Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ"

Transcript

1 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Ορισµός Ονοµάζουµε ακέραιο πολυώνυµο του x κάθε έκφραση της µορφής : α ν x ν + α ν-1 x ν-1 + α ν-2 x ν-2 + +α 1 x + α 0 όπου α ν, α ν-1, α ν-2,, α 1, α 0 C και ν Ν. Οι αριθµοί α ν, α ν-1, α ν-2,, α 1, α 0 αποκαλούνται συντελεστές του πολυωνύµου και το α 0 αποκαλείται σταθερός όρος (είναι ο συντελεστής του x 0 ). Οι εκφράσεις α k x k, όπου k Z και k 0, αποκαλούνται ακέραια µονώνυµα του x και αποτελούν τους όρους του πολυωνύµου. Πιο συγκεκριµένα, ο α ν x ν είναι ο πρώτος όρος και ο α ν ο πρώτος συντελεστής του πολυωνύµου. Το σύνολο των ακέραιων πολυωνύµων του x µε µιγαδικούς συντελεστές θα το συµβολίζουµε µε C[x] και τα στοιχεία του C[x], δηλαδή τα ακέραια πολυώνυµα του x, θα τα συµβολίζουµε µε P(x), Q(x), R(x), p(x), Δ(x), Φ(x), δ(x), φ(x), π(x), υ(x) κοκ. Επειδή το σύνολο C[x] αποτελεί µια ευρύτερη κατηγορία, µπορούµε να έχουµε και τα εξής σύνολα ακέραιων πολυωνύµων : R[x], το σύνολο των ακέραιων πολυωνύµων µε πραγµατικούς συντελεστές. Q[x], το σύνολο των ακέραιων πολυωνύµων µε ρητούς συντελεστές. Z[x], το σύνολο των ακέραιων πολυωνύµων µε ακέραιους συντελεστές. Ισότητα Πολυωνύµων Δύο πολυώνυµα P(x) και Q(x) θα λέµε ότι είναι ίσα, όταν και µόνο ό- ταν, οι συντελεστές των ίσων δυνάµεων του x είναι ίσοι. Δηλαδή, αν α k είναι οι συντελεστές του ενός πολυωνύµου και β k οι συντελεστές του άλλου πολυωνύµου, όπου k Ν, θα έχουµε : P(x) = Q(x) α k = β k, k = 0, 1, 2,, ν 1

2 Το Μηδενικό Πολυώνυµο Μηδενικό πολυώνυµο ονοµάζεται το πολυώνυµο του οποίου όλοι οι συντελεστές είναι ίσοι µε το µηδέν και συµβολίζεται µε 0(x). Δηλαδή, ένα πολυώνυµο P(x) είναι ίσο µε το µηδενικό πολυώνυµο όταν και µόνο όταν : α ν = α ν-1 = = α 1 = α 0 = 0 P(x) = 0(x) α ν = α ν-1 = = α 1 = α 0 = 0 Βαθµός µη Μηδενικού Πολυωνύµου Βαθµός ενός ακέραιου µη µηδενικού πολυωνύµου ονοµάζεται ο µεγαλύτερος εκθέτης της µεταβλητής x, της οποίας ο συντελεστής είναι διάφορος του µηδενός. Μπορούµε ισοδύναµα να πούµε ότι βαθµός ενός ακέραιου µη µηδενικού πολυωνύµου ονοµάζεται ο δείκτης ν του πρώτου συντελεστή α ν του πολυωνύµου. Το µηδενικό πολυώνυµο δεν έχει βαθµό, ενώ τα σταθερά πολυώνυµα P(x)=α 0, όπου α 0 0, είναι πολυώνυµα µηδενικού βαθµού. Πράξεις µε Πολυώνυµα Ανάµεσα στα στοιχεία του C[x], δηλαδή ανάµεσα στα ακέραια πολυώνυµα του x µε συντελεστές µιγαδικούς αριθµούς, µπορούµε να ορίσουµε το ά- θροισµα, τη διαφορά και το γινόµενο δύο ακέραιων πολυωνύµων του x, που αποτελεί επίσης ένα ακέραιο πολυώνυµο του x, δηλ. ένα στοιχείο του C[x]. Ονοµάζουµε άθροισµα των ακέραιων πολυωνύµων P(x) και Q(x) του C[x], και το συµβολίζουµε µε P(x)+Q(x), το ακέραιο πολυώνυµο που έχει συντελεστή του x k, όπου k=0, 1, 2,, ν, το άθροισµα των συντελεστών του x k στα δύο πολυώνυµα. Ονοµάζουµε αντίθετο του ακέραιου πολυωνύµου P(x) του C[x], και το συµβολίζουµε µε P(x), το ακέραιο πολυώνυµο που έχει συντελεστές τους α- ντίθετους των συντελεστών του f(x). Ονοµάζουµε διαφορά του ακέραιου πολυωνύµου Q(x) του C[x] από το ακέραιο πολυώνυµο P(x) του C[x], και το συµβολίζουµε µε P(x) Q(x), το ακέραιο πολυώνυµο P(x)+[ Q(x)]. Ονοµάζουµε γινόµενο ενός αριθµού λ επί ενός ακέραιου πολυωνύµου P(x) του C[x], και το συµβολίζουµε µε λp(x), το ακέραιο πολυώνυµο που έχει συντελεστές τα γινόµενα του αριθµού λ επί τους αντίστοιχους συντελεστές του P(x). Ονοµάζουµε γινόµενο των ακέραιων πολυωνύµων P(x) και Q(x) του C[x], και το συµβολίζουµε µε P(x).Q(x), το ακέραιο πολυώνυµο που έχει συ- 2

3 ντελεστή του x k, όπου k=0, 1, 2,, 2ν, το άθροισµα των γινοµένων των συντελεστών των δύο πολυωνύµων που έχουν άθροισµα δεικτών ίσο µε k. Δηλαδή, ο συντελεστής του x 2 είναι το άθροισµα α 0 β 2 + α 1 β 1 + α 2 β 0. Το µηδενικό πολυώνυµο 0(x) είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης των πολυωνύµων και το σταθερό πολυώνυµο 1 είναι το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασµού των πολυωνύµων. Ο βαθµός του αθροίσµατος και της διαφοράς δύο ακεραίων πολυωνύ- µων P(x) και Q(x) είναι µικρότερος ή ίσος από τον µέγιστο βαθµό των δύο πολυωνύµων. Στην περίπτωση της πρόσθεσης, ο βαθµός του αθροίσµατος είναι µικρότερος από τον µέγιστο βαθµό των δύο πολυωνύµων, όταν τα δύο πολυώνυµα είναι του ίδιου βαθµού και οι συντελεστές των πρώτων όρων τους είναι αντίθετοι. Αντίστοιχα, στην περίπτωση της αφαίρεσης, ο βαθµός της διαφοράς είναι µικρότερος από τον µέγιστο βαθµό των δύο πολυωνύµων, όταν τα δύο πολυώνυµα είναι του ίδιου βαθµού και οι συντελεστές των πρώτων όρων τους είναι ίσοι. Ο βαθµός του γινοµένου λp(x) είναι ίσος µε τον βαθµό του P(x) και ο βαθµός του γινοµένου P(x).Q(x) είναι ίσος µε το άθροισµα των βαθµών των P(x) και Q(x). Χρήσιµες είναι και οι επόµενες προτάσεις : Αν P(x) = Q(x) P(x) Q(x) = 0(x). Αν για τα ακέραια πολυώνυµα P(x) και Q(x) ισχύει : P(x).Q(x) = 0(x), τότε ένα τουλάχιστον απ αυτά θα είναι το µηδενικό πολυώνυµο. Το γινόµενο δύο µη µηδενικών ακέραιων πολυωνύµων δεν µπορεί να είναι ίσο µε το µηδενικό πολυώνυµο. Αν R(x) 0(x) και P(x).R(x) = Q(x).R(x) P(x) = Q(x). Αριθµητική Τιµή και Ρίζα Πολυωνύµου Μπορούµε να θεωρήσουµε την έκφραση ενός ακέραιου πολυωνύµου P(x) = α ν x ν + α ν-1 x ν-1 + α ν-2 x ν-2 + +α 1 x + α 0 σαν µια συνάρτηση µε ανεξάρτητη µεταβλητή το x (πολυωνυµική συνάρτηση). Η εικόνα P(λ) ενός αριθµού λ, δηλ. η έκφραση α ν λ ν + α ν-1 λ ν-1 + α ν-2 λ ν-2 + +α 1 λ + α 0 αποκαλείται αριθµητική τιµή της πολυωνυµικής συνάρτησης για x = λ ή πιο απλά αριθµητική τιµή του πολυωνύµου P(x) για x = λ. 3

4 Ένας αριθµός ρ C θα αποκαλείται ρίζα ενός ακέραιου πολυωνύµου P(x) C[x], όταν και µόνο όταν η αριθµητική τιµή του πολυωνύµου για x = ρ είναι ίση µε µηδέν, δηλ. P(ρ) = 0. ρ ρίζα του P(x) P(ρ) = 0 Το σύνολο των ριζών ενός ακέραιου πολυωνύµου P(x) C[x] αποκαλείται σύνολο αλήθειας του πολυωνύµου P(x). Αποδεικνύεται ότι κάθε ακέραιο πολυώνυµο µε µιγαδικούς συντελεστές και µε βαθµό ν 1, έχει ν µιγαδικές ρίζες. 4

5 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Τέλεια Διαίρεση Πολυωνύµων Αν Δ(x) και δ(x) είναι δύο ακέραια πολυώνυµα του C[x], θα λέµε ότι το δ(x) διαιρεί το Δ(x), και θα γράφουµε δ(x)/δ(x), αν και µόνο αν δ(x) 0(x) και υπάρχει ένα ακέραιο πολυώνυµο π(x) C[x], ώστε να ισχύει : Δ(x) = δ(x)π(x) δ(x)/δ(x) δ(x) 0(x) π(x) C[x] : Δ(x) = δ(x)π(x) Μπορούµε να λέµε ότι το Δ(x) διαιρείται ή είναι διαιρετό από το δ(x) ή ότι το Δ(x) είναι πολλαπλάσιο του δ(x) ή ότι το δ(x) είναι διαιρέτης του Δ(x) ή ότι το δ(x) είναι παράγοντας του Δ(x) ή τέλος ότι το δ(x) διαιρεί το Δ(x). Σε µια τέλεια διαίρεση πολυωνύµων, το πολυώνυµο Δ(x) ονοµάζεται διαιρετέος, το δ(x) διαιρέτης και το π(x) πηλίκο της διαίρεσης Δ(x) : δ(x). Πρέπει να έχουµε υπόψη µας ότι το µηδενικό πολυώνυµο διαιρείται α- πό κάθε µη µηδενικό πολυώνυµο και δίνει πηλίκο µηδέν, αλλά το µηδενικό πολυώνυµο δεν διαιρεί κανένα πολυώνυµο. Ακολουθούν ορισµένες χρήσιµες παρατηρήσεις προτάσεις : Κάθε πολυώνυµο διαιρείται από κάθε σταθερό αλλά µη µηδενικό πολυώνυµο. Κάθε πολυώνυµο διάφορο του µηδενικού διαιρεί τον εαυτό του. Ο βαθµός του πηλίκου είναι ίσος µε τη διαφορά των βαθµών διαιρετέου και διαιρέτη. Αν το πολυώνυµο δ(x) διαιρεί το πολυώνυµο Δ(x), τότε ή το Δ(x)=0(x) ή ο βαθµός του Δ(x) θα είναι από τον βαθµό του δ(x). Το πηλίκο µιας τέλειας διαίρεσης πολυωνύµων είναι µοναδικό. Αν δ(x)/δ(x) και Δ(x)/Φ(x) δ(x)/φ(x). Αν φ(x) 0(x) δ(x)/δ(x) δ(x)φ(x)/δ(x)φ(x). Αν δ(x)/δ(x) δ(x)/δ(x)φ(x) Φ(x) C[x]. Αν δ(x)/δ 1 (x) και δ(x)/δ 2 (x) δ(x)/δ 1 (x) ± Δ 2 (x). Αν δ 1 (x)/δ 1 (x) και δ 2 (x)/δ 2 (x) δ 1 (x)δ 2 (x)/δ 1 (x)δ 2 (x). Αν το δ(x) διαιρεί καθένα από τα πολυώνυµα Δ 1 (x), Δ 2 (x),, Δ ν (x), τότε το δ(x) θα διαιρεί και το πολυώνυµο c 1 Δ 1 (x)+c 2 Δ 2 (x)+ +c ν Δ ν (x), όπου c 1, c 2,, c ν C. Αν δ(x)/δ 1 (x) ± Δ 2 (x) και δ(x)/δ 1 (x) δ(x)/δ 2 (x). Αν δ(x)/δ 1 (x) και δ(x)/δ 2 (x) δ(x)/δ 1 (x)φ 1 (x) ± Δ 2 (x)φ 2 (x), Φ 1 (x), Φ 2 (x) C[x]. Αν το δ(x) διαιρεί ένα τουλάχιστον από τα πολυώνυµα Δ 1 (x), Δ 2 (x),, Δ ν (x), τότε το δ(x) θα διαιρεί και το πολυώνυµο Δ 1 (x)δ 2 (x) Δ ν (x). Αν δ(x)/δ(x) δ(x)/[δ(x)] ν ν Ν. Αν δ(x)/δ(x) και Δ(x)/δ(x) Δ(x) = c.δ(x), όπου c σταθερά 0. 5

6 Πρέπει να έχουµε υπόψη µας ότι σίγουροι διαιρέτες ενός ακέραιου πολυωνύµου Δ(x) είναι τα πολυώνυµα µηδενικού βαθµού 0, το ίδιο το Δ(x) αν Δ(x) 0(x), και όλα τα πολυώνυµα της µορφής cδ(x), όπου 0. Οι διαιρέτες αυτοί αποκαλούνται προφανείς διαιρέτες του Δ(x) και κάθε άλλος διαιρέτης του f(x) αποκαλείται γνήσιος διαιρέτης του Δ(x). Ακολουθούν µερικοί χρήσιµοι ορισµοί : Ένα πολυώνυµο Δ(x) C[x], µε βαθµό ν>0, θα αποκαλείται ανάγωγο, αν και µόνο αν έχει µόνο προφανείς διαιρέτες, κάτι αντίστοιχο δηλαδή µε τους πρώτους αριθµούς στο σύνολο των ακεραίων. Στο C[x] τα µόνα ανάγωγα πολυώνυµα είναι τα πολυώνυµα πρώτου βαθµού αx + β, µε α 0, ενώ στο R[x] ανάγωγα πολυώνυµα είναι τα αx + β, µε α 0 και τα πολυώνυµα δεύτερου βαθµού που έχουν µιγαδικές ρίζες (Δ<0). Ένα πολυώνυµο δ(x) C[x] θα αποκαλείται κοινός διαιρέτης των πολυωνύµων P(x), Q(x), αν και µόνο αν, διαιρεί και τα δύο πολυώνυµα P(x), Q(x). Ένα πολυώνυµο δ(x) C[x] θα αποκαλείται µέγιστος κοινός διαιρέτης των µη µηδενικών πολυωνύµων P(x), Q(x), αν και µόνο αν ισχύουν τα εξής : o Είναι κοινός διαιρέτης των P(x) και Q(x). o Το δ(x) διαιρείται από κάθε άλλο κοινό διαιρέτη των P(x) και Q(x). o Ο πρώτος συντελεστής του είναι το 1. Ο ΜΚΔ δύο πολυωνύµων, αν υπάρχει, είναι µοναδικός και ακόµη είναι το πολυώνυµο µε τον µεγαλύτερο βαθµό ανάµεσα στους κοινούς διαιρέτες των δύο πολυωνύµων. Δύο µη µηδενικά πολυώνυµα P(x), Q(x) θα ονοµάζονται πρώτα µεταξύ τους, αν και µόνο αν ο ΜΚΔ τους δ(x) είναι ίσος µε το σταθερό πολυώνυµο 1. Αλγοριθµική Διαίρεση Πολυωνύµων Για δύο ακέραια πολυώνυµα Δ(x) και δ(x) του C[x] µε δ(x) 0(x), υ- πάρχει ένα και µόνο ένα ζευγάρι πολυωνύµων π(x) και υ(x) του C[x], έτσι ώ- στε να ισχύει : Δ(x) = δ(x).π(x) + υ(x) όπου ή υ(x)=0(x) ή ο βαθµός υ(x) < βαθµό δ(x) Η παραπάνω σχέση αποκαλείται ταυτότητα της αλγοριθµικής διαίρεσης Δ(x) : δ(x). Η εύρεση των π(x) και υ(x) αποκαλείται αλγοριθµική ή Ευκλείδια διαίρεση του Δ(x) δια του δ(x) και τα πολυώνυµα Δ(x), δ(x), π(x) και υ(x) αποκαλούνται αντίστοιχα διαιρετέος, διαιρέτης, αλγοριθµικό ή ακέραιο πηλίκο ή και απλά πηλίκο και υπόλοιπο της διαίρεσης Δ(x) : δ(x). 6

7 Ακολουθούν ορισµένες χρήσιµες παρατηρήσεις : Αν υ(x) = 0(x), η διαίρεση αποκαλείται τέλεια. Ο βαθµός του πηλίκου της διαίρεσης δύο µη µηδενικών πολυωνύµων είναι ίσος µε τη διαφορά των βαθµών διαιρετέου και διαιρέτη. δ(x)/δ(x) υ(x), δηλ. ο διαιρέτης διαιρεί το πολυώνυµο της διαφοράς του διαιρετέου µείον το υπόλοιπο. Και µερικές πολύ χρήσιµες προτάσεις : Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός ακέραιου πολυώνυµου P(x) C[x] µε το διώνυµο x α, όπου α C, είναι το P(α), δηλ. η αριθµητική τιµή του πολυωνύµου για x = α. P(x) = (x α).π(x) + P(α) Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός ακέραιου πολυώνυµου P(x) C[x] µε το διώνυµο αx + β, όπου α, β C και α 0, είναι το P( α β ), δηλ. η α- ριθµητική τιµή του πολυωνύµου για x = α β. P(x) = (αx + β).π(x) + P( α β ) Το πολυώνυµο P(x) C[x] διαιρείται µε το διώνυµο x ρ, όπου ρ C, αν και µόνο αν, το ρ είναι ρίζα του P(x). x ρ/p(x) P(ρ) = 0 P(x) = (x ρ).π(x) Αν υ 1 (x) και υ 2 (x) είναι τα υπόλοιπα των διαιρέσεων P 1 (x):δ(x) και P 2 (x):δ(x) αντίστοιχα, όπου δ(x) 0(x), τότε ισχύει : δ(x)/p 1 (x) P 2 (x) υ 1 (x) = υ 2 (x) Σε κάθε αλγοριθµική διαίρεση, ο διαιρετέος και το υπόλοιπο όταν διαιρεθούν µε τον διαιρέτη αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο, δηλ. το ίδιο το υ(x). Ένα ακέραιο πολυώνυµο P(x), βαθµού ν, όπου ν Ν, διαιρείται µε το (x α) ν, αν και µόνο αν P(α)=0, P 1 (α)=0, P 2 (α)=0,, P ν-1 (α)=0, ό- που P 1 (x), P 2 (x),, P ν-1 (x) είναι αντίστοιχα τα πηλίκα των διαιρέσεων : P(x):(x α), P 1 (x) : (x α),, P ν-2 (x) : (x α). 7

8 ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΥΠΟΛΟΙΠΟΥ ΣΤΗ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Μέθοδος 1 η Βασίζεται στη γνωστή ιδιότητα ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύµου P(x) µε το πολυώνυµο x α είναι ίσο µε P(α) και ακόµη ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύµου P(x) µε το πολυώνυµο αx+β είναι ίσο µε P( α β ). Μέθοδος 2 η (προσδιοριστέων συντελεστών) Εφαρµόζεται στην περίπτωση που ο διαιρέτης είναι της µορφής : (x α 1 )(x α 2 )(x α 3 ) (x α ν ) όπου οι αριθµοί α 1, α 2, α 3,..., α ν είναι διαφορετικοί µεταξύ τους ανά δύο. Στην περίπτωση αυτή γράφουµε τη βασική ταυτότητα της διαίρεσης των πολυωνύµων και έχουµε : Δ(x) = δ(x).π(x) + υ(x) Θέτουµε όπου x = α 1, α 2, α 3,..., α ν και προκύπτουν έτσι ν σε πλήθος εξισώσεις της µορφής : Δ(α 1 ) = υ(α 1 ) Δ(α 2 ) = υ(α 2 ) Δ(α 3 ) = υ(α 3 ) Δ(α ν ) = υ(α ν ) Μέθοδος 3 η (µε χρήση παραγώγων) Εφαρµόζεται στην περίπτωση που ο διαιρέτης είναι της µορφής : (x α) κ όπου κ Ν και κ>1. Στην περίπτωση αυτή γράφουµε τη βασική ταυτότητα της διαίρεσης των πολυωνύµων και έχουµε : Δ(x) = (x α) κ.π(x) + υ(x) Παραγωγίζουµε την παραπάνω σχέση κ 1 φορές και έτσι προκύπτουν κ σε πλήθος εξισώσεις. 8

9 Μερικές χρήσιµες παρατηρήσεις : Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύµου P(x) µε το πολυώνυµο (x α) 2 είναι ίσο µε P (α).x + P(α) α.p (α). Για να έχει ένα πολυώνυµο P(x) µια τουλάχιστον διπλή ρίζα α, θα πρέπει P(α) = P (α) = 0. Μέθοδος 4 η (διαδοχικών διαιρέσεων) Εφαρµόζεται στην περίπτωση που ο διαιρέτης είναι της µορφής : (x α) κ.(x β) όπου κ Ν, κ>1 και α β. Στην περίπτωση αυτή γράφουµε τη βασική ταυτότητα της διαίρεσης των πολυωνύµων Δ(x) και (x α) κ και έχουµε : Δ(x) = (x α) κ.π(x) + υ(x) Κάνουµε µετά τη διαίρεση του πολυωνύµου π(x) µε το πολυώνυµο (x β) και έχουµε : π(x) = (x β).π 1 (x) + π(β) Αντικαθιστούµε στην προηγούµενη σχέση και έχουµε : Δ(x) = (x α) κ.(x β).π 1 (x) + (x α) κ.π(β) + υ(x) Θέτουµε όπου x = β και βρίσκουµε το π(β). Μέθοδος 5 η (ίσων υπολοίπων) Βασίζεται στη γνωστή πρόταση ότι αν ένα πολυώνυµο δ(x) 0(x) και δ(x)/p(x) Q(x), τότε τα υπόλοιπα των διαιρέσεων P(x):δ(x) και Q(x):δ(x) θα είναι ίσα. Μέθοδος 6 η (αντικατάστασης) Εφαρµόζεται στην περίπτωση που ο διαιρέτης είναι της µορφής : (x κ α) και ο διαιρετέος είναι της µορφής α ν x ν +α ν 1 x ν 1 + +α 0, όπου ν κ. Προσπαθούµε να γράψουµε τον διαιρετέο σε µια µορφή σαν την : (x κ ) λ.p λ (x)+(x κ ) λ 1.p λ 1 (x)+ +(x κ ) 1.p 1 (x)+p 0 (x) οπότε θέτουµε x ν = y και προκύπτει ένα πολυώνυµο ως προς y. Θέτουµε όπου y = α και το πολυώνυµο που θα προκύψει ως προς x θα είναι και το ζητούµενο υπόλοιπο. 9

10 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Πολυώνυµα µε Μιγαδικούς Συντελεστές Αν ένα ακέραιο πολυώνυµο P(x) C[x] διαιρείται µε καθένα από τα διώνυµα (x ρ 1 ), (x ρ 2 ),, (x ρ ν ), όπου ρ 1, ρ 2,, ρ ν αριθµοί διαφορετικοί µεταξύ τους ανά δύο, τότε το P(x) θα διαιρείται και µε το γινόµενο : (x ρ 1 )(x ρ 2 ) (x ρ ν ) και αντίστροφα. Αν ένα ακέραιο πολυώνυµο P(x) = α ν x ν + α ν-1 x ν-1 + α ν-2 x ν-2 + +α 1 x + α 0, βαθµού ν 1, έχει ως ρίζες τους ν διαφορετικούς µεταξύ τους ανά δύο αριθµούς ρ 1, ρ 2,, ρ ν, τότε θα έχουµε : P(x) = α(x ρ 1 )(x ρ 2 ) (x ρ ν ) Ο αριθµός ρ C θα αποκαλείται ρίζα βαθµού πολλαπλότητας k, όπου k 1, του πολυωνύµου P(x), αν και µόνο αν υπάρχει ένα ακέραιο πολυώνυµο Q(x), ώστε να ισχύει : P(x) = (x ρ) k Q(x) και Q(ρ) 0. Κάθε ακέραιο πολυώνυµο P(x) C[x], βαθµού ν 1, έχει ν το πλήθος ρίζες, ίσες ή διαφορετικές, στο σύνολο C των µιγαδικών αριθµών. Αν ένα ακέραιο πολυώνυµο P(x) = α ν x ν + α ν-1 x ν-1 + α ν-2 x ν-2 + +α 1 x + α 0, βαθµού ν 1, έχει ως ρίζες τους αριθµούς ρ 1, ρ 2,, ρ κ, µε βαθµούς πολλαπλότητας λ 1, λ 2,, λ κ αντίστοιχα, τότε θα έχουµε : P(x) = α(x ρ 1 ) λ 1 (x ρ 2) λ 2 (x ρ κ) λ κ όπου θα ισχύει : λ 1 +λ 2 + +λ κ = ν και κ ν. Η παραπάνω παράσταση ονοµάζεται ανάλυση του πολυωνύµου P(x) σε γινόµενο πρώτων παραγόντων. Αν ένα ακέραιο πολυώνυµο P(x), βαθµού το πολύ ν, µηδενίζεται για ν+1 διαφορετικές µεταξύ τους ανά δύο τιµές του x, τότε το P(x) είναι το µηδενικό πολυώνυµο. Αν δύο ακέραια πολυώνυµα P(x) και Q(x), είναι και τα δύο βαθµού το πολύ ν, και έχουν τις ίδιες τιµές για ν+1 διαφορετικές µεταξύ τους ανά δύο τιµές του x, τότε P(x) = Q(x). Αν ένα ακέραιο πολυώνυµο P(x), βαθµού το πολύ ν, έχει την ίδια αριθµητική τιµή για ν+1 διαφορετικές µεταξύ τους ανά δύο τιµές του x, τότε το P(x) είναι ένα σταθερό πολυώνυµο. 10

11 Τύποι του Vieta Για ένα ακέραιο πολυώνυµο P(x) = α ν x ν + α ν-1 x ν-1 + α ν-2 x ν-2 + +α 1 x + α 0, όπου α ν 0, που έχει ως ρίζες τους ν αριθµούς ρ 1, ρ 2,, ρ ν, ξέρουµε ότι ισχύει : P(x) = α ν x ν + α ν-1 x ν-1 + α ν-2 x ν-2 + +α 1 x + α 0 = α ν (x ρ 1 )(x ρ 2 ) (x ρ ν ) Αν κάνουµε τις πράξεις στο δεύτερο µέρος και εξισώσουµε τους συντελεστές των ισοβάθµιων όρων, έχουµε τις εξής πολύ χρήσιµες σχέσεις οι οποίες συσχετίζουν τις ρίζες και τους συντελεστές ενός πολυωνύµου και που είναι γνωστές σαν τύποι του Vieta : S 1 = ρ 1 +ρ ρ ν-1 +ρ ν = S 2 = ρ 1 ρ 2 +ρ 1 ρ 3 + +ρ 1 ρ ν +ρ 2 ρ 3 + +ρ 2 ρ ν + +ρ ν-1 ρ ν = + S 3 = ρ 1 ρ 2 ρ 3 +ρ 1 ρ 2 ρ 4 + +ρ 1 ρ 2 ρ ν + +ρ ν-2 ρ ν-1 ρ ν = αν 1 α ν αν 2 α ν ν αν 3 S ν = ρ 1 ρ 2 ρ 3 ρ ν-1 ρ ν = ( 1) ν αν α α 0 Πολυώνυµα µε Πραγµατικούς Συντελεστές Αν τα πολυώνυµα P(x) και Q(x) R[x], τότε και τα πολυώνυµα P(x) ± Q(x), P(x)Q(x) αλλά και το πηλίκο και το υπόλοιπο της αλγοριθµικής διαίρεσης P(x):Q(x) είναι επίσης ακέραια πολυώνυµα µε συντελεστές πραγµατικούς αριθµούς. Αν το ακέραιο πολυώνυµο P(x) µε πραγµατικούς συντελεστές, βαθµού ν 2, έχει ως ρίζα τον µιγαδικό αριθµό α+iβ, όπου α, β R και β 0, τότε θα έχει ως ρίζα και τον συζυγή µιγαδικό α iβ. Αν το ακέραιο πολυώνυµο P(x) µε πραγµατικούς συντελεστές, βαθµού ν 2k, όπου k Ν, έχει ως πολλαπλή ρίζα τον µιγαδικό αριθµό α+iβ, όπου α, β R και β 0, µε βαθµό πολλαπλότητας k, τότε θα έχει ως πολλαπλή ρίζα και τον συζυγή µιγαδικό α iβ και µε τον ίδιο βαθµό πολλαπλότητας k. Αν ένα ακέραιο πολυώνυµο P(x) µε πραγµατικούς συντελεστές έχει ως ρίζες µιγαδικούς αριθµούς, τότε το πλήθος των µιγαδικών ριζών θα είναι άρτιος αριθµός. Όλα τα πολυώνυµα περιττού βαθµού που έχουν πραγµατικούς συντελεστές έχει σίγουρα έναν τουλάχιστον πραγµατικό αριθµό σαν ρίζα. 11

12 Ένα πολυώνυµο άρτιου βαθµού που έχει πραγµατικούς συντελεστές µπορεί να έχει καµία µιγαδική ρίζα ή όλες τις ρίζες του µιγαδικές ή άρτιο πλήθος µιγαδικών ριζών. Πολυώνυµα µε Ρητούς Συντελεστές Αν τα πολυώνυµα P(x) και Q(x) Q[x], τότε και τα πολυώνυµα P(x) ± Q(x), P(x)Q(x) αλλά και το πηλίκο και το υπόλοιπο της αλγοριθµικής διαίρεσης P(x):Q(x) είναι επίσης ακέραια πολυώνυµα µε συντελεστές ρητούς αριθ- µούς. Αν το ακέραιο πολυώνυµο P(x) µε ρητούς συντελεστές, βαθµού ν 2, έχει ως ρίζα τον αριθµό α+ β, όπου α, β Q και β R Q, δηλ. το β δεν αποτελεί τέλειο τετράγωνο ρητού αριθµού, τότε θα έχει ως ρίζα και τον αριθµό α β και µάλιστα µε τον ίδιο βαθµό πολλαπλότητας. Αν το ακέραιο πολυώνυµο P(x) µε ρητούς συντελεστές, βαθµού ν 2, έχει ως ρίζα τον αριθµό α+β γ, όπου α, β, γ Q και γ R Q, δηλ. το γ δεν αποτελεί τέλειο τετράγωνο ρητού αριθµού, και β 0, τότε θα έχει ως ρίζα και τον αριθµό α β γ και µάλιστα µε τον ίδιο βαθµό πολλαπλότητας. Πολυώνυµα µε Ακέραιους Συντελεστές Αν τα πολυώνυµα P(x) και Q(x) Z[x], τότε και τα πολυώνυµα P(x) ± Q(x) και P(x)Q(x) Z[x]. Επίσης, αν ο πρώτος συντελεστής του Q(x) είναι ίσος µε 1 ή µε 1, τότε το πηλίκο και το υπόλοιπο της αλγοριθµικής διαίρεσης P(x):Q(x) είναι επίσης ακέραια πολυώνυµα µε συντελεστές ακέραιους α- ριθµούς. Αν το ακέραιο πολυώνυµο P(x) µε ακέραιους συντελεστές έχει ως ρίζα τον ακέραιο αριθµό ρ 0, τότε ο ρ θα είναι διαιρέτης του σταθερού όρου α 0 του πολυωνύµου, δηλαδή ρ/α 0. Αν έχουµε ένα πολυώνυµο µε ακέραιους συντελεστές, θα πρέπει να α- ναζητάµε τις ακέραιες ρίζες του, αν φυσικά υπάρχουν, ανάµεσα στους διαιρέτες του σταθερού όρου α 0. Το αντίστροφο της παραπάνω πρότασης δεν ισχύει πάντα, δηλ. δεν α- ποτελούν όλοι οι διαιρέτες του σταθερού όρου α 0 ρίζες ενός πολυωνύµου µε ακέραιους συντελεστές. Ισχύει, όµως, το εξής : αν κανένας από τους διαιρέτες του σταθερού ό- ρου α 0 ενός πολυωνύµου µε ακέραιους συντελεστές δεν µηδενίζει το πολυώνυµο, τότε αυτό δεν έχει ακέραιες ρίζες. 12

13 Αν το ακέραιο πολυώνυµο P(x) µε ακέραιους συντελεστές έχει ως ρίζα τον ρητό αριθµό λ κ, όπου κ, λ Z, κ και λ είναι αριθµοί πρώτοι µεταξύ τους και λ 0, τότε ο κ θα είναι διαιρέτης του σταθερού όρου α 0 του πολυωνύµου και ο λ διαιρέτης του πρώτου συντελεστή α ν του πολυωνύµου, δηλαδή κ/α 0 και λ/α ν. Το αντίστροφο της παραπάνω πρότασης δεν ισχύει πάντα, δηλ. δεν α- ποτελούν όλοι οι ρητοί αριθµοί της µορφής λ κ, όπου κ/α0 και λ/α ν, ρίζες ενός πολυωνύµου µε ακέραιους συντελεστές. 13

14 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 1. Να βρεθούν οι αριθµοί α, β, γ και δ ώστε τα πολυώνυµα P(x) = αx 4 + 3x 3 +βx 2 γx+δ και Q(x) = 3x 3 +(2 β)x 2 +(δ+10)x να είναι ίσα (Απ. α=0, β=1, γ= 10, δ=0). 2. Να βρεθούν οι αριθµοί α και β ώστε το πολυώνυµο P(x) = (α 5)x 4 + (β+6)x 3 + (2α+β 3γ+δ)x + (δ+5) να είναι το µηδενικό πολυώνυµο (Απ. α=5, β= 6, γ= 3 1, δ= 5). 3. Να βρεθεί ο αριθµός α ώστε το πολυώνυµο P(x) = (α 2 4)x 3 + (α 2 5α+6)x + (α 2) να είναι το µηδενικό πολυώνυµο (Απ. α=2). 4. Να βρεθούν οι πραγµατικοί αριθµοί α, β, γ αν ισχύει α+β+γ=27 και 2 ( α 3) x + ( β 6) x + ( γ 2) η συνάρτηση f(x) = είναι σταθερή x R. 2 x + 3x + 4 Ποια είναι η τιµή της συνάρτησης f(x) σ αυτή την περίπτωση; (Απ. α=5, β=12, γ=10, f(x)=2). 5. Να βρεθεί ακέραιο πολυώνυµο τρίτου βαθµού P(x) R[x] που να έχει ρίζα τον αριθµό µηδέν και να ισχύει : P(x+1) P(x) = x 2 +x+1 (Απ. P(x) = 3 1 x x). 6. Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύµου P(x) µε το πολυώνυµο x 2 3x+2, αν γνωρίζουµε ότι το P(x) διαιρούµενο µε το x 1 δίνει υπόλοιπο 11 και διαιρούµενο µε το x 2 δίνει υπόλοιπο 15 (Απ. 4x+7). 7. Αν το πολυώνυµο P(x) = αx 3 +x 2 +βx+4 διαιρούµενο µε το πολυώνυµο x 2 5x+6 δίνει υπόλοιπο υ(x) = 5x+8, να βρεθούν τα α και β (Απ. α= 1 19, β= ) Να βρεθούν οι πραγµατικοί αριθµοί α και β, ώστε το πολυώνυµο x 3 +αx 2 3βx+4 να διαιρείται ακριβώς µε το πολυώνυµο x 2 3x+2 (Απ. α= 1, β= 3 4 ). 9. Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύµου P(x) µε το πολυώνυµο (x 2 α 2 P( α) P( α ) P( α) + P( α ) ) (Απ. x + ). 2α Να βρεθεί το άθροισµα, το γινόµενο και το άθροισµα των τετραγώνων των ριζών του πολυωνύµου : 3x 3 +5x x+6 (Απ., 2, ) Να βρεθεί το πολυώνυµο τέταρτου βαθµού µε ακέραιους συντελεστές, το οποίο να έχει ως ρίζες τους αριθµούς 2+ 2 και 1 3i (Απ. P(x) = α(x 4 2x 3 +4x 2 36x+20), όπου α Z). 12. Αν τα πολυώνυµα P(x) = (2α+1)x 2 +βx+(γ 2) και Q(x) = 3x 2 8x+ (α+2) έχουν ίδιες αριθµητικές τιµές για τρεις διαφορετικές τιµές του x, να βρεθούν οι αριθµοί α, β, γ (Απ. α=1, β= 8, γ=5). 13. Αν το πολυώνυµο P(x) έχει ακέραιους συντελεστές και οι αριθµητικές τιµές του P(0) και P(1) είναι περιττοί αριθµοί, να αποδειχθεί ότι το πολυώνυµο P(x) δεν µπορεί να έχει ακέραιες ρίζες (Υπ. Μια πιθανή 14

15 ακέραιη ρίζα ρ θα πρέπει να είναι περιττός αριθµός αλλά και η αριθ- µητική τιµή P(ρ) θα πρέπει να είναι περιττός αριθµός, δηλ. 0, όπερ άτοπο). 14. Για ποιες τιµές των α και β, το πολυώνυµο αx 3 +β διαιρείται µε το πολυώνυµο αx+β; (Απ. β=0 ή α=β ή α= β). 15. Να αποδειχθεί ότι το πολυώνυµο x 5 +6x 2 δεν έχει ακέραιες ρίζες (Υπ. Ελέγχουµε τις αριθµητικές τιµές του πολυωνύµου για x = 1, 1, 2, 2). 16. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε το πολυώνυµο x 1 να είναι παράγοντας του πολυωνύµου λ 2 x 3 +4λx 2 5 (Απ. λ=1 και λ= 5). 17. Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύµου x 3 +4x 2 2x+3 µε το πολυώνυµο x 2 (Απ. 23). 18. Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύµου x 3 +4x 2 2x µε το πολυώνυµο 3x+1 (Απ. ) Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύµου P(x) µε το πολυώνυµο x 2 2x 3 όταν είναι γνωστό ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύµου P(x) µε το πολυώνυµο x+1 είναι 4 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύµου P(x) µε το πολυώνυµο x 3 είναι 164 (Απ. 40x 44). 20. Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύµου P(x) µε το πολυώνυµο (x α) 3 (Απ. 2 1 P (α).x 2 + (P (α) α.p (α)).x + P(α) P (α).α P (α).α 2 ). 21. Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύµου P(x) µε το πολυώνυµο (x 1) 2 (x 3) όταν είναι γνωστό ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύµου P(x) µε το πολυώνυµο (x 1) 2 είναι x+1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύµου P(x) µε το πολυώνυµο x 3 είναι 8 (Απ. x 2 x+2). 22. Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύµου x 6 +4x 5 2x 3 +x 2 +3 µε το πολυώνυµο x 3 2 (Απ. 9x 2 +3). 15

9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων

9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων 4ο Κεφάλαιο 9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμοί Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής ν αx όπου α R, * ν N και x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Να αναγνωρίζει πότε μια αλγεβρική παράσταση της πραγματικής μεταβλητής x, είναι πολυώνυμο και να διακρίνει τα στοιχεία του: όροι, συντελεστές, σταθερός

Διαβάστε περισσότερα

K. Μυλωνάκης Αλγεβρα B Λυκείου

K. Μυλωνάκης Αλγεβρα B Λυκείου ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Ονομάζουμε μονώνυμο του x κάθε πραγματικό αριθμό ή κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α είναι πραγμ. αριθμός και ν ένας θετικός ακέραιος. Π.χ. οι παραστάσεις 2χ 4, -3χ 2, 7 είναι μονώνυμα του

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου 4.1 Πολυώνυμα Η έννοια του πολυωνύμου ΟΡΙΣΜΟΙ 1. Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α R, ν N (σταθερές) και x R (μεταβλητή). 2. Πολυώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,... 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α

Διαβάστε περισσότερα

1.7 ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

1.7 ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1 1.7 ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ταυτότητα Ευκλείδειας διαίρεσης : Για δύο οποιαδήποτε πολυώνυµα (x) και δ(x) µε δ(x) µπορούµε να βρούµε δύο άλλα πολυώνυµα π(x) και υ(x) τέτοια ώστε να ισχύει (x) = δ(x)π(x)

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Συνοπτική Θεωρία Ασκήσεις της Τράπεζας Θεμάτων Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Συντακτική ομάδα mathp.gr Συντονισμός

Διαβάστε περισσότερα

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου 4.1 Πολυώνυμα Η έννοια του πολυωνύμου ΟΡΙΣΜΟΙ 1. Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α R, ν N (σταθερές) και x R (μεταβλητή).. Πολυώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος Κεφάλαιο 2ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος 1. * Οι πραγματικοί αριθμοί είναι σταθερά πολυώνυμα. Σ Λ 2. * Το σταθερό πολυώνυμο 0 λέγεται μηδενικό πολυώνυμο. Σ Λ 3. * Κάθε σταθερό και μη μηδενικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος Κεφάλαιο ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος 1. * Οι πραγματικοί αριθμοί είναι σταθερά πολυώνυμα. Σ Λ. * Το σταθερό πολυώνυμο 0 λέγεται μηδενικό πολυώνυμο. Σ Λ 3. * Κάθε σταθερό και μη μηδενικό

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων

2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων ιαίρεση Πολυωνύμων η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μας ζητούν να διαιρέσουμε δύο πολυώνυμα Δίνονται τα πολυώνυμα: P x x x x 8x 4 = + +4 και δ ( x) = x x α) Να βρεθεί το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης

Διαβάστε περισσότερα

4.2. ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

4.2. ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 4.. Η ταυτότητα της διαίρεσης A. Όπως στους ακέραιους αριθμούς, έτσι και στα πολυώνυμα ισχύει η ταυτότητα της διαίρεσης. Πιο συγκεκριμένα ισχύει ότι: Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων Δ(x) και δ(x), με δ(x) 0

Διαβάστε περισσότερα

1. Το πολυώνυµο P (x) = 3 (x - 1) 2-3x είναι Α. µηδενικού βαθµού Β. πρώτου βαθµού Γ. δευτέρου βαθµού. το µηδενικό πολυώνυµο Ε.

1. Το πολυώνυµο P (x) = 3 (x - 1) 2-3x είναι Α. µηδενικού βαθµού Β. πρώτου βαθµού Γ. δευτέρου βαθµού. το µηδενικό πολυώνυµο Ε. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Το πολυώνυµο P (x) = 3 (x - 1) 2-3x 2 + 5 είναι Α. µηδενικού βαθµού Β. πρώτου βαθµού Γ. δευτέρου βαθµού. το µηδενικό πολυώνυµο Ε. τρίτου βαθµού 2. Αν το πολυώνυµο P (x)

Διαβάστε περισσότερα

Aπάντηση Απόλυτη τιμή αριθμού είναι η απόσταση του αριθμού από το 0. Συμβολίζεται με 3 = 3-3 = 3 + και και είναι πάντα θετικός αριθμός. Π.

Aπάντηση Απόλυτη τιμή αριθμού είναι η απόσταση του αριθμού από το 0. Συμβολίζεται με 3 = 3-3 = 3 + και και είναι πάντα θετικός αριθμός. Π. ΜΕΡΟΣ Α : Α Λ Γ Ε Β ΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και πράξεις τους 1. Γράψε τα βασικότερα σύνολα τιμών: Aπάντηση Ν{0,1,,,4,5,6,..+

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. ίνεται το Ρ(x) αν το ρ είναι ρίζα Ρ(2x) 2x τότε το ρ είναι ρίζα του Ρ( Ρ(2x)) 2x.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. ίνεται το Ρ(x) αν το ρ είναι ρίζα Ρ(2x) 2x τότε το ρ είναι ρίζα του Ρ( Ρ(2x)) 2x. ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ίνονται τα πολυώνυµα Ρ (x), Ρ (x), Ρ (x) αν τα πολυώνυµα Ρ (x) και Ρ (x) δεν έχουν κοινή ρίζα και ισχύει : ( Ρ (x)) + (Ρ (x)) = (Ρ (x)) για κάθε x R να δείξετε ότι το Ρ (x) δεν έχει πραγµατική

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Επαναληπτικές Ασκήσεις Έστω ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου ( x ) α Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης β Να βρείτε τα 0 και Ρ γ Αν το πολυώνυμο ( x) είναι x να βρείτε: x + x είναι 3x

Διαβάστε περισσότερα

( ) Άρα το 1 είναι ρίζα του P, οπότε το x 1 είναι παράγοντάς του. Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x 1) είναι:

( ) Άρα το 1 είναι ρίζα του P, οπότε το x 1 είναι παράγοντάς του. Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x 1) είναι: ( x) Άρα το είναι ρίζα του P, οπότε το x είναι παράγοντάς του 4 Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x ) είναι: 3 π ( x) = x + x x + 3 Η ταυτότητα της προηγούμενης διαίρεσης είναι: 4 3 x 3x + 5x

Διαβάστε περισσότερα

4.3. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

4.3. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 4.3. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Αν η εξίσωση α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +... +α 1 x+α 0 = 0 με α ν,α ν-1,...,α 1,α 0 Ζ : έχει ρίζα τον ακέραιο αριθμό ρ, τότε το ρ διαιρεί το α 0. έχει ρίζα το κλάσμα,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 1. Τι καλούμε μονώνυμο, τι πολυώνυμο, τι όροι,τι συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoocom Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων

2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων ιαίρεση Πολυωνύμων 1 Να γίνουν οι διαιρέσεις: α) (x 5 - x + x - 9) : (x - 1) β) (x 4-7x + x - 15) : (x + 5) γ) (x - 4αx + α ) : (x - α) δ) [7x - (9α + 7α ) x + 9α ] : (x - α) Με τη βοήθεια του σχήματος

Διαβάστε περισσότερα

Πολυώνυμα. Πολυωνυμικές εξισώσεις. Athens Επιμέλεια: Χατζόπουλος Μάκης. 14/2/2012

Πολυώνυμα. Πολυωνυμικές εξισώσεις. Athens Επιμέλεια: Χατζόπουλος Μάκης.  14/2/2012 Πολυώνυμα Πολυωνυμικές εξισώσεις Άλγεβρα 01 Β Λυκείου Athens 01 13 14//01 1. Περί πολυωνύμων (Α) Πολυώνυμα P x a x a x... a x a v v 1 Πολυώνυμο ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής: όπου a v, a v-1,,a

Διαβάστε περισσότερα

8. Να εξετάσετε με το σχήμα Horner αν τα πολυώνυμα x+1, x-3 είναι παράγοντες

8. Να εξετάσετε με το σχήμα Horner αν τα πολυώνυμα x+1, x-3 είναι παράγοντες ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 1. Να γίνουν οι διαιρέσεις: α) (x 5 - x 3 + x - 9) : (x - 1) β) (x 7x 3 + x -15) : (x 3 +5) γ) (3x 3 - αx + α ) : (x - α) δ) [7x 3 - (9α + 7α )x + 9α ] : (x - α). Να γίνουν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Α - Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Α - Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 1. Φυσικοί αριθμοί : Ν = {0,1,,3,4,...}. Ακέραιοι αριθμοί : Ζ = {...-4,-3,-,-1,0,1,,3,4,...} 3. Ρητοί αριθμοί : Q = { ì í, μ Ζ, ν Ζ* } Σημ. Το σύνολο Q των ρητών αριθμών ταυτίζεται με

Διαβάστε περισσότερα

Να γράψετε 5 φυσικούς αριθμούς ξεκινώντας από τον μικρότερο. Ποιοι αριθμοί λέγονται ρητοί και ποιοι άρρητοι;

Να γράψετε 5 φυσικούς αριθμούς ξεκινώντας από τον μικρότερο. Ποιοι αριθμοί λέγονται ρητοί και ποιοι άρρητοι; Φυσικοί, Ακέραιοι, Ρητοί, Άρρητοι, Πραγματικοί, Απόλυτη Τιμή, Ομόσημοι, Ετερόσημοι, Αντίθετοι, Αντίστροφοι. Να γράψετε 5 φυσικούς αριθμούς ξεκινώντας από τον μικρότερο. Ποιοι αριθμοί λέγονται ακέραιοι;

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ 1 ΜΕΡΟΣ Α ΚEΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: την αποδεικτική μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής για την οποία πρέπει να γίνει κατανοητό ότι η αλήθεια

Διαβάστε περισσότερα

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων

2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων . ιαίρεση Πολυωνύμων 1. Να σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1. Η διαίρεση δύο πολυωνύμων στηρίζεται στο παρακάτω θεώρημα: «Για κάθε ζεύγος Δ ( x) και δ ( x) με δ ( x)

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο :.2 -.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων Πολλαπλασιασμός

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Κεφάλαιο 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Κεφάλαιο 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 4.1 πωλυωνυμα Η έννοια του πολυωνύμου Έστω x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε πραγματική τιμή. Καλούμε μονώνυμο του x κάθε παράσταση της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Πολυώνυμα. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα; 3 2 ii. x iii. 3 iv. vi.

2.1 Πολυώνυμα. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα; 3 2 ii. x iii. 3 iv. vi. .1 Πολυώνυμα 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα; i. 1 x + x ii. x + 7 x iii. 5 x + 7x x iv. 1 x + x v. 1 4 4 x + x + 4x vi. 1 x + 5x. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων

Διαβάστε περισσότερα

Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ

Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Α λ γ ε β ρ α Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Α λ γ ε β ρ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Με πολυ μερακι Για τους μικρους φιλους μου Τακης Τσακαλακος Κερκυρα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Οι Πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι είναι οι πραγματικοί αριθμοί ; Ποιοι είναι οι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ. Μαθηματικών Β Γυμνασίου. Μαριλένα Νικολαΐδου-Μουσουλίδου

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ. Μαθηματικών Β Γυμνασίου. Μαριλένα Νικολαΐδου-Μουσουλίδου ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Μαθηματικών Β Γυμνασίου ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των Φυσικών Αριθμών είναι 1,2,3,4, Το σύνολο των Φυσικών Αριθμών συμπεριλαμβανομένου και του μηδενός είναι: 0, 1, 2, 3, 4, Άρτιος αριθμός είναι κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρα. Ενότητα: Πολυώνυµα πολλών µεταβλητών - ο αλγόριθµος της διαίρεσης. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Αλγεβρα. Ενότητα: Πολυώνυµα πολλών µεταβλητών - ο αλγόριθµος της διαίρεσης. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Πολυώνυµα πολλών µεταβλητών - ο αλγόριθµος της διαίρεσης Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ

4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ 1 4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα Αν α, β ακέραιοι µε β 0, τότε υπάρχουν µοναδικοί ακέραιοι κ και υ, έτσι ώστε α = κβ + υ µε 0 υ < β. 2. Τέλεια διαίρεση Αν το υπόλοιπο υ της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

- 1 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

- 1 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ http://mathhmagic.blogspot.com - ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ν Μονώνυμο του χ ονομάζουμε κάθε αλγεβρική παράσταση της μορφής α χ με χ R και ν Ν. Πολυώνυμο του χ

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2001

Άλγεβρα Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2001 Άλγεβρα Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα ο Α.. Α.. Έστω η πολυωνυµική εξίσωση α ν x ν + α ν- x ν- +... + α x + α 0 0, µε ακέραιους συντελεστές. Αν ο ακέραιος ρ 0 είναι ρίζα της εξίσωσης,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Ενότητα 2 η Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης

Διαβάστε περισσότερα

Δ = δπ + υ με υ < δ. (Ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης),

Δ = δπ + υ με υ < δ. (Ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης), ΜΕΡΟΣ Α 1.7 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 19 1. 7 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Διαίρεση πολυωνύμων Αν έχουμε δύο φυσικούς αριθμούς Δ (διαιρετέος) και δ (διαιρέτης) με δ και κάνουμε τη διαίρεση Δ : δ, τότε βρίσκουμε δύο άλλους

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 10 ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΑΠΟ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΕΣ ΤΑΞΕΙΣ α ) Ταυτότητες 1. (a-β)(a+β)=a - b. (a ± b ) = a ± ab + b 3 3 3 3. (a ± b ) = a ± 3a b + 3ab

Διαβάστε περισσότερα

1. Να σημειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισμούς :

1. Να σημειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισμούς : ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ 1. Να σημειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισμούς : 1. Αν μια πρόταση Ρ(ν) αληθής για ν = 3 και με την υπόθεση ότι Ρ(ν) είναι αληθής αποδείξουμε ότι και η Ρ(ν+1)

Διαβάστε περισσότερα

1.1 A. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ

1.1 A. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ . A. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ. Τα σύνολα των αριθµών Το σύνολο των φυσικών αριθµών. Το σύνολο των ακεραίων αριθµών. N {0,,, 3 } Z { 3,,, 0,,, 3 } Το σύνολο των ρητών αριθµών. Q

Διαβάστε περισσότερα

4. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x 3 2x 2 + x 12 α) Να αιτιολογήσετε γιατί το διώνυμο x 3 είναι παράγοντας του P(x) β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0

4. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x 3 2x 2 + x 12 α) Να αιτιολογήσετε γιατί το διώνυμο x 3 είναι παράγοντας του P(x) β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0 1. α) Να βρείτε το υπόλοιπο και το πηλίκο της διαίρεσης (x 3 6x 2 +11x 2) : (x 3) β) Αν P(x) = x 3 6x 2 +11x + λ να βρείτε το λ R ώστε η διαίρεση P(x) : (x 3) να έχει υπόλοιπο 0. 2. Δίνονται τα πολυώνυμα:

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Άλγεβρας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 1999 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Θέµατα Άλγεβρας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 1999 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Θέµατα Άλγεβρας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 999 Ζήτηµα ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω Ρ(x) ένα πολυώνυµο του x και ρ ένας πραγµατικός αριθµός. Αν π(x) είναι το πηλίκο και υ(x) το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύµου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 016-17 1. Τι ονομάζεται αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται κάθε έκφραση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών και μεταβλητών.. Τι ονομάζεται αριθμητική τιμή αλγεβρικής

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Η ιδιότητα α+ β = β+ α λέγεται.. 2. Η ιδιότητα α ( β γ) ( ) + + = α+ β + γ λέγεται. 3. Ο αριθμός 0 είναι το..της πρόσθεσης φυσικών αριθμών αφού ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Οι φυσικοί αριθμοί. Παράδειγμα

Οι φυσικοί αριθμοί. Παράδειγμα Οι φυσικοί αριθμοί Φυσικοί Αριθμοί Είναι οι αριθμοί με τους οποίους δηλώνουμε πλήθος ή σειρά. Για παράδειγμα, φυσικοί αριθμοί είναι οι: 0, 1,, 3,..., 99, 100,...,999, 1000, 0... Χωρίζουμε τους Φυσικούς

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 9. 5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Εάν έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β τότε λέμε ότι ο α είναι μεγαλύτερος

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτήρες διαιρετότητας ΜΚΔ ΕΚΠ Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων

Χαρακτήρες διαιρετότητας ΜΚΔ ΕΚΠ Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων Χαρακτήρες διαιρετότητας ΜΚΔ ΕΚΠ Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Ορισμός Ευκλείδεια διαίρεση ονομάζεται η πράξη κατά την οποία ένας αριθμός

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ. Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ. Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ 1)Ποιοι αριθμοί ονομάζονται άρτιοι και ποιοι περιττοί ; Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι που δεν διαιρούνται

Διαβάστε περισσότερα

( ) = 2. f x α(x x )(x x ) f x α(x ρ) x1,2. 1, x

( ) = 2. f x α(x x )(x x ) f x α(x ρ) x1,2. 1, x ΜΟΡΦΕΣ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Τριώνυµο λέγεται ένα πολυώνυµο της µορφής : f x = αx + βx+ γ, όπου α, β, γ R µε α. ( ) ιακρίνουσα και ρίζες του τριωνύµου f( x) = αx + βx+ γ λέγεται η διακρίνουσα και

Διαβάστε περισσότερα

1. Αν α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P (x) = (α - β) x 2 + (β - γ) x + γ - α είναι

1. Αν α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P (x) = (α - β) x 2 + (β - γ) x + γ - α είναι _ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Αν α + β + γ = αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P () = (α - β) + (β - γ) + γ - α είναι το µηδενικό πολυώνυµο.. Να δειχθεί ότι το πολυώνυµο P () = (κ - ) + (λ + 6) +

Διαβάστε περισσότερα

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457.

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457. 1. Ένα κεφάλαιο ενός βιβλίου ξεκινάει από τη σελίδα 32 και τελειώνει στη σελίδα 75. Από πόσες σελίδες αποτελείται το κεφάλαιο; Αν το κεφάλαιο ξεκινάει από τη σελίδα κ και τελειώνει στη σελίδα λ, από πόσες

Διαβάστε περισσότερα

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση:

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις συµπλήρωσης 1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: Φυσική γλώσσα Μαθηµατική γλώσσα ύο αριθµοί x, y διαφέρουν κατά και έχουν γινόµενο x (x

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΛΛΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΛΛΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1 ΘΕΜΑ Α ΦΥΛΛΟ 1 Α1. Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο υ της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P(x) με το x - ρ είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για x = ρ. Είναι δηλαδή υ = P(ρ). Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ Παραθέτουµε αρχικά τις βασικές ιδιότητες των δυνάµεων µε βάση έ- ναν θετικό πραγµατικό αριθµό και εκθέτη έναν ρητό αριθµό. α x.α y = α x+y (α.β) x = α x.β x α x :α

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Λυμένα Παραδείγματα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Λυμένα Παραδείγματα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Λυμένα Παραδείγματα. Να βρεθούν οι τιμές του λ R για τις οποίες το πολυώνυμο Ρ () = (4λ -9) +(λ -λ-) +λ- είναι το μηδενικό. Το Ρ () θα είναι το μηδενικό πολυώνυμο, για εκείνες τις τιμές του λ

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Για ποιες τιµές του, αν υπάρχουν, ισχύει κάθε µία από τις ισότητες α. log = log( ) β. log = log γ. log 4 log = Να λυθεί η εξίσωση 4 log ( ) + = 0 6 α) Θα πρέπει > 0 και > 0,

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος)

Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος) Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος) 1. Πως προσθέτουμε δυο πραγματικούς αριθμούς; Για να προσθέσουμε δύο ομόσημους αριθμούς, προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο άθροισμά

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

( ) x 3 + ( λ 3 1) x 2 + λ 1

( ) x 3 + ( λ 3 1) x 2 + λ 1 Επαναληπτικό Διαγώνισµα Άλγεβρα Β Λυκείου Θέµα Α Α1. Έστω η πολυωνυµική εξίσωσης α ν χ ν + α ν 1 χ ν 1 +... + α 1 χ + α 0 = 0, µε ακέραιους συντελεστές. Να αποδείξετε ότι αν ο ακέραιος ρ 0 είναι ρίζα της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Διαιρετότητα Μαθαίνω Πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθμού α είναι όλοι οι αριθμοί που προκύπτουν από τον πολλαπλασιασμό του με όλους τους φυσικούς αριθμούς, δηλαδή οι αριθμοί: 0, α, 2 α, 3 α, 4 α,... Το μηδέν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

1.2 Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1 1. Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ MΟΝΩΝΥΜΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Αριθµητική παράσταση : Είναι η παράσταση που περιέχει πράξεις µεταξύ αριθµών. Αλγεβρική παράσταση : Είναι η παράσταση που περιέχει πράξεις µεταξύ αριθµών

Διαβάστε περισσότερα

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 11. Α. Αν α > 0 µε α 1 τότε για οποιουσδήποτε πραγµατικούς αριθµούς θ 1, θ 2 > 0 να αποδείξετε ότι log α (θ 1 θ 2 ) = log α θ 1 + log α θ 2 Β. Έστω το σύστηµα Σ : α1x +

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 3ο κεφάλαιο: Εξισώσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα 1

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Αʹ. Στοιχεία από την Άλγεβρα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Αʹ. Στοιχεία από την Άλγεβρα ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Αʹ Στοιχεία από την Άλγεβρα Στο Παράρτημα αυτό, το οποίο παρατίθεται για να συμβάλει στην αυτοδυναμία του βιβλίου, ο αναγνώστης θα μπορεί να προστρέχει για αρωγή σε έννοιες και αποτελέσματα που

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ Α.1.2. ΠΡΑΞΕΙΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ Α.1.2. ΠΡΑΞΕΙΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ Α.1.2. ΠΡΑΞΕΙΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ / / ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 12+ 7 = 19 Οι αριθμοί 12 και 7 ονομάζονται ενώ το 19 ονομάζεται.. 3+5 =, 5+3 =...

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Α Σύνολα αριθμών Για τα σύνολα των αριθμών γνωρίζουμε ότι N Z Q R. ) Το N= { 0,,,,... } είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών. ) Το Z = { 0, ±, ±, ±,... } είναι το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΙΟΡΤΕΣ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ)

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΙΟΡΤΕΣ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ) ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΙΟΡΤΕΣ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ) 1. Ένα κεφάλαιο ενός βιβλίου ξεκινάει από τη σελίδα 32 και τελειώνει στη σελίδα 75. Από πόσες σελίδες αποτελείται το κεφάλαιο; Αν το κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

1. * Ο αριθμός, ν Ν, είναι ανάγωγο κλάσμα για κάθε ν Ν. Σ Λ 2. * Οι αριθμοί 2ν και 2ν + 2 είναι διαδοχικοί άρτιοι για κάθε ν Ν.

1. * Ο αριθμός, ν Ν, είναι ανάγωγο κλάσμα για κάθε ν Ν. Σ Λ 2. * Οι αριθμοί 2ν και 2ν + 2 είναι διαδοχικοί άρτιοι για κάθε ν Ν. Κεφάλαιο 4ο: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ν 1. * Ο αριθμός, ν Ν, είναι ανάγωγο κλάσμα για κάθε ν Ν. 3 Σ Λ. * Οι αριθμοί ν και ν + είναι διαδοχικοί άρτιοι για κάθε ν Ν. 3. * Αν ένας

Διαβάστε περισσότερα

L = F +. Είναι, 1 F, άρα και 1 L. Επεκτείνουµε τις πράξεις του F έτσι ώστε

L = F +. Είναι, 1 F, άρα και 1 L. Επεκτείνουµε τις πράξεις του F έτσι ώστε ΕΠΕΚΤΑΣΕΙΣ ΣΩΜΑΤΟΣ Προκαταρκτικά Σώµα = Αντιµεταθετικό σώµα, χαρακτηριστικής µηδενός Τα σώµατα αυτά καλούνται και αριθµητικά σώµατα Θα τα συµβολίζουµε µε τα γράµµατα F, F, L κλπ Έστω ότι κάποια ανάγκη

Διαβάστε περισσότερα

όπου είναι γνήσια. ρητή συνάρτηση (δηλαδή ο βαθµός του πολυωνύµου υ ( x)

όπου είναι γνήσια. ρητή συνάρτηση (δηλαδή ο βαθµός του πολυωνύµου υ ( x) ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Στην παράγραφο αυτή θα εξετάσουµε την ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων, δηλαδή συναρτήσεων της µορφής p f ( ( q(, όπου p( και q ( είναι πολυώνυµα µιας µεταβλητής του µε συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 234 Κεφάλαιο 4ο: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Απαντήσεις στις ερωτήσεις «Σωστό - Λάθος» 1. Λ 17. Σ 32. Σ 47. Σ 62. Σ 2. Σ 18. Σ 33. Λ 48. Λ 63. Σ 3. Λ 19. Λ 34. Σ 49. Σ 64. Λ 4.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ - 11 - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ Έστω Ρ(ν) ένας ισχυρισµός, ο οποίος αναφέρεται στους θετικούς ακέραιους Αν: i) o ισχυρισµός είναι αληθής για τον ακέραιο 1,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α 1. ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 51 1. ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Πολυώνυμα Όπως είδαμε στην προηγούμενη ενότητα Το άθροισμα όμοιων μονώνυμων είναι ένα μονώνυμο όμοιο

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις 5 Τέσσερις πράξεις 5 Σύστημα πραγματικών αριθμών 5 Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών 6 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 0 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός . ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΟΜΟΣΗΜΩΝ- ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ Σε ομόσημους κάνω πρόσθεση και βάζω το κοινό

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ............................................

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων

2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων ιαίρεση Πολυωνύμων Ταυτότητα διαίρεσης Όπως στους ακέραιους αριθμούς, έτσι και στα πολυώνυμα ισχύει η ταυτότητα της διαίρεσης Πιο συγκεκριμένα ισχύει ότι: Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων Δ ( ) και δ ( ), με

Διαβάστε περισσότερα

Μονώνυμα. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Μονώνυμα. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Μονώνυμα Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Πράξεις με μονώνυμα Ενότητα 2 η Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης ενότητας είναι να μάθουν

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ

1.4 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ 1 4 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΙΑ Ισότητα Ευκλείδειας διαίρεσης : Αν, δ φυσικοί αριθµοί µε δ 0, τότε υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθµοί π και υ έτσι ώστε να ισχύει = δ π + υ όπου υ < δ Η διαίρεση

Διαβάστε περισσότερα