τα βιβλία των επιτυχιών

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "τα βιβλία των επιτυχιών"

Transcript

1 Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από τη διαρκή τους αξιοποίηση στις τάξεις μας διασφαλίζουμε τον εμπλουτισμό τους, τη συνεχή τους βελτίωση και την επιστημονική τους αρτιότητα, καθιστώντας τα βιβλία των Εκδόσεών μας εγγύηση για την επιτυχία των μαθητών. τα βιβλία των επιτυχιών

2 ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ άλγεβρα α λυκείου

3 Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Σειρά: Γενικό Λύκειο A Λυκείου Άλγεβρα Α Λυκείου Νίκος Τάσος ISBN: Σχεδιασμός έκδοσης: Γεωργία Λαμπροπούλου Στοιχειοθεσία-σελιδοποίηση: Μαλβίνα Κότο Συμπληρωματική σελιδοποίηση: Γεωργία Λαμπροπούλου Σχεδιασμός εξωφύλλου: Πωλίνα Κοντογεώργη Υπεύθυνη έκδοσης: Μαλβίνα Κότο Copyright 2019 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ, Νίκος Τάσος για την ελληνική γλώσσα σε όλο τον κόσμο Κυκλοφορία έκδοσης: Ιούλιος 2019 Επικοινωνία με συγγραφέα: Νίκος Τάσος Απαγορεύεται η με οποιονδήποτε τρόπο, μέσο και μέθοδο αναδημοσίευση, αναπαραγωγή, μετάφραση, διασκευή, θέση σε κυκλοφορία, παρουσίαση, διανομή και η εν γένει πάσης φύσεως χρήση και εκμετάλλευση του παρόντος έργου στο σύνολό του ή τμηματικά, καθώς και της ολικής αισθητικής εμφάνισης του βιβλίου (στοιχειοθεσίας, σελιδοποίησης κ.λπ.) και του εξωφύλλου του, σύμφωνα με τις διατάξεις της υπάρχουσας νομοθεσίας περί προστασίας πνευματικής ιδιοκτησίας και των συγγενικών δικαιωμάτων περιλαμβανομένων και των σχετικών διεθνών συμβάσεων. Αριθμός έκδοσης: 1η Αριθμός αντιτύπων: 1100 Λ. Βουλιαγμένης 46 & Αλεξιουπόλεως, ΤΚ Αργυρούπολη Τ

4 Περ ι ε χ ο μ ε ν α ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ ερωτήσεων απαντήσεων...13 εμβάθυνσης...16 Ερωτήσεις κατανόησης ΣΥΝΟΛΑ ερωτήσεων απαντήσεων...18 Μεθοδολογίες Εφαρμογές...24 εμβάθυνσης Ερωτήσεις κατανόησης ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 3. ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ερωτήσεων απαντήσεων...33 Μεθοδολογίες Εφαρμογές...38 εμβάθυνσης...45 Ερωτήσεις κατανόησης ΔΥΝΑΜΕΙΣ ερωτήσεων απαντήσεων...50 Μεθοδολογίες Εφαρμογές...51 εμβάθυνσης...55 Ερωτήσεις κατανόησης...57 Κριτήριο αξιολόγησης ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗΣ ερωτήσεων απαντήσεων...61 Μεθοδολογίες Εφαρμογές...64 εμβάθυνσης...70 Ερωτήσεις κατανόησης...72 Κριτήριο αξιολόγησης ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ερωτήσεων απαντήσεων...75 Μεθοδολογίες Εφαρμογές...75 εμβάθυνσης...81 Ερωτήσεις κατανόησης ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ερωτήσεων απαντήσεων...85 Μεθοδολογίες Εφαρμογές...91 εμβάθυνσης Ερωτήσεις κατανόησης Κριτήριο αξιολόγησης ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ερωτήσεων απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές εμβάθυνσης Ερωτήσεις κατανόησης Κριτήριο αξιολόγησης ΡΙΖΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ερωτήσεων απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές εμβάθυνσης Ερωτήσεις κατανόησης Κριτήριο αξιολόγησης...164

5 10. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ερωτήσεων απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές εμβάθυνσης Ερωτήσεις κατανόησης Κριτήριο αξιολόγησης ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ερωτήσεων απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές εμβάθυνσης ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ Μεθοδολογίες Εφαρμογές εμβάθυνσης Ερωτήσεις κατανόησης Κριτήριο αξιολόγησης Η ΕΞΙΣΩΣΗ x ν = α ερωτήσεων απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ εμβάθυνσης Ερωτήσεις κατανόησης Η ΕΞΙΣΩΣΗ αx 2 + βx + γ = 0 ερωτήσεων απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές εμβάθυνσης Ερωτήσεις κατανόησης Κριτήριο αξιολόγησης ΑΘΡΟΙΣΜΑ & ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΡΙΖΩΝ ερωτήσεων απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές εμβάθυνσης Ερωτήσεις κατανόησης Κριτήριο αξιολόγησης ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ Μεθοδολογίες Εφαρμογές εμβάθυνσης ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ερωτήσεων απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές εμβάθυνσης Κριτήριο αξιολόγησης ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ Μεθοδολογίες Εφαρμογές εμβάθυνσης Ερωτήσεις κατανόησης Κριτήριο αξιολόγησης ΜΟΡΦΕΣ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ερωτήσεων απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές εμβάθυνσης Ερωτήσεις κατανόησης ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ερωτήσεων απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές εμβάθυνσης Ερωτήσεις αξιολόγησης Φύλλο αξιολόγησης

6 4. ΠΡΟΟΔΟΙ 21. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ερωτήσεων απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές εμβάθυνσης Ερωτήσεις κατανόησης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ερωτήσεων απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές εμβάθυνσης Ερωτήσεις κατανόησης Κριτήριο αξιολόγησης Κριτήριο αξιολόγησης ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ερωτήσεων απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές εμβάθυνσης Ερωτήσεις κατανόησης Κριτήριο αξιολόγησης Κριτήριο αξιολόγησης ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 24. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ερωτήσεων απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές εμβάθυνσης Ερωτήσεις κατανόησης Κριτήριο αξιολόγησης ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ ερωτήσεων απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές εμβάθυνσης Ερωτήσεις κατανόησης ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ερωτήσεων απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές εμβάθυνσης Ερωτήσεις κατανόησης Κριτήριο αξιολόγησης Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = αx + β ερωτήσεων απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές εμβάθυνσης Ερωτήσεις κατανόησης Κριτήριο αξιολόγησης ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 28. ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f(x) = α x 2 ερωτήσεων απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές εμβάθυνσης Ερωτήσεις κατανόησης ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f(x) = α x 2 + βx + γ ερωτήσεων απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές εμβάθυνσης Ερωτήσεις κατανόησης Κριτήριο αξιολόγησης

7 ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Απαντήσεις άλυτων ασκήσεων Απαντήσεις τελικής επανάληψης Απαντήσεις Τράπεζας Θεμάτων Απαντήσεις ασκήσεων σχολικού βιβλίου...770

8 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

9 1ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. Πώς ορίζεται η έννοια της πρότασης στη Μαθηματική Λογική; Πρόταση είναι κάθε ισχυρισμός του οποίου το περιεχόμενο μπορούμε να χαρακτηρίσουμε ως αληθές ή ψευδές. Παραδείγματα Η φράση «Ο Ολυμπιακός έχει κατακτήσει τα περισσότερα πρωταθλήματα ποδοσφαίρου στην Ελλάδα» είναι μία πρόταση, διότι είναι αληθής. Η φράση «Ο Ολυμπιακός θα κατακτήσει την επόμενη χρονιά το πρωτάθλημα ποδοσφαίρου στην Ελλάδα» δεν είναι πρόταση, διότι δεν μπορεί να χαρακτηριστεί ως αληθής ή ψευδής. Σχόλια ερωτήσεων απαντήσεων i. Προσοχή! Στα Μαθηματικά, για να ελέγξουμε αν ένας ισχυρισμός είναι πρόταση, δεν εξετάζουμε αν είναι γραμματικά και συντακτικά ορθώς. ii. Τις προτάσεις τις συμβολίζουμε συνήθως με τα λατινικά γράμματα P, Q. iii. Μία πρόταση χαρακτηρίζεται απλή όταν κανένα τμήμα της δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να δημιουργήσει μία άλλη πρόταση. iv. Μία πρόταση χαρακτηρίζεται σύνθετη όταν μπορούμε να τη χωρίσουμε σε δύο ή περισσότερες προτάσεις. 2. Πώς ορίζεται η συνεπαγωγή και πώς συμβολίζεται; Αν Ρ και Q είναι δύο ισχυρισμοί, τέτοιοι ώστε όταν αληθεύει ο Ρ να αληθεύει και ο Q, τότε λέμε ότι ο Ρ συνεπάγεται τον Q. Συμβολίζουμε: P Q 13

10 Εισαγωγικό κεφάλαιο Παραδείγματα i. Μια μητέρα, προκείμενου να πείσει το παιδί της να φάει όλο το φαγητό του, του λέει: _ Αν φας το φαγητό σου θα σου πάρω παγωτό. ii. Αν α = 4 α = 2. Σχόλια i. Ο ισχυρισμός «P Q» λέγεται συνεπαγωγή και πολλές φορές διαβάζεται «αν Ρ, τότε Q» ή «ο Ρ συνεπάγεται τον Q». ii. Ο Ρ λέγεται υπόθεση της συνεπαγωγής, ενώ ο Q λέγεται συμπέρασμα αυτής. iii. Η συνεπαγωγή είναι αληθής όταν: Ο Ρ είναι _ αληθής _ και ο Q είναι αληθής. π.x. 9 = 3 ( 9) 2 = 3 2 Ο Ρ είναι ψευδής και ο Q είναι αληθής. π.x. 1 = 1 ( 1) 2 = 1 2 Ο Ρ είναι ψευδής και ο Q είναι ψευδής. π.x. 1 = 1 2 ( 1) = 2 1 iv. Η συνεπαγωγή είναι ψευδής όταν: Ο Ρ είναι αληθής και ο Q είναι ψευδής. π.x. ( 1) 2 = = 1 v. Με βάση τα όσα αναπτύσσονται στο σχολικό βιβλίο, εμείς θα ασχοληθούμε κυρίως με την περίπτωση όπου και οι δύο ισχυρισμοί P, Q είναι αληθείς. vi. Στο τέλος της ενότητας παραθέτουμε έναν πίνακα αλήθειας όπου είναι κλασικός στο πλαίσιο της Μαθηματικής Λογικής. 3. Πώς ορίζεται η ισοδυναμία ή διπλή συνεπαγωγή και πώς συμβολίζεται; Αν Ρ και Q είναι δύο ισχυρισμοί, τέτοιοι ώστε όταν αληθεύει ο Ρ να αληθεύει και ο Q, και όταν αληθεύει ο Q να αληθεύει και ο P, τότε λέμε ότι ο Ρ συνεπάγεται τον Q και αντιστρόφως ή, αλλιώς, ότι ο Ρ είναι ισοδύναμος με τον Q. Συμβολίζουμε: P Q Παραδείγματα i. «Η Στέλλα είναι η σύζυγος του Νίκου.» «Ο Νίκος είναι ο σύζυγος της Στέλλας.» ii. Για κάθε πραγματικό αριθμό α, β, γ ισχύει ότι: α = β α + γ = β + γ iii. Για κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ότι: ΑΒΓ ισόπλευρο τρίγωνο A = B = Γ Σχόλια i. Ο ισχυρισμός «Ρ Q» λέγεται ισοδυναμία και αρκετές φορές διαβάζεται «Ρ αν και μόνο αν Q» ή «Ρ τότε και μόνο τότε Q». ii. Ισοδυναμίες έχουμε στους ορισμούς. 14

11 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 4. Πώς ορίζεται ο σύνδεσμος ή; Αν Ρ και Q είναι δύο ισχυρισμοί, τότε ο ισχυρισμός Ρ ή Q αληθεύει μόνο στην περίπτωση που ένας τουλάχιστον από τους δύο ισχυρισμούς αληθεύει. Παραδείγματα i. Για να προσληφθεί κάποιος σε ένα εστιατόριο ως μάγειρας πρέπει να ξέρει να μαγειρεύει ελληνικά ή ιταλικά φαγητά. Αυτό σημαίνει ότι ο μάγειρας που θα προσληφθεί πρέπει να ξέρει να μαγειρεύει ή μόνο ελληνικά φαγητά ή μόνο ιταλικά φαγητά ή, προφανώς, και από τις δύο κουζίνες φαγητά. ii. Όταν γράφουμε: α β = 0 α = 0 ή β = 0 εννοούμε ότι αληθεύει μία τουλάχιστον από τις προτάσεις «α = 0», «β = 0», δηλαδή: (α = 0 και β 0), (α 0 και β = 0), (α = 0 και β = 0) Σχόλια i. Ο ισχυρισμός «Ρ ή Q» λέγεται διάζευξη των Ρ και Q. ii. Η διάζευξη Ρ ή Q είναι ψευδής μόνο όταν και ο ισχυρισμός Ρ και ο ισχυρισμός Q είναι ψευδείς. iii. Ο ισχυρισμός «ή Ρ ή Q» λέγεται αποκλειστική διάζευξη των Ρ και Q και είναι αληθής, όταν η μία είναι αληθής και η άλλη ψευδής. 5. Πώς ορίζεται ο σύνδεσμος και; Αν Ρ και Q είναι δύο ισχυρισμοί, τότε ο ισχυρισμός Ρ και Q αληθεύει μόνο στην περίπτωση που και οι δύο ισχυρισμοί αληθεύουν. Παραδείγματα i. Η Αθήνα είναι πόλη της Ελλάδας και της Ευρώπης. ii. Όταν γράφουμε: α β 0 α 0 και β 0 εννοούμε ότι αληθεύουν και οι δύο προτάσεις «α 0», «β 0». Σχόλια Ο ισχυρισμός «Ρ και Q» λέγεται σύζευξη των Ρ και Q. 6. Πώς ορίζεται η άρνηση μίας πρότασης; Αν Ρ είναι ένας ισχυρισμός, τότε ο ισχυρισμός «όχι Ρ» ονομάζεται άρνηση του Ρ, συμβολίζεται συνήθως με Ρ ή Ρ και χαρακτηρίζεται ως: 15

12 Εισαγωγικό κεφάλαιο αληθής, αν ο Ρ είναι ψευδής, ψευδής, αν ο Ρ είναι αληθής. Παραδείγματα i. Αν Ρ: «α = β», τότε η άρνηση της Ρ είναι Ρ: «α < β ή α > β». ii. Η άρνηση του και είναι το ή και αντίστροφα. Για παράδειγμα, η άρνηση της πρότασης «θα φάμε κρέας και ρύζι» είναι η «θα φάμε κρέας ή ρύζι». iii. Η άρνηση του για κάθε είναι το υπάρχει και αντίστροφα. Για παράδειγμα, η άρνηση της πρότασης «για κάθε πραγματικό αριθμό α, ισχύει α 2 0» είναι η «υπάρχει πραγματικός αριθμός, ώστε α 2 < 0». Σχόλια Αν η συνεπαγωγή «Ρ Q» είναι αληθής, τότε και η συνεπαγωγή «Q Ρ» είναι αληθής και αντίστροφα. Ισχύει δηλαδή ότι: (Ρ Q) (Q Ρ) που είναι γνωστός ως νόμος της αντιθετοαντιστροφής. Ισχύει ότι: α β = 0 α = 0 ή β = 0 Επομένως, ισχύει και η αντιθετοαντιστροφή: α 0 και β 0 α β 0 7. Ποιος είναι ο πίνακας αλήθειας για τη Μαθηματική Λογική; Ο πίνακας είναι ο εξής: Ισχυρισμοί Συνεπαγωγή Ισοδυναμία Διάζευξη Σύζευξη P Q P Q P Q P ή Q P και Q Αληθής Αληθής Αληθής Αληθής Αληθής Αληθής Αληθής Ψευδής Ψευδής Ψευδής Αληθής Ψευδής Ψευδής Αληθής Αληθής Ψευδής Αληθής Ψευδής Ψευδής Ψευδής Αληθής Αληθής Ψευδής Ψευδής Εφαρμογές εμπέδωσης & εμβάθυνσης Λογικές προτάσεις 1.1 Να εξετάσετε ποιοι από τους ακόλουθους ισχυρισμούς είναι προτάσεις και να τις χαρακτηρίσετε ως αληθείς ή ψευδείς. i. Ο αριθμός 5 είναι μεγαλύτερος του 10. ii. Ο αριθμός x είναι περιττός. iii. Η Άλγεβρα είναι το καλύτερο μάθημα. 16

13 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ iv. 2 3 = 6 v = 3 vi. Ο Παναθηναϊκός θα κερδίσει το πρωτάθλημα ποδοσφαίρου την επόμενη χρονιά. ΣΥΝΕΠΑΓΩΓΗ ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑ 1.2 Σε καθέναν από τους ισχυρισμούς Ρ, Q να εξετάσετε ποια από τις συνεπαγωγές Ρ Q ή Q P ισχύει. i. Ρ: Ο Κώστας είναι μαθητής της Γ Λυκείου. Q: Ο Κώστας τελειώνει το σχολείο. ii. Ρ: Σήμερα είναι 25 Δεκεμβρίου. Q: Σήμερα είναι Χριστούγεννα. iii. P: Στην Ελλάδα είναι χειμώνας. Q: Στην Ελλάδα βρέχει. iv. P: Ο Νίκος παίζει πιάνο. Q: Ο Νίκος αγαπάει τη μουσική. Ερωτήσεις κατανόησης Ερωτήσεις Σωστού Λάθους 1.3 Να χαρακτηρίσετε ως σωστές (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις. i. Για κάθε πραγματικό αριθμό α, β ισχύει ότι α 2 = β 2 α = β. ii. Για κάθε πραγματικό αριθμό α, β, γ ισχύει ότι α = β α + γ = β + γ. iii. Η σύζευξη «Ρ και Ρ» είναι πάντα ψευδής. iv. Ο ισχυρισμός «1 + 1 = 3» είναι μία πρόταση. v. Ο ισχυρισμός «Στην Ελλάδα θα εμφανιστούν εξωγήινοι» είναι μία πρόταση. vi. Ο ισχυρισμός «2014 < 2013» είναι μία πρόταση. vii. α 2 1 α 1 ή α 1 viii. α = 0 και β 0 α β = 0 ix. x = 5 x 2 = 25 x. x = 5 x 2 = Να χαρακτηρίσετε ως σωστές (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις. i. x 5 x 2 25 ii. x 5 x 2 25 iii. x 5 και x 5 x 2 25 iv. x 2 x x 1 v. α β 0 α 0 ή β 0 vi. Αν β 0, ισχύει ότι: α β > 0 α β > 0 vii. α < 3 και β < 4 α β < 12 viii. α < 1 α 2 < 1 ix. α > 1 α 2 > 1 x. Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές, τότε A = B. Ερωτήσεις Αντιστοίχισης 1.5 Να αντιστοιχίσετε καθέναν από τους ισχυρισμούς της στήλης Α με τον ισοδύναμό του ισχυρισμό στη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β i. 3α(α + 2) = 0 α. α = 1 ή α = 1 ii. α(α 1) = 0 και α(α + 1) = 0 β. α = 0 ή α = 2 iii. α 2 = 4, α > 0 γ. α 0 και α 2 iv. α 2 = 1 δ. α = 2 v. 3α(α + 2) 0 ε. α = 0 17

14 2ΣΥΝΟΛΑ ερωτήσεων απαντήσεων 1. Ποια είναι η έννοια του συνόλου; Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειμένων που προέρχονται από την εμπειρία μας ή τη διανόησή μας, είναι καλά ορισμένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Σύνολα είναι: «τα ελληνικά νομίσματα του 20ού αιώνα», «οι πίνακες της Αναγέννησης στο μουσείο του Λούβρου», «τα αγγλικά γραμματόσημα που έχει ένας φιλοτελιστής» Σχόλια i. Τα αντικείμενα ενός συνόλου ονομάζονται στοιχεία ή μέλη του συνόλου. ii. Όταν γράφουμε ότι ένα σύνολο είναι καλά ορισμένο, εννοούμε ότι τα στοιχεία του μπορούν να αναγνωρίζονται με σιγουριά. Αν, δηλαδή, γνωρίζουμε μία χαρακτηριστική ιδιότητα του συνόλου, μπορούμε να ελέγχουμε αν ένα στοιχείο ανήκει ή όχι στο σύνολο. iii. Όταν γράφουμε ότι σε ένα σύνολο τα στοιχεία πρέπει να διακρίνονται το ένα από το άλλο, εννοούμε ότι δεν πρέπει να υπάρχει δύο φορές το ίδιο στοιχείο στο σύνολο. iv. Τα σύνολα τα συμβολίζουμε συνήθως με κεφαλαία γράμματα του ελληνικού ή του λατινικού αλφαβήτου. Για παράδειγμα Α, Β, Γ, Q, R κ.λπ. Παραδείγματα Δεν έχει νόημα να αναφερόμαστε στο σύνολο των μεγάλων αριθμών. Αυτό δεν είναι σύνολο, διότι δεν υπάρχει κάποιος σαφής κανόνας που να καθορίζει αν ένας αριθμός είναι ή δεν είναι μεγάλος. Το σύνολο που αποτελείται από το γράμματα της λέξης «ΚΑΘΑΡΙΟΤΗΤΑ» είναι αυτό που έχει τα γράμματα: Κ, Α, Θ, Ρ, Ι, Ο, Τ, Η. Δεν μπορούμε να γράψουμε τρεις φορές το Α, ούτε δύο φορές το Τ. 18

15 2. ΣΥΝΟΛΑ 2. Ποια είναι τα βασικά σύνολα αριθμών; Το σύνολο των φυσικών αριθμών, το οποίο συμβολίζουμε με, είναι δηλαδή: = {0, 1, 2, 3, } Το σύνολο των ακέραιων αριθμών, το οποίο συμβολίζουμε με, είναι δηλαδή: = {, 2, 1, 0, 1, 2, } Το σύνολο των ρητών αριθμών, το οποίο συμβολίζουμε με, είναι δηλαδή: = { α β, α, β ϵ με β 0 } Το σύνολο των άρρητων αριθμών, το οποίο δεν έχει κάποιον ιδιαίτερο συμβολισμό και είναι όλοι εκείνοι οι αριθμοί που δεν μπορούν να γραφούν σε μορφή κλάσματος. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών, το οποίο συμβολίζουμε με. Σχόλια i. Με * συμβολίζουμε τους φυσικούς που δεν περιέχουν το 0, δηλαδή: * = {0} = {x / x 0} Με * συμβολίζουμε τους ακέραιους που δεν περιέχουν το 0, δηλαδή: * = {0} = {x / x 0} Με * συμβολίζουμε τους ρητούς που δεν περιέχουν το 0, δηλαδή: * = {0} = {x / x 0} Με * συμβολίζουμε τους πραγματικούς που δεν περιέχουν το 0, δηλαδή: * = {0} = {x / x 0} ii. Υπενθυμίζουμε ότι ο αριθμός της μορφής 5,2 = 5,222 ονομάζεται περιοδικός δεκαδικός αριθμός και είναι ρητός, αφού μπορούμε να τον γράψουμε ως κλάσμα. 3. Τι σημαίνουν τα σύμβολα και ; Για να δηλώσουμε ότι το x είναι στοιχείο του συνόλου Α γράφουμε: x Α και διαβάζουμε «το x ανήκει στο Α». Άρα το σύμβολο σημαίνει ανήκει. Για να δηλώσουμε ότι το x δεν είναι στοιχείο του συνόλου Α γράφουμε: x Α και διαβάζουμε «το x δεν ανήκει στο Α». Άρα το σύμβολο σημαίνει δεν ανήκει. 2, 2, 3, 4 3, 3 2, 2 _ 4. Με ποιους τρόπους μπορούμε να παραστήσουμε ένα σύνολο; Ένα σύνολο μπορεί να παρασταθεί με τρεις τρόπους: 19

16 Εισαγωγικό κεφάλαιο με αναγραφή, όταν δίνονται όλα του τα στοιχεία και είναι σχετικά λίγα σε πλήθος. Στην περίπτωση αυτή βάζουμε τα στοιχεία από μία φορά το καθένα, χωρίζοντάς τα με ένα κόμμα, ανάμεσα σε δύο άγκιστρα. με περιγραφή, όταν τα στοιχεία του είναι πολλά, ανήκουν σε ένα σύνολο Ω και έχουν μία χαρακτηριστική ιδιότητα. Αναλυτικότερα, επιλέγουμε από ένα σύνολο Ω τα στοιχεία εκείνα που ικανοποιούν μία ιδιότητα Ι, οπότε έχουμε το σύνολο: {x Ω / x έχει την ιδιότητα Ι} με διάγραμμα του Venn, το οποίο θα εξηγήσουμε σε επόμενη παράγραφο. Αναγραφή Το σύνολο που έχει ως στοιχεία του τους ακέραιους από το 1 έως το 4 είναι το: Α = { 1, 0, 1, 2, 3} Περιγραφή Το σύνολο των ακέραιων που είναι (με την ιδιότητα) από το 1 έως το 4 συμβολίζεται με: Α = {x / 1 x < 4} 5. Πότε δύο σύνολα Α και Β είναι ίσα και πώς συμβολίζουμε την ισότητα; Δύο σύνολα Α και Β λέγονται ίσα, όταν έχουν τα ίδια ακριβώς στοιχεία. Στην περίπτωση αυτή, γράφουμε Α = Β. Τα σύνολα: Α = {2, 3, 4, 5, 6, 7} και Β = {x / 1 < x 7} είναι ίσα, διότι το σύνολο Β με αναγραφή είναι το Β = {2, 3, 4, 5, 6, 7}, δηλαδή το Α. Σχόλια Με άλλα λόγια: Δύο σύνολα Α και Β λέγονται ίσα, όταν κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του Β και, αντιστρόφως, κάθε στοιχείο του Β είναι και στοιχείο του Α. Δηλαδή: Α = Β όταν x A x B 6. Πότε ένα σύνολο Α λέγεται υποσύνολο ενός συνόλου Β και πώς το συμβολίζουμε; Ένα σύνολο Α λέγεται υποσύνολο ενός συνόλου Β, όταν κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του Β. Στην περίπτωση αυτή, γράφουμε Α Β. 20

17 2. ΣΥΝΟΛΑ Παραδείγματα i. Αν θεωρήσουμε τα σύνολα Α = {1, 3, 5, 7, 9} και Β = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} παρατηρούμε ότι κάθε στοιχείο του συνόλου Α είναι και στοιχείο του συνόλου Β. Άρα το Α είναι υποσύνολο του Β. ii. Τα υποσύνολα του συνόλου Ω = {1, 2, 3} είναι τα: {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3}, {1, 2, 3} = Ω, Σχόλιο Άμεσες συνέπειες του ορισμού είναι οι ακόλουθες σχέσεις μεταξύ συνόλων: i. Α Α, για κάθε σύνολο Α. ii. Αν Α Β και Β Γ, τότε Α Γ. iii. Αν Α Β και Β Α, τότε Α = Β. 7. Τι είναι το κενό σύνολο και πώς το συμβολίζουμε; Το σύνολο που δεν έχει στοιχεία ονομάζεται κενό. Συμβολίζεται με ή { }. Ας θεωρήσουμε το σύνολο Α = {x / x + 7 = 0} Είναι φανερό ότι δεν υπάρχουν φυσικοί αριθμοί που να ικανοποιούν την ισότητα x + 7 = 0, αφού ο μόνος αριθμός που την ικανοποιεί είναι ο 7, για τον οποίο όμως ισχύει ότι 7. Συνεπώς, το σύνολο αυτό δεν έχει κανένα στοιχείο, άρα είναι κενό. Σχόλιο Δεχόμαστε ότι το κενό σύνολο είναι υποσύνολο κάθε συνόλου. 8. Τι είναι το βασικό σύνολο; Κάθε φορά που εργαζόμαστε με σύνολα, τα σύνολα αυτά θεωρούνται υποσύνολα ενός συνόλου που λέγεται βασικό σύνολο και συμβολίζεται με Ω. 9. Τι είναι τα διαγράμματα Venn; Τα διαγράμματα Venn είναι κλειστές γραμμές με τις οποίες παριστάνουμε τα σύνολα. Σχόλιο i. Το βασικό σύνολο Ω παριστάνεται με το εσωτερικό ενός Ω ορθογωνίου. 21

18 Εισαγωγικό κεφάλαιο ii. Κάθε σύνολο Α, με Α Ω, παριστάνεται με το εσωτερικό μίας κλειστής καμπύλης που περιέχεται στο εσωτερικό του ορθογωνίου που παριστάνει το Ω. A iii. Αν Α Β, τότε το Α παριστάνεται με μία κλειστή καμπύλη που περιέχεται σε μία επίσης κλειστή καμπύλη που παριστάνει το Β. B A Για τα σύνολα,, είναι υποσύνολα του βασικού συνόλου. Ισχύει ότι και με τη βοήθεια ενός διαγράμματος Venn προκύπτει το εξής: 10. Πώς ορίζεται: Η ένωση δύο συνόλων; Η τομή δύο συνόλων; Το συμπλήρωμα ενός συνόλου; Η διαφορά δύο συνόλων; Ορισμός Ένωση δύο υποσυνόλων Α, Β ενός βασικού συνόλου Ω λέγεται το σύνολο των στοιχειών του Ω που ανήκουν τουλάχιστον σε ένα από τα σύνολα Α και Β και συμβολίζεται με Α Β. Ισχύει δηλαδή: Α Β = {x Ω / x A ή x B} Διάγραμμα Venn Ω B A Αν: τότε: Α = {2, 3, 4, 5, 6, 7} και Β = {5, 6, 7, 8, 9, 10} Α Β = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} Σχόλια Για την ένωση συνόλων ισχύουν τα εξής: Α = Α Α Α Β Α Β = Β Α Α Α = Α Β Α Β Αν Α Β, τότε: Α Β = Β 22

19 2. ΣΥΝΟΛΑ Αν: τότε: Α = {2, 3, 4, 5, 6, 7} και Β = {5, 6, 7, 8, 9, 10} Α Β = {5, 6, 7} Σχόλιο Για την τομή συνόλων ισχύουν τα εξής: Α = Α Β Α Α Β = Β Α Α Β Α Β Ορισμός Συμπλήρωμα ενός υποσυνόλου Α ενός βασικού συνόλου Ω λέγεται το σύνολο των στοιχείων του Ω που δεν ανήκουν στο Α και συμβολίζεται με Α. Ισχύει δηλαδή: Α = {x Ω / x A} Α Α = Α Α Β Β Αν Α Β, τότε: Α Β = Α Διάγραμμα Venn Αν: τότε: Ω = {2, 3, 4, 5, 6, 7} και Α = {3, 4, 5} Α = {2, 6, 7} Σχόλιο Για το συμπλήρωμα ισχύουν τα εξής: Α Α = Ορισμός Α Α = Ω Διάγραμμα Venn Η διαφορά Α Β είναι το σύνολο των στοιχείων του συνόλου Α που δεν ανήκουν στο σύνολο Β. Ισχύει δηλαδή: Α Β = {x Ω / x Α και x Β} Αν: τότε: και: Α = {2, 3, 4, 5, 6, 7} και Β = {5, 6, 7, 8, 9, 10} Α Β = {2, 3, 4} Β Α = {8, 9, 10} 23

20 Εισαγωγικό κεφάλαιο Μεθοδολογίες Εφαρμογές Κατηγορία 1 Ασκήσεις στις οποίες δίνονται σύνολα με περιγραφή και ζητείται να τα γράψουμε με αναγραφή. Μέ θ ο δ ο ς Ερμηνεύουμε την ιδιότητα που μας περιγράφει το σύνολο και την αναγράφουμε με αριθμούς. Οι πιο συνηθισμένες ιδιότητες είναι κάποιες ανισώσεις με αριθμούς, λύσεις εξισώσεων, ιδιότητες γινομένων κ.λπ. Χρειάζεται, επίσης, να θυμόμαστε από τη θεωρία την ερμηνεία των συνόλων,,,. 2.1 εφαρμογή Να γράψετε με αναγραφή των στοιχείων τα σύνολα: i. Α = {x / 2 < x 1} ii. B = {x / 9x 2 3x = 0} Λύση i. Το σύνολο των φυσικών αριθμών από το 2, χωρίς αυτό να συμπεριλαμβάνεται, μέχρι και το 1 είναι το: Α = {0, 1} ii. Η εξίσωση λύνεται ως εξής: 9x 2 3x = 0 3x(3x 1) = 0 3x = 0 ή 3x 1 = 0 x = 0 ή x = 1 3 Από τις λύσεις της εξίσωσης μόνο ο αριθμός 0 είναι ακέραιος. Συνεπώς: Β = {0} Κατηγορία 2 Ασκήσεις στις οποίες ζητείται ο προσδιορισμός παραμέτρων, ώστε δύο σύνολα Α, Β να είναι ίσα. Μέ θ ο δ ο ς Δύο σύνολα είναι ίσα όταν τα στοιχεία τους είναι ίσα ένα προς ένα. Από αυτή την εξίσωση προσδιορίζουμε τις ζητούμενες παραμέτρους. α 2.2 εφαρμογή Να προσδιορίσετε τα κ, λ, ώστε τα ακόλουθα σύνολα να είναι ίσα. Α = {(x, y) / x, y και x y = 4} και Β = {(1, κ), (2, 2), (4, λ)} Για x = 1 και y = 4 έχουμε: x y = 4 Για x = 2 και y = 2 έχουμε: x y = 4 Λύση 24

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Aλγεβρα A λυκείου α Τομος

Aλγεβρα A λυκείου α Τομος Aλγ ε β ρ α A Λυ κ ε ί ο υ Α Τό μ ο ς Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Σειρά: Γενικό Λύκειο, Θετικές Επιστήμες Άλγεβρα Α Λυκείου, Α Τόμος Παναγιώτης Γριμανέλλης Στοιχειοθεσία-σελιδοποίηση,

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

Ας θεωρήσουμε δύο πραγματικούς αριθμούς. Είναι γνωστό ότι:,. Αυτό σημαίνει ότι: «=», «

Ας θεωρήσουμε δύο πραγματικούς αριθμούς. Είναι γνωστό ότι:,. Αυτό σημαίνει ότι: «=», « .1 Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη διατύπωση μαθηματικών εννοιών, προτάσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Η συνεπαγωγή. Η Ισοδυναμία ή διπλή συνεπαγωγή. Ο σύνδεσμος «ή» Ο σύνδεσμος «και»

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Η συνεπαγωγή. Η Ισοδυναμία ή διπλή συνεπαγωγή. Ο σύνδεσμος «ή» Ο σύνδεσμος «και» Η συνεπαγωγή ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Αν P και Q είναι δύο ισχυρισμοί, τέτοιοι ώστε, όταν αληθεύει ο P να αληθεύει και ο Q, τότε λέμε ότι: «ο P συνεπάγεται τον Q» και γράφουμε P Q. Παράδειγμα: x=3 x 2 =9. Ο

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια του συνόλου. Εισαγωγικό κεφάλαιο 27

Η έννοια του συνόλου. Εισαγωγικό κεφάλαιο 27 Εισαγωγικό κεφάλαιο 27 Η έννοια του συνόλου Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειμένων, που προέρχονται από την εμπειρία μας ή τη διανόησή μας, είναι καλά ορισμένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Αυτός

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΊΑ ΠΙΘΑΝΟΤΉΤΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΊΑ ΠΙΘΑΝΟΤΉΤΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΊΑ ΠΙΘΑΝΟΤΉΤΩΝ Α τάξης Γενικού Λυκείου Η συγγραφή και η επιμέλεια του βιβλίου πραγματοποιήθηκε υπό την αιγίδα του Παιδαγωγικού

Διαβάστε περισσότερα

Σ αυτή την παράγραφο θα γνωρίσουμε τέσσερις βασικές έννοιες της λογικής, οι οποίες θα μας φανούν χρήσιμες στα επόμενα κεφάλαια του βιβλίου.

Σ αυτή την παράγραφο θα γνωρίσουμε τέσσερις βασικές έννοιες της λογικής, οι οποίες θα μας φανούν χρήσιμες στα επόμενα κεφάλαια του βιβλίου. Σ αυτή την παράγραφο θα γνωρίσουμε τέσσερις βασικές έννοιες της λογικής, οι οποίες θα μας φανούν χρήσιμες στα επόμενα κεφάλαια του βιβλίου. Η προσέγγιση των εννοιών αυτών θα γίνει με τη βοήθεια απλών παραδειγμάτων,

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Aλγεβρα A λυκείου B Τομος

Aλγεβρα A λυκείου B Τομος Aλγ ε β ρ α A υ κ ε ί ο υ B Τό μ ο ς Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ειρά: Γενικό ύκειο, Θετικές Επιστήμες Άλγεβρα Α υκείου, Β Τόμος Παναγιώτης Γριμανέλλης Εξώφυλλο: Γεωργία αμπροπούλου

Διαβάστε περισσότερα

Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Mα θ η μ α τ ι κ ά Β Λυ κ ε ί ο υ Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Τό μ ο ς Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Σειρά: Γενικό Λύκειο Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Λυκείου Θετικής-Τεχνολογικής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ. 6ο ΓΕΛ ΛΑΜΙΑΣ ΧΡΙΣΤΟΣ ΤΡΙΑΝΤΑΦΥΛΛΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ. 6ο ΓΕΛ ΛΑΜΙΑΣ ΧΡΙΣΤΟΣ ΤΡΙΑΝΤΑΦΥΛΛΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΥΝΟΛ 6ο ΓΕΛ ΛΜΙΣ ΧΡΙΣΤΟΣ ΤΡΙΝΤΦΥΛΛΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚΟΣ ΣΥΝΟΛ Στοιχεία θεωρίας Σύνολο είναι μια συλλογή από αντικείμενα. Το σύνολο όλων των ελληνικών ποδοσφαιρικών ομάδων. Το σύνολο όλων των χωρών της Ευρώπης.

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΚΗ - ΣΥΝΟΛΑ ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΛΟΓΙΚΗ - ΣΥΝΟΛΑ ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ ΛΟΓΙΚΗ - ΣΥΝΟΛ ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Η συνεπαγωγή ν P και Q είναι δύο ισχυρισμοί τέτοιοι ώστε όταν αληθεύει ο P να αληθεύει και ο Q τότε λέμε ότι το P συνεπάγεται το Q και γράφουμε P Q Π.χ, όταν α=β

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΊΑ ΠΙΘΑΝΟΤΉΤΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΊΑ ΠΙΘΑΝΟΤΉΤΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΊΑ ΠΙΘΑΝΟΤΉΤΩΝ Α τάξης Γενικού Λυκείου Η συγγραφή και η επιμέλεια του βιβλίου πραγματοποιήθηκε υπό την αιγίδα του Παιδαγωγικού

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Το βιβλίο αυτό είναι γραμμένο με βάση την αναμορφωμένη έκδοση του σχολικού

Το βιβλίο αυτό είναι γραμμένο με βάση την αναμορφωμένη έκδοση του σχολικού www.ziti.gr Πρόλογος Το βιβλίο αυτό είναι γραμμένο με βάση την αναμορφωμένη έκδοση του σχολικού βιβλίου Άλγεβρας της Αʹ τάξης του Γενικού Λυκείου, που θα διδάσκεται από το σχολικό έτος 00-0. Είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα Συγγραφή: Ομάδα Υποστήριξης Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος 013-014, Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

2018 Φάση 2 ιαγωνίσµατα Επανάληψης ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' Γενικού Λυκείου. Σάββατο 21 Απριλίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης:3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ

2018 Φάση 2 ιαγωνίσµατα Επανάληψης ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' Γενικού Λυκείου. Σάββατο 21 Απριλίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης:3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A ΑΛΓΕΒΡΑ Α' Γενικού Λυκείου Σάββατο 1 Απριλίου 018 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑΤΑ Πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f (x) από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β ονομάζουμε το σύνολο Α, στο οποίο φαίνονται οι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Γεώργιος Α. Κόλλιας - μαθηματικός. 150 ασκήσεις επανάληψης. και. Θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Γεώργιος Α. Κόλλιας - μαθηματικός. 150 ασκήσεις επανάληψης. και. Θέματα εξετάσεων Γεώργιος Α. Κόλλιας - μαθηματικός Περιέχονται 50 συνδυαστικές ασκήσεις επανάληψης και θέματα εξετάσεων. Δεν συμπεριλαμβάνεται το κεφάλαιο των πιθανοτήτων, της γεωμετρικής προόδου, της μονοτονίας συνάρτησης,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

5.1 ΣΥΝΟΛΑ. 2. Παράσταση συνόλου. 3. Εποπτική παράσταση συνόλου : Γίνεται µε το διάγραµµα Venn, δηλαδή µε

5.1 ΣΥΝΟΛΑ. 2. Παράσταση συνόλου. 3. Εποπτική παράσταση συνόλου : Γίνεται µε το διάγραµµα Venn, δηλαδή µε 1 5.1 ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου- Μαθηματικός Περιηγητής ΕΝΟΤΗΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικές έννοιες των συναρτήσεων. ΣΤ.1 (6.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) ΣΤ.2 (6.2 παρ/φος σχολικού βιβλίου)

ΣΤ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικές έννοιες των συναρτήσεων. ΣΤ.1 (6.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) ΣΤ.2 (6.2 παρ/φος σχολικού βιβλίου) ΣΤ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικές έννοιες των συναρτήσεων ΣΤ. (6. παρ/φος σχολικού βιβλίου) Η έννοια της συνάρτησης ΣΤ. (6. παρ/φος σχολικού βιβλίου) Γραφική παράσταση συνάρτησης ΣΤ.3 (6.3 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Η

Διαβάστε περισσότερα

5. 1 ΣΥΝΟΛΑ. Η έννοια του συνόλου

5. 1 ΣΥΝΟΛΑ. Η έννοια του συνόλου ΜΕΡΟΣ Α 5.1 ΣΥΝΟΛΑ 359 5. 1 ΣΥΝΟΛΑ Η έννοια του συνόλου Ονομάζουμε σύνολο στα Μαθηματικά κάθε ομάδα αντικειμένων τα οποία διακρίνονται μεταξύ τους με απόλυτη σαφήνεια Κάθε αντικείμενο που περιέχεται σε

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11 2. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΛΟΓΙΚΗ Α Ψ Α Ψ viii) 9. Α Ψ ix) Α Ψ xi) Α Ψ xii) 0 0. Α Ψ xiii) Α Ψ xiv) Α Ψ xv)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΛΟΓΙΚΗ Α Ψ Α Ψ viii) 9. Α Ψ ix) Α Ψ xi) Α Ψ xii) 0 0. Α Ψ xiii) Α Ψ xiv) Α Ψ xv) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΛΟΓΙΚΗ 1. Σε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν θεωρείτε ότι ο ισχυρισμός που διατυπώνετε είναι αληθής, ενώ αν θεωρείτε ότι είναι ψευδής να κυκλώσετε το Ψ. Οι

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικά Παραδείγματα: Παρατηρήσεις:

Εισαγωγικά Παραδείγματα: Παρατηρήσεις: 1 Εισαγωγικά Η έννοια του συνόλου είναι πρωταρχική στα Μαθηματικά, δεν μπορεί δηλ. να οριστεί από άλλες έννοιες. Γενικά, μπορούμε να πούμε ότι σύνολο είναι μια συλλογή αντικειμένων. υτά λέμε ότι περιέχονται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω.

ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω. ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ Έστω α, β πραγµατικοί αριθµοί για τους οποίους ισχύουν: α β = 4 και αβ + αβ = 0 α) Να αποδείξετε ότι: α + β = 5. (Μονάδες 0) β) Να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθµού µε ρίζες τους αριθµούς α, β

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ A Α1. Να αποδείξετε ότι: αβ α β (Μονάδες 15) A. Χαρακτηρίστε ως Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) τις ακόλουθες προτάσεις: 1. Η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Σας εύχομαι καλή μελέτη και επιτυχία.

Σας εύχομαι καλή μελέτη και επιτυχία. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο αυτό αποτελεί συνέχεια του Α τεύχους και απευθύνεται κυρίως στους μαθητές της Α Λυκείου, αλλά και στους καθηγητές που διδάσκουν το μάθημα «Άλγεβρα και στοιχεία πιθανοτήτων» της Α Λυκείου.

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Σχόλιο. Παρατηρήσεις. Παρατηρήσεις. p q p. , p1 p2

Σχόλιο. Παρατηρήσεις. Παρατηρήσεις. p q p. , p1 p2 A. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Στα Μαθηµατικά χρησιµοποιούµε προτάσεις οι οποίες µπορούν να χαρακτηριστούν ως αληθείς (α) ή ψευδείς (ψ). Τις προτάσεις συµβολίζουµε µε τα τελευταία µικρά γράµµατα του Λατινικού αλφαβήτου:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ»

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ» ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Α ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 15

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 15 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 5 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ α + β + γ = 0 α 0 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑΣ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις ως προς ή y: α) - 4 = 0 β) 3 = 4 γ) + - 15 = 0 δ) 5-18 -

Διαβάστε περισσότερα

MAΘΗΜΑΤΙΚΑ. κριτήρια αξιολόγησης B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Πέτρος Μάρκος

MAΘΗΜΑΤΙΚΑ. κριτήρια αξιολόγησης B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Πέτρος Μάρκος B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πέτρος Μάρκος κριτήρια αξιολόγησης MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Διαγωνίσματα σε κάθε μάθημα και επαναληπτικά σε κάθε κεφάλαιο Διαγωνίσματα σε όλη την ύλη για τις τελικές εξετάσεις Αναλυτικές απαντήσεις σε όλα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Β Γυμνασίου

Μαθηματικά Β Γυμνασίου ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ Μαθηματικά Β Γυμνασίου Κριτήρια Αξιολόγησης Θέση υπογραφής δικαιούχου δικαιωμάτων πνευματικής ιδιοκτησίας, εφόσον η υπογραφή προβλέπεται από τη σύμβαση. «Το παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας

Διαβάστε περισσότερα

A. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

A. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Μάθηµα 1 Κεφάλαιο: Εισαγωγικό Θεµατικές Ενότητες: A. Το Λεξιλόγιο της Λογικής B. Σύνολα A. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Ορισµός Πρόταση λέµε κάθε φράση που µε βάση το νοηµατικό της περιεχόµενο µπορούµε να

Διαβάστε περισσότερα

Σύµφωνα µε την Υ.Α /Γ2/ Εξισώσεις 2 ου Βαθµού. 3.2 Η Εξίσωση x = α. Κεφ.4 ο : Ανισώσεις 4.2 Ανισώσεις 2 ου Βαθµού

Σύµφωνα µε την Υ.Α /Γ2/ Εξισώσεις 2 ου Βαθµού. 3.2 Η Εξίσωση x = α. Κεφ.4 ο : Ανισώσεις 4.2 Ανισώσεις 2 ου Βαθµού Σύµφωνα µε την Υ.Α. 139606/Γ2/01-10-2013 Άλγεβρα Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΛ Ι. ιδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου» (έκδοση 2013) Εισαγωγικό κεφάλαιο E.2. Σύνολα Κεφ.1

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Απόδειξη

Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Σύντομο ιστορικό σημείωμα: Η πρώτη απόδειξη στην ιστορία των μαθηματικών, αποδίδεται στο Θαλή το Μιλήσιο (~600 π.χ.). Ο Θαλής απέδειξε, ότι η διάμετρος διαιρεί τον κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

με Τέλος πάντων, έστω ότι ξεκινάει ένα άλλο υποθετικό σενάριο που απλά δεν διευκρινίζεται. Για το i) θα έχουμε , 2

με Τέλος πάντων, έστω ότι ξεκινάει ένα άλλο υποθετικό σενάριο που απλά δεν διευκρινίζεται. Για το i) θα έχουμε , 2 Άσκηση 75 Σε έναν οργανισμό, αρχικά υπάρχουν 04800 βακτήρια. Μετά από 1 ώρα υπάρχουν 10400 βακτήρια, μετά από ώρες 5100 βακτήρια, και γενικά ο αριθμός των βακτηρίων υποδιπλασιάζεται κάθε μια ώρα. α) Πόσα

Διαβάστε περισσότερα

Πρόταση. Αληθείς Προτάσεις

Πρόταση. Αληθείς Προτάσεις Βασικές έννοιες της Λογικής 1 Πρόταση Στην καθημερινή μας ομιλία χρησιμοποιούμε εκφράσεις όπως: P1: «Καλή σταδιοδρομία» P2: «Ο Όλυμπος είναι το ψηλότερο βουνό της Ελλάδας» P3: «Η Θάσος είναι το μεγαλύτερο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 3ο κεφάλαιο: Εξισώσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα 1

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α

ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΜΑΘΗΜΑΤΑ Π Ρ Ο Σ Α Ν Α Τ Ο Λ Ι Σ Μ Ο Υ Θ Ε Τ Ι Κ Ω Ν Σ Π Ο Υ Δ Ω Ν, ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 1 1.Σύνολα Σύνολο είναι μια ολότητα από σαφώς καθορισμένα και διακεκριμένα αντικείμενα. Τα φωνήεντα

Διαβάστε περισσότερα

Στέλιος Μιχαήλογλου - Δημήτρης Πατσιμάς

Στέλιος Μιχαήλογλου - Δημήτρης Πατσιμάς Μεθοδική Επανάληψη www.askisopolis.gr Στέλιος Μιχαήλογλου - Δημήτρης Πατσιμάς Ε. Σύνολα i. Τι είναι το σύνολο; ii. Ποιοι είναι οι βασικοί τρόποι παράστασης συνόλων και τι γνωρίζετε γι αυτούς; iii. Πότε

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις-Απαντήσεις Θεωρίας

Ερωτήσεις-Απαντήσεις Θεωρίας 1 ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΡΟΣ Β 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ο Γενικό Επαναληπτικό Διαγώνισμα ΘΕΜΑ ο Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμένες σελίδες του βιβλίου

Ορισμένες σελίδες του βιβλίου Ορισμένες σελίδες του βιβλίου 7. Θεωρούμε το σύνολο αναφοράς 0,,. Να οριστούν τα σύνολα: Α. των τριψηφίων αριθμών που σχηματίζουν τα στοιχεία του Ω. Β. των τριψηφίων αριθμών με διαφορετικά ψηφία Γ. των

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΣΥΝΟΛΑ-ΥΠΟΣΥΝΟΛΑ-ΙΣΑ ΣΥΝΟΛΑ

Α. ΣΥΝΟΛΑ-ΥΠΟΣΥΝΟΛΑ-ΙΣΑ ΣΥΝΟΛΑ ΜΑΘΗΜΑ 22 Κεφάλαιο 5o : Πιθανότητες Υποενότητα 5.1: Σύνολα. Θεµατικές Ενότητες: 1. Σύνολα-Υποσύνολα-Ίσα Σύνολα. 2. ιαγράµµατα Venn. 3. Πράξεις µε Σύνολα. Α. ΣΥΝΟΛΑ-ΥΠΟΣΥΝΟΛΑ-ΙΣΑ ΣΥΝΟΛΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Σύνολο είναι

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Μαθηματικά για Οικονομολόγους 2 ο Μάθημα: Σύνολα αριθμών-συναρτήσεις Διδάσκουσα:

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Μαθηματικά για Οικονομολόγους 2 ο Μάθημα: Σύνολα αριθμών-συναρτήσεις Διδάσκουσα: Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Μαθηματικά για Οικονομολόγους 2 ο Μάθημα: Σύνολα αριθμών-συναρτήσεις Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Σύνολα Σύνολο: Μία συλλογή διακριτών αντικειμένων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0% Να βρείτε: i Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Γ Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Α - Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Α - Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 1. Φυσικοί αριθμοί : Ν = {0,1,,3,4,...}. Ακέραιοι αριθμοί : Ζ = {...-4,-3,-,-1,0,1,,3,4,...} 3. Ρητοί αριθμοί : Q = { ì í, μ Ζ, ν Ζ* } Σημ. Το σύνολο Q των ρητών αριθμών ταυτίζεται με

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΜΑΡΙΝΟΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Τίτλος Θεματικές Ενότητες Σελίδες. Δυο λόγια προς τους μαθητές.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΜΑΡΙΝΟΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Τίτλος Θεματικές Ενότητες Σελίδες. Δυο λόγια προς τους μαθητές. ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Τίτλος Θεματικές Ενότητες Σελίδες Προλογικό Σημείωμα Δυο λόγια προς τους μαθητές. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο Όρια Συνέχεια Συνάρτησης 1-177 Μέρος 1 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1-85 Μάθημα 1 Έννοια συνάρτησης Πεδίο ορισμού

Διαβάστε περισσότερα

1.Σύνολα. 2. Υποσύνολα

1.Σύνολα. 2. Υποσύνολα 1.Σύνολα Σύνολο είναι μια ολότητα από σαφώς καθορισμένα και διακεκριμένα αντικείμενα. Τα φωνήεντα του ελληνικού αλφαβήτου θεωρούμενα ως μια ολότητα αποτελούν ένα σύνολο, το σύνολο των φωνηέντων του ελληνικού

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_3.ΜλΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α A.. Α.. Α.3. ΘΕΜΑ Β Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Α' Λυκείου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Α' Λυκείου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Α' Λυκείου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της Α Λυκείου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν µια εισαγωγή σε βασικές µαθηµατικές

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Π Ρ Ο Σ Α Ν Α Τ Ο Λ Ι Σ Μ Ο Υ Θ Ε Τ Ι Κ Ω Ν Σ Π Ο Υ Δ Ω Ν, Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ & Π Λ Η Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Η Σ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα