Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 14/4/2016

Transcript

1 ΜΕΡΟΣ Α: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 14/4/2016 Άσκηση Φ5.1: (α) Έστω οι συναρτήσεις f : A B, g : B διάγραμμα. C και h : C Dπου ορίζονται στο παρακάτω Υπολογίστε την συνάρτηση h g f. 2 (β) Έστω οι συναρτήσεις f: με f ( x) = x + 3x+ 1 και g: με g( x) = 2x 3. Υπολογίστε τις συναρτήσεις f g και g f. (α) Το ζητούμενο είναι μία συνάρτηση K:A D, τέτοια ώστε Κ(x) = h(g(f(x))), x A. Διαδοχικά έχουμε: f(a) = 2, g(2) = g(f(a)) = x, h(x) = h(g(f(a))) = 4 f(b) = 1, g(1) = g(f(b)) = y, h(y) = h(g(f(b))) = 6 f(c) = 2, g(2) = g(f(c)) = x, h(x) = h(g(f(c))) = 4 Άρα για τα a, b, c A, ορίζονται αντίστοιχα οι εικόνες h(g(f(a))), h(g(f(b))), h(g(f(c))) D με: h(g(f(a))) = 4 h(g(f(b))) = 6 h(g(f(c))) = 4 (β) fog= f ( g( x)) = f (2x 3) = (2x 3) + 3(2x 3) + 1= 4x 12x+ 9+ 6x 9+ 1= 4x 6x+ 1

2 gof = g f x = g x + x+ = x + x+ = x + x ( ( )) ( 3 1) 2( 3 1) Άσκηση Φ5.2: Έστω συναρτήσεις f : X Y και g : Y Z οι οποίες είναι και οι δύο ένα προς ένα. Αποδείξτε ότι σε αυτήν την περίπτωση, η σύνθεσή τους g f είναι επίσης ένα προς ένα. Για να δείξουμε ότι η g f είναι 1 προς 1 αρκεί να δείξουμε ότι εάν τα x1, x2 με x1 x2, είναι δύο στοιχεία του Χ, τότε θα πρέπει και g(f(x1)) g(f(x2)). Επειδή η f είναι 1 προς 1, ισχύει ότι x1, x2 Χ, με x1 x2, f(x1) f(x2). Επειδή όμως και η συνάρτηση g είναι 1 προς 1, εφόσον f(x1), f(x2) Υ, και f(x1) f(x2) ισχύει ότι g(f(x1)) g(f(x2)), το οποίο είναι το ζητούμενο. Άσκηση Φ5.3: Έστω συναρτήσεις f : X Y και g : Y Z οι οποίες είναι και οι δύο επί. Αποδείξτε ότι σε αυτήν την περίπτωση, η σύνθεσή τους g f είναι επίσης επί. Έστω x, z στοιχεία των συνόλων Χ, Z αντίστοιχα. Αρκεί να δείξουμε ότι: z Z, x X, τέτοιο ώστε, g(f(x)) = z. Επειδή η g είναι επί, τότε z Z, y Y, τέτοιο ώστε g(y) = z. Επειδή η f είναι επί, y Y, τότε x X, τέτοιο ώστε f(x) = y. Άρα όντως ισχύει ότι z Z, x X, τέτοιο ώστε, g(f(x)) = z. Άσκηση Φ5.4: Έστω τα σύνολα A= {1,2,3,4,5,6,7,8} και B= {{1,8},{2,7},{3,6},{4,5}}. Ορίζουμε επίσης τη συνάρτηση f : A Bμε βάση τον κανόνα «f ( x) = yόταν x y.» a) Βρέστε τα f (3) και f (6). b) Είναι η συνάρτηση f ένα-προς-ένα; Είναι η συνάρτηση f επί; Δικαιολογείστε την απάντησή σας. (α) f (3) = {3,6} f (6) = {3,6}

3 (β) Η συνάρτηση δεν είναι ένα προς ένα γιατί από το (α) έχουμε ήδη ότι f (3)=f(6). Η συνάρτηση είναι επί γιατί κάθε στοιχείο του συνόλου Β αποτελεί εικόνα κάποιου στοιχείου του συνόλου Α. Άσκηση Φ5.5: (α) Μπορεί μία συνάρτηση f:{α,β,γ,δ} {1,2,3,4} να μην είναι ούτε επί, ούτε 1-προς-1 ; Αν ναι, δώστε παράδειγμα. Αν όχι, δικαιολογείστε την απάντησή σας. (β) Μπορεί μία συνάρτηση f:{α,β,γ,δ} {1,2,3,4} να είναι επί, αλλά να μην είναι 1-προς-1 ; Αν ναι, δώστε παράδειγμα. Αν όχι, δικαιολογείστε την απάντησή σας. α) Σύμφωνα με τον ορισμό, για να είναι η f, 1-προς-1 θα πρέπει:,,, 1,2,3,4((=( =. Επίσης για να είναι επί θα πρέπει 1,2,3,4,,, ((= Η f μπορεί να μην είναι ούτε επί, ούτε 1-προς-1. Ένα παράδειγμα φαίνεται στο παρακάτω σχήμα: α β γ δ Σύμφωνα με τις παραπάνω εκχωρήσεις είναι: f(α) = 1, f(β) = 2, f(γ)=2, f(δ)=3. Παρατηρούμε ότι για f(β) = f(γ)=2 είναι x y, αφού x=β και y =γ, άρα η f δεν είναι 1-προς-1. Παρατηρούμε επίσης ότι δεν υπάρχει x τέτοιο ώστε f(x) = 4, άρα η f δεν είναι ούτε επί. β) Έστω Α = {α,β,γ,δ} και Β = {1,2,3,4}. Α = Β =4. Έστω ότι υπάρχει f που είναι επί αλλά δεν είναι 1-προς-1. Εφόσον είναι επί, κάθε στοιχείο y στο B είναι εικόνα κάποιου στοιχείου x του Α. Δεδομένου ότι Α = Β =4 η f είναι αναγκαστικά συνάρτηση 1-προς-1.

4 Άσκηση Φ5.6: Έστω ότι οι συναρτήσεις f: AB και g: ΒA ικανοποιούν τη σχέση gf = IA. Αποδείξτε ότι η f είναι συνάρτηση 1 προς 1 και ότι η g είναι επί. Αν η g δεν είναι επί, τότε υπάρχει κάποιο στοιχείο της σύνθεσης που δεν έχει εικόνα, πράγµα άτοπο (αφού η IA είναι 1 προς 1 και επί). Αν η f δεν είναι 1 προς 1, τότε υπάρχουν στοιχεία του Β στα οποία η f δεν έχει εικόνα και για τα οποία η g(f(x)) δεν ορίζεται. Άτοπο Άσκηση Φ5.7: Αποδείξτε ότι αν μία σχέση ισοδυναμίας επί ενός συνόλου Α είναι και συνάρτηση από το Α στο Α, τότε αναγκαστικά είναι η ταυτοτική συνάρτηση. Μία διμελής σχέση R: AxA, επί ενός συνόλου A είναι σχέση ισοδυναμίας αν και μόνο αν έχει την ανακλαστική, συμμετρική και μεταβατική ιδιότητα. Συμμετρική : a,b((a,b) R (b,a) R) Μεταβατική: a,b,c(((a,b) R (b,c) R) (a,c) R) Ανακλαστική: a A(a, a) R Για να είναι η R συνάρτηση από το A στο A, θα πρέπει να ισχύει: R ={ (a, R(a)) a A, R(a) A}. Εφόσον η R είναι σχέση ισοδυναμίας και έχει την ανακλαστική ιδιότητα, όλα τα ζεύγη της μορφής (a, a) πρέπει να ανήκουν σε αυτή. Εφόσον η R είναι συνάρτηση, κανένα άλλο στοιχείο της μορφής (a, b) με (b a) δεν μπορεί να ανήκει σε αυτήν. Άρα η R περιλαμβάνει ακριβώς τα στοιχεία της μορφής (a, a). Άρα η R είναι η ταυτοτική συνάρτηση. Άσκηση Φ5.8: Έστω h x 2 ( ) ( x 6) 9. = + Βρέστε δύο συναρτήσεις f και gτέτοιες ώστε h( x) = f ( g( x)). f(x)= x-9 g(x) = x 2 +6

5 Άσκηση Φ5.9: Για καθεµία από τις παρακάτω συναρτήσεις υπολογίστε την αντίστροφή της ( a) f ( x) = 3x+ 4 1 ( b) f ( x) = 3(2x+ 5) 2 ( c) f ( x) = (3x+ 4) / (a) f(x) = 3x + 4 y = 3x +4 y -4 = 3x (y-4)/3 = x x = (y-4)/3 (b) f(x)= 3(2x+5) = 6x + 15 y = 6x + 15 y -15 = 6x x = (y-15)/6 (c) f(x)= (3x + 4)/2 +6 y = (3x + 4)/2 +6 y-6 = (3x +4)/2 2y-12 = 3x +4 2y -16 =3x x = (2y-16)/3 Άσκηση Φ5.10 f Υπολογίστε τις συναρτήσεις (a) 1 f2 f, (b) 2 f3 f, (c) 3 f1, αν (1) f ( x) = 3x+ 4 1 (2) f ( x) = 3(2x+ 5) 2 (3) f ( x) = (3x+ 4) / (a) f1(f2(x)) = (3(6x + 15) + 4) = (18x + 45) +4 = 18x +49 (b) f2(f3(x))= (6((3x+4)/2 + 6) + 15) = (9x ) = 9x +63 (c) f3(f1(x)) = ((3(3x +4)+4)/2 +6) = ((9x )/2 +6) = 9x/2 + 14

6 Άσκηση Φ5.11 Έστω η συνάρτηση f : N Zη οποία ορίζεται ως εξής: n / 2 n αρτιος f ( n) = ( n+ 1) / 2 n περιττος Αποδείξτε ότι η f είναι αµφιµονοσήµαντη. Έστω k,m N 1. k και m άρτιοι. Τότε f(k)=f(m) -k/2 = -m/2k=m 2. k και m περιττοί. Τότε f(k)=f(m) (k+1)/2 = (m+1)/2 k+1=m+1k=m 3. k άρτιος και m περιττός. Παρατηρώ ότι f(k) = -k/2 0 ενώ (m+1)/2 > 0. Άρα f(k) f(m) Τότε f(k)=f(m). Το ίδιο προφανώςισχύει και για τη αντίστροφη περίπτωση (k περιττός και m άρτιος) Εποµένως, αν κάποιος από δύο φυσικούς είναι άρτιος και ο άλλος περιττός, αποκλείεται να έχουν την ίδια εικόνα µέσω της f. Εποµένως η f είναι 1-1. Η f(n) είναι επί εφόσον κάθε στοιχείο του Ζ αποτελεί εικόνα κάποιου στοιχείου του Ν. Άρα η f(n) είναι αµφιµονοσήµαντη Άσκηση Φ5.12 * Έστω Z το σύνολο των ακεραίων εκτός του µηδενός και Qτο σύνολο των ρητών. Θεωρείστε * τη συνάρτηση f : Z Z Q η οποία ορίζεται ως f ( n, m) = n / m. είξτε ότι η f είναι όντως συνάρτηση και προσδιορίστε αν είναι (a) 1 προς 1, (b) επί. Η f(n,m) =n/m είναι συνάρτηση εφόσον κανένα ζευγάρι ακεραίων n, m δεν αντιστοιχεί σε 2 ή περισσότερους ρητούς και κάθε ζευγάρι ακεραίων του πεδίου ορισµού έχει εικόνα στο σύνολο των ρητών. Η f(n,m) δεν είναι 1-1 επειδή για f(1,1) = f(-1,-1) = 1 Η f(n,m) είναι επί επειδή εξ ορισµού, αναπαριστά όλους τους δυνατούς ρητούς αριθµούς. Άσκηση Φ5.13 Προσδιορίστε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις fi: R R είναι 1-1, ποιες είναι επί και ποιες είναι αµφιµονοσήµαντες. Για τις αµφιµονοσήµαντες βρείτε αντίστροφη συνάρτηση a. f 1 (x) = x-1 b. f 2 (x)=x 3 c. f 3 (x)=x 3 -x

7 d. f 4 (x)=x 3-3x 2 +3x-1 e. f 5 (x)=e x f. f 6 (x)=, 0, <0 a. Είναι αµφιµονοσήµαντη. f1-1 (x)=x+1 b. Είναι αµφιµονοσήµαντη. f2-1 # (x)= c. Είναι επί αλλά όχι 1-1 (π.χ. f(1)=f(0)) d. Είναι αµφιµονοσήµαντη. f4-1 # (x)= +1 e. Είναι 1-1 αλλά όχι επί (Όλα τα f 5 (x) είναι θετικά) 0 f. Είναι αµφιµονοσήµαντη. f6-1 (x)=, <0 Άσκηση Φ5.14 Έστω συναρτήσεις f και g: R R µε f(x)= x 2 και g(x)= x 2-1. Βρείτε τις συναρτήσεις f f, f g, g f, g g. Βρείτε τα στοιχεία του συνόλου x R f(g(x=g(f(x f f(x)=f(f(x))= x 4 f g(x)=f(g(x))=( x 2-1) 2 = x 4-2x 2 +1 g f(x)=g(f(x))= x 4-1 g g(x=g(g(x=(x 2-1) 2-1= x 4-2x = x 4-2x 2 = x 2 (x 2-2) f(g(x=g(f(x x 4-2x 2 +1= x x 2 =-2 x=±1 Άσκηση Φ5.15 Έστω f: A B μια συνάρτηση και Α1, Α2 Α. Βρείτε αν f(α1 Α2 f(α1 f (Α2 και αν f(α1 Α2 f(α1 f (Α2. Αν ναι, αποδείξτε το, αν όχι δώστε αντιπαράδειγμα. 1. Έστω y f(α1 Α2. Τότε υπάρχει x Α1 Α2 τέτοιο που f(x=y. Αν x Α1, τότε y f(α1 άρα y f(α1 f (Α2. Ομοίως αν y f(α2. Συνεπώς f(α1 Α2 f(α1 f (Α2 2. Έστω t f( Α1 Α2. Τότε t=f(s για κάποιο s Α1 Α2. s Α1 και s Α2 άρα t f(α1 f (Α2. Άσκηση Φ5.16 Έστω συνάρτηση f : A Bκαι σύνολα A1 A, A2 A. Αποδείξτε ότι εάν A A, 1 2 τότε f ( A ) f ( A ). 1 2

8 Έστω y f(α1. Τότε y=f(x) για κάποιο x Α1. Εφόσον A1 A2, τότε και x Α2 άρα και y f(α2 ο.ε.δ. ΜΕΡΟΣ Β: ΑΡΧΗ ΤΟΥ ΠΕΡΙΣΤΕΡΩΝΑ Άσκηση Φ5.17: Ο Νίκος διαλέγει 5 διαφορετικούς αριθμούς από το 1 έως και το 8. Αποδείξτε ότι οποιουσδήποτε αριθμούς κι αν διαλέξει, θα υπάρχουν τουλάχιστον δύο που το άθροισμά τους θα είναι ίσο με 9. Ας θεωρήσουμε την συνάρτηση της άσκησης 5.4: f : A Bόπου f ( x) = yόταν x y με A= {1,2,3,4,5,6,7,8} και B= {{1,8},{2,7},{3,6},{4,5}} Η συνάρτηση αυτή απεικονίζει τους αριθμούς 1 έως 8 σε 4 σύνολα. Επομένως, αν επιλέξουμε 5 αριθμούς, αναγκαστικά από την αρχή του περιστερώνα, 2 από αυτούς θα έχουν την ίδια εικόνα στο Β. Ωστόσο, αν ισχύει αυτό, είναι εξασφαλισμένο ότι δύο από τους πέντε αριθμούς θα έχουν άθροισμα 9, εφόσον τα στοιχεία οποιουδήποτε από τα σύνολα του Β αθροίζουν σε 9. Άσκηση Φ5.18: Πέντε σημεία επιλέγονται τυχαία μέσα σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο με μοναδιαίο μήκος πλευράς. Αποδείξτε ότι αναγκαστικά υπάρχει τουλάχιστον ένα ζευγάρι σημείων των οποίων η απόσταση δεν υπερβαίνει το ½. Περιστέρια: τα 5 σημεία Περιστερώνες: τα τέσσερα ισόπλευρα τρίγωνα με μήκος πλευράς 1/2 που σχηματίζονται εάν ενώσουμε τα μέσα των πλευρών του τριγώνου.

9 Δεδομένου ότι 5 περιστέρια τοποθετούνται σε 4 περιστερώνες, τουλάχιστον ένα ζεύγος περιστεριών θα τοποθετηθεί στον ίδιο ένα περιστερώνα. Γι αυτά τα σημεία, είναι προφανές ότι η απόστασή τους είναι μικρότερη από το μήκος των πλευρών του τριγωνικού περιστερώνα, το οποίο είναι ½. Άσκηση Φ5.19: Έστω ότι το Α είναι ένα σύνολο έξι θετικών ακεραίων καθένας από τους οποίους είναι μικρότερος του 13. Δείξτε ότι υπάρχουν δύο διαφορετικά υποσύνολα του Α των οποίων όταν τα στοιχεία προστεθούν, δίνουν το ίδιο άθροισμα (για παράδειγμα, έστω Α={5, 12, 10, 1, 3, 4}. Παρατηρούμε ότι όντως μπορούμε να βρούμε υποσύνολα Α1={1, 4, 10} και Α2={5, 10} του Α καθένα από τα οποία έχει άθροισμα στοιχείων ίσο με το 15). To A είναι σύνολο 6 θετικών ακεραίων, υποχρεωτικά διαφορετικών μεταξύ τους, μικρότερων του 13. Τα δυνατά αθροίσματα στοιχείων των υποσυνόλων του Α κυμαίνονται από 0 (για το ) ως 57 (για το {7, 8, 9, 10, 11, 12}). Το πλήθος των διαφορετικών υποσυνόλων ενός συνόλου 6 στοιχείων είναι 2 6 =64. Επομένως, αν τα περιστέρια είναι τα διαφορετικά υποσύνολα του Α και οι περιστερώνες τα αθροίσματα από 0 έως 57, γνωρίζουμε από την αρχή του περιστερώνα ότι θα υπάρχουν τουλάχιστον δύο υποσύνολα με ίδιο άθροισμα στοιχείων. Άσκηση Φ5.20 Δείξτε ότι μέσα σε ένα σύνολο 52 διαφορετικών ακεραίων υπάρχουν τουλάχιστον 2 το άθροισμα ή η διαφορά των οποίων να διαιρείται με το 100. Θεωρούμε τα σύνολα {50}, {49, 51}, {48, 52}, {47, 53},, {2, 98}, {1, 99}, {0, 100}. Παρατηρούμε ότι το άθροισμα των στοιχείων των συνόλων με δύο στοιχεία είναι 100. Ας θεωρήσουμε περιστέρια τα υπόλοιπα της ακέραιας διαίρεσης των 52 ακεραίων δια του 100 και περιστερώνες τα 51 σύνολα που σχηματίσαμε. Από την αρχή του περιστεριώνα προκύπτει ότι δύο τουλάχιστον από τους 52 ακεραίους θα απεικονιστούν στο ίδιο σύνολο. Σε αυτή την περίπτωση όμως είναι προφανές ότι είτε το άθροισμά τους είτε η διαφορά τους διαιρείται ακέραια με το 100.

10 Άσκηση Φ5.21: Αποδείξτε με βάση την αρχή του περιστεριώνα ότι σε κάθε σύνολο 100 ακεραίων, υπάρχουν δύο των οποίων η διαφορά είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του 37. Τα περιστέρια είναι οι 100 ακέραιοι. Οι περιστεριώνες είναι οι αριθμοί από το 0 έως το 36. Απεικονίζουμε κάθε ακέραιο k στον k mod 37. Εφόσον υπάρχουν 100 περιστέρια και μόνο 37 περιστεριώνες, δύο περιστέρια τουλάχιστον θα μπούν στον ίδιο περιστεριώνα. Αυτό σημαίνει πως για τους δύο αυτούς ακέραιους k1 και k2, ισχύει ότι k1 mod 37 = k2 mod 37, το οποίο με τη σειρά του σημαίνει ότι ο k1 k2 είναι πολλαπλάσιο του 37. Άσκηση Φ5.22: Έστω ένα τουρνουά στο οποίο καθένας από n παίκτες παίζει με όλους τους υπόλοιπους και κερδίζει τουλάχιστον έναν αγώνα. Δείξτε ότι υπάρχουν τουλάχιστον δύο παίκτες με ίδιο αριθμό νικών. Ο αριθμός των νικών για ένα παίκτη είναι από 1 έως n-1. Αυτοί οι n-1 αριθμοί αντιστοιχούν σε n-1 περιστεριώνες στους οποίους πρέπει να αντιστοιχηθούν n παίκτες (περιστέρια...). Άρα, από την αρχή του περιστεριώνα ξέρουμε ότι τουλάχιστον δύο παίκτες θα έχουν τον ίδιο αριθμό νικών. Άσκηση Φ5.23: Δείξτε ότι οποιοδήποτε σύνολο από επτά ακεραίους, περιέχει δύο ακεραίους x και y, τέτοιους ώστε είτε ο x+y να διαιρείται ακριβώς από τον 10, είτε ο x-y και διαιρείται ακριβώς από τον 10. Έστω Χ={x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7} το σύνολο των επτά ακεραίων και ri το υπόλοιπο της ακέραιας διαίρεσης του xi με το 10. Έστω η ακόλουθη διαμέριση του X: H1 = {xi: ri=0} H2 = {xi: ri=5} H3 = {xi: ri=1 ή ri=9} H4 = {xi: ri=2 ή ri=8} H5 = {xi: ri=3 ή ri=7} H6 = {xi: ri=4 ή ri=6} Υπάρχουν 6 περιστεριώνες για 7 περιστέρια. Άρα, δύο από τους επτά ακεραίους θα πρέπει να ανήκουν στο ίδιο Ηi. Σε οποιοδήποτε όμως από τα έξι αυτά σύνολα κι αν ανήκουν δύο ακέραιοι, τότε το άθροισμά τους ή η διαφορά τους διαιρείται ακριβώς με το 10.

11 Άσκηση Φ5.24 Σε ένα οπωροπωλείο υπάρχουν 50 καλάθια µε µήλα. Κανένα καλάθι δεν είναι άδειο και κάθε καλάθι περιέχει το πολύ 24 µήλα. είξτε ότι υπάρχουν τουλάχιστον τρία καλάθια µε ίσο πλήθος µήλων. Έστω j τα καλάθια και aj τα µήλα σε κάθε καλάθι. 1 aj 24 j [1,50] Έχουµε 50 καλάθια (περιστέρια) τα οποία µπορούν να έχουν 24 διαφορετικές χωρητικότητες (περιστερώνες). Από την αρχή του περιστερώνα, γνωρίζουµε ότι τουλάχιστον ceiling(50/24) =V WX Z = 3 καλάθια θα έχουν τον ίδιο αριθµό µήλων. Y Άσκηση Φ5.25 Ένα παιδί πίνει τουλάχιστον ένα ποτήρι γάλα την ηµέρα. εδοµένου ότι έχει πιεί 700 ποτήρια γάλα σε µια χρονιά (365 ηµέρες), αποδείξτε ότι υπάρχουν κάποιες συνεχόµενες ηµέρες τη χρονιά αυτή κατά τις οποίες ήπιε ακριβώς 29 ποτήρια γάλα. Έστω j οι μέρες και aj τα ποτήρια γάλα μέχρι τη μέρα j. Τότε η a1,a2,......, a365 Є Z + είναι μια ακολουθία από 365 διαφορετικούς ακέραιους όπου 1 aj 700 Επομένως a1+29,a2+29,....,a είναι μια ακολουθία από 365 διαφορετικούς ακεραίους με 30 aj Άρα (a1, a2, ,a365, a1+29, ,a365+29) είναι μια ακολουθία από 730 ακεραίους από το σύνολο {1,2,......,729} Από την αρχή του περιστερώνα δύο από αυτές είναι ίσοι, αλλά a1, a2.....,a365 είναι διαφορετικοί μεταξύ τους και οι a1+29, a2+29,..... a είναι διαφορετικοί μεταξύ τους. Επομένως υπάρχει i,j ai = aj + 29 άρα υπάρχειi,j τ.ω. ai - aj= 29 και επομένως υπάρχουν μέρες i,j τ.ω. μεταξύ τους να έχει πιει 29 ποτήρια γάλα. Άσκηση Φ5.26 Έχουµε τοποθετήσει 13 τετράγωνα καθένα από τα οποία έχει µήκος πλευράς ίσο µε 1, µέσα σε ένα κύκλο ακτίνας µήκους ίσου µε 2. είξτε ότι τουλάχιστον δύο από τα τετράγωνα έχουν ένα κοινό σηµείο. Η ακτίνα του κύκλου είναι 2. Άρα το εµβαδόν του κύκλου είναι π*r 2 = 2 2 *3,14159 = Το εµβαδόν 13 τετραγώνων µήκους πλευράς 1 είναι 13*1 2 = 13. Άρα 13/ = 1,034

12 Άρα 2 τετράγωνα πρέπει να µπουν στο ίδιο χώρο άρα αναγκαστικά εφόσον έχουν το ίδιο µήκος πλευράς ένα σηµείο τους θα είναι κοινό. Άσκηση Φ5.27 Έστω 26 τυχαία, διαφορετικά υποσύνολα του {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} καθένα από τα οποία έχει 3 στοιχεία. Αποδείξτε ότι τουλάχιστον δύο από αυτά έχουν το ίδιο άθροισμα στοιχείων. To υποσύνολο με το μικρότερο δυνατό άθροισμα είναι το {1,2,3}, με άθροισμα στοιχείων 6 και το αντίστοιχο με το μεγαλύτερο είναι το {7,8,9} με άθροισμα στοιχείων 24. Άρα τα δυνατά αθροίσματα είναι 19 (από 6 ως 24) Αν ορίσουμε περιστερώνες τα 19 διαφορετικά αθροίσματα και περιστέρια τα 26 υποσύνολα, τουλάχιστον δύο απ αυτά θα έχουν ίδιο άθροισμα στοιχείων Άσκηση Φ5.28 Δείξτε ότι αν επιλέξω 7 τυχαίους, διαφορετικούς αριθμούς από το σύνολο Α= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}, τότε υποχρεωτικά, σε αυτούς τους 7 αριθμούς υπάρχουν 2 το άθροισμα των οποίων είναι ίσο με 12. Ας θεωρήσουμε περιστερώνες τα υποσύνολα του Α: {6}, (1,11),{2,10},(3,9},{4,8},{5,7} (6 στον αριθμό) και περιστέρια τους 7 τυχαίους αριθμούς. Από την αρχή του περιστερώνα δύο τουλάχιστον από αυτούς θα αντιστοιχιστούν στο ίδιο σύνολο οπότε το άθροισμά τους θα ισούται με 12. Άσκηση Φ5.29 Υποθέστε ότι η Ελλάδα έχει 10,000,000 κατοίκους. Αποδείξτε ότι στην Ελλάδα υπάρχουν τουλάχιστον 5 άνθρωποι με τα ίδια αρχικά ονόματος και επιθέτου και ίδια ημερομηνία γενεθλίων (δεν μας απασχολεί το έτος γέννησης, μόνο η ημέρα και ο μήνας). ΛΥΣΗ Υπάρχουν 24x24 =576 δυνατές περιπτώσεις για τα αρχικά των ονομάτων και των επιθέτων των κατοίκων της Ελλάδας. Υπάρχουν 365 διαφορετικές ημερομηνίες γενεθλίων σε ένα έτος. Άρα υπάρχουν 576x365= διαφορετικοί τρόποι με τους οποίους οποιαδήποτε αρχικά μπορούν να συσχετιστούν με μία ημερομηνία γενεθλίων. Θεωρούμε περιστέρια τους κατοίκους και περιστερώνες τους διαφορετικούς τρόπους συσχέτισης με ημερομηνία γενεθλίων. Σύμφωνα με την αρχή του περιστερώνα, υπάρχουν V [X.XXX.XXX Z = 48 περιστέρια που υποχρεωτικά [X.YX θα πρέπει να βρίσκονται στον ίδιο περιστερώνα. Ο αριθµός αυτός είναι ασφαλώς µεγαλύτερος από τους 5 που ζητά η άσκηση και εποµένως, τουλάχιστον 5 άτοµα µε τα ίδια αρχικά ονόµατος και επιθέτου θα έχουν γενέθλια την ίδια ηµεροµηνία σε ένα έτος. Άσκηση Φ5.30

13 Επιλέγουμε τυχαία 11 αριθμούς από το σύνολο {1, 2, 3,, 99, 100}. Δείξτε ότι όποια και να είναι η επιλογή του συνόλου των 11 αριθμών, μπορούμε να βρούμε δύο μη-κενά, ξένα μεταξύ τους υποσύνολα (του συνόλου των 11 αριθμών) με ίσο άθροισμα στοιχείων. ΛΥΣΗ Έχουµε ένα σύνολο από 11 ακεραίους οι οποίοι επιλέγονται από το σύνολο {1, 2, 3,, 99, }. Όλα τα μη-κενά δυνατά υποσύνολα ενός συνόλου 11 αριθμών είναι 2 1= Όποια και να είναι η επιλογή των αρχικών 11 αριθµών το µεγαλύτερο δυνατό συνολικό τους άθροισµα είναι =1045. Επομένως, από την αρχή του 2047 περιστερώνα, υπάρχουν τουλάχιστον = 1, = υποσύνολα με το ίδιο άθροισμα στοιχείων. Αν αυτά τα υποσύνολα είναι ξένα μεταξύ τους, τότε έχουμε αποδείξει το ζητούμενο. Αν δεν είναι ξένα μεταξύ τους, τότε αρκεί να αφαιρέσουμε και από τα δύο τα κοινά τους στοιχεία. Τα σύνολα που προκύπτουν πληρούν τις απαιτήσεις του ζητήματος (είναι μη κενά, ξένα μεταξύ τους, είναι υποσύνολα ενός υποσυνόλου 11 στοιχείων του {1, 2, 3,, 99, 100} και έχουν το ίδιο άθροισμα). Άσκηση Φ5.31 Έστω ότι έχουµε τη δυνατότητα να συγκεντρώσουµε ένα τυχαίο πλήθος ατόµων. Πόσο πρέπει να είναι το πλήθος αυτό, προκειµένου να είµαστε σίγουροι ότι τουλάχιστον τέσσερις από αυτούς έχουν γεννηθεί την ίδια ώρα, λεπτό και δευτερόλεπτο της ηµέρας; (µας ενδιαφέρει να συµπίπτει µόνο η ώρα/λεπτά/δευτερόλεπτα και όχι η ηµεροµηνία: δηλαδή µέρα/ µήνας/χρόνος). Κάθε µέρα έχει 24x60x60 = δευτερόλεπτα Αν περιστέρια είναι οι x ζητούµενοι άνθρωποι και περιστερώνες τα δευτερόλεπτα της µέρας, από τη γενικευµένη αρχή του περιστερώνα θέλουµε \ V Z 4 \ >3 x> άτομα ]^YXX ]^YXX Άσκηση Φ5.32 Αποδείξτε ότι σε n+1 τυχαία επιλεγµένους ακεραίους, υπάρχουν δύο που η διαφορά τους διαιρείται ακριβώς δια του n Αν θεωρήσουµε περιστερώνες τα n διαφορετικά υπόλοιπα της ακέραιης διαίρεσης ενός αριθµού µε το n (0,1,2,,n-1) και αντιστοιχίσουµε τους n+1 τυχαίους ακεραίους στους περιστερώνες ανάλογα µε το υπόλοιπο της ακέραιας διαίρεσής τους µε το n, δύο τουλάχιστον από αυτούς, σύµφωνα µε την αρχή του περιστερώνα, θα έχουν ίδιο υπόλοιπο. Θα υπάρχουν δηλαδή δύο τουλάχιστον ακέραιοι x1 και x2 τέτοιοι που x1 = a1n+ b και x2=a2n+b. Άρα x1 - x2= (a1 -a2)n που διαιρείται ακριβώς δια του n

14 Άσκηση Φ5.33 Σ ένα δρόµο υπάρχουν 51 σπίτια. Κάθε σπίτι έχει µια διεύθυνση ανάµεσα στο 1000 και στο 1099, συµπεριλαµβανοµένων των ακραίων τιµών. Να δείξετε ότι, τουλάχιστον δύο σπίτια έχουν διευθύνσεις που είναι συνεχόµενοι ακέραιοι Έστω Α =a1,a2,,a51 η ακολουθία των 51 διαφορετικών µεταξύ τους διευθύνσεων των 51 σπιτιών µε 1000 a1,a2, a ηµιουργώ την ακολουθία Α = a1+1,a2+1,,a51+1. Η ακολουθία αυτή έχει 51 αριθµούς, διαφορετικούς µεταξύ τους µε 1001 a1+1,a2+1,,a Η ακολουθία Α= a1,a2, a51,a1+1,a2+1,,a51+1 περιλαµβάνει 102 αριθµούς οι οποίοι ανήκουν στο διάστηµα [1000,1100] Θεωρώ περιστέρια τους 102 αριθµούς a1,a2, a51, a1+1,a2+1,,a51+1 και περιστερώνες τους 101 διαφορετικούς ακεραίους στο [1000,1100] Με βάση την αρχή του περιστερώνα 2 τουλάχιστον απ αυτούς θα συµπίπτουν. Μια και οι ακολουθίες Α και Α περιλαµβάνουν διαφορετικούς µεταξύ τους αριθµούς αναγκαστικά θα υπάρχει τουλάχιστον ένας ai και ένας aj+1 τέτοιοι που ai =aj+1 ai -aj=1, δηλαδή οι ai και aj είναι διαδοχικοί Άσκηση Φ5.34 Ένα τοπικό δίκτυο αποτελείται από 6 υπολογιστές. Κάθε υπολογιστής είναι άµεσα συνδεδεµένος µε τουλάχιστον έναν από τους άλλους υπολογιστές. Να δείξετε ότι υπάρχουν τουλάχιστον δύο υπολογιστές που συνδέονται άµεσα στο ίδιο πλήθος άλλων υπολογιστών Έστω Ν(ai) o αριθµός των υπολογιστών µε τους οποίους είναι άµεσα συνδεδεµένος ο υπολογιστής ai Γνωρίζουµε ότι 1 Ν(ai) 5 Αν ορίσουµε περιστέρια τους 6 υπολογιστές a1,a2, a6 και περιστερώνες τις 5 διαφορετικές τιµές Ν(ai) :1,2,3,4,5 τότε µε βάση την αρχή του περιστερώνα, τουλάχιστον 2 υπολογιστές θα είναι άµεσα συνδεδεµένοι µε ίδιο αριθµό υπολογιστών