Ενότητα 3: Εργαλειοθήκη, µέρος 2 ο : Σχετικιστική Κινηµατική Φύλλο Φοιτητή

Transcript

1 Αστροφυσική Υψηλών Ενεργειών! Διδάσκ.: Β. Παυλίδου! Ενότητα 3: Σχετικιστική Κινηματική 1 Ενότητα 3: Εργαλειοθήκη, µέρος 2 ο : Σχετικιστική Κινηµατική Φύλλο Φοιτητή Σκοπός της ενότητας αυτής: Δείξαµε στο προηγούµενο µάθηµα ότι οι πίδακες των ενεργών γαλαξιακών πυρήνων κινούνται σύσσωµοι µε σχετικιστικές ταχύτητες. Στην ενότητα αυτή θα κάνουµε µια σύντοµη ανασκόπηση της σχετικιστικής κινηµατικής, µε έµφαση στα φαινόµενα που µπορούν να µεταβάλλουν παρατηρήσεις φωτονίων απο µια σχετικιστικά µετακινούµενη πηγή. Θα χρησιµοποιήσουµε τις γνώσεις µας για τα φαινόµενα αυτά, σε συνδυασµό µε τις ανακαλύψεις µας του περασµένου µαθήµατος για τις σχετικιστικές ταχύτητες των πιδάκων, για να προβλέψουµε τι άλλες παρατηρήσεις µπορούµε να περιµένουµε από τους πίδακες αερίων. Τι θα συζητήσουµε: A. Μετασχηµατισµοί Lrentz. B. Συστολή µήκους, διαστολή χρόνου. C. Μετασχηµατισµοί ταχυτήτων και σχετικιστική απόκλιση. Σχετικιστική εστίαση ακτινοβολίας. D. Σχετικιστικό φαινόµενο Dppler E. Ποσότητες αναλλοίωτες κάτω από µετασχηµατισµούς Lrentz Γνώσεις και δεξιότητες που θέλουµε να αποκτήσουµε ή να φρεσκάρουµε (τα SOS!) : i. Πώς παίρνουµε µετρήσεις χρόνου και µήκους; Ποια η φυσική σηµασία της συστολής µήκους και διαστολής χρόνου; Πώς αυτές µπορούν να είναι συµµετρικές και ως προς τα δυο συστήµατα αναφοράς; ii. Πώς προκύπτει η σχετικιστική απόκλιση, και προς ποια κατεύθυνση λειτουργεί; Πώς συγκρίνεται µε το µη σχετικιστικο φαινόµενο; Τι είναι η σχετικιστική εστίαση της ακτινοβολίας, και ποιο είναι το µέγεθός της; iii. Ποια η φυσική σηµασία κάθε συστατικού του παράγοντα Dppler? Προς ποια κατεύθυνση λειτουργεί; Τι µεγέθη επηρεάζει; Για ποια γωνία είναι ο παράγοντας Dppler µέγιστος; iv. Βασικές αρχές του τανυστικού λογισµού: ανέβασµα/κατέβασµα δεικτών, συστολή, παραγώγιση, αναλλοίωτα µεγέθη. v. Γιατί ο λόγος της έντασης της ακτινοβολίας προς την 3 η δύναµη της συχνότητας είναι αναλοίωτος;

2 Αστροφυσική Υψηλών Ενεργειών! Διδάσκ.: Β. Παυλίδου! Ενότητα 3: Σχετικιστική Κινηματική 2 Α. Μετασχηµατισµοί Lrentz. Θα χρησιµοποιούµε β=v/c, γ=(1-β 2 ) -1/2. Παρατηρείστε ότι β 2 +γ -2 =1. Αν σύστηµα αναφοράς Κ κινείται µε ταχύτητα v ως προς K κατά µήκος του άξονα x, ώστε το Κ να κατευθύνεται προς αυξανόµενα x και µε τα Κ, Κ να συµπίπτουν σε χρόνο t=t =0, µετασχηµατισµός µεταξύ χωροχρονικών συντεταγµένων t,x,y,z στο K και t, x, y, z στο Κ είναι: t =γ(t-vx/c 2 ) x =γ(x-vt) y =y z =z Ο αντίστροφος µεταχηµατισµός είναι απλά αυτός που προκύπτει εναλλάσσοντας τα x, x και τα t, t, και αντικαθιστώντας το v µε -v: t=γ(t +vx /c 2 ) x=γ(x +vt ) y=y z=z Β. Συστολή µήκους, διαστολή χρόνου. " Πώς θα µετρήσουµε στο Κ το µήκος µιας ράβδου που είναι ακίνητη στο Κ και έχει εκεί µήκος L (είναι δηλαδή x 2 -x 1 =L, σε χρόνο ας πούµε t =0). " Πώς µετράει ο Κ τη διαφορά ανάµεσα σε δυο γεγονότα ταυτόχωρα στο Κ (ας πούµε ανάµεσα σε δυο διαδοχικούς χτύπους ενός ρολογιού που κάθεται πάνω στο x=y=z=0)? Γ. Μετασχηµατισµοί ταχυτήτων και σχετικιστική απόκλιση. Σχετικιστική εστίαση ακτινοβολίας. Οι σχέσεις που θα εξάγουµε µε τον απλό µετασχηµατισµό Lrentz για κίνηση κατά µήκος του x γενικεύονται µε πολύ απλό τρόπο αν θεωρήσουµε ταχύτητες παράλληλες στην ταχύτητα v, u # (που θα µετασχηµατίζονται όπως το ux) και ταχύτητες κάθετες στην v, u (που θα µετασχηµατίζονται όπως το u y και το u z ). " Υπολογίστε το u x από το µετασχηµατισµό Lrentz και γενικεύστε στο u # " Υπολογίστε το u υ από το µετασχηµατισµό Lrentz και γενικεύστε στο u " Ποια η γωνία θ ανάµεσα σε u και v σε σχέση µε τη γωνία θ ανάµεσα σε u και v?

3 Αστροφυσική Υψηλών Ενεργειών! Διδάσκ.: Β. Παυλίδου! Ενότητα 3: Σχετικιστική Κινηματική 3 " Τι συµβαίνει για u =c? (φωτόνια) Για ισότροπη εκποµπή, να βρείτε πού καταλήγει το 50% της ακτινοβολίας που εκπέµπεται όταν η πηγή βρίσκεται σε υπερ-σχετικιστική κίνηση (v~c, γ>>1). Αυτό είναι το φαινόµενο της σχετικιστικής εστίασης της ακτινοβολίας (relativistic beaming), " Άρα τι περιµένουµε για τους πίδακες? Που είναι ο αντιδιαµετρικός πίδακας στις παρατηρήσεις των υπέρφωτων κινήσεων; Τι ποσοστό των πιδάκων βλέπουµε από τη Γη? Δ. Σχετικιστικό φαινόµενο Dppler Είναι ο συνδυασµός 2 φαινοµένων που λειτουργούν σε αντίθετες κατευθύνσεις: -- διαστολή χρόνου (τείνει να αυξάνει τις παρατηρούµενες χρονικές κλίµακες και να ελαττώνει τις συχνότητες ανεξάρτητα από την κατεύθυνση κίνησης), παράγοντας γ -- απόσταση που καλύπτεται από τα φωτόνια (τείνει να µειώσει τις παρατηρούµενες χρονικές κλίµακες όταν η κίνηση είναι προς τον παρατηρητή και το αντίστροφο όταν η κίνηση είναι µακρυά από τον παρατηρητή), παράγοντας (1-v/c csθ) (όπως είδαµε την τελευταία φορά στον υπολογισµό του Δt στην υπέρφωτη κίνηση). οπότε ο συνολικός παράγοντας είναι Δt bs =Δt/D, όπου D=1/[γ(1-βcsθ)] είναι ο παράγοντας Dppler. Αντίστοιχα, οι συνχότητες µετασχηµατίζονται κατά το ν bs =νd. " Για csθ=1 (θ=0), τότε D=? " Για θ=π, csθ = -1, D=? " Άρα τι περιµένουµε για τους πίδακες? Τι περιµένουµε για τη µεταβλητότητά τους και τις χρονικές κλίµακες αυτής; Τι περιµένουµε για τη συχνότητα της ακτινοβολίας που παρατηρούµε; Ε. Ποσότητες αναλλοίωτες κάτω από µετασχηµατισµούς Lrentz Επανάληψη-αστραπή του τανυστικού λογισµού:

4 Αστροφυσική Υψηλών Ενεργειών! Διδάσκ.: Β. Παυλίδου! Ενότητα 3: Σχετικιστική Κινηματική 4 Μετρική Minkwski Δείκτες πάνω (π.χ. x µ ): τετραδιάνυσµα, µετασχηµατίζεται όπως το τετραδιάνυσµα θέσης, και άρα αντίστροφα απο τα διανύσµατα βάσης (ανταλλοίωτο). Δείκτες κάτω (π.χ. x µ ): 1-µορφή, µετασχηµατίζεται αντίστροφα από το τετραδιάνυσµα θέσης, και άρα όπως τα διανύσµατα βάσης (συναλλοίωτα). Σύµβαση Einstein: επαναλαµβανόµενοι δείκτες αθροίζονται. Προσοχή: αθροίζουµε µόνον όταν ένας δείκτης είναι πάνω και ένας κάτω. Χρήση µετρικής για να «ανεβάζουµε» ή να «κατεβάζουµε» δείκτες: x µ =η µν x ν, x µ =η µν x ν. Η ποσότητα x µ y µ = η µν x µ y ν =η µν x µ y ν είναι ένα βαθµωτό µέγεθος και είναι αναλλοίωτη κάτω από µετασχηµατισµούς Lrentz. Ένα βαθµωτό είναι ένας τανυστής µηδενικής τάξης. Ένα τετραδιάνυσµα και µια 1-µορφή είναι και τα δυο τανυστές πρώτης τάξης. Ένας τανυστής τάξης N θα έχει Ν ελεύθερους δείκτες, είτε πάνω είτε κάτω, και θα µετασχηµατίζεται ανάλογα. Μπορούµε να προσθέσουµε τανυστές ίδιας τάξης µε ίδιο αριθµό ελεύθερων δεικτών στο ίδιο µέρος, απλώς προσθέτοντας τις συνιστώσες: π.χ. Α µ +Β µ. Άλλο παράδειγµα: F µ ν+g µ ν. Μπορούµε να πολλαπλασιάσουµε τανυστές µε διαφορετικούς ελεύθερους δείκτες, και ο τανυστής που προκύπτει έχει τάξη όση το άθροισµα των τάξεων των δυο τανυστών: π.χ., A µ Β ν είναι ένας τανυστής 2 ης τάξης. Άλλο παράδειγµα: F µ νg α β είναι τανυστής τέταρτης τάξης. Συστολή ενός τανυστή τάξης Ν 2: αθροίζουµε µεταξύ ενός δείκτη πάνω και ενός δείκτη κάτω. Προκύπτει τανυστής µε τάξη Ν-2. Π.χ. A µν ν είναι η συστολή του τανυστή 3 ης τάξης Α µν β και είναι ένα τετραδιάνυσµα. Άλλο παράδειγµα: T µ µ είναι η συστολή του τανυστή Τ µ ν και είναι ένα βαθµωτό. Διαφόριση τανυστών: Η διαφόριση ενός τανυστή τάξης Ν παράγει έναν τανυστή τάξης Ν+1 µε τον έξτρα δείκτη κάτω. Συµβολίζουµε τον καινούριο τανυστή µε κόµµα πριν τον καινούριο δείκτη. Παράδειγµα: Τ µν / x α Τ µν,α. Άλλο παράδειγµα: Α ν / x α Α ν,α. Μετασχηµατισµός τανυστών: Ένας µετασχηµατισµός Lrentz για κάθε δείκτη πάνω, ένας αντίστροφος µετασχηµατισµός Lrentz για κάθε δείκτη κάτω. Παράδειγµα:. Άλλο παράδειγµα:. Ο µετασχηµατισµός Lrentz: Λ µ ν= x µ / x ν. Σε µορφή πίνακα, για κίνηση στην κατεύθυνση x µε ταχύτητα β: ώστε.

5 Αστροφυσική Υψηλών Ενεργειών! Διδάσκ.: Β. Παυλίδου! Ενότητα 3: Σχετικιστική Κινηματική 5 Εφαρµογές: Ο αντίστροφος µετασχηµατισµός Lrentz: - κυριολεκτικά, ο αντίστροφος πίνακας του Λ µ ν. Το χωροχρονικό διάστηµα είναι βαθµωτό και άρα αναλλοίωτο: Δs 2 =η µν Δx µ Δx ν Το τετραδιάνυσµα της ορµής ορίζεται µε συνιστώσες. Άρα η ποσότητα η µν p µ p ν =-Ε 2 /c 2 +p 2 είναι αναλλοίωτη (και ίση µε την µάζα του σωµατιδίου, αφού Ε 2 =p 2 c 2 +m 2 c 4. Για φωτόνιο όπου E=pc, η µάζα είναι ίση µε 0, όπως και θα έπρεπε). Ο όγκος στο χώρο φάσης d 3 xd 3 p είναι αναλλοίωτος 1, και άρα η πυκνότητα στο χώρο φάσης, f(x i,p i ) είναι και αυτή αναλλοίωτη, αφού dn=αριθµός σωµατιδίων, αριθµήσιµος και βαθµωτός, πραφνώς αναλλοίωτος =f(x i,p i )d 3 xd 3 p. Η ένταση ακτινοβολίας, I ν, συνδέεται µε την πυκνότητα στο χώρο φάσης εξισώνοντας την ενεργειακή ροή ως εξής: Συναρτήσει της έντασης, µπορούµε να γράψουµε τη ροή ενέργειας ανά µονάδα συχνότητας (ενέργεια ανά µονάδα επιφάνειας ανά µονάδα χρόνου) ως εξής: I ν dωdν. Συναρτήσει της πυκνότητας στο χώρο φάσης, γράφουµε c(hν)fd 3 p=c(hν)fp 2 dpdω. Επειδή p=hv/c, η δεύτερη έκφραση γίνεται c(hν)fd 3 p=(h 4 ν 3 /c 2 )fdνdω, ή fν 3 I ν. Άρα η ποσότητα I ν /ν 3 είναι και αυτή αµετάβλητη. " Αφού η I ν /ν 3 είναι αµετάβλητη, πώς περιµένουµε να συµπεριφερθεί το I ν στους πίδακες συναρτήσει του D? Ασκήσεις: 1. Ένα σύστηµα Κ κινείται ως προς το Κ µε ταχύτητα v. Το Κ όπως φαίνεται από το Κ πηγαίνει προς την κατεύθυνση των αυξανόµενων y. Να γράψετε τον µετασχηµατισµό Lrentz. (2β) 2. Δυο γεγονότα Α, Β είναι ταυτόχωρα στο Κ της άσκησης 1, και ταυτόχρονα στο Κ. Ποια είναι η χρονική τους απόσταση στο Κ, t B -t A?(2β) 3. Να δείξετε ότι για θ=0, ο παράγοντας Dppler µπορεί να γραφεί σαν D=γ(1+β). Ποια η τιµή του D για υπερσχετικισική κίνηση;(2β) Βιβλιογραφία: Rsswg & Brueggen High Energy Astrphysics, 1, Special Relativity Schutz A first curse in general relativity, 1, Special Relativity Rybicki & Lightman Radiative Prcesses in Astrphysics, 4, Relativistic Cvariance and Kinematics 1 βλ. µια καλή απόδειξη εδώ: στις σηµειώσεις από τις διαλέξεις του Jeremy Gdman στο Princetn, γιατί η συνήθης «απόδειξη» π.χ. στους Rybicki & Lightman που την αντιγράφουν και οι Rwsswg & Brueggen εµένα µου φαίνεται κοµπογιανίτικη και δεν µε πειθει - γιατί πχ τι γίνεται αν θεωρήσουµε και όρους δεύτερης τάξης; τι γίνεται αν η απόκλιση των ορµών είναι µεγάλη; δεν είναι τότε αναλλοίωτος ο όγκος στο χώρο φάσης;