ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ

Transcript

1 ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΜΠΕΙΡΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΟΣ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥΧΙΚΩΝ ΠΕΡΙΟΥΣΙΑΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ (CAPM) ΤΩΝ ΜΕΤΟΧΩΝ ΤΟΥ ΕΙΚΤΗ ΥΨΗΛΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΟΥ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΕΡΙΟ Ο Πέτρος Ν. Καραµπάτσης ΕΡΓΑΣΙΑ Που υποβλήθηκε στο Τµήµα Στατιστικής του Οικονοµικού Πανεπιστηµίου Αθηνών ως µέρος των απαιτήσεων για την απόκτηση Μεταπτυχιακού ιπλώµατος Ειδίκευσης στη Στατιστική Μερικής Φοίτησης (Part-tme) µε κατεύθυνση «Στατιστικές Μέθοδοι στη ιαχείριση Ασφαλιστικών Οργανισµών» Αθήνα Ιούλιος 2015

2 Περιεχόµενα Λίστα Πινάκων... 3 Λίστα ιαγραµµάτων... 5 Περίληψη... 6 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγική τοποθέτηση του αντικειµένου Εισαγωγή Αντικείµενο διπλωµατικής εργασίας Σκοπός διπλωµατικής εργασίας οµή της ιπλωµατικής Εργασίας Κεφάλαιο 2. Εισαγωγή στην Σύγχρονη Θεωρία Χαρτοφυλακίου Ο Μαθηµατικός ορισµός του χαρτοφυλακίου Η Έννοια της ιαφοροποίησης στη Σύγχρονη Θεωρία Χαρτοφυλακίου ιάγραµµα του χαρτοφυλακίου Αξιόγραφο Μηδενικού Κινδύνου (Rsk-Free Asset) Η Συµβολή του Harry Markowtz στη MPT Από τον Markowtz στο CAPM Κεφάλαιο 3. Το Υπόδειγµα Αποτίµησης Κεφαλαιουχικών Περουσιακών Στοιχειών (CAPM) Η Βασική ιδέα πίσω από το CAPM The Captal Market Lne Το Υπόδειγµα Αποτίµησης Κεφαλαιουχικών Περουσιακών Στοιχείων (CAPM) The Securty Market Lne Η θεωρία της Αποτελεσµατικότητας της Αγορά (The Effcent Market Theory) Έλεγχος της Αποτελεσµατικότητας της Αγοράς Εµπειρική µελέτη του Υποδείγµατος Αποτίµησης Κεφαλαιουχικών Περιουσιακών Στοιχείων ( CAPM)

3 3.7.1 Ενδείξεις υπέρ του CAPM Αποκλίσεις από τη γραµµική σχέση κινδύνου- απόδοσης του CAPM Η αµφισβήτηση του Υποδείγµατος Μελέτες της Ελληνικής Χρηµατιστηριακής Αγοράς Κεφάλαιο 4. Ανάπτυξη της µεθοδολογίας για την διερεύνηση της Ελληνικής Χρηµαταγοράς Το Κλασσικό Υπόδειγµα Αποτίµησης Κεφαλαιουχικών Περιουσιακών Στοιχείων (CAPM)... Error! Bookmark not defned. 4.2 Άντληση τωνδεδοµένων Σχηµατισµός χαρτοφυλακιών Το Υπό Συνθήκη Υπόδειγµα Αποτίµησης Κεφαλαιουχικών Περιουσιακών Στοιχείων Κεφάλαιο 5. Αποτελέσµατα της εµπειρικής διερεύνησης των µετοχών υψηλής κεφαλαιοποίησης του ελληνικού χρηµατιστηρίου Εµπειρικά αποτελέσµατα του κλασσικού Υποδείγµατος Αποτίµησης Κεφαλαιουχικών Περιουσιακών Στοιχείων Εµπειρικά αποτελέσµατα του υπό συνθήκη υποδείγµατος Κεφάλαιο 6: Σύνοψη και Συµπεράσµατα Σύνοψη Συµπεράσµατα Βιβλιογραφία Παράρτηµα

4 Λίστα Πινάκων Πίνακας 1: Οι συντελεστές βήτα των µετοχών του FTSE20 του Χ.Α.Α. για την περίοδο Πίνακας 2: Αναλυτική σύνθεση των 6 χαρτοφυλακίων Πίνακας 3: Οι συντελεστές βήτα των σχηµατισµένων χαρτοφυλακίων...84 Πίνακας 4: Εκτίµηση της SML Πίνακας 5: Έλεγχος για µη γραµµικότητες Πίνακας 6: Έλεγχος της επίδρασης του µη-συστηµατικού κινδύνου 90 Πίνακας 7: Εκτίµηση της SML για κάθε έτος..90 Πίνακας 8: Εξετάζοντας την µη-γραµµικότητα για τα έτη Πίνακας 9: Εξετάζοντας την επίδραση του µη-συστηµατικού κινδύνου για τα έτη Πίνακας 10: Εξετάζοντας το υπό συνθήκη CAPM Πίνακας 11: Οι συντελεστές βήτα των µετοχών του FTSE20 του Χ.Α.Α. για το έτος Πίνακας 12: Αναλυτική σύνθεση των 6 χαρτοφυλακίων για το έτος Πίνακας 13: Οι συντελεστές βήτα των µετοχών του FTSE20 του Χ.Α.Α. για το έτος Πίνακας 14:Αναλυτική σύνθεση των 6 χαρτοφυλακίων για το έτος Πίνακας 15: Οι συντελεστές βήτα των µετοχών του FTSE20 του Χ.Α.Α. για το έτος Πίνακας 16:Αναλυτική σύνθεση των 6 χαρτοφυλακίων για το έτος Πίνακας 17: Οι συντελεστές βήτα των µετοχών του FTSE20 του Χ.Α.Α. για το έτος Πίνακας 18:Αναλυτική σύνθεση των 6 χαρτοφυλακίων για το έτος Πίνακας 19: Οι συντελεστές βήτα των µετοχών του FTSE20 του Χ.Α.Α. για το έτος Πίνακας 20: Αναλυτική σύνθεση των 6 χαρτοφυλακίων για το έτος

5 Πίνακας 21: Οι συντελεστές βήτα των µετοχών του FTSE20 του Χ.Α.Α. για το έτος Πίνακας 22: Αναλυτική σύνθεση των 6 χαρτοφυλακίων για το έτος Πίνακας 23: Εξετάζοντας το υπό συνθήκη CAPM Πίνακας 24: Εξετάζοντας το υπό συνθήκη CAPM Πίνακας 25: Εξετάζοντας το υπό συνθήκη CAPM Πίνακας 26: Εξετάζοντας το υπό συνθήκη CAPM Πίνακας 27: Εξετάζοντας το υπό συνθήκη CAPM Πίνακας 28: Εξετάζοντας το υπό συνθήκη CAPM Πίνακας 29: Μέση υπεραπόδοση απόδοση του Γενικού είκτη για τα έτη 2005 έως Πίνακας 30: Eβδοµαδιαίες αποδόσεις των 18 επιλεγµένων µετοχών υψηλής κεφαλαιοποίησης (FTSE/ATHEX 20).113 4

6 Λίστα ιαγραµµάτων ιάγραµµα 1. Εφικτό Σύνολο Χαρτοφυλακίων για διάφορες τιµές του συντελεστή συσχέτισης (Wthout Short Sellng) ιάγραµµα 2. Εφικτό σύνολο (Feasble Set).23 ιάγραµµα 3. Εφικτό σύνολο- Feasble Set wth Short Sellng 25 ιάγραµµα 4. Feasble Set Wth Rsk-Free Asset. 28 ιάγραµµα 5. Captal Market Lne 41 ιάγραµµα 6. Securty Market Lne..45 ιάγραµµα 7. Συνολικός κίνδυνος...48 ιάγραµµα 8. Captal Market Lne 49 ιάγραµµα 9: Εκτίµηση της SML ( ) 88 ιάγραµµα 10: Εκτίµηση της SML για το έτος

7 Περίληψη Η διπλωµατική εργασία σχετίζεται µε την εµπειρική εφαρµογή του Υποδείγµατος Αποτίµησης Κεφαλαιουχικών Περιουσιακών Στοιχείων (ΥΑΚΠΣ) ή CAPM (Captal Asset Prcng Model) στις µετοχές του δείκτη υψηλής κεφαλαιοποίησης FTSE/ASE20 του ελληνικού χρηµατιστηρίου για την περίοδο Ιανουαρίου 2005 µέχρι και το εκέµβριο του Ειδικότερα χρησιµοποιήθηκαν το κλασικό Υπόδειγµα Αποτίµησης Κεφαλαιουχικών Περιουσιακών Στοιχείων CAPM καθώς και το Υπό Συνθήκη Υπόδειγµα Αποτίµησης Κεφαλαιουχικών Περιουσιακών Στοιχείων. Το παρόν σύγγραµµα χωρίζεται σε 3 κύριες θεµατικές ενότητες: Στο πρώτο µέρος, όπου αιτιολογείται το ερευνητικό θέµα, πραγµατοποιείται µια εισαγωγή στη Σύγχρονη Θεωρία Χαρτοφυλακίου και την επιστηµονική θεµελίωση του υπό εξέταση υποδείγµατος (CAPM). Το δεύτερο µέρος περιλαµβάνει τη µεθοδολογία που χρησιµοποιήθηκε για την εµπειρική εφαρµογή στις µετοχές του ελληνικού χρηµατιστηρίου. Στο τρίτο, και τελευταίο µέρος, παρουσιάζονται αναλυτικά τα αποτελέµατα της µελέτης καθώς επίσης και τα συµπεράσµατα που προέκυψαν από την εφαρµογή της θεωρίας. Καταληκτικά, ο επίλογος απαντά στο εάν και κατά πόσο επαληθεύονται οι βασικές υποθέσεις της θεωρίας και στη δυνατότητα του υποδείγµατος να ερµηνεύσει τις µεταβολές στις τιµές των µετοχών σε ένα διαρκώς µεταβαλλόµενο οικονοµικό περιβάλλον. 6

8 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγική τοποθέτηση του αντικειµένου 1.1 Εισαγωγή Η ανάγκη των κοινωνιών για την εύρεση ενός µηχανισµού που θα τους βοηθούσε στην διακίνηση και ανταλλαγή αγαθών οδήγησε στην δηµιουργία δοµών, η µετεξέλιξη των οποίων µε το πέρασµα των χρόνων, είναι αυτό που ονοµάζουµε σήµερα χρηµατιστήρια. Ιστορικά, τα Χρηµατιστήρια προέκυψαν µέσα από την ανάγκη ανταλλαγής αγαθών και εµπορευµάτων στις πρώτες οικονοµίες αλλά και αγροτικές κοινωνίες της Ευρώπης. Παρόµοια, η ανάγκη για συστηµατοποίηση, σύµφωνα µε τις δυνατότητες της εποχής, της εµπορίας µεταλλευµάτων σε χώρες µε πλουτοπαραγωγικούς πόρους, όπως στον Καναδά και την Αφρική, στάθηκε ως αφορµή για την δηµιουργία χρηµατιστηρίων. Η κάλυψη της ανθρώπινης ανάγκης για διακίνηση αγαθών αποτέλεσε την αιτία, όπως αναφέραµε και παραπάνω, για την δηµιουργία των χρηµατιστηρίων. Με το πέρασµα των χρόνων, όµως, όλο και αυξανόταν ο αριθµός των προϊόντων-µετοχών που διαπραγµατεύονταν σε αυτά, και κατά συνέπεια η σπουδαιότητα που αποκτούσαν. Η διαρκής αύξηση του πλήθους των προϊόντων, που ήταν αντικείµενα συναλλαγής στα χρηµατιστήρια, οδήγησε στην ανάγκη για µια µεγαλύτερη εξειδίκευση και οργάνωση των αγορών. Παράλληλα, καθώς αυξανόταν ο αριθµός των προϊόντων που διαπραγµατεύονταν σε αυτά και κατ επέκταση ο κύκλος εργασιών τους, θεσµοθετήθηκαν µια σειρά από κανόνες που διέπουν τη λειτουργία των χρηµατιστηρίων, καθώς και ένας µεγάλος αριθµός εποπτικών οργάνων, που εξασφαλίζουν την εύρυθµη λειτουργία τους. Η οργάνωση των χρηµατιστηρίων και η θέσπιση κανόνων που διέπουν την λειτουργία τους, είχε ως αποτέλεσµα την αύξηση του κύρους και της αξιοπιστίας τους. Έτσι, όλο και περισσότερες εταιρείες αποφάσιζαν την εισαγωγή τους στο χρηµατιστήριο, µε σκοπό να 7

9 καρπωθούν τα οφέλη που προέκυπταν, αναδεικνύοντας όλο και περισσότερο τον ρόλο και την χρησιµότητα του χρηµατιστηρίου. ίνοντας έναν ορισµό για το χρηµατιστήριο, θα λέγαµε ότι είναι ο τόπος όπου γίνονται αγοραπωλησίες αξιών ή αντικειµένων, των οποίων οι τιµές διαπραγµατεύονται σύµφωνα µε τους κανόνες της προσφοράς και της ζήτησης. Το πρώτο χρηµατιστήριο, µε τη σηµερινή του έννοια, άρχισε να λειτουργεί στα µέσα του 15 ου σιώνα στην Αµβέρσα και είχε µικρό χαρακτήρα, δηλαδή διαπραγµατευόταν αξίες και εµπορεύµατα. (Βούλγαρη- Παπαγεωργίου, 2002) Σήµερα τα χρηµατιστήρια, ως οργανωµένες αγορές που συγκεντρώνουν τους βασικούς επενδυτικούς συντελεστές (εταιρείες, επενδυτές, επιχειρηµατίες) συνιστούν ένα βασικότατο µοχλό ανάπτυξης των επιχειρήσεων και της οικονοµίας ευρύτερα και είναι ένας µηχανισµός που υποβοηθά συνολικά, στην περαιτέρω ανάπτυξη. Αποτελούν µέρος του συνολικού χρηµατοδοτικού συστήµατος και όπως και οι τράπεζες παρέχουν τα µέσα και τις υπηρεσίες για τη µεταβίβαση χρηµατικών πόρων από τις αποταµιεύσεις των επενδυτών στις επιχειρήσεις, οι οποίες µε αυτά τα κεφάλαια υλοποιούν τα επενδυτικά τους προγράµµατα. Το ευρύ επενδυτικό κοινό διοχετεύει αποταµιευτικά κεφάλαια στις επιχειρήσεις και προσδοκά θετικές αποδόσεις, που επιτυγχάνονται µέσα από την αναπτυξιακή πορεία της επιχείρησης που οδηγεί σε ανοδική πορεία την τιµή της µετοχής (κεφαλαιακά κέρδη) καθώς και σε µερισµατικές αποδόσεις. Έτσι, οι επενδυτές αντιλαµβάνονται τις µετοχές ως µια εναλλακτική µορφή τοποθέτησης των χρηµάτων τους, προσδοκώντας στην επίτευξη αποδόσεων, υψηλότερων από αυτές που προσφέρουν επενδύσεις σε πολύ χαµηλού κινδύνου προϊόντα (όπως οι τραπεζικές καταθέσεις και τα κρατικά οµόλογα), ως ανταµοιβή του επιπλέον κινδύνου που αναλαµβάνουν. 8

10 Οι επιχειρήσεις µπορούν να αντλήσουν κεφάλαια από το ευρύ επενδυτικό κοινό, τόσο κατά την εισαγωγή τους στο χρηµατιστήριο, εφ όσον εισάγονται µετά από αύξηση µετοχικού κεφαλαίου µε δηµόσια εγγραφή, όσο και αργότερα µέσω νέων αυξήσεων µετοχικού κεφαλαίου. 1.2 Αντικείµενο διπλωµατικής εργασίας Η ανάπτυξη των χρηµατιστηρίων και η ανάδειξη του ρόλου τους ως ενός αναπτυξιακού µηχανισµού η συµπεριφορά του οποίου, επιδρά άµεσα σε µικροοικονοµικό επίπεδο (επιχειρήσεις) και έµµεσα σε µακροοικονοµικό (επιτόκια, ρευστότητα της οικονοµίας κ.α). Επίσης, ο συνεχώς αυξανόµενος αριθµός του ύψους των επενδύσεων σε αυτά, οδήγησε τους ερευνητές ανά τον κόσµο, από τα µέσα του 20ου αιώνα και µετά, στην ανάπτυξη και θεµελίωση της Σύγχρονης Θεωρίας Χαρτοφυλακίου (Modern Portfolo Theory-ΜΡΤ). Οι βάσεις της Σύγχρονης Θεωρίας Χαρτοφυλακίου τέθηκαν από τον Harry Markowtz (1952), ο οποίος ανέπτυξε το µοντέλο της βελτιστοποίησης της απόδοσης σε σχέση µε τον κίνδυνο-διακύµανση των αξιογράφων. Η µεγιστοποίηση όµως της απόδοσης για ένα αποδεκτό επίπεδο κινδύνου στο µοντέλο Markowtz είναι ένα κλασσικό µονό-κριτήριο πρόβληµα, όπου ως µέτρο εκτίµησης του κινδύνου θεωρείται η διακύµανση των µεµονωµένων αξιογράφων. Ωστόσο η λειτουργία της αγοράς είναι περισσότερο σύνθετη οδηγώντας έτσι στην ανάπτυξη του Υποδείγµατος Αποτίµησης Κεφαλαιουχικών Περιουσιακών Στοιχείων Υ.Α.Κ.Π.Σ. (Captal Asset Prcng Model-CAPM), όπου και εισάγεται ένας εναλλακτικός ορισµός για τον κίνδυνο του εκάστοτε αξιόγραφου, όπως αυτός εκφράζεται από την συσχέτιση του αξιόγραφου µε τον κίνδυνο της αγοράς στο σύνολο της. Στο σηµείο αυτό, αξίζει να αναφέρουµε ότι τα τελευταία χρόνια έχουν αναπτυχθεί ποικίλα πολυδιάστατα µοντέλα τα οποία λαµβάνουν υπόψη περισσότερους από έναν τύπους κινδύνου και όχι µόνο τον κίνδυνο της αγοράς, όπως είναι η 9

11 παραγοντική ολοκλήρωση και το µοντέλο της εξισορροπητικής κερδοσκοπίας (APT-Arbtrage Prcng Theory). εν θα επεκταθούµε περισσότερο όµως σε αυτά, καθώς δεν αποτελούν αντικείµενο µελέτης της παρούσας εργασίας. 1.3 Σκοπός διπλωµατικής εργασίας Η παρούσα διπλωµατική εργασία εστιάζει στην εµπειρική διερεύνηση του δείκτη των µετοχών υψηλής κεφαλαιοποίησης (FTSE/20) του Ελληνικού χρηµατιστηρίου (ASE) για την περίοδο Η έρευνα ασχολείται µε την εξέταση του κλασσικού Υποδείγµατος Αποτίµησης Κεφαλαιουχικών Περιουσιακών Στοιχείων (CAPM) και την τελευταία διαφοροποίηση του σύµφωνα µε τις προϋποθέσεις του υπό συνθήκη µοντέλου των Pettengll Sundaram και Mathur (1995). Η περίοδος αυτή για την ελληνική χρηµατιστηριακή αγορά χαρακτηρίζεται από έντονη µεταβλητότητα καθώς περιλαµβάνει πολύ υψηλές ιστορικά τιµές (τέλη του 2007) ως αποτέλεσµα της διαρκούς ανοδικής κίνησης από τα τέλη του 2003, εξαιτίας των υψηλών ρυθµών ανάπτυξης της ελληνικής οικονοµίας, της δυναµικής των Ολυµπιακών Αγώνων και της γενικότερης παγκόσµιας οικονοµικής ανάπτυξης που είχε ως αποτέλεσµα την άνοδο σε ιστορικά υψηλά επίπεδα του συνόλου των χρηµατιστηρίων του αναπτυγµένου δυτικού κόσµου. Αντίθετα, στα επόµενα χρόνια ακολούθησε βίαια πτώση των τιµών των µετοχών του ελληνικού χρηµατιστηρίου, κινούµενο ανάλογα µε τις σηµαντικότερες διεθνείς αγορές, ως συνέπεια τις χρηµατοπιστωτικής κρίσης που ξεκίνησε από τις ΗΠΑ (στα τέλη του 2007), την εξέλιξη της σε οικονοµική κρίση κατά το έτος 2009, και την µετεξέλιξη της σε δηµοσιονοµική το έτος Αξίζει να τονίσουµε ότι κατά το 2010 η ελληνική χρηµατιστηριακή αγορά σε αντίθεση µε τα προηγούµενα χρόνια, όπου η συσχέτιση που εµφάνιζε µε τις κυριότερες διεθνείς αγορές ήταν σε 10

12 ιστορικά υψηλά επίπεδα, διαφοροποιήθηκε σε σηµαντικό βαθµό από τις διεθνείς αγορές και διέγραψε έντονα πτωτική πορεία ως απόρροια των ιδιαίτερα αρνητικών επιπτώσεων που είχε για την Ελλάδα το ξέσπασµα της δηµοσιονοµικής κρίσης σε αυτήν. Τα χαρακτηριστικά αυτά καθιστούν ιδιαίτερα χρήσιµη και σηµαντική την εξέταση του χρηµατοοικονοµικού υποδείγµατος (CAPM) σε συνθήκες µεταβλητότητας και αστάθειας προκειµένου να εξαχθούν συµπεράσµατα για την ακρίβεια και την προσαρµοστικότητα του σε συνθήκες µεταβαλλόµενων αποδόσεων. 1.4 οµή της διπλωµατικής εργασίας Η διπλωµατική εργασία αποτελείται από έξι κεφάλαια. Ειδικότερα το κάθε κεφάλαιο ξεχωριστά αναφέρεται στα εξής: Κεφάλαιο 1: Εισαγωγική τοποθέτηση του αντικειµένου της διπλωµατικής εργασίας: Περιλαµβάνει µια σύντοµη αιτιολόγηση του ερευνητικού θέµατος. Κεφάλαιο 2: Εισαγωγή στη Σύγχρονη Θεωρία Χαρτοφυλακίου-MPT: Πραγµατοποιείται µια εισαγωγή στην Σύγχρονη Θεωρία Χαρτοφυλακίου που αποτελεί τον θεµέλιο λίθο του υπό εξέταση υποδείγµατος. Κεφάλαιο 3: Το Υπόδειγµα Αποτίµησης Κεφαλαιουχικών Περιουσιακών Στοιχείων-CAPM: Παρουσιάζονται αναλυτικά οι υποθέσεις πάνω στις οποίες στηρίζεται το CAPM, αναλύεται σε βάθος η θεωρία και παρατίθενται τα σηµαντικότερα ευρήµατα της σχετικής βιβλιογραφίας. Κεφάλαιο 4: Ανάπτυξη της µεθοδολογίας για την διερεύνηση της ελληνικής χρηµαταγοράς: Αναπτύσσεται η µεθοδολογία που θα ακολουθηθεί για την επίτευξη των στόχων της διατριβής και ειδικότερα το κλασσικό και το υπό συνθήκη υπόδειγµα αποτίµησης κεφαλαιουχικών στοιχείων. 11

13 Κεφάλαιο 5: Παρουσιάζονται και αναλύονται τα εµπειρικά αποτελέσµατα που προκύπτουν από την εφαρµογή της µεθοδολογίας όπως αναπτύχθηκε παραπάνω. Κεφάλαιο 6: Παρουσιάζεται µια σύντοµη ανακεφαλαίωση της εργασίας και παρατίθενται τα βασικά συµπεράσµατα της µελέτης. Κεφάλαιο 2. Εισαγωγή στην Σύγχρονη Θεωρία Χαρτοφυλακίου 2.1 Εισαγωγή Η συµπεριφορά των µετοχών, παρόµοια και των υπόλοιπων χρηµατοοικονοµικών προϊόντων, χαρακτηρίζεται από αβεβαιότητα και άρα τυχαιότητα. Η έννοια της τυχαίας µεταβλητής υπεισέρχεται για να περιγράψει την κίνηση αυτών των προϊόντων. Έτσι, οι τιµές των µετοχών λογίζονται ως τυχαίες µεταβλητές και κατά συνέπεια, η απόδοση των µετοχών για µια περίοδο θα είναι επίσης µια τυχαία µεταβλητή. Η τυπική απόκλιση, ως ένα µέτρο της δυνητικής απόκλισης γύρω από την µέση τιµή, χρησιµοποιείται ως µέτρο του κινδύνου που απορρέει από την επένδυση στην εκάστοτε µετοχή. Ο κίνδυνος εκφράζει την αβεβαιότητα ότι η πραγµατοποιούµενη απόδοση δεν θα είναι ίση µε την αναµενόµενη απόδοση. Εάν δεν υπήρχε αβεβαιότητα δεν θα υπήρχε και κίνδυνος. Αντίστοιχα, κάθε χαρτοφυλάκιο, ως µια σταθµισµένη επιλογή τυχαίων µεταβλητών- µετοχών, είναι και αυτό τυχαία µεταβλητή και κατ επέκταση ορίζεται η µέση αναµενόµενη απόδοση και η τυπική απόκλιση του, ως περιγραφικά µέτρα της απόδοσης που αναµένουµε από αυτό και του κινδύνου που το χαρακτηρίζει. O επενδυτής θα επιλέξει µεταξύ εκείνων των µετοχών που µεγιστοποιούν την απόδοση ελαχιστοποιώντας ταυτόχρονα τον κίνδυνο. Στο σηµείο αυτό πρέπει να παρατηρήσουµε ότι η προσδοκώµενη απόδοση του χαρτοφυλακίου θα εξαρτάται από τις προσδοκώµενες αποδόσεις των επιµέρους αξιόγραφων καθώς και τα ποσοστά 12

14 συµµετοχής του καθενός στο χαρτοφυλάκιο και η τυπική απόκλιση του χαρτοφυλακίου εξαρτάται από τις τυπικές αποκλίσεις των επιµέρους αξιόγραφων καθώς και τα ποσοστά συµµετοχής του καθενός στο χαρτοφυλάκιο. Η επένδυση είναι µια ανταλλαγή µεταξύ κινδύνου και απόδοσης, δεδοµένου ότι επενδύουµε σε ένα αξιόγραφο προσδοκώντας την µέση αναµενόµενη απόδοση του και ταυτόχρονα αναλαµβάνουµε τον κίνδυνο που απορρέει από την επένδυση σε αυτό. Για ένα συγκεκριµένο ύψος κινδύνου, η MPT περιγράφει πώς να επιλεγεί ένα χαρτοφυλάκιο µε την µέγιστη δυνατή απόδοση. Ή, για µια δεδοµένη απόδοση, η MPT εξηγεί πώς να επιλεγεί ένα χαρτοφυλάκιο µε το χαµηλότερο δυνατό κίνδυνο. Στόχος της MPT είναι η επιλογή µιας συλλογής επενδυτικών αξιόγραφων που να έχει συνολικά χαµηλότερο κίνδυνο σε σχέση µε τον κίνδυνο κάθε µεµονωµένου αξιόγραφου. Αυτό είναι εφικτό, θεωρητικά, γιατί διαφορετικά είδη αξιόγραφων συχνά µεταβάλλονται ως προς την αξία µε αντίθετους τρόπους. Η MPT υποθέτει ότι οι επενδυτές είναι ορθολογικοί, πράγµα που σηµαίνει ότι µεταξύ αξιόγραφων που προσφέρουν την ίδια αναµενόµενη απόδοση, οι επενδυτές θα προτιµούσαν τα λιγότερο επικίνδυνα αξιόγραφα. Ως εκ τούτου, ένας επενδυτής θα λάβει αυξηµένο κίνδυνο µόνο εάν αντισταθµίζεται από υψηλότερες αποδόσεις. Αντίθετα, η επιθυµία µεγαλύτερης αναµενόµενης απόδοσης συνεπάγεται, και µεγαλύτερη αποδοχή κινδύνου. Έτσι, κατά την MPT οι επενδυτές αποδέχονται την χρήση της αναµενόµενης απόδοσης και της τυπικής απόκλισης ως µέτρα για την επιλογή της επενδυσής τους. Το πώς κάθε επενδυτής θα κατανείµει τον πλούτο του ποσοτικοποιείται από µια συνάρτηση χρησιµότητας που δίνει την δυνατότητα στον επενδυτή να βαθµολογήσει τις επενδυτικές του επιλογές. Σύµφωνα µε τη Σύγχρονη Θεωρία Χαρτοφυλακίου, η διαδικασία της επιλογής ενός χαρτοφυλακίου πρέπει να χωρίζεται σε δύο στάδια. Το πρώτο στάδιο ξεκινά µε την παρατήρηση 13

15 και την εµπειρία και τελειώνει µε τις αντιλήψεις σχετικά µε τις µελλοντικές αποδόσεις των διαθέσιµων αξιογράφων (securtes). Το δεύτερο στάδιο αρχίζει µε τις αντιλήψεις σχετικά µε τις µελλοντικές αποδόσεις και τελειώνει µε την επιλογή του χαρτοφυλακίου. Συµπερασµατικά, κάτω από ορισµένες συνθήκες και για συγκεκριµένους ποσοτικούς ορισµούς του κινδύνου και της απόδοσης, η MPT µας εξηγεί πώς να βρούµε την βέλτιστη (απόδοση-κίνδυνος) δυνατή στάθµιση του χαρτοφυλακίου µας, στα επιµέρους αξιόγραφα. ηλαδή, ένας επενδυτής κατά την επιλογή επενδύσεων, θα επιλέξει µεταξύ δύο µε την ίδια προσδοκώµενη απόδοση εκείνη µε το µικρότερο κίνδυνο και µεταξύ δύο µε τον ίδιο κίνδυνο εκείνη µε την µεγαλύτερη προσδοκώµενη απόδοση. Οι υπόλοιπες επιλογές βρίσκονται σε ένα τόπο όπου καθώς αυξάνει η προσδοκώµενη απόδοση, αυξάνει και ο κίνδυνος που σχετίζεται µε την επένδυση. Η επιλογή της επένδυσης εξαρτάται από το επίπεδο κινδύνου και απόδοσης που επιθυµεί ο επενδυτής. Ένας επενδυτής όµως δεν στηρίζεται µόνο σε αυτές τις επιλογές. Έχει τη δυνατότητα να δηµιουργήσει χαρτοφυλάκιο αξιόγραφων, χρηµατοοικονοµικών τοποθετήσεων, επενδύοντας σε περισσότερα του ενός αξιόγραφα, κατανέµοντας το επενδυµένο ποσό που διαθέτει σε περισσότερα του ενός αξιόγραφα. Στην περίπτωση αυτή ο επενδυτής λαµβάνει ένα επίπεδο ωφέλειας το οποίο εξαρτάται από την µελλοντική κίνηση όλων των αξιόγραφων ως σύνολο. Επίσης αναλαµβάνει ένα επίπεδο κινδύνου το οποίο είναι ανάλογο των τοποθετήσεων που έχει επιλέξει. 2.2 Ο Μαθηµατικός Ορισµός του Χαρτοφυλακίου Έστω Y µια τυχαία µεταβλητή που µπορεί να πάρει περιορισµένο αριθµό τιµών ( y y,..., y 1, 2 n ) και η πιθανότητα η Y να πάρει την τιµή y 1 είναι p 1, την τιµή y 2 είναι p 2 κ.ο.κ. Η αναµενόµενη τιµή ή µέση τιµή της Y είναι: E = p y + p y... p y. (2.1) n n 14

16 Η διακύµανση της Y ορίζεται ως: V = p ( y1 E) + p2( y2 E) +... pn( yn E), (2.2) όπου V είναι η µέση τετραγωνική απόκλιση της Y από την αναµενόµενη τιµή της. Άλλα µέτρα απόκλισης, στενά συνδεδεµένα µε τη V είναι η τυπική απόκλιση, σ= V και ο συντελεστής µεταβλητότητας (CV) σ/ε. Έστω ότι έχουµε τις τυχαίες µεταβλητές R 1, R2,..., R n. Αν R είναι ο σταθµισµένος µέσος τωνr, δηλαδή, έχουµε την σχέση (2.3): R = a R + a R a R n n, (2.3) όπου n Σα = 1 = 1 τότε η µεταβλητή R είναι και αυτή τυχαία µεταβλητή. Η αναµενόµενη απόδοση του σταθµισµένου µέσου είναι ο σταθµισµένος µέσος των αναµενόµενων τιµών. Ισχύει δηλαδή: E R) = a E( R ) + a E( R ) a E( R ). (2.4) ( n n Για να υπολογίσουµε τη διακύµανση του σταθµισµένου µέσου πρέπει να ορίσουµε τη συνδιακύµανση µεταξύ των τυχαίων µεταβλητών. Η συνδιακύµανση των σ j = E{[ R E( R)]*[ Rj E( Rj)]}, (2.5) R, Rj είναι: δηλαδή η αναµενόµενη τιµή του γινοµένου της απόκλισης του R από τη µέση τιµή του επί της απόκλισης του R j από τη µέση τιµή του. Συνεπώς, η διακύµανση του σταθµισµένου µέσου θα είναι: n V( R) = αα σ n = 1 j= 1 j j (2.6) 15

17 Επίσης, από την σχέση ρ = σ / σ σ υπολογίζεται και ο συντελεστής συσχέτισης µεταξύ των j j j µεταβλητών R και R j o οποίος εκφράζει την συσχέτιση µεταξύ των µεταβλητών. Ο συντελεστής συσχέτισης κυµαίνεται από -1 έως + 1. Η τιµή -1 αντιπροσωπεύει µια τέλεια αρνητική συσχέτιση των µεταβλητών ενώ η τιµή +1 µια τέλεια θετική συσχέτιση. Μια τιµή 0 σηµατοδοτεί έλλειψη συσχέτισης. Ας υποθέσουµε τώρα, ότι υπάρχουν διαθέσιµα n περιουσιακά στοιχεία, τα X, X 2,..., X. 1 n Στη Σύγχρονη Θεωρία Χαρτοφυλακίου οι τιµές των αξιογράφων λογίζονται ως τυχαίες µεταβλητές. Ο σχηµατισµός, τώρα, ενός χαρτοφυλακίου, για ένα δεδοµένο ποσό προς επένδυση σε αυτά, δεν είναι τίποτα άλλο παρά µια στάθµιση των παραπάνω τυχαίων µεταβλητών. Έτσι, και σύµφωνα µε τα όσα προηγήθηκαν, η απόδοση r p του χαρτοφυλακίου θα είναι: r = wr... + p 1 1+ w2r2 + wnrn (2.7) Συνεπώς, η µέση αναµενόµενη απόδοση r _ 2 p και η διακύµανση σ p (µε 2 σ p = σ p τυπική απόκλιση), του χαρτοφυλακίου ορίζεται ως: r = w r + w r w p r n n (2.8) 2 p n n 2 σ = E[( r r) ] = wwσ (2.9) = 1 j= 1 j j Όπου ως r, ορίζεται να είναι η τυχαία µεταβλητή που περιγράφει την απόδοση του περιουσιακού στοιχείου και _ r η αναµενόµενη απόδοση του. Αντίστοιχα σ, 2 σ είναι η 16

18 διασπορά και η τυπική του απόκλιση, ο κίνδυνος δηλαδή, που σχετίζεται µε αυτό, και µε σ jορίζουµε την συνδιακύµανση 1 του περιουσιακού στοιχείου µε το j. Τέλος, ως w µε =1,2,,n ορίζεται να είναι το ποσοστό, επί του συνολικού ως προς επένδυση ποσού, που αποφασίζεται να επενδυθεί στο -περιουσιακό στοιχείο. Έτσι, κάθε φορά που διαφοροποιούµε την επιλογή µας, ως προς τα w, παράγουµε και ένα διαφορετικό χαρτοφυλάκιο. 2.3 Η Έννοια της ιαφοροποίησης στη Σύγχρονη Θεωρία Χαρτοφυλακίου Όπως αναφέραµε προηγουµένως, ο κίνδυνος αποτελεί αναπόσπαστο κοµµάτι κάθε επένδυσης. Ο κίνδυνος που προκύπτει από την επένδυση σε ένα αξιόγραφο αναλύεται στον µησυστηµατικό και τον συστηµατικό κίνδυνο (στον οποίο αναλυτικά θα αναφερθούµε σε επόµενο κεφάλαιο). Κάθε µετοχή, για παράδειγµα, εµπεριέχει την έννοια του µοναδικού κινδύνου, δηλαδή τον κίνδυνο ο οποίος είναι αποτέλεσµα της µοναδικότητας της εταιρείας. Η µοναδικότητα έχει να κάνει µε τον κλάδο στον οποίο δραστηριοποιείται η εταιρεία και γενικότερα την εσωτερική της λειτουργία. Πέραν όµως, από την έννοια του µοναδικού κινδύνου, υπάρχει και ο συστηµικός κίνδυνος ο οποίος οφείλεται σε γενικότερους παράγοντες (π.χ. τη γενικότερη οικονοµική κατάσταση, γενικότερη πορεία του κλάδου που δραστηριοποιείται η εταιρεία) και επιδρά στην συµπεριφορά της µετοχής, είτε αρνητικά είτε θετικά. Στη MPT, η προσπάθεια του επενδυτή να προστατευτεί από τον µοναδικό κίνδυνο που απορρέει από την επένδυση σε ένα αξιόγραφο συνίσταται στην αρχή της διαφοροποίησης (dversfcaton). Η έννοια της διαφοροποίησης, στην σύγχρονη διαχείριση χαρτοφυλακίου, 1 Από την σχέση ρ = σ j / σισ j, μπορούμε να υπολογίσουμε και τον συντελεστή συσχέτισης μεταξύ των περιουσιακών στοιχείων. 17

19 αποτελεί µια αντανάκλαση της παλιάς λαϊκής θυµοσοφίας: µην βάζεις όλα τα αυγά σε ένα καλάθι. Έτσι, σε ένα χαρτοφυλάκιο µετοχών για παράδειγµα, όσο αυξάνεται ο αριθµός των µετοχών, τόσο µειώνεται ο κίνδυνος ο οποίος προέρχεται από τυχόν αρνητικές εξελίξεις οι οποίες αφορούν µια συγκεκριµένη εταιρεία. ηλαδή, σκοπός της διαφοροποίησης αποτελεί η δηµιουργία χαρτοφυλακίων αξιογράφων έτσι ώστε ο συνολικός κίνδυνος του χαρτοφυλακίου να είναι µικρότερος από τους επιµέρους κινδύνους των αξιογράφων. Από τις σχέσεις που παρουσιάστηκαν είναι προφανές ότι η µέση αναµενόµενη απόδοση r _ p του χαρτοφυλακίου είναι µια γραµµική συνάρτηση των αποδόσεων των επιµέρους χρεογράφων που το αποτελούν, σταθµισµένων ανάλογα µε τη συµµετοχή του κάθε αξιογράφου στο χαρτοφυλάκιο. Καθώς αυτή η συνάρτηση είναι γραµµική, εύκολα συµπεραίνουµε ότι η απόδοση του χαρτοφυλακίου δεν µπορεί να υπερβαίνει την απόδοση r max του πλέον αποδοτικού αξιογράφου στο χαρτοφυλάκιο, Αντίστοιχα, η απόδοση του χαρτοφυλακίου δεν µπορεί να είναι _ µικρότερη απόδοσης r mn του λιγότερου αποδοτικού αξιογράφου του χαρτοφυλακίου. Άρα, r p [ rmn, rmax]. _ Σε αντίθεση όµως µε τη µέση αναµενόµενη απόδοση, δεν µπορούµε να ισχυριστούµε το ίδιο και για τον κίνδυνο του χαρτοφυλακίου καθώς αποτελεί µη γραµµική συνάρτηση των κινδύνων που το συνθέτουν. Υποθέτουµε ότι υπάρχουν διαθέσιµα n περιουσιακά στοιχεία και επίσης, για λόγους απλότητας, υποθέτουµε ότι διαµορφώνουµε ένα χαρτοφυλάκιο ισοκατανέµοντας το κεφάλαιο µας ανάµεσα στα παραπάνω αξιόγραφα. Τότε η διασποράκίνδυνος του χαρτοφυλακίου θα ισούται µε: _ σ = p n = 1 1 ( 1 1 n 1 n n n 2 n n 2 2 ) σ + ( )( ) σj = [ ] + [ n = 1 j= 1, j n n n = 1 n n = 1 j= 1, j 1 σ σ j ] = n( n 1) 18

20 Όπου, 1 2 n = σ + σ = σ + σj σj. (2.10) j n n n n 2 σ p είναι η µέση διακύµανση των αποδόσεων των αξιογράφων του χαρτοφυακίου και σ j η µέση διακύµανση των αποδόσεων των αξιογράφων αντίστοιχα. Η παραπάνω σχέση δείχνει ότι εάν ένας επενδυτής είχε την δυνατότητα να κατασκευάσει ένα χαρτοφυλάκιο αποτελούµενο απο άπειρο αριθµό χρεογράφων, οι αποδόσεις των οποίων είναι ασυσχέτιστες ( σ = 0) τότε ο κίνδυνος του χαρτοφυλακίου θα είναι µηδέν. Αρά ο επενδυτής θα είχε την δυνατότητα να j απολάβει µια σίγουρη απόδοση, έστω r p.στην πράξη βέβαια, κάτι τέτοιο δεν είναι εφικτό καθώς δεν υπάρχει µεγάλος αριθµός αξιογράφων µε πλήρως ασυσχέτιστες αποδόσεις. Γενικότερα, στην περίπτωση που ( σ 0), προκύπτει ότι καθώς ο συντελεστής συσχέτισης j µεταξύ των αξιογράφων µειώνεται, µειώνεται και η διακύµανση-ρίσκο του χαρτοφυλακίου, ενώ η αναµενόµενη απόδοση παραµένει σταθερή. Έτσι, κύριο µέληµα των επενδυτών στη MPT αποτελεί η διαφοροποίηση του χαρτοφυλακίου τους, σε όσο το δυνατόν ασυσχέτιστα περιουσιακά στοιχεία, µεταξύ των αποδόσεων που επιθυµούν. Ας δούµε ένα απλό παράδειγµα µε 2 διαθέσιµα αξιόγραφα για να γίνει κατανοητή η επίδραση του συντελεστή συσχέτισης ρ j στη διακύµανση του χαρτοφυλακίου. Έστω ότι r 1 = 12%, r = 2 18%, σ % 1 = 30, σ 2 = 40%. Για W1 =W2 = 0, 5τα ποσοστά των κεφαλαίων του επενδυτή τοποθετηµένα στα αξιόγραφα 1 και 2 αντίστοιχα, έχουµε ότι η αναµενόµενη απόδοση του χαρτοφυλακίου θα είναι: ενώ η διακύµανση: _ r = 0,5*0,12 +0,5*0,18=15%, 19

21 σ 2 = 0,5 2 (0,3) 2 + 0,5 2 (0,4) 2 + 0,5(0,3)(0,4) ρ 12. Ας θεωρήσουµε τώρα 3 χαρακτηριστικές περιπτώσεις για τον συντελεστή συσχέτισηςρ 12 : Για ρ 12 = +1 (τέλεια θετική συσχέτιση) η διακύµανση σ 2 ισούται µε 35% Για ρ 12 = 0 (έλλειψη συσχέτισης) η διακύµανση σ 2 ισούται µε 25% Για ρ 12 = -1 (τέλεια αρνητική συσχέτιση) η διακύµανση σ 2 ισούται µε 5% Παρατηρούµε λοιπόν την επίδραση της διαφοροποίησης στο ρίσκο του χαρτοφυλακίου. Καθώς ο συντελεστής συσχέτισης µειώνεται, µειώνεται και η διακύµανση, δηλαδή το ρίσκο του χαρτοφυλακίου, ενώ η αναµενόµενη απόδοση παραµένει σταθερή. Συνεπώς, είναι επόµενο ότι οι επενδυτές θα προσπαθήσουν να συνδυάσουν αξιόγραφα µε χαµηλό ή ακόµη καλύτερα µε αρνητικό συντελεστή συσχέτισης. 2.4 ιάγραµµα του Χαρτοφυλακίου Υποθέτουµε ότι, υπάρχουν διαθέσιµα n περιουσιακά στοιχεία. Αυτά, µπορούν να συνδυαστούν, σύµφωνα µε κάποια βάρη ( W ), και να διαµορφώσουν ένα χαρτοφυλάκιο. Το σύνολο όλων των δυνατών συνδυασµών των αξιογράφων στη σύνθεση χαρτοφυλακίων µπορεί να απεικονιστεί πάνω σε ένα διάγραµµα και αποτελεί το εφικτό σύνολο χαρτοφυλακίων (Feasble Portfolo Set- FPS). Ας υποθέσουµε ότι υπάρχουν διαθέσιµα 2 αξιόγραφα, έστω A και B. Μπορούµε να σχηµατίσουµε µια ολόκληρη οικογένεια από χαρτοφυλάκια εισάγοντας την µεταβλητή a (0,1), η οποία ορίζει τα βάρη του χαρτοφυλακίου ως W =1 α και W = α. Εποµένως καθώς η µεταβλητή α µεταβάλλεται από το 0 έως το 1, το χαρτοφυλάκιο µπορεί να περιέχει µόνο το πρώτο αξιόγραφο (α = 0), µια µίξη των παραπάνω (περιουσιακών στοιχείων) ή µόνο το δεύτερο (α = 1). Τιµές της α µεγαλύτερες της µονάδας αντιστοιχεί σε short sellng. Στις

22 περιπτώσεις αυτές το περιουσιακό στοιχείο A πωλείται (αφού αποκτηθεί µε δανεισµό) και τα χρήµατα διατίθενται στο άλλο περιουσιακό στοιχείο B. Αρνητικές τιµές της α ανταποκρίνονται σε short sellng του περιουσιακού στοιχείου B και τοποθέτηση των χρηµάτων στο A. Καθώς η µεταβλητή α µεταβάλλεται, τα νέα χαρτοφυλάκια σχηµατίζουν µια καµπύλη 2 η οποία περιέχει τα αξιόγραφα. Η ακριβής µορφή της εξαρτάται από την συνδιακύµανση σ 12 των αξιογράφων (βλ. ιάγραµµα 1). ιάγραµµα 1. Εφικτό Σύνολο Χαρτοφυλακίων για διάφορες τιµές του συντελεστή συσχέτισης (Χωρίς Short Sellng). ρ=-1.0 ρ=-0.4 ρ=0.0 ρ=0.9 ρ=1.0 Συνδυασμός χωρίς κίνδυνο. Πηγή: Awerbuch, Applyng Portfolo Theory to EU Electrcty Plannng and Polcy-Makng, 2003 Παρατηρούµε ότι στην περίπτωση που δεν επιτρέπεται το short-sellng τα δύο περιουσιακά στοιχεία είναι τέλεια θετικά συσχετισµένα (ρ=+1) το Εφικτό Σύνολο των χαρτοφυλακίων ορίζεται από το ευθύγραµµο τµήµα που ενώνει τα δυο περιουσιακά στοιχεία A και B. Στην περίπτωση που τα δύο περιουσιακά στοιχεία είναι τέλεια αρνητικά συσχετισµένα 2 Βλ. Davd G. Luenberger Investment Scence σελ

23 (ρ=-1) το Εφικτό Σύνολο ορίζεται από τα δυο ευθύγραµµα τµήµατα που διέρχονται από τα A και B. Για µια οποιαδήποτε ενδιάµεση τιµή του συντελεστή συσχέτισης εκφράζεται από µια καµπύλη εντός της τριγωνικής µορφής του παραπάνω σχήµατος. Στην περίπτωση που το short sellng επιτρέπεται το Εφικτό Σύνολο των χαρτοφυλακίων ορίζεται από την ευθεία που διέρχεται από τα δυο περιουσιακά στοιχεία A και B. Σε αυτή την περίπτωση, η τριγωνική µορφή του παραπάνω σχήµατος µπορεί να επεκτείνεται, καθώς οι δύο πλευρές της που διέρχονται από το A και B αντίστοιχα, προεκτείνονται ανταποκρινόµενες στην δυνατότητα που έχουµε να κάνουµε short-sellng τα παραπάνω αξιόγραφα. Έτσι, ένα χαρτοφυλάκιο που ορίζεται στην προέκταση της πλευράς που διέρχεται από το A θα αντιστοιχεί στο short sellng του B και αντίστοιχα, ένα σηµείο πάνω στην προέκταση της πλευράς που διέρχεται από το Asset B θα αντιστοιχεί στο short sellng του Asset A. Κατά συνέπεια στην περίπτωση που το short sellng επιτρέπεται και τα δύο περουσιακά στοιχεία είναι τέλεια θετικά συσχετισµένα το Εφικτό Σύνολο ορίζεται µε την ευθεία που ενώνει τα δυο περιουσιακά στοιχεία A και B ενώ όταν είναι τέλεια αρνητικά συσχετισµένα το Εφικτό Σύνολο ορίζεται µε τις αντίστοιχες, µε τα ευθύγραµµα τµήµατα, ηµιευθείες που διέρχονται από τα A και B. Γενικεύοντας, το εφικτό σύνολο 3 των χαρτοφυλακίων ικανοποιεί δύο βασικές ιδιότητες: 1) Εάν υπάρχουν τουλάχιστον τρία περιουσιακά στοιχεία (όχι τέλεια συσχετισµένα και µε όχι ακριβώς ίδιες µέσες αποδόσεις), τότε το FPS θα είναι µια δισδιάστατη περιοχή. 2) Το εφικτό σύνολο θα είναι κυρτό στα αριστερά. 3. Για ανάλυση των υποπεριπτώσεων και θεµελίωση βλέπε: Modern Portfolo Theory and nvestment Analyss σελ Edwn J. Elton / Martn J. Gruber / Stephen J. Brown / Wllam N. Goetzmann 22

24 ιάγραµµα 2. Εφικτό σύνολο (Feasble Set) r A B C σ Στο διάγραµµα 2, απεικονίζεται η µορφή που θα πρέπει να έχει το εφικτό σύνολο των χαρτοφυλακίων (χωρίς short sellng) από τρία ή περισσότερα αξιόγραφα. Έτσι, κάθε σηµείο του παραπάνω σχήµατος, αντιπροσωπεύει ένα χαρτοφυλάκιο που µπορεί να σχηµατιστεί από τα παραπάνω αξιόγραφα, και προσδιορίζεται από τη µέση αναµενόµενη απόδοση του και από τον κίνδυνο που αυτό συνεπάγεται. Το αριστερό σύνορο του εφικτού συνόλου ονοµάζεται Σύνολο Ελάχιστης ιακύµανσης (Mnmum-Varance Set), καθώς τα χαρτοφυλάλια που βρίσκονται πάνω σε αυτό έχουν την µικρότερη διακύµανση από όλα τα χαρτοφυλάκια του Εφικτού Συνόλου που έχουν την ίδια αναµενόµενη απόδοση. Στο διάγραµµα 2, ορίζεται µε την διακεκοµένη καµπύλη. Ανάµεσα στα σηµεία του Mnmum-Varance Set υπάρχει ένα σηµείο το οποίο αντιπροσωπεύει το χαρτοφυλάκιο µε τον ελάχιστο δυνατό κίνδυνο, που µπορεί να σχηµατιστεί από τα αξιόγραφα και ονοµάζεται Mnmum-Varance Pont (το σηµείο Β στο παράδειγµα µας). 23

25 Ένας επενδυτής, ο οποίος αναζητά χαρτοφυλάκια του Mnmum-Varance Set, στην MPT καλείται ως rsk averse καθώς επιδιώκει την µείωση του κινδύνου, ενώ ένας άλλος ο οποίος θα επέλεγε την επένδυση σε ένα σηµείο που δεν ανήκει στο mnmum-varance set καλείται rsk preferrng. Παρατηρώντας τα χαρτοφυλάκια (σηµεία) Α και C, βλέπουµε ότι εµφανίζουν το ίδιο επίπεδο κινδύνου µε την µέση αναµενόµενη απόδοση του Α όµως, να είναι κατά πολύ µεγαλύτερη από αυτή του C. Γενικότερα, κάθε χαρτοφυλάκιο που βρίσκεται πάνω στην ευθεία AC παρουσιάζει τον ίδιο κίνδυνο, µε την µέση αναµενόµενη απόδοση των χαρτοφυλακίων, όµως, να αυξάνει καθώς κινούµαστε προς το σηµείο Α. Έτσι ένας ορθολογικός επενδυτής (ανάµεσα σε αυτά τα χαρτοφυλάκια), θα επέλεγε εκείνο που αντιπροσωπεύει το A, καθώς µεγιστοποιεί την απόδοση για τον κίνδυνο που αναλαµβάνει. Το σύνολο, εκείνων των χαρτοφυλακίων τα οποία µεγιστοποιούν τη µέση αναµενόµενη απόδοση για ένα δεδοµένο επίπεδο κινδύνου καλείται αποτελεσµατικό σύνορο (Effcent Fronter) και αποτελείται από το επάνω µέρος του Mnmum-Varance Set. Μαθηµατικά το αποτελεσµατικό σύνορο είναι το σηµείο τοµής του συνόλου των χαρτοφυλακίων µε ελάχιστη διακύµανση και του συνόλου των χαρτοφυλακίων µε µέγιστη απόδοση. Οι ορθολογικοί επενδυτές -υπόθεση της MPT- επικεντρώνονται στην εύρεση 4 των χαρτοφυλακίων του αποτελεσµατικού συνόρου, δεδοµένου ότι ελαχιστοποιούν τον αναλαµβανόµενο κίνδυνο για το απαιτούµενο επίπεδο αναµενόµενης απόδοσης. Αυτή η ιδιότητα των επενδυτών καλείται Nonsataton, και αντανακλά την ιδέα ότι οι επενδυτές πάντα επιθυµούν το κέρδος, καθώς αναζητούν την µέγιστη δυνατή απόδοση για τον κίνδυνο που αναλαµβάνουν. Κλείνοντας, παραθέτουµε την 4 Στο πώς, µπορούν να υπολογιστούν αυτά τα χαρτοφυλάκια αναφερόµαστε παρακάτω. 24

26 µορφή του εφικτού συνόλου των χαρτοφυλακίων, στην περίπτωση που επιτρέπεται το short sellng. ιάγραµµα 3. Εφικτό σύνολο- Feasble Set wth Short Sellng r σ Παρατηρούµε, ότι στην περίπτωση που υπάρχει η δυνατότητα της ανοικτής πώλησης (short-sellng) το εφικτό σύνολο των χαρτοφυλακίων είναι ευρύτερο και περιέχει εκείνο το τµήµα που προκύπτει όταν δεν υπάρχει αυτή η δυνατότητα. Αυτό είναι λογικό, καθώς µπορούµε να αυξήσουµε την αναµενόµενη απόδοση και ταυτόχρονα τον κίνδυνο που αναλαµβάνουµε, επενδύοντας χρήµατα που ουσιαστικά δεν διαθέτουµε. 25

27 2.5 Αξιόγραφο Μηδενικού Κινδύνου (Rsk-Free Asset) Το αξιόγραφο µηδενικού κινδύνου το είναι το (υποθετικό 5 ) αξιόγραφο το οποίο πληρώνει ένα επιτόκιο µηδενικού κινδύνου. Στην πράξη, τα βραχυπρόθεσµα κυβερνητικά αξιόγραφα (όπως τα έντοκα γραµµάτια του δηµοσίου, κυβερνητικά οµόλογα υψηλής πιστοληπτικής αξιολόγησης) χρησιµοποιούνται ως αξιόγραφα µηδενικού κινδύνου, καθώς αποδίδουν ένα σταθερό επιτόκιο και έχουν σχεδόν ελάχιστη πιθανότητα αθέτησης. Το αξιόγραφο µηδενικού κινδύνου έχει µηδενική διακύµανση ως προς την απόδοση (καθώς είναι µηδενικού κινδύνου) και είναι ασυσχέτιστο µε οποιοδήποτε άλλο αξιόγραφο, εξ ορισµού καθώς η διακύµανση του είναι µηδενική. Έστω X,..., 1, X 2 X n, n διαθέσιµα περιουσιακά στοιχεία. Επιλέγοντας µία στάθµιση W,..., 1, W2 W n των παραπάνω αξιογράφων σχηµατίζουµε ένα χαρτοφυλάκιο µε µέση αναµενόµενη απόδοση r και τυπική απόκλιση σ. Υποθέτουµε τώρα, ότι υπάρχει διαθέσιµο και ένα αξιόγραφο µηδενικού κινδύνου, του οποίου την απόδοση (rsk-free rate) συµβολίζουµε µε r f και την τυπική του απόκλιση µε σ (εξ ορισµού σ = 0). Μπορούµε τώρα, να f φ σχηµατίσουµε ένα νέο χαρτοφυλάκιο ως µια µίξη του αρχικού χαρτοφυλακίου και του αξιόγραφου δίχως κίνδυνο. Ορίζοντας, α και 1 α, µε α (, + ), να αποτελεί την στάθµιση του νέου χαρτοφυλακίου, έπεται ότι η µέση αναµενόµενη απόδοση r ' και η τυπική απόκλιση σ ' του νέου χαρτοφυλακίου θα είναι: 5 Αξίζει να σημειώσουμε ότι όταν υπάρχει είναι μοναδικό, διαφορετικά θα υπήρχε ευκαιρία Arbtrage, καθώς θα μπορούσαμε να δανειστούμε χρήματα από το αξιόγραφο με τη χαμηλότερη απόδοση (επιτόκιο) και να τα επενδύσουμε σε ένα άλλο με υψηλότερη απόδοση. 26

28 r' = arf + (1 a) r (2.11) 2 2 σ ' = ασ + (1 α ) σ + 2a(1 a) ρσσ (2.12) 2 f f Οι σχέσεις (2.11) και (2.12) προκύπτουν άµεσα από τις (2.8) και (2.9), στον µαθηµατικό ορισµό του χαρτοφυλακίου. Καθώς σ = 0 και η συνδιακύµανση του αξιόγραφου δίχως κίνδυνο f µε το αξιόγραφο µε κίνδυνο είναι µηδέν, άρα ρ=0, η (2.12) οδηγεί στη σχέση σ ' = (1 a) σ. Στην πραγµατικότητα, συµπεριλαµβάνοντας ένα αξιόγραφο µηδενικού κινδύνου στο χαρτοφυλάκιο µας, αυτό ανταποκρίνεται στην δυνατότητα που έχουµε να δανείσουµε ή να δανειστούµε χρήµατα µε επιτόκιο το rsk-free rate. Όταν ο επενδυτής επενδύει στο ακίνδυνο αξιόγραφο είναι σαν να δανείζει χρήµατα. Στην περίπτωση αυτή, ο επενδυτής τοποθετεί στο ακίνδυνο αξιόγραφο τα χρήµατα που αποµένουν από αυτά που ήδη έχει επενδύσει στα υπόλοιπα αξιόγραφα (θετική στάθµιση αυτού στο χαρτοφυλάκιο µας, α 0). Ο επενδυτής όµως έχει τη δυνατότητα να δανειστεί χρήµατα και να τα επενδύσει. Στην περίπτωση αυτή ο επενδυτής είναι σαν να τοποθετεί αρνητικό ποσοστό των διαθέσιµων πόρων του σε ακίνδυνο αξιόγραφο (αρνητική στάθµιση, α < 0). Έτσι, προσθέτουµε περισσότερο ρεαλισµό στο µοντέλο µας, καθώς οι επενδυτές, κατά κανόνα, έχουν την δυνατότητα να δανείζουν και να δανείζονται. Παρατηρώντας τις σχέσεις (2.11) και (2.12), που ορίζουν την µέση αναµενόµενη απόδοση και τον κίνδυνο του χαρτοφυλακίου µε αξιόγραφο µηδενικού κινδύνου, παρατηρούµε ότι, τόσο η αναµενόµενη απόδοση όσο και ο κίνδυνος του χαρτοφυλακίου συνδέονται γραµµικά ως προς τη στάθµιση α. 27

29 Έτσι καθώς το α µεταβάλλεται, το αποτελεσµατικό σύνορο των χαρτοφυλακίων θα ορίζεται από µια ηµιευθεία η οποία τέµνει τον κάθετο άξονα στην απόδοση του αξιόγραφου δίχως κίνδυνο ( r f ) και εφάπτεται στο σηµείο (r, σ ) που αντιπροσωπεύει το χαρτοφυλάκιο που σχηµατίζουµε από τα αξιόγραφα µε κίνδυνο r. ιάγραµµα 4. Εφικτό Σύνολο µε Αξιόγραφο Μηδενικού Κινδύνου r F Αποτελεσματικό Σύνορο r f Αρνητικό r σ Στο διάγραµµα 4 παρουσιάζεται η µορφή του εφικτού συνόλου των χαρτοφυλακίων, µε αξιόγραφο µηδενικού κινδύνου, ως η τριγωνική περιοχή που περιέχει το εφικτό σύνολο των αξιογράφων µε κίνδυνο (γνήσιο εφικτό σύνολο) και µπορεί να προεκτείνεται απεριόριστα, εφόσον επιτρέπεται ο δανεισµός. Ειδικότερα, για ένα δεδοµένο χαρτοφυλάκιο των αξιογράφων στο (r, σ ), το εφικτό σύνολο, που προκύπτει συνδυάζοντας το χαρτοφυλάκιο αυτό µε το αξιόγραφο µηδενικού κινδύνου r f, ορίζεται από την ηµιευθεία που έχει ως αφετηρία το r f και εφάπτεται στο σηµείο (r, σ ). Kάθε σηµείο της ηµιευθείας, ικανοποιεί την ακόλουθη εξίσωση: 28

30 r r r' = rf + σ' σ f (2.13) Στην σχέση (2.13), η ποσότητα r r f σ ορίζει την κλίση της ηµιευθείας, την εφαπτοµένη δηλαδή της γωνίας (έστω θ ) που σχηµατίζει µε τον οριζόντιο άξονα. Το σηµείο εκείνο του (γνήσιου) εφικτού συνόλου που µεγιστοποιεί την κλίση της ηµιευθείας ονοµάζεται Optmal Rsky Portfolo (ORP) ή Tangency Portfolo και είναι το σηµείο F του διαγράµµατος 4. Στην περίπτωση που δεν επιτρέπεται ο δανεισµός στο r f, η ηµιευθεία περιορίζεται στο ευθύγραµµο τµήµα που συνδέει το χαρτοφυλάκιο (r, σ ),των αξιογράφων µε κίνδυνο, και το r f. Αυτό αντανακλά το γεγονός, ότι δεν µας παρέχεται η δυνατότητα να δανειστούµε στο r f και να επενδύσουµε στα αξιόγραφα µε κίνδυνο, περιορίζοντας έτσι δυνητικά το εύρος των αποδόσεων που µπορούµε να πετύχουµε και το µέγεθος των κινδύνων που µπορούµε να αναλάβουµε. Για να προσδιορίσουµε το ORP αρκεί να µεγιστοποιήσουµε 6 την κλίση της ηµιευθείας, δηλαδή την ποσότητα r r f σ. Στη MPT η ύπαρξη του ORP, έτσι ώστε κάθε αποδοτικό χαρτοφυλάκιο να µπορεί να παραχθεί ως συνδυασµός του αξιόγραφου χωρίς κίνδυνο και του ORP αναφέρεται ως το The One-Fund Theorem 7. Όµοια, στην περίπτωση που δεν υπάρχει 6 Εξισώνοντας τις μερικές παραγώγους, ως προς w, με το μηδέν και λύνοντας το γραμμικό σύστημα που προκύπτει υπολογίζουμε το ORP. 7 Σύμφωνα με την θεωρία του One-Fund Theorem όταν υπάρχει περιουσιακό στοιχείο χωρίς κίνδυνο, το αποτελεσματικό σύνορο είναι μία ημιευθεία που ενώνει το αξιόγραφο μηδενικού κινδύνου με το άριστο χαρτοφυλάκιο (το οποίο έχει κινδυνο). 29

31 περιουσιακό στοιχείο χωρίς κίνδυνο, στη MPT υπάρχει το Two-Fund Theorem 8. Τέλος, στο διάγραµµα 4 παρατηρούµε ότι παρόλο που το εφικτό σύνολο των χαρτοφυλακίων µε κίνδυνο περιλαµβάνει µόνο θετικές (υπόθεση εργασίας) µέσες αναµενόµενες αποδόσεις, δεν συµβαίνει κάτι παρόµοιο και στο εφικτό σύνολο των χαρτοφυλακίων µε αξιόγραφο µηδενικού κινδύνου. Αυτό, συναντάται στην περίπτωση που δανειζόµαστε στο rsk-free rate επενδύοντας σε αξιόγραφα µε κίνδυνο, των οποίων η απόδοση, τελικά, να είναι µικρότερη από το επιτόκιο που δανειζόµαστε, καταγράφοντας έτσι ζηµιές. 2.6 Η Συµβολή του Harry Markowtz στη Σύγχρονη Θεωρία Χαρτοφυλακίου Εισαγωγή Τον Ιούνιο του 1952 έκανε την εµφάνιση του το άρθρο Portfolo Selecton στην επετηρίδα Journal of Fnance που δηµιούργησε ένα νέο τρόπο σκέψης στην επενδυτική πρακτική, και αποτέλεσε την βάση για την ανάπτυξη και θεµελίωση της MPT όπως την γνωρίζουµε σήµερα. Στην δηµοσίευση του αυτή ο Markowtz κατέληξε σε κάποια συµπεράσµατα τα οποία αποτέλεσαν την ύλη του βιβλίου του που εκδόθηκε το 1959, είχε τίτλο Portfolo selecton και θεµελίωνε επιστηµονικά τα όσα αναφέραµε προηγουµένως. Σύµφωνα µε το Markowtz η διαδικασία επιλογής ενός χαρτοφυλακίου αποτελείται από δύο στάδια. Το πρώτο συνίσταται στην εµπειρική παρατήρηση για την εκτίµηση των µελλοντικών αποδόσεων, ενώ το δεύτερο ξεκινά µε τις εκτιµήσεις των µελλοντικών αποδόσεων και ολοκληρώνεται µε την τελική επιλογή του χαρτοφυλακίου. Ο Markowtz στη συγκεκριµένη 8 Σύμφωνα με την θεωρία του Two-Fund Theorem όταν δεν υπάρχει περιουσιακό στοιχείο χωρίς κίνδυνο, υπάρχουν δύο αποτελεσματικά χαρτοφυλάκια καθένα από τα οποία εκφράζεται σε όρους μέσης τιμής και διακύμανσης σαν συνδυασμός τους. Οι επενδυτές αρκεί να επενδύσουν σε συνδυασμό των δύο αμοιβαίων για να επιτύχουν το αποτελεσματικό χαρτοφυλάκιο. 30

32 εργασία ασχολείται µε το δεύτερο στάδιο της διαδικασίας επιλογής του χαρτοφυλακίου, µελετώντας τρείς κανόνες επιλογής του χαρτοφυλακίου και εξετάζει το κατά πόσο ο κάθε κανόνας µπορεί να χρησιµοποιηθεί τόσο ως υπόθεση, όσο και ως οδηγός για την επενδυτική επιλογή. Ο πρώτος κανόνας, βάσει του οποίου µπορεί να επιλεχθεί ένα χαρτοφυλάκιο, είναι ο κανόνας προσδοκώµενων ή αναµενόµενων αποδόσεων ο οποίος ορίζει, ότι ο επενδυτής καθοδηγείται από την µεγιστοποίηση της προεξοφληµένης αξίας των µελλοντικών αποδόσεων. Έτσι, εάν για παράδειγµα δύο ή περισσότερα αξιόγραφα έχουν την ίδια προεξοφληµένη αξία, τότε οποιοσδήποτε συνδυασµός από αυτά είναι το ίδιο καλός µε κάθε άλλο. Κατά τον Markowtz, ο κανόνας αυτός πρέπει να απορριφθεί τόσο ως υπόθεση όσο και ως οδηγός καθώς δεν αναγνωρίζει την ανωτερότητα της διαφοροποίησης. Ο δεύτερος κανόνας επιλογής κάνει την υπόθεση ότι υπάρχει ένα χαρτοφυλάκιο που διαθέτει τόσο την µέγιστη αναµενόµενη απόδοση όσο και την ελάχιστη διακύµανση. Ο κανόνας αυτός απορρίπτεται διότι, από πουθενά δεν προκύπτει ότι το χαρτοφυλάκιο µε την µέγιστη απόδοση είναι και αυτό µε τον ελάχιστο κίνδυνο. Αντίθετα, είναι φανερό ότι υπάρχει µια αναλογία, σύµφωνα µε την οποία επωφελούµαστε σε αναµενόµενη απόδοση αυξάνοντας τον κίνδυνο που αναλαµβάνουµε, ή αντίστοιχα, µειώνουµε τον κίνδυνο χάνοντας όµως σε αναµενόµενη απόδοση. Τέλος, τρίτος κανόνας επιλογής του χαρτοφυλακίου συνίσταται ως ο κανόνας αναµενόµενων αποδόσεων-διακύµανσης των αποδόσεων ή κανόνας (E-V). Σε αυτή τη περίπτωση ο επενδυτής επιλέγει ανάµεσα στους συνδυασµούς αναµενόµενης απόδοσηςδιακύµανσης εκείνους οι οποίοι είτε ελαχιστοποιούν την διακύµανση για ένα δοθέν επίπεδο αναµενόµενης απόδοσης, είτε µεγιστοποιούν την αναµενόµενη απόδοση για ένα δοθέν επίπεδο 31

33 διακύµανσης. Ο επενδυτής, δηλαδή, περιορίζει τις επιλογές του στους αποτελεσµατικούς συνδυασµούς των αξιογράφων. Ο Markowtz στη εργασία του, κατέληξε στο συµπέρασµα ότι ο τρίτος, και τελευταίος κανόνας θα πρέπει να χρησιµοποιείται από τους επενδυτές κατά την διαδικασία επιλογής του χαρτοφυλακίου, τόσο ως υπόθεση όσο και ως επενδυτικός οδηγός, για τους εξής τρείς κυρίως λόγους: 1) Ο κανόνας (E-V) αναµενόµενης απόδοσης- διακύµανσης απόδοσης προτείνει τη διαφοροποίηση για ένα µεγάλο εύρος των r, σ των αξιογράφων µε κίνδυνο Αυτό δεν σηµαίνει όµως ότι ο κανόνας (E-V) δεν αναγνωρίζει ποτέ την ανωτερότητα ενός µη διαφοροποιηµένου χαρτοφυλακίου. υνητικά, είναι δυνατόν ένα αξιόγραφο να έχει µεγαλύτερη αναµενόµενη απόδοση και µικρότερη διακύµανση µεταξύ όλων των άλλων αξιογράφων, έτσι ώστε ως µη διαφοροποιηµένο χαρτοφυλάκιο να δίνει την µέγιστη αναµενόµενη απόδοση και ταυτόχρονα να παρουσιάζει το µικρότερο κίνδυνο. Κατά κανόνα όµως, για ένα µεγάλο και αντιπροσωπευτικό εύρος των r, σ ο κανόνας (E-V) παράγει χαρτοφυλάκια που σχεδόν πάντα είναι διαφοροποιηµένα. 2) Ο κανόνας (E-V) δεν διαφοροποιεί απλά τα χαρτοφυλάκια µας, αλλά οδηγεί στη σωστή τύπου διαφοροποίηση για το σωστό λόγο. Η αποτελεσµατικότητα της διαφοροποίησης δεν εξαρτάται µόνο από τον αριθµό των αξιογράφων, αλλά και από την συσχέτιση µεταξύ αυτών. Έτσι, ο κανόνας (E-V) δεν διαφοροποιεί απλά τα χαρτοφυλάκια, αλλά µας προτείνει διαφοροποιηµένα χαρτοφυλάκια µεταξύ ασυσχέτιστων αξιογράφων. 3) Ο κανόνας (E-V) ανταποκρίνεται καλύτερα στην φιλοσοφία των επενδυτών και θεωρείται περισσότερο εύλογος, τόσο ως υπόθεση όσο και ως επενδυτικός οδηγός για τους περισσότερους επενδυτές που αντιµετωπίζουν θετικά την απόδοση, αρνητικά τον κίνδυνο, 32

34 αποστρέφονται τον κίνδυνο και διαχωρίζονται από την κερδοσκοπική συµπεριφορά. Στην εργασία του ο Markowtz προσδιορίζει τον τρόπο εύρεσης του Mnmum-Varance Set και κατ επέκταση των αποτελεσµατικών (Effcent Fronter) χαρτοφυλακίων που µπορούν να σχηµατιστούν από κάποια αξιόγραφα, χρησιµοποιώντας πολλαπλασιαστές Lagrange Η Λύση Markowtz Πριν προχωρήσουµε στην λύση Markowtz 9 δίνουµε κάποιους απαραίτητους ορισµούς. Έστω, ότι υπάρχουν διαθέσιµα n περιουσιακά στοιχεία τα r,..., 1, r 2 rn, µε µέση αναµενόµενη απόδοση r,..., 1, r 2 rn και συνδιακύµανση j σ, για, j = 1,2,..., n. Επιλέγοντας µια στάθµιση µε w, n w = 1 = 1,2,..., n µε = 1 σχηµατίζουµε ένα χαρτοφυλάκιο από αυτά. Έστω τώρα, ότι ένα χαρτοφυλάκιο του Mnmum-Varance Set διαθέτει µέση αναµενόµενη απόδοση r. Τότε για να προσδιορίσουµε αυτό το χαρτοφυλάκιο, δεν έχουµε παρά να ελαχιστοποιήσουµε την διακύµανση του, υπό τον περιορισµό ότι η µέση αναµενόµενη απόδοση n w = 1 του ισούται µε r, µε δεδοµένο ότι = 1. Έτσι, το πρόβληµα ανάγεται στην ελαχιστοποίηση της ποσότητας n, j= 1 w w jσ j, υπό τους περιορισµούς ότι n =1 w r = r n w = 1 και = 1. Εισάγοντας τους πολλαπλασιαστές (Lagrange) λ, µ, η λύση του παραπάνω συστήµατος, µεταφράζεται ισοδύναµα στην ελαχιστοποίηση της (Lagrangan): 9 Για λεπτομερέστερη ανάλυση βλέπε: Portfolo Selecton Harry Markowtz (1959). 10 Υπενθυμίζουμε ότι η ποσότητα = n, j w w j 1 σ αναπαριστά την δαικύμανση του χαρτοφυλκακίο. O συντελεστής ½ χρησιμοποιείται για ευκολία στην εφαρμογή των πολλαπλασιαστών Lagrange. j 33

35 n n = 1 ( ) ( n L ww jσ j λ wr r µ w 1), µε (2.14) 2, j= 1 = 1 n = 1 w r = r =1 (2.15) n w = 1 = 1. (2.16) Παραγωγίζοντας την σχέση (2.14), ως προς w, = 1,2,..., n και εξισώνοντας τις µερικές παραγώγους που προκύπτουν µε το µηδέν λαµβάνουµε τις ακόλουθες n εξισώσεις; n j= 1 σ w λr µ = 0, για = 1,2,..., n. (2.17) j j Από τις σχέσεις (2.15), (2.16) και (2.17), παίρνουµε n+2 εξισώσεις µε n+2 αγνώστους. Έτσι, µπορούµε να υπολογίσουµε τα λ, µ και τα w, = 1,2,..., n. Με άλλα λόγια, έχουµε προσδιορίσει το χαρτοφυλάκιο, που υποθέσαµε αρχικά, του Mnmum-Varance Set. Είναι προφανές, ότι κάθε χαρτοφυλάκιο του Mnmum-Varance Set θα ικανοποιεί το γραµµικό σύστηµα των σχέσεων (2.15), (2.16) και (2.17). Έτσι, το σύνολο των λύσεων αυτού του συστήµατος ορίζει το Mnmum-Varance Set του εφικτού συνόλου των χαρτοφυλακίων. Προσδιορίζοντας την τιµή του E (r) που ελαχιστοποιεί την τυπική απόκλιση σ, µεταξύ των παραπάνω λύσεων, υπολογίζουµε και το Mnmum-Varance Pont. Στην εργασία του ο Markowtz προσδιορίζει το σύνολο των αποδοτικών χαρτοφυλακίων. Το χαρτοφυλάκιο, µεταξύ των αποδοτικών, το οποίο επιλέγει ο επενδυτής λέγεται Optmal Rsky Portfolo και εξαρτάται από τις προτιµήσεις του επενδυτή ως προς την σχέση µεταξύ απόδοσης και κινδύνου. 34

36 Οι προτιµήσεις του κάθε επενδυτή προσδιορίζονται από την συνάρτηση χρησιµότητας του. Η συνάρτηση χρησιµότητας «βαθµολογεί» τις επιλογές ενός επενδυτή µε βάση την ωφέλεια που λαµβάνει από κάθε µία από αυτές. Αυτό γίνεται σε περιβάλλον αβεβαιότητας για κάθε ένα από τα δυνατά ενδεχόµενα. Ένας επενδυτής είναι ορθολογικός αν και µόνο αν επιλέγει την ενέργεια που του παρέχει την υψηλότερη χρησιµότητα. Επιπλέον, υπάρχει µια καµπύλη στο χώρο αναµενόµενης απόδοσης-κινδύνου η οποία απεικονίζει όλα τα σηµεία που αντιστοιχούν σε ένα δεδοµένο επίπεδο χρησιµότητας. Η καµπύλη αυτή περιγράφει τις προτιµήσεις µεταξύ αναµενόµενης απόδοσης-κινδύνου που είναι πρόθυµος να αναλάβει ένας επενδυτής και ονοµάζεται καµπύλη αδιαφορίας. Οι καµπύλες αδιαφορίας έχουν τις εξής ιδιότητες: 1) σε µια δεδοµένη καµπύλη αδιαφορίας όλα τα σηµεία της είναι το ίδιο προτιµητέα από τον επενδυτή, 2) οι καµπύλες αδιαφορίας είναι παράλληλες, 3) κάθε επενδυτής έχει άπειρες καµπύλες αδιαφορίας, 4) ανάµεσα σε δύο καµπύλες αδιαφορίας ο επενδυτής προτιµά εκείνη που βρίσκεται περισσότερο επάνω και αριστερά στον χώρο αναµενόµενης απόδοσης-κινδύνου. Για την επιλογή του βέλτιστου χαρτοφυλακίου, ο επενδυτής χαράζει τις καµπύλες αδιαφορίας του στο ίδιο διάγραµµα µε το εφικτό σύνολο των χαρτοφυλακίων. Έτσι, το βέλτιστο χαρτοφυλάκιο για τον επενδυτή είναι το αποτελεσµατικό (Effcent) χαρτοφυλάκιο που έχει την µεγαλύτερη για τον επενδυτή χρησιµότητα και προσδιορίζεται από το σηµείο στο οποίο εφάπτεται η υψηλότερη καµπύλη αδιαφορίας του µε το αποτελεσµατικό σύνορο. 35