ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΜΠΕΔΩΣΗΣ «ΓΙΑ ΤΟ ΣΠΙΤΙ»

Transcript

1 ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΜΠΕΔΩΣΗΣ «ΓΙΑ ΤΟ ΣΠΙΤΙ» ΛΕΩΝΙΔΑΣ Δ. ΔΡΙΤΣΑΣ Διπλ. Ηλ. Μηχ., MSc, PhD Τμημα Εκπαιδευτικων Ηλεκτρολογων Μηχανικων & Εκπαιδευτικων Ηλεκτρονικων Μηχανικων - ΑΣΠΑΙΤΕ 2016 Timestamp 28/Nov/ ΕΠΩΝΥΜΟ - ΟΝΟΜΑ: Υπογραφή: ΑΜ: 1. Η Συμμετοχη στις Ασκησεις-για-το-Σπιτι και την Προοδο προσμετραται μονο θετικα 2. ΑΠΑΝΤΗΣΤΕ ΣΕ ΟΛΑ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ Για τυχον «Θεωρητικα Θεματα» δωστε τις απαντησεις σας συνοπτικα στο παρον φυλλο 3. ΒΑΘΜΟΛΟΓΕΙΤΑΙ Η ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΟΡΘΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΩΝ ΣΑΣ (με ακριβεια πρωτου δεκαδικου ψηφιου) 4. ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 2 ΩΡΕΣ (για την Προοδο) ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑ: ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΤΟ ΤΕΛΟΣ 1

2 1. ΠΡΩΤΗ ΟΜΑΔΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ = Θερμοηλεκτρικοι Σταθμοι - Μονο ισοτικοι περιορισμοι (=Σταθερη Ζητηση) ΧΩΡΙΣ λειτουργικους (Ανισωτικους) περιορισμους & ΧΩΡΙΣ απωλειες μεταφορας = Thermal Plants + only Equality Constraints = LAGRANGE ΘΕΜΑ #01 ( %): 2 Θερμο + 1 ΥΗΣ + μονο ισοτικοι περιορισμοι (Σταθ.Ζητ. LDRI) Case01A_LDRI_2Plants_LinEq_RUN + LDRI_2PlantsHourlyCosts_objfcn (Σταθερο ) Φορτίο 250MW πρεπει να καλυφθει με τον βελτιστο οικονομικα τροπο («ελαχιστοποιηση κοστους») απο ενα συστημα παραγωγης ηλεκτρικής ενέργειας που περιλαμβάνει: δυο(2) θερμικους σταθμους (Α,Β) που παράγουν ισχύ(mw) P 1, P 2 αντιστοιχως και ενα Υδροηλεκτρικο εργοστασιο (ΥΗΣ) που παραγει σταθερα 50 MW. Το ωριαίο κόστος λειτουργίας ($/h) των θερμικων σταθμων διδεται απο τις παρακατω πολυωνυμικες εκφρασεις: C 1 (P 1 ) = *P *P 1 2 C 2 (P 2 ) = *P *P 2 2 (A) ωριαίο κόστος (θερμ.) παραγωγής ($/h) ($/h) Να υπολογιστουν οι βέλτιστες τιμες P* 1, P* 2 ώστε να ελαχιστοποιείται το συνολικό P* 1 =... MW P* 2 =... MW (B) το οποίο και να υπολογιστεί C* total =... ($/h) (C)..μαζι με την τιμη του πολλαπλασιαστη Lagrange λ* =... (D).του οποιου ζητειται η φυσική σημασία.. (E) Ποια ειναι η φυσική σημασία των σταθερών όρων στις εκφράσεις C A, C B? (F) επιλυσατε χρησιμοποιωντας την εντολη fmincon 2

3 ΘΕΜΑ #02 = 2 Θερμο + μονο ισοτικοι περιορισμοι (= Σταθερη Ζητηση = Expos51) {Case01B_Exposito51_2Plants_LinEq_RUN / Case01B_Exposito51_2Plants_LinEq_RUN_Loop } + Exposito51_2Plants_HourlyCosts_objfcn Σταθερο Φορτίο P D = 100 MW πρεπει να καλυφθει με τον βελτιστο οικονομικα τροπο («ελαχιστοποιηση κοστους») απο ενα συστημα παραγωγης ηλεκτρικής ενέργειας που περιλαμβάνει: δυο(2) θερμικους σταθμους (Α,Β) που παράγουν ισχύ(mw) P 1, P 2 αντιστοιχως {και ενα Υδροηλεκτρικο εργοστασιο (ΥΗΣ) που παραγει σταθερα 0 MW}. Το ωριαίο κόστος λειτουργίας ($/h) των θερμικων σταθμων διδεται απο τις παρακατω πολυωνυμικες εκφρασεις: C 1 (P 1 ) = *P *P 1 2 C 2 (P 2 ) = *P *P 2 2 (A) ωριαίο κόστος (θερμ.) παραγωγής ($/h) ($/h) Να υπολογιστουν οι βέλτιστες τιμες P* 1, P* 2 ώστε να ελαχιστοποιείται το συνολικό P* 1 =... MW P* 2 =... MW (B)...μαζι με την τιμη του πολλαπλασιαστη Lagrange λ* =... (C) επαναλαβατε (με την βοηθεια της fmincon η οπως αλλοιως επιλεξετε) τους παραπανω υπολογισμους για Σταθερο Φορτίο P D = 100, 150, 200,250,..., 400, 450, 500, 550 MW και σχεδιαστε την γραφικη παρασταση { λ* = λ*( P D ) } (D) Σχολιαστε / Γενικευσατε το αποτελεσμα της γραφικης παραστασης με μαθηματικη τεκμηριωση (Ε) σχεδιαστε τις γραφικες παραστασεις των δυο βελτιστων παραγωγων { P* 1 P* 2 } συναρτησει του φορτιου P D - τι παρατηρειτε για P D = 100 MW? 3

4 4

5 ΘΕΜΑ #03 = Επαναλαβετε την προηγουμενη Ασκηση #2 για ζητηση < 100MW και ελεγξτε (εκ των υστερων) αν παραβιαζονται τα Λειτουργικα ορια καθε Γεννητριας Repeat previous exercise (same 2 Thermal Plants) with P D < 100 MW and PD > 550 MW and check (a posteriori) the Generation Limits Επαναλαβατε την προηγουμενη Ασκηση με ωριαίο κόστος λειτουργίας ($/h) των θερμικων σταθμων C 1 (P 1 ) = *P *P 1 2 ($/h) και C 2 (P 2 ) = *P *P 2 2 ($/h) Για τιμες φορτιου P D = 40MW, P D = 99MW, P D = 100MW και P D = 551 MW Για καθε μια περιπτωση να υπολογιστουν και να σχολιαστουν οι βέλτιστες τιμες P* 1, P* 2 λ* που ελαχιστοποιουν το συνολικό ωριαίο κόστος (θερμ.) παραγωγής (*) Για P D = 40 P* 1 =... MW P* 2 =... MW λ* =... (*) Για P D = 99 P* 1 =... MW P* 2 =... MW λ* =... (*) Για P D = 100 P* 1 =... MW P* 2 =... MW λ* =... (*) Για P D = 551 P* 1 =... MW P* 2 =... MW λ* =... ( strange results.comment) (D) Να ελεγξετε εκ των υστερων εαν οι βελτιστες λυσεις που βρηκατε προηγουμενως σεβονται τους παρακατω λειτουργικους περιορισμους των σταθμών : 0 =< P 1 =< 400(MW) 0 =< P 2 =< 300(MW) 5

6 ΘΕΜΑ #04 (...%): 2 Θερμο + μονο ισοτικοι περιορισμοι (Σταθ. Ζητηση) Case01C_GPag_2Plants_LinEq_RUN + GPag_2Plants_FuelCosts_objfcn Σύστημα παραγωγής ηλεκτρικής ενέργειας περιλαμβάνει δυο (2) θερμικους σταθμούς που παράγουν ισχύ P 1, P 2 (Gcal/h) που δίδεται από τις εξισώσεις: με ωριαία κατανάλωση θερμότητας H j H 1 (P 1 ) = 60 + P *10^-4* P 1 2 H 2 (P 2 ) = *P 2 + 5*10^-4* P 2 2 (με κοστος καυσιμου 20$/Gcal) (με κοστος καυσιμου 10$/Gcal) Tο συστημα επιπλεον των απωλειων μεταφορας πρεπει να καλυπτει συνολικη ζητηση ισχυος (power demand) P D = 4000 MW. (1) Υπολογιστε τις συναρτησεις ωριαιου κοστους λειτουργιας (ΩΚΛ) C j ($/h) στην μορφη C 1 (P 1 ) = a 1 + b 1 *P 1 + c 1 *P 1 2 C 2 (P 2 ) = a 2 + b 2 *P 2 + c 2 *P 2 2 =... ($/h) =... ($/h) (2) Υπολογιστε τις βέλτιστες τιμες P* 1, P* 2 ώστε να ελαχιστοποιείται το Συνολικό Ωριαίο Κόστος Λειτουργιας (ΣΩΚΛ) C total (θερμ παραγωγής.) P* 1 =... MW P* 2 =... MW (3) και την τιμη του βελτιστου πολλαπλασιαστη Lagrange λ* =... (?μοναδες?) (4).του οποιου ζητειται η φυσική σημασία 6

7 ΘΕΜΑ #05a = 3 Θερμο + μονο ΙΣΩΤΙΚΟΙ περιορισμοι (Σταθερη Ζητηση) Case01E_NewEx_3Plants_LinEq_RUN + NewEx_3Plants_HourlyCosts_objfcn Ένα σύστημα παραγωγής αποτελείται από τρεις (3) θερμικες μονάδες που παράγουν ισχείς P 1, P 2, P 3 και έχουν ωριαίο κόστος λειτουργίας ($/h) που περιγράφεται από τις παρακάτω εξισώσεις: C 1 = *P P 1 2 C 2 = *P P 2 2 C 3 = *P 3 + 2*10 3 P 3 2 Το σύστημα πρέπει να καλύψει ζήτηση ισχυος (power demand) P D = 1000 ΜW. Αμελωντας (προσωρινα) τυχον λειτουργικους περιορισμους Να υπολογιστουν οι βέλτιστες τιμες P* 1, P* 2, P* 3 παραγωγής C total ώστε να ελαχιστοποιείται το συνολικό ωριαίο κόστος (θερμ.) P* 1 =... MW P* 2 =... MW P* 3 =... MW (C) το οποίο και να υπολογιστεί C* total =... ($/h) (D)..μαζι με την τιμη του πολλαπλασιαστη Lagrange λ* =... (?μοναδες?) (E) του οποιου ζητειται η φυσική σημασία. (F) Ποια ειναι η φυσική σημασία των σταθερών όρων στις εκφράσεις C 1, C 2, C 3? 7

8 ΘΕΜΑ #05b = Επαναλαβατε την προηγουμενη Ασκηση με Αυξανομενο (με Βημα 100MW) Σταθερο Φορτίο PD = 1000, 1100, 1200,..., 4900, 5000 MW και σχεδιαστε τις γραφικες παραστασεις λ* = λ*(pd), P*1 = P*1 (PD), P*2 = P*2 (PD), P*3 = P*3 (PD), Case01E_NewEx_3Plants_LinEq_RUN_Loop + NewEx_3Plants_HourlyCosts_objfcn (*) Επαναλαβατε την προηγουμενη Ασκηση (με την βοηθεια της fmincon η οπως αλλοιως επιλεξετε) τους παραπανω υπολογισμους για Αυξανομενο (με Βημα 100MW) Σταθερο Φορτίο P D = 1000, 1100, 1200,..., 4900, 5000 MW και σχεδιαστε την γραφικη παρασταση λ* = λ*(p D ) του πολλαπλασιαστη Lagrange συναρτησει του φορτιου καθως και των P* 1 = P* 1 (P D ), P* 2 = P* 2 (P D ), P* 3 = P* 3 (P D ). 8

9 9

10 ΘΕΜΑ #06a = 3 Θερμο + μονο ισοτικοι περιορισμοι ( εκ των υστερων επαληθευση ΑΝΙΣΩΤΙΚΩΝ περιορισμων) ( Μπακιρτζης 4Α) MATLAB = Case01D_GPag_3Plants_LinEq_RUN + {GPag_3Plants_FuelCosts_objfcn / GPag_3Plants_HourlyCosts_objfcn} Σύστημα παραγωγής ηλεκτρικής ενέργειας περιλαμβάνει τρεις (3) θερμικους σταθμούς που παράγουν ισχύ P 1, P 2, P 3 και ωριαία κατανάλωση θερμότητας που δίνεται από τις εξισώσεις: H 1 (P 1 ) = 60 + P *10^-4* P 1 2 H 2 (P 2 ) = *P 2 + 5*10^-4* P 2 2 H 3 (P 3 ) = *P 3 + 5*10^-4* P 3 2 (fuel cost1 = 20$/Gcal) (fuel cost2 = 10$/Gcal) (fuel cost3 = 20$/Gcal) Tο συστημα πρεπει να καλυψει συνολικη ζητηση ισχυος (power demand) P D = 4500 MW. OR Το σύστημα πρέπει να καλύπτει ζήτηση ισχυος (demand) P D = 4250 ΜW και σταθερες απώλειες P Loss = 250 ΜW (A) Καταστρωσατε τις αντιστοιχες εξισωσεις για το ωριαίο κόστος λειτουργίας ($/h) C 1 (P 1 ) = ($/h) C 2 (P 2 ) = ($/h) C 3 (P 3 ) = ($/h) (B) Αμελωντας (προσωρινα) τυχον λειτουργικους περιορισμους Να υπολογιστουν οι βέλτιστες τιμες παραγωγης P* 1, P* 2 και P* 3 ώστε να ελαχιστοποιείται το συνολικό ωριαίο κόστος (θερμ.) παραγωγής C total P* 1 =... MW P* 2 =... MW P* 3 =... MW (C) το οποίο και να υπολογιστεί C* total =... ($/h) (D)...μαζι με την τιμη του πολλαπλασιαστη Lagrange λ* =... (?μοναδες?) (E).του οποιου ζητειται η φυσική σημασία (F) Ποια ειναι η φυσική σημασία των σταθερών όρων στις εκφράσεις C 1, C 2, C 3? (G) Να ελεγξετε εκ των υστερων εαν οι βελτιστες λυσεις που βρηκατε προηγουμενως σεβονται τους παρακατω λειτουργικους περιορισμους των σταθμών : 10

11 1000(MW) =< P 1 =< 5000(MW) 100(MW) =< P 2 =< 900(MW) 2000(MW) =< P 3 =< 3000(MW) (H) Σε περιπτωση που στο προηγουμενο ερωτημα ΔΕΝ ικανοποιουνται καποιοι λειτουργικοι περιορισμοι των σταθμών, αποφασιστε ποιος σταθμος ειναι «ακριβος», ποιος ειναι «φθηνος» και προτεινετε / επιλεξτε («ημιεμπειρικα») τις νεες τιμες των P* 1 P* 2 P* 3 που (τωρα πλεον) σεβονται τους περιορισμους P* 1,new =... MW P* 2,new =... MW P* 3,new =... MW ΕΠΙΛΥΣΗ ΒΗΜΑ- ΒΗΜΑ (μονο Ισοτικος Περιορισμος) 11

12 ΕΠΙΛΥΣΗ ΛΑΜΒΑΝΟΝΤΑΣ (ημιεμπειρικα) ΥΠΟΨΗ ΤΟΥΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΚΟΥΣ ΑΝΙΣΩΤΙΚΟΥΣ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ ΟΧΙ «Βελτιστη» Λυση!!! 12

13 13

14 14

15 ΘΕΜΑ #06b ( %) = συνεχεια της προηγουμενης ασκησης. = 3 Θερμο + μονο ισοτικοι περιορισμοι - Run a PD - LOOP then PLOT lambda vs. PD ) Case01D_GPag_3Plants_LinEq_RUN_Loop + {GPag_3Plants_FuelCosts_objfcn / GPag_3Plants_HourlyCosts_objfcn} (1) Επαναλαβατε την προηγουμενη Ασκηση (με την βοηθεια της fmincon η οπως αλλοιως επιλεξετε) τους παραπανω υπολογισμους για Αυξανομενο (με Βημα 100MW) Σταθερο Φορτίο P D = 1000, 1100, 1200,..., 4900, 5000 MW και σχεδιαστε την γραφικη παρασταση λ* = λ*(p D ) του πολλαπλασιαστη Lagrange συναρτησει του φορτιου (2) Σχολιαστε / Γενικευσατε το αποτελεσμα με μαθηματικη τεκμηριωση 15

16 2. ΔΕΥΤΕΡΗ ΟΜΑΔΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ (#07 εως #13) Θερμοηλεκτρικοι Σταθμοι - Ισοτικοι περιορισμοι (=Σταθ.Ζητ.) ΚΑΙ απωλειες μεταφορας ΜΕ/ΧΩΡΙΣ λειτουργικους (Ανισωτικους) περιορισμους ΘΕΜΑ #07 = Επαναλαβατε την προηγουμενη ασκηση 06a λαμβανοντας υποψη τους ΑΝΙΣΩΤΙΚΟΥΣ (λειτουργικους) περιορισμους (Pmin / Pmax ) «ημιεμπειρικα» και ακολουθως επιλυσατε χειρογραφως μεσω KKT και υπολογιστικα μεσω fmincon - ΣΥΓΚΡΙΝΑΤΕ ΜΕ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΤΗΣ 05 & 05b Επαναλαβατε την προηγουμενη ασκηση 06a λαμβανοντας υποψη τους ΑΝΙΣΩΤΙΚΟΥΣ (λειτουργικους) περιορισμους (Pmin / Pmax ) «ημιεμπειρικα» και ακολουθως επιλυσατε χειρογραφως μεσω KKT και υπολογιστικα μεσω fmincon - ΣΥΓΚΡΙΝΑΤΕ ΜΕ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΤΗΣ 05 & 05b C 1 (P 1 ) = *P *P 1 2 C 3 (P 3 ) = *P *P 3 2 ($/h) / C 2 (P 2 ) = *P *P 2 2 ($/h) ($/h) {1000(MW) =< P 1 =< 5000(MW) } { 100(MW) =< P 2 =< 900(MW) } {2000(MW) =< P 3 =< 3000(MW)} (A) Σε περιπτωση που στην προηγουμενη Ασκηση 05a (μονο ισοτικοι περιορισμοι και εκ των υστερων ελεγχος) ΔΕΝ ικανοποιουνταν οι λειτουργικους περιορισμους των σταθμών, υπολογιστε την τιμη του διαφορικου κοστους λειτουργιας καθε σταθμου στην «βελτιστη» τιμη P* που βρηκατε, και βασει αυτου αποφασιστε ποιος σταθμος ειναι «ακριβος», ποιος ειναι «φθηνος» και στο τελος επιλεξτε («ημιεμπειρικα») τις νεες τιμες των P* 1 P* 2 P* 3 που (τωρα πλεον) σεβονται τους περιορισμους P* 1,new =... MW P* 2,new =... MW P* 3,new =... MW Σχεδιαστε προχειρα ΕΔΩ τις τρεις καμπυλες διαφορικου κοστους 16

17 (Β) επιλυσατε χειρογραφως το ιδιο προβλημα με την μεθοδο Karush Kuhn Tucker (C) επιλυσατε το ιδιο προβλημα αριθμητικα μεσω της εντολης fmincon και συγκρινετε τα αποτελεσματα με αυτα των προσεγγισεων (Α) και (Β) (D) Συγκριση των αποτελεσματων ΧΩΡΙΣ περιορισμους / ΜΕ περιορισμους ΧΩΡΙΣ ΑΝΙΣΩΤ. ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ ΜΕ ΑΝΙΣΩΤ. ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ {1000(MW) =< P 1 =< 5000(MW) } { 100(MW) =< P 2 =< 900(MW) } {2000(MW) =< P 3 =< 3000(MW)} P1_opt = 2000 P2_opt = 1000 P3_opt = 1500 objfcn_value = e+05 P1_opt = 1750 P2_opt = 750 P3_opt = 2000 objfcn_value = e+05 17

18 ΘΕΜΑ #08 = 3 Θερμο + με ΙΣΩΤΙΚΟΥΣ και ΑΝΙΣΩΤΙΚΟΥΣ (λειτουργικους) περιορισμους (Pmin / Pmax ) (=Wood & Wollenberg 2 nd Ed. p. 32 & 3 rd Edition p. 65) MATLAB = Case02B_Wood_3Plants_IneqGenLimits_RUN + Wood _3Plants_HourlyCosts_objfcn Σύστημα παραγωγής ηλεκτρικής ενέργειας περιλαμβάνει τρεις (3) θερμικους σταθμούς που παράγουν ισχύ P 1, P 2, P 3 και ωριαία κατανάλωση θερμότητας που δίνεται από τις εξισώσεις: Plant#1: Coal fired Steam Unit I/O curve: H 1 (P 1 ) = *P * P 1 2 (Mbtu/h) With {COAL fuel cost1 = 1.1 $/MBtu} and Generation Limits {150 MW =< P 1 =< 600 MW } Plant#2: Oil fired Steam Unit I/O curve: H 2 (P 2 ) = *P * P 2 2 (Mbtu/h) With {OIL fuel cost2 = 1.0$/MBtu} and Generation Limits { 100 MW =< P 2 =< 400 MW } Plant#3: Oil fired Steam Unit I/O curve: H 3 (P 3 ) = *P * P 3 2 (Mbtu/h) {OIL fuel cost3 = OIL fuel cost2 = 1.0$/MBtu} and Generation Limits {50 MW =< P 3 =< 200 MW } Tο συστημα πρεπει να καλυψει συνολικη ζητηση ισχυος (power demand) P D = 850 MW (A) Καταστρωσατε τις αντιστοιχες εξισωσεις για το ωριαίο κόστος λειτουργίας ($/h) C 1 (P 1 ) = ($/h) C 2 (P 2 ) = ($/h) C 3 (P 3 ) = ($/h) 18

19 ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΗ - θεωρια When we recognize the inequality constraints, then the necessary conditions may be expanded slightly as Η «ΤΥΧΕΡΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ»: παροτι αγνοω τους ανισωτικους περιορισμους, η λυση που υπολογιζω (Lagrange) τους ικανοποιει (B) Αμελωντας (προσωρινα) τυχον λειτουργικους περιορισμους Να υπολογιστουν οι βέλτιστες τιμες παραγωγης P* 1, P* 2 και P* 3 ώστε να ελαχιστοποιείται το συνολικό ωριαίο κόστος (θερμ.) παραγωγής C total P* 1 =... MW P* 2 =... MW P* 3 =... MW (C)...μαζι με την τιμη του πολλαπλασιαστη Lagrange λ* =... (?μοναδες?) (D) Να ελεγξετε εκ των υστερων εαν οι βελτιστες λυσεις που βρηκατε προηγουμενως σεβονται τους λειτουργικους περιορισμους των σταθμών {150 MW =< P 1 =< 600 MW // 100 MW =< P 2 =< 400 MW // 50 MW =< P 3 =< 200 MW } 19

20 MATLAB CODE function f = Wood_3Plants_OldFuelCosts_objfcn(x) %GPag_3Plants_FuelCosts_objfcn(x) % %==== H1 = *x(1) *x(1)^2 ; Fuel1_cost = 1.1 ; %==== H2 = *x(2) *x(2)^2 ; Fuel2_cost = 1.0 ; %==== H3 = *x(3) *x(3)^2 ; Fuel3_cost = 1.0 ; %==== 20

21 f = H1*Fuel1_cost + H2*Fuel2_cost + H3*Fuel3_cost; end %========= ΜΑΙΝ ======== disp('* Equality Constraints Aeq, Beq reflect Power Balance ') disp(' P1 + P2 + P3 = P_Demand + P_Const_Loss ') P_Demand = 850 A02b_eq = -[1 1 1] ; B02b_eq = -P_Demand %==== a, b a = []; b = []; disp(' *** Inequality Constraints Pmin, Pmax ') %==== lb, ub P1_min=150; P2_min=100; P3_min= 50 ; P1_max=600; P2_max=400; P3_max=200; lb = [P1_min; P2_min; P3_min]; %[150 ; 100 ; 50]; ub = [P1_max; P2_max; P3_max ] %[600 ; 400 ; 200 ]; %=== Initial Guess x0 = [P1_min; P2_min; P3_min]; [Popt02b_oldPrice, objfunction_value02b_oldprice, exitflag_old, output02b, lambda_oldprice] = fmincon(@wood_3plants_oldfuelcosts_objfcn, x0, a, b, A02b_eq, B02b_eq,lb,ub,[] ); % disp(' ***** OldPrice Optimal Values for Pa, Pb, lambda.eqlin are... ') P1_opt = Popt02b_oldPrice(1) P2_opt = Popt02b_oldPrice(2) P3_opt = Popt02b_oldPrice(3) disp(' **** "OLD lambda.eqlin" is Optimal lambda for Linear equalities '); lambda_oldprice.eqlin disp(' **** "OLD lambda.lower" is Optimal lambda for Lower bounds "lb" inequalities '); lambda_oldprice.lower disp(' **** "OLD lambda.upper" is Optimal lambda for Upper bounds "ub" inequalities '); lambda_oldprice.upper disp(' ***** Optimal Value of OBJ FUNCTION is: '); objfunction_value02b_oldprice MATLAB RESULTS & EXPLANATIONS ***** OldPrice Optimal Values for Pa, Pb, lambda.eqlin are... P1_opt = P2_opt = P3_opt = **** "OLD lambda.eqlin" is Optimal lambda for Linear equalities 21

22 ans = ΑΠΟΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΕ ΤΙΣ («πρακτικως μηδενικες») ΤΙΜΕΣ lambda.lower & lambda.upper!!! ΤΩΝ **** "OLD lambda.lower" is Optimal lambda for Lower bounds "lb" inequalities ans = 1.0e-08 *[ ; ; ] **** "OLD lambda.upper" is Optimal lambda for Upper bounds "ub" inequalities ans = 1.0e-08 * [ ; ; ] Οταν η τιμη του Λιγνιτη (=Powerplant#1) μειωθει απο 1.1 $/MBtu σε 0.9 $/MBtu παυω να ειμαι «ΤΥΧΕΡΟΣ» και ο Lagrange δεν επαρκει!! μονο η Μοναδα#2 σεβεται τα ορια παραγωγης της function f = Wood_3Plants_NewFuelCosts_objfcn(x) %GPag_3Plants_FuelCosts_objfcn(x) % %==== H1 = *x(1) *x(1)^2 ; Fuel1_cost = 0.9 ; %==== H2 = *x(2) *x(2)^2 ; Fuel2_cost = 1.0 ; %==== H3 = *x(3) *x(3)^2 ; Fuel3_cost = 1.0 ; %==== f = H1*Fuel1_cost + H2*Fuel2_cost + H3*Fuel3_cost; end lb = []; ub = []; P1_opt_new = P2_opt_new = P3_opt_new =

23 Προσπαθω να λυσω το προβλημα ημιεμπειρικα, αφηνοντας «ελευθερη την Μοναδα#2 και δεσμευοντας τις Μοναδες#1 & #3: Suppose Unit 1 is set to its MAXimum output and Unit 3 to its MINimum output 23

24 ΕΑΝ η ημιεμπειρικη υποθεση / λυση που εδωσα ηταν σωστη, ΤΟΤΕ το Διαφορικο Κοστος ΔF3/ΔP3 της Μοναδας#3 (που ΥΠΕΘΕΣΑ οτι δουλευει στο MINimum = 50 MW = P3,min ) θα επρεπε να υπακουει την ανισοτητα ΔF3/ΔP3 > λ 24

25 Εφ οσον αυτο δεν συμβαινει, θα χρειαστει να «ξαναπροσπαθησω», αφηνοντας και την Μοναδα#3 «ελευθερη» (μαζι με την Μοναδα#2) Τωρα ειμαι ΟΚ και η fmincon συμφωνει με το παραπανω αριθμητικο αποτελεσμα... MATLAB CODE function f = Wood_3Plants_NewFuelCosts_objfcn(x) %==== H1 = *x(1) *x(1)^2 ; Fuel1_cost = 0.9 ; %==== H2 = *x(2) *x(2)^2 ; Fuel2_cost = 1.0 ; %==== H3 = *x(3) *x(3)^2 ; Fuel3_cost = 1.0 ; %==== 25

26 f = H1*Fuel1_cost + H2*Fuel2_cost + H3*Fuel3_cost; end %==== lb, ub P1_min=150; P2_min=100; P3_min= 50 ; P1_max=600; P2_max=400; P3_max=200; lb = [P1_min; P2_min; P3_min]; %[150 ; 100 ; 50]; ub = [P1_max; P2_max; P3_max ] [Popt02b_newPrice, objfunction_value02b_newprice, exitflag_new, output02b, lambda_newprice ] = fmincon(@wood_3plants_newfuelcosts_objfcn, x0, a, b, A02b_eq, B02b_eq,lb,ub,[] ); % disp(' ***** NewPrice Optimal Values for Pa, Pb, lambda.eqlin are... ') P1_opt_new = Popt02b_newPrice(1) P2_opt_new = Popt02b_newPrice(2) P3_opt_new = Popt02b_newPrice(3) disp(' **** "NEW lambda.eqlin" is Optimal lambda for Linear equalities '); lambda_newprice.eqlin disp(' **** "NEW lambda.lower" is Optimal lambda for Lower bounds "lb" inequalities '); lambda_newprice.lower disp(' **** "NEW lambda.upper" is Optimal lambda for Upper bounds "ub" inequalities '); lambda_newprice.upper disp RESULTS ***** NewPrice Optimal Values for Pa, Pb, lambda.eqlin are... P1_opt_new = P2_opt_new = P3_opt_new = **** "NEW lambda.eqlin" is Optimal lambda for Linear equalities ans = **** "NEW lambda.lower" is Optimal lambda for Lower bounds "lb" inequalities ans = 1.0e-07 *[ ; ; ] = ΜΗΔΕΝ!!! **** "NEW lambda.upper" is Optimal lambda for Upper bounds "ub" inequalities ans = [ ; ; ] 26

27 ΑΠΟΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗ fmincon ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ: ΟΛΑ ΤΑ «lambda.lower» ΕΙΝΑΙ ΜΗΔΕΝ (ΑΡΑ ΚΑΜΜΙΑ ΜΟΝΑΔΑ ΔΕΝ ΛΕΙΤΟΥΡΓΕΙ ΣΤΟ ΚΑΤΩ ΟΡΙΟ ΤΗΣ Pmin) ΕΝΩ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΤΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ lambda.upper ΕΙΝΑΙ ΜΗ ΜΗΔΕΝΙΚΟ (ΑΡΑ Η ΜΟΝΑΔΑ#1 ΛΕΙΤΟΥΡΓΕΙ ΣΤΟ ΑΝΩ ΟΡΙΟ ΤΗΣ Pmax) Οι Μοναδες #2 και #3 Λειτουργουν ΕΝΤΟΣ των Λειτουργικων Οριων τους με κοινο Διαφορικο Κοστος λ* =

28 ΘΕΜΑ #09 = Λυμενο Μαθηματικο Παραδειγμα - Μεθοδολογια KKT για Βελτιστοποιηση υπο ανισωτικους περιορισμους - (Μελετησε προηγουμενως το Παραρτημα Β) 28

29 29

30 30

31 ΘΕΜΑ #10 = 2-be-continued 31

32 ΘΕΜΑ#11a (...%): 2 Θερμο + ισοτικοι περιορισμοι (Σταθ. Ζητ.) + Γραμμικες Απωλειες Μεταφορας = LDRImodified4Γ Case03A1_GPAG_2Plants_LinEqLinLoss_RUN + GPag_2Plants_FuelCosts_objfcn Σύστημα παραγωγής ηλεκτρικής ενέργειας περιλαμβάνει δυο(2) θερμικους σταθμούς που παράγουν ισχύ P 1, P 2 με ωριαία κατανάλωση θερμότητας H j (Gcal/h) που δίδεται από τις εξισώσεις: H 1 (P 1 ) = 60 + P *10^-4* P 1 2 H 2 (P 2 ) = *P 2 + 5*10^-4* P 2 2 (με κοστος καυσιμου 20$/Gcal) (με κοστος καυσιμου 10$/Gcal) Επιπλεον το συστημα παρουσιαζει απωλειες μεταφορας που εξαρτωνται γραμμικα απο τις παραγομενες ισχεις P 1, P 2 και περιγράφονται από τη συνάρτηση P Loss (P 1, P 2 ) = 0.2* P * P 2 Tο συστημα επιπλεον των απωλειων μεταφορας πρεπει να καλυπτει συνολικη ζητηση ισχυος (power demand) P D = 4000 MW. (1) Υπολογιστε τις συναρτησεις ωριαιου κοστους λειτουργιας (ΩΚΛ) C j ($/h) στην μορφη C 1 (P 1 ) = a 1 + b 1 *P 1 + c 1 *P 1 2 C 2 (P 2 ) = a 2 + b 2 *P 2 + c 2 *P 2 2 =... ($/h) =... ($/h) (2) Να δοθεί η φυσική σημασία των σταθερών όρων στις εκφράσεις C 1, C 2 (3) Υπολογιστε τις βέλτιστες τιμες P* 1, P* 2 (και ακολουθως τις απωλειες P Loss ) ώστε να ελαχιστοποιείται το Συνολικό Ωριαίο Κόστος Λειτουργιας (ΣΩΚΛ) C total της θερμ παραγωγής. P* 1,LinLoss =... MW P* 2,LinLoss =... MW P Loss =... MW (4)... να υπολογιστεί το ΣΩΚΛ C* total =... ($/h) (5) καθως και η τιμη του βελτιστου πολλαπλασιαστη Lagrange λ* =... (?μοναδες?) (6).του οποιου ζητειται η φυσική σημασία (7) ΣΥΓΚΡΙΝΕΤΕ ΤΑ ΑΝΩΤΕΡΩ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΜΕ ΑΥΤΑ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ #4 (= ΧΩΡΙΣ ΑΠΩΛΕΙΕΣ) 32

33 ΘΕΜΑ #11b ( %) = συνεχεια / επεκταση της προηγουμενης ασκησης... (Run a α β LOOP on PLoss and PLOT lambda vs. (α, β) ) Επαναλαβατε τους υπολογισμους της προηγουμενης Ασκησης (με την βοηθεια της fmincon η οπως αλλοιως επιλεξετε) για εικοσι (τουλαχιστον) τιμες των συντελεστων απωλειων α και β της συναρτησης απωλειων P loss (P 1, P 2, P 3 ) = α* P 1 + β* P 2 Θεωρωντας οτι καθε ο συντελεστης β κυμαινεται ανεξαρτητα μεσα στο διαστημα [0,1] ο συντελεστης α κυμαινεται ανεξαρτητα μεσα στο διαστημα [0, 0.30] και ακολουθως σχεδιαστε την γραφικη παρασταση του πολλαπλασιαστη Lagrange συναρτησει των δυο συντελεστων λ* = λ*(α,β) και μετα συναρτησει του φορτιου λ* = λ*(p D ) - Σχολιαστε το αποτελεσμα 33

34 ΘΕΜΑ#12a (...%): 3 Θερμο + ισοτικοι περιορισμοι (Σταθ.Ζητ.) + Γραμμικες Απωλειες Μεταφορας + εκ των υστερων επαληθευση ανισοτικων (λειτουργικους) περιορισμων Pmin / Pmax Case03B_GPag_3Plants_LinLosses_RUN + GPag_3Plants_HourlyCosts_objfcn Σύστημα παραγωγής ηλεκτρικής ενέργειας περιλαμβάνει τρεις (3) θερμικους σταθμούς που παράγουν ισχύ P 1, P 2, P 3 με ωριαία κατανάλωση θερμότητας (Gcal/h) και των οποιων οι καμπυλες ωριαιας καταναλωσης θερμοτητας περιγράφονται από τις παρακάτω εξισώσεις (Gcal/h) H 1 (P 1 ) = 60 + P *10^-4* P 1 2 H 2 (P 2 ) = *P 2 + 5*10^-4* P 2 2 H 3 (P 3 ) = *P 3 + 5*10^-4* P 3 2 (fuel cost C1 = 20$/Gcal) (fuel cost C2 = 10$/Gcal) (fuel cost C3 = 20$/Gcal) Οι λειτουργικοι περιορισμοι των σταθμών ειναι: 1000(MW) =< P 1 =< 5000(MW) 100(MW) =< P 2 =< 900(MW) 2000(MW) =< P 3 =< 3000(MW) Επιπλεον το συστημα παρουσιαζει απωλειες μεταφορας που εξαρτωνται απο τις παραγομενες ισχεις P 1, P 2 και περιγράφονται από τη συνάρτηση P loss (P 1, P 2, P 3 ) = 0.5* P * P 2 Tο συστημα πρεπει να καλυψει συνολικη ζητηση ισχυος (power demand) P D = 4500 MW. (A) Αμελωντας (προσωρινα) τους λειτουργικους περιορισμους Να υπολογιστουν οι βέλτιστες τιμες P* 1, P* 2 και P* 3 ώστε να ελαχιστοποιείται το συνολικό ωριαίο κόστος (θερμ.) παραγωγής C total P* 1 =... MW P* 2 =... MW P* 3 =... MW (B) το οποίο και να υπολογιστεί C* total =... ($/h) (C)...μαζι με την τιμη του πολλαπλασιαστη Lagrange λ* =... (D).του οποιου ζητειται η φυσική σημασία (E) Να ελεγξετε εκ των υστερων εαν οι βελτιστες λυσεις σεβονται τους λειτουργικους περιορισμους 34

35 ΘΕΜΑ #12b ( %) = συνεχεια / επεκταση της προηγουμενης ασκησης... (Run a α β LOOP on PLoss and PLOT lambda vs. (α, β) ) Επαναλαβατε την προηγουμενη Ασκηση (με την βοηθεια της fmincon η οπως αλλοιως επιλεξετε) τους παραπανω υπολογισμους για εικοσι τουλαχιστον τιμες των συντελεστων απωλειων α και β οι οποιοι θεωρουμε οτι κυμαινονται στο διαστημα [0,1] P loss (P 1, P 2, P 3 ) = α* P 1 + β* P 2 και σχεδιαστε την γραφικη παρασταση του πολλαπλασιαστη Lagrange συναρτησει των δυο συντελεστων λ* = λ*(α,β) και μετα συναρτησει του φορτιου λ* = λ*(p D ) - Σχολιαστε το αποτελεσμα 35

36 ΘΕΜΑ #13 ΣΗΕ με διασυνδετικη Γραμμη Παγιατακης Παραδ.1 σελ. 25 ( Μπακιρτζης 4Δ) Ένα «κατανεμημενο» σύστημα παραγωγής ηλεκτρικής ενέργειας περιλαμβάνει δύο(2) μονάδες παραγωγής / (Control Areas - παραγόμενες ισχείς P1 and P2) με ωριαίο κόστος λειτουργίας ($/h) που δίνεται από τις παρακάτω εξισώσεις: C 1 = *P *P 1 2 C 2 = *P *P 2 2 Η δομη του συστηματος φαινεται στο συνημμενο Σχημα και περιλαμβανει τις μονάδες παραγωγής, τους δυο ζυγους και μια διασυνδετικη γραμμη ( tie line). Καθε ζυγος εχει τοπικη παραγωγη (P 1 & P 2 ) και τοπικο φορτιο (P D1 & P D2 αντιστοιχα). Να υπολογιστούν οι «βέλτιστες» τιμές των P1 και P2 προκειμένου να ελαχιστοποιείται το συνολικό (ωριαίο) κόστος λειτουργίας, λαμβανομένου υπόψη ότι το δίκτυο μεταφοράς έχει μέγιστη χωρητικότητα T max = 150 MW. 36

37 3. ΤΡΙΤΗ ΟΜΑΔΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ (#20 εως #...) = ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΦΟΡΤΙΟΥ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ #20 (.. %): ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΦΟΡΤΙΟΥ Με βάση την 24-ωρη (τυπική) καμπύλη φορτίου του σχήματος, με ανεξαρτητη μεταβλητη (οριζοντιος αξονας) τον χρονο σε ωρες και εξηρτημενη μεταβλητη την ισχυ σε GW, και δεδομενου οτι P min = 3 GW, P m = 5 GW, P max = 7 GW, να υπολογιστούν (A) Το φορτίο βάσης P Βασης =..., το μεσο φορτιο P μεσο =..., και το φορτίο αιχμης P αιχμης =... (B) (για το δεδομενο 24-ωρο και με βαση το μεσο φορτιο) Η συνολικη καταναλωση ηλεκτρικης ενεργειας Ε συνολ =... και η ηλεκτρική ενέργεια βάσης Ε Β =... (C) Ο συντελεστής ομοιομορφίας m o =... και ο συντελεστής φόρτισης m = (D) ι) Αναφέρατε τους λόγους για τους οποιους ειναι απαραίτητη η πρόβλεψη φορτίου στα Συστηματα Ηλεκτρικης Ενεργειας (ΣΗΕ). ιι) Αναφερατε τουλαχιστον δυο είδη προβλέψεων φορτιου στα ΣΗΕ - καθοριστε τον χρονικο τους οριζοντα καθως και τα πεδία χρησιμοποίησής τους ιιι) Αναφερατε μια μαθηματικη μεθοδολογια δημιουργιας στατικου μοντελου καμπυλης φορτιου. 37

38 ΘΕΜΑ #21 (.. %): curve fitting - ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ Παγ. Παραδ.1 σελ. 8 ( Μπακιρτζης 2A) Διδονται τα παρακατω πειραματικα δεδομενα Φορτιου (Ισχυς) Μεγιστης Θερμοκρασιας («Καμπυλη Φορτιου»). Χρησιμοποιωντας την μεθοδο των ελαχιστων τετραγωνων, να προσαρμοσετε ( curve fitting ) ενα πολυωνυμο πρωτης ταξεως για το διαστημα θερμοκρασιων -5C o < T < 15 C o και ενα (διαφορετικο) πολυωνυμο πρωτης ταξεως για το διαστημα 25C o < T < 45 C o 38

39 ΘΕΜΑ #22 (.. %): Ερωτησεις Κατανοησεως - ΘΕΩΡΙΑΣ Επιλεξτε να απαντησετε οποιαδηποτε τρια(3) απο τα παρακατω εξι(6) ερωτηματα - οι απαντησεις σας με συντομια και σαφηνεια στην κολλα του διαγωνισματος (1) (i) Ορισατε το προβλημα της Βραχυπροθεσμης Υδροθερμικής Συνεργασίας (Hydrothermal Coordination) (ii) Ορισατε και επεξηγησατε την συναρτηση κοστους (objective function / cost function) για το προβλημα του Βραχυπροθεσμου Υδροθερμικου Προγραμματισμου (Hydrothermal Scheduling) (2) Για ποιυς λόγους διασυνδεονται και συνεργάζονται οι εταιρείες ηλεκτρικής ενέργειας; Να εξηγηθεί (συνοπτικα) γιατί μπορεί να είναι οικονομικώς συμφέρουσα η ανταλλαγή ενέργειας (η διασυνδεση) μεταξύ δύο εταιρειών «Α» και «Β» με διαφορετικό διαφορικό κόστος (f A και f B ). (3) (i) Τι γνωρίζετε για τις κοινοπραξίες ισχύος (power pool) ; - αναφέρατε τι είναι καθώς και τα πλεονεκτήματά / μειονεκτήματά τους) (ii) Ποιο ειναι το ωφελος απο την υπαρξη «χρηματιστηριου ενέργειας?» Περιγραψτε (συνοπτικα) την λειτουργια ενος χρηματιστηριου ενέργειας; (4) Στο προβλημα της «ενταξης μοναδων παραγωγης» (i) ορισατε τις εννοιες της στρεφομενης εφεδρειας και της ψυχρης εφεδρειας (ii) αναφερετε τουλαχιστον τρεις (3) περιορισμους που πρεπει να λαμβανονται υπ οψη κατα την Ενταξη Θερμικων Μοναδων. (iii) ποια/ποιες μεθοδολογιες μαθηματικης βελτιστοποιησης χρησιμοποιουνται για την επιλυση του προβληματος της «(σειρας ) ενταξης μοναδων»? (5) (i) Ποια μεθοδολογια μαθηματικης βελτιστοποιησης χρησιμοποιειται για την επιλυση του προβληματος της βελτιστης κατανομης φορτιου με ισοτικους (μονον) περιορισμους και ποια οταν υπαρχουν και ανισωτικοι («λειτουργικοι») περιορισμοι? (ii) Δωστε τον μαθημτικο ορισμο και την φυσικη σημασια των διαφορικων απωλειων ζυγου και του συντελεστη ποινης ζυγου. Σε ποιο προβλημα Ηλεκτρικης Οικονομιας συναντωνται οι όροι αυτοι? 39

40 (iii) ποια σημαντικη διαφοροποιηση απο το συνηθες υπεισερχεται στην επιλυση του προβληματος της βελτιστης κατανομης φορτιου οταν ληφθουν υποψη οι περιορισμοι (?? Απωλειες?? Ασθενεις Διασυνδετικες Γραμμες?? ) του δικτυου μεταφορας? (6) ι) Αναφέρατε τους λόγους για τους οποιους ειναι απαραίτητη η πρόβλεψη φορτίου στα Συστηματα Ηλεκτρικης Ενεργειας (ΣΗΕ). ιι) Αναφερατε τουλαχιστον δυο είδη προβλέψεων φορτιου στα ΣΗΕ - καθοριστε τον χρονικο τους οριζοντα καθως και τα πεδία χρησιμοποίησής τους ιιι) Αναφερατε (τουλαχιστον) μια μαθηματικη μεθοδολογια δημιουργιας στατικου μοντελου καμπυλης φορτιου. (6) (ι) Αναφερετε Ποιοι ειναι οι δυο βασικοι Βροχοι Αυτοματου Ελεγχου (Παραγωγης) στα Συστηματα Ηλεκτρ. Ενεργειας καθως και ποια ειναι η «κεντρικη ιδεα» που διεπει τον καθε ενα απο αυτους δηλ.. Σχεδιαστε προχειρο μπλοκ διαγραμμα για εναν απο τους δυο Βροχους. (7) Σε καθε εναν απο τους δυο βασικους Βροχους Αυτοματου Ελεγχου (Παραγωγης) των ΣΗΕ, ορισατε τι ειναι (i) σημα εισοδου / «εντολη» (ii) σημα εξοδου (iii) σημα μετρησης / ανατροφοδοτησης (iv) μεταβλητη ελεγχου /σημα ελεγχου κλπ (8) Ποιες ειναι οι βασικες συνιστωσες Λογισμικου ενος «Συστηματος Ελεγχου Ενεργειας»? Λειτουργικη Περιγραφη τους («τι κανουν») ΘΕΜΑ #23 = 2-be-continued 40

41 Appendix A: fmincon MATLAB s Optimization Toolbox fmincon description fmincon syntax 41

42 MATLAB s Optimization Toolbox 42

43 Constrained Nonlinear Optimization 43

44 Appendix Β: ΚΚΤ - Optimization with inequality constraints Optimization with inequality constraints Example: Economic Dispatch 44

45 45

46 Binding ( Active ) Inequality Constraints 46

47 Solution using Lagrange/KKT multipliers KKT Optimality Conditions 47

48 Complementary slackness conditions 48

49 Appendix C: Practical Economic Dispatch via LAMBDA ITERATION 49

50 LAMBDA ITERATION with Pmax 50

51 51

52 LAMBDA ITERATION with Pmin, Pmax 52

53 Appendix D: Great Textbooks on Power System Economics - Read at least one!!! 53

54 Contents 28/Nov/ ΠΡΩΤΗ ΟΜΑΔΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ = Θερμοηλεκτρικοι Σταθμοι - Μονο ισοτικοι περιορισμοι (=Σταθερη Ζητηση) ΧΩΡΙΣ λειτουργικους (Ανισωτικους) περιορισμους & ΧΩΡΙΣ απωλειες μεταφορας = Thermal Plants + only Equality Constraints = LAGRANGE... 2 ΘΕΜΑ #01 ( %): 2 Θερμο + 1 ΥΗΣ + μονο ισοτικοι περιορισμοι (Σταθ.Ζητ. LDRI)... 2 ΘΕΜΑ #02 = 2 Θερμο + μονο ισοτικοι περιορισμοι (= Σταθερη Ζητηση = Expos51)... 3 ΘΕΜΑ #03 = Επαναλαβετε την προηγουμενη Ασκηση #2 για ζητηση < 100MW και ελεγξτε (εκ των υστερων) αν παραβιαζονται τα Λειτουργικα ορια καθε Γεννητριας... 5 ΘΕΜΑ #04 (...%): 2 Θερμο + μονο ισοτικοι περιορισμοι (Σταθ. Ζητηση)... 6 ΘΕΜΑ #05a = 3 Θερμο + μονο ΙΣΩΤΙΚΟΙ περιορισμοι (Σταθερη Ζητηση)... 7 ΘΕΜΑ #05b = Επαναλαβατε την προηγουμενη Ασκηση με Αυξανομενο (με Βημα 100MW) Σταθερο Φορτίο P D = 1000, 1100, 1200,..., 4900, 5000 MW και σχεδιαστε τις γραφικες παραστασεις λ* = λ*(p D ), P* 1 = P* 1 (P D ), P* 2 = P* 2 (P D ), P* 3 = P* 3 (P D ),... 8 ΘΕΜΑ #06a = 3 Θερμο + μονο ισοτικοι περιορισμοι ( εκ των υστερων επαληθευση ΑΝΙΣΩΤΙΚΩΝ περιορισμων) ( Μπακιρτζης 4Α) ΕΠΙΛΥΣΗ ΒΗΜΑ- ΒΗΜΑ (μονο Ισοτικος Περιορισμος) ΕΠΙΛΥΣΗ ΛΑΜΒΑΝΟΝΤΑΣ (ημιεμπειρικα) ΥΠΟΨΗ ΤΟΥΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΚΟΥΣ ΑΝΙΣΩΤΙΚΟΥΣ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ ΟΧΙ «Βελτιστη» Λυση!!! ΘΕΜΑ #06b ( %) = συνεχεια της προηγουμενης ασκησης. = 3 Θερμο + μονο ισοτικοι περιορισμοι - Run a P D - LOOP then PLOT lambda vs. P D ) ΔΕΥΤΕΡΗ ΟΜΑΔΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ (#07 εως #13) Θερμοηλεκτρικοι Σταθμοι - Ισοτικοι περιορισμοι (=Σταθ.Ζητ.) ΚΑΙ απωλειες μεταφορας ΜΕ/ΧΩΡΙΣ λειτουργικους (Ανισωτικους) περιορισμους ΘΕΜΑ #07 = Επαναλαβατε την προηγουμενη ασκηση 06a λαμβανοντας υποψη τους ΑΝΙΣΩΤΙΚΟΥΣ (λειτουργικους) περιορισμους (Pmin / Pmax ) «ημιεμπειρικα» και ακολουθως επιλυσατε χειρογραφως μεσω KKT και υπολογιστικα μεσω fmincon - ΣΥΓΚΡΙΝΑΤΕ ΜΕ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΤΗΣ 05 & 05b ΘΕΜΑ #08 = 3 Θερμο + με ΙΣΩΤΙΚΟΥΣ και ΑΝΙΣΩΤΙΚΟΥΣ (λειτουργικους) περιορισμους (Pmin / Pmax ) (=Wood & Wollenberg 2 nd Ed. p. 32 & 3 rd Edition p. 65) ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΗ - θεωρια Η «ΤΥΧΕΡΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ»: παροτι αγνοω τους ανισωτικους περιορισμους, η λυση που υπολογιζω (Lagrange) τους ικανοποιει MATLAB CODE MATLAB RESULTS & EXPLANATIONS ΑΠΟΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΕ ΤΙΣ («πρακτικως μηδενικες») ΤΙΜΕΣ ΤΩΝ lambda.lower & lambda.upper!!! Οταν η τιμη του Λιγνιτη (=Powerplant#1) μειωθει απο 1.1 $/MBtu σε 0.9 $/MBtu παυω να ειμαι «ΤΥΧΕΡΟΣ» και ο Lagrange δεν επαρκει!! μονο η Μοναδα#2 σεβεται τα ορια παραγωγης της Προσπαθω να λυσω το προβλημα ημιεμπειρικα, αφηνοντας «ελευθερη την Μοναδα#2 και δεσμευοντας τις Μοναδες#1 & #3: Suppose Unit 1 is set to its MAXimum output and Unit 3 to its MINimum output

55 ΕΑΝ η ημιεμπειρικη υποθεση / λυση που εδωσα ηταν σωστη, ΤΟΤΕ το Διαφορικο Κοστος ΔF 3 /ΔP 3 της Μοναδας#3 (που ΥΠΕΘΕΣΑ οτι δουλευει στο MINimum = 50 MW = P 3,min ) θα επρεπε να υπακουει την ανισοτητα ΔF 3 /ΔP 3 > λ Εφ οσον αυτο δεν συμβαινει, θα χρειαστει να «ξαναπροσπαθησω», αφηνοντας και την Μοναδα#3 «ελευθερη» (μαζι με την Μοναδα#2) Τωρα ειμαι ΟΚ και η fmincon συμφωνει με το παραπανω αριθμητικο αποτελεσμα MATLAB CODE RESULTS ΑΠΟΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗ fmincon ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ: ΟΛΑ ΤΑ «lambda.lower» ΕΙΝΑΙ ΜΗΔΕΝ (ΑΡΑ ΚΑΜΜΙΑ ΜΟΝΑΔΑ ΔΕΝ ΛΕΙΤΟΥΡΓΕΙ ΣΤΟ ΚΑΤΩ ΟΡΙΟ ΤΗΣ P min ) ΕΝΩ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΤΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ lambda.upper ΕΙΝΑΙ ΜΗ ΜΗΔΕΝΙΚΟ (ΑΡΑ Η ΜΟΝΑΔΑ#1 ΛΕΙΤΟΥΡΓΕΙ ΣΤΟ ΑΝΩ ΟΡΙΟ ΤΗΣ P max ) Οι Μοναδες #2 και #3 Λειτουργουν ΕΝΤΟΣ των Λειτουργικων Οριων τους με κοινο Διαφορικο Κοστος λ* = ΘΕΜΑ #09 = Λυμενο Μαθηματικο Παραδειγμα - Μεθοδολογια KKT για Βελτιστοποιηση υπο ανισωτικους περιορισμους - (Μελετησε προηγουμενως το Παραρτημα Β) ΘΕΜΑ #10 = 2-be-continued ΘΕΜΑ#11a (...%): 2 Θερμο + ισοτικοι περιορισμοι (Σταθ. Ζητ.) + Γραμμικες Απωλειες Μεταφορας = LDRImodified4Γ ΘΕΜΑ #11b ( %) = συνεχεια / επεκταση της προηγουμενης ασκησης... (Run a α β LOOP on P Loss and PLOT lambda vs. (α, β) ) ΘΕΜΑ#12a (...%): 3 Θερμο + ισοτικοι περιορισμοι (Σταθ.Ζητ.) + Γραμμικες Απωλειες Μεταφορας + εκ των υστερων επαληθευση ανισοτικων (λειτουργικους) περιορισμων Pmin / Pmax ΘΕΜΑ #12b ( %) = συνεχεια / επεκταση της προηγουμενης ασκησης... (Run a α β LOOP on P Loss and PLOT lambda vs. (α, β) ) ΘΕΜΑ #13 ΣΗΕ με διασυνδετικη Γραμμη ΤΡΙΤΗ ΟΜΑΔΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ (#20 εως #...) = ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΦΟΡΤΙΟΥ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ #20 (.. %): ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΦΟΡΤΙΟΥ ΘΕΜΑ #21 (.. %): curve fitting - ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ ΘΕΜΑ #22 (.. %): Ερωτησεις Κατανοησεως - ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ #23 = 2-be-continued Appendix A: fmincon MATLAB s Optimization Toolbox fmincon description fmincon syntax MATLAB s Optimization Toolbox Constrained Nonlinear Optimization Appendix Β: ΚΚΤ - Optimization with inequality constraints Optimization with inequality constraints Example: Economic Dispatch Binding ( Active ) Inequality Constraints

56 Solution using Lagrange/KKT multipliers KKT Optimality Conditions Complementary slackness conditions Appendix C: Practical Economic Dispatch via LAMBDA ITERATION LAMBDA ITERATION with Pmax LAMBDA ITERATION with Pmin, Pmax Appendix D: Great Textbooks on Power System Economics - Read at least one!!!

57 ΛΕΩΝΙΔΑΣ Δ. ΔΡΙΤΣΑΣ Διπλ. Ηλ. Μηχ., MSc, PhD Τμημα Εκπαιδευτικων Ηλεκτρολογων Μηχανικων & Εκπαιδευτικων Ηλεκτρονικων Μηχανικων - ΑΣΠΑΙΤΕ 2016 ΕΠΩΝΥΜΟ - ΟΝΟΜΑ: Υπογραφή: ΑΜ: 1. Η Συμμετοχη στις Ασκησεις-για-το-Σπιτι και την Προοδο προσμετραται μονο θετικα 2. ΑΠΑΝΤΗΣΤΕ ΣΕ ΟΛΑ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ Για τυχον «Θεωρητικα Θεματα» δωστε τις απαντησεις σας συνοπτικα στο παρον φυλλο 3. ΒΑΘΜΟΛΟΓΕΙΤΑΙ Η ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΟΡΘΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΩΝ ΣΑΣ (με ακριβεια πρωτου δεκαδικου ψηφιου) 4. ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 2 ΩΡΕΣ (για την Προοδο) ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑ: 57