γ) Να κάνετε με δύο τρόπους τις παρακάτω πράξεις: Α. α) ( + ) β) ( ) γ) 4 ( ) δ) 5 ( ) Β. α) β) γ) Να βρείτε τα εξαγόμενα: α) 15 ( ) β) γ) δ) ε) Να γίνουν οι πράξεις: α) β) γ) δ) ( ) ( ) ε) ( 17 3) Να υπολογίσετε τα γινόμενα με τη βοήθεια της επιμεριστικής ιδιότητας: α) 917 β) γ) δ) Να συμπληρώστε τα, ώστε να ισχύουν οι ισότητες: 3 2+ = 15 α) ( ) β) ( ) 7 5 = 7 γ) = 40 δ) = Ένα βαρέλι άδειο έχει βάρος 68 κιλά και χωράει 232 κιλά κρασί. Πόσο ζυγίζει όταν είναι γεμάτο κρασί; 2.38 Η Χελιδόνα και το Βελούχι είναι δύο βουνά της Ευρυτανίας. Η Χελιδόνα έχει ύψος μέτρα, ενώ το Βελούχι είναι 340 μέτρα ψηλότερο. Πόσο ύψος έχει το Βελούχι; 34 Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

13 2.39 Να αποδείξετε ότι το παρακάτω τετράγωνο είναι μαγικό Να υπολογίσετε τα αθροίσματα: α) β) Να κάνετε τις πράξεις: α) β) γ) δ) ( ) 2.42 Ένας γεωργός θέλει να αγοράσει συρματόπλεγμα για να περιφράξει τα α- γροκτήματα που φαίνονται στα σχήματα: Αν οι διαστάσεις που σημειώνονται είναι σε μέτρα, πόσα μέτρα συρματόπλεγμα θα χρειαστεί; 2.43 Η Όλγα έχει 200 ευρώ. Ξόδεψε 75 ευρώ για να αγοράσει ένα φουστάνι, 48 ευρώ για να αγοράσει ένα παντελόνι και 57 ευρώ για να αγοράσει μια μπλούζα. Πόσα χρήματα της έμειναν; 2.44 Ο Σταμάτης εργάστηκε χωρίς ρεπό σε μια εταιρεία από τις 17 Σεπτεμβρίου μέχρι και το τέλος Οκτωβρίου. Πόσες ημέρες εργάστηκε συνολικά; 2.45 Ο Νίκος έχει 75 ευρώ περισσότερα από το φίλο του Σωτήρη. Καθένας ξόδεψε ένα μέρος από τα χρήματά του. Ο Σωτήρης ξόδεψε 137 ευρώ, ενώ ο Νίκος ξόδεψε τόσα ώστε βρέθηκε να έχει 23 ευρώ λιγότερα από το φίλο του. Πόσα ευρώ ξόδεψε ο Νίκος; 2.46 Σε ένα θέατρο οι τιμές των εισιτηρίων είναι 22 ευρώ για τους ενήλικες και 12 ευρώ για φοιτητές και νέους μέχρι 18 ετών. Πόσο θα κοστίσει η παρακολούθηση μιας παράστασης σε δύο τετραμελείς οικογένειες; (4 γονείς και 4 παιδιά μικρότερα των 18 ετών.) 2.47 Να υπολογίσετε το εμβαδόν της επιφάνειας του οικοπέδου που ακολουθεί (οι διαστάσεις που σημειώνεται είναι σε εκατοστά) Ο Θοδωρής είναι 28 χρόνια μικρότερος από τον πατέρα του και 5 χρόνια μεγαλύτερος από τον αδελφό του. Αν ο πατέρας είναι 41 ετών, να βρείτε την ηλικία του Θοδωρή και του αδελφού του. 35

14 2.49 Σε μια κατασκήνωση μένουν 100 άτομα, άντρες γυναίκες και παιδιά. Οι ά- ντρες μαζί με τα παιδιά είναι 65 και οι γυναίκες μαζί με τα παιδιά 75. Να βρείτε πόσοι είναι οι άνδρες, οι γυναίκες και τα παιδιά α) Να βρείτε πόσοι είναι: i) οι διψήφιοι αριθμοί, ii) οι τριψήφιοι αριθμοί. β) Στο τμήμα ενός δρόμου οι αριθμοί των σπιτιών είναι από το 10 έως το 99. Πόσα σπίτια υπάρχουν σ αυτό το τμήμα του δρόμου; 36 Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

15 Κριτήριο αξιολόγησης: Θέμα 1 ο α) Ποιες ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών αριθμών γνωρίζετε; β) Να γράψετε την επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση. Θέμα 2 ο α) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Ποιος από τους αριθμούς: Α Β Γ Δ είναι πλησιέστερος στο αποτέλεσμα των πράξεων: β) Να εξετάσετε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι σωστές ή λανθασμένες. iii) Για την αφαίρεση ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα. iii) Όταν γράφουμε 12 4 εννοούμε iii) Ισχύει η ισότητα = Θέμα 3 ο Τα τρία τμήματα της Α γυμνασίου σε ένα σχολείο έχουν 85 μαθητές. Αν το πρώτο και το δεύτερο τμήμα έχουν 56 μαθητές, το δεύτερο και το τρίτο τμήμα επίσης 56 μαθητές, να βρείτε πόσους μαθητές έχει το δεύτερο τμήμα. Θέμα 4 ο Να κάνετε τις πράξεις: α) β) γ) ε) δ) ( ) 37