Ελαθρύηαηες διαδρομές

Transcript

1 Ελαθρύηαηες διαδρομές

2 Ελαθρύηαηες διαδρομές Καηεπζπλόκελν γξάθεκα πλάξηεζε βάξνπο Ελαθπύηαηη διαδπομή από ην u ζην v : δηαδξνκή κε ειάρηζην βάξνο s 3 1 t 4 x 5 3 y z Βάπορ ελαθπύηαηηρ διαδπομήρ εάλ ππάξρεη δηαδξνκή από ην u ζην v δηαθνξεηηθά

5 Καηεπζπλόκελν γξάθεκα πλάξηεζε βάξνπο Ελαθπύηαηη διαδπομή από ην u ζην v : δηαδξνκή κε ειάρηζην βάξνο s 3 1 t 3 4 x y 11 z Βάπορ ελαθπύηαηηρ διαδπομήρ εάλ ππάξρεη δηαδξνκή από ην u ζην v δηαθνξεηηθά Θέινπκε λα βξνύκε όιεο ηηο ειαθξύηεξεο δηαδξνκέο από ην s πξνο θάζε άιιν θόκβν

6 Καηεπζπλόκελν γξάθεκα πλάξηεζε βάξνπο Ελαθπύηαηη διαδπομή από ην u ζην v : δηαδξνκή κε ειάρηζην βάξνο s 3 1 t 3 4 x y 11 z Βάπορ ελαθπύηαηηρ διαδπομήρ εάλ ππάξρεη δηαδξνκή από ην u ζην v δηαθνξεηηθά Θέινπκε λα βξνύκε όιεο ηηο ειαθξύηεξεο δηαδξνκέο από ην s πξνο θάζε άιιν θόκβν

7 Ελαθρύηαηες διαδρομές Βέληιζηη ςποδομή Έζησ p κία ειαθξύηαηε δηαδξνκή από ην u ζην v. Έζησ x y δύν νπνηνηδήπνηε θόκβνη πάλσ ζην p q ε ππνδηαδξνκή ηνπ p από ην x ζην y. H q είλαη κηα ειαθξύηαηε δηαδξνκή από ην x ζην y.

8 Ελαθρύηαηες διαδρομές Ακμέρ απνηηικού βάποςρ a b c d a b c d 1-5 Η ειαθξύηαηε δηαδξνκή από έλα θόκβν u πξνο έλα θόκβν v είλαη καλά καθοπιζμένη όηαλ δελ ππάξρεη δηαδξνκή από ην u ζην v πνπ λα πεξηέρεη κύκλο απνηηικού βάποςρ.

9 Ελαθρύηαηες διαδρομές Κύκλοι u x c u x p q v v Αλ ε ειαθξύηαηε δηαδξνκή από έλα θόκβν u πξνο έλα θόκβν v είλαη θαιά θαζνξηζκέλε ηόηε ππάξρεη ειαθξύηαηε δηαδξνκή από ην u ζην v πνπ είλαη άκςκλη.

10 Πποκάηοσορ ν θόκβνο πνπ πξνεγείηαη ηνπ v ζηελ ειαθξύηαηε δηαδξνκή από ην s Γπάθημα πποκαηόσων Απνηειείηαη από ηνπο θόκβνπο v γηα ηνπο νπνίνπο ππάξρεη κνλνπάηη από ην s από ηηο αθκέο 3 t 3 4 x 9 s y 11 z

11 Πποκάηοσορ ν θόκβνο πνπ πξνεγείηαη ηνπ v ζηελ ειαθξύηαηε δηαδξνκή από ην s Γπάθημα πποκαηόσων Απνηειείηαη από ηνπο θόκβνπο v γηα ηνπο νπνίνπο ππάξρεη κνλνπάηη από ην s από ηηο αθκέο 3 t 3 4 x 9 Σν γξάθεκα δέλδξν κε ξίδα ην s είλαη s y 11 z Σν κνλνπάηη ηνπ από ην s ζην v είλαη ειαθξύηαηε δηαδξνκή ζην από ην s ζην v

12 Πποκάηοσορ ν θόκβνο πνπ πξνεγείηαη ηνπ v ζηελ ειαθξύηαηε δηαδξνκή από ην s Πποεκηίμηζη ελαθπύηαηηρ διαδπομήρ άλσ θξάγκα ηνπ βάξνπο ηεο ειαθξύηαηεο δηαδξνκήο από ην s ζην v Αξρηθνπνίεζε : ΚΔΝΟ, Φαλάπωζη ΥΑΛΑΡΩΗ(u,v,w) αλ ηόηε ΥΑΛΑΡΩΗ(u,v,w) ΥΑΛΑΡΩΗ(u,v,w) 5 5 Μεηά ηελ αξρηθνπνίεζε πξαγκαηνπνηνύκε κηα αιιεινπρία πξάμεσλ ραιάξσζεο.

13 Ιδιόηηηερ ελαθπύηαηων διαδπομών και σαλάπωζηρ Τπιγωνική ανιζόηηηα γηα νπνηαδήπνηε αθκή Άνω θπάγμα γηα νπνηνδήπνηε θόκβν. Από ηε ζηηγκή πνπ ην δελ κεηαβάιιεηαη πνηέ. Σύγκλιζη Δάλ ππάξρεη ειαθξύηαηε δηαδξνκή από ην ζην κε ηειηθή αθκή ηε, έρνπκε πξηλ ηε ραιάξσζε ηεο ηόηε κεηά ηε ραιάξσζε.

14 Ιδιόηηηερ ελαθπύηαηων διαδπομών και σαλάπωζηρ Φαλάπωζη διαδπομήρ Έζησ κηα ειαθξύηαηε δηαδξνκή από ην ζην. Αλ νη αθκέο ηεο ππνζηνύλ ραιάξσζε κε ηε ζεηξά ηόηε Υπογπάθημα πποκαηόσων Δάλ γηα όινπο ηνπ θόκβνπο ηόηε ην ππνγξάθεκα ησλ πξνόρσλ απνηειεί δέλδξν ειαθξύηαησλ δηαδξνκώλ κε ξηδηθό θόκβν ην.

15 Υπογπάθημα πποκαηόσων Δάλ γηα όινπο ηνπ θόκβνπο ηόηε ην ππνγξάθεκα ησλ πξνόρσλ απνηειεί δέλδξν ειαθξύηαησλ δηαδξνκώλ κε ξηδηθό θόκβν ην. Λήμμα Αλ ην έρεη θύθιν ηόηε ην πεξηέρεη θύθιν αξλεηηθνύ βάξνπο Έζησ όηη ζην ππάξρεη θύθινο όπνπ Γίρσο απώιεηα ηεο γεληθόηεηαο ππνζέηνπκε όηη ν θύθινο δεκηνπξγήζεθε από ηε ραιάξσζε ηεο. Αθξηβώο πξηλ από απηή ηε ραιάξσζε έρνπκε

16 Υπογπάθημα πποκαηόσων Δάλ γηα όινπο ηνπ θόκβνπο ηόηε ην ππνγξάθεκα ησλ πξνόρσλ απνηειεί δέλδξν ειαθξύηαησλ δηαδξνκώλ κε ξηδηθό θόκβν ην. Λήμμα Tν είλαη δέλδξν κε ξίδα Έζησ όηη γηα θάπνην ππάξρνπλ νη δηαδξνκέο ζην Σόηε

17 Υπογπάθημα πποκαηόσων Δάλ γηα όινπο ηνπ θόκβνπο ηόηε ην ππνγξάθεκα ησλ πξνόρσλ απνηειεί δέλδξν ειαθξύηαησλ δηαδξνκώλ κε ξηδηθό θόκβν ην. Έζησ ε κνλαδηθή δηαδξνκή ζην από ην ζην. Έρνπκε γηα. Σόηε

18 Αλγόπιθμορ Bellman-Ford αξρηθνπνίεζε ησλ γηα έσο ΥΑΛΑΡΩΗ αλ ηόηε ππάξρεη αξλεηηθόο θύθινο

19 Αλγόπιθμορ Bellman-Ford αξρηθνπνίεζε ησλ γηα έσο 5 ΥΑΛΑΡΩΗ αλ ηόηε ππάξρεη αξλεηηθόο θύθινο

20 Αλγόπιθμορ Bellman-Ford αξρηθνπνίεζε ησλ γηα έσο 5 ΥΑΛΑΡΩΗ αλ ηόηε ππάξρεη αξλεηηθόο θύθινο

21 Αλγόπιθμορ Bellman-Ford αξρηθνπνίεζε ησλ γηα έσο 5 ΥΑΛΑΡΩΗ αλ ηόηε ππάξρεη αξλεηηθόο θύθινο εηξά επεμεξγαζίαο

31 Αλγόπιθμορ Bellman-Ford αξρηθνπνίεζε ησλ γηα έσο ΥΑΛΑΡΩΗ αλ ηόηε ππάξρεη αξλεηηθόο θύθινο εηξά επεμεξγαζίαο

49 Αλγόπιθμορ Bellman-Ford αξρηθνπνίεζε ησλ γηα έσο ΥΑΛΑΡΩΗ ζε θάζε επαλάιεςε αλ ηόηε ππάξρεη αξλεηηθόο θύθινο

50 Αλγόπιθμορ Bellman-Ford αξρηθνπνίεζε ησλ γηα έσο ΥΑΛΑΡΩΗ ζε θάζε επαλάιεςε αλ ηόηε ππάξρεη αξλεηηθόο θύθινο πλνιηθόο ρξόλνο εθηέιεζεο

51 Αλγόπιθμορ Bellman-Ford Ιδιόηηηα Έζησ ζην κηα ειαθξύηαηε δηαδξνκή από ην. Σόηε, κεηά από ην πνιύ k επαλαιήςεηο Πξνθύπηεη άκεζα από ηελ ηδηόηεηα ραιάξσζεο δηαδξνκήο

52 Αλγόπιθμορ Bellman-Ford Θεώπημα Μεηά ην πέξαο ησλ πξάμεσλ ραιάξσζεο ηνπ αιγόξηζκνπ Bellman-Ford ππάξρεη αθκή ηέηνηα ώζηε εάλ κόλν εάλ ππάξρεη αξλεηηθόο θύθινο ζην. Έζησ όηη ζην ππάξρεη θύθινο όπνπ Δάλ Σόηε

53 ζε άκσκλα γραθήμαηα Θα εθκεηαιιεπηνύκε ηε δνκή ησλ επζπλόκελσλ άθπθισλ γξαθεκάησλ (ΚΑΓ) γηα λα ππνινγίζνπκε ηαρύηεξα ηηο ειαθξύηαηεο δηαδξνκέο από ην

54 ζε άκσκλα γραθήμαηα Θα εθκεηαιιεπηνύκε ηε δνκή ησλ επζπλόκελσλ άθπθισλ γξαθεκάησλ (ΚΑΓ) γηα λα ππνινγίζνπκε ηαρύηεξα ηηο ειαθξύηαηεο δηαδξνκέο από ην Τοπολογική διάηαξη: Δάλ ππάξρεη αθκή ηόηε ην πξνεγείηαη ηνπ

55 ζε άκσκλα γραθήμαηα Τοπολογική διάηαξη: Δάλ ππάξρεη αθκή ηόηε ην πξνεγείηαη ηνπ Θεώπημα Έλα νπνηνδήπνηε ΚΑΓ έρεη ηνπιάρηζηνλ κία ηνπνινγηθή δηάηαμε. Δπηπιένλ κπνξνύκε λα βξνύκε κία ηνπνινγηθή δηάηαμε ζε γξακκηθό ρξόλν

56 ζε άκσκλα γραθήμαηα Αλγόπιθμορ για ΚΑΓ ηνπνινγηθή δηάηαμε ηνπ αξρηθνπνίεζε ησλ γηα θάζε θόκβν ζε ηνπνινγηθή δηάηαμε ΥΑΛΑΡΩΗ 3 4

69 ζε άκσκλα γραθήμαηα Αλγόπιθμορ για ΚΑΓ ηνπνινγηθή δηάηαμε ηνπ αξρηθνπνίεζε ησλ γηα θάζε θόκβν ζε ηνπνινγηθή δηάηαμε ΥΑΛΑΡΩΗ 3 4 πλνιηθόο ρξόλνο εθηέιεζεο

70 Αλγόπιθμορ Bellman-Ford αξρηθνπνίεζε ησλ γηα έσο ΥΑΛΑΡΩΗ αλ ηόηε ππάξρεη αξλεηηθόο θύθινο

71 Αλγόπιθμορ Bellman-Ford αξρηθνπνίεζε ησλ γηα έσο Παπαηήπηζη Ο αιγόξηζκνο ησλ Bellman- Ford ζηε βαζηθή ηνπ έθδνζε κπνξεί λα θάλεη πνιιέο πεξηηηέο πξάμεηο ΥΑΛΑΡΩΗ αλ ηόηε ππάξρεη αξλεηηθόο θύθινο

72 Αλγόπιθμορ Bellman-Ford αξρηθνπνίεζε ησλ γηα έσο Παπαηήπηζη Ο αιγόξηζκνο ησλ Bellman- Ford ζηε βαζηθή ηνπ έθδνζε κπνξεί λα θάλεη πνιιέο πεξηηηέο πξάμεηο ΥΑΛΑΡΩΗ αλ ηόηε ππάξρεη αξλεηηθόο θύθινο Αλ ε απόζηαζε δελ άιιαμε από ηελ ηειεπηαία δηέιεπζε ησλ αθκώλ ηόηε δε ρξεηάδεηαη λα εμεηάζνπκε ηηο αθκέο πνπ εμέξρνληαη από ην

73 Αλγόπιθμορ Bellman-Ford Βειηηωκέλε σιοποίεζε Κάζε θνξπθή κπνξεί λα βξίζθεηαη ζε κία από ηηο αθόινπζεο 3 αζηάζεηο: αππόζιηη, μεηαβλημένη ή ανισνεςμένη πκβνιίδνπκε κε S(v) ηελ άζηαζε ηεο θνξπθήο v Αξρηθά ε s είλαη κεηαβιεκέλε όιεο νη ππόινηπεο θνξπθέο είλαη απξόζηηεο Αξρηθνπνίεζε : ΚΔΝΟ, Οη κεηαβιεκέλεο θνξπθέο ηνπνζεηνύληαη ζε κία (FIFO first in first out) νπξά Q ε θάζε βήκα ν αιγόξηζκνο βγάδεη ηελ πξώηε θνξπθή u από ηελ Q εθηειεί κία πξάμε αλίρλεπζεο (ζηε ζέζε ηεο ραιάξσζεο)

74 Αλγόπιθμορ Bellman-Ford Βειηηωκέλε σιοποίεζε ΑΝΙΥΝΔΤΗ αλ ηόηε ΔΙΑΓΩΓΗ

75 Αλγόπιθμορ Bellman-Ford Βειηηωκέλε σιοποίεζε ΑΝΙΥΝΔΤΗ αλ ηόηε ΔΙΑΓΩΓΗ Σνπνζεηεί ηελ θνξπθή ζηελ νπξά αλ δε βξίζθεηαη ήδε εθεί

76 Αλγόπιθμορ Bellman-Ford Βειηηωκέλε σιοποίεζε αξρηθνπνίεζε ησλ ΔΙΑΓΩΓΗ όζν ε νπξά Q δελ είλαη άδεηα ΔΞΑΓΩΓΗ ΑΝΙΥΝΔΤΗ Δπηζηξέθεη ηελ πξώηε θνξπθή ηεο νπξάο

77 Αλγόπιθμορ Bellman-Ford Βειηηωκέλε σιοποίεζε αξρηθνπνίεζε ησλ ΔΙΑΓΩΓΗ όζν ε νπξά Q δελ είλαη άδεηα ΔΞΑΓΩΓΗ 5 ΑΝΙΥΝΔΤΗ

80 Αλγόπιθμορ Bellman-Ford Βειηηωκέλε σιοποίεζε αξρηθνπνίεζε ησλ ΔΙΑΓΩΓΗ όζν ε νπξά Q δελ είλαη άδεηα ΔΞΑΓΩΓΗ ΑΝΙΥΝΔΤΗ

93 Αλγόπιθμορ Bellman-Ford Βειηηωκέλε σιοποίεζε αξρηθνπνίεζε ησλ ΔΙΑΓΩΓΗ όζν ε νπξά Q δελ είλαη άδεηα ΔΞΑΓΩΓΗ ΑΝΙΥΝΔΤΗ Πέπαζμα (αλαδξνκηθόο νξηζκόο): Η ηνπνζέηεζε ηνπ s ζηελ Q ά ηελ αξρηθνπνίεζε απνηειεί ην πέξαζκα. Σν i-νζηό (i>) πέξαζκα απνηειείηαη από ηελ αλίρλεπζε ησλ θνξπθώλ πνπ πξνζηέζεθαλ ζηελ Q ά ην (i-1)-νζηό πέξαζκα.

94 Αλγόπιθμορ Bellman-Ford Βειηηωκέλε σιοποίεζε αξρηθνπνίεζε ησλ ΔΙΑΓΩΓΗ όζν ε νπξά Q δελ είλαη άδεηα ΔΞΑΓΩΓΗ ΑΝΙΥΝΔΤΗ Αλ ην γξάθεκα δελ έρεη αξλεηηθνύο θύθινπο ηόηε ν αιγόξηζκνο ηεξκαηίδεη ζε πεξάζκαηα. Πέπαζμα (αλαδξνκηθόο νξηζκόο): Η ηνπνζέηεζε ηνπ s ζηελ Q ά ηελ αξρηθνπνίεζε απνηειεί ην πέξαζκα. Σν i-νζηό (i>) πέξαζκα απνηειείηαη από ηελ αλίρλεπζε ησλ θνξπθώλ πνπ πξνζηέζεθαλ ζηελ Q ά ην (i-1)-νζηό πέξαζκα.

95 Αλγόπιθμορ Bellman-Ford Βειηηωκέλε σιοποίεζε αξρηθνπνίεζε ησλ ΔΙΑΓΩΓΗ όζν ε νπξά Q δελ είλαη άδεηα ΔΞΑΓΩΓΗ ΑΝΙΥΝΔΤΗ Ση γίλεηαη όκσο κε ηελ αλίρλεπζε αξλεηηθώλ θύθισλ;

96 Ανίσνεςζη απνηηικών κύκλων Μέζοδος ωθιίοσ Δμεηάδνπκε αλ θάπνηα απόζηαζε γηα θάπνηα απόζηαζε πξνο ή αλ πλήζσο απγεί πολύ λα αλαθαιύςεη ηελ ύπαξμε αξλεηηθνύ θύθινπ

97 Ανίσνεςζη απνηηικών κύκλων Αλάβαζε προς ηε ρίδα Ιζρύεη όηη αλ ην γξάθεκα εηζόδνπ έρεη αξλεηηθό θύθιν ηόηε ην γξάθεκα ησλ πξνόρσλ θάπνηα ζηηγκή ζα έρεη (επζπλόκελν) θύθιν. Γξάθεκα πξνόρσλ

101 Ανίσνεςζη απνηηικών κύκλων Αλάβαζε προς ηε ρίδα Ιζρύεη όηη αλ ην γξάθεκα εηζόδνπ έρεη αξλεηηθό θύθιν ηόηε ην γξάθεκα ησλ πξνόρσλ θάπνηα ζηηγκή ζα έρεη (επζπλόκελν) θύθιν. Γξάθεκα πξνόρσλ Έζησ P ην θόζηνο ηνπ κνλνπαηηνύ από ην x ζην v. Έζησ Έρνπκε

102 Ανίσνεςζη απνηηικών κύκλων Αλάβαζε προς ηε ρίδα Ιζρύεη όηη αλ ην γξάθεκα εηζόδνπ έρεη αξλεηηθό θύθιν ηόηε ην γξάθεκα ησλ πξνόρσλ θάπνηα ζηηγκή ζα έρεη (επζπλόκελν) θύθιν. Όηαλ ε αθκή βειηηώλεη ηελ απόζηαζε ειέγρνπκε αλ ν είλαη πξόγνλνο ηνπ Αλεβαίλνπκε από ην πξνο ηε ξίδα ζην δέλδξν Αλ βξνύκε ην ππάξρεη θύθινο

103 Ανίσνεςζη απνηηικών κύκλων Αλάβαζε προς ηε ρίδα Ιζρύεη όηη αλ ην γξάθεκα εηζόδνπ έρεη αξλεηηθό θύθιν ηόηε ην γξάθεκα ησλ πξνόρσλ θάπνηα ζηηγκή ζα έρεη (επζπλόκελν) θύθιν. Όηαλ ε αθκή βειηηώλεη ηελ απόζηαζε ειέγρνπκε αλ ν είλαη πξόγνλνο ηνπ Αλεβαίλνπκε από ην πξνο ηε ξίδα ζην δέλδξν Αλ βξνύκε ην ππάξρεη θύθινο Βξίζθεη ηνλ θύθιν αμέζωρ κόιηο εκθαληζηεί ζην αιιά απαηηεί ρξόλν

104 Ανίσνεςζη απνηηικών κύκλων Αληηζηαζκηζηηθή αλαδήηεζε Δθηειεί ηελ «αλάβαζε πξνο ηε ξίδα» αλά πξάμεηο ραιάξσζεο αθκήο αλά πξάμεηο αλά πξάμε Απνδίδεη θαιύηεξα από ηε κέζνδν «σθιίνπ» αιιά δελ αλαθαιύπηεη ηελ ύπαξμε αξλεηηθνύ θύθινπ ακέζσο κόιηο εκθαληζηεί ζην

105 Ανίσνεςζη απνηηικών κύκλων Αποζσλαρκοιόγεζε σποδέλδροσ Όηαλ ε αθκή βειηηώλεη ηελ απόζηαζε ειέγρνπκε αλ o είλαη απόγνλνο ηνπ εμεηάδνληαο ην ππνδέλδξν κε ξίδα

106 Ανίσνεςζη απνηηικών κύκλων Αποζσλαρκοιόγεζε σποδέλδροσ Όηαλ ε αθκή βειηηώλεη ηελ απόζηαζε ειέγρνπκε αλ o είλαη απόγνλνο ηνπ εμεηάδνληαο ην ππνδέλδξν κε ξίδα Αλ ππάξρεη θύθινο

107 Ανίσνεςζη απνηηικών κύκλων Αποζσλαρκοιόγεζε σποδέλδροσ Όηαλ ε αθκή βειηηώλεη ηελ απόζηαζε ειέγρνπκε αλ o είλαη απόγνλνο ηνπ εμεηάδνληαο ην ππνδέλδξν κε ξίδα Αλ ηόηε ζέηνπκε αλ ηόηε ΓΙΑΓΡΑΦΗ

110 Ανίσνεςζη απνηηικών κύκλων Αποζσλαρκοιόγεζε σποδέλδροσ Όηαλ ε αθκή βειηηώλεη ηελ απόζηαζε ειέγρνπκε αλ o είλαη απόγνλνο ηνπ εμεηάδνληαο ην ππνδέλδξν κε ξίδα Αλ ηόηε ζέηνπκε αλ ηόηε ΓΙΑΓΡΑΦΗ Παξαηήξεζεηο: ε απόζηαζε ζα βειηησζεί αληηζηαζκηζηηθό θόζηνο γηα ηελ απνζπλαξκνιόγεζε

111 Αλγόπιθμορ Dijkstra Υξεζηκνπνηείηαη όηαλ ηα βάξε είλαη κε αξλεηηθά : Γηαηεξνύκε ζύλνιν θόκβσλ γηα ηνπο νπνίνπο έρεη ππνινγηζηεί ην ηειηθό βάξνο ηεο ειαθξύηαηεο δηαδξνκήο από ην ε θάζε επαλάιεςε επηιέγνπκε έλαλ θόκβν πνπ λα έρεη ηελ ειάρηζηε πξνεθηίκεζε ειαθξύηαηεο δηαδξνκήο, πξνζζέηνπκε ην ζην ραιαξώλνπκε ηηο αθκέο πνπ εθθηλνύλ από απηόλ. Υξεζηκνπνηνύκε κηα νπξά πξνηεξαηόηεηαο κε θιεηδηά ηηο ηηκέο

112 Αλγόπιθμορ Dijkstra αξρηθνπνίεζε ησλ ελόζσ ΔΞΑΓΩΓΗΔΛΑΥΙΣΟΤ ΥΑΛΑΡΩΗ

113 Αλγόπιθμορ Dijkstra αξρηθνπνίεζε ησλ ελόζσ ΔΞΑΓΩΓΗΔΛΑΥΙΣΟΤ 5 ΥΑΛΑΡΩΗ

120 Αλγόπιθμορ Dijkstra Θεώπημα Ο αιγόξηζκνο Dijkstra είλαη νξζόο. Αξθεί λα απνδείμνπκε όηη ηε ζηηγκή πνπ ηνπνζεηνύκε ηνλ θόκβν ηζρύεη ζην Έζησ όηη ν είλαη ν πξώηνο θόκβνο γηα ηνλ νπνίν όηαλ ηνπνζεηείηαη ζην έζησ κηα ειαθξύηαηε δηαδξνκή από ην ζην Οξίδνπκε αθόκα ν πξώηνο θόκβνο ηεο γηα ηνλ νπνίν ν πξνθάηνρνο ηνπ ζηελ ππνδηαδξνκή από ην ζην ππνδηαδξνκή από ην ζην

121 Αλγόπιθμορ Dijkstra Θεώπημα Ο αιγόξηζκνο Dijkstra είλαη νξζόο. Από ηνλ νξηζκνύο πξνθύπηεη όηη πξνζηίζεηαη ζην. Παξαηεξνύκε όηη ηεο έρνπκε ηε ζηηγκή πνπ ην, επνκέλσο κεηά ηε ραιάξσζε Δπεηδή ην πξνεγείηαη ηνπ ζηελ ειαθξύηαηε δηαδξνκή Όκσο ην επηιέρζεθε πξηλ από ην, επνκέλσο Άηοπο!

122 Αλγόπιθμορ Dijkstra αξρηθνπνίεζε ησλ ελόζσ επαλαιήςεηο ΔΞΑΓΩΓΗΔΛΑΥΙΣΟΤ ΥΑΛΑΡΩΗ πξάμεηο

123 Αλγόπιθμορ Dijkstra αξρηθνπνίεζε ησλ δνκή ρξόλνο εθηέιεζεο ελόζσ ΔΞΑΓΩΓΗΔΛΑΥΙΣΟΤ επαλαιήςεηο πίλαθαο δπαδηθόο ζσξόο ζσξόο Fibonacci ΥΑΛΑΡΩΗ πξάμεηο ΥΑΛΑΡΩΗ αλ ηόηε ΜΔΙΩΗΚΛΔΙΓΙΟΤ

124 Πανζεσκηικές ελαθρύηαηες διαδρομές Καηεπζπλόκελν γξάθεκα πλάξηεζε βάξνπο Ελαθπύηαηη διαδπομή από ην u ζην v : δηαδξνκή κε ειάρηζην βάξνο Βάπορ ελαθπύηαηηρ διαδπομήρ εάλ ππάξρεη δηαδξνκή από ην u ζην v δηαθνξεηηθά Θέινπκε λα βξνύκε όιεο ηηο ειαθξύηεξεο δηαδξνκέο γηα θάζε δεύγνο θόκβσλ

125 Πανζεσκηικές ελαθρύηαηες διαδρομές Αιγόξηζκνο Υξόλνο εθηειέζεηο ηνπ Bellman-Ford εθηειέζεηο ηνπ Dijkstra (κε αξλεηηθά βάξε) Floyd-Warshall Johnson (1 εθηέιεζε ηνπ Bellman-Ford εθηειέζεηο ηνπ Dijkstra)

126 Πανζεσκηικές ελαθρύηαηες διαδρομές Floyd-Warshall Τπνζέηνπκε όηη βάξνο ειαθξύηαηεο δηαδξνκήο από ην ζην πνπ πεξλά κόλν από θόκβνπο ζην Έρνπκε ηελ αλαδξνκηθή ζρέζε

127 Πανζεσκηικές ελαθρύηαηες διαδρομές Floyd-Warshall βάξνο ειαθξύηαηεο δηαδξνκήο από ην ζην πνπ πεξλά κόλν από θόκβνπο ζην

128 Πανζεσκηικές ελαθρύηαηες διαδρομές Floyd-Warshall βάξνο ειαθξύηαηεο δηαδξνκήο από ην ζην πνπ πεξλά κόλν από θόκβνπο ζην Υξόλνο =

129 Πανζεσκηικές ελαθρύηαηες διαδρομές Johnson Μεηαηξέπεη ηα βάξε ηνπ γξαθήκαηνο ζε κε αξλεηηθά. ηε ζπλέρεηα κπνξεί λα εθηειέζεη ηνλ αιγόξηζκν ηνπ Dijkstra από θάζε θνξπθή. Βάπη κοπςθών Σςνάπηηζη αναζηάθμιζηρ Έζησ κνλνπάηη Έρνπκε

130 Πανζεσκηικές ελαθρύηαηες διαδρομές Johnson Μεηαηξέπεη ηα βάξε ηνπ γξαθήκαηνο ζε κε αξλεηηθά. ηε ζπλέρεηα κπνξεί λα εθηειέζεη ηνλ αιγόξηζκν ηνπ Dijkstra από θάζε θνξπθή. Βάπη κοπςθών Σςνάπηηζη αναζηάθμιζηρ Έζησ κνλνπάηη Έρνπκε Δπνκέλσο ε αλαζηάζκηζε δελ επεξεάδεη ηηο ειαθξύηαηεο δηαδξνκέο : Αλ ην είλαη ειαθξύηαηε δηαδξνκή σο πξνο ηα βάξε ηόηε είλαη ειαθξύηαηε δηαδξνκή σο πξνο ηα βάξε

131 Πανζεσκηικές ελαθρύηαηες διαδρομές Johnson Μεηαηξέπεη ηα βάξε ηνπ γξαθήκαηνο ζε κε αξλεηηθά. ηε ζπλέρεηα κπνξεί λα εθηειέζεη ηνλ αιγόξηζκν ηνπ Dijkstra από θάζε θνξπθή. Βάπη κοπςθών Σςνάπηηζη αναζηάθμιζηρ Έζησ θύθινο Έρνπκε Δπνκέλσο ε αλαζηάζκηζε δελ επεξεάδεη ηελ ύπαξμε ή κε θύθισλ αξλεηηθνύ βάξνπο

132 Πανζεσκηικές ελαθρύηαηες διαδρομές Johnson Μεηαηξέπεη ηα βάξε ηνπ γξαθήκαηνο ζε κε αξλεηηθά. ηε ζπλέρεηα κπνξεί λα εθηειέζεη ηνλ αιγόξηζκν ηνπ Dijkstra από θάζε θνξπθή. Βάπη κοπςθών Σςνάπηηζη αναζηάθμιζηρ Άξα αξθεί λα ππνινγίζνπκε άιιεια βάξε θνξπθώλ έηζη ώζηε Σέηνηα βάξε κπνξνύλ λα ππνινγηζηνύλ κε ηε βνήζεηα ηνπ Bellman-Ford!

133 Πανζεσκηικές ελαθρύηαηες διαδρομές Johnson : Αναζηάθμιζη μέζω Bellman-Ford Καηαζθεπάδνπκε έλα λέν γξάθεκα όπνπ

134 Πανζεσκηικές ελαθρύηαηες διαδρομές Johnson : Αναζηάθμιζη μέζω Bellman-Ford Καηαζθεπάδνπκε έλα λέν γξάθεκα όπνπ

135 Πανζεσκηικές ελαθρύηαηες διαδρομές Johnson : Αναζηάθμιζη μέζω Bellman-Ford Καηαζθεπάδνπκε έλα λέν γξάθεκα όπνπ Τπνινγίδνπκε κε ηνλ Bellman-Ford ηα βάξε ησλ ειαθξύηαησλ δηαδξνκώλ από ην

136 Πανζεσκηικές ελαθρύηαηες διαδρομές Johnson : Αναζηάθμιζη μέζω Bellman-Ford Καηαζθεπάδνπκε έλα λέν γξάθεκα όπνπ Τπνινγίδνπκε κε ηνλ Bellman-Ford ηα βάξε ησλ ειαθξύηαησλ δηαδξνκώλ από ην Αλ δελ ππάξρεη αξλεηηθόο θύθινο ηόηε ζέηνπκε

137 Πανζεσκηικές ελαθρύηαηες διαδρομές Johnson : Αναζηάθμιζη μέζω Bellman-Ford Καηαζθεπάδνπκε έλα λέν γξάθεκα όπνπ Τπνινγίδνπκε κε ηνλ Bellman-Ford ηα βάξε ησλ ειαθξύηαησλ δηαδξνκώλ από ην Αλ δελ ππάξρεη αξλεηηθόο θύθινο ηόηε ζέηνπκε Από ηελ ηξηγσληθή αληζόηεηα έρνπκε 4 -