Μέγιστη ροή. Καηεπζπλόκελν γξάθεκα. πλάξηεζε ρωξεηηθόηεηαο. αθεηεξίαθόο θόκβνο. ηεξκαηηθόο θόκβνο. Ροή δικηύος. κε ηηο αθόινπζεο ηδηόηεηεο

Transcript

1 Καηεπζπλόκελν γξάθεκα πλάξηεζε ρωξεηηθόηεηαο Ροή δικηύος πλάξηεζε αθεηεξίαθόο θόκβνο 3 0 κε ηηο αθόινπζεο ηδηόηεηεο 9 7 ηεξκαηηθόο θόκβνο Πεπιοπιζμόρ σωπηηικόηηηαρ: Ανηιζςμμεηπία: Γιαηήπηζη ποήρ: γηα όια ηα δεύγε γηα θάζε γηα όια ηα δεύγε

2 Καηεπζπλόκελν γξάθεκα πλάξηεζε ρωξεηηθόηεηαο 0/2 0/6 3/ /7 Ροή δικηύος πλάξηεζε 7/3 κε ηηο αθόινπζεο ηδηόηεηεο 7/ / Πεπιοπιζμόρ σωπηηικόηηηαρ: Ανηιζςμμεηπία: Γιαηήπηζη ποήρ: γηα όια ηα δεύγε γηα θάζε γηα όια ηα δεύγε Π.ρ.

3 Καηεπζπλόκελν γξάθεκα πλάξηεζε ρωξεηηθόηεηαο 0/2 0/6 3/ /7 Ροή δικηύος πλάξηεζε 7/3 κε ηηο αθόινπζεο ηδηόηεηεο 7/ / Πεπιοπιζμόρ σωπηηικόηηηαρ: Ανηιζςμμεηπία: Γιαηήπηζη ποήρ: γηα όια ηα δεύγε γηα θάζε γηα όια ηα δεύγε Π.ρ.

4 Καηεπζπλόκελν γξάθεκα πλάξηεζε ρωξεηηθόηεηαο 0/2 0/6 3/ /7 Ροή δικηύος πλάξηεζε 7/3 κε ηηο αθόινπζεο ηδηόηεηεο 7/ / Πεπιοπιζμόρ σωπηηικόηηηαρ: Ανηιζςμμεηπία: Γιαηήπηζη ποήρ: γηα όια ηα δεύγε γηα θάζε γηα όια ηα δεύγε Τιμή ποήρ: Π.ρ.

5 Καηεπζπλόκελν γξάθεκα πλάξηεζε ρωξεηηθόηεηαο 0/2 0/6 3/ /7 Ροή δικηύος πλάξηεζε 7/3 κε ηηο αθόινπζεο ηδηόηεηεο 7/ / Πεπιοπιζμόρ σωπηηικόηηηαρ: Ανηιζςμμεηπία: Γιαηήπηζη ποήρ: γηα όια ηα δεύγε γηα θάζε γηα όια ηα δεύγε Τιμή ποήρ: Θέινπκε λα βξνύκε κηα ξνή κε μέγιζηη ηιμή Π.ρ.

6 εκαληηθό πεδίν έξεπλαο, πνιιέο εθαξκνγέο

7 Ροή δικηύος πλάξηεζε κε ηηο αθόινπζεο ηδηόηεηεο Πεπιοπιζμόρ σωπηηικόηηηαρ: Ανηιζςμμεηπία: Γιαηήπηζη ποήρ: γηα όια ηα δεύγε γηα θάζε γηα όια ηα δεύγε Τιμή ποήρ: Θέινπκε λα βξνύκε κηα ξνή κε μέγιζηη ηιμή Ολική θεηική ειζποή: Ολική θεηική εκποή: Ολική καθαπή ποή:

8 Ροή δικηύος πλάξηεζε κε ηηο αθόινπζεο ηδηόηεηεο Πεπιοπιζμόρ σωπηηικόηηηαρ: Ανηιζςμμεηπία: Γιαηήπηζη ποήρ: γηα όια ηα δεύγε γηα θάζε γηα όια ηα δεύγε Τιμή ποήρ: Θέινπκε λα βξνύκε κηα ξνή κε μέγιζηη ηιμή Ολική θεηική ειζποή: Ολική θεηική εκποή: Ολική καθαπή ποή: ιόγω δηαηήξεζεο ηεο ξνήο

9 Παξαηήξεζε Σν κνληέιν ηεο ξνήο δηθηύνπ πνπ ρξεζηκνπνηνύκε δελ επηηξέπεη ηελ θαηαζηάζεηο ζαλ ηελ αθόινπζε Παξαβηάδεη ηελ αληηζπκκεηξία

10 Πολλαπλοί αθεηηπιακοί και ηεπμαηικοί κόμβοι

11 Έζηω ζύλνια θαη Οξίδνπκε Άξα Λήμμα Ιζρύνπλ νη αθόινπζεο ηζόηεηεο. Γηα θάζε 2. Γηα θάζε 3. Γηα θάζε ηέηνηα ώζηε θαη

12 Λήμμα Ιζρύνπλ νη αθόινπζεο ηζόηεηεο. Γηα θάζε 2. Γηα θάζε 3. Γηα θάζε ηέηνηα ώζηε θαη Πόπιζμα (από ηελ 3, ) (από ηελ, ) (από ηελ 2) (από ηελ 3) (από δηαηήξεζε ξνήο )

13 Μέθοδορ Ford-Fulkerson Αςξηηική διαδπομή: δηαδξνκή από ην ζην πνπ κπνξεί λα δερζεί επηπιένλ ξνή 0/2 0/6 3/20. ζέηνπκε ηε ξνή ίζε κε 0 2. ελόζω ππάξρεη απμεηηθή δηαδξνκή 7/ / 3/7 / 3. απμάλνπκε ηε ξνή θαηά κήθνο ηεο

14 Μέθοδορ Ford-Fulkerson Υπολειπόμενη σωπηηικόηηηα 5/ /8 3 6 Υπολειπόμενο δίκηςο όπνπ

15 Μέθοδορ Ford-Fulkerson Υπολειπόμενη σωπηηικόηηηα 5/ /8 3 6 Υπολειπόμενο δίκηςο όπνπ 2/2 2 2/6 7/3 0 2/9 9/ 5/7 5/20 /

16 Μέθοδορ Ford-Fulkerson Υπολειπόμενη σωπηηικόηηηα Υπολειπόμενο δίκηςο όπνπ 2/2 2 2/6 7/3 0 2/9 9/ 5/7 5/20 / Έζηω νη αθκέο ηνπ κε αλεζηξακκέλε θνξά Σόηε

17 Μέθοδορ Ford-Fulkerson Υπολειπόμενη σωπηηικόηηηα Υπολειπόμενο δίκηςο όπνπ 2/2 2 2/6 7/3 0 2/9 9/ 5/7 5/20 / Αςξηηική διαδπομή: δηαδξνκή από ην ζην πνπ κπνξεί λα δερζεί επηπιένλ ξνή

18 Μέθοδορ Ford-Fulkerson Υπολειπόμενη σωπηηικόηηηα Υπολειπόμενο δίκηςο όπνπ Άθποιζμα ποών Λήμμα Έζηω κία ξνή ζην ππνιεηπόκελν δίθηπν. Σόηε ην άζξνηζκα είλαη ξνή ζην κε ηηκή Απόδειξη Πξώηα ζα δείμνπκε νηη ην άζξνηζκα είλαη ξνή ζην Αληηζπκκεηξία

19 Μέθοδορ Ford-Fulkerson Υπολειπόμενη σωπηηικόηηηα Υπολειπόμενο δίκηςο όπνπ Άθποιζμα ποών Λήμμα Έζηω κία ξνή ζην ππνιεηπόκελν δίθηπν. Σόηε ην άζξνηζκα είλαη ξνή ζην κε ηηκή Απόδειξη Πξώηα ζα δείμνπκε νηη ην άζξνηζκα είλαη ξνή ζην Υωξεηηθόηεηα Ιζρύεη άξα

20 Μέθοδορ Ford-Fulkerson Υπολειπόμενη σωπηηικόηηηα Υπολειπόμενο δίκηςο όπνπ Άθποιζμα ποών Λήμμα Έζηω κία ξνή ζην ππνιεηπόκελν δίθηπν. Σόηε ην άζξνηζκα είλαη ξνή ζην κε ηηκή Απόδειξη Πξώηα ζα δείμνπκε νηη ην άζξνηζκα είλαη ξνή ζην Γηαηήξεζε ξνήο Γηα θάζε θόκβν έρνπκε Δπεηδή θαη είλαη ξνέο θαη έρνπκε

21 Μέθοδορ Ford-Fulkerson Υπολειπόμενη σωπηηικόηηηα Υπολειπόμενο δίκηςο όπνπ Άθποιζμα ποών Λήμμα Έζηω κία ξνή ζην ππνιεηπόκελν δίθηπν. Σόηε ην άζξνηζκα είλαη ξνή ζην κε ηηκή Απόδειξη Σηκή ηεο ξνήο

22 Μέθοδορ Ford-Fulkerson Υπολειπόμενη σωπηηικόηηηα Υπολειπόμενο δίκηςο όπνπ 2/2 2 2/6 7/3 0 2/9 9/ 5/7 5/20 / Αςξηηική διαδπομή: δηαδξνκή από ην ζην πνπ κπνξεί λα δερζεί επηπιένλ ξνή Υπολειπόμενη σωπηηικόηηηα απμεηηθήο δηαδξνκήο : Π.ρ. θαη

23 Μέθοδορ Ford-Fulkerson Υπολειπόμενη σωπηηικόηηηα Υπολειπόμενο δίκηςο όπνπ 2/2 2 2/6 7/3 0 9/ 2/9 5/7 Υπολειπόμενη σωπηηικόηηηα απμεηηθήο δηαδξνκήο 5/20 / Η ζπλάξηεζε όπνπ απνηειεί ξνή ζην Δπνκέλωο ε ζπλάξηεζε απνηειεί ξνή ζην θαη

24 Τομέρ δικηύων ποήρ Γίθηπν ξνήο Τομή δηακέξηζε ηνπ ζπλόινπ ηωλ θόκβωλ θαη έηζη ώζηε θαη Καθαπή ποή δηα κέζνπ ηεο ηνκήο 2/2 2/6 5/20 Φωπηηικόηηηα ηεο ηνκήο 0 2/9 5/7 7/3 9/ / Ιζρύεη Π.ρ.

25 Τομέρ δικηύων ποήρ Γίθηπν ξνήο Τομή δηακέξηζε ηνπ ζπλόινπ ηωλ θόκβωλ θαη έηζη ώζηε θαη Καθαπή ποή δηα κέζνπ ηεο ηνκήο : Φωπηηικόηηηα ηεο ηνκήο : Λήμμα Έζηω κηα ξνή ζην θαη κία ηνκή ηνπ. Σόηε

26 Τομέρ δικηύων ποήρ Λήμμα Έζηω κηα ξνή ζην θαη κία ηνκή ηνπ. Σόηε Απόδειξη 2/2 Έρνπκε 2/6 5/20 0 2/9 5/7 Όκωο 7/3 9/ / Άξα

27 Τομέρ δικηύων ποήρ Λήμμα Έζηω κηα ξνή ζην θαη κία ηνκή ηνπ. Σόηε Απόδειξη 2/2 Έρνπκε 2/6 5/20 0 2/9 5/7 Όκωο 7/3 9/ / Άξα Δπηπιένλ

28 Τομέρ δικηύων ποήρ Θεώπημα Οη αθόινπζεο ζπλζήθεο είλαη ηζνδύλακεο. Η είλαη κηα κέγηζηε ξνή ζην 2. Γελ ππάξρεη απμεηηθή δηαδξνκή ζην ππνιεηπόκελν δίθηπν 3. Τπάξρεη ηνκή ηνπ ηέηνηα ώζηε 2/2 2 2/ /7 9/ /3 / / 2 3

29 Τομέρ δικηύων ποήρ Θεώπημα Οη αθόινπζεο ζπλζήθεο είλαη ηζνδύλακεο. Η είλαη κηα κέγηζηε ξνή ζην 2. Γελ ππάξρεη απμεηηθή δηαδξνκή ζην ππνιεηπόκελν δίθηπν 3. Τπάξρεη ηνκή ηνπ ηέηνηα ώζηε Απόδειξη Έζηω όηη ε είλαη κέγηζηε ξνή αιιά ην πεξηιακβάλεη απμεηηθή δηαδξνκή. Δπνκέλωο ππάξρεη ζην ξνή θαη όπωο έρνπκε δείμεη ην άζξνηζκα απνηειεί ξνή ζην κε ηηκή Απηό όκωο αληηβαίλεη ην γεγνλόο όηη ε είλαη κέγηζηε ξνή.

30 Τομέρ δικηύων ποήρ Θεώπημα Οη αθόινπζεο ζπλζήθεο είλαη ηζνδύλακεο. Η είλαη κηα κέγηζηε ξνή ζην 2. Γελ ππάξρεη απμεηηθή δηαδξνκή ζην ππνιεηπόκελν δίθηπν 3. Τπάξρεη ηνκή ηνπ ηέηνηα ώζηε Απόδειξη Τπνζέηνπκε ηώξα πωο δελ ππάξρεη απμεηηθή δηαδξνκή ζην Θέηνπκε ην ωο ην ζύλνιν ηωλ θόκβωλ πνπ είλαη πξνζβάζηκνη από ην ζην θαη. Πξνθαλώο θαη άξα ην είλαη κία ηνκή ηνπ Έζηω νπνηνηδήπνηε θόκβνη θαη. Πξέπεη λα ηζρύεη έηζη ώζηε γηαηί δηαθνξεηηθά ην πεξηέρεη κνλνπάηη από ην ζην Άξα

31 Ο βαζικόρ αλγόπιθμορ ηων Ford-Fulkerson γηα θάζε αθκή ελόζω ππάξρεη απμεηηθή δηαδξνκή ζην γηα θάζε αθκή

32 Ο βαζικόρ αλγόπιθμορ ηων Ford-Fulkerson 0/2 2 0/6 0/ /0 0/ 0/9 0/ /3 0/ 3 0/ δίθηπν ππνιεηπόκελν δίθηπν

33 Ο βαζικόρ αλγόπιθμορ ηων Ford-Fulkerson 0/2 2 0/6 0/ /0 0/ 0/9 0/ /3 0/ 3 0/ δίθηπν ππνιεηπόκελν δίθηπν ππνιεηπόκελε ρωξεηηθόηεηα απμεηηθήο δηαδξνκήο =

34 Ο βαζικόρ αλγόπιθμορ ηων Ford-Fulkerson /2 2 /6 0/ /0 0/ /9 0/ /3 / 3 / δίθηπν ππνιεηπόκελν δίθηπν ππνιεηπόκελε ρωξεηηθόηεηα απμεηηθήο δηαδξνκήο =

35 Ο βαζικόρ αλγόπιθμορ ηων Ford-Fulkerson /2 8 /6 0/3 0/0 0/ /9 0/7 0/20 / / δίθηπν ππνιεηπόκελν δίθηπν

36 Ο βαζικόρ αλγόπιθμορ ηων Ford-Fulkerson /2 8 /6 0/3 0/0 0/ /9 0/7 0/20 / / δίθηπν ππνιεηπόκελν δίθηπν ππνιεηπόκελε ρωξεηηθόηεηα απμεηηθήο δηαδξνκήο = 7

37 Ο βαζικόρ αλγόπιθμορ ηων Ford-Fulkerson /2 8 /6 0/3 7/0 0/ /9 7/7 7/20 / / δίθηπν ππνιεηπόκελν δίθηπν ππνιεηπόκελε ρωξεηηθόηεηα απμεηηθήο δηαδξνκήο = 7

38 Ο βαζικόρ αλγόπιθμορ ηων Ford-Fulkerson /2 8 /6 0/3 7/0 0/ /9 7/7 7/20 / / δίθηπν ππνιεηπόκελν δίθηπν

39 Ο βαζικόρ αλγόπιθμορ ηων Ford-Fulkerson /2 8 /6 0/3 7/0 0/ /9 7/7 7/20 / / δίθηπν ππνιεηπόκελν δίθηπν ππνιεηπόκελε ρωξεηηθόηεηα απμεηηθήο δηαδξνκήο = 8

40 Ο βαζικόρ αλγόπιθμορ ηων Ford-Fulkerson 2/2 8 /6 8/3 0/0 / /9 7/7 5/20 / / δίθηπν ππνιεηπόκελν δίθηπν ππνιεηπόκελε ρωξεηηθόηεηα απμεηηθήο δηαδξνκήο = 8

41 Ο βαζικόρ αλγόπιθμορ ηων Ford-Fulkerson 2/2 2 /6 8/3 0/0 / /9 7/7 5/20 / / δίθηπν ππνιεηπόκελν δίθηπν

42 Ο βαζικόρ αλγόπιθμορ ηων Ford-Fulkerson 2/2 2 /6 8/3 0/0 / /9 7/7 5/20 / / δίθηπν ππνιεηπόκελν δίθηπν ππνιεηπόκελε ρωξεηηθόηεηα απμεηηθήο δηαδξνκήο =

43 Ο βαζικόρ αλγόπιθμορ ηων Ford-Fulkerson 2/2 2 /6 2/3 0/0 / 0/9 7/7 9/20 / / δίθηπν ππνιεηπόκελν δίθηπν ππνιεηπόκελε ρωξεηηθόηεηα απμεηηθήο δηαδξνκήο =

44 Ο βαζικόρ αλγόπιθμορ ηων Ford-Fulkerson 2/2 2 /6 2/3 0/0 / 0/9 7/7 9/20 / / δίθηπν ππνιεηπόκελν δίθηπν δελ ππάξρεη απμεηηθή δηαδξνκή

45 Ο βαζικόρ αλγόπιθμορ ηων Ford-Fulkerson γηα θάζε αθκή ελόζω ππάξρεη απμεηηθή δηαδξνκή ζην γηα θάζε αθκή Ανάλςζη: Τπνζέηνπκε αθέξαηεο ρωξεηηθόηεηεο. Σόηε ν ρξόλνο εθηέιεζεο είλαη όπνπ ε ηηκή ηεο κέγηζηεο ξνήο.

46 Ο βαζικόρ αλγόπιθμορ ηων Ford-Fulkerson γηα θάζε αθκή ελόζω ππάξρεη απμεηηθή δηαδξνκή ζην γηα θάζε αθκή ρξόλνο γηα ηελ εύξεζε θαη επεμεξγαζία ηεο απμεηηθήο δηαδξνκήο Ανάλςζη: Τπνζέηνπκε αθέξαηεο ρωξεηηθόηεηεο. Σόηε ν ρξόλνο εθηέιεζεο είλαη όπνπ ε ηηκή ηεο κέγηζηεο ξνήο.

47 Ο βαζικόρ αλγόπιθμορ ηων Ford-Fulkerson γηα θάζε αθκή ελόζω ππάξρεη απμεηηθή δηαδξνκή ζην αύμεζε ηεο ξνήο θαηά κνλάδα γηα θάζε αθκή ρξόλνο γηα ηελ εύξεζε θαη επεμεξγαζία ηεο απμεηηθήο δηαδξνκήο Ανάλςζη: Τπνζέηνπκε αθέξαηεο ρωξεηηθόηεηεο. Σόηε ν ρξόλνο εθηέιεζεο είλαη όπνπ ε ηηκή ηεο κέγηζηεο ξνήο.

48 Ο βαζικόρ αλγόπιθμορ ηων Ford-Fulkerson Μια κακή πεπίπηωζη 0/000 0/ / 0/000 0/ δίθηπν ππνιεηπόκελν δίθηπν

49 Ο βαζικόρ αλγόπιθμορ ηων Ford-Fulkerson Μια κακή πεπίπηωζη 0/000 0/ / 0/000 0/ δίθηπν ππνιεηπόκελν δίθηπν ππνιεηπόκελε ρωξεηηθόηεηα απμεηηθήο δηαδξνκήο =

50 Ο βαζικόρ αλγόπιθμορ ηων Ford-Fulkerson Μια κακή πεπίπηωζη /000 0/ / 0/000 / δίθηπν ππνιεηπόκελν δίθηπν ππνιεηπόκελε ρωξεηηθόηεηα απμεηηθήο δηαδξνκήο =

51 Ο βαζικόρ αλγόπιθμορ ηων Ford-Fulkerson Μια κακή πεπίπηωζη /000 0/000 / 0/ / δίθηπν ππνιεηπόκελν δίθηπν

52 Ο βαζικόρ αλγόπιθμορ ηων Ford-Fulkerson Μια κακή πεπίπηωζη /000 0/000 / 0/ / δίθηπν ππνιεηπόκελν δίθηπν ππνιεηπόκελε ρωξεηηθόηεηα απμεηηθήο δηαδξνκήο =

53 Ο βαζικόρ αλγόπιθμορ ηων Ford-Fulkerson Μια κακή πεπίπηωζη /000 /000 0/ / / δίθηπν ππνιεηπόκελν δίθηπν ππνιεηπόκελε ρωξεηηθόηεηα απμεηηθήο δηαδξνκήο =

54 Ο βαζικόρ αλγόπιθμορ ηων Ford-Fulkerson Μια κακή πεπίπηωζη /000 /000 0/ / / δίθηπν ππνιεηπόκελν δίθηπν

55 Ο βαζικόρ αλγόπιθμορ ηων Ford-Fulkerson Μια κακή πεπίπηωζη /000 /000 0/ / / δίθηπν ππνιεηπόκελν δίθηπν ππνιεηπόκελε ρωξεηηθόηεηα απμεηηθήο δηαδξνκήο =

56 Ο βαζικόρ αλγόπιθμορ ηων Ford-Fulkerson Μια κακή πεπίπηωζη 2/000 /000 / / / δίθηπν θ.ν.θ. ππνιεηπόκελν δίθηπν ππνιεηπόκελε ρωξεηηθόηεηα απμεηηθήο δηαδξνκήο =

57 Ο αλγόπιθμορ ηων Edmonds-Karp γηα θάζε αθκή ελόζω ππάξρεη απμεηηθή δηαδξνκή ζην βξαρύηαηε απμεηηθή δηαδξνκή Με απηήλ ηελ ηξνπνπνίεζε ν ρξόλνο εθηέιεζεο γίλεηαη γηα θάζε αθκή

58 Ο αλγόπιθμορ ηων Edmonds-Karp γηα θάζε αθκή ελόζω ππάξρεη απμεηηθή δηαδξνκή ζην βξαρύηαηε απμεηηθή δηαδξνκή γηα θάζε αθκή Με απηήλ ηελ ηξνπνπνίεζε ν ρξόλνο εθηέιεζεο γίλεηαη κήθνο βξαρύηαηεο δηαδξνκήο από ην κέρξη ην ζην Λήμμα Γηα θάζε θόκβν ην κήθνο απμάλεηαη κνλόηνλα κε θάζε αύμεζε ηεο ξνήο.

59 Ο αλγόπιθμορ ηων Edmonds-Karp Λήμμα Γηα θάζε θόκβν ην κήθνο απμάλεηαη κνλόηνλα κε θάζε αύμεζε ηεο ξνήο. Απόδειξη Τπνζέηνπκε όηη γηα θάπνην ην κήθνο κεηώλεηαη κεηά από κία πξάμε αύμεζεο ξνήο. Έζηω ε ξνή πξηλ ηελ πξάμε αύμεζεο θαη ε ξνή κεηά ηελ πξάμε αύμεζεο Δπηιέγνπκε ωο ηέηνηνλ ώζηε ηνλ θόκβν κε ηελ ειάρηζηε ηηκή Έζηω κηα βξαρύηαηε δηαδξνκή ζην από ην ζην Έρνπκε θαη Αλ ηόηε Αληηβαίλεη ηελ ππόζεζε

60 Ο αλγόπιθμορ ηων Edmonds-Karp Λήμμα Γηα θάζε θόκβν ην κήθνο απμάλεηαη κνλόηνλα κε θάζε αύμεζε ηεο ξνήο. Απόδειξη Τπνζέηνπκε όηη γηα θάπνην ην κήθνο κεηώλεηαη κεηά από κία πξάμε αύμεζεο ξνήο. Έζηω ε ξνή πξηλ ηελ πξάμε αύμεζεο θαη ε ξνή κεηά ηελ πξάμε αύμεζεο Δπηιέγνπκε ωο ηέηνηνλ ώζηε ηνλ θόκβν κε ηελ ειάρηζηε ηηκή Έζηω κηα βξαρύηαηε δηαδξνκή ζην από ην ζην Έρνπκε θαη Άξα θαη ε ξνή από ην ζην απμήζεθε ε βξαρύηαηε δηαδξνκή από κέρξη ην ζην λα ήηαλ επνκέλωο ΑΣΟΠΟ

61 Ο αλγόπιθμορ ηων Edmonds-Karp Θεώπημα Σν ζπλνιηθό πιήζνο ηωλ πξάμεωλ απμήζεωο ξνήο είλαη. Απόδειξη κπίζιμη αθκή απμεηηθήο δηαδξνκήο

62 Μέγιστη ροή Ο αλγόπιθμορ ηων Edmonds-Karp Θεώπημα Σν ζπλνιηθό πιήζνο ηωλ πξάμεωλ απμήζεωο ξνήο είλαη. Απόδειξη κπίζιμη αθκή απμεηηθήο δηαδξνκήο νη θξίζηκεο αθκέο εμαιείθνληαη από ην ππνιεηπόκελν δίθηπν κεηά ηελ αύμεζε ξνήο

63 Ο αλγόπιθμορ ηων Edmonds-Karp Θεώπημα Σν ζπλνιηθό πιήζνο ηωλ πξάμεωλ απμήζεωο ξνήο είλαη. Απόδειξη Θα δείμνπκε όηη κηα αθκή κπνξεί λα θαηαζηεί θξίζηκε θνξέο Όηαλ ε γίλεη θξίζηκε ηόηε Μεηά ηελ πξάμε αύμεζεο ε λα απμεζεί ε ξνή από ην ζην εμαιείθεηαη. Γηα λα γίλεη μαλά θξίζηκε πξέπεη Δπεηδή έρνπκε Ο ηζρπξηζκόο καο ζπλεπάγεηαη από ην όηη γίλεη θξίζηκε. αλ ε

64 Ο αλγόπιθμορ ηος Dinic Ροή εμποδιζμού (blocking flow) Ρνή γηα ηελ νπνία θάζε κνλνπάηη από ην ζην πεξηέρεη θνξεζκέλε αθκή 3 3 2/3 3/3 / 3 3 3/3 2/3

65 Ο αλγόπιθμορ ηος Dinic Ροή εμποδιζμού (blocking flow) Ρνή γηα ηελ νπνία θάζε κνλνπάηη από ην ζην πεξηέρεη θνξεζκέλε αθκή 3 3 2/3 3/3 / 3 3 3/3 2/3 Η ξνή δελ κπνξεί λα απμεζεί κέζω κνλνπαηηώλ ηνπ ηόηε κπνξεί λα απμεζεί κέζω κνλνπαηηώλ ηνπ ) (αλ δελ είλαη κέγηζηε

66 Ο αλγόπιθμορ ηος Dinic Ροή εμποδιζμού (blocking flow) Ρνή γηα ηελ νπνία θάζε κνλνπάηη από ην ζην πεξηέρεη θνξεζκέλε αθκή Δπίπεδο κήθνο ζπληνκόηεξεο δηαδξνκήο ζην από ην ζην () (0) () Γπάθημα επιπέδων Πεξηέρεη ηηο αθκέο γηα ηηο νπνίεο ηζρύεη 3 (2) (2) 3 (3)

67 Ο αλγόπιθμορ ηος Dinic Ροή εμποδιζμού (blocking flow) Ρνή γηα ηελ νπνία θάζε κνλνπάηη από ην ζην πεξηέρεη θνξεζκέλε αθκή Δπίπεδο κήθνο ζπληνκόηεξεο δηαδξνκήο ζην από ην ζην (0) 3/3 / () () /3 2/2 /3 (2) (2) / 3/3 (3) Γπάθημα επιπέδων Πεξηέρεη ηηο αθκέο γηα ηηο νπνίεο ηζρύεη Παξαηήξεζε: Σν είλαη άθπθιν ξνή εκπνδηζκνύ ηνπ

68 Ο αλγόπιθμορ ηος Dinic Ροή εμποδιζμού (blocking flow) Ρνή γηα ηελ νπνία θάζε κνλνπάηη από ην ζην πεξηέρεη θνξεζκέλε αθκή Δπίπεδο κήθνο ζπληνκόηεξεο δηαδξνκήο ζην από ην ζην Γπάθημα επιπέδων Πεξηέρεη ηηο αθκέο Παξαηήξεζε: Σν είλαη άθπθιν γηα ηηο νπνίεο ηζρύεη ξνή εκπνδηζκνύ ηνπ Αλγόπιθμορ Αξρηθά. Δπαλαιακβάλεη ην παξαθάηω βήκα κέρξη ν λα κελ αλήθεη ζην : Βήμα εμποδιζμού: Βξεο ξνή εκπνδηζκνύ ζην. Η ξνή ηνπ γίλεηαη

69 Ο αλγόπιθμορ ηος Dinic (0) /3 / () () /3 2/2 /3 3 3 (2) (2) / 3/3 (3)

70 Ο αλγόπιθμορ ηος Dinic (0) 3/3 / 3 3 (2) 3 () /3 2/2 / / 3/3 3 3 (3) 3 (2) ()

71 Ο αλγόπιθμορ ηος Dinic (0) 3/3 / 3 3 (2) / /3 () /3 2/2 / /2 3 / 3/3 3 3 (3) /3 (2) ()

72 Ο αλγόπιθμορ ηος Dinic (0) 3/3 2/ / (3) 2 () 2/3 2/2 / / 3/ () 2 (2) (5)

73 Ο αλγόπιθμορ ηος Dinic (0) 3/3 3/ / 3/3 /2 2/3 3/ 3/ (3) ( ) ( ) () (2)

74 Ο αλγόπιθμορ ηος Dinic Λήμμα Ο αιγόξηζκνο ηεξκαηίδεη κεηά από ην πνιύ βήκαηα εκπνδηζκνύ Γείρλνπκε όηη ην επίπεδν ηνπ απμάλεη ζε θάζε βήκα. Αθνύ γηα όινπο ηνπ θόκβνπο ηόηε κπνξνύκε λα έρνπκε ην πνιύ βήκαηα Έζηω θαη ε ζπλάξηεζε θαη ην γξάθεκα επηπέδωλ αληίζηνηρα κεηά από έλα βήκα εκπνδηζκνύ. Έζηω ην ππνιεηπόκελν δίθηπν κεηά ην βήκα. Γηα θάζε αθκή ηζρύεη Γηα θάζε αθκή ηζρύεη ή άξα Απηό ζπλεπάγεηαη όηη

75 Ο αλγόπιθμορ ηος Dinic Λήμμα Ο αιγόξηζκνο ηεξκαηίδεη κεηά από ην πνιύ βήκαηα εκπνδηζκνύ Γείρλνπκε όηη ην επίπεδν ηνπ απμάλεη ζε θάζε βήκα. Αθνύ γηα όινπο ηνπ θόκβνπο ηόηε κπνξνύκε λα έρνπκε ην πνιύ βήκαηα Έζηω νπνηαδήπνηε ζπληνκόηεξε δηαδξνκή ηνπ από ην ζην Γηα θάζε έρνπκε άξα Όκωο ε είλαη ξνή εκπνδηζκνύ άξα ηνπιάρηζηνλ κηα αθκή είλαη θνξεζκέλε θαη επνκέλωο Άξα

76 Ο αλγόπιθμορ ηος Dinic Υπολογιζμόρ ποήρ εμποδιζμού ζε άκςκλο γπάθημα Δπαλαιακβάλνπκε ην παξαθάηω βήκα κέρξη λα κελ ππάξρεη κνλνπάηη από ην ζην Βξίζθνπκε έλα κνλνπάηη από ην ζην θαη δίλνπκε αξθεηή ξνή ώζηε λα θνξεζηεί κηα αθκή ηνπ. βήλνπκε θάζε αθκή πνπ έρεη θνξεζηεί. (0) 3 () () (2) (2) 3 (3)

77 Ο αλγόπιθμορ ηος Dinic Υπολογιζμόρ ποήρ εμποδιζμού ζε άκςκλο γπάθημα Δπαλαιακβάλνπκε ην παξαθάηω βήκα κέρξη λα κελ ππάξρεη κνλνπάηη από ην ζην Βξίζθνπκε έλα κνλνπάηη από ην ζην θαη δίλνπκε αξθεηή ξνή ώζηε λα θνξεζηεί κηα αθκή ηνπ. βήλνπκε θάζε αθκή πνπ έρεη θνξεζηεί. (0) 3 () () (2) (2) 3 (3)

78 Ο αλγόπιθμορ ηος Dinic Υπολογιζμόρ ποήρ εμποδιζμού ζε άκςκλο γπάθημα Δπαλαιακβάλνπκε ην παξαθάηω βήκα κέρξη λα κελ ππάξρεη κνλνπάηη από ην ζην Βξίζθνπκε έλα κνλνπάηη από ην ζην θαη δίλνπκε αξθεηή ξνή ώζηε λα θνξεζηεί κηα αθκή ηνπ. βήλνπκε θάζε αθκή πνπ έρεη θνξεζηεί. (0) 2/3 () 3 2/2 3 () (2) (2) 2/3 (3)

79 Ο αλγόπιθμορ ηος Dinic Υπολογιζμόρ ποήρ εμποδιζμού ζε άκςκλο γπάθημα Δπαλαιακβάλνπκε ην παξαθάηω βήκα κέρξη λα κελ ππάξρεη κνλνπάηη από ην ζην Βξίζθνπκε έλα κνλνπάηη από ην ζην θαη δίλνπκε αξθεηή ξνή ώζηε λα θνξεζηεί κηα αθκή ηνπ. βήλνπκε θάζε αθκή πνπ έρεη θνξεζηεί. (0) 2/3 () 3 2/2 3 () (2) (2) 2/3 (3)

80 Ο αλγόπιθμορ ηος Dinic Υπολογιζμόρ ποήρ εμποδιζμού ζε άκςκλο γπάθημα Δπαλαιακβάλνπκε ην παξαθάηω βήκα κέρξη λα κελ ππάξρεη κνλνπάηη από ην ζην Βξίζθνπκε έλα κνλνπάηη από ην ζην θαη δίλνπκε αξθεηή ξνή ώζηε λα θνξεζηεί κηα αθκή ηνπ. βήλνπκε θάζε αθκή πνπ έρεη θνξεζηεί. (0) 3/3 () /3 2/2 3 () (2) (2) / 2/3 (3)

81 Ο αλγόπιθμορ ηος Dinic Υπολογιζμόρ ποήρ εμποδιζμού ζε άκςκλο γπάθημα Δπαλαιακβάλνπκε ην παξαθάηω βήκα κέρξη λα κελ ππάξρεη κνλνπάηη από ην ζην Βξίζθνπκε έλα κνλνπάηη από ην ζην θαη δίλνπκε αξθεηή ξνή ώζηε λα θνξεζηεί κηα αθκή ηνπ. βήλνπκε θάζε αθκή πνπ έρεη θνξεζηεί. (0) 3/3 () /3 2/2 3 () (2) (2) / 2/3 (3)

82 Ο αλγόπιθμορ ηος Dinic Υπολογιζμόρ ποήρ εμποδιζμού ζε άκςκλο γπάθημα Δπαλαιακβάλνπκε ην παξαθάηω βήκα κέρξη λα κελ ππάξρεη κνλνπάηη από ην ζην Βξίζθνπκε έλα κνλνπάηη από ην ζην θαη δίλνπκε αξθεηή ξνή ώζηε λα θνξεζηεί κηα αθκή ηνπ. βήλνπκε θάζε αθκή πνπ έρεη θνξεζηεί. (0) 3/3 () /3 2/2 3 () (2) (2) / 2/3 (3)

83 Ο αλγόπιθμορ ηος Dinic Υπολογιζμόρ ποήρ εμποδιζμού ζε άκςκλο γπάθημα Δπαλαιακβάλνπκε ην παξαθάηω βήκα κέρξη λα κελ ππάξρεη κνλνπάηη από ην ζην Βξίζθνπκε έλα κνλνπάηη από ην ζην θαη δίλνπκε αξθεηή ξνή ώζηε λα θνξεζηεί κηα αθκή ηνπ. βήλνπκε θάζε αθκή πνπ έρεη θνξεζηεί. (0) 3/3 / () /3 2/2 /3 () (2) (2) / 3/3 (3)

84 Ο αλγόπιθμορ ηος Dinic Υπολογιζμόρ ποήρ εμποδιζμού ζε άκςκλο γπάθημα Δπαλαιακβάλνπκε ην παξαθάηω βήκα κέρξη λα κελ ππάξρεη κνλνπάηη από ην ζην Βξίζθνπκε έλα κνλνπάηη από ην ζην θαη δίλνπκε αξθεηή ξνή ώζηε λα θνξεζηεί κηα αθκή ηνπ. βήλνπκε θάζε αθκή πνπ έρεη θνξεζηεί. (0) 3/3 / () /3 2/2 /3 () (2) (2) / 3/3 (3)

85 Ο αλγόπιθμορ ηος Dinic Υπολογιζμόρ ποήρ εμποδιζμού ζε άκςκλο γπάθημα Η εύξεζε ηνπ κνλνπαηηνύ από ηηο παξαθάηω ξνπηίλεο: αρχικοποίηςη: κπνξεί λα γίλεη κε θαζνδηθή δηεξεύλεζε, πνπ πινπνηείηαη. Πήγαηλε ζηε ξνπηίλα πρόοδοσ. πρόοδοσ: Aλ δελ ππάξρεη εμεξρόκελε αθκή πήγαηλε ζηε ξνπηίλα υποχώρηςη. Γηαθνξεηηθά.. Αλ επαλάιαβε ηε ξνπηίλα πρόοδοσ. Αλ πήγαηλε ζηε ξνπηίλα επαύξηςη. επαύξηςη:.. Πξόζζεζε κνλάδεο ξνήο ζε θάζε αθκή ηνπ, ζβήζε ηηο θνξεζκέλεο αθκέο θαη πήγαηλε ζηε ξνπηίλα αρχικοποίηςη. υποχώρηςη: Αλ ηεξκάηηζε. Γηαθνξεηηθά έζηω ε ηειεπηαία αθκή ηνπ. βήζε ηε από ην θαη ην από ην. Κάλε θαη πήγαηλε ζηε ξνπηίλα πρόοδοσ.

86 Ο αλγόπιθμορ ηος Dinic Η πξνεγνύκελε ξνπηίλα βξίζθεη κηα ξνή εκπνδηζκνύ ζε ρξόλν Ο αιγόξηζκνο ηεξκαηίδεη κεηά από ην πνιύ βήκαηα εκπνδηζκνύ Δπνκέλωο ν ρξόλνο εθηέιεζεο είλαη Με δπλακηθά δέλδξα ν ρξόλνο εθηέιεζεο γίλεηαη

87 Γςναμικά δένδπα Γνκή δεδνκέλωλ πνπ δηαηεξεί δάζνο από δέλδξα κε ξίδα ηα νπνία κεηαβάιινληαη κέζω δύν εληνιώλ Κάλεη ηνλ θόκβν παηδί ηνπ θόκβνπ ( θαη αξρηθά βξίζθνληαη ζε μερωξηζηά δέλδξα θαη ην είλαη ξίδα) Γηαγξάθεη ηελ αθκή κεηαμύ ηνπ θόκβν ξίδα λένπ δέλδξνπ θαη ηνπ γνλέα ηνπ. Κάλεη ηνλ

88 Γςναμικά δένδπα Κάλεη ηνλ θόκβν παηδί ηνπ θόκβνπ ( θαη αξρηθά βξίζθνληαη ζε μερωξηζηά δέλδξα θαη ην είλαη ξίδα) Γηαγξάθεη ηελ αθκή κεηαμύ ηνπ θόκβν ξίδα λένπ δέλδξνπ θαη ηνπ γνλέα ηνπ. Κάλεη ηνλ Δπηπιένλ θάζε θόκβνο έρεη έλα θόζηνο. Θα ρξεηαζηνύκε θαη ηηο αθόινπζεο εληνιέο: Γεκηνπξγεί λέν δέλδξν κε κνλαδηθό θόκβν ην κε κεδεληθό θόζηνο Δπηζηξέθεη ηε ξίδα ηνπ δέλδξνπ πνπ πεξηέρεη ην Δπηζηξέθεη ην δεύγνο όπνπ είλαη ην ειάρηζην θόζηνο ηωλ θόκβωλ ηνπ κνλνπαηηνύ από ην ζην θαη είλαη ν πην θνληηλόο ζηε ξίδα θόκβνο κε θόζηνο Πξνζζέηεη ηελ ηηκή από ην ζην ζην θόζηνο θάζε θόκβνπ ηνπ κνλνπαηηνύ Όιεο νη παξαπάλω εληνιέο κπνξνύλ λα εθηειεζηνύλ ζε ρξόλν

89 Ο αλγόπιθμορ ηος Dinic με δςναμικά δένδπα [Sleator-Tarjan] Υπολογιζμόρ ποήρ εμποδιζμού ζε άκςκλο γπάθημα Γηα θάζε θόκβν δηαηεξνύκε κηα αθκή από ηελ νπνία κπνξνύκε (ελδερνκέλωο) λα απμήζνπκε ηε ξνή Έζηω ζηαζεξά ηέηνηα ώζηε Σν θόζηνο ελόο θόκβνπ πνπ είλαη ξίδα είλαη Γηαθνξεηηθά ν έρεη θόζηνο Αξρηθά γηα θάζε θόκβν εθηεινύκε θαη Αλαδεηνύκε κνλνπάηη από ην ζην όπωο θαη πξηλ κόλν πνπ ηώξα ρξεζηκνπνηνύκε ηηο ιεηηνπξγίεο ηωλ δπλακηθώλ δέλδξωλ

90 Ο αλγόπιθμορ ηος Dinic με δςναμικά δένδπα Υπολογιζμόρ ποήρ εμποδιζμού ζε άκςκλο γπάθημα πρόοδοσ: Κάλε Aλ δελ ππάξρεη εμεξρόκελε αθκή Γηαθνξεηηθά θάλε πήγαηλε ζηε ξνπηίλα υποχώρηςη Αλ Αλ επαλάιαβε ηε ξνπηίλα πρόοδοσ πήγαηλε ζηε ξνπηίλα επαύξηςη επαύξηςη: Κάλε Πήγαηλε ζηε ξνπηίλα διαγραφή

91 Ο αλγόπιθμορ ηος Dinic με δςναμικά δένδπα Υπολογιζμόρ ποήρ εμποδιζμού ζε άκςκλο γπάθημα διαγραφή: Κάλε βήζε ηε Κάλε Αλ Αλ από ην επαλάιαβε ηε ξνπηίλα διαγραφή πήγαηλε ζηε ξνπηίλα επαύξηςη

92 Ο αλγόπιθμορ ηος Dinic με δςναμικά δένδπα Υπολογιζμόρ ποήρ εμποδιζμού ζε άκςκλο γπάθημα υποχώρηςη: Αλ ηεξκάηηζε. Γηαθνξεηηθά γηα θάζε αθκή βήζε ηε από ην Αλ ηόηε Αλ ηόηε θάλε Πήγαηλε ζηε ξνπηίλα επαύξηςη

93 Ο αλγόπιθμορ ηος Dinic με δςναμικά δένδπα Η πινπνίεζε κε δπλακηθά δέλδξα βξίζθεη κηα ξνή εκπνδηζκνύ ζε ρξόλν Δπνκέλωο ν ζπλνιηθόο ρξόλνο εθηέιεζεο είλαη