ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΝΟΛΩΝ. x Σ και. x Σ και διαβάζουµε «το x δεν ανήκει στο Σ». ΕΙΣΑΓΩΓΗ :

Transcript

1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ : ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΝΟΛΩΝ Η έννοια του συνόλου στα µαθηµατικά είναι έννοια πρωταρχική και έτσι δεν ορίζεται αυστηρά µαθηµατικά. Μπορούµε όµως επεξηγηµατικά αντί ορισµού να πούµε: Σύνολο, είναι µια συλλογή αντικειµένων, διακεκριµένων µεταξύ τους και που η φύση τους µπορεί να είναι οποιαδήποτε. Τα αντικείµενα αυτά τα ονοµάζουµε στοιχεία του συνόλου, τα γράφουµε µέσα σε άγκιστρα µε οποιαδήποτε σειρά και το καθένα µόνο µια φορά. Το σύνολο το συµβολίζουµε µε ένα από τα κεφαλαία γράµµατα του αλφαβήτου. Ένα σύνολο που περιέχει ένα µόνο στοιχείο, λέγεται µονοσύνολο ή µονοµελές σύνολο. Αν περιέχει δύο στοιχεία λέγεται διµελές σύνολο, κ.λ.π. πολυµελές σύνολο. Το σύνολο που δεν περιέχει στοιχεία λέγεται κενό σύνολο και συµβολίζεται µε ή { }. Παραδείγµατα συνόλων: 1. Το σύνολο των θετικών ακεραίων που είναι µικρότεροι του 10 : Α={0,1,,3,4,5,6,7,8,9}. Το σύνολο των φωνηέντων : Φ={α,ε,ο,η,ι,υ,ω} 3. Το σύνολο των ακεραίων x που είναι 0<x<1 : Β = Για να δηλώσουµε ότι ένα στοιχείο x είναι στοιχείο ενός συνόλου Σ, γράφουµε: x Σ και διαβάζουµε «το x ανήκει στο Σ». Για να δηλώσουµε ότι το στοιχείο x δεν είναι στοιχείο του συνόλου Σ, γράφουµε Έτσι για τα προηγούµενα σύνολα έχουµε: ΒΑΣΙΚΑ ΣΥΝΟΛΑ: x Σ και διαβάζουµε «το x δεν ανήκει στο Σ». 1 A και α Α, ενώ 1 Φ και α Φ. 1. Το σύνολο ΙΝ των φυσικών αριθµών: ΙΝ={0,1,,3,4, } ή ΙΝ * ={1,,3,4, }. Το σύνολο των ακεραίων: Ζ={,-3,-,-1,0,1,,3, } ή Ζ * ={,-3,-,-1, 1,,3, } 3. Το σύνολο των θετικών ακεραίων: Ζ * +={1,,3, } ή Ζ + ={0, 1,,3, } 4. Το σύνολο των αρνητικών ακεραίων: Ζ * +={-1,-,-3, } ή Ζ + ={0,-1,-,-3, } µ 5. Το σύνολο Q των ρητών αριθµών: Q = {x / x = όπου µ, ν ακέραιοι µε ν 0} ν 6. Το σύνολο ΙRτων πραγµατικών αριθµών.

2 ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ: Ένα σύνολο µπορούµε να το παραστήσουµε µε τους εξής τρεις τρόπους: 1. Με αναγραφή των στοιχείων του: ηλ. µέσα σε άγκιστρα να αναγράψουµε όλα τα στοιχεία του ένα προς ένα. Π.χ. Α={α,1,β,,γ,3}, Με περιγραφή των στοιχείων του: ηλ. να περιγράψουµε τα στοιχεία του µε µια κοινή τους χαρακτηριστική ιδιότητα. Π.χ Φ={x/x φωνήεν του αλφαβήτου }, Κ={x/x µαθητής του 4 ου Ε.Λ.Π.} 3. Με το διάγραµµα του Venn: ηλ. µέσα σε µια κλειστή καµπύλη γραµµή να παραστήσουµε µε σηµεία τα στοιχεία του συνόλου. Π.χ ΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΟΛΩΝ:.α.β.γ Α Αν Α, Β είναι δύο µη κενά σύνολα, θα λέµε ότι το σύνολο Α είναι ίσο µε το σύνολο Β (συµβολικά Α=Β) αν και µόνο αν έχουν τα ίδια ακριβώς στοιχεία δηλ. Α = Β ( κάθε x A x B ) Π.χ Τα σύνολα Α={1,,3,4,5,6,7,8,9} και Β={x/x θετικός ακέραιος µικρότερος του 10} είναι ίσα και γράφουµε Α=Β Ιδιότητες της ισότητας συνόλων 1. Α=Α για κάθε σύνολο Α (αυτοπαθής). Α=Β Β=Α για κάθε σύνολο Α και Β (συµµετρική) 3. Α=Β και Β=Γ Α=Γ για κάθε Α,Β,Γ (µεταβατική) ΥΠΟΣΥΝΟΛΟ ΣΥΝΟΛΟΥ: Αν Α, Β είναι δύο µη κενά σύνολα, θα λέµε ότι το σύνολο Α είναι υποσύνολο του Β (συµβολικά Α Β ) αν και µόνο αν κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του Β δηλ. Α Β ( κάθε x Α x Β ) Π.χ. Αν Α={1,,3,4,5,6,7,8,9} και Β={1,,3,4,5} τότε B A, επίσης A A Αν Α, Β είναι δύο µη κενά σύνολα, θα λέµε ότι το σύνολο Α είναι γνήσιο υποσύνολο του Β (συµβολικά Α Β ) αν και µόνο αν κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του Β και υπάρχει ένα τουλάχιστον στοιχείο του Β που δεν ανήκει στο Α δηλ. Α Β ( κάθε x Α x Β και υπάρχει y Β: y Α ) Π.χ. Αν Α={1,,3,4,5,6,7,8,9} και Β={1,,3,4,5} τότε B A, όµως A A.

3 Ιδιότητες των υποσυνόλων 1. Α A για κάθε σύνολο Α. Α για κάθε σύνολο Α 3. Α Β και Β Γ Α Γ για κάθε Α,Β, Γ 4. Α Β και Β Α Α = Β για κάθε Α, Β 5. A A για κάθε σύνολο Α 6. Α για κάθε µη κενό σύνολο Α 7. Α Β και Β Γ Α Γ για κάθε Α,Β, Γ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΟΛΩΝ: Ι) ΕΝΩΣΗ ΣΥΝΟΛΩΝ: Ένωση δύο µη κενών συνόλων Α, Β ( συµβολικά στοιχεία τα κοινά και µη κοινά στοιχεία των δύο συνόλων δηλ. A B = {x / x A ή x B} A B ) ονοµάζουµε το σύνολο που έχει Π.χ Αν Α={α,1,β,,3,0} και Β={α,β,γ,1,,3,4} τότε A B = {α,β, γ,0,1,,3, 4} Ιδιότητες της ένωσης συνόλων 1. A A = A για κάθε σύνολο Α. A = A = Α για κάθε σύνολο Α 3. Α Β = Β Α 4. Α Α Β και Β Α Β 5. (Α Β) Γ = Α (Β Γ) = Α Β Γ, Γ 6. Α Β Α Β = Β

4 ΙΙ) ΤΟΜΗ ΣΥΝΟΛΩΝ: Τοµή δύο µη κενών συνόλων Α, Β ( συµβολικά A B ) ονοµάζουµε το σύνολο που έχει στοιχεία τα κοινά µόνο στοιχεία των δύο συνόλων δηλ. A B = {x / x A και x B} Π.χ Αν Α={α,1,β,,3,0} και Β={α,β,γ,1,,3,4} τότε A B = {α, β,1,,3} Ιδιότητες της τοµής συνόλων 1. A A = A για κάθε σύνολο Α. A = A = για κάθε σύνολο Α 3. Α Β = Β Α 4. Α Β Α και Α Β Β 5. (Α Β) Γ = Α (Β Γ) = Α Β Γ, Γ 6. Α Β Α Β = Α ΤΥΠΟΙ De Morgan: 1. Α (Β Γ) = (Α Β) (Α Γ). Α (Β Γ) = (Α Β) (Α Γ) ΙΙI) ΙΑΦΟΡΑ ΣΥΝΟΛΩΝ: ιαφορά δύο µη κενών συνόλων Α, Β ( συµβολικά A B ) ονοµάζουµε το σύνολο που έχει στοιχεία τα στοιχεία του συνόλου Α που δεν ανήκουν στο Β δηλ. A B = {x / x A και x B} Π.χ Αν Α={α,1,β,,3,0} και Β={α,β,γ,1,,3,4} τότε A B = {0}

5 ΤΟ ΒΑΣΙΚΟ ΣΥΝΟΛΟ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ΣΥΝΟΛΟΥ: Ένα σύνολο που έχει υποσύνολα όλα τα σύνολα µε τα οποία εργαζόµαστε το ονοµάζουµε βασικό σύνολο και το συµβολίζουµε συνήθως µε Ω. Αν Ω είναι ένα βασικό σύνολο και Α ένα υποσύνολο αυτού, ονοµάζουµε συµπλήρωµα ή συµπληρωµατικό ή αντίθετο του Α (συµβολικά ανήκουν στο Α δηλ. A = {x /x Ω και x A} A ), το σύνολο των στοιχείων του Ω που δεν Α Α Ω Π.χ Αν Ω={x / x γράµµα του αλφαβήτου } και Α={ x / x φωνήεν του αλφαβήτου } τότε A ={x / x σύµφωνο Ιδιότητες του 1. Ω = και = Ω αλφαβήτου }. ( Α ) = Α για κάθε σύνολο Α 3. Α Α = Ω για κάθε σύνολο Α 4. Α Α = για κάθε σύνολο Α 5. ( Α Β) = Α Β 6. ( Α Β) = Α Β 7. A Β = Α Β ΒΑΣΙΚΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: 1. (A B) (A B) = A και (Β Α) (Α Β) = Β. (A B) ( Β Α) =, (Α Β) (Α Β) =, (Β Α) (Α Β) = 3. A B = (A B) (A B) (B A)

6 0 = ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να χαρακτηρίσετε µε «Σ» (σωστό) ή «Λ» (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις: Τα σύνολα Α = {x / x 1= 0} και * Β = {x / x Z µε 1 x 1} α = {α} Αν Α = {x / x > 1} και Β = {x / x (1, + ) τότε Α=Β α {α} {α} {α} {α,{α}} Το σύνολο Α = {,1,α} έχει 6 υποσύνολα Αν Α = {0,{0},,{ και Β = {1,{1},0,,{}, } τότε A B = {0,1,,{0},{1},{},{ }, } Αν Α = {0,{0},,{ και Β = {1,{1},0,,{}, } τότε A B = {0,1,{ }} Αν Α = {0,{0},,{ και Β = {1,{1},0,,{}, } τότε A B = {0,{ }} είναι ίσα Αν Ω = {0,{0},,{ και Α = {0,1} τότε A = {{0},,{ }}. ίνεται το σύνολο Α={α,β,γ,{α,β}}. Να γράψετε το σύνολο όλων των υποσυνόλων του Α 3. ίνονται τα σύνολα: Σ={x / x ακέραια λύση της ανίσωσης x 4 0 } Τ={x /x (, 0) (0, 3) }. Να βρείτε τα: Σ Τ, Σ Τ, Σ Τ, Τ Σ 4. Αν Ω = {x / x 3 x + = 0} είναι το βασικό σύνολο και Α = {x / x 1= 0}, Β = {x / x 3x + = 0}, να βρείτε τα: A, B A B,, A B A B,, (A B), A B (A B) (B A), (A B),