K. Μυλωνάκης Αλγεβρα B Λυκείου
|
|
- Πολύμνια Γερμανός
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Ονομάζουμε μονώνυμο του x κάθε πραγματικό αριθμό ή κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α είναι πραγμ. αριθμός και ν ένας θετικός ακέραιος. Π.χ. οι παραστάσεις 2χ 4, -3χ 2, 7 είναι μονώνυμα του χ. Ονομάζουμε πολυώνυμο του x κάθε παράσταση της μορφής : P (x) = α ν x ν + α ν-1 x ν α 1 x+α 0 όπου α 0,α 1,α 2,,α ν είναι πραγμ. αριθμοί και ν ένας φυσικός αριθμός. Π.χ. η παράσταση -5χ 4 +3χ 2-2χ+7 είναι πολυώνυμο του χ. Οι αριθμοί α 0,α 1,α 2,,α ν λέγονται συντελεστές του πολυωνύμου. Ο α 0 λέγεται σταθερός όρος του πολυωνύμου. Πολυώνυμα πού έχουν μόνο τον σταθερό όρο λέγονται σταθερά πολυώνυμα. Το σταθερό πολυώνυμο P (x) =0 λέγεται μηδενικό πολυώνυμο.(όλοι οι συντελεστές του είναι 0). Δύο πολυώνυμα λέγονται ίσα όταν οι συντελεστές των ομοιοβαθμίων όρων είναι ίσοι. Το πολυώνυμο P (x) = α ν x ν + α ν-1 x ν α 1 x+α 0, αν είναι α ν 0, τότε λέμε ότι ο βαθμός του είναι ν. Το σταθερό πολυώνυμο έχει βαθμό 0, ενώ δεν ορίζεται ο βαθμός του μηδενικού πολυωνύμου. Έστω το πολυώνυμο P (x) = α ν x ν + α ν-1 x ν α 1 x+α 0. Το P(ρ) = α ν ρ ν + α ν-1 ρ ν α 1 ρ+α 0 λέγεται αριθμητική τιμή του πολυωνύμου για x=ρ. Tο σταθερό πολυώνυμο παίρνει πάντα την ίδια τιμή, για όλες τις τιμές του x. Tα ίσα πολυώνυμα παίρνουν ίσες τιμές, για όλες τις τιμές του x. Αν είναι Ρ(ρ)=0 τότε το ρ λέγεται ρίζα του Ρ(x). ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Ταυτότητα της διαίρεσης Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων Δ(x) και δ(x)0 υπάρχουν δύο μοναδικά πολυώνυμα π(x) και υ(x), τέτοια ώστε: Δ(x)=δ(x)π(x)+υ(x), όπου υ(x) ή είναι το μηδενικό πολυώνυμο ή έχει βαθμό μικρότερο από το βαθμό του δ(x). Το Δ(x) λέγεται διαιρετέος, το δ(x) διαιρέτης και το υ(x) υπόλοιπο της διαίρεσης. (Η διαδικασία προσδιορισμού του πηλίκου και του υπολοίπου μιας διαίρεσης περιγράφεται στη σελίδα 66 του σχολικού βιβλίου). Τέλεια διαίρεση Αν σε μια διαίρεση είναι υ(x)=0 τότε η διαίρεση λέγεται τέλεια και τότε η ταυτότητα γράφεται Δ(x)=δ(x)π(x). Λέμε τότε ότι το δ(x) διαιρεί το Δ(x) ή ότι το δ(x) είναι παράγοντας του Δ(x) ή ότι το δ(x) είναι διαιρέτης του Δ(x) ή ότι το Δ(x) διαιρείται με το δ(x). 43
2 Διαίρεση πολυωνύμου με x-ρ ΘΕΩΡΗΜΑ 1. Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) με το x-ρ είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για x=ρ. Είναι δηλαδή υ=ρ(ρ). ΘΕΩΡΗΜΑ 2. Το πολυώνυμο Ρ(x) έχει παράγοντα το x-ρ, αν και μόνο αν το ρ είναι ρίζα του Ρ(x), Δηλαδή: Ρ(x)=(x-ρ) π(x) Ρ(ρ)=0. Η διαίρεση πολυωνύμου με το x-ρ γίνεται ευκολότερα με το σχήμα Horner που είναι ένας πίνακας όπως στο παρακάτω παράδειγμα: (3x 4-2x 3-5x+4) : (x-2) Συντελεστές του διαιρετέου Ρ(x) ρ= Στην πρώτη γραμμή γράφουμε τους συντελεστές του Ρ(x) και στην πρώτη θέση της τρίτης γραμμής τον πρώτο συντελεστή του Ρ(x). Κάθε στοιχείο της δεύτερης γραμμής προκύπτει με πολ/σμό του αμέσως προηγούμενου στοιχείου της τρίτης γραμμής επί το ρ. Κάθε άλλο στοιχείο της τρίτης γραμμής προκύπτει σαν άθροισμα στοιχείων της πρώτης και δεύτερης γραμμής. Το τελευταίο στοιχείο της τρίτης γραμμής είναι το υπόλοιπο υ του Ρ(x) με το x-ρ ενώ τα στοιχεία της τρίτης γραμμής είναι οι συντελεστές του πηλίκου π(x). Στην παραπάνω διαίρεση επομένως θα είναι υπόλοιπο υ=26 και πηλίκο π(x)=3x 3 +4x 2 +8x+11. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1. Το Ρ(x)= x ν -α ν έχει πάντα παράγοντα το x-α για κάθε θετικό ακέραιο ν και μάλιστα ισχύει: x ν -α ν =(x-α)(x ν-1 +x ν-2 α+x ν-3 α 2 + +α ν-1 ). 2. Το Ρ(x)= x ν +α ν έχει πάντα παράγοντα το x+α μόνο αν ν είναι περιττός φυσικός και μάλιστα ισχύει: x ν +α ν =(x+α)(x ν-1 -x ν-2 α+x ν-3 α 2 - +α ν-1 ). ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζουμε κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν + α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0, α ν 0. Ρίζα της παραπάνω πολυωνυμικής εξίσωσης λέγεται κάθε αριθμός ρ που την επαληθεύει δηλαδή κάθε ρίζα του πολυωνύμου P (x) = α ν x ν + α ν-1 x ν α 1 x+α 0. Για να προσδιορίσουμε τις ρίζες μιας πολυωνυμικής εξίσωσης παραγοντοποιούμε το Ρ(x) δημιουργώντας πρωτοβάθμιους, δευτεροβάθμιους και άλλους παράγοντες των οποίων είναι δυνατό να βρούμε τις ρίζες και το πρόσημο. Με ανάλογο τρόπο εργαζόμαστε και στην περίπτωση που θέλουμε να λύσουμε μια πολυωνυμική ανίσωση. Στην διαδικασία αυτή μας διευκολύνει το παρακάτω θεώρημα. ΘΕΩΡΗΜΑ (ακεραίων ριζών) Έστω η πολυωνυμική εξίσωση α ν x ν + α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0, με ακέραιους συντελεστές. Αν ο ακέραιος ρ0 είναι ρίζα της εξίσωσης, τότε ο ρ είναι διαιρέτης του σταθερού όρου α 0. 44
3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ-ΠΡΑΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ 1. Το πολυώνυμο P (x) = 3 (x - 1) 2-3x είναι: Α. μηδενικού βαθμού Β. πρώτου βαθμού Γ. δευτέρου βαθμού Δ. το μηδενικό πολυώνυμο Ε. τρίτου βαθμού 2. Αν το πολυώνυμο P (x) = (λ 2-4) x 2 + (λ - 2) x - (λ + 2), λ R είναι πρώτου βαθμού τότε το λ μπορεί να είναι: Α. - 2 Β. - 1 Γ. 0 Δ. 1 Ε Το πολυώνυμο P (x) = (λ 2-1) x 3 + (1 - λ) x 2 - (λ + 1) x + λ + 8 είναι σταθερό πολυώνυμο, όταν το λ ισούται με: Α. 1 Β. 0 Γ. 1 Δ. για κάθε λ R Ε. για καμία τιμή του λ R. 4. Το πολυώνυμο P (x) = (λ 5-1) x 3 + (λ 2-3λ + 2) x + λ - 1 είναι το μηδενικό πολυώνυμο όταν ο πραγματικός αριθμός λ ισούται με: Α. - 1 Β. 0 Γ. 1 Δ. - 5 Ε Αν το πολυώνυμο P(x) = (λ ν - 1) x 5 + (1 - λ) x + 8, λ R είναι μηδενικού βαθμού, τότε το πολυώνυμο q(x) = (λ 3-1) x 3 - (1 - λ 2 ) x 2 + (λ + 1) x - (1 - λ) είναι: Α. τρίτου βαθμού Β. δευτέρου βαθμού Γ. πρώτου βαθμού Δ. μηδενικού βαθμού Ε. το μηδενικό πολυώνυμο 6. Τα πολυώνυμα P(x) = x 3 - βx + 5 και Q(x) = x 3 + βx β, β R είναι ίσα όταν ο β ισούται με: Α. - 1 Β. 0 Γ. 1 Δ. 5 Ε Αν τα πολυώνυμα P (x) = λ ν+1 x ν + (2λ - 3) x 2 + x 1 και q (x) = λx x 2 + x - (λ + 1) είναι ίσα, τότε ο πραγματικός αριθμός λ είναι: Α. 1 Β. - 1 Γ. 0 Δ Ε. κάθε πραγματικός αριθμός. 8. Το πολυώνυμο P (x) = α ν x ν + α ν-1 x ν α 0 έχει για ρίζα το μηδέν. Τότε για το α 0 ισχύει: Α. α 0 > 0 Β. α 0 < 0 Γ. α 0 = α ν Δ. α 0 = 0 Ε. κανένα από τα προηγούμενα. 9. Έστω Ρ (x) σταθερό πολυώνυμο και Ρ (2) = 5. Τότε το Ρ (- 2) ισούται με: Α. 5 Β. - 5 Γ. 2 Δ. - 2 Ε. 0 45
4 10. Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι ψευδής: Α. Αν Ρ (ρ) = 0 τότε το ρ είναι ρίζα του Ρ (x) Β. Κάθε σταθερό και μη μηδενικό πολυώνυμο έχει βαθμό 0 Γ. Για το μηδενικό πολυώνυμο δεν ορίζεται βαθμός Δ. Ο βαθμός του γινομένου δυο μη μηδενικών πολυωνύμων είναι ίσος με το γινόμενο των βαθμών των πολυωνύμων αυτών. Ε. Τα ίσα πολυώνυμα έχουν ίσες τιμές για όλες τις τιμές του x 11. Δίνεται το πολυώνυμο Ρ (x) = x Αν Ρ (α ) = 1, τότε για τον πραγματικό αριθμό α ισχύει: Α. α > 1997 Β. α > 1998 Γ. α = 1997 Δ. α = Ε. κανένα από τα προηγούμενα. 12. Αν για το πολυώνυμο Ρ (x) ισχύει: (x 2-1). P (x) = x 6-2x 4 + 5x - 8, τότε το Ρ (x) είναι: Α. τρίτου βαθμού Β. τέταρτου βαθμού Γ. πέμπτου βαθμού Δ. έκτου βαθμού Ε. κανένα από τα προηγούμενα ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να βρεθεί η τιμή του λ R για την οποία το πολυώνυμο: P (x) = (λ + 2) x 3 - (λ 2 + λ - 2) x + λ 2 4 να είναι το μηδενικό πολυώνυμο. 2. Να δειχθεί ότι το πολυώνυμο P (x) = (κ - 2) x 2 + (2λ + 6) x + κ + λ 3 είναι διάφορο του μηδενικού. 3. Να βρεθεί για ποιες τιμές των κ, λ, μ είναι ίσα τα πολυώνυμα: P (x) = λx 2 - (λ - κ) x + μ - 2λ και Q (x) = (μ - λ) x 2 + 4x + κ + λ. 4. Να δειχθεί ότι για κάθε κ R το πολυώνυμο P (x) = (κ - 1) x 5 + (3κ 2 + 2) x 3 + κx δεν έχει ρίζα το Αν το πολυώνυμο P (x) = x 2 + (α - 1) x + 2α έχει ρίζα το 1, αποδείξτε ότι το ίδιο ισχύει και για το Κ (x) = x 3 + 4x 2 + (α 2-1) x. Το αντίστροφο ισχύει; 6. Να βρεθεί πολυώνυμο P (x) για το οποίο ισχύει: (x 2 + 1) P (x) = 3x 5 + 2x 4 + x 3 - x 2-2x Δίνεται το πολυώνυμο Ρ (x) = x 2 + 2x + 5. Να προσδιοριστεί ο πραγματικός αριθμός α αν ισχύει: Ρ (α - 1) =
5 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ 1. Αν ένα πολυώνυμο Ρ (x) έχει ρίζες τους αριθμούς 2 και - 1, τότε διαιρείται με τα : Α. x - 2 και x - 1 Β. x + 2 και x - 1 Γ. x + 2 και x + 1 Δ. x - 2 και x + 1 Ε. 2x - 1 και 2x Αν η διαίρεση ενός πολυωνύμου Ρ (x) με το διώνυμο 2x + 1 είναι τέλεια, τότε το Ρ (x) έχει ρίζα του τον αριθμό: Α. 2 Β. - 2 Γ. 1 Δ Ε Αν ένα πολυώνυμο 5ου βαθμού διαιρείται με ένα 3ου βαθμού, το πηλίκο είναι: Α. το πολύ δευτέρου βαθμού Β. τουλάχιστον δευτέρου βαθμού Γ. ακριβώς δευτέρου βαθμού Δ. ακριβώς τρίτου βαθμού Ε. τουλάχιστον τρίτου βαθμού. 4. Αν σε μια διαίρεση πολυωνύμων που δεν είναι τέλεια, ο διαιρέτης είναι τρίτου βαθμού, τότε το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι: Α. τουλάχιστον τρίτου βαθμού Β. ακριβώς τρίτου βαθμού Γ. ακριβώς δευτέρου βαθμού Δ. το πολύ δευτέρου βαθμού Ε. τουλάχιστον δευτέρου βαθμού. 5. Το πολυώνυμο Ρ (x) = x 8 + x 4 + x το διαιρούμε με το διώνυμο x - ρ. Αν είναι υ το υπόλοιπο αυτής της διαίρεσης, τότε: Α. υ > 0 Β. υ < 0 Γ. υ = 0 Δ. υ 0 Ε. κανένα από τα προηγούμενα. 6. Αν ένα πολυώνυμο Ρ (x) διαιρούμενο με το Q (x) δίνει υπόλοιπο 0 [ο βαθμός του P (x) είναι μεγαλύτερος του βαθμού του Q (x)], τότε: Α. Κάθε ρίζα του Ρ (x) είναι και ρίζα του Q (x) Β. Αν ρ δεν είναι ρίζα του Q (x) τότε δεν είναι ρίζα και του Ρ (x) Γ. Ο ρ είναι ρίζα του Q (x) αν και μόνο αν ο ρ είναι ρίζα του Ρ (x) Δ. Κάθε ρίζα του Q (x) είναι και ρίζα του Ρ (x) Ε. Το Ρ (x) έχει ρίζες μόνο τις ρίζες του Q (x). 7. Για ποιο από τα παρακάτω πολυώνυμα μπορείτε με βεβαιότητα και χωρίς δοκιμή να πείτε ότι δεν μπορεί να έχει παράγοντα της μορφής x - ρ; Α. x 3-2x 2 + x 1 Β. 4x 5-1 Γ. 2x 4 - x 2 + x - 7 Δ. x 6 - x 4 + 2x 2-9 Ε. x 8 + 2x Το πολυώνυμο Ρ (x) (βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του τρία) διαιρείται με το (x - ρ) 3 και η διαίρεση είναι τέλεια. Το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ (x) : (x - ρ) είναι: Α. - 3 Β. - 1 Γ. 0 Δ. 1 Ε. 3 47
6 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να γίνουν οι διαιρέσεις: α) (2x 5 - x 3 + 2x 2-9) : (x 2-1) β) (x 4-7x 3 + 2x - 15) : (x 3 + 5) γ) (3x 3-4αx + α 2 ) : (x - 2α) δ) [7x 3 - (9α + 7α 2 ) x + 9α 2 ] : (x - α) 2. Να βρείτε το πολυώνυμο f (x) το οποίο όταν διαιρεθεί με το x 2 + 1, δίνει πηλίκο 3x - 1 και υπόλοιπο 2x Αν το πολυώνυμο f (x) = x 3 + αx 2 + βx + 4 διαιρείται ακριβώς με το x - 2 και εάν επιπλέον f (1) = 8, να προσδιοριστούν τα α, β. 4. Δίνεται το πολυώνυμο Ρ (x) = 2x 3 + αx 2-13x + β. Αν το Ρ (x) διαιρείται με το x 2 - x - 6, να προσδιορίσετε τα α, β R. 5. Δίνεται το πολυώνυμο Ρ (x) = λ 2 x (λ 2-3λ + 1) x - 3 (4λ + 1). Δείξτε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ (x) : (x + 2) είναι ανεξάρτητο του λ. 6. Να αποδείξετε ότι αν το πολυώνυμο Ρ (x) έχει παράγοντα το x - 5, τότε το πολυώνυμο P (2x - 3) έχει παράγοντα το x Με τη βοήθεια του σχήματος Horner να βρείτε τα πηλίκα και τα υπόλοιπα των διαιρέσεων: α) (x 3-2x 2 + 5x - 6) : (x - 2) β) (2x 5 - x 4 + 6x 2 + 3) : (x + 1) γ) [6x 3 - (2α + 6α 2 ) x + 3α 2 ] : (x - α), α R 8. Να προσδιοριστούν οι πραγματικοί αριθμοί κ, λ ώστε το πολυώνυμο P (x) = x 3 - κx 2 + (λ - 1) x + 5 να έχει για παράγοντα το (x - 1) (x + 2). 9. Να προσδιοριστούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β ώστε το πολυώνυμο P (x) = x 3 - x 2 - (3 + α) x + β + 10 να έχει για παράγοντα το (x - 2) Το πολυώνυμο P (x) διαιρούμενο με x - 2 αφήνει υπόλοιπο 10 και διαιρούμενο με x + 3 αφήνει υπόλοιπο 5. Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ (x) με το (x - 2) (x + 3). 11. Το πολυώνυμο P (x) διαιρούμενο με x + 2 αφήνει υπόλοιπο 3 και διαιρούμενο με x 2-4x + 3 αφήνει υπόλοιπο 2x + 7. Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης: Ρ (x) : (x + 2) (x 2-4x + 3). 12. Αν το πολυώνυμο P (x) = αx ν+1 + βx ν + 1 έχει παράγοντα το (x - 1) 2 αποδείξτε ότι το πολυώνυμο Q(x)=(ν + 1) αx ν + νβx ν-1 έχει παράγοντα το x
7 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1. Ποια από τις παρακάτω εξισώσεις δεν έχει ρίζα ακέραιο αριθμό: Α. x 2-5x + 6 = 0 Β. x 3-2x 2 + x - 2 = 0 Γ. 3x 4-2x 3 + x - 2 = 0 Δ. 3x 4 + x = 0 Ε. 2x 3 + x + 3 = 0 2. Ποιας συνάρτησης η γραφική παράσταση αποκλείεται να τέμνει τον άξονα x x: Α. f (x) = (x - 2) 2 + 2x - 4 Β. g (x) = x 3-3x Γ. h (x) = x 4-3x Δ. k (x) = x 5-5x + 4 Ε. Φ (x) = (x + 1) 4 + x Για ποιας συνάρτησης τη γραφική παράσταση μπορείτε να πείτε με βεβαιότητα και χωρίς καμιά δοκιμή ότι βρίσκεται ολόκληρη πάνω από τον άξονα x x: Α. f (x) = x 3-3x 2 + x + 2 Β. g (x) = x 2-5x Γ. h (x) = (x 3-1) 2 + x 4 Δ. k (x) = (x - 1) 2-2 Ε. Φ (x) = x 4 + x Η εξίσωση x 3-3x 2 + κx + 2 = 0, κ Ζ αποκλείεται να έχει ακέραια ρίζα τον αριθμό: Α. - 1 Β. 1 Γ. - 2 Δ. 2 Ε Αν η εξίσωση x 3 + βx 2 - x + α = 0, α, β Ζ, έχει ρίζα το 3, τότε ο α αποκλείεται να ισούται με: Α. 6 Β. 10 Γ. 12 Δ. 15 Ε Η εξίσωση 3 - x = x + κ, κ R* αποκλείεται να έχει ρίζα τον αριθμό: Α. 1 Β. - 1 Γ. 2 3 Δ. 4 Ε Για να δεχθούμε το ρ για ρίζα της εξίσωσης 5 - x = κ 2 x, κ R* πρέπει: Α. ρ (0, + ) Β. ρ (-, 0) Γ. ρ [5, + ) Δ. ρ (-, 5] Ε. ρ [0, 5] 8. Αν η εξίσωση x κ - x = 5 έχει οπωσδήποτε λύση, ποια τιμή δεν μπορεί να πάρει ο κ R*; Α. 2 Β. 3 Γ. 4 Δ. 5 Ε. 6 49
8 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) x 3-8x + 7 = 0 β) x 4-6x 3 +10x 2-6x +9 = 0 γ) 2x 3-9x 2 +12x-5 = 0 δ) (x+3) 3 = 2x 2 +6x ε) x 5 -x 4-7x 3 +11x 2-8x + 12 = 0 2. Αν κ ακέραιος αριθμός να δειχθεί ότι η εξίσωση: 5x 2ν + 9κx - 1 = 0 δεν έχει ακέραιες ρίζες. 3. Να λυθούν οι ανισώσεις: α) x 3-2x 2 - x + 2 > 0 β) x 3 + 3x 5x 2 9 γ) 3x 4 - x 3 +x-3 0 δ) x 4 4x 3 +7x 2-12x+120 ε) x 3 3x 2 4x + 12 < 0 4. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x 6-9x = 0 β) (x 2 + 3x - 2) 6-9 (x 2 + 3x - 2) = 0 γ) (x + 2) 8-3 (x + 2) 4 x = 0 δ) ( ) 2-5 ( x - 1 x x ) + 6 = Δίνεται η εξίσωση x 5 + x 4 + κx + λ = 0. Να προσδιοριστούν οι κ, λ ώστε το πολυώνυμο να έχει ρίζα το - 1 με πολλαπλότητα 2 (διπλή ρίζα). Μετά να βρεθούν και οι άλλες ρίζες της εξίσωσης. 6. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) x x x + 2 x + 1 = 2 2 x - 1 β) x 2 + 2x - 4 x Να λυθούν οι ανισώσεις: α) x 3 + 2x - 4 x - 2 < 1 β) 1 x x 3 3 x 2 = x 2 γ) x 2 1 x 2 + x -1 x x 4x 1 2 x Να λυθούν οι εξισώσεις: α) (2ημx - 1) (2ημx - 1) 2-7 = 0 β) 2ημ 3 x + 5ημ 2 x + 5ημx + 2 = 0 γ) 2συν 4 x - 5συν 3 x + 5συνx - 2 = 0 9. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) x + 5x + 10 = 8 β) x - 2 = x + 1 γ) x - 8 = 2 + x δ) x + x + 32 = 16 ε) 2 + x - 5 = 13 - x στ) x 2 x 3 4x Να λυθούν οι εξισώσεις: α) x 4-4x 3 + 6x 2-4x + 1 = 0 β) 6x x x 2-25x + 6 =
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος
Κεφάλαιο ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος 1. * Οι πραγματικοί αριθμοί είναι σταθερά πολυώνυμα. Σ Λ. * Το σταθερό πολυώνυμο 0 λέγεται μηδενικό πολυώνυμο. Σ Λ 3. * Κάθε σταθερό και μη μηδενικό
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος
Κεφάλαιο 2ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος 1. * Οι πραγματικοί αριθμοί είναι σταθερά πολυώνυμα. Σ Λ 2. * Το σταθερό πολυώνυμο 0 λέγεται μηδενικό πολυώνυμο. Σ Λ 3. * Κάθε σταθερό και μη μηδενικό
1. Το πολυώνυµο P (x) = 3 (x - 1) 2-3x είναι Α. µηδενικού βαθµού Β. πρώτου βαθµού Γ. δευτέρου βαθµού. το µηδενικό πολυώνυµο Ε.
Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Το πολυώνυµο P (x) = 3 (x - 1) 2-3x 2 + 5 είναι Α. µηδενικού βαθµού Β. πρώτου βαθµού Γ. δευτέρου βαθµού. το µηδενικό πολυώνυµο Ε. τρίτου βαθµού 2. Αν το πολυώνυµο P (x)
9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων
4ο Κεφάλαιο 9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμοί Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής ν αx όπου α R, * ν N και x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε
Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:
Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Να αναγνωρίζει πότε μια αλγεβρική παράσταση της πραγματικής μεταβλητής x, είναι πολυώνυμο και να διακρίνει τα στοιχεία του: όροι, συντελεστές, σταθερός
Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...
3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α
Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Συνοπτική Θεωρία Ασκήσεις της Τράπεζας Θεμάτων Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Συντακτική ομάδα mathp.gr Συντονισμός
β) Αν επιπλέον το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι υ(x) = - 3x + 5, τότε να βρείτε το Δ(x). (Απ. α) 5 ος β) Δ(x) = x 5 5x 4 + 6x 3 + 4x 2 11x + 5)
ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ B Λυκείου Γενικής Παιδείας Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 4ο - Φ Υ Λ Λ Ο Νο 2 Δ Ι Α Ι Ρ Ε Σ Η ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ένα πολυώνυμο Δ(x),
2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ
4.2. ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ
4.. Η ταυτότητα της διαίρεσης A. Όπως στους ακέραιους αριθμούς, έτσι και στα πολυώνυμα ισχύει η ταυτότητα της διαίρεσης. Πιο συγκεκριμένα ισχύει ότι: Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων Δ(x) και δ(x), με δ(x) 0
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΙΜΗ,ΠΡΑΞΕΙΣ,ΙΣΟΤΗΤΑ) P( x) ( 4) x ( 8) x ( 5 6) x 16 είναι το μηδενικό πολυώνυμο.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΙΜΗ,ΠΡΑΞΕΙΣ,ΙΣΟΤΗΤΑ) 1. Δίνονται τα πολυώνυμα: P ( x) x x, Q( x) x x 1. Να βρεθούν: a) P( x) Q( x) ) P( x) Q( x) ) P( x) Q( x). Να βρεθεί η τιμή του λ R για την οποία
2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων
ιαίρεση Πολυωνύμων 1 Να γίνουν οι διαιρέσεις: α) (x 5 - x + x - 9) : (x - 1) β) (x 4-7x + x - 15) : (x + 5) γ) (x - 4αx + α ) : (x - α) δ) [7x - (9α + 7α ) x + 9α ] : (x - α) Με τη βοήθεια του σχήματος
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Έννοια του πολυωνύμου. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια μεταβλητή x που μπορεί να πάρει κάθε πραγματική τιμή. Μονώνυμο του x, είναι κάθε παράσταση της μορφής : x όπου α είναι
4.3. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ
4.3. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Αν η εξίσωση α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +... +α 1 x+α 0 = 0 με α ν,α ν-1,...,α 1,α 0 Ζ : έχει ρίζα τον ακέραιο αριθμό ρ, τότε το ρ διαιρεί το α 0. έχει ρίζα το κλάσμα,
2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων
. ιαίρεση Πολυωνύμων 1. Να σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1. Η διαίρεση δύο πολυωνύμων στηρίζεται στο παρακάτω θεώρημα: «Για κάθε ζεύγος Δ ( x) και δ ( x) με δ ( x)
4.1 ΕΝΝΟΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ -ΒΑΘΜΟΣ-ΙΣΟΤΗΤΑ-ΡΙΖΕΣ. ΛΥΣΗ 1 2 =κ κ κ 1+43κ κ = =0
4.1 ΕΝΝΟΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ -ΒΑΘΜΟΣ-ΙΣΟΤΗΤΑ-ΡΙΖΕΣ 4.1.1 Να δειχθεί ότι για κάθε κ R το πολυώνυμο P (x) = (κ - 1) x 5 + (3κ 2 + 2) x 3 + κx δεν έχει ρίζα το 1. 2 1 2 =κ 11 2 +3κ + 2 1 + 2 1 2 =0 κ 1+43κ + 2+16κ
1 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 2008
ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 008 α). Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) με το πρωτοβάθμιο πολυώνυμο x ρ ισούται με την αριθμητική τιμή του Ρ(x) για x =
4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου
4.1 Πολυώνυμα Η έννοια του πολυωνύμου ΟΡΙΣΜΟΙ 1. Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α R, ν N (σταθερές) και x R (μεταβλητή).. Πολυώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής:
4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου
4.1 Πολυώνυμα Η έννοια του πολυωνύμου ΟΡΙΣΜΟΙ 1. Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α R, ν N (σταθερές) και x R (μεταβλητή). 2. Πολυώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της
Επαναληπτικές Ασκήσεις
Επαναληπτικές Ασκήσεις Έστω ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου ( x ) α Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης β Να βρείτε τα 0 και Ρ γ Αν το πολυώνυμο ( x) είναι x να βρείτε: x + x είναι 3x
Πολυώνυμα. Πολυωνυμικές εξισώσεις. Athens Επιμέλεια: Χατζόπουλος Μάκης. 14/2/2012
Πολυώνυμα Πολυωνυμικές εξισώσεις Άλγεβρα 01 Β Λυκείου Athens 01 13 14//01 1. Περί πολυωνύμων (Α) Πολυώνυμα P x a x a x... a x a v v 1 Πολυώνυμο ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής: όπου a v, a v-1,,a
1. Αν α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P (x) = (α - β) x 2 + (β - γ) x + γ - α είναι
_ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Αν α + β + γ = αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P () = (α - β) + (β - γ) + γ - α είναι το µηδενικό πολυώνυµο.. Να δειχθεί ότι το πολυώνυµο P () = (κ - ) + (λ + 6) +
( ) Άρα το 1 είναι ρίζα του P, οπότε το x 1 είναι παράγοντάς του. Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x 1) είναι:
( x) Άρα το είναι ρίζα του P, οπότε το x είναι παράγοντάς του 4 Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x ) είναι: 3 π ( x) = x + x x + 3 Η ταυτότητα της προηγούμενης διαίρεσης είναι: 4 3 x 3x + 5x
2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων
ιαίρεση Πολυωνύμων η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μας ζητούν να διαιρέσουμε δύο πολυώνυμα Δίνονται τα πολυώνυμα: P x x x x 8x 4 = + +4 και δ ( x) = x x α) Να βρεθεί το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης
ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ
ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 1. Τι καλούμε μονώνυμο, τι πολυώνυμο, τι όροι,τι συντελεστές
Κεφάλαιο 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Κεφάλαιο 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 4.1 πωλυωνυμα Η έννοια του πολυωνύμου Έστω x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε πραγματική τιμή. Καλούμε μονώνυμο του x κάθε παράσταση της μορφής
(x) = δ(x) π(x) + υ(x)
Μάθηµα 12 Κεφάλαιο 4ο: Πολυώνυµα Πολυωνυµικές Εξισώσεις Θεµατικές Ενότητες: Α. ιαίρεση Πολυωνύµων Β. Σχήµα Horner Η ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης Αν ( χ), δ ( χ) δύο πολυώνυµα µε δ ( χ) 0 και βαθµούς
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. β) x 9x. ε) (x 1) 3(x 1) 2(x 1) 0. (2x 1) x 128 0
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x x 10x 0 5 x 9x γ) x 8x 0 x x x 0 x (x ) 9(x ) ε) (x 1) (x 1) (x 1) 0. Να λύσετε τις εξισώσεις: 5 α) x 0 7 γ) (x ) 1 0 (x 1)
1.7 ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ
1 1.7 ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ταυτότητα Ευκλείδειας διαίρεσης : Για δύο οποιαδήποτε πολυώνυµα (x) και δ(x) µε δ(x) µπορούµε να βρούµε δύο άλλα πολυώνυµα π(x) και υ(x) τέτοια ώστε να ισχύει (x) = δ(x)π(x)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 10 ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΑΠΟ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΕΣ ΤΑΞΕΙΣ α ) Ταυτότητες 1. (a-β)(a+β)=a - b. (a ± b ) = a ± ab + b 3 3 3 3. (a ± b ) = a ± 3a b + 3ab
( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει
μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,
A N A B P Y T A ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ. 1 (α + β + γ) [(α-β) 2 +(α-γ) 2 +(β-γ) 2 ] και τις υποθέσεις
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΑΣΚΗΣΗ η Αν α +β +γ = αβγ και α + β + γ, να δείξετε ότι το πολυώνυμο P()=(α β) +(β γ) + γ α είναι το μηδενικό πολυώνυμο. Από την ταυτότητα του Euler α +β +γ -αβγ = (α + β + γ)[(α-β)
8. Να εξετάσετε με το σχήμα Horner αν τα πολυώνυμα x+1, x-3 είναι παράγοντες
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 1. Να γίνουν οι διαιρέσεις: α) (x 5 - x 3 + x - 9) : (x - 1) β) (x 7x 3 + x -15) : (x 3 +5) γ) (3x 3 - αx + α ) : (x - α) δ) [7x 3 - (9α + 7α )x + 9α ] : (x - α). Να γίνουν
ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑ B. Β.1. Γνωρίζουμε ότι τα σημεία Α(π,4) και Β(-2π,6) ανήκουν στην ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑ Α Α.1. Η απόδειξη βρίσκεται στη σελίδα 175 του σχολικού βιβλίου. Α.. Η διατύπωση του ορισμού βρίσκεται στη σελίδα 163 του σχολικού βιβλίου «εκθετική συνάρτηση». Α.3. i) Λάθος ii) Λάθος iii) Σωστό
ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΛΛΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1
ΘΕΜΑ Α ΦΥΛΛΟ 1 Α1. Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο υ της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P(x) με το x - ρ είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για x = ρ. Είναι δηλαδή υ = P(ρ). Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Λυμένα Παραδείγματα
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Λυμένα Παραδείγματα. Να βρεθούν οι τιμές του λ R για τις οποίες το πολυώνυμο Ρ () = (4λ -9) +(λ -λ-) +λ- είναι το μηδενικό. Το Ρ () θα είναι το μηδενικό πολυώνυμο, για εκείνες τις τιμές του λ
4. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x 3 2x 2 + x 12 α) Να αιτιολογήσετε γιατί το διώνυμο x 3 είναι παράγοντας του P(x) β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0
1. α) Να βρείτε το υπόλοιπο και το πηλίκο της διαίρεσης (x 3 6x 2 +11x 2) : (x 3) β) Αν P(x) = x 3 6x 2 +11x + λ να βρείτε το λ R ώστε η διαίρεση P(x) : (x 3) να έχει υπόλοιπο 0. 2. Δίνονται τα πολυώνυμα:
2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
1 2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 11. Α. Αν α > 0 µε α 1 τότε για οποιουσδήποτε πραγµατικούς αριθµούς θ 1, θ 2 > 0 να αποδείξετε ότι log α (θ 1 θ 2 ) = log α θ 1 + log α θ 2 Β. Έστω το σύστηµα Σ : α1x +
Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Ορισµός Ονοµάζουµε ακέραιο πολυώνυµο του x κάθε έκφραση της µορφής : α ν x ν + α ν-1 x ν-1 + α ν-2 x ν-2 + +α 1 x + α 0 όπου α ν, α ν-1, α ν-2,, α 1, α 0 C και
1 of 79 ΘΕΜΑ 2. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 2 4x + 5, x R
1 of 79 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 2 4x + 5, x R α) Να αποδείξετε ότι η f γράφεται στη μορφή f(x) = (x- 2) 2 + 1. (Μονάδες 12) β) Στο σύστημα συντεταγμένων που ακολουθεί, να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση
4.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ
4.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Πολυωνυµική εξίσωση Λέγεται κάθε εξίσωση της µορφής Ρ(x) = 0, όπου Ρ(x) πολυώνυµο.. Ρίζα πολυωνυµικής εξίσωσης Λέγεται κάθε ρίζα του αντίστοιχου πολυωνύµου.
Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις
4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α
1.1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1.2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : π α) f() = + ηµ β) g() = + συν( ) 6 π π γ) f() = ηµ( ) δ) g() = συν( ) Να γίνει η µελέτη και η γραφική παράσταση
2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων
ιαίρεση Πολυωνύμων Ταυτότητα διαίρεσης Όπως στους ακέραιους αριθμούς, έτσι και στα πολυώνυμα ισχύει η ταυτότητα της διαίρεσης Πιο συγκεκριμένα ισχύει ότι: Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων Δ ( ) και δ ( ), με
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoocom Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. ίνεται το Ρ(x) αν το ρ είναι ρίζα Ρ(2x) 2x τότε το ρ είναι ρίζα του Ρ( Ρ(2x)) 2x.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ίνονται τα πολυώνυµα Ρ (x), Ρ (x), Ρ (x) αν τα πολυώνυµα Ρ (x) και Ρ (x) δεν έχουν κοινή ρίζα και ισχύει : ( Ρ (x)) + (Ρ (x)) = (Ρ (x)) για κάθε x R να δείξετε ότι το Ρ (x) δεν έχει πραγµατική
Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές
0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)
Px α x α x... α x α. Ο αριθμός κ λέγεται βαθμός
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ Α Α1. Να δείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Px με το x ρ είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για
3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Για ποιες τιµές του, αν υπάρχουν, ισχύει κάθε µία από τις ισότητες α. log = log( ) β. log = log γ. log 4 log = Να λυθεί η εξίσωση 4 log ( ) + = 0 6 α) Θα πρέπει > 0 και > 0,
2.1 Πολυώνυμα. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα; 3 2 ii. x iii. 3 iv. vi.
.1 Πολυώνυμα 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα; i. 1 x + x ii. x + 7 x iii. 5 x + 7x x iv. 1 x + x v. 1 4 4 x + x + 4x vi. 1 x + 5x. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα
7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει
8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y
ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ............................................
Πολυώνυμα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Άλγεβρα Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 1 0 / 1 2 /
Πολυώνυμα Κώστας Γλυκός Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 66 99 77... 00 00... 88 88... 88 88 Kgllykos..gr 1 0 / 1 / 0 1 8 Άλγεβρα Κεφάλαιο 4 174 ασκήσεις και τεχνικές σε 1 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο
µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;
ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Α - Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 1. Φυσικοί αριθμοί : Ν = {0,1,,3,4,...}. Ακέραιοι αριθμοί : Ζ = {...-4,-3,-,-1,0,1,,3,4,...} 3. Ρητοί αριθμοί : Q = { ì í, μ Ζ, ν Ζ* } Σημ. Το σύνολο Q των ρητών αριθμών ταυτίζεται με
( ) = 2. f x α(x x )(x x ) f x α(x ρ) x1,2. 1, x
ΜΟΡΦΕΣ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Τριώνυµο λέγεται ένα πολυώνυµο της µορφής : f x = αx + βx+ γ, όπου α, β, γ R µε α. ( ) ιακρίνουσα και ρίζες του τριωνύµου f( x) = αx + βx+ γ λέγεται η διακρίνουσα και
ΟΝΟΜ/ΜΟ :... ΟΜΑ Α Α. 1. Χαρακτηρίστε µε ΣΩΣΤΟ (Σ) ή ΛΑΘΟΣ (Λ) τις παρακάτω προτάσεις : Σχῆµα 1: Ασκηση 1δ.
ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 oυ 4 νoυ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΟΜΑ Α Α 1. Χαρακτηρίστε µε ΣΩΣΤΟ (Σ) ή ΛΑΘΟΣ (Λ) τις παρακάτω προτάσεις : (α ) Η περίοδος της συνάρτησης f(x) = 3συν x 5 είναι 5π... (ϐ ) Η συνάρτηση f(x)
1ο Κεφάλαιο: Συστήματα
ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.
Πολυώνυμα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Άλγεβρα Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 2 0 / 7 /
Πολυώνυμα Κώστας Γλυκός Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 66 99 77... 00 00... 88 88... 88 88 Kgllykos..gr 0 / 7 / 0 1 8 Άλγεβρα Κεφάλαιο 17 ασκήσεις και τεχνικές σε 1 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο τηλ.
qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj
qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ klzxcvλοπbnαmqwertyuiopasdfghjklz ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ xcvbnmσγqwφertyuioσδφpγρaηsόρ
2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις
. Πολυωνυμικές Εξισώσεις η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μας ζητούν να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση.. Να λυθούν οι εξισώσεις: i. + + + 6 = 0 ii. 7 = iii. ( + ) + 7 = 0 iv. 8 + 56 = 0 i. + + + 6 = 0 (
- 1 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ
- ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ http://mathhmagic.blogspot.com - ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ν Μονώνυμο του χ ονομάζουμε κάθε αλγεβρική παράσταση της μορφής α χ με χ R και ν Ν. Πολυώνυμο του χ
ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Εκθετική - Λογαριθµ ική Συνάρτηση)
ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 4ο : Εκθετική - Λογαριθµ ική Συνάρτηση) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία
Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου
Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου Θέμα Α. Αν α>0 με α, τότε για οποιουσδήποτε θ, θ,θ>0 και κ ισχύει log (θ θ ) log θ log θ Μονάδες 8 α α α Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας
Θέµατα Εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου
Θέµατα Εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου 1999-004 Περιεχόµενα 1 Θέµατα 1999......................................... 3 Θέµατα 000......................................... 8 3 Θέµατα Σεπτεµβρίου 000..................................
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 9). Να λυθούν οι εξισώσεις :
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ). Να λυθούν οι εξισώσεις: α). + ( 3 ) 6 = 0 β). 4 ( 3 ) + 3 = 0 γ). + ( ) = 0 δ). 5 + 5 = 0 ε). 4( 3) + 5 + 6 6 = 0 στ).( + 3 ) ( 3 + ) ( 3 ) = 0 η). + (3 ) + (4 3 ) = 0
Πολυώνυμα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Άλγεβρα Κεφάλαιο ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α
Πολυώνυμα Κώστας Γλυκός Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 1 / 1 / 0 1 6 Άλγεβρα Κεφάλαιο 4 174 ασκήσεις και τεχνικές σε 1 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο ΓΛΥΚΟΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ τηλ.
Δ = δπ + υ με υ < δ. (Ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης),
ΜΕΡΟΣ Α 1.7 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 19 1. 7 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Διαίρεση πολυωνύμων Αν έχουμε δύο φυσικούς αριθμούς Δ (διαιρετέος) και δ (διαιρέτης) με δ και κάνουμε τη διαίρεση Δ : δ, τότε βρίσκουμε δύο άλλους
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ B ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ B ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ln 4 i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii Να δείξετε ότι η παραπάνω συνάρτηση γράφεται: ln iii Να λύσετε την εξίσωση ln 5 ln 3 4 a a1 4,, a i Να βρείτε τον αριθμό
Θέµατα Άλγεβρας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 1999 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
Θέµατα Άλγεβρας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 999 Ζήτηµα ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω Ρ(x) ένα πολυώνυµο του x και ρ ένας πραγµατικός αριθµός. Αν π(x) είναι το πηλίκο και υ(x) το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύµου
ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού
ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί
2018 Φάση 2 ιαγωνίσµατα Επανάληψης ΑΛΓΕΒΡΑ. Β' Γενικού Λυκείου. Γενικής Παιδείας. Σάββατο 21 Απριλίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης:3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ
ΘΕΜΑ A ΑΛΓΕΒΡΑ Β' Γενικού Λυκείου Γενικής Παιδείας Σάββατο 1 Απριλίου 018 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑΤΑ Α1. Στο επόμενο σχήμα βλέπετε τον τριγωνομετρικό κύκλο, τους άξονες ημιτόνων, συνημιτόνων, εφαπτομένων,
τα βιβλία των επιτυχιών
Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από
ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΛΥΚΕΙΑΚΩΝ ΤΑΞΕΩΝ ΣΤΥΡΩΝ 23/6/2014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΛΥΚΕΙΑΚΩΝ ΤΑΞΕΩΝ ΣΤΥΡΩΝ 3/6/014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα
1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση:
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις συµπλήρωσης 1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: Φυσική γλώσσα Μαθηµατική γλώσσα ύο αριθµοί x, y διαφέρουν κατά και έχουν γινόµενο x (x
4.2 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ
4 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΩΡΗΜΑ (ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΔΙΑΙΡΕΣΗΣ) Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων ( και ( με ( 0 υπάρχουν δυο μοναδικά πολυώνυμα ( και (, τέτοια ώστε : ( ( όπου το ( ή είναι το μηδενικό
ù, þ ù ÿ ù + ü ÿ þ ù ÿ û ü ÿ ù
ù, þ ù ÿ ù + ü ÿ þ ù ÿ û ü ÿ ù úï ùþ üÿùÿ üÿ ù + ü ú ù 10 03. ÿ+ü ÿù ü!&10" # *Œ # ³&1)- " 1. * þ1#!1 I [ 03[ 0. Œ0! / 0 Œ0! / Œ. * þ1#!1 I [ 1#[ 0. Œ0!. 3. * þ 1#!1 I [ 13[ $0 Œ0/!1 * 1* ^x R x 0 }. 4.
12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο
ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες
ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός
ςες ΤΕΤΡΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παραπάνω φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια κυρίως στους μαθητές
Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ
Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ 1 ΜΕΡΟΣ Α ΚEΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζουμε
α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρα Β-Λυκείου (2ο πακέτο ασκήσεων) 1 22630 Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = 3 x με x R. α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων
ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4_095. Δίνονται οι ευθείες ε 1: λx + y = 1 και ε : x + λy = λ α) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ οι δύο ευθείες τέμνονται και να γράψετε τις συντεταγμένες του κοινού τους σημείου συναρτήσει
4.2 ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ
. ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 9 0 A Οµάδας.i) Να κάετε τη διαίρεση ( x + 6x 7x+ 0 ) : ( x+ ) και α γράψετε τη ταυτότητα της διαίρεσης. x + 6x 7x+ 0 x+ x 9x + + x + 9x 8x+ 0 + 8x+
Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση:
Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: την αποδεικτική μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής για την οποία πρέπει να γίνει κατανοητό ότι η αλήθεια
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ A Α1. Να αποδείξετε ότι: αβ α β (Μονάδες 15) A. Χαρακτηρίστε ως Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) τις ακόλουθες προτάσεις: 1. Η εξίσωση
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Οι Πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι είναι οι πραγματικοί αριθμοί ; Ποιοι είναι οι
Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Α. Πότε μια αλγεβρική παράσταση λέγεται μονώνυμο και από ποια μέρη αποτελείται; Β. Πότε δύο μονώνυμα λέγονται όμοια;. Τι λέγεται πολυώνυμο; Θέμα ο Α. Να διατυπώσετε την πρόταση που είναι γνωστή ως θεώρημα
Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες)
Θέμα 1 Θέματα A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) B. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: i) Ο βαθμός του υπολοίπου της διαίρεσης P(x)
4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ
14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 2016
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 06 version -6-06 Παρακάτω υπάρχουν θέματα θεωρίας και ασκήσεις που καλύπτουν πιστεύω σε μεγάλο βαθμό την εξεταστέα ύλη. Εχουν στόχο να μας βοηθήσουν να θυμηθούμε την
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1
Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες
5. Να λυθεί η εξίσωση. 6. Δίνεται η συνάρτηση. 2f x ΛΥΣΗ: Τα x για τα οποία 2 x 0 x 0 x, δεν είναι λύσεις της εξίσωσης γιατί για
5. Να λυθεί η εξίσωση ΛΥΣΗ: Τα για τα οποία 0 0, δεν είναι λύσεις της εξίσωσης γιατί για αυτά ισχύει 1 ή 1 1 0 και αντικαθιστώντας στην εξίσωση παίρνουμε την μή αληθή σχέση Αρα θεωρούμε ότι 0 και πλέον
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Ενότητα 2 η Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης
Aπάντηση Απόλυτη τιμή αριθμού είναι η απόσταση του αριθμού από το 0. Συμβολίζεται με 3 = 3-3 = 3 + και και είναι πάντα θετικός αριθμός. Π.
ΜΕΡΟΣ Α : Α Λ Γ Ε Β ΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και πράξεις τους 1. Γράψε τα βασικότερα σύνολα τιμών: Aπάντηση Ν{0,1,,,4,5,6,..+
Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες
Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων
Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες
Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο :.2 -.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων Πολλαπλασιασμός
Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου.
Άλγεβρα Β Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου wwwaskisopolisgr Το φυλλάδιο αυτό δημιουργήθηκε για να χρησιμοποιηθεί ως επέκταση του σχολικού βιβλίου και όχι αυτόνομα δ έκδοση 0--06 Συστήματα Γραμμικές Εξισώσεις
( ) x 3 + ( λ 3 1) x 2 + λ 1
Επαναληπτικό Διαγώνισµα Άλγεβρα Β Λυκείου Θέµα Α Α1. Έστω η πολυωνυµική εξίσωσης α ν χ ν + α ν 1 χ ν 1 +... + α 1 χ + α 0 = 0, µε ακέραιους συντελεστές. Να αποδείξετε ότι αν ο ακέραιος ρ 0 είναι ρίζα της
Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Σ Υ Σ Τ Η Μ Α Τ Α
Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η Α Σ Κ Η Σ Ε Ω Ν Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Σ Υ Σ Τ Η Μ Α Τ Α α 3y β 5 (1) Αν το (Σ) : 3 αy 5β τους α,β έχει λύση την (, y) = (1, ) να βρείτε () Να λυθούν τα συστήματα : y 4 3 y 5 6 5 6