Πεπερασμένα Αυτόματα. Πεπερασμένα Αυτόματα. Ορισμός. Παράδειγμα

Transcript

1 Ππρασμένα Αυτόματα Διδάσκοντς: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλια διαφανιών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλκτρολόγων Μηχανικών Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μτσόβιο Πολυτχνίο Ππρασμένα Αυτόματα ίναι απλούστρς υπολογιστικές μηχανές. «Κντρική Μονάδα» μ ππρασμένο #καταστάσων. Όχι έξοδος κτός από χαρακτηρισμό τλικής κατάστασης σαν κατάσταση αποδοχής. Όχι άλλη μνήμη. Είσοδος σιριακά από ταινία μέσω κφαλής ανάγνωσης. Νέο σύμβολο ισόδου προκαλί αλλαγή κατάστασης. Διακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 29) Ππρασμένα Αυτόματα 2 Ορισμός Ένα νττρμινιστικό ππρασμένο αυτόματο (DFA) ίναι μια πντάδα όπου: Q ένα ππρασμένο σύνολο καταστάσων. Σ ένα αλφάβητο (ισόδου). s Q η αρχική κατάσταση. F Q το σύνολο των τλικών καταστάσων. η συνάρτηση μτάβασης. q q q 2 q 3 Αποδέχται συμβολοσιρές μ ζυγό αριθμό. Αν αλλάξουμ τλικές καταστάσις; Διακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 29) Ππρασμένα Αυτόματα 3 Διακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 29) Ππρασμένα Αυτόματα 4

2 Υπολογισμός DFA q q q 3 q 2 q 4 Αποδέχται δυαδικές συμβολοσιρές που αρχίζουν τλιώνουν μ το ίδιο σύμβολο. DFA Μ(Q, Σ, δ, s, F) αποδέχται συμβ/ρά w αν ξκινώντας από αρχική κατάσταση s, αφού πξργαστί το w, καταλήγι σ τλική κατάσταση. Συνολική κατάσταση (configuration) q τρέχουσα κατάσταση. w ίσοδος που δν έχι πξργασθί ακόμη. Συνάρτηση παράγι άμσα αν μόνο αν για κάποιο. Διακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 29) Ππρασμένα Αυτόματα 5 Διακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 29) Ππρασμένα Αυτόματα 6 Υπολογισμός DFA Σχέση παράγι. αν μόνο αν υπάρχουν, τέτοια ώστ:. Άρα ανν Διακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 29) Ππρασμένα Αυτόματα 7 Διακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 29) Ππρασμένα Αυτόματα 8

3 Υπολογισμός DFA DFA Μ δέχται συμβ/ρά w ή w ίναι αποδκτό από Μ όταν για κάποιο Γλώσσα Μ : Γλώσσα ικονιζόμνου DFA; DFA που δέχται DFA που δέχται Διακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 29) Ππρασμένα Αυτόματα 9 Διακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 29) Ππρασμένα Αυτόματα Μη Νττρμινισμός DFA που δέχται Νττρμινισμός: πόμνη κατάσταση καθορίζται από τρέχουσα κατάσταση σύμβολο ισόδου. Συνάρτηση μτάβασης δ. DFA που δέχται Μη Νττρμινισμός: αλλαγή κατάστασης προσδιορίζται μρικά από τρέχουσα κατάσταση σύμβολο ισόδου. Τρέχουσα κατάσταση σύμβολο ισόδου: υπάρχουν καμία ή πρισσότρς πόμνς καταστάσις. Μτάβαση χωρίς να «καταναλωθί» σύμβολο ισόδου. Σχέση ( όχι συνάρτηση) μτάβασης Δ. Ισοδύναμα, συνάρτηση Συμβ/ρά ισόδου αποδκτή αν υπάρχι ακολουθία που οδηγί σ τλική κατάσταση. Διακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 29) Ππρασμένα Αυτόματα Διακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 29) Ππρασμένα Αυτόματα 2

4 Μη Νττρμινισμός Νττρμινιστικό αυτόματο που αναγνωρίζι L = {w {, } * : w έχι ίτ ένα μόνο στο τέλος ίτ ένα μόνο στο τέλος } q * Μη νττρμινιστικό αυτόματο για L. Αποδέχται αν υπάρχι τρόπος μτάβασης από s q Αν υπάρχι, τον «μαντύι» (δν κάνι ποτέ λάθος) Εκτλί όλς τις πιτρπτές μταβάσις παράλληλα. Υπολογισμός για. s q * q Νττρμινιστικός υπολογισμός: μονοπάτι. Αποδοχή αν καταλήγι σ τλική κατάσταση. Μη νττρμινιστικός υπολογισμός: δέντρο. Αποδοχή αν υπάρχι κλάδος που οδηγί σ τλική κατάσταση. Νττρμινιστικές μηχανές αποτλούν ιδική πρίπτωση μη νττρμινιστικών. Δν πρόκιται για ραλιστικό μοντέλο υπολογισμού. Διυκολύνουν σχδιασμό έλγχο λιτουργίας. Λιτουργία πιο κοντά στην «ανθρώπινη σκέψη». Νττρμινιστική προσομοίωση: λιτουργική ισοδυναμία. «Είναι αποτλσματική;» αποτλί την ουσία του P vs NP. Διακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 29) Ππρασμένα Αυτόματα 3 Διακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 29) Ππρασμένα Αυτόματα 4 Ορισμός Νττρμινιστικό αυτόματο που αναγνωρίζι Ο λάχιστος #καταστάσων ίναι 32. Μη νττρμινιστικό αυτόματο; Ένα μη νττρμινιστικό ππρασμένο αυτόματο (NFA) ίναι μια πντάδα όπου: Q ένα ππρασμένο σύνολο καταστάσων. Σ ένα αλφάβητο (ισόδου). s Q η αρχική κατάσταση. F Q το σύνολο των τλικών καταστάσων. η σχέση μτάβασης. Υπολογισμός για,,,. δέντρου υπολογισμού. Διακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 29) Ππρασμένα Αυτόματα 5 Διακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 29) Ππρασμένα Αυτόματα 6

5 Υπολογισμός NFA Υπολογισμός NFA Μ(Κ, Σ, Δ, s, F) αποδέχται συμβ/ρά w αν ξκινώντας από αρχική κατάσταση s, αφού πξργαστί w, το Μ μπορί να καταλήξι σ κάποια τλική κατάσταση του F. Συνολική κατάσταση (configuration) q τρέχουσα κατάσταση (αλλά μπορί σ πολλές!). w ίσοδος που δν έχι πξργασθί ακόμη. Σχέση παράγι άμσα αν μόνο αν για κάποιο. Σχέση παράγι. αν μόνο αν υπάρχουν, τέτοια ώστ:. Άρα ανν δύναται Διακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 29) Ππρασμένα Αυτόματα 7 Διακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 29) 8 Υπολογισμός NFA Υπολογισμός NFA Σχέση παράγι. αν μόνο αν υπάρχουν, τέτοια ώστ:. Άρα ανν δύναται NFA Μ δέχται συμβ/ρά w ή w ίναι αποδκτό από Μ όταν για κάποιο Γλώσσα Μ : Γλώσσα ικονιζόμνου NFA;, q q q 2 q 3 q 4, Διακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 29) 9 Διακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 29) Ππρασμένα Αυτόματα 2

6 Ισοδυναμία DFA NFA NFA που δέχται s q q q 2 q 3, 2, 3, 2, 3,, 3,, 2 Αυτόματα Μ Μ 2 ισοδύναμα: L(M ) = L(M 2 ). Αναγνωρίζουν ίδια γλώσσα μ (νδχ.) διαφορτική μέθοδο. DFA ίναι ιδική πρίπτωση των NFA. Για κάθ NFA αυτόματο Μ(Q, Σ, Δ, s, F), υπάρχι ισοδύναμο DFA Μ (Q, Σ, δ, s, F ). Δορίζταιισοδύναμαως NFA βρίσκται (παράλληλα) σ σύνολο καταστάσων: Καταστάσις Μ ίναι υποσύνολα Q, Q P(Q) Επόμνη κατάσταση Μ : σύνολο καταστάσων όπου καταλήγι Μ από τρέχον σύνολο καταστάσων μ συγκκριμένο σύμβολο ισόδου. Διακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 29) Ππρασμένα Αυτόματα 2 Διακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 29) Ππρασμένα Αυτόματα 22 Ισοδυναμία NFA DFA Για μταβάσις μ (κνή συμβολοσιρά): Σύνολο καταστάσων προσιτό από q χωρίς ίσοδο. Κατασκυαστική απόδιξη (κθτικός χρόνος λόγω P(Q)). Πριγραφή νττρμινιστικού Μ : DFA Μ προσομοιώνι NFA Μ (απόδιξη μ παγωγή στο w ): Διακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 29) Ππρασμένα Αυτόματα 23 Διακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 29) Ππρασμένα Αυτόματα 24

7 Διακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 29) Ππρασμένα Αυτόματα 25 Διακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 29) Ππρασμένα Αυτόματα 26