Έλεγχος της σταθερότητας των συντελεστών της παλινδρόµησης (πρώτος έλεγχος του Chow) (Testing for stability of the regression coefficients ) (Chow s

Transcript

1 Έλεγχος της σταθερότητας των συντελεστών της παλινδρόµησης (πρώτος έλεγχος του Chow) (Testing for stability of the regression coefficients ) (Chow s first test) Σε πολλές περιπτώσεις µας ενδιαφέρει να ελέγξουµε ανη σχέση που υπάρχει µεταξύ της εξαρτηµένης µεταβλητής και των αντίστοιχων ερµηνευτικών µεταβλητών διατηρείται σταθερή ανάµεσα σε δύο ή περισσότερες χρονικές περιόδους ή ανάµεσα σε δύο ή περισσότερα διαστρωµατικά επίπεδα Με άλλα λόγια θέλουµε να ελέγξουµε ανόλοιοι συντελεστές της παλινδρόµησης σε δύο διαφορετικά δείγµατα παρατηρήσεων των ίδιων µεταβλητών είναι ίσοι µεταξύ τους

2 Αν δηλαδή έχουµε δύοσυναρτήσεις Y i = β 0 + β 1 X 1i + β 2 X 2i β k X ki + u 1i για i = 1,2,3,..n (όπου η = µέγεθος πρώτου δείγµατος) και Y j = γ 0 + γ 1 X 1j + γ 2 X 2j γ k X kj + u 1j για j = 1,2,3,..m (όπου m = µέγεθος δευτέρου δείγµατος) τότε ελέγχουµε τις παρακάτω υποθέσεις: Ho: Όλοι οι αντίστοιχοι συντελεστές ίσοι Hα: Όχι όλοι οι αντίστοιχοι συντελεστές ίσοι

3 Για τον έλεγχο αυτό κάνουµεταεξήςβήµατα: 1. Εκτιµούµε την πρώτη συνάρτηση µετηµέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων και υπολογίζουµε το άθροισµα των τετραγώνων των καταλοίπων ΕSS 1, το οποίο έχει ν 1 = η -(κ + 1) βαθµούς ελευθερίας (όπου η το µέγεθος του δείγµατος της πρώτης περιόδου ή περιοχής) 2. Εκτιµούµε τη δεύτερη συνάρτηση µετηµέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων και υπολογίζουµε το άθροισµα των τετραγώνων των καταλοίπων ESS 2, το όποίο έχει ν 2 =m-(k+1) βαθµούς ελευθερίας (όπου m το µέγεθος του δείγµατος της δεύτερης περιόδου ή περιοχής) 3. Εκτιµούµε µια τρίτη συνάρτηση µε τηµέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων και για τα δύο δείγµατα µαζί ως ένα δείγµα και υπολογίζουµε τοάθροισµατων τετραγώνων των καταλοίπων ESS 0, το οποίο έχει ν = (n + m) - (k + 1) βαθµούς ελευθερίας

4 4. Υπολογίζουµε το άθροισµα των τετραγώνων των καταλοίπων από τις δύο πρώτες συναρτήσεις ESS 1 + ESS 2 το οποίο έχει [n-(k+1)]+[m-(k+1)]=n+m 2(k+1) β.ε 5. Αφαιρούµε το άθροισµα των τετραγώνων των καταλοίπων του προηγουµένου βήµατος από το άθροισµα των τετραγώνων των καταλοίπων της τρίτης συνάρτησης ESS 0 -(ESS 1 + ESS 2 ) το οποίο έχει [n+m-(k+1)]-[n+m 2(k+1)]=k+1 β.ε

5 6. Υπολογίζουµε τηνποσότητα: η οποία ακολουθεί την F κατανοµή µε ν 1 = ( k + 1) και ν 2 = [n + m 2 (k + 1)] β.ε αντίστοιχα 7. Βρίσκουµε το κρίσιµο πεδίο ως εξής: Aν > F πιν (α, ν 1, ν 2 ) όπου: [ν 1 = k + 1, ν 2 = n+m 2(k+1)οι β.ε και α το επίπεδο σηµαντικότητας], τότε ισχύει η υπόθεση Ηα

6 Παράδειγµα 1

7 Ζητείται: 1. Να εκτιµηθεί η συνάρτηση: M t = b 0 Y t b1 PM t b2 e ut 2. Να ελεγχθεί σε επίπεδο σηµαντικότητας 5% αν οι εισαγωγές επηρεάζονται το ίδιο από το εισόδηµα και την ισοτιµία του νοµίσµατος µεταξύ των χρονικών περιόδων και

8 Έλεγχος της προβλεπτικής αποτυχίας της παλινδρόµησης (δεύτερος έλεγχος του Chow) (Testing for adequacy of predictions) (predictive failure of the linear regression) (Chow s second test) Σε πολλές περιπτώσεις έχουµε αύξηση των στοιχείων του δείγµατος που ερευνούµε που γίνεται αιτία να αλλάξουν οι αρχικές µας εκτιµήσεις Τότε λέµε ότι η συνάρτηση είναι ευαίσθητη όταν αυξάνει το δείγµα Η ευαισθησία αυτή της αύξησης του δείγµατος ελέγχεται µετη σταθερότητα όλων των συντελεστών της παλινδρόµησης, δηλαδή θέλουµεναελέγξουµε αν όλοι οι συντελεστές της παλινδρόµησης που παίρνουµε απότηναύξησητουµεγέθους ενός δείγµατος παραµένουν ίσοι µε την αύξηση αυτή

9 Έστω ότι έχουµετιςσυναρτήσεις Y i = β 0 + β 1 X 1i + β 2 X 2i β k X ki + u 1i για ι = 1,2,3,...η (όπου η = µέγεθος αρχικού δείγµατος) και Y j = γ 0 + γ 1 X 1j + γ 2 X 2j +...γ k X kj + u 1j για j = 1,2,3,...n, n+1,...m (όπου m = µέγεθος διευρυµένου δείγµατος) και m>n τότε ελέγχουµε τις παρακάτω υποθέσεις: Ho: Συντελεστές σταθεροί Hα: Συντελεστές µη σταθεροί

10 Για τον έλεγχο αυτό κάνουµε ταεξήςβήµατα: 1. Εκτιµούµε την αρχική συνάρτηση µε τηµέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων και υπολογίζουµε το άθροισµα τωντετραγώνωντωνκαταλοίπωνess 1, το οποίο έχει βαθµούς ελευθερίας ν 1 = η -(κ + 1) 2. Εκτιµούµε τησυνολικήσυνάρτησηµε τηµέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων και υπολογίζουµε το άθροισµα τωντετραγώνωντωνκαταλοίπωνess 2, το οποίο έχει βαθµούς ελευθερίας ν 2 = m - (κ + 1)

11 3) Από το άθροισµα των τετραγώνων των καταλοίπων της συνολικής παλινδρόµησης αφαιρούµε το άθροισµα των τετραγώνων των καταλοίπων της αρχικής παλινδρόµησης ESS 2 -ESS 1 το οποίο έχει ν = [m - (κ + 1)] - [n - (κ + 1)] = m - n οι β.ε

12 Υπολογίζουµε τηνποσότητα: η οποία ακολουθεί την F κατανοµή µε ν 1 = m - n και ν 2 = [η -(κ + 1)] β.ε αντίστοιχα 5. Αν F>F πιν (α, ν 1, ν 2 ) όπου: [ v 1 = m - n, v 2 = n - ( κ +1) β.ε και α επίπεδο σηµαντικότητας ] τότε ισχύει η υπόθεση Ηα

13 Παράδειγµα 2

14 Ζητείται: 1) Να εκτιµηθεί η συνάρτηση: AT t = b 0 BTT t b1 DT t b2 e ut 2) Να ελεγχθεί σε επίπεδο σηµαντικότητας 5% αν οι συντελεστές παλινδρόµησης παραµένουν σταθεροί όταν το χρονικό διάστηµα αυξάνεται από την περίοδο στην περίοδο