ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΣΥΝΕΚΤΙΚΗΣ ΡΟΗΣ ΜΕ ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΚΑΤΑ ΤΗ ΙΑ ΟΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΠΑΝΩ ΑΠΟ ΠΥΘΜΕΝΑ ΜΕ ΠΤΥΧΩΣΕΙΣ ΠΕΡΙΛΗΨΗ

Transcript

1 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΣΥΝΕΚΤΙΚΗΣ ΡΟΗΣ ΜΕ ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΚΑΤΑ ΤΗ ΙΑ ΟΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΠΑΝΩ ΑΠΟ ΠΥΘΜΕΝΑ ΜΕ ΠΤΥΧΩΣΕΙΣ Γ. Α. Κολοκυθάς, Υποψήφιος ιδάκτωρ Α. Α. ήµας, Επίκουρος Καθηγητής Εργαστήριο Υδραυλικής Μηχανικής, Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών, Πανεπιστήµιο Πατρών, 65 Πάτρα ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην παρούσα εργασία παρουσιάζονται αριθµητικές προσοµοιώσεις δισδιάστατης, συνεκτικής ροής µε ελεύθερη επιφάνεια, η οποία προκύπτει από τη διάδοση µη-γραµµικών κυµατισµών πάνω από πυθµένα µε πτυχώσεις. Οι προσοµοιώσεις βασίζονται στην αριθµητική επίλυση των εξισώσεων Navie-Stokes, οι οποίες υπόκεινται στις πλήρως µηγραµµικές οριακές συνθήκες ελεύθερης επιφάνειας και τις κατάλληλες οριακές συνθήκες πυθµένα, εισόδου και εξόδου. Οι εξισώσεις ροής µετασχηµατίζονται, ώστε το υπολογιστικό πεδίο να γίνει ανεξάρτητο του χρόνου. Για τη χωρική διακριτοποίησή τους, χρησιµοποιείται ένα υβριδικό σχήµα πεπερασµένων διαφορών, κατά την οριζόντια διεύθυνση, και ψευδό-φασµατική προσέγγιση µε πολυώνυµα Chebyshev, κατά την κατακόρυφη διεύθυνση. Η χρονική διακριτοποίηση επιτυγχάνεται µε χρήση µεθόδου κλασµατικού χρονοβήµατος, ενώ κάθε βήµα της πραγµατοποιείται σε τρία στάδια. Η επαλήθευση του µοντέλου επιτυγχάνεται συγκρίνοντας αριθµητικά αποτελέσµατα µε την αναλυτική λύση για την περίπτωση ροής στρωτού, παλλόµενου, οριακού στρώµατος πάνω από οριζόντιο πυθµένα. Για τη διάδοση κυµατισµών πάνω από πυθµένα µε πτυχώσεις, εξετάζεται η περίπτωση µε λόγο µήκους κύµατος προς βάθος πυθµένα λ / d = 6, λόγο ύψους κύµατος προς µήκος κύµατος H / λ =.5 και αριθµό Reynolds Re = 5. Εξετάζονται δύο περιπτώσεις πτυχώσεων παραβολικής µορφής, µε µήκος πτύχωσης L / d =.5 και ύψη πτύχωσης h /. d = και.5. Οι διαστάσεις τους επιλέγονται σύµφωνα µε εργαστηριακά πειράµατα και µετρήσεις πεδίου. Κοντά στον πυθµένα, η παρουσία των πτυχώσεων έχει ως συνέπεια την αποκόλληση της ροής και τη δηµιουργία στροβίλων. Στην ελεύθερη επιφάνεια, δηµιουργείται οριακό στρώµα πάχους περίπου τριπλασίου του µήκους Stokes. Το εύρος µεταβολής της διατµητικής τάσης πυθµένα, στην περιοχή των πτυχώσεων, αυξάνεται µε ρυθµό µεγαλύτερο από αυτόν της αύξησης του ύψους πτύχωσης, ενώ η αντίστοιχη δύναµη τριβής δεν επηρεάζεται από την αύξηση του ύψους πτύχωσης. Το εύρος των οπισθελκουσών δυνάµεων εξαιτίας δυναµικής και υδροστατικής πίεσης, που ασκούνται σε επιφάνεια µιας πτύχωσης, αυξάνεται ανάλογα µε την αύξηση του ύψους των πτυχώσεων. 35

2 NUMERICAL SIMULATION OF VISCOUS FREE-SURFACE FLOW INDUCED BY WAVE PROPAGATION OVER RIPPLED BED G. A. Kolokythas, Ph.D. Candidate A. A. Dimas, Assistant Pofesso Laboatoy of Hydaulic Engineeing, Depatment of Civil Engineeing, Univesity of Patas, 65 Patas, Geece. Tel , ABSTRACT In the pesent study, numeical simulations of the fee-suface flow, developing by the popagation of nonlinea wate waves ove a ippled bottom, ae pefomed assuming that the coesponding flow is two-dimensional, incompessible and viscous. The simulations ae based on the numeical solution of the unsteady, two-dimensional, Navie-Stokes equations subject to the fully-nonlinea, fee-suface bounday conditions and the appopiate bottom, inflow and outflow bounday conditions. The equations ae popely tansfomed in ode fo the computational domain to become time-independent. Fo the spatial discetization, a hybid scheme is used, in which the finite-diffeence method, in the hoizontal diection, and a pseudo-spectal appoximation method with Chebyshev polynomials, in the vetical diection, ae applied. A factional time-step scheme, which consists of thee stages, is used fo the tempoal discetization. The validation of the numeical model is accomplished by compaison of the numeical esults to the analytical solution fo the case of a lamina, oscillatoy, cuent flow that develops a unifom bounday laye ove a hoizontal bottom. Fo the popagation of nonlinea waves ove a igid ippled bed, the case with wavelength to wate depth atio λ / d = 6, wave height to wavelength atio H / λ =.5 and Reynolds numbe Re = 5, is consideed. Typical bed ipples of paabolic shape ae examined and we conside two cases with ipple length L / d =.5 and ipple heights h /. d = and.5. Thei dimensions ae chosen accoding to laboatoy and field data. Close to the bottom, flow sepaation occus due to the pesence of the ippled bed and consequently a ciculation egion is geneated. At the fee suface, a thin suface laye of thickness about thee times the Stokes length exists. The amplitude of the wall shea stess distibution ove the ipples inceases with inceasing ipple height, while the coesponding fiction foce is insensitive to this incease. The amplitude of the fom dag foces due to the dynamic and the hydostatic pessues inceases linealy with inceasing ipple height. 36

3 . ΕΙΣΑΓΩΓΗ Συνήθης επίπτωση της δράσης κυµάτων στην παράκτια ζώνη είναι η µεταφορά ιζήµατος, η οποία ευθύνεται για τη δηµιουργία µικρής κλίµακας πτυχώσεων στην επιφάνεια αµµωδών πυθµένων. Η παρουσία των πτυχώσεων επιφέρει µεταβολές στη διάδοση των κυµάτων και στη δοµή του οριακού στρώµατος πυθµένα. Οι Fedsøe et al. (999) µελέτησαν πειραµατικά και αριθµητικά περιπτώσεις συνδυασµένης δράσης κυµάτων και ρευµάτων πάνω από πυθµένα µε πτυχώσεις, και κατέληξαν στο συµπέρασµα ότι στα προφίλ της µέσης ταχύτητας εµπεριέχονται δύο «λογαριθµικές» ζώνες. Η µία συνδέεται µε την παρουσία των πτυχώσεων και η άλλη µε τη δράση των κυµάτων. Οι Huang and Dong () πραγµατοποίησαν αριθµητικές προσοµοιώσεις διάδοσης κυµάτων πάνω από πτυχωτό πυθµένα χρησιµοποιώντας τη µέθοδο FA (finite-analytic), και συµπέραναν ότι στην περίπτωση µοναχικού κύµατος δηµιουργείται ρεύµα αντίθετης φοράς σε σχέση µε τη διάδοση του κύµατος. Οι πτυχώσεις του πυθµένα έχουν παραβολική µορφή, ενώ οι διαστάσεις τους, µήκος L και ύψος h, εξαρτώνται από την περίοδο κύµατος, το ύψος κύµατος και το βάθος πυθµένα, σύµφωνα µε εργαστηριακά πειράµατα και µετρήσεις πεδίου (Fedsøe and Deigaad, 99). Στην παρούσα εργασία, θεωρείται η περίπτωση µε λόγο µήκους κύµατος προς βάθος πυθµένα λ / d = 6 και λόγο ύψους κύµατος προς µήκος κύµατος H / λ =.5, η οποία αντιστοιχεί σε L /.5 d και. h /.5 d. Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η αριθµητική προσοµοίωση της ροής ελεύθερης επιφάνειας που αναπτύσσεται από τη διάδοση µη-γραµµικών κυµάτων πάνω από λείο, πτυχωτό πυθµένα, σταθερής µορφολογίας. Εξετάζεται η επίδραση των πτυχώσεων στην ανάπτυξη του οριακού στρώµατος και στο πεδίο ταχυτήτων κοντά στον πυθµένα, η κατανοµή της διατµητικής τάσης κατά µήκος του πυθµένα, καθώς επίσης και η συµπεριφορά των αντίστοιχων δυνάµεων τριβής και των οπισθελκουσών δυνάµεων λόγω πίεσης. Στις επόµενες ενότητες παρουσιάζονται οι εξισώσεις που διέπουν τη ροή, η αριθµητική µέθοδος, τα αποτελέσµατα και τα κυριότερα συµπεράσµατα που εξάγονται από τις προσοµοιώσεις περιπτώσεων µε τις δύο ακραίες τιµές για το ύψος πτύχωσης h / d =. και.5.. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΡΟΗΣ Η δισδιάστατη, ασυµπίεστη ροή ελεύθερης επιφάνειας, για ρευστό σταθερής συνεκτικότητας, διέπεται από την εξίσωση συνέχειας u u + = x x () και τις εξισώσεις Navie-Stokes 37

4 + u + u = + + t x x x Re x x u u u p u u () + u + u = + + t x x x Re x x u u u p u u (3) όπου t ο χρόνος, x και x η οριζόντια και η κατακόρυφη συντεταγµένη, αντίστοιχα, u και u η οριζόντια και η κατακόρυφη συνιστώσα της ταχύτητας, αντίστοιχα, p η δυναµική πίεση και Re ο αριθµός Reynolds. Οι εξισώσεις ()-(3) εκφράζονται σε αδιάστατη µορφή µε παραµέτρους αδιαστατοποίησης το βάθος εισόδου d, την επιτάχυνση της βαρύτητας / g και την πυκνότητα του ρευστού ρ, εποµένως Re = d ( gd ) / v, όπου v είναι το κινηµατικό ιξώδες του ρευστού. Η κινηµατική, η δυναµική και η συνθήκη διατµητικής τάσης στην ελεύθερη επιφάνεια, αντίστοιχα, είναι dη η η η u u u η / x u u p dt t x F x x x / x = = +, = και = ( η ) (4) όπου η είναι η ανύψωση της ελεύθερης επιφάνειας και F ο αριθµός Foude, ο οποίος σύµφωνα µε την αδιαστατοποιηµένη διατύπωση των εξισώσεων ισούται µε τη µονάδα. Επιπλέον, οι συνθήκες µη-ολίσθησης και αδιαπέρατου πυθµένα διατυπώνονται, αντίστοιχα, ως εξής d d u + u = και u u = x x (5) όπου d = d( x ) είναι το βάθος πυθµένα µετρηµένο από την αδιατάρακτη στάθµη της ελεύθερης επιφάνειας. Οι καρτεσιανές συντεταγµένες µετασχηµατίζονται, ώστε το υπολογιστικό πεδίο ροής να γίνει ανεξάρτητο του χρόνου, σύµφωνα µε τις εξής εκφράσεις x + d η s = x και s = d + η (6) Από την εξ. (6) προκύπτει ότι στο µετασχηµατισµένο πεδίο, η ελεύθερη επιφάνεια αντιστοιχεί σε s =, ενώ ο πυθµένας σε s =. Οι συνιστώσες της ταχύτητας µετασχηµατίζονται ως εξής 38

5 u v και u v v v v η = = + = + (7) όπου + s η s h = + s s (8) και h/ s = d / s είναι η κλίση του πυθµένα. Λαµβάνοντας υπόψη τις εξ. (6)-(8), οι µετασχηµατισµένες εξισώσεις συνέχειας και Navie-Stokes σε στροφική µορφή γράφονται, αντίστοιχα, ως v v v η h + + = s d + η s s s (9) v + s η v p Π v v = v ζ ( + ) A + t d+ η t s d+ η s s Re s d+ η s ( ) ( v v ) v + s η + Π ζ t d + η t s d + η s η = v + a + η ( ) + + η v v v vη + ( + ) A + Re s d + η s () () v v v όπου a = + v + v η t s d + η s η η η Π= + + είναι το µετασχηµατισµένο, p ( v v ) v v ύψος δυναµικής πίεσης, ζ = s d + η s η µετασχηµατισµένη στροβιλότητα και u η h u i i A = i. d + η s s s d + η s s d + η s Αντίστοιχα µετασχηµατίζονται οι οριακές συνθήκες ελεύθερης επιφάνειας (4) και οι οριακές συνθήκες πυθµένα (5). 3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΜΕΘΟ ΟΣ Η αριθµητική επίλυση των εξισώσεων Navie-Stokes επιτυγχάνεται µε χρήση κλασµατικής µεθόδου ολοκλήρωσης σταθερού βήµατος, όσον αφορά τη χρονική 39

6 διακριτοποίηση και ενός υβριδικού σχήµατος για τη χωρική διακριτοποίηση. Το υβριδικό σχήµα περιλαµβάνει διακριτοποίηση των εξισώσεων µε χρήση κεντρικών πεπερασµένων διαφορών κατά την οριζόντια διεύθυνση s, και εφαρµογή της φασµατικής µεθόδου παρεµβολής µε πολυώνυµα Chebyshev κατά την κατακόρυφη διεύθυνση s. Κατά την s, το χωρικό βήµα s είναι σταθερό, ενώ κατά την s, ο αριθµός των κόµβων παρεµβολής N είναι ίσος µε τη µέγιστη τάξη των πολυωνύµων Chebyshev. Κάθε βήµα της χρονικής διακριτοποίησης πραγµατοποιείται σε τρία στάδια. Στο πρώτο στάδιο γίνεται χρήση ρητού σχήµατος Adams-Bashfoth για τη διακριτοποίηση των µη-γραµµικών ορών και ενός µέρους των συνεκτικών όρων ( A ) των εξισώσεων κίνησης i () και (). Στο δεύτερο στάδιο εφαρµόζεται ένα πεπλεγµένο σχήµα Eule για τους όρους του ύψους πίεσης των εξισώσεων κίνησης. Λαµβάνοντας υπόψη την εξίσωση συνέχειας (9) προκύπτει η γενικευµένη εξίσωση Poisson για το µετασχηµατισµένο ύψος πίεσης. Σε αυτό το στάδιο εφαρµόζονται η δυναµική οριακή συνθήκη ελεύθερης επιφάνειας και η συνθήκη αδιαπέρατου πυθµένα. Στο τρίτο και τελευταίο στάδιο του χρονικού βήµατος, χρησιµοποιείται επίσης ένα πεπλεγµένο σχήµα Eule, και σε αυτό υπεισέρχονται οι εναποµείναντες συνεκτικοί όροι των εξισώσεων κίνησης. Οι συνιστώσες της ταχύτητας υπολογίζονται µε επίλυση των αντίστοιχων γενικευµένων εξισώσεων Poisson, οι οποίες υπόκεινται στην οριακή συνθήκη διατµητικής τάσης ελεύθερης επιφάνειας και τις οριακές συνθήκες πυθµένα. Η ανύψωση της ελεύθερης επιφάνειας υπολογίζεται από την κινηµατική οριακή συνθήκη στο τέλος κάθε χρονικού βήµατος. Στο όριο εισόδου, η κατανοµή του πεδίου ταχυτήτων και της δυναµικής πίεσης και η ανύψωση της ελεύθερης επιφάνειας καθορίζονται από τη θεωρία κυµάτων Stokes ης τάξης. Στην περιοχή εκροής, επιλέγεται χρήση ζώνης απορρόφησης κυµατισµών για την απόσβεση των ανακλώµενων κυµάτων από το όριο εξόδου (Dimakopoulos and Dimas, 6). 4. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Η επαλήθευση του αριθµητικού µοντέλου γίνεται µε προσοµοίωση στρωτής, u = U sin ωt η οποία αναπτύσσει οριακό παλλόµενης, οµοιόµορφης ροής µε ταχύτητα ( ) στρώµα πάνω από οριζόντιο πυθµένα. Το ύψος και το µήκος του υπολογιστικού πεδίου ισούνται µε 4δ και 6δ, αντίστοιχα, όπου δ ( ν / ω) / = είναι το µήκος Stokes. Εξετάζεται η περίπτωση µε αριθµό Reynolds Re = Uδ / ν = 8 και αριθµό Stouhal St δ = ωδ / U = /4 ενώ οι αριθµητικές παράµετροι είναι t =.5, s =. και N = 64. Η αδιαστατοποιηµένη ταχύτητα που προκύπτει από την αναλυτική επίλυση δ x x δ u = sin ( St t) e sin St t δ () 4

7 είναι σε συµφωνία µε την αριθµητική λύση (Σχ. ). Σχήµα. Σύγκριση χρονικής µεταβολής της οριζόντιας ταχύτητας, για x =.84, µεταξύ αριθµητικής και αναλυτικής λύσης. Figue. Compaison of steamwise velocity vaiation in time, at x =.84, between numeical and analytical solution. Σκαρίφηµα του υπολογιστικού πεδίου που χρησιµοποιείται για την προσοµοίωση διάδοσης µη-γραµµικών κυµάτων πάνω από πυθµένα µε πτυχώσεις, φαίνεται στο Σχ.. Όπως προαναφέρθηκε, εξετάζεται η περίπτωση στην οποία λ / d = 6 και H / λ =.5, ενώ επιλέγεται Re = 5 και µήκος πεδίου ίσο µε 6.5λ. Το σχήµα των πτυχώσεων είναι παραβολικό ( ) h x h x = L (3) και θεωρούνται δύο περιπτώσεις µε µήκος πτύχωσης L / d =.5 και ύψη h /. d = και.5. Το πτυχωτό τµήµα του πυθµένα έχει µήκος.5λ, εκτείνεται από x = 6.5 ως x = 9.5, και απαρτίζεται από πτυχώσεις. Οι αριθµητικές παράµετροι είναι t =., s =.5 και N = 8. Στο Σχ. 3 φαίνεται τυπικό στιγµιότυπο του πεδίου ταχύτητας κοντά στον πυθµένα, για ύψος πτύχωσης h / d =.5. Η παρουσία των πτυχώσεων έχει ως αποτέλεσµα την αποκόλληση της ροής και τη δηµιουργία στροβίλων στην υπήνεµη και την προσήνεµη πλευρά τους, ανάλογα µε τη διεύθυνση της ροής. Στο Σχ. 4 φαίνονται προφίλ της οριζόντιας ταχύτητας σε διάφορες χρονικές στιγµές. Κοντά στην ελεύθερη επιφάνεια, διακρίνεται η ύπαρξη οριακού στρώµατος πάχους περίπου 3δ. 4

8 x x d Σχήµα. Σκαρίφηµα υπολογιστικού πεδίου ροής µε πτυχωτό τµήµα πυθµένα. Figue. Sketch of computational flow domain ove igid ippled bed. Σχήµα 3. Πεδίο ταχύτητας µεταξύ διαδοχικών κορυφών πτύχωσης για ύψος h / d =.5 Figue 3. Velocity field between successive ipple cests, fo ipple height h / d =.5. Σχήµα 4. Προφίλ οριζόντιας ταχύτητας σε διάφορες φάσεις της περιόδου T (αριστερά) και στιγµιότυπο κοντά στην ελεύθερη επιφάνεια (δεξιά). Figue 4. Hoizontal velocity pofiles at diffeent peiod phases (left) and snapshot close to the fee suface (ight). 4

9 Η κατανοµή της διατµητικής τάσης πυθµένα τ σε δύο φάσεις της περιόδου T w φαίνεται στο Σχ. 5 και για τις δύο περιπτώσεις υψών πτύχωσης. Η αύξηση του εύρους µεταβολής της τ, λόγω της παρουσίας των πτυχώσεων, είναι µεγαλύτερη από την αύξηση w του ύψους h. Στη συνέχεια, η διατµητική τάση, η δυναµική και η υδροστατική πίεση ολοκληρώνονται κατά µήκος µιας πτύχωσης, από x = 7.5 ως 7.75, ώστε να προκύψουν οι οριζόντιες συνιστώσες της δύναµης τριβής F, της δυναµικής οπισθέλκουσας F και f P της στατικής οπισθέλκουσας F, που ασκούνται στην επιφάνεια της πτύχωσης. Στο Σχ. 6 s παρουσιάζεται η χρονική µεταβολή αυτών των δυνάµεων, και φαίνεται ότι το εύρος των δυνάµεων F και F αυξάνεται ανάλογα µε την αύξηση του ύψους h, ενώ το εύρος της P s δύναµης τριβής δεν επηρεάζεται από αυτή την αύξηση. 5. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Η παρουσία των πτυχώσεων επηρεάζει το οριακό στρώµα πυθµένα, προκαλώντας αποκόλληση της ροής και δηµιουργία στροβίλων. Στην ελεύθερη επιφάνεια, εµφανίζεται οριακό στρώµα τάξης µεγέθους µήκους Stokes. Το εύρος µεταβολής της διατµητικής τάσης πυθµένα στην περιοχή των πτυχώσεων αυξάνεται µε την αύξηση του ύψους πτύχωσης, ενώ η αντίστοιχη δύναµη τριβής δεν επηρεάζεται από αυτή την αύξηση. Το εύρος των οπισθελκουσών δυνάµεων λόγω δυναµικής και υδροστατικής πίεσης αυξάνεται ανάλογα µε την αύξηση του ύψους πτύχωσης. Σχήµα 5. Κατανοµή διατµητικής τάσης πυθµένα, σε δύο φάσεις της περιόδου T, για ύψος πτύχωσης h / d =. (αριστερά) και h / d =.5 (δεξιά). Figue 5. Wall shea stess, at two time instants duing a wave peiod, fo ipple height h / d =. (left) and h / d =.5 (ight). 43

10 Σχήµα 6. Χρονική εξέλιξη της ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας στην κοιλάδα πτύχωσης και της δύναµης τριβής F, της δύναµης F, λόγω δυναµικής πίεσης, και της f p δύναµης F, λόγω υδροστατικής πίεσης, ανά πτύχωση. s Figue 6. Time evolution of fee suface elevation at ipple tough, and fiction foce F, f fom dag foce F due to dynamic pessue, and fom dag foce F due to hydostatic p s pessue, ove one ipple. 6. ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Ευχαριστούµε το Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταµείο (ΕΚΤ), Επιχειρησιακό Πρόγραµµα Εκπαίδευση και Αρχική Επαγγελµατική Κατάρτιση (ΕΠΕΑΕΚ ΙΙ), και ειδικότερα το Πρόγραµµα ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ ΙI, για την χρηµατοδότηση του ανωτέρω έργου. 7. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Dimakopoulos, A.S. and Dimas, A.A. (6), Numeical simulation of nonlinea wave popagation and beaking ove constant-slope bottom, Poceedings of 5 th Intenational Confeence on Offshoe Mechanics and Actic Engineeing, OMAE6-963, Hambug, Gemany. Fedsøe, J. and Deigaad, R. (99), Mechanics of Coastal Sediment Tanspot, Wold Scientific, Singapoe. Fedsøe, J., Andeson, K.H. and Sume, B.M. (999), Wave plus cuent ove a ipplecoveed bed, Coastal Engineeing, Vol. 38, pp Huang, C.J. and Dong, C.M. (), Popagation of wate waves ove igid ippled beds, Jounal of Wateway, Pot, Coastal, and Ocean Engineeing, Vol. 8(5), pp