Επιστήμη, Τέχνη & Μαθηματικά, Πρόγραμμα Λυκείου

Transcript

1 Επιστήμη, Τέχνη & Μαθηματικά, Πρόγραμμα Λυκείου Ένα συναρπαστικό ταξίδι, στα θεμέλια της επιστημονικής σκέψης και αναζήτησης, στην Αισθητική της Τέχνης και στη Λογική των Μαθηματικών Σχεδιασμός Αποστόλης Παπανικολάου Άρης Μαυρομμάτης Ερευνητές της Διδακτικής των Μαθηματικών Αριθμός μαθητών έως 75 άτομα ανά δίωρο Ώρες Λειτουργίας 9:00-11:00 & 11:00-13:00 Διάρκεια Προγράμματος 2 ώρες Κόστος συμμετοχής 3.50 ανά μαθητή συνοδοί & εκπαιδευτικοί δωρεάν «Τόσο στην τέχνη όσο και στην επιστήμη, είναι πανάρχαια η αναζήτηση νέων τρόπων αναπαράστασης της πραγματικότητας. Η προσπάθεια αυτή καρποφορεί τη στιγμή που γεννιέται η δημιουργία, τότε που τα σύνορα των γνωστικών πεδίων καταρρέουν και κάποιες έννοιες της αισθητικής αποκτούν μέγιστη σημασία. Για να κατανοήσει κανείς αυτό το φαινόμενο, πρέπει να διερευνήσει τη φύση της δημιουργικής σκέψης». Arthur Miller Einstein Picasso: Ο χώρος ο χρόνος και η ομορφιά Το νέο εκπαιδευτικό πρόγραμμα «Επιστήμη, Τέχνη και Μαθηματικά» αποτελεί συνέχεια και επέκταση του γνωστού από το 2005 προγράμματος "Τέχνη και Μαθηματικά". Στο νέο αυτό διευρυμένο πρόγραμμα, πραγματοποιείται μια διαδρομή στα θεμέλια της επιστημονικής σκέψης, σε συνδυασμό με τις γνωστές διαδρομές «Από την αισθητική της Τέχνης στη Λογική των Μαθηματικών». Πρόκειται για μια εκπαιδευτική πορεία αναζήτησης της διασύνδεσης Επιστήμης, Τέχνης και Μαθηματικών, μέσα από δραστηριότητες που προκύπτουν από την αλληλεπίδραση με διαδραστικά και παραστατικά εκθέματα εκλαΐκευσης και κατανόησης της επιστημονικής σκέψης, καθώς και επιλεγμένα έργα Τέχνης από τα σημαντικότερα εικαστικά ρεύματα.

2 Πρόγραμμα Λυκείου Το πρόγραμμα «Επιστήμη, Τέχνη και Μαθηματικά» για το Λύκειο, αποτελείται από δύο διδακτικά μέρη, το πρώτο εκ των οποίων είναι κοινό για τους μαθητές όλων των τάξεων, ενώ το δεύτερο είναι κατάλληλα προσαρμοσμένο στις γνωστικές δυνατότητες κάθε τάξης. Στο τέλος, οι μαθητές καλούνται να συμπληρώσουν ένα έντυπο αξιολόγησης. Περιγραφή Μέρος Α : Επίσκεψη των δύο εκθεσιακών χώρων του μουσείου διάρκεια: 50 λεπτά Περιήγηση στους χώρους των αλληλεπιδραστικών και εικαστικών εκθεμάτων, υπό την διακριτική καθοδήγηση ειδικά εκπαιδευμένου καθηγητή, με σκοπό τη εκμαίευση γόνιμων προβληματισμών και διαλόγου. Μέρος Β : Παρουσίαση ειδικού θέματος στις αίθουσες διαλόγου και αλληλεπίδρασης διάρκεια: 60 λεπτά Δραστηριότητες και διάλογος που επικεντρώνεται σε μία συγκεκριμένη θεματική ενότητα που προκύπτει από επιλεγμένο αλληλεπιδραστικό έκθεμα ή έργο τέχνης, καθώς και πολυμεσικό υλικό. Ανατροφοδότηση - Αξιολόγηση διάρκεια: 10 λεπτά Συμπλήρωση εντύπου αξιολόγησης με ανώνυμη και ελεύθερη καταγραφή παρατηρήσεων και εντυπώσεων για το πρόγραμμα. *Ακολουθεί αναλυτική περιγραφή των προτεινόμενων θεματικών ενοτήτων για κάθε τάξη, από τις οποίες μπορούν να επιλέξουν οι εκπαιδευτικοί. Σκοπός του εκπαιδευτικού προγράμματος «Επιστήμη, Τέχνη και Μαθηματικά» είναι να αναπτύξει τη διερευνητική σκέψη των μαθητών, σε ένα περιβάλλον ελεύθερης αναζήτησης και άτυπης μάθησης. Το πρόγραμμα λειτουργεί παράλληλα με το αναλυτικό πρόγραμμα σπουδών, στην κατεύθυνση της κοινά επιθυμητής από όλους τους ερευνητές της Διδακτικής, «διαθεματικότητας», διασυνδέοντας τα Μαθηματικά με την Επιστήμη, τις Τέχνες και τη Φιλοσοφία. 2

3 Κατάλογος θεματικών ενοτήτων Λύκειο I. Η παραλληλία και η ομοιότητα. II. Το διασημότερο Θεώρημα στα Μαθηματικά και την Τέχνη. III. Από τις Πυθαγόρειες αρμονίες, στην συγκερασμένη κλίμακα (Μουσική και Μαθηματικά). IV. Από τις σκιές του Πλατωνικού σπηλαίου, στο πρώτο κοσμολογικό μοντέλο (Κανονικά πολύγωνα και πολύεδρα). V. Το άπειρο & το όριο στην τέχνη & τα μαθηματικά. VI. Οπτικά και λογικά παράδοξα. VII. Οι κωνικές τομές από την αρχαιότητα στην Αναγέννηση. VIII. Προοπτικές αναπαράστασης του χώρου. IX. Παραμορφώσεις και Αναμορφώσεις. X. Μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες. XI. Τα Μαθηματικά στην Φύση και την Τέχνη. Σαπωνοειδείς επιφάνειες, πλακοστρώσεις και η τέχνη της κυψέλης. XII. Τα Μαθηματικά στην Φύση και την Τέχνη. Λόγος, αναλογία, χρυσή τομή. XIII. Αιτιοκρατία και τυχαιότητα. XIV. Από την στατιστική ομαλότητα στην κανονικότητα της κωδωνοειδούς καμπύλης. XV. Ο θαυμαστός κόσμος των fractals. XVI. Αλγόριθμοι καθημερινών προβλημάτων. XVII. Το δυαδικό αλφάβητο του Η/Υ. 3

4 Ι. Η παραλληλία και η ομοιότητα. καὶ τῆς πυραμίδος τὴν μέτρησιν ὑπερφυῶς ἠγάπησεν, ὅτι πάσης ἄνευ πραγματείας καὶ μηδενὸς ὀργάνου δεηθεὶς ἀλλὰ τὴν βακτηρίαν στήσας ἐπὶ τῷ πέρατι τῆς σκιᾶς ἣν ἡ πυραμὶς ἐποίει, γενομένων τῇ ἐπαφῇ τῆς ἀκτῖνος δυεῖν τριγώνων, ἔδειξας ὃν ἡ σκιὰ πρὸς τὴν σκιὰν λόγον εἶχε τὴν πυραμίδα πρὸς τὴν βακτηρίαν ἔχουσαν. Η δραστηριότητα αυτή είναι κατάλληλη για μαθητές Α, Β & Γ Λυκείου Στόχος της ενότητας αυτής, είναι η κατανόηση της παραλληλίας και της ομοιότητας, καθώς και η γνωριμία των μαθητών με τους Ίωνες φιλοσόφους. Η μεγάλη συνεισφορά αυτής της σχολής σκέψης είναι η αναζήτηση λογικού αιτίου στα φυσικά φαινόμενα και μιας πρωταρχικής αρχής από την οποία πηγάζει όλη η πολυπλοκότητα του κόσμου μας. Επιπλέον, στον Θαλή αποδίδεται η πρώτη απόδειξη στα μαθηματικά, που αφορά την ισότητα των κατακορυφήν γωνιών. Την όλη εποχή θα μπορούσαμε να χαρακτηρίσουμε ως τη διάβαση της ανθρώπινης σκέψης «από το μύθο στο λόγο». Για τον Θαλή συγκεκριμένα, υπάρχουν μαρτυρίες ότι μέτρησε το ύψος των πυραμίδων της Αιγύπτου χρησιμοποιώντας μόνο ένα μπαστουνάκι (βακτηρία), γι αυτό του αποδίδεται και το ομώνυμο θεώρημα που οδηγεί στην ομοιότητα των σχημάτων. Η δραστηριότητα είναι μια προσπάθεια ανακατασκευής της σκέψης με την οποία ο Θαλής μέτρησε το ύψος της μεγάλης πυραμίδας με ένα μόνο μπαστουνάκι (βακτηρία). Πιο συγκεκριμένα: o Γίνεται ανάγνωση στους μαθητές της μαρτυρίας από το αρχαίο κείμενο για τον τρόπο με τον οποίο αποδίδεται στο Θαλή η μέτρηση του ύψους της πυραμίδας. o Με την βοήθεια του ομοιώματος της πυραμίδας, καθώς και μιας ράβδου, τη σκιά των οποίων μετρούν οι μαθητές, προσπαθούν να κατανοήσουν βιωματικά τον τρόπο μέτρησης του Θαλή. o Εισάγονται στην έννοια της ομοιότητας τριγώνων και σχημάτων. o Συνδέουν την ομοιότητα με την παραλληλία και κατανοούν την έννοια του λόγου ομοιότητας. o Εισάγονται στο γενικότερο ιστορικό και κοινωνικό πλαίσιο, το οποίο μέσω της δημοκρατίας και του συνεπαγόμενου δικανικού λόγου, δημιούργησε τις προϋποθέσεις εμφάνισης της θεωρητικής απόδειξης. o Εισάγονται εν συντομία στις φιλοσοφικές θέσεις των Ιώνων φιλοσόφων. o Συνδέουν την έννοια του λόγου ομοιότητας με τον φιλοσοφικό λόγο του Ηρακλείτου και εισάγονται στον προβληματισμό για την ευρύτερη σημασία του λόγου στα μαθηματικά, την επιστήμη, τη 4

5 II. Το διασημότερο Θεώρημα στα Μαθηματικά και την Τέχνη. Στόχος της ενότητας αυτής, είναι η κατανόηση της Πυθαγόρειας σχέσης στο ορθογώνιο τρίγωνο αφενός ως σχέσης εμβαδών και αφετέρου ως κριτηρίου καθετότητας. Επίσης, μέσα από μια ανασκόπηση της ιστορικής διαδρομής της πυθαγόρειας σχέσης, να κατανοήσουν την έννοια «Θεώρημα» όπως αυτή προκύπτει από την έννοια της «Απόδειξης» και να διατυπώσουν και αποδείξουν πλέον ορθά το διασημότερο θεώρημα, δηλαδή «το Πυθαγόρειο Θεώρημα». Η πρώτη δραστηριότητα είναι η εμπειρική διαπίστωση της σχέσης των εμβαδών των τετραγώνων που περιβάλλουν το ορθογώνιο τρίγωνο με τη συμπλήρωση πάζλ διαβαθμισμένης δυσκολίας. Κατόπιν εκμαιεύεται η ανάγκη της καθολικής απόδειξης και γίνεται η απόδειξη των Στοιχείων του Ευκλείδη. Στη συνέχεια και ανάλογα με την τάξη τους, οδηγούνται στην ανακάλυψη της αρρητότητας της διαγωνίου και της πλευράς τετραγώνου με τον τρόπο που την διαπίστωσαν οι Πυθαγόρειοι. Το επόμενο βήμα είναι η εκμαίευση της αντίστροφης σχέσης ως κριτηρίου καθετότητας. Γίνεται σύνδεση με το ιστορικό πλαίσιο και την Πυθαγόρεια φιλοσοφία περί λόγων αριθμών και αρμονίας του σύμπαντος, η οποία τέθηκε σε δοκιμασία ακριβώς από την ανακάλυψη της αρρητότητας. Συζητείται η φιλοσοφική και καλλιτεχνική σημασία της έννοιας της καθετότητας. Το διασημότερο Θεώρημα στα Μαθηματικά και την Τέχνη. 5

6 [ ΙΙΙ. Από τις Πυθαγόρειες αρμονίες στην συγκερασμένη κλίμακα (Μουσική και Μαθηματικά). Στόχος της ενότητας αυτής, είναι οι μαθητές να αναπτύξουν μαθηματικές και παράλληλα μουσικές δεξιότητες μέσα από μουσικά παιχνίδια, πειραματισμό με μουσικά όργανα και ακρόαση κομματιών της κλασικής, αλλά και της σύγχρονης μουσικής δημιουργίας (jazz, ethnic, blues, rock). Οι μαθητές παρακινούνται να πειραματιστούν με τον ήχο, τη μουσική και τα συναισθήματα που αυτή δημιουργεί, να απελευθερώσουν τη δημιουργική τους ικανότητα και να ανακαλύψουν ότι η τέχνη της μουσικής αποτελεί ένα μέσο έκφρασης και μια γλώσσα επικοινωνίας μεταξύ των ανθρώπων διαφορετικών πολιτισμών και εθνικοτήτων. Πώς οι μαθηματικές αναλογίες εμπλέκονται στην αντίληψη του ρυθμού; Ποιες είναι οι μαθηματικές σχέσεις που διέπουν την Πυθαγόρεια αρμονία; Μέσα από βιωματικές δραστηριότητες, δημιουργικά παιχνίδια, μουσικά παραδείγματα και κατάλληλα επιλεγμένο οπτικοακουστικό υλικό: o Εμπλέκονται σε βιωματικές δραστηριότητες μέσα από τις οποίες αναγνωρίζουν τα βασικά χαρακτηριστικά του ήχου: ένταση, οξύτητα, χροιά και διάρκεια. o Ανακαλύπτουν τη συμμετρία και την κανονικότητα που δημιουργεί μουσικούς ήχους, σε αντίθεση με την ασυμμετρία του θορύβου. o Κατανοούν την ημιτονοειδή μορφή των απλών μουσικών ήχων με τη βοήθεια αλληλεπιδραστικού εκθέματος. o Ανακαλύπτουν την έννοια του ρυθμού και την οργάνωση του χρόνου στη μουσική, ενώ παράλληλα αναζητούν μαθηματικές αναλογίες στα ρυθμικά μοτίβα που καλούνται να δημιουργήσουν, ή να αναπαράγουν μέσα από ομαδικά παιχνίδια με κρουστά. o Πειραματίζονται με το μονόχορδο του Πυθαγόρα και μέσα από τη διαφωνία ή τη συμφωνία των μουσικών συνηχήσεων που δημιουργούν, οδηγούνται στην αναζήτηση των μαθηματικών σχέσεων που διέπουν την αρμονία. o Κατασκευάζουν τη μείζονα κλίμακα και εξασκούνται στην αναγνώριση των μουσικών διαστημάτων από τα οποία αποτελείται. 6

7 ΙV. Από τις σκιές του Πλατωνικού σπηλαίου, στο πρώτο κοσμολογικό μοντέλο (Κανονικά πολύγωνα και πολύεδρα). Ο Πλάτων περιγράφει στο διάλογο «Τίμαιος» τον κόσμο σαν μια σύνθεση γεωμετρικών αρμονικών σωμάτων, των περίφημων πέντε Πλατωνικών Στερεών, που θα περάσουν και στην Αναγέννηση και θα προκαλέσουν την καλλιτεχνική έμπνευση πολλών από τα φωτισμένα πνεύματά της. Οι έννοιες επίσης των κανονικών και ημικανονικών πλακοστρώσεων είναι σημαντικές και καθοριστικές για την ερμηνεία και δημιουργία των ψηφιδωτών και μωσαϊκών, καθώς και των Αραβουργημάτων. Αρκετοί μεταγενέστεροι καλλιτέχνες έχουν παράγει καλλιτεχνικά έργα υψηλής αισθητικής αξίας που βασίζονται σε αυτές τις έννοιες με σημαντικότερο βέβαια τον M.C. Escher. Στόχοι της ενότητας αυτής είναι : Η κατανόηση της έννοιας του κανονικού πολυγώνου καθώς και του κανονικού πολυέδρου με την προσπάθεια εμπειρικής σύνθεσης, αλλά και θεωρητικής κατασκευής τους. Η διαπίστωση και απόδειξη ύπαρξης πέντε μόνον κανονικών στερεών. Η κατανόηση της κανονικής και ημικανονικής πλακόστρωσης του επιπέδου και της κανονικής κάλυψης του χώρου, η οποία μπορεί να πραγματοποιηθεί μόνο με τα περίφημα πλατωνικά στερεά. Η σημασία των πλακοστρώσεων στην τέχνη αλλά και την επιστήμη. πυρ γη Η δραστηριότητα αυτή είναι κατάλληλη για μαθητές Β & Γ Λυκείου αήρ σύμπαν ύδωρ 7

8 «Επειδή άπειροι το πλήθος αι δυνάμεις εφαίνοντο, πειραθήναι συλλαβείν εις εν» Η δραστηριότητα αυτή είναι κατάλληλη για μαθητές A, Β & Γ Λυκείου V. Το άπειρο & το όριο στην τέχνη & τα μαθηματικά. Μερικές από τις κύριες συνιστώσες της κοινής αντίληψης για το άπειρο είναι η ιδέα του ατελεύτητου, του απεριόριστου και του ασύλληπτου, ενώ παραμένει ερωτηματικό το άπειρο του χρόνου και του χώρου. Στόχος της θεματικής αυτής ενότητας είναι η ανάδειξη της πορείας της ανθρώπινης σκέψης στην προσέγγιση της ιδέας του απείρου, καθώς και του ορίου ως νοητικού εργαλείου τιθάσευσης του απείρου. Πώς οι καλλιτέχνες απεικονίζουν το άπειρο; Πώς το χειρίζονται οι μαθηματικοί; Με έναυσμα επιλεγμένα έργα τέχνης και κατάλληλα σχεδιασμένη προβολή, οι μαθητές: o Καλούνται να καταγράψουν τις αρχικές προϋπάρχουσες αντιλήψεις τους για το άπειρο και το όριο, με λέξεις και εικόνες που αυτοί θεωρούν ότι προσιδιάζουν σε αυτές τις έννοιες και συγκεντρώνουν μια σειρά από καταστάσεις και φαινόμενα του κόσμου που θεωρούν ότι είναι άπειρα. o Αναζητούν την ετυμολογία της λέξης άπειρο και όριο. o Αναζητούν τις ιδέες του απείρου, του ορίου και του απειροστού σε πίνακες του M.C. Escher. Σε μια ομάδα πινάκων του, ο Escher σμικρύνει την ίδια μορφή μέχρι τα όρια των υλικών δυνατοτήτων της γραφίδας του. Άραγε σε νοητικό επίπεδο, ποιο είναι το όριο της σμίκρυνσης μια ποσότητας; Πόσο μικρότερη μπορεί να γίνει μια μικρή ποσότητα; Τι είναι το απειροστό και ποια η σχέση με το παράδοξο του Ζήνωνα; o Παρακινούνται βιωματικά να χρησιμοποιήσουν την 1-1 αντιστοίχιση με το σύνολο των φυσικών αριθμών για την ταξινόμηση των διάφορων απειροσυνόλων. o Διαπιστώνουν τις παράδοξες ισοπληθικότητες του συνόλου των φυσικών αριθμών με υπερσύνολα και υποσύνολά του. o Εισάγονται στα διαγώνια επιχειρήματα του Cantor και γνωρίζουν την ισοδυναμία του συνόλου των ρητών με το σύνολο των φυσικών, καθώς και το αδύνατο της αντίστοιχης ισοδυναμίας με το σύνολο των πραγματικών αριθμών. o Μέσω του παραδόξου του «δρομέα» 8 του Ζήνωνος, εισάγονται στην ιδέα

9 VI. Οπτικά και λογικά παράδοξα. Στόχος της ενότητας αυτής είναι η δημιουργία αμφισβήτησης στην εμπιστοσύνη προς τις αισθήσεις (κυρίως στην όραση) και συνειδητοποίησης της ανάγκης να χρησιμοποιηθεί η λογική - μαθηματική σκέψη. Καλούνται οι μαθητές να παίξουν με ειδικά κατασκευασμένα αλληλεπιδραστικά εκθέματα, καθώς επίσης να παρατηρήσουν εικαστικά έργα που εμπεριέχουν οφθαλμαπάτες και αμφισημίες, που τους οδηγούν σε αβεβαιότητες και αντιφάσεις, η άρση των οποίων γεννά την ανάγκη της αναζήτησης ενός κόσμου, που να διαθέτει ακλόνητες βασικές αρχές και μια στερεή μέθοδο εξαγωγής συμπερασμάτων. Ο κόσμος αυτός είναι ο κόσμος των Μαθηματικών. Παράλληλα με τις οφθαλμαπάτες (οπτικά παράδοξα), οι μαθητές γνωρίζουν τα πιο φημισμένα και ιστορικά λογικά και συνολοθεωρητικά παράδοξα. (Παράδοξο του Ζήνωνος, του Επιμενίδη, κλπ.) και τον τρόπο με τον οποίο αντιμετωπίζονται από τη λογική και φιλοσοφία των μαθηματικών. Πιο συγκεκριμένα οι μαθητές: o Παίζουν με εκθέματα τα οποία δημιουργούν οφθαλμαπάτες, αντιλαμβανόμενοι στην πράξη τον σημαντικό ρόλο της θέσης του σημείου όρασης. o Παρατηρούν επιλεγμένους ζωγραφικούς πίνακες οι οποίοι εμπεριέχουν αμφισημίες και οφθαλμαπάτες και συζητούν τις παρατηρήσεις τους. o Ανακαλύπτουν το ρόλο της ψευδαίσθησης και της αμφισημίας στα έργα του V. Vasarely, που οφείλεται στην αξονομετρική κυρίως προβολή, σε μια προσπάθεια παρακίνησης των θεατών να αποκτήσουν ενεργή συμμετοχή απέναντι στα έργα της op-art. o Κατανοούν τον ουσιαστικό ρόλο της λογικής των μαθηματικών, ως νοητικό εργαλείο, για την άρση των αντιφάσεων που δημιουργούν οι αμφίσημες εικόνες. o Ανακαλύπτουν τα παιχνίδια των διαστάσεων μέσα από αδύνατα σχήματα των μαθηματικών, όπως το τρίγωνο του Penrose, και της τέχνης του M.C. Escher. Οι οφθαλμαπάτες της Τέχνης και η Γεωμετρική Αλήθεια. 9

10 VII. Οι κωνικές τομές από την αρχαιότητα στην Αναγέννηση. Στόχος της ενότητας αυτής, είναι να έρθουν οι μαθητές σε επαφή με τις τέσσερις γεωμετρικές καμπύλες τον κύκλο, την έλλειψη, την παραβολή και την υπερβολή. Να γνωρίσουν τον τρόπο με τον οποίο κατασκευάζονται, καθώς επίσης και τον λόγο για τον οποίο ονομάστηκαν με τα συγκεκριμένα ονόματα. Να προβληματιστούν γιατί όταν ένας πλανήτης ή κομήτης ή οποιοδήποτε άλλο σώμα διαγράφει τροχιά στο Διάστημα υπό την επίδραση της βαρύτητας, η τροχιά που ακολουθεί θα είναι μια από αυτές τις κομψές γεωμετρικές καμπύλες. Να γνωρίσουν τη σχέση τους με την φιλοσοφία και το ρόλο τους στην αστρονομία. Να ακολουθήσουν την ιστορική πορεία τους μέσα στο χρόνο, από τους Πυθαγόρειους στον Ευκλείδη, στον Απολλώνιο και τον Dandelin. Να αναζητήσουν την σχέση τους με την τέχνη. Πιο συγκεκριμένα οι μαθητές: o Μέσα από αλληλεπιδραστικά εκθέματα, ανακαλύπτουν τη σχέση μιας κωνικής επιφάνειας με ένα τέμνον επίπεδο και κατασκευάζουν τις κωνικές τομές. o Παρατηρούν αυτές τις γεωμετρικές καμπύλες, τις ταξινομούν και ανακαλύπτουν τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά κάθε μιας από αυτές. o Ανακαλύπτουν την καθολική ιδιότητα που διέπει την έλλειψη, την παραβολή και την υπερβολή. o Διατυπώνουν τις ιδιότητες αυτές στα πλαίσια της αναλυτικής γεωμετρίας. o Ανακαλύπτουν τη σχέση τους με τη φυσική και την αστρονομία. o Γνωρίζουν τον τρόπο με τον οποίο οι κωνικές τομές συνδέθηκαν με τη φιλοσοφία και την τέχνη. Οι κωνικές τομές από την αρχαιότητα στην Αναγέννηση. 10

11 VIIΙ. Προοπτικές αναπαράστασης του χώρου. Στόχος της ενότητας αυτής, είναι η ανάδειξη της σχέσης που υπάρχει ανάμεσα στον τρισδιάστατο κόσμο που μας περιβάλλει, και εκείνου που αποτυπώνεται στη δισδιάστατη επιφάνεια ενός ζωγραφικού πίνακα. Η ανάδειξη της σχέσης αυτής είναι σημαντική αφού, ίσως όσο καμιά άλλη, έφερε τόσο κοντά την καλλιτεχνική δημιουργία με την μαθηματική αυστηρότητα, οδηγώντας αφενός μεν την Τέχνη της ζωγραφικής στην Αναγέννηση και αφετέρου τα Μαθηματικά στην ανάδειξη νέων γεωμετριών, διαφορετικών της Ευκλείδειας γεωμετρίας. Ένα ταξίδι σε κόσμους διαφορετικών διαστάσεων για την αναζήτηση των μυστικών της προοπτικής που κρύβουν οι πίνακες της αναγέννησης... Η δραστηριότητα αυτή είναι κατάλληλη για μαθητές Α, Β & Γ Λυκείου Ειδικότερα, μέσα από την παρατήρηση εικαστικών έργων, ομαδικές δραστηριότητες και κατάλληλα σχεδιασμένη προβολή, οι μαθητές: o Αναζητούν το πραγματικό μαθηματικό υπόβαθρο της γραμμικής προοπτικής στους πίνακες της Αναγέννησης. o Αναλύουν μαθηματικά τη γραμμική προοπτική με τη βοήθεια ειδικού αλληλεπιδραστικού εκθέματος (ανακατασκευή του «προοπτικογράφου» του Albrecht Dürer). o Αναζητούν τις φιλοσοφικές προεκτάσεις της προβολής με έναυσμα το σπήλαιο του Πλάτωνα. o Ταξιδεύουν μαζί με τους ήρωες της «Επιπεδοχώρας», του γνωστού διηγήματος του E.Abbott, σε κόσμους διαφορετικών διαστάσεων βιώνοντας την καθημερινότητα και τους προβληματισμούς των υποθετικών κατοίκων τους. o Συλλαμβάνουν την έννοια της διάστασης καθώς, με αφετηρία τον τρισδιάστατο περιβάλλοντα χώρο, οδηγούνται στον κόσμο της Επιπεδοχώρας, της Γραμμοχώρας αλλά και στον τετραδιάστατο χωρο-χρόνο. o Αναζητούν την ύπαρξη κανόνων που οδηγούν στην απεικόνιση του τρισδιάστατου χώρου, πάνω στη δισδιάστατη επιφάνεια του ζωγραφικού καμβά. 11

12 IX. Παραμορφώσεις και Αναμορφώσεις. Περί τον 16ο αιώνα, οι αρχές και οι Τεχνικές της προοπτικής απεικόνισης εφαρμόσθηκαν κατά τέτοιο τρόπο, ώστε να προκύπτουν εικόνες έντεχνα και έντονα αλλοιωμένες, παρασύροντας και εξαπατώντας τη οπτική αντίληψη. Οι εικόνες που προέκυψαν ονομάσθηκαν αναμορφωτικές εικόνες (anamorphoses) και είτε είχαν χαρακτήρα προοπτικών παιχνιδιών είτε είχαν κάποιο χαρακτήρα μεταφοράς πολιτικών ή πνευματικών μηνυμάτων. Ενδεικτικά αναφέρουμε τους Πρεσβευτές του Hans Holbein (1533). Στόχος της ενότητας αυτής, είναι να γνωρίσουν οι μαθητές ότι η αναμόρφωση στην τέχνη της Ζωγραφικής - με την έννοια της τροποποίησης- αναφέρεται πρωτίστως στην σκόπιμη επίπεδη παραμόρφωση μιας εικόνας που πραγματοποιείται πάνω σε επίπεδους καθρέπτες, κατά τέτοιο τρόπο, ώστε όταν την βλέπουν κατά μέτωπο να μην είναι αναγνωρίσιμη. Μόνο αν την δουν υπό ορισμένη γωνία παίρνει την κανονική της μορφή. Επίσης, μπορούν να δουν αναμορφωμένες εικόνες στις επιφάνειες καμπυλόγραμμων κατόπτρων, όπως για παράδειγμα κυλινδρικών και κωνικών, όπου τα παραμορφωμένα πρότυπα τους βρίσκονται σε επίπεδες επιφάνειες. Να αναζητήσουν την σχέση ανάμεσα στην παραμορφωμένη εικόνα και την αντίστοιχη αναμορφωμένη της και να διαπιστώσουν ότι οι σχέσεις που τις συνδέουν είναι μαθηματικές. Να αναζητήσουν τον ιστορικό και κοινωνικό ρόλο των παραμορφώσεων αναμορφώσεων. Πιο συγκεκριμένα οι μαθητές: o Μέσα από αλληλεπιδραστικά εκθέματα, παρατηρούν την αναμόρφωση παραμορφωμένων εικόνων. o Παρατηρούν παραμορφωμένες εικόνες και προσπαθούν να ανακαλύψουν τόσο τις αναμορφωμένες εικόνες, όσο και τον τρόπο που θα μπορούσαν αυτές να αναμορφωθούν. o Παρατηρούν διάφορα είδη αναμορφώσεων και προσπαθούν να ανακαλύψουν τον τρόπο με τον οποίο έχουν επιτευχτεί αυτές οι αναμορφώσεις. o Ανακαλύπτουν τις μαθητικές σχέσεις σε κάθε είδος κατοπτρικής παραμόρφωσηςαναμόρφωσης. o Δημιουργούν τις δικές τους παραμορφωτικές εικόνες. o Γνωρίζουν τον τρόπο με τον οποίο η τέχνη των παραμορφώσεων συνδέθηκε με τη φιλοσοφία, την κοινωνία και την τέχνη. Παραμορφώσεις και Αναμορφώσεις 12

13 Ποια είναι τελικά η γεωμετρία που διέπει το σύμπαν; Η δραστηριότητα αυτή είναι κατάλληλη για μαθητές Β & Γ Λυκείου X. Μη-Ευκλείδειες γεωμετρίες Στόχος της ενότητας αυτής είναι η εισαγωγή των μαθητών στην ποικιλία των διαφόρων γεωμετρικών θεωριών, θεωρώντας την Ευκλείδεια εκδοχή ως μια ειδική περίπτωση. Οι μαθητές με βιωματικό τρόπο εισάγονται στους κανόνες διαφορετικών, Μη-Ευκλείδειων, γεωμετρικών κόσμων με αφορμή το υπερβολικό μοντέλο του Poincaré στους πίνακες του M.C. Escher αλλά και το προβολικό μοντέλο που πηγάζει από την γραμμική προοπτική των ζωγράφων της Αναγέννησης. Ανακαλύπτουν την ουσία της αξιωματικής μεθόδου και την έννοια της απόδειξης εκεί που η αλήθεια αντιβαίνει στη διαίσθηση. Ποια είναι τελικά η γεωμετρία που διέπει το σύμπαν; Μέσα από ομαδικές - βιωματικές δραστηριότητες, εικαστικά έργα και κατάλληλα σχεδιασμένη προβολή, οι μαθητές: o Αναζητούν την ελάχιστη διαδρομή που συνδέει δυο σημεία της υδρογείου, ώστε να προβληματιστούν με την έννοια της ευθείας στην ελλειπτική γεωμετρία και να κατανοήσουν τη γεωδαιτική γραμμή της σφαιρικής γεωμετρίας. o Κατανοούν την τοπικότητα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας στη σφαιρική επιφάνεια και διαπιστώνουν ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου στην επιφάνεια μιας σφαίρας υπερβαίνει τις 180 μοίρες. o Εξοικειώνονται με το ρόλο του κανόνα και του διαβήτη στην Ευκλείδεια Γεωμετρική κατασκευή, μέσα από απλά παραδείγματα και παιχνίδια. o Χωρίζονται σε ομάδες Ευκλείδειων και Μη-Ευκλείδειων Γεωμετρών και επιχειρούν καθοδηγούμενοι να αποδείξουν πόσο είναι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου. o Κατανοούν το διαφοροποιητικό ρόλο του 5 ου αιτήματος του Ευκλείδη. o Παρακινούνται να προσεγγίσουν την κάθε μαθηματική θεωρία ως ένα παιχνίδι με απλούς κανόνες, όπως το σκάκι. o Ταξιδεύουν στους νόμους του σύμπαντος του M.C.Escher, καλούμενοι να πλακοστρώσουν το Ευκλείδειο και το Υπερβολικό επίπεδο με σχήματα και σχέδια. 13

14 XI. Τα Μαθηματικά στην Φύση και την Τέχνη. Σαπωνοειδείς επιφάνειες, πλακοστρώσεις και η τέχνη της κυψέλης. Η έννοια της βελτιστοποίησης με την έννοια της εύρεσης των ακρότατων τιμών που μπορεί να πάρει μια συνάρτηση είναι ιδιαίτερα σημαντική. Αποτελεί μαθηματικό υπόβαθρο ερμηνείας και ελέγχου πολλών φαινομένων και χρησιμοποιείται στη λύση πολλών προβλημάτων. Ο Βέλγος φυσικός Jozeph Plateau ανακάλυψε το 1861 ότι οι μεμβράνες που δημιουργούνται όταν μια συρμάτινη κλειστή καμπύλη βυθιστεί σε σαπωνοειδές διάλυμα, καταλαμβάνουν την ελάχιστη δυνατή επιφάνεια. Η συμπεριφορά αυτή των μεμβρανών προέρχεται από το γεγονός ότι προσπαθούν να ελαχιστοποιήσουν τη δυναμική τους ενέργεια. Επειδή όμως αυτή είναι ανάλογη του εμβαδού τους, παίρνουν το σχήμα με το μικρότερο δυνατό εμβαδόν μεταξύ όλων όσων έχουν το ίδιο περίγραμμα. Οποιαδήποτε κλειστή καμπύλη και αν σχηματίσουμε με ένα σύρμα και την εμβαπτίσουμε στο σαπωνοειδές διάλυμα, θα σχηματισθεί πάντα μια επιφάνεια. Οι μαθητές πειραματίζονται και προβληματίζονται προσπαθώντας να εξηγήσουν τα διάφορα σχήματα που προκύπτουν από τη βύθιση κατάλληλα επιλεγμένων κατασκευών σε σαπωνοειδές διάλυμα. Το άκρως ενδιαφέρον είναι ότι κάποια από τα γεωμετρικά σχήματα που προκύπτουν έχουν άμεση σχέση με το σχήμα της κερήθρας, με τη βέλτιστη τοποθέτηση κυκλικών δίσκων στο επίπεδο και σφαιρών στο χώρο, καθώς και με τις κανονικές πλακοστρώσεις του επιπέδου αλλά και του χώρου. 14

15 XII. Τα Μαθηματικά στη Φύση και την Τέχνη. Λόγος, αναλογία, χρυσή τομή. H δομή της κατασκευής ενός κοχυλιού, η σχέση ανάμεσα στο πλήθος των δεξιόστροφων και αριστερόστροφων σπειρών του ηλίανθου και του κουκουναριού, η συμμετρία μιας πεταλούδας και μιας μαργαρίτας, η μοριακή δομή ενός ορυκτού, η χαρακτηριστική ομορφιά των νιφάδων του χιονιού, το ιδιότυπο σχήμα μιας φτέρης, ο τρόπος με τον οποίο αναπτύσσονται τα κλαδιά ενός δένδρου, η χαρακτηριστική αναλογία στα μέρη του ανθρώπινου σώματος, είναι δημιουργήματα της Φύσης και έγιναν απ αυτήν με τρόπο σοφό και μελετημένο. Πίσω από όλη αυτή τη δημιουργία κρύβονται νόμοι, που όπως έλεγε ο Γαλιλαίος είναι γραμμένοι στο μεγάλο βιβλίο της Φύσης και που τα γράμματα στις σελίδες του είναι σχήματα και αριθμοί. Στόχος αυτής της θεματικής ενότητας, είναι ο προβληματισμός των μαθητών στα Μαθηματικά αυτά της Φύσης και της Τέχνης, στον ορισμό της μαθηματικής έννοιας του λόγου και της αναλογίας, καθώς και τις φιλοσοφικές προεκτάσεις της. Μέσα από την άποψη του M.C. Escher στον πίνακα «Verbum» για τη δημιουργία και εξέλιξη της ζωής που απεικονίζεται στον πίνακα αυτό, διερευνάται η διασύνδεση του μαθηματικού λόγου με τις υπόλοιπες σημασίες της λέξης λόγος (αίτιο, λογική, ομιλία). Οι μαθητές εισάγονται στην έννοια της χρυσής τομής: α) αλγεβρικά μέσω της παρατήρησης και καταμέτρησης των αριστερόστροφων και δεξιόστροφων ελίκων σε κουκουνάρια και ηλίανθους, και το σχηματισμό της σχετικής ακολουθίας Fibonacci, β) γεωμετρικά μέσω της παρατήρησης πινάκων και αρχιτεκτονημάτων με εμφανή την παρουσία της χρυσής τομής. Κατασκευάζουν γεωμετρικά τη χρυσή τομή. Κατανοούν γιατί είναι άρρητος αριθμός και ανακαλύπτουν το συνεχές περιοδικό κλάσμα με το οποίο παριστάνεται, όντας ο πιο απλός άρρητος αριθμός. Γνωρίζουν και κατασκευάζουν το χρυσό τρίγωνο, το χρυσό ορθογώνιο, και το κανονικό πεντάγωνο. Ανακαλύπτουν τη χρήση της χρυσής τομής σε μια σειρά έργων τέχνης, εικαστικών, γλυπτών και αρχιτεκτονημάτων. 15

16 XIΙΙ. Αιτιοκρατία και τυχαιότητα. Ποια η διαφορά του τυχαίου φαινομένου από το μη τυχαίο; Στην περίπτωση του τυχαίου υπάρχουν μαθηματικοί νόμοι που το ελέγχουν; Το 16ο αιώνα γεννήθηκε η ιδέα ότι τα Μαθηματικά θα μπορούσαν να συμβάλλουν προς την κατεύθυνση αυτή. Ο λογισμός των πιθανοτήτων που εδώ και έναν αιώνα γνωρίζει μια άνευ προηγουμένου ανάπτυξη, συμβάλλει στην επίλυση προβλημάτων που απασχολούν τη Φυσική, τη Βιολογία, την Οικονομία, την Κοινωνιολογία κλπ. Αποτελεί δε, ένα από τα μαθηματικά εργαλεία που χρησιμοποιούνται ιδίως όταν επιδιώκεται η κατασκευή μοντέλων για πολύπλοκα και απρόβλεπτα γεγονότα. Οι μαθητές εδώ έχουν τη δυνατότητα, μέσα από απλά πειράματα και παιχνίδια, να κατανοήσουν και να υπολογίσουν την πιθανότητα εμφάνισης ενός συγκεκριμένου αποτελέσματος. Στόχος της ενότητας αυτής, είναι τα παιδιά να κατανοήσουν το διαχωρισμό μεταξύ τυχαίων και αιτιοκρατικών φαινομένων. Να κατανοήσουν την έννοια της πιθανότητας, ως το μέτρο που μετρά, αυτό που εμπειρικά αντιλαμβανόμαστε ως «Τύχη». Επίσης να κατανοήσουν έννοιες όπως: πείραμα τύχης, δειγματικός χώρος, ενδεχόμενο, ανακαλύπτοντας τον ρόλο του συνόλου, ως την θεμελιώδη έννοια πάνω στην οποία οικοδομούνται τα μαθηματικά εργαλεία, με τα οποία μελετάμε την έννοια της πιθανότητας. Τέλος μέσα από μια ιστορική διαδρομή να παρατηρήσουν το πώς τέθηκε αναπτύχθηκε και διαμορφώθηκε τελικά η έννοια της πιθανότητας, αλλά και το πώς ενέπνευσε διάφορα ρεύματα Τέχνης. Αιτιοκρατία και τυχαιότητα. 16

17 XΙV. Από την στατιστική ομαλότητα στην κανονικότητα της κωδωνοειδούς καμπύλης. Με βάση τις πληροφορίες που προκύπτουν από ένα πολύ μικρό αριθμό μετρήσεων, από ένα δείγμα κάποιου πληθυσμού, οι μέθοδοι της στατιστικής μας επιτρέπουν ν' αντλήσουμε πληροφορίες για ολόκληρο τον πληθυσμό. Εδώ οι μαθητές καλούνται να προβούν σε εκτίμηση των χαρακτηριστικών ενός πληθυσμού (πόσες είναι οι κίτρινες και πόσες οι πράσινες χάντρες σε ένα πληθυσμό 1000 συνολικά χαντρών μέσα σε κλειστό διαφανές δοχείο), ώστε να κατανοήσουν τι σημαίνει αξιοπιστία και τι αντιπροσωπευτικότητα δείγματος. Επόμενος στόχος αυτής της δραστηριότητας είναι η εισαγωγή στην κανονική κατανομή, ως οριακής μορφής της αντίστοιχης διακριτής δυωνυμικής, με τη βοήθεια του αλληλεπιδραστικού εκθέματος γνωστού ως «τρίγωνο Galton» (Galton Board ή Quinqunxpc). Οι ιδιότητες της κανονικής κατανομής δίνονται ως απλές πληροφορίες, χωρίς καμία εξήγηση, για πρώτη φορά στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση, στα Μαθηματικά Γ Λυκείου Γενικής Παιδείας. Η προσπάθειά μας είναι να δώσουμε μια ευλογοφανή δικαιολόγηση αυτών των ιδιοτήτων χρησιμοποιώντας την προσέγγισή της από την δυωνυμική κατανομή χρησιμοποιώντας το αλληλεπιδραστικό έκθεμα «τρίγωνο του Galton». 17

18 XV. Ο θαυμαστός κόσμος των fractals. Στόχος της ενότητας, είναι η εξερεύνηση του κόσμου των fractals μέσα από την αναζήτηση της δομής και της αισθητικής επιλεγμένων φυσικών αντικειμένων και των νόμων που διέπουν τη γεωμετρία της φύσης. Η απλότητα των γεωμετρικών σχημάτων αντιτάσσεται στην πολυπλο- και της μοντέρνας τέχνης, κότητα του φυσικού κόσμου καθώς ο άνθρωπος κάνει ένα ακόμη βήμα για την αποκρυτου σύμπαντος. πτογράφηση των μυστικών Μέσα από το διάλογο, κατάλληλα σχεδιασμένη προβολή και ομαδικές δραστηριότητες οι μαθητές: o Aναζητούν την προέλευση της πανανθρώπινης και έμφυτης αντίληψης της αισθητικής μέσα από τα φυσικά και κοινωνικά πρότυπα. o Περιηγούνται με τη βοήθεια ειδικού λογισμικού και αντίστοιχα βίντεο σε γνωστά fractals όπως το Mandelbrot και το τρίγωνο του Sierpinski. o Εξοικειώνονται με την ιδέα της αυτοομοιότητας μέσα από ομαδικά παιχνίδια. o Κατασκευάζουν τα δικά τους fractal μέσα από επαναληπτικές αλγοριθμικές διαδικασίες, τις οποίες καλούνται να κωδικοποιήσουν με ένα απλό αλφάβητο. o Εισάγονται στην έννοια της κλασματικής διάστασης και μετρούν την κλασματική διάσταση του fractal του Sierpinski με απλές μεθόδους. o Μαθαίνουν να αναγνωρίζουν αυτοόμοια μοτίβα στη φύση και στα έργα του M. C. Escher και αναζητούν τη σύνδεση τεχνικής και αποτελέσματος στους πίνακες του J. Pollock. 18 «Τα σύννεφα δεν είναι σφαίρες, τα βουνά δεν είναι κώνοι, οι ακτογραμμές δεν είναι κύκλοι και o φλοιός των δένδρων δεν είναι λείος, ούτε η αστραπή δεν ταξιδεύει σε ευθεία γραμμή.» The fractal geometry of nature Benoit Mandelbrot

19 XVI. Αλγόριθμοι καθημερινών προβλημάτων. Στόχος της ενότητας αυτής, είναι τα παιδιά να κατανοήσουν την έννοια του αλγορίθμου, ως ακολουθία βημάτων επίλυσης προβλημάτων που προκύπτουν από την επαφή με κατάλληλα επιλεγμένα εκθέματα -γρίφους και παιχνίδια. Πιο συγκεκριμένα, οι μαθητές: o Παίζουν με αλληλεπιδραστικά εκθέματα που τους εισάγουν βιωματικά στην έννοια του αλγορίθμου. o Αναζητούν τρόπους μέσα από τους οποίους θα μετατρέψουν μια βιωματική κατάσταση σ ένα πρόβλημα του οποίου θα αναγνωρίσουν τα δεδομένα και τα ζητούμενα. o Αναζητούν τα διαδοχικά βήματα λύσης, διερευνούν την ορθότητά τους και προβληματίζονται για το αν υπάρχει βέλτιστη λύση. o Αναζητούν τρόπους με τους οποίους μπορούμε να τυποποιήσουμε ένα αλγόριθμο προς όφελος της αυτοματοποίησης του. Δηλαδή, του τρόπου επίλυσής του από ένα υπολογιστικό σύστημα. o Παίζουν με αλληλεπιδραστικά εκθέματα που τους οδηγούν σε διαφορετικού τύπου αλγορίθμους. o Αναζητούν τον ρόλο του αλγορίθμου στην τέχνη. Αλγόριθμοι καθημερινών προβλημάτων. 19

20 XVII. Το δυαδικό αλφάβητο του Η/Υ. Στη συγκεκριμένη δραστηριότητα, οι μαθητές κατανοούν μέσω κατάλληλου αλληλεπιδραστικού εκθέματος, τη σχέση μεταξύ δυαδικού και δεκαδικού συστήματος αρίθμησης. Γίνεται ιστορική σύνδεση με τη Λογική που θεμελίωσε ο μεγάλος φιλόσοφος Αριστοτέλης. Βασικό ζήτημα της Αριστοτελικής λογικής είναι ο χαρακτηρισμός μιας λογικής πρότασης ή ενός λογικού συλλογισμού ως Αληθούς (Α) ή Ψευδούς (Ψ). Οι δύο αυτοί χαρακτηρισμοί είναι το θεμέλιο της «δίτιμης λογικής», που σε συνδυασμό με το δυαδικό σύστημα αρίθμησης των μαθηματικών και τις δύο βασικές καταστάσεις «διέρχεται και δεν διέρχεται ρεύμα» των κυκλωμάτων του ηλεκτρονικού υπολογιστή αποτελούν τη βάση της επιστήμης της Πληροφορικής. Γίνεται επίσης σύνδεση με το πλαστικό αλφάβητο του Vasarely και τα εικαστικά ψηφία του, αλλά και την ευρύτερη έννοια και αναγκαιότητα ενός αλφαβήτου για τη διαμόρφωση μιας γλώσσας επικοινωνίας. 20

21 Συνοπτικός Πίνακας Ακολουθεί συνοπτικός πίνακας με τις θεματικές ενότητες για το λύκειο και τις τάξεις στις οποίες αντιστοιχούν. Η ταξινόμηση που ακολουθεί δεν είναι υποχρεωτική καθώς, κατόπιν συνεννόησης με τους εκπαιδευτικούς, κάποια θεματική ενότητα μπορεί να παρουσιασθεί σε μαθητές διαφορετικών τάξεων από τις προτεινόμενες, ενώ μπορεί να επιλεγεί και ένας συνδυασμός τους. Θεματικές Ενότητες I. Η παραλληλία και η ομοιότητα. II. Το διασημότερο Θεώρημα στα Μαθηματικά και την Τέχνη. III. Από τις Πυθαγόρειες αρμονίες στην συγκερασμένη κλίμακα (Μουσική και Μαθηματικά). IV. Από τις σκιές του Πλατωνικού σπηλαίου στο πρώτο κοσμολογικό μοντέλο (Κανονικά πολύγωνα και πολύεδρα). V. Το άπειρο & το όριο στην τέχνη & τα μαθηματικά. Λύκειο Α Β Γ VI. Οπτικά και λογικά παράδοξα. VII. Οι κωνικές τομές από την αρχαιότητα στην Αναγέννηση. VIII. Προοπτικές αναπαράστασης του χώρου. IX. Παραμορφώσεις και Αναμορφώσεις. X. Μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες. XI. Τα Μαθηματικά στην Φύση και την Τέχνη. Σαπωνοειδείς επιφάνειες, πλακοστρώσεις και η τέχνη της κυψέλης. XII. Τα Μαθηματικά στην Φύση και την Τέχνη. Λόγος, αναλογία, χρυσή τομή. XIII. Αιτιοκρατία και τυχαιότητα. XIV. Από την στατιστική ομαλότητα στην κανονικότητα της κωδωνοειδούς καμπύλης. XV. Ο θαυμαστός κόσμος των fractals XVI. Αλγόριθμοι καθημερινώνν προβλημάτων. 21