ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ"

Transcript

1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ 1

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 1. Τι καλούμε μονώνυμο, τι πολυώνυμο, τι όροι,τι συντελεστές τι σταθερός όρος του πολυωνύμου, τι σταθερό και τι μηδενικό πολυώνυμο; Έστω x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε πραγματική τιμή. Καλούμε μονώνυμο του x κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α είναι ένας πραγματικός αριθμός και ν ένας θετικός ακέραιος. Μονώνυμο του x καλούμε επίσης και κάθε πραγματικό αριθμό. Για παράδειγμα, οι παραστάσεις: x, - 4 x 5, 0x 4, x και οι αριθμοί, -, 0 είναι μονώνυμα του x. Καλούμε πολυώνυμο του x κάθε παράσταση της μορφής: α ν x ν + α ν-1 x ν α 1 x + α 0,όπου ν είναι ένας φυσικός αριθμός και α 0, α 1,, α ν είναι πραγματικοί αριθμοί. Τα πολυώνυμα τα συμβολίζουμε συνήθως με P(x), Q(x), κτλ. Τα μονώνυμα α ν x ν, α ν-1 x ν-1,, α 1 x, α 0 λέγονται όροι του πολυωνύμου και οι αριθμοί α ν, α ν-1,, α 1, α 0 συντελεστές αυτού. Ειδικότερα ο α 0 λέγεται σταθερός όρος του πολυωνύμου. Τα πολυώνυμα της μορφής α 0, δηλαδή οι πραγματικοί αριθμοί, λέγονται σταθερά πολυώνυμα. Ειδικά το σταθερό πολυώνυμο 0 λέγεται μηδενικό πολυώνυμο.. Πως ορίζεται η ισότητα δύο πολυωνύμων; Η ισότητα μεταξύ δυο πολυωνύμων ορίζεται ως εξής: μ ν Δυο πολυώνυμα α μ x μ + + α 1 x + α 0 και β ν x ν + + β 1 x + β 0, με θα λέμε ότι είναι ίσα όταν: α 0 = β 0, α 1 = β 1,, α ν = β ν και α ν+1 = α ν+ = = α μ = 0

3 Για παράδειγμα τα πολυώνυμα 0x 4 + 0x + x - x + 1 και x - x + 1 είναι ίσα. Επίσης τα πολυώνυμα αx + βx + γ και x + είναι ίσα αν και μόνο αν γ =, β = και α = 0.. Τι καλείται μηδενικό πολυώνυμο,τι βαθμός πολυωνύμου και τι βαθμό έχει το μηδενικό πολυώνυμο; Έστω τώρα ένα πολυώνυμο P(x) = α ν x ν + α ν-1 x ν α 1 x + α 0 Αν όλοι οι συντελεστές του είναι ίσοι με μηδέν, τότε το Ρ(x) είναι ίσο με το πολυώνυμο 0 (μηδενικό πολυώνυμο). Αν όμως ένας από τους συντελεστές του είναι διαφορετικός από το μηδέν, τότε το Ρ(x) παίρνει τη μορφή: α k x k + α k-1 x k α 1 x + α 0, με α k 0 Στην περίπτωση αυτή ο αριθμός k λέγεται βαθμός του πολυωνύμου Ρ(x). Είναι φανερό ότι κάθε σταθερό και μη μηδενικό πολυώνυμο έχει βαθμό 0. Για το μηδενικό πολυώνυμο δεν ορίζεται βαθμός. Έτσι για παράδειγμα το πολυώνυμο P(x) = -4x + x - 7 είναι ου βαθμού, ενώ το Q(x) = 7 είναι μηδενικού βαθμού. 4. Τι καλείται αριθμητική τιμή του πολυωνύμου και τι ρίζα; Έστω ένα πολυώνυμο P(x) = α ν x ν + α ν-1 x ν α 1 x + α 0. Αν αντικαταστήσουμε το x με ένα ορισμένο πραγματικό αριθμό ρ, τότε ο πραγματικός αριθμός P(ρ) = α ν ρ ν + α ν-1 ρ ν α 1 ρ + α 0 που προκύπτει λέγεται αριθμητική τιμή ή απλά τιμή του πολυωνύμου για x = ρ. Αν είναι Ρ(ρ) = 0, τότε ο ρ λέγεται ρίζα του πολυωνύμου. Για παράδειγμα, η τιμή του πολυωνύμου P(x) = -x + x 4x + 1,για x = 1 είναι P(1) = = 6, ενώ για x = -1 είναι P(-1) = -(-1) + (-1) + 4(-1) + 1=0, που σημαίνει ότι ο -1 είναι ρίζα του πολυώνυμου Ρ(x). 5. Τι γνωρίζετε για το σταθερό πολυώνυμο; Το σταθερό πολυώνυμο c έχει τιμή c για όλες τις τιμές του x και Τα ίσα πολυώνυμα έχουν ίσες τιμές για όλες τις τιμές του x, Αποδεικνύεται ότι ισχύει και το αντίστροφο, δηλαδή ότι: Αν ένα πολυώνυμο έχει τιμή c για όλες τις τιμές του x, τότε αυτό είναι το σταθερό πολυώνυμο c και Αν δυο πολυώνυμα έχουν ίσες τιμές για όλες τις τιμές του x, τότε τα πολυώνυμα αυτά είναι ίσα.

4 6. Τι γνωρίζετε για τις πράξεις πολυωνύμων; Μπορούμε να προσθέσουμε, να αφαιρέσουμε, ή να πολλαπλασιάσουμε πολυώνυμα, χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των πραγματικών αριθμών, όπως φαίνεται στα επόμενα παραδείγματα: 1. i) (x + x - 5x + 7) + (4x - 5x + ) = x + x - 5x x - 5x + = (1 + 4)x + ( - 5)x - 5x + (7 + ) = 5x - x - 5x + 10 [Πολυώνυμο ου βαθμού] ii) (x - x + 1) + (-x + x - ) = x - x x + x - = -x + x - [Πολυώνυμο ου βαθμού] iii) (x - x - 1) + (-x + x + 1) = = x - x x + x + 1 = 0 [Μηδενικό πολυώνυμο]. (x + x - 5x + 7) - (4x - 5x + ) = x + x - 5x + 7-4x + 5x - = -x + 7x - 5x + 4 [Πολυώνυμο ου βαθμού]. (x + 5x)(x + x - 1) = x (x + x - 1) + 5x(x + x - 1) = x 5 + x - x + 10x x - 5x = x x 4 + x + 14x - 5x [Πολυώνυμο 5 ου βαθμού] 7. Τι γνωρίζετε για τον βαθμό του αθροίσματος και του γινομένου δυο πολυωνύμων ; Για το βαθμό του αθροίσματος και του γινομένου δυο πολυωνύμων αποδεικνύεται ότι: Αν το άθροισμα δυο μη μηδενικών πολυωνύμων είναι μη μηδενικό πολυώνυμο, τότε ο βαθμός του είναι ίσος ή μικρότερος από το μέγιστο των βαθμών των δυο πολυωνύμων. Ο βαθμός του γινομένου δυο μη μηδενικών πολυωνύμων είναι ίσος με το άθροισμα των βαθμών των πολυωνύμων αυτών. 8. i) Να βρεθούν οι τιμές του λ R για τις οποίες το πολυώνυμο P(x) = (λ - 1)x + (λ - λ + )x + λ - 1 είναι το μηδενικό πολυώνυμο. ii) Να βρεθούν οι τιμές του λ R για τις οποίες τα πολυώνυμο Q(x) = λ x + (λ - )x + και R(x) = (5λ - 6)x + (λ - 4)x + λ + 1 είναι ίσα. 4

5 i) To Ρ(x) θα είναι το μηδενικό πολυώνυμο, για εκείνες τις τιμές του λ για τις οποίες συναληθεύουν οι εξισώσεις: λ - 1 = 0, λ - λ + = 0 και λ - 1 = 0 Η κοινή λύση των εξισώσεων αυτών είναι η λ = 1. Επομένως για λ = 1 το πολυώνυμο Ρ(x) είναι το μηδενικό πολυώνυμο. ii) Τα Q(x) και R(x) θα είναι ίσα για εκείνες τις τιμές του λ για τις οποίες συναληθεύουν οι εξισώσεις: λ = 5λ - 6, λ - = λ - 4 και = λ + 1 Η κοινή λύση των εξισώσεων αυτών είναι η λ =. Επομένως για λ = τα πολυώνυμα Q(x) και R(x) είναι ίσα. 9. Αν P(x) = x + x + α - 1, να βρεθούν οι τιμές του α R για τις οποίες ισχύει Ρ(-1) = -1. Έχουμε P(-1) = 1 (-1) + (-1) + α - 1 = 1 α - 4 = 0 α = - ή α = Επομένως οι ζητούμενες τιμές είναι οι: -,. 5

6 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου A Oμάδας 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x : i) 1 ii) x x x x iii) 1 x x iv) Πολυώνυμα του x είναι οι παραστάσεις 1. Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ(x) = Να βρεθούν τα πολυώνυμα: x, 1 4 x x 4x 1 x 5x και Q(x) = x x x x x 1. i) Ρ(x) + Q(x) ii) Ρ(x) Q(x) iii) Ρ(x).Q(x) iv) i) Ρ(x) + Q(x) = x 5x + x x 1 = ii) Ρ(x) Q(x) = ( x 5x ) ( = x 10x 4 x 9x = x x 19 x + 1 iii) Ρ(x).Q(x) = ( x 5x ) ( x x 1) = 5 4 = x 5x 5x 14x x iv) x x 1) 5 4 x x x x x x 5x 15x 5x x 6x P x = (x 5x ) = = 4 x 5x 410x 0x 4x 4 x 10x 9x 0x 4. Να βρείτε για ποιες τιμές του μϵr, το πολυώνυμο Ρ(x) = (4 )x 4( )x 1 4 είναι το μηδενικό πολυώνυμο. Πρέπει: 4 = 0 4 = 0 1 και = 0 4 και 1 = 0 (4 1) = 0 1 μ = 0 ή μ = 0 ή μ = 0 ή μ = = ή μ = P x 1 (1) 1 = = 0 4 6

7 μ = 1 1 = 0 μ = 1 μ = 1 ή μ = () 1 () Οι (1), (), () συναληθεύουν για μ = 1 4. Να βρείτε για ποιες τιμές του αϵr, τα πολυώνυμα Ρ(x) = ( )x x και Q(x) = x x ( 1)x 1 είναι ίσα. Πρέπει: = και 1 = και 0 = 1 και = 1 Η μοναδική τιμή = 1 επαληθεύει τις άλλες τρεις εξισώσεις, άρα είναι η ζητούμενη. 5. i) Να εξετάσετε ποιοι από τους αριθμούς που δίνονται, είναι ρίζες του πολυωνύμου Ρ(x) = P( 1) = x x x 7, x = 1, x = = + 7 = 0. Άρα ο αριθμός 1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x). P( 1) = = = 8 0 Άρα ο αριθμός 1 δεν είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x). 5.ii) Να εξετάσετε ποιοι από τους αριθμούς που δίνονται, είναι ρίζες του 4 πολυωνύμου Q(x) = x 1, x = 1, x = 1, x = 4 Q(-1) = ( 1) 1 = = 0 Άρα ο αριθμός 1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Q(x). Q(1) = = 0 Άρα ο αριθμός 1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Q(x). Q() = = = 80 0 Άρα ο αριθμός δεν είναι ρίζα του πολυωνύμου Q(x). 6. Να βρείτε για ποιες τιμές του kϵr, το είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) = x kx 5x k Το είναι ρίζα του Ρ(x) Ρ() = 0 k 5. k = 0 8 4k k = 0 k = 18 k = 6 7.Για ποιες τιμές του αϵr, η τιμή του πολυωνύμου Ρ(x) = για x = 1 είναι ίση με 1. 5x x 7

8 Ρ( 1) = = 1 5 = 0 + = 0 Δ = 9 8 = 1, = 1 = 1 = ή 1 8

9 Β Oμάδας 1.Να βρείτε τους πραγματικούς α, β, γ, για τους οποίους το πολυώνυμο f(x) = x 7x 5 παίρνει τη μορφή f(x) = x(x 1) x f(x) = x(x 1) x = x x x = x ( )x Πολυώνυμο x 7x 5 και 7 και 5 και 7 και 5 και 10 και 5 x ( )x = πολυώνυμο. Να βρείτε τους πραγματικούς α, β, γ, για τους οποίους το πολυώνυμο P(x) = x x x 6 έχει ρίζες το και το. Το ρίζα του P(x) Το ρίζα του P(x) Ρ( ) = 0 Ρ() = 0 6 = 0 6 = = = α β 6 = 0 9α + β = 75 4α β = 0 α + β = 5 () α β = 15 (1) Σύστημα των (1), () : ( ) Να βρείτε τους πραγματικούς λ και μ, για τους οποίους το πολυώνυμο P(x) = x x x 6 έχει ρίζα το 1 και ισχύει Ρ( ) = 1. Το P(x) έχει ρίζα το 1 Ρ(1) = = 0 6 = 0 8 (1) 9

10 Ρ( ) = 1 ( ) ( ) ( ) 6 = 1 ( 8).4 6 = λ μ + 6 = 1 4λ μ = λ μ = 1 () Σύστημα των (1), () : ( ) Να βρείτε το βαθμό του πολυωνύμου P(x) = για τις διάφορες τιμές του λϵr. α) Όταν τότε ο βαθμός του P(x) είναι. β) Όταν = (9 4 )x (9 4)x, 0 λ 0 και λ 0 και λ + 0 λ 0 και λ και λ λ 0 και λ και λ = 0 = 0 λ = 0 ή λ = 0 ή λ + = 0 λ = 0 ή λ = ή λ = λ = 0 ή λ = ή λ = β 1 ) Για λ = 0, P(x) = 4x + οπότε ο βαθμός του P(x) είναι 1 β ) Για λ =, P(x) = 0.x + 0.x + 0 = 0 μηδενικό πολυώνυμο, που δεν έχει βαθμό 10

11 β ) Για λ =, P(x) = 0.x + 0.x + = + = 4 σταθερό πολυώνυμο, άρα έχει βαθμό Να βρείτε πολυώνυμο P(x), για το οποίο ισχύει x 1 P(x) = x 9x x 1 Το γινόμενο x 1 P(x) είναι πολυώνυμο σα γινόμενο δύο πολυωνύμων και ο βαθμός του είναι, αφού ισούται με το πολυώνυμο Άρα ο βαθμός του P(x) είναι. Επομένως P(x) = x x με 0 x 1 P(x) = x 1 ( x x ) = x x x + x 9x x 1 x 9x x 1 x x = x ( )x ( )x = x 9x x 1 x 9x x 1 x 9x x 1. α = και β + α = 9 και γ + β = και γ = 1 α = 1 και β + 1 = 9 και. 1 + β = και γ = 1 β = 10 β = 5 β = 5 Άρα P(x) = x 5x 1 11

12 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Πως ορίζεται η αλγοριθμική ή Ευκλείδεια διαίρεση μεταξύ θετικών ακεραίων αριθμών ; Γνωρίζουμε από το Γυμνάσιο την έννοια της Ευκλείδειας ή αλγοριθμικής διαίρεσης μεταξύ θετικών ακεραίων αριθμών. Συγκεκριμένα γνωρίζουμε ότι: Για κάθε ζεύγος φυσικών αριθμών Δ και δ με δ 0, υπάρχουν δύο μοναδικοί φυσικοί αριθμοί π και υ, τέτοιοι ώστε : Δ = δπ + υ, 0 υ < δ (1) Η ισότητα αυτή είναι γνωστή ως ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης. Ο Δ λέγεται διαιρετέος, ο δ διαιρέτης, ο π πηλίκο και ο υ υπόλοιπο της διαίρεσης.. Πως ορίζεται η ταυτότητα της διαίρεσης για πολυώνυμα; (Ταυτότητα της διαίρεσης) Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων Δ(x) και δ(x) με δ(x) 0 υπάρχουν δυο μοναδικά πολυώνυμα π(x) και υ(x), τέτοια ώστε: Δ(x) = δ(x)π(x) + υ(x), όπου το υ(x) ή είναι το μηδενικό πολυώνυμο ή έχει βαθμό μικρότερο από το βαθμό του δ(x). Όπως και στη διαίρεση μεταξύ φυσικών αριθμών το Δ(x) λέγεται διαιρετέος, το δ(x) διαιρέτης, το π(x)πηλίκο και το υ(x) υπόλοιπο της διαίρεσης.. Πως μπορούμε να προσδιορίσουμε το πηλίκο π(x) και το υπόλοιπο υ(x) της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Δ(x) με ένα πολυώνυμο δ(x) Για να προσδιορίσουμε το πηλίκο π(x) και το υπόλοιπο υ(x) της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Δ(x) με ένα πολυώνυμο δ(x), ακολουθούμε μια διαδικασία, ανάλογη με εκείνη της διαίρεσης των θετικών ακεραίων. 4. Να γίνει η διαίρεση του πολυωνύμου x - 5x + x - 1 με το πολυώνυμο x -. Παρακάτω περιγράφεται βήμα προς βήμα η διαδικασία της διαίρεσης του πολυωνύμου x - 5x + x - 1 με το πολυώνυμο x Κάνουμε το σχήμα της διαίρεσης και γράφουμε τα δυο πολυώνυμα. Βρίσκουμε τον πρώτο όρο x του πηλίκου διαιρώντας τον πρώτο όρο x του διαιρετέου με τον πρώτο όρο x του διαιρέτη. 1

13 . Πολλαπλασιάζουμε το x με x - και το γινόμενο x - x το αφαιρούμε από το διαιρετέο. Βρίσκουμε έτσι το πρώτο μερικό υπόλοιπο -x + x Επαναλαμβάνουμε τα βήματα και με νέο διαιρετέο το -x + x - 1. Βρίσκουμε έτσι το δεύτερο μερικό υπόλοιπο -4x Τέλος επαναλαμβάνουμε τα βήματα και με νέο διαιρετέο το -4x - 1. Βρίσκουμε έτσι το τελικό υπόλοιπο -1 και το πηλίκο x - x - 4. Παρατηρούμε ότι ισχύει η ισότητα: x - 5x + x - 1 = (x - ) (x - x - 4) + (-1) (διαιρετέος) = (διαιρέτης) (πηλίκο) + (υπόλοιπο) που εκφράζει την ταυτότητα της διαίρεσης. 5. Να γίνει η διαίρεση (4x 4 + x - x 1) : (x + x) Παρατηρήστε ότι συμπληρώσαμε την δύναμη x με συντελεστή το μηδέν. 1

14 6. Να γίνει η διαίρεση (x + x - x 1):(x 1) 7. Πότε τελειώνει μία διαίρεση πολυωνύμων ; Η διαίρεση πολυωνύμων τελειώνει, όταν το υπόλοιπο γίνει μηδέν ή ο βαθμός του γίνει μικρότερος από το βαθμό του διαιρέτη. 8. Πότε μια διαίρεση λέγεται τέλεια; Γενικά, αν σε μια διαίρεση είναι υ(x) = 0, τότε η διαίρεση λέγεται τέλεια και η ταυτότητα της διαίρεσης γράφεται Δ(x) = δ(x) π(x) Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι το δ(x) διαιρεί το Δ(x) ή ότι το δ(x) είναι παράγοντας του Δ(x) ή ότι το Δ(x) διαιρείται με το δ(x) ή ακόμη ότι το δ(x) είναι διαιρέτης του Δ(x). 9. Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) με το x - ρ είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για x = ρ. Είναι δηλαδή υ=ρ(ρ) Η ταυτότητα της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το πολυώνυμο x - ρ γράφεται. P(x) = (x - ρ)π(x) + υ(x) Επειδή ο διαιρέτης x - ρ είναι πρώτου βαθμού, το υπόλοιπο της διαίρεσης θα είναι ένα σταθερό πολυώνυμο υ. Έτσι έχουμε: P(x) = (x - ρ)π(x) + υ και, αν θέσουμε x = ρ, παίρνουμε P(ρ) = (ρ - ρ)π(ρ) + υ = 0 + υ = υ Επομένως P(x) = (x - ρ)π(x) + P(ρ) 10. Ένα πολυώνυμο Ρ(x) έχει παράγοντα το x - ρ αν και μόνο αν το ρ είναι ρίζα του Ρ(x), δηλαδή αν και μόνο αν Ρ(ρ) = 0. Έστω ότι το x - ρ είναι παράγοντας του Ρ(x). Τότε P(x) = (x - ρ)π(x) Από την ισότητα αυτή για x = ρ παίρνουμε P(ρ) = (ρ - ρ)π(x) = 0, 14

15 που σημαίνει ότι το ρ είναι ρίζα του Ρ(x). Αντιστρόφως: Έστω ότι το ρ είναι ρίζα του Ρ(x), δηλαδή ισχύει Ρ(ρ) = 0. Τότε από τη σχέση P(x) = (x - ρ)π(x) + P(ρ) παίρνουμε P(x) = (x - ρ)π(x), που σημαίνει ότι το x - ρ είναι παράγοντας του Ρ(x). 11. Να εξεταστεί αν τα πολυώνυμα x + και x - 1 είναι παράγοντες του πολυωνύμου P(x) = x + x - x + Το x + γράφεται x - (-). Επειδή P(-) = (-) + (-) - (-) + = 0, το - είναι ρίζα του Ρ(x). Επομένως, σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα, το x + είναι παράγοντας του Ρ(x). Επειδή P(1) = = 0, το 1 δεν είναι ρίζα του Ρ(x). Επομένως το x - 1 δεν είναι παράγοντας του Ρ(x). 1. Για ποιες τιμές του λ R: i) Το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) = x - x + x - 1 με το x + λ είναι το μηδέν. ii) Το υπόλοιπο της διαίρεσης του Q(x) = λ x 4 + λx - με το x - 1 είναι το 1. i) Επειδή x + λ = x - (-λ), το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x + λ είναι υ = Ρ(-λ). Επομένως, για να είναι υ = 0 αρκεί: P(-λ) = 0 (-λ) - (-λ) + (-λ) - 1 = 0 -λ - λ - λ - 1 = 0 λ + λ + λ + 1 = 0 (λ + 1) = 0 λ = -1 ii) Το υπόλοιπο της διαίρεσης του Q(x) με το x - 1 είναι υ = Q(l). Επομένως, για να είναι υ = 1 αρκεί: Q(1) = 1 λ λ1 - = 1 λ + λ - 4 = 0 λ = 1 ή λ = Να γίνει η διαίρεση του P(x) = x - 8x + 7x + με ένα πολυώνυμο της μορφής x ρ και κατόπιν να περιγραφεί η διαδικασία του σχήματος Horner...Η Ευκλείδεια διαίρεση του Ρ(x) με το x-ρ είναι η ακόλουθη: 15

16 Η παραπάνω διαίρεση μπορεί να παρουσιασθεί εποπτικά με τον ακόλουθο πίνακα που είναι γνωστός ως σχήμα του Horner Συντελεστές του P(x) -8 7 ρ ρ (ρ - 8)ρ [(ρ - 8)ρ + 7]ρ ρ - 8 (ρ - 8)ρ + 7 [(ρ - 8)ρ + 7]ρ + Συντελεστές Πηλίκου Υπόλοιπο Για την κατασκευή του πίνακα αυτού εργαζόμαστε ως εξής: - Στην πρώτη γραμμή γράφουμε τους συντελεστές του πολυωνύμου Ρ(x) και στην πρώτη θέση της τρίτης γραμμής τον πρώτο συντελεστή του Ρ(x). Στη συνέχεια ο πίνακας συμπληρώνεται ως εξής: - Κάθε στοιχείο της δεύτερης γραμμής προκύπτει με πολλαπλασιασμό του αμέσως προηγούμενου στοιχείου της τρίτης γραμμής επί ρ. - Κάθε άλλο στοιχείο της τρίτης γραμμής προκύπτει ως άθροισμα των αντίστοιχων στοιχείων της πρώτης και δεύτερης γραμμής. Το τελευταίο στοιχείο της τρίτης γραμμής είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το (x - ρ), δηλαδή η τιμή του πολυωνύμου Ρ(x) για x = ρ. Τα άλλα στοιχεία της τρίτης γραμμής είναι οι συντελεστές του πηλίκου της διαίρεσης. 14. Με το σχήμα Horner να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) = x 5 + x 4 + 6x - 1 με το x -. 16

17 Με το σχήμα Horner ρ = Συμπληρώσαμε με 0 τους συντελεστές των δυνάμεων του x που δεν υπάρχουν Επομένως το πηλίκο της διαίρεσης είναι π(x) = x 4 + 9x + 18x + 6x + 78 και το υπόλοιπο υ = Ρ() = Τι καλείται ανηγμένη μορφή του πολυωνύμου ; Ανηγμένη μορφή του πολυωνύμου ονομάζεται η μορφή εκείνη του πολυωνύμου στην οποία οι φθίνουσες δυνάμεις του χ που λείπουν από ένα πολυώνυμο συμπληρώνονται με μηδέν συντελεστή. Π.χ. 5χ 5 +χ = 5χ 5 +0χ 4 +χ +0χ +0χ Να βρεθεί το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης (4x - 8αx + 4α ) : (x - α). Το σχήμα Horner με διαιρετέο το 4x - 8αx + 4α και διαιρέτη το x - α δίνει: 4-8α 4α α 4α -4α 4-4α 0 Άρα π(x) = 4x - 4α και υ(x) = Αν ν είναι ένας θετικός ακέραιος, να αποδειχθεί η ταυτότητα: (x ν - α ν ) = (x - α)(x ν-1 + x ν- α + x ν- α + + α ν-1 ) Το σχήμα Horner με διαιρετέο το x ν - α ν και διαιρέτη το x - α δίνει α ν ρ = α α α α ν-1 α ν 1 α α α ν

18 Επομένως το υπόλοιπο της διαίρεσης (x ν - α ν ) : (x - α) είναι μηδέν, ενώ το πηλίκο είναι το πολυώνυμο π(x) = x ν-1 + αx ν- + α x v- + + α ν-1 Τέλος, από την ταυτότητα της διαίρεσης προκύπτει ότι: x ν - α ν = (x - α)π(x) + 0 ή x ν - α ν = (x - α)(x ν-1 + x ν- α + x ν- α + + α ν-1 ) 18. Να εξεταστεί για ποιες τιμές του φυσικού αριθμού ν το x + α είναι παράγοντας του x ν + α ν, α 0. Γι' αυτές τις τιμές του ν, το x ν + α ν να γίνει γινόμενο της μορφής (x + α)π(x). Αν θέσουμε P(x) = x ν + α ν, τότε P(-α) = (-α) ν + α ν. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν ν άρτιος, τότε P(-α) = α ν + α ν = α ν 0, που σημαίνει ότι το -α δεν είναι ρίζα του Ρ(x). Επομένως το x + α δεν είναι παράγοντας του x ν + α ν. Αν ν περιττός, τότε P(-α) = -α ν + α ν = 0, που σημαίνει ότι το -α είναι ρίζα του Ρ(x). Επομένως το x + α είναι παράγοντας του x ν + α ν. Στη συνέχεια, με το σχήμα Horner για ν περιττό βρίσκουμε την ταυτότητα: x ν + α ν = (x + α)(x ν-1 - x ν- α + x ν- α - + α ν-1 ) 18

19 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου A. Oμάδας 1.i) Να κάνετε τη διαίρεση ( x 6x 17x 0 ) : ( x ) και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης. x 6x 17x 0 x x 9x x 17x 0 x 9x 8x 0 8x 4 44 x x 8 H ταυτότητα της διαίρεσης είναι x 6x 17x 0 = ( x )( x x 8 ) ii) Να κάνετε τη διαίρεση ( x 81) : ( x ) και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης. 4 x 81 x 4 x x x 81 x 9x 9x 81 9x 7x 7x 81 7x 81 0 H ταυτότητα της διαίρεσης είναι x x 9x 7 4 x 81 = ( x )( 5 x x 9x 7 ) 1.iii) Να κάνετε τη διαίρεση ( 4x 0x 16x 15 ) : ( 6x 5 ) και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης. 5 4x +0x 16x 15 6x 5 5 4x 0x 16x x + 5 4x 8 19

20 H ταυτότητα της διαίρεσης είναι 5 4x 0x 16x 15 = ( 6x 5 )( 4x ) iv) Να κάνετε τη διαίρεση ( x 4x 5x x ) : ( x x ) και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης. 4 x 4x 5x x x x 4 x 4x 6x x x x x x 1 x 1 H ταυτότητα είναι 4 x 4x 5x x = ( x x )( x 1) + x 1 1.v) Να κάνετε τη διαίρεση διαίρεσης. Είναι x 1 = x x x 1 4 x : x 1 και να γράψετε την ταυτότητα της 4 x 4 x x x x x x x x x 9x 9x 6x 8x x x x 1 H ταυτότητα της διαίρεσης είναι 4 x = ( x x x 1)( x ) + 6x 8x 4 x = x 1 ( x ) + 6x 8x 5 1.vi) Να κάνετε τη διαίρεση ( x 7) : ( x 1) και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης. 5 x 7 x 1 x x 5 x 7 x H ταυτότητα της διαίρεσης είναι 5 x 7 = ( ) x + x 7 x Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης ( 18x 6x 4x ) : ( x 1) Έστω Ρ(x) = 18x 6x 4x. υ = Ρ( 1) = = = 14 0

21 . Να βρείτε τις τιμές του k για τις οποίες το x 1 είναι παράγοντας του 4 g(x) = k x kx 4 Πρέπει και αρκεί g(1) = 0 4 k 1 k1 4 = 0 k k 4 = 0 Δ = = 5 k = 5 = 1 ή -4 4.i) Με τη βοήθεια του σχήματος Horner να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης ( x 75x 50 ) : ( x 10 ) Άρα π(x) = x 10x 5 και υ = 0 4.ii) Με τη βοήθεια του σχήματος Horner να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης ( x 51 ) : ( x 8) Άρα π(x) = x 8x 64 και υ = 0 4.iii) Με τη βοήθεια του σχήματος Horner να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο 5 της διαίρεσης ( x 1) : ( x 1) Άρα π(x) = 4 x x x x 1 και υ = 4.iv) Με τη βοήθεια του σχήματος Horner να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο 4 της διαίρεσης x : ( x ) 1

22 Άρα π(x) = x 6x 1x 4 και υ = v) Με τη βοήθεια του σχήματος Horner να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο 1 της διαίρεσης ( 4x 16x x 15) : ( x ) Άρα π(x) = 5. Αν Ρ(x) = 4x 14x 0 και υ = 0 x x x 409, να βρείτε το Ρ( 11) Άρα Ρ(-11) = i) Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο x είναι παράγοντας του 4 Ρ(x) = x 5x υ = 0 άρα το x είναι παράγοντας του Ρ(x) = 4 x 5x ii) Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο x είναι παράγοντας του 4 4 Ρ(x) = 16x 8x 9x 14x 4

23 υ = 0 άρα το 1 4 x είναι παράγοντας του Ρ(x) = 16x 8x 9x 14x iii) Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο x 1 είναι παράγοντας του Ρ(x) = x x Είναι x 1 = x (1 ) υ = 0 άρα το x 1 είναι παράγοντας του Ρ(x) = x x 7. Αν ν είναι ένας άρτιος θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι το x y είναι παράγοντας του x y. Θεωρούμε τα Ρ(x) = x y, π(x) = x y = x ( y) ως πολυώνυμα του x Το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ(x) : π(x) είναι υ = Ρ(-y ) = y y Αλλά y y αφού ν άρτιος. Άρα υ = 0 Επομένως το x y είναι παράγοντας του x y. 8. Να αποδείξετε ότι τα παρακάτω πολυώνυμα δεν έχουν παράγοντα της μορφής x. i) 4 Ρ(x) = 4x 7x 1 ii) Q(x) = i) Το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ(x) : ( x ) είναι 4 υ = Ρ(ρ ) = > 0 Επομένως το x δεν είναι παράγοντας του Ρ(x) ii) Το υπόλοιπο της διαίρεσης Q(x) : ( x ) είναι 6 υ = Q(ρ ) = 5 4 < 0 Επομένως το x δεν είναι παράγοντας του Q(x) 6 5x x 4

24 9.Αν ο ν είναι περιττός θετικός ακέραιος, τότε το x 1 είναι παράγοντας του x 1. Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης ( x 1) : ( x 1) υ = 0 το x 1 είναι παράγοντας του x 1. Το πηλίκο της διαίρεσης είναι 1 x x x... x 1. Άρα η ταυτότητα της διαίρεσης ( x 1) : ( x 1) είναι x 1 = ( x 1)( 1 x x x... x 1) 10.i) Να κάνετε τη διαίρεση ( x x 8 ) : ( x) x x 8 x x 6 x x 4 4x 8 4x ii) Να κάνετε τη διαίρεση ( x x x ) : ( x ) x x x x x x x x 0 x 4

25 Β. Oμάδας 1. Να αποδείξετε ότι, αν το ν είναι παράγοντας του μ, τότε και το x είναι παράγοντας του x, (μ, ν θετικοί ακέραιοι). ν είναι παράγοντας του μ μ = k.ν, όπου k θετικός ακέραιος. Τότε x = το x k x = ( x k k k = x = ) x x... k1 k k1 είναι παράγοντας του x.. i) Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) με το x, α 0 είναι υ = Ρ( ). ii) Να βρείτε τις συνθήκες, για τις οποίες το πολυώνυμο με το x. i) Με την ταυτότητα της διαίρεσης Ρ(x) : (αx + β) έχουμε Ρ(x) = (αx + β) π(x) + υ (1) x διαιρείται Η (1) για x = Ρ( ).= Ρ( ).= + υ Ρ( ).= 0. + υ Ρ( ). = υ + υ ii) Έστω Ρ(x) = x Tο πολυώνυμο x διαιρείται με το x το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ(x) : ( x ) είναι 0, Ρ( ). = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 ( ) = 0 και λόγω του i), 5

26 β = 0 ή β = 0 ή = 0 β = 0 ή α = β ή α = - β. Με τη βοήθεια του σχήματος Horner μόνο, να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο 4 Ρ(x) = x 6x 5x x διαιρείται με το ( x 1)( x ) και να βρείτε το πηλίκο. Σχήμα Horner για τη διαίρεση Ρ(x) : ( x 1) Οπότε Ρ(x) = ( x 1)( x 4x x ) Θέτουμε x 4x x = π(x). Τότε Ρ(x) = ( x 1) π(x) (1) Σχήμα Horner για τη διαίρεση π(x) : ( x ) Οπότε π(x) = ( x )( x 1) (1) Ρ(x) = ( x 1)( x )( x 1) το Ρ(x) διαιρείται με το ( x 1)( x ) και το πηλίκο είναι x 1 4. Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο Ρ(x) = παράγοντες όλους τους παράγοντες του Είναι x x x = x ( x x 1). Βρίσκουμε τις ρίζες του τριωνύμου Άρα οι ρίζες του x x x είναι 0, 1, και οι παράγοντές του είναι x, x 1, Ρ(0) = x 1 x x 1, ν 0 έχει x x x. x x 1, 1 και 1 x = = 0 το πολυώνυμο x - 0 = x είναι παράγοντας του Ρ(x) Ρ( 1) = 11 ( 1).( 1) 1 = = 0 το πολυώνυμο x 1 είναι παράγοντας του Ρ(x) 1 6

27 Ρ( ) = ( ) 1 ( ) ( ) 1 = 1 το πολυώνυμο x είναι παράγοντας του Ρ(x) 11 = 0 5. Να υπολογίσετε τους α,βϵr, για τους οποίους το Ρ(x) = παράγοντα το x 1. 1 x x 1 έχει Το Ρ(x), για να έχει παράγοντα το x 1, πρέπει να έχει παράγοντα και το x 1 Ρ(1) = = 0 Ρ(x) = 1 x ( 1)x 1 = 1 = 0 ( 1). (1) Τότε 1 x x x 1 = x (x 1) (x 1) = 1 x (x 1) (x 1)(x x... 1) 1 = (x 1) x x x Θέτουμε x x x... 1 = π(x). Οπότε Ρ(x) = ( x 1 ) π(x). Το Ρ(x), για να έχει παράγοντα το x 1, πρέπει, το π(x) να έχει παράγοντα το x 1 1 π(1) = Η (1) ( 1) = 0 ( ) = 0 = 0 7

28 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. Ποιες εξισώσεις μάθαμε να λύνουμε σε προηγούμενες τάξεις ; Τι καλούμαι πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν τι ρίζα της πολυωνυμικής εξίσωσης και πως λύνεται αυτή; Σε προηγούμενες τάξεις γνωρίσαμε τον τρόπο επίλυσης των εξισώσεων αx + β = 0, αx + βx + γ = 0 και αx 4 + βx + γ = 0, με α 0 Οι εξισώσεις αυτές είναι ειδικές περιπτώσεις μιας κατηγορίας εξισώσεων της μορφής Ρ(x) = 0, όπου Ρ(x) πολυώνυμο, οι οποίες λέγονται πολυωνυμικές εξισώσεις. Συγκεκριμένα: Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζουμε κάθε εξίσωση της μορφής α v x ν + α v-1 x ν α 1 x + α 0 = 0, α v 0 Για παράδειγμα, οι εξισώσεις x - 5x + x - = 0 και -x 6 + 5x + 1 = 0 είναι πολυωνυμικές εξισώσεις ου και 6ου βαθμού αντιστοίχως. Ρίζα μιας πολυωνυμικής εξίσωσης ονομάζουμε κάθε ρίζα του πολυωνύμου P(x) = α v x ν + α v-1 x ν α 1 x + α 0, δηλαδή κάθε αριθμό ρ, για τον οποίο ισχύει Ρ(ρ) = 0. Όπως για τις πολυωνυμικές εξισώσεις 1ου και ου βαθμού, έτσι και για τις πολυωνυμικές εξισώσεις ου και 4ου βαθμού έχουν βρεθεί γενικοί τρόποι επίλυσής τους. Οι τρόποι αυτοί όμως απαιτούν γνώσεις που είναι έξω από το σκοπό αυτού του βιβλίου και δε θα αναπτυχθούν εδώ. Τέλος, έχει αποδειχθεί ότι γενικός τρόπος επίλυσης για πολυωνυμικές εξισώσεις βαθμού μεγαλύτερου του 4 δεν υπάρχει. Για τους λόγους αυτούς, για την επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων βαθμού μεγαλύτερου από, θα περιοριστούμε στην γνωστή μας παραγοντοποίηση. Η επίλυση μια εξίσωσης με τη μέθοδο αυτή στηρίζεται στην ισοδυναμία P 1 (x) P (x) P k (x) = 0 (P 1 (x) = 0 ή P (x) = 0 ή P k (x) = 0) Δηλαδή, για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση Ρ(x) = 0, παραγοντοποιούμε το Ρ(x) και αναγόμαστε έτσι στην επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων μικρότερου βαθμού.. Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί το θεώρημα ακέραιων ριζών. Ισχύει το αντίστροφο του θεωρήματος ; Έστω η πολυωνυμική εξίσωση α v x ν + α v-1 x ν α 1 x + α 0 = 0, με ακέραιους συντελεστές. Αν ο ακέραιος ρ 0 είναι ρίζα της εξίσωσης, τότε ο ρ είναι διαιρέτης του σταθερού όρου α 0. Απόδειξη Αν o ρ 0 είναι ρίζα της εξίσωσης, τότε διαδοχικά έχουμε α v ρ ν + α v-1 ρ ν α 1 ρ + α 0 = 0 α 0 = -α v ρ ν - α v-1 ρ ν α 1 ρ 8

29 α 0 = ρ(-α v ρ ν-1 - α v-1 ρ ν- - - α 1 ) Επειδή οι ρ, α 1, α,, α ν είναι ακέραιοι έπεται ότι και -α v ρ ν-1 - α v-1 ρ ν- - - α 1 είναι ακέραιος. Tο αντίστροφο του θεωρήματος δεν αληθεύει. Με άλλα λόγια μπορεί ένας ακέραιος ρ να είναι διαιρέτης του α 0, χωρίς αυτός να είναι κατ' ανάγκη και ρίζα της εξίσωσης. Να λυθεί η εξίσωση x - x + x + = 0. Οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι οι διαιρέτες ±1, ± του σταθερού όρου. Με το σχήμα Horner εξετάζουμε αν κάποιος από αυτούς μηδενίζει το πολυώνυμο P(x) = x - x + x + Έχουμε: 1-1 ρ = P(1) = 1 0 Άρα το 1 δεν είναι ρίζα του Ρ(x) ρ = P(-1) = - 0 Άρα το -1 δεν είναι ρίζα του Ρ(x) ρ = - - P() = 0 Άρα το είναι ρίζα του Ρ(x) Επομένως το x - είναι παράγοντας του Ρ(x). Συγκεκριμένα από το τελευταίο σχήμα έχουμε P(x) = (x - )(x - x - 1) οπότε η εξίσωση γράφεται (x - )(x - x - 1) = 0 και έχει ρίζες τους αριθμούς, και 9

30 4. Να λυθεί η εξίσωση x 4 + 5x + 9x + 8x + 4 = 0. Οι διαιρέτες του 4 είναι οι: ±1, ±, ±4. Επειδή όλοι οι συντελεστές της εξίσωσης είναι θετικοί, οι διαιρέτες 1,, και 4 αποκλείεται να είναι ρίζες της. Επομένως οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι -1, -, και -4. βρίσκουμε Ρ(-1) = 1 0, ενώ για ρ = - έχουμε: ρ = P(-) = 0 Άρα το - είναι ρίζα του P(x) 1 ρ = Q(-) = 0 Άρα το - είναι ρίζα του Q(x) Επομένως είναι x + x + x + = (x + )(x + x + 1) και η αρχική εξίσωση γράφεται (x + ) (x + x + 1) = 0 Η τελευταία έχει μια μόνο διπλή ρίζα τον αριθμό Πως βρίσκουμε το πρόσημο ενός γινομένου πρωτοβάθμιων και δευτεροβάθμιων πολυωνύμων Έστω ότι θέλουμε να μελετήσουμε ένα γινόμενο P(x) = A(x) B(x)... Φ(x) ως προς το πρόσημό του, όπου οι παράγοντες A(x),B(x),..., Φ(x) είναι της μορφής αx + β (πρωτοβάθμιοι) ή της μορφής αx + βx + γ (τριώνυμα). Βρίσκουμε το πρόσημο κάθε παράγοντα χωριστά και στη συνέχεια το πρόσημο του P(x). 6. Να βρεθεί για τις διάφορες τιμές του x R το πρόσημο του γινομένου P(x) = (x 1) (x + x 6) (x + x + 1). 0

31 Αρχικά βρίσκουμε το πρόσημο του κάθε παράγοντα χωριστά ως εξής : Επειδή x 1 0 x 1 το x 1 είναι θετικό για x >1, μηδέν για x =1 και αρνητικό για x <1. Επειδή x + x 6 0 (x + ) (x ) 0 x ή x το x + x 6 είναι θετικό για x < και για x >, μηδέν για x = και για x = και αρνητικό για < x <. Επειδή x + x + 1 έχει διακρίνουσα = 1 8 = 7 < 0, το τριώνυμο αυτό είναι θετικό για κάθε x R. Ο προσδιορισμός, τώρα, του προσήμου του γινομένου P(x) γίνεται με τη βοήθεια του παρακάτω πίνακα, εφαρμόζοντας τον κανόνα των προσήμων. Ώστε το γινόμενο P(x) είναι θετικό για < x < 1 και για x >, ενώ είναι αρνητικό για x < και για 1< x <. Τέλος είναι μηδέν για x = για x =1 και για x =. ΣΧΟΛΙΟ : Οι ανισώσεις της μορφής A(x) B(x)... Φ(x) > 0 (<0) λύνονται ακριβώς με τον ίδιο τρόπο. Για παράδειγμα η ανίσωση (x 1) (x + x 6) (x + x + 1) Προκειμένου να λύσουμε την ανίσωση αυτή αρκεί να βρούμε τις τιμές του x R για τις οποίες το γινόμενοp(x) = (x 1) (x + x 6) (x + x + 1) είναι αρνητικό. Από την πρώτη και την τελευταία γραμμή του πίνακα προσήμου του P(x) διαπιστώνουμε ότι η ανίσωση αληθεύει όταν x (, ) (1,). 7. Να λυθεί η ανίσωση x - x + x + > 0. Αν εργαστούμε όπως στο ερώτηση, η ανίσωση γράφεται (x - )(x - x - 1) > 0 ή (x - )(x - )(x ) > 0. Τοποθετούμε τις ρίζες του P(x) = x - x + x + σε άξονα και παρατηρούμε ότι: Στο 1ο από δεξιά διάστημα (, + ) το Ρ(x) είναι θετικό, αφού όλοι οι παράγοντες είναι θετικοί. Στο επόμενο διάστημα (, ) το Ρ(x) είναι αρνητικό, αφού ένας μόνο παράγοντας, ο x -, είναι αρνητικός. Αν συνεχίσουμε έτσι, βρίσκουμε το πρόσημο του Ρ(x) σε όλα τα διαστήματα όπως φαίνεται στο σχήμα. Επομένως οι λύσεις της ανίσωσης είναι τα x R, με < x < ή x >. 1

32 8. Ποιο θεώρημα προσδιορίζει προσεγγιστικά τις ρίζες μιας εξίσωσης ; Δώστε γεωμετρική ερμηνεία. Όταν ο ακριβής προσδιορισμός των ριζών μιας εξίσωσης είναι δύσκολος ή αδύνατος, τότε χρησιμοποιούνται διάφορες μέθοδοι για να προσδιοριστούν με προσέγγιση οι ρίζες αυτές. Μια τέτοια προσεγγιστική μέθοδος, στηρίζεται στο παρακάτω θεώρημα: ΘΕΩΡΗΜΑ : Έστω η συνάρτηση f(x) = α v x ν + α v-1 x ν α 1 x + α 0 Αν για δυο πραγματικούς αριθμούς α, β με α < β οι τιμές f(α), f(β) της συνάρτησης είναι ετερόσημες, τότε υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης f(x) = 0 μεταξύ των α, β. Το παραπάνω θεώρημα ερμηνεύεται γεωμετρικά ως εξής: Αν η γραφική παράσταση της f περνάει από δυο σημεία Α (α, f(α)) και Β(β,f(β)) που βρίσκονται εκατέρωθεν του άξονα x x, τότε αυτή τέμνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη μεταξύ των α και β. 9. Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση x - x + l = 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα μεταξύ των αριθμών 1 και. Στη συνέχεια να βρεθεί μια ρίζα με προσέγγιση δεκάτου. Έστω η συνάρτηση f(x) = x - x + l 1 o βήμα: Έχουμε: ο βήμα: Βρίσκουμε τις τιμές της συνάρτησης στα ενδιάμεσα σημεία 1,1, 1,, 1,9 και παρατηρούμε ότι: Επομένως υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (1,5, 1,6) ο βήμα: Επαναλαμβάνουμε την προηγούμενη διαδικασία στο διάστημα (1,5, 1,6) και έχουμε: Επομένως υπάρχει μια ρίζα ρ στο διάστημα (1,5, 1,54) δηλαδή ισχύει 1,5 < ρ < 1,54. Άρα με προσέγγιση δεκάτου είναι ρ = 1,5.

33 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου A Ομάδας 1.i) Να λύσετε την εξίσωση 5x 4 6x 4 5x 6x 0 5x x 5x 6 0 x 0 ή x 0 ή x 0 ή 4 6x 5x 6 0 5x 6 x x 0 ή x ή 5 x ii)Να λύσετε την εξίσωση x x 9x 18 0 x x 9x 18 0 x x 9 x 0 1.iii) Να λύσετε την εξίσωση 5 4 x 5x x 5x 1.iv) Να λύσετε την εξίσωση 6 6 x 64 = 0 x = 64 ( x )( x 9) = 0 x = 0 ή x 9 = 0 x ή x 9 x ή x ή x 5 4 x 5x x 5x 5 4 x 5x x 5x 0 x (x 5x x 5) 0 x 0 ή x 0 ή x 5x x 5 0 x(x 1) 5(x 1) 0 x 0 ή ( x 1)(x 5 ) = 0 x 0 ή x 1 = 0 ή x 5 = 0 x 0 ή x 1 ή x 5 x 0 ή x 1 ή x 1 ή 5 x 6 x 64 = 0 x 64 ή x 64 x ή x 1.v) Να λύσετε την εξίσωση x x 0

34 Οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι οι διαιρέτες του σταθερού όρου : 1, 1,, Σχήμα Horner με ρ = Άρα το 1 είναι ρίζα και το x x είναι το πηλίκο 1 Δ = 4 8 = 4 < Επομένως δεν έχουμε άλλες ρίζες 1.vi) Να λύσετε την εξίσωση x 7x 6 0 α) x 1 = 0 x 1 x 7x 6 0 x x 6x 6 0 x x 1 6 x 1 0 xx 1x 1 6x 1 0 x 1 x x 6 0 β) x x 6 = 0 Δ = = 5 15 x = ή 1.vii) Να λύσετε την εξίσωση (x 1) + 1 = 0 (x 1) = 1 x 1 1 x 1 1 (x 1) + 1 = 0 x 1 1 x 0 1.viii) Να λύσετε την εξίσωση 7 x 1x x 1x 0 7 x 1x x 1x 0 (x ) (1 x) α) x = 0 x β) (1 x) = 0 1 x (x ) (1 x) x = 0 1 x 1 x γ) x 1 = 0 x 1 7(x ) (1 x) = 0 ( 1x 14 1 x ) = 0 (x ) (1 x) ( x 1 ) = 0 4

35 1.ix) Να λύσετε την εξίσωση x 8 = 7( x 5x 6) + 9x 6 Βρίσκουμε χωριστά x 8 = x = ( x )( x x 4 ) x 5x 6 = ( x )( x ) 9x 6 = 9( x 4) = 9( x )( x ) Η δοσμένη εξίσωση γράφεται ( x )( x x 4 ) = 7( x )( x ) + 9( x )( x ) = 0 ( x )( x x 4 ) 7( x )( x ) 9( x )( x ) = 0 ( x )[ x x 4 7 ( x ) 9 ( x )] = 0 ( x )( x x 4 7 x 1 9 x + 18) = 0 ( x )( x 18 x + 1) = 0 α) x = 0 x β) x 18 x + 1 = 0 Δ = 4 4 = x = = x) Να λύσετε την εξίσωση 4 x x 6x x x 6x 4 0 (x ) x ( x ) = 0 ( x )( x ) x ( x ) = 0 ( x )( x x ) = 0 ( x )( x x ) = 0 α) x = 0 x x ή x β) x x = 0 x = 1 ή x =.i) Να βρείτε τις ακέραιες ρίζες της εξίσωσης x x x 0 Έστω Ρ(x) = x x x Οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι οι διαιρέτες του σταθερού όρου : 1, 1,, Ρ(1) = = 1 0 Ρ( 1) = Ρ() = = = 0. = = 0 ο αριθμός είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x),άρα και της εξίσωσης Ρ( ) = = =

36 .ii) Να βρείτε τις ακέραιες ρίζες της εξίσωσης x 8x 15x 4 0 Έστω Ρ(x) = x 8x 15x 4 Οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι οι διαιρέτες του σταθερού όρου 4 : 1, 1,,, 4, 4 Ρ(1) = = = 0 ο αριθμός 1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x),άρα και της εξίσωσης Ρ( 1) =.( 1) 8.( 1) 15.( 1) 4 = = 4 0 Ρ() = Ρ( ) = Ρ(4) = Ρ( 4) = = = 0 0 ( ) 8( ) 15.( ) 4 = = ( 4) 8.( 4) 15.( 4) 4 =.( 64) = = 0 ο αριθμός 4 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x), άρα και της εξίσωσης..iii) Να βρείτε τις ακέραιες ρίζες της εξίσωσης x 10x 1 0 Οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι οι διαιρέτες του σταθερού όρου 1: 1,,, 4, 6, 1 Σχήμα Horner για ρ = Ο αριθμός είναι ρίζα, και το πηλίκο είναι x x 6 Λύνουμε την εξίσωση x x 6 = 0 8 Δ = = 8 x = Άρα η μοναδική ακέραια ρίζα της εξίσωσης είναι ο.iv) Να βρείτε τις ακέραιες ρίζες της εξίσωσης x x 7x 6 0 Οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι οι διαιρέτες του σταθερού όρου 6: 1,,, 6, Οι θετικοί διαιρέτες δε μπορούν να είναι ρίζες, αφού καθιστούν το πρώτο μέλος της εξίσωσης θετικό. Σχήμα Horner για ρ = Ο αριθμός 1 είναι ρίζα, και το πηλίκο 6

37 είναι x x 6 Δ = 1 4 = < 0 Άρα δεν έχουμε άλλες ρίζες 4.i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x x = 0 δεν έχει ακέραιες ρίζες. Αν η εξίσωση είχε ακέραια ρίζα, αυτή η ρίζα θα ήταν διαιρέτης του σταθερού όρου, δηλαδή θα ήταν 1 ή. Ελέγχουμε αν επαληθεύουν την εξίσωση = = 0 4 ( 1).( 1) = 1 = = = ( ).( ) = 16 6 = 8 0 Άρα η εξίσωση δεν έχει ακέραιες ρίζες 4.ii) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x x 6x 4x 5 = 0 δεν έχει ακέραιες ρίζες. Αν η εξίσωση είχε ακέραια ρίζα, αυτή η ρίζα θα ήταν διαιρέτης του σταθερού όρου 5, δηλαδή θα ήταν 1 ή 5. Ελέγχουμε ποιος επαληθεύει την εξίσωση = = ( 1).( 1) 6.( 1) 4.( 1) 5 = > > 0 4.( 5).( 5) 6.( 5) 4.( 5) 5 > 0 Άρα η εξίσωση δεν έχει ακέραιες ρίζες 4.i) Να λύσετε την ανίσωση x x x 6 > 0 x x x 6 > 0 x ( x +) + ( x +) > 0 ( x +)( x +) > 0 ( x + > 0) x + > 0 x > 4 4.ii) Να λύσετε την ανίσωση x 6x x 0x 1 0 Το 1 είναι προφανής ρίζα του πολυωνύμου

38 Η ανίσωση γράφεται ( x 1)( x 5x 17x 1) 0 Το 1 είναι προφανής ρίζα του πηλίκου Η ανίσωση γράφεται ( x 1)( x 1)( x 4x 1) 0 Το τριώνυμο x 4x 1 έχει Δ = 16 5 = 6 < 0, άρα είναι ομόσημο του α = 1 δηλαδή θετικό για κάθε x. Επομένως η ανίσωση γράφεται x 1 0 x 1 = 0 x = 1 4.iii) Να λύσετε την ανίσωση x x < 0 Το 1 είναι προφανής ρίζα του πολυωνύμου Η ανίσωση γράφεται ( x 1)( x x ) < 0 Το τριώνυμο x x έχει Δ = = 9 και ρίζες, 1 Επομένως η ανίσωση γράφεται ( x 1) ( x 1) ( x + ) < 0 x 1 ( x ) < 0 Για x = 1, η ανίσωση δεν επαληθεύεται. Για x 1, είναι x 1 > 0, άρα η ανίσωση γίνεται x + < 0 x < 4 4.iv) Να λύσετε την ανίσωση x x x x 6 0 Το 1 είναι προφανής ρίζα του πολυωνύμου Η ανίσωση γράφεται ( x + 1)( x x x 6) 0 και επειδή ( x + 1) x x x ( x + 1)( x )( x +) 0 x + > 0 θα έχουμε ( x + 1)( x ) 0 0 8

39 Τριώνυμο με ρίζες 1,, ομόσημο του α = 1, άρα ο x εκτός των ριζών, δηλαδή x 1 ή x 5.i) Να βρείτε τα σημεία τομής του άξονα xx και της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f( x ) = x x 5x Αναζητάμε τις τιμές του x για τις οποίες είναι f( x ) = 0, δηλαδή αναζητάμε τις ρίζες της εξίσωσης x x 5x = 0 Πιθανές ακέραιες ρίζες είναι οι διαιρέτες του σταθερού όρου, δηλαδή 1, Η εξίσωση γίνεται ( x )( x x 1) = 0 Το τριώνυμο έχει Δ = 9 1 = 1 < 0, άρα δεν έχει ρίζες. Η εξίσωση γίνεται x = 0 x = Άρα ο άξονας xx και η γραφική παράσταση της f τέμνονται στο σημείο (, 0) 5.ii) Να βρείτε τα σημεία τομής του άξονα xx και της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g( x ) = 4x x 1 Αναζητάμε τις τιμές του x για τις οποίες είναι g( x ) = 0, δηλαδή αναζητάμε τις ρίζες της εξίσωσης 4x x 1 = 0 Προφανής ρίζα ο Η εξίσωση γίνεται ( x 1)( 4x 4x 1) = 0 ( x 1)x 1 = 0 x 1 = 0 ή x + 1 = 0 x = 1 ή x = 1 1 x = 1 ή x = διπλή ρίζα Άρα ο άξονας xx και η γραφική παράσταση της g τέμνονται στο σημείο (1, 0) 1 και εφάπτονται στο, 0 9

40 6. Να βρείτε τα διαστήματα, στα οποία η γραφική παράσταση της 4 πολυωνυμικής συνάρτησης f( x ) = x 5x x x βρίσκεται κάτω από τον άξονα xx. Αναζητάμε τις τιμές του x για τις οποίες είναι f( x ) < 0, δηλαδή 4 x 5x x x < x ( x 5x x 1) < Η ανίσωση γράφεται x ( x 1)( x 4x 1) < 0 Δ = = Ρίζες του τριωνύμου x = 4 5 = 5 ή 5 Η ανίσωση γράφεται x ( x 1)[ x ( 5)][ x ( 5)] < 0 x f(x) Άρα τα ζητούμενα διαστήματα είναι ( 5, 0), (1, 5) 7.i) Να λύσετε την εξίσωση 4 Θέτουμε x y Η δοσμένη εξίσωση γίνεται α) y = 16 β) y = x 15x 16 = 0 y 15y 16 = 0 y = 16 ή y = 1 4 x = 16 x = ή x = 4 x = 1 που είναι αδύνατη 7.ii) Να λύσετε την εξίσωση x 1 6 9x 1 Θέτουμε x 1 = y Η δοσμένη εξίσωση γίνεται + 8 = 0 y 9y 8= 0 y = 8 ή y = 1 α) y = 8 x 1 = 8 x 1 = x = β) y = 1 x 1 = 1 x 1 = 1 x = 40

41 7.iii) Να λύσετε την εξίσωση x 6 x1 + 5 x x1 Περιορισμός: x 1 0 x 1 Θέτουμε x x 1 Η δοσμένη εξίσωση γίνεται 6y 5y 6 = 0 Δ = = 169 y = α) y = β) y = = = ή 18 = ή x x 1 = x = x + x = x x 1 = x = x 5x = x = 8. Να βρεθεί μια ρίζα της εξίσωσης προσέγγιση δεκάτου. 5 x 5x = 0 στο διάστημα (0, 1) με Θέτουμε f(x) = x 5x. Βρίσκουμε τις τιμές f ( 0,1 ), f ( 0, ),... ( 0,9 ). Διαπιστώνουμε ότι οι τιμές f ( 0,5 ), f ( 0,6 ) είναι ετερόσημες. Άρα η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (0,5, 0,6). Βρίσκουμε τις τιμές f ( 0,51 ), f ( 0,5 ),... ( 0,59 ). Διαπιστώνουμε ότι οι τιμές f ( 0,56 ), f ( 0,57 ) είναι ετερόσημες. Άρα η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (0,56, 0,57). Επομένως, η ζητούμενη ρίζα είναι ο αριθμός 0,60. 41

42 Β Oμάδας i) Να λύσετε την εξίσωση x x x = x x x = 0 x 5x x 8 = Οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι 1,, 4, Η εξίσωση γράφεται ( x 1)( x 6x 8) = 0 Δ = 6 = 4 Ρίζες του τριωνύμου: Ρίζες της εξίσωσης: 1,, = 6 = ή ii) Να λύσετε την εξίσωση x x x = x x x = 0 6x 5x 44x 15 = 0 6 Οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι 1,, 5, 15, διαιρέτες του Η εξίσωση γράφεται ( x )( 6x 1x 5 ) = 0 Δ = = Ρίζες του τριωνύμου: = 1 1 Ρίζες της εξίσωσης:,, = 4 1 ή 0 = 1 1 ή 5. Να βρείτε για ποιες τιμές των α, βϵr το Ρ(x) = 4 x x x 16x 1 έχει παράγοντες τους x + 1 και x. Στη συνέχεια να λύσετε την εξίσωση Ρ(x) = 0 x + 1 παράγοντας του Ρ(x) Ρ( 1) = = = 0 5 (1) 4

43 x παράγοντας του Ρ(x) Ρ() = = = = 8 = 7 () Λύνουμε το σύστημα των (1), () και βρίσκουμε α = 4 και β = 1 Για αυτές τις τιμές των α, β έχουμε Ρ(x) = x 4x x 16x Άρα Ρ(x) = ( x + 1)( x x 4x 1 ) Άρα Ρ(x) = ( x + 1)( x )( x 5x 6) Ρίζες του τριωνύμου:, Τελικά, οι ρίζες της εξίσωσης Ρ(x) = 0 είναι 1,,,.. Να βρείτε τις τιμές του k για τις οποίες, η εξίσωση x x kx = 0 έχει μία τουλάχιστον ακέραια ρίζα. Οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι 1,, διαιρέτες του. α) Όταν x = 1, τότε β) Όταν x = 1 τότε γ) Όταν x =, τότε δ) Όταν x =, τότε 1 1 k.1 = 0 k = ( 1) ( 1) k.( 1) = k + = 0 k = 1 k. = k + = 0 k = 1 k = 7 ( ) ( ) k.( ) = k + = 0 k = k = Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x x = 0, νϵn,, λϵn*, δεν έχει ακέραιες ρίζες. 4

44 Οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι 1,, διαιρέτες του. α) Όταν x = 1, τότε 1 1 = 0 λ = 1 λ = 1 άτοπο β) Όταν x = 1, τότε ( 1) ( 1) = 0 ) αν ν άρτιος τότε 1 λ = 0 λ = 1 λ = 1 1 άτοπο ) αν ν περιττός τότε 1 λ = 0 λ = λ = άτοπο γ) Όταν x =, τότε = 0 4λ = άτοπο, αφού τα δύο μέλη είναι ετερόσημα δ) Όταν x = -, τότε ( ) ( ) = 0 ( ) 4 = 0 4λ = ( ) δ 1 ) αν ν άρτιος τότε 4λ = άτοπο, αφού τα δύο μέλη είναι ετερόσημα δ ) αν ν περιττός τότε 4λ = + λ = 1 + άτοπο, αφού το δεύτερο μέλος δεν είναι ακέραιος Αν Ρ(x) = x 5x 10x k, να βρείτε τις τιμές του k για τις οποίες το x 1 είναι παράγοντας του Ρ(x). Για αυτές τις τιμές του k να λύσετε την εξίσωση Ρ(x) = 0. x 1 είναι παράγοντας του Ρ(x) Ρ(1) = k = k = 0 k = Η εξίσωση Ρ(x) = 0 γίνεται x 5x 10x 14 = 0 Θέτουμε x y, οπότε y 5y 10y 14 = Η εξίσωση γίνεται (y 1)( y 4y 14 ) = 0 Δ = = 7 Ρίζες του τριωνύμου y 4y 14 : 4 7 = 4 6 = + ή α) για y = 1, θα έχουμε β) για y = + θα έχουμε γ) y = θα έχουμε x 1 x = 1 ή x = 1 x = + x = x = άτοπο, αφού < 0 44

45 6. Για να κατασκευάσουμε ένα ανοικτό κουτί από ένα ορθογώνιο χαρτόνι με διαστάσεις 5dm και 9dm, κόβουμε ίσα τετράγωνα από κάθε γωνία του και γυρίζουμε προς τα πάνω τις πλευρές του. Να βρείτε τις διαστάσεις του κουτιού, αν είναι γνωστό ότι αυτές εκφράζονται σε dm με ακέραιους αριθμούς και ακόμη ότι ο όγκος του είναι 1 dm. Οι διαστάσεις του κουτιού θα είναι 9 x, 5 x, x και ο όγκος του (9 x)( 5 x) x = 1 4x 8x 45x 1 0 Οι πιθανές θετικές ακέραιες ρίζες και μικρότερες του 5 είναι οι διαιρέτες 1 και του σταθερού όρου Η εξίσωση γίνεται (x 1)( 4x 4x 1) = 0 Δ = = 40 που δεν είναι τέλειο τετράγωνο. Επομένως η εξίσωση δεν έχει άλλη ακέραια ρίζα εκτός του 1. Οι διαστάσεις του κουτιού είναι 1, 9.1 = 7, 5.1 =. 7. Η συγκέντρωση μιας χημικής ουσίας στο αίμα t ώρες μετά από ενδομυϊκή ένεση δίνεται από τον τύπο c = 4 t t. Η συγκέντρωση είναι μέγιστη, όταν t 50 t t 00t 00 = 0. Να υπολογίσετε με προσέγγιση δεκάτου το χρόνο t καθώς και τη μέγιστη συγκέντρωση. 4 t t 00t 00 = 0 Με δοκιμές μπορούμε να έχουμε 4 < ( 100) < 5 (4,6) < (4,64) < ( 100) < ( 100) < (4,7) (4,65) t (t + ) 100(t + ) = 0 (t + )( t 100) = 0 t + = 0 ή t 100 = 0 t = ή t = 100 t = (απορρίπτεται, t 0 ) ή t = 100 x x Επομένως ο χρόνος με προσέγγιση δεκάτου είναι t 4,6..(4,6) 4,6 Η μέγιστη συγκέντρωση είναι c = = ,16 4,6 150 = 68,08 0,

46 8. Αν ο όγκος του διπλανού σχήματος είναι 6 m, να βρείτε το x. Θα έχουμε την εξίσωση x. x. ( x + 1) = 6 x ( x + 1) 6 = 0 x x 6 = 0 Με επαλήθευση, ο είναι προφανής ρίζα 1 x x x Η εξίσωση γράφεται ( x )( x 4x 1 ) = 0 Δ = < 0, άρα το τριώνυμο δεν έχει ρίζες. Επομένως, η εξίσωση γράφεται x = 0 x = 9. Ένα παγόβουνο σύρεται από την Ανταρκτική προς την Αφρική. Αν ο όγκος του V, μετά από ν ημέρες, δίνεται από τον τύπο 500 V = ( ), να βρείτε μετά πόσο χρόνο το παγόβουνο θα λιώσει τελείως. 500 V = 0 ( ) = = 0 100(0 ν) + (0 ν) = 0 (0 ν)(100 + ) = 0 0 ν ν = 0 ημέρες. 10. Σε χρόνο t δευτερολέπτων μετά την πρόσκρουση φορτηγού σε κιγκλίδωμα του δρόμου, η παραμόρφωση σε mm του κιγκλιδώματος δίνεται από τον τύπο d = 15t( t 6t 9 ). Σε πόσο χρόνο μετά την πρόσκρουση η μπάρα του κιγκλιδώματος θα επανέλθει στην αρχική της θέση; Με την προϋπόθεση ότι η η παραμόρφωση αποκαθίσταται στον ίδιο χρόνο που συνέβη, θα πρέπει να λύσουμε την εξίσωση d = 0 15t( t 6t 9 ) = 0 t 6t 9 = 0. Με επαλήθευση, ο είναι προφανής ρίζα Η εξίσωση γράφεται ( t )( t t ) = 0 46

47 Δ = 9 1 = < 0, άρα το τριώνυμο δεν έχει ρίζες. Επομένως, η εξίσωση γράφεται t = 0 t = 11. Ένα πακέτο σχήματος (ορθογωνίου) παραλληλεπιπέδου, για να σταλεί με το ταχυδρομείο, πρέπει το άθροισμα του μήκους του με την περίμετρο μιας κάθετης τομής του να μην υπερβαίνει τα 108 cm. Να βρεθούν οι διαστάσεις του πακέτου, αν γνωρίζουμε ότι ο όγκος του είναι cm Θα έχουμε την εξίσωση xy = y = x και την ανίσωση y + 4x x 108 x x 108x y x x x 108x x 7x Με επαλήθευση βρίσκουμε ότι ο 9 είναι ρίζα του πολυωνύμου Η ανίσωση γράφεται ( x + 9)( x 6x 4 ) 0 ( x + 9)x 18 0 x ή x 18 = 0 x 9 ή x = 18 Οι τιμές x 9 δεν είναι δεκτές, αφού x > Άρα οι διαστάσεις είναι 18, 18 και y = = = 6 x i) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που περνάει από τα σημεία Α(1, ) και Β 1, 1. ii) Να αποδείξετε ότι η ευθεία αυτή τέμνει την καμπύλη y = x x για τα x που είναι ρίζες της εξίσωσης x x 5x = 0. iii) Να λύσετε την εξίσωση και να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής τους Γ. 47

48 i) Έστω ε : y x η ευθεία ΑΒ. = λ 1 + β λ = β 1 = λ 1 + β 1 = λ +β 1 = β + β β = λ = β = (- ) = + = 5 Άρα ε : y 5x ii) Οι συντεταγμένες των κοινών σημείων των δύο γραμμών είναι οι λύσεις του συστήματος των εξισώσεών τους y 5x και y = x x iii) x x x = 5x x 5x = Η εξίσωση γράφεται ( x 1)( x x ) = 0 Δ = = 16 Ρίζες του τριωνύμου: 4 = 1 ή. Παρατηρούμε ότι ο 1 είναι διπλή ρίζα της εξίσωσης, άρα το κοινό σημείο των δύο γραμμών με τετμημένη 1 είναι σημείο επαφής. Το σημείο τομής τους έχει τετμημένη και τεταγμένη y = 5.( ) = 18. Άρα Γ(, 18) 1. Ένα εργοστάσιο κατασκευάζει μικρά δοχεία για χυμούς φρούτων. Το τμήμα σχεδιασμού του εργοστασίου έλαβε τρεις παραγγελίες: x α) Ο πρώτος πελάτης θέλει κουτιά που να χωρούν 00ml και με διαστάσεις, που να διαφέρουν κατά 1cm. Να αποδειχθεί ότι το τμήμα έχει να λύσει την εξίσωση x x x 00 = 0. Μπορείτε να τους βοηθήσετε να βρουν το x με προσέγγιση ενός mm; β) Ο δεύτερος πελάτης θέλει τενεκεδάκια κυλινδρικά που να χωρούν 1lit και να έχουν ύψος 10cm μεγαλύτερο από το μήκος της ακτίνας τους. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση αυτή τη φορά είναι r 10r 18 = 0 και να βρεθεί το r με με προσέγγιση ενός mm. χυμός ροδάκινο x+1 r+10 χυμός μήλο r x+ γ) Ο τρίτος πελάτης ζήτησε κουτιά σε σχήμα τετραγωνικής πυραμίδας, που να χωρούν 50ml, με πλευρά βάσης 5cm μεγαλύτερη από το ύψος. Να βρεθεί η εξίσωση και στη συνέχεια μια κατά προσέγγιση τιμή του ύψους h (προσέγγιση χιλιοστού). χυμός αχλάδι h+5 h 48

49 α) Θα έχουμε την εξίσωση x ( x +1)( x +) = 00 x x x 00 = 0 Θέτουμε f(x) = x x x 00 Οι τιμές f(4) = 80, f(5) = 10 είναι ετερόσημες, άρα υπάρχει ρίζα x με 4 < x < 5 Οι τιμές f(4,9) = 0,5, f(5) = 10 είναι ετερόσημες, άρα υπάρχει ρίζα x με 4,9 < x < 5 Οι τιμές f(4,9) = 0,5, f(4,91) = 0,5 είναι ετερόσημες, άρα υπάρχει ρίζα x με 4,90 < x < 4,91 Άρα x 4,9 cm = 49 mm β) Θα έχουμε την εξίσωση π r (r + 10) = r 10r Θέτουμε g(r) = r 10r 18 r r 10r = 18 10r 18 = 0 Οι τιμές g(4) = 94, g(5) = 57 είναι ετερόσημες, άρα υπάρχει ρίζα r με 4 < r < 5 Οι τιμές g(4,6) = 9,07, g(4,7) = 6,7 είναι ετερόσημες, άρα υπάρχει ρίζα r με 4,6 < r < 4,7 Οι τιμές g(4,65) = 1,4, g(4,66) = 0,4 είναι ετερόσημες, άρα υπάρχει ρίζα r με 4,65 < r < 4,66 Άρα r = 4,7 cm = 47 mm γ) Θα έχουμε την εξίσωση Θέτουμε q(h) = 1 h 5 h = 50 ( h 10h 5) h = 750 h 10h 5h 750 = 0 h 10h 5h 750 Οι τιμές q(6) = 4, q(7) = 58 είναι ετερόσημες, άρα υπάρχει ρίζα h με 6 < h < 7 Οι τιμές q(6,0) = 4, q(6,1) = 1,58 είναι ετερόσημες, άρα υπάρχει ρίζα h με 6,0 < h < 6,1 Οι τιμές q(6,09) = 101, q(6,10) = 1,58 είναι ετερόσημες, άρα υπάρχει ρίζα h με 6,09 < h < 6,10 Άρα h = 6,1cm = 61mm 49

50 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Υπάρχουν εξισώσεις, οι οποίες δεν είναι πολυωνυμικές, αλλά με κατάλληλη διαδικασία η λύση τους ανάγεται στη λύση πολυωνυμικών 1. Να λυθεί η εξίσωση x + - = 0. Η εξίσωση ορίζεται για κάθε x R με x 0 και x 1/. Με αυτούς τους περιορισμούς έχουμε: x + - = 0 χ(χ-1)x + χ(χ-1) - χ(χ-1) = χ(χ-1) 0 x 4 - x + x - 1 = 0 x (x - 1) + x - 1 = 0 (x - 1)(x + 1) = 0 Η τελευταία εξίσωση έχει ρίζες τους αριθμούς 1/ και -1. Λόγω των περιορισμών δεκτή είναι μόνο η x = -1.. Να λυθεί η εξίσωση = x -. Η εξίσωση ορίζεται για x 0. Αν υψώσουμε και τα δυο μέλη της στο τετράγωνο, προκύπτει η εξίσωση x = x - 4x + 4, η οποία γράφεται x - 5x + 4 = 0 και έχει ως ρίζες τις x 1 = 4 και x = 1. Οι τιμές αυτές του x, αν και ικανοποιούν τον περιορισμό x 0 δεν είναι και οι δύο ρίζες της αρχικής εξίσωσης, Πράγματι αν θέσουμε τις τιμές αυτές στην αρχική εξίσωση, παίρνουμε: Για x = 4 : 4 = 4 - που είναι αληθής ισότητα. Για x = 1 : 1 = 1 - που δεν είναι αληθής ισότητα. Άρα η αρχική εξίσωση έχει ως μοναδική ρίζα την x = 4. ΣΧΟΛΙΟ Από το παραπάνω παράδειγμα προκύπτει ότι, αν υψώσουμε τα μέλη μιας εξίσωσης στο τετράγωνο, τότε η εξίσωση που προκύπτει μπορεί να έχει και άλλες ρίζες εκτός από τις ρίζες της αρχικής εξίσωσης. Είναι λοιπόν απαραίτητο σε τέτοιες περιπτώσεις να κάνουμε επαλήθευση των ριζών που βρίσκουμε και να απορρίπτουμε όσες από αυτές δεν επαληθεύουν την αρχική εξίσωση.. Να λυθεί η εξίσωση - x =. Η εξίσωση ορίζεται για κάθε x R με x - 7. Γι' αυτά τα x διαδοχικά έχουμε: (απομονώνουμε το ριζικό) = x + (υψώνουμε στο τετράγωνο) ( ) = (x + ) x + 7 = x + 4x + 4 x + x - = 0 Η τελευταία εξίσωση έχει ως ρίζες τους αριθμούς - και 1. Από τις ρίζες αυτές διαπιστώνουμε με επαλήθευση ότι μόνο η x = l είναι ρίζα της αρχικής. 50

51 4. Να λυθεί η εξίσωση - = 1. Η εξίσωση ορίζεται για τα x R, για τα οποία ισχύουν x και x + 4 0, δηλαδή για τα x -. Γι' αυτά τα x διαδοχικά έχουμε: (απομονώνουμε το ριζικό) = 1 + (υψώνουμε στο τετράγωνο) ( ) = (1 + ) x + 6 = x + 4 x + 1 = (υψώνουμε στο τετράγωνο) (x + 1) = 4(x + 4) x - x + 15 = 0 Η τελευταία εξίσωση έχει ως ρίζες τους αριθμούς - και 5. Από τις ρίζες αυτές διαπιστώνουμε με επαλήθευση ότι μόνο η x = 5 είναι ρίζα της αρχικής. ΣΧΟΛΙΟ Εξισώσεις όπως αυτές των, και 4, όπου παραστάσεις του x βρίσκονται κάτω από ριζικά, ανήκουν σε μια κατηγορία εξισώσεων που λέγονται ά ρ ρ η τ ε ς. Ανισώσεις της μορφής A(x)B(x) > 0 (<0) Όπως γνωρίζουμε το πηλίκο και το γινόμενο δύο αριθμών είναι ομόσημα. Επομένως : αφού, καμία από τις λύσεις της A(x) B(x) > 0 και της A(x) B(x) < 0 δεν μηδενίζει το Β(x). ΣΧΟΛΙΟ Μία ανίσωση της μορφής A(x) / B(x) 0 αληθεύει για εκείνους τους πραγματικούς αριθμούς x για τους οποίους ισχύουν συγχρόνως A(x) B(x) 0 και B(x) Να λυθεί η ανίσωση (x 4x + ) / (x + x 4) 0. Οι ρίζες του τριωνύμου x 4x + είναι οι 1 και, ενώ του τριωνύμου x + x 4 είναι οι 1 και 4. Περιορισμοί : χ 1 και χ -4 Συντάσσουμε τον πίνακα προσήμου του γινομένου : P(x) = (x 4x + )(x + x 4) 51

52 Άρα η ανίσωση αληθεύει όταν x (, 4) [,+ ). 5

Κεφάλαιο 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Κεφάλαιο 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Κεφάλαιο 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 4.1 πωλυωνυμα Η έννοια του πολυωνύμου Έστω x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε πραγματική τιμή. Καλούμε μονώνυμο του x κάθε παράσταση της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,... 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α

Διαβάστε περισσότερα

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου 4.1 Πολυώνυμα Η έννοια του πολυωνύμου ΟΡΙΣΜΟΙ 1. Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α R, ν N (σταθερές) και x R (μεταβλητή). 2. Πολυώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της

Διαβάστε περισσότερα

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου 4.1 Πολυώνυμα Η έννοια του πολυωνύμου ΟΡΙΣΜΟΙ 1. Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α R, ν N (σταθερές) και x R (μεταβλητή).. Πολυώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής:

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Οι Πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι είναι οι πραγματικοί αριθμοί ; Ποιοι είναι οι

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 4ος

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 4ος Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος 4ος Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου Πειραμ. Λυκείου Παπασταυρίδης Στάυρος

Διαβάστε περισσότερα

( ) Άρα το 1 είναι ρίζα του P, οπότε το x 1 είναι παράγοντάς του. Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x 1) είναι:

( ) Άρα το 1 είναι ρίζα του P, οπότε το x 1 είναι παράγοντάς του. Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x 1) είναι: ( x) Άρα το είναι ρίζα του P, οπότε το x είναι παράγοντάς του 4 Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x ) είναι: 3 π ( x) = x + x x + 3 Η ταυτότητα της προηγούμενης διαίρεσης είναι: 4 3 x 3x + 5x

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων

2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων ιαίρεση Πολυωνύμων Ταυτότητα διαίρεσης Όπως στους ακέραιους αριθμούς, έτσι και στα πολυώνυμα ισχύει η ταυτότητα της διαίρεσης Πιο συγκεκριμένα ισχύει ότι: Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων Δ ( ) και δ ( ), με

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoocom Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

4.2. ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

4.2. ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 4.. Η ταυτότητα της διαίρεσης A. Όπως στους ακέραιους αριθμούς, έτσι και στα πολυώνυμα ισχύει η ταυτότητα της διαίρεσης. Πιο συγκεκριμένα ισχύει ότι: Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων Δ(x) και δ(x), με δ(x) 0

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι:

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: κεφάλαιο 4 Α τριώνυμο επίλυση της εξίσωσης δευτέρου βαθμού Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: αx + βx + γ

Διαβάστε περισσότερα

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Ορισµός Ονοµάζουµε ακέραιο πολυώνυµο του x κάθε έκφραση της µορφής : α ν x ν + α ν-1 x ν-1 + α ν-2 x ν-2 + +α 1 x + α 0 όπου α ν, α ν-1, α ν-2,, α 1, α 0 C και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0 3 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 31 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΘΜΟΥ Οι ανισώσεις: α + β > 0 και α + β < 0 Γνωρίσαμε στο Γυμνάσιο τη διαδικασία επίλυσης μιας ανίσωσης της μορφής α β 0 ή της μορφής α β 0, με α και β συγκεκριμένους αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Λυμένα Παραδείγματα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Λυμένα Παραδείγματα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Λυμένα Παραδείγματα. Να βρεθούν οι τιμές του λ R για τις οποίες το πολυώνυμο Ρ () = (4λ -9) +(λ -λ-) +λ- είναι το μηδενικό. Το Ρ () θα είναι το μηδενικό πολυώνυμο, για εκείνες τις τιμές του λ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

Πολυώνυμα. Πολυωνυμικές εξισώσεις. Athens Επιμέλεια: Χατζόπουλος Μάκης. 14/2/2012

Πολυώνυμα. Πολυωνυμικές εξισώσεις. Athens Επιμέλεια: Χατζόπουλος Μάκης.  14/2/2012 Πολυώνυμα Πολυωνυμικές εξισώσεις Άλγεβρα 01 Β Λυκείου Athens 01 13 14//01 1. Περί πολυωνύμων (Α) Πολυώνυμα P x a x a x... a x a v v 1 Πολυώνυμο ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής: όπου a v, a v-1,,a

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

Δ = δπ + υ με υ < δ. (Ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης),

Δ = δπ + υ με υ < δ. (Ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης), ΜΕΡΟΣ Α 1.7 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 19 1. 7 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Διαίρεση πολυωνύμων Αν έχουμε δύο φυσικούς αριθμούς Δ (διαιρετέος) και δ (διαιρέτης) με δ και κάνουμε τη διαίρεση Δ : δ, τότε βρίσκουμε δύο άλλους

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση:

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις συµπλήρωσης 1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: Φυσική γλώσσα Μαθηµατική γλώσσα ύο αριθµοί x, y διαφέρουν κατά και έχουν γινόµενο x (x

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Για ποιες τιµές του, αν υπάρχουν, ισχύει κάθε µία από τις ισότητες α. log = log( ) β. log = log γ. log 4 log = Να λυθεί η εξίσωση 4 log ( ) + = 0 6 α) Θα πρέπει > 0 και > 0,

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρα Β-Λυκείου (2ο πακέτο ασκήσεων) 1 22630 Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = 3 x με x R. α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. ίνεται το Ρ(x) αν το ρ είναι ρίζα Ρ(2x) 2x τότε το ρ είναι ρίζα του Ρ( Ρ(2x)) 2x.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. ίνεται το Ρ(x) αν το ρ είναι ρίζα Ρ(2x) 2x τότε το ρ είναι ρίζα του Ρ( Ρ(2x)) 2x. ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ίνονται τα πολυώνυµα Ρ (x), Ρ (x), Ρ (x) αν τα πολυώνυµα Ρ (x) και Ρ (x) δεν έχουν κοινή ρίζα και ισχύει : ( Ρ (x)) + (Ρ (x)) = (Ρ (x)) για κάθε x R να δείξετε ότι το Ρ (x) δεν έχει πραγµατική

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

4.2 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 4 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΩΡΗΜΑ (ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΔΙΑΙΡΕΣΗΣ) Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων ( και ( με ( 0 υπάρχουν δυο μοναδικά πολυώνυμα ( και (, τέτοια ώστε : ( ( όπου το ( ή είναι το μηδενικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 1 : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Για να λύσω μια ανίσωση της μορφής : 0 ή 0 1 ος τρόπος : Λειτουργώ όπως και στις εξισώσεις πρώτου βαθμού, δηλαδή χωρίζω γνωστούς από αγνώστους, και

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Πολυώνυμα-Πολυωνυμικές

Πολυώνυμα-Πολυωνυμικές Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 2 ο Πολυώνυμα-Πολυωνυμικές εξισώσεις 2.1 Πολυώνυμα Η έννοια του πολυωνύμου Έστω χ μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε πραγματική τιμή. Καλούμε μονώνυμο του χ κάθε παράσταση της

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Γ Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή : α+β=0 ή α=-β () λέγεται εξίσωση ου βαθμού (ή πρωτοβάθμια εξίσωση), με άγνωστο το, ενώ

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 Α ν ι σ ω σ η 1 ο υ β α θ μ ο υ 3. Να δειχτει οτι α + 110 0α. Ποτε ισχυει το ισον; Μορφη: αx + β > 0 με α,β. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ Αν α > 0

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε.

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 55) Μαθηματικά για την Α τάξη του Λυκείου Το τριώνυμο f(x) = α x + β x + γ, α Κώστα Βακαλόπουλου, Νίκου Ταπεινού Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) αx βx γ,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Α Σύνολα αριθμών Για τα σύνολα των αριθμών γνωρίζουμε ότι N Z Q R. ) Το N= { 0,,,,... } είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών. ) Το Z = { 0, ±, ±, ±,... } είναι το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Ανισώσεις Α Βαθμού -Εφαρμογές στις Ανισώσεις

Ανισώσεις Α Βαθμού -Εφαρμογές στις Ανισώσεις 1 Ανισώσεις Α Βαθμού -Εφαρμογές στις Ανισώσεις Ανίσωση με έναν άγνωστο ονομάζουμε κάθε ανισότητα που περιέχει μια μεταβλητή και η οποία αληθεύει για ορισμένες τιμές της μεταβλητής. Πχ: Οι x + > 7, 2(y

Διαβάστε περισσότερα

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ klzxcvλοπbnαmqwertyuiopasdfghjklz ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ xcvbnmσγqwφertyuioσδφpγρaηsόρ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού 108 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθµό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 0 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός . ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΟΜΟΣΗΜΩΝ- ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ Σε ομόσημους κάνω πρόσθεση και βάζω το κοινό

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου Θέμα Α. Αν α>0 με α, τότε για οποιουσδήποτε θ, θ,θ>0 και κ ισχύει log (θ θ ) log θ log θ Μονάδες 8 α α α Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

- 1 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

- 1 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ http://mathhmagic.blogspot.com - ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ν Μονώνυμο του χ ονομάζουμε κάθε αλγεβρική παράσταση της μορφής α χ με χ R και ν Ν. Πολυώνυμο του χ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες)

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) Θέμα 1 Θέματα A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) B. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: i) Ο βαθμός του υπολοίπου της διαίρεσης P(x)

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( x) α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της x x x x β Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν γ Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο x x f ( x), να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2001

Άλγεβρα Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2001 Άλγεβρα Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα ο Α.. Α.. Έστω η πολυωνυµική εξίσωση α ν x ν + α ν- x ν- +... + α x + α 0 0, µε ακέραιους συντελεστές. Αν ο ακέραιος ρ 0 είναι ρίζα της εξίσωσης,

Διαβάστε περισσότερα

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7].

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( ) α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β. Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν. γ. Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο f ( ), να δείξετε ότι αβ+=0.

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Ενότητα 2 η Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 11. Α. Αν α > 0 µε α 1 τότε για οποιουσδήποτε πραγµατικούς αριθµούς θ 1, θ 2 > 0 να αποδείξετε ότι log α (θ 1 θ 2 ) = log α θ 1 + log α θ 2 Β. Έστω το σύστηµα Σ : α1x +

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Βασικές Γνώσεις Άλγεβρας. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Βασικές Γνώσεις Άλγεβρας. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 1: Βασικές Γνώσεις Άλγεβρας Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο :.2 -.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων Πολλαπλασιασμός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 112 114

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 112 114 1. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 11 11 A Ομάδας 1. Να μετατρέψετε σε γινόμενα παραγόντων τα τριώνυμα: x 3x + x 3x Δ ( 3). 1. 9 8 1 > 0 Ρίζες: x Άρα ( 3) 1.1 3 1 3 1 ή 31 x 3x +

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Μεθοδική Επανάληψη

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Μεθοδική Επανάληψη Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Μεθοδική Επανάληψη Στέλιος Μιχαήλογλου www.askisopolis.gr Η επανάληψη των Μαθηματικών βήμα - βήμα Άλγεβρα Κεφάλαιο 1ο: Αλγεβρικές παραστάσεις 1.1. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Email : stvrentzou@gmail.com www.ma8eno.gr

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Email : stvrentzou@gmail.com www.ma8eno.gr 1 Πρόσημο τριωνύμου - λύση ανίσωσης ου βαθμού Έστω το τριώνυμο f(x) = x - 4x - 1. Θέλουμε να εξετάσουμε για ποιες τιμές της μεταβλητής x το τριώνυμο f(x) γίνεται θετικό, για ποιες τιμές του x γίνεται αρνητικό,

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 16950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα