1.1 Η Έννοια του Διανύσματος

Transcript

1 ΙΝΥΣΜΤΙΚΟΟΙΣΜΟΣ 11 Η Έννοια του ιανύσματος ΜΘΗΣΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ: Ο µαθητής ϖρέϖει: να κατανοήσει τις έννοιες : διάνυσµα, µηδενικό διάνυσµα, φορέας-διεύθυνση, κατεύθυνση - φορά, µέτρο διανύσµατος, ϖαραλληλία διανύσµατος µε ευθεία, συγγραµµικά διανύσµατα, οµόρροϖα διανύσµατα, αντίρροϖα διανύσµατα, ίσα διανύσµατα, αντίθετα διανύσµατα, γωνία δύο διανυσµάτων να βρίσκει και να δικαιολογεί την ισότητα δύο διανυσµάτων, γεωµετρικά, αλγεβρικά να αναγνωρίζει τις ισότητες διανυσµάτων ϖου ϖροκύϖτουν αϖό τυχόν ϖαραλληλόγραµµο να αναγνωρίζει και να υϖολογίζει την γωνία δύο διανυσµάτων ιανυσµατικά και µονόµετρα ή βαθµωτά µεγέθη Μεγέθη τα οϖοία ϖροσδιορίζονται αϖό το µέτρο τους και αϖό την αντίστοιχη µονάδα µέτρησης, λέγονται µονόµετρα ή βαθµωτά Τέτοια µεγέθη είναι η µάζα, ο όγκος, η ϖυκνότητα, η θερµοκρασία κτλ, Μεγέθη ϖου για να τα ϖροσδιορίσουµε, εκτός αϖό το µέτρο τους και τη µονάδα µέτρησης, χρειαζόµαστε ακόµα τη διεύθυνση και τη φορά τους, λέγονται διανυσµατικά µεγέθη ή αϖλώς διανύσµατα Τέτοια µεγέθη είναι η δύναµη, η ταχύτητα, η εϖιτάχυνση, η µετατόϖιση, η µαγνητική εϖαγωγή κτλ Το διάνυσµα στη εωµετρία εωµετρικά ορίζουµε σαν διάνυσµα κάθε ϖροσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή διάνυσµα είναι το κάθε ευθύγραµµο τµήµα του οϖοίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγµένα Το ϖρώτο άκρο λέγεται αρχή ή σηµείο εφαρµογής του διανύσµατος, ενώ το δεύτερο λέγεται ϖέρας του διανύσµατος AB A (αρχή) B (πέρας) Το διάνυσµα µε αρχή το και ϖέρας το συµβολίζεται µε AB και ϖαριστάνεται µε ένα βέλος ϖου ξεκινάει αϖό το και καταλήγει στο Το διάνυσµα µε αρχή το και ϖέρας το συµβολίζεται µε BA και ϖαριστάνεται µε ένα βέλος ϖου ξεκινάει αϖό το και καταλήγει στο Πρόσεξε ότι αν A B τότε AB BA ν η αρχή και το ϖέρας ενός διανύσµατος συµϖίϖτουν, τότε το διάνυσµα λέγεται µηδενικό διάνυσµα Έτσι, για ϖαράδειγµα, το διάνυσµα AA είναι µηδενικό διάνυσµα, το οϖοίο µϖορούµε να το συµβολίσουµε και µε 0 1 Θωμάς Ραΐκόφτσαλης ασίλης Μαυροφρύδης

2 ΙΝΥΣΜΤΙΚΟΟΙΣΜΟΣ 11 Η Έννοια του ιανύσματος Πρόσεξε ότι αν AB 0 τότε τα άκρα ταυτίζονται οϖότε A B και αντιστρόφως ια το συµβολισµό των διανυσµάτων χρησιµοϖοιούµε ϖολλές φορές τα µικρά γράµµατα του ελληνικού ή του λατινικού αλφάβητου εϖιγραµµισµένα µε βέλος για ϖαράδειγµα, α, β,, u, v, Μέτρο διανύσµατος Η αϖόσταση των άκρων ενός διανύσµατος AB, δηλαδή το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος, λέγεται µέτρο ή µήκος του διανύσµατος AB και συµβολίζεται µε AB ν AB 0 τότε AB > 0, ενώ 0 0, οϖότε είναι ϖάντα AB 0 Πρόσεξε ότι το µέτρο ενός διανύσµατος είναι ένας µη αρνητικός ϖραγµατικός αριθµός! Πρόσεξε Μην ταυτίζεις ϖοτέ το διάνυσµα µε το µέτρο του! Πρόσεξε ότι AB BA Το µοναδιαίο διάνυσµα ν το διάνυσµα AB έχει µέτρο 1, δηλαδή αν ισχύει ότι AB 1, τότε λέγεται µοναδιαίο διάνυσµα Η διεύθυνση και η φορά (εγκυκλοϖαιδικά) ν έχουµε µια ευθεία ε, τότε το σύνολο όλων των ευθειών ϖου είναι ϖαράλληλες σ' αυτή λέµε ότι ορίζουν µια διεύθυνση Η διεύθυνση αυτή είναι ορισµένη, αν δοθεί µια οϖοιαδήϖοτε αϖό τις ϖαράλληλες ευθείες η οϖοία λέγεται και αντιϖρόσωϖος της διεύθυνσης Σε καθεµία αϖό τις ευθείες ϖου έχουν την ίδια διεύθυνση διακρίνουµε δύο φορές Η µια θεωρείται αυθαίρετα ως η θετική φορά οϖότε, η άλλη θα θεωρείται ως η αρνητική ιεύθυνση και φορέας διανύσµατος Ως διεύθυνση ενός διανύσµατος ορίζουµε τη διεύθυνση της ευθείας στην οϖοία βρίσκεται το διάνυσµα A B ε 2 Θωμάς Ραΐκόφτσαλης ασίλης Μαυροφρύδης

3 ΙΝΥΣΜΤΙΚΟΟΙΣΜΟΣ 11 Η Έννοια του ιανύσματος Η ευθεία ϖάνω στην οϖοία βρίσκεται ένα µη µηδενικό διάνυσµα AB λέγεται φορέας του AB Ως φορέα ενός µηδενικού διανύσµατος AA 0 µϖορούµε να θεωρούµε οϖοιαδήϖοτε αϖό τις ευθείες ϖου διέρχονται αϖό το AA ιάνυσµα ϖαράλληλο ϖρος ευθεία ν ο φορέας ενός διανύσµατος AB είναι ϖαράλληλος ή συµϖίϖτει µε µια ευθεία ε, τότε λέµε ότι το AB είναι ϖαράλληλο ϖρος τη ε και γράφουµε AB// ε Παράλληλα ή συγγραµµικά διανύσµατα ύο µη µηδενικά διανύσµατα AB και, ϖου έχουν τον ίδιο φορέα ή ϖαράλληλους φορείς, λέγονται ϖαράλληλα ή συγγραµµικά διανύσµατα Στην ϖερίϖτωση αυτή λέµε ότι τα AB και έχουν ίδια διεύθυνση και γράφουµε AB// ιανύσµατα οµόρροϖα και αντίρροϖα Τα συγγραµµικά διανύσµατα διακρίνονται σε οµόρροϖα και αντίρροϖα Συγκεκριµένα: ύο µη µηδενικά διανύσµατα AB και λέγονται οµόρροϖα: α) όταν έχουν ϖαράλληλους φορείς και βρίσκονται στο ίδιο ηµιεϖίϖεδο ως ϖρος την ευθεία ϖου ενώνει τις αρχές τους ή β) όταν έχουν τον ίδιο φορέα και µία αϖό τις ηµιευθείες και ϖεριέχει την άλλη Στην ϖερίϖτωση αυτή λέµε ότι τα AB και έχουν την ίδια κατεύθυνση (ίδια διεύθυνση και ίδια φορά) και γράφουµε AB 3 Θωμάς Ραΐκόφτσαλης ασίλης Μαυροφρύδης

4 ΙΝΥΣΜΤΙΚΟΟΙΣΜΟΣ 11 Η Έννοια του ιανύσματος ύο µη µηδενικά διανύσµατα AB και λέγονται αντίρροϖα, όταν είναι συγγραµµικά και δεν είναι οµόρροϖα Στην ϖερίϖτωση αυτή λέµε ότι τα διανύσµατα AB και έχουν αντίθετη κατεύθυνση (ίδια διεύθυνση και αντίθετη φορά) και γράφουµε AB Πρόσεξε ότι αναγκαία συνθήκη για να είναι δυο διανύσµατα AB και είτε οµόρροϖα είτε αντίρροϖα είναι να είναι συγγραµµικά! ν δεν είναι συγγραµµικά τότε δεν έχει νόηµα να µιλάµε για οµόρροϖα ή αντίρροϖα διανύσµατα! Ίσα διανύσµατα ύο µη µηδενικά διανύσµατα λέγονται ίσα όταν έχουν την ίδια κατεύθυνση και ίσα µέτρα ια να B δηλώσουµε ότι δύο διανύσµατα AB και είναι ίσα, γράφουµε AB Εϖοµένως ισχύει: AB AB και AB A Πρόσεξε ότι τα µηδενικά διανύσµατα θεωρούνται ίσα µεταξύ τους Πρόσεξε ότι αϖό τον ορισµό της ισότητας διανυσµάτων γίνεται φανερό ότι ένα διάνυσµα µϖορεί να ϖαρασταθεί µε ένα ευθύγραµµο τµήµα το οϖοίο έχει ορισµένο µήκος, διεύθυνση και φορά αλλά όχι συγκεκριµένη θέση στο χώρο Ιδιότητες της ισότητας στα διανύσµατα (εγκυκλοϖαιδικά) ια την ισότητα στο σύνολο των διανυσµάτων ισχύουν οι σχέσεις: 4 Θωμάς Ραΐκόφτσαλης ασίλης Μαυροφρύδης

5 ΙΝΥΣΜΤΙΚΟΟΙΣΜΟΣ 11 Η Έννοια του ιανύσματος α AB (ανακλαστική) β ν AB γ ν AB τότε και και (συµµετρική) ΕΖ τότε και AB ΕΖ (µεταβατική) Σηµείωση: Μια σχέση ϖου είναι ανακλαστική, συµµετρική και µεταβατική λέγεται σχέση ισοδυναµίας, οϖότε η ισότητα στο σύνολο των διανυσµάτων (αλλά και γενικά) είναι σχέση ισοδυναµίας Προτάσεις Εύκολα αϖοδεικνύεται ότι: ν AB B, τότε A, B και ν Μ είναι το µέσον του, τότε AM MB και αντιστρόφως Μ ντίθετα διανύσµατα ύο διανύσµατα λέγονται αντίθετα, όταν έχουν αντίθετη κατεύθυνση και ίσα µέτρα B ια να δηλώσουµε ότι δύο διανύσµατα AB και είναι αντίθετα, γράφουµε AB ή A AB Είναι φανερό ότι AB Ειδικότερα, έχουµε Πρόσεξε ότι τα αντίθετα διανύσµατα έχουν ίσα µέτρα, δηλαδή AB AB BA και ίδια διεύθυνση, δηλαδή είναι συγγραµµικά, οϖότε AB// // αλλά είναι αντίρροϖα ωνία δύο διανυσµάτων διανύσµατα ορθογώνια ή κάθετα 5 Θωμάς Ραΐκόφτσαλης ασίλης Μαυροφρύδης

6 ΙΝΥΣΜΤΙΚΟΟΙΣΜΟΣ 11 Η Έννοια του ιανύσματος Έστω δύο µη µηδενικά διανύσµατα α και β Με αρχή ένα σηµείο Ο ϖαίρνουµε τα διανύσµατα OA α και OB β β Ο θ Ο a Ο a a 6 Θωμάς Ραΐκόφτσαλης ασίλης Μαυροφρύδης β Την κυρτή γωνία AOB, ϖου ορίζουν οι ηµιευθείες Ο και Ο, την ονοµάζουµε γωνία των διανυσµάτων α και β και τη συµβολίζουµε µε ( α, β ) ή ( β, α) ή ακόµα, αν δεν ϖροκαλείται σύγχυση, µε ένα µικρό γράµµα, για ϖαράδειγµα θ ϖοδεικνύεται ότι η γωνία των α και β είναι ανεξάρτητη αϖό την εϖιλογή 0 0 του σηµείου Ο Είναι φανερό εϖίσης ότι 0 θ 180 ή σε ακτίνια 0 και ειδικότερα: θ 0, αν α β θπ, αν α β π ν θ, τότε λέµε ότι τα διανύσµατα α και β είναι 2 ορθογώνια ή κάθετα και γράφουµε α β Πρόσεξε ότι αν ένα αϖό τα διανύσµατα α, β β θ π είναι το µηδενικό διάνυσµα, τότε ως γωνία των α και β µϖορούµε να θεωρήσουµε οϖοιαδήϖοτε γωνία θ µε 0 θ π Έτσι, µϖορούµε να θεωρήσουµε ότι το µηδενικό διάνυσµα, 0, είναι οµόρροϖο ή αντίρροϖο ή ακόµη και κάθετο σε κάθε άλλο διάνυσµα Έλεγχος γνώσεων! ενικές ερωτήσεις 1 Τι είναι µονόµετρο και τι διανυσµατικό µέγεθος; 2 Τι καλείται διάνυσµα στη εωµετρία; Ο α β

7 ΙΝΥΣΜΤΙΚΟΟΙΣΜΟΣ 11 Η Έννοια του ιανύσματος 3 Ποιο διάνυσµα λέγεται µηδενικό; 4 Τι είναι µέτρο ενός διανύσµατος; 5 Ποιο διάνυσµα καλείται µοναδιαίο; 6 Τι καλείται φορέας ενός διανύσµατος; 7 Ποια διανύσµατα καλούνται συγγραµµικά; 8 Ποια διανύσµατα καλούνται οµόρροϖα; 9 Ποια διανύσµατα καλούνται αντίρροϖα; 10 Πότε δύο διανύσµατα καλούνται ίσα; 11 Πότε δύο διανύσµατα καλούνται αντίθετα; 12 Πως ορίζεται η γωνία δύο διανυσµάτων; 13 Πότε δύο διανύσµατα καλούνται κάθετα ή ορθογώνια;! Ερωτήσεις κρίσεως 1 Το διάνυσµα AA είναι: α) µηδενικό; β) µοναδιαίο; γ) έχει µέτρο 1; δ) έχει µέτρο 0 2 Το µηδενικό διάνυσµα: α) δεν έχει φορέα, β) έχει φορέα την οϖοιαδήϖοτε ευθεία, γ) έχει φορέα την οϖοιαδήϖοτε ευθεία ϖου διέρχεται αϖό το σηµείο ϖου καθορίζουν τα ταυτιζόµενα άκρα του 3 Το µέτρο ενός διανύσµατος είναι: α) αρνητικός αριθµός, β) θετικός αριθµός, γ) αριθµός µη αρνητικός, δ) οϖοιοσδήϖοτε αριθµός 4 ν AB 1 και 1, τότε: α), β), γ), δ),, µοναδιαία διανύσµατα 5 ν AB τότε: α), β), γ) έχουν ίδια διεύθυνση, δ) έχουν ίδια διεύθυνση και αντίθετη φορά 6 ν AB, τότε: α), β) και, γ) A, δ) AB 7 ν α, θ, τότε: o α) 0 θ 180 ο o, β) 0 θ 360 ο o, γ) 180 θ 180 ο o, δ) 0 θ 90 ο 8 ν τότε: α) α, o 360, β) α, o 90, γ) α, o 180, δ) α, o 0 9 ν τότε: α) α, o 360, β) α, o 90, γ) α, o 180, δ) α, o 0 10 ν α, θ, τότε: α) α, - β, α, β) α, β, α 7 Θωμάς Ραΐκόφτσαλης ασίλης Μαυροφρύδης

8 ΙΝΥΣΜΤΙΚΟΟΙΣΜΟΣ 11 Η Έννοια του ιανύσματος Μέθοδοι και τεχνικές για την εϖίλυση των ασκήσεων 1 ν µας ζητούν να αϖοδείξουµε ότι τα διανύσµατα AB και είναι ίσα θα εργαζόµαστε ως εξής: Θα δείχνουµε ότι τα διανύσµατα αυτά είναι οµόρροϖα και έχουν ίσα µέτρα ή θα δείχνουµε ότι τα ευθύγραµµα τµήµατα και έχουν το ίδιο µέσο, δηλαδή τα και διχοτοµούνται 2 Πρόσεξε ότι τα µοναδιαία διανύσµατα δεν είναι ίσα, αλλά αϖλώς έχουν όλα µέτρο ίσο µε 1 3 Πρόσεξε ότι αν AB A τότε και αν AB τότε 4 Πρόσεξε ότι αν AΜ Μ τότε το Μ είναι το µέσο του ευθυγράµµου τµήµατος, εφόσον 5 Πρόσεξε ότι αν AΜ Μ και τα σηµεία,, Μ δεν είναι συνευθειακά, τότε το Μ βρίσκεται ϖάνω στη µεσοκάθετη του ευθυγράµµου τµήµατος 6 Πρόσεξε ότι αν ΟΜ ρ, ρ>0, όϖου Ο ένα σταθερό σηµείο και Μ ένα τυχαίο (µεταβλητό) σηµείο, τότε το σηµείο Μ βρίσκεται ϖάνω σε έναν κύκλο ϖου έχει κέντρο το σηµείο Ο και ακτίνα ίση µε ρ Θέµατα ϖρος εµϖέδωση 1 ίνεται ένα τετράγωνο Κυκλώσετε το Σ (σωστό) ή το Λ (λάθος) στις ϖαρακάτω ισότητες i AB ii A iii A 2 ίνεται ένα τετράγωνο Να κυκλώσετε το Σ (σωστό) ή το Λ (λάθος) στις ϖαρακάτω ισότητες i AB ii A π 4 π, 4 iii (, ) iv ( ) 3 Να σηµειώσετε τη γωνία ( α, β) στις ακόλουθες ϖεριϖτώσεις 8 Θωμάς Ραΐκόφτσαλης ασίλης Μαυροφρύδης

9 ΙΝΥΣΜΤΙΚΟΟΙΣΜΟΣ 11 Η Έννοια του ιανύσματος α β α β (1) (2) α β α β (3) (4) α β (5) 4 Θεωρούµε το ϖαραλληλόγραµµο Στις ϖροεκτάσεις των ϖλευρών του και ϖαίρνουµε αντίστοιχα τα τµήµατα ΕΖ Ποιοι αϖό τους ϖαρακάτω ισχυρισµούς είναι σωστοί και ϖοιοι λανθασµένοι Κυκλώσετε το Σ (σωστό) ή το Λ (λάθος) i Ε Ζ ii Ζ Ε iii Ε Ζ iv v vi vii Ζ Ε viii ΕΖ ix Ζ, Ε, Ζ Ε 9 Θωμάς Ραΐκόφτσαλης ασίλης Μαυροφρύδης

10 ΙΝΥΣΜΤΙΚΟΟΙΣΜΟΣ 11 Η Έννοια του ιανύσματος x Ζ, π, Σ Λ 5 Ποιοι αϖό τους ϖαρακάτω ισχυρισµούς είναι σωστοί και ϖοιοι λανθασµένοι Κυκλώσετε το Σ (σωστό) ή το Λ (λάθος) i ια κάθε διάνυσµα α ισχύει α α ii ν α β και β γ τότε α γ iii ν α β τότε α β iv Ισχύει ότι α ( α) v ν α β και β γ τότε α γ 6 Ποιοι αϖό τους ϖαρακάτω ισχυρισµούς είναι σωστοί και ϖοιοι λανθασµένοι Κυκλώσετε το Σ (σωστό) ή το Λ (λάθος) i ν AB A, τότε ii ν α β και β γ τότε α γ iii ια τα µη µηδενικά διανύσµατα α και β ισχύει ότι α, β α, iv ια τα µη µηδενικά διανύσµατα α και β ισχύει ότι α, β π α, σκήσεις 1 Έστω Μ το µέσο της ϖλευράς ενός τριγώνου Με αρχή το Μ γράφουµε τα διανύσµατα M και ME BA Να αϖοδειχτεί ότι το είναι το µέσο του Ε Λύση Εϖειδή Μ, είναι Μ (1) Όµως Μ µέσο του Άρα, ΜΜ (2) Λόγω των (1) και (2), έχουµε Μ, οϖότε: Μ (3) Εϖειδή εϖιϖλέον ΜΕ, έχουµε ΕΜ (4) Έτσι, αϖό τις σχέσεις (3) και (4) έχουµε Ε, οϖότε είναι το µέσο του Ε 2 Έστω ισόϖλευρο τρίγωνο και ονοµάζουµε Κ,Λ,Μ τα µέσα των,, αντίστοιχα Μ Ε 10 Θωμάς Ραΐκόφτσαλης ασίλης Μαυροφρύδης

11 ΙΝΥΣΜΤΙΚΟΟΙΣΜΟΣ 11 Η Έννοια του ιανύσματος α) Να εξετάσετε αν τα διανύσµατα Κ,ΜΛ είναι ίσα ή αντίθετα οµοίως και για τα Μ,ΚΛ β) Να υϖολογιστούν οι ΚΛ, ΚΜ, ΛΜ, Λ, Κ,Κ 3 Σε τρίγωνο γράφουµε τα διανύσµατα και Ε είξετε ότι το σηµείο είναι το µέσο του ευθυγράµµου τµήµατος Ε 4 Πάνω στις ϖλευρές και ενός ϖαραλληλογράµµου ϖαίρνουµε τα σηµεία Μ και Ν αντίστοιχα και γράφουµε τα διανύσµατα Ε AΜ και ΖΝ Να αϖοδείξετε ότι το τετράϖλευρο ΖΜΕΝ είναι ϖαραλληλόγραµµο 5 Εξωτερικά του ϖαραλληλογράµµου κατασκευάζουµε τα τετράγωνα ΕΖ και ΘΗ Να αϖοδείξετε ότι: i ΖΗΕΘ, ΗΘ, Ζ Η ii Τα ευθύγραµµα τµήµατα και ΗΕ έχουν κοινό µέσο iii Το κέντρο Ο του είναι κοινό µέσο των ΕΗ και ΖΘ 6 ίνεται τρίγωνο και έστω Μ µέσο της ϖλευράς του ράφουµε τα διανύσµατα Μ και ΜΕ Να αϖοδείξετε ότι τα σηµεία,,ε είναι συνευθειακά και ότι το είναι το µέσο του Ε 7 Έστω Μ και Ν τα µέσα των ϖλευρών και του τριγώνου καθώς και τα διανύσµατα Μ και ΝΕ Να αϖοδείξετε ότι τα ευθύγραµµα τµήµατα Μ, ΝΕ, έχουν κοινό µέσο 8 ίνεται ένα τρίγωνο Να βρεθούν τα σηµεία Χ του εϖιϖέδου έτσι ώστε τα διανύσµατα AB και AΧ να έχουν: α) την ίδια κατεύθυνση, β) την ίδια διεύθυνση και το ίδιο µέτρο γ) την ίδια διεύθυνση, δ) το ίδιο µήκος 11 Θωμάς Ραΐκόφτσαλης ασίλης Μαυροφρύδης